'l
Ш. КОБАЯСИ
К.НОМИДЗУ
ОСНОВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
1еревод с английского
Т. В. САБИНИНА
1ОСКВА «НАУКА»
ЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
981

22.151
К 55
УДК 513.73!
FOUNDATIONS
OF DIFFERENTIAL
GEOMETRY
Volume I
SHOSHICHI KOBAYASHI
and
KATSUMI NOMIZU
INTERSCIENCE PUBLISHERS
New York London
1963
Ко б а я с и Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. I.: Пер. с
англ.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.—344 с.
Книга является первым томом двухтомной монографии «Основы дифференциальной
геометрии». В первом томе рассмотрены дифференцируемые многообразия, теория
связностей, линейные и аффинные связности, римановы связности, кривизна и простран-
пространственные формы, преобразования.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов физико-математических специальностей.
Шосичи Кобаяси, Кщуми Номидзу
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Том I
М., 1981 г., 344 стр.
Редакторы А. М. Васильев, В. В. Донченко
Техн. редактор Е. В. Морозова. Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ № 11539
Сдано в набор 25.09.80. Подписано к печати 14.04.81. Бумага 60x90 Vie. тип. № 1.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 21,5. Уч.-изд. л. 23,3, Тираж
15 000 экз. Заказ № 2227. Цена книги 1 р. 90 к.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической' литературы
117071, Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образ-
Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54,
Валовая, 28
Отпечатано в тнп.. № 2 изд-ва «Наука». Москва, Шубннскнй пер., 10. Зак. 413
1702040000
Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика «
Предисловие J
Взаимозависимость глав и параграфов ''
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Дифференцируемые многообразия И
§ 2. Тензорные алгебры 25
§ 3: Тензорные поля ^
§ 4. Группы Ли ™
§ 5. Расслоенные пространства °"
Глава II
ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
§ 1. Связности в главном расслоенном пространстве 0Я
§ 2. Существование и продолжение связностей 71
§ 3. Параллелизм ^3
§ 4. Группы голономии ?5
§ 5. Форма кривизны и структурное уравнение /9
§ 6. Отображения связностей *'>
§ 7. Теорема редукции **
§ 8. Теорема о голономии ='
§ 9. Плоские связности ^
§ 10. Локальные и инфинитезимальные группы голономии Уо
§11. Инвариантные связности 1(L
Глава III
ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Связность в векторном расслоении JJ3
§ 2. Линейные связности |'°
§ 3. Аффинные связности > -^
§ 4. Развертки '~°
§ 5. Тензоры кривизны и кручения |*
§ 6. Геодезические \°°
§ 7. Выражения в локальных системах координат |з/
§ 8. Нормальные координаты ™
§ 9. Линейные инфинитезимальные группы голономии 14/
Глава IV
РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Римановы метрики jjj^
§ 2. Римаиовы связности *^~
§ 3. Нормальные координаты и выпуклые окрестности loo
§ 4. Полнота 1ЬЬ
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Группы голономии 173
§ 6. Теорема разложения де Рама 180
§ 7. Аффинные группы голономии 185
Глава V
КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Предварительные алгебраические рассмотрения 189
§ 2. Секционная кривизна 191
§ 3. Пространства постоянной кривизны 194
§ 4. Плоские аффинные и римановы связности 198
Глава, VI
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Аффинные отображения и аффинные преобразования 212
§ 2. Инфинитезимальные аффинные преобразования 216
§ 3. Изометрии и инфинитезимальные изометрии 222
§ 4. Голономия и инфинитезимальные изометрии 230
§ 5. Тензор Риччи и инфинитезимальные изометрии 233
§ 6. Продолжение локальных изоморфизмов 236
§ 7. Проблема эквивалентности 241
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 249
2. Связное локально компактное метрическое пространство сепарабельно 250
3. Разбиение единицы 252
4. Дугообразно связные подгруппы группы Ли 254
5. Неприводимые подгруппы в О (п) 255
6. Теорема Грина 259
7. Лемма о факторизации 261
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Связности и группы голономии 263
2. Полные аффинные и римановы связности 266
3. Тензор Риччи и скалярная кривизна 268
4. Пространства постоянной положительной кривизны 269
5. Плоские римановы многообразия 272
6. Параллельный перенос кривизны 274
7. Симметрические пространства 275
8. Линейные связности с рекуррентной кривизной 279
9. Группа автоморфизмов геометрической структуры 281
10. Группы изометрии и аффинных преобразований максимальных раз-
размерностей 282
11. Конформные преобразования римановых многообразий 283
Библиография 286
Добавление. Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной гео-
геометрии (Л. В. С а б и н и н) 293
Список основных обозначений 340
Предметный указатель 342
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Предлагаемая вниманию читателя книга — перевод на русский
язык хорошо знакомой международной научной общественности
монографии. Книга эта давно и заслуженно пользуется извест-
известностью и как первоклассный трактат по основам дифференциаль-
дифференциальной геометрии и как стандартный источник для ссылок в диффе-
дифференциальной геометрии и смежных науках.
Геометрия, как наука, имеющая более чем две тысячи лет
истории, обязана своим существованием таким первичным фено-
феноменам мира, как пространство и время. Это и определяет ее
поразительную жизнеспособность и возможности неограниченного
развития. Естественно, каждая новая эпоха привносила и всегда
будет привносить в геометрию новые методы, понятия и идеоло-
идеологию, и всякая попытка провозгласить какие-то принципы и ме-
методы окончательными в этой живой науке абсурдна. Сегодня гео-
геометрия— это прежде всего дифференциальная геометрия, но кто
может поручиться, что так будет всегда? Ведь дискретная кван-'
товая структура мира явно не вписывается в непрерывные и
гладкие модели топологии и дифференциальной геометрии.
Неоспоримым и прочным фундаментом дифференциальной гео-
геометрии в настоящее время является понятие многообразия в раз-
различных его аспектах, в том числе и топологическом (хотя вдали
у горизонта уже маячат призраки псевдотопологии и неархиме-
неархимедова анализа), и теория групп и алгебр Ли.
Авторы трактата ведут изложение на современном и точном язы-
языке, нигде, однако, не злоупотребляя аппаратом в ущерб геомет-
геометрическому содержанию. Само содержание действительно носит
характер основ дифференциальной геометрии, все менее значитель-
значительные темы вынесены в приложения и примечания.
При переводе мы в первую очередь старались сохранить
стиль и дух оригинала, сводя до минимума вторжения в автор-
авторский текст (как правило, в виде подстрочных примечаний). Опе-
Опечатки, описки и двусмысленности, неизбежные для трактата та-
такого рода, исправлены без каких-либо комментариев. Библиогра-
Библиография пополнена работами последних лет, общими руководствами
и работами отечественных геометров.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
При написании дополнений мы исходили из тех соображений,
что описать все или хотя бы самое главное из того, что произош-
произошло в дифференциальной геометрии за десять лет, прошедшие со
времени выхода трактата в свет,— вещь невозможная. Пришлись
бы писать новую книгу. К тому же многие такие вопросы были
отражены в изданных за это время монографиях и трактатах.
Поэтому мы сосредоточили здесь все внимание на нескольких
избранных темах, которые представлялись нам перспективными
для дальнейшего развития и были достаточно близки к нашим
научным интересам.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дифференциальная4 геометрия имеет долгую историю как об-
область математики и тем не менее ее строгое обоснование в сфе-
сфере современной математики относительно ново. Мы написали эту
книгу, первую из двух томов «Основ дифференциальной геометрии»,
с намерением обеспечить систематическое введение в дифферен-
дифференциальную геометрию, которое также могло бы служить для ссылок.
Нашей первичной заботой было сделать ее замкнутой в себе
настолько, насколько это возможно, и дать полные доказатель-
доказательства всех стандартных основных результатов. Мы надеемся, что
эта цель достигнута при помощи следующего расположения ма-
материала. В главе I кратко рассматриваются дифференцируемые
многообразия, группы Ли и расслоения. Читатель, который не-
незнаком с ними, может обратиться к книгам Шевалле, Монтгомери—
Зиппина, Понтрягина и Стинрода, указанным в библиографии,
на которые постоянно ссылаются в главе I. Мы также включи-
включили сжатый обзор тензорной алгебры и тензорных полей, централь-
центральной темой которого является понятие дифференцирования алгебры
тензорных полей. В приложениях мы изложили некоторые ре-
результаты из топологии, теории групп Ли и т.д., в которых мы
нуждаемся в основном тексте. С этими приготовлениями основной
текст книги замкнут в себе.
¦_¦ Глава II содержит теорию связностей Эресмана и ее последу-
последующее развитие. Результаты этой части прилагаются к линейным
и аффинным связностям в главе III и к римановым связностям
в главе IV. Многие основные результаты о нормальных коорди-
координатах, выпуклых окрестностях, расстоянии, полноте и группах
голономии доказываются здесь полностью, включая теорему раз-
разложения де Рама для римановых многообразий.
JB главе V мы вводим секционную кривизну риманова много-
многообразия и пространства постоянной кривизны. Более полная
трактовка свойств римановых многообразий, включающих секци-
секционную кривизну, зависит от вариационного исчисления и будет
дана в томе II. Мы детально обсуждаем плоские аффинные и
римановы связности.
В главе VI мы сначала обсуждаем преобразования и инфи-
нитезимальные преобразования, которые сохраняют заданную

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
линейную связность или риманову метрику. Мы включаем сюда
различные результаты относительно тензора Риччи, голономии
и инфинитезимальных изометрий. Мы далее рассматриваем продол-
продолжения локальных преобразований и так называемую проблему
эквивалентности для аффинных и римановых связностей.
Результаты этой главы тесно соприкасаются с дифференциальной
геометрией однородных пространств (в частности, симметричес-
симметрических пространств), которые планируется рассмотреть в томе II.
Во всех главах мы пытались ознакомить читателя с различ-
различными техниками вычислений, которые в настоящее время исполь-
используются в дифференциальной геометрии. Это: A) классический
тензорный анализ с индексами, B) внешнее дифференциальное
исчисление Э. Картана и C) формализм ковариантного дифферен-
дифференцирования Vjr^, новейший среди указанных трех. Мы также
иллюстрировали, когда нам представлялось уместным, методы
использования подходящего расслоения или методы работы пря-
прямо в базисном пространстве.
Примечания включают некоторые исторические факты и до-
дополнительные результаты, примыкающие к основному содержа-
содержанию настоящего тома. Библиография в конце тома содержит
только те книги и работы, которые мы цитируем в тексте.
Теоремы, предложения и следствия нумеруются в каждом
параграфе. Например, в каждой главе, скажем главе II, теоре-
теорема 3.1 находится в §3. Далее в той же самой главе мы будем на
нее ссылаться просто как на теорему 3.1. В последующих гла-
главах мы будем на нее ссылаться как на теорему 3.1 главы II.
Мы первоначально планировали написать один том, который
включал бы содержание как настоящего тома, так и следующие
темы: подмногообразия, вариации интеграла длины, дифферен-
дифференциальная геометрия комплексных и кэлеровых многообразий,
дифференциальная геометрия однородных пространств, симмет-
симметрические пространства, характеристические классы. Соображения
времени и пространства сделали желательным разделить книгу на
два тома, поэтому вышеупомянутые темы будут включены в том II.
Шосичи Кобаяси, Кщуми Номидзу
ВЗАИМОЗАВИСИМОСТЬ ГЛАВ И ПАРАГРАФОВ
1-Тпо7
1-1,1
1-1
1-8
Т-7,8
Ж-1,2
1-1
ж-г
Ж-6,7
1-10
1-3
-з,4
ш-в
Y-4
Ш-7
Ж-11
Ж-5
Исключения
Глава II: теорема П. 8 зависит от § Н-Ю.
Глава III: предложение 6.2 зависит от § Ш-4.
Глава IV: следствие 2.4 зависит от предложения 7.4 из
главы III.

10
ВЗ АИМОЗАВИСИМОСТЬ ГЛАВ И ПАРАГРАФОВ
Глаза IV: теорема 4. ] D) зависит от § Ш-4 и предложения
6. 2 в главе III.
Глава V: предложение 2.4 зависит от § Ш-7.
Глава VI: теорема 3.3 зависит от § V-2.
Глава VI: следствие 5.6 зависит от примера 4.1 в главе V.
Глава VI: следствие 6. 4 зависит от предложения 2. 6 в главе IV.
Глава VI: теорема 7. 10 зависит от § V-2.
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Дифференцируемые многообразия
Псевдогруппа преобразований на топологическом простран-
пространстве S есть множество Г преобразований, удовлетворяющих
следующим аксиомам:
A) каждое f ?Т есть гомеоморфизм открытого множества (на-
(называемого областью /) в S на другое открытое множество (назы-
(называемое областью значений /) в 5;
B) если / € Г, то сужение / на произвольное открытое под-
подмножество области / находится в Г;
C) пусть U = \JiUt, где каждое ?/,- есть открытое множество
в S; гомеоморфизм / множества U на открытое множество в 5
принадлежит Г, если сужение / на Ut принадлежит Г для каж-
каждого i;
D) для каждого открытого множества U в S тождественное
преобразование в U принадлежит Г;
E) если /€Г, то /"^Г;
F) если / ? Г есть гомеоморфизм U на V, а /' ? Г есть гомео-
гомеоморфизм U' на V и если V Л У не пусто, то гомеоморфизм f of
множества f'1 (V f] U') на f'(Vf\W) принадлежит Г.
Мы дадим несколько примеров псевдогрупп, которые исполь-
используются в этой книге. Пусть R" есть пространство n-строк дейст-
действительных чисел (х1, х2, .. ., х") с обычной топологией. Говорят,
что отображение / открытого множества из R" в R класса С,
г — 1, 2, . . ., оо, если / непрерывно дифференцируемо г раз; / ? С0
означает, что / непрерывно; /gCw означает, что / — действитель-
действительное аналитическое отображение. Псевдогруппа ГГ(Я") преобразо-
преобразований класса С в R" есть множество гомеоморфизмов / открытых
множеств из R" на открытые множества из R" таких, что оба
гомеоморфизма / и /-1 класса С. Очевидно, Гг (R") есть псевдо-
псевдогруппа преобразований в R". Если г <l s, то Г* (R") есть подпсев-
догруппа в Tr(R"). Если мы рассмотрим только те /?rr(R"), яко-
якобиан которых всюду положителен, то получим подпсевдогруппу
в rr(R"). Эта подпсевдогруппа, обозначаемая r?(R"), называется
псевдогруппой сохраняющих ориентацию преобразований Гкласса
Сг в R". Пусть С" есть пространство /т-строк комплексных*чисел
с обычной топологией. Псевдогруппа голоморфных (т. е. комплексно
аналитических) преобразований в С" может быть определена ана-

10
ВЗ АИМОЗАВИСИМОСТЬ ГЛАВ И ПАРАГРАФОВ
Глава IV: теорема 4. ] D) зависит от § Ш-4 и предложения
6. 2 в главе III.
Глава V: предложение 2.4 зависит от § Ш-7.
Глава VI: теорема 3.3 зависит от § V-2.
Глава VI: следствие 5.6 зависит от примера 4.1 в главе V.
Глава VI .-следствие 6. 4 зависит от предложения 2. 6 в главе IV.
Глава VI: теорема 7. 10 зависит от § V-2.
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Дифференцируемые многообразия
Псевдогруппа преобразований на топологическом простран-
пространстве 5 есть множество Г преобразований, удовлетворяющих
следующим аксиомам:
A) каждое /?Г есть гомеоморфизм открытого множества (на-
(называемого областью /) в 5 на другое открытое множество (назы-
(называемое областью значений /) в 5;
B) если / ? Г, то сужение / на произвольное открытое под-
подмножество области / находится в Г;
C) пусть U = {J.U[, где каждое V',- есть открытое множество
в S; гомеоморфизм / множества U на открытое множество в S
принадлежит Г, если сужение / на U',- принадлежит Г для каж-
каждого i;
D) для каждого открытого множества U ъ S тождественное
преобразование в U принадлежит Г;
E) если /€Г, то /"^Г;
F) если / € Г есть гомеоморфизм U на V, а /' ? Г есть гомео-
гомеоморфизм U' на V" и если V Г\ U' не пусто, то гомеоморфизм f of
множества /-1 (V Г) W) на /' (V Л U') принадлежит Г.
Мы дадим несколько примеров псевдогрупп, которые исполь-
используются в этой книге. Пусть R" есть пространство n-строк дейст-
действительных чисел (х1, х2, .. ., хп) с обычной топологией. Говорят,
что отображение / открытого множества из R" в R" класса С,
г = 1, 2, . .., оо, если / непрерывно дифференцируемо г раз; / ? С0
означает, что / непрерывно; /gCw означает, что / — действитель-
действительное аналитическое отображение. Псевдогруппа rr(R") преобразо-
преобразований класса Сг в R" есть множество гомеоморфизмов / открытых
множеств из R" на открытые множества из R" таких, что оба
гомеоморфизма / и f'1 класса С. Очевидно, rr(R") есть псевдо-
псевдогруппа преобразований в R". Если r<is, то rj(R") есть подпсев-
догруппа в Fr(R"). Если мы рассмотрим только те f^Tr(Rn), яко-
якобиан которых всюду положителен, то получим подпсевдогруппу
в P^R"). Эта подпсевдогруппа, обозначаемая rj(R"), называется
псевдогруппой сохраняющих ориентацию преобразований 'класса
Сг в R". Пусть С" есть пространство n-строк комплексных*чисел
с обычной топологией. Псевдогруппа голоморфных (т. е. комплексно
аналитических) преобразований в С" может быть определена ана-

12
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
логично и будет обозначаться Г (С"). Мы будем отождествлять
С" с R2", когда необходимо, при помощи отображения (г1, . .., г") ?
€С" в (х\ ..., х", у\ ..., у") 6 R2", где zJ = xJ + iyJ. При таком
отождествлении Г(С") есть подпсевдогруппа в r?(R2n) для лю-
любого г.
Атлас топологического пространства М, совместимый с псевдо-
псевдогруппой Г, есть семейство пар (?/,-, ф,-), называемых картами,
такое, что
(a) каждое С/; есть открытое множество в М и \JJU'{ = М;
(b) каждое ф,- есть гомеоморфизм Uc на открытое множе-
множество в 5;
(c) если U'i Г) Uj не пусто, то отображение сру офfг из фг(?/2- Г) С/у)
на ф, (U[ Л С/у) есть элемент Г.
Полный атлас на М, совместимый с Г, есть атлас на М, сов-
совместимый с Г, который не содержится ни в каком другом атласе
на М, совместимом с Г. Каждый атлас на М, совместимый с Г,
содержится в единственном полном атласе на М, совместимом
с Г. Действительно, если задан атлас A = {(Ui, фу)} на М, сов-
совместимый с Г, то пусть А есть семейство всех пар (U, ф) таких,
что ф есть гомеоморфизм открытого множества С/ из М на откры-
открытое множество в 5 и что
есть элемент Г, как только U Л С/,- не пусто. Тогда А есть пол-
полный атлас, содержащий А.
Если Г' есть подпсевдогруппа в Г, то атлас на М, совмести-
совместимый с Г', совместим и с Г.
Дифференцируемое многообразие класса С есть хаусдорфово
пространство с фиксированным полным атласом, совместимым
с rr(Rn). Целое число п называется размерностью многообразия.
Любой атлас хаусдорфова пространства, совместимый с rr(Rn),
будучи расширен до полного атласа, определяет дифференцируе-
дифференцируемую структуру класса Сг. Так как rr(R"):Dri(Rn) для г < s, то
дифференцируемая структура класса С* единственным образом
определяет дифференцируемую структуру класса С. Дифферен-
Дифференцируемое многообразие класса Сш называют также действитель-
действительным аналитическим многообразием. (В этой книге мы будем рас-
рассматривать по большей части дифференцируемые многообразия
класса С°°. Под дифференцируемым многообразием или просто
многообразием мы будем понимать дифференцируемое многообра-
многообразие класса С".) Комплексное (аналитическое) многообразие комп-
комплексной размерности п есть хаусдорфово пространство с фикси-
фиксированным полным атласом, совместимым с Г (С"). Ориентированное
дифференцируемое многообразие класса Сг есть хаусдорфово про-
пространство с фиксированным полным атласом, совместимым с r?(R").
§ I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
13
Ориентированная дифференцируемая структура класса Сг порож-
порождает дифференцируемую структуру класса Сг однозначно. Не каж-
каждая дифференцируемая структура класса Сг получается таким
образом; если она получена из ориентированной, то она назы-
называется ориентируемой. Ориентируемое многообразие класса С
допускает в точности две ориентации, если оно связно. Оставляя
доказательство [этого факта читателю, мы только укажем, как
поменять ориентацию ориентированного многообразия. Если се-
семейство карт (С/,-, ф,-) определяет ориентированное многообразие,
то семейство карт (U{, ф,-) определяет многообразие с противо-
противоположной ориентацией, если tyt есть композиция ф,- с преобра-
преобразованием (х1, х2, .... хп)—>(—х1, х2, ..., хп) в R". Так как
r(Cn)crS(R2n), то каждое комплексное многообразие ориентиро-
ориентировано как многообразие класса Сг.
Для любой рассматриваемой структуры (т. е. дифференцируемой
структуры класса Сг) допустимая карта — это карта, которая при-
принадлежит фиксированному полному атласу, определяющему струк-
структуру. В дальнейшем под картой мы будем понимать допустимую
карту. Пусть задана допустимая карта (Uit ф,-) /г-мерного много-
многообразия М класса С, система функций f о ф,, ..., хп о q>;, опре-
определенных на Uit называется локальной координатной системой
в U{. Мы говорим тогда, что U( есть координатная окрестность.
Для каждой точки р в М можно найти карту (U{, ф,-) такую,
что ф,- (р) есть начало в R" и ф; есть гомеоморфизм С/,- на откры-
открытое множество из R", определяемый соотношениями \х1\ < а, ...
..., | Xй | < а для некоторого положительного числа а. ?/,¦ называ-
называется тогда кубической окрестностью точки р.
Естественным образом R" есть ориентированное многообразие
класса С для любого г; карта состоит из элемента / в rj(R") и
области /. Аналогично С есть комплексное многообразие. Любое
открытое подмножество Af многообразия М класса Сг есть много-
многообразие класса Сг естественным образом; карта в N задается как
(UiV\N, ij;,-), где (UI, ф,) есть карта в М и г|>?. есть сужение ф,-
на С/,П-Л^- Аналогично и для комплексных многообразий.
Пусть заданы два многообразия М и М' класса С; говорят, что
непрерывное отображение /: М —<- М' есть дифференцируемое отоб-
отображение класса Ck, k^.r, если для каждой карты (Uit ф,) в М и каж-
каждой карты (Vj, tyj) в М' таких, что / (?/,-)с: Vy, отображение tyjofocpf1
из ф,-(С/,) в 1|Зу(Уу) есть дифференцируемое отображение класса Ск.
Если ы1, . .., ип есть локальная координатная система в U',- и
у1, ..., vm — локальная координатная система в Vj, то / может
быть выражена множеством дифференцируемых функций класса О:
v1 = fl (и1, .. ., и"), .. ., vm = fm (и1, ..., и"). Под дифференцируе-
дифференцируемым отображением, или просто отображением, мы будем понимать
отображение класса С". Дифференцируемая функция класса С*
на М — это отображение класса С из М в R. Определение голо-

14
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
морфного (или комплексно аналитического) отображения или функ-
функции аналогично.
Под дифференцируемой кривой класса Ск в М мы будем по-
понимать дифференцируемое отображение класса Ск замкнутого
интервала [a, ft] из R в М, а именно, ограничение дифференци-
дифференцируемого отображения класса Ск некоторого открытого интервала,
содержащего [а, Ь], в М. Теперь мы определим касательный век-
вектор (или просто вектор) в точке р из М. Пусть $ (р) есть алгебра
дифференцируемых функций класса С1, определенных в окрест-
окрестности р. Пусть x(t) есть кривая класса С1, a^.t^b, такая,
что x{tQ) = p. Вектор, касательный к кривой x(t) в р,— это
отображение X: $(p)—»-R, определяемое как
Xf = [df(x(t))ldt)u.
Другими словами, Xf есть производная / в направлении кривой
x(t) при t~t0. Вектор X удовлетворяет следующим условиям:
A) X есть линейное отображение из $(р) в R;
B) X(fg) = (Xf)g(p) + f(p)(Xg) для /, g?%{p).
Множество отображений X из г%(р) в R, удовлетворяющих услови-
условиям A), B), образует вещественное векторное пространство. Мы по-
покажем, что множество векторов в р есть его векторное подпрост-
подпространство размерности п, где п есть размерность М. Пусть и1, ...,«"
будет локальной координатной системой в координатной окрест-
окрестности U точки р. Для каждого / {d/duJ)p есть отображение из $(р)
в R, которое удовлетворяет условиям A) и B) выше. Мы покажем,
что множество векторов в р есть векторное пространство с бази-
базисом (д/ди1)],, ..., (д/дип)р. Пусть задана любая кривая x(t) и
p=x(t0), и пусть uJ=xJ(t), /=1, ..., п, есть ее уравнение
в терминах локальной координатной системы и1, ..., и". Тогда
(df ( (t))ldi) 2 (dfd
(df (х
¦ {dxt (t)ldt)u *h
% ())u h
что доказывает, что каждый вектор в р есть линейная комбина-
комбинация (д/дыДр, .... (д/ди")р. Наоборот, если задана линейная ком-
комбинация 2_,У (д/ди->)р, то рассмотрим кривую, определенную как
ы/= «/(/?) + ?'/, /=1, .... п.
Тогда вектор, касательный к этой кривой при t—О, есть ^B/(d/dW')p.
Чтобы доказать линейную независимость (д!дих)р, ..., (д/дип)р,
допустим ^,У(д/ди^)р = 0, тогда
/ди>)р = Ък для k = l, ..., п.
Это завершает доказательство нашего утверждения. Множество
касательных векторов в р, обозначаемое Тр (М) или Тр, назы-
*) Для обозначений суммирования см. «Список основных обозначений»
в конце книги.
§ I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
15
вается касательным пространством многообразия М в р. Набор
из п чисел I1, .. ., 1" будет называться набором компонент век-
вектора "?%/ (d/duJ')p по отношению к локальной координатной си-
системе и1, ..., и".
Замечание. Известно, что если многообразие М есть класса
С°°, то Тр(М) совпадает с пространством всех X: $(p)-^R,
удовлетворяющих условиям A) и B) выше, где $(р) теперь обо-
обозначает алгебру всех функций класса С°° вблизи р. В дальней-
дальнейшем мы будем рассматривать главным образом многообразия
класса С°° и отображения класса С°°.
Векторное поле X на многообразии М есть сопоставление
вектора Хр?Тр(М) каждой точке р в М. Если / есть дифферен-
дифференцируемая функция на М, то Xf есть функция на М, опреде-
определяемая как {Xf){p) — Xpf. Векторное поле X называется диф-
дифференцируемым, если Xf дифференцируемо для каждой дифферен-
дифференцируемой функции /. В терминах локальной координатной системы
и1, .... и" векторное поле X может быть выражено как X =
=2^ (d/duJ), где У — функции, определенные в координатной
окрестности и называемые компонентами X по отношению к
и1, ..., ип. X дифференцируемо тогда и только тогда, когда
его компоненты У дифференцируемы.
Пусть Х-(М) — множество всех дифференцируемых векторных
полей на М. Это есть вещественное векторное пространство отно-
относительно естественного сложения и умножения на скаляры. Если
X и Y из Х(М), то определим скобку [X, Y] как отображение
из кольца функций на М в себя вида
= X(Yf)-Y(Xf).
Мы покажем, что [X, Y] есть векторное поле. В терминах локаль-
локальной координатной системы и1 и" мы пишем
X = 2 У (д/диУ), Y = 2 Л' (д/диУ).
Тогда
[X, У] f = 2/. ft E* (drf/du») - Ti* (дУ/ди*)) (df/duf).
Это означает, что [X, Y] есть векторное поле, компоненты кото-
которого по отношению к и1, . .., и" задаются как 2& E* (дг^'/дик) —
— цк(дУ/дик)), /=1, .. ., п. Относительно этой скобочной опе-
операции ?(М) есть алгебра Ли над действительным числовым полем
(бесконечной размерности). В частности, мы имеем тождество
Якоби
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], F] = 0 для X, Y, Z?X(M).
Мы можем также рассматривать 3t(M) как модуль над алгеброй
$(М) дифференцируемых функций на М следующим образом.
Если / есть функция, а X — векторное поле на М, то fX есть
векторное поле на М, определенное как (fX)p=f (р)Хр для

16
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
/И. Тогда
[fX, gY]=>fg[X, Y] + f(Xg)Y-g(Yf)X,
Для точки р в М дуальное векторное пространство Т*Р(М)
касательного пространства Тр (М) называется пространством ко-
векшоров в р. Задание ковектора в каждой точке р называется
l-формой (дифференциальной формой степени 1). Для каждой
функции f на М полный дифференциал (df)p функции / в р опре-
определяется как
<(df)p, X> = Xf для Х?Тр(М),
где <,> выражает значение первого аргумента как линейного
функционала на Тр(М) на втором аргументе. Если «\ .... и"—
локальная координатная система в окрестности р, то полные
дифференциалы (йиг)р, ..., (dun)p образуют базис для Т*р(М).
Действительно, они образуют дуальный базис базиса (д/ди1)^ .. .
..., (д/дип)р для Тр(М). В окрестности точки р каждая 1-форма
со может быть единственным образом записана как
где /у—функции, определенные в окрестности р и называемые
компонентами со по отношению к и1, ..., и". 1-форма со назы-
называется дифференцируемой, если fj дифференцируемы (это условие
не зависит от выбора локальной координатной системы). Мы
будем рассматривать только дифференцируемые 1-формы.
1-форма со может быть определена также как % (М)-линейное
отображение % (М)-модуля ?(М) в %{М). Эти два определения
связаны формулой (см. предложение 3.1)
(со
, Хр>,
Пусть ЛГ*(М) есть внешняя алгебра над Т*(М). т-форма со
есть сопоставление элемента степени г из АТ*Р{М) каждой точке р
в М. В терминах локальной координатной системы и1, ..., и"
со может быть выражена однозначно как
о» = 2Jf, </,<...< ir ft, •• • tr dul* A ¦ ¦ • Л du'r.
r-форма со называется дифференцируемой, если все компоненты
/(]...t, дифференцируемы. Под г-формой мы будем понимать диф-
дифференцируемую г-форму. r-форма со может быть также определена
как косоеимметрическое r-линейное отображение над %{М) из
?(М)х?(М)х. ..х?(М) (г раз) в &(М). Эти два определения
связаны следующим образом. Если mlt ..., сог суть 1-формы и
Xlt . . ., Хг — векторные поля, то (сох Д • ¦ • Л »г) C^i» • • •, Хг)
есть детерминант матрицы (<uj(Xk))/t к=1 г степени г, умно-
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
17
женный на -г. Мы обозначим ЗУ = ЗУ (М) множество всех /--форм
(дифференцируемых) на М для каждого г = 0, 1, ..., п. Тогда
2)° (М) =$ (М). Каждое S)r(M) есть вещественное векторное про-
пространство и может также рассматриваться как $ (Л1)-модуль: для
f(z$(M) и со?ЗУ(М) fco есть r-форма, определенная как {f(n)p—
= f(p)(op, peM. Мы положим 3) = 2)(М) = 2?_О25Г(^)- Отно-
Относительно внешнего умножения Ф(Ж) образует алгебру над дейст-
действительным числовым полем. Внешнее дифференцирование d может
быть охарактеризовано так:
A) d есть R-линейное отображение 2) (М) в себя такое, что
<iBy)c:3y+1;
B) для функции /6 3)° df есть полный дифференциал;
C) если (ве25г и л 6 ЗУ, то
d (а /\ л) ~аЪ /\ я + (—J)'' со Ajdn;
D) d2 = 0.
В терминах локальной координатной системы, если со =
= ^il<...<irffi.-.trdu^A--'Adutr, то ab = ^tl<..,<trdfi1. ,irA
Ada'*. ¦ -Aduir.
Позже будет необходимо рассматривать дифференциальные
формы со значениями в произвольном векторном пространстве.
Пусть V есть /л-мерное векторное пространство, r-форма (о на М
со значениями в V есть сопоставление каждой точке р ? М косо-
симметрического г-линейного отображения из Тр(М)х ¦ ¦. хТр(М)
(г раз) в V. Если мы возьмем базис ех, ..., ет для V, то мы
можем записать со однозначно как (d—'J^JL^-ej, где а/ есть
обычная r-форма на М', по определению, (а дифференцируема,
если все со-^' дифференцируемы. Внешняя производная du> опре-
определяется как ^JLidatS-ej, что есть г + 1-форма со значениями в V.
Пусть задано отображение / многообразия М в другое много-
многообразие М', дифференциал f в р есть линейное отображение f,
из Тр(М) в Т/(р)(М'), определяемое так. Для каждого Х?Тр(М)
выберем кривую х (t) в М такую, что X есть вектор,^касатель-
вектор,^касательный к x(t) в p=x{t0). Тогда }щ{Х) есть вектор, касательный
к кривой f{x{t)) в f{p) = f(x(t0)). Немедленно следует, что если
g есть функция, дифференцируемая в окрестности f (р), то
(fm(X))g=X(gof). Когда необходимо указать точку р, мы пишем
(/,) . Когда нет опасности путаницы, мы можем писать просто /
вместо /,. Транспонированное к (f*)p отображение есть линейное
отображение Tf(p)(M') в Т*(М). Для любой /--формы а>' на М'
мы определяем r-форму f*a>' на М как
(/*со') (Х1г
.. ., f.Xr),

18
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Внешнее дифференцирование d перестановочно с /*:. d(/*(<o'))=
=/* (da)').
Говорят, что отображение / из М в М ранга г в р ? М,
если размерность f*(Tp(M)) есть г. Если ранг / в р равен
n=dimM, то (fm)p инъективно и dim M^. dim M'. Если ранг /
в р равен n' — dimM', то (f,)p сюръективно и dim M ^г dim ЛГ.
По теореме о неявной функции мы имеем
Предложение 1.1. Пусть / есть отображение М в М' и
р—точка из М.
A) Если (f,)p инъективно, то существует локальная коорди-
координатная система и1, ..., ип в окрестности U точки р и локаль-
локальная координатная система v1, ..., о"' в окрестности f (р) такие, что
v* (/ (ч)) = "' (ч) для q?U и i = 1, .. ., п.
В частности, f есть гомеоморфизм U на f (U).
B) Если (fj)p сюръективно, то существует локальная система
координат и1, ..., ип в окрестности U точки р и локальная
система координат о1, ..., xf1' точки f (p) такие, что
^(/(?)) =«'(<7) для q?U и * — 1, .
п'.
В частности, отображение /: U —*¦ М' открыто.
C) Если (ft)p есть линейный изоморфизм Тр(М) на Tf(p)(M'),
mo f определяет гомеоморфизм некоторой окрестности V точки р
на окрестность V точки f(p) и /-1: V—*¦ U дифференцируемо.
Для доказательства см. Шевалле [1], с. 79—80 (с. 119—121
русского перевода).
Отображение / из М в М' называется погружением (иммер-
(иммерсией), если (/«)я инъективно для каждой точки р в М. Мы гово-
говорим тогда, что М погружено (иммерсировано) в М' с помощью
/ или что М есть погруженное (иммерсированное) подмногооб-
подмногообразие в М'. Когда погружение / инъективно, оно называется
вложением М в М'. Мы говорим тогда, что М (или образ /(М))
есть вложенное подмногообразие (или просто подмногообразие) в ЛГ.
Подмногообразие может быть, а может и не быть замкнутым
подмножеством в М'. Топология подмногообразия, вообще говоря,
сильнее, чем относительная топология, индуцированная из М'.
Открытое подмножество М многообразия М', рассматриваемое
как подмногообразие М' естественным образом, называется откры-
открытым подмногообразием в М'.
Пример 1.1. Пусть / есть функция, определенная на мно-
многообразии М'. Пусть М есть множество точек р?М' таких, что
/(/?) = 0. Если (а"})рФО в каждой точке р из М, то можно ввести
структуру многообразия в М так, что М будет замкнутым под-
подмногообразием в М', называемым гиперповерхностью, определяе-
определяемой уравнением / = 0. Более общо, пусть М есть множество общих
нулей функций /х, ..., fr, определенных на М'. Если размер-
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 19
ность, скажем k, подпространства в Т*р (М'), порожденного
[dfi)p, • ••> (dfr)p, постоянна в окрестности множества MczM',
то М есть замкнутое подмногообразие в М' размерности
dimM' — k.
Диффеоморфизм многообразия М на другое многообразие
М' — это гомеоморфизм ф такой, что ф и ф дифференцируемы.
Диффеоморфизм М на себя называется дифференцируемым преоб-
преобразованием (или просто преобразованием) в М. Преобразование ф
многообразия М индуцирует автоморфизм ф* алгебры © (М) диф-
дифференциальных форм на М и, в частности, автоморфизм алгебры
$(М) функций на М:
Оно индуцирует также автоморфизм <р, алгебры Ли
век-
где
Ф(<7) = />, Х?.
Эти автоморфизмы связаны следующим образом:
= Х(ф*/) для Х&ХШ) и ff
Хотя любое отображение ф из М в М' отображает дифферен-
дифференциальную форму со' на М' в дифференциальную форму ср* («в')
на М, отображение ф, вообще говоря, не преобразует векторное
поле на М в векторное поле на М'.
Мы говорим, что векторное поле X на М ^-связано с вектор-
векторным полем X' на М', если (ф.)^ Хр = Х'^ ip) для всех р?М. Если
X и Y ф-связаны с X' и Y' соответственно, то [X, Y] будет
ф-связано с [X', У].
Распределение S размерности г на многообразии М- есть со-
сопоставление каждой точке р из М /•-мерного подпространства
Sp из Тр(М). Оно называется дифференцируемым, если каждая
точка р имеет окрестность U и г дифференцируемых векторных
полей на U, скажем Х1г . .., Хг, которые образуют базис S4 для
каждой q?U. Множество Хх, ..., Хг называется локальным ба-
базисом распределения 5 в U. Говорят, что векторное поле X при-
принадлежит S, если Xp^Sp для всех р?М. Наконец, 5 называется
инволютивным, если [X, Y] принадлежит 5, как только два век-
векторных поля X и У" принадлежат 5. Под распределением мы
всегда будем понимать дифференцируемое распределение.
Связное подмногообразие N в М называется интегральным
многообразием распределения S, если f*(Tp(N)) = Sp для всех
р ?N, где / есть вложение N в М. Если не существует других

20
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
интегральных многообразий для 5, которые содержат N, то N
называется максимальным интегральным многообразием для S.
Классическая теорема Фробениуса может быть сформулиро-
сформулирована следующим образом:
Предложение 1.2. Пусть S есть инволютивное распреде-
распределение на многообразии М. Через каждую точку р ?М проходит
единственное максимальное интегральное многообразие N (р) для S.
Любое интегральное многообразие, проходящее через р, есть откры-
открытое подмногообразие в N (р).
Для доказательства см. Шевалле [1], с. 94 (с. 138—140
русского перевода). Мы также отметим
Предложение 1.3. Пусть S есть инволютивное распреде-
распределение на многообразии М. Пусть W есть подмногообразие в М, все
связные компоненты которого суть интегральные многообразия
для S. Пусть f есть дифференцируемое отображение многообра-
многообразия N в М такое, что f(N)czW. Если W удовлетворяет второй
аксиоме счетности, то f дифференцируемо как отображение из
N в W.
г ^ Для доказательства см. Шевалле [1], с 95, предложение 1
(с. 142 русского перевода). Заменим там всюду аналитичность
дифференцируемостью и заметим, что W не обязано быть связ-
связным, так как дифференцируемость / есть локальное свойство.
Теперь мы определим произведение двух многообразий М и
N размерности тип соответственно. Если М определяется атласом
Л = {(?/;, ф,-)} и N определяется атласом B = ((Vy, ijjy)}, то естест-
естественная дифференцируемая структура на топологическом простран-
пространстве MxN определяется атласом {(UtxVj, ф/Xify)}, где Ф/Хф/
U;XVj—»- R"»+n = R^x R" определяется естественным образом.
Отметим, что этот атлас не будет полным, даже если А и В —
полные атласы. Для каждой точки (р, q) в М х N касательное
пространство Т(р, ^ (М xN) может быть отождествлено с прямой
суммой Tp(M) + T4(N) естественным образом. Именно, для
Х?Тр(М) и Y^TCI(M) выберем кривые x(t) и y(t) так, что X
есть касательный вектор к x(t) в p = x(t0) и У есть касательный
вектор к y(t) в q = y(t0). Тогда (X, Y)?Tp(M) + Tq(M) отож-
отождествляется с вектором Z? Т(р, ф (МxN), который касается кри-
кривой z(t)=(x(t), y{t)) в (p,q) = (x(t0), y(t0)). ПустьX?Tlp, „(Л*Х#)
есть вектор, касательный к кривой (x(t), q) из MxN в (р, q).
Аналогично пусть F? T(p> ф(МxN) есть вектор, касательный
к кривой (р, y(t)) из MxN в (р, q). Другими словами, Х^есть
образ X при отображении М —» М х N, которое переводит р' ?М
в (/?', q), и Y есть образ Y при отображении N —>- MxN, кото-
которое переводит q'?N в (р, q'). Тогда Z = X-\-Y, потому что для
любой функции / на MxN Zf=(df(x(t), у(t))/dt)(stt, в силу
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
21
цепного правила
(df(x(t),
равно
Более общо:
Предложение 1.4 (формула Лейбница). Пусть <р есть
отображение произведения многообразий MxN в другое многооб-
многообразие V. Дифференциал ф» в (р, q) ? MxN может быть выражен
следующим образом.Если Z?T,O a)(MxN) соответствует (X, Y) G
?T{M) + T{N)
где фх: М—+V и ф2: N—¦>-V определяются как Ц>1(р') — ц>(р', q)
для р' ?М и ф2 (qr) — ф (р, q') для q' ? N.
Доказательство. Из определения X, Y, <р± и ф2 следует,
что ф. (Х) = ф„ (X) и ф, (К) = ф2ф (Y), откуда q>, (Z)=q>, (X)+q>, (F) =
(У) П*)
Ф»() + Ф»() П)
Отметим, что если V = MxN и ф — тождественное преобразо-
преобразование, то предыдущее предложение сводится к формуле Z = X-\-Y.
Пусть X есть векторное поле на многообразии Мч Кривая х (t)
в М называется интегральной кривой поля X, если для каждого
значения параметра t0 вектор Xxito) касается кривой x(t) Bx(t0).
Для любой точки р0 из М существует единственная интегральная
кривая x(t) поля X, определенная для 111 < е при некотором е> 0,
такая, что ро=х@). Действительно, пусть и1, ..., и"—локаль-
и"—локальная координатная система в окрестности U точки р0, и пусть
X = 2^' (д/ди1) в U. Тогда интегральная кривая поля X есть
решение следующей системы обыкновенных дифференциальных
уравнений:
dufldt = V(и1 @. • • • • «" @). / = 1. • • •. п.
Наше утверждение следует из основной теоремы для систем обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений (см. приложение 1).
I-параметрическая группа (дифференцируемых) преобразований
в М — это отображение RxM в М, (t, р) ? Rx М —*¦ ф<(рN М,
которое удовлетворяет следующим условиям:
A) для каждого ??R (pt: р —>ф4(р) есть преобразование в М;
B) для всех t, s?R и р?М <pt+s(p) = <Pt(q>s(p))-
Каждая 1-параметрическая группа преобразований cpt индуцирует
векторное поле X следующим образом. Для каждой точки р 6 М
Хр есть вектор, касательный к кривой x(t) = (pt (p), называемой
орбитой точки р, в р = фо(уо). Орбита ф^(^) есть интегральная
кривая поля X, исходящая из р. Локальная 1 -параметрическая
группа локальных преобразований может быть определена таким же
*) Символом ? мы обозначаем окончание доказательства.—Прим. ред.

22
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
образом с дополнительным условием, что ф< {р) определяется
только для t в окрестности О и р принадлежит открытому мно-
множеству в М. Точнее, пусть /е есть открытый интервал (—г,-в)
и U — открытое множество в М. Локальная 1-параметрическая
группа локальных преобразований, определенных на IexU,— это
отображение из IzxU в М, которое удовлетворяет следующим
условиям:
(Г) для каждого t?le <pt: p~+4>t(p) есть диффеоморфизм U
на открытое множество 4>t{U) в М\
B') если t, s, t + s?le и если р, 4>s{p)€U, то
Как и в случае 1-параметрической группы преобразований, yt ин-
индуцирует векторное поле X, определенное на U. Теперь мы
докажем обратное.
Предложение 1.5. Пусть X есть векторное поле на мно-
многообразии М. Для каждой точки р0 в М существует окрестность U
точки рв) положительное число в и локальная {-параметрическая
группа локальных преобразований cpt: U—>-М, t?le, которая ин-
индуцирует данное X.
Мы будем говорить, что X порождает локальную 1-парамет-
1-параметрическую группу локальных преобразований cpt в окрестности
точки р0. Если существует (глобальная) 1-параметрическая группа
преобразований в М, которая индуцирует X, то мы говорим, что X—
полное поле. Если q>t(p) определяется на 1гхМ для некоторого в,
то X полно.
Доказательство. Пусть и1, ..., и" — локальная система
координат в окрестности W точки ра такая, что и1 (/?„) = . . .
... = и" (р„) = 0. Пусть X = 2 V ("х> • • •. "") (д/ди1) в W. Рас-
Рассмотрим следующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
с неизвестными функциями /*(/), ¦ ¦ ., fn{t). По основной теореме
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. при-
приложение 1) существует единственное множество функций f1 (t; и), ...
..., /" (t; и), определенное для и = (и1, . . ., ип) с | и-> \ < бх и для
\t\<St, которое образует решение дифференциального уравнения
для каждого фиксированного и и удовлетворяет начальным усло-
условиям:
Положим ф<(и) = (/1(^; и), ..., fn(t; и)) для |/|<ej и и в
f/1== {Ы; | ы'" | < 8J. Если \t\, | s | и | ^ + s | все меньше чем ъг и как и,
так и ф.$(м) находятся в Ult то функции g'(t) = f (t-{-s; и), как
легко видеть, будут решениями дифференциального уравнения
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
23
с начальными данными g''@) = /''(s; и). В силу единственности
решения мы имеем g* (t) = f1' (t; <ps(u)). Это доказывает, что
Ф< (ф^ (и)) = ф<+4 (и). Так как ф0 есть тождественное преобразование
в 11г, то существуют б > 0 и е > 0 такие, что для U=\u; | ы'' | < 6}
имеем ф4(^/)с: ?/х для |^|<е. Отсюда ф_<(ф*(")) = Ф*(Ф-Л«)) =
= ф0 (и) = и для каждого и 6 ?/ и | /1 < е. Это доказывает, что q>f
есть диффеоморфизм на f/ для |^|<е. Итак, <pt есть локальная
1-параметрическая группа локальных преобразований, определен-
определенная на IexU. Из конструкции ф( ясно, что ц>{ индуцирует дан-
данное векторное поле X в U. ?
Замечание. В процессе предыдущего доказательства мы
показали также, что если две локальные 1-параметрические группы
локальных преобразований ф( и %, определенные на /ех U, инду-
индуцируют одно и то же векторное поле на U, то они совпадают на U.
Предложение 1.6. На компактном многообразии М каж-
каждое векторное поле X полно.
Доказательство. Для каждой точки р? М пусть U(p) —
окрестность р и г (р) — положительное число такое, что векторное
поле X порождает локальную 1-параметрическую группу локаль-
локальных преобразований yt на IelpyxU(p). Так как М компактно,
то открытое, покрытие {{/(/?); р ? М) имеет конечное подпокрытие
\U{Pi); i = l, ..., k). Пусть e = min{8(yo1). •••. e(pft)}. Ясно,
что <pt(p) определяется на Isx M и отсюда на RxM. ?
В том, что последует далее, мы не будем указывать область
определения для заданного векторного поля X и соответствующей
локальной 1-параметрической группы локальных преобразова-
преобразований ф4. Каждая формула считается справедливой всюду, где она
имеет смысл, и легко описать, если необходимо, область опреде-
определения векторного поля или преобразования, вовлеченных в рас-
рассмотрение.
Предложение 1.7. Пусть ф есть преобразование в М. Если
векторное поле X порождает локальную I-параметрическую группу
локальных преобразований <pt, то векторное поле ц>*Х порождает
1
фф^ф
Доказательство. Ясно, что фоф^оф-1 есть локальная
1-параметрическая группа локальных преобразований. Для того
чтобы показать, что она индуцирует векторное поле ф„Д, рас-
рассмотрим произвольную точку р в М и q = <p~1(p). Так как ф(
.индуцирует X, то вектор Xq6 Tq(M) касается кривой x(t) = yt (q)
в q — x@). Из этого следует, что вектор
касается кривой t/@ —Ф°Ф<(?) = Ф°Ф<°Ф~1 (у0)- ?
Следствие 1.8. Векторное поле X инвариантно при дейст-
действии ф, т.е. щХ = Х тогда и только тогда, когда ф перестано-
перестановочно с щ.

24
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Теперь мы дадим геометрическую интерпретацию скобки [X, У]
двух векторных полей.
Предложение 1.9. Пусть X и Y—векторные поля на -М-
Если X порождает локальную 1 -параметрическую группу локаль-
локальных преобразований <pt, то
Точнее,
[X, Y]p= lira i.[Yp-((<pt)mY)p],
Предел берется относительно естественной топологии касатель-
касательного векторного пространства Тр(М). Сначала докажем две леммы.
Лемма 1. Если f(t, p) есть функция на /ехМ, где /е есть
открытый интервал (—е, в) такв&. что /@, р) — 0 для всех
р?М, то существует функция g(t, р) на /ех М такая, что
f(t, P) = t-g(t, р). Более того, g@, />) = /'(О, Р), где f =df/dt,
для р?М.
Доказательство. Достаточно определить
, P)ds.
Лемма 2. Пусть X порождает cpt. Для любой функции f
на М существует функция gt(p) = g(t, р) такая, что focpt = / -j-1-gt
и go = Xf на М-
Функция g(t, p) определяется для каждого фиксированного
р 6 М в 111 < е для некоторого е.
Доказательство. Рассмотрим f(t, p) = f(<ft(p)) — f(p)
и применим лемму 1. Тогда /°<Pt = / + ^-gf» и мы имеем
lira 4 [/ (ф* (P))-f(P>] = lim у f (t, P) = Ига gt (p) = g0 (p). Q
t -+0 ' t->- 0 * ^^-0
Доказательство предложения 1.9. Пусть задана
функция / на М, возьмем функцию gt такую, что / /W
и go = Xf (лемма 2). Положим p(t) = q>r1(p)- Тогда
У)Р f =
Дга Т [Y-(Vt).Y]p f = Шп | [{Yf)p-(Yf)p (j)]- hjn (Ygt)p U)
= Xp(Yf)-ypg. = [X, Y]pf,
что и доказывает наше утверждение. П
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ
25
Следствие 1.10. В тех же обозначениях, что и в предло-
предложении 1.9, имеем более общо
(Ф,).[*. У]= Ига у[(ф,).Г-(ф.+ *).У]
для любой величины s.
Доказательство. Для фиксированной величины s рас-
рассмотрим векторное поле (q>s)mY и применим предложение 1.9.
Тогда мы имеем
[X, (<р,). Y] = ^ш 4
- (ф,). о
так как ф.5°ф* = Фл.*. С другой стороны, (ф,)« Х — Х в силу
следствия 1.8. А так как (ф^)» сохраняет скобку, мы получаем
(Ф,).[Х У] = [Х, Ш.У]-
Замечание. Заключение следствия 1.10 может быть запи-
записано так:
Следствие 1.11. Допустим, что X и Y порождают локаль-
локальные {-параметрические группы cpt и я^ соответственно. Тогда
q>t°tys = %°4>t для каждого s и t в том и только в том случае,
когда [X, К] = 0.
Доказательство. Если Ф^°'Ф, = 'Ф,оф< для каждого s
и t, to Y инвариантен относительно каждого q>t в силу следст-
следствия 1.8. По предложению 1.9 [X, Y] = 0. Наоборот, если[X, Y] — 0,
то d ((tpt)* Y)/dt — 0 для каждого t в силу следствия 1.10 (см.
замечание выше). Поэтому {q>t)*Y есть постоянный вектор в каж-
каждой точке р, так что Y инвариантно относительно каждого (pt.
В силу следствия 1.8 каждое г|5, коммутирует с каждым ф(.
§ 2. Тензорные алгебры
Мы фиксируем основное поле F, которое будет действитель-
действительным числовым полем R или комплексным числовым полем С
в наших приложениях. Все векторные пространства, которые
мы рассматриваем, конечномерны над F, если не указано иначе.
Мы определяем тензорное произведение U@V двух векторных
пространств U и V следующим образом. Пусть M(U, V) есть
векторное пространство, которое имеет множество UxV как базис,
т. е. свободное векторное пространство, порожденное парами (и, v),
где и^и и v?V. Пусть УУ есть векторное подпространство

26
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
в M(U, V), порожденное элементами вида
(и + и', v) — (и, v) — (и', v), (u,v + v') — (u,v)~{u,v'),
(ru, v) — r(u, и), (и, rv) — r(u, и),
где и, u'?U,v, v'?V и r?F.Mbi полагаем U®V = M(U,V)/N.
Для каждой пары (и, v), рассматриваемой как элемент в М (U, V),
ее образ при действии естественной проекции М (U, V) —>- U ®V
будет обозначаться u®v. Определим каноническое билинейное
отображение ц> из UxV в U ®V как
ф(ы, v) = u®v для (и, v)?UxV.
Пусть W есть векторное пространство и т|э: f/xF—>- W —
билинейное отображение. Мы говорим, что пара (W, г)з) имеет
универсальное факторизационное свойство для U х V, если для
каждого векторного пространства S и каждого билинейного ото-
отображения /: U х V —>¦ S существует единственное линейное отобра-
отображение g: W—i-5 такое, что f = goty.
Предложение 2.1. Пара (U®V, ф) имеет универсальное
факторизационное свойство для UxV. Если пара (W, \р) имеет
универсальное факторизационное свойство для UxV, то (U ®V, ф)
и (W, ijj) изоморфны в том смысле, что существует линейный
изоморфизм о: U ®V —+W такой, что г|? = стоф.
Доказательство. Пусть 5 есть любое векторное прост-
пространство и /: UxV—>-S — любое билинейное отображение. Так
как UxV есть базис для M(U, V), то мы можем продолжить f
до единственного линейного отображения /': M(U, V)—>5. Так
как / билинейно, то /' является нулевым на N. Поэтому /' инду-
индуцирует линейное отображение g: U ®F —>¦ S. Очевидно, / = §'°Ф-
Единственность такого отображения g следует из того, что
cp(UxV) порождает U^)V. Пусть (W, -ф) есть пара, имеющая
универсальное факторизационное свойство для UxV. В силу
универсального факторизационного свойства (U(/)V, ф) (соответ-
(соответственно (W, ty)) существует единственное линейное отображение а:
U0V —>-W (соответственно т: W—^U®V) такое, что г|; = стоф
(соответственно ф = тот|)). Отсюда ф = то<тоф и г|) = аотог|5. Исполь-
Используя единственность g в определении универсального факторизаци-
онного свойства, мы заключаем, что то'а и стот — тождественные
преобразования в UxV и W соответственно. ?
Предложение 2.2. Существует единственный изоморфизм
из U0V на V®f/, который отображает ii(g)v в t'(x)u для всех
u?U и v?V.
Доказательство. Пусть /: UxV—>-V(/)U есть билиней-
билинейное отображение, определенное как / (и, и) = у(Я)ы. По предло-
предложению 2.1 имеется единственное линейное отображение g:
U®У-^V®U такое, что g(u(/)v) = v0и. Аналогично имеется
единственное линейное отображение g': V® U —*¦ U(g)V такое,
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ
27
g'og и gog'— тождественные
соответственно. Поэтому g есть
предложений аналогичны
что g' (v(^)u) = u0v. Очевидно,
преобразования в U ®V и
желаемый изоморфизм. ?
Доказательства следующих двух
и, следовательно, опускаются.
Предложение 2.3. Если мы рассматриваем основное поле F
как 1 -мерное векторное пространство над F, то существует един-
единственный изоморфизм из F0U на U, отображающий г фи в ги
для всех r?F и u?U. Аналогично для t/®F и U.
Предложение 2.4. Имеется единственный изоморфизм из
®V®W на U®(V(g)W), отображающий (u®v)®w
(v(g)w) для всех u?U, v?V a w?W.
Ьэтому имеет смысл писать ?/(g>K(g) W. Если заданы вектор-
пространства U х, ..., U\, то тензорное произведение
® U\ П
ные
U1®...§QUk может быть определено индуктивно. Пусть
f/j ® ... ® Uk —>~ Ut® . .. ® Uк есть мультилинейное отображе-
отображение, отображающее (ult ..., и*) в «! (g) ... (g)uA. Тогда, как
и в предложении 2.1, пара (б^® ... ®Uk, ф) может быть оха-
охарактеризована универсальным факторизационным свойством для
II V V II
U j X • . . X U к.
Предложение 2.2 также может быть обобщено. Для любой
перестановки я чисел 1, ..., k имеется единственный изомор-
изоморфизм из J/i® • ¦ ¦ ® Uк на UK A)(Я) ... ® Un(k>, который отобра-
жает и-.
i ик в
Предложение 2.4.1. Если
1 "я (ft) •
заданы
линейные отображе-
ния fj\ Uj—+Vj, i~\, 2, то существует единственное линейное
i ?/2 —+VX®V\ такое, что / (и1®и2) = 1:1(и1)
отображение
f2(us), и при-
приотображение /: Ul
®fz(uz) для всех иг^0г и u2?U2.
Доказательство. Рассмотрим билинейное
U1xU2—+V1®V2, отображающее (иг, и2) в f1(u1)®
меним предложение 2.1. ?
Обобщение предложения 2.4.1 на случай более чем двух ото-
отображений очевидно. Только что описанное отображение / будет
обозначаться /j(g)/2.
Предложение 2.5. Если Ux-j-U2 обозначает прямую сумму
Ux и U2, то
Аналогично
Доказательство. Пусть ix: Ux—>-U1-irU2 и ia:
U2—+U1-\-U2—инъекции. Пусть рг: U1-\-Ui—^U1 и р2: Ux +
+ U%—>-U2 — проекции. Тогда p1oi1 и /?2°ia — тождественные пре-
преобразования в Ux и U2 соответственно. Оба отображения p2oix
и рхо12 нулевые. По предложению 2.4.1 it и тождественное пре-
преобразование в V индуцируют линейное отображение it: Ut®V—*¦

28
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Сходным_образом определяются i2, рх и р2.
Отсюда следует, что px°ix и /?а°Ь — тождественные преобразования
в ?/j(g)V и f/2®K соответственно, a pioii и ptоt,— нулевые
отображения. Это доказывает первый изоморфизм. Доказатель-
Доказательство второго аналогично. ?
По индукции получаем
um — базис для U
;/ = 1, ...,п\ —
t/dimV.
Предложение 2.6. Если иг, ...
и vlt ..., vn — базис для V, то {ui0v/; i — 1, ...,
базис для t/(g)V. В частности, dim ?/(X)F = di
Доказательство. Пусть U,• есть 1 -мерное подпространство
в U, порожденное и,-, и Vj—'i-мерное подпространство в V, по-
порожденное Vj. По предложению 2.5
По предложению 2.3 каждое f/,-®Vy есть 1-мерное векторное
пространство, порожденное элементом u,-B)fy- ?
Для векторного пространства U мы обозначим через U* его
дуальное векторное пространство. Для u?U и u*?U* <«, ы*>
обозначает значение линейного функционала и* на и.
Предложение 2.7. Пусть L{U*, V) — пространство линей-
линейных отображений из U* в V. Тогда существует единственный
изоморфизм g из ?/®F на L(U*, V) такой, что
(ё(и
«* =
для всех и
v?V и u*?U*.
Доказательство. Рассмотрим билинейное отображение
/: UxV —>-L(U*, V), определенное как (/(«, t>))u* = <u, u*> v,
и применим предложение 2.1. Тогда существует единственное
линейное отображение g: V ®V —+ L (U*, V) такое, что (g(и X v)) и*=
= <w, ы*> v. Чтобы доказать, что g есть изоморфизм, допустим,
что «i, .... Ыд, —базис для U, и\, ..., ы^ —дуальный базис
для U*, a vlt . .., vn — базис для V. Мы покажем, что {g(Ui®v/)>
1 \ й Е
i = l,
2
тп;
n
/=1,
0, где a
0 = (S а/
п\
то
{g(i®/)
линейно независимо. Если
"*=
= dimL{U*, V),
и отсюда все аи — нули. Поскольку dim(®
то g есть изоморфизм из i/xF на L(U*, V).
Предложение 2.8. Если заданы два векторных простран-
пространства U и V, то существует единственный изоморфизм g из
U*(QV* на (U(g)V)* такой, что
для всех u?U,
v ? V, v* € V*
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ
29
Доказательство. Применим предложение 2.1 к билиней-
билинейному отображению /: U* х V* —* (U х V)*, определенному как
(f(u*, w*))(«(g)o) = <u, ы*><», w*>. Чтобы доказать, что g есть
изоморфизм, возьмем базисы для U, V, U* и V* и поступим так
же, как в доказательстве предложения 2.7. ?
Теперь определим различные тензорные пространства над
фиксированным векторным пространством V. Для положительного
целого г назовем Тг = V® ... ®V (г раз тензорное про-
произведение) пространством контравариантных тензоров степени г.
Элемент из Тг будет называться контравариантным тензором
степени г. Если г = 1, то Т1 — не что иное, как V. Условимся
под Т° понимать само основное поле F. Аналогично Ту=1/*®... (Я) V*
(s раз тензорное произведение) называется пространством кова-
риантных тензоров степени s, а его элементы — ковариантными
тензорами степени s. Тогда Tj = F* и, по соглашению, T0 = F.
Дадим для этих тензоров выражения относительно базиса в V.
Пусть ег, ..., е„ — базис для V, е1, ..., е" — дуальный базис
для V*. По предложению 2.6 \eit® ... ®^г; 1 <ix, .. ., irO}
есть базис для Тг. Каждый контравариантный тензор К степени г
может быть выражен однозначно как линейная комбинация
где JKl*-lr — компоненты для К по отношению к базису ег, ..., е„
в V. Аналогично каждый ковариантный тензор L степени s может
быть выражен однозначно как линейная комбинация
? = 2/. lrLjl...ire'*®...®elr,
где Ljt...j —компоненты для L.
При замене базисов в V компоненты тензоров подвергаются
следующим преобразованиям. Пусть е1У ..., еп и еи ..., еп —
два базиса в V, связанные линейным преобразованием
i = l, .... п.
Соответствующая замена дуальных базисов в V* задается как
i = l, .... я,
где В = (В}) есть обратная матрица матрицы А = (А)) так, что
Если К есть контравариантный тензор степени г, то его ком-
компоненты /С'1"''- и Ktl"mtr по отношению к \е(\ и соответственно {е{\
связаны формулой

30
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Аналогично компоненты ковариантного тензора L степени sсвя-
sсвязаны формулой
Проверка этих формул предоставляется читателю.
Мы определяем (смешанное) тензорное пространство типа (г, s),
или тензорное пространство контравариантной степени г и кова-
риантной степени s, как тензорное произведение Tr3 = lr®ls —
= V® . . . ® V® V*® .. .®V* (r сомножителей V, s сомножите-
сомножителей V*). В частности, TJ = T', Т? = Т^ и T'=F. Элемент из TJ
называется тензором типа (г, s) или тензором контравариант-
контравариантной степени г и повариантной степени s. В терминах базиса
elt ¦ .., еп в V и дуального базиса е1, . .., е" в V* каждый тен-
тензор К типа (г, s) может быть выражен однозначно формулой
_ <).. .®е,>59^'(х).. .Q<)e'*,
где /("/!.".¦/? называются компонентами /С по отношению к базису
ех, ..., еп. При изменении базиса е,- = 2/Л(-ву имеем следующее
преобразование компонент:
Положим T = 2~s=oT?, так что элемент из Т имеет вид
2" s=o Krs, где /(T€Tsr— нули, кроме, быть может, конечного их
числа. Мы сейчас превратим Т в ассоциативную алгебру над F,
определяя произведение двух тензоров К. 6 TJ и L б lpq следующим
образом. Из универсального факторизационного свойства тензор-
тензорного произведения следует, что существует единственное били-
билинейное отображение из TsrxT? в TrsX%, которое отображает
p
(g) wj (g) ... 0 v*s
... (g) w*
^vr®Wl®...<g , _
. Образ (К, L) 6Т?хТ5 при действии этого линейного ото-
отображения будет обозначаться K®L. В терминах компонент,
если К задается как К}\'.'.% и ^ задается как L^]'k^q, имеем
(К 6?\ f\b-Jr+p— к1л~л.гт\г+1—1.
Мы теперь определим понятие свертывания. Пусть г, s^l.
С каждой упорядоченной парой целых чисел (i, j) таких, что
1 ^ i < г и 1 ^ / ^ s, мы свяжем линейное отображение, назы-
называемое свертыванием и обозначаемое С, из Т? в Tsrri, отобража-
»»;,
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ
31
где у1; ..., vr?V и t>i, ..., Vg €V*. Единственность и сущест-
существование С следуют из универсального факторизационного свойства
тензорного произведения. В терминах компонент свертывание С
отображает тензор К € Т? с компонентами KJ\:\:jrs в тензор (Ж g TsrrJ,
компоненты которого суть
где верхний индекс k расположен на t-м месте и нижний индекс k
расположен на /-м месте.
Теперь мы интерпретируем тензоры как мультилинейные ото-
отображения.
Предложение 2.9. Тг естественным образом изоморфно
векторному пространству всех r-линейных отображений из
Vx...xV в F.
Предложение 2.10. Тг естественным образом изоморфно
векторному пространству всех г-линейных отображений из
У'Х. ..XV* в F.
Доказательство. Мы докажем только предложение 2.9.
Обобщая предложение 2.8, мы видим, что Tr = F*®.. .(g)F* есть
дуальное векторное пространство для Tr = V(g). . .(g) V. С другой
стороны, из универсального факторизационного свойства тензор-
тензорного произведения следует, что пространство линейных отобра-
отображений из Tr = l/(g). . .(g)F в F изоморфно пространству г-линей-
ных отображений из Vx...xF в F. П
Следуя интерпретации предложения 2.9, мы рассматриваем
тензор К € Тг как r-линейное отображение Vx ¦. . X V —> F и пишем
/С(uj, .. ., wr)g F для vlt ..., vr?V.
Предложение 2.11. TJ естественным образом изоморфно
векторному пространству всех r-линейных отображений из
Vx...xV в V.
Доказательство. Tj есть по определению У®ТГ, что
канонически изоморфно Tr(g)V по предложению 2.2. По предло-
предложению 2.7 Tr(g)l/ изоморфно пространству линейных отображений
дуального пространства для Тг, т. е. Тг, в V. Снова, в силу уни-
универсального факторизационного свойства тензорного произведения,
пространство линейных отображений из Тг в V может быть
отождествлено с пространством г-линейных отображений из
vx...xv в v. a -
При этой интерпретации любой тензор К типа A, г) есть
г-линейное отображение из V х . ¦. х V в V, отображающее
(уг, .... vr) в K(vu ..., vr)?V. Если elt ..., еп — базис для V,
то К = ^Ки...1ге1® eJl® ¦ • -® е'г соответствует r-линейному ото-
отображению из V х ... X V в V такому, что /С(^,, ¦••, eir) —

32
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Сходная интерпретация может быть дана для тензоров типа
(г, s) в общем случае, чего мы здесь не будем делать.
Пример 2.1. Если v?V и u*?F*, то y(g)t>* есть тензор типа
A, 1). Свертывание С: Т\—>F отображает v®v* в <t>, t>*>. В об-
общем случае тензор К типа A, 1) может рассматриваться как ли-
линейный эндоморфизм в V и свертывание СК тензора К есть тогда
след соответствующего эндоморфизма. Действительно, если ег...еп—
базис для V и К имеет компоненты К} относительно этого базиса,
то эндоморфизм, соответствующий К, отображает е}- в 2,- K)et.
Ясно, что след К и свертывание СК для К оба равны 2/ ^'-
Пример 2.2. Скалярное произведение g на вещественном
векторном пространстве V есть ковариантный тензор степени 2,
который удовлетворяет условиям: A) g(v, v)~^0 и g(v, t>) = 0
тогда и только тогда, когда у = 0 (положительная определенность),
и B) g(v, v') = g(v', v) (симметричность).
Пусть Т (U) н Т (V)—тензорные алгебры над векторными
пространствами U и V. Если А есть линейный изоморфизм из U
на V, то его транспонированный Л* есть линейный изоморфизм
из V* на U* и Л* есть линейный изоморфизм из U* на V*.
В силу предложения 2.4 мы получаем линейный изоморфизм
Л® Л*": ?/(Я) ?/*—*-F® V*. В общем случае мы получаем линей-
линейный изоморфизм из T(U) наТ(У), отображающий Trs(U) на T?(F).
Этот изоморфизм, называемый продолжением изоморфизма А
и обозначаемый той же буквой А, есть единственный изоморфизм
алгебр Т(?/) —*-T(F), который продолжает Л: ?/—-*-V. Единствен-
Единственность следует из того, что Т(?/) порождается при помощи F,
U и U*. Легко также видеть, что продолжение для А переста-
перестановочно с каждым свертыванием С.
Предложение 2.12. Существует естественное взаимно од-
однозначное соответствие между линейными изоморфизмами вектор-
векторного пространства U на другое векторное пространство V
и изоморфизмами алгебр из Т (U) на Т (V), которые сохраняют
тип и перестановочны со свертыванием.
В частности, группа автоморфизмов для V естественным об-
образом изоморфна группе автоморфизмов тензорной алгебры Т (V),
которые сохраняют тип и перестановочны со свертыванием.
Доказательство. Единственная вещь, которую нужно
доказать сейчас,—это то, что каждый изоморфизм алгебр, ска-
скажем /, из Т (U) на Т (V) индуцируется изоморфизмом А из U на V
при условии, что / сохраняет тип и коммутирует со свертыва-
свертываниями. Так как / сохраняет тип, то оно отображает l\{t)) = U
изоморфно на Tl(V) = V. Обозначим сужение /на U через А. Так
как / отображает каждый элемент поля F = TJ в себя и комму-
коммутирует с каждым свертыванием С, то мы имеем для всех и ? ?/
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ
и
33
<Аи,
>«•))=/««,
Отсюда fu* = A*~1u*. Продолжение для Ли/ согласованы на F,
U и U*. Поскольку тензорная алгебра Т (?/) порождается при
помощи F, U и U*, то / совпадает с продолжением A.Q
Пусть Т есть тензорная алгебра над векторным пространст-
пространством V. Линейный эндоморфизм D алгебры Т называется диффе-
дифференцированием, если он удовлетворяет следующим условиям:
(a) D сохраняет тип, т. е. D отображает TJ в себя;
(b) D(K®L) = DK®L + K<S)DL для всех тензоров К и L;
(c) D коммутирует с каждым свертыванием С.
Множество дифференцирований для Т образует векторное про-
пространство. Оно образует алгебру Ли, если мы положим [D, D']—
— DD'—D'D для дифференцирований D и D'. Аналогично мно-
множество линейных эндоморфизмов для V образует алгебру Ли.
Так как дифференцирование D отображает TJ = V в себя (в силу
(а)), то оно индуцирует эндоморфизм, скажем В, для V.
Предложение 2.13. Алгебра Ли дифференцирований ал-
алгебры Т (V) изоморфна алгебре Ли эндоморфизмов пространства V.
Изоморфизм задается сопоставлением каждому дифференцирова-
дифференцированию его сужения на V.
Доказательство. Ясно, что D—>-В есть "гомоморфизм
алгебр Ли. Из (Ь) легко следует, что D отображает каждый эле-
элемент из F в 0. Отсюда для v € V и v*?V* имеем
= C(D(t>(g)t>*))
= D«v, v*» =
Так как Dv = Bv, то Dv* = — B*v*, где В* есть транспонированный
эндоморфизм для В. Поскольку Т порождается при помощи F,
V и V*, то D однозначно определяется его сужениями на F, V
и V*. Это влечет, что D —*¦ В инъективно. Обратно, если задан
эндоморфизм В для V, то мы определяем Da = 0 для а ? F, Dv = Bv
для v?V и Dv*= — B*v* для v*?V* и затем с помощью (Ь) рас-
расширяем D до дифференцирования алгебры Т. Существование D сле-
следует из универсального факторизационного свойства тензорного
произведения.
Пример 2.3. Пусть К—тензор типа A, 1) и рассмотрим
его как эндоморфизм в V. Тогда автоморфизм в T(V), индуциро-
индуцированный автоморфизмом А на V, отображает тензор К в тензор
Л^СЛ. С другой стороны, дифференцирование для T(V), инду-
индуцированное эндоморфизмом В на V, отображает К в [В, К] =
= ВК — КВ.
2 Ш. Кобаяси. К. Номидзу, т. 1

34
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 3. Тензорные поля
Пусть ТХ = ТХ(М) — касательное пространство к многообра-
многообразию М в точке х и Т (х)—тензорная алгебра над Тх: Т(х) =
— 2jTH*)> гДе ТП^) есть тензорное пространство типа (г, s) над
Т (х). Тензорное поле типа (г, s) на подмножестве N яг М есть сопо-
сопоставление тензора Кх?Т1(х) каждой точке л; из N. В координат-
координатной окрестности U с локальной координатной системой х1, ¦.., хп
мы берем Xi = d/dX;, i = l, ..., п, как базис для каждого каса-
касательного пространства Тх, x?U, и оз1' = с1х', i=l n, как
дуальный базис в Тх. Тензорное поле К типа (г, s), определен-
определенное на U, тогда выражается так:
к* = 2 к)\::: % xtl <g>... ® xtr <g> ©л ®... ® ©/*,
где К/['.'.'.'rs—функции на U, называемые компонентами для К
по отношению к локальной системе координат х1, .... я". Мы го-
говорим, что К—поле класса С*, если его компоненты К}\ ."/? суть
функции класса С*; конечно, необходимо проверить, что это поня-
понятие не зависит от локальной системы координат. Это легко делается
при помощи формулы B.1), где матрица (Л)) должна быть заме-
заменена якобиевой матрицей двух локальных координатных систем.
Далее мы будем понимать под тензорным полем тензорное поле
класса С", если не указано иначе.
В § 5 мы истолкуем .тензорное поле как дифференцируемое се-
сечение некоторого расслоенного пространства над М. Мы дадим
здесь другую интерпретацию тензорных полей типа @, г) и A, г)
с точки зрения предложений 2.9 и 2.11. Пусть $ есть алгебра
функций (класса С°°) на М и Ж—^-модуль векторных полей на М.
Предложение 3.1. Тензорное поле К типа (О, г) (соотв.
типа A, г)) на М может рассматриваться как r-линейное ото-
отображение из Жх .. ¦ хЖ в % (соотв. Ж) такое, что
frK(Xx,
Хг) для
и Xt?X.
Обратно, каждое такое отображение может рассматриваться
как тензорное поле типа @, г) (соотв. типа A, г).).
Доказательство. Пусть задано тензорное поле К типа
(О, г) (соотв. типа A, г)), Кх есть r-линейное отображение из
Тхх ¦ •. X Тх в R (соотв. Тх) по предложению 2.9 (соотв. по пред-
предложению 2.11) и отсюда (Хи ..., Хг) —+(К(Хи ..., Хг))х =
= Кх ((Хт)х, .. ., (Хг)х) есть r-линейное отображение из Ж х ... х Ж
в §г (соотв. Ж), удовлетворяющее предыдущим условиям. Обратно,
пусть К: Жх ... хЖ~<-$ (соотв. Ж) есть г-линейное отображение
над $\ Существенный пункт доказательства—это показать, что
величина функции (соотв. векторного поля) К (Xlt .. ¦, Хг) в точ-
точке х зависит только от величин Х1 в х. Это повлечет то, что К
§ 3. ТЕНЗОРНЫЕ
35
индуцирует r-линейное отображение из Тх (М) х ... х Тх (М) в R
(соотв. Тх (М)) для каждой точки х. Мы заметим сначала, что
отображение К может быть локализовано. Именно, имеет место
Лемма. Если X ~Y: в окрестности U точки х для i = 1, ..., г, то
K(Xlt .... Xr) = K(Y1, ..., Yr) в U.
Доказательство леммы. Достаточно показать, что если
Хг — О в U, то К (Хг, ..., Хг) = 0 в U. Для любого у ? U пусть /
есть дифференцируемая функция на М такая, что/(#) = 0 и/ = 1
вне U. Тогда Хг = /Xt и К(Хи ..., Xr) = fK(Xt Хг), кото-
которое обращается в нуль в у. Это доказывает лемму.
Чтобы завершить доказательство предложения 3.1, достаточно
показать, что если Хг есть нуль в точке х, то и К (Х1г ..., Хг)
тоже есть Нуль. Пусть х1, ..., хп—координатная система вбли-
вблизи х, так что Хг = _2,-/' (д/дх'). Мы можем взять векторное поле F,-
и дифференцируемые функции g' на М так, что g' = /'' и К, = E/(Эд:')
для i = l,..., n в некоторой окрестности U точки д:. Тогда
X1=2/g"^/ в U. По лемме /С(Хг, .... Хг)=^(ц1-К(Yt, Xiy ..., Хг)
в i/. Так как g' (х) = f' (х) = 0 для i = 1, ..., п, го К (Х1У ..., Хг)
есть нуль вх. ?
Пример 3.1. Риманова метрика (положительно определен-
определенная) на М—это ковариантное тензорное поле g степени 2, ко-
которое удовлетворяет условиям: A) g(X, X)^0 для всех Х?Ж
и g(X, Х) — 0 тогда и только тогда, когда ^ = 0, и B) g(Y, X) =
= g(X, Y) для всех X, Y ?Ж. Другими словами, g определяет
скалярное произведение в каждом касательном пространстве
ТХ(М), х?М (см. пример 2.2). В терминах локальной системы
координат Xх, ..., хп компоненты g задаются как g[j = g (д/дх',
dldxJ). Вошло в обычай писать ds2 = ?,gi/dx' dx' для обозна-
обозначения g.
Пример 3.2. Дифференциальная форма со степени г есть не
что иное, как кососимметрическое ковариантное тензорное поле
степени г:
где я есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., г и е(я)
есть ее знак. Для любого ковариантного тензора К в х или
любого ковариантного тензорного поля К на М мы определим
альтернацию А следующим образом:
(АК)(Х1 Хг) = 4
где суммирование берется по всем перестановкам я чисел 1, 2 ...
..., г. Легко проверить, что А К кососимметрнчен для любого К
и что К кососимметричен тогда и только тогда, когда АК = К.
Если со и со' -^дифференциальные формы степени г и s соответ-

36
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
ственно, то со®со' есть ковариантное тензорное поле степени
r-fsn соДю' есть Л (to® со')*).
Пример 3.3. Симметризация S может быть определена еле-'
дующим образом. Если К—ковариантный тензор или тензорное
поле степени г, то
(SK) (Xit ..., Хг) =~
(Хя (х), ..., Хп (Г)
Для любого К SK симметрично и SK = K тогда и только тогда,
когда К симметрично.
Обратимся теперь к определению понятия дифференцирова-
дифференцирования Ли. Пусть 2?(М) есть множество тензорных полей типа
(г, s), определенных на М, и положим &(М) = 2" $-о%¦$№)-
Тогда &(М) есть алгебра над полем действительных чисел R,
умножение ® определяется при этом поточечно, т. е. если
К, L?%(M), то (K®L)X = KX®LX для всех х6М. Если ср есть
преобразование в М, то его дифференциал ср. дает линейный
изоморфизм касательного пространства Гф-1 (х) (М) на касатель-
касательное пространство ТХ(М). В силу предложения 2.12 этот линей-
линейный изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма тензор-
тензорной алгебры Т(ф~1(д:)) на тензорную алгебру Т(х), последний
мы обозначим ср. Для заданного тензорного поля К. мы опреде-
определяем тензорное поле ср/С так:
(Ч>К)х = <р(К<р-1 (х)), х?М.
Таким образом, каждое преобразование ср на М индуцирует
автоморфизм алгебры ?(М), который сохраняет тип и переста-
перестановочен со свертываниями.
Пусть X есть векторное поле на М и <pt — локальная 1-пара-
1-параметрическая группа локальных преобразований, порожденная X
(см. предложение 1.5). Мы определим производную Ли LXK тен-
тензорного поля К по отношению к векторному полю X следующим
образом. Для простоты мы допустим, что cpt есть глобальная
1-параметрическая группа преобразований в М; читатель без
труда модифицирует это определение для случая, когда X не
полно. Для каждого t <pt есть автоморфизм алгебры &(М). Для
*) Другое возможное и, быть может, более предпочтительное определение
солсо' = А (<о0(о'). Но тогда н формула для внешней производной (см.
формулу предложения 3.11) имеет иной вид: (dco) (Хо, Хг, ..., Хг) =
= 2?.О (-!)**/(«<*о, •-..*/ *г))+2о<<</<,-A)'+/Х
X<a([Xi, Xj], Хо, ..., Х{ Xj, ..., Xг).—Прим. перев.
§ 3. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
любого тензорного поля К на М положим
37
Отображение Lx из %{№) в себя, которое переводит К в LXK,
называется дифференцированием Ли по отношению к X. Мы
имеем
Предложение 3.2. Дифференцирование Ли Lx no отно-
отношению к векторному полю X удовлетворяет следующим условиям:
(a) Lx есть дифференцирование для %{М), т. е. оно линейно
и удовлетворяет равенству
Lx(K<g>K') = (LxK)®K' +K®(LXK') для всех К, К'€%(М);
(b) Lx сохраняет тип: Lx(&rs(M)) c= SJ(М);
(c) Lx перестановочно с каждым свертыванием тензорного поля;
(d) Lxf = Xf для каждой функции /;
(e) LXY — [X, Y] для каждого векторного поля Y.
Доказательство. Ясно, что Lx линейно. Пусть <pt есть
локальная 1-параметрическая группа локальных преобразований,
порожденная полем X. Тогда
= lira \ [К® K'-ivtK)<g)(ф*/С')]
+ Ига (q>tl
= {LXK)®K'+K®(LXK').
Так как <pt сохраняет тип и перестановочно со свертываниями,
то и Lx таково. Если / есть функция на М, то
(Lxf) (х) = lira | [/ (х)-f (фг1 (х))] = — lira f [/ (фГх^) -/ W]-
Заметив, что фГх=ф_4 есть локальная 1-параметрическая группа
локальных преобразований, порожденных полем — X, мы видим,
что Lxf = — (—Xf) = Xf. Наконец, (е) есть перефразировка пред-
предложения 1.9. ?

38
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Под дифференцированием алгебры %(М) мы будем понимать
отображение %(М) в себя, удовлетворяющее условиям (а), (Ь)
и (с) предложения 3.2.
Пусть 5—тензорное поле типа A, 1). Для каждого х?М Sx
есть линейный эндоморфизм касательного пространства ТХ(М).
По предложению 2.13 Sx может быть единственным образом про-
продолжен до дифференцирования тензорной алгебры Т (х) над ТХ(М).
Для каждого тензорного поля К определим SK как (SK)X = SXKX,
х?М. Тогда 5 есть дифференцирование для Ж(М). Имеем
Предложение 3.3. Каждое дифференцирование D алгеб-
алгебры %{М) допускает единственное разложение
дге X есть векторное поле, a S — тензорное поле типа A,1).
Доказательство. Так как D сохраняет тип, оно отобра-
отображает %(М) в себя и удовлетворяет равенству D (fg) = Df-g + f-Dg
для /, g? ^(M). Отсюда следует, что существует векторное поле X
такое, что Df = Xf для каждого f?%(M). Очевидно, D — Lx есть
дифференцирование для &(М), обращающееся в нуль на %(М).
Мы покажем, что любое дифференцирование D, которое есть нуль
на $(М), индуцируется тензорным полем типа A,1). Для любого
векторного поля Y DY есть векторное поле и для любой функ-
функции / D(fY) = Df-Y + f-DY = fDY, так как Df = 0 по допуще-
допущению. По предложению 3.1 существует единственное тензорное
поле 5 типа A,1) такое, что DY — SY для каждого векторного
поля Y. Чтобы показать, что D совпадает с дифференцированием,
индуцированным S, достаточно доказать следующее утверждение:
Лемма. Два дифференцирования Dx и D2 алгебры %(М) со-
совпадают, если они совпадают на %{М) и Зс(М).
Доказательство. Заметим сначала, что дифференцирова-
дифференцирование D может быть локализовано, т. е. если тензорное поле К
есть нуль на открытом множестве U, то DK есть нуль на U.
Действительно, для каждого х € U .пусть / будет функцией такой,
что /(*) = 0 и /=1 вне U. Тогда К = /• К и отсюда DK = Df-K-f
+ f'J^K. Поскольку /Си/ являются нулями в х, то и DK таково.
Отсюда следует, что если два тензорных поля К и К' совпадают
на открытом множестве U, то DK и DK' совпадают на U.
Положим D = Dt~D2. Наша задача теперь доказать, что если
дифференцирование D есть нуль на ^ (М) и ? (М), то оно есть
нуль и на 5?(М). Пусть К будет тензорное поле типа (г, s)
и х—произвольная точка в М. Чтобы показать, что DK есть
нуль в х, допустим, что V есть координатная окрестность для х
с локальной системой координат х1, ..., хп и что
§ 3. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
39
где Xi = d/dx' и (o-f = dx/. Мы можем продолжить Кп'.'.'. 1/г5, А",-и со'
на М и допустить, что равенство справедливо в меньшей окрест-
окрестности U точки х. Поскольку D может быть локализовано, до-
достаточно показать, что
D {К)\ У.'. JsXi, ® ... <g> Xtr <g> co/« <g) ... (g) со/*) = 0.
Но это будет следовать немедленно, если мы покажем, что Z)co=0
для каждой 1-формы со на М. Пусть Y есть любое векторное поле
и С: StJ (M) —>- $(М) — очевидное свертывание, так что С (У (Я) со) =
= со(К) есть функция (см. пример 2.1). Тогда
0 = D (С (Y ® со)) = С {D (Y (g) со))
= С (DY ® со) + С (Y ® Da) = С (Y ® Deo) = (?>со) (У).
Так как это верно для каждого векторного поля У, то мы имеем
?>со = 0. П
Множество всех дифференцирований алгебры Sfc (M) образует
алгебру Ли над R (бесконечной размерности) относительно естест-
естественного сложения и умножения на скаляр и скобочной опера-
операции, определенной как [D, D']K = D{D'K) — D' (DK). Из предло-
предложения 2.13 следует, что множество всех тензорных полей S
типа A,1) образует подалгебру алгебры Ли дифференцирований
алгебры S(M). В доказательстве предложения 3.3 мы показали,
что дифференцирования для ЗГ(М) индуцируются тензорным по-
полем типа A,1) тогда и только тогда, когда оно есть нуль на
%(М). Отсюда немедленно следует, что если D — дифференциро-
дифференцирование для %{М) и 5 — тензорное поле типа A,1), то [D, 5] есть
нуль на $(М) и потому индуцируется тензорным полем типа A,1).
Другими словами, множество тензорных полей типа A,1) есть
идеал алгебры Ли дифференцирований алгебры S? (M). С другой
стороны, множество дифференцирований Ли Ьх, Х^2Е(М), обра-
образует подалгебру алгебры Ли дифференцирований алгебры %{М)-
Это вытекает из следующего утверждения:
Предложение 3.4. Для любых векторных полей X и Y
L[x, у] —[Lx> Ly].
Доказательство. В силу леммы, доказанной выше, до-
достаточно показать, что \LX, LY] действует так же, как/,^, у], на
$(М) и Х(М). Для /€$(М) мы имеем
[Lx, LY]f = XYf-YXf = [X, Y]f = L[X,nf.
Для Z?3i(M) имеем
[Lx, LY]Z = [X, [Y, Z]]~[Y, [X, Z]] = [[X, Y], Z]
в силу тождества Якоби. ?
Предложение 3.5. Пусть К есть тензорное поле типа
A, г), которое мы. интерпретируем, как в предложении 3,1. Для

40
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
любого векторного поля X тогда ^
(LxK){Y1,...,Yr) = [X,K{Y1,...,Yr)]
-Sf-iKO'i. •"••. [*. Yil •••• Y-rl
Доказательство. Имеем
a('i> • • • > * r) — ci • • ¦ ^г(г109 • • • 09 ^ rQ9A.J»
где Ci, ..., Cr — очевидные свертывания. Используя условия (а)
и (с) предложения 3.2, имеем для любого дифференцирования D
алгебры Ж.(М)
D(K(Ylt ...,Kr))=(
Если D—Lx, то (е) из предложения 3.2 влечет предложение
з.5. а
Обобщая следствие 1.10, получаем
Предложение 3.6. Пусть <pf есть локальная!-параметри-
локальная!-параметрическая группа локальных преобразований, порожденная векторным
полем X. Для любого тензорного поля К мы имеем
Доказательство. По определению
LXK = lira l.[K —
Заменяя К на ф
t -* о
получаем
= Шп }
Д - ф,+Д] = - (d tot
Наша задача поэтому —доказать, что ys(LxK) — Lx(<$sK.), т. е.
Ly/C = Ф^ °Lxoq>s (К) для всех тензорных полей К. Прямой про-
проверкой убеждаемся, что фГг о Lx о cps есть дифференцирование для
д?(М). В силу леммы в доказательстве предложения 3.3 доста-
достаточно показать, что Lx и ф5~х о Lx оф5 совпадают на ^ (М) и iE (M).
Мы уже отметили в доказательстве следствия 1.10, что они со-
совпадают на ?(М). То, что они совпадают на %{М), вытекает
из следующих формул (см. § 1 главы I):
которые справедливы для любого преобразования ф на М, и из
(q>s)tX = X (см. следствие 1.8). ?
Следствие 3.7. Тензорное поле К инвариантно при дейст-
действии q>t для каждого t тогда и только тогда, когда LxK = 0.
Пусть 3)Г(М) — пространство дифференциальных форм степе-
степени г, определенных на М, т. е. кососимметрических ковариант-
§ 3. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
41
ных тензорных полей степени г. Относительно внешнего произ-
произведения 3)(М) = 2?-о2)''(^) образует алгебру над R. Дифферен-
Дифференцирование (соотв. косое дифференцирование или антидифференци-
антидифференцирование) алгебры 3)(М) есть линейное отображение D из 2)(М)
в себя, которое удовлетворяет равенству
D (со Д со') = Z)co Л со' + со Л Dw' для со, со' € 3) (М) (соотв.
?>(соЛсо') = ?>соЛсо' + (— 1)'©л?>а>' для со€ЗУ(ЛГ), со' ??>(М)).
Говорят, что дифференцирование, или косое дифференцирова-
дифференцирование, D алгебры 2)(М) имеет степень k, если оно отображает
<?>Г{М) в ЗУ+*(М) для каждого г. Внешнее дифференпирование d
есть косое дифференцирование степени 1. В качестве общего
результата о дифференцированиях и косых дифференцированиях
для 2)(М) имеем
Предложение 3.8. (а) Если D и D' — дифференцирования
степени k и k' соответственно, то [D, D']—дифференцирование
степени k-\-k'.
(b) Если D—дифференцирование степени k и D' — косое диф-
дифференцирование степени k', то [D, D']—косое дифференцирование
степени k-\-k'.
(c) Если D и D' —косые дифференцирования степени k и k' соот-
соответственно, то DD'-\-D'D—дифференцирование степени k + k'.
(d) Дифференцирование, или косое дифференцирование, полно-
полностью определяется его действием на 2)° (М) = % (М) и ЗЗ^М).
Доказательство. В справедливости (а), (Ь) и (с) убеж-
убеждаемся прямой проверкой. Доказательство (d) аналогично дока-
доказательству леммы для предложения 3.3. ?
Предложение 3.9. Для каждого векторного поля X Lx
есть дифференцирование степени 0 алгебры 33 (М), коммутирующее
с внешним дифференцированием d. Обратно, каждое дифференци-
дифференцирование степени 0 алгебры 3)(УИ), коммутирующее с d, равно Lx
для некоторого векторного поля X.
Доказательство. Заметим сначала, что Lx коммутирует
с альтернированием Л, определенным в примере 3.2. Это выте-
вытекает немедленно из следующей формулы:
..., Уг) = Х(со(У1, . . ., Yr))
доказательство которой такое же, как доказательство предложе-
предложения 3.5. Отсюда LX(?)(M)) cz ?>(Af) и для любых со, co'?3)(Af)
мы имеем
Lx (со Д со') = Lx (А (со (g) со')) = A (Lx (со ® со'))
= A (Lx со (g) со') + А (со (g) Ljjco')
= LyCO Л со'+юЛАх®'-
Чтобы доказать, что Lx коммутирует с d, заметим сначала, что
для любого преобразования ф на М фсо = (ф-*)* со, откуда <р ком-

42
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
мутирует с d. Пусть cpf есть локальная 1-параметрическая группа
локальных преобразований, порожденная полем X. Из <pf (<*»)=,
= d (ф*<о) и определения L^co следует, что Lx (dco) = d (L^co) для
каждой со^З)(М). Обратно, пусть Z) есть дифференцирование
степени 0 алгебры 2) (М), коммутирующее с d. Так как D ото-
отображает 3)° (М) = $ (М) в себя, то оно есть дифференцирование
для $(М) и существует векторное поле X такое, что Df = Xf
для каждой f?%{M). Положим D' =D—Lx. Тогда D' есть диф-
дифференцирование алгебры 3)(Л4) такое, что D'f--= 0 для каждой
/€г?(М). В силу (d) из предложения 3.8 для того, чтобы дока-
доказать D' = 0, достаточно доказать Z)'co = 0 для каждой 1-формы со.
Так же, как в лемме для предложения 3.3, D' может быть лока-
локализовано, и достаточно показать, что Z)'co = 0, когда со имеет
вид fdg, где f, g 6 г? (М) (потому что со локально имеет вид 2 /<¦ *&'
относительно локальной координатной системы х1, ..., х"). Пусть
a> = f.dg. Из D'f = 0 и D'(dg) = d(D'g) = 0 мы получаем
D'(«>) = (D'f)dg+f.D'(dg) = Q. ?
Для каждого векторного поля А" мы определяем косое диф-
дифференцирование i^, называемое внутренним произведением отно-
относительно X, степени — 1 алгебры 2) (М) такое, что
(a) ixf = 0 для каждого /gS)° (М);
(b) i,^co = со (X) для каждого со^Фг(Л1).
По свойству (d) предложения 3.8 такое косое дифференциро-
дифференцирование единственно, если оно существует. Чтобы доказать его
существование, рассмотрим для каждого г свертывание С: &* (М) —>•
—>-jtJ!_i(./W), ассоциированное с парой A,1). Рассмотрим каждую
/•-форму со как элемент из ??(./И) и определим i^co = C(Xg)
Другими словами,
A*оо)(Г» .... Yr-J^r-aiX, Yu .... Yr_t) для Y^
Проверка того, что определенное таким образом ix есть косое
дифференцирование алгебры 2)(М), оставляется читателю: равен-
равенство i^(co Д со') = 1^со Л <°'+(—1 )г © Л i^<»', где cogS)'"(M) и
, легко следует из формулы
где суммирование берется по всем возможным разбиениям
A, ..., r + s) в (j\, ..., }г) и {kx, ...,kf) и е (/; k) означает знак
перестановки A, ..., r + s)-*(]\, ..., /г, kt, ..., ft,).
Поскольку (t3teo) (Kx, .... Уг_2) = г (г-1)- со (X, X, Yit ...
..., ^г-а) = 0, имеем
§ 3. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
43
Следующее предложение дает связь между d, Lx и i^.
Предложение 3.10. (a) Lx = doix+ixod для каждого
векторного поля X;
(b) [Lx, iy] = l[^. У1 для любых векторных полей X и Y.
Доказательство. В силу (с) из предложения 3.8
do ix-\-ixod есть дифференцирование степени 0. Оно коммути-
коммутирует с d, так как d2 = 0. По предложению 3.9 оно равно диф-
дифференцированию Ли относительно некоторого векторного поля.
Чтобы показать, что оно в действительности равно Lx, нам нужно
только показать, что Lxf = (d о ix-\-ix о d)f для каждой функ-
функции f. Но это очевидно, поскольку Lxf == Xf и (do ix-\-ixod) f=
—ix(df) = (df)(X) = Xf. Чтобы доказать утверждение (b),
заметим сначала, что [Lx, iY] есть косое дифференцирование
степени —1 и что [Lx, iK] и i[x, y\ обращаются в нуль на
%(М). В силу (d) предложения 3.8 достаточно показать, что
они одинаково действуют на каждую 1-форму со. Как мы отме-
отметили в доказательстве предложения 3.9, (Z-^co) (У) = X (со (У)) —
— со ([А", У]), что может быть доказано так же, как предложе-
предложение C.5). Отсюда
[Lx, iy]со = Lx (со (У))- l
= X (со (У))-(L^co) (У)
У] СО. ?
В качестве приложения предложения 3.10, мы докажем
Предложение 3.11. Если со есть r-форма, то
Xr)
r+i L*
,XjlX0,..., Xt,.... Xp ..., Xr) *),
где символ " означает, что член опускается. (Случаи г — 1 и 2
особенно полезны.) Если со есть l-форма, то
(da>)(X, У)=4-{Х(ах^(У))-У(со(Х))-со([Х)У])}> X, У?*
Если со есть 2-форма, то
(da>)(X,Y,Z) = ±{X(<o(Y, Z)) + y(co(Z, X)) + Z(<o(X, У))
-со([Х, У], Z)-co([y, Z], X)-o([Z, X],Y)\, X, У, Z
Доказательство. Индукция по г. Если г = 0, то со есть
функция и rfco (А"о) == Хосо, что показывает справедливость выше-
*) См. подстрочное примечание на с. 36.—Прим. перев.

