Ш. КОБАЯСИ
К. НОМИДЗУ
ОСНОВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Перевод с английского
Л. В. САБИНИНА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 981

22.151
К 55
УДК 513.731
FOUNDATIONS
OF DIFFERENTIAL
GEOMETRY
Volume II
SHOSHICHI KOBAYASHI
and
KATSUMI NOMIZU
INTERSCIENCE PUBLISHERS
New York—London—Sydney
1969
К о б а я с и Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. II: Пер. с
англ.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.—416 с.
Книга является вторым томом двухтомной монографии «Основы дифференциальной
геометрии». В книге рассмотрены подмногообразия, вариации^интеграла длины, комплекс-
комплексные многообразия, однородные пространства, симметрические пространства, характеристи-
характеристические классы.
Кинга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших кур-
курсов физико-математических специальностей.
К L 40-81. !70?0;0000
053@2)-81
Si) Перевод иа русский язык-
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической:
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава VII
П0ДМН0Г00БРАЗИ Я
§ 1. Расслоение реперов подмногообразия 11
§ 2. Отображение Гаусса 15
§ 3. Ковариантное дифференцирование и вторая основная форма ... 19
§ 4. Уравнения Гаусса и Кодацци 29
§ 5. Гиперповерхности в евклидовом пространстве 36
§ 6. Типовое число и жесткость 47
§ 7. Основная теорема для гиперповерхностей ¦ . . 51
§ 8. Автопараллельные подмногообразия и вполне геодезические под-
подмногообразия 57
Глава VIII
ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
§ 1. Поля Якоби 65
§ 2. Поля Якоби в римановом многообразии 70
§ 3. Сопряженные точки 73
§ 4. Теорема сравнения 77
§ 5. Первая и вторая вариации интеграла длины 79
§ 6. Теорема об индексе Морса 87
§ 7. Места среза 94
§ 8. Пространства неположительной кривизны 99
•§ 9. Центр тяжести и неподвижные точки изометрий 105
Глава IX
КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Предварительные алгебраические рассмотрения 110
§ 2. Почти комплексные многообразия и комплексные многообразия . . 116
§ 3. Связности в почти комплексных многообразиях 135
§ 4. Эрмитовы метрики и кэлеровы метрики 139
§ 5. Кэлеровы метрики в локальных координатах 147
§ 6. Примеры кэдеровых многообразий 150
§ 7. Голоморфная секционная кривизна 156
§ 8. Разложение де Рама кэлеровых миогосбразий 161
§ 9. Кривизна кэлеровых подмногообразий . 165
§ 10. Эрмитовы связности в эрмитовых векторных расслоениях .... 167
Глава X
ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Инвариантные аффинные связности 174
§ 2. Инвариантные связности на редуктивных однородных пространствах 178
§ 3. Инвариантные неопределенные римановы метрики 186
1* Зак. 425

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Группы голономии инвариантных связностей 191
§ 5. Разложение де Рама и неприводимость 196
§ 6. Инвариантные почти комплексные структуры 201
Глава XI
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Аффинные симметрические прсстранства 206
§ 2. Симметрические пространства 208
§ 3. Каноническая связность на симметрическом пространстве .... 213
§ 4. Вполне геодезические подмногообразия 217
§ 5. Структура симметрических алгебр Ли 220
§ 6. Римановы симметрические пространства 225
§ 7. Структура ортогональных симметрических алгебр Ли 227
§ 8. Двойственнссть • . 234
§ 9. Эрмитовы симметрические пространства 239
10. Примеры 244
$11. Набросок классификационной теории 264
Глава XII
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
§ 1. Гомоморфизм Вейля 268
§ 2. Инвариантные полиномы 272
§ 3. Классы Черна 279
§ 4. Классы Поитрягина 284
§ 5- Классы Эйлера 286
ПРИЛОЖЕНИЯ
8. Интегрируемые вещественно аналитические почти комплексные струк-
структуры 292
9. Некоторые определения и факты теории алгебр Ли 295
ПРИМЕЧАНИЯ
12. Связности и группы голоиомии (дополнение к примечанию 1) ... 301
13. Группа автоморфизмов геометрической структуры (дополнение к при-
примечанию 9) 302
14. Лапласиан 307
15. Поверхности постоянной кривизны в R3 312
16. Индекс дефектности 316
17. Типовое число и жесткость вложения 317
18. Изометрические вложения 321
19. Проблема эквивалентности для римановых многообразий 324
20. Теорема Гаусса — Бонне 325
21. Тотальная кривизна 328
22. Топология римановых многообразий с положительной кривизной 330
23. Топология кэлеровых многообразий положительной кривизны . . . 334
24. Структурные теоремы об однородных комплексных многообразиях 338
25. Инвариантные связности на однородных пространствах 340
26. Комплексные подмногообразия 342
27. Минимальные подмногообразия 344
28. Контактные структуры и структуры, с ними связанные 345
Библиография к томам I и II 350
Список основных обозначений 401
Предметный указатель к томам I н II 404
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга.—продолжение первого тома «Основ дифферен-
дифференциальной геометрии». Нумерация глав первого и второго»
томов сквозная и, насколько это возможно, во втором томе
сохранены те же „ обозначения, что и в первом. Основной
текст (главы VII—XII) посвящен темам, которые были обе-
обещаны в предисловии к первому тому. Примечания включают
материал дополнительный как для второго, так и для первого-
тома. Библиография второго тома, включает в себя и биб-
библиографию первого тома и для удобства читателей все ссылки
библиографии первого тома сохранены вместе с нумерацией-
Опишем теперь вкратце содержание каждой главы.
Глава VII дает основные результаты и некоторые клас-
классические, теоремы о геометрии n-мерного подмногообразия М*
погруженного в (/г + /?)-мерное риман.ово .многообразие .Л/, в.
частности в Я"+Л В § 1 из римановой связности в ортого-
ортогональном расслоении над N . получены естественные связ-
связности в ортогональном расслоении над М и нормальное рас-
расслоение над М. В §2 для N — Rn+p показано, что эти связ-
связности индуцируются ii3 канонических связностей штифелевых
многообразий V (п, р) и V (р, п) над грассмановым многообра-
многообразием G (п, р) при помощи отображений расслоений, ассоци-
ассоциированных с обобщенным отображением Гаусса из М в G {п, р).
В §§ 3 и 4 используется формализм ковариантного диффе-
дифференцирования ^XY для изучения связи между инвариантами
многообразий М и JV и получения классических формул
Вейнгартена, Гаусса и Кодацци. -Доказывается теорема
Черна—Кюипера, обобщающая теорему Томпкинса. В §§ 5,
6 и 7 рассматриваются классические понятия и теоремы о
гиперповерхностях в евклидовом пространстве, включая ре-
результат Томаса—:Картана—Фиалкова об эйнштейновых ги-
гиперповерхностях . и результаты о типовых числах и так
называемую основную теорему. В последнем § 8 обсуждаются
автопараллельные подмногообразия и ¦ вполне геодезические
подмногообразия-многообразий аффинной связности и дока-
доказано, в частности, ; что эти два понятия совпадают в том
случае, когда связность объемлющего пространства не имеет

?б ПРЕДИСЛОВИЕ
^кручения. Содержание главы VII дополняется примечаниями
Л4, 15, 16, 17, 18, 21'и 27.
Глава VIII посвящена изучению вариационных проблем
для геодезических. В § 1 мы определяем поля Якоби и со-
сопряженные точки многообразий аффинной связности и обсуж-
обсуждаем их геометрический смысл. В §§ 2 и 3 мы проводим даль-
дальнейшее изучение этих понятий в римановом многообразии
и доказываем классический результат о расстоянии между
последовательными сопряженными точками на геодезической
в случае, когда секционная кривизна (или, более общо, каж-
каждое из собственных чисел тензора Риччи) всюду больше, чем
некоторое положительное число. В § 4 мы доказываем тео-
теорему сравнения Рауха. В §5 изучаются первая и вторая ва-
вариации интеграла длины, рассматриваемого как функция на
.пространстве всех кусочно дифференцируемых кривых, и
¦получается, среди прочего, доказательство теоремы Майерса.
Теорема об индексе Морса доказывается в § 6. В § 7 мы
доказываем основные свойства множеств среза. Хотя резуль-
результаты § 7 не используются где-либо еще в этой книге, они
¦составляют базис в теории многоэбразий положительной кри-
кривизны. В § 8 доказывается теорема Адамара и Картана, ко-
которая утверждает, что для полного риманова многообразия
с неположительной кривизной экспоненциальное отображение
есть накрывающее отображение. Это применяется к однород-
однородным римановым многообразиям с неположительной секцион-
секционной кривизной и отрицательно определенным тензором Риччи.
В § 9 мы доказываем теорему о том, что на односвязном
полном римановом многообразии с неположительной секци-
секционной кривизной каждая компактная группа изометрий имеет
неподвижную точку. Даны приложения к случаю однород-
однородных римановых пространств. Результаты §§ 8 и S использу-
используются в § 11 главы XI. Примечание 22 дополняет содержа-
содержание этой главы.
В главе IX мы даем основы дифференцированной геомет-
геометрии почти комплексных многообразий и эрмитовых метрик,
в частности, комплексных многообразий и кэлеровых метрик.
Результаты этой части — существенно локального характера.
После чисто алгебраического введения в § 1 мы обсуждаем
в § 2 понятие почти комплексной структуры, ее кручение и
интегрируемость, так же как и комплексные касательные
пространства, операторы д и д для комплексных дифферен-
дифференциальных форм на почти комплексном многообразии. Дано
множество примеров, включая комплексные группы Ли,
комплексные параллелизуемые пространства, комплексные
грассмановы многообразия, многообразия Хопфа и их обоб-
ПРЕДИСЛОВИЕ
щения и результат Кирхгофа о почти комплексных струк-
структурах на сферах. В § 3 мы обсуждаем связности в расслое-
расслоениях комплексных линейных реперов- почти комплекс-
комплексных многообразий и связываем их кручения с кручением
почти комплексной структуры. В § 4 обсуждаются эрми-
эрмитовы метрики и расслоения унитарных реперов. Наиболее
интересный случай представляют кэлеровы метрики, основ-
основные свойства которых здесь доказываются. В § 5 мы строим
мост между внутренними обозначениями и комплексными
тензорными обозначениями кэлеровой геометрии. В § 6 об-
обсуждается много примеров кэлеровых многообразий, включая
метрику Фубини—Штуди в комплексном проективном прост-
пространстве и метрику Бергмана открытого единичного шара
в С". В § 7 даются основные локальные свойства голоморф-
голоморфной секционной кривизны и доказывается, что односвязное
полное кэлерово многообразие постоянной голоморфной сек-
секционной кривизны с есть комплексное проективное прост-
пространство, комплексное евклидово пространство или открытый
единичный шар в комплексном евклидовом пространстве в
соответствии с тем, будет ли с > 0, с= 0 или с < 0. В § 8 мы:
обсуждаем разложение де Рама кэлерова многообразия и по-
понятие невырожденности. В § 9 рассматривается голоморф-
голоморфная секционная кривизна и тензор Риччи комплексного
подмногообразия в кэлероЕОМ многообразии. В последнем
§ 10 мы изучаем существование и свойства эрмитовой
связности в эрмитовом векторном расслоении, следуя Черну,.
Накано и Зингеру. Эта часть дополняется § 6 главы X,
§ 10 главы XI (где обсуждаются примеры с точки зрения
симметрических пространств) и примечаниями 13, 18, 23, 24
и 26.
В главе X мы обсуждаем существование и свойства инвари-
инвариантных аффинных связностеи и инвариантных почти комплекс-
комплексных структур на однородных пространствах (особенно на ре-
дуктивных однородных пространствах). В § 1 результаты Вана;
из § 11 главы II специализируются к ситуации, когда Р
есть /("-инвариантная G-структура на однородном пространст-
пространстве М=К/Н и изучается /("-инвариантная связность для Р.
В § 2 конструкция специализируется дальше, на случай,,
когда К/Н редуктивно, и здесь получены каноническая связ-
связность и естественная связность Номидзу без кручения. В § 3
мы изучаем однородные пространства с инвариантной (воз-
(возможно, неопределенной) римановой метрикой. В качестве
примера мы даем дифференциально-геометрическое доказа-
доказательство теоремы Вейля о том, что группа Ли G компактна,
если форма Киллинга—Картана ее алгебры Ли отрицательно
определенна. В §§ 4 и 5 доказываются результаты Номидзу

ПРЕДИСЛОВИЕ
и Костанта о группах-голономии и приводимости инвариант-
инвариантной аффинной связности. В § 6, следуя Косулю, мы даем
алгебраическое выражение для инвариантной почти комп-
комплексной структуры на однородных пространствах и для ее
интегрируемости. Глава эта служит базисом для главы XI
и дополняется примечаниями 24 и 25.
В главе XI представлены базисные результаты теории аф-
аффинных, римановых и эрмитовых симметрических пространств.
_Мы уделяем внимание аффинному случаю чуть больше, чем
в стандартной трактовке этого предмета. В § 1 рассматри-
рассматриваются аффинные симметрические пространства и этим
дается геометрическая мотивировка теоретик о-групповому по-
понятию симметрического пространства, которое вводится в § 2.
В § 3 мы обращаем конструкцию § 1; мы начинаем с сим-
симметрического пространства G/H и вводим каноническую аф-
аффинную связность на GjH, превращая G/H в аффинное сим-
симметрическое пространство. Кривизна канонической связнос-
связности задается алгебраическим выражением. В § 4 мы изучаем
вполне геодезические подмногообразия симметрического прост-
пространства G/H- (с канонической связностью) как с геометри-
геометрической, так и с алгебраической точки зрения. Симметричес-
Симметрическая алгебра Ли, введенная в § 3, для симметрического
пространства играет ту же роль, что и алгебра Ли для группы
Ли. В § 5 два результата теории алгебр Ли, а именно тео-
теорема Леви и разложение полупростой алгебры Ли в прямую
сумму простых идеалов, распространяются на случай сим-
симметрических алгебр Ли. Глобальные версии этих результатов
также приведены, В § 6, мы рассматриваем, римановы сим-
симметрические пространства и соответствующие симметрические
алгебры. Симметрическая алгебра Ди, соответствующая рима-
нову симметрическому пространству, называется ортогональ-
ортогональной симметрической алгеброй Ли. В § 7, где изучаются орто-
ортогональные симметрические алгебры Ли, уточняется теорема
разложения, доказанная в § 5. В § 8 изучается двойствен-
двойственность между ортогональными симметрическими алгебрами
компактного и некомпактного типов вместе с геометриче-
геометрическими интерпретациями. В § 9 обсуждаются геометрические
свойства и алгебраическое описание эрмитовых симметриче-
симметрических пространств. В § 10-с точки- зрения симметрических
пространств изучается много примеров классических прост-
пространств, включая вещественные пространственные формы,
первоначально определенные в главе V, и комплексные
пространственные формы, обсуждаемые в главе IX. В послед-
последнем § 11 мы показываем* принимая теорему Вейля о суще-
существовании компактной вещественной формы комплексной
простой алгебры Ли, что классификация неприводимых
ПРЕДИСЛОВИЕ 9
ортогональных симметрических алгебр Ли эквивалентна
классификации вещественных простых алгебр Ли.
В главе XII изложены дифференциально-геометрические
аспекты характеристических классов. Если G—структурная
группа главного расслоения Р над М, то, используя кривизну
связности для Р, мы можем естественным образом ассоции-
ассоциировать с каждым Ad (G)—инвариантным однородным поли-
полиномом / степени k на алгебре Ли для G — замкнутую 2?-форму
на базисном многообразии М. Когомологический класс,
представляемый этой замкнутой 2?-формой, не зависит от
выбора связности и называется характеристическим классом,. !
определяемым полиномом /. В § 1, следуя Черну, мы дока- '
зываем этот базисный результат Вейля. В § 2 мы изучаем: :
алгебру Ad (С)-инвариантных полиномов на алгебре Ли груп-
группы G и определяем эту алгебру точно в случае, когда G—:
классическая группа. В § 3, принимая аксиоматическое
определение классов Черна, данное Хирцебрухом, мы выра-
выражаем классы Черна комплексного векторного расслоения в
терминах формы кривизны для связности расслоения. Дается
также формула для характера Черна в терминах формы
кривизны. В § 4, используя определение Хирцебруха классов
Понтрягина вещественных векторных расслоений, мы полу-
получаем дифференциально-геометрические формулы для классов.
Понтрягина. В § 5 характеризуются вещественные эйлеровы
классы векторного расслоения в простой аксиоматической
манере и получается общая формула Гаусса — Бонне. Эта
глава, в частности § 5, дополняется примечаниями 20 и 21.
Мы хотим особо отметить, что мы не углубляемся в-
следующие теории: теорию B-мерных) минимальных поверх-
поверхностей; теорию глобальных выпуклых поверхностей, разрабо-
разработанную А. Д.Александровыми его школой; геометрию Фин-
слера и ее обобщения; углубленное изучение дифференциаль-
дифференциальных систем. Что касается комплексных многообразий, одно-
однородных пространств (особенно симметрических однородных
пространств), векторных расслоений, G-структур и т. д., тона-
ша трактовка ограничена основным материалом в дифференци-
дифференциально-геометрическом аспекте, что не требует более глубоких
знаний из алгебры, анализа и топологии. Мы не рассматри-
рассматриваем ни теории гармонических форм, ни обобщенной теории
Морса, хотя эти теории имеют много важных приложений
к римановой геометрии. Библиография второго тома содер-
содержит некоторые основные ссылки в этих областях. В част-
частности, по поводу глобальной теории компактных кэлеровых
многообразий, требующей теории гармонических интегралов,
читателю рекомендуется прочесть книгу А. Вейля «Введение
в теорию кэлеровых многообразий».

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
Во время работы над этим томом нас больше всего
вдохновляла реакция на первый том многих читателей,
желавших найти замкнутые в себе и полные доказательства
стандартных результатов дифференциальной геометрии. Мы
искренне надеемся, что настоящий том по-прежнему будет
отвечать запросам этих читателей.
Мы хотим также выразить благодарность национальному
научному фонду (National Science Foundation), который
оказал финансовую поддержку части работы, включенной в
этот том.
Сентябрь 1968 г.
Ш. Кобаяси
К. Номидзу
Глава VII
ПОДМНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Расслоение реперов подмногообразия
Пусть еи . . ., еп+р — естественный базис для Rn+f. Мы обозна-
обозначим через R" и R-р подпространства из R"+-p, порожденные мно-
множествами elt ..., еп и еп + 1, . . ., еп+р соответственно. Аналогично'
мы отождествляем О (л) (соотв. 0(р)) с подгруппой в О(п + р),
состоящей из всех элементов, которые индуцируют тождествен-
тождественное преобразование на подпространстве R-р (соотв. R") из
Другими словами,
\0(п) 0 __ Л/._ч _.!/„ О
О (л)
и О(р).
где 1 п и 1 р обозначают единичные матрицы порядка пир соот-
соответственно. Пустьо(л-)-р), о (л) и о (р)—-алгебры Ли для О(п+р),
О(п) и О (р) соответственно, и пусть д(л, р) — ортогональное
дополнение к о (я) + о (р) в о(п-\-р) относительно формы Кил-
линга — Картана в о(п-\-р) (см. т. I, с. 151, а также приложе-
приложение 9). Тогда g (л, р) состоит из матриц вида
О А
-*А 0
где Л —матрица с п строками и р столбцами, а М обозначает
транспонированную к А матрицу.
Пусть N — риманово многообразие размерности л + Р. и пусть.
/ — погружение n-мерного дифференцируемого многообразия М.
в многообразие - N. Мы обозначаем через g метрику на А/ так же.,
как и метрику, индуцированную на М (см. пример 1.2 главы IV)-
Для любой точки х из М обозначим f (x)? N той же буквой х,
если нет опасности путаницы. Так, касательное пространство'
ТХ(М) становится подпространством в касательном подпростран-
подпространстве TX(N). Пусть ТХ(М)А- — ортогональное дополнение к ТЯ(М}
в TX(N); называем его нормальным подпространством к М
з точке х.
Пусть О (/И) и О (N) — расслоения ортонормальных реперов
над М и N соответственно. Тогда О (N) \ М = {и ? О (N); л (и) ? М\г
где л: O(N)—* N — проекция, есть главное расслоение , над М
со структурной группой О(п-\-р). Говорят, что репер v ?0 (N)\M
адаптированный, если v имеет вид (Ylt . . ., Yn, Yn + 1, . . ., Yn+P})

ПРЕДИСЛОВИЕ
Во время работы над этим томом нас больше всего
вдохновляла реакция на первый том многих читателей,
желавших найти замкнутые в себе и полные доказательства
стандартных результатов дифференциальной геометрии. Мы
искренне надеемся, что настоящий том по-прежнему будет
отвечать запросам этих читателей.
Мы хотим также выразить благодарность национальному
научному фонду (National Science Foundation), который
оказал финансовую поддержку части работы, включенной в
этот том.
Сентябрь 1968 г.
Ш. Кобаяси
К. Номидзу
Глава VII
ПОДМНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Расслоение реперов подмногообразия
Пусть еи .. ., еп+р — естественный базис для R"+-p. Мы обозна-
обозначим через R" и R? подпространства из R"+^, порожденные мно-
множествами ех, ..., еп и еп+1, . . ., еп+р соответственно. Аналогично
мы отождествляем О (л) (соотв. 0(р)) с подгруппой в 0{п + р),
состоящей из всех элементов, которые индуцируют тождествен-
тождественное преобразование на подпространстве R-p (соотв. R") из Rn+P.
Другими словами,
О (Л):
0{п)
о
и О(р)
1п
0
где 1 п и Ip обозначают единичные матрицы порядка пир соот-
соответственно. Пустьо(л-)-р), о (л) и о (р) — алгебры Ли для О(л+р),
О (п) и О (р) соответственно, и пусть д(л, р) — ортогональное
дополнение к о(л) + в(р) в о{п-\-р) относительно формы Кил-
линга —Картана в о(л + р) (см. т. I, с. 151, а также приложе-
приложение 9). Тогда g (л, р) состоит из матриц вида
II ° А
\ — *А 0
где Л —матрица с п строками и р столбцами, а М обозначает
транспонированную к А матрицу.
Пусть N—риманово многообразие размерности л + Р, и пусть.
/ — погружение n-мерного дифференцируемого многообразия М.
в многообразие - N. Мы обозначаем через g метрику на N так же,„
как и метрику, индуцированную на М (см. пример 1.2 главы IV)-
Для любой точки х из М обозначим f(x)?N той же буквой х,
если нет опасности путаницы. Так, касательное пространство'
ТХ(М) становится подпространством в касательном подпростран-
подпространстве TX(N). Пусть r^/W)-1- — ортогональное дополнение к ТЯ(М}
в TX(N); называем его нормальным подпространством к М
з точке х.
Пусть О (/И) и О (N) — расслоения ортонормальных реперов
над М и N соответственно. Тогда О (N) \ М = {v ? О (N); л (v) ? М\?
где п: O(N)—»- N — проекция, есть главное расслоение , над М
со структурной группой О(п-{-р). Говорят, что репер v?0(N)\A$
адаптированный, если v имеет вид (Yt, . . ., Yn, Yn+1, . .., Yn+P})

ГЛ. VI'. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
с Yt, . . ., Ya, касательными к М (и поэтому с Yn+i, . .., Yn^p,
нормальными М). Итак, будучи рассмотрен как линейный изо-
изоморфизм Rb+.p—>-Tx(N), v будет адаптированным тогда и только
тогда, когда v отображает подпространство R" на ТХ(М) (и, сле-
следовательно, подпространство R? на ТХ(М)^-). Легко проверить,
что множество адаптированных реперов образует главное рас-
расслоение над М с группой -О (п)хО(р); это есть подрасслоение
в O(N)\M естественным образом. Обозначим расслоение адапти-
адаптированных реперов через 0(N, M). Определим гомоморфизм h':
¦0(N, M)—>-0(М), соответствующий естественному гомоморфизму
О{п)хО{р) -*0(л), так:
A' (v) = {Yu :.., Yn) для %р = (Ylt ..., Yn+f) € О (N, М).
Если мы рассматриваем v как линейное преобразование Rn+p —»-
—>-Tx(N), то ti (v) есть сужение v на подпространство R". Отсюда
О (М) естественно изоморфно О (N', М)/О(р). Сходным образом,
обозначая через h"(v) ограничение для v?O(N, M) на подпро-
подпространство R-p из R"f-P, получаем гомоморфизм h": О (N', М) —>¦
—+0(N, M)/O(n), соответствующий естественному гомоморфизму
О (п)хО(р) —>¦ 0(р). Под нормальным репером в точке х?М мы
понимаем ортонормальный базис (Z1, . . ., Zp) нормального про-
пространства TX(M.)L. Если (Yu ..., Yn, Yn+1, ..., Yn+p) — адапти-
адаптированный репер в х, то (Yn + 1, . . ., Yn+p) будет нормальным репе-
репером в х. Поскольку каждый нормальный репер может быть по-
получен таким образом и поскольку два адаптированных репера
порождают тот же нормальный репер тогда и только тогда, когда
они конгруэнтны по модулю 0(п), расслоение 0(N, M)/0 (п)
может рассматриваться как расслоение нормальных реперов над М.
Тогда h": О(М, М) —>- О (N, М)/0 (п) отображает адаптированный
репер v = (Yu . . ., Yn+f) на нормальный репер (Yn+1, . . ., Yn+p).
Мы обозначаем через Т(М)Х множество ^xsmTx(M)^-. Тогда это
есть векторное расслоение над М, ассоциированное с расслоением
нормальных реперов 0(N, M)/O(n), если считать, что структур-
структурная группа О (р) действует естественным образом на стандартном
слое R'' (см. § 1 главы III). Назовем это векторное расслоение
нормальным расслоением для М (и данного погружения f в N).
Следующие диаграммы иллюстрируют эти расслоения:
', M)/O(p)JLO(N, М) X. О (N, М)/0 (п)
' it' О(л)хО(р)|я О(р)\п"
М *-+ М «-> М
0(N,
,0{N)\M-U0(N)
м
м
N
где i и / — инъекции.
§ 1. РАССЛОЕНИЕ РЕПЕРОВ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
13
Пусть Э и ф — канонические формы на М и N соответственно
(см. § 2 главы III); 6 есть R"-3Ha4Hafl 1-форма на 0(М), а ф
есть R"+-P-3Ha4HaH 1-форма на 0(М). Тогда имеем
Предложение 1.1. А'*F) совпадает с сужением <р на
О (N, М). В частности, сужение Кп+р-значной формы ф на О (N, М)
будет К"-значно.
Доказательство. По определению ф имеем
ф (Y) = о-1 (л (Y)) для Y ? Tv (О (N, М)).
Так как n(Y)?Tx(M), где \x = n(v), и так как V1 отображает
ТХ(М) на R", ц>(У) лежит в R". Поскольку A'(u)=u|R" и по-
поскольку п'oh' (Y) = n (Y), имеем
q, (Y) = и (я (Y)) = h' (v)-1 (я'оА' (Y)) = 6 (h' (К)) = (/г'* F)) (Y). D
Пусть 1(з — форма римановой связности на 0(N). Ее сужение на
О(М)\М, т. е. /*г|з, определяет связность в расслоении O(N)\M.
Но ее сужение на 0(N, М), т. е. i*/*i|j, не есть, вообще говоря,
форма связности на О (N, М).
Предложение 1.2. Пусть г(з есть форма римановой связ-
связности на 0(N), и пусть со есть о (п) + о (р)-компонента для i*j*ty
относительно разложения о (п +/?) = о (п) + о (р) + % (п, р). Тогда
со определяет связность в расслоении О (N', М).
Доказательство. Так как ad (О (п)хО(р)) отображает
%(п, р) на себя, то мы видим из предложения 6.4 главы II, что
форма со определяет связность в 0(N, М). П
Предложение 1.3. Гомоморфизм h'\ 0(N, M)—>O(M)=
— 0(N, М)/О(р) отображает связность в 0(N, M), определенную
формой со, в риманову связность в М. Форма римановой связно-
связности со' на О (М) определяется так:
где со0(/г) обозначает о (п)-компоненту для а\{п) + о (р)-значной
формы со.
Доказательство. По предложению 6.1 главы II мы знаем,
что h' отображает связность, определенную формой со, в связ-
связность в 0(М), определенную формой со' такой, что /i'*(co')=co0(n).
Чтобы показать, что со' определяет риманову связность в М, мы
должны лишь показать, что форма кручения со' есть нуль. Сужая
первое структурное уравнение для -ф на 0(N, M), получаем
d(iT<P) = —'(i*H?) А (**/*Ф).
Так как 1*/*ф равна К'* F) и Rn-3Ha4Ha по предложению 1.1, то,
сравнивая Rfl-KOMnoHeHTbi обеих сторон, получаем

14
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Поскольку л' отображает О (N, М) на 0(М), это влечет
Од = — со' Д 6- ?
Аналогично по предложению 6.1 главы II мы видим, что
существует единственная форма связности со" на расслоении
О (N, М)/О(п) такая, что
где а>а(р) обозначает о (р)-компоненту для о (л) + о (р)-значной
формы со. Говоря геометрически, со" определяет параллельный
перенос нормального пространства Тх (МI на нормальное про-
пространство Т (М)-1- вдоль любой кривой т в М из х в точку у.
Расслоения O(N,M), O(M) = O(N, М)/0 (р) и О(М, М)/0 (л)
и их формы связности со, со' и со" связаны следующим образом:
Предложение 1.4. Отображение ih', h"): О (N, М)—»
—»О(М)х(О(М, М)/О(п)) индуцирует изоморфизм расслоений
0(N, М) « О (М) + (О (N, М)/О(п)). Форма связности со совпа-
совпадает с /1'*(со') + Л"*(со").
Доказательство тривиально (см. т. I, с. 85).
В заключение скажем несколько слов о специальном случае-—
случае гиперповерхности. Под гиперповерхностью в (л+ ^-мер-
^-мерном многообразии N понимаем (вообще говоря, связное) л-мерное
многообразие М с погружением f: M—>-N. Для каждой точки
х?М имеется координатная окрестность U точки х в М и диф-
дифференцируемое поле, скажем ?, единичных нормальных векторов,
определенное на U. Такое | может быть легко построено при
помощи выбора координатной системы х1, . . ., хп в U и коорди-
координатной системы у1, . . ., уп+1 около х (=f(x)) в N. Действительно,
единичное нормальное векторное поле на U определяется един-
единственным образом с точностью до знака. При фиксированном
выборе \ на U очевидно, что | параллельно вдоль всех замкну-
замкнутых кривых из U (относительно связности в нормальном расслое-
расслоении). Допустим, что N ориентируемо и ориентировано. В этом
случае мы можем выбрать дифференцируемое поле единичных
нормальных векторов над М тогда и только тогда, когда М также
ориентируемо. Действительно, для фиксированной ориентации
на М имеется единственный выбор поля единичных нормальных
векторов ? такого, что для ориентированного базиса {Xlt . . ., Хп\
из ТХ(М) в каждой х?М {Ъ,х, Xlt ..., Хп\ есть ориентирован-
ориентированный базис из TX(N). Обратно, если поле | единичных нормаль-
нормальных векторов существует глобально на М, то базис \Хг, . . ., Хп)
из ТХ(М) такой, что {1Х, Хх, ..., Хп\ есть ориентированный
базис из TX(N), определяет ориентацию на М. Если мы забы-
забываем о конкретной ориентации N и М, то снова дифференцируе-
дифференцируемое поле единичных векторов на М единственно с точностью до-
знака. Относительно выбора | очевидно, что 1 параллельно вдоль
всех кривых из М.
§2. ОТОБРАЖЕНИЕ ГАУССА
15
Не предполагая, что N и М ориентируемы, выбираем единич-
единичный нормальный вектор ?0 в точке х0 из М. Параллельный перенос
здоль всех замкнутых кривых в ха из М будет отображать ?„
или на ?0, или на —10. Другими словами, группа голономии
линейной связности в нормальном расслоении есть подгруппа
группы {1, — 1} (это также ясно из того, что расслоение
О (N, М)/0 (п) нормальных реперов над М имеет структурную
группу 0A) = {1, —1}). Если группа голономии тривиальна (а это
есть случай, когда М односвязно), то ?0 инвариантна относи-
относительно параллельного переноса вдоль всех замкнутых кривых
в х0. Тогда мы можем определить дифференцируемое векторное
поле единичных нормалей 1 на М переносом |0 параллельно в
каждую точку х из М, результат будет независим от выбора
кривой из х0 в х в многообразии М. Можно заключить, что
если 1М ~ односвязная связная гиперповерхность, погруженная в
риманово многообразие N, то М допускает дифференцируемое
поле единичных нормальных векторов, определенное на М.
§ 2. Отображение Гаусса
Мы "рассматриваем R"+p как (п + /?)-мерное векторное про-
пространство со скалярным произведением таким, что естественный
базис ортонормален. Пусть G(n, p) есть множество л-мерных
подпространств из R"+-p. Мы превратим G (п, р) в многообразие
так. Группа О(п-\-р), действующая на R4+p, действует транзи-
тивно на G (л, р) естественным образом. Элементы из О(п-\-р),
которые отображают естественно вложенное подпространство R"
яа себя, образуют подгруппу О'(п)хО (р).?Так мы имеем
Многообразие G (л, р) называется многообразием Грассмана л-пло-
скостей из R"+p.
Под п-репером в Rn+p понимаем упорядоченное множество из л
ортонормальных векторов в Rn+p. Группа О(п-\-р) действует
транзитивно также и на множестве V(п,тр) всех л-реперов в R"+p
естественным образом. Элементы из О(п + р), которые оставляют
неподвижным л-репер (ех, . ., еп), образуют подгруппу О (р). Так
мы имеем
V (п, р) = О(п-\-р)Ю{р).
Многообразие V (л, р) называется многообразием Штифеля л-репе-
л-реперов из Rn+*. -*4 > ^
Аналогично подгруппа изотропии для О(п-\-р) в точке из
V(p,n), представленной р-репером (еп+1, ...,еп + р), есть О (л).
Отсюда V(p, п) может^быть отождествлено с 0(л + р)/0 (л).

16
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Мы имеем теперь следующие три главных расслоения над
О (я, р):
Е=О(п + р) над G (я, р) с группой О(п)хО (р),
E' — V(n, р) над G (я, р) с группой О (я),
E"—V\p, я) над G (я, р) с группой О (р).
Проекция в расслоении Е' имеет следующий геометрический смысл,
я-репер проектируется на я-плоскость, порожденную этим я-репе-
ром. Сходным образом, проекция в расслоении Е" отображает
р-репер в я-плоскость, нормальную к р-шюскости, порожденной
данным р-репером.
Пусть у— каноническая 1-форма для О(п^-р) со значениями
в о (я + р) (см. § 4 главы I). Пусть а>Е есть о (я) + 0 (р)-компонента
для у относительно разложения о (я + р) = о (я) + о (р) + 9 (n> P)'
определенного в § 1. По теореме 11.1 главы II форма соя опре-
определяет связность в Е, которая будет называться канонической
связностью в Е и будет обозначаться Гя.
Естественная проекция из O(n-j-p) на У (я, р) (соотв. на
V (р, я)) определяет гомоморфизм расслоений из Е на ?" (соотв. Е"),
который будет обозначаться /' (соотв. f"). По предложению 6.1
главы II существует единственная связность в Е', обозначаемая
IV (соотв. единственная связность в Е", обозначаемая IV') такая,
что /' отображает ТЕ в IV (соотв. /" отображает Те в IV).
По тому же предложению формы связности со?- и а>Е" для IV и
IV определяются так:
где yv(n) и уО(Р) суть в (я)- и о (р)-компоненты для у соответст-
соответственно. Мы называем IV и Г?» каноническими связностями в .?"
и ?"' соответственно.
В § 6 главы II мы определили Е' -\-Е" как сужение Е'хЕ"
на диагональ в G (n, p)xG(n, р). Имеем (см. предложение 6.3
главы II)
Предложение 2.1. Отображение (f, /"): Е —>¦ Е' х ?"' «н5г/-
цирует изоморфизм расслоений ЕжЕ'-\-Е". Формы канонических
связностей связаны так:
©г = /'•(©?-)+Г* («>?')•
Доказательство. Первое утверждение тривиально. Вто-
Второе утверждение следует из
«? = ?<•(«) +То <р). ?
Пусть М есть /г-мерное многообразие, погруженное в (я + р)-
мерное евклидово пространмство Кп+р. Рассматривая Кп+Р как
плоское риманово многообразие, мы применим результаты §1.
§2. ОТОБРАЖЕНИЕ Г"АУССА
17
В частности, имеем следующие три главных расслоения над М:
P = O(Rn+p, М) над М с группой О(п)хО(р),
Р' = O(M) = O(Rn+P, М)/О(р) над М с группой 0(п),
P" = O(Rn+p, М)/О(п) над М с группой 0(р).
Связности в Р, Р' и Р", определенные формами со, со' и со" в^§. 1,.
будут обозначаться ТР, ТР, и ТР„ соответственно.
Теперь мы определим отображение расслоений g: P —>¦ Е. Рас-
Расслоение O(Rn+P) ортонормальных реперов над Rn+p тривиально
естественным образом, т. е. О (Rn+p) = R"+px0 (n-{- p). Пусть
р: 0(Rn+p)—*-О(я + р) — естественная проекция. Так как Р =
= O(R"+p, M)cO(Rn+p), то каждый адаптированный репер v?P
может рассматриваться как элемент из O(Rn+P). Мы определяем
g(v) = p(v) для v?P.
Очевидно, g есть отображение расслоений из Р в Е = О(п^-р),
т. е. g коммутирует с правыми сдвигами из О (п)хО(р). Отобра-
Отображение расслоений g индуцирует отображения расслоений g':
Р' —у Е' и g": Р" —»¦ Е" естественным образом. Оно также инду-
индуцирует отображение g: M —* G (я, р). Мы суммируем различные
расслоения и отображения в следующей коммутативной диаграмме;
Р'-^Е'
"Л г V"
Р" -*¦ Е-
Теперь мы можем доказать главный результат этого параграфа.
Теорема 2.2. Отображения расслоений g, g' и g" отобра-
отображают связности ТР, ТР, и ТР„ на. канонические связности ТЕ,
Те- и ТЕ» соответственно.
Доказательство. Поскольку f (соотв. /") отображает
ТЕ на ТЕ, (соотв. ТЕ„) и поскольку ti (соотв. /г") отображает ГР
на ТР, (соотв. Тр.), достаточно доказать, что g отображает ТР
на Гя. Плоская риманова связность в Rn+p задается формой р*(у)
на O(R"+p) (см. § 9 главы II), где р: O(Rn+p)= Rn+pxO(n +p) -*
-^>-О(п-\-р) есть естественная проекция. Сужение р* (у) на Р
задается как g*(y). Форма связности со на Р есть о (п) + о(р)-
компонента для g*(y) и отсюда равна g* (соя), так как а>Е есть
о (я) + о (р)-компонента для у. П
Дадим геометрическую интерпретацию g, g', g" и g. Пусть
у1, ..., уп+р — координатная система в Rn+P, и пусть w0 — орто-
нормальный репер в начале, задаваемый как д/ду1, ..., д/дуп+р.
Каждому элементу а?О(п-{-р) сопоставим репер aw0 в начале

18
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
R""*"/7. Это дает ззаимно однозначноа соответствие между О (п -\-р)
и множеством ортонормальных реперов в начале Rn+p. Для каж-
каждого адаптированного репера v g Р в х ? М g(v) есть репер в начале
Rn+p, параллельный у; это следует из того, что отображение р:
O(Rn+P) = Rn+?xO(n + p')—+O(nJrp) есть параллельный перенос
O(Rn'l~P) в реперы в начале. Такая интерпретация для g влечет,
что g' отображает репер и^О(М) на л-репер в R"+p, парал-
параллельный и. Аналогично g" отображает нормальный репер и в х ? М
на р-репер в Rn+?, параллельный и. Наконец, g отображает х ? М
в элемент из G (п, р), представляемый n-мерным подпространством
из R"+p, параллельным ТХ(М).
Когда мы рассматриваем^ориентацию в R"+p, мы берем следую-
следующие три главных расслоения над G(n, p) = SO (n+p)/SO(n)xSO(p):
Ё = SO (л + р) над G (п, р) с группой 50 (л) х SO (p),
?' = SO(n+p)/SO(p) над, G(n,p) с группой SO (п),
E" = SO(n+p)/SO(n) над G(n,p) с группой SO (р).
Базисной пространство <5(л, p) есть многообразие Грассмана
ориентированных, п-плоскостей из Rn+p. Если М ориентируемо
и ориентировано, то, беря те адаптированные реперы, кото-
которые согласованы с ориентациями в М и R"+p, мы получаем
подрасслоение Р для Р с группой SO (n)xS0 (р). Полагаем
Р' = P/SO (р) и Р" = P/SO (л) и определяем отображения Нг,
h", f', f", g, g' и g' аналогично вышеизложенному. Тогда получаем
теорем}^, сходную с теоремой 2.2. Более того, если М есть
ориентированная гиперповерхность в R"+1, то отображение рас-
расслоений g: Р —»- Ё индуцирует отображение <р из базисного про-
пространства М для Р в базисноэ пространство б (л, 1) = S"
(л-сфера) для Е, котороэ называется сферическим отображе-
отображением Гаусса. Говоря геометрически, ср сопоставляет каждой точке
х?М единичный вектор в начале из Rn+1, который параллелен
единичному нормальному вектору %х для М в точке х, выбранному
так, что %х согласован с ориентациями в М и Rn+1. Мы часто
будем отождествлять q>(x) с |ж.
Если М не ориентируемо, то мы ] можем сопоставить каждой
х?М нормаль (нормальную прямую), но не можем получить не-
непрерывное поле единичных нормальных векторов, и так получаем
отображение g из М в вещественное ] проективное пространство
G (л, 1), индуцированное отображением расслоений g: P—>-E.
Пример 2.1. Пусть М — ориентированная гиперпозерхность
в R"+1, как и выше. Расслоение Ё=Ё' = SO (л+1) над G (л, l) = Sn
с группой 50 (л) может быть отождествлено с расслоением ориен-
ориентированных ортонормальных реперов над 5" естественным обра-
§3. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА
19
зом, а каноническая связность в Е (или Ё') может быть отож-
отождествлена с риманоЕОЙ связностью в S" (см. доказательство тео-
теоремы 3.1 главы V). Тогда теорема 2.2 означает, что сферическое
отображение ср: М—>¦ S" Еместе с отображением расслоений g'-
Р' —>- Ё' отображает риманову связность в М в риманову связность
в Sn в следующем смысле. Пусть т — кривая из х?М в у?М.
Параллельный перенос т: Тх(М)—+Ту(М) вдоль т соответствует
параллельному переносу ф(т): 7ф(лг)E")—*ГфD/)E'г) вдоль кривой
ср (т) так. Поскольку ТХ(М) и 7\r<.t)(Sn) перпендикулярны к 1Х,
они параллельны друг другу в Rn + 1 и могут быть отождествлены
при помощи линейного изоморфизма грл: ТХ(М) —> Т9(х) E«). Ана-
Аналогично имеем гру: Ty(M)—*Tq>iy)(S"). Тогда т: ТХ(М)-^ Ту(М)
совпадает с гр^оср (х)о\рк.
§ 3. Ковариантное дифференцирование
и вторая основная форма
В этом параграфе мы обсудим римакову сеязность подмного-
подмногообразия, используя формализм ковариантного дкфференцигования
VXY'• Мы определим также вторую основную форму.
Пусть М есть n-мерное многообразие, погруженное в рима-
ново многообразие N размерности п-\-р. Обозначим через V'
ковариантное дифференцирование в N. Поскольку обсуждение
локально, можем считать, если пожелаем, что М Еложено в Af
и что мы можем выбрать р сечений ?1, . . ., \р нормального рас-
расслоения Т (М)-*-, а именно, р дифференцирую ых г.олей нормаль-
нормальных векторов так, что они линейно незагискмы в каждой течке
из М. Можно далее допустить, что они ортонормальны в каж-
каждой точке.
Пусть X и Y — Еекторные поля ка М. Так как (\'XY)X опре-
определяется для каждого х?М, то обозначим через (SxY)x его каса-
касательную компоненту, а через ах(Х, Y) его нормальную компо-
компоненту, так что
где
и ах(Х,
Здесь (\XY)X вводится только гак симеол для касательной ком-
компоненты; наша цель —показать, что это действительно есть кова-
ковариантное дифференцирование для риканоЕОЙ связности в М.
Легко проверяется, что векторное поле ^XY, которое сопостав-
сопоставляет вектор (VXY)X каждой точке х?М, дифференцируемо и что
ее (X, Y) есть дифференцируемое поле нормальных к М векторов.
Докажем

20
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Предложение 3.1. VXY есть ковариантное дифференциро-
дифференцирование для римановой связности в М.
Доказательство. Мы проверяем свойства A)—D) пред-
предложения 2.8 главы III. A) — C) очевидны из соответствующих
свойств для V' на N и линейности проекции TX(N)—» 7\. (М).
Чтобы-проверить D), допустим, что / — дифференцируемая функ-
функция на М. Тогда
f(x),
где (Xf)Y "касателен к М. Итак, беря касательные компоненты
обеих частей, получаем
что и доказывает свойство D) для V. По предложению 7.5 гла-
главы III видим, что существует единственная линейная связность Г
на М, для которой \XY есть ковариантное дифференцирование.
Чтобы показать, что Г есть риманова связность для индуциро-
индуцированной метрики на М, достаточно показать:
(a) тензор кручения для Г есть нуль, т. е.
\xY-\yX = [X, Y],
(b) Vg = 0.
Для того чтобы доказать (а), напишем
-«(*, Y)
(У, X).
Если мы продолжим X и Y до векторных полей X' и Y' на N
(что локально возможно), то сужение [X', У] на М касается
М и совпадает с [X, У]. Итак,
[X', Г']Ж = [Л\ У]я, где х?М.
Конечно, мы также имеем
YX.Y' = 1XY и \'y.X' = YyX на М.
Из уравнений выше получаем
Vx.Y'-Vy.X'-[X',Y'] =
+ (X,Y) — a(Y,X).
Так как левая часть есть нуль (потому что тензор кручения
римановой связности V' в N есть нуль), то мы видим, что
YX[
[ ] ,
а это и доказывает (а). Более того, далее имеем
a(X,Y) = a(Y, X).
§ 3. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА
21
Чтобы доказать (Ь), начнем с V'g=0, что влечет
X-g(Y, Z) = g(v'xY, Z)+g\(Y,VxZ) на М
для любых векторных полей X, Y и Z на М- Имеем, однако,
g(V'xY, Z) = g(VxY + a(X, Y), Z) = g(VxY, Z),
потому что <x{X, Y) нормально к М. Сходным образом, имеем
g(Y, VxZ) = g(Y, VXZ).
Итак, получаем
X-g(Y, Z) = g(VxY, Z) + g(Y,
что означает Vg"=O. Так мы доказали предложение 3.1. ?
Докажем теперь основные свойства нормальной компоненты
га(Х, Y). Обозначим через Зс(МI- множество всех дифференци-
дифференцируемых полей нормальных к М векторов; это — вещественное век-
векторное пространство и модуль над алгеброй % (М) дифференци-
дифференцируемых функций на М.
Предложение 3.2. Отображение а: X (М)хЗс (М) —*
—^Зс(МI- симметрично (т. е. а (X, Y) = <x(Y, X)) и билинейно
над % (М). Следовательно, <zx(X, Y) зависит только от Хх и Yx и
имеется индуцированное симметричное билинейное отображение
ах из Тх(М)хТх(М) в ТХЩ)К
Доказательство. Симметричность а была доказана в ходе
доказательства предложения 3.1. Аддитивность по X или Y (когда
другое фиксировано) очевидна. Для любой f(z%{M) имеем
, Y)),
что влечет
cc(fX, Y) = f-a
В силу симметрии имеем <х(Х, fY) = f-a(X, Y), а это доказывает,
что ее билинейно над %(М). Оставшаяся часть предложения 3.2
сходна с ситуацией из предложения 3.1 главы I. ?
Мы определяем а: 36 (М) х Ж (М) —> ? (МI- как вторую основную
форму для М (для заданного погружения в Af). Для каждого х 6 М
ах: Тх (М)хТх(М) —> ТХ(МI- называется второй основной фор-
формой для Мех.
В случае, когда М — гиперповерхность, погруженная в N,
выберем поле единичных нормальных векторов Ъ, в окрестности U
точки ха?М. Для любых векторных полей I и Уна U можем
написать
а(Х, Y) = h(X, Y)l,
где h(X, Y) есть симметричное отображение из ?(М)х?(М)
в %(U), которое билинейно над $@). В каждой точке х (= U

22
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
h (x) есть симметрическая билинейная функция на Тх(М)х ТХ(М).
В классической литературе h называется второй основной формой
на М для данного выбора ?. Если возможно выбрать поле еди-
единичных нормальных векторов % глобально на М, то можно опре-
определить h глобально как отображение из Эс(М)~х.2?(М)—»%(М).
Более общо, если М имеет коразмерность р, то мы можем
локально выбрать р полей единичных нормальных векторов
?г> • • •, %р, которые ортогональны в каждой точке. Тогда можем
выразить а так:
получая этим путем р вторых основных форм в классическом
смысле.
Далее, пусть Х^дс(М) и %€Зс(М)-*- и напишем
где в данный момент — (А%(Х)) и Dx\— только символы для ка-
касательной и нормальной компонент, которые зависят от X и ?.
Легко проверяется, что векторное поле х—>-(А§ (Х))х и поле нор-
нормальных векторов х—'(Dx%)x дифференцируемы на М. Относи-
Относительно Ag докажем
Предложение 3.3. A) Отображение (Х,%)? ЩМ)хдс(Ы)^—>¦
—>- Л| (X) ? Ж(М) билинейно над % (М); следовательно, (А%(Х))Х
зависит только от Хх и \х и существует индуцированное били-
билинейное отображение из Tx(M)xTx(M)J- в ТХ(М), где х — произ-
произвольная точка из М.
B) Для каждого ? € Тх (М)-1 имеем
8{Аг{Х), Y) = g(a(X, Y), I)
для всех X, Y?ТХ(М); следовательно, А^ есть симметрическое
линейное преобразование в Тх (/И) относительно gx.
Доказательство. A) Аддитивность по X или Ъ, (когда
другое фиксировано) очевидна. Для любой f€-i$(M) имеем
Сравнивая это с
получаем А^ (X) = fA^ (X) для касательных компонент и Dx (/!)=
= (Xf)l+f-Dxl для нормальных компонент. (Второе тождество
будет использовано в следующем предложении.) С другой стороны,
сходные аргументы для V/'x (?) влекут, что A^(fX) = f ¦ А^(Х). Это
показывает, что А% (X) билинейно по X и ? над $(М). (Мы имеем
также DfX?, =f-Dx%, что будет использовано в следующем пред-
предложении.)
§ 3. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА
B) Для любого Y??(M) имеем g(Y, i) = 0. Дифференцируя
ковариантно по X (для римансвой связности V'), имеем
X, Y), l)-
, i) = g(Y, Dxt,) = 0, получаем
g(a(X, Y), ?) = g№), Y).
так что
Поскольку
Это показывает, что Л§ есть линейное преобразование в ТХ(М),
соответствующее симметричной билинейной функции а на Тх(М)х
ХТХ(М). Итак, Л| симметрическое: g(A$(X), Y) = g(X, A^(Y)),
что и доказывает предложение 3.3. fl
Что же касается Dx, то имеем
Предложение 3.4. Отображение (X, |) ^ j?(.M)x3?(M)-l -->¦
¦^Dx%? Зс(МI- совпадает с ковариантным дифференцированием
сечения^, нормального расслоения Т(МI- в направлении X относи-
относительно связности в Т(М)±, определенной в § 1.
Доказательство. В предыдущем доказательстве мы про-
проверили те же формальные свойства для Dx, что и в предложении
1.1 главы III. Итак, Dx\ действительно есть ковариантное диф-
дифференцирование некоторой линейной связности в нормальном
расслоении. Более того, для \, т] ? ЗЁ^)-1- имеем
= —14
так что
Dxr],
что 'показывает, что наша связность для Dx метрическая для
послойной метрики в Т (МI-, а именно для сужения?^ на нор-
нормальные пространства.
Остается показать, что^метрическая связность для Dx совпа-
совпадает со связностью, определенной в § 1. Мы, однако, опустим
доказательство этого. ?
Итак, мы получили первый набор основных формул для под-
подмногообразий, а ^именно:
(I)
(Н)
(I) называется формулой Гаусса, а (II) —формулой Вейнгар-
тена.
В случае гиперповерхности М (II) принимает более простую
форму. Действительно, если мы возьмем поле единичных нормаль-
нормальных векторов |, то, дифференцируя g(l,, ?)=1, получаем
g(V'xl, 5) = 0 и отсюда

24
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Поскольку Ду§ нормален и есть поэтому скалярное кратное
для I, то мы должны иметь Dj? = 0 в каждой точке. Итак, D^> = О
(когда g&, Ъ)=--\).
В следующих примерах обсудим специальные случаи для '(I)
и (II), а также дадим геометрические следствия предложений
3.1—3.3.
Пример 3.1. Пусть Мх и М2— подмногообразия, оба раз-
размерности п, в римановом многообразии N размерности п + р-
Пусть -z = x{t), O^t^l,—дифференцируемая кривая в Мг Г) М2.
Будем говорить, что Мг и М2 касательны друг другу вдоль т,
если TX{t\(M1) = TX{t)(M2) для каждого t, Q^.t-^.1. В этом
елучаг параллельный перенос вдоль т в Мх совпадает с парал-
параллельным переносом вдоль т в М2. Действительно, если X = хи
то для любого векторного поля Y вдоль т имеем
\'xY = \fY + a.^{X, Y)=V?Y+a™(X, Y),
где va> (соотв. vB)) — ковариантное дифференцирование для Мг
(соотв. М2), а ее'1' (соотв. сс<2)) — вторая основная форма для Мг
(соотв. М2). Теперь, если мы допустим, что Y параллельно
вдоль т в Afj, ю
что влечет, что V'xY нормально к Мг (и к М2). Это в свою оче-
очередь означает, что V^Y = 0, т. е. Y параллельно вдоль т и в М2.
В частности, если т — геодезическая в Ми то т — геодезическая
и в М2.
Пример 3.2. Пусть М — подмногообразие в N. Пусть т = х{г
O^.t^.1, есть кривая в М. Тогда т есть геодезическая в М
тогда и только тогда, когда Vx^> гДе X—xt, нормально к М.
В частности, если т есть геодезическая из N, содержащаяся в М,
то она есть геодезическая и в М. (Геодезическая из М, вообще
говоря, не есть геодезическая в N; мы обсудим этот вопрос де-
детально в § 8.)
Пример 3.3. Пусть М — подмногообразие размерности п в
римановом многообразии N размерности п-\-р. Пусть х0 — точка
из М. Можно взять систему нормальных координат у1, ...,уп+р
с началом х0 такую, что (д/ду1)Хо, . . ., (д/дуп)Хв порождают ТХв (М).
Действительно, пусть Y17 ..., Yn, Yn + 1, ..., Yn+p — ортонор-
мальный базис в ТХо (N) такой, что Yx, . . ., Yn образуют базис
в TXtt (M). Можно выбрать систему нормальных координат
у1, ..., уп+р такую, что (d/dyi)Xa = Yi, 1<1<л + р (см. §3
главы IV). Заметим, что Yn+1, . .., Yn+p образует базис в ТХо Ш)х-
Пусть х1, ..., хп — произвольная координатная система в ок-
окрестности U точки х0 в М, и пусть
J3. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА
25
есть система уравнений, определяющих вложение V в N. Пока-
Покажем, что
ссх, ((д/дх%0, (д/дх»)Хо) = 2?±S+i (д*у*/дх>- dx»)XoYk;
именно, коэффициенты для аХо относительно базиса (д/дх1)^, . ..
.., (д/дх")Хо в TXJM) и базиса Yn+1, ..., Yn+p в ТХа (М)± суть
элементы гессиана d2yk/dxxdxil в х0. Чтобы доказать это, вычислим
») (д/ду*)
Чдх%) Гд/ду1 (д/ду")
E ») (д/ду*)
= 2ХР*. z-i (дук/дх*) (дуЧдх%) Г'й (д/ду«)
+ 2KS (д*Ук/дххдх») (d/dyk),
где T'kf — символы Кристофеля для римановой связности в N
относительно у1, . . ., уп+р. Отметим, что Г^Т* есть нуль в начале
%0 нормальной системы координат. Беря нормальные компоненты
обеих частей написанного выше уравнения в х0, имеем
а,. ((д/дх*)Хш, (д/дх»)Хо) = ^ХЛА (д*у"/дх^дх»)х<ук.
Пример 3.4. Пусть jV = Rn+1 — евклидово пространство со
стандартной евклидовой метрикой, и пусть М есть n-мерное под-
подмногообразие в R"+1, т. е. гиперповерхность в Rn+1. Мы можем
локально представить М так:
где у1,
у"*1 — стандартная ортогональная координатная си-
сихп
р рд
стема, ах1, ..., хп — произвольная локальная координатная си-
система в М. Или еще можем рассматривать У = {УХ, ¦ ¦ ¦, уп+х) как
радиус-вектор точки с координатами (у1, . . ., уп+х) и представлять
М локально как уравнение для векторнозначной функции
у = у(х\ ..., х").
Для каждого i, I ^ i ^ п, векторное поле д/дх{ может быть вы-
выражено векторнозначной функцией е? = ду/дх'. Индуцированная
метрика g на М задается тогда так:
где (,) обозначает стандартное скалярное произведение в вектор-
векторном пространстве Rn+1. Выберем векторное поле единичных нор-
нормальных векторов | на М, которое представляется векторнознач-
векторнозначной функцией ? (л:1, -.., хп) на координатной окрестности из М.
Тогда
(I, 1)=\ и (g, ei) = 0, 1<(<л.

