/
Текст
В. НЕМЫЦКИЙ, М. СЛУДСКАЯ, А. ЧЕРКАСОВ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Проф. В. НЕМЫЦКОГО
ТОМ I
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957
11 -5-2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию И
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава I.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
1. Примеры функциональных зависимостей (13). 2.
Обозначение функциональной зависимости (15). 3. Область определения
функции (46). 4. Аналитическое представление функции (16).
5. Функции, заданные несколькими формулами (17). 6. Функции
\х\, sign (х), Е(х) (19). 7. График функции, заданной аналитически (20).
8. Четные и нечетные функции (22). 9. Обратные функции (23).
10. График обратной функции (25). 11. Сложение графиков (26).
12. Неявные функции (27). 13. Некоторые специальные классы
функций. Периодические функции (28). 14. Гармоническое
колебание (29). 15. Функция целочисленного аргумента (31).
Глава II.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Числовые последовательности . . . 32
1. Определение числовой последовательности (32). 2.
Операции над числовыми последовательностями (33).
§ 2. Определение предела числовой последовательности 34
3. Определение предела (34). 4. Предел последовательности
{ап} при /г —оо (37). 5. Сумма членов бесконечно-убывающей
геометрической прогрессии (38). 6. Предел последовательности
[хп
Ш <з8>-
§ 3. Действительные числа 39
7. Измерение длин (39). 8. Определение действительного
числа (41). 9. Аксиомы арифметики (43). 10. Операции над
действительными числами (44). 11. Упорядоченность действительных
чисел (48). 12. Полнота множества действительных чисел (49).
13. Признак полноты в смысле Коши (49). 14. Признак полноты
в смысле Г. Кантора (51). 15. Признак полноты по Дедекинду (53).
§ 4. Признаки существования предела последовательности 56
16. Критерий Коши (56). 17. Ограниченные множества (56).
18. Возрастающие и убывающие последовательности (58).
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
19. Число е (59). 20. Существование дробной и иррациональной
степени (61). 21. Существование логарифма (65).
§ 5. Предельные точки множеств # , 66
22. Принцип предельной точки (66). 23. Предельная точка и
предел последовательности (67).
Глава III.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Предел функции 70
1. Предел независимого переменного (70). 2. Определение
предела функции (72).
§ 2. Признаки существования предела функции 75
3. Необходимые и достаточные признаки существования
предела функции (75). 4. Другие признаки существования предела
функции (78).
§ 3. Теоремы о пределах 80
5. Теоремы о пределах (80).
§ 4. Непрерывность и разрывы функций 83
6. Непрерывность в точке (83). 7. Непрерывность некоторых
элементарных функций (85). 8. Непрерывность и предельные
значения (86). 9. Точки разрыва функции (87). 10. Ступенчатые
функции (89). 11. Функция Дирихле (89).
§ 5. Операции над непрерывными функциями 90
12. Непрерывность суммы, произведения и частного (90).
13. Непрерывность сложной функции (92).
§ 6. Непрерывные функции на отрезке и их свойства 92
14. Основные теоремы о непрерывных функциях (93). 15.
Равномерная непрерывность (96).
Глава IV.
ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Предварительные замечания 99
1. Примеры (99).
§ 2. Бесконечно малые функции и их применение к нахождению
пределов 101
2. Определение бесконечно малых величин (101). 3. Порядки
бесконечно малых (102). 4. Принцип отбрасывания бесконечно
малых высших порядков (104).
§ 3. Пределы сложных показательных функций 106
5. Пределы сложных показательных функций (106).
§ 4. Пределы некоторых последовательностей 111
6. Пределы некоторых последовательностей (111).
§ 5. Примеры на исследование графиков функций 112
7. Примеры (112),
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава V.
ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной 115
1. Скорость неравномерного движения (115). 2. Скорость
изменения функции и ее физический смысл (117). 3. Определение
касательной к кривой (119). 4. Уравнение касательной (120).
§ 2. Производная 123
5. Определение производной (123). 6. Бесконечные
производные (124). 7. Различные обозначения производной (124). 8.
Непосредственное нахождение производных (125). 9. Производные
некоторых элементарных функций (125). 10. Пример функции,
имеющей бесконечную производную (129). 11. Пример функции,
имеющей разрывную производную (130). 12. Функции, не имеющие
производной (131).
§ 3. Общие правила нахождения производных (дифференциальное
исчисление) 135
13. (135). 14. Производная постоянной величины (136). 15.
Производная произведения функции на постоянную величину (136).
16. Непрерывность функции, имеющей конечную производную (137).
17. (137). 18. Производная алгебраической суммы (138). 19.
Производная произведения (139). 20. Производная частного (141).
21. Производная сложной функции (142). 22. Производная сложной
функции в случае двух промежуточных аргументов (144). 23.
Производная обратной функции (145).
§ 4. Производные элементарных функций 147
24. Элементарные функции (147). 25. Производная степенной
функции при любом показателе степени (147). 26. Производные
тригонометрических функций (149). 27. Производные обратных
тригонометрических функций (150). 28. Производная логарифмической
функции (151). 29. Логарифмическая производная (151). 30. Сводка
формул дифференциального исчисления (152). 31. Сводка общих
правил дифференциального исчисления (153).
§ 5. Дифференциал функций 153
32. Линейность в малом дифференцируемых функций (153).
33. Определение дифференциала функции (1э6). 34. Геометрический
смысл дифференциала (157). 35. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность дифференциала (157). 36. Общие теоремы о
дифференциалах (159).
§ 6. Свойства функций, имеющих производные 159
37. (159). 38. Теорема Дарбу (160). 39. Теорема Ролля (161).
40. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа) (163).
41. Следствие из формулы конечных приращений (165). 42. Теорема
Коши (1,65).
§ 7. Производные высших порядков , . . . 166
43. Определение и обозначение производных различных
порядков (166), 44. Формула Лейбница для производной произведи»
ния (169),
б ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Дифференциалы высших порядков 171
45. Определение дифференциалов высших порядков (171).
46. Дифференциалы высших порядков от сложной функции (172).
§ 9. Конечные разности и приближенное вычисление производных 173
47. Определение конечных разностей (173). 48. Определение
производных и дифференциалов через конечные разности (174).
Глава VI.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Исследование кривых, заданных параметрически 177
1. Определение кривых, заданных параметрически (177). 2.
Разыскание асимптот (179).
§ 2. Функция, заданная параметрически, и ее производная 182
3. Определение производной (182). 4. Касательная к кривой,
заданной параметрически (183). 5. Производные высших порядков
для функций, заданных параметрически {183).
§ 3. Нахождение предельных значений («раскрытие неопределенно»
стей») 184
6. Правило Лопиталя для неопределенностей вида ^г- (184).
7. Правило Лопиталя для неопределенностей вида — (188).
8. Сравнение степенной, показательной и логарифмической
функций (191). 9. Неопределенности вида оо — оо (193). 10.
Неопределенности вида 0 • оо. (193). 11. Неопределенности вида 0°, 1°°,
оо° (194). 12. Пример, показывающей недостаточность правила
Лопиталя (196).
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Глава VII.
ТЕОРИЯ числовых рядов
§ 1. Определение сходящегося ряда, признаки сходимости рядов 198
1. Сходящийся ряд и его сумма (198). 2. Остаток ряда (202).
3. Необходимый признак сходимости ряда (202). 4. Критерий
Коши (203). 5. Принцип сравнения рядов (204). 6. Признаки Далам-
бера и Коши (205). 7. Сравнение признаков Даламбера и
Коши (208).
§ 2. Другие признаки сходимости для рядов с положительными
членами 209
8. Ряды с монотонно убывающими членами (209). 9. Признак
сходимости Куммера (211). 10. Следствие из признака Кум-
мера (213). 11. Вывод различных признаков сходимости из
признака Куммера (признак Раабе, признак Гаусса) (213)
ОГЛАВЛЕНИЕ /
§ 3» Абсолютно и условно сходящиеся ряды 216
12. Абсолютная сходимость ряда (216). 13. Признак
сходимости для знакочередующихся рядов (217). 14. Условно
сходящиеся ряды. Зависимость суммы ряда от порядка членов (219).
15. Преобразование Абеля и его приложение к изучению
сходимости рядов (222).
§ 4. Операции над числовыми рядами 223
16. Сложение рядов (223). 17. Умножение рядов (224).
§ 5. Бесконечные произведения 226
18. Определение бесконечного произведения (226). 19.
Необходимый признак сходимости ^бесконечного произведения (227).
20. Необходимые и достаточные признаки сходимости (228).
21. Некоторые теоремы о сходимости рядов (228). 22. Критерий
Коши (230). 23. Абсолютно сходящиеся произведения (233).
Глава VIII.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. Общая теория степенных рядов 235
1. Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля (235).
2. Интервал сходимости (236). 3. Гипергеометрический ряд (240).
4. Определение радиуса сходимости в общем случае. Верхний
предел последовательности (242). 5. Вычисление радиуса
сходимости степенного ряда (формула Коши — Адамара) (244).
§ 2. Операции над степенными рядами 247
6. Сумма, разность и произведение степенных рядов (247).
7. Дифференцирование степенного ряда (247).
§ 3. Свойства функций, представимых степенными рядами : . 248
8. Определение аналитической функции (248). 9. Бесконечная
дифференцируемость аналитических функций (249). 10.
Непрерывность функции, представимой степенным рядом (250).
Глава IX.
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
§ 1. Ряд Тейлора для функции f(x) 253
1. Определение ряда Тейлора (253). 2. Теорема
единственности (253). 3. Представление функции/(л:) ее рядом Тейлора (254).
§ 2< Формулы Тейлора и Маклорена » . . . . 25?
4. Проблема вычисления значения функции (257). 5.
Остаточный член и его выражение через производную (258). 6. Формула
Тейлора (260). 7. Достаточные условия представимости функции
рядом Тейлора (260).
§ 3. Разложение элементарных функций в степенные ряды по
формулам Тейлора и Маклорена 261
8. Разложение в степенной ряд sinx и cos* (261). 9.
Разложение показательной функции е* (263). 10. Общая формула бинома
Ньютона и ее приложения (264). 11. Разложение функции 1п(1+л:)
и его применение к вычислению логарифмов (268). 12. Ряды для
вычисления arctgx и arc sin х (271).
ОГЛАВЛЕНИЕ
8
Глава X.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
§ 1. Возрастание и убывание функций 275
1. Монотонные функции (275). 2. Аналитический признак
возрастания и убывания (275). 3. Примеры (277). 4. Возрастание и
убывание функции в точке (278).
§ 2. Теория максимумов и минимумов функций 280
5. Определения (280). 6. Необходимое условие существования
экстремума (282). 7. Достаточные условия существования
экстремума (282). 8. Применение формулы Тейлора для исследования
экстремума (286). 9. Абсолютный экстремум функции (288). 10.
Применение теории максимума и минимума к решению задач (289).
11. Приложение теории максимумов и минимумов к доказательству
некоторых неравенств (292).
§ 3. Выпуклость и вогнутость 295
12. Выпуклые функции (295). 13. Аналитический признак
выпуклости и вогнутости (295). 14. Точки перегиба (300). 15.
Применение формулы Тейлора для разыскания точек перегиба (301).
§ 4. Построение графиков функций 302
16. Общий план исследования (302). 17. Гиперболические
функции (303). 18. Обратные гиперболические функции (305).
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава XI.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение первообразной и свойства неопределенного
интеграла 310
1. Определение первообразной (310). 2. Неопределенный
интеграл (311). 3. Таблица интегралов (312). 4. Определение
первообразной по начальным условиям (312). 5. Вычисление
площадей (316). 6. Свойства неопределенного интеграла (317).
§ 2. Вычисление простейших интегралов 319
7. (319). 8. План изложения методов интегрирования (319).
9. Применение формулы интеграла суммы к нахождению
первообразной (320). 10. Интегрирование методом подстановки (321).
11. Интегрирование по частям (324).
§ 3. Простейшие интегралы от рациональных функций 326
12. Простейшие интегралы от рациональных функций (326).
§ 4. Интегрирование простейших иррациональных функций 331
13. Интегрирование простейших иррациональных
функций (331).
§ 5. Общая теория интегрирования рациональных функций 335
14. Разложение рациональной дроби на элементарные (335).
15. Вычисление коэффициентов разложения (342). 16. Вычисление
интегралов от рациональных функций (349). 17. Метод М. В.
Остроградского (350).
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
Интегрирование иррациональных функций методом
рационализации 356
18. Методы рационализации (356). 19. Интегралы, содержащие
радикалы только от независимого переменного (357). 20.
Интегралы, содержащие различные радикалы из дробно-линейной
функции (358). 21. Подстановки Эйлера (359). 22. Геометрическое
истолкование подстановок Эйлера (361). 23. Биномиальные
дифференциалы (363).
Интегрирование тригонометрических выражений методом
рационализации ; 366
X
24. Подстановка tt = tg-y (366). 25. Некоторые
дополнительные подстановки (367).
Интегрирование некоторых трансцендентных функций с
помощь^) формул приведения 370
26. Формулы приведения для интегралов от
тригонометрических функций (370). 27. Вывод формул приведения (371). 28.
Вычисление интеграла 1 у(х)(х— m)k dx (372). 29. Вычисление
интеграла j (^~г|уг dx (373).
Глава XII.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл и его свойства 375
1. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла (375).
2. Теорема существования определенного интеграла (377). 3.
Верхние и нижние суммы (380). 4. Примеры вычисления определенных
интегралов (382). 5. Необходимые и достаточные условия
интегрируемости (385). 6. Интегрируемость функций с конечным числом
точек разрыва (387). 7. Интегрируемость монотонных функций (388).
Свойства определенного интеграла • 390
8. Основные свойства определенного интеграла (390). 9.
Теоремы о среднем значении (394).
Определенный интеграл с переменным верхним пределом как
первообразная подинтегральной функции 401
10. Определенный интеграл как функция верхнего предела
интеграции (401). 11. Производная определенного интеграла по
верхнему пределу (402). 12. Формула Ньютона — Лейбница (404).
13. Формула Ньютона — Лейбница для разрывных функций (405).
14. Производная от интеграла как сложной функции (406). 15.
Замена переменного (подстановка) в определенном интеграле (407).
16. Формула интегрирования по .частям (409). 17. Выражение
остаточного члена формулы Тейлора с помощью определенного
интеграла (409). 18. Определение функции по ее гс-й производной (411).
19. Исследование функций, заданных интегралами (411).
Глава XIII.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Длина дуги плоской кривой 414
1. Определение длины дуги (414). 2. Свойства спрямляемой
дуги (415). 3. Вычисление длины дуги (416). 4. Неспрямляемые
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
кривые (417). 5. Дифференциал дуги (421). 6. Длина дуги кривой,
заданной в параметрической форме (422). 7. Длина дуги, заданной
в полярных координатах (426).
§ 2. Площадь плоской фигуры 427
8. Площадь криволинейной трапеции (427). 9. Площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической
форме (431). 10. Связь между гиперболическими и
тригонометрическими функциями (432). И. Площадь в полярных
координатах (433).
§ 3. Объем тела 436
12. Метод сечений (436). 13. Объем тела вращения (437).
14. Случай, когда кривая задана в параметрической форме (441).
§ 4. Площадь поверхности вращения 441
15. Вычисление площади поверхности вращения (441).
§ 5. Обобщенная интегральная сумма 445
16. Определение (445). 17. Теорема об обобщенной
интегральной сумме (445). 18. Вычисление давления жидкости "на
плоскую пластинку (446). 19. Вычисление работы (448).
Глава XIV.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Формула трапеций и формула Симпсона 452
1. Постановка задачи (452). 2. Формула трапеций (452).
3.,Формула Симпсона (454).
§ 2. Приближенное вычисление первообразных 457
4. Приближенное вычисление первообразных (457).
Глава XV.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами' интеграции 460
1. Определение и примеры (460). 2. Признаки абсолютной
сходимости и расходимости несобственных интегралов (464).
3. Признак сходимости для условно сходящихся интегралов (467).
4. Интегральный признак Коши (468).
§ 2. Интегралы от неограниченных функций 471
5. Определение несобственного интеграла (471). 6. Интегралы
ъ
С dx
вида \ ih V* (473)* 7* пРизнаки сходимости (474).
о
§ 3. Свойства несобственных интегралов 476
8, Свойства несобственных интегралов (476). 9. Замена
переменного в несобственных интегралах (480).
Предметный указатель 483
Указатель обозначений 487
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание нашего курса анализа является переработкой
второго издания. Мы сохранили в основном план изложения первых
двух изданий. Единственным исключением в этрм отношении является
положение теории числовых рядов. Изложение этой теории в
нарушение обычных традиций мы поместили в главах, касающихся
приложений дифференциального исчисления. Связывая теорию
числовых и степенных рядов с формулой Тейлора, мы можем сразу же
применить эту абстрактную теорию к важнейшему и доступному
для учащихся -вопросу о вычислении значений функции.
Укажем теперь на основные отличия третьего издания от
предыдущих. Прежде всего существенно изменен метод изложения
теории пределов. Обращено внимание на понятие предела
независимой переменной, которое обосновывается с помощью понятия
частичной упорядоченности. Этим в изложение математического
анализа вводится в явном виде идея упорядоченности, которая
является одной из ведущих идей современной математики. В тех
частях теории пределов, где идея порядка не является
существенной, мы используем традиционное изложение материала.
Переработана глава «Изучение поведения функций». Новой по сравнению
с прежними изданиями идеей является рассмотрение неравенств.
Неравенства играют весьма большую роль в приложениях
математического анализа; между тем в большинстве курсов им не
уделяется никакого внимания. В связи с этим мы считаем
целесообразным указать на возможность получения многих интересных
неравенств, исходя из теории экстремумов, которую обычно
рассматривают как чисто геометрическую. Точно так же теория
выпуклости и вогнутости обычно трактуется лишь как один из
элементов геометрического анализа графиков функций; мы применяем
ее к изучению важного класса выпуклых функций, тоже играющих
существенную роль в получении неравенств.
Интегральное исчисление подверглось лишь редакционной
переработке. Несколько расширены главы, касающиеся приложений
интегрального исчисления, и в связи с этим введено понятие
обобщенной интегральной суммы.
В настоящем издании второго тома сохранен план
изложения, принятый в первом издании. Внесены лишь редакционные
12
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
изменения в изложении. Добавлены физические и механические
примеры, указывающие на возможные приложения разбираемых понятий.
Наконец, несколько слов об изложении материала — оно
неоднородно. В начале курса, а также, когда речь шла об основных
математических понятиях и теоремах математического анализа, мы
придерживались подробного изложения. Для опытного читателя
оно может показаться слишком детальным. Мы считали, что
основные понятия и теоремы служат- тем минимумом, который должен
быть усвоен всеми нашими читателями без исключения. Другие
части книги, касающиеся более сложных и тонких вопросов теории,
изложены нами в более кратком стиле, так как мы считаем, что
ими будут интересоваться лишь некоторые читатели, стремящиеся
углубить свои знания в области математического анализа и,
следовательно, могущие лучше разобраться в сложных математических
рассуждениях.
Материал, t изложенный в нашем курсе, несколько превышает
обычную программу, но лишь за счет того, что мы углубили
рассмотрение тех вопросов, которые, по недостатку времени, в лекциях
излагаются обычно более поверхностно.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
ГЛАВА I
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
В основе математического анализа лежит понятие функции и
функциональной зависимости. Для того чтобы естественно придти
к этому понятию, мы начнем с примеров, взятых из механики и
физики.
1. Примеры функциональных зависимостей, а) Известно, что
свободное падение тела (без начальной скорости) происходит по
закону s = ~- (/ — здесь время, измеряемое от момента начала
наблюдения движения и до его конца).
б) Если один из концов металлического стержня,
первоначальная температура которогог была 0°, опустить в кипящую воду (100°),
то тепло будет распространяться по стержню к другому концу.
Происходит процесс распространения тепла, который можно описать,
составив формулу, позволяющую для данного момента времени
определить число, дающее температуру в рассматриваемой точке стержня.
В этих примерах каждому моменту времени посредством
того или иного правила стадилось в соответствие некоторое
число, выражающее значение измеряемой физической величины:
расстояния от начала падения в первом примере, температуры
стержня во втором.
Переходим к примерам другого типа.
в) Для составления прогнозов погоды «ажио нанести на карту
атмосферное давдение, измеренное в один и тот же момент времени
в возможно большем числе точек земного шара. Результатом этих
измерений будет таблица из чисел (выражающих давление), причем
каждое число этой таблицы соответствует определенной точке
земной поверхности, иными словами, зная точку земной поверхности,
мы по этой таблице сможем найти давление, выражаемое некоторым
числом.
г) Известно, что одной из главных географических
характеристик данного места на земле (данной точки земной поверхности)
является высота этого места над уровнем моря. Рассматривая этот
14
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[гл. I
вопрос с точки зрения математики, мы, как и в предыдущем
примере, видим, что точкам земной поверхности соответствуют
некоторые числа — высоты этих точек над уровнем моря.
Наконец, рассмотрим еще два примера.
д) Из тригонометрии известно, что каждому углу соответствует
синус этого угла.
е) Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными у = -\[х\ оно
позволяет по заданному положительному числу х найти числовое
значение у.
В последних двух примерах мы имели дело с правилами,
позволявшими одному числу {углу, х) ставить в соответствие
другие числа (синус, ^/х).
Что является общим для всех шести примеров?
Во всех примерах мы имели дело с правилами, позволявшими
моментам времени или точкам земной поверхности, или числам
ставить в соответствие числа. Различные правила подобных
соответствий называются функциональными зависимостями или
функциями. В первых двух примерах мы рассматривали функции времени,
в третьем и четвертом — функции точки, в последних двух
примерах— функции от числа или, как говорят в математике, функции
некоторой независимой переменной, т. е. в первом и втором
примерах моменту^ времени сортветствовало число, в третьем и
четвертом точке земной поверхности соответствовало число, в пятом
и шестом числу соответствовало число.
В математике стараются, если это возможно, свести
всевозможные соответствия к соответствиям, в которых по одному числу
определялось бы другое число, как это было в последних двух
примерах. Функции, определенные нами в других примерах, тоже
могут быть рассмотрены как дающие соответствия между одним
множеством чисел и другим. В самом деле, если выбрать
определенную начальную точку отсчета времени, то всякий момент времени
может быть охарактеризован числом, измеряющим промежуток
времени, прошедший от начала отсчета времени до этого момента.
Если принять такой способ отсчета времени, то в первом и во
втором примерах мы фактически будем иметь дело с некоторыми
правилами, позволяющими числу (измеряющему данный момент времени)
поставить в соответствие другое число (расстояние в первом
примере, температуру во втором примере).
Что касается функций точки, рассмотренных в третьем и
четвертом примерах, то их тоже можно было бы свести к функциям
от чисел. Однако этот более сложный вопрос будет рассмотрен
в теории функций нескольких переменных во втором томе нашего
курса. В настоящем первом томе мы будем заниматься лишь такими
функциональными зависимостями, которые представляют собой
соответствие одного множества чисел другому.
гл. I]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
15
Приведем теперь точное определение функции.
Пусть дано некоторое множество чисел G; мы скажем, что
задана функция на множестве G, если при помощи определенного
правила (закона) каждому числу из множества Q поставлено
в соответствие одно или несколько чисел, называемых значениями
функции.
Значение функции обычно обозначают буквой у, а число из
множества О называют аргументом функции и обозначают буквой х.
Само множество G, состоящее из тех чисел, которым соответствуют
значения функции, называют областью определения функции.
Функция называется однозначной, если каждому числу из
множества Q соответствует лишь одно значение функции. В
противоположном случае функция называется многозначной.
Пусть, например, функция задана равенством y=j/x.
Множество G состоит здесь из всех положительных чисел, корни
квадратные из этих чисел будут значениями функции, а правило
извлечение квадратного корня служит тем правилом (законом), которым
определяется функциональная зависимость. Рассмотренная функция
многозначна, именно двузначна, так как каждому х соответствует
два значения корня квадратного из х.
2. Обозначение функциональной зависимости.
Функциональную зависимость будем обозначать такой записью:
y=f{*)1)
или какой-нибудь аналогичной, например
z = F(ti).
Приведем пример употребления символа f(x).
Пусть задана функциональная зависимость следующим
равенством:
.?=/(*)=*»+1.
Значение функции, определяемой этим равенством, есть число,
например
/(2) = 2*+ 1=5.
Так как при каждом данном х символ f(x) обозначает число,
то над ним можно производить действия, как над числами;
например, для функции у = х1 + 1 имеем:
[/(2) + 3]* = (5 + 3)* = 64,
[/(*)]*+ 3 = (.*2+1)2 + 3.
1) Это равенство читают «игрек равен эф от икс». Кроме буквы «эф»
может быть употреблена любая другая буква, например у = <о (*),
16
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[гл. I
Мы уже упоминали, что функции могут зависеть от нескольких
числовых аргументов. Например, объем v прямоугольного
параллелепипеда зависит от трех числовых аргументов — длин его сторон
х, у и z, именно;
v=x - у -Z.
В этих случаях в обозначении функциональной зависимости
перечисляют все аргументы, от которых зависит функция. Например,
запись
*=/(■*» У* *)
означает, что v — функция, зависящая от аргументов х> у и z<
3. Область определения функции. Приведем наиболее
употребительные из множеств, служащих областью определения функции:
а) Отрезок — совокупность всех чисел х, удовлетворяющих
неравенству
а ^ х ^ Ь,
где числа а, Ъ заданы и называются концами отрезка.
Отрезок будем записывать так: [а, Ъ\.
б) Интервал — совокупность всех чисел х, удовлетворяющих
неравенству
а <С х <С *>
где числа а и Ъ заданы и называются концами интервала.
Интервал будем записывать так: (а, Ь).
в) Полуинтервал — совокупность всех чисел х,
удовлетворяющих неравенству а^х<^Ь (запись [а, Ь)) или неравенству а<^дг^Ъ
(запись (а, Ь]).
г) Бесконечный интервал, или вся действительная числовая ось.
Это множество будем записывать следующим неравенством:
— ocX^-XT^-f-00» читая это неравенство: «все действительные
числа, от минус бесконечности до плюс бесконечности». Множества,
записанные неравенствами—оо<С^х<^а и а<^х<^-f-о°> также
будем называть бесконечными интервалами.
д) Полупрямая. Это — множество чисел, удовлетворяющих либо
неравенству —со<^дг^а, либо а^х<^-\-оо.
4. Аналитическое представление функции. Особенно важным
для математики является способ задания функциональной
зависимости или функции при помощи формулы, или, как говорят,
аналитическое представление функции.
Здесь естественно задать вопрос, какие знаки действий (операций)
и функциональных .зависимостей допустимы при написании формулы.
На этот вопрос надо ответить так: по мере обогащения наших
знаний будут вводиться новые обозначения, поэтому понятие
формулы будет изменяться, в начале же мы будем использовать только
гл. i]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
17
обозначения операций и функциональных зависимостей,
употребляемых в элементарной математике, и будем называть
элементарными функциями те функции, для которых функциональная
зависимость выражается формулой, состоящей из конечного числа знаков,
употребляемых в элементарной математике.
Например, функции
j/ = sin v^l + tg2x, y = xY^-\-b\ogx-\-bs[n{xl-\-\)
будут элементарными
Из элементарных функций выделяют следующие классы
функций, называемых алгебраическими:
1) Целые рациональные функции, т. е. многочлены Рп(х) вида
а0 -f- а>\Х + а2дг2 + ... +^л*л>
где а0, аи ... , ап — числа.
2) Дробно-рациональные функции, представляющие собой
частное двух многочленов:
Рп(х) 0о + 01*+ ••• + ап*П
Qmi*) b* + t>iX+...+t>m*m-
3) Иррациональные функции, т. е. функции, в которых
функциональная зависимость выражается с помощью корней различных
степеней из целых и дробно-рациональных функций.
Остальные элементарные функции принято называть
трансцендентными.
Для функций, заданных аналитически, иногда различают область
определения функции и область ее существования.
Областью существования функции, заданной аналитически,
называют совокупность всех действительных чисел х, которым
соответствуют, согласно данной формуле, действительные значения у.
В тех случаях, когда функциональная зависимость выражает
физический закон или геометрическое соотношение, область
определения и область существования могут не совпадать. Например,
функция у = Щг- имеет область существования —оо<^лг<^оо,
но если мы будем понимать под х время падения, а под у
расстояние, пройденное свободно падающим телом, то областью
определения будет 0^х^хх, где хх — момент конца падения тела.
5. Функции, заданные несколькими формулами. Во многих
случаях требуется расширенное толкование функции, заданной
аналитически. Именно, мы не должны обязательно требовать, чтобы
функция определялась одной формулой.
Пусть, например, функциональная зависимость y=f{x)
определяется двумя формулами;
у = -\-х* для лг^О,
у = — дг2 для х<^0.
18
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[глл
Хотя формул, определяющих функцию, две, тем не менее, каждому
значению х соответствует лишь одно значение у.
Приведем еще один пример функции, записываемой двумя
формулами:
У = <?(*)
= tgx, если хф-к-А^къ, где k = Q, ±1, ±2,.,
[ =0, если лг = у-|-Дгтс, где k = 0, ±1, :±2,
Задание функции при помощи нескольких формул
употребительно не только в самой математике, но и в прикладных
дисциплинах. Так, например, сопротивление среды, рассматриваемое как
А
Черт. 1.
Черт. 2.
функция скорости движущегося в среде тела, обычно задается
несколькими уравнениями, каждое из которых справедливо только
для определенных скоростей.
В этой связи рассмотрим еще такой пример.
Пластинка АВ, площадь которой Q, поставлена перпендикулярно
к параллельному пучку света (черт. 1). Обозначим через £0
количество энергии,, поглощаемое единицей площади этой пластинки.
Пластинка АС, образующая угол а с АВ, будет иметь площадь—-^-,
поэтому количество энергии, поглощаемое единицей площади
пластинки АС, будет £0cosa. Рассмотрим земной шар, освещенный
солнцем. Солнце находится в зените точки А (черт. 2). В точке А
единица площади земной поверхности поглощает £0 солнечной
энергии. Найдем количество энергии Е, поглощаемое единичной
площадкой, находящейся в точке В. Обозначая угол АОВ через а,
получаем, что количество энергии Е будет выражаться формулой
£=£0cosa. Разумеется, этот подсчет относится только к
освещенному полушарию.
гл. i]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
19
В каждой точке неосвещенного полушария количество
поглощаемой энергии paBHQ нулю. (Влияние атмосферы здесь не
учитывается.) Для точек неосвещенного полушария угол а определяется
неравенствами у<^а^тс. Поэтому получаем окончательный
результат. Количество солнечной энергии Е, поглощаемой единичной
площадкой, находящейся на угловом расстоянии а от зенита, равно
Е = Е0 cosoc, если p^a^yj
£"=0, если ~2 <^cl^тс.
Для других значений а энергия Е не определена.
6. Функции \х\9 sign л;, Е(х). Разнообразие функциональных
зависимостей заставляет вводить в употребление специальные
обозначения для некоторых часто употребляемых функций, не
входящих в число элементарных.
Укажем на некоторые из них.
Через \х\ обозначают абсолютную величину действительного
числа х. Эта функциональная зависимость может быть определена
следующими словами: каждому неотрицательному числу х(х^0)
соответствует значение уу равное ху а каждому отрицательному
числу х соответствует значение у, равное —х. Функция j/ = |x|
имеет областью существования совокупность всех действительных
чисел: —оо<^х<^-|-оо.
Рассматриваемая функциональная зависимость может быть
записана и без знака | |. В самом деле, функция, заданная двумя
формулами:
у = х, если лг^О;
у = — х9 если х<^0,
тождественна с функцией j/ = |.xr|.
Другая функция y = signx1) (читается: у равно сигнум х)
определяется так:
у = —1, если лг<^0;
у = 0, если х = 0\
j/ = -|-l, если х^>0.
Область существования функции y = s\gnx состоит из всех
действительных чисел. Множество значений этой функции состоит
из трех чисел: —1, 0, -\-1.
Третья функция у = Е(х) (читается: у р^вно антье2) х или у
равно целой части х) определяется таким законом: каждому дей-
*) Латинское слово. «signum> переводится словом «знак>.
*) «Entier> — по-французски «целый>.
20
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[ГЛ. I
ствительному числу х соответствует значение у, равное
наибольшему целому числу, не превосходящему х. Очевидно из самого
определения, что ее область существования: —оо<^х<^-|-оо,
а область значений функции состоит только из целых чисел.
7. График функции, заданной аналитически. Пусть у=/(х)—
аналитически заданная функция; графиком этой функции назовем
совокупность тех точек на
плоскости, координаты которых
удовлетворяют равенству y=f(x).
Иными словами, если точка Д
принадлежит этой совокупности
и абсцисса точки А есть х0, то
ее ордината y0=f(xQ).
Как построить график
аналитически заданной функции?
Начнем с примера построения
графика функции, заданной
равенством
*->Г
у = х*-\- 2.
(1)
Для каждого значения х мы
можем, согласно равенству (1),
вычислить у.
Составим таблицу, где в верхней строчке будем записывать
значения дг, а в нижней — значения у, вычисленные из равенства (1):
X
\ У
0
2
1
3
2
6
3
11
— 1
3
— 2
6
— 3
11
Мы брали только целые значения, но можно брать и дробные.
Пусть, например, * = -т- ; тогда
>-ш'+.-
33_
16
Построим на плфскости точки, у которых абсциссы — значения х>
а ординаты — соответствующие значения у, т. е. точки:
Мг(0; 2), Af»(l; 3), Ж3(2; 6), Л14(3; 11),
Л«в(—1; 3), М6(— 2; 6), Ж7(-3; 11),
и соединим их плавной кривой линией (черт. 3). Полученная
кривая называется приближенным графиком функции у = х*-\-2,
приближенным потому, что, например, между точками Мх и Л12 мы
гл. i]
Функциональная зависимость
21
провели произвольную кривую, соединяющую эти точки, при одном
лишь условии, чтобы эта кривая шла плавно.
Вообразим, что мы рассмотрели все значения лг, вычислили все
значения у и нанесли все соответствующие точки на плоскость XOY\
тогда у нас последовательные точки М сольются в кривую. Эта
кривая, очевидно, будет точным графиком или графиком
аналитически заданной функции.
Равенство, определяющее аналитически заданную функцию
y=f(x)y график которой представляет собой некоторую кривую,
называется уравнением этой кривой.
Пример 1. Построим график функции у = 0,5дг — 1. Поступим,
как в предыдущем примере, т. е. составим таблицу:
X
У
— 4
— 3
— 3
-2,5
~2
— 2
— 1
-1,5
0
-1
1
-0,5
2
0
3
0,5
4
1
Построим точки:
^l(_4;_3), М2(—3;-2,5), Мг(-2; -2); Ж4(-1; -1,5);
Ж8(0; -1), Af,(l; -0,5), М7(2; 0), Ж8(3; 0,5), М9(4; 1).
Мы- получим ряд точек, лежащих на прямой линии (черт. 4).
Черт. 4.
Точным графиком в этом примере будет прямая. Однако это
утверждение требует еще доказательства, так как из того факта,
что девять точек рассматриваемого графика лежат на прямой, еще
не следует, что все его точки лежат на прямой.
Пример 2.
y = tgx при Хф±(2к+\)^;
у = 0 при лг = нк(2Л+1)-|,
22
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[гл. t
где k — целое число. Для всех значений х, кроме тех, которые
нечетно-кратны ~, функция изображается тангенсоидой; для
значений х = ±№-\-1) -^-, где k—целое число, мы получим точки на оси
абсцисс (черт. 5).
Пример 3.
у = х при х Ф 2;
у=\ при х = 2.
График этой функции состоит из всех точек прямой y = xt
кроме точки (2; 2) и отдельной точки (2; 1) (черт. 6).
Ъ*
Черт. 5.
Черт. 6.
8. Четные и нечетные функции. Построение графиков функций
часто облегчается, если заранее установить четность или нечетность
функции.
Функция f(x) называется четной, если
и нечетной, если
Для построения графиков четной или нечетной функции
достаточно их построить при положительных значениях х\ график
четной функции симметричен относительно оси OY (черт. 7), а
график нечетной функции для отрицательных х может быть получен
из графика для положительных х следующим лриемом: сначала
график для положительных х отражается в оси OY, а затем
полученное отражение отражается в оси ОХ (чер*. 8). График нечетной
функции симметричен относительно начала координат.
гл. i]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
23
9. Обратные функции. Согласно нашему определению, каждому
числу из G, т. е. каждому х (принадлежащему О), соответствует
посредством функциональной зависимости f{x) другое число у,
принадлежащее некоторому множеству — Г-множеству значений
функции. Пусть, наоборот, задано у из Г, тогда можно поставить
такой вопрос: для каких значений х функция f(x) равна
заданному у?
Вообще говоря, таких значений может оказаться несколько.
Например, если у = х2, то значение у = А функция принимает и
для х = 2 и для х = — 2, а если y = smx, то каждое свое
значение функция sin х принимает для бесчисленного множества
значений аргумента, например у = 0 для х = Ы, где k — любое целое
1
/
/
0
*
X
\^
Черт. 7. Черт. 8.
число или нуль. Для математического анализа оказывается
существенным выделить такие функции, для которых не только каждому х
из Q соответствует одно у из Г, но и обратно: каждому у из Г
соответствует одно х из G, т. е. такие функции, которые
принимают каждое свое значение лишь один раз.
Подобные функции иногда называют взаимно однозначными.
Можно указать важный класс взаимно однозначных функций.
Определение 1. Назовем функцию y=f{x)
1) монотонно возрастающей, если из условия х^^>хг следует
и
2) монотонно убывающей, если из условия х^^>хг следует
Монотонные функции, очевидно, удовлетворяют условию
взаимной однозначности. Графики монотонных функций характерны тем,
что при увеличении х график монотонно возрастающей функции
поднимается вверх, а график монотонно убывающей функции
опускается вниз.
Покажем на примере, что взаимно однозначные функции могут
и не быть монотонными.
^\
24
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[гл. I
У\
Я*?
J2=2
-*-/Г
Пусть функция f(x) определяется следующим образом:
f(x) = x для 0^дг^1;
f(x)=l—х для \<^х<^-\-оо.
График этой функции имеет вид, приведенный на черт. 9.
Легко убедиться, что каждое свое значение f(x) принимает лишь
один раз. Стрелка на чертеже означает, что точка (1; 0) не
принадлежит графику функции.
Если f(x) — монотонная или вообще некоторая взаимно
однозначная функция, то можно следующим образом определить
функцию- у = <р(х), которую мы будем
называть обратной для функции f(x).
Пусть G— область существования*
монотонной функции/(х) и\Г —
множество значений у=/ (х). Вследствие
монотонности f(x) каждому числу у
из Г соответствует только одно
значение х из G, именно то, для
которого f(x)=y, т. е. если у
рассматривать как аргумент, то он
оказывается связанным функциональною
зависимостью с х. Эту функциональную
зависимость и называют обратной по
отношению к функциональной зависимости y=f(x). Если
обозначить аргумент этой новой зависимости снова через х, а значение
новой функции — через у, то ее можно записать в виде равенства
у = (р(х)у причем х принадлежит теперь Г, a j/ принадлежит G.
Функция ср(дг) и будет обратной к f{x).
Пусть теперь y=f(x) — не монотонная функция, определенная
на отрезке [а, Ъ\ *), пусть этот отрезок можно точками деления
а<^хх<^Хъ<^...<С-^/i-i<С^ разбить на частичные отрезки: [а, хх],
[хи х2],..*, [хп_и #], на каждом из которых f(x) монотонна; тогда
на каждом из этих отрезков можно определить обратную к f(x)
функцию, так что в этом случае f(x) имеет, возможно, несколько
обратных функций или, как говорят, обратная функция многозначна.
Например, пусть y=f (х) = х*. Разобьем область определения этой
функции на две части: Ох— бесконечный интервал -|-оо]>.*]>0,
состоящий из в£ех положительных нисел, и G2— полупрямую
0^х<^ — оо, состоящую из всех отрицательных чисел и нуля.
На Gi функция f(x) = x*—монотонно возрастающая; на G2—
монотонно убывающая; на Ох обратной к функции y=f(x) = x* будет
функция у = -\- }/х,а на G2 обратной будет у = — -/лг!
Черт. 9.
1) Вместо отрезка f(x) может быть определена на всей прямой
— со<лг<-)-оо или на полупрямой.
гл. i]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
25
Иногда бывает удобно объединить все обратные функции,
определяемые некоторой немонотонной функцией, в одну многозначную
функцию. В этом смысле говорят, что функция
определяет двузначную обратную функцию
а функция
у = sin х
определяет бесконечнозначную обратную функцию
у = Arc sin х.
10. График обратной функции. Пусть дана монотонная
функция y=f(x), график которой изображен на черт. 10.
Построим линию, симметричную этому графику относительно
биссектрисы первого координатного угла; докажем, что полученная
линия будет иметь своим
УК
уравнением
.У = ?(*),
-S±f&J
*—г
где ср(х) — функция,
обратная к f{x).
Возьмем
произвольную точку А{х, у),
лежащую на графике
заданной функции y=f(x),
и точку В {xf, У),
симметричную А
относительно биссектрисы.
В силу симметрии
ясно, что
ОВ = ОА и
£АОС= £СОВ = $.
Рассмотрим
треугольники ОРВ и ОМА; они
прямоугольные (PBJ_OX; MA±_ОХ), их гипотенузы равны и
Z. МОА= /_ ОВР, так как каждый из них равен ~—р. Стало быть,
д ОРВ = Д ОМА, и поэтому
ОР=МА, РВ = ОМ,
т. е. х? =у, у' = х.
Но х = у(у)у где y=f(x). Поэтому у = ср(х'), а это значит,
что точка В принадлежит графику функции <?(х), обратной f(x).
Черт. 10.
26
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[ГЛ. I
Приведем графики функций, обратных тригонометрическим
(Arc sin х — черт. 11, Arc cos х— черт. 12, kxctgx— черт. 13,
Arcctgx — черт. 14).
■*vT
п
о
2
___^У
/^~~
Л"
* чт "Ы Y
1 * Л
/"""""
Черт. 11.
Черт. 12.
J
i
/г
2
~2
V
2
я
О
" Л
У^_
\ Зл
Черт. 14.
9 И и ф(х)
значение функции
Черт. 13.
11. Сложение
графиков. Если нужно
построить график функции
j/ = cp(x) -J"? С*) и если
графики функций
у — ср (х) и у = ф (х) уже
известны, то это
построение можно осуществить
^ез вычислений
следующим приемом.
Возьмем на оси ОХ
(черт. 15) произвольную
точку А с абсциссой х.
Восставим из нее
перпендикуляр к оси ОХ;
отложим на нем отрезки
АС = <?(х)и AB = ty(x).
Эти отрезки имеют длины,
равные-абсолютным вели-
при данном значении х, и
положительно, и вниз,
чинам значений функций
направлены вверх, если
если оно отрицательно.,
Если теперь на том же перпендикуляре отложим отрезок
AD = AC-\-AB, то получим точку D, ордината которой равна
AC -f- АВ = ср (х) -\- ф (х). Следовательно, координаты точки D
гл. i]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
27
удовлетворяют уравнению у =лр (х) -\- ф (х), а поэтому точка D
лежит на графике функции у = <р(х) ~{-ty(x).
Надо отметить, что отрезки АС и АВ здесь рассматриваются как
направленные отрезки; поэтому сложение их надо делать по
правилу сложения направленных отрезков.
Черт. 15.
Например, делая построение ординаты для точки Аи нужно
отложить от точки Сх отрезок DiC1 = —АХВХ:
ЛА + АХВХ = АгСх — £>А = AXDV
На черт. 15 график функции у = ср (х) -\- ф (х) показан
пунктиром.
12. Неявные функции. Если задано равенство вида F(x, у) = 0>
где F(x, у) — некоторая функция, зависящая от двух числовых-
аргументов, то говорят, что равенство F(x, у) = 0 определяет у
как неявную функцию от х Более точно неявной фунщщей^
определяемой равенством F (дг, у) = 0, называют такую функцию у = ср {х)>
которая удовлетворяет для некоторого множества значений х
тождеству F(x,?(x)) = 0.
Равенство F(x, у) = 0 может определять много неявных
функций или вовсе не определять никакой функции. Например, равенство
лг2+У— 1=0
определяет функции j/ = -|- j/l— дг2 и j/ = — |/ 1 — х*\ областью
существования этих функций будет —1^дг^-[-1.
Равенство x*-\-y*-\- 1 =0 вовсе не определяет никакой
функции, так как нет таких действительных значений х и у, которые
28
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[гл. I
обращали бы это равенство в тождество *). Более подробно с
неявными функциями мы познакомимся во втором томе нашего курса.
Можно также говорить о многозначной неявной функции,
определяемой равенством F{x> у) = 0; множеством значений этой
функции считают совокупность всех значений уу удовлетворяющих
равенству F(x, у) = 0, предполагая при этом, что х принимает
всевозможные значения. Графиком многозначной функции,
определяемой равенством F(x, у) = 0, называют геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют равенству F(x, у) = 0.
Например, графиком многозначной неявной функции, определяемой
равенством at2-j-j/2 —1=0, будет, как известно из
аналитической геометрии, окружность (черт. 16).
13. Некоторые специальные классы
функций. Периодические функции.
Функция f(x) называется периодической
функцией периода о>, где о> — некоторое
положительное число, если для всех
-*-Х значений х имеет место следующее
равенство:
Из самого определения
периодической функции ясно, что достаточно
начертить график этой функции для
значений аргумента на полуинтервале длины а>, чтобы составить
представление о полном графике функции, так как полный график
будет последовательным повторением уже построенного участка
графика.
Если периодическая функция имеет период о>, то она имеет
периодом и &о), где k — любое целое число. В связи с этим имеет
смысл говорить о наименьшем положительном периоде данной
периодической функции. Этот наименьший период обычно и
называют периодом. Среди элементарных функций тригонометрические
функции sin х, cos лг, tgx, ctgx все периодические, и число 2тс
будет для них всех периодом, однако функции tgx и ctgx имеют и
меньший период, именно число те. Периодические функции играют
большую роль для математического описания периодических
движений, имеющихся в природе. Характерной особенностью этих
движений является регулярное их повторение через определенные
промежутки времени. Например, маятник, висящий на нити, может
совершать движения, точно повторяющиеся через одинаковые
промежутки времени, причем в зависимости от направления начального
1) В настоящем курсе мы будем иметь дело с функциями, определенными
лишь для действительных значений х. Если же допускать в качестве
значений аргумента и комплексные числа, то написанное соотношение удовлетво»
ряется, например, при х = i и у = 0,
гл# I]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
29
*-vK
толчка движения его в проекции на горизонтальную плоскость
происходят либо по окружности, либо по эллипсу, либо по прямой.
Движения небесных тел, например планет, происходят также
периодически по эллиптическим орбитам. Действия почти всех машин и
механических устройств связаны с регулярно повторяющимися
движениями (вращение валов, движение поршней, шатунов и т. п.).
Характерной особенностью таких движений является то, что точки
тела описывают при этом определенные замкнутые орбиты, а
проекции этих точек на оси координат совершают колебательные
периодические движения. Математически это как раз и означает, что
координаты движущейся точки представляют собой периодические
функции времени с одним и тем же
периодом.
14. Гармоническое колебание.
Простейшим периодическим
движением является гармоническое
колебание. Пусть некоторая
вспомогательная точка М равномерно
движется по окружности в направлении,
указанном стрелкой, совершая полный
оборот за время Г, называемое
периодом (черт. 17). Проектируем
точку М на вертикальный диаметр ВБ\
За время Т одного оборота точки М
ее проекция Р совершит вдоль
диаметра полное колебание. Обозначим
радиус окружности s0. Угловая скорость вспомогательной точки
на окружности равна ш==^. Число колебаний в единицу времени
равно v = -=- = £-. Это число колебаний называется частотой
колебания. Пусть в начальный момент времени t = 0 движущаяся
по окружности точка находится в положении Л10 на угловом
расстоянии ср0 от горизонтального диаметра (точки А)!). Пусть, далее,
угол, описанный подвижным радиусом-вектором ОМ, к моменту t
равен ср; тогда
Угол ср называют фазой колебания. Фаза колебания ср0 в
начальный момент называется начальной фазой.
Назовем смещением s колеблющейся точки Р величину проекции
подвижного радиуса ОМ на вертикальный диаметр, который
считается направленным снизу вверх. Смещение, как отсюда следует,
1) Точка А определяет начало отсчета углов,
30
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
[гл. I
будет положительным, если Р выше оси ОХ, и отрицательным,
если Р ниже оси. По правилу, определяющему проекции, имеем:
s = s0sin(orf-[-<Po)-
Величина s0, выражающая максимальное смещение точки,
называется амплитудой колебания. Если ср0, т. е. начальная фаза, равна
нулю, то
$ ±= $0 sin (i)t.
Если <Pq = -|-, to
s = sQ cos (d/.
Такое колебательное движение, которое совершается по закону
синуса или ^косинуса, называется прямолинейным гармоническим
3
2
J
-7
-г
-з
\
' А
/а\
ч \ \
1 \
1 \\
1 Л\
1 / \*
'X \ *
* 1
1 1 J
\^7
А ■
'г\
'7 !
/ / »
MX \
' / X 1
' 1 \Л
[_/ \\
Г1
\\
\\
\\
\
V
- sinx+2sin3x
—• SI/7J7
""" &OLH ии*
/<'Ч
\ 1 Зл \\ /\2л.
и —"и /
ГУ
.1
Черт. 18.
колебанием. График гармонического колебания представляет собой
синусоиду j/ = s0sin u>t, смещенную вдоль оси / на величину ср0.
Задача сложения графиков в случае описания периодических
движений получает также реальный физический смысл. В самом
деле, пусть на точку одновременно действует несколько сил,
каждая из которых заставляет ее совершать простое гармоническое
колебание по одной прямой; эти колебания складываются в одно
сложное колебательное движение, которое точка совершает
в действительности. Графическим изображением этого сложного
движения будет сумма графиков каждого из этих простых
гармонических колебаний. Например, на черт. 18 изображены графики
гл. i]
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
31
сложного движения, являющегося суммой двух гармонических
колебаний, или двух гармоник:
у = sin х, у = 2 sin Ъх.
15. Функция целочисленного аргумента. Особую роль играют
функции целочисленного аргумента, т. е. такие функции, область
существования которых есть совокупность целых положительных
чисел; к целым положительным числам иногда присоединяется и нуль
Эти функции обычно обозначаются равенством
y=f{n\
где л=1, 2, 3, 4, ...
Легко привести примеры аналитически задаваемых функций
целочисленного переменного:
(эта функция принимает значения -f- 1 и — 1) или функция
1
где п — целое и т. п.
Кроме обычных знаков аналитических функций, для образования
функций целочисленного аргумента используют некоторые особые
знаки. Особенно употребителен знак !, который называют знаком
факториала; функция #!, по определению, равна для данного п
произведению всех целых чисел от 1 до п включительно:
п\ = 1 • 2 • 3 . 4 ... п.
Следовательно,
5!=1 .2-3.4.5,
причем условно полагают 01=1. Комбинируя знак ! с обычными
знаками арифметических операций и элементарных функций, можно
образовать новые аналитически определяемые функции, например:
y = jfi, y = sinnU, у = ап*
и тому подобные.
Менее употребителен знак W Выражение (2л)!! обозначает
произведение всех четных чисел от 2 до 2#, например
20!! = 2-4 -6. 8... 18- 20.
Выражение (2п—1)!! обозначает произведение всех нечетных чисел
от 1 до 2п—1, например
fln)—5 (2*)» ^-5 2-4...2(я-1)(2*) г~
/W— D(2/z + l)!! Vn —5 1.3...(2/i-1)(2/i+1) Vn-
ГЛАВА II
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Математический анализ помимо арифметических операций
использует еще операцию предельного перехода. Характерной
особенностью этой новой операции является то обстоятельство, что она
приобретает смысл лишь при наличии бесконечного множества чисел,
в то время как арифметические операции именно в этом случае
теряют свой смысл.
§ 1. Числовые последовательности
1. Определение числовой последовательности. Пусть задана
некоторая функция f(x)\ будем последовательно придавать х целые
значения 1, 2, 3, ..., п, ... и для каждого из этих значений
последовательно друг за другом определять значения f(x). Мы получим
числа:
/(1), /(2),/(3), ...,/(«),...
Совокупность всех этих чисел, взятых в том порядке, как мы
их получали, называют бесконечной числовой последовательностью.
Числа, составляющие последовательность, называют членами
последовательности. Каждый член последовательности имеет свой номер,
именно: /(1) есть первый член последовательности; /(2) — второй
и т. д., /(#) — #-й член последовательности.
Вместо того чтобы изображать члены последовательности с
помощью порождающей ее функции, их часто обозначают буквой
с индексом, указывающим номер члена последовательности. С
помощью этого способа обозначений числовая последовательность
запишется в виде строки
#1> #2> я3, • • • > ап> • • • >
где дя=/(/1).
Наконец, последовательность обозначают также символом {ап\.
Функцию, порождающую последовательность, называют общим
членом последовательности. Если известен общий член последова-
§ 1]
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
33
тельности, то указанным выше способом легко получить любое
число членов последовательности или вычислить любой член
последовательности, если известен его номер. Например, если/(л) = — у
то 01 = 1, я2=у, 0з = -з") •••*> если/(л) = (— 1)", то ах=— 1,
«2 = + Ь я3=—1, •"
Из последнего примера видно, что члены последовательности,
имеющие различные номера, не обязательно различны по величине.
Для получения членов последовательности не обязательно ее
общий член задавать аналитически; функция f{x)> порождающая
последовательность, может быть задана любым способом, лишь бы
этот способ позволял определять ее значения для любых целых
значений аргумента.
Например, пусть требуется вычислить j/2. Известно из
элементарной математики, что \/2 не выражается никаким рациональным
числом, однако существуют вполне определенные правила, позво-
1 1
ляющие определить значение этого корня с точностью до j^; щ;
щ^г и т. д. Зададим бесконечную последовательность следующим
образом. Первый член последовательности есть значение j/2, вы-
1
численное по правилам извлечения корня с точностью до уя» т. е.
я1==1,4, второй член последовательности это значение }/2,
вычисленное по этим же правилам с точностью до ^, т. е. а2 = 1,41,
и так далее. Ясно, что мы можем найти любое число членов
последовательности. Но функция, порождающая эту последовательность,
определяется лишь чисто описательно, именно: для того чтобы по
заданному п найти /(#), надо по обычным правилам извлечения
квадратного корня вычислить j/2 с я-десятичными знаками.
2. Операции над числовыми последовательностями. Хотя
числовые последовательности состоят из бесконечного множества
чисел, однако для них можно определить арифметические операции,
вполне аналогичные операциям над числами.
Если заданы две последовательности а[, а\, ..., а'п, ... или {ап}
и а\у а*, ..., апу ... или {а^}, то последовательность
*1 = Я1 + яГ, Ь2 = аъ + а1,...,Ьп==а'п-]-ап,...,или {Ьп} = {ап-\-а"п}9
будем называть суммой двух последовательностей.
Аналогично последовательность
i> 1 — UJ — alf с% — а.2 — и2, с3 — я3 — я3, ... , сп — ап — ап, ...,
или, более кратко, {сп} — {йп— ап} назовем разностью между
первой и второй последовательностями.
2 В. В. Немыцкий и др.
34 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
Последовательность {а'п-а'п}, или в раскрытом виде
dx = а[аи d<i = а\а^ d3 = ajaj, ... , dn = а'па'п, ... 9
назовем произведением двух последовательностей.
Последовательность \ ~ \, иди
назовем частным первой и второй последовательностей.
Отсюда мы видим, что, складывая, вычитая, умножая и деля две
последовательности друг на друга, мы снова получаем
последовательности. Для деления, конечно, по необходимости следует
сделать оговорку, что у последовательности, которая является
делителем, все члены должны быть отличны от нуля.
§ 2. Определение предела числовой последовательности
3. Определение предела. Дадим определение предела числовой
последовательности.
Определение 1. Пусть задана последовательность чисел
а\> аъ Яз> • • • 9 ап> • • • Число а называется пределом этой
последовательности, если, каково бы ни было положительное число е,
можно найти такое целое число N, что для всех п^> N
выполнено неравенство 1)
К — а|<е.
Если а есть предел {ап}, то будем писать2) а= lim ап.
п -> оо
Если последовательность имеет предел а, то ее называют
сходящейся к а и говорят, что ап стремится к а, а если
последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.
Для дальнейшего удобно еще такое определение:
Определение 2. Скажем, что пределом
последовательности ах, а2, аг, ... , ап, ... является -f- оо (плюс бесконечность),
если, каково бы ни было положительное число М, можно найти
такое целое число N, что для n^>N всегда ап^>М; и
аналогично пределом последовательности а1у а2, ..., ап, ... является
— оо (минус бесконечность), если, каково бы ни было
положительное число М, можно найти такое целое N, что для n^>N
всегда ап<^ — М.
*) Заметим, что неравенство \ап — в|<е эквивалентно двойному
неравенству — е<ял — «<-f-£ или а — е < ап < a -f- е.
2) Будем также писать ап—- а. В некоторых случаях употребляется и
п-*оо
запись liman = a.
61 — SJ-'
&9. —Ц ,
£я ~Тм 1
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 35
Теорема 1. Последовательность может иметь лишь один
предел.
Пусть последовательность аи а2, Яз> • • • > ап>* • • сходится к числу а,
и пусть Ъ — любое число, отличное от а, тогда \Ъ — a\=d^bO.
Пользуясь определением предела, находим столь большое число TV,
что для n^>N имеем \ап — а |<С~з"•
Рассмотрим теперь тождество
Ь — ап = Ь — а-\-а — ап = (Ь — а)— (ап — а).
Получаем:
\b — an\^\b — a\ — \an — a\ = d — \a — an\.
Пусть теперь n^>N; тогда \ап — а1<С"Т и> следовательно, для
любого n^>N справедливо неравенство
1*-«»1>у.
Полученное неравенство показывает, что Ъ не может быть
пределом последовательности ап, так как разность между b и ап не
может быть сделана произвольно малой с помощью выбора
достаточно большого номера п.
Если в число пределов включить —J— оо и —оо, то просто
установить, что доказанная теорема сохраняет свою силу, т. е. если
последовательность имеет пределом -|-оо или —со, то она не может
иметь никакого конечного предела.
Введем такое определение:
Последовательность bl9 Ь%9 ..., Ьп, ..., члены которой являются
в то же время и членами последовательности ai9 а2, ... ап9 ... 9
взятыми в том же порядке, в каком они заключаются в
последовательности al9 а2, ..., ап, ..., назовем подпоследовательностью
последовательности al9 а2, ..., ап9 ... Если воспользоваться этим
определением, то из определения предела числовой последовательности
непосредственно вытекает такое следствие.
Следствие 1. Все подпоследовательности сходящейся
последовательности al9 а2, ..., ап, ... тоже сходящиеся и притом
к одному и тому же числу.
Приведем примеры сходящихся и расходящихся числовых
последовательностей.
Пример 1. Рассмотрим последовательность
Эта последовательность сходящаяся и имеет пределом нуль.
Покажем это: возьмем любое число е]>0 и рассмотрим разность
а — ап =
0-IL1
2*
36 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
Потребуем, чтобы эта разность была <^е;
±<-
^ 1
отсюда nj>—-.
Следовательно, если взять число N1
будем иметь:
-, то для всякого n^>N
О -
п
о
Этим установлено, что наша последовательность имеет предел,
равный нулю.
Пусть, например, е = 0,01, тогда в качестве N можно взять 100;
если е„ = 0,0001, то за N следовало бы взять 10 000 и т. п.
Пример 2. Рассмотрим последовательность: 0,3; 0,33; 0,333; ...
Эта последовательность тоже сходящаяся и имеет пределом у.
В самом деле оценим разность
п раз
п раз *
1
— Ял
у —0,33 ... 3
33.
10»
_1 #
:3- 10»»
так как для п^1 имеем:
1
3- 10» ^ п
<т.
то рассуждение, приведенное в предыдущем примере, применимо
и при разборе примера 2.
Пример 3. Рассмотрим последовательность
1
#о — 2 9 ai — 22 ' ^2 — 2а ' ^3 — 28 ' ^4 — 23 ' * * *'
эта последовательность расходящаяся, так как
подпоследовательность, состоящая из членов заданной последовательности с
нечетными номерами, т. е. подпоследовательность
й\ 92 > аз —
_ 1
«5— 24 >
имеет пределом число нуль, а подпоследовательность, состоящая
из членов заданной последовательности с четными номерами, т. е.
подпоследовательность
_1 _- 1 _- 1
#о — ~2 > аъ—А 2? > ai—А—2» > • • •>
имеет пределом число 1. А мы знаем, что если последовательность
сходящаяся, то все ее подпоследовательности сходятся и притом
к одному и тому же числу.
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 37
4. Предел последовательности {ап} при п->оо. 1-й случай.
Пусть — 1 <д<-{- 1.
Покажем, что в этом случае lim ап = 0, т. е. что для всякого
п-*оо
произвольно выбранного е^>0 можно найти такое N, что если
n^>N, то
|0— а"|<е.
Заметим, что
|0 — ап\ = \а\п.
Так как 0<|а|<1, то пл>ь Положим JL=l-|-a, где а>0.
Применяя теперь формулу бинома Ньютона, получим:
fi]5 = (l+a)»=l+na+...+a».
Все слагаемые суммы, стоящей в правой части, положительны;
следовательно,
Г^>ла и |а|я< —.
\а\п^ ' ' ^ па
Выберем теперь N^>—. Тогда, если n^>N, то п^> — , #а^> —>
а потому
|a»-0| = |a|»<I<-[ = s,
е
что и требовалось доказать.
2-й случай, a = -|— 1; тогда an = -j-l и, следовательно,
lim ап=1.
П-+оо
3-й случай. а = — 1; тогда ал = (—1)л; эта
последовательность не имеет предела (расходящаяся), так как, как бы ни было
велико N, с одной стороны, можно найти член последовательности,
равный 1 и имеющий номер, больший N, с другой- стороны, можно
найти член последовательности, равный — 1 и тоже имеющий номер,
больший TV, а следовательно, нет такого числа, которое
отличалось бы от всех членов последовательности, начиная с некоторого,
меньше чем на е, если 0<^г<^1.
4-й случай, а>-{- 1. Положим а= 1 -{-а, где а^>0; применяя
снова бином Ньютона, получим:
ал = (14-а)л=1+па + {?^=1^а2+... + а^
Так как вс§ слагаемые положительны, то ап^>па.
38 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
Пусть теперь М — произвольно большое число, находим N столь
большим, чтобы Nol^>My а тогда для n^N ап^>па^>Ш^>М.
Итак, какое бы большое число М мы ни задали, найдется такое N,
что для всех n^N ап^>М, т. е. в этом случае Нтал = -{-оо.
5-й случай. а<[—1; тогда |а|]>1 и, следовательно, по
доказанному lim | а \п = -f- со.
Я-*00
Так как при п четном ал^>0, а при п нечетном ал<^0, то,
какое бы большое положительное число М мы ни взяли, найдется
такой член нашей последовательности, который больше, чем М,
и такой член последовательности, который меньше, чем —М. Такую
последовательность естественно назвать неограниченно
колеблющейся. Она, конечно, будет расходящейся.
5. Сумма членов бесконечно-убывающей геометрической
прогрессии. Замечательный пример сходящейся последовательности
рассматривается в элементарной алгебре. Пусть
a, aq, aq*, ..., aqn"\ ...
— бесконечно убывающая прогрессия, т. е. |^[<^1. Образуем
последовательность чисел:
sx = a, s<i = a-\-aqy Ss—a-\-aq-\-aq*y ...
...isn = a-\-aq^r ...+aqn~\ ...
Полученная последовательность
sl9 s%, s3, ... , sn, ...
будет сходиться к -л .
В самом деле, sn = ^ _ * 9 следовательно,
-1 а а — аЯп
\-q
-=Sm
Согласно предыдущему примеру, последовательность \q\n
сходится к нулю, и, следовательно, для любого е'>0 можно найти Af
такое, что |?|n<V> если n^>N.
Пусть теперь задано любое е>0. Найдя тогда N для ег = ^^е,
получим для n^>N:
\^л с \—A*L\<+\^ |л| с'—с
U-Я Sa\—T=g\q |<Г^е-е-
6. Предел последовательности { -г-}. Покажем, что lim ~ = 0.
В самом деле,
хп * _* х х
п\~~\ 2 • • • п — 1 ~п •
§ 3]
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
39
Так как лг, хотя и любое, но вполне определенное число, то,
задав «оложительную дробь #<^1, можно подобрать столь большое
число 7V^>0, что для всех целых чисел k^>N будет иметь место
неравенство
<^#<^1. Поэтому при n^>N мы имеем:
N— 1
— ЛИ
N+1
N+1
я Г4 N\ Ч ~~ Ы\пмЧ '
N\q"
Поскольку N, q и х постоянны (не зависят от я), то при неогра-
ничейном возрастании п величина [rt XN остается постоянной, a qn
стремится к нулю, поэтому
М?л
lim
= 0.
§ 3. Действительные числа
7. Измерение длин. Одна из важнейших задач математики
описывать свойства различных предметов с помощью чисел^. Хорошо
известно, что рациональные числа не могут удовлетворить. в этом
отношении самые насущные потребности. Например, уже в
древности было известно, что длина далеко не всякого отрезка
рационально выражается через выбранную единицу измерения. В таком же
положении находится задача об измерении площадей и объемов.
Если же перейти к более сложным задачам измерения длин кривых
линий или площадей искривленных поверхностей, то
недостаточность рациональных чисел станет совсем очевидной. Например, уже
из школьного курса геометрии известно, что длина окружности
или площадь поверхности шара уже не выражаются рационально
через радиус окружности или радиус шара. Все это уже давно
привело математиков к необходимости ввести новые числа, которые
в совокупности с рациональными были названы действительными
числами. Полная теория действительных чисел была окончательно
создана во второй половине XIX столетия. Мы будем
придерживаться той системы изложения этой теории, которую предложил
Г. Кантор. Для того чтобы прийти к определению действительного
числа, мы проанализируем процесс измерения некоторой физической
или геометрической величины.
Начнем с рассмотрения самого простого примера — измерения
длины отрезка. Пусть задан отрезок L и некоторая единица
измерения длины. Процесс нахождения длины отрезка L может быть
описан следующим образом.
40 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
1-й шаг. Находим целое число k такое, что k отрезков длины
единицы нацело укладываются в L, a k -[- 1 уже не укладываются
в этом отрезке. В результате первого шага мы можем записать
двойное неравенство
£<:длина L<^k-\-\.
2-й шаг. Находим такое число kx десятых долей единицы, чтобы
*+£Идлина1<*+Т'
при этом, очевидно, 0^kx^§.
3-й шаг. Находим такое число k% соты^ долей единицы
измерения, чтобы
*+тНпИдлина l<*+t6+t>
где 0^А2^9, и т. д.
Если существует такое целое число s, что отрезок L может
быть составлен из целого числа отрезков длины щ, то наш процесс
измерения прекратится на $-{-1-м шаге и рациональное число:
/ I i *l i j&a_ i I ks
L — *"Г io i^io2^ ••• *W
будет выражать длину L в выбранных единицах измерения.
Однако такого числа s может не найтись; тогда мы получим
две последовательности чисел:
ftt = *+l, b%=k + b±i, Ьш = к + § + **±1,...9
первая из которых дает приближения измеряемой длины с
недостатком, а вторая дает приближенные значения этой же длины
с избытком.
Полученные последовательности приближений обладают
замечательным свойством: зададимся каким-либо произвольным^ числом
е^>0; тогда всегда можно найти такое большое N, что при n^>N
Рассмотрим теперь разность
| ап+р — ап\ = ап+р — ая,
где р — любое натуральное, хотя бы и сколь угодно большое
число; из самого определения приближения с недостатком и
приближения с избытком мы выводим, что ап+р<СЬп, и следовательно,
I <*п+р — ап | <£л — ап < -^иО,
если n^>N.
§ 3]
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
41
Полученное нами неравенство для последовательности
приближений не зависит от частного вида рассмотренной задачи. Для того
чтобы оно имело место, существенно лишь, чтобы аг было бы
меньше bj для любых i и j и чтобы «ошибка измерения» Дл, не
превосходящая Ъп — ап, стремилась к нулю при л->оо. Иными
словами, это неравенство справедливо для любой последовательности
чисел, могущей служить последовательными приближениями к
значению некоторой физической величины, лишь бы было заранее
известно, что по мере увеличения номера приближения «ошибка»
измерения неограниченно уменьшается.
Если теперь вспомнить, что результатом измерения должно
быть некоторое число, то вполне естественно считать, что это
число определяется последовательностью аи а2> аъ> • • • > ап> • • • Ра"
циональных чисел, обладающих указанным выше свойством.
Наконец, отметим, что всякая бесконечная десятичная дробь
определяется последовательностью своих десятичных приближений:
0*1 ■ /v, С* О —■— Т\г yfC Л у ... , dg • Ft у Ft \F\rQ . . . FC о_| у . . . ,
для которой тоже справедливо неравенство \ап+р— ал|<^е, если
n^>Ny а р — любое натуральное число.
Определение 3. Бесконечная числовая последовательность
Г\, г2, ... , тПу ... называется фундаментальной, если, каково бы
ни было положительное число е^>0, можно найти такое целое
число пг что дли n^>N и при любом целом р^>0
\Гп+р — Гп\<*.
Определение 4, Две бесконечные числовые последователь*
ности
Г\> ?2> ?В> • • • > ?п> • • •
и
г\у ГЪ> ГЪ> • • • и гп> • • •
назовем конфинальными, если \?п — тп | ->0 при п-*со.
8. Определение действительного числа. Каждая бесконечная
фундаментальная последовательность определяет
действительное число. Две конфинальные между собой фундаментальные
последовательности определяют одно и то же число 1).
Дополнительно к высказанному определению естественно
считать, что если фундаментальная последовательность рациональных
1) Если во что бы то ни стало стремиться прямо ответить на вопрос,
что такое действительное число, то надо было бы сказать: действительным
числом называется класс всех конфинальныхмежду собойфундаментальных
последовательностей. Каждая последовательность из этого класса есть
представитель данного числа в том же смысле, как выражение */ь 3; 8/з;
— представители числа 6.
42 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
чисел имеет пределом некоторое рациональное число, то она
изображает это число г. Подобное соглашение не противоречит
введенному определению, так как легко убедиться, что если
некоторая фундаментальная последовательность имеет пределом
рациональное число г, то любая конфинальная ей последовательность
имеет пределом то же число г.
В самом деле, пусть
lim rn = r и lim (rn — rn) = 0.
Я-*00 Я-*00
Пусть, далее, е^>0 произвольно мало. Находим столь
большое N, что для n^>N имеем \гп — г|<^4-и \гп — гл | <С у >'тог~
да для n^>N имеет место неравенство
\г — ?п\^\г — гЛ| + |гл — гя|<у + у=е,
что и доказывает равенство
lim rn = r.
я-*оо
Исходя из сказанного, наиболее естественной фундаментальной
последовательностью, изображающей рациональное число г, будет
последовательность (г, г, ... , г, ...), например последовательностью,
изображающей нуль, будет последовательность (0, 0, ..., 0,...).
Однако надо помнить, что нуль будет изображать не только эта
последовательность, но и последовательности с общими членами:
ап=-ц> ап = ^> ап = <*п, если |д|<1,
и бесчисленное множество других последовательностей.
Таким образом формально определенные действительные числа
включают в себя и рациональные числа, так же как целые числа
включаются в состав дробных чисел при помощи, например, сле-
0 3 6 3000
дующих равенств: 3 = ^ = ^==1ш и т' д'
Если дано рациональное число г (т. е. фундаментальная
последовательность, сходящаяся к г), то действительное число,
определяемое этой фундаментальной последовательностью, будем
обозначать при помощи знака г. Так что, например, если г = 0, то ?==
= (0, 0,..., 0,...).
Приняв такое определение действительного числа, мы должны
его оправдать. В первую очередь надо было бы показать, что
вновь введенные числа удовлетворяют потребностям практики. Иными
словами, что с помощью новых чисел могут быть решены
конкретные, практически важные вопросы, которые не могли быть решены
с помощью только рациональных чисел.
§ 3]
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
43
Кроме того, определение действительного числа надо оправдать
и с другой точки зрения.
Действительными числами естественно назвать такие объекты,
которые обладают свойствами рациональных чисел. В течение
многих тысячелетий людям приходилось считать и измерять те или
иные предметы окружающего их мира. Результаты счета или
измерения описывались числами. Весь этот многовековый опыт счета
позволил сформулировать свойства чисел. Необходимость подобных
формулировок обусловливалась в первую очередь тем, что
господствующим методом математики является дедукция, т. е. при
изложении той или иной математической дисциплины стремятся (если
это возможно) вывести все содержание дисциплины из немногих
утверждений, называемых обычно аксиомами. Например, с таким
построением геометрии наши читатели знакомы из школьного курса
математики.
Аналогично геометрии те немногие свойства рациональных
чисел, из которых могут быть выведены остальные их свойства,
принято называть аксиомами арифметики, За основу могут быть
приняты различные свойства и, следовательно, в основу арифметики
могут быть положены различные системы аксиом. Мы познакомим
читателя с той системой аксиом арифметики, которую предложил
знаменитый немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943).
9. Аксиомы арифметики. I. Аксиомы соединения двух чисел.
\t. Из числа а и числа Ъ при помощи операции, называемой сложением,
получается некоторое вполне определенное число с, что обозначается
равенством
а-{-Ь = с.
12. Для любых двух чисел а и Ъ существует одно и только одно
число х, для которого
а-{-х = Ь,
а также одно и только одно число у, для которого
У + а = Ь.
13. Существует некоторое вполне определенное число, его называют О
(нуль), такое, что для любого а как а-{-0 = а, так и 0-\-а = а.
14. Из чисел а и b получается при помощи некоторой другой
операции, называемой умножением, вполне определенное число с, что
обозначается равенством
аЬ = с.
15. Для любых двух чисел а и Ь, если число а не О, существует одно
и только одно число х, для которого
ах=^Ь,
и одно и только одно число у, для которого
уа = Ь.
44 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. П
U. Существует некоторое вполне определенное, число, его называют
1 {единица), такое, что для любого а как а • 1 = ау так и 1 • а = а.
II. Вычислительные аксиомы (правила действий).
IU. а-\-(* + с) = (а+4) + с.
II2. a-\-b = b-{-a.
Н3. a(bc) = (ab)c.
Hi- о, (Ь -\- с) = ад -J- ос.
Н5. (я -f- #) с = ас -f &с.
He. ab = ba.
III. Аксиомы порядка1).
IIЦ. #з любых двух отличных друг от друга чисел а и Ъ всегда одно
определенное число (например, а) больше (>) другого; про это последнее
говорят, что оно меньше первого. Это обозначается так: а> b или Ь <а.
Ни оля какого числа а не может иметь место соотношение а> а.
Ш2. Если а> b и Ь> с, то а> с.
Ш3. Если а>Ь, то а-{-с>Ь-{-с и с-\-а> с-\-Ь.
Ш4. Если а>Ь и с>0, то ас>Ьс и са> cb.
IV. Аксиома Архимеда. Пусть я > 0 и Ь>0 — любые два числа;
в таком случае всегда можно число а повторить слагаемым столь бом-
шое число раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма обладала следу-
ющим свойством:
а-\-а-{-а-}-...-{-а>Ь.
Перед нами стоит задача: изложить теорию действительных чисел, т. е.,
во-первых, показать, что можно так определить операции сложения и
умножения над действительными числами, чтобы все аксиомы арифметики
сохранялись, и, во-вторых, установить, что полученная система чисел полна.
Точный смысл понятия сполноты> будет выяснен ниже.
10. Операции над действительными числами. Определение 5.
Пусть
« = (г?, г£,..., г «,...) и р = (г?, г|,..., /•£,...)*)
— два действительных числа) тогда число а + Р— сумма этих двух
действительных чисел — изображается последовательностью
(rf + г?, r*2 + ri...,r*n + ri...).
Аналогично разность а — р двух действительных чисел изображается
последовательностью
(rj-rf, rS-r§,...f Г*-!*,...).
Произведение двух действительных чисел а • р изображается
последовательностью
(ttrfrb..., г«г£,...).
*) Известно, что скомплексные числа> уже не удовлетворяют аксиомам
порядка, поэтому такие «числа» можно называть числами лишь в обобщенном
смысле, так как сравнение чисел по их величине является основным
свойством количественного сравнения предметов окружающего нас мира.
8) Здесь аир обозначают не показатели степеней, а поставлены для
того, чтобы отличить запись числа о от записи числа 0.
§ 3] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 45
Определение 6. Если $^£0 и изображающая число $ последовав
гьность не содержит нулей1), то -%—
чисел изображается последовательностью
тельность не содержит нулей1), то -^— частное двух действительных
г
Для того чтобы оправдать эти определения, надо установить, что
арифметические операции всегда возможны, т. е. приводят к действительным
числам, а также установить, что числа а -\-13, а|3, а — р, — единственным
образом определяются по числам а и р. Сначала установим одну лемму.
Лемма 1. Если последовательность {гп] фундаментальная, то
существует такое число а, что для любого п \гп\^а.
В самом деле, пусть rlf r2t... , rn,... — фундаментальная
последовательность и пусть N0 столь велико, что для любого р > 0 имеет место
неравенство
\rNo+p-rNo\<\.
Из этого неравенства вытекает, что *>0-Ьр < 1 + rN или \rN ,р\ <
< 1 + (rN |. Рассмотрим теперь отдельно абсолютные величины первых N0
членов последовательности, т. е. числа | rt |, | га |, ..., \rN |.
Если теперь положить число а равным наибольшему из чисел
\nl М,..., \rNo\, \rNj + \9
то для всех п будет справедливо неравенство |rn ) ^ а. Переходим теперь
к доказательству теоремы, показывающей, что по заданным числам о и ^
всегда можно определить числа а-|-(3, <*£, <*— Р, -тр.
Теорема 2. Сумма, разность и произведение двух
фундаментальных последовательностей есть фундаментальная последовательность.
Частное двух фундаментальных последовательностей есть тоже
фундаментальная последовательность, если фундаментальная
последовательность, являющаяся делителем, не содержит нулей и не изображает нуля.
Переходим к доказательствам.
Пусть заданы две фундаментальные последовательности {гп} и {?п}.
Сначала докажем, что последовательности {гп ±. ?п} и {гпгп} будут тоже
фундаментальными последовательностями.
В самом деле,
| (гп+р + ?п+р) — (гп + ?п) | ^ | гп+р — гп | + | гп+р — гп |.
Если теперь п выбрать столь большим, чтобы при заданном е > 0 и
любом натуральном р имели место неравенства
\rn+j> — Гп\*£ 2 £ И \?п+р — Гл|^уе,
*) Требование, чтобы последовательность {г£} не содержала нулей, не
Является ограничительным, так как мы всегда можем выбрать
последовательность чисел tn -—О, гп z/Ь О, так, чтобы все числа г\ + вп были отличны от
нуля, а тогда последовательность {г£ -j- ел} изобразит то же число р, но не
будет содержать нулей.
46 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
то для этого п имеем \(гп+р±гп+р) — (гл±гл)|^е и, следовательно,
{rn ± гп} — фундаментальная последовательность. Аналогично имеем:
I гп+р ?п+р — rrXn I = I гп+р (?п+р — ^л) ~Ь ?п (гп+р ^л) |<
< а | гп+р — Гп | + Р | Гп+р — Тп |,
где а и р — два таких положительных числа, что | гп | < а и [ ?п | < |3 для
л=1, 2, 3, ... Такие числа существуют (см. лемму 1). Если теперь при
заданном е>0 взять п столь большим, чтобы для любого натурального р
имело место
\гп+р — гп\ <—Го и \гп+р — Гп\< в_|_р >
то для этих л и | гл+/) гл+р — гпгп | ^ е, т. е. последовательность {гЛгЛ} —
фундаментальная.
Несколько сложнее обстоит дело с доказательством утверждения нашей
теоремы относительно деления фундаментальных последовательностей.
Докажем предварительно лемму.
Лемма 2. Если фундаментальная последовательность не изображает
число нуль, то всегда можно найти такое положительное число d, что
все члени этой последовательности, начиная с некоторого, будут по
абсолютной величине больше, чем d.
Пусть задано е > 0. Так как наша последовательность фундаментальная, то
найдется такое N, что все члены последовательности с номерами,
превосходящими N, отличаются друг от друга по абсолютной величине меньше, чем на е.
Допустим, что лемма неверна; тогда для выбранного е можно найти бесконечное
множество значений я, при которых | хп | < е; пусть п0 — одно из них, т. е.
)хпо| <е, и пусть п0> N. Тогда для любого n>N имеем | хц — xnQ | <s,
а потому | хп | < 2е; так как е может быть взято произвольно малым, то наша*
последовательность изображает нуль, что противоречит условиям леммы.
Сделаем еще одно очевидное замечание. Можно утверждать нечто
большее, чем высказано в лемме, а именно:
Следствие 2. Если фундаментальная последовательность не
изображает нуля, то найдется такое d>0, что все члени этой
последовательности, начиная с некоторого, будут либо > dt либо < — d.
В самом деле, мы уже знаем, что найдется такое d > 0, для которого
\xn\>d,
как только п станет достаточно большим.
Если бы утверждение следствия 2 было неверно, то нашлось бы
бесконечное множество таких чисел л, для которых xn>d, и таких чисел т, для
которых хт < — dt но тогда \хп — хт \ > 2d для как угодно больших
значений п и т, и следовательно, заданная последовательность не
фундаментальная, что противоречит условию.
Приступаем теперь к непосредственному доказательству оставшейся
недоказанной части теоремы 2, т. е. к доказательству такого утверждения:
Если {гп} и {?п} — две фундаментальные последовательности, причем все
гл^0 и {гп} не изображает нуля, то последовательность -|=^[тоже фунда-
ментальная.
В самом деле, имеем:
гп+р £д _, гп+р (*л гп+р) ~Т~ ?п+р (гп+р — гп)
гп+р гп гп+р гп
На основании леммы 2 найдется такое d>0, что для некоторого N
будем иметь:
I Гп I > d и | Гп+р | > d при любом п > N и р > 0.
§ 3] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 47
Кроме того, существуют (см. лемму 1) такие числа а > О и Ъ > О, что
I Гд | < а и | Гь | < Ь для всех значений k. Поэтому
гп+р TJl_
гп+р гп
<*\Гп — гп+р\ + Ь\гп+р-
для п > N.
Пусть теперь задано е>0, возьмем N0 настолько большим (возможно,
больше чем АО, что при n^N0 и натуральном р
i \^-dH I- - i -^ **2s
I гл+/? — гл I ^= "g^" и Iгп+р — гп\ ^ 2?•
Тогда для n^N и Я^О имеем:
I гл+р гл I
Этим установлено наше утверждение.
Итак, с помощью введенных определений, каковы бы ни были два
действительных числа аир, всегда определяется число а-(-Р, а — р, ар, а если
а
Р^О, ТО И ЧИСЛО -тг.
Теперь установим, что определение суммы, разности, произведения и
частного однозначно, т. е. не зависит от выбора той или иной из конфи-
нальных между собой последовательностей, которыми определяются числа а
и р. Это последнее утверждение следует из такой теоремы:
Теорема 3. Если последовательности {гп} и {гл}, а такще-{гл} и
{г'п} между собой конфинальны, то последовательности_
1) {гя + Гп} и {г'п±г'п}, а также 2) {гпгп} и {г'пг^} тоже между
собой конфинальны, а если число р = {rn}т^ 0, то и последовательности
3) \~\ и <Jt\ между собой конфинальны.
Докажем для примера второе утверждение теоремы. Пусть
последовательность {гп} конфинальна {гп} и последовательность {гп} конфинальна {гл}.
Рассмотрим разность
{гп?п} — {г'пг'п) = (гЛ — r[?l rsrs — rffi ... , rnrn — r'nr'n, ...).
Проделывая простые тождественные преобразования с рациональными
числами, составляющими эту последовательность, можем переписать:
{гпгп} — {rjiK} =
= (П (ri — f[) — r[ (r[ — n), ... , rn(rn — r'n) — r„- (r; — rn\ ...).
Рассмотрим общий член этой последовательности
|гя(гя—г»—F;(r;—oKi^iir,.—г;| + |г;|[г; —гя|.
Так как {гп} и {?'п} — фундаментальные последовательности, то по лемме 2
можно найти такие числа а и Ь, что | гп | < а и | ?'п | < Ь.
Далее, так как по условию теоремы
lim |гя —г;|=0 и lim |г;~гЛ| = 0,
я-*оо я-*оо
то, каково бы ни было малое число е >0, можно найти такое N, что для п> N
е ' i 8
:2а И \rn — rn\<2i,>
а тогда
\ГП — гп\<Ъ, и \ГЯ — Г'п\<1*
48 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
для n>N. Отсюда следует, что последовательности {гпгп} и {г'пг'п} кон-
финальны между собой.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично^
Далее, так как вычислительные аксиомы имеют место для рациональных
чисел, то легко вывести, что «вычислительные» аксиомы имеют место и для
действительных чисел. Например, если
<* = {ги г2, ... , гю ...),
Ь = (pi, р2, ... , рд, ...)»
то
0 + * = (Г1 + р1, г2 + р2, ..., гл + рл, ...)
и
*+a = (pi + ri, ?2 + r2t ... , рл + гл, ...),
а так как rn-f-рл =:?п + гп Ддя всех л» то a-\-b = b-\-a.
11. Упорядоченность действительных чисел. Переходим теперь
к «аксиомам порядка».
Определение 7. 1. Действительное число а = {ап} положительно
(а > 0), если существует такое рациональное положительное число d, что
все члены последовательности аи а2, ... , ат ... , начиная с некоторого,
больше, чем d.
2. Действительное число а = {ап} отрицательно (« < 0), если
существует такое рациональное число d > 0, что все члены
последовательности аи а2, ... , ат ... , начиная с некоторого, меньше, чем —d.
На основании следствия 2 имеем:
Теорема 4. Каково бы ни было действительное число, оно либо
равно нулю, либо больше нуля, либо меньше нуля.
Введем далее следующее определение:
Определение 8. Если даны два действительных числа а и $, то
а больше р (а > р), если а — р > 0; а меньше р (а < р), если а — р < 0, а,
наконец, а равно р (а = р), гели а — р = 0.
Из теоремы 4 следует в силу этого определения, что, каковы бы ни
были два числа аир, имеет место одно из трех соотношений: либо а>р,
либо а < р, либо а = р.
Для удобства применения этого правила сделаем из него такой вывод:
Следствие 3. Пусть дано два действительных числа
« = (rl гЪ ... , г% ...) и р = (г?, г|, ..., г% ...).
Для того чтобы р было больше а, необходимо и достаточно, чтобы
существовали такие целое число N и положительное число d, что для
п>N было бы rl~r%>d или r£> r£-f d.
В самом деле, согласно определению 8, неравенство р > а влечет
неравенство р — а > 0, а следовательно, фундаментальная последовательность
V 1 1» Г2 Г2> • • > ГП ГЯ> • • '/
не изображает нуля и состоит из положительных чисел, а тогда на
основании леммы 2 найдутся такое рациональное число rf>0 и такое N, что для
п ^ N будет г£ — Гд > d.
Обратно, если последнее, неравенство выполнено, то р — <х>0, по
определению. Справедливость других аксиом порядка вытекает из тех же
соображений, что и справедливость вычислительных аксиом.
Теперь нам остается установить справедливость аксиомы Архимеда для
действительных чисел. Пусть
« = (r?, г% ..., г% ...)>0 и p = (r?, rf, ... , r£, ...)>0
§ 3]
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
49
— два действительных*числа и пусть N столь велико, что для л>ЛГ имеют
место неравенства
r£>d>0 и ri>d>0.
Так как последовательность {г^} фундаментальная, то найдется
рациональное число М такое, что г^<М(п = \, 2, ...). Пользуясь теперь
справедливостью аксиомы Архимеда для рациональных чисел, находим такое
целое число р > 0, что dp>M-\-du где di>0. Рассмотрим теперь
действительное число
pa = {prl рг"21 ... , рг*ю ...}.
Так как r% > d для п > N> то pr*n > pd>M-{-dun так как 0 < r\ < Af,
то prJJ > г£ + ^ь а тогда по только что доказанному (см. следствие 3)ра>р.
Совокупность действительных чисел обычно называют числовой прямой.
Это название оправдывается тем, что из аксиом геометрии может быть
выведено, что каждой точке прямой линии может быть поставлено в
соответствие некоторое действительное число — координата этой точки, и обратно,
каждому числу соответствует на геометрической прямой одна и только одна
точка, имеющая своей координатой это число 1). В связи с этим мы можем
множество чисел отождествить со множеством точек некоторой прямой, на
которой выбрано начало координат. Абсолютная величина разности между
числами будет равна расстоянию между точками на этой прямой. В
дальнейшем изложении мы не будем различать термины «число», «точка на
прямой» в том случае, когда изучаются свойства чисел, связанные с их взаимным
расположением.
12. Полнота множества действительных чисел. Множество
действительных чисел, описанное нами выше, «полно» во многих
отношениях. Различные математики с разных сторон подходили к
характеристике «полноты» множества действительных чисел.
13. Признак полноты в смысле Коши. Теорема 5. Всякая
фундаментальная последовательность действительных чисел
имеет предел.
Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, рассмотрим
две леммы.
Лемма 3. Пусть даны действительное число а. и произвольно
малое рациональное число £^>0; тогда можно найти
рациональное число г такое, что | а — г | <^ е.
Пусть а = {ап\. Найдем столь большое /V0, чтобы для n^N0
и /?>0 было \ап+р — ял|<у.
Рассмотрим рациональное число
r = aN0 = (aN0> aN0> aN0> ••• > ялг0> •••)
и разность
а — г = (си с2у с3, ... , сПУ ...) =
= {ах — aNo, а2 — а^0У а3 — aNo, ... , aNo — aNo, а#0 + i — ялг0> • • •)•
*) См., например, Д. Гильберт, Основания геометрии, М.-Л., Гостех-
издат, 1948. Примечание к этой книге П. К. Рашевского на стр. 434—440.
50 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
Пусть n^>N0; тогда
\сп\ — \ап — aN0\ = \aN0 + p — flJVoK}.
Отсюда |сл|4~ "2"<Се для n^N, а тогда, так как
|a-r| = (|q|, |с2|, ... , |ся|, ...),
то в силу следствия 3 действительное число
|a — r\ = (\ct\t \с%\, ... , \ся\9 ...)
меньше, чем действительное число е = (е, е, ... , е, ...).
Лемма 4. Если фундаментальная последовательность {?п}
состоит из рациональных действительных чисел, то она
сходящаяся, т. е. имеет пределом некоторое действительное число.
При доказательстве этой леммы будем использовать ранее
введенное обозначение. Пусть г — рациональное число; тогда
действительное число (г, г, ... , гу ....)> изображающее рациональное
число г, будем обозначать г. Рассмотрим фундаментальную
последовательность рациональных действительных чисел гь г2, ... , гп, ...
Пусть эти действительные числа изображают рациональные числа
Т\> г%> • • • > *ю • • • Если предположить, что действительные
рациональные числа г1у г2, ... , гп> ... заданы последовательностями с
одинаковыми членами, то из того, что последовательность гг, г9, ... , гпУ ...
фундаментальная, вытекает, что последовательность рациональных
чисел ги гъ ... , гпУ ... — тоже фундаментальная
последовательность обычных рациональных чисел, а следовательно, изображает
некоторое число а; докажем, что lim r„ = a.
л-* оо
Пусть е^> 0 —произвольно малое рациональное число. Возьмем N
столь большим, чтобы при n^>N осуществлялось неравенство
\гп+р—гл|<|, Рассмотрим разность
a rn = (rl Гпу ТЪ Тю Г3 гп> • • • > гп — гю Гп+1 — гю • • •)•
При п^>М члены последовательности, стоящей в скобке,
начиная с л-го, по абсолютной величине меньше, чем -тг» а тогда, как
мы знаем, действительное число
a — rn = (ri rn> r2 — rn> • • • > rn+p — rn> • • •)
будет меньше, чем действительное число
е /ее е \
"2 — [~2> Т' '" ' Т' "7'
Итак, |а — гл | <d е, если n^Ny и так как е, а следовательно, и
s, произвольно мало, то лемма установлена.
§ 3] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 51
Переходим теперь к доказательству самой теоремы 5.
Пусть дана некоторая фундаментальная последовательность {ап}
действительных чисел. Построим на основании леммы 3
последовательность действительных рациональных чисел \гп\ таких, чтобы
для любого п было \ап — ?л|<Сол* Покажем теперь, что
полученная последовательность {гп} фундаментальная. В самом деле,
I ?п+Р — ^я I = I Гп+р — ап+р + ап+р — ап -f- ап — rn | ^
« \?п+р — <Wl + K+p — ая\ + \ая — гп\.
Пусть теперь задано произвольно малое число е. Выберем IV
столь большим, чтобы для n^>N одновременно выполнялись два
неравенства: ^<Су и \ап+р — aJ<Cy- Тогда для n^>N имеем:
1г/м-р r«l\2«^ "Т \ап+р ал1 i ^<Су_т""з"_т"У==е>
т. е. для n^N и натурального р имеем \гп+р — гл|<^е.
Итак, последовательность {гп} фундаментальная и состоит из
рациональных чисел, а тогда на основании леммы 4 она сходящаяся.
Пусть а — ее предел. Покажем, что то же число а есть предел и
заданной последовательности \ап\. Рассмотрим разность
\* — *п\ = \* — Ъ + Ъ — *п\^\* — Гп\ + \*п — Гп\-
Пусть теперь дано произвольно малое е]>0; находим N столь
большое, чтобы для n^N одновременно выполнялись два
неравенства: \а — г„Ку и \ап — гяКтуг<у. Тогда для n^>N имеем
\а — ая | <^-=--|~-о"= е» что и требовалось доказать.
14. Признак полноты в смысле Г. Кантора. Полноту множества
действительных чисел можно характеризовать и другим способом.
Пусть на числовой прямой дана последовательность отрезков
К Pi], [а2, ра], ... , К, ря], ...
Мы скажем, что эти отрезки вложены друг в друга, егли
каждый следующий по номеру отрезок составляет часть предыдущего,
т. е.
Определение 9. Мы скажем, что некоторое множество Е,
состоящее из чисел, полно в смысле Кантора, если, какова бы ни
была бесконечная последовательность вложенных друг в друга
отрезков, концы которых принадлежат множеству Е и длины
которых с увеличением номера стремятся к нулю, существует
число, принадлежащее Е и всем заданным отрезкам.
52 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
Докажем теперь теорему:
Теорема 6. Множество действительных чисел есть полное
множество в смысле Кантора.
В самом деле, пусть на числовой прямой дана
последовательность вложенных друг в друга отрезков
К Pi]> К Ра], • , К, М,
длины которых стремятся в нулю. Пусть е^>0 — произвольно малое
число; находим N столь большое, чтобы длины отрезков [ал, pj,
т. е. числа рл — ал для n^N, удовлетворяли бы неравенствам
о =sp„-«„<*.
Так как по условию теоремы для любого целого и
положительного р имеют место неравенства
то ал+р — ал<СРл—^л^6 ПРИ n^N. Итак, мы установили, что
левые концы числовых отрезков [а^рл] образуют фундаментальную
О . I I. . о о о о о о . о ^,
Черт. 19.
последовательность. По доказанной теореме 5 эта
последовательность имеет предел. Обозначим его через у. Докажем, что у и есть
искомое число, т. е. что при любом п имеют место неравенства
В самом деле, допустим противное, что Y<Ca« для некоторого п,
Пусть а.п — y = d^>0. Так как, по условию теоремы, ал+р^а^при
любом р^>0у то ал+р — 7^d]>0 (черт. 19), а следовательно, у не
может быть пределом последовательности
ai> a2, ... , ал, ...
Наконец, допустим, что т^>Рл для некоторого п.
Пусть у — p/l==d1j>0. Так как для любого натурального р, по
условию теоремы,
<Р»<Т
и, следовательно, для р^>0 (черт. 20)
Т — <W>Y — Р* = А
Полученное неравенство приводит нас к противоречию с
предположением, что 7 есть предел последовательности аи а^, ... , ал, ...
Этим теорема полностью доказана.
§ 3]
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
53
Из доказанного непосредственно следует, что число у, которое
расположено внутри всех построенных отрезков, является общим
пределом для последовательностей их. левых и правых концов.
■ '- о о—О-О—О , .Q . I „ I о I -о ^.
"> "п *п±р А У А
Черт. 20.
В самом деле, пусть для любого целого п имеют место
неравенства ал^т^Рл> по предположению длины отрезков [ал, (Зл],
т.е. действительные числа \п — аЛ]>0, стремятся к нулю при п-^оо;
тогда, каково бы ни было е^>0, можно найти такое N, что для
n^N |РЛ — ал|<^е, а тогда для этих же п имеем:
1т-*я1*£|Ря-*я|<*
It-Pi.KIPi.-*i.I<«.
что и доказывает наше утверждение.
15. Признак полноты по Дедекинду. Наконец, приведем еще^
один признак, характеризующий полноту совокупности
действительных чисел, именно признак, предложенный Дедекиндом.
Начнем с такого определения:
Определение 10. Назовем сечением {А, В] в области
действительных чисел всякое разбиение совокупности
действительных чисел на два класса А и В, обладающих следующими
свойствами: \) каждое действительное число класса А {который мы
назовем левым) меньше каждого числа класса В {правый класс);
2) каждое число принадлежит одному из двух классов и 3)
каждый класс не пуст, т. е. содержит хотя бы одно число.
Например, взяв произвольное число а и отнеся все числа,
меньшие а, к классу Л, а само число а и все числа, большие а, к классу В,
мы, очевидно, получим сечение. При этом в правом классе будет
иметься первое (наименьшее) число (число а), а в левом классе не
будет последнего (наибольшего) числа. Точно так же мы долучим
сечение, переместивши число, породившее сечение, из правого
класса в левый, тогда в левом классе будет последнее (наибольшее)
число, а в правом не будет первого, т. е. наименьшего числа.
Теорема 7(Дедекинда). Какое бы сечение {А, В} в
области действительных чисел мы ни задали, существует
единственное действительное число а, которое является либо
наибольшим в классе Л, либо наименьшим в классе В. Про число а мы
будем говорить, что оно производит сечение.
Для наглядности доказательства мы совокупность
действительных чисел (числовую прямую) будем отождествлять с
геометрической прямой и действительные числа с точками.
54 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [гЛ. II
Возьмем некоторую точку а, принадлежащую классу А, и точку р,
принадлежащую классу В., Пусть d — длина отрезка [а, р].
Разделим этот отрезок пополам, и пусть точка деления будет у- Из трех
точек а<Ст<СР отметим первую (считая слева), принадлежащую
классу В, и будем считать отмеченным тот из двух отрезков [а, у]
и [у, р], правый конец которого есть отмеченная точка, тогда по
необходимости левый конец принадлежит классу А. Назовем
отмеченный отрезок [о4, pj. Отмененный отрезок есть часть [оф], и
длина его равна у • Разделим отмеченный отрезок [cnlt фг] пополам,
и пусть точка деления будет уг. Из трех точек a1<^Yi<C Pi снова
отметим первую, принадлежащую классу В, и назовем вторым
отмеченным отрезком тот из двух отрезков [al9 fi] и [fu pj, правый конец
которого есть отмеченная точка fi* Второй отмеченный отрезок
обозначим через [а2, р2]. Ясно, что а2 принадлежит классу А.
Второй отмеченный отрезок есть часть первого отмеченного отрезка,
и длина его равна ^ • Этот процесс мы можем продолжать
неограниченно. В результате получим последовательность отмеченных
отрезков
К> Pi], К, Ра], ... , К, ря],
причем:
1. Точки at> a2, ... , ал, ... принадлежат классу А, точки
Pi, Ра» • • • > Рл> • • • принадлежат классу В.
2. Отрезок [аЛ+1, рл+1] есть часть отрезка [ал, рл].
3. Длина отрезка [аЛ, Рл] равна ^д, и следовательно, при п-+оо
длины этих отрезков стремятся к нулю.
В таком случае по признаку полноты Кантора существует точка S,
принадлежащая всем отмеченным отрезкам.
Так как каждая из точек прямой принадлежит одному из
классов, то надо разобрать два. случая: 1) I принадлежит классу А и
2) 5 принадлежит классу В.
Пусть I принадлежит классу Д, тогда она — самая правая в этом
классе. Действительно, допустим, что правее точки £ существует
точка у\, также принадлежащая классу А. Рассмотрим тогда
отрезок [(i, Y)]. Так как £ есть предел правых концов построенных
отрезков, то среди этих отрезков найдется такой, правый конец
которого будет лежать на отрезке [S, ц]. Но тогда этот конец, будучи
точкой класса В, оказался бы левее, чем, точка г\ класса А, что
противоречит условиям разбиения. Аналогично можно показать, что
если I принадлежит классу В, то она самая левая в классе В. Этим
теорема Дедекинда доказана.
Если сопоставить все результаты этого параграфа, то окажется
доказанным, что из признака полноты Коши сходимости числовой
последовательности следует теорема Кантора (признак Кантора), а
§ 31
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
55
из теоремы Кантора вытекает теорема Дедекинда. Мы сейчас
докажем, что из теоремы Дедекинда вытекает критерий Коши, а тогда
будет установлено, что все три теоремы эквивалентны между собой
и одинаково могут характеризовать полноту множества
действительных чисел.
Установим эту эквивалентность.
Теорема 8. Если, каково бы ни было сечение {А, В} в об-
ласти действительных чисел, существует единственное
действительное число а0, которое является либо наименьшим числом
в классе В, либо наибольшим в классе А, то всякая
фундаментальная последовательность действительных чисел имеет предел.
В самом деле, пусть
а1> а2> • • • > ал> • • •
— фундаментальная последовательность действительных чисел.
Произведем сечение {А, В) во множестве действительных чисел
следующим образом: к классу А отнесем каждое действительное число а,
для которого, начиная с некоторого номера п, ал^>а; к классу В
отнесем все остальные действительные числа. Установим непустоту
каждого из этих классов. Пусть е ^> 0; возьмем столь большой номер щ>
что для р^>0
°Ч> — е <С *п0+р<Сап0 + е.
Теперь мы видим, что число a„0— е принадлежит классу А, ибо
для достаточно больших п число сип его преаосходит. С другой
стороны, число аЛо-{-е принадлежит классу В, так как для п^п0
все числа ап менее этого числа. Пусть а0 — число, производящее
это сечение; покажем, что
lim ал = а0.
П-юо
В самом деле, пусть е^>0 произвольно мало, найдем N столь
большое, чтобы для n^N иметь |ал+р — ал|<^е, т. е. ал — е<^
<Сал+р<Сал"Ье> н0 Т0ГДа число ап — е для n^>N принадлежит
классу А, а число сип -J- е — классу В, следовательно, а0 лежит между
ал — е и ал-|-е для любого n^N, т. е. |а0 — ал|<^2е, если n^N.
Этим эквивалентность всех признаков полноты доказана.
Мы тремя разными способами характеризовали «полноту»
множества действительных чисел. Первый способ — признак Коши,
показывает, что если, исходя из фундаментальных последовательностей
рациональных чисел, мы смогли образовать новые числа, то, исходя
из фундаментальных последовательностей таким способом
образованных действительных чисел, мы уже не получим никаких новых
чисел. Второй способ характеристики полноты тесно связан с
интуитивным, наглядным представлением о непрерывности — сплошности
прямой линии.
56 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
В самом деле, если бы в прямой линии был пробел, то мы
могли бы найти последовательность друг в друга вложенных
отрезков, стягивающихся к этому
пробелу, и тогда не было бы точки,
принадлежащей всем этим
отрезкам (черт. 21). Наконец, признак
Дедекинда обращает внимание на
связность, неразрывность прямой.
Он говорит о том, что если бы мы
Черт. 21. разделили прямую на две части,
разорвали бы ее, то обязательно
у одной из частей была бы последняя точка, а у второй бы не было
первой или, наоборот, у первой части не было бы последней, но
тогда у второй правой части была бы первая точка.
§ 4. Признаки существования предела последовательности
16. Критерий Коши. Установим сначала необходимое и
достаточное условие сходимости последовательности, которое фактически
является следствием уже доказанных теорем.
Теорема 9. (Критерий Коши.) Для того чтобы после-
довательность alt av , ап, ... была сходящейся,
необходимо и достаточно, чтобы при любом е^>0 можно было найти
такое N, чтобы при n^N и любом натуральном р
\ап+р — ап\<е-
Достаточность этого признака вытекает из теоремы о полноте
множества действительных чисел в смысле Коши. Установим
необходимость критерия Коши.
Пусть последовательность аи аъ ..., ап, ... имеет пределом
число а и пусть е^>0 — произвольное число. Найдем такое N, что
для n^N \а — ЯлКу» тогда и | а — ап+р К -у , где р — любое
натуральное число; из двух полученных неравенств имеем:
К+р — я* 1^1 я — flj + l* — ^1<у + у=£-
Это неравенство и показывает, что аи аъ ... , ап, ... —
фундаментальная последовательность.
Однако в большинстве случаев этот признак практически
применять сложно. Поэтому обычно пользуются другими достаточными
признаками сходимости.
Введем сначала некоторые определения.
17. Ограниченные множества. Пусть дано некоторое
множество Е точек прямой или, что то же самое, некоторое множество
чисел. Мы назовем его ограниченным сверху, если существует такое
§ 4] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 57
число Mt что любое число из множества Е меньше или равно М;
аналогично множество Е ограничено снизу, если найдется число т
такое, что все числа из Е больше или равны т. Например,
множество всех отрицательных чисел ограничено сверху, так как все они
меньше нуля, а множество всех положительных чисел ограничено
снизу, так как все положительные числа больше нуля. Если
некоторое множество ограничено и сверху и снизу, то оно называется
ограниченным. Введем теперь понятия верхней и нижней грани.