I
44
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
указанной формулы при г = 0. Допустим, что формула верна для
г — 1. Пусть со есть /--форма и, чтобы упростить обозначения,
положим Х — Хй. По (а) предложения 3.10
\)сЬ(Х, Хх Xr) = (i^odco)(X1 Хг)
t, ..., Xr)-(do w) (Х1г ..., Хг).
Как мы отметили в доказательстве предложения 3.9,
и ..., Xr) = X (ш (Xit .... X,))
Поскольку i^«) есть (г—1)-форма, мы имеем в силу индуктив-
индуктивного предположения
и ..., Xlt
Из этих трех формул немедленно следует наше предложение. Q
Замечание. Формулы предложения 3.11 справедливы также
для векторнозначных форм.
Различные дифференцирования позволяют нам строить новые
тензорные поля при помощи заданного тензорного поля. Мы за-
заключим этот раздел, дав другой способ построения новых тен-
тензорных полей.
Предложение 3.12. Пусть А и В—тензорные поля типа
A, 1). Положим
S(X, Y) = [AX, BY] + [BX, AY] + AB[X, Y] + BA[X, Y]
-A[X, BY]-A[BX, Y]-B[X, AY]-В [AX, Y],X,Y^X(M).
Тогда отображение S: ?(M)x?(M) -+i?(M) есть тензорное
поле типа A, 2) и S(X, Y) = — S(Y, X).
Доказательство. Прямым вычислением получаем, что
5 —билинейное отображение $(М)-модуля Л(М)XЖ.(М) в $(М)-
модуль ?(М). По предложению 3.1 5 есть тензорное поле типа
A, 2). S(X, У) = — 5 (Г, X) легко проверяется. П
Мы называем 5 кручением А и В. Конструкция 5 была
открыта Нейенхёйсом [1].
§ 4. ГРУППЫ ЛИ
45
§ 4. Группы Ли
Группа Ли G— это группа, которая в то же время есть диф-
дифференцируемое многообразие такое, что групповая операция
GxG3(#. b)>-*-ab~x?G есть дифференцируемое отображение из
GxG в G. Так как G локально связна, то связная компо-
компонента единицы, обозначаемая G0, есть открытая подгруппа в G,
G0 порождается любой окрестностью единицы е. В частности, это
есть сумма не более чем счетного множества компактных мно-
множеств н она удовлетворяет второй аксиоме счета ости. Отсюда
следует, что G удовлетворяет второй аксиоме счетности тогда и
только тогда, когда факторгруппа G/G0 состоит самое большее
из счетного множества элементов.
Обозначим через La (соотв. Ra) левые (соотв. правые) сдвиги
на G элементом a?G: Lax = ax (соотв. Rax = xa) для каждого
x?G. Для a?G ad а есть внутренний автоморфизм в G, опреде-
определяемый как (ad а)х = аха~х для любого х ? G.
Векторное поле X на G называется левоинвариантным (соотв.
правоинвариантным), если оно инвариантно относительно всех
левых сдвигов Ьа (соотв. правых сдвигов Ra), a?G. Левоинва-
риантное или правоинвариантное векторное поле всегда диффе-
дифференцируемо. Мы определим алгебру Ли g группы G как множе-
множество всех левоинвариантных векторных полей на G с обычным
сложением, умножением на скаляры и скобочной операцией. Как
векторное пространство, g изоморфно касательному пространству
Те (G) в единице, изоморфизм задается отображением, которое
сопоставляет полю Х?$ вектор Хе — значение X в е. Таким
образом, g есть подалгебра Ли размерности п (п = dim G) алгебры
Ли векторных полей 3c(G).
Каждое Л?д порождает (глобальную) 1-параметрическую
группу преобразований в G. Действительно, если <pt есть ло-
локальная 1-параметрическая группа локальных преобразований,
порожденная А, и yte определяется для| /1 < е, то q>ta может
быть определено при \t |<e для каждого a?G и равно Ьа(^е),
так как cpf перестановочно с каждым La в силу следствия 1.8.
Так как q>ta определяется для |^|<е при любом a?G, то сдо
определяется при |/|<оо для каждого a?G. Положим at = fpte.
Тогда at+s — at-as для всех t, s?R. Мы назовем at 1-парамет-
рической подгруппой в G, порожденной элементом А. Другой ха-
характеристикой at является то, что она есть единственная
кривая в G такая, что ее касательный вектор at в at равен LOf Ae
и ао = е. Другими словами, это есть единственное решение диф-
дифференциального уравнения ajlat — Ae с начальным условием
ао — е. Обозначим а^ч^е через ехрЛ. Тогда ехр*Л = а1 для

46
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
всех t. Отображение А —*¦ ехр Л из g в G называется экспоненциаль-
экспоненциальным отображением.
Пример 4.1. GL(n; R) и дГ(л; R). Пусть GL(n; R) есть
группа всех действительных невырожденных пх «-матриц A==(af)
(матрица, элемент которой aj стоит на пересечении г-й строки и
1-го столбца); умножение пусть задается как
А = (af) и В = (&)).
GL(n; R) может рассматриваться как открытое подмножество, а
отсюда и как открытое подмногообразие в R"\ Относительно
этой дифференцируемой структуры GL(n; R) есть группа Ли. Ее
компонента единицы состоит из матриц с положительным опре-
определителем. Множество gl(n; R) всех вещественных яхп-матриц
образует я2-мерную алгебру Ли со скобочной операцией [А, В]—
= АВ — ВА. Известно, что алгебра Ли для GL (n; R) может быть
отождествлена с gl(n; R) и экспоненциальное отображение
gl(n; R) —+ GL(n; R) совпадает с обычным экспоненциальным
отображением ехр А = ЦГ_0 Akjk\.
Пример 4.2. О(п)' и о (я). Группа О (я) всех ортогональ-
ортогональных лх «-матриц есть компактная группа Ли. Ее компонента
единицы, состоящая из элементов с определителем 1, обозна-
обозначается SO(ri). Алгебра Ли о (я) всех косоеимметричных яхп-
матриц может быть отождествлена с алгеброй Ли группы О(п)
и экспоненциальное отображение о (я) —*¦ О (я) есть обычный мат-
матричный экспоненциал. Размерность О(п) есть я (я — 1)/2.
Под подгруппой Ли группы Ли G мы будем понимать под-
подгруппу Я, которая в то же время есть подмногообразие в G
такое, что сама Я есть группа Ли относительно этой дифферен-
дифференцируемой структуры. Левоинвариантное векторное поле на Я
определяется его значением вей этот касательный к Я в е
вектор определяет левоинвариантное векторное поле на G.
Отсюда следует, что алгебра Ли I» Для Я может быть отождеств-
отождествлена с подалгеброй в д. Обратно, каждая подалгебра f) в g есть
алгебра Ли единственной связной подгруппы Ли Я в G. Это до-
доказывается в грубых чертах следующим образом. Каждой точке
x?G мы сопоставляем пространство всех Ах, А ? §. Тогда это—
инволютивное распределение, и максимальное интегральное под-
подмногообразие этого распределения, проходящее через е, есть же-
желаемая группа Я; см. Шевалле [1], с. 109, теорема 1 (с. 160
русского перевода). Итак, имеется взаимно однозначное соот-
соответствие между связными подгруппами Ли в G и подалгебрами Ли
в алгебре Ли д. Сделаем несколько замечаний о несвязных под-
подгруппах Ли. Пусть Я есть произвольная подгруппа группы Ли G.
Наделяя Я дискретной топологией, мы можем рассматривать Я
как 0-мерную подгруппу Ли в G. Это также означает, что под^
группа Я в G может рассматриваться как подгруппа Ли, был»-
§ 4. ГРУППЫ ЛИ
47
может, многими различными способами (т. е. относительно раз-
различных дифференцируемых-структур). Для улучшения этой си-
ситуации мы наложим условие, что Н/Н°, где Я0 — компонента еди-
единицы в Н относительно ее собственной топологии, счетно, или,
другими словами, Я удовлетворяет второй аксиоме счетности.
(Подгруппа с дискретной топологией б G есть подгруппа Ли, только
если она счетна.) При этом условии мы имеем единственность
структуры подгруппы Ли в следующем смысле. Пусть Я есть
подгруппа группы Ли G. Допустим, что Я имеет две дифферен-
дифференцируемые структуры, обозначаемые через Нх и Я2, так что Я
есть подгруппа Ли в G. Если Нх и Я2 удовлетворяют второй
аксиоме счетности, то тождественное отображение Я на себя есть
диффеоморфизм Ях и Я2. Рассмотрим тождественное отображе-
отображение /: НХ~*Н2. Так как компонента единицы для Я2 есть мак-
максимальное интегральное подмногообразие, определяемое алгеб-
алгеброй Ли для Я2, то /: Нх~+Нъ дифференцируемо по предложению
1.3. Сходным образом и /-1: Я2 —>-Ht дифференцируемо.
Каждый автоморфизм ср группы Ли G индуцирует автомор-
автоморфизм ф* ее алгебры Ли д; действительно, если Л^Й. т0 Ф*^
снова есть левоинвариантное векторное поле и ф*[Л, 5]=
=[ф*Л, ф,?] для А, В?%. В частности, для каждого а ? G ad а,
отображающее х в аха~х, индуцирует автоморфизм в д, обозна-
обозначаемый также ad а. Представление а —*¦ ad а, a?G, называется
присоединенным представлением группы G в д. Для каждого
a?G и Л^ЙМы имеем (ada) A = (Ra-*)* А, так как аха'1 =
— LaRa-*x = Ra-iLax и А левоинвариантно. Пусть А, В?% и щ
есть 1-параметрическая группа преобразований в G, порожден-
порожденная Л. Положим at = ехр?Л =ф/(е). Тогда ф< (х) =xat для x?G.
По предложению 1.9 имеем
[В, Л] = lira -J- [Ы. В - В] = hjn 4-
= lim -J-[ad (ar1)^-
t->-o *
Отсюда следует, что если Я—инвариантная подгруппа в G, то
ее алгебра Ли I) есть идеал в д, т. е. Л^Й и В?Ц влечет
[В, Л]€Й- Обратно, связная подгруппа Ли Я, порожденная
идеалом | в д, есть инвариантная подгруппа в G.
Дифференциальная форма со на G называется левоинвариант-
ной, если (La)*co = co для каждого a?G. Векторное простран-
пространство д*, образованное всеми левоинвариантными 1-формами, есть
дуальное пространство алгебры Ли й: если ^€й и cogg*, то
функция со (Л) постоянна на G. Если со есть левоинвариантная
форма, то и dco такова, потому что внешнее дифференцирование
коммутирует с ф*. Из предложения 3.11 мы получаем уравнение

48 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Маурера — Картана
da>(A, B)=—L(o([A, В]) для
и А,
Каноническая l-форма в на G есть левоинвариантная д-знач-
ная 1-форма, единственным образом определяемая соотношением
= А для Лбб-
Пусть Еи ..., ЕТ — базис для д, и положим
Тогда 91 9Г образуют базис пространства левоинвариант-
ных вещественных J-форм на G. Мы положим
где c\k называются структурными константами алгебры g отно-
относительно базиса Ех, . . ., Ег. Легко может быть проверено, что
уравнение Маурера — Картана равносильно уравнению
Теперь мы рассмотрим группы Ли преобразований. Мы гово-
говорим, что группа Ли G есть группа Ли преобразований на мно-
многообразии М или что G действует (дифференцируемо) на М, если
выполняются следующие условия:
A) каждый элемент a?G индуцирует преобразование в М,
обозначаемое х*—>ха, где х?М;
B) G х М Э (а, *) |->.ш € М есть дифференцируемое отображение;
C) х(ab) = (ха)b для всех a, b?G и *?М.
Мы пишем также Rax вместо ха и говорим, что G действует на М
справа. Если мы пишем ах и предполагаем (ab)x — a(bx) вместо
C), то говорим, что G действует на М слева и используем обо-
обозначение Lax вместо ах. Отметим, что Rab = Rb о Ra и Lab = La о Lb.
Из C) и- того, что каждое #а или La — биекция на Af, следует,
что Re и Le — тождественные преобразования на М-
Мы говорим, что G действует эффективно (соотв. свободно)
на Af, если Rax~x для всех jc^jW (соотв. для некоторого х? М)
влечет а — е.
Если G действует на М справа, то мы сопоставим каждому
Лёд векторное поле А* на М следующим образом. Действие
1-параметрической подгруппы а^ = ехр/Л индуцирует векторное
поле на М, которое и будет обозначено Л* (см. § 1).
Предложение 4.1. Пусть группа Ли G действует на М
а
справа. Отображение g Э Л i-> Л* б ? (М) есть гомоморфизм
алгебр Ли. Если G действует эффективно на М, то а есть изо-
§ 4. ГРУППЫ ЛИ
49
морфизм g в Ж{М) (т. е. мономорфизм). Если G действует
свободно на М, то для каждого ненулевого А ? g а (Л) не обра-
обращается в 0 на М.
Доказательство. Сначала мы заметим, что а может быть
определено также следующим образом. Для каждого х ? М пусть
ох есть отображение G Эа*—>ха ? М. Тогда {ах)»Ае = (оА)х. Отсюда-
следует, что сг есть линейное отображение из g в ?(М). Чтобы
показать, что а перестановочно со скобкой, допустим, что
Л, В?%, А* = оА, В* = оВ и at = exptA. По предложению 1.9
имеем
[Л*, В*]= lira -L[B*-RaB*].
t -*¦ о l '
Из того, что Ra+baxaf1 (c) = xaj1cat для c?G, получаем (обозна-
(обозначая дифференциал отображения той же буквой)
(RaiB*)x == Rat о ог«г1 Ве = ах (ad (af1) В.)
и отсюда
[А*, 5-]= lira i-[ахВе -ах (ad (аг1) ВJ]
= G, ([Л,
, В])х
в силу формулы для [А, В] в g в терминах adG. Мы доказали,
что сг есть гомоморфизм алгебры Ли g в алгебру Ли '?(М). До-
Допустим, что а А —0 всюду на М. Это означает, что 1-параметри-
1-параметрическая группа преобразований Ruf тривиальна, т. е. Rat есть
тождественное преобразование в М для каждого t. Если G
эффективна на М, то это влечет, что at — e для каждого / и
отсюда Л = 0. Чтобы доказать последнее утверждение нашего
предложения, допустим, что сгЛ есть нуль в некоторой точке
х?М. Тогда Rat оставляет х неподвижной для каждого /. Если G
действует свободно на М, то это влечет at = e для любого / и
отсюда Л = 0.
Хотя мы определили группу Ли как группу, которая есть
дифференцируемое многообразие такое, что групповая операция
{ab)-+ab~x дифференцируема, мы можем заменить дифференци-
руемость вещественной аналитичностью без потери общности по
следующей причине. Экспоненциальное отображение есть взаимно
однозначное отображение вблизи начала в д, т. е. имеется
открытая окрестность N элемента 0 6 д такая, что ехр есть диф:'
феоморфизм W на открытую окрестность U элемента е ? G (см.
Шевалле [1], с. 118 (с. 170 русского перевода) или Понт-

50
Гл. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
рягин [1], § 56). Рассмотрим атлас на G, состоящий из карт
(Ua, фа), a?G, где сра: Ua—^N есть обратное отображение к
i?e о ехр: N—>-Ua. (Здесь Ua означает RaU и N рассматривается
как открытое множество в R" после отождествления g с R".)
Относительно этого атласа G есть вещественное аналитическое
многообразие и групповая операция (а, Щ—^аЬ'1 вещественно
аналитична (см. Понтрягин [1], с. 320). Позже нам понадо-
понадобится следующее
Предложение 4.2. Пусть G есть группа Ли и Н—замк-
Н—замкнутая подгруппа в G. Тогда факторпространство G/H допускает
структуру действительного аналитического многообразия такую,
что действие G на G/H вещественно аполитично, т. е. отобра-
отображение G х G/H —>- G/H, отображающее (а, ЬН) в аЬН, вещественно
аналитично. В частности, проекция G—*-G/H вещественно ана-
аналитична.
Для доказательства см. Шевалле [1], с. 109—111
(с. 161—163 русского перевода).
Имеется другой важный класс факторпространств. Пусть G
есть абстрактная группа, действующая на топологическом про-
пространстве М справа как группа гомеоморфизмов. Действие G
называется собственно разрывным, если оно удовлетворяет сле-
следующим условиям:
A) если две точки х и х' из М не конгруэнтны по модулю G
(т. е. Rax Ф х' для любого а ? G), то х и х' имеют окрестности
U и U' соответственно такие, что Ra(U){] U' пусто для всех
G
B) для каждого x?G группа изотропии Gx = {a?G; Rax — x\
конечна;
C) каждый х 6 М имеет окрестность U, устойчивую при дей-
действии Gx и такую, что Uf]Ra(U) пусто для каждого a?G, не
содержащегося в Gx.
Условие A) влечет хаусдорфовость факторпространства M/G.
Если действие G свободно, то условие B) автоматически удов-
удовлетворяется.
Предложение 4.3. Пусть G есть собственно разрывная
группа дифференцируемых (соотв. вещественно аналитических)
преобразований, действующая свободно на дифференцируемом
(соотв. вещественно аналитическом) многообразии М. Тогда
факторпространство M/G имеет структуру дифференцируемого
(соотв. вещественно аналитического) многообразия такую, что
проекция я: M—^-M/G дифференцируема (соотв. вещественно
аналитична).
Доказательство. Условие C) влечет, что каждая точка
из M/G имеет окрестность V такую, что я есть гомеоморфизм
каждой связной компоненты в я (V) на V. Пусть U есть связ-
связная компонента в я (V). Выбирая V достаточно малым, мы
§ 4. группы ли
51
можем считать, что имеется допустимая карта (U, ср), где <р:
U—у R", многообразия М. Введем дифференцируемую (соотв.
вещественно аналитическую) структуру в M/G, беря (У, г|)), где
¦ф—композиция я: V—>-~U и ф, как допустимую карту. Про-
Проверка деталей оставляется читателю. П
Замечание. Комплексно аналитический аналог предложе-
предложения 4.3 может быть доказан тем же путем.
Чтобы дать полезный критерий для собственно разрывных
групп, мы определим более слабое понятие разрывной группы.
Действие абстрактной группы G на топологическом простран-
пространстве М называется разрывным, если для каждого jc^M и каж-
каждой последовательности элементов \ап\ из G (где все ап раз-
различны) последовательность {Ranx\ не сходится к точке в М.
Предложение 4.4. Каждая разрывная группа G изомет-
рий метрического пространства М собственно разрывна.
Доказательство. Заметим сначала, что для каждого
х?М орбита xG = {Rax; a?G\ замкнута в М. Пусть задана
точка х' вне орбиты xG, и пусть г есть положительное число
такое, что 2г меньше расстояния между х' и орбитой xG. Пусть
U и t/' —открытые шары радиуса г с центрами в х и х' соот-
соответственно. Тогда Ra(U)r\ U' пусто для всех a?G, что доказы-
доказывает условие A). Условие B) всегда удовлетворяется для раз-
разрывного действия. Чтобы доказать C), допустим, что для каж-
каждого х?М г есть положительное число такое, что 2г меньше, чем
расстояние между х и замкнутым множеством xG — {х\. Доста-
Достаточно теперь взять открытый шар радиуса г с центром х в ка-
качестве U. ?
Пусть G — топологическая группа, а Я —замкнутая подгруппа
в G. Тогда G, а отсюда и любая подгруппа в G действуют на
факторпространстве G/H слева.
Предложение 4.5. Пусть G — топологическая группа, а Н —
ее компактная подгруппа. Тогда действие каждой дискретной
подгруппы D из G на G/H (слева) разрывно.
Доказательство. Допустим, что действие D не разрывно,
и пусть х и у — точки в G/H, a \dn\ — последовательность раз-
различных элементов в D такая, что dnx сходится к у. Пусть р:
G'-^G/H есть проекция, тогда х = р(а) и у — р(Ь), где a, b?G.
Пусть V — окрестность единицы e?G такая, что bVW~lV~1b~x не
содержит элементов из D, отличных от е. Поскольку рFУ)есть
окрестность у, то существует целое число N такое, что
dnx6 р (bV) для всех п > N, откуда dnaH = р-1 [dnx)czp-x (p (bV)) =
== bVH для п > N. Для каждого п~> N существуют v„ 6 V и
hn?H такие, что dna — bvjxn. Так как Н компактна, то можем
считать (беря подпоследовательность, если необходимо), что hn
сходится к h?H и отсюда hn = unh для n>N, где un?V. Мы
имеем поэтому dn = bvnunha~t для n>N. Следовательно,

52
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
dldf1^bVW~lV-lb-'1, если i, j > N. Это означает dt = df, если i,
j > N, что противоречит нашему предположению, ?
В приложениях теории групп Ли преобразований к диффе-
дифференциальной геометрии бывает важно показать, что определен-
определенная заданная группа дифференцируемых преобразовании много-
многообразия может быть превращена в группу Ли преобразований при
помощи введения на ней подходящей дифференцируемой струк-
структуры. За доказательством следующей теоремы мы отсылаем чита-
читателя к книге Монтгомери и Зиппина [1], с. 208, 212.
Теорема 4.6. Пусть G есть локально компактная эффек-
эффективная группа преобразований связного многообразия М класса Ск,
1 =^&^со, и пусть каждое преобразование из G будет класса С1.
Тогда G есть группа Ли и отображение GxM —>-М будет
класса Ck.
Мы докажем следующий результат, по существу принадле-
принадлежащий ван Данцигу и ван дер Вардену [1].
Теорема 4.7. Группа G изометрий связного локально ком-
компактного метрического пространства М локально компактна
относительно компактно открытой топологии.
Доказательство. Вспомним, что компактно открытая
топология на G определяется следующим образом. Для любого
конечного числа пар (Kt, Ut) компактных подмножеств К.{ и
открытых подмножеств U; в М пусть W = W(Ki, •••, Ks; Uiy
..., Us) = {cp€G; ф(AT,)сUt для i = 1, ...,s}. Тогда множества W
такого вида берутся в качестве базы открытых множеств в G.
Поскольку М регулярно и локально компактно, групповое умно-
умножение GxG —+G и групповое действие Gх М—>М непрерывны
(см. Стинрод [1], с. 19). Непрерывность отображения (ЗЭф1—>
H-s-<p-J?G будет доказана с использованием предположений тео-
теоремы 4.7, хотя она следует из более слабого предположения
(см. А р енс [1]).
Каждое связное локально компактное метрическое простран-
пространство удовлетворяет второй аксиоме счетностл (см. приложение 2).
Так как М локально компактно и удовлетворяет второй аксиоме
счетности, то и G удовлетворяет второй аксиоме счетности. Это
оправдывает использование последовательностей при доказа-
доказательстве локальной компактности G; см. Келли [1], с. 138 (с. 197
русского перевода). Доказательство распадается на несколько
лемм.
Лемма 1. Пусть а?М, а е> 0 таково, что U (a; е) = {х?М;
d(a, х) < е} имеет компактное замыкание (где d—расстояние).
Обозначим через Va открытую окрестность U (а; е/4) точки а.
Пусть ф„ — последовательность изометрий такая, что q>n(b) схо-
сходится для некоторой точки b?Va. Тогда существует компактное
множество К и целое число N такие, что ф„ (Va) cz К для любого
n>N.
§ 4. ГРУППЫ ЛИ
53
Доказательство. Выберем N так, что n>N влечет
Ф), ф.у(^))<е/4. Если x?Va и n>N, то имеем
(x), ф„(а))<<*(ф„(х), <pn(b))+d(cpn(b), <pMb))+d(q>N(b), cpN(a))
= d(x, b) + d(<pn(b), <pN(b)) + d(b, a)<e,
используя то, что ф„ и q>N—изометрий. Это означает, что q>n(Va)
содержится в U (<pN(a); e). Но U(q>N(a); e)=><pI/(U(a; e)), так как
Фдг—изометрия. Итак, замыкание К для U(cpN(a); &) = cpN(U(a; e))
компактно и cpn(Va)czK для я> N.
Л е м"м а 2. В обозначениях леммы 1 допустим, что снова ф„ (Ь)
сходится для некоторого Ь 6 Va. Тогда существует подпоследова-
подпоследовательность фвй последовательности ~ср„ такая, что упЛх) схо-
сходится для каждого х ? Va.
Доказательство. Пусть {Ьп} — счетное множество, плот-
плотное в Va. (Такое \Ь„\ существует, потому что М сепарабельно.)
По лемме 1 имеется N такое, что <pn(Va)c:K для п > N. В част-
частности, (pn(bj)^K- Выберем подпоследовательность ф1й такую,
что Ф1,*(&1) сходится. Из этой подпоследовательности' выберем
подпоследовательность ф2)й такую, что ф2,йF2) сходится, и т. д.
Диагональная последовательность фА,йF„) сходится для каждого
п = 1, 2, ... Чтобы доказать, что <pk,k(x) сходится для каждого
x?Va, мы изменим обозначение и можем принять, что ф„ F,-)
сходится для каждого 1=1,2, ... Пусть x?Va и S > 0. Выбе-
Выберем Ъ{ такое, что d(x, bt) < 6/4. Имеется Л/^ такое, что й
Фи Фд) < 5/4 Для п, т > Nt. Тогда
<d(Фв (х), Фп (&,)) + d (Фв F,.). фи (bt))+d(ф„ Фд, Фи (х))
= 2d (х, bt) + d (Фв (bt), Фи F,.)) < в,
так что срп(х) есть последовательность Коши. С другой стороны,
лемма 1 гласит, что <рп (х) есть элемент компактного множества К
для всел n>N. Итак, ф„(#) сходится.
Лемма 3. Пусть ф„—последовательность изометрий такая,
что ф„ (а) сходится для некоторой точки а?М. Тогда сущест-
существует подпоследовательность q>nk такая, что ф„й (х) сходится для лю-
любого х?М (здесь существенно используется связность М).
Доказательство. Для каждого х?М пусть Vx = U(x; e/4)
таково, что U (х; е) имеет компактное замыкание (это е может
меняться от точки к точке, но мы выбираем по одному такому е
для каждого х). Мы определяем цепь как конечную последова-
последовательность открытых множеств V,- таких, что: A) каждое V: вида Vx
для некоторого х; B) Уг содержит а; C) V{ и V;+i имеют общую
точку. Мы утверждаем, что каждая точка у?М принадлежит
последнему члену некоторой цепи. Действительно, легко видеть,
что множество таких точек у открыто и замкнуто и совпадает
с М, так как последнее связно.

54 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Учтя вышесказанное, выберем счетное множество {&,}, плотное
в М. Для Ьг пусть Vlt V2, ..., Vs есть цепь с Ьг ?VS. По условию
Ф„(а) сходится. По лемме 2 можем выбрать подпоследователь-
подпоследовательность (которую можем по-прежнему обозначать ф„) такую, что
<рп(х) сходится для каждого x?Vx. Так как Уг(\У2 не пусто, то
лемма 2 позволяет выбрать подпоследовательность, сходящуюся
для каждого x?V2, и т. д. Итак, первоначальная последователь-
последовательность ф„ имеет подпоследовательность cpuk такую, что ф!,*^)
сходится. Из этой подпоследовательности' можем далее выбрать
подпоследовательность ф2>й такую, что q>z,k(b2) сходится. Как и
в доказательстве леммы 2, получаем диагональную подпоследо-
подпоследовательность fpk^k такую, что Фй,б(^л) сходится для каждого п.
Обозначим эту диагональную подпоследовательность ц>п, изменив
обозначения. Итак, ц>п(Ь;) сходится для каждого bt.
Мы теперь хотим показать, что <рп(х) сходится для любого
х € М. В Vx имеется некоторое bit так что существует N и ком-
компактное множество К такое, что ф„ (Vx)czK для п > N, по лемме 1.
Рассуждая, как и во второй половине доказательства леммы 2,
мы можем доказать, что ф„ (х) есть последовательность Коши.
Поскольку q>n(x)?K для n>N, заключаем, что у„(х) сходится.
Ле'мма 4. Допустим, что ф„ есть последовательность изо-
метрий такая, что <рп(х) сходится для каждого х?М. Определим
ф(лс) = Шп <р„(х) для каждого х. Тогда ф есть изометрия.
Доказательство. Ясно, что d(y(x), (p(y)) = d(x, у) для
любых х, у?М. Для любого а?М пусть а' = ф(а). Из
<^(ф~1оф(а), a) = d(q>(a), фга(о)) следует, что фй1^') сходится к а.
По лемме 3 существует подпоследовательность фп такая, что
фГх (г/) сходится для каждого у?М. Определим отображение i|)
ft
как a|;(t/) = lim фй1 (г/). Тогда i|) сохраняет расстояние, т. е.
=d(#, у) для любых х, у?М. Из
d (Ир (ф (*)), х) = d
Hm ф-1 (Ф (х)), х
\ = lim d (ф^1 (ф (
k—> оо
следует, что г|)(ф (#))=# для каждого Jf^ М- Это означает, что ф
отображает М на М. Поскольку ф сохраняет расстояние и ото-
отображает М на М, ф существует и, очевидно, равно ф, так что
ф —изометрия.
Лемма 5. Пусть ф„ — последовательность изометрий и ц> —
изометрия. Если q>n'(x) сходится к q>(x) для каждого х? М, то
сходимость равномерна на каждом компактном подмножестве К
из М.
4. ГРУППЫ ЛИ
55
Доказательство. Пусть задано б > 0. Для каждой точки
а?К выберем целое число Na такое, что n^>Na влечет d(q>n(a),
ф(а))<б/4. Пусть Wa=U(a; 6/4). Тогда для любого x?Wa и
п > Afa имеем
d(q>n(x), q>(x))^id(q>n(x), Ф„(а)) +d(Фв(a), cp(a)) + d(q>(a), Ф (*))
< U (х, а) + 6/4 < б.
Теперь К может быть покрыто конечным числом множеств вида Wa,
скажем W{= Wa., i = 1, .... s. Отсюда следует, что если
я> тах,-{Ма.}, то
d((pn(x), ф(х)) < б для каждого х?К-
Лемма 6. Если ср„(х) сходится к ср(х), как в лемме 5, то
(рпг(х) сходится к (р~г{х) для любого х?М.
Доказательство. Для любого х?М пусть y = q>~1(x).
Тогда
, Фв (у)) -* 0.
» (х), ф (х)) = d (ф^-1 (Ф (у)), y) =
Мы теперь завершим доказательство теоремы 4.7. Сначала
заметим, что ф„ —>¦ ф относительно компактно открытой топологии
эквивалентно равномерной сходимости ф„ к ф на каждом ком-
компактном подмножестве из М. Если ф„ —>- ф в G (относительно
компактно открытой топологии), то лемма 6 влечет фй1 (х) —>- ф (х)
для каждого х?М, и сходимость равномерна на каждом ком-
компактном подмножестве по лемме 5. Итак, фй1 —*-ф~г в G. Это
означает, что отображение G—>-G, которое отображает ф в ф,
непрерывно.
Чтобы доказать, что G локально компактно, допустим, что
а?М и U — открытая окрестность точки а с компактным замы-
замыканием. Мы покажем, что окрестность W = W (a; U) — \cp^ G;
Ф (а) 6 U) единицы G имеет компактное замыкание. Пусть ф„ —
последовательность элементов в W. Поскольку ф„ (а) содержится
в компактном множестве U — замыкании U, по лемме 3 мы можем
выбрать подпоследовательность ф„6 такую, что ф„й(х) сходится
для любого х?М. Отображение ф, определенное как ф (х)
= lira ф„ (х), есть изометрия в М по лемме 4. В силу леммы 5
Фп ^^Ф равномерно на каждом компактном подмножестве в М,
т. е. фя. —<- Ф в G, что и доказывает, что W имеет компактное
замыкание. ?
Следствие 4.8. В условиях теоремы 4.7 подгруппа изотро-
изотропии Ga= {ф€<3; ф(а) = а| группы G в точке а компактна для
каждого а?М.
Доказательство. Пусть ф„ — последовательность элемен-
элементов из Ga. Так как у„(а)=а для любого п, то в силу лемм 3,

56
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 5. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
57
4 и 5 существует подпоследовательность ф„ , сходящаяся к эле-
элементу cp?Ga. ?
Следствие 4.9. Если М—локально компактное метрическое
пространство с конечным числом связных компонент, то группа G
изометрий в М локально компактна относительно компактно
открытой топологии.
Доказательство. Разложим М на связные компоненты
Mi3 M = Uf=1 M;. Выберем точку а,- в каждом Mt и открытую
окрестность Ut точки я,- в M.t с компактным замыканием. Тогда
W {alt ...,as; Uv -.., Us) = {ср 6 G; <p (a,) € Ut для i = 1, ..., s)
есть окрестность единицы в G с компактным замыканием. ?
Следствие 4.10. Если в дополнение к условиям следствия 4.9
М компактно, то G компактно.
Доказательство. Пусть G* = {<p? G; ф(М,-) = Мх- для i — \,
..., s\. Тогда G* есть подгруппа в G конечного индекса. В дока-
доказательстве следствия 4.9 пусть Ul• = М,-, тогда G* компактно.
Поэтому G компактно. ?
§ 5. Расслоенные пространства
Пусть М — многообразие, а G — группа Ли. Главное расслоен-
расслоенное пространство или, короче, главное расслоение (дифференци-
(дифференцируемое) над М с группой G состоит из многообразия Р и дейст-
действия G на Р, удовлетворяющих следующим условиям:
A) G действует свободно на Р справа:
(и, a)€PxG-+ua = Rau?P;
B) М есть факторпространство для Р по отношению экви-
эквивалентности, индуцированному группой G, M—P/G, и канони-
каноническая проекция л: Р —>- М дифференцируема;
C) Р локально тривиально, т.е. каждая точка х?М имеет
окрестность U такую, что л~г (U) изоморфно UxG в том смысле,
что существует диффеоморфизм я|;: я (U)—>-UxG такой, что
¦ф(и) = (я(«), Ф (и)), где ф — отображение из л-1 (U) в G, удовлет-
удовлетворяющее условию ф(иа) = (ф(и))а для всех и ^л~х (U) и a?G.
Главное расслоенное пространство будет обозначаться Р (М,
G, л), Р (М, G) или просто Р. Мы называем Р тотальным про-
пространством или пространством расслоения, М — базисным про-
пространством, G — структурной группой и л — проекцией. Для
каждого х?М л~г(х) есть замкнутое подмногообразие в Р, назы-
называемое слоем над х. Если « — точка из л~г(х), то я (х) есть
множество точек иа, a?G, и называется слоем через и. Каждый
слой диффеоморфен G.
Пусть задана группа Ли G и многообразие М, а G действует
свободно на P=MxG справа так. Для каждого b?G Rb ото-
отображает (х, a)?MxG в (х, ab)?MxG. Так полученное главное
расслоенное пространство Р (М, G) называется тривиальным.
Из локальной тривиальности Р (М, G) видно, что если W —
подмногообразие в М, то я (Ц7) (W, G) есть главное расслоен-
расслоенное пространство. Мы называем его порцией Р над W или суже-
сужением Р на W и обозначаем Р \ W.
Если задано главное расслоение Р (М, G), то по предложе-
предложению 4.1 действие G на Р индуцирует гомоморфизм а алгебры Ли
g группы G в алгебру Ли ?(Р) векторных полей на Р. Для каж-
каждого Л ? g А* = о(А) называется фундаментальным векторным
полем, соответствующим А. Поскольку действие G отображает
каждый слой в себя, Л„ касается слоя в каждой точке и?Р.
Так как G действует свободно на Р, А* никогда не есть нуль
на Р (если А =7^=0) по предложению 4.1. Так как размерность
каждого слоя равна размерности яд, то отображение А —>- (А*)а
из д в Та (Р) есть линейный изоморфизм д на касательное про-
пространство в и к слою через и. Мы докажем
Предложение 5.1. Пусть А* — фундаментальное вектор-
векторное поле, соответствующее А ? д. Для каждого a?G (¦/?„)» А* есть
фундаментальное векторное поле, соответствующее (ad (a)) A ? д.
Доказательство. Поскольку А* индуцируется 1-пара-
1-параметрической группой преобразований Raf, где at = exptA, век-
векторное поле (Ra)*A* индуцируется 1-параметрической группой
преобразований Rao Rat о Ra-i=Ra-'ata по предложению 1.7. Наше
утверждение следует из того, что a~1ata есть 1-параметрическая
группа, порожденная (ad (а~г)) А ? д.
Понятие фундаментального векторного поля окажется полез-
полезным в теории связностей.
Для того чтобы связать наше внутреннее определение глав-
главного расслоения с определением и конструкцией при помощи
открытого покрытия, нам необходимо понятие функций перехода.
В силу C) для главного расслоения Р(М, G) можно выбрать
открытое покрытие {Ua\ на М, где каждое я (Ua) наделено
диффеоморфизмом и—>-(л(и), фа («)) из я~1(^/а) на UaxG таким,
что фа (иа) = (фа («)) а.
Если и^п-ЧС/аПи^), то фР(иа)(фа(иа))-1 = фр(«)(фа(и))-1,
а это показывает, что фР (и) (фа (и)) зависит только от я (и),
а не от и. Мы можем определить отображение i3ppa: Uar\U$—*G
как 1Фра(я;(и))=фр(и)(фа («))~х. Семейство отображений %а на-
называется семейством функций перехода расслоения Р(М, G),
соответствующим открытому покрытию \Ua\ на М. Легко про-
проверить, что
(*)
= ФуВ (¦*) • %<* (X) ДЛЯ X 6 Uа. Г) ?/р Г)
Обратно, мы имеем

58
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Предложение 5.2. Пусть М—многообразие, {?/«} — откры-
открытое покрытие на М,а G— группа Ли. Если задано отображение
¦фра: Uа. Л ?/р —>¦ G для каждого непустого Ua Л ?/р такое, что (*)
удовлетворяется, то можно построить {дифференцируемое) глав-
главное расслоение Р (М, G) с функциями перехода г|5ра.
Доказательство. Сначала заметим, что соотношение (*)
влечет tyaa.(x)=e для каждого x^Ua и фар(х)tya(х) = е для
каждого х? UаЛ U&• Пусть Ха = UaxG для каждого индекса а,
и пусть X = Ua^a — топологическая сумма всех Ха; каждый
элемент из X есть тройка (а, х, а), где а — некоторый индекс,
x?Ua. и a?G. Так как каждое Ха— дифференцируемое много-
многообразие и X — раздельное объединение всех Ха, то X — диффе-
дифференцируемое многообразие. Введем отношение эквивалентности р
в X так. Скажем, что (а, х, а)?\а\хХа эквивалентно
(Р, «/. &N{Р}хХр, тогда и только тогда, когда х = у ?Uaf\ U$ и
b = i|5pa (х) а. Заметим, что (а, х, а) и (а, у, Ь) эквивалентны
тогда и только тогда, когда х — у и а = Ь. Пусть Р— фактор-
пространство для X по отношению эквивалентности р. Мы сна-
сначала покажем, что G действует свободно на Р справа и что
P/G — М. По определению каждое c?G отображает класс
р-эквивалентности элемента (а, х, а) в класс р-эквивалентности
элемента (а, х, ас). Легко видеть, что это определение не зави-
зависит от выбора представителя (а, х, а) и что G действует сво-
свободно на Р справа. Проекция я: Р—>~ М по определению ото-
отображает класс р-эквивалентности элемента (а, х, а) в х; опреде-
определение я не зависит от выбора представителя (а, х, а). Для и,
v?P я (и) = я (v) тогда и только тогда, когда v = uc для некото-
некоторого c?G. Действительно, пусть (а, х, а) и ф, у, Ь) — предста-
представители для и я v соответственно. Если v=uc для некоторого
c?G, то у = х и отсюда n(v) — n(u). Обратно, если п(и)~х=--
=у — п (v) ? Uа. П ?/р, то v = uc, где c = a-1tya(x)~1b? G. Для того
чтобы превратить/* в дифференцируемое многообразие, мы сначала
отметим, что естественным отображением X —>¦ Р = Х/р каждое
Xa = ?/axG отображается взаимно однозначно на n~1(f/a)- Мы
введем дифференцируемую структуру в Р, требуя, чтобы п~1 (Ua.)
было открытым подмногообразием в Р и чтобы отображение X —*¦ Р
индуцировало диффеоморфизм из Xa = UaxG на я~х(?/а). Это
возможно, так как каждая точка из Р содержится в я (Ua)
для некоторого а и отождествление (а, х, а) с (р\ х, фра (х) а)
осуществляется при помощи дифференцируемых отображений.
Легко проверить, что действие G на Р дифференцируемо и что
Р (М, G, я) есть дифференцируемое главное расслоение. Наконец,
функции перехода для Р, соответствующие покрытию \Ua), суть
в точности заданные i|;ga, если мы определим г|5а: я-1 (Ua) -—>- UaXG
как фа (и) = (х, а), где и^я~1({/) есть класс р-эквивалентности
элемента (а, х, а). ?
§ 5. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
59
Гомоморфизм f главного расслоения Р' (М', G') в другое
главное расслоение Р(М, G) состоит из отображения /': Р' —>-Р
и гомоморфизма /": G' -+G таких, что f (u'a') = f (u')f'{а") для
всех и' ?Р' и а' ? G'. Ради простоты мы обозначим /' и /" той
же буквой /. Каждый гомоморфизм /: Р' —*¦ Р отображает каж-
каждый слой из Р' в слой из Р и поэтому индуцирует отображение
из М' в М, которое тоже будет обозначаться /. Гомоморфизм
f: P'(M', G') —-ь Р (М, G) называется вложением или инъекцией,
если индуцированное отображение /: М' —> М есть вложение и
если /: G' —+G — мономорфизм. Отождествляя Р' с f (P1), G' с
f(G') и М' с f(M'), мы говорим, что Р'(М', G') есть подрос-
слоение для Р(М, G). Если сверх того М'=М, а индуцирован-
индуцированное отображение /: М' -—>- М есть тождественное преобразование
на М, то /: Р' (М', G')-+P(M, G) называется редукцией струк-
структурной группы G расслоения Р(М, G) к подгруппе G'. Подрас-
слоение Р' (М, G') называется редуцированным расслоением. Если
задано Р(М, G) и подгруппа Ли G' в G, то мы говорим, что
структурная группа G редуцируема к G', если существует реду-
редуцированное расслоение Р' (М, G'). Заметим, что мы не требуем,
вообще говоря, чтобы G' была замкнутой подгруппой в G. Эта
общность необходима в теории связностей.
Предложение 5.3. Структурная группа G главного расслое-
расслоения Р(М, G) редуцируема к подгруппе Ли G' тогда и только тогда,
когда существует открытое покрытие {Ua.} на М с множеством
функций перехода %а, принимающих значения из G'.
Доказательство. Предположим сначала, что структурная
группа G редуцируема к G', и пусть Р' (М, G') есть редуциро-
редуцированное расслоение. Рассмотрим Р' как подмногообразие в Р.
Пусть \Ua\ — открытое покрытие на М такое, что каждое я' (Ua.)
(я' —проекция Р' на М) наделено изоморфизмом и—->-(я'(и),
Ф„(и)) из я'~1(иа) на UaxG'. Соответствующие функции пере-
перехода принимают значения из G'. Теперь для того же самого
покрытия {Ua\ мы определяем изоморфизм из я~1((/а) (я —про-
—проекция Р на М) на UuXG при помощи продолжения ф„ следую-
следующим образом. Каждое y^n~1(f/a) может быть представлено
в виде y = ua для некоторого ц^я'((/а) и a?G, и мы положим
ф« (v) = ера (и) а. Легко видеть, что фа(^) не зависит от выбора
представления v—ua. Мы видим тогда, что v—+(n(v), ya(v)) есть
изоморфизм из n~1(Ua) на UaxG. Соответствующие функции
перехода фра (х) = фэ (v) (фа (v))'1 = фр (и) (фа (и))'1 принимают зна-
значения из G'.
Обратно, допустим, что существует покрытие {Ua\ на М
с множеством функций перехода г|5ра, принимающих значения
в подгруппе Ли а' из G. Для иаГ\и$Фф г|5ра есть дифферен-
дифференцируемое отображение из Ua(] U$ в группу Ли G такое, что
С^а П f/(i)cG'. Решающим обстоятельством является то, что

60
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
if>pa есть дифференцируемое отображение из Uа П ?/р в G' отно-
относительно дифференцируемой структуры на G'. Это следует из
предложения 1.3; отметим, что подгруппа Ли по определению
удовлетворяет второй аксиоме счетности, см. § 4. По предложе-
предложению 5.2 мы можем построить главное расслоение Р'(Mi G') при
помощи {Ua\ и {%<*}• Наконец, мы вложим Р' в Р так. Пусть
fa- я'~1(^/а) —-ъя (Ua) есть композиция следующих трех ото-
отображений:
я' (Ua) — Ua х G' — Ua х G — я-1 (f/a).
Легко видеть, что /а = /р на я' 1(f/aD^p) и что отображение /:
Р'—>-Р, так определенное через {/а}» есть инъекция. ?
Пусть Р (М, G)— главное расслоение, а F — многообразие, на
котором G действует слева: GxF^(a,\)—>-a?,?F. Мы построим
расслоение Е(М, F, G, Р), ассоциированное с Р, со стандартным
слоем F. На произведении многообразий Р х F мы определим
действие G справа так: элемент a?G отображает (u,?,)?PxF
в (иа, a!) ?PxF. Факторпространство для PxF относительно
такого группового действия обозначается Е = Рх gF- Диф-
Дифференцируемая структура будет введена в Е позже, в настоя-
настоящий момент Е — лишь множество. Отображение PxF—>-М,
переводящее (и, |) в я (и), индуцирует отображение пЕ, называе-
называемое проекцией, из Е на М. Для каждого х 4. М множество я^1 (х)
называется слоем в Е над х. Каждая точка х^М имеет окрест-
окрестность U такую, что n~1(U) изоморфно UxG. Отождествляя
я (U) с UxG, видим, что действие G на я (U)xF справа
задается как (х, а, |) н-> (х, ab, b-1\) для (х, а, I) ? U x G x F и
b?G. Отсюда следует, что изоморфизм я (U)« UxG индуци-
индуцирует изоморфизм Я?1({/) «* UxF. Мы можем поэтому ввести
дифференцируемую структуру в Е требованием, что я^1 (U) есть
открытое подмногообразие в Е, диффеоморфное с UxF относи-
относительно изоморфизма nE1(U)mUxF. Проекция пЕ есть тогда
. дифференцируемое отображение Е на М. Назовем Е или, точнее,
Е(М, F, G, Р) расслоением над базой М со (стандартным) слоем
F и (структурной) группой G, ассоциированным с главным рас-
расслоением Р.
Предложение 5.4. Пусть P(M,G) — главное расслоение,
a F—многообразие, на котором G действует слева. Пусть
E(M,F,G,P) — расслоение, ассоциированное с Р. Для каждого
и?Р и каждого %?F обозначим через и (|) образ элемента (и, |) ?
?PxF при действии естественной проекции PxF —>-Е. Тогда
каждое и?Р есть отображение из F на Fx = ne1(x), где х — п(и)
и (иа)Ъ = и(а1) для и?Р, a€.G,l?F.
Доказательство тривиально и оставляется читателю.
Под изоморфизмом слоя Fx = ne1 (x), х?М, на другой слой
F , у?М, мы понимаем диффеоморфизм, представимый в форме
§ 6. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
61
вон \ где и?я г {х) и v ? я*1 (у) рассматриваются как отобра-
отображения из F на Fx и Fy соответственно. В частности, автомор-
автоморфизм слоя Fx — это отображение вида uov~x с и, v^_n~1(x).
В этом случае v = ua для некоторого a?G, так что любой авто-
автоморфизм для Fx может быть представлен в виде и о а о и~г, где
и — произвольно фиксированная точка в я^). Группа авто-
автоморфизмов для Fx поэтому изоморфна структурной группе G.
Пример 5.1. G(G/H,H). Пусть G — группа Ли, а Я—ее
замкнутая подгруппа. Определим действие Н на G справа так:
каждое а ? Н отображает и б G в иа. Тогда мы получаем диф-
дифференцируемое главное расслоение G (G/H, Н) над базисным
многообразием GjH со структурной группой Н; локальная три-
тривиальность следует из существования локальных сечений.
У Шевалле [1], с. 110 (с. 162 русского перевода) доказывается,
что если я —проекция G на GjH и е — единица в G, то сущест-
существует отображение а окрестности элемента я (е) из GjH в G такое,
что я о а есть тождественнее преобразование окрестности. См.
также Стинрод [1], с. 28—33.
Пример 5.2. Расслоение линейных реперов. Пусть М —
многообразие размерности п. Линейный репер и в точке х?М —
это упорядоченный базис Xlt ..., Хп касательного пространства
ТХ(М). Пусть L (М) — множество всех линейных реперов и во
всех точках М, и пусть я —отображение из L(M) на М, кото-
которое отображает линейный репер и точки х в х. Общая линейная
группа GL(n; R) действует на L(M) справа так. Если a = (aj)?
g GL (n; R) и и = (Х1, ..., Х„) — линейный репер в х, то иа есть
по определению линейный репер {Yx Yn) в х, определяемый
как Yj = ^ilaijXi. Ясно, что GL(n;R) действует свободно на
L (М) и я (и) — я (v) тогда и только тогда, когда v = иа для
некоторого a?GL(n; R). Теперь для того, чтобы ввести диф-
дифференцируемую структуру в L(M), предположим, что (х1, ..., хп)—
локальная координатная система в координатной окрестности
U в М- Каждый репер и в х?М может быть представлен един-
единственным образом в виде и = (Х1г ...,Хп) с Xi = ^PtkX'i(dldXk),
где (X*) — невырожденная матрица. Это показывает, что я (U)
биективен с UxGL(n; R). Мы можем превратить L(M) в диф-
дифференцируемое многообразие, беря (л:-') и (Х*[) за локальную
координатную систему в я^). Теперь легко проверить, что
L (М) (М, GL (n; R)) есть главное расслоение. Мы называем L (М)
расслоением линейных реперов над М. Ввиду предложения 5.4
линейный репер и в точке х ? М может быть определен как
невырожденное линейное отображение из R" на ТХ(М). Эти два
определения связаны друг с другом так. Пусть е1г ..., еп — естест-
естественный базис в R": е± = A, 0, .. ., 0), ...,е„ = @, ...,0,1).
Линейный репер и = (Xit ..., Хп) в х может быть задан как
линейное отображение и: R" —+¦ Тх (М) такое, что uet = Xt для

62
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
i = 1, . .., п. Действие GL (я; R) на L (М) может быть соответст-
соответственно интерпретировано так. Рассмотрим а = (а}) ?GL(n; R) как
линейное преобразование в R", отображающее еу- в ->],-а/е^.
Тогда иа: R" —>¦ Тх (М) есть композиция следующих двух отобра-
отображений:
R" —>¦ R"
ТХ(М).
Пример 5.3. Касательное расслоение. Пусть GL(n;R) дей-
действует на R", как и выше. Касательное расслоение Т (М) над
М — это расслоение, ассоциированное с L(M), со стандартным
слоем R". Легко показать, что слой в Т (М) над х ? М может
рассматриваться как ТХ(М).
Пример 5.4. Тензорные расслоения. Пусть Т?—тензорное
пространство типа (г, s) над векторным пространством R", как
определено в § 2. Группа GL (я; R) может рассматриваться как
группа линейных преобразований пространства Т? по предложе-
предложению 2.12. Мы получаем тензорное расслоение Trs(M) типа (г, s)
над М со стандартным слоем Т?, ассоциированное с L(M). Легко
видеть, что слой в Trs(M) над х?М можно рассматривать как
тензорное пространство над ТХ(М) типа (г, s).
Возвращаясь к общему случаю, допустим, что Р (М, G) —¦
главное расслоение, а Н— замкнутая подгруппа в G. Есгествен-
ным образом G действует на факторпространстве G/H слева.
Пусть Е (М, GIH, G, Р) — ассоциированное расслоение со стан-
стандартным слоем GjH. С другой стороны, Н, будучи подгруппой
в G, действует на Р справа. Пусть Р/Н—факторпространство
для Р относительно этого действия //.^Тогда имеем
.Предложение 5.5. Расслоение Е'х а (G/H), ассоциированное
с Р, со стандартным слоем G/H может быть отождествлено
с Р/Н так. Элемент из Е с представителем вида (и, о|0) ? Р X G/H
отображается в элемент из Р/Н с представителем вида иа?Р,
где a?G и ?0 — начало в G/H, т. е. класс Н.
Следовательно, Р (Е, Н) есть главное расслоение над базой
Е=Р/Н со структурной группой Н. Проекция Р—+Е отобра-
отображает и?Р в uto?E, где и рассматривается как отображение
стандартного слоя G/H в слой из Е.
Доказательство. Доказательство непосредственное, за
исключением локальной тривиальности расслоения Р(Е,Н), что
следует из локальной тривиальности Е {М, G/H, G, Р) и G {G/H, H)
так. Пусть f/ —открытое множество из М такое, что я?1 (U)да
да UxG/H, и пусть V — открытое множество в G/H такое, что
p-^F) да Fx#, где р: G—+G/H — проекция. Пусть W — откры-
открытое множество в n^{U)cE, соответствующее UxV при отож-
отождествлении Яях(?/) да U xG/H. Если [л: Р —*- Е =Р/Н — проекция,
то ii-1 (W)^WxH. О
§ 5. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
63
Сечение расслоения Е (М, F, G, Р)—это отображение а: М —>-Е
такое, что пЕ о а — тождественное преобразование в М. Для
самого Р (М, G) сечение а: М —¦»- Р существует тогда и только
тогда, когда Р — тривиальное расслоение MxG (см. Стин-
род [1], с. 36).
Более общо имеем
Предложение 5.6. Структурная группа G расслоения
Р(М, G) редуцируема к замкнутой подгруппе Н тогда и только
тогда, когда, ассоциированное расслоение Е (М, G/H, G, Р) допу-
допускает сечение а: М—>¦ Е = Р/Н.
Доказательство. Допустим, что G редуцируема к замк-
замкнутой подгруппе Я, и пусть Q(M, H) — редуцированное расслоение
с инъекцией f: Q—^P. Пусть [х: Р —+Е = Р/Н — проекция. Если
и и v из одного и того же слоя в Q, то v = иа для некоторого
а6Н, и отсюда [х(/(v))=\n.(f (и)a) = \i(f (и)). Это означает, что \io f
постоянно на каждом слое из Q и индуцирует отображение а:
М—+Е, а(х) = fx(/(u)), где х = я (f (и)). Ясно, что а — сечение
в Е. Обратно, пусть задано сечение а: М—>-Е, и пусть Q —
множество точек и?Р таких, что ц(и) = о(л (и)). Другими сло-
словами, Q — прообраз для а(М) проекции [х: Р —>- Е = Р/Н. Для
каждого х?М имеется u?Q такое, что я(и) = #, потому что
fx (а (х)) не пусто. Пусть даны и и у из одного и того же
слоя в Р; если u?Q, то v?Q тогда и только тогда, когда v = ua
для некоторого а?Н. Это следует из того, что \i(u) = \i(v) тогда
и только тогда, когда v = ua для некоторого а?Н. Теперь легко
проверить, что Q — замкнутое подмногообразие в Р и что Q —
главное расслоение Q(M, H), вложенное в P(M,G). ?
Замечание. Соответствие между сечениями а: М—>-Е = Р/Н
и подмногообразиями Q взаимно однозначно.
Мы теперь рассмотрим вопрос о продолжении сечения, опре-
определенного на подмножестве базисного многообразия. Отображе-
Отображение / подмножества А многообразия М в другое многообразие
М' называется дифференцируемым на А, если для каждой точки
х g А существует дифференцируемое отображение fx открытой
окрестности Uх точки х ? М в М' такое, что fx = f на Ux Г) А.
Если / — ограничение дифференцируемого отображения откры-
открытого множества W, содержащего А в М', то ясно, что / диффе-
дифференцируемо на А. Если задано расслоение Е(М, F, G, Р) и под-
подмножество А в М, то под сечением на А мы понимаем диффе-
дифференцируемое отображение а из А в Е такое, что пЕоа —
тождественное преобразование на Л.
Теорема 5.7. Пусть Е(М, F, G, Р) — расслоение такое, что
базисное многообразие М паракомпактно и слой F диффеомор-
фен евклидову пространству Rm. Пусть А—замкнутое подмно-
подмножество (возможно, пустое) в М. Тогда каждое сечение а: А—>-Е,
определенное на А, может быть продолжено до сечения, опреде-

64
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
8 5. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
65
ленного на М. В частности, если А пусто, то существует сечение
в Е, определенное на М.
Доказательство. По самому определению паракомпакт-
ного пространства каждое открытое покрытие на М имеет, ло-
локально конечное открытое вписанное покрытие. Так как М
нормально, то каждое локально конечное открытое покрытие
{U;} для М имеет открытое вписанное покрытие {Vt\ такое, что
V't cr Ui для всех i (см. приложение 3).
Лемма 1. Дифференцируемая функция, определенная на
замкнутом множестве из R", может быть продолжена до диффе-
дифференцируемой функции на R* (см. приложение 3).
Лемма 2. Любая точка из М имеет окрестность U такую,
что каждое сечение в Е, определенное на замкнутом подмно-
подмножестве, содержащемся в U, может быть продолжено до U.
Доказательство. Пусть дана точка в М, тогда доста-
достаточно взять координатную окрестность U такую, что я^?1 (?/)«:
&UxF, т.е. тривиально. Так как F диффеоморфно RCT, то
сечение на U может быть отождествлено с множеством из т
функций flt ¦ ••,fm, определенных на U. По лемме 1 эти функ-
функции могут быть продолжены до U.
Используя лемму 2, мы докажем теорему 5.7. Пусть {Uc\i&i—
локально конечное открытое покрытие на М такое, что каждое
(/,• имеет свойство, установленное в лемме 2. Пусть {V,-} — от-
открытое покрытие, вписанное в {U,}, такое, что Vt cz U{ для
всех i ? /• Для каждого подмножества / множества индексов /
положим Sj = \Ji^jVi- Пусть Т — множество пар (т, /), где /?/
и т—сечение в Е, определенное на SJt такое, что т = сг на
Af\Sj. Множество Т не пусто; возьмем U;, которое пересекается
с А, и продолжим ограничение а на A[)Vi до сечения на У,-,
что возможно по свойству, которым обладает 1)t. Введем
порядок в Т так: (г', J') < (%", J"), если J'<=. J', и т'=т"
на Sj'. Пусть (т, /) — максимальный элемент (используется
лемма Цорна). Допустим J=^I, и пусть г?/ — /. На замкнутом
множестве (ЛиSj)[\Vit содержащемся в U\, мы имеем корректно
определенное сечение а;: а,
а, =
на
и ст,- =
на
Продолжим а,- до сечения xt на V{, что возможно по свойству,
которым обладает Ut. Пусть /'= /(j ¦}?} и т'— сечение на Sj>,
определяемое как т'=т на 57 и т' = т,- на V,-. Тогда (т,/) <
< (т', J'), что противоречит максимальности (т, /). Отсюда /=/
и т—требуемое сечение. ?
Данное здесь доказательство заимствовано у Годемана [1],
с. 151 (с. 174 русского перевода).
Пример 5.5. Пусть L(M) — расслоение линейных реперов
над л-мерным многообразием М. Однородное пространство
GL (n; R)/O (л), как известно, диффеоморфно евклидову прост-
пространству размерности -j n (п +1) в силу аргументов, сходных
с аргументами Шевалле [1], с. 16 (с. 19 русского перевода).
Расслоение Е = L(M)/O(n) со слоем GL(n; R)/O(n), ассоцииро-
ассоциированное с L(M), допускает сечение, если М паракомпактно (по
теореме 5.7). По предложению 5.6 мы видим, что структурная
группа для L(M) может быть редуцирована к ортогональной
группе О [п) при условии, что М паракомпактно.
Пример 5.6. Более общо, пусть Р(М, G) — главное расслое-
расслоение над паракомпактным многообразием М с группой G, кото-
которая есть связная группа Ли. Известно, что G диффеоморфна
прямому произведению любой ее максимальной компактной под-
подгруппы Н и евклидова пространствами. Ивасава [1]). По тем
же причинам, что и выше, структурная группа G может быть
редуцирована к Н.
Пример 5.7. Пусть L(M) — расслоение ^линейных реперов
над многообразием М размерности п. Пусть (,)—естественное
скалярное произведение в R", для которого ef = A, 0, ..., 0),...
...,е„ = @, ...,0,1) ортонормальны и которое инвариантно
относительно О (п) по самому определению О(п). Мы покажем,
что каждая редукция структурной группы GL (я; R) к О (п)
порождает риманову метрику g на М. Пусть Q(M, O(n)) — реду-
редуцированное подрасслоение для L (М). Если мы рассматриваем
каждый u?.L(M) как линейный изоморфизм из R™ на Т^Л!).
где х = п(и), то каждый u?Q определяет скалярное произведе-
произведение g в ТХ(М) так:
Y) = (u-*X,u-lY) для X, Y?TX(M).
Инвариантность (,) относительно О (п) влечет независимость
g(X, Y) от выбора и ? Q. Обратно, пусть на М задана рима-
нова метрика g, пусть Q — подмножество в L(M), состоящее из
линейных реперов u = (Xi, ...,Xn), ортонормальных относи-
относительно g. Если рассматриваем u?L(M) как линейный изомор-
изоморфизм из R" на ТХ(М), то и принадлежит Q тогда и только
тогда, когда (|, l') = g(ul, a%') для всех |, ?' ? R". Легко прове-
проверить, что Q образует редуцированное подрасслоение в L (М)
над М со структурной группой О(п). Расслоение Q будет назы-
называться расслоением ортонормальных реперов над М и будет обо-
обозначаться О(М). Элемент из О(М) есть ортонормальный репер.
Результат, изложенный здесь, будучи скомбинирован с приме-
примером 5.5, влечет, что каждое паракомпактное многообразие М
допускает риманову метрику. Мы увидим позже, что каждое
риманово многообразие есть метрическое пространство и поэтому
паракомпактно.
3 Ш, Кобаясн, К. Номндзу, т. 1

66
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
ввести понятие индуцированного расслоения, мы
Чтобы
докажем
Предложение 5.8. Если дано главное расслоение Р(М, G)
и отображение многообразия N в М, то существует единствен-
единственное (с точностью до изоморфизма, конечно) главное расслоение
Q(N,G) с гомоморфизмом f: Q-^-P, индуцирующим f: N—>-М
и соответствующим тождественному автоморфизму группы G.
Расслоение Q (N, G) называется расслоением, индуцированным
отображением f из Р (М, G), или просто индуцированным рас-
расслоением; оно иногда обозначается f~xP.
Доказательство. В прямом произведении NxP рас-
рассмотрим подмножество Q, состоящее из (у, u)?NxP таких, что
f (у) — п (и). Группа G действует на Q так: (у, и) —>• (у, и) а=(у, иа)
для (у, u)?Q и а ? G. Легко видеть, что G действует свободно
на Q и что Q — главное расслоение над N с группой G и проек-
проекцией nQ, задаваемой как nQ(y, u)=y. Пусть Q'—другое главное
расслоение над N с группой G я f: Q' —>-Р — гомоморфизм, инду-
индуцирующий f:N—>-M и соответствующий тождественному авто-
автоморфизму в G. Тогда легко показать, что отображение Q' на Q,
определенное как и' -+{tiq'{u'), f (и')), и'6 Q', есть изоморфизм
расслоения Q' на Q, индуцирующий тождественное преобразо-
преобразование в N и соответствующий тождественному автоморфизму в G О •
Мы вспомним здесь некоторые результаты о накрывающих,
пространствах, которые будут использованы позже. Пусть задано
связное, локально дугообразно связное *) топологическое прост-
пространство М, тогда связное пространство Е называется накрываю-
накрывающим пространством над М с проекцией р: Е—+М, если каждая
точка х?М имеет связную открытую окрестность U такую, что
каждая связная компонента для р (U) открыта в Е и гомео-
морфно отображается на U отображением р. Два накрывающих
пространства р: Е—>- М и р': Е'—>¦ М изоморфны, если сущест-
существует гомеоморфизм /: ?"—>?" такой, что p'of = p. Накрывающее
пространство р: Е—> М есть универсальное накрывающее прост-
пространство, если Ё односвязно. Если М —многообразие, то каждое
накрывающее пространство имеет (единственную) структуру
многообразия такую, что р дифференцируемо. Отсюда и далее
мы будем рассматривать только накрывающие многообразия.
Предложение 5.9. A) Если дано связное многообразие М,
то существует единственное (с точностью до изоморфизма)
универсальное накрывающее многообразие, которое будет обозна-
обозначаться М.
*) Пространство дугообразно связное, если любую пару его точек можно
соединить дугой. Дуга—гомеоморфный образ отрезка [0, 1]. Пространство
локально дугообразно связное в точке р, если в любой окрестности точки р
существует дугообразно связная окрестность точки р. Пространство локально
дугообразно связно, если оно таково в каждой своей точке.— Прим. перев.
§ 5. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
67
B) Универсальное накрывающее многообразие М есть главное
расслоение над М с группой лх(Л1) и проекцией р: М—>-М, где
п^М) —первая гомотопическая группа на М.
C) Классы изоморфных накрывающих пространств над М
находятся во взаимно однозначном соответствии с сопряженными
классами подгрупп в nx(M). Соответствие задается так: с каж-
каждой подгруппой Н в л1(М) мы связываем Е=М/Н. Тогда накры-
накрывающее многообразие Е, соответствующее Н, есть расслоение над
М со слоем пг (МIН, ассоциированное с главным расслоением
М (М, ях (М)). Если Н—нормальная подгруппа в я1(М), то
Е = М/Н есть главное расслоение с группой щ (М)/Н и оно
называется регулярным накрывающим многообразием для М.
Для доказательства см. Стинрод [1], с. 67—71 или Ху[1],
с. 89—97.
Действие ях (М)/Н на регулярном накрывающем многообразии
Е = М/Н собственно разрывно. Обратно, если Е — связное много-
многообразие и G — собственно разрывная группа преобразований,
действующая свободно на Е, то Е — регулярное накрывающее
многообразие для M—E/G, как немедленно следует из усло-
условия C) в определении собственно разрывного действия в § 4.
Пример 5.8. Рассмотрим R" как n-мерное векторное про-
пространство, и пусть ?i. . ..,|п — любой базис в R". Пусть G —
подгруппа в R", порожденная |х, ..., |„: <3 = {2тДг> mi целое}.
Действие G на R" собственно разрывно, и R" есть универсаль-
универсальное накрывающее многообразие для R"/G. Фактормногообразие
R"/G называется n-мерным тором.
Пример 5.9. Пусть 5" — единичная сфера в R"+1 с центром
в начале: Sn={(x1, ..., xn+1) 6 R"+1; 2*(*02=1Ь Пусть G —группа,
состоящая из тождественного отображения на 5" и преобразо-
преобразования на 5", отображающего (л:1, ..., хп+1) в '(—х1, .... —х"+1).
Тогда 5", п ^ 2, есть универсальное накрывающее многообразие
для Sn/G. Фактормногообразие Sn/G называется n-мерным вещест-
вещественным проективным пространством.
3*

Глава II
ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
§ 1. Связности в главном расслоенном пространстве
Пусть Р (М, G) — главное расслоение над многообразием М
с группой G. Для каждого и?Р пусть Та(Р) — касательное про-
пространство к Р в и и Ga — подпространство из Та(Р), состоящее
из векторов, касательных к слою через и. Связность Г в Р —
это сопоставление подпространства Qa из Та(Р) каждой точке
и ? Р такое, что
(a) Ta(P) = Ga+Qa (прямая сумма);
(b) Qaa = (Ra)* Qa Дл* каждого и 6 Р и а ? G, где Ra — преоб-
преобразование в Р, индуцированное элементом a?G, Rau = ua;
(c) Q зависит дифференцируемо от и.
Условие (Ь) означает, что распределение u—>-Qa инвариантно
относительно G. Мы называем Ga вертикальным подпростран-
подпространством, a Qa — горизонтальным подпространством в Та(Р). Век-
Вектор Х?Та(Р) называется вертикальным (соотв. горизонтальным),
если он лежит в Ga (соотв. в Qa). Благодаря (а) каждый вектор
X ? Та (Р) может быть единственным образом записан как
X = Y+Z, где Y?Ga, Z?Qa.
Мы называем У (соотв. Z) вертикальной (соотв. горизонтальной)
компонентой для X и обозначаем ее vX (соотв. hX). Условие (с)
означает по определению, что если X — дифференцируемое век-
векторное поле на Р, то таковы и vX и НХ. (Можно легко прове-
проверить, что это все равно, что сказать, что распределение и —>- Qa
дифференцируемо.)
Имея заданной связность Г в Р, мы определяем 1-форму со
на Р со значениями в алгебре Ли g группы G так. В § 5 главы I
мы показали, что каждое А ? д индуцирует векторное поле А*
на Р, называемое фундаментальным векторным полем, соответст-
соответствующим А, и что Л —->-(Л*)в — линейный изоморфизм из д на Ga
для каждого и ? Р. Для каждого X ? Та (Р) мы определяем со (X)
как единственное А ? g такое, что (А*)а равно вертикальной ком-
компоненте для X. Ясно, что со (X) = О тогда и только тогда, когда X
горизонтально. Форма со называется формой связности данной
связности Г.
Предложение 1.1. Форма связности со удовлетворяет сле-
следующим условиям:
§ 1. СВЯЗНОСТИ В ГЛАВНОМ РАССЛОЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
69
(а') со (А*) = А для любого А ? g;
(b') (Яа)'со = ad (а-1) со, т. е. (Я» (X) = ad (а) ¦ со (X) для каж-
каждого a?G и каждого векторного поля X на Р, где ad означает
присоединенное представление G в д.
Обратно, если задана %-значная 1 -форма со на Р, удовлетво-
удовлетворяющая условиям (а') и (Ь'), то существует единственная связ-
связность Г в Р, форма связности которой есть со.
Доказательство. Пусть со—форма связности. Условие
(а') следует немедленно из определения со. Поскольку каждое
векторное поле в Р может быть разложено на горизонтальное
и вертикальное, достаточно проверить (Ь') в следующих двух
специальных случаях: A) X горизонтально и B) X вертикально.
Если X горизонтально, то и (Ra)mX горизонтально для любого
a?G в силу условия (Ь) для связности. Итак, a>((R)mX) и
ad(c~x)-co(X) обращаются в нуль. В случае же, когда А верти-
вертикально, мы можем далее допустить, что X — фундаментальное
векторное поле А*. Тогда по предложению 5.1 главы I (Ra)mX —
фундаментальное векторное поле, соответствующее ad (a~l) А, так
что мы имеем
(Я»„ (X) = сова ((/О. X) = ad (a-*) A = ad (а~») (сов (X)).
Обратно, если задана форма со, удовлетворяющая (а') и (Ь'), то
мы определяем
co(X)=0}.
Проверка того, что и —->¦ Qa определяет связность, форма связно-
связности которой есть со, несложна и оставляется читателю. ?
Проекция л: Р—>- М индуцирует линейное отображение я:
Та (Р) —*¦ Тх (М) для каждого и?Р, где х = я (и). Когда связность
задана, я отображает горизонтальное подпространство Qa изо-
изоморфно на ТХ(М)-
Горизонтальный лифт, или подъем (или просто лифт) век-
векторного поля X на М — это единственное векторное поле X* на
Р, которое горизонтально и проектируется на X, т. е. я(Х?) =
= Хя (и) для каждого и?Р.
Предложение 1.2. Если заданы связность в Р и векторное
поле X на М, то существует единственный горизонтальный лифт
X* для X. Лифт X* инвариантен при действии Ra для любого
a?G. Обратно, каждое горизонтальное векторное поле X* на Р,
инвариантное относительно G, есть лифт некоторого векторного
поля X на М.
Доказательство. Существование и единственность X*
ясны из того, что я дает линейный изоморфизм из Qa на Тя <«> (М).
Чтобы доказать, что X* дифференцируемо, если X дифференци-
дифференцируемо, берем окрестность U любой заданной точки х 6 М. такую,
что n"s(i/)«i/xG. Используя этот изоморфизм, мы сначала

70
ГЛ. И. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПРОДОЛЖЕНИЕ СВЯЗНОСТЕЙ
71
получаем дифференцируемое векторное поле У на n~x(U) такое,
что яУ = X. Тогда поле X* есть горизонтальная компонента для
У, и поэтому оно дифференцируемо. Инвариантность X* относи-
относительно G ясна из инвариантности горизонтальных подпространств
относительно G. Наконец, пусть X* — горизонтальное векторное
поле на Р, инвариантное относительно G. Для каждого х?М
возьмем точку и ? Р такую, что я (и) = х, и определим Хх = я (Х?).
Вектор Хх независим от выбора и, если п(и)=х, так как если
и =иа, то n(XZ,) = n(Ra-X*u) = n(Xl). Очевидно, X* тогда есть
лифт векторного поля X. ?
Предложение 1.3. Пусть X* uY* — горизонтальные лифты
для X и Y соответственно. Тогда:
A) Х* + У*— горизонтальный лифт для Х + У;
B) для каждой функции f на М f*-X* есть горизонтальный
лифт для fX, где /* — функция на Р, определяемая как /* = / о я;
C) горизонтальная компонента для [X*, Y*] есть горизонталь-
горизонтальный лифт для [X, У].
Доказательство. Первые два утверждения тривиальны.
Что же касается третьего, то мы имеем
я (h [X*, У*]) = я ([X*. У*]) = [X, У]. ?
Пусть х1, .. ., хп — локальная координатная система в коор-
координатной окрестности U из М. Пусть X} — горизонтальный лифт
в я""*(?/) векторного поля Х( = д/дх' в U для каждого L Тогда
X*, ..., Хп образуют локальный базис для распределения и —с Qa
в я-1(?/).
Теперь выразим форму связности со на Р как семейство форм,
каждая из которых определена на открытом подмножестве базис-
базисного многообразия М. Пусть {?/<*} — открытое покрытие для М
с семейством изоморфизмов of>a: я (f/a) —>- Ua}<.G и соответст-
соответствующим семейством функций перехода ajjap: Va Г) U$—>-G. Для
каждого а пусть cra: Ua —>- Р есть сечение на f/a, определенное
как aa (х) = ф;1 (jc, e), x?Ua, где е — единица в G. Пусть 9 — (ле-
воинвариантная g-значная) каноническая 1-форма на G, опреде-
определенная в § 4 главы I (с. 48).
Для каждого непустого (/afl?/p определим д-значную 1-фор-
1-форму 9ар на Ua Г) U& так:
Для каждого а определим д-значную 1-форму соа на ?/„ так:
(х>а = (Г?о>.
Предложен ие 1.4. Формы 6ap u coa удовлетворяют усло-
условиям:
щ = ad (фйр) <оа + 9ар на ?/а П t/p.
Обратно, для каждого семейства $-значных 1-форм {а>а\, каждая
из которых определена на {/„ и удовлетворяет предшествующим
условиям, существует единственная форма связности со на Р, ко-
которая порождает {соа} вышеописанным образом.
Доказательство. Если UaЛ ?/р не пусто, ар(х) —
= ао (х) г|5ар (д;) для всех х € ?/о Л ?/р. Обозначим дифференциалы
для аа, ар и фор теми же буквами. Тогда для каждого вектора
X€Tx(Uar\ ?/р) вектор ар(Х)еТя(Р), где и = а§(х), есть образ
для (аа (X), г|)ар (X)) 6 ^и- (Р) + Та (G), где и' = <то (х) и а = i|>op (jc),
при отображении PxG —- Р. По предложению 1.4 главы I (фор-
(формула Лейбница) имеем
ар (X) = аа (X) г|)оР (х) + аа (д:) ^ap (X),
где аа (X) фар (л:) означает Яа(аа(Х)), а ао(лг)г|)ар(Х)—образ
для i|)ap (X) при действии дифференциала для aa (д;), где ао(д;)
рассматривается как отображение из G в Р, переводящее b?G
в аа(х)Ь. Беря значения to от обеих частей равенства, получаем
сор (X) = ad (г|>ар (х)-») со0 (X) + 0аР (X).
Действительно, если Л^й — левоинвариантное векторное поле
на G, которое равно г|5ар (X) при a = tyap (x), так что 0 (фар (Х)) = Л,
то аа (л:) i|)ap (X) есть значение фундаментального векторного поля
Л* при u = aa(*)i|)ap(*), и отсюда со (ао (л:) г|)аР (X)) = Л.
Проводя рассуждения, связанные с получением {со0} из со,
в обратном порядке, можно проверить справедливость обратного
утверждения. ?
§ 2. Существование и продолжение связностей
Пусть Р(М, G) — главное расслоение и А — подмножество в М.
Мы говорим, что связность определяется над А, если в каждой
точке и g Р с я (и) ? Л подпространство Qa из Та (Р) задается та-
таким образом, что условия (а) и (Ь) для связности (см. § 1) удов-
удовлетворяются и Qa дифференцируемо зависит от и в следующем
смысле. Для каждой точки х ^ А существует открытая окрест-
окрестность U и связность в Р | U =я~1 (U) такая, что горизонтальное
подпространство для каждого ы? я (Л) есть заданное простран-
пространство Qa.
Теорема 2.1. Пусть P(M,G) — главное расслоение и А —
замкнутое подмножество в М (может быть, пустое). Если М
паракомпактно, то любая связность, определенная над А, может
быть продолжена до связности в Р. В частности, Р допускает
связность, если М паракомпактно.
Доказательство. Доказательство есть точная копия до-
доказательства теоремы 5.7 в главе I.

72
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
Лемма 1. Дифференцируемая функция, определенная на зам-
замкнутом подмножестве в R", всегда может быть продолжена до
дифференцируемой функции на R" (см. приложение 3).
Лемма 2. Каждая точка изМ имеет окрестность U такую,
что каждая связность, определенная на замкнутом подмножестве,
содержащемся в U, может быть продолжена до связности, опре-
определенной над U.
Доказательство. Если дана точка х?М, то достаточно
взять координатную окрестность U такую, что n~x(U) тривиально:
jx~1(f/) да UxG. На тривиальном расслоении UxG форма связ-
связности со полностью определяется ее поведением в точках из
Ux{e\ (е — единица в G), в силу свойства R*a(со) = ad(a~l)со. Да-
Далее, если a: U^>-UxG— естественное сечение, т. е. а(х) = (х, е)
для x^U, то со полностью определяется д-значной 1-формой о*со
на U. Действительно, каждый вектор X ? Га» (U x G) может быть
записан единственным способом в виде
где У касается Ux{e\, a Z вертикален, так что У = сг.(я„Х).
Отсюда мы имеем
со (X) = со (сг. (я.Х)) + со (Z) = (а*со) (л*Х) + А,
где А — единственный элемент из g такой, что соответствующее
фундаментальное векторное поле А* равно Z в точке о (х). Так
как А зависит только от Z, а не от связности, то со вполне оп-
определяется через сг*со. Уравнение выше показывает, что, обратно,
каждая д-значная 1-форма на U определяет однозначную форму
связности на UxG. Так лемма 2 сводится к проблеме продол-
продолжения для д-значных 1-форм на U. Если {Aj) — базис для д, то
со = 2(в//4/' где каждое со/ — обычная 1-форма, так что достаточно
рассмотреть проблему продолжения для обычной 1-формы на U.
Пусть Xх, ...,хп — локальная координатная система на U. Тогда
каждая 1-форма на U имеет вид ^fidx1, где каждая ft есть
функция на U. Итак, наша проблема сводится к проблеме про-
продолжения функций на U. Лемма 2 теперь следует из леммы 1.
При помощи леммы 2 теорема 2.1 может быть доказана точно
так же, как теорема 5.7 главы I. Пусть {i/,-}f6/ —локально ко-
конечное открытое покрытие на М такое, что каждое Ut имеет
свойство, установленное в лемме 2. Пусть {У,} — открытое по-
покрытие, вписанное в {U{\ и такое, что У,с Ut. Для каждого
подмножества / из / положим Sj = U{ejVi. Пусть Т—множество
пар (т, /), где Jc I и т—связность, определенная над Sj и сов-
совпадающая с заданной связностью над Af\Sj. Введем порядок
в Т так: (т', /') < (т", /"), если /'с /", и т'=т" на Sy. Пусть
(т, /)—максимальный элемент в Т. Тогда J = 1, как и в дока-
доказательстве теоремы 5.7 главы I, и т есть желаемая связность. Q
3. ПАРАЛЛЕЛИЗМ
73
Замечание. Можно доказать теорему 2.1, используя лем-
лемму 2 и разбиение единицы {/,}, подчиненное {V^ (см. приложе-
приложение 3). Пусть со,-—форма связности на n~1(Ui), которая продол-
продолжает заданную связность над AflV,-. Тогда (u = ^ligi&i есть же-
желаемая форма связности на Р, где каждая gt есть функция на
Р, определяемая как gi = f{°n.
§ 3. Параллелизм
Имея заданную связность Г в главном расслоении Р (М, G),
определим понятие параллельного переноса слоев вдоль любой
заданной кривой т в базисном многообразии М.
Пусть x = xt, a^.t^.b, есть кусочно дифференцируемая кри-
кривая класса С1 в М. Горизонтальный лифт (подъем), или просто
лифт, кривой х есть горизонтальная кривая х* = щ, a^.t^.b,
в Р такая, что я (щ) = xt для а ^ t ^ Ь. Здесь под горизонтальной
кривой в Р подразумевается кусочно дифференцируемая кривая
класса С1, все касательные векторы которой горизонтальны.
Понятие лифта кривой соответствует понятию лифта вектор-
векторного поля. Действительно, если X* — лифт векторного поля на М,
то интегральная кривая поля X* через точку ио?Р есть лифт
интегральной кривой поля X через точку х0 = я (и0) 6 М. Теперь
докажем
Предложение 3.1. Пусть x = xt, 0^.t^l, есть кривая
класса С1 в М. Для произвольной точки ио?Р с п(ио)=хо суще-
существует единственный лифт x* = ut кривой т, который начинает-
начинается в и0.
Доказательство. В силу локальной тривиальности рас-
расслоения существует кривая vt класса Сх в Р такая, что и„ = и0
и n(vt)=xt для 0<г<1. Лифт для т, если он существует,
должен быть вида ut = vtat, где at — кривая в структурной группе
такая, что ао—е. Теперь будем искать кривую at в G, которая
превращает ut = viat в горизонтальную. Так же как и в доказа-
доказательстве предложения 1.4, применяем формулу Лейбница (пред-
(предложение 1.4 главы I) к отображению Рхд —>¦ Р, которое пере-
переводит (о, а) в va, и получаем
где каждая курсивная буква с точкой обозначает касательный
вектор в той же точке (т. е. щ — касательный вектор к кривой
x* = ut в точке ut). Пусть со—форма связности для Г. Тогда, как
и в доказательстве предложения 1.4, имеем
со (iit) = ad (afx) со (vt) + ajlat,
где ajxat — теперь кривая в алгебре Ли % — Te(G) группы G. Кри-

74
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
вая ut горизонтальна тогда и только тогда, когда а^а?1 = — со (vt)
для каждого t. Конструкция ut сводится, таким образом, к сле-
следующему.
Лемма. Пусть G— группа Ли и g — ее алгебра Ли, отожде-
отождествленная с Te(G). Пусть Yt, O^.t^.1, есть непрерывная кривая
в Те (G). Тогда в G существует единственная кривая at класса С1
такая, что а0 = е и atajl = Yt для О < t < 1.
Замечание. В случае, когда Yt = A для всех t, кривая at
есть не что иное, как 1-параметрическая подгруппа в G, порож-
порожденная элементом А. Наше дифференциальное уравнение ataf1=Yi
есть поэтому обобщение дифференциального уравнения для 1-па-
1-параметрических подгрупп.
Доказательство леммы. Мы можем предположить, что Yt
определено и непрерывно для всех t, —оо < t < оо. Мы опреде-
определяем векторное поле X на GxR так. Значение X в (a, t)?GxR
равно по определению (Yta, (d/dz)t) €Ta(G)xTt(R), где z — есте-
естественная координатная система в R. Ясно, что интегральная кривая
для X, исходящая из (е, 0), имеет вид (at, t) и at есть требуемая
кривая в G. Единственно, что нужно проверить, — это то, что at
определено для всех t, Q^.t^.1. Пусть ф^ = ехр^Х — локальная
1-параметрическая группа локальных преобразований в GxR,
порожденная полем X. Для каждого (е, s)?GxR существует
положительное число б, такое, что cpt (e, г) определяется для
\r — s|<6, и |2|<8, (предложение 1.5 главы I). Поскольку
подмножество {е}х[0, 1] из GxR компактно, мы можем выбрать
8>0 такое, что для каждого г ? [0, 1] q>t(e, г) определено для
\t\ < б (см. предложение 1.6 главы I). Выберем sa, st, ..., sk та-
такие, что 0 = s0 < Si <... < sk = 1 и Si — sz_i < б для каждого i.
Тогда q>t(e, 0) = (at, t) определено для 0^^<sx; ц>а(е, Sj) =
= FЯ, u + Sj.) определено для 0<u<sa — sit где 6п6й1 = Уя+,1, и
b ^i
(Я ) р
мы определяем at=bt_saSi для s±
sk~i + u) определено для
я+,1
^ s2; . . .;
— sft_lt где
мы определяем at=c<_Sft_iaSft_i, завершая, таким образом, кон-
конструкцию для at, 0 ^ t ^ 1. П
Теперь, используя предложение 3.1, мы определяем парал-
параллельное перенесение слоев так. Пусть т = xt, 0 ^ t ^ 1, есть диф-
дифференцируемая кривая класса С1 на М. Пусть и0 — произвольная
точка в Р с я(ыо)=д;в. Единственный лифт т* для т через и0
имеет конечную точку ы4 такую, что я(и1)==д:1. Меняя и0 в слое
п~х(х0), мы получаем отображение слоя я^) на слой я^),
переводящее и0 в ut. Мы обозначаем это отображение той же
буквой т и называем его параллельным переносом вдоль кривой т.
То, что т: п~1 (х0) —>¦ л~х (хг) есть в действительности изоморфизм,
вытекает из следующего утверждения:
s 4. группы голономии
75
Предложение 3.2. Параллельный перенос вдоль любой кри-
кривой т перестановочен с действием группы G на Р: х о Ra = Rao%
для каждого a?G.
Доказательство. Это следует из того, что Ra отображает
каждую горизонтальную кривую в горизонтальную кривую. О
Параллельный перенос вдоль любой кусочно дифференциру-
дифференцируемой криЕой класса С1 может быть определен очевидным образом.
Следует заметить, что выражение «параллельный перенос вдоль
кривой т не зависит от выбора параметризации» используется
в следующем смысле. Рассмотрим две параметризованные кривые
xt, a ^ t ^ 6, и ys, с s^ s ^ d, в М. Параллельные переносы вдоль xt
и вдоль ys совпадают, если существует гомеоморфизм ф интер-
интервала [а, Ь] на [с, d] такой, что A) ф(а)=е и ф(&) =d, B) ф и
ф-1 — дифференцируемые гомеоморфизмы класса С1, кроме, быть
может, конечного числа значений параметров, и C) yvif> = x(t)
для всех t, a^.t^.b.
Если т — кривая xt, a^.t^.b, то мы обозначим через т
кривую yt, a^.t^.b, определяемую как yt=xa+b_t. Следующее
предложение очевидно.
Предложение 3.3. (а) Если т — кусочно дифференцируемая
кривая класса С1 в М, то параллельный перенос вдоль т есть об-
обратное отображение к параллельному переносу вдоль т.
(Ь) Если х — кривая из х в у на М и ц—кривая из у в z на М,
то параллельный перенос вдоль композиции кривых |д,-т есть ком-
композиция параллельных переносов т и ц.
§ 4, Группы голономии
Используя понятие параллельного переноса, мы теперь оп-
определяем группу голономии данной связности Г в главном рас^
слоении Р{М, G). Для простоты мы будем под кривой понимать
кусочно дифференцируемую кривую класса С*, l^Iu^oo (Сбу-
(Сбудет фиксированным всюду в § 4).
Для каждой точки х из М мы обозначаем через С (х) про-
пространство петель в х, т. е. множество всех замкнутых кривых с
началом и концом в х. Если т и [а — элементы С(х), то компо-
композиция кривых ц-т (ц следует за т) также есть элемент из С(х).
Как мы доказали в § 3, для каждой т ? С (х) параллельный
перенос вдоль т есть изоморфизм слоя я~х(^) на себя. Мно-
Множество всех таких изоморфизмов из я (х) на себя образует
группу в силу предложения 3.3. Эта группа называется группой
голономии для Г с опорной точкой (или точкой отсчета) х.
Пусть С0 (х) — подмножество в С (х), состоящее из петель, гомо-
гомотопных нулю. Подгруппа группы голономии, состоящая из па-
параллельных переносов вдоль т?С°(х), называется суженной
группой голономии для Г с опорной точкой х. Группа голономии

76
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
и суженная (или ограниченная) группа голономии с опорной
точкой х будут обозначаться Ф (х) и Ф° (*) соответственно.
Удобно считать эти группы подгруппами структурной груп-
группы G следующим образом. Пусть и — произвольная фиксирован-
фиксированная точка слоя п~г(х). Каждый т?С(л:) определяет элемент,
скажем а, из G такой, что т(и) = иа. Если петля ц?С(х) опре-
определяет &?G, то композиция ц-т определяет Ъ-а, потому что
\i-x(u) = \i(ua) = ([i(u))-a=uba в силу предложения 3.2. Множе-
Множество элементов a?G, определенных всеми т?С(лг), образует
подгруппу в G по предложению 3.3. Эта подгруппа, обознача-
обозначаемая Ф (и), называется группой голономии с опорной точкой и?Р.
Соответственно можно определить суженную группу голономии
Ф°(ы) для Г с опорной тонкой и?Т. Заметим, что Ф(л:) —группа
изоморфизмов слоя я (х) на себя и Ф (и) — подгруппа в G.
Ясно, что существует единственный изоморфизм из Ф(л;) наФ(и),
который делает коммутативной следующую диаграмму:
С(х)
/\
Ф(х)-
Ф(и)
Другой способ определения Ф(ы) таков. Мы пишем u~v,
когда две точки и и у из Р можно соединить горизонтальной
кривой. Ясно, что это эквивалентность. Тогда Ф (и) совпадает с
множеством a?G таких, что и~иа. Используя то, что u~v вле-
влечет ua~va для любых и, v?P и a?G, легко проверить снова,
что это подмножество образует подгруппу в G.
Предложение 4.1. (а) Если v — ua, a?G, то Ф(у) =
= ас1(аг*)(Ф («)), т. е. группы голономии Ф(а)«Ф (и) сопряжены в G.
Аналогично Ф° (у) = ad (а~г) (Ф° (и)).
(Ь) Если две точки и, у ? Р можно соединить горизонтальной
кривой, то Ф(и) = Ф(у) и Ф°(и) = Ф°(и).
Доказательство, (а) Пусть Ь?Ф(и), т. е. u~ub. Тогда
ua~(ub)a и v^(va~l)ba = va~1ba~'L, так что ad (or1) (b) ?Ф(у).
Отсюда легко следует, что Ф (у) = ad (а*1) (Ф (и)). Сходным обра-
образом Ф° (у) = ad (а-1) (Ф° (и)).
(Ъ) Отношение u~v влечет ub~vb для каждого b?G. По-
Поскольку отношение ~ транзитивно, то u~ub тогда и только
тогда, когда v~vb, т. е. &?Ф(ы) тогда и только тогда, когда
Ь?Ф(у). Чтобы доказать Ф°(ы) = Ф°(у), допустим, что р* — гори-
горизонтальная кривая в Р из и в v. Если б?Ф°(и), то существует
горизонтальная кривая т* в Р из и в иЪ такая, что кривая я(т*)
из М есть петля в я (и), гомотопная нулю. Тогда композиция
(/*)-т*^*~1 есть горизонтальная кривая в Р из у в vb и ее
§ 4. группы голономии
77
проекция в М есть петля в я (и), гомотопная нулю. Итак, b ? Ф° (у).
Сходным образом, если Ь?Ф°(у), то б?Ф°(и). ?
Если М связно, то для любой пары точек и и v в Р имеется
элемент a?G такой, что v~ua, так что из предложения 4.1
следует, что если М связно, то группы голономии Ф (и), и?Р,
все сопряжены друг с другом в G и поэтому изоморфны друг
другу.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящается доказательству
того, что группа голономии есть группа Ли.
Теорема 4.2. Пусть Р (М, G) — главное расслоение, базисное
многообразие Д1 которого связно и паракомпактно. Пусть Ф (и) и
Ф°(ы), и?Р,—группа голономии и суженная группа голономии
связности Г с опорной точкой и. Тогда:
(a) Ф° (и) есть связная подгруппа Ли в G;
(b) Ф° (и) есть нормальная подгруппа в Ф (и) и Ф (и)/Ф° (и)
счетно.
В силу этой теоремы Ф(ы) есть подгруппа Ли в G с компо-
компонентой единицы Ф°(ы).
Доказательство. Мы покажем, что каждый элемент из
Ф° (и) можно соединить с единичным элементом кусочно диффе-
дифференцируемой кривой класса С* в G, лежащей в Ф° (и). По теореме
приложения 4 отсюда будет следовать, что Ф° (и) есть связная под-
подгруппа Ли в G.
Пусть а?Ф°(и) получено параллельным переносом вдоль
кусочно дифференцируемой петли т класса С*, гомотопной нулю.
По лемме о факторизации (приложение 7) т есть произведение
(эквивалентно произведению) малых лассо вида T^-fA-T^, где
Tj — кусочно дифференцируемая кривая класса Ck из х — я(и) в
точку", скажем, у, a \i — дифференцируемая петля в у, которая
лежит в координатной окрестности точки у. Достаточно пока-
показать, что элемент из Ф° (и), определяемый каждым лассо т^-ц-Тц
может быть соединен с единичным элементом. Этот элемент, оче-
очевидно, равен элементу из Ф° (у), определяемому петлей [а, где
у — точка, полученная параллельным смещением и вдоль т^.
Поэтому достаточно показать, что элемент Ь?.Ф°(у), определен-
определенный дифференцируемой петлей [х, может быть соединен с еди-
единичным элементом в Ф° (у) дифференцируемой кривой из G,
лежащей в Фв(у).
Пусть Xх, ..., Xй — локальная координатная система с началом
в у, и пусть ji определяется как xi = xl(t), i=\, ...,n. Поло-
Положим f'(t, s) = s + (\—s)xl(t) для i=\, ..., пиО<г, s<l. Тогда
f (tf s) = (/* (t, s), .... f"(t, s)) есть дифференцируемое отображе-
отображение класса Ck из /х/ в М (где / = [0, 1]) такое, что f(t, 0) есть
кривая |х и f(t, 1) — тривиальная кривая у. Для каждого фикси-
фиксированного s пусть b(s) есть элемент из Ф°(у), полученный из
петли f(t,s), 0<*<1, так что b(O) = b, а &A) равно единич-

78
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
ному элементу. То, что b(s) класса Ck no s (как отображение
из / в G), следует из такой леммы:
Лемма. Пусть f: Ixl —*~M — дифференцируемое отображе-
отображение класса Ck и ua(s), О ^ s =s^ I,—дифференцируемая кривая клас-
класса Ck в Р такая, что я («o(s)) = f(O, s). Для каждого фиксирован-
фиксированного s пусть Ui(s)—точка в Р, полученная параллельным перено-
переносом и0 (s) вдоль кривой f (t, s), где O^.t^.1, as фиксировано.
Тогда Ui(s), O^s^l, — дифференцируемая кривая класса Ck.
Доказательство леммы. Пусть F: 1x1—>-Р — дифферен-
дифференцируемое отображение класса Ck такое, что я (F(t, s)) = f(t, s)
для всех (t, s) 6 ¦f X / и что F (О, s) = u0 (s). Существование такого F
следует из локальной тривиальности расслоения Р. Положим
vi(s) = F(t, s). В доказательстве предложения 3.1 мы видели, что
для каждого фиксированного s существует кривая at (s), 0 <; t ^ 1,
в G такая, что а0 (s) — eu что кривая v{ (s) at (s), 0 ^ / ^ 1, гори-
горизонтальна. Положим ui (s) = vt (s)at(s). Чтобы доказать, что
Ui(s), O^s^l,— дифференцируемая кривая класса Ck, доста-
достаточно показать, что a1(s), O^s^ I, — дифференцируемая кривая
класса Ck в G. Пусть со—форма связности для Г. Положим
У* (s) = — ш (vi (s))> гДе vt (s) — вектор, касательный к кривой
vt (s), 0 ^ t ^ 1, где s фиксировано. Тогда, как и в доказательст-
доказательстве предложения 3.1,at(s)есть решение уравнения at(s)a1(s)~1=Ft(s).
Как и в доказательстве леммы для предложения 3.1, мы опре-
определяем для каждого фиксированного s векторное поле X (s) на
GxR так, что (at(s), t) есть интегральная кривая векторного
поля X (s) через точку (е, 0) ? G X R. Дифференцируемость at (s)
по s следует из того, что каждое решение обыкновенного ли-
линейного дифференциального уравнения с параметром s диффе-
дифференцируемо по s столько же раз, сколько и члены уравнения
(см. приложение 1). Это завершает доказательство леммы, а потому
и доказательство (а) теоремы 4.2.
Мы теперь докажем (Ь). Если т и \i — две петли в х и если
ц, гомотопна нулю, то композиция кривых t-jx-t гомотопна
нулю. Это влечет, что Ф°(ц) — нормальная подгруппа в Ф(ы).
Пусть пг(М) — первая гомотопическая группа для М с опорной
точкой х. Мы определяем гомоморфизм /: пх (М) —>¦ Ф (ы)/Ф° (и)
так. Для каждого элемента а из пг{М) пусть т—непрерывная
петля в х, которая представляет а. Мы можем покрыть т ко-
конечным числом координатных окрестностей, модифицировать т в
каждой окрестности и получить кусочно дифференцируемую
петлю т^ класса Ск в х, гомотопную т. Если т^ и т2 — две такие
петли, то т^-т^1 гомотопно нулю и определяет элемент из Ф°(ы),
так что т^ и т2 определяют один и тот же элемент из Ф(ы)/Ф°(ы),
который обозначается f(a). Ясно, что f есть гомоморфизм из
пг(М) на Ф(ц)/Ф°(и). Поскольку М связно и паракомпактно,
S. ФОРМА КРИВИЗНЫ И СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ
79
то оно удовлетворяет второй аксиоме счетности (приложение 3).
Из этого легко следует, что л1GИ) счетна. Отсюда Ф(ы)/Ф°(ц)
тоже счетна.
Замечание. В § 3 мы определили параллельный перенос
вдоль любой кусочно дифференцируемой кривой класса С1. В этом
параграфе мы определили группу голономии Ф(ц), используя
кусочно дифференцируемые кривые класса Ск. Если мы обоз- .
начаем через Фй(и) так полученную группу голономии то, оче-
очевидно, имеем Фх(и):эФ8(и);э... гэФ^ (и). Мы докажем позже
(в § 7), что все эти группы голономии совпадают.
§ 5. Форма кривизны и структурное уравнение
Пусть Р(М, G) — главное расслоение, а р —представление G
на конечномерном векторном пространстве V; р (а) есть линей-
линейное преобразование в V для каждого а € G и р (ab) = р (а) р (Ь)
для а, Ь ? G. Псевдотензориальная форма степени г на Р типа
(р, V) есть У-значная r-форма ф на Р такая, что
ЯаФ = Р(а)• Ф Для a^G.
Такая форма ф называется тензориальной формой, если она
горизонтальна в том смысле, что ф (Хх, .. ., Хп) = 0, как только
по крайней мере один из касательных векторов X,- в Р верти-
вертикален, т. е. касателен к слою.
Пример 5.1. Если р„ — тривиальное представление группы
G на V, т. е. ро{а) есть тождественное преобразование в V для
каждого а 6 G, то тензориальная форма степени г и типа (р0, V) есть
не что иное, как форма ф на Р, которая может быть! выра-
выражена как Ф = я*фд1, где фм есть У-значная r-форма на базе М.
Пример 5.2. Пусть р — представление G на V и Е — рас-
расслоение, ассоциированное с Р, со стандартным слоем V, на
котором G действует, как р. Тензориальная форма ф степени г
и типа (р, V) может рассматриваться как сопоставление каждой
точке х?М мультилинейного кососимметрического отображения
фх из Тх (М) х ¦ .. X Тх (М) (г раз) в векторное пространство пё\х),
которое есть слой в Е над х. Именно, мы определяем
фх (Х±, .. ., Хг) = и (Ф (XI, .... х;)), Xt € Тх (АГ),
где и — любая точка из Р с п(и)=х, а X? —любой вектор в и
такой, что я (X*) = X,- для каждого i. ф (X?, .. ., X*) есть тогда
элемент стандартного слоя V, а ц —линейное отображение из У
на яг1 (х) так, что и(ф(Х?, ...,Х*)) есть элемент из лё1(х).
Легко может быть проверено, что этот элемент независим от
выбора и и X*. Обратно, пусть задано кососимметрическое муль-
тилинейное отображение фх: Тх (М) х ... х Тх (М) —*¦ пё1 (х) для

80
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
каждого х?М, тогда тензориальная форма <р степени г и типа
(р, V) на Р может быть определена так:
Ф (XI ..., X;) = и-1 (фж (я (ХГ), .... я (X?))), X? 6 Гв (Р), •
где х = я(ы). В частности, тензориальная 0-форма типа (р, V),
т. е. функция f: P—+V такая, что / (иа) =*р (ar1) f (и), может
быть отождествлена с сечением М—>-Е.
Несколько специальных случаев примера 5.2 будет исполь-
использовано в главе III.
Пусть Г — связность в Р(М, G). Пусть GB и Qa — вертикаль-
вертикальные и горизонтальные подпространства в Та (Р) соответственно.
Пусть h: Tu(P)—>-Qa — проекция.
Предложение 5.1. Если ф — псевдотензориальная г-форма
на Р типа (р, V), то:
(a) форма ф/г, определенная как (ф/г) (Х^, ..., Хг) = ф(пХг, ...,
hXr), Xi<zTa(P), есть тензориальная форма типа (р, V);
(b) dq> есть псевдотензориальная (г-+- \)-форма типа (р, V);
(c) (г + 1)-форма Dq>, определенная как Dq> = (dq>) h, есть тен-
тензориальная форма типа (р, V).
Доказательство. Из Raoh = hoRa, a?G, следует, что
фЛ есть псевдотензориальная форма типа (р, V). Очевидно, что
если один из Х; вертикален. (Ь) следует из R*aod = doR*a, a?G.
(с) следует из (а) и (Ь). П
Форма ?)ф == (dtp) h называется внешней ковариантной произ-
производной для ф, a D называется внешним ковариантным диффе-
дифференцированием .
Если р — присоединенное представление для G в алгебре Ли g,
то говорят, что псевдотензориальная форма типа (р, g) есть
форма типа adG. Форма связности ю есть псевдотензориальная
1-форма типа adG. По предложению 5.1 Da* есть тензориальная
2-форма типа adG и называется формой кривизны для со.
Теорема 5.2 (структурное уравнение). Пусть со — форма
связности, a Q—ее форма кривизны. Тогда
dco (X, Y) = — -L [со (X), со (Y)] + Q (X, Y)
для X, Y?Ta(P), u?P.
Доказательство. Каждый вектор на Р есть сумма вер-
вертикального и горизонтального векторов. Так как обе части
написанного выше равенства билинейны и кососимметричны по
X и Y, то достаточно проверить равенство в трех следующих
специальных случаях.
A) X и Y горизонтальны. В этом случае со (X) = со (Y) = 0
и равенство сводится к определению Q.
б. ФОРМА КРИВИЗНЫ И СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ
81
B) X и Y вертикальны. Пусть Х = А* и Y' = В* вы, где
А, В ^ д. Здесь А* и В*—фундаментальные векторные поля,
связанные с А я В соответственно. По предложению 3.11 гла-
главы I мы имеем
2dto(A*, Я*) = Л* (со(Я*)) — Я*(со(Л*)) — со([Л*. В*])
= -[Л, Д] = -[со(Л*), со (Б*)],
поскольку со(Л*) = Л, а(В*) = В и [Л*, В*] = [А, В]*. С другой
стороны, Q(A*,B*) = 0.
C) X горизонтально, Y вертикально. Мы продолжаем X до
горизонтального векторного поля на Р, которое также будет обоз-
обозначаться через X. Пусть Y = Л* в и, где Л 6 8- Так как пра-
правая часть равенства есть нуль, то достаточно показать, что
Ло(Х, Л*) = 0. По предложению 3.11 главы I имеем
2dco(X, Л*) = Х(со(Л*))-Л*(со(Х))-со([Х, Л*])
= -со([Х, Л*]).
Теперь достаточно доказать следующую лемму:
Лемма. Если А*—фундаментальное векторное поле, соот-
соответствующее элементу Л 6 8» я X —горизонтальное векторное
поле, то [X, Л*] горизонтально.
Доказательство леммы. Фундаментальное векторное
поле Л* индуцируется действием Ra , где . at — 1-параметри-
1-параметрическая подгруппа в G, порожденная элементом Л € 8- По лред-
ложению 1.9 главы I имеем
Если X горизонтально, то и Ra (X) горизонтально. Итак, [X, Л*]
горизонтально. ?
Следствие 5.3. Если X и Y—горизонтальные векторные
поля на Р, то
со([Х, r|) = -2Q(X, Y).
Доказательство. Применим предложение 1.9 главы I к
левой части только что доказанного структурного уравнения. ?
Структурное уравнение (часто называемое «структурным урав-
уравнением Э. Картана») иногда для простоты пишется так:
dco = —i-[co, co] + Q.
Пусть eit ..., е, —базис алгебры Ли д и с\к, i, }, k= I, ..., г,—
структурные константы для 8 относительно eif ..., еТ, т. е.
[в/, ек] = 23*4*/» /» k =1 г-

82
ГЛ. И. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
Пусть ю = Si'0'6! и ^ = Si^/ei- Тогда структурное уравнение может
быть выражено так:
Теорема 5.4 (тождество Бианки). DQ = 0.
Доказательство. По определению D достаточно дока-
доказать, что dQ(X, Y,Z)=0, если все X, Y и Z горизонтальны.
Применим внешнее дифференцирование d к структурному урав-
уравнению. Тогда
О = (Ш* = — 4" S c/a d(o/ Л »* + -j
Поскольку <»'(Х) = 0, если X горизонтально, то мы имеем
dQ'(X,Y,Z) = 0,
если все X, Y и Z горизонтальны. ?
Предложение 5.5. Пусть а — форма связности, а ц> — тен-
зориальная 1 -форма типа adG. Тогда
), со (Г)]+4 [со (X), Ф
X, Y?T
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5.2,
достаточно рассмотреть три специальных случая. Единственный
нетривиальный случай — это когда X вертикально, a Y горизон-
горизонтально. Пусть Х = А* в и, где А 6 д. Продолжаем Y до гори-
горизонтального векторного поля на Р, обозначаемого также через Y,
которое инвариантно относительно Ra; a ?G. (Сначала продолжаем
вектор nY до векторного поля на М и затем поднимаем его до
горизонтального векторного поля на Р.) Тогда [А*, К] = 0. Так
как А* вертикально, то ?>ф(Л*,К) = 0. Мы покажем, что пра-
правая часть равенства обращается в нуль. По предложению 3.11
главы I имеем
или
так что достаточно показать А* (<p(Y)) + [(o(A*), ф00] =
A*(<p(Y)) = — [А, фОО]. Если at обозначает 1-параметрическую
подгруппу в G, порожденную элементом А, то
А"и (ф 00) = Нт | [Фм
= lim | [ad (аг1) (Ф. (У)) - Фд 00] = — {А, Фв (У)],
поскольку Y инвариантно под действием /?а^. Q
§ 6. ОТОБРАЖЕНИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
83
§ 6. Отображения связностей
В § 5 главы I мы рассмотрели некоторые отображения одного
главного расслоения в другое такие, как гомоморфизм, инъек-
инъекция и отображение расслоений. Теперь мы изучим действие этих
отображений на связности.
Предложение 6.1. Пусть f: Р' (М'', G')—*P (M, G) — го-
гомоморфизм с соответствующим гомоморфизмом групп f: G' —>~G
такой, что индуцированное отображение f: М' —>¦ М есть диф-
диффеоморфизм из М' на М. Пусть Г' —связность в Р', со' —форма
связности, a Q' — форма кривизны для Г'. Тогда:
(a) Существует единственная связность Г в Р такая, что f
отображает горизонтальные подпространства связности Г" в го-
горизонтальные подпространства связности Г.
(b) Если со и Q — формы связности и кривизны для Г соот-
соответственно, то f*(o — f-(o' и f*Q = f-Q', где /-со' или f-Q' озна-
означают %'-значные формы на Р', определяемые как (/-со')(Х') =
= />'(Х)) или (f'Q')iX1, Y') = f{Q'(X', Y')), где f в правых
частях —это гомоморфизм %'—>-%, индуцированный отображени-
отображением f: G' -+G.
(c) Если и'?Р' й u = f(u')?P, то f: G'-+G отображает
Ф(ц') на Ф(ы), а Ф°(ы') на Ф°(ы), где Ф(ц) и Ф°(и) (соотв.
Ф(ц') и Ф° (и')) — группа голономии и ограниченная группа голо-
номии для Г (соотв. для Г') с опорной точкой и (соотв. и').
Доказательство, (а) Пусть дана точка и?Р, выберем
ц'^Р' и a?G так, что u — f(u')a. Мы определяем горизонталь-
горизонтальное подпространство Qa в Та(Р) как Qa = Ra°f(Qu>), где Qu> —
горизонтальное подпространство в Ти>(Р') относительно Г'. По-
Покажем, что Qa независимо от выбора и' и а. Если u~f(v')b,
где v' ?Р' и 66G, то v' = u'c' для некоторого c'^G'. Если мы
положим c = f(c'), то u = f(v')b = f(u'c)b = f(u')cb, откуда a = cb.
Мы имеем
Rb°
= Rb
(Qu')=Rb°Rc°f {Q*)=Ra°
что и доказывает наше утверждение. Покажем, что распределе-
распределение ц—>- Qa есть связность в Р. Если и = f (и')а, то ub = f(u')ab
И Qab = Rabof{Qu') = Rb°Raof(Qu'):==Rb(Qa)> ЧТО И ДОКаЗЫВаеТ
инвариантность распределения относительно G. Теперь докажем,
что rn(P) = Qo + Ga, где Ga — касательное пространство к слою
через и. В силу локальной тривиальности Р
достаточно доказать, что проекция я:
Р —¦*¦ М индуцирует линейный изоморфизм
ni Qa—hTx(M), где х = п(и). Мы можем
принять, что u = f(u'), поскольку распре-
распределение ц—>- Qa инвариантно при действии
G. В коммутативной диаграмме
ТЯМ)-
¦ТХ(М),

84
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
отображения я': Qu- —*¦ 7V (М') и /: Тх- (ЛГ) -*¦ Тх(М). представ-
представляют собой линейные изоморфизмы, и поэтому остальные два
преобразования также должны быть линейными изоморфизмами.
Единственность Г очевидна из конструкции.
(Ь) Равенство /*со=/-со' может быть переписано так:
о (fxf) = f (со' (х')) для х' е Та' (Р'), w e р'. .
Достаточно проверить равенство выше в двух специальных слу-
случаях: A) X' горизонтально и B) X' вертикально. Поскольку
f: P'—*¦ Р отображает каждый горизонтальный вектор в гори-
горизонтальный, то обе части равенства обращаются в нуль, если X'
горизонтально. Если X' вертикально, то X' = А'* в и', где А' ? %'•
Положим A=f(A')?%. Так как f (u'a') = f{u') f(a') для каждого
a'?G', то имеем f(X') = A* в f(u'), так что
со (fX') = со (А») = А = / (А') = / (со' (А")) = / (со' (X')).
Из f*(a — f-(o' мы получаем d(/*co) = d(/-co') и /*• dco = /• dco'. В силу
структурного уравнения (теорема 5.2)
—if (К
имеем
Это влечет f f
(с) Пусть т — петля в я = я(«). Положим xr=f~1(*) так, что т'
есть петля в я' =я (и'). Пусть т'* есть горизонтальный лифт для т',
исходящий из и'. Тогда /(т'*)— горизонтальный лифт для т, ис-
исходящий из и. Утверждение (с) теперь очевидно. ?
В ситуации, описанной в предложении 6.1, мы говорим, что
f отображает связность Г' в связность Г. В частности, в случае,
когда Р'(М', С') —редуцированное подрасслоение в Р (G, М)
с инъекцией /, так что М' = М и /: М' —*¦ М— тождественное
преобразование, мы говорим, что связность Г в Р редуцируема
к связности Г' в Р'. Автоморфизм f расслоения Р (М, G) назы-
называется автоморфизмом связности Г в Р, если он отображает
Г в Г, и в этом случае говорят, что Г инвариантна относи-
относительно /. - ГЩ
Предложение 6.2. Пусть f: Р' (М', G')-+P(M, G) — го-
гомоморфизм такой, что соответствующий гомоморфизм f: G' —*¦ G
отображает G' изоморфно на G. Пусть Г — связность в Р, со—ее
форма связности, a Q — ее форма кривизны. Тогда:
(а) Существует единственная связность Г' в Р' такая, что f
отображает горизонтальные подпространства связности Г" в го-
горизонтальные подпространства связности Г.
§ 6. ОТОБРАЖЕНИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
85
(b) Если со' и Q' —соответственно формы связности и кри-
кривизны для Г', то /•со = /-со' и f*Q = f-Q'.
(c) Если и'?Р' и u = f(u')?P, то изоморфизм f: Gf—>-G
отображает Ф (и') в Ф (ц) ц ф° (и') в Ф° (и).
Доказательство. Введем Г', определяя ее форму связ-
связности со'. Положим со' = /-1-/*со, где /-1: g —*¦ g' — обращение изо-
изоморфизма /: g'—>-g, индуцированного из /: G'-+G. Пусть
Х'еТи'(Р) и a'?G' и положим X = fX', a=f(a'). Тогда имеем
со' {Ra.X') = /-1 (со (/ (Ra-X'))) = /-1 (со (RaX))
- /-1 (ad (а-*) (со (X))) = ad (а'-*) (Г1 (со (X)))
= ad(a'-i)(co(X')).
Пусть Л'€й\ и положим A = f{A'). Пусть А* и А'* означают
фундаментальные векторные поля, соответствующие А и А'. Тогда
имеем
со' (А'*) = /~1 (со (А*)) = /-1 (А) = А'.
Это доказывает, что форма со' определяет связность (предложе-
(предложение 1.1). Проверка остальных утверждений аналогична доказа-
доказательству предложения 6.1 и оставляется читателю. ?
В ситуации, описанной предложением 6.2, мы говорим, что
связность Г' индуцирована гомоморфизмом f из связности Г.
Если /—отображение расслоений, т. е. G' = G и /: G'—>-G —
тождественный автоморфизм, то со' = /*со. В частности, для дан-
данного расслоения Р(М, G) и отображения /: М'—»- М каждая
связность в Р индуцирует связность в индуцированном расслое-
расслоении f~lP.
Для любых главных расслоений Р(М, G) и Q{M, H) PxQ
есть главное расслоение над МхМ с группой Gx//. Пусть P + Q
есть сужение PxQ на диагональ ДМ в МхМ. Поскольку ДМ
и М диффеоморфны друг другу естественным образом, рассмотрим
P-\-Q как главное расслоение над М с группой GxH. Сужение
проекции PxQ—>-P на P + Q, обозначаемое fp, есть гомомор-
гомоморфизм с соответствующей естественной проекцией fG: GxH —>~G.
Сходным образом и для fQ: P-{-Q—>-Q с !н'- GxH —*-Н.
Предложение 6.3. Пусть Гр ц TQ—связности в Р(М, G)
и Q (М, Н) соответственно. Тогда:
(a) Существует единственная связность Г в P + Q такая, что
гомоморфизмы fP: РЦ-Q—^-P и fQ: P-\-Q—>-Q отображают Г
в Тр и TQ соответственно.
(b) Если со, (ор и coq — формы связности, a Q, Qp и QQ—формы
кривизны для Г, Тр и Tq соответственно, то
со = />,, + /><>, Q = ^fi/, + /'QfiQ.
(c) Пусть и?Р, «6Q и (и. v)G-P + Q- Тогда группа голоно-
мии Ф (и, v) для Г (соотв. суженная группа голономии Ф° (и, v)

86 ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
для Г) есть подгруппа в Ф(ц)хФ(о) (соотв. в Ф°(ы)хФ9(о)).
Гомоморфизм fo: GxH—^-G (соотв. fH: GxH-+H) отображает
Ф(м, v) на Ф(и) (соотв. на Ф(у)), а Ф°(и, v) на Ф°(ы) (соотв.
на Ф°(и)), где Ф (и) и Ф° (и) (соотв. Ф(и) и Ф° (&)) — группы го-
голономии и суженной группы голономии дляТр (соотв. для TQ).
Доказательство подобно доказательствам предложений 6.1 и
6.2 и оставляется читателю.
Предложение 6.4. Пусть Q (М, Н) — подрасслоение в
Р(М, G), где И —подгруппа Ли в G. Допустим, что алгебра
Ли g для G допускает подпространство m такое, что g = m + J)
(прямая сумма) и ad(#)m = m, где ^ — подалгебра Ли для Н.
Для каждой формы связности со в Р ^-компонента со' формы со,
суженная на Q, есть форма связности в Q.
Доказательство. Пусть A?.f) и Л* —фундаментальное
векторное поле, соответствующее А. Тогда со' (А*) есть ^-ком-
^-компонента для со (А*) = А. Отсюда со' (А*) = А. Пусть ср есть тп-ком-
понента для со, суженная на Q. Пусть X ?TV(Q) и а?Н. Тогда
со (RaX) =co' (RaX) + <p (RaX),
ad (а-1) (со (X)) = ad (а) (со' (X)) + ad (а) (ср (X)).
Левые части предыдущих двух равенств совпадают. Сравнивая
lj-компоненты правых частей, получаем со' (RaX)=ad(a~1) (&' (X)).
Заметим, что мы использовали то, что ad (а"*1) (ф (X)) лежит в т. ?
Замечание. Связность, определяемая формой со в Р, реду-
редуцируема к связности в подрасслоении Q тогда и только тогда,
когда ограничение со на Q 'ij-значно. В предположениях 6.4 это
означает со' = со на Q.
§ 7. Теорема редукции
Если не указано иначе, под кривой будет пониматься ку-
кусочно дифференцируемая кривая класса С". Группа голономии
Фоо(ц0) будет обозначаться Ф(ы0)-
Сначала будет установлена
Теорема 7.1 (теорема редукции). Пусть Р(М, G) —главное
расслоение со связностью Г, где М связно и паракомпактно. Пусть
иа — произвольная точка в Р. Обозначим через Р (иа) множество
точек в Р, которые могут быть соединены с и0 горизонтальными
кривыми. Тогда
A) Р (ц0) — редуцированное расслоение со структурной груп-
группой Ф(иа).
B) Связность Г редуцируема к связности в Р(и0).
Доказательство. A) Сначала будет доказана
Лемма 1. Пусть Q — подмножество в Р(М, G), а Н — под-
подгруппа Ли группы G. Допустим: A) проекция я: Р —>¦ М отоб-
отображает Q на М; B) О устойчиво относительно Н, т. е. Ra(Q) = Q
7. ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ
87
для каждого а?Н; C) если u,v?Q и я (и) = я (у), то существует
элемент а^Н такой, что v = ua и D) каждая точка х?М имеет
окрестность U и сечение о: U —» Р такие, что a(U)c:Q. Тогда
Q(M, H) есть редуцированное подрасслоение в Р(М, G).
Доказательство леммы 1. Для каждого и 6 я (U) пусть
х = п(и) via^G — элемент, определяемый соотношением и=о(х)а.~
Определим изоморфизм тр: л^)—>- UxG, полагая тр(м) = (х, а).
Легко видеть, что яр отображает Qf\n~1(U) взаимно однозначно
на Uxff. Введем дифференцируемую структуру в Q так, что
тр: Q Г) я (U) —» UхН становится диффеоморфизмом; используя
предложение 1.3 главы I, как и в доказательстве предложения 5.3
главы I, мы видим, что Q становится дифференцируемым много-
многообразием. Теперь очевидно, что Q — главное расслоение над М
с группой Н и что Q — подрасслоение в Р.
Возвращаясь к доказательству первого утверждения теоре-
теоремы 7.1, мы видим, что так как М паракомпактно, то группа
голономии Ф (ц„) есть подгруппа Ли в G (теорема 4.2) и что
подмножество Р(и0) и группа Ф(«о) удовлетворяют условиям
A), B)' и C) леммы 1 (см. второе определение Ф(ыо)> данное
перед предложением 4.1, а также предложение 4.1 (Ь)). Чтобы
проверить условие D) леммы 1, допустим, что х1, ..., х" — ло-
локальная система координат вблизи х такая, что х есть начало
(О, ..., 0) относительно этой координатной системы. Пусть U —
кубическая окрестность точки х, определенная как | х11 < б. Для
любой [заданной точки у € U пусть ху — сегмент (отрезок) из х
в у относительно координатной системы х1, ..., х". Фиксируем
точку «€Q так, что п(и) = х. Пусть а (у) — точка из Р, полу-
полученная параллельным переносом и вдоль т„. Тогда о: U —*¦ Р
есть сечение такое, что a(U)c:Q. Теперь A) теоремы 7.1 сле-
следует из леммы 1.
B) Это немедленно получается из следующей леммы:
Лемма 2. Пусть Q(M, Н) — подрасслоение в Р (М, G) и Г —
связность в Р. Если для каждого и ? Q горизонтальное подпро-
подпространство из Та(Р) касательно к Q, то Г редуцируема к связ-
связности в Q.
Доказательство леммы 2. Мы определяем связность
Г' в Q так. Горизонтальное подпространство из Ta(Q), u€.Q,
относительно Г' есть по определению горизонтальное подпро-
подпространство из Та (Р) относительно Г. Ясно, что Г редуцируема
к Г'. ?
Мы назовем Р (и) расслоением голономии через и. Очевидно,
что Р (и) = Р (v) тогда и только тогда, когда и и v могут быть
соединены горизонтальной кривой. Так как отношение ~, вве-
введенное в § 4 (н~о, если и я v можно соединить горизонталь-
горизонтальной кривой), есть отношение эквивалентности, то для каждой
пары точек и и v из Р имеем или P(u) = P(v) или P(u)r\P(v)

88
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
пусто. Другими словами, Р разлагается в объединение попарно
непересекающихся расслоений голономии. Так как каждое a?G
отображает каждую горизонтальную кривую в горизонтальную
кривую, то Ra(P(u)) = P(ua) и Ra: Р (и)—>-Р (иа) есть изомор-
изоморфизм с соответствующим изоморфизмом ad (от1): Ф(«)—>~Ф(иа)
структурных групп. Легко видеть, что если заданы любые и и и,
то существует элемент a?G такой, что Р (v) = P(иа). Итак, все
расслоения голономии Р (и), и?Р, изоморфны друг другу.
Используя теорему 7.1, докажем, что группы голономии Фй(ы),
l^&^oo, совпадают, как было указано в замечании § 4. Этот
результат принадлежит Номидзу и Одзеки [2].
Теорема 7.2. Все группы голономии Ф*(«), l^&s^oo, со-
совпадают.
Доказательство. Достаточно показать, что Фх (и) = Ф,,, (и).
Мы обозначаем Фт(и) как Ф(ы) и расслоение голономии через и
как Р (и). Мы знаем по теореме 7.1, что Р (и) — подрасслоение
в Р со структурной группой Ф(ы). Определим распределение S
на Р, полагая
Sa = Ta(P(u)) для и$Р.
Поскольку расслоения голономии имеют одну и ту же размер-
размерность, скажем k, то 5 есть ^-мерное распределение. Сначала
будет доказана
Лемма 1. A) S дифференцируемо и инволютивно.
B) Для каждого и?Р Р (и) есть максимальное интегральное
многообразие для S через и.
Доказательство леммы 1. A) Мы полагаем
где S'a горизонтально, a S? вертикально. Распределение S' диф-
дифференцируемо по самому определению связности. Чтобы доказать
дифференцируемость S, достаточно показать это для S". Для
каждой UQ.P пусть U — окрестность для х = п(и) с сечением о:
U —*¦ Р (и) таким, что а(х) = и. (Такое сечение было построено
в доказательстве теоремы 7.1.) Пусть Ait ..., Л, —базис алгеб-
алгебры Ли %(и) группы Ф(«). Определим векторные поля Ait ..., АТ
на n~l(U), которые образуют базис для S" в каждой точке из
n~l(U). Пусть v?n~l(U). Тогда существует единственный a?G
такой, что v = o(n(v))a. Поскольку ad(a~l): Ф(и)-»-Ф(в) — изо-
изоморфизм, то ad (a~l) (А{), i = l, ..., г,—элементы из д(о) и об-
образуют базис для g(f). Мы полагаем
,),;, t = l, .... г,
где (ad (а~х)(Лi))* —фундаментальное векторное поле на Р, соот-
§ 7. ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ
89
ветствующее ad (or1)^) ? g (и) с g, i = 1 r. Легко видеть,
что Ait ..., Ar дифференцируемы и образуют базис для S" на
)
Для каждой точки и Р (и) — интегральное многообразие для S,
поскольку для каждого v?P(u) имеем Tv(Р (и)) = Tv(Р (о)) = Sv.
Это влечет инволютивность S.
B) Пусть W (и) — максимальное интегральное многообразие
для S через и (см. предложение 1.2 главы I). Тогда Р (и) есть
открытое подмногообразие в W (и). Докажем, что Р (и)= W (и).
Пусть v—произвольная точка из W (и), и пусть и (t), О^Г /^ 1,—
кривая в W\(u) такая, что и@) = и и u(l) = v. Пусть ^ — точная
верхняя грань для t0 таких, что O^/^jfo влечет u(t)?P(u).
Так как Р (и) открыто в W(u), то t1 положительно. Покажем,
что u(tj) лежит в Р (и); так как Р(и) открыто в W (и), то это
повлечет ^=1, а отсюда получается, что u(\) = v лежит в Р (и).
Точка и (t-i) находится в Р(и (^)) я Р (и (?х)) открыто в W (и (/j)).
Существует е > 0 такое, что ^ — e<t <tt + « влечет u(t)?P (и GХ)).
Пусть t — любое число такое, что tx — е < t < tt. По определению
ti мы имеем u(t) ?Р (и). С другой стороны, и (t) ? Р (и (/х)). Это
влечет Р (и) = Р (и (tx)), так что и(/1)^Р(ц), как мы и хотели
показать. Этим доказано, что Р(и) — в действительности макси-
максимальное интегральное многообразие для S через и.
Л е м м а 2. Пусть S — инволютивное С°°-распределение на С°°-мно-
С°°-многообразии. Предположим, что xt, Oss^^l, — кусочно О--кривая,
касательный вектор xt которой принадлежит S. Тогда вся кри-
кривая xt лежит в максимальном интегральном многообразии W для
S через точку х0.
Доказательство леммы 2. Можно допустить (считать),
что xt есть С*-кривая. Возьмем локальную систему координат
х1, ..., хп около точки ха такую, что д/дх1, ..., д/дхк, k = dim S,
образуют локальный базис для S; см. Шевалле [1], с. 92
(с. 130—133 русского перевода). Для малых значений t, скажем
0 ^ t ^ е, xt может быть выражено как хс = xl (t), I ^ i ^ п, а ее
касательные векторы задаются как ^(с!х1/сИ)(д/дхе). По допу-
допущению мы имеем dxl/dt = O для k-\-\ ^.i ^.n. Итак, х*{?)=х'@)
для k-\-\ ^.i ^ п, так что xt, O^f^s, лежит в слое через х0
и отсюда в W. Стандартные соображения о продолжении завер-
завершают доказательство леммы 2.
Мы теперь в состоянии завершить доказательство теоремы 7.2.
Пусть а —любой элемент из Фг(и). Это означает, что и я иа
могут быть соединены кусочно ^-горизонтальной кривой ut,
0^.t ^1, в Р. Касательный вектор ut в каждой точке, очевидно,
лежит в SBf. По лемме 2 вся кривая щ лежит в максимальном
интегральном многообразии W (и) для S через и. По лемме 1
вся кривая щ лежит в Р (и). В частности, иа есть точка из Р (и).

