Текст
и*л
Издательство
инос транной
литературы
*
CURVATURE
and
BETTI NUMBERS
by
K. JANO AND S. BOCHNER
PRINCETON, NEW JERSEY
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
1953
К. ЯНО и С. БОХНЕР
КРИВИЗНА
и
ЧИСЛА БЕТТИ
Перевод с английского
Под редакцией
Г. Ф. ЛАПТЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва —1957
Книга содержит изложение ряда вопросов
дифференциальной геометрии в целом: на
основании дифференциальных свойств компактного
риманова многообразия даются оценки для его
чисел Бетти; полученные результаты
прилагаются затем к исследованию пространств
полупростых групп Ли и кэлеровых многообразий.
В начале книги изложены необходимые для
дальнейшего факты из тензорного анализа и римано-
вой геометрии (при этом почти не применяется
аппарат внешних форм); в книге
сформулированы без доказательств некоторые используемые
в ней теоремы из топологии дифференциальных
многообразий со ссылками на
соответствующую литературу.
Книга рассчитана на научных работников,
аспирантов и студентов, работающих в
области дифференциальной геометрии.
Редакция литературы по математическим наукам
Заведующий редакцией профессор А. Г. КУРОШ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К. ЯНО
Эта работа впервые дает систематическое изложение
некоторых вопросов дифференциальной геометрии в целом,
а именно вопросов о кривизне и числах Бетти —
предмета, начало которому недавно положено профессором
С. Бохнером.
В надежде на то, что это сочинение может быть также
использовано в качестве обзора современной
дифференциальной геометрии в некоторых ее аспектах, а также
чтобы фиксировать наши обозначения, все необходимые
факты дифференциальной геометрии как таковой, по
существу независимо, изложены в гл. I.
Остальные главы содержат новые исследования
профессора Бохнера по дифференциальной геометрии в
целом и другие результаты, тесно связанные с ними.
Эти главы содержат только часть последних работ
в указанной области, но, к счастью для меня, а также для
читателей, профессор Бохнер любезно согласился
прибавить еще дополнительную главу, из которой читатель
получит более широкие представления по этому очень
интересному вопросу.
Глава I
РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
1. Римановы многообразия
Рассмотрим хаусдорфово пространство с заданной системой
окрестностей {U} таких, что каждая окрестность U может быть
поставлена во взаимно-однозначное непрерывное соответствие с
внутренностью гиперсферы
2(**-*<)а = г*
г = 1
в /г-мерном эвклидовом пространстве. Такое пространство будем
называть м-мерным многообразием. Здесь и в дальнейшем латинские
индексы будут пробегать значения 1, 2, ..., п.
Это соответствие между точками некоторой окрестности
многообразия и точками внутри гиперсферы называется системой
координат. Координаты (х1) точки в эвклидовом пространстве, которая
соответствует точке Р многообразия, называются координатами
точки Р в этой системе координат. Окрестность, снабженная
системой координат, называется координатной окрестностью.
Если в окрестности U заданы две системы координат
(х1, **,..., *») и (У1, х'\ ..., х'п),
то существует взаимно-одно.значное непрерывное соответствие между
этими двумя системами координат, которое может быть выражено
уравнениями
Х* = х*(х'\ х'\ ..., х'п)\ (1.1)
или обратно:
*'* = *'*(**, **,..., *»). (1.2)
Уравнения (1.1) или (1.2) определяют так называемое
преобразование координат.
Если хг(х'а) и хп(ха) — функции класса Сг, то есть если они
допускают непрерывные частные производные первого, второго, . . .,
г-го порядка, и если при г^\ якобианы
дх*
дх'а
и
дх'а
дх^
отличны от нуля для любого преобразования координат в данном
многообразии, то мы говорим, что многообразие является
многообразием класса Сг-
Гл. I. Римановы многообразия
Очевидно, что если мы имеем в я-мерном многообразии класса Сг
функции /{{ха), удовлетворяющие упомянутым условиям, где (ха)
является начальной системой координат в окрестности U, то, полагая
мы можем ввести \хп) в качестве новой системы координат в £Л
Мы будем называть такую систему координат допустимой системой
координат в U.
Если многообразие может быть полностью покрыто конечным
числом окрестностей Uu ^2* •••> ^лт> то говорят, что
многообразие компактно. Как правило, наши многообразия будут компактны.
Иногда мы будем также предполагать ориентируемость
многообразия. Если (х1) и (х'г) — две допустимые системы координат
в координатной окрестности £/, то якобиан
дх*
Их*
= У
отличен от нуля всюду в координатной окрестности U и,
следовательно, будучи непрерывной функцией точки в (У, имеет один и
тот же знак всюду в U. Если этот знак положителен, мы говорим,
что эти координатные системы одинаково ориентированы, если
знак отрицателен, то они противоположно ориентированы.
Если существует подмножество множества всех допустимых
координатных окрестностей, покрывающее все многообразие, и если
любые координатные системы, принадлежащие этому подмножеству
и действующие в одной и той же окрестности многообразия, всегда
одинаково ориентированы, то говорят, что многообразие
ориентируемо.
Предположим теперь, что с каждой координатной окрестностью U
в нашем я-мерном многообразии класса Сг связана положительно
определенная квадратичная дифференциальная форма от
дифференциалов dxl
ds2 = gjkdxJdxk (gjk = gAj), (1.3)
которая не зависит от выбора системы координат и коэффициенты
Sjk(x) которой являются функциями класса Сг"х от координат
(л:1, х2, . . ., хп). В формуле (1.3) по повторяющимся внизу и вверху
индексам производится суммирование.
Геометрически форма (1.3) интерпретируется как квадрат
бесконечно малого расстояния ds между точками (х1) и (xi~{-dxi). Тогда
длина дуги кривой х* — х1У) (^ <^ <*f 2) дается интегралом
и
Т¥Л (L4)
= |}Д.
2. Тензорная алгебра
9
Форму (1.3) мы будем называть фундаментальной метрической
формой многообразия.
я-мерное многообразие класса Сг, в котором задана
фундаментальная метрическая форма (1.3), называется д-мерным римановым
многообразием класса Сг. Теория таких многообразий называется
римановой геометрией (Эйзенхарт [1]),
2. Тензорная алгебра
Если в некоторой системе координат (х1) задана форма (1.3) и
если в другой системе координат соответственно положим
ds'2 = g' (xf)dx'jdxfk>
то мы должны иметь
ds' = ds.
Вообще если некоторый объект представлен величиной / в
системе координат (х1) и величиной /' в какой-либо другой системе
координат (х'г) и если
/'=/- (1-5)
то мы называем этот объект скаляром, а / и /'—его компонентами
в соответствующих системах координат (хг) и (хп). Таким
образом, ds есть компонента скаляра.
Из (1.2) имеем
dxfi = *£— dxr.
Вообще если некоторый объект представлен п величинами vl
в системе координат (х1) и п величинами vn в какой-либо другой
системе координат (хп) и если
*П=%г*. (1.6)
то мы называем этот объект контравариантным вектором, a vl и
vn — его компонентами в соответствующих системах координат (х1)
и (х'г). Таким образом, величины dxl являются компонентами контра-
вариантного вектора в системе координат (х{).
Если некоторый объект определен в каждой точке координатной
окрестности U, то его компоненты являются функциями от (л:*).
Мы говорим, что в таком случае имеется поле объекта. Если мы
обозначим через f(x) и f (xf) компоненты скалярного поля в
соответствующих системах координат {х1) и (V1), то будем иметь
/'(*')=/(*),
10 Гл. I. Римановы многообразия
откуда, беря частные производные, получим
df dx8 df
dx'j dx'jdx8
Вообще если некоторый объект представлен п величинами Vj
в системе координат (х1) и величинами г/, в какой-либо другой
системе координат (х'г) и если
v' = — vs, . (1.7
' dx'3
то мы называем этот объект ковариантным вектором, a Vj и vi — его
компонентами в соответствующих системах координат (х1) и (х'г).
Если f(x) есть компонента скалярного поля, то производные —-.
являются компонентами ковариантного вектора. Мы называем такого
рода специальный ковариантный вектор градиентом скалярного
поля /.
Из условия dsf = ds имеем
, дх8 dxt
Вообще если некоторый объект представлен пр+я. величинами
в системе координат (х{) и
Г'Л "Л
К h" Jq
в какой-либо другой системе координат (д;'г) и если
,,г. i0... гр
Т'\ h
Sl*2-tq
_ dx'h dx'h dxfiP dxh dxs2 dxsQ ^^ ... rv ,< g,
— dxri dxr2 ' ' ' dxrP dx'h dx'h * ' ' dx'h V2 ••• 8q >
то мы называем этот объект смешанным тензором контравариантной
валентности р и ковариантной валентности q, a
jifa ... t^
3\ Оч - • • jq
И
у,/г;га ... г
Л Л • • • Jq
— его компонентами в соответствующих системах координат (х1)
2. Тензорная алгебра
11
Тензор, имеющий только контравариантную валентность,
называется контравариантным тензором, а тензор, имеющий только кова-
риантную валентность, называется ковариантным тензором. Таким
образом, gjjc(x) являются компонентами ковариантного тензорного
поля.
Так как мы предположили, что форма (1.3) положительно
определена, то
8u£i2 • • • Sin
&21&2 • • • Szn
>0 (1.9)
gn\gn2 • • • ёт
и, следовательно, мы можем определить величины
(алгебр, дополнение g^ в g)
rW =
(1.10)
g
Таким образом, имеем
«**.* = *! = {* M*i = k (1.11)
* *'* * i 0 для / ф k, K }
где величины 8| являются известными символами Кронекера.
Легко видеть, что gW = g?1 являются компонентами контра-
вариантного тензора, а 8* суть компоненты смешанного тензора.
Мы называем g\.&, g{3 и 8| соответственно ковариантным,
контравариантным и смешанным фундаментальными тензорами.
Если, например, компоненты Т1,к некоторого тензора
удовлетворяют условию
1 jh — l kj>
то говорят, что они симметричны относительно j и &, а если
выполняется условие
Тг — Ti
1 jk~ l kj>
то говорят, что они антисимметричны относительно j и к.
Легко доказать, что если компоненты тензора симметричны или
антисимметричны в какой-либо системе координат, то они являются
таковыми же и в любой другой системе координат. Если компоненты
контравариантного или ковариантного тензора симметричны
(антисимметричны) относительно всех индексов, то мы называем тензор
симметричным (антисимметричным) тензором. Так, оба тензора gjk
и g*J являются симметричными.
Определим теперь некоторые алгебраические операции, которые
могут быть применены к тензорам.
I. Сложение и вычитание
12 Гл. I. Римановы многообразия
Пусть, например, /?* и Sl.k являются компонентами двух
однотипных тензоров, тогда суммы
являются компонентами тензора того же типа, и этот тензор
называется суммой двух данных тензоров. Разность двух тензоров
определяется аналогичным образом.
II. Умножение
Пусть, например, Rlj и Ski являются компонентами двух
тензоров каких-либо типов, тогда произведения
R jSki— T jki
являются также компонентами тензора, тип которого определяется
положением индексов. Этот тензор называется произведением двух
данных тензоров.
III. Свертывание
Пусть, например, Т^щ являются компонентами смешанного
тензора, тогда величины
Г jks = Tjk
являются компонентами тензора, имеющего на два индекса меньше,
чем исходный тензор. В этом случае мы говорим, что мы свернули
тензор Tljjci по / и / и получили тензор Tjk.
IV. Поднятие и опускание индексов
Если к1— компоненты контравариантного вектора, то gjkkl
в силу II являются компонентами смешанного тензора и,
следовательно, gjkkk являются в силу III компонентами ковариантного
вектора. Мы обозначаем его kj = gjkkk. Аналогично, если цЛ—
компоненты ковариантного вектора, то g^\xk являются, согласно II,
компонентами смешанного тензора и, следовательно, glJ\ij являются,
согласно III, компонентами контравариантного вектора. Мы
обозначаем его \xl = g^\xj- Очевидно, что если
то
ji* == /А
Мы скажем, что к1 и kt сопряжены друг другу. Таким образом, мы
вводим объект, который может быть представлен компонентами /А
или )ч по нашему выбору. Мы назовем его вектором, а к1 и А*—соот-
метственно его контравариантными или ковариантными компонентами.
То же самое можно, высказать и для компонент некоторого
тензора, что иллюстрируется следующими примерами:
Т jk -* Tijk — gin Tjk,
r%jk —> Tjj = Tijgg .
2. Тензорная алгебра 13
Мы говорим, что в первом случае мы опустили индекс /, а во
втором случае подняли индекс к и что при этом мы имеем дело с
компонентами одного и того же тензора.
V. Симметрирование и альтернирование
Рассмотрим, например, ковариантный тензор Тцк. Образуем сумму
всех компонент, полученных из 7^ всевозможными перестановками
индексов /, j и k, и разделим ее на 3! (число всевозможных
перестановок). Обозначим результат через
T(ijk) ==-'з|(7,гД"Г" Tjki~\- Tkij-\- Tjik~\- Tkji~\- Tikj)
и назовем его симметричной частью 7\д.
Легко показать, что Т[цк) являются компонентами симметричного
ковариантного тензора; операция перехода от тензора к его
симметричной части Tijk -+ T(ijk) называется симметрированием
тензора T%jk. Если исходный тензор симметричен, то имеем Тцзк) = Тцк.
Рассмотрим снова, например, ковариантный тензор Т^к и все
компоненты, полученные из Тцк всевозможными перестановками.
Поставим теперь знак плюс перед компонентами, полученными из Тцк
четными перестановками индексов, и знак минус — перед
компонентами, полученными из Тцк нечетными перестановками, и образуем
алгебраическую сумму этих компонент, деленную на 3!. Обозначим
полученный объект
' I? Д1 === "з] \ ' ijk Г * jki \ I kij * jik ' kji ' ikj)
и назовем его антисимметричной частью 7щ-. Легко видеть, что T\ijk\
являются компонентами антисимметричного ковариантного тензора;
операция Тцк->Т\1щ называется альтернированием Тук. Если
исходный тензор антисимметричен, то T[ijk\ = Тук.
Можно считать, что формула (1.3) определяет длину ds контра-
вариантного вектора dxl. Определим аналогично длину л контра-
вариантного вектора )J:
(>•)* = &*>•'>.*• 0-12)
Если мы обозначим ковариантные компоненты этого вектора
через к{у то написанная выше формула может быть переписана
в следующих различных видах:
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным
вектором. Если л* и \ь{— единичные векторы, то:
14
Гл. 1. Римановы многообразия
Отсюда можно доказать, что
Учитывая это, можно определить угол 6 между двумя
единичными векторами X* и |х* при помощи формулы
совв = ^хУ, (1.13)
а угол 0 между двумя произвольными векторами и1 и v* при
помощи формулы
£ tbU?V
cose = -^ . (1.14)
uv v J
Уравнение (1.14) дает
UV COS 6 = gjkUJVk = UkVk = й^ = gJkUjVk.
Это выражение называется скалярным произведением векторов и1 и г/*.
Из формулы (1.14) следует, что два вектора и1 и vl
ортогональны друг другу, если
gjkuhk = О,
Далее из закона преобразования gjk
1 дх8 дх*
%k~dx'Jdx'kgst
v7-\e\y*
а с другой стороны, закон преобразования dx1 dx2 ... dxn в л-крат-
ном интеграле дает
\дх'
находим
dxndx'2 ... dx'n =
dx1 dx2 ... dxn.
dx
Следовательно, из этих двух уравнений получаем
V!fdx,ldx'2 ... dx'n = V~gdx1dx2 . .. dxn,
откуда видно, что
dv=*Vldxldx2 ... dxn (1.15)
есть скаляр. Мы принимаем dv за элементарный объем нашего ри-
манова многообразия.
3. Тензорный анализ 15
3, Тензорный анализ
Рассмотрим кривую xl(t), соединяющую две точки Ях (**(*!))
и Р2(х1у2)), и найДем ее длину
dx* dxk .,
Z*-dT-dTdt
Рассмотрим другую кривую х{ (t) = xl (t) ~\~ ги1 (t) (e — бесконечно
мало), которая проходит через Рх и Р2 (следовательно и? (tx) =
= й*(/2) = 0) и является бесконечно близкой к x*(t). Первая
вариация Ы интеграла / определяется следующим образом:
J [dxi dt\dx4\
где положено
Мы назовем кривую, для которой §/=0 при любых и\
геодезической нашего риманова многообразия.
Вдоль геодезической должны удовлетворяться так называемые
дифференциальные уравнения Эйлера
г dt\dx4 дх^
Можно показать, что величины Х^ являются ковариантными
компонентами вектора.
Возьмем в качестве параметра вдоль геодезической длину дуги 5
и подсчитаем контравариантные компоненты X1 вектора Xi; в
результате получим
где коэффициенты | .. J определяются формулой
\jkl-2g \dJI*^dx? дх°) { Л)
и называются символами Кристоффеля.
16
Гл. 1. Римановы многообразий
Легко проверить, что символы Кристоффеля удовлетворяют
следующим тождествам:
д*ь
^u+*Mil=0' (-1Л9>
( *\ = ^lYjL = *J°^U. (1.20)
Теперь, исходя из того, что л* в (1.16) являются контравариантными
компонентами вектора, мы можем найти следующий закон
преобразования символов Кристоффеля при преобразовании координат:
д*х? __ Ox? J i у дх* дх* ( г \ (+ 2П
d*xfi _ dxfi f г \_<^дх^_\ * \' п 99,
дх*дх* ~~ дхг \ st I дх* дх* \jk) 9 ^ >
Если f(x) есть компонента скалярного поля, то очевидно, что df
есть также компонента скаляра, а df/dx1 являются компонентами
ковариантного вектора. Мы называем df ковариантным
дифференциалом скаляра /, a dfjdx1—-ковариантной производной скаляра / и
обозначаем их соответственно
if=df, (1.23)
Если v*(x) являются компонентами контравариантного векторного
поля, то dv{ не обязательно являются компонентами
контравариантного вектора. Но, комбинируя закон преобразования dvl с законом
преобразования для { .. J , мы можем доказать, что
bvi = dvi + vs { \k } dxk (1.25)
являются компонентами контравариантного вектора и
являются компонентами смешанного тензора. Мы называем ov1
ковариантным дифференциалом vl, a vl.k— ковариантной производной v\
Аналогично, если Vj(x) являются компонентами ковариантного
векторного поля, то dvj не обязательно являются компонентами ко-
3. Тензорный анализ 17
вариантного вектора, но мы можем доказать, что
bvj = dvj — Vi [ljk ) dxk (1.27)
являются компонентами ковариантного вектора и
являются компонентами ковариантного тензора. Мы называем bvj
ковариантным дифференциалом vjt a Vj;1c — ковариантной производной vj.
Эта операция ковариантного дифференцирования может быть
определена для любого тензора, скажем, для 7^:
bfjk^dfjb+rjb ( lsl\dxl— Т\к { j,}<lxl— Г58 j skJ}dx\ (1.29)
^^=^H-n.(s'|-n,(;,}-r%j;;). (i.30)
Тензор bTljk, который имеет тот же тип, что и тензор Tljki
называется ковариантным дифференциалом тензора Tljk. Тензор Tljk;i
имеет на один ковариантный индекс больше, чем тензор Ггд, и
называется ковариантной производной тензора Tljk-
Если мы применим операцию ковариантного дифференцирования
к тензорам g.k, gji и §*, то получим
dgjk
>jk ;l— dxl Bsk \ ji
u»i;,)-^(ii=o. (i.3i)
ь ;k
W + fiD + PlL}-*- C32)
8Ь=5+С*МЦ)=°- <'-33>
Таким образом, тензоры g.k, g^ и 8* постоянны относительно
ковариантного дифференцирования.
Легко проверить, что ковариантное дифференцирование
подчиняется правилам обычного дифференцирования:
S (/?*,» ^= S*,*) = 8/?% r+z 8S*ift.
Ь (RljSM) = (brfj) Skl + Rlj (bSkl)
И
\R jk — Sljk) ; I = Rljk ;l — Sjk; h
{R'^jSjel) ; m = \R%j ; m) Skl + Rlj (Skl ; m).
2 Зз к 1695.
1 з Гл. I. Римановы многообразия
Если задано ковариантное векторное поле Vj(x), то можно
образовать антисимметричный тензор
dvj dvjc
^-%;,==____, (1.34)
который не зависит от символов Кристоффеля. Он называется
вихрем ковариантного вектора Vj.
Аналогично, если задано антисимметричное тензорное поле
Uxi»...ip> T0 можно образовать антисимметричный тензор
(/>-HHlv3...V,-i = -^ -j-ir*— (1-35)
^ьЛз ... ip *iii* • • • ip-iJ
дхг* дх*Р
который не зависит от символов Кристоффеля. Он называется
вихрем антисимметричного ковариантного тензора
Если задано контравариантное векторное поле vi{x)i то можно
образовать скаляр
который зависит только от ]/g. Этот скаляр называется
дивергенцией контравариантного вектора vu
Дивергенция ковариантного вектора Vj определяется как скаляр
gJk(v&k), (1.37)
а дивергенция ковариантного тензора U^.-.i —как тензор
giJlaa...ip,r (1-38)
Если мы имеем скалярное поле f(x), то мы можем образовать
градиент f.j и вычислить квадрат его длины
bj=g4if;j~ (1.39)
Эта величина называется дифференциальным параметром Бель-
трами первого рода скалярного поля f(x).
Мы можем далее вычислить дивергенцию градиента /; i
^f = giHf;i);J = (g%i);r 0-40)
Эта величина называется дифференциальным параметром Бель-
трами второго рода скалярного поля f(x). Она называется также
лапласианом от f(x) и обозначается
Af=gVf;i;J- (1-41)
4. Тензоры Кривизны i9
4. Тензоры кривизны
Для скаляра f(x) ковариантная производная определяется
равенствами
Вторая ковариантная производная будет равна
/.. = d2f df f Ч
Таким образом, мы видим, что
flJlk— /;*;i = 0. (1.42)
Однако для векторов и тензоров последовательные ковариантные
дифференцирования в общем случае не являются перестановочными.
Так, например, для контравариантного вектора vl мы получим
Vi;k;l — Vi;l;k = vtRiJki, (1.43)
где величины
*»-&Ш-Ъ1}Л+Ш-Ш <■■«>
являются компонентами смешанного тензора, называемого тензором
кривизны Римана—Кристоффеля*). Этот тензор, вообще говоря,
отличен от нуля.
Аналогичный результат мы получим для ковариантного вектора vf
Ъз ; к; г — Vj; г; к = — ViR%jki, (1.45)
а также для произвольного тензора. Например, для тензора ТКк
будем иметь
Тjk;l;m — Т jk ; m ; I = Т jkR slm — T skR jjm — T jdR wm> (1-46)
Формулы (1.43), (1.45) и (1.46) называются формулами Риччи.
Из тензора кривизны Rljkl свертыванием получим новый тензор
Rjk=RW (1.47)
Умножив этот тензор Rjk на фундаментальный тензор gJk и
произведя свертывание, получим скаляр
R = gjkRjk- (1-48)
1) Некоторые авторы обозначают наше —Rljki чеРез Rljkr
2*
20 Гл. J. Римановы многообразий
~ I " "
Тензор Rjk и скаляр R называются соответственно „тензором
Риччи" и „скалярной кривизной".
Из определения (1.44) тензора кривизны Rl.kl легко обнаружить,
что компоненты R% ш удовлетворяют следующим алгебраическим
тождествам:
Rljki = — /?W (1.49)
R% 4- tfw+rfm = °- (1-50)
Следовательно, если положим
Kijkl^gis&jkh (1.51)
то компоненты Rijki будут удовлетворять соотношениям
Rijkl — — Rijlk> (1.52)
Rijkl H~ Riklj + Riljk — Q' (1 • 53)
Уравнения (1.50) и (1.53) называются тождествами Бианки
первого рода.
Применив формулу Риччи к g^, получим
0 — gij\k;l — gij ; 1; к = — gsjR\kl — gisR^kh
откуда
Rijkl = — Rjikl' ( * • 54)
Вычисляя ковариантные компоненты Rijki, находим
= 1 / &gik #gji &gjk frgn \
ijkl 2 \дх*дхудх*дх* дх1дх1 дх^дхк)
откуда видно, что
Rijkl == Rkliy (1.56)
Из тождества (1.50), свертывая по / и / и применяя (1.49) и (1.54),
получим
*,* — /?*, = 0, (1-57)
и уравнения (1.57) показывают, что тензор Риччи Rjk является
симметричным тензором.
Нужно заметить, что
т. е.
g^H=^s^ = «V о-58)
5. Кривизна в двумерном направлении 21
Для ковариантной производной Rijki;m тензора кривизны /?*
можно вывести соотношение
Rljkl; т~\~ R jlm ;k~\- R jmk;l = 0> (1.59)
которое называется тождеством Бианки второго рода. Из этого
тождества свертыванием по / и т находим
RSjkl; в = Rjk ; I — Rjl ;k> (1.60)
умножив это тождество на g№ и свернув, получим
2/fi., = /?.,. (1.61)
5. Кривизна в двумерном направлении
В двумерном римановом многообразии, фундаментальная
квадратичная форма которого имеет вид
ds* = ftj (dxiy + 2gl2dx* dx* + g22 {dx*)\
единственные ненулевые компоненты тензора Римана — Кристоффеля
Rijki будут
^1212 — °1221 — ^2112 = ^2121*
Гауссова кривизна К этого многообразия определяется формулой
АГ=_^1212 (1 б2)
Рассмотрим теперь в точке (х{) я-мерного риманова
многообразия два контравариантных вектора X* и рЛ Эти два вектора
определяют двумерную плоскость, проходящую через точку (х1).
Рассмотрим далее все геодезические, которые проходят через эту
точку и касаются двумерной плоскости, натянутой на векторы X*
и рЛ Эти геодезические образуют двумерную поверхность, которая
проходит через точку (х{) и касается двумерной плоскости,
натянутой на векторы к* и рА
В силу (1.62) гауссова кривизна К этой поверхности в точке
(х1) будет равна
К-
\i.j\k,tl
(gikgjl — gilgjk)^V^
или
(gjkgn — gjigik) ху* V
Эта величина называется кривизной в двумерном направлении, исхот
дящем из точки {х1) и натянутом на векторы X* и ptA
22
Гл. I. Римановы многообразия
Если в качестве векторов \1 и ц* мы выберем два единичных
взаимно ортогональных вектора, то равенство (1.63) примет вид
К= — Ят\*рМ&. (1.64)
Предположим теперь, что в фиксированной точке нашего рима-
нова многообразия кривизна в двумерном направлении не зависит от
этого направления. Тогда, как мы можем видеть из (1.63), тензор
кривизны Rijki должен иметь вид
Rijki ^Kigjkgn — gflgik)' (1-65)
а тензор Rl-kl
Rim = KWii—gifii)' (1-66)
Если в любой точке многообразия кривизна в двумерном
направлении не зависит от направления, проходящего через эту точку,
то уравнения (1.65) и (1.66) должны выполняться в каждой точке
многообразия и кривизна К оказывается, таким образом, функцией
точки.
Из (1.66), свертывая по / и U получаем
% = (/»— \)Kgjk, (1.67)
откуда, умножая на gJk и свертывая, находим
R = n(n—l)K. (1.68)
Далее, уравнение (1.67) может быть переписано также в виде
если мы подставим это выражение в (1.61), то получим
£*;. = *.
откуда видно, что для п > 2 производная /?;? = 0 и, следовательно,
R и К являются абсолютными константами.
Итак, если кривизна в двумерном направлении в каждой точке
многообразия не зависит от двумерного направления, проходящего
через точку, то эта кривизна является абсолютной константой во
всем многообразии. Такое риманово многообразие называется
многообразием постоянной кривизны.