26 ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Так как риманова связность в Rn + 1 плоская, то "имеем
что является частной производной векторнозначной функции еу.
Итак, формула Гаусса может быть написана так:
(I)
(I)
де,/дх( = ^JLi
где Гц, как мы знаем,—символы Кристофеля" для римановой
связности гиперповерхности М, т. е.
/ () 2*-ir/ (^)>
a ft/yr — коэффициенты второй основной формы. Аналогично фор-
формула Вейнгартена принимает вид
где (af)— матрица, представляющая Л = Л? по отношению е,-=
= (д/дх'~), l^i^ п. Как специальный случай предложения 3.3
B) (или в результате прямой проверки) имеем g(Aeit ey-) = /i(e,-, e/),
т. е.
где (g*^) есть обратная матрица матрицы (gkj).
Пример 3.5. Продолжая пример 3.4, мы вновь рассмотрим
сферическое отображение ср: х?М—>-%x?Sn, определенное в § 2.
Для каждой точки х?М дифференциал (ф*)ж есть линейное ото-
отображение из ТХ(М) в Гф (*) (S"). Давайте обозначим рх естест-
естественный линейный изоморфизм из Тх (Rn+1) на Tq,{x)(R.n+1); заме-
заметим, что рх отображает Тх (М) на Tv^X)(Sn). Мы покажем, что
линейное преобразование р*1 • (ф*)* из ТХ(М) в себя совпадает
с —Л из примера 3.4. Действительно, каждое e]- = {dldxi) отобра-
отображается посредством (q>m)x в вектор из Гф (ж) (Sn), представленный
вектором (д%/дх/)х из R"+1. Тогда Pi • (ф*)* е/ тоже представлен
вектором (д^/дх/)х. По (II) примера 3.4 это означает, что р^1 ¦ (ц>»)х
отображает е- на—2j*-ia/e*- Итак, наше отображение совпадает
с —Л.
Мы можем поэтому сказать, что после отождествления при
помощи рх — Ах есть не что иное, как якобиева матрица сфери-
сферического отображения. Можно также связать сферическое отобра-
отображение с параллельным переносом на М (см. теорему 2.3). Пусть
х (t) — кривая на М, и пусть Xt = x(t) — поле ее касательных
векторов. Предположим, что Yt есть поле векторов, которые па-
параллельны вдоль х (t) на М. Тогда pX(t)-Yt параллельно вдоль
кривой q>(x(t)) из S". Чтобы доказать это, напишем
dYd
t, Yt)l
x(t),
§3. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА
27
так как \xtYt = 0. Это означает, что dYt/dt нормально к М вдоль
x(t). Так как pX(t)-Yt представляется той же самой Н"+1-значной
векторной функцией от t, что и Yt, и так как pX(t)-%x(t) равно
единичному нормальному вектору к 5я в ф(д;(^)), то отсюда сле-
следует, что d(pX(t)-Yi)ldt нормально к 5" вдоль ф(д;B1)). Это дока-
доказывает, что pX(t)-Yt параллельно вдоль ф(д;(^)) на 5".
Мы заключим этот параграф выражением второй основной
формы на М в терминах канонической формы и формы связности
расслоения О (N, М).
Пусть М есть л-мерное многообразие, погруженное в (п-\-р)-
мерноз риманово многообразие М. Пусть ф и гр — каноническая
форма и форма римановой связности на О (N) соответственно. Мы
определяем R^-значную квадратичную форму а на O(N, M) так:
сс(Х, Y) равно R^-компоненте для ¦
где X и Y — касательные векторы к О(N, М) в точке v?O(N, M).
Возьмем естественный базис для R>!+'' так, что первые п век-
векторов базиса порождают R", а последние р векторов порождают
Rp. Тогда мы можем записать ф и г|з в матричной, форме (фл) и
(г|з$) соответственно. Мы используем соглашение, что индексы
А, В, ... принимают значения от 1 до п + р, индексы i, j, ...
принимают значения от 1 до п, а индексы г, s, ... меняются
от л + 1 до л + Р- Мы знаем по предложению 1.1, что суженные
на О (N, М) формы фг обращаются в нуль. Первое структурное
уравнение для O(N), суженное на O(N, M), дает
Отсюда следует, что, будучи сужена на О (N, М), ^ может быть
выражена так:
Отсюда ее = (<хг) может быть записано так:
Предложение 3.5. Вторая основная форма а погруженного
подмногообразия М в римановом многообразии N связана с фор-
формой -х на О (N, М) следующим образом:
а(яХ, nY) = v{a{X, Y)) для X, Y?TV{O{N, M)),
где я обозначает проекцию О (N, М)—*М.
Доказательство. Так как утверждение, подлежащее до-
доказательству, локально, то мы можем предположить, что О (N, М)
допускает сечение. Мы продолжаем заданный вектор Y 6 Tv (O(N,M))
до векторного поля Y на O(N)\M такого, что оно инвариантно

28
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
при действии структурной группы О (п -+- р) и касательно к О (N, М}
в каждой точке из О (N, М). Чтобы построить такое векторное
поле У, возьмем сечение а для О (N, Л4) и продолжим сначала
заданный вектор до векторного поля наа(М), а затем продолжим
его до векторного поля на O(N)\M, разнося действием группы
О(п + р). Сужение У на О (N, М) будет обозначаться той же
самой буквой. Тогда ф(У) может рассматриваться как Rn+^-3Ha4-
ная функция, определенная на O(N)\M или на О (N, М) в со-
соответствии с тем, рассматривается ли Y как векторное поле,
определенное на O(N)\M или на О (N, М). Из определения ка-
канонической формы ф мы имеем
= а-1!(я|(Уа)) для u?O(N)\M.
(Мы обозначаем через я проекцию из О (N) \ М на М, так же
как и проекцию О (N, М)—*-М.) Теперь мы в состоянии приме-
применить лемму в доказательстве предложения 1.1 главы III (т. I, с. 115);
роль / здесь будет играть ф(У).
Продолжим пХ ? ТЛ(П)(М) до векторного поля на М и обозна-
обозначим X' его горизонтальный лифт до О (N) \ М относительно связ-
связности, определенной сужением if> на О (N) | М. Тогда
)v)
Аналогично обозначим через X* горизонтальный лифт для пХ*
до О (N', М) относительно связности, определенной о(п)-\-о(р)-
компонентой сужения г|э на О (N, М). Тогда
()я{0, ((Х(ф(
Поскольку яХ — я (Хё) = я (Х*о), имеем
v;xnr- \nxnY = v (((Х'-Х*) (Ф (У))),).
Так как г|з (Х')„ = 0, имеем Ц (X'— Х% = — 4>(X*)V. Полагаем
A=y(X'-X*)v = — Ц(Х*)„ео(п+р).
Фундаментальное векторное поле А* на О (N)\ M, соответствую-
соответствующее А, совпадает с вертикальным векторным полем Х'—Х* в и.
Чтобы оценить (X' — Х*)(у (У)) в v, рассмотрим Л*(ф(У)). По
предложению 3.11 главы I мы имеем
Л*(ф(У)) = У(ф(Л*)) + Ф([Л*, Y]) + 2d<p(A; У).
Так как А* вертикально, то мы имеем ф(Л*) = 0. Поскольку У
инвариантно при действии O(n-j-p), имеем [А*, У] = 0. Отсюда
А* (Ф (У)) = 2dq> (А*, У) = — Ц (А*) Ф (У) + ур (У) Ф (А*) = Мр (А*) Ф(У).
Оценим равенство выше в точке v. Так как А*О = (Х' — X*)v
и ч|з (Л*) = А = — гр (X*)v, имеем
(ХУ = (а(А'*) У)),.
§4. УРАВНЕНИЯ ГАУССА И КОДАЦЦИ
Отсюда
Vnx пУ- ЧяХпУ = v (((Х'-Х*) (Ф (У))),) = v(а(X*, Y)v).
Так как а'= 2*.//4f/<PlVi To отсюда следует, что (oi(X*,Y))v —
= (ее (X, У))„. По определению
a.(nX, nY) = VnXnY — 4nXKY.
Отсюда
nY) = v(a(X, У)). ?
§ 4. Уравнения Гаусса и Кодацци
Пусть М есть n-мерное риманово многообразие, которое изо-
изометрически погружено в (п + р)-мерное риманово многообразие N.
Найдем сначала связь между тензорными полями кривизны на
М и N.
Поскольку обсуждение локально, мы можем выбрать р орто-
нормальных полей нормальных к М векторов %и . . ., Ъ,р. Пусть
h' — соответствующая вторая основная форма, и пусть Л,- = Л|._
Используя формулы Гаусса и Вейнгартена, получаем для любых
векторных полей X, У и Z, касательных к М,
где суммирование распространяется от 1 до р. В последнем вы-
выражении два первых члена дают касательную компоненту, а два
последних члена — нормальную компоненту.
Для получения Vv-(VjfZ) мы можем просто поменять местами
X и У в написанном выше уравнении. Имеем также
nZ = V[;r.nZ +2
, Z)\l;
в силу [X, У] = yxY — \YX на М. Используя эти уравнения,
находим, что касательная компонента для
R'(X,
'IX.
равна
R(X,
, Z)Ai(Y)-hi(Y, Z)Ai(X)\.

30
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Если W касательно к М, то получаем
g(R'{X, Y)Z, W) = g(R(X, Y)Z, W)
2' Z)h'(Y, Wy-h'(Y, Z)h'(X, W)}
, Y)Z, W) + g(a(X, Z), л (Y, j
-giaty, Z), a (A, IF)),
поскольку, например,
2A'"(*, Z)g(Ai{Y), W) = 2h
в силу ортонормальности
'(X, Z)h'(Y, W)
= g(a{X, Z), a(Y, W)
\х, ..., \p. Итак, связь между тензо-
тензорами римановой кривизны на N и М (см. § 2 главы V) задается
так:
Предложение 4.1 (уравнение Гаусса).
R'(W, Z, X, Y) = R(W, Z, X, Y)+g(a(X, Z), a(Y, W))
-g(a(Y, Z), a(X, W))t
где X, Y, Z и W — произвольные касательные к М векторы.
При желании можно сформулировать уравнение Гаусса в тер-
терминах преобразования кривизны так. Для X, Y, Z ?ТХ(М) су-
существует единственный элемент из ТХ{М), который мы обозна-
обозначим В(Х, Y)Z, такой, что g(B(X, Y)Z, W)=g(a(X, Z),
¦a (К, W))—g(a(Y, Z), a(X, W)) для каждого W 6 Tx (M). Ясно,
что В (X, Y) Z трилинейно по X, Y и Z и что В (Y, Х) = — В (X, Y).
Уравнение Гаусса означает тогда, что преобразование кривизны
R' (X, Y) с последующим проектированием Тх (N) —*- ТХ(М) равно
R{X, Y) + B{X, Y).
Следствие 4.2. Если N—многообразие постоянной секцион-
секционной кривизны k, то
R(X, Y)Z =
, Z)X-g(X, Z)Y}-B(X, Y)Z.
В частности, если A/r = Rn+^ (с плоской метрикой), то
R(X, Y) = — B(X, Y).
Доказательство. Эго следует из выражения для R', дан-
данного в следствии 2.3. главы V. ? .-.-,: *»--<й
Пример 4.1. Если коразмерность р есть единица, т.е. если
М — гиперповерхность в Лг, то имеем
В(Х, Y)Z = h(X, Z)AY — h(Y, Z) AX
= g(AX, Z)AY-g(AY, Z)AX.
В частности, если N=Rn+1, то имеем
R(X, Y)Z = g(AY, Z)AX—g(AX, Z) AY.
§4. УРАВНЕНИЯ ГАУССА^. HJ КОДАЦЦИ
31
Это есть классическое Гуравнение Гаусса" (при^л = 2). Заметим,
что правая часть его не зависит от выбора единичных нормалей.
Пример 4.2. Пусть М —гиперповерхность в Rn+1. При любом
выборе поля единичных нормалей ? А = А^ есть симметрическое
преобразование в ТХ(М). Поэтому существует ортонормальный
базис Хг Хп в ТХ(М) такой, что AXi = lkiXi, 1 < i < п„
где klt ..., Хп — собственные значения А. Для любой пары (i, /),
где I < /, имеем
R(Xt,
;, Xk)AXj
[ 0, если k=^=i, j,
= \ —rki%jXJ, если k=i,
{ 'ki'KjXi, если k = j.
Итак, R (X;, Xj) представляется кососимметрической матрицей
относительно Xlt ..., Xn. Пусть M=Sn(r)—гиперсфера радиуса
г > 0 с началом 0 в Rn+1. Если мы выбираем внешнюю единич-
единичную нормаль ?я. = л;/||х| для х^уИ,тоЛ| = — A//")/ в силу при-
примера 3.5, где / обозначает тождественное преобразование в ТХ(М).
По классическому уравнению Гаусса имеем
R(X, Y)[Z = (l/r4(g(Y, Z){X-g(X,
что показывает, что Sn(r) имеет постоянную секционную кри-
кривизну 1/г2. (Этот результат был установлен в теореме 3.2 главы V
другим способом; наш теперешний метод является классическим
и более элементарным.)
Давайте теперь рассмотрим нормальную компоненту для
R' (X, Y) Z произвольного подмногообразия М в N. Используя
выражение для vir(VyZ), Vy(Vx^) и \[х, y]Z и замечая, что
X-hl(Y, Z) — h'(XxY, Z) — hi{Y, TXZ) = tfji1) (Y, Z), видим, что
нормальная компонента для R (X, Y)Z равна
{h<(Y,_Z)D?l-h'(X, Z)DYli\.
В действительности мы можем дать более простое выражение для
написанного выше нормального вектора. Для второй основной
формы a мы определяем ковариантную произЕОДную, обозначае-
обозначаемую vxa. так:
= Dx(a(Y, Z))-a(\xY, Z)-a(Yt \XZ).

32
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
i 4. УРАВНЕНИЯ ГАУССА И КОДАЦЦИ
33
(Это есть ковариантная производная от а по отношению к связ-
связности в Т (М)-\- Т (М)-1, полученной комбинацией связностей Vx
в Т (М) и Dx в Т (М)х; см. предложение 6.3 главы II и пред-
предложение 1.2 настоящей главы, впрочем, мы далее не намерены
работать с такими конструкциями.) Используя ?1( ..., %р, имеем
(Y, Z)\t)
Y> Z)+h'(Y, 4xZ))\t
У, Z)lt+^h'(X, Z)Dxli
h'(Y,
. . ¦ *_ % ' -/-ЛОГ
Отсюда следует, что нормальная компонента для R' (X, Y) Z вы-
выражается как Dx<x)(Y, Z) — (УуЯ)(Х, Z). Так мы имеем
Предложение 4.3 (уравнение Кодацци). Нормальная ком-
компонента для R' (X, Y) Z есть
(Vxa)(Y, Z) — (Vycc)(X, Z)
= 2{(V^')(^. Z)-(Vyh')(X, Z))lt
+ 2 \hi (У. Z) Dxl, -h' (X, Z) Ufa).
Следствие 4.4. Если N — многообразие постоянной секцион-
секционной кривизны, то имеем
(VX*)(Y, Z) = (Vya)(X, Z).
Доказательство. Из следствия 2.3 главы V мы знаем,
что R' (X, Y)Z касается М; отсюда его нормальная компонента
есть нуль. ?
Пример 4.3. Если A/r = R"+1 и если М — гиперповерхность,
то имеем Dx% = 0 и отсюда
(Vxh)(Y, Z) = (VYh)(X, Z),
или эквивалентно
Это есть классическое уравнение Кодацци (при л = 2).
Замечание. В конце § 3 мы показали, как вторая основ-
основная форма а может быть выражена в терминах канонической
формы ф и формы связности г)з на расслоении 0(N, M). Мы ука-
укажем, как уравнения Гаусса и Кодацци могут быть получены
с этой точки зрения. Используя то же соглашение, что и в § 3, а
именно, что 1 ^ А, В, . . .^.п +р, в то время как 1 ^ i, j, . . .^ п
и п-\-\ ^.r, s, .. . ^ п-{-р, выражаем второе структурное урав-
уравнение так:
(^s) — форма кривизны на N. Полагая A = i и В = j и сужая так
записанное второе структурное уравнение на О (N, М), получаем
где (Q/) — форма кривизны на М (поднятая с 0(М) до 0(N, /VI))-.
Так как фг = —^ = —2*-^'*<Р* и М3/= 2г ^//Фг> имеем
Это эквивалентно предложению 4.1 (уравнение Гаусса). Сходным
образом, полагая Л = s, а В = j во втором структурном уравнении
для N и сужая его на 0(N, M), получаем уравнение, эквивалент-
эквивалентное предложению 4.3 (уравнение Кодацци).
В оставшейся части этого параграфа докажем некоторые тео-
теоремы, включающие секционную кривизну. Сначала получим подго-
подготовительные результаты.
Предложение 4.5. Пусть М есть п-мерное подмногообра-
подмногообразие, погруженное е (п + р)-мерное риманово многообразие N. Пусть
X и У—пара ортонормальных векторов из ТХ(М), где х ? М. Для
плоскости X /\ Y, натянутой на X и Y, имеем
kM(X AY) = kM(X AY)+g(a(X, Y),a(X, Y))
-g(a(X, X), a(Y, Y)),
где kN (соотв. kM) обозначают секционную кривизну в N (соотв.
в М). В частности, если Ar = Rn+'\ то
kM(X AY)=g(a(X, X), а (У, Y))-g(a(X, Y), а(Х, У)).
Доказательство. Это есть немедленное следствие из урав-
уравнения Гаусса в предложении 4.1, так как
kN(X AY) = R' (X, Y, X, Y) и kM (X A Y) = R (X, Y, X, Y). ?
Предложение 4.6. Пусть М есть п-мерное компактное
многообразие, погруженное в Кп+р. Тогда имеется точка хо?М
такая, что
а{Х, Х)фО для любого Х?ТХо(М), X фО.
Доказательство. Пусть у(х) обозначает радиус-вектор
точки в Ц.п+р, соответствующий точке х?М. Пусть ф(х) = (у(х),
у (х))/2, где (,) есть евклидово скалярное произведение. Дифферен-
Дифференцируемая функция ф на М достигает максимума, скажем в х0.
А именно, хй есть точка такая, что точка у(хо)=у0 лежит на
максимальном расстоянии от начала в Rn+^. Последующие рас-
рассуждения справедливы, если ф имеет локальный максимум в х0;
поэтому мы теперь допустим, что некоторая окрестность U точки
л;0 вложена в Rn+*, и отождествим х? U с у(х), так что ф(х) =
2 Зак. 425

3-1 ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
= (х, х). Для любого векторного поля X на. U Хх (т.е. X,
примененное к векторнозначной функции х) есть векторнозначная
функция, которая и выражает X.
Учитывая сказанное, имеем Хц> = (Х, х) и это есть нуль в х0.
Итак, (ХХо, х0) = 0. Поскольку X произвольно, это показывает,
что вектор х0 нормален к М в точке х0.
Имеем далее
§4. УРАВНЕНИЯ ГАУССА И КОДАЦЦИ
35
Х, Х) = (а(Х, X), x)+g(X, X) в х0,
так как \'хХ=^хХ + а.(Х, X). Поскольку ф имеет локальный
максимум в х0, отсюда следует, что Х2ц> Ct 0 в х0. Итак, мы полу-
получаем
т. е.
Ха, XJ, *0)<-
и а(Хх
о (х,, Ха)ф0
для ХХоФ0. Это доказывает, что сс(Х, Х)Ф0 для каждого не-
ненулевого Х?ТХо(М). D
Теперь мы сформулируем главный результат.
Теорема 4.7. Пусть М есть п-мерноекомпактное риманово
многообразие, изометрически погруженное в Rn+P. Если в каждой
точке х из М касательное пространство Тх (М) содержит т-мер-
ное подпространство Т'х такое, что секционная кривизна любой
плоскости из Т'х неположительна, то имеем р~^т.
Доказательство. По предложению 4.6 существует точка
х из М такая, что <х(Х, Х)=ФО для любого ненулевого вектора
X из ТХ(М). Рассмотрим сужение а на Тх х Т'х. По предположе-
предположению секционная кривизна k(X /\Y) неположительна для любой
плоскости X Д У из Т'Х(М). По предложению 4.5 имеем
g(a(X, X), а (Г, Y))-g(a(X, Y), a(X, У)) < 0
для любой пары X, Y ортонормальных векто;:ов из Т'Х(М). В дей-
действительности предыдущее неравенство справедливо для всех X и
Y из Т'Х(М) по предложению 1.3 главы V (или может быть непо-
непосредственно проверено путем ортонормализации X и У). Наше
заключение следует поэтому из такой леммы.
Лемма. Пусть ее: RmхЯт —* R' есть симметричное билиней-
билинейное отображение, и пусть g —положительно определенное скаляр-
скалярное произведение в Rf. Если
A) g(a(x, х), а (у, y))—g(a(x, у), а(х, #))< 0
для всех х, y?Rm и если
B) a(jc, х)фО
для всех ненулевых x?Rm, то мы имеем р~^т.
Доказательство. Можно продолжить a до симметричного
комплексного билинейного отображения из Ох С в О. Рассмот-
Рассмотрим уравнение
а (г, г) = 0.
Так как а. О-значна, то уравнение это эквивалентно системе
из р квадратных уравнений:
а1 (г, г) = 0, ..., аР(г, г) = 0.
Допустим р < т. Тогда система уравнений выше имеет ненулевое
решение г. По условию B) z не содержится bR". Пусть z = x +
+ Y—1 У, где х, (/?Rm и уфО. Так как
0 = сс(г, z) = a.{x, x) — a(y,
то имеем
а(х, х) =
и а(х, у) =
Существование такой пары х, у векторов противоречит условию
A). ?
Замечание. Поскольку мы используем кривизну, погруже-
погружение в теореме 4.7 должно быть по крайней мере класса С3. Ч ер н
и Кюипер [1] сформулировали (но не доказали) лемму выше
и показали, что она влечет теорему 4.7, после чего лемма была
доказана Оцуки [1]. Вышеизложенное доказательство принадле-
принадлежит Шпрингеру (Т. A. Springer).
Из теоремы 4.7 получаем
Следствие 4.8. Компактное риманово многообразие раз-
размерности п с неположительной секционной кривизной не может
быть изометрически погружено в R272".
В частности, имеем следующий результат Томпкинса [1]:
Следствие 4.9. Компактное плоское риманово многообразие
размерности п не может быть изометрически погружено в R2*'1.
Следствие 4.8 было обобщено О'Ней л ом [2] так. Пусть
М—компактное п-мерное риманово многообразие, а М — полное
односвязное риманово многообразие размерности меньше чем 2га.
Если секционные кривизны К и К для М и М удовлетворяют
неравенствам /С^/С^О, то М не может быть изометрически
погружено в М. Как указал О'Нейл, теорема 4.7 может быть
обобщена сходным образом.
Относительно других приложений идеи Черна — Кюипера из
теоремы 4.7 см. Оцуки [2], [3].
2* Зак. 425

36
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
§ 5. Гиперповерхности в евклидовом пространстве
В этом и следующем параграфах мы будем иметь дело с гипер-
гиперповерхностями в евклидовом пространстве. Мы обозначим через
/И n-мерное многообразие, изометрически погруженное в R" + 1.
Когда мы хотим выделить данное погружение /, мы пишем (М, f)
вместо М. Соберем основные формулы для М вместе. X, Y, Z, ...
будут обозначать векторные поля, касательные к М, а \ — поле
единичных нормальных векторов, определенных на М локально
(т. е. в некоторой окрестности точки рассмотрения) или глобально.
Формулы Гаусса и Вейнгартена имеют вид:
(I)
(II) Vig = -
где V' обозначает ковариантное дифференцирование в R"+1, a
Л = Л| — симметрическое преобразование каждого касательного
пространства Тх (М), соответствующее симметрической билинейной
функции h на Тл (М)хТх (М). Уравнения Гаусса и Кодацци (при-
(примеры 4.1 и 4.3) имеют вид
(III) R(X, Y)Z = g(AY, Z)AX-g(AX, Z) A\
и
(IV) (VxA)[(Y) = (XyA)(X).
Точка х из М называется омбиликой (или омбилической точ-
точкой), если Ах равна XI, где X — скаляр, а / —тождественное пре-
преобразование. Это свойство, конечно, не зависит от того, исполь-
используем мы Ъ, или —? в окрестности точки х.
Пример 5.1. Если М — гиперплоскость в R"+\ то Л тожде-
тождественно равно нулю. Если М — гиперсфера радиуса г в R"+1, то
Л = —1/г (см. пример 4.2). В обоих случаях каждая точка из М
будет омбилической.
Докажем обращение этого примера в следующей глобальной
форме.
Теорема 5.1. Пусть (М, /)—связная гиперповерхность в R"+\
где М полно (как риманово многообразие). Если каждая ее точка
х омбилическая, то или f (М) — гиперплоскость, или^(М) — гипер-
гиперсфера некоторого радиуса. В обоих случаях f будет изометрическим
вложением.
Доказательство. Сначала докажем результат локально.
Пусть U — координатная окрестность точки х0, на которой /вза-
/взаимно однозначно. Мы покажем, что /(U) будет частью гипер-
гиперплоскости или частью гиперсферы. Так как каждая точка из U
омбилическая, то существует вещественнозначная функция Х(х)
§5. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
37
на U такая, что А=Х1 в каждой точке из U. Так как тензорное
поле А дифференцируемо, то trace A = nk дифференцируем, что
показывает, что функция К дифференцируема. Мы докажем, что
это есть в действительности постоянная функция. Для любых
векторных полей X и Y имеем
= (XX) Y
- A
Аналогично
В силу уравнения Кодацци имеем
(XX) Y —
Для каждого х? U можно выбрать векторные поля X и Y в U
так, что Хх и Yх линейно независимы. Тогда предшествующее
уравнение влечет XXX = YXX = O. Отсюда следует, что ZA- = O для
любого Z?TX(M). А это в свою очередь влечет, что X равно
константе на U.
Отождествляя х 6 U с радиус-вектором соответствующей точки
в Rn+1 и выражая единичную нормаль Ъ, вектором в R"+1, мы
рассматриваем х-\-\х как R"+1-3Ha4Hyio векторную функцию на U.
Если мы далее отождествим касательный вектор X 6 ТХ(М) с век-
вектором /ж (X) в R"+1, то имеем
(— XX) = О,
что показывает, что Ъс + s есть постоянный ьектор, скажем а, из
R"+l.
Если Х = 0, то мы имеем для любого векторного поля X
Х-(х — х0, а) = (Х, а) = 0,
где (,) обозначает евклидово скалярное произведение. Это пока-
показывает, что вектор х — хи в R"+1 перпендикулярен к постоянному
вектору а, так что / (U) лежит на гиперплоскости через х0 и
перпендикулярно к а.
Если Х=^=Ь, то X.(%) + ?* = я влечет х — а/Х = — %Х/Х и отсюда
||х — a/Xj=\l/X\, что показывает, что f (U) лежит на гиперсфере
с центром а/Х радиуса 1/| X |. Это завершает доказательство локаль-
локального результата.
Завершим теперь доказательство теоремы 5.1. Пусть х0 есть
точка из М, и допустим, что существует окрестность U для х0
такая, что f(U) лежит на гиперплоскости П в Rn+1 (или на гипер-
гиперсфере 2 в Rn+1; второй случай может быть рассмотрен в точности
так же, как и первый случай). Покажем, что тогда f(M) лежит
в П. Если Мх обозначает множество всех точек х1 из М таких,
что существует окрестность Ux точки xlt для которой / (V\) лежит

Зв ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
в П, то Мх — непустое открытое подмножество из М. Если х ? М —
предельная точка для М1У то пусть V — окрестность для х такая,
что / (V) лежит или на некоторой гиперплоскости или на некото1
рой гиперсфере. Так как V содержит точку xt из М1У то имеется
окрестность Ut точки х1У которую можно считать открытым под-
подмножеством в V таким, что / (d/J лежит на П. Это означает, что
/ (V) должно лежать на П. Это рассуждение доказывает, что
xi € Mi> т. е. что Мх замкнуто. Поскольку М связно, мы имеем
М1 = М, т. е. f(M)c=n.
Наконец, рассмотрим изометрическое погружение / из М в ги-
гиперплоскость П (или гиперсферу 2). По теореме 4.6 главы IV мы
заключаем, что / есть накрывающее отображение из М на П
(или 2). Так как П (или 2) односвязно, мы заключаем, что /
взаимно однозначно и f(M) = H (или 2), что и доказывает тео-
теорему 5.1. ?
Определим несколько понятий для гиперповерхностей. В каж-
каждой точке х?М пусть Х1У ..., Хп — собственные значения (неко-
(некоторые из которых могут совпадать) симметрического преобразова-
преобразования Ах касательного пространства ТХ(М). Мы берем ортонормаль-
ный базис Х1У ..., Хп в Тх (М) такой, что АХ,- = XiXh I ^ i s^. n.
В примере 4.2 мы видели, что преобразование кривизны R (X.-, Xj)
представляется кососимметрической матрицей
-XfXj
Из предложения 4.5 видим, что секционная кривизна k(Xt-/\Xj)
плоскости X; A Xj задается так:
k(XiAXj) = XiX/.
Собственные значения Х1г ..., Хп по традиции называются
главными кривизнами в точке х. Если они все различны, то соот-
соответствующие им собственные векторы единичной длины определены
с точностью до знака и называются главными направлениями
в точке х.
Пусть o-i_(t), ..., ап (t) — элементарные симметрические функ-
функции or i^(tlt ..., tn), а именно:
= txtt. ..tn.
иентами харрического полино
) симметрической матрицы А с собственными зпаче-
Окл являются коэффициентами характеристического полинома
det (.л/ — А) симметрической а А б
§5. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ' 39
ниями ij, . .., tn, а именно,
det (XI —А)
Мы определим в каждой'точке'л; яз"М
Заметим, что Х1У . . ., Х„ определены с точностью до общего для
всех знака, так как А = А% определено с точностью до знака,
зависящего от того, используем ли мы | или —| в качестве поля
единичных нормалей. Это означает, что КХУ К3, Кь ¦ • ¦ определены
с точностью до знака, в то время как К2У /<, Ks ¦ • ¦ определяются
однозначно.
В частности,
K1/n=JU^;/n I
называется средней кривизной для М в точке х (она определена
с точностью до знака). Кп ~ ^i • Х2. . .Хп называется гауссовой кри-
кривизной (или кривизной Гаусса—Крснекера) для М в точке х (она
снова определена с точностью до знака, если п нечетно, и одно-
однозначно, если п четко).
Пример 5.2. Для случая, когда п=2, гауссова кривизна
K2 = ^i^2 дает классическое определение гауссовой кривизны для
поверхности. Она совпадает с секционной кривизной в х (для
единственно еозможного в данном случае выбора касательной
плоскости); итак, она полностью определяется метрикой на поверх-
поверхности— этот результат есть так называемая Theorema egregium
Гаусса.
Пример 5.3. Для поверхности (п = 2) средняя кривизна
(Х1-г-Х2)/2 по традиции обозначается через Н. Для сферы радиуса г
имеем Н=\/г (поэтому он? константа), если мы выберем внутрен-
внутреннюю нормаль в каждой точке. Для того чтобы устранить неопре-
неопределенность в знаке для средней кривизны, можно определить
нормаль средней кривизны в каждой точке гиперповерхности. Вы-
Выберем поле единичных нормалей % в окрестности точки х и опре-
определим г\х = (Н)х %х. Если мы изменим знак у 5, то и Н изменит
знак и, следовательно, г\х останется неизменным. Таким образом,
единственный нормальный вектор г\х определяется в каждой точке.
Мы называем т) нормалью средней кривизны.
Замечание. Более общо, мы можем определить нормаль
средней кривизны для и-мерного риманова многообразия М, изо-
изометрически погруженного в (л + р)-мерное риманово многообра-
многообразие N. Пусть х?М. По предложению 3.3 имеем отображение
\^TX{M)A—с Л|. Тогда \/п (trace A§) есть линейная функция на
-. Существует единственный элемент в TX(M)-L, скажем т|,

40
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
такой, что
— (trace Л|) = ?(|, т]) для каждого
Называем т] нормалью средней кривизны в точке х. Если
..., s^ — ортонормальный базис в TX(.M)-L и если Л,- = Л|., то
trace A; = g (g,., tj), 1 <cl i < p,
так что
=^S?=i (trace Л,-) I,-.
В частности, для р=1 имеем определение, данное в примере 5.3
в случае N = Rn+1. Говорят, что М минимально в N (для погруже-
погружения), если нормаль средней кривизны равна нулю в каждой точке.
Можно доказать следующее: не существует минимальных компакт-
компактных подмногообразий в евклидовом пространстве. Из доказатель-
доказательства предложения 4.6 мы знаем, что существует точка х0 компакт-
компактного подмногообразия такая, что радиус-вектор х0 есть нормаль,
а (<х(Х, X), х0) < 0 для каждого касательного вектора Х=^=0
в х0. Если^положим | = х0, то из предложения 3.3 B) имеем
X), g)<0 .
для каждого касательного вектора X =^0, что влечет, что /lg отри-
отрицательно определенное. Итак, след Л| не может быть нулем.
Замечание. Пусть Xlt ..., %п — главные кривизны гипер-
гиперповерхности М в х?М, и пусть Xlt ..., Хп — соответствующий
ортонормальный базис для ТХ(М), так что AXt = Я,-Х,- для i = 1,. . .
. . ., п. Тензор риманово"! кривизны R может рассматриваться как
симметрическое билинейног отображение л2Тх(М)х л2Тх(М) —>- R
в каждой точке х ? М. Пусть R—соответствующее симметрическое
линейное преобразование л2Тх(М) Т М И
Гаусса (см. пример 4.1) имеем
у р
л2Тх (М). Из уравнения
Отсюда
R(X /\Y)=AX A AY для X, Y ?ТХЩ).
R (Xt A X/)=kiXJXi A Xj для 1 < i, j < п.
Поскольку {XL A Xj\ I ^ i < j ^ п) — ортонормальный базис для
А2ТХ (М), множество {kfa; 1 ¦< i < / ^ п) есть множество собствен-
собственных значений для R с учетом кратности. Так как R определяется
внутренним образом, т. е. зависит только от римановой метрики
в М, а не от погружения М в R"+1, то его собственные значе-
значения {kfa; I ^.i < j i^.n\ тоже определены внутренним образом,
хотя собственные значения Хх, ..., Хп для А не таковы. В част-
5. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
41
ности, каждая симметричная функция от {кfa, l^t</^nt
такая, как, например, /С2==2'</^А/» определена внутренним об-
образом.
Найдем выражение для тензора Риччи гиперповерхности.
Предложение 5.2. Пусть М—гиперповерхность, погру-
погруженная в R"+1. В каждой точке х из М тензор Риччи S задается-
так:
S(X, Y) = g(AX, Y) trace A-g(A*X, Y), X, Y?TX{M).
Доказательство. По определению (§ 5 главы VI) имеем
S(X, Y) = trace {Z -^ R (Z, X)Yj.
В силу классического уравнения Гаусса (пример 4.1) имеем
R(Z, X)Y = g(AX, Y)AZ—g(AZ, Y)AX.
След ^отображения Z—>-g(AX, Y) AZ равен g(AX, Y) trace A.
След отображения Z—>-g(AZ, Y) AX будет равен g(A(AX), Y)
в силу леммы, приводимой ниже. Так мы получаем желаемую
формулу.
Лемма. Пусть V есть п-мерное векторное пространство,
а V* — его дуальное пространство. Для любых X ? V и ю ? V* след
линейного отображения Z—>-(o(Z)X равен ю(Х).
Доказательство леммы —простое упражнение по линейной ал-
алгебре. В доказательстве 5.2 рассматриваем Z—>g{AZ, Y) как
линейную функцию (для фиксированного Y). ?
Вспомним, что риманово многообразие называется эйнштейно-
эйнштейновым многообразием, если S = pg, где р —константа. Для размер-
размерностей два и три это условие влечет, что пространство будет иметь
постоянную секционную кривизну (т. I, с. 268). Будет доказана
Теорема 5.3. Пусть М—гиперповерхность, погруженная
в R"+\ где п ^ 3. Если М —эйнштейново многообразие. S = pg, то:
A) р не может быть отрицательным;
B) если р = 0, то М локально евклидово;
C) если р > 0, то каждая точка из М омбилическая и М ло-
локально есть гиперсфера.
Доказательство. Сначала докажем B) и C). Если 5 = pg-,
то по предложению 5.2 имеем
(trace Л) А — А2 = р1,
где / — тождественное преобразование. JB точке х из М берем
ортокормальный базис Xt, .. ., Хп в Тх (М) такой, что AXi = 'k1Xlt
1-^ts^n. Тогда предыдущее соотношение дает
?.я есть корень квад-
Пусть s = ^,/k/ = trace А. Каждое Хг,
ратного уравнения Я2 — s.\ + р — 0.

42
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
В случае, когда р = 0, мы имеем X(s— Х) = 0. Тогда или все
Х; нули (и s = 0), или мы можем считать после перенумерации
индексов, что Хх = . . . = Xp = s фО, а Хр+1 = . .. —Хп = О, где
le^ps^rt. В последнем случае имеем s = ps, откуда р= 1. Итак,
собственные значения для А или все равны нулю, или равны
нулю, кроме одного. В любом случае мы находим, что все сек-
секционные кривизны в х— нули, т. е. R — 0 в точке х. Поскольку
х — произвольная точка, мы заключаем, что М локально евкли-
евклидово. Это и доказывает B).
В случае, когда р > 0, покажем, что все X,- равны. Допустим,
что ХхфХг. Тогда остальные Xi равны Хх или Х2. Итак, пусть Хг
появляется р раз, а Х2 появляется q раз (так что n = p-\-q) среди
собственных значений для А. Тогда имеем из квадратного урав-
нения
K + k k + K т.е. (p—l)^ + (<7
КК = р > о.
Второе соотношение показывает, что Хг и Х2 имеют одинаковые
знаки. Тогда первое соотношение влечет, что р=1, q=l и от-
отсюда п = 2, что противоречит предположению. Это доказывает,
что все Xi равны (но не равны нулю, так как р^=0).
Теперь докажем A). Рассмотрим уравнение
A) A,2 —sX + p = O, где р<0.
Если все X; равны, то s = nX и отсюда р = (я—1)^2, что проти-
противоречит предположению р < 0. Итак, уравнение A) имеет два
различных корня. Допустим, что собственные значения для А
задаются так:
К = К = • • ¦ = Ьр =
а Хр+ j = . . . = Хп =
где
тогда
Из этих соотношений получаем
(р — 1)Я2 + (« — р—1)р = 0.
Если р == 1, то (п — р— 1) р = 0 и отсюда п = р + 1 = 2, что не-
невозможно в рассматриваемом случае. Итак, р^= 1, и мы получаем
B) Я2 = —р(п-р-
§5. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ?
43
Рассуждения, примененные выше, справедливы для каждой точки х
из М, Так как s = trace А дифференцируема и так как уравне-
уравнение A) имеет два различных корня в каждой точке, то отсюда
следует, что оба корня X и р,—дифференцируемые функции. Из
уравнения B) мы заключаем, что X есть постоянная (так как М
связно), так же как и ja. Отсюда еще следует, что р и п — р
тоже постоянны.
Определим два распределения At и Д2 на М так:
= ХХ},
Покажем, что Az и Д2 дифференцируемы и инволютивны и что
М как риманово многообразие локально есть прямое произведе-
произведение максимальных интегральных многообразий Mt и М2 для Аг
и Д3. Это завершит доказательство, потому что если X и Y ка-
сательны к Мх и М2 соответственно, то мы имеем 0 = i? (X/\Y) =
= АХ/\AY = Хц,Х/\Y, что влечет X\i = 0, противоречащее условию
Я0
р }<
Сначала, чтобы доказать, что
пустим, что Хг, ..., Хр, Хр+1,
векторные поля такие, что X,-, l^p / p/^
образуют базис для А1(х0) и А2(х0) соответственно в точке х0.
Мы определяем векторные поля Ylt ..., Yn так:
и Д2 дифференцируемы, до-
до.., Хп — дифференцируемые
и X/t l^/
так как (А — X) Yt = {A — X) (А — (х) Xt = 0 для 1 < t < р и
(А — (д,) Yj = (А —ja) (А —X) Xj = 0 для р -f-1 ^ / ^ л, то мы видим,
что YI, l^ts^Cp, принадлежит Ах, a Y;-, p-J-ls^/^л, принад-
принадлежит Д2. В х0 имеем Y~(X — ii) Xh I < i <p, a Y; = (\i — X) XJt
p+ls^/«^n. Итак, Yt, ..., Yn линейно независимы в х0, а по-
поТак мы показали, что Аг и Да
Yр и Yp+1,
Yn соответст-
соответсттому и в окрестности точки х0.
имеют локальные базисы Yx, . .
венно.
Далее, чтобы показать, что Аг и Д2 инволютивны, допустим,
что X и Y — векторные поля, принадлежащие Аг. Поскольку
то уравнение Кодацци влечет
А (\XY — VyX) = X
— TYX).

44
Так как
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
= [Х, У], имеем
А([Х, Y])=X[X, У],
§5. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРССТРАНСТВЕ
45
что показывает, что [X, Y] принадлежит Д1# Итак, Ах инволю-
тивно. Рассуждение для Д2 совершенно такое же.
Теперь покажем, что Дх и Д2 параллельны относительно ри-
мановой связности в М. Пусть X — векторное поле, принадлежа-
принадлежащее Ах, а К —векторное поле, принадлежащее Д2. Уравнение
Кодацци в этом случае дает
Обозначая через
векторного поля
! и (VXYJ Дгкомпоненту и Д2-компоненту
мы имеем
= ^^ХУ)г+^(УхУ\~^^уХI-1^уХJ,
так что, сравнивая ^-компоненты и Д2-компоненты, получаем
Так как
то имеем
т.е.
= 0, т.е.
Пусть Z — векторное поле, принадлежащее Дх. Дифференцируя
g(X, F) = 0 ковариантно по Z, имеем
g(VzX, Y)+g(X, VZY) = O.
Так как VZY принадлежит Д2) то при помощи уже полученного
мы имеем g(X, vz^) = 0, и отсюда g(VzX, Y) = 0. Это означает,
что VzX(z&i. Итак, мы показали, что если X ? Ах, то VyX^A1
для любого У?Аг или УГ?Д2 и поэтому для произвольного век-
векторного поля Y. Это доказывает, что Дх параллельно. Анало-
Аналогично и Д2 параллельно. По предложению 5.2 главы IV мы ви-
видим, что для каждой точки х из М имеется окрестность U точки х,
которая есть риманово прямое произведение интегральных мно-
многообразий для At и Д2. Так мы завершили доказательство A)
теоремы 5.3. ?
Третья часть теоремы 5.3 была доказана Томасом [5], до-
доказательство было упрощено Э. Картаном (см. Томас [3]). Пер-
Первая часть теоремы 5.3 есть специальный случай результата
Фиалкова [1] об эйнштейновых гиперповерхностях в пространствах
постоянной секционной кривизны;' доказательство, приведенное
здесь для A), принадлежит Смиту (В. Smyth).
Следствие 5.4. Пусть М—связное полное риманово мно-
многообразие размерности п^З, изометрически погруженное в Rn+1.
Если М имеет постоянную секционную кривизну k Ф 0, то k
положительно, а М—гиперсфера.
Доказательство. Это следует из теорем 5.3 и 5.1. (Слу-
(Случай k < 0 здесь может быть исключен более легким способом при
помощи такого рассуждения. Если X,-, \*C~i^n, — ортонормаль-
ный базис, состоящий из собственных векторов, соответствующих
собственным значениям Xlt ..., Хп, то мы знаем, что k(X[f\Xj) =
= ЯДу. Итак, мы имеем Я/Яу- = А для i=/=\. Если я^З и кфО,
то отсюда следует Kt= . .. =%п. Итак, k > 0.) ?
Следствие 5.4 справедливо и в случае п = 2, однако доказа-
доказательство является более трудным (см. примечание 15).
Как вторая основная форма, так и гауссова кривизна тесно
связаны с выпуклостью гиперповерхности. Говорят, что гипер-
гиперповерхность М в Rra+X выпукла в точке х ? М, если гиперпло-
гиперплоскость Нх в R"+x, касательная к М в х, не разделяет некоторую
окрестность точки х в М на две непустые части (лежащие в раз-
различных полупространствах в Rn+1 после удаления точек, общих
гиперплоскости и окрестности). Более того, если л: —единственная
точка некоторой окрестности, которая лежит в Нх, то говорят,
что М строго выпукла в х. Если для каждой х?М Нх не раз-
разделяет М на две части, то говорят, что М выпукла, а если, сверх
того, для любой х?М х есть единственная точка из М, лежащая
в Нх, то говорят, что М строго выпукла. Выпуклая гиперповерх-
гиперповерхность всегда ориентируема. Выбирая в каждой точке х из М
единичный нормальный вектор, направленный вовне (т. е. в сто-
сторону, противоположную той, с которой лежит М относительно Нх),
мы получим непрерывное поле единичных нормальных векторов.
Мы говорим, что вторая основная форма а гиперповерхности М
определенная в х?М, если а (А', Х)фЬ для всех ненулевых век-
векторов X ?ТХ(М). Если мы выберем единичный нормальный век-
вектор ? в х и напишем a = hZ (см. § 3), то а определенна тогда и
только тогда, когда классическая вторая основная форма h будет
или положительно, или отрицательно определенной. Сходным обра-
образом, мы говорим, что а невырожденная в х, если h не вырожден-
вырожденная в х.
Предложение 5.5. Гиперповерхность М в Rn+1 строго
выпукла в точке х, если ее вторая основная форма а является
определенной в точке х.
Доказательство. Фиксируя точку х, мы выбираем евкли-
евклидову координатную систему у1, . . ., у"*1 в R"+1 такую,что dyn+1 = 0
определяет касательное пространство ТХ(М). Тогда уп+1, рассмат-
рассматриваемая как функция на М, имеет х своей критической точкой.
Ее гессиан в х есть не что иное, как вторая основная форма
для М в х (см. примеры 3.3 и 3.4). Если а определенная в х,
то уп+х, как функция на М, принимает изолированный локальный
минимум или максимум. Отсюда некоторая окрестность точки х

46
ГЛ. VI Г. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
в М лежит строго с одной стороны касательной гиперплоскости
через х. ?
Теорема 5.6. Для связной компактной гиперповерхности М
в Rn+1 (я ^2) следующие условия эквивалентны:
A) вторая основная форма а для М является определенной
всюду на М;
B) М ориентируема и сферическое отображение Гаусса М—>S"
есть диффеоморфизм;
C) гауссова кривизна Кп для М не обращается на М в нуль.
Более того, любое из условий выше влечет, что М строго выпукла.
Доказательство. A)—*B). В каждой точке х?М мы
выбираем единичный нормальный вектор \х таким образом, что
классическая вторая основная форма h, определенная как а. (X, У) =
-=h{X, Y)%x для X, Y ?ТХ(М), является отрицательно опреде-
определенной. Тогда | непрерывно, и поэтому М ориентируемо. В точке,
где а невырожденна, якобиан сферического отображениям—*-5'г
не вырожденный (см. пример 3.5). Так как М компактно, то
сферическое отображение М—>Sn есть накрывающая проекция
по следствию 4.7 главы IV. Поскольку S" односвязно, сфериче-
сферическое отображение есть диффеоморфизм.
B)—*C). Так как якобиан сферического отображения М —*¦ Sn
не вырожден всюду, то не вырождена и вторая основная форма
(см. пример 3.5). Отсюда Кпф0 всюду.
C)—*A). Так как Кп=^0 всюду, а невырожденная всюду.
Поскольку М компактно, существует точка хо?М такая, что
а\(Х, Х)ЬЧР1 Для;всехЗ X ? ТХа\М)„ Х\Ф*?>,
по предложению 4.6. Так как а — определенная Bf*0 и невырож-
невырожденная всюду форма, то а будет определенной всюду.
Чтобы доказать последнее утверждение, допустим, что х —
любая точка из М, и выберем евклидову систему координат
у1, ..., уп+х в Rn+1 такую, что касательная гиперплоскость Нх
задается как г/"+1 = 0, а некоторая окрестность точки х из М
лежит в полупространстве уп+1^0. Пусть х* — точка из М,
в которой функция уп+1 принимает максимум на М. Тогда Нх*
параллельна Нх и внешний единичный нормальный вектор в х*
параллелен такому же вектору в точке л: (в том же направлении).
Поскольку сферическое отображение взаимно однозначно, имеем
х* = х. Отсюда М — {х\ лежит в полупространстве y'l+1 < 0. ?
Последнее утверждение теоремы 5.6 принадлежит Адамару
[1]. Черн и Лашоф [1] доказали, что компактная поверхность
в R3 с /<С2 ^ 0 выпукла, и построили для п^З невыпуклую
компактную гиперповерхность М в Rn+1 с К.п ^ 0. Относительно
гиперповерхностей с /(„ ^ 0 или Кп^0, которые необязательно
компактны, см. Хартман и Ниренберг [1] и Ниренберг
[3]. (См. примечание 15 в связи с этими и другими результатами.)
§6. ТИПОВОЕ ЧИСЛО И ЖЕСТКОСТЬ
§ 6. Типовое число и жесткость
47
Пусть М—гиперповерхность, погруженная в R" + 1. В каждой
точке х из М типовое число для М в х, обозначаемое t (x),
определяется как ранг линейного преобразования А в TV(M).
Конечно, оно определяется независимо от выбора поля единичных
нормалей |, так как Л_5(=—Л5) и Л| имеют тот же ранг. Из
примера 3.5 нам известно, что t (х) есть ранг якобиевой матрицы
сферического отображения qp: M —>¦ S", которое определено по
крайней мере локально.
Б удет доказана
Те ор е м а 6.1. Для гиперповерхности М, погруженной в Rn+1,
A) t (х) есть 0 или 1 тогда и только тогда, когда R = 0 в х;
B) если t(x)^2, то t (х) = п — dim Т*х, где Тх = \Х ? Тх (М);
R(X, Y) = 0 для всех Y<?TX(M)}.
Доказательство. A) Если t(x) — 0, т.е. А = 0, то урав-
уравнение Гаусса влечет R = 0 в х. Допустим t(x)=\. Тогда суще-
существует ненулевой вектор W ? ТХ(М) такой, что для каждого
Х?ТХ(М) мы имеем AX = cW, где с-—скаляр, зависящий от X.
Уравнение Гаусса снова влечет, что R (X, У) = 0 для всех X, Y.
Обратно, предположим, что R = 0 в х. Если / (х) ^ 2, то сущест-
существует пара ненулевых векторов X и Y в ТЖ(М) такая, что АХ=ХХ,
AY — \aY, где Я, \ифО, и такая, что g(X, F) = 0. Мы находим,
что
g(R(X, Y)Y, X) = V=^0,
что противоречит предположению R = 0.
B) Пусть Т"к — нулевое пространство для А, а Т'х — ортого-
ортогональное дополнение к Тх. Так как А симметрическое, мы можем
легко усмотреть, что А отображает Т'х на себя взаимно одно-
однозначно. Если X ? Т"х, то уравнение Гаусса влечет R(X, Y) = 0
для всех Y?ТХ(М), т.е. что Х?ТХ. Теперь, допуская, что
dim Tx = t (х) ^ 2, докажем, что ТХ=ТХ. Предположим, имеется
X ? Тх, который не принадлежит Т"х. Так как X — Хг-{-Х3, где
Xt G Тх, а Х2? Т"хаТх, то мы видим, что Х± ? Т*х П Т'х. Поскольку
d\mT'x^2, то существует Y G Т'х такой, что Хх и Y (а тогда
АХХ и AY) линейно независимы. Из уравнения Гаусса мы имеем
R(X YAY
R(Xlt
AY)AX1-g(AX1, AY) AY.
Так как Xx? Tx, то имеем R (Xu F) = 0, т. е. правая часть со-
соотношения тоже равна нулю. Поскольку g(AY, АУ)фО, то это
соотношение означает, что АХ1 и AY линейно зависимы, и мы
приходим к противоречию. Итак, мы показали, что ТХ=Т*Х. От-
Отсюда t(x) = dim T'x — n~dim Тх = п — dim Tx, что завершает до-
доказательство теоремы 6.1. ?

48
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Теорема 6.1 показывает, что если М не локально евклидово,
то ранг второй основной формы не зависит от погружения. Мы
докажем при более сильных предположениях, что само погруже-
погружение единственно (с точностью до изометрии в Rn+1). Сначала
покажем, что вторая основная форма определена однозначно
(с точностью до знака) в каждой точке.
Теорем_а 6.2. Пусть М есть п-мерное риманово многообра-
многообразие, a f и f — изометрические погружения из М в Rn+1. Если
типовое число t (х) погружения f в точке х больше или равно
трем, jno вторая основная форма h для f и вторая основная
форма h для f совпадают в точке х с точностью до знака.
Доказательство. Сначала заметим, что в силу теоремы
6.1 R не есть нуль в х, и отсюда типовое число Т{х) для /равно
t(x). Как видно из доказательства теоремы 6.1, нулевое простран-
пространство для А и нулевое пространство для А совпадают с Tj =
= {Х; R (X, 7) = 0 для всех Y?TX\. Это означает, что в разло-
разложении ТХ(М) = ТХ + Т"Х из доказательства теоремы 6.1 Тх есть
нулевое пространство для А, так же как и для А, и А и А
отображают Т'х на себя взаимно однозначно.
Учтя это, рассмотрим внешнее произведение Т'Х/\Т"Х и введем
внутреннее произведение s такое, что
s(XAY, ZAW) = g(X, Z)g(Y, W)-g{X, W)g(Y, Z).
Уравнение Гаусса влечет, что
g(R(X, Y)Z, W) = )
Поскольку s положительно определенное на Т'ХАТ"Х, мы имеем
A) AZAAW = AZAAW для всех Z, W ?Т'Х.
Докажем теперь, что для каждого X ? Т'х АХ = сАХ для не-
некоторой с (эта константа с может згншсеть от X, хотя в конце
концов мы покажем, что с=±1 независимо от X). Так как
АХфО для ХфО, то достаточно показать, что АХ и АХ ли-
линейно зависимы. Предположим, что они линейно независимы, так
что АХААХфО. Так как dim T'x= t (x) ^;3jto предположению, то
мы можем выбрать У?Г;_такое, что АХ, АХ, AY линейно не-
независимы (и отсюда АХAAYAAX =/= 0).
По свойству JI) мы имеем AXAAY = AXaAY, так что
АХAAYААХ = АХAAYААХ = 0, что является противоречием.
Это доказывает утверждение, что АХ = сАХ для некоторого?с.
Пусть Хи ..., Хг — базис в Т'х. Существуют сг, ..., с. такие,
что АХ; = сгАХг для 1 < i <; г. В то же самое время ~А (X,- + Х/) =
§6. ТИПОВОЕ ЧИСЛО И ЖЕСТКОСТЬ
для некоторого с. Имеем тогда
49
Для любого i-ф], l^i, / ^ г, мы знаем, что АХ,- и AXf ли-
линейно независимы, так как А взаимно однозначно. Итак, c = ct =сх.
Это доказывает, что сх— . . . =сг. Итак, А — сА для некоторого с.
Из свойства A) заключаем, что с2 = 1, т. е. с=± 1. Это и дока-
доказывает, что Л = ± А и h = ±h в точке х. ?
Следствие 6.3. Пусть М есть п-мерное связное и ориен-
ориентируемое риманово многообразие, и пусть f uf — изометрические
погружения из М в R"+1. Если типовое число t (x) погружения f
больше или равно трем в каждой точке х из М, то при подхо-
подходящем выборе полей единичных нормалей для f и f мы имеем одну
и ту же вторую основную форму для f и f.
Доказательство. Пусть | и| — поля единичных нормаль-
нормальных векторов, глобально определенных на М для погружений f
несоответственно. Пусть М+ (соотв. М~) — множество точек
х?М, в которых h = h (соотв. h = —h). Тогда М+и М~ замк-
замкнуты. По теореме 6.2 М есть раздельное объединение М+ п М~.
Так как М связно, то или М=М+ или М=М~. ЕслиЛ1=М + ,
то все доказано. Если же М=М~, то заменяем § на —?. П
Мы докажем, что гиперповерхность М жесткая в R"+1, если
типовое число больше 2 в каждой точке; жесткость означает, что
изометрическое погружение единственно с точностью до изометрии
в Rra+1. Ввиду результата, приведенного выше, мы сначала уста-
установим классический результат.
Теорема 6.4. Пусть М—связное п-мерное риманово много-
многообразие, a f и f — изометрические погружения из М в R"+x с по-
полями единичных нормальных векторов Z и ?, соответственно. Если
вторые основные формы huh соответственно для f и f (отно-
(относительно | и Z) совпадают на М, то существует изометрия т
для R"+1 такая, что / = то/.
Доказательство. Докажем сначала локальную версию,
т. е. что каждая точка х0 имеет окрестность U такую, что /(х) =
=то/(х) для каждой x?U, где т —некоторая изометрия b^R"+\
зависящая только от U. Беря композицию f с подходящей изо-
метрией в Rra+1, можем считать, что f (х0) = f (х0) и что /»(ТХо [М))=
= !*(Т'х„(Щ) (именно, касательная гиперплоскость для / (М)
b~J(x0) совпадает с касательной гиперплоскостью_для / (М)
в f (х0) =^7 (х0))- Мы можем также считать, что | и | совпадают
в этой точке.