90
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
Поскольку Р (и) — подрасслоение со структурной группой Ф(«),
то а принадлежит Ф (и). ?
Следствие 7.3. Суженные группы голономии Ф%(и), \s^kz^.oo,
совпадают.
Доказательство. Ф%(и) есть связная компонента единицы
группы Фй(и) для каждого к (см. теорему 4.2 и ее доказатель-
доказательство). Теперь следствие 7.3 следует из теоремы 7.2. ?
Замечание. В случае, когда Р(М, G) есть вещественное
аналитическое главное расслоение с аналитической связностью,
мы можем определить еще группу голономии Фш (и), используя
только кусочно аналитические горизонтальные кривые. Рассуж-
Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 7.2, и след-
следствие 7.3 показывают, что Ф@(и)=Ф1(и) и Ф°,(ы)=Ф?(ц).
Если задана связность Г в главном расслоении Р (М, G), то
мы определим понятие параллельного переноса в ассоциирован-
ассоциированном расслоении Е(М, F, G, Р) со стандартным слоем F. Для
каждого шб? горизонтальное подпространство Qw и вертикаль-
вертикальное подпространство Fw в TW(E) определяются так. Вертикаль-
Вертикальное подпространство Fw есть по определению касательное про-
пространство к слою из ? в и. Чтобы определить Qw, вспомним,
что мы имеем естественную проекцию PxF —>-E =Px GF- Выберем
точку (и, |)?Рх/\ которая отображается в w. Мы фиксируем
|?.F и рассмотрим отображение Р—>-Е, отображающее v?P
в ьЪ,?Е. Тогда горизонтальное подпространство Qw есть по оп-
определению образ горизонтального подпространства Qac:Ta(P)
относительно этого отображения Р—*-Е. Мы легко видим, что Qw
независимо от выбора (и, b)?PxF. Мы оставляем читателю
доказательство того, что Ти, (Е) = Fw + Qw (прямая сумма). Кри-
Кривая в Е горизонтальна, если ее касательный вектор горизонтален
в каждой точке. Если задана кривая т в М, то {горизонтальный)
лифт т* для т — это горизонтальная кривая в Е такая, что
яя(т*)=т. Пусть задана кривая x = xi, 0^.t^.\, и точка wa
такая, что nE(w0) = xa, тогда существует единственный лифт
T* = wt, исходящий из wa. Чтобы доказать существование т*, мы
выбираем точку (и0, I) в PxF такую, что ual = w0. Пусть ut—
.лифт для x = xt, исходящий из ц0. Тогда t0t=utg есть лифт для т,
исходящий из wa. Единственность т* сводится к единственности
решения системы обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям,
так же как и в случае лифта в главном расслоении. Сечение а
в Е, определенное на открытом подмножестве U из М, назы-
называется параллельным, если образ Тх (М) при действии от горизон-
горизонтален для каждого х ? ?/, т. е. для любой кривой т = xt, 0 ^ t ^ 1,
параллельный перенос о(х0) вдоль т дает а(хх).
Предложение 7.4. Пусть Р(М, G) —главное расслоение и
Е(М, G/ff, G, Р) — ассоциированное расслоение со стандартным
§ 8. ТЕОРЕМА О ГОЛОНОМИИ
91
слоем G/H, где Н—замкнутая подгруппа в G. Пусть а: М—+Е —
сечение и Q(M, Н) — редуцированное подрасслоение в Р (М, G),
соответствующее о (см. предложение 5.6 главы I). Тогда связ-
связность Т в Р редуцируема к связности Г' в Q тогда и только
тогда, когда а параллельно относительно Г.
Доказательство. Если мы отождествим Е с Р/Н (см.
предложение 5.5 главы I), то а(М) совпадает с образом Q отно-
относительно естественной проекции jx: P —+Е = Р/Н; другими сло-
словами, если «6Q и х = я(ы), то a(x) = [i(u) (см. предложение 5.6
главы I). Предположим, что Г редуцируема к связности Г' в Q.
Мы отметим, что если | есть начало (т. е. класс Н) в G/H, то
ul = \i(u) для каждого и?Р, и отсюда, если ut, O^.t^.1, го-
горизонтальна в Р, то и \1(щ) горизонтальна в Е. Если задана
кривая xt, O^.t^.1, в М, выберем uo?Q с п(и0)=х0 так, что
а(яо) = |д,(ио), Пусть ut — исходящий из и0 лифт до Р кривой xt
(относительно Г) такой, что [i{ut) есть лифт xt до Е, исходящий
из о(х0). Поскольку Г редуцируема к Г', имеем ut ?Q и отсюда
|х (ut) = a (*t) для всех /. Обратно, допустим, что а параллельно
(относительно Г). Пусть задана любая кривая xt, O^^^l, в М
и любая точка в, из Q с я(цо)=хо, пусть ut — лифт xt до Р,
исходящий из и0. Так как а параллельно, то [д, (ц() = а (х() и
отсюда ut 6 Q для всех t. Это показывает, что каждый горизон-
горизонтальный вектор в и0 g Q (относительно Г) касается Q. По пред-
предложению 7.2 Г редуцируема к связности в Q. ?
§ 8. Теорема о голономии
Применяя теорему 7.1, мы сначала докажем следующий ре-
результат Амб роу за и Зингера [1].
Теорема 8.1. Пусть Р (М, G)—главное расслоение, где М
связно и паракомпактно. Пусть Г—связность в Р, Q—форма
кривизны, Ф (и) —группа голономии с опорной точкой и?Р иР (и) —
расслоение голономии через и связности Г. Тогда алгебра Ли для
Ф(ц) совпадает с подпространством в g—алгебре Ли группы G,
порожденным всеми элементами вида QV(X, Y), где v?P(u),
а X и Y—произвольные горизонтальные векторы в точке v.
Доказательство. В силу теоремы 7.1 можно допустить,
что Р(и) = Р, т. е. Ф(ц) = С Пусть g' — подпространство в д,
натянутое на все элементы вида QV(X, Y), где v^P(u) — P,
а X и Y — произвольные горизонтальные векторы в у. Подпрост-
Подпространство д' в действительности есть идеал в д, потому что Q есть
тензориальная форма типа adG (см. § 5) и поэтому д' инвари-
инвариантно относительно adG. Мы докажем, что д' = д.
В каждой точке v?P, пусть Sv — подпространство из TV(P),
натянутое на горизонтальное подпространство Qv и на подпро-
подпространство др={Л„; Л?д'}, где А* — фундаментальное векторное

92
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
поле на Р, соответствующее Л. Распределение S имеет размер-
размерность п + r, где n = dimM, a r = dimg'. Мы докажем, что S
дифференцируемо и инволютивно. Пусть у —произвольная точка
из Р и U — координатная окрестность для у = я (и) ? М такая,
что n~l(U) изоморфна UxG. Пусть Х1г ..., Хп — дифференци-
дифференцируемые векторные поля на U, которые линейно независимы всюду
на U, и XI, ..., Х*п — горизонтальные лифты для Xlt ..., Хп.
Пусть Ait ..., Лг — базис для д' и А{, ..., А* — соответствующие
фундаментальные векторные поля. Ясно, что X*, ..., Х*п,
AZ, ..., А* образуют локальный базис для S. Чтобы доказать,
что S инволютивно, достаточно проверить, что скобка любых
двух из этих векторных полей принадлежит S. Это ясно для
[A*t, A*f], поскольку [Л,-, Л/] С 8' и [Л,-, Л/]* = [Л,-, А)\. По лемме
для теоремы 5.2 [А], Х]\ горизонтально; в действительности
[Л*, Ху] = 0, так как X* инвариантно под действием Ra для
любого a<zG. Наконец, положим Л=«в([Х*, X*]) ? д, где со—
форма связности для Г. По следствию 5.3 Л = со([Х*, X*]) =
= —2Q(Xi, Xj)^q', Поскольку вертикальная компонента для
[Xi, X*] в v?P равна Ag^Sv, то [X*, X*t] принадлежит 5. Это
доказывает наше утверждение об инволютивности 5.
Пусть Ро — максимальное интегральное многообразие для S
через и. По лемме 2 в доказательстве теоремы 7.2 мы имеем
Р0 = Р. Поэтому
dim g = dim P — п = dim Po — п = dim g'.
Это влечет g = g'. ?
Далее будет доказана
Теорема 8.2. Пусть Р(М, G)—главное расслоение, где Р
связно и М паракомпактно. Если dim M ^ 2, то существует
связность в Р такая, что все расслоения голономии Р (и), и?Р,
совпадают с Р.
Доказательство. Пусть и0 — произвольная точка из Р
и х1, ..., хп — локальная система координат с началом х0 = я («„).
Пусть U и V—окрестности для х0, определяемые соответственно
как | х' | < а и | х1 | < р, где 0 < а < р. Беря а достаточно малым,
мы можем принять, что Р\ U = n~x(U) изоморфно тривиальному
расслоению UxG. Мы построим связность Г' в Р \ U такую, что
группа голономии расслоения Р \ V совпадает с компонентой
единицы в G. Мы тогда продолжим Г' до связности Г в Р таким
путем, что Г совпадает с Г' на P\V (см. теорему 2.1).
Пусть Ait ..., Лг — базис алгебры Ли g группы G. Выберем
действительные числа ах, ..., аг так, чтобы 0<ai<a2<...
...<аг<р, и пусть fi(t), i = l, ..., г,— дифференцируемые
функции в —а —8</<а + 8 такие, что /,-@) = 0 для каждого i
' S. ТЕОРЕМА О ГОЛОНОМИИ
93
и fi(a.j) = б,у (символ Кронекера). На n~1(U) — UxG мы можем
определить форму связности со требованием, чтобы
S
и чтобы
и, е) (д/дх1) = 0 для i = 2, 3,
п.
(Заметьте, что в силу свойства Ra(o = ad (а'1) (со) предыдущее
условие определяет величину со в каждой точке (х, а) из UxG.)
Фиксируя t, 0 < t < Р, и ак, ls^k^.r, рассмотрим прямо-
прямоугольник на хх, я2-плоскости в V, образованный отрезками тх
из @, 0) в @, ак), т2 из @, ак) в (/, ак), т3 из (/, ак) в (t, 0)
и т4 из (t, 0) в @, 0). (Здесь и в последующих рассуждениях
координаты х3, ...,хп всех точек — нули и потому для простоты
опущены.) В n~x<y) = VxG мы определяем горизонтальный лифт
для т = т4-т3-т2-т1, исходящий из точки @, 0; е). Лифт т? для тх,
исходящий из @, 0; е), есть, очевидно, @, s; e), 0^s^aft, так
как его касательные векторы д/дх* горизонтальны. Лифт TJ для т2,
исходящий из конечной точки @, ак; е) для т\, имеет вид (s, ак; cs),
O^.s^.t, где cs есть подходящая кривая "с со — е в G. Ее каса-
касательный вектор имеет вид (д/дх1)^, а.^ +cs. Проводя выкладки
так же, как и в предложении 3.1, мы имеем
(о((д/дхх)р, ак) +cs) = ad (c~x) со ((д/дх1))^, ак; е) +с7г-с3
• = ad (ст1) ( S f/ (aft) А-Л + °7г • с* = ad (cs~l) Ак -fcf1 • cs.
Поэтому мы имеем cs-c7x = — Ак, т. е. с^ = ехр(—sAk). Конечная
точка для Та есть, следовательно, (t, ак; ехр (— tAk)). Лифт tJ
для т3, исходящий из (t, ак; ехр (— tAk)), есть (f, ай — s; ехр (—tAk)),
0^s^aft. Наконец, лифт т4 для т4, исходящий из конечной
точки (/, 0; ехр(—tAk)) для tJ, есть (t — s, 0; ехр (—tAk)),
Q^s^t, поскольку д/дх1 горизонтально в точках с х* = 0. Это
показывает, что конечная точка лифта т* для т есть @, 0; ехр (—tAk)),
что и доказывает, что ехр (— tAk) есть элемент группы голономии
для я (У) с опорной точкой @, 0; е). Так как это имеет место
для любого t, то мы видим, что Ак принадлежит алгебре Ли
группы голономии. Результат верен для любого Ак, и мы видим,
что группа голономии связности в я (С/) совпадает с компо-
компонентой единицы в G. _
Пусть Г —связность в Р, которая совпадает с Г' на я~х(У).
Поскольку группа голономии Ф (иа) для Г явно содержит ком-
компоненту единицы из G, то расслоение голономии Р(и0) для Г
имеет ту же размерность, что и Р, и поэтому открыто в Р. Так

94
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
как Р есть раздельное объединение расслоений голономии, каж-
каждое из которых открыто, то связность Р влечет Р = Р(ц0). ?
Следствие 8.3. Любая связная группа Ли G может быть
реализована как группа голономии некоторой связности в триви-
тривиальном расслоении P = MxG, где М — произвольное дифференци-
дифференцируемое многообразие с dim M^t 2.
Теорема 8.2 была доказана для линейных связностей X а н о
и Одзеки [1] и затем, в общем случае, Номидзу [5], в обоих
случаях с использованием теоремы 8.1. Вышеприведенное более
прямое доказательство принадлежит Ру (Е. Ruh) (не опубли-
опубликовано).
§ 9. Плоские связности
Пусть P = MxG — тривиальное главное расслоение. Для каж
дого a?G множество Мх{а\ есть подмногообразие в Р. В част-
частности, Мх{е\, где е — единица в G, есть подрасслоение в Р.
Каноническая плоская связность в Р определяется взятием каса-
касательного пространства к М х {а\ в точке и—(х, а) ? М х G в качестве
горизонтального подпространства в «.Другими словами, связность
в Р есть каноническая плоская связность тогда и только тогда,
когда она редуцируема к единственной связности в Мх\е\.
Пусть в — каноническая 1-форма на G (см. § 4 главы, I). Пусть
/: MxG—*¦ G — естественная проекция, и положим
ш = /*0.
Легко проверить, что со есть форма связности канонической
плоской связности в Р. Уравнение Маурера — Картана для 6
влечет, что каноническая плоская связность имеет нулевую кри-
кривизну:
dco=d(/*e) = /*(de)=/•(-¦j[в, е]) = -1[/*е, /*в] = -1 [<*>, <*>].
Связность в любом главном расслоении Р{М, G) называется
плоской, если каждая точка х из М имеет окрестность U такую,
что индуцированная связность в Р\ U = я (U) изоморфна кано-
канонической связности в UxG. Точнее, существует изоморфизм
tjr. я (U) —*¦ UxG, отображающий горизонтальное подпростран-
подпространство в каждой точке и ? я (U) на горизонтальное подпространство
канонической плоской связности в UxG в точке ty(u).
Теорема 9.1. Связность в P(M,G) плоская тогда и только
тогда, когда ее форма кривизны есть нуль.
Доказательство. Необходимость очевидна. Допустим, что
форма кривизны есть нуль. Для каждой точки я из М пусть U —
односвязная открытая окрестность точки х и рассмотрим инду-
индуцированную связность в Р\U = п~1 (?/). По теоремам 4.2 и 8.1
§ 9. ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ
95
группа голономии индуцированной связности в P\U состоит
только из единицы. Применяя теорему редукции (теорема 7.1),
мы видим, что индуцированная связность в Р \ U изоморфна
канонической плоской связности в UxG. ¦ ?
Следствие 9.2. Пусть Г — связность в Р(М, G) такая, что
ее кривизна есть нуль. Если М паракомпактно и односвязно,
то Р изоморфно тривиальному расслоению MxG и V изоморфна
канонической плоской связности в MxG.
Мы изучим случай, когда М не обязательно односвязно.
Пусть Г — плоская связность в Р(М, G), где М связно и пара-
компактно. Пусть ц„6Л М* = Р(и9) — расслоение голономии
через иа; тогда М* есть главное расслоение над М, структурная
группа которого есть группа голономии Ф(ц0). Поскольку Ф(ы0)
дискретна по теоремам 4.2 и 8.1 и поскольку М* связно, то
М* есть накрывающее М пространство. Положим хо = п(иа),
хо?М. Каждая замкнутая кривая в М, исходящая из х0, при
помощи параллельного переноса вдоль нее определяет элемент
в Ф(и0). Поскольку суженная группа голономии тривиальна по
теоремам 4.2 и 8.1, любые две замкнутые кривые в х0, пред-
представляющие один и тот же элемент первой группы гомотопий
ях(М, ха), порождают один и тот же элемент из Ф(и0). Так мы
получаем гомоморфизм из я1(Л1, х0) на Ф(и0). Пусть N— нор-
нормальная подгруппа в Ф(ц0), и положим М' — M*jN. Тогда М' —
главное расслоение над М со структурной группой Ф(цо)/Л^.
В частности, М' есть накрывающее М пространство. Пусть
Р' (ЛГ, G) — главное расслоение, индуцированное из Р(М, G)
накрывающей проекцией М' —>- М. Пусть f:P'—>-P — естественный
гомоморфизм (см. предложение 5.8 главы I).
Предложение 9.3. Существует единственная связность V
в Р' (М', G), которая отображается в Г гомоморфизмом f: Р' —->¦ Р.
Связность V плоская. Если и'а — точка из Р' такая, что f(u'a) — ua,
то группа голономии Ф(«о) для V с опорной точкой и'о изоморфно
отображается на N гомоморфизмом f.
Доказательство. Первое утверждение содержится в пред-
предложении 6.2. В силу того же предложения форма кривизны
для Г' есть нуль и Г' плоская. Мы вспомним, что Р' есть под-
подмножество из М'хР, определяемое так (см. предложение 5.8
главы I):
Р' = {(х', и)? М'хР; ii(x') = n(u)},
где ц: М' —+ М — накрывающая проекция. Проекция я': Р' —>¦ М'
задается как я' (х', и) = х' и гомоморфизм /: Р' —»- Р задается
как /(х', и) = и, так что соответствующий гоморфизм f: G—>-G
структурных групп есть тождественный автоморфизм. Поэтому,
чтобы доказать, что f отображает Ф(«о) изоморфно на Л^, доста-

96
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
точно доказать, что Ф{и'0) = Ы. Напишем
u'0 = (xl uoNP' с М'хР.
Так как ц(х^) —я(«0), то существует элемент а 6 Ф («о) такой, что
x = v(u0, а),
где v: М*~ Р(иа)—+Мг = Р(ио)/Ы—накрывающая проекция.
Пусть т = и'{, O^f^ 1,—горизонтальная кривая в Р' такая,
что я'(иЦ) = я'(мО- Для каждого t положим
«* = (*;, Ut)?P' czM'xP,
тогда кривая ии 0 *^? <! 1, горизонтальна в Р и потому содер-
содержится в М*—Р(и0). Поскольку ii(x't)=n(uf)=[iov(ut) и #o=v(uoa),
то x't — v (ща) для 0 <; t ^ 1. Мы имеем
v (иха) = xl = л' (ttj) = я' («;) = я, = v (ц,в),
и, следовательно,
)
что означает, что щ = и0Ь для некоторого b?N. Это показывает,
что <b(u'0)cN. Обратно, пусть & —любой элемент из iV. Пусть
«t, O^f^ 1, —горизонтальная кривая в Р такая, что их = ийЪ.
Определим горизонтальную кривую u't, 0 ^ t ^ 1, в Р' так:
ui = {x't, щ),
где x't = v(uta). Тогда ui = u'J}, а это показывает, что Ь?ф(и'а). П
§ 10. Локальные и инфинитезимальные группы голономии
Пусть Г — связность в главном расслоении Р(М, G), где М
связно и паракомпактно. Для каждого связного открытого под-
подмножества U из М пусть Гу есть связность в Р\ С/ = я~1 (U),
индуцированная из Г. Для каждого u6^~1(f/) мы обозначим
через Ф° (и, U) и Р (и, U) суженную группу голономии с опор-
опорной точкой и и расслоение голономии через и связности Гу соот-
соответственно. Р(и, U) состоит из точек и^я~1([/), которые могут
быть соединены с и горизонтальной кривой в я~х(?/).
Локальная группа голономии Ф*(и) с опорной точкой и связ-
связности Г определяется как пересечение П Ф° (и, U) по всем связным
открытым окрестностям U точки х — п(и). Если {Uk\ — после-
последовательность связных открытых окрестностей точки х такая,
что Uk zd t/ft+j и ПГ=1 ик— {х\, то мы имеем, очевидно, Ф° (ы, иг) э
zd Ф° (ы, U2) з ... гэ Ф° (и, Uk) г> ... Поскольку для каждой
открытой окрестности U точки х существует целое k такое, что
VfiCzU, то мы имеем Ф*(«) = Л?=1 Ф°(«, Uk). Так как каждая
§ 10. ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМ ИИ 97
группа Ф°(ы, Uk) есть связная подгруппа Ли в G (теорема 4.2),
то отсюда следует, что dim Ф° (и, Uk) есть константа для доста-
достаточно больших k и, следовательно, что Ф*(ц) = Ф°(«, Uk) для
таких k. Следующее предложение теперь очевидно.
Предложение 10.1. Локальные группы голономии имеют
следующие свойства:^
A) Ф*(ы)—связная подгруппа Ли в G, содержащаяся в сужен-
суженной группе голономии Ф° (и);
B) каждая точка х = п(и) имеет связную открытую окрест-
окрестность U такую, что Ф*(ц)=Ф°(ц, V) для любой связной откры-
открытой окрестности V$x, содержащейся в U;
C) если U есть такая окрестность для х = п{и),то Ф* (и) з Ф* (у)
для каждого v?P(u, U);
D) для каждого a?G мы имеем
Ф* (ue) = ad (а) (Ф» (и));
; dimФ* (и) ^ т\
E) для каждого целого т множество {я (и)
открыто.
Что касается E), то мы заметим, что йшФ*(и) постоянна
на каждом слое из Р в силу D) и, таким образом, может рас-
рассматриваться как функция на М, принимающая целые значения.
Тогда E) означает, что эта функция полунепрерывна сверху.
Теорема 10.2. Пусть %{и) и %*(и) —алгебры Ли для Ф°(ц)
и Ф*(и) соответственно. Тогда Ф° (и) порождается всеми Ф*(у),
v€.P(u), и д(ц) порождается всеми д*(у)> v?P(u).
Доказательство. Если v g Р (и), то Ф° (и) = Ф° (v) гэ Ф* (v)
и д(и) гэ д(у) зд*(а). По теореме 8.1 д(ц) порождается всеми
элементами вида QV(X*, У*), где v?P{u), а X* и К* —горизон-
—горизонтальные векторы в v. Поскольку О„ (X*, Y*) содержится в алгебре
Ли для Ф° (у, V) для каждой связной открытой окрестности
УЭя(у), то оно содержится в g*(w). Следовательно, g(u) порож-
порождается всеми g*(f), где v?P(u). Первое утверждение теперь
следует из леммы.
Лемма. Если алгебра Ли g связной группы Ли G порождается
семейством подпространств {пи}, то каждый элемент из G может
быть записан как произведение ехр Х1 ¦ ехр Х2 ¦... ¦ exp Xk, где каж-
каждое Х{ содержится в некотором ш^.
Доказательство леммы. Множество Н всех элементов
издб вышеуказанной формы, есть, очевидно, дугообразно связ-
связная подгруппа; действительно, каждый элемент из Н можно
соединить с единицей дифференцируемой кривой, лежащей в Н.
По теореме Фрейденталя — Кураниси — Ямабе (доказанной в при-
приложении 4) Н есть связная подгруппа Ли в G. Ее алгебра Ли
содержит все т.\ и, таким образом, совпадает с д. Отсюда Н = G. П
Теорема 10.3. Если di m Ф* (и) постоянна на Р, то Ф° (и) =
= Ф*(ы) для каждого и из Р.
4 Ш. Квваяон, К. Номндэу, т. 1

98
ГЛ. П. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
Доказательство. По C) из предложения 10.1 х = п(и)
имеет открытую окрестность U такую, что Ф* (и) г> Ф* (v) для
каждого v из Р (и, U). Так как сНтФ* (и)-=сНтФ*(и), то мы
имеем Ф* (ы)=Ф*(о). В силу стандартных соображений о про-
продолжении видим, что если v?P(u), то Ф* (и) = Ф* (и). По тео-
теореме 10.2 имеем Ф°(ы) = Ф*(и). ?
Теперь мы определим инфинитезимальную группу голономии
в каждой точке и?Р при помощи формы кривизны и изучим
ее связь с локальной группой голономии. Сначала мы опреде-
определяем индуктивно ряд подпространств тк{и) из д. Пусть т0 (и) —
подпространство в д, порожденное всеми элементами вида?2а(Х, У),
где X и У— горизонтальные векторы в и. Мы рассмотрим д-знач-
ную функцию f на Р вида
(/*) f = Vk...Vt{Q{X, У)),
где X, У, Vlt ....^ — произвольные горизонтальные векторные
поля на Р. Пусть тк(и) — подпространство в д, порожденное
подпространством шА_х(ы) и значениями в и всех функций f
вида (Ik). Мы тогда полагаем д' (и) равным объединению всех
тк{и), k = 0, 1, 2, ...
Предложение 10.4. Подпространство д' (и) из д есть
подалгебра в д*(и).
Связная подгруппа Ли Ф' (и) в G, порожденная подалгеб-
подалгеброй д' (и), называется инфинитезимальнои группой голономии в и.
Доказательство. Мы показываем, что mk(u) с д* (и),
индукцией по k. Случай & = 0 очевиден. Допустим, что шй_1(ы)с:
сд'(«) для каждой точки и. Достаточно показать, что для каж-
каждого горизонтального векторного поля X и каждой функции /
вида (/ft_!) мы имеем XJ ?д* (и). Пусть щ, |?|<е для некото-
некоторого е > 0,—интегральная кривая для X с иа — и. Поскольку щ
горизонтально, мы имеем g*(ut)c g* (и) по C) предложения 10.1.
Поэтому / (ut) ? шй_х (щ) а д* (ы^) с: д* (и). С другой стороны,
XJ= lim ^-[/(«t) — /(«)], так что Xa/6g*(u). Следовательно,
%' (и) содержится в д* (и).
Чтобы доказать, что д' (и)—подалгебра в д, нужны следую-
следующие две леммы.
Лемма 1. Пусть f есть §-значная функция типа ad G на Р.
Тогда:
A) Для любого векторного поля X на Р имеем v(X)a-f=
— —[соа (X), /(и)], где v(X) обозначает вертикальную компоненту
для X.
B) Для любых горизонтальных векторных полей X и Y на Р
имеем
Y]a).f = 2[Qa(X,Y), /(и)].
§ 10. ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ 99
C) Если X и Y — векторные поля на Р, инвариантные отно-
относительно всех Ra, a?G, то Q(X, Y) и Xf —функции типа adG.
Доказательство леммы 1. A) Пусть А = ©ц (X) 6 g
и at = exp tA. Тогда
v (Х)а ¦ f = A*J = lira 4 [/ («а*) -/(«)]
= ^lira I [ad (ar1) (/ («))-/(«)]
= -[Л, /(«)] =-К (X), /(и)].
B) В силу структурного уравнения (теорема 5.2) имеем
2QX , Y)
)-Уа(
, YJ).
Заменяя X на [X, Y] в A), получаем B).
C) Поскольку Q типа adG (см. § 5 главы II), мы имеем
&ua(RaX, RaY) = ad (a-^iQAX, У)),
которое показывает, что Q(X, У) типа adG, если X = RaX
и У = ^?аУ. Мы также имеем
(Xf)ua = Xea/ = (RaXa) f = Ха
если / типа adG и X инвариантно при действии Ra. Это завер-
завершает доказательство леммы 1.
Пусть Х[ = д/дх', где х1, ...,хп — локальная система коорди-
координат в окрестности U точки х = л(и). Пусть X\ — горизонтальный
лифт для Х(. Рассмотрим g-значную функцию / вида
где i, I, }х, ..., jk берутся произвольно из 1, ..., п.
Лемма 2. Для каждого k mk(u) порождается mft_i (и) и зна-
значениями в и всех функций f вида (//ft).
Доказательство леммы 2. Индукция по k. Случай ^ = 0
очевиден. Каждое горизонтальное векторное поле в rt~x(?/)ecTb
линейная комбинация XI, ..., Х„ с вещественнозначными функ-
функциями в качестве коэффициентов. Отсюда следует, что каждая
функция / вида (Ik) есть линейная комбинация функций вида (//,),
s^.k, с вещественнозначными функциями — коэффициентами в
окрестности U. Теперь ясно, что если утверждение имеет мес-
место для k — 1, то оно имеет место и для k.
Теперь докажем, что д' (и) есть подалгебра в д, устанавли-
устанавливая соотношение [тк(и), xns(u)]czmk+s+2 iu) Для всех паР целых
4*

100
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
чисел k и s. Ввиду леммы 2 достаточно доказать, что для каж-
каждой .функции / вида (Is) и каждой функции g вида (IIk) функция
[/. ё] (") — [/(")» S(u)] есть линейная комбинация функций
вида Gr), r^.k + s + 2, с вещественнозначными функциями-
коэффициентами. Доказательство индукцией по s.
Пусть s = 0, и пусть / (u) = Qa(X, Y), где X и Y — горизон-
горизонтальные векторные поля. Так как g типа adG, то мы имеем
по B) из леммы 1
2[Qe(X, Y), g(u)] = v([X, Y])a-g.
С другой стороны, имеем
v([X, Y])a-g = [X, Y]a-g-h([X, Y])a-g
-Xa(Yg)-Ya(Xg)-h([X, Y])a-g,
где h[X, Y] обозначает горизонтальную компоненту для [X, Y].
Функции X (Yg) и Y (Xg) имеют вид (lk+2)> a функция h([X, Y])-g
вида GА+1). Это доказывает наше утверждение для s = 0 и для
произвольного k.
Предположим теперь, что наше утверждение верно для s—1
и каждого к. Любая функция вида (Is) может быть записана
как Xf, где / — функция вида (/,_i), а X — горизонтальное век-
векторное поле. Пусть g — произвольная функция вида (Пк). Тогда
ixj, g(u)] = xa(U, g])-U(u), xag].
Функция [/, Xg] есть линейная комбинация функций вида (/,)»
r^fe + s+l, по индуктивному допущению. Функция X[f, g]
есть линейная комбинация функции вида (/r), r ^s-\-k + 2, тоже
по индуктивному допущению. Итак, функция [Xf, g] есть ли-
линейная комбинация функций вида (/r), r^& + s + 2. Q
Предложение 10.5. Инфинитезимальная группа голоно-
мии имеет следующие свойства:
A) Ф' (и)—связная подгруппа Ли локальной группы голоно-
мии Ф*(ы);
B) Ф' (иа) = ad (а) (Ф' (и)) и g' (ua) = ad (а)(й' («));
C) для каждого целого т множество \п(и) ?М; й'шФ' (и)^т\
открыто;
D) если Ф'(ы) = Ф*(ы) в точке ы, то существует связная
открытая окрестность U для х — п(и) такая, что Ф' (v) = Ф*(о) =
= Ф'(ы) = Ф*(и) для каждого v?P(u, U).
Доказательство. A) очевидно из предложения 10.4.
B) следует из леммы.
Лемма. Для каждого k имеем
тк (иа) = ad (а-1) (тк (и)).
Доказательство леммы. Индукция по k. Случай k = Q
есть следствие того, что Q типа ad G. Предположим, что утверж-
§ 10. ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ 101
дение верно для k— 1. По C) из леммы 1 для предложения 10.4
каждая функция вида (IIk) есть функция типа ad G. Наша
лемма теперь следует из леммы 2 для предложения 10.4.
B) означает, что Ф' (и) можно рассматривать как функцию
на М. C) есть следствие того, что если значения конечного
числа функций вида (/й) линейно независимы в точке и, то они
таковы и в любой точке некоторой окрестности для и. Отметим,
что C) означает, что din^'(u), рассматриваемая как функция
на М, полунепрерывна снизу. Чтобы доказать D), допустим
Ф'(ц) = Ф*(и) в точке и. Поскольку diir^'(u) полунепрерывна
снизу, a din^*(u) полунепрерывна сверху (см. E) из предло-
предложения 10.1), то точка х = п(и) имеет окрестность U такую, что
' (и) и
(и) для
С другой стороны, Ф*(у)г>Ф'(у) для каждого у ? л~х (U). Отсюда
d\m(b*(v) = dim<b'(v) = d\m<S>*(u) = d\m<b'(и)
и, следовательно, Ф* (у) = Ф' (у) для каждого v?n~x (U). Приме-
Применяя теорему 10.3 к Р\ U, видим, чтоФ°(ы, U) = Ф*(ц) и Ф° (у, U) =
= Ф*(у). Если v?P(u, U), то Ф°(«, ?/)=Ф°(у, U), так что
Ф*(и)=Ф*(у). D
Теорема 10.6. Если din^'(y) постоянна в окрестности и
из Р, то Ф'(и)=Ф*(ы).
Доказательство. Мы сначала докажем существование
открытой окрестности U для х — п(и) такой, что g'(u) = g'(y)
для каждого v?P(u, U). Пусть fx, ..., fs — конечное число
функций вида (Hk) таких, что /х(и), .... fs(u) образуют базис
для д' (и). В каждой точке v некоторой малой окрестности для и
fi(u), .... fs(и) линейно независимы и по допущению они обра-
образуют базис для д' (и). Поскольку /1? .. ., fs типа ad G, f^(va), . ..,
fs(va) образуют базис для g' (va) = ad (a~x) (g' (и)). Это означает,
что существует окрестность U для х = п (и) такая, что fx(v), . . .,
fs (v) образуют базис в g' (v) для каждой точки v ^ л~х (U). Теперь
пусть v—произвольная точка из Р (и, U), и пусть ut, 0-^.t^ I,—
горизонтальная кривая из и в у в п~х (U) такая, что и = и0,
v = u1. Мы можем считать, что ut дифференцируема; случай, когда
щ кусочно дифференцируема, легко отсюда следует. Положим
gi(t)= fi(ut), i = 1, ..., s, и X = щ. Так как X горизонтально,
то имеем
(dgildt)t = (Xf?) (и^ € в' (Щ)- i = 1, ¦ ¦ •, s.
Поскольку gx(t), ..., gs(t) образуют базис для д' (щ), dg^dt
может быть выражено так:

102
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
где Aij{t) — непрерывные функции от t. По лемме для предло-
предложения 3.1 существует единственная кривая (а,7 (?)),-,/=1 s
в GL(s; R) такая, что
(Заметьте, что (Л/у (t) ? gl(s; R) соответствует Yt 6 Те (G) в лемме
для предложения 3.1.) Пусть (Ь/у(?)) —обратная матрица для
{au(t)), так что
Тогда
Поскольку 6/у@) = б/у, мы имеем
Это означает, что g'("t) = S'(") и> в частности, д' (о) = д' (и).
Беря ?/ достаточно малым, мы можем считать, что д* (и)
зд* (а)гзд' (о)эш, (о) для каждого v?P(u, U). По теореме 8.1
алгебра Ли для Ф°(и, ?/) порождается всеми mo(t>), v?P(u, U).
Тем более g*(u) порождается всеми д' (о), i/?P(u', ^0- Так как
g' (u) = g' (v) для каждого v?P(u, U), как мы только что пока-
показали, можно заключить, что g*(u) = g'(u) и Ф*(и)=Ф'(ы). П
Следствие 10.7. Если (ПтФ'(и) постоянна на Р, то Ф° (и)
= Ф*(и)=Ф'(и).
Доказательство. Это следует из теорем 10.3. и 10.6. П
Теорема 10.8. Для вещественной аналитической связности
в вещественном аналитическом главном расслоении Р имеем Ф° (и)
= Ф* (и) = Ф' (и) для каждого и.
Доказательство. Мы можем допустить, что Р = Р(и) и,
в частности, что Р связно. Достаточно показать, что dimO'(u)
локально постоянна, откуда следует, что сНтФ'(ы) постоянна
на Р и, по следствию 10.8, что Ф° (и) =Ф* (и) — Ф' (и) для каж-
каждого и?Р. Пусть х1, ..., х" — вещественно аналитическая ло-
локальная система координат с началом х = п(и). Пусть U—•
координатная окрестность для х, заданная неравенством 2,- (х'J
< а2 для некоторого а>0. Мы хотим показать, что dimO'(u)
постоянна на я~1(^/). Пусть Xi^=dldxi, и пусть X* — горизон-
горизонтальный лифт для Xt. Для любого множества чисел (а1, . . ., а")
с 2/ (а02 = 1 рассмотрим векторное поле X = 2/ а'Х{- на U. Пусть
xt — луч, заданный как xl(t) = a't, и пусть ut~горизонтальный
лифт для xt такой, что «=ы0. Мы докажем, что д' (и) = д' (ut)
для каждого t с 11 < a.
§ 10. ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ
Рассмотрим все функции / вида (//*)> k > 0,
ЮЗ
определенные на п-х(и). Положим h{t) = f(ut). Тогда функции
h(t) будут аналитическими функциями от t. Для каждого t0
с 1101 < а существует б > 0 такое, что все функции h (t) могут
быть разложены в общей окрестности \t — *e|<6 в ряд Тейлора
Если X* — горизонтальный лифт для X, то мы можем написать
h (t) = X*Utf, h" (t) — X*ut(X^f) и т. д. То, что существует такое б,
общее для всех h (t), следует из леммы, которую мы доказы-
доказываем ниже. Теперь, если \t —10 \ < б, то все hSm) (t) принадлежат
g' (uu). Первый степенной ряд показывает, что д' (щ) содержится
в g' (uta). Аналогично второй степенной ряд показывает, что
g' (uto) содержится в g' (ut). Это означает, что д'(ut) = g'(ы^) для
К — ^0|< б. Стандартные рассуждения о продолжении показывают,
что g' (ut) = д' (и) для любого t с 11 \ < а, что и доказывает нашу
теорему.
Лемма. В вещественном аналитическом многообразии пусть
xt—интегральная кривая вещественного аналитического вектор-
векторного поля X такая, что ха~х, где Ххф0. Для любой вещест-
вещественно аналитической функции g и для конечного числа вещественно
аналитических векторных полей Xt, ..., Xs рассмотрим все
функции вида
h(t)=f(xt),
где ]\, . .., jk берутся произвольно из 1, 2, ..., s. Тогда су-
существует б > 0 такое, что функции h (t) могут быть разло-
разложены в степенной ряд в общей окрестности \ t \ < б так: h (t) =
V" ^Л<«>@)
= a
a
Доказательство. Так как Хх-ф0, то мы можем взять
локальную систему координат х1, ..., хп такую, что Х = д/дхг
и xt = (t, 0, .. ., 0) в окрестности для х. Предыдущие разло-
разложения для h(t) суть не что иное, как разложение для f (х)
в степенной ряд по х1. Каждое Хс имеет вид Xi = ^Jf!j-d/dx^.
Так как f и fu вещественно аналитичны, то они могут быть
разложены в степенные ряды по (л:1, . . ., х") в общей окрест-
окрестности jx'|<a для некоторого а>0. Наша лемма тогда еле-

104
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
§ П. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ
105
дует из того, что если /* и /2 — вещественно аналитические
функции, разлагающиеся в степенные ряды по х1, ..., хп в окрест-
окрестности \xJ\<a, то функции Д/а и dfjdxi разлагаются в степен-
степенные ряды в той же окрестности. ?
Результаты этого параграфа принадлежат Одзеки [1].
§ 11. Инвариантные связности
Прежде чем рассматривать общие инвариантные связности,
мы введем важный специальный случай.
Теорема 11.1. Пусть G—связная группа Ли, а Н—ее замк-
замкнутая подгруппа. Пусть g и f)—алгебры Ли для G и Н соот-
соответственно.
A) Если существует подпространство meg такое, что
g = I) + rn (прямая сумма) и ad(#)m = m, то ^-компонента со
канонической \-формы 9 в G (см. § 4 главы I) по отношению
к разложению g = f) + m определяет связность в расслоении
G(G/H, Н), инвариантную под действием левых сдвигов из G.
B) Обратно, любая связность в G(G/H, Н), инвариантная
под действием левых сдвигов из G (если она существует), опре-
определяет такое разложение g = I) + m и может быть получена так,
как это описано в A).
C) Форма кривизны Q инвариантной связности, определяемой
формой со из A), задается так:
п(Х, У) = — ~[Х,
{^-
компонента для
j[X, У]€д) ,
где X и У— произвольные левоинвариантные векторные поля на G,
принадлежащие т.
D) Пусть g (ё)—алгебра Ли группы голономии Ф(е) с опорной
точкой е (тождественный элемент) инвариантной связности,
определенной в A). Тогда д(е) порождается всеми элементами
вида [X, Y]b X, Y?m.
Г* Доказательство. A) Доказательство прямое и анало-
аналогично доказательству предложения 6.4. При отождествлении
g«Te (G) подпространство m соответствует горизонтальному
подпространству в е.
B) Пусть со — форма связности в G(G/H, Н), инвариантная
под действием левых сдвигов из G. Пусть ш — множество лево-
инвариантных векторных полей на G таких, что <о(Х) — 0. Легко
проверить, что g = I) + ttt и есть желаемое разложение.
C) Левоинвариантное векторное поле горизонтально тогда
и только тогда, когда оно есть элемент из тп. Теперь C) сле-
следует из следствия 5.3.
D) Пусть %t — подпространство в д, порожденное множеством
{пе(Х, У); X, У€ш}- Пусть да — подпространство в g, порож-
порожденное множеством \QU (X, У); X, У 6 m, u?G\. По теореме 8.1
имеем g1cg(e)cga. С другой стороны, g1 = g2, так как Qa(X, Y) =
= Qe(X, У) для любых X, Y?m и u?G. Теперь D) следует
из C). ?
Замечание. A) может рассматриваться как частный слу-
случай предложения 6.4. Пусть Р = (G/H)xG — тривиальное рас-
расслоение над G/H с группой G. Мы вложим расслоение G (G/H, И)
в Р при помощи отображения f, определяемого так:
f(u) = (n(u), и), u?G,
где я: G —> G/H — естественная проекция. Пусть ср — форма, опре-
определяющая каноническую плоскую связность (см. § 9) в Р. Ее §-
компонента, суженная на подрасслоение G(G/H,H), определяет
связность (предложение 6.4) и согласуется с формой со в A),
. Возвращаясь к общему случаю, мы сначала докажем следую-
следующее предложение, основное для многих приложений.
Предложение 11.2. Пусть qt есть 1 -параметрическая
группа автоморфизмов главного расслоения Р(М, G) и X —вектор-
—векторное поле на Р, индуцированное cpt. Пусть Г—связность в Р, инва-
инвариантная под действием cpt. Для любой произвольной точки и0
из Р определим кривые щ, xt, vt и at так:
«t = q>t(«o)> xt = n(ut),
vt равно горизонтальному лифту для xt такому, что vo = uo,
Тогда at есть однопараметрическая подгруппа в G, порожденная
элементом A = &Ua(X), где со—форма связности для Г.
Доказательство. Как и в доказательстве предложе-
предложения 3.1, имеем
со (щ) = (ad (аг1)) со (vt) -f of xat.
Поскольку vt горизонтально, то со (ut) = ^~xat. С другой стороны,
ut = cpt(XUa) и отсюда co(«t) = co (XUa) = А, так как форма связ-
связности со инвариантна относительно q>f. Итак, получаем af lat = А. П
Пусть К — группа, действующая на главном расслоении
Р(М, G) как группа автоморфизмов. Пусть и0 — произвольная
точка из Р, которую мы выберем как опорную точку. Каждый
элемент из К индуцирует преобразование в М естественным
образом. Множество / всех элементов из К, которые оставляют
неподвижной точку ха = п(ий) из М, образуют замкнутую под-
подгруппу в К, называемую подгруппой изотропии для К в ха.
Мы определим гомоморфизм X: J —»- G так. Для каждого / ? /
/ы„ есть точка того же слоя, что и для и0, и, следовательно,
имеет вид ju0 = иоа для некоторого a?G. Мы определяемX(j) = a.

106
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
§ II. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ
107
Если /, /' ? /, то
«.Л (//') = 07') «о = / («.Л (/')) = (/«о) X (/')
Отсюда X(jj')=X(j)X(j'), которое показывает, что A,: J—>~G есть
гомоморфизм. Легко также проверить, что X дифференцируемо.
Индуцированный гомоморфизм алгебр Ли ) —^ g тоже будет
обозначаться X. Отметим, что X зависит от выбора ц0; опорная
. точка и0 выбирается раз и навсегда и фиксируется повсюду
в этом параграфе.
Предложение 11.3. Пусть К—группа автоморфизмов для
Р(М, G) и Г—связность в Р, инвариантная относительно К-
Мы определяем линейное отображение A: t —+• g так:
А(Х)=«>иЛХ), X?t,
где X—векторное поле на Р, индуцированное полем X. Тогда
A) А(Х) = Х(Х) для Х?'у,
B) A(ad(/)(X)) = ad(A.(/))A(X) для j?J и X?t,
где ad (/)—присоединенное представление для J в I и ad(A,(/)) —
присоединенное представление группы G в д.
Отметим, что геометрический смысл А(Х) дается предложе-
предложением 11.2.
Доказательство. (I) Мы применяем предложение 11.2
к 1-параметрической подгруппе q>t из К, порожденной полем X.
Если Х?\, то кривая хг = я (q>t(ы0)) сводится к единственной
точке хо = л(ио). Отсюда имеем cpt (uo) = «oA,(q>t). Сравнивая каса-
касательные векторы орбит cpt(u0) и u0X((pf) в и0, получаем А(х)
= Х{Х).
B) Пусть X?t и /?/. Мы полагаем Y = ad(j)(X). Тогда У
порождает 1-параметрическую подгруппу /q>J~l, отображающую
«0 в _/Ф(/~1(«о) = М(«о^(/)) = /'(^а,(/-')Ф*«о)- Отсюда следует,
что FUo = / (Rx{l—i)Xu,). Поскольку форма связности со инва-
инвариантна относительно /, имеем
со
ц„
=co
Uo
= ad (X (j)) (со„о (ЯUt)) = ad (X (/)) (Л (X)). ?
Предложение 11.4. В обозначениях предложения 11.3
форма кривизны Q для Г удовлетворяет следующему условию:
-Л([Х, У]) (Зля X,
¦ Доказательство. Из уравнения структуры (теорема 5.2)
и предложения 3.11 главы I получаем
2Q(X, Y)=
co(F)]
(X),
Поскольку со инвариантна относительно К, мы имеем по (с)-
предложения 3.2 главы I (см также предложение 3.5 главы I)
Y (со (Х))_ со ([У, (9)
*- X ^ 3? (Р) индуцируется
удовлетворяет условию
[X,Y]=—[X, У] (в противоположность ситуации в предложе-
предложении 4.1 главы I (с. 48), где группа действует справа так. что
мы имеем гомоморфизм алгебр Ли). Поэтому
Теперь заметим, что отображение X ? i
действием /С на Р слева и отсюда
=-А([Х, У]),
так что
2QUa(X, У) =
, У]).
Мы говорим, что К действует слой-транзитивно на Р, если
для любых двух слоев из Р существует элемент в К, отобра
жающий один слой в другой, т. е. если действие К на базе М
транзитивно. Если / — подгруппа изотропии для К в хо = я(ыо),
как и выше, то М — однородное пространство KU-
Следующий результат принадлежит Вану [1].
Теорема 11.5. Если связная группа Ли К есть слой-транзи-
слой-транзитивная группа автоморфизмов расслоения Р(М, G) и если J —
подгруппа изотропии для К в л:0 = я(ы0), то существует взаимно
однозначное соответствие между множеством К-инвариантных
связностей в Р и множеством линейных отображений Л: f —>- g,
которые удовлетворяют двум условиям предложения 11.3; соот-
соответствие задается так:
А(Х)=шио(Х) для X€t,
где X — векторное поле на Р, индуцированное полем X.
Доказательство. Ввиду предложения 11.3 достаточно
доказать, что для каждого Л: f —* g, удовлетворяющего A) и B)
из предложения 11.3, существует /С-инвариантная форма связ-
связности со на Р такая, что A(X) = (oUo(X) для X^f. Пусть
X* ?Та(Р). Так как К слой-транзитивна, можно написать
=kua = k о Rau,

108
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
где k?K, a?G, X?f и Л* — фундаментальное векторное поле,
соответствующее Л ? д. Тогда полагаем
Сначала докажем, что со(Х*) не зависит от выбора X и А.
Пусть
Х„о + Л*Цо = У„„ + ?;„, где К€1 и 5 € 9,
так что XUo —?«„ = .6«0 —Л^,. Из определения X: } —»- g следует,
что Х(Х — К) =23— А. По условию A) предложения 11.3 имеем
Y) = A{X — Y) = A(X) — A(Y). Отсюда А{Х) + А =A{Y) + B.
Далее докажем, что со(Х*) независимо от выбора k и а. Пусть
так что k1k~1uQ~uaa^1a и kyk~x^.J. Полагаем j = k1k~1. Тогда
X (у) = д- 1а. Имеем
По предложению 1.7 главы I
-'>) = ?ц. где Z = ad (/)(*).
По предложению 5.1 главы I,
где С = ас1(А,(/))(Л). Отсюда
ad (fll) (Л (Z) + С) = ad (а,) (Л (ad (/) (X)) + ad (X (/)) {А)
= ad (аО [ad (Я. у» (Л (Х)
Это доказывает наше утверждение о том, что со (X*) зависит
только от X*.
Теперь докажем, что со есть форма связности. Пусть
Х*?Та(Р) и uo~kua, как и выше. Пусть Ь — произвольный эле-
элемент из G. Полагаем
где u = ufe,
так что uQ — kub(b-xa) = kv(p-xa). Тогда имеем
k о Rb->aY* = ko Rb-'aRbX" = ko RaX* = (ХЯо + А*)
§ П. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ
109
и- отсюда равенство
со (RbX*) = со (У*) = ad (Ь'Ъ) (Л (X) + А) = ad F) (со (X*)),
которое показывает, что со удовлетворяет условию (Ь') предло-
предложения 1.1. Пусть теперь Л —любой элемент из д, и пусть
и0 = kua. Тогда
к о Ra (A*u) =Raok (A*u) = Ra (Alu) = B'Ua, где В = ad (а-1) (Л).
Отсюда
что показывает, что со удовлетворяет условию (а') предложе-
предложения 1.1.
Чтобы доказать, что со дифференцируема, допустим, что и± —
произвольная точка из Р и что uo=k1uia1. Рассмотрим расслое-
расслоение К(М, J), где M = KU- Пусть a: U—+K—локальное сече-
сечение этого расслоения, определенное в окрестности V точки я^),
такое, что а (я («0) = kt. Для каждого^ ы?я-1 (U) определяем
k€K и a?G так:
k — a(n(u)) и щ = Ыа.
Тогда k и а зависят дифференцируемо от и. Разложим вектор-
векторное пространство f в прямую сумму подпространств: f —j + nt-
Для произвольного X* g Ta (P) мы полагаем
koRa(X')=Xao + Aao, где Х?т.
Тогда X и Л определяются однозначно и зависят дифференциру-
дифференцируемо от X*. Итак, со (X*) = ad (а) (Л (X) + Л)я"зависит дифференци-
дифференцируемо от X*.
Наконец, докажем, что со инвариантно при действии /С-
Пусть X* ? Та (Р) и uo = kua. Пусть k±—произвольный элемент
из К. Тогда kxX* 6 TkiU (Р) и и0 = kk^ikiU) а. Отсюда
Из конструкции о» сразу видно, что co(^iX*) = (X'*). ?
В случае, когда К слой-транзитивна на Р, форма кривизны
Q, которая есть тензориальная форма типа adG (см. § 5), инва-
инвариантная относительно /(".""полностью определяется значениями
QUo(X, Y),X, Y?f. Предложение 11.4 выражает Й„О(Х, Y) в
терминах Л. Как следствие предложения 11.4 и теоремы 11.5
мы получаем
Следствие 11.6. К-инвариантная связность в Р, опреде-
определяемая при помощи Л, плоская тогда и только тогда, когда
Л-.f —* g есть гомоморфизм алгебр Ли.

по
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
Доказательство. Связность плоская тогда и только тог-
тогда, когда ее форма кривизны нулевая (теорема 9.1). Q
Теорема 11.7. Допустим в теореме 1.1.5, что f имеет под-
пространство ш такое, что 1 = \-\-т {прямая сумма) и ad (/) (ш) =
=да, где ad (У) — присоединенное представление для Jet. Тогда:
A) Существует взаимнооднозначное соответствие между мно-
множеством К-инвариантных связностей в Р и множеством линейных
отображений Лт: т—>-д таких, что Ara(ad (/) (X)) = ad (Я, (/)) х
х(Лт(Х)) для Х?т и j(zJ; соответствие задается теоремой
11.5 так:
— t
() если
Лт(х), если
B) Форма кривизны Q для К-инвариантной связности, опре-
определяемой при помощи Лт, удовлетворяет следующему условию:
2Qao(X, Y) = [Am(X),Am(Y)]-Am([X,Y]m)-X([X,
для X,
где [X, Y]m (соотв. [X, У];) обозначает т-компоненту (соотв.
^компоненту) для [X, Y] ? I.
Доказательство. Пусть Л: f—>-g— линейное отображе-
отображение, удовлетворяющее A) и B) предложения 11.3. Пусть Лт —
сужение Л на да. Легко видеть, что Л—>¦ Ат дает желаемое
соответствие. Утверждение B) есть следствие предложения 11.4. ?
В теореме 11.7 /С-инвариантная связность в Р, определяемая
условием Лт = 0, называется канонической связностью (относи-
(относительно разложения f = j -4-m).
Замечание. A) и C) теоремы 11.1 следуют из теоремы
11.7, если мы положим Р(М, G)=G (G/H, Н) и K = G; инва-
инвариантная связность из теоремы 11.1 есть тогда каноническая
связность, только что определенная.
Наконец, определим алгебру Ли группы голономии АГ-инва-
риантной связности.
Теорема 11.8. В тех же предложениях и обозначениях,
что и в теореме 11.5, алгебра Ли g (ы0) группы голономии Ф(ы„)
для К-инвариантной связности, определяемой при помощи
А: I —*- д, задается так:
да
где in 0 — подпространство из д, порожденное множеством
\[А(Х), Л(У)]-Л([Х, Г]); X, Y?t\.
Доказательство. Поскольку К слой-транзитивна на Р,
то суженная группа голономии Ф° (ы0) совпадает с инфинитези-
мальной группой голономии Ф' (ы0) в силу следствия 10.7. Мы
§ ГГ. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ
Ш
олределяем ряд подпространств mk, k = 0, 1, 2, ..., в g так:
), m0],
mo] + [A(f), [A(f), m0]]
и т. д. Мы определили в § 10 возрастающую последовательность
подпространств шй(ы0), & = 0, 1, 2, ..., из д. Поскольку объеди-
объединение этих подпространств ink(u0) есть алгебра Ли д' (ы0) инфи-
нитезимальной группы голономии Ф' (ы0), то достаточно дока-
доказать, что mk = mk(u0) для & = 0, 1, 2, ...
По предложению 11.4 подпространство т0 порождается мно-
множеством {&ао(Х, Y); X, Y?i\. Поскольку Qao{X,Y) =
= QUo(hX, hY), где hX и hY обозначают горизонтальные компо-
компоненты для ХиУ соответственно, то ш0 совпадает с то(ыо).
Нам нужны следующие леммы.
Лемма 1.' Если Y—горизонтальное векторное поле на Р и
X—векторное поле на Р, индуцированное элементом X из i, то
[X, Y] горизонтально.
Доказательство леммы 1. По (с) предложения 3.2 гла-
главы I (см. также предложение 3.5 главы I) имеем
Поскольку со (Y) — 0 и Lxco = 0, то мы имеем со ([X, Y]) = 0.
Лемма 2. Пусть V, W, Yx, ..., Yr — произвольные горизон-
горизонтальные векторные, поля на Р, и пусть X — векторное поле на Р,
индуцированное элементом X из f. Тогда
XH{Yr...Yx{Q{V, W)))?mr(u0).
Доказательство леммы 2. Мы имеем
(ro, W))) modmr(«0),
так как [X, Yr] горизонтально по лемме 1 и [X, Fr]ttQ (Fr_i ...
•••^i(^(V, W))) лежит в mr(«o)- Повторяя этот процесс, полу-
получаем
(r)aor, W))) modmr("o)-
В силу тех же соображений, что и в доказательстве леммы 1,
мы имеем
X(Q(V, W)) =
, W)+Q([X, V], W)+Q(V, [X, W]).

112
ГЛ. II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
, V],
Так как LxQ==0, мы имеем
(Yr)uAYr_1...Y1X(Q(V,
Два члена правой части принадлежат шг(ы0). так как [^> У] и
[X, 1У] горизонтальны по лемме 1. Это завершает доказательство
леммы 2.
Пусть Xi — д/дх', где я1, ..., хп — локальная система коор-
координат в окрестности точки хо = я(ыо). Пусть X*t—горизонталь-
X*t—горизонтальный лифт для Х{, и пусть
— функция вида (Пг) такая, как это определено в § 10. Если
hX и vX обозначают горизонтальную и вертикальную компоненты
для X соответственно, то лемма 1 для предложения 10.4 влечет
(hX)Ua f = ~{vX)u. f + XuJ = [со„о (X), f (и0)] + XUJ.
Поскольку XJemr(«0) п0 лемме 2, и поскольку со„о(Х) =
мы имеем
(hX)Uo f ^ [Л (X), f (u0)] mod mr (и„).
Допуская, что тг = шг (и0) для всех г < s, покажем, что
ms = ms(u0). Поскольку К слой-транзитивна на Р, каждый гори-
горизонтальный вектор в и0 имеет вид {hX)Ua для некоторого X 6 ?•
Поэтому ш^ (ыа) порождается подпространством ш,_1 (ы0) и мно-
множеством всех {hX)u, f, где X ? f, а / — функция вида (//,-0. С дру-
другой стороны, ш5 порождается множествами ms-i = ms-1{ua) и
[A(f), /«,_!] = [Л (f), /я,_!(м0)]. Другими словами, та порождается
множеством ш,_! = ittj_i (ы0) и множеством всех [А(Х), f (и0)],
где X(zl, а / есть функция вида (IIs-i). Наше утверждение
ms = ms{u0) следует теперь из сравнения
(hX)uJ^[A(X), /(и.)] modnw(«o)- D
Замечание. D) теоремы 11.1 есть следствие теоремы 11.8
(см. замечание, сделанное после доказательства теоремы 11.7).
Глава III
ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Связность в векторном расслоении
Пусть F есть или поле вещественных чисел R или поле комп-
комплексных чисел С, FOT — векторное пространство всех т-набо-
ров элементов из F и GL(m; F) — группа всех неособых тхт-
матриц с элементами из F. Группа GL (m; F) действует на Fm слева
естественным образом; еслия=(а;) ? GLim; F) и!=A1. . ...\m)G Fm,
то а\ = B^6/, • • •, 2>fS') € F-.
Пусть Р(М, G) — главное расслоение и р — представление G
в GL(m;F). Пусть Е (М, FOT, G, Р)~ ассоциированное расслое-
расслоение со стандартным слоем Fm, на котором G действует согласно
представлению р. Мы называем Е вещественным или комплексным
векторным расслоением над М соответственно, если F = R или
F = C. Каждый слой яг1 (х), х?М, для Е имеет структуру век-
векторного пространства такого, что каждое ы^Р с п{и)~х, рас-
рассматриваемое как отображение из Fm на пё1(х), есть линейный
изоморфизм из Fm на ni1^). Пусть 5 —множество сечений ср:
М—>~Е; оно образует векторное пространство над F (бесконечно-
(бесконечномерное, если m^l) со сложением и умножением на скаляры,
определяемыми так:
Мы можем также рассматривать 5 как модуль над алгеброй
F-значных функций; если К есть F-значная функция на М, то
(Л.ф) (jc) = Я.(дс)-ф(х), фб5, х?М.
Пусть Г —связность в Р. Мы вспомним, как Г определяла
понятие параллельного переноса слоев в Е в*§7 главы II. Если
x = xt, a^t^.b,— кривая в М и x* = ut — горизонтальный лифт т
до Р, то для каждого фиксированного ? g Fm кривая т' = ufg
есть по определению горизонтальный лифт т до Е.
Пусть ф — сечение для Е, определенное на x = xt так, что
пЕ о ф (xt) = xt для всех t. Пусть xt — вектор, касательный к т
в xt. Тогда для каждого фиксированного t ковариантная произ-
производная V • ф для ф в направлении (или по отношению к) xt

112
ГЛ. П. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
Так как LxQ==0, мы имеем
(Кг)„. (Yr.x ...YXX (Q (V, W))) = (Yr)Uo (Уг_д ...YX(Q ([X, V], W)))
+ <X,)u, (yr-i ¦••YX{Q (V, [X
Два члена правой части принадлежат mr(u0), так как [X, V] и
[X, U7] горизонтальны по лемме 1. Это завершает доказательство
леммы 2.
Пусть Xi = d/dx', где х1, ..., хп—локальная система коор-
координат в окрестности точки хо — я(ио). Пусть X*t—горизонталь-
X*t—горизонтальный лифт для Х(, и пусть
— функция вида (//г) такая, как это определено в § 10. Если
hX и vX обозначают горизонтальную и вертикальную компоненты
для X соответственно, то лемма 1 для предложения 10.4 влечет
Поскольку XUJ € tnr («о) п0 лемме 2, и поскольку со„о (X) = Л (X),
мы имеем
„. / ^ [Л (X), f К)] mod m, (и0).
Допуская, что тг = тг(и0) для всех г <_ s, покажем, что
ms = ms(u0). Поскольку К слой-транзитивна на Р, каждый гори-
горизонтальный вектор в и0 имеет вид {hX)u, для некоторого X ? ?•
Поэтому m^ (u0) порождается подпространством т^_1(ы0) и мно-
множеством всех (hX)uJ, где X ? f, а / — функция вида (//^-О- С дру-
другой стороны, xns порождается множествами xns^! = ntj.i (ы„) и
[A(f), /«,_!] = [Л(f), ms_1(ult)]. Другими словами, ms порождается
множеством mi_1 = mJ_1 (ы0) и множеством всех [А(Х), f (u0)],
где X?t, a / есть функция вида (//*_х). Наше утверждение
ш^ = ш5(ы0) следует теперь из сравнения
(hX)uJ = [A(X), /(и0)] modtn^a»»)- D
Замечание. D) теоремы 11.1 есть следствие теоремы 11.8
(см. замечание, сделанное после доказательства теоремы 11.7).
Глава III
ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Связность в векторном расслоении
Пусть F есть или поле вещественных чисел R или поле комп-
комплексных чисел С, Fra — векторное пространство всех т-набо-
ров элементов из F и GL(m; F) —группа всех неособых тхт-
матриц с элементами из F. Группа GL (m; F) действует на Fm слева
естественным образом; если а=(а§ ? GL(m; F) и g=(g\ . .., |m) ? Fm,
то al = B»6Л • • •. 2>ПУ) € F-.
Пусть P(M,G) — главное расслоение и р — представление G
в GL(m; F). Пусть Е (М, Fm, G, Р) — ассоциированное расслое-
расслоение со стандартным слоем Fm, на котором G действует согласно
представлению р. Мы называем Е вещественным или комплексным
векторным расслоением над М соответственно, если F = R или
F = С. Каждый слой яг1 (х), х^М, для Е имеет структуру век-
векторного пространства такого, что каждое ы?Р с л(и) = х, рас-
рассматриваемое как отображение из Fm на пё1(х), есть линейный
изоморфизм из FOT на пё1(х). Пусть 5 — множество сечений ср:
М—*-?¦; оно образует векторное пространство над F (бесконечно-
(бесконечномерное, если т^\) со сложением и умножением на скаляры,
определяемыми так:
() + (), Ф.
Мы можем также рассматривать 5 как модуль над алгеброй
F-значных функций; если X есть F-значная функция на М, то
Пусть Г — связность в Р. Мы вспомним, как Г определяла
понятие параллельного переноса слоев в Е в*§ 7 главы II. Если
x = xt, a^lt^b,— кривая в М и х* — щ — горизонтальный лифт т
до Р, то для каждого фиксированного l^Fm кривая i' = u?
есть по определению горизонтальный лифт т до Е.
Пусть ф — сечение для Е, определенное на x = xt так, что
пЕ о ф (xt) = xt для всех t. Пусть xt — вектор, касательный к т
в xt. Тогда для каждого фиксированного t ковариантная произ-
производная V ¦ ф для ф в направлении (или по отношению к) xt

114
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
определяется так:
V • Ф = lim -L [х\+н (Ф (xt+h)) - Ф {xt)],
t h—*-0
где x\*h: n?1(xi+h)—^яг1^) обозначает параллельный перенос
слоя пё1(хи.л) вдоль х из *(+л в xt. Итак, ^^ф^яг1^^ для
каждого t и определяет сечение ? вдоль т. Сечение ф парал-
параллельно, т. е. кривая ф (xt) горизонтальна в Е тогда и только
тогда, когда ^Ф = 0 для всех t. Следующие формулы очевидны.
Если ф и ¦ф — сечения в Е, определенные на т = х(, то
Если X—F-значная функция, определенная на х, то
Последняя формула немедленно следует из
x\+h{X(xt+A)• Ф (*,+А)) = X (xt+h)-xfh (Ф(
Пусть Х?ТХ(М) и ф — сечение в ?\ определенное в окрест-
окрестности х. Тогда ковариантная производная ?^ф в направлении X
определяется так. Пусть х = хи — е^/^е, есть кривая такая,
что Х = х0. Тогда положим
Легко видеть, что \хц> не зависит от выбора т. Сечение ф в Е,
определенное на открытом подмножестве U из М, параллельно
тогда и только тогда, когда Т.уФ = 0 Для всех X?TX(U), x?U.
Предложение 1.1. Пусть X, Y ?ТХ (М), и пусть ф и я|з—
сечения в Е, определенные в окрестности х. Тогда:
A)
B)
C)
D) Vx(fa) = b(x)-vx<p + (XX)• Ф (х),
где X есть F-значная функция, определенная в окрестности х.
Доказательство. Мы доказали B) и D). C) очевидно.
Наконец, A) будет следовать немедленно из следующего альтер-
альтернативного определения ковариантного дифференцирования.
Предположим, что сечение фв? определено на открытом под-
подмножестве U из М. Как в примере 5.2 главы II, мы ассоции-
ассоциируем с ф Рт-значную функцию / на я~х (U) так:
§ I. СВЯЗНОСТЬ В ВЕКТОРНОМ РАССЛОЕНИИ
115
. Пусть дано Х?ТХ(М), и пусть X* ? Та(Р) — горизонтальный
лифт для X. Поскольку / есть Рт-значная функция, X*f есть
элемент из Fm и и (X*f) есть элемент слоя я^1 (х). Имеет место
Лемма. Vx4 = u(X*f).
Доказательство леммы. Пусть x = xt, — е^^^е,—
кривая такая, что Х = х0. Пусть x* = ut — горизонтальный лифт
для т такой, что ио = и и Х* = и0. Тогда мы имеем
X*f = Й Т
- «-1 (Ф (
и
и (X*/) = Urn - [и о ик1 (Ф (хА)) -ф
Л->-0 "
Для того чтобы доказать лемму, достаточно доказать
Тч. (Ф (хЛ)) =«oM
Положим ! = ил1(ф(#Л))- Тогда «ti есть горизонтальная кривая
в Е. Так как ыЛ| = ф(д:Л), то ф (хл) есть элемент из Е, получен-
полученный параллельным переносом ыо1 = и о и^1 (ф (хн)) вдоль т из х„
в хн. Это влечет to (ф(хЛ)) = ы о ы^1(ф(хл)), что завершает дока-
доказательство леммы.
Теперь A) предложения 1.1 следует из леммы и из того, что
если X, Y?TX(M) и X*, Y* ? Та (Р) — горизонтальные лифты для
X и Y соответственно, то X*+ Y* есть горизонтальный лифт
для X + Y. ?
Если ф—сечение в Е, определенное на М, и X — векторное
поле на М, то ковариантная производная \ХЯ> &ля Ф в направ-
направлении (или по отношению к) X определяется так:
Как немедленное следствие предложения 1.1 мы имеем
Предложение 1.2. Пусть X и Y—векторные поля на М,
ф и o|j—сечения для Е на М и X есть F-значная функция на М.
Тогда:
A)
B)
C)
D) ()y
Пусть X — векторное поле на М и X* — горизонтальный лифт
X до Р. Тогда ковариантное дифференцирование \х соответст-
соответствует дифференцированию Ли Lx* в следующем смысле. В при-
примере 5.2 главы II мы видели, что существует взаимно однознач-
однозначное соответствие между множеством сечений ф: М —*- Е и мно-
множеством Р^-значных функций / на Р таких, что f(ua) =a~1 (f(u)),

116
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
a?G (а~г означает p(a-1)^GL(m; F)). Соответствие задается как
f (ы) = ы-1(ф(я(ы)))) и?Р. Мы тогда имеем
Предложение 1.3. Если ф: М —*-E —сечение и f: P —>¦ Fm—
соответствующая функция, то X*f есть функция, соответствую-
соответствующая сечению Vx<P-
Доказательство. Это — немедленное следствие леммы для
предложения 1.1. ?
Послойная метрика g в векторном расслоении Е — это сопо-
сопоставление каждому х^М скалярного произведения gx в слое
пё1(х), которое дифференцируемо по х в том смысле, что если
Ф и ф—дифференцируемые сечения в Е, то gx(q>(x), ty(x)) зави-
зависит дифференцируемо от х. Когда Е — комплексное векторное
расслоение, скалярное произведение считается эрмитовым:
Предложение 1.4. Если М паракомпактно, то каждое
векторное расслоение Е над М допускает послойную метрику.
Доказательство. Это следует из теоремы 5.7 главы I
(существование римановой метрики на паракомпактном много-
многообразии). Мы дадим здесь другое доказательство, используя раз-
разбиение единицы. Пусть \Uj\tei — локально конечное открытое
покрытие М такое, что я^1 (?/,-) изоморфно с U,-xF» для каж-
каждого i. Пусть \s{) — разбиение единицы, подчиненное покрытию
{U{\ (см. приложение 3). Пусть hl — послойная метрика в ?|?/;=
=я?1(^1-)- Положим g = y*isiht, т. е.
g(Sj, Ei) = y.isi(x)hl(Ei, 3.2) для Si, Е2^пё1(х), х$М.
Поскольку {U;\ локально конечно и s; есть нуль вне Uh то
g—корректно определенная послойная метрика. П
Если задана послойная метрика g в векторном расслоении
Е (М, Fm, G, Р), то мы построим редуцированное подрасслоение
Q(M, Н) для Р(М, G) так. В стандартном слое Fm из Е мы
рассмотрим каноническое скалярное произведение ( , ), опреде-
определяемое так:
E, г\) = ^5,-%*г\1 для 1 = (S1, .... 5й). Л = (Л1. • • •¦> Л"*) € R*.
Пусть Q — множество всех и?Р таких, что g(u(%), u(r\)) = (g, Vi)
для ?, г\ ? Fm. Тогда Q — замкнутое подмногообразие в Р. Легко
проверить, что Q — редуцированное подрасслоение в Р, струк-
структурная группа которого задается так:
H={a?G; р(а)?О(т)}, если F = R,
H={a?G; p(a)€U(m)}, если F=C,
где р — представление G в GL(m; F).
§ 1. СВЯЗНОСТЬ В ВЕКТОРНОМ РАССЛОЕНИИ
117
• Пусть задана послойная метрика g в Е, тогда связность в Р
называется метрической связностью, если параллельный перенос
слоев из Е сохраняет послойную метрику g. Точнее для каждой
кривой x — xt, O^^^l, из М параллельный перенос пё1(х0)~>•
—^-я^1^) вдоль т изометричен.
Предложение 1.5. Пусть g—послойная метрика в вектор-
векторном расслоении Е(М, F1», G, Р) и Q(M, H) — редуцированное под-
подрасслоение в Р(М, G), определяемое при помощи g. Связность Г
в Р редуцируема к связности V в Q тогда и только тогда, когда
Г—метрическая связность.
Доказательство. Пусть т = х<) 0<* < 1,— кривая в М.
Пусть i, r\€Fm и ao€Q с п(ио) = хо. Пусть х* = щ — горизон-
горизонтальный лифт т до Р, исходящий из ы0 так, что х' = щ(Ъ) и
х* = щ (г\) — горизонтальные лифты т до Е. Если Г редуцируема
к связности Г' в Q, то ut ? Q для всех t. Отсюда
г (MS). Мл)) = (?, i) = j?(«t(S), «Ил)).
а это и доказывает, что Г — метрическая связность. Обратно,
если Г — метрическая связность, то
г (MS). Мл)) = г (MS), Mti)) = (S, л)-
Отсюда ut?Q. Это означает, что Г редуцируема к связности
в Q по предложению 7.2 главы II. П
Предложение 1.5 вместе с теоремой 2.1 главы II влечет, что
для заданной послойной метрики g в векторном расслоении Е
над паракомпактным многообразием К существует метрическая
связность в Р.
Пусть Е(М, Fm, G, Р) — векторное расслоение такое, что
G = GL(m; F). Пусть ?{ggl(m; F), алгебре Ли для GL(m; F),
есть тх т-матрица такая, что элемент на пересечении /-го столбца
и 1-й строки есть 1, а остальные —нули. Тогда \Е{; i, j—\, .. . ,m\
образует базис алгебры Ли gl(m; F). Пусть ю и Q — формы связ-
связности и кривизны для связности Г в Р. Положим
Легко проверить, что уравнение структуры связности Г (см. § 5
главы II) может быть выражено так:
Пусть g--—послойная метрика в Е и Q —редуцированное под-
подрасслоение в Р, определенное при помощи g. Если Г — метри-
метрическая связность, то сужение со на Q определяет связность в Q
по предложению 6.1 главы II и предложению 1.5. В частности,
обе формы ю и Q, суженные на Q, имеют значения в алгебре
Ли о (пг) или н (т) в соответствии с F = R или F = C. Другими
словами, матрицы (а}) и (Qf), суженные на Q, кососимметричны
или косоэрмитовы в соответствии с F = R или F = C.

118
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 2. Линейные связности
Повсюду в этом параграфе мы будем обозначать расслоение
линейных реперов L (М) через Р и полную линейную группу
GL(n; R), n = dimM, через G.
Каноническая форма 9 для Р — это 1?п-значная 1-форманаР,
определенная так:
для Х?Та(Р),
где и рассматривается как линейное отображение из R"Ha Tnm(M)
(см. пример 5.2 главы I).
Предложение 2.1. Каноническая форма 9 для Р есть тен-
зориальная 1-форма типа (GL(n; R), R"). Она соответствует
тождественному преобразованию касательного пространства ТХ(М)
в каждой точке х?М в смысле примера 5.2 главы II.
Доказательство. Если X — вертикальный вектор в и?Р,
то я(Х) = 0 и отсюда 9(Х) = 0. Если X — любой вектор в и?Р
и а —любой элемент из G = GL(n; R), то RaX — вектор в иа?Р.
Отсюда
(/?#) (X) = 9 (RaX) = (ua)-i (я (RaX))
= а^и-1 (я (X)) = а-1 (9 (X)),
что доказывает, таким образом, наше первое утверждение. Вто-
Второе утверждение очевидно. ?
Связность в расслоении линейных реперов Р над М назы-
называется линейной связностью в М. Если задана линейная связ-
связность Г в М, то мы ассоциируем с каждым l€R" горизонталь-
горизонтальное векторное поле В (I) на Р следующим образом. Для каждой
и?Р (В (!))„ есть единственный горизонтальный вектор в и такой,
что n((B{i))u) = u(l). Мы называем В (!) стандартным горизон-
горизонтальным векторным полем, соответствующим ?. В отличие от
фундаментального векторного поля, стандартные горизонталь-
горизонтальные векторные поля зависят от выбора связностей.
Предложение 2.2. Стандартные горизонтальные вектор-
ныеУполя имеют такие свойства:
A) если 9—каноническая форма для Р, то~\ Q](B (?)) = i для
i€R";
f 42) /?«(B(S)) = B(a-1S) для a?G и g?R«;
f C) если 1=5^=0, то В A) никогда не обращается в нуль.
Доказательство. A) очевидно. B) следует из того, что
если X — горизонтальный вектор в и, то Ra(X) — горизонталь-
горизонтальный вектор в иа и n(Ra(X)) — n(X). Чтобы доказать C), до-
допустим, что (В(Ъ))а = 0 в некоторой точке и?Р. Тогда и A) =
= я ((В (|))в) = 0. Поскольку u: R" —> Г„ (а) (Af) есть линейный
изоморфизм, 1 = 0. ?
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ
119
. Замечание. Условия 6E©) = | и юE(|)) = 0 (где со —
форма связности) полностью определяют В (|) для каждого | ? R".
Предложение 2.3. Если А* — фундаментальное векторное
поле, соответствующее А ? д, и если В (Q —стандартное горизон-
горизонтальное векторное поле, соответствующее | ? R". то
[А*, В{Щ = В(А\),
где А\ обозначает образ \ при действии элемента А ? д = gl (n; R)
(алгебра Ли всех пхп-матриц), который действует на R".
Доказательство. Пусть at есть 1 -параметрическая под-
подгруппа в G, порожденная элементом A, ai = exptA. По предло-
предложению 1.9 главы I и B) предложения 2.2
[А*, В (|)] = Jim f [В (I) - Rat (В (|))] = lira j- [В (|) - В (аГЧ-,)].
Так как i —<- (В (%))и — линейный изоморфизм из R" на горизон-
горизонтальное подпространство Qa (см. C) предложения 2.2), мы имеем
Мы определяем форму кручения в линейной связности Г так:
e = D6 (внешний ковариантный дифференциал от 9).
По предложению 5.1 главы II и предложению 2.1 0 есть тен-
зориальная 2-форма на Р типа (GL(n; R), R").
Теорема 2.4 (структурные уравнения). Пусть со, © и Q —
формы связности, кручения и кривизны линейной связности Г в М.
Тогда имеют место
первое уравнение структуры:
аЪ(Х, У) = —1(
У),
и второе уравнение структуры:
йЪ(Х, Y) = —L
где X, Y?Ta(P) и и?Р.
Доказательство. Второе уравнение структуры было до-
доказано в теореме 5.2 главы II (см. также § 1). Доказательство
первого уравнения структуры сходно с доказательством теоре-
теоремы 5.2 главы II. Имеется три случая, которые нужно проверить,
и единственный нетривиальный случай — это тот, когда X вер-
вертикально, a Y горизонтально. Выберем А ? g и \ ? R" такие, что
Х = А'и и Y = B(l)a. Тогда в (X, Y) = 0, coG)-6(X)=0 и со(Х)-
• 9 (У) = со (А*) ¦ 9 (В (%)) = А\, поскольку со (А*) = А и 6 E E)) = \.
С другой стороны, 2d9 (X, К) = Л* F E (|))) — 5 (|) (9 (Л*)) —
-9 ([Л*, 5(|)]) = -9 ([А*, В®]) = — в(В(А1)) = — А1 по пред-
предложению 2.3. Это доказывает первое структурное уравнение. ?

120 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
Относительно естественного базиса ех, ..., еп в R" запишем
Как и в § 1, относительно базиса Е/ в ql(n; R) запишем
Тогда уравнения структуры могут быть записаны так:
A) d9' = —2/«»/Ле/ + в', i = l, .... я,
B) <Ц = —2*«>*Л<»? + 0/. I, /=1, .... п.
Рассматривая 0 как векторнозначную форму, а со как матрично-
значную форму, мы также напишем структурные уравнения
в следующем упрощенном виде:
A') dB = — со
B') Лв = — со
В следующем параграфе мы дадим интерпретацию кручения
и первого структурного уравнения с точки зрения аффинных
связностей.'
Теорема 2.5 (тождества Бианки). Для линейной связности
имеем
Первое тождество: DQ = Q Л 9> т- е-
3DS(X, Y, Z) = Q(X, Y)Q(Z) + Q(Y, Z)9(X) + Q(Z, X)Q(Y),
где X, Y, Z?Ta(P).
Второе тождество: DQ = 0.
Доказательство. Второе тождество было доказано в тео-
теореме 5.4 главы II. Доказательство первого тождества аналогично
изложенному в теореме 5.4. Если мы применим внешнее диф-
дифференцирование d к первому структурному уравнению <20 =
0 ® то получим
0 = — da
Обозначим hX горизонтальную компоненту для X. Тогда со (hX) = 0,
Q(hX) = Q(X) и do» (AX, hY) = Q(X, Y). Отсюда
DQ{X, Y, Z) =
KY, hZ)
, hY, hZ) =
, Y, Z). ?
Пусть Blf..., Bn — стандартные горизонтальные векторные
поля, соответствующие естественному базису еи ..., еп из R"
и \Е'*)—фундаментальные векторные поля, соответствующие ба-
базису \Е{} из gl(n; R). Легко проверить, что {5,-, Е{*\ и {0'', а»]}
дуальны друг другу в том смысле, что
е*(я,) = 6}, efe(?0=o,
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ
121
• Предложение 2.6. п2 + п векторных полей {Bk, E{*;
i, j, k=\, ..., п) определяют абсолютный параллелелизм в Р,
т. е. п2 + п векторов {{Bk)a, {E'*)a\ образуют базисе Та(Р) для
каждого и?Р.
Доказательство. Поскольку размерность Р есть «2 + п, то
достаточно доказать, что вышеуказанные п2-\-п векторов линейно
независимы. Так как А—+А1 есть линейный изоморфизм g на
вертикальное подпространство из Та(Р) (см. § 5 главы I), то
{Е1*} линейно независимы в каждой точке из Р. По C) предложе-
предложения 2.2 {Вк) линейно независимы в каждой точке из Р. Так как
{Вк\ горизонтальны и {?{¦*} вертикальны, {Bk, Ё{*\ линейно не-
независимы в каждой точке из Р. ?
Пусть Trs(M)—тензорное расслоение над М типа (г, s) (см.
пример 5.4 главы I). Это — векторное расслоение со стандартным
слоем Tf (тензорное пространство над R" типа (г, s)), ассоцииро-
ассоциированное с расслоением Р линейных реперов. Тензорное поле К
типа (г, s) есть сечение тензорного расслоения Tj(M). В § 1 мы
определили ковариантную производную сечения в произвольном
векторном расслоении. Как и в § 1, мы можем определить кова-
ковариантную производную от К в следующих трех случаях:
A) V;.^, когда К определяется вдоль кривой x = xt из М;
B) Vjr^C. когда Х?ТХ(М) и f( определяется в окрестности
точки х;
C) V;fK\ когда X — векторное поле на М и ^ — тензорное
поле на М.
Для простоты мы установим следующее предложение только
для случая C), хотя оно имеет место и для случаев A) и B)
с очевидными изменениями в формулировке.
Предложение 2.7. Пусть % (М) — алгебра тензорных полей
на М. Пусть X и Y —векторные поля на М. Тогда ковариант-
ное дифференцирование имеет следующие свойства:
A) V^: %(M)—t-%(M)—сохраняющее тип дифференцирование;
B) Vx перестановочно с каждым свертыванием
C) yxf = Xf для каждой функции f на М;
D) VX+Y=VX + VY;
E) VfxK = f-VxK для любой функции f на М^и Х
Доказательство. Пусть x = xt, O^t^1,— кривая в М.
Пусть Т (xf) — тензорная алгебра над Тх (М), Т (.*<) = 2 TJ (#*) (см.
§ 3 главы I). Параллельный перенос вдоль т дает изоморфизм
алгебры Т(д;0) на алгебру T(xt), который сохраняет тип и ком-
коммутирует с каждым свертыванием. Из определения ковариант-
ного дифференцирования, данного в § 1, мы получаем A) и B)
при помощи рассуждений, аналогичных доказательству предло-
предложения 3.2 главы I. C), D) и E) были доказаны в предложе-
предложении 1.2. ?