Если эта постоянная равна нулю, то
л*,«~°- ■ О-69)
Э этом случае уравнения
дх^дх* ~~ дхг щ]'
5. Кривизна в двумерном направлении 23
получающиеся из (1.22) при {. } =0, являются вполне
интегрируемыми. Следовательно, существует система координат, в которой
= 0 и, стало быть, gjk = const. Таким образом, всякая
координатная окрестность многообразия нулевой кривизны может быть
изометрично отображена в некоторую область эвклидова
пространства.
Наоборот, если всякая координатная окрестность многообразия
может быть изометрично отображена в некоторую область
эвклидова пространства, то, очевидно, будет иметь место условие (1.69).
Говорят, что такое риманово многообразие является локально
эвклидовым или локально плоским.
Возвращаясь к общему риманову многообразию, рассмотрим
в точке (х1) этого многообразия п контравариантных взаимно
ортогональных единичных векторов
кга (я, Ь, с . . . = 1, 2, . . ., к).
Для этих векторов мы имеем
и, следовательно,
п
^'=2*Ui (i-7o)
а=1
Кривизна в двумерном направлении, исходящем из этой точки и
определенном двумерной плоскостью, натянутой на векторы ХдиХ&,
будет равна
Следовательно,
п
2j КаЪ === — Rijhl^a^ ag >
6 = 1
ИЛИ
п
6 = 1
И
п п
2 5Жб = Я. (1-72)
а=16=1
Формула (1.71) показывает, что если мы возьмем единичный кон-
травариантный вектор X* и рассмотрим п—1 кривизн в двумерных
направлениях, определенных п—1 двумерными плоскостями,
натянутыми на вектор X* и каждый из п— 1 единичных векторов,
ортогональных к X* и друг к другу, то сумма этих п—1 кривизн будет
рзвнз Rjj^j*k и не зависит от выбора остальных п—1 ортогональ-*
24
Гл. I. Римановы многообразия
ных единичных векторов. Величину Rjk\ к называют кривизной
Риччи в направлении единичного вектора >А
Уравнение (1.72) показывает, что сумма п кривизн Риччи в
направлении п взаимно ортогональных единичных векторов равна R и
не зависит от выбора этих векторов.
Рассмотрим далее кривизну Риччи М в направлении некоторого
контравариантного вектора )J:
М = — г-т .
Направление, дающее экстремум величины Ж, определится
равенствами
(Rjk — MgJk)\* = 0; (1.73)
вообще говоря, существуют п таких взаимно ортогональных
направлений. Эти направления называют направлениями Риччи.
Многообразие, для которого направления Риччи неопределенны,
называется многообразием Эйнштейна. Для такого многообразия
имеем
Ъ* = Щ* (1.74).
Умножая последнее уравнение на gJk и свертывая, получим
R = nM,
откуда
Rjk = ±Rgjk. (1.75)
Легко видеть из (1.61), что R является абсолютной константой.
6. Параллельное перенесение
Если vl — контравариантный вектор в точке (х1) и vi~\~dvi —
его значение в бесконечно близкой точке (xi~\~dxi)i то, как мы
знаем, величины
hv* = dvl + {-k] vi dxk (1.76)
являются компонентами контравариантного вектора.
Если 8^ = 0, то говорят, что вектор vl в точке (хг) и вектор
vi-\-dvi в точке (xi-\-dxi) параллельны между собой или что
вектор vi-\-dvi в точке (xi-\-dxi) получен из вектора v{ в точке (х{)
параллельным перенесением. Это определение инвариантно
относительно замены координат. Аналогичное определение применимо
к любому тензору.
Если мы сравним уравнения
6. Параллельное перенесение
25
для параллельного перенесения вектора vl(f) вдоль кривой xl(t)
с дифференциальными уравнениями геодезических
с$хг , i i\ dxJ dxk
а*х* . г i \ dx^d£_ q
Up "+" \}k) 4s1T~ 9
\jk
то увидим, что касательная dxl/ds к геодезической переносится
параллельно вдоль геодезической.
Так как bgjk = 0, то легко видеть, что длина вектора и угол
между двумя векторами являются инвариантами при параллельном
перенесении этих векторов.
Если мы хотим перенести параллельно вектор г>* из точки
Р0(х1) в точку Pi(*i)' находящуюся на конечном расстоянии от Р0,
то сначала мы должны выбрать кривую xl(t), соединяющую две
точки Р0 и Рх (следовательно, такую, что x*(Y0)== xl и xl(tx) = х\),
и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.77)
при начальных условиях <у* (£0) = <у*. Если мы обозначим решение
этой системы через vi(t), то ^(^i) будет вектором, который
получен параллельным перенесением вектора vl из точки Р0(х1) в точку
P1(xi1) вдоль кривой x{(t).
Таким образом, параллелизм зависит от кривой, соединяющей
начальную и конечную точки.
Если параллелизм векторов не зависит от кривой, соединяющей
начальную и конечную точки, то в каждой точке многообразия мы
имеем один и только один вектор у1(х), параллельный данному
вектору vl в точке P0(xJ), и дифференциальные уравнения
hvi * dxk
будут удовлетворены для любой кривой. Следовательно, имеем
откуда в силу (1.43) получим
«'*',«=°-
Таким образом, если параллелизм любого вектора не зависит от
кривой, вдоль которой вектор переносится, то написанные выше
уравнения должны удовлетворяться для любых vl и мы должны
иметь
Следовательно, многообразие должно быть локально эвклидовым.
Глава II
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРЫ КИЛЛИНГА
1. Теорема Э. Хопфа
В я-мерной координатной окрестности U рассмотрим линейный
дифференциальный оператор второго порядка эллиптического типа
де gik{x) и h{(x)— непрерывные функции точки Р(х) в U, а
квадратичная форма gikZjZk предполагается положительно определенной
всюду в U.
Мы докажем важную теорему, принадлежащую Э. Хопфу [1]:
Теорема 2.1. Если в координатной окрестности U
функция ф(Р) класса С2 удовлетворяет неравенству Z,(<p)>-0 и если
в этой окрестности существует фиксированная точка Р0 такая,
что <р(Я)<Г?(Р0) всюду в U, то всюду в U имеет место
равенство <? (Р) = ? (Р0)- Если L(cp)<;0 и <р (Р) > <р (Р0) всюду в Ut то
всюду в О имеет место равенство ф (Р) == <р (Р0).
Чтобы доказать первую часть теоремы, предположим, что
у(Р)фМ, где М = <р(Р0), и докажем, что это предположение
приводит к противоречию.
Рассматривая (х1) как, координаты точки в я-мерной эвклидовой
области U, мы используем дальше терминологию эвклидовой
геометрии.
Так как мы допустили, что у(Р)фМ в области U, то в этой
области существует такая точка С1), что <р(С)< Ж. Если мы возьмем
теперь шар достаточно малого радиуса с центром в С, то получим,
что ср(Р)<Ж на всем этом шаре.
Далее, увеличивая радиус этого шара, мы можем найти такой
шар S', что
?(Р1) = Ж
в некоторой точке Pv которая лежит на пересечении области U и
поверхности этого шара, и
?(Р)<Ж
на пересечении области U и внутренней части шара.
*) Точка С должна быть выбрана так, чтобы расстояние от этой точки
до множества, на котором <р (Р) = М, было меньше расстояния до перееме:
ния этого множества с границей U. — Прим, ред. ■ ■ .
/. Теорема Э. Хопфа
27
Теперь рассмотрим шар S, поверхность которого касается
поверхности шара S'. в точке Plt целиком лежащий в области U и
в шаре S'. Обозначим радиус шара 5 через /?.
Тогда мы получим
?(Я1) = Л1 (2.1)
только в одной точке Рг на поверхности шара S и
<?(Р)<М (2.2)
в других точках поверхности и внутри этого шара.
Далее рассмотрим шар Sx с центром в точке Pv радиус которого
RX<R (2.3)
и который лежит целиком внутри области U. Поверхность шара Sx
делится на две части поверхностью шара 5. Обозначим часть
поверхности шара Sv лежащую внутри и на границе шара S, через Fit
а часть, лежащую вне шара 5, — через F0. На fi мы имеем ср < М
и, следовательно, о ^ М — е для некоторого фиксированного s > 0.
Таким образом,
Г <р < М — е на Fi,
(<р<М на F0. (2>4)
Возьмем теперь центр шара Sb качестве начала ортогональной
системы координат и рассмотрим функцию
ф(Р) = *-«* — *-*»",
где а—положительная константа, а
Применяя оператор L к функции ф, найдем, что
L (ф) = e-«r* [4oL2glkxJxk— 2a {hlxl -f gi%
Так как Rt < /?, то начало системы координат, т. е. центр
шара 5, лежит вне шара Sv Поскольку на поверхности и внутри
шара St
gJkxixk > 0
и, следовательно,
gikx$xk > const > 0,
то, взяв а достаточно большим, мы можем считать
L(6)>0 на Sv (2.5)
С другой стороны,
<МР)<0 на F0,
28 Гл. II. Гармонические векторы и векторы Киллинга
Наконец, положим
Ф(Я) = <Р(Р) + 8'МЯ),
где g—положительное малое число, выбранное таким образом, что
Ф(Р)<М на F{.
Этот выбор возможен в силу первого уравнения (2.4).
Из (2.4) и (2.6) имеем
Ф(Р)< М на F0,
и, следовательно, на всей поверхности шара St выполняется
неравенство
Ф (Р) < М.
Но из (2.1) и (2.6) в центре Рг шара St мы имеем
ф (рг) = Ж.
Следовательно, функция Ф(Р) достигает максимума в точке,
которая является внутренней точкой шара Sv А это невозможно, так
как, вследствие того что
L(<p)>0 на SX
и
£(■];)> О на Sv
мы имеем
1(Ф)>0 на Sv (2.7)
С другой стороны, в точке, где функция Ф достигает максимума,
оператор Ь(Ф) сводится к
L^> g дхздх*
и мы должны иметь
;г4?тМ1*<0
дхздхк ^
для любых X*. Следовательно, так как форма g^kZjZk является поло-
д2Ф
жительно определенной, а форма д jd k Mkk—неположительной, то
что противоречит (2.7).
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Вторая часть
может быть доказана аналогичным образом.
Теперь предположим, что в компактном многообразии Vn задана
функция <рС*0 класса С2, удовлетворяющая всюду в Vn условие
2. Теорема Грина 29
Так как это многообразие компактно и функция у(х) непрерывна
в этом компактном многообразии, то там существует точка Р0,
в которой функция <р достигает максимума, так что
<р(Я)<<р(Я0) (2-8)
всюду в Vn. Следовательно, в силу теоремы (2.1) мы имеем
<р(Я) = <р(Яо) = Л*
в некоторой окрестности точки Р0. Но точки, где <р (Р) достигает
своего максимума, образуют замкнутое множество, и, таким образом,
мы получаем следующее заключение:
Теорема 2.2. Если в компактном пространстве Vn
функция <?(х) удовлетворяет условию
^<*> = ^ <*> 31^+*'<*> 35» >°«
где g?k(x) суть коэффициенты квадратичной формы,
положительно -определенной в любой точке Vn, то
<р = const
всюду в Vn.
Кроме того, так как в компактном римановом многообразии Vn
с положительно определенной метрикой ds2 = gjkdxidxki имеет
место равенство
то мы можем установить так называемую лемму Бохнера:
Теорема 2.3. Если в компактном римановом многообразии
с положительно определенной метрикой функция о(х)
удовлетворяет условию
Д<?>0,
то <о — const и
Д<? = 0
всюду в этом многообразии (Бохнер [2]).
2. Теорема Грина
Так как дивергенция контравариантного вектора \1 может быть
записана в виде _
X«s I i£» (2.10)
то в компактном ориентируемом римановом многообразии имеет
место теорема Грина (см. Бохнер [1]):
30 Гл. If. Гармонические векторы и векторы Киллинга
Теорема 2.4. В компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn для произвольного векторного поля Х1(х)
выполняется равенство
V;iA> = 0. (2.11)
/
Чтобы доказать это, заметим сначала, что если ограниченное
множество D содержится в координатной окрестности, то
JK\idv = f д-^- dx* dx*... dxn,
D В
Предположим теперь, что А — „параллелепипед" а1<^х1<^Ь'1 и
что вектор X* обращается в нуль на границе А. Тогда
а1 а3 ап
и, следовательно,
jx\tidv = 0. (2.12)
А
Но так как интеграл от X ; i равен нулю на всяком открытом
множестве, на котором вектор X* обращается в нуль, то равенство
(2.12) показывает, что равенство (2.11) верно, если вектор X*
обращается в нуль вне некоторого „параллелепипеда" Л.
Далее, так как многообразие Vn компактно, то его можно покрыть
конечным числом окрестностей Uv U2, . . ., Um> замыкания которых
будут содержаться в „параллелепипедах" Av A2, ...» Ам
соответственно. Для каждого а, а= 1, 2, .. ., Ж, выберем окрестность Va,
промежуточную между (Уа и Ла и неотрицательную скалярную
функцию <ра класса С1 в Ла, такую, что <ра!> 1 в Ua и <ра = 0 вне Ve.
Дополняя функцию <ра нулевыми значениями вне Ла, получим всюду
на Vn
(Pi+?2+"-+?Jlf>l-
Таким образом, если мы положим
*. ь
' Ь + Ь + • • • + Ум '
то функция фа принадлежит классу С1, причем &а равна нулю вне
„параллелепипеда" Аа и
Следовательно, если мы положим
2. Теорема Грина
31
то контравариантное векторное поле кга обращается в нуль вне
„параллелепипеда" Аа. Поэтому мы имеем
Но, с другой стороны,
м
х' = 2 4
а=1
и, следовательно,
м
А ; i = 2л Аа ; г*
а = 1
Интегрируя это равенство по всему многообразию, получим
м
что и доказывает теорему 2.4.
Так как лапласиан Д<р скалярного поля <р(х) может быть записан
в виде
A? = ?<;i = (Srii?;i);i.
то теорема 2.4 приводит к следующей теореме:
Теорема 2.5. В компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn для всякого скалярного поля ср(х) имеет место
равенство
J*A<p<fo = 0. (2.13)
Если мы применим оператор А к функции ср2, то получим
следовательно, применение теоремы 2.5 к скалярному полю ср2 дает
J (ср Д<р + Л г?; ;) dv = 0. (2.14)
Если Дср^О всюду в 1/и, то, как видно из (2.13), мы должны
иметь Дср = 0 всюду в Vn. Следовательно, как видно из (2.14),
должно выполняться равенство gl^; *<р; 3- = 0, т. е. ср;$ = 0, и,
значит, ср = const. Это дает другое доказательство теоремы 2.3 в
случае ориентируемого многообразия.
32 Гл. II. Гармонические векторы и векторы Киллинга
3. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера
В этом параграфе мы предполагаем, что рассматриваемое
многообразие является многообразием класса С3, а функции gjk
принадлежат классу С2.
Рассмотрим векторное поле &(х) класса С2 и положим
? = ^i(5i = ftjS0. (2-15)
Лапласиан этой функции будет равен
где обозначено
Выражение
есть положительно определенная форма от \а\ с- Поэтому если \%
удовлетворяет уравнениям вида
^;6;e=V (2.16)
и, кроме того, квадратичная форма Т^$ удовлетворяет условию
Ти№>0,
то будет выполняться неравенство
A9 = 2(&i:'$1:i+7y$V)>0.
Следовательно, из теоремы 2.3 мы получим
или
и также 7^SV" = 0. Если квадратичная форма T^-V является
положительно определенной, то мы можем из равенства ТфгЬ3 = 0
заключить, что
£* = 0.
Итак, мы имеем:
Теорема 2.6. Если в компактном римановом
многообразии Vn векторное поле I1 удовлетворяет условиям
g% ;Ь;с= Ту?
и
3. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера 33
то непременно
и автоматически
Таким образом, условиям теоремы удовлетворяют только
параллельные векторные поля, а в случае положительной опре*
деленности квадратичной формы Тфъ%3 — только нулевые век*
торные поля (Бохнер [10])*
Рассмотрим снова произвольное векторное поле (■&(#) класса С'2
вУйи запишем тождество Риччи;
ЬЪ ; г \ с - \ъ ; с ; г ==i 5a^ bic*
Отсюда получим
%г\Ь ; с (£г ; & \ъ ; г) ; с 5& ; с ; г = Sa^v &гс
и, умножая это равенство на gbc и свертывая, найдем
g % ; & ; с — £ С (Si; Ь — Ё& ; г); с — ^ а ; г = Яаг^-
Таким образом, если векторное поле ^ удовлетворяет условию
gbC(ti;b-h;i);e+f;a;i=*0, (2.17)
то оно удовлетворяет и условию
Л;Ь;в = /?а<Ба (2.18)
и в силу теоремы 2.6 мы имеем:
Теорема 2.7. Если в компактном римановом
многообразии Vn векторное поле ^ удовлетворяет условию (2.17) и
то непременно
и автоматически
Rifi\j = 0.
В частности, если многообразие всюду имеет положительно
определенную кривизну Риччи, то на этом многообразии только
.нулевое векторное поле удовлетворяет условию (2.17).
Далее, возьмем снова произвольное векторное поле %ь(х) класса С2
и запишем тождество Риччи
5б ; i ; с 5б ; с ; г === £а*ч Ьго
3 Зак. 1695.
34 Гл. It. Гармонические векторы и векторы Киллинга
из которого получим
— U ; Ь ; с ~Т~ (£г ; Ъ Н~ £б ; г) . с \b ; с ; i = — $а/? бгс
или, умножив на g*c и свернув,
— Лб;е + АЬ;» + Ь;<);в —^а^ + ЛХ
Таким образом, если векторное поле ^ удовлетворяет условию
gbe(U;b + b;i);o— f;a;< = 0, (2.19)
то оно удовлетворяет и условию
в*сЬ;Ь;с= — Ra&a> (2.20)
и, следовательно, из теоремы 2.6 мы имеем:
Теорема 2.8. Если в компактном римановом
многообразии Vn векторное поле ^ удовлетворяет условию (2.19) и
Rijt4j<0,
то непременно
и автоматически
В частности, если многообразие всюду имеет отрицательно
определенную кривизну Риччи, то в этом многообразии только
нулевое векторное поле удовлетворяет условию (2.19).
4. Гармонические векторы
Вектор $г называется гармоническим, если он удовлетворяет
условиям
U-J— -е*;< = 0 (2.21)
и
5^ = 0. (2.22)
Хорошо известно, что в компактном ориентируемом римановом
многообразии число линейно независимых (относительно постоянных
коэффициентов) гармонических векторов равно одномерному числу
Бетти Вг многообразия (Ходж [1]).
Если \i — гармонический вектор, то он удовлетворяет условию
(2.17) и, следовательно, выполняется условие (2.18). Таким образом,
как специальный случай теоремы 2.7 мы можем установить:
Теорема 2.9. Если в компактном римановом
многообразии Vn для гармонического векторного поля ^ удовлетворено
условие
Ri/V>0,
5. Векторы Киллинга 35
mo непременно
и автоматически
В частности, если многообразие имеет всюду положительно
определенную кривизну Риччи, то в нем существует только
нулевое гармоническое векторное поле, следовательно, если это
многообразие ориентируемо, то для него Вг = 0 (Бохнер [2], Майерс [1]).
5. Векторы Киллинга
Инфинитезимальное точечное преобразование
*< = *< + 6<(х)8* (2.23)
называется инфинитезимальным движением в Vn, если
инфинитезимальное расстояние ds между двумя произвольными точками (х1) и
(xi~\-dxi) равно инфинитезимальному расстоянию ds между двумя
соответствующими точками (х{) и {xl-\~ dxl) с точностью до членов
высшего порядка малости относительно Ы.
Мы имеем
ds2 = gjk (x) dxi dxk
и
ds = gjk(x)dxidxk.
Следовательно, необходимым и достаточным условием того, что
преобразование (2.23) есть инфинитезимальное движение
многообразия, является равенство
gjk (x) dxJ dxk = gjk (x) dx3 dxk
или
дел \ / д& \ / д£
k
(«i* + *a Ш Ы) {dxJ + dxb d*b bt) (dxk + fcS dxC bt)-Sjk (*) *** d*k>
которое должно удовлетворяться для любых dxl с точностью до
членов высшего порядка малости относительно Ы. Это равенство
сводится к уравнениям
^ + ^ + ^ = °- (2-24)
В тензорной форме эти уравнения приобретают вид
tagjk \a + t\ Jgak "h I"; kgja = °
или
tj',k + h-j = Q (2.25)
3*
36 Гл. II. Гармонические векторы и векторы Киллинга
и называются уравнениями Киллинга. Вектор, удовлетворяющий этим
уравнениям, называется вектором Киллинга.
Итак, если многообразие допускает инфинитезимальное
движение (2.23), то вектор £4 удовлетворяет уравнениям (2.24). Если
выбрать такую координатную систему, в которой вектор £* имеет
компоненты
\ =Ь1,
то уравнения (2.24) принимают вид
dgjk
dxi
= 0,
который показывает, что компоненты gjk фундаментального тензора
в этой специальной системе координат не зависят от переменной х1.
Таким образом, это многообразие допускает однопараметрическую
группу движений
х* = х* + ъ1.Ъ
которая порождается вектором (•*.
Далее, если £* есть вектор Киллинга, то
откуда непосредственно следует, что
Таким образом, этот вектор удовлетворяет условиям (2.19) и,
следовательно, выполняются условия (2.20). Поэтому как
специальный случай теоремы 2.8 мы имеем:
Теорема 2.10. Если в компактном римановом
многообразии Vn для поля векторов Киллинга выполняется условие
то непременно
автоматически
Rifi4j<0,
U;j = Q
ЪА%?=о
В частности, если многообразие имеет всюду отрицательно
определенную кривизну Риччи, то в нем не существует поля
векторов Киллинга, отличного от нулевого, и, следовательно, в этом
многообразии не существует однопараметрической группы
движений (Бохнер [2]).
6. Аффинные коллинеации
37
6. Аффинные коллинеации
Геодезические линии в Vn удовлетворяют дифференциальному
уравнению
d*x* , TAi . ч dxJ dx* A
ж+г^^-зг-1ггв0' (2-26)
где Т}к = { М , a s — длина дуги.
Инфинитезимальное точечное преобразование
х\ = х1 -|- ¥ (х) 8* (2.27)
называется инфинитезимальной аффинной коллинеацией в Vn> если это
преобразование отображает инфинитезимально каждую геодезическую
линию многообразия в геодезическую и если длина дуги s
преобразуется аффинно.
Если преобразование (2.27) есть инфинитезимальная аффинная
коллинеация, то она отображает геодезическую линию (2.26) в
геодезическую __
-йг+^-згтг-0' (2-28)
где
~s = as + b\ (2.29)
а и Ь являются константами.
Из (2.28) мы имеем
дЧ* dxJ их**, , Ui , д¥ *Д сРх" ,
:*+.(й+ё*)-
«to'dx* rfs afs ' Д а ' дх* ) ds* T
откуда, используя уравнение (2.26), получим
Jk JL r»a i " n* i ' г* I
" ~дхь1эа)
дхэдхк^* dxi дх«1'к~*' дхэ^^^дхь1**) ds ~^Г = °*
Но так как преобразование (2.27) отображает каждую
геодезическую линию в геодезическую, то мы должны иметь
dxidx*^* ^ —^Г^ + ^Га*+^Г^а=^0 (2-3°)
-или в тензорной форме
^•;*+Я^ = 0. (2.31)
Итак, если многообразие допускает инфинитезимальную
аффинную коллинеацию (2.27), то вектор £* удовлетворяет уравнению (2.30).
38 Гл. //. Гармонические векторы и векторы Киллинга
Если мы выберем такую систему координат, в которой вектор I1
имеет компоненты $г = 8}, то уравнения (2.30) примут вид
который показывает, что символы Кристоффеля Т)и = { \ } в этой
специальной координатной системе не зависят от переменной х1.
Таким образом, многообразие допускает однопараметрическую группу
аффинных коллинеаций
х* = х* + ьи,
которая порождается вектором £*.
Рассмотрим векторное поле £*, удовлетворяющее уравнению (2.31).
Если мы умножим это уравнение на gik и свернем по у, k, то,
воспользовавшись соотношением (1.58), найдем
gbcU;b;o = — Rai^
и поэтому из теоремы 2.6 получим следующую теорему:
Теорема 2.11. Если в компактном римановом
многообразии Vn существует однопараметрическая группа аффинных
коллинеаций, порождаемая вектором £*, удовлетворяющим условию
то непременно
а автоматически /?^W = 0.
В частности, если многообразие имеет всюду отрицательно
определенную кривизну Риччи> то в этом многообразии не
существует однопараметрических групп аффинных коллинеаций.
7. Теорема о гармоническом векторе
и векторе Киллинга
Мы знаем, что если ^ — гармонический вектор, то он
удовлетворяет уравнениям
I . = £.. ., \а = 0
И
gbcU;b;c = Rifi\
если т|* — вектор Киллинга, то он удовлетворяет уравнениям
и
8. Производные Ли 39
Если мы применим оператор Д к скалярному произведению этих
двух векторов, то получим
Но, с другой стороны,
gHi ;»;«!)* = flijSV>
поэтому
Применив теперь теорему 2.3, получим
^ = const., (2.32)
откуда следует
Теорема 2.12. В компактном римановом многообразии Vn
скалярное произведение гармонического вектора и вектора Кил-
линга есть постоянная величина (Бохнер [8]).
8. Производные Ли
Мы знаем, что необходимое и достаточное условие того, чтобы
инфинитезимальное точечное преобразование
lci = xi-\-4i(x)bt (2.33)
было инфинитезимальным движением, состоит в выполнении
равенства
gjk (х) dxl dxk = gjk (x) dxJ dxk (2.34)
для любых значений dxi с точностью до членов высшего порядка
относительно Ы. *
Но если мы рассматриваем (2.33) как преобразование координат,
то ввиду того, что gjk(x)dxidxk есть скаляр, имеем
gjk 0*0 dxJ dxk = ~kjk (*) dxj d*k> (2.35)
где gjk(x) являются компонентами фундаментального метрического
тензора в координатной системе (х1) и, следовательно, задаются
соотношениями
- /-\ дхъ дхс , ч
Из (2.34) и (2.35) имеем
gjk(x)~gjk(x) = 0. (2.36)
40
Гл. II. Гармонические векторы и векторы Киллинга
Положив
„ Dgjk^(Lgjk)bt^gjk(x)—~gJk(x)} (2.37)
мы найдем
Lgjk — \а дха ~Г dxJ gak -Г dxk gja>
ИЛИ
Lgjk = b;k + lk;j. (2.38)
Мы называем Lgjk производной Ли тензора gjk относительно
инфинитезимального точечного преобразования (2.32) или
относительно векторного поля \1. Для того чтобы инфинитезимальное
точечное преобразование (2.33) было движением многообразия, необходимо
и достаточно, чтобы производная Ли фундаментального метрического
тензора относительно преобразования (2.33) была равна нулю. С
другой стороны, с целью найти необходимое и достаточное условие
того, чтобы преобразование (2.33) было аффинной коллинеацией,
мы можем поступить следующим образом.
Преобразование (2.33) переводит каждую геодезическую
в геодезическую
или
(fix* ~~ ~
ds* ds ds
-5Р- + Гл(*)-^-^Г=0, (2.40)
Так как в левой части (2.39) стоят компоненты некоторого
вектора, если рассматривать (2.33) как преобразование координат,
то уравнения (2.39) могут быть переписаны в системе координат (х*)
в виде
d%xi i ТА /~~\ dxJ d~xk Л /с% л*\
■ж+ъ*Мцг-*г = 0' (2-41)
где Т}к(х) являются символами Кристоффеля в системе координат (х1)
и, следовательно, задаются соотношениями
Тлг / ч дх* I дхЪ дхс ^а , ч , д2ха \ /n ,m
Ijk (х) = —- —. — Гъс(х)+ . (2.42)
дха \dxJ dxk dxJdxk j
Теперь, сопоставляя (2.40) и (2.41), получаем соотношения
/тлг /~ч ^г /~~ч\ dxJ dxk Л
(Г,,* (х) — 1> (*)) -^ -5— = 0,
8. Производные Ли 41
которые должны удовлетворяться любыми значениями dxllds\
следовательно, __ _ _
Т}к(х)~Г}к(х) = 0. (2.43)
Но
DT}k = (LTljk) Ы = Т}к (х) — Tljk (х),
откуда
д2¥ дТ1- д? dza • д\а
LT3'k = dxJdx* + * ~Ш~~~дГ°>Tjk~^диТак~^дГь*V (2-44)
LTU^ij-.k + R^kit (2.45)
Мы называем LT}k производной Ли коэффициента аффинной
связности Т}к относительно инфинитезимального точечного
преобразования (2.33) или относительно векторного поля £*.