50
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Пусть
у = у(х\ ..., х") и у = у(х1, ...., х»)
— уравнения для погружений / и / соответственно, где х1, . . . ,'хп —
локальные координаты в U, а у и у — радиус-векторы в R"+1
с компонентами (у1, ..., уп+1) и (у1, ..., уп+1). В обозначениях
примера 3.4 пусть еу = ду/дх; и ef^=dy/dxJ. Тогда мы имеем
(I) де//д*'=2*Г^ + М.
(II) д№'=-2>,4
для погружения / и соответствующие уравнения для /:
( ^
±
(И) S^4
Отметим, - что h:/ — компоненты для h —~h относительно (х1, . . ., х"),
а) — ^тёктЬт/ общие для f и /, и, конечно, мы используем те
же самые символы Кристофеля Г^ в (I) и (I). Мы можем также
считать, что ef и е} совпадают в хй для любого /, 1^/^п;
действительно, так как (е,-, ek)=gJk = {ej, ek), то можно выбрать
изометрию в Rn+\ которая отображает репер (е1, . . ., еп, §)
в f(x0) на репер (е1У ..., еп, Ъ) в той же точке. Беря компози-
композицию такой изометрии с /, мы можем удовлетворить нашему тре-
требованию.
Итак, мы видим, что {ег, ..., еп, ?) для / и (ix, ...,~ё„, I)
для f как множество 1?п+1-значных векторных функций от (х1, . . ., хп)
удовлетворяют одному и тому же множеству уравнений (I) и (II).
Поскольку начальные данные в х0 совпадают, единственность
решения систем (I) и (II) влечет ej—ej, 1 ^ /<: п, и | ==|. Итак,
dy/dxJ =~ду/дх^\ 1^/^п. Так как у(хо)—у(хо), то заключаем,
что у=у на f/. Так мы доказали, что существует изометрия,
скажем хХо, в Rn+1 такая, что J(x) = xXoof (х) и  (х) = тХооg (х)
для каждого л; g U.
Глобальная версия доказательства теперь легко следует. Пред-
Предположим, что U и V — два связных открытых множества в М
таких, что Uf\VФ0, и что существуют изометрии т и \л в Rn+1
такие, что/ = то/ и |~=то| на f/, а/ = цо/ и | = цо| на F. Для
любого zgf/nF пусть Х1( ..., Хп —базис в ТХ(М). Тогда т и
\х отображают репер (f(Xi)> •••> /4^J» 5) в /B) на репер
(f (Xi), . . ., f (Х„), |) в /(г). Поэтому т и jj, совпадают. Так как
М связно, то отсюда следует, что существует изометрия т в Rn+1
такая, что / = то/ на М, что и доказывает теорему 6.4. ?
§7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
5!
Следствие 6.5. Пусть М — связное ориентированное п-мерное
риманово многообразие, a f и f — его изометрические погружения
в Rn+1. Если типовое число t (x) погружения f больше или равно
трем в каждой точке х из М, то существует изометрия т в R"+1
такая, что f = %of.
Доказательство. Это следует из следствия 6.3 и те-
теоремы 6.4. ?
Следствие 6.5 принадлежит Бецу [1] и Киллингу [1].
(См. также Томас [1].) Доказательство следствия 6.5, использую-
использующее дифференциальные формы, может быть найдено у Э. К ар-
тана [10]. Томас [1] определил типовое число равным единице,
если ранг А есть нуль или единица, так что при его определе-
определении типовое число зависит только от тензора кривизны (см. теоре-
теорему 6.1).
Сакстедер [1] получил несколько теорем жесткости для
гиперповерхностей. Среди прочего он доказал, что две взаимно
изометричные полные выпуклые гиперповерхности в R"+1, п^З,
конгруэнтны, если их типовые числа равны по меньшей мере
трем в одной точке. (См. Аллендорфер [3] и примечание 17
по поводу вопросов жесткости, относящихся к этому параграфу).
§ 7. Основная теорема для гиперповерхностей
Если риманово многообразие М с метрикой g изометрически
погружено в евклидово пространство Rn+1 как гиперповерхность,
то мы имеем вторую основную форму h и соответствующий опе-
оператор А, который определен локально для данного выбора поля
единичных нормальных векторов. Мы знаем, что А связан с мет-
метрикой g через уравнения Гаусса и Кодацци (примеры 4.1 и 4.3)
(III) R(X, Y)Z = g(AY, Z)AX~g(AX, Z) AY,
(IV) (VxA)(Y) = (vyA)(X).
Здесь, конечно, нужно отметить, что ковариантное дифференциро-
дифференцирование V и поле тензора кривизны однозначно определены метри-
метрикой g.
В этом параграфе мы докажем обратное, сначала в локальной,
а затем и в глобальной форме.
Теорема 7.1. Пусть М есть п-мерное риманово многообра-
многообразие с метрикой g. Пусть А—тензорное поле типа A, 1) на М,
которое определяет симметрическое преобразование каждого каса-
касательного пространства Тх (М) и удовлетворяет уравнениям Гаусса
и Кодацци. Пусть х0 — точка из М, а {Хх, ..., Хп\—ортонор-
мальный базис в ТХо(М). Пусть еще у0 — точка из Rn+1, а (е^о, . . .
. . ., (О0, So — ортонормальный репер в у0. Тогда существует изо-
изометрическое вложение f окрестности U точки х0 в Rn+1 такое,

52
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
что f(xo) = yo, f*(Xi) = (eiH, l<t<n, |0 есть нормаль к f(U)
в у о и такое, что А—симметрический оператор, соответствую-
соответствующий второй основной форме для /. Более того, любые два таких
вложения совпадут в окрестности точки х0.
Мы подготовим несколько лемм. Пусть х1 хп — система
локальных координат с началом х0 такая, что А',- = (д/дх'H, и
пусть (у1, ..., уп+1)— ортогональная система координат с нача-
началом г/0 такая, что (д/ду% = (е!H для l<^t<n, а (д/дг/л+1H = !0.
Для изометрического вложения / окрестности U точки х0 в R"+1,
удовлетворяющего условиям, сформулированным в теореме, пусть
есть совокупность уравнений, определяющих /. Как и в примере 3.4,
векторное поле (д/дх') отображается при помощи /» на ei = dy/dx(,
где у = (у1, ..., уп+1). Из условий /«(*/) = (егH получаем
A)
A) <р<,
B) (др+1/дх')„ =0.
Компоненты для ?0 удовлетворяют условиям
C) |? = 0, 1<К«,
D) g?+1 = U
Для каждого р, 1 ^ р ^п, имеем формулу Гаусса
(I,) defldx* = 2J=, Г?, el + htfi>,
где е? = dfp/dxS. Формула Вейнгартена дает
где (af)—компоненты для А относительно {хх, ..., хп). Пусть
Zp — векторное поле, соответствующее дифференциалу dfp функции
fp (так что g(ZP, X) — XfP для любого векторного поля X на U).
[Лемма 1. Для каждого р, 1 <;/?<;«+1, пара (Z^, §
решение системы дифференциальных уравнений
E)
F)
Y—произвольное векторное поле, с начальными условиями
G) (ZP)Xo = (д/дхР)Хо, IP (х0) = 0 для 1 < р < п;
(8) (-г»+1)ж. = 0, 6»
. (.)
Доказательство. G) эквивалентно A) и C). (8) эквива-
эквивалентно B) и D). Формула Гаусса A^) эквивалентна соотношению
§7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
53
{Vy(dfP))(X) = Vh(X, Y) = &g{X, AY).
Так как Zp соответствует dfp относительно двойственности, опре-
определенной тензором g, мы имеем g(VyZP, X) = (Sy(dfP)) (А). Отсюда
A^) эквивалентно E). Сходным образом (Нр) эквивалентно F).
Лемма 2. Предположим, что для каждого р, I ^. р^. п-\- \,
мы имеем векторное поле Zp и функцию |^, которые образуют
решение системы E) и F) с начальными условиями G) и (8). Тогда
существует изометрическое вложение f окрестности точки х0
в Rn+1: yP = fP{x1, ..., хп), 1<р<я+1, такое, что dfP соот-
соответствует Zp, 1 <: р <; п -+- 1, и такое, что \ = (|х, . . ., S^+1) есть
поле единичных нормалей.
Доказательство. Если известно, что существуют функ-
функции fp, \^.p^.n+\, такие, что dfp соответствует Zp, to E) и F)
влекут A^) и (Ир), 1^р^«+1, т- е. формулы Гаусса и Вейн-
Вейнгартена. Дифференцируя функции cp/fe = (ey-, ей), фй = (|, efc) и <р =
= (I, I) по а:' и используя Aр) и A1^), находим
Мы замечаем, что функции фуй = gJk, фй = 0 и ф = 1 также удов-
удовлетворяют приведенной выше системе уравнений выше (см. след-
следствие 2.4 главы IV). В силу тех же начальных данных в хй мы
заключаем, что (е,-, ek)=gjk, (|, ek) = 0 и A, |) = 1, что означает, что
f — изометрия и что | — поле единичных нормалей.
Остается поэтому показать существование функций fp таких,
что dfp соответствует Zp. Пусть «У есть 1-форма, соответствую-
соответствующая Zp. Чтобы доказать, что ыр — точная форма (т. е. «У = dfp для
некоторой функции fp), достаточно показать, что ооУ = 0. Это
свойство для оУ7 эквивалентно условию
для всех полей векторов X, Y. Левая часть равна
X-g{Z", Y)-Y-g{ZP, X)-g(ZP, [X, Y])
= g(VxZP, Y)-g(VYZP, X).
Отсюда dioP = 0 тогда и только тогда, когда
g(VxZP, Y) = g(X, VyZP)
для всех векторных полей X, Y. Это последнее условие действи-
действительно удовлетворяется, так как
в силу E) и в силу симметричности А.

54
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
В лемме 2 ясно, что если задана любая точка, скажем у0.
в Rn+1, то можно выбрать изометркю f, которая отображает х0
на у0. Итак, отсюда следует, что для того, чтобы доказать суще-
существование изометрического вложения в теореме 7.1, достаточно
доказать, что система уравнений E) и F) имеет решение с любыми
произвольными начальными данными. Единственность следует из
единственности решения для E) и F) с предписанными началь-
начальными данными, что почти очевидно. Теперь будет доказана
Лемма 3. Пусть х0 — точка из М, a U — окрестность с нор-
нормальными координатами х1, . . ., хп, \ х' J <rf. Для любого Zo ? ТХа (М)
и для любого вещественного числа с существует единственное век-
векторное поле Z и единственная функция ?, которые удовлетворяют
уравнениям
(9) V..Z-
Y\+g{AY, Z) = 0
A0)
с начальными условиями ZXo = Z0 и Z(xo) = c.
Доказательство. Для любой точки а --- (а1, . . ., а") из U
мы берем геодезическую af = (a1t, ..., аЧ) и определяем Z(t) и
\ (t) как решение системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
(И) \XZ~IAX = Q,
A2) . Xl + g(AX, Z) = 0,
с начальными условиями Z@) = Z0 и ?@) = с, где X — касатель-
касательный вектор геодезической: X — ^I^a' (д/дх'). Определяем тогда
Za = Z(l), |(a) = |(I), получая таким путем векторное поле Z и
функцию | на U. Нам нужно показать, что Z и ? удовлетворяют
(9) и A0) для любого касательного вектора Y в произвольной
точке а.
Мы продолжаем вектор Y до векторного поля Y= 2/=i ^J (d/dxJ)
с постоянными компонентами Ы на U. Аналогично мы продолжаем
семейство касательных векторов X геодезической at до векторного
поля X = 2?-iа' {д/дх') с постоянными компонентами а' на U.
Мы покажем, что вдоль at
A3) Vx(VrZ-lAY) = (Yl + g(AY, Z))
A4) X(Y\ + 8(AY, Z))=g(AX, VyZ-l
))g(
Если это сделано, то мы видим, что VyZ — %AYuY%+
которые, очевидно, удовлетворяют начальным условиям
VYZ — IAY = O и Yl+g(AY, Z) = 0 в х
+g(, Z) 0 в х0,
должны быть равны нулевому векторному полю й постоянной
фунции нуль, которые удовлетворяют A3) и A4) с теми же началь-
§7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
55
ными условиями; это верно в силу единственности решения системы
A3) и A4) вдоль at.
Проверка A3) и A4) основывается на уравнении Гаусса и Ко-
дацци для А. Так как [X, Y] = 0, имеем
, Y)Z
ИСПОЛЬЗУЯ
R(X, F) =
Так как подсчет сделан вдоль at, мы имеем A1) и A2). Итак, мы
видим, используя также и \XY =т?уХ, что вдоль at
)
+ R(X, Y)Z-l(VxA)(Y)-lA(VyX)+g(AX, Z) AY
= {Yl) AX + l (VYA) (X) + IA (VYX)
+ R(X, Y)Z-t(VxA)(Y)-tA(VyX) + g(AX, Z) AY
= (Yl) AX + R (X, Y) Z + g (AX, Z) AY + l(vyA)(X)-t(vxA) (Y).
Уравнение Кодацци гласит, что два последних члена сокращаются
друг с другом. Уравнение Гаусса влечет
R(X, Y)Z + g(AX, Z)AY=g(AY, Z)AX.
Так мы получаем A3). Проверка A4) совершенно аналогична, за
тем исключением, что мы нуждаемся лишь в уравнении Кодацци.
С доказательством леммы 3 мы завершаем и доказательство
теоремы 7.1. П
Замечание. Уравнения Гаусса и Кодацци являются в точ-
точности условиями интегрируемости для системы (9) и A0) и поэтому
являются также необходимыми условиями для того, чтобы система
(9) и A0) имела решение при любых наперед заданных начальных
условиях.
Мы будем говорить, что вложение или погружение / открытого
подмножества W из М в R"+1 допустимое (для заданных метрики
g и А на /И), если оно изометрично и если существует поле еди-
единичных нормалей ? на W (т. е. %,х нормальна к / (W) в / (лг)), так
что А есть симметрический оператор, соответствующий второй
основной форме для / относительно ?. Мы доказали, что для любой
заданной точки х из М существует допустимое вложение нормаль-
нормальной окрестности точки х и что, более того, допустимое вложение
для U и поле единичных нормалей | однозначно определяются
дифференциалом для / в х и вектором 1^.
Теперь докажем следующую глобальную версию теоремы 7.1.
Теорема 7.2. Пусть М, g и А такие же, как и в условиях
теоремы 7.1. Если М односвязно и связно, то существует допусти-
допустимое погружение М в R"+1; любые два допустимых погружения
получаются одно из другого изсметрией в Rra+1.

56
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка из М,
и пусть /у — допустимое вложение окрестности U точки х0. Для
любой кривой х (t), 0<^<1,вА! такой, что х@) = х0, определяем
продолжение для }и вдоль х (t) почти так же, как в т. I, с. 239,
точнее, продолжение ft есть семейство такое, что:
A) для каждого t ft есть допустимое вложение окрестности Ut
точки x(t) в Rn+1;
2) для каждого t существует положительное число б > 0 такое,
что если \s —1\<6, то x(s)?Ut, a fs и ассоциированное с ним
поле единичных нормалей совпадает с ft и ассоциированным с. ним
полем единичных нормалей в окрестности точки x(s);
C) /0 совпадает с /ff в окрестности точки х0, как и их ассоции-
ассоциированные поля единичных нормалей.
Если продолжение существует вдоль кривой, то оно единст-
единственно. Точнее, если /t и // — продолжения для fo вдоль x(t)
с полями единичных нормалей ? и |' соответственно, то каждая
точка х (t) имеет окрестность, на которой ft = f't и ? = ?'¦ Это
утверждение следует из той части теоремы 7.1, где говорится об
единственности.
Теперь продолжение существует вдоль любой кривой x(t). Пусть
tu — точная верхняя грань для ^ > 0 таких, что продолжение для
fu существует при O^t<^t1. Пусть IF —выпуклая окрестность
точки x(t0) такая, что каждая точка из W имеет нормальную
окрестность, содержащую W (см. теорему 8.7 главы III). Возьмем
h < U так, что х (tt) ? W, и пусть V — нормальная окрестность точки
xit-,), которая содержит W. В силу части теоремы 7.1, где гово-
говорится о существовании, мы можем продолжить вложение ftf до
допустимого вложения /' для V. Для б > 0 такого, что х (t) ? W
при t0 <^ t < t + б, мы определяем ft = f. Так мы получаем продол-
продолжение за t0. (Рассуждения здесь почти совпадают с рассуждениями
в доказательстве теоремы 6.1 главы VI, и, действительно, мы
можем продолжить fa до допустимого погружения на всем много-
многообразии М в том же духе, как в теореме 6.1, а именно, используя
лемму о факторизации (см. приложение 7); мы здесь опускаем детали.)
Наконец, докажем, что любые два допустимых погружения /
и /' для М отличаются лишь изометрией в R"+1. Пусть х0 — произ-
произвольная точка, a U — ее нормальная окрестность. Тогда /у и fu
(сужения / и /' на U) отличаются на изометрию т в Rn+1 в силу
части теоремы 7.1, где говорится о единственности. Если Vv = xofw>
то х о /' получается продолжением т о f'v; отсюда следует, что то/'
совпадает с/. ?
Теоремы 7.1 и 7.2 называются основными теоремами для гипер-
гиперповерхностей. Для п — 2 результат принадлежит Бонне [2].
Сасаки [2] дал другое доказательство, основанное на конструк-
конструкции некоторого инволютивного распределения на подходящем рас-
расслоении над М.
§ 8. АВТОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ 57
§ 8. Автопараллельные подмногообразия
и вполне геодезические подмногообразия
В этом параграфе мы рассмотрим не только римановы много-
многообразия, но, более общо, многообразия с аффинной связностью.
Пусть N есть (иЦ-р)-мерное многообразие с аффинной связностью.
Подмногообразие М в N называется автопараллельным, если для
каждого вектора Х$ТХ(М) и каждой кривой т в М, исходящей
из х, параллельный перенос X вдоль т (относительно аффинной
связности объемлющего пространства N) приводит к вектору, каса-
касательному к М. Итак, если М автопараллельно, то аффинная связ-
связность в N индуцирует аффинную связность в М естественным
образом; это интуитивно ясно, но строго будет доказано позже.
Вспомним (см. § 5 главы IV), что подмногообразие М в N вполне
геодезическое в точке х?М, если каждая геодезическая x = xt
с х = х0, которая касается М в х, содержится в М для малых значе-
значений t. Если М вполне геодезическое в каждой точке из М, то М
называется вполне геодезическим подмногообразием в N.
Наша ближайшая цель—доказать, что каждое автопараллель-
автопараллельное подмногообразие будет вполне геодезическим и что верно и
обратное, если аффинная связность в N без кручения.
Говорят, что линейный репер v для N в точке х адаптирован-
адаптированный, если он вида G1; ..., Yn, Yn+1, ..., Yn+p) с Yt, ..., Yn,
касательными к М. Пусть Rn — подпространство в Rn+P, состоя-
состоящее из элементов, последние р компонент которых — нули. Тогда,
будучи рассмотрен как линейное преобразование Rn+p —<~ TX(N),
линейный репер v является адаптированным тогда и только тогда,
когда он отображает R" на ТХ(М). Пусть GL(n + p, n\ R) — под-
подгруппа в GL(n-\-p; R), состоящая из элементов вида
\А
о
в
где А и С — неособенные матрицы степеней п и р соответственно,
а Б—матрица с п строками и р столбцами. Другими словами, это
есть группа линейных преобразований для Rn+'% которые отобра-
отображают R" на себя. Пусть L(N, M) — множество всех адаптирован-
адаптированных линейных реперов. Легко проверяется, что L(N, M) есть
главное расслоение над М с группой GL{n-\-p, n; R). Как и в § 1,
мы имеем следующую диаграмму:
LM^-L (N, M)-Ll(N)\mL»L (N)
м
м
м
N

58
ГЛ. VI!. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
ньгй ^/-инъекции' а ^-гомоморфизм расслоений, определен-
Yn) для
. Yn+p)?L{N, M).
Пусть 0 и ф — канонические формы на L(M) и L(N) соответ-
соответственно (см. § '2 главы III). Тогда имеем
Предложение 8.1. h*Q совпадает с сужением г*о/*гр формы
Ф на L (N, М). В частности, i*oj*q> К"-значна.
Доказательство. Доказательство такое же, как в предло-
предложении 1.1. ?
Как и в §§ 3 и 4, используем следующее соглашение для обозна-
обозначения множеств индексов: 1 sg: А, В, . . . ^n + p; I ^ i, j, . . .s^n,
Пусть г|з —форма связности на L(N), определяющая аффинную
связность для N, и пусть -ф = (^). Мы обозначим через V кова-
риантное дифференцирование в N.
Предложение 8.2. Пусть М — подмногообразие в Л/V Сле-
Следующие три условия эквивалентны:
A) М есть автопараллельное подмногообразие в N;
B) если X и Y — векторные поля на М, то \ XY касателен к М
в каждой точке из М;
C) сужение формы -ф на L (N, М) есть gt(n-j-p, n;'И.)-значная
форма, т.е. сужение формы \р*- на L(N, M) есть нуль для
l^i^n и п-\-1 ^ г sc; n-\- р.
Доказательство. A) —*¦ B) следует из определения кова-
риантной производной в терминах параллельного переноса (см.
т. I, с. 114). Чтобы доказать B) —* C), допустим, что о —про-
—произвольная точка из М, а V — окрестность точки о из М с систе-
системой координат х1, . .., хп+р такой, что
U = {х € V; хп+1 (*)=...= хп+р (х) = 0}
есть окрестность точки о из М, в которой х1, ..., хп образуют
систему координат. (Существование U с такой координатной систе-
системой может быть легко показано с помощью видоизменения пред-
предложения 1.1 главы I.) Если.Г^с — символы Кристофеля для V по
отношению к х1, ..., хп+р, то Yrtj (х) = 0 для каждого x^U и
для ls^i, /^яи п+ 1 ^ г <; п-\- р по допущению B) (см. том I,
с. 140). Для естественной системы координат (хА, Xf) в n~l {V)cz
czL(N) (см. § 7 главы III) точки из L (N, М) над М удовлет-
удовлетворяют хг = 0, Xrt = 0 и Y\ = 0 для 1<!<пия + 1<''<л + /?.
Вспоминая выражение для формы связности в предложении 7.3
главы III
Jo, E TCDEX§ dx°)
§S. АВТОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
и используя то, что dxr = 0, Х\ = 0, У? = 0, dXrc = 0, Tru = Q Ha
L (Л^, М), видим, что сужение формы г|з? на L (N, М) есть нуль
при l^i ^п и n+l^r^n + p.
Наконец, мы докажем C) —» A). Пусть X — любой горизон-
горизонтальный вектор для L(N) в точке v из L(A/\ M). Чтобы доказать,
что X действительно касается L(N, M), допустим, что Л —
касательный вектор к L{N, M) в v такой, что X' — X вертикален.
Мы положим A = ty(X') — ty(X). Так как я)з(Х) = О и так как
сужение ф на L(N, M) принимает значения из ql(n-\-p, n; R),
то А есть элемент из $1(п-\-р, п; R). Поскольку фундаменталь-
фундаментальное векторное поле А*, соответствующее А, совпадает с X'—X
вой поскольку GL(n-\-p, n; R) есть структурная группа для
L(N, M), вектор X' — X касается L(N, M). Так как X' также
касается L(N, M), то и X касается L(M, N). Поэтому каждая
горизонтальная кривая из L(N), исходящая из точки bL(N, M),
лежит в L{N, M). Другими словами, каждый адаптированный
репер v?L (N, М) остается в L(N, M) при параллельном переносе
вдоль любой кривой из М. ?
Если М — автопараллельное подмногообразие в N, то суже-
сужение -ф на L(N, М) определяет связность в L(N, M) в силу пред-
предложения 8.2. Из этой связности при помощи гомоморфизма h:
L(N, M)—>-L(M) индуцируется связность в L(M) по предложе-
предложению 6.1 главы II. Форма связности со на L (М), так определенная,
связана с формой связности -ф на L(N) так: /г*со = /г (i*o/*i|)), где
jot: L (N, М)—>-L(N)—естественное вложение и h справа есть
естественный гомоморфизм из gl(n + /?, n; R) на gl(n, R).
Предложение .8.3. Каждое автопараллельное подмногообра-
подмногообразие М в N является вполне геодезическим.
Доказательство. Пусть т — геодезическая из N, исходя-
исходящая из точки х в М и касательная к /И в х. Пусть х — геодези-
геодезическая в М (относительно индуцированной аффинной связности
в М), исходящая из х и касательная к т в х. Тогда т' есть гео-
геодезическая и в N. Действительно, если x' = xt, то векторное
поле x-f вдоль т' параллельно относительно связности в М по
определению геодезической. Отсюда следует, что это векторное
поле параллельно относительно аффинной связности в N. Итак,
т' есть геодезическая в /V. Так как любые две геодезические,
касающиеся друг друга в точке, должны совпадать, то имеем
т = г', т.е. т лежит в М. П
Следующий результат принадлежит Э. Картану [8], глава V.
Теорема 8.4. Пусть N — многообразие с аффинной связностью
и с нулевым кручением. Тогда каждое вполне геодезическое подмно-
подмногообразие М в N автопараллельно.
Доказательство. Для заданной точки о из М мы выби-
выбираем V и хх
хп+р и определяем U, как в доказательстве

60
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
B) —>- C) предложения 8.2. Для любой х ? U берем геодезическую xt
такую, что хо = х, х0 = 2?=оа1' (д/дх1:)х (т. е. касателен к М в на-
начальной точке х), где а1, ..., а" произвольно фиксированы. Так
как М вполне геодезическое по допущению, то геодезическая xt
остается в М для малых значений t. Уравнение (см. предложе-
предложение 7.8 главы III)
d2xA
dt*
в, с
сводится для
к
Vя
2-/, ft=
dx/ dxk
/
В частности, имеем при t = 0
2
Так как кручение, есть
а" произвольны,
а1
*= 1 Г/* (дг) а/л* = 0. _
нуль, то имеем
можно заключить,
Э
= Trkl.
Поскольку
р, но заключить, что Trjk(x) — 0 при
/, k^.n и п-\-\^г^п-\-р. Это справедливо в любой точке
из U. Итак, Vd/дх' {d/dxf), I ^ i, j ^ п, касается U в каждой
точке из U. Отсюда следует, что если X и F — векторные поля
на U (или на М), то "?.уУ касается U (или М) всюду. По пред-
предложению 8.2 заключаем, что М — автопараллельное подмногооб-
подмногообразие в М. ?
Пусть М — подмногообразие в N. Для любого ковариантного
тензорного поля К на N мы говорим о его сужении на М, кото-
которое определяется естественным образом. Для тензорного поля К
типа A, s) на N будем говорить, что К может быть сужено на
М, если, рассматривая К как s-линейное отображение ?(N)x . ¦ ¦
• • • x3c(N) —>• Ж (N) таким же образом, как и в предложении 3.1
главы I, получаем, что К(ХХ, ..., Xs) касается М в каждой
точке из М, если векторные поля Xlf.. ¦ ., Xs касаются Мв каж-
каждой его точке. При этом условии ясно, что К индуцирует тен-
тензорное поле типа A, s), называемое сужением К на М, естествен-
естественным образом; в каждой точке х из М Кх есть s-линейное ото-
отображение из Тх(М)х ¦ ¦ ¦ хТх(М) в ТХ(М), которое есть сужение
s-линейного отображения ~К из Tx(N)x- ¦ • xTx(N) в TX(N).
Теперь имеем
Предложение 8.5. Пусть N — многообразие с аффинной
связностью V, а М — автопараллельное подмногообразие в N с ин-
индуцированной аффинной связностью V-
A) Если X и Y — векторные поля на М, то \XY касается М
в каждой точке и ^хУ = ^х^ на М.
S8. АВТОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
61
B) Если К — сужение на М ковариантного тензорного поля
К, заданного на N, то V/C есть сужение на М для VK.
C) Пусть К есть тензорное поле типа A, s) на N, которое
может быть сужено на М, и пусть К — его сужение. Тогда VK
может быть сужено на М и его сужение совпадает с VK.
Доказательство. A) содержится в предложении 8.2. Чтобы
доказать B) для К типа @, s), пусть X, Xlt . . ., Xs — векторные
поля на М и продолжим их до векторных полей X, Хг Xs
на Af; действительно, локально это возможно, а это достаточно
для наших целей. Тогда
и ее значение в х?М равно величине (v/C)(X1, ..., Xs; X) =
= VX(K(X1 *,)) —J/=itf(*i, •••, ТхХ„ ...,XS) в точке х
в силу A). Доказательство C) совершенно аналогично. ?
Предложение 8.6. Пусть М и N такие же, как и в пред-
предложении 8.5.
A) Тензорное поле кручения Т и тензорное поле кривизны R
для N могут быть сужены на М и их сужения совпадают с тен-
тензорными полями кручения Т и кривизны R для М соответственно.
B) Ковариантные дифференциалы \тТ и VmR могут быть су-
сужены на М и их сужения равны утТ и ^mR соответственно.
Здесь т — произвольное положительное целое число.
Доказательство. Мы сначала докажем A). Если X и
Y — векторные поля на /V, касательные к М в каждой точке
из М, то VxY, VyX и [X, Y] имеют то же свойство. Итак,
Т (X, Y) также касается М в каждой его точке и равен Т (X, Y)
на М- Доказательство для R аналогично. B) следует из A) и C)
предложения 8.5. ?
Следствие 8.7. Пусть М — автопараллельное подмногообра-
подмногообразие многообразия N с аффинной связностью. Каждое из следую-
следующих свойств для N наследуется в М (с индуцированной аффинной
связностью):
A) тензор кручения есть нуль;
B) тензор кривизны есть нуль;
C) тензорное поле кручения параллельно;
D) тензорное поле кривизны параллельно.
В римановом случае имеем
Предложение 8.8. Пусть N — риманово многообразие. Для
подмногообразия М в N следующие свойства эквивалентны.
A) М автопараллельно;
B) /И вполне геодезическое;

62
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
C) вторая основная форма для М есть тождественный нуль.
Если М автопараллельно, то риманова связность в М отно-
относительно индуцированной римановой метрики совпадает с инду-
индуцированной аффинной связностью.
Доказательство. По определению второй основной фор-
формы а в § 3:
мы видим, что ее есть тождественный нуль тогда и только тогда,
когда Vi'F касается М, как только X и Y — касательные вектор-
векторные поля на М- Итак, эквивалентность . A), B) и C) следует
немедленно из предложения 8.2, предложения 8.3 и теоремы 8.4.
Мы также знаем, что если а — тождественный нуль, то аффинная
связность V индуцирует аффинную связность V на М, которая
есть риманова связность для индуцированной римановой метрики
на М по предложению 3.1.
Теорема 8.9. Пусть М — автопараллельное подмногообразие
римйнсва многообразия N, а X — инфинитезимальная изометрия
в N. В каждой точке из М разложим X в сумму касательного
и нормального к М векторов. Тогда касательная компонента для X
есть инфинитезимальная изометрия в М.
Доказательство. Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Каждый нормальный к М вектор остается нормаль-
нормальным при параллельном переносе вдоль любой кривой, содержащейся
в М.
Доказательство. Пусть т — кривая в /И. Пусть X и Y —
векторные поля вдоль т, параллельные относительно римановой
связности в АЛ Если g— метрический риманов тензор в N, то
g(X, Y) — константа вдоль т. Если У касается М в точке, то Y
касается М в каждой точке из т, так как М автопараллельно.
Далее, если X нормален к М в точке, то постоянная функция
g(X, Y) обращается в нуль всюду вдоль т. Отсюда X — нормаль
к М в каждой точке из т. Это и доказывает нашу лемму.
В каждой точке из М мы разложим инфинитезимальную изо-
метрию X в N так:
Х = Х' +Х",
где X' касается М, а X" — нормаль к М. Пусть g обозначает
также и индуцированный риманов метрический тензор на М-
По предложению 2.5 и предложению 3.2 главы VI достаточно
доказать, что g(VyX', Y) = 0 для всех векторных полей Y на М-
По тому же предложению мы имеем g(VyX, Y) = 0. Отсюда
0=?(VrX, Y) = gDyX', Y)+g(yYX', Y),
§8. АВТОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
63
По вышеприведенной лемме VyX" нормален к М, так что
g(\yX", F) = 0. Отсюда g(VrX', F) = 0. Q
Следствие 8.10. Каждое замкнутое автопараллельное под-
подмногообразие в однородном римановом многообразии является одно-
однородным .
Доказательство. Пусть N однородно, а М автопарал-
автопараллельно в АЛ Для данного касательного вектора к М существует
инфинитезимальная изометрия X в N, которая продолжает X, так
как N однородно. Касательная компонента X' для X в теореме 8.9
есть инфинитезимальная изометрия в М, которая продолжает
заданный вектор, касательный к М. С другой стороны, каждая
последовательность Коши в М есть последовательность Коши и
в N, и так как N однородно, то N полно (см. теорему 4.5 главы IV).
Отсюда М тоже полно. По теореме 2.4 главы VI X' порождает
глобальную 1-параметрическую группу изометрий в М. Это пока-
показывает, что множество всех так полученных X' порождает тран-
транзитивную группу изометрий для М. ?
Замечание. Очевидно, вышеприведенные аргументы пока-
показывают, что условие замкнутости М может быть заменено условием
полноты М.
Заключим эту часть важным примером автопараллельного под-
подмногообразия.
Пример 8.1. Пусть yV — многообразие с аффинной связно-
связностью, a G — любое множество аффинных преобразований в АЛ
Пусть F — множество точек из N, которые неподвижны под дей-
действием G. Тогда каждая связная компонента М в F есть замкну-
замкнутое автопараллельное подмногообразие в А^ (конечно, при условии,
что F не пусто). Действительно, пусть xQ М- Тогда каждый
элемент из G индуцирует эндоморфизм в TX(N). Пусть У —под-
—подпространство из TX{N), состоящее из векторов, неподвижных при
действии эндоморфизмов для TX(N), индуцированных множеством
G. Пусть U* — окрестность начала в TX(N) такая, что экспонен-
экспоненциальное отображение ехрЛ: U* —*¦ N взаимно однозначно. Пусть
U =expx(U*). Легко видеть, что U Г) F = expx(U* Г) V). Так как
U{\F — окрестность х в F, a expx(U* C\V) есть подмногообразие
в N, то М есть тоже подмногообразие в N. Очевидно, М замкнуто
в N. Если X — параллельное векторное поле вдоль кривой т из АЛ
то каждое аффинное преобразование / для N отображает X в па-
параллельное векторное поле вдоль /(г). Считая, что т лежит в М,
а X касается М в одной точке из т, мы покажем, что X
касается М в каждой точке из т. Так как т лежит в М,
то /(т) = т и отсюда / (X) есть параллельное векторное поле
вдоль т для каждого /6G. Поскольку / оставляет точки из М
неподвижными, X и f (X) совпадают в точках, где X касается М.
Единственность параллельного переноса влечет, что X и f (X)

64
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
совпадают в каждой точке из т. Итак, X инвариантно относи-
относительно любого элемента / из G. Это влечет, что X касается М
в любой точке кривой т, что и завершает доказательство нашего
утверждения. Сходным образом, если F есть множество общих
нулей любого множества инфинитезимальных аффинных преобра-
преобразований в N, то каждая связная компонента М в F — замкнутое
автопараллелвное подмногообразие в N. Мы должны лишь при-
применить те же аргументы, что и выше, к множеству локальных
1-параметрических групп локальных аффинных преобразований
в N, порожденных заданным множеством инфинитезимальных аф-
аффинных преобразований.
Глава VIII
ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
§ 1. Поля Якоби
Пусть М есть л-мерное многообразие с аффинной связностью,
а Г и R — тензорные поля кручения и кривизны на М- Вектор-
Векторное поле X вдоль геодезической x = xt в М называется полем
Якоби, если оно удовлетворяет следующему линейному дифферен-
дифференциальному уравнению второго порядка, называемому уравнением
где xt — вектор, касательный к у в точке xt. Мы обозначим че-
через Jx множество полей Якоби вдоль т; очевидно, они образуют
векторное пространство над R.
Предложение 1.1. Поле Якоби X вдоль x — xt однозначно
определяется значениями X и у. X в одной точке ха кривой т.
xt
В частности, имеем
dim Jx = 2n.
Доказательство. Это следствие того факта, что уравне-
уравнение Якоби есть обыкновенное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка. ?
Теперь мы дадим геометрическую интерпретацию поля Якоби.
Вариацией геодезической x=xt, Q^t^.1, будем называть 1-па-
раметрическое семейство геодезических xs, —е < s < в, таких, что
т = т°. Точнее, это есть дифференцируемое отображение класса С°°
из [0, 1]х(—е, s) в М, (t, s)~^xst такое, что:
A) для каждого фиксированного s?(—е, s) xs = xst есть гео-
геодезическая;
B) xat=xt для OrCf^l.
Инфинитезимальная вариация X геодезической т есть вектор-
векторное поле вдоль т, индуцированное некоторой вариацией xs=xst
для х следующим образом. Для каждого фиксированного t мы
обозначаем xt = x\ кривую, описываемую точкой х%, —е < s < e.
Касательный ^вектор tt в л^, обозначается через x\t). Тогда X
определяется^так:
Xx = x°lt) для 0<*<1.
Ъ Зак. 425

54
ГЛ. VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
совпадают в каждой точке из т. Итак, X инвариантно относи-
относительно любого элемента / из G. Это влечет, что X касается М
в любой точке кривой т, что и завершает доказательство нашего
утверждения. Сходным образом, если F есть множество общих
нулей любого множества инфинитезимальных аффинных преобра-
преобразований в N, то каждая связная компонента М в F — замкнутое
автопараллелвное подмногообразие в N. Мы должны лишь при-
применить те же аргументы, что и выше, к множеству локальных
1-параметрических групп локальных аффинных преобразований
в N, порожденных заданным множеством инфинитезимальных аф-
аффинных преобразований.
Глава VIII
ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
§ 1. Поля Якоби
Пусть М есть л-мерное многообразие с аффинной связностью,
а Г и R—тензорные поля кручения и кривизны на М- Вектор-
Векторное поле X вдоль геодезической x = xt в М называется полем
Якоби, если оно удовлетворяет следующему линейному дифферен-
дифференциальному уравнению второго порядка, называемому уравнением
Ч\Х + V;t (Т (X, xt)) + R (X, xt) xt = О,
где xt — вектор, касательный к у в точке xt. Мы обозначим че-
через Jx множество полей Якоби вдоль т; очевидно, они образуют
векторное пространство над R.
Предложение 1.1. Поле Якоби X вдоль % = xt однозначно
определяется значениями X и V. X в одной точке ха кривой т.
В частности, имеем
dim Jx = 2n.
Доказательство. Это следствие того факта, что уравне-
уравнение Якоби есть обыкновенное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка. ?
Теперь мы дадим геометрическую интерпретацию поля Якоби.
Вариацией геодезической •x-=xi, 0<!?<;i, будем называть 1-па-
раметрическое семейство геодезических is, —е < s < в, таких, что
т = т°. Точнее, это есть дифференцируемое отображение класса С"
из [0, 1]х(—е, е) в М, (t, s)-+xst такое, что:
A) для каждого фиксированного s?(—е, е) xs = xst есть гео-
геодезическая;
B) x°t=xt для 0?С*<1.
Инфинитезимальная вариация X геодезической т есть вектор-
векторное поле вдоль т, индуцированное некоторой вариацией %s=xst
для т следующим образом. Для каждого фиксированного t мы
обозначаем %t = xst кривую, описываемую точкой х% —е < s < e.
Касательный ["вектор т, в xs{t) обозначается через х\и. Тогда X
определяется^так:
для
S Зак. 425

66
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Теорема 1.2. Векторное поле X вдоль геодезической х есть
поле Якоби тогда и только тогда, когда оно есть инфинитези-
мальная вариация для т.
Доказательство. Предполагая, что X есть инфинитези-
мальная вариация для т, допустим, что т* = х\ — вариация для т,
которая индуцирует X. Пусть у есть отображение из [0, 1]х(—е, е)
в расслоение Ь(М) линейных реперов такое, что если положить
ust = y(s, t), то
A)я(ы|) = л:? для 0<^<1, —e<s<s где я —проекция
из L(M) на М;
B) для каждого фиксированного s u\, Q^.t^.1, есть гори-
горизонтальная кривая.
Пусть U и V — векторные поля на [0, 1]х(—е, е), опреде-
определенные так:
U = d/ds, V = d/dt.
Пусть 0, со, О и Q будут канонической формой, формой связно-
связности, формой кручения и формой кривизны на L(M) соответственно.
Мы положим
е*=у*6, со* = у*ю, в* = у*в, й* = 7*й.
Тогда имеем:
C) [*Л V] = 0;
D) co*(F) = O;
E) V(&(V))=O.
Утверждение C) очевидно. D) следует из B). A) и B) влвкут,
что 6*(V) постоянно (см. предложение 6.3 главы III) и отсюда E).
Предложение 3.11 главы I и первое уравнение структуры влекут
F) U(Q*{V)) — V(Q*(U)) — 9*([<У, V]) = 2dQ*(U, V)
= _ со* (.*/) - е* (V) + со* (V) ¦ е* (U) + 2в* (f.', v).
26*(f/, V).
По C), D) и F) имеем
G) U(Q*(V)) — V(Q*{U))= — c
Если применим V к G), то по E) имеем
(8) VU(Q*(V)) — V2(Q*(U))
= —V (©•(?/))-e*(V) +2V(e» ('6' V)).
С другой стороны, C) и D) влекут
(9) VU(Q*(V)) = UV(Q*(V))-[U, V](Q*(V)) = O.
Комбинируя (8) и (9), получаем
A0) V2(e*(t7)) = F(co*(i/))-e*(I/) — 2VF* (t/,
§ 1. ПОЛЯ ЯКОБИ
67
Аналогично, предложение 3.11 главы I и второе структурное
уравнение влекут
A1) ?/(со*00)— F (со* (?/))— co»([t7, V]) = 2do)»(i/, V)
= — со* (?/) со* (V) + со* (V) со» (?/) + 2Q»;(f/, V).
C), D) и A1) влекут
A2) V(<?>*(U)) = — 2Q*(U,V).
Комбинируя A0) A2), получаем окончательно
A3) V*(e
Покажем, что это не что иное, как уравнение Якоби. Дей-
Действительно, имеем
A4) в- (?/)<,, в) =¦ е (и?„) = иг1 (Хн), где щ = ы°.
Второе равенство в A4) следует из определения 0 и из ri(u?t)) = XX).
Вообще, если Z—векторное поле вдоль xtt то (см. лемму в дока-
доказательстве предложения 1.1 главы III)
at x l
Поскольку V = d/dt, то из A4) получаем
Аналогично из n{uf) = XXf и я («<?') =жг получаем (см. опреде-
определение тензора кручения Т в § 5 главы III)
A6)
26* (U,
г, xt)).
Отсюда
A7)
ut((VBe*:(U, ti
Из определения тензора кривизны получаем
A8) щ (BQ* (U, V)&(V))(U a)) = R(XXit xt)xt.
Сужая A3) на линию s = 0 и применяя A5), A7) и A8), получаем
A9) V
Обратно, пусть X — поле Якоби вдоль % = xt, O^C/^1. Вы-
бере?! два значения параметра а и Ъ так близко друг к другу,
3* Згл. 425

68
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
что ха ихь лежат в выпуклой окрестности (см. теорему 8.7 главы III),
и так, что каждое поле Якоби вдоль т однозначно определяется
его значениями в хаи хь. Это возможно, так как уравнение Якоби
есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка.
Пусть xsa (соотв. х%), —8 < s < е, есть кривая такая, что
ха~х°а (соотв. хь = х%), и такая, что ХХа (соотв. Хх) есть каса-
касательный вектор в ха (соотв. хь). Если мы возьмем е достаточно
малым, то для каждого s имеем единственную геодезическую
х\, 0 iS^ <; 1, через х% и х% такую, что xst, a^t^b, лежит в вы-
выпуклой окрестности, выбранной выше. Тогда семейство геодези-
геодезических %s = xst есть вариация для т. Пусть Y есть поле Якоби
вдоль т, индуцированное этой вариацией: Так как X и Y сов-
совпадают в ха и хь, то они тождественно равны, что и доказывает,
что X — инфинитезимальная вариация, индуцированная вариа-
вариацией т*. ?
Предложение 1.3. Пусть.X — инфинитезимальное аффин-
аффинное преобразование в М. Тогда X есть поле Якоби вдоль каждой
геодезической x — xt, O^t ^ 1, из М.
Доказательство. Мы дадим два доказательства. По пред-
предложениям 2.5 и 2.6 главы VI векторное поле X есть инфини-
инфинитезимальное ^аффинное] преобразование тогда и только тогда,
когда
V\rX + vY(T(X, Y)) + R(X, Y)Y + Ax(vYY) = 0
для каждого векторного поля]К, где Ах—тензорное поле типа A,1),
индуцированное дифференцированием LK—\х (см. § 2 главы VI).
Применяя вышеприведенную формулу выше к векторному полю xt
вдоль т и отмечая то, что т —геодезическая, мы видим, что X
удовлетворяет уравнению Якоби.
Другое доказательство может быть дано при помощи тео-
теоремы 1.2. Пусть ф5, —s < s < е, есть локальная 1-параметри-
ческая группа локальных аффинных преобразований, порожденная
полем Л'. Беря е достаточно малым, мы можем считать, что
(ps(xt) определяется при O^^^l и — е < s < е. Тогда ясно,
что X, суженное на т, есть инфинитезимальная вариация, инду-
индуцированная вариацией xs = q>s(x). ?
Пусть т — геодезическая в М.. Говорят, что две точки х и у
на т сопряжены друг другу вдоль т, если существует ненулевое
поле Якоби X вдоль т, которое обращается в нуль как в х,
так и в у.
Пусть xs — x\, Q^.t ^.\ и — s<s< е,— вариация геодези-
геодезической т такая, что х = х% и у — х\ для всех s. Тогда х и у
сопряжены вдоль т при условии, что поле Якоби, индуцирован-
индуцированное из xs, ненулевое. Нужно отметить, что не каждое поле
§ 1. ПОЛЯ ЯКОБИ,
69
Якоби, обращающееся в нуль в х и у, может быть индуцировано
такой вариацией. Доказательство теоремы 1.2 показывает, что мы
всегда можем построить вариацию Xs для т такую, что заданное
поле Якоби индуцируется вариацией Xs и что х = х% для всех s.
Хотя касательный вектор к х{ в у = х" есть нуль, х{ может не
совпадать с у.
Мы теперь истолкуем сопряженные точки в терминах экспо-
экспоненциального отображения. Пусть ехр^: ТХ(М)—*¦ М есть экспо-
экспоненциальное отображение, определенное в § 6 главы III. Ради
простоты будем считать, что аффинная связность полна. Точка X
из ТХ(М) называется сопряженной точкой для х в ТХ(М), если
ехрд. имеет особенность в X (т. е. матрица Якоби для ехр^ син-
сингулярна в X).
Теорема 1.4. Если X ?ТХ(М) есть сопряженная точка
для х в ТХ(М), то ехрд.(Х) ? М есть сопряженная точка для х
вдоль геодезической expx(tX), O^t^ 1. Обратно, каждая сопря-
сопряженная точка для х может быть так получена.
Доказательство. Положим ТХ = ТХ(М)- Для того чтобы
устранить всякую двусмысленность в обозначениях, обозначим
через f дифференциал от ехр^ в X. Тогда / есть линейное отобра-
отображение из ТХ(ТХ) в Ту(М), где у = ехрх(Х). Если X сопряжено
с х в ТХ(М), то / сингулярно (вырождено). Рассмотрим линию
через точку X в Тх, касательный вектор к которой в X аннули-
аннулируется при действии /. Пусть Xs, — г < s < e, есть такая линия,
где Х = Х°. Пусть xs = xf есть вариация для x = expx(tX), опре-
определенная как xst=expx(tXs). Ясно, что поле Якоби, индуцированное
с помощью xs, равно нулю в х и у.
Обратно, каждое поле Якоби Y вдоль т = ехрЛ.(^Х), обра-
обращающееся в нуль в х и у = ехрх(Х), индуцируется вариацией
xs —х\ для х такой, что х = х%. Тогда имеется кривая Xs через X
в Тх такая, что Х = Х°, и такая, что xst = expx(tXs). Так как
касательный вектор к кривой Xs в Х° отображается в Yу = О
при действии /, то / сингулярно. Это означает, что X есть сопря-
сопряженная точка для х в ТХ(М). ?
Замечание. Пусть x = xt, 0^?<oo, есть геодезическая
такая, что xt = expx(tX), где Х?ТХ(М). Так как ехр* не вырож-
вырождено в начале ТХ(М), то имеется положительное число, скажем а,
такое, что не существует сопряженных точек для лнах(, 0 ^ t ^a.
Если существуют сопряженные точки для х на т, то пусть
5={s>0; xs есть сопряженная точка для х вдоль xt, O^t^.[s\,
и пусть b = iniS. Так как ехр^ сингулярно в sX, то оно сингу-
сингулярно и в ЬХ, т. е. хь — сопряженная точка для х. Итак, можно
говорить о первой сопряженной точке для х вдоль т.
Уравнения Якоби для несимметричных инвариантных связностей
на однородных пространствах были рассмотрены Чавелом [1],
[2] (см. также Р а у х [5]).

70
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
§ 2. Поля Якоби в римановом многообразии
Отсюда и далее будем предполагать, что М — риманово много-
многообразие и что каждая геодезическая т = х4 параметризуется Длиной
дуги, если не указано иначе. Для любого векторного поля X
вдоль х векторные поля \х X и \\Х вдоль т будут обозначаться
через X' и X" • соответственно.
Каждая геодезическая x = xt допускает два поля Якоби есте-
естественным образом. Одно задается как xt и будет обозначаться
через т. Другое задается как txi и будет обозначаться т. Триви-
Тривиально проверяется, что хит удовлетворяют уравнению Якоби.
Предложение 2.1. Каждое поле Якоби X вдоль геодези-
геодезической х = xt риманова многообразия М может быть однозначно
разложено так:
где а и Ъ — вещественные числа, a Y—поле Якоби вдоль х, которое
всюду перпендикулярно к т.
Доказательство. Пусть g—риманова метрика на М,
и положим
Так как X, х и т удовлетворяют уравнению Якоби, то и 7 тоже
ему удовлетворяет. Беря скалярное произведение для т с правой
и левой частью .уравнения Якоби после] подстановки в него Y,
получаем
т)т, х) = 0.
Поскольку R (Y, т) — кососимметрическое линейное преобразование
касательного пространства в каждой точке (см. предложение 2.1
главы V), второй член вышеприведенного уравнения обращается
в ^уль тождественно. Поэтому первый член тоже обращается
в нуль. Из v^t = 0 и VU = O получаем
d2 • »
~dtrg(Y> t) = Vig(Y, r)=g(y, т)= 0.
Итак, g(Y, x) = A
имеем
, где А и В — постоянные. Так как хх =0,
*
., xa)—g(axa, xo) = a—a = 0.
Так как т — геодезическая, мы имеем Y'= X'—Ьх. Отсюда
Итак, g(Y, t) = 0.
§2. ПОЛЯ ЯКОБИ?В РИМАНОВОМ^МНОГООБРАЗИИ
71
Для того чтобы доказать единственность разложения, допу-
допустим, что
есть другое разложение для X такое, что Z перпендикулярно к т.
Для каждого t имеем
t + YXt = (a! +b't)'xt+ZXi.
Поскольку YXt и ZXf перпендикулярны к xt, имеем
= a'+b't, YXt = ZXt,
и отсюда
= Z.
Следствие 2.2. Если поле Якоби вдоль геодезической х пер-
перпендикулярно к х в двух точках, то оно перпендикулярно к х
в каждой точке на х.
Доказательство. Предположим, что поле Якоби X пер-
перпендикулярно к x — xt в хг и xs. Пусть X = ax-\-bx + Y, как и в
предложении 2.1. Тогда имеем
r, 0 = (a-\-bs)xs.
Так как гф-s, то имеем а = 6 = 0. ?
Мы установим формулу, которая будет необходима в после-
последующих параграфах.
Предложение 2.3. Пусть X — поле Якоби, a Y — кусочно
дифференцируемое векторное поле вдоль геодезической x = xt. Тогда
для любых значений а и b параметра t имеем
Y'-)-g(R(X, т)т, Y)]dt + g(X', Y)t=a
^J Доказательство. Мы получаем желаемую формулу после
интегрирования следующего равенства:
Y)=g(X',
Y)
Y')-g(R(X, т)т, Y).
Следствие 2.4. Если g(R(Y, x)x, Y) <; 0 для каждого
векторного поля Y вдоль х, то никакие две точки из х не сопря-
сопряжены вдоль х. В частности, риманово многообразие с неположи-
неположительной секционной кривизной не имеет сопряженных точек.
Доказательство. Пусть X—поле Якоби вдоль х, обра-
обраВ формуле предложения 2.3 положим

72
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Y = X. Тогда неинтегрируемые [члены дают нуль. С другой сто-
стороны, подынтегральное выражение в интегрируемом члене не поло-
положительно и потому должно быть нулем. Это влечет g(X', X') = 0.
Так как X— нуль в ха, то X' = 0 влечет ^ = 0. ?
Следующее предложение предназначается также для дальней-
дальнейшего использования.
Предложение 2.5. Если X и Y — поля ^коби вдоль геоде-
геодезической х, то
g(X, Y")—g(X', Y) равно константе.
Более того, если X и Y обращаются в нуль в некоторой точке,
скажем ха, кривой х, то
g(X, Y')-g(X', Y) = 0.
Доказательство.
'¦ZfgiX, Y')=g(X', Yf)+g(X, Y")
= g(Xf, Y')-g(X, R(Y, x)x).-
Аналогично
Ag(X\ Y)=g(Xf, Y')-g(R(X, x)x, У).
Так как g(X, R(Y, x)x)=g(R(X, 'x)x, Y) (см. предложение 2.1
главы V), имеем
dt
Пример 2.1. Пусть т = xt — геодезическая риманова много-
многообразия М положительной постоянной кривизны k, a x0, Yx, . ..
¦¦¦' Yп-л. — ортонормальный базис для ТХа(М). Параллельным
переносом вдоль т мы продолжаем Yx, .. ., Yn~i ДО параллельных
векторных полей вдоль т так, что т, Y17 ..., У„_1 образуют
ортонормальный базис касательного пространства в каждой точке
из т. Положим
(Ut)Xt = sin (Vk t) (Yt)Xft (Vt)Xt = cos (\Tk t) {Yt)Xt.
В силу следствия 2.3 главы V можно проверить, что Uly . .., f/n_lt
Vlt ..., Vn-X — поля Якоби вдоль т. Отсюда следует (см. пред-
предложение 1.1), что эти 2п — 2 поля Якоби вместе стих образуют
базис пространства Jx всех полей Якоби вдоль т. Отсюда следует
также, что сопряженные точки для х0 вдоль т задаются точками
из у при значениях параметра t — mn\V~k, /л=±1, ±2, ...
§3. СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ
73
§ 3. Сопряженные точки
Как и в § 2, пусть М — риманово многообразие, a x = xt
геодезическая в М, параметризованная ее длиной дуги. Для каж-
каждого кусочно дифференцируемого векторного поля X вдоль т
полагаем
Iba(X) = \ba[g(X', X')—g(R(X, т)т, X)]dt,
где X' обозначает ковариантную производную от X в направле-
направлении т. В этом параграфе мы исследуем свойства /д(Х) и извлечем
некоторые следствия о расстоянии между двумя последователь-
последовательными сопряженными точками. Интеграл 1ьа окажется также тесно
связанным с индексной формой Морса, которая будет определена
и изучена позже в § 6.
Предложение 3.1. Пусть x = xt, as^ts^.b,— геодезическая
в М такая, что ха не имеет сопряженных точек вдоль x = xt для
as^.t^.b. Пусть Y — поле ^коби вдоль х, которое обращается
в нуль в ха и перпендикулярно к х, а X — кусочно дифференци-
дифференцируемое векторное поле вдоль х, обращающееся в нуль в ха и пер-
перпендикулярное к х. Если Хх —Yх , имеем
а равенство имеет место, лишь если X = Y.
Доказательство. Пусть Jx<a есть пространство всех полей
Якоби вдоль х, обращающихся в нуль в ха и перпендикулярных
к т. По предложению 1.1 пространство всех полей Якоби вдоль т,
обращающихся в нуль в ха, имеет размерность п. Отсюда следует
(см. предложение 2.1), что A\xaJxa = n—1. Пусть Ylt . .., Yn_x—
базис для Jx a. Таккак Y?Jxa, то можно написать
где аг, ..., я„_1 — константы. Поскольку не существует сопря-
сопряженных точек для ха на т, a^t-^T.b, то Ylt ..., Yn_x линейно
независимы в каждой точке хх при а < t ^b. Существуют поэтому
функции f1(t), ..., fn-1(t) такие, что
Мы имеем (употребив 2 вместо
где каждое f\ обозначает dfjdt. Мы также имеем
-g(R(X, x)x, X) = -i

74
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
§ 3. СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ
75
где второе равенство есть следствие допущения, что каждое У't
есть^поле Якоби. С другой стороны, имеем
Комбинируя эти три равенства, получаем
gl(X', X')-g(R(X, т)О0
Так как по предложению 2.5 мы имеем
g(Lf\Yt, JtftY'd-
то получаем
i, i
Аналогично получаем
Поскольку a'i=dat/dt = Qt имеем
По нашему допущению, что Xxb=Yxb, имеем ai=fi(p) для
i = 1, ..., п — 1. Отсюда
Pa(X)-Iba(Y)= ^
Очевидно, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда
/f = 0 для t = l, ..., п—1. Так как al=f(b), то /1 = 0 влечет
ai = f(t) для всех t, и отсюда X = Y. П
Следствие 3.2. Пусть % = xt, a^t^ib,— геодезическая
в М такая, что ха не имеет сопряженных точек вдоль i =xt
при a^.t^.b. Если X—кусочно дифференцируемое векторное
поле вдоль т, обращающееся в нуль в ха и хь и перпендикулярное
к х, то
К (X) > 0,
и равенство имеет место, лишь если Х = 0.
Доказательство. Положим F=0 в предложении 3.1. П
В качестве приложения этого следствия будет доказана
Теорема 3.3. Пусть М—риманово многообразие с секцион-
секционной кривизной ^г&0>0- Тогда для каждой геодезической т из М
расстояние между^ двумя п /следовательными сопряженными точ-
точками из % есть, самое большее, я Vka.
Доказательство. Пусть x = xt, a^t <Tc,— геодезическая
такая, что хс есть первая сопряженная точка для ха на т, а & —
произвольное число такое, что а < b < с. Пусть Y — параллельное
векторное поле вдоль г, которое перпендикулярно к т, a f (t) —
ненулевая функция такая, что /(а) = /F) = 0. По следствию 3.2
имеем /|(/F)^0.- С другой стороны, так как Y параллельно
вдоль т, имеем
l", f'Y)-f2g(R(Y, т)т, Y)]dt
Если мы берем
" cos2* dx= \ sin2 xdx — л/2,
U «JO
и используем
то неравенство выше^влечет b — a $^.njyka. Так как b можно взять
сколь угодно близко к с, то с — a^njVK- ?
Аналогично мы докажем следующий более сильный результат:
Теорема 3.4. Пусть М — риманово многообразие такое,
что тензор Риччи S положительно определен и имеет собствен-
собственные значения ~^{п— 1)/г„>0. Тогда для каждой геодезической т
из М расстояние между любыми двумя последовательными сопря-
сопряженными точками на т есть самое большее n/h0.
Доказательство. Пусть х = xt, а, с и b точно те же, что
и в доказательстве теоремы 3.3, и пусть Ylt ..., Yn_l — парал-
параллельные единичные векторные поля вдоль т такие, что т, Ylt. . .
..., У„_1 ортонормальны в каждой точке из т. Пусть f(t) — не-
ненулевая функция с / (a) = f (b) = 0. По следствию 3.2 имеем
Iba (fYt) ^ 0 Для / = 1, . .., п — 1. С другой стороны,
Оставшаяся часть доказательства подобна доказательству в тео-
теореме 3.3. ?
Предложение 3.5. Пусть x = xt, a'^t^b,— геодезическая
в римановом многообразии М. Тогда сопряженная точка хс.