Определение 11. Назовем число В верхней гранью
множества Е, если: 1) все числа, входящие во множество Е, меньше
или равны В и 2) каково бы ни было число е^>0, найдется число х
из Е такое, что х ^> В — е.
Аналогично:
Число А называем нижней гранью множества Е> если все числа,
составляющие Еу больше или равны А и каково бы ни было поло-
жительное число е, можно найти такое число х, которое меньше,
чем А -f- е.
Например, рассмотрим множество Е> состоящее из всех чисел,
заключенных между двумя и тремя, тогда 2 будет нижней гранью,
а 3 верхней гранью этого множества; если же к этому множеству
присоединить еще числа 1 и 4, то полученное множество будет
иметь нижней гранью число 1, а верхней 4.
Теорема 10. Каждое ограниченное сверху множество имеет
верхнюю грань.
В самом деле, пусть Е ограничено сверху числом Щ разобьем
все числа на два класса; некоторое число отнесем к верхнему
классу, если оно больше, чем все числа, составляющие Е (этот класс,
очевидно, не пуст, так как он содержит, например, число М -{-1);
к нижнему классу отнесем все остальные числа (он тоже не пуст,
так как к нему относятся все числа, составляющие Е). Пусть В
есть число, образующее сечение; оно и есть верхняя грань. В самом
деле, все числа, составляющие Е, меньше или равны В, так как
всякое число, большее В, уже принадлежит верхнему классу и,
следовательно, представляет число большее, чем все числа
множества Е. С другой стороны, на отрезке [В — е, В] должны
содержаться числа из Еу так как если бы их не было, то все числа этого
отрезка должны быть отнесены к верхнему классу и В не
определяло бы сечецие.
Совершенно аналогично доказывается теорема о том, что всякое
ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань.
Важным примером ограниченных множеств являются сходящиеся
числовые последовательности. В- самом деле, имеет место теорема.
Теорема 11. Всякая сходящаяся последовательность чисел
представляет собой ограниченное множество.
В самом деле, пусть ai9 а2, ... , ап, ... — сходящаяся
последовательность и ее предел равен а. Находим столь большое N, чтобы
58 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
\а— ап 1^ * Для n^*N\ тогда, очевидно, |ап|^| а\-\-1, если n^N.
Пусть теперь число Ъ превышает абсолютные величины всех членоа
конечной последовательности ах, аъ ... , а^. Если теперь обозначить
через В наибольшее из двух чисел | а | -f- 1 и #, то уже для всех
без исключения членов последовательности имеет место неравенство
\ап\<^В или
-В<а„< + В.
Из неравенства следует доказываемая теорема.
Следствие 4. Всякая фундаментальная последовательность
образует ограниченное множество.
18. Возрастающие и убывающие последовательности. Введем
определения:
1) Последовательность {хп\ назовем убывающей, если хп+1 <^хп>
и не возрастающей, если хп+1^хп.
2) Последовательность \хп\ назовем возрастающей, если
хп+1 ^> хп, и не убывающей, если хп+1 :>= хп.
3) Последовательность {хп} назовем ограниченной сверху, если
существует такое число А, что хп^А для любого я.
4) Последовательность {хп} назовем ограниченной снизу, если
существует такое число А, что хп^А для любого я.
Очевидно, всякая не возрастающая (и, в частности, всякая
убывающая) последовательность ограничена сверху и всякая не
убывающая (в частности, всякая возрастающая) последовательность
ограничена снизу.
Иллюстрируем эти определения следующими примерами:
1) Xi —- 1, Х% — 2, Х$ — О, ... , Хп —-П, •••',
эта последовательность возрастает и не ограничена сверху.
2) Х\ —- — I, Х% ■—- 2, Х$ — О, • • • , Х*п —- П, • • • \
эта последовательность убывает и не ограничена снизу.
d) Xi — i, x% — 2 > *^з — "з* > • • •» xn <— ,...;
эта последовательность убывает и ограничена сверху и снизу, так
как лгл^>0 и хп^ 1 для всех п.
4) Xi = О, Х% = 1 2 у *^з == ^ "Г > • • • у Хп = 1 — , .. . *,
эта последовательность возрастает и ограничена сверху и снизу.
5) Пусть q%, qit ... , qn— последовательность периметров
правильных многоугольников, вписанных в окружность, причем qn —
периметр правильного я-угольника. Эта последовательность
возрастает и ограничена сверху, так как qn<^Q, где Q — периметр какого-
нибудь произвольного описанного многоугольника. Наоборот, если
Qa> Qi> • • • > Qn> • • • — последовательность периметров описанных
правильных многоугольников, то она убывающая и ограничена снизу,
так как Qn^>q, где q — периметр какого-нибудь произвольного
вписанного многоугольника.
§ 4] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 59
Докажем теперь следующие две очень важные теоремы.
Теорема 12. Если последовательность {ап} не убывает и
ограничена сверху, то она имеет предел а; при этом ап^а для
всякого п.
В самом деле, пусть аи а2, ... , ап, ... — не убывающая
последовательность чисел, ограниченная сверху; тогда множество чисел,
составляющих эту последовательность, ограничено сверху и,
следовательно, имеет верхнюю грань а.
По свойству верхней грани а^ап при любом п, и каково бы
ни было е^>0, найдется такое аПо, что
Но так как
при любом /?, то
а — АЛо = | а — яЛо | <0-
а^аПо+р^аПо
\а — аЛо+р|<5,
что и требовалось доказать.
Совершенно аналогично доказывается
Теорема 13. Каждая невозрастающая последовательность,
ограниченная снизу, имеет предел.
Эти теоремы позволяют практически устанавливать
существование пределов у последовательностей. Ими обычно пользуются
в элементарной геометрии при установлении существования
предела периметров вписанных в окружность многоугольников или
предела боковых поверхностей вписанных в конус пирамид, при
вычислении боковой поверхности конуса и во многих: других
вопросах, связанных с вычислением площадей и объемов.
19. Число е. Приведем один важный пример сходящейся
последовательности.
Пусть дана последовательность
••■•Хп = {1 +!)"»•"
Покажем, что она возрастающая. В самом деле, применяя
формулу бинома Ньютона, имеем:
v _1 i и ] 1 *(* — !) 1 I , п(п— 1)...(/г — k) 1 ,
х*—1-Гпп ^ ГТ",? + ,,,+ I .2...(Л+1) "ТР+г-г---
/ж (/ж — 1) (/» — 2) — 1 \_
•-,Ч" Ь2.3.../г ' пп*
60 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |ГЛ. II
Представим это выражение в следующей форме:
«-»+*(> Ч)+*('-9(--#)+•••
-+^('-1)('-!)-(1-т)+-
-+^('-i)('-l)-('-V)-
Аналогично запишем следующий член хп+1 последовательности
••• + -(FFiH1_^)(1_^)-4
• • • + (й+1)! I1 — 1Г\л) у — s+t) • • • I1 _ ;пр)-
Сравнивая хп и хп+1, непосредственно убеждаемся, что в
выражении для хп+1 все слагаемые положительны, их число на единицу
больше и каждое из слагаемых больше или равно соответствующему
слагаемому для хп. Следовательно, хп+1^>хп.
Покажем теперь, что эта последовательность ограничена сверху.
В самом деле,
лг*<2 + 2Г + ¥|+ • • • + йГ'
так как каждое выражение, стоящее в круглых скобках, меньше
чем 1. Кроме того, легко заметить, что -у ^-™рг, и следовательно,
J _L _L
1,1, , 1 л , 2 2 ' 2я-1
^л<С2 + -2~Г~22'"Г'''~Г 2Я-1 — ^ 1 Г
2
2
Следовательно, каково бы ни было п,
хЛ<3.
Итак, рассматриваемая последовательность {хп} возрастает и
ограничена сверху; следовательно, она имеет- предел. Этот предел
принято обозначать буквой е.
Это — некоторое иррациональное число, которое с точностью до
15-го десятичного знака равно
е = 2,718 281828 459 045.
§ 4] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 61
Число е принимают за ^основание системы логарифмов, которые
называют натуральными. Натуральный логарифм числа N обычно
обозначают символом In АЛ
20. Существование дробной и иррациональной степени. Приложим
полученные нами теоремы к вопросу о существовании любой степени числа
(дробной и иррациональной). 1
Определение 12. Корнем k-й степени из a (ak, где k — целое
положительное число) называется такое число а, которое, будучи возведено
в степень k, давало бы а, т. е. ak = a.
Докажем, что для я>0 число а всегда существует..
В самом деле, рассмотрим сначала целые числа 0fe, lfe, 2k, 3fe, 4fe,... , nk,...
и выберем из них два соседних, между которыми заключалось бы а. Иными
словами, найдем такие два соседних целых числа g и g + 1, что £?^а<.
<(£+!)*.
Рассмотрим теперь числа
gy £+io> ^+10' •••'£'+To, g+
Среди них найдется соседняя пара таких, что
('H-ftbH'+W
Берем теперь числа
* MOMO2' ^'"lO'lO2' '" * ^"ПОМО2' g~* 10
и находим среди них пару соседних чисел таких, что
(s+s+i)'««<(,+fe+a±i)*
и так далее.
В результате мы получим последовательность
g> «"Г ю» ^"т'ю"1" 10а ' """ ' ^"ПО ' I02~r#,,"t" 10я ' ""
возрастающую и ограниченную сверху, так как все ее члены меньше g-{-\,
следовательно, она имеет предел.
Так как числа ри р2> Рз, • • • могут принимать значения от 0 до 9, то
полученная последовательность может быть записана в виде десятичных
дробей; g; gtpt; g,pip2; g,pipsp& и так далее, т. е. в виде некоторой
фундаментальной последовательности. Эта фундаментальная последовательность
определяет действительное число а.
Покажем, что полученное число а решает поставленную задачу.
В самом деле, если последовательность
g а л. EL rr\P±.\.£*.
£> STin» ST m ^Г ins
10 ' s MO^'103 »••
определяет число а, то последовательность
'•(»+*). («+й+*)--
определяет число сЛ Нам нужно доказать, что предел этой
последовательности равен £.
62 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
Обозначим через { zn } и { Zn } две последовательности, между
соответствующими членами которых находится число а:
n V m "^ 10s »^ ^ io* J •
Мы имеем z'n^.a <^. Докажем, что
lim |*5-*;|=0.
я -* oo
Положим
л*—s^io^ ••• ^ 10я •
Очевидно, i4rt -f- т™ ^ g" + 1 для всех я. Для оценки разности
мы воспользуемся формулой
аЬ — ЬЬ = (а — Ь) (а**1 + ак~2Ь + ... + abk's + ft'1).
Из этой формулы -следует, что при Ь < а имеет место неравенство
a*— bh<(a — b)kak~K
Действительно, чтобы убедиться в этом, достаточно всюду во втором
множителе в скобках в правой части формулы заменить Ь на я. В
применении к разности z"n—2Л это неравенство дает
к -«; < (л.+w - л.) к (ая+j^)*"1 ^ jij * (g+\)к-к
Пусть теперь s>0. Выберем N столь большим, чтобы для всех п>N
выполнялось неравенство -^ < . . , ..tt_1 . Тогда для п> N будем иметь:
Итак lim | z„ — z'n | = 0. Тогда lim 2Л = lim *£ = л, что и доказы-
я -* ОО Я -» 00 я -»оо
вает наше утверждение. Существование корня любой степени из
положительных чисел доказано.
Мы опускаем здесь доказательство различных свойств рациональных
степеней, которые известны из алгебры, и, в частности, будем предполагать,
что учащимся известны следующие свойства рациональных степеней *):
_р
1) если а > 1 и — > 0, то а д > 1;
ч
р_
2) если 0 < я < 1 и ^- >0, то ад < 1;
*) Все эти свойства можно вывести, используя теорию иррационального
числа, изложенную в предыдущем параграфе.
§ 4] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 63
3) если а > 1 и п > г2 > 0, то ап > аг*;
4) если 0 < а < 1 и гх > га > 0, то а7"1 < йГз.
Переходим теперь к определению любой степени числа а> т. е. к
определению выражения я% где а>0и а — любое действительное число.
Пусть { гп } — фундаментальная последовательность рациональных чисел,
изображающая число а, или, что равносильно этому утверждению, { гп } —
такая последовательность рациональных чисел, что lim гл = а. Введем сле-
п -* ОО
дующее определение действительной степени аа положительного
действительного числа:
аа есть lim ал, где lim гл = а.
Д-» ОО Я -» ОО
Докажем существование любой степени положительного числа. Для этого,
надо доказать следующую теорему.
Теорема 14. Если я > О и { гЛ } — последовательность
рациональных чисел такая, что lim гп = а, то {ап} есть сходящаяся последо-
71 -» ОО
вательностЪу причем ее предел будет один и тот же для всех
последовательностей рациональных чисел, сходящихся к а.
Для доказательства этого положения нам придется воспользоваться
следующими двумя леммами.
Лемма 5. Пусть q — произвольное положительное число; тогда
lim V~q= 1.
Я -*• СО
Пусть сначала q>\. Тогда, положив xn = Y~Q—1, имеем:
q = (\+xn)*=*\+nxn + n{n-l)x*+...>nxn
(так как хп > 0) и, следовательно, хп < — . Так как последовательность
а а а
Т > ? > •••>» ••• сходится к нулю, то, значит, И Х1у лга, ... , л^л,... сходится
к нулю, т. е. xn=yTq—1 сходится к нулю; но тогда lim л/г^=1.
Я-+СО __
Пусть теперь 0 < q < 1. Рассматриваем последовательность хп = nJ q — 1,
имеем | хп | =в n/~ql 1/ 1 ]; так как 0 < q < 1, то | Y~q | < 1 и,
следовательно, |хя|<(1/ 1 ]. Но —>1 и, значит, как показано выше,
последовательность [1/ 1 ) сходится к нулю. А тогда | хп | тоже
сходится к нулю, откуда, как и в предыдущем случае, вытекает lim -i/#=l.
Я-+0О
Остается еще случай # = 1, но в этом случае справедливость
утверждения леммы очевидна.
Лемма 6. Пусть а > 0 и s — произвольное положительное число;
можно найти такое число 8>0, что для всех рациональных /г,
удовлетворяющих условию | h I < 5, выполняется неравенство \ah — 1 | < е.
L __L
Пусть дано е>0. На основании предыдущей леммы ап и а п
сходятся к 1 при /г—►со. Поэтому существует такое целое число Nt что
64 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
одновременно \aN — 1|<еи|в N—1 ] < е. Положим теперь о=д=г, и
пусть h — рациональное число, удовлетворяющее условию | h | < -г?, т. е.
N
—• ~д?<л<-дг . Тогда при а> 1 будем иметь:
_! i.
а при а < 1 будем иметь:
наконец, при я=1 имеем:
J. i.
__1 _L
_ -L 1
Таким образом, во всех случаях ah заключено между a N и aN. Но
тогда и | ял — 1 | < 2е, что и доказывает лемму.
Переходим теперь к доказательству самой теоремы.
Пусть lim гп = а; рассматриваем последовательность { сп }, где сп — ап.
п-*со
Имеем:
I сп+р — сп I = I <*Гп+р — <*Гп \ = <*г»\ «Гп+^~Гл — 11.
Последовательность {гп} — сходящаяся, значит, она ограничена, т. е.
|гЛ|<Л или —Л<гЛ<Л, но тогда а п заключается между числами а— А
А Г
и ал и, следовательно, можно найти такое число В, что а п <В. Пусть
е > 0; находим такое Niy что для всякого рационального числа Л,
удовлетворяющего условию | Л | <: -jj- , выполняется неравенство \ah — 1 | <-н. Пусть
теперь N столь велико, что | гп+р — гл I < тг Ддя всехте > N. Тогда для этих п
получим:
\cn+p-cn\=ar"\arn+p-rn-\\<B^ = t.
Таким образом, {ап} есть фундаментальная и, значит, сходящаяся
последовательность, и первое утверждение теоремы доказано. Пусть теперь
{sn}—Другая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к а.
Имеем:
Г S S г —*
\an— an\=an\an п— 1 |.
Но lim \rn — srt| = 0, следовательно, по лемме 6 a n пстремится кеди-
s
нице. А так как а п есть ограниченная последовательность, jo написанное
Г 8
равенство показывает, что последовательность {а п — ап) сходится к нулю,
и, значит, lim я л= lim а п. Тем самым теорема доказана.
§ 4] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЙ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 65
21. Существование логарифма. Переходим теперь к доказательству
существования логарифма числа а при основании Ь.
Определение 13. Логарифмом числа а при основании Ь называют
такое число с, что Ьс=а (это число обозначают logft а).
Докажем теорему.
Теорема 15. Если Ь > 1 и а > 0, то всегда существует logft а.
Так как Ь> 1, то последовательность с общим членом Ь~п=(-т-j будет
иметь пределом нуль, следовательно, найдутся такие целые числа р и qt что
Ь~Р<а и Ь~Я < —, т. е. Ы > а,
а
Итак, Ь~р <а<.№. Рассматривая теперь числа b~P+i, b~P+2r ... , Ъ*% мы
найдем два соседних целых числа g и £+1 таких, что b8^.a<bZ+i.
Теперь рассматриваем числа
& 8+\0> Я + То» '" ' ^Ш' g *"
и находим среди них такую пару, что
Ь
*+%^а<Ь8 +
Pi-H
ю
Рассматриваем числа
8-Гю> s-t-10-h102 » ••• » «"гшТ 108» S-r 10 •
Находим среди них пару чисел, между которыми заключается а, и так
поступаем и далее.
В результате получаем фундаментальную последовательность
такую, что
Эта последовательность определяет некоторое действительное число с.
Покажем, что с — логарифм числа а, т. е. что
¥= lim bg+l0+l()i + " ^ = а.
п -* оо
Обозначим члены последовательностей
{/+»+•••■*}. {/*+•■•+*&}.
между которыми заключается число а, соответственно через
Z[t %2> ^3» •••>*«»••• и *Ч» %» ^3» ••• t *7i> •'•
Имеем:
3 В. В, Немыцний и др.
66 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [гЛ. II
Для разности z"n—&*п получаем выражение
<-*;=* 10 10* -/ 10 ^=^(^° -а
следовательно,
1*;-<1^**»1*1(Л--1).
Пусть теперь задано е>0; находим на основании леммы б столь
большое N, что для любого л, удовлетворяющего условию n>Nt выполняется
неравенство
Тогда для п> N имеем:
и, следовательно, получаем:
lim 2д= lint z^=za,
«-» OO Я -» OO
что и требовалось доказать.
§ б. Предельные точки множеств
22. Принцип предельной точки. Для построения математического
анализу приходится использовать одно важное геометрическое
понятие, именно понятие предельной точки.
Определение 14. Точка а называется предельной точкой
для числового множества Е, если, каково бы ни было число е ^> О,
на отрезке [а — е, а -\- е] имеется точка множества Е, отличная
от а.
Этому определению можно придать геометрическую форму.
Назовем окрестностью точки а некоторый интервал с центром
в точке а. Тогда определение 14 можно формулировать так:
Определение 14'. Точка а называется предельной точкой
для множества точек Е, если в любой окрестности точки а
имеются точки множества Еу отличные от а.
Докажем теперь теорему.
Теорема 16. Всякое ограниченное бесконечное множество
имеещц по крайней мере одну предельную точку *).
Пусть Е ограничено и бесконечно. Пусть [ае, ро]—отрезок, на
котором оно помещается. Разделим его пополам точкой с.
Рассмотрим отрезки [а0, с] и [с, ро]; так как Е бесконечно, то либо на
1) Эту теорему часто называют принципом Больцано — Вейерштрйсса*
§ 5]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВ
67
[а0> с], либо на [с, р0], либо на обоих отрезках будет находиться
бесконечное множество точек множества Е. В самом деле, если бы
и на [а0) с] и на [с, (30] заключалось лишь конечное число точек
множества Е, то и на всем отрезке [а0, Р0] тоже было бы лишь
конечное число точек множества Еу что противоречит условию
теоремы. Возьмем тот отрезок, на котором заключается бесконечное
множество точек из Е (если бесконечное множество точек
множества Е заключается и на [а0, с] и на [с, Р0], то возьмем любой из
них). Обозначим взятый нами отрезок через [аь f^]; этот отрезок
есть часть отрезка [а0, [30]. Длина [аь J3J равна половине длины
[ао> Pol и Ha [ai> Pi] заключается бесконечное множество точек
Множества Е. Разделим [а1? (3J снова пополам и будем проводить
рассуждения так же, как их проводили при делении пополам
отрезка [а0, ро]; тогда получим отрезок [а2, р2], который будет:
1) частью отрезка [аи рх]; 2) длина его будет равна половине
длины [аи pj и, следовательно, четверти длины [а0, ро] и 3) [а2, {32[
заключает бесконечное множество точек множества Е.
Продолжая процесс деления неограниченно, получим
последовательность вложенных друг в друга отрезков
К> Ро1> К Pi]» К Р2]> К> Рз1> ••• > К> Р„]>
длины которых стремятся к нулю; так как множество точек
числовой прямой полно (см. теорему 6), то существует точка а,
принадлежащая им всем.
Покажем, что точка а есть предельная точка для
множества Е, Пусть е^>0 — прризвольное число. Рассмотрим отрезок
[а — е, а-|-е]; его длина 2е. Пусть теперь щ столь велико, что
длина [аЛо, рЛо] меньше, чем е.
Тогда
а — е ^ аПо ^ а ^ рло ^ а -f- е.
Но отрезок [аПо, рло] заключает бесконечное множество точек
множества Е\ следовательно, и отрезок [а — е, а-|-е] тоже
заключает бесконечное множество точек Е\ отсюда вытекает, что а —
предельная точка.
23. Предельная точка « предел последовательности. Прежде
всего установим теорему.
Теорема 17. Если а есть предельная точка числового
множества Еу то всегда можно найти последовательность,
составленную из точек множества £, которая имеет своим пределом
точку а.
Пусть а — предельная точка. Окружим ее отрезком [а— l,a-f-1].
Находим на этом отрезке точку ах ф а, принадлежащую множеству Е.
Это возможно сделать, так как а — предельная точ^а. Рассматриваем
теперь отрезок \а — у» а~{~ т и на нем на тех же основаниях
3*
68 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. II
находим точку а2 ф а, принадлежащую множеству Е\ продолжаем
процесс так же и далее; на я-м шаге этого процесса на отрезке
\а , а-\^— находим точку апфа, принадлежащую Е. Если
продолжать этот процесс выбора неограниченно, то получим
последовательность точек множества Е:
CL\y tt%y #3> • • • > &П) • • •
Покажем, что эта последовательность сходится к точке а.
Пусть г^>0 произвольно мало. Берем TV столь большим, чтобы
иметь д?<0« Рассматриваем для произвольного n^>N разность
\а — ап\; так как точка ап находится на отрезке \а — -т,, а~Ь~лм >
то поэтому расстояние от а до аПУ т. е. \а — ап\ меньше, чем -^,
и, значит, меньше, чем е, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы непосредственно вытекает, что в любом
отрезке, заключающем предельную точку а множества Е, содержится
бесчисленное множество точек этого множества.
Теорема 18. Если последовательность точек аи а2, ...
... , ап, ,.. сходится к точке а, то она не может иметь более
одной предельной точки.
Если последовательность аи а2, а3> • • • > ап> • • • содержит лишь
конечное число различных точек, то она вовсе не имеет
предельных точек и утверждение теоремы становится очевидным. Допустим
теперь, что последовательность а19 а2, ... , апУ ... имеет
бесчисленное множество различных точек и имеет пределом точку а;
тогда из определения предела непосредственно следует, что а будет
для нее предельной точкой. Рассмотрим любую другую точку Ъщ и
пусть \Ь — a\ = d. Находим такое TV, что для n^N \а — яЛ|<Су>*
тогда на интервале (b — у, b-\- -j) во всяком случае не
содержится точек ах, а#+ь ... > #w+p> ••• Следовательно, если в этом
интервале и есть точки последовательности
а\> #2> а%> ••• > aN» aN-\-U ••• f
то это могут быть лишь точки
а\, а2, ав, ... , #/v#
Следовательно, на интервале (b 2">*~Ь"2") есть лишь
конечное число точек последовательности, а тогда, на основании
предыдущей теоремы, Ъ не есть предельная точка
последовательности {ап\.
§ 5]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВ
69
Обратное теореме утверждение неверно, как показывает такой
пример:
х1 = 1} лга=-2-, лг3 = 3, .*4=4"» .'- ' вообще хп = ^9
если п четное, и хп = п, если п нечетное. Эта последовательность
имеет только одну предельную точку — нуль, но она расходящаяся,
так как среди ее членов имеются числа сколь угодно большие по
абсолютной величине, между тем как всякая сходящаяся
последовательность образует ограниченное множество.
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Предел функции
1. Предел независимого переменного. Пусть задана некоторая
функция y=f(x). Нашей ближайшей задачей будет дать
определение предела независимой переменной и предела функции.
Понятие предела тесно связано с изменениями аргумента, происходящими
в определенном порядке. Уточним смысл фразы: «аргумент х
принимает значения в определенном порядке».
Определение 1. Будем говорить, что переменное х
принимает свои значения последовательно или, как иногда говорят,
значения переменного х частично упорядочены, если по крайней
мере про некоторые пары значений переменного х = а и х — Ь
можно сказать, какое из них следующее и какое предыдущее. При
этом, конечно, соблюдается условие: если а следует за Ъ, а Ъ
следует за с, то а следует за с. Если b следует за а, то будем
говорить также, что а предшествует Ь.
В дальнейшем иногда для сокращения записи фразу: «Ь следует
за а» будем записывать химволом b $- а или а ~§Ь.
Наиболее типичным примером, когда переменное принимает свои
значений последовательно, является случай изменения переменного
с течением времени. Тогда из двух значений переменного мы
считаем следующим то, которое соответствует более позднему моменту
времени. Если изменение переменного х мы можем считать в данном
рассуждении не зависящим от изменения щкого-либо другого
переменного, мы переменное х называем независимым переменным. Во
всем дальнейшем мы будем считать, что независимое переменное
принимает лишь числовые значения. Для независимого переменного
возможны различные способы частичного упорядочевания его
значений. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные.
1) Возрастание независимого переменного. При
таком способе упорядочевания из двух .значений переменного
считаем следующим то, которое больше предыдущего.
2) Убывание независимого переменного. При этом
способе следующим считается меньшее.
§ 1]
предел функции
71
Каждый может придумать многие способы упорядочевания значения
переменного. Среди всевозможных способов упорядочевания значений
переменного играет особую роль один, называемый стремлением
переменного к пределу. Именно мы скажем, что независимое
переменное х стремится к пределу а, и запишем х->а, если все
значения переменного упорядочены так, что из двух значений
следующим считается то, которое ближе к а, т. е. х% следует
за хх, если |дг2 — а|<^|хх — а\\ при этом мы предполагаем, что х
принимает значения, сколь угодно близкие к а1) и отличные от а.
Ясно, что могут быть самые различные способы приближения
переменного х к пределу в зависимости от того, какова
совокупность всех значений, которые принимает переменное х. Приведем
различные примеры стремления независимого переменного к
пределу. Пусть совокупность всех значений переменного х есть
отрезок а^х^Ь. Тогда х->а будет означать, что значения
переменного х упорядочены так, что следующим считается меньшее
значение; если же совокупность всех значений переменного есть
отрезок с^х^а, то х->а означает, что значение х упорядочено так,
что следующим считается большее значение х. В обоих случаях
стремление х к своему пределу может быть рассмотрено как
движение х по отрезку, причем в первом случае х приближается к а
справа, от больших, значений, а во втором случае — слева, от
меньших значений. Однако не всякое стремление х к своему пределу
может быть изображено с помощью механического движения. В самом
деле, пусть совокупность значений аргумента есть отрезок c^x^df
внутри которого находится точка (число) а.
Тогда если следовать точному определению записи х-*а, то
нельзя это стремление х к а изобразить в виде движения.
Помимо стремления х -> а, рассматривают стремления
независимого переменного к плюс и минус бесконечности.
Переходим к точным определениям.
Определение 2. Скажем, что независимое переменное х
стремится к -|-оо (je->-}~ °°)> если х изменяется возрастая,
т. е. значения упорядочены так, что каждое следующее значение
больше предыдущего и при этом х принимает сколь угодно
большие значения.
Аналогично скажем, что независимое переменное х стремится
к — со (х -> — со), если х изменяется убывая, т. е. каждое
следующее значение меньше предыдущего и при этом х принимает сколь
угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения.
Из определения стремления переменного х к пределу а вытекает,
что, какое бы конечное число значений х мы ни задали, хх, дг2, ..., хт
всегда найдется значение хп+1, следующее и за хи и за дг2 и так
далее, и за хп.
*) То есть такие значения, при которых \х — а\ произвольно мало*
72 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
В самом деле, пусть
\a — xt\, \а — х2\, ..., \а — хп\
— расстояния х19 х^, ..., хп от а. Среди этих чисел будет
наименьшее. Но в определении предела переменного сказано, что среди
всевозможных значений, принимаемых х, имеются сколь угодно
близкие к а; следовательно, обязательно существует такое
значение х9 обозначим его хп+1, которое будет ближе к а, чем
Хху хъ ... > хп. Тогда, по принятому способу упорядочения
значений х, оно следует за каждым из хх, х2, ..., хп.
Для случая стремления х к-{-со или к —со это замечание тоже
применимо. В самом деле, пусть лг-*-|-оо и пусть хи лг2, ..., хп —
какие-то значения переменного х. Так как, по условию, х
принимает сколь угодно большие значения, то можно найти такое
значение х, которое превосходит все выбранные значения х, а так
как значения х упорядочены по возрастанию, то это значение и
будет следовать за всеми хх, дг2, ..., хп. Аналогичное
рассуждение можно провести и для х-* — со.
2. Определение предела функции. Переходим теперь к
определению предела функции.
Определение 3. Скажем, что функция f(x) стремится
к Ъ при х-+а (или х -► -f- со или х-+ — оо), и будем обозначать
это \lmf(x) = b (соответственно lim f(x) = b, \imf(x) — b), если,
х-*а je-»4-°° *-* — с»
каково бы ни было число е^>0, найдется такое значение
х = х0, что для него и всех следующих за ним значений х,
содержащихся в области определения f(x), но не совпадающих с а,
имеет место неравенство
\Ь— f(x)\^e.
Число Ъ называют предельным значением или пределом
функции.
Этому определению можно придать и несколько другую форму,
очевидным образом эквивалентную прежней.
Определение 4. Скажем, что Ъ есть предел функции
f(x) при х-+а, если, каково бы ни было е^>0, найдется такое
8]>0, что ий условия \х — а|^8 при х^а1) вытекает, что
,|*-/С*)|<£«.
*) Указание, что хфа существенно, если стремиться дать определение,
согласующееся с наглядным представлением о пределе. В самом деле,
рассмотрим функцию f(x), определенную двумя равенствами: у=^х2, если
х^£0, и у = \у если л: = 0. Наглядно ясно, что если аргумент х любым
способом приближается к нулю, то f(x)—*0 и, согласно нашему определению,
lim/(jc) = 0. Однако, если бы в определении мы не исключили числа а,
х-*о
равного в данном случае нулю, то оказалось бы, что f(x) не имеет предела
при л:-*►().
§ 1]
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
73
*~Х
у*-х
Черт. 22.
Действительно, пусть по заданному е^>0 найдено лг0 в
соответствии с первым определением и пусть |дг0 — а | = 8. По самому
смыслу выражения х-+а, следующие за хд значения х — это те, для
которых \х — «|<С1-^о — «| = 8; отсюда следует эквивалентность
обоих определений, причем во втором определении за 8 для
данного е можно принять | лг0 — а\.
В определении предела функции не указывалось, что f(x)—
однозначная функция и, в самом деле, это же определение
прилагается к многозначной, даже бесконечнозначной, функции. В этом
случае под символом f(x) следует понимать любое значение f(x),
соответствующее заданному х.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Рассмотрим
многозначную функцию,
определенную так:
где у есть любое число,
удовлетворяющее или неравенству
— х^у^х при х^О или
неравенству -f"-*^^^ — х при
лг<^0. Графически (черт. 22) эта
функция представляется так:
каждому значению х соответствует любая точка, лежащая на отрезке,
проходящем через х перпендикулярно к оси х и заключенном между
прямыми у = х, у = — х. Эта функция бесконечнозначная.
Очевидно, что
Нт/(лг) = 0.
По поводу определения предела функции заметим, что если
аргумент v функции есть в свою очередь функция f[v(x)], то мы
всегда можем считать, что промежуточный аргумент г* принимает
свои значения последовательно, именно из двух значений v(xt) и
v (лг2) мы будем считать следующим то, которое соответствует
следующему значению аргумента х.
Вводим дополнительное
Определение 5. Скажем, что f(х) стремится к -\-со
при х->а (или х-+-\-оо, или х-+ — со), если, каково бы ни било
действительное число М, найдется такое значение аргумента дг0,
что для всех х, следующих за дг0, имеем f(x)^>M.
Аналогично говорим, что f(x) -> — со при х-+а (или х -> -[~ оо,
или лг-> — со), если, каково бы ни было действительное число М,
найдется такое значение аргумента дг = лг0, что для всех х, еле-
дующих за x0i имеем f(x)<^M.
Знаки -\- со и — со тоже причисляются к предельным значениям
функции, хотя они и не числа.
74 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Из самого определения предела функции следует, что если
lim f(x) = b, то
х-*а
\im[b—f(x)] = \im\b—f(x)\ = 0.
х-*а х-*а
Отметим также такое непосредственное следствие определения
предела функции. Если \imf(x) = О и | <р (х) | ^ \f(x) |, то lim ср(лг)=0.
х^>а х -* а
Аналогичное утверждение, конечно, имеет
место и при x~>-f-°° или х-*— °°«
Полезно также следующее
Определение 6. Если b есть предел
f(x) при условии, что х стремится к а,
оставаясь при этом больше а, то говорят,
что b есть правый предел функции f(x)
при х->а, и обозначают это; lim f(x) = b\
x-*a-{-0
если х стремится к а, оставаясь меньше,
чем а, то говорят, что b есть левый предел
f{x) при х->а, и пишут: Нт/(дг) = й.
х~*а—О
Черт. 23.
Рассмотрим пример нахождения предела функции.
Пусть f{x) = при дг^О; найдем Нт/(лг) = Нт~
именно, мы докажем, что этот предел равен единице:
,. sin х i
lim = 1.
х-*0 *
с-0 х
или
Из черт. 23 следует, что
площ. Д OAD<C площ. сектора ОАО <^площ. Д OCD,
у OD . AB<±OD . AD < у OD . CD;
деля эти неравенства на у ОД получим:
уШ<АЪ<С/>,
разделив все части неравенства на радиус круга и обозначив
через х радианную меру угла AOD, получим1) sinx<^x<^tgx,
откуда, деля все части этого неравенства на sinx, имеем:
1<-Д-<
sin л:
cos л:
при х ф О,
[) Мы предполагаем, что 0<л;<-~-,
§ 2] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ 75
или
^ sin х ^ л , л
cosx<^ <[1 при лг^О,
следовательно,
Но
поэтому
1 — cosx]>l ^>0 при Хф§.
cos^ = 2sin2|<2^ = ^,
Q<1_*nx<t
х ^ 2 '
Зададим произвольное е]>0.
Пусть теперь лг->0. Если мы возьмем дг0<^ -/2s, то для
^следующих за дг0, т. е. таких, что \х\ меньше }/2е, будем иметь:
sin л:
<■
это значит, что при лг->0 правое (так как мы рассматривали лг^>0)
предельное значение функции равно 1. Аналогично можно
доказать, что и левое предельное значение равно 1 *).
Отсюда следует, что
л. sin л: -
lim = 1.
§ 2. Признаки существования предела функции
3. Необходимые и достаточные признаки существования
предела функции. Теорема 1. (Признак Гейне.) Для того
чтобы функция f(x) имелах предел Ъ при £-+а, необходимо и
достаточноу чтобы, какова бы ни была последовательность
хи дг2, ..., хп, ..., сходящаяся к а> выполнялось условие
Umf(xn) = b.
п-*оо
Докажем необходимость условия. Пусть llmf(x) = b и пусть
дана произвольная последовательность хи хъ ..., хп> ...,
сходящаяся к а. Для доказательства необходимости нужно по Заданному
числу е^>0 найти число N такое, что |/(лгп) — #|<С£ ПРИ n^>N.
х) Впрочем, это непосредственно следует из уже доказанного, так как
sin х . sin (— л:) sin х
есть четная функция: —
— х
76 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Пусть е]>0 задано. Поскольку Нш/(дг) = й, найдется дг0 ф а та-
х-*а
кое, что \f(x)— #|<Се для всех х, следующих за дг0, т. е.
удовлетворяющих условию \х — я|<С1-*о— а\- ^3 Условия Нтдгл = а
Я-+СО
следует существование N такого, что | хп — а | <^ | дг0 — а | при n^>N.
Но тогда \f(xn) — #|<Се для всех n^>N; необходимость доказана.
Достаточность условия докажем от противного.
Пусть Нт/(лгЛ) = # для любой последовательности {хп}, схо-
л-*оо
дящейся к а, но Нш/(дг) ф Ь. Это значит, что существуете^0 такое,
х-*а
что, каково бы ни было х0 ф а, найдется xf такое, что хг $- дг0, но
\f(xr) — #|^>е. Возьмем сначала в качестве такого дг0 число а—1
и найдем xt §- а—1, для которого |/C*i) — # О е. Затем, беря
в качестве дг0 число а— -£> найдем х^^-а — -~-, для которого
|/(дг2) — й|^>е, и так далее. Вообще найдем для каждого
натурального числа п такое хп$-а , что \f(xn) — #|^>е.
Поскольку хп$-а , т. е. \хп — а\<^—, то
последовательность хи лг2, ... , хп, ... сходится к а. Значит, по условию
lim / (xn) = b, т. е. найдется N такое, что \/(хп) — Ь\<^г для всех
П-+СО
n^>N. С другой стороны, по построению последовательности {хп\
имеем \/(хп) — й|^>е для §сех п. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Теорема 2. (Признак Кош и.) Для того чтобы f(x) имела
предел при х-+а, или х->-\-оо, или лг-> — сю, необходимо и
достаточно у чтобы, каково бы ни было малое число е^> 0, можно
было найти такое значение дг0, что из условий х* $- дг0 и х" £- дг0
вытекало бы |/(дг')—/С*")|<Се-
Необходимость признака легко выводится из определения
предела, и на ее доказательстве мы не останавливаемся. Установим
достаточность признака Коши. Пусть хх таково, что для всяких х1
и х" таких, что хг £- хх и х" §- хи
|/(х')-/(х")|<4.
Берем хъ следующее за хх и такое, что для хг и х",
следующих за лг2, соблюдается неравенство
|/(*0-/С*")Ку.
Находим хв, следующее за лг2 и такое, что для него
!/(0-/(*")I<t»
если У J- ха и х" £- х3.
§ 2] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ 77
Можно продолжить этот процесс и дальше неограниченно; мы
получим последовательность
х\ ~"3 хч "S хг ~"3 х& ~"3 • • • ~~$ хп "^* • • >
обладающую тем свойством, что если хг £-хп_х и /^-хп_г, то
I/(J^)—/(jc'OK—. Покажем, что последовательность чисел
/(*i), /(*а), ..., /(*„), ...
фундаментальная. Действительно,
l/GW-/(**)l<T'
так как при любом положительном р хп и дгл+р оба следуют за лгЛ_1в
Значит, эта последовательность имеет предел; обозначим его Ь.
Найденное число Ъ и будет Нт/(лг).
В самом деле, пусть е произвольно мало; находим N столь
большое, чтобы
1) j7<T' 2) |/(**)-*|<у.
Пусть теперь х$-Хя—\; тогда для него
|/(*)_/(х„)|<^<-£- и |/(х„)-й|<±
следовательно, для него
1/И-*!<•.
что и требовалось доказать.
Пример 2. Рассмотрим функцию j/ = sin-— для 0<^лг^7г;
докажем, что эта функция не имеет предела при лг->0. В самом
деле, пусть дг0 — произвольно малое значение х из полуинтервала
(О, *]. ^
Найдем число N столь большое, чтобы 2^<C*^o для & ^> N; тогда
для
где k — целое положительное число, имеем:
/(x') = sinl = 0,
а для
х"= <С*о имеем /(.*") = sin—^-=1
2А* + |-
78 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Ill
и, следовательно,
|/(х')-/(*") 1 = 1.
Пусть теперь задано положительное е<^1; как мы показали,
для любого лг0 существуют следующие за ним хг и хгг такие, что
\f(xr)—f{x") | = 1 ^>е, т. е. признак существования предела не
выполнен.
Пример 3. Докажем, что существует
lim/(x) = lim jesin — = 0.
х-*0 х-+о х
В самом деле, пусть е^>0— произвольное малое число и пусть
е
^о — у.
Пусть теперь
хг5~х09 т. е. |лг'|<лг0 = у,
и
х"$~х0> т.е. |^ff|<x0==i.
Тогда
|/(^)-/(^)|==|^sinl-^sin^7|^l^r| + kff|<^
Из этого неравенства на основании признака Коши заключаем,
что \imf(x) существует. Можно легко убедиться, что, он равен
нулю.
4. Другие признаки существования предела функции. Полезен
признак, аналогичный признаку сходимости возрастающих и
убывающих последовательностей.
Для того чтобы формулировать этот признак существования
предела функции, мы введем понятие ограниченной функции.
Определение 7. Некоторая функция f(x) называется
ограниченной сверху у если существует такое число М> что f(x)^M
для всех х из области определения функции; аналогично f(x)
ограничена снизу>, если существует такое число т> что f(x)^m.
Если функция ограничена и сверху и снизу, то она называется
«ограниченной».
Как непосредственно следует из этого определения, график
функции, ограниченной сверху, лежит не выше некоторой прямой
у = М, параллельной оси х. График функции, ограниченной снизу,
лежит не ниже некоторой прямой у = т> параллельной оси х.
Наконец, график ограниченной функции заключен между двумя
прямыми; у = т и у = М(т^М), параллельными оси лг. Рассмотрим
пример некоторых функций.
§ 2] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ 79
Пример 4. Функция з/ = —д- ограничена снизу, так как для
всех х, входящих в ее область определения, т. е. для всех х,
кроме * = 0, /(*) = -^г>0.
Пример б. Функция у = } ограничена сверху, так как для
всех х^О /(лг)<0.
х2
Пример 6. Функция у — у-ц—- ограничена сверху и снизу,
так как эта функция для всех х неотрицательна и, кроме того,
х2
для всех х функция /(^)= ^<^1, т, е. 0*&/(хХ~\-1.
Отметим очевидное утверждение.
Следствие 1. Для того чтобы f(x) была ограниченной,
необходимо и достаточно, чтобы \/(х)\ была ограничена сверху.
В самом деле, если m*^f(x)<:M, то, очевидно, |/С*)|<|Л1|4"
+ |/»|; обратно, если \f(x)\^M, то —M^f(x)^-\-M.
Определим теперь понятие верхней и нижней граней функции.
Определение 8, Число В называется верхней гранью
функции f(x), если 1) f(x)*^B и 2) каково бы ни было е^>0, можно
цайти такое х из области определения функции, что f(x)^>B— е.
Число А называется нижней гранью функции f(x), если: 1) f(x) ^ А
и 2) каково бы ни было г ^> 0, можно найти такое х из области
определения функции, что /(х)<^А-{-г.
Разность между верхней и нижней гранями функции
называется колебанием функции.
Значения всякой функции образуют некоторое множество чисел:
если функция ограничена сверху, то это множество тоже
ограничено и, следовательно, имеет верхнюю грань В (см. теорему 10
гл. II).
Число В, как легко убедиться, и будет верхней гранью
функций. Аналогично, если функция ограничена снизу, то множество
ее значений тоже ограничено снизу. Нижняя грань этого
множества и есть нижняя грань функции.
Теорема 3. Пусть f\x) — неубывающая функция,
определенная для сколь угрдно больших значений х и ограниченная
сверху; тогда существует \imf{x) при лг->-|-оа.
В самом деле, рассмотрим множество всех значений функции
длялг^.#0. Это — ограниченное сверху множество, и следовательно,
оно имеет верхнюю грань Ь. Докажем, что Ит/(лг) = £.
В самом деле, на основании определения верхней грани мы
найдем такое значение дг0, что /(лг0)^>й — е, т. е. 0<^# — /С^оХ8»
тогда для х, следующих за х0, т. е. больших, чем х0у справедливы
неравенства f(x)<^b и f(x)^f(x0), но тогда для этих х имеем
\Ъ—/(.*0|<О, чт0 и требовалось доказать.
80 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Аналогично устанавливается
Теорема 4. Пусть /(лг)— невозрастающая ограниченная
снизу функция, определенная для сколь угодно больших по
абсолютной величине отрицательных лг; тогда существует \imf(x)
при х-+— со.
Пример 7. Рассмотрим функцию у = \\\ прежде всего
ясно, что |/(лг)|<[1 для всех положительных х. Кроме того, если
*2 Xj Х2 — Х\ ч^ ~
*а+1 xi+\ — (x2+\)(x1 + \)^V9
т. е. /(лг) монотонно возрастающая, следовательно, /(лг) имеет
предел.
Легко установить, что этот предел равен единице.
§ 3, Теоремы о пределах
б. Теоремы о пределах. Нахождение пределов значительно
облегчается применением теорем о пределах, которые устанавливают
связь между арифметическими операциями и знаком перехода к
пределу.
Теорема 5. Если функции ft (лг), /2 (лг), ... , /я (лг^ при
х-+а (или лг->-[~со> или х~-* — °°) имеют пределами числа
Ьи #2, ... , ЬпУ то функция Л (*) + /*(*) + ...+/«(■*) имеет
предел, равный Ьх -f- #2 -|-... -J- Ьп.
В самом деле, пусть е^>0 произвольно мало, находим такое хи
что для лг, следующих за лг1э имеем |Л(лг) — #i|<C—, такое лг2,
что для лг, следующих за лг2, имеем |/2(лг) — й2|<^~ и т. д.,
такое xky что для лг, следующих за xk, имеем |Д(лг) — bk\<^—.
Рассмотрим теперь некоторое лг0, следующее за хъ лг2, ... , лгл.
Для лг, следующего за лг0, имеют место все написанные выше
неравенства, а потому
|/i(jf)+/.W + ...+/.W-(*i+*. + .-. + *«)KI/i(*)-*il+
+ |Л(*)-*2| + ... + 1/»(*)-М<-Нт+-" + ¥=6'
что и требовалось доказать.
Лемма 1. Если Шп/(лг) = # при х->а, то найдется такой
отрезок [а — 8, a-j-S], в котором /(лг) ограничена; если же
Нт/(лг) = # при лг->-|-оо, то найдется такое лг0, что /(лг)
ограничена для всех лг^лг0; наконец, если Нт/(лг) = 6 при лг-*—сю,
то найдется такое х9, что /(лг) ограничена для всех х^х0.
§ 3] ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 81
В самом деле, пусть \imf(x) = b\ тогда найдется такое дг0, что
х^а
для х, следующих за х0, т. е. для дг, более близких к а, чем дг0,
имеет место неравенство |/(дг) — Ь\<^ 1. Обозначая \а — дг0| через 8,
имеем для а — В<^лг<^a-j-S |/(дг)|<^|й| +Ь что и требовалось
доказать.
Совершенно аналогично доказываются остальные утверждения
леммы.
Теорема 6. Если функция f(x) ограничена в промежутке
а — 8<;лг^я-{-8 и Нтср(лг) = 0, то
х~+а
\lm<p(x)f(x) = 0.
х-*а
Пусть для а — 8^лг<:а-|-8 имеем \/(х)\<^М и пусть лг0
таково, что для х, следующих за лг0, |<р(дг) |<С"Хг» где в —
произвольно взятое положительное число. Без ограничения общности мы
можем считать, что \а — дг01 =^ 8, т. е. а — 8 ^ дг0 ^ а -{- 8, а тогда
и все ху следующие за дг0, будут удовлетворять этому неравенству
и, следовательно, для этих х
M*)/(*)|==!<P(*)ll/(*)K^ = e,
что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать утверждение:
Теорема 7. Если f(x) определена и ограничена для всех
х^>хй и Шп<р(лг) = 0, то Нтср(лг)/(лг) = 0; и если f(x) ограни-
чена при дг<[лг0 и Нтср(дг) = 0, то Нтср(лг)/(лг) = 0.
*-»-—оо х-*—со
Теорема 8. Если функции f(x) и ср(дг) имеют пределами
при х->а числа b и с, то их произведение f(x)y{x) имеет
предел при х->а, равный Ьс> т. е. равный произведению пределов
функций f(x) и у(х).
Рассмотрим предел выражения lim \f(x)y(x) — be]. Так как
х-*а
f(x) f (х) - be =/(*) [9 (x) - с] + с \f(x) - b],
то
lim \f(x) <p (x) - be] = lim {/(*) [<p (x) -e]} + lim {c \f(x) - b}}.
x-*a x-*a x-*a
На основании леммы 1 функция f(x) остается ограниченной
в некотором интервале, заключающем х = а. Применяя теперь только
что доказанную теорему 6, мы получим:
Um{f(x)[<f(x) — c]} = 0 и \im{c\f(x) — b]}=0.
х-* а х-* а
82 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
Следовательно,
llm\f(x)<f{x) — bc] = 09
х-*а
т. е.
lim [f(x) ср (х)] =Ьс = limf(x) lim ср (x)t
х-*а х-*а х-*а
что и требовалось доказать.
Доказанная теорема легко обобщается на произведение любого
конечного числа сомножителей.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела, т. е.
Нт[с/(х)] = сНт/(лг).
х -*■ а х-*а
Теорема 9. Если функции f(x) и <р(дг) при х->а имеют
пределами соответственно числа b и с, причем lim <р (х) = с ф О,
то функция -) [ тоже имеет предел при х-+а и этот предел
<р \Х)
равен —у т. е. частному пределов функций f(x) и <р(лг).
Имеем £-j~=f(x) -р;. Поэтому, в силу предыдущей теоремы,
достаточно доказать, что предел функции —j-r существует и равен
обратной величине предела функции <р(дг).
Пусть е — произвольно заданное положительное число. Возьмем
какое-нибудь положительное число ef, меньшее, чем каждое из
чисел Гу и -Цг-i-, где
с = Нтср(лг). (1)
х-+а
Это сделать возможно, так как, по условию, с ф 0. Берем
теперь х9 такое, что для всех х, следующих за дг0, выполняется
неравенство
|Ч»И-с|<Л
Оценим величину разности
1 1
tW
с — 7 (х)
с<?(х)
_ 1 с — у (X) [
— М1?(*)|
В силу выбора числа ег, для всех указанных значений х
числитель дроби в правой части удовлетворяет неравенству
|с_ср(*)|<СЦ-,
§4]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ Й РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ
&
г знаменатель — неравенству
kllTWI>kl(kl-01)>kl(kl-L?1)=Y-
Поэтому получаем, что для всех х, следующих за х0,
выполняется неравенство
1
1
*(*)
<-?- = •.
Т
Это показывает, что lim —т- существует и равен —. Тем са-
х _ а 9 \х) с
мым теорема доказана. Заметим, что теоремы, доказанные в § 2
и 3, справедливы и для многозначных функций.
§ 4. Непрерывность и разрывы функций
6. Непрерывность в точке. Введем следующее определение:
Определение 9. Однозначная функция f(x), определенная
для всех точек некоторого множества на прямой, называется
непрерывной в точке х = а этого множества; если для любого
наперед заданного положительного числа е можно найти такое
число 8^>0 {вообще говоря, зависящее от г и от а), что при
\х — а|<]82) справедливо неравенство
1/(*)-/(в)|<8.
Приведенное определение непрерывности функции можно
выразить иначе. Обозначим разность х — а буквой h\ тогда x = a-\-h.
Определение 9'. Функция f(x) непрерывна в точке а, или
при х = а, если для любого наперед заданного положительного
числа s^>0 можно найти такое число 8^>0, что при \h\<^b
справедливо неравенство
|/(e + A)-/(a)|<t.
Согласно введенному обозначению, h есть разность двух
значений х\ для того чтобы это подчеркнуть, обозначим ее
символом Длг: Ддг = /г = лг — а,, и назовем Адг приращением независимого
переменного; тогда
/(e + A)-/(a)=/(a + A*)-/(a)
*) Здесь мы пользуемся арифметическим неравенством \а — Ь\^
^\а\ — \Ь\ ти \Ь\^\а\ — | в — Ь\.
2) Здесь, как и всюду в аналогичных случаях дальше, предполагается,
что значение х берется из рассматриваемого множества.
84 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
есть разность двух значений функции, или разность двух
значений у. Для этой разности тоже вводят специальное обозначение,
именно, пишут
Ду=/(д + Д*)-/(я)
и называют ее приращением функции. Далее, так как а есть
некоторое значение х, то последнее равенство можно записать так:
Ду=/(*+Д*)—/С*)-
Пользуясь этими обозначениями, можно дать такое определение
непрерывности функции в точке.
Определение 10. Функция f(x) непрерывна для
некоторого значения х (или в точке х), если, каково бы ни было число
е>0, можно найти такое число 8^>0, что когда абсолютная
I г*
Черт. 24.
величина приращения независимого переменного | Д# | меньше, чем Ь,
то абсолютная величина приращения функции | by \ меньше, чем е.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторого множества,
называется непрерывной на этом множестве. Если функция
непрерывна в каждой точке своей области определение, ее называют
непрерывной функцией. Наконец, вводят понятие непрерывности
функции справа или непрерывности слева.
Определение 11. Функция называется непрерывной в точке
х=а справа, если для произвольно выбранного е^>0 можно
найти такое число 8^>0, зависящее, вообще говоря, от е и а,
что для всех х, больших а и удовлетворяющих условию
х—а<[8, выполняется неравенство \/(х)—/(я)Ке-
Мы видим, что здесь к обычному определению непрерывности
присоединяют условие х^>а.
Если мы в том же определении непрерывности будем
рассматривать только значения х<^а, то получим определение
непрерывности в точке а слева.
Возьмем график непрерывной функции y=f(x) (черт. 24).
Обозначим f(a) через Ъ\ тогда, если проведем на нашем
графике прямые j/ = £-|-e и y = b — е, то они вырежут на плоскости
§ 4] НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ 85
горизонтальную полосу шириной 2е, внутрь которой попадает
точка с координатами (а; #).
Из черт. 24 видно, что, как бы ни была узка заштрихованная
полоса (Ь — е, #-{-е), т. е. как бы мало ни было е^>0, всегда
можно будет найти столь малое 8, что все точки кривой y=f{x),
абсциссы которых отличаются от а по абсолютной величине меньше,
чем на 8, попадут в выделенную полосу 2е.
7. Непрерывность некоторых элементарных функций. 1)
Непрерывность функции f(x) = x. Так как приращение
функции &у в данном случае равно приращению аргумента, то
непрерывность функции очевидна.
2) Непрерывность функции f(x) = sinx.
Рассмотрим разность sin(x-\-h) — sin*. Имеем:
• / i * \ 1 л • h 2лг -f- h
sin (* -f- К) — sin х = 2 sin ~2 cos —А—,
откуда
I h
|sin (*-|-/г)— sin*|^2 sin-s-
Так как tsin*|^|*| для —у <;*<;y, то получаем:
|sin(* + A) — sin*|<2|sin^|<2i-|J = |A|,
т. е. приращение функции | ку | меньше приращения независимого
переменного. Пусть теперь е^>0 произвольно задано; возьмем
8 = е; тогда из условия |/г|<^8 будет следовать, что
| sin (* -{- К) — sin х К е.
Этим доказана непрерывность sin*.
Совершенно так же доказывается непрерывность функции cos*.
3) Непрерывность показательной функции у =
= ах, где а^>0. Докажем теперь непрерывность показательной
функции ах(а^>0). Пусть *0— некоторое определенное значение*
и е]>0 — произвольное число. На основании леммы 6 гл. II
найдем такое число 8, что если | h | <^ 8, то \ah — 11 <^-|-.
Величина 8, конечно, зависит от е и от *0. Тогда имеем для функции
у = ах (а > 0) в точке *0:
|&у | = |а*о+л_а*о \ = \ах<> (аЛ— 1)| = а*о|ан— 1 |;
при условии |/г|<^8 имеем:
Это и доказывает непрерывность функции а* в точке *0. Так
как *0 произвольно, то ах непрерывна для всех *.
86 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ [гЛ. It!
В дальнейшем мы еще вернемся к доказательству
непрерывности других элементарных функций (см. стр. 91).
8. Непрерывность и предельные значения. Между понятием
непрерывности функции и существованием предельного значения
функции при х-+а> если а принадлежит области существования
функции, имеется глубокая связь.
Теорема 10. Для того чтобы функция f(x) была
непрерывной в точке а> необходимо и достаточно, чтобы
существовал предел f(x) при х-+а и чтобы1)
х-+а
В самом деле, пусть \imf(x)=f(a) и пусть е]>0 — произ-
х-+а
вольно малое число. Находим jc0 такое, что для всех ху
следующих за лгю, выполнено неравенство \f(x)—/(а)|^е. Так как
каждое значение х, удовлетворяющее неравенству \х — а | <^ | х0 — а\,
будет следующим за дг0, то, обозначая х0 — а через 8 и х — а
через А, получим, что \f\a-\-h)—/(я)|<Се> если | А | <^ 5, что и
устанавливает непрерывность f(x) при х = а.
Обратно, пусть f(x) непрерывна при х = а и пусть е^>0
произвольно мало; тогда найдется такое 8^>0, что из условия
|А|<^8 вытекает, что \f{a-\-h)—/(я)|<С£. Обозначим а-\-8
через дг0; тогда всякое следующее за х0 значение х будет иметь
абсциссу вида a-\-h, где |А|<^8, и потому, в силу выбора 8, для х,
следующих за х0, имеем
|/(*)-/(а)|<е, т. е. lim/(*)=/(«).
х ~* а
Доказанная теорема позволяет решить вопрос о дополнений
данной функции до непрерывной.
Пусть функция f(x) не определена при х = а, но Нт/(дг) при
х->а существует и равен Ь\ тогда если мы присоединим к области
определения функции точку х = а, положив в ней функцию
равной # = Нт/(лг), то мы на основании доказанной теоремы можем
утверждать, что полученная функция, определенная в расширенной
области, будет непрерывной функцией в точке а. Пусть, например,
-, ч sin л:
Точка х=0 не принадлежит области существования этой
аналитически заданной функции, но, как известно,
,. sin л: -
lira = 1.
лг-*0 х
1) Конечно, утверждение теоремы имеет смысл лишь в том случае, если
точка а есть предельная точка для множества, на котором определена
функция, и принадлежит этому множеству.
§4]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ
87
Следовательно, если мы присоединим jc = 0 к области
определения функции и положим /(0) = 1, то полученная функция,
определяемая двумя равенствами,
/(X) = JE£, если х^О,
/(0) = 1,
будет непрерывной функцией для любого значения х.
9. Точки разрыва функции. Пусть задана некоторая функция
f(x) и пусть ее область определения О; рассмотрим Qf —
множество точек, состоящее из всех предельных точек множества Q
независимо от того, принадлежат или не принадлежат они области G.
Напомним, что точки множества Qr таковы, что в любой близости
от каждой точки из G' имеется бесчисленное множество точек,
принадлежащих G, а поэтому, если а принадлежит G' и х —
переменное, принимающее значение из G, то имеет вполне определенный
смысл говорить: х-+а.
Введем теперь такие определения.
Определение 12. Точку а назовем точкой разрыва
первого рода для функции f{x), если существует правый предел f(x)
при х-^а, которой мы обозначим /(я-f-O), и существует левый
предел f(x) при х-+а, который мы обозначим /(а — 0), но эти
пределы не равны друг другу:
f{a + 0)^f(a-0).
Число
4=|/(* + 0)-/(а-0)[
называют при этом скачком функции f{x) при х = а. Если
/(я + 0) или f(a — 0) равно -|-оо или —оо, то говорят, что
точка а есть точка разрыва с бесконечным скачком. Точки
разрыва с бесконечным скачком мы не будем причислять к точкам
разрыва первого рода. Мы причисляем точку а к~точкам разрыва
с бесконечным скачком также в том случае, если
/(а-{-0) = -{-оо и /(а —0) = + оо
или
f(a + Q) = — оо и f(a — 0) = — оо.
Определение 13. Точку а назовем точкой разрыва в то*
рого рода для функции f(x), если не существуют предел справа
или предел слева при х-+а.
Наконец, устранимой точкой разрыва называют такую точку,
в которой функция определена и в которой существует
lim/(je), но \imf(x) ф/(а).
88 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ [гЛ. Ш
Например, пусть f(x) = ^—9 если лг^О и/(0) = 0. Тогда
х = 0 есть устранимая точка разрыва. Это название полностью
оправдано тем, что если изменить значение функции в точке 0 и
положить его равным limf(x), то, как было показано, полученная
х-*а
функция будет непрерывной при дг = а1). Заметим, что точки раз*
рыва первого рода, точки разрыва с бесконечным скачком и точки
разрыва второго рода не устранимы, т. е. какому бы числу мы ни
полагали равным значение функции в этой точке, полученная
функция не станет непрерывной, так как для непрерывной функции
прежде всего характерно, что существует конечный Нт/(дг) при
х-+а, где а — точка области определения функции, а в случае
точек разрыва перечисленных типов этот предел или не существует
или бесконечен.
Для функций, заданных с помощью комбинации конечного числа
элементарных функций, часто встречаются точки разрыва с
бесконечным скачком. К такому типу разрывов принадлежат точки вида
x = (2k-\- 1W для функции y = tgx. Точку разрыва с
бесконечным скачком имеет функция у =— при дг = 0. В самом деле, при
х^>0 и х-+0 Нт—=-{-оо, а при х<^0 и дг->0 Нт/(дг) = — сю.
Рассмотрим с этой же точки зрения функцию у = — ; если дг->0,
то пределы как справа, так и слева равны -{-со, т. е. дг = 0 есть
точка разрыва с бесконечным скачком.
Р(х)
Можно было бы доказать, что функции f(x) вида nv, \ , где
Р(х) и Q(x) — многочлены, могут иметь лишь точки разрыва с
бесконечным скачком. Однако среди функций, заданных одним
равенством, имеются функции с точкой разрыва и первого рода и
второго рода. Рассмотрим, например, функцию y = atctg—и
покажем, что х = 0 есть точка разрыва первого рода.
*) Возможность «устранить* разрыв отнюдь, не означает, что в том
случае, когда функция с устранимым разрывом получается при рассмотрении
некоторой физической задачи, можно устранять этот разрыв, не нарушая
самую физическую картину, которую изображает функция.
Например, при рассмотрении ряда чисто инженерных задач полезно
рассмотрение силы, приложенной к небольшому участку тела, в
качестве так называемой «сосредоточенной силы», которая отлична от нуля
лишь в одной точке. Ясно, что с математической точки зрения подобная
сосредоточенная сила будет функцией с устранимым разрывом, если
ее рассматривать как функцию точки приложения силы; «устранив»
этот разрыв, мы полностью разрушим все представление о
сосредоточенной силе.
§4]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ
89
В самом деле, пусть х^>0; тогда lim — = 00, поэтому
Л'-^О + О*
lim arctg—= -у; пусть лг<^0; тогда lim — = — 00, следова-
тельно, lim arctg—=—<у. Итак,
#—о—о х z
/(0 + 0) = |, /(0-0) = --«, rf0 = + «.
Рассмотрим функцию j/ = sin—.
Для нее х = 0 будет точкой разрыва второго рода, так как
было уже показано, что для нее не существует предела при лг->0
справа (его не существует и при лг-^0 слева).
10. Ступенчатые функции. Наиболее типичным примером функ-
,ций, имеющих точки разрыва первого рода, являются так
называемые ступенчатые функции. Пусть функция определена на отрезке
[at Ь] и пусть отрезок [а, Ь] разбит на конечное число отрезков:
[а = х0, х^\у [xlt дг2], ..., [хПшт1, хп = й],
причем во всех точках каждого из интервалов (дг^, xt), где
i=l, 2, ..., п, функция f(x) принимает значения, равные
числу ci9 т. е. на интер-
вале (дг0, хг) функция j j
f(x) = clf на интервале | J
Щ
С4\
i
Л ! i
(xlt дг2) функция /(дг) =
= с2 и т. д. График с/\
этой функции имеет вид .—1- ^А \ I i-
ступенек (черт. 25). В a"ab х* \Ъ *з\ b=fy
концах каждого отрезка 3\ j
[xi~u xi] мы можем не
приписывать f(x) ника- ЧеРт- 25'
кого значения.
Совершенно ясно, что если числа с^, с%у ... , сп все различные,
то xlf х& ... , хп_х будут точками разрыва функции f(x); все они
будут точками разрыва первого рода. Других точек разрыва
функция f(x) не имеет.
К числу ступенчатых функций принадлежит функция Е(х)9
рассмотренная в п. 6 гл. I.
Наконец, приведем пример замечательной функции Дирихле,
которая имеет разрыв второго рода в каждой точке своей области
определения.
11. Функция Дирихле. Пусть функция /(дг) = 0 для х
иррациональных и /(дг) = 1 для х рациональных. Пусть а —
произвольное число и пусть лт-*а. Выберем произвольно дг0 и рассмотрим
значения х, следующие за дг0, т. е. удовлетворяющие неравенству
90 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ» НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [гЛ. III
\х—«|<CI-^o — aY Ограничимся при этом значениями,
превосходящими а. Среди них, как известно, есть как рациональные, так и
иррациональные точки.
Итак, за всяким хь следуют такие значения х, в которых
f(x) — Q, и другие, в которых /(дг)=1; следовательно,
необходимый признак существования предела при х-+а не выполнен
(см. теорему 2). Этим установлено, что во всякой точке х = а не
существует предела при х->а справа, а это и значит, что всякое
значение х есть точка разрыва второго рода.
§ 5. Операции над непрерывными функциями
12. Непрерывность суммы, произведения и частного. Из
доказанных теорем о пределах непосредственно вытекают следующие
свойства непрерывных функций, которые мы сформулируем в виде
теорем.
Теорема 11. Алгебраическая сумма конечного числа
непрерывных функций есть функция непрерывная.
В самом деле, пусть F(x)=f(x)-\-y(x)f где f(x) и ср(дг)—
непрерывные функций при х = й.
По теореме 5 настоящей главы мы имеем;
lim F(х) = lim [/(*) + ¥ С*)] = lim /С*) + lim * С*)»
х*-*а х-+а х-+а х-+а
но предел непрерывной функции при х->а равен значению функ*
ции в точке лт = а. Так как f(x) и ср(дг) непрерывны при х — а,
то
lim f(x)=f(a) и lim ср (лг) = <р (а),
х-+а х-+а
поэтому lim F(x)=zf(a)-\-<p (а), т. е. lim F(x) = F(a), а это зна-
х-+а х-+ а
чит, что F(x) непрерывна при х = а.
Итак, мы доказали, что F(x) непрерывка при тех значениях х,
при которых одновременно непрерывны слагаемые f(x) и ф(дг).
Аналогично доказывается непрерывность разности непрерывных
функций.
Теорема о непрерывности алгебраической суммы непрерывных
функций доказана для случая двух слагаемых, но таким же способом
ее можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 12. Произведение конечного уисла непрерывных
функций есть функция непрерывная.
Пусть F(x)=f(x)y(x), где f(x) и <р (jc) непрерывны при
х = а и, следовательно,
lim f{x) =/(д), lim ср (x) = ср (а).
х-*а х-*а
§ 5] ОПЕРАЦИИ НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 91
Тогда
\im~F(x)= Нт/(лг) Нтср(лг)
х-+а х-+а х-+а
(см. теорему 8 настоящей главы), т. е.
Пт F(x)=f(a)9(a) = F(a)f
х-*а
а это значит, что F{x) непрерывна при х = а.
Теорема 13. Частное двух непрерывных функций есть
функция, непрерывная при всех значениях независимого
переменного, не обращающих в нуль знаменатель,
fix)
Пусть F(x)=^j--., где f(x) и ср(лг)— непрерывные функции
при х = а\ следовательно, lim f(x)=f\а) и lim ср(х) = ср(а).
х-+а х-+а
Пусть ср (а) ф 0. Тогда по теореме 9 имеем:
lim fix) fid)
x-*a llm TW ?(«)
а это значит, что ^(дг) непрерывна при х = а.
Доказанные теоремы позволяют устанавливать непрерывность
многих функций.
В самом деле, нами уже установлена непрерывность функций
y=f(x) = x; кроме того, очевидна непрерывность функции j/ =
z=f(x) = cy где с — некоторое число. Тогда из доказанных теорем
непосредственно вытекает, что многочлен по х
а0 -j- ахх -f- а2дг2 -(-... + аЛдгЛ
— тоже непрерывная функция. Что касается дробно-рациональной
функции
f(v\— <>о + <iix + а2х2 +... + апхп _Pjx)
JW— t0 + blX + b9jfi + ... + bMx" — Q(xy
то, как это следует из теоремы 13, ее точки разрыва могут
находиться только среди нулей знаменателя.
Пусть f(x)— монотонная функция, определенная на отрезке
[а, #]; тогда, как было показано, можно определить монотонную
обратную функцию у=г=у(х), определенную на отрезке [су d], где
f{a) = c и/(*) = «*.
Докажем теорему:
Теорема 14. Если f{x) непрерывна и монотонна на от-
резке [а, Ъ\ (или на интервале (а, Ь)у или на всей оси х), то
обратная функция ср (х) непрерывна для всех х, являющихся
значениями функции f(x).
Проведем доказательство для случая, когда функция f(x)
определена на интервале. Пусть уь — произвольное число, принад.*
92 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [гЛ. III
лежащее множеству значений функции f{x) и у(у0) = х0. Пусть
е — произвольное положительное число, подчиненное лишь
условию, чтобы точки JC0-|-e и х0 — е лежали на интервале (а, #).
Пусть /(дг0 — e)=^i и /(лг0 + е)=Л- Предположим для
определенности, что f(x) монотонно возрастает. Тогда ^1<Сл<СЛ-
Возьмем теперь столь малое ч\, чтобы при \Н\<^т\ точки y^-\-h
находились на отрезке [уи у%\. Тогда, в силу монотонности функции
<р(лг), значения этой функции для всех указанных значений дг =
=^о~Ь^ будут лежать внутри отрезка [дг0 — s, je0-f-e]> т. е.
I ? (.Уо 4"" *)— ?(Уо)| будет меньше е. Это и доказывает
непрерывность функции ср (лег) в произвольной точке у0, являющейся
значением функции f{x).
Доказанная теорема дает нам возможность установить
непрерывность ряда функций. Например, 1) у = х*п+1, где п — целое
число, — непрерывная и монотонно возрастающая функция;
следовательно, обратная ей функция у = 2п+Ух есть непрерывная и
однозначная функция; 2) у = х*п для х^О — непрерывная и
монотонно возрастающая функция; следовательно, обратная функция
у = -\-2Ух будет тоже непрерывной функцией. Отсюда уже сле-
£
дует непрерывность и монотонность функции y = -\-\xv | для
любых целых р и q и любого дг^О.
Функция y = \ogax является непрерывной как обратная по
отношению к непрерывной и монотонной функции у = ах.
13. Непрерывность сложной функции. Теорема 15. Пусть
функция ср(дг) непрерывна при х = а и ср(а) = й и пусть f{x)
непрерывна при х = Ь; тогда f[y(x)] непрерывна при х — а.
Пусть задано s]>0; находим такое число г\, что для |£|<^iq
имеем \f(b-\-k)—/(#)|<Се* Затем находим 8]>0 столь малое,
что |<р(я + /г)— ?(я)|<^4» если |*1<0- Тогда при |/г|<]8,
полагая k = y(a-\-h)— ср (а), будем иметь |£|<С*), и, следовательно,
!/[?(«+*)]-/[?(«)] 1=1/(*+ *)-/(*)!<•,
что и требовалось доказать.
Если f{x) и ср(х) являются непрерывными для всех значений х,
то на основании доказанного и /[<р(дг)] непрерывна для всех
значений х. Так, например, функции sinx2, sin(l -j- cosjv) и т. п.
непрерывны для всех х\ функция tg— непрерывна всюду, кроме
§ 6. Непрерывные функции на отрезке и их свойства
Пусть функция f(x) определена и непрерывна во всех точках
отрезка [а, Ь], включая и его концы. Подобные функции обладают
рядом замечательных свойств, которые мы сейчас рассмотрим.
§ 6] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И ИХ СВОЙСТВА 93
14. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 16. Всякая функция f(x)> непрерывная на отрезке [а, Ь],
ограничена на нем.
Предположим противное, т. е. предположим, что, каково бы ни
было натуральное число k> на отрезке [ау Ъ\ найдется по крайней
мере одна точка xk, для которой \f(xk)\^>k. Придавая k
значения 1, 2, ..., получим последовательность точек {xk}> для
которых значения функции f(xk) с возрастанием k по абсолютной
величине неограниченно увеличиваются. Множество точек xk
бесконечное и ограниченное (все xk лежат на отрезке [а, #]), поэтому
на основании принципа предельной точки (см. теорему 16 гл. II)
оно имеет по крайней мере одну предельную точку; обозначим ее
через S. Точка \ принадлежит отрезку [а, #], поэтому функция/(лс)
в этой точке имеет определенное значение /((•) = $.
Имеем:
!/(**)-/(*) |sh/(**)|-I/(0I>*-14 О)
Далее, как бы ни было мало положительное число 8, в
интервал (S — 8, £-|-8) попадает бесконечное число точек xk и,
следовательно, в этом интервале имеются точки xfc со сколь угодно
большими номерами. Но тогда неравенство (1) показывает, что
функция f{x) в точке S разрывна, что противоречит условию теоремы.
Следовательно, непрерывная на отрезке [а, Ь) функция ограничена.
Из этой теоремы, теоремы 10 гл. II и определения 7
непосредственно следует, что всякая функция, непрерывная на отрезке
[at Ь], имеет на нем верхнюю и нижнюю грани. Мы обозначим их
соответственно буквами М и т.
Теорема 17 (Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке
[а, Ь] функция f(x) достигает своих верхней и нижней граней,
т. е. существуют такие значения х: Ьг и Е2, что f(%t) = M и
f(U) = m.
Докажем существование точки \х (существование точки £2
доказывается совершенно аналогично).
Пусть хп — одно из значений дг, для которых f(xn)^>M
(см. определение 7). Если окажется, что f(xn) = M, то теорема
доказана; стало быть, остается рассмотреть случай
M>f{xn)>M-\.
Будем придавать п значения 1, 2, 3, ...; тогда получим
множество точек хи лг2, ..., хп, ... Это множество ограничено, так
как а^хп^Ь и бесконечно (оно могло быть конечным только
в^'том случае, если бы, начиная с некоторого #, мы имели f(xn) = M,
а этот случай нами уже рассмотрен). Следовательно, по теореме 16
гл. II существует по крайней мере одна предельная точка для
множества {хп}. Эту точку обозначим Ьх.
94 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. III
Точка ^ принадлежит отрезку [а, #]; следовательно, f(x)
принимает определенное значение при x = lt. Обозначим это значение
через, X: f(£1) = ). Теперь остается только доказать, что Х = Ж.
По предположению, функция / (х) непрерывна на отрезке [а, #];
в частности, f(x) непрерывна в точке х = Ьи т. е. для всякого
положительного числа е можно найти такое 8^>0, что из
неравенства (?! — дг|<^8 следует неравенство |/(^)—/С*)|<Св- Так как
?! есть предельная точка для множества {хп}, то найдется
бесконечное множество точек хп> для которых (^ — хп\<СЪ, и тогда
Теперь уже легко доказать, что X— М = 0. В самом деле,
\l-M\ = \\-f(xn)+f(xn)-M\^\f^)-f(xn)\+\f{xn)^M\t
но 1/tfi)— /С*л)|<Се> а |/(^я) —Л*|<С —t согласно определению
числа дгл; поэтому |Х— Ж|<^е-| . В левой части этого
неравенства стоит определенное неотрицательное число, правая же
часть неравенства может быть сделана как угодно малой;
следовательно, |Х— Л! | = 0, т. е. Х = Л1. Итак, f(ii) = М, т. е. функция
достигает своей верхней грани, или, иначе, функция достигает
своего наибольшего значения.
Важно отметить, что в. обеих только что доказанных теоремах
весьма существенно предположение, что функция задана на отрезке;
если допустить, что она задана на интервале, то может случиться,
что заключения теорем перестанут быть справедливыми. В самом
деле, рассмотрим, например, функцию y=f(x) = — , заданную на
полуинтервале 0<^лг^1. Эта функция непрерывна, так как она
является частным двух непрерывных функций, однако она, как
известно, не ограничена, так как lim — = -|-оо.
В качестве второго примера рассмотрим функцию у = х,
заданную на интервале 0<^лг<^1. Эта функция на этом интерэале имеет
нижнюю грань, равную, очевидно, нулю, и верхнюю грань, равную 1,
однако нет таких значений дг, взятых из интервала 0<^лг<М, для
которых бы f(x) равнялась 0 или 1.
Предположение непрерывности функции тоже весьма существенно
для справедливости заключения теорем.
В самом деле, рассмотрим функцию, определяющуюся двумя
равенствами: у = — для 0<^дг^1 и у = 0 для лг = 0. Эта
функция определена на отрезке 0^дг^1, но, как сразу видно, не
является ограниченной. Рассмотрим, наконец, функцию y=f(x)>
определенную такими тремя равенствами (черт. 26): у = — -^»
— 2^х^— 1; у = х, — 1<дг<+1; у = -{-±-, 1^дг^2.
§ б] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И ИХ СВОЙСТВА 95
Эта функция определена на отрезке —2^лг^-[~*2,
ограничена на этом отрезке, так как ее абсолютная величина, как легко
проверить, нигде не принимает значений, больших 1.
Верхняя грань этой функции равна -[- 1, нижняя —1, однако
лет таких значений лг, взятых на отрезке [-— 2, -f- 2], при которых
f{x) равнялось бы -}- 1 или — 1.
Теорема 18. Если функция
f(x) непрерывна в точке лг==а
и если f(a) не равно нулю, то
-2
%
__-/_
■
У
I
О
ч
\
/.
У /
2
—i—*~.
можно указать такой интервал, -г Ч Оу / г у у
содержащий точку а, что для
всех значений х, содержащихся в
этом интервале, знак f{x)
совпадает со знаком f(a). „ 2б
В самом деле, в силу непре- р "
рывности функции, для всякого
е^>0 можно найти такое 8^>0, что для всех значений х,
удовлетворяющих неравенству \х — #|<^8, имеет место неравенство
|/С*)-/(а)|<е.
Пусть сначала /(я)^>0. Возьмем s = i^- и обозначим через Ьг
соответствующее этому е значение 8. Тогда для всех значений х,
удовлетворяющих неравенству \х — fl|<C8i, будет иметь место не*
равенство \f(x)—/(a)|<ZW.f т> е>
/(«)-^</w</(«)+^
или
*#-<Пхх*Ш.
1 3
Но у /(а) и -9-/(а)> как и /(а)> положительны; поэтому знак
f{x) совпадает со знаком f(a) при всех значениях х, удовлетво*
ряющих неравенству \х — а | <С^ Sle
Если f(a)<^0, то, как мы доказали, функция — f{x)
положительна для \х — а\<^Ьи а тогда f(x) отрицательна для тех же
значений х, т. е. совпадает по знаку с f(a).
Теорема 19. Если функция f{x)y непрерывная на отрезке
[а, Ь], принимает на концах этого отрезка значения разных зна*
ков, то внутри этого отрезка найдется такое значение
* = Е(а<&<4), что /© = 0.
Разобьем отрезок [а, Ъ\ пополам; тогда либо в точке деления
функция равна нулю и теорема доказана, либо на концах одной из
половин функция будет иметь противоположные знаки» Обозначим
96 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ |гЛ. Ш
эту половину [аи bt] и разделим ее снова пополам. По отношению
к отрезку [at bx\ можно сказать то же, что и по отношению к [а, Ь\,
либо заключение справедливо, либо мы возьмем ту половину
отрезка [аи Ьх\, на концах которой функция имеет противоположные
знаки, и обозначим ее [а2, #2]. Будем поступать так неограниченно.
Получим последовательность отрезков
[аи Ьх], [а2, #2], ..., [ап, Ьп], ...,
вложенных друг в друга. Длины их стремятся к нулю. Тогда
существует точка £, принадлежащая всем этим отрезкам одновременно
(см. теорему 6 гл. II). Рассмотрим значение функции в этой точке.
В точках аи а2, ..., ап, ... функция имеет один какой-нибудь
знак, например -|-; тогда в точках Ъх, #2, ..., Ъп, ... функция
будет иметь знак —. Так как длины отрезков [ап, Ьп] стремятся
к 0, то в любой близости от точки Z будут и точки {ап} и точки
\Ьп}. Но тогда на основании предыдущей теоремы /(&)== О, так
как если бы /(5) не равнялось нулю, то функция f(x) должна
была бы сохранять знак в некотором отрезке, заключающем внутри
себя точку Е, что не имеет места. Теорема доказана.
Теорема 20. Пусть f (х) — функция, непрерывная на
отрезке [а, Ь], и пусть Мит — ее наибольшее и наименьшее
значения. Тогда для всякого числа (х, заключенного между т и М
(т <^ (х <^ М), найдется такое значение х = Ь внутри этого
отрезка, что /(£) = |а.
По теореме 17 на данном отрезке найдутся такие значения
x = bi и лг = £2, что
/ft) —Af и /(У = //г.
Рассмотрим непрерывную функцию ср(л:)=/(дг) — (х. На отрезке
^^дг^^з (или на отрезке ^^дг^^ в зависимости от того, что
больше, £2 или Sj) ср (Jj) и ср (£2) имеют разные знаки; следовательно,
по теореме 19 найдется такое значение £, лежащее между ^ и Ъъ
что ср (1) = 0, т. е. /(|) — (х = 0 или /(5) = jx. Теорема, таким
образом, доказана. Иногда эту теорему формулируют так:
Непрерывная на отрезке [а, Ъ\ функция принимает все
промежуточные значения между верхней и нижней гранями,
15. Равномерная непрерывность. Мы знаем, что непрерывность
функции f(x) в точке лг = а определяется так: для всякого
наперед заданного положительного числа е можно найти число 8^>0
такое, что из неравенства \х — я|<С& будет следовать неравенство
\f(x)—f(a)\<C^ При этом число 8- зависит, вообще говоря, не
только от выбора числа е, но и от выбора точки х = а. Может
оказаться, что 8 зависит лишь от е и для всех точек отрезка одно
и то же.
Введем теперь такое определение.
§ б] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И ИХ СВОЙСТВА 97
Определение 14. Функция f(x), определенная на
множестве Е, называется равномерно непрерывной на Е, если для
каждого данного числа е^>0 можно найти такое число 8]>0,
чтобы для любой пары значений x = xt и х = х%,
удовлетворяющих неравенству \хх — х%\<^Ъ и принадлежащих множеству Е,
выполнялось неравенство \f(xt)—/(х2)\<Се-
Так, например, функция f(x) = x равномерно непрерывна в
любой области. С другой стороны, функция /(лг) =— на интервале
(0,1), хотя и непрерывна, однако не является равномерно
непрерывной. В самом деле, Какое бы 8]> 0 мы ни взяли, можно найти точки
хх = Ь и лг2 = -г~, для которых, очевидно, \хх — х^\<СЬ при
любом k^>l, в то время как абсолютная величина разности
может быть сделана сколь угодно большой выборс^м числа К
Однако имеет место
Теорема 21. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
а^х^Ь, то она равномерно непрерывна на этом отрезке, щ. е%
для всякого наперед заданного положительного числа е можно
найти такое положительное число 8, что для всякой пары
значений х на отрезке а^х^Ь, удовлетворяющих неравенству
\х\ — хъ | <С Ъ, будет выполнено неравенство \ f (xt) — / (дг2) | <^ е.
Эта теорема носит название теоремы о равномерной
непрерывности.
Доказательство поведем от противного. Именно, предположим,
что существует такое положительное число е^ для которого нельзя
найти число 8 такое, какое указано в формулировке теоремы, т. е.
что для всякого 8Л = — (л=1, 2, ...) найдется по крайней мере
пара значений дг, именно x = zn и x = tnf таких, что \zn—*tn\<^ — ,
Придавая п значения 1, 2, 3, ..., получим два бесконечных
множества чисел {zn} и {tn}, каждое из которых ограничено
(a^zn^b и a^tn^by и потому имеет по крайней мере одну
предельную точку. Пусть, например, {zn } имеет предельную точку £.
Так как при достаточно больших п разность между zn и tn
становится как угодно малой по абсолютной величине, то в
произвольный интервал (£— 8, Е-(-8) попадет не только бесконечное число
точек zn> но и бесконечное число точек tn.
Точка S принадлежит отрезку [а, Ь], следовательно, f(x)
непрерывна при х=:\. Поэтому для всякого е^>0 можно найти такое
8^>0, что для всех х+ удовлетворяющих неравенству \х — £1<А
4 В. В. Немы цннй и др.
_|1-*|
98 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
будет иметь место неравенство |/(дг)—/(£)|<Се- Пусть е<^«
Тогда, с одной стороны, как было показано, всегда найдутся числа
zn и tnf удовлетворяющие неравенствам \zn — tn | <^8 и \tn — I\<^8
и такие, что для этих значений \f(zn)—f(tn)\^>Si> а с ДРУГ0Й
стороны, из непрерывности f(x) в точке S следует
^|/(*.)-/Ю| + |/('.)-/0)К« + « = 2.<>1.
Полученное противоречие доказывает теорему.
ГЛАВА IV
ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
В этой главе мы займемся изучением некоторых функций,
заданных аналитически, причем будем исследовать главным образом
предельные значения функции и различные способы их отыскания.
§ 1. Предварительные замечания
1. Примеры. Отыскать предельное значение данной функции —
задача, вообще говоря, очень сложная. Эта сложность объясняется
тем, что нельзя указать общего метода, а нужно каждую задачу
решать особым приемом. Но тем не менее имеется несколько
приемов, которые в простых задачах приводят к цели.
Если рассматриваемая функция f(x) непрерывна и определена
при х = а, то для нахождения lim/(лг) достаточно вычислить/(а).
х-*а
Однако бывает, что функция f(x) при х = а не определена, но
lim f(x) существует. С последним обстоятельством часто сталки-
х-*а
ваются, если хотят вычислить предельное значение функции, равной
отношению двух функций. В том случае, когда числитель и
знаменатель имеют общий множитель, обращающийся в нуль при х = а,
сокращение на него часто бывает полезным.
Переходим к рассмотрению примеров.
Пример 1. Найти lim (дг3 — лг2 + 2* + 3).
х-*3
Так как многочлен — функция непрерывная, то искомый
предел равен 27, потому что З3 — 32 + 2 * 3 + 3 = 27.
т-г о ^т « 1. *а— 6*4-8
Пример 2. Найти lim ^—.
х-+2 x — z
у$ Qy I О
При лг->2 функция _2' ' не определена, но тем не менее
существует предельное значение этой функции при дг = 2.
Непосредственно перейти к пределу в числителе и знаменателе нельзя,
потому что предел знаменателя равен нулю.
4*
100 ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. IV
Воспользуемся следующим приемом: замечая, что числитель и
знаменатель имеют общий множитель, получаем:
,. *2 — 6*+ 8 1# (* — 2)(х — 4) 1# , ..
lim —^—= hm -Ь—_+1-—L—\im (* —4),
а этот предел легко найти, так как функция х— 4 непрерывна при
х = 2. Следовательно,
-. х2 — 6* + 8 ,. , -ч л
hm г^-1— = hm {х — 4) = — 2.
В этом примере предельное значение функции равно — 2, в то
время как значение самой функции при дг = 2 не определено.
Пример 3. Найти
г 4*8 + 3*2+11* — 1
Лтоо 7*3 + 0,5*2 + 2* •
Здесь поступим так: сделаем алгебраическое преобразование,
выделяющее слагаемые, имеющие пределдм нуль; для этого
разделим числитель и знаменатель на лг3. Мы получим
4*8 + 3*2 + 11* —1 _ ^ х^ х2 хь
7*s + 0,5*2 + 2* — , 0^ , _2_ '
+ * + *2
и так как
то
lim — = 0, lim —^ = 0, Hm —r = 0,
г 4*8 + 3*а + 11* —1 _ 4
*™со 7*^ + 0,5*2 + 2* — 7'
Пример 4. Найти lim —-—.
sin *
Мы знаем, что lim =1 (см. гл. III, п. 2); воспользуемся
х-*0 х
этим для нахождения данного предела. Сделаем замену
переменного, положив Здг=а; тогда
sin 3* sina о sin а
* а а
т
Заметим, что если х стремится к нулю, то и а стремится
к нулю; поэтому
,. Sin3* ,. 0 sina о л. sina 0 1 о
hm = lim 3 = 3 lim = 3 -1 = 3.
л:— 0 Х а-0 а а->0 а
§ 2] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 101
Пример 5. Найти 11т * *™х .
Замечая, что 1 — cosx = 2sin2 ~ и делая затем замену
переменного а = у (или дг = 2а), получаем:
л 2 sin2 -рг ft . в
1 —cosx 2 2 sin2 а 1 sin а sin а
Ьх2 Ъх2 5- 4 а2 10
Ясно, что если лг-^0, то а-^0; поэтому
1—cos* ,. /1 sina sinоь>
а
J™ 5*2 — "ГпНо
•= lim (-
1 -. Sin а 1# Sin а 1 ч i 1
10а_0 а а_0 а 10 10
§ 2. Бесконечно малые функции и их применение к нахождению
пределов
При нахождении пределов оказывают большую помощь правила
обращения с «бесконечно малыми величинами».
2. Определение бесконечно малых величин. Определение 1.
Функцией, бесконечно малой при х->а, называется функция,
предел которой при х-+а равен нулю.
Из этого определения непосредственно вытекает: функция
отличается от своего предела на бесконечно малую функцию:
f(x) = b + a(x),
где а(дг) — бесконечно малая функция и b есть предел f(x).
Рассмотрим примеры бесконечно малых функций:
1) f(x) = x2 есть функция, бесконечно малая при лг->0, так
как lim лг2 = 0.
х-*0
2) ср(дг) = (дг — З)8 есть функция, бесконечно малая при дг->3,
так как lim (х — 3)8 = 0.
х-*3
3) а(дг) = дг есть функция, бесконечно малая при лг->0, так
как lim х = 0. Но эта же функция а(х) = х не будет бесконечно
х-*0
малой функцией при лг->2.
Одна и та же функция может быгь бесконечно малой в
окрестности одного значения х и не быть ею в окрестности другого.
Для краткости в тех случаях, когда это не будет вызывать
недоразумений, мы будем говорить «бесконечно малая функция» или
бесконечно малая величина, не указывая соответствующего
значения аргумента.
102 ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. IV
Отметим две теоремы о бесконечно малых функциях, которые
являются очевидным следствием их определения и теорем о
пределах.
Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение
бесконечно малых функций при, х->а является также бесконечно
малой функцией при х-+а.
Теорема 2. Произведение двух функций, из которых одна
бесконечно малая при х->а, а другая остается ограниченной
в некотором интервале, содержащем точку а *), есть также
бесконечно малая функция при х-+а.
3. Порядки бесконечно малых. Рассмотрим отношение двух
бесконечно малых функций. Логически возможны следующие
случаи:
1) это отношение есть бесконечно малая функция;
2) оно имеет конечное предельное значение, отличное от нуля;
3) оно имеет бесконечное предельное значение;
4) оно не имеет вовсе предельного значения.
Покажем на примерах, что все эти случаи могут иметь место.
Пусть
а (х) = х\ р (х) = 2х\ Т (х) = хК
Все эти три функции — бесконечно малые при лг->0.
Рассмотрим отношения , { . *,{ . ■";; и найдем их предель-
ные значения при дг, стремящемся к нулю:
1) lim-44= lim лга = 0;
х -* о а W х -* 0
2> lim Ш) = т -&=lim т=4;
лг-oPW лг-0 LX лг —0 Z
3) lim ^§= lim 4 = + °°.
*-*0 \\х) лг-*0 х
4) Пусть теперь 0L(x) = xsin — и Р(лг) = лг; а(лг) и р (лг) — две
функции, бесконечно малйе при х->0. Отношение их есть
Р (л:) л: л:
Но, как известно, lim sin — не существует; следовательно, не
*-*0 х
а (х)
существует и предела отношения v 7.
Функции положительного целочисленного аргумента тоже могут
быть бесконечно малыми (при п->-{-оо). Здесь также возможны
*) В трчке а функция может и не быть определена.
§ 2] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 103
все четыре перечисленных случая. Так, например, функции а (я) = —
и р (лг) == — '— имеют при п -* -f- со пределы, равные нулю, т. е.
суть две бесконечно малые функции. Их отношение есть
о (л) I п п \ v ' *
но lim 2 (— 1)л не существует, следовательно, не существует и
я -* оо
предела отношения Vf\ .
Введем несколько определений.
Определение 2. Дяг функции, бесконечно малые при х-*а,
называются бесконечно малыми одного порядка, если их
отношение при х-+а (лг -> -|- оо, дг-> — оо) имеет конечное
предельное значение, отличное от нуля.
Например, а(дг)=10лг3 и р(лг) = 3лг3 будут при лг->0 беско-
10л:8 10
нечно малые одного порядка, так как lim Q 8 = —.
Определение 3. Две бесконечно малые функции называются
эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения
равен единице. Эквивалентность бесконечно малых обозначается
символом а —р.
Например, а (лг) = sin лг и Р(лг) = лг— эквивалентные бесконечно
малые функции при лг-*0.
Определение 4. Если а(х) и р(х) — функции, бесконечно
малые при х-+а, и
Иттё!-=0'
то а(х) называется бесконечно малой высшего порядка по
отношению к бесконечно малой р (х), и обратно, р (лг) — бесконечно
малой низшего порядка по отношению к бесконечно малой а(дг).
Заметим, что если
lim ^ = 0
:00.
Р(*)
а(х)
Например, если а (лг) = 2лг\ р (лг) = 0,5лг, то
lim
х -* а
lim -^т = lim 4х3 = 0.
Следовательно, а (лг) — бесконечно малая высшего порядка
относительно Р(лг) (при лг->0) и Р(лг) — бесконечно малая низшего
порядка относительно а(х).
104
ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ IV
Обратное же их отношение:
а(х)
= lim
х-+0
1
4л:8
Сравнивая бесконечно малые по их порядку, мы тем самым
сравниваем их по скорости стремления к нулю; чем быстрее
некоторая бесконечно малая величина стремится к нулю, тем выше ее
порядок.
Естественно, взяв за единицу скорость стремления к нулю
какой-нибудь бесконечно малой, характеризовать некоторым числом
скорость стремления к нулю других бесконечно малых, сравнивая
скорость их стремления к нулю со скоростью стремления к нулю
бесконечно малой, выбранной- нами за основную, т. е. построить
шкалу бесконечно малых. Принят следующий способ построения
такой шкалы.
Если а есть некоторая бесконечно малая, скорость стремления
которой к нулю принята за единицу, то бесконечно малые того же
порядка, что и а, называются бесконечно малыми первого порядка,
а бесконечно малые того же порядка, что ап, называются
бесконечно малыми порядка п.
Таким образом, если х — основная бесконечно малая, то
Лл , Лл , • . . , /\Х , . . . ,
где А — постоянная, будут бесконечно малыми второго, третьего
й т. д. я-го порядка.
4. Принцип отбрасывания бесконечно малых высших
порядков. Рассмотрим сумму г (х) конечного числа бесконечно малых
при х-+а слагаемых
«С*) + РС*)+ ...+ш(*) = г(*)
и пусть среди этой суммы а(дг) — бесконечно малая более низкого
порядка, чем все остальные; тогда бесконечно малые г (х) и а (х)
эквивалентны. В самом деле,
х-+аа(х) х-+аа\х> х-*аа\х)
и так как порядки р (л), ..., со (х) выше, чем а (лг), то пределы
слагаемых, стоящих направо, равны нулю, и следовательно,
lim ^7^ = 1, т. е. г (х) е^ а (х).
Итак, сумма конечного числа бесконечно малых слагаемых
эквивалентна тому из них, которое имеет порядок более низкий, чем
все остальные.
§ 2] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 105
Отсюда вытекает практическое правило упрощения бесконечно
малых: с помощью замены их на эквивалентные. Пусть имеем сумму
а(*) + Р(*)+ ... +<*>(*)
ограниченного числа бесконечно малых и если среди членов этой
суммы имеется один член наиболее низкого порядка, то при
рассмотрении предельных соотношений можно отбросить все
остальные члены, ибо сумма эквивалентна только этому одному члену *).
Например, пусть
Р = (1 — cos a) -j- 3 sin а — 4а4 — 8а9 при а->0.
Так как
1 — cosа= 2sin*4"^2 (~) ,
2 — \ 2 ,
sin а^а,
то наинизший порядок здесь будет иметь член sin а, поэтому,
отбрасывая все члены порядка выше первого, имеем:
Рс-За.
Правилом отбрасывания бесконечно малых можно
воспользоваться при нахождении предела отношения двух бесконечно малых.
Пусть требуется найти предел отношения г{х) суммы
некоторого числа бесконечно малых слагаемых
а(дг), Р(х), ..., со(лг)
к любой бесконечно малой t{x)
t (х) t (х)
Если слагаемое а(дг) есть бесконечно малая порядка низшего
относительно всех других слагаемых, то, используя только что
доказанное правило, последовательно получим:
lim -тт-т = bm -f-f- —т-г = lim —f-f lim —^-f.
t(x) a(x) t(x) a(x) t(x)
TT 1. Г(Х) 1
Но так как, по доказанному, hm-y-y=l, то
а ух)
t (х) t (х) *
т. е. при нахождении предела отношения двух бесконечно малых
мы можем заменять в числителе бесконечно малые величины им
эквивалентными. В частности, если числитель представлен в виде
*) Необходимо, чтобы член низшего порядка был в сумме один, а если их
несколько, то они могут взаимно уничтожиться, и правило тогда
неприменимо.
106
ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. IV
суммы бесконечно малых, — отбрасывать бесконечно малые высшего
порядка в числителе. Конечно, те же рассуждения мы можем
применить и к бесконечно малым, стоящим в знаменателе.
т-г Р . т „ ,. sin а 4- 3 Sin8 а 4- а8 ^
Пример 6. Найти lim , ' 2—, ' . Согласно правилу
н н а^0 a + 3sin2a + 5a4 F J
откидывания бесконечно малых имеем:
-. Siira4-3sin8a-|-a8 -. sin a .
lim ■ о - 9—i g a = lim = 1.
«-0 « + 3sin2a + 5a^ a^0 a
Принцип откидывания бесконечно малых высших порядков имеет
и другое, чисто вычислительное значение, к выяснению которого
мы сейчас и перейдем.
Пусть требуется найти значение бесконечно малой при х->а
величины г (лг) = а (лг)-f-Р (х) для значения х, близкого к а, и
пусть р (х) — бесконечно малая более высокого порядка, чем a (х).
Тогда при х, ^достаточно близком к а, численное значение Р(дг)
будет ничтожно мало по сравнению с a (х) и может стать меньше,
чем та погрешность, с которой ведутся вычисления, и поэтому
«практически» его можно принять равным нулю.
Приведем пример. Известна следующая приближенная формула
для вычисления sin х:
sin дгя^дг — Y\ *)•
При д:->0 дг3 — бесконечно малая третьего порядка. Пусть
вычисления ведутся с точностью до 0,01 вычисляемой величины,
а угол, для которого надо вычислить синус, =^-ттг радиана.
1 л:8 1
Если •* <С-"й)" » то член "зГ^ 311000 <Св>вв* и> следовательно,
при заданной точности вычисления этот член никакой роли в
результате вычислений играть не будет и может быть отброшен.
1 хь
Для х ^-гл" приближенная формула sinx р^х ^г может без ущерба
для результата быть заменена более простой: sin.xr^.xr.
Конечно, если бы вычисление велось с точностью до 0,00001,
то величина добавочного числа тоже должна была бы быть принята
во внимание.
§ 3. Пределы сложных показательных функций
б. Пределы сложных показательных функций. Сложной
показательной функцией называют функцию F(x) вида [f(x)]?(x\
Подобная функция рассматривается лишь для тех значений дг, при
которых f(x)^>0. Прежде всего установим теорему о непрерывности.
х) Символ «з^ показывает приближенное равенство.
§ 3] ПРЕДЕЛЫ СЛОЖНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 107
Теорема 3. Если функции f(x) и у(х) определены и
непрерывны на некотором отрезке [а — 8, л —[— 8], содержащем точку а,
и если /(лг)]>0 на этом отрезке, то функция F (х) = [/(x)]v <*>
непрерывна при х = а и, следовательно, lim F(x) = [f(a)]*(a\
х-*а
Рассмотрим вместо функции F(x) функцию \nF(x)\ так как
f(x) определена и положительна на отрезке [а — 8, а -\-Ъ], то
In F (х) = ср (х) In / (х)
определен для а — 8^дг^а-{-8.
Функция 1пм определена и непрерывна при и=/(а), так как
f(x)^>0 на этом отрезке непрерывна, и, следовательно, на
основании теоремы о непрерывности сложной функции (см.
теорему 15 гл. III), функция lnf(x) тоже непрерывна при х = а,
наконец, <р(.я) по условию теоремы непрерывна, а тогда на
основании теоремы 12 гл. III произведение ср(дг) и 1п/(дг), т. е. lnF(x)
непрерывна при х = а.
Рассмотрим теперь функцию elnFW = F(x). Непрерывность
показательной функции еи была доказана нами ранее. Поэтому,
полагая u=\nF{x), мы получим, что функция e* = elnFM непрерывна
на основании теоремы о непрерывности сложной функции. Итак,
непрерывность функции eln FW—F (x)=f(x)v М доказана.
Пример 7. Найти
j_
l\m[tgx]x;
, 1 тс
так как tgx и — при x = -j непрерывны, то
lim [tgx]x = 1* = 1.
Рассмотрим теперь тот случай разыскания предела F(x) =
— if(x)]9 {х) ПРИ •*->#> когда
Нт/(дг)=1, а Нт ср(х) = оо.
х-+ а х -* а
Начнем с разбора частного случая.
Теорема 4. Предел функции F(x) = (1 -|-х)х при х->0
равен е.
Так как мы находим предел при дг->0, то можем считать
|дг|<^ 1. Рассмотрим сначала случай лг^>0; тогда мы найдем для
некоторого значения х два целых соседних числа п и п -|-1 таких, что
oi куда
10& ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. IV
1 i
Подставляя в функцию (1 -{-х)х вместо показателя степени —
большее число /z-{-l,a вместо х — большее или равное ему число —,
мы получим:
или иначе
О+■*)*<(! + !)
С другой стороны, подставляя вместо показателя степени
меньшее или равное ему число я, а вместо х — меньшее число —тл> мы
получим:
(i+^>(i+^pi)".
То е.
(1+^)<(1+^<(1+^Г'
/ J \л+1
(!±^<(1+^<(1+±)-(1+1).
Пусть теперь лг->0; тогда определенное выше число п
становится функцией от х, стремящейся к -{-оо, когда лг->0. Если мы
покажем, что пределы правой и левой части неравенства,
т. е. пределы функций^ !+_[ = А'п и 1-f ~ (l-{-i—)==
= Ля при #->-|-оо, существуют и равны числу е, то этим будет
установлено, что предел функции (1-\-х)х при х-+ 0 тоже
существует и равен е.
Итак, находим пределы:
1 \л+1
lim
/ 1 \я
п-+ + оо 1 . ' *
»+1
§ 3] ПРЕДЕЛЫ СЛОЖНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 109
Имеем, пользуясь теоремами о пределах:
/ 1 \«+i / 1 \л+1
lim р+гтт) J^+t+i) ,
Этим доказано, что
lim (l-\-x)x =e.
ЛГ- + 0
Пусть теперь jc — отрицательное число, по абсолютной
величине меньшее единицы. Введем новое переменное х' при помощи
равенства
1л:'
т. е. положим лг = 1 . ,—1 = —, . , или д;г =
1+х' 1+*' ~ — 1+х"
Выразим функцию (1-\-х)х через новое переменное хг:
Из условия хг =— т-j— следует, что если х -* 0, то и х" ->■ 0,
причем, если лг<^0, то хг^>0.
Применяя уже доказанное положение, получим:
JL -I
lim (1+лг)* = Нт (l-f^O^m (14-*')*' = *,
а тогда
lim (1 -\-х)х =е.
*-* — о
Этим доказано, что при любом способе приближения х к нулю
i_
lim (1-{-*)*=*•
При нахождении пределов бывает полезна теорема о
непрерывности функции /(•*)*<*> при х = а, если функции f(x) и ср(дг)
непрерывны при х — а и /(а)^>0.
ПО ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. IV
Теорема 5. Пусть lim ср(х) = О, a lim ф(лг) = £, причем
х-*а х-*а
\Ь\ф-оо\ тогда
Ф(*)
lim [1 + 9(х)]»(*)=Л
*-»оо
В самом деле, рассмотрим функцию
1
F (лг) = [1 -f- ? С*)]* ("° при дг ^ а
и равную е при дг=^а. Эта функция непрерывна при х = а.
В самом деле, рассмотрим произвольную последовательность
чисел хи хъ ..., хПУ ... таких, что Нтлгл = а, и рассмотрим
соответствующие значения функции <р(х)у т. е. последовательность чисел
"i = cP(*i)> Щ = <?(**), ..., ия = ¥(*я), •-.; по условию ИтиЛ = 0,
поэтому
lim /7(дгЛ)= lim (1 -\-un)Un = e,
п-*оо п-*оо
а так как хи лг2, ..., хп, ... — произвольная последовательность,
стремящаяся к а, то lim F(x) = e, и следовательно, F(x) непре-
лг-0
рывна при лг = а. Рассмотрим теперь функцию
1
W (х) = {[1 -f <р (*)]* <*>}* <*> = [F (*)]* <*>.