122
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 3. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
123
По лемме для предложения 3.3 главы I операция V* на Ж (М)
полностью определяется ее действием на алгебре функций %(М)
и модуле векторных полей Ж(М). Поскольку \xf — Xf для каж-
каждой f€$(M), действие V* на i(M) определяется ее действием
на ?(М). Как немедленное следствие к предложению 1.2 имеем
Предложение 2.8. Если X, Y uZ—векторные поля на М, то:
A) VX(Y + Z) = VXY + VXZ;
B) Vx+Y(Z) = VxZ + VyZ;
C) V/xY = f-VxY для каждой f?%(M);
D) Vx(fY) = f-VxY + (Xf)Y для каждой f€%(M).
Мы докажем позже в § 7, что любое отображение 3?(М)х
X ?(М) —> ?(М), обозначаемое (X, Y) —> \XY и удовлетворяю-
удовлетворяющее четырем условиям выше, есть в действительности ковариант-
ная производная относительно некоторой линейной связности.
Доказательство следующего предложения, принадлежащего
Костанту [1], аналогично доказательству предложения 3.3
главы I и потому оставляется читателю.
Предложение 2.9. Пусть М—многообразие с линейной
связностью. Каждое дифференцирование D (сохраняющее тип и
перестановочное со свертываниями) алгебры %(М) тензорных по-
полей в тензорную алгебру Т (х) в х ? М может быть однозначно
разложено так:
где Х?ТХ(М), a S—линейный эндоморфизм из ТХ(М).
Заметим, что, в отличие от дифференцирования Ли Lx отно-
относительно векторного поля, ковариантное дифференцирование Чх
имеет смысл и тогда, когда X есть вектор в точке из М.
Пусть задано тензорное поле К типа (г, s), тогда ковариант-
ный дифференциал VK для К. есть тензорное поле типа (г, s + 1),
определенное так. Как и в предложении 2.11 главы I, рассмотрим
тензор типа (г, s) в точке х?М как мультилинейное отображе-
отображение из Тх (М) х . .. X Тх (М) (s раз) в ТЦх) (пространство кова-
риантных тензоров степени г в х). Положим
= (vxK)(Xlt
xs), x,
Предложение 2.10. Если К — тензорное поле типа (г, s), то
Xs
lt ..., Xs))
Xs),
где X, Xi()
Доказательство. Это следует из того, что V* есть диф-
дифференцирование, перестановочное со свертыванием. Доказатель-
Доказательство сходно с доказательством предложения 3.5 главы I и остав-
оставляется читателю. ?
Тензорное поле К на М, рассматриваемое как сечение тен-
тензорного расслоения, параллельно тогда и только тогда, когда
ЧхК = 0 для всех Х?Тх(М) и х?М (см. § 1). Отсюда имеем
Предложение 2.11. Тензорное поле К на М параллельно
тогда и только тогда, когда у/С = О.
Второй ковариантный дифференциал Va/C тензорного поля К
типа (г, s) определяется как V(V^C); это есть тензорное поле
типа (г, s-j-2). Положим
(V2/Q(;X; K) = (VHV*))(;X), где X, Y ?ТХ(М),
т. е. если мы рассматриваем К как мультилинейное отображе-
отображение из Тх{М)х . .. ХТХ{М) (s раз) в TJ(*), то
±, ..., Xs; X; Y) = (VY{VK))(X13 .... Xs; X).
Аналогично предложению 2.10 имеем
Предложение 2.12. Для любого тензорного поля К. и лю-
любых векторных полей X и Y имеем
В общем случае т-\\ ковариантный дифференциал VmK опре-
определяется индуктивно равенством V (Vm~1/1C) = \mK. Используем
обозначение
(V"tf)(;Xx; ...; Хт^, XJ для (Vx^^^K)) (; X,- ...; Хп_г).^
§ 3. Аффинные связности
Линейная связность многообразия М определяет для каждой
кривой x = xt, O^^^l, из М параллельный перенос касатель-
касательного пространства ТХо(М) на касательное пространство TXt(M);
эти касательные пространства рассматриваются как векторные
пространства, и параллельный перенос есть линейный изомор-
изоморфизм между ними. Мы теперь рассмотрим каждое касательное
пространство ТХ(М) как аффинное пространство, называемое ка-
касательным аффинным пространством в х. С точки зрения рас-
расслоений это означает, что мы расширяем расслоение линейных
реперов до расслоения аффинных реперов так, как сейчас будет
объяснено.
Пусть R" — векторное пространство л-наборов вещественных
чисел, как и раньше. Когда мы рассматриваем R" как аффинное
пространство, мы обозначаем его Л". Аналогично касательное
пространство в х?М, рассматриваемое как аффинное простран-
пространство, будет обозначаться Ах (М) и будет называться касательным
аффинным пространством. Группа А (п; R) аффинных преобразо-
преобразований в А" представляется группой всех матриц вида
S ?!
-—

124
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 3. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
125
где а = (а}) ? GL (л; R), а ?¦ = (?¦'). \ ? R", есть вектор-столбец.
Элемент а отображает точку г\ из А" в аг| + 1- Имеем следую-
следующую последовательность: ,
О
Л (л;
где а —изоморфизм векторной группы R" в А (л; R), отображаю-
отображающий
R" в
In
о
Л (л; R)(/n —единица в GL(n; R)), р —гомо-
—гомоморфизм из А(п; R) на GL (л; R), отображающий
(л; R)
в a?GL(n; R). Эта последовательность точна в том смысле, что
ядро каждого гомоморфизма равно образу предшествующего.
Это — расщепляющаяся точная последовательность в том смысле,
что существует гомоморфизм у: GL (л; R) —<- А (л; R) такой, что
Ро у есть тождественный автоморфизм в GL(n; R); действительно,
мы определяем у условием у (а) =
О
(л; R), a?GL{n; R).
Группа Л (л; R) есть полупрямое произведение R" и GL(n; R),
т. е. для каждого а?Л(л; R) существует единственная пара
(a, l)?GL(n; R)xR" такая, что а = а(|)-у(а).
Аффинный репер многообразия М в х состоит из точки
<,Р$АХ(М) и линейного репера (Хи ..., Хп) в х; он будет обо-
обозначаться (р; Xlt . .., Хп). Пусть о — начало в R" и (е^ ..., еп)
естественный базис в R". Мы назовем (о; ех
еп) канони-
каноническим репером в Л". Каждый аффинный репер (р; Хг, . . ., Хп)
в х может быть отождествлен с аффинным преобразованием
и: Ап-+Ах(М), которое отображает (о; ех, .... еп) в (р; Хи ..., Х„),
потому что (р; Хг, ..., Хп)*-*и дает взаимно однозначное соот-
соответствие между множеством аффинных реперов вхи множеством
аффинных преобразований из А" на Ах (М). Обозначим через А (М)
множество всех аффинных реперов на М и определим проекцию
я: Л (М) —> М, полагая п(ц) = х для каждого аффинного репе-
репера и в х. Покажем, что А (М) есть главное расслоение над М
с группой Л (л; R), и будем называть А (М) расслоением аффин-
аффинных реперов над М. Определяем действие Л (л; R) на А(М) как
(и, а)—»иа, и?А(М) и а?А{п; R), где па есть композиция
аффинных преобразований а: А"—>-А" и и: А" —к ЛЖ(М). Легко
может быть доказано (см. пример 5.2 главы I), что Л (n; R) дей-
действует свободно на А(М) справа и что А(М) есть главное рас-
расслоение над М с группой Л (л; R).
Пусть L(M) — расслоение линейных реперов над М. В соот-
соответствии с гомоморфизмами Р: Л (n; R) —*¦ GL (n; R) и у: GL (n; R) —>
—*-Л(п; R) имеем гомоморфизмыР: A (M)—>-L'(M) и у: L(M)—»¦ А (М).
А именно, Р:
(Хи ..., Х„)
(
А (М) —>¦ L (М) отображает (р; Xt, ..., Хл) в
и у: .L(M) — Л(М) отображает (Х1Э ..., Х„)
Л(М)
, „) у () () р AЭ , „)
(л Хх, ..., Хп), где ох^ ЛХ(М) —точка, соответствующая на-
началу в ТХ(М). В частности, L(M) можно рассматривать как под-
расслоение в А (М). Очевидно, Р<эу есть тождественное преобра-
преобразование в L(M).
Обобщенная аффинная связность в М — это связность в расслое-
расслоении А (М) аффинных реперов над М. Изучим связь между обоб-
обобщенной аффинной связностью и линейной связностью. Обозна-
Обозначаем через R" алгебру Ли векторной группы R". Расщепляю-
Расщепляющейся точной последовательности групп 0—>-R"—>-A(n; R)—>-
—>-GL(n; R)—>-1 соответствует следующая расщепляющаяся точ-
точная последовательность алгебр Ли:
0-H-R» —a(n; R) — дЦл; R) — 0.
Поэтому
а (л; R) = gl(n; R) + R" (полупрямая сумма).
Пусть со — форма связности обобщенной аффинной связности в М.
Тогда у*со есть а (л; R)-3Ha4Hafl 1-форма на L(M)- Пусть
— разложение, соответствующее а (л; R) = gl (л; R) + R", так что со
есть дЦл; R)-3Ha4Hafl 1-форма на L{M), а ср есть R"-3Ha4Hafl
1-форма на L(M)- По предложению 6.4 главы II со определяет
связность в L(M). С другой стороны, мы легко видим, что ср
есть тензориальная 1-форма на L(M) типа (GL(n; R), R") (см.
§ 5 главы II), и поэтому она соответствует тензорному полю
типа A,1) в М. как это объяснено в примере 5.2 главы II.
Предложение 3.1. Пусть со — форма связности обобщен-
обобщенной аффинной связности Т на М, и пусть
у*со = со + ср,
где со д!(я; К)-значна, а ср Кп-значна. Пусть Г—линейная связ-
связность на М, определенная формой со, а К — тензорное поле типа A,1)
на М, определенное формой ср. Тогда
A) Соответствие между множеством обобщенных аффинных
связностей на М и множеством пар, состоящих из линейной связ-
связности на М и тензорного поля типа A,1) на М, заданное как
f —*¦ (Г, К), взаимно однозначно.
B) Гомоморфизм р: Л (М) —*-L(M) отображает Г в Г (см.
§ 6 главы II).
Доказательство. A) Достаточно доказать, что для дан-
данной пары (Г, К) имеется Г, которая соответствует (Г, К)- Пусть

126
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
со— форма связности для Г, а ф — тензориальная 1-форма на L(M)
типа (GL(n; R), R"), соответствующая f(. Для заданного вектор-
векторного поля X 6 Т~ (А (М)) выберем X$Ta(L(M)) и а?А(п; R)
такие, что и = кй и X — Ra(X) вертикально. Существует элемент
А €а(п; R) такой, что
где А* — фундаментальное векторное поле, соответствующее А.
Мы определим со так:
a(X) = ad(a~1) (а (X) + у (X)) + А.
Прямая проверка показывает, что со определяет желаемую связ-
связность Г.
B) Пусть X <Е Tz (A (M)). Мы полагаем ы = р(п) и Х = Р(Х),
так что X^Ta(L(M)). Поскольку Р: Л (М) —^L(M) — гомомор-
гомоморфизм, ассоциированный с гомоморфизмом |3: А (п; R) —>- GL (п; R) =
= Л(п; R)/R", то L(M) может быть отождествлено с A (M)/Rn
и р: А (М)—>- L (М) может рассматриваться как естественная
проекция A(M)—>-A(M)/Rn. Так как Х = $(Х) = Р(Х), то суще-
существуют a?Rn cA(n; R) и А ^ Rnс:а (п; R) такие, что и = иа
и X = Ra(X)-\- A*u. Допустим, что X горизонтально относитель-
относительно Г, так что 0=_ю(Х) = ю(^г(Х))+со(Л;)=ас1(а-1)((й(Х)) + Л.
Отсюда со (X) = ad (а) (А) и a>(X) + q>(X) = ad(a)(A). Поскольку
Ф(Х) и ad (а) (А) — элементы из R" и со (X) ? gl (п; R), мы имеем
со(Х) = 0. Это доказывает, что если X горизонтально относитель-
относительно Т, то р(Х) горизонтальновотносительно Г. ?
Предложение 3.2. В предложении 3.1 пусть Q и Q —
формы кривизны для Г к Г соответственно. Тогда
где D—внешнее ковариантное дифференцирование относительно Г.
Доказательство. Пусть X, Y?Ttt(L(M)). Чтобы дока-
доказать, что (y*Q)(X, Y) = Q(X, Y) + D<f(X, Y), достаточно рас-
рассмотреть следующие два случая: A) по крайней мере один из X
и У вертикален, B) и X и У горизонтальны относительно Г.
В случае A) обе части равенства —нули. В случае B) со(Х) =
= ю(У) = 0 и отсюда а>(Х) = у(Х) и со(У) = ф(У). Из уравне-
уравнения структуры для Г имеем
1 У)
, У).
5 3. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
127
(Здесь, рассматривая L(M) как подрасслоение в Л (М), мы отож-
отождествили у (X) с X.) С другой стороны, 7*Ло=с?со + йф и отсюда
аЪ(Х, Y) = d(n(X, Y) + d<p(X, У). Поскольку R" абелева, [ф(Х),
<р(У)] = 0. Отсюда dco(X, У) + ^Ф(Х, У)=Й(Х, У). Так как X
и У горизонтальны, то Dco(X, У) + Дф(Х, Y) = U{X, У). П
Рассмотрим снова структурное уравнение обобщенной аффин-
аффинной связности
Ло=—"о" I/0. co] + Q.
Сужая обе части уравнения на L(M) и сравнивая gl(n; R)-
компоненты и R"-KOMnoHeHTbi, получаем
dq>(X, У) = -!
У)
, Ф(У)]-[со(У), Ф
, У),
, У),
Как и в § 2, запишем
dq> = — со Л ф
dco = — соЛш
Обобщенная аффинная связность Г называется аффинной связ-
связностью, если в обозначениях предложения 3.1 R''-значная 1-фор-
1-форма ф есть каноническая форма 6, определенная в § 2. Другими
словами, Г есть аффинная связность, если тензорное поле К,
соответствующее ф, есть поле тождественных преобразований каса-
касательных пространств из М. Как немедленное следствие предло-
предложения 3.1 получается
Теорема 3.3. Гомоморфизм Р: А(М)—+L(M) отображает
каждую аффинную связность Г на М в линейную связность Г на М.
Более того, Г —>-Г дает взаимно однозначное соответствие между
множеством аффинных связностей Г на М и множеством линей-
линейных связностей Г на М.
Слова «линейная связность» и «аффинная связность» по тра-
традиции использовались как синонимы. Это правомерно в силу
теоремы 3.3. Хотя мы не будем порывать с этой традицией, мы
будем делать логическое различие между линейной связностью
и аффинной связностью, если это будет необходимо; линейная
связность для М есть связность в L (М), а афинная связность
есть связность в А (М).
Из предложения 3.2 получаем
Предложение 3.4. Пусть 9 и Q — формы кручения и кри-
кривизны линейной связности Г на М. Пусть Q — форма кривизны

128 гл- Ш- ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
соответствующей аффинной связности. То/да
§ 4. РАЗВЕРТКИ
129
где у: L (М) —* А (М) есть естественная инъекция.
Заменяя ф канонической формой 0 в формулах
dq> —— о>Лф + ?>ф> d(a = — © Л «>-\-&,
мы вновь получаем структурные уравнения линейной связности,
доказанные в теореме 2.4.
Пусть Ф («) — группа голономии аффинной связности Г на М
с опорной точкой м? А (М). Пусть W(и)— группа голономии соот-
соответствующей линейной связности Г на М с опорной точкой
и —Р(ы) ? L (М). Будем называть Ф(ы) аффинной группой голо-
голономии для Г или Г, а ?(и) линейной группой голономии (или
однородной группой голономии) для Г и Г. Суженные аффинная
и линейная группы голономии Ф° (и) и 4го (и) определяются соот-
соответственно. Из предложения 6.1 главы II получаем
Предложение 3.5. Гомоморфизм р: А (п; R) —+GL(n; R)
отображает Ф(и) на ?"(«), а Ф° (и) на 4го (ы).
§ 4. Развертки
Мы изучим в этом параграфе параллельный перенос, возни-
возникающий из аффинной связности многообразия М. Пусть x — xt,
О ^ t <^ 1, — кривая в М *). Аффинный параллельный перенос вдоль
т есть аффинное преобразование аффинного касательного прост-
пространства в ха на аффинное касательное пространство в х1г опре-
определяемое заданной связностью в А(М). Это специальный случай
параллелелизма в ассоциированном расслоении, которое в нашем
случае есть аффинное касательное расслоение со слоями Ах (М),
х ? М. Мы обозначим этот аффинный параллелизм через т.
Тотальное пространство (т. е. пространство расслоения) аф-
аффинного касательного расслоения над М естественным образом
гомеоморфно пространству касательного (векторного) расслоения
над М; разница между ними в том, что аффинное касательное
расслоение ассоциировано с Л(М), в то время как касательное
(векторное) расслоение ассоциировано с L (М). Сечение аффинно-
аффинного касательного расслоения называется точечным полем. Имеет-
Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между мно-
множеством точечных полей и множеством векторных полей.
Щ) Условия на кривую здесь следовало бы взять более общие, так как
данная в этом параграфе трактовка недостаточна для § 6. См. в связи с этим
подстрочные примечании в § 6.—Прим. перев.
Пусть х\— аффинный параллельный перенос вдоль кривой
т из xt в xs. В частности, тг0' есть параллельный перенос
AXf (М) —> AXq (М) вдоль т (в обратном направлении) из xt вх0.
Пусть р — точечное поле, определенное вдоль ттак, что рх есть
элемент из Ах (М) для каждого t. Тогда х\ (рх.) описывает кривую
в АХо(М). Мы отождествим кривую r = xf с тривиальным точеч-
точечным "полем вдоль т, т. е. с точечным полем, соответствующим
нулевому векторному полю вдоль т. Тогда развертка кривой т
из М в аффинное касательное пространство АХо(М) есть кривая
т<(*,) в АХо(М).
Следующее предложение позволяет нам получить развертку
кривой при помощи линейного параллельного переноса, т. е.
параллельного переноса, определяемого соответствующей линей-
линейной связностью.
Предложение 4.1. Пусть задана криваят = хг, O^^s^l,
в М, положим Yt — %l [x-t), где х\ — линейный параллельный пере-
перенос вдоль х из xt в х0 и xt — вектор, касательный к х в xt. Пусть
Ct, 0<1?^1,—кривая в АХа(М), исходящая из начала (т. е. из
Са=х0), такая, что Ct параллельна (в аффинном пространстве
Ах (М) в обычном смысле) Yt для каждого t. Тогда Ct есть раз-
развертка х в АХа{М).
Доказательство. Пусть ы0 — любая точка в L{M) такая,
что я(ы0) =х0, и ut — горизонтальный лифт xt в L(M) относи-
относительно линейной связности. Пусть ui—горизонтальный лифт
для xt в А (М) относительно аффинной связности такой, что
ио — ий. Поскольку гомоморфизм р: А (М) —>~L(M) = A (M)/R"
(см. § 3) отображает u~t в иь то существует кривая at в R"с А (п; R)
такая, что ut = utat и что а0 —единица (нуль в R"). Как и в
доказательстве предложения 3.1 главы II, найдем необходимое
и достаточное условие для at, при котором ut горизонтальна
относительно аффинной связности. Из
щ = utat + utat,
которое следует из формулы Лейбница, как и в доказательстве
предложения 3.1 главы II, получаем
u>{ut) = ad (af1) (<» (и*)) + ат%
= ad (af1) (о (ut) +Q(ui))+ar1at
= ad (or1) (9 (и,)) Ч-вГЧ,
где to и «в — формы связности аффинной и линейной связностей
соответственно. Итак, ut горизонтальна тогда и только тогда,
5 Ш. Кобаяси, К. Номидзу, т. I

130
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 5. ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ
131
1 («Г1 (*«))) = «о (ОТ1 @)).
когда 9 (ut) = — at ajx. Отсюда
Yt = xi (xt) = и0 (иг1 (xt)) = u0 @ {ut))
= — ив (af flf1) = — a, (dat/dt).
С другой стороны, имеем
С* = 3 (xt) = «о ("Г1 (**)) = «о
Отсюда
dCt/dt = -u0(dat/dt) = Yt. П
Следствие 4.2. Развертка кривой x = xt, O^.t^.1, в АХо (М)
есть отрезок прямой тогда и только тогда, когда векторное по-
поле xt вдоль r = Xf параллельно.
Доказательство. В предложении 4.1 Ct есть отрезок
прямой тогда и только тогда, когда Yf не зависит от t. С
другой стороны, Yt не зависит от t тогда и только тогда, когда
xt есть параллельное векторное поле вдоль т. ?
§ 5. Тензоры кривизны и кручения
Нами уже определены форма кручения в и форма кривизны Q
линейной связности. Определим теперь тензорное поле кручения
(или просто кручение) Т и тензорное поле кривизны (или просто
кривизну) R. Положим
Т(Х, У) = ыB6(Х*, У*)) для X, Y?TX(M),
где м —любая точка из L(M) и п(и) = х, а X* и 7* —векторы
из L(M) вис я(Х*) = Х и я(У*) = У. Мы уже знаем, что
Т(Х, У) не зависит от выбора и, X* и У* (см. пример 5.2 гла-
главы II); это также может быть проверено непосредственно. Итак,
в каждой точке х?М Т определяет кососимметрическое били-
билинейное отображение Тх (М) х Тх (М) —>¦ ТХ(М). Другими словами, Т
есть тензорное поле типа A, 2) такое, что Т(Х, У) = — Г (У, X).
Мы назовем Т(Х, У) трансляцией кручения в ТХ(М), определяе-
определяемой векторами X и У. Аналогично положим
JR(X,Y)Z = u(BQ(X;Y*))(u-iZ) для X, Y, Z$TX{M),
где и, X* и У* выбраны, как и выше. Тогда R {X, Y)Z зависит
только от X, У, Z, а не от и, X* и У*. В определении выше
B?2(Х*, Y*)){u~lZ) обозначает образ для u-1Z^R" линейного
эндоморфизма 2Q(X*, У*)?дГ(п; R) пространства R". Итак,
R (X, У) есть эндоморфизм в Тх (М), он называется преобразова-
преобразованием кривизны в ТХ(М), определяемым ?векторами X и У. От-
Отсюда следует, что R—тензорное поле типа A, 3) такое, что
R{X, Y)= — R(X, X).
Теорема 5.1. В терминах ковариантного дифференцирова-
дифференцирования кручение Т и кривизна R могут быть выражены так:
Т(Х, Y)=\xY-VyX-[X, У]
и "
R(X, Y)Z = [vx,
где X, У и Z —векторные поля на М-
Доказательство. Пусть X*, У* и Z* — горизонтальные
лифты для X, У и Z соответственно. Мы сначала докажем лемму.
Лемма. (VxY)x = u(X'u(Q(Y*))), где я(и)=х.
Доказательство леммы. В лемме для предложения 1.1
мы доказали, что GхУ)* = и(Х?/), где / есть 1*"-значная функ-
функция, определенная как /(ы) = ы(Ух). Отсюда /(ы)=6(Уц) для
u?L(M). Это завершает доказательство леммы.
Мы имеем поэтому
Т(ХХ, Yx) = uBS(X'u, У'))
=и (х; (в (У*)) - yi (е (х*)) - е ([х*, у*]в)
= (VxY)x-(VYX)x-[X, Y]x,
поскольку я([Х*, У*]) = [Х, У].
Чтобы доказать второе равенство, положим/ = 6B*), так что
/ есть Я"-значная функция на L(M) типа (GL(n; R), R"). Мы
имеем тогда
u(n
y*])J) = u((t>[X*. У*])и/),
где h (соотв. v) обозначает горизонтальную (соотв. вертикальную)
компоненту. Пусть А—элемент из %l(n; R) такой, что Л„ =
= (v[X*, У*])ц, где А*—фундаментальное векторное поле, соот-
соответствующее А. Тогда по следствию 5.3 главыII имеем
С другой стороны, если at есть 1-параметрическая подгруппа в
GL(n; R), порожденная элементом А, то
A'J= lim \[f(uat)—/(«)]
= lim 4 iarV («))-/(«)]
= -Л (/(«)),
где Л(/(ы)) обозначает результат линейного преобразования
5*

132
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
A: R"^R", примененного к /(u)€R". Поэтому имеем
([Vjf, Vy]Z-Vix, yi Zh = «:((» [X*, Y*])u f) = u (—A {f (u)))
= «BQ(x;, к;> (/(«») = и BQ(X2, y;)(«-iz)) = ^(x, Y)z. a
Предложение 5.2. Яусть X, Y, Z, W?TX(M) и u?L{M)
с п(и) = х. Пусть X*, Y*, Z* и W*—стандартные горизонталь-
горизонтальные векторные поля на L(M), соответствующие u~lX, u~xY, u~xZ
и u~xW соответственно, так что я (Х?) = X, я (К„) = Y, я (Z?) = Z
и я ТО = IF. Тогда
(VxT) (Y, Z) = u (X; B6 (V, Z*)))
и
((Vx/?) (У, ^)) W7 = и ((Х'и BQ (У*, Z*))) (и-» IF)).
Доказательство. Мы докажем только первую формулу.
Доказательство второй аналогично. Рассмотрим кручение Т как
сечение тензорного расслоения Т\(М)> стандартный слой кото-
которого есть тензорное пространство Т| типа A, 2) над R". Пусть
/ есть Та-значная функция на L (М), соответствующая кручению
Т, как в примере 5.2 главы II, так что если мы полагаем
г] = и~1Х и t, = u~xZ, то
По предложению 1.3 X*J соответствует VxT1- Отсюда
, Z*)),
что и доказывает утверждение. П
Используя предложение 5.2, выразим тождества Бианки (тео-
(теорема 2.5) в терминах Т, R и их ковариантных производных.
Теорема 5.3. Пусть Т и R — кручение и кривизна линейной
связности в М. Тогда для X, Y, Z? Tx (M) имеем:
первое тождество Бианки:
®\R(X, ГJ} = @{Г(Г(Х, Y), Z) + (VXT)(X, Z)\;
второе тождество Бианки:
Z) + R(T(X, Y), Z)}=0,
где © обозначает циклическую сумму относительно X, Y и Z.
В частности, если Т — 0, то:
первое тождество Бианки: <&{R(X, Y) Z} = 0;
второе тождество Бианки: @ {(VxR) (Y, Z)} = 0.
Доказательство. Пусть и — любая точка из L(М) такая,
что п(и) = х. Мы поднимаем X до горизонтального вектора в и
и затем продолжаем его до стандартного горизонтального век-
векторного поля X* на L(M), как в предложении 5.2. Аналогично
§ 5. ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ
133
определяем Y* и Z*. Мы извлечем первое тождество из
DO = Q Д в (теорема 2.5).
Имеем
*, П, Z*U)=
*U, Y*U)Q(Z*U)\
, Y) Z)\.
С другой стороны, по предложению 3.11 главы I имеем
6D@(X;t, Yl, Z*u)=6dS(X*u, Y'a, Zl)
По предложению 5.2 Х*Bв (Y*, Z*)) = u~x ({VXT)(Y, Z)). Поэто-
Поэтому достаточно доказать, что
-26 ([X*, Y*]u, Z'u) = u-
Мы замечаем сначала, что
л([Х*, Г*]ц) = и(в([Х*, Y*]u)) = -uBde(X*u, YD)
= -иBЭ(Х*и, Yl)) = -T(X, Y).
Отсюда имеем
-26 ([X*, Y*]a, Zl) = -u-x(T(n[X*, Y*]a,Z))
= u-x(T(T(X, Y),Z)).
Мы извлечем второе тождество из
DQ = 0 (теорема 2.5).
Имеем
?, Yl, Z'u)
С другой стороны, по предложению 5.2 имеем
Как и в доказательстве первого тождества, имеем
-Q([X*, Y*]u, Z*u) = ±u-X(R(T(X, Y), Z)).
Второе тождество следует из этих трех формул. П
Замечание. Теорема 5.3 может быть получена из формул
теоремы 5.1 (см., например, Номидзу [7], с. 61—62).
Предложение 5.4. Пусть В и В' — произвольные стандарт-
стандартные горизонтальные векторные поля на L(M). Тогда мы имеем:

134
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
A) если Т = 0, то [В, В'] вертикально;
B) если R=0, то [В, В'] горизонтально.
Доказательство. A) в ([5, B']) = —2dS{B, В') =
= —20E, В')=0. Отсюда [В, В'] вертикально. B) со ([5, 5']) =
= —2dti>(B, 5') = —2QE, 5') = 0. Отсюда [В, В] горизонталь-
горизонтально. ?
Пусть Р (и0) — подрасслоение голономии в L (М) через точку
uo?L(M) и ^(«о) — линейная группа голономии с опорной точ-
точкой ы0. Пусть Аг, ..., Аг — базис алгебры Ли для ^(«о) и
А\, ..., А* — соответствующие фундаментальные векторные поля.
Пусть Blt ..., Вп — стандартные горизонтальные векторные поля,
соответствующие базису еи ..., е„ в R". Эти векторные поля
А\, .... А*, В1г ..., Вп (первоначально определенные на L(M)),
будучи сужены на Р(и0), определяют векторные поля на Р(и0).
Так же, как в предложении 2.6, они определяют абсолютный
параллелизм на Р (и0). Мы знаем, что [Л*, А)] есть фундамен- -
тальное векторное поле, соответствующее [At, A/\, и потому
есть линейная комбинация А*, ..., А* с постоянными коэффи-
коэффициентами. По предложению 2.3 [А(, 5у]— стандартное горизон-
горизонтальное векторное поле, соответствующее /ij-ey^R". Следующее
предложение дает некоторую информацию о \_Bt, By].
Предложение 5.5. Пусть Р (ы0) — подрасслоение голономии
в L(M) через и0. Пусть В и В'—произвольные стандартные го-
горизонтальные векторные поля. Тогда имеем:
A) Если уТ — О, то горизонтальная компонента для [В, В'] сов-
совпадает со стандартным горизонтальным векторным полем на Р (и0).
B) Если Vi?==0, то вертикальная компонента для [В, В']
совпадает с фундаментальным векторным полем А* на Р (и0),
соответствующим элементу А алгебры Ли линейной группы голо-
голономии ^(Ыо).
Доказательство. A) Пусть X* — горизонтальный вектор
в uGL(M). Положим Х = я(Х*), Y = п(Ва) и Z = n (B'u). По пред-
предложению 5.2 имеем
- Х*Bв(В, B')) = u-H(VXT)(Y, Z)) = 0.
Это означает, что 9E, В') — постоянная функция (со значения-
значениями в R») на Р(иа). Поскольку 0([5, В']) = — 29E, В'), то го-
горизонтальная компонента для [В, В'] совпадает на Р (и0) со
стандартным горизонтальным векторным полем, соответствующим
элементу —29E, 5') из R".
B) Снова по предложению 5.2 Vi? = 0 влечет
6. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
135
, б')) = 0.
Это означает, что Q E, В') — постоянная функция на Р (ц0) (со
значениями в^ алгебре Ли группы Ч1" (",,))• Так как со ([5, 5']) =
= —2QE, 5'), то вертикальная компонента для [5, В'] совпа-
совпадает на Р (и0) с фундаментальным векторным полем, соответст-
соответствующим элементу —2Q E, 5') алгебры Ли для ^"(ы0). ?
Отсюда следует, что если vr = 0, v# = 0, то сужение
[5,-, В/\ на Р (и0) совпадает с линейной комбинацией Л*, ..., А*,
Вг, ..., В„ с постоянными на Р(ы0) коэффициентами. Отсюда
имеем
Следствие 5.6. Пусть g—множество всех векторных полей
X на расслоении голономии Р (и0) такое, что б(Х) и со (X) —пос-
—постоянные на Р (и0) функции (со значениями в R и алгебре Ли для
Y(«o) соответственно). Если уТ — 0 и у# = 0, mo g образует
алгебру Ли и dim g = dim Р (и0).
Векторные поля А1, ..., A*, Bit ..., Вп, определенные вы-
выше, образуют базис для д.
§ 6. Геодезические
Кривая x = xt, a<Ct<Cb, где —oo^a<f>^oo, класса С1 в
многообразии М с линейной связностью называется геодезической,
если векторное поле X = xt, определенное вдоль т, параллельно
вдоль т, т. е. если VxX существует и равно нулю для всех /;
здесь xt обозначает вектор, касательный к т в xf. В этом опре-
определении геодезических параметризация кривой играет важную
роль.
Предложение 6.1. Пусть х—кривая класса С1 в М. Па-
Параметризация, превращающая х в геодезическую, если она сущест-
существует, определяется с точностью до аффинного преобразования
t—>-s = a? + p, где афО и р — константы.
Доказательство. Пусть xt и ys—две параметризации
кривой х, превращающие ее в геодезическую. Тогда s есть функ-
функция от t, s = s{t), и ySit)—xt. Вектор ys равен -s—xt. Поскольку
параллельный перенос вдоль т не зависит от параметризации
(см. § 3 главы II), то -^-должно быть константой, отличной от
нуля. Отсюда s = ctf + p, где афО. Q
Если х—геодезическая, то любой параметр t, превращающий
х в геодезическую, называется аффинным параметром. В част-
частности, пусть х — точка геодезической т и X ? Тх (М) есть вектор
в направлении т. Тогда имеется единственный аффинный пара-
параметр t для т, r=xt, такой, что ха=х яхо=Х. Параметр t на-
называется тогда аффинным параметром для т, определенным па-
парой (х, X).

136
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
Предложение 6.2. Кривая класса С1 через х? М — геодези-
геодезическая тогда и только тогда, когда ее развертка*) в Тх(М) есть
открытый интервал прямой линии.
Доказательство. Это немедленно вытекает из следствия
4.2»*). ?
Другое полезное истолкование геодезических дается в терми-
терминах расслоения линейных реперов L (М). *
Предложение 6.3. Проекция на М любой интегральной
кривой стандартного горизонтального векторного поля из L (М)
есть геодезическая и, обратно, каждая геодезическая получается
таким путем.
Доказательство. Пусть В — стандартное горизонтальное
векторное поле на L(M), которое соответствует элементу i€R".
Пусть bt — интегральная кривая для В. Мы полагаем xt = я (bt).
Тогда хг = лF^ = я(Вь^ = Ь?> где bt% обозначает образ ? при
линейном отображении bt : Rn—>-TXt(M). Так как bt есть гори- .
зонтальный лифт для xt и % не зависит от t, то bt% параллель-
параллельно вдоль кривой xt (см. § 7 главы II, в частности перед пред-
предложением 7.4).
Обратно, пусть xt — геодезическая в М, определенная в не-
некотором открытом интервале, содержащем 0. Пусть и0 — любая
точка из L (М) такая, что я («„) —х0. Мы положим g = иогхо ? R".
Пусть ut — горизонтальный лифт для xt через и0. Поскольку
xt — геодезическая, мы имеем xt = ut%. Так как ut горизонталь-
горизонтальна и Q (ut) = uf1 (л (ut)) = ufxxt = ?, то ut есть интегральная кри-
кривая стандартного горизонтального векторного поля В, соответ-
соответствующего %. ?
||;! В качестве приложения предложения 6.3 получается
^ Теорема 6.4. Для любой точки х?М и любого вектора
X ? Тх (М) существует единственная геодезическая с начальными
условиями (х, Х),т. е. единственная геодезическая xt такая, что
х0 = х и Xq = X.
Другое следствие предложения 6.3 есть то, что геодезическая,
являющаяся кривой класса С1, есть автоматически кривая класса С°°
(при условии, что линейная связность класса С°°). Действитель-
*) Строго говоря, понятие развертки кривой т = *<, а < t < Ь (—оо <а <
< 6<оо), проходящей через точку х, в ТХ(М) в § 4 определено не было.
Это можно сделать так. Для кривых ц=**, c^t < b, и v = *f. a < t<c,
определение развертки для точки х — хс совершенно аналогично случаю, рас-
рассмотренному в § 4. Поэтому развертку кривой T = *t, a < t < Ь{—оа<а <
< &<оо), в ТХ(М) для точки х=хс можно определить как объединение раз-
разверток кривых ц = х^, c^t < Ь, и v=Xf, a < t^c.—Прим. перев.
**) На самом деле это следует из некоторых очевидных аналогов предло-
предложения 4.1 и следствия 4.2, полученных в ситуации, описанной в подстрочном
примечании на с. 128.—Прим. перев.
§ 7. ВЫРАЖЕНИЯ В ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
137
но, каждое стандартное горизонтальное векторное поле есть по-
поле класса С", и отсюда все его интегральные кривые будут класса
С". Проекция на М кривой класса С00 в L (М) есть кривая класса
С" в М.
Говорят, что линейная связность в М полная, если каждая
геодезическая может быть продолжена до геодезической % — х±,
определенной для —со<^<со, где ? —аффинный параметр.
Другими словами, для любого х?М и Х?ТХ(М) геодезическая
% = xt в теореме 6.4 с начальным условием (х, X) определяется
для всех значений t, —со < t < со. Немедленно из предложения
6.3 следует
Предложение 6.5. Линейная связность полна тогда и
только тогда, когда каждое стандартное горизонтальное вектор-
векторное поле на L(M) полно.
Вспомним, что говорят, что векторное поле на многообразии
полно, если оно порождает глобальную 1-параметрическую груп-
группу преобразований многообразия.
Когда линейная связность полна, мы можем определить
экспоненциальное отображение в каждой точке так. Для каждо-
каждого Х?ТХ(М) пусть T — xt — геодезическая с начальным условием
(х, X), как в теореме 6.4. Положим
ехр X = хх.
Поэтому мы имеем отображение из ТХ(М) в М для каждого х.
Позже (§ 8) мы определим экспоненциальное отображение в слу-
случае, когда линейная связность не обязательно полная, и обсу-
обсудим его дифференцируемость и другие свойства.
§ 7. Выражения в локальных системах координат
В этом параграфе мы выразим линейную связность и отно-
относящиеся сюда понятия в терминах локальных координатных
систем.
Пусть М — многообразие и U — координатная окрестность в М
с локальной координатной системой х1, ..., х". Мы обозначим
через X; векторное поле д/дх'\ i = \, 2, ..., п, определенное в U.
Каждый линейный репер в точке х из U может быть однознач-
однозначно выражен так:
B/**(*,)*. •¦•- 2/*Н#,-)*).
где det (Х{) Ф 0. Мы возьмем (х{, X'k) в качестве локальной коор-
динатной системы в я (U)cL(M) (см. пример 5.2 главы I).
Пусть (Y'k) — обратная матрица для (XL), так что ^,/X{Yf =
2Ws?
2/W
Выразим сначала каноническую форму 9 в терминах локаль-
локальной координатной системы (xl, Xfy. Пусть еи ..-,е„ — естествен-

*38 гл. in. линейные и аффинные связности
ный базис для R"; положим
§ 7. ВЫРАЖЕНИЯ В ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
139
выражена так:
Доказательство. Пусть и—точка из L(M) с координа-
координатами (х*, Xfk), так что и отображает et в ^Х{(Ху)х, где х = п (и).
Если X*?Ta(L(M)) и если
так что я (Xе) = 2/^/(*/)*» то
Пусть <в — форма связности для линейной связности Г в М,
Относительно базиса \Е{} для %l(n; R) пишем
Пусть 0 —сечение в Z. (М) над ?/, которое сопоставляет каждому
х<? V линейный репер ((XJx, ..., (Хп)х). Мы полагаем соу = сг*со.
Тогда (йц есть gl(n; 1?)-значная 1-форма, определенная на U.
Мы определяем п3 функций Fjk, i, j, k = \, . .., n, на V так:
Эти функции r'j называются компонентами, (или символами
Кристофеля) линейной связности Г относительно локальной си-
системы координат х1 хп. Нужно отметить, что они не явля-
являются компонентами тензорного поля. Действительно, эти компо-
компоненты подчиняются следующему правилу преобразования.
Предложение 7.2. Пусть Г — линейная связность в М.
Пусть Tjk и Г/ь — компоненты Г относительно локальных коорди-
координатных систем х1, ..., х" и х1, ..., х" соответственно. В пере-
пересечении двух координатных окрестностей имеем
f« _ V Г< дх/ дхк д*" V ЗУ дха
дх> дх'
dxf
Доказательство. Мы извлекаем зышенаписанную фор-
формулу из предложения 1.4 главы II. Пусть V— координатная ок-
окрестность, где определена координатная система х1, ..., х".
Пусть а — сечение в L(M) над, V, которое сопоставляет каждому
x?V линейный репер {(д/дхг)х, ..., CdJaxn\x). Мы определяем
отображение tyuv: U П.У —*¦ GL(n; R) так:
a (x) = a (*) • yuv (x) для x?Ur\V.
Пусть ф — (левоинвариантная %1(п; К)-значная) каноническая
1-форма на GL(n; R), определенная в § 4 главы I; эта форма
была обозначена буквой 9 там и в § 1 главы II. Если (Sj) — ес-
естественная координатная система в GL(n; R), и если (tj) обо-
обозначает обратную матрицу для (sj), то
доказательство аналогично доказательству предложения 7.1. Легко
проверить, что
и отсюда
В наших обозначениях формула предложения 1.4 главы II мо-
может быть выражена так:
d)v = (ad (iJ3yV))«
После простой выкладки видим, что эта формула эквивалентна
правилу преобразования из нашего предложения. ?
По компонентам Гк можно восстановить форму связности со.
Щ| Предложение 7.3. Допустим, что для каждой локальной
системы координат х1, ..., хп задано множество функций Г/А,
i, j, k = l, ..., п, таким образом, что они удовлетворяют пра-
правилу преобразования из предложения 7.2. Тогда существует един-
единственная линейная связность Г, компоненты которой относи-
относительно х1, . . ., хп задаются в точности функциями Г'й. Более
того, форма связности со = 2я, /©}?{ задается в терминах локаль-
локальной системы координат (х{, X'k) так:
«у = 2*П (dX? + 2л ЛiXJchC"), i, i = 1 п.
Доказательство. Легко проверить» что форма со, опре-
определенная формулой выше, определяет связность в L (М), т. е. со
удовлетворяет условиям (а') и (Ь') предложения 1.1 главы П.
То, что со не зависит от используемой локальной системы коор-
координат, следует из правила преобразования для Tfk. Это может
быть доказано обращением процесса в доказательстве предложе-
предложения 7.2. Сечение ст: U—>-L(M), использованное выше для опре-

140
Ш. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
деления (ои, задается в терминах локальных систем координат
(*'') и (х1, Х{) как (*'')-+(*', Si). Отсюда a*<oj = ^ЕтГст/ахт. Это
показывает, что компоненты связности Г, определенные формой ©,
суть в точности функции Fjk. ?
Компоненты линейной связности могут быть также выражены
в терминах ковариантных производных.
Предложение 7.4. Пусть х1, ..., хп—локальная система
координат в М с линейной связностью Г. Положим Xt = д/дх',
i=l, .... п. Тогда компоненты Г)А для Г относительно х1, .. ., хп
задаются посредством
Доказательство. Пусть X* — горизонтальный лифт для Х3-.
Из предложения 7.3 следует, что в терминах координатной сис-
системы (х{, Х{) X) задается так:
X) =
) - S/t tt ДО? (д/dXj).
Чтобы применить предложение 1.3, допустим, что / есть Я"-знач-
ная функция на n~1(U)cL(M), соответствующая Х{. Тогда
Простой подсчет показывает, что
По предложению 1.3 X]f есть функция, соответствующая ^x.Xt, и
отсюда
Предложение 7.5. Допустим, что отображение Ж(М)Х
?(М)—>-Ж(М), обозначаемое (X, Y)—>-yxY, задается так, чтобы
удовлетворялись условия A) — D) предложения 2.8. Тогда сущест-
существует единственная линейная связность Г в М такая, что 4XY
есть ковариантная производная от Y в направлении X относи-
относительно Г.
Доказательство. Оставляя детали читателю, мы Дадим
здесь эскиз доказательства. Пусть х?М. Если X, X', Y и У —
векторные поля на М, и если Х=Х' и Y = Y' в окрестности
точки л;, то (VxY)x — (Vx'Y')x. Следовательно, заданное отобра-
отображение ?(М)х?(М) —*-?(М) индуцирует отображение 3t(U)x
X (U) —¦> Эс (U), удовлетворяющее тем же условиям предложения 2.8
(где U — любое открытое множество из М). В частности, если U —
координатная окрестность с локальной координатной системой
Xх, ..., хп, то мы определяем п3 функций Г/А на U формулами, данны-
данными в предложении 7.4. Тогда эти функции удовлетворяют правилу
§ 7. ВЫРАЖЕНИЯ В ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
141
преобразования из предложения 7.2. По предложению 7.3 они
определяют линейную связность, скажем, Г. Ясно, что VXY —
ковариантная производная от У в направлении X относитель-
относительно Г. ?
Пусть 1\г — компоненты векторного поля Y относительно ло-
локальной системы координат х1, ..., х", Y = ^г\{(д/дх'). Пусть
т); / — компоненты ковариантного дифференциала V^ так, что
Vyy.y= ]?fii( jXi> гДе Х{ = д!дх1. Из предложений 7.4 и 2.8 по-
получаем следующую формулу:
Если X — векторное поле с компонентами ?2', то компоненты для
задаются как S/П; Ш¦
Более общо, если К.—тензорное поле типа (г, s) с компонен-
компонентами Kn'.'.jrs, то компоненты для УК задаются так:
где I занимает место ia, a m занимает место /р. Доказательство
этой формулы то же, что и для векторных полей, за тем исклю-
исключением, что предложение 2.7 должно быть использовано вместо
предложения 2.8. Если X — векторное поле с компонентами Ъ,1,
то компоненты для ЧХК задаются так:
Ковариантные производные высшего порядка могут быть оп-
определены сходным образом. Для тензорного поля К "с компо-
компонентами К)\\'.'.% 7т/С имеет компоненты
Компоненты Т\ь кручения Т и компоненты Rljkt кривизны R
определяются так:
k, Xt) Xy^^iRjkiXi.
Тогда они могут быть выражены в терминах компонент T{jk ли-
линейной связности Г следующим образом.
Предложение 7.6. Мы имеем
- аг?у/а**)+%m (ri}T{m
Доказательство. Эти формулы следуют немедленно из
теоремы 5.1 и предложения 7.4.

142
гл- Ш. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
Предложение 7 7 (I) Emu f
М то к ' ли Г —
рд
на М, то
Достигается „е„о-
Функция,- определенная
B) Если X — векторное поле на М с компонентами
то
Так как
Так как яа + п 1-форм 6', со{, i, j, k—\, ..., п, определяют
абсолютный параллелизм (предложение 2.6), то каждая диффе-
дифференциальная форма на Z,(yW) может быть выражена в терминах
этих 1-форм и функций. Поскольку форма кручения в и форма
кривизны Q — тензориальные формы, то они могут быть выра-
выражены в терминах п 1-форм 9' и функций. Мы определим мно-
множество функций fjk и Rjki на L(M) так:
Эти функции связаны с компонентами кручения Т и кривизны R
так. Пусть a: U—>-L(M) — сечение над U, определенное в на-
начале этого параграфа. Тогда
Эти формулы следуют немедленно из предложения 7.6 и из
Предложение 7..8. Пусть xl = x'(t)— уравнение кривой
x = xt класса С2. Тогда т есть геодезическая тогда и только тогда,
когда
dt*
dxJdxk
Доказательство. Компоненты векторного поля xt вдоль
т задаются как dx'/dt. Из формулы для компонент VjfK, данных
выше, видим, что если мы положим X=xt, то VjfX = 0 эквива-
эквивалентно написанным выше уравнениям. ?
Сравним две или более линейные связности при помощи нх
компонент.
§ 8. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
143
Предложение 7.9. Пусть Г—линейная связность на М
с компонентами Tjk. Для каждого фиксированного t, O^^^l,
множество функций T*i~tTjk + (l — t)T{j определяет линейную
связность Г*, имеющую те же геодезические, что и Т. В частности,
Т% = -g- (Tjk + Г'й/) определяет линейную связность с нулевым кру-
кручением.
Доказательство. Наше предложение следует немедленно
из предложений 7.3, 7.6 и 7.8. П
В общем случае, если заданы две линейные связности, Г с ком-
компонентами Tjk и Г' с компонентами Y'jk, то множество функций
rjfc + (l—t)T'ji определяет линейную связность для каждого t,
t ^ t ^ 1. Предложение 7.8 влечет, что Г и Г' имеют одни и
те же геодезические, если
Следующее предложение вытекает из предложения 7.2.
Предложение 7.10. Если Т)к и Т% — компоненты линейных
связностей Г и Г' соответственно, то Sjk = T'j{ — T)k—компонен-
T)k—компоненты тензорного поля типа A, 2). Обратно, если Tjk—компоненты
линейной связности Г, a Sfk—компоненты тензорного поля S
типа A, 2), то r}'fc = r'ft4-5jfe определяет линейную связность Г'.
В терминах ковариантных производных они связаны друг с дру-
другом так:
, Y) для любых векторных полей X и Y на М,
где V " V'—ковариантные дифференцирования соответственно
относительно Г и Г.
§ 8. Нормальные координаты
В этом параграфе мы докажем существование нормальных
систем координат и выпуклых координатных окрестностей, так
же как и дифференцируемость экспоненциального отображения.
Пусть М — многообразие с линейной связностью Г. Пусть
задан Х$ТХ(М), и пусть т = ^ —геодезическая с начальным
условием (х, X) (см. теорему 6.3). Мы полагаем
exp tX—xt.
Как мы уже видели в § 6, exp tX определяется в некотором
открытом интервале —е^ < t < e2, где гг и е2 положительны.
Если связность полна, то экспоненциальное отображение ехр
определяется на всем ТХ(М) для каждого х?М. В общем слу-
случае ехр определяется только на подмножестве из ТХ(М) для
каждого х ? М.

144
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
Предложение 8.1. Отождествляя каждый х?М с нулевьш.
вектором в х, рассмотрим М как подмногообразие в Т (М) =
— \JxzMTx(M). Тогда существует окрестность N для М в Т (М)
такая, что экспоненциальное отображение определяется на N.
Экспоненциальное отображение N —>¦ М дифференцируемо класса
С°°, если связность класса С°°.
Доказательство. Пусть х0 — любая точка из М и и0 —
точка из L(M) такая, что я (ио)—хо. Для каждого | ? R" мы
обозначим через ?(?) соответствующее стандартное горизонталь-
горизонтальное векторное поле на L(M) [{си. § 2). По предложению 1.5
главы I существует окрестность U* для и0 и положительное
число б такие, что локальная 1-параметрическая группа локаль-
локальных преобразований ехр?б(?): U*—*L(M) определяется для
11J < б. Если задано компактное множество К из R", то мы можем
выбрать U* и б для всех \ ? К одновременно, потому что В (?)
зависит дифференцируемо от g. Поэтому существует окрестиость-
U* точки и0 и окрестность V точки 0 в R" такие, что ехр?5(|):
U* —*- L (М) определяется для % ? V и 11 \ ^ 1. Пусть V — окрест-
окрестность точки х0 из М и а—сечение в L(M) над U такое, что
сг(л;0) = м0 и o(U)dU*. Если задана х ? U, то пусть jV* — множе-
множество из Х?ТХ(М) таких, что о(х)~1Х ? V, и положим N (х0) =
— \JX6UNX. Для заданного X?NX положим %, — а(х)~1Х. Тогда
п ((exp tB (I)) • a (x)) — геодезическая с начальным условием (х, X)
и отсюда
ехр X = п ((ехр В (?)) • о (х)).
Теперь ясно, что ехр: jV (х0) —> М дифференцируемо класса С°°.
Наконец, мы полагаем jV = U^gмN (х0). П
Предложение 8.2. Для каждой точки х ? М существует
окрестность Nx точки х (точнее, нулевого вектора в х) из Тх (М),
которая отображается диффеоморфно на окрестность Ux точки х
из М экспоненциальным отображением.
Доказательство. Из определения экспоненциального ото-
отображения очевидно, что его дифференциал в точке х не вырож-
вырожден. По теореме о неявной функции существует окрестность Nx
точки х в Тх (М), которая имеет свойство, установленное выше. ?
Если задан линейный репер и — (Xit ..., Х„) в х, то линей-
линейный изоморфизм и: R"—>~ТХ(М) определяет координатную сис-
систему в Тх (М) естественным образом. Тем самым диффеоморфизм
ехр: Nx—>-Ux определяет локальную систему координат в Ux
естественным образом. Мы назовем ее нормальной системой коор-
координат, определяемой репером и.
Предложение 8.3. Пусть х1, ..., хп — нормальная система
координат, определяемая линейным рипером и — (Хи ..., Хп)
в х$М. Тогда геодезическая % = xt с начальным условием (х, X),
где
§ 8. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
выражается так:
х1 — аН, i—\, ..., п.
145
Обратно, локальная система координат х1, ..., хп с указан-
указанным выше свойством необходимо есть нормальная система коор-
координат, определяемая репером u = (Xlt ..., Хп).
Доказательство. Первое утверждение есть немедленное
следствие определения нормальной системы координат. Второе
утверждение следует из того, что геодезическая однозначно оп-
определяется начальным условием (х, X). ?
Замечание. В данном выше определении нормальной сис-
системы координат мы не конкретизировали окрестность, в которой
координатная система имеет смысл. Это потому, что если х1,... ,хп —
нормальная координатная система, определенная в окрестности U
точки х, г у1, ..., у"—нормальная координатная система, оп-
определенная в окрестности V точки х, и если обе определяются
репером и = (Х1г ..., Хп), то они совпадают в некоторой окрест-
окрестности точки х.
Предложение 8.4. Дана линейная связность Г на М и
пусть T)k — ее компоненты относительно нормальной системы ко-
координат с началом х0. Тогда
1>+1% = 0 в х0.
Следовательно, если кручение для Г есть нуль, то Г}й = 0 в х0.
Доказательство. Пусть л:1, ..., хп — нормальная система
координат с началом х0. Для любого (а1, ..., а") ? R" кривая,
определяемая как х( = a{t, i=\, ..., п, есть геодезическая и
отсюда по предложению 7.8 2/, k^jki^t ¦ ¦ •> ant)a/'ak = 0. В част-
частности,
Поскольку это верно для каждого (а1, ..., а"), то ГуА4-Гу=0
в х0. Если кручение есть нуль, то Г;^=0 в х0 по предложе-
предложению 7.6. ?
Следствие 8.5. Пусть К — тензорное поле на М с компо-
компонентами Kfc.'.'.'fs относительно нормальной системы координат
х1, ..., х" с началом в х?. Если кручение равно нулю, то кова-
риантная производная K)\'.\'![s; k совпадает с частной производной
дК1::\%1дхк в х0.
Доказательство. Это немедленно получается из предло-
предложения 8.4 и формулы для ковариантного дифференциала в тер-
терминах Г;'ь данной в § 7.
Следствие 8.6. Пусть со — любая дифференциальная форма
на М. Если кручение — нуль, то
dco = (—1)г А (V©) для со ? ?>' (М),

146
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
где ^(й — ковариантный дифференциал от а, а А — альтернация,
определенная в примере 3.2. главы I.
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка из М
их1, ..., х" — нормальная система координат с началом х0. По
следствию 8.5 dco = (—l)M(Vco) в х0. ?
Теорема 8.7. Пусть х1, ..., х"—нормальная система коор-
координат с началом х„. Пусть U (х0; р) — нормальная окрестность
для х0, определенная как 2; (*02 < Р2- Тогда существует положи-
положительное число а такое, что если 0 < р < а, то:
A) U{хй; р) выпукла в том смысле, что любые две точки из
U (х0; р) могут быть соединены геодезической, лежащей в U (х0; р).
B) Каждая точка из U (х0; р) имеет нормальную координат-
координатную окрестность, содержащую U (х0; р).
Доказательство. По предложению 7.9 мы можем принять,
что линейная связность не имеет кручения.
Лемма 1. Пусть S (х0; р) обозначает сферу 2/ (*')а = Р- Тогда
существует положительное число с такое, что если 0 < р < с, то
любая геодезическая, касательная к S(x0; p) в точке, скажем у,
из S(x0; p) лежит вне S(x0; p) в некоторой окрестности для у
(с удаленной точкой у).
Доказательство леммы 1. Поскольку кручение отсут-
отсутствует в силу нашего предположения, компоненты Tjk линейной
связности обращаются в нуль в х0 по предложению 8.4. Пусть
x'=xl'(t) — уравнение геодезической, касательной к S(x0; p)
в точке у = (х1@), ..., хп@)) (р будет ограничено позже). По-
Положим F(t) = 2li(xi(t)J. Тогда
\ / I
-?) =0,
dt»
В силу уравнений геодезической, данных в предложении 7.8,
имеем
dt-
Так как Гу'А равно нулю в х0, то существует положительное число с
такое, что квадратичная форма с коэффициентами (буй — 2/Г/**0
положительно определена в U (х0; с). Если 0 < р < с, то
(d?F/dt2)t^0 > 0, и отсюда ^(*)>ра, когда t^O взято из неко-
некоторой окрестности нуля. Это завершает доказательство леммы.
Лемма 2. Выберем положительное число с, как в лемме 1.
Тогда существует положительное число а < с такое, что:
A) любые две точки из U (х0; а) могут быть соединены геоде-
геодезической, которая лежит в U (х0; с);
§ 9. ЛИНЕЙНЫЕ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ 147
B) каждая точка из U(x0; а) имеет нормальную координат-
координатную окрестность, содержащую U (х0; а).
Доказательство леммы 2. Мы рассмотрим М как под-
подмногообразие в Т(М) естественным образом. Положим
) для Х$Т
Если связность полна, то <р — отображение из Т (М) в МхМ.
В общем случае ср определяется только в окрестности для М
из Т(М). Поскольку дифференциал от ср в х0 не вырожден, то
существует окрестность V для х0 в Т (М) и положительное число
а<с такое, что ср: V -* U (x0; a)xU(x0; а) —диффеоморфизм.
Беря V и а малыми, мы можем считать, что exp tX ? U (х0; с)
для всех X?V и \t]<\. Чтобы проверить условие A), допус-
допустим, что х и у—точки из U (х0; а). Пусть Х = у-1(х, у), X?V.
Тогда геодезическая с начальным условием (х, X) соединяет
х и у в U (х0; с). Чтобы проверить B), допустим, что Vx = V П Тх (М).
Так как exp: Vx~»U(x0; а)—диффеоморфизм, то условие B)
удовлетво р яется.
Чтобы завершить доказательство теоремы 8.7, допустим, что
0<р<а. Пусть х и у — любые точки из U (хо; р), и пусть
х1 = х1{$), 0<^<Л, — уравнения геодезической из х в у в U (х0; с)
(см. лемму 2). Мы покажем, что эта геодезическая лежит в U (х0; р).
Положим
^@ = 2/(*'@J для 0<*»^1-
Допустим, что F(f)^p2 для некоторого t (т. е. х{(t) лежит вне
U (х0; р) для некоторого t). Пусть t0, 0 < t0 < 1, — значение, для
которого F (t) принимает максимум. Тогда
о-(SU-
Это означает, что геодезическая х* (t) касательна к сфере S (х0; р0),
где pl = F(t0), в точке xl (t0). По выбору t0 геодезическая xl (t)
лежит внутри сферы S (х0; р0), что противоречит лемме 1. Это
и доказывает A). B) следует из B) леммы 2. ?
Существование выпуклых окрестностей было доказано У а й т-
хедом [1].
§ 9. Линейные инфинитезимальные группы голономии
Пусть Г —линейная связность на многообразии М. Для каж-
каждой точки и из L (М) группа голономии W (и), локальная группа
голономии Т* (и) и инфинитезимальная группа голономии W (и)
определяются, как в § 10 главы II. Эти группы^ могут быть
реализованы как группы линейных преобразований в ТХ(М),

148
гл. ш. линейные и аффинные связности
х = п(и), обозначаемые "?(х), W* (х) и W (х) соответственно (см.
§ 4 главы II).
Теорема 9.1. Алгебра Ли $(х) группы голономии Ч(х)
совпадает с подпространством линейных эндоморфизмов для Тх (М),
порожденным всеми элементами вида (tR) (X, Y) = т о
R(tx, ту) от, где X, Y ? ТХ(М), ат — параллельный перенос вдоль
произвольной кусочно дифференцируемой кривой т, исходящей из х. .
Доказательство. Это следует немедленно из теоремы 8.1
главы II и из связи между формой кривизны Q на L(M)n тен-
тензорным полем кривизны R (см. § 5 главы III). Q
Легко переформулировать предложение 10.1, теоремы 10.2 и
10.3 главы II в терминах ^(х) и ?*(#). Поэтому мы перейдем
к определению алгебры Ли для V (х).
Теорема 9.2. Алгебра Ли %' (х) инфинитезимальной группы
голономии W (х) порождается всеми эндоморфизмами в ТХ(М)
вида (VkR)(X, Y; V,; ...; Vk), где X, Y, Vl3 .... Vk?Tx(M) и .
Доказательство. Доказательство достигается с помощью
следующих двух лемм.
Лемма 1. Под тензорным полем типа Ak (соотв. Bk) мы
понимаем тензорное поле типа A, 1) вида Vvk ¦ • • Vvt (R(X, Y))
(соотв. (VkR)(X, Y; Vlt ...; Vk)), где X, Y, Vlt .... Vk-про-
Vk-произвольные векторные поля на М. Тогда каждое тензорное поле
типа Ak (соотв. Bk) есть линейная комбинация (с дифференци-
дифференцируемыми функциями в качестве коэффициентов) конечного числа
тензорных полей типа Bf (соотв. АЛ, O-^Lj^C.k.
Доказательство леммы 1. Доказательство индукцией
по k. Случай k — О тривиален. Допустим, что Vvk_ ¦ • • Vv, (R (X, Y))
есть сумма членов вида
, V; W,; ...; Wy), 0</<*-l,
где /—функция. Тогда имеем
Л V;
Л V;
V; W±;
I, V; W^
¦vkV; Wi;
', V; W
Wf; Vk)
•; Wj)
¦ ; w,)
Wj).
Это показывает, что каждое векторное поле типа Ak есть линей-
линейная комбинация тензорных полей типа В}-, 0-^.j^.k.
Допустим теперь, что каждое тензорное поле типа 5й_г есть ли-
линейная комбинация тензорных полей типа Ау, 0 <!/ ^^— 1. Мы
§ 9. ЛИНЕЙНЫЕ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ 149
имеем
, Y; V,...; VJ= Vvk{(Vk-lR){X, Y; V,; ...;
X, Y; Vi; ...; Vk^)
Sf-i^^, Y; Vi; ...; MVkVt; ...; V^).
Первый член правой части есть линейная комбинация тен-
тензорных полей типа Лу-, 0 ^ / ^ k. Остальные члены правой части
суть линейные комбинации тензорных полей типа Ау, 0^/^
:g^&—1. Это завершает доказательство леммы 1.
По определению %' (и) порождается значениями в и всех
%1(п; К)-значных функций вида (Ik), k — 0, I, 2, ... (см. § 10
главы II). Теорема 9.2 будет следовать из леммы 1 и следую-
следующей леммы.
Лемма 2. Если X, Y, Vu ..., Vk —векторные поля на Ми
если X*, Y*, VI, ..., VI—их горизонтальные лифты до L(M),
то имеем
Dvk...4Vl(R{X, Y)))xZ = uo(Vl. .VlBQ(X*, Y*)))aou~4Z)
для Z?TX(M).
Доказательство леммы 2. Это следует немедленно из
предложения 1.3 главы III; берем R(X, Y) и 2Q(X*, У*) в ка-
качестве ф и / в предложении 1.3 главы III. ?
По теореме 10.8 главы II и теореме 9.2 суженная группа
голономии Т° (х) вещественной аналитической связности пол-
полностью определяется значениями всех последовательных кова-
риантных дифференциалов VkR, k = 0, I, 2, ..., в точке х.
Результаты этого параграфа были получены Нейенхёй
сом [2].

Глава ГУ
РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Римановы метрики
Пусть М есть я-мерное паракомпактное многообразие. Мы
знаем (см. примеры 5.5, 5.7 главы I и предложение 1.4 главы III),
что М допускает риманову метрику и что существует взаимно
однозначное соответствие между множеством римановых метрик
на М и множеством редукций расслоения L(M) линейных репе-
реперов к расслоению О (М) ортонормальных реперов. Каждая ри-
манова метрика g определяет положительно определенное ска-
скалярное произведение в каждом касательном пространстве ТХ(М)
(см. пример 3.1 главы I).
Пример 1.1. Евклидова метрика g на R" с естественной
координатной системой х1, ..., хп определяется как g(d/dxl,
dldxj) = bt] (символ Кронекера).
Пример 1.2. Пусть/: N —> М — погружение многообразия
N в риманово многообразие М с метрикой g. Индуцированная
риманова метрика h на N определяется так:
h(X, Y)=g(f*X, f,Y), X, Y?TX(N).
Пример 1.3. Однородное пространство GjH, где G —
группа Ли, а Н—компактная подгруппа, допускает инвариант-
инвариантную метрику. Пусть Н—линейная группа изотропии в точке о
(т. е. точке, представляемой классом И) из G/H; Н есть группа
линейных преобразований касательного пространства TO(G/JT),
каждое из которых индуцировано элементом из Н, оставляющих
точку о фиксированной. Поскольку Н компактна, то и Я ком-
компактна и в То (G/H) имеется положительно определенное ска-
скалярное произведение, скажем go, которое инвариантно относи-
относительно Н. Для каждого х?G/H берем элемент a?G такой, что
а(р) = х, и определяем скалярное произведение gx в TX(GjH) как
gx(X, Y) = go(a-1X, а-ЧО, X, Y ? Тх(G/ff). Легко проверить, что
gx независимо от выбора a?G такого, что а(о)=х, и что рима-
риманова метрика g, так полученная, инвариантна относительно G.
Однородное пространство GjH, наделенное 'инвариантной рима-
новой метрикой, называется римановым однородным простран-
пространством.
1. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
151
Пример -1.4. Каждая компактная группа Ли допускает
риманову метрику, которая инвариантна относительно правых и
левых сдвигов. Действительно, группа GxG действует на G
транзитивно так: (a, b)-x = axb~1 для (a, b)?GxG и х ?G. Под-
Подгруппа изотропии из GxG в единице e?G есть диагональ
D = {(a, a); a?G\, так что G = {GxG)/D. В силу примера 1.3
G допускает риманову метрику, инвариантную относительно
GxG, что и доказывает наше утверждение. Если G компактна
и полупроста, то G допускает следующую каноническую инва-
инвариантную риманову метрику. В алгебре Ли д, отождествленной
с касательным пространством Te(G), мы имеем форму Киллин-
га—Картана ф(Х, Y) = trace (ad X о ad У), где X, Y?% = Te(G)-
Форма ф билинейна, симметрична и инвариантна при действии
ad G. Если G компактна и полупроста, то ф отрицательно опре-
определена. Мы определяем положительно определенное скалярное
произведение ge в Te(G) как ge (X, Y) — — ф(Х, Y). Поскольку ф
инвариантна относительно ad G, то ge инвариантна относительно
диагонали D. В силу примера 1.3 получаем риманову метрику
на G, инвариантную под действием GxG. Мы обсудим эту мет-
метрику в деталях во втором томе.
Под римановой метрикой мы всегда будем понимать положи-
положительно определенное симметричное ковариантное тензорное поле
степени 2. Под неопределенной римановой метрикой мы будем
понимать симметрическое ковариантное тензорное поле степени 2,
невырожденное в каждой х?М, т. е. g(X, Y) = 0 для всех
Y?TX(M) влечет Х = 0.
Пример 1.5. Неопределенная риманова метрика на R" с
координатной системой х1, . . ., хп может быть задана так:
где 0^.р^п—1. Другой пример неопределенной римановой
метрики — это каноническая метрика на некомпактной полупростой
группе Ли G, определяемая следующим образом. Известно, что
для такой группы форма Киллинга—Картана ф неопределенная
и невырожденная. Конструкция примера 1.4 дает неопределен-
неопределенную риманову метрику на G, инвариантную относительно правых
и левых сдвигов.
Пусть М — многообразие с римановой метрикой или неопре-
неопределенной римановой метрикой g. Для каждого х скалярное про-
произведение gx определяет линейный изоморфизм if из ТХ(М) на
его дуальное Т*Х{М) (пространство ковекторов в х) следующим
образом. Каждому X ? Тх (М) сопоставляем ковектор а ? Тх, опре-
определенный так:
<К, а>=аЛХ, Y) для всех Y ?Т

152
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Скалярное произведение gx в ТХ(М) определяет скалярное про-
произведение, обозначаемое также gx, в дуальном пространстве
Т*(М) мощи иомф |
, g
(М) при помощи изоморфизма я|э:
Т*Х(М) при помощи изоморфизма я|э:
&(«. Р) = ^(^~1(а), -ф-ЧР)) Для а, ()
Пусть л:1, ..., *" — локальная система координат в /W. Ком-
Компоненты g;/ для g относительно Xх, ..., х" задаются так:
gi/=g(d/dxi, д/дхУ), i, /=1, ..., п.
Контравариантные компоненты g'J для g определяются так:
g^ = g(dx', dxf), i, / = 1, .... п.
Мы имеем тогда
Действительно, определим я|эг7 так, что -ф E/Ex0 = 2/4>а dxL Тогда
имеем 7
С другой стороны,
что и доказывает наше утверждение.
Если %' — компоненты вектора или векторного поля X отно-
относительно х1, .... хп, т. е. X = 2j^'(д/дх1), то компоненты gf. со-
соответствующего ковектора или соответствующей 1-формыа =
связаны с %* формулами
Скалярное произведение g в ТХ(М) и в Т*Х(М) может быть
продолжено до скалярного произведения, обозначаемого также g,
в тензорном пространстве lrs(x) в точке х для любых (г, s). Если
К и /. — тензоры в х типа (г, s) с компонентами Kjl'.'.'.jrs и
Ц\'-'-'Х (относительно х1, ..., хп), то
Изоморфизм г[к ТХ(М)-+Т*Х(М) может быть продолжен на
тензоры так. Если дан тензор К.?Ч?(х)с компонентами Kfc'-fc,
то получаем тензор Л" G Tsr+i (x) с компонентами
/I- • -Js + i
или К"?Trs±\(x) с компонентами
»>+i _
/1. • -IS-l ~
¦¦¦{r+i
§ 2. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
153
Пример 1.6. Пусть А и В — кососимметрические эндомор-
эндоморфизмы касательного пространства ТХ(М), т. е. тензоры в х
типа A, 1) такие, что
g(AX, Y) = — g(AY, X) и g(BX, Y) = — g(BY, X)
для X, YeTx(M).
Тогда скалярное произведение g(A, В) равно [—trace (AB)].
Действительно, возьмем локальную систему координат х1 х"
такую, что gi/ = &uB х, и пусть а) и Ь\ — компоненты для А и
В соответственно. Тогда
g {А, В) = 2felkg'lajbt = 2Ж = - 2#i = — trace (AB),
поскольку В кососимметричен, т. е. b) = — b{.
На римановом многообразии М длина дуги дифференцируе-
дифференцируемой кривой r = xt, a^.t^.b, класса С1 определяется так:
В терминах локальной координатной системы х1, ..., х" L за-
задается так:
Это определение может быть обобщено на кусочно дифференци-
дифференцируемую кривую класса С1 очевидным образом.
Если задана риманова метрика g на связном многообра-
многообразии М, то мы определяем функцию расстояния d(x, у) на М
так: расстояние d(x, у) между двумя точками х и у есть по
определению точная нижняя грань длин всех кусочно диффе-
дифференцируемых кривых класса С1, соединяющих х и у. Тогда
имеем
d(x, г/)>0, d(x, y) = d(y, x),
d(x, y) + d(y, z)^d(x, z).
Мы увидим позже (в § 3), что d(x, y) = 0, только если х = у, и
что топология, определяемая функцией расстояния (метрикой) d,
та же, что и топология многообразия М.
)-'' § 2. Римаиовы связности
Хотя результаты этого параграфа справедливы и для мно-
многообразий с неопределенной метрикой, мы для простоты рас-
рассмотрим только (положительно определенную) риманову мет-
метрику.

154
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Пусть М — «-мерное риманово многообразие с метрикой g и
О(М) — расслоение ортонормальных реперов над М. Каждая
связность в О(М) определяет связность в расслоении L{M) ли-
линейных реперов, т. е. линейную связность в М в силу предло-
предложения 6.1 главы II. Так определенная при помощи связности
в О(М) линейная связность на М называется метрической связ-
связностью.
Предложение 2.1. Линейная связность Г риманова мно-
многообразия М с метрикой g есть метрическая связность тогда и
только тогда, когда g параллельна относительно Г.
Доказательство. Поскольку g—послойная метрика (см.
§ 1 главы III) в касательном расслоении Т(М), наше предло-
предложение следует немедленно из предложения 1.5 главы III.
Среди всех возможных метрических связностей наиболее важ-
важной является риманова связность (иногда называемая связностью
Леви-Чивита), которая дается следующей теоремой.
Теорема 2.2. Каждое риманово многообразие допускает
единственную метрическую связность с нулевым кручением.
Мы предложим здесь два доказательства: одно, использую-
использующее расслоение О(М), и другое, использующее формализм ко-
вариантного дифференцирования.
Доказательство (А). Единственность. Пусть 0 — кано-
каноническая форма для L(M), суженная на О(М). Пусть со — форма
связности на О(М), определяющая метрическую связность в М.
Относительно базиса еи..., еп в R" и базиса Ei, i < /, i, / = 1,..., п,
алгебры Ли о (п) мы представим 9 и со п формами 9', i = 1,... ,\п, и ко-
сосимметрической матрицей дифференциальных форм со/ соответст-
соответственно. Доказательство следующей леммы аналогично доказатель-
доказательству предложения 2.6 главы III и потому оставляется читателю.
Лемма, п форм 9', i = 1, ..., п, и у п (п — 1) форм со?, 1 ^
^ / < k ^ п, определяют абсолютный параллелелизм на О (М).
Пусть ф — форма связности, определяющая другую метриче-
метрическую связность на М. Тогда ф—со может быть выражена в тер-
терминах 9' и со? в силу леммы. Так как ф —со аннулирует верти-
вертикальные векторы, то имеем
где FJk—функция на О(М). Допустим, что связности, опреде-
определяемые формами со и ф, не имеют кручения. Тогда из первого
уравнения структуры из теоремы 2.4 главы III получаем
Это влечет F)k = Flkj. С другой стороны, /*% = — F\k, поскольку
(со}) и (ф)) кососимметричны. А это влечет Fljk = O, что и доказы-
доказывает единственность.
§ 2. РИМАНОВЫ
зности
155
Существование. Пусть ф —форма произвольной метрической
связности на О(М) и в—ее форма кручения на ОЩ). Мы на-
напишем
=т 23/. Л
т% = - fiJt
и положим
Покажем, что со = (со?) определяет желаемую связность. Поскольку
Т)к-\-Т'ы и Tji кососимметричны по I и /, то и т} кососиммет-
рично по i и /. Отсюда со о (п)-значна. Так как 0 аннулирует
вертикальные векторы, то и т = (т') их аннулирует. Легко по-
показать, что i?oT = ad(a~1) (т) для каждого а?О(п). Поэтому со
есть форма связности. Наконец, мы проверим, что метрическая
связность, определяемая формой со, имеет нулевое кручение.
Так как Т^ + Т^ симметрично по / и k, то
^
и отсюда
= - 2/ ф/ ле/+в'=- 2>j лв/.
что и доказывает наше утверждение.
Доказательство (В). Существование. Если заданы век-
векторные поля X и Y на М, то определим ^XY следующим урав-
уравнением:
= X-g(Y, Z) + Y-g(X, Z)~Z-g(X, Y)
+ g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g(X, [Z, Y]),
которое должно выполняться для любого векторного поля Z
на М. Прямая проверка показывает, что отображение (X, Y)—*¦
-->- yxY удовлетворяет четырем условиям предложения 2.8
главы III и по предложению 7.5 главы III определяет на М
линейную связность Г. То, что Г не имеет кручения, вытекает
in вышеприведенного определения yxF и формулы Т(Х, Y) =
~- tjxy—ЧуХ — [X, Y], данной в теореме 5.1 главы III. Чтобы
показать, что Г — метрическая связность, т. е. что Vg = 0 (см.
предложение 2.1), достаточно доказать в силу предложения 2.10
главы III, что
X-g(Y, Z) = gtfxY, Z) + g(Y, VXZ)
для всех векторных полей X, Y и Z. Но это немедленно сле-
следует из определения VXY-

156
ГЛ. iV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Единственность. Непосредственно проверяется, что если Vx
удовлетворяет Vxg=Q и VxY — VyX— [X, Y] = 0, то оно удовлет-
удовлетворяет уравнению, которое определяет VxY. D
?¦?, В процессе доказательства мы получили следующее
Р; Предложение 2.3. Для римановой связности имеет место
равенство
2g(vxY, Z) = X-g(Y, Z) + Y-g(X, Z)-Z-g(X, Y)
+ g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y)+g(X, [Z, Y])
для любых векторных полей X, Y и Z на М.
Следствие 2.4. В терминах локальной координатной сис-
стемы х1, . .., хп компоненты Y)k римановой связности зада-
задаются так:
1.—If
Доказательство. Положим X = d/dxJ', Y = d/dx' и Z=d/dxk
в предложении 2.3 и используем предложение 7.4 главы III. ?
Пусть М и ЛГ — римановы многообразия с римановыми мет-
метриками g и g' соответственно. Отображение /: М—+ М' называется
изометрическим в точке х из М, если g(X, Y)=g' (f*X, f*Y) для
всех X, Y ?ТХ(М). В этом случае /* — инъекция, потому что
ДД = 0 влечет g(X, F) = 0 для всех Y и отсюда Х = 0. Отобра-
Отображение /, которое изометрично в каждой точке из М, есть, таким
образом, погружение, которое мы называем изометрическим по-
погружением. Если сверх того / взаимно однозначно, то оно на-
называется изометрическим вложением М в М'. Если / отобра-
отображает М взаимно однозначно на М', то / называется изометрией
М на М'.
Предложение 2.5. Если f — изометрия риманова много-
многообразия М на другое риманово многообразие М', то дифферен-
дифференциал от f перестановочен с параллельным переносом.
Точнее, если т — кривая из х в у из М, то следующая диа-
диаграмма коммутативна:
ТУ(М)
Ч
ТАМ)
где x'=f(x), y'=f(y) и т'=/(т).
Доказательство. Это есть следствие единственности ри-
римановой связности в теореме 2.2. Будучи диффеоморфизмом
§ 2. РИМАНСРЙ# СВЯЗНОСТИ
157
между М и М', f определяет взаимно однозначное соответствие
между множеством векторных полей на М и множеством вектор-
векторных полей на М'¦ Из римановой связности Г ' на М' получаем
линейную связность Г на М как ^XY =/~1 (V/x(fK)), гДе X и
Y — векторные поля на М. Легко проверить, что Г не имеет
кручения и является метрической относительно g. Итак, Г есть
риманова связность на М. Это означает, что / (Vx^) = V/x (AT
относительно римановых связностей в М и М'. Это и влечет
немедленно наше предложение. ?
Предложение 2.6. Если f — изометрическое погружение
риманова многообразия М в другое риманово многообразие М',
и если f (М) открыто в М', то дифференциал от f перестано-
перестановочен с параллельным переносом.
Доказательство. Поскольку /(М) открыто в М', то
dim М = dim М'. Так как / — погружение, то каждая точка х
из М имеет открытую окрестность U такую, что / (U) открыто
в М' и /: U —>-/(?/) — диффеоморфизм. Итак, / — изометрия из U
на / (U). По предложению 2.5 дифференциал от / перестановочен
с параллельным переносом вдоль любой кривой из U. Если
задана произвольная кривая т из х в у на М, то мы можем
найти конечное число открытых окрестностей в М с вышеука-
вышеуказанным свойством, которые покрывают т. Отсюда следует, что
дифференциал от / перестановочен с параллельным переносом
вдоль т. ?
Замечание. В предположениях предложения 2.6 немед-
немедленно следует, что / отображает каждую геодезическую из М
в геодезическую из М'.
Пример 2.1. Пусть М — риманово многообразие с метри-
метрикой g, и пусть М* — накрывающее многообразие для М с про-
проекцией р. Мы можем ввести риманову метрику g* на М* таким
образом, что р: М* —>¦ М будет изометрическим погружением.
Каждая геодезическая из М* проектируется на геодезическую
из М- Обратно, если задана геодезическая т из х в у на М и
точка х* из М* с р(х*)=х, то существует единственная кривая
х* в М*, исходящая из х*, такая, что р(х*)=т. Поскольку р есть
локальная изометрия, т* есть геодезическая в М*. Аналогичные
рассуждения вместе с предложением 2.6 показывают, что если
р(х*) = х, то суженная линейная группа голономии для М* с
опорной точкой х* изоморфна при действии р суженной линейной
группе голономии для М с опорной точкой х.
Предложения 2.5 и 2.6 были установлены для римановых
связностей, которые являются специальными линейными связ-
ностями. Аналогичные утверждения верны и для соответствую-
соответствующих аффинных связностей. Утверждение, касающееся линейных
групп голономии в примере 2.1, имеет место также для аффин-
аффинных групп голономии.

158
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
§ 3. Нормальные координаты и выпуклые окрестности
Пусть М — риманово многообразие с метрикой g. Длина век-
вектора X, т. е. g(X, XI/2, будет обозначаться ||Х]|.
Пусть x — xt — геодезическая в М. Так как касательные век-
векторы xt параллельны вдоль х, и так как параллельный перенос
есть изометрия, то длина xt постоянна вдоль т. Если ||;et||=l,
то t называется каноническим параметром геодезической т.
Под нормальной системой координат в точке х риманова мно-
многообразия М мы всегда понимаем такую нормальную систему
координат хг, ..., хп в х, что д/дх1, ..., д/дхп образуют орто-
нормальный репер в х. Однако д/дх1, ..., д/дхп могут и не быть
ортонормальны в других точках.
Пусть U — нормальная координатная окрестность для х с нор-
нормальной системой координат х1, ..., хп в х. Мы определим се-
сечение а в О(М) над U так: пусть и — ортонормальный репер в х,
задаваемый векторами (д/дхг)х, ..., (д/дхп)х. Параллельным пере-
переносом и вдоль геодезических через х мы сопоставим ортонор-
ортонормальный репер каждой точке из U. Для изучения римановых^
многообразий так определенное сечение о: U —*- О (М) более^
полезно, чем сечение U—>-L(M), задаваемое реперами д/дх1, ...
..., д/дхп. Пусть 9 = (9') и со = (со?) — каноническая форма и форма
римановой связности на О (М) соответственно. Мы положим
ё = ст*е = (90 и ш = сг*со = (ш{),
где 9'" и со/ суть 1-формы на U. Чтобы вычислить эти формы
точно, введем полярную координатную систему (р1, ..., р"; t)
так:
Тогда 8' и (o'k — линейные комбинации от dp1, . .., dpn a dt с ко-
коэффициентами— функциями от р\ ..., р", t.
Предложение 3.1. A) 8'=р'с# + ф', где ф'', ? = 1, ..., п,
не содержит dt;
B) coi не содержит dt;
C) ф; = 0 и (ok = 0 при t = 0 (т.е. в начале х);
D) dq/ = — (dp' + 2/ <И/Р/) Л dt + .. .,
dco,- = — 2ft, i ^/«Р*Фг Л dt + . . .,
где точки ... обозначают члены, не содержащие dt, а К)ы — ком-
компоненты поля тензора кривизны относительно поля реперов а.
Доказательство. A) Для фиксированного направления
(р1, ..., рп) пусть x=xt — геодезическая, определяемая как
х*=рЧ, ?=1, ..., п. Положим ut~a(xt). Чтобы доказать, что
• § 3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДЖНАТЫ И ВЫПУКЛЫЕ ОКРЕСТНОСТИ 159
9' — р1 dt не содержит dt, достаточно доказать, что dl(xt)=pl.
Из определения канонической формы 9 имеем 9 (ut) = Q (хг)=и^ (xt).
Так как ut и xt параллельны вдоль т, то 9 (xt) не зависит от t.
С другой стороны, имеем 9' (х0) = ре и отсюда Q( (xt) = р1 для всех t.
B) Поскольку ut горизонтальна по построению а, имеем
co'ft (xt) = <a'k (ut) = 0.
Это означает, что со? не содержит dt.
C) Пусть задан любой единичный вектор X в х (т. е. в точке,
где ^ = 0), и пусть т = xt — геодезическая с начальным условием
(х, X), где Х = х0. По A) и B) имеем ф'(д;0) = 0 и ш{(д:о) = О.
D) Из уравнений структуры получаем
d (p< dt + ф0 = - 2/ Ц A (PJ dt + ф'),
где
(см. § 7 главы III),
отсюда и следует D). ?
В терминах dt и ф' мы можем выразить метрический тен-
тензор g так (см. классическое выражение ds2 = ^giJdxidx' для g,
как это объяснено в примере 3.1 главы I).
Предложение 3.2. Метрический тензор g может быть
выражен следующим образом:
Доказательство. Поскольку Q(X) = (а (у))~1 (X) для каж-
каждого X ?Ту(М), y?U, и поскольку а (у) есть изометрическое
отображение из R" на Ту(М), мы имеем
g (X, Y) = 2,- ё' (X) ё' (Y) для X, Y 6 Ту (М) и у 6 U.
Другими словами,
По предложению 3.1 имеем
ds* = {dty+2,- (ф О2 + 2 2/ р'ф 'dt-
Так как ф' = 0 при ^ = 0 по предложению 3.1, то мы докажем,
что 2«Р'ф'=^' показав, что ~^цР'ц>1 не зависит от t. Посколь-
Поскольку 2i/?'cP' не С0ДеРжит dt по предложению 3.1, то достаточ-
достаточно показать, что ^B«Р'Ф') не содержит dt. Мы имеем по

160
предложению 3.1
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
1
V) = - 2/ Р' (dp1 + 2/ йУ) Л. ^ +....,
где точки ... обозначают члены, не содержащие dt.
Из 2< (Р'J = 1 получаем
С другой стороны,
потому что (со/) кососимметрична. Это доказывает, что dB-P'V)
не содержит <#. Q
Из предложения 3.2 получаем
Предложение 3.3. Пусть х1, . .., хп — нормальная система
координат в х. Тогда каждая геодезическая *c = xt, x' — a't (t = l,
.. ., я), через х перпендикулярна к сфере S (х; г), определяемой как
2И22
2,И
Для каждого малого положительного числа г полагаем N (х; г)
равной окрестности нуля в ТХ(М), определяемой неравенством
\X}<.r, U (х; г) равной окрестности точки х в М, определяемой
неравенством 2,- (*'У < г2. По самому определению нормальной
системы координат экспоненциальное отображение есть диффео-
диффеоморфизм из N (х; г) на U (х; г).
Предложение 3.4. Пусть г — положительное число такое,
что
ехр: N (х; г) —>- U (х; г)
есть диффеоморфизм. Тогда мы имеем:
A) каждая точка у из U (х; г) может быть соединена с х
(началом системы координат) геодезической, лежащей в U (х; г),
и такая геодезическая единственна;
B) длина геодезической в A) равна расстоянию d(x, у);
C) U (х; г) есть множество точек у ?М таких, что
d(x, у) <г.
Доказательство. Каждая прямая линия через начало 0
в N (х; г) отображается в геодезическую в U (х; г) через х экс-
экспоненциальным отображением и обратно. Теперь A) следует из
того факта, что ехр: N (х; г) -+¦ U (х; г) есть диффеоморфизм.
Чтобы доказать B), пусть (а1, ..., а"; Ь) — координаты точки у
относительно полярной координатной системы (р1, ..., рп; t),
введенной в начале этого параграфа. Пусть r = xs, a^s<P, есть
любая кусочно дифференцируемая кривая из х в у. Мы пока-
покажем, что длина т больше или равна Ь. Пусть
PX = P1(S) Pn = Pn(s), t = t(s),
' § 3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДОШАТЫ И ВЫПУКЛЫЕ ОКРЕСТНОСТИ J6J
есть уравнение кривой т. Если мы обозначим через ?(т) длину т,
то предложение 3.2 влечет следующие неравенства:
Теперь докажем C). Если y$U(x; r), то ясно, что d(x, y)<r.
Обратно, пусть d(x, y)<.r, и пусть т — кривая из х в у такая,
что L (т) < г. Предположим, что т не лежит в U (х; г). Пусть
у' — первая точка на т, которая принадлежит замыканию для
U (х; г), но не самому U (х; г). Тогда d(x, у1)— г по A) и B).
Длина % от х до у' есть по крайней мере г. Отсюда L(i)~^r,
а это приводит к противоречию. Итак, т лежит целиком в U (х; г),
и отсюда y?U(x; r). ?
Предложение 3.5. d(x, у) есть функция расстояния (т.е.
метрика) на М и определяет ту же топологию, что и тополо-
топология для многообразия М-
Доказательство.- Как замечено ранее (см. конец § 1),
имеем
d(x,
, d](x, y) = d(y, x), d(x, y) + d(y,
, z).
Из предложения 3.4 следует, что если хфу, то d(x, у) > 0.
Поэтому d—метрика. Второе утверждение следует из C) пред-
предложения 3.4. П
Геодезическая, соединяющая две точки х и у риманова мно-
многообразия М, называется минимизирующей, если ее длина равна
расстоянию d (x, у). Теперь перейдем к доказательству сущест-
существования выпуклой окрестности каждой точки риманова много-
многообразия в следующей форме.
Теорема 3.6. Пусть х1, ..., хп — нормальная система коор-
координат в точке х риманова многообразия М. Существует положи-
положительное число а такое, что если 0 < р < а, то
A) любые две точки из U (х; р) могут быть соединены единст-
единственной минимизирующей геодезической, и это есть единственная
геодезическая, соединяющая эти две точки и лежащая в U (х; р);
B) в U (х; р) квадрат расстояния d(y, z) есть дифференци-
дифференцируемая? функция от у и z.
Доказательство. A) Пусть а —положительное число, за-
заданное в теореме 8.7 главы III, и пусть. 0 < р < а. Если у и
z — точки из U (х; р), то они могут быть соединены геодезичес-
кой'т, лежащей в U (х; р), по той же самой теореме. Поскольку
U (х\ р) содержится в нормальной координатной окрестности
для у (см. теорема 8.7 главы III), мы видим из предложения 3.4,
что т есть единственная геодезическая, соединяющая у и z и
лежащая в U (х; р), и что длина т равна расстоянию, т.е. т
6 Ш. Кобвяси, К. Номвдзу, т. 1

162
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
минимизирующая. Ясно, что т есть единственная минимизирую-
минимизирующая геодезическая, соединяющая у и г в М.
B) Отождествляя каждую точку у из М с нулевым вектором-
в у, рассматриваем у как точку из Т(М). Для каждого-у из
U (x; p) пусть Л^ — окрестность для у в Ту(М) такая, что ехр:
Nv—+U (х; р) есть диффеоморфизм (см. B) из теоремы 8.7 главы III).
Положим V=\Jy 6 и (х-, р) Ny ТогДа отображение V-+U(x; р) X U(x; p),
которое переводит Y ?Ny в (г/, ехр У), есть диффеоморфизм (см.
предложение 8.1 главы III). Если 2 = ехрУ, то d{y, г) = [|У||.
Другими словами, ||У|| есть функция на V, которая соответствует
функции расстояния d(y,z) при диффеоморфизме V—* U (х; р)
xU (x; р). Поскольку ЦКЦ2 есть дифференцируемая функция на V,
d(x, zf есть дифференцируемая функция на U (х; p)xU (х; р). ?
В качестве приложения теоремы 3.6 получается следующая
Теорема 3.7. Пусть М — паракомпактное дифференцируемое
многообразие. Тогда каждое открытое покрытие \Ua} на М имеет
открытое вписанное покрытие {V,} такое, что
A) каждое V; имеет компактное замыкание;
B) {V,} локально конечно в том смысле, что каждая точка
из М имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным чис-
числом V,-;
C) любое непустое конечное пересечение множеств V,- диффео-
морфно открытой ячейке (клетке) из R".
Доказательство. Беря открытое вписанное покрытие,
если необходимо, мы можем принять, что {Ua\ локально конечно
и что каждое Ua имеет компактное замыкание. Пусть \Ua\—
открытое вписанное покрытие для \Ua\ (с тем же самым мно-
множеством индексов) такое, что U'acz Ua для всех а (см. приложе-
приложение 3). Возьмем любую риманову метрику на М. Для каждого
х?М пусть Wx — выпуклая окрестность для х (в смысле тео-
теоремы 3.6), содержащаяся в некотором Ua. Для каждого а пусть
$Ra = {Wx; Wx(]Ua не пусто}.
Поскольку Ua компактно, существует конечное подсемейство 23а
в Ша., которое покрывает Ua- Тогда семейство 23 = Ua 23а есть
желаемое открытое вписанное покрытие для \Ua}. Действительно,
из построения ясно, что 23 удовлетворяет A) и B). Если Vlt
..., Vk — элементы семейства 23, и если х и у — точки из пере-
пересечения Vx П • • • flVj, то существует единственная минимизирую-
минимизирующая геодезическая, соединяющая х и у в М. Поскольку она
лежит в каждом Vt, t= I, . . ., k, то она лежит и в пересечении
V± Г) • • • П Vft. Отсюда следует, что пересечение диффеоморфно
открытой ячейке (клетке) из R". Q
Замечание. Покрытие {V",-}, удовлетворяющее A), B) и C),
называется простым покрытием. Его ценность заключается в том,
§ 3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ВЫПУКЛЫЕ ОКРЕСТНОСТИ 163
что когомология Чеха для М может быть вычислена при по-
помощи простого покрытия на М (см. В ей ль [1]).
В любом метрическом пространстве М сегмент определяется
как непрерывный образ x(t) замкнутого интервала а<
такого, что
(t%), x(t3)) = d(x(t1), x(t3))
для а г^!<^ <*„<&,
где d есть функция расстояния. Как приложение теоремы 3.6,
имеем
Предложение 3.8. Пусть М — риманово многообразие
с метрикой g, a d—функция расстояния, определяемая через g.
Тогда каждый сегмент есть геодезическая (как точечное мно-
множество).
Параметризация сегмента может и не быть аффинной.
Доказательство. Пусть x(t), a^.t^.b,— сегмент в М.
Мы сначала покажем, что x(t) — геодезическая при a^Lt sgCa+e
для некоторого положительного е. Пусть U — выпуклая окрест-
окрестность точки х(а) в смысле теоремы 3.6. Существует е >0 такое,
что x(t)?U для a-^t^a + s. Пусть т—минимизирующая гео-
геодезическая из х(а) в х(а + е). Покажем, что ти^(<),а</<а+8,
совпадают как точечные множества. Допустим, что имеется число с,
a<c<a + s, такое, что х(с) не лежит на т. Тогда
d(x(a), x
s))<d(x(a), х (с)) + d (х (с), x(a + s))
в противоречии с тем, что x(t), a^t^.a-\-s,— сегмент. Это
показывает, что х (t)—геодезическая для as^^^a-f-e. Продол-
Продолжая это рассуждение, мы видим, что x(t), a-c^t^b,— геодези-
геодезическая. П
Замечание. Если xt—непрерывная кривая такая, что
d(xti, xt^ = \ti —1±\ для всех tx и t2, то xt есть геодезическая
с длиной дуги t в качестве параметра.
Следствие 3.9. Пусть i = xt, a^.t^.b,— кусочно диффе-
дифференцируемая кривая класса С1 из х в у такая, что ее длина L (т)
равна d(x, у). Тогда т есть геодезическая как точечное множество.
Если, сверх того, \xt\ постоянна вдоль т, то x — xt — геодезическая.
Доказательство. Достаточно показать, что т — сегмент.
Пусть a^ tx^ t2 ^ ts ^.b. Обозначая точки Xt. как х;, i = 1, 2, 3,
и дуги, на которые т делится этими точками, как тх, т2, та и т4
соответственно, мы имеем
d (х, хг) < L (тх), d (хг, х2) < L (т2),
d(х2, х3) <L (т3), d(x3,y)^L(т4).
Если бы мы не имели равенства всюду, то имели бы
d(x, л:,.)+<*(*!, x2) + d(x2, x3) + d(x3, у)
< L (тх) + L (т2) + L (т3) + L (т4) = L (т) = d (x, у),
б*

164
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
а это есть противоречие. Итак, имеем
d (xt, х2) => L (т2), d (хя, х3) = L (т3).
Аналогично видим, что
d(xlt x3)=L(x2 + x3).
Окончательно получаем
d(xlt x2)+d(x2, x3)=d(xx, x3). a
Используя предложение 3.8, покажем, что функция расстоя-
расстояния определяет риманову метрику.
Теорема 3.10. Пусть М и М'—римановы многообразия
с римановыми метриками g и g' соответственно. Пусть dud' —
функции расстояния для М и М' соответственно. Если, f есть
отображение {которое не предполагается непрерывным или диф-
дифференцируемым) из М на М' такое, что d{x, у) =d' (f (x), f (у))
для всех х, у?М, то f есть диффеоморфизм из М на М', кото-
который отображает тензорное поле g в тензорное поле g'.
В частности, каждое отображение f из М на себя, сохраняю-
сохраняющее d, есть изометрия, т. е. сохраняет g.
Доказательство. Ясно, что / — гомеоморфизм. Пусть х
есть произвольная точка из М и положим x' = f(x). Для нор-
нормальной координатной окрестности W точки х' пусть U будет
нормальной координатной окрестностью точки х такой, что
f(U)c:U'. Для любого единичного касательного вектора X в х
пусть т — геодезическая из У с начальными данными (х, X).
Поскольку т есть сегмент относительно d, то / (т) есть сегмент
относительно d' и потому есть геодезическая в V' с началом х'.
Так как x = xs параметризована длиной дуги s и так как
d' (f(xs), f(xa))=d(xSl, xj = \s2 — s1\, то /(г) = /(*,) параметри-
параметризована также длиной дуги s. Пусть F (X) — единичный вектор,
касательный к / (т) в х', т.е. F есть отображение множества
единичных касательных векторов в х в множество единичных
касательных векторов в х'. Оно может быть продолжено до
отображения, обозначаемого тем же F, из ТХ{М) в Тх> (М') пре-
преобразованием подобия. Поскольку отображение / имеет обрат-
обратное, которое тоже сохраняет функцию расстояния, то ясно, что
F есть взаимно однозначное отображение из ТХ(М) на Тх> (М').
Также ясно, что
и
для
где ехря (соотв. ехр*') — экспоненциальное отображение окрест-
окрестности нуля в ТХ(М) (соотв. ТХ'(М)) на U (соотв. ?/'). Отобра-
Отображения ехрх и ехр*' — диффеоморфизмы. Чтобы доказать, что /
есть диффеоморфизм из М на М', отображающий g в g', доста-
§ 3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ВЫПУКЛЫЕ ОКРЕСТНОСТИ 165
точно поэтому показать, что F есть линейное изометрическое
отображение из ТХ(М) на ТХ'(М').
Сначала докажем, что g(X, Y) = g' (F (X), F (Y)) для всех
X, Y?TX(M). Так как F(cX)=cF(X) для любого Х?ТХ(М) и
любой константы с, то мы можем считать, что X и Y — единич-
единичные векторы. Тогда F (X) и F (Y) — единичные векторы в х'.
Положим
cosa=g(X, Y) и cosa'= g'(F (X), F(Y)).
Пусть xs и ys — геодезические с начальными условиями (л;, X)
и (х, Y) соответственно, и обе параметризованы длиной дуги из х.
Пусть
x's=f(xs) и y's = f(ys).
Тогда x's и y's — геодезические с начальными условиями (х!, F (X))
и (x't F (Y)) соответственно.
Лемма. sin4-a = lim J-d(A:f, ys) и sin-^a' = lira^-d(x's, y's).
Мы дадим доказательство леммы чуть позже. Считая ее спра-
справедливой в данный момент, завершим доказательство нашей
теоремы. Поскольку / сохраняет расстояние, то лемма влечет
и отсюда
g(X, F) = coses = 1 —!
= 1—2 sin2 — a' = cos a' = i
Теперь докажем, что F линейно. Мы уже заметили, что
F (сХ) = cF (X) для любого Х?ТХ (М) и любой константы с. Пусть
Хг, ..., Хп — ортонормальный базис для ТХ(М). Тогда X't=F (Х{),
i = l, ..., п, образуют ортонормальный базис для ТХ'(М'), как
мы только что доказали. Для данных X и Y в ТХ(М) имеем
g'(F(X + Y), Xl)=g(X + Y, X,)
=g'(F(X), X'c)+g'(F(Y),
для каждого i, и отсюда
X,.)
X't)
Доказательство леммы. Достаточно доказать первую
формулу. Пусть '?/ —координатная окрестность с нормальной
системой координат х1, .... хп в х. Пусть п — риманова метрика
в U, задаваемая как ^{dx'fy и пусть б (у, z) — расстояние между

166 ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
I
у и z относительно п. Предполагая, что
2 (Х" У$) > Sm 2 а'
мы придем к противоречию. (Случай противоположного нера-
неравенства может быть рассмотрен аналогичным образом.) Выберем
с > 1 такое, что
lim г- d (xs, ys) > с sin T a.
s->-0
2s
§ 4. ПОЛНОТА
167
Беря U малой, мы можем считать, что —/г<?<с/г на U в том
смысле, что
i- h(Z, Z) <g(Z, Z) < ch(Z, Z) для Z? Tz (M) и z ? ?/.
Из определения расстояний d и б получаем
i- б (г/, г)< d (г/, г) < сЬ {у, г).
Отсюда
|;6(**. Hs)>^d(xs, Уз)>сат—а для малых s.
С другой стороны, ft есть евклидова метрика, и отсюда
= sin у а.
Получили противоречие. Отсюда
s-vO z
Аналогично получим
1
i = sinya.
Um-z-сЦх,, ys)=sin-a. Q
S-+0
2s
Теорема ЗЛО принадлежит Майерсу и Стинроду[1];
доказательство заимствовано нами у Пале [2].
§ 4. Полнота
Говорят, что риманово многообразие М (или риманова метри-
метрика g на М) полно (полна), если риманова связность полна, т. е.
каждая геодезическая в М может быть продолжена до произ-
произвольно больших значений ее канонического параметра (см. § 6
главы III). Докажем следующие две важные теоремы.
Теорема 4.1. Для связного риманова многообразия М сле-
следующие условия взаимно эквивалентны:
A) М — полное риманово многообразие;
B) М — полное метрическое пространство относительно функ-
функции расстояния d;
C) каждое ограниченное подмножество из М (относительно d)
относительно компактно;
D) для произвольной точки х из М и произвольной кривой С
касательного пространства ТХ(М) (или, точнее, аффинного каса-
касательного пространства АХ(М)), исходящей из начала, существует
кривая х в М, исходящая из х, которая^'развертывается на дан-
данную кривую С.
Теорема 4.2. Если NL—связное полное риманово многообра-
многообразие, то любые две точки х и у из М могут быть соединены ми-
минимизирующей геодезической.
Доказательство. Разделим доказательства этих теорем
на несколько шагов.
(i) Импликация B)-^A). Пусть xs, 0<[s < ?, — геодези-
геодезическая, где s — канонический параметр. Мы покажем, что эта
геодезическая может быть продолжена за L. Пусть \sn\ — беско-
бесконечная последовательность такая, что snf L. Тогда
d(xSm, xSn)^\sm~sn\,
так что {xSn} есть последовательность Коши в М относительно d
и поэтому, она сходится к точке, скажем, х. Предельная точка
не зависит от выбора последовательности {sn\, сходящейся к L.
Мы положим xl = x. Используя нормальную систему координат
в х, можем продолжить геодезическую для величин s таких, что
L ^ s ^ L + е для некоторого е > 0.
(и) Доказательство теоремы 4.2. Пусть х — любая
точка из М. Для каждого г > 0 положим
Е(г) = {у ?S (r); у может быть соединено
с х минимизирующей геодезической}.
Мы собираемся доказать, что Е(г) компактно и совпадает с S(r)
для каждого г > 0. Чтобы доказать компактность Е (г), пусть
yh i = I, 2, . . ., — последовательность точек из Е (г), и для каж-
каждого i пусть т; — минимизирующая геодезическая из х в yt. Пусть
X; — единичный вектор, касательный к т,- в х. Беря подпоследо-
подпоследовательность, если необходимо, мы можем считать, что {Х{\ схо-
сходится к единичному вектору Хо в ТХ(М). Поскольку d(x, у{)^г
для всех I, мы можем считать, снова беря подпоследовательность,
если необходимо, что d(x, y{) сходится к неотрицательному числу

168
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
г0. Поскольку т,- минимизирующая, имеем
, yt)Xt).
Так как М — полное риманово многообразие, то екрг0Х0 опреде-
определено. Мы полагаем уо — ехр г0Х0. Отсюда следует, что {г/:} схо-
сходится к г/0 и что d(x, г/0) = г0. Это влечет, что геодезическая
expsX0, 0^s^r0, минимизирующая и что у0 находится в Е (г).
Это и доказывает компактность Е(г).
Теперь мы докажем, что E(r) — S(r) для всех г > 0. Из су-
существования нормальной системы координат и выпуклой окрест-
окрестности вблизи х (см. теорему 3.6) заключаем, что E{r) = S (r) при
0 < г < 8 для некоторого е > 0. Пусть г* — точная верхняя грань
для /¦„ > 0 таких, что E(r) = S(r) для /¦</¦„. Чтобы доказать,
что г* = оо, допустим /-*<оо. Мы сначала докажем, что ?(/-*) =
5 (г*). Пусть у — точка из 5 (/¦*), и пусть \yt\—последовательность
точек с d (x, yt) < г*, сходящаяся к у. (Существование такой по-
последовательности \у{) следует из того, что х и у могут быть
соединены кривой, длина которой столь близка к d(x, у), сколь
мы пожелаем.) Тогда каждая у( принадлежит к некоторому7/: (г),
где /*</¦*, и потому каждая yt принадлежит Е (г*). Так как
?(/•*) компактно, то у принадлежит Е(г*). Отсюда S(r*)=E (г*).
Далее мы покажем, что 5 (г) = ?(/") для /•</•* +8 для некото-
некоторого б > 0, что противоречит определению г*. Нам^нужна сле-
следующая
Лемма. На римановом многообразии М существует положи-
положительная непрерывная функция r(z), z?M, такая, что любые две
точки из Sz{r{z)) = {y?M; d (z, у) < г (z)) могут быть соединены
минимизирующей геодезической.
Доказательство леммы. Для каждого z?М пусть
г (г) — точная верхняя грань г > 0 таких, что любые две точки у
и у' с d{z, у) ^.г и d(z,y')^.r могут быть соединенытминими-
зирующей геодезической. Существование выпуклой окрестности
(см. теорему 3.6) влечет г (z) > 0. Если г (г) = сю для некоторой
точки z, то г(у) = оо для каждой точки у из М, и любая поло-
положительная непрерывная функция на М удовлетворяет условию
леммы. Допустим, что г (г)< оо для каждого z ? М.
Докажем непрерывность r(z), показав, что \г{г) — г (у)\
^.d(z,y). Без потери общности можем считать, что г (z) > г (у).
Если d(z, y)^r(z), то, очевидно, | r(z) — г (у) | < d(z, у). Если
d (z, y)<r (z), то Sy (r') = {y';d (у, у') < г'} содержится в 5г (г (г)),
где г' =r(z)~d(z, у). Отсюда г (г/) > г (z) — d(z, у), т. е. \r(z)
— г (У) I ^^ B> У)> чт0 и завершает доказательство леммы.
Возвращаясь к доказательству теоремы 4.2, допустим, что
г (г) — непрерывная функция, заданная в лемме, и что б—мини-
б—минимум для г (г) на компактном множестве Е(г*). Чтобы завершить
доказательство теоремы 4.2, покажем, что 5(г* + б) =?(/¦* +6).
§ 4. полнота
169
Пусть y?S(r* + 6), но у <?S (/¦*). Покажем сначала, что сущест-
существует точка у' из S (г*) такая, что d(x, у')=г* и что d(x,y)
= d(x, y')Jrd{y', у). Для этого для каждого положительного це-
целого k выберем кривую тй из х в у такую, что L (тк) < d (x, у) + -^,
где L (ik)—длина тк. Пусть ук — последняя точка на тк, которая
принадлежит Е (г*) = S (г*). Тогда d (х, ук) = г* и d (x, yk) + d (yk, у)
^.L (Tft) < d (х, у) +-Г-. Поскольку Е (г*) компактно, можем счи-
тать, беря подпоследовательность, если необходимо, что \ук) схо-
сходится к точке, скажем, у', из Е(г*). Мы имеем d(x,y') = r* и
d(x,y') + d(y', y)=-d(x,y). Пусть т' —минимизирующая геодези-
геодезическая из х в у'. Так как d{y', г/)< б<г(г/'), то существует
минимизирующая геодезическая т" из (/' в у. Пусть т —объеди-
нениет'ит". Тогда?(т) = 1 (Tr)-\-L(in) = d(x,y') + d(y', y)=d{x,y).
По следствию 3.9 т—геодезическая, в действительности мини-
минимизирующая геодезическая из х в у. Отсюда у^Е(г*-\-8), что и
завершает доказательство теоремы 4.2.
Замечание. Чтобы доказать, что E(r)=S(r) компактно
для каждого г, достаточно допустить, что каждая геодезическая,
исходящая из некоторой точки х, может быть бесконечно про-
продолжена.
(Ш) Импликация A)—»-C) в теореме 4.1. В (П) мы
доказали, что A) влечет компактность Е (г) =S(r) для каждого г.
Каждое ограниченное подмножество из М содержится в 5(г)~для
некоторого г независимо от выбора точки х в доказательстве (п).
(iv) Импликация C) —>- B) очевидна.
(v) Импликация D)-+A). Поскольку геодезическая есть
кривая в М, которая развертывается на прямую линию (или
сегмент) в касательном пространстве, то очевидно, что каждая
геодезическая может быть продолжена до бесконечности.
(vi) Импликация A)-+D). Пусть Ct, 0 </< а, — произ-
произвольная кривая в ТХ(М), исходящая из начала. Мы знаем, что
существует е>0 такое, что Си 0<^<е, есть развертка кривой
хи 0<^^е, в М. Пусть Ъ—точная верхняя грань таких в > 0.
Мы ходим показать, что Ъ=а. Допустим Ь<а. Сначала пока-
покажем, что HmA:t существует в М. Пусть tn\b. Поскольку развертка
сохраняет длину дуги, то длина xt, tn^.t </m, равна длине
Cf, tn^t^tm. С другой стороны, "расстояние d(xtn, xtm) меньше
или равно длине xt, tn^t^tm. Это влечет, что {xtn\ есть после-
последовательность Коши в М. Так как мы знаем импликацию A) —>- C)
в силу (Ш) и (iv), то видим, что \xtn\ сходится к точке, скажем, у.
Легко видеть, что limxt = y. Пусть Q —кривая в Ту(М) (или,
t-*b
точнее, в Ау(М)), полученная аффинным (не линейным!) парал-
параллельным переносом кривой Ct вдоль кривой xt, 0 < t <&. Тогда С'ь

170
ГЛ. iv. римановы связности
есть начало в Т (М). Существует б > 0 и кривая xt, b^t^b + 8,
которая развертывается на C't, b ^t <ib + 8. Тогда кривая xt,
Q<Zt <Cb + S, развертывается на Ct, 0 ^Zt^.b-{-8. Это противо-
речит^определению Ь. ?
Следствие 4.3. Если все геодезические, исходящие из любой
выбранной точки х связного риманова многообразия М, бесконечно
продолжаемы, то М полно.
Доказательство. Как мы отметили в конце (ii) в дока-
доказательстве теоремы 4.2, E(r)=S(r) компактно для любого г.
Каждое ограниченное подмножество из М содержится в S (г) для
некоторого г и, поэтому относительно компактно. П
Следствие 4.4. Каждое компактное риманово многообразие
полно.
Доказательство. Это следует из импликации C) —>A)
в теореме 4.1. ?
Говорят, что риманово многообразие однородно, если группа
изометрий, т. е. преобразований, сохраняющих метрический тен-
тензор g, для М транзитивна на М (см. пример 1.3 и теорему 3.4
главы VI).
Теорема 4.5. Каждое однородное риманово многообразие
полно.
Доказательство. Пусть х — точка однородного риманова
многообразия М. Существует г > 0 такое, что для каждого еди-
единичного вектора X в х геодезическая exp sX определена для
\s\ ^.r (см. предложение 8.1 главы III). Пусть r = xs, O^s^a, —
любая геодезическая с каноническим параметром s в М. Мы по-
покажем, что t = xs может быть продолжена до геодезической, оп-
определенной для 0 sSCssgCa + r. Пусть ф — изометрия в М, отобра-
отображающая х в ха. Тогда ф отображает единичный вектор ха в точ-
точке ха в единичный вектор X в х: X=q>~1 (ха). Поскольку exp sX
есть геодезическая через х, то ф (exp sX) есть геодезическая че-
через ха. Мы полагаем
xa+s = q>(exp sX) для O^s^r.
Тогда r — xs, O^s^a + r, есть геодезическая. ?
Теорема 4.5 следует также из того общего факта, что каждое
локально компактное метрическое однородное пространство полно.
Теорема 4.6. Пусть М.и М* — связные римановы многообра-
многообразия однинаковой размерности. Пусть р: М*—>- М — изометриче-
изометрическое погружение.
A) Если М* полно, то М* есть накрывающее пространство
для М с проекцией р и М тоже полно.
B) Обратно, если р:. М* —*¦ М есть накрывающая проекция и
если М полно, то М* полно.
Доказательство делится на несколько шагов.
§ 4. ПОЛНОТА
17!
(i) Если М* полно, то и М полно. Пусть х* ? М*, и положим
х = р(х*). Пусть X — любой единичный вектор в х из М), и вы-
выберем единичный вектор X* в х* такой, что р (X*) = X. Тогда
ехр sX = р (ехр sX*) есть геодезическая в М с начальным усло-
условием (х, X). Поскольку ехр sX* определяется для всех s, — оо
<s< + °°, то таково и ехр sX. По следствию 4.3 М полно.
(ii) Если М* полно, то р отображает М* на М. Пусть Х*?М*
и х = р (х*). Для данной точки у из М пусть ехр sX, 0 ^ s -ё^'а, —
геодезическая из х в у, где X — единичный вектор в х. Такая
геодезическая существует по теореме 4.2, поскольку М полно
по (i). Пусть X* — единичный вектор в X* из М* такой, что р (Х*)=Х.
Положим у* = ехр аХ*. Тогда р (у*) = ехр аХ = у.
(iii) Если М* полно, то р: М*—>-М — накрывающая проекция.
Для заданного х ? М и каждого положительного числа г полагаем
U{x;r) = {y?M; d{x,y)<r), N (х; r) = {X? Tx (M); \]Х\\<г\.
Аналогично полагаем для х*? М*
U(х*; г) = {у* 6 ЛГ; d(х*, у») < г},
N(x*; r) = {X*?Tx.(M*y, ||X||< г}.
Выберем г > 0 такое, что ехр: N (х; 2г)—>- U (х; 2г) есть диффео-
диффеоморфизм. Пусть \xl, xl, ...} есть множество р~1(х). Для каж-
каждого х* имеем следующую коммутативную диаграмму:
ехр
N(fi\2r) *U{xt,2r)
т ехр ф
N (х; 2г) ^ U (х; 2г)
Достаточно доказать следующие три утверждения:
(а) р: U (х}; г)—>-U (х; г) есть диффеоморфизм для каждого ?;
(Ь)/>-*(*/(*; г)) = U,?/(*f; г);
(с) U(X{-, г) П U (x*j\ г) пусто, если х\ Фх].
Теперь (а) следует из того, что р: N (х*{; 2г) —>¦ N (х; 2г) и
ехр: N(х; 2r)—>-U(x; 2r) — диффеоморфизмы приведенной выше
диаграммы. Чтобы доказать (Ь), допустим, что у* ? р-1 (U (х; г)),
и положим у = р (г/*). Пусть ехр sY, 0 ^ s ^ а, — минимизирующая
геодезическая из у в х, где Y — единичный вектор в у. Пусть
у* — единичный вектор в у* такой, что p(Y*) = Y. Тогда ехр sY*,
O^s^a, — геодезическая в М*, исходящая из у* и такая,
что р (ехр sY*) = ехр sY. В частности, р (ехр aY*) = x, и отсюда
ехраУ* = л;* для некоторого х*. Очевидно, у* ? U (х*{; г), что и
доказывает включение р-1(и (х; г)) с Dc'U'(x*; г). С другой сто-
стороны, ясно, что p(U(x1; /"))лс: U (х; г) для каждого i, и отсюда

172
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
p~x(U(x; r)) гэ U. U(xf; r). Чтобы доказать (с), предположим
у* ? U(xl, r) nU (*/; г). Тогда дс? € ?/(*?; 2/-). Используя диаграм-
диаграмму выше, мы показали, что р: U(xj; -2r)-*U(x\ 2r) есть
диффеоморфизм. Так как р {х\) = р(х*), то мы должны иметь
x*i=x].
(iv) Доказательство B). Допустим, что р: М*—>-М —
накрывающая проекция и М полно. Заметим сначала, что если
задана кривая хи O^t <!а, в М и задана точка х% в М* такая,
что р(хо)=хо, то существует единственная кривая х% Q^t^a,
в М* такая, что р (я*) = xt для 0 <^? ^ а. Пусть х* ? М*, и пусть
X* — любой единичный вектор в х*. Положим Х = р(Х*). По-
Поскольку М полно, то геодезическая exp sX определена для
— оо < s < оо. Из указанного выше замечания видим, что суще-
существует единственная кривая xl, —oo<s<oo, в М* такая, что
х\ = х* и что р (л;*) = exp sX. Очевидно, Xg — exp sX*. Это показы-
показывает, что М* полно.
Следствие 4.7. Пусть М и М*—связные многообразия оди-
одинаковой размерности, и пусть р: М* —+¦ М—погружение. Если М*
компактно, то и М компактно, а р—накрывающая проекция.
Доказательство. Возьмем любую риманову метрику g на
М. Легко видеть, что имеется единственная риманова метрика g*
на М* такая, что р есть изометрическое погружение. Поскольку
М* полно по следствию 4.4, р есть накрывающая проекция в
силу теоремы 4.6 и отсюда М компактно. ?
Пример 4.1. Говорят, что риманово многообразие непро-
непродолжаемо, если оно не может быть изометрично вложено в другое
риманово многообразие как собственное открытое подмногообра-
подмногообразие. Теорема 5.6 показывает, что каждое полное риманово мно-
многообразие непродолжаемо. Обратное неверно. Например, пусть М
есть евклидова плоскость с удаленным началом, а М* — универ-
универсальное накрывающее пространство. Как открытое подмногообра-
подмногообразие евклидовой плоскости М имеет естественную риманову метрику,
которая, очевидно, не полная. Относительно естественной рима-
римановой метрики на М* (см. пример 2.1) М* не полно по теореме 4.6.
Может быть показано, что М* непродолжаемо.
Следствие 4.8. Пусть G—группа изометрий связного ри-
риманова многообразия М. Если орбита G (х) точки х из М содер-
содержит открытое множество из М, то орбита G (х) совпадает с М,
т. е. М однородно.
Доказательство. Легко видеть, что G (х) открыта в М.
Пусть М*—связная компонента в G(x). Для любых двух точек
х* и у* из М* имеется элемент f из G такой, что f(x*) = y*. По-
Поскольку / отображает каждую связную компоненту из G (х) на
связную компоненту из G(x), то f(M*) = M*. Отсюда М*—одно-
М*—однородное риманово многообразие, изометрично вложенное в М как
открытое подмногообразие. Следовательно, М* = М. ?
§ 5. ГРУППЫ Г0Л0НОМИИ
173
Предложение 4.9. Пусть М — риманово многообразие, а
М*—подмногообразие в М, которое локально замкнуто в том
смысле, что каждая точка х из М имеет окрестность V такую,
что каждая связная компонента для U П М* (относительно топо-
топологии в М*) замкнута в U. Если М полно, то и М* полно по
отношению к индуцированной метрике.
Доказательство. Пусть d—функция расстояния, опре-
определяемая римановой метрикой в М, и ^—функция расстояния,
определяемая индуцированной римановой метрикой в М*. Пусть
д;^ — геодезическая в М*, и пусть а—точная верхняя грань s та-
таких, что xs определено. Чтобы показать, что а — <х>, допустим
а < оо. Пусть sn f а. Поскольку
d (xSn, xSm) < d* (xSn, xSm) < | sn — sm [,
{xSn} есть последовательность Коши в М, и потому она сходится
к точке, скажем, х, из М. Тогда x = limxr Пусть U — окрест-
s-+ a
ность для х из М со свойством, указанным в предложении. Тогда
xs, Ь ^ s < а, лежит в U для некоторого Ь. Так как связная
компонента из М*Г\ U, содержащая xs, b^.s<a, замкнута в U,
то точка х принадлежит М*. Положим ха = х. Тогда xs, 0 ^ s ^ а,
есть геодезическая в М*. Используя нормальную систему коор-
координат в ха, мы видим, что эта геодезическая может быть про-
продолжена до геодезической xs, O^s^a + б, для некоторого
6>0. ?
§ 5. Группы голономии
Всюду в этом параграфе пусть М будет связное риманово
многообразие с метрикой g, а Ч/^д:) — линейная или однородная
группа голономии римановой связности с опорной точкой х ? М
(см. § 4 главы II и § 3 главы III). Тогда говорят, что М при-
приводимо или неприводимо, в соответствии с тем, приводима или
неприводима W(х) как линейная группа, действующая на ТХ(М).
В этом разделе мы изучим 4?"(a:) и локальные структуры приво-
приводимого риманова многообразия.
Допустим, что М приводимо, и пусть Т'х — нетривиальное
подпространство из ТХ(М), инвариантное относительно W(x).
Пусть задана точка у?М, и пусть т — кривая из х в у, а Т'у есть
образ подпространства Т'х при (линейном) параллельном переносе
вдоль т. Подпространство Т'у из Ту(М) не зависит от выбора т.
Действительно, если ц — любая другая кривая из х в у, то ц'1--! —
замкнутая кривая в х и подпространство Т'х инвариантно отно-
относительно параллельного переноса вдоль ц~г-х, т. е. (л~1-т(Т1^) = Т'хп
отсюда т(Т'х) = ц (Тх). Так мы получаем распределение 7", сопо-
сопоставляющее каждой точке у из М подпространство Т'у из Ту(М).