Мы видим, что необходимое и достаточное условие того, чтобы
инфинитезимальное точечное преобразование (2.33) было инфините-
зимальной аффинной коллинеацией многообразия, заключается в
равенстве нулю производной Ли символов Кристоффеля, взятой
относительно (2.33).
Вообще, если дано поле геометрического объекта Q(x), мы
определяем производную Ли LQ от Q относительно £* посредством
уравнения _ __
DQ=(LQ)bt = Q(x) — Q(x), (2.46)
где величины Q(x) являются компонентами нашего объекта в
координатной системе (х{), причем преобразование (2.33) рассматривается
как преобразование координат (х{) в (х1). Непосредственным
вычислением мы можем доказать следующие формулы:
для контравариантного вектора v{
Lyi^tayi ti va (2.47)
для ковариантного вектора Vj
Ч = ^;а+^;Л' С2-4»)
для смешанного тензора, например для Т\7.,
Для фундаментального метрического тензора gaj имеем
Lgaj = ^gaj ; Ь + **; agbj + ?&; jgab
42 Гл. II. Гармонические векторы а векторы Киллинга
и, следовательно,
Lgaj = *a\j-r fy; а-
Это дает
^gak)\ з = *а ; к ; j + *Л ; а ; j>
(L£jk>; а= V '> Л ; « *Л ; i ; а*
Складывая эти три равенства, получим
+ 2ft/? о/Л + %Ъ% jka + £&# ftjo = 2 (So I * ; к + #а,/А^ )»
причем мы учли здесь, что
#«*+#*,+*»**■= о
И
*^bkja === ^ajkb'
Таким образом, имеем
или
^ = J^;*+(^rW (2'5°)
откуда видно, что движение в римановом многообразии необходимо
является аффинной коллинеацией.
Далее, для контравариантного векторного поля vl(x) получаем
непосредственным вычислением
Аналогично для ковариантного векторного поля Vj(x):
Ltytu — iLvjhH^ — ViiLTjk)- (2.52)
Наконец, для любого тензора, например для Tljk> получаем
1 (П*; О - (LT%); i = Т% №) - Т*аъ (L4) - Tija №) • (2.53)
Эти уравнения показывают, что необходимое и достаточное
условие перестановочности ковариантного дифференцирования и
производной Ли заключается в том, что векторное поле £*
определяет аффинную коллинеацию.
Из
LTjk = £ ; j ; к + R jkA
находим
9. Производные Ли гармонических тензоров 43
и, следовательно,
№U); г — №); * = ^W > (2.54)
и, таким образом, для движения имеем
£#где = 0. (2.55)
9. Производные Ли гармонических тензоров
Тензор ULi2...i называется гармоническим, если удовлетворяются
следующие три условия:
£м3...г антисимметричен относительно всех индексов, (2.56)
*lM....<p;il = 0,. (2.57)
или в развернутом виде
£*!*«... ip'>J== ^... ip\il-\-Uiji3,..ip; г3+ • • • + Uj9 ... ip_1j ; г^ (2.58)
и, кроме того,
£*%....ip;i = 0. (2.59)
Хорошо известно, что в компактном ориентируемом римановом
многообразии число линейно независимых (относительно постоянных
коэффициентов) гармонических тензоров валентности р равно р-мер-
ному числу Бетти Вр данного многообразия (Ходж [1]).
Предположим теперь, что многообразие Vn допускает однопара-
метрическую группу движений, порожденную инфинитезимальным
движением
*« = ЛГ* + Т)* (*)&*,
и положим
Lf-*-&/.
так что
и ковариантное дифференцирование и производная Ли
перестановочны.
Если мы теперь применим оператор L к гармоническому тен-
30РУ 6м,...< > то увидим, что
Дм9...» антисимметричен относительно всех индексов, (2.60)
(Дмэ ...ip).j = №j4 • • • гр); ix +
+ («^3...y;ia+ . . . +(%...i^); у (2.61)
^'(^u9...y;/ = 0. (2r62)
44 Гл. II. Гармонические векторы и векторы Киллинга
Таким образом, производная Ли
Цгхг3... ip
есть снова гармонический тензор.
Но, с другой стороны, из нашего общего определения вытекает:
L\iLU...ip === Ti Сг^а-. Лр, а ~~т~ ^\а\ ifcaH - -ip \ • • • \
~Г 7]а; iJiiiU • • • *я_1а == ^0 \Ьа>*9 ••• *#; *i ' ^а*- •••*»» Ь i • • • i
+ к*. • • • i^tft ; ip) + Tia; <i5a<. • • • ip + ^ <&<*. . . . ^ + • • • +
+ "4°; ip*M. • • - <p-!« = (^b**, • . • ip) ; ii + O^ixai, .. . ^ ; i, + • • • +
откуда видно, что гармоническая дифференциальная форма
№.... i)dxilAdxuA- • • Л****
есть внешняя производная формы
P(?latait... ip)dxl*A • • • Л <****.
и, так как гармоническая форма, являющаяся внешней производной
другой формы, тождественно равна нулю, получаем:
Теорема 2.13. Если компактное ориентируемое риманово
многообразие допускает однопараметрическую группу движений,
то производная Ли гармонического тензора относительно этой
группы тождественно равна нулю (Яно [3]).
Если на многообразии существует гармонический вектор ^ и
вектор Киллинга т]*, то, применяя теорему 2.13, получим
1Лх = y\aU ;a+Y; Ла = Т^а ; i + *Ча; Аа = ($а*Чв) ; i = °'
откуда заключаем
Sa7]« = const, (2.63)
что дает другое доказательство теоремы 2.12 для ориентируемого
многообразия.
10. Фундаментальная формула
В компактном ориентируемом римановом многообразии
рассмотрим произвольное векторное поле £*(#) и образуем новое
векторное поле 5*;^У; его дивергенция будет
№№;1 = 1*;1;#+?;&<- (2-64)
//. Некоторые приложения фундаментальной формулы 45
С другой стороны, из тождества Риччи
свертывая по / и k, получим
или
Подставив последнее выражение в (2.64), найдем
«';№ ; г = 6*; i ; ;У + Яу W + £*; # г- (2-65)
Далее, образуем векторное поле
его дивергенция имеет вид
«^;* = ^1;^+6*;<3^ (2-66)
Из (2.65) и (2.66) получаем
«*; ДО ; i — (6*; <60 ;i = AtfW + 6*; Д г~ 6* ; #;*• (2.67)
Интегрируя обе части (2.67) по всему многообразию и применяя
теорему 2.4, получаем формулу
j (RijW + ?; # i — 6*; #;i)^ = 0, (2.68)
которую, заменяя
можем написать также в виде
$ЩМ + 6*; % ; i - 5'; «U j) dv = О (2.69)
(Яно [3]). Эта формула, которая верна для любого векторного
поля \1(х), будет неоднократно использована в дальнейшем.
11. Некоторые приложения фундаментальной формулы
Во-первых, если \i{x) есть поле гармонического вектора, то
и, следовательно, фундаментальная формула (2.69) дает:
/(#;,-№'+ WU м) dv = 0. (2.70)
46 Гл. it. Гармоникеские векторы U векторы Киллингй
Но так как
и наша метрика положительно определенная, то
(равенство имеет место тогда и только тогда, когда ^;J==0), и,
следовательно, если
то из (2.70) заключаем, что
/?У«Р = 0 и &<;, = 0.
Более того, если Riftc? есть положительно определенная форма,
то из (2,70) заключаем, что
5* — 0,
и это дает другое доказательство теоремы 2.9 для ориентируемого
многообразия (Яно [3]).
Далее, если (•$(*) есть поле вектора Киллинга, то
U ;j-\-bj-,i = 0 и автоматически j-*;i = 0,
и, следовательно, фундаментальная формула (2.69) дает
f (Rtfiiy—V M^4)dv = 0, (2.71)
Vn
так что условие
Rij№<0
влечет за собой соотношения
Яу5<У = 0 и U;j = 0.
Более того, если /?у?*У отрицательно определенная форма, то
из (2.71) заключаем, что
и это дает другое доказательство теоремы 2.10 для
ориентируемого многообразия (Яно [3]).
12. Конформные лреобразования
Инфинитезимальное точечное преобразование
** = ** +6* С*)8*
определяет конформное преобразование в Vn, если угол 0 между
двумя направлениями dx{ и Ьх1 в системе (х1) равен углу Ь между
12. Конформные преобразования 4?
соответствующими направлениями dxl и bxi в системе (х1) с
точностью до членов высшего порядка относительно bt.
Имеем
gjk (x) dx$ Ьхк
cos 6 =
cos 0 :
V gik (x) dxl dxk Vgjk (x) bxf bxk
gjk (x) dx* hxk
V gjk (x) dx* dxk Vgjk (x) Ы? hxk
и так как угол Ь есть скаляр, то первая из этих формул может
быть написана в виде
£д (*) rfP Ьхк
cos 6 =
V gjk (x) dx* dxk у gjk (x) hxj bxk
где gjk(x) суть компоненты фундаментального метрического тензора
в координатной системе (х{); уравнения х1 — xl -f- £*(х) Ы
рассматриваются как преобразование координат (х1)-+(х1).
Итак, необходимое и достаточное условие, чтобы х1~х{-\-
-\-Ф(х)Ы было инфинитезимальным конформным преобразованием,
заключается в выполнении равенств
или
или
*>*(*) = (!+2о-И) g*(*),
Dgjk = gpc (*) — gjk (x) = 2agflt Ы,
^gik = ^;k + ik:i^2agJk. . (2.72)
Если мы предположим, что векторное поле &(х) определяет
инфинитезимальное конформное преобразование, то будем иметь
Фундаментальная формула (2.69) дает
J IRijW -Ье*5^(2oft, — g, ; i) — nW] dV = 0
Vn
или
flRifiiV--li'>jU;j~-n(n — 2)G4dv==:Q. (2.73)
Следовательно, если
Rifi*V<0
то при я^> 2
48 Гл. //. Гармднфсеские векторы и векторы Киллинга
Более того, если Riffi отрицательно определенная форма, то из
(2.73) заключаем, что
Получается следующая теорема:
Теорема 2.14. Если в компактном ориентируемом римано-
вом многообразии Vn (n ^ 2) для векторного поля \1,
определяющего конформное преобразование, удовлетворяется соотношение
RifiWKO,
то непременно
и автоматически Rij&V = 0.
Таким образом, условиям теоремы удовлетворяют только
параллельные векторные поля, а в случае отрицательно
определенной кривизны Риччи — только нулевые векторные поля, и,
следовательно, в этом случае не существует однопараметрических
непрерывных групп конформных преобразований (Бохнер [2],
Яно [3].)
13. Необходимое и достаточное условие того,
чтобы вектор был гармоническим
Мы знаем, что если tf(x) является гармоническим вектором,
т. е. если выполняются условия
U-J— fy;i = 0 и 6<;< = °»
то имеет место
fi*Y;iS* —Л# = 0. (2.74)
Докажем теперь обратное.
Для произвольного векторного поля %i{x) положим
? = \%
и образуем
Применяя теорему 2.4, находим
$ {{&*$: J ;k) b -h V • *U; j] dv = 0. (2.75)
С другой стороны, мы знаем, что
flRijW + V-'ti-.i — V-iV;j\dv = 0. (2.76)
14. Условие того, чтобы вектор был вектором Киллинга 49
Следовательно, получаем
что может быть также переписано в виде
f[^,;*-/?y)5i4-4-«i:i-6/;i)(?*;i-^;i)4-6*i^]rf« = 0.
(2-77)
Это уравнение показывает, что если век-Гор £* удовлетворяет соот*
ношениям (2.74), то
U;j — Ы = 0 и е*5 * = 0.
т. е. вектор (■* гармонический.
Таким образом, имеем теорему:
Теорема 2.15. Необходимое и достаточное условие для
того, чтобы в компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn векторное поле \1{х) было гармоническим, заключается
в выполнении равенств
^*tfi ;*-*# = 0
(деРам [1]).
14. Необходимое и достаточное условие того,
чтобы вектор был вектором Киллинга
Мы знаем, что если вектор %1{х) является вектором Киллинга,
т. е. если
то
**£* ;* + *# = 0, 6*;< = 0. (2.78)
Докажем теперь обратное.
Складывая (2.75) и (2.76), находим
что может быть также переписано в виде
vn (2.79)
Это уравнение показывает, что если вектор (■*(#) удовлетворяет
соотношениям (2.78), то
что и требовалось доказать.
4 Зак. 1695.
50 Гл. II. Гармонические векторы и векторы Киллингй
Теорема 2.16. Необходимое и достаточное условие для
того, чтобы в компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn векторное поле ¥(х) было полем векторов Киллинга,
заключается в выполнении равенств
Лу;*+Я^=0, 6 = 0
(Яно [3]).
15. Движение и аффинные коллинеации
Из формулы
LTjk = \ gia [(Lgaj) ; * + (£&*) IJ - (Lgjk) ; al
очевидно, следует, что движение в римановом многообразии
необходимо является аффинной коллинеацией в этом многообразии.
Обратно, если
есть инфинитезимальная аффинная коллинеация в Vn, то
L?U = \\ j; k +■ Ядер = 0. (2.80)
Умножая (2.80) на g№ и свертывая, находим
^'%^+/?W==0.
С другой стороны, полагая в (2.80) /=/ = #, суммируя по а и
принимая во внимание тождество
получим
следовательно,
\"а = COnst.
Но по теореме 2.4
что влечет за собой равенство нулю константы
Следовательно, по теореме 2.16 вектор £* является вектором
Киллинга.
Теорема 2.17. В компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn аффинная коллинеация необходимо Является
движением (Яно [3]).
Глава lit
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРЫ КИЛЛИНГА
1. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера
В этом разделе мы предполагаем, что рассматриваемое
многообразие— класса С3, а функции gjk — класса С2.
Рассмотрим тензорное поле £^з... ър (х) класса С2 и положим
так что
Д<р = 2(f А - V '%и ...ip ;j+ 6iA - V^i,... i,ii; *)•
Так как
5 ' 3 ^ ' Si^e ...ip;j
является положительно определенной формой относительно
;г,г2 ... ip'Ji
то, если $гАг2...гр удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида
g** h{i2 ... ip'J ; ft = 'г^з... ipiiu, ... jp С ' $ 0>. 1)
и если квадратичная форма
7'iA...i,j.i....i,^'-,i»^'"--'*' (3-2)
удовлетворяет условию
ТО
Д<р = 2«,А - V'?,,,, ... ,р ;,+ Г<А ... ул ...,/А - W'-'p) > 0.
Следовательно, на основании теоремы 2.3
и
4*
52^ Гл. III. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга
Если квадратичная форма (3.2) положительно определенная, то
из последнего вытекает
Ufa... ip = v-
Таким образом получается
Теорема 3.1. В компактном римановом многообразии для
тензорного поля Ufa...ip> удовлетворяющего условиям
g3 Ufa ... ip;j,k = Tifa ... ipjij* • • • Sp 5 p
и
выполняется равенство
Ufa ... ip;j — 0.
Если квадратичная форма (3.2) положительно определенная,
то не существует отличных от нулевого тензорных полей,
удовлетворяющих условиям теоремы.
Если мы теперь рассмотрим произвольное антисимметричное
тензорное поле
Ufa ... гр(х)
класса С2 в Vn, то, используя надлежащим образом тождества
Риччи, мы получим
& tifa -•- ip;j;k & (Ufa ... ip ; j ijia ...iplit • • • —
ti.i* ••• ip~\3>i^'>1i (*аЬ ••• г ;а; iL taifa ... i^;a;t9 • • •
P
— ***. • - ip-th '>a;ip)=^U1... V A+i... ipR% +
P ab
+s> t^s<}il "Л-Л+i "• *#-iM*+i ■■• V^ W (3,3)
Таким образом, мы видим, что если антисимметричный тензор
Е^га... г удовлетворяет соотношению
gj (Ufa ... ip;j tjU • • • ip ; Ь' • • • Ufa ... ip__1j ; ip) ; k +
+ (^2...гр;а;г1— SaMs ... ip; a ; i,— -..— 6ai, ... i^i, ; a; i^) = 0, (3.4)
то он также удовлетворяет равенству
gikUfa ...ip',j;k= ZjU,... г8^.1аг8+1 ... ip R ig +
8=1
+ 2 ^ Ь1...г-_1о»4|+1 ... it-ibit+i ... <p^ai i, (3.5)
/. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера 53
и, следовательно, - - -
i 2—к*да? ^5 г3...гр-
Поэтому если мы введем квадратичную форму
F{Ulu...ip}=Ri^-ip\1u...ip +
+ E^LRijkrji3-in\...^ (3.6)
то получим следующую теорему:
Теорема 3.2. В компактном римановом многообразии Vn
для антисимметричного тензорного поля, удовлетворяющего
условию (3.4) и неравенству
F{Uii2...ip}>0,
выполняется равенство
^Мз ... гр ; j = U
и автоматически
^{е*л...<,} = о.
В частности, если форма F {^г3... *J положительно
определенная, то не существует антисимметричного тензорного поля,
отличного от нулевого и удовлетворяющего условию (3.4).
Подобно (3.3), мы получаем также
—pg^Uu ... ip;j ;k + g*k (PU& ... ip;j + biia...ip;il+ • • • +
l £м3 • • • ip-%J > *p) ; Л (£аг2 ...t fojij 5\i3 ... i ] a;u • • •
— f*. • • • *,-!«! J a ; ip) = 2 ^ ... *s_laYl-l ... ip R\ +
Таким образом, если антисимметричный тензор ^...г
удовлетворяет условию
eJ (Ptiih ... гр ; j + ijU ... гр ; гх + • • • + £ма ... i ',j',ip)',k —
(£ab ••• ip; a; ь £\i3... i ;a;ij • • • —£аг2 ... г ^ ;a; г ) = 0> (3.7)
54 Гл. III. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга
то он удовлетворяет также и следующему условию:
р
а = 1
Р
s, t = U s< t
Итак, мы получаем соотношение
6«л • • • *„ (^6ii<t... <р. у. к) = - /=• {5Мз... tp),
где символ F {^а... %Л имеет прежнее значение; следовательно,
имеет место
Теорема 3.3. В компактном римановом многообразии Vn
для антисимметричного тензорного поля, удовлетворяющего
условию (3.7) и неравенству
выполняется равенство
«Мз ... ip ;j :== и
и автоматически
F{ki,...ip}=0.
В частности, если форма F \\%^...%Л отрицательно
определенная, то не существует антисимметричного тензорного поля,
отличного от нулевого и удовлетворяющего условию (3.7).
2. Гармонические тензоры
Если теперь и&...{р есть поле гармонического тензора
валентности р, то оно удовлетворяет равенствам (2.58) и (2.59) и,
следовательно, равенству (3.4). Поэтому из теоремы 3.2 получается
Теорема 3.4. В компактном римановом многообразии Vn
для гармонического тензорного поля валентности р,
удовлетворяющего неравенству
F{Ulu...tp)>0,
выполняется равенство
«iie '..ip;j — Q
U автоматически
f {Uxi4 ... г J = О»
3. Тензоры Киллинга
55
В частности, если форма F{U1i2...ip} положительно
определенная, то не существует гармонического тензорного поля
валентности р, отличного от нулевого, и, следовательно, если
многообразие ориентируемое, то Вр==0 (/?= 1, 2, .. ., п— 1) (Лих-
нерович[1], Моги [1], Томонага[1], Яно [4]).
3. Тензоры Киллинга
Для вектора Киллинга ^ и геодезической линии xl(s)
многообразия мы имеем вдоль геодезической
. Ь / dx*\ 1 ,, , , v dxi dxJ _п
и, таким образом, длина ортогональной проекции вектора Киллинга
на касательную к геодезической постоянна вдоль этой
геодезической.
Обратно, если длина ортогональной проекции вектора,
принадлежащего полю, на касательную к любой геодезической постоянна
вдоль этой геодезической, то условие
1 п it ч dx* dxj _п
влечет за собой
Таким образом, необходимое и достаточное условие того, чтобы
векторное поле было полем векторов Киллинга, состоит в том,
чтобы ортогональная проекция вектора на касательную к любой
геодезической оставалась постоянной вдоль этой геодезической.
Далее, для антисимметричного тензорного поля ^г3... % величина
t ^L
«*!•" *Р dS
остается ковариантно постоянной вдоль любой геодезической xl(s)
тогда и только тогда, когда
ь It dxi\ — L(t • t , dx* dxJ __ 0
ds\4U~.ip^)— 2Wi*...ip;j-Y'<3U...ipii) ds ds — ^,
т. е. в том и только в том случае, когда
Uia... ip;j~h^jH... ip;i=z 0- (3-9)
Такое антисимметричное тензорное поле ^...i-, мы будем
называть полем тензора Киллинга. Уравнение (3.9) показывает, что
ковариантная производная \i^...ip)j антисимметрична не только по
индексам iy iv ..., ip, но и по индексам iv j, откуда видно, что
56 Гл. III. Гармонические тензоры а тензоры Киллинга
эта ковариантная производная антисимметрична по всем индексам и,
следовательно, уравнение (3*9) эквивалентно
£мя • • • ip ; J = khh • • • гр ; j] (3.10)
или, в подробной записи,
PU,U ...ip;j-\- %Я9 •. • гр ; iL + • • • + ?^?я ... гр_гз ; ip = 0. (3.1 1)
Если Ujt.-.ip есть тензор Киллинга, то из (3.10) видно, что
5м8...г-, удовлетворяет равенству
^•З...^;а=0. . (3.12)
Но соотношения (3.11) и (3.12) влекут за собой равенство (3.7) и,
следовательно, равенство (3,8), и потому, как специальный случай
теоремы 3.3, получается
Теорема 3.5. В компактном римановом многообразии Vn
для поля тензора Киллинга валентности р, удовлетворяющего
неравенству
/7{&M,...<J,}<0,
выполняется равенство
Ъ - гр
У А
и автоматически
В частности, если форма Z7 {(i^i,... *J отрицательно определен-
ная, то не существует поля тензора Киллинга валентности /?,
отличного от нулевого (Моги [1], Яно [4]).
4.Фундаментальная формула
В компактном ориентируемом римановом многообразии Vn мы
рбразуем с помощью антисимметричного тензора U^...ip вектор
имеющий дивергенцию
(Г - V ,*'<, ... гр); г = б*'"" У ,: <*'<. ... ,p^-
+б"'- ЧА... <,; <■ (3-13)
Из тождества Риччи
ггш ... г
У11»
+ уч>... V R%h +...+■ \iU ■ ■ ■ **-1в/?Ч/*
4. Фундаментальная формула 57
находим, свертывая по индексам / и k,
+ \Ш*'" W*aji + • • • + f2 '" lp- iaRipaji'
Подставляя полученное выражение в (3.13) и используя равенство
Rijkl ==: Rlkji*
находим
(Г - %%\ ... ip); i = Г - Ч г ; А ... 1р +
+ RijliU ■ W<,... ip + (/>-1)Я<^Шз- W«,... *,+
_i б**» ••• *Л .ti.
т« ^;.?« г.... t^;»-
Но в соответствии с тождеством
Rijkl + Riklj + #tt jk = О
член
(Р-1)Лу»5Ш,,"'*б\...<р.
появляющийся в правой части вышеприведенного уравнения, может
также быть записан как
(Р— LjRijkl- p< i»...ip— ~2 Kijki" P- i*-ip>
и, таким образом, мы имеем
(S а " P;ji i2 ... ip);i = 5 р; г ;j* га ... ip +
+ V' • •' Я'*,...«,+^- **»$ *"■ ■ • ■ ** е",....«,+
+ 6,<,-li';j6ii,...iJ,;i- • (3-14)
Рассмотрим далее вектор
uUa ... г^ Л
С ; гч га ... гр
и его дивергенцию
б""" ЧА...*,Ь= 6"" ••Чг;А...гр + Г-ЧД...^^- (3-16)
Из (3.14)—(3.15) получим
(f •- Ч/Л... <,):< — (*"•••• 44,- ip);i = ^ (^ ... *р} +
+ ^"^;Л..л ;i —^-4i^,...«»;,. (ЗЛ6)
58
Гл. III. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга
Интегрируя обе части равенства (3.16) по всему многообразию
и применяя теорему 2.4, найдем
f(F{UA2...ip}+f*'''ip''%4...ip',i —
-fa,^;A...L;i)^ = 0, (3.17)
Vn
где
*па ... ip ; j _ *гг3... ip gtj
Теперь ввиду антисимметричности тензора %гг*-'гр По всем
индексам получается
V*3 • • • *р > * л * >*i*2 • • • *J) > J
р+1 tlM*-••ipijlt.. . . ..
где %\i^...% ;j\ обозначает антисимметричную часть .тензора
и,н • •• *_р; i-
4 Подставляя полученное выражение в (3.17), найдем соотношение
1
f(F{U^...ip}+J^-^:\i3...ip;J-
Vn
p+l t[iiU...if,;jl
p ^-l^\xi3...ip;j]-^'-\^...ip^dv^0) (3.18)
имеющее такое же значение, как и (3.17) (Яно [4]).
б. Некоторые приложения фундаментальных формул
Если тензор (;*,*,... *р(*) гармонический, то подстановка
&(Ма ... ip;j] = 0
и
в равенство (3.18) дает
J(Ffea...g+y^' ^;^...%:,-)^=0 (3.19)
и потому неравенство
влечет за собой выполнение соотношений
?г,г2 ... гр ; j = 0
/="{eM,...if}=o,
6. Конформно-киллингов тензор 59
Условие же положительной определенности формы Z7 {(ад... * }
приводит к равенству
Ufa... iv = 0.
Это рассуждение дает другое доказательство теоремы 3.4 для
ориентируемых многообразий (Яно [4]).
Аналогично для тензора Киллинга (см. (3.10) и (3.12)) мы
получаем
f(F{hb...ip}—lilU'"b%U...ip;t)dv = 0, (3.20)
Vn
и потому из
вытекают соотношения
и
F {Ufa
Ufa...
F[iiti,.
...у<о
V' = °
-ip}=0,
а из отрицательной определенности формы F{Ufa....ip} следует
Ufa... -i^, ===== о.
Это дает другое доказательство теоремы 3.5 для ориентируемого
многообразия (Яно [4]).
6. Конформно-киллингов тензор
Если векторное поле Е* определяет однопараметрическую группу
конформных преобразований, то
где 6 = — (■*;*, и, следовательно, мы имеем
о
ds
(b$-i<b:, + U:u%£->
вдоль любой геодезической j»c*(s) и потому j~(U"T~) зависит только
от точки, но не от направления геодезической, через нее
проходящей.
С целью получения аналогичного свойства для антисимметричного
тензора Ufa...ip допустим, что выражение
ь (t.. . dxi\— I /t.. . ..5.. . .\dAdA (3 21)
60 Гл. 1П. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга
зависит только от точки, но не от направления геодезической,
через нее проходящей; тогда из (3.21) получим
£г?3 ... ip\j\~ -34 ... ip ; г = ™U ... ipgij> (3«22)
где
®ц i3 ... ip = — f£3\iiuiz •• ip,j-
Антисимметричное тензорное поле U,u... ip(*)> удовлетворяющее
уравнению (3.22), будет называться конформно-киллинговым.