Так как F(x) непрерывна при лг = а и притом F(a) = e ф О
и ф(лг) тоже непрерывна при лг = а, то если положить ф(а)=#
будем иметь:
lim W(x)= lim Z7 (*)*(*> = Л
x-*a x-*a
Выражая F(x) через ср (дг), получаем окончательно:
JJ*i lim ф(*)
lim (l-f-<p(x))* <*>=**-« = Л
Пример 8. lim (cosx)ct2 *. Имеем:
*-0
1 4
(cos x)ct2 * = (|/ 1 — sin2 x)ctg * = (1 — sin2 x)2 =
1 COS* 1 / 1_ . ч
= (i— «mejc)2»ta* = (i— sin2*) sin2*v 2C0S*sm*)-
Итак,
/ i \ i
/ _ - i „^ __ соя v sin jc»
lim (cosх)«*х = lim Ц1—sin"x) 8lnS*J 2
*-»0 *-»0
§ 4] ПРЕДЕЛЫ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 111
Полагаем ср(дг) = — sin2.*:, ty(x) =— -2-С08ЛГ8*плг =— -jsin2.*;.
Тогда lim ср(дг) = 0 и Нтф(лг) = 0. Следовательно, на основании
*-*0 х-*0
доказанной теоремы
lim (cos.xr)cte* = *0=l.
§ 4. Пределы некоторых последовательностей
6. Пределы некоторых последовательностей. Для функций
целочисленного переменного существуют особые приемы нахождения пределов. Бывает
часто полезна такая теорема.
Теорема 6. Пусть дана последовательность положительных чисел
tit, t*2> ..., ит ...; если lim -^±1 = />0, то lim. \/ип тоже равен I.
п -* с» ип п -* со
В самом деле, пусть е > 0 — произвольно малое число; найдем столь
большое N, что для nz^N
l — s^Un+<P' ^l + t при p'SsO.
Придавая p* значения 1,2,..., p, напишем p неравенств
и перемножим их. Тогда получим неравенство
(/-е)Р^^^(/+е)Р.
Отсюда выводим
1
Перейдем теперь к пределу при р—>оо, а п постоянном.
Воспользовавшись тем, что lim у b =\ при Ъ > О (см. лемму 6 гл. 11), прежде всего
Я-»СХ>
1
устанавливаем, что lim илл+р=1.
р-*со
Покажем теперь, что
Я+JP/ П + Р/
lim V(l — *Y> = 1 — t, lim ' V (/ + e)P = / + e.
p-»oo p-+oo
В самом деле, пользуясь непрерывностью показательной функции,
поскольку lim —v~ = 1, имеем:
J р-*ооП + р
Р Р
lim (/ — е)*+^ = / — е, lim (/+ *)*+* ±=/-fe.
p-+QQ p-bQO
112 ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. IV
Отсюда заключаем, что для всех значений n^N и р достаточно
большого
ПштР/
то отсюда выт
ГПг——
lim У нш=/,
и так как е произвольно мало, то отсюда вытекает
ТПг
т-*оо
что и требовалось доказать.
Приведем примеры на применение этой теоремы:
1) lim у л=1. В самом деле,
Л-*оо
v п+1 1
lim —!— = 1.
л-»оо Л
2) lim у1пя=1. В самом деле,
Я-*00
я-*оо ш/г л-»оо In/г л-»оо In/г
§ 5. Примеры на исследование графиков функций
7. Примеры. Рассмотрим несколько примеров на исследование графиков
функций.
Пример 9. y=zf(x)= Y+1? (черт# 27)#
Замечаем, что /(—x)=f(x). Следовательно, эта функция четная, ее
график симметричен относительно оси у, и поэтому при исследовании
можно ограничиться только
положительными* значениями х
Г" """ Выражение . , 2 имеет смысл
^—* 1+1 у при любом л: (т. е. функция у опре-
*~ X делена при любом значении л:), т. е.
область существования для данной
Черт. 27. функции — оо < л: <-f-сю.
Эта функция непрерывна (см.
теоремы 7—9 гл. Ш).
Если 0 < Xt < х2, то х\ < х\> поэтому и 1 + х\ < 1 + А и> следова-
1 1
тельно, r—i—з > г~1—£> т. е. при положительных значениях х функция
1 -J- Х\ 1 -j- х\
f(x) = 2 убывает (в силу симметрии — для отрицательных х возрастает).
1 —р Х-
Отсюда немедленно следует, что наибольшее значение функция будет иметь
при х = 0 (в точке смены возрастания на убывание); это значение равно
/(0) = 1.
Так как lim t , 2 = 0, то график функции по мере возрастания х
будет неограниченно приближаться к оси х.
Так как при любом х функция положительна, то множество ее значений
определяется неравенством 0<,у^1| т- е. эта функция ограничена.
§ 5]
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
113
ство
Пример 10. у = х2 sin — (черт. 28).
Прежде всего замечаем, чт.о для всех значений х имеет место неравен-
хл sin -
; х.
Отсюда заключаем, что график функции f(x) заключен между графиками
парабол у = х2у у==— х2. Кроме того, из этого неравенства следует, что
lim /(*)= Hm л:2 sin — = 0.
X-*Q X-+Q. х
Пойдем далее: так как функция у— sin— принимает значения, рав-
ные+1 для 1 = ^ + 2^, т. е. для xe—JL--
, и равные — 1 для
у-**/ y-x,f
•^Х
\
\
/~д*\/-Хч
Черт. 28.
х = . ъ , v , то для этих значений х график функции f(x) совпадает
соответственное графиками у = -\-х2> у = — х2; наконец, sin — = 0
1
, и следовательно, самый правый нуль f(x)
- —; для х > — функции х2 и sin — сохра-
тс тс X
няют положительные значения и, следовательно, fix) тоже положительна.
для — = Ыу т. е. для х — .
X «тс
будет находиться в точке х = —; для х > — функции х2 и sin — сохра
тс тс X
114 ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
Найдем предел f(x) при л:—оо. Имеем:
/(*)== л:2 sin — = х-
[гл. IV
sin —
X
X
Следовательно,
lim /(*) = lim х
JC-ЮО Х-ЮО
lim
sin —
X
AT
sin —
X
Так как lim —:—= 1, то
*-*+<» _L
x
lim /(л:) = -|--00-
Пример 11. /(л:) =г sin л:2 (черт. 29).
Эта функция имеет область существования —со < л: < +оо; она
непрерывна и ограничена, так как
— 1=^ sin л:2 г=^1.
X Функция обращается в нуль при
п
о
Черт. 29,
X = ± ]/ля, где /г = 0, 1, 2, ...
Нули этой функции находятся
не на одинаковом расстоянии друг
от друга. В самом деле, возьмем два
соседних нуля функции, пусть это
будет уЪк и У(я + 1)тс, и найдем расстояние между ними; оно будет равно
Найдем lim (У(п + 1)п — J/7S),
Я-»СХ>
lira (У(л+1)те—)/дас)==
Я-*СХ>
= 0.
я-юо у (л-{- 1)те-{- |/"/1тс я —► сх> 1/^(/г + 1) тс -f- |^/гтс
Итак, расстояние между двумя соседними нулями стремится к нулю по
мере возрастания п (черт. 29). Следовательно, функция sin*2 не
периодическая.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА V
ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной
1. Скорость неравномерного движения. Рассмотрим движение
некоторого тела по прямой линии. Пусть уравнение движения будет
s=f{f), где / обозначает промежуток времени, протекший от
некоторого момента, принятого нами за начальный, a s — путь,
пройденный телом за этот промежуток времени t.
Поставим задачу о вычислении скорости тела движущегося по
закону s=f(t).
В механике скорость равномерного движения измеряется длиной
пути, проходимого телом за единицу времени. Таким образом, если
за промежуток времени At=ti — tx тело прошло путь Д$ = $2— su
s2 — Si As
то его скорость v равна, отношению = -г-.
Таким образом, v = -^ для равномерного движения сохраняет
As
постоянное значение. Если же v = -^ зависит от Д£, то движение
называется неравномерным.
В случае неравномерного движения имеет смысл говорить не о
скорости движения за данный промежуток времени, но о скороаи
движения в данный момент /0. Можно придти к этому понятию
следующим образом. Рассмотрим переменный промежуток времени
&t = t — /0, и пусть путь, пройденный за этот промежуток времени,
равен Д$. Находим величину д--, которая давала бы скорость
движения' в том случае, если бы оно было равномерным в течение
промежутка времени Д/. Будем теперь Д£ неограниченно
уменьшать. Тогда величина ~ будет изменяться, и ее предел lim -^
называется скоростью движения в момент tb или мгновенной
скоростью движения. Итак, если s=f(t) есть закон движения,
116 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. V
то скоростью движения в момент t0 называют величину v:
v = hm Ti = hm J v u ' '—1-Щ-
Заметим, что так как скорость движения v есть функция
времени: zj = zj(/), то можно поставить вопрос о скорости изменения
самой скорости, т. е. о нахождении предела отношения ^ при
Atf'->0. Предел такого отношения определяет ускорение w
движущегося тела в данный момент:
w(t) = hm дт
В качестве примера определения скорости движения тела
рассмотрим скорость свободно падающего тела.
Уравнение движения в этом случае, как известно,
s— 2 ,
где g—постоянная величина, называемая ускорением силы тяжести,
зависящая от той точки земного шара, где производится опыт.
Согласно определению скорость в данный момент времени tQ
равна
11ш £ 11ш *«.+£-* = иш Ш^=
u->oat Д/-0 lllt м->о mt
т. е. в этом случае скорость прямо пропорциональна времени.
Найдем ускорение падающего тела
w= lim -г- = hm ls v * '——=g.
M->out д/->о at
Ускорение свободно падающего тела оказывается постоянной
величиной.
В качестве еще одного примера определения скорости
движения рассмотрим гармоническое колебание точки:
^= A sin(otf-f-a).
Вычислим скорость этого движения:
г>(0=Нт ^8inIе0(* + *') + «] — ^sinK + a) _
^^[2cos^^ + A/> + g + ^ + gJsin f ]±.
§ 1] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ к понятию производной 117
Применяя теоремы о пределах, получим:
. Л/ \ sin_9~
v(t) = A lim cos (а^-4-а-4--7г<») lim Л, .
2
Так как функция cos л: есть непрерывная функция, то можем
перейти к пределу под знаком косинуса и получим:
v (t) = Лш cos (o)t -\- а).
Зная закон изменения скорости v(t), мы можем найти закон
изменения ускорения w(t); он определится равенством
проделывая соответствующие выкладки
w (t) = — Aw2 sin (со/ -[- а).
2. Скорость изменения функции и ее физический смысл.
Пойдем дальше по пути математической абстракции. Пусть y=f(x) —
некоторая функция, в которой х уже не обязательно время.
Поставим по отношению к функции f(x) вопрос: определить скорость
изменения f{x) по отношению к х. Будем поступать совершенно
аналогично тому, как мы определяли скорость движения. Пусть
хх — заданное значение х, пусть Длг=лг— хх — некоторый
промежуток на оси х\ тогда f(xx) есть значение функции в начале этого
промежутка, a f(xx-\- Ддг)— значение функции в конце промежутка
(хх, хх -{- Длг). Приращение функции на промежутке Адг, равное
/0*1 Ч™ кх)—f(xx)> обозначим через Aj/.
В таком случае средней скоростью vm(kx) изменения функции
будет разностное отношение
Скоростью изменения функции в данной точке хх естественно
назвать предел отношения д^- при условии, что Алг-^0. Скорость
изменения функции при дг = лг1 обозначают fr(xx). Таким образом,
скорость изменения функции f(x) в данной точке х равна
Приведем несколько примеров, показывающих, какой
физический смысл может иметь это новое абстрактное математическое
понятие.
118 правила нахождения производных [гл. V
Пример 1. Рассмотрим физическое понятие плотности.
Возьмем кусок проволоки (материальную кривую) и будем двигаться от
одного из ее концов, измеряя длину s пройденного куска, а также
его массу т. Каждому значению s будет соответствовать
определенная масса т> и поэтому последняя является функцией s: /# = Ф($).
Говорят, что масса распределена равномерно по всей длине
проволоки, если два любых, равных по длине участка проволоки
содержат равные массы. Отношение массы какого-либо куска проволоки
к его длине есть в этом случае величина постоянная, численно равная
массе, заключенной в единице длины, расположенной в любом месте
проволоки. Это отношение называется плотностью проволоки. Если
же масса распределена неравномерно, то вводят понятие плотности
в данной точке.
Возьмем отрезок проволоки длины Д$, отложенный от конца
отрезка длины s. Ясно, что масса Ьт взятой части проволоки
выражается приращением функции
т = Ф (s)
при переходе от точки 5 к точке s-f~A5;
km = Ф (s -[- As) — Ф (s).
Деля массу Д/я выбранного отрезка проволоки яа его длину
Д$, мы получим величину массы, которая приходилась бы на
каждую единицу длины куска от s до s-j-'As, если бы он был
однородным, т. е. если бы в нем масса распределялась равномерно.
Величину -г- естественно назвать средней линейной плотностью
проволоки. Средняя плотность только приближенно выясняет
распределение массы на участке от s до $-|-Д$. Это распределение
фактически может быть различным при одной и той же средней
плотности -Д-. С целью установления закона распределения массы
в проволоке вводят понятие плотности в точке s. Линейная
плотность 8 в точке s определяется как предел средней плотности,
вычисленной для интервала (s, s-]-ks) при стремлении Д$ к нулю,
т. е.
г(,)=нш £= и» »('+*')-»(.).
As-0 ^S А*-0 aS
Итак, линейная плотность в точке есть скорость изменения
массы Ф (s), рассматриваемой как функция длины.
Пример 2. Для нагревания тела на4 t градусов приходится
сообщить телу некоторое количество тепла q> т. е., меняя t, мы
естественно меняем q. Поэтому q есть функция температуры, до'
которой нагреется тело, т. е. q = F(t). Используя рассуждения,
подобные тем, которые мы употребляли при определении линейной
§ 1] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ 119
плотности, мы можем определить теплоемкость тела при данной
температуре как скорость изменения функции F(t), т. е. скорость
изменения количества тепла, рассмотренного как функция от
температуры.
Можно было бы привести много других полезных физических
понятий, определяемых с помощью скорости изменения функции,
т. е. нахождения предела разностного отношения
f(x + Lx)-f{x)
Дл:
при Длг->0. Остановимся теперь на другом весьма важном для
математики факте.
^Удивительным образом оказывается, что совершенно другие
чисто геометрические задачи приводят нас тоже к нахождению
предела того же разностного отношения. Именно, рассмотрим
задачу о проведении касательной к данной кривой, заданной своим
уравнением.
3. Определение касательной к кривой. Пусть мы имеем на
некоторой кривой (черт. 30, а и б) неподвижную точку А и другую
Черт. 30.
подвижную точку В, лежащую справа (черт. 30, а) или слева
(черт. 30, б) от точки А.
Пусть точка В движется по кривой по направлению к точке А.
Тогда секущая A3 принимает различные положения (например, АВХ).
Может случиться, что найдется такая прямая CD, проходящая через
неподвижную точку А, что угол со между этой прямой CD и
секущей АВ будет стремиться к нулю, и притом независимо от
способа приближения точки В к А, в частности, независимо от того,
120 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
приближается ли точка В справа или слева к точке Л. В этом
случае прямую CAD называют предельным положением секущей АВ
или касательной к кривой в точке А.
Не надо думать, что всякая кривая имеет касательную в
каждой своей точке (см. ниже пример на стр. 123).
4. Уравнение касательной. Из данного выше определения мы
видим, что касательная есть некоторая прямая, проходящая через
точку, лежащую на кривой и называемую точкой касания. Для
определения положения касательной, как и всякой прямой, проходящей
через заданную точку, надо знать тангенс угла, который
касательная образует с осью ОХ.
В[х+йх,№+йх$
Черт. 31.
Определим тангенс этого угла, предполагая, что кривая задана
уравнением y=f{x).
Пусть А [дг0, f(x0)]— заданная точка; мы предполагаем, что в
точке А существует касательная AT. Возьмем на кривой
(безразлично, слева или справа от точки А) точку В[х0-\-Ах, f(x0-\- Ах)]
и проведем секущую АВ (черт. 31).
Обозначим угол между положительным направлением оси ОХи
касательной AT через а и угол между положительным направлением
оси ОХ и секущей АВ через ср. Так как, по определению
касательной, угол со между секущей и касательной стремится к нулю,
когда точка В неограниченно приближается к точке Л, то угол <р
стремится к углу а.
Следовательно,
tg а = lim tg ср.
<р-»а
Это равенство имеет место, каким бы способом точка В ни
приближалась к Л, иными словами, каким бы способом приращение
аргумента Ддг ни приближалось к нулю. Из черт. 31 видно, что
6 т Длг Ах
-f(Xo)
§ 1] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ 121
и, следовательно,
tga = limtgcp = lim j*= lim /(* + у-/(«Д.
Зная tga, мы по известной формуле аналитической геометрии
легко найдем уравнение нашей касательной
У — /C*o) = tg*C* — *о)- С1)
Задача о нахождении тангенса угла наклона касательной к
оси ОХ, поставленная нами, приводится, таким образом, к задаче
о нахождении предельного значения разнрстного отношения
f(x + Lx)-f(x)
Дл:
того самого разностного отношения, к которому мы пришли,
определяя скорость изменения функции.
у
у
'О
\
\/*7
V
У 'У «
в/^
'
"^ 1
1
1
^ i
Черт. 32.
Черт. 33.
Если это предельное значение существует, то существует
определенный угол а наклона касательной с осью ОХ, а следовательно,
существует и касательная, уравнение которой дает формула (1).
Отдельна рассмотрим случай a = Y» Ему соответствует tga =
= ± оо: Предположим, t что
lim
Дл:-*0
/(лг + Дл:)—fix) ,. , .
*<Т
знак -f- указывает, что секущая АВ образует с осью ОХ острый
угол ср независимо от того, слева или справа от точки А
расположена точка В (черт. 32), и при приближении точки В к точке А
угол ср стремится к углу a = Y> оставаясь острым. Таким образом,
122 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
предельным положением секущей будет касательная в точке А,
перпендикулярная к оси ОХ. Предположим, что
lim
Длт-0
f(x + &x)-f(x) __
Дл:
= — со;
тогда секущая АВ стремится к своему предельному положению —
касательной в точке А, образуя с осью ОХ тупой угол ср.
Касательная попрежнему будет перпендикулярна к оси ОХ (черт. 33).
*-х
Черт. 34.
Черт. 35.
Если предельного значения ~- нет, то в большинстве случаев
касательной в точке А не существует: однако может быть указан
один случай, когда предельного значения секущей нет, а
касательная тем не менее
существует.
В самом деле, пусть
существует предел справа,
равный -f-oo, и предел
слева, равный —оо (черт.
34), или же существует
предел справа, равный —оо,
и предел слева, равный
-[-оо (черт. 35). Тогда при
приближении точки Столько
справа к неподвижной
точке А секущая имеет
предельное положение, именно,
вертикальную прямую, и
при приближении точки В
только слева независимо от того, будет ли предельное значение
-р равно -|-оо или —оо, секущая снова имеет предельное
положение, именно, вертикальную прямую, а так как через точку
А [х, f(x)\ проходит лишь одна вертикальная прямая, то оба
Черт. 36.
§ 2]
ПРОИЗВОДНАЯ
123
предельных положения совпадают и, следовательно, кривая имеет
в этой точке одну определенную касательную.
Приведем пример кривой, не имеющей касательной в некоторой
точке. Рассмотрим кривую PMQ, составленную из частей двух
окружностей так, что центры и точка пересечения М этих
окружностей не лежат на одной прямой (черт. 36), и будем искать
касательную к этой кривой в точке М.
Проведем секущие МА и MB справа и слева от нее. Ясно, что
при приближении точки А справа к точке М секущая МА будет
стремиться к своему предельному положению ML, а при
приближении точки В слева к той же точке М секущая MB будет
стремиться к своему предельному положению MN. Эти предельные
положения будут различны (в самом деле, их совпадение обозначало
бы, что радиусы окружности, направленные в точку М> лежат на
одной прямой вопреки предположению, следовательно, в точке М
кривая не имеет касательной) *).
§ 2. Производная
5. Определение производной. Переходим к точным
математическим определениям.
Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция y=f(x)\ пусть
приращение функции есть Дву=/(.хг-|-Длг)—/С*).
Вводим определение.
Определение 1. Производной от функции f(x) при
заданном значении х называют предел отношения приращения
функции Ly = f (х -{- Длг) — / (лг) к приращению независимого
переменного Ад; при условии, кто это последнее стремится
к нулю.
Производную от функции f(x) обозначают символом f (х).
Итак, производная от f(x) есть
f(x)= lim £*= Urn /<* + у-/(*>.
Польза этого понятия в достаточной мере выяснена в
предыдущем параграфе. Вычисление производной от функции называют
дифференцированием функции.
*) Для математиков XVII и XVIII столетий рассуждения, приводимые
нами при анализе этого примера, показались бы бессмысленной игрой
словами, так как с их точки зрения в данном случае мы имеем две кривые и,
следовательно, нельзя было бы говорить об одной касательной; только
случайность могла бы привести к тому, чтобы в месте их стыка касательные
к обеим кривым совпадали. Мы, однако, не можем стать на эту точку
зрения потому, что в этом случае нам пришлось бы отказаться от общего
понятия функций, лежащего сейчас в основе всего математического анализа, при»
чем нечем было бы это понятие заменить»
124 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Для каждого заданного значения х мы находим свой предел
Ду
отношения д=^; следовательно,
Дл:
т. е. производная сама есть некоторая функция от х.
Конечно, может случиться, что для одних значений х
рассматриваемый предел существует, а для других нет, поэтому
производная не является функцией, вообще говоря, определенной для
всех тех значений х> для которых задана функция /(дг), т. е.
область определения производной может быть меньше области
определения заданной функции f(x). С соответствующими
примерами мы познакомимся ниже.
6. Бесконечные производные. Если отношение д^ при Длг->0
стремится к -j" оо или это отношение стремится к — оо, то предел
его называют бесконечной производной. Геометрически этот случай,
как это было уже выяснено, соответствует касательной,
перпендикулярной к оси ОХ.
7. Различные обозначения производной. Для обозначения
производной от заданной функции употребляются следующие символы:
I. Обозначение Лагранжа. Если дана функция /(дг), то
ее производную обозначают так:
Urn g=y=f(x)
д*-од*
(читается «игрек штрих» или «эф штрих от икс»).
Например, производную функции
обозначают так:
у = (-/sinx)'.
Значение производной этой функции при х = х0 запишется так:
J>i~*o=/rC*o) = (/sin.*)iSJI
II. Обозначение Ньютона. Для обозначения производной
функции ставят над буквой, обозначающей функцию, точку; если
yz=f(x)} то ее производная обозначается:
lim тг ==у
(читается: «игрек с точкой»). Это обозначение употребляется в
настоящее время главным образом в механике и физике, когда неза^
висимым переменным является время.
§ 2]
ПРОИЗВОДНАЯ
125
III. Обозначение Кош и. Перед функцией ставят D:
lim ^==Dy или Df(x)
(читается <дэ большое игрек» или «дэ большое эф от икс»).
IV. Обозначение Лейбница:
lim fo = 4y _<*/(*)
Ддг_оАх dx dx
(читается: «дэ игрек по дэ икс» или «дэ эф по дэ икс»).
Происхождение обозначения Лейбница будет выяснено
впоследствии при введении понятия дифференциала функций.
Например, если
то производную обозначают так:
dy d Ysmx
dx dx
или
dy d /-.—
-r = -r Vsin*.
dx dx v
8. Непосредственное нахождение производных. Согласно
определению производной для ее нахождения необходимо.
1) подставить в выражение функции f(x) новое значение
аргумента х-{-Ах; тогда получим новое значение функции;
2) составить разность между новым значением функции /(лг-{- Ах)
и ее первоначальным значением /(дг), т. е. вычислить приращение
функции: Ay=f(x^-Lx)—f(x);
3) составить отношение этой разности к приращению независи-
Ьу
мого переменного: д^ ;
4) найти предел полученного выражения при Длг->0:
Лдг->ОалГ Дл:->0 аХ
При проведении первых трех операций необходимо каждый раз
полученные выражения упрощать всеми возможными способами.
9. Производные некоторых элементарных функций.
Производная от функции f(x)=x. Пусть f(x)=x. Найти f (дг);
последовательно имеем:
1) f{x-\-Lx) = x-\-Lx\
2) ky=f(X-{-Ax)— f(x) = Ax;
3) Д7=Д^ = 1;
4) limg = U
126 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. V
Таким образом,
f(x) = * = l, (2)
т. е. производная от функции, равной независимому переменному,
равна единице.
Производная степенной функции. Пусть
где я — целое положительное число. Найти f (х). Имеем:
1) f(x -f Д*) = (х + Д*)л;
2) Ay = (x-f Д*)я — *" =
=.v» + л*"-1 Ддг + B(B^~!) JC""9 <Д*)9 + • • • + (Дх>" — ■*" =
= пх"-1 Ilx + "^"^ ^""9 (Д*)9 + • • • + (Д*)л ;
3) ^ = /i*-4-"i2^je-«A^+ ... +(ДдгГ>.
Пределы всех слагаемых правой части, кроме первого при
Длг->0 равны нулю. Поэтому
4) lim ^-=пхп~К
Таким образом,
f^x)=z^xny^=znxn-it (3)
Теперь можем высказать такое правило для нахождения
производной от степенной функции с целым и положительным
показателем степени:
Производная степенной функции у = хп, где п есть целое и
положительное число, равна показателю степени п, умноженному
на основание х в степени, на единицу меньшей данной.
В дальнейшем (см. § 4) будет доказано, что формула (3) остается
справедливой для любого постоянного показателя степени.
Применяя это правило, будем иметь:
у=x*f у = (х*)г — 5дг4.
Производнаяфункци uf(x)=sinx. Пусть y=sinx. Найтиу.
Последовательно будем иметь:
1) y-\-ky = sin(x-{-kx)]
2) ky = sin (х -f- Ддг) — sinx.
Применяя формулу разности синусов, получим:
AJ; = 2Sin((x + y-^)cos(<-y + y + ")=2sin^cos(x + ^).
о . Ал: . Ал:
оч Ьу 2slnT" ( . Д*\ 8ШТ ( . Ах\
3> i&==-iir-C0S[x+T)==-brC0S[x+^)'
§ 2] производная 127
Переходим к пределу, полагая Дх->0 и имея в виду, что
,. sin a t
lim-— = 1,
получим:
lim -r^=/f(x) = (sinx)r = cosx (4)
Алг-О йх
Итак, производная от sinx равна cosx.
Производная показательной функции
у=/(х) = а* (а>0).
Вычисления дают:
1) y-\-Ly = ax+bx\
2) Ьу = ах+Ьх — ах = ах(аЬ*—1).
Введем вспомогательную величину а, полагая
а = а**— 1.
Так как а°=\ и функция ах непрерывна, то при Длг->0 и а->0»
Выразим Лдг через а:
а^ = а+1; Дх1па = 1п(а+1), А*=1п(*+1);
In а
оч Ду й*« , v, 1
3) т=^ = —г—r-rjT-1п а = а* 1п а г
' Дл: In (а 4-1) _L
1п(а+1)а
4) lim ^- = ах\па\\т г- =
1п(а+1)а
= а*1па г-.
lim 1п(а+1)а
а-»0
Так как
lim(a-{-l)a=<?
a-»0
(см. гл. IV, п. 5, теорему 4) и функция 1пдг непрерывна при х = е} то
Итак,
limln(a-f-l)a = 1п£.
а-»0
Hm ^ = (a*)' = a*lna,—.
128 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Но 1пе=1 (логарифмы самого основания системы логарифмов);
поэтому мы окончательно имеем:
[ах]' = ах\па. (5)
Отметим специально важный частный случай формулы (5), когда
а равное е:
[ех], = ех\пе = ех.
Таким образом,
[ех]' = е*. (5')
Производная функции е* совпадает с самой функцией.
Производная логарифмической функции
y=f(x) = logax.
Применяя метод непосредственного нахождения производной,
последовательно будем иметь:
у + Ду = loga (х -f- Ддг);
Ду = bga (х -f Ддг) — loga х = \oga ^~ = loga (l + -^);
Ь=Ш1о**[1+Ч)-
Полагая — = a, заметим, что при Длг—»0 и а->0.
lim ^ = 4-limlo^(l+^)T = -^logalim(l+a)^,
Ад:-0 а* ■* а-0 х а-0
lim -r^- = —log,*.
Имеем:
(loga(x))' = -—\ogae
х
или в более употребительной форме *)
0°ь<*)У=гыг- (6)
*) Так как loga е = =—. Действительно, полагая loga е = с, имеем
последовательно е = ас, In е = с In л, j— = с, ^ = loga г.
§ 2] производная 129
Отметим специально важный частный случай формулы (6), когда
основание логарифма есть число е (логарифм натуральный). Так
как 1п£=1, то получаем:
(1п*у = -±-- (6'>
10. Пример функции, имеющей бесконечную производную.
Пример 3. Найти производную от функции у = Ух. Вычисления
дают:
1) у-\-ку = Ух-\-кх\
2) hy = \fx-\-Lx — j/x;
3 by _ tyx + bx — yic
' Дл: Дл:
Преобразуем это выражение, пользуясь формулой
(а — й)(а2 + ай + ^) = а3 — Ьъ:
Аду (х -f- Д*) — х
А* Длг [ ${х + Axf + f (х + Ах)х + У1?)'
1
y(^+Jxf+ f(x + &x)x + у* '
4) lim £L= цт
Итак,
(угу=4 ^ (7)
Полученное равенство определяет производную всюду, кроме
точки лг = 0, в которой полученное выражение теряет смысл. Для
того чтобы найти производную при х = 0, рассмотрим
Иш hr se= lim ar ,
Под корнем стоит положительная величина; следовательно, при
любом законе стремления к нулю Lx (в частности, при Ах^>0 или
при Д#<^0) разностное отношение
/(А*)-/(0)= 1
Д* V^?
положительно и, следовательно,
/'(0)=lhn _L_ = -|-oo.
Ддг-0 1/(Дл:)8
5 В. В. Немы ц кий и др.
130 правила нахождения производных [гл. V
И. Пример функции, имеющей разрывную производную.
Рассмотрим теперь один несколько более сложный пример
непосредственного нахождения производной, который покажет, что
производная от непрерывной функции может бить разрывна даже
в том случае, когда она существует в каждой точке области
существования функции.
Пример 4. Пусть f(x) = x*s\n— при х^О и /(0) = 0.
Найдем ее производную сначала в предположении, что х ф 0.
Тогда имеем:
by=f(x + Lx)-f(x) = (x + bx)4in-^^-x*sm±^
t= [дг2 -J- 2xkx -J- (Ддг)2] sin -rrj x* sin — =
+ 2xA^sin3n^+(A^2sinFT^'
АУ _/(* + **)-/(*) — QrW 1 F_i i 1181ПГ2^(4^)| i
2л:2
-4- 2лг sin —г-r- -4- Длг sin —р-г-.
Так как х ф 0, то вследствие непрерывности функций sinx и
cosx, получим:
sin д*
hm Л—^-iJ.=_cos— lim .—^—^4~2лг8Ш —
Дл*-0 ДЛ? х Ал:-♦О М. *
2л:8
Но
Дл: . Дл:
sin о о . о л— sin -
2х* + 2хЬх ,. 2л:2 + 2л:Дл: 2л:2 1
Йо М = А^П А, ^ + 2,А,=1-
2л:2 2л:2 + 2л:Дл:
§ 2]
ПРОИЗВОДНАЯ
131
Следовательно, f(x) = — cos [-2xsin— (для лг^О).
Пусть- теперь лг = 0; в этом случае
/(0)=lim /(^)-/(0)= Нш ^в Hm ^sin^=0
(последний предел равен нулю, так как sin-^ ограниченная
величина, а Алг-^0).
Итак, для всех значений х производная существует. Покажем,
что f(x) разрывна при лг = 0, так как предельного значения f(x)
при х->0 не существует.
В самом деле, допустим от противного, что \imf(x) существует.
х-+0
Рассмотрим тождество
cos— = 2х sin — — f (*),
справедливое для лг^О. Так как Hm2xsin — = 0, то из предпо-
*-*0 х
ложения, что \lmf(x) существует, следовало бы, что lim cos—тоже
х-+0 х-+0 х
должен существовать, а это утверждение несправедливо.
Полученное противоречие доказывает, что \\mf(x) не существует.
лг-0
Итак, производная непрерывной функции может быть разрывной.
12. Функции, не имеющие производной. Приведем теперь
примеры функций, не имеющих производной.
Правая и левая производные. Введем сначала
определение.
Определение 2. Если Адг стремится к нулю, принимая
только положительные значения, то предел отношения
lim /С*о + А*)—/(*о)
{если он существует) называется производной справа или правой
производной от функции f(x) в точке х0, а если Ах стремится
к нулю, принимая только отрицательные значения, то предел
этого отношения {если он существует) называется производной
слева или левой производной.
Производную справа обозначают символом у+у а производную
слева — символом yL.
Если производная справа и производная слева равны между
собой, то функция имеет производную в точке х0 в обычном смысле
слова.
Наиболее простые примеры функций, имеющих в некоторой
точке правую и левую производные, не совпадающие между собой,
б*
132 правила нахождения производных [гл. V
дают нам функции, графики которых представляют собой ломаные
линии.
В самом деле, пусть хъ лга, ... xki ... , xs — некоторое число
различных точек на оси ОХ. Построим ломаную так, чтобы ее
вершины имели абсциссы, равные хи дг2, ... , х^ ... , xs (черт. 37).
Функция f(x)y графиком которой является эта ломаная, непрерывна,
но не имеет производной в точках хъ дг2, ... xk, ... , xs.
Черт. 37.
Для того чтобы это доказать, рассмотрим какую*нибуДь точку Q
с абсциссой xk. График функции в окрестности этой точки имеет
вид, изображенный на черт. 38.
Для всякой прямой секущая в некоторой ее точке, а
следовательно, и касательная (как предельное положение этой секущей)
совпадают с самой прямой; значит, угол
секущей, а следовательно, и касательной
к прямой с осью ОХ есть тот же самый,
что и угол самой прямой с осью ОХ
Обозначим угол, образуемый прямой
AQ с осью ОХ9 через а, и угол,
образованный прямой QB с осью ОХ, через р *).
Проводим секущие через точку Q и
точки Mt и Мъ находящиеся слева и
справа от Q. Левая секущая совпадает
с прямой AQ, а правая — с прямой QB.
Ясно, что если рассматривать. Q как точку касания, то в этой
течке будем иметь правую касательную, совпадающую с прямой Q&,
и левую касательную, совпадающую с прямой AQ. Угол между
осью ОХ и левой касательной, очевидно, равен а, а угол между
осью ОХ и правой касательной равен р. Так как аир различны,
то и tga^tgp. Таким образом, в точке Q у нашей линии нет
определенной касательной, а так как производная равна тангенсу
Черт. 38.
*) Углы а и {3 отсчитываются от оси ЛГдо прямой в направлении, противо*
положном движению часовой стрелки.
§ 2]
ПРОИЗВОДНАЯ
133
угла касательной с осью ОХу то производная сдева не равна
производной справа и lim -р-в точке Q не существует.
д-*->о
МП+Ц
N(W)
Рассмотрим еще один пример функции с различными
производными слева и справа. Пусть требуется найти производную от функции
j>=/(*)= /1 - / ь=Д
причем у обоих входящих в
формулу корней берутся
положительные значения.
Функция определена в
промежутке — 1 <; х ^ -f- 1.
График ее изображен на
черт. 39. Кривая
заканчивается в точках М (—1, -f-1)
и N (-|-1, 4" 1), так как
для | х | ^> 1 функция не
определена. Будем искать, производную в точке О(0, 0), т. е. при лг = 0.
Имеем:
^Х
/40):
._ /1-)Л-(0 + Ал:)2- /l — J^l-P»
Дл:
= lim
или
/(0):
Длг-0
Дл:
Умножим числитель и знаменатель на Y\ -f- /1— (Ад:)2:
/(0)-ita /i-Ki-(a^t/i + Ki-(^)2 =
л* -> о Ajc l/l -Ь |^"1 — (Дл:)2
lim
У(Ьх)2
л*- о д* /l _j_ |Л — (Дл:)2 '
Так как рассматривается положительное значение квадратного
корня, то
/(Kxf=\Lx\.
Следовательно, если Дд:^>0, то
/,(0)=hm ' ' = lim ^ = -*•=,
ааг-о Длг1/1 + |Л1—(Дл:)2 f*-oy 1 + V\ —(Да:)2 ]/2>
Д*>0 ' r v ' Д*>0 ' r v '
134 правила нахождения производных [гл. V
а если кх<^0, то |Ддг| = — Аху а потому
— Дл:
— 1
— 1
•y=xsi/?x
/!(0)=lim =-= lim — __.
Алг-0 Длг/1 + }Л—(Дл:)2 **—-Оу 1 + К1"-(Д*)* У 2
Мы видим, что производная справа не равна производной
Слева, а потому наша функция не имеет производной при х~0.
Точка О(0, 0) есть угловая точка, в которой кривая не
имеет определенной
касательной.
Можно показать, что во
всех остальных точках
интервала (—1, -|- 1)
рассматриваемая функция имеет
производную. В точке
х = -\-\ производная слева
равна 4~°°> в точке дг =
= —1 производная справа
равна —оо.
Возможны случаи, где
by
*~Х
отношение
Дл:
не имеет
определенного предела ни
тогда, когда Ах стремится
к нулю, принимая только
положительные значения,
ни тогда, когда Ах
стремится к нулю, принимая
только отрицательные
значения. В этих случаях
функция не будет иметь в
данной точке производной ни в обычном смысле слова, ни правой, ни левой.
Как пример такого случая, рассмотрим функцию y=f(x)>
определенную следующими двумя равенствами:
Черт. 40.
1
при
при
дг^О;
х = 0
y=f(x)=xsin —
y=f(x) = Q
(см. черт. 40).
Попытаемся вычислить производную этой функции при лг = 0.
Составим приращение Ау:
Ay=f(x-\-Ax)—f{x)\
прилг = 0 будем иметь:
[ДД.=о=/(д-*)-/(°)-
§ 3] ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 135
Так как
f(x) = x sin —, f(Lx) — Ьх sin j^-
и, согласно принятому условию, /(0) = 0, то
а потому
Дл;1
[
Дл:]лг = 0 Дл:
Итак, значение производной в точке (0, 0) должно было бы
быть равным
lim -г^- ^= lim sin
Д*->0 La^Ja: = 0 Длг-0
1_
Дл:
Но так как sin^— при Длг->0 не стремится ни к какому
пределу (см. гл. III, п. 3, пример 2), то при х = 0 не существует ни
левой, ни правой производной, т. е. кривая не имеет в начале
координат ни левой, ни правой касательной.
До сих пор мы рассматривали примеры непрерывных функций,
не имеющих производной в отдельных точках.
В XVIII и в начале XIX вв. считалось, что это единственно воз*
можный случай, т. е. считали, что всякая непрерывная функция
всюду, кроме отдельных точек, имеет производную. Однако этот
взгляд оказался неверным.
Немецкий математик К. Вейерштрасс построил пример такой
непрерывной функции, которая не имеет производной ни в одной
точке.
В настоящей главе мы не приводим примера К. Вейерштрасса,
так как для его понимания необходимо знание теории бесконечных
рядов. Во втором томе нашего курса пример подобной функции
будет приведен.
§ 3. Общие правила нахождения производных
(дифференциальное исчисление)
13. Непосредственное нахождение производных часто очень
громоздко и требует применения искусственных приемов для
каждой отдельной функции. Естественно возникает вопрос о выводе
таких правил, которые позволили бы осуществить достаточно
быстро и просто процесс нахождения производной для любых
функций, составленных из элементарных функций, взятых в конечном
числе.
136 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Совокупность этих правил и составляет дифференциальное
исчисление. Рассмотрим эти правила.
14. Производная постоянной величины. Найдем производную
постоянной величины, рассматривая ее как функцию х:
y=f(x) = c.
Так как функция y=f(x) сохраняет свое значение при всех
значениях независимого переменного х, то
f(x -f- Д-*0 =/(■*) = с
Следовательно,
Ьу=/{х+Ьх)-Дх)=о.
-^ = 0 и lim 4^ = 0.
Итак,
с' = 0 (8)
или в обозначении Лейбница
^ = 0
dx и'
Имеем теорему:
Теорема 1. Производная постоянной велжикы равна1 нулю.
Геометрическое содержание этой теоремы очевидно: так как
график функции у = с есть прямая, параллельная оси абсцисс, то,
следовательно, в каждой точке касательная совпадает с самой
прямой, т. е. в каждой точке касательная параллельна оси абцисс.
Примеры: 1) Если j/=sin-|-, то / = 0.
2) Если y=sin*x-{~ cos2jc, то у = 0, так как
sin2.xr-f- cos2.xr = 1.
15. Производная произведения функции на постоянную
величину* Пусть мы имеем функцию, составленную из произведения
некоторой функции на постоянную величину:
y=f(x) = c<?(x).
Имеем:
ky=f(x-\-bx)—f(x) = c<?(x + lix*) — c<?{x) =
=с[у(х-{-Ах) — с?(х)],
отсюда
Ау =с ?<* + **) — ?(*)
кх Дл:
lim
ьу
А*
-0 ДЛГ Д*->0 Д*
§ 3} ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 1&7
Последнее равенство можно записать в таком виде:
У==ИС*)Г=*рЧ*). W
Таким образом, доказана
Теорема 2. Производная от произведения постоянного
множителя на некоторую функцию, имеющую производную, суще-
ствует и равна этому постоянному множителю, умноженному
на производную от данной функции.
Или, короче:
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Применяя обозначение Лейбница, доказанную теорему запишем
так:
dcyjx) _cdy{x)
dx dx *
16* Непрерывность функции, имеющей конечную производную.
Для вывода других правил- дифференциального исчисления нам
понадобится одно важное свойство функции, имеющей конечную
производную (дифференцируемой функции).
Теорема 3. Если функция имеет конечную производную
в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
В самом деле, пусть y=f(x) имеет конечную производную.
Напишем очевидное тождество:
ау=ш*х-
Отсюда получаем:
lim ky= lim -ft- Hm Lx=f(xQ) • 0 = 0.
Дл*-*0 Ал* —0 aX Ал* - 0
Итак, при Длг->0 by имеет пределом нуль, этим и доказано,
что f(x) непрерывна, * точке х0.
17. Сейчас мы докажем три важнейшие теоремы
дифференциального исчисления: о производной суммы, произведения и
частного функций. В этих теоремах говорится, какие нужно проделать
операции над производными от слагаемых, множителей или
числителя и знаменателя некоторой дроби, чтобы получить производную
от суммы, произведения и от частного.
Однако на эти теоремы можно смотреть и с другой точки
зрения: именно, они устанавливают также существование производной
от *суммы„ произведения и частного, если только существуют конеч--
ные производные от слагаемых, множителей или соответственно
от числителя и знаменателя дроби. Конечно, для производной дроби
надо иметь в виду, что существование этой производной
оказывается доказанным лишь в том случае, когда знаменатель для того
значения, для которого вычисляется производная частного, не равен
нулю.
138 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
В нижеследующих формулировках, для того чтобы подчеркнуть
оперативное значение доказываемых теорем, мы не будем повторять
того, что установлены не только правила действий, но и
существование производной. Кроме того, очевидно, что выведенные нами
формулы имеют смысл лишь в том случае, когда все участвующие
в их составе производные существуют; на этом мы также
останавливаться не будем.
18. Производная алгебраической суммы. Пусть имеем
алгебраическую сумму конечного числа функций, например сумму трех
функций:
y=f(x) = <f (х) + ф (х) — х (х).
Обозначая
ср(лг) = и, <|,(дг) = г>, i(x) = w,
получим:
у =/(х) = и -j- v — w.
Для нахождения производной от функции у имеем последовательно:
у -\- Ау = (и -J- Аи) -)- (v -f- Д*0 — (w-\- Aw)\
Ay = (и -f- Аи) -\- (v 4- Д^) — (w-{- Aw) — и — v-\-w =
= Au-\-Av — Aw;
Ay Au , Av Aw #
Дл: Дл: ' Дл: Дл: '
,. Ду ,. Аи , ,. Av ,. Aw
lim Ах lim Д^+ 1Ш Ai~ lim Дл7*
Ллт-Оал: Ьх-*Оах Длт-*Оал: Ад:-Оал:
Так как
Ьх-+Оах Длг->ОаЛТ Длг-О^*
ТО
y = M'4-z/ — w\ или /Ч*) = ¥Ч-*0 + <К(*) —х'(*)>
или в обозначении Лейбница
dy ^Ц\^Ц dw_
cU d* ' dх dx *
Ясно, что доказательство, проведенное нами для случая трех
слагаемых, может быть распространено на случай какого угодно
конечного числа слагаемых. Сформулируем полученную теорему:
Теорема 4. Производная от алгебраической суммы
конечного числа функций равна такой же алгебраической сумме про-
изводных отдельных слагаемых:
{u-\-v — w)f = и' 4- vr — 1ю\ (10)
§ 3] ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 139
С помощью доказанных теорем и выведенных формул для
производных хп, sinx, \пх и т. п. можно вычислить производную от
всякого многочлена и вообще от всякой суммы конечного числа
этих функций.
Пример 5. Найти производную от функции
/(дг) = 6л:3 — Ахъ-\-2х\
Имеем:
/ (х) = (6лг3)' — (4лгвУ + (2лг7)' = 18дг2 — 20дг4 -f 14дге.
19. Производная произведения. Пусть y=f(x) = y(x)ty(x).
Обозначая ср (х) через и и ф (х) через v9 имеем:
y=f(x) = uv.
Отыскивая производную, последовательно получим:
у + Ду = (и + Ди) (v -f Дг>),
Ду = (и -f- Дм) (х> -f- Д^) — ия = х>Ди -{- и Д^ + ДиДх>>
Ду Да , Ди , А Да
lim т^= lim ( ^х-)+ 1Ьп ( м л~ )+ ^т ( &uir-) =
1. Дм | ,. Да i ,. а 1. kv
= v hm т- + м lim лТ+ lim Дй hm л7 =
Длг->Оал: Длг--Оал Длг-0 Лд:-Оал
= та' -f- их/ -f- l*m Дм • v'*
Ал:-» О
Рассмотрим отдельно последний член полученного равенства.
Так как, по предположению, и! существует и ф. оо, то и
непрерывна, т. е. lim Ди = 0; кроме того, z/ (х) ф оо, поэтому
Д*->0
lim Дм • vr = 0 • z/ = 0.
Дл:-*0
Мы приходим к следующему результату:
у = hi/ -f- ш'.
Его можно сформулировать так:
Теорема 5. Производная от произведения двух функций
равна произведению первой функции на производную от второй,
сложенному с произведением второй функции на производную от
первой:
{uv)f = иг/ -f- vu\
или
(ср (х) ф (*))' = ср (х) у (X) + ф (X) ср' (X), (11)
140 правила нахождения производных [гл. V
или в обозначении Лейбница
d(uv) dv , du
dx dx ' dx
Пример 6. Найти производную от функции y=x%e*.
dx dx ' dx [
Распространим теорему о производной произведения на случай
нескольких множителей.
Для определенности пусть это будет произведение четырех
множителей:
/И=Ф(*Ж*)Х(*)С(х).
Полагая, как и раньше, ср(лг) = к, ty(x) = v, %(x)=w, С(дг)=г,
имеем:
у = uvwz.
Представим нашу функцию как произведение двух множителей:
y=u(ywz)
и применим теорему о производной произведения двух функций.
Получим:
у = и (vwz)r -|- (vwz) и*.
Для отыскания производной от vwz снова рассмотрим это
выражение как произведение двух множителей: v и wz.
Имеем:
[v {wz)]'=v (wz)r -{- (wz) v1 (12)
и, наконец, определим (wz)f:
{wz)' = wzr -{- zw\
Подставляя все найденные выражения в равенства (12), будем
иметь:
у = (uvwz)T = и1 vwz -f- vTuwz -f- wruvz -f- z'uvw. (13)
Всматриваясь в закон построения членов полученного выр1ажения
и обобщая его на случай какого угодно числа множителей, мы
можем высказать такую теорему:
Теорема 5'. Производная от произведения нескольких
функций равна производной первой функции, умноженной на все
остальные функции, плюс производная второй функции, умноженная на
все остальные функции, плюс производная третьей функции,
умноженная на все остальные функции, и так далее, пока не
будут исчерпаны все множители.
§ 3] ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 141
Пример 7.
у = (2х — 1) х* sin х\
у = {2х— iyx*sixLX-\-(x2)'(2x— l)swx-\-(smxy(2x— 1) л:2 =
= 2x2sinx-|-2x(2x— 1)8тлг-|-(2лг— 1)at2cosx.
20. Производная частного. Пусть мы имеем функцию у = ^Ц-г
причем функция ty{x) не обращается в нуль при рассматриваемых
значениях х 1). Полагая и = ср(лг) и v = ty(x), получим у=—,
Находим производную:
, д и-\-Аи д и + Аи и_ vAu— uAv
У-гЬУ V + Av у У v-\-Av ТГ v(v + Av) >
vAu— uAv Au Av
_— v _и
Ay Ал: Ал: Ал:
Ax v (v + At/) v(v-{-Av) *
Переходим к пределу при Длг-^0:
Да At;
v й
* AX-+01* Д*-0 V(V + AV)
t. Au ,. Av ,. Au ,. At;
lim t/т Inn «г- ti lim -г « lira r-
lim v (v -f- Av) t; lim (tr + Av) •*
Длг-*0 д*-*о
Когда Длг стремится к нулю, то, в силу непрерывности
функции vf приращение Ди стремится к нулю, а поэтому
, vw — uv*
Таким образом,
(£)'=™^- „л„ (|§)'= tH™^™ , (14)
или в обозначении Лейбница
- / и \ йи dv
\v dx dx
dx Ф
Этим доказана
*) Так как согласно предположениям, общим для всех теорем,
доказываемых в этом параграфе, функция v~ty(x) имеет конечную производную
и, следовательно, непрерывна, то из предположения, что ф (х) Ф 0 дда
данного значения л:, следует, что для достаточно малых | Ал* | функция
ф (л* + Ал:) = v -\- Av
тоже отлична от нуля.
142 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Теорема 6. Производная частного равна дроби, у которой
знаменатель равен квадрату знаменателя данной дроби, а
числитель есть разность между произведением знаменателя на
производную числителя и произведением числителя на производную
знаменателя,
г, 0 sin х 4- 5л:
Пример 8. у— г_£х ,
г (1 -f- х) (sin х -f- Ъху — (sin х -f- 5л:) (1 + *У
(1 4- л:) (cos х-\-5) — (sin х + 5л:)
— {х+х)* —
cos х -f- 5 -f- х cos х -f 5л: — sin л: — 5лг
— {\+ху —
cos л: — sin х -f- 5 -f- х cos х
~ 0+*)2
21. Производная сложной функции. В предыдущих пунктах мы
устанавливали правила нахождения производных от результата
арифметических операций, производимых над функциями, имеющими
производные; однако дифференциальное исчисление идет дальше, оно
позволяет установить правила нахождения производных от функций,
получившихся в результате функциональных операций; взятия
функции от функции или взятия обратной функции. К формулировкам
и доказательствам соответствующих теорем мы сейчас и переходим.
Теорема 7. Пусть дана функция /(к), аргумент которой и
есть в свою очередь функция <р (х) аргумента х: и=ср (дг); пусть,
далее, для некоторого значения х функция <р (х) имеет конечную
производную ср' (х) и функция f (и) (для и = ср(л:)) имеет конечную
производную f(u); тогда сложная функция
У=F(x) =/[<?(*)]
для этого значения х имеет производную, которая определяется
равенством
F'(x)=f(u)u'(x), (15)
т. е. производная сложней функции равна произведению
производной этой функции по промежуточному переменному (и) на
производную от промежуточного аргумента (и) по независимому
переменному х.
Предположим сначала, что в рассматриваемой точке <р'(х)фО;
тогда можно найти столь малое число А, что из условия | Д# К Л
следует, что Аср == ср (лг -(— Длг) — ср (х) ф 0. В самом деле, если для
любого произвольно малого Длг приращение Дер = 0, то
отношение Д равнялось бы нулю, а тогда и срг(дг) = 0> а мы
предположили противное.
§ 3]
ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
143
Напишем теперь тождество
AF AF А<р
Af(u) Д7
Дл:'
Дер Дл: Да Дл* *
Переходя к пределу при Длг->-0 и пользуясь условиями теоремы,
получаем:
F(x)=f(u)9'(x).
Пусть теперь ср'(лг) = 0. В правой части доказываемой формулы
мы имеем нуль; покажем, что и в левой части мы тоже получим
нуль. В самом деле,
F(x)== lim /(tC+^WfrW),, llm /(T + y-/(T) #
Длг-*0
Дл:
Д*->0
Д*
Пусть теперь Дл;->0; если при некотором Дл: приращение Д<р
равняется нулю, то при этом Длг имеем
Дл: Дл:
Если же Дер ф 0, то имеет место тождество
AF_ Д/(а) Дер
Дл:
Да Дл:
Так как, по предположению, /'(и) существует и отлично от со,
то величина д ■ ограничена при малых Ди некоторым числом М,
т. е. имеем:
Д^(л-)
Дл:
М
Дер
Дх
если Дл: достаточно мало.
Далее, по предположению, ср'(л;)=:0, и следовательно,
произвольно мало при достаточно малых Длг, а тогда и
Дер I
Дх
№(*)
Дл:
<МШ
тоже произвольно мало. Итак, если Дл; достаточно мало, то
независимо от того, будет ли Дер = 0 или Дер ^£: 0, ^ ' произвольно
мало, а это и значит, что F (х) существует и равна нулю.
Рассмотрим примеры на применение выведенного правила.
Пример 9. Пусть у = (sin лг)3. Здесь промежуточный
аргумент и есть sinAT. Следовательно, имеем j/ = #3. Применяя
формулу У (лг) = у (и) иг (дг), получим:
у (л:) = Зи2 cos х = 3 (sin х)* cos л;.
144 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Пример 10. Пусть y = \nsmx. Здесь промежуточный
аргумент и есть sinx; поэтому у = In и. Применяя правило
дифференцирования сложной функции, получим:
У = (In и)1 (sin лг)г = -I cos х = S2L£ =- ctg jr.
-rv/v/a sin л: &
22. Производная сложной функции в случае двух
промежуточных аргументов. Предположим теперь, что мы имеем функцию,
заданную при помощи двух промежуточных аргументов:
J>=/(w)> «= у (г), г = ф(*),
или
.у=/{ *№(*)]},
причем предполагается, что производные У (х), <рг (-г), где z = ф (лг),
и /(и), где к = ср(г), существуют и конечны.
Чтобы получить производную -р, приведем этот случай к уже
разобранному, когда задан только один промежуточный аргумент.
Для этого будем сначала рассматривать и как функцию
непосредственно аргумента хг
й = 9[Н*)1 = ®С*)-
Тогда по только что доказанному имеем:
/(*)=/(")«4*> «ли £-£.£.
Но так как и в свою очередь — сложная функция х: и = <р(<г), то
иЧх) = ?'Ш(х) «ли &±==%%
и искомая производная выразится следующей' формулой:
/(*)=/(к) ?'(*)<К(*)' (15')
или
dy dy_ da dz
dx d и dz 4x *
Ясно, что таким приемом теорема может быть распространена
на случай какого угодно числа аргументов.
Пример 11. Найти производную от функции у=&sin(x-\-yfxY.
Представляем ее в виде «цепочки» промежуточных функций:
y = sinu, я = ^, t = x-\-prx.
Производная -р вычисляется по общей формуле:
dy dy_ du_ dt_
dx du dt dx •
§ 3] ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 145
В данном случае
dy du -,4 At л , 1 3f^ + !i4
и мы получаем:
dx'
: COS К •
5/4 з^+1^ + ^(з_^+1) cos(^ + ^
3 Ух* 3 j/лг*
Обычно при нахождении производных стараются сократить
вычислительную работу: не выписывают во всех подробностях все
промежуточные стадии процесса, а часть их проделывают в уме.
23. Производная обратной функции. Пусть f(x) и ср(дг) — две
взаимно обратные функции. Поставим следующую задачу: зная
производную одной из них, например f(x), вычислить производную от
другой, т. е. от ср(дг).
Эта задача разрешается с помощью следующей теоремы.
Теорема 8. Если монотонная непрерывная функцияу=/(х)
имеет в точке х конечную производную, отличную от нуля, то
обратная фунщиц х—у(у) в точке у, соответствующей
рассматриваемому значению х, имеет производную, которая равна2)
*м=т=гш1- {16)
Заметим прежде всего, что вследствие монотонности и
непрерывности функции y=f(x). обратная функция дг = ср,(у) однозначна,
монотонна и непрерывна- (см. теорема 14, гл. III). Придадим
значению уу соответствующему данному значению х, приращение Ду;
ему будет соответствовать приращение Адг аргумента х. При этом
ввиду монотонности ср (у)у если Ду -=/Ь 0, то и Дат ф 0, и обратно.
Очевидно, что
Ах_ J_
by ky *
Д*
В силу непрерывности функции ср (у) приращение Ддг будет
стремиться к нулю при стремлении к нулю Ду. Так как при этом -£-
будет иметь пределом число f(x), отличное, по предположению,
Да:
от нуля, то, следовательно, j- при Ду -> 0 будет иметь предел, т. е.
*) Производная от Ух вычислена непосредственно а качестве примера
(см. п. 10, формулу (7)).
2) При этом выводе нам удобно независимое переменное обозначить
через у.
146 ПРДВИЛА НАХОЖДЕНИЯ производных [гл. V
функция х = у(у) имеет производную в точке у, причем
*-0^ Иш £,'
А это и доказывает теорему 8.
В обозначениях Лейбница теорема нахождения производной от
обратной функций запишется в форме тождества
dx dx *
dy
Полученная теорема допускает простое геометрическое
истолкование. Действительно, пусть касательная к кривой у=/(х) или,
что то же самое, к кривой х = у(у) образует с осью х угол а,
а с осью у — угол [3. Эти углы дополняют друг друга до -у,
и поэтому
tgatgp = l;
но
таким образом,
tg a=/(*), tgp=<p4»;
tgatgP=/(*)<p'Cy)—l.
Применение теоремы о производной обратной функции во
многих случаях сильно упрощает нахождение производной. Дадим
несколько примеров на нахождение производных от функций,
обратных функциям с. уже известными нам производными.
Пример 12. Пусть j;=/(x) = arc sinx; для нее обратная
функция будет лг = <р (_у) = sin у.
Производная ср' (у) = cos у; следовательно,
' <р' (у) cos у
Замечая, что
008^ = 1/1 — sin2j/ = |/l —х*9
получим:
(arc sin x)f:
ут=* *
В этой формуле перед корнем нужно взять знак плюс, так как
j/ = arcsin.xr изменяется от к- до у, a cosey = |/l—х2
положителен для значений у между —"2" и у •
§ 4] ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 147
В следующем параграфе мы найдем таким же способом
производные других обратных тригонометрических функций.
Пример 13. у = ах> Обратная функция x = y(y) = \ogay.
dy у In a'
(a*)' = — = у lna = ax In a.
Ту
§ 4* Производные элементарных функций
24. Элементарные функции. В предыдущем параграфе мы вывели
правила дифференцирования, которые сводятся к тому, что, зная
производные некоторых функций, мы можем, согласно этим
правилам, вычислять производные других функций. Следовательно, для
практического применения этих правил надо иметь некоторый запас
функций, производные которых известны. Естественно в качестве
такого запаса иметь производные тех элементарных функций,
которые изучаются в средней школе, так как большинство
употребительных в математике и других науках аналитических выражений
составляется из этих функции и их комбинаций.
К числу элементарных функций принадлежат следующие:
степенная функция: хт, где т — постоянная величина; показательная
функция: ах, где а — постоянная величина; логарифмическая
функция: lgax при любом положительном основании а;
тригонометрические функции: sin*, cos*, tgx, ctgx, sec* и cosecxr; обратные
тригонометрические (или круговые) функции: arc sin х> arc cos x,
arc tg x> arc ctg xf arc sec x, arc cos ec x.
Производные некоторых из них нам уже известны. С помощью
этих производных и только что изученных правил нахождения
производных найдем и все остальные.
25. Производная степенной функции при любом показателе
степени. Первая формула из нашего запаса производных —
производная степени:
{хту^тхт-\
была получена только для случая, когда т — целое положительное
число (см. п. 9, формулу (3)).
Рассмотрим теперь функцию
где показатель а — любое действительнбе число. Пусть сначала
*>0.
Логарифмируем нашу функцию:
In (х") = alnx.
Aj_
dx
148 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Вычислим производную от обеих частей этого тождества 1):
Отсюда
(дгаУ = адгв"1. (3')
Пусть теперь лг<^0; тогда функция ха определена не для любых а;
но для всех тех а, для которых она имеет значения при лг<^0,
справедливо тождество ха = (—х)а (—1)а и, следовательно, (xa)f =
= (—!)"[(—•*)"!'; если *<С0, то —х^>0 и, следовательно,
применима выведенная выше формула, и мы получим:
т. е.
(**)' = (_ I)* (_ I)*"* (_ Xfx = ах*"1,
т. е. формула оказывается справедливой ш в этом случае.
Наконец, рассмотрим случай х = 0. Если а=1 то, как уже
било показано, (х)г == 1 при любом х и, следовательно, формула
(ха)=^саха~1 остается справедливой. Если а^>1, то имеем:
Ллг-»о Алг-0
и, следовательно, формула также справедлива. Если а<^1, т. е.
а —1<^0, то формула дифференцирования степенной функции при
х = 0 теряет смысл.
Таким образом, формула, доказанная нами прежде только для
целого и положительного показателя степени, остается в силе, если
показателем служит любое действительное число.
Теперь при помощи формулы (3) мы можем дифференцировать
не только многочлен, но и дробные и иррациональные выражения.
Пример 14. Найти производную j/=—.
у = х~\ У = — Ьх^~1 = — 5лГ6 = — ув.
Пример 15.
1 1 i-i 1 -- 1
yz= Ух = Х3, yr = -gX3 —~зХ 3 5=s.
*) Мы имеем право это делать потому, что если производная данной
функции существует, то она единственная по самому определению
производной. Следовательно, если две функции тождественно равны между собой,
то и их производные также равны.
§ 4] ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 149
Полезно запомнить общие формулы, которые читэтель выведет
без труда:
т
W ~
хт+1»
т ух™'1
и два частных их случая, особенно употребительных:
и
26. Производные тригонометрических функций. Одну из них
мы нашли непосредственно (п. 9), а именно:
(sin лг)г^= cos х. (4f)
Найдем производные остальных тригонометрических функций.
Производная cos .г.
у = cosх ratlin Iу — x) r
вводя промежуточный аргумент и, получим функцию от функции
%
ytsst'sirm, где н = у— х> и так как
(sin^y = cos и • ^ (х),
то
(sin и)' = (sin (у — * П = cos fy — х) (у — *J ,
и, окончательно, так как
(у — дг] =—1 и cosfy — xj = sinx,
имеем
(cosx)f = — sinx. (17).
Производная функции tgx. Для нахождения
производной (tgx)r воспользуемся теоремой о производной частного:
sin л:
y = tgx =
cos л:'
г /sin хУ cos х cos х -f- sin л: sin л: cos**: -j- sin ax l
* \cosa:/ cos2 л: cos2 л: cos2*''
^*У-=й^ввес"* (18)
150 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Производная ctgx.
№*>' = Ш'
. COS X
y = ctgX = —. ,
^ ь sin л:
— sin х - sin л: — cos х • cos х 1
sin2* sin2 л:*
1
(ctg xY = rV- = — cosec2 x. (19)
v & ' sin2 л: v '
27. Производные обратных тригонометрических функций.
Производная arcsinjc; ее мы нашли (пример 12), применяя
теорему 8 о производной обратной функции:
(arcsinj?)f = -7=EL=r. (20)
у 1-х2
Производная arc cos х. Обратная функция х= cosy. Поэтому
/ v 1 1
(arc cosxy = -7 xr = :—.
v ' (cos уу sin у
Найдем выражение полученной производной через х. Имеем:
smy = У1 — cos *у = У1 — дг2;
отсюда
(arc cos дгУ = * . (21)
v ' — ]Al— л:2
В этой формуле следует взять положительное значение корня,
так как j/ = arccos.xr принимает значения между 0 и тс, a sinj/ для
этих значений у положителен.
Производная arc tg х. Если у = arc tg а:, то дг = tg^y, поэтому
(arc tg *)' — 7t^y = cos ^'
Выразим эту производную через х:
2 __ 1 _ 1
cos jf— 1 + tg2>,—1+л.а*
т. ec
(«ctgj^yq^. (22)
Производную arc ctg дг получаем подобным же образом:
(arcctgx)' = 7^^-sinV = --rF^j.
т. е.
(arcdgjf)' = -r^i. (23)
§ 4] ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 151
28. Производная логарифмической функции. Если y=*logax,
то, как уже было доказано (п. 5),
у = (1оеах)' = ±1оёае=±±-а, (6")
или в частном случае
(1пх)' = 1. (&)
29. Логарифмическая производная. Часто удается упростить
нахождение производной, если вместо производной от данной
функции найти производную от натурального логарифма этой функции.
Поясним это на примере.
Пусть требуется вычислить производную
ч/'Т+х
у=Ут=х-
Логарифмируем сначала эту функцию (при основании е):
lnj; = llnii^ = i[ln(l+*)-ln(l-x)].
Вычислим производную от \пу:
(1пУу=±[\п(1+х)-Ш(1-х)}'.
Так как у есть функция х, то (\пу)' = — «у, и мы имеем,
применяя каждый раз формулу- производной сложной функций:
у ~ 2 \i-fx^l — х) 2\1— х2) 1 — х2%
Отсюда сразу получаем:
У \—х2У 1-х2 У 1-х'
Введем определение:
Определение 3. Отношение производной к самой функции,
равное производной от логарифма этой функции, называется
логарифмической производной от заданной функции.
Если /(лт) ^> 0, то логарифмическая производная равна
£=[\пу]> = [1п/(х)}'.
Нахождение логарифмической производной особенно полезно
при дифференцировании сложной показательной функции, т. е.
функции вида у = [<р (х)}'*'(хК
152 правила нахождения произведших [гл. V
В самом деле, имеем In у =»ф (х) ki <f*(x) щ следовательно,
или окончатель«а
/ = {[ср (*)]+(*'}' =
= [ср (х)]* <* hi ср (х) <|/ (X) + [ср (X)]* W ig ?' (X).
Ифимер 16. j/ = je*, lnj/ = .x:lh.*r, ^- = 1плг-4~1>
y = jc*(l + lnjc).
Пример 17. <y = (sinx)cos-yl).
i i • У .t,i cos2 лт
In v = cos л; In sin x, — =*= — sin л; In sin лг ч—:—,
^ ' .у ' sin л:
j; = cos * x (sin tif*** -l — (sin x)*°* x +! In sin л;.
30. Сводка формул дифференциального исчисления. 1)
Степенная функция:
[*"]' = а*""1.
2) Тригонометрические функции:
[sin .*:]' = cos дг,
[cos.xr]r =— sinx,
[ctg*]'=- l
Sltl^X
3) Обратные тригонометрические функции:
[arc sin л:]' = . ,
[arc cos*]' = — yy—f*
[arctgx]f=Tqp^,
tare dfc .*]' = — y-^-p.
*) В этом примере нижеследующая выкладка имеет смысл лишь для тех л:,
для которых sin л: положительно.
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЙ 153
4) Показательная функция:
[а*]' = а* In а.
В частности,
5) Логарифмическая функция:
В частности,
[lnxY = ±.
31. Сводка общих правил дифференциального исчисления.
[си]' = си\
[и±т>]г = и'±г>г,
[uv]r = uvf -\- vuf,
Г_и7 u'v — 1?'ц
[t;J ~~ 3s '
Если и(х) и х; (лг) — взаимно обратные функции, то
и'(х)= „ци{х)) .
§ 5. Дифференциал функций
32. Линейность в малом дифференцируемых функций. В
вопросах техники и естествознания часто бывает необходимо вычислить
Aj/ — приращение функции y=f(x)> характеризующей данный
процесс.
Пример 18. Положим, что в какой-нибудь дегаяи механизма
имеется металлическое колесико радиуса г, и требуется -знать
приращение его площади под влиянием изменения температуры от t°
до /°! градусов.
Обозначим приращение радиуса при нагревании от t° до *°t
через Аг м.
Тогда площадь колесика k, равная -яг2, станет ic(r-f-Ar)9^na,
и приращение площади Ak будет
АЛг = тс (г -|- Аг)2 — тег2 = 2ъг • Аг + тс (Дг)2.
154 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ производных [гл. V
Замечаем, что приращение площади выразилось как сумма двух
слагаемых: первое из них 2тсг • Дг пропорционально приращению Аг
радиуса круга г, рассматриваемого в этом случае как независимое
переменное, а второе тс(Дг)2 может быть рассматриваемо при Дг->0
как бесконечно |яалая высшего порядка относительно Дг, так как
hm ' ' = hm тсДг = 0,
Дг->0 Дг Дг->0
и поэтому мы можем приближенно считать, что
Ak я« 2тсг • Дг.
Пример 19. На сколько изменится объем металлического
куба, длина ребер которого при 0°С равна /0, при нагревании от
температуры IP до температуры (t-\-At)°?
Обозначим линейный коэффициент расширения металла через а.
Известно, что длина ребра при температуре t° определяется
формулой
/=/0(l+erf).
Объем куба V при температуре t° равен
V=[/,(l + erf)]» = /»(l + orf)»;
при повышении температуры на At0 длина ребра увеличится и будет
равна /0(1 -\-<xt -\-<xAt) и объем
V + AV = P0(l -\-*t + Ш)\
Отсюда
Д V = /S { 3 (1 -f *tf Ш -J- 3 (1 -j- erf) a2 A*2 -f а3Д'3}.
Если изменение At можно рассматривать как бесконечно малую
величину, то второе и третье слагаемые будут бесконечно малыми
высшего порядка и, отбрасывая их, мы приближенно получим:
AV^3u(l+at)*<xAt
Как в примере 18, так и в примере 19 ясно, что в сумме
слагаемых, определяющих приращения функции, главную роль играет
первое слагаемое, линейное по отношению к приращению аргумента.
В примере 18 это будет член 2тиг • Дг, а в примере 19
3/3(l-f a*)9 a А*.
Возникает вопрос: в каком случае приращение функции можно
представить как сумму слагаемых, из которых одно линейно по
отношению к приращению аргумента Ах, а другое будет бесконечно
малой высшего порядка относительно Адг, т. е. в виде
Ау = А Ах -f- е (Ax)t
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЙ 156
где Л = const ф О, а е(Длг) есть бесконечно малая функция от Д#
более высокого порядка, чем Д#,
Покажем прежде всего, что если такое представление возможно,
то постоянная Л будет иметь вполне определенное значение.
Действительно, пусть имеем:
Ду = А^х -f- еА (Ддг),
Ду = Д2Дд; -|- s2 (Ддг),
отсюда
(Лх — Л2) кх = е2 (Д#) — ^ (Ддг),
. __е2(Длг) — £1(Длг)
Ai — Л2_ ^ ,
Л1_Л2= Иш (Л1-Л2) = Пте^- Нт ^ = 0,
так как s2 (Дл:) и ej (Длг) — бесконечно малые более высокого порядка,
чем Ддг, и следовательно, At — A^ Докажем теперь следующую
теорему:
Теорема 9. Приращение функции Ду тогда и только тогда
может быть представлено в виде
Ду = A Lx -f- г (Ддг),
где А — постоянная Ф 0, a s (Ддг) — бесконечно малая более
высокого порядка, чем Ддг, когда y=f(x) имеет конечную производную
при заданном х.
Докажем необходимость высказанного условия и выясним
величину постоянного А,
Если
Ду = A Lx -|- е (Д-*0>
то при Длг->0 имеем:
ЬУ _ л 1 е(д*)
Д* —л 1" Дл: •
Но £ д *' -> 0 при Д.*->0. Следовательно,
Д*
Urn & = A=y=f(x).
Дл:->0 ДЛГ
Итак, если приращение функции может быть представлено в виде
Д v = ЛДдг + е (Ддг),
где
lim^>=0,
156 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ |ГЛ. V
то'необходимо A=yr==f(x) и, следовательно,
by=f(x)Lx + e(bx),
что доказывает необходимость высказанного условия.
Установим достаточность условия. Пусть f(x) имеет конечную
производную f(x)\ тогда
lim ^ =/'(-*),
т. е.
^ =/(■*) + * (А*),
где lim а(Дл;) = 0.
Длг->0
Привод» обе части равенства к одному знаменателю, получим:
Ду =f (дг) Длг -)- а (Длг) Длг.
Но второе слагаемое есть величина бесконечно малая более
высокого порядка, чем Длг, так как
lim «(А*)А*= нта(дх) = о.
Ал;-» 0 ах Алг-^0
Обозначив а (Длг) Длг = е (Длг), имеем:
Д^=/'(х)Д* + е(Длг).
Этим наша теорема полностью доказана.
Установленная теорема имеет глубокий математический смысл.
В самом деле, мы фактически показали, что при рассмотрении
достаточно малых интервалов изменения аргумента изменение всякой
функции, имеющей конечную производную, может рассматриваться
как происходящее по линейному закону, т. е. как пропорциональное
изменению аргумента. Если, в частности, аргумент есть время и
функция описывает изменение некоторой физической величины
с течением времени, то из предположения о том, что закон изменения
этой величины выражается функцией времени, имеющей конечную
производную, вытекает, что на малых промежутках времени с
точностью, возрастающей с уменьшением промежутка времени,
изменение физической величины можно считать происходящим
равномерно, т. е. пропорционально времени.
Это свойство дифференцируемых функций и называется
«линейностью в малом».
33. Определение дифференциала функции. Рассмотрения,
проделанные в предыдущем пункте, приводят нас к такому определению:
Определение 4. Если функция f(x) имеет конечную
производную, отличную от нуля, то выражение /г(лг)Длг, npebcma-*
§ 5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЙ
157
вляющее главную, т. е. линейную, часть приращения функции,
называется дифференциалом функции.
Дифференциал функции f(x) обозначают через df(x) или dy.
Приращение независимого переменного принято обозначать dx и
называть дифференциалом независимого переменного. Итак,
dy = df (х) = /' (х) Ьх =/' (х) dx.
Из самого определения дифференциала функции f(x) вытекает,
что он является функцией двух переменных: переменного х, от
которого он зависит через f(x), и переменного Ддг, или dx.
Черт. 41. Черт. 42.
34. Геометрический смысл дифференциала. Пусть мы имеем
функцию y=f(x), имеющую конечную производную при заданном
значении х. Предположим, что график этой функции представлен
на черт. 41 или 42.
Возьмем на кривой точку А (дг, у) и дадим абсциссе приращение
&х = ВС. Пусть абсциссе лг-|-Д.хг соответствует на кривой точка
D(x-\-kxy у-\-&у). Через £ обозначим точку пересечения
ординаты CD с касательной к кривой в точке Л, а угол между
касательной и осью ОХ—через а. Из треугольника AEF имеем FE=AFtg а;
так как AF=Lx и tga=/'(.xr), то FE=f (х) kx. Но, по
определению, f (х) Адг = dy\ следовательно,
FE = dy.
Этими рассуждениями показано, что дифференциал функции есть
приращение ординаты касательной.
35. Дифференциал сложной функции. Инвариантность
дифференциала. Вычислим дифференциал сложной функции:
.У =/[*(■*)].
Обозначим <p(x) = t. Будем иметь y=f(t), t = <p(t). По
определению дифференциала
dy=yr (x)dx<
158 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Но У(дг), по теореме о производной сложной функции,
выражается формулой
/И =/(9 *'(■*)
и, следовательно,
dy=f(t)<r'(x)dx.
Для функции / = <р(лг) ее дифференциал выражается формулой
dt = cpr (х) dx.
Таким образом, величина yr(x)dx, стоящая в выражении
дифференциала dy, равна dt, и мы получаем окончательно:
dy=f(f)dt.
В этой формуле обращает на себя внимание следующее
обстоятельство: выражение дифференциала сложной функции получилось
такое же, как если бы / было независимым переменным;
дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал
аргумента, по которому взята производная, как в том случае, когда
аргумент — независимое переменное, так и в том, когда он зависит
от нового переменного, в то время как выражение производной
сложной функции зависело от выбора независимого переменного.
Это замечательное свойство дифференциала сохранять форму записи
для сложной функции называют инвариантностью формы диффе*
ренциала.
Пример 20. Найти dy, если у = cos2 х, х = t2 -\- 2t. Мы можем
написать:
dy = — 2 cos х sin х dx = — sin 2x dx.
Это выражение справедливо независимо от того, будет ли х
рассматриваться как независимое переменное или как функция
какого-либо другого аргумента. Дальнейшие вычисления составляют
лишь преобразование dy, имеющее целью выразить его через
независимое переменное /. Замечая, что
dx = 2(t + l)dt,
мы получаем:
dy = (—sin 2х) • 2(/+1)Л
и, заменяя х через t*-\-2t,
dy = — 2 (t + 1) sin (2^2 -f At) dt
Из формулы dy=f(x)dx следует, что
§ 6] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРОИЗВОДНЫЕ 159
каков бы ни был аргумент дг, т. е. производная функции всегда
равна отношению дифференциала функции к дифференциалу
аргумента, каков бы ни был аргумент.
Таким образом, обозначение производной, данное Лейбницем,
У =-^-, можно рассматривать как обыкновенную дробь даже в том
случае, когда f(x) есть функция от функции.
36. Общие теоремы о дифференциалах легко получаются из
соответствующих теорем о производных (п. 31):
d (си) = с duy
d(uztv) = duzh dv>
d (uv) = vdu-\-u dvy
vdu—udv
' иЛ vdu—и
{vj— v*
Выведем, например, дифференциал дроби;
fu_\f v£v — v'u
\v)~ v2 >
j !u\ (u\r , vu'dx — u\
так как urdx = du; vfdx — dv} то
vu'dx — uv'dx
j f u\ vdu—и
d\T)==1—w
dv
Как уже выше было отмечено, эти формулы мы можем применять
как в том случае, когда и, v — функции независимого переменного,
так и в том, когда они являются сложными функциями.
§ 6. Свойства функций, имеющих производные
37. Докажем следующую теорему:
Теорема 10. Если функция f(x) определена в каждой
внутренней точке отрезка [а, Ъ\ и достигает в некоторой внутренней
точке \ своего наибольшего или наименьшего значения, то если
в этой точке \ производная f (£) существует, она равна нулю.
Доказательство. Положим для определенности, что f(l)=M
есть наибольшее значение функции f(x) на отрезке [а, Ь].
Точка £ есть внутренняя точка, а потому
\фа и \ф Ь.
Рассмотрим точки (t-\-h) и (I— /г), где h настолько мало, что
\-\-h и S — h находятся внутри отрезка [at Ь]. Так как Ж, по
160 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл V
предположению, есть наибольшее значение, то имеем неравенства
/(S + A) — М<^0 и /(£ — К) — А!<0
или
/<5 + А)-/(6)<0 и /(6_А)_/(?)<0.
Деля первое неравенство на /г, а второе на — ft, получим:
/(6 + *)-/® ^п „ /(6-*)-/®
:0 и
:0.
Если производная от f(x) в точке I существует, имеем:
г. е. мы получим, что 0^/'(S)^0, откуда следует единственная
возможность /(£) = (), и теорема доказана для случая наибольшего
значения (черт. 43). Для случая
наименьшего значения
доказательство аналогично.
Условие \фа и \ ф Ъ
существенно необходимо, так как если бы
наибольшее значение функции
совпадало бы, например, с b:f{b)=Mt
то теорема вообще была бы «не
верна. Касательная в точке i
могла бы быть (черт. 44), а могла
бы и не быть (черт. 45)
параллельна оси ОХ. В случае, если
/(£) = (), то теорема имеет простое
геометрическое истолкование. Так как производная равна тангенсу
угла а касательной с осью абсцисс, то равенство /f(£) = tga = 0
Черт.
43.
-э-vT
>~х
Черт. 45.
показывает, что в точке £ угол а = 0, т. е. касательная в точке S
к f{x) параллельна оси ОХ.
38. Теорема Дарбу* Из теоремы 10 может быть выведено одно
важное для дальнейшего следствие: известно, что производная не-
§ 6] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРОИЗВОДНЫЕ 161
прерывной функции может быть разрывной; однако, как мы сейчас
покажем, она должна удовлетворять одному из характерных для
непрерывной функции условий — свойству Дарбу.
Теорема 11 (Дарбу). Если функция f(x) непрерывна и
имеет (конечную или бесконечную) производную в каждой точке
отрезка [at b]> то f (х) должна принимать все значения,
промежуточные между ее значениями f (а) и f (b) на концах отрезка [ау Ь].
Докажем сначала вспомогательное предложение: если f(a) и/'(#)
отличны от нуля и разных знаков, то существует некоторая точка £,
заключенная между а и Ь, такая, что /'(%) = 0.
Положим для определенности/'(а)^>0 и f (b)<^0. Функция /(лг),
как непрерывная на отрезке \ау Ь], должна достигать на нем своего
наибольшего значения. Оно не может достигаться ни в точке а,
ни в точке Ь; в самом деле, так как /(д)^>0, то
lim Я« + у-/Ц >0;
следовательно, для достаточно малого Алг^>0 имеем:
f(a + bx)-f(a) >Q
Дл: ^ *
т. е. f(a -\-&х)—/(я)]>0; значит, /(а-\-&х)]>/(я), т. е. значение
f(x)t при x = ct-\-kx больше, чем при х = а, и следовательно,
/(а) не есть наибольшее значение функции. Точно так же докажем,
что и f(b) не есть наибольшее значение функции. Следовательно,
наибольшее значение функции достигается в какой-то точке £,
внутренней для отрезка [а, Ь], а тогда /'(Е) = 0.
Переходим к доказательству самой теоремы Дарбу. Пусть теперь
А — какое угодно число, заключенное между f{a) и/'(#). Функция
F(x)=f(x) — Ах имеет производную F(x)=f(x) — А.
Следовательно, F (а) и F(b) разных знаков, а тогда на основании
вспомогательного предложения существует такая точка £, в которой
т. е, /'(£) = АЛ что и требовалось доказать.
39. Теорема Ролля. Докажем теперь теорему, имеющую большое
применение.
Теорема 12 (Ролля). Если функция f(x) определена и
непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет конечную или бесконечную
производную во всех внутренних точках этого отрезка, то между
двумя нулями функции 1) существует по крайней мере оди% нуль
ее производной.
Доказательство. Не нарушая общности, будем считать, что
f(a)=f(b) = 0. Так как функция f(x), по предположению, непре-
*) Нулем функции f (х) называют такое значение х} при котором f(x)=Q,
6 В« В. Немыцкий и др.
162 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. V
рывна на отрезке [а, #], то она по теореме Вейерштрасса (гл. III,
п. 15, теорема 17) достигает на этом отрезке [а, Ь] своего
наибольшего (М) значения и своего наименьшего (т) значения.
Пусть сначала Мфт, тогда одно из них, например М Ф 0. По
теореме 10, если
М =/(£), то f'(l) = 0,
и так как Л1=/(£) Ф 0, то точка \ не совпадает нц с одним концом
отрезка.
В случае, если M = m = 0} f(x) на отрезке [а, Ь] тождественно
равна нулю: /(лг) = 0, а следовательно, на этом отрезке [а, Ь] и
*-х
производная /'(лг) = 0, т. е. в качестве точки \ можно взять любую
точку на отрезке [а, Ь], и теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля следующий: если мы имеем
дугу кривой y=f(x)y заключенную между точками а и Ъ
пересечения этой кривой с осью ОХ, и если кривая в каждой внутренней
точке этой дуги имеет касательную (черт. 46)х), то на рассматри-
!) Если в точке (л:, /(*)) касательная перпендикулярна к оси ОХ, то из
предположения, что f (х) существует, следует, что f (х) равно +сх> или — оо.
Если отказаться от предположения что f (х) существует, то может и не
=г^Х
Черт. 47.
быть точки между а и Ь, в которой касательная параллельна оси ОХ. В самом
деле, рассмотрим пример функции, изображенной на черт. 47. Дуги ас и be
суть дугиюкружностей одинакового радиуса, касающиеся в точке с и имеющие
там вертикальную касательную.
§ 6] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРОИЗВОДНЫЕ 163
ваемой дуге найдется по крайней мере одна точка, в которой
касательная к кривой параллельна оси ОХ (на кривой, изображенной
на черт. 46, существуют три такие точки: Аъ Л2 и Л3).
Следствие 1. Пусть непрерывная функция f(x) имеет
конечную или бесконечную производную всюду на отрезке [а, Ь] и
принимает равные значения на концах^ этого отрезка, т. е.
f(a)=f(b). Тогда производная этой функции f{x) обращается
в нуль по крайней мере один раз внутри рассматриваемого отрезка.
Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию ср (лг),
определенную так:
<р (*)=/(*)-/(а).
Вспомогательная функция ср (дг) удовлетворяет условиям теоремы
Ролля; в ^амом деле, ее производная равна cpf (x)=f(x), т. е.
существует всюду на отрезке [а, Ь] и * 1
9 («)=/(«)-/(«) = 0. ?(*)=/(*)-/(а) =/(а)-/(a) = Q.
Поэтому по теореме Ролля существует такое £(я<4<^#), что
срг(£) = 0 или /'(£) = 0, что и требовалось доказать.
Следует обратить внимание на то, что теорема Ролля не дает
возможности вычислить число £, а только утверждает существование
такого числа £.
40. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа).
Теорема 13 (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке
а^х^Ь и имеет конечную или бесконечную производную в
интервале (а, Ь), то найдется такое значение £(я<[£<^), что
№-f(a)=f®{b-a).
Доказательство этой теоремы состоит в сведении ее к теореме
Ролля. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x), построенную
следующим образом:
F(x) = (b-a)\f(x)-f(a))-(x-a)\fW-№l.
Ясно, что если функция f(x) непрерывна и имеет в каждой
точке производную, то и функция F(x) тоже непрерывна и имеет
в каждой точке производную. Кроме того, F(x) обращается в нуль
при х = а и х = Ь; в этом можно убедиться простой подстановкой
значений а и Ъ. Следовательно, для функции F(x) все условия
теоремы Ролля выполнены, и поэтому существует такое значение £,
лежащее между а и й, что F(E) —0.
Так как
F (х) = {b-a)f (х) - [/(*) -/(e)],
ГО
(*-а)/Ч5)-[/(*)-/(а)] = 0,
откуда следует
/(ft)-/(a) = (ft-a)/(E) (a <$<*),
т. е. теорема доказана.
6*
164
ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. V
Полученное равенство называют формулой конечных приращений.
Формулу конечных приращений можно записать в таком виде:
f(b)-f(a)
b — a
=/($
(24)
и выразить словами:
Отношение приращения функции /(#)—/(a) к приращению
аргумента Ъ — а равно производной от заданной функции,
вычисленной при некотором
значении аргумента, заключенном
между а и Ь.
Заметим, что промежуточное
число \ можно представить в
форме
\ = а + Ъ(Ь — а\
э-/Г
где о — положительное число,
меньшее единицы, т. е.
0<6<1.
В самом деле, так как $
лежит между а и й, то я<^<^#,
откуда 0<^£ — а<^Ь— а. Деля это неравенство на положительное
число Ъ — а, получим:
-6
o<S<i.
5 — а
откуда видим, что |—- есть правильная положительная дробь.
Обозначая ее через 6:
Ь— а~ '
мы и получим для I выражение \ = а -\- б (Ь — а).
В новых обозначениях формулы конечных приращений
перепишутся так:
№-f(a) = {b-a)f [а + 9 (Ь- а)],
ИЛИ
mbZ{(a) =П* + ЧЬ-а)].
Выясним геометрическое содержание теоремы Лагранжа. Пусть
функция y=f(x) имеет график, указанный на черт. 48. В силу
условий теоремы Лагранжа в каждой точке кривой между А и В
существует единственная касательная к этой кривой (это вытекает
из условия, что производная существует). На черт. 48
aA=f(a), bB=f(b),
CB=f(b)—f(a)t AC = b — a.
§ 6] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРОИЗВОДНЫЕ 165
Поэтому
f(*)Tf(*)=CB_
Ъ — а АС ё ъ
где ср— угол секущей с осью ОХ.
Левая часть равенства r_ ==f(X) Дает значение тангенса
угла наклона секущей АВ с осью ОХ. В правой же части стоит /(£),
а так как значение производной равно значению тангенса угла
наклона касательной с осью ОХ, то f(%) = tgcL. Следовательно,
tgcp = tga и ср = а, и мы получим такой вывод:
Если в каждой точке дуги кривой существует касательная,
то на дуге всегда найдется такая точка, в которой касательная
параллельна хорде, стягивающей эту дугу (на черт. 48 касательная'
в точке К параллельна хорде A3).
41. Следствие из формулы конечных приращений. Выведем из
формулы конечных приращений следствие, которое, как мы увидим
в дальнейшем, играет важную роль в математическом анализе.
Следствие 2. Если функция F(x) во всех точках
некоторого отрезка а^х^Ь имеет производную равную нулю, то F(x)
равна некоторой постоянной величине.
В самом деле, пусть F(x) = Q для а^х^Ь. Пусть хх и х2 —
две любые точки отрезка [а, Ь]. Находим разность F(x%)— F(xt).
Она по формуле конечного приращения равна
F(x%)-F(x1) = F(i)(x%-xl)9
где a<J<^. По условию теоремы, F'(£) = 0, следовательно,
F(x2) — F(xl) = 0. Итак, любые два значения функции F(x) равны
между собой, т. е. F(x) = C, где С = /7(а)., Это следствие можно
формулировать в виде такой теоремы:
Теорема 14. Если функция f (х) и ср(х) имеют тождественно
равные производные, то эти функции могут отличаться лишь на
постоянную величину.
В самом деле, по условию теоремы,
[/(*) - <р (*)]' =f (х) - <р' (X) *= О,
следовательно, по только что доказанному, f(x) — <р(х) = С.
42. Теорема Коши. Следующая теорема дает обобщение
формулы конечных приращений.
Теорема 15 (Коши). Если/(х) и ср (х) — непрерывные
функции, заданные на отрезке а^х^Ь и имеющие конечные или
бесконечные производные в каждой точке интервала (а, Ь) и если,
кроме того, ср (а) ф ср (Ь) и производные f (х) и ср' (х) ни в какой
точке интервала не обращаются одновременно в нуль, то суще-
ствует между а и Ц такое чцсло \(а<С\<С^Ь), что
f(b)-f{d) _/'(;) Г2е,
*(«-*(«)~>Ч6Г К }
166 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. V
Это равенство называется формулой Коши.
Доказательство аналогично доказательству теоремы Лагранжа.
Рассмотрим вспомогательную функцию Р(х), определенную так:
F (x)=f(x) [7 (ft) - <р (а)} - г (х) [/(ft) -/(а)].
Очевидно, эта функция имеет производную, если имеют
производные функции f(x) и <р(лг). Производная ее равна
F (х) =f (х) [<р (Ь) - <р (а)] - <?' (х) [/(b) -/(а)].
Функция F(x) при х = а и х = Ь имеет равные значения:
F(a)=/(a) [? (ft) - <р (а)] - <р (а) [/(ft) -/(а)] =
F(b)=f(b) [<р (ft) - <р (а)] - <р (*) [/(ft) -/(а)] =
=/(«)?(*)-?(«)/(*)■
6 силу следствия 1 из теоремы Ролля, найдется такое значение
Е (а <^ S <С *)> что /* (£) = (). Поэтому получаем:
^ (0 =/(5) [<Р (*) - «Р (а)} - <?' (?) [f(b) -/(а)] = О
или
/49 [?(*)-ч>(«)]=тЧ9 [А*)-/(«)]•
Из этого равенства заключаем, что cp'(l-) не равно нулю.
Действительно, по условию,
T(*)-?(fl)^0.
Если бы ср'(!-) = 0, то ясно, что и /'(!•) = О, но, согласно
условию, f (£) и cpf (£) не могут одновременно обращаться в нуль внутри
отрезка, следовательно, <р'(£)т^0, и потому мы можем разделить
обе части полученного равенства на число отличное от нуля
срг(£)[ср(#) — <р(а)]> и тогда получим:
f{b)-f(a) _f(5)
т. е. формулу Коши.
§ 7. Производные высших порядков
43. Определение и обозначение производных различных
порядков. Пусть имеем функцию f(x)y имеющую производную f(x).
Эта производная в свою очередь является функцией независимого
переменного х и, следовательно, от нее также может существовать
производная. Например,
f(x) = x\ f(x) = 4x\
§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 167
Производная от первой производной называется производной
второго порядка, или короче, второй производной функции f(x) и
обозначается: по Лагранжу у =/"(.*;) (читается «игрек два штриха»);
по Ньютону y=f(x) («игрек с двумя точками»); по Коши D*y =
= D2f(x) («дэ большое квадрат от игрека»). Наконец, по Лейбницу
производная второго порядка обозначается -~^- («дэ два у по дэ х
квадрат»). **
Может оказаться, что от второй производной можно снова взять
производную, которую называют производной третьего порядка от
данной функции (или третьей производной) и обозначают: или
У =/»(*), или j) =/(*), или D*y = D*f(x)f или g-.
В нашем примере
/" = (уг J = (12х*)' = 24*.
Операцию взятия производной от производной часто можно
повторять, причем иногда это можно сделать сколько угодно раз.
Вообще производной n-го порядка или #-й производной от
заданной функции f(x) называется результат, получившийся после
дифференцирования заданной функции п раз подряд. Она обозначается
символами
yW=fi*)(x), или Dny = Dnf(x), или g-.
При этом число п, указывающее порядок производной, при
обозначении Лагранжа заключают в скобки в отличие от показателя
степени.
Производные четвертого порядка и выше часто обозначают (по
Лагранжу) римскими цифрами, а не арабскими и без скобок, т. е.
пишут:
у™, у\ущ, ...
или
Вернемся к нашему примеру
у = х*.
Имеем:
у = 4дг3, У1 = 12дг2, /" = 24дг, Уv = 24.
Так как yv равна постоянному, то пятая производная от основной
функции равна нулю:
168 правила нахождения производных [гл. V
а потому и все последующие производные тоже равны нулю:
уп =уп\ =уш =... = у я) =... = о.
Пр имер 21.
У =*?,
у =пхп-19
у' =п(п—\)хп-2,
у» = п(п—1)(<п — 2)хп-\
Отсюда легко выводится и общий закон
У * > = п (п — 1) (л — 2).,. (л — k -f-1) хп~\
Пример 22. Вычислим производные от функции
1
Предварительно представив ее в виде степенной функции
последовательно находим:
У =(-1)(1 + ху\
У" = (- 1) (- 2) (1 + *Г3 = (- I)2 (1 • 2) (1 + ху\
у* =(- 1)2(- 3)0 • 2)(1 +*)-* = (- 1)3(1 .2-3)(1 i-*)'4,
Уу=(— 1)3(— 4)0 •2-3)(1+дг)-5 = (—1)40 -2-3-4)0 +*Г5-
Рассматривая полученные производные, легко подметить закон
образования производных для функции у = —г-—. Именно, полу*
1 -\-х
чаем:
Ул) = (— 1)л 1 • 2 - 3 • -4 ... п (1 + *Г(я+1)-
Докажем эту формулу методом полной индукции.
Допустим, что
ул-1) = (_ !)*-! 1 . 2 - 3 - 4 ... (л — 1) (1 + х)-п;
докажем, что УЛ) определяется вышенаписанной формулой. В самом
деле,
У") == (У *-!))' = (— 1)"-Ч .2... (л —1)(— 1)п(1+^Г(л+1),
т. е.
Ул) = (— 1)л 1 • 2... (я — \)п (1 4-х)-(л+1>,
на этом доказательство заканчивается.
Пример 23. Рассматривая производные от функции
y — smx>
§ 7]
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
замечаем, что
у =cosx=ssinf*4-y)>
У = — sinx = sin(x-|-2 yj,
У" = — cos лг = sin (лг -{- 3 у ],
у v = sin х = sin f лг -f- 4 у J.
Получаем закон для определения производной любого порядка от
этой функции:
y(k) =sin(x-{-k-jj;
так, например,
yn)_sin (х-\-11 yj = sinfx4-3yj = — cosx.
Пример 24.
j/ = In x,
У =-L = x"1,
-к л: '
у =(-l)x-\
у'" = (— 1)21 • 2лГ3,
Ул) = (— l)*"1 1 . 2 . 3 ... (п — 1) х'п.
44. Формула Лейбница для производной произведения.
Рассмотрим функцию у = uv и выведем формулу для я-й производной у,
т. е. для Ул). Последовательно дифференцируя по х, получим:
у = uvr -f- те',
у = (иг/)' -f (ш'У = иг/' -f и V + г/и' + *>'«" = *w" + 2«V + w".
Таким же образом найдем:
у'"= (иг;)"' = иг/" + Зи'г/' -f Зи"г/ + и"'г>,
У 4) = (иг;)(4) = uvU) + 4и(1)г>(3> + *i|h(2V2> + 4м(з)х;(1) + и(4)г>.
Рассматривая формулы, замечаем, что коэффициенты
последовательных членов являются биномиальными коэффициентами, порядок
производной от и увеличивается от 0 до п (если саму
исходную функцию будем считать производной нулевого порядка), а
порядок производных от v убывает от п до 0 и притом так, что сумма
порядков производных от и и от г; равна п. Таким образом, для
170 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
любого п мы получим формулу
(от)**) = uv{n) + Clnu(l)v{n-l) + cy^v{n-^ +...
... + С*м(Л)х;(/,-л> + ... + м(л)х;.
В обозначениях Лейбница эта формула .имеет следующий вид:
dn(u • у) dPv_ \r\du dn-iy \гъ&и dn~2v ,
dxn ~~Udxn* ndx dxn~l "i Lndx2 dxn~2 "+" " •
Строгое доказательство формулы Лейбница можно провести
обычным методом полной математической индукции («от п к п-\-1»).
Мы его опускаем.
Пример 25. Найдем пятую производную от функции
у = х* cosx.
Полагая u = cosxf v = x6, найдем:
х,
откуда по формуле Лейбница
^ (дг6 cosх) = (cosx) • 72D* + 5 • (— sin х) ЗбОдг2 -f-
+ Ю • (— cosx). 120дг3 + Ю (sinx). ЗОлг4 + 5 (cosx). 6хъ +
+ (— sinx) • х% = (720дг— 12D0at3 + ЗОдг5) cosx +
+ (— 1800х2 -f ЗООх4—л:6) sin л:.
Пример 26. Найти #-ю производную от функции:
х2
У
du . d2u dzu d*u d*u
Tx=-sxnx, _ = _cosx, s?=sinj;, ^ = cosx, _=_smx,
Полагая
найдем:
£Н2*> ё=(-1)(-+1)Л
S = 2> S = (-Da2!(x+1)-
dzu п rf^
d*8 ~~~ ' dx*
S = °. g = (-D33!(x+l)-
§ 8] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 171
и формула Лейбница дает
£(^т)=(-1)я«'(^+1)-л-^ +
+ я (— I)""1 (и — 1)! (* + I)"" • 2х +
+ ^^(-l)n-2(«-2)!(x+l)-^.2 = (-t^i.
Эта формула верна, начиная только со второй производной.
§ 8. Дифференциалы высших цорядков
45. Определение дифференциалов высших порядков. Пусть дана
некоторая функция, имеющая конечную производную:
.У =/(*)>
где х—независимое переменное. Дифференциал этой функции, как
известно, равен
dy =f (х) Lx=f (х) dx.
От первого дифференциала, рассматриваемого как функция от х,
можно в свою очередь искать дифференциал; этот дифференциал
называют вторым дифференциалом функции f(x) и обозначают так;
d(dy) = d*y
(читается: «дэ второе игрек»).
Точно так же дифференциал от второго дифференциала
называется третьим дифференциалом от основной функции и
обозначается d%y («дэ третье игрек»). Вообще дифференциалом порядка п
называется дифференциал от дифференциала (я—1)-го порядка.
Найдем выражения дифференциалов высшего порядка через
производные данной функции y = f(x).
Вычислим сначала второй дифференциал. Принимая во внимание,
что
dy=f(x)dx и dx = kx,
имеем:
d*y = d(dy) = d[f(x)dx] = [f(x)dx]'dx.
При вычислении производной по независимому переменному х
от выражения f (х) dx надо иметь в виду, что dx есть
дифференциал независимого переменного, не зависящий от х и равный
приращению Ддг, а потому мы рассматриваем его как постоянный
множитель.
Следовательно,
[/' (х) dx]' = [/' (х)]т dx = [/" (х) dx] dx.
172 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ производных [гл. V
Таким образом, мы получаем:
d*y=f"(x)dx*.
Отсюда заключаем:
Второй дифференциал функции равен второй производной,
умноженной на квадрат дифференциала независимого
переменного.
Определим теперь третий дифференциал функции, исходя из тех
же соображений:
d*y = d {fPy) = d [/" (х) dx*] = [f (x) dx*]' dx,
и так как
\f(x)dx*4=f'{x)dx\
то
d*y=f'"(x)dx*.
Продолжая наши рассуждения дальше, получим, что вообще
дифференциал любого порядка п равен производной порядка п,
умноженной на п-ю степень дифференциала независимого
переменного:
dny=fn)(x)dxn.
Отсюда следует, что производная n-го порядка есть отношение
дифференциала порядка п от функции к дифференциалу
независимого переменного в степени п:
Из этого последнего равенства вытекает, что в обозначениях
Лейбница л-й производной dny и dxn можно рассматривать как
числитель и знаменатель некоторой дроби.
46. Дифференциалы высших порядков от сложной функции.
Хотя, в силу инвариантности формы первого дифференциала
функции ху всегда
dy—f(x)dx
как при х независимом переменном, так и при х, заданном как
некоторая функция t, второй дифференциал имеет уже различную
форму в зависимости от того, как рассматривать аргумент х.
Если х—независимое переменное, то dx — bx не зависит от х
и является новым независимым переменным и его при
дифференцировании рассматривают как постоянный множитель.
Но если y=f(x) и x = <p(t)9 то в формуле
dy=f (x)dx
dx в свою очередь есть функция двух переменных J и dt:
dx — ^{t)dt.
§ 9] КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И ПРИБЛИЖЕН. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 173
Вычислим второй дифференциал для функции y—f(x) в этом
предположении:
d2y = d(dy) = d(f(x)dx) =
= W(*)] dx + d [dx] f (x) =/" (x) {dxf +/ (x) d*x.
В выражении d*y появился второй член, происшедший от тогоу
что dx Ф Ах.
Выражение дифференциалов третьего и высших порядков будет
еще сложнее.
§ 9. Конечные разности и приближенное вычисление
производных
47. Определение конечных разностей. Рассмотрим значения
независимого переменного, образующие арифметическую прогрессию:
х0 = х, *! = .*:-{-/г, xs = x-\-2hy ... , хп = х-f-nhf
или, как говорят, равноотстоящие значения аргумента, и возьмем
соответствующие им значения функции /(*), которые будем обозначать так:
J>e=/(*o) =/(*). yi=f(x + h\ y2=f(x + 2h), ... ,yn = f(x + nh).
(Отметим, что функция f(x) не предполагается обязательно заданной для
всех значений ху она может быть определена только при х0, хи ... , хп;
таковы, например, функции, заданные таблицами, а также функции
целочисленного аргумента (Л = 1).) Введем определение.
Определение 5. Разностью первого порядка &у0 при данном
значении х называется приращение функции
&y* = bf(Xo)=f(xi) — f(Xo)=f(x + h)--f(x)==yl--y0,
так, что, например byt =ys — у и Ауп^ — уп — уп-\-
Разностью второго порядка №уц при данном значении х называется
Ь2Уо=Ьу1 — ЬУо>
так что Д2^1 = by* — Ддч = (y»—yi) — {У\ — Уо) = У* — 2у^ + у*
Вообще разностью порядка п называется
Д^0 = д* (/ (х)) = Д»-*^ - A«-iye == Д (Дл-^0). (26)
Для разности порядка п получаем формулу, которая легко
доказывается методом полной индукции:
лл I я(л —1) л(л —1)(я—2) .
i / 1\я ь я(я —1)...(л —Л+0 г . / л\„
Из этой формулы видно, что для вычисления разности порядка д надо
знать п -J- 1 сравноотстоящих> значений функции.
174 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. V
Пример 27. Вычислить ку0, Д2Уо» дз^о Для Функции у = х2 при
значении х0 = х. Находим
х0=Ху xi = х -)- К *в = х -f 2Л, л:8 = лг + 3^,
3>о = х\
yi = (x + h)2 = х* + 2xh + h\
у2 = (х + 2hf = х2 + 4xh + 4Ла,
yz = (л: + ЗЛ)а = л:2 -f блгЛ -f 9Л2,
^o=^i— yQ = 2xh + h\
by i = 3>2 — J>i = %xh + ЗЛ2,
A^2 =^з —З'г = 2xh -j- 5Ла.
Пользуясь формулой (26), имеем:
Д23>о = Дз>1 — А^о = 2Л8,
№у0 = №У1— А*у0 = 0.
Пример 28. Вычислить А*у0 для функций, заданной таблицей (h = 0,01):
X
1,15
1,16
1 1,17
У
0,913
0,917
0,921
X
1,18
1 1,19
1,20
У
0,925
0,928
0,932
Вычисления производятся легко путем вычитания из данного числа числа,
непосредственно стоящего над ним в таблице (т. е. применение формулы (26)).