76
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
§ 4.' ТЕОРЕМА"СРАВНЕНИЯ
77
а < с < Ъ, для ха вдоль х существует тогда и только тогда,
когда имеется кусочно дифференцируемое векторное поле X вдоль х
такое, что: A) X перпендикулярно к т; B) X есть нуль в ха
и хьи C) /»(*)< 0.
Доказательство. По следствию 3.2, если имеется вектор-
векторное поле X со свойствами A), B) и C), то существует сопряжен-
сопряженная точка хс, а < с < Ь, для ха. Обратно, пусть хс, а < с < Ь,
есть сопряженная точка для ха, и пусть Y — поле Якоби
вдоль т, обращающееся в нуль в ха и хс. По следствию 2.2
Y перпендикулярно к т. Возьмем выпуклую окрестность U для хс
такую, что каждая точка из U имеет нормальную координатную
окрестность, содержащую U (см. теорему 8.7 главы III), и пусть
6 > О таково, что xc-s и хс+б лежат в U. Тогда, поскольку хс+ь
не есть сопряженная точка для хс~& вдоль сегмента т' кривой т
из хс_б в хс+ь, линейное отображение множества полей Якоби
на т' в ТХс_й(М) + ТХс+й(М), задаваемое как Z-*-(ZXc_6, ZXc+6)
взаимно однозначно и поэтому сюръективно по причине, что оба
векторных пространства имеют размерность 2п. Отсюда имеется
поле Якоби на х' с предписанными значениями на концах. Мы
сейчас выберем поле Якоби Z на х' так, что ZXc_b — YXc_b,
+
Определим теперь векторное поле X вдоль т так:
Х = У от ха до Хс-ь,
X=Z ОТ Хс_в ДО Хс+6,
Х = 0 от хс+а до хь.
Так как 0 = Ica(Y) = Ica~6(Y)+ /*_a (Y) по предложению 2.3, мы
имеем
)()
= /Га (У) + П+Л (Z) - /га (Y) - П-6 (Y) - icc+A (Z) - П-б (Y).
Пусть Y — векторное поле вдоль т от хс-а До хс+в, определенное
так:
Y = Y от хс-в ДО хс,
Y — 0 от хс до хс+б-
Применяя предложение 3.1 к векторным полям Y и Z, имеем
/g±8 (Z) < Icc±% (Y) = //-а (У)-
Отсюда 1ьа (X) < 0. ?
§ 4. Теорема сравнения
Главная цель этой части—доказать следующую теорему срав-
сравнения Pay ха [1]:
Теорема 4.1. Пусть М и N — римановы многообразия раз-
размерности п с метрическими тензорами g и h соответственно.
Пусть o = xt, a s^t^.b,—геодезическая в М, аХ — ненулевое поле
Якоби вдоль о, перпендикулярное к а. Пусть еще x — yt, a^t^L
^ b, — геодезическая в N, a Y — ненулевое поле Як°би вдоль х,
перпендикулярное к т. Предположим:
A) X и Y обращаются в нуль при t = a;
B) X' и Y' имеют одинаковую длину при t = a\
C) ха не имеет сопряженных точек на а = xt, a ^.t ^.b, a ya
не имеет сопряженных точек на x = yt, a^it ^.b;
D) для каждого t, a ^.t ^.b, если р — плоскость касательного
пространства в xt, q — плоскость касательного пространства в yt,
то
K(p)>K(q),
где К (р) и К, (q) — секционные кривизны для р и q соответственно.
При этих предположениях
g (Хх , Хх ) ^ h (Yх , Yx) для каждого t, a^
Доказательство. Положим
для
Так как и (t) Ф 0 и и^)Ф0 для a<Ct^.b по A) и C), мы оп-
определяем функции ц (t) и v (t) так:
для a <_t
Поскольку du/dt = 2g(X, X') и dv/dt=2h(Y, Y'), по предложе-
предложению 2.3 имеем
du/dt = 2ци, dv/dt = 2vv.
Решая эти дифференциальные уравнения, получаем для каждого
е, а<е<Ь,
l
u(t)=u(e)e
Je (t) v(s)e Je
для a <Ct ^.b.
По предположениям A) и B) и по правилу Лопиталя
lim и (e)/o(e) =\\m\g{X, X')/h(Y, Г)],=8
', Y') + h(Y, Г"))]/=е=1.
е-<- а е -<• а
е-»-а

78
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Отсюда
и (t)/v (t) — lira e
Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что \i (t) sc;
^v(t) при a<t^b. Возьмем произвольное число с, а<с<Ь,
и фиксируем его в оставшейся части доказательства. Полагаем
X = Х/и
7= Y/v (с) v«,
так_»,что X и Y—поля Якоби вдоль а и т соответственно, а ХХс
и ^— единичные векторы. Построим векторное поле Z вдоль а
так, что ?(Z, Z)Xi^h{Y,f)yt и ?(Г, Z')^" = A(?', F%, для а<
^t^b. Для этого пусть f/f (соотв.^) будет нормальным к а
пространством в xt (соотв. нормальным к т nyt). Пусть fc—сохраня-
fc—сохраняющий метрику линейный изоморфизм из Vc на Ue такой, что
fc(Yyc) = XXc.. Пусть art (соотв. т?) — параллельный перенос вдоль^
(соотв. вдоль т) из хг в xt (соотв. из уг в z/^.fjTIycTb /,— линейный
изоморфизм из Vt на ?/ъ определенный как
Если мы положим ZXi = ft(Yyt) для as^t^b, то получим жела-
желаемое векторное поле Z вдоль 0. Мы имеем
Первое неравенство есть следствие предложения 3.1, а второе
неравенство следует из предположения D) и из определения /?.
С другой стороны,
Отсюда
v(c)«.
>(c).
о (с) =
Так как с произвольно, то это завершает доказательство. ?
Следствие 4.2. Пусть М и N — римановы многообразия
размерности п. Пусть o = xt, a<^<&, и r = y,t, а<^<6,—
геодезические в М и N соответственно. Допустим, что для каж-
каждой плоскости р касательного пространства в xt и для каждой
плоскости а касательного пространства в уt выполняется К(р)^
^К (<7). Еслиха не имеет сопряженных точек на o = xf, a^Zt^b,
то уа не имеет сопряженных точек на x~yt, а<! t <;&.•¦"-¦ —rt"ae--
Доказательство. Предположим, что ус, а < с < Ь, есть
первая сопряженная точка для уа вдоль т. Пусть Y— ненулевое
поле Якоби вдоль т, равное нулю в уа и z/,, и пусть X — поле
Якоби вдоль о, обращающееся в нуль в ха, такое, что длина X'
§5. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
79
в ха та же, что и длина Y1 в уа (см. предложение 1.1). Тогда
по теореме 4.1
для
Отсюда
S (Х,„ XAV) = lim g (Хх., Хх.) < lira h {Yy Yy) = h {Yyc, Yyc) = 0.
/ -)-e * * t ->-c
Это означает, что X есть поле Якоби, равное нулю в ха и хс, и
поэтому л:,, сопряжено с ха вдоль а, что противоречит нашему
предположению. ?
Следующий результат принадлежит Бонне [1]:
Следствие 4.3. Пусть М — риманово многообразие, секцион-
секционная кривизна которого ограничена так: O^ko^K(p) ^^i. где k0
и kx — положительные константы. Если r = xt, a^t^ib, есть
геодезическая такая, что хь — первая сопряженная точка для ха
вдоль т, тогда
л/УК < b — а < л/Ук0.
Доказательство. Второе неравенство уже было доказано
в теореме 3.4. Однако оно следует также из следствия 4.2 и
примера 2.1, если считать N полным римановым многообразием
постоянной кривизны kQ в следствии 4.2. Чтобы получить первое
неравенство, нужно считать N полным римановым многообрази-
многообразием постоянной кривизны /гг и поменять роли М и N в следст-
следствии 4.2. ?
Замечание. В следствии 4.2 пусть М — евклидово прост-
пространство, а N—риманово многообразие неположительной кривиз-
кривизны. Тогда мы получаем альтернативное доказательство следст-
следствия 2.4.
Относительно обобщений теоремы сравнения см. Т о_п о н о г о в
[1], ЦукамотЪ [2], Бе рже [13] и Уорнер [2].
§ 5. Первая и вторая вариации интеграла длины
Пусть М — риманово многообразие с метрическим тензором g.
Всюду в этом параграфе мы фиксируем две точки у и z в М и
обозначим через Г множество всех кусочно дифференцируемых
кривых r = xt, a^.t ^.b, из у в z, параметризованных пропор-
пропорционально длине дуги. Касательное пространство к Г в х, обо-
обозначаемое 7\(Г), есть векторное пространство всех кусочно диф-
дифференцируемых векторных полей X вдоль т, обращающихся в нуль
в концевых точках х и у. Как мы вскоре увидим, Г аналогично
многообразию, а Тх (Г) играет роль касательного пространства.
Мы используем эту аналогию, чтобы мотивировать некоторые оп-
определения.

80
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Функция длины L на Г сопоставляет каждой т ее длину.
Главная цель этого параграфа состоит в изучении гессиана для L
в каждой ее критической точке. Полный дифференциал dL функ-
функции L сопоставляет каждой кривой х линейную функцию на Тх (Г)
следующим образом. Для данного X из 7\(Г) рассмотрим одно-
параметрическое семейство кривых xs — xst, a^. t^.b, —e<s<e,
такое, что:
A) кажда'я Xs есть элемент из Г;
B) т° = т;
C) существует конечное множество чисел tt ? [а, Ь] с а = 10 <
< t± < . . . < tk ==b такое, что (t, s) —*¦ х\ дифференцируемо на каж-
каждом прямоугольнике [tJt *,-+1]х(—е, е);
D) для каждого фиксированного t ?[a, b] вектор х\и каса-
касательный к кривой х\, —е < s < е, в точке xt =x°t, совпадает с Хх
Мы тогда полагаем
§5. ПЕРВАЯ ИВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Выразим dL (X) точно при помощи X и его ковариантных произ-
производных; в частности, увидим, что определение dL (X) выше не
зависит от выбора семейства т*.
Теорема 5.1. Пусть xs = xst, a^Lt ^.b и — e<s<e, есть
однопараметрическое семейство кривых такое, что (t, s) —>¦ х* есть
дифференцируемое отображение из [а, Ь]х(—е, е) в М, причем
каждая кривая Xs параметризована пропорционально длине дуги.
Положим xf = x° и т = т°. Тогда имеем
где X есть векторное поле вдоль х, определяемое как4X* =?<°), a
г — общая длина касательных векторов к т.
Доказательство будет дано позже. Как прямое следствие этой
теоремы имеет место
Теорема 5.2. Пусть т?Г и Х?ТХ(Г). Пусть а = с„<
сг < ¦ ¦ ¦ < сл < сл+1 =6 есть разбиение для [а, Ь] такое, что су-
сужение х™на каждый [су, су+1] дифференцируемо. Тогда
~~T{LU8(X,x--x+)Xc-)bag(X,Vxx)dt)%
где х~ и х+ обозначают левый и правый пределы касательного век-
векторного поля х в точках хс .
Как мы вскоре увидим, отсюда получается
Теорема 5.3. Кривая х g Г есть геодезическая тогда и только
тогда, когда dL (X) = 0 для всех Х?ТХ(Г).
Это означает, что геодезические, принадлежащие Г, представ-
представляют собой в точности критические точки для L на Г. Мы опре-
81
делим гессиан для L в точке — геодезической т? Г. Следуя Морсу
будем называть его индексной формой и обозначим через /. Это
будет вещественная билинейная форма на ^(Г). Как и в опре-
определении dL, для данного X ?ТХ (Г) мы рассматриваем однопара-
однопараметрическое семейство кривых Xs со свойствами A) — D).
Полагаем
так:
При помощи поляризации мы определяем индексную форму I (X, Y)
Til/ • '
- Y, X + Y)-1(X, X)~ I (Y, Y)].
Тогда имеет место
Теорема 5.4. Если т? Г — геодезическая и если X, Y? TX(T),
то
где Х*- = X — (l/r)g (X, т) т есть компонента дляХ, перпендику-
перпендикулярная к х, а Х-1-' обозначает ковариантную производную Vx X1-
для X1- вдоль х.
Это может быть переформулировано следующим образом:
Теорема 5.5. Пусть х, X и Y те же, что и в теореме 5.4.
Тогда
где a = to< ti< ... < th < th+1 = b есть разбиение для \а, b] та-
такое, что X дифференцируемо в каждом интервале [tj, ^,],
/ = 0, 1, . . ., h, a XL'~ (соотв. X¦!¦'+) обозначает левый (соотв.
правый) предел ковариантных производных от X1- относительно х
в точках Xt..
Отсюда получается
Теорема 5.6. Пусть т?Г есть геодезическая и Х?ТХ(Г).
Тогда X1- есть поле Якоби тогда и только тогда, когда I (X, Y) = 0
для всех Y?TX(T).
Оставшаяся часть этого параграфа посвящается доказатель-
доказательствам вышеуказанных шести теорем и некоторым"их приложениям.
Доказательство теоремы 5.1. Мы поднимаем отобра-
отображение G, s) —>-jc? до отображения у. [а,Ь]х(—е, е)—<-О(М) (где
О(М) — расслоение ортонормальных реперов над М) такого, что

82
. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
noy(t, s) — Xt и что кривая у°, определяемая как y°(t) — y(t, 0),
горизонтальна.
Пусть S иТ — векторные поля в прямоугольнике [а, Ь] х (—е, е), ¦
определяемые так:
<-,__? т д_
ds ' J ~~ dt •
Пусть 8, со и Q—каноническая форма, форма связности и форма
кривизны на О (М) соответственно. Определяем формы 8*, со* и Q*
на прямоугольнике так:
6* = у* F), со* = у* (со), О* = ?*(Я).
Тогда имеем следующие формулы (см. § 1):
(A) [5, Г] = 0;
(B) ш*(Г) = 0 в точках (t, 0);
(C) 5 (в* (Т)) = Т F* E)) + со* (Т) в* (S) — со* (S) 9* (Г);
(D) 5 (со* (Т)) = 7>- E)) + со* G) со* E) -
c
— cu*(S).o)*G) + 2Q*(S, Г).
Отметим, что (В) есть следствие того предположения, что у0 го-
горизонтальна, и что (С) и (D) следуют из (А), первого и второго
уравнения структуры и предложения 3.11 главы I.
Мы определяем функцию F на прямоугольнике, полагая
F = (Q*(T), Q*(T)Y'\
так что в каждой точке (t, s) F (t, s) есть длина вектора jtJS). Длина
L (%s) каждой кривой Xs дается интегралом
Поскольку каждая xs параметризуется пропорционально длине
дуги, функция F(t, s) в действительности зависит только от s.
В частности, имеем
(E) r^F(t, 0).
Теперь докажем следующую формулу:
(F) S(F)^±- (Т (В* (S)), в* (Т)) в точках (/, 0).
Действительно, по (С) имеем
2F¦ S (F) = S (Fa) =2(S(B*(T)), Q*(T))
= 2G' (е* E)), е* (Т)) + 2 (со* (Т) е* (S), е* (Т))
— 2 (со* EN* (Т), 6* (Г)).
Так как со* E) лежит в о (п) (т. е. кососимметрично), то послед-
последний член есть нуль. Поэтому (F) следует из (В) и (Е).
§5. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Теперь мы в состоянии вычислить первую вариацию
(dL (x>)/ds)Sm0.
(G) ^
83
„,
dt
= | F* (S), 6* (Г))(Ь, „-i- F- E), 6*bG))(a,
0)
С другой стороны, имеем
е* (S)(,;o) = е
„,)> = у° (о-1 (
(I) 6* G)(ь 0)=6 (у (Т{и „,) = Т" (О (я
Поскольку у0 горизонтальна, имеем
1,0)» = у0
гдеТт?+л обозначает параллельный перенос вдоль т из xi+h в
Это вместе с (I) влечет
(J) GF*) G))(t, 0) = li
Теперь теорема 5.1 следует из (G), (Н), (I) и (J). П
Доказательство теоремы 5.2. Разделим каждый [cJt
Су+1] на конечное число подынтервалов, на каждом из которых X
дифференцируемо, и применим теорему 5.1 к каждому из подын-
подынтервалов. ?
Доказательство теоремы 5.3. [Если т^Г есть геоде-
геодезическая, то 7x^=0 и теорема 5.2 влечет dL(X) = 0 для всех
Х?ТХ(Г). Обратно, пусть т? Г есть кривая такая, что dL(X) = 0
для всех Х?ТХ(Г). Как и в теореме 5.2, допустим, что т диф-
дифференцируема в каждом интервале [с,-, с/+1]. Пусть / — функция
вдоль т, которая есть нуль в clt .. ., ch и положительна в осталь-
остальных точках. Если мы полагаем
то формула из теоремы 5.2 сводится к

84
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Итак, dL (X) — О влечет V* т = О всюду, где у*т существует. Дру
гими словами, т есть ломаная геодезическая. Чтобы доказать,
что х дифференцируема и при t = cf, /= 1, . . ., h, мы выбираем
для каждого фиксированного / векторное поле X ? Тх (Г) такое,
чтоХ = т~—тг+ при t = Cj и Х = 0 при t — ck для Ыф]. Тогда
теорема 5.2 влечет т~— т+ = 0 при t = Cj. Q
Доказательство теоремы 5.4. Мы используем обозна-
обозначения и формулы из доказательства теоремы 5.1. В доказатель-
доказательстве (F) мы установили следующую формулу:
(К) 5 (F2) = 2 (Т @* (S)), 6* (Г)) + 2 (со* (Т7) 6* E), 0* (Г)).
Отсюда имеем
(L) ^
F*
Из этих пяти членов правой части последние два обращаются
в нуль в точках (/, 0) по (В) в доказательстве теоремы 5.1. Те-
Теперь мы подсчитаем оставшиеся три члена:
1-й член равен (ST (в* E)), 9*(Г)) = (Т5F*E)), 0* (Т))
= T(S(Q*(S)), Q*(T)) — (S(Q*(S)\, Т(в*(Т))).
Так как т — геодезическая, а у0 горизонтальна, то 6* (Т) постоян-
постоянно вдоль линии s = 0 и отсюда 71 @* (Т)) = 0 в точке (t, 0). Итак,
1-й член равен Т (S F*(S)), 9* (Г)) в (*, 0).
По (С) мы имеем
2-й член равен (Т F* E)), S(Q»(T))) = (T @*E)), Г F* E)))
+ (Г F* E)), ©• (Г) 9* (S)) - (Г (9*i(S)), со* (S) 0* (Г)).
Так как о* E) кососимметрично и так как со*(Т) = 0 в (Y, 0), то
по (В) имеем
2-й член равен (Т (9* E)), Г(9* E)))
+ (со* E) Г (9* E)), 0* (Г)) в (*, 0).
Наконец, по (D) и (В) имеем
3-й член равен E(со* (Т)) 9* E), 9*(Г)) = (Т(со*E))9*E), 9* (Г))
+ BQ* E, Г) 9* E), 9* (Т)) в (/, 0).
Складывая эти три члена, получаем
(М) ±S*(F*)
= (ГF» E)), Т (9* E))) -f BQ* (S, Т) в* E), 9* (Г))]
+ r(S(e»(S)) + co*(S)9*(S),e*(r)) B (*, о).
§5. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
85
Так как
то (F) и (М) влекут
(N) S*(F)
i
{(Г ( (S)), Г (9* C))) + BQ* (S, T) 9* (S) 9* (Г))
+ T(S (9* (S)) + со* (S) 9* C), 9* (Г))
Следующая формула следует из (Н) тем же путем, что и (J).
(О)
С помощью (I) и (О) можем переписать первый и последний члены
правой части (N) так:
первый и последний члены равны
-L{(T(Q*(S)), Т (9* E)))-±(Т F*
Из (Н) и A) и определения тензора кривизны (см. § 5 главы III)
получаем
2-й член равен у BQ* E, Т) 9» (S), 9* (Г))(/, 0)
) ir)X, r)Xt = — jrg(R(X,/x)x, X)Xf
Чтобы доказать, что интеграл от третьего члена от t = а до t = Ъ
есть нуль, мы отметим, что лоу(а, s) = y и noy(b, s) = z для
всех s, так что Y(S(a s)) и y(S(& 5)) вертикальны. Это означает,
что F*(S))<et#, = (e*E))<6,#) = 0. Отсюда
^(S)e-(S), е«(Т))(Ь<0)
- E (9* E)) + со* E) 9* (S), 9» (Г))(а, в) = 0.
Окончательно

86
. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Так как g(X±', Y-t-^—giRiX-1, х)х, Y±) симметрично по X я
Y, то мы получаем формулу теоремы 5.4. ?
Доказательство теоремы 5.5. Интегрируя g(X1-',
по частям, получаем
J+1 tj о ' j
Это, будучи скомбинировано с теоремой 5.4, влечет теорему 5.5. ?
Доказательство теоремы 5.6. Если Х-1- — поле Якоби,
то X1- дифференцируемо, и отсюда мы должны рассмотреть только
интегральный член в формуле теоремы 5.5. Поскольку Xх удов-
удовлетворяет уравнению Якоби, подынтегральное выражение в I(X, Y)
теоремы 5.5 тождественно равно нулю. Отсюда 1(Х, У) = 0 для
всех Y?TX(T). Обратно, допустим, что I(X, Y) = Q для всех
Kg 7\ (Г). В теореме 5.5 мы выбираем Y так. Пусть / — функция
вдоль т, обращающаяся в нуль при t — t0, tlt ...,th и положи-
положительная при всех других значениях t. Если мы положим Y —
=f-R(X-i-,x)x, то предположение относительно I(X, Y) влечет,
что Х-*- — поле Якоби в каждом подынтервале [t/t tJ+1]. Чтобы
доказать, что X1- есть поле Якоби во всем интервале [а, Ь],
достаточно доказать, что X1- дифференцируемо класса С1 при
t = tj (см. предложение 1.1). Для этого мы выбираем для каж-
каждого фиксированного / векторное поле Y?TX(T) такое, что
Y = X-L'- — X±'+ при t = tj и К = 0 при t = tk для А^/. Тогда
теорема 5.5 влечет Хх'~ ~X-L'+ = 0 при t = tf. ?
Интегральная формула для 1(Х,Х), которая была получена
в доказательстве теоремы 5.4, известна как формула Синга (см.
Синг [1]). Изложение в этом параграфе в большой степени
основано на работе Амброуза [2].
В качестве следствия предложения 3.5 и теоремы 5.4 имеет
место
Теорема 5.7. Пусть x = xt, a^.t^.b, — геодезическая. Если
имеется сопряженная точка хс, где а < с < 6, для ха, то х не есть
минимизирующая геодезическая, соединяющая ха с хь, т. е. длина т
больше, чем расстояние между ха и хь.
Доказательство. По предложению 3.5 и теореме 5.4
существует векторное поле X вдоль т со следующими тремя
свойствами:
A) X перпендикулярно к т;
B) X обращается в нуль в ха и хь;
C) 1(Х,Х)<0.
Пусть х*, —е < s < е, есть однопараметрическое семейство
кривых из ха в хь, построенное в определении dL(X) и 1{Х, X).
§6. ТЕОРЕМА О ИНДЕКСЕ МОРСА
По теореме 5.3 имеем
87
dL
= 0.
ds / s= о
Поскольку ЩХ, X) = [d2UXxs)/ds*]s=0 по определению, мы имеем
(? 0
^ ds* Js=o ^ U-
Отсюда L {xs) < Z,(t), если вфО достаточно мало. ?
Комбинацией теорем 3.3 и 3.4 с теоремой 5.7 получается
Теорема 5.8. Пусть М — связное поле риманово многообра-
многообразие с секционной кривизной ^ к0 > 0 (или, более общо, с тензора-
тензорами Риччи S, все собственные значения которого ^ (п— 1)&„ > 0).
Тогда:
A) диаметр многообразия М есть самое большее n/VkQ;
B) М компактно;
C) фундаментальная группа л± (М) конечна.
Доказательство. Пусть х и у — произвольные точки в М,
и пусть т — минимизирующая геодезическая, соединяющая х с у.
По теоремам 3.3, 3.4 и 5.7 длина х есть самое большее я/]А?0,
чем и доказано A). Так как М ограничено и полно, то оно ком-
компактно (см. теорему 4.1 главы IV). Универсальное накрывающее
пространство М для М с естественно индуцированной римановой
метрикой удовлетворяет предположению теоремы 5.8. Отсюда М
тоже компактно. Это означает, что nt(M) конечно. ?
Теорема 5.8 принадлежит Майерсу [1].
§ 6. Теорема об индексе Морса
Пусть x = xf, 'a^.t^.b,— геодезическая из у = ха в г = хь
риманова многообразия М. Для данной сопряженной точки хс,
a<.c^Lb, точки ха вдоль т ее кратность jj, определяется как
размерность пространства всех полей Якоби вдоль т, обращаю-
обращающихся в нуль в ха и хс. По предложению 1.1 и следствию 2.2
ц^п—1, где п = dimM.
В общем случае для заданной симметричной билинейной формы
В на векторном пространстве V индекс i(B), полный индекс а (В)
и дефект. п(В) для В определяются так:
i (В) равен максимуму размерности тех подпространств из V,
на которых В отрицательно определенна:
а (В) равен максимуму размерности тех подпространств из V,
на которых В отрицательно полуопределенна;
п (В) = dim {v6V; В (о, о') = 0 для всех v' ?V}.
Пусть Т^- — пространство всех кусочно дифференцируемых век-
векторных полей вдоль т, которые перпендикулярны к т и обра-

88 ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
щаются в нуль в концевых точках ха и хь. Это подпространство
касательного пространства Тх (Г), определенного в § 5.гМы рас-
рассматриваем индекс, полный индекс и дефект индексной формы /,
суженной на Т%~- Предметом ;этого параграфа является доказа-
доказательство теоремы об индексе Морса.
Теорема 6.1. Пусть т = xt, a^lt^b,— геодезическая в ри-
мановом многообразии М. Тогда имеется только конечное число
точек xti, ..'., xtk (a < t1 < t2 < ... < tk <b), отличных"от xb,
которые сопряжены с ха вдоль т. Пусть ц,- — кратность для xt.t
i=l, ..., k. Тогда
A)
B)
C)
= 0, если хь не сопряжена с ха,
D) пA\Тх) равно кратности точки хь, если хь сопряжена
с ха.
Доказательство. Существенная часть теоргмы — конеч-
конечность числа сопряженных точек и формула A). Докажем сна-
сначала C) и D). По теореме 5.5
1(Х,У) = 1%Х±,У±) для X, YeTx(T).
По теореме 5.6
n(I\Txl) = dim{X?Tt, Ц(Х, У) = 0 для всех Y?Т±\
I (X, Y) = 0 для всех Y ? Тх (Г)}
х; X — поле Якоби}.
Это доказывает C) и D).
Наш следующий шаг — построить конечномерное*подпростран-
ство / в Т? такое, что i(I\TxL) = i (Г\У), аA\ Гтх) = а(/| /),
a n(I\T^) = n(I\J). Выберем положительное число б такое, что
б-окрестность каждой точки из тесть выпуклая нормальная коор-
координатная окрестность. Пусть а = аа < ах <. . . < ah = 6— подраз-
подразбиение интервала [а, Ь] такое, что а,+1 — а{ < б ?для i —О, ...,
h — 1. Полагаем
/ = / (а0, ..., ah)
= {Х?ТХ; X — поле Якоби вдоль 'т|г[а,-, а1+1] для всех i\.
Пусть N (а,-) — нормальное пространство к х гв ха. и определим
линейное отображение
at J=?N=*Nd
§6. ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ МОРСА
89
так:
где каждое Х{ обозначает величину X в ха..
Лемма 1. A) а есть линейный изоморфизм из J на N.
B) Определим сужение р: Тх~ —>- J, полагая
РДХ)=а-1(А'1, ..., Хй_0 для Х?Т±.
Тогда
I (X, Х)^1 (рХ, рХ) для X 6 7\\
а равенство имеет место тогда и только тогда, когда X € J•
C)
a(I\Tt)=a(I\J),
и
Доказательство. Положим \Х ? / и а(Х)=0, так что
Хо =Х± = ... =ХЛ=0. По нашему выбору положительного числа б
ха. г не сопряжена с хп[ вдоль т. Отсюда Х = 0 вдоль т, что и
доказывает инъективность а. Чтобы показать, что а сюръективно,
достаточно доказать, что для заданных векторов Хг в хп{ и Xi+1
в ха. существует поле Якоби X вдоль т|[а,-, а1+1], которое
продолжает Xt и Xi+1 (см. следствие 2.2). Так как ха.+1 и ха.
не сопряжены вдоль т, Х^(Х{, Xi+1) определяет линейный
изоморфизм пространства полей Якоби вдоль т|[а,-, ai+1] в пря-
прямую сумму касательных пространств в ха. и ха. + 1- Поскольку это
есть линейный изоморфизм векторного пространства размерности
2п в векторное пространство той же размерности (см. предложе-
предложение 1.1), оно должно быть сюръективно. Это завершает дока-
доказательство A).
B) В обозначениях § 3 имеем
По предложению 3.1 имеем
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда X есть поле
Якоби вдоль т|[а,., ai+1].
C) Если U есть подпространство в \Т^, на котором / отри-
отрицательно полуопределенна, то / отрицательно полуопределенна
на pU по B). Более того, р: U —¦*• pU есть линейный изоморфизм.

90 ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Действительно, если X^U и р(Х) = 0, то B) влечет
и отсюда I(Xt X) = /(pX, рХ). Снова по B) имеем Х = рХ =
Итак,
(|т)<а(/|/).
Обратное неравенство очевидно. Доказательство для индекса
i(I\Tx) аналогично. Наконец, чтобы доказать п A\ Т^) — п (I | /),
допустим, что X — элемент из / такой, что 1(Х, У) = 0 для всех
Y?J. Поскольку X есть поле Якоби вдоль х\[а;, ai+i] для всех i,
формула из теоремы 5.5 сводится к следующей:
Тем же способом, что и в доказательстве теоремы.6, заключаем,
что Х'~=Х'+ в хп{ для всех i, так что X есть поле Якоби
вдоль т. Это означает, что пA \Т^)^ n(I\J). Обратное нера-
неравенство очевидно.
Лемма 1 и следующая лемма 2 влекут B) теоремы 6.1.
Лемма 2. Если В — симметричная билинейная форма на конеч-
конечномерном векторном пространстве V, то
Доказательство. Пусть vx, ..., vr—базис для V, отно-
относительно которого В задается диагональной матрицей с элемен-
элементами dx, . . ., dr по диагонали. Положим
V+ равным пространству, порожденному множеством {и,-; dl > 0};
V_ равным пространству, порожденному множеством {»,¦; d-L < 0};
Уо равным пространству, порожденному множеством {о,-; d;=0},
так что V = V+ -+-V_ + V0. Мы покажем, что n(B) = dimV0, i(B) =
= dimV_, а а E) = dim (Vo + V_). Ясно, что V0 = {XeV;
B(X,Y) = 0 для всех Y ?V) и отсюда dim !/„ = п (В). Пусть
U — любое подпространство в V, на котором В отрицательно
полуопределенна. Мы утверждаем, что проекция р: U—>-VQ + V_
вдоль V+ инъективна. Действительно, если X?U и р(Х) = 0,
то X?V+. Так как В отрицательно полуопределенна на U и
положительно определенна на V+, то X должно быть нулем.
Итак, dim U^dim(V0 + V_), и отсюда a(B) = dim(V0 + V_).
Аналогично, если U' есть любое подпространство в V, на кото-
котором В отрицательно определенна, то проекция р': U' —* V_
инъективна и отсюда iE) = dimV_. Это завершает доказатель-
доказательство леммы 2.
§ 6. ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ МОРСА
91
Так как dim J = {h—1)(л—1) <„оо, то лемма 1 влечет, что
аA\Т^-) и i (/1 Ti1) конечны. Конечность сопряженных точек
следует из такой леммы.
Лемма 3. Для любого конечного числа сопряженных точек
xti, ..., xt (a]< tx <. . . < tt ^ b) для ха вдоль х с кратностями
jx1; .. ., \xs мы имеем
Доказательство. Для каждого i пусть Х[, ..,X\i.—
базис для полей Якоби вдоль т\[а, t{~\, которые обращаются
в нуль при t = a и t=t{, и продолжим их нулевыми значениями
за t = tt. Достаточно доказать, что ^ + • ¦ • + (j,5 векторных полей
Х\, ..., Х1^., i = l, . .., s, вдоль т линейно независимы и что /
отрицательно полуопределенна на пространстве, порожденном ими '
Предположим
2
тде
Так как X1, .... Xs'1 обращаются в нуль на тЦ^^, Ь], то Xs
должно быть нулем вдоль т|[^_!, ts]. Будучи полем Якоби вдоль
т|[а, ^], Xs должно быть тождественным нулем вдоль т. Итак,
¦с{= ¦ ¦ ¦ =c^,s ==0. Продолжая эти рассуждения, мы получаем
cf = • • ¦ =Сц~^_ =0 и т. д. Чтобы доказать, что / отрицательно
полуопределенна на пространстве, порожденном Х{ Х1Ы,
i=l, ..., s, допустим, что
Х = Х1+... +XS,
где каждое X1 есть линейная комбинация Х[, .... Х\, , как и
выше. Тогда
I (X, X)=2S l7(X'"' х') + 2^2ч<г<к^(Х1', Xf).
Для каждой пары (i, /) с / s^ i мы покажем, что I(Xl, XJ) = Q.
Пусть т'=т|[а, t^, и пусть /' есть индексная форма для геоде-
геодезической т'. Так как X' и X1 обращаются в нуль за t = t{, то
имеем I(X', Xj) = I' (Xl, XJ). Так как X' есть поле Якоби вдоль
V, то Г (X1, Х;') = 0 по теореме 5.6. Итак, 1(Х, Х) = 0, что и
доказывает наше утверждение.
Доказательством A) теоремы 6.1 мы завершим доказательство
теоремы 6.1. Для этого определяем однопараметрическое семей-
семейство симметричных билинейных форм Вг, 0<г^ 1, на / (а0, ...,ан)
•следующим образом. Сдвигом значений параметра t можно до-
достичь того, что а=0, так что т = xf определяется для О^^^б.

92 ГЛ- VHI- ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Для каждого г € @, 1] определяем
§6. ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ МОРСА 93
X{r)'+)t=:rar непрерывно. Определим векторы ХОгГ, ..., Xh<r так:
{1)++N(rah_1),
где N (га,;) есть нормальное [пространство'к т в хга.. Мы опре-
определяем также Jr — J(ra0, ..., шд) для геодезической % — xt,
О ^.t ^.rb, и линейный изоморфизм
ar: Jr-»Nr,
полагая
&г (X) = (Xrai, •••, Xra/i_1),
где Хга/ есть значение X в х^.. Пусть pr: N—>-Nr — линейный
изоморфизм, индуцированный параллельным переносом N (а()
в N (га,;) вдоль т. Пусть 1Г—индексная форма для геодезической
r — xt, 0 i^t sc:rb. Полагаем тогда
Br(X, Y) = Ir(a-loproa(X), a^oproa{Y))
для \Х, Y?j(ag, .., ah).
Лемма 4. A) ВХ(Х, Y) = I(X, Y) для X, Y^J(aB, ..., ah).
B) Вг положительно определенная для малых значений г.
C) Дефект п (Вг) равен порядку точки хгЬ как сопряженной
точки для х0 вдоль т. В частности, п (Вг) — О, если хгЪ не сопря-
сопряжена с х0 вдоль %.
D) Семейство Вг непрерывно по г.
Доказательство. A) Так как «!=«, 1г = 1, а рх:
N —»- Nt = N есть тождественное отображение, мы имеем Вх — 1.
B) Так как а~1оргоа есть изоморфизм из / (а0, ..., ah) на Jг,
достаточно показать, что 1Г положительно определенна на Jr
для малых значений г. Но следствие 3.2 влечет, что если г доста-
достаточно мало, так, что т|[0, rb] не имеет сопряженных с хй точек,
то 1Г положительно определенна на Jг.
C) Так как a,^r1oproa,: J (a0 ah)—>-Jr есть изоморфизм,
мы имеем n(Br) = n(Ir\Jг). Применяя C) леммы 1 и C) и D) из
теоремы 6.1 к /г, мы видим, что n(Ir\Jr) равно порядку хгЬ как
сопряженной с х0 точки вдоль т.
D) Для фиксированных X, Y?J(a0, ...,ah) мы покажем,
что Вг (X, Y) непрерывно по г для 0 < г s^. 1. Положим
Х(г) = а;1ороаД) Y()
гДI Y(r) aoProa(Y).
Так как X (г) есть поле Якоби вдоль каждого куска х\[гао raf + 1]
геодезической т, то теорема 5.5 дает следующую формулу:
Br{X, Y) = Aj$Zlg{X{r)'--X(ry+, Y(r))t=n.,
где А есть обратная величина длины т|[0, rb]. Поэтому доста-
достаточно доказать, что для каждого { отображение г —¦- (X (г), X (г)'~,
Фиксируем целое i, O^i^h—l, и, чтобы упростить обозначе-
обозначения, положим
с = а„ d = ai+l, Vr = Xitr, Wr = Xi+1,r.
Тогда для каждого г Vr есть вектор в точке7хгс, a Wr — вектор
в точке xrd- Очевидно, Vr и Wr зависят дифференцируемо от г.
Мы вспоминаем, что т |[с, d] содержится в выпуклой нормальной
координатной окрестности. Точки exp uVr и exp uWr находятся
также в той же окрестности при |ц|<еи \s— 1 | < е для малых
положительных чисел е. Для фиксированных и и г пусть т"(г) =
=x"(r), cs^^^d, есть геодезическая из точки exp uVr в точку
exp uWr в этой окрестности. Для каждого фиксированного г се-
семейство геодезических т" (г), —е < и < е, есть вариация для т° (г)
и индуцирует единственное поле Якоби вдоль т|[гс, rd], которое
совпадает cFr и Wr в концевых точках хгс и xrd для т\[гс, rd].
Другими словами, индуцированное поле Якоби совпадает с суже-
сужением X (г) на т\[гс, rd]. Непрерывность (X (г), X (r)'+)t=rc и (Х(г),
X (r)'~)t=rd по г следует поэтому из дифференцируемое™ х" (г)
по (г, и, t). Но последнее очевидно из следующих трех утверж-
утверждений:
(i) exp uVr и exp uWr дифференцируемы по (г, и);
(ii) exp uVr и exp uWr лежат в выпуклой нормальной коорди-
координатной окрестности;
(Hi) отображение, которое переводит Z?TX(M) в (х, expZ),
есть диффеоморфизм окрестности для М в Т (М) на окрестность
диагонали МхМ.
Отметим, что (ш) есть тривиальное следствие предложений
8.1 и 8.2 главы III и что (ш) влечет, что если заданы две
точки (т. е. exp uVr и exp uWr) в выпуклой нормальной коорди-
координатной окрестности, зависящие дифференцируемо от некоторых
параметров, то единственная минимизирующая геодезическая, сое-
соединяющая эти две точки, тоже дифференцируемо зависит от этих
параметров. Это завершает доказательство леммы 4.
Мы теперь в состоянии завершить доказательство A) тео-
теоремы 6.1. Пусть xti, . ¦ ¦, xtk(Q < t± < t2 <. . . < tk < b) — сопря-
сопряженные с х0 точки вдоль^т с кратностями \xt, ..., \xk соответ-
соответственно (точка хь не рассматривается, будь она сопряженной или
нет). Беря базис для / = / (а0, . . ., аА), рассмотрим Вг, 0 < г ^ 1,
как однопараметрическое семейство матриц. Для каждого г пусть
Pi(/") <!¦ ¦ -^fW(r) — собственные значения Вг\ они зависят не-
непрерывно от г. Применяя C) леммы 1 и D) из теоремы 6.1 к

94
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
геодезической т|[0, rb] и ее индексной форме /г, мы видим, что
n(Br)s=n(Ir]Jr) = pe, если rb = th
n(Br) = n(Ir\Jr) = 0 в противном случае.
Пусть Pl(l)<...^P/,(l)<O<P,+ l(l)<...<|3jV(l)- Так как
Pj(r), ..., $N{r) все положительны для малых значений г по B)
из леммы 4, то каждое j3y(r) для 1=?С/=Ср есть нуль для неко-
некоторого г, 0 < г < 1. Отсюда
Р <2о< r<i «(Br) = (J-! + ... 4-М*.
С другой стороны, Bl = (I\J) и отсюда p = i(I\J). Мы имеем
поэтому следующее неравенство:
§ 7. МЕСТА СРЕЗА
95
которое, будучи скомбинировано с леммой 3 и B) из теоремы 6.1,
влечет A) теоремы 6.1. ?
Для доказательства не использующего подразбиения, см. Ос-
борн [1]. Относительно обобщения теоремы об индексе см.
Амброуз [4], Такахаси [1], Паттерсон [1] и Эд-
Эдварде [1].
§ 7. Места среза
Пусть М — полное риманово многообразие. Вспомним, что гео-
геодезическая т из точки х в точку у называется минимизирующей,
если ее длина L{x) равна расстоянию d(x, у) и что любые две
точки из М могут быть соединены минимизирующей геодезической
(теорема '4.2 главы IV). Кривая из х в у, параметризованная
пропорционально длине дуги, есть минимизирующая геодезическая
тогда и только тогда, когда она наикратчайшая кривая из х в у.
Мы фиксируем точку х0 из М и геодезическую r—xt, O^t <оо,
исходящую из х0 и параметризованную длиной дуги. Пусть А —
множество положительных чисел s таких, что сегмент для т из
х0 в xs минимизирующий. Тогда А обладает следующими двумя
свойствами: A) если s?A и t < s, то t?A; B) если г— положи-
положительное число такое, что каждое положительное число s, мень-
меньшее, чем г, лежит в Л, то г лежит в А. A) тривиально. B) может
быть доказано так:
d(x0, xr) = li
Эти два свойства для А влекут, что или А = @, оо), или А = @, г],
где г есть некоторое положительное число. Если А = @, г], то
точка хг называется точкой среза (или минимальной точкой,
или точкой раздела) для х0 вдоль т. Если А=@, оо), то гово-
говорят, что х0 не имеет точек среза вдоль т.
Теорема 7.1. Пусть хг — точка среза для х0 вдоль геодези-
геодезической x = xt, 0 ^.t <C оо. Тогда по крайней мере одно {возможно
и оба) из следующих утверждений справедливо:
A) хГ — первая сопряженная с х0 точка вдоль т;
B) существует по меньшей мере две минимизирующие геоде-
геодезические из х0 в хг.
Доказательство. Пусть аг, а2, ... — монотонно убываю-
убывающая последовательность вещественных чисел, сходящихся к г.
Для каждого натурального числа k пусть exp tXk, G^t^.bk,—
минимизирующая геодезическая из х0 в xajt, где Хк—единичный
касательный вектор в х0, а ^ — расстояние от х0 до хпк- Пусть
X — единичный касательный вектор в х0, определенный как
;ct = exp tX для всех t. Так как хг есть точка среза для х0 вдоль т
и ак~> г, имеем
ХФ1Х,, a<>bk.
Поскольку Ьк есть расстояние между хй и ха , имеем
Отсюда множество векторов bkXk содержится в некотором ком-
компактном подмножестве из ТХа(М). Беря подпоследовательность,
если это необходимо, мы можем считать, что последовательность
ЬгХг, Ь2Х2, .. . сходится к некоторому вектору длины г, скажем
rY, где Y — единичный касательный вектор. Тогда exp^F, О^^ь^г,
есть геодезическая из х0 в х , поскольку exp rY = lim exp SkXk=
= limxa =xr. Она длины г и отсюда минимизирующая. Если
X^=Y, то exp tX и exp tY, O^^^r,—две различные миними-
минимизирующие геодезические, соединяющие х0 с хг, и B) справедливо.
Допустим X = Y. Считая также, что хг не сопряжена с х0 вдоль т,
получим противоречие. Так как дифференциал от ехр: ТХо (М) —¦¦ М
несингулярен в гХ (см. § 1), то ехр есть диффеоморфизм окрест-
окрестности U для гХ из ТХв(М) на открытую окрестность точки хг
из М. Пусть k — такое большое целое число, что акХ и bkXk
лежат в U. Так как expaftX = xOft = exp bkXk, то мы можем за-
заключить, что акХ = bkXk, что противоречит тому, что X Ф Хк.
Мы показали, что если X = Y, то хг сопряжено с х0 вдоль т.
С другой стороны, до хг нет сопряженных с х0 точек вдоль т.
Действительно, если xs, где Oc^s^r, была бы сопряжена с х0
вдоль т, то т не была бы минимизирующей за пределами xs по
теореме 5.7, что противоречит определению г. Отсюда xs есть
первая сопряженная с х0 точка вдоль т. ?
Следствие 7.2. Если хг есть точка среза для х0 вдоль т = xf,
0^.t <oo, то х0 есть точка среза для хг вдоль т (в противопо-
противоположном направлении).