Из (3.22) получается
Ч/ia... ip ; i = ~-~ *ua ... iplji *"it ... ipgij
и, следовательно,
откуда в силу уравнения (3.17)
К
Получена, следовательно,
Теорема 3.6. В компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn для поля конформно-киллингова тензора
валентности /?, удовлетворяющего неравенству
J7 {*<,<,... ip}<0.
выполняется равенство
£*Л • • • гр ; i = О
и автоматически
F{U.i,...ip}=0.
В частности, если форма F {\ija.,. i } отрицательно
определенная, то не существует поля конформно-киллингова тензора
валентности /?, отличного от нулевого (Яно [4]).
7. Необходимое и достаточное условие того,
чтобы антисимметричный тензор был
гармоническим или киллинговым
Если мы введем символ
р
о {C^i3 ... ip) = 8? UJa • • • ip ; j ; k 2j Si, • •. »e-ia<e+i • ■ • »p" *s
2j Ei, ... »e_iais+i •• . Ц-хЩ+х ••• г«^ *AV (3.23)
s, £ = l» s < t * p
f. Условие того, чтобы тензор был гармоническим или килЛинговым oi
(часто обозначаемый ДЕ^,,... * ), то для гармонического тензора
будем иметь
(см. (3.5)). Мы покажем, что для компактного риманова
многообразия справедливо и обратное.
Для скаляра
мы имеем ^
Д? = 2и*«<-",Р(ЛА...^;^*)+5,А-**!,Ь1<,...*р;/]
и потому, интегрируя по всему многообразию, получим
fll,,,""VbA...V^)+^'"V^....i,i^sO- (3-24)
Умножая равенство (3.18) на р и вычитая полученное из (3.24),
находим
JU*A... V%A... ipij;b—pF {6iA... »p} +
+ (p+l)^-,Pi\ll,...,i,:fl+/,6ii'-4^,...i,;j]^ = 0,(3.
что можно также записать в виде
+ pf*'-'%A...ip,j}dv^0 (3.26)
и потому, если S {U& ... * } = 0, должно быть
*М....<,;Л = 0 и 6*<,...<p;i = 0. (3.27)
Теорема 3.7. Для того, чтобы в компактном
ориентируемом римановом многообразии антисимметричное тензорное поле
было гармоническим, необходимо и достаточно, чтобы оно удо-
влетворяло соотношению
s{bA...<„} = о
(де Рам [1], Яно [4]).
62
Гл. III. Гармонические Тензоры и тензоры Киллинга
Для тензора Киллинга аналогом формы S {£^я... i) будет форма
р
мЕ*лга ... ip} ~ $ U& ... гр ; J ; Л + ~ ^&, ... ^_1«^+1 ... гр^ ig+
s = l
+ у 2d ^ ••• *e-ia*d+i ••• *t-ibit+i ••• ^ <Л (3-28)
(ср. (3.8)); мы покажем,* что на компактном римановом
многообразии из условий
Г №<....«,} = О
И
5 г2... г„ ; г ==== "
следует, что тензор U^...ip — киллингов.
Действительно, аналогично (3.26) найдем
X(!i1i,..vJ-fe-V^-5ii""<p;ii.ip;^ = 0' (3-29)
откуда и следует наше заключение.
Теорема 3.8. Для того, чтобы в компактном
ориентируемом римановом многообразии Vn антисимметричное тензорное
поле было полем тензора Киллинга, необходимо и достаточно,
чтобы оно удовлетворяло соотношению Т {U&... %р] = 0 и
b*U...ip;i = 0 (Яно [4]).
Глава IV
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРЫ КИЛЛИНГА
НА ПЛОСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
1. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга
на многообразии постоянной кривизны
Так как на таком многообразии
п
(Я 1-1) (Sjkgil — gjlgik)
^к ~~~ 1г g*k)
то наша форма (3.6) принимает вид
Fit.. . \ п—р рцМ»-- lvt m
гР
и мы получим отсюда следующие выводы.
В компактном римановом многообразии Vn положительной
постоянной кривизны не существует гармонического тензора
чг^а ... ipi
отличного от нулевого, и, следовательно, на ориентируемом
многообразии Вр = 0 для /?=1, 2,. .., п — 1.
Особо существенно, что если постоянная кривизна пространства
отрицательна (гиперболическое пространство), то не существует
отличного от нуля тензора Киллинга порядка /?(/?= 1, 2,. . ., п— 1).
И если R = О (компактное плоское многообразие), то
существуют ( ] независимых гармонических тензоров и тензоров
Киллинга.
Последнее утверждение следует из того, что в таком
пространстве можно выбрать систему координат, в которой
ш-°-
так что из условия (-^...i ;^=s0 следует, что
д$г,га... %р _
дх*
64 Гл. IV. Гармонические и киллингдвы тензоры на плоских Многообразиях
2. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга
на конформно-эвклидовом многообразии
Преобразование метрики
&=№*• (4Л)
где р — скалярная функция, называется конформным преобразованием
римановой метрики. При конформном преобразовании метрики
тензор кривизны преобразуется по закону
R%i = R%i — ?jkb\ + PjiK — g#p*i + gflA, (4.2)
где
. 1 7 i ik
?зк="?у,ъ — 9}Н + -2 gbeH9cgjk> Pi = g" Pw>
(o =-_dbSP\
\P} dxf Г
а тензор
С%г = R*m - -—^ (RJkb\ - Rrfi + gjkR\ - gjlR\) +
+ {п_щп_2) (gfift~8i&)
остается инвариантным.
Очевидно, что если риманово многообразие может быть сведено
к эвклидову многообразию при помощи некоторого конформного
преобразования, то C%jm = 0 и, как доказал И. А. Схоутен, для
п > 3 эти условия являются также и достаточными.
Многообразие, в котором Сде = 0 (п > 3), называется конформно-
эвклидовым.
При C1jm = 0 имеем
Rijkl — я'_2 (^Jb£il — Rjlgik + gjkRil — gflRik) —
D
(Л_1)(Л__2) &#£« g#8#)
и, подставив это выражение в форму (3.6), получим
Fit.. .] JLZL£lLD..t%l*--'%Pt?.
Если мы предположим, что квадратичная форма Rifttf является
положительно определенной, и обозначим через L наименьшее
2. Тензоры, на конформно-эвклидовом многообразии 65
(положительное) собственное значение матрицы ||/?^l|i то
найдем, что
RiftV>Ll% и R = gURij>nL>0. (4.4)
Если мы теперь зафиксируем точку многообразия и возьмем
систему координат, в которой gij=^^ij в этой точке, так что контра-
вариантные и ковариантные компоненты тензора имеют в ней
одинаковые значения, то для я>-2р получим
, n(p—l) itixi
Д^-^&м...
1 (л—1)(л — 2)
п—Р /tMa •- -int. .
Таким образом, квадратичная форма
Е [Uji... ip)
является положительно определенной при п^>2р, и это будет
справедливо во всех системах координат. В силу этого из теоремы (3.4)
получим, что Яр —0 для р=1, 2,..., [я/2]. Если мы теперь
применим теорему Пуанкаре о двойственности для чисел Бетти, то
придем к следующему результату:
Теорема 4.1. Если в конформно-эвклидовом компактном
ориентируемом римановом многообразии Vn квадратичная форма
Риччи Rij\lV положительно определена, то для этого
многообразия Вр = 0 (р=1, 2,..., п—1) (Бохнер [5], Лихнерович [1])*
Далее, если мы предположим, что квадратичная форма Риччи
Rij&W является отрицательно определенной, и обозначим через —М
наибольшее (отрицательное) собственное число матрицы ||/?^||, то
найдем, что
RijW< — Ml% и R = gVRij< — nM<0,
и при gijz^bij получим для п^2р
откуда вытекает:
Теорема^,4.2. Если в конформно*эвклидовом компактном
ориентируемом римановом многообразии Vn квадратичная форма
Риччи Rijtftf является отрицательно определенной, то для
р=1, 2,..., [я/2] не существует отличного от нулевого поля
(конформных) тензоров Киллинга.
5 Зак. 1695.
Л
Глава V
ОТКЛОНЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТ ПЛОСКОГО
1. Отклонение от постоянства кривизны
Если
Rw = К (gjkgu — gflgb), AT > О, (5.1)
то для антисимметричного тензора \У величина
&Uj
2К
является положительной постоянной.
Сделаем теперь более общее предположение, именно
предположим, что
0<Л< ^- <B (5.2)
для всякого антисимметричного тензора £#, причем величины А и В
являются постоянными.
Если мы положим
^ij = piqj — pjqii
где р1 и ф — два единичных взаимно ортбгональных вектора, то
получим из (5.2)
i А < — /?4iftIptypV <|ft
где —' RijkiPi^Pk(Il есть кривизна в двумерном направлении,
определяемом векторами pi и q{.
Теперь для п—1 единичных векторов #*, q{(2)) . . ., q*n_ty
ортогональных вектору pi и между собой, имеем
Из этого и из того, что ptpi-^y^qj qi =gj*t получаем
1(я— 1)Д</гл/,«р*<±(л— 1)5. (5.3)
1. Отклонение от постоянства кривизны
6?
Отсюда вытекает, что
RijW>^(n—l)At%
для любого вектора \{ и, следовательно,
/?«/*&>-§-<» —О^бУ&у (5.4)
для любого антисимметричного тензора S^'. Кроме того, из (5.2)
следует, что
Таким образом, из (5.4) и (5.5) мы получим
tiatj , р— 1 г> Mdtkl>>. _L
ИЛИ
Rij^Va-h1^ Rmfjikl> i К» - 1M —(P— 1)5] 5^i/
и при
эта форма является положительно определенной.
Так как мы имеем
y>^Et для р = 1> % •••■ [*/21>
то можно утверждать, что при
4=4 или ^=4В
форма F {^ г ...г } является положительно определенной для
/?=1, 2,..., [л/2]. Таким образом, применяя теорему 3.4, мы
получим следующую теорему:
Теорема 5.1. Если в компактном ориентируемом римано-
вом многообразии Vn тензор кривизны удовлетворяет условию
для любого антисимметричного тензора &\ где В является
постоянной величиной, то все числа Бетти Вр(р = 1, 2, . . ., п— 1)
этого многообразия равны нулю (Бохнер и Яно [1]).
Этот результат может быть сравнен с новым результатом
Рауча [1].
5*
68
Гл. V. Отклонение многообразия от плоского
Теперь если мы допустим, что
-"<-^<-в<° <58>
для всех антисимметричных тензоров £#, то
F {Ь^... ip}<jl(p—l)A — (n—l)B\lV*-iPUlia...ip
и для
п — \ ^ А
эта форма будет отрицательно определенной.
Таким образом, применяя теорему 3.5, получим следующую
теорему:
Теорема 5.2. Если в компактном римановом многообразии
тензор кривизны удовлетворяет условию
_д<_^^<_^<0 ' (5.9)
для любого антисимметричного тензора (■#, где А является
постоянной величиной, то не существует отличного от нуля
тензора Киллинга валентности р при р— 1, 2, . . ., [я/2].
2. Отклонение от проективно-эвклидовости
Рассмотрим я-мерное риманово многообразие. Если для любой
координатной окрестности этого многообразия существует
взаимнооднозначное соответствие между этой окрестностью и областью
эвклидова пространства такое, что всякой геодезической линии
риманова многообразия соответствует прямая линия эвклидова
пространства, то говорят, что риманово многообразие является локально
проективно-эвклидовым.
Для я>>3 необходимым и достаточным условием того, что
многообразие является локально проективно-эвклидовым, будет
обращение в нуль так называемого тензора проективной кривизны ВейЛя
Wm = Rijki — ~Т Wjkgii — RjiSjk)- (5-1 °)
Из условия
Wm = Rifa - -^ (Rikgu — Rjlgik) = 0 (5.11)
следует, что
Rjk8ii — Rjigik-h RikSji — RnSjk = °>
откуда
2. Отклонение от проективно-эвклидовости
69
Подставляя это выражение в (5.11), мы найдем
R
Rijki = п {п _ Х) (gjkgu — gjigik)- (5.12)
Это показывает, что наше многообразие имеет постоянную кривизну.
Обратно, если многообразие является многообразием постоянной
кривизны, то его тензор кривизны Римана — Кристоффеля имеет
вид (5.12), а тензор Риччи Rij = (R/n) gif, отсюда мы можем легко
доказать, что Wijki = 0, т. е. что рассматриваемое многообразие
является локально проективно-эвклидовым.
Подставляя выражение
Rijkl = Wijhi -f- n__± (Rjhgil — Rjlgik)
в (3.6), мы найдем, что
+ E^Wm%iii>-iP?\3...ip. (5.13)
Для измерения отклонения от проективно-эвклидовости введем
величину
r=suPl^!ll <,, = _,., (5,4)
Теперь, если мы допустим, что форма Rij&V является
положительно определенной, и обозначим через L наименьшее
(положительное) собственное значение матрицы ||/?jj||» то получим
RifiW^LWi и R = gVRij^nL>0
и, таким образом, для gij^=bij найдем, что
«/'"'Д...<,>«',,'",4<....«,.
Следовательно, мы имеем из (5.13), что
и получаем следующий вывод:
Теорема 5.3, Если $ компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn с положительной кривизной Рццчц $ыцолнено
услоте
£zJLL>£=LWt (5.J5)
70 Гл. V. Отклонение многообразия от плоского
то в этом многообразии не существует отличного от нулевого
гармонического тензора валентности р и, следовательно, Вр = 0
(/?=1, 2, ..., п— 1) (Бохнер [5], Яно [4]).
Точно так же, если RifJtf—отрицательно определенная форма
и через —М обозначено наибольшее (отрицательное) собственное
значение матрицы ||/?^||, то
и из теорем 3.5 и 3.6 мы получим:
Теорема 5.4. Если в компактном римановом многообразии
с отрицательной кривизной Риччи выполнено условие
!^M>£=±W, (5.16)
то не существует отличного от нуля (конформного) тензора
Киллинга валентности р (р= 1, 2, ..., п— 1).
3. Отклонение от конциркулярно-эвклидовости
В римановом многообразии геодезическая окружность
определяется как кривая, первая кривизна которой постоянна, а вторая,
третья и т. д. кривизны равны нулю. Дифференциальное уравнение
геодезических окружностей имеет вид
*V , dxl oV oV* _n ,- 17,
где Ь/ds обозначает ковариантное дифференцирование вдоль кривой,
а 5 — длина дуги.
При произвольном конформном преобразовании
gjk = P%k (5-18)
любая геодезическая окружность преобразуется в геодезическую
окружность тогда и только тогда, когда функция р удовлетворяет
соотношению
Ря* — PiPft = вФ*» <5'19)
где
_ д log p
Такое конформное преобразование называется конциркулярным
(Яно [1]).
Тензор
г\ы = /?*,« - 1гъг=т) <© А* - еЛ) (5- 2°)
3. Отклонение от конциркулярно-эвклидовости 71
остается инвариантным при любом конциркулярном преобразовании,
и условие
^ ZV* = 0 (5.21)
является необходимым и достаточным для того, чтобы риманово
многообразие могло быть сведено к эвклидову пространству при
помощи соответствующего конциркулярного преобразования.
Мы назовем такое риманово многообразие конциркулярно-эвкли-
довым. Легко видеть, что если многообразие является конциркулярно-
эвклидовым, то оно будет многообразием постоянной кривизны, и
обратно, многообразие, имеющее постоянную кривизну, является
конциркулярно-эвклидовым.
Если мы подставим
р
Rijkl = Zijkl ~\~ n(n_i) (SjkSil — gjleik)
в форму (3.6), то получим
''{ьА...*,}-/г«би'---^*1...,,-^Ег1)/к,А-<л*....«,+
1
liiz^f^-Vc^...^.- (5.22)
Р
Для измерения отклонения от конциркулярно-эвклидовости введем
величину
Z^supJ^j*'1 & — V). (5.23>
Если форма Rifjtf является положительно определенной, то
■ f &<.... <,) > [l -^Fh « -^) ^ - Ч«.,.. v
если же эта форма является отрицательно определенной, то
F {««А... «,} < (" M-H^R +^Z) 6"- «^...ip
и, следовательно, получаем вывод:
Теорема 5.5. Если в компактном ориентируемом римановом
многообразии Vn с положительной кривизной Риччи имеет место
неравенство
V £iiiro>£=iz,
п(п — 1) ^ 2
то Вр = 0, р=\, 2, ..., п—1; если для многообразия с отри-
цательной кривизной Риччи имеет место неравенство
М-4- -^——R > Ли1 Z
т-гп{п-.1)К > 2 л'
то не существует отличного от нуля (конформного) тензора
Киллинга валентности р, р^=1> 2, ..., п-^\ (Яно [4]).
72
Гл. V. Отклонение многообразия от плоского
4. Отклонение от конформно-эвклидовости
Возвращаясь к тензору конформной кривизны Вейля и
подставляя Rijki из соотношения (4.3) в форму (3.6), найдем
■ (p—\)R ziyi*... ipt i P— * /-> yiJ4...itkl /koi\
-r (/2__i)(/2__2) * ^ib...^-Г—2"" CU№ *• *....y(&^*)
Для измерения отклонения от конформно-эвклидовости введем
величину
C^supJ^J ' (tf/--«*). (5.25)
Если форма Rij^V является положительно определенной, то
для п^>2р имеем
F {ki3-.. гр} >
>\ n_2 L+(n-l)(n-2)^ ~СГ "Чь-у
если же эта форма является отрицательно определенной, то имеем
и, следовательно, получим вывод:
Теорема 5.6. Если при положительной кривизне Риччи имеет
место неравенство
п~Ър г , р—\ „^ Р~1 г
n — 2L~r(n — l)(n-2)K'> 2 °'
то Вр — 0, р=\, 2, ..., /г— 1; если при отрицательной
кривизне Риччи имеет место неравенство
^lM-tmJ-*R>tz±.C, (5.26)
п — 2 (л —1)(/г —2)
то не существует отличного от нуля (конформного) тензора
Киллинга валентности р, p=\t 2, .,., [я/2] (Бохнер [5],
ЭДдги [1], Яно [4]), :
Глава VI
ПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
1. Пространства полупростых групп
Рассмотрим компактное пространство полупростой группы.
Уравнения Маурера—Картана запишем в виде
dhl j dh
^Ш — ПсШ = СЬс%га ^ *. *. ... = 1, 2, .... п), ' (6.1)
где сЬса — структурные константы группы (Эйзенхарт [2]).
Положим
Так как для полупростой группы ранг матрицы \\gbc\\ равен п и
так как групповое пространство компактно, то квадратичная форма
gbczbzc положительно определена. Обозначая через ||g*ab|| матрицу,
обратную матрице ||g&c|U мы можем использовать величины gab
и gbc Для поднятия и опускания индексов а, Ь, с, . . ., /.
Умножая тождество Якоби
аЬ се ' be ае ' са be
на cdfa и свертывая По а и /, получим
cbcd— cbe &ed Cab cce Ldf ^ cab cde cef '
откуда видно, что величины cbcd антисимметричны относительно всех
индексов Ь, с и d.
Если мы положим
gij = hihigab (6.3)
и обозначим через ||g^|| матрицу, обратную матрице \\gij'\\t то будем
иметь
gjk^h)hckgbc1 (6.4)
где
h)^gbcgjkhkc (6.5)
у квадратичная дифференциальная форма
ds2 = gjkdxidx* (6.6)
74
Гл. VI. Пространства полупростых групп
положительно определена. Мы вносим эту метрику в наше
пространство полупростой группы.
Так как hlah!j =Ь), то из (6.1) получим
®11с-^На\1^—иг (6l7)
где мы положили
Qjk^jCbfhfylhl (6.8)
причем Qft есть тензор, ковариантные компоненты Qjki которого
антисимметричны относительно всех индексов. Принимая во
внимание (6.3) и (6.4), подсчитаем символы Кристоффеля { ., },
построенные с помощью тензора gjk. Непосредственным вычислением находим
Обозначая точкой с запятой ковариантное дифференцирование
относительно { ., }, находим
^■■k=J\J^-l^)=Qjhhi (6Л0)
и, следовательно,
hi;k = QiIclhla = Qklihl (6.11)
Уравнения (£.10) показывают, что /г/;й + /г2;^ = 0 и, следовательно,
векторы hf определяют параллельные перенесения в нашем
пространстве.
Из соотношений (6.8), применяя тождество Якоби, находим
Q&; г = QjkPQip + Q*i*Qto = Q*/W = 0. (6.12)
Если теперь мы положим
П3к — Па дхк ,
то из (6.7) и (6.9) получим
{ jk ) = ~2 (Езк ~^~ Е%к^% Qjk = 2" ^к — Е%к&
откуда
Тензор кривизны, образованный с помощью коэффициентов аффинной
связности E}k> равен нулю, и мы имеем
0 = R%ju + Qjk; l — Qjl%; к + Qjk8&si — Q;/Q„*\
2. Теорема о кривизне пространства полупростой группы 75
откуда, используя (6.12) и тождество Якоби, находим
R м = QkfQjj
или
Rijkl = -QijsQkls. (6.13)
Умножая это уравнение на gil и свертывая по / и /, находим
Яд = Т&*' <6Л4)
причем здесь использованы соотношения
— Q^Q,r8 = — QjfQkrs = i gjh. (6.15)
Таким образом, наше пространство является пространством
Эйнштейна с положительной скалярной кривизной.
2. Теорема о кривизне пространства
полупростой группы
Докажем следующую теорему:
Теорема 6.1. В пространстве полупростой группы с
метрическим тензором (6.4) имеет место неравенство
для любого антисимметричного тензора
tfj _ — у%т
Для доказательства зафиксируем точку в нашем пространстве.
Возьмем такую систему координат, что gij = bij в зафиксированной
точке, и будем писать все индексы снизу.
Имеем из (6.15)
п
или
S (2У2 9у,)(2/2 2^)~8„.
г,У-1, г < j
Следовательно, величины 2 ]/"2 Q^8(/< у; 5=1, 2, ..., п)
представляют п единичных попарно ортогональных векторов в -хп{п— 1)-
мерном эвклидовом пространстве. Если мы обозначим через
&ца(1<Л А = п-{-1, ..., у л (л—1)) jn(n—1) — п единичных
76 Гл. VI. Пространства полупростых групп
векторов, попарно ортогональных и ортогональных также к
векторам 2Y%Qijs> T0 получим
±»<л-1>
S(2Vr2Q,js)(2V2Q,J+ 2 Qi^QuiA^
8 = 1 , _ А = П + 1
откуда
П / n \2 2 v ' / n \2
«2 2 Ъц.\ц) + 2 2 2гм^)= 2 «у)2
и, следовательно,
n n n n
Таким образом мы доказали тензорное неравенство
в фиксированной точке в специальной системе координат, и,
следовательно, оно должно иметь место во всем пространстве (Яно [4]).
3. Гармонические тензоры в пространстве
полупростой группы
Предположим теперь, что существует гармоническое тензорное
поле
в нашем пространстве полупро'стой группы; тогда формула (3.18)
дает
Для р = 1 мы имеем
$(?*%+liiJbiJ)dv = 0.
Это показывает, что ^ = 0 и, следовательно, В,. = 0.
Для р = 2 мы имеем
J (7^Hm, + Y^W^W + ^ ?'*••%,;,) *> = 0,
но по теореме 6.1
Таким образом, мы должны иметь Ьц = 0 и, слеяовтельно, 58==0.
4. Отклонение группового пространства от плоокого 77
Для /?== 3 имеем
J (4 ?"%*.+Rmit^ti + -g- 5MA;\iA ;i) d<f = 0.
Но если мы зафиксируем точку в пространстве и выберем систему
координат, в которой gij = bji в этой точке, то по теореме 6.1
получим
и, таким образом, мы должны иметь
£wa;i == 0-
Теорема 6.2. Б компактном пространстве полупростой
группы ^ == В2 = 0х), а всякий гармонический тензор третьей
валентности имеет равную нулю ковариантную производную.
В общем случае тензор Я^к не равен тождественно нулю и £3 >- 1.
4. Отклонение группового пространства от плоского
В нашем пространстве полупростой группы имеем
Wijki = Zijki = Cijkl = Rijkl— jjffzij) (gjkgu SiiSik)-
Следовательно,
и в силу этого по теореме 6.1
Tijr=A) &ч > wwWkl=zw№M=clisw > - -£0$ ь%,,
откуда следует
Теорема 6.3. В пространстве полупростой группы имеет
место соотношение
1 . wtm№1 ztme4M сФ№1 ^ «-3
^ - .„•..- = —л^: = zrr. ^
2(л-1) ^ '6% 5% 5% 4(п-1)
м, следовательно,
W=Z = C--
(Бохнер [5], Яно [4]).
2(п-1)
п—3
( 4(л-1)
1 (»<5)
(я>5)
*) Что хорошо известно.
Глава Vll
ПСЕВДОГАРМОНИЧЕСКИЕ И ПСЕВДОКИЛЛИНГОВЫ ТЕНЗОРЫ
В МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ С КРУЧЕНИЕМ
1. Метрические многообразия с кручением
Рассмотрим я-мерное компактное многообразие Vn, на котором
задана положительно определенная метрика
ds2 = gjkdx3dxk (7.1)
и коэффициенты метрической связности Е]к такие, что
Sjk\ i — 7d^i SskEji — gisEli= 0> (7.2)
где вертикальная черта обозначает ковариантное дифференцирование
относительно связности Е)к.
Связность Е)к не предполагается симметричной, Ejk Ф Е\.у Тензор
Sjk% = ~2 \Eh — Eij) (7.3)
называется тензором кручения. Определим тензор gis при помощи
соотношения gt8g8j = 8} и используем тензоры gsj и gu для поднятия
и опускания индексов, так что, например,
s*/* = «*«wV; (7-4)
заметим, что в силу (7.2) поднятие и опускание индексов
перестановочно с ковариантным дифференцированием.
Из (7.2) мы и/меем
д&
83
дхк
■ gtjEsk — gsfEjk = 0»
■^ —g»^ —ft^«=0,
и, умножая сумму этих уравнений на -^-gis и свертывая по s, найдем
в силу (7.4):
Е}к = | .£ ] +|S#* — Sljk — S^j. (7.5)
/. Метрические многообразия с кручением 7§
Из (7,5) имеем
Y (Е№ + Ew) = { jk j S^k ~ S%k*'
так что симметричная часть Е)к не будет, вообще говоря, совпадать
с символом Кристоффеля { * } . А для того, чтобы это совпадение
имело место, должно выполняться условие
S jk-\-S kj — О
или
Таким образом, ковариантный тензор кручения S^, который по
определению антисимметричен по индексам / и у, должен быть
антисимметричен по всем индексам. Так как обратное утверждение
очевидно, мы имеем:
Теорема 7.1. Для того, чтобы симметричная часть Е)к
совпадала с символом Кристоффеля { ., } , необходимо и
достаточно, чтобы ковариантные компоненты Бщ тензора кручения
были антисимметричными по всем индексам.
В случае пространства полупростой группы, рассмотренного
в разделе 1 гл. VI, имеем
и так как тензор Sjki является антисимметричным по всем индексам,
получим
■yOu+^Hyil- (7-6)
Если теперь мы вычислим для произвольного тензора Р1^ вторую
альтернированную ковариантную производнуюPljk\x\ т — P%jk\m\h T°
получим формулу Риччи:
Pi ni п8 р* п* рЯ о* р3
jk 111 т""-" г jk | т \ I — " jkn slm ^ skn jlm " je1^ klm
— 2Pjk\aSlm » {^^)
где
Apt dF^
E%*kl = ~5*Г — ~3xk + EhE%ai — EjiElk (7.8)
есть тензор кривизны метрической связности E)k-
Применяя формулу Риччи к тензору g^, найдем
О = &ij I k 11 — gij \l\ к = — gsjESikl gi8E8jkl
и, полагая
Eijkl === gisE jkh
получим
Eijkl = — Ejikl и Eijkl = — Eijlk* (7.9)
80 Гл. VII. Метрические многообразия с кручением
Легко проверить, что компоненты Eljki тензора кривизны
удовлетворяют следующим тождествам Бианки вместо обычных:
Eljki + Elkij + E%ijk — 2 (Sjicг 11 + Ski %\ i + Sjj \ k) +
+ 4 (SA/ + S„ V + St/Stk') = 0, (7.10)
£ jkl | ж Ч- £ jlm \k~\~ E jink | Z —
— 2 {EljtkSim -f- EljuSmk + EljtmSki ) = 0. (7.11)
Заметим, что для пространства полупростой группы, в котором
£где -0и 5// = Qj&\ уравнения (7.10) сводятся к тождеству Якоби,
а уравнения (7.11) удовлетворяются тождественно.