Результаты сведены в нижеследующую таблицу:
k
о
1
2
3
4
5
xk
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
Ук
0,913
0,917
0,921
0,925
0,928
0,932
Ад,
0,004
0,004
0,004
0,003
0,004
Д2.у
0,000
0,000
—0,001
0,001
Д»у
0,000
—0,001
0,002
Д*у
—0,001
0,003
Д8у
0,004
48. Определение производных и дифференциалов через конечные
разности. Связь между понятием разности порядка п и производной
порядка п устанавливается следующей теоремой:
Теорема 16. Если f(x) имеет непрерывную производную п-го
порядка fw (х) в некоторой окрестности точки х0, то
lira ^Л*»> =/<«>(*„)
или ДЛ / (х) = /w) (лг0) hn + а (h), где a (h) — бесконечно малая более высокого
порядка, чем hn.
Прежде всего заметим, что из предположения о существовании /(л) (х)
во всех точках некоторого интервала, содержащего лг0, следует, что f(x),
f {х), ..., f{fl~l) (х) существуют и непрерывны во всех точках этого интервала.
§ 9] КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И ПРИБЛИЖЕН. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 175
Рассмотрим сначала первую разность Д/(лг0).
Используя теорему о конечном приращении, будем иметь:
А/(*о) = /(*> + h) -/(лго) = hf (Si),
где х0 < Si < х0 -f- h. Так же, применяя теорему о конечном приращении,
последовательно, будем получать:
А» /(*•) = А (А/(*в)) = А [V (WJ = Л А/' (Ь) = Л2 /" (S2),
так как
А/ (Si) =/' (Si + h)-f (Si) = Л/» (6,),
*o < Si < Sf? < Si + h < xo + 2Л.
A»/(*o) = А [А2/(лго)] = A [h*f> (6,)] = Л2Д/» (S2) =*
= Л2 [/» (Sa + Л) -/»(&)] = Л3/"' (S3),
*o<S2<S3<S2+ /*<*<> +ЗА.
Вообще, если уже доказано, что
Afe-V(*o)==/i*-1/(*-1,(^-i),
a:0<S^_i<^o + (Aj—1)Л,
то
Д*/(*о) = А [А*-*/(лго)] = А [Л*"1 /<*-» (S*_i)] =*
в Л** Д/<*-» (Sfe-i) = Л*"1 [/<*-» (S*-i + Л) -/«*"» (S*_i)] = hkf» (%).
Хо <S*_i <S* <S*-i + Л < xo + kh.
Итак,
Дя/(^0) = ЛЛ/(Л)(У,
где лг0 < £л < лг0 + nh (пгя производная в окрестности точки х0 существует
по условию). В силу написанного неравенства замечаем, что Zn—>x0 при
Л •-►О. Поэтому
Л->0 Лл Л->о Лл J v Л
и следовательно,
Д«/(лго) = /гл/(л,Ы + «(Л),
где а (Л) — бесконечно малая более высокого порядка, чем hn.
Эта теорема позволяет дать непосредственно определение производной
порядка п, именно: если заранее предположено, что fln) (х) существует, то
она может быть определена по формуле
/<*>(*) =
«=lim f! __
Надо заметить, что может случиться, что предел правой части
существует, а производная fn) (х) не существует.
Например, рассмотрим функцию
/(*) = *» COS -I ЛГ^О,
/(0) = 0.
176 ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Эта функция имеет производную
/'(*) = Зх2cos — + х sin—,
/'(0) = 0,
но не имеет второй производной при х = 0. Однако
1
[гл. V
1
lim f(0 + 2h)-2f(0+h)+f(0)^ Jim WcoB^-WcoBy + 0
ft-0 Л8 Л->0 h2
r= lim ;
Sh cos gr — 2h cos
ii-
0.
Доказанное приближенное равенство
Д*/(лг)
/(л) -(х)'
Лл
(27)
позволяет находить приближенные значения производных.
Этим пользуются для нахождения производных для функций, заданных
таблицами (предполагая, что производные существуют и непрерывны).
Пример 29. Найти приближенные значения у\ у", у"\ yw при х = 1
для функции, заданной таблицей (Л = 0, 1):
п
' 0
1
2
3
4
*п
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
Уп
1,000
1,331
1,728
2,197
2,744
А
0,331
0,397
0,469
0,547
Д2
0,066
0,072
0,078
Д3
0,006
0,006
Д4
0,000
Применяя (27), получим:
/(1)^^1 = 3,31, /'(1)^^=6,6,
'/П~°'006-Я
(^"оД^6'
Уу(1)-
0,066^
2
о
0,1*
:0.
Замечание. Приведенная таблица есть таблица функции f(x) = хьу
поэтому истинные значения производных при х = 1 будут
У (0 = 3, у (0-6, r(i) = e, yv(i) = o.
Недостаточная точность полученных выше приближенных значений
объясняется тем, что шаг таблицы h слишком велик.
ГЛАВА VI
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Исследование кривых, заданных параметрически
1. Определение кривых, заданных параметрически.
Геометрическое место точек, координаты которого удовлетворяют
уравнениям
при изменений t на некотором отрезке [tu t^\ или на полуоси, или
на всей оси, называется кривой, заданной параметрически.
Черт. 49.
Приведем примеры подобных кривых.
Пример 1. Найти параметрическое уравнение линии, которую
описывает точка Р, лежащая на окружности радиуса а, если
окружность катится без скольжения по прямой.
Такая линия называется циклоидой.
Предположим, что окружность катится в положительном
направлении по оси Ху а рассматриваемая точка Р при начале движения
находилась в начале координат.
Рассмотрим положение точки Р(х, у) после того, как
окружность повернулась на угол t (черт. 49).
Обозначим через С центр окружности (угол ВСР равен t) и
проведем прямые PA_LOX; СВ 1_ОХ\ PK_LBC. Тогда абсцисса
точки Р будет х = ОА, ордината точки Р будет у —АР. Так как
178 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
окружность катится без скольжения, то длина отрезка ОВ равна
длине дуги ВРУ которая равна at, т. е. OB = at.
Рассматривая черт. 49 и замечая, что треугольник РКС
прямоугольный, получим:
x = OA = OB — AB — OB — PK=at — asin t,
y = AP=BC — KC = a — acos t,
или окончательно
х = a {t — sin t),
У-
это и есть параметрические уравнения циклоиды.
Чтобы получить функциональную зависимость между х и у,
надо исключить t из параметрических уравнений. Сделав это
исключение, получим:
а— у
: — a(t — sin t), V
f ==а(1 —cos t); J
лг=а
arc cos
±1/2ay-y*].
Ясно, что два параметрических уравнения удобнее для
исследований, чем это последнее сложное уравнение.
Параметрическое представление функции имеет большое
применение в механике, где оно связывает координаты движущейся точки
с соответствующими моментами
времени.
Решим, например, такую
задачу.
Определить траекторию
камня, брошенного с начальной
скоростью v0 под углом ср к
горизонту (сопротивление воздуха
не учитывается).
Если бы не существовало
притяжения земли, то камень
двигался бы равномерно и
прямолинейно по прямой ОТ (черт. 50)
наклонно к горизонту под углом ср
и через t секунд прошел бы
путь OM = S = v0t, достигнув некоторой точки M(xQ} yQ). Очевидно,
х0 = ОМ cos ср = v01 cos ср,
yQ = ОМ sin y = vQt sin cp.
Но под влиянием силы тяжести камень уклонится со своего
прямолинейного пути и в момент t будет находиться в некоторой
точке А, абсцисса которой по-прежнему равна х0> но ордината
которой у меньше ординаты yQ на некоторую величину AM:
y=yQ — AM.
Черт. 50.
§ 1] ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 17Й
Как известно из физики, путь, пройденный падающим телом под
*янием силы тяжести, ра
будет AM; следовательно,
gt2
влиянием силы тяжести, равен —, Но в нашей задаче этот путь и
Итак, координаты движущейся точки (т. е. любой точки
траектории) выражаются такими уравнениями:
x = vQtcos ср,
у = v01 sin ср — £j-,
gt2
которые и являются параметрическими уравнениями траектории.
2. Разыскание асимптот. Мы изложим этот вопрос для кривых,
заданных параметрически. Пусть
* = ?(*), J> = <K0 (!)
есть уравнение заданной кривой.
Поскольку график функции /(дг), т. е. кривая, уравнение
которой задано в форме j/=/(.xr), всегда может быть записано и
в параметрической форме:
x=t, y=f(t),
то изложенный ниже метод пригоден и для разыскания асимптот
для трафика функций y = f(x).
Определение I. Прямую Ах-\-Ву-{-С — 0 назовем
асимптотой для кривой х = у (t), у = ф (t)y если при t->t0 (t0 может
быть равно нь оо) ср2 (t) -\- ф2 (t) -* оо, а расстояние dt точки
(сР(0>Ф(0) от прямой Ах-\~Ву-\-С = 0 стремится к нулю.
Поставим теперь задачу: дано уравнение кривой, найти
уравнение асимптот, если они существуют.
Расстояние точки, лежащей на кривой, от асимптоты найдется
по известным правилам аналитической геометрии. Если обозначим
через dt расстояние точки [ср (t); ф (t)] от асимптоты, то получим:
d = \A<t{t) + Bt?{t)-C\
t У А* + В2
По определению асимптоты dt-+0. Пусть при этом t ~v /0; тогда
lim Ух*-\-у* = Ит /[<p(0]2 + [<K0]2==°°- (2)
t-*t0 t-*t0
По условию, имеем:
180 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
а так как знаменатель постоянная величина, не равная нулю, то
lim [Лср (t) -f В^ (0 -f С] = 0 (3)
t-*t0
или
lim [А<р(*) + В<К9]= —С.
t-*tQ
Предположим сначала, что значению t = t0 соответствует
вертикальная асимптота кривой. В этом случае в уравнении асимптоты
коэффициент В должен равняться нулю, и ее уравнение будет:
Q
х = — -J. Но тогда равенство (3) будет иметь вид
откуда
lim Acp(*)= — С,
t-t0
Hm *(*) = -■?•
т. е. предел lim 9 (0 конечен. Тогда должно быть
lim ф(0=±со-
Итак, мы получили следующий результат: если кривая (1) имеет
вертикальную асимптоту, то Нтф(^) = ±оо, a limcp(^) конечен, и
уравнение асимптоты есть * = а=Шпср(0- Очевидно, приведенные
условия не только необходимы, но и достаточны для
существования вертикальной асимптоты.
Таким образом, имеем следующее правило нахождения
вертикальных асимптот: ищем значение £0> ПРИ котором Нт>у = Нтф(/) = ±оэ>
t-*t0 t-*t0
a limcp(^) конечен; пусть он равен а; тогда уравнение
вертикально
ной асимптоты будет х = а.
Предположим теперь, что значению t — t0 соответствует не
вертикальная (т. е. наклонная) асимптота, так что В ^ 0; тогда,
наверное, Нт<р(/) = ±оэ, так как в противном случае равенство (3)
дало бы, что
— С — A Hm <р (t)
lim ф (0 = 4=&
тоже является конечной величиной, что противоречит (2),
Равенству (3) придаем следующий вид:
а *»й+$]--*
§ 1] ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 181
Так как предел всего выражения, стоящего налево, равен —С,
т. е. конечной величине, и так как MmBy{t) заведомо равен ±оо,
t->t0
то ljm ("о~|~^\) должен быть равен нулю, т. е.
НшШ=Иш^=-4.
Л
Но величина — —- есть угловой коэффициент асимптоты, так как
ее уравнение есть Ах-{-Ву-\-С=0; поэтому, обозначив через k
этот угловой коэффициент, найдем:
к = Ш±=шЩ. (4)
Найдя k из равенства (4), мы получим:
—§ = нш Н* (0+ф(ol = иш [- ц (о+ф (01;
но —-о есть величина ординаты асимптоты при х = 0; если мы
обозначим ее через Ь, то
Ъ = Urn [— kylt) 4- ф (/)] = Иш [— kx+y]. (5)
Итак, мы получили следующий результат: если кривая (1) имеет
наклонную асимптоту, то существуют конечные пределы (4) и (5),
и уравнение асимптоты есть y = kx-\-b. Как и в предыдущем
случае, существование конечных пределов (4) и (5) при
одновременном выполнении условия (2^) не только необходимо, но и
достаточно для существования при t = t0 асимптоты, не параллельной
оси у.
Таким образом, мы получаем следующее правило нахождения
наклонной асимптоты: среди значений tQy удовлетворяющих условию (2),
ищем значение /0, при котором существуют конечные пределы (4)
и (5); тогда этому значению t0 соответствует асимптота, и
уравнение ее есть y — kx-\-b.
Пример 2. Найти асимптоты для кривой
Так как при всех значениях t ф — 1 (в -том числе и при
t-+±oo) выражения х и у определены и конечны, то надо
рассмотреть Нш х и lim у. Видим, что если /->—1, оставаясь
меньше —1, то х стремится к -\-оо\ если t-+—1, оставаясь
182 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
больше —1, получим, что х стремится к —со. Аналогично, если
tf->—1 и t<^—1, то у->— со; если же t-+—1 и t^>—1,
то j/->-f-oo.
Отсюда следует, что вертикальных асимптот нет. Наклонная
асимптота находится немедленно при помощи следующих вычислений:
t2
&= lim -^-= lim -£- = —l,
t-+-i х t-*~\ t
b = lim [— kx Агу\ =s
/->-i
*~X
Черт. 51.
= litri
= lim
t"1i (t+l)(*-t+l)'
t 1
! fi—t+1'
з •
Итак, уравнение наклонной асимптоты у =— х — ~;
исследуемая кривая называется листом Декарта; она изображена на
черт. 51.
§ 2. Функция, заданная параметрически, и ее производная
3. Определение производной. Пусть на некотором участке
изменения t из двух уравнений je = cp(f), y = ty(t) можно исключить
параметр t и получить функцию у=/(х)\ тогда мы будем
говорить, что функция y=f(x) задана параметрически, и поставим
задачу: не исключая заранее параметра t, найти производные
от функции, заданной в параметрическом виде.
Предварительно заметим, что если х есть функция t, то и t в
свою очередь можно рассматривать как функцию х\ а силу
теоремы о производной обратной функции х\ = —г,
tx
Считая теперь х за независимое переменное, найдем
производную от у по х, имея в виду, что у — функция ty a t — функция х.
По теореме о производной сложной функции получим:
xt
или, заменяя ty(t) через у,
Ух'-
dx
xt
»'(*)
§ 2] ФУНКЦИЯ, ЗАДАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ 183
4. Касательная к кривой, заданной параметрически. Формулу
производной от функции, заданной параметрически, можно
применить для нахождения уравнения касательной к кривой, заданной
в параметрической форме. Рассмотрим решение этой задачи на
примере.
Пример 3. Требуется найти уравнение касательной к
циклоиде.
Уравнение касательной к любой кривой, как известно, пишется
так:
у-у^Щ,-^*-**)-
Уравнение циклоиды в параметрической форме будет таково:
x = a{t — sin 0> у = а{\ —cost).
Отсюда
dx
d = а(1— cos/), -~- = as'mt.
Следовательно,
л -л 2 Sill ~гг COS -7Г
, dy a smt 2 2 , t
Ух~~dx~ 0(1— cos 0 — TTTt — ctgT*
v ' 2sin2^-
Уравнение касательной к циклоиде в точке лг1 = ср(/0), yi = ty(t0)
будЬт
Су—Уд=cts \ (х—xi)
или
у — а (1 — cos/0) = ctg~y [х — a (t0 — sin *0)J.
5. Производные высших порядков для функций, заданных
параметрически. Покажем, как вычислить вторую производную.
Так как
d*y d fdy\
dx2 dx[dx)y
dy
то, подставляя вместо -f- уже найденное выражение
dt
dx
Hi
184 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
и применяя теорему о производной сложной функции, получим:
[ dy\ ( £У\ dx^d?y_ d2x dy
d2y _ d I dt \_ d I dt \ dt _ dt dt2 dt2 dt dt
dx2 ~ dx\ dx_ )~ dt \ dx_ \ dx~ (dx_\2 dx '
V dt J \ dt I \ dt)
или окончательно
d2y
dx2 ~
dx d2y d2x dy
dt dt2 dt2 dt
fdxV
Подобным же образом может быть вычислена и производная
любого порядка.
§ 3. Нахождение* предельных значений
(«раскрытие неопределенностей»)
6. Правило Лопиталя для неопределенностей вида -^-.
Теорема Коши позволяет во многих случаях находить предельные
значения функций. Пусть fXpc) и ср (дг) — две функции,
удовлетворяющие условиям теоремы Коши, одновременно обращаются в нуль
при х = а:
f(a) = 0 и ср (а) = 0.
fix)
Тогда отношение J \ ' теряет смысл при х = а\ однако предел
<р \Х)
fix)
этого отношения, т. е. lim \ : , может существовать. Задача оты-
х-*а 9 \х)
v fix)
екания предела lim "Ч-г в этом случае называется раскрытием
х-*а Т \х)
неопределенности вида -~-.
Теорема 1. (Первая теорема Лопиталя.) Пусть
/(a) = cp(a) = 0; пусть, далее, /(дг), ср(дг), f {х) и срг(дг)
определены во всех точках некоторой окрестности точки а, кроме,
быть может, самой точки а, причем ср (дг) и срг (дг) не обращаются
в нуль в этой окрестности при х Ф а\ тогда из существования
предела lim -,( *■ следует, что предел lim ^у-у существует и
равен lim ,; : .
Для доказательства этой теоремы применяем теорему Коши.
Мы имеем:
f(x)-f{a) f®
§ 3]
НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
185
где а<^Ъ<^х (здесь мы предполагаем, что переменное х
приближается к а справа; можно было бы аналогично рассуждать и в том
случае, когда оно приближается слева). В силу того, что f(a) = Q
и ср (а) = 0, последнее равенство запишется проще:
Если х->а, то и Е тоже стремится к а, так как £ всегда лежит
между х и а. Поэтому, если существует предел lim ,' ,
х-+а ¥ w
lim Ш= lim ™
ТО
Можно ли в правой части этого равенства подставить вместо 5
значение дг? Следует учесть, что величина £ приближается к а не
произвольным образом, а по некоторому определенному закону,
зависящему от изменения х. Поэтому если существует предел
отношения ,,' , то отсюда еще не следует существование
lim ,) I . Однако утверждение
lim JtW = Hm Щ
будет справедливым при дополнительном предположении, что
f' (х) i f (£)
lim J ,:■ : ■ существует так как в этом случае lim ,;*; ==
= пт >m
Мы приходим к устанавливаемой формуле
lim Цх) _ lim /Ч*) (б)
которая носит название правила Лопиталя раскрытия неопреде-
0
ленностеи вида -^.
sin х • а2Х —— х
Пример 4. Найти lim ^н—-г—. Здесь при дг==0 чис-
*_>o эх -{-л:
литель и знаменатель обращаются в нуль. Применяя правило
Лопиталя, получим;
г siiurg2* — х г cos* е2Х ~\- 2 sinx е2Х — 1
;™ !»*•+*• —J™ юж+з*» -
«. — sinx е2* -j- 4 cosx е2* + 4 sin* g2* 4 2
~" j™ Ю + бл: — ТО" "Г-
Сделаем теперь ряд замечаний относительно вывода и
применения правила Лопиталя.
186 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [гл. VI
Замечание 1. Пусть f(x) и ср(дг) не определены при х = а,
однако дано, что Нт/(лг) = 0 и Нт ср(лг) = 0; тогда правило Ло-
х-*а х -*а
питаля тоже применимо. В самом деле, рассмотрим вместо
функций/(дг) и ср(дг) функции /j (х) и <?1(х), совпадающие с f(x) и
ср(дг) при хфа и равные нулю при х = а. С Одной стороны,
к этим функциям применим изложенный нами вывод правила Лопи-
таля, а с другой, очевидно,
/<*)
AW
lim J ) [ = lim —j~v.
Замечание 2. Правило Лопиталя не требует существования
лроизводных в самой точке х = ау но требует их существования
в некоторой окрестности точки х = а; в самом деле, мы не
пользуемся значениями f (а) и <pf (а), значения же f (S) и срг (?) берутся
в окрестности х = а, так как \фа и a<^i<^x.
Замечание 3. Если ,)*
<?'(х)
/49
не имеет предельного значения
при х—.
а, то отсюда еще не следует, что
?'(?)
а следовательно,
?(*)
тоже не имеет предельного значения.
Это можно видеть на следующем примере. Пусть требуется
найти
х
х* sin
lim
sin*
Для применения в этом случае правила Лопиталя необходимо
существование предела
Но
lim
х -*0
2.xrsin
[*'sin-r]' _
2л: sin
1
-cos
1
[sin x]f
ljm -
COS X
1
,2\x\ стремится к 0 при лг-^0, cos
1
при
jc~>0 колеблется между —1 и —J— 1 и знаменатель стремится к 1.
Следовательно, предела рассматриваемой дроби не существует.
х2 sin
В то же время lim х существует и равен 0; в самом
X-+Q в1П *"
деле, имеем:
sin л:
х* sin
1
lim
sin л:
.= lim (—. xsin — ] = lim —: • lim jesin —,
^_0\ SinX x) x_+0 Sin* X^Q X%
§ 3] НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 187
а так как
X 1
lim —; = 1, lim jcsin — = 0,
х-*0 smx х-* О x
TO
x2 sin —~
lim =—— =1 .0 = 0.
дг-0
sin л:
Распространим теперь первую теорему Лопиталя на случай
разыскания предельного значения при дг->оо, именно мы установим
следующую теорему:
Пусть lim /(дг) = lim <р (дг) = 0, пусть, далее, f(x), <р (дг),
х-* оо X -* оо
/Ч-*0 и <р'(*) определены для всех достаточно больших дг,
<р (дг) и <р' (дг) не обращаются в нуль при достаточно боль-
fix)
ших х. Тогда из существования lim , ( ' следует существование
lim *у' , причем
lim IJA = lim Щ.
Эта задача приводится к уже разобранной при помощи замены
переменного. Положив л: = — , мы видим, что если дг-^оо, то
t -> 0; поэтому
г-, со *(*) uo.fi
,ЧУ(т)=» ,'1г(т)=°-
*-0
Теперь мы можем применить правило Лопиталя:
lim ),( = lim = тут-= lim /IT '
^°'(т) '-0 -Нт) ^0?'(т)
или, заменяя обратно у через дг, получим окончательно:
,ta .ZW = lim zw
г. е. правило Лопиталя верно и для случая jf-»-oo.
188 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
In Л е-х\
Пример 5. Найти lim . \ _ -2А -
Имеем:
1п(1 —*-*) ,. 1-е-* ,. е* ,. 1 —*г2* ,
7. Правило Лопиталя для неопределенности вида — . Раскрыть
оо
неопределенность вида — значит найти предел
lim /W-
"Г« ?W '
при условии, что
lim / (х) = со и lim ср (х) = сю.
х-*а х-* а
Теорема 2. (Вторая теорема Лопиталя.) Пусть
lim f(x) = \im<p(x) — oo. Пусть, далее, f(x) и <р(лг), f (х) и у'(х)
х-+а х-+а
определены в некоторой окрестности точки а, причем ® (х) и
cpf (х) не обращаются в нуль в этой окрестности, исключая, быть
f*(x)
может, саму точку а; тогда из существования предела lim ,: '
следует, что предел Ит у\ существует и равен lim ,() .
Пусть \х — a\^h — окрестность точки а, в которой
выполнены условия теоремы. Возьмем х0 *) в этой окрестности,
и пусть х находится между х0 и а. Применим теперь теорему
Коши. Имеем:
f(x)-f(x*)_f®
tW-tW <р'(0'
где а<^х<С\<Схь или Хо<С%<Сх<Са-
Полученное равенство можем записать так:
1 f(xo)
fix) fix) _f(5)
*) Значение x0 можно выбрать произвольно в этой окрестности точки а;
ниже будут поставлены для х0 более тесные границы, и тогда х0 будет
окончательно зафиксировано.
§ 3]
НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
189
Деля обе части равенства на второй множитель
/(*.)
/(*)
получим:
/<*)__ Г (5)
1),
?W ?'(£)
/(*.)
/(*)
(7)
„ t. f (x)
По предположению, lim t; : существует и равен г и, следова-
х-*а Т \-*v
тельно, для всякого наперед заданного положительного числа е
можно найти такое положительное число 8, что из неравенства
\х — я|<С8 будет следовать
?'(*)
<■
Выбрав такое 8, фиксируем теперь окончательно точку х0 так,
чтобы \х0— а|<^8. Так как a<^x<^b<^xQ (или х0<^1<^х<^а)9
то |5 — а| во всяком случае меньше 8, а потому
/'(£)
или
<*
= г + (
(8)
где |6|<1.
Пусть теперь дг->а; так как lim f(x) = oo и lim ср (дг) = со,
х-*а х-+а
а <р(лг0) и /(■*<>)— определенные конечные величины, то У ТТ -> О
и ^V0/ ->0 при дг->а, а потому дробь
/<*)
1
?(*о)
/(*о)
*) Так как в дальнейшем мы будем приближать х к а при постоянном лг0,
то мы всегда можем брать х столь близким к а, чтобы f(x)^£f(x0) и
1
<р (л:) ф ср (лго) и, следовательно, дробь
ни нулю, ни бесконечности.
/(*)
?(*о)
для этих л: не равна
190 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
стремится к 1 при х-+а. Значит, для любого е^>0 можно взять
8j<^8 столь малым, чтобы имело место неравенство
Т(*о)
<Ч для \х— a[<^8i.
?W
l —
/(*о)
fix)
1
Отсюда получаем:
?W
1^ = 1+6,6 для \х-а\<Ъи
1 /(*•)
где |8i|<l. Из (7), (8) и (9) следует
(9)
fix)
Щ = (г + ее)(1 + е1е) для \х-а\<Ъх.
Поэтому
^|=r + s(e + 91r + 69ie)
ИЛИ ДЛЯ \х — «|<С^1
fix)
?W
О, где (в + в^ + вв^Кс,
с — постояйная величина. Так как е как угодно мало, то и се
может быть сделано как угодно малым, и последнее неравенство
показывает, что
lim
/w=r=
lim
fix)
*->a*(*) х-аЧЧх)*
Установленная теорема легко обобщается на случай, когда
lim / (дг) = со и lim ср (х) = оо.
f (х) f (х)
Именно, lim ^т"= lim *-ггк* если A*)* ?(■*)> /W» ?'(•*) опРе~
делены для всех достаточно больших х\ 9(дг) и <р'С*0 не обра-
щаются в нуль для достаточно больших х и lim ~rp\ суще-
ствует.
Для того чтобы в этом убедиться, надо сделать замену пере-
1
менного x = y> как мы делали при аналогичных условиях в слу*
0
чае неопределенности -^.
Пример 6. Найти lim -^#-.
F F , « tg Sx •
§ 3] НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 191
Имеем:
1
,. Хйх t. cos2 л: ,. cos23a:
hm„ 1P3T= lmn ~T~= hmn 3^s^-
*"*T *-*~2 соб2Зл: *-*~2
Мы получили неопределенность вида -~-. Раскрываем эту
неопределенность по правилу Лопиталя:
,. cos23a: 1# —6 cos Зл: sin Зл* -. sin бл:
lim ~ ="" ==: lim —^ = ===: lim —:—7Г- »
_ 3 cos2 л: „. — 6 cosa: sm х _ sin 2л:'
т. е. опять -Q-; применяем третий раз правило Лопиталя:
«. sin 6л: „ 6cos 6л: Q
lim . 0 = lim к о— = о.
„ sin 2л: „ 2 cos 2л:
Следовательно, окончательно имеем:
цш -£* 3.
Й случае — так же надо помнить о всех условиях, высказанных
в формулировке правила Лопиталя. Приведем простой пример, для
которого правило Лопиталя неприменимо. Пусть требуется найти
«. л: —sin л*
ЦШ j—: ,
x^OQx + smx'
Этот предел существует и равен 1, так как
1 sin л:
«. х—sin л: ,. х 1
lim j—:—= hm : = 1,
,_.«,* +вш* JC^QQ1 . ЯП*
~ X
но правило Лопиталя здесь не дает ответа. В самом деле,
[л: — sin х]* 1 — cos л:
[л: + sin ху 1 + cos х *
и так как предела правой части -при лг-*оо не существует, то и
предела отношения производных не существует.
8. Сравнение степенной, показательной и логарифмический
функций. Рассмотрим два примера раскрытия неопределенностей,
которые будут в дальнейшем иметь и теоретическое приложение.
192 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [гл. VI
Пример 7. Пусть
/(*) = £, а>1, а>0.
а*
Требуется найти lim -j. Так как при вычислении этого пре-
дела мы можем считать лг^>1, то, если п — ближайшее к а, пре-'
восходящее его целое число, можем написать:
qX qX
следовательно,
о* о*
lim ^^ lim w*>
где я— целое число.
Так как я^>0, то предел правой части последнего неравенства
можем найти, пользуясь правилом Лопиталя.
После л-кратного применения этого правила получим:
,. а* ,. ах[\па]п
hm —f.= lim —. т~ — r- = co.
*->oo** *_>оо*(* —1)(* —2)...l
Итак, если а^>1 и а^>0, то
hm -5 = 00,
и следовательно,
lim ^ = 0.
Полученные результаты часто формулируют так:
Показательная функция а* при а ^> 1 растет быстрее
любой степени х.
Из формулы вытекает важное следствие. Если Р(х)— любой
многочлен:
Р(х) = Ь0 + Ьхх + Ьъх* + ... + Ьпх\
то
lim f^- = 0
*-*оо "
и, следовательно,
Пример 8. Найти lim—— при а^>0, лг^>0. Применяем
х~* оо *
правило Лопиталя:
lim —£-= lim згт = lim ""TS"^1^.
§ 3] НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 193
Таким образом, мы получили следующий результат: при а^>0
«. In;
lim —5
,. 1пх л
и, следовательно,
lim ,— = 00.
Последнее равенство часто формулируют так: логарифмическая
функция In х растет медленнее любой положительной степени х.
9. Неопределенности вида оо — <х>. Раскрыть неопределенность
вида оо — оо это значит найти предел
lim [/(*) — ?(*)],
х -*■ а
при условии, что lim /(дг) = оо и lim qp (лг) = оо.
х-* а х-*а
Раскрытие этой неопределенности сводится к случаю -=г при
помощи следующего преобразования:
Во многих случаях преобразования, приводящие неопределен-
ность вида оо — оо к виду -^-, могут быть значительно проще.
Пример 9. Найти lim -.— ; так как :—==
r г х ^ 0 [л: sin х\9 х sin л:
sin х х
— . 9 то задача сводится к нахо>адению неопределенности
х sin X
вида -ту. Имеем:
«. Г 1 1 1 1# sin л: — х
lim :— == lim : =
jc-»oU sinArJ ^0 Arsin*
= llm . «V-1 = lim ^^ ,- = 0.
x^0 Sin X -j- X COS X x^0 COSX-f- CQSX—ATSinAT
Итак,
lim Г1 1—1=0.
^oU sin*J
10. Неопределенности вида 0 • оо. Раскрыть неопределенность
вида 0 • оо это значит найти предел
lim 1/И-чрИ]
х-+ а
при условии, ЧТО
lim f(x) = 0, a lim 9 (х) = ± оо.
7 В. В. Немыциий и др.
194 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Раскрытие этого типа неопределенностей сводится к раскрытию
неопределенностей предыдущих типов при помощи элементарных
преобразований. Например, найти lim [(х—sinx)lnx].
Имеем:
(х — sinx) In х= j .
х — sin л:
Так как
lim \пх = — оо и lim :— = оо,
*-*0 *-*0
х — sin л:
то мы получим неопределенность типа —, которую будем
раскрывать по правилу Лопиталя:
\_
,. In л: ,. х «. (х — sin*)2
lim : = lim Л г- = — lim -v ---•
*->o_JL_ *-»o — (1 —cos*) ^Ох(со8* — 1)'
x — sin л: (л: — sin x)2
это — неопределенность вида -g-. Поэтому
_ lim i£ziii£^l__ 11ш tix-unxHl-cosx)^
x-+ox(cosx—i) *-*o cos л:—1—x sin x
^ у (1 — cos x)2 -{-(x — sin л:) sin x
x-+0
— sin л: — sin л: — x cos x
л «. I — 2 COS X + cos2 X + x sin X — Sill2 X
= — 2 lim —-: *- =
x _^ 0 — 2 sin л: — л: cos л:
п -. 1—2 cos x 4- x sin x-\- cos 2x
= —2 lim 7r-r-L ! =
x ^ 0 — 2 sin л: — л: cos л:
0 .. 2 sin x-\- sin at + atcos x — 2 sin 2л: л
= — 2 lim ^ ! ; : = 0.
^^o —2cosa:—cos x -\-x sin x
11. Неопределенности вида 0°, 1°°, oo°. Раскрыть
неопределенности указанных типов значит найти следующие пределы:
1) О», т. е.
lim \f(x)]*M при условии limf(x)= lim cp(*) = 0;
х-+ а х-+ а х-+ а
2) 1°°, Т. е.
\im\f(x)\*W при условии lim/(x)=l, lim ср (*) = оо;
х-* а х-* а х -* а
3) ОО0, Т. е.
\lm[f(x)]*M при условии lim/(jc)==oo, lim?(.x) = 0.
§ 3] НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 195
Такие неопределенности раскрываются при помощи общего
приема, сводящего их к неопределенностям вида 0 • сю. В этом
приеме используется тождество
[f(x)]vW = e'*(x)lnfW.
Следующий пример иллюстрирует сущность приема. Пусть
требуется найти
lim (лг—l)ln*
дг-1
(неопределенность вида 0°). Мы имеем:
Нт(лг — l)ln*= lim *m*-in(*-i),
х-* 1 х-+ 1
а так как показательная функция непрерывна, то
lim lln* • 1п(лг— 1)]
hm(x—iy«x — ex-*1
лг—i
Остается вычислить lim [In х • In (лг — 1)]; это — неопределен-
лг-1
ность вида 0 • со:
1
lim [In лг • In (лг—1)]= Hm -^-Ц = Htn —-—г-
In л: х (In х)2
ал чо 0П х? + х 2 In х • —
,. л: (In л:)2 1. х
= — lim —-—р-=— lim — j =
лг-П х [ л*—1 1
= — lim [(In лг)2 -f- 2 In лг] = 0.
Х->1
Следовательно,
Нт(лг— \у** = е<>=1.
X -* 1
Пример 10. Найти lim —-—
л* —о L х J
Так как lim = 1, то это — неопределенность вида 1°°:
л* — о х
sin х
,Х X оХ -* О х
,. rsinxl* ,. -in——
lim = lim е* х =ех
х~+о L х J х-+о
7*
196 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ, VI
- sin X
In 0
Найдем lim ; это — неопределенность вида -тг
лг->0 х и
- sin л: хх cos х — sin л:
In
-. х л. sin л:
lim = hm
-. л: cos л: — sin л: -. cos л: — л: sin л: — cos л:
= lim : = lim
X_^Q sin x -f- x cos x
л: sin л: t. sin x 4- x cos x .
im — ; = — lim ; ! : =(
0 sin x -f- x cos x x Q cos x + cos x — x sin X
Следовательно, lim =e°z=l
л: — oL x j
Пример 11. Найти lim xx (неопределенность вида oo°):
X -* OO
1 1-1плр lim Vlnx
lim xx = lim e* = ex~*c°x
Найдем lim — \nx:
v __^ or» X
1
lim — 1пдг = lim = lim -g- = 0.
X -* CQ X X -* GO * #-* OO
Следовательно,
lim лг* = £°= 1.
Пример 12. Поступая так же, как в примерах 10 и 11, можно
показать, что
1
1# /sin.*:y-cos* 1
lim (^r — Mctgx)X = -7.
12. Пример, показывающий недостаточность правила Лопи-
таля. В этом пункте мы приведем пример такой функции,
предельное значение которой при дг-^ + со существует; однако правило
Лопиталя, применяемое любое число раз, на любом шаге приводит
к неопределенности.
§ 3] НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 197
Рассмотрим сначала функцию f(x) = ex , где k^zl, и докажем,
что lim /(л) (лг) = оо для любого п. В самом деле,
если &^2, то
/" (х) = exkk*x*k~2 + exk.k(k—l) xk~* = exkP *,
где P* есть многочлен. Допустим/(п) (х)=ех Р(х), где Р(дг) —
некоторый многочлен с положительными коэффициентами; в таком
случае
/*+*> (х) =exkkxk~1P(x) + exkP' (х) =
= exk [kxk~lP (x) -f- P (x)) = e**Q (*),
где ф(дг) тоже многочлен с положительными коэффициентами.
Итак, методом полной индукции установлено, что
fn>(x)=exkP(x),
где Р(х) — многочлены с положительными коэффициентами.
Отсюда непосредственно следует, что lim /(п) (х) = -\-оо, и важно
X -* СО
отметить, что для каждого п при достаточно большом х
производная /(п) (*)>()•
ь* f
Рассмотрим предел функции F(x) = — =— при дг-> оо; так как
производные числителя и знаменателя, как было только что пока-
f(п) (х)
зано, при х-+ оо стремятся к оо, то для любого п дробь П( {'
останется неопределенной при дг->оо, т. е. с помощью правила
Лопиталя раскрыть эту неопределенность нельзя. Между тем легко
установить, что lim F(x) равен -|-оо. В самом деле, \nF(x) =
Х-* СО
= дг2 — х, поэтому lim \nF(x)= lim(x2 — х) = оо, а следовательно,
х -* со х -* со
и lim F(x) = oo.
X -* со
Если заменить х на ——, т. е. рассмотреть функцию
е у
то тот же результат будет иметь место при у-*0, причем рас-
О
сматриваемая неопределенность имеет вид-^-.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Когда возникает необходимость вычислить значение функции
при заданном значении аргумента, то даже для очень простых
функций это порождает вопросы и представляет затруднения.
В самом деле, если вопрос о вычислении значения функции
ставится для теоретических целей, то такие ответы, как
/2, ^Ъу sin 4, In 20,
можно считать окончательными, так как эти записи выражают
совершенно определенные числа. Но если эти же ответы будут
получены при решении технических задач, то они могут и не
удовлетворить запросам практики; действительно, что будет делать химик,
если ему надо отвесить на весах \Гъ грамма серы, или что будет
делать токарь, которому указано выточить вал диаметром In 20 см?
Практика чаще всего ставит такой вопрос.
Требуется с наперед заданной степенью точности представить
рациональным числом значение функции при некотором заданном
значении аргумента. Во многих случаях это можно сделать при
помощи дифференциального исчисления. Однако перед тем, как
перейти к этс*й теме, следует изложить теорию бесконечных
числовых рядов.
§ 1. Определение сходящегося ряда, признаки
сходимости рядов
1. Сходящийся ряд и его сумма. Рассмотрим некоторую
числовую последовательность \ап\ и образуем следующее выражение:
*1 + аа + в|+-•• + «„-!-••• (О
Это выражение называется бесконечным рядом, а члены
последовательности ах, аъ ..., апУ ... называются членами ряда.
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА, ПРИЗНАКИ СВОДИМОСТИ РЯДОВ 19Й
Принято для сокращения вместо выражения (1) писать также
оо
/1=1
Взятое само по себе выражение (1) не имеет смысла, так как
само понятие о сумме, состоящей из бесконечного множества
слагаемых, требует еще определения. Чтобы установить такое
определение, мы условимся об обозначениях и терминах.
Условимся называть п-й частичной суммой ряда (1) сумму
его п первых членов; эту величину будем обозначать через Sn.
Таким образом,
Sx = au S2 = al-\-a2y 53 = ах -f- а2 -f- а3, ...
• • •> $П = а1 + «2 + «3 + • • • + вЯ.
Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм ряда,
т. е. последовательность
Si, о2> *SV> • • •> *^л>
Имеются три возможности: 1) последовательность {Sn} имеет
некоторый конечный предел S; 2) последовательность {5Л} не имеет
предела или, наконец, 3) Нт5Л = ±:оо. В первом случае мы
скажем, что ряд (1) сходится и его сумма равна пределу 5
последовательности {Sn}. Во втором и третьем случаях мы скажем, что
ряд (1) расходится. Итак:
Определение 1. Суммой S бесконечного ряда называется
предел последовательности {Sn} частичных сумм этого ряда:
S = lim Sn;
Я-*00
записывают это так:
*i + *а + *• + ••• + *я + •• - = &
Например, геометрическая прогрессия a-{-aq-{-aq2-\-tt.-\-aqn-\-..tf
где \q\<^\, есть ряд сходящийся, так как последовательность его
частичных сумм
S1==at S2 = a-{-aqy 53 = a -f- aq -f- aq*, ...
.... S, = a + aq + ... + aq-i = !^f, ...
есть последовательность фундаментальная и, следовательно,
сходящаяся. Предел этой последовательности, как известно, равен ■« __ ,
т. е. S= _ . Итак, геометрическая прогрессия есть ряд
сходящийся, если |^|<С 1.
200 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
Рассмотрим еще два примера.
Пример 1. 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1+ ...+(— 1)Л+1 + ...
Это — ряд расходящийся, так как последовательность частичных
сумм
Si = l, S2 = 0, о3 = 1, S4 = 0, ..., 52л_1 = 1, 52л=0,
предела не имеет.
Пример 2. 1+2 + 3 + 4 + ... + л + ... Ряд расходится,
так как последовательность
51=1, S,= 1 + 2 = 3, 53=1 + 2 + 3 = 6, ..., 5Я = ^±1)> ...
стремится к бесконечности.
Отметим некоторую разницу между рядами в примерах 1 и 2.
В примере 1 частные суммы ряда хотя и не имеют предела, но
остаются ограниченными, а в примере 2 они неограниченно
возрастают.
Выведем некоторые непосредственные следствия из определения
суммы ряда.
Следствие 1. Если ряд
<*i + а2 + аъ + ... + ап +... (1)
сходящийся и имеет сумму S, то ряд
Л + а1 + а, + ... + аЛ + ... (2)
тоже сходится и имеет сумму, равную А + 5.
Обозначим частичные суммы ряда (1) Slf S2, 53, ..., Sn, ...,
а частичные суммы ряда (2) — через £и £2, ..., Ёл, ... Имеем
очевидное равенство
2Я+, = 5Я + А
Отсюда вытекает
lim Е„ = Hm 2„+i = Urn 5„ + Л = 5+А,
П-+СО П-*О0 П-*00
что и требовалось доказать.
Следствие 2. Если ряд
<Ч + аа+ *• + •• • + *« + ••• (1)
сходящийся и имеет сумму 5, то ряд
ьах + аа2 + ... + ааЛ + ... (3)
тоже сходящийся и имеет сумму, равную а5.
Обозначим частичные суммы ряда (1) Si9 52, 53, ..., Sn, ...,
а частичные суммы ряда (3) Ll9 £2, Е3, ..., £л, ... Имеем
равенство
£„ = «<>„.
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА, ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ 201
Отсюда вытекает
lim £л== lim а5л= а lim Sn = aS,
Я-ЧСХЗ П-*О0 П-*00
что и требовалось доказать.
Заметим теперь, что для рядов с положительными членами не
может случиться, чтобы \lmSn не существовал. Действительно, так
П -*00
как при аЛ^>0(л=1, 2, ...)
Si<Si<...<$,<....
то, примейяя теорему о монотонно возрастающей
последовательности (см. гл. II, п. 18), имеем либо Нт5я = -|-оо, либо сущест-
вует такое число 5, что lim Sn = S. Таким образом, для ряда
П-*О0
с положительными членами можно утверждать, что он сходится,
если удается доказать ограниченность последовательности его
частичных сумм.
Пример 3. Рассмотрим ряды вида
1+1+ +1+
для различных значений р^>1 и покажем, что все эти ряды
сходятся.
В самом деле, для р^>1 имеем:
1+1^1 +1- -L
1±1л.1+1^1+1а.1а.1-±-(_}_)*
i^pTe)p~rQP~r-]P^^.4P~r4P~r4P~r4P~4P~\У'1) '
8 раз
Но
сия
сходит
1
(2»)*
если
ся и
н-...
р>*
имеет
+ (2«+i_i)P<
у то 2Р=Г<Ь
JL + -[-4
2Р-1 \ (2Р'1)2 п
сумму о = —
. 1
-(2п)Р~
a noi
1
2^-1
i
r • • • i (2n)P \ 2P-1 J *
2Л раз
гому геометрическая
1 ,
прогрес-
(2Р-1)Д 1 •••
- . Из предыдущих неравенств
2Р-
202 ТЕОРИЯ числовых рядов [гл. VII
видно, что для частичных сумм Sn (где п ^> 1) нашего ряда имеем:
а потому ряд —4-3P+... + JJP+... сходится-
2. Остаток ряда. Для исследования вопроса об условиях
сходимости рядов полезно ввести определение.
Определение 2. Если в ряде
*i + a* + .•• + *!! + ••• С1)
отбросим п первых членов, т. е. рассмотрим ряд
ап+1 + ап+ъ + • • • + Дл+р + • • •> (4)
то его называют п-м остатком ряда (1).
Из следствия 1 ясно, что ряд (1) и его п-й остаток сходятся
или расходятся одновременно.
Этим простым замечанием иногда приходится пользоваться при
решении вопроса о сходимости данного ряда.
3. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема 1. Для
того чтобы ряд ах -}- а2 -\- ... -\- ап -{- ... сходился, необходимо,
чтобы его п-й член стремился к нулю, т. е.
lim ап = 0.
*п-
п~* оо
В самом деле, an = Sn — Sn_t. Так как lim Sn существует, то,
п-*оо
обозначая его через 5, можем написать:
lim ап= lim [Sn — Sn_%]= lim Sn— lim Sn^ = S — S=0.
n-*QQ Я-*00 Я-*СХ> #-*CX>
Пример 4. Пусть а — фиксированное число, хотя бы и очень
малое. Тогда ряд
a -j— а -J— а —|— .. • —|— а —J— •..
расходится.
Пример 5. Пусть \q\^>l. Ряд
a -j- aq -f- aq* -f- • • • + Щп 4~ • • ч
расходится, так как |одл|^>|а| для любого я.
Высказанный необходимый признак сходимости ряда, однако, не
является достаточным. В самом деле, рассмотрим ряд
1+Т + Т+- + Т+--
называемый гармоническим рядом. Члены этого ряда стремятся
к нулю; однако он расходящийся. В самом деле, мы уже доказали
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА, ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ 203
(см. гл. II, п. 19), что последовательность (1-| J возрастает и
имеет предел; этот предел обозначался буквой е* Итак, имеем
£^>(1-| J . Возьмем от обеих частей этого неравенства
логарифмы при основании е; имеем:
1>л1п(1 + 1), т.е. 1>1п(я + 1)-1пи.
Подставляя в этом неравенстве вместо п числа 1, 2, 3, ..., п, ...,
имеем:
•|->1п2 —1п1=1и2,
1>1пЗ — In 2,
1>1п4 — 1пЗ,
1>1п(л+1)-1пя.
Складывая эти неравенства, получим:
•s'„=i+i+!+...+!>m(«+i).
Если п неограниченно возрастает, то In (п -|— 1) тоже
неограниченно возрастает; следовательно, и Sn неограниченно возрастает.
Итак, гармонический ряд есть ряд расходящийся, хотя n-й член
его и стремится к нулю.
4. Критерий Коши. Вопрос о сходимости или расходимости
ряда может быть решен с помощью следующей теоремы.
Теорема 2. (Критерий Коши.) Для того чтобы ряд
«1 + «2 + «з + ..» + а/г + --- (*)
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы при любом
е^>0 можно было найти такое N, что при n^>N и любом
целом р ^> 0 выполняется неравенство
или иначе
ап+р к*.
так как
$п+р — $п = ап+1 ~Ь ял+а + • • • + ап+р
Доказательство этой теоремы очевидно: она просто утверждает,
что для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы
204
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
[гл. VII
последовательность его частичных сумм была фундаментальной,
т. е. сходящейся. А это и есть определение сходящегося ряда.
Приведем пример на применение критерия Коши.
Рассмотрим ряд
-L + —+ +—1— +
1 .2^2-3^ •••^Л(71+1)^-"
и докажем, что он сходится.
Для этого заметим, что
I ап+1 + Дл+2 + • ' • + ап+р I =
1 I . 1
-(.
(я+1)(я + 2) ^"' ' (п+р)(п + р+\)
1 1 \ i . / 1 1
+ -+U-
[п-{-\ я + 2/ > ••• ' \n-\-p п + р+\
1 х <—<±
а потому, взяв для любого е^>0 число N такое, что -др<^е, будем
для n^>N иметь — <^е и
^ п ^
лг —|— 1 п-\-р-\-\ — /г —|— 1 — лг
AT
I ЯЛ+1 + Я*+2 + — + Я/Н-р К е>
На основании критерия Коши мы заключаем, что
рассматриваемый ряд сходится.
Однако непосредственное применение критерия Коши для
определения сходимости заданного ряда весьма затруднительно; поэтому
основное его значение не прикладное, а теоретическое: он
позволяет вывести ряд теорем, которые уже легко применять к
исследованию конкретных рядов.
б. Принцип сравнения рядов. Теорема 3. Пусть даны два
ряда:
*i + *a+** + •• • + *« + •••» О)
*!+*• + *• + ... + *« + ... (б)
1) Если ряд (1) сходящийся и состоит из положительных
членов и если д#я всех п, начиная с некоторого п0> имеем \Ьп\^ап,
то ряд (5) сходится.
2) Если ряд (1) состоит из положительных членов и
расходится, а ряд (5) также состоит из положительных членов и
для всех п, начиная с некоторого #0, имеем bn^ani то ряд (5)
расходится.
Докажем первую часть теоремы. Обозначим последовательность
частичных сумм ряда (1) через 51э 52, ..., Sn, ..., а
последовательность частичных сумм ряда (5) — через l>lt Б2, ..., Бл, ...
Оценим разность Ея+р — £п: для п^п0
I 2я+р — 2/1 | = I *я+1 + Й/г+2 + • ~ + К+р I ^ Яц+1 + Ял+Я + • • • + <W
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА, ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ 205
Так как ряд (1) состоит из положительных членов, то
ап+1 + ап f 2 + - . . + О-п+р = | $п+р — Sn\-
Итак, имеем:
|2п+р-2п|^|5я+/,-5„|
для п^п0.
Пусть теперь е<^0; так как ряд (1), по условию, сходящийся,
то на основании необходимости критерия Коши можно найти такое N,
что для n>N имеем \Sn+p — SJ<e, а тогда и | %п+р — %п |< е
для n^>N и /?^0. Следовательно, на основании достаточности
критерия Коши ряд (5) будет сходящимся.
Переходим к доказательству второй части теоремы.
Предположим, что ряд (5) сходящийся и члены ряда (1), начиная с
некоторого, будут меньше по абсолютной величине соответствующих
членов ряда (5), и следовательно, на основании первой части
теоремы он сходящийся, а это противоречит условию. Значит,
предположение, что ряд (5) сходящийся, ложно, и он есть
расходящийся.
Пример 6. Мы видели, что ряды вида
^ » р+ ••• » й^ ' •••
сходятся при р^>\. При р=1 получаем гармонический ряд,
который, как было показано, расходится.
При р<С.1 члены заданного ряда больше соответствующих
членов гармонического ряда, и следовательно, согласно принципу
сравнения рядов, этот ряд расходится.
Пример 7. Пусть а — произвольное число. Рассмотрим ряд
sin а , sin 2а , sin За , , sin яа .
этот ряд сходящийся, так как
22 I 28 ■ ••• » 2п
sin п<х
2п, а ряд
2п
Тт JT ••• + 2«+ •••
(представляющий собой бесконечную убывающую геометрическую
прогрессию) является, как мы видели, сходящимся.
Принцип сравнения рядов дает возможность указать несколько
достаточных признаков для сходимости или расходимости ряда,
которые весьма удобно примейять во многих конкретных случаях.
6. Признаки Даламбера и Коши. Теорема 4. (Признак
Даламбера.) Для того чтобы ряд
Д1 + Д2 + Д3+ ... +Д/1 + Дл+1+ ••• О)
206 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
сходился, достаточно, чтобы, начиная с некоторого N для всех
п^ N, отношение ^ +1.' было меньше некоторого числа q,
меньшего единицы. Для того чтобы ряд (1) расходился,
достаточно, чтобы, начиная с некоторого N для всех n^N, отноше-
а,
ние ', *+.' было больше или равно единице.
\ йп \
Докажем первое утверждение. Пусть для n^Nt где N — целое
число, ' ^п+\' ■ <^ q <^ 1» Отсюда вытекает, что
I ап I
\aN+\\<C\aN\q>
\aN + 2\<C\aN+i\q<C\aN\q*,
\aN + s\<\aN + 2\q<C\aN\q*,
\aN+PK\aN+p-i\q<C\aN\qp,
т. е. члены заданного ряда, начиная с номера N-\-l, по
абсолютной величине меньше членов геометрической прогрессии со
знаменателем q, меньшим единицы, т. е. члены ряда, представляющего
остаток заданного ряда, меньше членов сходящегося ряда. Поэтому
на основании принципа сравнения рядов ряд (1) сходящийся.
Докажем второе утверждение.
Пусть для n^N, где N — целое число, , +! ^ 1. Тогда
|яя+1|^|ая|. Значит, члены заданного ряда не стремятся к нулю,
но в таком случае не выполняется необходимый признак сходимости
и ряд расходится.
Отметим следующую ча&тную форму признака Даламбера.
Рассмотрим последовательность
<*2 03 <*4 g/t+l
/у* /у» л ' " * ' п »•••
«1 «2 "3 ап
Если lim ' f*n+\' существует и меньше единицы, то ряд (1)
п -► оо \ап\
сходится*, если же lim '. n+l.' существует и больше единицы, то
п-*оо \ап\
ряд (1) расходится*
В самом деле, пусть lim ■ .**, = ff, где #<0* Положим
п -* оо ) ап I
1 —q = d; начиная с некоторого п, отношение . пЧ '■ отличается от
q меньше, чем на -к-, и следовательно, начиная с этого п, имеем
1 ?"*\* <С^+"9'<С *> а тогда по признаку Даламбера ряд сходится.
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА, ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ 207
Если lim ■' в"*1' =д^> 1, то, начиная с некоторого п, имеем
п -* оо I ап I
|ал+1|^|ал|, и следовательно, не выполнен необходимый признак
сходимости ряда и ряд расходится.
Пример 8. Дан ряд
он сходится, так как
Я/1+i л!
* и lim K±d = o.
в» (я+1)1 — П+1
п-+ со
Пример 9. Дан ряд
1 "т" 2 'I
2 .— + -^4- + — 4- •
здесь
следовательно, ряд расходится.
Рассмотрим еще один признак.
Теорема 5. (Признак Кош и.) Если для ряда
Д1 + Д2 + Д3+ ••• +ял+ ... (1)
lim }/\ ап | существует и равен /, то при /<[1 ряд сходится, а
п-*оо
при 1^> 1 /?яд расходится.
Пусть lim |/|ал| = /<^1. Положим, далее, 1 — /=а?.Находим
L
2
число TV столь большое, чтобы для п >N было | У\ая\ — Л<4;
отсюда для /z>N имеем у^|ая| <С^+-2~<СЬ и тогда leJ<C('~b у) >
т. е. члены данного ряда, начиная с некоторого, по абсолютной
величине меньше членов сходящегося ряда — геометрической
прогрессии
('+4)+('+4)'+...+(/+4)"+....
знаменатель которой меньше единицы. Этим перьая часть теоремы
доказана.
Переходим к доказательству второй части теоремы. Пусть теперь
lim i/|0„| =/^> 1. Положим /—l = d. Пусть, далее, N столь
208 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
2
велико, что для n^>N имеем 1/|ял| — ч<Ст» тогда
V/KT>/-4>1. т. е. |а„|>(/-4)П>1.
Итак, для n^N члены ряда по абсолютной величине больше
единицы; значит, не выполняется необходимый признак сходимости,
т. е. ряд расходится.
Пример 10. Дан ряд
"f \ ~22" "Т "з**" т" • • • \ ~Щп i • • •»
здесь
**=i, V^ = l/ \ = Т> lim Van= lim 7Г = 0'
n f ПП n n-*oo r n n-*oo n
а потому ряд сходится.
7. Сравнение признаков Даламбера и Коши. Поставим вопрос:
может ли один из этих признаков быть применимым, а другой нет,
т. е. может ли случиться, что lim -', п+\' ■ не существует, а
л -* оо I ап I
lim \/\an\ = q <^ 1, и наоборот, может ли lim }f\an\ не суще-
ствовать, a lim -т^г == #<^ 1 ?
В гл. IV (теорема 6) было >доказано, что если lim 'g*+1! = q,
то и lim у | ап | существует и равен q.
П-* 00
Обратное утверждение неверно. Можно привести пример ряда,
у которого lim V\an\ = Q<C *> а lim ^д+1. не существует, и
Л —► ОО Я -♦ ОО ' Я I
при этом рассматриваемое отношение для бесконечного множества
значений п будет превосходить единицу.
Рассмотрим ряд
?3 + ?2 + ?B + <7i + ?, + <?e+-...
где 0<^#<О; здесь an~qn, если п четное, и an = qn+*, если п
нечетное.
Тогда, если п четное, то
если же л нечетное, то
Н ~ Яп+2 ~~ Я'
§ 2] ДРУГИЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 209
Следовательно, предела lim ■ д+1 не существует, и притом для
Л ->00 аП
всех нечетных п отношение /Н'1 больше 1. Тем не менее признак
Коши здесь применим. Действительно, для четного п имеем yan = q,
а для нечетного п имеем у ап = j/ дп+* = q \/q2. Так как (см.
гл. II, п. 5, лемма 5) lim j/^2=l, то lim ^an = q.
п -* 00 Я-* 00
§ 2. Другие признаки сходимости для рядов
с положительными членами
8. Ряды с монотонно убывающими членами. Мы переходим
сейчас к изучению сходимости рядов, все члены которых
положительны. Среди них мы прежде всего рассмотрим ряды с монотонно
убывающими членами. Докажем следующую теорему Коши:
оо
Теорема 6. Для того чтобы ряд У ап с монотонно убы-
л== 1
вающими положительными членами сходился, необходимо, чтобы
lim пап = 0.
п-*оо
В самом деле, из сходимости ряда следует, что для любого
числа £^>0 можно найти такое N, что при n^>N и при любом
натуральном числе р имеет место неравенство
Так как члены ряда положительны и монотонно убывают, то из
этого неравенства (положив р = п) получим (лг —|— \)a%n<^-K- и тем
более
па2п<С~£ или 2м2л<Се (6)
(при n^>N).
Так же, положив р = п-{-1, будем иметь (#-j-2)rt2/i+i<^4->
откуда (2я-|-4)а2л+1<^е и тем более
(2л+1)а2л+1<е (7)
(при n^>N).
Неравенства (6) и (7) показывают, что, начиная с n^>2N, всегда
имеет место неравенство
яал<е,
это и значит, что lim пап = 0.
я -> оо
210 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
Если в условиях теоремы отказаться от монотонности членов
ряда, то теорема перестает быть справедливой.
В самом деле, пусть £ak — произвольный сходящийся ряд с
монотонно убывающими членами; для него по теореме 6 lim #аЛ = 0.
П-* со
Построим новый ряд
для которого ап = аЛ, если п ф 2k и
*!* = -2В- (* = !» 2> .-О-
Ясно, что новый ряд опять сходится, но выражение пап при
п-+оо уже не имеет предела, так как lim пап = 0, если п ф 2k, и
л -* оо
ъ 2к
lim 2*а& = -тЯГ=1.
fe-oo z
Можно было бы показать, что для сходящегося ряда либо
lim пап не существует, либо он равен нулю.
л -*оо
Замечание. Доказанный признак является только
необходимым, но не достаточным для сходимости ряда с положительными
и монотонно убывающими членами. Покажем это на примере.
Пример 11. Рассмотрим ряд
2d "ШТ = 2ТпТ + зТпЗ + "" ~Ь (л+1)1п(л~+1) + '•" ^
л=2
Члены его положительны, монотонно убывают и
— 1 ^ 1
пап—п ^^ i)in(/i-f. 1) <- 1п(л + 1) '
поэтому lim пап = 0.
Л -* СХ>
Однако мы сейчас убедимся, что этот ряд расходится.
С этой целью мы сначала покажем, что члены его больше
членов ряда
оо
2J [In In (az-f-1) — In In Л]. (9)
л = 2
В самом деле, по теореме о конечном приращении (если ее
применить к функции 1п1пдг) имеем:
§ 2] ДРУГИЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 211
слева стоит (п— 1)-й член ряда (9), справа (п— 1)-й член ряда (8),
следовательно, члены ряда (8) больше соответствующих членов
ряда (9). Но ряд (9) расходится, так как сумма его п первых
членов равна 1п1п(л-|-1) — In In 2, значит, она неограниченно растет
с ростом п. Поэтому, по принципу сравнения рядов, мы видим, что
ряд (8) расходится.
9. Признак сходимости Куммера. В этом параграфе мы
изложим одну теорему, из которой можно получить целый ряд
признаков сходимости для рядов с положительными членами.
Теорема 7. (Признак Куммера). Пусть для ряда
оо
У ап с положительными членами можно найти такую последо-
еательность положительных чисел {Ъп}, что
■>п
расходится,
2) числа vn == bn —- bn+i имеют один и тот же знак.
Тогда: если vn^>l^>0, то ряд %ап сходится; если уп^0у
то ряд 2 Яд расходится.
Действительно, если vn^>lf то
1ап+\ < brfln — bn+iun+i-
Полагая п=1, 2, 3, ..., найдем:
1аъ < #2^2 — ^з^з»
fon+l <С brfln — bn+lan+l •
Складывая эти п неравенств, получим:
/(яа + я3-{- ... +art+1)<Vi — **+A+i<Mi>
откуда
Яа + Яз-Ь ... + ялч4<-уЦ
и значит,
Sn+i = al-\-a<i-\- ... +Дл+1<-у1- + Д1.
Мы видим, что при любом п
sn<c,
где С= *gl -\-ах — постоянное число. Но мы знаем, что для ряда
с положительными членами ограниченность его частичных сумм
влечет его сходимость. Итак, первая половина теоремы доказана.
212 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VTI
Допустим теперь, что vn^Q. Тогда
т. е.
*iAi*S*/i+ia/i+i- (10)
Положим л=1, 2, 3, ... в неравенстве (10); получим:
ахЪх ^ ссфъ
аф2 ^ Яз*з>
и следовательно,
откуда
1
апЬп^ап+1Ьл+1,
««+i^Mii—. С11)
Но ряд \-т-> по условию, расходится, значит, расходится и
ряд Уа1Ь1-у-9 полученный умножением всех его членов на ахЪъ
а тогда на основании (11) по принципу сравнения рядов получаем
оо
расходимость ряда У ап-
Замечание. Можно доказать, что рассмотренный признак
является не только достаточным, но и необходимым, т. е. имеет
место
Теорема 8. Для любого ряда Цапс положительными членами
можно найти такую последовательность {Ьп}> что ряд
У-г-расходится и при этом:
если ряд 2 <*п сходится, то vn = bn —- bn+i ^ / > 0;
an+i
если ряд 2 ап расходится, то vn ^ 0.
Действительно, пусть £ ап сходится. Положим
b = -^-
/де Rn — n-Pi остаток ряда. Имеем:
v ___ Rn ап Rn+i ___ Rn — Rn+i == an+i __. j
n an an+i an+i an+i an+i
С другой стороны, ряд
2J-= у ft
ьп £ Rn
/1= 1
расходится; это будет доказано в § 5 (теорема 18).
§ 2] ДРУГИЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 213
Итак, первая половина теоремы доказана.
Пусть теперь ряд JJ ап расходится. Обозначая через Sn его частичные
оо
суммы, составим расходящийся ряд / ~~. Расходимость этого ряда бу-
^, п
п= 1
дет доказана в § 5 (теорема 19). Положим
Ь = ^l
Тогда 2^
1
расходится и
*я = Ьп^~ - Ьп* = -^а- - ^±1 = - -2«±L = _ 1,
теорема доказана.
10. Следствие из признака Куммера. Чтобы вывести из
признака Куммера ряд других признаков, целесообразно сначала
вывести из него одно простое
Следствие 3. Если существует последовательность
положительных чисел { Ъп}, для которых
1) \-т~ расходится;
оо
то при q^>0 ряд У ап сходится, а при q<C.O расходится.
п = 1
Действительно, если q^>0, то, начиная с достаточно большого п,
имеем:
и по признаку Куммера ряд сходится. Если же #<^0, то, начиная
с достаточно большого п, имеем:
*„<!<о.
а потому ряд расходится.
11. Вывод различных признаков сходимости из признака
Куммера.
1) Положим Ьп = 1 (п = 1, 2, 3, . . .); тогда ^ -г-
расходится и
v„ = -
йп+i
214 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
Если lim vn = q^—1 существует, то
Л -+ ОО
lim ~£г7—1+ 11т*»=1+Я>
а потому
lim _?*±L__L_
Ясно, что при q^>0 имеем гцг" ==/'<[ 1, а при ^<^0 имеем
1
1 , =г^>1, и мы возвращаемся к признаку Даламбера (если его
применять к рядам с положительными .членами).
2) Признак Раабе. Если
Um n[ir—А=г>1>
то ряд сходится.
Если
lim п (-—£ 1 ] = г <^ 1, то ряд расходится.
Это можно доказать, применяя признак Куммера к
последовательности {Ьп}, где Ьп = п. Имеем У,-г-= У,— расходится как
гармонический ряд. Кроме того,
ап+1 к ~ ' \ап+1 J
Поэтому
r=Hm/i(-?s l) = l-f limz,„ = l+?,
и при <?>0 получаем г>1, при ^<^0 получаем г<]1.
3) Признак Гаусса. Пусть отношение —— можно запи-
сать в виде
йл+1 — а+л+л2'
где а и р постоянны, а числа уп ограничены, т. е. |ул(<^1.
Тогда:
если а^>1 или гели а=1, Р^>1, /wo /?яд сходится;
если а<^1 или если а=1, р^1, /?#д расходится.
§ 2] ДРУГИЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 215
Для доказательства этого предложения заметим, что
*л
lim —*- = а,
Л-СО ЙЛ+1
ИЛИ
цш 2fl±i = ±f
если а^О.
Поэтому случай а]>1 или а<^1 сводится к применению
признака Даламбера.
Пусть теперь а=1. Тогда
ап+1
откуда
л_ 1 _j fL_i_ Ък
+Г Тл1"й2'
а потому
lim „(^ 1) = В.
Применяя признак Раабе, мы видим, что при (3 ^> 1 ряд сходится
и при р <[ 1 он расходится.
Остается разобрать случай {5 = 1, т. е.
ап 11 1 | Тд
«„+1 ^ я "!"«»•
В этом случае мы применим признак Куммера, полагая b„ = n Inn.
Это возможно, так как ряд \тг= \~i— расходится (см.
пример 11). Имеем:
vn = nltrn^ (n -f-1) In (л + 1) =
= „lnn[l +| + ^]-(«+l)ln(«+l) =
= nlnn+lnn + ±;yn\nn — («+l)[ln« + ln(l +-^-)] =
= 1Тл1п«-(„+1)1п(1+1) = + Тл^-1п(1+1)й+1.
Но lim — =0, а |ул|<[£> поэтому lim ул — = 0. Кроме
Я-*00 ** Я-*00 П
ТОГО,
,*(' +^Г=„,1т„(1 +*) ^J1 + т/-«
216 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
значит,
limlni+JL =i,
п-*со \ '* /
откуда
lim vn = — 1,
Я-*СО
и на основании признака Куммера ряд расходится.
Пример 12. Рассмотрим ряд
2 "Т"2.4 + -Ф-"Г" 2-4-6...2л *"•
Признак Даламбера неприменим, так как
вд+1 _ 2я +1
ап — 2я + 2'
а потому lim ^±^=1. Применим признак Раабе.
Имеем:
„->со \вЯ+1 / Л-СО \2я+1 1 2^
Значит, ряд расходится.
Пример на применение признака Гаусса мы рассмотрим»
в гл. VIII, § 1.
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
12. Абсолютная сходимость ряда. Мы изучили целый ряд
признаков сходимости для рядов с положительными членами. Мы сейчас
убедимся в том, что они могут оказаться полезными и при
изучении вопроса о рядах, члены которых как положительны, так и
отрицательны.
Прежде всего введем следующее определение:
Определение 3. Ряд
Я1 + яа + ... + ая + ... (1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Ы + М + --- + К1 + --- . (12)
составленный из абсолютных величин его членов.
Смысл этого определения станет ясен из следующей теоремы.
Теорема 9. Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд
сходящийся.
Действительно, стоит только вспомнить принцип сравнения
рядов, чтобы убедиться в справедливости этой теоремы.
§ 3] АБСОЛЮТНО Й УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 217
Пример 13. Ряд
сходится, так как сходится ряд \-§- (см. п. 1, пример 3).
Однако обратная теорема неверна, т. е. существуют
сходящиеся ряды, которые не являются абсолютно сходящимися. Чтобы
убедиться в этом, мы рассмотрим один специальный класс рядов,
именно знакочередующиеся ряды.
13. Признак сходимости для знакочередующихся рядов.
Определение 4. Ряд называется знакочередующимся, если его
члены поочередно то положительны, то отрицательны.
Ряд
«1 — «2 + аз — • • • + (— !)л+1 <*я + • • •
будет знакочередующимся, если числа ап одного знака.
Теорема 10 (Лейбница). Знакочередующийся ряд
сходится, если абсолютные величины его членов убывают и стремятся
к нулю.
Действительно, пусть дан ряда, —а2-|-а3—•••■+■(— 1)л+1ал-[--...;
где все ak^>0, ak^>ak+i и lim ап = 0.
П-*00
Тогда
52л = «1 — Ч + «3 — ai + • • • + «2л-1 — «2л =
= («1 — Яа) + (Д3 — «4) + • • • + (а2л-1 — «2л) =
= а1 — (а2 — Д3) — (ai — Дв) — • • • — (а2л-2 — a2n-i) — Яая5
так как, по условию теоремы, каждая из написанных скобок не
отрицательна, то получаем, что
0<52л<а1,
и так как, кроме того, 52л с увеличением п возрастает, то
последовательность {S2n} имеет предел, который обозначим 5, т. е.
5= lim 52л. Теперь исследуем lim 52л+1; так как
л-*оо я-»оо
lim 52л+1 = lim (52л -{- Яал+i) = Hm S2n -f- lim а2л+1
Л-*00 Я-*СХ> Я-*СХ> Я-*00
и, по условию, lim a2rt+1= Итая = 0, то
Я-*СХ> Я-*СХ>
lim 52л+1 = lim S2n = S.
П-+СО П-*О0
Итак, lim Sn = S, т. е. ряд сходится.
П-ЮО
Замечание. Из приведенных рассуждений следует, что всегда
^чп<Са1у поэтому и S^aly т. е. сумма рассматриваемого
знакочередующегося ряда не превосходит его первого члена.
218 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
Если рассмотрим остаток знакочередующегося ряда
Rn = (- 0Л+2 [anfl - ап+, + аЛ+3 - ...]
и применим к нему предыдущие рассуждения, то получим, что
остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям
этой теоремы, по абсолютной величине не превосходит абсолютной
величины первого отброшенного члена и совпадает с ним по знаку.
Пример 14. Дан ряд
1 -4-- —4- 4- (— \)n+i — +
10 ' 102 ю8 ' ••• ' ^ ; 10е '"'
Он сходится, так как все условия теоремы выполнены. Вычислим
J_ , _2 3_
10 ' 102 108
54=l-^ + w-W = 0,917.
Так как первый отбрасываемый член у^- и имеет знак +, т0
^<С^4<С0,0004 и, следовательно, сумма ряда удовлетворяет
неравенству 0,917 <5<0,9174.
Отметим, что доказанная теорема перестает быть верной, если
отказаться от требования, чтобы последовательность
аь аъ аг> • • •> аю
была убывающей, как показывает следующий пример. Возьмем
знакочередующийся ряд:
1 1,1 1,1
/2 — 1 /2+1 /З —1 /3+1 J/4— 1
Члены этого ряда стремятся к -нулю; ряд знакочередующийся,
но абсолютные величины его членов не образуют убывающей
последовательности, и ряд оказывается расходящимся. Докажем это.
Рассмотрим последовательность частных сумм с четными
номерами, т. е. последовательность
о _ 1 1 2
о2 —
/2 — 1 /~2+1 1 '
Si = [y-2-\~ /2+J~H/1-1 — |Лз + 1У Т + Т'
с =М j \ I ( J J Ь
6 \/2—1 /2 + 1/ ' \/3 —1 /3+1/ '
. (_i Ц = 1+2
+Л|Л4-1 /1+1/ ]^2
?2л = 2(1+1 + ... + 1
§ 3] АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 219
В скобках мы имеем частную сумму расходящегося
(гармонического) ряда. Следовательно, члены этой последовательности
неограниченно возрастают и ряд расходится.
14. Условно сходящиеся ряды. Зависимость суммы ряда от
порядка членов. Теорема о знакочередующихся рядах позволяет
легко построить сколько угодно примеров рядов, которые
сходятся без того, чтобы быть абсолютно сходящимися. Например, ряды
1 — yY^Y%~ У^^~у^~ 7^'"~^(— 1)п+1}гя+'"
будут сходящимися на основании признака сходимости
знакочередующихся рядов, но ряды, составленные из абсолютных величин их
членов, т. е. ряды
ч4+т+-+т+-- 1+уч+тк+-+у%+--
будут расходящимися. Первый ряд гармонический и, как было
показано, расходящийся; члены второго ряда больше соответственных
членов гармонического ряда, и следовательно, по теореме о
сравнении рядов второй ряд тоже будет расходящимся.
Определение 5. Сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся
ряды называются условно сходящимися рядами.
Пусть дан числовой ряд
я,4-Д2 + . .. + art + ... (1)
Составим из членов этого ряда новый ряд
*1 + *з + -•. + *« + ••., (5)
в который будут входить все члены ряда (1), но только в другом
порядке. Докажем прежде всего следующее предложение:
Теорема И. Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет
сумму S, то ряд (5) тоже абсолютно сходится и имеет ту же
сумму S. Иначе: для абсолютно сходящегося ряда сумма ряда
не зависит от порядка следования его членов.
Абсолютная сходимость ряда (5) вытекает из очевидного
неравенства
ift,| + l*.l + ... + l*-l^|eil + |e.l + -.- + |e»l + ---. (13)
справедливого при любом п (все слагаемые левой части этого
неравенства содержатся в его правой части, только вообще в ином
порядке). Чтобы доказать, что суммы рядов (1) и (5) одинаковы,
возьмем произвольное е]>0 и фиксируем настолько большое #0,
чтобы неравенство
220
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
[гл. VII
выполнялось при любом натуральном р (это возможно в силу
абсолютной сходимости ряда (1)). Числа alt а2, ..., аП() занимают
определенные места в ряде (5). Пусть N(N^n0) — наибольший из
номеров этих мест. Тогда при n^>N в разности
^ = («i + «2 + --- + aJ — (*i + *2 + -•• + £/*)
члены аь а2, ..., аПо уничтожатся и останутся со знаками -f- или —
некоторые из членов ряда (1), имеющие номера большие, чем п0.
Поэтому в силу (14) будем иметь:
hJ<e при л>М
Отсюда следует, что lim Y)n = 0, и далее, что
Я-+00
lim (в, + в» + -.. + вя)= Ит (&1 + 62 + ••• + b„) = S,
я-*оо я-*оо
что и требовалось доказать.
Обозначим через ult щ, ..., ию ... положительные члены ряда (1)
и через —vu —v2, ..., —vn, ... — его отрицательные члены.
Лемма 1. Если ряд at -\- а2 -f-... -|- ап -f-... абсолютно
сходится, то оба ряда
и, + и2 + . .. + «„ + ... (15)
и
*! + *«+•.. + "« + ... (16)
одновременно сходятся.
Если ряд ах -|- а2 -{-... -f- ал -|~... сходится условно, то оба
ряда (15) и (16) одновременно расходятся.
Первое утверждение очевидно, так как если ряд сходится
абсолютно, то ряд, составленный из части его членов, тоже сходится
абсолютно.
Докажем второе утверждение. Прежде всего в случае, когда
оба знакоположительных ряда (15) и (16) сходятся, ряд ах -f- ^2 ~~К • •
... -f- ап -f-..., очевидно, абсолютно сходится. Допустим теперь,
что только один из рядов (15) или (16), например (15), сходится.
Пусть 5 — сумма этого ряда. Обозначая частичные суммы ряда (1)
через 2i» 2г» •••> Ип> •••! частичные суммы ряда (15) — через
su s2, ...r sn, ... и частичные суммы ряда (16) — через ои о2, ...
..., ол, ..., имеем 2/1 = S/*i — оЛ2, где пх — число членов ряда (Г5),
содержащихся в сумме 2л» и п2 — число членов ряда (16),
содержащихся в этой же сумме. Но lim sni=s и lim o„2 = -|-oo, поэтому
П-*СО П-*00
lim 2/1 = — оо, что противоречит сходимости ряда (1). Следова-
л-+оо
тельно, оба ряда (15) и (16) расходятся и лемма доказана
полностью.
§ 3] АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 221
Теорема 12 (Римана). Если ряд (1) условно сходится, то,
каково бы ни было число А, можно так переставить члены ряда,
что сумма ряда станет равной А.
Пусть ии щ, ..., ип, ... — положительные члены ряда (1),
— vu —v2, ..., —vn, ... — его отрицательные члены. Так как,
в силу сходимости ряда (1), абсолютное значение \ап\ с
возрастанием п стремится к нулю, то и числа ип и vn с возрастанием п
стремятся к нулю. Далее, на основании леммы ряды
«1 + Щ + • • • + ип + - • - и —vi — v2 — ... — vn — ...
должны расходиться. Желая расположить члены ряда (1) так, чтобы
частичные суммы нового ряда стремились к пределу А, будем
складывать между собой положительные члены до тех пор, пока их
сумма впервые превзойдет А, т. е. до такого номера ku что
«1 + Щ + и3 + ... + uki > А,
а
Щ + И2 + ПЪ + • • • + К*1-1 ^ А-
Это можно сделать, так как ряд и1-\-и2-\- .. --\-ип-\- ...
расходящийся. Затем прибавляем отрицательные члены до тех пор, пока
общая сумма не станет впервые меньше А, т. е. до такого
номера /j, что
Щ + "2 + И3 + • • • + И*1 — Vl — V2 — - - - — 1>h < А>
а
»i + Щ + из + • - - + uki — *>i — *>2 — - - - — Щ-15^ А.
Это возможно, так как ряд vt —|— х^а —f—.. .-\-vn-\-...
расходящийся. Далее, из неиспользованных положительных членов снова
берем минимальное число членов, нужных для того, чтобы общая
сумма превзошла А:
Ui + U2 + ih + ---^^tkl — vl — v2 — ... — vll + ukl+l-)r
а
«1 + «Я + И|+••• + "*! — Vl—V2— ... — !>/! +Hftl+i +«*!+*+•••
. -. + и*а_1 ^ Л.
Это можно сделать, так как ряд ukl+1 -f- ukl+2 -f-... -f- H/,1+p -f-...
расходится.
Путем прибавления отрицательных членов мы снова уменьшаем
сумму до тех пор, покз она впервые не станет меньше А, и
продолжаем этот процесс неограниченно. Полученные таким
образом значения сумм будут колебаться около значения А, и если
мы только достаточно далеко продолжим этот процесс, то эти ко-
222 ТЕОРИЯ числовых рядов [гл. VII
лебания будут происходить в произвольно тесных границах, так
как ип и vn с возрастанием п стремятся к нулю, а абсолютная величина
разности между А и частичной суммой, как ясно из построения,
меньше абсолютной величины последнего прибавленного
отрицательного или положительного члена. Таким образом, частичные
суммы построенного нами ряда будут неограниченно приближаться
к- числу Л, что и требовалось доказать.
Итак, для условно сходящегося ряда сумма ряда зависит от
порядка членов. Действуя аналогично, можно так переставить члены
ряда, чтобы условно сходящийся ряд превратился в расходящийся.
15. Преобразование Абеля и его приложение к изучению
сходимости рядов. Пусть даны две последовательности чисел
и0, tti, Й2> ..., ипУ ...;
«о> vu v2 vn, ...
и рассматривается сумма
я
fc = 0
Положим
*а = и0 + й1 + --- + и* (* = 0, 1, 2, ...);
bVk = Vk — vM (k = 0, 1, 2, ...).
Тогда преобразованием Абеля называется следующая формула:
я л — 1
2 uk°k= 2 *i£vk+sf>n> 07)
в справедливости которой легко убедиться непосредственно.
В самом деле,
л-1
2J skbvk + snvn = (v0 — vl)s0 + (vl — v2)sl-{-...
... + (vn_x — vn)sn.x -f snvn = v0s0-\-v1 (st — s0) -f. . .
.. •+ Vn (sn — sn-l) = «0«0 + «1«1 + • • • + *V« •
Эта формула имеет многочисленные применения в теории рядов.
В частности, из нее получается такая
оо
Теорема 13. Пусть ряд У ип сходится или хотя бы имеет
я = о
ограниченные частичные суммы: |$/,|<^5.
§ 4] ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛОВЫМИ РЯДАМИ 223
Пусть невозрастающая последовательность положительных
чисел {vn} стремится к нулю. Тогда ряд
(18)
л=0
сходится и его сумма о удовлетворяет неравенству | о | ^ Sv0.
Действительно, обозначая через ал частичные суммы ряда (18),
имеем на основании преобразования Абеля
л — 1
Обозначим через Тп частичные суммы ряда
со
2 s^*> (2°)
тогда из (19) имеем:
ал — snvn = Tn_x.
Но 15л1<С^» а vn~*Q> значит, если ряд (20) сходится, то и
ряд (18) тоже сходится и их суммы одинаковы. Но ряд (20)
сводится, так как числа Дг^ все неотрицательны и образуют
сходящийся ряд
(«0 — «l) + («1 —«!) + ••• + (Pk-1 — Vk) + • • • .
сумма которого равна v0y значит, и ряд
S(v0 — v1) + S(vt—vJ + ... + S(vk_1-vk)+... (21)
сходится и его сумма равна Sv0, а члены ряда (20) по модулю не
превосходят членов ряда (21); поэтому он сходится и его сумма,
а стало быть, и сумма о ряда (18) по модулю не превосходят Sv0t
§ 4. Операции над числовыми рядами
16. Сложение рядов. Теорема 14. Если ряд ах -f- а2 -f- ...
... -f- ап ~\~ • • • сходится и имеет сумму s и ряд Ьх -\- b2 -j- ...
...-{- Ъп -f-... тоже сходится и имеет сумму о, то ряд
Ci + ^2 + ... + <:„+...,
где сп = ап-\-Ью сходится и имеет сумму S = s-\-o.
п п п
Действительно, обозначив sn=y.ak, on = 2,bk и Sn= \ск9
1 j i
имеем Sn = sn-\-an.
224 ТЕОРИЯ числовых рядов [гл. VII
Переходя к пределу, имеем lim 5Л= lim sn-\- lim ол = $-|-о,
Я-* СО Я-> СО П-*СО
т. е. S==s-\-o.
Разумеется, аналогичная теорема справедлива и для вычитания
рядов.
17. Умножение рядов. Определение 6. Условимся
называть произведением рядов
fl|-f aa-f ... + ая + -.-1 (!)
*i + *i +... + *, + ... (5)
ряд
'! + '« + ... + '„ + ..-, (22)
где
сп = ахЬя + афп_х + ... + апЬи (23)
Это определение станет понятным, если заметить, что для
случая конечного числа слагаемых справедливо равенство
(«1+«»« + • ••+«*)(*!+ *« + ••• + **) = ^1 + --- + ^.
где числа сп(п=1, 2, ..., к) определены при помощи
формулы (23).
Для рядов имеет место следующая
ОО ОО
Теорема 15. Если ряд У ап сходится к числу s, ряд У Ъп
я =1 я =1
сходится к числу о и хотя бы один из двух рядов, например
ОО
2, ап> сходится абсолютно, то их произведение сходится к числу
so; если оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение
тоже сходится абсолютно.
Пусть
п п п
*я=2а*' °*=2й*' snz==^dck-
1 i 1
Покажем, что при сделанных предположениях
lim Sn = lim (snon) = lim sn lim оп = so.
П -* ОО П -* OU П -* ОО Я -* ОО
Для этого сделаем некоторые преобразования
я л
Sn = 2 ck= 2(а^ + Ч-Фъ + • • • + aif>k) =
l i
л я — 1
§ 4] ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛОВЫМИ РЯДАМИ 225
Поэтому
п п п л — 1
11 1 1
л л
= «i2|** + fl«2!** + '"
1 1
Л Л Л — 1
1 1 1
= яА + М*л+*л-1) + --- + МЙ2 + £з + - ••+*«) =
= «2 (°л — <Vi) + «з К — <V-a) + ... + ая (оп — ot).
Теперь разложим число п на два слагаемых (пока
произвольных, целых и положительных) ряд так, что n=ip-\-q. Разность
snon — Sn можно представить так:
*л°л — Sn = [аа (ол — оп_х) +... + ар+1 (ол — од)] +
+ К+* (°я — Vi) + аР+з (°л — V*) + • • • + ап (°л — °i)l-
В силу сходимости ряда Ь1-\-Ь%-\-..., можно взять q (а
следовательно, и п) настолько большим, чтобы каждая из разностей
(ол — ол_1), ... , (?п — oq) была по абсолютной величине меньше
произвольного числа е^>0. Так как разности оЛ — oq_u
оп — од_2, ... , ол — ох по абсолютной величине не превосходят
некоторого положительного числа L (в силу ограниченности всех^Д то
1*Л — Sn\ <{ ЫК —°*-i ! + ••• +lflp+i II °n — °q\} +
+ llap+all°ii — Vil + laP+3ll°« — V*I + --- + KIK — *il>«
<s{|a2| + ... + |ap+1|} + L{|V2| + ... + |^|b
В силу абсолютной сходимости ряда ах-\~...-\-ап-f-..., можно
выбрать р настолько большим, чтобы |«р+а|~Ыар+з |~Ь« • «~Иал1
была меньше е, и так как |а2 \-\- ...-|-1яр+1 | не превосходит
некоторого числа К^>09 то
I*Л - 5Я | < гК + tL = е {К+ L).
Следовательно, эта разность может быть сделана как угодно
малой по абсолютной величине, а так как lim snon = so9 то и
я-юо
lim Sn=xso, что и требовалось доказать.
Л -+ оо
оо
Заметим еще, что если бы У Ьп был абсолютно сходящимся,
л —1
оо
то У сп должен сходиться абсолютно, так как если А есть сумма
л=1
8 В. В. Немыцкий и др.
226 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
оо со
ряда /|ая[, а В есть сумма ряда У 1^л1> т0 любая частичная
п— 1 Л== 1
сумма Сп ряда 2IспI удовлетворяет условию
C«<(|fli| + ... + |flll|)(|ftiH-... + |M)<i4A
§ 5. Бесконечные произведения
18. Определение бесконечного произведения. Пусть и1у иъ
Щу • • • > wn> .. • — произвольная последовательность чисел.
Назовем бесконечным произведением выражение вида
игигиг...ип...
и будем обозначать его сокращенно
оо
И»-
п = 1
Числа ии н2> ..., иЛ, ... будем называть членами
бесконечного произведения; произведения
Л = «1» /?2 = "i«2> •••> рп = и1щ...ипУ ...
назовем частичными произведениями.
Определение 7. Ясли последовательность частичных
произведений имеет конечный предел lim рп — и, отличный от нуля,
п -* оо
/гао бесконечное произведение называется сходящимся, а число и —
£го значением или величиной.
Принято писать:
\\ ип — щщщ... ип_хип... = и.
Л= 1
Если же lim рп равен 0, zbco или не существует, то бесконеч-
п -* оо
ное произведение называется расходящимся.
оо
Пример 15. 11(1 а) сходящееся, и его величина
л = 2
равна у. В самом деле,
л=(>-^)(>-^)...(1-^)=
„(.-■)(,-')...(,-±)(,+>)(I+i)...(I+I)-
_1_ _2_ ft —1 _3 £ я + 1 1я + 1
"2 " 3 """ п " 2 " 3 •"" гг 2 гг
§ 5]
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
227
и, следовательно,
lim Рп = \.
В силу определения, сходящееся произведение становится
расходящимся, если хоть один из членов заменить нулем. Это
обстоятельство неудобно для некоторых приложений, и поэтому
естественно несколько обобщить понятие сходящегося произведения,
именно произведение ихи2...ип ... , содержащее конечное число
членов, равных нулю, назовем сходящимся, если сходится в
прежнем смысле произведение, получаемое из данного путем
вычеркивания членов, равных нулю.
19. Необходимый признак сходимости бесконечного
произведения. Теорема 16. Для того чтобы бесконечное произведение
сходилось, необходимо, чтобы последовательность его членов
сходилась к единице.
Вычеркнем сначала из бесконечного произведения те члены,
которые равны нулю (таких может быть только конечное число,
иначе наше произведение не было бы сходящимся). После такого
вычеркивания остается сходящееся бесконечное произведение
(в силу принятого обобщенного определения сходимости). Пусть ип —
члены этого произведения; тогда ип Ф О при л=1, 2, 3, ..., а
значит, и произведение их: рп = их... ип ф 0. Если
и==ПтрпУ то и= lim/?„_!,
я -+ ОО Я-►СО
а потому
lim ип= lim -^- = 1,
я —► оо я —► оо г л—1
и теорема доказана.
Имея в виду эту теорему, каждый член бесконечного
произведения представляют в форме ип = 1 -\- ап; тогда произведение
примет вид
оо оо
Пи»==П(1+а»)- (24)
п=1 л =1
Из теоремы 16 следует, что для сходимости произведения
оо
П(\-{-ап) необходимо, чтобы lim ап = 0. Легко убедиться, что
л -♦ оо
л = 1
это условие не является достаточным.
оо оо
Пример 16. I I ия = Т| п . Это произведение расхо-
Я= 1 п = 1
дится, так как рп = п-\-\ и limpn — -\-oo, между тем ип=з
8*
= (l-fi-j, т. е. ая = 4 и lim ап = 0.
п я-со
228 ТЕОРИЯ числовых рядов [гл. VII
20. Необходимые и достаточные признаки сходимости.
оо
Теорема 17. Произведение I I (1-\-ап), где ап все одинакового
д=-1
знака, сходится тогда и только тогда, когда ряд У ап схо-
дится.
п
Представляем рп= I I (1 -\-ak) в следующем виде: рп =
fe=i
z=ek=*1 . Это представление показывает, что
произведение (24) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
оо
У 1й(1-{-я&)- Общий член этого ряда может быть записан по
теореме Лагранжа (см. гл. V, п. 40) следующим образом:
InO + a^-j-^.,
где Qk — число, зависящее от ak и подчиненное условию 0<^6fc<^l.
В силу теоремы 16 мы можем ограничиться случаем, когда
lim ak=0, и считать, что, начиная с некоторого номера &0,
fc-*oo | J J
I^I^T* Тогда ®kak заключается между —у и -Ьу, следова-
2
тельно, 1п(1+я*) заключается между уаА и 2ak, и так как все ак
оо
одинакового знака, то ряд У \n{\-\-ak) сходится или расходится
оо
одновременно с рядом Л ак, откуда и следует утверждение тео-
ремы 17.
21. Некоторые теоремы о сходимости рядов. В качестве
приложения этой теоремы дадим доказательства двух предложений,
упомянутых в § 2 (признак Куммера).
оо
Теорема 18. Если ряд У ап сходится и Rn — его п-й оста-
л = 1
оо
ток, то ряд \ ~- расходится,
л=1
§ 5]
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Действительно, положим ип = —; тогда
„ ^я»1 °я Г> ^я-
"л 5 > Кп
Следовательно,
я.
/?1
Я,=
1+"з'
/?„-^i
Перемножая эти я — 1 равенств, находим:
Rn =
(1+и2)(1+«3)...(!+«„)•
Поэтому
По+«*)=|,
fe = 2
и так как Нт /?л = 0, в силу сходимости ряда Л аЛ, то
Л
lim TT(l+?*ft) = + oo,
I -* ОО-*--*;
т. е. бесконечное произведение I I (l-{-uk) расходится. Но тогда
ряд 2мл расходится, и теорема доказана.
оо
Теорема 19. Если ряд У ап расходится и Sn — его частия-
оо
ные суммы, то и У ~- расходится.
п = 1
В самом деле, если положить
то
п sn'
S-!L=^n=l = lln или 5л = 1%±-.
230 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ [гл. VII
Следовательно,
«Si
2 1
68 ==Т=ПЦ'
S,
^Я-1
»—1-й,'
а потому
Следовательно,
(1-и2)^.(1-ип)'
Si
ТТ (l-«,) = f-.
оо
Так как Л аЛ расходится, то lim Sj = -|-oo, а потому
lim |Г(1-«А) = 0.
ОО
Значит, бесконечное произведение I I (1 — uk) расходится, сле-
оо
довательно, расходится и ряд У uk. Теорема доказана.
22. Критерий Коши. Перейдем теперь к бескЪнечным
произведениям с произвольными знаками у чисел ап.
Докажем сначала следующую лемму:
оо
Лемма 2... Бесконечное произведение ||(1-}-ял) сходится
п = 1
тогда и только тогда, когда для любого е^>0 можно найти
такое п0, что для п^>п0 и для всех k^\ выполняется условие
|(1+ a„+i)(1 + а„+а) • • • (1 + an+k) - 11<..
Докажем сначала необходимость условия. Пусть произведе-
оо
ние I I (1 -\-ап) сходится. Тогда апф — 1 и, кроме того, найдет-
я = 1
ся такое р, что \рп\^§^>® при любом я. Применим теперь
критерий Коши (см. гл. II, теорему 9) к последовательности
§ 5]
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
231
Pv Р&- • • >Рп> ••• Из сходимости этой последовательности следует, что
для я, большего некоторого #0, и для любого &^ 1 выполняется
неравенство \pn+k — Рп\<СеФ- Так как \Рп\^Ф^>®> т0 получаем
iPn+k-PnX^ т# е#
\Рп\
Pn+k
Рп
1
=l(l+^+l)(l+^+2)...(l+^ffe)-ll<^
Условие выполнено.
Докажем достаточность условия. Пусть имеем:
|(l+an+1)...(l+a„+Jk)-l|<e
для я^% и всякого k^\. Докажем, во-первых, что в таком
случае \рп\ ограничены. В самрм деле, по условию,
| (1 + <4+i)О + <Ч>+2) • • • О + a*o+k) — 11<в,
или иначе
Pn0 + k
■1
гщ
о
при достаточно большом п0 и при всяком k^l. Отсюда
1л.+»К0+«)|д..1 = л
при всяком k^l, что и доказывает ограниченность
последовательности \рп\. Теперь, в силу условия леммы, можно найти такое
N^>n0i чтобы для n^N и любого k^l выполнялось
неравенство
10+«im.i)0+««+•)••-О+ Д1м*)-1|<Х'
Pn+k 1 1 ^ £
Рп 1\<*А'
т. е.
или
\Pn+k-Pn\<tAj^<*,
а тогда на основании критерия Коши получаем, что
последовательность ри ръ ... , рп>... сходится. Предел этой последовательности
отличен от нуля. Действительно, допустим противное; тогда из
неравенства
Pnp + k
•1
гп0
справедливого при любом ky заставляя k стремиться к
бесконечности, получим 1^е, что невозможно, так как е можно взять как
угодно малым.
232
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
[гл. VII
-——). Докажем, что это произведение
Пример 17. Д(ь
сходящееся.
В самом деле, нетрудно установить методом полной индукции,
что частичные произведения
1, если п четное;
п ' ~ь" , если п нечетное.
Отсюда заключаем, что
1, если n-\-k и п четные;
если я + & четное, а п нечетное;
Pn+k
л+1 '
1 л
1
+ к>
если n-\-k нечетное, а п четное;
[1-| 7—г)—1i—r, если n-4-k и п нечетные.
I \ "Г nJ^kJ л+1 ' ~
Оценим во всех случаях абсолютную величину разности
если n-\-k и п четные;
если п + k четное, п нечетное;
Pn+k _
Рп
-1
; имеем:
[ °'
1
Pn+k
Рп
л+1 '
. . ^ | . , если я + & нечетное, я четное;
л+1 i (Л + *)(Л+1)
1 л
• 1
<
л+1 (я + Л)(л+1) ^ л+1 '
если я + & и я нечетные.
Итак, во всех случаях
при любом &.
Рд+fe
1 <«
+1
Это неравенство показывает, что выполнено достаточно условие
сходимости.
§ 5] БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 233
2S. Абсолютно сходящиеся произведения. Введем теперь еще
одно определение.
оо
Определение 8. Произведение I I (1 ~\-ап) назовем абсо-
п= i
оо
лютно сходящимся, если произведение I I (1-|-|яЛ|) сходится.
Т е о р е м а 20. Из абсолютной сходимости бесконечного
произведения следует его сходимость.
Применим доказанную лемму 2.
оо
Из абсолютной сходимости произведения |Т (1-|-аЛ) следует,
л=1
что, каково бы ни было е^>0, найдется такое #0, чт0 если
п^>п0 и k^z 1, то
|(i+K+il)...(i + K+*!)-i|0
Но легко видеть, что
|(1 +ая+1)...(1+ая+*)-1 |^|(i + |ee+I|)...(l+|e.t*|)-l|,
т. е. тоже меньше, чем г. Опираясь на достаточность выведенного
оо
нами в лемме 2 условия, получаем, что произведение I I (1-{-ял)
сходится.
Из теоремы 17 получается следующий важный признак
абсолютной сходимости произведения.
оо
Теорема 21. Произведение II (1-|-аЛ) тогда и толь-
оо
ко тогда абсолютно сходится, Когда ряд У ап абсолютно
сходится.
Пример 18. II (1 ^—\\\2 ) абсолютно сходится, так как
оо
ряд 2, 72—д. \\2 сходящийся; впоследствии мы докажем, что это
произведение равно -~.
234 ТЕОРИЯ числовых рядов [гл. VII
оо
Пример 19. Рассмотрим I I cos-^-. Это произведение абсо-
лютно сходящееся. В самом деле,
cos -|г = 1 — П — cos -i-j = 1 — 2sin*-^
но
Ssin*-^
2'-*
2л+1
а так как ряд У ~уг сходится, то произведение II cos -^
я = 1 т=\
абсолютно сходящееся. Можно было бы показать, что его значение
sin<p
есть —.
ГЛАВА VIII
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. Общая теория степенных рядов
1. Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля.
Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида
Яо + <*i С* — я) + - - - -\~ап (х — аТ + - - - >
или коротко
оо
2 ап(х — а)п.
Числа а0, ai9 ... , аП9 ... называются коэффициентами
степенного ряда. Заменяя х — а над:, мы можем свести общий случай
оо
степенного ряда к частному случаю: У апхП- Этот последний мы
и будем рассматривать далее. Читатель легко найдет, как должны
измениться соответствующие формулировки при переходе к общему
случаю.
оо
Определение 2. Если при х = х0 степенной ряд У апхП
п=0
превращается в сходящийся числовой ряд, то будем говорить, что
х0 есть точка сходимости степенного ряда; в противном случае
х0 есть точка расходимости.
Исследование сходимости степенных рядов при заданном
значении х производится при помощи уже известных признаков
сходимости числовых рядов. Однако можна доказать ряд теорем,
верных только для степенных рядов и облегчающих исследование
их сходимости. Перейдем к изложению этих теорем.
Теорема 1. (Первая теорема Абеля.) Если степен-
оо
ной ряд У апхП сходится при х = х0 (х0 ф 0), то он будет
л==0
236
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[ГЛ. VIII
сходиться, и притом абсолютно, при всяком значении х,
абсолютная величина которого меньше \ х0 |.
оо
Рассмотрим числовой ряд У апхЬ который, по условию тео-
л=0
ремы, сходится. Тогда для этого ряда будет выполнен необходимый
признак сходимости, т. е.
lim яллгл — lim кл+1=0,
а потому можно найти такое положительное число М, что для
всех значений п будет иметь место неравенство \апх0г\<^М.
Возьмем теперь х такое, что |лг|<^|лг0|, и составим
геометрическую прогрессию с первым членом М и знаменателем
Xq
м + м
х
Xq
+ ... + М
Xq
Эта прогрессия будет сходиться, так как
Xq
+ •••
<^1. Теперь сравним
общий член ряда \. апхП с соответствующим членом
написанной прогрессии
я=0
K**I = K*?|
X
Xq
<ж
Xq
т. е. члены ряда
2 Vя
по абсолютной величине меньше членов
л=0
сходящейся геометрической прогрессии. Поэтому ряд,
составленный из абсолютных величин членов рассматриваемого степенного
ряда
, сходится, а это значит, что ряд У о-п**1 абсолютно схо-
я=0
дится. Таким образом, первая теорема Абеля доказана.
Следствие 1. Если степенной ряд расходится при х = х0,
то он будет расходиться при всяком значении х, абсолютная
величина которого больше | дг01.
В самом деле, предположим противное, т. е. что существует хх
такое, что |^]|^>|^о| и чт0 ПРИ х = хх ряд сходится. Тогда, по
теореме Абеля, этот ряд будет сходиться и при дгь=дг0, так как
I-*о I<CI-*i I'» но эт0 противоречит нашему условию.
2. Интервал сходимости. Областью сходимости степенного
ряда называют совокупность всех точек оси х, в которых ряд
сходится. Существуют степенные ряды, которые сходятся только
§ 1]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
237
в одной точке. Таков, например, ряд У п\ х" (О! полагаем, как
это обычно принято, равным 1). В самом деле, при x^Q
абсолютная величина отношения последующего члена к предыдущему*
равная
I (л+1)1 **+1|
п\ хп
= (л-И)И,
стремится к +оо при я-*оо, откуда и следует расходимость
ряда.
С другой стороны, существуют степенные ряды, сходящиеся
оо
2Хп
—г- сходится для всех
значений^ х, так как признак Даламбера дает
lim
я -* оо
Хп t Xя-1
п\ : (п — 1)!
= Jim М = о<1.
В общем случае степенной ряд сходится в одних точках а
расходится в других. Пользуясь теоремой Абеля, легко изучить
структуру области сходимости степенного ряда и в общем случае.
Итак, пусть область сходимости степенного ряда не сводится
ни к точке, ни ко всей числовой прямой. Разобьем положительные
числа на два класса. В первый класс отнесем все точки сходимости
ряда, лежащие на полупрямой лг^>0, во второй класс — все точки
расходимости на этой полупрямой. Оба класса, по предположению,
непусты, и, в силу теоремы Абеля и следствия, каждое число первого
класса меньше любого числа второго класса; мы получаем сечение Де-
декинда в области положительных чисел, определяющее некоторое
положительное действительное Число г (само число г, как это будет
видно из примеров, может принадлежать как к первому классу,
так и ко второму). Очевидно (см. следствие 1), рассматриваемый
степенной ряд будет сходиться при каждом значении х, лежащем
в интервале—г<^^<^г, и расходиться при |*|^>г; при х = ±г
возможны различные случаи: ряд может сходиться в обеих
точках zhr, ряд может сходиться в одной из них и расходиться в
другой и, наконец, ряд может расходиться в обеих этих точках.
Интервал —г<^х<^г называется интервалом сходимости, а
число г — радиусом сходимости степенного ряда. Условимся
говорить, что радиус сходимости равен нулю, если ряд сходится
только в одной точке лг = 0, и радиус сходимости равен сю, если
ряд сходится для всех значений х.
Приведем примеры, иллюстрирующие сказанное.
Пример 1. Ряд
1+* + х2 + ... + *" + ...
238
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[ГЛ. VIII
представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем х\
он сходится при |л:|<^1 и расходится при |лг|^>1. Его интервал
сходимости: —1 <^л;<^-|-*• В граничных точках х = ±1 ряд
расходится.
Пример 2. Рассмотрим ряд
!+4+*+■
хп
2 I 3 I •••"!■■ „_|_1
Считая х фиксированным, применим признак Даламбера:
lim
/!-► ОО
Хп'
п+\
1- п\х\ . |
л -* оо "Т1
Поэтому исследуемый ряд абсолютно сходится при |je|<^l
и расходится при |лг|^>1. Здесь интервал сходимости есть
— \<^х<^-\- 1у а радиус сходимости 1. При х = -\-\ получаем
гармонический ряд 1 —)—^—|—^—|—..., как известно, расходящийся.
При дг = —1 получаем ряд 1—уЧ~"з •••> как известно,
сходящийся (см. теорему 10 п. 23 гл. VII).
Если мы в рассмотренном примере заменим х на —ху то
получим ряд
1-4+4— 4-+-+
(— \)п хп
л+1
имеющий интервал сходимости (— 1, -\- 1), сходящийся на правом
его конце (х—\) и расходящийся на левом конце (х = —1).
Пример 3. Ряд
22 ' З2 I •••" I (/г+1)2
имеет интервал сходимости —\<^х<^-\- \у так как
lim
п-+ оо
Хп
Хп~1
(л+1)8 • п2
— lim
= \х\.
При x = zhl получаем ряды:
^+г
З2
42
+ ■
оба сходящиеся.
Пример 4. Ряд
имеет интервал сходимости —1 <^<СН~ *> так как
lim
/г -+ оо
л:2/г(лг-{- О
/г • х"
= lim
AT'
Л fo+1)
§ 1]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
239
При х = ±1 получаем один и тот же гармонический ряд
1+4-+-T+-+-S- + -..
и, следовательно, на обоих концах интервала сходимости этот ряд
расходящийся.
Для определения интервала сходимости полезна такая теорема.
Теорема 2. Если существует предел lim ^±L | = / ф о,
то интервал сходимости ряда
а0 + а>\Х + а^х* + ... + апхп -}-...