174
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ"
Говорят, что подмногообразие N риманова многообразия (или,
более общо, многообразия с линейной связностью) М вполне
геодезическое (тотально геодезическое) в точке х из N, если для
каждого X^TX(N) геодезическая т = х., из М, определяемая на-
начальным условием (х, X), лежит в N для малых значений па-
параметра t. Если N вполне геодезично в каждой точке из N, то
оно называется вполне геодезическим подмногообразием в М.
Предложение 5.1. A) Распределение 7" дифференцируемо
и инволютивно.
B) Пусть М'—максимальное интегральное многообразие для
7" через точку в М. Тогда М'—вполне геодезическое подмногообра-
подмногообразие в М. Если М полно, то и М' полно относительно индуциро-
индуцированной метрики.
Доказательство. A) Чтобы доказать, что 7" дифферен-
дифференцируемо, допустим, что у — любая точка из М и х1, ..., хп — нор-
нормальная координатная система в у, введенная в окрестности U
точки у. Пусть Хг, ..., Xk—базис для Т'у. Для каждого I,
l^i^k, мы определяем векторное поле X* в U так:
(Xl)z = xX{ для zeU,
где т —геодезическая из if в г вида x/ = aft, / = 1, ..., п, а
(а1, ..., а") — координаты точки г. Поскольку параллельный
перенос т зависит дифференцируемо от (а1, ..., а"), мы получаем
дифференцируемое векторное поле X* в U. Ясно, что Х{, .. .
..., XI образуют базис Т'г для каждой точки г из U.
Чтобы доказать, что 7" инволютивно, достаточно доказать,
что если X и Y — векторные поля, принадлежащие 7", то таковы-
таковыми будут Vx У и VyX, потому что риманова связность не имеет
кручения и [X, Y] = VXY — VyX (см. теорему 5.1 главы III). Пусть
*t —интегральная кривая для X, исходящая из произвольной
точки у. Пусть Тц — параллельный перенос вдоль этой кривой из
точки xt в точку у — х0. Поскольку У у и YXf принадлежат 7" для
каждого t, (V%Y) = Ига -г(х<Ух. — Уу) принадлежит Т'у.
B) Пусть М'—максимальное интегральное многообразие для
7". Пусть x = xt — геодезическая из М с начальным условием
(у, X), где г/6-М' и Х€Ту(М') = Т'у. Поскольку касательные
векторы xt параллельны вдоль т, мы видим, что xt принадлежат
Тх для каждого t, и поэтому т лежит в М' (см. лемму 2 для
теоремы 7.2 главы II). Это доказывает, что М' — вполне геодези-
геодезическое подмногообразие в М. Из нижеследующей леммы мы смо-
сможем заключить, что если М полно, то и М' полно.
Лемма. Пусть N — вполне геодезическое подмногообразие рима-
риманова многообразия М. Каждая геодезическая из Nwотносительно
индуцированной римановой метрики для N есть геодезическая в М.
% 5. группы голономии
175
Доказательство леммы. Пусть x^N и Х?ТХ (N). Пусть
x = xt, 0^.t^.a,— геодезическая из М с начальным условием
(х, X). Так как N вполне геодезично, то т лежит в N. Теперь
достаточно показать, что т — геодезическая в N относительно
индуцированной римановой метрики для N. Пусть d и d' — функ-
функции расстояния для М и N соответственно. Рассматривая только
малые значения t, мы можем считать, что т —минимизирующая
геодезическая из х — х0 в ха, так что d(x, xa) = L (т.), где I (т) —
длина дуги т. Длина дуги т, измеренная в метрике в М, та же,
что и измеренная в индуцированной метрике в N. Из определения
функций расстояния d и d! мы получаем
d'(x, xa)^d(x, ха) = Ь(т).
Отсюда й" (х, xa) = L(x). По следствию 3.9 т — геодезическая отно-
относительно индуцированной метрики в N. ?
Замечание. Лемма есть следствие следующих двух утверж-
утверждений, которые будут доказаны во втором томе: A) Если М —
многообразие с линейной связностью и нулевым кручением и
если N — вполне геодезическое подмногообразие в М, то N имеет
естественно индуцированную линейную связность такую, что
каждая геодезическая из N есть геодезическая в М. B) Если
N — вполне геодезическое подмногообразие риманова многообра-
многообразия М, то естественно индуцированная линейная связность в Af
есть риманова связность относительно индуцированной метрики
в N. Заметим, что предложение 5.1 справедливо и при более
слабых предположениях, когда М—многообразие с линейной
связностью и нулевым кручением.
Пусть 7" — распределение, определенное ранее. Мы теперь
используем то, что однородная группа голономии состоит из орто-
ортогональных преобразований в ТХ(М). Пусть Т"х—ортогональное
дополнение Т'х до ТХ(М). Тогда ТХ(М)~-прямая сумма двух под-
подпространств Т'х иГ„ инвариантных относительно W (х). Исполь-
Используя подпространство Тх, получаем распределение Т" точно так же,
как мы получили 7" из Т'х. Распределения 7" и Т" дополнительны
и ортогональны друг другу в каждой точке из М.
Предложение 5.2. Пусть у—любая точка из М. Пусть
М' и М"—максимальные интегральные многообразия распределений
7" и Т", определенных выше. Тогда у имеет открытую окрест-
окрестность V такую, что V = V'xV", где V (соотв. V") —открытая
окрестность для у в М' (соотв. М") и что риманова метрика
в V есть прямое произведение римановых метрик в V и V".
Доказательство. Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если 7" и Т" — два инволютивных распределения на
многообразии М, которые дополнительны в каждой точке из М,
то для каждой точки у из М существует локальная система коор-
координат х1, ..., х" с началом в у такая, что {д/дх1, .. ¦, д/дхк) и

176
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
(д/дхк+1, .. ., д/дх") образуют локальный базис для Т' и Т" соот-
соответственно. Другими словами, для любого множества констант
(с1, . .., с*, ck+1, .. ., С) уравнение х' = с1, 1 ^ i^k {соотв. xJ' = cJ',
k+\^.j^.n), определяет интегральное многообразие для Т"
(соотв. Т').
Доказательство леммы. Так как 7" инволютивно, то
существует локальная система координат у1, ..., ук, хк+1, . .., хп
с началом у такая, что (д/ду1, ..., д/дук) образует локальный
базис для 7'. Другими словами, уравнения х! = &, k-{-1 ^ / ^я,
определяют интегральное многообразие для 7". Аналогично суще-
существует локальная система координат х1, ..., xk, zk+1, ..., z"
с началом у такая, что (д/дгк+1, ..., д/дгп) образует локальный
базис для 7". Другими словами, уравнения х1 = с1, l^i^k,
определяют интегральное многообразие для 7". Легко видеть,
что х1, ..., хк, хк+1, ..., хп есть локальная система координат
с желаемыми свойствами.
Используя так определенную локальную систему координат
х1, ..., х", мы докажем предложение 5.2. Пусть V — окрестность
для у, определенная как \х'\<с, l^i^Zn, гДе с—достаточно
малое положительное число такое, что координатная система
х1, . .., хп дает гомеоморфизм из V на куб \х'\<с в R". Пусть
V (соотв. V") — множество точек в V, определенных как х'\<^с,
1<г<&, и х' = 0, &+1</<п (соотв. х' = 0, 1</<?, и х'\<с,
k-\-l ^ / ^п). Ясно, что V' (соотв. V") — интегральное многооб-
многообразие для 7" (соотв. 7") через у, являющееся окрестностью точки у
в М' (соотв. М"), и что V = V'xV". Мы полагаем Х? = д/дх',
1 ^Ci^Cn. Чтобы доказать, что риманова метрика на V есть прямое
произведение метрик на V и V", покажем, что gi/=g(Xi, ХЛ
не зависят от хк+1, ..., х" для 1 <t, /<&, что giJ = g(Xi, X})
не зависят от х1, ..., хк для k -f I <t, / <п и что gu=g(Xi, Xj) =
= 0 для 1 <;/'<;& и k-\- 1^/^.n. Последнее утверждение оче-
очевидно, так как Xt, I <t <^k, принадлежат 7', a Xj, k+\ </<n,
принадлежат Т" и так как Т' и 7" ортогональны друг другу
в каждой точке. Сейчас докажем первое утверждение, доказа-
доказательство второго аналогично.
Пусть l<;/i^? и k-\-\ ^m^.n. Как и в доказательстве A)
из предложения 5.1, видим, что VxmXt принадлежит 7' и что
Vx.Xm принадлежит 7". Поскольку кручение есть нуль и по-
поскольку [Х{, Хт] = 0, имеем
l i }
Отсюда Чх{Хт = VxmXi = 0. Так как g параллельно, то имеем
{Хи
что и доказывает наше утверждение. Q
§ 5. ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ
177
Предложение 5.3. Пусть 7' и Т"—распределения на М,
использованные в предложении 5.2. Если М односвязно, то одно-
однородная группа голономии *Р (х) разлагается в прямое произведение
двух нормальных подгрупп W (х) и W" (х) таких, что ?' (х) три-
тривиальна на Т"х, а \Р" (х) тривиальна на Т'х.
Доказательство. Пусть задан элемент а ? Y (х), и пусть а±
(соотв. а2) — сужение а на Т'х (соотв. Т"х). Пусть а' (соотв. а") —
ортогональное преобразование в ТХ(М), совпадающее с ах на
Т'х (соотв. с аа на Т"х) и тривиальное на Т'х (соотв. Тх). Если
мы берем ортонормальный базис для Тх (М) такой, что первые k
векторов лежат в Т'х, а остающиеся п — k векторов лежат в Т"х, то
эти преобразования могут быть выражены матрицами так:
а =
аг 0
0 at
<Но°'
а" =
1 о
0 а2
Мы покажем, что а' и а"—элементы из Ч? (х). Пусть т—замкну-
т—замкнутая кривая в х такая, что параллельный перенос вдоль т есть
заданный элемент а?Ч?(х). Сначала рассматриваем специальный
случай, когда т есть малое лассо в следующем смысле. Замкнутая
кривая т в х называется малым лассо, если она может быть
разложена в композицию трех кривых так: т = (j, • а¦ (j,, где ц —
кривая из х в у (так что ц'1 — кривая из у в х, идущая в обрат-
обратном направлении), а о — замкнутая кривая в у, достаточно малая,
чтобы содержаться в окрестности V = V'xV" точки у, описанной
в предложении 5.2. В этом специальном случае обозначим о'
(соотв. о") образ для а относительно естественной проекции
V—>- V (соотв. V—+V). Мы полагаем
Параллельный перенос вдоль т' (соотв. т") тривиален на Т"у
(соотв. Ту). Параллельный перенос вдоль о есть произведение
параллельных переносов вдоль а' и о". Поэтому параллельный
перенос вдоль т есть произведение параллельных переносов вдоль
т' и т". С другой стороны, т' (соотв. т") тривиально на Т"х (соотв. Т'х).
Отсюда следует, что а' (соотв. а ) есть параллельный перенос
вдоль т' (соотв. т"), что и доказывает наше утверждение в случае
малого лассо.
В общем случае разлагаем т в произведение малых лассо так.
Яе м м а. Если М односвязно, то параллельный перенос вдоль т
есть произведение параллельных переносов вдоль конечного числа
малых лассо в х.
Доказательство леммы. Оно следует из фактор изацион-
ной леммы (см. приложение 7).
Теперь ясно, что а' и а" принадлежат ^(х) в общем случае.

178
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Мы полагаем
Ч'(х) == {а'; а
= {а"; а €
Тогда Т (х) = Т' (х) X ЧГ (х). П
Теперь мы перейдем к определению наиболее естественного
разложения для ТХ(М) и выведем из него следствия. Пусть Т(ху—
множество элементов из ТХ(М), неподвижных относительно Y(х).
Это — максимальное линейное подпространство из ТХ(М), на кото-
котором W (х) действует тривиально. Пусть Т'х— ортогональное допол-
дополнение к Т(х0> в ТХ(М). Оно инвариантно при действии Y (х) и
может быть разложено в прямую сумму Тх = ^а0Тх1> взаимно
ортогональных инвариантных и неприводимых подпространств.
Мы назовем ТХ{М) = 2*=«-^) каноническим разложением (или раз-
разложением де Рама) для ТХ(М).
Теорема 5.4. Пусть М—риманово многообразие, ТХ(М) =
= 2*-о^*й — каноническое разложение для ТХ(М), аТи) — инволю-
пгивное распределение на М, полученное параллельным переносом
Txiy для каждого i = 0, 1, ..., k. Пусть у—точка М, и пусть
для каждого i = 0, 1, ..., k M{ есть максимальное интеграль-
интегральное многообразие для Ти) через у. Тогда:
A) Точка у имеет открытую окрестность V такую, что
V = VoxV1x ¦.. xVk, где F,- есть открытая окрестность для у
в Mt, и что риманова метрика в V есть прямое произведение
римановых метрик всех Vt.
B) Максимальное интегральное многообразие Мо локально евкли-
евклидово в том смысле, что каждая точка из Мо имеет окрестность,
изометричную с открытым множеством п0-мерного евклидова про-
пространства, где no = dimAIo.
C) Если М односвязно, то однородная группа голономии Ч? (х)
есть прямое произведение То (х) х^^х.-Х^ (х) нормальных
подгрупп, где ~^t (х) тривиальна на Т$\ если 1ф\, и неприводима
на Тх1)для каждого i = 1, .. ., k, axP0(x) состоит лишь из единицы.
D) Если М односвязно, то каноническое разложение Тх (М) =
— ^J=0Tx{i однозначно с точностью до перенумерации.
Доказательство. A) Это — обобщение предложения 5.2.
B) Так как у — произвольная точка из М, то достаточно до-
доказать, что Vo изометрично открытому подмножеству л„-мерного
евклидова пространства. Поскольку однородная группа голоно-
голономии для Vo состоит лишь из единицы, Т$> есть прямая сумма л0
одномерных подпространств. Из доказательства предложения 5.2
следует, что Vo есть прямое произведение одномерных подмного-
подмногообразий и что риманова метрика на Vo есть прямое произведение
римановых метрик этих одномерных подмногообразий. С другой
стороны, на любом одномерном многообразии с локальной систе-
системой координат х1 риманова метрика имеет вид g11dx1dx1. Если
х1 — нормальная система координат, то метрика имеет вид dx1 dx1.
§ 5. ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ
179
Поэтому Vo изометрично открытому подмножеству в евклидовом
пространстве.
C) Это ясно из определения канонического разложения для
Тх (М) и из доказательства предложения 5.3.
D) Сначала будет доказана
Лемма. Пусть Sx—любое подпространство из ТХ(М), инва-
инвариантное относительно Y(х). Тогда для каждого i—\, ..., k или
Sx ортогонально к Тх{), или Sx содержит Тх1\
Доказательство леммы, (i) Допустим, что все векторы
из Sx неподвижны при действии ЧГ, (х). Тогда 5^ ортогонально ТХ1К
Действительно, пусть Х — ^}=0Ху — любой элемент из 5^, где
Xj ? T(J\ Для произвольного элемента ai из Т,- (х) имеем
at(X) = X0 + Xt+... +ai(Xi) + ... +Xk,
так как a; действует тривиально на Т{р для / Ф i. Если а((Х) — X,
то а,- (Х;) — X,-. Поскольку это верно для любого а:-? %,•(;*:), и
поскольку W; (х) неприводимо в Тх{), мы должны иметь Хг = 0.
Это показывает, что X ортогонален Тх1\
(п) Допустим, что а;(ХуфХ для некоторого a^Y, (х) и~не-
которого X?SX. Пусть Л" = 2/=<Д/, где X/^TJK Так как каж-
каждый X,, j ФI, неподвижен при действии любого элемента из
Т,(х), то X — ai{X) = Xl— at (Х;)ф0 есть вектор как из Тх{\
так и из Sx. Подмножество {b;(X — a;{X)); b;^?,.(х)\ лежит в
Т\? П Sx и порождает Тх{), так как Т; (х) неприводима в ТХ1К Это
влечет, что Тхь содержится в Sx, что и доказывает лемму.
Возвращаясь к доказательству D), допустим, что ТХ(М) =
— 2j-o5^' есть любое другое каноническое разложение. Во-пер-
Во-первых, ясно, что Т].0> = 5^0). Поэтому достаточно доказать, что каж-
каждое S</>, 1 <!/<;/, совпадает с некоторым T'JK Рассмотрим, на-
например, 5^1}. По лемме оно или ортогонально ТхСу для каждого
/^1, или содержит Txiy для некоторого t^l. В "первом случае
оно должно содержаться в Тх0) — ортогональном дополнении
2*-i^*ft до ТХ(М), что явно приводит к противоречию. Во вто-
втором случае неприводимость S(x> влечет, что S^1' в действительности
совпадает с Тхс\ Q
Следующий результат принадлежит Борелю иЛихнеро-
вичу [1].
Теорема 5.о. Суженная однородная группа голономии рима-
риманова многообразия М есть замкнутая подгруппа в S0(n), где
Доказательство. Поскольку однородная группа голоно-
голономии универсального накрывающего пространства для М изо-
изоморфна суженной однородной группой голономии для М (см.
пример 2.1), мы можем считать гбез потери общности, что М
односвязно. Ввиду C) теоремы 5.4 наше утверждение следует из
такого результата теории групп Ли:

180
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Пусть G—связная подгруппа Ли из SO (n), действующая непри-
водимо на п-мерном векторном пространстве R". Тогда G замкнута
eSO(n).
Доказательство этого результата дается в приложении 5.
§ 6. Теорема разложения де Рама
Пусть М — связное, односвязное и полное риманово много-
многообразие. Пусть М приводимо, Тх (М) = Т'х + Т'х— разложение на
подпространства, инвариантные относительно линейной группы
голономии И (х), и пусть Г'иГ — параллельные распределения,
определяемые Т'х и Тх соответственно, как и в начале § 5. Фикси-
Фиксируем точку о$М, и пусть М' и М" — максимальные интеграль-
интегральные многообразия соответственно для Г' и Г через о. По пред-
предложению 5.1 М' и М" — полные вполне геодезические подмного-
подмногообразия в М.
Цель этого параграфа—доказать следующее утверждение:
Теорема 6.1. М изометрично прямому произведению М' х М"ш
Доказательство. Для любой кривой zf, O^tf^l, в М
с z0 = o определим ее проекцию на М' как кривую xt, O^t <! 1,
с х„ — о, получаемую следующим образом. Пусть Ct — развертка zi
на аффинное касательное пространство Т0(М). (Для простоты
отождествляем аффинное касательное пространство с касательным
(векторным) пространством.) Поскольку Т„ (М) — прямое произве-
произведение двух евклидовых пространств Т'о и Т"о, Ct может быть пред-
представлено парой (At, Bt), где At и Bt — кривые в Т'о и Т"о соот-
соответственно. Применяя D) из теоремы 4.1 к М', мы видим, что
существует единственная кривая xt в М', которая развертывается
на кривую At. Ввиду предложения 4.1 главы III мы можем опре-
определить кривую xt так. Для каждого t пусть Xt — результат парал-
параллельного переноса Т'-компоненты для zt из Zt в o = z0 (вдоль
кривой zt). Кривая xt есть кривая в М' с хо = о такая, что ре-
результат параллельного переноса xt вдоль нее самой в точку о
равен Xt для каждого t.
Прежде чем идти дальше, укажем главную идею доказатель-
доказательства. Мы показываем, что конечная точка хх проекции xi зависит
лишь от конечной точки г± кривой zx, если М односвязно. Так
получаем проекцию р': М—>¦ М' и аналогично проекцию р":
М-+ГМ". Отображение р(х)-=(р' (х), р"(х)) из М в М'хМ", как
будет показано, изометрично в каждой точке. Теорема 4.6 тогда
влечет, что р есть накрывающая проекция из М на М'хМ".
Если h — гомотопия в М кривой из М' в другую кривую из М',
то р' (h) есть гомотопия между двумя кривыми в М'. Итак, М'
односвязно. Аналогично и М" односвязно."Итак, р — изометрия
из М на М'хМ". Перейдем теперь к подробному изложению.
§ 6. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЕ РАМА
181
Лемма 1. Пусть x = zt, Os^s^Tl,— кривая в М с zQ = o, и
пусть а —любое число, 0<а<1. Пустыг — кривая г., 0<zf <a,
и пусть т2 — кривая zt, as^t^.\. Пусть еще г'2 будет проекцией
т3 в максимальное интегральное многообразие М' (za) распределе-
распределения Т' через za. Тогда проекция каждой т = т2-Т1 в М' совпадает
с проекцией т'=Т2-т1.
Доказательство леммы 1. Это очевидно из второго
определения проекции при помощи (линейного) параллельного
переноса касательных векторов.
Лемма 2. Пусть z?M, и пусть V = V'xV" — открытая
окрестность точки z в М, где V и V" —открытые окрестности
точки z в М' (г) и M"(z) соответственно. Для любой кривой zt czo = z
в V проекция zt в М' (z) задается естественной проекцией из V
на V.
Доказательство леммы 2. Относительно существования
окрестности V = V'xV" см. предложение 5.2. Пусть zf задается
парой (хи yf), где xt (соотв. yf)— кривая в V (соотв. V") с х„ = г
(соотв. уй = г). Так как V = V'xV, то параллельный перенос
Т'-компоненты для zt из г, в г, = г вдоль кривой zt совпадает
с параллельным переносом для xt из xt в xo = z вдоль xt. Итак,
xf есть проекция кривой zt в М' (z).
Мы введем следующую терминологию. Кривая (кусочно диф-
дифференцируемая) zi называется 7"-кривой (соотв. Т""-кривой), если
zt принадлежит T'2(t> (соотв. T"z(b) для каждого t. Если задана
(кусочно дифференцируемая) гомотопия г: [0, 1]х[0, so]-+M,
которая обозначается z (t, s) = zf, то обозначим zf> (соотв. zs(tj)
кривую с параметром t и фиксированным значением s (соотв.
кривую с параметром s и фиксированным значением t), получен-
полученную из zst. Их касательные векторы будут обозначаться 'z'p и 'г^,
соответственно. Для любой точки z? ЛГпусть а" (соотв. d") обозна-
обозначает функцикГрасстояния на максимальном интегральном много-
образии'^М'(г) распределения 7" (соотв. М" (г) распределения Т")
через г. Пусть U' (г; г) (соотв. U" (z; r)) обозначает множество
точек w € М' (z) (соотв. w ^ М" (г)) таких, что a" (z, w) < г (соотв.
d"(z, w)<r).
Лемма 3. Пусть т' = xt, 0 < t < 1, есть Т'-кривая. Тогда
существует число г>0« семейство изометрий ft, 0=0 <1, из
U" (х0; г) на U" (xt; r) с такими свойствами:
A) Дифференциал от ft в х0 совпадает с параллельным перено-
переносом вдоль кривой т' из ха в xf.
B) Для любой кривой r" = ys, 0<s<s0, в U" (х0; г) с у° = хо
положим zsi = ft(ys). Тогда:
(а) Для любых 0 <! tx ^ 1 и 0'^ sx ^ s0 параллельный перенос
вдоль ^параллелограмма», образованного кривой xt, O^t^ti, кри-

182
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
и обра-
вой z\tj, O^s^Si, обращением кривой г\в'\ O^t^.
щением кривой ys, O^s^Sf, тривиален.
(b) Для любых s и t z(p параллельно xf вдоль кривой zs(t). ¦
(c) Для любых s и t z\t) параллельно у* вдоль кривой zf\
Доказательство леммы 3. Пусть V — окрестность точки
х0 вида V — V xV, как в предложении 5.2. Выберем число г > О,
достаточно малое, так что xi^V и U" (xt; r)a{xt)xV для
О < t < г. Мы определяем ft как ft (х0, у) = (xt, у) для у € U" {х„; г).
Ясно, что семейство изометрий ft, 0 <! t <! г, имеет все свойства
из A) и B). Семейство ft легко может быть продолжено для
О <! t ^ 1 и подходящего г > 0 при помощи покрытия кри-
кривой x'=xt конечным числом окрестностей вида V = V'xV" и ис-
использованием вышеизложенных' аргументов для"каждой окрест-
окрестности.
Лемма 4. Пусть x' = xf, 0^t^.\, есть 7"-кривая, и пусть
т" = г/*, 0^s^s0, есть Т"-геодезическая с у° = хо, где s—длина
дуги. Тогда существует гомотопия zf, 0<!s<rs0, 0^7<[1, с
такими свойствами:
\l) Zf — Xf U Z(o) — у ,
B) zf имеет свойства (a), (b) и (с) леммы 3.
Гомотопия zf однозначно определена. Действительно, если Yf —
результат параллельного переноса начального касательного вектора
У0 = у° геодезической т" вдоль кривой т', то zf = expsY"f.
Д*оказ'ательство леммы 4. Сначала докажем единствен-
единственность. По (а) и (с) и из того, что т" — геодезическая, следует,
что Z(ft параллельно Yt вдоль кривой zs(t). Это означает, что z\u есть
геодезическая с начальным касательным вектором Yt. Итак,
zf = expsy>, что и доказывает единственность.
Остается поэтому докязать, что zf = expsyf действительно
удовлетворяет условиям A) и B). Условие A) очевидно. Чтобы
доказать B), мы можем считать, что т' есть дифференцируемая
кривая, так что zf дифференцируема по (t, s). Пусть ft—семей-
ft—семейство изометрий, как в лемме 3. Очевидно, что существует число
б>0 такое, что zst = ft(ys) для Ог^<Г1 и 0=<s<|6. Итак, zf
удовлетворяет условию B) для O^^s^l и O^s^S. Пусть а —
точная верхняя грань таких б. Для того чтобы доказать, что
a = s0, допустим a<s0. Сначала покажем, что zf удовлетворяет
B) для (Х|^<Г1 H0<s<e. Так как zf дифференцируема по
(t, s), то параллельный перенос вдоль кривой z\a) есть предел
параллельных переносов вдоль кривой гр при s\a (см. лемму
для теоремы 4.2 главы II). Итак, условие (а) удовлетворяется.
Мы имеем также zfi) = Hrazfft и z?" = lini zf\ Будучи скомбиниро-
s f a s t ct*
вано с вышеуказанными предельными соотношениями, это дает
условия (Ь) и (с) для O^f^l и s = a.
6. ТЕОРЕМА ^.РАЗЛОЖЕНИЯ ДЕ РАМА
183
Для того чтобы показать, что zf имеет свойство B) для зна-
значений, больших а, применяем лемму 3 к Т'-кривой T<a) = z(<a) и
^''-геодезической уи, где u = s — а. Мы видим, что существует
число г > 0 и гомотопия wf, 0^.t^l, —r^u^r, удовлетво-
удовлетворяющая условию, подобному B), такая, что wf> — z\m и w% = ys~
Так как w(tm параллельно уа вдоль кривой wf> = zf\ то отсюда
следует, что z\ = xs?fa для O^^^l на — r^s^a + /"- Это доказы-
доказывает, что z{ удовлетворяет условию B) для O^^^l и 0^s^a + r,
в противоречии с предположением а < se.
Лемма 5. Сохраним обозначения леммы 4; тогда проекция
кривой т'-т" вдоль М'{ys«) совпадает с t<s°> = zfa)', 0<^=^1.
Доказательство леммы 5. Так как т"~х есть Т"-кри-
вая, то ее проекция в М' (у$°) тривиальна, т. е. сводится к точке
ys«. Условия (а) и (Ь) влекут, что для каждого t параллельный
перенос xt вдоль т"-т'~1 в ys» есть то же, что и параллельный
перенос zfa) вдоль zJSo) в ys°. Это означает, что т"-^ проекти-
проектируется на t(s»'.
Теперь приходим к главному шагу для доказательства тео-
теоремы 6.1.
Лемма 6. Если две кривые тх и та из о в точку z в М го-
гомотопны друг другу, то их проекции в М' =М' (о) имеют общую
конечную точку.
Доказательство леммы 6. Мы сначала заметим, что
т2 получается из тх конечной последовательностью малых дефор-
деформаций. Здесь малая деформация кривой zf означает, что для
некоторой малой окрестности V мы заменяем часть zt, tt ^ t ^ t2,
кривой, лежащей в V, на кривую wt, tj^^t ^.t2, с wti = zti и
wti = zti, лежащую в V. В качестве окрестности V мы всегда будем
брать окрестность вида V'xV", как в лемме 2.
Достаточно поэтому доказать следующее утверждение. Пусть
т—кривая из о в zu \i — кривая из z± в z2, которая лежит в ма-
малой окрестности V = V'xV" и х — кривая из га в z. Пусть v —
другая кривая из zt в z2, которая лежит в V. Тогда проекция
для и-(г-т и y,-v-x в М' имеют общую конечную точку.
Чтобы доказать это, мы можем сначала заменить кривую и
ее проекцией в М' (z2) по лемме 1. Тогда можем считать, что к
есть Т'-кривая. Пусть р. представляется парой (jj/, jj,") в V = V xV".
По лемме 2 проекция ц в М' (zx) есть ц'. Пусть \л* есть /"'-гео-
/"'-геодезическая в V, соединяющая z2 и конечную точку для \i'. Па-
Параллельный перенос 7"-векторов в z2 вдоль ц~1 таков же, как
и параллельный перенос вдоль (j,'-^*, потому что fj." и ц* дают
один и тот же параллельный перенос для Т'-векторов. По лемме 5
видим, что проекция для х-\а в М' (zx) есть кривая \i\ за кото-
которой следует кривая v!', полученная с использованием гомотопии
zf, построенной из 7"'-геодезической ц* и Т'-кривой к. Гомотопия

184
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
z\ зависит только от fi*. и и, а не от ц. Итак, если мы заменим
ц на v в рассуждении выше, то видим, что проекция для к ¦ v
совпадает с v', за которой следует к', где v = (у', v") в V = V xV".
Разобьем теперь х на конечное число дуг, скажем, тх, т2, .'. .,
хк таких, что каждая х{ лежит в малой окрестности Vt вида V't xV"[.
Мы покажем, что проекции кривых x'-[i'-xk и %'-v'-xk имеют
общую конечную точку в максимальном интегральном многооб-
многообразии для Т' через начальную точку для хк. Снова пусть хк =
= (Tft, x"k) в Vk — V'kxVk и пусть х% — геодезическая в Vk, соеди-
соединяющая конечную точку для xk с конечной точкой для х'к. Как
и раньше, проекция для к'-\л'-xk есть кривая х'к, за которой
следует кривая, полученная при помощи гомотопии, построенной
из 7"'-геодезической х\ и 7"-кривой к'ц'. Аналогично и для
проекции к' -v' -хк. Каждая гомотопия была построена при помощи
параллельного переноса начального касательного вектора геоде-
геодезической хк вдоль к' (j,' или вдоль x'-v'. Поскольку v'-^' —
кривая в V', параллельный перенос вдоль v'-1-(j.' тривиален для
Т"-векторов. Это означает, что параллельные переносы началь-
начального касательного вектора для х\ вдоль ц.' и v' совпадают, так
что эти две гомотопии порождают две кривые \лк и vk, исходящие
из конечной точки для x'k и оканчивающиеся в общей точке, где
кривая кк такова, что хк-цк-х'к и v.yvk-x'k суть проекции для
х'-р'-хк и х'-v'-хк соответственно. Заметим также, что парал-
параллельные переносы каждого 7"'-вектора вдоль цк и vk совпадают;
действительно, это следует из свойства (а) гомотопии в лемме 4.
Продолжаем следующий шаг проектирования кривых «A-{j,ft-
•Tft-Tft_x и ^ft-vft-T^-Tft_1 тем же способом. Из замечания выше
следует, что мы имеем две кривые, оканчивающиеся в общей точке.
Теперь очевидно, что этот процесс может быть продолжен, что
и завершает доказательство леммы 6.
Теперь мы уже можем завершить доказательство теоремы 6.1.
Лемма 6 позволяет определить отображение р' из М в М'.
Аналогично определяем отображение р" из М в М". Эти отобра-
отображения дифференцируемы. Как мы указали перед доказательством
леммы 1, нам нужно только показать, что отображение р — (р', р")
из М в М'хМ" изометрично в каждой точке. Пусть z— любая
точка из М, и пусть т — кривая из о в г. Для любого касатель-
касательного вектора Z?TZ(M) пусть Z = X + Y, где Х?Т'г, a Y?Т"г.
По определению проекции ясно, что р' (Z)—то же самое, что
и вектор, полученный параллельным переносом X из z в о вдоль-
т и затем из о в р' (г) вдоль р' (т). Поэтому р' (Z) и X имеют
одинаковую длину. Аналогично р" (Z) и Y имеют одинаковую
длину. Отсюда следует, что Z и p(Z) = (p' (Z), p" (Z)) имеют оди-
одинаковую длину, что и доказывает изометричность р в г. ?
Комбинируя теорему 5.4 и теорему 6.1, получаем теорему
разложения де Рама.
§ 7. АФФИННЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ
185
Теорема 6.2. Связное, односвязное и полное риманово мно-
многообразие М изометрично прямому произведениюМох М±X . . . хМк,
где Мо — евклидово пространство (возможно размерности 0) и
Mlt ..., Мй—односвязные полные неприводимые римановы много-
многообразия. Такое разложение единственно с точностью до перену-
перенумерации.
Теоремы 6.1 и 6.2 принадлежат де Раму [1]. Доказатель-
Доказательство теоремы 6.1 новое; оно было навеяно работой Рейн-
х а рта [1].
§ 7. Аффинные группы голономии
Пусть М — связное риманово многообразие. Фиксируя точку х
из М, обозначим аффинную группу голономии Ф(х) и линейную
группу голономии Y (x) просто ФиТ соответственно. Мы знаем
(см. теорему 5.5), что суженная линейная группа голономии 4го
есть замкнутая подгруппа в SO (п), где п = й\тМ. Ф есть группа
евклидовых движений аффинного (или, скорее, евклидова) каса-
касательного пространства Тх (М).
Мы сначала докажем следующий результат.
Теорема 7.1. Если 4го неприводима, то или
A) Ф° содержит все сдвиги из Тх (М)
или
B) Ф° оставляет неподвижной некоторую точку из Тх (М).
Доказательство. Пусть К — ядро гомоморфизма из Ф°
на Ч?0 (см. предложение 3.5 главы III). Так как f( — нормаль-
нормальная подгруппа в Ф°, и так как каждый элемент а из Ф° имеет
вид а = %-а, где a^Y0 и ? —чистый сдвиг, то Т° нормализует К,
т. е. a~lKa = K для каждого а^Т°. Рассмотрим сначала слу-
случай, когда К не дискретна. Поскольку 4го связна, она норма-
нормализует компоненту единицы К0 в К- Пусть V — орбита начала
из Тх (М) под действием К0- Это есть нетривиальное линейное
подпространство в ТХ(М), инвариантное относительно ?°; инва-
инвариантность эта есть следствие того, что 4го нормализует К0-
Поскольку 4го неприводима по предположению, имеемV = ТХ(М).
Это означает, что Ф° содержит все сдвиги из ТХ(М). Рассмотрим
следующий случай, когда К дискретна. Поскольку 4го связна,
XF° коммутирует с К поэлементно. Отсюда для каждого ??/С
| @) инвариантна под действием W (где Обозначает начало в Тх (М)).
Так как 4го неприводима, то ?@)=0 для каждого Ъ^К. Это
означает, что К состоит только из единичного элемента и, сле-
следовательно, что Ф° изоморфна 4го естественным образом. В ча-
частности, Ф° компактна. С другой стороны, любая компактная
группа аффинных преобразований в Тх (М) имеет фиксированную
точку. Хотя мы докажем более общее утверждение во втором

186
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
томе, дадим здесь прямое доказательство этого. Пусть f — ото-
бражение~из Ф° в ТХ(М), определенное так: f (a) — a@) для
а?Ф°. Пусть da — биинвариантная мера Хаара на Ф° и опре-
определим
Легко проверить, что Хо есть неподвижная точка для Ф°. П
Теперь исследуем второй случай теоремы 7.1^(без предполо-
предположения неприводимости для М).
Теорема 7.2. !Пусть М—связное, односвязное и полное ри-
маново многообразие. Если (суженная) аффинная группа голоно-
голономии Ф° в точке х оставляет неподвижной точку евклидова каса-
касательного пространства ТХ(М), mo M изометрично евклидову про-
пространству.
Доказательство. Допустим, что Хо ? Тх (М)— неподвиж-
неподвижная точка относительно Ф°, и пусть т — геодезическая из л; в точку у,
которая развертывается на линейный сегмент tX0, O^.i^.1. Мы
заметим, что аффинная группа голономии Ф° (у) в у оставляет не-
неподвижным начало в Ту (М). Действительно, для любой замкнутой
кривой \i в у аффинный параллельный 'перенос гвдоль x~*-\i-x
отображает Хв в себя, т. е. (т~х-ц-т) Х0 = Х0. Поэтому'начало в
Ту(М), задаваемое как х(Х0), остается неподвижным при дей-
действии fi. Это показывает, что мы можем считать, что Ф° оставляет
неподвижным начало в ТХ(М). Так как М~полно, то экспонен-
экспоненциальное отображение ТХ(М)—>-М сюръективно. Мы покажем,
что'оно взаимно однозначно. Допустим, что две геодезические
т h~ja, исходящие из х, пересекаются в точке уфх. Аффинный
параллельный перенос \1~г-т "отображает начало 0х из ТХ(М)
в себя, и отсюда мы имеем
где Оу обозначает начало в Ту(М). Поскольку т @у) и ц'1^) —
концевые точки разверток для т и ц в Тх (М) соответственно,
эти развертки, которые представляют собой линейные сегменты,
совпадают друг с другом. Итак т = (х, что противоречит предпо-
предположению, что хФу. Это доказывает, что экспоненциальное
отображение Тх (М) —>¦ М есть биекция.
Допустим, что ехрх есть диффеоморфизм из N (х; г)=\Х ? ТХ(М);
\\Х\\< г\ на U (х; г) = {у ? М; d {х, у)<г\, и пусть х1, ..., х" —
нормальная система координат на U (х; г).
Мы полагаем Х = — ^"-iX{ (д/дх1), и пусть р — соответствую-
соответствующее точечное поле (см. § 4 главы III). Покажем, что р — парал-
параллельное точечное поле. Поскольку Ф° оставляет неподвижным
начало в Тх (М), достаточно доказать, что™/?~параллельно вдоль
каждой геодезической через х. Наше утверждение получается
поэтому из следующей леммы.
§ 7. АФФИННЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ
187
^ м м а Г. Пусть x — xt, O^^^l, — кривая в римановом
многообразии М, и пусть т| (соотв. т|) обозначает аффинный
(соотв. линейный) параллельный перенос вдоль % из xt в xs. Тогда
где Си O^.t^.1, есть развертка x — xt в ТХо(М).
Доказательство леммы 1. Пусть задано Y^Tf
р (соотв. q) есть точечное поле вдоль т, определенное аффинным
параллельным переносом Y (соотв. начала в TXt(M)), и пусть
Y* есть векторное поле вдоль т, определенное линейным парал-
параллельным переносом Y. Тогда p = q + Y* в каждой точке кривой
т, т. е. Y* есть вектор с начальной точкой q и конечной точкой р
в каждой точке кривой т. В точке х0 это означает в точности
Возвращаясь к доказательству теоремы 7.2, утверждаем, что
VyX + F = 0 для любого векторного поля V.
Это следует из леммы.
Лемма 2. Пусть р — точечное поле вдоль кривой r = xt,
О ^ t ^ 1, в римановом многообразии М, и пусть X — соответ-
соответствующее векторное поле вдоль х. Тогда р есть параллельное то-
точечное поле тогда и только тогда, когда
4kX + xt = Q для 0<^<1.
Доказательство леммы 2. Из леммы 1 мы получаем
где Cfi h (для фиксированного t и с параметром К) есть развертка т
в Тх (М). Поскольку х*1+п(рхг+/г) не зависит от h (а зависит только
от t) тогда и только тогда, когда р параллельно, имеем
0=Й, т
для O^^^l тогда и только тогда, когда р параллельно. Это
завершает доказательство леммы 2.
Пусть Y и Z — произвольные векторные поля на М. Из
X = 0 и \ZX + Z = O получаем (см. теорему 5.1 главы III)
, Y] = — Y + [X, Y]
Отсюда
X(g(Y,
, Z)+g(Y,
= -2g{Y, Z)+g({X, Y], Z) + g(Y, [X, Z]).

188
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Пусть Y — dldxJ и Z = d/dxk для любых фиксированных / и k.
Тогда имеем
X • gjk = — 2g/k+gjk + gJk = 0.
Это означает, что функции g"^ft инвариантны относительно локаль-
локальной 1-параметрической группы преобразований (pt, порожденной
полем X. Но (pf имеет вид
Ф* (х1 хп) = (е-V, .... в-*х«).
Итак, функции gJtc постоянны вдоль каждой геодезической через х.
Отсюда
gjk — gjk(x) — &jb в каждой точке из U (х; г).
Это показывает, что ехрх есть изометрическое отображение N (x; г)
с евклидовой метрикой на U (х; г). Пусть г0 — точная верхняя
грань г > 0 таких, что ехрх есть диффеоморфизм из N (x; г) на
U (х; г). Поскольку дифференциал (ехрж)« не вырожден в каждой
точке из N (x; г0), ехрх есть диффеоморфизм, а отсюда в силу
вышеизложенных аргументов и изометрия из N (х; га) на U (х; г0).
Если гв < оо, то тогда (ехр*)» изометрично в каждой точке у^
границы N (х; rt) и потому не вырождено в окрестности такой^
точки у. Поскольку граница у N (х; г„) компактна, мы видим,
что существует е > 0 такое, что ехрх есть диффеоморфизм из
N {х; го + е) на U (х; г„ + е), что противоречит определению г0.
Это показывает, что ехрх есть диффеоморфизм из ТХ(М) на М.
Выбирая нормальную координатную систему х1, ..., хп на всем
М, заключаем, что gjk = bJk в каждой точке из М, т. е. М —
евклидово пространство. ?
Получим следующее следствие, принадлежащее Гото и С а-
сак и [1].
Следствие 7.3. Пусть М—связное^и полное риманово мно-
многообразие. Если суженная аффинная группа голономии Ф° (х) остав-
оставляет неподвижной точку евклидова касательного пространства
ТХ{М) для некоторого х?М, то М локально евклидово (т. е.
каждая точка из М имеет окрестность, изометричную откры-
открытому подмножеству евклидова пространства).
Доказательство. Применим теорему 7.2 к универсаль-
универсальному накрывающему пространству для М. Q
С л едствие 7.4. Если М — полное риманово многообразие
размерности > 1 и если суженная линейная группа голономии
4го (х) неприводима, то суженная группа голономии Ф° (х) содер-
содержит все сдвиги из Тх (М).
Доказательство. Так как \Р° (х) неприводима, то М не
локально евклидово. Наше утверждение следует теперь из тео-
теоремы 7.1 и следствия 7.3. Q
КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Предварительные алгебраические рассмотрения
Пусть V — п-мерное вещественное векторное пространство и
R: VxV xVxV—>- R — квадр и линейное отображение со следую-
следующими тремя свойствами:
(a) R(v±, va, v3, vt) = — R(vit vit va, vj,
(b) R(vlt vt, va, vJ = — R(vu vt, o4, v3),
(c) R(vx, va, va, o4)+ /?(ox, v3, w4, v2)+R(vly w4, y2, v3) = 0.
Предложение 1.1. Если R обладает вышеуказанными
свойствами, то оно имеет и следующее четвертое свойство:
(d) R(vx, v2, va, у4)==^(у3> о4, vlt t>2).
Доказательство. Обозначим через S (v17 v2, v3, у4) левую
часть (с). Прямым подсчетом мы получаем
0 = 5(^1, v2, v3, vt)—S(vz, v3, vt, vJ — Stys, vt, vu v2)
+ S(vif vlt v2, v3)
= R(vi, Щ, va, vJ — R (vit vu v3, vJ—R (v3, o4, vlt o2)
Применяя (а) и (b), видим, что
2R(Vi, Щ, v3, v4)—2R(v3, y4, vlt o2) = 0. ?
Предложение 1.2. Пусть R и Т — два квадрилинейныхото-
квадрилинейныхотображения со свойствами (а), (Ь) и (с), указанными выше. Если
R (рг, vt, vt, v2) = Т (vlt vit vit v2) для всех vx, v2 ? V,
mo R = T.
Доказательство. Мы можем считать, что Т = 0, рас-
рассмотрев R — Т и 0 вместо R и Т. Мы считаем поэтому, что
R (yi> °2> vi> °2) = 0 Для всех vu v2?V. Имеем
= R(vt, vit vit o4) + i?(ult vt, vt, v2) = 2R(v1, v2, vlf u4).
Отсюда
A) R A4, Vi, vlt У4) = 0 для всех vt, va, v4
Из A) получаем
0 /?( ,, vt, vx + v3, o4)
a, v3, vA)+R (v3, v2, vlt o4).

188
ГЛ. IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Пусть Y = д/дх^ и Z = д/дхк для любых фиксированных ; и k.
Тогда имеем
* • 8jk = — 2S/k+8jh + Sjk = 0.
Это означает, что функции gJh инвариантны относительно локаль-
локальной 1-параметрической группы преобразований ф(, порожденной
полем X. Но ф4 имеет вид
Итак, функции gJk постоянны вдоль каждой геодезической через х.
Отсюда
gjk = gjk(x) = §jk в каждой точке из U (х; г).
Это показывает, что ехрх есть изометрическое отображение N (х; г)
с евклидовой метрикой на U(х; г). Пусть г0 — точная верхняя
грань г > 0 таких, что ехрх есть диффеоморфизм из N (x; г) на
U (х; г). Поскольку дифференциал (ехр*)* не вырожден в каждой
точке из Л^ (х; г0), ехрх есть диффеоморфизм, а отсюда в силу
вышеизложенных аргументов и изометрия из N (х; г„) на U (х; г0).
Если гв < оо, то тогда (ехрх)„ изометрично в каждой точке у
границы N (х; г0) и потому не вырождено в окрестности такой4
точкиг/. Поскольку граница у N (х; г0) компактна, мы видим,
что существует е > 0 такое, что ехрх есть диффеоморфизм из
N {х; го + е) на U (х; го + е), что противоречит определению г0.
Это показывает, что ехр* есть диффеоморфизм из ТХ(М) на М.
Выбирая нормальную координатную систему х1, ..., хп на всем
М, заключаем, что gjU = буй в каждой точке из М, т. е. М —
евклидово пространство. ?
Получим следующее следствие, принадлежащее Гото и С а-
с а ки [1].
Следствие 7.3. Пусть М—связное и полное риманово мно-
многообразие. Если суженная аффинная группа голономии Ф° (х) остав-
оставляет неподвижной точку евклидова касательного пространства
ТХ(М) для некоторого х?М, то М локально евклидово (т. е.
каждая точка из М имеет окрестность, изометричную откры-
открытому подмножеству евклидова пространства).
Доказательство. Применим теорему 7.2 к универсаль-
универсальному накрывающему пространству для М. ?
Следствие 7.4. Если М — полное риманово многообразие
размерности > 1 и если суженная линейная группа голономии
Т° (х) неприводима, то суженная группа голономии Ф° (х) содер-
содержит все сдвиги из Тх (М).
Доказательство. Так как \Р° (х) неприводима, то М не
локально евклидово. Наше утверждение следует теперь из тео-
теоремы 7.1 и следствия 7.3. Q
КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Предварительные алгебраические рассмотрения
Пусть V — я-мерное вещественное векторное пространство и
R: Ух VxVxV—>- R — квадр и линейное отображение со следую-
следующими тремя свойствами:
(a) R(vit va, v3, »4) = — R(vit vt, v3, vt),
(b) R(vlt v2, va, vi) = — R(vi, v2, vt, va),
(c) R (vlt vit va, vj + R (»!, va, vit v2) + R (vlt vit vit va) = 0.
Предложение 1.1. Если R обладает вышеуказанными
свойствами, то оно имеет и следующее четвертое свойство:
(d) R(vlt v2, va, f4) = ^(y3. °4- °i. vi)-
Доказательство. Обозначим через S (vx, v2, va, vt) левую
часть (с). Прямым подсчетом мы получаем
0 = 5(ui> ол, о„ vt) — S(v2, v3, o4, oj — S(va, o4, vx, v2)
+ S(vt, vx, о„ va)
= R(Vi, v2, va, vJ—R (v2, Vi, v3, vJ — R (v3, vit vu v2)
+ R(Vi, Va, Vx, У2).
Применяя (а) и (b), видим, что
2R(Vi, v2, v3, vJ—2R(v3, y4, vlt У2) = 0. П
Предложение 1.2. Пусть R и Т — два квадрилинейных ото-
отображения со свойствами (а), (Ь) и (с), указанными выше. Если
R(vt, vt, vx, v2) = T(vx, v2, Vi, o2) для всех vx, v^
mo R = T.
Доказательство. Мы можем считать, что Т = 0, рас-
рассмотрев R — Т и 0 вместо R и Т. Мы считаем поэтому, что
R(vlt v2, vx, v2) = 0 для всех vx, v2?V. Имеем
0 = R(vit ya + &4, vx, &2
= i?(fi, о„ ои о*)+/?(»!. vit vit v2) = 2R(vv vt, vx,
Отсюда
A) R (vlt va, vx, »4) = 0 для всех vx, v2, v^^V.
Из A) получаем
a, v3,
(v3, v2, vlt y4).

190
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Теперь, применяя (d), а затем (Ь), имеем
0 = R(v1, v2, о„ oj + Д fa, о4, о„ и2)
= Я (ох, и2, »3, vJ — R (vit vt, vt, v3).
Отсюда
B) R(vu v2, v3, t»4) = /?(o1, »4, о„ о,) для всех i^, о„ о„ u4eF.
Заменяя v2, v3, o4 на у9, о4, ua соответственно, получаем
C) R(vlt vt, v3, vi) = R(v1, va, u4, »,) для всех vl7 v2, v3, v4^V.
Из B) и (З) получаем
3R(vt, v2, va, o4)
= /?fa, u2> v3, i»4) + /?fa, о„ о4, oj + flfa, o4, о„ о,),
где правая часть есть нуль в силу (с). Отсюда
Я fa, °2. Щ, а4) = 0 для всех vx, v2, v3, u4€V. Q
Кроме квадрилинейного отображения R, мы рассмотрим ска-
скалярное произведение (т. >е. положительно определенную симмет-
симметричную билинейную форму) на V, которое будет обозначаться
(,). Пусть р— плоскость, т. е. 2-мерное подпространство, в V,
и пусть vlt v2 — ортонормальный базис для р; полагаем
K(p)=-R(v1, v2, vit o8).
Как видно из обозначения, К (р) не должно зависеть от выбора
ортонормального базиса для р. Действительно, если шх, w2 обра-
образуют другой ортонормальный базис для р, то w± = аох + bva,
ш-2 — — bv1-\-av2 (или bvx — av2), где а и Ъ — действительные числа
такие, что аа + 62=1. Используя (а) и (Ь), легко получаем
R(vu v2, vlt v2) = R(w1, w2, wlt w2).
Предложение 1.З. Если vlt v2 есть базис (не обязательно
ортонормальный) плоскости р из V, то
Д (pi-E2. «1, Рг)
К (п)—
(Pi, pO(p«. «г) — (Pi,
Доказательство. Мы получаем формулу, используя сле-
следующий ортонормальный базис для р:
\l/2
где а = [(и1, оО^»!, oj (olf у2) — (olt
Положим
Rl(Plt V2, V3, Vj = (pit V3)(V2, Vt) —
?
для vlt v2, v3,
2. СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА
191
Тривиально проверяется, что Rt — квадрилинейное отображение
со свойствами (а), (Ь) и (с) и что для любой плоскости р в V
имеем
#1 (Р) = # (»1. °2, »i. f г) = 1.
где vlt v2 — ортонормальный базис для р.
Предложение 1.4. Пусть R — квадрилинейное отображе-
отображение со свойствами (а), (Ь) и (с). Если К{р) = с для всех плоско-
плоскостей р, то R=cR1.
Доказательство. По предложению 1.3 имеем
R(vit va, vlt v2) = cR1(v1, v2, v±, v2) для всех t/lt »26V.
Применяя предложение 1.2 к R и cRit заключаем, что R —cR^ ?
Пусть elt ..., en — ортонормальный базис для V относительно
скалярного произведения (,). С каждым квадр и линейным ото-
отображением со свойствами (а), (Ь) и (с) свяжем симметричную
билинейную форму 5 на V так:
S(&!, u2) = 7?(e1, vlt elt v2)
vlt e2,
... +R (en, vlt en, y2
Легко проверяется, что S не зависит от выбора ортонормального
базиса ег, . .., еп. Из определения 5 получаем
Предложение 1.5. Пусть v ? V—единичный вектор, и пусть
v, е2, ..., еп — ортонормальный базис для V. Тогда
S(v, v)=K(p,)+..
где pi — плоскость, натянутая на v и ег.
§ 2. Секционная кривизна
Пусть М есть n-мерное риманово многообразие с метрическим
тензором g. Пусть R (X, Y) обозначает преобразование кривизны
в Тх (М), определенное векторами X, Y 6 Тх (М) (см. § 5 главы III).
Тензор (поле) римановой кривизны для М, обозначаемый также
через R, есть тензорное поле, 4-ковариантное и определяемое так:
R(XU X2, X3, Xt)=g(R[(Xa, X,)X2, X,),
Х{?ТХ{М), 1 = 1, ..., 4.
Предложение 2.1. Тензор римановой кривизны, рассмат-
рассматриваемый как квадрилинейное отображение Тх (М) х Тх (М) х Тх (М)
хТх(М)—>- R в каждой «точке х?М, обладает свойствами (а),
(Ь), (с), а отсюда и (d) из § 1.
Доказательство. Пусть и — любая точка расслоения О (М)
ортонормальных реперов такая, что п(и) = х. Пусть XI,
XI 6 Та (О (М)) с л (Ха) = Х3 и п (Xt) = Xt. Из определения пре-
преобразования кривизны R (Х3, Х4), данного в § 5 главы III,

192
ГЛ. V. КРИВИЗНА И- ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
получаем
g(JR(Xa,
l X,)
где (,) есть естественное скалярное произведение в R". Теперь
видим, что свойство (а) есть следствие того, что Q (XI, XI) ? о («)
есть кососимметрическая матрица. (Ь) следует из R (Х3, Х4)
= —R(Xd, Xs). Наконец, (с) есть следствие первого тождества
Бианки, даваемого теоремой 5.3 главы III. ?
Для каждой плоскости р в касательном пространстве Тх (М)
секционная кривизна К (р) для р определяется так:
K(P) = R(X1, Xt, Xt, Xt)=g(R(Xlt Х2)Х„ X,),
где Xlt X2 — ортонормальный базис для р. Как мы видели в § 1,
К (р) не зависит от выбора ортонормального базиса Х1г Х2.
Предложение 1.2 влечет, что множество значений К (р) Для всех
плоскостей р в ТХ(М) определяет тензор римановой кривиз-
кривизны в х.
Если К (р) постоянна для всех плоскостей р в ТХ(М) и всех
точек х?М, то М называется пространством постоянной кри-
кривизны. Следующая теорема принадлежит Шуру [1].
Теорема 2.2. Пусть М — связное риманово многообразие
размерности ^3. Если секционная кривизна К(р), где р есть
плоскость в ТХ(М), зависит только от х, то М есть простран-
пространство постоянной кривизны.
Доказательство. Определим 4-ковариантное тензорное
поле R± так:
, Z, X,
По предложению 1.4 имеем
=g(W, X)g(Z, Y)-g(Z, X)g(Y, W),
W, Z, X,
Tx (M).
R = kRlt
где k есть функция на М. Поскольку g параллельно, то и Rx
параллельно. Отсюда
(VvR)(W, Z, X, Y) = (Vuk)R1(W, Z, X, Y)
для любого U ? Тх (М).
Это означает, что для любых X, Y, Z, U ? Тх (М) имеем
[(V?)(Xt Y)]Z = (Uk)(g(Z, Y)X-g(Z, X)Y).
Рассмотрим циклическую сумму вышеприведенного тождества
относительно (U, X, Y). Левая часть тогда есть нуль в силу
второго тождества Бианки (теорема 5.3 главы III). Так мы имеем
О = (Uk) (g (Z, Y)X-g (Z, X) Y)
+ (Xk)(g(Z, U)Y-g{Z, Y)U) + (Yk)(g(Z, X)U-g(Z, U) X).
2. СЕКЦИОННАЯ КРЕГЭИЗНА
193
Для произвольного X выберем Y, Z и U так, что X, Y, Z взаимно
ортогональны, a U = Z и g(Z, Z)—l. Это возможно, поскольку
dim Ц^З. Тогда получаем
(Xk)Y —
Так как X и Y линейно независимы, то имеем Xk = Yk = 0. Это
и показывает, что k — константа. Q
Следствие 2.3. Для пространства постоянной кривизны
имеем
R(X, Y)Z = k(g(Z,Y)X-g(Z, X)Y).
Это было установлено в процессе доказательства теоремы 2.2.
Если k — положительная (соотв. отрицательная) константа,
то М называется пространством постоянной положительной (соотв.
отрицательной) кривизны.
Щ{ Если Rjki и gq — компоненты тензора кривизны и метрического
тензора относительно локальной системы координат (см. § 7
главы III), то компоненты R{jki тензора римановой кривизны
задаются так:
Rtjkl —
Если М — пространство постоянной кривизны с К(р) = к, то
Riiki = k (gikgji—gjkgu), Rjui = k (bfai—gjk8f).
Как и в § 7 главы III, мы определяем множество функций
Rjbi на L(M) так:
где Q=(Q/)—форма кривизны римановой связности. Для произ-
произвольной точки и из О (М) выбираем локальную систему коорди-
координат л:1, ..., хп с началом х — п(и) такую, что и есть репер,
задаваемый как (д1дхг)х, ... (д/дхп)х. По отношению к этой си-
системе координат имеем
и отсюда
R*u = Rijki = Ь (bitfiJt — bJkbH) в х.
Пусть а — локальное сечение для L(M), задаваемое полем линей-
линейных реперов д/дх1, . . ., д/дхп. Как было показано в § 7 главы III,
имеем o*RljM = Rjki- Отсюда
? 6/* —б/*в«) в «.
в и.
Поскольку и — произвольная точка из 0(М), имеем
7 Ш. Кобаяси, К. Номидзу, т. !

194
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Предложение 2.4. Если М — пространство постоянной-
кривизны с секционной кривизной k, то форма кривизны Q = (Qj)
задается так:
Щ на 0(М),
где 0 = (в') — каноническая форма на О (М).
§ 3. Пространства постоянной кривизны
В этом параграфе мы построим для каждой константы k
односвязное полное пространство постоянной кривизны с сек-
секционной кривизной k. Именно, будет доказана
Теорема 3.1. Пусть (х1, .. ., хп, t) — координатная система
в R"+1, a M—гиперповерхность в Rn+1, определенная так:
(х1J + ¦ ¦ • + (хпJ -\-rt* — r (г — ненулевая константа).
Пусть g—риманова метрика на М, полученная сужением сле-
следующей формы на М:
(dx1J + . .. + (dxny~ + r dt2.
Тогда:
A) М есть пространство постоянной кривизны с секционной
кривизной 1/л
B) Группа G линейных преобразований в Rn+1, оставляющих
инвариантной квадратичную форму (л:1)*^- • • • +(хп)й+ rt2, дейст-
действует на М транзитивно, как группа изометрий в М.
C) Если г > О, то М изометрично сфере радиуса г1?2. Если
г < 0, то М состоит из двух взаимно изометричных связных
многообразий, каждое из которых диффеоморфно R".
Доказательство. Сначала заметим, что М есть замкну-
замкнутое подмногообразие в R"+1 (см. пример 1.1 главы I); оставляем
проверку этого читателю.
Начнем с доказательства C). Если г>0, то полагаем х" + 1
= rl>2t. Тогда М задается так:
и метрика g есть сужение формы (dx1J-\- . . . +(dxn + 1J на М. Это
означает, что М изометрично сфере радиуса л1/2. Если г < О,
Р^\ каждой точке из М. Пусть М' (соотв. М") есть
О
то Р^\ в
множество точек
(х1 х", t) —
из
(у1,
)
М с t^\ (соотв. /=s^ — 1). Отображенке
. . ., у11), определяемое формулой
у* = х'Ц, t = l, ..., п,
есть диффеоморфизм из М' (и М") на открытое подмножество
в R", задаваемое неравенством
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
195
Действительно, обратное отображение задается так:
^
= 1, ..., п,
Г \1/2
Прямая выкладка показывает, что метрика g выражается в тер-
терминах у1, . ¦ ¦, уп так:
г [(г+ У, (уОО
Чтобы доказать B), мы сначала рассмотрим G как группу,
действующую на R"+1. Поскольку G есть линейная группа, остав-
оставляющая (х1J + . .. + (хпJ + ft2 инвариантным, она оставляет
форму (dx1)" + . . . + (dxnJ + rdt2 инвариантной. Следовательно,
рассматриваемая как группа, действующая на М, G есть группа
изометрий риманова многообразия М. Транзитивность G на М
есть следствие теоремы Витта, которая может быть сформули-
сформулирована так.
Пусть Q — невырожденная квадратичная форма на векторном
пространстве V. Если f — линейное отображение подпростран-
подпространства U из V в V такое, что Q(f(x)) = Q(x) для всех x?U, то /
может быть продолжено до линейного изоморфизма V на себя
такого, что Q(f(x)) = Q(x) для всех x?V. В частности, если
х0 и х1 — элементы из V с Q(xo) = Q(xx), то существует линейный
изоморфизм / из V на себя, оставляющий Q инвариантной и
отображающий х0 в хх.
Относительно доказательства теоремы Витта см., например,
Артин [1], с. 121 (с. 165 русского перевода).
Наконец, докажем A). Пусть Я —подгруппа в G, которая
состоит из преобразований, оставляющих точку о с координа-
координатами @, .... О, 1) неподвижной. Мы определяем отображение
f: G —+0 (М) так. Пусть ы0 6 О (М) — репер в точке о = @, .... О,
\)?М, заданный как (dldxl)o, ..., (д/дх")о. Каждый элемент
a?G, будучи изометрическим преобразованием в М, отображает
каждый ортонормальный репер из М в ортонормальный репер.
В частности, а(и0) есть ортонормальный репер из М в точке а (о).
Мы определяем
f(a)=a(u0), a?G.
Лемма 1. Отображение /: G—+O(M) есть изоморфизм глав-
главного расслоения G(G/H, Н) на расслоение О(М)(М, 0(п)).
Доказательство леммы 1. Если мы рассмотрим G
как группу (п-\- 1)х(«+ 1)-матриц естественным образом, то Н
7*

196
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
естественно изоморфно О (га):
HIT "!¦ . •
Легко проверить, что /: G—*¦ О (М) коммутирует с правыми сдви-
сдвигами Ra для каждого a?ff — O(ri):
f(ba)=f(b)-a для
Транзитивность G на М влечет, что индуцированное отображение
/: GJH—+M есть диффеоморфизм и отсюда что /: G —*¦ О (М)
есть изоморфизм расслоений.
Квадратичная форма, определяющая М, задается следующей
(«+ 1)х («+ 1)-матрицей:
в—|i- ?|-
(га+ 1) х (га+ 1)-матрица а есть элемент из G тогда и только тогда,
когда taQa = Q, где *а — транспонированная матрица для а. Пусть
где X — пх n-матрица, # и г —элементы из R", а ау —вещест-
—вещественное число. Тогда условие, что a?G, выражается так:
Отсюда следует, что алгебра Ли для G образована матрицами
вида
И о|
где А есть /г х «-матрица с М + Л = 0, а Ь и с — элементы из R",
удовлетворяющие b\-rc — Q. Пусть
an ... о»
есть'] (левойнвариантная) каноническая 1-форма на G (см. § 4
главы I). Имеем
) 0, Р' + гр,= О, I, / = 1 /г.
Уравнение Маурера — Картана для G выражается так:
— Р* Л Ту. г, / = 1 ,...,«•
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
197
Лемма 2. Пусть 0 = @*) и со = (со)) — каноническая форма и
форма связности на 0(М). Тогда
Доказательство леммы 2. Как мы заметили ранее,
каждый элемент a?G индуцирует преобразование в 0(М); это
преобразование соответствует левому сдвигу элементом а в G
при изоморфизме /: G—+O(M). Из определения 0 мы легко
видим, что 0 = @') инвариантна относительно преобразования,
индуцированного каждым a?G. С другой стороны, ф1) инва-
инвариантна относительно левых сдвигов любым a?G. Чтобы дока-
доказать f*Q' =|5't достаточно поэтому показать, что (/*0') (X*) = р*' (X*)
для всех X*?Te(G). Положим Х1 = (д/дх')о, так что репер ив
задается как ,(Хк •••> Хп)- Композиция отображений я о /:
G -+0 (М) —*¦ М отображает элемент из Те (G) (отождествленного
с алгеброй Ли для G) вида
\\А Ь\
\*с О
в вектор ^ijb'Xc ^ Т0(М), где Ь1, ..., Ьп — компоненты для Ъ.
Поэтому, если X*?Te(G), то п о f (X*) = ^fi'(X*) X t и отсюда
что доказывает первое утверждение леммы. Пусть g и I) — алгебры
Ли для G я В соответственно. Пусть т —линейное подпро-
подпространство в д, состоящее из матриц вида
110 Ь\
1 *с 0 I1
Легко проверить, что m устойчиво относительно ad H, т. е.
ad (a) (m) = nt для каждого а?Н. Применяя теорему 11.1 главы II,
мы видим, что (аф определяет связность в расслоении G (G/H, Н).
Теперь второе утверждение леммы 2 получается из следующих
трех фактов: A) ф1) соответствует (8') при изоморфизме /:
G —*О (М); B) форма римановой связности (со)) характеризуется
свойством обращения в нуль кручения (теорема 2.2 главы IV),
т. е. dQl = — Sft^ftAQ*; C) форма связности (aj) удовлетворяет
равенству dp' = — 2ftaftAP*-
Мы теперь завершим доказательство теоремы 3.1. Лемма 2
вместе с
и
влечет

198
V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
показывающее, что ¦ форма кривизны римановой связности за-
задается как у-в'Ав'- По предложению 2.4 М есть пространство
постоянной кривизны с секционной кривизной 1/г. ?
Замечание. Группа G есть в действительности группа
всех изометрий в М. Чтобы увидеть это, допустим, что 3 (М) есть
группа изометрий в М, и определим отображение f: 3 (М) —>- О (М)
таким же образом, как мы определили /: G —±0(М). Тогда
G<=S(M) и /: 3(М)-+0(М) есть продолжение для /: G — О (М).
Так как / отображает 3 (М) взаимно однозначно в О (М) и так
как f(G) = O(M), мы должны иметь G =3 (М). В процессе дока-
доказательства теоремы 3.1 была получена
Теорема 3.2. A) Пусть М — сфера в R"+1, определяемая так:
(х1J^ ... + {хп-*1J = а?.
Пусть g есть сужение (dxlJ-\-... + (йх"+1У на М. Тогда отно-
относительно римановой метрики g M есть пространство постоянной
кривизны с секционной кривизной \/а2.
B) Пусть М — открытое множество в R", определяемое так:
(х1J+ . . . +(хпJ <а2.
Тогда относительно римановой метрики вида
2о*оО
М есть пространство постоянной кривизны с секционной кри-
кривизной — 1 /а2.
Пространства М, построенные в теореме 3.2, все односвязны,
однородны и отсюда полны по теореме 4.5 главы IV. Про-
Пространство R" с евклидовой метрикой (dx1J + ... + (dxnJ есть
односвязное полное пространство нулевой кривизны.
Говорят, что риманово многообразие постоянной кривизны
эллиптическое, гиперболическое или плоское (или локально евкли-
евклидово) соответственно, если секционная кривизна положительна,
отрицательна или нуль. Эти пространства называются также
пространственными формами (см. теорему 7,10 главы VI).
§ 4. Плоские аффинные и римановы связности
Всюду в этом параграфе М будет связным паракомпактным
многообразием размерности п.
Пусть А (М) — расслоение аффинных реперов над М; оно
является главным расслоением со структурной группой G=A(n;
R) (см. § 3 главы III). Говорят, что аффинная связность в М
плоская, если каждая точка из М имеет открытую окрестность U
и изоморфизм ip: A(M)-^UxG, который отображает горнзон-
§Ч. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
199
тальное пространство в каждой точке и ? А A1) в горизонтальное
пространство в я|)(ы) канонической плоской связности для UxG.
Про многообразие с плоскбй аффинной связностью говорят, что
оно локально аффинное. Риманово многообразие плоское (или
локально евклидово), если риманова связность есть плоская аф-
аффинная связность.
Теорема 4.1. Для аффинной связности в М следующие
условия взаимно эквивалентны:
A) она плоская;
B) кручение и кривизна соответствующей линейной связности
равны нулю;
C) аффинная группа голономии дискретна.
Доказательство. По теореме 9.1 главы II аффинная
связность плоская тогда и только тогда, когда ее форма кри-
кривизны Q на А (М) тождественно равна нулю. Эквивалентность
A) и B) следует из предложения 3.4 главы III. Эквивалентность
B) и C) следует из теорем 4.2 и 8.1 главы II. ?
Замечание. Аналогично для линейной связности на М сле-
следующие условия взаимно эквивалентны:
A) Связность плоская, т. е. связность в L(M) плоская. B) Ее
кривизна тождественно равна нулю. C) Линейная (или однород-
однородная) труппа голономии дискретна.
Когда мы говорим, что аффинная группа голономии и линей-
линейная группа голономии дискретны, мы подразумеваем, что они
суть 0-мерные группы Ли. Позже (см. теорему 4.2) мы увидим,
что аффинная группа голономии полной плоской аффинной
связности дискретна в аффинной группе_Л(«; R). Но линейная
группа голономии не обязательно дискретна в GL(n; R) (см.
пример 4.3). Будет показано, что линейная группа голономии
компактного плоского риманова многообразия дискретна в О (п)
(см. доказательство утверждения D) теоремы 4.2 и замечание,
следующее за теоремой 4.2).
Пример 4.1. Пусть |15 ..., ?А — линейно независимые эле-
элементы из R", k^n. Пусть G — подгруппа в R", порожденная
элементами ?1( .. ., "%k:
&i'> mi целое}.
Действие G на R" собственно разрывно и R" есть универсаль-
универсальное накрывающее многообразие для R"/G. Евклидова метрика
(dx1)" -j- . . . + (dxnY в R" инвариантна относительно G и поэтому
индуцирует плоскую риманову метрику на R"/G. Многообразие
Rn/G с римановой метрикой, так определенной, будет называть-
называться евклидовым цилиндром. Оно называется евклидовым тором,
если ix, ..., ift образуют базис в R", т. е. k = п. Каждая связная
коммутативная группа Ли с инвариантной римановой метрикой
есть евклидов цилиндр, и если она, сверх того, компактна,

ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
то это евклидов тор. Действительно, универсальная накрываю-
накрывающая такой группы Ли изоморфна векторной группе R" и ее инва-
инвариантная риманова метрика имеет вид (dx1J + • • - + (dx11J при под- ¦
ходящем выборе базиса в R". Наше утверждение теперь очевидно.
Следующий пример показывает, что тор может допускать
плоскую аффинную связность, которая не является римановой.
Он заимствован у Кюипера [1].
Пример 4.2. Множество G преобразований
(х, у) —<-(х + пу + т, у + п), п, т = 0, ±1, ±2, ...,
§ 4. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
201
из R2 с системой координат (х, у) образует дискретную под-
подгруппу группы аффинных преобразований; она действует соб-
собственно разрывно на R2 и фактор-пространство RVG диффеоморфно
тору. Плоская аффинная связность на R2 индуцирует плоскую
аффинную связность на R2/G. Эта плоская аффинная связность
на R2/G не является римановой. Действительно, если бы она
была риманова, то индуцированная риманова метрика универ-
универсального накрывающего пространства R2 была бы вида adxdx-\-
+ 2bdx dy + сdy dy, где a, b и с — константы, поскольку метрика
должна быть параллельна. С другой стороны, G не есть группа
изометрий в R2 относительно этой метрики, что и доказывает
наше утверждение.
Пусть М локально аффинно, и выберем линейный репер
ue?L(M) с А(М). Пусть М* — расслоение голономии через ы0
плоской аффинной связности и М'—расслоение голономии че-
через и0 соответствующей плоской линейной связности. Тогда М*
(соотв. М') есть главное расслоение над М, структурная группа
которого есть аффинная группа голономии Ф (м0) (соотв. линей-
линейная группа голономии W(u0)). Поскольку Ф(ы0) и W(ы0) ди-
дискретны, М* и М' — накрывающие многообразия для М. Гомо-
Гомоморфизм р*: А (М) —*L(M), определенный в § 3 главы III, отобра-
отображает М* на М' (см. предложение 3.5 главы III). Поэтому М* есть
накрывающее многообразие для М'.
Теорема 4.2. Пусть М—многообразие с полной плоской
аффинной связностью. Пусть uo?L(M) сг А (М). Пусть М* —
расслоение голономии через иа плоской аффинной связности и М' —
расслоение голономии через и0 соответствующей плоской линейной
связности. Тогда:
A) М* есть универсальное накрывающее пространство для М
и относительно плоской аффинной связности, индуцированной
на М*, оно изоморфно обычному аффинному пространству А".
B) Относительно плоской аффинной связности, индуцирован-
индуцированной на М', М' есть евклидов цилиндр и первая гомотопическая
группа для М' изоморфна ядру гомоморфизма Ф(ы0) —<- ^(«о)-
C) Если М" есть евклидов цилиндр и накрывающее простран-
пространство для М, то оно есть накрывающее пространство для М'.
D) М' есть евклидов тор тогда и только тогда, когда М —
компактное плоское риманово многообразие.
Доказательство. Пусть
— структурные уравнения для L(M') плоской аффинной связ-
связности на М'. Пусть iV —ядро гомоморфизма Ф(ы„)-+•?(«„).
Так как М' =M*/N, то аффинная группа голономии плоской
аффинной связности на М' естественно изоморфна N (см. пред-
предложение 9.3 главы II). Группа N состоит только^из чистых
сдвигов и линейная группа голономии для М' тривиальна. Пусть
ст: М'—у ЦМ') — глобально определенное параллельное поле
линейных реперов. Положим
в' = о-*6'\
о*ш}, i, / = 1, ..., п.
Так как а горизонтально, т.е. сг(уИ') горизонтально, мы имеем
соу- = О. Структурные уравнения влекут dBl = O. Мы утверждаем,
что для произвольно выбранной точки о?М' существует един-
единственная абелева групповая структура на М' такая, что точка о —
ее единица и формы 8' инвариантны. Наше утверждение вытекает
из следующих трех фактов:
(a) 81, ...,8" образуют базис пространства ковекторов в каж-
каждой точке из М'.
(b) <#' = 0 для i = 1, .. ., п.
(c) Пусть X — векторное поле на М' такое, что в*(Х)=с'
(с' — константы) для i — \, ..., п. Тогда X полно в том смысле,
что оно порождает 1-параметрическую группу глобальных пре-
преобразований в М'.
Полнота связности влечет (с) так. Пусть X* — горизонтальное
векторное поле на L(M'), определяемое как 8'(X*)=c', i = 1, ..., п.
X соответствует X* при действии диффеоморфизма а: М' —> а (М1).
Поскольку X* полно (см. предложение 6.5 главы III), то и X
полно. Отметим, что (Ь) влечет абелевость группы.
Ясно, что (Гв1 + • • • + 0П6Л есть инвариантная риманова мет-
метрика на коммутативной группе Ли М'. Как мы уже видели
в примере 4.1, М' есть евклидов цилиндр.
Лемма 1. Пусть R"/G, G = (^ki=-l_mi\i; т{ целое),— евклидов
цилиндр, как это определено в примере 4.1. Тогда аффинная группа
голономии для R"/G есть группа сдвигов, изоморфная G.
Доказательство леммы 1. Мы отождествим касатель-
касательное пространство Та (R") в каждой точке а ? R" с R" с помощью
следующего соответствия:
Та (R-) Э 2?-i Я' (д/дх% «-»(Я\ ..., X») € R".

202
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Линейный параллельный перенос из 0 ? R" в a?R» переводит
(к1, ..., кп) ? То (R") в вектор с теми же компонентами (к1, ...,
ka)?T0(Rn). Аффинный параллельный перенос из 0 ва==(а1, ¦
а") переводит (к1, ..., к"), рассматриваемый как элемент
из касательного аффинного пространства A0(Rn), в (Я1-(-а1, ...,
kn + an)?Aa(Rn). Пусть %*—х), 0г^<1, есть линия из 0
в 2*=im/^- €<J, и пусть T = ;cf, Os^/s^l, есть образ кривой т*
относительно проекции R" —> R"/G. Тогда т —замкнутая кривая
в R"/G. Пусть
2*=1/я/1/ = (а1, ..., a«)€R".
Тогда аффинный параллельный перенос вдоль т порождает сдвиг
(к\ Р^^ + 1
(к\ .... Р^
а«).
Это завершает доказательство леммы 1.
Будучи накрывающим многообразием для М', М* также есть
евклидов цилиндр. По предложению 9.3 главы II аффинная
группа голономии для М* тривиальна. По лемме 1 М* должно
быть обычным аффинным пространством А", что и доказывает A).
Так как М' = M*/N, то первая гомотопическая группа для М'
изоморфна N. Это завершает доказательство B).
Пусть М" — накрывающее пространство для М. Поскольку
М* — универсальное накрывающее пространство для М, мы можем
написать M" — M*/ff, где Н—подгруппа в Ф (ы0). Аффинная
группа голономии для М" есть Н в силу предложения 9.3
главы II. Если М" есть евклидов цилиндр, то аффинная группа
голономии Н состоит только из сдвигов (см. лемму 1) и потому
содержится в ядре N гомоморфизма Ф (ы0) —>¦ Ч?(и0). Так как
М' = M*IN, то мы можем заключить, что М" есть накрывающее
пространство для М', а это и доказывает C).
Допустим, что М' есть евклидов тор. Отсюда следует, что
М компактно и что линейная группа голономии Ф(ы0) Для М
конечна. Это влечет, что плоская аффинная связность на М
риманова. Действительно, мы выбираем скалярное произведение
в ТХо (М), хо = п(ио), инвариантное относительно линейной группы
голономии с точкой отсчета ха, и затем продолжаем его до
римановой метрики параллельными переносами. Плоская аффин-
аффинная связность в М есть риманова связность относительно так
построенной римановой метрики.
Обратно, пусть /И — компактное связное плоское риманово
многообразие. В силу A), отождествляя М* с R", можем писать
M = Rn/G, где G — дискретная подгруппа группы евклидовых
движений, действующая на R". Пусть N — подгруппа в G, со-
состоящая из чистых сдвигов. Ввиду B) и C) наша задача —
доказать, что R"/N — евклидов тор. Сначала докажем несколько
лемм.
§ 4. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
203
Лемма 2. Пусть А и В—унитарные матрицы степени п
такие, что А перестановочна с АВА~1В~1. Если характеристи-
характеристические корни для В имеют положительные действительные части,
то А перестановочна с В.
Доказательство леммы 2. Так как ААВА~1В~1 =
= АВА-гВ~хА, то АВА-1В~1=ВА~1В~1А. Без потери общности
можно считать, что В диагональна с диагональными элементами
~А—1 зш|Зй, k = \, ..., п. Поскольку А~Х = *А и
5~1 = ^Я = 5, имеем
AWAB =
Сравнивая элементы с номерами (?, ?), имеем
2/= 1 b\bffit = 2/= х ЬДВ,а{, где А = (aj).
Сравнивая мнимые части, получаем
27_1(|a}|> + M|e)-sm(p_/-p/) = 0 для i = \,...,n.
Мы можем также считать, что р\ = р*2 = .. . = р„, < Pp, + i = ... —
= РЛ+Л < • • • <.'Р„ < Pi + я. Поскольку все bk имеют положи-
положительные вещественные части, то
sin(Py — р,)> 0 для /</?! и j>p1.
Отсюда мы должны иметь
а/ = а{ = 0 для 1^рг и / > рг.
Аналогично
а)=а\ = Ъ для i^p^ + p^ и / > рх + р2-
Продолжая, мы имеем
0
0
0
0
где Л17 А2, ... — унитарные матрицы порядков рг, р2, ..., а /1;
/2, . . . — единичные матрицы порядков рг, р2, ... Это ясно пока-
показывает, что А и В коммутируют.
Для любой матрицы А = (а}) типа (г, s) положим
Другими словами, ф (А) есть длина А, когда А рассматривается
как вектор с rs компонентами. Мы имеем

204
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Последнее следует из неравенства Шварца. Если Л—ортогональ-
Л—ортогональная матрица, то имеем
Каждое евклидово движение в R* задается так:
где А — ортогональная матрица (называемая вращательной частью
движения), а р — элемент из R" (называемый сдвигающей частью
движения). Это движение будет обозначаться (Л, р).
Лемма 3. Пусть заданы два евклидовых движения (Л, р) и
(В, q), положим
(Alt B1) = (A, p)(B, q)(A, p)-l(B, q)~K
Пусть I — единичная матрица степени п. Если ф(Л — /) < а и
ц>(В~1)<Ь, то:
A) ф(Л1-/)<2а6;
B) <p(Pl)<b-<t(p)-\-a-<p(q).
Доказательство леммы 3. Мы имеем
Аг— I = АВА^В-1 — / = (АВ — В А) А~1В~Х
= ((Л — /) E — /) — E — /) (Л — /)) А-^В-1.
Поскольку А~1В~1 — ортогональная матрица, то
Ф (Л х -г /)< ф (А — /) • ф (В — I) + ф (В — I) ¦ ф (Л — /)< lab.
Простым подсчетом получаем
По той же причине, что и выше, имеем
() фG)
Лемма 4. При тех же обозначениях, что и в лемме 3,
положим ,
(Лл> pk) = (A, p)(Ak.ll рк-,)(А, р)-НАк_1У Рь-О-1, k = 2, 3, ...
Тогда для k = 1, 2, 3, ... мы имеем
A) ф(^-/)<2*йЧ»;
B) (p(pk)<B"-\)ak-1b-q>(p) + a^<p(q).
Доказательство леммы 4. Простая индукция с исполь-
использованием леммы 3 устанавливает неравенствэ.
Лемма 5. Пусть G—дискретная подгруппа группы евкли-
евклидовых движений в R". Пусть а < у и
Тогда любые два элемента (А, р) и (В, q) из G (а) перестановочны.
§ 4. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
205
Доказательство леммы 5. По лемме 4 ф (Ak—/) и ф (pk)
стремятся к нулю, когда k стремится к бесконечности. Так как
G дискретна в А (п, R), то существует целое k такое, что Ak = I
и pft = 0. Покажем, что характеристические корни аг, ...,ап
ортогональной матрицы А с ф(Л-~-/)<-2- имеют положительные
вещественные части. Если U — унитарная матрица такая, что
UAll'1 диагональна, то
ф (Л — /) = ф (U (Л — /) U-1) = ф (UAU-1 — I)
что и доказывает наше утверждение. Применяя лемму 2 к
Ak= AAk_1A~xAk_l, видим, что ЛА_1 = /. Продолжая далее, имеем
Лх=/. Итак, А и В перестановочны. Отсюда
Поскольку pk = 0, имеем
Меняя ролями (Л, р) и (В, q) и замечая, что
(В, q)(A, p)(B, q)-*(A, p)^ = {I, -Pl),
получаем
(В — /)га~1р1 = 0 для некоторого целого т.
Так как Л и В коммутируют, то существует унитарная матрица U
такая, что UAU'1 и UBU'1 диагональны. Положим
о
О ".
Тогда из
{A-I)*
получаем
Аналогично из
о -.
о
ь„
= \, ..., п.

206 Гл- v- КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
получаем
(Ь._1)—1 {(!_&,) г,-A^а/) *,} = (), /=1, .... п.
Отсюда имеем
A-6,.) ^-A-^M,- = О, 1=1, ...,„.
Другими словами,
что завершает доказательство леммы 5.
Если (A, p)?G (а) и (В, д) ? G, то (В, д) (А, р) (В, q)~^ € G (a).
Действительно,
Ф (ВАВ-1 — /) = ф (В (А — I) В-1) = ф (А — /)< а.
Это показывает, что группа, порожденная множеством G (а), есть
инвариантная подгруппа в G. По лемме 5 она, более того, абе-
абелева, если а < -тр
Подмножество V из R" называется евклидовым подпростран-
подпространством, если существует элемент д:0 ? R" и векторное подпростран-
подпространство 5 в R" такие, что V=\x-\-x0; x?S}. Мы говорим, что
группа G евклидовых движений в R" неприводима, если R" есть
единственное евклидово подпространство, инвариантное относи-
относительно G.
Лемма 6. Если Н — абелева нормальная подгруппа неприво-
неприводимой группы G евклидовых движений в R", то Н содержит лишь
чистые сдвиги.
Доказательство леммы 6. Поскольку //абелева, можем
считать, применив, если необходимо, изменение ортогонального
базиса в R", что элементы (А, р) из Н одновременно приводятся
к следующей форме:
О
О At
fn -
2k I
Pi
Pk
Р*
. Л,=
cos a,- sin а,'|] . . у
— sin а,- cos а,- И
где /n_2ft — единичная матрица порядка n — 2&, каждое /?;- — век-
вектор с двумя компонентами, а р* — вектор с п — 2k компонентами.
Более того, для каждого i существует элемент (Л, р) из Н такой,
что Л,- отлична от единичной матрицы /2, так что Л,- — /2 не
вырождены а.
Наша задача теперь — доказать, что &=0, т.е. А — 1п для
всех (А, р)?Н. Допуская k^O, получим противоречие.
§ 4. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
207
Для каждого i выбираем (Л, р)€.Н такое, что Л,-—Д не
вырожденна, и определяем вектор t{ с двумя компонентами так:
(Л(.-/2)^ = Р/.
Покажем, что
(Bi — Ii)tl = q[ для всех (В, q)$H.
Так как (Л, р) и (В, q) перестановочны, то
или
Отсюда имеем
E,^/2)^ = E,.-/2)(Л,.-/2)-1Р/ = D-/2)-1E/-/а)Р/
= (Л i-/,)-1 (>1 ,— /.)?/ = <7/.
что и доказывает наше утверждение. Определим вектор t ? R" так:
h
Имеем теперь
(/„, t)(A, p)(In, t)-l = (In, /) (Л, р)(/„, -О
= (Л, p-{A-In)t),
где
Рх | Pi
р-И-^'=|:р* -и"
Р* II О
Перенося начало из R" в t, можно считать, что элементы (Л, р)
О
= 11 о
р*
р
из Н имеют вид
Л =
О
О А.
о
р*
Пусть V—-векторное подпространство в R", состоящее из всех
векторов, первые 2k компонент которых — нули. Тогда V инва-
инвариантно относительно всех элементов (Л, р) из Н. Покажем,
что V также инвариантно относительно G. Сначала замечаем,
что V есть в точности множество всех векторов, которые непод-
неподвижны относительно всех А, где (Л, р)?Н. Пусть (С, r)?G. Так

208
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
§ 4. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
209
как Н—нормальная подгруппа в G, то для каждого (Л,
существует элемент (В, д) такой, что
Если v?V, то ACv = CBv = Cv. Поскольку Cv неподвижен при
действии всех А, то он лежит в V. Отсюда С имеет вид
с о
О С*11'
где С" и С" —матрицы порядка 2k и п — 2k соответственно. Чтобы
доказать, что первые 2k компонент для г —нули, напишем
Для каждого i пусть (А, р) —элемент из Н такой, что Л,— /2
не вырожденна. Применяя равенство (А, р)(С, г) = (С, г) (В, д)
к нулевому вектору из R" и сравнивая компоненты с номерами
B/—1) и 2i в обеих частях, имеем
Так как (Л, — /2) не вырожденна, получаем
дый элемент (С, г) из G имеет вид
= 0. Итак, каж-
кажг =
о
г*
Это показывает, что V инвариантно относительно G, что проти-
противоречит неприводимости G. Это завершает доказательство леммы 6-
Лемма 7. Группа G евклидовых движений в R" неприводимая
если R"/G компактна.
Доказательство леммы 7. Предполагая, что G не яв-
является неприводимой, допустим, что V — собственное евклидово
подпространство из R", инвариантное относительно G. Пусть х0 —
любая точка из V, и пусть L — прямая через ха, перпендикуляр-
перпендикулярная к V. Пусть хг, х2, ..., хт, ... — последовательность точек
на L таких, что расстояние между х0 и хт равно т. Пусть G (х0)
обозначает орбиту группы G через х0. Так как G (х0) лежит в V,
то расстояние между G (ха) и л:я есть по крайней мере т и от-
отсюда равно т. Поэтому расстояние между образами х0 и хт
в Rn/G относительно проекции Rn—- R"/G равно т. Это озна-
означает, что R"/G не компактна.
Теперь мы в состоянии завершить доказательство D). Пусть G
и G (а) такие же, как в лемме 5, и считаем а < у. Пусть Я —
cos Атяя
— s:n Xmn
0
s;n Алгя
cos Хтк
0
0
0
1
, р (т) =
0
0
п
группа, порожденная множеством G (а); это абелева нормальная
подгруппа в G. Допустим, что R"/G компактна. Леммы 6 и 7
влекут, что Н не содержит ничего, кроме чистых сдвигов. С дру-
другой стороны, так как G дискретна, GIH конечна по построению
G(a), откуда Rn/H также компактна и потому есть евклидов тор.
Пусть N— подгруппа в G, состоящая из всех чистых сдвигов
в G. Поскольку G (а) содержит N, мы имеем N = H.3ro и дока-
доказывает, что R"/jV — евклидов тор. ?
Замечание. D) означает, что линейная группа голономии
компактного плоского риманова многообразия М = R"/G изо-
изоморфна GIN и потому конечна. Относительно A), B), C) см.
Ауслендер и Маркус [1]; мы здесь особо подчеркивали роль
аффинных групп голономии. D) было первоначально доказано
Бибербахом [1]. Доказательство, данное здесь, взято из работ
Фробениуса [1] и Цассен хауса [1].
Пример 4.3. Линейная группа голономии некомпактного
плоского риманова многообразия может и не быть конечной.
Действительно, фиксируем произвольное иррациональное вещест-
вещественное число к. Для каждого целого т полагаем
А(т) =
Далее полагаем G = {(A(m), p {т))\ т = 0, ±1, ±2, ...}. Легко
видеть, что G есть дискретная подгруппа евклидовых движений
в R3 и что она действует свободно на R3. Линейная группа
голономии для R3/G изоморфна группе {А (т); т=0, ±1, ±2, ...}.
Следствие 4.3. Многообразие М с плоской аффинной связ-
связностью допускает евклидов тор в качестве накрывающего прост-
пространства тогда и только тогда, когда М — компактное плоское
риманово многообразие.
Доказательство. Пусть М" — евклидов тор, который есть
накрывающее пространство для М. По C) теоремы 4.2 М" есть
накрывающее пространство для М'. Значит, М' есть компактный
евклидов цилиндр и поэтому евклидов тор. По C) теоремы 4.2
М" есть компактное плоское риманово многообразие. Обратное
содержится в D) теоремы 4.2. ?
Пример 4.4. В примере 4.2 положим М = R2/G. Пусть N —
подгруппа в G, состоящая из сдвигов:
(х, у)-+ (х + т, у), /я = 0, ±1; ±2, ...
Тогда накрывающее пространство М', определенное в теореме 4.2,
задается в этом случае как R2/N. Ясно, что ЛГ есть обычный
цилиндр, т. е. прямое произведение окружности и линии.
Описание 2-мерных полных плоских римановых многообра-
многообразий принадлежит Киллингу [1], [2], Клейну [1], [2] и

210
ГЛ. V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
X. Хопфу [1]. Мы приведем здесь их результаты с указанием
идеи доказательства.
Имеется четыре типа двумерных полных плоских римановых
многообразий, отличных от евклидовой плоскости. Мы охарак-
охарактеризуем фундаментальную группу (первую гомотопическую
группу) для каждого типа, описывая ее действие на универсаль-
универсальном накрывающем пространстве R2 в терминах декартовой коор-
координатной системы (х, у).
A) Обычный цилиндр (ориентируемый)
(х, у)—>-(х + п, у), л = 0, ±1, ±2, ...
B) Обычный тор (ориентируемый)
(х,
¦я, y + mb) т, я = 0, ±1, ±2, ....
а, Ь — вещественные числа,
C) Лист Мёбиуса с бесконечной шириной или скрученный ци-
цилиндр (неориентируемый)
, (~1)пу), я = 0, ±1, ±2, ...
D) Бутылка Клейна или скрученный тор (не ориентируемый)
(х, у)—>-(х + п, {—\)пу + Ьт), п, т = 0, ±1, ±2, ...,
b — ненулевое вещественное число.
Любое двумерное полное плоское риманово многообразие М
изоморфно с точностью до постоянного множителя одному из
вышеприведенных четырех типов поверхностей.
Доказательство проводится, в грубых чертах, так. По тео-
теореме 4.2 проблема сводится к нахождению дискретных групп
движений, действующих свободно на R2. Пусть G—такая дискрет-
дискретная группа. Мы сначала доказываем, что каждый элемент из G,
сохраняющий ориентацию в R2, необходимо есть сдвиг. Полагаем
z=x-\-iy. Тогда каждое сохраняющее ориентацию движение
из R^ имеет вид
z —
где е — комплексное число с абсолютной величиной 1, a w — комп-
комплексное число. Если мы итерируем преобразование z—*-гг-\-хю
г раз, то получим преобразование
Легко видеть, что если е=гМ, то точка ш/A—е) остается непод-
неподвижной относительно преобразования z—>sz-\-w в противоречии
§ 4. ПЛОСКИЕ АФФИННЫЕ И РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
211
с предположением, что G действует свободно на R2. Отсюда е= 1,
что доказывает наше утверждение. Если / — элемент из G, обра-
обращающий ориентацию в R2, то /2 есть сохраняющее ориентацию
преобразование и, следовательно, сдвиг. Так мы доказали, что
каждый элемент из G есть преобразование типа
z—>-z-\-w или z—>-z-\-w,
где z комплексно сопряжен к z. Теперь легко заключить, что М
должно быть одного из вышеуказанных четырех типов поверх-
поверхностей. Детали оставляются читателю.