Далее, полагая
Н* = Ц) + 7^ (7Л2)
' i& = bjk — о & — О kj>
мы найдем, что
Tjs8 = 2Sj/ (7.13)
И
Eljki = Rljki + 7V**; / — Tji г; k + T^fc 7ej* — Т^Т8кг, (7.14)
где
fl*i*i = —^ j^n Ь { уЛ j { a/} — { ji }{ ak )'
точка с запятой обозначает ковариантное дифференцирование
относительно символов Кристоффеля | .. }.
Если мы предположим, что тензор S^u антисимметричен по всем
индексам, то, как и в случае пространства полупростой группы,
имеем Tjk1 = Sjk1 и уравнение (7.14) принимает вид
Eljki = R%>№ + S,k ; 1 — Sji l; k + Sjk Sn — S# Stk , (7.15)
откуда
Ejk = Rjh + Sjki.t-\-S;itSktl> (7Л6)
где
Е& = Е\ы и Rjk = Rlw. (7.17)
Мы имеем также
&кЕт = &Щак = Еп
и
!?:кЕ%1 = Е\. (7.18)
Из (7.16) следуют соотношения
1 (ЕЛ + Еад) = /?д — S, rsSkrs, (7.19)
-g-(^* —£*;)-= S;*';t, (7-20)
2. Теорема Хопфа — Бохнера и ее приложения s 1
и, таким образом, тензор Ejk в общем случае не является
симметричным. Но из (7.19) следует, что
Efltff-Rfitft-isrfliSbrJ?), (7.21)
и мы получаем следующие теоремы:
Теорема 7.2. Если в метрическом многообразии с
антисимметричным тензором кручения имеет место соотношение
Ejk-\-Ekj = Ot то форма Rjk\3^ является неотрицательно
определенной.
Теорема 7.3. Если в метрическом многообразии с
антисимметричным тензором кручения форма R3k%3l является
неположительно определенной, то и форма ЕзкЫк будет неположительно
определенной,
2. Теорема Хопфа — Бохнера и ее приложения
Пусть теперь в компактном многообразии с положительно
определенной метрикой ds2 = gjkdx^dxk и коэффициентами линейной
связности Е}к задана скалярная функция о(х). Мы имеем
д<?
дЦ ду
дх?дхк ~ дх1
отсюда
Y * мЛ* * дх*дхк * J дх1
и, следовательно, применяя теорему 2.2, получим новую теорему:
Теорема 7.4. Если в компактном многообразии с
положительно определенной метрикой для скалярной функции <р (х) имеет
место неравенство
Д<рав*р|Лк>0,
то выполняется равенство
Д? = 0.
Как приложение этой теоремы получается
Теорема 7.5. Если в компактном метрическом многообразии
с кручением вектор ^ удовлетворяет условиям
g^UlUk = Ui^ + 2Vir8^\s (7.22)
А . ЦфЧ + WiJ f'8 + grtgsu?' V'U > О,
то непременно выполняется равенство
Л = 0.
б Зак. 1695.
~ т ^_L F1 •
82 Гл. VII. Метрические многообразия с кручением
Вообще если тензор Ег^...* удовлетворяет условиям
g U& ... ip | J |fc = ^ьц ... i U% • • • ЭрЬ ' a '" ^ +
-4-21/.. . ь^л.-.г |e
I 917. . . Л*. • • • С«:ГЛ • • • % Is _J_
-V *V ifr... iprxra ... y? ^5 ^ "T
grASnh • • • grptpgsut P I P > 0,
wo непременно выполняется равенство
A = 0.
Для доказательства заметим, что если <р = £%, то
где
tr\8 tr as
и, таким образом, если £* удовлетворяет условию (7.22), то
1д? = А
Следовательно, первое заключение непосредственно вытекает из
теоремы 7.4.
Доказательство теоремы для тензора проводится аналогичным
образом.
Теорема 7.6. Если в компактном метрическом многообразии
с кручением векторное поле ^ удовлетворяет условиям
**<Ь|>-$я<),* + б'ш« = о . (7-23>
U
mo последнее неравенство обязательно обращается в равенство.
В самом деле, мы имеем общее тождество
g%\i\*-g'*(U\i-liii)ik-iimt = Eaif-2Sirl£ie, (7-24)
и, ледовательно, если вектор £* удовлетворяет условию (7.23), то
он удовлетворяет также условию
Ля * = £оД° — 25ir8f >8, (7.25)
и поэтому к нему можно применить теорему 7.5.
Сходным образом мы получим:
2. Теорема Хопфа — Вохнера и ее приложений 83
Теорема 7.7. Если в компактном метрическом многообразии
с кручением векторное поле ^ удовлетворяет условиям
e4*(bli + ^i)|*-6iWli = 0 (7.26)
E4W — 2SWs%W * — grtg8U? I•? l«< О,
то последнее неравенство обязательно обращается в равенство.
Если теперь антисимметричный тензор (ад,...* удовлетворяет
условию
g* (6мя... ip \j tji9-..ip\ii • • • Емя... *р_^'1 гр)|Л
(ta \a ta ) = Q (7 27)
^^...'^laM, ч hi3...ip\a\ia '*' ч U..Ap_lil\ a \ ip' 'v
то для функции <p = £Ма •" г#5ад... i мы имеем
S? = K(Ui^ - VS\ ... «,- 2S$U№ - **Г<,... ip {t +
+ 0ШтХ8и'-'1Р{1Гг,.^{; , (7.28)
где
AT^L = -f (£**&> — S^gii — Eiigkj + Я^вы) —
P(P—1) a? p p \p \
2 \nHdj cjkli C'ilkj ~T~ ^jlki)'
Sijrst — "J (Sirtgj8 Sjrtgi8 Sistgjr -j- SjStgir) ,
^rs^Mvitf == \8ru8sv BrvSsu) &tw>
если, с другой стороны, этот тензор удовлетворяет условию
gjk(pUki> ... гр \j-\~ %% ... *р | ix + • • • + Si,i, ... ip.xJ I <я)| Л —
/ta fca £a } = 0, (7.29)
то мы имеем
дер=_![*$*««.- ч\... ^-2^,^ - vr\... *; '-
-рОг8^Г3-^ИГь...г;ЮЬ (7-30)
Теорема 7.8. Если в компактном метрическом
многообразии с кручением для антисимметричного тензора (ад..*
удовлетворено условие (7.27) и, кроме того,
"Г ursftww5 ■*' 5 Ь--гр ^v,
6*
84 Гл. VI/. Метрические многообразия с кручением
то это последнее неравенство обязательно обращается в
равенство.
Точно так же, если этот тензор удовлетворяет условию
(7.29/ и, кроме того, условию
*\i3klb PK г3...г ^^ijrstt рЬ г3...г —
Purstuvw* p 5 г,... г -^ U,
то это последнее неравенство обращается в равенство.
3. Псевдогармонические векторы и тензоры
Будем называть вектор £* псевдогармоническим, если
U\j = bj\i и 6* * = 0. (7.31)
Такой вектор удовлетворяет, очевидно, условию (7.23) *и,
следовательно, условию (7.25), и для функции <p = i% мы имеем
Д? = (Ejk + Ebj) &* - 2 (Sirs + Si8r) 5«P-'8 +
+ (grtgsu+grugst)Vl8¥[u- (7-32)
Отсюда получается
Теорема 7.9. Если в компактном метрическом
многообразии с кручением симметричной матрице
\Ejk ~f* Ejcj (Sirs 4~ ^isr)l
L — (Sirs ~\~ Sisr) SrtSsu + SruSat J
соответствует неотрицательно определенная квадратичная
форма относительно переменных £* # £rs —jisr, wo каждый
псевдогармонический вектор £* должен удовлетворять условию
(Ejk + Ehi) № - 2 (Sir8 + 5isr) 6»Г 18 +
£сли матрице М соответствует положительно определенная
форма, то не существует отличного от нуля
псевдогармонического вектора.
Если теперь
Ejk + Ekj ~® и Sirs Ч~ Si8r = 0,
то для псевдогармонического вектора £* мы имеем
откуда следует, что
3. Псевдогармонические векторы и тензоры 85
Таким образом, в этом случае существует самое [большее [п
линейно независимых (относительно постоянных коэффициентов)^псев-
догармонических векторов. Кроме того, если такой
псевдогармонический вектор существует, он должен удовлетворять условию
Sj | к = ij; k — USjk = О»
из которого следует, что
Последнее уравнение показывает, что вектор £* является просто
вектором Киллинга, и, таким образом, мы имеем следующую
теорему:
Теорема 7.10. В компактном метрическом многообразии
с кручением, в котором Ejk-+-Ekj = 0 и 5irs+5isr = 0, всякий
псевдогармонический вектор должен иметь равные нулю кова-
риантные производные относительно коэффициентов связности
многообразия, и, следовательно, число линейно независимых
псевдогармонических векторов будет не больше п. Если такой
псевдогармонический вектор существует, то он будет просто
вектором Киллинга.
Если Ejk-\-Ekj = 0 и Sir8-\-Si8r = 0, то в силу теоремы 7.2
форма Rjj$ik будет неотрицательно определенной. Отсюда в силу
теоремы 2.9 простой гармонический вектор должен иметь равные
нулю ковариантные производные относительно символов Кристоф-
феля и удовлетворять условию
Rjk№ = SJrssAj? = 0.
Таким образом, если ранг матрицы \\Sjr8Srk || равен п, то не
существует обыкновенного гармонического вектора, отличного от
нуля. Следовательно, имеет место.
Теорема 7.11. В компактном метрическом многообразии
с кручением, в котором Ejk-{-Ekj — Q и Sirs-\-Sisr = 0, простой
гармонический вектор должен иметь равные нулю ковариантные
производные относительно символов Кришоффеля. Если же ранг
матрицы \\SjrsS/8\\ равен п, то не существует отличного от нуля
простого гармонического вектора.
В пространстве компактной полупростой группы выполняются
теоремы 7.10 и 7.11. С другой стороны, в этом пространстве
псевдогармонический вектор может быть записан в виде
*i=/в (*)*?■
и в силу теоремы 7.10 его ковариантные производные относительно
коэффициентов связности этого многообразия должны обращаться
в нуль; следовательно, ковариантные производные векторов Щ
86
Гл. VII. Метрические многообразия с кручением
равны нулю и функции fa(x) должны быть постоянными. Таким
образом, имеем:
Теорема 7.12. В пространстве компактной полупростой
группы существует п линейно независимых псевдогармонических
векторов и любой псевдогармонический вектор является
линейной комбинацией с постоянными коэффициентами этих векторов.
Кроме того, из равенства
О = hj | ft = hj} к — hi Sjk
мы имеем
следовательно, все векторы hj будут простыми векторами Кил-
линга и многообразие допускает просто транзитивные движения,
что хорошо известно.
Назовем теперь антисимметричный тензор
псевдогармоническим, если он удовлетворяет условию .
^а...^И = 0' (7.33)
где квадратные скобки обозначают антисимметричную часть
соответствующего выражения, т. е. условию
Чг3... гр |>* = &гга... ip\ ii-\~Ulria...ip |гэ+ • • • + ^ЧЧ..Лр_1г \ ip> (7.34)
и, кроме того, условию
gr8lri>...ip\s = 0. (7.35)
Такой антисимметричный тензор, очевидно, удовлетворяет
условию (7.27) и, следовательно, условию (7.28), и мы можем
установить следующую теорему:
Теорема 7.13. Первая половина теоремы 7.8 приложима,
в частности, к псевдогармоническим тензорам.
4. Псевдокиллинговы векторы и тензоры
Назовем вектор Z1 псевдокиллинговым, если он удовлетворяет
условию
5i|i + ?y|i = 0 и автоматически условию 6*j i = 0. (7.36)
Такой вектор, очевидно, удовлетворяет и условию
4. Псевдокиллинговы векторы и тензоры 87
и поэтому
и мы получаем следующий аналог теоремы 7.9:
Теорема 7.14. Если в компактном метрическом
многообразии с кручением матрице
М'=|
Ejk\Ekj (Sirs Sisr)
~ \^irs L*\sr/ \£rt£su SruSst).
соответствует неположительно определенная квадратичная
форма относительно переменных \1 и %rs = — £sr, то каждый
псевдокиллингов вектор %1 должен удовлетворять условию
(Ejk + Ekj)№ — 2 (Sirs-Sisr) &r\s_{grtg8u_grugst) ri^U = 0.
Если матрице Mf соответствует отрицательно определенная
форма, то не существует отличного от нуля псевдокиллингова
вектора.
Назовем антисимметричное тензорное поле
?Mi ... гр
псевдокиллинговым, если оно удовлетворяет условию
или, более подробно,
*М« • • • гр\ г = "Г" Wia ... i | ij + Uxriu ... гр \ г3 + • • •
••■+6iA...<,_1rH^(7.38)
и автоматически условию
^8Ьц...гр\в=0- (7.39)
Такой антисимметричный тензор, очевидно, удовлетворяет также
и условию
f^Hptij, ...ip\j+tjit...ip\il+ • • • H-SMi...^..^! ip)l» —
— ($ ij ... г^ | о | ij 5 Ma . •. ip 1 a I i, • • • £ i3 ... i^^i | a | i ) = 0>
и, следовательно, для
Гл. VII. Метрические многообразия с кручением
мы имеем
д? = — — IA ijkl* PS Ь... ip — toijratb *« г3 ... г —
~ >r8i3...i \t*uvt m \w}
— Purstuvwb p 5 ь... ip b
откуда следует
Теорема 7.15. Вторая половина теоремы 7.8 приложила,
в частности, к псеедокиллинговым тензорам.
5. Интегральные формулы
В этом разделе мы рассмотрим компактное ориентируемое
метрическое многообразие с кручением и предположим, что тензор
кручения Sjh удовлетворяет условию
S^ = 0. (7.40)
Это условие удовлетворяется автоматически, если ковариантный
тензор кручения Sjfo антисимметричен по всем индексам.
Во-первых, для всякого вектора v* имеем
Vi =Vi -L, vJTJ = V\ , + 2v3S..\
\i ; г i 31 ; г • 3% '
откуда в силу (7.40)
< 1 djfivi
1г Vg дх* у J
где g— детерминант матрицы gjk. Таким образом, для всякого
векторного поля vi(x) мы имеем
JV„ А> = 0; (7.42)
где интеграл берется по всему многообразию, a dv есть элемент
.объема.
Применяя сначала эту формулу к вектору Ь1}$> найдем
или
в сил}' тождества Риччи
C I Я * ^ \k\3'~^ sjk — Д* I 8°jk '
Применяя далее эту формулу к вектору Ц$> получим
&!&„&=* f&^tf+V^p^dv^O (7.44)
6. Поевдогармонические и псевдокиллинговы тензоры 89
и, следовательно,
/(£^-2?«|.S^4-?i|^|i-«*,^|P^ = 0- (7-45)
Если вектор ^ псевдогармонический, то последнее уравнение
приобретает вид
J l(Ejk + EkJ) № - 2 (Sirs + 5isr) ^ I. +
+ (grtgsu-h gruSst) Г I S^ ' U) dv = 0,
что дает другое доказательство теоремы 7.9 для компактного
ориентируемого метрического многообразия с кручением,
удовлетворяющим условию Sji* = 0.
Если вектор 5i — псевдокиллингов, то уравнение (7.45) принимает
вид
fl(Ejk+Ek3) №-2(Sirs - SiBr)№ - (grtg8u - grug8t) №*\»]dv = 0,
что дает другое доказательство теоремы 7.14 для компактного
ориентируемого метрического многообразия с кручением,
удовлетворяющим тому же условию.
Обобщение формулы (7.45) на случай антисимметричного
тензора приводит к формуле
-2S<r,^-^...iJ,I' + }6<A "V^...^- (7-46)
_^^.-.ipli.Wa ^,.1_^---V^. ^|.]^==0;
при помощи которой теоремы 7.13 и 7.15 могут быть снова
доказаны для случая Sji% = 0.
6. Необходимые и достаточные условия того,
что тензор является псевдогармоническим
или псевдокиллинговым
При тех же предположениях,, что и в предыдущем разделе, мы
имеем для всякого векторного поля £*
f gjka%)\3\kdv = 0 '
или
J(6i,^ii/+6V*6iii|*)^ = 0 (7-47)
и, следовательно,
• + |(^м_^И)Г;.|._^|.)_Ь^|.?|?.]^ = о. (7.48)
90 Гл. VII. Метрические многообразия с кручением
Таким образом, если вектор Е* удовлетворяет условию
«%я*-^ + 25^1' = 0, (7-49)
ТО
ti\j—tj\i = Q И f|i = 0,
что показывает, что вектор ^ должен быть псевдогармоническим.
Обратно, если вектор ^ псевдогармонический, то условия (7.49)
выполняются в силу (7.24). Таким образом, мы имеем:
Теорема* 7.16. В компактном ориентируемом метрическом
многообразии с кручением, в котором Sji% == 0, условие (7.49)
является необходимым и достаточным для того, чтобы
вектор Ej былТпсевдогармоническим.
Аналогично найдем, что
+ Ъ&" + #**)(1щ+^д — 1*н#и\&=.0. (7.50)
Следовательно, если вектор ^ удовлетворяет условиям
Aii,*+^-V,,5a0
И
*«„ = о,
то он удовлетворяет также и условию
6<U + 5*|i = 0- (7.53)
Теорема 7.17. В компактном ориентируемом многообразии
с кручением, в котором Sjil=0, условия (7.51) и (7.52) являются
необходимыми и достаточными для того, чтобы вектор ^ был
псевдокиллинговым.
Обобщая теоремы 7.16 и 7.17, можно доказать следующую
теорему:
Теорема 7.18. В компактном ориентируемом метрическом
многообразии, тензор кручения которого удовлетворяет
условию Sjil = 0, антисимметричный тензор
(7.51)
(7.52)
7. Обобщение 91
является псевдогармоническим в том и только в том случае,
если выполнено условие
Р
<*v*-*w>+
р
w является псевдокиллинговым в том и только в том случае,
если выполнены условия
1 Ь
s=l
р
1 VI t ,ра Ь ра &ч
8 = 1, S<t
2 V 6 . С *■' _ П
8 = 1
и
b\...ip\a = 0,
7. Обобщение
Теорема 7.4 может, очевидно, быть обобщена следующим
образом:
Теорема 7.19. Если в компактном метрическом
многообразии с кручением для скаляра <р и вектора А8 имеет место
соотношение
то
д? + 2Л*ср|8 = 0.
Внося сюда значение выражения Д<р, мы можем получить
следующую теорему:
Теорема 7.20. В компактном метрическом многообразии
С кручением для псевдогармонического вектора %1 и произвольного
92 Гл. VII. Метрические многообразия с кручением
векторного поля А8 не может выполняться неравенство
(Ejk + Ekj) W — 2 (Sirs + Sisr — girAs — gisAr) ft'! • +
если только не имеет места соответствующее равенство.
Точно так же для псевдокиллингова вектора £* и
произвольного векторного поля As не может выполняться неравенство
(Я* + Ekj) № — 2 (Sirs - Sisr + gir^s - йИг) W' S —
-(grtgsu-grugst)lr]sV]u<°>
если только не имеет места соответствующее равенство.
В частном случае, когда тензор кручения удовлетворяет
уравнениям вида
Sirs — Sisr + girA8~ gisAr= 0, (7.54)
мы имеем:
Теорема 7.21. Если в компактном метрическом
многообразии с тензором кручения 5/^ , удовлетворяющим уравнениям
вида (7.54), квадратичная форма Е^эф является неположительно
определенной, то каждый псевдокиллингов вектор ^ должен
иметь равные нулю ковариантные производные относительно
коэффициентов аффинной связности многообразия.
Если форма Ejkfytk является отрицательно определенной, то
не существует псевдокиллингова вектора, отличного от нуля.
Заметим, что если тензор Sju имеет вид S<u = Цуи — ^л?;» то
условия (7.54) удовлетворены.
Такое неспециализированное векторное поле As можно также
ввести подходящим образом в условия теорем 7.13 и 7.15 без
изменения формулировок этих теорем.
Глава VIII
КЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
1. Кэлеровы многообразия
Рассмотрим вещественное 2л-мерное многообразие V2n класса С
с заданным покрытием окрестностями, в каждой из которых имеется
система координат.
Если (х1) и (х/г) суть координаты точки Р в двух различных
координатных окрестностях, то между этими координатами
существует соотношение
*'* = *'*(**), (8.1)
где хп(ха)— функции класса Сг с якобианом, не равным нулю,
а латинские индексы принимают значения 1, ..., п\ 1, ..., п.
Если теперь мы положим
z* = х* 4- ^а)
- - ^ -}• (8.2)
z*=xa — ix*)
где греческие индексы принимают значения 1, ..., я, то получим
взаимно-однозначное соответствие
(z*> 1*)^(х1),
и (га, £а) можно рассматривать как координаты точки в нашем
вещественном 2я-мерном многообразии V2n. Уравнения (8.1) всегда
могут быть формально записаны как соотношения
z'* = z'*{z9 J), ?* = ?"(*, i). (8.3)
Пусть выполнены два следующих условия.
I Можно полностью покрыть многообразие системой
координатных окрестностей, в которых заданы комплексные координаты
(2а, Fa).
II Если Ux и U2 — две комплексные координатные окрестности
многообразия, а точка Р принадлежит иг П ^2> то комплексные
координаты z/CL точки Р в одной из этих комплексных координатных
окрестностей суть комплексные аналитические функции с не
обращающимся в нуль якобианом от комплексных координат za той же
точки в другой координатной окрестности.
94 ' Гл. Vllt. Кэлеровы многообразия
Тогда мы будем говорить, что многообразие имеет комплексную
аналитическую структуру, и будем называть многообразие комплексно
аналитическим (или просто аналитическим) многообразием
вещественной размерности 2п и комплексной размерности п.
В этом случае уравнения (8.3) принимают вид
z'« = ф«(г), ?а = ^(i), (8.4)
где <|>а обозначает функцию, комплексно сопряженную ty*(z).
Если мы обозначим
Z* = Z*,
и примем, что надчеркнутые греческие индексы принимают
значения 1, ..., п, то ^ вместо (za, za) мы сможем написать (zl),
i = 1, . . ., п\ 1, . . ., п, а преобразование (8.4) представить в виде
*'*=/<(**). (8.5)
Якобиан преобразования (8.4), как легко видеть, вещественен и
положителен:
" дг**
dzJ
>0,
и, таким образом, наше многообразие всегда ориентируемо.
Комплексное аналитическое многообразие комплексной
размерности п мы будем обозначать через Сп.
В Сп векторы, тензоры, коэффициенты аффинной связности и
т. д. определяются по отношению к преобразованиям координат (8.5),
имеющим специальный вид (8.4), точно тем же способом, что и
в вещественном случае. Например, закон преобразования компонент
контравариантного вектора \1
,i _ dz? yr
в силу специальной формы (8.4) преобразования (8.5) можно
записать в виде двух отдельных формул
•./а
^1а и е/-= &!*
ч = —-? и Г = -^-?. (8-6)
Таким образом, 2п компонент 5* разделяются на две совокупности £а
и £а, которые преобразуются одна отдельно от другой.
Уравнения (8.6) показывают, что если (•*— компоненты
контравариантного вектора, то (£а, 0) и (0, £а) тоже компоненты контра-
вариантных векторов. Более того, взяв комплексно сопряженные
выражения для правых и левых частей равенств (8.6), мы получаем
1. Кэлеровы многообразия
у5
Это показывает, что если %1 — компоненты контравариантного
вектора, то (£а, £а) также компоненты контравариантного вектора.
Для тензоров применимы те же рассуждения. Например, если
нам задан тензор Tljk, то
sWf ; 5*f : №г;; ...
а ; ft ру а 3 k PY а ^ й; рт
являются системами компонент тензоров того же типа, как и
исходный.
Если Ux...i —компоненты антисимметричного тензора, то
также компоненты антисимметричного тензора того же типа, как
исходный. При этом неравные нулю компоненты этого тензора
содержат точно р — h ненадчеркнутых и h надчеркнутых индексов.
Мы назовем такой тензор чистым тензором типа h.
Каждый антисимметричный тензор может быть выражен в виде
суммы чистых тензоров типов 0, 1, . . ., р— 1 и р.
Более того, если Tljk — компоненты тензора, то компонентами
тензора того же типа будут и
(8.8)
где
Мы
будем
i =
обозначать
***
■V-
(а,
S jk =
г
—. Т --
если i=
если / =
= C(T*Jk)
а
= а
(8.9)
и будем называть S1^ тензором, присоединенным к Тг^. Величину Т
назовем самоприсоединенной, если
Т = С(Т). (8.10)
Это означает, что, сменив надчеркнутые индексы на ненадчеркну-
тые и обратно, мы заменяем компоненту на комплексно сопряженную.
Например, контравариантный вектор %1 самоприсоединен, если он
удовлетворяет равенству
Ковариантный вектор (■$ самоприсоединен, если он удовлетворяет
равенству
96 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
Симметричный ковариантный тензор gij самоприсоединен, если
Из разделимости компонент тензора следует, что
самоприсоединенность сохраняется при преобразованиях координат вида (8.4).
Более того, из самоприсоединенности ковариантного тензора g^
с l^lj^O следует самоприсоединенность контравариантного
тензора g^, определенного равенством g^g.k = 8*, символов [Кри-
стоффеля
г* —l<rir( dgr3 , д&* д*& \ /о 1 п
тензора кривизны Римана — Кристоффеля
%г№ = -$~г j^- + TjkVU — TjiTlk, (8.12)
Rijkl = girRTjkh (8.13)
тензора Риччи
Rjb^^Rw (8-14)
и скалярной кривизны
R = gjkRjic- (8Л5)
Здесь и всюду скаляр самоприсоединен, если он вещественен.
Далее, обозначим ковариантное дифференцирование
относительно Tjk точкой с запятой, например:
мы можем убедиться, что самоприсоединенность сохраняется при
ковариантном дифференцировании.
Допустим теперь, что в нашем комплексном аналитическом
многообразии дана положительно определенная квадратичная
дифференциальная форма
ds2 = gjkdzJdzk, (8.16)
где симметричный тензор gjk самоприсоединен и удовлетворяет
равенству
8* = g-4 = °- (8Л7>
Из разделимости компонент gjk на четыре совокупности ga8,
ge-p, g-g, g-^ видно, что условия (8.17) сохраняются при преобразо-
Л Кэлеровы многообразия ■
97
ваниях координат вида (8.4). В силу условий (8.17) метрическую
форму (8.16) можно записать в виде
ds2 = 2gajdz«ciz9, (8.18)
где _ _
§«р = £р-« = &ё = «е«- (8Л9>
Метрика (8.18), удовлетворяющая условию (8.19), называется
эрмитовой метрикой.
Принимая во внимание, что
о<Ф __ p^a __ era? __ p-pa>
мы получаем следующие выражения для символов Кристоффеля Г^:
-1д8ъ . д8~
К 2ё \д5т дР )
Значения остальных символов получаются при помощи свойств
симметрии и самоприсоединенности.
Из закона преобразования символов Кристоффеля
'* dz» \dz'1 dz* йг^dz'tdz'*)
мы получаем _
г,«= dz^ dz»_ _й^рх ^
ff dzx dz't Si* W H
Таким образом, условие ~* -3'*
_ Г£- = 0 я - (8.20)
инвариантно относительно преобразований координат вида (8.4).
Условие (8.20) эквивалентно условию ,ь
лли же ^ , • ■•' * ■ '•->
_ , J^^.Z£L, v (8.22)
или, далее, ,ч ...,, ., ,.,.