будет
—Г <х< — ■
В самом деле, на основании признака Даламбера ряд
а0 + ахх -\- а<>х*-\-...
будет сходящимся, если
lim -
п -> сх>
K±if!!iL_
х\ lim
йя+1
<1.
=/, то отсюда заключаем,
но так как в нашем случае lim
п -* ОО |
что ряд а0 -\- ахх -)-... -f- «лхл-|- ... будет сходиться, если
|л:|/<^1, т.е. \x\<^-j-% На основании того же признака
Даламбера имеем: ряд
а0 -f- ахх -f- а^х1 -|- • • • + сл^я + • • •
будет расходящимся, если
lim
Kh±^_L —
[*| lim |-2a±L
= |*|/>1,
т. е. если
И>7
Из полученных неравенств мы непосредственно находим интер-
вал сходимости: j~<ix<^-\--j-y а следовательно, радиус схо-
1
димости равен —.
240 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [гл. VIII
3. Гипергеометрический ряд. Пример 5. В качестве примера
рассмотрим так называемый гипергеометрический ряд (Гаусса)
, 'У «(а+1).--(« + Я-0?(Р+1)..-(Р + «-Ц
1+ L й!Т(7+1)...(Т + «-1)
я=1
«В ,(,+ 1)р(Р+1) ,, , «(«+Ц(« + 2)Р(Р+1)(Р + 2)
~1+ У *+ 1.2.7(т+1> * + 1.2.3-7(7-hl)(t + 2> *+—
где а, р, •/ —постоянные числа.
Здесь
1 g;t+i
I ап
а потому
(1+л)(7 + л)
/= lim
Я-» ОС
ДД+1
= 1;
значит, интервал сходимости этого ряда:
Выясним вопрос о его сходимости при дг=1. Имеем:
«я = (1+я)(т + я) .
*Л+1 (« + я)(Р + я) '
обозначая л-й член гипергеометрического ряда при л: = 1 через ап, имеем:
ип = ат
значит,
и* _ 7 + я(1+т) + я» _1 . т-«~р+1 /л
ал+* ""ор + я(о + Р) + я» ~~ 1"t" /г "Г л* . W
где числа /Л *) ограничены, | ln \ < L.
Эта формула показывает, что lim n+i = 1, значит, члены ряда, начи-
Я-+СО #я
ная с достаточно большого номера п, #се имеют один знак. А тогда либо
к ним, либо к их абсолютным величинам можно применить прцзнак Гаусса
(см. гл. VII, п. 11), откуда следует, что при f—«—р+1>Ь т- е- при
7>а-)-Р, РЯД сходится (ипритом абсолютно), а при f— <*— р-J-l^l, т.е.
при 7^а-(-р, ряд расходится.
Итак, при х = 1 вопрос, о сходимости ряда Гаусса выяснен до конца.
Рассмотрим случай л:=—1. Для краткости обозначим через vn члены
гипергеометрического ряда при л: = — 1. Тогда \vn\ =|Иц|, а так как ряд £нл
сходится абсолютно при т>а + Р> то отсюда заключаем, что при лг = —1
и 7>« + Р гипергеометрический ряд сходится и даже абсолютно.
Остается случай f^a-f-P, т# е. 7 — (<* + Р)^0.
7_c*_(7_e_p+l)(« + P+-f)
<■- i+-^+4
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 241
Пусть сначала 7—-(а + Р)< — 1. Обозначим для краткости
' = 1-<« + Р)+1.
Из (1) тогда следует
ип __ 1 I _£ I in_
un+i ~1^ п^ п*'
где 11п | < Z.
Но
VTl+l МЛ+1
значит,
я_ — 1 г 1jl (7\
Мы пока рассматриваем случай с < 0, а потому при достаточно
большом л будем иметь:
i vt 1
и значит | vn+l1 > | vn |, следовательно, члены ряда не стремятся к нулю, а
потому он расходится.
Наконец, остался случай: —1=^7— (« + Р)^0> т- е- O^Tc^l. Для
его исследования мы, сначала заметив, что —^ = 1:(—— ) , найдем из (2):
п l
time | Ъп | < В. Таким образом,
— = -!+- +V), (3)
эм,
*-"|-5:—П(-'+т+*)- «
п
Если с = 0, то | vn | == | t>i | I I 1 — -~ , а так как \bk\<B, то ряд
oo
\ Jl абсолютно сходится, следовательно, сходится бесконечное произве-
оо
дейие I I 1 — -р (см. гл. VII> п. 20, теорему 17), а это значит, что ча-
п
стичное произведение I I 1 — ^§
стремится к пределу, отличному от нуля,
а стало быть, vn не стремится к нулю, и ряд Гаусса расходится.
;'+<»(i-i)
Ьп-
п п2
242
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[ГЛ. VIII
Если же 0<с^1, мы, напротив, докажем сходимость ряда.
Действительно, так как
Vn+i_
lim ™± = -^1,
я -
то, начиная с некоторого п, ряд становится знакочередующимся. Так как
при О 0 из (3) следует, что при достаточно большом п
<1,
то плены ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Наконец, vn —* О,
как показывает следующее рассуждение: из (4) следует
|*|-|*1П1м;
k = 1
где через с^ мы обозначили £+-Д. Так как lim с# = с, то ряд > —£
К k —>-оо Jmi К
оо
расходится. Отсюда следует, что бесконечное произведение I I I 1 ■£-)
расходится, но, поскольку с^1, оно может быть расходящимся только
потому, что его частичное произведение стремится к нулю. Итак, ул-*0и
остается применить теорему Лейбница, чтобы убедиться в сходимости ряда vn.
Таким образом, и случай х =—1 разобран до конца.
4. Определение радиуса сходимости в общем случае. Верхний
предел последовательности. Для формулировки теоремы о величине
радиуса сходимости степенного ряда нам понадобится ввести одно
новое понятие, относящееся к числовым последовательностям.
Пусть дана числовая последовательность
<Ч, а2, ... , ая, ... (5)
По отношению к этой последовательности все действительные
числа х можно разбить на два класса следующим образом: число х
отнесем к первому классу, если существует бесконечное
множество членов последовательности (5), больших х, в противном
случае число х отнесем ко второму классу. Очевидно, что всякое
число х будет отнесено к первому или ко второму классу, причем
каждое число первого класса меньше любого числа второго класса.
Возможны три случая: 1) оба класса не пусты; 2) первый класс
пуст; 3) второй класс пуст. В первом случае наше разбиение
представляет собой сечение в области действительных чисел.
Действительное число L, определяемое этим сечением, называется верхним
пределом последовательности (5) и обозначается
lim ал.
п ~* оо
Число L может принадлежать как к первому, так и ко второму
классу.
§ 1]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
243
Мы приходим к такому определению:
Определение 3. Число L называется верхним пределом
последовательности alf а2, а3, ... , аЛ, ... , если, каково бы ни
было положительное число г, может найтись только конечное
число членов последовательности, превосходящих L -\- е, и вместе
с тем всегда имеется бесконечное множество членов
последовательности, превосходящих L — е *).
Во втором из перечисленных выше случаев для каждого
действительного числа х имеется лишь конечное число членов
последовательности (5), его превосходящих. В этом случае говорят, что
верхним пределом последовательности служит —оо. Наконец,
в третьем из перечисленных случаев для каждого действительного
числа х имеется бесчисленное множество членов
последовательности (5), больших х. В этом случае говорят, что верхним
пределом последовательности служит -]-оо.
Например, последовательности
v п - 1 1 2
aj и, 1, у, у, -j:
Ь) -1, -2, ... ,
с) 0, 1, 0, 2, 0, 3,
1
' 3 '
— п,
• . . ,
... у
. . . у
0, п,
п — \
п
...
1
' п '
имеют верхние пределы соответственно 1, —оо, -j-oo.
Если последовательность (5) сходится, то, как легко «ытекает
из определения верхнего предела,
lim сип= lim аЛ.
п -> оо п ~* оо
Если
Pi, Р2, .^ , РЛ, ... (6)
есть некоторая другая числовая последовательность, то можно
доказать, что
lim (ая + ря)^ lima„+ lim р,
п -* оо
lim а.пфп^: lim аЛ lim f)„
n ->oo П-* оо
l) Вспоминая определение предельной точки (гл. II, § 5), мы видим, что
если среди членов последовательности содержится лишь конечное число
одинаковых членов, то ее верхний предел есть предельная точка (и притом
самая правая). Если в последовательности имеется бесконечное множество
одинаковых членов, то верхний предел может и не быть предельной точкой.
Например, в последовательности 1, 1, -~-, 1, —, 1, ... , —, 1, ... верхний
£ о и
предел равен 1, но точка 1 не есть предельная для рассматриваемого
множества точек.
244 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [гл. VIII
причем если одна из последовательностей (5), (6) сходится, то
вместо неравенств имеют место точные равенства.
5. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда (формула
Коши—Адамара). Пусть дан степенной ряд
а0-\-atx-{-а2х*-\- ... -\-апхп-\- ... (7)
Рассмотрим последовательность неотрицательных чисел
KI, /Ы> ••• > VW\> ■■■> (8)
и пусть L есть верхний предел этой последовательности 1):
L= lim nf\<hA-
ft -+ оо
Радиус сходимости ряда обозначим г. Имеет место следующая
теорема.
Теорема 3. Если L = О, то г = -\-оо, т. е. ряд (7)
сходится для всех значений х; если 0<^£<^оо, то г = -г~\
наконец, если L = -\-oo, mo r = 0, m. е. ряд (7) сходится только
в одной точке лг=0.
Таким образом, можно сказать, что радиус сходимости
степенного ряда (7) равен обратной величине верхнего предела
последовательности (8), т. е.
1
Г = :
lim »/\ая\
{формула Коши—Адамара),
Доказательство. 1) Пусть L = 0. Это значит, что, каково бы
ни было е^>0, почти все члены последовательности (8) (т. е. все,
за исключением, быть может, конечного числа их) удовлетворяют
неравенству
Отсюда следует, что для любого фиксированного значения х
при п достаточно большом имеем:
|e|P*»| = K||*r^t«|*|"=:(e|*D".
Выбирая е так, чтобы e|x|<^l, мы видим, что абсолютные
величины членов ряда (7) при рассматриваемом значении х, начиная
с некоторого места, 'не превышают членов геометрической
прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, и следовательно, ряд (7)
в точке х сходится. А так как х—произвольная точка, то получаем,
что ряд (7) сходится для любого значения х, т. е. его радиус
сходимости г = -\-оо.
*) Он также, очевидно, неотрицателен.
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 245
2) Пусть 0<^ Z* <C~h °°- Требуется доказать, что ряд (7)
сходится при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству
|дгj<С~7Г' и Расх°Дится ПРИ всяком значении х, удовлетворяющем
неравенству \х\^>-р .
Пусть х удовлетворяет неравенствам 0 <^ | х | <^ -г. Тогда можно
найти такое положительное число е, что
1
х =
1 + 2е#
Но, по определению числа L, найдется только конечное число
членов последовательности (8), превосходящих L -j- е, так что,
начиная с некоторого пи все члены этой последовательности будут
удовлетворять неравенству Y\an\<^L-{-e {п^пх).
Поэтому
|a„*«| = K||*r<i^±^ при *=*«,.
Таким образам, все члены ряда (7), начиная с некоторого, по
абсолютной величине меньше членов геометрической прогрессии со
знаменателем ,7^* <Ч, и следовательно, ряд (7) сходится.
Теперь докажем, что при |лг|]>-^- ряд (7) расходится. В самом
деле, если |^|^>т-, то можно найти такое положительное число е,
что | х | = /_о • ^°' по 0ПРеДелению числа L, найдется
бесконечное множество членов последовательности (8), удовлетворяющих
неравенству V\an\^>L — е; для них
Таким образом, бесконечное множество членов ряда (7) по
абсолютной величине превосходит 1, значит, для ряда (7) не выполнен
необходимый признак сходимости, т. е. ряд расходится.
3) Пусть, наконец, L — -\-oo. Тогда среди членов
последовательности (8) имеются члены, сколь угодно большие, т. е. после-
довательность (8) не ограничена. Рассмотрим произвольное
фиксированное х ф 0. В силу неограниченности, последовательности (8)
найдется бесконечное множество ее членов, удовлетворяющих
неравенству
или
K*"|>i.
246
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[ГЛ. VIH
Таким образом, среди членов ряда (7) имеется бесчисленное
множество таких, которые превосходят по абсолютной величине 1.
Следовательно, ряд (7) расходится при любом х ф. О, т. е. его радиус
сходимости г = 0.
Тем самым теорема полностью доказана.
Пример 6. Найти радиус сходимости ряда
1+j,+(.|)W(!)W(i)W...
...+(^Г""+Ш'"'""'+...
Составим последовательность (8):
_L 1 J_ A ft+1 1
2 ' 3 ' 3 ' 4,•••, я + 2' п + 2 ' • • •
Эта последовательность имеет две предельные точки: 0 и 1;
верхний предел ее 1, и радиус сходимости тоже равен 1.
Пример 7. Найти радиус сходимости ряда
x*-f 22x4-f 33х6+ ... + п"х*я + ...
Здесь последовательность (8) есть
О, 1, 0, /2, 0, /3, ... , 0, /п, ...;
ее верхний предел L = -f-oo, поэтому радиус сходимости г = 0.
Замечание. Если последовательность (8) сходится, то
L= lim Л/К],
и если L т^ 0, имеем:
г = -
lim Л/К|
Если существует lim
я«
, то, как известно (гл. VII,
п. 7), существует и lim V\an\, причем
lim
Л-* оо
ап+1 1
lim Л/К|.
Следовательно, при существовании предела lim
Я/l+l
имеем:
г = -
lim
ап+1
■= lim
Л -+ оо
Я/1+1
т. е. мы получили как следствие ранее выведенное правило
разыскания радиуса сходимости.
§ 2]
ОПЕРАЦИЯ НАД СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ
247
§ 2. Операции над степенными рядами
6. Сумма, разность и произведение степенных рядов. Суммой,
разностью, произведением рядов
оо
л = 0
И
оо
2 *«*" 0°)
л = 0
называются ряды, получаемые формальным сложением, вычитанием,
умножением данных рядов, т. е. соответственно ряды
оо
2 {ап±Ьп)хГ (11)
л = 0
И
оо
2 («А + «„-1*1 + • • • + «А) х». (12)
л = 0
Если ряд (9) имеет радиус сходимости г а и ряд (10) — радиус
сходимости Гв, то меньшее из чисел г а и гв назовем общим
радиусом сходимости рядов (9) и (10); обозначив его через г,
получим, что (©) и (10) сходятся в общем интервале сходимости (—г, г).
Имеет место следующая
Теорема 4. Сумма, разность и произведение степенных
рядов представляют собой степенные ряды, сходящиеся в
интервале, общем интервалам сходимости исходных рядов, причем
результаты указанных действий над рядами совпадают с
результатами соответствующих действий над их суммами.
Утверждения теоремы относительно суммы и разности легко
доказываются, и на их доказательстве мы останавливаться не будем.
Для доказательства теоремы о произведении достаточно
заметить, что если точка х находится в общем интервале сходимости,
то оба ряда сходятся и остается применить теорему умножения для
числовых рядов (см. гл. VII, п. 2).
Вопрос о делении степенных рядов более сложен и может быть
разобран до конца лишь методами теории функций комплексного
переменного.
7. Дифференцирование степенного ряда. Теорема 5.
Степенной ряд
оо
/»=0
248 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [гл. VIII
и ряд
со
У папх"-\ (14)
л =
полученный из него почленным дифференцированием, имеют один
и тот же радиус сходимости.
Вместо ряда (14) рассмотрим для удобства выкладок ряд
2 яЛл.Л
л=1
который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (14).
Найдем радиус сходимости ряда
2 аппхП-
л=1
Пользуясь теоремой Коши-4-Адамара, имеем:
Рл= lim ^п\ап\= lim %п lim У\ая\.
я -* оо п-*со я-+оо
Так как lim ^rjt — \J то
Л-+ОЭ
п-* оо
т. е. радиус сходимости продифференцированного ряда равен ра-
ДйуСу сходимости заданного ряда.
§ 3. Свойства функций, представимых степенными рядами
8. Определение аналитической функции. Пусть задан степенной
оо
ряд У ап(х — а)пу сходящийся в некоторой области G; тогда про
сумму этого ряда говорят, что она представима этим степенным
рядом в области его сходимости или является аналитической
функцией в окрестности точки а, и пишут:
f{x)=^an{x-af
л=0
Из этого определения видно, что областью определения функции
f(x)y представимой степенным рядом, будет либо интервал, либо
полуинтервал, либо отрезок.
§ 3] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 249
Рассмотрим свойства функций, представимых степенными рядами
внутри интервала сходимости, т. е. свойства аналитических
функций.
9. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
оо
Пусть /(*)= У ап(х — а)п\ не нарушая общности рассмотрения,
оо
будем предполагать, чтб <2 = 0, т. е. f(x) = У аЛлЛ Докажем
прежде всего теорему.
оо
Теорема 6. Если s(х) = Уап^, то $(х) имеет конечную
о
оо
производную во всех точках интервала сходимости ряда \ ДЛ.tf'^
о
оо
причем sr (х) = У па^'1.
1
Прежде чем переходить к доказательству, заметим, что из
этой теоремы непосредственно вытекает, что функции, представимые
степенным рядом, непрерывны во всех внутренних точках
интервала сходимости.
Обозначив
оо
s(x) = ^anxn9 (15)
о
оо
о(х) = ^аппхп~\ (16)
мы должны доказать, что внутри интервала сходимости & (х)
существует и sf (х) = о (х).
Введем обозначения:
п п
fe=0 fc —1
п
«*(*)= 2 akk(k— i)xk-*>
fe=2
оо
(*)« 2 akk(k-\)xk~\ (17)
k^2
250
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[ГЛ. VIII
Отметим, что Sn(x)=an(x), s'n(x) = o'n(x) = wn(x). Будем
в дальнейшем считать, что \х\ и |х-|-/г| меньше некоторого
положительного числа xQy лежащего в интервале сходимости.
Рассмотрим разность п* Г~ —°п(х) и оценим ее
абсолютную величину. Применяя дважды теорему о среднем (гл. V,
п. 40, теорема 13), можно написать:
sn(x + h) — sn(x)
h
■°nW-
к (5)
-аЛ*) = ^(0 — М-*0 =
где £ лежит между х и x-\~h, 6 — между х и £. Поэтому
h
■««И
^|6-^И».(в)|<|А||»я(в)Ь
но
2
/г оо
|fc-2
Но ряд (17) внутри интервала сходимости абсолютно сходится,
поэтому ряд, стоящий в правой части последнего неравенства,
сходится, и его сумма равна некоторому положительному числу ц (х0),
следовательно,
h
-°Я(Х)
<|/г||а(х0);
здесь правая часть от п не зависит, поэтому при я, стремящемся
к бесконечности, получим в пределе
s (х -|- h) — s (х)
h
о(х) \^h[x(x0)y
и, устремляя в этом неравенстве h к нулю, мы убеждаемся, что
• (*)= цш ^(х + Н)-в(Х) = (}{х)
Л-»оо Л
Следствие 2. Сумма степенного ряда имеет производные
всех порядков внутри интервала сходимости этого ряда, причем
ее производные равны суммам рядов, полученным из данного ряда
его последовательным почленным дифференцированием.
10. Непрерывность функции, представимой степенным рядом.
Мы уже установили, что внутри интервала сходимости сумма сге-
§ 3] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 251
пенного ряда s(x)= У апхП будет непрерывной функцией,
Покали
жем теперь, что она остается непрерывной в конце интервала схо-
оо
димости, если ряд \ апхп сходится в этом конце. Более точно мы
я= 1
докажем следующую теорему, которую часто называют второй
теоремой Абеля.
оо
Теорема 7. Если s(х) = /^ а^ и если ряд сходится в
конце интервала сходимости x = R> то
im s{x)= У anRn = s(R).
lim
х ^
Пусть е^>0 задано. Выберем N так, чтобы
|а„+1/?" + ' + ... +fliV+^+'|<4 (18)
S
для любого натурального /?, что возможно в силу критерия Коши.
Пусть теперь х удовлетворяет неравенствам 0^лг<^/?; тогда
оо оо
rn(x)= 2 *п*п= 2 a*Rn{iJ- (19)
оо
Но все частичные суммы ряда \, ak%k по модулю не превос-
k = N+l
ходят -^- в силу (18), а множители (^-1 —1 , ...
положительны, монотонно убывают, стремятся к нулю и все меньше 1;
поэтому, применяя преобразование Абеля, находим \Rn(x)\<C -о".
Пусть теперь е^>0 произвольно мало. Находим по доказанному
сначала столь большое N, чтобы \Rn(x)\<C~t для O^x^R.
Представим теперь S(x) в следующем виде;
S(x) = SN(x) + RN(x).
Полагая x = R-\-h, где/г <^ О, имеем:
S(R + h)-S(R)==(SN(R + h) — SN(R)) + RN(R + h) — RN(R);
252 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [гл. VIII
Stf(x) — многочлен и, следовательно, непрерывная функция.
Пользуясь этим, находим теперь столь малое число 8, чтобы для
|Л|<8 |S„(/? + A) + S„(/?)|<-^.
Тогда имеем:
\S(R + h) — S(R)\ = \SN(R + h) — SN(R) + RN(R + h) —
-RnlR)\*Z\SN(R + h)-SNiR)\ + \RN(R + h)\ + \RN(R)\<:
<е , е . з
Т + Т + Т = 8'
если |/г|<^8, а это значит lim S(x) = S(R).
Примечание. Аналогичная теорема может быть доказана
и для х = — R, если рассматривать Нтз(лг).
X-+ — R
x>-R
ГЛАВА IX
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
§ 1. Ряд Тейлора для функции f(x)
1. Определение ряда Тейлора. Пусть f(x) при х = а имеет
конечные производные f (a), fr(a)y...y fn) (а)у ..., т. е.
бесконечно дифференцируема в точке а; тогда рядом Тейлора
функции f(x) относительно точки а называют ряд
Да) + £^£/(а) + ("^> («) + -..
...+(£=г!-/(,,) («) + ... (1>
Если для некоторой функции f(x) составлен ряд Тейлора, то
говорят, что f(x) разложена в ряд Тейлора.
2. Теорема единственности. Пусть ряд Тейлора для некоторой
функции f(x) сходится в интервале —г<^х<^-\-г и пусть его
сумма равна s(x).
Прежде всего установим следующую теорему:
Теорема 1 (единственности). Если в некоторой окре-
стности точки а функция f(x) равна сумме степенного ряда
<х>
ап (х — а)п, то этот ряд есть ее ряд Тейлора в окрестности
точки а.
Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать, то
получаем:
f(x) = a0-\- ах(х — я) + ... -\-ап{х — а)п + ...,
/ (х) = а1 + 2а*(х- а)+... + пап(х- of1 + ...,
fn)(x) = n\an + (n + \)n(n-\)...2an+l(x-a) + ...
Полагая в этих равенствах х = а, будем иметь:
*/ ч /г/ ч /от)(в)
и значит, теорема доказана.
г
254 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [ГЛ. IX
Следствие 1. Если сумма степенного ряда тождественно
равна нулю:
со
/1 = 0
то все его коэффициенты равны нулю.
fin) /а\ . .
Действительно, так как an = J {v , а /[п)(а) = 0, то ал = 0
при любом п.
Из установленного следствия в свою очередь вытекает
Теорема 2. Функция f{x) в окрестности одной и той же
точки а не может иметь различных представлений в виде
степенного ряда по степеням х — а.
В самом деле, предположим, что f(x) в окрестности точки а
представляется двумя степенными рядами:
ОО 00
/(х)=^ап(х-аГ и /(х)=^Ьп(х-аГ.
л = 0 /1=0
Тогда, вычитая второе равенство из первого, получим:
ОО
0=^(ап-Ья)(х-аГ
/1=0
и, значит, в силу следствия 1, ап = Ьп (я = 0, 1, 2, ...).
То же самое предложение часто выражают следующим образом:
представление функции f(x) в окрестности данной точки в виде
степенного ряда по степеням х — а единственно {конечно, если
оно вообще возможно).
3. Представление функции f(x) ее рядом Тейлора. Из теоремы
существования следует, что если f{x) вообще представима
степенным рядом, то она представима своим рядом Тейлора, т. е.
в этом случае ряд Тейлора, составленный для функции /(дг),
сходится к ней самой.
Пусть некоторая функция f(x) бесконечно дифференцируема
на интервале —г<^х<С^-\-г и пусть ее ряд Тейлора сходится на
этом же интервале к функции s(x)\ естественно спросить: будет
ли справедливо равенство
/(*) = *(*)?
Покажем на примере, что ответ на этот вопрос отрицательный,
т. е. существуют такие бесконечно дифференцируемые функции,
ряды Тейлора которых сходятся в некотором интервале, однако их
сумма не равна этим функциям.
§ 1] РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ / (х) 255
В самом деле рассмотрим, например, функцию:
- \е х\ если хфО;
/W—10^ если х==0^
Покажем, что эта функция бесконечно дифференцируема на
любом интервале, и найдем ее производные.
Пусть сначала х Ф 0; тогда, дифференцируя по обычным
правилам, получим:
., /<*>(*)=/>,„ (v)* xi
где символ Р3п(—) обозначает некоторый многочлен степени Ъп
относительно —.
X
Отсюда вытекает, что /(л) (х) конечна при любом значении
х Ф 0. Покажем теперь, что /(л) (0) существует и равна нулю для
всех п. Прежде всего для всякого т
т
lim -\re *2 = lim^-r=0
(см. гл. VI, п. 8, пример 7), и потому для всякого многочлена Р[—)
01 — имеем:
х
lim р(1-)е~*=0.
Теперь, исходя из определения производной и принимая во
внимание полученный только что результат, имеем:
1
1 —
— *
*-»0 х х->0 "
/(0) = lim f^-f^ = lim lg *2=o.
Докажем, что если /(л_1) (0) = 0, то и значение производной
порядка /г при х — 0 тоже будет равно нулю, т. е. что рп) (0) = 0.
Действительно, по определению производной порядка я, имеем:
/■)(0) = llm^""W-^l,Wt
дг-0
X
256 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [гл. IX
но, по предположению, /(л-1)(0) = 0; поэтому
f(n-i) (у\ ^з (л-1) ( J е
/"> (0) = lim f(n " {х) = lim ' \*'
х->0 х х-+0 х
= НтР3„_9(1)Г^ = 0,
что и требовалось доказать. Итак, исследуемая функция
непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка, причем
все производные при х = 0 обращаются в нуль, т. е.
/(0) =/'(0) =/" (0) =... =/("> (0) =... = 0.
Поэтому ряд Тейлора этой функции относительно х=0
имеет вид
0 + 0.x + 0.JC2 + ... + 0.j^-f...
Ясно, что его сумма равна тождественно нулю, в то время как
f(x) не является тождественно равной нулю. Итак, здесь
s(x) = 0 и f(x)^s (х).
Наконец, отметим, что равенство f(x) = s(x) может выполняться
не во всей области существования / (дг). Действительно* пусть
/(дг)=узг^; эта Функция определена для всех хф\. С другой
стороны, ряд Тейлора для этой функции в окрестности х = 0,
будет
1+х + х* + ... + ** + ...,
т. е. геометрическая прогрессия со знаменателем х; интервал
сходимости этого ряда —1<^дг<М и внутри него s (х) = ■.
Здесь f(x) = s(x) не во всей области определения f(x), а
только при —1<^дг<4.
Все эти примеры, в частности, показывают, что бесконечной
дифференцируемости функции f{x) при х = а не достаточно для
того, чтобы она была представима своим рядом Тейлора внутри
интервала его сходимости.
Естественно спросить, какие дополнительные ограничения надо
наложить на последовательность производных
f (a), f"(а), .... /">(*)
для того, чтобы функция f(x) была представима степенным рядом
в окрестности точки а или, что то же самое, представима своим
рядом Тейлора относительно точки а? Оказывается, имеет место
следующая
§ 2]
ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
257
Теорема 3. Для того чтобы функция f(x) была
представила своим рядом Тейлора относительно точки а> необходимо
и достаточно, чтобы существовали числа М и Ь такиеу что f(x)
имеет все производные в интервале [а — 8, а-{-8] и, кроме того,
для любого п выполняются неравенства
|/*>(*) |<A«-g- (а-8<><а + 8).
Необходимость этого условия мы доказывать не будем.
Доказательство достаточности высказанного условия читатель найдет
в следующем параграфе.
§ 2. Формулы Тейлора и Маклорена
4. Проблема вычисления значения функции. Приступаем теперь
к изложению основной темы настоящего раздела, именно указанию
способов, применяемых для вычисления значений функций.
Если f(x) есть многочлен а0-|-я^лт-|-.. ,-\-апх^у то вычисление
значений f(x) требует лишь применения арифметических операций
умножения, сложения и вычитания. Пусть f(x) не есть многочлен,
пусть задано произвольно малое число е^>0; тогда если нам
удастся найти такой многочлен P(x)t что \f(x) — Р(х)\<^е для
а<^х<^Ь, то, вычисляя значения Р{х), мы тем самым будем
получать значения f{x) для а<^х<^Ь с точностью до е.
Далее, если мы укажем правило, следуя которому для каждого
е^>0 и каждого х из интервала а<^х<^Ь можно будет находить
такой многочлен Pt(x), чтобы |/(дг) — Ре(.х)\<Се* то мы полностью
решим задачу о вычислении значений функции f(x) с произвольной
степенью точности. Допустим теперь, что f{x) на —Г<СХ<^~\~Г
представима степенным рядом. Тогда для —г <СЛГ<С~ЬГ
/(*)=f(a) + ££> (х - а) + ™ (х- а? +...
Частичная сумма ее ряда Тейлора
sn(x)=f(a)+^(x-a) + ...+f-^{x-ar
будет многочленом, и если х входит в интервал сходимости ряда
Тейлора, то при достаточно большом п многочлен sn (х) будет
отличаться от суммы этого ряда, т. е. от f(x), на произвольно
малую величину. Иными словами, если функция f(x) изобразима
степенным рядом, то частичные суммы ряда Тейлора этой
функции могут служить многочленами, которые позволяют решить задачу
о вычислении значения f(x) с произвольной степенью точности.
Однако, как показали примеры, приведенные в предыдущем
параграфе, ряд Тейлора для данной функции не всегда представляет
9 В. В. Немыцкий и др.
258
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
[ГЛ. IX
данную функцию и, кроме того, даже если удастся установить, что
он и представляет функцию f(x)y то, пользуясь только этим
утверждением, нельзя, задавая х внутри интервала сходимости, заранее
сказать, сколько надо взять членов в частичной сумме ряда, чтобы
эти суммы представляли f(x) при данном х с заданной степенью
точности.
Для того чтобы преодолеть эти затруднения, мы выведем
формулу Тейлора, которая позволит непосредственно оценить разность
между f(x) и частичной суммой ее ряда Тейлора sn(x).
5. Остаточный член и его выражение через производную.
Пусть f{x) определена на интервале а — г<^х<^а-\-гу
непрерывна в этом интервале и имеет в окрестности точки а конечные
производные f(x), fr(x), ..., f{n+i) (х). Рассмотрим sn(x) — я-ю
частичную сумму ее ряда Тейлора, т. е. положим
sn(x)=f(a)+f^(x-a) + ...+£^(x-ay
П
и обозначим через Rn (х) разность Rn (x)=f(x) — sn (х). Rn (х)
назовем остаточным членом. Пользуясь этим обозначением, можем
написать:
.. + (^£-fin)(a) + Rn(x)- (2)
Rn (х) является функцией х и п. Поставим себе задачу выразить Rn (х)
через производные от f(x). Запишем осхаточный член в такой
форме:
где р—произвольное целое положительное число (это всегда
возможно, так как при любом р можно определить Q).
В этом равенстве х и а считаем заданными. Формула (2)
перепишется так:
Рассмотрим вспомогательную функцию F{t)y определенную
следующим образом:
в которой Q(x) имеет значение, определенное формулой (2f).
§ 2] ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА 259
Так как f(t) имеет производные до порядка (п-\-1)
включительно при t ф а, то F (t) существует и равна
F(t) = -f (0 + /' (/) - £=</" (t) +2^fV (t) -
—(-^=^-f" (t)+3(x~tr f" (о - £=£./iiv) (/)-|,...
...+ "^-^V("4o-(-^/("+1)'(o+/,(\T;)P"t <?(*)
или, сделав сокращения и приведение подобных членов:
J*(Q=-(-£iJ^>w)(f)+ (*~,°Р~' <?(*)•
Если в выражении F(/) положить / = .*;, то получим /7(лг) = 0
и, кроме того, в силу равенства (2'), имеем F(a) = 0.
Следовательно, функция F{f) в интервале (а, х), если дг]>а, или в
интервале {х, а), если х<^а, удовлетворяет условиям теоремы Ролля,
значит, существует такое значение / = £, где £ заключено между а
и дг, что /*((■) = О, т. е.
ИЛИ
(-£zsr:" f- <* _ ^Л"Р+1 ^(л+1) ® + Q <■*>]=°-
Первый множитель не равен нулю, так как I ф х\ следовательно,
равен нулю второй множитель (помещенный в квадратные скобки),
откуда, наконец, находим Q(x):
Q (х) = {х — l)n-p+1 f(л+1) (5).
Поэтому остаточный член формулы (2) запишется так:
Rn (*)=(£^гР-(*-*Гр+1/(л+1) (О. (3)
Вспомним, что р в этой формуле обозначает любое целое
положительное число. Соответствующим выбором р мы можем
остаточный член привести к форме, удобной для применений. Например,
положим /? = л-{-1; тогда
{остаточный член в форме Лагранжа).
Если положить р=19 то
Яи(х) = <«-«Н«-У/(.и)® (5)
{остаточный член в форме Коши).
9*
260
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
[ГЛ. IX
Заметим, что в этих двух формах £ означает, вообще говоря,
разные числа, значение 5 остается неизвестным; мы знаем только,
что оно заключено между а и х и не совпадает ни с а ни с л;.
6. Формула Тейлора. Таким образом, получаем следующий
вывод: если функция f{x) имеет в некотором интервале,
содержащем х = а> производную порядка п, непрерывную при х = а> и
если f{x) во всех точках этого интервала, за исключением, быть
может, точки х = а, имеет также производную порядка #-{-1, то
эта функция может быть представлена в виде формулы (2):
/И=/(а)+^-/'(а) + ... + (-^^/'"(а) + /?„>
где Rn — остаточный член — представляется формулой (3) или ее
частными случаями — формулами (4) и (5). Это представление
функции в виде суммы многочлена и некоторого остаточного члена
называется формулой Тейлора или разложением функции по
формуле Тейлора в окрестности точки а.
Очевидно, формула конечных приращений, доказанная в гл. V
(п. 40, теорема 13), представляет собой частный случай формулы
Тейлора, а именно, формулу Тейлора при п = 0 с остаточным
членом в форме Лагранжа.
Если а = 0 (часто встречающийся случай), то формула Тейлора
перепишется так:
/(*)=/(0)+£/(0)4-§/Ч0) + ...+^Г(0)+яп, (6)
где
*.=^i^/">(e> (7)
(здесь 5 заключено между 0 и х) или (р = п-\-\)>
_ хп+1
к*— (J
или (р=1)
Rn=j^ffin+i) (*) (ФоРма Лагранжа), (7')
Rn=x{xnl е>*/еи-1) ($) (формула Коши). (7")
Формула (6) называется формулой Маклорена.
7. Достаточные условия представимости функции рядом
Тейлора. Из полученного выражения для Rn можно, в частности,
получить такой результат:
Теорема 4. Если функция f(x) на некотором интервале
(а — р; я-[~*р) имеет все производные и можно указать число К
такое, что |/u) (x)\<iK для а — р<^х<^а + р и л=1, 2, ...,
то f(x) представима рядом Тейлора на этом интервале.
§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 261
I % q \П лЛ л/1
Действительно, так как r~^—^v-Ty a Jim v-r = 0 при любом р
т nl n-+<x>nl r
(см. гл. II, п. 6), то из формулы (4) сразу видно, что Rn(x)-+Q
для любого х на интервале а — ?<С.х<^а-\-р.
Однако можно доказать гораздо более общее предложение;
мы уже упоминали его без доказательства в § 1. Дадим теперь
доказательство достаточности высказанного там условия.
Теорема 5. Для того чтобы функция f(x) была
представила степенным рядом в окрестности точки а, достаточно,
чтобы существовали числа М и Ь такие, что f(x) имеет все
производные в интервале (а — 8, а-|-8) и
\Р*(х)\<М§ (я = 1, 2, ...)•
Пусть функция f(x) неограниченно дифференцируема в
интервале (а — 8, а-]~8). Представим ее в этом интервале по формуле
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
где ? заключено между х и а. Оценим теперь остаточный член:
fin+D (Z\
/г»<*>=5прж(*-'в) '
По условию, |/(л+1) (х) К М("."Хи , поэтому
М(п+\)\ (\x — a\\n+i_ .. (\х — а\\*+
\«мк%^(^Г=м(
Так как ■ » <С 1 Для любого х на (а — 8, a -f- 8), то Rn (х) -> О
на (а — 8, й + 8), а это и значит, что f(x) разложима в
окрестности точки а в степенной ряд.
§ 3. Разложение элементарных функций в степенные ряды
по формулам Тейлора и Маклорена
8. Разложение в степенной ряд sin л: и cos л:. Так как
производная любого порядка от sin х и cos х выражается через эти же
функции, именно:
dn sin.
dxn
х . [ к I \ dn cos x [ тс , \
-=sin(«T+*J и -d^-=C0SrT+*j'
то у sin x и у cos x производные любого порядка по модулю не
превосходят 1, а потому (см. теорему 4 § 2) sin х и cos х пред-
ставимы своими рядами Тейлора на любом интервале.
262
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
[ГЛ. IX
Если разложение будем производить в окрестности нуля, то
получим для синуса
sin 0 = 0, sin'0 = cos 0=1, sin"0 = — sin 0 = 0
и вообще
[dn sin*! . n
-!зН,=о=8шлТ>
поэтому
X* X* X7 xsn^
sin x==x-- + w--+ ... + (_ 1)^2^7^+ ... (8)
Так же для косинуса
cos 0=1, cosf0 = — sin 0 = 0, cos"0 = — cos0 = —1
и вообще
[dn cos xl %
—-г-— =COS^tti
dxn U=o 2 *
поэтому
cos*=l-J + J-^+... + (-l)-gr+... (9)
Ряды (8) и (9) при любом значении х знакочередующиеся.
Так как и в том и в другом ряду отношение последующего
члена к предыдущему равно
х*_ # xk~* х2
k\: (k — 2)\ ~k{k—\y
то, начиная с некоторого номера (при данном дг), члены рядов (8)
и (9) убывают по абсолютной величине. Кроме того, они стремятся
к нулю с возрастанием номера. Вспоминая теорему о
знакочередующихся рядах" и замечание к ней, получаем, что
знакочередующиеся ряды (8) и (9) сходятся при любом х и остаток ряда по
абсолютной величине меньше первого отброшенного члена.
Поэтому ряды (8) и (9) можно применять для приближенного
вычисления sin л; и cosat и легко оценить остаток ряда.
Пример 1. Вычислить sin 20°= sin ^. Ограничиваясь в (8)
двумя членами и подставляя вместо х число -ц-, получим:
^T-T-idM342-
Остаток ряда меньше, чем тг(тг) < 0,001.
Пример 2. Вычислить приближенно с точностью до 0,001
значение cosh
§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 263
Х2П
Если в ряде (9) возьмем члены до (—1)ЛлГ\| включительно, т. е.
примем приближенно
*»2 j^4 лЛ JC2^
С05ДГ^1-2Г + ¥-бГ + ---+(-1)"(2Й)!-
то погрешность будет по абсолютной величине меньше первого
отброшенного члена, т. е. меньше, чем Г9/ , П1|, значит, при х = 1 —
МеНЬШе[2(/г + 1)]Г
Для того чтобы остаток был меньше -ттгтщ, нужно, чтобы
[2(n-fl)]!>2000, а для этого 2(л-f-1)^7, откуда я^у — 1 =
5
=-2"» следовательно, п (целое число) можно взять равным 3, и мы
имеем приближенную формулу
1 х* , х> Xе
которая при х=\ дает
cosl = l-4+¥-<n-
с погрешностью, не большей 0,001,
dnex
9. Разложение показательной функции е*. Так как ~-—г = ех>
то при изменении х на интервале —?<С^<С? (где Р — любое
положительное число) производные любого порядка от е* не
превосходят *Р. Следовательно (по теореме 4 § 2), е* представима
степенным рядом на любом конечном интервале.
Разлагая в окрестности нуля и помня, что £°=1, получим:
X , X
«*«i+n-+a-+-+ir+- <10>
Радиус сходимости этого ряда равен сю. Если для приближен-
хп
ного вычисления ех ограничимся членами, включая-у , то получим
приближенную формулу
Так как при лг>0 ряд (10) знакоположительный, то для
оценки погрешности нельзя поступить так просто, как в случае sin х и
cosx. Но по формуле Маклорена будедо иметь:
«г~1 + 1Г + £ + - + £ + *..
где остаточный член Rn и будет давать оценку погрешности.
264 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [ГЛ. IX
Например, взяв Rn в форме Лагранжа, т. е.
Яя = (^]/*> где |«|<1.
полагая лг=1, получим формулу для приближенного вычисления
значения числа е:
е=1 + 1Г + Ш- + -+^Г + (7^Гг (U)
а взяв, например, п = 4, получим:
e==l + П-+Я-+5Г + 5- + *«»
где
** = ВТ *' < ВТ * < 51 = Ш'
10. Общая формула бинома Ньютона и ее приложения. Пусть
f(x) — (l-\-x)m, где от— любое действительное число. Применим
к этой функции формулу Маклорена.
Находя последовательные производные от f(x), получим:
/И=я»(1 + *Г-»,
Г (х) = от (от — 1) (1 + х)т~*.
/"'(лг) = от(от— 1)(от —2)(1 +x)m"3,
/») х = т(т — 1)(от — 2)... (/я — я-}- 1)(1 -f -«Г"".
/»+»> (jf) = от (те — 1) (/и — 2)... (от — я + 1) (от — я) (1 + х)т-я-1,
откуда
/(0) = от,
/"(0) = от(от-1),
/" (0) = от (от — 1) (от — 2),
/<п>(0)'==от(от—1)(от —2)...(от —я+1),
/*"> (6*) = от (от — 1) (от — 2)... (от — я + 1) (от — я) (1 + 6лг)т_',~1.
Поэтому формула Маклорена запишется в этом случае так:
(1-f х)т=1 + тх + т(т-])х*+ *"0"-П0"-2> ^ + _
^ +OT(m_1)(m_2)...(ffl-H + l)^ + /g<t) (12)
# ■_"»(»»—1)(т—2)...(т — я+1)(го —я)уи-in i ex)"1'""1
(форма Лагранжа) или
§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 265
Я = m (*Я — *) (*Я — 2) ... (т — Я + *) (*Я — я) дл+l И I g)«/J I вх)т~п~1
(форма Коши).
Если т — целое и положительное число, то все производные,
начиная с производной порядка /гс-f-l, будут тождественно равны
нулю, и мы получим из формулы (12)г известную формулу бинома
Ньютона:
в этом случае /?т = 0.
Если же т не равно целому положительному числу, то ряд
Тейлора функции (1-|-л;)т содержит бесчисленное множество
членов и имеет вид
1+^+т(т2~1)-у'+---+т(от~1)"я!т~л+1)д?я+---
Полученный ряд называется биномиальнцм\ установим, что
интервал сходимости этого ряда есть — \<^х<^-\-\.
В самом деле,
lim 1^1 = lim |*Ц^
= 1.
Докажем теперь, что биномиальный ряд имеет суммой (\-\*х)т\
для этого надо установить стремление к нулю остаточного члена
для — 1<^х<^-\- 1. Мы расчленим наше исследование на
исследование в интервале 0<^лг<^1 и на исследование в интервале
— 1 < х<^ 0. В первом случае применим остаточный член в форме
Лагранжа, а во втором — в форме Коши. Прежде всего заметим, что
остаточный член как в форме Лагранжа, так и в форме Коши,
содержит множителем выражение
^^т(т — \)...(т — п + \)(т — п)хП+1^ ^
lim I^ilI^i^i
п-
-*ool Рп
Пусть теперь 0<^лг<^ 1, будем рассматривать остаточный член
в форме Лагранжа:
/j _^ m(m —1)(т — 2).. .(т — п+\)(т — п)^^ \ $x\m-n-^
Перепишем Rn в следующем виде:
[т(т-\)(т-2)...(т-п + \)(т-п) .+1](1 +дхГ^^
266 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [ГЛ. IX
Мы только что отметили, что первый множитель имеет при я->оо
предел, равный нулю; множитель —г-г также стремится к нулю;
наконец, выражение (1 -|-6лг)т~л-1 можно записать в виде
1
(1 + 6л:)я+1-,я>
так как 9)>0 и х^>0, то 1-{-Ьх^>1 и
О<-(1+0л:)л+1-/7г<^1
при достаточно большом п. Следовательно, в этом случае
lim Rn — 0.
П-+СО
В случае —1<^.хг<^0 будем рассматривать остаточный член
в форме Коши. В этом случае Rn можно переписать так:
^=j-m(m-l)(m-2).„(W-a + l)(m-«)JcWtj(1 + „^ (-Lz^)".
Первый множитель при п-+ оо, по доказанному, стремится к нулю;
второй множитель для каждого рассматриваемого значения х
заключен между (\-{-х)т~х и единицей, так как
0<1+*<1 + в*<1;
наконец, третий множитель при л-^оо тоже остается
ограниченным, так как 6^> — бдг, потому что —1<^лг<^0 и, следовательно*
1 —6<l-f6x, т. е.
°<ir£<'-
Итак, и в этом случае lim Rn—0. Окончательно получаем вывод;
если [дг[<^1, то (\-\-х)т разлагается в степенной ряд:
(1+х)т=1+тх+"(<п-\) х*+ m(m-0(m-2) ^3 + _
, т(т — \)(т—2)...(т — п+\)хП . ^ ^
иначе говоря, формула Тейлора
/II чт 11 , т(т—1) 9 , т(т — 1)(т — 2) « .
(1 -|- х)т =\-\-тх-\ Ц^—^ лг2 -| * ^р L х3 +..*
1 т<т~~ 1>(т~2)...(т —к+1)^ | ^
представляет (1-[-лг)т с любой степенью точности при
соответствующем выборе числа п.
§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 267
Если же |#01, то эта формула перестает быть полезной для
представления (\-{-х)т с произвольной точностью, так как при
неограниченном увеличении числа членов остаточный член не
стремится-к нулю.
Нам осталось исследовать биномиальный ряд на концах
интервала сходимости.
Вместо того чтобы непосредственно проводить это исследование,
заметим, что биномиальный ряд может быть получен из
гипергеометрического ряда (см. гл. VIII, п. 3), если положить а = — т, Р = т
и, кроме того, х заменить на —х.
Отсюда сразу следует, что при х = — 1 биномиальный ряд
абсолютно сходится, если а<^0, т. е. /я>0, и расходится, если а>0,
т. е. т<^0.
Если же дг=1, то биномиальный ряд абсолютно сходится при
а<^0, т. е. при /и]>0, сходится условно при 0<^а<^1, т. е.
— 1<^/я<^0, и расходится при а^1, т. е. т^—1.
Так как при х=\ и т^>—1 биномиальный ряд сходится, то,
применяя к этому случаю вторую теорему Абеля (см. п. 10, гл. VIII),
получим, что сумма биномиального ряда равна
lim(l-{-x)m = 2m,
Х-+ 1
т. е. если т^—1, имеет место равенство
от—1 I т I т(т — 1) . , т(т — 1)...(т — п + 2) ,
Если х = —1 и /и^>0, то биномиальный ряд условно сходится,
и, применяя снова вторую теорему Абеля (гл. VIII, теорема 7),
получим, что сумма биномиального ряда равна
lim(l+*r==0w = 0.
Х-+ — 1
Следовательно, для /#^>0 имеет место равенство
П—1 т 1 гп(т — \) , ( лп_1Ш(т — \)...(т — п + 2) ,
Пользуясь рядом (14) и теоремой о единственности разложения,
можно иногда значительно упростить разложения функций в
степенной ряд.
Например, рассмотрим выражение ^1-[-•*% где s— целое
натуральное число. Положим xs = t\ тогда
i if|-i)
268 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [ГЛ. IX
Подставим теперь вместо t его значение Xs; получим:
'(1-)
*/i+Jf»=i+i*'+-*A*—L& +
• • '"Г Л1 I • ••
На основании теоремы о единственности разложения мы
заключаем, что полученное разложение есть разложение функции */l -f- х?
в степенной ряд.
Пример 3. Рассмотрим функцию
где ^—целое натуральное число. Надо найти ее разложение по
степеням х.
Здесь можно идти двумя путями: либо разложить (1-j-je5)"1,
применяя формулу бинома, либо непосредственно делить 1 на 1-J-jc5
по правилу деления многочлена. В обоих случаях получим:
f(x) = T±^ = l-xs + x*°-x*° + ...+{-irxn* + Rn(x),
и на основании теоремы единственности заключаем, что полученное
разложение и есть разложение « , s по формуле Тейлора.
П. Разложение функции 1п(1+х) и его применение к
вычислению логарифмов. Найдем последовательные производные функции
/(х) = 1п(1+х),
где х^>—1 для х^—1, функция, как известно, не имеет
действительных значений:
/(*) = 1п(1+*), f(x) = T^7, fW = (-l)(T^.
f" (*) = (- 1) (- 2) jpL^ = (- 1)* 2! (1 + x)-3,
/<?> (*) = (- If1 (я- 1)! (1 + х)-*,
/C+D (x) = (— 1)" и! (1 -f x)-(n+i),
откуда получаем:
/(0)=0, /(0) = 1, /"(0) = -l, /"'(0) = (-1)в2!(1+0)-8=2!,...
.»., /n>(0) = (—1)Л-Чп —1)!, /(я+1)(вх) = (—1)"й!(1 + 6д;)-(я+1).
§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 269
Формула Маклорена для данного случая будет иметь вид
1п(1+*) = *-:£ + £-••• + (-ir^ + S.. (15)
где
(в форме Лагранжа) или
Rn = (— 1)V+1 (1 — 6)" (1 + б*)-(л+1>
(в форме Коши).
Если рассмотреть ряд
то, обозначая его коэффициенты через ал, имеем:
lim |-&-|==1,
п-+оо I ап+1 I
откуда следует, что интервал сходимости ряда есть —1<^аг<^1.
Поэтому остаточный член надо исследовать лишь для значений х,
удовлетворяющих неравенствам — 1 <^дг^ 1 (случай дг = — 1
исключается, так как ln(l-f--*0 при х =—1 равен —оо).
Рассмотрим отдельно два случая.
1) Если 0^дг^1, то, взяв остаточный член в форме Лагранжа,
получим:
\р | — *n+i 1
и так как 0^л:^1 и 0<^б<^1, то 1-\-дх^1\ поэтому второй
сомножитель ограничен, а первый стремится к нулю, значит,
lim Rn(x) = 0 для 0^*^1.
Я-*00
2) Если —1<^дг<^0, то, взяв остаточный член в форме Коши,
получим:
IP »_ 1*д+11 1 1-Q 1*
,/Хл,—|1+6лг||1+6л:| '
Так как — 1<лг<0 и 0<6<1, то
следовательно, и в этом случае Нт/?Л = 0.
я -»оо
Итак, для значений дг, удовлетворяющих неравенству — 1<^аг^ 1
(и только для них), применима формула (15) для приближенного
270 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [гл. IX
вычисления логарифма и, следовательно, для этих же значений х
имеет место равенство
у2 уЪ у»4 yfl
ln(l+x) = x-f + |-T + --- + (-1)""1¥ + -" <16>
Если 0<^дг^1, то этот ряд знакочередующийся и погрешность
можно оценивать на основании замечания к теореме о
знакочередующихся рядах.
Пример 4. Вычислить In 1,8, пользуясь 10 членами ряда, и
оценить погрешность
lnl,8==ln(l+0,8)^0,8 —^ + ... —^^0,68.
0 8й
Погрешность не превосходит +г- ^ 0,0078.
Так как формула (16) справедлива при х=1, то
Так как этот ряд знакочередующийся, то, взяв приближенно
получим, что погрешность по абсолютной величине будет меньше
—-т—г. Отсюда видно, что, взяв 999 членов ряда, мы можем
гарантировать, что погрешность не превосходит ущ#
Этот ряд сходится, как видим, чрезвычайно медленно. Для
получения более быстро сходящихся рядов, а также, чтобы
получить ряды, пригодные для вычисления натуральных логарифмов любых
положительных чисел, сделаем ряд преобразований. Заменим в
формуле (16) л: на —х:
X2 A*s Хп
1п(1-дг) = -дг-т-у-...-- + ...
Вычитая почленно это равенство из равенства (16), получим:
1п(1 + х)_1п(1-*) = 1п4±£ = 2{* + !+ т + ...},
причем равенство справедливо для всех значений х, меньших
единицы по абсолютной величине.
Полагаем
1 +х 11 А z-\-h h
1 — х~ l~T~ z— z > Т' е- х— 2z + h*
и замечаем, что если z и h — любые положительные числа, то выра-
жение <у , . будет положительным и меньшим единицы.
§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 271
1 -4-х
Подставляя полученное выражение в формулу для 1пу^—, имеем:
1П-^=Ь* = 1П (2Г + А) — 1П2 =
~Z \2* + Л i 3 (2* + /i)3 ^5 (2* + Л)5 ^•••J* ^1#'
Если известен In-г, то формула (17) позволяет приближенно
с любой степенью точности вычислить \n(z-\-h).
Подбирая числа z и /г, можно вычислить натуральный логарифм
любого числа. Например, беря 2=1, й=1, получим:
In
или
2-1„1=1„2 = 2(1+{.'+Г? + Т-Г + -)
ln 2 = ~3~ (* + ЗТ9 + 5^92 + Т^¥ "Ь * * ')•
Если ограничиться первыми восемью членами, то получим:
In 2 = 0,69314718;
сделанная погрешность равна
2/1,1, 1
3 V17 • 98 i 19-99~21 -910
■•)<
^3 • 17 ( 98 "Г 99 « —J 3 - 17 '
>-f
i i^-i
<tf
3 - 4 • 17 - 97 975725676 ^ 108 •
12. Ряды для вычисления arctgA; и arcsinAr. Для некоторых
функций вычисление последовательных производных крайне
затруднительно и поэтому затруднительно и написание формулы Тейлора
и степенного ряда, представляющего функцию.
В этих случаях иногда помогают теоремы о единственности
разложения в степенной ряд в соединении с теоремой о том, что две
функции, имеющие равные производные, отличаются друг от друга
на постоянное слагаемое.
а) Разложение в степенной ряд atctgx. Рассмотрим
производную (arctg.y)f= j | 2. Выражение , , 2 можно
рассматривать как сумму геометрической прогрессии со знаменателем (—х1)
и первым членом, равным единице, т. е.
^^=1 _*» + **_*• + ... + (-!)»*"■ + ... (18)
272
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
[ГЛ. IX
Этот ряд имеет интервал сходимости —1<^дг<^1. Возьмем
новый ряд
х-
-т+т- т+-+(-1)я
Д-2/Н-1
2/г + 1
(19)
каждый член которого имеет своей производной член того же
номера из ряда (18); он имеет тот же интервал сходимости
— 1<^дг<^1, так как
Д.2Я+1
lim
я-* оо
«2+1 |_
U
== lim
я-*оо
2/г + 1
2/г— 1
= lim
П-+СО
2/г —1
2л + 1
= Х*
а потому по признаку Даламбера ряд расходится при |дг|^>1 и
сходится для |дг|<^1. Обозначим сумму ряда (19) через s(x),
имеем:
х2П+1
sW = ^-T + ^-T + - + (-1)"2^R+...
(20)
На основании теоремы о почленном дифференцировании
степенных рядов в интервале сходимости (см. гл. VIII, § 2) получим из
(20)
s' (х) = 1 —х* -|-х* — х* + ••• + (— !)"•**" + • • • (21)
Сравнивая ряд (21) с рядом (18), мы приходим к выводу
(это равенство справедливо при —1<^х<^1). Но
(arctgx)'=rq-T2.
Поэтому s(x) и arctgAr на интервале —\<^х<^\ отличаются
лишь на постоянное слагаемое
atctgx = s(x)-{-C.
А так как при х — 0 и arctgx и s(x) обращаются в нуль, то С
должно быть равно нулю, т. е. arctgx = s(x) и, следовательно, на
интервале —1<^дг<^1 функция arctgx представляется степенным
рядом:
arctgx = x-T + y-T + ... + (-irSHTT
(22)
Эта формула сохраняет еще силу при дг=1. В самом деле, при
лг= 1 получим ряд
1 — У+5~ — Т + ~9 ~••• + (— 1)Л2^+1+--- '
§ 3]
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
273
который по теореме о знакочередующихся рядах, сходится. Поэтому
на основании второй теоремы Абеля (см. гл. VIII, § 3) имеем:
lim
X
im arctgx = arctgl = ^-=l — -I-f-!_y+-...
...+ (-1)Л2^Г1+... (23)
Этот ряд очень медленно сходится; так, например, чтобы
получить остаточный член, меньший чем щл* надо взять
^=ЪГ+2<Ш> т. е. 2л + 2>1000,
т. е. больше 449 членов. Поэтому хотя формулу (23) и можно было
бы применить для вычисления числа -j, но это не выгодно.
б) Разложение в степенной ряд arcsinx. Производная
1
(arcsinx)r =
1
у\
:=(!-**)
— **Л 2
Раскладывая (1—лг2) 2 в биномиальный ряд, получим:
(1_д^-Тв1+|Л. + Ь}х. + ...+еу)!1Д5м + ... {24)
Этот ряд имеет интервал сходимости — 1<^лг<^1.
Возьмем новый ряд
Х"Т~ 2 3+2-4 5 "Г'"'"
(2п)\\ 2п+\ "!"••• ^25^
Каждый член ряда (25) имеет своей производной член того же
номера из ряда (24).
Ряд (25) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (24),
так как
(2л +i)II_ jcm+^
I f о~ I 1 о~ t t I
lim
Я-+00
(2/г+ 2)11 2/г + З
(2/г—1)11 x2n+i
(2п)\\ 2/г+1
_ v 1 2/г+1 2/z + t 9
Обозначим сумму этого ряда через s(x)t т. е.
_(2n—J)\\ хт^
2 Зт2.45
/ ч , 1 л:8 , 1 • 3 л:5 ,
(250
(2/г)!! 2Л+1 т *
В результате почленного дифференцирования этого ряда получаем:
1 . 3
,Ч*) = 1+^ + ^>4 + ...+
(2*-1)11 ия
(2/г)1!
**■+...; (26)
274 РЯДЫ ТЕЙЛОРА [гл. IX
сравнивая с рядом (24), заметим, что
sr (х) = (1 — х*)~ т = (arc sin x)r
на интервале —1<^дг<^1.
Таким образом, на этом интервале функции s(x) и arcsin лг
имеют равные производные, поэтому они могут отличаться лишь на
постоянное слагаемое
arcsin х = s (х) -\- С.
Но при лг = 0 и s(x) и arcsin х обращаются в нуль, поэтому
С = 0 и
arcsin x = s(x).
Следовательно, на интервале —1<^дг<^1 функция arcsin х
разлагается в следующий степенной ряд:
_ , 1 хъ , 1 . 3л:5 , , (2п—\)\\ х2П+1 ,
arcsinх — х-hy^--h2Т4"5 "Г---П Щ)й~ъГ+\^~'-
На границах интервала сходимости, т. е. при дг = ±1 ряд
остается сходящимся (это можно установить при помощи признака
Раабе) (см. гл. VII, п. 11).
В частности, при х = -\-1 получим:
afcsinl_^ii 1 , ЬЗ , , (2/г-1)11 .
arCSml—У—1+2Тз + 2ТТТ5' + ----Г (2/г)!!(2/г + 1) + "•
ГЛАВА X
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
В настоящей главе будут указаны общие методы исследования
поведения функций, основанные на дифференциальном исчислении
и приложимые к достаточно широкому классу функций. При
изложении будет предполагаться, что рассматриваемые функции
однозначные и непрерывные, число производных, которыми функция
обладает, будет указываться по мере надобности в каждом
изучаемом вопросе.
§ 1. Возрастание и убывание функций
1. Монотонные функции. Напомним определение: функция f(x)
называется монотонно возрастающей на отрезке а^х^Ь
или интервале a<^x<^bf если из условия a^xt <^дг2^й (или
а<^Х\<^Хъ<СЬ) следует f(x2)^>f(xl)y аналогично функция
называется монотонно убывающей на этом отрезке или интервале, если
из условия a^xt<^x2^b (соответственно а<С^хх<^ х%<^Ь)
следует /Cxr2)</(*i)-
Иначе можно сказать, что для монотонно возрастающей функции
приращение независимого переменного Адг и приращение функции Ау
всегда имеют один и тот же знак. Для монотонно убывающей
функции знак приращения независимого переменного Ддг и знак
приращения функции ку всегда различны.
Мы будем употреблять термин «монотонная функция», понимая
под этим или монотонно возрастающую или монотонно убывающую
функцию.
2. Аналитический признак возрастания и убывания. Если
функция непрерывна и дифференцируема, то вопрос о ее
возрастании и убывании на отрезке решается легко при помощи
следующей теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы функция f{x), имеющая
конечную или бесконечную производную в каждой точке отрезка [а, Ь],
была возрастающей {убывающей), необходимо и достаточно вы-
полнение следующих условий:
1)/Ч*)3*0 (f(x)*£0);
276 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
2) f(x) не обращается тождественно в нуль ни на каком
отрезке, составляющем часть отрезка [а, Ь].
Мы докажем эту теорему только для возрастающих функций;
для убывающих функций доказательство совершенно аналогично.
Докажем сначала необходимость первого условия теоремы.
Пусть/(дг) — функция, возрастающая на интервале (а, #).
Рассмотрим отношение
Для возрастающей функции числитель и знаменатель этой
дроби имеют одинаковые знаки (необходимо только, чтобы точки х и
x-\-Lx принадлежали отрезку [а, #]); поэтому
f(x + &x)-f(x) ^0
Дл:
и следовательно,
Ьх-*0 *х
Этим необходимость первой части условия доказана. Докажем
необходимость второй части, причем доказательство будем вести от
противного. Предположим, что f(x) возрастает на интервале (а, #),
а производная f(x) равна нулю во всех точках некоторого
отрезка [а, р], расположенного внутри (а, Ь). Пусть хх и лг2— две
произвольные точки отрезка [а, £]; рассмотрим разность f(xt)—/С*г2).
По теореме Лагранжа
/(*!)-/(*.) =/(6) (•*!-*.),
где точка Е лежит между х^ и лг2, т. е. внутри отрезка [a, [J].
Тогда, согласно предположению, / (Е) = 0 и, следовательно, /(дг1) =
=/(лг2), что противоречит предположению о возрастании функции.
Перейдем теперь к доказательству достаточности высказанных
условий.
Пусть f(x)^0 для всех значений а<^х<^Ь. Возьмем два
значения из этого отрезка: х1<^х^} и применим теорему Лагранжа:
f(Xz)—f(xl) = (Xb — x1)f(l), где *i<&Oj.
Так как /(£)S^0, то правая часть этого равенства
неотрицательна и мы получаем: /(лг2)—/C#i)^0» или
/(^)</W. (1)
Это неравенство показывает, что f(x) — неубывающая функция.
Но тогда, если бы для какой-нибудь пары значений xlf х^(хх<^х%)
имело место равенство
f(x1)=f(x%),
§ 1)
ВОЗРАСТАНИЕ Й УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ
277
то это значило бы, что функция f(x) на отрезке [хи дг2] —
постоянная, а в таком случае ее производная на этом отрезке была бы
равна тождественно нулю, что противоречит условию теоремы.
Таким образом, в неравенстве (1) ни для какой пары значений
хх<^х% не может стоять знак равенства, и значит, для любой такой
пары имеет место строгое неравенство
тем самым достаточность условий теоремы доказана.
Точно таким же образом доказывается теорема для монотонно
убывающих функций.
3. Примеры. Покажем на примерах, как на основании
доказанной теоремы можно судить о возрастании и убывании функций.
Пример 1. Исследовать возрастание и убывание функции
у = х -f- sin х.
Найдем производную ут =1 -\-cosx.
Так как cos х заключен между —1 и +1, то всегда будет
иметь место неравенство 1-[-cosx^O, причем это выражение
обращается в нуль только в
изолированных точках:
лг = (2А5 + 1)тг
(Л = 0, ±1, ±2,...).
Следовательно, условия
теоремы выполнены, и можно
утверждать, что эта функция всюду
монотонно возрастает («всюду» надо
понимать в смысле «на любом
интервале»).
График этой функции
представлен на черт. 52.
Пример 2. Рассмотрим
несколько более сложный пример.
1\0 л л Зл
2Л 5П 3/1
2
*-ЛГ
Черт. 52.
Докажем, что функция ср(лг) = (1-| ] возрастает при д:]>0, а
функция <|/(лг) = ( 1 +—) убывает при лг]>0.
Вместо того чтобы рассматривать функцию (1-| ) ,
рассмотрим ее логарифм:
1пср(дг) = лг[1п(д:+ 1) —1п#],
jjLinT(*)=ln(*-f 1) — lnx— у-р^-.
278 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ [гл. X
Применим теперь к разности 1п(лг-|-1) — \пх теорему о
среднем значении, получим:
In(*+!) — 1пдг = у, *<£<*+1
и, следовательно, -=-Ъ>—г-г, а тогда
с ^ Х-\- 1
^1пТ(х) = |-г1т>0>
£ это и показывает, что 1пср(дг) возрастает для лг^>0, а
следовательно, и ср(дг) возрастает при лг]>0.
Аналогично имеем \nty(x) = (l-{-x)[\n(x-\-l) — \пх] и, таким
образом,
d ,. , , ч , , , ,ч , 1 1 1
dx
1пф(дг) = 1п(дг+1)-1пх-^ = |--^<0
т. е. ф(дг) убывает при лг^>0.
4. Возрастание и убывание функции в точке. Иногда
оказывается полезным ввести понятие возрастания и убывания функции
в данной точке.
Определение 1. Функция f(x) возрастает в точке а, если
найдется такое число 8 ^> 0, что для полуинтервала а — 8 ^ х <^ а
имеет место неравенство f(x)<^f(a), а на полуинтервале
а<^х^а-{-Ъ имеет место неравенство f(x)^>f(a).
Совершенно аналогично вводится определение функции,
убывающей в точке.
Теорема 2. Если функция f(x) в точке а имеет
производную, то для того чтобы эта функция была возрастающей
в точке а, достаточно, чтобы f(a)^>Oy а для того чтобы она
была убывающей в точке а, достаточно, чтобы f(a)<^0.
В самом деле, пусть f(a)^>0; тогда найдется столь малое
число 8, что из условия |й|з^8 вытекает
f{a + h)-f{a)
h ^Vy
т. е. если — 8^/г<0, то /(a-fi)</(a), а если 0<^/г^-[~^
то/(а+ *)>/(*).
Обозначая а^\- h через дт, мы можем выщенаписанные соотношения
переписать в следующем виде: если а — Ь^х<^ау то f(x)<^f(a),
а если а<^х^а-\-Ьу то f(x)^>f(a), что и доказывает первую
половину утверждения теоремы. Что касается второй половины
утверждения, то она доказывается совершенно аналогично.
Отметим, что высказанное условие возрастания или убывания
функции в точке не является необходимым. Например, пусть задана
функция f(x) = x3. Производная этой функции при х = 0 равна
§ 1]
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ
279
нулю, между тем функция лг3, очевидно, возрастающая при х = 0.
Теперь легко установить теорему.
Теорема 3. Если функция f(x) имеет в точке а
непрерывную положительную производную f (а), то существует отрезок
а — 8^дг^а-|-8, на котором f(x) монотонно возрастающая, и
если она имеет в точке а непрерывную отрицательную
производную, то существует такой
отрезок а — 8 ^ лг ^ а -|- 8,
в котором f(x) монотонно
убывающая.
В самом деле, если f (а) ^>0
и непрерывна,тонайдетсятакой
отрезок а — 8 ^ лг ^ а -|- 8,
в котором f(x)^>О, а тогда
в этом отрезке, как уже
известно, функция будет
монотонно возрастающей.
Аналогично устанавливается вторая
часть утверждения.
Если производная f(а),
будучи положительной, не
является непрерывной, то может не найтись отрезка, заключающего
точку а, в котором f(x) монотонна. Рассмотрим такой пример.
Пример 3. Рассмотрим функцию (черт. 53), определяемую
двумя равенствами:
*-/Г
Черт. 53.
/(дг) = удг + лг2 sin—
/(■*) = О
при х ф 0;
Если дгт^О, то производная находится по обычным правилам:
1
f(x) = Y+2xs[n^
-cos
Заметим, что при x = 2jt (k = ±l, ±2, ±3, ...) производная
равна y— * =— у> ПРИ x = (2k4-\)n 0на бУдет Равна у + * =
3 1 1
= -гг> а так как точки вида ят- и /rt, , 1Ч можно найти в любой
2 ' Attn (Zk -+- 1) тс
близости от начала координат, то, следовательно, не существует
никакого интервала, содержащего х = 0у в котором производная
сохраняет знак. Поэтому рассматриваемая функция не является
монотонной ни в каком интервале, содержащем начало координат.
Вычислим теперь производную при х = 0. Полученной выше
формулой нельзя пользоваться, так как при х = 0 она теряет
смысл.
280 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [гл. X
Вычисление проведем, непосредственно пользуясь определением
производной:
/(0)= lim '<*-т - Иш ^Х + * ^ * =
х-*0 Х х-*0 х
=Jim(| + Jfsinl)=4.
Итак,
/(0)=4>о,
и следовательно, на основании теоремы 2 функция f(x) возрастает
в точке 0.
Производная этой функции при лг = 0, как и следует ожидать,
разрывна. Приведенный пример, в частности, показывает, что
может существовать функция, возрастающая в данной точке а и не
являющаяся возрастающей ни в какой, даже сколь угодно малой
окрестности этой точки. Однако имеет место
Теорема 4. Если функция в каждой точке некоторого от-
резка возрастающая, то она монотонно возрастает на всем
отрезке.
Доказательства этой теоремы мы не приводим.
§ 2. Теория максимумов и минимумов функций
б. Определения. При исследовании функций имеют большое
значение так называемые максимальные и минимальные значения.
Определение 2 (максимума). Функция f(x) имеет
максимум {maximum) при х = с, если можно найти такую
окрестность точки х = с, что в ней при хфс всегда выполнено
неравенство
/(•*)</(с),
иначе говоря, если можно найти такое положительное число Ь,
что при с — &<^лг<^с-{-8 и хфс имеет место неравенство
/(дг)-/(с)<0.
Например, функция f(x) = sinx имеет максимум при х =2>
потому что для всех значений хф-к, заключенных между 0 и тс,
выполнено неравенство
sinx<^ sin -к.
В этом примере
С=Т 8=2-
§ 2]
ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ Й МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ
281
Определение 3 (минимума). Функция f{x) имеет
минимум {minimum) при х = с, если можно найти такую окрестность
точки х = с, что в ней при хфс всегда выполнено неравенство
иначе говоря, если цожно найти такое положительное число 8,
что при с — 8<^лг<^с-|-& и хфс имеет место неравенство
/(х)-/(с)>0.
Например, функция
/(*)=(*-О*
имеет минимум при х = с, потому что
/(*) -f(c) = (x- *)« - (с - cf = {х — с? > О,
если хфс. В этом примере в качестве окрестности, о которой
говорится в определении, можно взять всю ось ОД
Черт. 54.
Следует обратить внимание на то, что максимум и минимум
функции не являются обязательно наибольшим и наименьшим
значениями функции во всей области, где эта функция определена.
Например, функция /(дг), определенная на отрезке а^х^Ь, график
которой дан на черт. 54, имеет два максимума (при х = сх и
x = cz) и два минимума (при х = с2 и лг = с4), причем минимум
при x = cg больше, чем максимум при x = ct.
В точках максимума и минимума функция имеет наибольшее и
наименьшее значения лишь по сравнению с «соседними» ее
значениями.
Заметим, наконец, что даже в том случае, когда функция
достигает своего наибольшего значения в точке х0, внутренней к
некоторому интервалу а<^х<^Ь, в этой точке может и не быть
максимума функции.
282 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ функции [гл. X
В самом деле, рассмотрим функцию, изображенную на черт. 55.
Эта функция имеет наибольшее значение во всех точках отрезка
[с, d], в котором она постоянна, а максимума в том смысле,
который дан в определении, она не имеет вовсе 1).
Максимумы и минимумы функции называют также экстрему-
мами функции, а точки, в которых функция достигает минимума
или максимума, называют экстремальными точками.
Рассматриваемые здесь экстремумы называют часто
относительными экстремумами или локальными экстремумами, так как
значения функции в
рассматриваемых
экстремальных точках являются экстре-
мальными (наибольшими или
наименьшими) лишь по
отношению к тем
значениям, которые принимает
функция в точках, близких
-2 -***~Х к экстремальной точке.
6. Необходимое условие
Черт. 55. существования
экстремума. Необходимое условие
существования экстремума функции легко получается из теоремы
10 (гл. V, п. 37), эта теорема,- очевидно, может быть
формулирована в следующей форме.
Теорема 5. Функция f(x) может иметь экстремумы только
при тех значениях независимого переменного, при которых
производная или равна нулю или не существует.
7. Достаточные условия существования экстремума. Введем
сначала следующее
Определение 4. Если найдутся два числа а и Ъ такие,
что функция <р (х) на интервале а<^х<^с всюду положительна
(или всюду отрицательна), а на интервале с<^х<^Ь всюду
отрицательна*) (или соответственно всюду положительная), то
условимся говорить, что функция f(x) при переходе х через
значение х=с меняет знак.
Выскажем достаточные условия существования экстремумов.
Теорема 6. Если непрерывная функция f(x) имеет всюду на
интервале (а, Ь) производную, за исключением, быть может,
1) Иногда говорят: с есть точка максимума функции «в слабом смысле»,
если имеется такая окрестность точки с, что во всех точках этой
окрестности значения f(x) меньше или равны f(c), и аналогично рассматривают
точки минимума «в слабом смысле». Однако во всем дальнейшем мы будем
говорить о максимумах и минимумах в первоначальном смысле.
2) О значении функции в самсй точке с здесь ничего не предполагается:
у (с) может иметь любое значение в точке с или даже точка с может не
входить в область определения у{х).
§ 2] ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 283
точки с (а<^с<^Ь)у и если производная f (х) меняет знак при
переходе х через с, то функция f (х) имеет экстремум при х=с.
При этом, есМ знак меняется с плюса на минус, то это —
максимум, если же знак меняется с минуса на плюс, то это —
минимум.
В самом деле, предположим сначала, что знак меняется с плюса
на минус, т. е. f(x)^>0 при х<^с и f(x)<^0 при х'^>с. Тогда
рассмотрим разность f(x)—f(c)9 к которой применим теорему
Лагранжа; мы получим:
f(x)-№=f®i*-c).
Если х<^су то и х<^Ь<^с, так как, по теореме Лагранжа,
£ заключено между х и с и, следовательно, по предположению,
/Ч0^>0> а тогда f(t)(x — с)<^0- Итак, если х<^с, то разность
/С*)-/(<)< о.
Если же х>с, то и %^>с\ тогда х — с^>0, а по
предположению /Ч£)<^0. Следовательно, f(t)(x — с)<^0у и значит, в этом
случае f (х)—/(с)<^0.
Объединяя все сказанное, можно утверждать,.что для любого
значения хфс, взятого внутри интервала (а, #), имеет место
неравенство
/(*)-/(0<о,
а это и значит, что при х = с функция*/(лг) достигает максимума.
Если f(x)<^0 при х<^с и f(x)^>0 при х^>су т. е. если
знак меняется с минуса на плюс, то, проводя аналогичные
рассуждения, мы получим:
/(*)-/(<:) >Л>,
а это значит, что при х = с функция f{x) достигает минимума.
Замечание. Пусть производная f (х) непрерывна и не
обращается в нуль на отрезке [ау #], за исключением, быть может,
некоторой точки с: а<^с<^Ьу в которой производной может и не
существовать. Для того чтобы установить в этих предположениях,
что f (х) меняет знак при переходе через точку су достаточно
убедиться, что /f(^i) и /Ч^а) различных знаков, где ^ — какая-либо
точка, расположенная на интервале (а, с)у a ?a — на интервале
{с, Ь\
Пример 4. Найти экстремумы функции f{x) = {x—2)2—1
(черт. 56).
Находим производную f (х) = 2 (х —- 2), она существует всюду.
Ищем те значения ху при которых производная обращается в нуль;
для этого решаем уравнение 2(х — 2) = 0 и получаем х = 2. Итак,
если f(x) — (x — 2)2—1 имеет экстремум, то он должен иметь
место при дг = 2.
284 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ функции [гл. X
Так как/(2) = (2 — 2)* — 1=— 1,то/(*)— f(2) = (x— 2)а>0
при всех значениях х ф 2; следовательно, при х = 2 функция
f(x) = (х — 2)2 — 1 имеет минимум.
^Х
Черт. 56.
Черт. 57.
*- х
Пример 5. Рассмотрим функцию f(x) = (x—I)3 (черт. 57).
Находим производную f (х) = Ъ(х—I)2, она существует всюду.
Ищем те значения ху при которых производная обращается в нуль;
для этого решаем уравнение 3 (х—1)* = 0,
откуда находим дг=1. Следовательно,
экстремум может быть только при дг=1.
Рассмотрим разность f(x)—/(1). Так
как/(17=(1-1)3 = 0, то /(*)—/(1) =
= {х— I)3 — 0 = (х—I)3; если лг>1, то
эта разность положительна; еслижелг<]1,
то эта разность отрицательна; поэтому
нельзя указать такой окрестности точки
х=1, в которой f(x)—/(1) сохраняла
бы знак. Следовательно, в данном
случае при х=1 функция f(x) не имеет экстремума.
2^
Пример 6. Найдем экстремум функции f(x) = х9 = Ух2
(черт. 58).
2 —'— 2
Находим производную f(x)=-$-x 3=—гт= • Производная ни-
6 3 ух
где не обращается в нуль, но зато при лг = 0 производной не
существует. Следовательно, если экстремум есть, то только при
л; = 0. Проверим это:
f(x)—f{0)=y^—0= y"j?>0.
§ 2) ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 285
Мы видим, что при х = 0 функция имеет минимум.
Те точки графика функции /(лг), в которых касательная или
параллельна оси ОХ, или параллельна оси ОК, или вовсе не
существует, мы будем называть критическими точками функции
f(x), а соответствующие значения независимого переменного х —
критическими значениями. Из предыдущего ясно, что экстремумы
функций могут быть только при критических значениях, но не
при всяком критическом значении функции имеется экстремум.
Пример 7. Исследовать функцию f(x) =х3 (х — 5) (черт. 59),
- 2 --
Находим производную f(x) = x3-|-у х 3 (х — 5), или
/и= У&+-Щ
-5)
Злг + 2(л: —5) _ 5(х — 2)
3f/F
3|/Г
г^Г
Отсюда видно, что надо исследовать два критических значения:
1) х=2, где производная обращается в нуль, и 2) х = 0, где
производная не существует.
Рассмотрим интервал,
содержащий х = 0 и не
содержащий лг=2, например
-iO<p).
Из самого выражения
производной ясно, что слева от
дг = 0, т. е. при лг<^0,
производная будет иметь знак
плюс, а справа, т. е. при
0<^лг<^1, знак минус. Сама
функция f(x) при х = 0
определена и непрерывна;
поэтому на основании доказанной
теоремы можно утверждать,
что при х = 0 функция
достигает максимума; это максимальное значение равно /(0) = 0.
Теперь рассмотрим отрезок [1, 3], содержащий значение х=2
и не содержащий точки х = 0. Согласно сделанному замечанию,
достаточно найти знаки /(1) и /(3), чтобы судить о наличии
экстремума. Очевидно, f(l)<^0, а /г(3)^>0, и следовательно, при
х==2 функция имеет экстремум. Перемена знака с минуса на плюс
указывает, что это минимум, он равен /(2)== |/4 (2 — 5) =
= — 3 |/4? График функции изображен на черт. 59.
fy*X3fx-S)
Черт. 59.
1) Можно взять произвольный интервал, лишь бы он содержал
рассматриваемое значение л: = 0 и не содержал других значений л;, при
которых производная или обращается в нуль или не существует.
286 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. X
Пример 8. Исследовать на максимум и минимум функцию,
заданную следующими двумя равенствами:
1 1
/(*) = *3-j-*" sini при хфО, /(0) = 0.
4 - 1 1
Если хф О, то f (х) = -ггхъ -\-2xsm cos—.
При лг = 0 непосредственным нахождением производной можно
показать, что /'(0) = 0.
Здесь легко обнаружить, что при х — 0 функция имеет
минимум. В самом деле,
4 4 4
/И— /(0) = xT + x2sin-jL — 0=xT+x2sin-^.xrT— лг2,
но при |дг|<^1 имеем дг3^>дг2, поэтому f(x)—/(0)]>0, а это
значит, что функция при х = 0 достигает минимума.
Однако в любой близости от точки х = 0 как справа, так и
слева найдутся как положительные, так и отрицательные значения
производной, и следовательно, метод* исследования экстремума
с помощью исследования знака производной здесь неприложим.
Действительно, если х= ^г- (£ = -{-1, -|-2, -f- 3,...), то
г Ш=т V Е+22-fcsln 2** -cos 2**=4^£ -! <0;
если же х= (k = -\-l, -{-2, -\-3, ...), то
8. Применение формулы Тейлора для исследования
экстремума. Применяя формулу Тейлора, мы можем разность f{c-\-h) —
— f{c) представить в следующем виде:
/(»+*)-/<«)=£ л<о+£/ч<о+5г/"(<о+—
Написав эту формулу, мы тем самым предполагаем, что функция
имеет конечные производные по крайней мере до #-го порядка
cos
§ 2] ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 287
включительно; так как мы исследуем точки экстремума, то надо
считать, кроме того, что f(c) = Q.
Положим, что при х==с все производные функции f(x) до
производной порядка п—1 включительно обращаются в нуль, т.е.
/ (с) =/" (с)=... =fn~V (с) = О, а /<я> (с) ф 0.
При этом п не меньше числа 2: #^2.
Тогда формула Тейлора запишется так:
/(с + /0-/(С) = ^/<я>(с + 6А) (0<б<1). (2)
Будем считать, кроме того, что производная /(Л) (х) непрерывна
при х = с. Тогда, поскольку /(л- (с) ф 0, можно найти столь малое
положительное число 8, что для всех /г, удовлетворяющих условию
|/г|<^8, значения f^n){c-\-h) и /(Л) (с) имеют один и тот же знак.
А так как \bh\<^\h |<[8, то и /(л) (с-\-Ыг) и /(л) (с) также имеют
один и тот же знак; следовательно,
ря)(с + ЩфО.
hn
Если п четное, то первый множитель -г в правой части
равенства (2) будет положителен, каков бы ни был знак /г. Поэтому вся
правая часть равенства (2) имеет такой же знак, как и
множитель /(Л) (с -\- 6/г), или такой же знак, как fn) (с), и получаем:
!)/(' + *)—/(<0<0, если /(л)(О<0,
2) /(<;+ /*)-/«>>0, если /(Л)(0>0,
при всех значениях /г, удовлетворяющих неравенству |/г|<^8, а это,
по определению максимума и минимума, означает, что функция
f(x) достигает в точке с максимума в первом случае и минимума
во втором случае.
Если же п нечетно, то множитель hn имеет разные знаки при h
положительном и h отрицательном; множитель же /(л) (с -|- 6/г), как
мы видели, сохраняет знак (если \h\<^%). Следовательно,
f(c-\-h)—f{c) имеет разные знаки при h положительных и
при h отрицательных; в этом случае экстремума нет.
Это рассуждение приводит нас к следующей теореме:
Теорема 7. Пусть f(x) при х = а имеет конечные
производные до п-го порядка включительно и
f (a) =f (а) =... =/-« (а) = 0,
/я> (а) ф 0,
причем fn) (х) при х = а непрерывна; тогда при п нечетном f {х)
не имеет в точке а экстремума, а при п четном имеет экстремум
288 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ [гл. X
в этой точке, а именно, минимум, если /л) (а) ]> 0, и максимум,
если /ЛЧ«)<0-
Пример 9. Найти максимум и минимум функции
/(*) = х3 —Зх*+3х —1.
Находим / (х) = Злг* — бдг -f- 3. Приравняем производную нулю:
3(лг* — 2лг-{-1) = 0, откуда х=\.
f'(x) = 6x-6, Г(1) = 0, Г(х) = 6, Г(1) = 6.
Здесь нет ни максимума ни минимума, так как первая, не
обращающаяся в нуль при лг=1 производная, — нечетного порядка.
Итак, f(x) — x*— Злга-{-Злг—1 не имеет экстремума.
9. Абсолютный экстремум функции. В предыдущем пункте были
изложены приемы разыскания точек максимума и минимума, в
которых значение функции больше или соответственно меньше, чем
значение в соседних с ними точках.
Покажем, каким образом эту теорию можно приложить к
разысканию точек абсолютного экстремума функции, т. е. таких
точек, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего
значений по сравнению со своими значениями на всей области ее
определения.
Пусть сначала исследуемая функция задана на отрезке [а, Ь\ и
пусть она во всех внутренних точках этого отрезка имеет
производную.
Еслич наибольшее значение функции достигается в точках
интервала a<^x<db, то оно представляет собой или максимум функции
или максимум в слабом смысле, поэтому для его разыскания
достаточно сравнить по величине значения функции во всех тех точках,
где ее производная равна нулю, и выбрать среди них наибольшее.
Однако наибольшее значение функции может достигаться и на
концах отрезка, поэтому для окончания исследования надо еще
вычислить значение функции в концах отрезка и сравнить
с наибольшим из максимумов f(xyt достигаемых на интервале
а<^х<^Ь.
Если функция задана на интервале или полуинтервале, то она
может и не иметь наибольшего или наименьшего значения.
Однако если функция f(x) во всех точках области определения
имеет производную, то для нахождения ее наибольшего значения
следует сначала сравнить по величине между собой все те
значения функции, в которых производная равняется нулю, затем найти
значение функции в конце полуинтервала, принадлежащем этому
полуинтервалу, а затем определить предельное значение функции
при х, стремящемся к концам интервала или полуинтервала, не
принадлежащим области определения функции. Если это предельное
значение окажется бблыним, чем все ранее исследованные значения,
то, следовательно, наибольшего значения функции не существует.
§ 2] ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 289
Аналогично находится наименьшее значение функции.
Рассмотрим примеры.
Пример 10. Найти наибольшее значение функции f(x) =
= sin.xr-j-.r на отрезке 0, у к . Рассматриваем сначала интервал
0<^лг<^-2-тс и ищем те точки этого интервала, в которых f(x) = Q.
Имеем f(x) = cosx-\-1 = 0. Это равенство справедливо для
ЛГ = 7Г, ЗТГ, ..., (2&-{-1)7С, .,.
Из всех этих значений только дг = тг находится на исследуемом
интервале. В точке дг = тс /(ir) = 7u; вычисляем теперь значения
в концах исследуемого отрезка 0, -к- ти ; имеем:
/(0) = 0, /(|*) = -1 + -|,г.
Следовательно, наибольшим аначением функции f(x) на отрезке
|Р' ~2 тс будет утс—1> а наименьшим значением — нуль. Итак,
в разбираемом случае наибольшее и наименьшее значения
достигаются в концах отрезка.
Пример 11. Найти наибольшее значение функции f(x) = e~x*
на «сей оси —оо<^.#<^оо.
Имеем f(x) = — 2хе—х2 и, следовательно, f {х) обращается
в нуль только при лг = 0 и в этой точке f(x) равно /(0)=1.
Находим теперь предельные значения f{x) при х->-\~оо и
дг-> — оо. Имеем Ит/(лг) = Нт/(лг) = 0. Следовательно, наиболь-
х-+-\-со х-+ — оо
шее значение функций f(x) равно 1 и достигается оно при х = 0;
что касается наименьшего значения, то оно не достигается.
10. Применение теории максимума и минимума к решению
задач. Применение теории максимума и минимума к решению
задач легче всего уяснить себе на примерах.
Пример 12. Какие размеры надо придать цилиндру, чтобы при
данном объеме V его полная поверхность S была наименьшей?
Обозначим радиус основания через г, а высоту цилиндра —
через /г. Тогда
5 = 2тиг/г + 2тгг2. (3)
Функция 5 выражена через две переменные величины г и /г,
которые связаны зависимостью, данной в условии задачи, а именно,
объем есть определенная заданная величина V. Так как объем
цилиндра равен
V = nr%
то отсюда можно определить А:
*-£■ W
10 В. В. Немыцкий я др.
290 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ функции [гл. X
Подставляем h в выражение (3):
Таким образом, 5 выражено как функция одного независимого
переменного г.
Находим производную этой функции:
5'=2(-^+2«г).
Приравнивая Sr нулю, получим:
-£+2*г = 0,
откуда находим:
Чтобы выяснить характер экстремума, ищем S":
S" = 2(2* + ^).
При г положительном S"]>0, что соответствует минимуму
функции. Следовательно, наименьшая боковая поверхность получится при
-П-
(5)
Установим зависимость между радиусом и высотой цилиндра с
наименьшей полной поверхностью. Подставляя значение г в
формулу (4), получим:
или, сравнивая выражения (5) и (6),
h = 2r. (7)
Итак, если мы хотим построить цилиндр с наименьшей полной
поверхностью при данном объеме, то мы должны взять высоту его
в два раза больше радиуса, т. е. осевое сечение цилиндра должно
быть квадратом.
Пример 13. Логарифмический декремент колебания. Пусть некоторый
затухающий колебательный процесс происходит по закону
<р = ^e~at cos (bt -f- с).
Найдем закон изменения амплитуд, т. е. закон изменения максимумов
функции <р. Имеем:
^ = — fae~at cos (bt + с) — ^be~at sin (bt + с).
§ 2] ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 291
Следовательно, -7т=0 при t, определяемом уравнением
a cos (fit + с) + Ь sin (fit + с) = 0.
Вводим новые постоянные k > 0 и а с помощью равенств
а = k cos а, # = — k sin а.
Для определения критических значений t получаем уравнение
k cos a cos (fit + с) — & sin а sin (fo -f- с) = k cos (W -\- с -f- a) = 0,
откуда имеем:
^+с+а=у.у> •••>(/г + т)"'
и следовательно, t равно
'«==[(/I+ у)* — С~ а]:Ь-
Так как cos (fit -[- с -f- а) имеет противоположные знаки в интервалах
между соседними корнями, то экстремальные точки будут соответственно
максимумами и минимумами отклонения
<р = Ye~a' cos (fit А- с).
Далее, faK как между 0 и первым корнем cos х положителен, то точки
где п = 2р четное, будут точками максимума, а точки
где п — 2р—1 нечетное, будут точками минимума.
Из полученного результата следует, что колебание из одного крайнего
положения переходит в другое в одно и то же для всех п время, именно:
Найдем значения амплитуды в двух соседних точках максимума
кривой, имеем:
?2P = Y* ° cos I f 2/7-J--2" 1 тг — с — а + с 1 =
= Ye * 2 cos /2р+у)«—« = ?* * sine.
Аналогично
- у [(з/Ч-а + т) *-*-■]
?Ч>+* = Т* Sin а.
2а _
Поэтому отношение р = е ь , т. е. наибольшие отклонения образуют
?2р+2
геометрическую прогрессию. Величина натурального логарифма постоянного,
не зависящего от л, отношения ^2/7+2 ■ называется логарифмическим декре-
10*
292 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [гл. X
9/7
ментом, в нашем случае он равен —г-ъ> т. е. логарифмический декремент
равен произведению коэффициента затухания а на период колебания -г,
11. Приложение теории максимумов и минимумов к доказательству
некоторых неравенств. 1) Пусть
хк ak' 1 1
<Р (*) = <** — -£- — -£г, где £>1, ---\--=\, а>0
Найдем экстремумы этой функции при л:>0. Имеем <?f(x) = a — хк~*.
Поэтому <ff(x) = Q при лгй' = й, или лг=й*, так как k —1=—. Найденное
значение х будет давать максимум, так как <p"(tffe)<0.
Найдем величину этого максимума:
Итак, функция <р (л:) имеет единственный максимум, равный нулю, и
следовательно, для всех других значений х она будет отрицательной.
Отсюда, обозначая а через у> получим неравенство
где
1т + 1 = 1, *>0, ^>0,
■* I У k k
причем *jy=—-|-^— только в том случае, если xK=yR
Если положить я?1=лг, flff2=^, где ^=— *, Яъ=--гп то полученное
неравенство можно переписать в форме
я?1**!2 ^?i<*i + q2a2, gi-{-qs = 1.
Применяя метод полной индукции, отсюда получаем неравенство
п
а\Ч\* ... efr<2I*'e*
1=1
в котором
?i + tfs + ... + дп = 1 и в! > 0, а« > 0, ... , ап > О,
причем равенство имеет место лишь для случая
я?' = а%2 = ... = а%п.
Если положим Qi = —jp—, то последнее неравенство может быть
ZPk
§ 2] ТЕОРИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 293
записано в форме
aPiaP2 аРп < />igi + Paflfe + • • . + Pnan)Pl +р* + • • • + Рп
1 2 *** П ^\ Р1+Р2+ ... +Рп J
Это неравенство справедливо при любых положительных ри р2, ... рП) так
как
Полагая все рь равными 1, получаем такое знаменитое неравенство:
пГ~Г7, Г ^ gi + Да + • • • + Дд
Это неравенство может быть формулировано в виде теоремы: среднее
геометрическое п положительных чисел не более среднего
арифметического этих чисел, причем равенство соблюдается лишь тогда, когда все
эти числа равны между собой.
Рассмотрим второй пример.
2) Пусть дана функция
<р (х) = 1 + ха — (1 + xk)k (1 + ak) *',
k ^k'
где я>0, л:>0, —-)-—-=1, k > 0, &'>0. Найдем экстремумы этой
функции; имеем:
1 ±-i
<р' (х) = а — (1 + aA')fe' (1 -\-xk)k xk l>
т. е.
_L ___L A
<p'(*) = <*_ (\ + ak')k'(I + xk) k'xk'.
Приравнивая <p' (x) нулю и возведя в степень k\ получим:
ak' =(l + ak')(l+xkrixk,
т. е.
а
w
xk
l + **'-T+^'
или
k1
l-f--V= 1+-£г> т- е. xR = aR' или х = а
-^=1+-^, т. е. ;г —"* «™ *- = л"
Так как легко проверить, что у"\ак)<0} то x=^ak есть точка
максимума. Покажем, что<р\яй/=0.
В самом деле,
/ *1\ *+i 1 + -
^[ak}=l + ak — (1 + в*')* ^^(^^-(l+^^O.
/ *\
Итак, у\ак) = 0естъ максимум. Следовательно, <р(л:)^0, т. е.
l + ax^(l+xk)k (\ + ak'f,
294 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [гл. X
причем равенство имеет место лишь для xk = ak\ Обозначая для симметрии а
через у, получим неравенство
l + xy^(l + xk)k(\+yk')k\ где 1 + ^=1;
здесь знак равенства имеет место лишь при хк — ук'.
Полагая теперь
получим:
или, наконец, неравенство
e?tf+ tf*2^ («* + ««)" (*1+ *i)P, « + Р = 1, «>0, Э>0,
где знак равенства имеет место лишь при — = ^- или т^= «г»
Отсюда методом индукции можем распространить это неравенство на
любое число слагаемых. В самом деле, при az > 0 и Ьъ > 0 на основании
доказанного неравенства имеем:
а«Ь\ + а%Ь\ + а«% ^ (а, + a,f (h + hf + apt
Применяя еще раз доказанное неравенство, получим:
a{b\ + а%Ь\ + a«zbl ^ (а, + а2 + а9)* (h + h + hf.
Продолжая эту индукцию, очевидно, получаем неравенство:
1=1 1=1 /=1
справедливое при любых положительных ai и Ь^ и при а-(-Р= 1, а переходя
к пределу при п —► оо, если только ряды
2**и 2^
i=i /=i
сходящиеся, получим неравенства
оэ оо оо
*=1 1 = 1 1 = 1
Если ^ заменить на а? и fy на #Д то получим:
оо 1
2'А<(2*)"(2*7-
§ 3]
ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ
295
Полагая <х = — и р = —, получим такое знаменитое неравенство
1 1
со со — со —
i=l i=l /=1
которое при p=zq = 2 приводит к неравенству
со Г со со
1=1 Г 1 = 1 1 = 1
Знак равенства во всех этих неравенствах может наблюдаться тогда
и только тогда, когда -^- = ^- =...
#1 а2
§ 3. Выпуклость и вогнутость
12. Выпуклые функции. Одной из существенных характеристик
поведения функции являются выпуклость и вогнутость графика y=f(x) на
данном участке изменения.
Определение 5.
График функции y = f(x) на
отрезке [а, Ь] называется
выпуклым, если, какова бы ни была
хорда, соединяющая точки
графика [xuf(Xi)] и [x2tf(xs)],
где a^xi^xs^.b,
середина этой хорды лежит или
выше графика или на самом
графике; мы не исключаем
случая, когда а = — оо или
# = -{-оо. функция, имеющая
выпуклый график, называется
выпуклой функцией (черт. 60).
Это условие можно записать
в чисто аналитической форме.
Черт. 60.
В самом деле, абсцисса середины хорды равна
Х\ -\- х* t
ордината
середины хорды
/(*l)+/(*«)
/
и условие выпуклости запишется в форме
Xj + х2 \ ^ f(xi)+f(x2)
Если y = f(x) выпукла на отрезке [а, Ь\; то говорят, что у = —f(x)
вогнута 1). Заметим, что введенное определение выпуклой функции не
требует существования у функции f(x) даже первой производной.
13. Аналитический признак выпуклости и вогнутости. Однако если
функция f(x) имеет во всех точках (а, Ь) вторую производную, то можно
дать легко применяемый признак выпуклости и вогнутости.
*) Заметим, что в ряде руководств графики выпуклых функций в
рассматриваемом здесь смысле называют обращенными выпуклостью вниз.
296 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. X
Установим сначала теорему.
Теорема 8. Если во всех точках а<х <д функция /" (х) :>= 0, то,
каковы бы ни были точки хи х$} лг3, ... , лг^ на этом отрезке, имеет
место неравенство
S S
л=1 л=1
где
?i + *S + ... +9s = h ttS^O (/ = 1, 2, ... , s).
В самом деле, пусть Х = УдпХп-
л=1
Прежде всего отметим, что число X удовлетворяет неравенству а^Х-^д.
В самом деле, раз a^xn^bt то aqn^xnqn^.bqn и, следовательно,
а 2 Чп^ 2 Ч*Х*^Ь £ 4»
л=1 п= 1 л = 1
S
но так как
2?Л = 1, то а^Х^Ь.
л = 1
Выразим f(xn) в окрестности точки X по формуле Тейлора. Имеем:
f(xn) =/(*) + ta. - -У) /' W + у <*« - Х? f" (W»
где л <^ ЛГ< 6Л < хп или л ^ *Л < £я < X
Умножая на qm получим:
Яп/(* J =f(X)qn + (xn-X) qnf (X) + у (*я - X)* qnF (£Л).
Просуммируем эти равенства по я от 1 до s, учитывая, что
s s
2 {xn-X)qnf (*)=/• (*)( 2 *»*»—*) =<*
л=1 л =1
получим:
S S
л«=1 я=1
и так как, по условию теоремы, /" (£Л) ^ 0 при любом 1п, то получаем:
л = 1 л« I
§ 3] выпуклость и вогнутость 297
s
Так как qn произвольны, лишь бы \. Чп == 1 и #л > О (л = 1> 2, ... , s),
л=1
то, положив #л = Рп ■ , полученное неравенство можно написать в форме
£ Рп
п= 1
/2
S
Рп*п \ £Pnf(Xn)
л=1 I ^ Л=с1
2
S
Ai / 2 Рл
л=1 / л=1
где числа ри ps, ... , р^, называемые обычно весами, — произвольные
положительные числа.
В случае /" (х) < 0, очевидно, имеет место противоположное неравенство.
Из доказанной теоремы мы получаем как непосредственное следствие
такую теорему.
Теорема 9. Если f"(х)^0 для а<х<Ь, то f(x) выпукла на
а < х < Ь; если же /"(л:)^ 0 для а<х<Ь, то f(x) вогнута на а<х<Ь.
В самом деле, пусть /"(jc)^Oh пусть s = 2, qx = q2 = -у, тогда только
что доказанное неравенство дает
2
./№).
где ATi и х2— произвольные точки интервала а<.х<Ь, т. е. f(x) выпукла.
Если f'(x)^0, то для функции F (x) = — f(x) F" (x)^zO и,
следовательно, —f(x) выпукла, а тогда, по определению, f(x) вогнута.
Установим обратную теорему.
Теорема 10. Если f(x) выпукла для а<х<.Ь и имеет во всех
точках этого интервала вторую производную, то /" (л:) ^ 0.
Пусть f(x) выпукла, т. е.
Заменим -у (Xi ~\- х2) через t, -~ (хх — х2) через Л; тогда это неравенство
перепишется в форме
f(t + h)+f(t-h)-2f(t)^0,
т.е. вторая разность для достаточно малых h неотрицательна (см. стр. 173).
Для доказательства теоремы положим противное, т. е. что/"(*)<(), и
покажем, что придем к противоречивому неравенству.
298 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [гл. X
В самом деле, имеем:
f(t + h) + f(t-h)-2f(t)=\f(t + h)-f(t)]-\f(t)-f(t-h)] =
=/'(' + Wh) h—f(t — 6"Л) h = h [f1 (t + Wh) —f(t — в"/г)]=
= h \f(t + VK) -/' (t)] + h\f (t) -f(t- W'h)].
Разделим обе части этого равенства на /г2; имеем:
f(t + h) + f(t-h)-2f(t)_f(t+Vh)-f(t) f(t)-f(t-b"h)
h2 ~~ h ~*~ h
Так как
lim f{t + Wh)-f(t)__
h-*o д —/ W
и
lim Г (t)-f(t-V'h)_
л-о л —/ \*)>
то из предположения /" (t) < 0 вытекало бы, что дроби
h и h
при достаточно малых h были бы тоже обе отрицательны, а тогда для столь
же малых h и выражение
f(t + h) + f(t-h)-2f(t)
h*
было бы отрицательным, и следовательно, для этих же h f (t -f- h) -\- f (t — h) —
— 2/(£)<0, что противоречит выведенному в начале доказательства
неравенству. Итак, f*(t)^0.
Можно дать другое определение выпуклости и вогнутости графика
функции / (*).
Определение 6. Пусть во всех точках некоторого
интервала а<С^х<^Ь функция f(x) имеет непрерывную вторую
производную. Назовем график этой функции выпуклым в интервале
(а, Ь), если он лежит не ниже касательной, проведенной в любой
точке исследуемого графика, и вогнутым, если он лежит не
выше касательной, проведенной в любой точке этого графика.
Покажем, что для класса функций, имеющих непрерывную
вторую производную, это определение эквивалентно
первоначальному, т. е. для того чтобы функция, имеющая непрерывную вторую
производную, была выпуклой на некотором интервале, достаточно,
чтобы на этом интервале f"(x) была бы больше или равна нулю.
Пусть (х0, у0) — некоторая точка исследуемого участка графика
функции f(x). Используя формулу Тейлора, можем написать:
f(x)=f(x,) + f(xtUx-x0)+r®ljZ^*#t (8)
где I лежит между х0 и х, т. е. на исследуемом интервале
а<^х<^Ь. Уравнение касательной к графику y=f{x) будет иметь
РИД _
У =/С*о) +/Ч*о) С* - лгр). (9)
§ 3] выпуклость и вогнутость 299
Вычитая почленно равенство (9) из (8), получаем:
f(x)-y=r<t)&^f£. (Ю)
Если теперь предположим, что график функции выпуклый в
смысле определения 5, т. е. что во всех точках интервала а <^х<^Ь
имеем f(x)^0, то из формулы (10) вытекает f(x)^yf т. е.
график функции не ниже графика касательной, проведенной в
точке (дг0, у0). Предположим теперь, что для а<^х<^Ь график
функции выпуклый в смысле определения 6, установим, что во всех
точках интервала a<^x<^b fr(x)^0. В самом деле, пусть
найдется точка £0, лежащая на этом интервале, в которой /"(£о)<СО.
Из предположения непрерывности f (х) можно будет найти
интервал
во всех точках которого f"(x)<^0.
Рассмотрим две произвольные точки этого интервала х0 и х.
Формула (10) дает
Пх)-у=Г® {Х~ъоУ> , х»<1<х.
Так как I лежит на интервале, в котором /"(£) отрицательна,
следовательно, в точке х
f(x)<y,
т. е. график функции лежит ниже графика касательной. Полученное
противоречие доказывает, что f"(x)^>z0, а тогда график f(x)
выпуклый в первоначальном смысле.
Приведем теперь примеры выпуклых и вогнутых функций.
Функция In х вогнута, так как (In х)" = т <^ 0. Функция 6х
выпукла, так как (e*)1f = e*^>r0.
Рассмотрим функцию _у = дгг, где х^>0. Имеем У =
= г(г—1)хг~*. Следовательно, /если 0<V<^1, то У<0 и хг
вогнута; если г^>1, то хг выпукла. Доказанное неравенство для
выпуклых и вогнутых функций порождает целый ряд интересных
и полезных для приложений неравенств. Например, рассмотрим
функцию
f(x) = (l+xr)r, гдег^О и тф\.