Глава VI
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Аффинные отображения и аффинные преобразования
Пусть М и М' — многообразия, наделенные линейными связ-
ностями Г и Г' соответственно. Всюду в этом параграфе мы
обозначаем через Р(М, G) и P'(Mf, G') расслоения линейных
реперов L(M) и L(M') для М и М' соответственно, так что
G = GL(n;R) и G' = GL(n'; R), где n = dimM и л'= dim Л!'.
Дифференцируемое отображение /: М—>-М' класса С1 инду-
индуцирует непрерывное отображение /: Т (М)—>-Т (М'), где Т (М)
и Т (ЛГ) — касательные расслоения для М и М' соответст-
соответственно. Мы называем /: М—*¦ М' аффинным отображением, если
индуцированное отображение /: Т(М)-+Т(М') отображает каж-
каждую горизонтальную кривую в горизонтальную кривую, т. е.
если / отображает каждое параллельное векторное поле вдоль
каждой кривой т из М в параллельное векторное поле вдоль
кривой / (т).
Предложение 1.1. Аффинное отображение f: M—+ М' отоб-
отображает каждую геодезическую из М в геодезическую из М' (вместе
с ее аффинным параметром). Следовательно, / коммутирует
с экспоненциальным отображением, т. е.
/оехрХ = ехро/(Х), Х?ТХ(М).
Доказательство. Это очевидно из определения аффин-
аффинного преобразования. ?
Предложение 1.1 влечет, что аффинное отображение необхо-
необходимо есть отображение класса С°° при условии, что Г и Г' —
связности класса С".
Вспомним, что векторное поле X на М /-связано с вектор-
векторным полем X' на М', если f(Xx) = X'f<X) для всехх^М (см.
§ 1 главы 1).
Предложение 1.2. Пусть /: М-+- М' —аффинное отобра-
отображение. Пусть X, Y и Z—векторные поля на М, которые f-свя-
f-связаны с векторными полями X', Y' и Z' на М' соответственно. Тогда
A) V* Y /-связано с /S.x-Y', где V обозначает ковариантное
дифференцирование как в М, так и в М';
B) Т(Х, Y) f-связанос Т' (X', Y'), где Т и Г—тензорные поля
кручения для М и М' соответственно;
§ 1. АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 213
' C) R (X, Y)Z f-связано с R' (X', Y')Z\ где R и R' —тензор-
—тензорные поля кривизны для М и М' соответственно.
Доказательство. A) Пусть xt — интегральная кривая
поля X такая, что х = х0, и пусть То — параллельный перенос
вдоль этой кривой из xt в х — х0. Тогда (см. § 1 главы III)
(VXY)X= lira -LtfY -Yx).
Положим x't=f(xt), и пусть То' — параллельный перенос вдоль
этой кривой — образа из х\ в х' =х'о. Поскольку / перестано-
перестановочно с параллельным переносом, имеем
= Ига |
1-/0^I
B) и C) следует из A) и теоремы 5.1 главы III. О
Диффеоморфизм /из М на себя называется аффинным пре-
преобразованием в М, если он есть аффинное отображение. Любое
преобразование / в М индуцирует естественным образом авто-
автоморфизм / расслоения Р (М, G); / отображает репер ы=(Х1,.. ., Хп)
в х?М в репер f(u) = (fXx, ...,fXn) в f(x)?M. Так как / —
автоморфизм расслоения Р, то он оставляет каждое фундамен-
фундаментальное векторное поле из Р инвариантным.
Предложение 1.3. A) Для каждого преобразования f в М
индуцированный автоморфизм f расслоения Р линейных реперов
оставляет каноническую форму 6 инвариантной. Обратно, каж-
каждое сохраняющее слои преобразование в Р, оставляющее 0 инва-
инвариантной, индуцируется преобразованием в М.
B) Если / — аффинное преобразование в М, то индуцирован-
индуцированный автоморфизм / для Р оставляет каноническую форму 9 и
форму связности со инвариантными. Обратно, каждое сохраняю-
сохраняющее слои преобразование в Р, оставляющее 8 и со инвариантными,
индуцируется аффинным преобразованием в М.
Доказательство. A) Пусть X* ? Та (Р), и положим
Х=п(Х*), так что Х?ТХ(М), где х = п(и). Тогда (см. § 2
главы III)
где реперы и и f (и) рассматриваются как линейные отображе-
отображения R" на ТХ(М) и TfU) (M) соответственно. Из определения /

214
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
следует, что коммутативна такая диаграмма:
ТХ(М)-
-rf(x)(M).
Отсюда и 1(X)=f(u) x (fX), а это доказывает, что 0 инвариантна
относительно /.
Обратно, пусть F — сохраняющее слои преобразование в Р,
оставляющее 0 инвариантной. Пусть / — преобразование базы М,
индуцированное преобразованием F. Мы докажем, что f=F.
Положим J=/"Iof. Тогда / есть сохраняющее слои преобра-
преобразование в Р, оставляющее 0 инвариантной. Более того, / инду-
индуцирует тождественное преобразование на базе М. Поэтому имеем
u-i(X) = Q(X») = e(JX*) = J(u)-1(X) для Х*?Та(Р).
Это влечет, что J(u) = u, т. е. f(u) = F (и).
B) Пусть / — аффинное преобразование в М. Автоморфизм
f ь Р отображает связность Г в связность, скажем /"(Г), и
форма /*со есть форма связности для /(Г) (см. предложение 6.1
главы II). Из определения аффинного преобразования видим,
что для каждого и?Р f отображает горизонтальное подпрост-
подпространство из Та(Р) на горизонтальное подпространство из Т,~ (Р).
Это означает, что /(Г) = Г, и отсюда /*со = со.
Обратно, пусть F есть сохраняющее слои преобразование
в Р, оставляющее 0 и со инвариантными. По A) существует
преобразование / в М такое, что F =/. Поскольку f отображает
каждую горизонтальную кривую из Р в горизонтальную кривую
из Р, то преобразование f: T(M)-+T(M) отображает каждую
горизонтальную кривую из Т (М) в горизонтальную кривую из
Т (М). Это означает, что f:M-^M есть аффинное отображение,
что и завершает доказательство. ?
Замечание. Допустим, что М ориентируемо. Тогда рассло-
расслоение Р состоит из двух главных расслоений, скажем Р+ (М, G0) и
Р~ (М, G0), где G0 —связная компонента единицы в G = GL(n; R).
Тогда любое преобразование F в Р+ или Р~, оставляющее 0
инвариантной, сохраняет слои и потому индуцируется преобра-
преобразованием / базы М. Действительно, каждый вертикальный век-
вектор X* из Р+ или Р~ отображается в вертикальный вектор
при действии F, поскольку Q(FX*)=Q(X*) = 0. Любая кривая
любого слоя из Р+ или Р~ поэтому отображается при действии
F в кривую некоторого слоя. Поскольку слои из Р + или Р~
связны, F сохраняет слои.
§ 1. АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 215
Предложение 1.4. Пусть Г — линейная связность на М.
Для преобразования f в М следующие условия взаимно эквива-
эквивалентны:
A) / — аффинное преобразование в М;
B) /*со = со, где со— форма связности для Г, a f—преобразова-
f—преобразование в Р, индуцированное преобразованием /; '
C) f оставляет инвариантным каждое стандартное горизон-
горизонтальное векторное поле В (?);
D) f(yyZ) = yfY(fZ) для любых векторных полей Y и Z на М.
Доказательство, (i) Эквивалентность A) и B) содержится
в предложении 1.3.
(н) B)—i-C). По предложению 1.3
\ = 0 (В (|)) = (/*0) (В (?)) = 0 (f-*fi (?)).
Поскольку со (?(?)) = 0, B) влечет
О = со (В (|)) = (/*о) (В (I)) = со С/"* • В (?)).
Это означает, что ]~Х-*В (|) =В (|).
(ш) C) —*-B). Горизонтальное подпространство в и задается
множеством из В (Ъ)а. Отсюда C) влечет, что / отображает каж-
каждое горизонтальное подпространство в горизонтальное подпро-
подпространство. Это означает, что /(Г) = Г, откуда /*со = со.
(iv) (I)—i-D). Это следует из предложения 1.2.
(v) D)-+(l). Пусть Z —параллельное векторное поле вдоль
кривой x = xt. Пусть У —векторное поле вдоль т и касательное
к ней, т. е. Yx =xt. Мы продолжаем Y и Z до векторных полей,
определенных на М, которые будут обозначаться теми же бук-
буквами Y и Z соответственно. D) влечет, что /Z параллельно
вдоль /(т). Это значит, что f есть аффинное преобразование. ?
Множество аффинных преобразований в М, обозначаемое
31 (М) или §1(Г), образует группу. Множество всех сохраняющих
слои преобразований из Р, оставляющих 0 и со инвариантными,
обозначаемое SI (P), образует группу, которая канонически изо-
изоморфна 21 (М). Мы докажем, что 21 (М) есть группа Ли, уста-
установив, что 2t (P) есть группа Ли относительно компактно откры-
открытой топологии в Р.
Теорема 1.5. Пусть Г — линейная связность на многообразии
М с конечным числом связных компонент. Тогда группа %{М)
аффинных преобразований в М есть группа Ли преобразований
относительно компактно открытой топологии, в Р.
Доказательство. Пусть 0 = F') и со = (со^) — каноническая
форма и форма связности на Р. Мы полагаем
g
= 2,
*) в' (У)+2/, н4
(к-), х; y* e та (Р).

216
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Поскольку п2-\-п 1-форм 0', со?, i, j,k—\, ..., п, образуют
базис пространства ковекторов в каждой точке и из Р (см. пред-
предложение 2.6 главы III), то по предложению 1.3 g есть рима-¦
нова метрика на Р, инвариантная относительно §1(Р). По тео-
теореме 4.6 и следствию 4.9 главы I (см. также теорему ЗЛО
главы IV) группа изометрии в Р есть группа Ли преобразований
в Р относительно компактно открытой топологии. Так как 81 (Р),
очевидно, есть замкнутая подгруппа группы изометрии в Р,
WL{P) есть также группа Ли преобразований в Р. ?
§ 2. Инфинитезимальные аффинные преобразования
Всюду в этом параграфе Р(М, G) обозначает расслоение
линейных реперов над многообразием М, так что G~GL(n; R),
где n = dimM.
Каждое преобразование ф из М индуцирует преобразование
в Р естественным образом. Соответственно каждое векторное
поле X на М индуцирует векторное поле X на Р естественным
образом. Точнее мы докажем
Предложение 2.1. Для каждого векторного поля X на М
существует векторное поле X на Р такое, что
A) X инвариантно относительно Ra для каждого a?G;
B) Lj8 = 0;
C) X п-связано с X, т. е. и(Ха) = ХП(и) для каждого и?Р.
Обратно, если задано векторное поле X на Р, удовлетворяющее
A) и B), то существует единственное векторное поле X на М,
удовлетворяющее C).
Мы будем называть X естественным лифтом для X.
Доказательство. Пусть задано векторное поле X на М
и точка х?М, a q>t — локальная 1-параметрическая группа ло-
локальных преобразований, порожденная полем X в окрестности
U точки х. Для каждого t q>t индуцирует преобразование ф*
из п~г(и) на я~1(ф^({/)) естественным образом. Так мы полу-
получаем локальную 1-параметрическую группу локальных преобра-
преобразований ф,: n~1(U)—>-P и отсюда индуцированное векторное
поле иа Р, которое будет обозначаться X. Так как ф^ переста-
перестановочно с Ra для каждого a?G, то X удовлетворяет A) (см.
следствие 1.8 главы I). Поскольку ф( сохраняет форму 6, то
X удовлетворяет B). Наконец, яоф4 = ф,оя влечет C).
Чтобы доказать единственность X, допустим, что Хг—другое
векторное поле на Р, удовлетворяющее A), B) и C). Пусть
iff— локальная 1-параметрическая группа локальных преобразо-
$ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
217
ваний, порожденная полем Хг. Тогда г^ коммутирует с каждым
Ra, a?G, и сохраняет каноническую форму 0. Из A) предло-
предложения 1.3 следует, что ijj( индуцируется локальной 1-парамет-
рической группой локальных преобразований t|>( в М. В силу
C) г|>( индуцирует векторное поле X на М. Итак, г|>( = ф(, и
отсюда tyt = ф() что влечет X = Хг.
Обратно, пусть X — векторное поле на Р, удовлетворяющее
A) и B). Для каждой х?М выберем точку и?Р такую, что
п(и) = х. Мы тогда положим Хх = я(Ха). Так как X удовлетво-
удовлетворяет A), то Хх не зависит от выбора «; так мы получаем век-
векторное поле X, которое удовлетворяет C). Единственность X
очевидна. ?
Пусть Г — линейная связность на М. Векторное поле X на
М называется инфинитезимальным аффинным, преобразованием
в М, если для каждой х?М локальная 1-параметрическая
группа локальных преобразований ф( окрестности U точки х
в М сохраняет связность Г, точнее, если каждое ф,: U -+ М
есть аффинное преобразование, где U наделяется аффинной
связностью Г | U — сужением Г на U.
Предложение 2.2. Пусть Г — линейная связность на М.
Для векторного поля X на М следующие условия взаимно экви-
эквивалентны:
A) X есть инфинитезимальное аффинное преобразование в М;
B) L^g) = O, где со — форма связности для Г, а X—естествен-
X—естественный лифт поля X;
C) [X, 5(|)] = 0 для каждого S € R". где В (%)—стандартное
горизонтальное векторное поле, соответствующее |;
D) Lxo\Y — Vy°/-Y==V[x y-j для каждого векторного поля
Y на М.
Доказательство. Пусть срг — локальная 1-параметриче-
1-параметрическая группа локальных преобразований в М, порожденных
полем X, и пусть для каждого t <$t — локальное преобразование
в Р, индуцированное преобразованием q>t.
(i) A) —*-B). По предложению 1.4 <pt сохраняет со. Отсюда
имеем B).
(п) B) —*¦ C). Для каждого векторного поля X имеем (пред-
(предложение 2.1)
О = X (в (В (|))) = (?.хв) (В (?))+0 ([Я, В F)]) = 6 ([X, В (Щ),
что означает, что [X, В (?)] вертикально. Если Lj(o = 0, то
О = X (со (В (l)))=(L^o) (В (?)) + со (IX, В (I)]) = со ([X, В (S)]),
что означает, что [X, В (|)] горизонтально. Отсюда [X, Б(|)] = 0.

218
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(iii) C)—>A). Если [X, ?(|)] = 0, то ф, оставляет В (?) инва- <
риантным и, таким образом, отображает горизонтальное подпро-
подпространство в и в горизонтальное подпространство в q>t(u) всюду,
где qjt (и) имеет смысл. Поэтому ф4 сохраняет связность Г, и X
есть инфинитезимальное аффинное преобразование в М.
(iv) A)—^D). По предложению 1.4 имеем ф( (Vj*Z) = Vq>tK (ф^-Z)
для любых векторных полей Y и Z на М.
Из определения дифференцирования Ли, данного в § 3
главы I, получаем
о VKZ =
Urn j-
lira 4-[V,>fyZ —V,, у (q>tZ)]
Так мы проверили формулу
Lx о VYK— VK ° ^х^С
когда К" есть векторное поле. Если /С — функция, то формула
выше, очевидно, верна. По лемме для предложения 3.3 главы I
формула справедлива для любого тензорного поля /С.
(v) D)—^ A). Фиксируем точку х?М и положим
Для каждого t V(t) и W (t) — элементы из ТХ(М). Ввиду пред-
предложения 1.4 достаточно доказать, что V (t) = W (t). Как и в (iv),
мы получаем
dW (t)/dt = ф фГ м
Из нашего предположения получаем dV (t)/dt =dW (t)/dt. С другой
стороны, очевидно, имеем V @) = W @). Отсюда V (t) = W (t). D
Пусть а(М) — множество инфинитезимальных аффинных пре-
преобразований в М. Тогда а (М) образует подалгебру алгебры
Ли Х(М) всех векторных полей на М. Действительно, соответ-
соответствие X —>- X, определенное в предложении 2.1, есть изомор-
изоморфизм алгебры Ли векторных полей Ж (М) на Ж в алгебру
Ли 31 (Р) векторных полей на Р. Пусть а (Р) — множество век-
векторных полей X на Р, удовлетвовяющих A) и B) предложе-
предложения 2.1, а также B) предложения 2.2. Так как L[x, x'i = LX° Lx—
— Lx' о LK (см. предложение 3.4 главы I), то а(Р) образует
подалгебру алгебры Ли ?(Р). Отсюда следует, что а (М) есть
подалгебра изЖ(М), изоморфная а(Р) при соответствии Х^Х,
определенном в предложении 2.1.
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
219
Теорема 2.3. Если М—связное многообразие с аффинной
связностью Г, то алгебра Ли а (М) инфинитезимальных аффинных
преобразований в М имеет размерность самое большее п2 + п,
где n = dimM. Если dim а (М) = п2 + п, то Г плоская, т.е.
кручение и кривизна для Г тождественно равны нулю.
Доказательство. Чтобы доказать первое -утверждение,
достаточно показать, что й(Р) имеет размерность самое большее
пг-\-п, поскольку а(М) изоморфно а(Р). Пусть и — произволь-
произвольная точка из Р. Следующая лемма влечет, что линейное отобра-
отображение /: й (Р)—»* Тп (Р), определенное как f(X)=Xa, инъек-
тивно, так что dim а (Р) <! dim Та (Р) = п2 + п.
Лемма. Если элемент X из а (Р) обращается в нуль о неко-
некоторой точке из Р, то он тождественно равен нулю.
Доказательство леммы. Если Ха — 0, то Хш=0 для
каждого a?G, так как X инвариантно при действии Ra (см.
предложение 2.1). Пусть F — множество точек х = л (и) ?М таких,
что Ха = 0. Тогда F замкнуто в М. Поскольку М связно, то
достаточно показать, что F открыто. Допустим Ха = 0. Пусть
bt — локальная 1-параметрическая группа локальных преобразо-
преобразований, порожденная стандартным горизонтальным векторным
полем 5(|) в окрестности и. Так как [X, В(?)]=0 по предложе-
предложению 2.2, то X инвариантно относительно bt, и отсюда Хъм = 0.
В определении нормальной системы координат (см. § 8 главы III)
мы видели, что точки вида п (bjU) покрывают окрестность точки
х = л (и), когда | и t меняются. Это и доказывает, что F открыто.
Чтобы доказать второе утверждение, мы допустим, что
dim a (M) = dim а (Р) = п3 + п. Пусть и — произвольная точка из Р.
Тогда линейное отображение /: f{X) = Xa отображает а (Р) на
Ти(Р). В частности, для любого данного элемента Л ? g суще-
существует (единственный) элемент Х?а(Р) такой, что 'Ха = Л„, где
А* обозначает фундаментальное векторное поле, соответствую-
соответствующее А. Пусть В = В (|) и В'=В(?,')—стандартные горизонталь-
горизонтальные векторные поля, соответствующие Ъ, и V соответственно.
Тогда
Ха(&(В, В')) = Л*(вE, В')).
Мы вычислим обе части равенства отдельно. Из Lx& =
=LX (dQ + a> Л 9) = 0 и из C) предложения 2.2 получаем
Х(в(В, B')) = (LX®)(B, В') + в{[Х, В], В') + в(В, [X, В']) = 0.
Чтобы вычислить правую часть, сначала заметим, что внешнее
дифференцирование d, примененное к первому структурному

220 ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
уравнению, дает
Отсюда имеем
= —Q д 0 + ш д в + de.
о d)&
= м» о d& = \.а* (Q Л В — о) Л ©) = — м (А*) • в
и
(?„»©) (б, 5') = — Л-в (В, В').
Поэтому
Л* (в E, В')) = - Л • в (Я, В') + © ([Л*, В], В') + © (В, [Л», В']).
Если мы возьмем в качестве Л единичную матрицу из g = gl (n; R),
то по предложению 2.3 главы III имеем
Итак, имеем
[Л*, В] = В и [А*,В'] = В'.
== - 0Й (В, В') + 0Я E, В') + &а (В, В') = ©а (В, В'),
показывающее, что форма кручения есть нуль.
Аналогично, сравнивая обе части равенства:
и полагая Л равным единичной матрице из g = gI(n;R), видим,
что форма кривизны есть нуль. ?
Теперь докажем следующий результат, принадлежащий
Кобаяси [2].
Теорема 2.4. Пусть Г — полная линейная связность на М.
Тогда каждое инфинитезимальное аффинное преобразование X из
М полно, т. р.. порождает глобальную l-параметрическую группу
аффинных преобразований в М.
Доказательство. Достаточно показать, что каждое поле
X из а (Р) полно при условии, что М связно. Пусть «„ — про-
произвольная точка из Р, и пусть ф4: U —>- Р, \ t | < б, есть локаль-
локальная 1-параметрическая группа локальных преобразований, порож-
порожденных нолем X (см. предложение 1.5 главы I). Мы докажем,
что ф( (и) определено для каждого и ? Р и 111 < б. Тогда от-
отсюда следует, что X полно.
По предложению 6.5 главы III каждое стандартное гори-
горизонтальное векторное поле В (?) полно, так как связность полна.
Если дана любая точка и из Р, то существуют стандартные
горизонтальные векторные поля В (gj, ..., В (|ft) и элемент а ? G
такой, что
и = (p)t о bt, о ... о Ь). м„) а,
2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
221
где каждое Ь\ есть 1-параметрическая группа преобразований
в Р, порожденная полем В (?,.). Действительно, существование
нормальных координатных Окрестностей (см. предложение 8.2
главы III) и связность М влекут, что точка х=п(и) может
быть соединена с точкой дго = л(«о) конечной последователь-
последовательностью геодезических. По предложению 6.3 главы III, каждая
геодезическая есть проекция интегральной кривой некоторого
стандартного горизонтального векторного поля. Это означает,
что беря подходящие В (i-i), ...,S(|ft), мы получаем точку
v = bj о 5^ о ... о bt «0, которая лежит в том же слое, что и и.
Тогда u = va для подходящего a?G, что и доказывает наше
утверждение. Мы тогда определяем cpt (и) так:
Ф* («) = Ф1 obi о ...о Ь*
к ,~
1<б.
То, что q>t (и) не зависит от выбора b)l, ..., b\ , а и что q>( порож-
порождается полем X, следует из A) предложения 2.1 и C) предло-
предложения 2.2; отметим, что C) предложения 2.2 влечет, что
bs о ф1 (и) = ф^ о Ьг (и) всюду, где обе части имеют смысл. ?
Вообще, каждый элемент алгебры Ли группы 21 (М) аффин-
аффинных преобразований в М порождает элемент из а(М), являю-
являющийся полным векторным полем, и обратно. Другими словами,
алгебра Ли для 31 (М) может быть отождествлена с подалгеб-
подалгеброй в а(М), состоящей из полных векторных полей. Теорема 2.4
означает, что если связность полна, то а (М) может рассматри-
рассматриваться как алгебра Ли для 31 (М).
Для любого векторного поля X на М дифференцирование
AX = LX—Vx индуцируется тензорным полем типа A, 1), потому
что оно есть нуль на алгебре функций $(М) (см. доказатель-
доказательство предложения 3.3 главы I). Это может быть получено также
из следующего утверждения:
Предложение 2.5. Для любых векторных полей X и Y
на М имеем
где Т — кручение.
Доказательство. По теореме 5.1 главы III имеем
= -VyX-T(X,Y). ?
В заключение этого параграфа докажем
Предложение 2.6. A) Векторное поле X на М есть
инфинитезимальное аффинное преобразование тогда и только
тогда, когда \?У(АХ) =R (X, Y) для каждого векторного поля
Y на М.

222
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
B) Если X и Y — инфияитезимальные аффинные преобразова-
преобразования в М, то
. у^ = [Ах, Ay]-R(X, Y),
где R обозначает кривизну.
Доказательство. A) По теореме 5.1 главы III имеем
R(X, Y) = [Vx,Vy]-V[X, v] = [Lx-Ax, Vy]-V[x. yj
= [LX, Vr] — V[j:, Y] — [AX, Vy].
По предложению 2.2 X есть инфинптезимальное аффинное пре-
преобразование тогда и только тогда, когда R(X,Y) =— [Ах, уу]
для каждого Y, т. е. тогда и только тогда, когда
R{X,Y)Z = y?y(AxZ) — AxDyZ) = (Vy{Ax))Z для всех Y и Z.
B) По теореме 5.1 главы III и предложению 2.2 имеем
[Ах, АГ]-А[Х, n = [LA--Vx, Lr-\y]-(Llx, n-V[*. n)
= 1^х> Ly\ [Vx> Ly\ — [Lx, Vk]
y] = /?(X, К)- ?
§ 3. Изометрии и инфинитезимальные изометрии
Пусть М — многообразие с римановой метрикой g и соответ-
соответствующей римановой связностью Г. Изометрия в М есть преоб-
преобразование из М, которое сохраняет метрику g инвариантной.
Мы знаем из предложения 2.5 главы IV, что изометрия в М
с необходимостью есть аффинное преобразование относительно Г.
Рассмотрим расслоение О (М) ортонормальных реперов над
М, которое есть подрасслоение расслоения L (М) линейных репе-
реперов над М. Мы имеем
Предложение 3.1. A) Лреобразование f в М есть изомет-
изометрия тогда и только тогда, когда индуцированное преобразование
f в L (М) отображает О (М) в себя.
B) Сохраняющее слои преобразование F из О (М), которое
оставляет каноническую форму 0 на 0(М) инвариантной, инду-
индуцируется изометрией в М.
Доказательство. A) Это следует из того, что преобра-
преобразование / в М есть изометрия тогда и только тогда, когда она
отображает каждый ортонормальный репер в произвольной
точке х в ортонормяльный репер в / (х).
B) Пусть f — преобразование базы М, индуцированное преоб-
преобразованием F. Мы полагаем / = /~х ° F. Тогда / есть сохра-
сохраняющее слои отображение из О (М) в L (М), которое оставля-
оставляет 0 инвариантной. Более того, / индуцирует тождественное
§ 3. ИЗОМЕТРИИ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫ Е ИЗОМЕТРИИ 223
преобразование на базе М. Потому имеем
и-1 (X) = 0 (X*) =0 (JX*) = J (и)-1 (X),
Х*?Та(О(М)), Х = п(Х*).
Это Елечет, что J (ы) = «, т. е. ] (и) = F (и). По A) f есть изомет-
изометрия в М. ?
Векторное поле X на М называется инфинитезимальной изо-
метрией (или киллинговым векторным полем), если локальная
1-параметрическая группа локальных преобразований, порож-
порожденная полем X в окрестности каждой точки из М, состоит из
локальных изометрии. Инфинитезимальная изометрия необхо-
необходимо есть инфинитезимальное аффинное преобразование.
Предложение 3.2. Для векторного поля X на римановом
многообразии М следующие условия взаимно эквивалентны:
A) X есть инфинитезимальная изометрия;
B) естественный лифт X поля X до L (М) касается О (М)
в каждой точке из О (М);
C) Lxg — 0, где g — метрическое тензорное поле в М;
D) тензорное поле AX = LX—\х типа A,1) кососимметрично
относительно g всюду на М, т. е. g(AxY, Z) = — g{AxZ, Y) для
произвольных векторных полей Y и Z.
Доказательство, (i) Чтобы доказать эквивалентность A)
и B), допустим, что ф;; и ц>1 — локальные 1-параметрические
группы локальных преобразований, порожденные полями X и X
соответственно. Если X — инфинитезимальная изометрия, то qpf—
локальные изометрии, и потому qpt отображает О (М) в себя.
Итак, X касательно к О (М) в каждой точке из 0(М). Обратно,
если X касается О (М) в каждой точке из 0(М), то интеграль-
интегральная кривая для X через каждую точку из 0(М) содержится в
0(М), и, следовательно, каждое cpf отображает О (М) в себя.
Это означает по предложению 3.1, что каждое ср( есть локаль-
локальная изометрия, и потому X есть инфинитезимальная изометрия.
(п) Эквивалентность A) и C) выводится из следствия 3.7
главы I.
(ш) Поскольку Vxg = 0 для любого векторного поля X,
Lxg — 0 эквивалентно Лх? = 0. А так как Ах есть дифференци-
дифференцирование алгебры тензорных полей, то имеем
Ax(g(Y, Z)) = (Axg)(Y, Z)+g(AxY, Z)+g(Y, AXZ)
для Y, Z ?? (M).
Поскольку Ах отображает каждую функцию в нуль, Ax(g(Y, Z))—Q.
Отсюда ^^=0 тогда и только тогда, когда g(AxY, Z)+
+g(Y, AxZ) = 0 для всех Y и Z, что и доказывает эквивалент-
эквивалентность C) и D). Q

224
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Множество всех инфинитезимальных изометрий в М, обозна-
обозначаемое t (M), образует алгебру Ли. Действительно, если X и
Y — инфинитезимальные изометрий в М, то
по предложению 3.2. В силу того же предложения [X, Y] есть
инфинитезимальная изометрия.
Теорема 3.3. Алгебра Ли t (Af) инфинитезимальных изо-
изометрий связного риманова многообразия М имеет размерность
самое большее -jn{n + \), где n = dim/W. Если dimi(M) =
= -jn(rt+l), то М есть пространство постоянной кривизны.
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение,
достаточно показать, что для любой точки и из О (М) линейное
отображение X —»- Хи отображает i(M) взаимно однозначно-
в Та(О(М)). По предложению 3.2 Ха, конечно, есть элемент из
Та(О(М)). Если Ха — 0, то доказательство теоремы 2.3 показы-
показывает, что Х = 0. Теперь докажем второе утверждение.
Пусть X, X'— ортонормальный базис плоскости риз ТХ(М),
и пусть и — точка из 0(М) такая, что п(и)=х. Положим g=«-im,
V = u-*{X'), B = B{%) и В'=В(Г), где ВЦ) и В (?') -ограни-
-ограничения на 0(М) стандартных горизонтальных векторных полей,
соответствующих ? и |'. Из определения преобразования кри-
кривизны, данного в § 5 главы III, видим, что секционная кривизна
К{р) (см. § 2 главы V) задается так:
o, B'U))V, I),
где ( , ) обозначает естественное скалярное произведение в R".
Чтобы доказать, что К (р) не зависит от р, допустим, что Y,
К' —ортонормальный базис другой плоскости q в ТХ(М), и по-
положим t] = u~1(Y) и т]' = ы-1(К')- Пусть а— элемент из SO (п)
такой, что а? = т] и af — х\'. По предложению 2.2 главы III имеем
п(В(ц)и, ?(т,')в) = П(в ()«) ( (м), Ra(,J)
= ad(a)(Q(Bua, B-m)) = a.Q{Baa, В'иа)-а-\
Следовательно, секционная кривизна К (q) задается так:
*(<7) = (BQ(?(ti)b, B(ri')«)n'. П)
= ((а-2Й(Вяо, B'ua).a-i)al', at)
= (BQ(Baa, B'ua))l',t).
Чтобы доказать, что K(p)=K{q), достаточно показать, что
&(Ваа> В^и,) —&(Ва, Ви). Если задан любой вертикальный вектор
X* € То (О (М)) сп(о)= х, то существует элемент X ? t (M) такой,
§ 3. ИЗОМЕТРИИ И ИНФПНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ
225
что Х0 = Х*, если dimi(M) = Yn(rt-)-l), так как отображение
Х-+Ха отображает \{М) на То@(М)). Мы имеем
, 5')) = (Ljfl) (В,
Это влечет, что Q EЙ, B'u) = Q(Bua, В'иа) для каждого а ?50 (я).
Так мы доказали, что К (р) зависит только от точки х. Дока-
Докажем, что и от точки х К (р) не зависит. Пусть задан любой
вектор Y* ? Та (О (М)), и пусть У — элемент из t (M) такой, что
Ya = Y*. Мы снова имеем Y(Q(B, B')) — 0. Поэтому для фикси-
фиксированных t и t' функция (B?2(?, B'))V, \) постоянна в окрест-
окрестности и. Это означает, что К(р), рассматриваемая как функция
на М, локально постоянна. Поскольку она непрерывна, а М
связно, она должна быть постоянна на М. (Если dim М^З,
то независимость К (р) от х следует также из теоремы 2.2 гла-
главы V.) ?
Теорема 3.4. A) Для риманова многообразия М с конечным
числом связных компонент группа 3 (М) изометрий в М есть
группа Ли преобразований относительно компактно открытой
топологии в М.
B) Алгебра Ли для 9 (М) естественно изоморфна алгебре Ли
всех полных инфинитезимальных изометрий.
C) Подгруппа изотропии Зх (М) в 3 (М) в произвольной точке х
компактна.
D) Если М полно, то алгебра Ли для Q (М) естественно изо-
изоморфна алгебре Ли \{М) всех инфинитезимальных изометрий в М.
E) Если М компактно, то группа 3 (М) компактна.
Доказательство. A) Как мы указали в доказательстве
теоремы 1.5, это получается из теоремы 4.6 и следствия 4.9
главы I и теоремы 3.10 главы IV.
B) Каждая 1-параметрическая подгруппа из 3 (М) индуци-
индуцирует инфинитезимальную изометрию X, которая полна на М,
и, обратно, каждая полная инфинитезимальная изометрия X
порождает 1-параметрическую подгруппу в 3(М).
C) Это получается из следствия 4.8 главы I.
D) Это следует из B) и теоремы 2.4.
E) Это получается из следствия 4.10 главы I. ?
Ясно, что 3 (М) есть замкнутая подгруппа в Э1 (М). Мы увидим,
что во многих случаях компонента единицы 3° (М) в 3 (М) сов^
падает с компонентой единицы 51° (М) в 21 (М). Сначала докажем
результат X а н о [1].
Теорема 3.5. Если М = МдХМ^ ... xMk — разложение
де Рама полного односвязного риманова многообразия М, то
21° (Af) « ЭС° (Мо) х 21° (МО X • • • Х2Р (Af*),
¦3° (Af) » 3§ (М„) х 3° (Af j) X ... X 3° (Mk).
5 Шо Ко0аяси. К. Номидэу, т. 1

226
ГЛ VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Доказательство. Нам потребуются следующие две леммы.
Лемма 1. Пусть Тх (М)= 2*-о Тх{) — каноническое разложение.
A) Если <р?А(М), то ф (Tg") = Т$х) и для каждого, i,
г^Г I ^ k, ф (T(J>) = Tm'u) для некоторого /, 1 ^ / ^ k.
B) Если ф 6 Л° (/И), /по ф (ГУ) = Г$х) для каждого i, 0<
Доказательство леммы I. Пусть т — любая петля в х,
и положим т' = ф(т), так что т' — петля в ф(я). Если мы обо-
обозначим теми же буквами т и т' параллельный перенос вдоль г
и т' соответственно, то
фот(Х) = т'оф (X) для Х?ТХ (М).
Отсюда легко следует, что ц>(Тх0У) поэлементно инвариантно и
каждое q>(Txl)), l^.i^.k, неприводимо относительно линейной
группы голономии Чг(ф(лг)). Отсюда <р(Тх0>)с:Т$1х) и, поскольку
их размерности совпадают, ф (Г^0)) = Т$1Х). Так мы получаем
, каноническое разложение TV(X) (М) = 2?=о Ф (Т(х1>), которое должно
совпадать с каноническим разложением TV(x)(M) = '^tmm0T<^xy
с точностью до порядка следования слагаемых в силу D) тео-
теоремы 5.4 главы IV. Это и означает в точности наше утвержде-
утверждение A). Пусть <pt есть 1-параметрическая подгруппа в 31° (Л1),
а X есть ненулевой элемент из Тх{\ Пусть x = xt = ф, (х). По-
Поскольку ?(фо(.Х), X) = g(X, Х)фО, то имеем g(q>t(X), x"tX)^O
при 111 < 8 для некоторого 8 > 0, где x°t обозначает параллель-
параллельный перенос из х0 в xt вдоль т. Это значит, что <pt (T(xh) = T{i).
при | /1 < 8' для некоторого положительного числа 8'; действи-
действительно, если Хг, ..., Хг — базис для Тх1), то g(q>t(Xf), x°tXy)^O
для 1 ^ / ^ г и |^|<б' для некоторого числа 8' > 0 и отсюда
Ф1 (Ху) €^{р0(х) для |^| <б', что влечет ^(Т(Х1)) = Т{1\Х) для |^|<б',
потому что ф4 линейно. Это заключает доказательство утверж-
утверждения B), так как 31° (М) порождается 1-параметрическими груп-
группами.
Лемма 1 принадлежит Номидзу [3].
Лемма 2. Пусть ф( — произвольное преобразование в Mi для
каждого С, 0 ^ i ^ k. Пусть ф — преобразование в М=М0 х Мг х ...
... X Mk, определяемое так:
ф (л) = (ф0 (х0), ф! (^j), .. ., фй (лгй)) для л: = (х0, xlf .. ., хк) ? М.
Тогда
A) ф есть аффинное преобразование в М в том и только в том
случае, когда каждое ф,- есть аффинное преобразование в Mt.
B) ф есть изометрия в М в том и только в том случае, когда
каждое фг- есть изометрия в М{.
Доказательство тривиально.
Соответствие (ф0, фх, ..... фА) —*-ф, определенное в лемме 2,
отображает 31 (Мв)хЖ (Мх)х . .. хШ (Мй) изоморфно в %-{М).
§ 3. ИЗОМЕТРИЙ И ИНФЙНИТЕЗЙМАЛЬНЫЕ ЙЗОМЁТРИЙ
22?
Чтобы завершить доказательство теоремы 3.5, достаточно пока-
показать, что для каждого ф?21°(М) существуют преобразования ф,-:
Mi —*¦ М{, 0 ^ i ^ k, такие, что
ф(*) = (фо(*о), Tita), ¦ ¦ ¦, q>k(xk)) для д; = (д;в, *х, ...,xft)€M.
Мы докажем, что если р?: М—>-М( обозначает естественную
проекцию, то р,-(ф(л)) зависит только от лг,- = р/ (х). Пусть задана
любая точка у = (у9 у^1У xh yi+1, ..., yk), и пусть для каж-
каждого / = 0, 1, ..., i — 1, i + 1, ..., k %j = Xj{t), 0< t ^ 1, есть
кривая из Xj в yf в М/г так что ху@) = ху и дгуA) = (/у. Пусть
x = x(t), 0-^.t-^.l, есть кривая из х в г/, определенная так:
*(*) = (*.(*).МО. • ¦ ¦, jc/-iCO. ^, */+i@. .-.,^@). о</<1.
Для каждого ^ касательный вектор x{t) к т в л(^) лежит в распреде-
распределении Г(о'+ • • • +Г('-1) + 71('+1>+ ... Н-Г(й). По лемме 1 <p{x(t))
также лежит в том же распределении. Отсюда PiD>{x(t))) не
зависит от t (см. лемму 2 для теоремы 7.2 главы II). В част-
частности, Pi (ф (х)) = Pi (ф (у)), что и "доказывает наше утверждение.
Определим тогда преобразование ф,-: Mi—>-Mi так:
Ясно, что
Ф (*) = (фо
Ф1
Ф*
• ?
Поэтому важно изучить 31 (М), когда М неприводимо. Сле-
Следующий результат принадлежит Кобаяси [4].
Теорема 3.6. Если М — полное неприводимое риманово мно-
многообразие, то 31 GW) = 3 (М), кроме случая, когда М есть одно-
одномерное евклидово пространство.
Доказательство. Говорят, что преобразование ф рима-
нова многообразия есть гомотетия, если существует положи-
положительная константа с такая, что g(<f>{X), q> (Y)) = c2g(X, У) для
всех X, Y?TX(M) и х 6 М. Рассмотрим риманову метрику g*,
определенную как g*(X, Y) = g(q>(X), ф (Y)). Из доказательства
(В) теоремы 2.2 главы IV видим, что риманова связность, опре-
определяемая метрикой g*, совпадает со связностью, определяемой
метрикой g. Это означает, что каждое преобразование гомотетии
риманова многообразия М есть аффинное преобразование в М.
Лемма 1. Если М — неприводимое риманово многообразие,
то каждое аффинное преобразование ц> в М есть гомотетия.
Доказательство леммы 1. Так как ф есть аффинное
преобразование, то две римановы метрики g и g* (описанные
выше) определяют одну и ту же риманову связность, скажем Г.
Пусть Ч (х) — линейная группа голономии для Г с точкой отсче-
отсчета х. Поскольку она неприводима и оставляет g и g* инвариант-
инвариантными, существует положительная константа сх такая, что

228
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
g*(X.Y)=*c»-g(X,Y) для всех X, Y$TX(M), т. е. gl = (?x-gx
(см. теорему 1 приложения 5). Так как g* и g—параллельные
тензорные поля относительно Г, то сх— константа.
Лемма 2. Если М — полное риманово многообразие, не являю*
щееся локально евклидовым, то каждое гомотетическое преобра-
преобразование ф в М есть изометрия.
Доказательство леммы 2. Допустим, что ф есть не-
неизометрическое гомотетическое преобразование в М. Рассматривая
обратное преобразование, если необходимо, можем считать, что
константа с, ассоциированная с ф, меньше единицы. Возьмем про-
произвольную точку х из М. Если расстояние между х и ф (х) меньше
чем 8, то расстояние между cpm (x) и фот+1 (х) меньше чем стЬ.
Отсюда следует, что {ц>т (х); т = \, 2, ...} есть последователь-
последовательность Коши, и потому она сходится к некоторой точке, ска-
скажем х*, поскольку М полно. Легко видеть, что х* неподвижна
при действии ф.
Пусть U—окрестность точки х* такая, что U компактно.
Пусть К* — положительное число такое, что \g(R{Xi, Fa) Fa,
Уд I < К* для любых единичных векторов Ух и Y2 в у ? U, где
R означает тензорное поле кривизны. Пусть z?M, q — любая
плоскость в TZ(M), a X, Y — ортонормальный базис для q. Так
как ф — аффинное преобразование, то C) предложения 1.2 влечет
Отсюда
g (R (
= фи (R (X, Y)Y).
Г) (ф-К), ц>тХ) =g (Ф- (R (X, Y) У), ф
= C-g (R {X, Y) Y, X)
c*"K(q).
С другой стороны, расстояние между х* = фт (х*) и фот (z) стре-
стремится к нулю, когда т стремится к бесконечности. Другими
словами, существует целое т0 такое, что ц>т (г) g U для каждого
т^т0. Поскольку длины векторов ц>тХ и q>mY равны ст, имеем
cimK*>\g(R((pmX, ф-ГХф-У), ФОТА)| для т^т0.
Так мы получаем
с2тК* > | К (q) | для от>ш0.
Переходя к пределу при пг-^оо, имеем /С(<7) = 0. Это показы-
показывает, что М локально евклидово. ?
Пусть X — инфинитезимальное аффинное преобразование на
полном римановом многообразии М. Используя теоремы 3.5 и
3.6, найдем несколько достаточных условий для того, чтобы X
было инфинитезимальной изометрией. Допустим, что М связно,
и пусть М — его универсальное накрывающее многообразие с есте-
естественно индуцированной римановой метрикой g — p*(g), где р:
з. азомЕтрии я инфинитезймальные изометрии
229
М—^М — естественная проекция. Пусть X — векторное поле на М,
индуцированное полем X; X р-связано с X. Тогда X — инфините-
инфинитезимальное аффинное преобразование в М. Ясно, что X — инфини-
тезимальная изометрия в М тогда и только тогда, когда X —
инфинитезимальная изометрия в М. Пусть М = УИохМ1х ...
...xMk — разложение Де Рама полного односвязного риманова
многообразия М. По теореме 3.5 алгебра Ли а (М) изоморфна
а(М0) + а(М1)-\-... +a(Mk). Пусть (Х„ Xlt ..., Хк) — элемент
из а (Мо) + а (И,) + • • • + а (Мк), соответствующий элементу
Х?а(М). Поскольку в силу теоремы 3.6 Хх, ..., Хк — инфи-
инфинитезймальные изометрии, то X — инфинитезимальная изомет-
изометрия тогда и только тогда, когда Хо — инфинитезимальная изо-
изометрия.
Следствие 3.7. Если М—связное полное риманово многооб-
многообразие, чья суженная линейная группа голономии Ч?о (х) не остав-
оставляет неподвижными ненулевых векторов в х, то Щ° (М) =3°(М).
Доказательство. Линейная группа голономии для М
естественно изоморфна суженной линейной группе голономии
Ча{х) для М (см. пример 2.1 главы IV). Это означает, что М„
сводится к точке и отсюда Х0 = 0 в принятых выше обозначениях.
Следствие 3.8. Если X — инфинитезимальное аффинное
преобразование полного риманова многообразия и если длина X
ограничена, то X — инфинитезимальная изометрия.
Доказательство. Мы можем считать М связным. Если
длина X ограничена на М, то длина Хо также ограничена на Мо.
Пусть х1, ..., хг — евклидова система координат в М„, и положим
Применяя формулу (Lx.oVy — 4y°LxJZ~ V[x0, y]Z (см. предло-
предложение 2.2) к Y = d/dxP, Z = d/dxy, видим, что
Это означает, что Хо имеет вид
Легко видеть, что длина Х0 ограничена на М„ тогда и только
тогда, когда а% = 0 для а, 0=1, ..., г. Итак, если Хо имеет
ограниченную длину, то Хо есть инфинитезимальная изометрия
в Мо. П
Следствие 3.8, полученное Хан о [1], влечет следующий
результат Я но [1], который первоначально был доказан совсем
другим способом.

230
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Следствие 3.9. На компактном римановом многообразии
М мы имеем Ш°(М) = 3°(М).
Доказательство. На компактном римановом многообра-
многообразии каждое векторное поле имеет ограниченную длину. По след-
следствию 3.8 каждое инфинитезимальное аффинное преобразование
X есть инфинитезимальная изометрия. ?
§ 4. Голономия и инфинитезимальные изометрии
Пусть М — дифференцируемое многообразие с линейной связ-
связностью Г. Для инфинитезимального аффинного преобразования
X в М дадим геометрическую интерпретацию тензорного поля
AX = LX—Vx, введенного в § 2.
Пусть х — произвольная точка из М, a qpt — локальная 1-па-
1-параметрическая группа аффинных преобразований, порожденная,
полем X в окрестности точки х. Пусть х— орбита xt = q>t(x)
для х. Обозначим через т* параллельный перенос вдоль кри-
кривой х из xs в х^. Для каждого t рассмотрим линейное преобра-
преобразование Ct = х{ о (qpj), в Тх (М).
Предложение 4.1. Ct есть локальная {-параметрическая
группа линейных преобразований в ТХ(М): Ct+s = Cto Cs и Ct —
= exp(~t(Ax)x).
Доказательство. Поскольку q>t отображает часть х из х„
в xs в часть т из xt в xi+s и поскольку ф( согласовано с па-
параллельным переносом, имеем
= т^+5 о
Ф, ? ^
Отсюда
CtoCs= ri о ф, о Xs0 о ф^ = т? о xj+s
= xi+s o(pi+J =
Это доказывает первое утверждение. Итак, имеется линейный
эндоморфизм, скажем А, в ТХ(М) такой, что Ct = exp tA. Второе
утверждение гласит, что А = — (Ах)х. Чтобы доказать это, мы
покажем, что
Шп \
-Yx) = - (Ах)х Yx для Yx € Тх (М).
Сначала рассмотрим случай, когда Ххф0. Тогда х имеет
координатную окрестность с локальной Системой координат
х1, ..., хп такую, что кривая x = xt задается как х1 = t, x*=...
. .. =хп = 0 для малых значений t. Мы можем поэтому продол-
продолжить Ух до векторного поля Y на М таким образом, что <pf (YX)=YX(
§ 4. ГОЛОНОМИЯ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ
для малых значений t. Очевидно, (LXY)X = O. Мы имеем
- (Ах)х Yx = &XY)X - {LXY)X = (VXY)X
= lim 1(т*К,t-Yx)= lim \{xl о ytYx-Yx)
231
Теперь рассмотрим случай, когда Хх = 0. В этом случае ф^
есть локальная 1-параметрическая группа локальных преобразо-
преобразований, оставляющая х неподвижной, и параллельный перенос То
сводится к тождественному преобразованию в ТХ(М). Итак,
(VK) = O. Мы имеем
- (Ах)х Yx = (VXY)X - (LXY)X = - (LXY)X
= _ Hm 4 (Yx _ ytYx) = lim | (CtYx - Yx).
Эю завершает доказательство второго утверждения. ?
Замечание. Предложение 4.1 в действительности есть
специальный случай предложения 11.2 главы 11 и может быть
получено из него.
Предложение 4.2. Пусть N(Ч' (х)) и N (?° (х)) — норма-
нормализаторы линейных групп голономии W (х) и суженной группы
голономии 4го (х) в группе линейных преобразований пространст-
пространства Тх (М). Тогда Ct содержится в N (W (х)), а также и в N Dго (х)).
Доказательство. Пусть ф( и х$ таковы, как и раньше.
Для любой петли \л в х полагаем \i't =ф^(р,), так что \x't есть
петля в xt = (pt(x). Обозначим через р. и ^ параллельный пере-
перенос вдоль \l и \i't соответственно. Тогда ф1 о р, = p,J о ф^ и мы
имеем
Ct о [L о Cj1 = т? о ф4 о р, о ф^1 о Т?
= xl о [i't о ф, о ф^1 о х] — х10 о [L ; о г?.
Это показывает, что Ct о р, о Cf1 есть элемент из ^(х), который
находится в 4го(х), если ^^^"(х). (Отметим, что N (? (х))с
сг Л^ Dго (х)), поскольку 'Р0 (х) есть компонента единицы в
n(V(x)).) a
Следствие 4.3. Если X — инфинитезимальное аффинное
преобразование в М, то в каждой точке х^М (Ах)х принадлежит
нормализатору N (д (х)) алгебры Ли д (х) группы Т (х) в алгебре
Ли эндоморфизмов пространства Тх (М).
Мы вспоминаем, что N (д (х)) есть по определению множество
линейных эндоморфизмов А пространства ТХ(М) таких, что [Л, В] 6
€%(х) для каждого В?%(х).
Если X — инфинитезимальная изометрия риманова многообра-
многообразия М, то Ах косрсимметрично (см. предложение 3.2) и для к

232
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
дого t Ct есть ортогональное преобразование для ТХ(М). Тогда
имеет место
Теорема 4.4. Пусть М—риманово многообразие и %(х)-—
алгебра Ли для ? (х). Если X — инфинитезимальная изометрия
для М, то для каждого х?М (Ах) х принадлежит нормализа-
нормализатору N (%(х)) алгебры %(х) в алгебре Ли Е(х) кососимметри-
ческих линейных эндоморфизмов пространства ТХ(М).
Следующая теорема принадлежит Костанту [1].
Теорема 4.5. Если X—инфинишезимальнал изометрия ком-
компактного риманова многообразия М, то для каждого х ? М (Ах)х
принадлежит алгебре Ли %(х) линейной группы голономии
Доказательство. В алгебре Ли Е (х) кососимметрических
эндоморфизмов для Тх (М) мы вводим положительно определен-
определенное скалярное произведение ( , ), полагая
(А, В) = — trace(AB).
Пусть В (х) — ортогональное дополнение к g(.v) в Е (х) отно-
относительно этого скалярного произведения. Для данной инфини-
тезимальной изометрии X в М мы полагаем
Ах — Sx + Вх,
где Sx€%(x), Вх?В(х), х?М.
Лемма. Тензорное поле Вх типа A,1) параллельно.
Доказательство леммы. Пусть х— произвольная кри-
кривая из точки х в другую точку у. Параллельный перенос х дает
изоморфизм из Е (х) на Е (у), который отображает g (x) на g (у).
Поскольку скалярные произведения в Е (х) и Е (у) переходят
одно в другое при действии т, то т отображает В (х) на В (у).
Это означает, что Vy (Sx) € Й (х) для любого векторного поля Y на М,
в то время как Чу(Вх)?В(х) в каждой точке х?М. С другой
стороны, формула 4y(Ax) = R(X, Y) (см. предложение 2.6) вле-
влечет: Vy(Ax) принадлежит д(я) для каждой х?М (см. теорему 9.1
главы III). Сравнивая g (я)-компоненту и В (^-компоненту ра-
равенства Vy(Ax) = Vy(Bx) + Vy(Sx), видим, что VY (Bx) также при-
принадлежит %(х). Отсюда Чу(Вх) = О, что и заключает доказатель-
доказательство леммы.
Покажем, что Вх = 0. Положим Y = BXX. По теореме Грина
(см. приложение 6) имеем (допуская в данный момент, что М
ориентируемо)
1 § s. тензор риччи^и инфинитёзимальные изометгяи
в каждой точке х, то мы имеем (лемма и предложение 2.5)
div Y = trace (V -+ ¦ vv (ВХХ)) = trace (V -+ВХ (VVX))
= — trace (BXAX) = — trace (BXBX) — trace {BXSX)
= — trace (BXBX) > 0.
Итак,
$ trace (BXBX) dv -0,
233
~0 (dv — элемент объема).
Х§к как divK равно следу линейного отображения V
что влечет trace ВхВх — 0 и отсюда 6^ = 0. Если М не ориенти-
ориентируемо, то поднимаем X до инфинитезимальной изометрии X*
двулистного ориентируемого накрывающего пространства М*
для М. Тогда Вх* = 6 влечет Вх — 0.
В качестве приложения теоремы 4.5 докажем результат
Вана [1].
Теорема 4.6. Если М —компактное риманово многообра-
многообразие, то:
A) каждое параллельное тензорное поле К на М инвариантно
относительно действия компоненты единицы ¦З0 (М) группы изо-
изометрии для М;
B) в каждой точке х линейная группа изотропии из 9° (М)
содержится в линейной группе голономии ^(х).
Доказательство. A) Пусть X — произвольная инфини-
инфинитезимальная изометрия для М. По предложению 4.1 и теоре-
теореме 4.5 1-параметрическая группа Ct линейных преобразований
в ТХ(М) содержится в W (х). Когда Ct продолжается до 1-пара-
1-параметрической группы автоморфизмов тензорной алгебры над Тх (М),
то последняя оставляет К инвариантным. Итак, qpt (KX)='AKX—Kxt
для каждого t, где <pf есть 1-параметрическая группа изометрии,
порожденная полем X. Так как 3° (М) связна, то она оставляет К
инвариантным.
B) Пусть ф —любой элемент из 3° (М) такой, что ц>(х)—х.
Поскольку S0 (Л!) есть компактная связная группа Ли, то суще-
существует 1-параметрическая подгруппа qpt такая, что <p = q>to для
некоторого t0. В доказательстве A) мы видели, что Ct (получен-
(полученная из q>t) принадлежит W(x). С другой стороны, так как
<ри(х)—х, то х?о также принадлежит ^(х). Отсюда ф,0=т?ооС<0
принадлежит ^(х). Q
§ 5. Тензор Риччи и инфинитёзимальные изометрии
Пусть М — многообразие с линейной связностью Г. Тензорное
поле Риччи S есть ковариантное тензорное поле степени 2, оп-
определяемое так: S(X, Y) равно следу отображения V —
-+R(V, X)Y апяТх{М), где X, Y, V?TX(M). Если М — риманово
многообразие и если Vlt ..., Vn — ортонормальный базис из

234
Тх (М), то
S(X,
гл. Vr. Преобразования
i, X)Y, V,)
-. У, Vit X), X,
X(),
где R в последнем уравнении обозначает тензор римановой кри-
кривизны (см. § 2 главы V). Свойство (d) тензора римановой кри-
кривизны (см. § 1 главы V) влечет S (X, Y)=S(Y, X), т. е. 5 сим-
симметрично.
Предложение 5.1. Если X—инфинипгезимальное аффин-
аффинное преобразование риманова многообразия М, то
div (AXY) = — S (X, У) — trace (АХАУ)
для каждого векторного поля X на М. В частности,
div(AxX)=: — S(X, X) — trace (AXAX).
Доказательство. По предложению 2.6. имеем /? (V, X) —
= —R (X, V) = — Vv(Ax) для любого векторного поля V на М.
Отсюда
R (V, X) Y = - (Vу (Ах)) Y = ~Vv (АХУ) + Ах (VVY)
= Vv(AxY)-AxAyV.
Наше предложение следует из того, что S (X, У) есть след для
V-+R(V, X)Y и что div(^F) есть след для V-» Vv (АХУ)- О
Предложение 5.2. Для инфинитезимальной изометрии X
риманова многообразия М рассмотрим функцию f = -$¦ g (X, X)
на М. Тогда:
A) Vf—g(V, AXX) для каждого касательного вектора V;
B) Vzf=g(V, XIV(AXX)) для каждого векторного поля V такого,
что VVV = O,
C) div (АХХ) ^ 0 в любой точке, где f принимает относи-
относительный минимум;
Aiv (AXX)^.Q в любой точке, где f принимает относитель-
относительный максимум.
Доказательство. Так как g параллельно, то имеем
Z (g (X, У)) = Vz (g (X, Y)) = g (VZX, Y)+g(X, VZY)
для произвольных векторных полей X, У и Z на М. Применяя
эту формулу к случаю, когда X = У и Z = V, получаем
Vf g(VX X)
V, X)=g(V, AXX)
при помощи предложения 2.5 и кососимметричности Ах (см.
предложение 3.2). Это доказывает A). Если V — векторное поле
§ 5. ТЕНЗОР РИЧЧИ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ
235
такое, что
= 0, то
AxX))=g(VvV, AxX)+g(V, VV(AXX))
= g(V, Vv(AxX)),
что и доказывает B). Чтобы доказать C), допустим, что Vx, ..., Vn—
ортонормальный базис для ТХ(М). Для каждого i пусть Tt=xt (t)
есть геодезическая с начальным условием (х, Vt) так, что V,- =
— х{@). Мы продолжаем каждое V; до векторного поля, совпа-
совпадающего с х( (t) в х{ (t) для малых значений t. Тогда имеем
v.Vl, AxX)+g<ylt Vv.(AxX))
= g(Yi, Vvt(AxX)).
Поскольку div (AXX) есть след линейного отображения V
—* A v (АХХ), имеем
Теперь C) следует из того, что если / принимает относительный
минимум (соотв. максимум) в х, то (V2{f)x^0 (соотв. ^0). ?
В качестве применения этих двух предложений докажем сле-
следующий результат Бохнера [1].
Теорема 5.3. Пусть М—связное риманово многообразие,
тензорное поле Риччи S которого отрицательно определенно всюду
на М. Если длина инфинитезимальной изометрии X принимает
относительный максимум в некоторой точке из М, то X тож-
тождественно равно нулю на М.
Доказательство. Допустим, что длина X принимает отно-
относительный максимум в х. По предложению 5.2 имеем div (АХХ) ^ 0
в х. По предложению 5.1 получаем — S (X, X) — trace (АХАХ) ^ 0.
Но S(X, Х)^.О по предположению и trace (А ХАХ) ^ 0, посколь-
поскольку Ах кососимметрично. Итак, имеем S(X, Х) = 0 и Ах = 0 в х.
Так как S отрицательно определенно, то Х = 0 в х. Поскольку
длина X принимает относительный максимум в х, X есть нуль
в окрестности точки х. Если и — любая точка из О (М) такая,
что я (и) —х, то естественный лифт X для X есть нуль в окрест-
окрестности точки и. Как мы видели в доказательстве теоремы 3.3,
X тождественно равно нулю на М. ?
Следствие 5.4. Если М—компактное риманово многооб-
многообразие с отрицательно определенным тензорным полем Риччи, то
группа 3(М) изометрии для М конечна.
Доказательство. По теореме 5.3 9° (М) сводится к еди-
единице. Поскольку 9 (М) компактна (см. теорему 3.4), то она ко-
конечна. П
Замеча ние. Следствие 5.4 может быть получено из пред-
предложения 5.1 при помощи теоремы Грина следующим образом.

236
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Мы можем считать, что М ориентируемо; иначе нужно лишь
рассмотреть ориентируемое двулистное накрытие для М. Из пред-
предложения 5.1 и теоремы Грина получаем
X) + trace(AxAx)]dv = O.
Поскольку S (X, X) ^ 0 и trace (АхАх) ^ 0, мы должны иметь
5 (X, А") = 0 и trace (АХАХ) = 0 всюду на М. Это доказательство
дает также
Следствие 5.5. Если М—компактное риманово многообра-
многообразие с нулевым тензорным полем Риччи, то каждая его инфините-
зимальная изометрия есть параллельное векторное поле.
Доказательство. По предложению 2.5 мы имеем 0==
— AXV =—VyX для каждого векторного поля V на М. Q
Из следствия 5.5 мы получаем следующий результат Лихне-
р о в и ч а [1].
Следствие 5.6. Если связное компактное однородное рима-
риманово многообразие М имеет нулевой тензор Риччи, то М есть
евклидов тор.
Доказательство. По теореме 5.1 главы III и следст-
следствию 5.5 имеем
[X, Y] = VxY-VyX = 0
для любых инфинитезимальных изометрий X, Y. Итак, 3° (М)
есть компактная абелева группа. Поскольку 3° (М) действует
на М эффективно, то подгруппа изотропии в S° (M) в каждой
точке из М сводится к единичному элементу. Как мы видели
в примере 4.1 главы V, М есть евклидов тор. ?
В качестве другого приложения предложения 5.2 докажем
Предложение 5.7. Пусть q>t есть 1-параметрическая
группа изометрий, порожденная инфинитезимальной изометрией X
риманова многообразия М. Если х—критическая точка функции
длины g(X, XI1*, то орбита q>t(x) есть геодезическая.
Доказательство. Если х — критическая точка функции
g(X, XI/2, то она есть также и критическая точка функции
/=2-?(Л', Л"). По A) предложения 5.2 имеем g(V, АхХ) = 0
для каждого вектора V в х. Отсюда АхХ = 0 в х, т. e. Vx^f —0
в х. Поскольку q>t(Xx) = X4,(x) по A) предложения 1.2, мы имеем
Vjr^ = O вдоль орбиты q>t(x). Это показывает, что орбита q>t(x)
есть геодезическая. ?
§ 6. Продолжение локальных изоморфизмов
Пусть М — вещественное аналитическое многообразие с ана-
аналитической линейной связностью Г. Расслоение L (М) линейных
реперов есть аналитическое многообразие и форма связности <о
§ 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ
237
аналитична. Распределение Q, которое сопоставляет горизонталь-
горизонтальное подпространство QB каждой точке и ? L (М), аналитично в том
смысле, что каждая точка и имеет окрестность и локальный ба-
базис для распределения Q, состоящий из аналитических вектор-
векторных полей. То же самое верно для распределения на касательном
расслоении Т (М), которое определяет понятие параллельного
переноса в расслоении Т (М) (относительно понятия горизон-
горизонтальных подпространств в ассоциированном расслоении см. § 7
главы II).
Главная цель этой части — доказать следующую теорему.
Теорема 6.1. Пусть М—связное односвязноеаналитическое
многообразие с аналитической линейной связностью. Пусть М' —
аналитическое многообразие с полной аналитической линейной
связностью. Тогда каждое аффинное отображение fu связного от-
открытого подмножества U из М в М' может однозначно быть
продолжено до аффинного отображения f из М в М'.
Доказательство предваряется несколькими леммами.
Лемма 1. Пусть f и g—аналитические отображения связ-
связного аналитического многообразия М в аналитическое многообра-
многообразие М'. Если fug совпадают на непустом открытом подмно-
подмножестве из М, то они совпадают на М.
Доказательство леммы 1. Пусть л; — любая точка из М,
а х1, ..., хп — аналитическая локальная система координат в ок-
окрестности точки х. Пусть у1, ..., ут — аналитическая локальная
система координат в окрестности точки / (х). Отображение /
может быть выражено множеством аналитических функций
yl = fl{xl, ¦¦-, хп), i = \, ..., т.
Эти функции могут быть разложены в л; в сходящиеся степенные
ряды от хг, ..., хп. Аналогично и для отображения g. Пусть
N — множество точек х?М таких, что f (x) — g(x), а разложе-
разложения / и g в степенные ряды в (вблизи) х совпадают. Тогда N,
очевидно, есть замкнутое подмножество из М. Из хорошо из-
известных свойств степенных рядов следует, что N открыто в М.
Поскольку М связно, N=M.
Лемма 2. Пусть S и S' — аналитические распределения на
аналитических многообразиях М и М'. Пусть f—аналитическое
отображение из М в М' такое, что
для каждой точки х из непустого подмножества в М. Если М
связно, то (*) выполняется в каждой точке х из М.
Доказательство, леммы 2. Пусть N — множество всех
точек х?М таких, что (*) выполняется в окрестности х. Тогда N
есть, эчевидно, непустое открытое подмножество вМ. Поскольку М
связнсь достаточно доказать, что N замкнуто. Пусть xk ? N

238
И Хи
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
„k~rх Пусть у1 У"~~аналитическая локальная система
координат в окрестности V точки / (*„), a Zx, .... ZA —локаль-
—локальный базис распределения S' в V. Среди d/dr/1, ..., д/дут выбе-
выберем m— h векторных полей, скажем, Zh+1, ..., Zm, таких, что
Zu .. -, Zh, Zh+l, .. ., Zm линейно независимы в f(x0), а отсюда
и в окрестности V' точки f (х0). Пусть V — связная окрестность
точки х0 с аналитической локальной системой координат х1, ..., хп
такая, что f (U)czV' и что 5 имеет локальный базис Хг, ..., Хк,
состоящий из аналитических векторных полей, определенных
на U. Поскольку / аналитична, мы имеем
где /{(л:) —аналитические функции от х1, ..., х". Так как xk?N
и хк—->-х0, то существует окрестность Ux некоторой точки хк
такая, что UxczU и что (*) удовлетворяется в каждой точке х
из иг. Другими словами, !{(х) = 0 на Ux для \^.i^.k и
/г+1 ^.j^.m. Отсюда следует, что /{ = 0 на U для тех же самых
i и /. Это доказывает, что (*) удовлетворяется в каждой точке х
из U.
Лемма 3. Пусть М и М' — аналитические многообразия с ана-
аналитическими линейными связностями, a f — аналитическое отобра-
отображение из М в М'. Если ограничение f на открытое подмноже-
подмножество U из М есть аффинное отображение и если М связно, то
/ — аффинное отображение из М в М'.
Доказательство леммы 3. Пусть F — аналитическое
отображение касательного расслоения Т (М) в Т (Мг), индуци-
индуцированное при помощи f. По предположению F отображает го-
горизонтальное подпространство в каждой точке из п'1 (U) в гори-
горизонтальное подпространство в Т (М') (здесь л обозначает проек-
проекцию из Т (М) на М). Применяя лемму 2 к отображению F, мы
видим, что / — аффинное отображение из М в М'.
Лемма 4. Пусть М и М' — дифференцируемые многообразия
с линейными связностями, и пусть f и g—аффинные отображе-
отображения из М в М'. Если f(X) = g(X) для каждого Х?ТХ(М) в не-
некоторой точке х?М и если М связно, то f и g совпадают на М.
Доказательство леммы 4. Пусть jV—множество всех
точек х?М таких, что f(X)=g(X) для Х?ТХ{М). Тогда N,
очевидно, есть непустое замкнутое подмножество из М. Так как
fug перестановочны с экспоненциальными отображениями (пред-
(предложение 1.1), то x?Vv" влечет, что некоторая нормальная коор-
координатная окрестность для х лежит в N. Итак, N открыто. Так
как М связно, то Л/ = М.
Теперь мы в состоянии доказать теорему 6.1. В предполо-
предположениях теоремы 6.1 пусть x(t), 0<;г<Ч, — кривая в М такая,
что x@)?U. Аналитическое продолжение для fa вдоль кривой
6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ
239
x(t) есть по определению семейство аффинных отображений ft,
O^f^l, удовлетворяющих следующим условиям:
A) для каждого t ft есть аффинное отображение окрестности
Ut точки x(t) в М';
B) для каждого t существует положительное число б такое,
что если | s — 111 < б, то х (s)?Ut и fs совпадает с /t в некоторой
окрестности точки х (s);
C) /о = /[/•
Из леммы 4 легко следует, что аналитическое продолжение
для /у вдоль кривой x(t) единственно, если оно существует.
Теперь покажем, что оно существует. Пусть ^„ — точная верхняя
грань tx > 0 таких, что аналитическое продолжение ft сущест-
существует для (Х!^:^^. Пусть W—выпуклая окрестность точки *(^0),
как и в теореме 8.7 главы III, такая, что каждая точка из W
имеет нормальную координатную окрестность, содержащую W.
Возьмем tx такое, что tx < t0 и что xit^^W. Пусть V—нор-
V—нормальная координатная окрестность точки xtf^, содержащая W.
Поскольку существует аналитическое продолжение ft для fu при
0 ^ t ^ tx, мы имеем аффинное отображение fu окрестности точки
x(tx) в М'. Мы продолжаем /t( до аналитического отображения,
скажем g, из V в М' так. Поскольку экспоненциальное отобра-
отображение дает диффеоморфизм открытой окрестности V* начала
в Txiti)(M) на V, каждая точка y&V определяет единственный
элемент X ? V* с. Txi ti) {М) такой, что у=ехр X. Положим X' — ftl(X),
так что X' есть вектор в /ti(x(^)). Так как М' полно, то ехр X'
корректно определено, и мы тогда полагаем g(y)=expX'. Так
определенное продолжение g для fti перестановочно с экспонен
циальными отображениями. Поскольку экспоненциальное ото-
отображение аналитично, g тоже аналитично. По лемме 3 g есть
аффинное отображение из V в М'. Мы можем легко определить
тродолжение для fti за сх, используя это аффинное отображе-
отображение g. Так доказывается существование аналитического продол-
продолжения fu вдоль всей кривой x(t), 0-^.t^.l.
Чтобы завершить доказательство теоремы 6.1, допустим, что
х — произвольная фиксированная точка из U. Для каждой у?М
пусть x(t), 0^.t^. I, — кривая из х в у. Аффинное отображение
fu может быть аналитически продолжено вдоль кривой х (t) и
порождает аффинное отображение g окрестности точки у в М'.
Мы покажем, что g(y) не зависит от выбора кривой из х в у.
Для этого достаточно отметить, что если х {t) есть замкнутая
кривая, то аналитическое продолжение ft для fu вдоль x(t) по-
порождает аффинное отображение /х, совпадающее с fu в окрест-
окрестности х. Так как М односвязно, то кривая x(t) гомотопна нулю,
и наше утверждение следует немедленно из факторизационной
леммы (см. приложение 7) и из единственности аналитического
продолжения, которую мы уже доказали. Отсюда следует, что

240
гл. vi. Преобразования
данное отображение fu может быть продолжено до аффинного
отображения / из М в М'. Единственность / следует из леммы 4. О
Следствие 6.2. Пусть М и М' —связные односвязные ана^
литические многообразия с полными аналитическими линейными
связностями. Тогда каждый аффинный изоморфизм между связ-
связными открытыми подмножествами из М и М' может быть един-
единственным образом продолжен до аффинного изоморфизма между
М и М'.
Мы имеем соответствующие результаты и для аналитических
римановых многообразий. Риманова связность аналитической
римановой метрики аналитична; это следует из следствия 2.4
главы IV.
Теорема 6.3. Пусть М и М'—аналитические римановы
многообразия и dim Af = dimAf'. Если М связно и односвязно и
если М' полно, то изометрическое погружение fu связного откры-
открытого подмножества U из М в М' может быть однозначно про-
продолжено до изометрического погружения f из М в М'.
Доказательство. Доказательство весьма сходно с дока-
доказательством теоремы 6.1. Мы укажем только необходимые изме-
изменения. Лемма 1 может быть использована без каких-либо изме-
изменений. Лемма 2 была необходима, только чтобы получить лемму 3.
В данном же случае мы докажем следующую лемму 3' непо-
непосредственно.
Лемма 3'. Пусть М и М'—аналитические многообразия
с аналитическими римановыми метриками g и g' соответственно,
и пусть f — аналитическое отображение из М в М'. Если суже-
сужение f на открытое подмножество U из М есть изометрическое
погружение и если М связно, то f — изометрическое погружение
из М в М'.
Доказательство леммы 3'. Сравним g с f*(g'). По-
Поскольку они совпадают на U, то рассуждение, подобное исполь-
использованному в доказательстве леммы 1, показывает, что они сов-
совпадают на всем М.
В лемме 4 мы заменим «аффинные отображения» на «изомет-
«изометрические погружения». Поскольку изометрическое погружение
отображает каждую геодезическую в геодезическую и поэтому
коммутирует с экспоненциальными отображениями, доказатель-
доказательство леммы 4 остается в силе.
В оставшейся части доказательства теоремы 6.1 мы заменяем
«аффинное отображение» «изометрическим погружением». Тогда
доказательство проходит без каких-либо других изменений.
Следствие 6.4. Пусть М и М'—связные и односвязные
полные аналитические римановы многообразия. Тогда каждая
изометрия между связными открытыми подмножествами из М
и М' может быть однозначно продолжена до изометрии между
МиМ'.
§ 7. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
§ 7. Проблема эквивалентности
24 i
Пусть М—многообразие с линейной связностью, х1, ..., хп—
нормальная система координат в точке х0, a U — окрестность
точки х0, определяемая так: |jc'|<6, t = l, ..., п. Пусть и0 —
линейный репер в начале х0, задаваемый как (д/дх1, .. ., д/дх").
Мы определим сечение a: U—>-L(M) так. Если х — точка из U
с координатами (а1, ..., а"), то а(х) — репер, полученный па-
па() рр, олученный па
и0 вдоль геодезической, задаваемой как
называем д
раллельным переносом дской, задаваемой как
xi = tai, O^t^l. Мы называем а сечением, адаптированным
к нормальной системе координат х1, .. ., хп.
Первая цель этого параграфа — доказать следующую теорему.
Теорема 7.1. Пусть М и М'—многообразия с линейными
связностями. Пусть U (соотв. V) — нормальная окрестность точки
х0 €М (соотв. уа?М') с нормальной системой координат х1, ..., х"
(соотв. у1, .. .,у"), и пусть a: U —*¦ L (М) (соотв. а': V —>- L (М1)) —
сечение, адаптированное к х1, . . ., хп (соотв. у1, .... уп). Диф-
Диффеоморфизм f из U на V есть аффинный изоморфизм, если он
удовлетворяет следующим двум условиям:
A) / отображает репер а(х) в репер о'(f (х)) для каждой
точки x?U;
B) / сохраняет тензорные поля кручения и кривизны.
Доказательство. Пусть б = (в') и а> = (©)') — каноническая
форма и форма связности на L (М) соответственно. Мы полагаем
A) & = в' %A}
A)
B) Ц = a*aj = bj ,
Лемма 1. Для любых (а1,
имеем
i = 1,
п,
1, ..., п.
.,а")Ф(О О)с\аЦ<
: 1, i= 1, ..., п,
D) 2*5/, (ta) а* = О, О<*<1, i, / = 1, . . ., п,
; где ta означает (ta1 ta").
, ; Доказательство леммы 1. Для фиксированного а = (а{)
: рассмотрим геодезическую xt, задаваемую как x' = tai, O^t^. I,
i 1 = 1, ..., п. Пусть ut = a(xt) — горизонтальный лифт для xt,
исходящий из иа. Поскольку реперы ut параллельны вдоль xt,
имеем
С другой стороны, имеем
\ Это доказывает C). Аналогично D) следует из того, что ш (ut) = 0.

242
ГЛ. Vl. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Мы полагаем (см. § 7 главы III)
E) в' = а*в'
G) Щ = o*Qj = ft> t
Лемма 2. Для произвольного фиксированного (а1, ., ., а") по-
положив
Л j @ = М< (to), Sjft @ = *Bf* (to),
T)k (t) = T)k (to), R]kl (t) = Rjkl (to).
Тогда функции Aj(t) и В)кA) удовлетворяют следующей системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
G) d^(O/^ = ej + 2/^(Oe' + 2«..^«(O ЛТЧОа',
(8) <Ш|* (О/Л = 2г. Л/ @ %? @ «*.
с начальными условиями
(9) л;(О) = о, ?}*(О) = о.
Доказательство леммы 2. Мы рассматриваем открытое
множество Q из Rn+1, определенное как Q — \(t, a1, ..., ап);
\tal\ < б для i = l, ..., п}. Пусть р —отображение из Q в С/,
определенное так:
p(f, a1, ..., a») = (te1 to").
Мы полагаем
Из леммы 1 получаем
A0) ^^j
Из E) и F) получаем
Из A0) и A1) получаем
A4) & = - Х,у [
A5) ^ = ~Eft [-^-
где точки обозначают члены, не содержащие dt. Из A0) — A3)
§ 7. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
243
получаем
A6) _2/ю{
= -
A7) -
(to)) a
= -2* [2k -«i/п, (to) (M? (ta)) a'] da*Adt + ...,
где точки обозначают члены, не содержащие dt. Теперь G) сле-
следует из A4), A6) и первого уравнения структуры. Аналогично
(8) следует из A5), A7) и второго уравнения структуры. На-
Наконец, (9) очевидно из определения Aj(t) и Bjfc(t). Это дока-
доказывает лемму 2.
Из леммы 2 и из теоремы единственности для систем обык-
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (см. прило-
приложение 1) следует, что функции A){f) и В]н @ определяются
однозначно через t)k{t) и R)ki{t). С другой стороны, функции
tjk @ и R)ki @ однозначно определяются тензорными полями
кручения Т и кривизны R, а также сечением (для каждого фик-
фиксированного (а1, ..., ап)). Из A) мы видим, что форма связ-
связности © определяется однозначно через Т, R и а. П
В случае вещественно аналитической линейной связности тен-
тензорные поля кручения и кривизны и их последующих ковари-
антных производных в точке определяют связность однозначно.
Точнее, имеет место
Теорема 7.2. Пусть М и М'—аналитические многообразия
с аналитической линейной связностью. Пусть Т, R и V (соотв.
7", R' и V')—кручение, кривизна и ковариантное дифференци-
дифференцирование в М (соотв. М'). Если линейный изоморфизм F: ТХо(М) —>-
~~* ^JtoS^'} отображает тензоры (VmT)Xa и (VnR)Xa в тензоры
(Ч'тТ )уо и (V'mR')yo соответственно для т = 0, 1, 2°..., то су-
существует аффинный изоморфизм f окрестности U точки х0 на
окрестность V точки у0 такой, что f(xa)—y0 и что дифферен-
дифференциал для f в х0 есть F.
Доказательство. Пусть х1, ..., хп, |л/|<8, — нормаль-
нормальная координатная система в окрестности U точки х0, а у1, ..., у",
|г/'|<8,—нормальная координатная система в окрестности V
точки у0 такая, что (д/ду%0 = F((д/дх%о), t = l, .... л; такая
нормальная координатная система существует и единственна.
Пусть / — аналитический гомеоморфизм из U на V, определяе-
определяемый так:
ytof=xl, i = \, ..., п.
Ясно, что дифференциал от / в х0 совпадает с F. Покажем,
что / есть аффинный изоморфизм из U на V.

244
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Используем те же обозначения, что и в доказательстве тео-
теоремы 7.1. Достаточно доказать следующие пять утверждений.
Если нормальная координатная система х1, .. ., хп фиксирова-
фиксирована, то:
(i) тензоры (VmT)Xa, m = 0, I, 2, ..., определяют функции
(ii) тензоры (ymR)Xo, т = 0, 1, 2, ..., определяют функции
(iii) функции tjk(t) и Rjbi(t) определяют формы Qf и ю';
(iv) формы в' определяют сечение а;
(v) сечение а и формы со, определяют форму связности со.
Чтобы доказать (i) и (ii), нам нужна следующая
Лемма 1. Пусть ut, 0 ^ t ^ 1, —горизонтальный лифт кри-
кривой xt, 0^.t^.\, до L(M). Пусть Trs —тензорное пространство
типа (г, s) над R". Для заданного тензорного поля К типа (г, s)
вдоль Xt пусть К есть Тг$-значная функция, определенная вдоль ut
так:
где щ рассматривается как линейное отображение из Trs на тен-
тензорное пространство Tj(;ct) в точке xt типа (г, s). Тогда мы
имеем
Доказательство леммы 1. Это — специальный случай
предложения 1.3 из главы III. Здесь тензорное поле Ки функ-
функция К соответствуют там сечению ф и функции/. Хотя ф в пред-
предложении 1.3 главы III определяется на всем М, доказательство
проходит и тогда, когда ф определяется на кривой из М (см.
лемму для предложения 1.1 главы III).
Чтобы доказать (i), мы применяем лемму 1 к кручению Т,
геодезической xt, заданной как x' — ta', t = l, ..., п, и горизон-
горизонтальному лифту щ для xt с и0 = ((д/дх1)Ха, ..., (д/дхп)Хо). Тогда
лемма 1 (примененная m раз) влечет, что uf1 ((V^ )mT) для каждого t
есть элемент тензорного пространства Т| с компонентами
dmTljk(t)/dtm. В частности, полагая ^ = 0, мы видим, что как
только координатная система х1, ..., хп и (а1, ..., ап) фикси-
фиксированы, {dmTijk(t)ldtm)t=tii m — 0, I, 2, ..., все определяются
через (VmT)Xo. (Действительно, нетрудно видеть, что
(d-fW<tt-),.o = 2/, im T)k-. ii:...; i» (x.) a'*... a^,
ГДе TJk; /,; ...;lm — КОМПОНвНТЫ ДЛЯ VmT ОТНОСИТвЛЬНО Xх, . . . , JC?.)
Поскольку каждая f)k{t) есть аналитическая функция от t, она
§ 7. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
245
определяется через (V\o, m = 0, I, 2, ... Это доказывает (i).
Доказательство (ii) аналогично.
Лемма 2 для теоремы 7.1 влечет, что функции f)k(t) и R)ki (t)
определяют функдии A) (t) и B)k(t). Теперь (iii) следует из фор-
формул A) и B) в доказательстве теоремы 7.1.
(iv) получается из следующей леммы.
Лемма 2. Пусть а и а'—два сечения вЬ(М) над открытым
подмножеством U из М. Если о*в — а'*в на U, то о = а'.
Доказательство леммы 2. Для каждого Х?ТХ(М),
где х? U, имеем
(сг*в) (X) = 8 (аХ) = а (*)-I (я (аХ)) = а (х) "х X,
где а (х) € L (М) рассматривается как линейный изоморфизм из R"
на ТЖ(М). Используя такое же уравнение для а', получаем
о(х)-1Х = а' (х)-гХ.
Так как это справедливо для каждого X в Тж (М), то мы получаем
о(х) = а'(лс).
Наконец, (v) очевидно из определения со'. П
Следствие 7.3. В теореме 7.2, если М и М', сверх того,—
связные односвязные аналитические многообразия с полными ана-
аналитическими линейными связностями, то существует единственный
аффинный изоморфизм f из М на М', дифференциал которого
в х0 совпадает с F.
Доказательство. Это есть немедленное следствие след-
следствия 6.2 и теоремы 7.2. Q
Теорема 7.4. Пусть М и М' — дифференцируемые много-
многообразия с линейными связностями. Пусть Т, R и V (соотв. 7",
R' и V')—кручение, кривизна и ковариантное дифференцирование
для М (соотв. М'). Допустим, что уТ = 0, \!R = 0, V'7"'=0
и \t'R'=O. Если F есть линейный изоморфизм из ТЖ<>(М) на
Т (М') и отображает тензоры ТХо и RXa в х0 в тензоры Т'д
и Н'Уо в у0 соответственно, то cywficmeyem аффинный изоморфизм f
окрестности U точки х0 на окрестность V точки у0 такой, что
f(xo)=yQ и что дифференциал от f в х0 совпадает с F.
Доказательство. Мы следуем обозначениям и рассужде^
ниям в доказательстве теоремы 7.2. По лемме 1 в доказатель-
доказательстве теоремы 7.2 функции f)k(t) и R)ki(t) являются константами
и потому определяются через ТХо и RXa (и координатную систему
х1, ..., хп). Наша теорема теперь следует из (iii), (iv) и (v)
в доказательстве теоремы 7.2. ?
Следствие 7.5. Пусть М— связное дифференцируемое мно-
многообразие с линейной связностью такое, что уТ — 0 и V/?=0.
Тогда для :.одых двух точек х и у из М существует аффинный
изоморфизм окрестности точки к на окрестность точки у.

246
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Доказательство. Пусть т — произвольная кривая из х
в у. Поскольку уГ = 0 и V# = 0, параллельный перенос т:
Тх(М)—>-Ти(М) отображает тензоры Тх и Rx в точке х в тен-
тензоры Т и Ну в точке у. По теореме 7.4 существует локальный
аффинный изоморфизм / такой, что f{x)—y и что дифференциал
от / в х совпадает ст. ?
Пусть М — многообразие с линейной связностью Г. Говорят,
что связность Г инвариантна при параллелизме, если для про-
произвольных точек х и у из М и произвольной кривой т из х
в у существует (единственный) локальный аффинный изоморфизм /
такой, что / (х) = у и что дифференциал от / в х совпадает с парал-
параллельным переносом т: Тх (М) —» Ту (М). В доказательстве след-
следствия 7.5 мы видели, что если VT = 0 и VR=0, то связность
инвариантна при параллелизме. Обратное также верно. Именно,
имеем
Следствие 7.6. Линейная связность инвариантна при парал-
параллелизме тогда и только тогда, когра VT = 0 и v/?=0.
Доказательство. Допустим, что связность инвариантна
при параллелизме, и пусть т —произвольная кривая из х в у.
Пусть / — локальный аффинный изоморфизм такой, что f(x)=y
и что дифференциал от / в х совпадает с параллельным пере-
переносом т. Тогда / отображает Тх и Rx в Ту и Ru соответственно.
Поэтому параллельный перенос т отображает Тх и Rx в Ту и Ry
соответственно. Это означает, что Т и R — параллельные тензор-
тензорные поля. ?
Теорема 7.7. Пусть М — дифференцируемое многообразие
с линейной связностью такое, что \Т = 0 и yR = 0. Относительно
атласа, состоящего из нормальных систем координат, М есть
аналитическое многообразие с аналитической связностью.
Доказательство. Пусть х1, ...,х" — нормальная система
координат на открытом множестве U. Введем координатную
систему (xl, Xk)t, j,k=\ п в n~1(U)cL(M) естественным обра-
образом, как и в § 7 главы III (см. пример 5.2 главы I). Если мы
обозначим через (Ui) обратную матрицу для (Х{), то канониче-
каноническая форма и форма связности могут быть выражены так (см.
предложения 7.1 и 7.2 главы III):
A8) e«=2y*W
A9) BJ = 2»(/i(dX? + Sll.r!,,X}H.i i. У = 1. •-., л.
Формы В1 аналитичны относительно (х1, Х{). Покажем, что
формы со) тоже аналитичны относительно (х1, Х{). Ясно, что
достаточно показать, что компоненты Г% связности аналитичны
по х1, ..., хп. Используем те же обозначения, что и в доказа-
доказательстве теоремы 7.1. Поскольку функции f)k{t) и R)ki(t) — кон-
константы, которые не зависят от (а1, . • •, а") в силу предположе-
7. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
247
ния, что VT =0 и V/? =0, то лемма 2 в доказательстве теоремы 7.1
влечет (см. приложение 1), что функции А) (t) и B)k(t) анали-
аналитичны по t и зависят аналитически от (а1, . . ., а"). Следовательно,
функции Л} и B)k аналитичны по х1, ..., хп. Из A) в доказательстве
теоремы 7.1 видим, что сечение a: U—+L{M) задается так:
B0) и] = А), i, / = 1 п.
Пусть (С))—обратная матрица к (А}). Из A9) и B0) получаем
Сравнивая B1) с B) в доказательстве теоремы 7.1, получаем
Преобразуя B2), получаем
/93^ Г* = ^. f^ С*Д1- дС^1дхт} А^
что показывает, что компоненты Г% — аналитические функции
по х1 х".
Так как ла + п 1-форм 0' и со? аналитичны относительно
(х'\ Х{) и определяют абсолютный параллелизм (предложение 2.5
главы III), то следующая лемма влечет, что L(M) есть анали-
аналитическое многообразие по отношению к атласу, состоящему из
координатных систем (х', X}), индуцированных из нормальных
координатных систем (х1, ..., х") на М.
Лемма. Пусть со1, ..., cora— l-формы, определяющие абсо-
абсолютный параллелизм на многообразии Р размерности т. Пусть
и1, ..., ит (соотв. v1, ..., vm)—локальная система координат,
заданная в открытом множестве U (соотв. V). Если формы
со1, .. ., со"» аналитичны относительно и1, ..., ит и v1, . . ., vm,
то функции
которые определяют изменение координат, аналитичны.
Доказательство леммы. Мы пишем
[v) dvJ,
^ = 2/ в/ (и) du/ = 2/ b
где функции а) (и) (соотв. Ь) (и)) аналитичны пои1, . .., ит (соотв.
v1, ..., vm). Пусть (с)(и)) —обратная матрица к (b}(v)). Тогда
система функций vi = fi(u1, ..., ит), t = l, ..., т, есть решение
следующей системы линейных дифференциальных уравнений
в частных производных:
dv'/duJ = 2йСа (v) а) (и), i, j = 1, .. ., п.
Поскольку функции clk (v) и ak{ (и) аналитичны по v1, . . ., vm

248
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И U1-
.., ит соответственно, то функции /'' (и1, . .., и) анали-
тичны по и1, . .., ит (см. приложение 1). Это доказывает лемму.
Пусть хх, ..., Xя и у1, ..., у" — две нормальные системы
координат в М, а (х1, Х{) и (у', У{) — локальные координатные
системы в L(M), индуцированные этими нормальными системами
координат. По только что доказанной лемме у1, ..., у" — ана-
аналитические функции по х1 и Х{. Поскольку у1, ..., у", очевидно,
не зависят от Х'ь, то они аналитические функции от х1, ..., х".
Это доказывает первое утверждение теоремы 7.7. Так как мы
уже доказали, что формы со) аналитичны по отношению к (х'\ Х{),
то связность аналитична. ?
Как применение теоремы 7.7 получается
Теорема 7.8. В теореме 7.4, если М и М', сверх того,
связны, односвязны и полны, то существует единственный аффинный
изоморфизм f из М на М' такой, что f(xo)=yo и что диффе-
дифференциал от f в х0 совпадает с F.
Доказательство. Это есть немедленное следствие след-
следствия 6.2, теоремы 7.4 и теоремы 7.7. Q
Следствие 7.9. Пусть М—связное односвязное многообразие
с полной линейной связностью такое, что V71 = О и VR—0. Если F
есть линейный изоморфизм из ТХо(М) на ТУо(М), который ото-
отображает тензоры ТХо и RXo в Туо и Ryo соответственно, то суще-
существует единственное аффинное преобразование f в М. такое, что
/(*<,)=«/„ и что дифференциал от f в х0 есть F.
В частности, группа Ж (М) аффинных преобразований в М
транзитивна на М.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе
получается из следствия 7.5 и теоремы 7.8. Q
В § 3 главы V мы построили для каждого вещественного
числа k связное односвязное полное риманово многообразие
постоянной кривизны k. Любое связное односвязное полное
пространство постоянной кривизны k изометрично модели, кото-
которую мы построили. А именно, имеет место ,
Теорема 7.10. Любые два связных односвязных полных рима-
новых многообразия постоянной кривизны k изометричны друг
другу.
Доказательство. По следствию 2.3 главы V для прост-
пространства постоянной кривизны имеем VR = 0. Наше утверждение
теперь следует из теоремы 7.8 и из того, что если М и М' имеют
одну и ту же секционную кривизну k, то любой линейный изо-
изоморфизм F: ТХа(М) —>-Туа{М'), отображающий метрический тен-
тензор gXo в х0 в метрический тензор gya в уа, необходимо отображает
тензор кривизны RXa в хй в тензор "кривизны R'ya в у0 (см. пред-
предложение 1.2 главы V). ?
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Цель этого приложения — сформулировать основную теорему
об обыкновенных дифференциальных уравнениях в форме, необ-
необходимой для нашего изложения. Доказательство можно найти
в различных учебниках по дифференциальным уравнениям.
Ради простоты мы используем следующие сокращенные обо-
обозначения:
у = (у\ .... Г). Л = № •¦•- Л"). f = (f*, •.., /"),
ф = (ф\ ..-, ф"), S = (S\ ..., Sm), Х=(Х\ ..., Xя).
Тогда имеет место
Теорема. Пусть f(t, у, s)— семейство из п функций, опре-
определенных при |?|<6 и (у, s)?D, где D — открытое множество
в Rn+m. Если f(t, у, s) непрерывна по t и дифференцируема
класса С1 по у, то существует единственное семейство ср (t, r\, s)
из п функций, определенных при \ 11 < б' и (ц, s)?D', где 0<
< б' < б, a D' —открытое подмножество в D такое, что:
A) (p(t, r\, s) дифференцируема класса С1 по t и г\;
B) d<p(t, т], s)/dt = f(t, <p(t, ц, s), s);
C) Ф@, л. s) = ti.
Если f{t, у, s) дифференцируема класса Ср, O^ps^co, no t
и класса Сд, \^.q^.(o, no у и s, то ср (t, t\, s) дифференцируема
класса O+1 no t и класса Cq no т] и s.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dy/dt = f(t, у, s),
которая зависит от параметров s. Тогдау = ф(^, r\, s) называется
ее решением, удовлетворяющим начальному условию
у = ч\, когда ^ = 0.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
в частных производных
dyt/dx/ =f](x, у), i = \ п; j = 1, ..., т.
Из теоремы следует, что если функции f){xt у) дифференцируемы
класса С,~ О^г.^си, то-.каждое решение y = ty(x) дифференци-
дифференцируемо класса Сг+1. Этот результат используется в доказательстве
теорему 7.7 главы VI,

248
ГЛ. VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
и и1, ..., ит соответственно, то функции /'(и1, ..., и) анаЛи-
тичны по и1, . .., ит (см. приложение 1). Это доказывает лемму.
Пусть х1, ..., хп и у1, .... у — две нормальные системы
координат в М, а (х'\ Х?) и (у1, F0 — локальные координатные
системы в L(M), индуцированные этими нормальными системами
координат. По только что доказанной лемме у1, ..., уп— ана-
аналитические функции по ^ и X'k. Поскольку у1, ..., у", очевидно,
не зависят от Х'к, то они аналитические функции от х1, ..., хп.
Это доказывает первое утверждение теоремы 7.7. Так как мы
уже доказали, что формы ш/ аналитичны по отношению к (*', Х{),
то связность аналитична. ?
Как применение теоремы 7.7 получается
Теорема 7.8. В теореме 7.4, если М и М', сверх того,
связны, односвязны и полны, то существует единственный аффинный
изоморфизм f из М на М' такой, что f{xo)—y0 и что диффе-
дифференциал от f в х0 совпадает с F.
Доказательство. Это есть немедленное следствие след-
следствия 6.2, теоремы 7.4 и теоремы 7.7. ?
Следствие 7.9. Пусть М—связное односвязное многообразие
с полной линейной связностью такое, что уТ = 0 и VR = 0. Если F
есть линейный изоморфизм из ТХо (М) на Туе (М), который ото-
отображает тензоры ТХа и RXo в Туо и Ryo соответственно, то суще-
существует единственное аффинное преобразование f в М такое, что
f (х,,) =у0 и что дифференциал от f в х0 есть F.
В частности, группа Ш(М) аффинных преобразований в М
транзитивна на М.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе
получается из следствия 7.5 и теоремы 7.8. ?
В § 3 главы V мы построили для каждого вещественного
числа k связное односвязное полное риманово многообразие
постоянной кривизны k. Любое связное односвязное полное
пространство постоянной кривизны k изометрично модели, кото-
которую мы построили. А именно, имеет место ,
Теорема 7.10. Любые два связных односвязных полных рима-
новых многообразия постоянной кривизны k изометричны друг
другу.
Доказательство. По следствию 2.3 главы V для прост-
пространства постоянной кривизны имеем V#=0- Наше утверждение
теперь следует из теоремы 7.8 и из того, что если М и М' имеют
одну и ту же секционную кривизну k, то любой линейный изо-
изоморфизм F: ТХа(М) —>- Тиа(М'), отображающий метрический тен-
тензор gXo в х0 в метрический тензор g'y<> в у0, необходимо отображает
тензор кривизны Rx в ха в тензор кривизны R'y<t в у0 (см. пред-
предложение 1.2 главы V). ?
приложения
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Цель этого приложения — сформулировать основную теорему
об обыкновенных дифференциальных уравнениях в форме, необ-
необходимой для нашего изложения. Доказательство можно найти
в различных учебниках по дифференциальным уравнениям.
Ради простоты мы используем следующие сокращенные обо-
обозначения:
у = (у\ •••, у), л = (л1. •••, л"). / = (/*> •••, /"),
ф = (фх ф"), s = (s1, ..., sm), х={хх, ..., xm).
Тогда имеет место
Теорема. Пусть f(t, у, s) — семейство из п функций, опре-
определенных при |/|<б и (у, s)?D, где D — открытое множество
в R"+m. Если f (t, у, s) непрерывна по t и дифференцируема
класса С1 по у, то существует единственное семейство ф (t, t\, s)
из п функций, определенных при 11 \ < б' и (ц, s)?D', где 0<
< б' < о, a D'—открытое подмножество в D такое, что:
A) ф(?, т], s) дифференцируема класса С1 по t и г\;
B) d<p(t, л. s)/dt = f(t, <р(*. л- s), s);
C) Ф@, л. s) = t).
Если f(t, у, s) дифференцируема класса С?, 0 ^ р ^ со, по t
и класса С9, l^q^.a>, no у и s, то q)(t, т], s) дифференцируема
класса Cp+1 no t и класса Cq по ц и s.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dyldt = f{t, у, s),
которая зависит от параметров s. Тогдау = ф(^, л» s) называется
ее решением, удовлетворяющим начальному условию
у — л, когда t = 0.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
в частных производных
дуЧдх*=f]{x, у), t = l, ..., п; / = 1, ..., т.
Из теоремы следует, что если функции f) (x, у) дифференцируемы
класса Сг,' 0 ^г ^.ш, то,, каждое решение у = ty(x) дифференци-
дифференцируемо класса Сг+1. Этот результат используется в доказательстве
теоремы 7.7 главы VI,

250
ПРИЛОЖЕНИЯ
2. Связное локально компактное метрическое
пространство сепарабельно
Вспомним, что топологическое пространство М сепарабельно,
если существует плотное не более чем счетное его подмножество D.
Пространство М называется локально сепарабельным, если каждая
его точка имеет сепарабельную окрестность. Отметим, что для
метрического пространства сепарабельность эквивалентна второй
аксиоме счетности; см. Келли [1], с. 120 (с. 164 русского пере-
перевода). Доказательство утверждения в заголовке распадается на
три следующие леммы.
Лемма 1. Компактное метрическое пространство сепара-
сепарабельно.
Для доказательства см. Келли [1], с. 138 (с. 187 русского
перевода).
Лемма 2. Локально компактное метрическое пространство
локально сепарабельно.
Это — тривиальное следствие леммы 1.
Следующая лемма принадлежит Серпинскому [1].
Лемма 3. Связное локально сепарабельное метрическое прост-
пространство сепарабельно.
Доказательство леммы 3. Пусть d — метрика связного
локально сепарабельного метрического пространства М. Для
каждой точки х?М и каждого положительного числа г пусть
U (х; г) — внутренность шара с центром в х и радиусом г, т. е.
U (x; r) = {y?M; d(x, (/)<г}.Мы говорим, что две точки х и у
из М ^-связаны, и пишем xRy, если существует сепарабельная
U (х; г), содержащая у, и сепарабельная U (у; г'), содержащая х.
Очевидно, xRx для каждого х?М. Имеем также xRy тогда
и только тогда, когда yRx.
Для каждого подмножества А из М обозначим через SA
множество точек, которые /^-связаны с точками из A: SA = \у ? М;
yRx для некоторого х?А\. Положим SnA = SSn~1A, n — 2,3, ...
Если {л;} — множество, состоящее из одной точки, то будем
писать Sx вместо S {л;}. Легко видим, что у ? Snx тогда и только
тогда, когда x^S"y. Мы докажем три следующих утверждения:
(a) Sx открыто для каждого х ? М.
(b) Если А сепарабельно, то и SA сепарабельно.
(c) Положим U (х) = U™= i Snx для каждого х?М. Тогда для
любых х, у 6 М или U(x)(\U (у) пусто, или U{x)=U (у).
Доказательство (а). Пусть у — точка из Sx. Поскольку
xRy, то существуют положительные числа гиг' такие, что U (х; г)
и U(у, г') сепарабельны и что y?U(x; r), a x?U(y; r'). По-
Поскольку d(x, у) < г', то имеется положительное число гг такое, что
d{x, y)<rx<r'.
ПРИЛОЖЕНИЯ 251
Пусть г0 — любое положительное число такое, что
ro<r'~ru ru<r~d{x, у), ro<r1—d(x, у).
Достаточно показать, что U (у; г0) содержится в Sx. Если г G
?U(y, r0), то
d(x, z) ^.d(x, у) -\-d(y, z) < d(x, y)-\-r0 < min {r, rxj-.
Отсюда z?U(x; г), которое сепарабельно, и x?U(z; rx). Чтобы
доказать, что U (z; к^ сепарабельно, мы покажем, что U (z; rx)
содержится в U (у; г'), которое сепарабельно. Пусть w?U (z; гг),
так что d(z, w) < rx. Тогда
d(y, w)^d(y, z)-\-d(z, w)<d(y,
Отсюда w?U(y; г'). Это доказывает, что zRx для каждого
z€U(y, r0), т.е. U (у; г0) с: Sx.
Доказательство (Ь). Пусть А—сепарабельное подмно-
подмножество в М и D — счетное плотное подмножество из А. Доста-
Достаточно доказать, что каждый x?SA содержится в сепарабельном
открытом шаре, центр которого есть точка из D, а радиус —
рациональное число, потому что имеется лишь счетное множество
таких открытых шаров, и объединение их сепарабельно. Пусть
x?SA. Тогда имеется у^А такая, что xRy, и имеется сепара-
бельный открытый шар U (у; г), содержащий х. Пусть г0 — поло-
положительное рациональное число такое, что d(x, у) < г0 < г. Так
как D плотно в Л, то существует z?D такое, что
d{z, y)<min{re—d(x, у), r — ro\.
Достаточно показать, что U (г; г0) содержит х и сепарабельно. Из
d(x, z)^d(x, y)+d(y, z)<r0
следует, что x?U (z; r0). Чтобы доказать, что U (z; r0) сепара-
сепарабельно, покажем, что U (z; r0) содержится в U (у; г), которое
сепарабельно. Если w?U(z; r0), то
d(w, y)^d(w, z)+d{z, y)<ro+d(z, y)<r,
и отсюда w?U (у; г).
Доказательство (с). Допустим, что U (х) П U (у) не пусто,
и пусть z?U (x)r\U (у). Тогда z?Smx и z?Sny для некоторых
т и п. Из z?Smx получаем x?Smz. Отсюда x?Smz <=. Sm+ny.
Это влечет Skx <=. Sk+m+ny для каждого k, и,
V () U (x).
следовательно,
Это и доказы-
доказыy
U (х) с: U (у). Аналогично имеем V (у)
вает (с).
По (a) SA = и^д Sx открыто для любого подмножества А
множества М. Отсюда U (х) открыто для каждого х?М.
По (b) Snx сепарабельно для любого п. Значит, и ?/(я) сепа-
сепарабельно. Так как М связно и так как каждое U [х) открыто,

2§2
ПРИЛОЖЕНИЯ
то (с) влечет M=U (х) для каждого х?М. Отсюда М сепара-
бельно, что и завершает доказательство утверждения в заго-
заголовке.
Теперь мы в состоянии доказать следующее утверждение.
Теорема. Для связного дифференцируемого многообразия
следующие условия взаимно эквивалентны:
A) существует риманова метрика на М;
B) М метризуемо;
C) М удовлетворяет второй аксиоме счетности;
D) М паракомпактно.
Доказательство. Импликация A)—^B) была доказана
в предложении 3.5 главы IV. Как мы установили в начале, для
метрического пространства вторая аксиома счетности эквива-
эквивалентна сепарабельности. Импликация B) —*¦ C) есть поэтому
следствие утверждения в заголовке. Если C) имеет место, то М
метризуемо по метризационной теореме Урысона (см. К е л л и [1],
с. 125 (с. 170 русского перевода)), и поэтому М паракомпактно
(см. Келли [1], с. 156 (с. 218 русского перевода)). Это пока-
показывает, что C) влечет D). Импликация D) —*¦ A) следует из пред-
предложения 1.4 главы III. ?
3. Разбиение единицы
Пусть \Ui\iet — локально конечное открытое покрытие диф-
дифференцируемого многообразия М, т. е. каждая точка из М имеет
окрестность, которая пересекает только конечное множество под-
подмножеств вида U;. Семейство дифференцируемых функций {/,-}
на М называется разбиением единицы, подчиненным покрытию
{Ui\, если выполняются следующие условия:
A) 0^/,-^Tl на М для каждого i?l;
B) носитель каждой /,-, т. е. замыкание множества \х?М;
[;(х)=?!=0}, содержится в соответствующем Ut\
CJ,//(*) = 1.
Отметим, что в C) для каждой точки х ? М /,- (х) = 0 кроме,
быть может, конечного числа значений i, так что 2;/;М — ко-
конечная сумма для каждого х.
Сначала будет доказана
Теорема 1. Пусть \V,} — локально конечное открытое по-
покрытие паракомпактного многообразия М такое, что каждое U{
имеет компактное замыкание Ut. Тогда существует разбиение
единицы {/,-}, подчиненное {?/,}.
Доказательство. Мы сначала докажем следующие три
леммы. Первые две справедливы без предположения параком-
паракомпактности, в то время как третья справедлива для любого па-
паракомпактного топологического пространства.
приложения
253
Лемма 1. Для каждой точки х?М и каждой окрестности U
точки х существует дифференцируемая функция f {класса С°°) на М
такая, что A) 0,</<1 на М; B) f (х) = 1; C) / = 0 вне U.
Доказательство леммы 1. Оно легко может быть све-
сведено к случаю, когда М = R", х = 0 и U • = {(х1, ..., хп); \х'\<а}.
Тогда для каждого /, / = 1, .. ., п, мы возьмем fj(xJ) как диф-
дифференцируемую функцию такую, что /у- @) = 1 и что /у(^') = 0
для | х' | > а, и положим / (х1, ..., хп) = /х (х1).../я (хп). Это и
доказывает лемму 1.
Лемма 2. Для каждого компактного подмножества К из М
и для каждой окрестности U для К существует дифференциру-
дифференцируемая функция f на М такая, что A) / ^ 0 на М; B) / > 0 на /С;
и C) / = 0 вне U.
Доказательство леммы 2. Для каждой точки х из К
пусть fx — дифференцируемая функция на М с теми же свойст-
свойствами, что и / из леммы 1. Пусть Vx — окрестность для х, опре-
определенная неравенством fx > — . Поскольку К. компактно, суще-
существует конечное число точек хи ..., хк в К таких, что Vx U • ¦ •
U Vx. п> К- Тогда положим
/5
Это завершает доказательство леммы 2.
Лемма 3. Пусть {Ut) — локально конечное открытое покры-
покрытие для М. Тогда существует локально конечное открытое впи-
вписанное покрытие {!/,•} (с тем же множеством индексов) для М та-
такое, что 1/,-сг U{ для каждого i.
Доказательство леммы 3. Для каждой точки х€М
пусть Wx — открытая окрестность х такая, что Wx содержится
в некотором UI- Пусть {We)—локально конечное вписанное по-
покрытие для {Wx\ x(zM\. Для каждого i пусть Vt есть объедине-
объединение всех W'a, замыкания которых содержатся в Vг. Поскольку
{W'a\ локально конечно, имеем Vt = l)Wa, где объединение бе-
берется по всем а таким, что W'ac Ut. Так мы получили откры-
открытое покрытие \у{\ с требуемым свойством.
Теперь мы в состоянии завершить доказательство теоремы 1.
Пусть \У(\ такое же, как и в лемме 3. Для каждого i пусть W( —-
открытое множество такое, что Vtcz Wtc- W(cz Ut. По лемме 2
для каждого i существует дифференцируемая функция gi на М
такая, что A) g^O на М; B) g{ > 0 на V_i\ и C) g,- = 0 вне
W(. Так как носитель каждой gt содержит V',• и содержится в Ut
и так как {?/,-} локально конечно, то сумма g = ^ligi определена
и дифференцируема на М. Поскольку {У,-} — открытое покрытие