96
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Доказательство. Продолжая геодезическую т в отрица-
отрицательном направлении, мы можем считать, что xt определена для
—оо<2^<-|-оо. Пусть —а — любое отрицательное число. Мы
утверждаем, что т |[—а, г] не минимизирующая. Допустим A) тео-
теоремы 7.1. Тогда х0 есть сопряженная точка для хг вдоль т в об-
обратном направлении и по теореме 5.7 т|[—а, г] не может быть
минимизирующей. Допустим B) теоремы 7.1. Тогда объединение
т |[—а, 0] и минимизирующей геодезической из х0 в хг, отличной
от т|[0, г], дает негеодезическую кривую длины а + r, соединяю-
соединяющую х_а и хг. Отсюда т|[—а, г], длина которой тоже а-\-г, не
может быть минимизирующей. Это доказывает наше утверждение.
Существует поэтому неотрицательное число Ь < г такое, что хь
есть точка среза для хг вдоль т в обратном направлении. Допуская,
что Ь положительно, мы получим противоречие. Применим тео-
теорему 7.1 к геодезической т|[?>, г] с противоположным направле-
направлением. Тогда хь и хг сопряжены друг другу вдоль т или имеется
еще другая минимизирующая геодезическая из хг в хь. При по-
помощи рассуждений, которые мы только что использовали, можно
доказать, что если с <_Ь, то т \[с, г] не может быть минимизи-
минимизирующей. В частности, т |[0, г] не может быть минимизирующей,
что противоречит определению г. Отсюда 6 = 0. ?
Пусть 5^. — множество единичных касательных векторов в
точке х из М, т. е. это единичная сфера в ТХ(М). Мы определяем
функцию fx: S*—>-R+U°o, где R + обозначает множество поло-
положительных вещественных чисел, так. Для каждого единичного
вектора X?SX рассмотрим геодезическую x = exptX, O^t < сю.
Если ехр гХ есть точка среза для х вдоль т, то полагаем ц (X) = г.
Если же для х нет точек среза вдоль т, то полагаем ц(Х)= оо.
Введем топологию в R+ и оо, беря интервалы (а, Ь) и (а, со) и оо =
= (а, оо] как базу открытых множеств. Тогда имеет место
Теорема 7.3. Отображение fx: Sx —»- R+ (j oo непрерывно.
Доказательство. Предположим, что ц не непрерывно в
точке X из Sx, и пусть Xlt X2, ... — последовательность точек
из Sx, сходящихся к X, таких, что
В общем случае lim fj, (Xk) может даже и не существовать. Однако,
беря подпоследовательность, если это необходимо, мы можем
считать, что Итц(Хк) существует в R+u°o-
Мы рассмотрим сначала случай ц (X) > \\т\х{Хк). Положим
= \\т\х{Хк).
k
§ 7. МЕСТА СРЕЗА
Так как \х, (X) > а, то ехр аХ не может быть сопряжено с х ы
геодезической ехр tX. По теореме 1.4 ехр: ТХо(М) -— М отобра-
отображает окрестность, скажем U, точки аХ диффеоморфно на окрест-
окрестность точки ехр аХ. Мы можем считать, отбросив конечное число
akXk, если необходимо, что все акХк лежат в U. Поскольку ехр
отображает U диффеоморфно на ехр (U), ехр акХк не может быть
сопряжено с х0 вдоль геодезической ехр tXk. По теореме 7.1 су-
существует другая минимизирующая геодезическая из х0 в expakXk.
Другими словами, для каждого k существует единичный вектор
УХ в х0 такой, что
Так как ехр отображает U взаимно однозначно в М, то akYk
не лежит в U. Беря подпоследовательность, если необходимо,
мы можем считать, что Y±, Y2, . . . сходится к некоторому еди-
единичному вектору, скажем Y. Тогда aY, который есть предельный
вектор для akYk, не лежит в U. Имеем
ехр aY = ехр / lira akYk\ — lira (ехр akYk) = lira (ехр акХк)
= exp f lira акХЛ = ехр aX.
W» J
Отсюда exptX и ехр tY, Q<Zt ^la,— минимизирующие геодези-
геодезические из х0 в expaX = expaF. Это влечет, что если Ъ — любое
число больше а, то геодезическая exptX, O^t ^.b, не есть ми-
минимизирующая, что противоречит предположению ц (X) > а.
Рассмотрим следующий случай ц(Х) < Итц(Хк). Пусть Ь —
k
положительное число такое, что lira y.{Xk) > ц(Х) + Ь. Выбрасы-
вая конечное число членов, если необходимо, мы можем считать,
что
fx (Xk) > ц(Х)-\-Ь для всех k.
По самому определению fx (X) существует единичный вектор X' фХ
в х0 такой, что exptX', 0 ^ t <; \\,(X)-\-b', есть минимизирующая
геодезическая из х0 в ехр (ц(Х) + Ь)Х, где b' <b. (Заметим, что
Ь' может быть отрицательным.) В частности,
ехр|(^(Х) +b) X = ехр (fx (X) + b') X'.
Полагаем
2с = Ь — Ь'.
Так как последовательность точек ехр (ц (X) + Ь) Xk сходится
к (l*-(X)-}-b)X, мы можем допустить, отбросив конечное число
членов, если необходимо, что расстояния между ехр (ц, (X) + Ь) X
и ехр (fx (X) + b) Xk все меньше с. Для каждого фиксированного k
рассмотрим кривую из х0 в ехр (ц (X) + Ь) Хк, определенную так.
4 Зак. А2Ъ

98
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Она состоит из геодезической exp^X', 0< t <fx(X) + ?>', из х0
в exp(\i(X) + b')X' = ехр (ц (X) + b) X и минимизирующей геоде-
геодезической из ехр(ц(Х) + Ь)Х в exp(n(X) + b)Xk. Длина этой кри-
кривой меньше чем ц(Х) + Ь' + с= ц(Х) + Ь — с. Это означает, что
геодезическая exptXk, 0<^<fx(X) + &, не будет минимизирую-
минимизирующей, что противоречит неравенству \i(Xk) > ц(Х)~\-Ь. П
Пусть С (хи) обозначает множество всех ц(Х)Х, где X — еди-
единичные векторы в х0 такие, что р (X) конечны. Пусть С (х0) будет
образом С (х0) при действии ехр. Очевидно, С (х0) состоит из всех
точек среза для х0 вдоль всех геодезических, исходящих из х0.
Будем наз_ывать С (х0) местом среза или множеством раздела
для х0, а С(хо)~местом среза для х0 в Тх (М).
Теорема 7.4. Пусть E--^{tX; 0^t<\a{X) и X —единич-
—единичный вектор в х0}. Тогда:
A) Е — открытая клетка в ТХо(М);
B) ехр отображает Е диффеоморфно на открытое подмно-
подмножество в М;
C) М есть раздельное объединение ехр (Е) и места среза С (х0)
для х0.
Доказательство. A) следует из теоремы 7.3. Очевидно,
ехр отображает Е взаимно однозначно в М. По теореме 5.7 не
существует каких-либо сопряженных с х0 точек в Е. Отсюда диф-
дифференциал от ехр: ?-+Af не сингулярен в каждой точке из Е.
Это влечет B). Так как Е и С (х0) имеют пустое пересечение, то
и ехр (Е) и С (х0) тоже имеют пустое пересечение. Чтобы пока-
показать, что М есть объединение ехр (Е) и С(х0), допустим, что у—
произвольная точка из М. Пусть ехр tX, O^t^a,— минимизи-
минимизирующая геодезическая из х0 в у, где .Y —единичный касательный
вектор в х0 и а— расстояние от х0 до у. Из самого определения
у.(Х) следует, что a<fx(X). Отсюда аХ лежит или в Е, или в
С(х0). Точка у = ехраХ лежит поэтому или в ехр(Е) или в
С (хо)- О
Замечание. Открытое подмножество ехр (Е) в М есть наи-
наибольшее открытое подмножество в М, в котором может быть опре-
определена нормальная координатная система вблизи точки х0.
Теорема 7.5. Пусть М — полное римановое многообразие,
а хо~ точка из М. Тогда М компактно тогда и только тогда,
когда для каждого единичного касательного вектора X в х0 р (X)
конечно.
Доказательство. Допустим, что М компактно, и пусть
(/•—диаметр М. Если а > d, то ехр tX, 0<^<a, не может быть
минимизирующей геодезической из х0 в ехраХ. Отсюда fi (X) < rf.
Обратно, допустим, что для каждого единичного вектора X в ха
V-(X) конечно. Так как ц — непрерывная функция, определенная
на единичной сфере в ТХа(М) (см. теорему 7.3), то \л ограничена
§ 8. ПРОСТРАНСТВА НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
99
положительным числом, скажем Ь. Пусть В — множество касатель-
касательных векторов в х0, длины которых меньше или равны Ь. Тогда
В — компактное множество, содержащее Е и С(х0) из теоремы 7.4.
По теореме 7.4 ехр отображает В на М. Отсюда М компактно. ?
Замечани Теоремы 7.3 и 7.5 влекут, что М компактно
тогда и только тогда, когда место среза С(х0) для х0 в ТХо(М)
гомеоморфно сфере размерности п—1, где n=dimM.
Пример 7.1. Пусть М есть n-мерная единичная сфера, ах —
ее северный полюс. Место среза для х в ТХ(М) есть сфера ра-
радиуса я с центром в начале ТХ(М). Место среза для х в М сво-
сводится к южному полюсу.
Пример 7.2. Пусть Sn — единичная сфера в R"+1. Отождест-
Отождествляя каждую точку из S" с антиподальной точкой, мы получаем
/г-мерное вещественное проективное пространство, которое будет
обозначено М. Риманова метрика в S" индуцирует риманову мет-
метрику на М естественным образом, так что проекция из 5" на М
есть локальная изометрия. Место среза точки х в ТХ(М) есть
сфера радиуса я/2 в ТХ(М) с центром в начале. Если х соответ-
соответствует северному и южному полюсам в 5", то место среза для х
в М есть образ экватора в S" под действием проекции Sn—>-M.
Место среза С(х) есть поэтому естественно вложенное (п—^-мер-
(п—^-мерное проективное пространство.
Пример 7.3. В евклидовой плоскости R2 с координатной
системой (х, у) рассмотрим замкнутый квадрат, задаваемый как
О^х, г/<Л. Отождествляя (х, 0) с (х, 1) для всех 0<х^1 и
@, у) с A, у) для всех 0<г/<:1, мы получаем тор, который
обозначим через М. Естественная риманова метрика на R2 инду-
индуцирует риманову метрику на М. Пусть р —точка с координатами
-, уj . Тогда место среза для р в Тр(М) может быть отож-
отождествлено с границей квадрата в R2 при естественном отождест-
отождествлении Тр(М) с R3. Место среза для р в М состоит из двух
замкнутых кривых, которые образуют базис для Hx(Nl, Z)»Z+Z.
Список работ о сопряженных точках и местах среза может
быть найден во вводной статье К о бая си [27]. Относительно
более новых результатов см. Уорнер [3], Вайн штейн [1] и
Вон [4].
§ 8» Пространства неположительной кривизны
Мы уже видели (см. следствие 2.4), что риманово многообра-
многообразие с неположительной кривизной не имеет сопряженных точек.
В этом параграфе мы докажем большее.
Теорема 8.1. Пусть М — полное риманово многообразие
с неположительной кривизной. Пусть х —произвольная точка в М.
Тогда экспоненциальное отображение ехр.,.: Тх (М) —> М есть на-
4* Зак. 425

100
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
крывающее отображение. В частности, если М односвязно, то
ехр^ есть диффеоморфизм из ТХ{М) на М.
Доказательство. Вообще говоря, если / — отображение
из риманова многообразия iV с метрикой gN в риманово много-
многообразие М с метрикой gM, то мы говорим, что / увеличивает
(соотв. уменьшает) расстояние, если f*gM^gN (соотв. f*gM^Sjv)'
т. е. если fl А'||-< ||/»АГ || (соотв. |X|^J/«^|j) для каждого касатель-
касательного вектора X из N. Мы сначала докажем следующую общую
лемму.
Лемма 1. Пусть f — отображение из связного полного рима-
риманова многообразия N на другое связное риманово многообразие М
той же размерности. Если f увеличивает расстояние, то f — на-
накрывающее отображение, а М полно.
Доказательство. Пусть gM и gN—метрики для М и N
соответственно. Так как / увеличивает расстояние, то f*gm есть
также риманова метрика на N. Для каждой кривой т в N ее длина
дуги относительно ^д, не больше ее длины дуги относительно f*gM-
Отсюда следует-, что если d и а" обозначают функции расстояния
для gN и f*gM соответственно, то
а" (х, y)^?d(x, у) для x,yeN.
Тогда ясно, что каждая последовательность Коши для а" есть
последовательность Коши и для d и отсюда сходится, так как N
полно относительно gN. Поскольку топология в N согласована
с любой римановой метрикой на N, N полно относительно f*gM.
Заменяя gN на f*gM, мы можем считать, что f: N —>¦ М есть
изометрическое погружение, т. е. что g^=f*gM- Лемма 1 теперь
следует из теоремы 4.6 главы IV.
Лемма 2. Пусть М — произвольное риманово многообразие и
х ? М. Пусть р —луч в Тх (М), исходящий из начала, ат = ехрж (Р) —
соответствующая геодезическая в М, исходящая из х. Тогда каж-
каждый вектор, касательный к ТХ(М) и перпендикулярный к р, ото-
отображается при действии ехр* в вектор, касательный к М и пер-
перпендикулярный к т.
Доказательство. Пусть р = tX, 0 < t <; 1, где X 6 Тх (М).
Пусть W* — вектор, касательный к ТХ(М) в А' и перпендикуляр-
перпендикулярный к р. Пусть Х*?ТЖ(М), —e=^s<:e,— однопараметрическое
семейство векторов таких, что j
(a) Х° = Х;
(b) каждый Xs имеет ту же длину, что и Х;Л
(c) W* — касательный вектор к кривой Xs, —e^s^e, в X".
Для каждого 5 пусть р5 —луч, заданный как tXs, O^t^l.
Однопараметрическое семейство лучей ps, —e^s<Ce, индуцирует
естественным образом векторное поле Y* вдоль р = р°, перпенди-
перпендикулярное к р; для каждого фиксированного t Y* в tX есть ка-
касательный вектор к кривой, описываемой как tXs, —e=sCs^Ce
J8. ПРОСТРАНСТВА НЕПОЛ0ЖИТЕЛЬНОЙ_КРИВИЗНЫ
в tX°. Векторное поле Y* обращается в нуль в начале Тх (М) в
совпадает с вектором W* в X. Если мы положим т* = ехрх (р*).
и Y = (ехрх), (К*), то Y есть поле Якоби вдоль т°, индуцирован-
индуцированное вариацией Xs геодезической т°. Мы применяем теорему 5.1
к вариации т*. Поскольку длина L(ts) независима от s, левая часть,
формулы в теореме 5.1 обращается в нуль. Так как Y есть нуль.
в х, а т° — геодезическая, то отсюда следует, что Y перпенди-
перпендикулярно к т° в точке ехрх(Х). Это завершает доказательства
леммы 2.
Лемма 3. Пусть М — полное риманово многообразие неполо-
неположительной кривизны, а х — точка из М. Тогда ехрх: ТХ(М)—+ М.
увеличивает расстояние.
Доказательство. Пусть IF* — вектор, касательный к ТХ(М)>
в точке X из ТХ(М). Полагаем
()
Тогда W есть касательный вектор к М в ехрх(Х). Чтобы пока-
показать, что длина || HP || для W не меньше, чем длина || 1F*|[ Для W*,,
мы разложим W* в сумму двух взаимно перпендикулярных век-
векторов в А':
где W{ идет в направлении луча р, соединяющего начало в ТХ(М)
с X, a Wl перпендикулярно к р. Полагаем
W{)l
(ря),B)
Так как. WI идет в направлении р, то отсюда следует по опре-
определению ехрх, что
Так как
Отсюда
перпендикулярно к W2 по лемме 2, имеем
W HI ^i + г # HI ^i
| w* f = |
+ц w t f -1| wt f -\w\ f = i wt f - \\ w\ iз.
f 1| t f \\ f i wt f \\ w\ i.
Проблема сводится, таким образом, к доказательству неравенства
II ^21 s> II Wl |. Другими словами, достаточно доказать неравенство^
j W || ^ Ц W*j в предположении, что W* перпендикулярно к р.
Определим векторные поля Y* и Y вдоль р и т соответственно,,
как и в доказательстве леммы 2. Так как Y* и Y индуцируются
одно параметрическими семействами геодезических р* и t-s = expx (ps)
соответственно, они являются полями Якоби вдоль р и т еоот-
ветственно, обращающимися в нуль при t = 0. Применим теперь,
теорему сравнения Рауха (теорема 4.1) к Y* и Y. Предположения
A) и D) теоремы 4.1 явно удовлетворяются. По следствию 2.4

102
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ]
предположение C) тоже удовлетворяется. Чтобы завершить дока-
доказательство леммы 3, достаточно проверить предположение B) для
векторных полей Y* и Y. Возьмем евклидову координатную сис-
систему в Тх (М) с началом в начале Тх (М) и соответствующую
нормальную координатную систему в окрестности точки х. Из
построения Y следует, что Y* и Y имеют те же компоненты от-
относительно координатной системы, выбранной выше. С другой
стороны, символы Кристофеля обращаются в нуль в х (см. пред-
предложение 8.4 главы III) и отсюда ковариантное дифференцирование
и обычное дифференцирование совпадают в х (см. следствие 8.5
главы III). Эти два факта влекут предположение B) теоремы 4.1.
Комбинируя лемму 1 и лемму 3, получаем теорему 8.1. П
Замечание 1. Если М имеет нулевую кривизну в лемме 3,
то мы можем применить теорему сравнения Рауха в обоих напра-
направлениях, ' чтобы получить || IF* К f| W | и || W*\\ > f W\\. Отсюда мы
имеем:
Если М имеет нулевую кривизну, то ехрх: Тх (М) —*- К есть
изометрическое погружение.
Комбинируя это с теоремой 8.1, мы получаем
Следствие 8.2. Если М — полное односвязное риманово мно-
многообразие с нулевой кривизной, а х ? М, то ехрх: Т (М) —»- М
есть изометрия.
Замечание 2. Кобаяси [16] усилил теорему 8.1 так:
Если М—связное полное риманово многообразие, а точка х?М
не имеет сопряженных точек, то ехрл: Тх (М) —*¦ М есть на-
накрывающее отображение.
Доказательство может быть достигнуто после замены леммы 3
следующей леммой:
Если точка х?М не имеет сопряженных точек, то сущест-
существует полная риманова метрика на Тх (М), относительно которой
ехрА, увеличивает расстояние.
За доказательством мы отсылаем читателя к статье Кобаяси
[16]; оно элементарнее, чем доказательство леммы 3.
Теорема 8.1 принадлежит Адамару [1] и Э. Картану [8].
Доказательство, представленное здесь, основано на лекциях Ам-
броуза в Массачусетском технологическом институте в 1957— 1958 гг.
Теорема 8.1 и ее обобщение из замечания 2 могут быть доказаны
при помощи теории Морса (см. Клингенберг[8]иМилнор [3]).
Теорема 8.3. Пусть М—связное однородное риманово мно-
многообразие с неположительной секционной кривизной и отрицатель-
отрицательно определенным тензором Риччи. Тогда М односвязно и для
каждой х?М ехрх: ТХ(М) —>М есть диффеоморфизм.
Доказательство. Изометрия риманова многообразия на-
называется переносом Клиффорда, если расстояние между точкой и
ее образом при изометрии одно и то же для каждой точки. Сле-
Следующая лемма принадлежит Вольфу [1].
§ 8. ПРОСТРАНСТВА^НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
103
Лемма 1. Пусть М — однородное риманово многообразие, а
М—накрывающее многообразие с индуцированной метрикой, так.
что накрывающая проекция р: М—-М. есть изометрическое по-
погружение. Тогда диффеоморфизм f из М на себя, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию pof = p, есть перенос Клиффорда в М.
Доказательство леммы 1. Пусть G— связная группа Ли
изометрии, действующая транзитивно на М, a g — алгебра Ли для
G. Рассматриваем каждый элемент X ? g как инфинитезимальную
изометрию в М, и пусть X* есть лифт поля X до М. Тогда мно-
множество этих векторных полей X* порождает транзитивную группу
Ли G* изометрии в М, алгебра Ли которой изоморфна g. Так
как / индуцирует тождественное преобразование в М, оно остав-
оставляет каждое X* инвариантным. Поэтому / коммутирует с каждым
элементом из G*. Для любых двух точек у, у' ? М пусть я|з есть
элемент из G* такой, что у'= ty(y). Тогда
d(y', f(y')) = d(y(y), M(y)) = d№(y), yof(y)) = d(y, f(y)),
где d обозначает расстояние между двумя точками. Это завершает
доказательство леммы 1.
Лемма 2. Пуст М, М и f те же, что и в лемме 1. Пусть
уо?М, a %* = yt, Qs^ts^La,—минимизирующая геодезическая из
У о в /Ч#о)> так что Уа = f (У о)- Положим xt = p(yt) для O^t^a.
Тогда T = xt, O^.t^.a, есть гладко замкнутая геодезическая, т.е.
исходящее направление для т в х0 совпадает с входящим направ-
направлением для т в ха.
Доказательство леммы 2. Пусть г — малое положи-
положительное число такое, что г-окрестности V (у0; г) и V (уа; г) для
г/0 и уа гомеоморфны с r-окрестностью U (х0; г) для ха = ха при
действии проекции р. Допустим, что т не гладко замкнуто вх,=
— ха. Тогда имеется малое положительное число б такое, что
точки ха_б и х& могут быть соединены кривой о в U (хЛ; г), длина
которой меньше 26 (где 26 равно длине т из ха^& через ха = хй
в хв). Пусть а* — кривая в V(ya; r) такая, что р(а*) = а. Пусть
у* — конечная точка для о*. Тогда г/* = /(г/б) и
-6, у*)
^ (a —26) + (длина а*)
— (a — 2б) + (длина a)
d(yo,
Это противоречит лемме 1, что и завершает доказательство леммы 2.
Завершим теперь доказательство теоремы 8.3. Допустим, что
М не односвязно, и пусть М — универсальное накрывающее мно-
многообразие для М. Пусть / — накрывающее преобразование для Му

104
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
¦отличное от тождественного преобразования. Пусть t~xf,
O^t^a, — гладко замкнутая геодезическая в М, данная в лемме 2.
Пусть X — любая инфинитезимальная изометрия в М. Мы опре-
определим неотрицательную функцию h (t), —oo<?<-f 00, так:
h{t)~g (X, Х)х^ для 0 ^ t ^ с,
и затем продолжим h до периодической функции периода а. По
лемме 2 h (t) дифференцируема в каждой точке t, — оо < ^ < -f оо.
Имеем
±h(t)=2g(X',X)x для О
~h(t)=2g(X', X')Xt — 2g(R(X, т)т, X)Xf для О
Так как секционная кривизна неположительна, то h"(t)^O для
Os^s^a. Поскольку h(t) периодическая, h (t) — постоянная функ-
функция. Отсюда h" (t) = 0. В частности, g (X\ X') = 0ng(R (Х,т) т , Х)=
С другой стороны, так как М — однородное риманово много-
многообразие с отрицательно определенным тензором Риччи, то суще-
существует инфинитезимальная изометрия X для М такая, что
g(R(X, т)т, Х)Хо < 0. Это противоречие появляется из-за пред-
предположения, что М не односвязно. То, что ехрх: Тх(М)—>-М
есть диффеоморфизм, следует из теоремы 8.1.
Теорема 8.3 принадлежит Кобаяси [19].
Теорема 8.4. Пусть М—связное однородное риманово мно-
многообразие с неположительной секционной кривизной и отрица-
отрицательно определенным тензором Риччи. Если подгруппа Ли G груп-
группы I {М) изометрий для М транзитивна на М, то G имеет
тривиальный центр.
Доказательство. Пусть С—центр в G, а (Г—замыкание
О в I {M). Тогда каждый элемент яз С перестановочен с каждым
элементом из G и потому лежит в центре группы G. Мы можем
поэтому считать, что G есть замкнутая подгруппа в I (M).
Докажем сначала, что С дискретна. Допустим, что X есть
инфинитезимальная изометрия для М, которая порождает одно-
параметрическую группу, принадлежащую центру С. Так как
X инвариантно под действием G, то длина g(X, XI'2 постоянна
на М. Поскольку тензор Риччи в М отрицательно определенный,
то теорема 5.3 главы VI влечет, что X тождественно равно нулю.
Пусть ф — любой элемент из С. Тогда он коммутирует с каж-
каждым элементом из G и потому является переносом Клиффорда в
¦смысле, определенном в доказательстве теоремы 8.3. Действительно,
для х, х'?М мы выберем элемент ар из G такой, что x' = ty(x).
§9. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ИЗОМЕТРИЙ
105
Тогда мы имеем
d(x', <р (*')) = <
Отсюда следует, что действие С на М свободно. Мы покажем,,
что С собственно разрывна на М. Пусть Н— подгруппа изотропии-
группы G в точке из М, так что M — G/ff. Тогда Н компактна
(см. следствие 4.8 главы I). По предложению 4.5 главы 1 С раз-
разрывна на М. По предложению 4.4 главы I С собственно разрывна
на М. Тогда факторпространство М/С есть многообразие (см.
предложение 4.3 главы I) и М есть накрывающее многообразие
для М/С с естественной проекцией р: М —* М/С как накрываю-
накрывающей проекцией (см. главу I, с. 66 — 67). Так как С есть центра
в G, то действие G на М индуцирует действие G на М/С. Отсюда
следует, что относительно индуцированной римановой метрики
М/С есть также однородное риманово многообразие с неположи-
неположительной секционной кривизной и отрицательно определенным тен-
тензором Риччи. По теореме 8.3 М/С односвязно. Поэтому С сво-
сводится к тождественному элементу.
§ 9. Центр тяжести и неподвижные точки изометрий
Пусть А — компактное топологическое пространство, а С (А) —
алгебра вещественнозначных непрерывных функций /на Л. Отно-
Относительно нормы jJ/Ц, определенной так:
В/|| = sup ]f(a)\,
а* А
С (А) есть банахова алгебра. Мера Радона (или просто мера) на А
есть непрерывное линейное отображение ц: С (А)—>-R. Для каж-
каждого / ? С (А) ц (/) называется интегралом от / относительно меры ц.
и будет обозначаться как \л/(а)ф(й) или просто как \А?с1ц.
Мера и, положительна, если ц (/) ^ 0 для всех неотрицательных
f€C(A) и если fx^O.
Нам нужна следующая теорема, чтобы доказать существова-
существование неподвижных точек компактной группы изометрий полного
односвязного риманова многообразия неположительной кривизны..
Теорема 9.1. Пусть ц — положительная мера на компакт-
компактном топологическом пространстве А. Пусть f — непрерывное ото-
отображение из А в полное односвязное риманово многообразие М
неположительной кривизны. Положим
J (х) = J a d (x, f (a)J d\i (а) для х?М,
где d(x, f(а)) есть расстояние между х и /(а). Тогда J дости-
достигает своего минимума в точности в одной точке.
Точка, в которой / достигает минимума, будет называться;
центром тяжести для f (А) относительно jx.

J06
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
Доказательство. Нормализуя меру, если необходимо, мы
•можем считать, что общая мера гля А, т. е. ju(l), есть единица.
A) Случай, когда M = Rn. Пусть х1, ..., х" — евклидова коор-
координатная система в R", и пусть /: А —*¦ R" задается так:
, п.
Тогда
= 2/ (*')• 1а Ф («) - 2 2/ *' $А f (а) ф (а)
+ 2/ 1л if (а»2 Ф И = 2/((*0«-
где
6' = $А /' (а) ф (а) и с' = $л (/' (а))« ф (а).
Отсюда имеем
•f (*)=2* ((*' - И
что показывает, что / достигает минимума при b = (b1, ..., Ьп)
и только при Ь.
B) Существование центра тяжести в общем случае. Так как /
непрерывно, то достаточно показать существование компактного
подмножества К в М и положительного числа г таких, что
ш
J {Уо) ^ г% Для некоторого у0 в
J (х) > г2 для всех х не из К,.
Выберем произвольную точку у0 в М и возьмем положительное
число г такое, что
d(y0, f(a))^r для всех а?А.
Положим
Так как f (А) компактно, то К ограничено и замкнуто. Будучи
ограниченным замкнутым подмножеством полного риманова много-
многообразия М, К компактно по теореме 4.1 главы IV. Очевидно,
" Т. Имеем
Если х не в К, то d{x, f (а)) > г для всех а? А, Отсюда
C) Единственность центра тяжести в общем случае.
§9. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ИЗОМЕТРИЙ
107
Мы сведем проблему к евклидову случаю. Пусть о —точка
из М, где / достигает минимума. Поскольку ехр0: ТО(М)~+М
есть диффеоморфизм по теореме 8.1, то существует единственное
отображение F: А -~+Т0 (М) таксе, что
Положим
/' (X) = 5Л d\(X, F (а))* ф (а), X ? То (М),
где [d' обозначает евклидово расстояние в Т0(М). Пусть 0 — на-
начало в То (М). Мы докажем следующее соотношение, которое явно
влечет, что о есть единственная точка, где / принимает минимум:
/ (о) = /' @) < Г (X) < / (х), если ехр0 X = х Ф 0.
Так как ехр0 сохраняет длину луча, испущенного из начала 0„
имеем
d' @, X) = d(o, x) для х = ехроХ.
Отсюда
d'@, F(a)) = d(o, f (а)) для а^А.
Это влечет равенство /(о) = /'@). Так как То (М) — евклидово
пространство, то A) влечет, что 0 есть единственная точка, где У
принимает 'инимум, т. е.
/' @) < /' (X) для 0 ф X € То (М).
Поскольку отображение ехро сохраняет расстояние (см. лемму 3
в доказательстве теоремы 8.1), имеем
d'(X, F(a))^d(x, f (а)) для х = ехр0Х и а^А.
Это влечет неравенство
Г (X) < / (х) для х = ехр0 X. П
В качестве важного применения теоремы 9.1 будет доказана
Теорема 9.2. Каждая компактная группа G изометрий
полного односвязного риманова многообразия с неположительной.
кривизной имеет неподвижную точку.
Доказательство. Выберем любую точку, скажем х0, в М
и определим отображение /: G -+[М так:
f(a) = a(x(l) для a?G.[
Пусть \и — левоинвариан тная мера на G. (Известно, что всякая
компактная группа допускает биинвариантную меру; см. напри-
например, Начбин [1], с. 81.) Полагая A—G, мы применяем теоре-
теорему 9.1 и утверждаем, что центр тяжести аля f(G) относительно [*
есть неподвижная точка относительно группы G. Очевидно, до-
достаточно показать, что J(b(x)) = J{x) для х?М и&^С Так как

Ч 08
ГЛ. VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ
¦функция расстояния d инвариантна при действии G, а }х левоин-
жариантна, то имеем
Q
Формулировка теоремы 9.1 принадлежит Ивахори [1]. Тео-
Теорема 9.2 была первоначально доказана Э. Картаном [16].
(См. также Б орел ь [4].)
Как немедленное следствие теоремы 9.2 мы имеем
Следствие 9.3. Пусть М — связное односвязное однородное
риманово многообразие неположительной секционной кривизны,
и пусть G— замкнутая подгруппа группы I (М) изометрий для М.
Допустим, что G транзитивна, так что M = G/H, где Н—под-
Н—подгруппа изотропии для G в некоторой точке из М. Тогда
A) Н есть максимальная компактная подгруппа в G и любая
максимальная компактная подгруппа в (J сопряжена с Н\
B) если G связна, то и Н связна.
Доказательство. A) Пусть К — любая максимальная ком-
компактная подгруппа в G. По теореме 9.2 К содержится в подгруппе
изотропии группы G некоторой точки, скажем, .; в /И. Так как
• подгруппа изотропии в х компактна (см. следствие 4.8 главы I),
она совпадает с К- Поскольку G транзитивна, все подгруппы
изотропии сопряжены друг с другом. Отсюда Н сопряжена с К
я есть максимальная компактная подгруппа в G.
B) Так как М односзязно, то простые гомотопические рас-
рассуждения показывают, что если G связна, то и Н связна. Q
Следующая теорема не будет где-либо использована, за исклю-
исключением § II главы XI.
Теорема 9.4. Пусть М — связное односвязное однородное
риманово многообразие неположительной секционной кривизны.
Пусть G — замкнутая подгруппа группы изометрий для М, кото-
которая транзитивна на М, так что M.—G/H, где И—подгруппа
изотропии в G в точке, скажем о, из М. Допустим, что естест-
естественное линейное представление Н на То (М) не оставляет ненуле-
ненулевых векторов инвариантными. Тогда
A) М находится во взаимно однозначном соответствии с мно-
множеством всех максимальных компактных подгрупп из G при соот-
соответствии, сопоставляющем каждой точке х ? М подгруппу изотро-
изотропии Gx в G точки х;
B) если а есть автоморфизм для G простого периода, то су-
существует максимальная компактная подгруппа в G, которая инва-
риантна при действии а.
§9. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ИЗОМЕТРИЙ
109
Доказательство A). По следствию 9.3 Gx есть макси-
максимальная компактная подгруппа в G и, обратно, каждая макси-
максимальная компактная подгруппа в G совпадает с Gx для некоторого
х?М. Остается доказать, что для каждого х?М х есть единст-
единственная неподвижная точка для Gx. По причине однородности М
достаточно доказать, что о есть единственная неподвижная точка
для H = G0. Допустим, что есть другая неподвижная точка к
для Н. По теореме 8.1 имеется единственная геодезическая т из о
в л;. В силу единственности т Н оставляет каждую ее точку
неподвижной. Отсюда касательный вектор к т в о инвариантен
при действии Н, а это противоречит нашему предположению.
B) Пусть у — любой автоморфизм для G Тогда у переставляет
максимальные компактные подгруппы в (? Пусть у обозначает
соответствующее преобразование в М; если {Gx =С„, то у~(х)=у
по определению. Пусть Г — циклическая группа, порожденная при
помощи а, и допустим, что порядок Г прост. Тогда каждый эле-
элемент уф\ из Г есть образующий для Г и неподвижная точка
для у при любом у ^= 1 есть неподвижная точка для а. Если а.
не имеет неподвижных точек в М, то Г действует свободно на М.
Но это невозможно, поскольку М гомеоморфно евклидову про-
пространству по теореме 8.1 главы VIII. Если Г действует свободно
на М, то
#А(Г; Z) = #ft(Af/r; Z)
по теореме Экмана, Эйленберга — Маклейна и Хопфа (см. К а р-
тан и Эйленбер»1 [1], с. 356). С другой стороны, Hk(M/T;Z) = Q
для к > dim М, а Нк (Г: Z) = Zp для всех четных к. (см. Карта н
и Эйлекберг [•], с. 251). Это показывает, что Г ке мсжет
действовать на М свободно. Другими словами, я имеет неподвиж-
неподвижную точку, скажем х?М. Тогда ее оставляет Gx инвариантной. П

Глава IX
КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Предварительные алгебраические рассмотрения
Линейно-алгебраические результаты о вещественных и комп-
комплексных пространствах, полученные в этом параграфе, будут при-
применены к касательным пространствам многообразий в последую-
последующих параграфах.
Комплексная структура на вещественном векторном простран-
пространстве V — это линейный эндоморфизм / для V такой, что/2 =— 1,
где 1 обозначает тождественное преобразование для V. Вещест-
Вещественное векторное пространство с комплексной структурой / может
быть превращено в комплексное векторное пространство при по-
помощи следующего умножения на комплексные числа:
(a + ib)X = aX + bJX для Х? V и а, Ь € R-
Ясно, что вещественная размерность т для V должна быть чет-
четной, a Ym есть комплексная размерность для V.
Обратно, если задано комплексное векторное пространство V
комплексной размерности п, а / — линейный эндоморфизм для V,
определенный так:
JX = iX для
то, рассмотрев V как вещественное векторное пространство ве-
вещественной размерности 2я, мы можем считать / комплексной
структурой.
Предложение 1.1. Пусть J — комплексная структура на
2п-мерном вещественном векторном пространстве V. Тогда суще-
существуют элементы Хх, ..., Хп из V такие, что {Xlt .. ., Хп>
JXlt . . ., JXn\ есть базис для V.
Доказательство. Мы превратим V в n-мерное комплекс-
комплексное векторное пространство, как указано выше. Пусть Хг, ..., Хп —
базис для такого комплексного векторного пространства. Легко
видеть, что {Х1у ..., Хп, JXX, ..., JXn\ есть базис для V, рас-
рассматриваемого как вещественное векторное пространство. ?
Пусть С" — комплексное векторное пространство га-наборов
комплексных чисел Z = {zl, ..., г"). Если мы полагаем
г* = х* + йД xk, #*€R> k=l,..:,n,
$1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ
111
то С" может быть отождествлено с вещественным векторным про-
пространством R2™ всех 2/г-наборов вещественных чисел (х1, . .., хп,
у1, ..., у"). В дальнейшем, если не указано иначе, отождествле-
отождествление С" с R2" всегда будет производиться при помощи соответствия
(г1, . . ., г") —*¦ (х1, .. ., хп, у1, . . ., у"). Комплексная структура
для R2", индуцированная из комплексной структуры для С", ото-
отображает (л;1, ..., хл, у1, ..., уп) в (у1, ..., уп, —Xх, ..., —хп)
и называется канонической комплексной структурой для R3".
В терминах естественного базиса в R2" она задается матрицей
1
-!n О
где через 1п обозначена единичная матрица порядка п.
Предложение 1.2. Пусть J и J' — комплексные структуры
для вещественных векторных пространств V и V соответственно.
Если мы рассматриваем V и V как комплексные векторные про-
пространства естественным образом, то вещественное линейное ото-
отображение f из V в V будет комплексным линейным тогда и только
тогда, когда J'o f — foj.
Доказательство. Это следует из того, что J я J' пред-
представляют собой умножения на /, если У и V рассматриваются
как комплексные векторные пространства. ?
В частности, комплексная общая линейная группа GL(n; С)
степени п может быть отождествлена с подгруппой в GLBn; R),
состоящей из всех матриц, перестановочных с матрицей
о /„
J 0 —
-1п О
Простой подсчет показывает, что представление GL (п; С) в
GL Bn; R), называемое вещественным представлением для GL (п; С),
задается так:
| | для A + iBeGL(n; С),
где А и В — вещественные пх«-матрицы.
Предложение 1.3. Существует естественное взаимно одно-
однозначное соответствие между множеством комплексных структур
на R2" и однородных пространств GL Bn; R)/GL (я; С); класс смеж-
смежности, представленный элементом S &GL Bя; R), соответствует
комплексной структуре SJ^S'1, где /0 есть (матрично представ-
представленная) каноническая комплексная структура для R2".
Доказательство. Каждый элемент 5 из GLBn; R) пере-
переводит каждую комплексную структуру / для R2" в комплексную
структуру 5/S для R2"; мы рассмотрим GLBn; R) как группу
преобразований, действующую на множестве комплексных струк-
структур для R2™. Достаточно доказать, что это действие транзитивно

112
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
и что подгруппа изотропии для GL Bn; R) в Jo есть GL (п; С).
Чтобы доказать транзитивность действия, допустим, что /и/' —
две комплексные структуры для R2". По предложению 1.1 суще-
существуют базисы {<?!, ..., еп, Jex, ..., Jen\ и {е[, ..., е'п, J'e[,-...
. . ., J'e'n\ в R3". Если мы определим элемент S из GLBn; R) так:
^J'e'k для k=\, ..., п,
то J' = SJS'1, что и доказывает транзитивность. С другой сто-
стороны, элемент S из GLBn; R) лежит в GL(n; С) тогда и только
тогда, когда он перестановочен с Jo, т. е. J0 = SJ0S~1 (см. рас-
рассуждение, следующее за предложением 1.2). ?
Предложение 1.4. Пусть J — комплексная структура на
вещественном векторном пространстве V. Тогда вещественное век-
векторное подпространство V' из V инвариантно при действии J
тогда и только тогда, когда V есть комплексное подпространство
в V, рассматриваемом как комплексное векторное пространство.
Доказательство. Как и в случае предложения 1.2, это
также следует из того, что / есть умножение на i, если V рас-
рассматривается как векторное комплексное пространство. П
Пусть V — вещественное векторное пространство, а V*— его
дуальное. Комплексная структура / для V индуцирует комплекс-
комплексную структуру для V*, которую тоже обозначим /, так:
<JX, Х*> = <Х, JX*>
для Х^У и X*?V*.
Пусть V — вещественное /n-мерное векторное пространство,
а Vе— комплексификация для V, т. е. Vе = Т/(Я)КС. Тогда V есть
вещественное подпространство в Vе естественным образом. Более
общо, тензорное пространство Trs(V) типа (г, s) над V может
рассматриваться как вещественное подпространство тензорного
пространства TJ (Vе) естественным образом. Комплексное сопряже-
сопряжение в Vе есть вещественный линейный эндоморфизм, определяе-
определяемый так:
Z = X + iY-+Z = X — iY для X, Y$V.
Комплексное сопряжение для Vе продолжается естественным обра-
образом на TS{VC).
Допустим теперь, что V есть вещественное 2п-мерное вектор-
векторное пространство с комплексной структурой /. Тогда / может
быть однозначно продолжена до комплексного линейного эндо-
эндоморфизма для Vе и продолженный эндоморфизм, обозначаемый
также через J, удовлетворяет уравнению У2 = — 1. Собственные
значения для / суть поэтому i и —i. Мы положим
l/i. o = {Zgyc. jz = iZ\, VO'-L = {Z?VC; JZ = — iZ\.
Следующее предложение очевидно.
§1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ ЦЗ
Предложение 1.5. A) V1' ° = \Х — iJX; X ?V\ и V°>x =
B) Vе = Уг' °-j-V0'1 (прямая сумма комплексных векторных про-
пространств) ;
C) комплексное сопряжение в Vе определяет вещественный ли-
линейный изоморфизм между V1-0 ы Vo>1.
Пусть V* — дуальное пространство для V. Его комплексифи-
комплексификация V*c есть дуальное пространство для Vе. Относительно собст-
собственных значений ± i комплексной структуры J на V* мы имеем,
как и выше, разложение в прямую сумму
Доказательство следующего предложения также тривиально.
Предложение 1.6.
Vu o={X*€ V*c\ <Х, Х*> = 0 для всех X ? V».1},
Vo, 1 = {X*е V*c; <Х, Х*> = 0 для всех Х^-0}.
Тензорног пространство T?(VC) может быть разложено в пря-
прямую сумму тензорных произведений векторных пространств, каж-
каждое из которых совпадает с одним из пространств V1' °, V0'г, Vlt 0
и VOi x. Мы изучим разложение внешней алгебры AV*C более по-
подробно. Внешние алгебры AV1<0 и А^о, i могут рассматриваться
как подалгебры в ДУ*С естественным образом. Обозначим Д-р- iV*c
подпространство в AV'*C, порожденное элементами вида аДР, где
а € А^ь о. a P€A9^, i- Тогда следующее предложение очевидно.
Предложение 1.7. Внешняя алгебра ДУ*С может быть раз-
разложена так:
и комплексное сопряжение в V*c, продолженное на /\У*С естествен-
естественным образом, дает вещественный линейный изоморфизм между
дя. «]/« и A9' pV*c.
Если {е1, ..., еп\ — базис для комплексного векторного про-
пространства Vb 0, то {е1, ..., еп\, TA&ek = ek, есть базис для УОч1
(см. предложение 1.5) и множество элементов е^/\ ... /\е р/\eki/\.. .
. .. /\ёкч, 1 < }\ <. .. < \р < п и 1 < kx < ... < kq < n, образует
базис для /\Р' ЧУ*С наД полем комплексных чисел.
Эрмитово скалярное произведение на вещественном векторном
пространстве V с комплексной структурой / есть скалярное про-
произведение h такое, что
h(JX, JY) = h(X, Y) для X, Y?V.
Отсюда следует, что h(JX, Х) = 0 для каждого X?V.

114
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Предложение 1.8. Пусть h — эрмитово скалярное произ-
произведение в 2п-мерном вещественном векторном пространстве V
с комплексной структурой J. Тогда существуют элементы
Х1г ..., Хп из V такие, что {Xlt ..., Хп, JXlt ..., JXn\ есть
ортонормальный базис для V относительно скалярного произведе-
произведения h.
Доказательство. Используем индукцию по dim V. Если Х+
есть единичный вектор, то пара {Хх, JXX} ортонормальна.
Пусть W — подпространство, порожденное Хг и JXV и пусть
W-1 — ортогональное дополнение, так что V=W -{-W-1. Тогда W1-
инвариантно относительно /. По индуктивному предположению W1-
имеет ортонормальный базис вида {Х2, ..., Хп, /Ха, .. ., JXJ. П
Если h0 есть каноническое скалярное произведение в R2",
т. е. скалярное произведение, относительно которого естественный
базис в . R2" ортонормален, то ha есть эрмитово скалярное про-
произведение относительно канонической комплексной структуры /,
для R2".
Предложение 1.9. Существует естественное взаимно одно-
однозначное соответствие между множеством эрмитовых скалярных
произведений для R2" относительно канонической комплексной
структуры Jo и однородных пространств GL(n; C)/U (n); класс
смежности, представленный элементом S?GL(n; С), соответст-
соответствует эрмитову скалярному произведению h, определяемому так:
h (X, Y) = h0 (SX, SY) для X, Y ? R3»,
где h0 есть каноническое эрмитово скалярное произведение в R2".
Доказательство. Доказательство аналогично доказатель-
доказательству предложения 1.3. Элемент 5 из GL(n; С) преобразует эрми-
эрмитово скалярное произведение h для R3" (относительно Jo) в эрми-
эрмитово скалярное произведение h' так:
h'(X, Y) =
, SY) для X,
(следует отметить, что, будучи рассмотрена как подгруппа из
GLBn; R), группа GL(n; С) действует на R2"). Рассматриваем
GL (п; С) как группу преобразований, действующую на множестве
всех эрмитовых скалярных произведений для R2" (относительно /0)
только что описанным способом. Достаточно доказать, что это
действие транзитивно и что подгруппа изотропии из GL(n; С)
в h0 есть U (п). Если даны два эрмитовых скалярных произведе-
произведения huh' для R2", то по предложению 1.7 имеются ортонор-
мальные базисы {ех, ..., еп, Joelt ..., Joen\ для h и {е[, ..., е'п,
Joe[, ..., J^e'n} для h' в R3". Элемент S из GLBn; R), опреде-
определяемый так:
Se'k = ek, SJoe'k = Juek для k = 1, ..., га,
Г § 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ
115
есть элемент из GL(n; С) и он преобразует^/t в h', что и дока-
доказывает транзитивность действия. С другой стороны, подгруппа
изотропии из GL (п\ С) в /0, очевидно, есть пересечение GL (п; С) п
Г)ОBп), где GL(n; С) и ОBп) рассматриваются как подгруппы
в GLBn; R). Легко видеть, что U (п) состоит из элементов из
GL(n; С), вещественные представления которых лежат в О Bл). ?
Доказательство следующего предложения непосредственно оче-
очевидно.
Предложение 1.10. Пусть h — эрмитово скалярное произ-
произведение в вещественном векторном пространстве V с комплексной
структурой J. Тогда h может быть однозначно продолжена до
комплексной симметричной билинейной формы в Vе, обозначаемой
также h и удовлетворяющей следующим условиям:
A) h(Z, W) = h{Z, W) для Z, WeVc;
B) h (Z, Z)>0 для всех ненулевых Z 6 Vе;
C) h(Z, W) = 0 для ZeV1-0 и WeV0;1.
Обратно, каждая комплексная симметричная билинейная форма h
на Vе, удовлетворяющая A) — C), есть естественное продолжение
эрмитова скалярного произведения для V.
С каждым эрмитовым скалярным произведением h на V отно-
относительно комплексной структуры •/ мы ассоциируем элемент <р
из /\%V* так:
Ф (X, Y) = h (X, JY) для X, Y 6 V.
Нам нужно проверить, что еркососимметрично:
Y) = h(JX, —J*Y)
X, Y).
Легко видеть, что <р также инвариантно при действии «/. Так как
Да1/* |можно рассматривать ^как! подпространство в AaV*i', [то <р
можно рассматривать как элемент из Д3К*С. Другими словами,.
Ф может быть однозначно продолжено до кососимметричной би-
билинейной формы на Vе, обозначаемой тоже через ф. По предло-
предложениям 1.5, 1.6 и 1.10 имеем
Предложение 1.11. Пусть ср — кососимметричная билиней-
билинейная форма на Vе, ассоциированная с эрмитовым скалярным про-
произведением h на V. Тогда ф ? Д1ДУ*С.
Докажем еще
Предложение 1.12. Пусть h и <р те же, что и в предло-
предложении 1.11, {Z1( ..., Zn\ —базис для V1' ° над С, а {Iх, ..., g"} —-
дуальный базис для Vu 0. Положим
для j, k=\, ..., п.

116
Тогда
A)
B)
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
= АА/ для /, k=
Доказательство.
о
л;
Доказательство. A) следует из A) предложения 1.10.
Что же касается B), то для данных Z, W ? Vе можем написать
w = 27-1 F' (W) Zj + g; (г) zy.).
Простой подсчет показывает тогда, что
/(g()l(ir)g^(r)|*(Z)). n
Пример 1.1. Пусть g — алгебра Ли над С. Рассматривая g
как вещественное векторное пространство, мы имеем комплексную
структуру У, определяемую как JX — iX. Комплексная струк-
структура У удовлетворяет условию [JX, Y] = J [X, У] = [X, JY] для
всех X, F?g, т.е. Joad(X) = ad(X)°J для любого Х?%. Об-
ратнО; предположим, что g есть алгебра Ли над R с комплексной
структурой У, удовлетворяющей условию Joad (X) = ad (X)oJ
для каждого X?q. Тогда, определяя (а-j-ib) Х — aX + bJX, где
a, b ? R, получаем комплексную алгебру Ли; мы можем проверить
комплексную билинейность скобочной операции так:
[(a+ib)X, Y] = [aX, Y] + [bJX, Y] = a[X, Y] + b[JX, Y]
= a[X, Y] + bJ[X, Y] = (a + bi)[X, Y].
§ 2. Почти комплексные многообразия
и комплексные многообразия
Определение комплексного многообразия было дано в главе I.
Для лучшего понимания комплексных многообразий мы определим
понятие почти комплексных многообразий и применим результаты
§ 1 к касательным пространствам почти комплексных многооб-
многообразий.
Почти комплексная структура на вещественном дифференци-
дифференцируемом многообразии М— это тензорное поле У, которое в каж-
каждой точке х из М есть эндоморфизм касательного пространства
ТХ(М) такой, что У2 = —1, где 1 означает тождественное преоб-
преобразование для Тх (М). Многообразие с фиксированной почти ком-
комплексной структурой называется почти комплексным, многообразием.
Предложение 2.1. Каждое почти комплексное многообразие
имеет четную размерность и ориентируемо.
Доказательство. Почти комплексная структура У на М
определяет комплексную структуру в каждом касательном про-
пространстве Тх (М). Как мы показали в начале § 1, dim Tx (M) есть
S 2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
четное число. Пусть 2n=dimAf. В каждом касательном про-
пространстве Тх (М) мы фиксируем базис Хг, ..., Х„, JXlt ..., jx
Существование такого базиса было доказано в предложении 1.1
и легко видеть, что два таких базиса получаются друг из друга
линейным преобразованием с положительным определителем. Чтобы
наделить М ориентацией, рассмотрим семейство всех локальных
координатных систем х1, . . ., х*" на М таких, что в каждой
точке х, в окрестности которой определена система координат
х1, ..., х2п, базис (д/дх1),., ..., (д/дх2п)х в ТХ(М) получается из
выше выбранного базиса Xlt ..., Хп, JXlt ..., JXn линейным
преобразованием с положительным определителем. Очень просто
проверяется, что семейство локальных координатных систем, по-
полученных таким образом, дает полный атлас, согласованный
с псевдогруппой сохраняющих ориентацию преобразований в R3". П
Ориентация почти комплексного многообразия М, введенная
в доказательстве выше, называется естественной ориентацией.
Чтобы показать, что каждое комплексное многообразие до-
допускает естественную почти комплексную структуру, мы рассмот-
рассмотрим пространство С" всех я-наборов комплексных чисел (г1, .. ., г")
с z' = x'-\- iyi, /=1, ¦ ¦ ., п. Относительно координатной системы
(х1, ..., хп, у1, ..., уп) определим почти комплексную структу-
структуру У на Сп так:
У (д/дх') = d/di/, У (d/dif) = ~- (д/дх'), 1 = 1, .... п.
Предложение 2.2. Отображение f открытого подмножест-
подмножества из С в С сохраняет почти комплексные структуры в С'г и
Ст, т. е. /аоУ = УоД, тогда и только тогда, когда f голоморфно.
Доказательство. Пусть (w1, ..., wm) с wk = ukJrivk,
k—1, .-., т, — естественная координатная система в ?т. Если
мы выразим f в терминах таких координатных систем з С" и С-я:
ик=ик(х\ ..., хп, if, ..., у11),
vk = vk(x\ ..., хп, у1, ..., у"), А=1, . .., т,
то f голоморфна тогда и только тогда, когда имеют место сле-
следующие уравнения Коши — Римана:
= 0, / = 1, ., ., п; k = 1, .. ., т.
С другой стороны, мы всегда имеем (голоморфно f или нет)
f. (д/дх') = 22-1 (дик/дхУ) (д/дик) + 2Xi (dv>/dx') (d/dv»),
f. id/dyj) = 22i (дик/ду') (д/дик) + 2?-i (дик/ду') (д/дик)
для у = 1, . . ., я. Из этих формул и определения У в С" и С"»,
данного выше, видим, что /¦°У = У°/, имеет место тогда и только
тогда, когда / удовлетворяет уравнениям Коши — Римана. ?

*»* .л. димнЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Чтобы определить почти комплексную структуру на комплекс-
комплексном многообразии М, перенесем почти комплексную структуру
для Ст на М при помощи карт. Предложение 2.2 влечет, что
почти комплексная структура может быть определена таким путем'
на М независимо от выбора карт. Почти комплексная структура J
на многообразии М называется комплексной структуре", если М
есть ^вещественное дифференцируемое многообразие, m лученное
из комплексного многообразия, которое порождает J только что
описанным способом.
Пусть М и М' — почти комплексные многообразия с почти
комплексными структурами / и /' соответственно. Отображение
/: М—f M' называется почти комплексным, если /'o/s = До/. Из
предложения 2.2 получаем
Предложение 2.3. Пусть М и М' — комплексные многооб-
многообразия. Отображение f: M —*¦ М' голоморфно тогда и только
тогда, когда f почти комплексно относительно комплексных струк-
структур на М и М'.
В частности, два комплексных многообразия с одним и тем же
декомплексифицированным дифференцируемым многообразием со-
совпадают, если соответствующие почти комплексные структуры
совпадают.
Для данной почти комплексной структуры / на многообразии М
тензорное поле (—/) тоже есть почти комплексная структура,
которую называют сопряженной к J. Если М —комплексное мно-
гообрази атласом {(?//, Ф/)}, то семейство карт (?/у. q>j), где
<ру — комплексно сопряженное к qpy, есть ат с топол гического
пространства М, который согласован с псевдогруппой голоморф-
голоморфных преобразований для С*. Атлас {(?/,-, фу)} определяет комп-
комплексное многообразие, низлежащее (декомплексифицированное)
дифференцируе ое многообразие которого то же, что и у М; это
новое комплек ное многообразие обозначают М и говорят что
оно сопряжено с М. Легко проверить, что если / — комплексная
структура для комплексного многообразия М, то (—/) будет
комплексной структурой для М.
Предложение 2.4. Пусть М есть 2п-мерное ориентируемое
многообразие, a L(M) — расслоение линейных реперов над М. Тогда
множество всех почти комплексных структур на М находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством всех сечений
ассоциированного расслоения В =L(M)/GL(n; С) со слоем
GLBn;U)/GL(n; С), где GL(n; С) рассматривается как подгруппа
в GL Bn, R) при помощи вещественного представления.
Доказательство. Следует из предложения 5.6 главы I
(см. также далее следующее замечание) и предложения 1.3. П
Вообще, для данных двух тензорных полей А и В типа A,1)
на многообразии М можно построить кручение для А и В, кото-
§2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
рое есть тензорное поле типа A,2) (см. предложение 3.12 главы I).
Специализируя конструкцию для случая, когда А и В совпадают
с почти комплексной структурой /, мы определяем кручение для J
как тензорное поле типа A,2) (см. предложение 3.12 главы 1),
заданное так:
N(X, Y) = 2\[JX, JY]~[X, Y]-J[X, JY]-J[JX, Y]\
для X, Y?X(
Пусть х1, ..., а:2" —локальная координатная система в М. По-
Полагая X = d/dxJ и Y = d/dxk в выражении, определяющем N, мы
видим, что компоненты N)k для N относительно х1, ..., х2п могут
быть выражены в терминах компонент Jj для У и их частных
производных так:
?М* = 2 2SLi №4 - /ад - /^4+Jidkj%
где <3Л обозначает частное дифференцирование djdxh. Говорят, что
почти комплексная структура интегрируема, если она имеет ну-
нулевое кручение.
Теорема 2.5. Почти комплексная структура является ком-
комплексной структурой тогда и только тогда, когда ее кручение —
нуль.
Доказательство. Мы докажем здесь только, что комплекс-
комплексная структура имеет нулевое кручение. Обратное будет доказано
в приложении 8 и только в случае, когда многообразие и его
почти комплексная структура вещественно аналитичны. Пусть
z1, ..., г", zf = xJ'-\-iyJ — комплексная локальная координатная
система в комплексном многообразии М. Из конструкции комп-
комплексной структуры /, данной перед предложением 2.2, ясно, что
компоненты для J относительно локальной координатной системы
х1, .. ., хп, у1, ¦ ¦., у" суть постоянные функции в координатной
окрестности и поэтому они имеют нулевые частные производные.
Из приведенного выше выражения для N}k ясно, что кручение N
есть нуль. ? 1С™2
Комплексное касательное пространство ТСХ(М) многообразия
М в х есть комплексификация касательного пространства ТХ(М),
его элементы называются комплексными касательными векторами
в х. Если мы обозначаем через ЗУ (М) пространство r-форм на М,
то элемент комплексификации & (М) для ЗУ (М) называется
комплексной r-формой на М. Каждая комплексная r-форма со
может быть однозначно записана в виде co' + zco", где со' и со" —
вещественные r-формы. Если мы обозначим Т*хс комплексифика-
цию дуального пространств) для ТХ(М), то комплексная г-форма
со дает элемент из ЛГТ*С в каждой точке х из М; другими сло-
словами, кососимметрические г-линейные отображения Тх(М)х ¦ . ¦
... х Тх (М) —*-Св каждой точке х из М. Более общо, мы можем
определить пространство комплексных тензорных полей на М

120
ГЛ. ,х. КОМПЛЕКСНЫЕ .МНОГООБРАЗИЯ
как комплексификацию пространства вещественных тензорных
полей. Такие операции, как свертывание, скобка, внешнее диф-
дифференцирование, дифференцирование Ли, внутреннее произведе-
произведение и т. д. (см. § 3 главы I), могут быть продолжены по линей-
линейности на комплексные тензорные поля или комплексные диффе-
дифференциальные формы.
Если М есть почти комплексное многообразие с почти комп-
комплексной структурой /, то по предложению 1.5
Т$(М)
где Т\ ° и Т%'х— подпространства собственных векторов для /,
отвечающие собственным значениям / и (—i) соответственно.
Комплексный касательный вектор (поле) будет типа A,0) (соотв.
@,1)) если оно принадлежит Т\- ° (соотв. Т% х). По предложению 1.5
имеем
Предложение 2.6. Комплексный касательный вектор Z
почти комплексного многообразия М будет типа A,0) (соотв. @,1))
тогда и только тогда, когда Z= X — iJX (соотв. Z = X-j-iJX)
для некоторого вещественного касательного вектора X.
По предложению 1.7 пространство @=©(уИ) комплексных
дифференциальных форм на почти комплексном многообразии М
размерности 2я может быть биградуировано так:
62
Элемент из GP7- я называется (комплексной) формой степени (р, q).
По предложению 1.6 комплексная 1-форма со будет степени A,0)
(соотв. @,1)) тогда и только тогда, когда co(Z) = 0 для всех комп-
комплексных векторных полей Z типа @,1) (соств. A,0)). Если
со1, ..,, со"-—локальный базис для б1'0, то его комплексное со-
сопряжение со1, . . ., со" есть локальный базис для (?"•* (см. пред-
предложение 1.5). Отсюда следует, что множество форм (о'^/\...
есть локальный базис для (&• <*. Следовательно, если со?&°!?, то
со (Zx, ..., Zp+q) == Одля комплексных векторных полей21; .. . ,Zp+q,
из которых либо более чем р будут типа A,0), либо более чем q
будут типа @,1). Это свойство &'ч может быть использовано
для определения биградуирования в К.
Предложение 2.7. Если б>-ч есть пространство форм
степени (р, q) на почти, комплексном многообразии, то
Доказательство. Это следует из того, что ©локально
орождается множествами б0-0, (??¦• ° и б0'1, и из следующего
§2
ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
121
очевидного включения:
•2
?
Теорема 2.8. Для почти комплексного многообразия М сле-
следующие условия эквивалентны:
(a) если Z и W — комплексные векторные поля типа A,0), то
и [Z, W] — комплексное векторное поле типа A,0);
(b) если Z и W — комплексные векторные поля типа @,1), то
и [Z, W] — комплексное векторное поле типа @,1);
(c) d&'Oc&'O-h^1'1, dg». ic:©1-1+ ©»•«;
(d) d&>' ?сФ'+1'? + ©Р'?+1 для р, ? = 0, 1, .. ., п;
(e) почти комплексная структура имеет нулевое кручение
Доказательство. Эквивалентность (а) и (Ь) следует из
того, что для любых комплексных векторных полей Z и W ком-
комплексное сопряженное к [Z, W] есть [Z, W], и из того, что Z
есть типа @,1) тогда и только тогда, когда Z есть типа A,0)
(см. предложение 1.5). Чтобы доказать, что (а) и (Ь) влекут (с),
допустим, что co^GS1-0. Если Z и W — комплексные векторные
поля типа @,1), то (Ь) влечет (см. предложение 3.11 гл вы I)
2dco(Z, W)=Z(<u{W)) W(<*{Z))<[Z W]
а это показывает, что da> не имеет компонент степени @,2). Ис-
Используя векторные поля типа A,0) и условие (а), видим, что
если со есть форма степени @,1), то йЪ не имеет компонент сте-
степени B,0). Чтобы доказать обратное, (с) —* (а), допустим, что
Z и W — векторные поля типа A,0). Подсчет выше показывает,
что со([Z, W]) = 0 для всех форм со степени @,1). Поэтому [Z, W]
будет типа A,0). Доказательство (с) —»- (Ь) аналогично. Так как®
локально порождается множествами @0>0, E1-0 и @0>1, то (с) влечет (d).
Обратное, (d) —> (с), тривиально. Чтобы доказать эквивалентность
(а) и (е), допустим, что X и Y — вещественные векторные поля,
и положим Z = [X — UX, Y — iJY]. Предложение 2.6 влечет, что
(а) справедливо тогда и только тогда, когда Z будет типа A,0)
для всех X и Y. С другой стороны, простая выкладка показывает
2(Z + iJZ) = —lN(X, Y) — iJ(N(X, У)).
Поскольку Z + iVZ=0 тогда и только тогда, когда Z будет типа
A,0), то (а) имеет место тогда и только Тогда, когда N(X, Y)=Q
для всех X и Y. П
Если дана почти комплексная структура без кручения, то
мы можем определить д: @> * —>- <&р+1< * и д: ($>¦ ч—->-($>• <?+1 так
(см. эквивалентность (d) и (е) в теореме 2.8):
d d для со

122 ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Так как d2 = 0, получаем
Если даны два многообразия М и М' и отображение/: М —»¦ /W,
то дифференциал /„ продолжается до комплексного линейного
отображения из Т%{М) в Г?(М'), z/= /(*), которое будет обо-
обозначаться тем же символом /„. Аналогично /* отображает каждую
комплексную дифференциальную форму на М' в комплексную
дифференциальную форму на М.
Предложение 2.9. Для отображения f почти комплекс-
комплексного многообразия М в другое почти комплексное многообразие М'
следующие условия эквивалентны:
(a) если Z — комплексный вектор типа A,0) для М, то /s (Z) —
комплексный вектор типа A,0) для М'';
(b) если Z — комплексный вектор inuna @,1) для М', то f4>{Z) —
комплексный вектор типа @,1) для М';
(c) если со есть форма степени (р, q) на М', то /а (со) есть
форма степени (р, q) на М для всех р и q;
(d) f почти комплексно.
Доказательство. Эквивалентность (а) и (Ь) следует из
того, что Z типа @,1) тогда и только тогда, когда Z типа A,0)
(см. предложение 1.5), и из того, что /* перестановочно с комп-
комплексным сопряжением. Так как (а) (соответственно (Ь)) эквива-
эквивалентно условию, что f* отображает каждую форму степени @,1)
(соответственно A,0)) в форму той же степени (см. предложение
1.6) и так как алгебра комплексных форм локально порождается
функциями, формами степени A,0) и формами степени @,1), мы
можем заключить, что (с) эквивалентно (а) и (Ь). Чтобы дока-
доказать эквивалентность (а) и (d), допустим, что У и У обозначают
почти комплексные структуры для М и М' соответственно. До-
Допустим (а). Если Л' есть вещественный касательный вектор к М,
то X—UX типа A,0) по предложению 2.6. Поскольку f*(X — iJX)
= fm (X) - i (/* (JX)), вектор fm (X) - i (/. (JX)) есть типа A,0) по (а).
Отсюда f*(JX) — J'(ft {X)), а это показывает, что f почти комп-
комплексно. Допустим (d). Если Z — комплексный касательный вектор
типа A,0) к М, то Z = X — iJX для некоторого вещественного
касательного вектора X по предложению 2.6. Из Д (JX) = J' (Д, (X))
получаем
а это показывает, что Z отображается при действии / в вектор
типа A,0). Q
Инфинитезимальный автоморфизм почти комплексной струк-
структуры J на М есть векторное поле X такое, что LXJ=^O, где Lx
обозначает дифференцирование Ли по отношению к X. По след-
следствию 3.7 главы I векторное поле X есть инфинитезимальный
§2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
123
автоморфизм для J тогда и только тогда, когда оно порождает
локальную однопараметрическую группу локальных почти комп-
комплексных преобразований.
Предложение 2.10. Векторное поле X есть инфинитези-
инфинитезимальный автоморфизм почти комплексной структуры J на мно-
многообразии М тогда и только тогда, когда
[X, JY] — J ([X, У]) для всех векторных полей Y на М.
Доказательство. Пусть X и Y — любые [векторные поля
яа М. По предложению 3.2 главы I имеем
{X, JY] = Lx (JY) = (LXJ)Y + J (LXY) = (LXJ) Y + J ([X, Y]).
Отсюда LXJ = O тогда и только тогда, когда [X, JY]=aJ([X, Y])
для всех Y. ?
Если X есть инфинитезимальяый автоморфизм для У, то JX
таковым может и не быть. Действительно, если X есть инфини-
инфинитезимальный автоморфизм для /, a Y произвольно, то по пред-
предложению 2.10 имеем
N\(X, Y) = ^
а это показывает, что JX есть тоже инфинитезимальный ьто-
морфизм для / тогда и только тогда, когда N {X, У) = 0 для
всех Y. Если N — 0, то алгебра Ли а инфинитезимальных авто-
автоморфизмов для / устойчива при действии / и по предложению
2.10 [X, JY] = J([X, У]) для X, Y?a. Следовательно, а — комп-
комплексная алгебра Ли (возможно, бесконечной размерности) с комп-
комплексной структурой, определяемой с помощью / (см. пример 1.1).
Пусть М — комплексное многообразие и z1,. .. ,zn,z-? = x/ + iyf,—
комплексная локальная система ко рдинат на М. Тогда dz^ = dx-/' +
-f i dyj и dzf = dxs — i dyj. Полагаемъ
д/dz' = ±
— i
, д/dz' = ~(d/dxf +1 (d/dyS)).[
Из конструкции" комплексно» структуры, данной "перед предло-
предложением 2.2 ледуег, что д/dz1, . .,д/дгп (соотв. д/dz1, ...,д/дгп)
образу ^ базис для Т)?0 (соотв Т^1) в каждой точке х коорди-
координатной окрестности, a dz1, . . , dzn (соотв. dz1, ..., dzn) образуют
локальный базис для (S1'0 (соотв. (S0-1). Следовательно, множе тво
форм dzii Д . . . /\dzh/\dzki д .. . /\d~zk4, I < /t <. . . <//, <^ а и
1"^ kj < ... < kq^.n, образует локальный базис для (??>«. Го-
Говорят, что форма ш Степени (р, 0) голоморфна, если дсо = 0.