Так как
/ (*) = 1 (1 + xr) г гхг-* = (1 + *г) г хг'\
то
1 -2г
f{x) — {r— 1)0 +хГ) г ^г_а-
300 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. X
Если г>1, то для х^>0 f'(x)^>0 и, следовательно, для
г>1 f(x) выпукла. Если г<[1, то f{x) вогнута.
Посмотрим, какое конкретное неравенство даст нам неравенство
HPnfiXn)
л=1
(см. стр. 297), если в качестве функции f(x) взять (l-\-xr)r.
Полагая рх = аи р2 = Ьи Ръ = си..., хх = -^- , дг2 = ~ > *з:
g2
*1
т. е.
получаем:
e«(»+-S'+*i(l+-^J +•••
«i'
*i'
«i + *i + •
[(«i + *i + ...)r+(«*+ *>* + • ••)']'
Знак равенства будет иметь
Используя различные выпуклые
У,
место тогда, когда —*- = --?-:
«1 #i
*-ЛГ
вогнутые функции, можно
получить много других
замечательных "неравенств.
14. Точки перегиба.
Значение х, при переходе через
которое график y=f(x)
переходит от выпуклости к
вогнутости или от вогнутости
к выпуклости, называют
точкой перегиба. Более точно:
Определение 7.
Точка х = с называется точкой
перегиба для функции f(x\
если можно найти такое 8^>0, что на отрезке [с — 8, с] она
выпукла, а на отрезке [с, с'-\-Ъ] вогнута или наоборот (черт. 61).
Теорема 11. (Необходимое условие для точки
перегиба.) Если функция f(x) имеет непрерывную вторую
производную, то для того, чтобы точка х = с была бы точкой
перегиба, необходимо, чтобы f (с) = 0.
В самом деле, если, например, в точке с f(c)^>0, то ввиду
предположенной непрерывности /" (х) найдется отрезок [с — 8, с-\- 8],
Черт. 61.
§ 3]
ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ
301
в котором f (х)^> 0, а тогда этот интервал будет интервалом
выпуклости и, следовательно, точка с не может бытъ точкой, справа
от которой f(x) вогнута и слева выпукла или наоборот.
Однако условия /яг(с) = 0 недостаточно, чтобы с была бы
точкой перегиба.
Достаточное условие непосредственно вытекает из определения.
Теорема 12. Для того чтобы с была точкой перегиба
функции f(x), достаточно, чтобы
1)/"(г) = 0;
2) нашлось бы такое Ьу что на интервалах [с — Ъ, с], [с, с-\-Ъ]
f (х) имеет разные знаки.
Если на исследуемом интервале (а, Ь) имеется лишь конечное
число точек обращения в нуль /"(дг), то нахождение точек
перегиба можно проводить следующим образом:
1°. Находим сначала все нули f"{x). Пусть это будут точки
а = Х0 <С Х\ <С ХЪ \ Х3 \ • • • \ Xs <С Xs+l ^ ^"
2°. Внутри каждого интервала (дг0, xx\{xlf х%), (лг2, хг), ...
• • •, (xs-\> xs)> (xs> xs+i) берем по точке.
Пусть это будут точки Е0, 1и 52, ..., \s, где *,_i < £;_i <>,-, и
определяем знаки чисел
/%), Г (У, /"(S2), ..., /чу.
Если знаки /"(^i-i) и f (*д различны, то х{ есть точка перегиба;
если же f (^_i) и f (сг) одинаковых знаков, то xt не есть точка
перегиба.
Если в точке перегиба и ее окрестности существует первая
производная и непрерывная вторая производная, то, как показывает
теорема, из введенного определения непосредственно следует
эквивалентное определение.
Определение 8. Точка (с, /(c)) графика функции f{x),
имеющей первую и непрерывную вторую производную в этой
точке и ее окрестности, называется точкой перегиба, если в точке
(с, /(c)) график функций переходит с одной стороны касательной,
проведенное в этой точке, на другую.
15. Применение формулы Тейлора для разыскания точек
перегиба. Разыскание точек перегиба сводится к исследованию знака
f (х) в окрестности точки с, в которой /"(0 = 0. Обозначая х
через с -f- h, имеем:
f>(c + h)-r(c)=f'(c + h).
Разложим разность f'{c-{-h)—f" (с) по формуле Тейлора.
Пусть, кроме того
Г (С) =/V (С) = . . . =/<»-!> (С) = О,
/">(с)*0
302 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. X
и /(л) (х) непрерывна в окрестности точки с. Тогда имеем:
/'(c + A) = (^i/(n)(c + 0A).
Из этого равенства выводим теорему.
Теорема 13. Если первая из не обращающихся в нуль
производных f (с), f" (с), ..., fn) (с), ... — нечетного порядка и
непрерывна, то х = с есть точка перегиба; если же она четного порядка,
то в окрестности х = с график f(x) либо выпуклый, либо
вогнутый.
В самом деле, пусть /(/1) (с) ф 0 и непрерывна; тогда найдется
столь малое S, чго при |/г|<^8 /(л) (с-\- в/г) по знаку совпадает с
/<"» (с).
Если п нечетно, то из равенства
/"(с + /0=(-^/(л)(< + М)
вытекает, что f"(c-\-h) на интервале (с — Ъ, с) имеет знак,
противоположный знаку f"(c-\-h) на интервале (с, с-\-Ь), а тогда с
есть точка перегиба. Пусть п четно; рассмотрим тогда два случая.
1°. /(Л)(<0>0; тогда /"(*)> 0 для (с — 8,<лг< с -f Ь) и,
следовательно, f(x) выпукла на этом интервале.
2°. /(Л)(0<0; тогда /"(-*0<0 для (с —8<*<с-|-8) и,
следовательно, f(x) вогнута на этом интервале.
Пример 14. Пусть f(x) = x-\- sin х; тогда
f(x) = 1 -f- cos х, f" (x) = — sin x;
так как f(x)^0 и обращается в нуль лишь в отдельных точках,
то f(x) — монотонно возрастающая функция. Однако она имеет
бесчисленное множество точек перегиба. В самом деле, уравнение
/" (х) = — sin лг=0 имеет бесчисленное множество корней хп5=±пк,
где п = 1, 2, ...
Так как функция sin х всегда меняет знак, переходя через нуль,
то все корни этого уравнения будут точками перегиба.
§ 4. Построение графиков функций
16. Общий план исследования. В предыдущих параграфах
было приведено достаточное количество графиков. Мы подведем итоги
всему ранее сказанному и здесь дадим общие указания к построе-
ниге^графиков функций при помощи дифференциального исчисления.
Укажем план исследования.
1) Определяем область существования функции и ее точки
разрыва.
2) Находим первую производную. Желательно вычислить и вто^
рую производную (если она не очень сложна). Производные высших
§ 4]
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
303
порядков можно не вычислять, так как часто вопросы об
экстремумах функций можно решить при помощи первой производной,
а о выпуклости и вогнутости — при помощи второй производной.
Находим область существования производной.
3) Исследуем -экстремумы функций, убывание и возрастание.
4) Исследуем точки перегиба, выпуклость и вогнутость,
б) Находим асимптоты.
6) Находим предельные значения функции при стремлении х
к -j-°° и —ооик граничным точкам области существования.
Конечно, не надо буквально следовать этому плану. Иногда
бывает удобно переставить пункты исследования, а иногда
некоторые из этих пунктов становятся очевидными после исследования
других.
17. Гиперболические функции. Применим указанный выше
план исследования к одному из важных классов трансцендентных
функций.
Целый ряд вопросов приводит к следующим функциям:
1°. —^ , называемой гиперболический синус и
обозначаемой shx.
2°. —-Ц> > называемой гиперболический косинус и
обозначаемой chx.
Употребляются также и функции, получаемые с помощью shx
и ch х, именно функции гиперболический тангенс и гиперболический
котангенс:
,, shx
th х — —
ch х
bhx= ——
shx
ex — e~x
ex -f- e~x
ex -\- e~x
ex — e~x
shx и chx обладают целым рядом свойств, аналогичных свойствам
sinx и cosx. Именно, легко получить, исходя непосредственно из
определений, равенства
ch2x — sh2x= 1,
sh (х zh у) = sh х ch у ± ch x sh y,
ch (x ± y) = ch x ch у ± sh x shj/,
sh2x==2shA:chx,
ch 2x ==ch2 x-\- sh2 x,
8h'.r=Ch2f-1.
304
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
[гл. X
Свое название гиперболические функции получили вследствие
того, что они могут быть связаны с гиперболой, так же как
круговые функции sin х и cos х с окружностью (см. гл. XII, § 2).
Без труда читатель получит и формулы для производных:
(chx)f=shAr,
(sh x)f = ch x,
1
(cth*y=- sW.
Исследуем поведение гиперболических функций:
1°. y = shx = -^^- (черт. 62).
Имеем:
(shxy=chjc= ** + *"* 9
(sh х)" = sh х =
Так как (shx)f= ** + *"*
^>0 для всех дг, то shx монотонно
\i/=sfia;
-*-Х
возрастает;
при х—*-J-oo
lim shx= lim
X -* ОО #-+ оо
при ЛГ—* ОО
lim shA:= lim -
Х-*— ОО .*-►—СО
-ОО,
• ОО ,
Найдем точки перегиба. Имеем из равен-
е* — е~"
ства
(sh х)"
= 0, ех-.
е* =1,
Черт. 62.
т. е. х = 0.
Точка х=^0 есть точка перегиба, так как
вторая производная, т. е. shx, меняет знак
при переходе через лг = 0. Если к этим вычислениям добавить,
что sh 0 = 0, то можно нарисовать график y = $fox (см. черт. 62).
2°. Рассмотрим теперь спдг=-
Имеем:
(ch х)т = sh х
ех + е~
(черт. 63).
ех — е"
(спд;)"=сп.хг =
2
ех + е-х
§ 4]
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
305
При х = 0 функция сплг достигает минимума, так как
(chx)'^0 = 0, а (спх)%_0 = 1.
Точек перегиба график ch х не имеет, так как (ch х)" ]> 0 всюду.
Если добавить: 1) сплг= — ch(—х);
2) lim ch х = -|- оо; 3) ch 0 = 1, то получаем
график сплг (см. черт. 63).
График функции спалг =
еах _|_ гах
(а]>0) носит название цепной линии.
П
y-chz
^Х
y=tha;
-*~Х
ч
Черт. 64.
3°. Теперь переходим к исследованию уже известной нам функции
е* — е~х
thx--
ех-\-е~
имеем:
(thx)'=-^- =
cha х (е* + e~xY '
пи t-v I 1 Y 2chA:shA:
2sh^r ~ eX — e~x
Из этих равенств получаем
(thx)r>0 для всех ху (thx)ff = 0
при х = 0.
Добавляя к этому, что
(th x)x_q = 0, lim th x = 1,
*-++оо
lim thx = —1,
ff=*
-X
Черт. 65.
получаем график функции y = i\\x
(черт. 64).
Аналогично исследуется функция y = cthx, для нее получаем
график черт. 65.
18. Обратные гиперболические функции. Рассмотрим y = shx;
£хЛ- £~~х
при любому из уравнения у = —-^ или егх—2уех—1 = 0
найдем одно значение для ех:
е*=У+ /У+Ь
306 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ [гЛ. X
Второй корень уравнения у — Wy*jL \ должен быть отброшен,
так как он не определяет действительного значения х. Полученное
равенство дает
т. е. функция, обратная shx, есть
Arsh*=ln[.* + /хг2 + 1 ]
— это однозначная функция.
Рассмотрим _у = спдг. Область ее определения от — оо до -f-oo.
Однако она не монотонна, поэтому обратная к ней функция не будет
однозначной. В самом деле, имеем y = chx, т. е. J—=сплг,
или
е*х—2уех-\-1=0.
Если мы решим это уравнение относительно е*9 то при у^\
найдем два значения:
е* ==у ± -/у* — 1, т. е.
x = \n[yzn /У —1].
Следовательно, для дг^О
и при х^О
х = \п[у— /у—1].
Итак, обратная к спдг функция
Archx= (m[Jf+ |/^=Т]> Archx^O,
\1п[дг— j/дг2 — 1], Агспдг^О.
Рассмотрим более сложный пример на построение графиков
функций.
Пример 15. Построить график функции
у = х-\- 1п(дг2 — 4).
Так как логарифмы определены только для положительных чисел,
то область существования найдется из неравенства дг2 — 4^>0,
решая которое, получим дг2^>4 или |дг|^>2. Следовательно,
областью существования будут два бесконечных интервала:
— со<^дг<[—2 и 2<^ДГ<^-]-со.
Вычисляем производные:
У—1~Тх2—^~ х2 — 4 > У~ (л:2 —4)2*
§ 4]
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
307
Хотя функции, представляющие обе производные, существуют
всюду, кроме значений лг = ±2, но их, конечно, следует
рассматривать только в области существования заданной функции.
Первая производная обращается в нуль два раза; именно, из
уравнения
*2^-4~4 =0 или х*-\-2х — 4 = 0
получаем:
лг=—lzt |/Г+4 = — 1 ± i/б,
но следует рассматривать только одно критическое значение
хх = — 1 — }/5, так как другое дг2 = — 1 -f- j/5 лежит вне области
существования самой функции.
Первая производная непрерывна в области существования
основной функции: следовательно, для исследования знака первой
производной надо рассмотреть отдельно три интервала:
1) от —оо до —1 — }/5 (т. е. до нуля первой производной);
2) от —1 — j/б до —2 (т. е. от нуля первой производной
до границы области существования функции);
3) от 2 до -j-°° (т. е. на другом интервале, где существует
функция; здесь производная не обращается в нуль).
Знак производной на первом интервале мы найдем, если
вычислим ее значение при каком-нибудь значении х, принадлежащем
этому интервалу, например при х = —б:
На втором интервале возьмем значение х = — 3, получим:
/(_3)=1—g^I <°-
Теперь ясно, что при дг = —1 — \fb функция имеет максимум,
так как здесь производная меняет знак с плюса на минус.
На третьем интервале возьмем значение х—3, получим:
ЯЗ)=1+9=4>0,
т. е. в этом интервале функция возрастает.
Вторая производная (как это видно из ее выражения) всюду
отрицательна, т. е. кривая всюду вогнута.
308
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
[гл. X
Результаты исследования можно кратко записать в виде
следующей таблицы:
X
У
У
У
От — оо
ДО-1-/5"
+
—
Возрастает,
вогнута
х = —\—У~5
0
—
Максимум
От— 1— уъ
до —2
—
—
Убывает,
вогнута
От 2 до
+
—
Возрастает,
вогнута
Л,ах = -1-/5 + 1п(2/5+2).
Найдем асимптоты
k= lim Ш.= lim Г1+ Ш(^-4)-[
д:-»-*-оо * *-►-+-со L х J
х -> ± оо
По правилу Лопиталя
\п(х2 — 4)
hm — — =
jf -* ±оо
2х
v-2 4
Иш * 4 =о,
-* -i- гг> *
поэтому
*= lim (l+ln<*-4>W
ЛГ-*-*-00 \ Х I
Далее,
£ = lim [/(дг) — &лг] = lim [х -f- 1п (дг2 — 4) — дг] = -j- оо.
Jf->±00 # -»±оо
Следовательно, наклонных асимптот нет.
Теперь займемся вычислением предельных значений:
lim [х + 1п(х* — 4)]= lim х-\- lim In (лг2 — 4) = + оо,
lim [х + Ы(х* — 4)]= lim [In (дг2 — 4) - x] =
х-* — 00 Jf-»-J-CO
= lim
#-►00
1П /и 4)
но lim —* ^-=0, поэтому
*-* + oo X
Итак,
13 Г 1п(л:2 —4) Л
lim х\—- - 1= — оо
лг-^+оо Iх J
lim [лг + 1п(лг2 —4)] = —00
§ 4]
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
309
Исследуем функцию на границах области ее существования, т. е.
найдем левый предел функции при х->— 2 и правый предел при
х->2 (при самих значениях
х = zb 2 функция не существует).
При вычислении lim f(x)
ЛГ--2
будем знак lim понимать как
левый предел; получим:
lim [х -f- In (х2 — 4)] = — со.
*-* — 2
Точно так же, понимая под \imf(x)
лг-2
правый предел, получим:
lim [х -f- In (х2 — 4)] = — оо.
х->2
Следовательно, существуют
две асимптоты:
х = — 2 и лг = + 2
Объединяя все сказанное, можно построить график исследуемой
функции (черт. 66).
Черт. 66.
Р-АЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА XI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение первообразной и свойства неопределенного
интеграла
J. Определение первообразной. О п р е д е л е н и е 1. Пусть дана
функция f(x). Функция F(x) называется первообразной функцией
для f(x), если производная от F(x) равна f(x):
F(x)=f(x). (1)
Пусть, например, f(x) = 2x\ тогда функция F(x) = x2 есть
первообразная для/(х) = 2дг. В самом деле, F(x) = (x2y = 2x=f(x).
Точно так же F(x) = —cosx есть первообразная для f(x) = sin х.
Естественно задаться вопросом: для каких функций имеется
первообразная? Легко видеть, что первообразной может не
существовать даже у ограниченной функции. В самом деле, рассмотрим
функцию, определяемую следующими двумя равенствами:
f(*) = ^T при х^О
и
f(x) = 0 при х = 0.
Эта функция на любом отрезке, заключающем нуль, принимает
лишь три значения: —1, 0 и -|-1, и поэтому не может служить
производной ни для какой функции, так как производная должна
принимать все промежуточные значения (см. гл. V, п. 38, теорему И).
Однако, верна следующая основная
Теорема 1. Любая функция, непрерывная на отрезке, имеет
первообразную на этом отрезке.
Доказательство этой теоремы будет дано в следующей главе.
Легко видеть, что задача о нахождении первообразной функции
в том случае, когда она разрешима, имеет не одно, а бесчисленное
множество решений. В самом деле, если F{x) есть первообразная
функция для /(дг), т. е. удовлетворяет уравнению (1), то тому же
§ 1] ПЕРВООБРАЗНАЯ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 311
уравнению будут удовлетворять функции F(x)-j-\, F(x)— 2, и
вообще первообразными для f(x) будут все функции вида F (х) -J- С,
где С — произвольное постоянное число.
Оказывается, что верно и обратное предложение.
Теорема 2. Разность между любыми первообразными для
функции f{x) равна постоянному числу.
Пусть даны функции f(x) и две ее первообразные F(x) и Ф (х).
Рассмотрим разность Ф (дг) — F(x)> обозначим ее через W (х).
На основании правила дифференцирования разности имеем:
ЧГ'4х) = Ф'(х) — Р(х).
Так как по предположению обе функции F(x) и Ф (х)
первообразные для f(x), то Ф' (х) = F (х) =f (х) и, следовательно,
тождественно
ЧГ'(*) = 0,
а тогда из теоремы Лагранжа следует, что W(x) = C (см. гл. V,
п. 41, следствие 2).
2. Неопределенный интеграл. Доказанная теорема показывает,
что если найдена одна первообразная F(x) для данной функции
f(x), то все остальные первообразные получаются из этой
прибавлением некоторого постоянного.
Определение 2. Выражение F(х)-|-С, где F(х) — некоторая
первообразная для f{x), а С — произвольная постоянная,
называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается
символом ^f{x)dx.
§f(x)dx = F(x) + C. (2)
Вводят следующую терминологию: f(x) в равенстве (2) называют
подынтегральной функцией, f{x)dx — подынтегральным вы раже-
нием, а символ f — знаком интеграла.
Из определения непосредственно вытекают следующие свойства
неопределенного интеграла:
1) d§f(x)dx = d[F(x) + C] = dF(x)=f(x)dx.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению.
2) р / (х) Л*]' = [F(х) + С]'=/(*).
Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции.
3) Пусть dF(x)=f(x)dx; тогда имеем §f(x)dx = §dF(x).
Но, с другой стороны, ^f{x)dx = F{x)-\- С, следовательно,
^dF(x) = F(x)-\-C.
312 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен этой последней функции плюс произвольная постоянная,
3. Таблица интегралов. Свойство 1) дает нам возможность
находить интегралы от некоторых функций методом обращения
формул дифференцирования. Здесь приведена таблица таких
интегралов. Для проверки этих равенств достаточно показать, что
дифференциалы правых частей равны подынтегральным выражениям;
1. \xk dx = * t -f- С при Иф—1.
2.J-£. = ln|*| + C»).
3. \%mxdx=^—cosx-f-C.
4. 1 cosxdx = s\nx-\-C.
J cos2* & '
6. f^_ = _ctgx + C.
J sin2* ь '
7- Jr^? = arctgJf+C = —arcctgjf+C.
8. ( —— o =arcsinx4-' C=—arccosx+C.
J 4-/1— x2 ' '
11. I shxdx = chx-{-C.
12. i chxdx = shx-{-C.
4. Определение первообразной по начальным условиям. Как
было уже сказано, первообразных для данной функции существует
J) Если х > О, то формула 2, очевидно, справедлива. Если же х < 0, то,
положив лг = —2, где 2>0, получим |л:|=2 и [In | х\ У = [\nz]' = — =
= = —, что доказывает формулу 2 и в этом случае.
2) Способ, по которому мы можем придти к этой формуле, будет
изложен ниже; в этом же месте формулу можно просто проверить
дифференцированием.
§ 1] ПЕРВООБРАЗНАЯ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 313
бесчисленное множество, однако из всей совокупности
первообразных можно выделить определенную первообразную, задавая
начальные условия, иными словами, задавая точку на плоскости (х, у),
через которую должна проходить линия, служащая графиком
искомой первообразной. В самом деле, решим такую задачу.
Даны два числа дг0 и у0; требуется найти такую первообразную
для функции /(дг), которая при дг = лг0 равнялась бы у0.
Пусть F(x)— одна из первообразных, а Ф (дг) — искомая
первообразная; тогда
Ф(х) = Р(х)+С.
В этом равенстве нам неизвестно значение С, но так как при
x = xQ первообразная Ф (дг0), по условию, должна равняться^,
то для определения С мы имеем уравнение
л=/7(*о)+с,
следовательно, C=j/0 — F(x0) и искомая первообразная
Ф(х) = Р(х)-Р(х»)+уг
В частности, при у0 = 0 имеем Ф(дг) = /7(лг) — F(x0), т. е.
разность F(x) — F(xQ)t где F(x) — произвольная первообразная,
представляет собой первообразную, которая обращается в нуль при
х
дг = лг0. Для этих первообразных принято обозначение: l f(x) dx.
Итак,
X
§f(x)dx = F(x)-F(x0).
В этих обозначениях решение разбираемой выше задачи примет
вид
х
Ф(*) = Уо+$ f(x)dx.
X
Выражение \f(x)dx называют определенным интегралом от
функции /(дг), взятым от х0 до х. Сами числа х0 и х называются
пределами интеграции.
Пусть, например, требуется найти первообразную от функции
/(дг) = лг3, которая при х = 0 обращается в единицу. Рассмотрим
какую-нибудь первообразную для данной функции, например -j- \
тогда
ф(*)Нг+£
314
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Так как, по условию, ф(0)=1, то для определения С имеем
равенство
Ф(0) = 1=-1+С,
откуда С=1, и следовательно, искомая первообразная
Совершенно другой подход к определенному интегралу,
независимый от задачи нахождения первообразной, будет дан в
следующей главе.
Рассмотрим задачи, приводящие к нахождению первообразной
и неопределенных интегралов.
1) Предположим, что точка движется прямолинейно. Определим
пройденный путь, если известно, что скорость движения
пропорциональна времени, причем коэффициент пропорциональности равен k:
v = kt.
Обозначим через 5 расстояние, на котором в данный момент t
находится движущаяся точка А от некоторой точки М, служащей
начальной точкой движения.
Принимая во внимание, что, согласно механическому смыслу
производной, первая производная от пути по времени равна скорости
движущейся точки:
мы можем записать условие задачи в следующем виде:
v — — — kt
у— dt — яг.
Требуется найти расстояние S, как функцию времени /, т. е. по
данной производной функции S, надо найти ее первообразную.
Следовательно,
5= {ktdt = ^-+C.
В начальный момент времени, т. е. при £ = 0, пройденный путь
будем считать равным нулю; следовательно, для решения
поставленной задачи мы должны взять ту первообразную, которая при £ = 0
давала бы для S значение нуль. Следовательно, должно выполняться
k О2
равенство 0-\ ^— = С, откуда С=0. Итак, окончательно имеем:
§ 1] ПЕРВООБРАЗНАЯ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 815
Если мы имеем дело с задачей о падении тела„в пустоте, то
k — g, где g есть ускорение силы тяжести; тогда путь,
пройденный падающим телом, равняется
2) По закону Ньютона, скорость охлаждения тела в воздухе
пропорциональна разности между температурой тела Т и
температурой воздуха А. Пусть в течение опыта температура воздуха
А = 20° и, кроме того, дано, что в течение 20 минут тело
охладилось от 100 до 60°. Через сколько времени его температура
понизится до 30°?
Если переменную температуру тела обозначить через Г, а время
через г, то скорость охлаждения тела будет равна -тт- и,
следовательно, условие задачи может быть записано в виде равенства
dT_
dt
где k — пока неизвестный коэффициент пропорциональности.
Последнее равенство можно написать *в виде
1 dT
- = k(T — A),
Т—А dt
= k.
В левой части стоит, как нетрудно видеть, производная от
функции In (Г—А) по независимому переменному t. Итак, имеем:
dln(T-A)_.
dt — *'
так как нам нужно найти Г, то имеем:
In (Г — A) = §kdt = kt + C, T—A = ekteC,
T = A+ekteC.
Мы нашли вид функции Т от /. В нее вошли кроме известного
значения А = 20° еще две неизвестные постоянные k и С. Для
определения этих постоянных используем условия задачи:
Г=100° при t = 0; Г = 60° при t = 20.
Подставляя поочередно эти пары значений в выражение Г =
z=A-\-ektec, мы получаем два уравнения:
V00 = 20 -f- е ы еС9 60 = 20 -f ем ес
и, следовательно,
ес = 80> е^к = — % откуда k = ^- In f-g-J.
316
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Подставляя найденные значения постоянных в уравнение,
определяющее Ту мы получаем:
Г=20 + 80^)20,
j_
при Т = 30° находим 10 = 80 (2-
отсюда
t_
20 /
, '=3, * = 60,
8 \ 2 ) ' 20
т. е. температура тела понизится до 30° через 60 минут.
б. Вычисление площадей. Рассмотрим фигуру, ограниченную
отрезком а^х^Ь оси ОХу графиком функции y=f{x) для
a<lx<^b и двумя прямыми
х = а и х = Ь. Подобная
фигура называется криволинейной
трапецией (черт. 67).
Пусть х заключено между а
и Ь. Рассмотрим часть заданной
криволинейной трапеции,
заключенную между прямыми х = а
и х = х, и обозначим ее площадь
через S (х). Меняя х, мы будем
получать различные значения 5 (дг), т. е. 5 (х) есть функция от х.
Для нахождения производной от этой функции составим разность
kS = S{x-\- Адг) — S(x). Эта разность представляет собой площадь
криволинейной трапеции GDEN, заключенной между прямыми х =
— х и х = х-\-кх.
Пусть М±х— наибольшее значение функции /(дг), а т^х — ее
наименьшее значение на отрезке
^Ж
Черт. 67.
X
^ х <; х -{- Ддг;
тогда
/яДдг Ддг ^ AS <; Мд^ Ддг,
как это видно из черт. 67. Следовательно,
^ д5 ^ л.
Пусть теперь Ддг->0. Если функция f{x) непрерывна, то
lim Мьх= lim m^x=f(x)f
Lx-*0 Д* -* О
и следовательно,
Ллг
lim М — f(x)
§ 1] ПЕРВООБРАЗНАЯ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 317
Так как х произвольное значение х между а и й, то получаем
равенство
S'(x)=f(x).
Итак, S(x) есть первообразная для функции f(x); далее, так
как S(a) = Q (это следует из геометрического смысла S(x))> то
S(x) есть такая первообразная от/(дг),
которая при х = а обращается в нуль.
Согласно введенному раньше условию
(стр. 313), будем иметь:
X
S(x)= С f(x)dx = F(x) — F(a)9
где F(x) — произвольная
первообразная для f(x).
Если в этой формуле положить
х=Ь9 то для площади криволинейной трапеции аАВЬ получим формулу
о
S=[f(x)dx = F(b) — F(a).
Полученная формула позволяет вычислить площади некоторых
фигур. Пусть, например, криволинейная трапеция аАВЬ ограничена
графиком' функции ех и прямыми х — —1, х = -\-1 (черт. 68).
Имеем:
S= \ exdx.
Так как одна из первообразных для е* есть тоже ех, то
X
\ exdx = e* — е~1
—1
и, следовательно, 5—площадь аАВЬ — равна
У 1
5= \ e*dx = e — е х = е .
6. Свойства неопределенного интеграла. Совокупность правил,
позволяющих находить первообразные функции, называется
интегральным исчислением. Установим основные правила инхегрального
исчисления и рассмотрим их применение к вычислению некоторых
интегралов.
318 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Основные правила:
1) $\f(x) + <t(x)]dx = $nx)dx+fa{x)dx. (3)
Чтобы доказать справедливость этого равенства, достаточно
показать, что дифференциалы правой и левой частей равны. Имеем,
дифференцируя левую часть:
d$\f(x) + <p{x)] dx = \f(x) + cp(x)] dx.
Дифференцируя правую часть, находим:
d К/(*) dx -f-19 (х) dx\ = d §f(x) dx -\- d ^y (x) dx =
==/(.*) dx-\-cp (x) dx = [f(x) -f- 9 (x)] dx.
Итак, d J[/(x) ~{-<?(x)]dx = dUf (x) dx-f j<p (*) <£*]; следовательно,
равенство (3) справедливо: интеграл от суммы двух функций
равен сумме интегралов от этих функций.
2) J </И <**==*$/С*)**, (4)
где с — постоянная. Для доказательства покажем, что
дифференциалы левой и правой части равны
d$cf(x) dx = cf(x) dx
и
d(c J / (x) dx) = cd§f (x) dx = cf (x) dx.
Значит, равенство (4) справедливо, т. е. постоянный множитель
можно выносить за знак интеграла.
3) Пусть дан
^f{x)dx
и его первообразная F{x) непосредственно не находится.
Введем новую переменную t> связанную с х равенством x = u>(t)9
так что t = ty(x). Выражаем f(x)dx через новое переменное:
/ (х) dx=f [со (*)] со' (t) dt = <!> (t) dt,
где
Ф (*)=/[« (0] а/(О.
Следовательно,
§f(x)dx = ^(f)dt. (5)
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ 319
Если замена прежнего переменного х новым переменным t
выбрана удачно, то первообразная \ Ф (t) dt будет найдена и,
заменив в полученной первообразной переменное t через дг, получим
искомый интеграл как функцию переменного х:
£f(x)dx = F(x)-{-c.
Равенство \ f (х) dx = I / [со (t)] a/ (t) dt называют формулой
интегрирования с помощью введения нового переменного или
формулой замены переменного.
4) Пусть даны две функции и(х) и v(x). Докажем, что
I udv=uv—\ vdu. (6)
В самом деле
d\ \ иаЫ = яМ \ uvrdx\ = uvfdx = udv)
d\uv— \ vdu\ = d{uv) — d\ i vdu\ = udv-\-vdu — d\ \ vurdx\ =
= udv-\-vdu — vu'dx = udv-\-vdu — vdu = u dv.
Итак, d\ 1 udv\ = d\uv— \ vdu и, следовательно, равенство(б)
доказано. Это равенство называется формулой интегрирования по
частям.
§ 2. Вычисление простейших интегралов
7. В дифференциальном исчислении, после того как были
выведены общие правила дифференцирования и найдены производные
от элементарных функций, можно было найти производную любой
функции, выраженной через элементарные функции в конечном виде.
В интегральном исчислении этого нет. Первообразная от функции,
выраженной через элементарные функции, далеко не всегда будет
выражаться через элементарные функции. Например,
первообразные от функций \ smx dx> 1 }/l -\-xkdx не выражаются через
элементарные функции. Читателей, желающих ближе ознакомиться
с этим вопросом, отсылаем к первому изданию нашего курса.
Сейчас же мы приведем ряд примеров на применение выведенных формул.
8. План изложения методов интегрирования. Материал,
касающийся интегрирования различных функций, может располагаться
в различном порядке. Для удобства пользования нашим учебником
в качестве справочника по методам вычисления различных интегралов
приводим здесь план нашего изложения. Вначале, в данном параграфе
320
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
дается изложение трех основных приемов вычисления
неопределенных интегралов и приводятся простейшие примеры на
их применение. Далее, в § 3 под названием «простейшие
интегралы от рациональных функций» рассматриваются интегралы вида
С Mx + N . п в ,
1 —Г1_ ъ 4- Далее, в § 4 под названием «интегрирование
простейших иррациональных функций» рассматриваются различные
приемы вычисления интегралов, содержащих j/адг2 -f- bx -f- с в
простейших комбинациях. После этих параграфов, образующих как бы
первый концентр методов интегрирования, переходим к изложению
наиболее важной по своим приложениям части теории
интегрирования функций, именно теории интегрирования рациональных
функций, и обзору тех подстановок которые позволяют привести
интегрирование иррациональных и трансцендентных функций к
интегрированию рациональных функций. Все эти подстановки
объединены под названием «методы рационализации». В заключение
устанавливаются рекуррентные формулы, позволяющие с помощью
последовательного применения правила интегрирования по частям
приводить вычисление интегралов от более сложных функций к
вычислению интегралов от более простых.
9. Применение формулы интеграла суммы к нахождению
первообразной. Разбираемый метод состоит в том, что стараются с
помощью тождественных преобразований разложить
подынтегральную функцию на слагаемые так, чтобы от каждого слагаемого
^интеграл вычислялся просто, и применяют далее формулу: интеграл
суммы равен сумме интегралов.
Приведем несколько примеров на применение этого метода.
Пример 1. Пусть имеем многочлен; например,
Находим первообразную от f(x)dx:
Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
каждой из этих функций, то получим:
J (7** + -!-+ V^)dx= J 7хЧх+ J ^<**+ j /xdx =
= 7 $x*dx + 5 \х-Ых-{- Cx^rfx') =
где C=C, + Ce-f С,.
') В первом и втором интеграле применена формула (4).
§ 2]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ
321
Мы в дальнейшем не будем ставить произвольной постоянной
в каждом интеграле, так как сумма произвольных постоянных есть
также произвольная постоянная.
Пример 2.
dx
J sin2
i
sinJ*cos2*
dx
2 X COS2 X
С sin2*-)" cos2 x ^
— J sin2 л: cos2 л: йХГ —
= f _^_+ ( J^- = tgx_ctgx + C.
J cos2 x ' J sin2 X ь b J
Пример 3.
f cos2A:dx
cos*—sinx
Пример 4.
5 cos2 x — sin2 x , С , i • w
-^ : dx= \ (cos x + sinx) dx =
cos x—sin* J v ' '
= i cosxdx-\- \ sinxdx= sinx — cosx + C.
*
rf*
(x + 3)(x + l) '
Для представления подынтегрального выражения в виде суммы
воспользуемся таким искусственным приемом:
1 _ 1 (х + 1) — (х + 3) _ 1 / 1 1
(х + 1)(х + 3) ~"~ 4 (jc+7)(jc + 3) ~"4\л: + 3 л: + 7,
Следовательно, мы можем представить рассматриваемый интеграл
как сумму двух интегралов:
dx 1 С dx
С dx _ 1 С dx 1_ С dx _
J (* + 3)(*+7) —4 J х + 3 4 J *+7 —
= | (ln|* + 3|-ln|*+7|) + C=|ln
х+3
х+1
+ С1).
10. Интегрирование методом подстановки. Следующие примеры
показывают, как применяется основная формула (5) к вычислению
неопределенных интегралов. Метод подстановки является одним из
наиболее употребительных в интегральном исчислении.
Пример 5.
\ cos2xsinxdAr.
А) Заметим, что если первообразная есть логарифмическая функция,
произвольную постоянную часто пишут в виде In С; тогда первообразная
запишется:
1
In
х + 3_
х + 1
11 В. В. Немы ц кий и др.
322 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Обозначим cosx через и; тогда sin xdx = — du и, следовательно,
[zos*xsmxdx = — ^иЧи = — ^~-\-С = —^^--{-С.
Заметим, что мы здесь, собственно говоря, применяем формулу
подстановки, читаемую в обратном направлении, так как полагаем
не дг = ср(и), a ty(x) = u.
Вычисление интегралов типа
а) \ sinax cos bxdx) б) \ cos ах cos bx dx\ в) \ sin ax sin bx dx
основывается на возможности разложения произведений, стоящих
в подынтегральном выражении, на алгебраическую сумму косинусов
или синусов по тригонометрическим формулам:
sin a cos b = y tsin (a ~\~ *) 4~ sin (a — *)]> (7)
cos a cos b = y [cos(a+ft) -f- cos (a—ft)], (8)
sin a sin ft = у [cos (a — ft) — cos (a -f- ft)]. (9)
Пример 6. Вычислим
i cos (5* 4-1) cos (2*4-3) A*.
Для вычисления этого интеграла используем формулу (8):
1 cos(5x-{-l) cos(2x-{-S)dx==
= J у [cos (5*4-1 4- 2xJT 3) 4-cos(5x+ 1 — 2дг— 3)] dx =
= "2 1 cos(7x4-4)dx4-~2~ 1 cos(3x—2)dx.
Делая в первом слагаемом подстановку: 7х-\-4 — и, а во втором:
Здг — 2 = /, получим:
С cos(7x4-4)^= ^ cosa-y- = ysinw4-C1 = y s'm(7x-\-4)-\-Cu
С cos(3x— 2)dx= С cos/-y = y sin *4-C2 = -§-sin(3jc — 2)4~C2.
Следовательно,
С cos(5x4-l)cos(2x4-3)dx = ^sin(7x + 4)4--^sin(3x—2)4-C.
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ 323
Пример 7.
(5x* + ll)*xdx.
Вводим новое переменное, полагая 5дг2-[-11=к, тогда du=*
= \0xdx.
Следовательно,
Пример 8.
С exdx
J е*+\ '
Обозначим е*-|-1 через м*> тогда exdx = du и, следовательно,
$-^ = $-^=1п1«1+с=т[**+1] + с.
Пример 9.
J 5^ + 1Г
Полагая bx%-\-\\=ty имеем \0xdx = dt.
Следовательно,
15^ТП- = 11т^^,П1^1 + С = ^1п[5^+11) + С.
Разобранные примеры 8 и 9 представляют собой частный случай
более общего типа задач, где подынтегральная функция есть дробь,
числитель которой является производной от знаменателя, т. е. под-
интегральная функция есть логарифмическая производная от
функции, стоящей в знаменателе:
Тогда
$-^d*=$rfln|?(*)| = ln|<p(*)| + C. (10)
Формулу (10) полезно запомнить.
Часто заданный интеграл тождественными преобразованиями
можно привести к виду (10).
Пример 10.
324 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Пример 11.
С Mx + N - , 1 / «1ч
(ах + ЬТ ах — т ) (ах + ЬГ + ™ J (ax + b)* ~
(полагая (ax-{-b)=t, dx =—
М_ С (t—b)dt . N Г^_
я2 J *л *~ а ) tn
_М_ С dt . Na — Mb С dt^__
~ a2 J *»"* ' я2 J ** ""
(применяя формулу 1 из таблицы интегралов)
— М Na—Mb
a2(n — 2)tn-2 (я — 1)аЧп~1 '
Возвращаясь к первоначальной переменной, получим:
С М-^ + АГ , Mb—Na М «г
J (a* + £)n fl2^ —1)(ал: + ^-1 а2 (п — 2) (я* + b)n~2 ~+~ С'
11. Интегрирование по частям. Пример 12. \ \nxdx.
dx
Полагая здесь \пх = и, a dx = dv, получим du = и v = xf
следовательно,
\ 1плгйлг = лг1п^— 1 х—^- = х\пх— 1 dx,
Отсюда окончательно имеем:
\ In* dje = .xrln#— ^-J-^
Пример 13.
( х sin xdx.
В этом случае перед нами стоит вопрос: какой же из
множителей принять равным функции и и какой принять за дифференциал
функции v? Возможно несколько вариантов; рассмотрим их.
а) Положим лг = и, sin х dx = dv. Тогда dx = du,
v= i sinxdx = — cosx.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
\ xsinxdx = — xcosx-f- \ cosxdx = — хcosx-\-§'тх-}-С.
1) Случай д= 1 разобран ниже в примере 16,
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ 325
Видим, что при таком выборе и и dv результат получился очень
быстро и легко.
б) Возьмем другую комбинацию. Положим sinx = u, xdx = dv.
Мы сейчас же замечаем, что наш интеграл только усложнится.
Действительно,
х2
2
du = cos х dx,
и формула (6) дает
J . л:2 sin л: 1 С* Q -
xsmxdx =—^ у \ rcosx^»
т. е. при таком выборе и и dv искомый интеграл выразился через
еще более сложный; следовательно, этот выбор неудачен.
Вообще при пользовании формулой интегрирования по частям
нельзя указать общих правил, которыми следовало бы
руководствоваться для представления подынтегрального выражения в виде
произведения функции и и дифференциала другой функции v. Этому
может научить только опыт. Иногда приходится несколько раз
применять формулу интегрирования по частям, пока мы не придем
к просто вычисляемому интегралу.
Пример 14.
i дг* sin х dx.
Полагая сначала и = х*, dv = sinxdx, получим:
du = 2х dx, v = — cos х.
Следовательно,
\ x*s'mxdx =— jc2cosx— \ (—cosx)2xdx =
= —x2cos x-{-2 I xcosxdx.
Полагая теперь u=^=x, dv = cosxdx, имеем du = dx, и = sin л;
и, применяя во второй раз формулу интегрирования по частям
к интегралу \ xcosxdx, получим:
V дг2 sinxdx = —х1 cosx-f- 2 Lxrsinx— \ sin дгйлг =
= — х2 cos х -f* 2x sin x -f- 2 cos x-\-C.
Иногда, применяя формулу интегрирования по частям
одновременно к двум интегралам, удается получить первообразную от них
крайне просто.
Пример 15.
\ еах cos Ьх dx и \ е?х sin bxdx,
- i
326 ЙЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Применим к каждому из них формулу интегрирования по частям:
еах = и, cos bx dx = dv\ следовательно, du = aeaxdx и v=-jSinbx.
Тогда получим:
I еахzosbxdx = -reax sin Ъх—-^ I eax$mbxdx (11)
для первого интеграла. Для второго, полагая и — еах и dv=z
= sin bxdx и, следовательно, du — aeax dx, и = — -г cosbx, будем
иметь:
teaxsinbxdx= — ±-eaxcosbx+~ С ^cos bxdx. (12)
Умножая (11) на b, a (12) на а и вычитая из первого
результата второй, получим после преобразования:
Sax ь. j е?х (b sin bx -4- a cos bx) , ~ , 1 оч
еах cosbx dx = ^ гпгм +с • (13)
Умножая (11) на а, (12) на b и складывая результаты, мы после
некоторых преобразований получим:
С ах • ь. j еах(а sin bx — b cos bx) , ~ , л л ч
J ^sin&tfA*^ * jrj-p L + C. (14)
§ 3. Простейшие интегралы от рациональных функций
12. Простейшие интегралы от рациональных функций.
Рациональной функцией называют отношение
Р(х)
Q(x)'
где Р(х) и Q(x) — многочлены, содержащие х в целых степенях.
Впоследствии будет развита общая теория интегралов вида
JP(x)
-tjVt dx. В настоящем параграфе мы рассмотрим лишь случай,
когда Р(х) и Q(x) — многочлены не выше второй степени.
Вычисление этих интегралов производится путем применения
метода разложения на слагаемые и метода подстановки.
Разбор встречающихся здесь случаев начнем с интеграла
Пример 16.
"* + " dx.
ax~\-b
^§i»dx.
ax~\-b
§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 327
Деля Mx-\-N на ах-\-Ь, получим:
ЬМ
м N-
а ' ах~\~Ь
Итак,
dx
J^#*-fJ*H-(*-£)J
ax-\-b
Умножаем числитель и знаменатель дроби г—г на а: тогда
ах-\- о
получим:
J ax-\-b а ' \ а ) a J ax-\~b
Подынтегральное выражение есть дробь, у которой числитель
есть производная от знаменателя. Поэтому окончательно получим:
С Mx + N - М , Na — Mb . , \ и\ \ п
\ Кг- dx = — х -\ = In \ах 4- о + С
J ax-\-b а ' а2 ' i i i
Пример 17.
J at + Px2
dx
J 5Г
где ab Ф 0
Полагая — лг = гг, — dx = du, имеем:
С dx _ а С da __ 1 С du _ 1 , , r
J я2 + £2л:2~~& ja2 + a2H2_ab ) \-]-u2~ аЬ^^и^^-
Итак,
С dx 1 , b , ~
Пример 18.
j
d*
Й*2 + &tf -f- С
Рассматриваемый интеграл принадлежит к типу основных
интегралов, очень часто встречающихся.
Чтобы его вычислить, примем за новое переменное
производную квадратного трехчлена
u = 2ax + b, х = ^>
du = 2а dx,
328
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Дальнейшие преобразования зависят от того, будут ли корни
трехчлена ах1 ~\- bx -j- с действительные различные, кратные или
комплексные.
В первом случае \ас — #2<^0; поэтому полагая 4ас — Ь* = —/я2,
получим:
С dx п С du
ах2 -\~bx~\-c
-»ь
Этот интеграл вычислим несколько поздней.
Во втором случае Аас — Ь2 = 0, и поэтому
dx
■=»!?—т+с—в^+с
J ах2 -\-bx-\-c
Наконец, в третьем случае Аас — #2^>0, и мы вводим
обозначение \ас — #2=/#2.
Тогда
ах* + Ьх+с = ±-а(и*-\-т*).
Вставляя полученное выражение во второй интеграл, мы получаем:
dx л С du
■=2h
J ax2 + bx+c J u2-\-m2%
Но этот интеграл разобран в примере 17, и мы окончательно
имеем:
Г dx
ах2 + Ьх-\- с
о С du 2 , и | ~
= 2 j-?T-?=_arctg- + C=
arctg ~ г -j- С.
|/ 4я с — ft2 ° )/ 4я с — Ь2
Итак, нам осталось разобрать метод вычисления
du
\
Применяем метод разложения на сумму
1 _ 1 (и + т) — (и — т) _ 1
и2 — т*
Итак,
2т
и* — т*
1
2т \и — т
■-М
и-\~т}%
С dx _ 1 Г Г _du__ С du 1
J и2 — т2 2ml} и —т J и-f- /nj
= 5Jrlln|ii-/»|-ln|a + /»|] + C=4ln
"2m
Окончательно получаем:
d*; 1
2ю
и —т
+с.
I
ax2 + bx+c yb2 — Aac
In
2ад: + £-- V ft2 — 4tfg
2д* +£+К^2 — 4лс
+ с.
§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 329
Пример 19. Рассмотрим интеграл
С Mx + N d
J ах2 -J- bx -J- с
Преобразуем числитель так, чтобы он представился в виде
суммы двух слагаемых, в одно из которых входила бы с точностью
до постоянного множителя производная от нашего квадратного
трехчлена их* -\-bx-\-c. Для этого находим производную от ах*-\-
-\-bx-\-c:
(ах* -\-bx-\~ с)1 = 2ах -\- Ь>
и представляем числитель в следующем виде:
Желаемое преобразование достигнуто: первое слагаемое
числителя -к-[2ах-\-Ь] представляет собой (с точностью до постоянного
множителя -к-\ производную от знаменателя, второе же слагаемое
\N — -о— есть постоянная величина.
Наш интеграл при помощи такого преобразования распадается
на два:
3 ах* + Ьх-\-с J
"2a J
>*+»+("-f).
ax2 -\-bx-\-c
2ax + b dx _д_ fN _ Mb\ f dx
ax2 + bx+c l \ 2a J J ax2 + bx+C
Первый интеграл легко берется, так как у него в числителе стоит
дифференциал знаменателя и, значит, интеграл равен логарифму
модуля знаменателя:
Второй интеграл был разобран в примере 18.
Jdx
/si 2\п I п — целое положительное число.
Преобразуем его так, чтобы в числителе появилось выражение,
стоящее в скобках в знаменателе:
С dx __ 1 С х9- + т2 — х*
J (х2+т2)п — т2 ) (х2 + т2)п ах ''
— т2)
dx 1 С x2dx /1СЧ
(15)
(х2 + m2)""1 т2 J (х2 + т2)п'
330 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Замечая, что
С хЧх _ 1 С xd(x2+m2) _ 1 С , 1
J (х2 + т2)п — 2 J (х* + т2)п ~~ 2(я — 1) J а (х2 + т2)п-> >
Jx2dx
( 2\т2\п формулу интегрирования по частям:
С хЧх --Х , 1 С dx
J (л:2 + w2f ~~ 2 (я — 1) (х2 + m2f-1 ~+~ 2 (п — 1) J (л:2 + т2)*"1•
Тогда интеграл (15) перепишется так:
С dx J_ С dx . л:
J (л:2 + ^Т ~~ "*2 J (л:2 + т2)га"1 "•" 2т2 (п — \)(х* + т*у>
1 f d* х
2m2 (/г — 1) J (л:2 + m2)""1 — 2m2(n—\)(x2 + m2)*"1 '
, 2n — 3 P d*
~2т2(/г — 1) J (jc2 + m2f-1 '
где, в правой части содержится интеграл того же типа, что и в
левой, но показатель степени в знаменателе на единицу меньше
прежнего.
Продолжая таким же способом, мы дойдем до известного нам
интеграла
ЛТ5й = ^агс'8¥ + с-
I
С dx
Совершенно так же может быть вычислен \ j—^—-^-. Понижая
степень, мы дойдем до вычисления известного нам интеграла
f dx
J х2 — т2'
Пример 21. I /-ЦфИ^г приводится к вычислению
предыдущего интеграла. Так же как и при вычислении
i
(Mx + N) dx
ах2 -\-bx-\-c
(пример 19), разложим исследуемый интеграл на два:
с mx+n dx_{ g(^+*)+^-igdr_
J (ax2 + bx + of aX — J (ax2 + bx + cf aX ~~
___M f 2ax + b , , (N_ttb\ Г dx
~2a) (ax2 + bx + c)" ax-Г[" 2a J J (ax2 + bx + cf •
Первый интеграл вычисляется заменой переменных
у = ах* -\-bx-\-c.
Jdx
(ах2 + Ьх + с)п В слУчае> если К0РНИ тРех"
§ 4] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 331
члена (ах* -j~ bx -\- с) комплексные, приводится к интегралу
du
(и2 + т2)п
который интегрируется, как указано в предыдущем примере.
В случае же, если корни трехчлена действительны и различны,
та же подстановка и = 2ах-\-Ь приводит к
du
J (и2—т2)п •
§ 4. Интегрирование простейших иррациональных функций
13. Интегрирование простейших иррациональных функций. В
этом параграфе будут рассмотрены лишь некоторые иррациональные
выражения, содержащие -\[ ах* -\- Ьх -\- с.
С dx
Пример 22. \ 1, где а — любое действительное число.
J V а2 + *2
Введем новое переменное и, связав его с переменным х
следующим соотношением:
>/а2 -f* х* = и — х.
Для определения dx поступим так: возведем это равенство в квад^
рат:
а* -|- х* = и* -f- х* — 2их, откуда а2 = и2 — 2их.
Рассматривая и(х) как неявную функцию от х, можем считать
это соотношение тождеством. Дифференцируя это тождество,
получим:
О = 2и du — 2и dx — 2х du,
т. е.
(u-x)du
и '
и следовательно, заменяя в заданном интеграле dx найденным
значением, a j/ a2 -f- х* выражением и — х, получим:
J Ya2 + x2 J (u — x)u J a • • '
Переходя снова к старому переменному, окончательно имеем:
i
dx
:=ln(*+ /а2+х2) + С.
]/а2 + х2
Отметим, что один и тот же интеграл иногда может быть
вычислен и другими подстановками. Например, этот же интеграл
удобно вычислить подстановкой x = ashy, dx = achydx.
332 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Тогда
х2 -j- а2 = а2 sh2 ср -[- а2 = а2 ch2 ср.
Следовательно,
J j/*2-f я2 J йсЬсР J
Вспоминая выражение обратной функции к sh ср (см. стр. 306)
из равенства sh ср = — получим:
Включая 1п — в произвольную постоянную, окончательно
получим:
dx
i
: = 1п(^+ /х2 + а2) + С.
У х2 + а2
Пример 23. С ** 2 = ln l^xr-f- /х2— aal + C, так же
как и предыдущий интеграл, может вычисляться различными
подстановками, например при помощи подстановки Ух1 — а2 = г + ^
или zizx = achcp, где в случае х^>0 мы берем знак -)-, а в
случае х<^0 мы берем знак —, причем формула сохраняет свой вид
как в случае х^>0, так и при х<^0.
Действительно, рассмотрим случай, когда х<^0. Тогда имеем:
dx
р d(-x) =_ Г dy
J У(—х)2—а2 J У у2 —а2'
J Ух2 —а2
где _у = — х, и так как х<^0, то у^>0; поэтому, применяя
прежнее вычисление, получим:
J Ух2 —а2 Ъуу2—а2 и \ * s J i
= In (j; — /j;2 _ а2) + С = In (— х — /(— х)2 — а2) + С,
и так как в разбираемом случае х<^0, то полученное равенство
можно записать в виде
f ——- = 1п| х + Ух* — а2[+С.
J )Л*:2 — д2 i I ^ ii
Таким образом, и при х^>0 и при х<^0 формула сохраняет свой
вид.
§ 4] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ функций 333
Пример 24. ( /а2 — х1 dx.
Полагаем х = a sin ср; следовательно, dx — a cos ср dcp. Заменяя
теперь в подынтегральном выражении х и dx через новые
переменные, получим:
1 j/a2— x*dx=a2 l j/l— sin2 ср cos cprfcp = a2 l cos2cpdcp.
Для того чтобы взять последний интеграл, воспользуемся
тригонометрической формулой
2 1 4" cos 2<р
cos2cp = Ц_ 1.
тогда получим:
a2 I cos2 ср tf<p = a2 V ' °2S y dcp = у \ dcp -j- у I cos 2cp rfcp.
Итак,
Jl/a2 —x2^=^ + ^sin2cp + C.
Перейдем обратно к первоначальному переменному, производя
следующие выкладки:
х 1 / х? Л/а? х?
x=asincp, cp = arcsin—, cos ср= у 1 — —2 = L— ,
sin 2ср = 2 sin ср . cos ср = 2 ~2 j/a2 — х2.
Заданный интеграл принимает вид
\ |/а2 — х2 dx = у arcsin — -|- у j/a2 — х2 -j- С.
Пример 25. V j/V -f х2 dx.
Полагая т/а2 -4- ^2 = и, dx = dv} v = x> du= —- х , по-
|/ А2 + *2
лучим:
Перенося в левую часть \ -tfа* -\-х* dx, получим:
334 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Последний интеграл вычислен ранее (см. пример 22). Окончательно
имеем:
/а* + хЧх = ^[х/а* +х* + а* \п(х + /а*-\-х*)} + С.
J v„ -!--„ __ 2
Замечание. Интеграл примера 24 может быть вычислен
таким же приемом.
Jdx
г с помощью подстановки z =
У ах2 -\-bx-\-c
= 2ах-{-Ь может быгь в зависимости от знака выражения \ас — Ь2
приведен к интегралам вида
dz с dz
Jdz с
— -■=- или |
у#(г* + т*) J
Yk*(z* + m*) J y±k2(z2—m*)'
т. е. к интегралам примеров 22 и 23 или к интегралу
j
dz z i ~
= arcsin \- C.
ym2__Z2 m »
dx
Пример 27. I ,. x = с помощью подстановки
J (x — а)Уах2 + Ьх + с
(x—a) =—приводится к интегралу примера 26.
Пример 28. /i=f &Xf
Подынтегральная функция подстановками x = qtgy, sin <р = .г
приводи1ся к виду:
ах р cos ср
(х*+Р)Уя* + х*~ J ?2sin2<p +
р2 COS2 <р
Полагая sincp = ^ при q^>p, получим:
f ^—=Л = -7J^=arctg^£^ + C
J (*2 + Р2)Уя2 + х2 J p2 + (q2-p2)z* pyq2-p2 рУ? + х* l
(здесь использовано преобразование
tg ср х
,г= sin ср = — & т - = #
j/1+tg^cp У? + Х*
S
Если q<CP> т0
Ах 1 .
При q = p имеем:
4-с.
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 335
dx
Пример 29. /2 = Г
(x2 + p2)Vq2-x
1аем положительными числами). Полагаем x = qs'my;
dy С dz
7* J ^sin»T + p» —J tf
где z = tgy.
(где \x\<^q, p и q счи-
>in
г
'2+p2)sin2<p+/?2COS2<p"
P*+(P2 + q2)z2'
1
, -arctg*^±^+C.
рУр2 + я2 рУя2 — х2 '
Пример 30. A = Г •* (где р и # — положитель-
[исла)
J COS tprftp
ные числа). Полагаем х~ —^~
COS ср
^2+P2COS2cp"
■J
1
2PJ/V + ?2
где £=sin<p; окончательно (так как
■In
Vp* + ? + pz
+ C,
^ == sin cp = |/ 1
1
cos2 cp
Ух*
j
-In
x у-р2-\-д2 + рух2—д2
x Yp2 + q2 — p У x2 — q2
+ C.
2pYp2 + q2
§ 5. Общая теория интегрирования рациональных функций
14. Разложение рациональной дроби на элементарные.
Сначала займемся одним чисто алгебраическим вопросом. Пусть дана
рациональная дробь
Р(х)
Q{xy
где Р(х) и Q(x) — некоторые многочлены от х. Если степень Р(х)
больше или равна степени Q(x), то разделим Р{х) на Q(x) по
правилам алгебры и получим тождество
РМ_-Т(х)Л-Г(х)
QW
(?(*)'
где Т(х) и F(x) — многочлены; при этом степень F(x) будет ниже
степени Q (х).
Таким образом, интегрирование любой дроби ^ТГ\ СВ°ДИТСЯ
ц/ \Х)
F(x)
к интегрированию многочлена и интегрированию дроби п\ \, у кото-
рой степень числителя меньше степени знаменателя.
336
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Мы будем, таким образом, заниматься интегрированием только
Fix)
правильных дробей П( ' Будем также считать многочлены F(x)
и Q(x) взаимно простыми, т. е. не имеющими общих множителей,
содержащих х. Это не уменьшает общности задачи, ибо если бы
F{x) и Q(x) имели общие множители, то мы сократили бы на них
дробь.
Приступая к интегрированию правильной несократимой дроби,
приведем сначала следующую лемму.
Лемма 1. Если многочлены f(x) и <?(х) взаимно простые и
F{x) — произвольный многочлен, степень которого меньше степени
произведения f(x)y(x), то всегда существуют два единственных
многочлена А (х) и В (дг), степени которых соответственно ниже
степеней <?(х) и f{x) таких, что
A(x)f(x) + B(x)?(x) = F(x). (16)
Пусть степень f(x) больше или равна степени <p(x), если иначе,
то мы просто переставили бы f(x) и ср(дг) местами. Тогда можно
написать ряд тождеств:
f(x)=Q0(x)<?(x) + R1(x),
<?{x) = Ql(x)R1{x) + R,ix),
Ri (х) = Q2 (x) /?2 (x) + R3 (x),
} (17)
Rp_, (x) = Qp_! (x) Rf_t (x) + Rf (x),
/?P-i (x) = Qp (x) R( (x) + Rp+t (x),
где Q0 — частное от деления f(x) на y(x), a Ri(x)— остаток, и
так далее 1).
Так как степени остатков Ru /?2,... понижаются с увеличением
номера, то процесс последовательного получения этих остатков
должен рано или поздно оборваться, т. е. найдется такое р, при
котором R х нацело разделится на /?р, так что /?р+1 будет равно нулю.
Покажем, что R будет равно постоянному. В самом деле, так как R х
делится на /?р, то из равенства /?р_2 = Qp_1/?p_1 -f- R? заключаем, что
и R 2 делится на /?р; продолжая так дальше, мы убедимся в том,
что /?2 и /?! делятся на /?р, а тогда Rp есть делитель
многочленов / и ср. Но мы предположили, что / и ср взаимно просты, т. е.
единственными их общими делителями являются постоянные.
Следовательно, Rp есть постоянная. Очевидно, Rp отлично от нуля, ибо
иначе мы не могли бы делить на него /?p_i-
Итак, найдется такое число р, что R есть постоянная, не равная
нулю.
*) В дальнейшем мы будем обозначать многочлен коротко одной буквой,
опуская аргумент х.
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 337
Из первого равенства системы (17) вытекает
Rl(x)=f(x)-Q0(x)<?(x).
Запишем это равенство в виде
Rt (х) = At (x)f(x) + Вг (х) <? (*),
где А1(х)=1 и Bl(x) = — Q0(x).
Теперь докажем нашу лемму методом математической индукции
(«от р к р-{-!»). Допустим, что для всех k^p доказано, что
Rb^AfJ-^-Bifl, где Ak и Bk — некоторые многочлены. Покажем,
что такое же представление возможно и для k = p -\- \. В самом
деле,
Rp+\ = — QpRp ~Ь ^p-i-
На основании сделанного предположения имеем:
Rp+1 =-Qp (V+ ВР9) + (Vi/+ ВР-*9) =
= (- QpAp + Vi)/+ (~ QpBp + 5p-i) 9-
Обозначив многочлены, стоящие в скобках, через Ap+i и Вр+1,
получим:
Так как /?t может быть представлено в таком виде, то по
принципу математической индукции всякое Rk может быть также
представлено в таком виде. В частности, и
Rp~Apf+Bp9.
Но R —постоянная величина, не равная нулю. Обозначим ее
буквой С и разделим на нее обе части тождества; получим:
Умножим обе часги на F(x):
Обозначая многочлены -^ и -~ через R(x) и S(x), получим:
R(x)f(x) + S(x)?(x) = F(x). (18)
Мы получили формулу, имеющую вид (16). Требуется еще
доказать, что степень многочлена, стоящего множителем при f(x)> может
быть сделана меньше степени ср (х) и степень множителя при ср(лг)
меньше степени f(x).
Если степень R больше степени ср, то, разделив R на ср, получим:
R(x) = Gl(x)?(x) + A(x)i
338 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
где степень многочлена А (х) уже наверное меньше степени
многочлена <р(х). Аналогично, если степень 5(х) больше степени f(x),
то, разделив S(x) на f(x), получим:
S(x) = G,(x)f(x) + B(x)y
где степень многочлена В{х) меньше степени многочлена f{x).
Подставляя эти выражения в тождество (18), получим:
ИЛИ
А/+В9+/р[0, + 02]=Л (19)
Но многочлен Gx -f- G2 тождественно равен нулю, так как если
бы он был отличен от нуля, то [Gx -f- G2]/<p имело бы степень,
ббльшую или равную степени/ср, т. е. превосходящую степень F{x),
в то время как многочлены Af и By имеют степени меньшие, чем
/ср и, следовательно, в левой частц последнего тождества стоял
бы многочлен более высокой степени, чем многочлен F{x),
стоящий в правой части. Мы получили противоречие; следовательно,
Qx -f- G2 ^ 0, и мы получаем из формулы (19)
A(x)f(x) + B(x\?(x) = F(x),
что и утверждается леммой 1.
Остается, наконец, доказать единственность такого
представления. В самом деле, пусть
F=Af-\-B<?
где степень Ах также меньше степени ср, а степень Вх меньше
степени /. Тогда мы имеем тождество
[A-Ai]f(x) = -[B-Bl]9(x).
Но f(x) и 9 (лег) — взаимно простые многочлены; следовательно,
это тождество может иметь место лишь в том случае, когда
В(х) — Вх(х) делится на f(x), а так как степень В(х) — Вх (х)
меньше степени f(x), то это возможно лишь, если В (х) = Вх (х).
Аналогично доказывается, что А(х) = А1(х). Таким образом,
лемма 1 полностью доказана.
Из леммы 1 может быть выведена следующая лемма 2.
Fix)
Лемма 2. Если дана рациональная дробь f( ^ ' . , где
степень F(x) ниже степени f{x)y{x), а многочлены f(x) и ср (х)
взаимно простые, то рациональная дробь может быть
единственным образом представлена в форме
F(x) _А(х) , В(х) Г9т
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 339
где степень А (х) ниже степени ср (х) и степень В (х) ниже
степени f(x).
На основании леммы 1 находим многочлен А (х) степени ниже
ср(лг) и многочлен В(х) степени ниже f(x), удовлетворяющие
тождеству
F(x) = A (x)f(x) + В (х) ср (х);
деля обе части этого тождества на f(x)^(x)y получим:
F(x) —А(х) . В(х)
Г(х)ч(х) — ч(х) + /(*)'
Так как представление функции F(x), по первой лемме,
единственно, то и указанное представление рациональной дроби в
формуле (20) тоже единственно, что и требовалось доказать.
Fix)
Пусть теперь дана правильная несократимая дробь туг~\ >
причем знаменатель этой дроби Q(x) есть некоторый многочлен
степени п с действительными коэффициентами, старший коэффициент
которого можно считать равным 1. На основании теоремы Безу он
может быть представлен в следующем виде:
О (х) == (х — x.yi (х — ХъУ* ... (х — xsy*>
где хи х2у ... , xs — корни многочлена Q(x) и vt —j— v2-f-.. .-f- v5 = #.
Если у многочлена Q(x) есть комплексный корень кратности v,
т. е. в его представление входит множитель [х — (ос —[— i^)lv> то, по
известной теореме алгебры, Q (х) будет иметь сопряженный корень
а — /р той же кратности, т. е. в разложение Q(x) будет входить
множитель [х — (а — г'Р)]у.
Объединив эти два множителя вместе, получим:
[jP_(a + ip)]'[x_(a-ip)r = «(x-a) + iP][(x-a)-/p]}' =
= [(х — a)2 -f p2]v = (x2 — 2a* + a2 -f p2)\
Обозначив коэффициент при x через p, а свободный член через qy
получим (х2 -\- рх-\- q)v. Итак, каждой паре комплексных корней
(a-f-гр), (а — /р) кратности v в разложении Q (х) соответствует
множитель (х2 -\-px-\-qy, имеющий комплексные корни.
Пользуясь этим обозначением, представим знаменатель нашей
дроби Q(x) в следующей форме:
О (х) = {х — *!>*! (х — х2у*... (х — хк)ч (х2 + Plx + qxyi...
Докажем теперь следующую основную теорему.
Теорема 3. Пусть дана правильная, несократимая дробь
с коэффициентом при старшем члене знаменателя а0 = 1:
F(x)_ F(x)
Q (х) (X-Xl)n (*-*,)*■... (x-xkyk {x2+PlX+qi)«i... (x2+PlX+4lp
.(21)
340
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Тогда ее можно единственным образом представить в виде
следующей суммы дробей:
F(x)
А,
At
уХ — -^l)
+ - + гТ^
(*-*i)2
-*1
+
Во
(х — х2)'
?2 Т~
Bt
В,
v2-2
В,
(X — х2)
VJ-1+---+ (х — х2у
V2-l
X —xs
-+,
Li
,-2
(л: — xhfk~r(x — xkY*-1 ' '" ' {x — Xkf ' x — xk
Mox^-Np , MjX + Nt |
(^ + Р1дг + ?1)
и
(^ + p^ + ^)'
И-1-1
M„
1* + ^-
x^ + PiX + qt
T0x + R0
i+.
TjX + Я,
—.+••• +
!*Г
-l-^+^-l
(22)
(*2 + P/* + ?/f' ' W + piX + giTi-1 ' """ ' ^ + p,^ + ^ \
где все коэффициенты — действительные числа.
Дроби, стоящие в правой части равенства, называются
элементарными или простейшими дробями.
Fix)
Представим дробь тттт^ в виДе
Q(x)
F(x)
(х — xtf1 Ф (х)
Многочлен Ф (х) взаимно простой с (х— хху^у так как он не имеет
корня х = хх. Тогда на основании леммы 2 заданная дробь
единственным образом может быть представлена в форме
F(x) _ А(х) , В(х)
(x — x№(x) (х — хУ** Ф(*Г
(23)
где А(х) степени меньше, чем vb В(х) степени ниже, чем Ф (х).
Пользуясь формулой Тейлора (гл. IX, § 2), разложим А (х) по
степеням (х — хх):
А(х) = А(х1)+^(х-х1) + ^±(х-х1)* + ...+
1!
2!
А^-1\х,)
(x—xtfi-*
1 (vi - 1)!
(конечно, некоторые из коэффициентов А(хх), А* (хх), А"(х{)у...
.,.,Д^-1 (хх) могут быть равны нулю). Введя теперь обозначения:
A^-l)(Xi)
Ai(Xi) — Л0,
_л ^i£
1
X — А
(vi-1)!
• А 1
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 341
получим:
А(х) = А1)-\-А1(х-х1) + А2(х-х1)*-\-...
... + i4n_i(jf — •xr1)v'-1.
Подставляя это разложение А (х) в формулу (23), получим:
F(x) _ Л i At , | А.1-1 | В{х)
(Х — Х1У1Ф(Х) (X — XiY1 ~(ЛГ — X,)V'-' ^'•'П^ЛГ — ATI *Ф(х)
,(24)
т. е. выделилась первая строчка формулы (22).
И (х\ И (х\
Теперь мы представим дробь ^V-r в виде ^ и, при-
V / уХ Х%} * \Х)
меняя снова лемму 2, получим дроби, стоящие во второй строчке
формулы (22), и будем поступать так дальше. После применения
к раз леммы 2 мы получим первые k строчек формулы (22). После
этого (если Q(x) имеет комплексные корни) останется еще слагае-
мое —дробь вида р^4> где
v (х) = (*« + Рхх+qxyi (х*4-л* 4- ?2Х2... (х* 4- л*+qtYu
Представим эту дробь в виде
U{x) _ СЦх)
V(x) (jfi + p^ + q^Xix)*
Так как многочлен Х(х) не имеет корней, равных корням
многочлена х* -\- pxx-\-qXy то (х*-\- pxx-\-qxy^ и Х(х) взаимно простые,
а тогда на основании леммы 2 дробь , ' единственным образом
V \Х)
представляется в виде
U(x)_ К(х) , R(x)
где степень К(х) меньше, чем степень (х*-\- pxx-{-qxyi, т. е.
меньше 2р,1в
К(х)
Для разложения , 2 , ——rjrr на элементарные дроби
поступим следующим образом. Делим К(х) на х* -\- рхх-\- qx\ тогда
получим:
К {х) = К,{х){х* + рхх+ qx) + М,х + N,y
и следовательно,
К(х) _ Ко(х) , MoX + N0
(x* + Pix + 4i)M W + Pix + giF1-1 (tf+pix + qtf*
Делим теперь К0(х) на х*-\- pxx-\-ql9 получим:
К, (х) = (** 4" Рхх 4- дО Кг (х) + Мхх + Nx.
(25)
342 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Подставляя это выражение в (25), получим:
К(х) _ Ki(x) ,
{x2 + piX+qi)M {xi + piX + qi)n-* "Г
"Г {x* + piX + qifl-l ~t" (x2 + piX+giTl '
Продолжаем подобное же деление до тех пор, пока в числителе
не получится многочлен первой степени; тогда мы получим:
К(х) _ MqX + Nq .
{x2+piX + qiri — {xi+piX + qifi ~f
, Afjjc + M . , MM__lx + N[ll_l
и следовательно,
fr(*) = M0x + N0 . . AJ^-i^ + ^,-1 /?(*)
V(*) (j^ + ^ + ^l "Г"-"г ^+/7i^+^ t^(^).
R (x)
Проделывая аналогичные вычисления с дробью ; (, мы после
Л (X)
/-кратного применения леммы 2 получим остальные строчки
требуемого разложения.
Так как лемма 2 дает каждый раз единственно возможное
разложение, то наша теорема полностью доказана.
15. Вычисление коэффициентов разложения. Для целей
интегрирования нам надо уметь фактически найти коэффициенты
разложения заданной дроби на элементарные. Мы остановимся сначала
на самом простом случае: когда знаменатель Q(x) имеет лишь
простые действительные корни, т. е. может быть представлен в форме
Q (х) = (х — хх) (х — лг2)... (х — ху).
Тогда искомое разложение, согласно основной теореме, имеет
вид1)
F(x) F(x) At , Л2 , ■ Ап
Q(X) (X — Xt) (x — x2)... (x — Xn) X — Xi*X — X2*'"*X — Xn'
Умножив обе части этого тождества на х — хи мы получим:
если Q(x) представить в виде Q(x) — (x — Xi)?(x), то получим:
F(x).
?W
: Ах -f Г—^ 1- . . . + Ап I (Х — ХХ).
1 ' 1х — х* ' х — хп]у 1;
1) Обозначения коэффициентов здесь изменены по сравнению с
формулой (22)
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 343
Положим в этом тождестве х = хг. Тогда
Числитель правой части легко вычислить, подставляя в
многочлен F(x) вместо переменного х число хх. Для вычисления
знаменателя заметим следующее: дифференцируя тождество
Q(x) = (x — хх)<р(х),
получим:
0"(jf) = <P(jf) + (jf-jf,)4)'H
и, полагая в полученном тождестве х = х1, будем иметь:
С (Л,) = ?(*!).
Итак,
А*=Ш- (26)
(27)
Поступая аналогично с остальными корнями, получим:
л _F(x2) л _ F(x)
2 — <?'(*■)'"" /in~Qt(xny
Мы получили простое правило для нахождения коэффициентов
разложения.
Пример 31. Разложить на элементарные дроби 8 , * 2_3 .
7
Эта дробь правильная, несократимая (корень числителя, равный —у,
не является корнем знаменателя); коэффициент при старшем члене
знаменателя равен единице. Следовательно, мы можем применить
полученное правило.
Представляем знаменатель в виде произведения:
хг-f 2дг2 — Ъх = х(х* + 2х~3) = лг(лг— 1)(*+ 3),
откуда получаем корни знаменателя:
Х\ === U, X2 -—— I у Х§ ' О.
Записываем разложение дроби:
2х + 1 _А , В , С
х* + 2х2 — Зх х » х — 1 j лг + 3-
Производная знаменателя срг (дг) = Здг2 -[- 4лг—3. Подставляем
найденные корни хи х,г и хъ в функции F(x) и срг (лг):
F(0) = 7, /г(1) = 9, F(-3)=l,
<р'(0) = -3, ср'(1) = 4, ср'(-3) = 12.
344
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Составляем выражения для А, В и С:
л_^Ж__1 о_ПЦ_1 F(-3)_ 1
ср'(О) — 3> ^ ср' (1) 4 * ° —?'(— 3)—12-
Следовательно,
2х + 1 7 , 9 , 1
х* + 2х2 — Ъх ~ Зх ' 4(jc— 1) j 12(jc + 3)'
Для определения коэффициентов в случае кратных
действительных корней или в случае мнимых корней (как простых, так и
кратных) не существует такого простого правила, и вопрос обычно
сводится к решению системы линейных уравнений. Этот метод часто
называют методом неопределенных коэффициентов 1).
Он состоит в следующем: если привести к одному знаменателю
дроби правой части тождества (22), то знаменатели обеих частей
этого тождества будут одинаковы, а потому и числители должны
быть тождественно равны между собой. Пусть знаменатель Q(x)
заданной дроби есть полином #-й степени. Так как, по условию,
дробь Yuk правильная, то многочлен F(x) будет иметь степень не
выше п—1. В правой части тождества после приведения получим
в числителе тоже многочлен той же степени (не выше п—1).
Коэффициенты при одинаковых степенях х тождественно равных
многочленов равны между собой, причем если член х какой-нибудь степени х
в многочлене F(x) отсутствует, то соответствующий коэффициент
в правой части должен равняться нулю. Сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях дг, мы получим п уравнений, из которых
и можно определить п неизвестных:
Ао> Al> ^2> • • • > ^о» ^1 ^2» • • • > ^0» ^1» ^2> • • •
..., М0, /V0; Ml9 Nl9 ... ; Р0, Q0; Pl9 Qt; ...; Г0, /?0; Tl9 Rl9...
Правда, могут возникнуть вопросы: будут ли полученные
уравнения всегда совместны, т. е. будут ли они всегда иметь решения?
Будут ли решения эти единственными? Но в силу доказанной
возможности и единственности разложения ясно, что эти решения должны
существовать.
х* 4- х2 4- 2
Пример 32. Разложить на элементарные дроби —7* 2 _Тч2 .
Знаменатель имеет кратные корни -\- 1 и —1 кратности 2 и
один простой- корень, равный нулю:
дг(дг2— 1)2 = лг(дг— 1)2(дг+ I)2.
*) Метод неопределенных коэффициентов можно с успехом применять
и в разобранном уже случае простых действительных корней, но
пользование полученным ранее правилом приводит к результату значительно быстрее.
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 345
Согласно основной теореме получим:
х* + х2 + 2 _А0 , Во | Bt , С0 - d
i 1
x(x2—\f х i (л:— 1)2~ (л:—1)~Г(л:+1)2 j *+Г
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивай
числителей, последовательно получим:
^ + *» + 2 = А,(х-1)«(*+1)« + £0*(*+1)« +
+ 5l*(* — 1)(*4-1)2 + С0-*(*— l)2_[_CiJC(X+l)(X— I)2;
x3 + x2 + 2 = x4(^o + fii+Ci) + x3(5o + jBi + Co_Ci) +
+ х*(2Я0-2Л0-£1-2С0-СО + *(£0-Я1 + С0 + Сд)-|-Л0.
В левой части этого равенства коэффициент при дг3 равен 1,
коэффициент при дг2 так же равен 1, свободный член равен 2.
Члены же, содержащие дг4 и дг, отсутствуют; иначе говоря,
коэффициенты при дг4 и при х равны нулю.
Сравнивая коэффициенты при равных степенях неизвестного,
получим пять линейных уравнений для определения пяти
коэффициентов Лп, В0, С0, Ви Ct:
AQ + B1 + C1 = 09
^о ~Ь ^i Н~ ^о — Ci = 1»
25,-2^-^-2^-^=1,
^-^ + ^ + ^ = 0,
Л0 = 2.
Решая эту систему, определяем наши коэффициенты:
3 15
Л0 = 2, #0=1, Bi= j-, С0= 2 , Cj = j-,
и дробь наша может быть представлена в виде суммы
элементарных дробей следующим образом:
х* + х* + 2 _ 2 . 1 3 1 5__
х(х2 — I)2 ~~~ х »(х — I)2 4(х— 1) 2(х+1)2 4(х+\)ш
Пример 33. Разложить функцию _ i w 2 i iv» на элементаР-
ные дроби.
Знаменатель имеет один вещественный корень хх=\ и два
мнимых сопряженных корня дг2,з = гЬ V—\=±i кратности 2.
Поэтому разложение будет содержать одну элементарную дробь
первого типа и две элементарные дроби второго типа:
1 _ А0 . MqX + Nq ■ MjX + Nt
(х— 1)(л:2+1)2— х— 1 ' (л:2 + 1)2 "+" *2 + 1 #
Для определения коэффициентов Л0, Л{0> N0, Мх, Nt приведем
равенство к одному знаменателю и сравним коэффициенты, стоящие
346 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
при одинаковых степенях х в числителях левой и правой частей.
Получим систему пяти уравнений с пятью неизвестными, которую и
надо будет решить.
Сделаем это последовательно:
1 = Ло(^2+1)2 + (Мо^ + А/0)(х-1) +
+ (MlX+wlH*-i)(*2 + i) =
= (A0 + Ml)x* + (N1 — Ml)x'-{-(2A0-\-M0^-Mi — Nx)x* +
-f (Wo-Afo-^-fA^x-f (A0 — N0 — Nx).
Так как в левую часть х не входит совсем, то все коэффициенты
в правой части, кроме свободного члена, равны нулю; свободный
же член равен единице. Имеем:
Л0 + ^1 = 0,
Nt — Мх = 0,
2A»+MQ+Ml—N1 = 0,
N0-M, — M1-{-Ni = Of
A, — NQ — Ni=\.
Отсюда
Л0 = т, M0 = N0 = — ~j) Mi = Nl = — т.
Наша дробь разложится на следующую сумму:
1 _ 1 JC+1 JC+1
(х— 1) (л:2 + I)2 4(х— 1) 2(л:2 + 1)2 4(х2 + 1)#
Часто вычисления коэффициентов значительно сокращаются, если
применить метод произвольных значений. Выясним его сущность
на примере.
Пример 34. Пусть требуется разложить на элементарные
дроби функцию
2х
х2-\-Зх — 4-
Записывая разложение этой функции согласно основной теореме
2х А | В
х2 + 3х — 4 *•—1 ' л: + 4
и приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
2хеееА(х-{-4)-\-В(х — 1).
Написанное выражение есть тождество, справедливое при
всяком значении х. Выберем же для х такое значение, чтобы в этом
выражении исчезал коэффициент А или коэффициент Б. В качестве
такого значения надо выбрать один из корней знамена!еля.
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 347
Положим х =—4. Подставляя это значение в левую и правую
о
части тождества, получим —8 = — ЬВ, откуда В = -^. Полагая за-
2
тем лг=1, получим 2 = 5Л, откуда А = ~^-.
Таким образом, искомое разложение будет
2х 2,8
*|_|-3* —4 — Ь(х— 1) ' 5(л: + 4) '
Мы видим, что таким приемом коэффициенты иногда могут быть
найдены гораздо быстрее, чем при применении общего правила,
изложенного на стр. 342—343, или метода неопределенных
коэффициентов. Рассмотрим еще два примера.
Пример 35. Разложить на простые дроби функцию
Злг3-^1
(*+1)2(*-1)8-
Согласно основной теореме имеем:
Зл:8—1 А0 , At . В0 , Bt , В2
(дг+ 1)2(лг— I)3 (дг+ I)2 г х + 1 '(л:—I)3 I (лг—1)2 ' *—1'
Приводим к одному знаменателю и сравниваем числители:
3J(*—l = A0(x—l)* + A1(x+l){x—l)*+Bf>(x+l)* +
+ Я, (х+ 1)4*- 1) + В2(*+ 1)2(*- I)2.
Полагаем сначала дг=1; имеем 2 = 4£0, откуда £0 = —-# Затем
полагаем х=—1; имеем—Ах =—8Л0, откуда Л0 = _-. Все корни
знаменателя уже использованы. Даем х любое значение, например
х = 0; получаем:
— l= — At — Al-\-B0 — B1-t-Bi,
или, так как А0 = £0 = у,
-\=-А1-В1 + В2.
Остается составить еще два уравнения для определения трех
неизвестных коэффициентов Аи Вх и В2. Составим их, полагая,
например, дг=2идг = — 2 и учитывая найденные значения А0 и
В0:
23 = у + ЗЛ,+4 + 9^ + 9^,
-25 = — Ц-\-21А1+]1 — ЪВХ + 9Я2.
348 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [гЛ XI
Эти два уравнения совместно с ранее полученным дают систему
трех уравнений:
В2-В1-Л1=-\9
9£2 — ЪВХ + 27 Ах = — 12.
Решая, их получим:
А — 3 R — 7 я — 3
Следовательно, наша дробь разложится на следующие
элементарные дроби:
Зх8—1 _ 1 3,1,
(л: + I)2 (^ — I)3 2 (л: + l)2 fr(x-f-l) "+" 2 (х — 1 )8"+"
,7.3
1 4(лг—1)2^ 8(*—1) "
Очень часто еще быстрее можно найти коэффициенты,
комбинируя метод неопределенных коэффициентов и метод произвольных
значений.
Пример 36. Разложить на элементарные дроби функцию
х* + 2х2 + 4
(1+*2)8 •
Имеем два мнимых корня х = ±1 кратности 3. Функция
разложится на следующие элементарные дроби:
x* + 2x* + 4_M0x + N0 . Mtx + Nj . M2x + N2
(1+*2)8 _ (1 + *2)8 ~"~ 0+*2)2 "■ 1+*2 *
Приводя к одному знаменателю и сравнивая числители, получим:
Xb±2x* + 4 = M0X + N0+(MlX + Ni)(\-{-X*) +
-f (Af2x + ;V2)(1+.*2)2. (28)
Для определения постоянных будем применять смешанный метод.
Положим сначала х = j/— 1 =г; следовательно, лг2 =— 1.
Подставляя это значение в равенство (28), получим:
(-1)2 + 2(-1) + 4=Ж0г + Л^0,
откуда
Лу + Л^ = 3.
Следовательно,
М0 = 0У Л^0 = 3.
Подставляя в (28) вместо коэффициентов М0 и N0 найденные
значения, получим:
xb + 2x* + 4 = Z-\-(Mlx-\-N1)(\+x2)-\-
+ (Ж2х + УУ2)(1+^2)2. (29)
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 349
Переносим 3 в левую часть:
(*» + 1 )« = (М,х + Nt) (1 + **) + (М2х + Na) (1 + х2)2.
Сокращаем на 1-|--Л
1 -J- х2 = Мхх + М + (AM + W2) (1 -f х2). (30)
Снова полагаем х = 1:
откуда
М, = 0, N, = 0.
Подставляем эти значения в равенство (30):
1 -f х* = (М2х + N2) (1 + х%
следовательно,
\=M2x-\-N^
откуда
Ж2 = 0, 7V2=1.
Все коэффициенты определены, и мы получим следующее
разложение:
х* + 2х* + 4_ 3 i 1
(1+л:2)8 — (1+х2У ^~l+л:2•
16. Вычисление интегралов от рациональных функций. Пусть
Р(х)
дана произвольная рациональная функция пк ■ Выделяем из нее
прежде всего целый многочлен Т(х):
Q(x)—JW-^Q(xy
Следовательно,
F (х)
Дробь z~-~ следует, если возможно, сократить и коэффициент
W \Х)
при старшем члене знаменателя сделать равным единице. Если
F (х)
теперь п\ « мы разложим на сумму элементарных дробей, то убе-
димся, что нахождение интеграла от рациональной функции сводится
к нахождению интегралов следующих типов:
1) I T(x)dx> где Т(х) — полином;
2)](^Wdx=*- «-i(,-V'+c (а>1);
350
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
■ dx= А \п\х—а\-\-С\
3>Ь
С Mx + N
v 3 х*+рх+дах>
кч С Mx + N , . ,
Вычисление этих интегралов рассмотрено в §- 3.
Подводя итог, мы можем сказать, что первообразная функция
от рациональной функции есть сумма рациональной функции,
логарифмов и арктангенсов.
ПРимеР 37. [ *_£-***'
Разложение этой дроби на простейшие было сделано нами в
примере 34. Воспользовавшись им, получим:
С 2xdx С 2xdx 2. f dx [ 8 f dx
J x* + 3x-4 — ) (jf-l)(* + 4) ~ 5 ) x-l "Г 5 J ДГ + 4 —
= 4ln[x-l|+|ln|x+4| + lnC =
= In | x — 1 f/5 -f In I x -f 4 |8/5 -f- In С =
= lnC f/(x—l)2(x-p4)8.
Пример 38. J^i^±lrfx.
Воспользовавшись примером 32, получим:
f *8 + *2+2 . _ f x* + xfi+2 _
J jc(jc«—1)» ax—J X(x-\Y(x+\rax —
_ 9 f f*£_l_ f d* 3 Г* dx 1_ С dx 5 Г _dx_ _
~ )x~^){x-\f 4 J x-l 2 J(*+l)2 4Ja;+1 —
«21п*-^-41п|дг-1|+^^-41п|дг+1|+1пС =
= * + 3 -L m c*2
17. Метод M. В. Остроградского. Вычисление интеграла от
рациональной функции может проводиться и по другому плану.
Именно, оказывается возможным заранее, не производя
интегрирования и не разлагая знаменателя дроби на первоначальные
множители, выделить рациональную часть интеграла, а затем уже
приступить к интегрированию рациональной функции, знаменатель
которой лмеет лишь простые корни; интеграл эгой последней
функции состоит только из логарифмов и арктангенсов. Этот метод
разработан Остроградским.
F (х)
Пусть дана дробь П( {, причем степень многочлена F(x) ниже
степени Q(x) и ^w
Q (х) = С* — xtf* (х - х2у*... (х - хкУк (*« + Plx + q№...
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 351
Тогда Q(x) можно представить в виде
Q (х) = Х% (х) Х\ (х) А| (*)... Л* (х),
где Хи Хъ ... , Хр— взаимно простые многочлены. Именно, Xt
есть произведение линейных и квадратичных множителей,
соответствующих простым корням, Х2 — произведение линейных и
квадратичных множителей, соответствующих двукрат-ным корням, и т. д.,
Хр — произведение линейных и квадратичных множителей,
соответствующих корням крайности р. Например, если
Q(x) = x*(x+l)(x-\-3)(x-lY(x*+l)\
то
*! = (*+1)(х+3), Х2 = х, Х, = (х-\)(х* + \)
и
Q(x) = XlX;Xl.
Применяя р раз лемму 2, приведенную на стр. 338, мы получим:
F(x) _ Ai , А± 1 I Лр
OW~^it^ + ,"tAj'
где числители Аи Л2> ••• > Ар — единственным образом
определенные многочлены со степенями соответственно низшими, чем степени
знаменателей.
Следовательно,
Первый интеграл правой части не содержит рациональной части,
так как корни знаменателя Хх простые. Рассмотрим теперь
остальные интегралы. Они все однотипны; поэтому достаточно рассмотреть
один из них, например
Полиномы Хп и Х'п, где Х'п — производная от Хп, должны быть
взаимно простыми. В самом деле, по известной теореме алгебры,
для того чтобы а было общим корнем многочлена и его
производной, необходимо и достаточно, чтобы а было кратным корнем,
между тем как по самому построению многочлены Хи Х2, ... , Хр
имеют лишь простые корни. Применяем к многочленам Ап> Хп и
Хп лемму 1 и находим многочлены Вп и Сп такие, чго
ВпХп^СпК~Ап.
352 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Следовательно, интеграл
Andx
к
мы сможем представить в виде
\
J xZ J xZ J x"~ J A"£
jdx
и дальше, интегрируя по частям и вводя обозначение
К{х) = Вп + ^С'п,
получаем,
С Ал*х = ?Bndx Сп . 1 f Q rf
J ** J*!!-1 (n-i)A;-lT«-u л;-1
(/i-i)^-1 tj *jt'
Мы привели, таким образом, вычисление интеграла \ п *
к вычислению интеграла такого же вида, но знаменатель которого
имеет степень уже не п} а п—1. К полученному интегралу
применяем тот же метод; поступая таким же образом и далее, после
конечного числа шагов мы получим:
[ляйх_ гГ гр> , г", fr.Qr) .
где Г(л>, П*), ... , rw_j и Гл(дг) — некоторые многочлены.
Приведем проинтегрированную часть к одному знаменателю:
Так как у дробей
степени числителя ниже степеней знаменателя, то и в последнем
равенстве в числителях стоят многочлены более низких степеней,
чем в знаменателях. Итак,
f Andx_Dn(x) , f r,(jc) ,
3 ^-*•=*-+з *„ dx'
где Dn (*) = Г<»> + Г<*>*„ +... + Г21Л-а '
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 353
имеет степень ниже Х%~1. Собирая вместе результаты вычислений
С F (х)
относительно всех интегралов, к которым мы привели \ к ; dx,
получим:
CF(x)dx==: Г АЛ (х) dx . D2 (х) . С Г2 dx , Dz (х) ,
+j
J£2 I
!>** , , DP(x) , f Tp(x) .
или
__ rf*___+___!_..._l__+
+JF#
^p
где все дроби (подчеркиваем это еще раз) имеют в числителях
многочлены более низких степеней, чем в знаменателях. Приводя
к одному знаменателю члены перед интегралом и отдельно члены
под интегралом, получим:
CF(x)_ Н(х) . С G(x) .
или окончательно:
J Q(x) t/W ' J V(x) v '
где
U{x) = X%X\...%Tl и ^М = ад^...^. (32)
Вспомним, что
Q{x) = XxX\X\...tfp>
а тогда, по свойству производной от многочлена, известному из
алгебры:
Q'(x) = X2X\...Xp-xM{x),
где М(х) — многочлен, не имеющий общих корней с Q(x).
Следовательно, наибольший общий делитель многочленов Q(x) и Qf (х)
равен
Таким образом, знаменатель рациональной части в формуле (2)
мы можем найти, не производя совсем интегрирования; V(x),
очевидно, равно jj)r\l следовательно, и V(x) находится без
интегрирования.
12 В. В. Немыцкий и др.
354
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Остается найти многочлены Н(х) и G{x)\ для этого мы
применим метод сравнения коэффициентов. Именно, мы вместо искомых
многочленов Н(х) и G{x) подставим многочлены с неопределенными
коэффициентами степеней соответственно на единицу меньше
степени многочленов U(x) и V (х). Тогда после дифференцирования
равенства (31) мы получим:
F(x) __\Н(х)У , G(x) _U(x)H,(x)~H(x)Uf(x) , G(х)
Q(x) —[U(x)\ "+■ V(X) — [U{x)Y ~+~ V(xy
Последнее выражение преобразуем к следующему виду (для
краткости аргумент х везде опускается):
(UH'-HU')V
F(x)_ F _ U ~т~ии
Q(x)—UV~~~ UV
Покажем теперь, что в числителе правой части стоит целый
многочлен, т. е. (UHr— HUf)V делится на U. Для этого
достаточно доказать, что U'V делится на U. Но Q=UV; поэтому
Q = UTV -\- UV\ а так как U есть наибольший общий делитель Q(x)
и Qr (х), то равенство
Q'_U'V ■ v,
и ~ и » v '
где левая часть есть целый многочлен, показывает, что U'V делится
на U. Мы теперь можем сравнить коэффициенты многочленов F и
(UH' — HU')V , птт г
± jj \-uU. Совместность полученных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов обеспечивается возможностью
и единственностью разложения. Заметим, что практически, если нам
заранее известны корни многочлена V (х), удобнее т/, { сразу раз-
V \Х)
ложить на элементарные дроби и разыскивать коэффициенты Н(х)
и коэффициенты полученных дробей совместно.
Пример 39. Пусть требуется вычислить интеграл
Г 4л:5 — 1 ,
,dx.
(хь+х + \)2
В знаменателе стоит многочлен, корни которого не могут быть
выражены в радикалах, поэтому применить метод разложения на
элементарные дроби невозможно.
Применим метод Остроградского.
В данном случае
Q(x) = (x* + x+\)\
Q> (дг) = 2 (дг8 -f х + 1) (5дг4 + 1).
§ 5] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВаНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 355
Легко видеть, что наибольший общий делитель Q(x) и Q'(х)
есть хъ-\-х^\- 1.
Итак, U(x) = x* + x+\, а V{х) = Щ^=хъ+х-\-\. Согласно
общей теории мы можем написать:
С 4*-l d Н(х) C_G
(лг)^л:
где многочлены //(дг) и G(x) степени не выше четвертой. Напишем
их с неопределенными коэффициентами:
С 4х* — 1 , а0х* -{- Qi*B — ^г*2 Н~ аъх + g4 i
J (Хь+х+\уах— л:5 + л:+1 "+"
I С bQx* + bixz + ^2-у2 + М + ^4 л „
Дифференцируя обе части равенства, найдем:
4л:5— 1
(лг5+^Н-1)2
(хъ-\-х-\-\) (4aoX*-\-3aiX2-\-2a2x-}-az) — (5л:4-(-1) (а^хА-\-а1Хь-\-а^х2-\-аъх-\-а^ * ^
— (*» + *+l)s -h
■ b0x* -f- bjXz -\- b2x2 -f- bzx ~\- bj
"i ' a^ + at+I
Приводим обе части равенства к одному знаменателю и
отбрасываем этот знаменатель:
4х8 — l = (xB + x+l)(V4 + M3 + M2 + M + ^) +
-f (лгв + лг -f 1) (4а0лг3 + З^лг* -f 2а*х + аъ) —
(5ЛГ4 -f- 1) (^о-^4 ~Ь ^l-^3 4~ а*** + аЪХ + а4)-
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях дг в
правой и левой частях этого тождества:
1) *о = 0;
2) bt-\-4aQ — 5а0 = 0, или bi = aQ;
3) #2~f~3#i — 5а! = 0, или Ь<ь = 2ах\
A) bz-\-2a% — 5а2 = 0, или Ьг = 3а2;
5) ^4 + ^0 + ^3 —5^3 = 4» ИЛИ ^4 = 4«3 + 4;
6) b0-\-b1-\- 4а0 — 5а4 — а0 — 0, или 4а0 — 5а4 == 0;
7) #! -f- ^2 + 4ао + 3^1 — «! = 0, или \ах -\- 6а0 = 0;
8) #2 -[" &3 -f- 3^! -\- 2а2 — а2 = 0, или 5at -f- 4а2 ^ 0;
9) Ьъ -\- bg + 2а2 + аз — аз = 0, или 5а2 -f- 4а3 = — 4;
Ю) Ъ^~\-аъ — а4 =—1| или 5а3 — а4 =— 5.
12*
356
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Решая пять последних уравнений относительно а0, аи аъ as, ai9
найдем а0 = а, == а2 = а4 = 0 и аг = — 1. Отсюда следует, что
Ь0 = Ьх = Ь% = Ь3 = Ь& = 0, и окончательно:
С 4л:5 — 1 , — х . г
J (л:5 + л:+1)2аЛГ— л:5+л:+1 » °#
§ 6. Интегрирование иррациональных функций методом
рационализации
18. Методы рационализации. В предыдущем параграфе мы
видели, что для интегрирования рациональных функций существуют
определенные приемы, позволяющие разрешить поставленную задачу
до конца (если мы сумеем разложить рациональную функцию на
элементарные дроби), — заданный интеграл выражается через
некоторые элементарные функции и их комбинации, взятые в конечном
числе.
Естественно поэтому пытаться заданные интегралы от других
элементарных функций (иррациональных, трансцендентных)
посредством той или иной подстановки свести к интегралам от рацио-
нальных функций. Преобразование подинтегральной функции
в рациональную функцию путем удачно выбранной подстановки
называется рационализацией заданного интеграла. С некоторыми
примерами подобных подстановок мы встречались в § 4.
Рационализация возможна далеко не для всяких интегралов от
иррациональных, а тем более от трансцендентных функций; многие
интегралы от иррациональных и трансцендентных функций вообще
не могут быть выражены через элементарные функции (в
конечном виде). Но существуют широкие классы наиболее
употребительных иррациональных функций, интегралы от которых поддаются
рационализации, и найдены соответствующие подстановки, которые
эту рационализацию осуществляют. Настоящий параграф в основном
и посвящен изучению таких подстановок.
Рассмотрим функцию
f(x) = R(x, уи у%, ..., уп\
где уи уъ ..., уп — некоторые функции от х, a R — рациональная
функция от аргументов х, yl9 j/2»—, Уп> т- е- Для получения
R(x, уг, .., уп), если известны значения аргументов, требуется лишь
произвести арифметические операции: сложение, вычитание,
умножение и деление.
Предположим, что нам удалось найти такое переменное и, что
■* = ?(«)» Л = <Pi(»)» •••» Л = ?*(«)» где <р(и), <Pi(h)> .-•> <&,(«) —
рациональные функции от и\ тогда
/С*) = Я(?(и), М«), Ми), .... ?„(«)) = Я («О
§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛИЗАЦИЕЙ 357
есть рациональная функция от и как рациональная функция от
рациональных функций и dx = yf(u)du, где cpf (м) — производная от
рациональной функции, т. е. тоже рациональная функция. Эти
рассмотрения показывают, что
§f(x)dx=§R(?(и), Ъ(")...<?п(«))?' (и)du
есть интеграл от рациональной функции переменного и. Переменное
и называют рационализирующим параметром и метод нахождения
рационализирующего параметра — методом рационализации.
Укажем некоторые наиболее употребительные классы
дифференциалов, интегрируемых методом рационализации.
19. Интегралы, содержащие радикалы только от независимого
переменного. Рассмотрим сначала интегралы типа
у
т
R(x, хпу ..., xs)dx, (33)
где т, п,..., г, 5 — целые положительные числа.
Пусть k — общий знаменатель дробей —,...,—. После
приведения всех показателей к общему знаменателю k они примут вид
Произведем подстановку дг = ил. Получим:
R(x, хп, ..., xs)dx=\ R(x, xk, ..., xk)dx=
z= С R(uk> и"1*,..., a'i)kuk~ldu.
В правой части уже стоит рациональная функция от и.
У~х— Ух
_ х(Ух+\)
Общее наименьшее кратное показателей корней будет 8, поэтому
полагаем х=и*. Тогда dx=8un du, и мы будем иметь:
Пример 40. I ХЛ/- х dx.
\
= 8-^ln(«a+l) —8arctg« + C=
==41n(v/'x-f l) —8arctg px + C.
358 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
20. Интегралы, содержащие различные радикалы из дробно-
линейной функции. Дробно-линейной функцией от х называют
функцию вида
ах-\-Ь
cx~\-d *
Перейдем к вычислению интеграла
№(£Ц)? ffitf]"- <34>
где т, п, ..., г, 5 — целые положительные числа; а, Ьу с, g—
какие-нибудь постоянные.
Интеграл (34) легко сводится к интегралу типа (33) при помощи
подстановки:
ах-\-Ь
cx + g
И» этого равенства получим:
• z.
а — czу (а — cz)
fdz1),
и наш интеграл приводится к интегралу только что разобранного
типа
№•№& №№<*-
-WE
г" *7)М=* л.
a — cz' ' "' J (a — cz)2
С помощью новой подстановки z = uk, где k — наименьшее
кратное всех знаменателей дробных степеней, мы преобразуем этот
интеграл в интеграл от рациональной функции.
Если с = 0 и g=l, то подинтегральное выражение получает
более простой вид:
т г
R{x,{ax+b)n (ax-{-by}dx\ (35)
интеграл вычисляется подобным же образом.
Пример 41. Найти J jT^g-L^**.
2 + *(2 — xf
2 х
Полагая тп— = <г'> имеем:
*) Если ag — #с = 0, то величина z является постоянной, что сводит
интеграл (34) к интегралу от рациональной функции.
§ 6] ИН1ЕГРИР0ВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛИЗАЦИЕЙ 359
и заданный интеграл примет вид
5
21. Подстановки Эйлера. Рассмотрим интеграл вида
С/?(лг, }/ax2 + bx-{-c)dxt (36)
где R — рациональная функция относительно независимого
переменного х и радикала \/ах* -f- Ьх -f- с Этот интеграл всегда может
быть преобразован в интеграл от рациональной функции с помощью
одной из следующих трех подстановок, указанных Эйлером.
1) Первая подстановка Эйлера. Пусть а^>0; тогда
положим:
■/ах* -\- Ьх -|- с = ± j/а х-{-и.
Возводя в квадрат обе части этого тождества, после упрощения
получим:
Отсюда видно, что х, а следовательно, \/ах*-\-Ьх-\-с и -т-
рационально выражаются через параметр и.
2) Вторая подстановка Эйлера. Пусть с^>0; тогда
положим:
\/ах* -f- bx -f- с = ± -/с-\-хи.
Возведя в квадрат и упрощая, получим:
ах-\-Ь = ±2 Vе и-\-хи*.
Это равенство снова показывает, что х, |/ах2 -f- bx -f- с и -т- могут
быть выражены рационально через параметр и.
3) Наконец, если трехчлен ах2-\-Ьх-\-с имеет действительные
корни а и р, т. е. j/адг2 -j- bx -j- с — ^fa(x — а)(дг — (3), то может
быть применена третья подстановка Эйлера:
у ах2 -\-Ьх -\-с = (х — а) и.
Заметим, что всегда можно предполагать (3 ф. а (в самом деле,
если а = р, то |/а(дг — си)(х—[3)= \/а(х — а), т. е. подинте-
гральная функция с самого начала рациональна).
Представим написанное выше тождество в следующем виде:
\/а{х — си)(х— р) = (х — а) и.
Возведя в квадрат и упрощая, получим:
а(х— Р) = (jc — а)и2.
360
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Отсюда видно, что дг, \/ах*-f-Ъх-\-с = (х— а)и и j-
рационально выражаются через параметр и.
Покажем теперь, что три подстановки Эйлера исчерпывают все
возможные случаи.
В самом деле, если а^>0 или с^>0, то применима первая или
вторая подстановка. Пусть теперь а^О и с^О.
Рассмотрим параболу у = ах*-\- Ьх-\-с. Если #2— 4ас<^0, то
эта парабола не пересекает ось Х> и поэтому многочлен адг2-)-
-\-bx-\-c при любых значениях х сохраняет знак. Так как при
х = 0 значение j/ = а • О3 —j— ^ • 0-|-с = с^:0, то ах1 -\-bx-\-c
всегда отрицателен и j/ах2 -\- Ьх -\- с имеет комплексные значения.
Этот случай нами устранен, так как было условлено, что мы не
будем выходить из области действительных чисел. Если же
#2—4ас^0, то корни действительны; поэтому в случае разных
корней применима третья подстановка Эйлера; в случае равных
корней радикал превращается в рациональную функцию
Пример 42. \ — —,
Так как а]>0, то применяем первую подстановку Эйлера.
Полагаем
j/дг2-f-х-f-1 =х~\- и;
Дифференцируем:
x*JrxJrl=x<i-\-2xu-\- и2, дг-f 1=2дги-}-и2, x = f 1
\-2u-
откуда
Следовательно,
dx
dx = 2х dtt -\-2udx-\- 2и duf
dx=2lx+2^ du.
С 2(x + u)du С —2da
— )(\-2u)(x + u)— J \-2a —
_i_|-f lnC=ln| Cr
Пример 43. Найти \ r
J У2 + ЗХ — Х2
Вводим новую переменную и:
>/2-f3x — х%= /2-f xii.
Отсюда находим:
_ 3 — 2 У2и , _ 2(Y2 + xu)du _У2 + Зх — х2~уг2
к— \+и* > ах— ГТ52 > и— х
§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛИЗАЦИЕЙ 361
и после простых преобразований будем иметь:
С dx _ С 2 (1/2 + хи) du _ С 2du _
J 1^2 + 3* — х2 ~ J (\+х2)(У2-\-хи)~ ) \ + и2 ~
= -2arctg^ + C=-2arctg(K2 + 3-y--y2^^ + c.