254 ЙРЙЛОЖЕНЙЯ
на М, то g > 0 на М. Положим для каждого i
Тогда {/,}— разбиение единицы, подчиненное {О,}. Q
Пусть / — функция, определенная на подмножестве F много-
многообразия М. Мы говорим, что / дифференцируема на F, если для
каждой точки х € F существует дифференцируемая функция fx на
открытой окрестности Vx точки х такая, что f — fx на Fr\Vx.
Теорема 2. Пусть F — замкнутое подмножество параком-
пактного многообразия М. Тогда каждая дифференцируемая функ-
функция /, определенная на F, может быть продолжена до дифферен-
дифференцируемой функции на М.
Доказательство. Для каждого х ? F пусть fx—дифферен-
fx—дифференцируемая функция на открытой окрестности Vx точки х такая,
что fx~f на Ff\Vx- Пусть Ut — локально конечное открытое'
вписанное покрытие для покрытия М, состоящего из М — F и
Vx, x?F. Для каждого i мы определяем дифференцируемую
функцию g( на U( так. Если Vt содержится в некотором Vx, мы
выбираем такое Vx и полагаем g; равной сужению fx на V',-. Если
нет таких Vx, которые содержат Uh то мы полагаем g,- = 0. Пусть
\fi\ — разбиение единицы, подчиненное {?/,}. Мы определяем
Поскольку \U() локально конечно, каждая точка из М имеет
окрестность, в которой 2/ /,-?/ есть в действительности конечная
сумма. Итак, g дифференцируема на М. Легко видеть, что g есть
продолжение для /. ?
В терминологии теории пучков теорема 2 означает, что пучок
ростков дифференцируемых функций на паракомпактном много-
многообразии М мягкий («той» у Годемана [1]).
4. Дугообразно связные подгруппы группы Ли
Кураниси и Ямабе доказали, что каждая дугообразно связная
подгруппа группы Ли есть подгруппа Ли (см. Ямабе []]). Мы
докажем здесь следующую более слабую теорему, достаточную
для наших целей (см. теорему 4.2 главы II). Этот результат
в существенном принадлежит Фрейденталю [1].
Теорема. Пусть G —группа Ли, а Н — подгруппа в G та-
такая, что каждый элемент из Н может быть соединен с единицей е
кусочно дифференцируемой кривой класса С1, которая содержится
в Н. Тогда Н—подгруппа Ли в G.
Доказательство. Пусть 5 — множество векторов Х?Те (G),
которые касательны к дифференцируемым кривым класса С1, со-
содержащимся в Н. Мы отождествляем Те (G) с алгеброй Ли g
группы G. Тогда справедлива
приложения
255
Лемма. S есть подалгебра в д.
Доказательство леммы. Пусть задана кривая xt из G,
обозначим через xt вектор, касательный к ней в точке Ху Пусть
г — любое вещественное число, и положим zt = xrt. Тогда z0 = гха.
Это показывает, что если X?S, то rX?S. Пусть xt и ^—кри-
^—кривые из G такие, что хо=уо — е. Если мы положим vt = xtyt, то
6в=х0 + у0 (см. Шевалле [1], с. 120—122 (с. 177—179 русского
перевода)). Это показывает, что если X, Y?S, то X + Y <=S. Су-
Существует кривая wt такая, что wt> = xtytxf1yf1, и мы имеем
щ = [х0, г/0] (см. Шевалле [1], с. 120—122 (с. 177—179 русского
перевода) или Понтрягин [1], с. 385). Это показывает, что
если X, Y € 5, то [X, Y] € 5, что и завершает доказательство леммы.
Поскольку 5<r Te(G) = % есть подалгебра в g, то распределе-
распределение x—*LxS, x?G, инволютивно (где Lx — левый сдвиг элемен-
элементом х) и его максимальное интегральное многообразие через е,
обозначаемое через К, есть подгруппа Ли группы G, соответст-
соответствующая подалгебре 5. Мы покажем, что Н = К-
Сначала докажем, что /Сг>//. Пусть а — любая точка из Н и
x — xt, 0^t^.\, — кривая из е в а так, что е = х0, а = хх. Мы
утверждаем, что вектор xt лежит в LXiS для всех t. Действитель-
Действительно, для каждого фиксированного t Lxx(xt) есть вектор, касатель-
касательный к кривой L;1 (т) в е, и поэтому он лежит в S, что и дока-
доказывает наше утверждение. Так как xt^LX{S для всех t и хо = е,
то кривая xt лежит в максимальном интегральном многообра-
многообразии К распределения х —>- LXS (см. лемму 2 для теоремы 7.2
главы II). Отсюда а?К, а это показывает, что К~=>Н.
Чтобы доказать, что Н з/С, допустим, что ех, ..., ek — базис
для 5 и х\, . .., х), 0^.t ^ 1, — кривые в Н такие, что х{=е и
Хо = е; для i — 1, .. ., k. Рассмотрим отображение / окрестности U
начала из R* в К, определенное как / (tlt ..., tk) =x)r . .x?k,
(tlt .. -, tk) € U. Поскольку Xo, ..., А образуют базис для S, то
дифференциал от /: U —+К в начале не вырожден. Беря U до-
достаточно малым, можем считать, что / есть диффеоморфизм из U
на открытое подмножество f (U) в К- Из определения / имеем
f(U)cH. Это показывает, что окрестность для е в К содержится
в Н. Так как К связно, то Kcz Н. П
5. Неприводимые подгруппы в О(п)
Мы докажем следующие две теоремы.
Теорема 1. Пусть G — подгруппа из О (п), которая дейст-
действует неприводимо на п-мерном вещественном векторном простран-

256
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
257
стве R". Тогда каждая симметричная билинейная форма на R",
инвариантная относительно G, есть кратное стандартного ска-
лярного произведения (х, у) =
х'у1.
Теорема 2. Пусть G—связная подгруппа Ли в SO(ri), ко-
которая действует неприводимо на R". Тогда G замкнута в SO (n).
Мытначнем со следующих лемм.
Лемма 1. Пусть G — подгруппа в GL(n;R), действующая
неприводимо на R". Пусть А—линейное преобразование из К",
которое коммутирует с каждым элементом из G. Тогда:
A) если А нильпотентно, то Л=0;
B) минимальный многочлен для А неприводим над R;
C) или А=а1„ (а — вещественное число, 1п—тождественное
преобразование из R") или A=aIn-\-bJ, где аи b — вещественные
числа, ЬфО, /—линейное преобразование такое, что /2 =—1пи
п четно.
Доказательство. A) Пусть k — наименьшее целое число
такое, что Л* = 0. Допустив, что &^2, получим противоречие.
Пусть W = {x?Rn; Ах = 0}. Поскольку W инвариантно относи-
относительно G, мы имеем или W— Rn или W~@). В первом случае
Л = 0. Во втором случае, так как А не вырожденно, то Ак'х
B) Если минимальный многочлен f (x) для А есть произве-
произведение fx{x)-ft(x) с (/i,/:2) = 1, то Rn = W1 + W% (прямая сумма),
где Wi = {x€Rn; fl(A)x = 0\. Так как каждый элемент из G пе-
перестановочен с А, а отсюда и с f{(A), то это влечет, что Wt
инвариантны под действием G, что противоречит предположению
неприводимости. Итак, f (x) = (g {х))к, где g (x) неприводимо. При-
Применяя A) к g(A), видим, что f (A) = (g(A))k = Q влечет g(A)=0.
Итак, f=g.
C) В силу B) минимальный многочлен / (х) для А есть или
(х—а) или (л;—аJ-\-Ь2, где ЬфО. В первом случае А—а1п. Во
втором случае пусть J = (А—aln)/b, тогда /2 =—/„ и А—а1п
-\-bJ. Имеем еще (—l)" = det/a = (det/J > 0, так что п четно.
Лемма 2. Пусть G — подгруппа в О (п), действующая непри-
неприводимо на R". Пусть А, В, ... —линейные преобразования в R",
перестановочные с G.
A) Если А симметрично, т.е. (Ах, у) — (х, Ау), то А=а1п.
B) Если А кососимметрично, т.е. (Ах, у) + (х, Ау) = 0, то
Л = 0 или A=bJ, где /2 =— /„ и п = 2т.
C) Если АфО и В кососимметричны и АВ = ВА, то В=^сА.
Доказательство. A) По C) леммы 1 A=aIn + bJ (быть
может, при 6 = 0). Если А симметрично, то и bJ симметрично.
При ЬфО J симметрично, так что (Jx, Jx) = (x, J*x) = -—(х, х),
ито является противоречием 0
B) Так как собственные значения кососимметрического А
нули или чисто мнимые числа, то минимальный многочлен для А
есть х или х* + Ьг, ЬфО. В первом случае А = 0. Во втором слу-
случаев = — Ы с /а = —/„.
C) Пусть А=Ы и В = Ь'К, где Л = ф = — 1п. Мы имеем
JK=KJ. Покажем, что R« = iri+W2 (прямая сумма), где Wt
= {x?Rn; Jx = Kx), a Wz = {x€R»; Jx = — Kx\. Ясно, что Wt
П^ = @). Каждый x?Rn имеет вид y + z, где y€Wt, z$Wz,
что можно усмотреть, полагая у — (х—Л(х)/2 и z = (x+JKx)/2.
Wi и W2 инвариантны относительно G, потому что / и К пере-
перестановочны с каждым элементом из G. Так как G неприводимо,
то имеем W1 = R" Muri;W2 = R", т. е. или K = J, или К = — J-
Это означает, что В = сА для некоторого с.
Доказательство теоремы 1. Для любой симметриче-
симметрической билинейной формы f (x, у) имеется симметричное линейное
преобразование А такое, что f (х, у) = (Ах, у). Если / инвариантно
относительно G, то А перестановочно с каждым элементом из G.
По A) леммы 2 А = а1п и отсюда f (х, у)=а(х, у).
Доказательство теоремы 2. Сначала покажем, что
центр з алгебры Ли g группы G не более чем одномерен. Пусть
А ф0 и ??3- Так как А и В — кососимметрические линейные
преобразования, перестановочные с каждым элементом из G, то
C) леммы 2 влечет, что В ~сА для некоторого с, так что dim 5^1-
Если dim3=1, то % = {cJ; с вещественно}, где / — некоторое ко-
сосимметрическое линейное преобразование с У2 = —/„. Теперь /
представимо в виде блочной матрицы, каждый блок которой есть
, . относительно некоторого ортонормального базиса в R".
Однопараметрическая подгруппа exp tJ состоит из блочных мат-
Icos t —sin t II
. . , и отсюда изоморфна группе
вращений окружности.
Так как д — подалгебра алгебры Ли всех косое имметрических
матриц, то g имеет положительно определенное скалярное про-
произведение (А, В) = —trace (AB), инвариантное относительно ad (G).
Отсюда следует, что ортогональное дополнение § центра % в g
по отношению к скалярному произведению есть идеал в д*и
g = 3 + 3 есть прямая сумма. Если •§ содержит собственный не-
нетривиальный идеал, скажем, §it то ортогональное дополнение §'
к §i в § есть идеал в § (в действительности и в д) и § — §± + §'.
Так мы видим, что '8 есть прямая сумма простых идеалов:
§ = §!+• ••+Sft- Мы уже видели, что связная'?подгруппа Ли,
порожденная при помощи з, замкнута в SO (n). Теперь покажем,
что связная подгруппа Ли, порожденная при помощи §, замкнута
в SO (n). Это завершит доказательство теоремы 2.
9 Щ. Кобаяси. К. Номидзу, т. 1

258
ПРИЛОЖЕНИЯ
Сначала отметим, что И ос ид а [1] доказал следующий ре-
результат. Каждая связная полупростая подгруппа Ли G из GL(n; С)
замкнута в GL (п; С). Его доказательство, основанное на теореме
Вейля о том, что любое представление полупростой алгебры Ли
вполне приводимо, работает также, когда мы заменяем GL (п; С)
на GL(n; R). В случае подгруппы G из SO (п) нет необходимости
использовать теорему Вейля. Мы сейчас докажем следующий ре-
результат, используя тот же метод, что и Иосида.
Связная полупростая подгруппа Ли G из SO (n) замкнута
в SO (n).
Доказательство. Так как g есть прямая сумма простых
идеалов §t, ..., gft размерности > 1 и так как g,- = [g;, дг] для
каждого I, то отсюда следует, что g = [g, g]. Теперь рассмотрим
SO(n), а значит, и ее подгруппу G действующими на комплексном
векторном пространстве С со стандартным эрмитовым скалярным
произведением, левоинвариантным относительно SO (n). Тогда С"
есть прямая сумма комплексных подпространств Ух, ..., Vr, ко-
которые инвариантны инеприводимы относительно G. Предположим,
что G не замкнута в SO(n), и пусть G — ее замыкание. Посколь-
Поскольку G—связная замкнутая подгруппа в SO (п), то она есть под-
подгруппа Ли. Пусть g — ее алгебра Ли. Очевидно, дс= д. Так как
ad (G) дсг д, то имеем ad (G) дет д, а это влечет, что д есть идеал
в д. А так как алгебра Ли группы SO (n) имеет положительно
определенное скалярное произведение, инвариантное относительно
ad (SO (n)), как мы уже отмечали, то отсюда следует, что g есть
прямая сумма g и ортогонального дополнения и к g в д. Каждое
слагаемое У,- из С" также инвариантно относительно G и поэтому
относительно д, действующего на С". Для любого А ? g обозначим
через Л,- его действие на V{ для каждого L Для любых А, В?д
имеем, очевидно, trace [Л/( Б,] = 0. Так как А—+ А{ есть пред-
представление g на У,- и так как g = [g, g], то traceA; = 0 для лю-
любого А € д. Итак, сужение a$G на каждое V,- имеет определи-
определитель 1 (см. следствие 1 в книге Шевалле [1], с. 6 (с. 16 русского
перевода)). В силу непрерывности сужение a^G на каждое Vt
имеет определитель 1. Это означает, что trace Al — Q для каждого
Л^д и каждого i. Теперь пусть В?и. Его действие В; на У,-
перестановочно с действиями из {At;A?%}. По лемме Шура (ко-
(которая есть очевидное следствие утверждения B) леммы 1, спра-
справедливого для любого поля вместо R) имеем Bi = b,I, где / —
тождественное преобразование в V{. Поскольку trace Bt,= О, от-
отсюда следует, что 6? = О, т.е. В, = 0. Так как это справедливо
для каждого I, то В = 0. Это означает, что и = @) и g = g. Тем
самым доказано, mo'G — G, т. е. что G замкнуто в SO(n),
Приложения
2S9
6. Теорема Грина
Пусть М — ориентированное n-мерное дифференцируемое много-
многообразие. n-форма со на М называется элементом объема, если
со (д/дх1, ..., д/дх") > 0 для каждой ориентированной локальной
системы координат х1, ...,хп. При помощи фиксированного эле-
элемента объема со (который будет также обозначаться в более ин-
интуитивной манере dv) может быть определен интеграл \Mfdv от
любой непрерывной функции / с компактным носителем (см.
Шевалле [1], с. 161—167 (с. 234—241 русского перевода)).
Для каждого векторного поля X на М с фиксированным
элементом объема со дивергенция поля X, обозначаемая diX
есть функция на М, определяемая так:
(divX) co =
где Lx—дифференцирование Ли в направлении X.
Теорема Грина. Пусть М —ориентированное компактное
многообразие с фиксированным элементом объема со = доз. Для лю-
любого векторного поля X на М имеем
Доказательство. Пусть q>, есть 1-параметрическая группа
преобразований, порожденных полем X (см. предложение 1.6
главы I). Так как мы имеем (см. Шевалле [1], с. 165 (с. 240
русского перевода))
то \ ФГ1*10. рассматриваемый как функция от t, есть константа.
По определению Lx имеем -^- (фГ1*10) . = — L^ca. Отсюда
t=o
~~Im divXdv'
то
Замечание 1. Если X имеет компактный носитель,
формула выше верна и для некомпактного многообразия.
Замечание 2. Полученная выше формула следует также
из формулы Стокса. Действительно, так как dco = O, имеем L^co =
= d о ijjco + tjj о dco = d о tj^to. Тогда
Предложение. Пусть М—ориентированное многообразие
с фиксированным элементом объема co = du. Если Г—аффинная
9*

260
ПРИЛОЖЕНИЯ
связность с' нулевым кручением на М такая, что со параллелен
относительно Г, то для каждого векторного поля X на М имеем
(div Х)х = trace эндоморфизма V —- VVX, V?TX (М).
Доказательство. Пусть ^Ах — тензорное поле типа A,1)
вида AX = LX— V;r, как и в § 2 главы VI. Пусть Хи .-., Хп —
базис в ТХ(М). Так как Vaco = 0 и так как Ах, как дифферен-
дифференцирование, отображает каждую функцию в нуль, имеем
и • • •, XJ
Zt^(Xt, .... АХХ,
— — ]&{(>>(Xlt ..., АХХО ....
= — (traceАх)ха(Хt, ..., Хп).
Это показывает, что
div X =з — trace Ax.
Наше утверждение следует из формулы (см. предложение 2.5
главы VI)
AXY = -4YX-T(X, У)
и условия, что Г = 0. ?
Замечание 3. Формула div X = — trace Ax верна без пред-
предположения, что Г = 0.
Пусть М — ориентированное риманово многообразие. Мы опре-
определим естественный элемент объема dv на М. В произвольной
точке х из М пусть Xiy ..., Хп — ортонормальный базис из
ТХ(М), согласованный с ориентацией в М. Мы определяем п-
форму dv так:
dv(Xit ....
Легко проверить, что dv определяется независимо от выбора
базиса Х1г ..., Х„. В терминах допустимой локальной коорди-
координатной системы х1, ..., хп и компонент g{J метрического тен-
тензора g мы имеем
ПРИЛОЖЕНИЯ
261
где G =
Действительно, пусть (д/дхе)х = ^кС{Хк, так что §,-у = 2аС*С/ и
G = det (С*)? в точке х. Поскольку д/дх1, ..., д/дхп и Хи ..., Хп
имеют одинаковую ориентацию, то det (С*) = ]/G > 0. Отсюда
в точке х имеем
dv (д/дх\ .... д/дх") = 2* in С\г •.. Ci" do (Х,„ .... X,J
-21i. in^iH, .... OCi'.-.C
где 8 (it, . .., ij есть 1 или — 1 в соответствии с тем, четна
или нечетна перестановка (iit ..., in) чисел A, 2, .... п).
Так как параллельный перенос вдоль любой кривой т из М
отображает каждый ортонормальный репер в ортонормальный
и сохраняет ориентацию, то элемент объема параллелен. Поэтому
предложение, так же как и теорема Грина, справедливо для
элемента объема dv риманова многообразия.
7. Лемма о факторизации
Пусть М — дифференцируемое многообразие. Говорят, что
две непрерывные кривые x(t) ny(t), определенные на единичном
интервале /=[0, lj с х@)=у@) и х(\)=у(\), гомотопны друг
другу, если существует непрерывное отображение /: (t, s) ? /х / —-
-*f(t, s)?M такое, что /(*, 0) = *(*), /(*, l) = i/@. /@. s) =
~хф)=у@), /A, s)=x(l)=y(l) для каждого / и s из/. Если
x(t) и y(t) — кусочно дифференцируемые кривые класса С* (короче,
кусочно С*-кривые), то они кусочно Ск-гомотопны, если отобра-
отображение / может быть выбрано таким образом, что оно кусочно
г
класса СА на 1x1, т. е. для некоторого разбиения /= 2 /,•
на отрезки /,- f есть дифференцируемое отображение класса С*
из I{Xlj в М для каждой пары (г, /).
Лемма. Если две кусочно Ск-кривые x(t) и у (t) гомотопны
друг другу, то они кусочно Ск-гомотопны.
Доказательство. Мы можем взять подходящее разбиение
г
/= 2 h на отрезки так, что /(/,-х/у) содержится в некоторой
координатной окрестности для каждой пары (г, /). Модифицируя
отображение / в малых квадратах /,х/у, можем получить ку-
кусочную СА-гомотопию между x(t) и у (t).
Теперь пусть U — произвольное открытое покрытие. Мы ска-
скажем, что замкнутая кривая т в точке х есть VL-лассо, если она
может быть разложена в композицию трех кривых т = (х~1-а-(х,
где (.1—кривая из х в у, а о — замкнутая кривая в у, содержа-
содержащаяся в открытом множестве из VL. Говорят, что две кривые
тих' эквивалентны, если т' может быть получена из т заменой
(конечное число раз) куска кривой вида (х~х - (д. тривиальной кри-
кривой, состоящей из единственной точки, и обратно. Пользуясь этим
определением, докажем лемму.
Лемм а о факторизации. Пусть U—произвольное откры-
открытое покрытие для М.
(а) Любая замкнутая кривая, гомотопная нулю, эквивалентна
произведению конечного числа УХ-лассо.

262
ПРИЛОЖЕНИЯ
(b) Если, сверх того, кривая кусочно класса Ск, то каждое
М-лассо в произведении может быть выбрано в виде \i~x-a-u,
где ц—кусочно Ск-кривая, а о — Ск-кривая.
Доказательство, (а) Пусть x = x(t), 0<^<1, так,.что
х = х@) = хA). Пусть/ — гомотопия 1x1 —^М такая, что f(t, 0) =
==*@» /(*» 1)=*. /(О, s)=/(l, s)=x для любых t и s из /.
Мы разделим /х/ на /п? равных квадратов так, что образ каж-
каждого малого квадрата относительно / лежит в некотором откры-
открытом множестве покрытия Ц. Для каждой пары целых чисел
(h /)> 1 =O"> i^m, пусть K(i, j)— замкнутая кривая в квад-
квадрате 1x1, состоящая из линейных сегментов, соединяющих точки
решетки разбиения в следующем порядке:
@, 0) —@, i/m)-~((i-l)/m. j/m)
— ((i — l)/m, (j — \)jm) -* (i/m, (j — l)/m) -* (i/m, j/m)
-+((i— \)lm, //m)-+@, ]im)-*@, 0).
Геометрически K(i, j) выглядит, как лассо. Пусть x(i, /) есть
образ K(i, j) при отображении /. Тогда т эквивалентна произ-
произведению U-лассо
х(т,
1).
(Ь) В силу предыдущей леммы можем считать, что гомотопи-
гомотопическое отображение f кусочно класса Ск. Выбирая большее т,
если необходимо, мы можем считать, что / есть класса С* на
каждом из т*- малых квадратов. Тогда каждое лассо имеет тре-
требуемое свойство. ?
Лемма о факторизации взята нами у Лихнеровича [2],
с. 51 (с. 47 русского перевода).
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Связности и группы голономии
1. Хотя дифференциальная геометрия поверхностей в 3-мерном
евклидовом пространстве восходит к Гауссу, понятие риманова
пространства возникло в диссертации Римана [1]в 1854 г. Сим-
Символы Кристофеля были введены Кристофелем [1] в 1869 г.
Тензорное исчисление, основанное и развитое в серии работ
Риччи, было систематически изложено Леви-Чивита и Риччи
[1] в 1901 г. Ковариантному дифференцированию, которое было
формально введено в этом тензорном исчислении, Леви-Чивита
[1] дал геометрическую интерпретацию, он ввел в 1917 г. по-
понятие параллельного переноса на поверхностях. Это открытие при-
привело Г. В ей л я [1], [2] и Э. Картана [1], [2], [4], [5], [8], [9]
к введению аффинной, проективной и конформной связностей.
Хотя подход Картана один из наиболее естественных и обна-
обнаруживает наилучшим образом геометрическую природу связ-
связностей, лишь в 1950 г. Эресман [2] прояснил общее понятие
связностей с точки зрения современной математики. За его ра-
работой последовали работы Черна [1], [2], Амброуза и
Зингера [1], Кобаяси [6], Номидзу [7], Лихнеро-
вича [2] и др.
Эресман [2] впервые определил связность в произвольном
расслоении как поле горизонтальных подпространств и доказал
существование связностей в любом расслоении. Он ввел также
форму связности со и определил форму кривизны Q при помощи
структурного уравнения. Определение Q, данное в этой книге,
принадлежит Амброузу и Зингеру [1], которые также по-
получили структурное уравнение (теорема 5.2 главы II). Черн [1],
[2] определил связность при помощи множества дифференциаль-
дифференциальных форм <ва на Uа, со значениями в алгебре Ли структурной
группы, где \Ua\ — открытое покрытие базисного многообразия
(см. предложение 1.4 главы И).
Эресман [2] также определил понятие картановой связ-
связности, примеры которой дают аффинная, проективная и конформ-
конформная [связности. См. также Коба'яси [6] и Т^ак'идзава [1].
Мы дали в тексте детальный обзор связи между линейной и
аффинной связностью,

292
БИБЛИОГРАФИЯ
Ханцше н Веидт (Hantzsche W., Wendt W.)
[1] Dreidimensionale euklidische Raumformen.— Math. Ann., 1934, 1W,
S. 593—6П.
Хелгасон (Helgason S.)
[1] Some remarks on the exponential mappings for an affine connection.—
Math. Scand., 1961, 9, p. 129—146.
Херман (Hermann R.)
[I] On the differential geometry of foliations.— Ann. Math., I960, 72,
p. 445—457.
X и к с (Hicks N.)
A] A theorem on affine connexions.— Illinois J. Math., 1959, 3, p. 242—254.
Холл (Hall M.)
[1] The Theory of Groups.—N. Y.: Macmillan. 1959. (Русский перевод:
Холл М. Теория групп.—М.: ИЛ, 1962.J
Хопф (Hopf H.)
AJ Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem.—Math. Arm. 1926, 95,
S. 313—339.
Хопф..и Ринов (Hopf H., Rinow W.)
A] Uber den Begriff der vollstandigen differentialgeometrischen Flaehen.—
Comm. Math. Heiv., 1931, 3, S. 209—225.
Xy (Hu S. T.)
[lj Homotopy Theory.— N. Y.: Academic Press, 1959. (Русский перевод:
Xy СТ. Теория гомотопий.— М.: Мир, 1964.J
Цассенхаус (Zassenhaus H.)
AJ Beweis eines Satzes uber diskrete Gruppen.— Abh. Math. Sem. Hamburg,
1938, 12, S. 289—312.
BJ Uber endliche Fastkorper.—Abh. Math. Sem. Hamburg, 1936, II,
S. 187—220.
Ч е р н (Chern S. S.)
[1] Differential geometry of fibre bundles.—¦ Proc. Int. Congress, 1950, 2,
p. 397—411.
{2} Topics in Differential Geometry.—Princeton: Inst. for Adv. Study, 1951.
|3] Pseudo-groups continue infinis.—Colloque de Geometrie Differentielle,
Strasbourg, 1953, p. 119—136.
Шевалле (Chevalley С,)
J1J Theory of Lie Groups.—Princeton: Princeton University Press, 1946.
(Русский перевод: Шевалле К. Теория Fpynn Ли, т. I.— М.: ИЛ,
1948.J
Шур (Schur F.)
[1] Uber den Zusammenhang der Raume konstanter Krummungsmasses mit
den projektiven Rauraen.—Math. Ann., 1886. 27, S. 537—567.
Эйвенхарт (Eisenhart L. P.)
[1] Riemannian Geometry.— 2 ed.— Princeton: Princeton University Press,,
1949. [Русский перевод первого издания: Эйвенхарт Л. П. Рима-
нова геометрия.— М.: ИЛ, 1948.|
Эр#амчн (Ehresmann С.)
fl] Sur la notion d'espace complet en geometrie differentielle.— C.r. Acad.
Sci. Paris, 1936, 202, p. 2033.
{2J Les connexions infinites!males dans un espace libre differentiable.—
Colloque de Topologie, Bruxelles, 1950, p. 29—55.
Яма бе (Yamabe H.)
|1] On an arcwise connected subgroup of a Lie group.— Osaka Math. J.t
1950. 2, p. 13—14.
Я но (Yano K.)
[I] On harmonic and Killing vectors.—Ann. Math., 1952, 56, p. 38—45.
[2] The Theory of Lie Derivatives and Its Applications.—Amsterdam:
North-Holland Publishing Co., 1957.
Добавление
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Л. В. Сабииии
Развитие геометрии от Эрлангенской программы Ф. Клейна
и работ С. Ли, труды Э. Картана по симметрическим простран-
пространствам и теории связностей и, наконец, работы Эресмана и дру-
других по теории связностей в расслоениях выявили ту фундамен-
фундаментальную роль, которую играет понятие группы в геометрии.
Новейшее развитие геометрии показывает, что не меньшую роль
играют в геометрии и неассоциативные алгебраические структуры
такие, как квазигруппы, лупы, одули. Можно теперь, например,
сказать, что именно неассоциативность является алгебраическим
эквивалентом дифференциально-геометрического понятия кри-
кривизны.
Впервые понятие гладкой локальной лупы появилось, по-ви-
по-видимому, в замечательной работе Мальцева [1]*) в связи с
обобщением теории групп Ли, однако вне связи с дифферен-
дифференциальной геометрией. Действительно, роль квазигрупп и луп в
дифференциальной геометрии долгое время казалась незначи-
незначительной, они находили применение разве лишь в теории тканей
(см. Бляшке [1]). Положение дел изменилось после того, как
Лус [1] показал, что симметрическое пространство можно рас-
рассматривать как гладкую квазигруппу с некоторыми тождествами
(идемпотентную, леводистрибутивную, с левым свойством обра-
обратимости). Это естественным образом поставило вопрос о разви-
развитии дифференциальной геометрии различных классов квазигрупп.
Здесь существенным следующим шагом было понятие s-прост-
ранства и s-структуры, введенных Леджером [1] (см. также
Леджер и Обата [1]) и допускающих интерпретацию на
языке квазигрупп. По-видимому, Ковальский [3], [4] ввел
впервые естественную редуктивную связность для широкого
класса абстрактных гладких s-структур, хотя элементы его
конструкции относятся на самом деле к связности на специаль-
специальной гладкой лупе (Л-лупе) и потому могут быть извлечены из
работы К и к к а в ы [4]. Упомянем еще работы по однородным
пространствам и s-структурам Ведерникова [1] и Федей-
ко [1].
Геометрия специальных и симметрических луп развита в
работах Сабинина [1], [2], Каранды [1], Киккавы [4],
*) См. список литературы в конце Добавления.— Прим. ред.
10 Ш. Кобаяси, К. Номидзу, т. 1

294
ДОБАВЛЕНИЕ
[5] в связи с теорией редуктивных и симметрических однородных
пространств. Отметим здесь замечательную аналогию со случаем
групп Ли: вместо касательных алгебр Ли здесь появляются
касательные тройные системы Ли.
Во всех случаях выше геометрия, связанная с квазигруппой
или лупой, была геометрией однородного редуктивного прост-
пространства линейной связности. Естественным образом возник воп-
вопрос о связи произвольных луп и однородных пространств. Ока-
Оказалось, что левые лупы и левые однородные пространства по
существу описывают одни и те же структуры (т. е. мы имеем
после необходимых уточнений дело с эквивалентными катего-
категориями); см. Сабинин [1] [2], где введена важная конструкция
полупрямого произведения левой лупы и ее трансассоцианта,
использованная позже в частном случае Киккавой [4].
Обращаясь к произвольной линейной связности, можно ввести
геодезическую локальную лупу в окрестности каждой точки,
которая однозначно определяется данной связностью с помощью
параллельного переноса геодезических вдоль геодезических. Эта
конструкция получена независимо Киккавой и Сабининым, см.,
например, Киккава [1]. Построенное этим путем семейство
локальных луп однозначно определяет пространство линейной
связности (заметим, что хотя в силу гладкости структура таких
луп двусторонняя, геометрический смысл имеет, как правило,
лишь структура левой лупы). Однако не всякое семейство
локальных луп на многообразии определяет линейную связность,
существуют некоторые связи между лупами различных точек.
Эти связи нельзя выразить алгебраически на языке луп. Однако
если принять во внимание, что в окрестности точки пространство
линейной связности, кроме структуры лупы, имеет еще операцию
умножения точек на скаляры, что связано с существованием
канонического параметра вдоль геодезических, и структуру
векторного пространства, получаемого из касательного прост-
пространства точки экспоненциальным отображением, то такие связи
можно уже выразить алгебраическими тождествами. Вместо луп
в окрестностях точек пространства линейной связности возникают
тогда одули и двуодули, однозначно порожденные геометрией
линейной связности, см. Сабинин [3]. Полученное из многооб-
многообразия линейной связности семейство локальных оду лей (по одному в
каждой точке) удовлетворяет некоторым естественным алгебраи-
алгебраическим тождествам и называется геоодулярным (геодвуодуляр-
ным) покрытием многообразия линейной связности. Оно содержит
всю информацию о многообразии линейной связности, т. е. по-
позволяет однозначно восстановить ее. Если теперь взять произ-
произвольное гладкое геоодулярное покрытие (не обязательно полу-
полученное из какой-либо линейной связности), то оно однозначно
порождает линейную связность, для которой является геооду-
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
295
лярным покрытием. Отсюда следует, что гладкое геоодулярное
многообразие есть многообразие линейной связности, но описы-
описываемое на другом языке (т. е. имеется некоторая эквивалентность
соответствующих категорий), см. Сабинин [3]. Далее естест-
естественно рассматривать семейство гладких луп на многообразии как
одну частичную тернарную операцию на многообразии. Анало-
Аналогично поступаем и с другими семействами операций. Таким
образом, многообразие линейной связности можно интерпрети-
интерпретировать как гладкую алгебру с двумя тернарными частичными
операциями, семейством (cot)*6R бинарных частичных операций и
некоторыми тождествами. Выражаясь языком теории категорий,
можно сказать, что категория гладких многообразий линейной
связности эквивалентна категории гладких геодвуодулярных
многообразий.
Такой подход привносит новую идеологию в геометрию, по-
позволяя, в частности, корректно определить понятие многообра-
многообразия линейной связности класса С° и С1. Структуры, появляю-
появляющиеся на этом пути, имеют и самостоятельную алгебраическую
ценность; если игнорировать гладкость и считать операции всюду
определенными, то можно определить «линейную связность» над
произвольными полями, телами и даже кольцами (т. е. можно
считать значения канонического параметра элементами, напри-
например, тела). Можно даже определить «конечные пространства
линейной связности». Все это поразительным образом напоми-
напоминает геометрическую алгебру (аффинные и проективные плос-
плоскости) в нелинейном варианте, и нетрудно предвидеть на этом
пути дальнейшее развитие нелинейной геометрической алгебры,
что привносит новую идеологию уже в алгебру.
В настоящей работе мы пытались свести воедино все основ-
основные идеи, которые изложены в работах прилагаемой библиогра-
библиографии, всюду применяя унифицирующий и объединяющий под-
подход, связанный с понятием гладкой алгебры и геоодулярного
пространства. Это, как мы надеемся, послужит дальнейшему
развитию нового плодотворного и интенсивно развивающегося
раздела дифференциальной геометрии — геометрии гладких ал-
алгебраических систем..
Читателю, которого утомляет необходимость следить за раз-
различными классами гладкости, появляющимися в работе, реко-
рекомендуется считать, что всё имеет гладкость С°° (или Сш). Кроме
того, в определении локального одуля произвольную линейную
алгебру можно считать совпадающей с R, так как принятая
общность линейной алгебры в дальнейшем фактически не ис-
используется (это — заготовка для будущего изучения линейных
связностей над алгебрами).
Всюду мы имеем в виду вещественные многообразия.
ю*

296
ДОБАВЛЕНИЕ
§ 1. Линейная связность и гладкие алгебры
Мы покажем, что любое С-гладкое (k^3) многообразие
линейной связности можно рассматривать как специального вида
гладкую алгебру с частичными операциями.
Определение 1.1. Пусть ф: Мх ... хМ —+ М — частичная
п-арная операция на С-гладком многообразии М такая, что
если ф определена на а15 ..., а„, q>(alt ...,а„) = &, то сущест-
существуют такие открытые подмногообразия Ult ..., ?/„, содержащие
ait ..., ап соответственно,"Что ф определена на 0гх ... х Vп и су-
жениеф|у,х. ..хип' U%X ... X Un —+M есть С-гладкое отображение
(r^k). Будем говорить тогда, что ф — гладкая класса С локаль-
локальная п-арная операция. Если при этом ф определена всюду на М,
то будем говорить, что ф — гладкая класса С глобальная п-арная
операция.
Определение 1.2. С-гладкое многообразие М, наделен-
наделенное семейством С-гладких локальных операций (r^k) и се-
семейством констант (выделенных элементов), будем называть
С' к-гладкой локальной алгеброй. Если при этом операции опре-
определены всюду на М, то будем называть такое многообразие
С' к-гладкой глобальной алгеброй.
Обычным образом, см. Курош [1], Мальцев [2] или
Кон [1], определяем понятие слова над бесконечным алфавитом,
считая буквы алфавита и символы констант за первичные слова
и определяя далее все слова индуктивно (т. е. формально при-
применяя операции алгебры к уже определенным словам).
Определение 1.3. Формальное выражение а>1 = а>а, где wt
и w2 — слова, порожденные операциями и символами констант
Сг>*-гладкой локальной алгебры <Ж, называется тождеством,
для аЗ, если при любой подстановке вместо букв алфавита эле-
элементов из М и вместо символов констант — самих констант мы
получаем тождественное равенство всякий раз, когда выраже-
выражения слева и справа имеют смысл.
Пример 1.1. С'*-гладкая локальная алгебра ©#=<M, -,\>
с бинарными локальными операциями умножения • и левого
деления \ такими, что если а\Ь и c-d определены, то а-(а\Ь)
и c\(c-d) определены, и тождествами х-(х\у) — у, х\(х-у)—у
называется С' к-гладкой локальной левой квазигруппой. Аналогично
определяется С' к-гладкая локальная правая квазигруппа.
Пример 1.2. С1 *-гладкая локальная алгебра &# = <М, •,
\, /У с бинарными локальными операциями умножения •,
левого деления \, и правого деления / такими, что если
a\b, c-d, и p/q определены, то a-(a\b), c\(c-d), (c-d)/d и
(p/q)-q определены, и тождествами х-(х\у)—у, х\(х-у)=у,
(х/у)-у — х, (х-у)/у=х называется С1 к-гладкой локальной ква-
квазигруппой.
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
297
Пример 1.3. С" ^-гладкая локальная алгебра &# = <., ч е>
с бинарными операциям умножения • и левого деления \ и
константой (нейтралом) г такой, что а-г определено для любого
а ?М, называется Сг> к-гладкой локальной левой лупой, если
<М, •, \> — локальная левая квазигруппа и выполняется тож-
тождество х-г=х.
Если еще е-а определено для любого а из Ми выполняется
тождество е-х = х, то 8 называют единицей локальной левой лупы аЛ;
последнюю же в этом случае называют С1 к-гладкой локальной
левой лупой с единицей.
Аналогично определяется С' ^-гладкая правая локальная лупа
с единицей и С' к-гладкая (двусторонняя) локальная лупа (она
всегда с единицей).
Если дополнительно в С"' *-гладкой (г ^ 2) локальной левой
(правой илн двусторонней) лупе выполнено тождество ассоциа-
ассоциативности x-(y-z) = (x-y)-z, то мы получаем локальную груп-
группу Ли.
Относительно общей алгебраической теории квазигрупп и луп
см. Белоусов [1] и Брук [1].
Понятие топологической и гладкой локальной лупы впервые,
по-видимому, появилось у Мальцева [1]. Эквивалентные, по
существу, формулировки можно найти у Киккавы [1], [4]
Приведенные в примерах 1, 2, 3 определения полезно сфор-
сформулировать на другом языке, более удобном для дифференци-
дифференциальной геометрии. Если на многообразии М определена бинар-
бинарная операция (быть может, частичная) умножения (х, у)у-*-х-у, то
введем так называемые левые сдвиги La и правые сдвиги Rb пра-
правилами Lax = a>x, Rbx=x-b. Далее обозначим La1x=a\x, R^x =
—x/b. Если а-Ь имеет смысл, то в силу определения С' *-глад-
кой локальной левой квазигруппы (лупы) найдется открытая
окрестность Иь точки Ъ и открытая окрестность Uа точки а
такие, что (х, y)^UaxUb—^x-y^M будет С-гладким отобра-
отображением. Отсюда f = (La)\ub: y—»a-y,.f: Ub—+M — С'-гладкое
отображение. Так как по определению С' ^-гладкой локальной
левой квазигруппы тогда а\(а-Ь) имеет смысл и равно 6, то
существуют открытые окрестности Va точки а и V^a-bt точки (а-Ь)
такие, что (х, у) € Va x V(a-&)i—> (х\у) ?М — С-гладкое отображе-
отображение. Отсюда g = (Lal)iva.b- y—-a\yt g- Via.b)—- M — С-гладкое
отображение. Введем Wa.b=f(Ub) П Уа.&и Wb=g(Va.b)n Ub. Очевид-
Очевидно, a-be Wa.b, b?Wb. Покажем, что f(Wb) = Wa.b, g(Wa,b) = Wb.
Действительно, х ? Wa.b О х € f (Ub)>x € Va-b «Ф x=ay ? Va.b, у U
y, y€\{) y€b yyg{)b b
Ox €f(Wb). Аналогично и для второго равенства. Далее/~1A/а-ь)=
/1^/A/)) Г1(»Р) »Р так как xtf-^Wa-b)**
b)= Wb.

298
ДОБАВЛЕНИЕ
Значит, Wb— открытая окрестность точки Ь, как прообраз
открытого подмножества Va-ь при непрерывном отображении /.
Аналогично Wa.b — открытая окрестность точки а Ъ. Далее-
f — fwb и g = g\wa.b — взаимно обратные гомеоморфизмы Wb
и Wa.b. Так как / и g—С-гладкие отображения, то таковы же
f и g, и мы получаем Сг-диффеоморфизм открытых окрестностей
Wb и Wa.b точек Ъ и а-Ь соответственно. Обратно, если в С'к-
гладкой локальной алгебре ©# с бинарной операцией умножения
(х, y)i—>x-y из существования произведения a-b = Lab следует,
что La — локальный С-диффеоморфизм окрестностей Ь и а-Ь, то
такую С' ^-гладкую локальную алгебру можно рассматривать
как Сг' ^-гладкую локальную левую квазигруппу, доопределив
операцию левого деления формулой д\р = Ьдгр.
Аналогичные рассуждения справедливы и для Сг' ^-гладких
локальных правых и двусторонних квазигрупп. Все это приво-
приводит к таким определениям.
Определение 1.4. Ст' ^-гладкая локальная алгебра
а# = <М, •> с бинарным умножением • называется Cr'k-гладкой
локальной левой, (соотв. правой) квазигруппой, если для любых х
и у таких, что у —ах (соотв. y — xb), La (соотв. Rb) есть локаль-
локальный С-диффеоморфизм окрестностей точек х и у.
Сг' к-гладкой двусторонней локальной квазигруппой называется
С' ^-гладкая одновременно левая и правая квазигруппа ./И=<М,->.
Определение 1.5. С'^-гладкая локальная левая (правая,
двусторонняя) квазигруппа М = <Л1, •, s> называется левой (пра*
вой, двусторонней) лупой, если она имеет правый (соотв. левый,
двусторонний) нейтральный элемент (нейтрал) е, т. е. а-г =е для
любого а?М (соотв. г-а = а, а-е — в-а = а для любого а?М).
В случае двустороннего нейтрала его называют единицей и
обозначают 1м-
Определение 1.6. Пусть N и М — С*-гладкие многооб-
многообразия, а (о: NxM—>~М — частичное отображение такое, что если
<о определено на a?N, b&M, a (a, b)—c, то существуют такие от-
открытые подмногообразия UX^N, ?/2 ?М, содержащие с и Ьсоот-
Ьсоответственно, что а>|?/,х?/2: Uxx L/.2-—>-M есть Сг-гладкое отображе-
отображение (r^k). Будем говорить тогда, что со — гладкое локальное
(частичное) отображение класса С.
Если дополнительно в некоторой, а следовательно, и в лю-
любой системе координат х1, ..., хт, хт+1, ..., хп около точки (а, Ь),
где х1, ..., хт — локальные координаты вблизи точки a?N,
а хт+х, ..., хп — локальные координаты вблизи точки Ь?М, все
частные производные от [о)(лг, у)]1 (i — m-{-l, ..., п) до порядка
l^k — г являются Сг-гладкими частичными функциями на NxM,
то будем говорить, что со — С1-г> *-гладкое локальное (частичное)
отображение.
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
299
Определение 1.7. С'^-гладкая локальная алгебра &#=<\М,
¦. \» (o^teK, s> называется С1' г' к-гладким (l^k — r) локальным
левым унитарным оду мм над линейной R-алгеброй К с единицей,
если:
(a) <М, ¦•,\»в> — Сг> ^-гладкая локальная левая лупа.
(b) Для любого х € М существует такая открытая звездная
окрестность Кх нуля алгебры К, содержащая [0, ljcRc/C, что
<atx — tx определено для t ? Кх-
(c) 1. Если tx и их (t,u?K, x?M) определены, то tx-ux
определено тогда и только тогда, когда (t-\-u)x определено,
и в этом случае (tJru)x = tx-ux.
2. Если tx и их (t, u?K, х?М) определены, то tx\ux оп-
определено тогда и только тогда, когда определено (ы — t)x, и в
этом случае (« — t) х = tx\ux.
3. Если их определено, то t (их) определено тогда и только
тогда, когда определено (tu)x(u, t ?f(, x?M), и в этом случае
(tu)x — t(ux).
4. \кх — х для любого х?М.
(d) (t, х)? КхМ —у tx? M — гладкое локальное (частичное)
qi, г, ^-отображение.
Легко видеть, что 0«л: = 8 и является (двусторонней) едини-
единицей 6 = 1 л* и что а~1 = а\8 определено тогда и только тогда,
когда определено (—\)а, и в этом случае а~1 = (—\)а.
Аналогично определяется С1'г' к-гладкий локальный правый
унитарный К-одуль.
Замечание 1.1. Чисто алгебраическое определение левого
(унитарного) одуля М над унитарным кольцом К. таково: это
левая лупа <М, *,\, 8>, в которой определено умножение на
скаляры кольца К слева: (t, x) ?KxM—*tx? M, удовлетворяю-
удовлетворяющее тождествам A) (t + u)x = tx-ux; B) (tu)х = t(их); C) \кх=х
(t, u?K, х?М). См. Сабинин [3]. Тождество B) весьма силь-
сильное, так как в случае тела К оно влечет ассоциативность /С-
Поэтому одули, как правило, целесообразно рассматривать над
ассоциативными кольцами. Желание рассматривать в качестве
колец такие, например, вещи, как алгебра октав (чисел Кэли)
(см., например, Мальцев [2]), потребовало бы отказа от тож-
тождества B), что привело бы к понятию предодуля. Возможны
также различные варианты замены тождества B) более слабым.
Замечание 1.2. Можно, что мы, как правило, не будем
делать, обозначить операцию композиции элементов левого одуля
знаком + и называть сложением, а вместо \м писать Ом- Тогда,
если это сложение ассоциативно и коммутативно, т. е. левая
лупа одуля становится коммутативной группой, а умножение на
скаляры ассоциативного кольца К удовлетворяет дополнительно
тождеству подобия t (x+y) = tx+ty, то мы получаем левый

300
ДОБАВЛЕНИЕ
/С-модуль над ассоциативным кольцом К- Это объясняет проис-
происхождение термина «одуль».
Замечание 1.3. Появление в. определении 1.7 в качестве
кольца К некоторой линейной алгебры связано с гладкостью.
С-гладкость (г ^2) кольца /С, которое является многообразием
с гладкими операциями, приводит к тому, что аддитивная группа
кольца К становится коммутативной группой Ли и тогда, как
хорошо известно, она изоморфна аддитивной группе конечно-
конечномерного вектора пространства над R. Из биаддитивности умно-
умножения в кольце относительно сложения векторов получаем биод-
нородность относительно умножения на рациональные числа,
откуда предельным переходом, в силу непрерывности операции
умножения в кольце, и биоднородность по R. Умножение в
кольце становится, таким образом, билинейным относительно
структуры вышеуказанного векторного пространства, т. е. коль-
кольцо К есть линейная R-алгебра. Другие условия в определении 7
проистекают из соображений геометрического порядка. Дело в
том, что в приложениях к геометрии важно знать, что такое
дуга хорошей кривой (геодезической). Кривая \tb\iel0, ti и есть
«хорошая» дуга, соединяющая точки sub левого одул я.
Замечание 1.4. Свойство (с) 1 определения 1.7: (t-\-u)x =
— tx-ux мы будем называть свойством (тождеством) левой
моноассоциативности (или левой степенной ассоциативности).
Если К = Z, то tx есть степень х* (t ? Z) элемента х?М, **==* • х ¦... ¦ х
(t раз при />0) и xt = x~l'...-x~1 (—/ раз при /<0); при
этом скобки можно расставить здесь любым способом, как это
следует из A) определения 1.7, которое тогда означает обычное
свойство степеней х*-ха — х*+и.
Естественным образом определяется понятие левого пододуля
Сг< ^-гладкого локального левого одуля как Сй-подмногообразия,
устойчивого относительно основных операций умножения, левого
деления и умножения на скаляры основного кольца и содержа-
содержащего единицу 1М.
Левый /С-одуль М назовем диассоциативным, если любое его
двуэлементное подмножество порождает ассоциативный по до дуль.
Левый /С-одуль М назовем моноальтернативным слева (или
одулем левых моноальтернативных степеней), если выполняется
тождество [(t-hu)x]-y = (tx)¦ [(их)¦ у].
Аналогично определяется моноальтернативность справа.
Очевидно, моноальтернативность влечет моноассоциативность
(при у—1м)- Обратное неверно, вообще говоря.
Введем теперь основное для дальнейшего понятие одулярной
структуры.
Определение 1.8. Пусть е? = <М, L, ((x>t)teK> — Сг< *-глад-
кая локальная алгебра с частичной тернарной операцией L:
Мэ —*- М и семейством частичных бинарных операций a>t: ЛР —*¦ М,
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
301
занумерованных элементами унитарного кольца К, и у М
существует левоодулярное открытое С1 *Т'к-покрытие (Mp)p6j мно-
многообразия М, т. е. такое покрытие, что для любой точки а?М&
частичная алгебра <Мр, L", (со?)^6 к, а>, где L"(x, y) = L(x, а, у),
a>f(x)—wt(a,x), есть С1' г< "-гладкий локальный левый /С-одуль
с нейтральным элементом а. Тогда такую алгебру вместе с мак-
максимальным левоодулярным открытым С1' Т< *-покрытием назовем
С' г, k-гладким локальным левым одулярным многообразием (про-
(пространством, структурой) над кольцом /С.
Если М само принадлежит максимальному левоодулярному
покрытию, то левоодулярное многообразие назовем нормальным.
Сходным образом определяются О г- к-гладкие Локальные пра-
правые одулярные покрытия и многообразия.
Определение 1.9. С-г- ^-гладкое локальное левое одуляр-
ное многообразие назовем геодезическим (геоодулярным), если
дополнительно имеют место тождества L^'a) о Циса) — Ц(са) (первое
тождество геоодулярности) и Lcaotc = tao Lca (второе тождество
геоодулярности) (там, где левые и правые части имеют смысл).
Здесь Ц: x—+L(a,c,x), ta: x—>щ(а, х).
Определение правого геоодулярного многообразия аналогично.
Замечание 1.5. Тождества определения 1.9 имеют следую-
следующий «геометрический» смысл: второе показывает, что «геодези-
«геодезические линии» {tab}aK преобразуются в «геодезические линии»
при действии левого сдвига локального одуля точки a, Lca{tab}t^K—
= {tc(Lcab)\tiK, причем с сохранением «канонического» параметра /
вдоль геодезической; первое тождество есть некоторое свойство
аддитивности левых сдвигов для локальных одулей вдоль «геоде-
«геодезической» \tca}teK> а именно, если даны три произвольные
точки с, (иса), (tca) «геодезической», левый сдвиг одуля точки
с элементом tca совпадает с последовательным выполнением
левого сдвига одуля точки с элементом (иса), а затем левого
сдвига одуля сдвинутой точки (иса) элементом (tca). Все это
поразительным образом напоминает свойства параллельного пере-
переноса в геометрии линейной связности, что, как мы увидим
позже, совсем не удивительно.
Отметим, что из первого тождества геоодулярности при / = 0^,
и = \к имеем LacoLca='\d, откуда (в силу равноправности а и с)
(Ц)К
Определение 1.10. Пусть <М=<.М, L, (щ)
$), — СТ'k-гладкая локальная алгебра такая, что оА>х =
= <М, L, (a>t)teK> и cS2 = <M, S, ((x>t)teK> — С'*•'-гладкие ло-
локальные левые одулярные многообразия, тогда аМ называется
С1' '• *-гладким локальным левым двуодулярным многообразием.
Если при этом аЛг геоодулярно и (всюду, где левые и правые
части имеют смысл) выполнено тождество Цо Л?1 = Л?^ас^о L%

302
ДОБАВЛЕНИЕ
(третье тождество геоодулярности), то аМ называется С' Гу k-глад-
k-гладким локальным левым геодезическим двуодулярным (геодвуодуляр-
ным) многообразием.
Если еще локальный левый одуль любой точки для оЗ^ =
= <М, 3', (ait)tex> есть модуль, т. е. дополнительно операция
Sa {x, у) = -3? (х, а, у) ассоциативна и коммутативна и taJ&a (х, у) =
= J2?a(tax, tay), то будем называть оЖ линейным двуодулярным
(соотв. линейным геодвуодулярным).
Аналогично можно определить правые двуодулярные, геодву-
одулярные (в частности, линейные) многообразия.
Замечание. Обобщив определение 9 на случай семейства
операций (JZ'^czj вместо одной операции J&, мы приходим к по-
понятию С* г' к-гладкого локального левого (правого) мультиодуляр-
ного (или J-\-\-одулярного) многообразия, а также геомульти-
одулярного (или J-\-l-геоодулярного) многообразия. Конечно,
здесь вместо третьего тождества геоодулярности появляется
семейство таких тождеств.
Естественная С- ч~г> *-гладка9 локальная левая геоодулярная
(линейная геодвуодулярная) структура вещественного С*-много-
С*-многообразия (k^3) линейной связности М- Взяв любую нормальную
выпуклую окрестность N и точку у аз N, мы определим частич-
частичные операции на N формулами:
A) L(x,y, г) = х(у)г = (Ехрхот;хо(Ехру)-1)г,
B) cot (у, z) = tyz = Expv (t Expj1 (z)),
C) & (x, у,г) = х + г = Ехру ((Ехр^) x + (Expy)~lz),
где т?: Ty(M) —> TX(M) — параллельный перенос вдоль единст-
единственной геодезической, соединяющей точку у с х.
Заметим, что локальные отображения Ехр: Т(М) —» М ((х, ?)i—»¦
^Ехр*?), Ехр-1: МхМ -* Т(М)((у, z) ,-* (у, (Ехр^)г),
т: Мх T(M)-+T(M)((q, (p, $))•-»¦(?, т%)) будут класса С*~\
что легко видеть, если учесть, что Ехра(^?)—геодезическая через
точку а из М в направлении вектора Z,(zTa(M), учесть диффе-
дифференциальные уравнения геодезических и параллельного переноса
в локальных координатах и теоремы о гладкой зависимости
решений дифференциальных уравнений от начальных данных.
Отсюда L = Ехр о то (id x Ехр-1) будет С*~2-гладким локальным
отображением L: МхМхМ -+М. Используя те же рассуждения,
можно показать, что (t, у, z)^%.tyz([—1, 1]хМхМ —»- М) и
2: МхМхМ—*¦ М являются С*~2-гладкими локальными отобра-
отображениями. Более того,
будет С*~?-гладким по (t, z) в любой
системе координат.
Таким образом, мы получаем С2- *-2> ^-гладкую локальную
левую геоодулярную линейную (геодвуодулярную) структуру
МЕТОДЫ НЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
303
на М, все тождества геоодулярности и линейности непосредст-
непосредственно проверяются. Проверим, например (как наиболее неоче-
неочевидное) свойство моноассоциативности. Так как Ехрy(v?.) есть
геодезическая с начальной точкой у и начальным касательным
вектором I, то г]з (и) = (^г) (у) (uyz) = Exp(/J/Z) (ыт^, Ехр-4г) при
фиксированном t есть геодезическая с начальной точкой г|з @) = ^z.
и начальным касательным вектором ¦ф@) = т^2/г) Ехр^хг. Далее
Ф (и) = (t -f-uO z есть геодезическая с каноническим параметром и,
что следует из автономности системы дифференциальных урав-
уравнений геодезических многообразий линейной связности (если
% (и) — решение, то %(а + и) — тоже решение),
Ф @) = tyz, ф @) = (vyz)'v=t = T?tyZ) (vyz)'D=a = T?tyz)
последнее потому, что касательное векторное поле переносится
параллельно вдоль геодезической. Итак, ф(О) = г|з(О), Ф@) = 1|)@),
откуда в силу теоремы единственности решения уравнения геоде-
геодезических имеем ф(м) = г|з(ы), что и требовалось.
Заметим еще, что в наших предположениях Ryx (R%z = г (у) х)
являются локальными диффеоморфизмами, т. е. существует (ло-
(локально) правое деление в левом одуле каждой точки, который
приобретает структуру двусторонней локальной лупы (но не
является, вообще говоря, правым одулем); см. Мальцев [1],
Киккава [1].
Из второго тождества геоодулярности Щуг = tJJxz имеем
mc)*.tyz(tyz)- = (txLyxz)-, откуда при * = 0 получаем, учтя B),
(L%),,yExp^z^ЕхрxX(Lyxz) и далее, учтя A), (Ц)*,и = гух. Таким
образом, можно восстановить параллельный перенос вдоль геоде-
геодезической из у в х, переходя к касательному отображению для Lx
в естественной геоодулярной структуре линейной связности.
Это в свою очередь позволяет однозначно восстановить ли-
линейную связность:
где у = х@), I = х@) € Ту (М), Y^X(M).
Мы получили
Предложение 1.1. Если (М, V)—О'-гладкое многообразие
линейной связности (k^3), то аМ = <М, L, (a>t)ieR, Jgy, где:
A) L(x, у, г) = х@)г = (Ехржо-с?оЕхр-?)г (т»: ^(Af)-^
—*-Тх(М) — параллельный перенос вдоль геодезической из у в х);
B) щ(у, z) = t z = Exp (tExp^z) (Z,—+tZ,—умножение на ска-
скаляр t в Ту(М));
(C) &(х, у, z) = x + z
У
жение векторов в Ту (М))

304
ДОБАВЛЕНИЕ
есть С2' *-?• к-гладкая локальная левая, ееоодулярная (линейная
геодвуодулярная) структура, называемая естественной, с макси-
максимальным левоодулярным открытым покрытием, состоящим из всех
нормальных выпуклых окрестностей.
При этом
D) A2)..„ = т»;
где у = х @), Ъ = х @) 6 7*, (М), Y € ? ()
Наша ближайшая цель — показать, что любая С» *-¦• ^глад-
^гладкая локальная левая линейная геодвуодулярная структура
(k^3) над R есть естественная . геодвуодулярная структура
единственного многообразия линейной связности. Пусть дана
С2' *~а* й-гладкая левая линейная геодвуодулярная структура
над R на многообразии М. Взяв Y??(M) и AY: x—+(L$)?*yYx,
имеем С*~1-гладкое отображение из окрестности точки у в Ту\М).
В силу предложения 1, если искомая связность существует, то
она должна иметь вид
Линейность написанных выше выражений по X и аддитивность
по Y очевидны. Далее для любой С*~1-гладкой функции /
= [Чху (fY)]y = (A
= (ж f <х @)), =0 ^+/ (у) (ж
Таким образом, Y-+yxY—линейная связность, порожденная
геодвуодулярной структурой на М.
Покажем, что x? = (Zj?).tJ, — параллельный перенос вдоль кри-
кри1, из точки у в точку х. Из первого тождества
Ь$ ^f ^ имеем )
вой tyx, 0
t
геоодулярности
0ТКУДа
и, в частности,
)-1 (Ь).
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
Но векторное поле Y параллельно вдоль кривой tyx, С
тогда и только тогда, когда
' =0,
305
так как для x(u) = {t + u)yx имеем x
Поэтому далее, учтя (а) и (Ь), получаем
-(А.
Следовательно, (xf x)^ *> = const = Fy и (при ?=1) Yx = t%Yi/.
Итак, для параллельного векторного поля Y вдоль кривой tyx,
O^.t-^1, имеем Yx = r%Yy, что и означает, что т?—параллель-
т?—параллельный перенос из точки у в точку х вдоль этой кривой.
Проверим теперь, что кривые вида tyx и только они суть
(локально) геодезические связности V- Дифференцируя по и
тождество левой моноассоциативности, имеем ((t-\-u)yz)-~
= Шуг)*, ауг (цуг)- и далее при и = 0 (tyz)- = (?у)», у (uyzyu^, т. е.
{tyz)' = rft z) («j,z)^=0, что означает, что касательное поле (tyz)-
параллельно вдоль кривой tyz, Q^t^l, и tyz, 0^t^.l,—ге-
0^t^.l,—геодезическая. Значит, если (tyz)'tm^ = ^f то в окрестности точки у
tyz = Expj, (t?) @ -^ t ^ 1) и при * = 1 z = Ехру E). Отсюда сле-
следует, что через точку у в любом направлении, задаваемом
вектором ?, проходит геодезическая tyz, 0 ^ ^ ^ 1. В силу един-
единственности геодезической через данную точку в данном направ-
направлении все геодезические в окрестности точки у имеют вид tvz,
0 ^ t ^ 1. Далее, поскольку tyZ, 0 ^ t ^ 1, определена для
любых у, z, принадлежащих любой области левоодулярного
открытого С2' *~2' й-покрытия, то последняя есть нормальная вы-
выпуклая окрестность для связности V и в ней tyz = Ехру (t Expj1 z),
что совпадает с B) в определении естественной линейной гео-
геодвуодулярной структуры.
Дифференцируя теперь второе тождество геоодулярности
Lyxtyz = txL«z, получаем (Lvx),ityg (tyz)- = (txLx)\ откуда при * = 0
имеем (L^)«, 2,Ехр„B) = Ехрд.?^2, так что Lx=Expx(rxExpylz),
что совпадает с A) в определении естественной линейной геодву-
геодвуодулярной структуры.

306
ДОБАВЛЕНИЕ
(tyx, у, tyz).
Рассмотрим, наконец, тождество tyS (х, у, z)
Тогда [ty&(x, У, г)]' =(?"!,.)• ityX,tyz)((y
= (&?. <„«)•• tyx (tyxy + (J??x, .)., tyZ (tyzy. При t = 0 имеем
Ехр„1У(х, у, z) = (^ty),,yExpy1x + (J?l.),,yExp;1z. Однако
JZy. yu> = J?(w, у, у) = w, J?vy .w = J? (у, у, w) = w. Поэтому
(J2* *)•.« = (^l •)•,«, = id и jg7 (x, y, 2) = Expj,- (Exp^1 x + Expj1 y),
что совпадает с C) в определении естественной линейной геодву-
одулярной структуры. Мы получили
Предложение 1.2. Любая С2-й~2' к-гладкая локальная гео-
геоодулярная (линейная геодвуодулярная) структура eS=<M,L, (a>t)>
(aS = <M, L, (c0f)*6R, Jg*» над R (k^3) есть естественная
геоодулярная линейная (геодвуодулярная) структура единственной
С~*-гладкой линейной связности V на С-гладком многообразии М.
При этом
где Ха = х@)?Та(М), X, У^()
Объединяя предложения 1.1 и 1.2, получаем
Предложение 1.3. Между С-г-гладкими линейными связ-
носпгями и С2- й~2- "-гладкими локальными левыми геоодулярными
(линейными геодвуодулярными) структурами на С-гладком (k^3)
многообразии М существует взаимно однозначное соответствие,
описанное в предложениях 1.1 и 1.2.
С1- г< й-гладкое локальное левое геоодулярное (геодвуодулярное)
многообразие eS = <M, L, (a>t)teKy (соотв. s# = <M, L, (<s>t)tiK, S>)
назовем локально плоским, если локальный левый одуль любой
точки есть модуль.
Предложение 1.4. С2> ft~2- к-гладкое (k^3) локальное левое
линейное геодвуодулярное многообразие s#=<M, L, (cot)*SR, •З'У
над R локально плоское тогда и только тогда, когда соответст-
соответствующая линейная связность V локально плоская. В этом и только
в этом случае L = J? (локально).
Доказательство. Если локальный одуль точки есть
модуль (в данном случае R-модуль), то tyL(x, у, z) = L(tyx, у, tyz)
и, дифференцируя по t, имеем \tyL(x, у, г)]- = (/Д /^z),, tyxtfuX)' +
W)(ty при г = 0 дает Ехру1 L(x, у, z) =
(^),J,pj (^,I,Exp^Z. Но U,yW = w = Ll.w при-
приводит к (L4 у),, w = (Ц,,.)., w = id, так что L (х, у, z) = Ехру х
X (Expy1x+Expy1z) = ^'(x, у, z). Введем теперь координаты
в Ту(М) как коэффициенты разложения вектора по некоторому
базису и припишем каждому z € М (в окрестности точки у) в ка-
качестве координат координаты элемента Expylz € Ту (М) (это —
нормальные координаты в окрестности точки у), Тогда (tyzY=tze,
МЕТОДЫ НЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
[Z. (х, у, г)]* = [& (х, у, z)Y = xi + z1'. Поэтому
307
В частности, (тЭД' = [(L*)., „# = 8j. Далее из третьего тождества
геоодулярности Ц о &* = &*L^ o Ц, учтя Z.-^, имеем
^ = -&\jcic) ° -2"b и Далее (&%),, с о (=2"'?)», у = (&\ляс\) о
'*. у Отсюда в координатах с учетом предыдущего имеем
хьс))* ь\-~^С'' Поэтому (тьч))=&) для всех Ь, q рассматривае-
рассматриваемой окрестности (в силу произвольности с и разрешимости уравне-
уравнения &%c=q). Но тогда
Отсюда
Поэтому T = 0, R = 0 и пространство (УИ, V) локально плоское.
Обратно, если (М, V) локально плоское, т.е. 7* = 0, R = 0,
то, как известно, (УИ, V) в окрестности каждой точки локально
изоморфно обычному аффинному пространству. Непосредственный
подсчет в аффинных координатах показывает тогда, что L = J?
в окрестности любой точки, а следовательно, локальный одуль
любой точки есть R-модуль (векторное пространство над R).
Определение 1.11. Пусть в?=<М, L, (<ot)teK>—Cc< r- •-глад-
•-гладкая локальная левая одулярная структура. Назовем тогда
п° (Ь, с) = (Z.?)-1 о L\ о Ц
преобразованием элементарной голономии треугольника А (а, Ь, с).
Будем говорить, что левая одулярная структура нулевой
кривизны (или имеет локальный абсолютный параллелизм), если
ha (b, с) = id для любого геодезического треугольника некоторой
окрестности произвольной точки.
Предложение 1.5. С2- ft-a- "-гладкое локальное левое гео-
геоодулярное (геодвуодулярное) многообразие имеет нулевую кривизну
тогда и только тогда, когда соответствующее многообразие
линейной связности имеет нулевую кривизну (R — 0).
Доказательство. Если п" (Ь, c) = (Lf)~l о Lbc оЦ — \&, то
(La)*, с ° №)*, ь ° (Ц); а = (id),, a, т. е. %са о т* о xg = id. Это означает,

308
ДОБАВЛЕНИЕ
что параллельный перенос по любому геодезическому треуголь-
треугольнику в некоторой окрестности любой точки а не меняет вектора,
т. е. является абсолютным (следует сначала свести дело к кусочно
геодезическому замкнутому пути, а затем использовать предель-
предельный переход). Из абсолютного параллелизма параллельного пере-
переноса в некоторой окрестности любой точки следует, как известно,
R = 0. Другой способ здесь — показать, что /? = 0, непосредст-
непосредственно, для чего следует дифференцировать тождество т?от|от2=1с1
в некоторой системе координат по х и г, учесть выражение
символов Кристофеля через %% и выражение тензора кривизны
через символы Кристофеля (использование нормальных координат
в окрестности произвольной точки сильно упрощает выкладки).
Обратное очевидно, так как R = 0 локально влечет абсолют-
абсолютный параллелизм, откуда т^ о т| о T^ = id, и, учтя выражения
для Lpq через тря, Ехр^,, Ехр„, имеем
Lxa о Ц о L% = ha (z, х) = id.
Сделаем несколько замечаний о метрических, в частности
римановых, геодвуодулярных структурах. Пусть <Ж = <М, L,
(ЩI<-к> 3?> — левая линейная геодвуодулярная структура, а
(х, у, г) € М х М х М —>¦ g (х, у, г) ? К — частичное (локальное глад-
гладкое) отображение. Если g"(x, z) = g(x, у, z) — полуторалинейная
функция относительно JZ", cof, т. е. A) gv{J?y (p, q), a) = gy(p, a)+
y(, а), B) g*(a, &»[p, q)) = gy(a, p) + gy(a, q), C)^( )
«(P. 1). D) gy(p,tyq) = gf(p,q)t*, E) g*(p, q)[g{ p]
t 6 К —* t* € К — инволютивный антиавтоморфизм кольца К (т. е.
такой, что (P)* = t) и F) gb(Llp, Llq) = gy(p, q), то будем гово-
говорить, что О#, g> = <Af, L, (a>t)teK, JS', g> — К-эрмитова метри-
метрическая левая линейная геодвуодулярная структура. В частности,
если /С = R, a gy(x, z) —неособая билинейная форма, то в С2' *~2' й-
гладком случае приходим к риманову пространству линейной
связности, используя предложения 2.1 и 2.2 и определив ска-
скалярное произведение в касательном пространстве точки у фор-
формулой
def
§ 2. Редуктивные и симметрические геоодулярные пространства
Всюду в этом параграфе вместо слов «С1 г> *-гладкое локаль-
локальное левое одулярное (геоодулярное, геодвуодулярное) простран-
пространство над К» мы будем говорить «гладкое одулярное (геоодуляр-
(геоодулярное, геоодвуодулярное) пространство над /С». В некоторых слу-
случаях, чтобы избежать недоразумений, мы будем добавлять слова
«С'>Г) й-гладкое». Наконец, если результат носит алгебраический
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ ХЛГЕБРЫ
309
характер, т. е. связан не со структурой многообразия, а лишь
с частичными операциями, будем говорить «одулярное (геооду-
(геоодулярное, геодвуодулярное) пространство», что позволит использо-
использовать результат в ситуациях чисто алгебраических.
Частичный автоморфизм одулярного пространства aS =
= <М, L, ((ot)t «/<> — это частичное биективное отображение <р:
М — М, которое сохраняет операции: q>L (x, у, z) — L (<px, q>y, <рг),
fpa>t(x, у) = (at (q>x, ф«/) (всюду, где левые н правые части имеют
смысл).
Отбросив всюду слово «частичный», получаем понятие авто-
автоморфизма одулярного пространства.
Локальный (глобальный) автоморфизм С'' к-гладкого одулярного
пространства — это частичный автоморфизм, являющийся локаль-
локальным (глобальным) С*-диффеоморфизмом. .
Соответствующие определения в двуодулярном случае анало-
аналогичны и требуют дополнительно, чтобы q>J? (x, y,z) = & (<px, ц>у, <pz)
всюду, где правые и левые части имеют смысл.
Предложение 2.1. <р есть локальный аффинный изомор-
изоморфизм С^-гладкой линейной связности на C''-многообразии M(k^3)
тогда и только тогда, когда <р — локальный автоморфизм соот-
соответствующего С?'" "-гладкого линейного геодвуодулярного прост-
пространства.
Доказательство. Так как аффинный (локальный) авто-
автоморфизм переводит геодезические в геодезические с сохранением
канонического параметра, то ф о Ехр„= Ехрф<а о ф. а. А так как
параллельный перенос инвариантен под действием аффинного
(локального) автоморфизма, то еще <р„ „ о т% = т%аь о ф»а, - потому
что т& — параллельный перенос вдоль единственной геодезической
из а в Ь. Все это дает
ра о т* о
Ехраа о ф^,, о т* о Ехр^х= Ехрфа о
о т|* о Ехр^ о ф = L$ о ф
о <p,i6 о
и далее
ф (Ехр
Ехрфа (
Ехрфа
вч „t Expj1 г) = Ехрфа
Expj1 г)
ИЛИ ф о ?e = t<Qa о ф.
Аналогично проверяется, что фо^ = ^|*оф.
Итак, если ф —локальный аффинный автоморфизм линейной
связности, то ф — локальный автоморфизм соответствующего
естественного линейного геодвуодулярного пространства.

310
ДОБАВЛЕНИЕ
Наоборот, если
Ф«. >,, т.е. ср.,., о т* =
, то ф, ao(L*)<i4=
и далее
Ф». xa>' к c
t = 0
t = 0
так что (q-,) (Уф, хф.У) = \7ХУ и ф —локальный аффинный авто-
автоморфизм.
Нас будет теперь интересовать описание естественных гео-
одулярных структур локально редуктивных пространств, т. е.
пространств линейной связности (М, V), в которых тензорные
поля кручения и кривизны ковариантно постоянны (VT — 0,
\R = 0). В § 7 главы VI тома I (см. теорему 7.4 и следствия
7.5, 7.6) настоящей книги показано, что линейная связность
инвариантна при параллелизме тогда и только тогда, когда v7* = 0,
VR = 0. Инвариантность при параллелизме означает, что для
произвольных точек х, у из М и произвольной кривой т из х
в у существует единственный локальный аффинный изоморфизм /
такой, что f(x)=y и fttX совпадает с параллельным переносом
т: Тх (М) -* Тд (М). Поэтому, если vT = 0, v/? = 0, мы рассмот-
рассмотрим xj: ТХ(М) —* Ту(М). Это параллельный перенос вдоль един-
единственной геодезической, соединяющей х с у. Значит, существует
единственный локальный аффинный изоморфизм f, f{x) = y,
/*, х — Tl- Но тогда
f оЦ = [о Ехрдгот*оЕхр,;1 = ЕхрПх, о/^от'о Ехр-1
^ о т* о хч о Ехр^ = Expj, о Ехр.71 = id,
h/ = LJ. Итак, если VT=O, \R = Q, то Ц — локальные аффинные
изоморфизмы связности v (а в силу предложения 2.1 и ее гео-
двуодулярной структуры).
Наоборот, если /=LJ — локальные аффинные изоморфизмы
связности v (а значит, и ее геодвуодулярной структуры), то
f^Vo.X) (f.Y) = VXY\ кроме того, /г'[/,Х, W] = [X, Y]. Поэтому
(?.Т)(Х Y) =/:Т(/.Х, /.У) = (/,)- V./.xjtf.n-fr'Va.y, (f.X)-
-V.r'ihX, f,Y] = VxY-XYX-[X, Y] = T(X, Y), так что
(Z.;), Т = Т. Аналогично (Ц), R = R. Но это означает, что х*Тх = Т ,
xuRx = Ru и далее
(здесь х@) = Ху, х{0) = у). Аналогично и (Vx/?) =0. Оконча-
Окончательно имеем vT' = 0, VR—0.
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ- АЛГЕБРЫ
311
Мы получили
Предложение 2.2. С™-многообразие линейной связности
(М, V) локально редуктивно тогда и только тогда, когда левые
сдвиги его естественной геоодулярной (линейной геодвуодулярной)
структуры—локальные аффинные изоморфизмы.
Другое доказательство см. у Киккавы [4].
Используя предложения 2.1 и 1.3, можно сказанному выше
придать такую форму:
Предложение 2.3. Са-многообразие линейной связности
(М. V) локально редуктивно тогда и только тогда, когда все левые
сдвиги его естественной геодвуодулярной структуры являются ее
локальными изоморфизмами.
Замечание 2.1. Класс Са мы взяли потому, что резуль-
результаты § 7 главы VI тома 1 настоящей книги доказаны именно
при таком предположении. На самом деле достаточно взять класс
С (k > 4).
Следует, однако, отметить, что условия VT — 0, VR — О по-
позволяют утверждать существование Сш-гладкого атласа для (М. V).
См. в этой связи теорему 7.7 § 7 главы VI тома I настоящей
книги.
В связи с предложением 2.3 теперь естественны следующие
определения.
Определение 2.1. Одулярное (двуодулярное) пространство
редуктивно, если его левые сдвиги /.^-частичные изоморфизмы.
Определение 2.2. Гладкое одулярное (двуодулярное) про-
пространство редуктивно, если его левые сдвиги — локальные изо-
изоморфизмы.
Таким образом, одулярное (двуодулярно?) пространство ре-
редуктивно тогда и только тогда, когда выполняются следующие
тождества:
Ц, о Vd ==L. ьа о
\Lbd)
ц о te — t(Lac\ ° Ц (второе тождество редуктивности),
(Ц о 3°i= J?) ьа ( о Ц (третье тождество редуктивности)
Предложение 2.4. Если в одулярном пространстве имеет
место первое тождество редуктивности, то первое тождество
геоодулярности Lut? о LaUax. = LiaX эквивалентно тождеству левой
моноальтернативности Lf/+n)eX = Lf,ai о L°UaK).
Дгказательство. В силу первого тождества
U (первое тождество редуктивности),
ности
имеем tf
>oLaU
aX
oLa
taX =
редукткг-
о L\taX). Остг.ль-
ное очевидно.

312
ДОБАВЛЕНИЕ
det
Пусть 1аф, с) =
Предложение 2.5. В одулярном пространстве пара тож*
деств
(a) А-F, c) = /"(b, O
(b) /« F, с) о Z- = Lfa №,,,„ о /»F, с)
эквивалентна первому тождеству редуктивности.
Доказательство. 1. Если справедливо первое тождество
редуктивности, то
ft- ф, с) = (I-)-* о (I* о Lg) =
Далее, первое тождество редуктивности означает, что Ц—частич-
Ц—частичный изоморфизм тернарной операции L(x, а, у). Но тогда
la (Ь, с) — локальный изоморфизм для L (х, а, у) как композиция
частичных изоморфизмов (в :илу уже полученного (а)), что и
дает (Ь) — второе тождество пары.
2. Пусть теперь справедлива пара тождеств (а) и (Ь). Тожде-
Тождество (а) в подробной записи имеет вид (Ц)~у о^о Lg—
)-1 о L% о I^-x»j или
Выразив Ц, имеем после подстановки
А о (/• (X, Ъ) о L[{ Lg)-lej о [/• (х, б)] о
В в илу тождества (Ь) имеем далее K=*(LaXKatb)-x о Ц,
*L%wb. Еще раз применив (а*), имеем К = L, *'.. Этим доказано
*'
,а
аервое тождество редуктивнооти.
Предложение 2.6. Если в одулярном пространстве имеет
место тождество
(a) h*{b,c) = l<4b, (Ц)->с),
то второе тождество геоодулярности (в) L%ota = lbL% эквива-
эквивалентно второму тождеству редуктивности Lf>ota = t,Lac\ о Ц.
Доказательство. Используя (а) в форме (а?) предыдущего
предложения, имеем
-1 с]
= LI о
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
313
Далее в силу (с) получаем
tc = (Ц) о (L^-, с]) о ^в о
Обозначив (Lg) с = ?. окончательно имеем ^^а \ — L%otqo
т. е. второе тождество геоодулярности.
Если же имеет место второе тождество редуктивности, то
второе тождество геоодулярности выполняется как его частный
случай.
Предложение 2.7. Если в двуодулярном пространстве
имеет место тождество (a) h" (b, с) — la (b, (Lg) с), то тождество
геодвуодулярности L% о J?% = jg*b,L<x x ч о L% эквивалентно третьему
тождеству редуктивности L% о ?>% = S * ' о L%.
Доказательство аналогично предыдущему.
Предложение 2.8. Одулярное (двуодулярное) простран-
пространство геоодулярно (геодвуодулярно) и редуктивно тогда и только
тогда, когда выполняются тождества
A) h°(b,c) = l°(b, (Li)-1 с),
B) /• (b, C)ol« = L\ia Fi c) у] of (b, С),
C) LtaX ° LUax = L(t+u)ax,
D) L%ota = tboL%
(а в случае двуодулярности еще и
E) Цо^% = ь
Доказательство. Если пространство редуктивно и гео-
геоодулярно (геодвуодулярно), то тождество D) (и E)) выполнено
в силу геоодулярности (геодвуодулярности). Из первого тожде-
тождества редуктивности и предложения 2.4 следует моноальтерна-
моноальтернативность C). В силу предложения 2.5 из первого тождества
редуктивности следуют тождества A) и B).
Наоборот, пусть тождества A) — D) (и соответственно E))
выполнены. По предложению 2.5 тождества A) и B) влекут
первое тождество редуктивности. Далее, по предложению 2.6 A)
и D) влекут второе тождество редуктивности. Редуктивность и
тождество C) в силу предложения 2.4 влекут первое тождество
геоодулярности. Второе тождество геоодулярности выполнено,
так как это тождество D). Наконец, в двуодулярном случае, если
выполнено E), то по предложению 2.7 выполнено третье тож-
тождество редуктивности.
Заметим теперь, что в гладком (в частности, непрерывном)
случае для одулярных пространств над R тождество D) (второе
11 Ш. Кобаяси, К- Номидзу, т. 1

314
ДОБАВЛЕНИЕ
тождество геоодулярности) предыдущего предложения вытекает
из остальных. Действительно, A), B) влекут первое тождество
редуктивности (см. предложение 2.5). Учтя еще тождество
моноальтернативности C), имеем Д B)а х = Д (х (а)х) =
= Дх(Да) Lcbx = B)(Lc а\Цх и, далее, аналогично L%(m)ax =
сь( — х =
т.
т
L%x (m, s ? Z). Тогда предельным
переходом получаем Lcbtax = t/Lca)Lpc (t^R), т. е. второе тождество
редуктивности и, в частности, второе тождесто геоодулярности D).
Это приводит к следующему предложению.
Предложение 2.9. Гладкая вещественная одулярная (дву-
одулярная) структура геоодулярна (геодвуодулярна) и редуктивна
тогда и только тогда, когда ha(b, c) = la(b, (Ц)'1 с), локальная-
лупа точки специальная, т. е. 1а (Ь, с) о Ly = L[ia (fti c) у1 о I" (b, с), и
одуль точки левомоноальтернативный, т. е. LfaX о LZaX = L(i+u)aX
(в случае двуодулярности дополнительно требуем L% о <?% =
Предложение 2.10. С2- *~2> к-гладкая линейная двуоду-
лярная структура над R (k~^ 3) является линейной геодвуодуляр-
ной и редуктивной тогда и только тогда, когда
A) ha(b, c) = la(b, (Ц)-Хс),
локальная лупа точки специальная, т. е.
B) /* (b, C)oLy = Lfia (b, с) у] о I* (Ь, С),
и одуль точки левомоноальтернативный, т. е.
{О) LtaX °LllaX =L(t + U)a x-
Доказательство. В силу предложения 2.9 из тождеств
A) — C) следует геоодулярность нашей двуодулярной структуры.
Из предложений 1.1 и 1.2 имеем
(a) Д =
где xf: Та (М)
(b) tax =
Ть (М) — линейное отображение,
Из определения линейной двуодулярности следует, в част-
частности, что
(с) ta2 (х, а,у) = ?> (tax, a, tay).
МЕТОДЫ НЕАССОЦЙАТИВНОЙ АЛГЕВРЫ
Вводя отображение
(Expag, а, Ехрвл) = S (Е, ц) € Та(М),
получаем в силу (Ь) и (с)
, tv),
где ?? по крайней мере класса С1 и
(e) j^@, t|) = ti, ^(Е,О) = Е.
Дифференцируя (d) по t, при / = 0 имеем Jg (|, т]) =
(^o)*,oi- Но из (е) следует (J>Oi .)#i 0 (^
что J? (|, t)) = S + ti. Возвращаясь к =5^, имеем
(f) J? (лг, а, у) = Ехра (Ехра1 х + Ехра х г/).
j^'Oi .)ф, „ т] -f-
^, 0 = id, так
Используя (а) и (f), непосредственно проверяем, что L%$ (х, а, у} =
==J? {L%x, a, L%y), т. е. имеет место тождество геодвуодулярности.
Итак, в наших предположениях тождество геодвуодулярности
следует из A) — C). Теперь результат следует из предложения 2.9.
Из доказанного выше имеем в качестве очевидных следствий
Предложение 2.11. С2- ft~'2- ^-гладкая геоодулярная (линей-
(линейная геодвуодулярная) структура над R (k ^ 3) редуктивна тогда
и только тогда, когда ha(b, c) = I" (b, (L%)~1c), а локальная лупа
любой ее точки специальная.
Предложение 2.12. Ск~-'-гладкая линейная связность на
Ск-гладком многообразии (k"^z 4) редуктивна (т. е. ^ = 0, v^? = 0)
тогда и только тогда, когда для ее естественной геоодулярной
структуры ha(b, c) = /a(b, (Д)-1с) и ее локальный одуль для любой
точки специален.
Выясним, наконец, вопрос, когда одуль (двуодуль) может
служить одулем некоторой геоодулярной (геодвуодулярной) ре-
редуктивной структуры. В условиях предложения 2.8 имеем B)
и C), которые вместе с A), D) (и E)) приводят к следующим
условиям на одуль (двуодуль) произвольной точки а:
(а) l*(b,c)oLx = L«a{b,c)xol°(b,c);
(с) la{b,c
((d) 1'ф,
, С)).
Наоборот, если одуль (двуодуль) с нейтралом а удовлетво-
удовлетворяет условиям (а), (Ь), (с) (и (d)), то, определив (что однознач-
11*

316 ДОБАВЛЕНИЕ'
но, если мы желаем получить редуктивность)
(и ^ = Lio^L<i)_lqo(L%)-1),
мы имеем, как Показывает непосредственная проверка, геооду-
лярное (геодвуодулярное) редуктивное пространство. Рассужде-
Рассуждения, использованные при доказательстве предложений 2.9
н 2.10, показывают, что в гладком вещественном случае (с) сле-
следует из (а), а в С2' *~2' ^-гладком (&^3) вещественном двуоду-
лярном случае (d) следует из всех остальных тождеств. Так мы
получаем
Предложение 2.13. Оду ль (двуодуль) eS тогда и только
тогда может служить одулем некоторого геоодулярного (геодву-
одулярного) редуктивного пространства, когда
(a) I (b, c)oLx~Lllbt с) хо1 ф, с) (первое А-свойство одуля,
А-свойство лупы одуля), '
(b) LtxoLax = Lu+a) x (левая моноальтернативность),
(c) l(b,c)ot = tol(b, с) (второе А-свойство одуля)
((d) / (b, c)ojgx = j?l (bi c) xol (b, с) {третье А-свойстводвуодуля)),
где Lx— левые сдвиги лупы одуля (Lxy = xoy), I (b, с) — Ь^с°ЬьоЬс,
x—*-tx—умножение на скаляры кольца К C?х—левые сдвиги
второй бинарной операции двуодуля).
Предложение 2.14. Гладкий R-одуль (двуодуль) eS может
служить одулем (двуодулем) некоторого гладкого R-геоодулярного
(геодвуодулярного) редуктивного пространства тогда и только тог-
тогда, когда его лупа имеет А-свойство и выполнено свойство левей мо-
моноальтернативности (и третье А-свойство двуодуля).
Предложение 2.15. С2-*- к-гладкий линейный R-двуодуль
(k~^2>) может служить двуодулем некоторого С2- *~2> ^-гладкого
линейного геодвуодулярного редуктивного пространства над R
тогда и только тогда, когда его лупа имеет А-свойство и выпол-
выполнено свойство левой моноальтернативности.
Предложение 2.16. О*~3- *'-гладкий (k~^\) R-одуль яв-
является локальным одулем естественной геоодулярной структуры
Ск-гладкого многообразия редуктивной линейной связности тогда
и только тогда, когда он левомоноальтернативный, а его лупа
имеет А-свойство.
Определение 2.3. Одулярное (двуодулярное) пространство
оЛ назовем локально (частично) симметрическим, если sx — (—1)х,
х?М, есть его локальный (частичный) изоморфизм.
Будем говорить, что оно глобально симметрическое, если
дл любой точки х € М существует изоморфизм sx, совпадающий
с (—\)х всюду, где последнее определено.
МЕТОДЫ НЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
317
Замечание 2.2. Если пространство линейной связности
локально (соотв. глобально) симметрическое (см. настоящую
книгу, том I, примечание 7, том II, глава XI), то его естест-
естественное геоодулярное пространство локально (соотв. глобально)
симметрическое. Действительно, если учесть, что txy — геодези-
геодезические линии с аффинным параметром t для линейной связности,
то отображение sx: у —+¦ (—\)ху есть как раз симметрия Э. Кар-
тана (зеркальное отражение) относительно точки х. Далее
следует вспомнить, что локальное (глобальное) аффинное пре-
преобразование пространства линейной связности есть локальный
(глобальный) изоморфизм соответствующей естественной геооду-
геоодулярной (линейной геодвуодулярной) структуры и наоборот.
Исследуем теперь локально (частично) симметрические геооду-
лярные (геодвуодулярные) пространства. Так как s^ = (—1)х—
локальная изометрия и (s^J = id((—1)хо(—1)х = [(—1)(—1)]^.=
= (l)* = id), то sx°sy°sx = sxo(~\)yo(sx)-1 = (—\)Sxy = s(Sxy). Кроме
того, sxx = x, так что
(la) sxx = x (тождество идемпотентности),
(lb) sxosK = id (тождество левой обратимости),
(lc) sxosy — slSxV)osx (тождество левой дистрибутивности).
Имеем далее sxa = (—l)xa = (Lx)-1x = Lxx = x(a)x = Ba)x, так что
B) sxa = B)ax = (-l)xa.
Так как sx — локальный (частичный) изоморфизм, то, учтя B),
получаем
C) sxoLaxog;}^L^^.
С другой стороны, в силу второго тождества геоодулярности
D) (sxoLa^sxx = Laxosaosx.
Из C) и D) имеем
E) saosx = LxaoL™«*.
Отсюда в силу первого тождества геоодулярности
F) sxosa =
= Ц2>аХ.
Если в одуле точки разрешимо уравнение B)ах = Ь (что всегда
верно для R-одуля), то
G) /-2 = sA/a)ai,osa.
Здесь A/2)о1/ — одно из решений уравнения Bа)х—у. Так как
sz — локальные (частичные) изоморфизмы, то в силу G) и /.^ — ло-
локальный изоморфизм, и мы получаем
Предложение 2.17. Частично (или локально) симметри-
симметрическое геоодулярное (геодвуодулярное) пространство, в котором
разрешимо уравнение B)ах = Ь, что справедливо над R, редук-

318 ДОБАВЛЕНИЕ
тивно. При этом
IQ\ fa / 1ч о/ i\
Следствие 2.1. Локально симметрическое многообразие ли-
линейной связности локально редуктивно.
Действительно, справедливость следствия вытекает из пред-
предложения 2.17, установленной нами связи между гладкими редук-
тивными одулярными структурами и локально редуктивными
многообразиями линейной связности с одной стороны (предложе-
(предложения 2.2, 2.3 и замечание 2.1) и связи между симметрическими
геоодулярными структурами и симметрическими многообразиями
линейной связности (замечание 2.2).
Предложение 2.18. В локально симметрическом геооду-
лярном редуктивном пространстве локальный одуль любой точки е
удовлетворяет тождеству
' = LeaoLecii:)coLea (s-тождество),
которое эквивалентно паре тождеств
[а (е) ([с (е) с] (е) а)] (е)х = а (е) [(с (е) с) (е) (а (е) х)] (s,-тождество),
(а (е) с) (е) (а (е)с) = а (е) [(с (е)с) (е) a] (su-тождество).
Доказательство. В силу редуктивности
A) 1°(а,с)о(-\)е = (--\)ео1°(а, с),
откуда
B) [se°(^(e)c)-1osJo[seoLSose]o[SffoL?ose] = [L^)c]-1o^o^
и далее, так как se — локальный изоморфизм,
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
319
Теперь, учтя что редуктивность влечет моноальтернативность,
получаем
т. е.
D) Vi)--^»
(последнее свойство известно в теории луп как левое свойство
обратимости, LIP). Используя C) и D), получаем
или
E)
Еще раз используя левую моноальтернативность, имеем (LQ2 =
LloLl L\ =L%)ec = Le^o- И E) прИНИМавТ ВИД
«, что и дает s-тождество.
Для получения яртождества применим обе части s-тождества к
х = е, тогда (а (е) с) (е) (а (е) с) — а (е) [(с (е) с) (е) а], т. е. Яц-тождест-
во. Подставляя левую часть из вц-тождества в s-тождество,
получаем Sj-тождество.
Следствие 2.2. В локально (глобально) симметрическом
вещественном геоодулярном пространстве локальный одуль любой
точки удовлетворяет тождеству
[а (е) (у (е) а)] (е)х = а (е) [у (е) (а (е) х)]
(левое тождество Бола, LBP)
(или, если обозначить а(е)у — а-у, в более короткой записи
[а ¦ (yd)] х = а [у • (ах)]).
Действительно, если с(е)с = B)ес = у, то с = (Ц2)еу показы-
показывает, что любой элемент вблизи е можно представить в виде с(ё)с.
Подставив у в вртождество вместо с(е)с, получаем левое тож-
тождество Бола.
То, что локальная геодезическая лупа симметрического про-
пространства линейной связности удовлетворяет тождеству Бола,
впервые, по-видимому, обнаружено в кандидатской диссертации
Ка'ранды [1].
Предложение 2.19. Геоодулярное (линейное геодвуодуляр-
ное) пространство, в котором разрешимо уравнение B)ех — Ь,
локально симметрическое тогда и только тогда, когда
Доказательство. Если пространство локально симмет-
симметрическое и уравнение B)ех = Ь разрешимо, то в силу предыду-
предыдущих предложений указанные выше тождества выполнены.
Пусть теперь тождества A) и B) выполнены. Мы должны
доказать, что тогда sx = (— \)х — локальная изометрия для любого
х?М. Заметим сначала, что при а — е тождество B) д,ает(ЦJ=Ц(е)С
(левая альтернативность). Для упрощения выкладок будем сей-
сейчас писать х-у = х(е)у, х-х = хг, La = Ua, I (х, у) = 1а(х, у) и т. д.
Тогда
К=1(Х,
(Х, у)'1
Мы использовали B) и левую альтернативность. Далее опять в
силу B) имеем
К = Lz}yo(LxoL(yqy. oLx)oL-}y = L-^oLix^y.g^oL^y.

320
ДОБАВЛЕНИЕ
Из B) имеем Lj1oL(a.c)JoLj1 = Lc«, откуда
B') La1oL4,oLa1 = L(a\^.
Используя это тождество, получаем
К — L{(x.y)\ tx(yq)]}* = L{t(x. у) <?>2-
Далее имеем (/ (х, у) qf = B)ер (x,y)q = B)eh* (x, (Lex) ~ly)q=he (x,
{Lex)~l У) B)г? = I (x, y)q*. (Мы использовали he(x, z)ote =
= LzeoL*oL% ote = L'oLZo txoL% = Llottol4oL% = teoЦоЦоLex =
= teohe{x, г).)Итак, l(x,y)oLWeqo[l(x, y)]-1 = Lt(x, y)ii)eq. Так как
в одуле уравнение B)ex = b разрешимо, то имеем теперь
C) l(x,y)oLpo[l(x, у)]-* = Л11х%у,р
для любых р из окрестности для е. Полученное тождество C)
вместе с A) влечет первое тождество редуктивности в силу пред-
предложения 2.5. В силу предложений 2.6 и 2.7 тождество A) и
второе тождество геоодулярности влекут второе тождество ре-
редуктивности, а A) и тождество геодвуодулярности влекут третье
тождество редуктивности. Итак, пространство редуктивно. Из тож-
тождества B) получаем далее L(a.cy(a~1-c-1) = LaoL^oLa (а'1-с1),
т. е. (a-cf-(a~1-c~1) = a(ci[a(a~1-c~1)]). Учтя левую моноальтер-
моноальтернативность редуктивного геоодулярного пространства, имеем
далее (а-с)а-(а-1-с-1) = а(с*-с-1) = а-с. Отсюда (а-с)[(а-с)х
Х(а~1-с~1)] = а-с (опять в силу левой моноальтернативности).
Но тогда (а-с) (сг1 •с~1) = е, т. е. (а-с)~1 = а~1-с~1. Мы получили
(—\)е(а(е)Ь) = (—\)еа(е)(—\)еЬ, т. е. se = (—\)е — локальный изо-
изоморфизм лупы точки е. Но тогда se — локальный изоморфизм
одуля (линейного двуодуля) точки е, так как еще seoteose --=
— (—1)е°*е°(—!)* = *« (а в случае линейного двуодуля se{x-\-y) —
= (—l)Ax+y)={—l)eX+(—\)ey)=sex+sey. Далее s,=L'oseo(LJ)-1
ее е
(по второму тождеству геоодулярности), sx = Lx'o(seoLxose)~1ose =
—Lxo(LeSeX)~1ose (так как se — (—1)е — локальный изоморфизм лупы
точки г), s^^LJo^L*.,)-105^ = ^0^05,, (так как в силу левой моноаль-
моноальтернативности Lex_1 =(Lx)~l). Окончательно sx = Lex2ose. Поэтому
Но sxe = Lex2see = х2, sxq = Le^seq = xi-q~1, так что получаем sxoLeq =
— Usxeosx, т. е. sx — локальный изоморфизм луп точек е и sxe.
Далее sxote = Lexlosxote = Lex2oteo(Lx2)~1osx = tx*osx (no второму
тождеству геоодулярности). Но x* — sxe, как мы уже знаем. Зна-
Значит, sxote = tSxeosx. Таким образом, sx — локальный изоморфизм
геоодулярной структуры, что и требовалось. (В случае геодвуо-
дулярной структуры необходимо дополнительное рассуждение
+ у)= /-•. (sez + sey) = Lex>sez
x2
= saz+sxy=
x*
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
321
sxe
откуда sx — локальный изоморфизм линейной геодву-
x
одулярной структуры.)
Предложение 2.20. Если в одуле ad разрешимо уравнение
2х — Ьх (Ь € М, 2 ?/<"), то s-тождество (La.cJ =LaoLcioLa эквива-
эквивалентно паре тождеств:
Lalva)=LaoLvoLa (левое тождество Бола,
и
(ab)-1 = a~1b~1 (автоморфное свойство обратимости, A IP).
Доказательство. В процессе доказательства предыдущего
предложения мы уже получили автоморфное свойство обрати-
обратимости из s-тождества. Применяя левые и правые части s-тожде-
ства к нейтралу е, имеем
(а) (асK = а(с3а).
Кроме того, при а — е s-тождество дает левую альтернативность
с(сх)=с2-х, что позволяет записать s-тождество в виде (асJх =
= а[са(ах)], что вместе с (а) дает [а(с2а)]х = а[с2 (ах)]. Заменив
с2 = 2с = у, получаем левое тождество Бола.
Наоборот, пусть левое тождество Бола и автоморфное свой-
свойство обратимости выполнены. Тогда из тождества Бола следует
{а.-1 (аа-г)]х=а~1 [а (а-гх)], т. е. а-1х=а~1(а(а~1х)), или х=а (а~1х).
Отсюда а = а(а~га) и а~1а — е, но тогда ау = а(а~1 (ау)) влечет
у = а~1(ау). Мы получили левое свойство обратимости (La)~1=La-'-
Так как нейтрал е одуля —двусторонняя единица, то снова из
тождества Бола имеем [а(еа)]х = а[е(ах)], т. е. а2х = а (ах) (левая
альтернативность). Далее из тождества Бола и автоморфного
свойства обратимости имеем [а (с*а)] (ас) = а [с2(а (ас)~1)] —
= а[с2(а(а-1-с-1))]=а(с2-с-1)=а-с, т. е.
(b) [а(с2а)](ас)-1 = ас.
Снова из левого тождества Бола имеем
(c) [a(ya)]a-i = ay.
Если ya = q, т. е. существует решение такого уравнения, то в
силу (с) y = a\[(aq)a~1] = a~1[(aq)-a-1], т. е. такое решение един-
единственно. В силу тождества Бола [a'1 [(aq) а~х]]а = a [(aq) ¦ (а~га)]=
=a~1(aq)~q, т. е. решение уравнения ya = q существует. Мы
показали, что в левой лупе Бола с единицей существует правое
деление. Вернувшись к (Ь), видим, что а(с2а) есть решение урав-
уравнения у (ас)~1 — ас. Но. и (асJ есть решение этого уравнения в
силу левой альтернативности. В силу единственности такого
решения (ас)ъ = a(cz-a) (а). Из (а) и левого тождества Бола следует
теперь а[с*(ах)]=[а(с2а)'\х= (асJ х = (ас) [(ас) х], что и требо-
требовалось.
Попутно мы получили такой алгебраический результат.