*•* дг'дг? >■ .
7 Зав. 1696.
98 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
Для самоприсоединенности g * необходимо, чтобы Ф была
вещественной функцией 1).
Условия (8.20), а также эквивалентные им (8.21), (8.22) или (8.23)
называются условиями Кэлера, а метрика, удовлетворяющая (8.19)
и (8.21), называется кэлеровой метрикой.
Таким образом, в кэлеровой метрике мы имеем
"Рт
crae_IfL
Рт
■g
осе *е?
(8.24)
и ковариантная производная контравариантного вектора £*>
следовательно, задается формулами
(8.25)
2. Кривизна а кэлеровом многообразии
Из определения тензора кривизны
№ Л _i 11» рг pS -рг
/^i-^--^-1-11^
в силу (8.20) и того, что Г1 = 0, мы получаем
R*w = ° и <w = °- (8-26)
Следовательно, для R^ = giSRajk i имеем
Из равенства Rijki*= Rkiij следует
*w = 0 и *<#" °- (8.28)
Из формул (8.27) и (8.28) видно, что могут быть отличны от
нуля только компоненты вида
Следовательно, из компонент R1jui отличны от нуля только компа-
; *) Это утверждение следует уточнить. Функция Ф определена
равенством (8.23) с некоторым произволом. Для самоприсоединенности g -
необходимо, чтобы, пользуясь этим произволом, можно было выбрать функцию Ф
вещественной. Это условие является, конечно, и достаточным. Прим»
пёрёв. . .
2. Кривизна в кэлеровом многообразии 99
ненты вида
R* _, #а- , Л"—, /?*_ .
№ Prs Рт5 Рт5
Отсюда получаем
Rw = ~dW- <8*29>
Это уравнение показывает, что если компоненты Грт — комплексно
аналитические функции от za, то все компоненты R1^ тензора
кривизны обращаются в нуль.
Из тождеств Бианки
получаем
Но так как последний член левой части равен нулю, то имеем
*>:*>•} (8.30,
Эти равенства могут быть получены и непосредственно из (8.29).
Далее, из определения Ящх следует
а отсюда
или же
R$i*= dfg$dz*dz* +^Т д?дг«дг! дг*д?д? * (8*32)
Из последнего равенства следует
#<х7Т! = ^Т|вв = #alTp = Rjtay (8.33)
Для тензора Риччи Ry имеем
и, следовательно, л
% = 0, (8.35>
a a дГй/у
vPt — 'v Рг« — ~~ iv Р«т ^Г
Но
Г^=' W
7*
100 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
поэтому _
где
lftil = l&gl2-
Введем теперь кривизу К в двумерном направлении,
определенном двумя линейно независимыми векторами а1 и vi при помощи
формулы
(gjkga — gjigititfvJuW * К- )
Если эта кривизна одна и та же во всех двумерных
направлениях, то тензор кривизны должен иметь вид
Rijki = К (gjkgii — gflgiu). (8.38)
В силу равенств (8.17) эта формула сводится к следующей:
Подставив это выражение в тождество
найдем
Умножив последнее равенство на gfrg*8 и свернув, получим
а отсюда можно сделать следующее заключение:
Теорема 8.1. Если п > 1 ив каждой точке кэлерова
многообразия кривизна во всех двумерных направлениях одна и та же,
то тензор кривизны тождественно равен нулю.
Далее, если два вектора и1 и ^.удовлетворяют условию
v* = /a«, г>" = — ш«, (8.39)
то они определяют двумерное направление, называемое
аналитическим.
А Для аналитического дйумерного направления имеем
(gjhgu — gflgik) uWuW = — Agjgfiusifiutui
и, следовательно,
К = r-?^- - ••■ T =r—^-. (8.40)
g$gj#*ritttifi - (g%g$ + gagi0 ***№**
2. Кривизна в кэлеровом многообразии joi
Таким образом, если мы предположим, что в каждой точке мно*
гообразия кривизна во всех аналитических двумерных направлениях
одна и та же, то получим
[R*w* - т * W*+*&$] a""w = °
для любого йа, откуда
R^l = 4 < W* + 8^8Ф' (8*41)
С другой стороны, из тождеств Бианки
Rijkl; m *Т~ Rijlm ; к ~Ь Rijmk ;l = О
мы получаем
или
^;. = Л^;Т- (8-42)
Подставив (8.41) в (8.42), найдем
Свернув последнее равенство с ga%r3, получим
Д(Д+1)/С;. = (Д+1)/С;..
Отсюда при д> 1 следует
/С;е = 0 и /С.- = 0.
Таким образом доказана
Теорема 8.2. £с./ш в каждой точке кэлерова многообразия
кривизна во всех аналитических двумерных направлениях одна
и та же, то тензор кривизны имеет вид (8.41), причем К—~
постоянная.
Такое многообразие будем называть многообразием постоянной;
аналитической кривизны.
Теорема 8.3. На многообразии постоянной аналитической
кривизны k для кривизны К в любом двумерном направлении
выполняются неравенства
°<1T&<K<& при £>0, (8.43)
£<АГ<~£<0 "при k<0. (8.44)
При этом верхний предел в первом случае (нижний предел
во втором случае) достигается, если направление аналитиче*
ское; нижний предел в первом случае {верхний предел во втором
102 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
случае) достигается, когда скалярное произведение векторов,
определяющих направление, вещественно (Бохнер [3]).
В самом деле, имеем
RijkiaivJukvl = #apTi (и*^ — "V) (pi?— ubvi) =
= &[(#?j)2 + (ш)2 — (uv) (vu) — (uu) (vv)]
и
(gjkgu — e^A*) e^W = [^+^12 —
— 4 lg4u«u$] \g^otv*\ = (*w)2 + (vu? + 2 (iw) (ш) — 4 (ae) (от),
где мы обозначили
(uv) = g^u«v?.
Таким образом,
j, , (UV)2 -f- (VU)2 — (UV) (VU) — (UU) (VV)
K ~ (uv? + (vu? -f- 2 (uv) (vu) — 4 (uu) (vv) '
Если мы теперь положим
\av) —re+ib (r>0, 6 вещественна),
то
и
Тогда
Y (uu) (vv)
(vu)
= re~
Y (uu) (vv)
0<r<l.
K = k
l + r2 — 2/* cos 26 , [\ 3 1—/-2
= k\\
4 — 2r2 — 2r2 cos 28 | 4 1 — r* cos2 8
Так как очевидно, что
1 — г2
°< 1—r2Cos28 ^ *'
то мы можем заключить, что для &>0 имеет место (8.43) и
аналогично для k < 0 выполняется (8.44).
Кривизна Риччи в направлении и1 определяется отношением
Для многообразий постоянной аналитической кривизны из (8.41)
следует
k*-^—2^1*^ (8-45)
5. Аналитические векторные поля 103
а следовательно,
g -иаи? 2
sa(3
Таким образом, кривизна Риччи постоянна.
Вообще, если тензор Риччи удовлетворяет равенству
Л«Р=*&р. (8.46)
то
-4^-i*
Из тождества
мы получаем
Подставив сюда
(8.46),
R j;i —~2 R ,J
R p;a =="2" R J P*
получим
откуда
А>. р = 0 и аналогично R; | = 0.
Получается следующая теорема:
Теорема 8.4. В многообразии Эйнштейна с тензором
Риччи
Я«р=х&р
величина X есягь абсолютная постоянная.
3. Ковариантные и контравариантные аналитические
векторные поля
Если компоненты £а ковариантного векторного поля — комплексно
аналитические функции от координат (z*), то
Поэтому из тождества Риччи
6 - — 6 - = — IR* -
р ; Y ; б (3; 6 ; у а (Зуб
мы получаем
*р ; Т ;"б ^оЛ Т6р = 0>
а отсюда следует равенство
*%!т!«-ЛЯ"р = 0. (8.48)
Если функция v(z, z) вещественна, то
Дсо ^ р*#<о . . = pa^<0 r -4- Pa^<o - о
"т б Т;г;^ & »; a ; р « & т ; а; р
104 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
или
^=2g4Sh- (8,49)
Если мы положим
z« = х* -f- ixa, z* = xa — ix*,
то Дер примет вид лапласиана в вещественных переменных
(ха, ха), следовательно, теорема 2.3 Хопфа — Бохнера приложима и
в случае кэлерова многообразия.
Если компоненты £а самоприсоединенного векторного поля —
комплексно аналитические функции координат, то для
найдем
или, приняв во внимание (8.48),
Дер = 4 (g«?gt\. т^ Гз + /?«р«Р). (8.50)
Таким образом, имеет место
Теорема 8.5. Если в компактном кэлеровом многообразии
#af№ ^ 0» ^° самоприсоединенное ковариантное векторное поле,
компоненты которого — аналитические функции .координат,
должно иметь ковариантную производную, равную нулю; если
же форма /?af;a&P положительно определена, то не существует
таких векторных полей, отличных от нуля (Бохнер [2]).
Для контравариантного вектора £а с комплексно аналитическими
компонентами имеем
Г.- = 0. (8.51)
Тождество Риччи
ta ta _ t?pa -
влечет за собой равенство
а отсюда следует
^>.T.F + #^ = 0. (8.52)
Теперь мы имеем
А? = 4g*(g^) ;т., = 4 [g^- Д-6 + §sF(gtff. т.,) fP].
Подстановкой равенства (8.52) находим
Д? = 4 [g^P.^ — Я.р И*!- (8-53)
Отсюда делаем следующее заключение:
4. Транзитивная коммутативная группа преобразований 105
Теорема 8.6. Если в компактном кэлеровом многообразии
#ар£а^-^0> то самоприсоединенное контравариантное векторное
поле, компоненты которого — аналитические функции координат,
должно иметь ковариантную производную, равную нулю; если же
форма /?арР^ отрицательно определена, то не существует
таких контравариантных векторных полей, отличных от нуля
(Бохнер [2]).
4. Комплексные аналитические многообразия,
допускающие транзитивную коммутативную
группу преобразований
Мы будем рассматривать комплексное аналитическое
многообразие вещественной размерности 2п, которое допускает транзитивную
коммутативную группу преобразований с инфинитезимальными
операторами
xvf = <vW«> <8-54>
где т|* (р, q, .. . = 1, .. ., г) обознач&ет г аналитических
контравариантных векторных полей. Из транзитивности группы следует,
что г^>п и ранг матрицы ||т)*|| равен п. В силу коммутативности
группы имеем
и* =7)Р^|_7)^==0. (8.55)
1 PQ {Р дг$ q дг$
Введем теперь эрмитово тензорное поле
t?= 2 %Ц,- (8.56)
Благодаря постулированной транзитивности группы тензор ga$
строго положительно определен и, следовательно, имеет обратный
тензор g^.
С другой стороны, умножив (8.55) на ч&гР и суммируя по р
и q, мы получим
Умножив это равенство на ga- и суммируя по а, мы найдем
g«flrPp -1 ?1 = 0,
Юб Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
откуда
дг* дга '
таким образом, ga- удовлетворяет условию Кэлера.
В силу этого Г" будут иметь вид
Поэтому
Но, с другой стороны, умножив (8.55) на i£ и суммируя по (7»
найдем
rfi— g& -2 = о
или
Это показывает, что
ч$ о iL —- О
<• =0.
Таким образом, в построенной метрике векторные поля tj^
параллельны.
Отсюда вытекает, что в тождестве Риччи
\ ; т; "8 \; s"; т = ^ Рг^
левая часть тождественно равна нулю, а, следовательно, также и
правая часть тождеств*
мальный ранг, так что
правая часть тождественно равна нулю. Но т)" имеет всюду макси-
/?V=o.
Таким образом, наше многообразие есть плоское кэлерово
многообразие. Поэтому в окрестности каждой точки мы можем
допустимым образом нормализовать метрический тензор так, что
Эта нормализация показывает, что ковариантные векторные поля
*4\
<.=е«Л
5. Самоприсоединенные векторы, удовлетворяющие соотношениям 107
также аналитические и параллельные, так что, в частности,
выполняется равенство
dz* дга
Поэтому могут быть введены г абелевых интегралов
z
wp(z) = j y\Pdza.
Если, например, первые п из них линейно независимы в точке z0,
то они будут линейно независимыми всюду на многообразии. Эти п
интегралов аналитически и локально взаимно-однозначно отображают
многообразие в эвклидово многообразие. Отсюда следует
Теорема 8.7. Пусть V2n — комплексное аналитическое
многообразие вещественной размерности 2п. Если для некоторого
г^п на V2n имеются г аналитических контравариантных
векторных полей к)" таких, что их ранг всюду имеет максимальное
значение п и выполняется тождественно условие (8.55), то на
многообразии существует п простых абелевых интегралов первого
рода, которыми оно аналитически и локально взаимно-однозначно
отображается в эвклидово многообразие. В частности, если V2n
компактно, то оно — комплексный тор комплексной
размерности п (Бохнер [9]).
б. Самоприсоединенные векторы, удовлетворяющие
соотношениям 5- = —£-, Д/=0
а dz*
Рассмотрим (самоприсоединенное) векторное поле, которое в
окрестности каждой точки представимо в виде
*--■£' *"*-§• (8-57)
Это не локально градиентное поле в собственном смысле слова,
если только не имеет место / = /, т. е. если / не вещественна.
В наших приложениях вещественность как раз не будет иметь места.
Введем ассоциированный вектор
*-£• *-£• <8-58>
Векторы 1Ц и щ имеют следующие свойства:
108 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
Далее, для <^ = 2^\Ц мы получаем
где
£ = г¥\;р;^>
Если мы подставим
Ё - = £ - = (£ £ - ^-4-ё - = £ /?х --4-£ -
*а ; р ; а *р ; а ; а ^чр ; а ; а чр ; а ; а' ' чр; а; а ЧХ раа ' чр ; а ; а *
то найдем, что
Аналогично, если положим
%;р;7 = 71р;р;а =71р;а;р + (7)р;5;а \;а;$)~
= 71р ;а;р ^Х^ р"р 5" === ^р ;а;р
то получим
С = Г1(^р;а);^а'
Введем, наконец, предположение
ge°%- = 0, (8.59)
что означает
Д/=0. (8.60)
Это повлечет за собой равенство
Если теперь поменяем местами переменные (za) и (za), то
получим следующую теорему:
Теорема 8.8. Если на компактном кэлеровом многообразии
с положительной кривизной Риччи самоприсоединенное векторное
поле (■$ обладает тем свойством, что в окрестности каждой
точки компоненты \- представимы в виде
£- = -4^, причем Д/=0, (8.61)
то $- = 0, т. е. f есть комплексно аналитическая функция.
6. Аналитические тензоры 109
Если кривизна Риччи только не отрицательна, то fc;i —0.
Что значит, что производные df/d~z* не обязательно обращаются
в нуль, но их ковариантные производные непременно равны нулю
(Бохнер [2]).
6. Аналитические тензоры
Если компоненты 6*""\...р самоприсоединенного тензора
смешанного типа являются комплексно аналитическими функциями
координат (**), то мы снова имеем
*...., =0. (8-62)
Напишем тождество Риччи:
«!•••% t* —"р т —
— 6 V..Pfl Л ХТ?+ ••■-1-5- ' h-tq* V*
свернув его с g^ и использовав равенство (8.62), получаем
а< ... ал
'- Vt.«
sV" V...P..T
— ^-\...,f«\— -^-а^,...^ +
_. а, ... а ц.
Р„... и ^ Й- *^ ... |
Если мы положим теперь
,*«.-•* Я* +...+f'"4 s ■>*»• (8.63)
aiii Р Р
то получим
Дер =
Mi p'p
110 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
Пользуясь равенством (8.63), находим
Дер =
|>т. %т/ P....Pe;« «,...«,;*
+ 0(1)] ,
где
Ха- ... а а, 8. ... S
0($) = -Г V-P,*^--, '«-...- (8.64)
* р.---р„ *ч---«„ ^
Т^ * ив. ... S К 8. V ... а Т"
Р
^•■■^6 Pt-Pe-i^P^.-"!.
Отсюда получаем следующее заключение:
Теорема 8.9. Пусть на компактном кэлеровом
многообразии комплексно аналитические компоненты
самоприсоединенного тензора смешанного типа удовлетворяют
неравенству
G(S)>0,
fft02(
#
7# имеют место равенства
О(0=о
6 Р,...Ра;х и-
Это утверждение справедливо не только для тензорных полей,
удовлетворяющих условию
I * - = 0
5 Рх--Эв;т U'
но также для тех, которые удовлетворяют условию
у о а, ... а Л
«** '|,...Р€,т.«-0
(Бохнер [11]).
6. Аналитические тензоры
111
Далее, если в каждой точке многообразия мы обозначим через М
и m соответственно наибольшее и наименьшее собственное значение
матрицы R^y то найдем
Г1 Гд 1 р
и получим следующее утверждение:
Теорема 8.10. Если Mum имеют только что указанный
смысл и если
qm — рМ^> 0,
то каждое комплексно аналитическое тензорное поле
смешанного типа
должно удовлетворять равенству
oci ... а
ffciu жг всюду qm — рМ^>0 и где-либо имеет место
строгое неравенство qm — /?М>0, то не существует аналитических
тензорных полей смешанного типа
отличных от нуля (Бохнер [11]).
Из этой теоремы вытекает следующее утверждение:
Теорема 8.11. Если компактное кэлерово многообразие
есть многообразие Эйнштейна
Я.рвХ*«Р'
то при X > 0 не существует отличных от нуля аналитических
тензорных полей типа
а при \ < 0 не существует отличных от нуля аналитических
тензорных полей типа
*Я""\..Л &</»
При этом в обоих случаях все аналитические тензорные поля
имеют ковариантные производные, равные нулю.
Также и при \ = О все аналитические тензоры имеют
ковариантные производные, равные нулю.
112 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
7. Гармонические векторные поля
Если в кэлеровом многообразии векторное поле ^ (не
обязательно самоприсоединенное) гармонично, т. е.
Si;i = E/;i. e^i;* = 0, (8.65)
то точно тем же формальным подсчетом, что и в вещественном
случае, мы можем показать, что ^ удовлетворяет равенству
Л;*;* —U?ai=0. (8.66)
Обратно, если в компактном кэлеровом многообразии векторное
поле (не обязательно самоприсоединенное) удовлетворяет
соотношению (8.66), то оно гармоническое. В самом деле, если мы
сделаем формальную замену координат
za — x*~{-ixa, za = x*— ixa
или
*a = ~-(£a + ;fa), *«==! (*« — *=),
то уравнения (8.66) примут вид
^%,;*-^'°» = 0> (8-67)
причем здесь величины g^., g7-*, {jft}' и R'a.— все вещественные.
Таким образом, из уравнений (8.66) вытекает, что вещественная и
мнимая часть £f удовлетворяет уравнениям (8.67) и, следовательно,
они обе являются гармоническими векторами. Отсюда следуют
соотношения
а также соотношения (8.65) в исходной системе координат, что и
требовалось.
Теорема 8.12. Если в компактном кэлеровом многообразии
векторное поле ^ = ($а, £«) (не обязательно самоприсоединенное)
гармонично, то векторные поля
■4i = (e«. 0), ^ = (0, й) (8-68)
и присоединенное векторное поле
(Ь I) (8.69)
являются гармоническими.
Доказательство. Соотношения (8.66) могут быть написаны
в виде
** ^*L- . — М?- = 0,
8. Гармонические тензорные поля
113
что доказывает наше утверждение (8.68). Кроме того, так как g{jf
g3kt {i } и Rat являются самоприсоединенными, получаем
^„„Г^"0' <8-70>
что доказывает наше утверждение (8.69).
Теорема 8.13. В компактном кэлеровом многообразии
вектор ^ = (^а> 0) гармоничен тогда и только тогда, когда все
£а—аналитические функции от za, а вектор ^ = (0, £«)
гармоничен тогда и только тогда, когда £а — аналитические функции
от za. Вектор (£а> £«) гармоничен тогда и только тогда, когда
1а—аналитические функции от га, а $а—аналитические функции
от z*.
В самом деле, если вектор г4 гармоничен, то
Для i = ос, у = р это дает нам
S.;p = 0 (8.71)
и, таким образом, £а—аналитические функции от z*.
Обратно, если £а — аналитические функции от za, то равенство
(8.71) выполняется; из него и из тождества Риччи
следует равенство
или
а это дает нам равенство
Следовательно, вектор ^ гармонический. Аналогично доказывается,
что аналитическая зависимость £« от z* есть условие гармоничности
вектора С$. Последнее утверждение теоремы следует из первых
двух и теоремы 8.12.
8. Гармонические тензорные поля
Отметим прежде всего, что на компактном кэлеровом
многообразии, как и на вещественном многообразии, антисимметричное
тензорное поле U,...% тогда и только тогда гармонично, когда
выполнено условие
р
S Ui...ip;jik—£iUl...i8_1aia+1...ipRaia —
аЬ
~~«,*-?!< И*1 ■" *«-i°vk ••• «*-iM*+i - уч**- °*(8,72)
8 Зак. 1695.
114 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
Далее, если антисимметричное тензорное поле (не обязательно
самоприсоединенное) удовлетворяет условию (8.72), то этому же
условию удовлетворяет каждый чистый тензор типа h
р\ В*1.8!а ... 8 V*sV*+1 ...b\\ ж -й , (8.73)
полученный из тензора ^...г • Отсюда мы делаем следующее
заключение:
Теорема 8.14. Если на компактном кэлеровом многообразии
антисимметричный тензор hv...i гармоничен, то чистый тен-
зор (8.73) типа h (А = 0, 1 ... р), полученный из
iij. ... г I
Р
также гармоничен. Более того, присоединенный тензор
также гармоничен (Ходж [1], Экман и Гугенхаймер [1], [2], [3],[4]).
Если антисимметричное тензорное поле
£м'а • •. гр
гармонично, то по теореме 8.14 тензорное поле
р р р
гармонично, и мы имеем равенство
Отсюда, положив ix = av ..., ip = <xp, j = р, получим
v....v?e0
и, следовательно, можем заключить, что компоненты
— комплексно аналитические функции от координат (z*).
Аналогично мы можем доказать, что
а отсюда следует
Теорема 8.15. В компактном кэлеровом многообразии
компоненты
WL ... «
5. Гармонические тензорные поля Н5
гармонического тензора
*«,...<„ ":
р
— комплексно аналитические функции от координату а
компоненты
— аналитические функции от сопряженных координат.
Обратно,- если компоненты
**ai ••• *-„
р
антисимметричного тензорного поля
р
(не обязательно самоприсоединенного) — комплексно аналитические
функции от координат (za), то имеем
1 р*Г
Из тождества Риччи
t t _ J t p* * t p*
Ч...«р;Т5* Ч...»^;»".!- Чаа...а^а1Т8 ••• Ч ... «^^ a^f
получаем после свертывания с gi* следующие уравнения;
Эти уравнения показывают, что тензор
т]. , =8ai ... Ъ*П
u* ••• »jp ** V"1'""?
удовлетворяет условию
У 7i Rab -
и, следовательно, гармоничен.
Теорема 8.16. Если на компактном кэлеровом многообразии,
компоненты антисимметричного ковариантного чистого тензора
типа нуль суть комплексно аналитические функции от
координат, то этот тензор гармоничен. Если компоненты
антисимметричного ковариантного тензора типа р и валентности р
суть функции, комплексно сопряженные аналитическим функциям
И6 Гл. VIII. Калеровы многообразия
от координат, то такой тензор также гармонический (Экман
и Гугенхаймер [3]).
Из всего изложенного выше заключаем:
Теорема8.17. Если на компактном кэлеровом многообразии
компоненты
антисимметричного тензорного поля
вида
k...i=(k...*> о о. 1-...«)
р р l P
— комплексно аналитические функции от координат, а
компоненты
этого тензора суть функции, комплексно сопряженные
аналитическим функциям от координат, то тензор ^...г
—гармонический.
Таким образом, антисимметричное тензорное поле вида
k...i =0...... О,..., О, &-. -)
«J> р - l P
гармонично тогда и только тогда; когда компоненты
Р
— комплексно аналитические функции от координат, а
компоненты
^<хх ... а
Р
—комплексно аналитические функции от сопряженных координат.
9. Поля векторов Киллинга
В компактном кэлеровом многообразии, как и в вещественном
случае, вектор $ есть вектор Киллинга тогда и только тогда, когда
Л;Л» + ^ = 0 (8.74)
и
Г;г = 0. (8.75)
Для векторного поля £* = (£а, £а), не обязательно
самоприсоединенного, соотношения (8.74) могут быть записаны в виде
g%j-,H + tR\ = b, (8.76)
/Y;i.u + ftf"F = 0, (8.77)
а отсюда можно сделать следующее заключение:
9. Поля векторов Киллинга U7
Теорема 8.18. Если в компактном кэлеровом многообразии
(р, £а) есть вектор Киллинга, то его присоединенный вектор
(&а, Еа) также есть вектор Киллинга.
Далее, второе условие (8.75) следует из более сильного условия
* ; а * ; а
То, что это условие значительно более сильное, показывает еле*
дующая теорема:
Теорема 8.19. Если на компактном кэлеровом многообразии
для вектора (£а, £а) выполняется условие
?;.= ('Г. = °- (8-78>
то
1) Этот вектор есть вектор Киллинга тогда и только
тогда, когда векторы
tf = (f, 0), С* = (0, Т) (8.79)
суть векторы Киллинга.
2) Если векторы (8.79) — векторы Киллинга, то компоненты
?а = g-f — аналитические функции от (z*)y а компоненты
\- = g~f — аналитические функции от (z*).
3) Если векторное поле \1 есть поле векторов Киллинга, то
оно параллельное.
4) Вектор \1 есть вектор Киллинга тогда и только тогда,
когда контравариантные компоненты £а — аналитические
функции от (za), а £а — аналитические функции от (za).
Доказательство. 1) Если \1 является вектором Киллинга,
то он удовлетворяет (8.74) и (8.75); но в силу дополнительных
условий (8.78) это означает, что векторы (8.79) — векторы Киллинга.
Аналогично доказывается и обратное предложение.
2) Вектор yf есть вектор Киллинга тогда и только тогда, когда
т]. .-1-71. . = 0.4
Но это влечет за собой равенство
которое эквивалентно независимости £- от (z*). Аналогичное
рассуждение можно провести для £а.
3) В силу 2) и теоремы 8.13 rf и С* являются гармоническими
векторами. Поэтому гармоничен и вектор £* = т)*-|-С*. Отсюда
следует
9 Зак. 1695.
118
Гл. VIIL Кэлеровы многообразии
Кроме того, U-J — foi = 0, поэтому £i;y = 0. Таким образом,
^г—параллельное векторное поле.
4) Для параллельного векторного поля имеем
и
Таким образом, £а и £а аналитичны. Легко доказать и обратное.
10. Поля тензоров Киллинга
На компактном кэлеровом многообразии антисимметричный тензор
есть тензор Киллинга тогда и только тогда, когда
р
&kbl...ip;j;k + j£Ul..^8_1ai8+1...ipR\ +
8=1
Р
S, t = l, 8<t
и *
4...v* = 0. (8.81)
Прежде всего из этого вытекает
Теорема 8.20. Тензор C(^...^ ), присоединенный к тензору
Киллинга U,...i > также является тензором Киллинга.
Теперь мы заменим условие (8.81) более жестким требованием
I U ... ip ; a = 6 i2... i ; a = 0. (8.82)
Если мы введем чистый тензор типа h
р\ Ъ*} ... Ъ*р-ч\р-^ . . . ь\рл a , fl (8.83)
[г1 lp-hlp-h + l гр\ V*'ap-h?p-h+l'-Vp
то прежде всего получим следующий результат:
Теорема 8.21. Если на компактном кэлеровом многообразии
антисимметричное тензорное поле Ux...i есть поле тензора
Киллинга и, кроме того, удовлетворяет условию (8.82), то каждый
чистый тензор (8.83) типа h (h = 1 .../?), полученный из Ux...i >
есть тензор Киллинга.