Пример 44. i
xdx
уЗх — 2 — х2 *
Две первые подстановки неприменимы, так как одновременно
а<^0 и с<^0. Корни уравнениях2 — Здг+2 = 0 будут а=1,
Р = 2. Имеем:
Зх — 2 — х* = (2 — х)(х — 1).
Вводим новую переменную уравнением
/Зх — 2 — х2 = |/(2 — дг)(дг— 1)±=й(*—1).
Вычисления дают:
*_2+Я! ^__2j£(£zil)dH
откуда
= — rqrp — arctS H — 2 arctS u-\-C=
=—\ф& —3 arcts H + C'
и окончательно
J
_^ . = _/3x-2-^-3arctgi^^^
1^3лг — 2 — л:2
22. Геометрическое истолкование подстановок Эйлера.
Подстановкам Эйлера можно дать простое геометрическое истолкование,
показывающее, что они являются лишь частными видами в широкой
совокупности подстановок, .позволяющих рационализировать под-
интегральное выражение в интеграле
I R(x, y)dx,
где
у = j/адг2 + Ъх + с,
a R (х, у) — рациональная функция от х и у.
Будем рассматривать х и у в равенстве у= }/ах2 + Ъх + с
как декартовы координаты на плоскости.
362
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Если переписать это равенство в виде
у* = ах*-\-Ьх-\-с, (37)
то оно будет представлять некоторую кривую второго порядка.
Рассмотрим пучок прямых
У— Уъ = и(х — х0), (38)
причем точку (х0, у0) — центр пучка — выберем на заданной кривой
(37), т. е. будем предполагать, что имеет место тождество
Я = ах1 + Ьх, + с. (39)
Каждой другой точке этой кривой будет соответствовать
определенная прямая пучка (38), проходящая через нее, причем через две
различные точки кривой, отличные от центра пучка, будут
проходить и две различные прямые пучка. Таким образом, мы можем
рассматривать координаты х, у точки кривой (37) как функции
параметра и:
■* = ?(«)> У = Х(*)-
Чтобы найти эти функции, надо найти координаты точки
пересечения кривой (37) с некоторой прямой из пучка (38), т. е.
совместно решить уравнения (37) и (38). Определяя из уравнения (38)
у и подставляя в (37), имеем
у\ -\- 2у0и (х — х0) -f и2 (х — х0У = ах2 -\-bx-\-c. (40)
Это квадратное уравнение, в силу условия (39), имеет корнем дг0,
следовательно, выражение
у\ -f- 2у0и (х — х0) -\-и2(х — х0)2 — ах2 — Ъх — с
должно делиться нацело на х — х0 и уравнение (40) сводится к
уравнению первой степени относительно х. Решая его, мы выразим
х в виде рациональной функции от и, а тогда из уравнения (38)
получим у тоже как рациональную функцию от и.
Помещая центр пучка (38) в различных точках кривой (37),
получим различные рациональные выражения координат х и у через
параметр, т. е. различные методы рационализации подинтегрального
выражения в интеграле I R(xy y)dx. Три подстановки Эйлера и
соответствуют трем частным положениям центра пучка (38).
В самом деле, допустим сначала, что а^>0. Тогда кривая (37)
будет гиперболой. Поместим центр пучка в одной из бесконечно
удаленных точек этой гиперболы, т. е. возьмем пучок прямых,
параллельных одной из ее асимптот. Угловые коэффициенты асимптот
будут -]- j/a или — |/а. Следовательно, за пучок прямых (38)
§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛИЗАЦИЕЙ 363
можно взять один из следующих пучков параллельных прямых
у=х Уа-\-и или у =— х \/а-\-и.
Это и есть первая подстановка Эйлера.
Пусть теперь с^>0. В этом случае кривая (37) пересекает ось
ординат в двух действительных точках. В самом деле, из
уравнения (37) при х = 0 находим у = ± \/с. Выберем одну из этих
точек за центр пучка. Уравнение пучка примет вид
у = их-\- \/с или у = их— -[/с,
и мы получили вторую подстановку Эйлера.
Наконец, допустим, что кривая (37) пересекает ось абсцисс в
двух точках а и р. В таком случае ее уравнение может быть
написано в виде
у* = а(Х — а)(х—$).
Выберем одну из точек а или р, например а, за центр пучка (38).
Уравнение пучка примет вид
у = и(х — а).
Это и есть третья подстановка Эйлера. Выбирая центры пучка (38)
в произвольной точке кривой (37), можно получить новые
подстановки, рационализирующие данный интеграл.
23. Биномиальные дифференциалы. Выражение вида
хт {а -\- Ьхп)р dx,
где а, Ъ и показатели т, п, р — постоянные числа, называется
биномиальным дифференциалом.
Интеграл от биномиального дифференциала
[xm(a-\-bxn)pdxy (41)
если вре показатели его — числа рациональные, может быть
выражен в конечном виде при помощи элементарных функций в
следующих трех случаях:
1) р есть целое число (положительное, отрицательное или нуль);
2) —~^— есть целое число (положительное, отрицательное или
нуль);
т —I— 1
3) —II—ур есть целое число (положительное, отрицательное
или нуль) *.
1ч о * т4-\ т4-\ ,
*) Заметим, что если р дробное, то числа —!— и —х—т--\~р не могут
быть одновременно целыми. Поэтому если р дробное, то случаи 2) и 3)
никогда не могут иметь места одновременно.
364 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Эти три условия называются условиями интегрируемости
биномиального дифференциала.
Как доказал великий русский Математик П. Л. Чебышев, они
являются не только достаточными, но и необходимыми, т. е. не
существует никаких других случаев, при которых интеграл (41)
может быть выражен в конечном виде через элементарные функции.
Исследуем каждый случай в отдельности.
Случай 1). а) Пусть р — целое положительное число. Разложив
двучлен подинтегрального выражения (а -{-Ьхп)р по формуле бинома
Ньютона, приведем его вычисление к вычислению интеграла типа
1 R(x, xri, ... , xrs)dx, где rlt ... , rs рациональны.
б) Пусть р — целое, но отрицательное число. Положим р = — k,
так что k уже положительное число. Показатели тип могут быть
какие угодно рациональные числа.
Пусть т = — , п = — .
J S ' S
Подставляя эти значения вместо т и п, делаем подстановку х = и:
С хт (а -f bxn)p dx = { х^{а+ bxv)~k dx=[ sur+s~x {а + buq)~k du.
Под интегралом теперь стоит рациональная функция.
т -Х- 1
Случай 2). Пусть —— целое число. Сделаем подстановку:
a-\-bxn = u. Тогда
1^ J_ т m
x = b ~"(u — a)n, xm = b n(u — a)n,
1 _± l-i
dx = — b n (u — a)n du.
Получаем:
I x»> (a -f bxn)p dx=±b n \up(u — a)n du.
Но последний интеграл есть опять интеграл от биномиального
дифференциала, только с другими показателями. Но поскольку
т~^~ целое, *—£- 1 также целое, и мы приходим к первому
случаю.
Пример 45. Вычислить интеграл \ \Гх 1/1 -= dx.
J г у хъ
Здесь
1 1 3 т + \ 2^1
2
т. е. мы имеем второй случай биномиального дифференциала.
§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛИЗАЦИЕЙ Збб
Делаем подстановку
Получим:
1 -±
Ух*
~£ 2 -^
х = (\—и) 3, йдг = -о-(1—и) ъ du,
3
подставляем эти значения в наш интеграл; имеем:
С /хУ~1 — у==(1х = ^ С (1— и)~2 и Ыи.
Полагая и = <г4, рационализируем интеграл:
и затем вычисляем его по правилам интегрирования рациональных
функций.
Случай 3). Пусть, наконец, ———\-р— целое число.
Преобразуем сначала подинтегральное выражение следующим образом:
С xm(a + bxydx=^xm^^n-^bYdx=[xm+np(b+ax'ydx.
Подинтегральное выражение снова биномиальный
дифференциал, но уже с показателями апг, пг и //, где тг = т-\-пр, пг =
= —п, и р' = р.
Имеем:
т} + 1 т-\-пр-\-\
п* —п
Согласно условию, —(———\-р) является целым числом; следо-
т* —L- 1 '
вательно, и —^— есть число целое; этим третий случай
интегрируемости биномиального дифференциала приводится ко
второму. В этом случае нужно применять подстановку и = Ь-\-ах~п.
Jdx
х2 у а + Ьх2
Представим этот интеграл в форме
§х~2 {a-\-bx*)~2dx.
Здесь
1 т + \ , —2+1 , / 1 \ t
•(^+^)-
366 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Мы имеем третий случай интегрируемости, а потому делаем
подстановку:
и = Ь-\-ах~2у
откуда
X=S^, dx=—J^fr
f dx _ У~а f K(» —'
__ 1
=—%г$у*-~т^"+с=
й л: '
§ 7. Интегрирование тригонометрических выражений
методом рационализации.
Метод заключается в следующем: пусть под знаком -интеграла
находится какая угодно рациональная функция от
тригонометрических функций sinx, cos х, tgx, ctgx, seer, cosecxr. Так как все
тригонометрические функции выражаются рационально же через sin х
и cosx, то достаточно рассмотреть только интегралы типа
§R(sinx, cosx)dx. (42)
24. Подстановка assstg-^- Оказывается, чтотштеграл типа (42)
удается рационализировать, т. е. привести к интегралу от
рациональной функции при помощи подстановки
х X
H = tg-T.
Действительно, имеем:
2 sin -75- cos -я- 2 tg -
sinx =
cosx=-
• « * 1 о * 11*9* 1 4- a2'
sin2 -g- -f cos2 -j- 1 + tg2 -j- '
2 Ig 2 1— к2
л:
cos2-~+-sin2^- 1+tg2
* IJLta2* 1+a2'
Далее, x = 2arctga, Л* = тлг^г
2<fa
1 + и2
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 367
Таким образом, интеграл \ /? (sin jc, cosx)dx преобразуется
в интеграл
2н 1 — и2 \ 2du
\ + и2 ' \+и* J 1+н;
т. е. в интеграл от рациональной функции.
Пример 47.
/=С-^- dx
J a sin х
-f- Ь cos х -f- с у
это — интеграл, у которого б знаменателе стоит линейный многочлен
относительно sinx и cosx.
Преобразуем его, введя функции половинного угла:
/=Г _ «** _ =
J 2й sin -^ cos у -f Ь (cos2 у — sin2 —• J -f- с (sin2 у -f- cos2 у J
■J-
I (& -f- ^)cos2 у + (c — ^)sjn2 "о" ~b 2e sin -s-cos у
J
J cos» |[(* + e) + (e-*)tgff+ 2etg f] '
, л:
полагая xg-K- = uf получаем:
dx 2 С du
asinx-{-bcosx-\-c J (c -— b) u2 -f 2au -f- (P ~\- c) '
Эгот интеграл от рациональной функции может быть вычислен
известными уже приемами.
25. Некоторые дополнительные подстановки. В некоторых
частных случаях можно выбрать и другим способом
рационализирующий параметр, приводящий к более простым выкладкам.
Рассмотрим, например, следующий интеграл довольно общего
типа:
\ /?! (sin х, cosx)dx,
где рациональная функция Rt меняет знак при замене cos х на
— cosat (например, cosx входит в /?t в виде множителя в
нечетной степени). В таком случае интеграл приводится к рациональному
виду подстановкой smx = u.
Действительно,
г» / • ч /?i(sin;c, cos л:)
Rt (sin х, cos x) = — '- - COS X.
14 ' ' cos л:
368 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XI
Так как /?j (sin х, cos х) рациональна относительно sin х и cos х,
Ri ( sin х, cos л:)
то —* - также рациональна относительно sin х и cos х.
Кроме того, замечаем, что
Ri (sin х, — cos л:) —Rt (sin x, cos л:) Ri(s\nx, cos л:)
— cos x — cos'* cos л: '
т. е. это выражение не меняется при замене cos х на — cos х,
следовательно, оно содержит cos х только в четных степенях,
которые выражаются рационально через sin х. Поэтому если
положить sinx = «, то будем иметь cos xdx = du и
/^(sinx, cosx)dx= ^smx* cosx) cos x dx = R (u) dut
где R (и) — рациональная функция.
Пример 48.
cos8 л:
j
sin*
Полагая sinjKr = tr, имеем:
dx.
JSdx==l££rcos^x=J1iridw==
= l^-JKdK==ln|H|--T+c=
ii- i sin8* , ~
= In I sm x I 2 г С •
Так же можно показать, что если /?2(sinx, cosx) содержит
лишь нечетные степени sin х и, следовательно,
/?2(sinx, cosx) = — /?2(—s'mXy cosx),
то интеграл
1 R2(s\nx, cosx)dx
приводится к рациональному виду подстановкой cosx = u.
Пример 49.
1 sm^xcos^xdx.
Полагая cosx = u, имеем:
1 sin^ х cos^ xdx= \ sin2xcos2x s'mxdx =
= —Ul—u*)u4u=[(tii — u*)du = ^ — ^-{-C =
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 369
Если
/?3(sinx, cos лг) = /?3(и, v) = Q^^ ,
причем каждый член многочленов Р и Q имеет четную степень,
т. е. имеет вид OLUsvgf где s-\-q четное, то интеграл
V /?3(sin лг, cosx)dx
приводится к рациональному виду подстановкой tgлг = й.
Действительно, если представим sinx в виде sin x=cos xigx>
то получим:
/?3 (sin xf cos х) = /?3 (tg лг cos х, cos лг),
причем, согласно условию, выражение /?3 (tg х cos лг, cosx) со-
держит cos лг только в четных степенях; но cosgx= . , 2—,
поэтому /?3 (tgлг cos лг, cos лг) выражается рационально через tgx = u,
и мы имеем (так как dx=-
1 + и2
| /?3(sinX, COSX)dx= 1 /?3 (tg ЛГ COS ЛГ, С08ЛГ)б?ЛГ = l /?3 (и) , _/* 2 >
где /?3 — новая рациональная функция.
Пример 50.
i
cos4a:
du
Полагаем tgлг = и. Тогда x=arctgu и dx =
w
2
™- „ ^6- __ 1 + ц2,
А i и» > со52лг= 1 i ц2 . Следовательно,
Г1 "2 . 1
Г sin2A:+l ^ _ 1 1 + Ц2 ""*" da
J cos4 л: аЛГ— ] / 1 \2 1 + а2
1 + ц2
=M+4tt3+c=tgx+4tg3x+c.
Отметим еще следующие интегралы:
Пример 51.
j
sin л: '
Так как sin лг= 2 sin у cos -^ , то
J sin л: I . х х I + л:
J ЯП2С08Т J tgT
d* =ln|tgf| + C.
COS2 j
370
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Пример 52. \ приводится к i ——, так как
г к J cos х v J sin X '
cos x = sin (-S- -\-x); поэтому имеем:
§ 8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
с помощью формул приведения
С dx
Мы уже имели случай при вычислении интеграла i j-j
к2 + т2)п
последовательно применять правило интегрирования по частям и
этим способом приводить вычисление заданного интеграла к
вычислению более простых интегралов. Этот же прием применим и
к вычислению интегралов от некоторых трансцендентных функций.
26. Формулы приведения для интегралов от
тригонометрических функций. Мы рассмотрим следующий интеграл:
I smmx<osnxdx,
в котором показатели т и п — целые числа (положительные или
отрицательные).
Применяя для вычисления этого интеграла метод
интегрирования по частям, мы получим ряд формул приведения или
рекуррентных формул для интегралов от тригонометрических функций.
Таблица формул приведения
• т п л COS"-1 X Sinw+1 X , П— 1 С . m+9 „_9 .„ ,л оч
ъ\пт х zo%n х dx= г-, г-7 \ sinw+2 х cos" *xdx, (43)
sinwxcosraxrfx=— cosn+1^,sir"1^+g4^fsin^2xcosra+2xrfx,(44)
sin™ x cos* x dx = ™*п-1х*пт+1х r «zii С sinw x cos*-2 x dx, (45)
m -\-n 'm-j-zzj
sin™xcos*xrfx=— °°5Я+^?^+1 xJrm+ni+2 fsinwxcosra+2Jc:dx,(46)
Sinm ДГ COS* ДГ dX= — COsn+ixfnm~ix I ^Zli f sin^-2 x CQSn d (4?)
т + я ' m-\-n J > v /
. m n j cosn+1 л: sinw+ xx , /п4-я + 2 f . m+9 „ , //104
sinw лт cos" x dx= rn L-1—{— \ sinm+2 xcosrax dx. (48)
m-J-1 ] m-\-1 J v '
Ясно, что формулы (43) и (48) неприменимы, если т = —1,
формулы (44) и (46) неприменимы, если п = —1, а формулы (45)
и (47) неприменимы, если т-\-п = 0,
«J
§ 8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ 371
Формулы (43) и (44) изменяют оба показателя тип,
уменьшая один и увеличивая другой. Эти формулы приведут к
понижению степени обоих множителей, как sinwx, так и cosrax, только
в случае, если показатели тип разных знаков. Если же т и п
одинаковых знаков, то один из показателей будет увеличиваться,
а другой уменьшаться, и формулы (43) и (44) не дадут упрощения.
Формулы (45), (46), (47) и (48) изменяют только один
показатель: (45) и (47) в сторону его уменьшения, а (46) и (48) в
сторону увеличения. „
27. Вывод формул приведения. Интегрируем \ sinwxcosraxdx
по частям, полагая и = cos""1^ dv=sinmx cosxdx, откуда
v = \ sinwx cos xdx=—-T-j-, da =— (n— 1) cos""2.*sin xdxy
и мы сразу получаем формулу (43).
Формулу (44) получим, полагая
u = sin™'"1 ху dv = cos" х sin х dx,
откуда
cosraxsinxdx= г-=—, du = (m— l)sinw_2xcos x dx.
n-\-\ ' v '
Для получения формулы (45) отделяем в правой части формулы
(43) от множителя sinw+2x множитель sin2 л: и заменяем его через
1—cos2.*:. Тогда формула (43) примет вид
С . т п л cosn-1*sinm+1.x: ,
\smm xzosr xdx = г—л \-
\ П — 1 f • m «-9/1 Q \ j cosn_1 x sinw+1 X ,
H г—г \ sin^xcos" *x(l— cos*x)dx = r—j \-
1 m-f-1 J v ' m-f-1 '
-Ь^т^г Tsinwxcosra"2xdx—П~ТЛ \ sinwxcos*xdx,
1 m-f-1 J m-f-1 J
Перенося последний интеграл из правой части в левую и деля
на Д\ , окончательно получим формулу (45).
Поступая так же в формуле (44) с множителем cosra+2x в
интеграле в правой части, т. е. полагая
cosra+2Ar= cos^jc cos^x = coswx(l — sin2*),
получим формулу (47).
Заменяя в формуле (45) п через п-\-2, получим:
С • т Я43 л COSn+1 X Sinw+1 X , П + 1 Г . т п *
] sin"* «*™xdx= т + п + 2 +m^n + 2\sm>»xcos"xdx>
и, определяя отсюда \ sinmxcosraxdx, получим формулу (46).
Делая замену т на т-{-2 в формуле (47), точно так же
получим формулу (48).
372
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Последовательное применение указанных формул приведения
в зависимости от положительности и отрицательности, четности и
нечетности чисел тип приводит заданный интеграл к одному из
нижеописанных:
\ dx=x-\-C, 1 sinxdx=— cosx + С,
:1П
tg-
+c,
-In
cos*
+c.
J cos xdx = sinx-\-C, \ . x
1 J sin л:
e_^=ln]tg(4-+^)|+c, [«™*х=-\
J cos л: I \ 2 ' 4 /1 ' ' J cos л:
С cos л: , i I . -» I i л Г . * sin2 л: , „
i — алг = 1п sinxN-C, \ sin д;cos xdx=—g |-С=
cos 2x , n
— 4 rc>
f-г—^ = 2n|tgx| + C.
J sin л: cos л: | & | '
Пример 53. Вычислим i —x— = \ sin0 xcos*"8 x dx, т. e.
r r J cos"* J
здесь m = 0, n = — 5.
Применяя формулу (46), получим;
С dx cos"5-" x sin°+1 x . 0 — 5 + 2 С dx __
J cos5 л: —5+1 ' 1—5 J cos8л:
sin x , 3 С dx
4 cos4 x ' 4 J cos8 x '
Применяя еще раз формулу (46), будем иметь:
С dx — cos-3+1;c- sin0*1* , 0 — 3 + 2 С dx =
J cos8л: —3+1 ~T~ —3+1 J cos* ~
Поэтому
С dx__ sin л: . 3 sin* . 3 1 l, (x \ n\\ \ г
J cos**"- 4 cos4 л: "" 8 cos2* "+" 8 ln |tg \ 2 "" 4 )\ ~rC*
28. Вычисление интеграла \ y(x)(x— m)k dx. Пусть в
интеграле \ч(х)(х — m)k dx, где — k целое положительное число,
<р(лг) есть одна из функций еах, cos ах, sin ад;. Тогда интегрируя
по частям, имеем:
и = {х — m)ki dv = y (х) dx,
du = k(x — w)*"1, v = F(x)= I y{x)dx,
§ 8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ 373
следовательно,
С ср (х) (х — mf dx=(x — mf F(x) — k$F (x) (x — mf"1 dx, (49)
т. е. имеем снова формулу приведения.
Так как в рассматриваемом случае <р(лг) одна из функций вида
еах, cos ах, sin ах, то F(x)= \ cp(x)dx будет или l eaxdx = —,
С . , — cos ах С , sin ах
или \ smaxdx = , или \ cosaxdx= , и
следовательно, после того, как выведенная формула (49) применена k раз,
мы придем к одному из интегралов
1 еах dx, 1 sin ах dx или I cos ах dx,
которые вычисляются непосредственно.
К полученной формуле приведения (49) можно свести и другие
интегралы. Например, интеграл i (\nx)ndx подстановкой \nx=z
приведется к интегралу типа
1 ср (х) (х — mf dx.
Действительно,
С (\nx)ndx= {znezdz.
Применяя предыдущую формулу, можно получить такую формулу:
С (In xf dx = x (In xf — n i (In xf-1 dx.
Аналогично получаем формулу
| x" (In xf dx= ^^ -^фг J *"*<ln ^"_1 dx-
29. Вычисление интеграла I , _ \kdx. Пусть в интеграле
J
yW dx
где степень k целая положительная, <р(дг)— одна из функций #*%
sin ах, cos ах.
dx
Принимая 9(дг) за и, а . __—г^ за dx;, получим:
а следовательно,
Г tW у-_ 1 ?(*) | 1 f ?'(*) rfv
J (лг-т)^*- (*—1) (дг-ш)*-1 "Г*-1 J (лг-m)"-1 tt*'
374
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XI
Так как (еах)' = аеах, (sin ax)r = a cos ах, (cosa.xry =— a sin ах,
то полученный интеграл будет того же типа, что и исходный, но
степень знаменателя уже ниже. Следовательно, применяя k раз эту
формулу, получим один из интегралов
[-l^dx, Г-^L"-**, t-2mdx.
J х — т у J х — т у J х — т
С помощью подстановки а{х — m) = z вычисление этих интегралов
приводится к вычислению интегралов
Первый из этих интегралов, положив ez = t, можно привести к
интегралу
С dt
Каждый из этих интегралов, как можно было бы доказать, уже
не может быть выражен с помощью элементарных функций и,
следовательно, первообразные от подинтегральных функций
представляют новые трансцендентные функции. В математической
литературе приняты следующие обозначения:
( х
\ С dt ^ ,
JIT- если*<1,
у I О
— интегральный логарифм]
X
J sin t j.
—r-At
о l
— интегральный синус,
N
«. Г COS X 1
с\х = — lim 1 ах
N-+oo J х
X
— интегральный косинус. Для функций li х, si х, ci х составлены
таблицы (см., например, Е. Я н к е и Ф. Э м д е, Таблицы функций,
М.-Л., Гостехиздат, 1948).
ГЛАВА XII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл и его свойства
1. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла.
Пусть на отрезке [а, #], где а<^Ь, задана функция у=/(х) и
пусть на этом отрезке выбрано несколько точек, причем в их число
включены также оба конца отрезка:
(Z = Xqj Х\у лг2, ...> Х;у ..., лгл_1> хп^о\
кроме того, предположим, что
хо <С х\ <С. хъ \ • • • <С Хп-\ <С Хп*
Выберем по одной точке на каждом из полученных п отрезков
и выбранную точку, принадлежащую отрезку [х;_и xt]y обозначим
через ^(г=1, 2, ..., я), так что
Все эти точки схематически изображены на черт. 69. Рассмотрим
теперь следующую сумму:
$,,=/(?,)(*,—*,)+/&) (x*-*i)+ ••• +/0i)(Jfi-^-i) + ...
...+/(U(*„-*»-i).
Эта сумма называется интегральной суммой] кратко обозначим
ее следующим образом:
я
Sn=^if(%i){xi~xi_l).
Из черт. 69, где изображен график функции y=f(x)y легко
усмотреть геометрический смысл интегральной суммы. В самом деле,
/(&i) равно длине отрезка 5Д, /(£2)— длине отрезка £2М2 и т.д.
Поэтому площадь прямоугольника aAPtxu стороны которого
параллельны осям координат, равна /(Ei)^— х0), площадь
прямоугольника XxQxPtXq равна f(U)(x2 — хх\ площадь прямоугольника
x%Q^Pzxz равна /(%з)(хь — хъ) и т« Д» Следовательно, интегральная
376 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
сумма представляет сумму площадей прямоугольников, образующих
ступенчатую фигуру aAPxQxP%Q%P^ ... Рл_2 <?л_2 Ря_х Qn_t Bb,
контур которой заштрихован на чертеже.
Назовем теперь подразделение отрезка [а, Ъ\ Ъ-подразделе-
нпеМу если длина наибольшего из отрезков [x0i xt]> [хи дг2],...
• • • > [*i-i> •*/]> • • • > [хп-ь хп\ этого подразделения будет меньше или
равна 8; сами эти отрезки мы назовем отрезками подразделения.
Интегральную сумму, составленную для 8-подразделения, назовем
Черт. 69.
Ъ-суммой. Заметим, что интегральная 8-сумма состоит не меньше
чем из£[ T"g) слагаемых. П&этому если мы заставим 8 стремиться к
нулю, то число слагаемых п будет стремиться к бесконечности.
Каждому значению 8^>0 соответствует бесконечное множество
8-сумм для заданной функции f(x) и отрезка [а, #], так как выбор
точек подразделения хи лг2, ..., хп_х подчинен лишь условию,
чтобы длина наибольшего из отрезков [а, хх]у [хь дг2], ...
..., [хп_и Ь] не превосходила 8, а выбор точек (I, на отрезках [хг_и xt\
ничем вообще не ограничен. Таким образом, 8-сумма S&\
составленная для заданной функции f(x) и отрезка [а, #], может
рассматриваться как бесконечнозначная функция от 8.
Определение 1. Пусть 5(5) — интегральная Ъ-сумма,
составленная для функции f(x) и отрезка [ау Ь\. Предел этой беско~
неянозначной функции S^ при 8-^0, если он существует и
конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от
а до й1).
J) В п. 5 гл. XI было дано другое определение определенного интеграла,
в § 3 настоящей главы будет установлена связь между этими двумя
определениями.
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 377
Определенный интеграл обозначается символом
1 / (х) dx.
(читается: «интеграл от а до Ъ от функции эф от икс дэ икс»).
При этом величина а называется нижним пределом
интеграции, величина Ъ — верхним пределом, отрезок [а, Ь] — отрезком
интеграции, функция / (х) — подинтегральной функцией, символ
/ (х) dx — поЪинтегральным выражением, буква х — переменной
интеграции.
Таким образом, имеем:
ь п
\ f (х) dx= lim S(*>= lim У /(5,) (*,-*м).
Ввиду громоздкости последней записи введем упрощение, именно
часто будем писать так:
ъ п
J / (х) dx = lim 2 / (У C*i — *t-i) •
a /= 1
помня условия, при которых берется этот предел.
Из геометрического смысла интегральных сумм непосредственно
следует, что в том случае, когда /(дг)^0, величину определенного
ь
интеграла I / (х) dx естественно принять за число, измеряющее
а
площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x),
прямыми х = а и х = Ь и отрезком оси х между точками х = а и
х = Ь. (Эту фигуру мы называли криволинейной трапецией.)
2. Теорема существования определенного интеграла.
Определение 2. Функция f (х), для которой определенный ин-
ь
теграл 1 / (х) dx существует, называется интегрируемой на
а
отрезке [а, Ь].
Наша ближайшая задача доказать следующую теорему.
Теорема 1. Функция f (х)и непрерывная на отрезке [а, Ь],
интегрируема на этом отрезке.
Если воспользоваться критерием Коши для существования
предела функции, то для доказательства сформулированной только
что теоремы достаточно доказать следующее предложение:
Теорема 2. Если f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то,
каково бы ни было число е^>0, можно найти такое т)^>0, что
378 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
абсолютная величина разности двух любых Ь-сумм будет
меньше, чем е, если 8<^.'
|5i«i)-5p»)|<e, если «,<,!, 8,<ч.
Иными словами, две Ъ-суммы будут отличаться сколь угодно
мало, если только 8 достаточно мало.
Рассматриваем две произвольные интегральные суммы:
я
5.№>=2/(«)W-^-i).
i=l
т
5,^=2|/(^)(х;-^_1),
1=1
при этом 8гподразделение определялось точками
а = х'о, х[, х'ъ ..., х'п = Ь;
82-подразделение — точками
а*=х'оУ х'{, х% ..., х"т = Ь.
Составляем третье 8-подразделение отрезка [а, Ь), считая за точки
подразделения как точки х'ь так и точки х". Перенумеруем новые
точки в порядке возрастания и обозначим их
r'J* v'." rU* v«" v,№
Xq , Xi , Л2 , Xз , . . ., Xp .
Составим для этого нового 8-подразделения соответствующую
8-сумму:
5№=/№")(х|"-^") + /(^")(^"-д;|") + ...
...+/o;M)(^"-^-i)-
Сравним теперь S^ с SW.
Первую сумму S[d^ перепишем в иной форме. Если
произвольный отрезок первого подразделения [дг^-ь х\] состоит из
нескольких отрезков третьего подразделения
[*;_,, х1\ = [х1Чи хГ] + [хГ, ^,] + ... + К-ь х'9"},
то 1-е слагаемое первой суммы /(У) {х\—х[—\) записываем в форме
/(«)(^-^_,)=/(«)(jfr'-^,)+/(«)Wi-x,m) + ...
...+/(E,w-*;-l).
Если так записать все слагаемые первой суммы, то в ней будет
столько же слагаемых, сколько и в S&K
Вычитая S[d^ из S^\ получим сумму р слагаемых, каждое из
которых имеет вид
и(П -/(?')] (4" -xi-d,
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 379
причем точки %" и % принадлежат одному интервалу первого
подразделения и, следовательно, | V" — (■' | <^ 81#
Пусть теперь s — произвольное положительное число. По
предположению, f(x) на отрезке [ау Ь] непрерывна и, следовательно,
равномерно непрерывна. Значит, существует такое tq^>0, что для
всех а и риз отрезка [а, Ь], удовлетворяющих условию |а — Pl^7)»
имеет место неравенство |/(а)—/(Р)|<Со( — м- ^ таком случае
беря Si^7!» согласно доказанному выше, получим:
\s\Si)-siS)\<w=^2^'-x'^==i-
/= 1
Аналогично получим при 82<[yj:
Таким образом, при Sj^tj и 82<^т] будем иметь:
Isw-s^i^is^-swi + is^-swk^ + I^s,
что и требовалось доказать.
Доказанную теорему можно формулировать так:
Для того чтобы функция f(x) была интегрируемой на [а, Ь],
достаточно, чтобы она была непрерывной.
Заметим, что, как будет показано ниже, непрерывность не
является необходимым условием для интегрируемости, так как
некоторые разрывные функции тоже интегрируемы.
Установим необходимое условие интегрируемости.
Теорема 3. Для того чтобы функция f(x) была бы
интегрируемой на [а, Ь], необходимо, чтобы она была ограниченной
на этом отрезке.
Допустим противное. Тогда найдется последовательность точек
хь x2i ..., xk, ..., лежащих на этом отрезке и таких, что
|/(*i)|>l. 1/(*.)|>2, ..-, |/(**)|>*. ...
Пусть х есть предельная точка для множества точек xlf дг2, ...
..., xky... Построим последовательность интегральных сумм Sl9 S2,...
..., Sn, ... следующим способом. Для построения n-й
интегральной суммы разбиваем отрезок [а, Ь\ на отрезки длины, не
превосходящей — так, чтобы точка х не совпадала ни с одной точкой
п
деления. Пусть
[а, Х\\, [ДГ|, дг2], ..., [^_i, xs]9 ,..,
380 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [гл. XII
полученные отрезки и пусть отрезок [xs_l9 xs] содержит внутри х.
Составляя сумму
S'n =/&) (х, - а)+/(?,) (*, - Xl) + ... +/&_,) (*_» - jf,_.) -f
+/(&«*) C*«.i — *,) + • • • +/(У (*» — *«_»)»
выбираем на отрезке [xs_i, xs] такую точку ls, чтобы выполнялось
неравенство
I/O.) (*,-*,_i) |>|s;i+«.
Это возможно, так как на этом отрезке \f(x)\ принимает сколь
угодно большие значения. В таком случае очевидно
I Sn I = I Sn+/(?,) (х, - х_д | > п.
Таким образом, lim |5л|=-|-оо, и следовательно, мы нашли
такую последовательность интегральных сумм, что наибольший
отрезок подразделения стремится к нулю при #->оо, а сами суммы
стремятся к оо. Поэтому функция f(x) неинтегрируема на отрезке
[а, Ъ\ в противоречие с предположением.
Установленное необходимое условие, как будет показано ниже,
не является достаточным.
3. Верхние и нижние суммы. Введем в рассмотрение так
называемые верхние и нижние суммы. Для этого возьмем, так же как
и раньше, 8-подразделение отрезка [а, Ъ\\
на каждом частичном отрезке \хх_ъ xt] (/=1, 2, ..., п) найдем
верхнюю грань функции f(x); это число обозначим Мь нижнюю
грань функции f{x) на этом же отрезке обозначим т^ Теперь
рассмотрим суммы S и s9 определяемые так:
S = M1 (хх — дг0) + М2 (лг2 — хх) -f ... +ЛГ* (Xi — хг_х) +...
••• + Л*ЯС*Я —**-i)
и
8 = щ(хх — хь) + т%(х% — х{) + ... + т1{х1 — х1_1) + ...
... + тп(хп — хп_1).
Сумму 5 будем называть верхней суммой, а £ — нижней сум-
мой, соответствующими данному В/подразделению. S и s являются
опять бесконечнозначными функциями 8, где 8 — длина наибольшего
отрезка подразделения.
Пусть 5 и $ — верхняя и нижняя суммы, соответствующие
заданному 8-подразделению, и пусть №> любая интегральная 8гсумма,
где 81<^8. Заметив, что верхняя грань функции на отрезке не
меньше, чем верхняя гращ> на частичном отрезке, а нижняя грань
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 381
на отрезке не больше, чем нижняя грань на частичном отрезке,
и проводя сравнение S, s с S^ (так же как в теореме 2 S{8^ и
S<8i) с SW), получим немедленно, что S^S^^sy если ^^В.
Заметим, что для непрерывной функции f(x) и верхняя
и нижняя суммы являются интегральными суммами, потому
что в этом случае можно найти такие значения х, что /(Ц) = Af.
и f(ri) = mi.
В общем же случае S и s могут и не быть интегральными
суммами, но для заданного подразделения и любого е^>0 можно
подобрать такую интегральную сумму, чтобы она отличалась от
верхней меньше чем на е.
В самом деле, по определению верхней грани на отрезке
[•tfj-i, *i] можно выбрать значение \t такое, что Mt—f(^i)<^~jzz—
(/=1, 2, ..., я). Тогда
п п
2 Mt с**—**-i) — 2f^(лг' -х*-^=
i=\ 1=1
п п
1=1 1=1
Аналогично доказывается, что для заданного подразделения
можно найти интегральную сумму, отличающуюся от нижней как
угодно мало.
После этих замечаний легко доказывается
Теорема 4. Для того чтобы функция f(x) била
интегрируема на отрезке [а, Ь], необходимо и достаточно
lim (S — s) = О,
т. е. для всякого е ^> 0 можно указать такое г\, что для любого
Ъ-подразделения (Ь <^ г\) имеет место S — ? <С е-
Необходимость. Пусть f(x) интегрируема, тогда для
любого е^>0 можно указать т)^>0 такое, что при &i<^ и 82<^ yj
любые 5(5i> и S<*a) (обозначения такие же, как и в теореме 2)
удовлетворяют неравенству
|№)-№)|<|. (1)
В силу сделанных ранее замечаний можно найти такие В-суммы
(S^min^!, 82)), которые обозначим через St и 52, чтобы
382
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XII
кроме того, имеем \St— *S21<С^-^-. Поэтому
о
5-£^|5-Sl| + |51-5,| + |5,-£|<-l-f-l + i = e,
а это и было нужно доказать.
Достаточность. Пусть S и s соответствуют В-подразделе-
нию; тогда, взяв &i<^3 и 82<С^> получим в силу ранее сделанного
замечания:
откуда
|S(Si)_ да> | ^5— s.
Следовательно, если tj таково, что при Ь<^г\ имеем 5 — £<Се>
то и (№)— да^^е при &i<^ и 82<^тг), а это и значит, что
достаточность условия доказана.
Обозначая через wt разность
wi = Mi — mi9
т. е. колебание функции f(x) на интервале А,==(х,-_1, xt), можем
записать найденное условие в виде
п
lim / ^;А; = 0.
г= 1
Замечание. Часто приходится встречаться с функциями,
которые определены не всюду на некотором отрезке, а лишь всюду,
кроме некоторого конечного числа точек. Если эти функции
ограничены, то, как легко видеть, вопрос об их интегрируемости и
самая величина интеграла, если он существует, не зависят от того,
какие значения мы условимся давать этим функциям в указанных
точках. Это сразу следует из найденного условия интегрируемости
и определения интеграла.
4. Примеры вычисления определенных интегралов. Дадим
несколько примеров вычисления определенного интеграла как предела
интегральных сумм. При этом будем помнить, что способ разбиения
отрезка интеграции и способ выбора точек \{ произвольны и этим
произволом можно воспользоваться по своему усмотрению, чтобы
вычисления были возможно проще. Надо только заботиться о том,
чтобы длина наибольшего отрезка подразделения стремилась к нулю.
Пример 1. Пусть f(x) = Cy где С — постоянная; тогда легко
видеть, что
ь п
С Cdx = l\m ^ C(xi — xi_l) = C(b — a).
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 383
Ь
Пример 2. Вычислить \ smxdx.
Разделим отрезок [а, Ь) на п равных частей; тогда длина
каждой части h будет равна
- Ъ — а
п — х{ xt_x — п .
Точки Ь-9 в которых будет вычисляться функция f(x) = sin дг, будем
выбирать в начале соответствующего отрезка, т. е. положим ^ = дг,_1.
Тогда, по определению интеграла, мы имеем:
о
Ь п
sin х dx = lim У ixt — xi-\) sinxi-u
записывая более подробно сумму, стоящую справа, получим:
ь
1 sin xdx = lim h [sin a -f- sin {a -\- h)-j-sin {a-j-2/г) -(-•••
...-f-sin(a-f-(n — 1)A)].
Вычислим сумму, стоящую в квадратных скобках:
оп = [sin а -{" sin (а + А) + sin (а + 2А) -j- • • • + sin (я + (л — 1) А)].
Для этого воспользуемся тождеством
2 sin и sin z> = cos (и — и) — cos (и -|- и),
полагая в нем u = h, а и последовательно: а, а-[-/г, а-|-2/г,....
тогда получим следующую систему р^венствг
2 sin h sin а = cos (а — /г) — cos {a -f- А),
2 sin /г sin (a -f~ h) = cos а — cos (a -f- 2/г),
2 sin h sin (a -f~ 2/г) = cos (a -f~ h) — cos (a -f- 3/г),
2 sin /г sin (a-\-(n — 2) h) = cos (a-\- (n — 3) h) — cos (a -f~ (n — 1) /г),
2 sin h sin (a -f- (n — 1) /г) = cos (a -f~ (n — 2) h) — cos (a -f- nh).
Складывая эти равенства, получим:
2ол sin /г = cos (a — h) -j- cos a — cos (a-\-(n — 1) h) — cos {a -{- я/г) =■
= 2 cos у cos la — y) — 2cos~2 cosfa-f-^A— \
откуда, так как sinA = 2sin у cos у, будем иметь:
cos (а — у j — cos I а -f nh — тг j
2sin|
384 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
Таким образом, замечая, что a-\-nh = by находим:
j***r_a-^[,»(.-4)-«.(»-4)]-
= lim —г- lim cos (а—-я-)— lim cos(#—T)| = cosa — cosb.
sm-2
Итак, i sinxrfx==cosa — cos#.
Пример 3. Вычислить i лг* dx, где, k — целое положительное
a
число, а пределы а и b — положительные числа.
Положим, как и в первом примере, ?<-=дг,-_1. Тогда
ъ п
Теперь надо выбирать значения хи дг2, дг3, ..., хп так, чтобы
вычисления были возможно более просты. Для этой цели возьмем числа
хи дг2, ..., хп, идущие по геометрической прогрессии, а именно,
положим
±
а
xQ = a, x1 = ah, лг2 = яА2, ..., xn = ahn = a—=b,
если числа а и Ь положительное, то это всегда можно сделать.
f-r-
—. Мы получаем такое выражение
интегральной суммы:
я
Sn = 2 *?-1 (х( — xt_t) = ак (ah - а) + (ahf (aA* — ah) -\-
4- (aA9)* (aA3 — aA4) +... + (ah''1? (ah1 — ah'-1) -f-...
... + (я/г"-1)* (aA" — aA""1).
Выносим за скобки общий множитель в каждом слагаемом:
5„ = ak+1 (А — 1) + (ah)k+1 (А — 1) + (aA3)ft+1 (А — 1) + ...
... + (aA''-»)ft+1 (А - 1) -f... + (ah"-1)"" (А - 1) =
= a*+1 (А - 1) + a*+1 (А - 1) hk+l + a*+1 (А - 1) (Ae+1)2 + . . .
... + a*+1 (А - 1) (А"*1)1"1 + • • • + a"+1 t.b-1) (А^1)""1;
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 385
отсюда видно, что члены этой суммы образуют геометрическую
прогрессию, знаменатель которой равен hk+ly а первый член
ak+1(h—1). По формуле суммы п членов геометрической
прогрессии получаем:
_ (h— \)[ak^(hk^Y — a*+1] _ (ft — l)[(fl/i*)fe+1 — ak+i] .
— F+nzrj — h**1 — 1 ;
но ahn = a — — b, поэтому
о _ (ft—!)(£*+*— A»")
n~ h^1 — 1 •
Эту дробь можно сократить, так как
hk+1 - 1 = (h - 1) {hk + hk~l + /г*"2 -f ... + /г -f 1);
следовательно,
*n~hk + hR-l + h*-*-\-... + h + l •
Таким образом, мы вычислили интегральную сумму: найдем ее
предел lim Sn. Числитель выражения, полученного для Sn> не
П-+оо
зависит от я, поэтому при всех значениях оно остается без
изменения. Число членов в знаменателе остается все время k-\-l, а
каждый из этих членов стремится к 1, так как lim /г= liml/ т =
(см. гл. II, п. 20, лемму 5). Поэтому предел всего знаменателя
равен k-\- 1. Итак,
hmS„
Л-*оо
'п_ Й+1
J Х аХ k+l •
а
5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
Понятие определенного интеграла в том общем виде, в каком оно
сформулировано в начале этого параграфа, было введено Коши;
однако Коши рассматривал его лишь в применении к непрерывным
функциям. Впервые Риман обнаружил, что непрерывность функции
отнюдь не необходима для ее интегрируемости, и дал общее
необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
Теорема 5 (Риман а). Для того чтобы функция f(x) была
интегрируема на отрезке [а, Ь\, необходимо и достаточно, чтобы
13 В. В. Немы ц кий и др.
386 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
она была ограничена и при любом k ^> 0 и любом ч\ ^> 0 суще-
ствовало такое 8, чтобы для всякого Ъ-подразделения отрезка
[а, Ь] сумма длин тех отрезков, где колебание функции
превосходит k, была меньше чем г\.
Докажем достаточность этого условия. Рассуждая так же, как
при доказательстве теоремы 2 этого параграфа, мы придем к
необходимости оценки суммы слагаемых вида
[/(Г)-/(6')] (*Г-•*/->)
(см. обозначения теоремы 2), где в каждом отдельном слагаемом
точки £'" и % принадлежат одному и тому же интервалу первого
подразделения. Пусть теперь е — произвольное положительное число.
Согласно условию теоремы существует такое 8, что при 8t <С^ 8
сумма длин отрезков первого подразделения, на которых
колебание функции больше чем ,_ , будет меньше т] = ^, где М —
верхняя грань \f(x)\ на отрезке [а, Ь]. Разность 5^>—S&
состоит из слагаемых двух типов: для одних слагаемых |/(£'") —f(V) | ^
<4(» —д)' а ДЛЯ ДРУГИХ 1АИ "-/(£') 1>4(ДД)» Н° В° ВСЯК0М
случае
|/(П -/(601 «SS |/(Г) | +1/(6') | ^ 2М.
Если сложим отдельно все слагаемые первого типа, то, очевидно,
получим число, не превосходящее \\b"Z_Q\ = ~x» а если сложим
слагаемые второго типа, то получим число, не превосходящее
произведения 2М на сумму длин тех отрезков третьего подразделения,
на которых колебание функции Дольше чем »{Ъ___ ч. Но сумма длин
этих последних, согласно выбору 8, меньше чем ^ и,
следовательно,
Сравнивая аналогично 5^) и S^\ получаем:
откуда
|5i*«)-Si*i)|<e.
Достаточность условия доказана.
Докажем теперь необходимость высказанных условий. В
теореме 3 была уже установлена необходимость предположения об
ограниченности f(x); установим необходимость второго условия
теоремы.
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 387
Предположим, что найдется такое число £^>0 и такое г\^>0,
что как бы малы ни были отрезки разбиения, сумма длин
тех отрезков, на которых колебание больше чем k, превосходит tj.
Пусть дано произвольно малое число 8. Рассмотрим 8-подразделение
отрезка [а, Ь]. Пусть Д,, Д2, ..., Дп — отрезки этого
подразделения и пусть Khf Д/2> ..., Д/т — те из них, на которых колебание
больше чем k. Составим две 8-суммы:
Si«> =/(61) At +/&) А, + .. • +/&) Дя
$«> =/(?;•) A, +/(Q А, +... +/(Q Дл)
причем точки % и £" выберем по следующему правилу:
1. Если на отрезке Д/ колебание f(x) не больше ky то берем
2. Если на отрезке Д(* колебание f(x) больше чем k, то берем
У и # так, чтобы /(«)-/(«)>*.
Вычтем теперь 5^> из 5^. Получим:
5' = Sp - S<*> = [/(«,) -/(«[)] А,, +
Оценим величину этой разности. По построению все разности,
стоящие в квадратных скобках, положительны и превосходят k\
следовательно,
<?<*) _ <?(/> > k [A,t + A/f + ... + A,-ft].
В квадратных скобках стоит теперь сумма длин тех отрезков
разбиения, на которых колебание больше чем k. По условию, эта
сумма больше чем у], следовательно, 5^ — Stf)^>kv\. Так как 8
здесь произвольно мало, то определенного интеграла не
существует.
Тем самым теорема Римана полностью доказана.
Основываясь на этой теореме, можно указать несколько важных
классов интегрируемых функций.
6. Интегрируемость функций с конечным числом точек
разрыва. Теорема 6. Всякая ограниченная функция с конечным
числом точек разрыва интегрируема.
Пусть |/(*)|^Л1 и/(лг) на отрезке [а, Ь] имеет k точек
разрыва, а в остальных точках этого отрезка непрерывна. Зададим
произвольное число тг]^>0 и заключим точки разрыва функции/(дг) в
интервалы, не имеющие общих точек (а также общих концов), и
общая сумма длин которых меньше -|-« Обозначим эти длины уь
у2> ..., Та- Если удалить из [а, Ь] эти интервалы, то останется
конечное число отрезков Д1? Д2, ..., Д5, где s = k—\, k или k~\-\
в зависимости от того, являются ли оба конца или только один
13*
388
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XII
конец отрезка [а, Ь] точками разрыва или же оба конца суть точки
непрерывности. На каждом Д,- функция f(x) непрерывна и, значит,
равномерно непрерывна. Пусть задано е^>0. Находим такое В, что
для любого отрезка Д,- и для любой пары его точек xf и х" таких,
что \хт — х" |<^8, выполняется неравенство |/(дгг) —f(x") |<Се1)-
Кроме того, будем предполагать, что 8<Cz| и ^^СТу (/= Ь ^, ...,k).
Рассмотрим теперь подразделение отрезка [а, Ь] на отрезки длины
<^8 каждый. Ни один из этих отрезков не может содержать точек
из двух разных Д^, так как между двумя соседними Д^ лежит
некоторый интервал Ту> а каждый отрезок подразделения короче
всякого Ту. Если отрезок целиком лежит в одном Дг, то колебание на
нем <^е в силу того, что длина его <^8. Значит, колебание может
оказаться ^е только на тех отрезках, которые целиком или
частично лежат на каком-нибудь интервале Ту- Но сумма длин тех
отрезков, которые покрывают некоторый интервал Ту, очевидно, не
больше чем Ту -j- 28, а потому общая сумма длин тех отрезков,
которые целиком или частично лежат на каких-нибудь интервалах Ту>
k
будет не больше чем У Ту + 26 8, т. е. меньше -г>" 4~ 2£ Д == *),
Итак, общая сумма длин тех отрезков, где колебание ^е, не
больше Y), а тогда, в силу теоремы Римана, f(x) интегрируема.
7. Интегрируемость монотонных функций. Теорема 7.
Всякая монотонная ограниченная функция интегрируема.
В силу монотонности функции f(x)y каково бы ни было
подразделение отрезка [ах Ь], сумма колебаний на всех отрезках этого
подразделения равна колебанию функции f(x) на всем отрезке
[а, Ь],т. е. равна \f{b)—f(a)\=K» Поэтому число отрезков
подразделения, на которых колебание превосходит k, не может быть
is
больше чем -т-. Отсюда следует, что для каждого 8-подразделения
отрезка [а, Ь] с 8^5_ сумма длин тех отрезков, на которых
колебание функции f(x) превосходит k, будет не больше чем
rk К
jf -t- = y|. Таким образом, в силу произвольности k и yj, условие
Римана выполнено, и значит, функция f(x) интегрируема.
Рассмотренными двумя классами отнюдь не исчерпывается
совокупность интегрируемых функций. Но, конечно, далеко не все
ограниченные функции интегрируемы. Так, например, функция Дирихле,
равная нулю для рациональных точек и единице для
иррациональных, неинтегрируема ни на каком отрезке. Действительно, коле-
*) Это можно сделать в силу ограниченности числа интервалов Д*«
§ 1] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 389
бание ее на любом отрезке всякого подразделения равно единице,
и потому сумма длин тех отрезков подразделения, где колебание
функции Дирихле, например, больше у, будет равна длине всего
интервала интегрирования {а, Ь).
Более того, можно показать, что если f(x) — ограниченная
функция, разрывная в каждой точке некоторого отрезка А, лежащего
на [а, Ь], то она не может быть интегрируемой на [а, Ь).
Доказательство поведем от противного. Пусть f(x)
интегрируема; тогда для любого ^0 и любого ч\^>0 найдется такое Ъ,
что для всех ^-подразделений отрезка [а, Ь) сумма длин тех
отрезков, где колебание превосходит k> оказывается меньше т). Мы
можем взять yj<С"о"• Тогда на отрезке А найдется такой отрезочек At
нашего подразделения, где колебание меньше k. Рассуждая таким же
образом, мы можем на отрезочке At найти столь малый отрезочек А2,
k
что на ней колебание меньше у, и т. д. Рассматривая серию от-
резочков А, А1? А2, ..., Ал, ..., каждый из которых лежит внутри
k
предыдущего, причем на Ап колебание меньше ^, мы видим, что
найдется общая им всем точка £. Ясно, что в атой точке/(дг) должна
быть непрерывной, и мы пришли к противоречию.
Таким образом, мы видим, что интегрируемая на [а, Ь] функция
должна иметь точки непрерывности во всяком интервале А,
лежащем на [а, Ь\, как бы мал он ни был и где бы ни был
расположен на [а, Ь).
Пусть fx (х) и /2 (х) — две интегрируемые на [а, Ь] функции.
Допустим, что fi(x)=f2(x) во всех тех точках, где f\(x)
непрерывна. Докажем, что тогда
ь ь
{ ft (х) dx=\f2 (х) dx.
Действительно, раз обе функции интегрируемы, то можно для
любого е разбить [ау Ь) на столь мелкие отрезки Д1? А2, ..., Ал, чтобы
для любой интегральной суммы, т. е. при любом выборе точек
Hi, £2> •••> К на д1> д2> •••> A/i> иметь
и г*
i=l
о
1$
A(x)dx- 2ла)А«|<е-
i = l
Но мы только что видели, что интегрируемая на [а} Ь]
390
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. XII
функция должна иметь точки непрерывности в любом отрезке А на
[а, Ь]\ значит, в частности, можно выбрать точки il9 £2, ..., \п на
Д1? Д2, ..., Ал так, чтобы во всех этих точках ft (х) была
непрерывна. Но тогда, по условию, мы должны иметь /i(^)=/a(^i)
(/=1, 2, ..., п). Отсюда следует, что
п п
2/i&)A*=2!/»e>A*
а тогда
ь ъ
| J ft (х) dx — J /2 (х) dx I < 2 в.
& Ь
Но е произвольно мало, значит, I ft(x)dx= \ f2(x)dxy а это
а а
и надо было доказать.
§ 2. Свойства определенного интеграла
8. Основные свойства определенного интеграла. Прежде всего
заметим, как это следует из всего изложенного выше, что
определенный интеграл зависит только от вида подинтегральной функции /
и от значений верхнего и нижнего пределов а и Ь, но не от
переменной интеграции, так что можно в определенном интеграле
свободно заменять переменную интеграцию любой буквой, т. е.
ь ъ ь ъ
^f(x)dx=^f(y)dy = ^f{z)dz= ^f{t)dt и т. д.
а а а а
Для дальнейшего примем следующие дополнения к определению
интеграла:
1) В случае а = Ь
Ь а
[f(x)dx= С f(x)dx = 0.
а а
2) В случае а^>Ь
Ъ а
\ f(x) dx = — 1 f(x) dx.
a b
Теорема 8. Если f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то
она интегрируема на любом отрезке, являющемся частью [а, Ь].
Пусть отрезок [alt bx] является частью [а, Ь], т. е. a^Lax<^bx^b.
При рассмотрении подразделений отрезка [а, Ь] ограничимся только
§ 2] СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 391
теми, которые содержат точки ах и bt. Так как/(лг) интегрируема
на [а, Ь], то
lim(S — s) = 0.
6-+0
Каждая верхняя St и нижняя st сумма, построенная для [аи Ьх\>
содержит только часть слагаемых, составляющих суммы 5 и s,
поэтому 0^St — £i^5 — 5 и, следовательно,
lim^ — st) = 0,
<5->0
а это и значит, что f(x) интегрируема на [al9 bx].
Теорема 9. Если f{x) интегрируема на [а, с] и на [с, Ь],
то f(x) интегрируема на [а, Ь], причем
ъ с ъ
Г f(x) dx={ f{x) A*+ С f{x) dx. (2)
а а с
Пусть сначала a<^c<^b; f(x)y будучи интегрируемой,
ограничена на [а, с] и [с, #], а значит, и на всем отрезке [а, Ь]9 т. е.
\f(x)\^M на [а, Ь]. Рассмотрим какую-нибудь интегральную
8-сумму:
SUц =/&)(xt-a) + ... +/(J,_i)(*,_, -x,_t) +
+/6) C*i - *м) +/&+1) (xM - xt) +... + /(U (b - *„_,).
Без ограничения общности можно считать, что с входит в число
точек подразделения; тогда S[a,b]> очевидно, распадается на две
S-суммы S$J . и 5№ Ь]У распространенные, соответственно, на отрезки
[а, с] и [с,' Ь]:
°[в. Ь) — °[а, с] ^ °[с, ЬГ
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.
Пусть теперь а<^Ь<^с. Тогда на основании доказанного имеем:
с Ъ с
\ f(x) dx = \ f(x) dx -\- \ f(x) dx
или
а
откуда окончательно
ъ
осе
j f{x) dx = §f(x)dx-[ f(x) dx,
{ f(x) dx= [ f{x) dx-\- f f(x)dx.
392 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
Остальные случаи расположения точек а, Ъ и с могут быть рас
смотрены совершенно аналогично.
Теорема 10. Постоянный множитель можно выносить за
знак интеграла, т. е.
ъ ъ
С Af (х) dx = А С / (х) dx. (3)
а а
В самом деле,
b п п
[ Af(x)dx = lim У Af$l)(xi-xi_x) = lim А У /&)(.*,-.*,_,)=
а * = 1 i =. 1
п Ь
е=А lim У /(Ei)(Jfi—Jfi_i)==A (/W^,
* = 1 a
что и требовалось доказать.
Это же свойство сохраняется и при условии а^>Ьг). В самом
деле, по дополнительному определению,
b а
\ Af(x) dx = — С Af (х) dx.
a b
В полученном интеграле нижний предел интеграции меньше,
чем верхний; следовательно, к нему приложима доказанная теорема,
и мы имеем:
Ь а а
С Af(x)dx = — С Af(x)dx = — A $f(x)dx =
a b b
a b
= А Г— ( f(x)dx\ = A J f(x)dx.
b a
В случае a = b равенство (3) обращается в тождество 0 = 0.
Теорема 11. Определенный интеграл от алгебраической
суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от
каждого слагаемого, т. е.
ь
J [f(x)±<?(x)±<]>(x)± ... ±Mx)]dx =
а
b Ъ b b
= \f(x) dx± С cp (x) dx± С ф (x) dx± ... ± Г X (x) dx. (4)
*) Это необходимо доказать, так как доказательство теоремы 10
опиралось на определение интеграла как предела интегральной суммы, в то время
как в случае а > b интеграл определялся новым дополнительным
соглашением.
§ 2] СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 393
Доказательство проведем только для двух слагаемых; оно
аналогично проводится и для любого числа слагаемых:
ъ
[ \f(x)±9(x)]dx=llm У|/(&/)±<рШ*|—*w) =
a i = \
п п
= lim y.f(tt)(Xt — ^-i)±lim У <р (&,)(*, —д?,^) =
b b
— 1 f(x)dx±\ у(x)dx,
b
что и требовалось доказать.
Докажем, что это свойство сохраняется и при а^>Ь. В самом
деле,
ь а
J \f(x) ± <? (х)] dx = — J [/(х) ± ср (х)] dx;
в интеграле правой части нижний предел меньше верхнего, и
следовательно, к нему приложимо приведенное выше рассуждение. Мы
получаем:
b а
J \f(x) =t <Р С*)] dx=— J [f(x) ± <p (*)] dx =
a b
a a a &
= — \\f{x)dx±: J ?(*)«**]==(—{/(*)<**)±(— j tW^) =
& & & &
& ft
= \ f{x)dx± \ y{x)dx.
a a
Наконец, межно доказать еще следующее предложение:
Теорема 12. Произведение двух функций, интегрируемых
на отрезке [а, Ь], также есть функция, интегрируемая на [а, Ь].
Пусть f(x) и <р(дг) интегрируемы на [а, Ъ\ и пусть \f(x)\<^Mu
| ср (х) | <^ Ж2. Рассмотрим интегральные суммы ^ и 53 (смысл
обозначений такой же, как в теореме 2), построенные для функции
/(дг)ср(лг). Это будут
я
Si=2/G'M&'K*<-*<-i)'
1=1
/=1
394 ОПРЕД'ЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
И опять рассмотрим
L/4P") 9 (Р") -/(Р) <р (Р)] С*/ - *i-i).
Это выражение можно переписать так:
[/(П <р (Г) -/(Р) <р (Р)] (X, - *,_,) =
= {[/(П -/(5')] ч» ОП + [? (П - ч» (*')] /(?)} (*/ - */-i).
Поэтому абсолютная величина этого выражения меньше, чем
{|/(Г) -/(Р) | Ж2 +1 г (Г) - <р (Р) | Ж,} (*,. -*,_,)
и, следовательно,
|53-51|<Ж22!/(П-/(Р)|(^-х/_1) +
/г
+ж12!т0'")-т(?')|(^—^--i).
Но и f(x) и ср(дт) интегрируемы, поэтому обе суммы, стоящие в
правой части, могут быть сделаны как угодно малыми при стремлении
к нулю наибольшего из отрезков (xt— xt_x).
Заканчивается доказательство так же, как в теореме 2.
9. Теоремы о среднем значении. Докажем сначала лемму,
имеющую и самостоятельное значение.
Лемма 1. Если на отрезке [а, Ь], где а<^Ь, функции f(x)
и ср(дг) интегрируемы и удовлетворяют условию f{x)^y(x)>
то тогда
ь ь
1 f(x) dx ^ \ ср (х) dx.
а а
Для доказательства леммы составим разность
ь ъ ь
\ ср (х) dx — J f(x) dx = j [<p (x) —f(x)] dx =
a
n
= lim У [? (W -/(6,)] (*, - xt_t).
В силу условий теоремы разности cp(S/)—f(l4) при любом I
неотрицательны; разности же xt — xt_u по самому определению
интеграла, при а<^Ь положительны. Следовательно, сумма
неотрицательна, т. е.
п
lim У [ <? &) -/(?,)] (*, _ xw)=s0.
Отсюда вытекает доказываемая лемма.
§ 2] СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 395
Дополнение к лемме 1. Если f(x) и ср(х) непрерывны
и f(x)^y(x), причем f(x) не всюду равна ?(лг), то
ь ь
\ f(x) dx < \ <р (х) dx
а а
{равенство исключается).
Пусть в точке \
<р(б)-/(0=*>о.
В силу непрерывности функций / и ср найдется такое
положительное число 8, что при \ — 8^x^E-f-^ выполняются неравенства
Итак, на отрезке [? — 8, £-|-8] мы имеем:
| ср (X) -/(Х)\ = | [ср (*)] - /(6)] + [ср (X) - ср (&)] + [/(|) -/(X)] | ^
^I?(S)-/(9|-|?C*)-?(9|-|/(0-/C*)I^t.
Представим теперь \ [<р(дг)—/(лг)] Йдг в виде суммы трех ИНТе-
гралов (на основании теоремы 1):
ь
= J [?(*)-/(*)]** + J l?ix)-f(x)]\dx+
b
+ 2[(?{x)-f{x)]dx-
По доказанной лемме первый и третий интегралы не
отрицательны. Для второго интеграла мы имеем в силу той же леммы
\ [<?(x)-f(x)]dx^2idx*
Отсюда имеем:
$ |^ = |[(S + 8)-(?-8)]=a8,
откуда окончательно
ь
\ [?(•*)— /С*)]Л*^а8>0,
а
что и требовалось доказать.
396 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
Из доказанной леммы вытекают следующие следствия.
Следствие 1. Если на отрезке [а, Ъ\ определена
интегрируемая функция f{x), для которой
то
т
о
(b — a)^[f(x)dx^M(b — a), (5)
и следовательно, существует число \х, заключенное между т и М,
такое, что
ъ
{f{x)dx = \x(b — a). (6)
а
В самом деле, на основании леммы имеем:
ъ ъ ь
1 mdx^\ f(x)dx^ \ Mdx
а а а
Ь Ь Ь
т \ dx^\ f(x)dx^M \ dx.
a a a
V dx = b — а, поэтому
ь
(b — a)^z if{x)dx^M{b — a).
или
b
Ho
a
my
Следствие 2. Если a<^b, то модуль интеграла от
некоторой функции не больше интеграла от модуля той же
функции, т. е.
ь ь
| С /(*) A*| < f |/(*) | dx. (7)
a a
В самом деле,
-|/(*)l </(*)< +I/O*) I-
Следовательно,
ь ь ь
— \ |/(*)|A*< \f[x}dx<,\ \f(x)\dx,
§ 2] СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 397
а это и значит, что
ь ъ
| J/(*)d*|< J|/(*)|rf*.
а а
Переходим теперь к одному из важнейших свойств
определенного интеграла, которое носит название теоремы о среднем
значении.
Теорема 13. Если /(дг) непрерывная, а ср(дг) —
интегрируемая функция на [а, Ь\, причем ср(дг) сохраняет постоянный знак
на отрезке [af Ь\ (обращаясь, может быть, в нуль в некоторых
его точках), то
ь ъ
$/(*)? (*) dx =/(*) J ср (х) dx, (8)
а а
где £— некоторая точка, лежащая внутри отрезка [а, Ь].
Предположим сначала, что ср(дг)^0 и а<^Ь и обозначим через т
и М наименьшее и наибольшее значения функции /(дг) на отрезке
[а, Ь], так что
Умножим все части этого двойного неравенства на ср (дг) ^ 0; получим:
Щ (х) ^/(х)? 0*0 ^ Щ (■*)•
откуда
ь ь ь
1 wcp (х) dx ^ \ /(дг) ср (дг) dx ^ \ Мер (дг) dx,
или
о о о
т i ср (дг) dx ^ \ f(x)y(x)dx^M \ ср (дг) йдг.
а
Ь
Разделив последние неравенства на интеграл \ ср (дг) dx, который
а
можем считать не равным нулю *), получим:
ъ
^f(x)v(x)dx
т^-—5 ^М.
} <Р (*) dx
1) Если этот интеграл равен нулю, то утверждение теоремы очевидно*
398
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. XII
Рассуждаем теперь следующим образом:
ъ ь
[^f(x)9(x)dx]:[^(x)dx]
есть некоторое число. Это число лежит между наибольшим и
наименьшим значениями непрерывной функции /(дг). Так как
непрерывная функция f(x) принимает на отрезке [а, Ь] значения Мят,
то она должна принять на этом отрезке и любое промежуточное
значение, поэтому должно существовать такое значение х = Ь, где
а<£<[#, что
ъ
i
f(x)<?(x)dx
=/(0,
9 (л:) dx
а
т. е.
f
и и
При доказательстве теоремы мы пользовались тем, что <р (х) ^ 0.
Если предположить, что ср(дг)^0, то доказательство останется тем
же, только все знаки неравенств в процессе доказательства
изменятся на обратные.
Следует отметить тот важный частный случай теоремы о среднем
значении, когда ср(дг) = 1. В этом случае имеем следующее равенство:
ь
J/(*)<**«=/(&) (*-о). (9)
а
Докажем еще одну теорему о среднем значении, которая для
отличия от только что доказанной называется второй теоремой
о среднем значении.
Теорема 14 (Бонне). Если <р(дг) монотонна на отрезке
[а, #], a f(x) непрерывна, то существует такое \ между а и
b(a<^b), что
ь i ь
§f(x)<?(x)dx = <?(a)§f(x)dx + <?(b)$f(x)dx. (10)
a at
Для доказательства этой теоремы мы будем опираться на лемму,
принадлежащую Абелю.
§ 2] СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 399
Лемма Абеля. Пусть е0 ^> гх ^> ... ^> гп ^> 0 и и0, ии ..., ип —
любые числа. Если
5< = ив + и1+...+и| (i = 0, 1, 2, ... , п)
Л<5,<В (г = 0, 1, 2, ...,л),
i*4 <•©«• +«Л + ••• +еА<#ео.
Так как к0 = 50 и к,- = 5,- — S^, то
N^ + «i«i+ ... +tll^=ee5e + t1(S1 —«Se)+ ... +§Я(5Я —S^)==s
= 50(е0 — tO + S^ti — e2)-f ... -j-^^iCe^i —ел) + 5леЛ;
каждая из разностей в скобках положительна, и, заменяя каждое St
через Л, мы уменьшим, а заменяя S( через 5, увеличим правую
часть равенства. Поэтому
А [(е0 — ti)+ (•! — Ч)+ ... +СеЛ_1 — ej-f еЛ]<ео"о+---
••• + еЛ«Л<5[(е0 — ei)4-(ei-e2)+ ... +(e*-i —eJ + e/rL
или
^••<M*o+*i«i + ... + *пип<Вго>
что и требовалось доказать.
Перейдем к доказательству теоремы Бонне,
Мы допустим, что ср(дг): 1) не отрицательна и 2) монотонно
убывает, когда х возрастает от а до й. От ограничения 1) мы скоро
освободимся; если же функция у(х) будет монотонно возрастать,
то теорема доказывается совершенно аналогичным путем, и мы это
доказательство повторять не будем.
По определению интеграла,
ь я—1
\ f(x)<f (х)dx= lim У f(xi)<f> (лг,) (хм — xt),
гдел:0 = а и xn = b. Если т{ и Mt — верхняя и нижняя грани f(x)
на [xt> xi+1], то интегральная сумма будет заключена между двумя
другими суммами sn и Sn:
п—\ я—1
n-I
< 2 ^ (Xi) (*'+1 ~~ *l) = 5"-
400 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. XII
Разность
я —1 Я —1
sn - sn = 2 м& (**> (**+*~ *■■) — 2 щ(? (**> (*м~~ ■*»') ^
1 = 0 1 = 0
/1 — 1
1 = 0
в силу того, что ср(дг) убывает на осрезке [а, Ь], сумма же
п — \
2 (Мй - m,.) (хм - xt)
i = 0
стремится к нулю при 8->0 (В—наибольший из [xiy xi+1]) (или
#->оо) в силу равномерной непрерывности функции f(x). Поэтому
Sn — sn стремится к нулю.
ь
Так как интеграл \f(x)y(x)dx заключен между sn и Sn,
а
a Sn — sn -> 0, то этот интеграл есть общий предел величин sn и Sn.
Но тогда (поскольку ср (лг)^0) он будет и пределом суммы:
я — 1
2 t*# С**) to+i — ■*■•)>
1 = 0
где |if- — любое число между т( и. Mt.
На основании теоремы о среднем значении можно jxf выбрать
так, чтобы
Так как ср (а) ^> ср (лг,) ^> ... ^> ср (#), то из леммы Абеля
следует, что
я —1
/ = 0
содержится между Лср (а) и Вер (а), где Л и В — минимум и макси-
мум интеграла \ f(x)dx, когда с изменяется от а до Ь.
а
Переходя к пределу, мы можем сказать, что и
ъ
ср (а) А ^ ^ / (*) ср (*) d* ^ ср (а) 5.
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 401
с
Но \ f(x)dx меняется непрерывно с непрерывным изменением с1),
а
поэтому найдется такое £ между а и #, что
i ь
? (я) \ /С*) dx= \ f(x) ср (лг) <1хг.
а а
Эта формула еще не является тем равенством, которое нам
ь
нужно доказать: здесь отсутствует член ср(#) \f(x)dx.
с.
До сих пор мы предполагали, что ср(дг) убывает и неотрицательна.
Снимем теперь это ограничение; допустим, что ср(лг) может
принимать и отрицательные значения. Тогда рассмотрим функцию ^(дг)==
= ср(дг) — ср(й); она, очевидно, во всяком случае убывает и
положительна. Применяя к ней только что полученную формулу, найдем:
ь i l
J/ОЖ*) dx = «*)$/(*)dx=[<?(а) -<?(*)] j/(x) dx.
а а а
Но отсюда следует, что
ь ъ 5
$/(*) ? (*) йдг- ? (*)$/(*) <**=[? (а) - ср (6)1 £/(*) Лс,
а
или
ъ
§f(x)<?(x)dx = <?(a)^f(x)dx + <?(b)[f(x)dxi
а а X
что и требовалось доказать.
Для случая, когда ср (х) возрастает, доказательство совершенно
аналогично.
§ 3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
как первообразная подынтегральной функции
10. Определенный интеграл как функция верхнего предела
ь
интеграции. Определенный интеграл \f(x)dx от заданной интегри-
а
руемой функции f(x) зависит от выбора интервала интеграции (а, #).
Если мы закрепим один конец интервала интеграции, например а,
и будем рассматривать другой конец как независимое переменное,
*) Это будет доказано в следующем параграфе.
402 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ ГЛ. XII
то интеграл будет функцией этого переменного. Чтобы иметь дело
с привычными обозначениями, обозначим верхний предел
интеграции вместо b через х, в связи с этим переменную
интеграции вместо х обозначим какой-нибудь другой из тех букв, какими
обычно обозначают переменные величины, например буквой t. Мы
получим некоторую функцию от х:
х
ф(*)=$/(ОЛ.
а
Если f(f) интегрируема на отрезке [а, Ь] {а и b —
фиксированные числа), то Ф(дг) будет определена для всех х,
удовлетворяющих неравенству а^х^Ь.
X
Теорема 15. Ф (х) = \ / (t) dt есть непрерывная функция
а
от х.
Действительно, пусть х — произвольное значение из области
определения функции Ф (х). Рассмотрим какой-нибудь отрезок [а, р],
содержащийся в этой же области и заключающий точку х> причем,
если х не есть крайняя точка указанной области, будем
предполагать, что х содержится внутри отрезка [а, р]. Пусть h — любое
число, такое, что x-\-h также содержится в [a, р]. Ha основании
теоремы 9 имеем:
x-jrh х x-jrh
Ф (х + h) - Ф(х) = J /(0 dt - J до dt= I f(t) dt.
a ax
Ho f[t), будучи интегрируемой, ограничена на [а, р]: \f(t)\^M.
Тогда, согласно следствиям 1 и 2 леммы 1 § 2 (стр. 396) имеем:
I x~kh I x~kh
|Ф(* + А) —Ф(*)|= J /(0*^J \f(t)\dt*£M\h\.
I х I X
Отсюда непосредственно следует непрерывность Ф (х).
11. Производная определенного интеграла по верхнему пределу.
X
Теорема 16. Функция Ф(х)= \f(t)dt имеет производную в
а
каждой точке х, где подинтегральная функция f(t) непрерывна;
при этом имеет место равенство
а
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 403
иными словами, подинтегральная функция есть производная от
интеграла по верхнему пределу интеграции.
Действительно,
x-\-h
Ф{х + К)—Ф (х)_ 1 "
h ~ h
х-^-а
Обозначим через mXfh и Мх^ соответственно, нижнюю и
верхнюю грани функции f(x) на отрезке с концами х и x-\~h.
Согласно лемме 1, имеем:
x4-h
и значит,
^Ф(х+Н) — ф(х) м
Пусть теперь f(t) непрерывна в точке t = x. Тогда
lim mXth = lim Mx,k =f(x),
и предыдущие неравенства показывают, что
lim Ф(* + *) —Ф(*)
л-^о h
существует и равен f{x). Теорема доказана.
Из теоремы 16 как непосредственное следствие вытекает
следующее предложение, являющееся одной из важнейших теорем
математического анализа.
Основная теорема 17. Если f(x) — непрерывная функция,
X
mo I f(t)dt есть первообразная от f{x).
а
В этой теореме, в частности, содержится приведенное
выше утверждение, что всякая непрерывная функция обладает
первообразной. Более того, она дает способ вычисления
первообразной путем составления интегральных сумм и перехода к пределу.
Однако в значительном числе случаев первообразная может быть
гораздо легче найдена с помощью правил вычисления
неопределенных интегралов, изложенных в главе XI. Тогда основная теорема
может быть, наоборот, использована для вычисления
определенного интеграла по соответствующему неопределенному. А
именно, с помощью этой теоремы можно доказать следующую
важнейшую формулу, обычно называемую формулой Ньютона —
Лейбница.
404 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ ГЛ. XII
12. Формула Ньютона — Лейбница. Теорема 18. Пусть F{x)
— произвольная первообразная от непрерывной функции f{x).
Тогда
ъ
§f(x)dx = F (b) — F(a). (12)
а
х
Действительно, в силу основной теоремы, I f(t)dt есть одна
а
из первообразных для/(лг). Поэтому, согласно теоремы 2 п. 1 гл. XI,
х
F(x)-§f(t)dt = C, (13)
а
где С — некоторая постоянная. Полагая здесь х = а, получим:
а
F(a)-$f(t)dt = C,
а
ИЛИ
C=F(a).
Подставляя в равенство (13) это значение С и полагая х = Ь,
мы и получим формулу (12), называемую формулой Ньютона — Лейб-
ъ
ница: I f(x)dx = F(b)—F(a)t
а
Часто вводят обозначение, называемое символом подстановки
F(b) — F(a) = \F(x)\ , или в другой форме: F{b) — F(a)=sF(x)\ .
Тогда формула (12) может быть переписана в такой форме:
ъ
§f(x)dx = F(x)\\ (14)
а
Как уже указывалось, эта формула важна в первую очередь
своим применением к вычислению определенных интегралов. Так,
например, зная, что ех, — cos х и —р суть первообразные,
соответственно, для функций ех, sinx и х", мы можем сразу написать:
ъ
\exdx=ex\ba = eb — ea;
а
b
sin xdx= — cos x\ = — cos b — (— cos a) = cos a — cos b f
x?1 dx=—7-r
ь bn + l an +1
a /i+1
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 405
13. Формула Ньютона — Лейбница для разрывных функций.
Пользуясь непрерывностью определенного интеграла как функции
верхнего предела, можно показать, что формула Ньютона —
Лейбница сохраняется и в том случае, если подинтегральная функция
интегрируема и имеет конечное число точек разрыва.
Для упрощения рассуждений предположим, что f(x)
интегрируема на [а,Ь) и имеет лишь одну точку разрыва с: а<^с<^Ь.
Читатели легко могут обобщить приведенное ниже доказательство
на общий случай. Итак, пусть f(x) интегрируема и, следовательно,
ограничена на [a, b], \f(x)\^M(a^x^b)y f(x) всюду непре-
ь
рывна на [а, Ь]9 кроме точки с. Представим 1 f(x)dx в следующем
а
виде:
Ъ с—s c+s Ъ
ff(x)dx= J f(x)dx+ J f(x)dx+ Г/(*)<**.
а а с—s c+s
Так как на отрезках [а, с —г] и [с4~*е> b] f(x) непрерывна, то
для них уже установлена формула Ньютона—Лейбница и,
следовательно,
С—S Ъ
С f(x)dx=F(c — e) — F(a) и С f(x)dx= F(b) — F(с-f-e).
a c-j-s
Далее, из ограниченности f(x) вытекает, что
c-j-s j c+s
С f(x)dx\< f Mdx = M-2sf
следовательно, если положить
c-j-s
1 f(x)dx = o)(e),
c—s
TO
lim o)(e) = 0.
Пользуясь полученными формулами, можем написать:
ъ
f f(x)dx = F(c — г)— F(a)-\-(o{e) + F{b) — /7(с + е) =
= F{b) — F{a) + {F{c-e)-F{c+e)) + i*{e).
Перейдем теперь к пределу при е~>0 в правой и левой части
этого тождества; так как F(x) непрерывна в точке с, то
406 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ ГЛ. XII
lim [F(c— s) — F(c-\-e)] = Q, кроме того, ранее установлено, что
lim ш(е) = 0 и, следовательно,
ь
\ f(x)dx = F(b) — F(a) + Um {F{c — е)— F(c + e)} -f
2 ~°
+ Hm o)(e)=F(ft) — F(a).
Этим и доказано то, что требовалось.
Заметим, что формула Ньютона и Лейбница не останется
верной для любой интегрируемой функции. Мы не имеем
возможности в нашем курсе привести пример такой интегрируемой функции
ъ
f(x)f для которой не справедливо равенство 1 f(x)dx=F(b)—F(a)>
а
так как его построение требует сведений из теории множеств.
14. Производная от интеграла как сложной функции. Перейдем
к рассмотрению выражения
ф(дг)
оно также будет представлять собой некоторую функцию от х,
например
COS X COS *
cos2 х — sin2 x cos 2x
J tdt=Y
— 2 — 2 "
sin x sin x
Поставим снова задачу о разыскании производных от функций,
заданных интегралами указанного вида. Рассмотрим сначала два
частных случая:
1) *i (■*)=} f(*)dt
И
?
2) ф.С*)= \ №&.
ф(дг)
Функция Ф\(х) представляет собой сложную функцию от х; в
самом деле, обозначив ср(дг) через и, имеем:
и
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 407
т. е. Ф\(х) есть функция переменной и, где и в свою очередь есть
функция х. По формуле производной от сложной функции имеем:
=№*(x)=f[<t(x)W(x).
Для функции Фа(дг) имеем:
xi Ш)
3>2(*)=J f(t)dt = - J /(/)<«,
Ф(*) *i
и на основании только что выведенной формулы получим:
^ф,(*)=-/№С*)]«КС*)-
Переходим теперь к общему случаю. Пусть
/(*) = \ f(t)dt.
Цх)
Для того чтобы найти производную по х, возьмем
произвольное число с и разобьем заданный интеграл на два:
pU) с <pf*)
J /(0*= J /(0<#+ J /(О*-
ф(дг) ф(дг)
Каждый из этих двух интегралов подходит под один из
рассмотренных частных случаев. Следовательно, дифференцируя каждое
слагаемое отдельно, получаем:
j-x \ f(t)dt=f[<f(x)]<?>(x)-fW(x)]y(x). (15)
Ф(*)
15. Замена переменного (подстановка) в определенном
интеграле. Пусть дана некоторая функция у=/ (дг), непрерывная на
ъ
отрезке [а, Ъ\ и от нее вычислен определенный интеграл \f(x)dx.
а
Пусть х в свою очередь есть некоторая функция от t: x = y(t).
Относительно функции ср(/) мы предположим, что: 1) существуют
решения ta и tb уравнений y{f) = a и <p(t) = b, причем, когда t
меняется от ta до tb, y(f) меняется непрерывно и принадлежит области
определения и непрерывности функций f(x) (так что/[<р(01
определена и непрерывна при изменении t от ta до tb)\ 2) на отрезке
408 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ ГЛ. XII
с концами ta и tb функция <р (t) имеет непрерывную производную cpr (f).
Тогда имеет место следующая важная формула:
ъ *ъ
£/(*)<** = lf[9(f)W(f)di, (16)
а ta
носящая название формулы замены переменных или подстановки
в определенном интеграле.
Для доказательства рассмотрим две функции от t:
*(*) t
<К0 = J n*)d* и x(0= $/fe(0]?'(0* l)
<p (W 'a
и найдем от них производные:
<р (t) if (t)
т. е. функции ty(fi) и х(0имеют одинаковые производные;
следовательно, они отличаются на постоянную величину
К0-х(0=с.
Но при t = ta имеем:
<К'«) = J /(*)А* = 0 и х(0= J/[T(0lTr(0* = 0,
<Р('а> 'а
а следовательно, С = 0, т. е.
К0=х(0-
*) В выражении функции хОО буква t встречается в двух различных
смыслах: в качестве верхнего предела (и здесь она только и является
аргументом функции х(0) и в качестве переменного интеграции, которое, как
известно, может быть заменено любой другой буквой и не влияет на
функцию х(0- В° избежание путаницы лучше было бы эту функцию обозначить
Х(0=\ Я* («)]*'(«) «to,
но мы этого делать не будем, чтобы не вводить новых букв.
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 409
Полагая теперь t = tb, имеем $ (tb) = ^ (tb),
или
<р Ч) *ъ
\f{x)dx=\f[<?{t)]<?'(f)dt9
<Р ('а> *а
что и доказывает справедливость формулы замены переменных, так
как y(ta) = a и ср {tb) = b.
16. Формула интегрирования по частям. Одним из основных
средств вычисления неопределенных интегралов было наряду с
заменой переменных интегрирование по частям. Формула
интегрирования по частям для определенных интегралов запишется так:
ъ \ъ ь
1 и (х) г/ (х) dx = [и (х) v (х)] — \ v (х) ur (х) dx.
а \а а
В самом деле,
ъ ь ь ь
1 (кг/)' dx = 1 [uvf -\- ufv] dx = i uv' dx -f- \ vu'dx.
a a a
b b b
i иг/йлт = 1 (от)' йдг — i iwf dx.
a a
b I
i (uv)rdx=[tiv]
(17)
Поэтому
Ho
Следовательно,
о \o о
i иг/ dx = [от] — l vu' dx,
что и требовалось доказать.
17. Выражение остаточного члена формулы Тейлора с
помощью определенного интеграла. Опираясь на формулу
интегрирования по частям, можно для остаточного члена в формуле
Тейлора найти другую форму, которую часто удобно использовать.
Рассмотрим тождество
/(х)=/(а) + -ф-(дг-а)+^(х-а)^ + ...
•.•+тм(*-«)я+яд*). 08)
где Rn(x), по определению, равно
/(*)-[/<«)+фС*-«)+.. .+^С*-аГ].
410
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. XII
Предположим теперь, что f(x) имеет (я-|-1)-ю производную.
Дифференцируем тождество (18) я —J— 1 раз:
/ (*) =/ (в)+^ (х - а) + . . .
•..+^г(^-«)п-1+/?;(^
Г (х) =f{a) +^Д {х - а) +
/(я;(д)
"(я-2)!
(x_a)»-* + /?H(x)>
(19)
/<я+1> (.*;) = Я £+V)-
Полагаем в заданном тождестве (18) и полученных
тождествах (19) (кроме последнего) лг=а. Тогда мы получим:
Я„(я) = *» = *»= • • • =R(:}(a) = 0.
Теперь можно написать
X
а
и так как Rn(a) = Q, то имеем:
X
*.(*)=$ *»Ю*' (20)
a
Будем применять к интегралу (20) формулу интегрирования
по частям п раз подряд, учитывая, что R'n(a)=R"n(a)= ..+
• • ' Я^(в)==0, и считая лг постоянным, откуда d(x —1) = —dt\
х х
Kn(x)=§R'a(t)dt = - §R'n(t)d(x-t) =
a a
x
=_[с*-о*;(0]Г+ f (-^-0^(0^=
a
a
a
a
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 411
Согласно последней формуле (19) будем окончательно иметь,
полагая снова d (х — t) = — dt:
X
R"^ = 7Tl J(*-0л/л+,)(0dt. (21)
a
Это и есть новая форма остаточного члена.
Пример 4. Если f(x) = ex, то
X
я„(*)=4]>-оя^
а
18. Определение функции по ее я-й производной. Выведенная
формула для остаточного члена, как легко видеть, решает и
другую важную задачу.
В самом деле, вспоминая, что
/?(»*V)=/t»+i>(x)H ^(а) = ^(а) = . ..= /?<"» = 0,
убеждаемся, что формула (21) дает решение следующей задачи.
Пусть (я-[-1)-я производная от искомой функции R(x) задана
и равна ср (х); найти функцию R(x), которая удовлетворяет
добавочным (начальным) условиям
/?(а) = /?'(а)= ... = /?<*>(а) = 0.
Полагая в формуле (21) Rn(x) равным R(x), a f(n+V(t) = <p(t),
получаем:
X
а
19. Исследование функций, заданных интегралами. В
предыдущей главе были изложены различные методы нахождения
первообразных функций для элементарных функций, т. е. для
функций, изобразимых с помощью конечного числа знаков
основных элементарных функций. Однако надо иметь в виду, что этот
класс функций не является замкнутым по отношению к операции
интегрирования, т. е. первообразная функция от функции,
элементарной в указанном смысле, может уже не быть элементарной
функцией. Впервые этот факт был установлен в работах Абеля
и Лиувилля в первой четверти XIX столетия. Дальше вопрос об
интегрировании в элементарных функциях разбирался многими
авторами, среди которых наиболее замечательные результаты
получил русский математик П. Л. Чебышев. В настоящее время
следует считать установленным, что первообразные для
большинства элементарных функций не являются элементарными функциями.
412
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ ГЛ. XII
С подробным изложением основных результатов Абеля, Лиувилля
и Чебышева читатель может познакомиться по главе XVII в первом
издании настоящего курса.
Теорема существования первообразной для любой непрерывной
функции показывает, что если мы и не можем выразить
первообразные от многих функций как «элементарные» функции, тем не менее
они существуют и однозначно определены, если только задать их
произвольно в какой-нибудь точке. Таким образом, интегралы
становятся источниками образования новых трансцендентных функций.
Многие таким образом полученные функции прочно вошли в науку
(интегральней логарифм, эллиптические функции Якоби и др.) и
находят широкое приложение в физике и технике. Поэтому
естественно возникают вопросы: как вычислять значения функций,
заданных интегралами, как исследовать поведение этих функций или
найти некоторые их свойства. Полное рассмотрение всех этих
вопросов возможно лишь при использовании аппарата теории функций
комплексного переменного и дифференциальных уравнений. Сейчас
мы рассмотрим лишь один простой пример исследования поведения
функции, заданной интегралом. Прежде чем перейти к этому
примеру, заметим, что приемы, которыми мы будем пользоваться, часто
прилагаются не только к исследованию новых трансцендентных
функций, но и к исследованию и ранее известных «элементарных»
функций, если они заданы с помощью знака интеграла, так как часто
формулы, выражающие этот интеграл через основные элементарные
функции настолько сложны, что проще исследовать функцию,
взятую в виде интеграла, чем заранее ее интегрировать, а потом
подвергать исследованию.
Рассмотрим первообразную функции
J/V+1 '
обращающуюся в нуль при х = 0 (см. гл. XI, § 1). Обозначим эту
первообразную через Ф(лг). Имеем:
X
dt
+1-
Прежде всего заметим, что Ф' (0) = тт=а ■ j = 1, т.е. график
рассматриваемой функции проходит через начало координат,
образуя в нем угол 45° с осью абсцисс.
Jdx,
. , не может быть выражен в конечном виде че-
у Х^ —р 1
рез элементарные функции,
§ 3] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 413
Производная от Ф (х) положительна для всех значений дг.
Следовательно, Ф (дг) монотонно возрастает при всех значениях х.
Далее, делая замену переменных t = — и, получаем:
Ф
(-*)=!-
dt
Jdu
Ф (*),
угк +1— J Vй"+'
о о
т. е. Ф (х) — нечетная функция.
Исследуем поведение нашей функции при х-— оо и при х—* — оо.
В обоих случаях Ф' (дг)—*0. Покажем, что Ф (х) остается огра-
1 ^ 1
ничейной при х—*оо. Действительно, так как
имеем:
yw+\<*
то
ф
{х) = $уЩ
К^ + 1
K^ + i 4
о 1
1
-J
dt
K<4 + i
1 о
I * JU Jk^ + i
СЁ.—
+ 1-Г-
1 > что и доказывает наше
&*&
^Х
утверждение.
Так как Ф (дг) ограничена и
монотонно возрастает, то она
должна иметь горизонтальную
асимптоту при х—-со. В силу нечетности,
Ф (дг) имеет горизонтальную
асимптоту и при дг —— со. При этом,
если при х—*оо уравнение
асимптоты есть у = с, то при дг—*—со
уравнение асимптоты будет у=—с.
Эти данные уже дают нам возможность представить себе
характер графика исследуемой функции (черт. 70).
ГЛАВА XIII
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Длина дуги плоской кривой
1. Определение длины дуги. Пусть дана кривая, уравнение
которой y=f(x), где f(x)— однозначная непрерывная функция.
Рассмотрим дугу АВ этой кривой, соответствующую изменению
х от а до Ъ (а<^Ь), т. е. дугу кривой между точками, имеющими
координаты (a,/(a)) и (#,/(#)). Разобьем эту дугу на несколько
частей (черт. 71), и пусть точки деления будут (считая от Л к В)
А = М99 Ml9 Mv..., Mn_v Мп = В.
Рассмотрим ломаную рп> вершинами которой служат точки
Л, М19 Мф..., Mn_v By и назовем ее ломаной, вписанной в дугу АВ,
а ее длину обозначим sPn. Введем следующее определение.
Черт. 71.
Определение 1. Длиной дуги АВ называется предел
последовательности длин spm ломаных ри р2, ..., рт, ..., вписанных
в дугу АВ, при условии, что длина наибольшего звена ломаной
стремится к нулю:
§ 1]
ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
415
Будет показано (см. стр. 420), что этот предел всегда существует
и не зависит от выбора последовательности ломаных, но он может
оказаться бесконечным.
Дугу, имеющую конечную длину, называют спрямляемой,
2. Свойства спрямляемой дуги. При построении ломаных,
вписанных в дугу, мы брали лишь такие ломаные, у которых концы
совпадали с концами данной кривой (Ж0 совпадала с Л и Мп
совпадала с В). Но, очевидно, если мы будем предполагать, что концы
всех или некоторых ломаных последовательности {рт} не
совпадают с концами кривой, а лишь неограниченно к ним
приближаются (Af0—> Л, Мп —>£), то предел (1) получится тот же самый.
Это замечание позволит нам легко установить следующую теорему.
Теорема 1. Если АС и С В — две спрямляемые дуги, имеющие
общий конец С, то дуга АС В тоже спрямляема и ее длина равна
сумме длин дуг АС и СВ.
Пусть pv pv . . . , рт, . . . , — последовательность ломаных,
вписанных в дугу АВ> причем длины наибольших звеньев ломаных
стремятся к нулю. Пусть
MWf Mi(m)9 МЫ)9 МЩ
суть вершины ломаной рт; из них М^т\ Мх{т\ . .., Mk{m)
лежат на AC, a Mf\_v М™г ... 9 М{^ —на СВ (черт. 71)
(точка С может оказаться одной из вершин).
Обозначим ломаную М{™\ М{™\ . «, „, М^ через pmf и ее
длину —через sTm, а ломаную Мъ±\, m£+L •••> ^^ — через Рт
и ее длину — через sm.
Так как длина наибольшего звена ломаной рт стремится к нулю
при /и —► оо, то тоже будет иметь место для pfm и р"т. Концы
ломаной pfm стремятся (или совпадают) с точками Л и С, а концы
ломаной р"т стремятся (или совпадают) с точками С и В.
Так как дуги АС и СВ спрямляемы, то существуют пределы
SAC = 11Ш S'm и SCB = lim «V
m-*oo m-*oo
Но длина ломаной pm отличается от суммы длин ломаных ргт и рГТт
на длину одного звена М*1* М^+и т. е. на величину, стремящуюся
к нулю; следовательно, длины ломаных рт имеют предел, равный
s?m-\-s"m. Так как последовательность {рт\ была произвольной, то
теорема доказана.
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что если длину
ломаной вычислить по формуле (1) как предел длин ломаных, в нее
вписанных, то мы получим тот же результат, как если бы мы
просто сложили длины составляющих ее звеньев, т. е. ломаная есть
спрямляемая кривая.
416
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
[гл. XIII
3. Вычисление длины дуги. Пусть абсциссы точек деления дуги
АВ будут дг0, хи хъ
хп (черт. 72), причем
a = *oOiOa<. • .<.хПт = Ь.
В таком случае длина sPm ломаной рт (М0 Мх М2.
выражается следующей суммой:
М,
л-1
М*т)
пт
0е =
(2)
а длина дуги s^ — пределом этих сумм, при условии, что
наибольшее слагаемое стремится к нулю. Но для выполнения этого условия
X, Mt = /[/(*.) -/С**-.)!' + С*, - *„)• -> о
необходимо и достаточно, чтобы \х(—^i-i|-^0 (необходимость
очевидна, а достаточность следует из непрерывности функции f(x):
если \х( — -хг^_11 —^0, то и f(xt)—/(*i_i)—-0, а следовательно, и
sm м ~~* ^)- Таким образом, из определения 1 и формулы (2) вы-
текает следующее выражение для длины дуги кривой:
зГв= lim
2 /[/(^)-/(^-i)]2 + (^-^-i)2- (3)
Строение формулы (3) дает розможность выразить длину ду-
У\ ги s£b через определенный
интеграл при одном
дополнительном ограничении на функцию f(x):
мы будем предполагать, что / (х)
имеет в рассматриваемом
отрезке а ^ х ^Ь интегрируемую про-
т
Ф)
^а
*nzb
*~Л изводную. В таком случае si
Рт*
Черт. 72.
определяемая формулой (2),
превращается в интегральную сумму.
Действительно, применяя к
каждому слагаемому теорему о конечном приращении, получаем:
/[/(*<) -f(xt-r)? + (•*, -xt_ty =
V\f («,)]' (Xl ~ Xi-гУ + (xt - x^f =W\f (6,)]» +1 Yxr-xt_J
зГв= lim S /[/&)]' + Kxi-x^X
(*r*i-i)-*°
(4)
§ 1] ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 4l7
где Ъ19 Е2, . . . , \п — значения х на отрезках [лг0, лг,], [л^, лг2], . . .
..., [хп_ь хп], определяемые теоремой о конечном приращении.
Сумма в правой части формулы (4) представляет собой
интегральную сумму, составленную для интегрируемой функции \/\f(x)]* -\- 1
на отрезке [а, Ь]\ по теореме существования определенного
интеграла этот предел существует, и длина дуги s^ будет выражаться
формулой
*Гв=1 V\f(x)]* + ldx. (5)
а
Если уравнение кривой задано в форме
где а и р — ординаты точек Л и В кривой, причем а<^р и функция
f(y) имеет непрерывную производную, то длина дуги будет
выражаться равенством
Р
^=H/l + [/fCv)]2^ (6)
а
которое выводится совершенно таким же образом, как и
равенство (5).
Пример 1. Вычислить длину дуги параболы х* = 2ру в
пределах от 0 до xv
В данном случае
х2 , х
у=ъ* у=т-
Согласно формуле (5)
О о
Неопределенный интеграл £ j/лг2 -\-р* dx был уже вычислен в
гл. XI, § 4, примере 25, именно:
Теперь подставим пределы интеграции 0 и хх и получим:
= 5*1 /V+T" + £ In (г, + /V+7) - | In if .
4. Неспрямляемые кривые. Мы получили формулу (5) длины
дуги кривой y=f(x) в виде определенного интеграла, сделав
7г14 В. В. Немы цкий и др.
418 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [гл. ХШ
допущение, что функция f(x) имеет интегрируемую производную.
В этом случае дуга кривой всегда является спрямляемой, так как
соответствующий интеграл берется от непрерывной функции. Если
же отказаться от этого ограничения, то дуга может оказаться и
неспрямляемой.
Для того чтобы получить пример неспрямляемой дуги, вернемся
к выражению суммы (2) — длине ломаной sp :
Ч = Jj */[/(*/)-/(*i-i)]2 + (*/-*.--i)2 • (2)
Каждый член этой суммы положителен. Уменьшим его,
отбросив под каждым радикалом положительное слагаемое (xt — xt_^f\
мы получим неравенство
в*> £ /[я**) -/(*,--i)p=hf(*d -/(^/-i) i,
1=1 <=1
или в развернутом виде
Ч >1Я*.)-/(в) 1 + 1/Ы-/(*.) I+ l/(*.)-/WH-...
... + |/(й)-/(х„_,)|.
Обозначим сумму в правой части этого неравенства через vn и
введем следующее определение.
Определение 2. Функция f(x) называется функцией с
ограниченным изменением на отрезке [а, Ь], если существует
такое число vy что, каковы бы ни были точки хи хъ хъ ... , хп^
{где a<^x1<^x<i<^^. -<^хп-\<С^)^ &ля величины
Vn = \f(*i)-№\ + \f{x*)-f(Xx)\ + --. + \№-f{x*-i)\
будет всегда иметь место неравенство vn^v.
Теорема 2. Для того чтобы дуга кривой у =f(x),
соответствующая значениям х, заключенным на отрезке [а, Ь], была
спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была
функцией с ограниченным изменением на отрезке [а, Ь].
В самом деле, если не существует числа v, превышающего
любое из возможных vn, то vn может быть сделано как угодно
большим; то же относится и к sp ^>vn, и поэтому sp не может иметь
конечного предела. Этим доказана необходимость.
Для доказательства достаточности заметим сначала, что если
напишем сумму
2 /[/(**) - /to-i)]'+to - *«-02.
i=l
соответствующую подразделению
а = х0 <х% <... <*„ = Ъ
§ 1] ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 419
отрезка, и вставим в это подразделение одну точку г, т. е. будем
рассматривать подразделение
a = *o<*i<...<*/<'<*/fi<...<*/i==£>
то в силу неравенства Уо^ -\- [З2 ^ | а | -j-1 р |, написанная выше
сумма, соответствующая этому новому подразделению, увеличится на
величину, не большую чем
2<»/[*y*/+i] + l*/+i— *у|,
где ®f[XjXj+i] равно колебанию функции f(x) на отрезке [xjyxf+l].
Отметив это, предположим, что f(x) имеет ограниченное
изменение на отрезке [а, Ь]9 т. е. при любом подразделении имеет место
vn<v>
где v — фиксированное число. Тогда
SPn —
2 /№) -/(Jfi-i)]'+(*i - xi-if ^
а это значит, что длины вписанных ломаных ограничены.
Пусть L будет верхняя грань длин вписанных ломаных; тогда
L ^ v + {Ь — а) .
Покажем, что длина дуги будет равна как раз L.
В силу определения верхней грани для всякого е<^0 можно
найти такое подразделение
Я==*0<>1<- • -Oii = *> (7)
для которого будем иметь:
Теперь выберем столь малое число 8, чтобы из выполнения
неравенства
|*/-**-i|<& (8)
следовало бы
Кроме того, само 8 возьмем таким, чтобы
420 Приложения Определенного интеграла [гл. хш
и рассмотрим второе подразделение
a = *o<*i<. . .<*,<. . .<лгт = &, (П)
для которого выполнены условия (8), (9), (10).
Составим третье подразделение, состоящее из точек
подразделения (7) и (11), оно будет удовлетворять условиям (8), (9), (10) и,
кроме того, как полученное из (11) путем добавления не более чем
п точек оно будет давать ломаную линию с длиной, большей чем
ломаная, соответствующая подразделениям (7) и (11). Увеличение
длины при добавлении одной точки, согласно сделанному выше
замечанию, не будет превосходить
{2-/ [wl +(**-*i-.)}<2{£} + :5- = -5-.
Поэтому все увеличение длины (при прибавлении не более
чем п точек) будет меньше, чем л-о— = Т' так чт0' обозначая
длину ломаной для третьего подразделения через sp, т1)у будем
иметь:
SPn+m < SPn + i
И
SPn+m *> SPn>>^
откуда
SPn>L-*>
а так как sp не может быть больше L, то
L — е<5рп<1,
а это и значит, что
limsPn = L,
г
~2
т. е. что дуга спрямляема.
Заметим, что из доказанного следует ранее упомянутое
предложение: предел вписанных ломаных всегда существует', он или
равен оо, или, если длины ломаных ограничены, равен конечному
числу.
Перейдем теперь к примеру неспрямляемой кривой. Рассмотрим
на отрезке [0,1] функцию, определяемую условиями:
f{x) = xsm^ при лг=£0;
/(лг)=±=0 при лг = 0.
1) Обозначение третьей ломаной рп+т указывает только на то, что она
получена при помощи подразделений (7) и (11), а не на число ее вершин,
которое может быть и меньше п-\-т.
§ 1]
ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
421
Эта функция непрерывна, но мы покажем, что она не будет
функцией с ограниченным изменением.
Рассмотрим следующие точки на отрезке [0, 1]: l,1/^ 1/а,..., 1/я,...
Если п — четное число, п = 2/7, то наша функция равна нулю:
Если же п — нечетное число, п = 2р-\-\, то
/(т)1 =
/
2р+1
1
1
2р+1
" 2р+1
sin(/> + 4r)w
sin
(2р + 1)Ч_
1
2р+1
Пусть теперь п = 2р— некоторое фиксированное четное число;
выберем следующие точки деления отрезка [0,1]:
_п _ 1 _ 1
ДГ0 — U, Х\—-г?- г-, дг2-
2р —1 ' ^~ 2р — 2 ' •
имеем:
^1 = |/(*1)-/(0)| + |/(^)-/Ы1 + . • •
••• + I/C*»p-i) — f(xip^)\.
Если эту сумму записать в обратном порядке, то получим:
^-»=1/0)-/(т)|+|/(т)-/(т)|+---
•••+|/(2^=т)-/(0)|.
а так как
то
/(!)-/ф-/(т)----/(*Ь)-.'«>-*
т. е. окончательно
2р— 1
>i+i+i+
■ + 7-
Мы получили первые члены гармонического ряда, который, как
известно, расходится. Следовательно, если р -> со, то lim х/2р _ t — со,
поэтому функция f(x) = xsm £- не является функцией с
ограниченным изменением, а следовательно, дуга графика этой функции,
соответствующая изменению аргумента от 0 до 1, неспрямляема.
5. Дифференциал дуги. Вернемся к формулам длины дуги (5)
и (6). Пусть одна точка кривой А с координатами (а, а) неподвиж-
14 В. В. Немыцкий и др.
422 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО интеграла [гЛ. XIII
ная, а другая М с координатами (х, у) движется вдоль дуги; тогда
длина s^q дуги AM есть переменная величина, зависящая от х и у\
так как х и у связаны между собой уравнением кривой y=f(x),
или x=f (у), то 5^q есть функция только одного переменного: или х
или у.
Мы имеем:
а
или же
J' ,-
^=^00=Р i + L/W^y
а
в зависимости от того, дано ли уравнение кривой в форме
y=f(x) или x=f(y).
Дифференцируем первое равенство по х:
Дифференцируем второе равенство по у:
В обоих случаях мы получаем одну и ту же формулу:
ds2 = dx*-\-dy\ (12)
Величина
ds= /dx* + dy* (13)
есть дифференциал дуги.
Пользуясь равенствами (12) и (13), легко вывести выражение для
длины дуги в том случае, если она задана в параметрической форме.
6. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме.
Пусть теперь кривая задана в параметрической форме:
x=?(t), у=*(£).