322
ДОБАВЛЕНИЕ
Предложение 2.21. Левая лупа Бола с единицей имеет
правое деление. При этом
Предложения 2.20 и 2.19 приводят к такому результату.
Предложение 2.22. Геоодулярное (линейное геодвуодулярное)
пространство, в котором разрешимо уравнение B)ех = Ь, локально
симметрическое тогда и только тогда, когда
A) he(b, c) = le(b, (L|)-lc),
B) Lea(euyie) a) == Lea о Ly о Lea (левое тождество Бола),
C) (—\)eLey(—l)e = L(_1)ej, (автоморфное свойство обрати-
обратимости).
Предложение 2.23. Ск-гладкое многообразие (k ^ 3) линей-
линейной связности локально симметрическое тогда и только тогда,
когда
A) he (b, c) = le(b, (Lb)~1c),
B) Leamw(e)a) = La ° Ly о L% (левое тождество Бола),
C) (—\)eLy(—\)e — L\-1)ey (автоморфное свойство обрати-
обратимости) .
Доказательство. Немедленно следует из предложе-
предложения 2.22 и связи симметрических пространств линейной связности
и симметрических геоодулярных структур.
Замечание 2.2. Локально симметрическое С*-гладкое мно-
многообразие линейной связности (k^A) локально редуктивно, и
потому \Т = 0, V^ = 0. Однако в этом случае еще Т = 0. Дей-
Действительно, (sx)^xTx =— Тх, а так как sx — локальная изометрия,
то, с другой стороны, (sx)*>xTx=Tx. Более тоге, С*-гладкое
многообразие линейной связности (k ^ 4) локально симметрическое
тогда и только тогда, когда Т — 0, V^ = 0, см. книгу Кобаяси
и Номидзу, том I, примечание 7, теорема 3.
Для дальнейшего полезно
Предложение 2.24. Если в левом одуле М разрешимо
уравнение B)е х = Ь, имеет место левая моноальтернативность и
автоморфное свойство обратимости, то эквивалентны тождества
A) l(a,b)oLy = .
и
B) La lya) = La о Ly о La (левое тождество Бола).
Доказательство. Если имеет место A), то
e = l(a h\e = l(a h\ (x-x~l\ = I (a h\x-f(n h\ r
дает [I (a, b)x]~1 = l(a, b) x'1 или, учтя, что лг1 =(— ])ех,
(—\)eol(a, b)o(—\)e = l(a, b).
{аЬ)у о 1(а, Ь) {А-свойство лупы одуля)
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
323
Далее, в силу автоморфного свойства обратимости
(-1), о / (а, Ь) о (-1)е = [(—1), о L~\ о (- l)J о [(_1)е о La о (-
(—!)« ° Lb° (— 1)е] =
b-i = Lab о
(последнее в силу левого свойства обратимости, которое следует
из моноальтернативности, Lx1=Lx-1), так что Labl°LaoLb=
=LaboLa1°Lb1. или Llb = La о L% о La. Учтя левую альтернатив-
альтернативность, L| = Lb2, которая следует из левой моноальтернативности,
имеемLab =LaoL^oLa, что в силу предложения 2.20 влечет левое
тождество Бола.
Наоборот, если левое тождество Бола выполнено, то оно вместе
с автоморфным свойством обратимости в силу предложения 2.20
влечет s-тождество L%b = Lao Lb* о La. Далее, используя s-тожде-
ство и рассуждая, как в начале доказательства предложения 2.19,
имеем
1(х, у)
, о Цх, у)'1
= ?,?„ о Lx о (Ly о /.,. о Ly) о [(LB)»]-»
= Lxy о Lx о L(y.<!J о (Ly*1 oLx х о Lxy) о LXy
= L
(Lx о L(yqJ о LJ) о
-1 о LXlJ
, y)
= Lxl ° L[X (От)]» о LXy = ?[(*#) \|> (yq)W =
Применив полученное к е, имеем l(x, y)q* = [l(x, y)q]2, откуда
/ (x, y) oL,io/ (x, y)'1 = Li (X, y)qt. Положив qz = г, получаем Л-свой-
ство лупы.
Замечание 2.3. Моноальтернативность в доказательстве
полностью не используется; все, что нужно здесь,— это левое
свойство обратимости и левая альтернативность.
Предложение 2.25. Одулярное (линейное двуодулярное)
пространство, в котором разрешимо уравнение B)ах = Ь, геооду-
геоодулярное (линейное геодвуодулярное) и симметрическое тогда и только
тогда, когда выполняются тождества
A) h*{b,c
(П\ Те а
C) ¦ (— 1 )е о L'y о (— 1 )е = L\- i)e у (автоморфное свойство обра-
обратимости),
D) LeteX о LueX — L(i+u)eX (левая моноальтернативность),
E) L%otb = tboLb (второе тождество геоодулярности)
(в случае двуодулярном еще
F) L% (x + y) = L%x + L%y (третье тождество геоодулярно-
е ь сти)).
Доказательство. Если пространство геоодулярное (ли-
(линейное геодвуодулярное) и симметрическое, то оно еще редуктивно
= L" о L?, о Lan (левое тождество Бола),

324
ДОБАВЛЕНИЕ
МЕТОДЫ НЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
325
в силу предложения 2.17. Но тогда тождества выполняются
в силу предложения 2.8, симметричности и предложения 2.24.
Наоборот, пусть тождества A)—E) (и F)) выполнены. Тогда'
тождества B) и C) влекут Л-свойство лупы любого одуля
(а) Iе (a, b)oLey = L% (а, щ и ° Iе (а, Ь)
в силу предложения 2.24. Но тогда по предложению 2.8 из A),
(а), D), E) (и F)) следует геоодулярность и редуктивность. Те-
Теперь по предложению 2.22 имеем симметричность пространства.
В гладком вещественном случае тождество E)![вытекает из
остальных (см. замечание перед предложением 2.9), поэтому имеем
Пре д л ожен ие12.26. Гладкая вещественная одулярная (ли-
(линейная двуодулярная) структура геоодулярная (геодвуодулярная)
и симметрическая тогда и только тогда, когда ha (b, с) =
= la {b, (L")~ic) и имеют место левое тождество Бола, свойство
автоморфной обратимости и левая моноальтернативность. (В дву-
одулярном случае дополнительно требуем
Ц ° <2"х = ?>b(Lax) ° LI — тождество геодвуодулярности.)
Предложение 2.27. С2' *~2> ^-гладкая линейная двуодуляр-
двуодулярная структура над R (k ^ 3) линейная геодвуодулярная и сим-
симметрическая тогда и только тогда, когда
A) h'(b,c) = l"(b, (Ц)~*с)
и имеют место:
B) левое тождество Бола,
C) свойство автоморфной обратимости,
D) левая моноальтернативность.
Доказательство. В силу предложения 2.25 из тождеств
A)—D) имеем геоодулярность нашей двуодулярной структуры.
В силу предложений 1.1 и 1.2, как и в доказательстве предло-
предложения 2.10, получаем тождество геодвуодулярности. Итак, в наших
предположениях тождество геодвуодулярности следует из A)—D).
Теперь результат следует из предложения 2.25.
Предложение 2.28. Одуль (линейный двуодуль) а?, в ко-
котором разрешимо уравнение 2х = х2 — Ь, тогда и только тогда
может служить оду мм (линейным двуодулем) некоторого геооду-
лярного (линейного геодвуодулярного) симметрического простран-
пространства, когда
(a) La(уа) = La о Ly о La (левое тождество Бола),
(b) (X'«/)~1 = x~1-y~I (автоморфное свойство обратимости),
(c) l(tex, uex) — id (левая моноальтернативность), ""''. VifeyJ
(d) t ф, с) о te — teo I (b, с) (второе А-свойство одуля), " т "' \
((е) / (Ь, с) о <gs = Si ф, с) ° IФ, с) (третье А-свойство двуодуля)).
Доказательство. Если одуль есть одуль точки некото-
некоторого геоодулярного (линейного геодвуодулярного) пространства,
то в силу предложения 2.24 равенства (а), (Ь), (с) выполнены,
(d) (и (е)) следует из редуктивности, так как тогда 1кф, с) — ло-
локальные изоморфизмы.
Наоборот, если (а) — (d) (и (е)) выполнены в одуле <Ж с еди-
единицей е, то, определив
(и J^ = L«oJ^p_>?o(L<)-*)
(что однозначно, так как нужно обеспечить редуктивность), мы
наделяем М структурой геоодулярного (линейного геодвуодуляр-
геодвуодулярного) симметрического пространства, как показывает непосредст-
непосредственная проверка.
Рассуждения, использованные при доказательстве предложе-
предложений 2.9, 2.10, 2.25, 2.26, 2.27, показывают, что в гладком веществен-
вещественном случае (d) следует из остальных тождеств, а в С1 *~2) *-глад-
ком вещественном линейном двуодулярном случае (k^s 3) (е) сле-
следует из остальных тождеств. Так получаем два предложения.
Предложение 2.29. Гладкий одуль (линейный двуодуль)
над R тогда и только тогда может служить одулем (линейным
двуодулем) некоторого гладкого геоодулярного (линейного геодву-
геодвуодулярного) симметрического пространства, когда в нем имеют
место левое тождество Бола, автоморфное свойство обратимости,
левая моноальтернативность (а в случае двуодуля еще третье
А-свойство: I (Ъ, с) о Jgx = Si (b, C) ° I (b, с)).
Предложение 2.30. С2- *~2> ^-гладкий линейный двуодуль
над R (k ^ 3) тогда и только тогда служит линейным двуодулем
некоторого Са> *~2' к-гладкого линейного геодвуодулярного симмет-
симметрического пространства, когда в нем выполняется левое тождество
Бола, автоморфное свойство обратимости и левая моноальтерна-
моноальтернативность.
§ 3. 5-пространства
Определение 3.1. Пусть еЛ — < М, •, \> — гладкая локаль-
локальная (глобальная) левая квазигруппа, удовлетворяющая тожде-
тождеству идемпотентности: х-х = х для любого х?М. Будем назы-
называть такую алгебру идемпотентной левой квазигрупповой струк-
структурой, ldLQ-структурой. Если дополнительно уравнение ау = у
имеет единственное решение в некоторой окрестности произволь-
произвольной точки а ? М, то такую алгебру назовем локальной (глобальной)

326
ДОБАВЛЕНИЕ
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
327
s-струкпгурой на многообразии М (s-многообразием или s-npo-
странством).
О п р е д е л е н ие 3.2. Пусть oS = <М, -,\,/>— гладкая ло-
локальная (глобальная) квазигруппа, удовлетворяющая тождеству
идемпотентности х-х = х для любого х?М. Будем ее называть
локальной (глобальной) идемпотентной квазигрупповой структу-
структурой, ldQ-структурой или правильной s-структурой.
Определение 3.3. IdLQ-структура (соотв. s-структура,
правильная s-структура) называется леводистрибутивной, IdLLDQ-
структурой (соотв. регулярной s-структурой, регулярной правиль-
правильной s-структурой), если выполняется тождество левой дистри-
дистрибутивности x-(y-z) = (x-y)-(x-z) (всюду, где левые и правые части
имеют смысл).
Введем левые и правые сдвиги IdLQ-структуры sx: у—>х-у,
гх: у—^у-х. В силу результатов § 1 sx — локальные диффеомор-
диффеоморфизмы; для локальной правильной s-структуры гх — тоже локаль-
локальные диффеоморфизмы, sx называют субсимметриями IdLQ-струк-
IdLQ-структуры (симметриями s-структуры, симметриями правильной s-струк-
s-структуры).
Определение 3.4. Многообразие М, на котором задана
s-структура и линейная связность V, называется s-многообразием
линейной связности, если любая симметрия sx есть локальный
изоморфизм связности V-
Аналогично определяется и риманово s-многообразие.
Имея в виду связь геоодулярных (геодвуодулярных) много-
многообразий и многообразий линейной связности, установленную в § 1,
введем следующее
Определение 3.5. Одулярная (двуодулярная, геоодуляр-
ная и т. д.) структура, которая в то же время есть s-структура,
причем такая, что все ее симметрии sx суть частичные (локальные)
изоморфизмы одулярной (двуодулярной, геоодулярной, и т. д.)
структуры, называется одулярной (двуодулярной, геоодулярной и
т д.) s-структурой.
Пример 3.1. В§2мы рассмотрели симметрическое простран-
пространство М с симметриями sx = (—1)^. Тождества Aа) и Aс) после
замечания 2.2 показывают, что <М, lsx}xeM> есть регулярная
s-структура. Так как sxa = (—\)ха = B)ах (см. B) там же), то
sxa — b имеет решение (локально) х = (\/2)аЬ. Это означает, что
симметрическая s-структура правильная. Наконец, так как по
определению симметрического пространства sx=(—\)х—локальные
изоморфизмы линейной связности, мы получаем правильное регу-
регулярное s-пространство линейной связности с дополнительным
условием sx о sx = id.
Замечание 3.1. Ковальский [3] ввел понятие каса-
касательно регулярной s-структуры как [такой регулярной s-струк-
s-структуры, для которой (sj*, х — id»/* обратимо. Это эквивалентно
понятию правильной регулярной структуры. Действительно, из
x(t)-x(t)=x(t), где 0<*<l, *@) = |, х@) = а, имеем, диффе-
дифференцируя, (Sx (,,)*, x(t)X{t) + (rxit))*, х {t)'x (t) = Х (t) И При t=0
l(sa)*. а+ (Га)*, а]|=1- В СИЛУ ПРОИЗВОЛЬНОСТИ ? ТОГДЭ (Га)*, а =
= id*, a — (sa)*, а- Касательная регулярность влечет тогда обра-
обратимость (ra)*, a, а значит, в силу теоремы об обратной функции
то, что га — локальный диффеоморфизм. Наоборот, если га — ло-
локальный в окрестности точки а диффеоморфизм, то (ra)*, a =
= id», а — (sj*. а обратимо.
Предложение 3.1. С"-гладкая локальная правильная регу-
регулярная s-структура <М, {s^}^SAt> имеет единственную линейную
связность V такую, что она редуктивна (\Т = 0, V^ = 0), тен-
тензорное поле Sx = (sx)x, х ковариантно постоянно (vS = 0), a sx яв-
являются локальными изоморфизмами связности V.
Будем называть такую связность канонической связностью
правильной регулярной s-структуры.
Условие С°°-гладкости взято ради простоты. Предложение верно
и при более слабых предположениях о гладкости.
Доказательство. Введем sr-i{x) os^ = P* (элементарные
трансвекции s-структуры). Далее, пусть
^ (n) (v)№V
Формула
X,
x@) b, x(O) Xb, , ?{M),
определяет желаемую линейную связность. Проверка того, что
это линейная связность, очевидна, см. аналогичное рассуждение
в доказательстве предложения 1.2. Проверим, что sv — локальный
изоморфизм для V- В силу регулярности имеем
*, b
V
>• х (t)

328
Поэтому
ДОБАВЛЕНИЕ
, к (sy). Y)]b = (syW (v(Syhx (*„)
= 0
Итак, (sJ,);1(V(Sy)i|ix(sJ,)»F)=7A'y, т.е.
физм связности V-
Проверим, что v5 = 0:
«* it))*' х
локальный изомор-
изоморНаконец, проверим редуктивность (уГ = 0, V/? = 0). Так как
sx — локальный изоморфизм связности V, то в локальных коор-
координатах
p.
или
(О 2/. р.
Аналогично
B)
р. я
,)X (S,)« Vm G-X = Vr G-,)'/t.
Дифференцируя ковариантно A) и учтя v5 = 0 и B), полу-
получаем
или
Так как sx—id = (sx).,x—id = (rx)t,x обратимо, то из C) следует
V«(^JJft = O, или, короче, \Т = 0. Аналогично получаем vR = 0.
Нам осталось показать единственность найденной связности.
С этой целью получим так называемую формулу Леджера.
Лемма 3.1. Пусть <М, {sx}xeM> — гладкая локальная пра-
правильная регулярная s-структура с канонической связностью V, а
V — другая связность, инвариантная при действии симметрии sx.
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
329
Тогда, если Sx = (sx)tt x, то
X,
Доказательство. Пусть ? = у —V; это, как известно,
тензор. Запишем EXY — ХХУ — V^. Так как у"и У инвариантны
при действии sx, то Е инвариантно относительно S: S(EXY) =
=ESXSY. Теперь мы легко проверяем, что
Y) = ?(/-S)-. x [S (S-'
— Es i(/-S)-^x]S (S~XY) =?(/_S)-tx-s
Так как \S = 0, то мы получаем, наконец
— EXY.
связности. Тогда
Y, что и доказы-
доказычто и нужно было доказать.
Пусть теперь V и V — две канонические
V5 = O и из формулы Леджера имеем 4XY =
вает единственность канонической связности.
Глобальная версия предложения 3.1 принадлежит, по-види-
по-видимому, Ковальскому [3].
Замечание 3.2. В первоначальном определении s-многооб-
разия линейной связности Леджер (см. Леджер и Обата [1])
предполагает, что s: х ? М —* sx € 31 (М) — гладкое отображение,
а затем устанавливает, что тогда I — S обратимо. Это озна-
означает, что s-многообразие локально правильное.
Если IdLQ-структура на многообразии М глобальна, т. е.
sx— глобальные диффеоморфизмы для М, то группа, порожден-
порожденная элементарными трансвекциями sx о sjj1, называется группой
трансвекций IdLQ-структуры и обозначается Тгап<М, •, \> или
короче Тгап(М).
Предложение 3.2. Пусть <М, {sx\xeM, V> — связное гло-
глобальное локально правильное s-многообразие линейной связности.
Тогда группа трансвекций действует на М транзитивно.
Доказательство. Пусть К.р — орбита точки р при дей-
действии группы К = Тгап(М). Взяв q€Kp, рассмотрим sxq = r4x.
Очевидно, rllx = (sxosg1)q^Kp для любого х?М. Так как в силу
правильности s-структуры гц — локальный диффеморфизм вблизи q,
то существует открытая окрестность Uq точки q такая, что
U V VK И К
у р р q q
rqUq = Vq — открытая окрестность точки q и VqczKp. Итак, К
б
р
й
rqUq = Vq — открытая окрестность точки q и VqczKp.
содержит любую свою точку q вместе с некоторой открытой
окрестностью, т.е. Кр — открытое множество. Но тогда объеди-
объединение всех остальных орбит —открытое множество и, значит,
Кр замкнуто. В силу связности М теперь имеем Кр = М.

330
ДОБАВЛЕНИЕ
Так как Tran(M) c8t(M, v). а группа аффинных преоб-
преобразований Ш (М, V) есть группа Ли (см. настоящую книгу т. 1,
гл. VI, § 1, теорема 1.5), то получаем
Следствие 3.1. Группа Ли всех аффинных преобразований
связного глобального локально правильного s-многообразия линейной
связности <М, {sx\xeM, V> транзитивна, т.е. вышеуказанное
многообразие линейной связности однородно.
Замечание 3.3. Анализ доказательства предложения 3.1
показывает, что мы сначала ввели систему луп правилом
x(p)y = Pbxy = rbxx-SbXy. Это дает алгебру с тернарной операцией.
Такая алгебра (Loop-пространство) в силу регулярности перво-
первоначальной s-структуры оказывается редуктивной, т.е. Рьх — ее
локальные изоморфизмы. Дальнейшее построение приводит к ка-
канонической редуктивной линейной связности на гладком локальном
редуктивном Loop-пространстве.
Получим теперь некоторые тождества для локальных луп (и
одулей) канонической связности регулярной локально правильной
s-структуры. Пусть Lx— левые сдвиги локальных луп естественной
геоодулярной структуры. Так как sa — локальные изоморфизмы,
то имеем
A) saoL°os? = LaSaX.
Далее, так как поле Sx = (sx)tt x ковариантно постоянно, то
B) LSosMLZr^s*.
Действительно, Lx = Ехр^от^оЕхр^, где тх—- параллельный пере-
перенос вдоль геодезической из а в х, a sa = Expao(sa),_ „oExpa1, буду-
будучи локальным аффинным изоморфизмом. Учтя, что T%°Sao(xx)-1 =
=SX, получаем B). Из A) и B) имеем
C) Lx°LsaX-t = sxos~\
Здесь мы использовали левую моноальтернативность лупы для
редуктивной связности, откуда, в частности, (Ь^Л = ?(se*)-i
=Lsa i-i. Под х~% следует понимать (—\)ах. Далее условие левой
дистрибутивности (регулярности) s-структуры дает sxosy = Stsxy)°sx,
откуда, учтя C), имеем
D) L$oLsaX-iOsaoL%oL?ay-iosa = LaSxy°Uaisxy)-i°saoLxoL"aX-iSa
или с учетом A)
E) L^oL^-ioLs^oL"^-, -=La{SxU)oL°a E^-0/^°^-.
Используя теперь B), имеем sxy — L%sa (Ц?)~гу, что вместе с E)
МЕТОДЫ НЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
331
дает
F)
Если теперь ввести упрощенные обозначения Lxz = xVz, s =s
и сделать замену sy = u, то получаем F) в виде ' "
G) xv О*-1? {uvisu-^z)}]
= [xv (sx'^u)] V [\sxv (s^x-^su)}-1 V {swV
Отметим, что это —обобщение s-тождества теории симметрических
пространств: если sx=x~1 = (—1)ах, то мы придем к s-тождеству
(конечно, использовав левую моноальтернативность).
Дополнительно мы имеем A) и B) в упрощенных обозначениях
(8) s(xvy) = sxvsy,
(9) sx (xv у) = ххsy
и тождество левой моноальтернативности
A0)
Заметим, что в силу гладкости структур тождество моноаль-
моноальтернативности достаточно требовать выполненным лишь для t
«6Z.
Обратно, если гладкий локальный одуль с нейтралом а удов-
удовлетворяет тождествам G), (8), A0), то, определив sx с помощью
(9), т.е. sx = LxosoL~1, и проводя выкладки в обратном порядке,
мы придем к тождеству левой дистрибутивности построенной
локально правильной s-структуры <Л1, {sx\XIzm>-
Мы получаем
Предложение 3.3. Локальный С°°-гладкий левый одуль
тогда и только тогда является локальным одулем канонической
линейной связности некоторой С°°-гладкой локально правильной
s-структуры, когда он удовлетворяет тождествам
A) xV [sx-1? {uV (su
= [xV (sx-lvu)\ V [{sxY (s^x^Vsu)-1 V {sxV }]
(s-тождество),
B) s (xXy) = sxvsy (тождество s-автоморфности),
C) (ta) V (uaXy) =[(t-j-u)a] \y (тождество левой моноальтер-
моноальтернативности) ,
a (s),,a—id*, a обратимо.
Если sx = x~x, то приходим к случаю симметрического про-
пространства и условие B) следует из условий A) и C), как уже

332
ДОБАВЛЕНИЕ
известно из теории для симметрического пространства (§ 2). Если
sa = id, то в гладком случае мы получаем sx = x~1. Действительно,
тогда [(s). ap = id,, о или S2=/, т.е. (S — /) (S + I) =0. Так как
S—/ обратимо, то 5+/=0 и s., a = — id., а. Но тогда sa(—\)ах—
EЕ1) Е (() (Е1))Е(Е1)
saExpe(р^) ра ((a). a(ра))ра(р)
(так как sa — локальный изоморфизм), так что sa~(—1)д,
ИЛИ SaX = X~1.
Определение 3.6. Регулярная гладкая локально пра-
правильная s-структура называется совершенной, если ее элементар-
элементарные трансвекции sxoSyl индуцируют параллельный перенос вдоль
геодезических линий ее канонической редуктивной связности.
ВЗЯВ S*oSa1
°(sxosa1)*, ao(x<r *)-1оЕхр;Л, в силу определения совершенной
s-структуры имеем далее (s^os^1),, a = Ts a-
Учтя, что sxa—rax, получаем
A) s^os-i = L^.
Это показывает, что совершенная s-структура имеет чисто ал-
алгебраическое определение. Заметим, что симметрическая струк-
структура (пространство) — совершенная s-структура, так как в этом
случае sxos^ = (—\)хо(~ 1)а = Цъах (см. § 2).
В случае совершенной s-структуры s-тождество предложения
3.3 упрощается. Действительно, как было показано при доказа-
доказательстве предложения 3.3, имеет место s^os^1 = L%oLaSaX-i, так
что для совершенной s-структуры
B) LaxoLtaX->=L°aX.
Тогда тождество левой дистрибутивности приводит вместо фор-
формулы F) в доказательстве предложения 3.3 к
C) L?a*oLW = L°a №а WET V]oLW-
Из B) имеем (в упрощенных обозначениях)
D) j:V tax Vz) = rx vz, rx = xv sx-1,
xV (sx~x Vz) =
C) имеет вид (с учетом того, что s — автоморфизм)
E) rxV (rsy vz) = {г (*v (sx~l Vsy))} V (rsx Vz).
Сделав замену sy = u, получаем
F) rxV (ru Vz) = {r (xv (sx-l vw))} V (rsx Vz).
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ 333
Далее, учтя D) и то, что rsx = srx, после замены rx = v имеем
G) uV (ru Vz) = [г (vVu)] v (su Vz).
Теперь положим z=-(sv)~1Vw, тогда получим
(8) uV (ruV (sv~l Yw)) = [r (u\v)] Vw.
Положив w = a (нейтралу лупы), имеем далее
(9) r(uV«) = i>V (ruysv'1),
что после подстановки в (8) и замены ru = q дает
A0) t»V (<7V (sv-^w)) = [uV (qVsv-1)] \w
(особое полуболово тождество, SHBP).
Имея SHB-тождество A0) и свойство s-автоморфности
s (х^у) = sxVsy (см. (8) в доказательстве предложения 3.3), мож-
можно вернуться к тождеству C). Действительно, определим
A1) rx =
(это было так в тождестве D)). Далее A0) при q = a (нейтралу
лупы) дает
A2) v\(sv~1\w) = [v\sv-1]Vw
(это тоже было в тождестве D)).A1) и A2) дают
A3) t»V (sv-1 Vw) = г (v) Va»,
так что мы получили D). Теперь при q = sv в A0) имеем
i>V [suv (sv'^w)] = vyw и далее, сократив на v слева,
(sv~1Vw) = w, что после замены sv = p дает
A4) pv (p~1VQy) = ^ (левое свойство обратимости).
Из A3) при w = sv имеем
A5) v =
Поэтому
A6) r
Далее в силу A0), A4) и A5)
A7) [i>V (ruvsv1)] V [s (Wu)~\ = uV (ru\ (sv-1? (sv\su)))
= t»V (ruVsu) =
В силу правого деления из A6) и A7) имеем
A8) г (vVu) = vV (ruysv-1),
т.е. мы восстановили (9). Положив в A0) q = ru и используя

334
ДОБАВЛЕНИЕ
A8), получаем
A9) W (ruV (sv-^w)) = [г (u\v)] Vw,
т.е. мы восстановили (8). Подстановка w = sVVz дает теперь с
учетом A4)
B0) uV(rwVz) = [r(uVw)]V(suV2),
что совпадает с G). Замена rx = v и A3) приводят B0) к виду
B1) rx\ (ruyz) = {г (xV (sx-^u))} V (rsx\z),
что совпадает с F). Производя замену sy = u и учтя, что s—ав-
s—автоморфизм, получаем E), что совпадает с C).
Мы получаем
Предложение 3.4. Локальный С"'-гладкий левый одуль тог-
тогда и только тогда является локальным одулем канонической ли-
линейной связности некоторой С°°-гладкой совершенной s-структуры,
когда он удовлетворяет тождествам
A) i>v (q\ (sv~1\w)) = [vV (gVsu)] уда (особое полуболово тож-
тождество, SHB-тождество),
B) s (х\у) = sxysy (тождество s-автоморфности),
C) (ta) V (uavy) = [(t + u)a] Vy (тождество левой моноальтер-
моноальтернативности),
a s#%a — td*,a обратимо.
Относительно совершенных s-структур см. Сбитнева [1].
§ 4. Тройные алгебры Ли
Определение 4.1. Тройная алгебра Ли есть антикоммута-
антикоммутативная алгебра А (над произвольным полем, или, более общо,
коммутативно-ассоциативным унитарным кольцом) с умножением
(X, Y) € Лх Ан->XY ? А, наделенная трилинейной операцией
(X, Y, Z)?AxAxA>—»[X, Y, Z] ? А, удовлетворяющей следую-
следующим тождествам:
D.1.1) [X, X, Y] = 0,
D.1.2) ®{[Х, Y, Z] + (X-Y)-Z} = 0,
D.1.3) ®{[XY,Z, ?/]} = 0,
D.1.4) [X, Y, U V] = [X, Y, U]V+U[X, Y, V],
D.1.5) [U,V,[X,Y,Z]] = [[U, V, X], Y, Z] + [X,[U, V, Y], Z]
+ [X,Y,[U,V,Z]].
Символ @ в D.1.2) и D.1.3) означает циклическую сумму по
X, Y, Z?A.
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ, АЛГЕБРЫ
335
Замечание 4.1. Из определения ясно, что антикоммутатив-
антикоммутативная алгебра, указанная там, сводится к алгебре Ли, если три-
трилинейная операция тривиальна, т.е. [X, Y, Z] = 0.
Если же антикоммутативная алгебра тривиальна, т.е. XY = 0
(X, Y? А), то мы получаем тройную систему Ли.
Под гомоморфизмом и изоморфизмом тройных алгебр Ли мы
будем понимать отображение, сохраняющее бинарную и тернар-
тернарную операции этих алгебр.
В дальнейшем рассмотрим лишь конечномерные вещественные
тройные алгебры Ли.
Пусть А—тройная алгебра Ли. Для X, Y^A обозначим че-
через D(X, Y) эндоморфизм для А, определяемый так:
D.2) D(X,Y)Z = [X,Y,Z] (X,Y,Z?A).
Назовем его внутренним дифференцированием для А. Из
D.1.4) и D.1.5) следует, что внутреннее „дифференцирование
для А есть дифференцирование как бинарной, так и тернарной
операции алгебры А. Пусть R0 = D(A, А) обозначает алгебру
Ли эндоморфизмов для А, порожденную всеми внутренними
дифференцированиями. Формула
D. 3) [D (U, V), D (X, Y)] = D(D(U, V) X, Y) + D(X, D(U,V) Y)
показывает, что Ro совпадает с линейной оболочкой множества
всех внутренних дифференцирований.
Положим Ш.о = A-h Ro (внешняя прямая сумма) и определим
новую скобочную операцию в Жо правилами:
D.4.1) [X, Y] = XY + D(X, Y), X, Y?A,
D.4.2) [D, Х] = — [X, D] = D(X) (D?R0,
D.4.3) [В, D] = BD-DB (B,D?R0).
Теорема 4.1. Пусть А —тройная алгебра Ли, а
R0—D(A, A)—алгебра Ли всех внутренних дифференцирований
для А. Тогда 31о = Л + ^о (внешняя прямая сумма) есть алгебра
Ли относительно скобочных операций D.4.1) — D.4.3), a Ro —
подалгебра Ли в §10.
Доказательство. Скобка в D.4.1) — D.4.3) билинейна
по определению, а [X, Х] = 0 следует из D.1.1). Тождества
Якоби следуют из D.1.2) —D.1.5). То, что Яо — подалгебра в
810, очевидно из D.3) и D.4.3).
Определение 4.2. Алгебра Ли 210 = Л + /?0, полученная
в изложенной выше теореме, называется стандартной обертыва-
обертывающей алгеброй Ли для тройной алгебры Ли А. Более общо
называется обертывающей алгеброй Ли для А, если

336
ДОБАВЛЕНИЕ
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТЯЬНОЙ' АЛГЕБРЫ
R есть алгебра Ли, порожденная дифференцированиями алгебры
А, и если R содержит Ro; скобочные операции в Ш. определя-
определяются при этом по формулам D.4).
Теорема 4.2. Пусть (М, V)—локально редуктивное про-
пространство с тензором кручения Т и тензором кривизны R. Тог-
Тогда в каждой точке е?М касательное пространство А?Те(М)
есть тройная алгебра Ли относительно операций, определенных
так:
D.5) X-Y = — Te(X,Y); [X,Y,Z] = — R.(X,Y)Z
(X,Y,Z?A).
Доказательство. Ясно из D.5), что А — антикоммута-
антикоммутативная алгебра. D.1.1) следует из Re(X, X) = 0. D.1.2) и D.1.3)
извлекаются из первого и второго тождеств Бианки (см. насто-
настоящую книгу, т. I, гл. III, теорема 5.3) с использованием ре-
дуктивности, уТ = 0, \R=0. D.1.4) и D.1.5) немедленно сле-
следуют из приводимого ниже тождества после подстановки туда
Т и R вместо Q:
,..., R(X, Y)XC,..., Xk),
337
где X, Y, Xlt..., Xk — произвольные векторные поля, a Q — A, k)-
тензорное поле такое, что vQ=0.
Предложение 4.3. Пусть (УИ, V) — связное локально реду-
редуктивное пространство линейной связности. Для любых двух то-
точек е и е' тройные алгебры Ли Те(М) и 7> (-М) из теоремы 4.2
изоморфны.
Доказательство. Пусть у — кусочно дифференцируемая
кривая в М, соединяющая е с е'. Параллельный перенос т век-
векторов вдоль у есть линейный изоморфизм из Те(М) на Те- (М)
и он сохраняет тензоры кривизны и кручения, так как они па-
параллельны (ковариантно постоянны) на М. Отсюда
т: Те (М) —> Те' (М) есть изоморфизм тройных алгебр Ли в точках
е и е' в силу D.5).
Предложение 4.4. Пусть (М, V)—связное локально ре-
редуктивное пространство, а А = Те(М)—тройная алгебра Ли
теоремы 4.2 в точке е?М. Тогда алгебра внутренних дифферен-
дифференцирований /?„ = ?> (Л, А) есть алгебра голономии для М, т.е.
алгебра Ли группы голономии We.
Доказательство. Так как тензор кривизны R паралле-
параллелен на М, то
xoRe(X,
, x(Y))x(Z) (X,Y,
имеет место для любой кусочно дифференцируемой кривой из
е в произвольную точку х из М, где т обозначает параллельный
перенос вдоль такой кривой. Тогда по теореме 9.1 (см. настоя-
щую книгу, т. I, гл. III) алгебра голономии ф порождается
множеством \Re (X, Y); X, Y ?А\ линейных эндоморфизмов
для А. По определению тернарной операции для А в формуле
D.5), Re(X, Y) = D(X, Y) для любых X, Y ? А. Отсюда мы
получаем tQ = R0.
Предложение 4.6. Пусть (Af,V) и (ЛГ, У') —локально
редуктивные пространства, а <{/, ц> и <[/', ц''> — локальные ле-
левые лупы точек е?М и е' ?М' соответствующих естественных
редуктивных левых геоодулярных структур. Лупы <?/, ц,> и < U', ц/>
локально изоморфны тогда и только тогда, когда тройные алгебры
Ли А = Те(М) и А' = Те-{М') изоморфны.
Доказательство. Допустим, что F: А —» А' — изоморфизм
тройных алгебр Ли. Тогда по теореме 7.4 (см. настоящую кни-
книгу, т. I, гл. VI) существует локальный аффинный диффеомор-
диффеоморфизм ф окрестности V точки е на окрестность V точки е' такой,
что q>xte — F. Поэтому ф отображает параллельный перенос ге-
геодезических вдоль геодезических в V в параллельный перенос
геодезических вдоль геодезических в V. Поэтому для нормаль-
нормальной окрестности W точки е, содержащейся в U П V, сужение \i
на W дает локальный изоморфизм локальной лупы <W, (а|^>
в точке е и соответствующей ей лупы <ф (W), фо^!^ в точ-
точке е'.
Обратно, если задан локальный изоморфизм ф: W —+• W,
W cz U, W cz U', локальных луп <?/, ц> и <?/', ц/>, то ф пе-
переводит каждую геодезическую, проходящую через точку е, в
геодезическую, проходящую через точку е , так как локальный
изоморфизм геоодулярных многообразий влечет локальный изо-
изоморфизм соответствующих линейных связностей (см. § 1). Далее
Ф о 1_ех о ф-1 = L%x, где Lex и ЦрХ —левые сдвиги локальных луп
в е и е'. Но тогда в силу результатов § 1 имеем (ф)*,дгот1о(ф~1);,;>1г' =
= tIp*. где %% — параллельный перенос вдоль геодезической из е
в х, а т^х — параллельный перенос вдоль геодезической из е' в
(рх. Теперь по предложениям 1.1, 1.2, учтя найденную там связь
V с х%, имеем
Vci.jo (v*Y) = ф* (VXY)
для любых векторных полей X, Y на W. Поэтому ф есть ло-
локальный аффинный изоморфизм и ф*>(?: Те (М) —«- Те. (М) сохра-
сохраняет кривизну и кручение, но тогда ф*^ — изоморфизм тройных
алгебр Ли.
Замечание 4.2. В случае однородного редуктивного про-
пространства G/H линейной связности (см. настоящую книгу, т. II,
гл. X) стандартная обертывающая алгебра Ли тройной алгебры
Ли изоморфна, как легко видеть, алгебре Ли группы G, a RQ
при таком изоморфизме изоморфна алгебре Ли группы линей-
линейной изотропии Н.

338
ДОБАВЛЕНИЕ
МЕТОДЫ НЕАССОЦИАТИВНОЙ» АЛГЕБРЫ
339
БИБЛИОГРАФИЯ
Знаком + помечены руководства и монографии общего характера.
А к и в и с М. А.
[1] О геодезических лупах и локальных тройных системах пространства
аффинной связносчи.—Сиб. матем. ж., 1978, 19, № 2, с. 243—253.
Белоусов В. Д.
+ [1] Основы теории квазигрупп и луп.—М.: Наука, 1967.
Бляшке (Blaschke W.)
+ [1] Введение в геометрию тканей.—М.: Физматгиз, 1959.
Брук (Bruck R. Н.)
+ [1] Survey of Binary Systems. — 3 ed. — Berlin: Springer, 1971.
Вегжиновский (Wegrzynowski S.)
fl] Representation of generalized affine symmetric spaces by s-structures.—
Demonstratio math., 1976, 9, № 4.
Ведерников В. И.
[1] Об одном специальном классе однородных пространств.—Известия высш.
учебн. заведений, математика, 1972, № 12, с. 17—22.
Грэхем и Леджер (Graham P. J., Ledger A. J.)
[1] Sur un classe de s-varietes riemanniennes ou affines.—C. r. Acad. Sci.
Paris, 1968, 267, № 2, p. A 105—A 107.
[2] s-regular manifolds.—In: Differential geometry — in honour of Kentaro
Jano, Tokyo, 1972, p. 133—144.
К а р а н д a (Karanda H. M.)
[1] О геометрии симметрических луп: Кандидатская диссертация.—М.:
Университет дружбы народов, 1972.
К и к к а в a (Kikkawa M.)
. [1] On local loops in affine manifolds.—J. Sci. Hiroshima Univ., ser.
A-l, 1964, 28, p. 199—207.
[2] On locally Reductive Spaces and Tangent Algebras,—Mem. Fac. Lit.
Sci. Shimane Univ. Nat. Sci., 1972, 5, p. 1 — 13.
[3] On some quasigroups of algebraic models of symmetric spaces.—Mem.
Fac. Lit. Sci. Shimane Univ. Nat. Sci., 1973, 6, p. 9—13;
П.—Mem. Fac. Lit. Sci. Shimane Univ. Nat. Sci., 1974, 7, p. 29—35.
[4] Geometry of Homogeneous Lie Loops.—Hiroshima Math. J., 1975, 5,
p. 141—179.
[5] A Note on Subloops of a Homogeneous Lie Loop and Subsystems of
its Lie Triple Algebra.—Hiroshima Math. J., 1975, 5, p. 439—446.
Ковальский (Kowalski O.)
[1] Riemannian Manifolds with General Symmetries.—Math. Z., 1974,
136, p. 137—150.
[2] Classification of generalized symmetric Riemannian spaces of dimen-
dimension < 5,—Rozprawy С S. A. V. Academia Praha, 1975, 85, № 8.
[3] Smooth and affine s-manifolds.—Periodica Mattiemat ica Hungarica,
1977, 8, № 3—4, p. 299—311.
[[4]fGeneralized Affine Symmetric Spaces.—Math. Nachr., 1977, 80, p.
205—208.
К о н П. (Cohn P. M.)
+ [1] Универсальная алгебра.—М.: Мир, 1968.
К у р о ш А. Г.
+ [1] Лекция по общей алгебре.—М.: Наука, 1973.
Леджер (Ledger A. J.)
[1] Espaces de Riemann symmetriques generalises.—С. г, Acad. Sci. Pa-
Paris, 1967, 264, № 22, p. A947—A948.
Леджер и Обата (Ledger A. J., Obata M.)
[1] Affine and Riemannian s-manifolds.—J. Different. Geom., 1968, 2,
№ 4, p. 451—459.
573
Л ус (Loos О.)
[1] Symmetric spaces, v. 1—2—N. Y.: Benjamin, 1969.
Мальцев А. И.
[1] Аналитические лупы.—Матем. сб., 1955, 36 G8), № 3, с. 569-
+ [2] Алгебраические системы.—М.: Наука, 1970.
Сабинин Л. В.
[1] К эквивалентности категорий луп и однородных пространств ДАН
СССР, 1972, 205, № з, с. 533—536.
[2] О геометрии луп.—Матем. заметки, 1972, 12, № 5, с. 605—616.
[3] Одули как новый подход к геометрии со связностью. —ДАН СССР
1977, 233, № 5, с. 800—803.
Сбитнева Л. В.
[1] Совершенные s-структуры. — В кн.: Дифференциальная геометрия мно-
многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 1979, 10, с.
97—103.
Феденко А. С.
[1] Регулярные пространства с симметриями.—Матем. заметки, 1973, 14,
№ 1, с. 113—120.
Ц а г а с (Tsagas G.)
[1] Almost complex and complex structures on s-manifolds.—In: Complex
analysis and appl. lect. int. semin. course, Trieste, 21 May, 8, August
1975, 3. Wienne, 1976, p. 227—236.
Цагас и Леджер (Tsagas G., Ledger A. J.)
[1] Riemannian s-manifolds. —J. Different. Geom., 1Э77, 12, p. 333—343.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
.... *»)•
, г")
в С")
Мы суммируем только те основные обозначения, которые наиболее часто
используются в книге.
1. 2i> 2/> /> ••¦• и т- Д- употребляете! для суммирования по i, или i,
j,. . ., где множество индексов, вообще говоря, ясно из контекста.
2. R и С обозначают поля вещественных и комплексных чисел соответст-
соответственно.
R"—векторное пространство «-наборов вещественных чисел (лс1,
С™—векторное пространство «-наборов комплексных чисел Jz1, .
(х, у)—стандартное скалярное произведение "^ix'y1 в R«
GL(n; R)—общая линейная группа, действующая на R"
gl (я; R) — алгебра Ли для GL(n; R)
GL(n; С)—общая линейная группа, действующая на С
gl (я; С)—алгебра Ли для GL (я; С)
О (п) — ортогональная группа
о (я) — алгебра Ли для О (я)
U (я)—унитарная группа
U («) — алгебра Ли для U («)
Т? (V)—тензорное пространство типа (г, s) над векторным пространством V
Т(V)—тензорная алгебра над V
Ап—пространство R", рассматриваемое как аффинное пространство
А (я; R) — группа аффинных преобразований в Ап
а («; R) — алгебра Ли для А («; R).
3. М обозначает я-мерное дифференцируемое многообразие.
Тх (М)—касательное пространство к М в точке х
§ (М) — алгебра дифференцируемых функций на М
Ж(М) — алгебра Ли векторных полей на М
% (М)—алгебра тензорных полей на М
35 (М)—алгебра дифференциальных форм на М
Т (М)—касательное расслоение для М
L(M) — расслоение линейных реперов для М
О (М.)—расслоение ортонормальных реперов для М (относительно данной
римановой метрики)
в = (в')—каноническая 1-форма на L (М) или О (М)
А (М) — расслоение аффинных реперов для М
Ts (М)—тензорное расслоение типа (г, s) для М
/?—дифференциал дифференцируемого отображения /
/ <й—прообраз дифференциальной формы ш при действии /
х% — касательный вектор кривой х\, (ХК1, в точке х%
Lx—дифференцирование Ли по отношению к векторному полю X.
4. Для группы Ли О G0 обозначает компоненту единицы,
Ли для G
La—левый сдвиг элементом a?G
Ra—правый сдвиг элементом a?G
a q — алгебру
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
341
ad a — внутренний автоморфизм, порожденный элементом a?G, а также
присоединенное представление в g
Р (М, G)—главное расслоение над М со структурной группой G
А*—фундаментальное векторное поле, соответствующее А*?$
со = (со^) —форма связности
Q = (QJ-)—форма кривизны
Е(М, F, G, Р) — расслоение, ассоциированное с Р (М, G), со слоем F.
5. Для аффинной (линейной) связности Г на М
6 = F;-)—форма кручения
Г/ft — символы Кристофеля
Ч^х)—линейная группа голономии в х?М
Ф (х) — аффинная группа голономин в х?М
Vx—ковариантное дифференцирование по отношению к (вектору) вектор-
векторному полю X
R—тензорное поле кривизны (с компонентами /?/&/)
Т—тензорное поле кручения (с компонентами T)k)
S—тензорное поле Риччи (с компонентами Яу)
Щ (М) — группа всех аффинных преобразований
а(М) — алгебра Ли всех инфинитезнмальных аффинных преобразований
3 (М) — группа всех нзометрий
t (М)—алгебра Ли всех инфинитезимальных изометрнй.

262
ПРИЛОЖЕНИЯ
(b) Если, сверх того, кривая кусочно класса С, то каждое
М-лассо в произведении может быть выбрано в виде $~1-а-\ь,
где [л—кусочно Ск-кривая, а о — С-кривая.
Доказательство, (а) Пусть x=x(t), 0<^<1, так,.что
х = х@) = хA). Пусть/ — гомотопия /x/—>-M такая, что f(t, 0) =
= x(t), f(t, l)=x, /@, s) = /(l, s)=jc для любых t и s из /.
Мы разделим /х/ на тг- равных квадратов так, что образ каж-
каждого малого квадрата относительно / лежит в некотором откры-
открытом множестве покрытия Ц. Для каждой пары целых чисел
(*> У). 1 =О\ ]<*гп, пусть k(i, /) —замкнутая кривая в квад-
квадрате 1x1, состоящая из линейных сегментов, соединяющих точки
решетки разбиения в следующем порядке:
@, 0)-*@, l/m)-+((i-l)/m, j/m)
(( l) j/m)
>@, 0).
Геометрически X(i, j) выглядит, как лассо. Пусть т(/, /) есть
образ X(i, /) при отображении /. Тогда т эквивалентна произ-
произведению Ц-лассо
т(т,
1).
(Ь) В силу предыдущей леммы можем считать, что гомотопи-
гомотопическое отображение / кусочно класса С*. Выбирая большее т,
если необходимо, мы можем считать, что / есть класса С* на
каждом из т%- малых квадратов. Тогда каждое лассо имеет тре-
требуемое свойство. ?
Лемма о факторизации взята нами у Лихнеровича [2],
с. 51 (с. 47 русского перевода).
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Связности и группы голономии
1. Хотя дифференциальная геометрия поверхностей в 3-мерном
евклидовом пространстве восходит к Гауссу, понятие риманова
пространства возникло в диссертации Римана [1] в 1854 г. Сим-
Символы Кристофеля были введены Кристофелем [1] в 1869 г.
Тензорное исчисление, основанное и развитое в серии работ
Риччи, было систематически изложено Леви-Чивита и Риччи
[1] в 1901 г. Ковариантному дифференцированию, которое было
формально введено в этом тензорном исчислении, Леви-Чивита
[1] дал геометрическую интерпретацию, он ввел в 1917 г. по-
понятие параллельного переноса на поверхностях. Это открытие при-
привело Г. В ей л я [1], [2] и Э. Карта на [1], [2], [4], [5], [8], [9]
к введению аффинной, проективной и конформной связностей.
Хотя подход Картана один из наиболее естественных и обна-
обнаруживает наилучшим образом геометрическую природу связ-
связностей, лишь в 1950 г. Эресман [2] прояснил общее понятие
связностей с точки зрения современной математики. За его ра-
работой последовали работы Черна [1], [2], Амброуза и
Зингера [1], Кобаяси [6], Номидзу [7], Лихнеро-
Лихнеровича [2] и др.
Эресман [2] впервые определил связность в произвольном
расслоении как поле горизонтальных подпространств и доказал
существование связностей в любом расслоении. Он ввел также
форму связности ол и определил форму кривизны Q при помощи
структурного уравнения. Определение Я, данное в этой книге,
принадлежит Амброузу и Зингеру [1], которые также по-
получили структурное уравнение (теорема 5.2 главы II). Черн [1],
[2] определил связность при помощи множества дифференциаль-
дифференциальных форм (йа на Ua со значениями в алгебре Ли структурной
группы, где \Ua\—открытое покрытие базисного многообразия
(см. предложение 1.4 главы II).
Эресман [2] также определил понятие картановой связ-
связности, примеры которой дают аффинная, проективная и конформ-
конформная [связности. См. также Коба'яси [6] и Т^ак'идзава [1].
Мы дали в тексте детальный обзор связи между линейной и
аффинной связностью.

264
ПРИМЕЧАНИЯ
2. Понятие группы голономий принадлежит Э. Картану
[1], [6]. То, что группа голономий есть группа Ли, принималось
без доказательства даже для римановой связности до тех пор,
пока Борель и Лихнерович [1] не доказали это точно.
Теорема о голономий (теоремаТ8.1 главы II) Э. Картана была
впервые строго доказана Амброузом и Зингером [1].
Номидзу [7] и Кобаяси [6] упростили доказательство, по-
получив сначала теорему редукции (теорема 7.1 главы II), которая
в существенном принадлежит Картану и Эресману. К о б'а я"с и [6]
показал, что теорема 8.1 существенно эквивалентна следующему.
Для главного расслоения Р (М, G) рассмотрим главное расслое-
расслоение Т (Р) над Т (М) с группой Т (G), где Т ( ) обозначает каса-
касательное расслоение. Для любой связности Г в Р существует
естественно индуцированная связность Т (Г) в Т (Р), группа
голономий которой есть Т(Ф), где Ф — группа голономий для Г.
Результат Хано и Одзеки [1] и Номидзу [5] (тео-
(теорема 8.2 главы II) о том, что структурная группа G для Р (М, G)
может быть редуцирована к подгруппе И тогда и только тогда,
когда существует связность в Р, группа голономий которой
есть в точности Н, означает, что группа голономий сама по
себе не дает информации, кроме той, которую можно получить
топологическими методами. Однако в комбинации с другими
условиями (такими, как «линейная связность без" кручения»)
группа голономий представляет значительный интерес.
3. Ч е р н [3] определил понятие G-структуры на дифферен-
дифференцируемом многообразии М, где G есть некоторая подгруппа"Ли
в GL(n; R) с n~dimM. В нашей терминологии, G-сгпрукгпура
на М есть редукция расслоения линейных реперов L (M)fK под-
подгруппе G. Для G = 0 (я) G-структура есть не что иное, как ри-
манова метрика, заданная на М (см. пример [5.7 главы I).
Относительно общей теории G-структур см. Черн [3], Б е р-
нар [1] и Фудзимото [1]. Мы упомянем некоторые другие
специальные случаи.
Вей ль [3] и Э. К а рта н [31 доказали следующее. Для
замкнутой подгруппы GJm.3 GL(n; R), n~^s3, следующие два усло-
условия эквивалентны:
A) GTecmb группа всех матриц, которые сохраняют некото-
некоторую квадратичную форму любой сигнатуры;
B) для каждого п-мерного многообразия М и для каждого
редуцированного под расслоения Р в L (М) с группой G 'имеется
единственная связность без кручения в Р.
Импликация A)—*-B) ясна из теоремы 2.2 главы IV (в ко-
которой g может быть неопределенной римановой метрикой); дей-
действительно, если G — такая группа, то любая О-структурагна М
соответствует некоторой неопределенной римановой метрике на М
при помощи конструкции, аналогичной использованной в при-
ПРИМЁЧАНИЯ
265
мере 5.7 главы I. Импликация B)—>-A) нетривиальна. См. также
Клин генберг [1].
Пусть G —подгруппа в GL(n; R), состоящая из всех матриц,
которые оставляют r-мерное подпространство Rr из R" инва-
инвариантным. G-структура на n-мерном многообразии М есть тогда
не что иное, как r-мерное распределение. У о к е р [3] доказал,
что г-мерное распределение параллельно относительно некоторой
линейной связности без кручения тогда и только тогда, когда
распределение интегрируемо. См. также Уилмор [1], [2].
Пусть G есть GL(n; С), рассматриваемая как подгруппа
в GL Bn; R) естественным образом. G-структура на 2я-мерном
многообразии М тогда есть не что иное, как почти комплексная
структура на М. Эта структура будет рассмотрена во втором томе.
4. Понятия локальной и инфинитезимальной групп голоно-
голономий были систематически введены Нейенхёйсом [2]. Резуль-
Результаты в § 10 главы II были получены им в случае линейной
связности (§ 9 главы III). Результаты Нейенхёйса были обобщены
Одзеки [1] на общий случай, что представлено в § 10 главы II.
См. также Нейенхёйс [3]. Шевалле также получил следст-
следствие 10.7 главьцП в случае линейной связности (неопубликовано),
и его результат* был использован Номидзу [2], который рас-
рассмотрел инвариантные линейные связности на однородных про-
пространствах. Его результаты были обобщены Ваном [1], что
изложено в § 11 главы II.
5. Используя связность, можно определить характеристиче-
характеристические классы любого главного расслоения. Это будет рассмотрено
во втором томе; см. Черн [2], А. Картан [2], [3]. Мы здесь
воспроизведем результат Нарасимхана и Раманана [1],
который тесно связан с понятием универсального расслоения
(см. Стинрод [1], с. 101).
Теорема. Если дана компактная группа Ли G и положи-
положительное число п, то существует главное расслоение Е (N, G) и
связность Го на Е такая, что любая связность Г в любом главном
расслоении Р(М, G), dimM^n, может быть получена как про-
прообраз Г'^относительно некоторого гомоморфизма из Р в Е (т. е.
о = /*<о0, где <о^и <о9 — формы связности для Г и Г, соответст-
соответственно, см. предложение 6.2 главы II).
Связность Го называется поэтому универсальной связностью
для^в (и для п). Например, каноническая связность в многооб-
многообразии Штифеля со структурной группой 0{k) универсальна
для O(k). Относительно канонических связностей в многообра-
многообразиях Штифеля см. также Кобаяси [5], который дал интерпре-
интерпретацию римановых связностей многообразий, вложенных в евкли-
евклидовы пространства (см. том II).
•: 6. Группы голономий линейных и римановых связностей были
детально изучены Б ер же [1]. После тщательного изучения

266
ПРИМЕЧАНИЯ
тензора кривизны он получил список групп, которые могут слу-
служить суженными группами голономии неприводимых римановых,
пространств с непараллельным тензором кривизны. Его список
совпадает со списком связных ортогональных групп, действую-
действующих транзитивно на сферах. Саймоне [1] доказал [прямым
путем, что линейная группа голономии неприводимого риманова
многообразия с непараллельным тензором кривизны транзитивна
на единичной сфере касательного пространства. См. примеча-
примечание 7 (симметрические пространства).
7. Локальное разложение риманова многообразия (предло-
(предложение 5.2 главы IV) было рассмотрено различными авторами.
Глобальное разложение (теорема 6.2 главы IV) было доказано
де Рамом [1]; та же проблема была также рассмотрена
Уокером [2]. Более общая ситуация по сравнению с прямым
разложением была изучена Рейнхартом [1], Нагано [2]
и Херманом [1].
Следует отметить, что даже локальное разложение есть су-
существенно метрическое свойство. Одзеки привел пример линей-
линейной связности без кручения со следующим свойством. Линейная
группа голономии вполне приводима (т. е. касательное про-
пространство есть прямая сумма инвариантных неприводимых под-
подпространств), но линейная связность не есть прямое произведе-
произведение даже локально. Его пример таков. На R2 с координатами
(хх, ха) возьмем линейную связность, заданную символами Кри-
стофеля Г^лс1, х*)=х*, а остальные Fjft = O. Группа голономии
{|!h }
8. Суженная линейная группа голономии произвольного ри-
риманова многообразия есть замкнутая подгруппа ортогональной
группы. Хано и Одзеки [1] дали пример линейной связ-
связности без кручения, суженная линейная группа голономии ко-
которой не замкнута в общей линейной группе. Линейная группа
голономии произвольного риманова многообразия, вообще го-
говоря, не компактна, как показывает пример 4.3 главы V. Для
компактного плоского риманова многообразия она компактна
(теорема 4.2 главы V). Вольф [6] доказал, что это верно и
для компактного локально симметрического риманова много-
многообразия.
2. Полные аффинные и римановы связности
Хопф и Ринов [1] доказали теорему 4.1 (эквивалентность
A), B) и C)), теорему 4.2 и теорему 4.4 главы IV. Тео-
Теорема 4.2 восходит к Гильберту [1]; его доказательство можно
также найти в книге Э. Картана [8]. В § 4 главы IV мы следо-
ПРИМЕЧАНИЯ
267
вали приложению к работе де Рама [1]. Условие D) теоремы 4.1
главы IV было дано Эресманом [ 1 ], [2] в качестве определения
полноты.
Для полной аффинной связности в общем случае неверно,
что каждая пара точек может быть соединена геодезической.
Чтобы построить контрпример, рассмотрим аффинную связность
на связной группе Ли G такую, что геодезические, исходящие
из единицы, суть в точности 1-параметрические группы в G.
Такая связность будет изучена во втором томе. Для наших
теперешних целей достаточно рассмотреть аффинную связность,
для которой каждое левоинвариантное поле параллельно; су-
существование и единственность такой связности легко усмотреть.
Тогда вопрос заключается в том, лежит ли каждый элемент
из G в 1-параметрической подгруппе. Если G компактна, то
ответ утвердителен (что хорошо известно), то же верно и для
нильпотентной G (Мацусима [1]). Для разрешимой группы G
это, вообще говоря, неверно; Сато [1] дал необходимое и до-
достаточное условие, в терминах алгебры Ли группы G, чтобы
ответ был утвердительным, в том случае, когда G односвязна
и разрешима. Для некоторых линейных вещественных алгебраиче-
алгебраических групп вопрос был изучен Сибуйей [1]. Даже для прос-
простых групп ответ, вообще говоря, не будет утвердительным.
Например, прямой подсчет показывает, что элемент
а б |[
(ad—bc=l)
из SLB; R) лежит на некоторой 1-параметрической группе
тогда и только тогда, когда или a + d>—2, или a = d = —1
и Ь=с = 0. Это означает, что для каждого элемента А из SLB; R)
или А или — А (возможно и оба) лежат в однопараметрической
подгруппе. Итак, ответ на наш вопрос отрицателен для SLB; R)
и утвердителен для SLB; R) по модулю ее центра. Смит [1]
также построил лоренцеву метрику, т. е. неопределенную ри-
манову метрику на 2-мерном многообразии такую, что (риманова)
связность полна, но не любая пара точек может быть соединена
геодезической. Неизвестно, любая ли пара точек компактного
связного многообразия с полной аффинной связностью может
быть соединена геодезической.
Аффинная связность на компактном многообразии не обяза-
обязательно полна, как показывает следующий пример Аусленде р"а
и Маркуса [1]. Рассмотрим риманову связность на веществен-
вещественной линии R1, определенную метрикой ds* = exdx*, где х—естест-
х—естественная координатная система в R1; эта связность плоская, и она
не полна, так как длина геодезической от х — 0 до х = —со равна
2. Сдвиг х—*-х-\-\ есть аффинное преобразование, так как оно
преобразует метрику е* dx* в ee*dx*. Итак, вещественная линия

268
ПРИМЕЧАНИЯ
по модулю 1, т. е. окружность, имеет неполную плоскую аффин-
аффинную связность. Это дает неполное компактное однородное много-
многообразие аффинной связности. Пример неполной аффинной связ-
связности на односвязном компактном многообразии получается
введением вышеуказанной аффинной связности на экваторе сферы
и продолжением ее на всю сферу так, чтобы экватор был гео-
геодезической.
Известно, что каждое метризуемое пространство допускает
полную равномерную структуру (согласованную с топологией);
см. Дьедонне [1]. Номидзуи Одзеки [1] доказали, что
для данной римановой метрики g на многообразии М существует
положительная функция f на М такая, что f-g есть полная
риманова метрика.
3. Тензор Риччи и скалярная кривизна
Имеется следующий классический результат, аналогичный
теореме Шура (теорема 2.2 главы V).
Теорема 1. Пусть М—связное риманово многообразие с
метрическим тензором g и тензором Риччи S. Если S = Xg, где
X—функция на М^то X необходимо есть константа при условии,
что n = dim М^З.
Доказательство. Простейшее доказательство дает, вероят-
вероятно, классическое тензорное исчисление. Пусть ga, R[Ikl и Rif—
соответственно компоненты метрического тензора g, тензора R
римановой кривизны и тензора Риччи S по отношению к локаль-
локальной системе координатх1, ...,хп. Тогда второе тождество Бианки
(теорема 5.3 главы III) выражается так:
Ri/kr, m + Rijlm; k + Rijmk: I = °-
Умножая его на gtk и g>lt суммируя по i, /, k, I и используя,
наконец, следующие формулы:
(я-2)Х:в-0.
мы получаем
Отсюда % — константа. ?
Риманово многообразие называется эйнштейновым, если
S=Xg, где X — константа.
Следующее предложение принадлежит Схоутену иСтрой-
ку [1].
Предложение 2. Если М — 3-мерное эйнштейново многооб-
многообразие, то оно есть пространство постоянной кривизны.
примечания
269
Доказательство. Пусть р — любая плоскость из ТХ(М),
и пусть X-i, X2, Xs — ортонормальный базис для ТХ{М) такой,
что р натянуто на Х±, Х2. Пусть ро- — плоскость, натянутая на
X, и Xj{i^j), так что pij = pji. Тогда
S(Xit Xx)=
S(Xt, Х3)=К(Р
S(X3, Х3)=К(р
где К (Ри) обозначает секционную кривизну, определяемую пло-
плоскостью Pi]. Отсюда имеем
S(Xlt XJ + SiX,, X2)-S(X3, X3) =
Так как S (Xh Xi) = 'k, то мы имеем К(р) = ^^- ^
Замечание. Формула выше влечет также, что если 0 < с <
<S(X, X)<2c для всех единичных векторов Х?ТХ(М), то
/С(р)>0 для всех плоскостей р из Тх(М). Аналогично, если
2c<S(X, X)<c<0 для всех единичных векторов Х?Тх(М),
то К(р)<0 для всех плоскостей р из Тх(М).
Возвращаясь к общему случаю, когда n = dimM произволь-
произвольно, допустим, что Х±, ..., Хп — ортонормальный базис для ТХ(М).
Тогда S(Xb X1) + ---+S(Xn, Xn) не зависит от выбора орто-
нормального базиса и называется скалярной кривизной в х.
В терминах компонент Rif и gu для S и g соответственно
скалярная^кривизна задается как "^tj/ gURu.
4. Пространства постоянной положительной кривизны
Пусть М — и-мерное связное полное риманово многообразие
постоянной кривизны 1/а2. Тогда по теореме 3.2 главы V и
теореме 7.10 главы VI универсальное накрывающее многообра-
многообразие'для М изометрично сфере S" радиуса а в Rn+\ задаваемой
равенством (л:1J + • • ¦ + (хп+хJ = а2, т. е. М = Sn/G, где G — конеч-
конечная подгруппа в О(п+\), действующая свободно на S".
В случае, когда п четно, определение.этих групп G чрезвы-
чрезвычайно просто. Пусть % (М) обозначает число (постоянную) Эйлера
для М. Тогда имеем (см. Ху[1], с. 277'(с. 377—378 русского
перевода)) 2 = % (Sn) = % (М) X порядок G (если п четно).«.Поэтому
G состоит или только из единицы /, или из / и еще одного
элемента А из О(п+1) такого, что А2 = I. Ясно, что собствен-
собственные значения для А равны ±1. Так как А не может иметь
неподвижных точек на S", то все собственные значения для А
равны —1. Отсюда Л = — /. Так получается
Теорем'а 1. Каждое связное полное риманово многообразие
М четной размерности п с постоянной кривизной 1/а2 изомет-

270
ПРИМЕЧАНИЯ
рично или сфере Sn радиуса а, или вещественному, пространству
{±}
Случай нечетного п не был полностью исследован. Наиболее
общий результат в этом направлении принадлежит Ц ас сен-
хаус у [2].
Теорема 2. Пусть G— конечная подгруппа в О(п-\-\), ко-
которая действует свободно на S". Тогда любая подгруппа из G
порядка pq (где р и q— простые числа, не обязательно [различ-
[различные) циклическая.
Доказательство. Достаточно доказать, что если G по-
порядка pq, то G циклическая. Сначала рассмотрим случай G
порядка рг. Тогда G или циклическая, или есть прямое произ-
произведение двух циклических групп Gx и G2 порядка р (см. Холл
[1], с. 49 (с. 60 русского перевода)). Во втором случае пусть
А и В— порождающие для Gt и G2 соответственно. Так как
каждый элемент Тф! из [G имеет порядок р, то мы имеем
TBlf-<tTiy) = '2l?zlTiy для каждого j/$R"tl. Поскольку Т не
имеет неподвижных точек на S", то
-O для #€
Полагая Т = А1 В и у = х, получаем
21-3(Л'?У* = 0 для *€R"+1 и 1 = 0, 1, ..., р— 1,
и отсюда
0 = 2*Й 2p/=i И'5)' * = SP/-J 2t* Л'7д/* для х € R»+1.
С другой стороны, полагая Т = AJ и y = BJx, получаем
2*?М"В4с = 0 для *6Rn+1 и /=1, 2, .... /7 — 1.
Отсюда мы имеем
0 = 2р/-в2р?вл'/д/*в2?:М'Яв*==/» для *€R"+1,
что, безусловно, есть противоречие. Итак, G должна быть цик-
циклической.
Теперь рассмотрим случай р <.q. Тогда G или циклическая,
или неабелева. Допустим, что G неабелева, и пусть S и А —
элементы порядков р я q соответственно. Тогда имеем (см. Холл
[1], с. 51 (с. 63 русского перевода))
где \<t<.q и tP=3lmodq, и каждый элемент из G может
быть записан однозначно как A'Sk, где Os^i<j<7—1 и0<^
<^.р—1. Для каждого целого числа k определим целое число
f(k) = 1+1 + H + • • • + **-», Мы имеем тогда
(a) f (р) э= 0 mod q\
271
(b) / (A) = i tnod q, если k s= 1 mod p;
(c) (Л<5)* = Л'•/«*> S*.
Действительно, (а) следует из ^==lmod<7, а (С) следует из
5Л5~1 = Л'. Для каждого t, 0<i^<7—1» пусть Gt — цикличе-
циклическая подгруппа в G, порожденная элементом AlS. Так как
(AiSy = A'-J{P)SP = I, то G,- —подгруппа порядка р. Отсюда
имеем или Gl[\Gj = U\, или Gi = Gj для O^i, /^<7—1. Дока-
Докажем, что G,nGy = {/}, если i=f=j. Если Gt = Gj, то существует
целое & такое, что (A{S)k = Aj'S. По (с) имеем А1-* <*>?* = Л^5 и
отсюда^* = S. Это влечет &=lmodp и /(^)^lmod^. Отсюда
A{Sli = A-fS, что влечет » = /'. Пусть N — нормальная подгруппа в
G, порожденная элементом Л. Поскольку iV — подгруппа поряд-
порядка q и поскольку G,- — подгруппа порядка р, то имеем G,nA^ =
= {/} для каждого i, 0^.i^.q—1. Подсчитывая порядки
N, Go, Git ..., Ga_x, мы видим, что G — раздельное объединение
N, G.-{/}, Gx-V} G?-i-{/}. Поэтому
для
С другой стороны, для каждого T0?N имеем
— х для
Так как G действует свободно на S", имеем 2?е^
тем же причинам имеем '?тив.Тх = 0 для i=0, 1, ..., q — 1 и
^tzgTx = 0. Отсюда получаем qx = 0 для каждого х? Rn+1, что
есть явное противоречие. Q
Вольф [1] классифицировал однородные римановы много-
многообразия постоянной кривизны 1/а2. Его результат может быть
представлен так.
Теорема 3. Пусть М = Sn/G — однородное риманово много-
многообразие постоянной кривизны 1/а2.
A) Если п+1 =2т (и не делится на 4), то
S" = {(z\ .... z-)€C»; |2lp+...+|z"|a=a2},
a G — конечная группа матриц вида XIт, где Х^С, \Х\ = \, 1т —
единичная тхт-матрица.
B) Если ft + l=4m, mo
(г5е Q — тело кватернионов), a G—конечная группа матриц ви-
вида plm, где pSQ, |p| = l.
Обратно, если G — конечная группа типов, описанных в (I) и
B), то M = SnlG однородно.
Ввиду теоремы 1 случай, когда п четно, рассматривать не
нужно.

272
ПРИМЕЧАНИЯ
Читатель, интересующийся классификацией эллиптических
пространств,'т. е. пространств постоянной положительной кри-
кривизны, отсылается к следующим работам: Вене а н [1], Во ль ф
[5]; при я = 3 Хопф [1] и Зейферт и Трельфа'ль [1].
Ми л нор [1] частично обобщил теорему 2 на случай, когда G —
группа гомеоморфизмов, действующая свободно на Sn. К а л а б и
и Маркус [1] и Вольф [3], [4] изучали лоренцевы многооб-
многообразия постоянной положительной кривизны. См. также X е л га-
сон [1]. Относительно изучения пространств, накрываемых
однородным римановым многообразием, см. Вольф [2].
5. Плоские римановы многообразия
Пусть М = R"/G — компактное плоское риманово многообразие,
где G— дискретная подгруппа группы евклидовых движений в
R". Пусть N — подгруппа в G, состоящая из чистых сдвигов.-
Тогда:
A) N — абелева нормальная подгруппа в G, она свободна и
имеет п образующих;
B) N — максимальная абелева подгруппа в G;
C) G/N конечна;
D) G не имеет конечных (нетривиальных) подгрупп.
Действительно, A) и C) были доказаны в D) теоремы 4.2
главы V. Чтобы доказать B), допустим, что К — любая абелева
подгруппа в G, содержащая N. Так как G/K тоже конечна по
C), то Rn/K — плоское компактное риманово многообразие.
Поскольку /<"—абелева нормальная подгруппа в G, то по лемме
6 для теоремы 4.2 главы V К не содержит ничего, кроме сдвигов.
Отсюда K = N. Наконец, D) следует из того факта, что G
действует свободно на R". Действительно, любая конечная груп-
группа евклидовых движений имеет неподвижную точку (см. дока-
доказательство теоремы 7.1 главы IV), и поэтому G не имеет конеч-
конечных (нетривиальных) подгрупп.
Ауслендер и Кураниси [1] доказали обращение:
Пусть G—группа с подгруппой N, удовлетворяющей условиям
A)— D) выше. Тогда G может быть реализована кащгруппа
евклидовых движений из R" такая, что R"/G есть компактное
плоское риманово многообразие.
Пусть R"/G и R"/G' —два компактных "[плоских римановых
многообразия. Мы говорим, что они эквивалентны, если сущест-
существует аффинное преобразование ф такое, что q>Gq>~1 = G', т. е.
если G и G' сопряжены в группе аффинных преобразований из
R". В дополнение к D) теоремы 4.2 главы V Бибербах [1]
получил следующие результаты:
а) Если G и G' изоморфны как абстрактные группы, то R"/G
и Rn/G' эквивалентны.
Примечания
273
(Ь) Для каждого п имеется только конечное число классов эк-
эквивалентности ^компактных плоских римановых многообразий R"/G.
Мы дадимздесь набросок доказательства. Обозначим (Л, р)
аффинное преобразование пространства R" с линейной частью
Л и частью — сдвигом р. Пусть N — подгруппа в G, состоящаяиз
чистых сдвигов, и пусть (/, tj), ..., (/, tn) — базис в N, где 1\—
единичная матрица, a *,-6Rn. Так как (А, р) (/, tt)(A, p)~l =
— (/, Ati)€NL№n любого (Л, p)?G, то мы можем написать
At( = 2"-ia»^/»- гДе каждоеji\ целое. Пусть Т — (яхя)-матрица,
1-й столбец которой есть tit т. е. T — (tlt ..., tn). Тогда (а{) —
_ т~1дт унимодулярна. (Матрица называется унимодулярной,
если она неособая и целочисленная вместе с ее обратной.)
Чтобы доказать (а), допустим, что (Л', p')?G' — элемент,
соответствующий (Л, pNG при изоморфизме G'mG. Пусть W
есть подгруппа в G', соответствующая N при изоморфизме G' « G.
Тогда N' — нормальная максимальная абелева подгруппа в G'.
Поэтому W состоит из чистых сдвигов. Пусть (/, t't) соответст-
соответствует (/, ^."Поскольку (Л', р')(/, rt) (А1, р')~1 = (/. A'ft), то
(/, A't'i) соответствует (/, At(). Отсюда имеем A't'i = ^jw.1a[t'j.
Другими словами, если мы положим Т'— {t[, .... t'n), то
T'-XA'V = T-*AT. Положим
G* = {G-M7\ Т-*р-Т'-1р'); (Л, p)€G}.
Тогда G* есть группа, не содержащая чистых сдвигов и, следо-
следовательно, конечная. Пусть и 6 R" — неподвижная точка для G*.
Тогда мы имеем
(Г, Ти)~ЦА, р)(Т, Ти) = {Г, 0)-1(Л', р')(Т',0)
для всех (Л,
Это завершает доказательство (а).
Чтобы доказать (Ь), достаточно показать, что имеется только
конечное число взаимно неизоморфных групп G таких, что R"/G —
компактные плоские римановы многообразия. Каждая G опреде-
определяет групповое расширение (продолжение)
О—-tf —G-*/e—-1,
где конечная группа K = G/N действует на N линейно, если
N рассматривается как подгруппа в R". Если задана такая
конечная группа К, то множество групповых расширений
О—>-N—>G—*-/С—>-1 задается как Яа(/С, N). Так как /С конеч-
конечна, а N конечно порождена, то Н2(К, N) конечна. Как мы ви-
видели в доказательстве (а), если отождествить N с целыми точ-
точками решетки в R", то K = G/N задается унимодулярными мат-
матрицами. Пусть К и К'—две конечные группы унимодулярных
матриц порядка п, которые сопряжены в группе GL(n; Z) всех
унимодулярных матриц, так что S/C5~1 = /C' для некоторого

274 ПРИМЕЧАНИЯ
S?GL(n; Z). Отображение, которое переводит .^,. ^ ._,,.^.,
есть| автоморфизм в N. Поэтому [S индуцирует изоморфизм
Н\(К, N)« Я* (К', N), и если 0 -*<# -*¦ G' -+К' ¦— 1 —элемент
из Я2{К', Ю, соответствующий элементу 0—*-iV —>-G—*¦!(—¦>-1
из IPJLK, N), то G и G' изоморфны. Так наша проблема сводит-
сводится к следующей теореме Жордана:
Имеется только конечное число сопряженных классов конечных
подгрупп в GL(n; Z).
Эта теорема Жордана следует из теоремы Минковского — Зиге-
ля. Пусть Нп—пространство всех вещественных симметрических
положительно определенных матриц степени п. Тогда GL (n; Z)
действует собственно разрывно на Нп так:
X ^SXS для Х?Нп и S?GL(n; Z).
Пусть R — подмножество из Нп, состоящее из редуцированных
матрице смысле Минковского. Обозначим*SXSчерез S[X]. Тогда
(i)UseGHn;Z)S[R] = Hn;
(ii) множество F = {S?GL(n; Z); S[R][}R?=0} является
конечным.
Первое свойство для R влечет, что любая конечная подгруп-
подгруппа К из GL(n; Z) сопряжена подгруппе из GL(n; Z), содержа-
содержащейся в F. Действительно, пусть X0?ffn — фиксированная точка
в К (например, положим Х0 = УлбЯ*ЛЛ). Пусть S?GL(n; Z)
таково, что 5[Х0]6^- Тогда S^KSczF. Так как F конечно, то
имеется только конечное число сопряженных классов конечных
подгрупп в GL (n; Z). ?
В качестве ссылок упомянем Минковского [1], Бибер-
баха [2], Бибербаха и Шура [1] и Зигеля [1].
Отметим, что (а) влечет, что два компактных плоских рима-
римановых многообразия эквивалентны тогда и только тогда, когда
они гомеоморфны друг другу. Хотя (Ь) и не справедливо для
некомпактных плоских римановых многообразий, имеется только
конечное число классов гомеоморфизмов плоских римановых
многообразий для каждой размерности (Бибербах [3]).
Относительно классификации 3-мерных полных плоских ри-
римановых многообразий см. Ханцше и Вендт [1] и Новац-
„ — Г1 1
ольшинство результатов для плоских римановых многооб-
многообразий не может быть обобщено на плоские аффинные связности
(см., например, Ауслендер [1]).
6. Параллельный перенос кривизны
Пусть М и М' — римановы многообразия, a qp: М —*¦ М' —
диффеоморфизм, сохраняющий тензорные поля кривизны. Вообще
говоря, это не влечет существования изометрии М и М'. На-
примечания
275
пример, пусть М — компактное риманово многообразие, получен-
полученное прикреплением (приклеиванием) единичной полусферы к
каждому концу прямого кругового цилиндра S1x[0, 1], где
S1 — единичная окружность, с последующим сглаживанием углов.
Аналогично пусть М' — компактное риманово многообразие, по-
полученное приклеиванием единичной полусферы к каждому кон-
концу прямого кругового цилиндра Sxx [0, 2] и сглаживанием углов
тем же путем. Пусть q>: М —¦• М' — диффеоморфизм, индуци-
индуцирующий изометрию на приклеенных полусферах и их окрестнос-
окрестностях. Поскольку цилиндрические части М и М' плоские, то q>
сохраняет поля тензоров кривизны. Однако М и М' не могут
быть изометричны друг другу.
Амброуз [1] получил следующий результат, обобщающий
теорему 7.4 главы VI в римановом случае.
Пусть М и М' — полные односвязные римановы многообра-
многообразия, х — произвольная фиксированная точка из М, а х' — произ-
произвольная фиксированная точка из М'. Пусть /: Тж (М)—»• Тх> (М') —
фиксированное ортогональное преобразование. Пусть т—простая
ломаная геодезическая в М из х в точку у, а т'—соответствую-
т'—соответствующая простая ломаная геодезическая в М' из х' в точку у', при-
причем соответствие задается отображением f при помощи парал-
параллельного переноса. Пусть р (соотв. р') — плоскость в ТХ(М)
(соотв. в ТХ'{М')), a q (соотв. q') — плоскость в Ту{М) (соотв. в
Ту'(М')), полученная из р (соотв. р') параллельным переносом
вдоль т (соотв. т'). Допустим, что р' соответствует р при дейст-
действии /. Если секционная кривизна К(я) равна секционной кри-
кривизне К' (q') для всех простых ломаных геодезических т и всех
плоскостей р в Тх (М), то существует единственная изометрия
F: М—>-М', дифференциал которой в х совпадает с /.
Хикс [1] получил аналогичный результат в случае аффин-
аффинной связности, что обобщает теорему 7.4 главы VI.
7. Симметрические пространства
Хотя теория симметрических, в частности римановых сим-
симметрических, пространств будет подробно изложена во втором
томе, мы дадим здесь их определение и основные свойства.
Пусть G — связная группа Ли с инволютивным автоморфизмом
а (а2= 1, а^Ф 1). Пусть Н — замкнутая подгруппа, лежащая между
(замкнутой) подгруппой всех неподвижных точек для а и ее
компонентой единицы. Тогда будем говорить, что G/H есть сим-
симметрическое однородное пространство (определенное автомор-
автоморфизмом а). Обозначая той же буквой о инволютивный автомор-
автоморфизм алгебры Ли д, индуцированный при помощи а, имеем
I (прямая сумма), где ^ = {Х^д; Ха = Х\ совпадаете

276
ПРИМЕЧАНИЯ
С|; Х° = — X}. Мы,
подалгеброй, соответствующей Н, а тп = {
очевидно, имеем [fy, m]cm и [тп, m]cf).
Автоморфизм а группы G также индуцирует инволютивный
диффеоморфизм а0 в G/H такой, что а0 (пх) = п (х°) для каждого
x?G, где те— каноническая проекция из G на G/H. Начало
о=я(е) из G/H есть тогда изолированная неподвижная точка
для а0. Мы называем а0 симметрией в точке о.
По теореме 11.1 главы II расслоение G (G/H, H) допускает
инвариантную связность Г, определяемую подпространством т.
Назовем эту связность канонической связностью в G (G/H, Н).
Теорема 1. Для симметрического пространства G/H кано-
каноническая связность Г в G (G/H, H) имеет следующие свойства:
A) Г инвариантна относительно автоморфизма а группы G
(который есть автоморфизм расслоения G (G/H, #)).
B) Форма кривизны задается как Q(X, У) = — A/2) [X, Y] ? Ij,
где X и Y—произвольные левоинвариантные векторные поля, при-
принадлежащие т.
C) Для любого X ?т пусть at = exptX, и пусть xt = n(af) =
= at (о). Параллельный перенос слоя Н вдоль кривой xt совпадает
с левым сдвигом h —*¦ ath, h^H.
Доказательство. A) легко следует из та = т. B) содер-
содержится в теореме 11.1 главы И. C) следует из того, что ath для
любого фиксированного h?H есть горизонтальный лифт через h
кривой xt. П
Проекция я дает линейный изоморфизм горизонтального под-
подпространства m в е связности Г "на касательное пространство
То (G/H) в начале о. Если h?H, то ad (h) на ttt соответствует
при этом изоморфизме линейной изотропии h, т. е. линейному
преобразованию из То @/#), индуцированному преобразованием h
в G/H, которое оставляет о неподвижной.
Теперь, обозначая G/H через М, определим отображение f
из""C в расслоение реперов L (М) над М так. Пусть «0 — произ-
произвольный фиксированный репер Xit . .., Хп во, который может
^ыть отождествлен с некоторым базисом в т. Для любого a?G
f (а) есть репер в а(о), состоящий из образов Х; при действии
дифференциала от а. В частности, для h?H f (h) = h-uo = uo-<p(h),
где <p(h)?GL(n; R) есть матрица, которая представляет линейное
преобразование в Т0(М), индуцированное при помощи h отно-
относительно базиса «„. Легко видеть, что f есть гомоморфизм рас-
расслоений из G в L (М), соответствующий'" гомоморфизму ф из Н
в GL(n; R). Если G эффективна на G/H (или,'*что"*эквивалентно,
если Н не'содержит нетривиальных инвариантных подгрупп из G),
то f и ф — изоморфизмы.
По предложению 6.1 главы II каноническая связность Г
в G (М, Н) индуцирует связность в L (М), которую мы назовем
ПРИМЕЧАНИЯ
277
канонической линейной связностью на G/H и обозначим по-преж-
по-прежнему Г.
Теорема 2. Каноническая линейная связность на симмет-
симметрическом пространстве G/H имеет следующие свойства:
A) Г инвариантна относительно G, также как и относи-
относительно симметрии а0 в точке о.
B) Суженная однородная группа голономии для Г в о содер-
содержится в линейной группе изотропии И.
C) Для любого X ? m пусть at = exp tX и xt = n (af) = at (о).
Параллельный перенос векторов вдоль xt совпадает с действием
преобразования at. В частности, xt геодезическая.
D) Тензорное поле кручения есть нуль.
E) Каждое G-инвариантное тензорное поле на G/H параллельно
относительно Г. В частности, тензорное поле кривизны R парал-
параллельно, т. е. VR = 0.
Доказательство. A), B) и C) следуют из соответствую-
соответствующих свойств теоремы 1. D) следует из A); поскольку тензорное
поле кручения Т инвариантно относительно а0, мы имеем
Т (Хг У) = G (X°°, Y°o))°° = _ т (— X, — Y) = — Т (X, Y) и отсюда
Т(Х, 7) = О для любых X и Y из ТО(М). Итак, 7 = 0 вой
потому всюду. E) следует из C). Действительно, если К есть
G-инвариантное тензорное поле, то VxaK=0 для любого Ха ? Т0 (М),
поскольку существует X?т такое, что х, из C) имеет начальный
касательный вектор Хо. П
Замечание. Г — единственная линейная связность на G/H,
которая имеет свойство A). Это оправдывает название «канони-
«каноническая линейная связность».
Пусть G/H—симметрическое пространство с компактной груп-
группой Н. Существует G-инвариантная риманова метрика на G/H.
Для любой такой метрики g риманова связность совпадает с Г.
Действительно, метрическое тензорное поле g параллельно отно-
относительно Г в*"силу E). Так как Г имеет нулевое кручение, то
она есть риманова связность в силу единственности (теорема 2.2
главы II).
Пример. В G = SO(n+l) пусть а есть инволютивный авто-
автоморфизм A ?SO(n+\)—"SAS-'-ZSO (п+\), где S —матрица
вида II ~~! °. 1, здесь /„ — единичная матрица порядка п. Компо-
I! О 1п\\
нента единицы Н° подгруппы И неподвижных относительно а
точек состоит из всех матриц вида L R , где B?SO(n). Имея
это в виду, будем писать SO (я) вместо И". Однородное симмет-
симметрическое пространство SO{n-\- \)/SO (я) естественным образом
диффеоморфно единичной сфере Sn из R"+1. Действительно, пусть
е0, е1У ..., еп—стандартный ортонормальный базис в R"+1. Ото-
Отображение А ? 50 (п -f 1) -*• AeQ ? S" индуцирует диффеоморфизм

278
ПРИМЕЧАНИЯ
из SO (n+l)/SO (n) на Sn. Множество векторов Aet Аеп
может рассматриваться как ортонормальный репер в точке Ае0
из 5". Это дает изоморфизм расслоения SO(n + l) над
SO](n-{-l)/SO (я) на расслоение ортонормальных реперов над S".
Каноническая линейная связность на SO (n+\)/SO (п) совпадает
с римановой связностью в S" относительно римановой метрики
5" как вложенного в R"+1 подмногообразия.
Говорят, что линейная связность Г на дифференцируемом
многообразии М локально симметрическая в х?М, если суще-
существует инволютивное аффинное преобразование открытой окре-
окрестности U точки х, имеющее х неподвижной изолированной
точкой. Эта локальная симметрия в х, если она существует, должна
быть вида {х1) —> (—х') по отношению к любой нормальной системе
координат с началом х, поскольку она индуцирует линейное
преобразование X—>- — X в ТЖ(М). Мы говорим, что Г локально
симметрическая, если она локально симметрическая в каждой
точке х из М.
Теорема 3. Линейная связность Г на М локально симмет-
симметрическая тогда и только тогда, когда Т = О, VR = 0.
Доказательство. Если Г локально симметрическая, то
любое тензорное поле типа (г, s) с нечетным r + s, инвариантное
при действии локальной симметрии относительно х, есть нуль
в точке х. Отсюда Т = 0, 4R = 0 на М. Обратное утверждение
следует из теоремы 7.4 главы VI.
Теорема 4. Пусть Г—локально симметрическая линейная
связность на М. Если М связно, односвязно и полно, то группа
2Г (М) всех аффинных преобразований транзитивна на М. Пусть
G = 2T°(M). Тогда M = G/H есть симметрическое пространство,
для которого Г есть каноническая линейная связность.
Доказательство. Первое утверждение следует из след-
следствия 7.9 главы VI. Пусть а0 — локальная симметрия в точке о
из М. По следствию 6.2 ао может быть продолжена до такого
аффинного преобразования из М на себя, которое инволютивно.
Определим инволютивный автоморфизм в G как а" = ао о а о а0.
Тогда Н лежит между подгруппой всех неподвижных элементов
для а и ее компонентой единицы. П
Римановы версии теорем 3 и 4 очевидны.
Римановы симметрические пространства были введены и уси-
усиленно изучались Э. Картаном [7].
Относительно канонической линейной связности на симмет-
симметрическом G/H см. Номидзу [2] и Кобаяси [3]. Номидзу
[4], [6] доказал обращение для B) теоремы 2, а именно, что если
суженная линейная группа голономии полного риманова много-
многообразия М содержится в линейной группе изотропии в каждой
точке, то М локально симметрично. Саймоне [1] доказал
сходнукГтеорему.
ПРИМЕЧАНИЯ*
2?Э
Номидзу и Одзеки [3] доказали, что для любого полного
риманова многообразия М условие 4mR = 0 для некоторого т > 1
влечет yR = 0. (Этоj,было известно Лихнеров^ичу [3], с. 4
в случае компактного М.) Они заметили позже, что предполо-
предположение полноты излишне.
8. Линейные связности с рекуррентной кривизной
Пусть М — n-мерное многообразие с линейной связностью Г.
Говорят, что ненулевое тензорное поле К. типа (г, s) рекуррентно,
если существует 1-форма а такая, что V/C = /C®a. Следующим
результатом мы обязаны Во ну [1].
Теорема 1. В обозначениях § 5 главы III пусть f: L(M)—>-
—s-TJ(Rn) — отображение, соответствующее заданному тензорному
полю К типа (г, s). Тогда К рекуррентно в том и только в том
случае, [когда для расслоения голономии Р («„) через м„ € L (М)
существует дифференцируемая функция q> («), не имеющая нулей
в Р(и0), такая, что
/(и)=:ф(ы)./(м0) для и?Р(и0).
В частности, К параллельно тогда и только тогда, когда
/(«) постоянна на Р (и0).
Используя этот результат и теорему голономии (теорема 8.1
главы II), он получил следующую теорему.
Теорема 2. Пусть Г — линейная связность на М с рекур-
рекуррентным тензором кривизны R. Тогда алгебра Ли ее линейной
группы голономии ^(и,,) порождается всеми элементами вида
QUo(X, Y), где Q — форма кривизны, а X и Y — горизонтальные
векторы в и0. В частности, имеем
dim?(uo)<ln(n-l).
В качестве приложения теоремы 1 дадим набросок доказа-
доказательства следующей теоремы.
Теорема 3. Для риманова многообразия М с рекуррентным
тензором кривизны, суженная линейная группа голономии которого
неприводима, тензор кривизны необходимо параллелен при условии,
что dimM^s3.
Доказательство. Пусть Rjki—компоненты TJ (К")-значной
функции на О (М), которая соответствует тензорному полю кри-
кривизны R. Применим теорему 1 к R. Поскольку ^t,i.k.i(RmJ
постоянно на каждом слое из О(М), то <ра- постоянна на каждом
слое из Р(и0). Так как qp не обращается в нуль на Р(и0), то
она либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. По-
Поэтому ф постоянна на каждом слое из Р (и0). Пусть X—функция
на М, определяемая как Х(лс)= 1/<р(«), где х = л(и)?М. Тогда

280
ПРИМЕЧАНИЯ
kR — параллельное тензорное поле. Если обозначить через S
тензорное поле Риччи, то kS тоже параллельно. Неприводимость
М влечет kS = c-g, где с — константа, a g — метрический тензор
(см. теорему 1 приложения 5). Если dim M ^ 3 и тензор Риччи S
не тривиален, то к — постоянная функция по теореме 1 приме-
примечания 3. Так как kR параллелен, а А, —константа, то и R па-
параллелен. ^>
Следующим мы рассмотрим случай, когда тензор Риччи 5
есть нуль. Пусть VR = R(g>a, и пусть R]kL и ат — компоненты
для R и а относительно локальной системы координат х1, ...,
х". По второму тождеству Бианки (теорема 5.3 главы III; см.
также примечание 3) мы имеем
= 0.
Умножим все на gjm и просуммируем по / и т. Так как тензор
Риччи есть нуль, то имеем %,mgJ'mRjim='Zj,mgMRjmk = O.
Отсюда
Это равенство имеет такое геометрическое следствие. Пусть х —
произвольная фиксированная точка в М, а X и Y — любые век-
векторы в х. Если мы обозначим через V вектор в х с компонентами
aJ (х), то линейное преобразование R (X, Y): Тх (М) —->- Тх (М) отоб-
отображает V в нулевой вектор. С другой стороны, по теореме о голоно-
мии (теорема 8.1 главы II) и теореме 1 этого примечания (см.
также Вон [1]) алгебра Ли линейной группы голономии *F(x)
порождается множеством всех эндоморфизмов из ТХ(М) вида
R(X, Y) с X, Y?ТХ(М). Отсюда следует, что V инвариантно
относительно W(x) и потому есть нуль в силу неприводимости
?(#). Следовательно, VR есть нуль в х. Так как х — произволь-
произвольная точка из М, то R параллельно. ?
С|другой стороны, каждое неплоское 2-мерное риманово мно-
многообразие имеет рекуррентную кривизну, если его секционная
кривизна не обращается в нуль.
Следствие. Если М — полное риманово многообразие с ре-
рекуррентным тензором кривизны, то универсальное накрывающее
многообразие М для М есть или симметрическое пространство,
или прямое произведение евклидова пространства R"~? и двумер-
двумерного риманова многообразия.
Доказательство. Используем теорему о разложении де
Рама ^теорема 6.2 главы IV) и теорему 3 данного примечания
вместе со следующим фактом, который может быть легко прове-
проверен. Пусть М и М'—многообразия с линейными связностями,
и пусть R и R'—соответственно их тензоры кривизны. Если
ПРИМЕЧАНИЯ
281
тензор кривизны на МхМ' рекуррентен, то имеется только три
возможности:
A) V# = 0 и V#'=0; B) # = 0 и Vtf'^0; 'C) V#=?0 и
#'=0. (См. также Уокер [1].) Q
9. Группа автоморфизмов геометрической структуры
Если дано дифференциальное многообразие М, то группа всех
дифференцируемых преобразований в Л-Гвесьма обширна. Однако
группа дифференцируемых преобразований из М, оставляющая ин-
инвариантной некоторую геометрическую структуру, часто есть груп-
группа Ли. Первый результат такого рода был дан А. Картаном [1],
доказавшим, что группа всех комплексных аналитических пре-
преобразований ограниченной области из С" есть группа Ли. М а й е р с
и Стинрод [1] доказали, что группа всех изометрий риманова
многообразия есть группа Ли. Бохнер и Монтгомери [1], [2]
доказали, что группа всех комплексных аналитических преобра-
преобразований компактного комплексного многообразия есть комплекс-
комплексная группа Ли; они использовали общую теорему относительно
локально компактных групп дифференцируемых преобразований,
которая, как теперь известно, справедлива в форме теоремы 4.6
главы I. Теорема о том, что группа всех аффинных преобразо-
преобразований многообразия аффинной связности есть группа Ли, впервые
была доказана Номидзу [1] в предположении полноты; это
предположение было позже снято Хано и Моримото [1].
Коб а я си [1], [6] доказал, что группа всех автоморфизмов
абсолютного параллелелизма есть группа Ли, при помощи вло-
вложения ее в многообразие. Этот метод может также быть приме-
применен и к абсолютному параллелизму расслоения реперов L (М)
многообразия аффинной связности М (см. предложение 2.6
главы III и теорему 1.5 "главы VI).
Автоморфизмы комплексной и кэлеровой структур будут
обсуждены во втором томе.
Глобальная теория групп Ли преобразований была изучена
Пале [1]. Мы здесь сформулируем одну теорему, которая имеет
непосредственное отношение к нашим целям. Пусть G — некото-
некоторая группа дифференцируемых преобразований, действующая на
дифференцируемом многообразии М. Пусть %' — множество всех
векторных полей X на М, которые порождают глобальную 1-па-
1-параметрическую группу преобразований, принадлежащих данной
группе G. Пусть g — подалгебра 'Ли, порожденная множеством
д' в алгебре Ли J, (М).
Теоре"ма. Если g конечномерна, то G допускает структуру
группы Ли (такую, что отображение GxM —*¦ М дифференци-
дифференцируемо) и g==g'. Алгебра Ли для G естественно изоморфна д.

282
ПРИМЕЧАНИЯ
Мы имеем следующее применение этого результата. Если G —
группа всех аффинных преобразований (соотв. изометрий) аффинно
связного (соотв. риманова) многообразия М, to g —множество,
всех инфинитезимальных аффинных преобразований (соотв. инфи-
нитезимальных изометрий), которые глобально интегрируемы
(отметим, что если М полно, то эти инфинитезимальные преобра-
преобразования всегда глобально интегрируемы по теореме 2.4 главы VI).
В силу теоремы 2.3 (соотв. теоремы 3.3) главы VI отсюда следу-
следует, что g конечномерна. По приведенной выше теореме G есть груп-
группа Ли.
Алгебра Ли t (М) всех инфинитезимальных изометрий рима-
риманова многообразия М была детально изучена Номидзу [8],
[9]. В каждой точке х из М некоторая алгебра i (х) строится
с использованием поля тензора кривизны и его ковариантных
дифференциалов. Если М односвязно и аналитично вместе с мет-
метрикой, то t (M) естественно изоморфно х(х), где х — произвольная
точка.
10. Группы изометрий и аффинных преобразований
максимальных размерностей
В теореме 3.3 главы VI мы доказали, что группа 3 (М) изо-
изометрий связного л-мерного риманова многообразия М имеет раз-
размерность не более чем—п (п -f- 1) и что если dim3(Af) = -2-«(n+l),
то М есть пространство постоянной кривизны. Мы наметим до-
доказательство следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть М —связное п-мерное риманово многообра-
многообразие. Если dim3(Af)=-jn(n+l)f «о М изоморфно одному из
следующих пространств постоянной кривизны:
(a) п-мерному евклидову пространству R";
(b) п-мерной сфере S";
(c) п-мерному вещественному проективному пространству
s»/{± i\;
(d) п-мерному односвязному гиперболическому пространству.
Доказательство. Из доказательства теоремы 3.3 главы VI
видим, что М однородно и потому полно. Универсальное накры-
накрывающее пространство М для М изометрично одному из (а), (Ь),
(d) в формулировке теоремы (см. теорему 7.10 главы VI). Каж-
Каждая инфинитезимальная изометрия X в М индуцирует инфини-
тезимальную изометрию X на М. Отсюда -3-n(/i+l) = dim3f (-М)^
(M)^.-jn(n + l), что влечет, что каждая инфинитези-
инфинитезиизометрия X из М индуцируется инфинитезимальной
ПРИМЕЧАНИЯ
283
изометрией X из М. Если М изоморфно (а) или (d), то суще-
существует инфинитезнмальная изометрия Хиз М, которая обращается
в нуль только в одной точке из М. Поэтому М односвязно в слу-
случае неположительной кривизны. Если М изометрично сфере S",
то для любых диаметрально противоположных точек х и х' су-
существует инфинитезимальная изометрия X в М = 5", которая
есть нуль только в х их'. Это влечет, что М = S" или М = S"/{db/}.
Мы легко видим, что если М изометрично проективному про-
пространству S"/{±/}, то 3 (М) изоморфно О(п-\-\) по модулю ее
центра и, следовательно, имеет размерность -^-n(n-fl). ?
В теореме 2.3 главы VI мы доказали, что группа $1 (М) аффин-
аффинных преобразований связного n-мерного многообразия М с аффин-
аффинной связностью имеет размерность самое большее n'-fn и что
если dim Щ (М) = п2-\-п, то связность плоская. Нами будет доказана
Теорема 2. Если dim$ (M) — n2-\-nt то М есть обычное
аффинное пространство с естественной плоской аффинной связ-
связностью.
Доказательство. Каждый элемент из Ш (М) индуцирует
преобразование в L(M), оставляющее каноническую форму и
форму связности инвариантными (см. § 1 главы VI). Из того,
что Ш (М) действует свободно на L(M), и из предположения, что
dim Щ (М) = яа + я —dimL(Af), следует, что 3t°(Af) транзитивна
на каждой связной компоненте из L(M). Это влечет, что каждое
стандартное горизонтальное векторное поле на L (М) полно; дока-
доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4 главы VI.
Другими словами, связность полна. По теореме 4.2 главы V или
теореме 7.8 главы VI универсальное накрывающее пространство
М для М есть обычное аффинное пространство. Наконец, то,
что М = М, может быть доказано так же, как и выше в тео-
теореме 1. ?
Теоремы 2.3 и 3.3 — это классика (см., например, Эйзен-
ха.рт [1]).
Римановы многообразия и аффинные связности, допускающие
очень обширные группы автоморфизмов, были изучены Егоровым,
Ваном, Яно и другими. Читатель найдет ссылки по этому пред-
предмету в книге Яно [2].
11. Конформные преобразования римановых многообразий
Пусть М — риманово многообразие с метрическим тензором g.
Говорят, что преобразование <р в М конформно, если y*g = pg,
где р — положительная функция на М. Если р постоянна, то ф
есть преобразование гомотетии. Если р тождественно равно 1, то ф

284
ПРИМЕЧАНИЯ
ПРИМЕЧАНИЯ
285
есть не что иное, как изометрия. Говорят, что инфинитезималь-
ное преобразование X в М конформно, если Lxg = og, где с есть
функция на М. Оно есть гомотетия, если а —константа, и изомет-
изометрия, если а = 0. Локальная однопараметрическая группа локаль-
локальных преобразований, порожденная инфинитезимальным преобра-
преобразованием X, конформна тогда и только тогда, когда X конформно.
Теорема 1. Группа конформных преобразований связного
п-мерного риманова многообразия М есть группа Ли преобразо-
преобразований размерности самое большее ~ (п + 1) (я + 2) при условии,
что п^З.
Это может быть доказано так. Условие интегрируемости для
Lxg — ag влечет, что алгебра Ли инфинитезимальных кон-
конформных преобразований X имеет размерность не более чем
у(д+1)(л + 2) (см., например, у Эйзенхарта [1], с. 285
(с. 277 русского перевода)). По теореме Пале, цитированной
в примечании 9, группа конформных преобразований есть группа
Ли преобразований.
В § 3 главы VI мы показали, что почти для всех римановых
многообразий М наибольшая связная группа Sl° (M) аффинных
преобразований в М совпадает с наибольшей связной группой
3°(Л1) изометрий в М. Для наибольшей связной группы &°(Л1)
конформных преобразований в М мы имеем несколько следую-
следующих результатов в том же направлении.
Теорема 2. Пусть М— связное п-мерное риманово много-
многообразие, для которого & (/И) ^=3° (М). Тогда:
A) если М компактно, то не существует гармонических р-форм
постоянной длины для I ^.р <.п (Гольдберг и Кобаяси [1]);
B) если М компактно и однородно, то М изометрично сфере
при условии п>3 (Гольдберг и Кобаяси [2]);
C) если М — полное риманово многообразие размерности п ^ 3
с параллельным тензором Риччи, то М изометрично сфере (На-
(Нага но [1]);
D) М не может быть компактным римановым многообразием
постоянной неположительной скалярной кривизны (Я н о [2], с. 279
и Л.ихнерович [3], с. 134).
C) есть усовершенствование результата Нагано и Яно [1]
о том, что если М — полное эйнштейново пространство размер-
размерности ^ 3, для которого ©° (М) Ф 3° (М), то М изометрично сфере.
Нагано [1] использовал результат Тана к и [1].
С другой стороны, легко построить римановы многообразил
(отличные от сфер), для которых &,a(M)=fc%a(M). Действительно,
пустьл М — риманово многообразие с метрическим тензором^ g,
которое допускает 1-параметрическую группу изометрий. Пусть
р—положительная функция на М, которая не инвариантна при
действии этой 1-параметрической группы изометрий. Тогда отно-
относительно новой метрики pg" эта группа есть 1-параметрическая
группа неизометрических конформных преобразований.
Чтобы показать, что dim(?°(Al) = -2-(n + 1)(л + 2) для сферы
М размерности^, мы вкладываем М в вещественное проектив-
проективное пространство размерности д + 1. Пусть х°, х1, ..., xn+l—¦
система однородных координат вещественного проективного про-
пространства Рп+± размерности п-\-\. Пусть М — л-мерная сфера
в R"+l, определенная как (у1)? + ... + {ynJrlf = 1. Мы вкладываем
М. в Pn+i при помощи отображения, определяемого так:
*° = -J=-(l+r+l), ** = *Л .. *" = */" x"+i =
Образ М в Рп+± задается так:
Пусть h—риманова метрика на Рп+±, заданная так:
Bй<*о*
где р — естественная проекция из Rn+? — {0} на Pn+i- Тогда вло-
вложение М—>-Р„ы изометрично. Пусть G —группа линейных пре-
преобразований из R"+?, оставляющих квадратичную форму (я1)? +
_|_ ... -\-{xn)^ — 2x°xnJrl инвариантной. Тогда G отображает образ
М в Pn+i на себя. Легко проверить, что рассматриваемая как
группа "преобразований, действующая на М, G есть группа кон-
конформных преобразований размерности -^-(n + l) (л + 2).
Случай л = 2 исключителен в большинстве проблем, касаю-
касающихся конформных преобразований по следующей причине. Пусть
М—комплексное многообразие комплексной размерности 1 с ло-
локальной системой координат z = x + iy. Пусть g — риманова мет-
метрика на М, которая имеет вид
где / — положительная функция на М- Тогда каждое комплекс-
комплексное аналитическое преобразование в М конформно.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный параллелизм 121
Автоморфизм алгебры Лн 47
— группы Ли 47
— связности 84
Алгебра Лн 45
Альтернация 35
Аналитическое продолжение 238
Атлас 12
— полный 12
Аффинная группа голономнн 128
— связность 127
— — обобщенная 125
Аффинное отображение 212
— преобразование 124, 213
— — иифннитезнмальное 217
— пространство 123
— — касательное 123
Аффниный параллельный перенос 128
— параметр 135
— репер 124
Бутылка Клейна 210
Вектор 14-
Векторное поле 15
— — Кнллинга 223
— расслоение 113
Вертикальная компонента 68
Вертикальное подпространство 68, 90
Вертикальный вектор 68
Вещественное проективное пространство 52
Вложение 18, 59
— изометрическое 156
Внешнее дифференцирование 17, 43
— — коварнантное 80
Внешняя производная 80
— — коварнантная 80
Внутреннее произведение 42
Выпуклая окрестность 146, 161
Геодезическая 135, 142
— минимизирующая 161
Гиперповерхность 18
Голоморфное преобразование 11
Гомоморфизм расслоений 59
Гомотопня 261
Горизонтальная компонента 68
— кривая 73, 90
Горизонтальное подпространство 68, 90
Горизонтальный вектор 68
— лнфт 69, 73, 90
Группа голономин 75, 76
— — аффинная 128
— — инфиннтезнмальная 98, 147
— — линейная 128
— — локальная 96, 147
— — однородная 128
Группа голоиомии суженная 75, 76
— изотропии линейная 150
— Ли 45
— — преобразований 48
Дивергенция 259
Диффеоморфизм 19
Дифференциал ковариантный 122
— отображения 17
— функции 17
Дифференцирование алгебры 25 (М) 41
? (М) 38
— Лн 37
— тензорной алгебры 33
Длина дуги 157
Евклидов тор 199
— цнлнндр 199
Евклидова метрика 150
Евклидово движение 204 •
— касательное пространство 185
— подпространство 206
Естественный лифт векторного поля 216
Изометрическое вложение 156
— погружение 156
Изометрия 52, 156, 222
— ннфнннтезнмальная 223
Иммерсия 18
Инвариантная риманова метрика 150
— связность 84, 104
Инволютнвное распределение 19
Индуцированная рнманова метрика 150
— связность 85
Индуцированное расслоение 66
Интегральная кривая 21
Интегральное многообразие 19
Каноническая инвариантная рнманова мет-
метрика 151
— — связность ПО, 276
— линейная связность 302
— метрика 151
— плоская связность 94
— форма на L (М) 118
— 1-форма на группе 48
Канонический параметр на геодезической
158
Каноническое разложение (разложение де
Рама) 178, 184
Карта 12
Касательное пространство 15
— — аффинное 123
— расслоение 62
Касательный вектор 14
Коварнантная производная 114, 115. 121
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
343
Ковариалтное дифференцирование 115, 121
Коварнантный дифференциал 122
— тензор 29
Ковектор 16
Компактно открытая топология 52
Компоненты векторного поля 15
— линейной связности 138
— тензора 29
— тензорного поля 34
— 1-формы 16
Коитравариантный тензор 29
Конформное преобразование 283
— — ннфинитезимальное 284
Координатная окрестность 13
Косое дифференцирование 41
Кривизна 130
— постоянная 192
—, преобразование 130
— рекуррентная 279
— риманова 191
— секционная 192
— скалярная 269
—, тензорное поле 130, 142
—, форма 80
Кручение двух тензорных полей типа A,1) 44
— тензорного поля 130, 142
—¦ трансляция 130
—, форма 119
Кубическая окрестность 13
Лассо 77, 177, 261
Линейная группа голономин 128
— — изотропии 150
— связность 118
Линейный репер 61
Лист Мёбиуса 210
Лифт (подъем) 69, 73, 90
— горизонтальный 69, 73, 90
— естественный 216
Локальная координатная система 13
Локальный базис распределения 19
Лоренцева метрика 267
Метрическая связность 117, 154
Многообразие 12
— аналитическое действительное 12
— — комплексное 12
— дифференцируемое 12
— локально аффинное 199
— ориентированное 12
— ориентируемое 18
Накрывающее пространство 67
Неопределенная риманова метрика 151
Неприводимая группа евклидовых движений
206
Неприводимое рнманово многообразие 173
Нормальная система координат 144, 158
Однопараметрнческая группа преобразова-
преобразований 21
— подгруппа 45
Однородное пространство рнманово 150, 170
— — симметрическое 275
Орбита 21
Ориентация 12, 13
Ортоиормальиый репер 65
Паракомпактность 63
Параллельное сечение 90
— тензорное поле 122
Параллельный перенос 74, 90, 91
— — аффинный 128
Плоская связность 94
— — аффинная 198
— — каноническая 94
— — линейная 19&
Плоское риманово многообразие 198, 199
Погружение 18
— изометрическое 156
Подгруппа изотропии 55
— Лн 46
Подмногообразие 18
— вполне геодезическое 174
Подрасслоение 59
Полная линейная связность 137
— риманова метрика 166
Полное векторное поле 22
— риманово многообразие 166
Полный дифференциал 16
Послойная метрика 116
Постоянная кривизна 192
Преобразование 19
— гомотетии 227, 284
— — ннфниитезнмальное 284
Присоединенное представление 47
Проекция 56
Производная Лн 36
Простое покрытие 162
Пространственная форма 198
Пространство базисное 56
— коварнантных тензоров 29
— контравариантиых тензоров 29
— постоянной кривизны 192, 194
— расслоения 56
— тотальное 56
Псевдогруппа преобразований 11
Псевдотензориальная форма 79
Разбиение единицы 252
Развертка 129
Разложение де Рама 178, 184
Разрывная группа 51
Ранг отображения 18
Распределение 19
— ннволютивное 19
Расслоение ассоциированное 60
— аффинных реперов 124
— векторное 113
— главное 56
— голономии 87
— индуцированное 66
— касательное 62
— линейных реперов 61
— ортоиормальных реперов 65
— редуцированное 59
— тензорное 62
— тривиальное 57
Редукция связности 84, 86
— структурной группы 59
Редуцированное расслоение 59
Редуцируемая связность 84, 86
— структурная группа 59
Рекуррентная кривизна 279
Рекуррентный тензор 279
Репер аффинный 124
— линейный 61
— ортонормальный 65
Рнманов тензор кривизны 191
Рнманова метрика 35, 150, 151
— — инвариантная 150
— — — каноническая 151
— — индуцированная 150
•— — неопределенная 151
— связность 153
Риманово многообразие 65, 150

344
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Риманово многообразие гиперболическое 198
— — локально евклидово 188, 198, 199
— — неприводимое 173
— — непродолжаемое 172
— — плоское 198, 199
— — полное 166
— — приводимое 173
— — эллиптическое 198
— однородное пространство 150
Свертывание 30
Свободное действие группы 48
Связность 68
— аффинная 127
— — обобщенная 125
— — плоская 198
— инвариантная 84, 104
— — при параллелизме 246
— индуцированная 85
— каноническая 110, 276
— — линейная 277
— — плоская 94
— Левн-Чивита 154
— линейная 118
— — локально симметрическая 278
— метрическая 117, 154
— плоская 94
— рнианова 153
— универсальная 265
—, форма 68
Сегмент 163
Секционная кривизна 192
Сечение 63
—, адаптированное к нормальной^ коорди-
координатной системе 241
Символы Кристоффеля Г^ 138
Симметризация 36
Симметрия 276
Скалярная кривизна 269
Скалярное произведение 32
Скрученный тор 210
— цилиндр 210
Слой 60
Слой-транзитнвность 107
Собственно разрывная группа 50
Стандартное горизонтальное векторное поле
118
Структурная группа 56
Структурные константы 48
— уравнения 80, 81, 117, 120, 127
Тензор коварнантный 29
— контравариантный 29
Тензориальиая форма 79
Тензорная алгебра 30, 32
Тензорное поле 34
— — Рнччн 233
— произведение 25
— пространство 29, 30
— расслоение 62
Теорема голономии 91
— Грина 259
— редукции 86
— Фробениуса 20
— Шура 192
Тип тензора 30
— adG 80
Тождества Бианкн 82, 120, 132
Тор 67
— евклидов 199
— скрученный 210
Точечное поле 128
Тривиальное расслоение 57
Универсальное факторнзационное свойство
26
Уравнения Маурера — Картана 47, 48
Факторпространство 50
Форма Кнллннга — Картана 151
— кривизны 80
— кручения 119
— псевдотеизориальная 79
— связности 68
— тензориальная 79
Формула Лейбница 21
Фундаментальное векторное поле 57
Функции переноса 57
Функция расстояния 153
Цилиндр 210
— евклидов 199
— скрученный 210
Эйнштейново многообразие 268
Экспоненциальное отображение 46, 137, 143
Эффективное действие группы 48
С*-гомотопня 261
G-структура 264
г-форма 16
1-форма 16