10. Поля тензоров Киллинга П9
Сходным образом, как аналог теоремы 8.17, мы получим
следующую теорему:
Теорема 8.22, Если для тензора
(fc....vo.....o. ^..Л)
выполняется условие
ga\ * = g\- - 0 = 0, (8.84)
& *аа2 ... а^ ; р б чаа2 . .. а ; Р v '
то
1) Этот тензор есть тензор Киллинга тогда и только тогда,
когда чистый тензор типа О и* чистый тензор типа р — оба
являются тензорами Киллинга.
2) Если чистые тензоры типов О и р — тензоры Киллинга,
то их ковариантные компоненты — комплексно аналитические
функции от переменных (za) и (z*) соответственно.
3) Если упомянутый в условии тензор есть тензор Киллинга,
то поле этого тензора есть параллельное поле, т. е.
4) Если этот тензор есть тензор Киллинга, то его первые
контравариантные компоненты — аналитические функции от (z*)
а последние — от (za).
11. Тензор hij
Кэлеровой метрике
ds2 = gij dzl dzj = 2^e? dza d?% (8.85)
где
§ар ~ Sap = ^' Sxp = Sa>' Sa"p = §р"а'»
соответствует следующий закон преобразования фундаментального
тензора:
, _ дгх дг*
g^~~~ dz'a dz* gx*'
Если мы положим
*«?= — '&?' Ар. = ^ (8-86>
то получим
^ dz'« dz'V }*' ?a dz'? dz'a Vх'
9*
120 Гл. VIИ. Кэлеровы Многообразия
Это уравнение показывает, что если мы определим
антисимметричную величину h^ равенством
<*«) =!/<*. о ' (887)
то /г^- есть антисимметричный ковариантный тензор.
Так как
_ / 0 igA I О ig^\
<•«>-(_* 0)=(_,.ft( „)-(v
то этот тензор самоприсоединен.
Если мы положим по определению
Л, = Лу (8.88)
*y = ?V'^ (8.89)
то А*,- выразятся так:
/гбр 0 \
(*»-(„ _4). <^о>
а /гг,; выразятся матрицей
Из (8.90) мы получим соотношение
А*аА" = —й (8.92)
которое может быть также записано в виде
gabhaifibj = gij. (8.93)
Из (8.90) следует, что
А# = (*Г, -it).
Обозначив
P*, = i-(8J + /A*,), (8.94)
Qj=4(^~^)' (8-95)
мы получаем равенства
ЯУ = (0, Г), (8.96)
<?У = (|", 0). (8.97)
11. Тензор fi{j 121
Более того, мы легко можем проверить следующие соотношения
P) + Q) = ^ \
. !
hlj;k',l — hj;l;k = h j R akl — h a,R j
(8.98)
Pij = Qji> Qij^Pjv (8.99)
где
Pij = giaP j » Qij = giaQ j-
С другой стороны, используя формулы
получаем соотношения
Л<,-;Л = 0, А^.* = 0, лЧ* = 0 (8.100)
и
PV5* = 0f <U;* = 0. (8.101)
Далее, из равенства й^;Л = 0 и тождества Риччи
ДО
что эквивалентно равенству
Mh = -aU6^W (8-103)
Из формулы (8.103) мы получаем соотношения
/?*>« = А^ьЯ"*: (8Л04)
и
/?4i = «tfe6Ae»Aei. (8.105)
из которых следует равенство
ЯИаьНаккЬ1 = к\к{яаЬы. (8. Ю6)
С другой стороны, умножая формулу . (8.102) на gik и
свертывая, получаем
A'a/tf = A«We„ = \ hab {Я\ы - R\al)
или
— hiaRal = ±habRilab. (8.107)
мы имеем
J г><* г, а пг
122 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
Из уравнения (8.107), если его записать в виде
— h{aR l =7Г^ Rilab*
и из антисимметрии тензора /?^а& относительно i и / следует
равенство
hiaRai + hlaRai = 0.
Иначе оно может быть записано в виде
tfaR^ = tfirfa, (8.108)
или
R\ = — hiahblRab. (8.109)
Далее, из формулы (8.102) вытекают равенства
Р^а3ы = Ра:;^аы (8.110)
и
<}'<#% = & R'akl- (8.П1)
Умножая соотношения (8.110) на <Д и свертывая,4 получаем
P'aQiR^kl^O,
ИЛИ
PiaP{Rabki=0. (8.112)
Аналогично докажем, что
QaQ^*aw==0. (8.113)
После этого, умножая соотношения (8.110) на Р3ъ и свертывая,
находим
или
P,eQi«e*w=QWew. (8.114)
Аналогично докажем, что
Я{аР{^Ьы = Р{^аы. (8.115)
Из формул (8.114) и (8.115) получаем соотношения
2/*«<?1Л=Л%, (8.116)
а отсюда
2^аЬЯ^1 = ^и- (8-117)
Следовательно,
2/*» <Я Л, = 2flw«»P?*QV (8.118)
11. Тензор hij
123
Из формулы (8.108) получаем соотношения
Р1аЯа1=Ра1&а (8.119)
и
Я*а^1 =0^1 R*a. (8.120)
Далее, если вектор ^ гармонический, то мы имеем равенство
Отсюда следует
gJk(haila);j;k-(hbah)Rai = 0,
gJk(Paila)-J;b-(P6ah)Rai=0,
а эти уравнения показывают, что если вектор £» гармоничен, то
векторы А" 5а, P°iEo» QlU также гармоничны.
Аналогично можно доказать, что если тензорное поле
Cit ... гт
Р
гармонично, то
ha\ ... ha* L „
и
Я* . . . P*f Q^V1 . . . <?9 1
[h ih гп+1 гр\ a, ... a
— также гармонические тензорные поля.
Назовем антисимметричный тензор U....I при р^>2
эффективным, если выполняется соотношение
л =0. (8.121)
Так как мы имеем
0 lg* \
{—ig^ 0 / '
то легко видеть, что равенство (8.121) эквивалентно равенству
«**W*,=0- <8Л22>
Рассматривая эффективные гармонические тензоры на компактном
кэлеровом многообразии, Ходж [1] доказал следующую
фундаментальную теорему, которую мы будем использовать:
Теорема 8.23. На компактном кэлеровом многообразии
вещественной размерности 2п имеют место неравенства
В0 < В2 ■< В4 <[ . . . <#2 гг2_. ,
ш
124
Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
а число Вр+2— Вр (р-4~2.^п) есть число линейно независимых
{относительно постоянных коэффициентов) самоприсоединенных
гармонических эффективных тензоров валентности р + 2.
Таким образом, если не существует самоприсоединенных
гармонических эффективных тензоров, то
В0 = В2 = ... = В r^i »
12. Эффективные гармонические тензоры
в плоских многообразиях
Мы возвращаемся сейчас к анализу квадратичной формы
^{^...y = V,,""%"-*J, + £TI«yW6W1,",'*5*I<....*J, (8-123)
для антисимметричного тензора &,...* • Мы постараемся выяснить,
когда она положительна в кэлеровой метрике, причем тензор будем
предполагать эффективным и самоприсоединенным. Это будет иметь
то приложение, что если таких тензоров не существует, то по
теореме 8.23 мы должны иметь
Пусть выполняется равенство
k
Тогда
Q — П+ 1 Ъсг _
откуда
Rifi**-- Vi,..^ = 2 (Raf* - *,f+ ...ip+ Raf^ - Я-^..Л) =
= (»+1)А(^---Н№..лр+^'''Ч^...^)- (8-12t)
С другой стороны., очевидно, что
и, следовательно,
RijJjh ■ ■ ■ '< ...,, = - 2«* • • • Ч^ v <8- < 25>
12. Эффективные гармонические тензоры в плоских многообразиях 125
'«Рг3 • -.*
в силу
При этом мы имеем выражение для F (£*,...{ )
^,.^в(я+1)*5,*'"Л^-..«,+
положительное при О-^р^п.
Теорема 8.24. На компактном кэлеровом многообразии
положительной постоянной аналитической кривизны k > О имеем
B2i=U S2z+i = 0 (0<2Z; 2/+'1<д).
Мы рассмотрим теперь как формальный аналог проективного и
конформного тензоров кривизны Вейля следующие тензоры:
0.рТ5 = «ГМ-^(в.РЛт»- + ^ЛтГ>' (8Л26)
и
+ 2(n+1f(^ + 2)(ga|gTs + g^grf)' (8-128)
которые были введены в работе Бохнера [6]. Эти тензоры
удовлетворяют соотношениям
«•Ч?ТУ = °. Г**.рт* = °- (8-129)
Так как для многообразий постоянной аналитической кривизны
выполняются равенства
^*М = 2/2 (/2 + 1) ^apgY8 ^х5§Т^'
К«Р 2/2 ^*? '
го очевидно, что для таких многообразий
Обратно, если мы предположим, что на некотором MHoroq6pa-
зии
G \
0.зт1 = 0.
126 Гл. VIII. Кэлеровы многообразия
то получим
подставляя это в равенство
мы находим
Я* ^6 — Ягр
«■«Э^ГЗ + ^7? = % Л«3 + *"ТТЛ«Р •
Умножая это на g"*? и свертывая, получаем равенство
или
V 2/2 5Г
Подставив это равенство в формулы (8.130), находим
Отсюда заключаем, что наше многообразие имеет постоянную
аналитическую кривизну.
Аналогично в случае Ягт = 0 получаем
^^ = 2(^(e,.p^ + ftj/?Tp4-^/?.p+STF/?ef) (8-131)
и, свернув с g"0"5, имеем
кРг 2л £рт
А тогда из формулы (8.131) находим
"а? Т? === 2Л (Л -(- 1) (£*Р&1* ' £<*л£$>'
Таким образом, снова справедливо, что это многообразие имеет
постоянную аналитическую кривизну.
Рассмотрим условие
^" = 0. (8-132)
т. е.
~~ 2 (л + 1) (л + 2) (&Р ^г* ~^~ &**т?''
Условие (8.132) влияет на числа Бетти так же, как постоянство
аналитической кривизны, хотя и не влечет ее за собой.
12. Эффективные гармонические тензоры в плоских многообразиях 127
В самом деле, для эффективного тензора мы имеем
JjU--- in М *?*з ••■ *„ Т^
<)•
Следовательно,
н-2^-2-^-]^^-''^ «,+
+ (BjfiI(L)+2)g'y<'-V..H-«/ (8Л^
Отсюда делаем следующее заключение:
Теорема 8.25. Еош на компактном кэлеровом
многообразии K^i = 0 и форма R^tf положительно определена, то
для 1-<р<;^-4-2 и, таким образом, В2г=\, В2Ш = 0 (0-<2/,
2/+1<^+2) (Бохнер [6]).
Для того чтобы получить некоторый результат для всех /?, мы
введем тензор
5«1 = *«!-:& ^ (8Л34>
и величину
S = suPi{ % ' . (8.135)
5аз и S измеряют отклонение многообразия от эйнштейнова.
Подставив
#оф = ^сф ~г 2/Г ^Ф
в формулу (8.133), получим
i 2(ra — 2/? +4) <,_t«7i3... if
+ n + 2 ^' *; *,...«/
128 ~Гл- VIIf. Кэлеровы многообразия
Но для
2<л —/> + 2<£—1, — 2(п — 4)<2(я — 2/? +4)< — 4,
справедливы неравенства
п
2"
и, следовательно,
^{^...у>2/?а/Т'3-^^....^+ '
+ 2[ййТТ)-нтг5]«"Л-"Чч...*,- (8Л36>
Отсюда получаем следующую теорему:
Теорема 8.26. Если на компактном кэлеровом многообра-
зии R^ > 0, Kjtf = 0 и ^ > ^ 5. то Вп= 1, Вя+1 = О
для всед: размерностей.
13. Уклонение многообразия от плоского
Введем величины
|о-^>5"|
0 = sup,L-^L 1 (8.137)
«?
и
tf^sup.LiEIL '. (8.138)
В случае R„t&*c? >- 0 положим
L = inf?-^—7 (8.139)
Тогда для эффективного тензора имеем
Р ik ... «,} = 2[*a?f°- V^ .^ + (р-1)/?^*- VTV..«,1 =
+ {(1-Sr)^-(/'-1)0)^-,'^...J-
13. Уклонение многообразия от плоского 129
Отсюда и из аналогичной оценки F через Н мы получаем
следующую теорему: _
Теорема 8.27. Если в компактном кэлеровоМ многообразии
форма R^tf положительно определена и
(> —Sri) L>{p—1)Quau(\ —£р) L > (P- 1)H (8.140)
для
1<р<л, (8.141)
wo не существует эффективных гармонических тензоров
порядка /?.
Таким образом, если соотношения (8.140) выполняются для
всех р при условии (8.141), то
В2г=\, B2l+l = 0 (0<2Z, 2Z+10).
Наконец, мы вводим величину
/C==sup^
^t
<<Ф
и утверждаем следующее:
Теорема 8.28. Пусть в компактном кэлеровом
многообразии /?лЕа?>0 и выполнено условие 9
при 1<.р<!-2- + 2 w, кроме того,
1 /г —^s>(« —i)^;
/i(/i + 1) v п + 2
тогда
В21= 1, £2г+1 = 0
для
0<2/, 2/+1<я.
Доказательство, Мы будем различать два случая:
. \ 0<2/, 2/+1<4+2 (8.142)
2
п
£+3<2/, 2/+1<л, (8.143)
130 Гл. VIII. Кэлеровы многообразий
и будем исходить из общей формулы для эффективного тензора
1 р L r Р рл
О Го _ЛаТ*а-•• »даб? I Л 2(/>— 0\ n tafie.-.Of i
^2(л + 1)(« + 2)^ J^iA...ip^yP ^Aa?T6« ^; *•»••• VT
(8.144)
По этой формуле для
1~^РУ1>0' или 1<р<|+2,
мы имеем
+{('-^^)'.+2(„+^(U2)/?-(p-1)/c}e*-4-,,...J-
Это доказывает наше утверждение для (8.142).
Если после этого мы подставим в формулу (8.144)
R«? ~-5«(3+ 2/1 £*?'
то найдем
1 П — 2/7 + 4 с j.afi3 ... i J _L^n П/Г ЬаЯз--.<в^ 1
(8.145)
Для -«- + 3<Гр<^л это означает, что
Отсюда получаем требуемое заключение в случае (8.143).
Глава IX
ДОПОЛНЕНИЯ (С. БОХНЕР)
1. Симметрические многообразия
Возьмем на римановом многообразии произвольный тензор и
сразу же обозначим его через Rijkp поскольку он вскоре будет
отождествлен с тензором кривизны. Образуем лапласиан Дер
скалярного квадрата
<? = WklRim;
тогда величина -н-Л<р будет суммой
RiJkigrsRijJd.r]8. (9.2)
Выражение (9.1) имеет неотрицательное значение; оно равно
нулю тогда и только тогда, когда
«OW;r = 0. • (9.3)
Если на компактном многообразии выражение (9.2) также
неотрицательно, то, по теореме 2.3, обе величины должны быть равны
нулю. Но величина (9.2) обращается, в частности, в нуль, если
%1;г;а = 0, (9.4)
что является более слабым требованием, чем условие (9.3).
Применяя эти рассуждения к произвольному тензору, мы прежде всего
получим следующую полезную лемму (Бохнер [7]):
Теорема 9.1. Если на компактном римановом
многообразии r-я последовательная ковариантная производная некоторого
тензора (или скаляра) обращается в нуль:
3\h ••-Jq;kl;k9;...\kr
то обращается в нуль уже его первая производная, т. е.
Допустим теперь, что RijM — тензор кривизны. В этом случае
условия (9.3) выражают тот факт, что многообразие является так
i 32 tA. IX. Дополнения (С. Ёохнер)
называемым симметрическим пространством; свертывая (9.3) с gil,
мы получим, в частности,
Л#;* = 0, (9.5)
где Rjk — тензор Риччи.
Если мы теперь возьмем тождество БианКи
Rijkl; г === Rijlr ; к — Rijrk ; h
продифференцируем его ковариантно и затем вновь используем это
тождество, применяя попутно надлежащим образом тождество Риччи,
то сможем показать, что величина (9.2) является суммой следующих
двух выражений:
4RWRjk;i;l (9.6)
и
• H{R)^2RmiHijk8l8i (9.7)
где
Hi;klrj s Rijkl; г ; в Rijkl; s ; г ===
1=1 RajklR irs RiaklR jrs RijalR krs — RijkaR 1гз> (9.8)
Из этого разложения вытекает, что в форму H(R) уже не входят
производные тензора кривизны и что (9.6) включает только
производные „сокращенного" тензора Риччи. Поскольку для
симметрического пространства выражение (9.2) должно быть нулем и имеет
силу равенство (9.5), то оба выражения (9.6) и H(R) должны
равняться нулю; интересно отметить проистекающее отсюда следующее
заключение обратного характера:
Теорема 9.2. Если на компактном римановом многообразии
/?i;;V = 0 и Я(/?)>> О, то должно быть Rijki;r = 0
(симметрическое пространство).
Несколько более общими, чем симметрические, являются так
называемые рекуррентные пространства, определяемые условием
Rijkl; г === Rijkl^r*
введенные Рюзом [1] и Уокером [1]. Можно было бы рассмотреть
и еще более общие пространства, определяемые условием
Rijkl ;r ; 8 ^ Rijklars>
для которых справедливы утверждения, весьма сходные с
теоремой 9.2; мы отсылаем читателя по этому поводу к работе Лихне-
ровича [9].
3. Минимальные многообразия 133
2. Выпуклость
Если риманово многообразие Vn изометрически погружено в
эвклидово Еп+Г, то на Vn существует г симметричных тензоров £(fj,
р= 1, 2, ..., г таких, что для тензора кривизны будет иметь место
представление
^-2(^-^*8). ' (9-9)
Примем теперь более общее допущение, что для нашего Vn
тензор кривизны имеет указанное представление в окрестности каждой
точки с тензорами Ь\9], определенными только в каждой отдельной
окрестности; условимся на минуту называть Vn внутренне
полувыпуклым, если все Ь{$ — неотрицательно определенные, и
внутренне выпуклым, если хотя бы один из этих тензоров положительно
определенный. Можно также ограничиться в случае полувыпуклости
более общим предположением, что в каждой окрестности тензор Rijm
является лишь пределом, в смысле равномерной сходимости,
выражений вида (9.9), в которых каждый из тензоров
Ь{$—неотрицательно определенный. *
Теперь, рассматривая выражение
для тензора кривизны вида (9.9), мы получим как следствие
теоремы 3.4 следующее утверждение:
*. Теорема 9.3. Если компактное ориентируемое риманово
многообразие внутренне выпукло, то первые два числа Бетти
равны нулю, Вг = В2 = 0; если многообразие полувыпукло, то
гармонические векторы ^ и тензоры ^ должны иметь ковариант-
ные производные, равные нулю.
Если в (9.9) г== 1, то можно даже высказать следующее
утверждение о всех числах Бетти:
Теорема 9.4. Если компактное ориентируемое риманово
многообразие изометрически выпукло погружено в эвклидово Ет1
и если наибольшая и наименьшая главные кривизны отличаются
не более чем в два раза, то все числа Бетти равны нулю.
Эта теорема формулировалась у Лихнеровича [9] и также может
быть получена из теоремы 5.1 настоящей книги.
3. Минимальные многообразия
Если мы допустим, что все тензоры Ь\9] в (9.9) отрицательно
определенные, то не сможем извлечь из этого непосредственных
выводов, по крайней мере для вещественных многообразий, которые
134 Гл. IX. Дополнения f С Бохнер)
мы сейчас рассматриваем. Можно, однако, прийти к некоторому
заключению, если допустить, что имеют место равенства
g4(f} = 0, p=l, 2, ..., г, (9.10)
так как в этом случае мы будем иметь
Р
где
# = *$?.
Условимся теперь временно говорить, что V*n внутренне
минимально, если в окрестности каждой точки возможно
представление (9.9), причем выполняются условия (9.10); будем говорить,
что Vn внутренне строго минимально, если в каждой
точке по крайней мере один из тензоров bfj имеет отличный от нуля
определитель: Теперь может быть сформулирована
Теорема 9.5. Если компактное риманово Vn внутренне
строго минимально, то на нем не существует полей векторов
Киллинга и, следовательно•, однопараметрических групп
движений. Если многообразие минимально, то единственные группы
движений — параллельные переносы, причем их траектории должны
быть геодезическими не только в Vn, но и в локально включающем
его в себя Еп+Г (Бохнер [2]).
4. Комплексное погружение
В комплексной окрестности (z1, z2, ..., zn) мы рассмотри^ г
ковариантных аналитических векторных полей
<#>(*), p=l, 2, ..., г, г^п (9.11)
и примем следующие два допущения. Во-первых, для каждого из
векторов С«р) должен быть равен нулю вихрь, т. е.
д№ д№
■rfr=^' *• р==1' 2' •••■ п; р==1' 2' ■■•• г (9Л2)
и, во вторых, матрица
{Cip)} (9.13)
из г строк и п столбцов должна всюду иметь максимальный ранг п.
Если мы теперь положим
up =51 W <9Л4>
то, по второму предположению, матрица {g^} будет положительно
определенной, и по условию (9.12), которое имеет определяющее
4. Комплексное погружение
135
значение, она будет обладать кэлеровым свойством. Метрика
ds2 = g^dz*d~z? (9.15)
введена из следующих соображений. Условие (9.12) является
в окрестности точки необходимым и достаточным для
существования аналитических функций
w(p> =/<p)(*i, z2, ..., zn) (9.16)
таких, что
Если мы интерпретируем равенства (9.16) как отображение нашей
окрестности в многообразие переменных w?9 то в силу нашего
второго допущения это отображение будет невырожденным и метрика
(9.15) будет индуцироваться плоской кэлеровой метрикой
dw1 dwx + dw2 dw2 + ... + dwr dwr (9.18)
объемлющего многообразия.
Существенной особенностью метрики (9.15) является то, что
тензор Риччи имеет для нее вид
-fl.p-^StfUcK (9-19)
р = 1
(Бохнер [2]), где точка с запятой указывает на ковариантное
дифференцирование по отношению к вновь введенной метрике (9.15).
Теперь из (9.19) вытекает равенство
и потому мы имеем
Я.^<0, (9-2°)
где равенство будет иметь место только в случае выполнения
условия
qp>.F = 0. (9.21)
Отсюда следует
"Теорема 9.6. Если компактное кэлерово многообразие
таково, что его метрический тензор может быть получен
з окрестности каждой точки посредством аналитического
погружения в плоское кэлерово многообразие, то кривизна Риччи не
положительна и потому не существует контравариантных
аналитических векторов и тензоров
ь<х.ои ... а
136 Гл. IX. Дополнения (С. Бохяер)
за исключением имеющих нулевую ковариантную производную,
и, например, ненулевой вектор £а должен удовлетворять всем
уравнениям (9.21) для любых ? и р.
Таким образом, в частности, если компактное комплексное
многообразие может быть погружено аналитически локально
взаимно-однозначно в комплексный тор некоторой размерности,
то на многообразии всякий аналитический тензор
определяется его заданием в любой точке и представляет собой
параллельное поле в индуцированной метрике многообразия.
Как известно, кривизна Риччи остается не положительной при
более общем, чем в теореме, предположении, что заданный
метрический тензор gaz таков, что в окрестности любой точки
соответствующая кривизна Риччи является пределом, в смысле равномерной
сходимости, выражений вида (9.19). Теория автоморфных функций
одной или нескольких переменных изобилует метриками такого
рода. Так, в единичном круге | z | < 1 классическая
гиперболическая метрика
(1-гг)*
постоянной отрицательной кривизны является подобным пределом,
но можно доказать, что она не может быть непосредственно
получена погружением в конечномерную плоскую кэлерову метрику. Это
же верно и для ее многомерного обобщения
Wo2 _ 1 W Ё L? LZ Г9.22^
ds~ (i-2l*ai2)2 ( }
в единичной сфере.
|^|2+^2|2+--- + |^|2<1 (9-23)
и для многих других пространств, из которых мы упомянем только
гиперболическое матричное пространство, являющееся обобщением
вышеприведенного. Оно возникает, если вместо п переменных
zl9 z2, . .., zn взять произвольную прямоугольную матрицу
Z={^}, (9.24)
v== 1, 2, ..., т\ [х= 1, 2, ..., п, составленную из независимых
комплексных переменных в общем числе тп. Единичная сфера
заменяется тогда множеством точек, которое характеризуется
требованием, чтобы все собственные значения квадратной матрицы
2 <ZVP£V'
v = l
5. Достаточнее число векторных или тензорных полей 137
были по абсолютной величине меньше единицы, т. е. тем, чтобы
для любых комплексных чисел л15 Х2, . .., Хп мы имели неравенство
П VI П
р, a = l v = i p = l
Соответствующий линейный элемент будет тогда задаваться
формулой
ds2 = след l(/m — ZZT1 dZ(In — Z*Z)-i dZ%
где Z*— матрица, присоединенная к матрице (9.24), a Im и 1п —
единичные матрицы порядков тип соответственно,
5. Многообразия с достаточным числом
векторных или тензорных полей
В теореме 9«6 мы показали, что если имеется достаточно много
аналитических векторов ^(г), должным образом „независимых", и
если они удовлетворяют допущению (9.12) о вихре,
то не существует контравариантных векторных или тензорных полей
(кроме весьма специальных); при этом именно предположение
о равенстве нулю вихря привело к появлению в рассуждениях
кривизны Риччи и позволило получить этот вывод как частное
следствие одной из предыдущих общих теорем.
В действительности предположение о вихре может быть полностью
опущено, а кривизна совсем исключена из рассмотрения, если мы
в некоторой степени усилим требование независимости векторных
полей. Наше новое предположение о их независимости, фактически
значительно более ограничительное, чем предыдущее, отлично от
него по форме, и это различие в подходе дает во всяком случае
много интересных выводов для алгебраической геометрии.
Если £а ковариантный и ща контравариантный векторы, то
W—скаляр, а аналитический скаляр на компактном аналитическом
многообразии должен быть константой
Ма = *; (9-25)
здесь не требуется введения метрики. Если теперь заданы г
векторов j£p>, то мы получаем систему уравнений
фУ^-сР, р=» 1, 2 г (9.26)
с некоторыми постоянными ср и* нетрудно получить часть (1)
следующей теоремы;
Теорема 9.7. (I)..- Если на компактном комплексном много*
образиа заданы г аналитических ковариантных векторных
полей 5f>, /•;>/*+1, обладающих тем свойством, что для любых
Ю Зак. 1691
13В Гл. IX. Дополнения (С. Вохнер)
постоянных с1, с2, . . ., сг, не равных одновременно нулю, ранг
матрицы
Цр). Ф е #}fmUt г (9.27)
имеет в окрестности некоторой точки максимальное значение
д+1, то на многообразии не существует контравариантных
векторных полей, отличных от нулевого.
(И). Не существует также контравариантных тензорных полей,
отличных от нулевого (Бохнер [8]).
Для доказательства части (II) мы применим индукцию по р.
г результатов свертывания
$>11вЛ" -ap-iap
р
являются контравариантными тензорами валентности р—1 и, если
теорема уже установлена для р—1, они все должны быть равны
нулю
ф>7|«А- V-ie* —0. (9.28)
р
Однако наше допущение о ранге матрицы (9.27) влечет за собой
то, что сама матрица {^р)} должна иметь ранг п и потому (9.28)
приводит к
^•••^ = 0,
что и утверждалось.
Часть (I) теоремы 9.7, доказанная для векторов, может быть
обобщена на тензоры следующим образом. Для любых г, s
рассмотрим смешанный тензор типа (г, $)
К*.-J'"'' <9'29>
и затем соответственно смешанный тензор
<Л-аЪ,...9в (9-30)
дополнительного типа (s, r); утверждение состоит в том, что если
при данных (г, s) существует достаточно много должным образом
независимых тензоров типа (9.29), то не существует тензоров типа
(9.30). Для придания необходимым допущениям простейшей формы
мы введем следующие обозначения, систематически разработанные
в другой связи (Бохнер [10]).