124
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГОООБРАЗИЯ
Если мы выразим а> в терминах г1, ..., г":
ю = 5к /.<••• <Ур < »fh.. .tPdzu A ••• Adzh,
то дсо = О тогда и только тогда, когда <3/л.../р = 0. В общем,
если / — комплекснозначная функция, то д/ = 0 тогда и только
тогда, когда df/dz-' = Q для /=1, ..., п. С другой стороны, оп-
определение dldz1, данное выше, показывает, что уравнения df/dzJ = О
представляют собой не что иное, как уравнения Коши — Римана.
Отсюда следует, что со голоморфна тогда и только тогда, когда
функции-коэффициенты //,.../р голоморфны.
Голоморфное векторное поле на комплексном многообразии
есть комплексное векторное поле Z типа A,0) такое, что Zf го-
голоморфно для каждой локально определенной голоморфной функ-
функции /. Если мы напишем
в терминах г1, . . ., zn, то Z голоморфно тогда и только тогда,
когда все компоненты р—голоморфные функции.
Предложение 2.11. На комплексном многообразии М ал-
алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов комплексной струк-
структуры J изоморфна алгебре Ли голоморфных векторных полей,
изоморфизм при этом задается так: X —>- Z = -„- (X — i JX).
Доказательство. Пусть X и Y — векторные поля на М
и в терминах локальной координатной системы г1, . .., zn мы
напишем (см. предложение 2.6)
-§¦(*- VX) = ?"=i р (д/dzf), ~(Y~ UY) = ?"-х gJ (d/dzf).
Простой подсчет показывает, что уравнение [X, JY] — J ([X, Y])
эквивалентно системе уравнений ~^2=igk (dp/dzk) = 0 для /= 1, . . ., п.
Из предложения 2.10 мы можем заключить, что X есть инфини-
тезимальный автоморфизм для / тогда и только тогда, когда
др/дгк — О для j, k=\, .... л, т. е. тогда и только тогда, когда
~2 (X—iJX) голоморфно.
Пусть X и Y — инфинитезимальные автоморфизмы для J. Так
как J не имеет кручения, то JX и JY — тоже иифинитезималь-
ные автоморфизмы для J, как мы видели после предложения 2.10.
По предложению 2.10 мы имеем J[X, Y] = [JX, Y] = [X, JY] и
[X, K] = — [JX, JY]. Используя эти тождества, мы можем легко
проверить, что отображение 8: X—^-^-(Х — UX) удовлетворяет
равенству 9 {[X, Y]) = [Q(X), 8(F)]. Ясно, что 6 взаимно одно-
однозначно. Наконец, для данного голоморфного векторного поля Z
J2. ПОЧТИ КОМПЛЕКеНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
125
мы покажем, что существует инфинитезимальный автоморфизм X
для J такой, что Q(X) = Z. В любой координатной окрестности U
запишем Z = 2/-»/"' (д/дг^) и положим Р = ?,}+щ;'. Тогда имеем
z=
(д/дх/)
то
Z =
Если мы возьмем Хи = 2v-i {?'@/d*/) +
=-^-(Х1/—iJXrr). Если Xr—векторное поле на другой координатной
1
окрестности V такое, что Z = -^-{Xv—UXY), то ясно, что Хи=Ху
на U П V. Итак, имеется векторное поле X на М такое, что
Z = Q(X). Мы показали, что 9 есть изоморфизм алгебры Ли ин-
инфинитезимальных автоморфизмов для J на алгебру Ли голоморф-
голоморфных векторных полей на М. ?
Дадим несколько примеров комплексных и почти комплексных
многообразий.
Пример 2.1. Комплексная группа Ли G есть группа, кото-
которая есть в то же время комплексное многообразие такое, что
групповая операция (a, b) ? GxG —*ab~J€ G есть голоморфное
отображение из GxG в G. Здесь GxG наделяется комплексной
структурой произведения. (Более общо, если М и М' имеют
почти комплексные структуры У и У соответственного МхМ'
имеет почти комплексную структуру произведения JxJ', опре-
определение которой довольно очевидно. Если У и У интегрируемы
(или представляют собой комплексные структуры), то такова и
JxJ'-) Группа GL(n;C) есть комплексная группа Ли; ее комп-
комплексная структура получается при рассмотрении этой группы как
открытого подмножества в С"*. Ее алгебра Ли gl(n; С) состоит
из всех комплексных яхп-матриц.
Если G — комплексная группа Ли, то ее комплексная струк-
структура J инвариантна при отображениях
La: х
¦ ах, Ra: х —>¦ ха, ad [a): x
аха~
х
Если X — левоинвариантное векторное поле, то и JX — левоин-
вариантноз векторное поле. Итак, / индуцирует комплексную
структуру в алгебре Ли g группы G. Так как J инвариантна от-
относительно ad (а), а ? G, то отсюда следует, что / о ad (X) = ad (X)oJ
для каждого X?g. Итак, g есть комплексная алгебра Ли (см.
пример 1.1). Обратно, пусть G — группа Ли, алгебра Ли которой g
есть комплексная алгебра Ли (с комплексной структурой /). До-
Допуская, во-первых, что G связна, мы получаем из Joad(X) =
= ad(X)oJ, Х?%, что J о ad (а) = ad (а) о / для каждого a?G.
Если мы разнесем J на каждое касательное пространство Та (G)
при помощи Ьа, то мы получим левсинвариантную почти комплекс-

126
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
ную структуру J на G, которая также правоинвариантна. Так
как [JX, Y] — J [X, Y] для всех левоинвариантных векторных
полей X и F, то мы видим, что кручение N (X, У')=0 для та-'
ких X и Y. Итак N = 0. Поскольку J вещественно аналитична
(как левоинвариантное тензорное поле наТгруппе Ли), то мы за-
заключаем, что G есть комплексное многообразие. Так как La и Ra,
a?G, сохраняют /, то формула Лейбница (предложение 1.4 гла-
главы I) показывает, что отображение (х, у) ? G x G —>¦ ху ? G голо-
голоморфно. Отображение т]з: х—i-л:-1 голоморфно в е (так как его
дифференциалз.есть—1, что 1 коммутирует с /) и поэтому всюду,
потому что т]> o~La = #а-, о лр влечет, что (^)а = (Ra-^)9e о ($>*)eo{LJme
сохраняет /. Итак, G есть комплексная группа Ли. Случай, когда G
не связна, мы оставляем читателю.
Пример 2.2. Рассмотрим С71 как векторное пространство, и
пусть тх, .. ., хгп— любой базис в С" над полем вещественных
чисел. Пусть D — подгруппа в С™, порожденная элементами тх, ...
...,х2п: D = {2y=i mjxj\ m/ целые}. Действие D на С" собственно
разрывно и фактормногообразие C/D называется n-мерным ком-
комплексным тором (см. предложение 4.3 главы I). В противопо-
противоположность случаю вещественных торов, два комплексных тора той
же^размерности не обязательно голоморфно изоморфны. Комплекс-
Комплексный тор Cn/D называется абелевым многообразием, если сущест-
существует вещественная кососимметрическая билинейная форма Е на С"
такая, что
A) E{iX, Y)=E(iY, X) для X, F^C;
B) Е (iX, X) > 0 для каждого ненулевого X ? С";
C) Е(Х, Y) есть целое число, если X, Y?D.
При п = 1 каждый комплексный тор есть абелево многообразие.
Будучи факторгруппой для С", ?n/D есть связная компактная
комплексная группа Ли. Обратно, каждая связная компактная
комплексная группа Ли G есть комплексный тор. Действительно,
присоединенное представление для G есть голоморфное отображе-
отображение из G в GL{n; С)с: С"8, где n = dimG. Так как голоморфная
функция на компактном комплексном многообразии должна быть
постоянной, то присоединенное представление для G тривиально,
т. е. G абелева. Итак, G есть четномерный тор (Понтрягин [1]),
а поэтому и комплексный тор.
Если г1, ..., z" — естественная координатная система в С72, то
голоморфные 1-формы dz1, . . ., dzn могут рассматриваться как
формы на комплексном торе О1 ID. Каждая голоморфная 1-форма
на C/D есть линейная комбинация форм dz1, . .., dzn с постоян-
постоянными коэффициентами. Действительно, каждая голоморфная 1 -фор-
-форма на С"/D'есть линейная комбинация форм dz1, .... dzn с голо-
голоморфными функциями в качестве коэффициентов, а так как Cn/D
есть компактное комплексное многообразие, то эти функции-коэф-
функции-коэффициенты постоянны.
§'2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
127
Пусть Cm/D'—другой комплексный тор и w1, . . ., wm — естест-
естественная координатная система в С"». Гомоморфизм C"/D—*Cm/D'
индуцируется комплексным линейным преобразованием из С" в С"»,
которое переводит D в D'. Если /: C"/D —s-Cm/D' —голоморфное
отображение, то
/* (dwk) = 2"=i afdzJ, k = 1, .. ., m, a? € С,
что показывает, что f индуцируется отображением С" —*¦ Ст вида
wk — 2f-=ia)zi^+ ^*> k=\, . . ., m, где bk?C. Итак, каждое голо-
голоморфное отображение us C/D в Cm/D' есть гомоморфизм по мо-
модулю сдвига в Cm/D'.
Пример 2.3. Говорят, что л-мерное комплексное многообра-
многообразие комплексно параллелизуемо, если существует п голоморфных
векторных полей Zx, .. ., Zn, которые линейно независимы в каж-
каждой точке из М. Каждый комплексный тор комплексно парал-
лелизуем. Более общо, пусть G — комплексная группа Ли ком-
комплексной размерности п. Беря я линейно независимых комплексных
векторов типа A,0) в единичном элементе из G и продолжая их
левыми сдвигами, мы получаем п левоинвариантных голоморфных
векторных полей Zlf.. . ,Zn на G, которые линейно независимы в каж-
каждой точке из G. Если D есть дискретная подгруппа в G, то Zlt .. ., Zn
индуцируют п голоморфных векторных полей на комплексном
многообразии G/D, которые линейно независимы в каждой точке
из G/D, что показывает, что G/D комплексно параллелизуемо.
Ван [5] доказал, что, обратно, каждое компактное комплексное
параллелизуемое многообразие может быть представлено как фак-
торпространство G/D комплексной группы Ли G по дискретной
подгруппе D. Действительно, если Zx, . . ., Zn — всюду линейно
независимые голоморфные векторные поля на компактном ком-
комплексном многообразии М, то [Zy-, Zk] = ^j^=1c'jkZh, где c)k, будучи
голоморфными функциями на компактном комплексном многооб-
многообразии М, являются константами на М. Пусть Хи . .., Хп — соот-
соответствующие инфинитезимальные автоморфизмы комплексной
структуры для М, т. е. Xj — Zj + Zj для / = 1, .. ., п (см. пред-
предложение 2.11). Пусть G — универсальное накрывающее многообра-
многообразие для М, а X} —естественный лифт для Х;- до G. Тогда
(i) Х{ , . . ., Х*п — инфинитезимальные автоморфизмы комплекс-
комплексной структуры для G;
(ii) [X;, Xl] = ^l^cfkXl для /; k= 1, . . ., я;
(ш) Х{', . .., X* — полные векторные поля на G. Укажем, что
(iii) следует из того, что векторные поля, в частности Xlt . . ., Хп,
на компактном многосбразии М полны (см. предложение 1.6
главы I). Из (i), (ii), (iii) и односвязности G следует, что G мо-
может быть наделено структурой комплексной группы Ли такой,
что XI, ..., Хп — левоинвариантные инфинитезимальные автомор-
автоморфизмы комплексной структуры для G. Пусть D — группа накры-

128
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
вающих преобразований для G, которая дает М. Каждый
элемент из D оставляет XI, ..., X* инвариантными и отсюда есть
левый сдвиг для G. Итак, D может быть отождествлена с диск-
дискретной подгруппой в G, действующей слева.
Пример 2.4. Комплексное грассманово многообразие Gpiq(C)
^-плоскостей из Cp+q есть множество всех /7-мерных комплексных
подпространств из Ср+ч со структурой комплексного многообразия,
определенной так. Пусть г1, ..., zp+ч — естественная координатная
система в С,р+<г, а каждое zJ рассматривается как комплексное
линейное отображение Cp+я —>-С. Для каждого множества а =
= {<х1, . . ., а,р\ целых чисел таких, что 1 г^с^ < . . . < ар ^ p + q,
пусть Uа будет подмножеством в Gp, q (С), состоящим из р-мерных
подпространств5таких, что za>|S, ..., zap15линейно независимы.
Мы определим отображение фа из Ua в пространство М (р, q\ С)
всех комплексных рх<?-матриц, которое может быть отождествлено
О* П { \ { \
с О"*. Пусть {а
{1 \
р+1,
ap+q\ есть дополнение до {<хх, ...,ар\
Т
у {р+1, ,p+q\ д д {х, ,р\
в {1, ...,p-\-q\ в возрастающем порядке. Так как для каждого
5 ? Ua га» | S, . . ., zap 15 образуют базис дуального пространства
^5 то мы можем написать
S =2?-i «У
Положим
Легко видеть, что сра отображает Ua взаимно однозначно на
М (q, р\ С) и что семейство из (^"Г'м карт (Ua, ц>а) превращает
GPig(C) в комплексное многообразие комплексной размерности pq.
Группа GL (p~\-q, С), действующая в О7"», отображает каждое
р-мерное подпространство в р-мерное подпространство и, следо-
следовательно, может рассматриваться как группа преобразований,
действующая на Gp,q(C). Действие это голоморфно и транзитивно.
Если SB обозначает р-мерное подпространство, порожденное пер-
первыми р элементами естественного базиса в О4"*, то подгруппа
изотропии в So задается так:
# =
где 0 обозначает нулевую матрицу с р столбцами и q строками.
Итак, GPt q (С) есть факторпространство GL {p + q\ С)/// комплекс-
комплексной группы Ли GL(p-j-q; С) по замкнутой комплексной подгруппе
Ли Я и естественная проекция GL (p -f q; С) —+Gpt q (С) голоморфна.
Аналогичные рассуждения, примененные к унитарной группе
U (p + q), действующей в О+?, показывают, что Gp,q(C) может
быть представлено также как факторпространство U {p-\- q)/U (p) x
§2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
129
XU (q), где
U(p)xU{q) = \\* °
), B€U(q)}
Так как V (p + q) компактна, то Gp,q(C) тоже компактно.
Грассманово многообразие Gni х (С) называется n-мерным ком-
комплексным проективным пространством и обозначается Р„(С).
Мультипликативная группа С* ненулевых комплексных чисел дей-
действует свободно на Сл+1 —{0} как (с, г) еС*х(Сл+1 — {0}) -+сг€
? С+1 — {0}. Пусть г°, г1, . . ., г" — естественная координатная си-
система в Сл+1. Для каждого /, / = 0, 1, ..., п, пусть U) есть мно-
множество точек из Сл+1—{0}, где г^^О.ипусть Uf — образ для i//под
действием естественной проекции Сл+1 — {0} —->¦ (С"+1 — {0})/С*. Легко
видеть, что, рассматривая г°/гЛ ..., zJ~xlzJ\ zS+i/zS, ...,zn/zJ' как
функции, определенные на Uf> мы можем отождествить Рп (С)
с (С724 — {0})/С*, структура комплексного многообразия которого
определяется семейством координатных окрестностей ?/,- с локаль-
локальной системой координат z°/zS, . . ., zJ'~1/z-', zJ+1/zJ, . . ., zn/zJ, назы-
называемой неоднородной системой координат для Рп (С) в Uj. Коор-
Координатная система г°, г1, . . ., zn для С"+1 называется однородной
системой координат для Рп(С); однородные координаты точки из
Рп (С) л; (Сл+1 — {0})/С* суть по определению координаты точки
из Cn+1—{0}, представляющей ее. Итак, однородные координаты
определяются с точностью до ненулевого постоянного множителя.
То, что мы только что сказали, может быть перефразировано
более геометрически так. Сл+1 — {0} есть главное расслоение над
Рп(С) = (Сп+1 — {0})/С* с группой С*. Если мы обозначим через л
проекцию Сп+1 — {0\ —+Р„(С), то локальная тривиальность ty:
n~l (U/) ж Uj-xC* задается так:
ty (г) = (я (г), zi)
Функции перехода
j X С* для г = (г°, z\ . . ., z") €
/. Uj Г) Vk —>¦ С* задаются так:
- {0}.
где z°, z1, . . ., zn рассматривается как
система в Р„(С).
Пусть S2ra+1 —единичная сфера в
однородная координатная
Сл+1, определенная как
_z«|a=l,aS1 — мультипликативная группа комплекс-
комплексных чисел модуля 1. Тогда S"n+1 есть главное расслоение над Рп{&)
с группой S1; действительно, это есть подрасслоение для С"+1 — {0}
естественным образом. Если мы обозначим через я проекцию
52л+1—»-Рд(С), то локальная тривиальность ipy-: я (?/,) m U/XS1
задается так:
% (г) = (я (г), г//| г/ |) € Uj X S1 для г = (г°, г1, . . ., г") ^ SSn+1.
5 Зак. 425

130 ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Функции перехода т|эй/: UfuUk—+Sl задаются так:
Иногда бывает необходимо отождествить группу S1 с аддитивной
группой R/Z (вещественные числа по модулю 1); изоморфизм этот
задается как \=-е2п1в ^S1-^ (l/2ni)lnX = B?R/Z. Если мы рас-
рассмотрим S2n+l как главное расслоение над Рп(С) с группой R/Z,
то функции перехода задаются так:
ш ln^/=da(ln г*/г/-1п 12* И zf\ )•
Пример 2.5. Пусть М —комплексное многообразие с откры-
открытым покрытием {(Уу-}, a G — комплексная группа Ли. Если задано
семейство голоморфных отображений tykj: 0/Г\ Uk—+G таких, что
то можно построить главное расслоение Р над М с группой G и
функциями перехода tykJ (см. предложение 5.2 главы I). Из до-
доказательства предложения 5.2 главы I видим, что Р имеет есте-
естественную структуру комплексного многообразия такую, что проек-
проекция п голоморфна и лг1 (?/,-) « UjXG —голоморфный изоморфизм.
Мы сейчас применим эту конструкцию к случаю, когда М =
= Рр (С)хР,(С), a G — комплексный одномерный тор C/D. Пусть
г1 г'иш11 W? — однородные координатные системы для
Рр(С) и РЧ(С) соответственно. Для каждого а, а.= 0, . . ., р (со-
(соотв. к, А.= 0, . . ., ?), пусть ?/а (соотв. Кя) есть открытое подмно-
подмножество из Рр{Г>) (соотв. Pq(C)), определенное как za Ф 0 (соотв.
wK Ф0). Возьмем {UaxV\\ как открытое покрытие для Рр(С)х
хР„(С). Пусть х1 и т2 порождают D. Тогда мы определим голо-
голоморфные отображения г|5рц,ая: (^аХ V\) П (УрХУц) —* C/D так:
. «я
=i (*i1п
mod D.
Тогда
Обозначим через М?;т* расслоение над /^ (С) х Р„ (С) с группой
C/D, построенной при помощи функций перехода {tj^n, ая}- Пока-
Покажем, что комплексное многообразие М?- ^ диффеоморфно произве-
произведению 5v+ix52?+1 {2р+ 1)-сферы S'A'i и Bq + 1)-сферы 52<?+1.
Определим семейство отображений фаЯ: UaxVa—-C/D так:
i1п
In |
mod
и положим
, аЯ
. аЯ — фаЯ-
§2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
131
Функции перехода {г^ аЯ} определяют расслоение, эквивалентное
ЛЧ'Л- Определим семейство отображений/Pa: Ua Л Щ — R/Z так:
и семейство отображений
R/Z так:
Главное расслоение над Рр(С) с группой R/Z, определенное
функциями перехода {/Эа}, есть Bр + 1)-сфера S2p+1 (cm. пример 2.4).
Аналогично главное расслоение над Pq(C) с группой R/Z, опре-
определенное при помощи {?цЯ}, есть B?+1)-сфера S2?+1. Отображе-
Отображение (a, 6)gRxR -*cn1 + bxi^C/D индуцирует групповой изомор-
изоморфизм из (R/Z)x(R/Z) на C/D. Так как
. «я =
тх (In
га - In |
г» |)
т2 (In
In |
\ wx |)},
то главное расслоение над Рр(С)хР9(С) с группой C/D « (R/Z)x
X(R/Z), определенной через \ty'Pllt ак\, изоморфно произведению
52/>+i x52<?+i двух расслоений 52^+1 (Pр (С), R/Z) и S2«+1 (Pq (С), R/Z).
|То, что S^p+^xS1 допускает комплексную структуру, было от-
открыто X. X о п ф о м [5], а М^х° называется многообразием Хопфа.
Калаби и Экман [1] позже открыли комплексную структуру
на 5v+ix52?+1 для всех p,q^O. (М»;т°з есть не что иное, как
C/D.) В работе Хопфа многообразие' М?'т°2 было описано так.
Пусть X — ненулевое комплексное число с |Т|=^1, а Дя — цикли-
циклическая группа линейных преобразований в С^+1, порожденная
преобразованиями
Поскольку Дя есть собственно разрывная группа, действующая
свободно наО+1 — {0}, (О+1 _{0})/Дя есть комплексное многообра-
многообразие естественным образом. Мы покажем, что М?;т°„ = (Ср+1 — {0})/Дя
с A. = e2l«WT'. Для каждого а, а = 0, -..,/?, пусть /га — отображе-
отображение множества i/^= {г = (z°, . . ., г/7) gC^+1 — {0}; г« =#0} в UaxC/D,
определенное так:
(
где л: (С^+1 —{0})—>Р^(С) есть проекция, описанная в примере
2.4, и (l/2ni)i1\nza определяет элемент из C/D. Из способа, ко-
которым М%? было построено из Ua({a}xUaxC/D) (см. предло-
предложение 5.2 главы I), мы видим, что семейство отображений \па\
определяет голоморфное отображение h из О+1 — {0} в Мр-°.
5* З&к. 425

132
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Легко проверить, что h есть накрывающая проекция и индуци-
индуцирует голоморфный диффеоморфизм из (О7 — {0})/Дя на. Мрх-*, где
А е2л?Т/т •
Теперь мы определяем действие группы GL (р-\-1; С) х GL {q-\-1; С)
на Мт^. Пусть А ? GL (р+1; С), а В?GL{q+\; С). Группа
GL (р + 1; С) (соотв. GL (q + 1; С)) действует на Р^, (С) (соотв. Pq (С))
естественным образом по отношению к однородной системе коор-
координат. Пусть (г, до, t) € UaxV},xC/D, где г и до представляются
однородными координатами (г°, . . ., zp) и (w°, . . ., до?) соответст-
соответственно, так что гаф0 и хюхфЬ. Пусть
z = Az с однородными координатами (г'°, ..., z'p),
до' = Bw с однородными координатами (до'°, ..., до).
Допустим, что (г', до') ? L^xF^, т. е. г'^фО и до'^^О. Тогда по-
положим
Г r= t + ~ (xx In г'Р/га + т2 In до'^/доя) mod D.
Прямой проверкой убеждаемся, что точка х' из M%[?, пред-
представленная тройкой (г', до', ?')? UaxVxxC/D, зависит только от
точки х из М?;т*, представленной тройкой (г, до, ?) ? UaxV\xC/D,
и элемента (Л, 5) группы GL (р+ 1; C)xGL (q + 1; С). Легко ви-
видеть, что действие группы GL(p + 1; С) х GL (д + 1; С) на М^, оп-
определенное как ((А, В), х)—*¦ х', голоморфно и транзитивно. Сле-
Следует отметить, что действие это не эффективно, но сохраняет слои
относительно слоения М%?—>-Pp(C)xPq(C). Класс комплексных
многообразий А4Р"т<? (р, q > 0), построенный выше, содержится
в классе С-пространств Вана [4], состоящем из односвязных
компактных однородных комплексных многообразий (см. приме-
примечание 24). (См. также И се [2] о хопфовых многообразиях.)
Пример 2.6. Пусть Sn обозначает единичную сферу в R"+1.
Кирхгоф [1], [2] показал, что если 5" допускает почти ком-
комплексную структуру, то S"+1 допускает абсолютный параллелизм.
С другой стороны, Б о ре ль и Серр [1] доказали, что 5" для
п ф 2,6 не допускает почти комплексных структур. Позже Адаме
[1] доказал, что Sn+1 допускает абсолютный параллелизм только
для /г+1 = 1, 3 и 7. Результаты Адамса и Кирхгофа вместе вле-
влекут результаты Бореля и Серра. Доказательство теорем Адамса
и Бореля—Серра выходят за рамки этой книги. Мы докажем
только элементарный результат Кирхгофа. Пусть / — почти ком-
комплексная структура на 5". Мы фиксируем R"+1 в качестве под-
подпространства в R"+2 и единичный вектор е из R"+2, перпендику-
перпендикулярный к R"+1. Построим поле ст линейных реперов на Sn+1.
Пусть x?Sn+1. Если хфе, то мы напишем однозначное разло-
разложение так:
x = ae + by, a, &6R. Ь > 0, y^S".
§2. ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
133
Пусть Vy есть л-мерное векторное подпространство из R«+2, па-
параллельное касательному пространству Т (S") для Rn+2, а У
линейный эндоморфизм для Vy, соответствующий линейному эндо-
эндоморфизму для Ty(Sn), задаваемому при помоши J. Определяем
линейный репер оу. R"+1—~TX(S"+1) так:
x() y(z) для z?Vy.
(Отметим, что R"+1 порождается при помощи у и Vy и что ох(у)
и ох (z) перпендикулярны к х и поэтому могут рассматриваться
как элементы из Tx(Sn+1).) Мы определяем ае как тождественное
преобразование R"+1 —* Rra+1 = Te (S"+1). Легко видеть, что о —
непрерывное поле.
Так как низлежащее дифференцируемое многообразие для
/\ (С) есть 52, то S2 допускает комплексную структуру. Мы по-
построим почти комплексную структуру на S", используя числа
Кэли. Число Кэли x = (q1,q2) есть упорядоченная пара кватер-
кватернионов. Множество чисел Кэли образует восьмимерную неассо-
неассоциативную алгебру над R со сложением и умножением, опреде-
определенными так:
i q't) = {qx ± qi, q2 ±
l. 4*) = (ЯДх
(?!, q2) ±
где q означает кватернион, сопряженный с q. Определим сопря-
сопряженное к числу Кэли x = (q1,qi) как x = (q1, — q^. Тогда хх =
= (qrfx + qzq-2' 0)» и мы положим \х\2= q1q1^rq2q2. Очевидно,
#|>0, если х-фО. Можно проверить непосредственным подсче-
подсчетом, что | хх' | = | х 11 х' |. Поэтому хх' = 0 влечет х = 0 или х' = 0.
Хотя ассоциативность здесь не имеет места, справедлив так на-
называемый закон альтернативности
х(хх') = (хх)х', {х'х)х = х' (хх).
Число Кэли х — (<7и 9з) вещественно, если qx вещественно, а
q.2 = 0. Оно называется чисто мнимым, если qt — чисто мнимый
кватернион. Пусть ?/, — семимерное вещественное векторное про-
пространство, образованное чисто мнимыми числами Кэли. Мы опре-
определяем скалярное произведение ( , ) и векторное произведение л
в U7 так:
— (х, х') равно вещественной части хх', х, x'?U4,
ххх' равно чисто мнимой части хх', х, х'^U^.
(Это обобщает скалярное произведение и векторное произведение
в R3, которые определяются при рассмотрении R3 как простран-
пространства чисто мнимых кватернионов.) Можно проверить, что если
х, х', х"€?/7, то: (i) xx= — (x, x) = — |x|2; (ii) ххх' = — х' хх;.

134
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
{'ni) {xxx', х") = {х, х' хх"). (Относительно подробностей и ссылок
для чисел Кэли см. Джекобсон [2].) Пусть 5* — единичная
сфера в U7, определенная как 56 = {л:€?/7; |x|=l}. Мы отож-
отождествляем касательное пространство Тх($*) с подпространством
Ух = {#€?/,; (х' У) = Щ в ?/., параллельным к нему. Определим
линейный эндоморфизм Jx для Vx такой, что JxoJx =—1, так:
По (ii) и (iii) y€Vx влечет xxy^Vx, и поэтому Jx есть эндо-
люрфизм в Vx. Отсюда также следует, что Jx(Jx(у)) = хх(хху) =
= х (хху) — (х, хх у) ~ х(хху) = х (ху)—х(х, у) = х{ху) — (хх)у =
= —|л:|2г/ = — у, а это показывает, что JxoJx=—1. Семейство
эндоморфизмов Jx, x?Se, определяет почти комплексную струк-
структуру на S6. Непосредственным подсчетом можно проверить, что
эта почти комплексная структура имеет ненулевое кручение
(см. Фрёлихер [1]). Группа автоморфизмов алгебры чисел
Кэли есть особая простая алгебра Ли группы G2 (см. Джекоб-
Джекобсон [1], [2]), и группа G2 действует транзитивно на единичной
сфере 5е в U7, оставляя почти комплексную структуру, опре-
определенную выше, инвариантной. Неизвестно, допускает ли 5е
какую-либо комплексную структуру. Инвариантные (почти) комп-
комплексные структуры на однородных пространствах будут обсуж-
обсуждаться позже в § 6 главы X.
Пример 2.7. Пусть М — шестимерное ориентируемое много-
многообразие, погруженное в R7. При помощи любой почти комп-
комплексной структуры / на 5е мы индуцируем почти комплексную
структуру на М. (В случае, когда / есть почти комплексная
структура на 56, определенная при помощи чисел Кэли, как
¦в примере 2.6, индуцированная почти комплексная структура
на М совпадает с построенной К а л а б и [5].) Пусть g: М —^ S0—¦
сферическое отображение Гаусса (см. § 2 главы VII). Касательные
пространства ТХ(М) и TgM(S*) параллельны в R7 и могут быть
отождествлены естественным образом. Следовательно, каждая почти
комплексная структура на 56 индуцирует почти комплексную
структуру на 7И* естественным образом.
Пример 2.8. Покажем, что каждая почти комплексная струк-
структура J на двумерном ориентируемом многообразии М имеет
нулевое кручение. Для любого векторного поля X на М имеем
N(X, JX)=2(—[JX, X]~
= 0.
J[X, X] — J[JX, JX])
С другой стороны, в окрестности точки, где Х=^0, каждое век-
векторное поле Y есть линейная комбинация X и JX. Отсюда N = 0,
что доказывает наше утверждение. Мы покажем также, что
каждая риманова метрика на двумерном ориентированном мно-
многообразии М определяет почти комплексную структуру J естест-
§3. СВЯЗНОСТИ В ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
135
венным образом. Действительно, каждая риманова метрика на М
определяет редукцию к 50B) структурной группы GL B; R)
расслоения L(M) линейных реперов. Так как 50B) содержится
в вещественном представлении для GL{\; С), т. е. S0B)c:GL A;
C)czGLB; R), то наше утверждение следует из предложения 2.4.
§ 3. Связности в почти комплексных многообразиях
На каждом почти комплексном многообразии М мы построим
расслоение С (М) комплексных линейных реперов и изучим связ-
связности в С (М) и их кручения.
Пусть М — почти комплексное многообразие размерности 2п
с почти комплексной структурой J, и пусть /„ — каноническая
комплексная структура на векторном пространстве R2", опреде-
определенная в § 1. Тогда комплексный линейный репер в точке х из М
есть несингулярное линейное отображение и: R2"—>-Тх(М) такое,,
что ио/, = /ои. В § 1 мы показали, что J определяет струк-
структуру комплексного векторного пространства в Тх (М) и по пред-
предложению 1.2 и: R2" —»ТХ(М) есть комплексный линейный репер в х
тогда и только тогда, когда это — несингулярное комплексное
линейное отображение из О = R2™ на ТХ(М). Множество комп-
комплексных линейных реперов образует главное расслоение над М
с группой GL(n; С); оно называется расслоением комплексных
линейных реперов и обозначается С (М). Доказательство этот
факта почти совпадает со случаем расслоения линейных реперов
(см. пример 5.2 главы I), кроме разве локальной тривиальности С(М).
Чтобы доказать локальную тривиальность для С(М), допустим,,
что хх, ..., х2" — локальная координатная система в окрестности
точки о из М. Меняя нумерацию, если необходимо, мы можем
считать, что д/дх1, ..., д/дхп образуют базис для ТО(М) как
комплексного векторного пространства и отсюда для ТХ(М) и
всех х в окрестности U точки о. Пусть ег, . .., еп — естественный
базис для R2" = C", рассматриваемого как комплексное векторное
пространство. Каждому комплексному линейному реперу и в х
мы можем сопоставить элемент (а:, а) ? U xGL (п; С), где а=(а)}
определяется так:
и (ек) = 1?= 1 «? (д/дх'), k = 1, .... п.
Легко проверить, что и —¦*¦ (х, а) дает локальную тривиальность
для С(М). Отметим здесь, что хотя мы можем получить откры-
открытое покрытие {Ua.} для М и функции перехода т|5ар: Uaf\Up—*
—<-GL (п; С), как это объяснено в § 5 главы I, эти функции
перехода, вообще говоря, не будут почти комплексны.
Так как расслоение С(М) есть подрасслоение в расслоении
L(M) линейных реперов, то каждая почти комплексная струк-

136
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 3. СВЯЗНОСТИ В ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
137
тура порождает редукцию структурной группы GL Bп; R) для
L(M) к GL(n; С).
Предложение 3.1. Для данного 2п-мерного многообразия М
существует естественное взаимно однозначное соответствие между
почти комплексными структурами и редукциями структурной
группы для L(M') к GLin; С).
Доказательство. Так как ыы уже определили отображе-
отображение из множества почти комплексных структур для М в мно-
множество редукций структурной группы для L (М) к GL(n; С), то
мы должны только построить обратное отображение. Пусть Р —
яодрасслоение в L(M) со структурной группой GL(n; С). Для
каждой точки х из /И выберем линейный репер и?Р в х и за-
затем перенесем каноническую комплексную структуру для R2"
на Тк (М) при помощи линейного преобразования и: R2n —>¦ ТХ{М)
для получения комплексной структуры на векторном простран-
пространстве ТХ(М). Поскольку любой другой репер и' ? Р отличается
от и правым сомножителем из GL (п; С), то комплексная струк-
структура, определенная на ТХ(М), не зависит от выбора и. Q
Из предложения 3.1 и предложения 5.6 главы I мы получаем
Предложение 3.2. Для данного 2п-мерного многообразия М
существует естественное взаимно однозначное соответствие между
почти комплексными структурами для М и сечениями ассоции-
ассоциированного расслоения L(M)/GL(n; С) над М.
Мы знаем, что для данного риманова многообразия М с мет-
метрическим тензором g линейная связность Г для М есть метриче-
метрическая связность, т. е. Г происходит из связности в расслоении О (М)
¦ортонормальных реперов тогда и только тогда, когда g парал-
параллельно относительно Г (см. предложение 2.1 главы IV, так же
как и предложение 1.5 главы III). Доказательство следующего
предложения аналогично доказательству предложения 1.5 главы III
•и оставляется читателю.
Предложение 3.3. Для линейной связности Г на почти
'комплексном многообразии М следующие условия эквивалентны:
(a) Г есть связность в расслоении С (М) комплексных линей-
линейных реперов;
(b) почти комплексная структура J параллельна относи-
относительно Г.
Говорят, что линейная (или аффинная) связность почти ком-
комплексна, если она удовлетворяет любому одному (а отсюда и
обоим) из условий выше. Из общей теории связностен (см. тео-
теорему 2.1 главы II) мы знаем, что каждое почти комплексное
многообразие допускает почти комплексную аффинную связность
(при условии паракомпактности). Сейчас мы докажем существо-
существование связности более специального типа.
Теорема 3.4. Каждое почти комплексное многообразие М
допускает почти комплексную аффинную связнссть такую, что
ее кручение Т задается формулой
N = 87\
где N есть кручение почти комплексной структуры J на М.
Доказательство. Рассмстрим произвольную аффинную
связнссть на /VI без кручения с ковариантным дифференцирова-
дифференцированием V, и пусть Q — тензорное поле типа A, 2), определенное так:
AQ (X, Y) -
X + J {{\YJ) X) + 2У {{\XJ) Y),
где X и Y — векторные поля. Рассмотрим аффинную связность,
ковариантное дифферениирование которой V определяется так:
По предложению 7.5 главы III V действительно есть ксвариант-
нее дифференцирование аффинной связности. Покажем, что это ш
есть желаемая связность.
Чтобы доказать, что связность, задаваемая при помощи V»
почти комплексна, мы сравним ^(/У) с J(XXY). Тогда
f )-Q(X, JY)
J{SXY)-Q{X, JY),
= J{\XY)-J{Q(X, Y)).
Чтобы доказать, что \X{JY) = J (VXY), установим равенств©
Q(X, JY)-J(Q(X, Y)) = (VXJ)Y.
Имеем
4Q (X, JY) = — (XyJ) X + J ((TjyJ) X) + 2У ((XXJ) о JY)r
4У (Q (X, Y)) = J ((VjYJ) X) -{XyJ) X-2{XXJ) Y.
С другой стороны, из 0= XX{J2) = (VXJ) J + J (XXJ) получаем
2/ ((XXJ) oJY) = — 2/ (/ о (VXJ) Y) = 2 (XXJ) Y.
Это устанавливает желаемое равенство, тем самым показывая^
что V коммутирует с /, т. е. J параллельно относительно связ-
связности V.
Кручение Т для V задается так (см. теорему 5.1 главы III):
Г (A', Y)=jxY-VrX-[X, Y]
= VxY-XyX-[X, Y]-Q(X, Y) + Q(Y, X),
Поскольку V без кручения, получаем
Т(Х, Y) = — Q(X, Y) + Q(Y, X).

138
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Из определяющего уравнения для Q имеем
4(Q(Y, X)-Q(X, У))
J
Четыре члена справа могут быть записаны так:
{\JXJ)Y=XJX(JY)-J{\JXY),
J) X) = J (Vy (JX))
Отсюда
4(Q(Y, X)-Q(X, Y)) = (VJ
-J(VJXY-VY(JX))-J(Vx(JY)-VjyX).
Так как V не имеет кручения, то четыре члена справа могут
быть заменены обычными скобками, и мы имеем
4(Q(Y, X)~Q(X, Y)) = [JX, JY]—[X, Y]-J [JX, Y]—J[X, JY]
= ±N(X, Y). ?
Следствие 3.5. Почти комплексное многообразие М допус-
допускает почти комплексную аффинную связность без кручения тогда
и только тогда, когда почти комплексная структура не имеет
кручения.
Доказательство. Предположим, что М допускает почти
комплексную аффинную связность без кручения, и обозначим ее
ковариантное дифференцирование V- Если использовать это V
з доказательстве теоремы 3.4, то из yJ = 0 получаем Q = 0 и
отсюда N = 0. Обратное есть специальный случай теоремы 3.4. ?
Предложение 3.6. Пусть М — почти комплексное много-
многообразие с почти комплексной структурой J. Тогда кручение Т
и кривизна R почти комплексной аффинной связности удовлетво-
удовлетворяют следующим тождествам:
A) T{JX, JY)~J(T(JX, Y)) — J(T(X, JY)) — T(X, Y)
= ±N(X, Y)
для любых векторных полей X и Y, где N есть кручение для J;
B) R(X, Y)oJ = JoR(X, Y)
для любых векторных полей X и Y.
Доказательство. Это — немедленное следствие двух формул
Т(Х, Y) = VxY-VyX-[X, Y],
§ 4. ЭРМИТОВЫ МЕТРИКИ И КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ
139
R(X, Y) =
. у]
в теореме 5.1 главы III и того, что vJ = O. ?
Мы заключим этот параграф простыми замечаниями о струк-
структурных уравнениях почти комплексной аффинной связности.
Пусть С (М) — расслоение комплексных линейных реперов на почти
комплексном многообразии М, 9 — каноническая форма на С(М),
т. е. сужение канонической формы для L(M) на С(М), а ю —
форма связности почти комплексной аффинной связности с формой
кручения в и формой кривизны Q. Беря естественный базис в R27*
и gl Bn; R), запишем уравнения структуры так (см. § 2 главы III):
/=1, .
..,2л,
, .... 2п.
Поскольку связность почти комплексна, ш и Q представляют со-
собой gl(n; С)-значные формы на С(М), где д!(п; С) рассматри-
рассматривается как подалгебра из $1B/г; R), как это объяснено в § 1.
Поэтому, если мы полагаем
Фа = еа + /ел+а, Фа = ва + ien+a, a=i, ...,п,
а, р=1, ..., я, то ф = (фа) и Ф = (Фа) будут С"-значны, а ф =
= (г|5р) и 1F = AF^) будут gl (я, С)-значны, где $1(п; С) теперь
рассматривается как алгебра Ли комплексных яхп-матриц. Струк-
Структурные уравнения на С(М) могут быть написаны так:
о=1, . ... п,
а, Р=1, ¦•-, п.
§ 4. Эрмитовы метрики и кэлеровы метрики
Эрмитова метрика на почти комплексном многообразии М
есть риманова метрика g, инвариантная относительно почти комп-
комплексной структуры J, т. е.
g(JX, JY) = g(X, Y) для любых векторных полей X и Y.
Итак, эрмитова метрика определяет эрмитово скалярное про-
произведение (см. § 1) на каждом касательном пространстве ТХ(МУ
относительно комплексной структуры, определяемой при помощи /..
Почти комплексное многообразие (соотв. комплексное многообра-
многообразие) с эрмитовой метрикой называется почти эрмитовым много-
многообразием (соотв. эрмитовым многообразием).
Предложение 4.1. Каждое почти комплексное многообра-
многообразие допускает эрмитову метрику при условии, что оно пара-
компактно.

140
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§4. ЭРМИТОВЫ МЕТРИКИ И КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ
141
Доказательство. Для данного почти комплексного много-
многообразия М возьмем любую риманову метрику g (которая сущест-
существует при условии, что М паракомпактно; см. пример 5.7 главы I).
Мы получаем эрмитову метрику h, полагая
h(X, Y) = g(X, Y)+g(JX, JY) для любых векторных
полей X и Y. ?
Замечание. По предложению 1.10 каждая эрмитова мет-
метрика g на почти комплексном многообразии М может быть одно-
однозначно продолжена до комплексного симметричного тензорного
поля ковариантной степени два, также обозначаемого через g,
такого, что
A) g(Z, W)=g(Z, W) для любых комплексных векторных
полей Z и W;
B) g (Z, Z) > 0 для любого ненулевого комплексного век-
вектора Z;
C) g(Z, W/) = 0 для любого векторного поля Z типа A,0)
и любого векторного поля W типа @,1).
Обратно, каждое комплексное симметричное тензорное поле g
со свойствами A)—C) есть естественное продолжение эрмитовой
метрики на М.
В § 1 мы ассоциировали с каждым эрмитовым скалярным
произведением на векторном пространстве V кососимметрическую
билинейную форму на V. Применяя ту же конструкцию к эрми-
эрмитовой метрике почти комплексного многообразия М, мы получаем
2-форму на М. Точнее, фундаментальная 2-форма Ф почти эрми-
эрмитова многообразия М с почти комплексной структурой / и мет-
метрикой g определяется так:
Ф(Х, Y} = g(X, JY) для всех векторных полей X и Y.
Так как g инвариантна относительно /, то и Ф инвариантна
относительно J, т. е.
Ф(/Х, JY) = Ф(X, Y) для всех векторных полей X и Y.
Почти комплексная структура /, вообще говоря, не параллельна
относительно римановой связности, определенной эрмитовой мет-
метрикой g. Действительно, имеем следующую формулу.
Предложение 4.2. Пусть М — почти эрмитово многообра-
многообразие с почти комплексной структурой J и метрикой g. Пусть
Ф — фундаментальная 2-форма, N — кручение для J, а V — кова-
риантное дифференцирование римановой связности, определенной
формой g. Тогда для любых векторных полей X, Y и Z на М
имеем
Доказательство. Во-первых,
g((VxJ)Y, Z) = g(Vx(JY), Z)-g{J.{VxY), Z)
= g(Vx(JY), Z)+g(\xY, JZ).
К двум членам справа применяем следующую формулу (см. пред-
предложение 2.3 главы IV):
2g(VxY, Z) = X(g(Y, Z)) + Y(g{X, Z))-Z(g{X, Y))
+ g([X, Y], Z) + g{[Z, X], Y)+g(X, [Z, Y]).
Наше предложение теперь следует непосредственным вычислением
из определения Ф и N и из следующей формулы (см. предложе-
предложение 3.11 главы I):
Y, Z) =
Y], Z)-
Y(<b(Z, X))+Z(O(X, Y))
X], Y)-(
?
JY, JZ) —
, Y, Z)
+ g(N(Y, Z), JX).
Как применение предыдущего имеет место
Теорема 4.3. Для почти эрмитова многообразия М с почти
комплексной структурой J и метрикой g, следующие условия
эквивалентны:
A) риманова связность, определяемая при помощи g, почти
комплексна;
B) почти комплексная структура не имеет кручения, и фун-
фундаментальная 2-форма Ф замкнута.
Доказательство. Допустим A). Так как риманова связ-
связность почти комплексна и без кручения, то / не имеет кручения
по следствию 3.5 (или предложению 3.6). Поскольку g и J па-
параллельны относительно римановой связности, то и Ф параллельна
относительно римановой связности, как легко видно из опреде-
определения Ф. В частности, Ф замкнута (по следствию 8.6 главы III).
Допустим B). По предложению 4.2 мы имеем ^xJ = 0 для
всех векторных полей X.
Следствие 4.4. Для эрмитова многообразия М следующие
условия эквивалентны:
A) риманова связность, определенная эрмитовой метрикой,
почти комплексна;
B) фундаментальная 2-форма Ф замкнута.
Эрмитова метрика на почти комплексном многообразии назы-
называется кэлеровой метрикой, если фундаментальная 2-форма замк-
замкнута. Почти комплексное многообразие (соотв. комплексное мно-
многообразие) с кэлеровой метрикой называется почти кэлеровым
многообразием (соотв. кэлеровым многообразием). Почти эрмитово
многообразие с ^Ф = 0 и jV = O принято называть псевдокэлеровым
многообразием. Ввиду теоремы Ньюлендера — Ниренберга о том,
что почти комплексное многообразие с N = 0 есть комплексное

142
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
многообразие (см. теорему 2.5), псевдокэлерово многообразие необ-
необходимо есть кэлерово многообразие.
Так как эрмитова метрика g невырожденна (более сильно —
положительно определена) и / несингулярно в каждой точке,
то отсюда следует, что фундаментальная 2-форма Ф невырож-
невырожденна в каждой точке, т. е. Ф" = ФЛ---ЛФ (п раз, где 2я =
= dim M) ненулевая в каждой точке. Вообще говоря, 2п-мерное
многообразие с 2-формой (соотв. замкнутой 2-формой) Ф, которая
невырожденна в каждой точке из М, называется почти симп-
лектическим дли почти гамильтоновым многообразием (соотв.
симплектическим или гамильтоновым многообразием).
Предложение 4.5. Кривизна R и тензор Риччи S кэлерова
многообразия обладают следующими свойствами:
A) R(X, Y)oJ = J oR(X, Y) и R(JX, JY) = R(X, Y) для
всех векторных полей X и Y;
B) S(JX, JY) = S(X, Y) и
S(X, Y) = ±\traceJoR(X, JY)}
для всех векторных полей X и Y.
Доказательство. A) Для кэлерова многообразия рима-
нова связность почти комплексна по следствию 4.4. Первая фор-
формула следует поэтому из предложения 3.6. Чтобы доказать вто-
вторую формулу, мы вспомним следующую формулу (см. предложе-
предложение 2.1 главы V):
g(R(X, Y)V, U) = g(R(U, V)Y, X)
для всех векторных полей U, V, X, Y).
Отсюда
g(R(JX, JY)V, U) = g(R(U,V)JY, JX)=g(J(R(U, V)Y), JX)
= g(R(U, V)Y, X) = g(R(Xt Y)V, U),
где второе равенство есть следствие первой формулы, а третье
равенство следует из того, что g эрмитова. Мы можем теперь
заключить, что R(JX, JY) = R(X, Y).
B) Вспомним (см. § 5 главы VI), что тензор Риччи 5 рима-
нова многообразия был определен так:
S(X, Y) = trace {V -* R (V, X)Y\.
Первая формула может быть доказана следующим образом:
S(JX, /Г) = trace {F — R(V, JX)JY\
= trace\jV-+R(JV, JX) JY\
= trace j/V-^#(F, X) JY\
= trace {/V-+/(#(V, X)Y)\
= trace {V —- R (V, X) Y\
= S(X, Y),
§4. ЭРМИТОВЫ МЕТРИКИ И КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ
143
где третье и четвертое равенства следуют из второй и первой
формул в A) соответственно. Теперь докажем вторую формулу.
Используя первую формулу в A) и первое тождество Бианки
(см. теорему 5.3 главы III), получаем
S(X, Y) = trace {V — R (V, X)Y\
= trace {V-> — J (R(V, X) JY)\
= trace {V-+ (J(R(X, JY)V) +J (R (JY, V)X))\.
С другой стороны, используя вторую формулу в A), имеем
trace {V -+ J (R (JY, V) X)\ = trace {/V-+ J (R (JY, JV) X)\
= trace {JV — / (R (Y, V) X)\
= trace \V-+R(Y, V)X\
= trace {V-+ — R(V, Y) X\
= — S(Y, X) = — S(X, Y).
Отсюда
S(X, Y) = trace{V-+J(R(X, JY)V)\-S(X, Y),
что устанавливает вторую формулу. ?
Следующая теорема первоначально была доказана И в а м о-
то [3].
Теорема 4.6. Для кэлерова многообразия М комплексной
размерности п суженная линейная группа голономии содержится
в SU (п) тогда и только тогда, когда тензор Риччи всюду есть
нуль.
Доказательство. Следующая лемма немедленно следует
из теоремы 8.1 главы II.
Лемма I. Рассмотрим связность в главном расслоении Р
над многообразием М с группой G. Пусть д — алгебра Ли для G,
а I) — идеал в %. Тогда алгебра Ли группы голономии содержится
в % тогда и только тогда, когда форма кривизны принимает
значения в Ц на Р.
Так как группы голономии относительно различных опорных
точек все сопряжены друг другу в G, то условие, что алгебра
Ли группы голономии содержится в идеале Ц, не зависит от вы-
выбора опорной точки.
Применим лемму 1 к расслоению С (М) комплексных линейных
реперов почти комплексного многообразия М вещественной раз-
размерности 2п, где G есть вещественное представление для GL(n; С),
а | есть алгебра Ли для SL(n; С). Так как алгебра Ли для
SL(n; С) состоит из комплексных дхп-матриц со следом нуль,
то при вещественном представлении она состоит из вещественных
2пх 2/г-матриц А, удовлетворяющих следующим двум условиям
(см. § I):
trace Л = 0 и trace /аЛ=0,

144
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
где Jo есть матричное представление канонической комплексной
структуры для R2". Из леммы 1 теперь получается'
Лемма 2. Для почти комплексной линейной связности с тен-
тензором кривизны R на 2п-мерном почти комплексном многосбрс-
зии М суженная линейная группа голономии содержится в (ве-
(вещественном представлении для) SL (п; С) тогда и только тогда,
когда
trace R(X, F) =
trace / о R (X, Y) = 0
для всех векторных полей X и Y, где J обозначает почти комп-
комплексную структуру.
Мы применим лемму 2 к кэлерову многообразию М комплекс-
комплексной размерности п. Его группа голономии, которая есть подгруппа
в О Bп) П GL (п; С) = U (п), содержится в О Bп) nSL(n;C) = SU (п)
тогда и только тогда, когда тензор кривизны R удовлетворяет
двум условиям леммы 2. Однако первое условие автоматически
удовлетворяется для каждого риманова многообразия, ибо
R (X, Y) дает кососимметрическое линейное преобразование в каж-
каждой точке относительно метрического тензора (см. предложение 2.1
главы V). С другой стороны, по B) предложения 4.5 второе
условие удовлетворяется тогда и только тогда, когда тензорное
поле Риччи есть нуль. П
Для почти эрмитова многообразия и, в частности, для кэлерова
многообразия М естественное расслоение, которое следует рас-
рассматривать, есть пересечение двух расслоений С (М) и 0(М).
Унитарный репер почти эрмитова многообразия М есть комплекс-
комплексный линейный репер, который в то же время ортонормален
относительно эрмитовой метрики. Множество унитарных реперов
для М образует главное расслоение над М с группой U (п) (точ-
(точнее, с вещественным представлением для U (п)), где 2п есть
вещественная размерность для М. Это расслоение, обозначаемое
U (М), называется расслоением унитарных реперов над М. Дока-
Доказательство следующего предложения сходно с доказательством
предложений 3.1 и 3.2 и потому оставляется читателю.
Предложение 4.7. Для данного почти комплексного много-
многообразия М размерности 2я существует естественное взаимно
однозначное соответствие между любыми двумя из следующих
трех множеств: эрмитовых метрик на М, редукций структурной
группы для С (М) к U (п) и сечений ассоциированного расслоения
C(M)/U(n) над М.
Так как U (М) = 0(М) Г\С(М), то каждая связность в U (М)
будет метрической (см. § 2 главы IV) и почти комплексной (см. § 3),
и обратно. Другими словами, аффинная связность на почти
эрмитовом многообразии М есть связность в расслоении U (М)
тогда и только тогда, когда почти комплексная структура и мет-
§4. ЭРМИТОВЫ МЕТРИКИ И КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ
14 &
рика параллельны относительно нее. Теперь теорема 4.3 может
быть переформулирована так.
Теорема 4.8. Почти эрмитово многообразие М есть кэле-
рсво многообразие тогда и только тогда, когда расслоение U (М)
унитарных реперов допускает связность без кручения (которая
необходимо единственна).
Доказательство. Если М — кэлерово многообразие, то
рнманова связность есть связность в U (М) по теореме 4.3. Так
как связность без кручения в U (М) есть также связность без
кручтения в 0(М), то это есть риманова связность, определенная
эрмитовой метрикой. Так как это также и связность в С(М), то
она почти комплексна по предложению 3.3. Теперь по теореме 4.3
существование связности без кручения в U (М) влечет, что почти
комплексная структура имеет нулевое кручение (и поэтому яв-
является комплексной структурой по теореме 2.5) и что фундамен-
фундаментальная 2-форма замкнута. ?
Используя расслоение U (М), мы изучим структурные урав-
уравнения и форму кривизны кэлерова многообразия М. Пусть
0 = F1, ..., б2") —каноническая форма на U(M), и пусть со =
= (ti))),-,/=i, ..., an — форма связности на U (М), которая определяет
риманову связность для М. Мы обозначаем через Q = (Qj) форму
кривизны и пишем
pi nk ,Dl
2л.
Как и в § 3, полагаем
p a= 1, . . ., я,
г^ = со« + ко*+з> W« = Q« + iQ«+3, a, р=1, .... п.
Так как со—-(со)) принимает значения в вещественном представле-
представлении для it (n), имеем
Аналогичным соотношениям удовлетворяют й). Поэтому имеем
Ф? = -Ф& и у* = -Щ, а, C=1, ..., п.
Мы найдем связь между формой кривизны (Wq) и тензором
Риччи. Тем же способом, каким мы ассоциировали фундаменталь-
фундаментальную 2-форму с каждой кэлеровой метрикой, мы ассоциируем
2-форму р, называемую формой Риччи, с тензором Риччи 5 кэлерова
многообразия М так:
р(Х, Y) = S(X, JY) для всех векторных полей X и У.
То, что р кососимметрична и потому является 2-формой, следует
из первой формулы в B) предложения 4.5.