Мы рассмотрим тот частный случай, когда обе функции <р(0 и
ty(t) имеют непрерывные производные на отрезке от tx до t^ причем
нет таких значений t на этом отрезке, в которых обе производные
cpf (t) и <|/ (t) одновременно обращались бы в нуль. Из этого условия
следует, что каково бы ни было ty всегда можно найги такой малый
отрезок [t — b9t-\-b]9 что в этом отрезке либо y'(t)^zQ, либо
y(t)^Q, т.е. либо ср(^), либо <]>(£) монотонна. Следовательно, на
Этом отрезке:
1) либо / выражается через х с помощью однозначной и
монотонной функции t = i{x)\ тогда У = ^[~(х)]> т. е. уравнение кривой
может быть написано в форме y = f{x)\
§ 1]
ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
423
2) либо t выражается через у с помощью однозначной и
монотонной функции t = i{y)\ тогда лг=ср [т(_у)], т. е. уравнение кривой
может быть написано в форме х = /(у).
Так как в обоих случаях
ds* = dx* + dy\
то для кривой, заданной в параметрической форме: х = ср (/), у = ty (f)>
при сделанных допущениях имеет место формула
(dsf=w со]2 да+w (0J2 да (14)
или
откуда
g= vwWTWW,
и мы получаем следующую формулу для длины дуги 5,
выраженную через параметр t: у,
и
s
,= J /w
'(0]' +[У (')]'<& (16)
Пример 2. Вычислить длину
кривой, уравнение которой в пара- [^^ | х \/j
метрической форме следующее:
х — а cos3 Ъ
j/ = asin3£.
Кривая, о которой идет речь, носит
название астроиды (черт. 73). Чтобы
получить дугу астроиды от А до В
(четверть длины всей кривой), следует / менять от 0 до -^-;
применяем формулу (16);
-~ = —За cos21 sin t; -^ = За sin2 / cos t\
/"'")
J
1 /
i у
\ X
\ \
\ \
4 \
в
rx
\ \
0 yS^
/ /
Черт. 73.
i= С /9a2 cos4 t sin21 -f- 9a2 sin41 cos2 / dt =
z
= 3a f /
cos2 ^ sin4 ^ £#
= 3a|
sin£ cos t dt==
2 к
= ~3a f sin2^2^ = ^f- cos 2^2=^-; s = 6a.
14*
424
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
[гл. XIII
Пример 3. Вычислить длину дуги эллипса от точки А (О, Ь) до
любой точки М(х,у) (черт. 74).
Принимая за начало отсчета точку А — верхний конец малой
оси эллипса, запишем уравнение эллипса в параметрической форме:
х = a sin ср, y = b cos ср. Получим:
j/a2 cos2 ср -|- #2 sin2 ср dcp.
Положив k2 = —2— (k — эксцентриситет эллипса, £2<0), мы
-Г'
1
1
\
! -l if
о у*
получим:
S
— f /a2_a2sin2(p_|.ft2sin2cprfcp==
О
= а С /1 — Л2 sin3 ср rfcp.
Этот интеграл не выражается в
Черт. 74. элементарных: функциях1), но он может
быть вычислен приближенно, если
применить формулу Тейлора (см. обобщенную формулу бинома
Ньютона) к подинтегральной функции. Полагая
je = &2sin2cp,
мы получим:
/l—х= i/l— £2sin2cp =1—i^2sin2cp —I.i*4sin4cp —
-i -T ' Tk* sin^- • • • ~ 2-4.6...2n
причем известно, что |/?„(cp)| можно сделать меньше любого
наперед заданного числа е, если
^2sin2cp<l>
1 1 3 , ft _,R Ы.3...(2/г —3) ,2Д с1п2Лсо4-/?
• • oTITr 9^ R sin т "Г *<л
*) Полагая sin ? = л:, ср = arcsin лг, откуда
dx
у\—х2 '
мы приходим к вычислению интеграла
dx р (\—k2x2)dx
а 9Т0 — Так называемый эллиптический интеграл второго рода) он не
выражается в элементарных функциях (см. об этих интегралах гл. XV11 первого
издания этого курса).
jV"l — kb
§ 1] ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 425
но так как k<^\, то это условие выполняется для всех ср и,
следовательно, |/?я(<р)| может быть сделано произвольно малым, если
взять п достаточно большим. Но тогда
J /l — A* sin2 ср <*?== f [l — у*9 sin2 * — \ k*sin4 * —
-1 *• sin« T -... - bl234;6:(2.V3) k*nsin*" *]rf?+**(*>.
где |ал(ср)[ для всех значений ср произвольно мало, -если п
достаточно велико.
Длина дуги эллипса выразится формулой
s = a I |/l —^2 sin2 ср rfcp =
о
==я[<р —-g"* J sin2 cprfcp — — k* J sin4cprfcp— . . . j-fart(cp).
Если мы хотим вычислить периметр а всего эллипса, то должны
параметр ср изменять от 0 до 2%.
Мы получаем:
о = а|2т:— 2"*2 Г sin2 cprfcp — ~ &4 Г sin4cprfcp— . . . )-{-ап>
где |ал|<^е, если п достаточно велико.
Что касается интегралов вида
l sin cprfcp,
которые встречаются в этой формуле, то они могут быть
вычислены по формуле приведения тригонометрических интегралов, а именно
полагая Im= \ sin2wcp*/cp, имеем, применяя формулу (47) п. 26 гл. XI:
о
Поэтому
2/я
426 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [ГЛ. XIII
Так как это имеет место при всяком целом положительном т,
то имеем:
т 2т—1 г Т 2т—3 Т , _3_ , т _J_ т
m— 2m ~ 1 ' m~l == 2т 2 w~2» • • • » 2— 4 * ' *— 2
/0 = 1 sin0 ср rfcp = I dcp = 2ir ,
о о
откуда
, __ 2т—1 2т—3 3 , __ 2m—1 2m—3 _3 1_9
У^~ 2т 2ю—2 " " • 47l~~ 2m 2m—2 '' ' 4 Т" '
Окончательно для длины всего эллипса получим:
• • • 2я—1 [ 2 4 • • • 2л У J^a*'
где ал как угодно мало при # достаточно большом.
7. Длина дуги, заданной в полярных координатах. Выведем
теперь формулу для длины дуги кривой в том случае, когда
уравнение кривой задано в полярных координатах;
р=/(в).
Мы используем ту же формулу (16), которая давала выражение
для длины дуги в параметрической форме. Как известно, соотно^
шения между декартовыми и полярными координатами точки будут
следующие:
x=pcos0, j/ = psin0.
Так как р и 0 связаны уравнением кривой, то как х, так и у
могут быть выражены только через, один параметр 0:
x = pcos0=/(0)cos0, y = psin 0=/(0) sin 0.
Теперь наша кривая оказалась заданной в параметрической
форме, и мы можем найти длину ее дуги. Обозначая производные
по 0 штрихами, мы будем иметь:
хТ = р' cos 0 — р sin 0, у = pf sin 6 —|— р cos 0,
откуда
(*')* +(У)2 = (р')* + Р*>
и формула (16)
$==/ /х'*+у'* dd
h
§ 2]
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
427
примет теперь вид
где
*= /(р')а + Р2<Я,
df_
(17)
*~л
р=/(в). р'=ж=/(6)-
Соответствующая формула для дифференциала дуги в полярных
координатах
(«fe)«=(rfP)» + P«W. (is) п
Пример 4. Вычислить длину
кардиоиды р = а (1 — cos 0).
Кардиоида симметрична относительно
оси ОХ и в начале координат имеет
точку возврата, касательная в которой
совпадает с осью ОХ (черт. 75). Мы
получим половину длины кардиоиды,
изменяя полярный угол от 0 до 1С.
Применяя формулу (17), получим: Черт. 75.
1С 1С
|-=я С уЧ1 — cos9)2-f sin2 б dB = a С /2 —2cps б tf9 =
о о
1С тс
= aJl/2-2sin2 J- db = 2a Jsin-|-rfO=s
о о
= 2a[-2cos-|-]; = 4a
и, следовательно, вся длина кардиоиды равна 8а.
§ 2. Площадь плоской фигуры
Оставляя до второго тома этого курса выяснение
геометрического и логического содержания понятия «площадь», здесь мы
будем ссылаться на интуитивное представление о площади и займемся
ее вычислением для некоторого класса фигур.
8. Площадь криволинейной трапеции, 6 § 1 предыдущей
ь
главы уже упоминалось, что I f(x)dx в том случае, когда
а
/(дг)^О, естественно принять за число, измеряющее площадь 5
криволинейной трапеции (черт. 76), т. е.
ъ
S = $f(x)dx. (19)
428
приложения определенного интеграла
[гл. хш
Исходя из этого, можно для вычисления площадей других
криволинейных фигур использовать определенные интегралы. Прежде
всего сделаем такое замечание.
Пусть f(x) принимает и положительные и отрицательные
значения (например, имеет график,
изображенный на черт. 77).
Представим ее как сумму двух непрерывных функций ср (дг) -\- ф (дг), где
ср(лг) = /(лг), если /(дг)^О;
ср(дг) = 0, если f(x)<^0
и
+ (■*)=/(■*), если/(х)<0;
^ (х) = О, если / (х) ^ 0.
Тогда
ь ь ь ь ъ
\f(x)dx = \ y(x)dx-\- ^{x)dx= Г y(x)dx— Г (—<|* (х)) dx.
а а а а а
Функции ср(дг) и —ф(дг) положительны или равны нулю.
ь
Следовательно, согласно доказанной формуле (19), l y(x)dx ра-
а
вен площади криволинейной трапеции, построенной для кривой
<р(х) (изображенной на черт. 77 жирной линией), но эта
криволинейная трапеция состоит из трех частей криволинейной трапеции
для f(x), которые расположены выше оси х. Аналогично
ь
\ (—*К**0) dx представляет собой площадь криволинейной трапеции
а
для функции — Ф (х), а эта криволинейная трапеция есть
зеркальное отражение трапеции, построенной для функции ty(x);
последняя же трапеция состоит из тех частей криволинейной трапеции
для /(дг), которые лежат ниже оси х.
ъ
Итак, мы видим, что \f(x)dx представляет собой алгебраичес-
а
кую сумму площадей тех частей криволинейной трапеции для
функции f(x), которые расположены выше оси х, и тех ее частей,
§ 2]
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
429
которые расположены ниже оси х, причем первые берутся со
знаком -[-, а вторые со знаком —.
Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площади с
помощью определенных интегралов.
Пример 5. Найти площадь, заключенную между параболой
л-го порядка у = хп (п^\)у осью ОХ и прямой х=\ (черт. 78).
Рассматриваемая фигура есть криволинейная трапеция, поэтому
ее площадь 5 равна интегралу
т. е. составляет
5=
1
1
Xя dx
_У+1
«+1
1
я-fl '
« + 1
часть квадрата со стороной 1. В частности,
1
для параболы у = х2 второго порядка получим 5= -«-.
*~Х
Черт. 78.
Черт. 79.
Пример 6. Найти площадь, лежащую вправо от оси OY и
заключенную между параболой /г-го порядка у = хп и прямой у=1
(черт. 79).
Рассматриваемую площадь можно вычислить как разность
площадей прямоугольника OBAC = Sx и криволинейной трапеции
OAC = S2:
О = Oj Од.
Для того чтобы узнать площадь прямоугольника ОВАС, надо
знать длины отрезков О В и ОС. Но длина 05=1, длина ОС равна
абсолютной величине абсциссы той точки А параболы, ордината
которой равна 1; она определится из уравнения 1 =дгга, откуда |лг| = 1,
и следовательно, прямоугольник в данном случае есть квадрат.
Теперь мы можем написать искомую площадь в виде формулы
1
?=1— ^xndx =
xn+i м
/|+ ! к"
п
430
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
[ГЛ. XIII
Пример 7. Вычислить площадь треугольника, если даны
координаты вершин: Л(0, 0), Д(1, 2), С(2, 0) (черт. 80).
Треугольник представляет криволинейную трапецию, где
криволинейной стороной служит ломаная линия ЛВС. Обозначим ее
уравнением y^=f (х). Тогда функция / (х), очевидно, изобразится
двумя формулами:
/ (х) = 2х при 0 ^ х ^ 1
(уравнение прямой АВ);
f (х) = — 2 (х — 2) при 1^дг^2
(уравнение прямой ВС).
Поэтому имеем:
2 1 2 1
S=)f(x)dx=$f(x) dx+^f (х) dx=§2xdx +
+ |-2(x-2)dx=x2^+[-(x_2)2| = l-0-0-f 1 = 2;
5=2.
Этот результат мы, конечно, могли получить и чисто
геометрически:
5 = 1лс.Д£>=у.2.2 = 2.
В0.2)
А(аоА
Черт. 80.
Черт. 81.
Пример 8. Вычислить площадь, заключенную между
параболами х* = 2ру и у* = 2рх (черт. 81).
Заштрихованная площадь, очевидно, может быть представлена
как разность площадей двух криволинейных трапеций:
51 = пл. ОпМК и 52 = пл. ОтМК:
S= Si — о2.
Для того чтобы вычислить площадь этих трапеций,
необходимо знать абсциссу точки пересечения М обеих парабол. Для
§ 2]
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
431
этого решаем совместно систему уравнений парабол и получаем для
абсциссы точки пересечения два решения: лг = 0, х = 2р.
Итак, абсцисса точки М есть 2/?, и по общей формуле мы имеем:
2р
о
2р
MS
2р
8р8
: 3 '
dx = f^
: 3 '
Поэтому искомая площадь
Пример 9. Д)ана кривая y=smx; определить величину
площади, заштрихованной на черт. 82.
Для получения искомой площади нам нужно в отдельности
вычислить площадь трапеций ОтА и АпВ, взять их абсолютные
величины и сложить:
те 2те
5= 11 sinх|dx-\-1 | s\nx\dx =
О те
те 2те
= 1 sinxdx— i s'mxdx =
==[-Cosx]\l-{-cosxl\2; =
=(1 + 1)-(-1-1)=2+2=4.
Искомая площадь равна 4.
Черт. 82.
9. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в
параметрической форме. Во многих случаях уравнение кривой
задается не в форме y=f(x), а в параметрической форме:
x = y{t), y = ty(t). Формулу для вычисления площади в случае
параметрической формы уравнений кривой легко вывести из
формулы (19). В самом деле, уравнения x = y(t), y = ty(t) мы можем
рассматривать как формулы замены независимого переменного;
тогда
ъ ь t2
S= f f(x)dx= $ydx= С <K')?'(*)<*'. (2°)
a a ti
где tx и t%— значения параметра t, соответствующие значениям
х = а и х = Ь, т. е.
e = ?(*i) и * = ?(*«)•
432
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
[ГЛ. XIII
Это и будет формула для вычисления площади ограниченной
кривой, заданной в параметрической форме1).
Пример 10. Дана циклоида
х = a(t — sin f)y у = а(1 — cos t).
Вычислить площадь между осью OY и ветвью циклоиды, которая
получается при одном обороте круга (см. черт. 49 на стр. 177).
Как известно, при этом параметр t изменяется от 0 до 2т:, и
мы по формуле (20) имеем:
5= ^(t)f'(t)dt= J а(1 — cos t) • а (1 — cos /) dt =
2я
ч%
2я
2те
= \ a"{\ — zostfdt = a^ §dt — 2a*\costdt + a*lcos4dt=3T:a\
0 0 о
10. Связь между гиперболическими и тригонометрическими
функциями. Решим сначала такую
геометрическую задачу. Вычислить
площадь гиперболического сектора
равнобочной гиперболы
дг2— У* = 1.
Из черт. 83 ясно, что площадь
сектора ОАР может быть
представлена так:
пл. ОЛР=пл. АОКР—пл. АРК. (21)
Но
*-Л
Черт. 83.
пл. &0КР=\0К-КР=\хуу
где х, у — координаты точки Р, лежащей на гиперболе.
Площадь криволинейного треугольника АРК равна
х
пл. АРК— \ у dx.
(22)
(23)
*) При выводе формулы (20) мы опирались на формулу (19);
следовательно, на кривую мы должны наложить те же ограничения, которые былд
необходимы для вывода формулы (19). Оснавное из этих ограничений
представляет собой предположение, что y=.f(x) есть однозначная функция
от х, т. е. геометрически каждая параллель оси OY пересекает нашу кривую
только в одной точке; это ограничение естественно, когда имеем дело
с кривыми, уравнения которых даны а разрешенной форме, т. е. в виде
y=zf(x)y и становится чрезвычайно стеснительным, когда мы переходим к
кривым, заданным в параметрической форме. Естественно поэтому поставить
вопрос: нельзя ли выведенную формулу распространить на более широкий
класс кривых, заданных в параметрической форме. Об этом будет сказано
во втором томе книги.
§ 2]
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
433
Поэтому
пл. ОАР=-~-ху
2„s \ ydx.
Введем параметрическое уравнение гиперболы х2—у2 = \,
а именно:
Тогда
x=cht, y = sht.
t
пл. ОЛР = у chbsh/-
■j
sh t • sh / dt =■
Из этих вычислений следует, что параметр t в уравнении гипер-
.болы
x = chtt у = sh /
есть не что иное, как удвоенная площадь гиперболического Сектора
равнобочной гиперболы: х% 2 j
Аналогичное мы имеем и для тригонометрических функций.
В самом деле, взяв окружность
радиуса 1 (черт. 84), получим, что сектор
с углом t имеет нлощадь -^ , т. е.
аргумент t в функциях sin / и cos t
можно рассматривать как удвоенную
площадь сектора. Этим устанавливается
еще ббльшая аналогия между
гиперболическими и тригонометрическим^
(круговыми) функциями.
11. Площадь в полярных
координатах. При выводе формулы для
вычисления площади, ограниченной
кривыми, заданными в полярных координатах,
вестные из геометрии теоремы.
1) Площадь круга равна пределу площадей вписанных в него и
описанных около него правильных многоугольников и равна тгг2.
2) Площадь кругового сектора равна г2 4-, где б— центральный
^ ^ угол (выраженный в радианах).
g Пусть дана кривая, уравие-
v/ ние которой в полярных
координатах р=/(0).
Роль криволинейной
трапеции для декартовых
координат здесь будет играть
криволинейный сектор, т. е.
q 85 фигура, ограниченная двумя
р ' ' прямыми, исходящими из
полюса, и кривой р=/(0). Пусть начальное значение угла есть аэ
*-Х
Черт. 84.
будем использовать из-
434 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [ГЛ. XIII
конечное р (черт. 85). Разобьем угол у = (3 — а на части; обозначим
углы, образуемые радиус-векторами, проведенными в точки деления,
с полярной осью, через 0Ь 02, . . ., вп_г; положим 0о = а и 0д = р.
Черт. 86.
Наша фигура разбилась на части (криволинейные секторы)
(черт. 86). Пусть сначала tl9 £2, Е3,. . •> ?л такие значения б, что
/(Si) есть максимум функции/(б) для б0^б^вь
/(?*) > > » /(в) > 0i^0^02,
/««) » » »' /(в) » 0п-1^в^0л.
Рассмотрим теперь следующие круговые секторы.
1) Сектор, у которого центральный угол равен вг — 0 и радиус
/Oi).
2) Сектор, у которого центральный угол равен 02 — Qt и радиус
п) Сектор, у которого центральный угол равен 0П — 0п-1 и
радиус /(У.
Тогда фигура Кп, составленная из суммы таких секторов (на
черт. 86 ограничена пунктирными линиями), будет заключать внутри
себя заданный криволинейный сектор. Ее площадь как площадь
суммы круговых секторов равна
5„=4 [/&)]" (*.-«.)+ J [/&)]' (6*-9i)+...
§ 2] площадь плоской фигуры 435
Пусть теперь у\и y)2, y)3, ... , г\п, ... —такие значения угла 0,
что
/(тл) есть минимум функции/(б) для в0^в^ви
/Ы » » » /(6) » е1^е^е2,
/Ы >> ' ' V ' ' ' » * /(в)' >> 'CiWe^V
Рассмотрим аналогично предыдущему фигуру Кп, составленную
из круговых секторов, имеющих центральные углы Ьх — 60>
02 — 01,..., Ъп — en-i и радиусы /(Гц), /Ы, ..., /Счя). Эта
фигура (ее контуры заштрихованы на черт. 86) будет заключаться
внутри рассматриваемого криволинейного сектора и ее площадь
равна
^ = ^[/Ы]2(б1-90) + 5[/ыГ(б2-9>)+...
...+ ^[/ы]*(в.-в_.).
5П и Sn являются интегральными суммами для одной и той же
функции ср(6) = ^ /(в) ; следовательно, обе они при п-+оо будут
стремиться к общему пределу, равному -^ l /(G) ^ » который и вы-
а
ражает искомую площадь.
Итак, искомая площадь выражается формулой
5=-^JP2rf0. (24)
а
Пример 11. Вычислить площадь, органиченную лемнискатой —
кривой, имеющей уравнение р = a j/ cos 26 (черт. 87).
Так как площадь, ограни- ^.
ченная лемнискатой, состоит х *
из четырех одинаковых по
площади фигур, то нам достаточно
вычислить площадь одной из
фигур и затем результат
умножить на 4.
Рассмотрим фигуру Am О А,
лежащую в первой четверти.
Определим пределы интегра- Черт. 87.
ции: так как при 0=0 р == а,
при б, возрастающем от 0 до -^-, cos 28 убывает и при В = — р == 0,
то пределами интеграции будут служить числа 6 = 0 и 8 = -j-.
436 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [ГЛ. XIII
Теперь применяем формулу для вычисления площади
те те
т т
S = 4a2i- С (/^26)Ve = 2a2 С cos2e</e=a2.
Итак, площадь, ограниченная лемнискатой, равна а2.
§ 3. Объем тела
12. Метод сечений. Полностью задача о вычислении объема
тела может быть решена только с помощью кратных интегралов,
но многие частные случаи могут
быть рассмотрены и теперь.
Рассмотрим какое-нибудь
тело (черт. 88). Проведем
сечения этого тела плоскостями,
перпендикулярными к оси ОХ,
Мы предположим, что в сечении
получается всегда фигура,
площадь которой мы умеем
вычислить. Площади таких сечений
будут некоторыми функциями
от х\ обозначим величину такой
площади через 5 (х).
Вычислим объем тела,
заключенного между двумя
сечениями, соответствующими значениям х=а, x=b {а <^ Ь). Предположим
при этом, что тело имеет такую форму, что каждое из сечений
состоит из одного куска, ограниченного одной кривой, или, как
говорят в геометрии, сечение односвязно. Для этого вычисления
разобьем участок оси ОХ от а до Ь на части точками деления:
а = х0<х1<х2 <...<*„_! <*„ = £;
внутри каждого отрезка подразделения [xt_b х{\ возьмем произ-
вольйую точку ^ и проведем через каждую точку lt сечение,
перпендикулярное к оси ОХ; тогда все тело разобьется на слои.
Заменим каждый г-й слой цилиндром, имеющим своим
основанием сечение, проходящее через точку %i9 а высотой —
расстояние между двумя сечениями, т. е. величину xt — Xi_u
Рассматриваемое тело заменится суммой цилиндров. Объем г-го из этих
цилиндров равен произведению площади основания на высоту,
т. е. S(li)(Xi — Xi_i), а объем всей совокупности цилиндров,
очевидно, будет равен сумме:
**-Х
Черт.
v.=25(E«H*«-*«i)-
й»1
§ 3] ОБЪЕМ ТЕЛА 437
Естественно принять за объем тела предел таких сумм при п,
стремящемся к со. Этот предел, если он существует, как уже не
раз упоминалось, не зависит от способа разбиения на слои и вы-
ь
бора точек \t и равен i S{x)dx.
Следовательно, рассматриваемый объем равен
ь
V= \s(x)dx, (25)
а
где S(x) — площадь сечения тела, проведенного через точку х
перпендикулярно к оси ОХ.
Пример 12. Вычислим объем трехосного эллипсоида, т. е. тела,
поверхность которого выражается уравнением
а2 ' b2 ■ с2
Сечение, перпендикулярное к оси ОХ и отстоящее на
расстоянии х от центра, представляет собой эллипс
ур_ , &_ 1 х*_
~W ' "с2" "й2"'
полуоси которого соответственно равны
»^i-?.«/.-4
Площадь эллипса, как известно, равна ъаЬ> где а и & —полуоси;
следовательно, площадь рассматриваемого сечения
S(*) = *fc(l-^-),
и объем эллипсоида между сечениями х = — а и х = -\-а равен
— а
4
= **C(e-^ + e-l£)=-
3 тса&с.
Если a = b — c — r, т. е. если мы имеем шар, то У = -^-тсг3.
13. Объем тела вращения. Особенно важным применением
выведенной формулы (25) является определение объема тела
вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная дугой L,
перпендикулярами, опущенными из концов этой дуги на прямую ОХ, и
отрезком ab, заключенным между основаниями перпендикуляров,
438 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [ГЛ. XIII
вращается вокруг прямой ОХ, то полученное при этом тело
называется телом вращения с осью ОХ и образующей L (черс 89).
Образующую называют также
меридиональной кривой.
Мы выведем формулы для
объемов тел вращения вокруг осей
координат. Сечениями,
перпендикулярными к оси вращения, будут,
очевидно, круги; поэтому, если мы
будем зндть закон изменения
радиусов этих кругов, мы сможем
применить общее рассуждение
для вычисления объема тела.
Примем сначала, что осью вращения
служит ось ОХ. Пусть уравнение
образующей будетy=f(x), когда
радиус сечения совпадает с вели-
чиной^у, т. е. равен f(x)\
следовательно, площадь сечения равна тс [/(лг)]2, и объем тела, ограниченного
двумя сечениями, соответствующими х = а, х = Ь, равен
ь
1/=тс ^ [f(x)]*dx. (26)
а
Часто приходится вычислять объемы тел вращения вокруг оси OY.
Тогда пишут уравнение кривой, выражающее х через у. Пусть оно
будет х = у(у). Объем тела вращения вокруг оси OY равен
Черт. 89.
у = ъ Г[ср(^)]2</у = тс [хЧу.
(27)
Пример 13. Круглые тела, рассматриваемые в элементарной
геометрии: конус, усеченный конус, цилиндр и шар, — тела вра-
В
К
л
о
,
^ш
111
^^ш
L
g
"ы У
7
Черт. 90.
Черт. 91.
Черт. 92.
щения. Конус получается от вращения треугольника ОАВ около
оси ОХ (черт. 90); усеченный конус — от вращения трапеции О ABC
вокруг оси ОХ (черт. 91); цилиндр — от вращения прямоугольника
§ 3]
ОБЪЕМ ТЕЛА
439
О А В С вокруг оси ОХ (черт. 92); шар — от вращения полукруга вокруг
оси ОХ (черт. 93). Эти четыре фигуры следует рассматривать как
частные случаи
криволинейной трапеции.
Определим объем кону*
са. Если обозначить через R
П
I ^^ ' i 1
Черт. 93.
Черт. 94.
радиус основания конуса и через h высоту (черт. 94), то уравнение
образующей будет у = ^-х, а пределы интеграции 0 и А;
следовательно, объем по формуле (26) равен
о о
Определим объем шара; уравнение вращающейся
полуокружности будет у = урр _ х2, где R — радиус шара; следовательно,
объем равен:
'= * Г (Я2 — x*)dx =
-я
= * R
? + *3"
81
з
= Т^3'
^Х
Черт. 95.
Пример 14. Вычислим
объем тела вращения,
полученного от вращения части ОБ параболыу*=2рх вокруг оси OY (черт. 95).
V2
Уравнение параболы, разрешенное относительно х будет х = ^~-
По формуле (27) вычисляем объем
К0.
О
*3?о
:20р2
440
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
[гл. XIII
*-Л
Пример 16. Вычислить объем тора.
Тором называется тело, получающееся при вращении круга
радиуса а вокруг оси, лежащей в
его плоскости на расстоянии Ъ
(большем, чем а) от центра.
Пусть круг вращается вокруг
прямой CD (черт. 96). Тогда объем
тора можно рассматривать как
разность объемов вращения
криволинейных трапеций CMKND и
CMLND вокруг оси ОУ. Остается
только найти уравнения кривых
в форме х=/(у). Если начало координат поместить в точке О,
то уравнение окружности LMKN будет (х— &)2 -\-у2 = а2, откуда
Черт. 96.
x = b+j/ а*— у\
и следовательно, уравнение кривой MKN будет
а уравнение кривой MLN:
Пределы интеграции будут —а и -\-а и объем тора равен
V=k J (ft-f /а2— УОЧу — * }(b— /а2— у*)*<1у=*
—а
= 7uJ (/>2+2й /а2—У+я2—У — й2 + 2й /а^—у—а^.У9)
rfy:
-h«
= 4irft J /a2—y*dy.
—а
Неопределенный интеграл
Делаем подстановку:
= 4тий f-g-a2arcsin 1 —Ya* *тс$'т(~ 1)) =
= 2ти£а2 (arc sin 1 -f- arc sin 1) = 2тс2£а2.
§4]
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
441
14. Случай, когда кривая задана в параметрической форме.
Пусть уравнение вращающейся кривой задано в параметрической
форме:
мы ограничимся рассмотрением того случая, когда функция х = ср (t)
определяет t как однозначную функцию от х: (=-Ф(дг).
Тогда в формуле (26)
ъ ь
V = n § [f(x)]* dx = n\ уЧх
а а
можно сделать замену переменного. Мы получим:
h
V = * J №(<)]■ ТЧ<)<«. (28)
h
где
Формула (28) и дает объем тела вращения, полученного от
вращения кривой лг = ср(/), y = ty(t) вокруг оси ОХ.
Если y = ty(t) определяет t как однозначную функцию от у,
то можно в формуле V = n \ x*dy произвести замену переменного,
и мы получим:
к
У=*Г[Т(0Ш/)Л, (29)
5
где
H*i)=*> ♦ ('■) = (*•
Это — объем тела вращения кривой x = y(t), y = ty(f) вокруг
оси ОК.
§ 4. Площадь поверхности вращения
15. Вычисление площади поверхности вращения. Рассмотрим
поверхность, образуемую вращением некоторой спрямляемой дуги
вокруг оси ОХ. Уравнение этой дуги будем предполагать заданным
в воде y=f(x), где f(x) — функция определенная и непрерывная
на отрезке а^х^Ь. Площадь поверхности, описанной дугой
некоторой кривой, определим как предел площадей тех поверхностей,
которые образованы вращением вписанных в дугу ломаных при
условии, что наибольшее звено этих ломаных стремится к нулю *).
*) Это определение обладает некоторыми недостатками, поэтому мы
считаем его временным. Полная теория величин поверхностей будет дана во
втором томе.
442 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО интеграла [гл. XIII
Примем за независимое переменное длину дуги 5. Пусть (черт. 97)
начальной точке рассматриваемой дуги, абсцисса которой а>
соответствует значение 5 = sQ,
а конечной точке с абсциссой
b(b^>d) — значение s=s„.
Разделим отрезок дуги от
50 до sn на части точками
деления sl9 s2, ..., sn_1 и
впишем в эту дугу ломаную
г>
~7?
\
i
Ъ
7
=Л^
ъ^г
и/7
1—>_
д
ЛИНИЮ S0 St 52
эга-1
>~Л' Пусть координаты точки
деления st будут (xi9 yt).
Черт. 97. При вращении ломаной
вокруг оси ОХ сторона s^ <?,-
опишет боковую поверхность усеченного конуса. Обозначая длину
этой стороны через ci9 мы получим для боковой поверхности 1-го
усеченного конуса формулу
Поверхность Рп9 описываемая всей ломаной, будет равна сумме
подобных выражений, т. е.
Рп==22,лы+жС1
(индекс п у буквы Р обозначает, что число сторон ломаной равно п).
Для нахождения предела этого выражения при п -> со сначала
несколько преобразуем его:
п п
.+Л
У)
i=l *=1
Рассмотрим сначала вторую сумму. Обозначим через М
наибольшее значение у в рассматриваемом отрезке [ab] изменения х.
Тогда будем иметь:
127т2т (л-* +^) (С^—
п
*=1
\2>кМУ (CTv
1М
1=1
сА =2tzM (s0sn — cW
х) Значком S/_i Si мы обозначаем длину дуги кривой с концами S/_i и S/.
§ 4]
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
443
где с№ — длина всей ломаной. Так как lim с№ = s0 sn, то
п—>-оо
2TzM[sQSn — cW) при я—► со стремится к нулю, а потому
следовательно,
п
lim
Я-*оо я-юо
1ш Р„ = lim 2я У у f^«_i +Л) ^i~^ •
Так как у непрерывная функция от s, то, замечая, что каждая
из сумм
п п
2*2 2 yi-i*M*i и 27r2"2-Vl'^-1^
sn
имеет, очевидно, один и тот же предел, равный 2ъ I -^-y(x)ds,
so
получим площадь поверхности вращения
*п
Р=\\т Рп = 2>к Г y(x)ds. (30)
П—ЮО V
Но кривая задана в прямоугольных координатах уравнением
y=f(x), где у является однозначной и непрерывной функцией
от абсциссы ху если также предположить, что у'' = -—- существует
и непрерывна, то получим:
Р=2к Г у /l-fy2 dx, (31)
так как ds = j/l +У2 ^ (см- § *)•
Если вращающаяся кривая задана параметрическим уравнением
лг = ср(£), y = ty(t), и если предположить, что хТ и у существуют
и непрерывны, причем для функции x = y(t) существует
однозначным образом определенная обратная функция, то, производя
замену переменного в формуле (30), получим:
Р=2ъ Г у )/xf*-{-y2dt (32)
h
444 ПРИЛОЖЕНИЯ определенного интеграла [гл. XIII
Наконец, если кривая задана в полярных координатах
уравнением р=/(0) и р' существует и непрерывна, то
h
Р= 2* Г р sin 6 /р2 -f- р'2 dd. (33)
•I
Пример 16. Вычислить площадь поверхности вытянутого
эллипсоида вращения, полученного от вращения эллипса вокруг
большой его оси.
Пусть вращающийся эллипс дан в параметрической форме:
х = a-COS ср, y = b sin ср;
тогда
хг = — a sin ср, y' = b cos ср.
1/ а2 £2
Обозначим через k эксцентриситет эллипса k=-^ .
Чтобы получить полную поверхность эллипсоида, надо удвоить
поверхность, полученную от вращения дуги четверти периметра
эллипса, соответствующей изменению параметра ср от 0 до -у
По формуле (32) получаем:
1С
г
i-P=2itC&sin<p /a2 «in2 <р + Ьг cos2 <f d<? =
1С
*2
= — 2ъЬ \ -][(& (1 — cos2cp) -\- #2cosa cp d cos cp =
0
1С
~2
= — 2 тсй i j/a* — (я* — #2) cos2 cp d cos cp =
о
"2
= — 2nab \ j/l — k* cos2 cp rf cos cp.
Делаем подстановку &coscp = /; тогда при изменении ср от 0 до
~, t меняется монотонно от k до 0, и мы получим:
Jo 2яя£
2 л ~ k
о
Интеграл С /l — t2 dt= yarcsin ^-f-^- /l — *2-|~C (см. пример 24
п. 13 гл. XI).
§ 5] ОБОБЩЕННАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА 445
Следовательно,
Р= 2шЪ ( /l—k* -f i- arcsin k).
§ 5. Обобщенная интегральная сумма
16. Определение. В применениях математического анализа
чрезвычайно часто встречается сумма вида
я
и ищется ее предел при стремлении наибольшего из отрезков
xt— хг_х к нулю.
Такую сумму назовем обобщенной интегральной суммой, и ее
предел будем искать при некоторых предположениях относительно
функций f(x) и величин а(/л).
Прежде ч-ем приступить к нахождению предела обобщенной
интегральной суммы, введем следующее определение.
Определение 3. Величины а\п)> зависящие от двух целых
чисел i, п (O^i^n) и, кроме того, может быть, еще от
нескольких аргументов, будем называть равномерно стремящимися
к нулю, если выполнены условия:
1) Для каждого п существует такое число фп, не зависящее
от I, что
|4Я)КРЯ
при всех значениях остальных аргументов.
2)
lim ря = 0.
П-ЮО
17. Теорема об обобщенной интегральной сумме. Теорема 1.
Если функция f($) интегрируема на отрезке а^х^Ь, а
величина а\п) равномерно стремится к нулю, то предел обобщенной
интегральной суммы
п
2 I/O*) + "О (*i -*.--i) (*м «£*, *£ *д
при стремлении наибольшего из отрезков X}—xt_x к нулю ра-
ь
вен \ / {х) dx.
а
446 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [ГЛ. XIII
В самом деле, так как f(x) интегрируема, то
п ь
lim У [/ (б,)] [xt - *w) = f / (*) «te. (34)
1 = 1 а
Рассмотрим
л Ь
т.=2 ^+«^ (дг« - **->> -1 '<■*> dx>
i= 1
имеем:
Ы^\%№) {xt-хы)- \f{x)dx\ + \^[n) (*,-*,_!)!
/=1 a i=l
ИЛИ
л Ь л
к к 12/(5«) (*< - *м) - $ /и «** i+2'а<п) i <*»- ^-i)' <35)
i = 1 a i = 1
НО
л л
о *£ 214я) I (х, - Xt.o < р„ 2(х- - ■**-»>=р»(й -а)>
1=1 /=1
поэтому
л
0==S lim УК^К*» —*<_i)< lim $n(b — a) = 0.
Л -* ОО ^" Л -* ОО
1= 1
Кроме того, в силу (34) имеем:
л ъ
lim \yf^)(xi-xi_1)-\f(x)dx\ = 0.
Л -» ОО ^"" «J
Следовательно, на основании (35) имеем lim |yj| = 0, а это и
Л-+ОЭ
значит, что
п b
lim У[/(^) + «Н (*,-*,_,) = \f{x)dx.
i = l а
18. Вычисление давления жидкости на плоскую пластинку.
Известен следующий физический закон: давление жидкости на
горизонтальную пластинку, расположенную на глубине Н от свободной
поверхности, равно весу цилиндрического столба этой жидкости,
имеющему высотой //, а основанием рассматриваемую пластинку.
Теперь разберем такую задачу.
Вычислить давление жидкости на пластинку, имеющую форму
круга радиуса г, если эта пластинка расположена вертикально и ее
§5]
ОБОБЩЕННАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА
447
верхний край касается свободной поверхности жидкости (удельный
вес жидкости ?).
Приведенный выше физический закон непосредственно не
позволяет провести вычисление, так как пластинка в рассматриваемой
задаче расположена не горизонтально.
Поэтому для решения задачи проведем следующие рассуждения.
Выберем оси координат, как указано на черт. 98, и разобьем круг
2г
на полоски ширины /г = —- прямыми, уравнения которых x = ih = xt
(i=l, 2, ..., л—1).
Рассмотрим одну из этих полосок (черт. 99). Если ее ширина
xi — x£_i = h мала, то из физических соображений ясно, что
давление на уровне ее верхнего
края мало отличается от
давления на уровне ее ниж-
*2у-/
V
h^Zi -&/-J
Черт.
Черт. 99.
него края, поэтому будем считать, что давление в пределах
рассматриваемой полоски не изменяется и равно давлению на уровне ее
нижнего края (можно было бы считать и по верхнему краю).
Тогда давление на эту полоску, или, как говорят, элементарное
давление Д/?,-, будет равно
где qt — площадь полоски.
Будем вычислять площадь qt по формуле
2У.-С*,- —-*,-i),
где yt — половина длины нижнего края полоски, цри этом будет
допущена ошибка, зависящая и от числа делений и от номера полоски.
Эту ошибку назовем щК
Тогда
qi = 2yi(xi — xi.1) + ^in).
Очевидно (см. черт. 99), что | а//1'
Поэтому
9i = [bi + 28, (у( —уы)] [xt — *,_!>,
где 10,-К;1- Тогда
ДЛ = Т*« [2У* + 20; (У( — Л-iM (*i — xir-i)>
2(yi—yi-i)(xi — xi-i)*
448 ПРИЛОЖЕНИЯ определенного интеграла [гл. XIII
так как у= ]/2хг— х2 (из уравнения окружности), то
у. = у 2х(г — x2i
и, следовательно,
bpt = ixt [2 J/2xir — x2i + 2в( (у( —уы)] (х( — Xi_t).
Давление на всю пластинку приближенно выразится суммой
2IX, [2 /2х(г - *? + 29,- (yt -у,_д] (х, - *,_,), (36)
а это и есть обобщенная интегральная сумма, где
4') = 2bi(y(-yi_l).
Так как на отрезке всякая непрерывная функция является равно-
мерно непрерывной, то при h -> 0 наибольшая из разностей \у( —yt_x \
стремится к нулю, поэтому а/ равномерно стремятся к нулю, а
потому теорема об обобщенной интегральной сумме применима.
Следовательно, давление Р на всю пластинку равно
п
lim У чх{ [2 V2xtr - х\ + 20, (у( -у^)] (xt — xt_x\
lim
n
т. е.
2r
P=2 \ ^x^2xr — x2 dx.
ч
4^
\_
-*-/
19. Вычисление работы. Пример 17. Резервуар имеет форму
срезанной полусферы (черт. 100) с горизонтальным краем. Радиус
полусферы /?, высота резервуара 4^-. Этот резервуар наполнен жид-
д^ костью удельного веса if-
Определить работу, нужную для
выкачивания жидкости через верх-
/.. ний край,
&=]г / Выберем оси координат, как
/' указано на черт. 100, и
разделим отрезок оси ху
расположенный внутри сосуда, точками
0 =ДГ0<ДГ1<ЛГ2< . . . О; < . . .
Черт. 100. -"<^хп— 2 *
Будем считать, что эти точки делят отрезок на равные части; тогда
xi — xi_l = -§r (*=1, 2,..., п).
§ 5]
ОБОБЩЕННАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА
449
Проводя через точки деления горизонтальные плоскости, мы
разобьем всю жидкость на горизонтальные слои.
Если мы сумеем вычислить «элементарную» работу, потребную для
выкачивания каждого слоя, то вся работа будет равна сумме этих
«элементарных» работ.
Вычисление элементарной работы проведем приближенно,
оценивая сделанную ошибку.
Начнем с вычисления объема vt /-го слоя (черт. 101). Ясно,
что величина этого объема заключена между объемами цилиндра
с радиусом основания yt__x и высотой xt—x(_t и цилиндра с
радиусом основания yt и той же высотой, т. е.
Значит
*У? C*i — *i-i) < vi < *Уii C*i — *i-i)-
*i = «У? (*i — xi-\) + ®i (xi — xi-i)>
где <t>i = B(y2Ul—y%
0<G<1.
Bee i-го слоя pt равен
Pi = Vil = Т*У * i*i — xi-i) + T^i (xi — xi-i)-
Если поднимем этот слой на величину xif т. е. произведем работу
Pixix
то полученная работа больше, чем нужно для выкачивания жидкости
всего этого слоя (так как некоторые частицы жидкости будут уже
выше края на х( — х(_л). Если же под- ^,
нимем этот слой на величину х(_х, то
произведем работу PiXt_x. Она будет
меньше, чем истинная работа. Поэтому
«элементарная» работа Tif потребная
-*->
^
для выкачивания 1-го слоя, будет удов- #-/]
летворять неравенству щ
P&i-\<Ji<iPiXl*
Следовательно, А
Ti = Pi*i + V4> Черт. 101.
где 11*, | < Pi (*, — *,_,), поэтому Tt = р{х{ -f в', Pi (х( — *,_,), | 0 •( < I.
Подставляя в первое слагаемое вместо pt его выражение, получим:
Tt = Т*У?** С*,- — xi-i) + W* (*t — xi-\) + B'iPi (xi — xi-i)
или
Tt = [^y\xt + (T(o^. -f 9\Pi)] {xt — *,_!).
450 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА [ГЛ. XIII
Обозначив второе слагаемое в квадратной скобке через о^,
займемся оценкой | а,-1.
Предварительно оценим o>f-:
ш,. = втг (У._1 — у$ = 0* (у._г -f j,.) \yt —yt_x |;
0*ак как уi — ордината точек окружности, непрерывно зависящая
от х, то в силу равномерной непрерывности, можно утверждать,
что наибольшая из разностей \у(—yt_x | (г=1, 2,..., #)*
стремится к нулю вместе с xt— х(_х = -~—. Кроме того, yi<C~o~,
поэтому «);<*:/? max \yt — Л-i I и | yt — yM\<iR.
Следовательно, для pt получаем грубую (но достаточную для наших
целей оценку)
Pi = ТГСУ?С** — *i-i) + T<°i (■** — *.-i) <
< (W?2 + W?2) (xt - x(_t) = 2T*/?2 (x( - xt_t).
Наконец,
а! = Т«>Л- + в1л<теТЛ9 max |л—Л-i | + 2Т^2(^ —^-i) =
i =■ 1, 2, . . ., л
= 4^2[max \yt —yM | + 2 (Xi — х£_г)] =
i = 1, 2,. . ., л
= *T/?2 I" max l^.-^l + A].
i=l, 2 /i
Таким образом, видим, что все cni не превосходят
ПИтах l^.-^l + Al,
L i = 1,2, ..., п П J
а эта величина стремится к нулю при я —оо. Суммируя Т(, получим:
п п п
т=2 Tt=2 (pt*i+t*i)=2(т^^+**) (*'—^-i)s
так как у* — /?2 — х?, то
7™ = 2 IT*(Я" -*?) *i + «,] (*|-*м).
1=1
а это обобщенная интегральная сумма, поэтому
R
T=lim 7™= J Т* (# - *■) ***=?« [> ^ - £] J = Т* [| -g] =
о
§5]
ОБОБЩЕННАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА
451
Решение только что разобранной задачи было проведено
детально, но слишком кропотливо; ведь конечная цель оценок была
показать, что все а^ равномерно стремятся к нулю. Это можно сделать
почти «на глаз». В самом деле, видно, что, приняв объем слоя
равным V( я« ку2. (х(— хь_х)у сделаем ошибку меньшую, чем объем,
полученный от вращения прямоугольника со сторонами (х(— xt_x)
и у{л—уг вокруг оси ОХ. Этот же объем явно не превосходит
С\(У1-\—Уд (xi — xt-i)y гДе Ci — некоторая постоянная.
Будем ли поднимать этот объем на высоту xt или на высоту х(_и
работа будет отличаться опять же на некоторую ограниченную
величину, умноженную на {yi_\ —ydip°i— xi-\)> а отсюда
получается возможность применения обобщенной интегральной суммы.
ГЛАВА XIV
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Формула трапеций и формула Симпсона
1. Постановка задачи. В настоящем параграфе будут
рассмотрены основные способы приближенного вычисления определенных
интегралов.
Излагаемые ниже способы основаны на одном и том же общем
приеме: интервал интеграции разбивается на части, в соответствии
с чем криволинейная трапеция разбивается на сумму частичных
криволинейных трапеций; каждая из последних заменяется
достаточно близкой к ней фигурой,
площадь которой может быть легко
вычислена, тогда сумма площадей
этих фигур выражает приближенно
площадь исходной криволинейной
трапеции, т. е. рассматриваемый
определенный интеграл. Так, беря
в качестве фигуры, заменяющей
частичную криволинейную
трапецию, прямоугольник с тем же
основанием, и с какой-нибудь из
восставленных к нему ординат в качестве высоты, мы заменим
определенный интеграл соответствующей интегральной суммой. Разбив
интервал интеграции на достаточно мелкие части, мы таким обра-
аом получим значение интеграла по самому его определению с
любой степенью точности.
2. Формула трапеций. Первый способ, который мы изложим,
основывается на замене каждой частичной криволинейной трапеции
прямолинейной трапецией с теми же вершинами (черт. 102).
Площадь такой трапеции будет равна -~- (л_1-Ну*)Д-*<-1» гдеу/=/(.*Д
1
/
1 //
1 с
7
1,
л
h
и1
h
: j
"чя*»»
У,
\
i
ы
Черт. 102.
§ 1] ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ И ФОРМУЛА СИМПСОНА 463
Ъ
а Axi_l = xi— xt_b и таким образом, интеграл \ f{x)dx заменится
а
п
суммой 2 у (Л-1 + Л) A**-i-
Если интервал интеграции (а, 6) разбит на равные части, так
■и ~
что все Ах(_х равны , то получаем приближенное равенство
п
ъ
f(x)dx^iy±±yn+yx+y^...+yn_x\L
\
а
Это приближенное равенство называется формулой трапеций.
Оценим погрешность, получающуюся при вычислении интеграла
по формуле трапеций. Мы будем предполагать, что f(x) и f\x)
существуют и всюду на отрезке [а, Ь] непрерывны. Рассмотрим
частичные криволинейную и прямолинейную трапеции с основанием
C*j_i, хд- Для удобства вычислений положим
xi~\ ~г х1 г ,я xi xi-l и
2 —С И 2 — "'
так что xt_x = c — h и xt = c-\-h (см. черт. 102). Введем в
рассмотрение вспомогательные функции
c+t
*(t)=\f(x)dx-t[f(c + f)+f(c-t)}
и
Т(0 = ФЮ-£ф(А).
Очевидно, ty(h) равно как раз разности площадей криволинейной
и прямолинейной трапеций. Дифференцируя <p(t) и применяя
теорему о конечном приращении, получим:
?'(t) = -t[f(c + t)-f(c-t)]-*gr4(h) =
■»«[/"(W+-^<KA)],
где 5f- лежит между с — t и c-f-^ Так как ср(0) = ф(/г) = 0, то
найдется такое значение £ = т, лежащее между 0 и /г, что ср'(т) = 0,
а тогда для значения £,., соответствующего этому т, будем иметь:
454 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. XIV
или, принимая во внимание определение функции ^(/г):
xi-\
так как h = —^—. Придавая индексу I значения i=l, 2, ..., п
и складывая все равенства, получим:
п
1= 1
Так как среднее арифметическое лежит между наибольшим и наи-
п
меньшим значениями, то — /f'(?,-) лежит между наибольшим и
— _ & ~ g)8
— 12/г3
1= 1
* = i
наименьшим значениями второй производной, и в силу
непрерывное™ /" (х) существует такое (j, что
п
1
Таким образом, окончательно получаем:
^ — л
12/г2 У ^
Мы видим, что ошибка при вычислении интеграла по формуле
трапеций убывает по крайней мере пропорционально квадрату длины
наибольшего интервала подразделения.
3. Формула Симпсона. Второй способ приближенного вычисления
определенных интегралов основывается на замене частичных дуг
графика подинтегральной функции не хордами, а дугами парабол и,
значит, замене частичных криволинейных трапеций
параболическими. Разобьем интервал интеграции (а, Ь) точками а = х0, хи ...
..., Хц_ъ, Хц_х, xii9 ..., хы = Ь на 2л равных частей длины
h = -■ Г"а (черт. 103). Читатель легко проверит, что через
каждую тройку точек кривой y=f{x) с абсциссами x2i_2, x^_v хи
§ 1]
ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ И ФОРМУЛА СйМПСОнА
455
и, соответственно, ординатами уп_^ _y2*_i и У и проходит одна, и
только одна парабола с осью, параллельной оси у, а именно,
парабола
2h2
У=УЪ-\
У21—~У21-2
2h
(х — J^ai-i) + :
(х x2i_i) ,
и что площадь трапеции, ограниченной этой параболой, осью х
и ординатами у<ц-ч и y2i, вы-
x2i
I ydx,
ражаемая интегралом
равна
у 0^-2 + *У<н-1 +J^a,0 А.
Таким образом, заменяя
частичные криволинейные ipa-
пеции, ограниченные кривой
y=f(x), осью х и
ординатами y2i-4 и y2i9 указанными
параболическими трапециями, мы получим для площади всей
криволинейной трапеции приближенное равенство
ь п
^f(x)dx^^-^(yn_i-\-±yn_x+yn)-.
Черт, 103.
b — a
= 6n
[Уо~\-У*п + 4CVi+^3 + • • .+Ли) +
Это приближенное равенство называется формулой Симпсона,
по имени предложившего его математика.
Оценим погрешность, получающуюся при вычислении интеграла
nt) формуле Симпсона. Мы будем предполагать, что fw(x)
существует и непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим параболическую
и частичную криволинейную трапеции с основанием (х2/_2, x^f).
Положим хп х — с. Введем в рассмотрение вспомогательные
функции
c+t
+ (0 = j/C*) dx-±t\f(c + f) + 4/(с) +/(с -1)]
C—t
ф(/г) равно разности площадей рассматриваемых трапеций. Диффе-
456 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [гл. XIV
ренцируя ср (t) три раза и применяя теорему о конечном приращении,
получим:
<?' (О = I" \f(c + f)~ 2/(с) +/(<: - Щ -
?"«)=4- [/' (с+1) -/' (с - /)] -
-4'Lf (< + ')+/* ('-')]-|Й(й),
= —r^/IV(y—^ф(А) = —?-^[/iv({,) + ^.^(A)].
Так как ср (0) = ср {К) = 0, то найдется такое xl9 0 <dTi <С ^> чт0
^,(1>1) = 0. Тогда, так как ср'(0) = 0, найдется такое т2, O^Tg^x^
что ср"(т2) = 0. Наконец, так как сряг(0) = 0, найдется такое т,
0<Ч<Ч2, что ср"'(т) = 0. Для li9 соответствующего значению t — i,
будем иметь:
+(*)=—5-/,v&).
откуда
*2i-2
Придавая I значения i=l, 2,..., п и складывая все равенства,
получим:
Ъ п п
a i=l /=1
или, рассуждая так же, как и при выводе формулы трапеций,
ъ
J /(*) dx =р [ _у0 -\-уы ^ 4 (j/! + уг + • • • +j/9ll_i) +
а
+ 2CV,+J'4 + ...+J'te-.)] = —i^-/IV0),
где 5 — некоторая точка, лежащая между а и Ь.
Мы видим, что ошибка при вычислении интеграла по формуле
Симпсона убывает по крайней мере пропорционально четвертой
степени длины наибольшего интервала подразделения. Заметим, что
если f(x) есть многочлен не выше, чем третьей степени, to/iv(x) = 0,
и формула Симпсона является не приближенной, а точной.
§ 2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ 457
§ 2. Приближенное вычисление первообразных
4. Приближенное вычисление первообразных. Если нет
возможности или нет надобности находить точное выражение первообразной
от данной функции f(x) на некотором участке изменения аргумента,
то прибегают к приближенному представлению первообразной.
Конечно, самый вопрос приобретает определенный смысл только
тогда, когда мы ищем первообразную, удовлетворяющую
определенным начальным условиям; именно, решаем такую задачу: найти
первообразную F(x), которая при x = xQ обращается в у0; эта
первообразная имеет, как известно, вид
X
*0
Основой для приближенного вычисления первообразной служит
такая теорема.
Теорема 1. Если на отрезке а^х^Ь выполняется
неравенство
max \f(x) — ср (дг) | < j^ ,
то
X X
I С f(x)dx— С y{x)dx\^z.
a a
В самом деле,
XX X
I §f(x)dx- J ?(x)dx\ = ^(f(x)-f(x))dx\^
a a a
x x
< J !/(■*) — ?(■*)! dx^ J J±-rdx = t
x-^a
и так как
то
a^x^b,
х—а _ -
и, следовательно, теорема доказана.
Итак, если мы хотим найти первообразную функцию f{x) с
точностью е на отрезке а^х^Ьу то нам нужно найти сначала
функцию ср(дг), приближающую подинтегральную функцию с точ-
х
ностью -г-^-—, а тогда \ ср (л:) dx будет требуемой приближенной
а
первообразной.
15 В. В. Немы в кий п др.
458 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. XIV
Пусть, например, функция f(x) разложима в ряд Тейлора на
отрезке [а, #], т. е. представима в виде
fix)=f(a) + f(a)^+ ... +/<«>(a)-^£ + tfn(x),
где остаток Rn(x) может быть сделан произвольно малым, при п
достаточно большом. Тогда, взяв за ср (лет) многочлен
<PW=/(a)+/'(«)£^r+ ... +fW(.<*)(-^¥-,
получим:
х
^<f(x)dx = f(a)(x-a)+f{a)^^-\- ... +/<я)(«)£^Г-
а
Если N столь велико, что для n^N
х
\ЫХ)\<Т=Ъ> то |$*«C*)**|<».
а
Следовательно, Многочлен
X
а
будет приближенной первообразной функцией с точностью е.
Рассмотрим пример
х
J ^\+x*dx.
о
Раскладывая подинтегральную функцию в ряд Тейлора, имеем:
, i , Щ-i)
+i(iz!Kizl.+ +i(iz!)(iz!Hk!±l)^+
и, следовательно, интегрируя в пределах от 0 до х, получим:
х
1 1 1
уТЦ-хЫх = х + -%х* — 56^7 + Тб0^10+ •••
о
§ 2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ 459
Как было показано (см. гл. IX, § 3), для каждого ху
удовлетворяющего условию— 1 <^—У<СХ<С~{~Я<С~\~ 1> идлявсякого е^>0
можно взять столь большое TV, что | Rn(x)\<^e для n^>N. Поэтому,
X
например, при n^N-\-l многочлен, стоящий перед \ RN(x)dx,
о
и будет представлять приближенное значение первообразной с
точностью е.
Пусть, например, мы ограничились в нашей формуле лишь
тремя членами, и пусть О^дг^у.
х
Так как ряд, полученный для 1 j/i х3 dx> будет знакочере-
о
дующимся и члены его по абсолютному значению убывают, то
ошибка при вычислении суммы ряда будет не более чем первый из
отброшенных членов. Если эту ошибку обозначим через Д, то имеем:
так как Jjc] ^^S -о", то
Д=£=
1 -10
160 х
>
д<ш
' 210 ^
1
105
Если f{x) непрерывна, но о ее производных мы ничего не
знаем, то формула Тейлора уже неприменима, однако и в этом
случае можно построить приближенную первообразную в виде
многочлена. Для этого надо воспользоваться, например,
полиномами С Н. Бернштейна (об этих полиномах см. т. II).
15*
ГЛАВА XV
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теория определенного интеграла, развитая в главе XII, имела
дело, во-первых, с функциями, заданными на конечных отрезках, и,
во-вторых, с ограниченными функциями. От оббих этих
ограничений можно, в известной мере, освободиться, несколько обобщив
понятие интеграла.
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интеграции
1. Определение и примеры. Если функция f(x) определена и
непрерывна при каждом значении х, то будем говорить, что f{x)
определена и непрерывна на всей оси х или на бесконечном
интервале.
Если f{x) определена и непрерывна при значениях ху
удовлетворяющих неравенствам a^^r<^"j-°° или —оо<^дг^а, то будем
говорить, что f(x) определена и непрерывна на бесконечном
полуинтервале.
Определение 1. Если функция f(x) определена и
непрерывна на бесконечном полуинтервале а ^ х <^ -f~ со и если сущест-
N
вует конечный предел *|^ \f(x)dxy то этот предел назы-1
а
вается несобственным интегралом от f(x) на бесконечном
со
полуинтервале а^х<^оо и обозначается \f(x)dxy т. е.
а
со N
§f(x)dx = N^oo^f(x)dx.
а а
а
Аналогично \f(x)dx, по определению, равен
—оо
а
§ 1] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРАЦИИ 461
В случае, когда указанные пределы существуют, говорят, также,
со а
чго интеграл I f(x)dx (или \f(x)dx) сходится; в противопо-
а — со
ложном случае интеграл называют расходящимся.
Пример 1. При а^>0
N
е~ах dx= lim -
7V-» со
С e~axdx= lim (
Пример 2. При a^>0
со ' N
teaxdx=l\m [eaxdx=lim -
= 00,
TV-» со
CO
Следовательно, при a]>0 интеграл \ e~ax dx сходится, а инте-
o
CO
грал I eax dx расходится,
о
CO
Пример 3. Рассмотрим интеграл \ —-% dx, где a^>0
a
и a>0.
Если a^l, то
J—~dx=^-
X* 1—a
a
Если же a= 1, то
N
J—dx = lnx
a
Поэтому, если a<M, то
со
J •* лг -► с
TV Д^1-«
а 1 —a
a
ei-o
1—a"
-In a.
1—a 1—a
Точно так же, если a=l, то
:00.
со
J—= lim (lnAf—In a) =00.
х N-+oo
Если же а^> 1, то
J ^"tvITLU-^ 1—«У 1-е- (<
1
а_-1)йа-1
462 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
оо
Следовательно, интеграл \-^ сходится, если а^>1, и расхо-
а
дится, если а^ 1.
Определим, наконец, интеграл \ f(x)dx. Пусть с — произволь-
—-оо
иое число; тогда, по определению,
-f- со с + со
\ f(x) dx = Г f(x) dx -{- Г /(дг) d*,
— со — оо с
если оба последних интеграла сходятся.
Введем теперь понятия абсолютно и условно сходящихся
интегралов с бесконечными пределами.
со а со
Определение 2. Интегралы \f(x)dx, \f(x)dx, \ f{x)dx
а — оо —со
называются абсолютно сходящимися, если, соответственно, схо-
со а оо
дятся интегралы \ \f(x)\dxf \\f(x)\dxf \\f(x)\dx.
а — оо — со
оо а оо
Определение 3. Если \f{x)dx ( 1 f(x)dx, \ f(x)dx)
а — оо — со
оо а со
сходится, а I \f(x)\dxi \ \f{x)\dx, \ \f(x)\dx) расходится,
а — оо — со
со а оо
\f(x)dx ( \ f(x)dx, 1 f(x)dx\ называют условно сходя-
то
а
щимся интегралом,
В дальнейшем мы будем рассматривать только интегралы вида
со
\f(x)dx, но все полученные результаты с очевидными
Изменениям
ями в формулировках будут относиться и к интегралам двух
других видов.
Приведем пример условно сходящегося интеграла.
Пример 4. Докажем, что интеграл
С sin,
J х
о
условно сходится.
dx
§ 1] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРАЦИИ 463
Подинтегральная функция имеет вид, указанный на черт. 104. Положим
к* = (-1)л J -^JTdx (" = 0, 1,2,.,.).
Докажем, что все цл>0и ц0>ц1>ц2> ••• >нл> ... Действительно,
полагая, x = z+mz и возвращаясь после преобразований к обозначению х
вместо zy получим
(я-Н)*
^=(-1)л J ^r~dx^(-x)n[
sin (л: -f- я те)
х-\-пп
dx-
f—
sin л:
(О
Черт. 104.
поэтому все ил>0. Из той же формулы (1) видно, что числа ип убываю!
с ростом п. Следовательно, ряд
«o-«i + «f- ... + (-1У|«я+ ... (2)
знакочередующийся. Наконец, нетрудно видеть, что lim ип = 0, так как
0<
dx те 1 1 о о
-<-— = — для п = I, 2, 3, ...
Х-{-Ю1 яте п
Отсюда, по теореме Лейбница (см. гл. VII, § 3), заключаем, что ряд (2)
ь
Сходится» Рассмотрим теперь I dx. Каково бы ни было &>0, можно
о
всегда найти такое целое т, что тте ^ Ъ <(т-{-1)те, где т^О. Имеем:
ь тп ъ
С sin л: , С sin л: , . С sinx .
0 0 trni
Ho
Поэтому
I Ь I 1(/я4-1)гс
d*
IH—1 (И-1)те
D fc=0 kit тл
= «о — «i + «л - • •. + (— lr-^m-i +Q tl„
(3)
464 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
где |6|<1. Далее, при Ь-+со будем иметь т-*оо, и так как ряд £(—1)лил
сходится, то отсюда следуют сходимость несобственного интеграла и равенство
S1°* dx = w0 — tit + "a — •.. + (— 1 )n un + ...
Заметим, что из формулы (3), в силу неравенств uQ>Ui> ... > ип > ...,
следует, что
ъ
sin л:
1-
о
при всяком £>0. Но
isin х ,
—-—dx < л,
так как 0^ ^ 1 при O^jts^ic, следовательно, при любом Ь имеем:
х
ь
С sin л:
dx < тс.
л:
О
Мы доказали, что интеграл 1 d* сходится.
Jo *
Чтобы убедиться, что он сходится лишь условно, докажем, что интеграл
оо
sin х ,
ал: расходится. Для этого заметим, что
sinAT^A: w С sinxdx 2 1
оо
Я
0
Г sin л: dx С si
«- = ]-]Г|Г5Г>1-
1С -j- /|1С 1С 1 -f- Я *
о о
Поэтому, беря т, удовлетворяющее неравенствам tnn ^ b ^ (т-{-\) к,
имеем:
Ь тк ш—1 tn—
Л sin х I , ^ С I sin х I , VI ^ 2 \1 1
0 0 fc=0 £==о
сх>
а так как ряд У ил \ расходится, то отсюда следует, что и интеграл
sin л:
dx расходится.
2. Признаки абсолютной сходимости и расходимости
несобственных интегралов. Теорема 1. Пусть функция f(x)
определена и непрерывна на бесконечном полуинтервале а^х<^оо. Для
оо
сходимости интеграла \f{x)dx необходимо и достаточно вы-
а
полнения следующих условий: для любого е^>0 можно указать
§ 1] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРАЦИИ 465
такое число N^>0, что для любой пары чисел х? и лг",
удовлетворяющих неравенствам хТ ^>N, х"^> N, имеет место неравенство
U л*) **!<•.
X
В самом деле, положим Ф(лг) = I f(x)dx. Для того чтобы
а
Ф (лг) имела предел при лг-*оо, необходимо и достаточно
существование для любого е^>0 такого числа N^>0, чтобы для любой
пары чисел хг и х", превосходящих число N, имело место
неравенство
|Ф(*') —Ф(*0|<в,
ЛГ" X' Л*"
| Ф (лг") — Ф (У)| =1J f{x) dx—\ /(лг)dx\ = 1 J /(лг)dx\
и, следовательно, теорема доказана.
ъ
схо-
Теорема 2. Если интеграл \ |/(лг)|йлг сходитея, то
а
Ь
дится и интеграл \/(лг)а?лг, т. е. из абсолютной сходимости
а
интеграла следует его сходимость,
В самом деле, из абсолютной сходимости, т. е. сходимости
ь
интеграла \ \f(x)\dx, следует, что для любого е можно подобрать
а
такое N^>0, что при xr^>N и x"^>N имеет место неравенство
\\f(x)\dx<e,
ЛГ" ЛГ"
но 1 f{x)dx <^ \ \f(x)\dx, поэтому при этих же условиях
X1 х'
лг"
\f(x)dx <^е, а это значит (в силу доказанной теоремы 1), что
этот интеграл сходится.
Легко получить следующие два достаточных признака
абсолютной сходимости и расходимости несобственных интегралов.
466 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
оо
Следствие 1. Если |/С*)|=^<р(х) и \ у (х) dx сходится, то
а
оо
и \ \f(x)\dx сходится.
а
оо
Следствие 2. Если /(дг)^ср(дг)^0 и \ y{x)dx
расходится
оо
ся, то и \ f{x)dx расходится.
а
Полагая <р(х) = —, получаем следующие признаки.
ха
Признак сходимости. Если существуют такие числа с ^> О,
оо
М^>0 и а]>1, что\/(х)\^— для с^х<^ооу то \f(x)dx
а
абсолютно сходится. Поэтому если для некоторого а ]> 1 сущест-
оо
вует конечный предел lim \f(x)\xa, то \ f(x)dx абсолютно схо-
X-+QO V
а
дится.
Признакр^асходимости. Если существуют такие числа с ]> О,
оо
/Л]>0 и а=^1, что f(x)^>— для с^х<^оо, то \ f{x)dx рас-
а
ходится. Поэтому если для некоторого а ^ 1 существует пре-
X
дел Mm xa\f(x)\ и этот предел положителен, то \ f(x)dx рас-
Jf-*O0 J
а
ходится.
00
Пример 5. 1 e~xdx. Имеем \1те"хха = 0 при любом а, сле-
J *-*00
оо
довательно, \ ё~*dx сходится.
X
оо
Jdx х
-7——. Имеем lim -.— = оо, следовательно,
X —*оэ X
оо
С dx
\ -j расходится.
§ 1] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРАЦИИ 467
00 оо
тт ~ « f sinx j т sin л: ^ 1 fl sin л: I , ^
П р и м е р 7. J -^-j- dx. Так как ^Ту< F, то j | -^-^ | <£*<
СО
<^ \ —g—, а следовательно, рассматриваемый интеграл сходится
i
абсолютно.
3. Признак сходимости для условно сходящихся интегралов.
Теорема 3. Пусть <р(лг) — функция, для которой интеграл
X
F(x)= 1 y(x)dx остается ограниченным при х-> -f- со. Тогда
unci
теграл
а
сходится для всякого положительного а.
Действительно, интегрируя по частям, имеем:
а а а
оо
J Fix)
tv+a- dx сходится абсолютно, так как функция F{x), по
а
условию, ограничена, \F(x)\<^M иа)>0, значит, ffi <^
Кроме того, lim -~г = 0 по тем же причинам. Следовательно,
*о+1
Ъ
Ъ-*со
Ь
т. е. предел интеграла \ ^—-dx при b-^оо конечен, а это и озна-
a
оо
чает сходимость интеграла \ ^^dx.
а
Пример 8. Рассмотрим интеграл
J sin*
[X
Vx
о
Так как С sin xdx = — cosx есть ограниченная функция, то
предыдущая теорема применима и интеграл сходится.
468
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. XV
К рассмотрению этого интеграла можно свести так называемый
интеграл Френеля
i sin (дг2) dx.
Действительно, если положить x<i = t, то получим:
со со
1
J-w-iJf**-
Отсюда следует, что интеграл Френеля также сходится.
Интересно отметить, что подинтегральная функция sin (дг2) при дг-^со
не стремится к нулю. Здесь сходимость интеграла объясняется лишь
взаимным погашением положительных и отрицательных площадей.
4. Интегральный признак Коши. Коши доказал теорему,
связывающую понятие сходящегося ряда с понятием сходящегося
собственного интеграла; эта теорема дает возможность установить новые
признаки сходимости рядов.
Теорема 4 (Коши). (Интегральный признак
сходимости.) Если функция f(x) положительна и не возрастает
на бесконечном полуинтервале а^х<^оо и если lim /(дг) = 0, то
Х-ЮО
числовой ряд
со
2/(в + я)=/(в)+/(в+1)+/(в + 2)+...+/(в + л)+...
со
сходится в том случае, если сходится интеграл 1 f(x)dx, и рас-
а
ходится, ест этот интеграл расходится.
В самом деле, если а^х<^а-\-\, то на основании условий
теоремы имеем f(a)^f(x)^
^/(а-j-l)- Поэтому
С f(a)dx^ С f(x)dx^
a
a+1
a a+t
J /(«+l)
dx
Черт. 105
или
a+l
/(a)S* J f(x)dx^f(a+l). (4)
Эти неравенства имеют следующий очевидный геометрический
смысл (черт. 105): площадь прямоугольника аААх(а-\-1), равная
§ 1] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРАЦИИ 469
f(a) • 1 =/(а), больше, чем площадь криволинейной трапеции
аАВ(а-\-1), а эта площадь в свою очередь больше площади
прямоугольника аВхВ(а-{-1), которая равна f (а-{-!).
Заменяя в неравенстве (4) а последовательно числами а-{-1,
а-\-2, ..., а-\-п—1, получим:
а + 2
/(a+l)ssj /(*)<fe/(a+2),
a-\-l
а + 3
/(a + 2)3s j /(x)drS3=/(e+3),
a+2
a 4-л
/(а + л— 1)^ J f(x)dx2*f(a-t-n).
a -{- n — 1
Складывая полученные неравенства, найдем:
af л
/(в)+/(а+1)+/(а + 2) + ...+/(а + л-1)^ $/(*)«**>
^»/(a + l)+/(e + 2) + ...+/(a + nX
или, обозначая /(а)-)-/(а+ !)-!-•• -+/(а + я) через Sn, получим:
Sn-i^ j /(*)<*xSsS„-/(a). (5)
а
а-\- п со
Если lim \ f(x)dx = \ f(x)dx существует, то, в силу
Л -+ оо •/ V
а а
неравенства (5), последовательность 5Д ограничена сверху. Но
эта последовательность монотонно возрастает (так как f(x)^0);
оо
следовательно, -существует lim Sn, т. е. ряд У /(а~Ья) схо"
л -+ оо ^™л
л = 0
00
дится. Если же интеграл i f(x)dx расходится, то, в силу
ПОЛОЛА
я 4- я
жительности /(дг), имеем lim I f{x)dx = oo, а так как Sn-.t^s
л-+оо J
a
a-f л оо
^ \ f(x)dx, то и подавно lim 5л_1 = оо, т. е. ряд У f(a~hn)
" Л -ЮО „_Л
расходится.
Покажем примеры применения этой теоремы.
470 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
Пример 9. Исследовать сходимость ряда
оо
/1=1
Общий член заданного ряда —^ равен /(я), где f(x) = xk •
оо оо
Так как интеграл i f(x)dx= \ -^ сходится, если А>1, и
расходится, если k^l (см. пример 3), то, по доказанной теореме,
00
получаем, что ряд Л —jg-сходится, если А^>1, и расходится,
если k^l.
Пример 10. Исследовать сходимость ряда
00
2j я (In я}* = 2(1п2)й * 3 (In 3)ft ' ''' ' п (1ая)й + " •
/1 = 2
Общий член заданного ряда можно записать в виде /(я), где
А*)= л:(In*)* '
*00 00
Рассмотрим интеграл j f(x)dx = J x^xfb
2 2
Так как
00 Я
1 *0п*х)« =Д™ ) *<tax)» ^
j lim(lnlnn — In In 2) приА = 1,
V п-*оо
со
то \ 7j—r-]g— dx сходится при k^>l и расходится при k^.1.
2
оо
Следовательно, ряд У—л—тзг сходится, если £]> 1, и расхо*
/1 = 2
дится, если £^ 1.
Пример 11. Обозначим для краткости In In... In х через ln(m; (х)
т раз
и исследуем сходимость ряда с общим членом
1
§ 2] ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 471
Рассмотрим функцию
х(Inл:) (1п(2) л:)(In(3) л:)... (ln^-^ x)(lnm) х)к #
При k ф 1 имеем:
п
С f{x) dx^Y^{\n{m) x)x~h\nN = T^ [(ln^n)1"* — (1п(|л> ЛО1"*]
N
(N берем настолько большим, чтобы при n^N число ln(w)/t
было положительным). При k = 1 имеем:
п
I
f{x) dx= [\п{т+1)х] | % = 1п"*+1)я — ln(w+l)M
Так как lim ln(w)# = oo, то lim \/(дг)йд; существует тогда и
Л -»00 Я-»00 «J.
только тогда, когда £^>1.
оо
Итак, ряд ^ ^(lnn)(ln'4.--an""'«)fe СХ°ДИТСЯ> если *>Ь и
расходится, если k^l.
§ 2. Интегралы от неограниченных функций
5. Определение несобственного интеграла. Совершенно
аналогичная теория несобственных интегралов может быть развита для
функций, имеющих конечное число точек разрыва, в окрестности
которых функция неограничена.
Определение 4. Пусть функция fix) определена и
непрерывна на полуинтервале а<^х^Ь\ тогда
о
lim I f(x)dx9
6-»0 V
a + e
если он существует и конечен, называется несобственным
интегралом от f{x) на отрезке [а, Ь]. Несобственные интегралы
обозначаются так же, как и обычные определенные интегралы
ъ ь
lim \ f(x)dx= \f(x)dx9
или
о о
lim \ f(x)dx=\ f{x)dx.
v-*a, x>a J J
или
472 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
Аналогично, если f(x) определена и непрерывна на
полуинтервале а^х<^Ь, то несобственный интеграл от этой функции
определяется так:
ъ 6—s
\f(x)dx = lim j f{x)dx
i a
x b
lim \ f{x)dx= \ f{x) dx.
x-*b,x<:b J J
a a
Если несобственный интеграл существует, то говорят также,
ь
что интеграл V f(x)dx сходится. Если же указанные пределы не
«'
а
b
существуют, то говорят, что интеграл \f(x)dx расходится.
а
Из этого определения непосредственно вытекает, что для уста-
ь
новления сходимости или расходимости интеграла i / (х) dx, где
а
fix) определена на интервале а<^х<^Ь, достаточно решить во-
ь с
прос о сходимости и расходимости \f(x)dx и \f(x)dx, где с —
с а
произвольная точка интервала а<^х<^Ь.
Допустим теперь, что имеется конечное число точек разрыва
£i> £з> h> • • •> £д- Тогда интеграл от функции f(x) определим
посредством равенства
Si—si £i
Jf(x)dx= lim i f{x)dx-\- lim i f(x)dx-{-
e i -* 0 J e2 -* 0 t *]
a a 5i + e2
-f- lim I -}- lim \ +...+ lim \ f{x)dx
(предполагая, что все пределы в правой части существуют); здесь
ci9 с2, ..., сп_х — любые фиксированные числа, удовлетворяющие
неравенствам ^ < q <[ ?а, ^ < с2 <С &з> • • •> li-i <С ся-1 < ^л> a ej, еа,...
• • •> е2л — положительные числа, стремящиеся к нулю независимо
друг от друга.
§ 2] ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 473
ь
С dx
6. Интегралы вида 1 iux\*. Пример 12. Исследуем сходи-
ь
С dx
мость!^——га> гДе а^О^и #^>0. Этот интеграл несобственный,
так как lim ,-т ^
х^ь(Ь-х)а
х <Ь
-оо
Согласно определению,
ь
ь Ъ-г
dx
{b-xf '
Но
dx
(b — X)-*+i
1—а
b—s
, если а ф 1;
(* — *)" j_in(#_x) |&-^ если а=1.
Поэтому
Ъ—9
lim Г
dx
iSoJ <*-*>■
lim
е—О
а ' 1—а/ 1—а g ^ 0 1—а4 ^ "
lim (—lne-f- ln#) = ln# — limine (а = 1).
s —0 e — О
Вычислим полученные пределы:
ei-« ГО, если 1—а">0, т. е. а<^1;
lim z ={ ^
в-о1"""01 I °°> если 1—а<[0, т. е. а^>1,
lim 1пе = — оо.
е —о
Следовательно, получаем такой результат:
e_0J (* — х)*
1_а » если а<1#>
оо, если а^ 1.
*) Если а^О, то функция
(*—х)а
непрерывна на отрезке О^х^Ь
и I jt ъ dx есть обычный определенный интеграл.
474 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
Ъ
Иначе говоря, интеграл i ,,_J* .а сходится, если а< 1, и
расходится, если а^1.
7. Признаки сходимости. Теорема 5 (Критерий Кош и).
Если функция f(x) определена и непрерывна на полуинтервале
а<^х^Ь, то для существования {сходимости) несобственного
ъ
интеграла \ f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы для всякого
? I
1 f(x)dx <^е.
положительного числа г можно было указать такое число 8 ^> О,
чтобы из неравенств 0<^ л^ — я <^ 8, 0<^а—а <^ 8 следовало нера*
венство
о
В самом деле, рассмотрим функцию Ф (х) = \ f(x)dx. Для того
X
чтобы Ф (х) имела предел при х-+а, х^>а, необходимо и
достаточно, чтобы для всякого е^>0 существовало 8]>0 такое, что если
0<лг1 — а<8 иО<дг2 —а<8, то |Ф (xt) — Ф(лг2)|<е. Но
b Ъ х2
| Ф (*,) — Ф (*,) | = | J f(x) dx — J /(*) dx\ = IJ f{x) dx I.
Xi X% X\
Тем самым теорема доказана.
Аналогично доказывается теорема для случая, когда /(лг) за-
дана и непрерывна на полуинтервале а^х<^Ь.
Введем теперь следующее определение.
ъ
Определение 5. Несобственный интеграл \f(x)dx назы-
а
вается абсолютно сходящимся, если несобственный интеграл
ъ ъ
1 [/(лг) | dx сходится. Если же 1 |/(лг) | dx расходится, в то время
а а
Ь Ъ
как \f(x)dx сходится, то интеграл \f(x)dx называется ус-
а а
ловно сходящимся.
Ь
Теорема 6. Если, интеграл l f(x) dx абсолютно сходится, то
а
он сходящийся интеграл.
§ 2] ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 475
В самом деле, так как, по условию, \ f(x) dx абсолютно схо-
r* а
дится, то 1 \f(x)\dx сходится и, следовательно, согласно тео-
а
реме 1, для всякого е^>0 можно найти такое 8, что если
\хг — а|<8 и I*" —а|<8, х">х>, то I \f(x)\dx< е, а так как
х" х" X1
\\f(x)dx \^t\f(x)\dx, то из условий \х? — я|<8, \х" — а|<8
Xх X1
Xй
следует, что i f(x)dx\<Сг и> значит, по теореме 5, интеграл
ъ xf
\ f(x) dx сходится.
а
Опираясь на доказанное предложение и на результаты,
полученные при рассмотрении примера, легко получить следующие
признаки сходимости и расходимости интегралов.
Если существуют такие с<^Ь> М^>0 и а<М, что
ь
0^/С*0<С \и _ \а^ля с^х<^Ь> то интеграл \f(x)dx сходится.
а
Поэтому если для некоторого а <^ 1 существует конечный
ь
lim f(x) (£ — хУ у mo\f (дг) dx сходится.
а
Если существуют такие с<^Ь> М^>0 и а ^ 1, что
ъ
f(x) }> ,:^ g для с^х<^Ьу то 1 f(x)dx расходится, Поэтому
а
если для некоторого а^1 существует lim f(x)(b — х)«,больший
ь ~*
нуляу то \ f{x)dx расходится.
а ±
2
Пример 13. 1 \nsmxdx. В точкелг=0 функция не определена.
Ъ
Пусть 0 <^а<[ 1; имеем, применяя правило Лопиталя: lim х* In sin^=*
1
,. In sin л: f. sinA:C0S t. 1 x * „ло _ n
a=a lim :—=s lim =£=? =—lim—ПГТГ ^ cos x = °>
jp-#0 ! *->0 —ал: A *-o r
X*
a следовательно, этот интеграл сходящийся.
476 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
§ 3. Свойства несобственных интегралов
8. Свойства несобственных интегралов. Для того чтобы
сходящиеся несобственные интегралы могли бы служить таким же
удобным орудием исследования, как и собственные интегралы, надо
показать, что для них справедливы основные свойства
определенных интегралов.
Прежде всего остановимся на применимости основной формулы
ъ
^f{x)dx = F{b) — F{a\
а
где F(x)— первообразная функция. Введем такие обозначения:
lim F(x)=F(+oo) и lim F{x)=F{— со).
X-*-\-CQ #-* — ОО
Пусть сначала f{x) определена и непрерывна на всей оси от — со
до -{-оо; тогда, по определению несобственного интеграла,
оо N
f/C*)A*=lim [f(x)dx=\\m \F(N) — F(a)]9
J N-*ooJ ЛГ-соЦ J
a a
со
и следовательно, если i f(x)dx сходящийся, то lim \F(N) — F(a)\
J N-*ool J
a
Существует и равен F(-j-oo)— F(a).
Аналогично установим формулы:
{f(x)dx = F(a) — F(— оо) и Сf(x)dx=F(-{-со) —F(— со).
— СО — СО
Переходим теперь к случаю интегрирования неограниченных
функций.
Теорема 7. Пусть f(x) непрерывна на [а, #], за
исключением, быть может, конечного числа точек, и пусть существует
непрерывная на отрезке [а, Ь] функция F(x), производная от
которой совпадает с f(x) во всех точках непрерывности f{x)\ тогда
ъ
\f(x)dx сходящийся и
о
[f{x)dx = F(fi) — F(a).
§ 3] СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 477
В самом деле, предположим для простоты записи, что на [а, Ъ\
функция f(x) имеет две точки разрыва: сх и с2; тогда, по
определению несобственного интеграла,
ь а — et с2 —<з ь
\f(x)dx = lim Г f f(x)dx+ С f(x)dx + f /(x)dxl =
а У ^ о a ci + ss c2 — s4
s3->0
s4->0
= limtF(c1-e1)-F(a)+F(c2-e3)-/7(c1 + e2) +
JrF{b)-F(_ci-zi) = F(b)-F{a)-\- lim [Ffo-.,)-
S2-0
— J7(*! + •*)]+ Иш [F(c2 —e3) —F(c2 — e4)].
e3-0
«4-*0
Ввиду предположенной непрерывности F(x) в точках Cj и с2
пределы выражений, стоящих в квадратных скобках, равны нулю и,
следовательно,
ъ
§f(x)dx = F(b)-F(a),
а
чго и требовалось доказать.
Jdx
-трзг . Точка разрыва подинтегральной функции
3 1
х=0у однако первообразная -к-*3 ВСК)ДУ непрерывна и,
следовательно,
V А
С dx
J, w=*x'
|+,=о.
1
Пример 15. \ Inxdx; первообразная от \пх равна дг1пдг — х\
8
€сли ей при лг->0 приписать значение нуль, то она непрерывна на
отрезке [0,1] и, следовательно,
1
1 \nxdx-xlnx — х\ =—1.
Переходим к другим свойствам несобственного интеграла. Ниже
переименованные свойства почти очевидно вытекают из определения
478 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV
несобственных интегралов:
Ъ а
i f(x)dx =— 1 f(x)dx,
a b
b с b
j f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx,
а а с
b b
\ kf{x)dx = k \ f(x)dx,
a a
b b b
\ [f(x)dbg(x)]dx= \ f(x)dx± \ g(x)dx.
a a a
Во всех формулах может быть # = -[-оои а = — оо.
Остановимся подробнее на двух свойствах: формуле
интегрирования по частям и формуле замены переменного.
Теорема 8. Пусть функции и = и(х) и v — v(х) определены
и непрерывны вместе со своими первыми производными во всех
точках отрезка [а, Ь\, исключая, быть может, точку b(b может
быть равно и -\-оо\ Тогда имеет место равенство
ь ь
1 udv— lim u{x)v(x) — u(a)v(a)— i v
ч) x-*b J
a a
du.
Правую часть этого равенства условно обозначают
ь
uv\ — \ vdu.
а
Переходим к доказательству. Пусть a<^xQ<^b; тогда имеет
место обычная формула интегрирования по частям:
Г° ?
V иdv^u(х0)v(х0) — u{a)v{a) — \ v du.
a a
Переходя в этом тождестве к пределу при дг0->й, мы и
получим выше написанное равенство.
Если особая точка не является точкой Ь, а лежи г между а и
by то применение формулы интегрирования по частям естественно
возможно в тех же предположениях, что и применение формулы
ь
[f(x)dx = F{b) — F{a)
а
§ 3] СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 479
(см. предыдущую теорему).
Пример 16.
оо
Еп = f e-axsmnxdx, а>0.
о
Интегрируя по частям, имеем:
оо
En = — —e-*xslnnx\ao + — { е~ахsin"'1 х cos х dx.
Первое слагаемое правой части равно нулю и, следовательно,
со
Е„ — — \ е'**sinn~l х cos хdx.
-Ч
Еще раз применяем формулу интегрирования по частям,
полагая снова dv = e~axdx и u = s\nn~x х cos х.
Имеем;
En = — -±e-axsmn-ixcosx\+--^-^
п а а о ' a2 J
о
оо
^- \ e~axs\nnxdx.
а \
Опять первое слагаемое равно нулю при я^>1 и,
следовательно,
р _п(п — \) £ ^_aXt
С ^sin*-2* cos2xtfx — -J- J ^sin****.
о 0
Заменяем cos2.*: через 1—sin2.*:, получим:
$e-axslnn-+xdx— n{na^l) [e-a*sln"xi
CO
0
или
_/I(/I —1) Л*
^Л a2 ^/1-2 Q2 ^П'
Отсюда имеем:
\' + а* Г"— в5 ^"-в"
Итак, получаем следующую рекуррентную формулу:
_ к(/г—1)
^/* — /г2 + а2 с*-*'
Эта формула справедлива для п^2.
480
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. XV
Вычисляем отдельно Еь и Ех:
со
оо
£e=\ e-axdx = — ^e-ax
о
(см. гл. XI, п. 11, пример 15).
Используя теперь рекуррентную формулу для четного и
нечетного я, получаем равенства
F _ (2fe-l)l
^2*-i — (1 + «2)(32 + а2) ... ((2* — I)2 + а2)'
_ (2fe)l
•^2
"а*— й(22 + й2)(42 + й2).-((2^)2 + й2) *
9. Замена переменного в несобственных интегралах. Пусть
f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном
промежутке [ау Ъ\ и, следовательно, интегрируема в собственном
смысле в каждой его части, не содержащей точки й, которая
может быть -|~°°-
Рассмотрим теперь монотонно возрастающую функцию y(t),
непрерывную вместе со своей производной <pr (t) на отрезке а^^^р,
где ср(а) = а и ср((3) = #, причем последнее равенство следует
понимать в условном смысле Нт<р(/) = й. При этих условиях имеет
место равенство
а а
f(x)dx=\f[9(x)]9'(x)dt.
Прежде всего заметим, что из монотонности дг = ср (t) вытекает,
что t можно рассматривать как монотонно возрастающую функцию
от х, t=Q(x), для которой lim0(x) = (3.
х->Ь
Пусть теперь х0 и t0 будут произвольные значения х и t,
такие, что лг0 = ?(^0) или tQ = B(x0), причем а^х0^Ь, а^£0^р.
Тогда с помощью замены переменной в собственном интеграле
будем иметь":
}f(x)dx=\f(9(t))9'(t)dt.
а а
Если определен интеграл
г*
/[<Р (01 ?'(')<#,
§ 3] СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 481
то, при стремлении t0 к р, будем иметь, что х0-># и,
следовательно, в пределе получим формулу
ь 3
£/(*)**= J/ею]*'(о л
а а
Аналогичное заключение мы можем сделать и тогда, когда
у(х) — монотонно убывающая функция.
ъ
Jdx
, Делаем подстановку
У(х-а)(Ь-х) '
а
х = а cos2 t-\-b sin2 t = cp(t); 9(0) = a, 9 (-^-) = ft;
на. отрезке от a = 0 до p = -у функция 9 (t) монотонна; в самом деле,
qp (t) = a (1 — sin2 £) -|- b sin2 £ = (b — a) sin21 -\- а и, следовательно,
она монотонно возрастающая.
Перед тем как делать подстановку, заметим, что, с одной
стороны, как было показано, х = а cos2t-\-bsm2t = a-\-(b — d)s\n2t>
а с другой стороны, х = а cos2 t-\-b sin2 t = a cos2 t-\-b(\ — cos2£)==
= b — (b — a) cos21.
Поэтому
f\m(t)]= , 1 = 1 =*
LTWJ Y(x— a)(b — x) Y(b — a) sm2t-(b — a)cos*t
1
{b — a) sin t cos t '
cpf (t) = (a cos21 -f- b sin2 t)f = — 2a cos £ sin £ -f- 2b sin £ cos t =
= 2 (& — a) cos £ sin t.
Следовательно, окончательно
те те
J )/(л: —<*)(£ —*) J (£ —a)cos* sin* J
a О 0
1С
T
Пример 18. Интеграл Эйлера /= \ lnsinxdx. Делаем сна-
oJ
чала подстановку x = 2t; она, конечно, монотонна, получаем:
1С 1С
т т
1=2 С In sin 2tdt = 2 fin (2 sin / cos t)dt =
1С 1С 1С
4 4 T
= 2 [\n2dt-]-2[\ns\ntdtA-2 [\ncostdt.
4) *) J
482 НЕСОБСТВЕННЫЕ интегралы [гл. XV
В последнем интеграле полагаем
тогда
1С 1С 1С
т т *т
2 fin cos tdt = 2 С In sin udu = 2 f In sin *d/.
О тс тс
T 4
Отсюда уже получим, подставляя это значение в выражение для/:
1С
2
/=2(1п2)-*--{-2 С In sin* Л,
т. е.
/=-Jln2 + 2/,
или
/= — у In 2.
Заметим, что для законности подобного рассуждения мы должны
установить сначала, что интеграл Эйлера сходящийся, что уже
было нами сделано.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома Архимеда 44
Аксиомы арифметики 43
— вычислительные 44
— порядка 44
— соединения двух чисел 43
Амплитуда колебания 30
Антье 19
Аргумент функции 15
Асимптота 179
Астроида 423
Бесконечно малые высшего порядка 103
низшего порядка 103
одного порядка 103
эквивалентные 103
Величина бесконечно малая 101
— бесконечного произведения 226
— действительного числа, абсолютная 19
Вогнутость графика функции 295, 298
Возрастание функции в точке 278
Выпуклость графика функции 295, 298
Вычитание рядов 224
Грань последовательности, верхняя 57
, нижняя 57
— функции, верхняя 79
, нижняя 79
График функции 20
Декремент логарифмический 291
6-подразделение 376
8-сумма 376
Дифференциал 157
— биномиальный 363
— , геометрический смысл 157
— дуги 422
— сложной функции 157
Дифференциалы высших порядков 171, 172
Дифференцирование 123
Дифференцируемость аналитической функции
249
Длина дуги 414
кривой, заданной в полярных
координатах 426
, — параметрически 422
Дроби простейшие 340
— элементарные 340
Дуга спрямляемая 415
Зависимость функциональная 13, 14
Замена переменного в несобственном
интеграле 480
— определенном интеграле 407
Знак интеграла 311
Значение бесконечного произведения 226
— критическое 285
— функции 15
предельное 72
Изменение знака функций 282
Инвариантность формы дифференциала 158
Интеграл неопределенный 311
— несобственный 460
, абсолютно сходящийся 462, 474
на отрезке 471
расходящийся 461, 472
сходящийся 461, 472
условно сходящийся 462, 474
— определенный 313, 376
— суммы функций 318
— Френеля 468
— Эйлера 481
— эллиптический второго рода 424
Интегрирование иррациональных функций
методом рационализации 356—366
— методом подстановки 321
— по частям 324
— простейших иррациональных функций
331—335
рациональных функций 326—331
— рациональных функций 349
— трансцендентных функций методом
приведения 370—374
— тригонометрических выражений методом
рационализации 366—370
Интегрируемость монотонных функций 388
— функций с конечным числом точек
разрыва 387
Интервал 16
— бесконечный 16
— сходимости 237
Исчисление дифференциальное 136
— интегральное 317
Кардиоида 427
Касательная к кривой 120
— левая 132
— правая 132
Колебание гармоническое 29
прямолинейное 30
— функции 79
на интервале 382
Конечные разности 173
Концы интервала 16
— отрезка 16
Косинус гиперболический 303
— интегральный 374
Котангенс гиперболический 303
Коэффициенты степенного ряда 235
Кривая, заданная параметрически 177
Криволинейная трапеция 316
Критерий Коши сходимости
последовательности 56
бесконечного произведения 230
несобственного интеграла на отрезке 474
ряда 203
Критическая точка функции 285
Критическое значение 285
484
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лемма Абеля 399
Лемниската 435
Линейность в малом 156
Лист Декарта 182
Логарифм 65
— интегральный 374
— натуральный 61
Ломаная, вписанная в дугу 414
Максимум функции 280
Меридианальная кривая 438
Метод неопределенных коэффициентов 344
— Остроградского 350
— подстановки 321
— произвольных значений 346
— рационализации 357
— сечений 436
Минимум функции 281
Многозначность функции 24
Многочлен 17
Множество ограниченное 67
сверху 56
снизу 57
— частично упорядоченное 70
Нахождение пределов 99—111
— предельных значений 184—197
Неопределенность вида jr 184
со — со 193
О- со 193
00 194
1°° 194
со0 194
Непрерывность обратной функции 91
— произведения 90
— равномерная 97
— сложной функции 92
— суммы 90
— функции 86
, представим ой степенным рядом 250
слева 84
справа 84
— частного 91
— элементарных функций 85
Неспрямляемая кривая 417
Нуль функции 161
Область определения функции 15, 16, 17
— существования функции 17
— сходимости степенного ряда 236
Обобщение сходимости бесконечного
произведения 227
Обозначение производной по Коши 125
Лагранжу 124
Лейбницу 125
Ньютону 124
— функциональной зависимости 15
Объем тела вращения 437
— трехосного эллипсоида 437
Окрестность точки 66
Операции над действительными числами 44—
48
числовыми последовательностями 33
Определение дифференциалов через конечные
разности 174
— производных через конечные разности 174
Остаток ряда 203
Остаточный член в форме Коши 259
— Лагранжа 259
ряда Тейлора 258
Ось числовая 16
Отрезки подразделения 376
Отрезок 16
— интеграции 377
Парабола л-го порядка 429
Параметр рационализирующий 357
Переменная интеграции 377
— независимая 14, 70
Период 28, 29
— наименьший положительный 28
Площадь в полярных координатах 433
—, вычисление 316
— криволинейной трапеции 427
-т- поверхности вращения 441
Подынтегральное выражение 311, 377
Подпоследовательность 35
Подстановка и=cos л: 368
— a=sin х 367
— «=tg* 369
— «=tgy366
— Эйлера, вторая 359
, первая 359
, третья 359
Полнота множества действительных чисел 49
Полуинтервал 16
Полупрямая 16
Порядок бесконечно малых 102, 103
Последовательность бесконечная числовая 32
— возрастающая 58
— конфинальная 41
— не возрастающая 58
убывающая 58
— ограниченная сверху 58
снизу 58
— расходящаяся 34
— сходящаяся 34
— убывающая 58
— фундаментальная 41
Построение графиков функций 302
Правила действий 44
— интегрального исчисления, основные 318—
319
— нахождения производных, общие 135—147
Правило Лопиталя раскрытия
неопределенностей 185
Предел бесконечный 34
— интеграции, верхний 377
, нижний 377
— левый 74
— независимого переменного 71
— последовательности {ап} 37
-£}«
верхний 242
— правый 74
— произведения функций 81
— слева 74
— справа 74
— суммы функций 80
— функции 72
— частного двух функций 82
— числовой последовательности 34"
Пределы интеграции 313
—, нахождение 99—111
— некоторых последовательностей 111
Представление функции, аналитическое 16
Преобразование Абеля 222
Признак Гаусса 214
— Гейне существования предела 75
— ДалаМбера 205
— Коши (сходимости ряда) 207
существования предела 76
— Куммера 211
— полноты Г. Кантора 51
Коши 4Э
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
485
Признак полноты по Дедекинду 53
— Раабе 214
— расходимости несобственного интеграла
466
— сходимости бесконечного произведения,
необходимый 327
, — и достаточный 328
несобственного интеграла 466
ряда, интегральный (Коши) 468
, необходимый 202
условно сходящихся интегралов 467
Принцип Больцано —Вейерштрасса 66
— отбрасывания бесконечно малых* высших
порядков 104
— сравнения рядов 204
Приращение независимого переменного 83
— функции 84
Прогрессия геометрическая 38, 199
Произведение 44
— абсолютно сходящееся 233
— бесконечное 226
, расходящееся 226
, сходящееся 226, 227
— последовательностей 34
— рядов 224
— степенных рядов 247
— частичное 226
Производная 123
— алгебраической суммы 138
— arc cos х 150
— arc ctg x 150
— arc sin x 146, 150
— arc tg x 150
— бесконечная 124
— cos x 149
— ctg x 150
— левая 131
— логарифмическая 151
— логарифмической функции 127, 151
— обратной функции 145
— определенного интеграла по верхнему
пределу 402
— показательной функции 127
— постоянной 136
— правая 131
— произведения 139
функции на постоянную 136
— sin х 126
— слева 131
— сложной функции 142, 144
— справа 131
— степечной функции 126, 147
— tg х 149
— функции, равной независимому
переменному 125
, заданной параметрически 182
— частного 141
Производные высших порядков 166
— тригонометрических функций 149—150
— элементарных функций 125—129, 147—153
Радиус сходимости 237
степенных рядов, общий 247
Разложение в степенной ряд arc sin х 273
arc tg х 272
cos x 262
логарифмической функции 269
показательной функции 263
Sin л: 262
— рациональной дроби на элементарные 335
Разность 44
— двух последовательностей 33
— первого порядка 173
— порядка п 173
— степенных рядов 247
Раскрытие неопределенностей 184—197
Рационализация интеграла 356
Ряд абсолютно сходящийся 216
— бесконечный 198
— биномиальный 265
— гармо?1ический 202
— Гаусса 240
— гипергеометрический 240
— знакочередующийся 217
— расходящийся 199
— степенной 235
— сходящийся 199
— условно 219
— Тейлора 253
Ряды с монотонно убывающими членами 209
Сводка правил дифференциального
исчисления 153
— формул дифференциального исчисления 152
Свойства неопределенного интеграла,
основные 318—319
— непрерывных функций 93—96
— несобственных интегралов 476
— определенного интеграла, основные 390
— сходящихся рядов 200
— функций, имеющих производные 159
Сечение 53
— дедекиндово 53
Символ подстановки 404
Синус гиперболический 303
— интегральный 374
Система вложенных отрезков 51
Скачок функции 87
Скорость изменения функции в точке 117
— мгновенная 115
Сложение 43
— графиков 26
— рядов 223
Смещение 29
Степень числа дробная 62
Стремление переменного к пределу 71
Сумма 44
— интегральная 375
обобщенная 445
— последовательностей 33
— ряда 199
частичная 199
— степенных рядов 247
— членов геометрической прогрессии,
убывающей 38
Суммы верхние 380
— нижние 380
Существование любой степени
действительного числа 61
Сходимость геометрической прогрессии 199
— несобственного интеграла на отрезке,
абсолютная 477
, условная 474
Таблица интегралов 312
— производных элементарных функций 152
— формул приведения 370
Тангенс гиперболический 303
Тело вращения 438
Теорема Абеля, вторая 251
, первая 235
— Бонне 398
— Вейерштрасса 93
— Дарбу 161
— Дедекинда 53
— единственности 253
— Коши 165
— Коши (интегральный признак сходимости)
468
486
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Коши о сходимости ряда с
монотонно убывающими членами 209
— Лагранжа 163
— Лейбница 217
— Лопиталя, вторая 188
, первая 184
•— Ньютона — Лейбница 404
— о равномерной непрерывности 97
среднем значении, вторая 398
f первая 397
— Римана об интегрируемости функций 385
условно сходящихся рядах 221
— Ролля 161
— существования определенного интеграла 377
Теоремы о бесконечно малых функциях 102
дифференциалах 159
непрерывных функциях 93—96
— о пределах 80—83
Тор 440
Точка перегиба 300, 301
— предельная 66
— разрыва второго рода 87
первого рода 87
с бесконечным скачком 87
устранимая 87
— расходимости степенного ряда 235
— сходимости степенного ряда 235
— функции, критическая 285
— экстремальная 282
Убывание функции в точке 278
Умножение 43
— рядов 224
Упорядоченность действительных чисел 48
Уравнение кривой 21
— циклоиды параметрические 178
Ускорение 116
Условие существования экстремума,
необходимое 282 *
Условия интегрируемости биномиального
дифференциала 364
— представимости функции рядом Тейлора
260
— существования экстремума, достаточные
Фаза колебания 29
Факториал (х\) 31
— двойной (*!'} 31
Формула для определения длины дуги кривой 417
— замены переменного 319
в определенном интеграле 408
— интегрирования по частям 319
для определенного интеграла 409
— конечных приращений 164
— Коши 166
— Коши — Ада мара 244
— Лейбница 169
— Маклорена 260
— Ньютона — Лейбница 404
— подстановки в определенном интеграле 408
— Симпсона 455
— Тейлора 260
— трапеций 453
Формулы приведения 370
Функции алгебраические 17
— взаимно однозначные 23
— круговые 147
— обратные гиперболические 305—306
тригонометрические 147
— трансцендентные 17
— тригонометрические 147
— элементарные 17
Функция 14
— аналитическая 248
— антье 19
— бесконечно малая 101
— вогнутая 295, 298
—, возрастающая в точке 278
— выпуклая 295, 298
— двойной факториал (xV) 31
— Дирихле 89
— дифференцируемая 137
— дробно-линейная 358
— дробно-рациональная 17
— Е(х) 19
— интегрируемая на отрезке 377
— иррациональная 17
— логарифмическая 147
— многозначная 15
—, многозначность 24
— модуля (| х |) 19
— монотонно возрастающая 23, 275
— — убывающая 23, 275
— непрерывная 84
— — в точке 83, 84
на множестве 84
отрезке 92
— — слева 84
— — справа 84
— нечетная 22
— неявная 27
— обратная 24
— ограниченная 78
сверху 78
снизу 78
— однозначная 15
— первообразная 310
— периодическая 28
— подынтегральная 311, 377
— показательная 147
— рациональная 326
— с ограниченным изменением 418
— сигнум (sign х) 19
— сложная показательная 103
— степенная 147
— ступенчатая 89
—, убывающая в точке 278
— факториал (*') 31
— целая рациональная 17
— целочисленного аргумента 31
— четная 22
Цепная линия 305
Циклоида 177, 432
Частное 45
— двух последовательностей 34
Частота колебания 29
Число действительное 39, 41
отрицательное 48
положительное 48
— е 60
— колебаний в единицу времени 29
Числовая прямая 49
Член бесконечного произведения 226
— последовательности 32
— последовательности, общий 32
— ряда 198
Эквивалентность бесконечно малых 103
Экстремум абсолютный 288
— локальный 282
— относительный 282
Экстремумы функции 282
Эллипс 424
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ')
ci *
d*
£(*)
е
И *
lim а
lim *
In*
si*
sign *
A *
374
87
19
60
374
34
242
6Г
374
г 19
83
*!!
W
1*1
(*, *)
(*, *]
[*, *)
[*, *]
Ч
я«
31
32
19
16
16
16
16
70
103
106
*) В нижеследующих обозначениях буквы
или цифры заменены звездочками.
Немыцкий Виктор Владимирович,
Слудская Мария Ивановна
и Черкасов Андрей Николаевич,
Курс математического анализа, том I
Редактор А. Ф. Лапко.
Техн. редактор С. С. Гаврилов
Корректор С. Н. Емельянова
Сдано в набор 5/XI 1956 г. Подписано
к печати 19/И 1957 г. Бумага 60Х921/1Й.
Физ. печ. л. 30,5. Условн. печ. л. 30,5.
Уч.-изд. л. 29,76. Тираж 25 000 экз.
Т-02105. Цена книги 9 р. 95 к.
Заказ № 1740.
Государственное издательство технико-
теоретической литературы.
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
Министерство культуры СССР%
Главное управление полиграфической
промышленности. 2-я типография
„Печатный Двор" имени А. М. Горького.
Ленинград, Гатчинская, 26.