Вообще тензор (9.29) имеет М = яг+8 компонент, и мы
обозначим теперь эти компоненты, расположенные в фиксированном
порядке, через '
U Л=1, 2, ..., ЛЛ
6. Достаточное чкслЬ векторных или тензорных пдлей 1&)
Соответственно компоненты тензора (9.30) обозначим через ч\А,
а свертку этих тензоров — через IUV"« Тогда, если оба тензора
аналитичны на компактном многообразии, то должно быть
Ur\A = с
и получается следующий вывод:
Теорема 9.8. Если на компактном комплексном
многообразии заданы г тензорных полей £(|>, r^N~\- 1 и если для любой
системы постоянных
(с\ с*, ..., с*)Фф, 0, ..., 0)
ранг матрицы
(t(9) s(P) t(P) Л)
равгм в некоторой точке N-\-\, то на многообразии не
существует аналитического тензорного поля у\а дополнительного
типа.
Предположения теоремы тем более ограничительны, чем больше
число N, но это число может быть уменьшено, если имеются
„симметрии" или „антисимметрии" или более общие зависимости между
компонентами тензоров. Так, например, верна следующая теорема,
в которой число N сведено от его первоначального значения пп к 1.
Теорема 9.9. Если на компактном комплексном
многообразии имеются два аналитических, антисимметричных линейно
независимых тензорных поля
то на нем не существует антисимметричного тензора
и, в частности, не может существовать п векторных полей т)*р),
р = 1, 2,..., п с определителем
П'рНа, р = 1, 2, ..., т
не равным тождественно нулю, что означает отсутствие на
многообразии транзитивной комплексной группы Ли
аналитических изоморфизмов.
Наконец, сделаем еще одно замечание о векторах на
вещественном компактном римановом многообразии. В этом случае ^ = с,
если \i —гармонический вектор, а ч\1 — вектор Киллинга, и те же
рассуждения покажут опять, без ограничений на кривизну, что при
существовании достаточно большого числа должным образом
независимых вектороз одного рода не существует векторов другого
10*
140 Гл. IX. Дополнения (С. Ёохнер) ■
рода. Мы не будем давать точной формулировки этого результата,
так как для данного случая прежние теоремы, использующие
кривизну многообразия, имеют значительное преимущество.
6. Характеристика Эйлера — Пуанкаре
Старейшая известная связь между кривизной и числами Бетти —
теорема Гаусса—Бонне. Ее дальнейшее развитие шло по путям
несколько отличным от тех, которым мы следуем в этой книге, но
тем не менее имеются некоторые точки соприкосновения, и мы
приведем сначала один результат в духе нашего раздела 4; по поводу
доказательства сошлемся на работу Бохнера [7].
Теорема 9.10. Если на компактном кэлеровом
многообразии метрический тензор может в окрестности каждой точки
быть представлен в виде
£аз^2 W (9.32)
p=i
где г^п и векторы ^ (z) имеют исчезающий вихрь,
дг* ~~~ дга '
а ранг матрицы
равен п, то характеристика Эйлера — Пуанкаре имеет знак
(—\)п или равна нулю.
Это утверждение сохраняет силу, если, в более общем
случае, метрический тензор g^ является в окрестности каждой
точки пределом, в смысле равномерной сходимости, тензоров g?8l,
s-*oo, каждый из которых имеет указанный вид, причем первые
и вторые производные g9J. также равномерно сходятся к соот-
ветствующим производным g^t
Далее, если метрический тензор имеет в точности вид (9.32)
для одной и той же системы векторов !£р) на всем
многообразии, то для равенства характеристики нулю необходимо и до»
статочно, чтобы суммы
были равны нулю при всех значениях 1<PiO,..., 1 <^prr<r;
здесь
8м,...«Я| ^--К
— известные символы Кронекера*
8. Почти автоморфные векторные и тензорные поля 141
7. Некомпактные многообразия и нулевые
граничные значения
Многие из наших основных теорем вытекали из леммы о том,
что если всюду на компактном римановом многообразии Vn
выполняется неравенство Дф>-0, то должно быть 9 = const и,
следовательно, Дер = 0. При этом компактность многообразия использовалась
только для того, чтобы можно было утверждать, что заданная
непрерывная функция <р достигает на многообразии своего наибольшего
значения.
Допустим теперь, что многообразие Vn произвольное,
некомпактное, но примем, что непрерывная функция <р имеет „нулевые
граничные значения* в следующем смысле: для каждого е>0 найдется
компактное подмножество Ds многообразия Vn, такое, что в Vn — D*
будет иметь" место неравенство | <р | < s. Тогда функция <р снова
должна будет принимать наибольшее значение и лемма окажется
приложима, что приводит нас к следующему выводу. Если кривизна
Риччи положительна и если для некоторого векторного поля ^
такого, что выполняются равенства
W ; j === У ; if 5 ; г = v),
скалярная функция <р = \% имеет „нулевые граничные значения"
в указанном смысле, то должно быть ^ = 0. Другие теоремы,
допускающие подобные обобщения, суть 2.10, 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.13, 7.14, 7.15.
Заметим также, что речь идет о подлинном обобщении в
логическом смысле, так как в случае, когда Vn компактно и у±—
произвольная непрерывная на Vn функция, мы можем принять за De все
многообразие Vn и на (пустом) множестве Vn — Z> будем иметь
[<р|<г, как и требуется.
8. Почти автоморфные векторные и тензорные поля
Менее тривиальное обобщение получается следующим образом.
Допустим, что Vn — компактно, и введем его универсальное
накрывающее пространство Vn, может быть не компактное, и не будем
налагать ограничений на природу фундаментальной группы
Г = VJVn. Если элементы Г суть
Тс Тр 72- • •
то каждое уг определяет гомеоморфизм Vn. С каждой точкой Р из
Vn мы связываем последовательность точек
Рг = 1г(Р)> г = 0, 1, 2, .... (9.33)
142
Гл. IX. Дополнения (С. Бохнер)
каждые две из которых „эквивалентны" между собой. Исходное
многообразие Vn может быть соответствующим образом
отождествлено с пространством последовательностей
^={То(Р). Ъ(П Т2(Я),...}; (9.34)
с другой стороны, в Vn имеется компактное подмножество /?,
содержащее эквивалентную точку для любой точки из Vn. Для любой
заданной последовательности (9.34) мы сможем сказать, что
каждое Рг „накрывает" Р или „лежит над" Р и, обратно, что Р
является „проекцией" Рг.
Если на Vn задана какая-либо структура, дифференцируемая или
аналитическая, то тогда на Vn имеется структура, для которой
данная служит проекцией; эта структура на Vn „периодическая" (или
„автоморфная") в том смысле, что если U — координатная
окрестность Vn и уг — элемент Г, то ^r{U) снова является такой
окрестностью.
Мы говорим, что скалярная или тензорная функция, заданная на
Vn, периодична (или автоморфна), если для всех г выполняется
равенство <р (ч>Р) = <р (Р) (в случае скаляра) или \% (yrP) = U (Р) (в
случае вектора) или аналогичное соотношение в случае тензора. Всякая
периодическая функция на Vn определяет функцию („проекцию") на
самом Vn с помощью условия ф (Р) = <р (Я), и обратно, любая
функция <р(Я) на Vn определяет ча Vn периодическую функцию с
помощью ср(угР) = ср(Я). В частности, если на Vn задан метрический
тензор g{p то он периодически продолжается на Vn и мы сохраняем
за ним обозначение g{j.
Назовем теперь непрерывную функцию <?(Я) на Vn „почти
периодической" (или „почти автоморфной", в любом случае „по
отношению к заданной группе Г"), если всякая бесконечная
последовательность элементов {fg} содержит бесконечную подпоследовательность
такую, что последовательность функций
{?(ТгЯ)}, г=1,2,...,
сходится равномерно во всем пространстве Vn. Это
определение пригодно также для векторов и тензоров, если
равномерность сходимости понимать для них в связи со структурой
пространства. Лучше всего ввести условие равномерной сходимости
с помощью метрического тензора §^-, предполагаемого
периодическим; если, например, задан вектор £;(Я), то последовательность
„перенесенных" векторов ^(угР) сходится равномерно к
предельному вектору £г(Я)> если скалярный квадрат
8. Почти автоморфные векторные и тензорные поля
143
стремится к нулю при г -> сю равномерно в Vn\ аналогичное
определение применимо и к тензорам.
Почти периодические функции и тензоры обладают следующими
свойствами. Прежде всего благодаря компактности ранее введенного
множества R всякая периодическая функция почти периодична,
а всякая почти периодическая ограничена. Постоянная функция,
конечно, почти периодична. Сумма и произведение почти периодических
функций, скалярных или тензорных, почти периодичны; результат
свертывания почти периодических тензоров почти периодичен, и,
наконец, имеет место следующее свойство, важнейшее для наших
рассуждений. Если скалярная или тензорная функция ср(Р) почти
периодична и если для некоторой последовательности элементов {fr}
последовательность ср(угР) сходится равномерно к предельной
функции ср*(Р), то последовательность функций <р*(тГ^Р)» где через у?1
обозначен элемент группы Г, обратный к fr, вновь сходится к
исходной функции ср(Р).
Теперь можно дать следующее обобщение теоремы 2.3:
Теорема 9.11. Если функция ср£С2 на Vn почти периодична
вместе со всеми своими производными cp;i и <p;i;j и если Дср>-0
на Уп, то ср = с и потому .опять Дер = 0.
Доказательство. Будучи почти периодической, функция ср(Р)
ограничена, и для Al==supcp(P) найдется последовательность
точек Qr такая, что ср (Qr)-> М. Далее, существует элемент ту"1 такой,
что Pr=zfylQr лежит в R. Так как R компактно и наша функция
почти периодическая, то мы можем считать (выбрав, быть может,
бесконечную подпоследовательность), что имеют место следующие
предельные соотношения. Во-первых, последовательность точек Рг
в R сходится к точке в R, обозначаемой нами Р* и, во-вторых, все
последовательности cp(yrP), <p(Tr^);i» ?(Tr^);i;j равномерно
сходятся; предел первой из них мы обозначим через ср*(Р). Тогда
благодаря равномерной сходимости всех указанных последовательностей
мы будем иметь
Дср*>0 (9.35)
и затем, так как
из равномерной сходимости будет следовать, что для предельной
функции ср* справедливо <p*(P*) = jW, т. е. ср*(Р*) принимает
наибольшее значение в некоторой точке. Отсюда и из (9.35) следует,
что ср* = const.; но — и этот последний шаг является решающим —
исходную функцию ср(Р) можно получить из предельной ср* как
предел <?*(*(7ХР)> и поскольку доказано постоянство ср*, то и исходная
функция ср должна быть постоянной, как это и утверждалось.
144
Гл. IX. Дополнения (С Вохнер)
Установив теорему 9.11, мы можем обобщить многие
предложения; приведем только одну формулировку:
Теорема 9.12. Если вектор *Ц определен в Vn и
удовлетворяет условиям
Si;J=k;<> 6*;* = 0 (9.36)
и если %{i $i;j, U-,j;k все непрерывны и почти периодичны, то
в случае положительности кривизны Риччи вектор должен быть
тождественно равен нулю.
Мы должны, конечно, именовать вектор со свойством (9.36)
гармоническим (почти периодическим) вектором на Vn, но нам неизвестно
непосредственной интерпретации этого в терминах когомологий.
Напротив, возможно, что лучший путь определения почти
периодического коцикла состоит в том, чтобы, отправляясь от
определения (9.36) гармонического вектора, ввести топологическое
определение, соответствующее дифференциально-геометрическим данным.
Заметим еще, что в предыдущих теоремах 9.11 и 9.12
метрический тензор сам предполагался периодическим. Но мы могли бы
допустить, что он является почти периодическим, и все же наши
выводы не претерпели бы изменения.
ЛИТЕРАТУРА
Бохнер (Bochner S.)
[1] Remarks on the theorem of Oreen, Duke Math. Journ., 3 (1937),
334—338.
[2] Vector fields and Ricci curvature, Bull, of the Amer. Math. Soc,
52 (1946), 776-797.
[3] Curvature in Hermitian manifolds, Bull, of the Amer. Math Soc,
53 (1947), 179-195.
[4] On compact complex manifolds, Journ. of Indian Math. Soc, 11 (1947),
1—21.
5] Curvature and Betti numbers, Ann. of Math., 49 (1948), 379—390.
6] Curvature and Betti numbers, II, Ann. of Math., 50 (1949), 77—93.
7] Euler — Poincare characteristic for locally homogeneous and complex
spaces, Ann. of Math., 51 (1950), 241—261.
[8] Vector fields on complex and real manifolds, Ann. of Math., 52
(1950), 642-649.
[9] Complex spaces with transitive commutative groups of transformations,
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 37 (1951), 356-359.
[10] A new. viewpoint in differential geometry, Canadian Journ. of Math.,
3 (1951), 460—470.
[11] Tensorfields and Ricci curvature in Hermitian metric, Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A., 37 (1951), 704—706.
[12] Laplace operator on manifolds, Proceedings of the International
congress of Mathematicians, Vol. II (1952), 189—201.
Бохнер, Яно (Bochner S., Yano K.)
[1] Tensor-fields in non-symmetric connections, Ann, of Math,, 56 (1952),
504-529.
Веб лен, Уайтхед (V e b 1 e n O., W h i t e h e a d, J. H. C.)
[1] Foundations of Differential Geometry, Cambridge Univ. Press (1932).
[Есть русский перевод. См. Веблен, Уайтхед, Основания
дифференциальной геометрии, М., 1949.]
Вей ль (Weil А.)
[1] Sur la theorie des formes differentielles attachees a une variete ana-
lytique complexe, Comment. Math. Helv., 20 (1947), 110—116.
Гарабедиан, Спенсер (Garabedian P. R., Spencer D. C.)
[1] A complex tensor calculus for Kaehler manifold, Techn. Rep. 17,
Stanford Univ. (1951).
Гугенхаймер (Guggenheim er H.)
[1] A note on curvature and Betti numbers, Proc. Amer. Math. Soc, 2
(1951), 867-870.
[2] Ober komplex-analytische Mannigfaltigkeiten mit Kaehierscher Metrik,
Comment. Math. Helv., 25 (1951), 257—297.
К э л е р (Kaehler E.)
[1] Ober eine bemerkenswerte Hermitische Metrik, Abh. Math. Seni.
Hamburgischen Univ., 9 (1933), 173—186.
Лихнерович (Lichnerowicz A.)
[1] Courbure et nombres de Betti d'une variete riemannienne compacte,
C, R. Acad. Sci. Paris, 226 (1948), 1678—1680,
146 Литература
[2] Derivation covariante et nombres de Betti, C. R. Acad. Sci. Paris,
230 (1950), 1248—1250.
[3] Theoremes de reductibilite des varietes kaehleriennes et applications,
С R. Acad. Sci. Paris, 231 (1950), 1280—1282.
[4] Sur les varietes rimanniennes admettant une forme quadratique a derivee
covariante nulle, С R. Acad. Sci. Paris, 231 (1950), 1413—1415.
[5] Formes a derivee covariante nulle sur une variete riemannienne,
С R. Acad. Sci. Paris, 232 (1951), 146—147.
[6] Sur les varietes riemanniennes admettant une forme a derivee cova-
riente nulle, С R. Acad. Sci. Paris, 232 (1951), 677—679.
[7] Sur les formes harmoniques varietes riemanniennes localement reducti-
bles, С R. Acad. Sci. Paris, 232 (1951), 1634—1636.
[8] Generalization de la geometrie kaehlerienne globale, Colloque de
geometrie differentiate (1951), 99—122.
[9] Courbure, nombres de Betti, et espaces symetriques, Proc. of the
Intern. Congr. of Math., Vol. II (1952), 216—223.
Лихнерович, Уокер (Lichnerowicz A., Walker A. O.)
[1] Sur les espaces riemanniennes harmoniques de type hyperbolique
normal, С R. Acad. Sci. Paris, 221 (1945), 394—396.
Майерс (Myers S. B.)
[1] Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Math. Journ.,
8 (1941), 401—404.
Моги (Mogi I.)
[1] On harmonic field in Riemannian manifold, 4(odai Math. Seminar
Reports, 2, (1950), № 4, 5, 61—66.
де Рам (de R h a m G.)
[1] Remarque au su;et de la theorie des formes differentielles harmoniques,
Annates de TUniversite de Grenoble, 23 (1947—1948), 55—56.
де Рам, Код аир a (de R h a m G., Kodaira K.)
[I] The harmonic integrals, Lectures delivered at the Institute for Advanced
Study (1950).
P а у ч (R a u с h H. E.)
[I] A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math.,
54 (1851), 38-55.
P ю з (Ruse H. S.)
[I] On simply harmonic spaces, Journ. of the London Math. Soc, 21 (1946),
243—247.
Томас (Thomas T. Y.)
[1] Some applications of Green's theorem for compact Riemann spaces,
Tohoku Math. Journ., 46 (1940), 261—266.
Томонага (Т о m о n a g a Y.)
[1] On Betty numbers of Riemannian spaces, Journ. of the Math. Soc.
of Japan, 2 (1950), 93—104.
Уокер (Walker A. G.)
[1] On completely harmonic spaces, Journ. of the London Math. Soc,
20 (1945), 159—163.
Фубини (Fubini O.)
[1] Teoria dei Gruppi Discontinui (1908).
Ходж (Hodge W. V. D.)
[1] The Theory and Applications of Harmonic Integrals, Cambridge Univ.
Press (1952).
Хопф (Hopf E.)
[1] Elementare Bemerkungen uber die Losungen partieller Different-
algleichungen zweiter Ordnung von elliptischen Typus, Sitzungsber.
Preuss. Akad. Wiss., 19 (1927), 147-152.
Хопф (Hopf H.)
[1] Ztim Clifford-Kleinschen Raumproblem «Math. Ann., 95 (1925), 313—339,
Литература 147
Ч ж е н (О h e r n S. S.)
[1] Characteristic classes of Hermitian manifolds, Ann. of Math., 47 (1946),
85—121.
Эйзенхарт (Eisenhart L. P.)
[1] Riemannian Qeometry (1926), [Есть русский перевод. См.
Эйзенхарт, Риманова геометрия, М., 1948.]
[2] Continuous Groups of Transformations (1933). [Есть русский перевод.
См. Эйзенхарт, Непрерывные группы преобразований, М., 1947.]
Экман, Гугенхаймер (Eckmann В., OuggenheimerH.)
[1] Formes differentielles et metrique hermitienne sans torsion, I. Structure,
complexe, formes pures, С R. Acad., Paris, 229 (1948), 464—466.
[2] Formes de classe k\ formes analytiques, С R. Acad. Sci. Paris,
229 (1949), 489—491.
[3] Sur les varietes closes a metrique hermitienne sans torsion, С R. Acad.
Sci. Paris, 229 (1949), 503—505.
[4] Quelques proprietes globales des varietes hermitiennes, С R. Acad.
Sci. Paris, 229 (1949), 577—579.
Я но (Yano K.)
[1] Concircular Geometry, 1, 11, HI, IV, V, Proc. Imp. Acad. Japan,
16 (1940), 195—200; 345—360; 345—360; 442—448; 505—511; 18 (1942),
446—451.
[2] Groups of Transformations in Generalized Spaces, Tokyo (1949).
[3] On harmonic and Killing vector fields, Ann. of Math., 55 (1952),
38—45.
[4] Some remarks on tensor fields and curvature, Ann. of Math., 55
(1952), 328-347.
[5] On Killing vector fields in a Kaehlerlan space, Journ. of the Math.
Soc. of Japan, 5 (1953), 6—12.
ПРЕДМЕТНЫ
Абелевы интегралы на
многообразии 107
Автоморфная функция 142
Альтернирование тензоров 13
Аналитическое двумерное
направление 100
— многообразие 94
Антисимметричный тензор 11
Вектор Киллинга 35, 36, 38, 49, 116
Вихрь 18
Внутренне выпуклое
многообразие 133
— минимальное многообразие 134
Гармонический вектор 34, 38, 48, 112
— тензор 43, 54, 61, 63, 69, 76, 113
Гауссова кривизна многообразия 21
Геодезическая линия 15
Гиперболическая метрика 136
Гиперболическое матричное
пространство 136
Дивергенция 18
Дифференциальные параметры Бель-
трами 18
Длина вектора 13
Инфинитезимальная аффинная кол-
линеация 37, 41, 50
Инфинитезимальное движение 35
— конформное преобразование 46
Ковариантное дифференцирование 16,
17, 74, 78
Ковариантный вектор 10
— тензор 11, 104
Компактное многообразие 8
Контравариантный вектор 9
— тензор 11, 104
Конформно-киллингов тензор 60
УКАЗАТЕЛЬ
Конформно-эвклидово
многообразие 64, 72
Конформное преобразование
метрики 64
Конциркулярно-эвклидово
многообразие 71
Конциркулярное преобразование 70
Кривизна в двумерном
направлении 21, 100
Кривизна Риччи 24
Кэлерова метрика 98
Лапласиан 18
Лемма Бохнера 29, 81
Локально плоское многообразие 23
Многообразие п-мерное 7
— — класса Сг 7
— постоянной кривизны 22, 71
— Эйнштейна 24, 75, 103, 111
Направление Риччи 24
Ориентируемость многообразия 8
Ортогональность векторов 14
Параллельное перенесение 24
Поднятие и опускание индексов 12
Поле геометрического объекта 9
Почти периодическая функция 142
Преобразование координат 7
Присоединенный тензор 95
Проективно-эвклидово
многообразие 68
Производная Ли 40
Пространство полупростой группы 73
Псевдогармонические векторы и
тензоры 84, 89
Псевдокиллинговы векторы и
тензоры 86, 89
Предметный указатель
149
Риманово многообразие л-мерное
класса Сг 9
Самоприсоединенный объект 95
Свертывание тензоров 12
Символы Кристоффеля 15
Симметрирование тензоров 13
Симметрическое пространство 132
Симметричный тензор 11
Система координат 7
Скаляр 9
Скалярная кривизна 19, 20
Скалярное произведение векторов 14
Сложение тензоров 11, 12
Тензор 10
— Киллинга 55,62, 63, 68,70,71,72,118
— кривизны Римана —
Кристоффеля 19, 99
— проективной кривизны Вейля
68, 125
~- Риччи 19, 20, 99
Теорема Грина 30
— Хопфа 25, 81
Тождества Бианки 20, 21
Угол между двумя векторами 14
Умножение тензоров 12
Уравнение Эйлера 15
Уравнения Киллинга 35—36
— Маурера — Картана 73
Условия Кэлера 98
Формулы Риччи 19
Фундаментальная метрическая форма
многообразия 9, 73
Фундаментальные тензоры 11
Характеристика Эйлера — Пуан
каре 140
Чистый тензор 95
Элементарный объем риманова мно
гообразия 14
Эффективный тензор 123
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия К. Яно 5
Глава I. Римановы многообразия (Перевод Т. А. Шульмаи) 7
1. Римановы многообразия 7
2. Тензорная алгебра 9
3. Тензорный анализ 15
4. Тензоры кривизны , 19
5. Кривизна в двумерном направлении 21
6. Параллельное перенесение 24
Глава //. Гармонические векторы и векторы Киллинга (Перевод
М. А. Акивиса и Т. А Шульмаи) г .. 26
1. Теорема Э. Хопфа 26
2. Теорема Грина 29
3. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера 32
4. Гармонические векторы 34
5. Векторы Киллинга 35
6. Аффинные коллинеации 37
7. Теорема о гармоническом векторе и векторе Киллинга .... 38
8. Производные Ли 39
9. Производные Ли гармонических тензоров 43
10. Фундаментальная формула 44
И. Некоторые приложения фундаментальной формулы 45
12. Конформные преобразования 46
13. Необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор был
гармоническим 48
14. Необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор был
вектором Киллинга 49
15. Движение и аффинные коллинеации > . . 50
Глава III. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга (Перевод
В, В. Рыжкова) 51
1. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера 51
2. Гармонические тензоры 54
3. Тензоры Киллинга 55
4. Фундаментальная формула 56
$. Некоторые приложения фундаментальных формул 58
Оглавление
151
6. Конформно-киллингов тензор rq
7. Необходимое и достаточное условие того, чтобы
антисимметричный тензор был гармоническим или киллинговым .... 60
Глава IV. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга на плоских
многообразиях (Перевод М. А. Акивиса) ^ 63
1. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга на многообразии
постоянной кривизны 63
2. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга на конформно-
эвклидовом многообразии . ш 64
Глава V. Отклонение многообразия от плоского (Перевод М. А. Акивиса) 66
1. Отклонение от постоянства кривизны 66
2. Отклонение от проективно-эвклидовости 68
3. Отклонение от конциркулярно-эвклидовости 70
4. Отклонение от конформно-эвклидовости 72
Глава VI. Пространства полупростых групп (Перевод Т. А. Шульман) 73
1. Пространства полупростых групп 73
2. Теорема о кривизне пространства полупростой группы 75
3. Гармонические тензоры в пространстве полупростой группы . . 76
4. Отклонение группового пространства от плоского 77
Глава VII Псевдогармонические и псевдокиллинговы тензоры в
метрических многообразиях с кручением (Перевод М. А. Акивиса) .... 78
1. Метрические многообразия с кручением 78
2. Теорема Хопфа — Бохнера и ее приложения 81
3. Псевдогармонические векторы и тензоры 84
4. Псевдокиллинговы векторы и тензоры 86
5. Интегральные формулы 88
6. Необходимые и достаточные условия того, что тензор является
псевдогармоническим или псевдокиллинговым 89
7. Обобщение 91
Глава VIII. Кэлеровы многообразия (Перевод Д. В. Беклемишева) . . 93
1. Кэлеровы многообразия 93
2. Кривизна в кэлеровом многообразии 98
3. Ковариантные и контравариантные аналитические векторные
поля 103
4. Комплексные аналитические многообразия, допускающие
транзитивную коммутативную группу преобразований 105
5. Самоприсоединенные векторы, удовлетворяющие соотношениям
^ = -^Г.Д/ = ° Ю7
6. Аналитические тензоры 109
7. Гармонические векторные поля 112
8. Гармонические тензорные поля 113
152 Оглавление
9. Поля векторов Киллинга , . . . , 116
10. Поля тензоров Киллинга * 118
11. Тензор fiy . » * * 119
12. Эффективные гармонические тензоры в плоских многообразиях 124
13. Уклонение многообразия от плоского 128
Глава IX* Дополнения (С. Бохнер) (Перевод В. В. Рыжкова) 131
1. Симметрические многообразия 131
2. Выпуклость 133
3. Минимальные многообразия 133
4. Комплексное погружение 134
5. Многообразия с достаточным числом векторных или тензорных
полей 137
6. Характеристика Эйлера — Пуанкаре 140
7. Некомпактные многообразия и нулевые граничные значения . . 141
8. Почти автоморфные векторные и тензорные поля 141
Литература ...,»* 145
Предметный указатель 148
к. яно и с. бохнер
КРИВИЗНА И ЧИСЛА БЕТТИ
Редактор Б, И. ЦУКЕРМАИ
Художник А. И. Завьялова Технический редактор А. Д. Хомякоз.
Сдано в производство 10/ХИ 1956 г. Подписано к печати 9/Ш 1957 г. Бумага
60x927ie = 4,8 бум. л. 9,5 печ* л. Уч.-изд. л. 7,5* Изд. № 1/3358. Цена 7 р. 25 к. Зак. 1695.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ "~
Москва, Ново-Алексеевская» 52.
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой
Ленинград, Измайловский пр.,, 29.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
36
47
47
57
59
74
85
Строка
7 СН.
10 св.
1 СН.
1 СН.
1 СН.
14 св.
16 СН.
Напечатано
автомати чески
gjk (*)
i43... ip;j
*Ma...i
Qk
s?
Следует читать
и автоматически
gjk (*)
Rij№j
*4 . .
s«....«.
Q *
Зак. 1695.