146
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§5. КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
147
Предложение 4.9. Для кэлерова многообразия М форма
Риччи р замкнута и связана с формой кривизны (Ур) так:
где л есть проекция из U (М) на М.
Доказательство. По второй формуле в B) предложе-
предложения 4.5 р(Х, Y) равна —у (trace / о R (X, Y)). Мы вспоминаем,
что R и Q связаны так (см. § 5 главы III):
R(X, Y) = uoBQ(X*, Г4)) о г1 для X, Y?TX(M),
где и? U (М) есть унитарный репер в х?М, а X* и У* — лифты
соответственно для X и Y до U (М). Обозначим через /0 кано-
каноническую комплексную структуру в R2" (см. § 1). Так как репер
и: R2" —>- Тх (М) сохраняет комплексную структуру, мы получаем
J о R (X, Y) = и о /а о BQ (X*, Y*)) о и-К
Так как след левой части равен следу для
J0oBQ(X*, Y*)),
мы получаем
р(Х, Y)=-±(traceJoR(X, У)) = 2^а=^%+а{Х*, Y*).
С другой стороны, так как (Qi) кососимметрична и, в частности,
Q'i =0 для j = l, ..., 2п, имеем
а=1
Отсюда
что и доказывает второе утверждение. Чтобы доказать, что р
замкнута, рассмотрим структурное уравнение
Положим а = р и просуммируем по а. Тогда
а это показывает, что правая часть также замкнута. Из второго
утверждения нашего предложения, только что установленного,
следует, что р тоже замкнута. П
Замечание. Так как SU(n) — замкнутая нормальная под-
подгруппа в U (п), то мы можем рассмотреть главное расслоение
U(M)/SU(п) над М с группой U(n)/SU (п). Связность в расслое-
расслоении U (M)/SU (п), индуцированная гомоморфизмом U(М)
—»- U (M)/SU (п) из связности в U (М), задается 1-формой ^
(см. предложение 6.1 главы II). Тогда уравнение Bi^2)
= 2a->i ^2 есть ее структурное уравнение и 2«=i^% есть ее форма
кривизны. Эта форма кривизны есть нуль тогда и только тогда,
когда тензор Риччи кэлерова многообразия М есть нуль. Другими
словами, суженная группа голономии индуцированной связности
в U (M)/SU (n) тривиальна тогда и только тогда, когда тензор
Риччи для М тождественно равен нулю. Нетрудно видеть, что
этот факт влечет теорему 4.6.
§ 5. Кэлеровы метрики в локальных координатах
Здесь мы выразим различные тензорные поля, введенные в § 4,
в терминах комплексных локальных координатных систем. Повсюду
в этом параграфе М будет n-мерным комплексным многообразием,
а г1, . . . , г" — комплексной локальной координатной системой
в М. Если не указано иначе, то греческие индексы а, р, у, . . .
изменяются от 1 до я, в то время как латинские заглавные буквы
А, В, С, ... пробегают множество 1, . . ., п, 1, . . ., я. Полагаем
A)
Za=d/dza, Zu = Za =
Если задана эрмитова метрика g на М, то мы продолжим
эрмитово скалярное произведение в каждом касательном прост-
пространстве ТХ(М), определенное при помощи g, до единственной
комплексной симметричной билинейной формы в комплексном
касательном пространстве Т^{М) (см. предложение 1,10) и по-
положим
B)
Тогда по предложению 1.10
, ZB).
н (Яа"й) есть эрмитова пхя-матрица. Вошло в обычай писать
D) ds* = 2 2«.&gaedi
для метрики g. По предложению 1.12 фундаментальная 2-форма
задается так:
E) O^-2i^a^gaEdzaAd^.
Необходимое и достаточное условие того, что g — кэлерова мет-
метрика, записывается так:
F) dg,

146
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§5. КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
147
Предложение 4.9. Для кэлерова многообразия М форма
Риччи р замкнута и связана с формой кривизны (?) а
так:
где л есть проекция из U (М) на М.
Доказательство. По второй формуле в B) предложе-
предложения 4.5 р(Х, Y) равна —у (trace / о R (X, У)). Мы вспоминаем,
что R и Q связаны так (см. § 5 главы III):
R(X, Y) = uoBu(X*, Г*))оа-1 для X, Y?TX(M),
где u?U(M) есть унитарный репер в х?М, а X* и У* —лифты
соответственно для X и Y до U(M). Обозначим через /„ кано-
каноническую комплексную структуру в R2" (см. § 1). Так как репер
и: R2n —<- Тх (М) сохраняет комплексную структуру, мы получаем
J о R (X, Y) = и о Jo о BQ (X*, Y*)) о и-1.
Так как след левой части равен следу для
J0oBQ(X*, Y*)),
мы получаем
р (X, Y) = —i (trace JoR(X, Y)) = 2 V " Й«+а (X*, Г*).
С другой стороны, так как (Qi) кососимметрична и, в частности,
Q}=0 для / = 1, ..., 2п, имеем
Отсюда
p(X, Г) = -
что и доказывает второе утверждение. Чтобы доказать, что р
замкнута, рассмотрим структурное уравнение
a, p=
п.
Положим а = р и просуммируем по а. Тогда
а это показывает, что правая часть также замкнута. Из второго
утверждения нашего предложения, только что установленного,
следует, что р тоже замкнута. П
Замечание. Так как SU(n) — замкнутая нормальная под-
подгруппа в U (п), то мы можем рассмотреть главное расслоение
U(M)/SU(п) над М с группой U(n)/SU (n). Связность в расслое-
расслоении U (M)lSU(n), индуцированная гомоморфизмом U(M)—*-
—>¦ U (M)/SU (п) из связности в U (М), задается 1-формой 2a=-i^a
(см. предложение 6.1 главы II). Тогда уравнение ^
= 2cUi ^2 есть ее структурное уравнение и 2a=-i^% есть ее форма
кривизны. Эта форма кривизны есть нуль тогда и только тогда,
когда тензор Риччи кэлерова многообразия М есть нуль. Другими
словами, суженная группа голономии индуцированной связности
в U (M)/SU (n) тривиальна тогда и только тогда, когда тензор
Риччи для М тождественно равен нулю. Нетрудно видеть, что
этот факт влечет теорему 4.6.
§ 5. Кэлеровы метрики в локальных координатах
Здесь мы выразим различные тензорные поля, введенные в § 4,
в терминах комплексных локальных координатных систем. Повсюду
в этом параграфе М будет n-мерным комплексным многообразием,
а z1, . . . , z" — комплексной локальной координатной системой
в М. Если не указано иначе, то греческие индексы а, р, у, . . .
изменяются от 1 до п, в то время как латинские заглавные буквы
А, В, С, . . . пробегают множество 1, . . ., п, 1, . .., я. Полагаем
A)
Za=d/dza, Z« = Za =
Если задана эрмитова метрика g на М, то мы продолжим
эрмитово скалярное произведение в каждом касательном прост-
пространстве ТХ(М), определенное при помощи g, до единственной
комплексной симметричной билинейной формы в комплексном
касательном пространстве Т%(М) (см. предложение 1,10) и по-
положим
B)
Тогда по предложению 1.10
, ZB).
н (Яа"й) есть эрмитова пх«-матрица. Вошло в обычай писать
D) ds* = 2 2*,egaid
для метрики g. По предложению 1.12 фундаментальная 2-форма
задается так:
E) Ф=-212а,*ёаёа-галск*.
Необходимое и достаточное условие того, что g — кэлерова мет-
метрика, записывается так:
F) dgt

148
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Для любой заданной аффинной связности с ковариантным
дифференцированием V на М полагаем
G) У zRZc = '2iAT?cZA:
Отметим, что ковариантное дифференцирование, которое перво-
первоначально было определено для вещественных векторных полей,
продолжается по комплексной линейности до действия на комп-
комплексные векторные поля.
Тогда
(8) та т~«-
1 ВС = L ВС
при условии, что а = а. Из того, что JZa = iZa и /Zj = —iZ^,,
следует, что связность почти комплексна тогда и только тогда,
когда
После прямого подсчета мы видим, что почти комплексная связ-
связность не имеет кручения тогда и только тогда, когда
A0)
pa pa
3? — 70'
-р2_ p5L
1 3V 70
остальные
= 0.
В частности, (8) — A1) выполняются для любого кэлерова
многообразия. Для кэлерова многообразия Т§с определяются
метрикой так:
A2)
Доказательство A2) аналогично доказательству следствия 2.4
главы IV или может быть из него получено.
Как и в § 7 главы III, мы полагаем
A3) R(ZC, Zd)Zb=%aK?CdZa.
Мы также определяем
A4)
так что
A5)
, Zd)Zb, Za),
Kabcd — Zje Sae^bcd ,
как и в § 2 главы V. Из того, что связность почти комплексна,
и потому i? (Zc, ZD) перестановочно с J, следует
A6)
К- = Ка — 0
§5. КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
149
Из C), A5) и A6)Гполучаем
A7) /
Из предложения 2.1 главы V мы получаем KABCd = —
K K Это вместе с A6) и A7) влечет
A8)
тгА г\
v« = Ав-5 — U
A9) /Слб?6 =
Следовательно, отличны от нуля, быть может, лишь компоненты
вида
ту- ту-
В формуле /?(Х, F)Z = [VX, \y]Z — VlX, Y]Z мы полагаем X = Zy,
Y=ZE и Z = Z Используя G), (9) —A1), получаем
*. и/ Р?й
Из C), A2), A5), B0) получаем
dg ~ dg-
где {g°^) — обратная матрица к (gaa), так что ^pg^g^ = 6".
Так как компоненты Д'лд тензора Риччи задаются как КАВ =
= 2сКасв, из A6), A8) и B0) получаем
Если мы обозначим через G определитель матрицы (ga^) и при-
применим правило дифференцирования определителя и определение
обратной матрицы (g°^) при помощи миноров для (g^) и G, то
получим
. V
<Эга
Применяя A2), получаем
B3) 2
Это вместе с B2) дает
B4) К
д In G
d2lnG

150 ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Замечание. Для риманова многообразия с метрикой
j 6. ПРИМЕРЫ КЭЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
151
B3) все еще справедливо, если мы положим G =(det (gu)Y 2. Но
выражение для тензора Риччи гораздо сложнее, чем B4); см.,
например, Эйзенхарт [1], с. 21.
Тем же способом, каким мы получили выражение в локаль-
локальных координатах E) для Ф, получаем следующее выражение для
формы Риччи:
B5) р = ~2i 2а, р KaJ dza A
В силу B4) р может быть переписано так:
B6) р
Пусть F — вещественнозначная функция в координатной окрест-
окрестности комплексного многообразия М и положим
B7> ъ-?&-
Так как F вещественна, то (gaj) всегда эрмитова. Если сна по-
положительно определенная, то 2 2а, р?ар ^г"^ есть кэлерова
метрика по F). Известно, что каждая кэлерова метрика может
быть локально записана как ds2 = 2 2а, р ga$ dza dz^ с (ga-a), за-
заданной соотношением B7). Хотя этот факт редко используется,
кэлеровы метрики обычно строятся с помощью B7) по некоторой
функции F (см. пример, в следующем параграфе).
Если (?ар) задается соотношением B7), то, подставляя B7)
в B1), получаем
B8) Ка 6 - а -if _ V g^ д3р d3f
dzx
d~z6
В этом параграфе мы близко следовали изложению главы VIII
из книги Яно и Б ох нера [1]. Следует, однако, отметить, что
их тензор кривизны отличается от нашего знаком.
§ 6. Примеры кэлеровых многообразий
Пример 6.1. Комплексное n-пространство С" с метрикой
ds* =2"a=1dza d~za
(где г1, ..., г" —естественная координатная система) есть полное
кэлерово многообразие. В соответствии с E) из § 5 фундаменталь-
фундаментальная 2-форма Ф задается так:
Ф = — »Sx-i dzaAdza.
Пример 6.2. Пусть Cn/D—комплексный тор, как это опре-
определено в примере 2.2. Так как D— дискретная группа сдвигов,
то кэлерова метрика в С", определенная в примере 6.1, индуци-
индуцирует кэлерову метрику на C"/D. Комплексные торы —единствен-
—единственные компактные комплексные параллелизуемые многообразия,
которые допускают кэлеровы метрики (Ван [5]).
Пример 6.3. Пусть Рп(С) есть n-мерное комплексное проек-
проективное пространство с однородной координатной системой z°, z1, ...
..., zn (см. пример 2.4). Для каждого индекса / пусть Uy —
открытое подмножество в Рп(С), определенное условием г->'Ф0.
Мы полагаем
tf = zk/z\ j, k = 0, ..., п.
На каждом U} берем if, ...,?}, • • •, if (где Ц указывает, что
Ц опущено) как локальную координатную систему и рассматри-
рассматриваем функцию fj = Ук~о*; t) • Тогда
!, = №$ на UjuUh.
Так как tf — голоморфная функция на ?/,• и, в частности, на
Uf П Uk, то отсюда следует, что
дд In fj = дд In fk на Uf П Uk.
Полагая Ф = — 4idd\nf{ на UJf получаем глобально определен-
определенную замкнутую A,1)-форму Ф на Рп(С). Полагаем
g(X, Y) = O(JX, Y) для всех векторных полей X и Y.
Чтобы усмотреть, что симметричная форма g положительно оп-
определенная (и, следовательно, есть кэлерова метрика с фундамен-
фундаментальной формой Ф), мы проверяем этот факт на каждом U} не-
непосредственным вычислением. Например, на Uo имеем
ds2 = 4-
где мы полагаем t$ = ta, a=l, ...,«, ради простоты. Только
что построенная на Р„(С) кэлерова метрика иногда называется
метрикой Фубини—Штуди (см. Фубини [1] и Штуди [1]). Мы
можем посмотреть на предшествующую конструкцию чуть иначе.
Пусть я: С"+1 — {0\-^Рп (С) — проекция, определенная в при-
примере 2.4. Используя естественную комплексную координатную
р
систему г°, г1
в Сл
мы полагаем
ф = _
In (г°2° + z1? + .. . + znz").
Форма Ф проектируется на Ф, т. е. я*(Ф) = Ф: Так как действие
[/(л-|_1) на С+1 сохраняет функцию z°z° + z1z1 + • • • +z"zn, так

152
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§6. ПРИМЕРЫ КЭЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
153
же как и комплексную структуру, тс оно сохраняет Ф. Следо-
Следовательно, индуцированное действие U(n-\-l) на Рп(С) (см. при-
пример 2.4) сохраняет Ф, так же как и комплексную структуру и,
следовательно, метрику.
Пример 6.4. nycTbGPi ,, (С) — комплексное грассманово много-
многообразие ^-плоскостей в Ср+" (см. пример 2.4). Пусть М* (р -4- а, р\ С)—
пространство комплексных р х (р + <7)-матриц (т.е. с р столбцами
и р-\-д строками) ранга р; такая матрица может рассматриваться
как множество из р линейно независимых векторов в Ср+ч. Каж-
Каждое множество из р линейно независимых векторов в О1"" опре-
определяет р-шюскость в О + <?. Так мы получаем естественную про-
проекцию М*(р + д, р; С)—-Gp> „(С). Тогда М* (p + q, p; С) —глав-
—главное расслоение над Gp> „(С) с группой GL(p; С); группа GL (р; С)
действует на M*(p + q, р; С) справа посредством матричного
умножения. Представляя координатную систему в M*(p-\-q, p\ С)
комплексной р X (р + ^)-матрицей Z, определим замкнутую A, 1)-
форму Ф на М*(р-\-д, p; С) так:
ф = _ 4idd In det i?ZZ).
Легко проверить, что Ф проектируется на замкнутую A, 1)-форму,
скажем Ф, базисного пространства Gp, д (С), т.е. л*(Ф) = Ф. Мы
полагаем
g(X, У) = Ф (JX, Y) для всех векторных полей X и Y.
Поскольку действие U {p+q) на М* (р-{-д, р; С) слева сохраняет
функцию fZZ, так же как и комплексную структуру, оно сохраняет
и Ф. Следовательно, индуцированное действие для U (p-\-q) на
Gp q (С) сохраняет Ф, так же как и комплексную структуру, а отсю-
отсюда и g. Итак, g инвариантна при действии группы U (р + д), которое
транзитивно на Gp< ?(C). Чтобы показать, что g — кэлерова метрика
с фундаментальной формой Ф, мы выразим g в терминах локаль-
локальных систем координат в G(С) За
фр
ных систем координат в G
p q
(С). Записав
где Zo есть рхр-матрица, a Zx — pх^-матрица, рассмотрим, на-
например, открытое подмножество в GPi q (С), определяемое условием
det Zo =^0. Тогда ZmZj^Zj дает взаимно однозначное отображение
из U на пространство М (д, р; С) всех рх^-матриц. Полагая.
71 = Z1Z0~1, мы можем использовать Т как локальную координат-
координатную систему в U. Так как tZZ = iZ0 (I-{-*ТТ)Za, где / обозна-
обозначает единичную рхр-матрицу, мы получаем
d~d In det {fZZ) = дд In det (/ 4- *f 7)
и отсюда
ф = _ 4idd In det (/ + *TT).
Прямой подсчет показывает, что форма g совпадает при 7 = 0 с
4trace(dtTdT),
что влечет, что g положительно определенная при 7* = 0. Так
как g инвариантна относительно U(p-\-q), действующей транзи-
транзитивно на GPi q (С), то g положительно определена всюду. Формы
Ф и Ф и метрика g обобщают те, которые даны в примере 6.3.
Пример 6.5. Пусть Dp q — пространство комплексных pxq-
матриц Z, удовлетворяющих условию 1„ — 1ZZ > 0, где Iv есть
единичная рхр-матрица, а символ >0 означает положительную
определенность. Тогда DPi q—ограниченная область в О"?. Пусть
U (q, p) — группа (q + p) х(<7 + р)-матриц
А В
С D
(А — ^х^-матрица; D — рхр-матрица)
таких, что
0 —/
\А В
С D
lo -
pn
Если мы положим
то
Ip — *WW =f (CZ~+
что показывает, что W лежит в Dpq, если Z лежит в Dpq.
Показать, что группа U (д, р) действует транзитивно на Dp> q,
является простым упражнением. Мы полагаем
Ф = Шд In det (Jp—
Из предыдущего уравнения следует, что Ф инвариантна относи-
относительно действия группы U (p, q). Тем же способом, что и в при-
примере 6.4, мы видим, что Ф приводит к кэлеровой метрике g, ко-
которая при Z = 0 совпадает с 4 trace (cPZ dZ). В частности, D1? „
есть внутренность единичного шара в С" и метрика g может быть
представлена в терминах координатной системы г1, ..., г" в С"
так:
\l—^ja2 z }
Пр и мер 6.6. Мы дадим краткий набросок того, как построе-
построение метрики в примере 6.5 может быть обобщено на случай про-
произвольной ограниченной области в С. Пусть М будет п-мерным
комплексным многообразием и Н — пространством голоморфных

154 гл. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
«-форм ф (т. е. форм степени (п, 0) таких, что дф = 0) таких, что
Если мы определим скалярное произведение в Н так:
(Ф, ч|))=^лгфЛ^, ф,
то Н—сепарабельное гильбертово пространство. Беря любой ор-
тонормальный базис ф0, фх, ... в Н, положим
Тогда К — форма степени (я, п) и она не зависит от выбора ор-
тонормального базиса. Беря комплексную локальную координат-
координатную систему z1, . . ., z" в М, получаем
АГ= intkdzx/\ ... AdznA.dz1A • • • Adzn,
где k — неотрицательная функция, определенная в координатной
окрестности. Считая, что К?=0, так что ?>0 всюду, положим
= 2 2 gaj dza
ap = д2 In k/dza dz*.
Тогда ds2, вообще говоря, положительно полуопределенная. Для
любой ограниченной области в С" КфО всюду и ds2 будет поло-
положительно определено. Так как каждое голоморфное преобразова-
преобразование для М индуцирует линейное преобразование для Н', сохра-
сохраняющее скалярное произведение (т. е. унитарное преобразование
для И), то оно сохраняет К и ds2. Кэлерова метрика ограничен-
ограниченной области в С", построенная этим путем, называется метрикой
Бергмана для М. Пусть in2G dzxA ¦ ¦ • Adz" Adz1 A . .. Adz" —эле-
—элемент объема в М относительно кэлеровой метрики, построенной
выше (где G = &et(g-); см. приложение 6). Так как К и элемент
объема — формы степени (п, п), которые инвариантны относительно
группы голоморфных (а потому изометрических) преобразований,
они совпадают с точностью до постоянного множителя, если М
однородно, т. е. группа голоморфных преобразований транзитивна
на М. Из B4) § 5 следует, что Ка-& = — gaj, т.е. 5 = — g (где 5
обозначает тензор Риччи, а g — метрический тензор), если М од-
однородно. Для области Dp> q в примере 6.5 функция k (относи-
(относительно естественной координатной системы) задается так:
где
с =
21
21
—1I
(р—1)! 11 2! ... (q—\)\TiPi "
По поводу деталей конструкции метрики Бергмана мы отсы-
отсылаем читателя к работам: Бергман [1], Хелгасон [2], с.
§6. ПРИМЕРЫ КЭЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
155
293—300, Кобаяси [14] и В ей ль [2], с. 55—65. Относительно
\ области DPr q см., например, Хуа [1], с. 83.
I Пример 6.7. Пусть М — комплексное аналитическое подмно-
| гообразие кэлерова многообразия W, т. е. погружение М —<- М'
¦' голоморфно. Тогда риманова метрика, индуцированная на М,
\: эрмитова. Легко видеть, что фундаментальная 2-форма, ассоции-
ассоциированная с этой эрмитовой метрикой, есть сужение фундаменталь-
фундаментальной 2-формы для М' и отсюда замкнута. Это показывает, что
; каждое комплексное аналитическое подмногообразие М кэлерова
; многообразия будет кэлеровым многообразием с индуцированной
метрикой. В частности, каждое замкнутое комплексное аналити-
аналитическое подмногообразие комплексного проективного прогтранства
'. Pn(G) будет кэлеровым многообразием. Имеется замечательная
теорема Чоу о том, что такое многообразие всегда алгебраическое,
т. е. задается нулями однородных полиномов в однородной си-
сиN []
стеме координат 2°, 2х
р
рд , zN для PN(C). (Чоу [1], а также
письмо без подписи в Amer. J. Math., 1956, 78, с. 898 по поводу
более простого доказательства в несингулярном случае.)
Пример 6.8. Пусть М есть одномерное комплексное много-
многообразие. Тогда каждая эрмитова метрика будет кэлеровой, так как
каждая 2-форма и, в частности, фундаментальная 2-форма на
многообразии вещественной размерности два замкнута. Из теоремы
2.5 и примера 2.8 мы видим, что каждая риманова метрика на
ориентированном двумерном многообразии будет кэлеровой отио-
сительно естественно индуцированной комплексной структуры.
Пример 6.9. Сейчас мы дадим примеры комплексных мно-
многообразий, которые не допускают какой-либо кэлеровой метрики.
Для этой цели покажем сначала, что четномерные числа Бетти
для компактного кэлерова многообразия М все положительны.
Если Ф есть фундаментальная 2-форма, то ФЙ = ФД • • • ДФ (k раз)
есть замкнутая 2&-форма и определяет элемент 2?-й группы ко-
гомологий H2k(M; R) в теории де Рама. Так как Фп, п = dim M,
совпадает с элементом объема с точностью до ненулевого постоян-
постоянного множителя, интеграл от нее по М отличен от нуля, и по-
потому она дает ненулевой элемент в Н2п(М; R). Отсюда следует,
что каждая Фк, 1^-k^n, определяет ненулевой элемент из
Л2к(М; R), что и доказывает наше утверждение. Комплексное
многообразие М?-^, определенное в примере 2.5, диффеоморфно
S2^+1x52l?+1 и не может нести на себе какую-либо кэлерову
метрику, кроме случая p = q = O.
Пример 6.10. Пусть М — произвольное многообразие раз-
размерности п, а Т* (М) — расслоение ковекторов для М. Мы опре-
определяем 1-форму со на Т* (М) так. Если X есть касательный век-
вектор к Т*(М) в l?T*(M), то мы полагаем со(Х) = <?, я(Х)>, где
я: Т* (М)—<-М —проекция. Покажем, что замкнутая 2-форма dco

156
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
определяет симплектическую структуру на Т*(М) (см. §4). Если
х1, ..., л;" —локальная координатная система в М, то введем
локальную координатную систему х1, ..., х", р1, . . ., рп в Т*(М),
полагая
Z = p1(Z)dx1+... + pn{l)dx" для Ъ?Т*(М).
Немедленно следует, что
оз = р1 dx1 + .. . -j- p"dxn
в терминах этой локальной координатной системы. Отсюда
da> = dp1 Adx1 + . . . + dpn/\dxn и (dco)" Ф О,
что доказывает наше утверждение.
§ 7. Голоморфная секционная кривизна
Мы начнем с изучения алгебраических свойств тензора рима-
новой кривизны в кэлеровом многообразии.
Пусть V есть 2и-мерное вещественное векторное пространство
с комплексной структурой /, как и в § 1. Рассмотрим квадри-
линейное отображение
R: VxVxVxV—.R,
удовлетворяющее следующим четырем условиям:
(a) R(X, Y, Z, W) = ~R(Y, X, Z, W) = — R{X, Y, W,Z),
(b) R(X, Y, Z, W) = R(Z, W, X, Y),
(c) R(X, Y, Z, W) + R(X, Z, W, Y) + R{X, W, Y, Z) = 0,
(d) R(JX, JY, Z, W) = R(X, Y, JZ, JW) = R (X, Y, Z, W).
Мы знаем (см. предложение 1.1 главы V), что (b) — следствие
(а) и (с) и (см. предложение 2.1 главы V) что тензор римано-
вой кривизны удовлетворяет (а), (Ь) и (с) в каждой точке мно-
многообразия. В добавление к (а), (Ь) и (с) риманова кривизна
кэлерова многообразия удовлетворяет (d). Действительно, второе
равенство в (d) есть не что иное, как второе равенство в A)
предложения 4.5. Равенство R(JX, JY, Z, W) = R(X, Y, Z, W)
следует или из (b) и второго равенства в (d), или из первого
равенства в A) предложения 4.5.
Уточняя предложение 1.2 главы V в рассматриваемой ситуа-
ситуации, имеем
Предложение 7.1. Пусть R и Т—два квадрилинейных
отображения, удовлетворяющих условиям (а), (Ь), (с) и (d) выше.
Если
R(X, JX, X, JX) = T(X, JX, X, JX) для всех X^V,
то R = T.
§7. ГОЛОМОРФНАЯ СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА
157
Доказательство. Можно допустить, что Т = 0, рассмат-
рассматривая R — Та 0 вместо R и Т. Рассмотрим квадрилинейное
отображение, которое переводит (X, Y, Z, W) ? V/Vx Vx V в
R(X, JY, Z, JW) + R(X, JZ, Y, JW) + R(X, JW, Y, JZ). Это
квадрилинейнсе отображение симметрично по X, Y, Z и W
ввиду (а), (Ь) и (d). Так как оно —нуль для X = F = Z=U7, то.
по предположению, что Т — 0, оно обращается в нуль тождест-
тождественно. Полагая X = Z и Y=W, получаем
A) 2R(X, JY, X, JY) + R(X, JX, Y, JY)^0.
С другой стороны, по (с) имеем
R(X, JX, Y, JY) + R(X, Y, JY, JX) + R(X, JY, JX, K) = 0,
что по (а) и (d) эквивалентно
R(X, JX, Y, JY) — R(X, Y, X, Y) — R(X, JY, X, JY) = 0.
Будучи скомбинировано с A), это дает
B) ЗЯ(Х, JY, X, JY) + R(X, Y, X, Y) = 0.
Заменяя Y на JY в B), получаем
C) 3R(X, Y, X, Y) + R(X, JY, X, УГ) = 0.
Из B) и C) получаем
R(X, Y, X, Y) = 0.
По предложению 1.2 главы V имеем R = 0. ?
Кроме квадрилинейного отображения R, рассмотрим эрмитово
скалярное произведение g на V, как и в § 1. Полагаем
R0(X, Y, Z, W) = \{g(X, Z)g(Y, W)-g(X, W)g(Y, Z)
+ g(X, JZ)g(Y, JW)-g(X, JW)g(Y, JZ)
+ 2g(X, JY)g(Z, JW)}.
Проверка следующего предложения тривиальна.
Предложение 7.2. Квадрилинейное отображение Ro удов-
удовлетворяет (а), (Ь), (с), (d) и следующим соотношениям:
R0(X, Y, X, F) = |{g(X, X)g(Y, Y)-g(X, Yy + 3g(X, JY)*},
R0(X, JX, X, JX) = g(X, X)\
Пусть p—плоскость, т.е. двумерное подпространство в V, и
пусть X, Y — ортонормальный базис для р. Мы знаем (см. § 1
главы V), что К (р), которое определяется так:
K(p) = R(X, Y, X, Y),
зависит только от р и не зависит от выбора ортонормального
базиса для р.

158
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Предложение 7.3. Пусть R — квадрилинейное отображе-
отображение, удовлетворяющее (а), (Ь), (с) и (d). Если /<"(/?) = с для всех
плоскостей р, которые инвариантны относительно J, то R = cR0.
Доказательство. Плоскость р инвариантна относительно /
тогда и только тогда, когда X, JX есть ортонормальный базис
для р для любого единичного вектора X в р. Наше допущение
поэтому эквивалентно
R(X, JX, X, JX) = c для всех единичных векторов X в V.
Отсюда следует, что R(X, JX, X, JX) = cR0(X, JX, X, JX)
для всех векторов X^V по предложению 7.2. Применяя предло-
предложение 7.1, мы можем заключить, что R = cR0. ?
Пусть даны две плоскости р и р' в V, рассмотрим угол XX'
между вектором X из р и вектором X' из р'. Точная нижняя
грань для XX' по X и X' называется углом между р и р'. Если
мы обозначим через а(р) угол между р и J (р), то из аналити-
аналитической геометрии следует, что
JY)\,
где X, У — любой ортонормальный базис для р. Из предложе-
предложения 7.2 получаем
Предложение 7.4. Если X, Y — ортонормальный базис
для плоскости р и если положить Ка{р) = R<,{X, Y, X, Y), то
Теперь применим эти алгебраические результаты к тензору
римановои кривизны R кэлерова многообразия М с метрикой g.
Для каждой плоскости р касательного пространства ТХ(М) сек-
секционная кривизна К (р) была определена в § 2 главы V как
K(p) = R(X, Y, X, Y), где XaY — ортонормальный базис для р.
Если р инвариантна относительно комплексной структуры /, то
К (р) называется голоморфной секционной кривизной в направ-
направлении р. Если р инвариантно относительно / и X — единичный
вектор в р, то X, JX есть ортонормальный базис для р и отсюда
K{p) = R{X, JX, X, JX). Предложение 7.1 влечет, что голоморф-
голоморфная секционная кривизна для всех р из ТХ(М), инвариантных
относительно J, определяет тензор римановои кривизны в точке х.
Если К(р) постоянна для всех плоскостей р из ТХ(М), ин-
зариантных относительно /, и для всех точек х?М, то М на-
называется пространством постоянной голоморфной секционной
кривизны. Следующий результат есть кэлеров аналог теоремы
Шура (теорема 2.2 главы V).
Теорема 7.5. Пусть М—связное кэлерово многообразие
комплексной размерности п^2. Если голоморфная секционная
§7. ГОЛОМОРФНАЯ СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА
15S
кривизна К (р), где р — плоскость из ТХ(М), инвариантная отно-
относительно J, зависит только от х, то М — пространство постоян-
постоянной голоморфной секционной кривизны.
Доказательство. Хотя можно дать доказательство, сход-
сходное с доказательством теоремы 2.2 главы V, мы обратимся здесь
к теореме 1 примечания 3, которая устанавливает, что если М
есть риманово многообразие размерности ^ 3 с метрикой g и-
тензором Риччи 5 таким, что S = Xg, где Я, есть функция на М,
то Я, — константа. Определим тензорное поле Ro на М, используя
g и /, как и выше (перед предложением 7.2). По предложению
7.3 имеем R=XR0, где ^ — функция на М. Непосредственным
вычислением, используя определение Ro, получаем, что тензор
Риччи задается так:
Применяя вышеупомянутую теорему 1 примечания 3, можно за-
заключить, что X— константа. ?
Замечание. В процессе доказательства мы установили, что
если М — кэлерово многообразие постоянной голоморфной секцион-
секционной кривизны с, то тензор Риччи задается как 5 = -д- (п + 1) eg,
где п — комплексная размерность М.
Мы видим также, что R—cRq справедливо для пространства
постоянной голоморфной секционной кривизны с. Сейчас мы вы-
выразим это равенство в терминах комплексной локальной коорди-
координатной системы г1, ..., zn в М. Среди компонент Kabcd рима-
римановои кривизны, определенной в A4) § 5, отличны от нуля лишь
Кaz ? и те, которые отличаются от них комплексным сопряже-
сопряжением и знаком. В обозначениях § 5 имеем
Предложение 7.6. Кэлерово многообразие М есть про-
пространство постоянной голоморфной секционной кривизны с тогда
и только тогда, когда
Доказательство. Подсчитываем f(a-^yi = cR0(Za, Z^, Zy,
Zq), используя определение Ro, C) из § 5 и то, что JZa = iZa и
JZa = ~iZa- ?
В обозначениях § 4 имеем
Предложение 7.7. Если М—кэлерово многообразие пс-
стоянной голоморфной секционной кривизны с, то форма кривизн
задается так:
if? = 4- с (wa Л Фр -1- 6„й У„ф^ Лф') на I

.160
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§8. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕ РАМА КЭЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИИ
161
Так как доказательство аналогично доказательству предложе-
предложения 2.4 главы V, то мы оставляем его читателю.
Теперь установим существование пространства постоянной го-
голоморфной секционной кривизны.
Теорема 7.8. A) Для любого положительного числа с комп-
комплексное проективное пространство Рп (С) несет кэлерову метрику
постоянной голоморфной секционной кривизны с. По отношению
к неоднородной координатной системе z1, . . ., zn она задается
так:
(g
с
B) Для любого отрицательного числа с открытый единичный
шар Dn = \(z1, ..., zn); ^zaza <\\ в С" несет полную кэлерову
метрику постоянной голоморфной секционной кривизны с. По от-
отношению к координатной системе z1, . . ., г" в С" она задается
так:
zadia)-B] iadza) B1 zad~za)
Доказательство. По D) § 5 (gap) задается так:
у с A ± У zW
где знак плюс берется в случае A), а знак минус —в случае B).
Мы дифференцируем это тождество по д/дгу и d2/dzy dz~r и пола-
полагаем г1= ... = zn = 0. Тогда получаем
d*gal/dzydz~6 = —| (б«Аб + Sa66Pv)
в начале координат. Применяя B1) из § 5 и предложение 7.6,
видим, что метрика ds2 будет постоянной голоморфной секцион-
секционной кривизны с в начале z1 = . . . = z" = 0. Поскольку мы знаем
¦(см. примеры 6.3 и 6.4), что Рп(С) и Dn допускают транзитивную
группу голоморфных изометрических преобразований, мы можем
заключить, что ds'1 всюду имеет постоянную голоморфную секци-
секционную кривизны с и она полна (по теореме 4.5 главы IV). Q
Так как g и / — параллельные тензорные поля (см. следствие
4.4), то параллельно и тензорное поле Ro, построенное перед
предложением 7.2. Отсюда следует, что тензор кривизны кэлерова
многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны тоже
параллелен. Мы теперь в состоянии доказать кэлеров аналог
теоремы 7.10 главы VI.
Теорема 7.9. Любые два односвязные полные кэлеровы мно-
многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны с голо-
голоморфно изометричны друг другу.
Доказательство. Пусть М и М'— два таких многообра-
многообразия и выберем точки о в М и о' в М'. Тогда линейный изомор-
изоморфизм F: Т0(М)—-Т0,(М'), сохраняющий метрику и комплексную
структуру, необходимо отображает тензор кривизны в о в тензор
кривизны в о' (см. предложение 7.3). Тогда по теореме 7.8 гла-
главы VI существует единственный аффинный изоморфизм f из М в
М' такой, что f (о) = о', и такой, что дифференциал от / в о есть F.
Пусть х—-любая точка из М, а т — кривая из о в х. Положим
x'=f(x) и т' = /:(т). Так как параллельный перенос вдоль т' со-
соответствует параллельному переносу вдоль т при действии f и так
как метрические тензоры и почти комплексные структуры для М
и М' все параллельны, то аффинный изоморфизм f отображает
метрический тензор и почти комплексную структуру для М в
метрический тензор и почти комплексную структуру для М'. По
предложению 2.3 f голоморфно. ?
Теорема 7.9 вместе с теоремой 7.8 влечет, что односвязное
полное кэлерово многообразие постоянной голоморфной секцион-
секционной кривизны с может быть отождествлено с комплексным про-
проективным пространством Рп (С), с открытым шаром ?>„ в С" или с С"
в соответствии с тем, будет ли с>0, с<0 или с = 0. Это было
доказано независимо Холи [1] и Игусой [1].
Отметим здесь, что полное кэлерово многообразие положитель-
положительной голоморфной секционной кривизны необходимо односвязно
(см. Синг [2], Кобаяси [17], примечание 23).
§ 8. Разложение де Рама кэлеровых многообразий
Согласно теореме разложения де Рама (теорема 6.2 главы IV)
односвязное полное кэлерово многообразие М изометрично пря-
прямому произведению МохМ1х • •. X Мк, где М„ — евклидово про-
пространство, а все Мх, . . ., Мк— односвязные полные неприводимые
римановы многообразия и, более того, такое разложение един-
единственно. Мы покажем в этом параграфе, что Мо, Мг, ..., Мк —
кэлеровы многообразия, а /И голоморфно изометрично произведе-
произведению МОХМХХ . ¦ . ХМк.
Начнем следующей леммой.
Лемма. Пусть М — комплексное многообразие, а М' — поч-
почти комплексное многообразие. Если существует почти комплекс-
комплексное погружение М' —*- М, то М' — тоже комплексное многообра-
многообразие, a f голоморфно.
Доказательство. Пусть 2п и 2л' — вещественные размер-
размерности М и М' соответственно. Пусть (U, ф)—карта для М, где
U — открытое подмножество в М, а ф — гомеоморфизм из U на
<; Зак. 425

162
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§8. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕ РАМА КЭЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
163
открытое подмножество из С". Так как / — погружение, то суще-
существует линейное отображение р из С" на С™' и открытое подмно-
подмножество W из М' такое, что f(U')c U и что отображение ф':
V—»-C™', определенное как ф'=рофо/, есть диффеоморфизм из
U' на открытое подмножество ф' (?/') из С™'. Мы покажем, что
атлас, состоящий из этих (?/', ф'), определяет структуру комп-
комплексного многообразия на М'. Так как р, ф и f—почти комп-
комплексные отображения, то ф' тоже почти комплексно. Пусть (V, г[/)
построено из карты (V, я])) на М, как указано выше. Тогда ото-
отображение ¦ф'оф'-1: ф' ([/' Л V) —»л|/ (?/' П V) почти комплексно.
По предложению 2.3 ¦ф'оф' голоморфно, что показывает, что
семейство (?/', ф') есть атлас, определяющий комплексную струк-
структуру на М'. Так как ф' есть почти комплексное отображение
из U' в С"', то комплексная структура, так построенная, согла-
согласована с почти комплексной структурой, первоначально заданной
на М'. Утверждение, что / голоморфно, следует также из пред-
предложения 2.3. ?
Теорема 8.1. Пусть MqXM-^x ... xMk— разложение де
Рама односвязного полного кэлерова многообразия М. Тогда Мо,
Мг, . .., Mk являются кэлеровыми многообразиями естественным
образом и изометрия между М и Мо X Мх х . .. X Mk голоморфна.
Доказательство. Мы фиксируем точку о, и пусть ТО(М) =
= 2-f-o^1"' — каноническое разложение для То (М); оно однозначно
с точностью до перенумерации (см. теорему 5.4 главы IV). По-
Поскольку почти комплексная структура / для М параллельна,
она коммутирует с линейной группой голономии ^(о) для М в о.
В частности, Ч?(о) действует тривиально на J (Т(°>), и отсюда
J (Г*,0') = П0). Пусть Т'о — ортогональное дополнение к Г*,0' в То (М).
Оно инвариантно относительно W(о) и Т'0-='У1-=гТ^'> есть разло-
разложение в прямую сумму взаимно ортогональных инвариантных и
неприводимых подпространств. Так как / оставляет метрику
инвариантной и параллельно, то отсюда следует, что J (Т'0) = Т'0 и
Т'о = 2*_i J (Т'о") также есть разложение в прямую сумму взаим-
взаимно ортогональных инвариантных и неприводимых подпространств.
Отсюда J {Г™), ..., J (Tf>) совпадают с Г*,1', ..., 7* с точ-
точностью до перенумерации. Чтобы показать, что они в действи-
действительности совпадают, вспомним (см. теорему 5.4 главы IV), чтс
W (о) есть прямое произведение Wo (o)xYi (о) х . .. x4fft (о) нор-
нормальных подгрупп, где Wt (о) тривиальна на Т(о'\ если i-ф], и
неприводима на Т%} для каждого i=l, ..., &, и гР0 (о) состоит
лишь из единицы. Допустим теперь, что J (Tioi)) = T(J'> и 1ф\.
Выберем ненулевой элемент Х?Г"', и пусть а — элемент из ^ (о)
такой, что а(Х)^Х. Так как J(X)?T(J} и а действует триви-
тривиально на TlJ\ то имеем
У (X)=а (J (X)) = J (a (X)) ^
что дает противоречие. Отсюда / (Го1>) = Го'"' для всех t. Так как J
параллельно, то инволютивное распределение Тф, полученное па-
параллельным переносом Т(ос\ инвариантно относительно J для
каждого i = 0, 1, ..., k. Поскольку Mi — максимальное интег-
интегральное подмногообразие распределения Ги) через о, то сужение
J до Т'° определяет почти комплексную структуру /(- на Mt.
По лемме «/,- происходит из комплексной структуры и вложение
М:-—<-М голоморфно. Непосредственно проверяется, что индуци-
индуцированная риманова метрика на М{ эрмитова относительно J? и
что /,• параллельно относительно римановой связности. По след-
следствию 4.4 Mi — кэлерово многообразие. Q
Замечание. В теореме 8.1 Мо поэтому изометрично ком-
комплексному евклидову пространству Сч°. Первоначальное доказа-
доказательство теоремы 8.1 Хано и Мацусимой [1] опирается на
теорему 2.5.
Мы будем говорить, что кэлерово многообразие М невырож-
невырожденное, если суженная линейная группа голономии 4го (х) содер-
содержит эндоморфизм Jх для Тх (М), задаваемый почти комплексной
структурой / для произвольно выбранной опорной точки х. От-
Отметим, что условие Jх ? W (х) не зависит от выбора опорной
точки х. Для любой точки у пусть т означает параллельный пе-
перенос: Тх (М) —> Ту (М) вдоль произвольной кривой из х в у.
Так как / параллельна, то имеем Jy = ioJxoT~1. С другой сто-
стороны (см. § 4 главы II), имеем 4го (у) ==тоЧГо (х)ох~1.
Следствие 8.2. В теореме 8.1, если М невырожденное, то
Mq отсутствует (т. е. сводится к точке) и М17 . . ., Мк все не-
вырожденны.
Доказательство немедленно следует из C) теоремы 5.4 главы
IV. ?
Следующая теорема показывает связь понятия невырожден-
невырожденности с тензором Риччи.
Теорема 8.3. Пусть М — кэлерово многообразие комплексной
размерности п.
A) Если суженная линейная группа голономии для М непри-
неприводима, а тензор Риччи отличен от нуля, то М невырожденно.
B) Если М невырожденно, а п не делится на 4, то тензор
Риччи не равен нулю.
C) Если тензор Риччи невырожден в некоторой точке из М,
то М невырожденно.
Доказательство A). Так как тензор Риччи не нуль, то
суженная линейная группа голономии W (х) есть подгруппа в
U (п), не содержащаяся в SU (п) по теореме 4.6. Так как
U (n)/SU (n) размерности единица, то естественный гомоморфизм
U (n)-*U (n)/SU(n) отображает 4го (х) на U (n)/SU (я). Ядро
SU (п) П 4го (х) гомоморфизма ?° (х) —>¦ U (n)/SU (n) будет поэтому
коразмерности единица в W°(x). Пусть g и § — алгебры Ли для
Зак. 425

164
ГЛ. IX- КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
4го (х) и SU (п) П 4го (х) соответственно. Так как 4го (л;) замкнута
в U (п) (см. теорему 5.5 главы IV) и потому компактна, ее ал-
алгебра Ли g редуктивна (см. приложение 9). Отсюда следует, что
существует идеал с, дополнительный к 3 в д. Отсюда
8 = 3 + с, [«, с] = 0.
Так как dim с = codim«= 1, имеем
[с, с] = 0,
а это показывает, что с есть центр в д. Мы показали, что W0 (х)
имеет недискретный центр. Так как W0 (х) неприводима на Тх {М) =
= R2" и отсюда на Г<;1>О' = СП, то мы можем применить лемму
Шура и видим, что ее центр размерности единица и состоит из
элементов А./я? U (п), где X — комплексные числа модуля 1.
В частности, центр содержит преобразование У—1 /„. В вещест-
вещественном представлении это означает, что центр для 4го (х) содер-
содержит J х, т.е. что М невырожденно.
B) Если мы рассмотрим W0 (х) как подгруппу в U (л), то
невырожденность М означает, что ?° (х) содержит преобразова-
преобразование ]/*—1/„, определитель которого, п-я степень У—1, не ра-
равен 1, так как п не делится на 4. Отсюда ?° (х) не содержится
в SU (п) и по теореме 4.6 тензор Риччи не равен нулю.
C) Пусть х — точка из М, где тензор Риччи невырожден (как
симметричная билинейная форма на ТХ(М)). Пусть U—должным
образом выбранная окрестность точки х, которая голоморфно
изометрична прямому произведению ?/ох?/хх . . . X U к, где Uo
локально есть комплексное евклидово пространство, a f/lt . . ., U к—
неприводимые кэлеровы многообразия. Чтобы усмотреть сущест-
существование такой окрестности U, используем теорему 5.4 главы IV
и выберем окрестность V, которая изометрична прямому произ-
произведению VoxViX . . . xFA, где Vo, Vt, .. ., Vh строятся с помощью
канонического разложения для Тх (М), a Vo локально евклидово.
Применяем теорему 5.4 главы IV тем же способом к тем из
V-l, ..., V 1г, которые приводимы. Повторяя этот процесс, полу-
получаем в конце концов окрестность U точки х, которая изомет-
изометрична Uo х иг х ... х Uк, где Uд локально евклидово, а ?/1; .. ., U к —
неприводимые римановы многообразия. С помощью тех же рас-
рассуждений, что и в доказательстве теоремы 8.1, видим, что 110—
локально комплексное евклидово пространство, a Ult ..., Uk —
неприводимые кэлеровы многообразия и U голоморфно изомет-
рично UoxU1x . . . xUk. Можно рассмотреть V'„, Ult ..., Uk
как подмногообразия в U, проходящие через х. Тогда тензор
Риччи для U в точке х есть прямая сумма тензоров Риччи для
?/„, Ult ..., Uk. Поэтому тензор Риччи для каждого U( должен
быть невырожденным в х. Отсюда следует, что Uo отсутствует
§9. КРИВИЗНА КЭЛЕРОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ
165
в разложении и что Uг, ..., Uk невырожденны по A). Так как
группа голономии W (х) для М содержит суженную линейную
группу голономии для U в х, которая есть прямое произведение
линейных групп голономии для Uх, . . ., Uk, то мы видим, что
4го (х) содержит Jx. П
Теорема 8.3 содержится у Кобаяси и Номидзу [1].
Замечание. В предположениях A) или C) теоремы 8.3
алгебра Ли для W0 (х) также содержит /. Неизвестно, влечет ли
неприводимость группы 4го (х) невырожденность для М. Действи-
Действительно, мы не знаем каких-либо неприводимых кэлеровых мно-
многообразий с нулевым тензором Риччи.
§ 9. Кривизна кэлеровых подмногообразий
Пусть М' — кэлерово многообразие комплексной размерности;
п + р с комплексной структурой / и кэлеровой метрикой g, a
М — комплексное подмногообразие в М' комплексной размер-
размерности п. Тогда М — кэлерово многообразие с индуцированной
комплексной структурой / и индуцированной метрикой g (см.
пример 6.7). Это можно доказать снова вместе со следующим
утверждением.
Предложение 9.1. Пусть а — вторая основная форма
комплексного подмногообразия М в кэлеровом многообразии М'*
Тогда
а (УХ, У)=а(Х, JY) = J(a(X, Y))
для всех векторных полей X и Y на М.
Доказательство. Для кэлеровой связности V' на М' и
векторных полей X и Y на М пишем \'XY = VxK + a (X, Y), как.
в § 3 главы VII, где ^х^~касательная компонента, а а(Х, Y) —
нормальная компонента. Мы знаем (предложение 3.1 главы VII),
что VjfK — риманова связность на М. Имеем
a(X, JY),
где JY — тоже векторное поле на М. Так как V' кэлерова, то
имеем
Касательное пространство ТХ(М) и нормальное пространство
TX(M)-L инвариантны относительно /, поэтому получаем
), a(X, JY) = J(a(X,
Первое тождество показывает еще раз, что V кэлерово. Из вто-
второго тождества и симметрии а (X, Y) по X и У имеем
a(JX, Y) = a(Y,
= У(а(Х, Y)). ?

166
гл ix. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Следующее предложение немедленно вытекает из предложения
4.1 (уравнение Гаусса) главы VII и предложения 9.1.
Предложение 9.2. Пусть М—комплексное подмногообра-
подмногообразие кэлерова многообразия М' со второй основной формой а.
Пусть R и R' — тензорные поля римановых кривизн для М и М'
соответственно. Тогда
R(X, JX, X, JX) = R'(X, JX, X, JX)-2g(a(X, X), a(X, X))
для всех векторных полей X на М.
Мы видим из предложения 9.2, что голоморфная секционная
кривизна для М не превосходит таковой для объемлющего про-
пространства М'. В частности, имеем
Предложение 9.3. Пусть М'—кэлерово многообразие с
неположительной голоморфной секционной кривизной. Тогда каж-
каждое комплексное подмногообразие М в М' имеет неположитель-
неположительную голоморфную секционную кривизну.
Используя предложения 9.1 и 9.2, мы можем сопоставить
тензор Риччи S для М с тензором Риччи S' для М'. Пусть
X € Тх (АО и выберем Vlt ¦¦¦, Va+f € Тх (М') так, что Vlt ...,Va
касаются М, a Vlt ..., Уп+„, JVlt .... JVn+p образуют орто-
нормальный базис для ТХ(М). Тогда (см. т. I, с. 234)
S(X, X)=2?.x(#(V,, X, Vit X) + R{JVt, X, JVh X)),
S'(X, X) = 2?!;f(#'(V,, x, У и X) + R'{JV{, X, -JVt, X)).
Из предложений 9.1 и 9.2 легко получаем следующую формулу:
S(X, X) = %U(R'(V;, X, Vt, X) + R'(JVt, X, JVit X))
-2SU(«(^. X), a{Vt, X)).
Отсюда
S{X. X)=S'(X, X) = Z?=S+1{R'(Vi, X, Vt, X)
+R'(JVi, X, JVt, X)}-22i^lg(a(V1; X), a(V?, X)).
Тотчас же получаем следующие предложения. (Для доказатель-
доказательства предложения 9.5 обратитесь к предложению 7.2.)
Предложение 9.4. Пусть М' — кэлерово многообразие ну-
нулевой кривизны. Тогда каждое комплексное подмногообразие М в
М' имеет отрицательно полуопределенный тензор Риччи S, т. е.
S (X, X) ^ 0 для всех векторных полей X на М.
Предложение 9.5. Пусть М' — кэлерово многообразие по-
постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда тензор Риччи
S для п-мерного комплексного подмногообразия М в М' задается
так:
o X))
§ 10. ЭРМИТОВЫ СВЯЗНОСТИ В ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
167
для Х?ТХ (М), где V1? . ¦ ., Vn? Tx (M) выбираются таким обра-
образом, что Vlt ..., Vn, JVlt ..., JVn образуют ортонормальный
базис для ТХ(М).
Предложение 9.2 принадлежит Бохнеру [2]. См. также
О'Ней л [2].
Замечание. Согласно Реммерту каждое многообразие
Штейна М комплексной размерности п может быть вложено как
замкнутое комплексное подмногообразие в С2я+1 (относительно
доказательства, а также и относительно понятия многообра-
многообразия Штейна см. Ганнинг и Росси [1], с. 219—226, Бишоп'
[1] и Нарасимхан [1]). Используя предложение 4.9 главы IV
и предложения 9.3 и 9.5, видим, что каждое многообразие Штейна
допускает полную кэлерову метрику с неположительной голо-
голоморфной секционной кривизной и отрицательно полуопределен-
полуопределенным тензором Риччи.
§ 10. Эрмитовы связности
в эрмитовых векторных расслоениях
Голоморфное векторное расслоение над комплексным много-
многообразием М с эрмитовой послойной метрикой называется эрми-
эрмитовым векторным расслоением. Мы обобщим некоторые основные
формулы кэлеровых многообразий на эрмитовы векторные рас-
расслоения.
Пусть М есть д-мерное комплексное многообразие, а Е — эрми-
эрмитово векторное расслоение над М со слоем С и послойной мет-
метрикой h. Тогда имеется два главных расслоения, естественно
ассоциированных с Е. Пусть Р — главное расслоение с группой
GL (п; С), ассоциированное с Е. Это — голоморфное главное рас-
расслоение. Пусть Q — подрасслоение Р с группой U (г), определен-
определенной эрмитовой послойной метрикой h. Если мы возьмем в каче-
качестве примера Е касательное расслоение эрмитова многообразия М,
то Р будет расслоением С (М) комплексных линейных реперов,
a Q — расслоением U (М) унитарных реперов.
Единственная связность в Q (или в Р), определенная в сле-
следующей теореме, называется эрмитовой связностью эрмитова век-
векторного расслоения Е. В специальном случае, когда Е есть каса-
касательное расслоение эрмитова многообразия М, она называется
эрмитовой связностью для М.
Теорема 10.1. Существует единственная связность в рас-
расслоении Q такая, что будучи продолжена до связности в Р, она
обладает свойством, что ее горизонтальные подпространства
суть комплексные подпространства касательного пространства
для Р.
Доказательство. В каждой точке и из Q рассмотрим
касательное пространство Та (Q) как вещественное подпростран-

368
ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
ство в Та (Р) и полагаем На = Ти (Q) Г) J (Ta (Q)). Тогда На инва-
инвариантно относительно комплексной структуры J и отсюда есть
комплексное подпространство в Та(Р). Покажем, что На — гори-
горизонтальное подпространство в и, определенное желаемой с'вяз-
ностью.
Так как действие группы GL(r, С) на Р голоморфно, то каж-
каждый элемент а? ?/(/-) отображает На на Ниа.
Покажем, что TU(Q) = Ga4-Hu, где Gu — вертикальное под-
подпространство из Ta(Q). Следующая лемма может быть легко
проверена.
Лемма. Алгебра Ли и (г) есть вещественная форма для
gl(r; С), т. е.
gl(r; C)=u(r) +tu(r).
Так как Gu Л На изоморфно \\ (г) Г) iu (г) = 0, то отсюда следует,
что Gu Г) На = Ь. Также из леммы следует, что Та (Р) = Та (Q) -\~
-f- J {Ta(Q)) (сумма не прямая) для каждого u?Q. Поскольку
dim (Ta (Q) + J (Ta (Q)) + dim (Ta (Q) л J (Ta (Q)))
и Ни = Та (Q) Л J(TU (Q)), то отсюда следует, что dim Ни = dim M.
Следовательно, Та (Q) = Ga-\-Ha. Это доказывает, что распреде-
распределение {На; u?Q} определяет связность в Q.
Продолжаем эту связность в Р, полагая Ниа = Ra(Hu) для
u?Q и a?GL(r; С), где jRo обозначает правый сдвиг элементом а.
Для и ? Q //¦„ инвариантно относительно / по определению //в.
Так как i?o — голоморфный сдвиг, то Ниа тоже инвариантно отно-
относительно /.
Для того чтобы доказать единственность связности, допустим,
что {Н'и\ и 6 Q} — горизонтальное распределение, определенное
другой связностью, удовлетворяющей условиям, сформулирован-
сформулированным в теореме. Поскольку J (Н'и) =Н'и и ff'uc:Ta(Q), мы
имеем Н"и czTa(Q) Л J(Ta{Q)) = Ha. Так как dim//; = dim A^dimtfa,
aibi заключаем, что Н'и=На. П
Теорема 10.1 может быть переформулирована так:
Теорема 10.Г. Существует единственная форма связности
-§ на расслоении Q такая, что, будучи продолжена до формы
связности i|) на Р, она имеет степень (I, 0).
Доказательство. Мы сначала докажем лемму.
Лемма. Если комплексная группа Ли G действует голоморфно
на комплексном многообразии Р справа, то гомоморфизм А ? g —»
—->- А* ? ?(Р), определенный в предложении 4.1 главы I, удовлет-
удовлетворяет соотношению (iA)* = J (А*).
Доказательство леммы. По допущению отображение
(u,a)?PxG—yua^P голоморфно. Поэтому для каждой и?Р
отображение аа: a?G—*ua?P голоморфно, так что (ств)*
§ 10. ЭРМИТОВЫ СВЯЗНОСТИ В ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
169
=J {{ааТ Ае) Для каждого А ? д. Отсюда (М)* = /(Л*), что завер-
завершает доказательство леммы.
Применяя эту лемму к структурной группе GL(r; С), дейст-
действующей на Р, видим, что (iA)* = J(A*) для каждого Л ? gl (г; С)„
где Л* есть фундаментальное векторное поле, соответствующее Л.
Итак, форма связности ty на Р удовлетворяет условию ty(JA*) — iA.
Так как /(//в)=//и, получаем ч|)(/Х) = ii[>(X)' для каждого век-
векторного поля X на Р. Итак, i|j(Y + iJX) = чр (А") + ity(JX) =
= -ф(А') — г|5(Х)=0, т. е. ij; степени A,0). ?
В том специальном случае, когда М—эрмитово многообра-
многообразие, a Q — расслоение U (М) унитарных реперов, возможно оха-
охарактеризовать эрмитову связность в Q без продолжения ее да
связности в Р.
Предложение 10.2. Эрмитова связность эрмитова многооб-
многообразия М — это единственная аффинная связность такая, что
метрический тензор и комплексная структура J параллельны и.
что кручение Т чистое в следующем смысле:
T{JX, Y)=T(X, JY) для всех векторных полей X, Y на М,
Доказательство. Аффинная связность на М есть связ-
связность, определенная в расслоении Q = U (M) унитарных реперов*
тогда и только тогда, когда метрический тензор и комплексная
структура параллельны. Продолжим такую связность в расслое-
расслоение Р = С(М) комплексных линейных реперов и запишем первое
структурное уравнение (в комплексной форме, § 5):
d(Pl = — 2"-
Фу + Ф'\ i = 1, .... п.
Так как ср' голоморфны, то dq>' степени B, 0). Отсюда i|)j" будут
степени A, 0) тогда и только тогда, когда Ф' степени B, 0). Эта
эквивалентно утверждению, что формы связности (i|)j-) будут сте-
степени A,0) тогда и только тогда, когда тензор кручения Т чист
в смысле, определенном выше. ?
Из предложения 10.2 видим, что эрмитово многообразие будет
кэлеровым тогда и только тогда, когда его эрмитова связность
без кручения.
Возвращаясь к общему случаю, покажем, что форма кри-
кривизны W на Р для эрмитовой связности имеет степень A, 1), т. е.
W(X, Y) = W(JX, JY) для всех векторных полей X, Y на Р.
Поскольку W — тензориальная форма типа ad GL (г; С), а связность
редуцируема к Q, то достаточно проверить равенство *Р(Х, Y) —
= ^?(JX, JY) для горизонтальных векторов X,Y в каждой точке
и из Q. Если даны горизонтальные векторы X, Y в u?Q, то мы
продолжаем их до горизонтальных векторных полей, определен-
определенных в окрестности точки и в Р. Тогда JX и JY тоже горизон-

|70 ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
тальны и мы имеем
Так как почти комплексная структура
ния, то имеем (см. § 2)
, JY]).
на Р не имеет круче-
кручеY] + [JX,Y]))
Так как X, Y, JX и JY все горизонтальны и, следовательно,
касательны к Q в каждой точке из Q, то [X, JY] и [JX, Y]
тоже касаются Q в u?Q. Отсюда Ы?([Х, JY]-\-[JX, Y])u при-
принадлежит ш (г). С другой стороны, W(X, Y)U — W(JX, JY)a при-
принадлежит и (г). Поскольку и (г) П in (г) = 0, отсюда следует, что
Ч?(Х, Y)a—W(JX, JY)a = 0. Это и доказывает наше утверждение.
Тем же способом, каким форма кривизны аффинной связности
определяет тензор кривизны (см. § 5 главы III), форма кривизны
W эрмитовой связности для эрмитова векторного расслоения Е
порождает «тензор» кривизны R в следующем смысле. Для любых
векторных полей X, Y на М R(X, Y) есть поле линейных эндо-
эндоморфизмов расслоения Е, т. е. в каждой точке х?М R(X,Y)X
есть комплексный линейный эндоморфизм слоя Ех из Е в точке л;.
То, что Т степени A, 1), влечет следующее
Предложение 10.3. Пусть R—тензор кривизны для эрми-
эрмитовой связности эрмитова векторного расслоения. Тогда
R(X, Y) = R (JX, JY) для всех векторных полей X, Y на М.
Для данного голоморфного векторного расслоения Е над М со
слоем С и целого числа k, 0 ^ k <! г, определяем голоморфное
векторное расслоение /\kE над М со слоем /\kC так. Если Ех—
слой для Е в х, то /\kEx есть слой для /\kE в х. Группа GL(r; С),
действующая на С, действует также и на AfeCr естественным
образом. Но действие GL(r; С) на AfeC, вообще говоря, не эффек-
эффективно. Пусть N — нормальная подгруппа в GL(r\ С), состоящая
из элементов, которые действуют тривиально на ДЙСГ. Если k = r,
то .N —SL(r; С). Пусть Р — главное расслоение с группой
GL(n; C)/N, ассоциированное с Aft?. Эрмитова послойная метрика
в Е индуцирует эрмитову послойную метрику в /\kE\ если
st, ..., sr — ортонормальный базис для Ех, то {sIf Л • • • Astft;
ix < . . . < ik\ — ортонормальный базис для /\кЕх. Если k = r, то
st Л • • ¦ Л sr — одноэлементный ортонормальный базис для /\ГЕХ.
§10. ЭРМИТОВЫ СВЯЗНОСТИ В ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
171
Здесь и далее мы будем рассматривать специальный случай
k — r. Тогда Ar? — эрмитово векторное расслоение со слоем
АГС = С и ассоциированное главное расслоение Р =P/SL(r; С)
имеет структурную группу GL(r; Q/SL (г; С) = С*. Пусть ч|> — форма
эрмитовой связности на Р. Так как i|j есть gl(r; С)-значная фор-
форма, след я|) есть 1-форма на Р со значениями в алгебре Ли
gt (г; С)/й! (г; С) = С. Пусть f: Р -+Р = P/SL (г; С) — естественный
гомоморфизм. Тогда форма ij> на Р, определенная так:
f*ty= trace г|э,
определяет связность в Р (см. предложение 6.1 главы II). Исполь-
Используя теорему 10. Г, покажем, что ij> определяет эрмитову связность
эрмитова векторного расслоения /\ГЕ. Так как -ф степени A, 0)„
то и if степени A, 0). Если Q обозначает подрасслоение с груп-
группой U (г) для Р, как и раньше, то Q=Q/SU (г) есть подрасслое-
подрасслоение для Р, соответствующее эрмитовой послойной метрике для
А'-Е. Так как сужение 1|э на Q принимает значения в и (г),
то сужение гр на Q принимает значения в и (г)/§и (г) и
определяет связность в Q. Отсюда ¦ф — форма эрмитовой связности
для /\ГЕ. Так как структурная группа GL(r; Q/SL (г; С) для Р
абелева, то структурное уравнение эрмитовой связности в Дг?
задается так:
где ? —форма кривизны. По предложению 6.1 главы II имеем
/•Т = traced.
Если R — тензор кривизны эрмитовой связности для Е, то
тензор кривизны R эрмитовой связности для /\ГЕ задается так:
R(X, Y) = traceR(X, Y) для всех полей X, У на М,
где выражение в правой части означает след линейного эндо-
эндоморфизма R(X, Y)x: Ex-+Ex для каждого х?М. Так как W,
суженная на Q, является и (г)-значной, то отсюда следует, что
traced, суженный на Q, будет чисто мнимым. Отсюда W, сужен-
суженная на Q, тоже будет чисто мнимой. Мы можем заключить,^что
тензор кривизны R есть 2-форма на М, принимающая чисто мни-
мнимые значения. Положим р = —2iR и назовем это формой Риччи
эрмитова векторного расслоения Е. Это есть обобщение формы
Риччи кэлерова многообразия (см. предложение 4.11).

172 ГЛ. IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Теперь мы выразим различные величины, описанные выше,
в терминах локальных координат. Пусть z1, ..., zn — локальная
координатная система для М, и положим
Z; = д/дг{, Z7 =~Z{ = д/dz1 для I = 1, ..., п.
Пусть slt . . ., sr — голоморфные локальные сечения для Е, кото-
которые всюду линейно независимы. Обозначим через о соответствую-
соответствующее голоморфное локальное сечение главного расслоения Р. По-
Положим
A) а*Н>р) = 2"=1Г?а^ для а, р = 1, ...,г.
(Должно быть отмечено, что а* (грр) не содержат dz', поскольк>
они степени A, 0).) Как и в предложении 7.4 главы III, имеем
B) V*,sB = 2ar?3se.
Полагаем
для а, р=
и обозначаем через (ha&) матрицу, обратную к (Л«р). Из B) и C)
получаем (см. доказательство следствия 2.4 главы IV)
для а, Р=
Если мы положим
E)
то
- - dho~
Доказательство F) получается непосредственно из B) и из
R(Zit 2-/)sp = ([Vzl., Vz-]-Vp..z7])sp.
Если мы положим
G) Kc$il = h№(zi> Z/)"p- s«)'
то тогда получаем
Если мы положим
(9) Kfi=R(Zi, Zj) для i, / = 1, ..., я,
§10. ЭРМИТОВЫ СВЯЗНОСТИ В ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
173
то
A0) ^7=S«^f7-
Форма Риччи р задается так:
A1) p 21ЛГ12?,/=1^/&'Л^.
Если мы обозначим индуцированную послойную эрмитову метрику
в АГЕ т°й же буквой h и положим
A2) H = h(s1A-..Ai
1г Л • • • Л
то
A3) //=det(/iap).
Для подсчета компонент тензора кривизны R эрмитова вектор-
векторного расслоения Дг? мы специализируем F) для случая, когда
размерность слоя равна 1. Тогда получаем
-
и =
_
н dz'dzf
J_dH дН
zf H2dtd7'
Отсюда
A4)
К —
Из A4) и A1) получаем
A5) р =
dz' dz/ '
• 1 д д In H.
Замечание. Для эрмитова многообразия эрмитова связ-
связность была впервые определена Черном [1]. Для интерпрета-
интерпретации эрмитовой связности с точки зрения теории G-структур
см. Клингенберг [1]. Для эрмитовых векторных расслоений
эрмитова связность была рассмотрена Накано [1]. Доказатель-
Доказательство теоремы 10.1 принадлежит Зингеру [1]. Как видно из
доказательства, он показывает, что если Р — голоморфное главное
расслоение с комплексной группой Ли G и если Q — вещественное
подрасслоение для Р со структурной группой U такой, что и
есть вещественная форма для д, то существует единственная
связность в Q такая, что если ее продолжить до связности в Р,
то ее горизонтальные подпространства будут комплексными под-
подпространствами касательных к Р пространств.

Глава X
§ 1. ИНВАРИАНТНЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
175
ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Инвариантные аффинные связности
Пусть М — многообразие размерности п, a G— подгруппа Ли
в GL(n; R). Вспомним (см. т. I, с. 264), что 6-структура на
М — это главное подрасслоение Р расслоения L (М) со структур-
структурной группой GczGL(n; R). Примеры групп G, которые мы имеем
в виду для дальнейших приложений,— это GL(n, R), О (п),
GL (т\ С), и (/ (т), где п = 2т для двух последних групп.
Преобразование / многообразия М индуцирует естественным
образом автоморфизм / расслоения L(M); J отображает линейный
репер и = (Xf, ..., Хп) в точке х?М в линейный репер / (и) =
= (fXlt ...,fXn) в точке f(x)?M. Если /"отображает G-струк-
туру Р в себя, то / называется автоморфизмом G-структуры. Р.
Инфинитезимальное преобразование X многообразия М назы-
называется инфинитезимальным автоморфизмом для Р, если локальная
одномараметрическая группа локальных преобразований ft, порож-
порожденных полем X, состоит из локальных автоморфизмов для Р,
т. е. если каждое ft отображает Р в себя. При помощи понятия
естественного лифта, определенного на с. 286 тома I, мы можем
охарактеризовать инфинитезимальные автоморфизмы для Р так.
Предложение 1.1. Пусть X — естественный лифт до L (М)
инфинитвзимального автоморфизма X многообразия М. Тогда X
есть инфинитезимальный автоморфизм G-структуры Р тогда и
только тогда, когда X касается Р в каждой его точке.
Доказательство. Вспомним, как было построено X в дока-
доказательстве предложения 2.1 главы VI. Пусть ft—локальная одно-
параметрическая группа локальных ^преобразований для|М, по-
порожденных полем X. Тогда X — векторное полезна L(M), инду-
индуцированное локальной однопараметрической группой локальных
автоморфизмов ft для L (М). Ясно, что каждое ft отображает Р
в себя тогда и только тогда, когда X. касается Р в каждой его
точке. ?
Пусть М=KlH — однородное пространство, где К — группа Ли,
а Н—замкнутая подгруппа в К (см. предложение 4.2 главы I).
Класс Н называется началом в М и будет обозначаться через о.
Группа К действует транзитивно на М естественным образом;
элемент /6/С отображает класс f H в класс ff'H. Множество N
элементов из /С, которые действуют как тождественное преобра-
преобразование на М, образует замкнутую нормальную подгруппу из /С,
содержащуюся в Н; действительно, N есть наибольшая такая
подгруппа в К- Говорят, что действие группы /С на М эффек-
эффективно^-если N состоит лишь из тождественного элемента (см. т. I,
с. 48),/ и почти эффективно, если Н—дискретная подгруппа
из К- Линейное представление изотропии есть по определению
гомоморфизм из Н в группу линейных преобразований для Т0(М),
который сопоставляет каждому h?H дифференциал от h в о.
Образ Н при действии линейного представления изотропии назы-
называется линейной группой изотропии вой обозначается через Н¦
Ясно, что если линейное представление изотропии точное, то К,
эффективна на М. Действие X на М индуцирует действие К на
L(M) и, как легко видеть, линейное представление изотропии
для Н точно тогда и только тогда, когда /С действует свободно
на L (М), т. е. тогда и только тогда, когда никакой элемент из /С,
кроме единицы, не оставляет какой-либо линейный репер непод-
неподвижным.
Если не указано иначе, мы будем считать всюду в этом пара-
параграфе, что М есть однороднее пространство КI'H со связной груп-
группой Ли К и точным линейным представлением изотропии для Н
и что Р есть G-структура на М, инвариантная относительно
К, т. е. К действует на Р как группа автоморфизмов. При этих
предположениях мы изучим /("-инвариантные связности в Р. (Необ-
(Необходимость допущения, что линейное представление изотропии
точное, будет объяснена в конце параграфа.) Мы также фикси-
фиксируем линейный репер ио?Р в о всюду в этом параграфе. Если
мы отождествим То (М) с R* посредством линейного изоморфизма
ы0: R"—>-Т0(М), то линейное представление изотропии для Н
может быть отождествлено с гомоморфизмом %.: Н —* G, опреде-
определенным так:
X'_(h) = и -1 о А. о ио дл я h ? Н,
где /г*: То (М) —>- То (М) обозначает дифференциал от h в точке о.
Для удобства мы переформулируем теорему Вана об инвариант-
инвариантных связностях, специализировав ее для рассматриваемой ситуа-
ситуации (см. теорему 11.5 главы II).
Теорема 1.2. Пусть Р есть ^-инвариантная G-структура
на М = К/Я. Тогда существует взаимно однозначное соответствие
между множеством К-инвариантных связностей на Р и множе-
множеством линейных отображений Л: f —+ g таких, что
A) А(Х)=К(Х) для Х?\),
B) A (ad (А)) (X) = ad (k (А)) (Л (X)) для h?H и X?i,

176
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где X обозначает не только линейное представление изотропии
H—+G, но и индуцированный гомоморфизм I) —<- g алгебр Ли, ad A
обозначает присоединенное представление для Н в f, а ad (X (А)) .
обозначает присоединенное представление группы G в д.
К-инвариантной связности на Р с формой связности ю соот-
соответствует линейное отображение, определенное так:
А(Х)=а>ио(Х) для X?t,
где X обозначает естественный лифт до Р векторного поля X ? f
многообразия М.
Выразим теперь взаимно однозначное соответствие теоремы 1.2
в терминах ковариантного дифференцирования. Если V — кова-
риантное дифференцирование относительно аффинной связности
на М и если X — векторное поле на М, то тензорное поле Ах
типа A, 1) на М, определенное так (см. т. I, с. 221):
AX=LX — Vx,
характеризуется свойством (см. приложение 2.5 главы VI)
АХУ' = —У/уХ — Т(Х, Y) для всех векторных полей V на М,
где Т обозначает тензорное поле кручения.
Следствие 1.3. В теореме 1.2 взаимно однозначное соот-
соответствие между множеством линейных отображений X: t —+¦ g,
удовлетворяющих A) и B), и множеством jK-инвариантных связ-
ностей в Р может быть задано так:
ио о (Л (X)) о «-1 = — {Ах)о для X 61.
Доказательство. Фиксируем связность в Р. Для любого
векторного поля У на М пусть Y* есть горизонтальный лифт
поля Y до Р (см. т. I, с. 69). Для каждого X?i однопарамет-
рическая группа exp tX из К действует на М, а также и
на Р. Обозначим через X и X векторные поля, индуцированные
группой exp tX на М и Р соответственно. По лемме в доказа-
доказательстве предложения 1.1 главы III имеем
A) u;i((VyX)o) = (Y((
С другой стороны, по теореме 1.2 имеем
B) Л (X) F (Y*)uo) = (со (Х)ио) F (у*)ао) ¦
По предложению 2.1 главы VI, предложению 3.10 главы I и пер-
первому структурному уравнению (теорема 2.4 главы III) мы имеем
iy. о d (в (X)) + 2<Ю (X, Y*)
У*(в)(Х))(Х
§1. ИНВАРИАНТНЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
По A) —C) и определению Т на с. 130 т. I имеем
D) 0 = (\УХ)О -и0о(А (X)) о uf (Yo) + Т (X, Y)o.
Отсюда
E) иоо (Л(X)) о u-1 (Yo) = {VYX)O + Т (X, Y)o = - (Ах\
Замечание. Условие B) в теореме 1.2 влечет
B') Л ([Г, Х]) = [А(У), Л (Л)] для Г6$ и X€f,
177
Q
и, обратно, если Н связна, то B') влечет B).
Мы можем выразить кручение и кривизну инвариантной связ-
связности в терминах Л так.
Предложение 1.4. В теореме 1.2 тензор кручения Т и
тензор кривизны R инвариантной связности, соответствующей Л,
могут быть выражены в начале так:
A) Т (X, Y)o = иоо(А (X)) о u-1 (FJ - ио о (Л (Y)) о и^ (Хо)
-[X, Y]o для X,Y?i;
B) R(X, YH = u0o{[A{X), Л(У)]-Л([Х, Y])\ о и;1
для X, Y?i.
Доказательство. Пусть X, F?f. Пусть X и У —естест-
—естественные лифты до Р векторных полей на М, индуцированные по-
полями X и Y. Тогда [X, Y] есть естественный лифт для —[X, Y].
Так как Хо = и0 F (X) и0) по определению 6 и А (X) = а> (X)и„ по
теореме 1.2, то доказательство нашего предложения сводится
к обоснованию следующих двух формул:
2в(Х, Y) = Q([X, Y]) + o>(X)Q(Y)-(o(Y)Q(X),
2Q(X, Y) = to([X, Y]) +
Вторая формула была установлена в процессе доказательства
предложения 11.4 главы II, а первая формула может быть дока-
доказана тем же способом. ?
Теорема 1.2 не полностью отвечает на вопрос, когда одно-
однородное пространство K.IH допускает ЛГ-инвариантную аффинную
связность. Простое достаточное условие будет дано в следующем
параграфе. Простое необходимое условие состоит в том, что ли-
линейное представление изотропии для Н должно быть точным при
условии, что К эффективно на К/Н. (Более общо, для данного
многообразия М с аффинной связностью аффинное преобразова-
преобразование / для М есть тождественное преобразование, если оно остав-
оставляет один репер неподвижным. Это — специальный случай леммы 4,
т. I, с. 238.)

178
ГЛ. к. однороДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 2. Инвариантные связности
на редуктивных однородных пространствах
Как и в § 1, пусть M — K/ff—однородное пространство, на
котором связная группа Ли К действует транзитивно и эффек-
эффективно, и пусть Р — есть /С-инвариантная G-структура на М. Мы
фиксируем репер ио?Р в начале о?М.
Мы говорим, что однородное пространство КШ редуктивно,
если алгебра Ли f для К может быть разложена в прямую сумму
векторных пространств — алгебры Ли i) для Я и ad (/^-инвариант-
(/^-инвариантного подпространства т, т. е. если
A)
B)
Условие B) влечет
B')
и, обратно, если // связна, то B') влечет B). Мы скоро увидим,
что если КШ редуктивно, то Р допускает /С-инвариантную связ-
связность и линейное представление изотропии для Н необходимо
точное.
Специализируя теорему 11.7 главы II для рассматриваемого
случая, можем установить теорему:
Теорема 2.1. Пусть Р есть К-инвариантная G-структура
на редуктивном однородном пространстве М = КШ с разложением
t = [}-{-т. Тогда существует взаимно однозначное соответствие
между множеством К-инвариантных связностей на Р и множест-
множеством линейных отображений Ат: т —*• g таких, что
Ат(adh (X)) = ad (Я(А)) (Л,„ (X)) для X € m и h?H,
где X обозначает линейное представление изотропии И' —*¦ G.
Соответствие задается способом теоремы 1.2 так:
ad (Я)тсга.
[I), т]<=т
~\Л,„(Х), если Х?т.
Из теоремы 2.1 и следствия 1.3 немедленно получаем
Следствие 2.2. Взаимно однозначное соответствие в тес-
реме 2.1 может быть также задано формулой
и0 о (Лщ (X)) о и-1 - — (Ах)о для Х?т.
Из предложения 1.4 и "теоремы 2.1 получаем кручение Т и
кривизну R, выраженные в терминах Л,п. Чтобы дать более про-
простое выражение формулам из предложения 1.4, мы проводим
следующее отождествление:
m = То (М) = R".
§ 2. СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1 jg
Отождествление т = То(М) задается так: Xg m —¦+¦ Хо ? Т0(М),
т. е. векторному полю X 6 тп сопоставляется его значение в точке о.
Отождествление T0(M) = Rn задается линейным репером ио?Р
в о. Следовательно, мы рассматриваем Лш (X) как линейное пре-
преобразование для т. Определяем понятия [ , ]ь и [ , ]ш так:
[X, Y] = [X, К], + [X, Y]mt [X, ГЬ € I), [X, Y]mera.
Тогда предложение 1.4 может быть переформулировано в таком
виде:
Предложение 2.3. В теореме 2.1 тензор кручения Т и
тензор кривизны R инвариантной связности, соответствующей
Ат, могут быть выражены в начале о так:
A)
B)
Т(Х, YH =
R(X, К)в=
— [X, Y]m для X, Y
, Am(Y)]-Am([X, Y]m)-k([X,
для X, Y?m.
Ясно, что если мы положим Ат(Х) =0 для всех X ? ш, то Лш
удовлетворяет условию теоремы 2.1. Это показывает, что если
КШ редуктивно, то Р допускает ^С-инвариантную связность.
/С-инвариантная связность на Р, определенная равенством Л,„ = 0,
называется канонической связностью (относительно разложения
? = ^ + т), как и на с. ПО т. I. Канонической связности может
быть дана следующая геометрическая интерпретация:
Предложение 2.4. Пусть Р есть К-инвариантная G-струк-
G-структура на редуктивном однородном пространстве М = КШ с раз-
разложением ?=!)-}-т. Тогда каноническая связность на Р есть един-
единственная К-инвариантная связность на Р, обладающая следую-
следующим свойством:
Пусть ft = exp tX — однопараметрическая подгруппа в К, по-
порожденная произвольным элементом Х?т, a ft — однопараметри-
однопараметрическая группа преобразований для Р, индуцированная группой ff.
Тогда орбита ft (u0) горизонтальна.
Доказательство. Для Х?т пусть X обозначает Еектор-
ное поле, индуцированное преобразованиями ft на Р. Мы фикси-
фиксируем /("-инвариантную связность в Р. Так как Лт (X) = со (X)Uo по
теоремам 1.2 и 2.1, то отсюда следует, что Лт(Х) = 0 тогда и
только тогда, когда X горизонтально в и0. Так как Jt остав-
оставляет X инвариантным, потому что ft = exp tX, X горизонтально
в каждой точке Jt(u0), если оно горизонтально"'в и0. Отсюда
Лт(Х) = 0 тогда и только тогда, когда X горизонтально в каждой
точке Jt(uo). Другими словами, Лю(Х) = 0 тогда и только тогда,
когда интегральная кривая ft{uo) поля X через ио горизонтальна.

J80
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Следствие 2.5. Пусть Р и К/Н те же, что и в предло-
предложении 2.4, и рассмотрим каноническую связность в Р. Тогда мы
имеем:
A) Для каждого X <= m пусть ft = exp tX в К и xt — ft (о) в К/Н.
Тогда параллельный перенос касательных векторов в о вдоль кри-
кривой xt, O^ts^s, совпадает с дифференциалом от fs, действую-
действующим на К/Н.
B) Для каждого Х^т кривая xt, определенная в (I), есть
геодезическая. Обратно, каждая геодезическая, исходящая из о,
имеет вид ft (о) для некоторого X ? т.
C) Каноническая связность полна.
Доказательство. A) следует почти немедленно из пред-
предложения 2.4. Действительно, так как ft(uQ), Q^.t^Ls, есть гори-
горизонтальная кривая, которая проектируется на кривую xt, Q^t^
то мы видим, что для любого Y 6 То (К/Н)
(fs)*(Y) fs{u0)-u?Y
параллельно полю Y вдоль кривой xt, O^.t^.s. B) следует из A),
поскольку касательный вектор xt равен (ft)# Хо. C) немедленно
вытекает из B), так как exp tX определяется для всех t. ?
Замечание. Пусть Р будет /(-инвариантной G-структурой
на редуктивном однородном пространстве М = К/Н, как и в пред-
предложении 2.4. Пусть Р'—любое /(-инвариантное подрасслоение
в Р со структурной группой G'c:G. Допустим для простоты, что
и0 также содержится в Р'. Тогда каноническая связность в Р',
определенная соотношением Л,„ = 0, есть, очевидно, сужение ка-
канонической связности в Р (см. теорему 2.1). В частности, если
мы положим Р' — {f (uQ); /?/(}, то Р' есть подрасслоение в Р
с группой Н (или, точнее, X(H)cG), которое изоморфно расслое-
расслоению К {KlH, H). Каноническая связность в Р' соответствует ин-
инвариантной связности в К (К/Н, Н), определенной в теореме 11.1
главы II.
Теорема 2.6. Как и в теореме 2.1, пусть Р есть К-инва-
риантная G-структура на редуктивном однородном простран-
пространстве М = К/Н с разложением I = 1) + пт. Для тензора кручения Т
и тензора кривизны R канонической связности в Р мы имеем:
A) Т(Х, Y) = — [X Y] для X Г e
онической связнос
A) Т(Х, YH = — [X, Y]m для X, Г em;
B) (R(X, Y)Z) = — [[X, Y]b Z] для X, Y,
() Т(Х,
B) (R(X,
C) 7Г = 0;
D) V/? = 0.
Доказательство A). Положим Л,„ = 0 в A) предложе-
предложения 2.3.
B) Положим Лт = 0 в B) предложения 2.3 и используем то,
что линейное представление изотропии % для Н соответствует
сужению на m присоединенного представления для Н в I.
§2. СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
181
C) и D) следуют из инвариантности Т и R при действии К
и из следующего предложения.
Предложение 2.7. Пусть Р есть К-инвариантная G-струк-
G-структура на редуктивном однородном пространстве М = К/Н, как и
в теореме 2.1. Если тензорное поле на М инвариантно относи-
относительно К, то оно параллельно относительно канонической связ-
связности в Р.
Доказательство. Пусть L будет /(-инвариантным тензор-
тензорным полем на KlH. Из A) следствия 2.5 и из определения ко-
вариантной производной в терминах параллельного переноса от-
отсюда следует, что VL = O в о. Так как связность инвариантна,
то отсюда v? = 0 на KIH. П
Мы вспомним (см. т. I, с. 276), что, вообще говоря, аффин-
аффинная связность на многообразии М называется инвариантной при
параллелизме, если для произвольных точек х и у из Ми для
произвольной кривой х из д; в у существует (единственное) ло-
локальное аффинное преобразование / такое, что f (х) = у и что
дифференциал от / в х совпадает с параллельным переносом т:
Тх (М) —*- Ту (М) вдоль т. Мы знаем (см. следствие 7.6 главы VI),
что связность инвариантна при параллелизме тогда и только тогда,
когда \Т = 0, Vi? = 0. Теорема 2.6 влечет поэтому, что канони-
каноническая связность в Р инвариантна при параллелизме. Но мы можем
усмотреть из замечания, сделанного после следствия 2.5, что для
канонической связности в Р над редуктивным однородным про-
пространством M = KlH каждый параллельный перенос т: ТХ(М)—*
—»- Ту (М) в действительности задается дифференциалом в х гло-
глобального аффинного преобразования /? К- Действительно, мы рас-
рассмотрели в замечании расслоение К (К/Н, Н) как подрасслоение
для Р, переводя /<=ЛГ в f(uo)?P, и показали, что каноническая
связность уже определена в этом подрасслоении К (К/Н, Н), т. е.
К (К/Н, Н) содержит расслоение голономии канонической связ-
связности, содержащее и0.
Обратно, имеет место
Теорема 2.8. Пусть М — многообразие с аффинной связ-
связностью. Выберем точку о?М и линейный репер ио в о, и пусть
Р (и0)—расслоение голономии через и0.
A) Если К — связная группа аффинных преобразований для М
такая, что каждая и ?Р (и0) есть образ для и0 относительно
некоторого элемента f?K, т. е, u = f(uo)r и если Н — подгруппа
изотропии для К в о, т.е. H = \f^K; f(o) = o), то М есть ре-
дуктивное однородное пространство, а связность есть каноничес-
каноническая связность в L(M).
B) Если связность полна и удовлетворяет VT = 0 и VR = O
и если М односвязно, то М допускает группу аффинных преобра-
преобразований К, удовлетворяющую условию в A), и, сверх того, наимень-

182
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
шая такая группа просто транзитивна на расслоении голоно-
мии Р (ио).
Доказательство. A) Пусть К таково, как это описано
в A), и рассмотрим изоморфизм расслоений из К(К/Н, Н) в L(M),
который отображает f^i( в f{ио). Пусть К(ио) — образ К при
этом гомоморфизме; это подрасслоение для L(M). По нашему
предположению относительно К имеем
P(uo)<=K(uo)<=L(M).
Пусть QUo — горизонтальное подпространство в TUo(P (и0)). Тогда
QUoc:TUo(P(uo))c:TUo(K(uo)).
Если мы рассмотрим алгебру Ли I как касательное пространство
к К. в единице, то изоморфизм К.—>-К(ио) индуцирует линейный
изоморфизм i~^-TUo(K{uo)). Пусть m — прообраз для QUo относи-
относительно этого линейного изоморфизма. Ясно, что алгебра Ли I)
для Н есть прообраз вертикального подпространства при дейст-
действии того же линейного изоморфизма. Отсюда следует, что
f = f) + m (прямая сумма векторных пространств).
Чтобы доказать, что ad (H) тсгтп, достаточно проверить, что для
каждого п?Н отображение /?/С—*¦ hfh~x ? К переводит подпро-
подпространство m из f в себя. Но это сводится к проверке того, что
для каждогоh?Hотображение ы=/ (ио) ? К(«о) —>• nfh~x{uo) ? К{и0)
переводит QUo в себя. Если мы обозначим через К линейное пред-
представление изотропии Н —+GL{n; R), определенное так:
то отображение и -+h]h'1 (ио) может быть записано как и —¦*¦
—*¦ й{и)-Х(п)~г. Это отображение переводит ио в себя. Так как
h — аффинное преобразование, то h переводит каждое горизон-
горизонтальное подпространство в горизонтальное подпространство. Пер-
Первый сдвиг элементом X (h)'1 тоже отображает каждое горизон-
горизонтальное подпространство в горизонтальное подпространство. Отсюда
следует, что отображение и —¦*¦ h (и) ¦ X (А) переводит QUo в себя.
Из нашего определения m ясно, что XUo горизонтально для каж-
каждого X ?т. По теоремам 1.2 и 2.1 имеем Л!П(Х) =o>(X)Uo = О
для всех X ? т, что показывает, что данная связность есть кано-
каноническая связность в L(M).
B) Пусть А (М) — группа аффинных преобразований для М.
Она действует также на расслоении L (М) естественным образом.
Сначала покажем, что орбита для А(М) через ио содержит Р(ио)
в предположении, сформулированном в B). Так как \Т = 0 и
VR = 0, то каждая и?Р(и0) будет вида f(uo) для некоторого
§ 2. СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
183
локального аффинного преобразования / по следствию 7.6 главы VI.
По следствию 6.2 главы VI и теореме 7.7 главы VI такое / может
быть продолжено до (единственного) глобального аффинного пре-
преобразования / $ А (М). Пусть А" (М) — компонента единицы группы
А(М) (см. теорему 1.5 главы VI). Так как Р (и0) связно, то ор-
орбита для А° (М) через и0 уже содержит Р(и0). Мы можем поэтому
взять А" (М) за /С- Пусть К* — подгруппа в К, состоящая из
элементов / таких, что / отображает Р (и0) в себя. Мы утверж-
утверждаем, что элемент / ? К лежит в К* тогда и только тогда, когда
/ ("о) €Р (ио)• Действительно, если и?Р(и0) получается из и0
параллельным переносом вдоль кривой т из М, то /(и) полу-
получается из f (uo) параллельным переносом вдоль /(т). Это показы-
показывает, что если /(«о) из Р (и0), то J (и) лежит тоже в Р{ио). Так
мы показали, что К* транзитивна на Р(и0). Как было показано
после предложения 1.4, если / — аффинное преобразование для М,
отличное от тождественного, то / действует на L (М) без непод-
неподвижных точек. Отсюда К* просто транзитивна на Р (ио). Из по-
построения К* ясно, что /С* — наименьшая подгруппа из А(М),
удовлетворяющая условию в A). ?
Мы показали (см. следствие 2.5), что для канонической связ-
связности каждая геодезическая, исходящая из о, имеет вид ft (о), где
ft — exptX для некоторого Х?т. Определим теперь все ^-ин-
^-инвариантные связности с тем же семейством геодезических, что и
каноническая связность.
Предложение 2.9. Пусть Р есть К-инвариантная G-струк-
G-структура на редуктивном однородном пространстве М = К/Н с раз-
разложением J = !) + m. Тогда инвариантная связность, определенная
линейным отображением Ат: т—* g теоремы 2.1, имеет те же
геодезические, что и каноническая связность, тогда и только тогда,
когда
ЛИ(Х)Л' = О для всех Х?т.
Доказательство. Так как мы рассматриваем только ин-
инвариантные связности, то нужно только сравнить геодезические,
исходящие из о. Пусть V — ковариантное дифференцирование, оп-
определенное /(-инвариантной связностью в Р. Пусть Xgm и поло-
положим ff =exp tX. Тогда ft (о) есть геодезическая по отношению
к V тогда и только тогда, когда
(VxX)ft<.o) = 0 для всех t.
Поскольку ft — аффинное преобразование для каждого t, отсюда
следует (см. предложение 1.4 главы VI), что

184
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Так как ft — однопараметрическая группа, порожденная элемен-
элементом X, мы имеем ftX = X. Поэтому
Отсюда следует, что ft (о) — геодезическая относительно V тогда
и только тогда, когда
С другой стороны, следствие 1.3 и теорема 2.1 влекут (после
отождествления То (М), R" и тп)
Ли (Х)Х = — (АхH Хо = - (LXX)O + (vxXH = (\ХХ)О.
Отсюда ft (о) — геодезическая относительно V тогда и только тогда,
когда
АШ(Х)Х=О. ?
Теперь мы желаем рассмотреть /(-инвариантную связность без
кручения, имеющую те же геодезические, что и каноническая
связность. Как будет видно из доказательства следующей далее
теоремы, мы не можем найти такую связность в данной /(-инва-
/(-инвариантной G-структуре, если G слишком мала. В следующей далее
теореме мы Еозьмем поэтому L (М) в качестве Р и будем говорить
об аффинной связности на М вместо связности в L(M).
Теорема 2.10. Каждое редуктивное однородное простран-
пространство М = К/Н допускает единственную К-инвариантную аффинную
связность без кручения, имеющую те же геодезические, что и ка-
каноническая связность. Она определяется так:
Лт(*)Г = у[Х, Y]m для X, Кет.
Доказательство. Поляризуя, получаем ЛШ(Х)У"-Т-
+Л,„ (F) Х = 0 для X, У ? тп тогда и только тогда, когда Лш(Х)Х = 0
для Х$т. Теорема 2.10 теперь следует из предложений 2.3
и 2.9. ?
Мы назовем инвариантную связность, определенную в тео-
теореме 2.10, естественной связностью без кручения на К/Н (отно-
(относительно разложения f = ?) + m).
Из следствия 2.5 и теоремы 2.10 получаем
Следствие 2.11. Естественная связность без кручения на
редуктивном однородном пространстве /(/Я полна.
Замечание. В предшествующих рассуждениях мы допустили
для простоты, что К действует на К/Н эффективно, т. е. Я не
содержит нетривиальных нормальных подгрупп из К. Это делает
возможным, например, вложить К {К/Н, Н) как подрасслоение
в L(M). В остальном результаты, полученные в этом параграфе,
справедливы и без предположения, что К эффективна на К/Н.
§2. СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
185
Действительно, если К не эффективна на К/Н, то пусть N будет
наибольшей нормальной подгруппой из К, содержащейся в Н,
и положим K* = K/N и H* — H/N. Тогда естественный гомомор-
гомоморфизм К —>¦ К* индуцирует диффеоморфизм К/Н —> К*/Н* и К* эф-
эффективна на К*/Н*. Более того, если f = Ij + m есть ad (Я)-инва-
риантног разложение для I, то гомоморфизм 1—>-1* индуцирует
ad (Я*)-инвариантное разложение f• = '?)* _j_ m* для I*. Естественный
изоморфизм m —>- тп* делает возможным перенести результаты,
доказанные для К*/Н*, на К/Н. Только что сделанное замечание
полезно в приложениях результатов этого параграфа к конкрет-
конкретным примерам. Многие важные типы однородных пространств
часто представимы в виде К/Н, где К и Н—произведения клас-
классических групп, но К не обязательно эффективна на К/Н.
В качестве примера однородных пространств мы рассмотрим
групповое многообразие. Пусть М—связная группа Ли, и пусть
группа К = МхМ действует на М так:
((х, у), z)?(MxM)xM—>- xyz'1 6 М.
Тогда подгруппа изотропии Я для К в единичном элементе о?М
совпадает с диагональю А (М х М) -=¦ {(х, х); х?М\. Пусть m —
алгебра Ли для М, так что f = m + m и f) = A (m + m) ¦= {(X, X);
Х^тп}. Однородное пространство М=К/Н редуктивно и имеется
три естественных разложения для ?:
+ , где ш+={@, X); Х$т\;
_, где пт_ = {(Х, 0); Х?т};
0, где то {(Х
Канонические связности, определенные этими тремя разложениями,
называются соответственно (+) -связностью, (—^-связностью и
@)-связностью; эти связности впервые были введены Э. Карта-
ном и Схоутеном [ 1 ].
Предложение 2.12. Пусть М — связная группа Ли, и пусть
X, Y uZ — левоинвариантные векторные поля. Тогда
для (+)-связности: Т (X, Y)=[X, Y] и R = 0;
для \—)-связности: Т {X, Y) = ~[X, Y] и R = d;
для {Щ-связности 7 = 0 и R(X, Y)Z = —j[[X, У], Z].
Это предложение далее не используется и его доказательство
оставляем читателю.
Следующий пример нередуктивного однородного пространства
с инвариантной аффинной связностью принадлежит Вану (см. Н о-
мидзу [6]).
Пример 2.1. Пусть М— аффинное пространство R", п ^ 2,
лишенное начала. Наибольшая группа аффинных преобразований
для М есть, как легко видеть, GL(n; R). Пусть /( — компонента

186
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
единицы для GL(n; R), а Я—подгруппа изотропии для К в точке,
скажем A, 0, ..., 0)?Л4. Простой подсчет с использованием
матриц показывает, что К./Н не редуктивно.
Но многие однородные пространства редуктивны. В каждом
из следующих случаев однородное пространство К/П редуктивно:
(a) Я компактна;
(b) Я связная и I) редуктивна в f в том смысле, что ad (h)
в i вполне приводимо; это случай, когда Я связная и полупростая;
(c) // — дискретная подгруппа в К-
Чтобы доказать, что К/Н редуктивно в случае (а), допустим,
что ( , )' — произвольное скалярное произведение на f. Определим
новое скалярное произведение ( , ) на f так:
X, У =
, adh(Y))'dh,
где dh обозначает меру Хаара на Я. Новое скалярное произведе-
произведение инвариантно относительно ad (Я). Если мы обозначим через m
ортогональное дополнение к I) относительно скалярного произве-
произведения ( , ), то получим ad (Я)-инвариантное разложение f = J) + m.
Большая часть результатов этого параграфа принадлежит
Номидзу [2]. (Отметим, что каноническая связность предложе-
предложения 2.4 была названа канонической связностью второго рода, а
естественная связность без кручения теоремы 2.10 была названа
канонической связностью первого рода.) Теорема 2.8 есть техническое
усовершенствование результата Кобаяси [3]. Инвариантные
связности на редуктивных однородных пространствах независимо
изучались Рашевским [1], [2], Куритой [1] и Винбер-
гом [1], [2].
§ 3. Инвариантные неопределенные римановы метрики
Пусть М=К/Н— однородное пространство, где К — связная
группа Ли, действующая эффективно на М, если не указано иначе.
Мы часто будем отождествлять касательное пространство То (М)
в начале о с фактор пространством f/fy естественным образом. Если
К/Н—редуктивное пространство с ad (//)-инвариантным разложе-
разложением ? = f) + m, то То (М) и f/t) будут отождествляться с ш тоже
естественным образом. Так как для каждого h ? Я ad h: I —>- i
отображает подалгебру Ц в себя, то оно индуцирует линейное ото-
отображение в iffy, которое тоже будет обозначаться через adh. Как
и в предыдущем параграфе, мы будем отождествлять каждый эле-
элемент X ? i с векторным полем на М, индуцированным при помощи X.
Чтобы выразить некоторые основные свойства инвариантной
метрики на К/Н на языке алгебр Ли, докажем сначала
Предложение 3.1. Существует естественное взаимно одно-
однозначное соответствие между К-инвариантными неопределенными
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ РИМАНОВЫ МЕТРИКИ 1Я7
римановыми метриками g на М = К/Н и ad (Н)-инвариантными
невырожденными симметричными билинейными формами В на iffy.
Соответствие задается так:
В(Х, Y) = g(X, Y)o для X, Y?t,
где X и Y — элементы из iffy, представленные посредством X и Y
соответственно. Форма В положительно определенна тогда и
только тогда, когда соответствующая метрика g положительно
определенна.
Доказательство. Покажем только, как построить g из
В, и оставим остальное читателю. Любая точка из М будет вида
/ (о) для некоторого / ? К и любой вектор в / (о) ? М будет зида
f \ХО) для некоторого X ? f. Прямая проверка показывает, что сле-
следующее равенство определяет /("-инвариантную метрику g на М:
g(f(Xo), f{Y0))^B(X, Y) для X, Y?t ?
Следствие 3.2. Если M = KlH редуктивно с ad (Л)-инва-
риантным разложением f = I) + m, то существует естественное
взаимно однозначное соответствие между К-инвариантными неопре-
неопределенными римановыми метриками g на М = К/Н и ad (Н)-инва-
риантными невырожденными симметричными билинейными фор-
формами В на т. Соответствие задается так:
В(Х, Y) = g(X, Y)o для X, Y?m.
Инвариантность В относительно ad {H) влечет
B([Z, X], Y) + B{X, [Z, Y]) = 0 для X, Y?m и Z^,
и обратное верно, если Н связна.
Замечание. Предложение 3.1 есть специальный случай есте-
естественного взаимно однозначного соответствия между /("-инвариант-
/("-инвариантными тензорными полями L типа (г, s) на /С/Я и ad (Я)-инвариант-
ными тензорами типа (г, s) на f/f). To же замечание применимо
к следствию 3.2.
Теорема 3.3. Пусть М = К/И — редуктивное однородное про-
пространство с ad (Щ-инвариантным разложением I = i) + ш u ad (Я)-
инвариантной невырожденной симметричной билинейной формой В
наjm. Пусть g есть К-инвариантная метрика, соответствую-
соответствующая В. Тогда
A) Риманова связность для g задается так:
Am(X)Y = ±[X, Y]m + U{X, Y),
zde'JJ(X, Y) — симметричное билинейное отображение из tnxm
в ш, определенное формулой
2B(U(X, Y), Z) = B(X, [Z, Y]m)+B([Z, Х]ш, Y)
для всех X, Y, Z^m.

188
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
B) Риманова связность для g совпадает с естественной связно-
связностью без кручения тогда и только тогда, когда В удовлетворяет
равенству
В(Х, [Z, Y]m) + B([Z, Х]т, У) = 0 для X, Y, Z?m.
Доказательство. Отождествляя ш с Т0(М), мы имеем
Ат(Х) —— {Ах)о по следствию 2.2. Так как Ах кососимметрично
относительно g (см. предложение 3.2 главы VI), то Ат(Х) косо-
симметрично относительно В, т. е. B(Am(X)Y, Z)-\-B(Y, Am(X)Z)=
= 0 для Y, Z?m. Мы имеем также Лщ (X) Y — Л,„(К) Х = [Х, У],„
по предложению 2.3. Если мы положим
U(X, Y)=Am{X)Y-±[X, У]Ш)
то U (X, Y) симметрично по X и Y и удовлетворяет соотношению
B(U(X, Y), Z)+B(Y, U(X, Z))
= i-{В ([Г, Х]т, Z) + B(Y, [Z, Х]ш)\.
Отсюда и из двух тождеств, получающихся циклической подста-
подстановкой X, Y и Z, получаем, используя симметричность U,
2B(U(X, Y), Z) = B(X, [Z, Y]m)-B([Z, X]m, Y)
для X, Y, Zgnr, что доказывает первую часть. Вторая часть
следует немедленно. ?
Теорема 3.3 была доказана Номидзу [2], где формула A3.1)
на с. 51 содержит ошибку в знаке (как было отмечено By).
Однородное пространство М = К/Н с ЛГ-инвариантной неопре-
неопределенной римановой метрикой g называется естественно редуктив-
ным, если оно допускает ad (//)-инвариантное разложение t'= Ij-f m,
удовлетворяющее условию
В(Х, [Z, Y]m)+B([Z, X]m, У) = 0 для X, Y, Z <= m
георемы 3.3.
Предложение 3.4. ПустьМ = К/Н — естественноредуктив-
ное однородное пространство с ad (Н)-инвариантным разложением
i = t) + m и К~инвариантной неопределенной римановой метрикой g.
Пусть В — билинейная форма на т, которая соответствует g.
Тогда тензор кривизны R римановой связности удовлетворяет
условию
g(R(X, Y)Y, Х)О = ±
Y]w, [X,
, Y]b, Y], X)
для X, Гбта.
ВАРИАНТНЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
189
Доказательство. Из предложения 2.3 и теоремы 2.10
получаем
= \[X, [Y, Z]m]m—±[Y, [X, Z]m]m
> zl Для X, Y,
(R(X,
Из этой формулы и теоремы 3.3 легко получаем предложение 3.4. ?
Следующая теорема дает очень простой случай, когда можно
применить теорему 3.3 и предложение 3.4.
Теорема 3.5. Пусть KIH — однородное пространство. До-
Допустим, что алгебра Ли I группы К допускает ad (^-инвариант-
(^-инвариантную невырожденную симметричную билинейную форму В такую,
что ее сужение В^ на i) невырожденно. Тогда:
A) разложение f = I) i-m, определенное условием
m = {X?t; В(Х, Y) = 0 для всех У(=Щ,
ad (Н)-инвариантно и сужение Вт формы В на т тоже невырож-
невырожденно и ad (Н)-инвариантно;
B) однородное пространство К/Н естественно редуктивно отно-
относительно разложения f = I) + ttt, определенного выше, и К-инва-
риантная метрика g определяется посредством Вт;
C) тензор кривизны R, определенный метрикой g, удовлетво-
удовлетворяет условию
g(R(X, Y)Y, Х)О = ±ВШ([Х, Y]nu [X, Y]
для X, Fem.
Доказательство. Доказательство A) тривиально. Чтобы
доказать B), допустим, что X, Y, Z?m. Так как В является
ad (ЛГ)-инвариантной, то
B{[Z, X], Y)+B(X, [Z, У]) = 0.
Поскольку f) и m перпендикулярны относительно В, получаем
B([Z, X]m, Y) + B(X, [Z, Г]т) = 0,
что доказывает B). Чтобы доказать C), пусть X, Y ?m. Тогда
ВШ([[Х, Г]5, Y], Х) = В([[Х, ГЬ, Y], X)
[ ], [X,
ь [X,
, [X,
Теперь C) следует из предложения 3.4. ?

190
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Следствие 3.6. Пусть /С/Я — однородное пространство та-
такое, что алгебра JIui группы К допускает ad(К) -инвариантную
положительно определенную симметричную билинейную форму В.
Тогда /С/Я естественно редуктивно относительно разложения ? ¦=
= I) + m и К-инвариантной римановой метрики g, определенной
в теореме 3.5. Секционная кривизна относительно метрики g
неотрицательна.
Замечание. Самельсон [2] дал более прямое доказатель-
доказательство последнего утверждения следствия 3.6.
Пример 3.1. В качестве специального случая следствия 3.6
возьмем компактную группу Ли К, рассматриваемую как однород-
однородное пространство К1{е\. Для а<1(/С)-инвариантной положительно
определенной симметричной билинейной формы В на алгебре Ли ?
возьмем левоинвариантную риманову метрику g на /С, которая
также и правоинвариантна. Тензор кривизны R задается так:
R(X, Y) = —L
У]).
Действительно, эта риманова связность совпадает с (О)-связностью
в К предложения 2.12.
Пример 3.2. Форма Киллинга — Картана ф на алгебре Ли f
группы Ли К отрицательно полуопределенная, если /С компактна
(см. приложение 9). Мы докажем, что,обратно, если ф отрицательно
определенная, то К компактна (теорема Вейля). Исходя из В=—ф,
которая есть ad (/С)-инвариантная положительно определенная
симметричная билинейная форма на I, получаем биинвариантную
римановуметрику g на К способом примера 3.1. Так как R(X, Y)=
— —-r-ad([X, У]), то тензор Риччи задается так:
S(X, Y) = trace {Z —- R (Z, X)Y}
= trace {z->-4-[[Z, X], Y]j
= —ltracead(X)ad(r)]=--i-q>(*. Y)
-~g{X, Y).
Итак, метрика g эйнштейнова и теорема 3.4 главы VIII влечет,
что К компактна. Теорема Вейля влечет следующее. Если К —
компактная полупростая группа Ли (так что ф отрицательно опре-
определенная; см. приложение 9), то универсальная накрывающая
группа К тоже компактна, а фундаментальная группа пг (К)
конечна.
§4. ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ ИНВАРИАНТНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ
191
§ 4. Группы голономии инвариантных связностей
Ради удобства мы переформулируем теорему Вана об алгебре
группы голономии инвариантной связности в специализированном
для случая инвариантной аффинной связности виде (см. тео-
теорему 11.8 главы II).
Теорема 4.1. Пусть Р есть К-инвариантная G-структура
на М = К/Н, а Л: f —<- g — линейное отображение, определяющее
К-инвариантную связность в Р, как в теореме 1.2. Тогда алгебра
Ли группы голономии W (и0) инвариантной связности, определенней
посредством А, задается так:
tno+[A(f), mo] + [A(f), [Л(I), шо]]+...,
где т0 — подпространство в д, порожденное множеством
-Л([Х-, У]); X, У?Ц.
В редуктивном случае получаем
Следствие 4.2. В теореме 4.1 допустим еще, что /С/Я —
редуктивное пространство с ad (Н)-инвариантным разложением
f={) + tn. и пусть Лш: m—^g — сужение А на т. Тогда алгебра
Ли группы голономии W(u0) задается так:
т0 + [Лщ (т), т0] + [Л,„ (т), [Лш (т), т0]] + ...,
где т0 — подпространство в д, порожденное множеством
\[АШ(Х), Лт(Г)]-Лт([Х, Y]m)-X([X, K]s); X, Y?m).
Доказательство. Мы покажем, что тп0 в следствии 4.2
совпадает с т„ в теореме 4.1. Пусть X, Y?t, и представим их
в соответствии с разложением f = j(j + in:
Используя свойство Л,„, сформулированное в теореме 2.1, и то,
что X есть гомоморфизм из § в д, получаем
, Л(Г)]-Л([Х,
+ Лш (Хт), X (Yi) + Л„ (Ym)]
— Лш ([Xij, Ym] + [Xut, Y^ ] -f- [Xm, Fni]i,,)
= [Л„(Хт), Am(Ym)]-Am([Xm, Уш]т)-Х([Хш, Ym]n)
что и доказывает наше утверждение.
Пусть X, У?ш, и положим
А(Х, Г) = [ЛИ(Х), Лш(Г)]-Лт([Х, Y]ni)-X([X, У],).

192
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§4. ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ ИНВАРИАНТНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ
193
Пусть Z = Z§ + Zm. Простой подсчет дает
]>(Z), А(Х, Y)] = A([Zi, X], Y) + A(X, [Z,, Y]) ¦
¦+[Am(Zm), Л(Х,
а это доказывает, что
[A(f), ш0]сга0 + [Л,„Aп), m0].
Отсюда получаем также
?A(Z), [Лш(т), ш0]]
6), [Лш(т), mo]] + [Am(Zul), [Am(m),m0J]
), Лт(т)], то] + [Лт(т), |>B5), т0]]
+ [Am(Zlu), [Лш(ш), т0]]
c[Aul([Z$, т]), то] + [Лт(т), то + [Лт(т), т0]]
+ [Allt(Zm), [Лт(т), т0]]
с[Лш(т), то] + [Лт(т), [Лт(т), т0]],
а это доказывает, что
[A(f), [Лш(ш), ш0]] сг[Л,и(т), шо] + [Лт(т), [ЛЦ1(т), т0]].
Продолжая таким образом, получаем окончательно
[) ]]
o + [Am(m), me] + [Am(m), [Aw(m), mo]J+ ...
Так как обратное включение тривиально выполняется, то следст-
следствие 4.2 получается теперь из теоремы 4.1. ?
Полагая АП1 = 0 в следствии 4.2, получаем (Номидзу [2])
Следствие 4.3. В теореме 4.1 допустим, что KIH редук-
тивно с ad {Н)-инвариантным разложением f = J) + m. Тогда ал-
алгебра Ли группы голономии ?(«„) канонической связности порож-
порождается множеством
{К([Х, ГЬ); X, Y?tn\.
Отметим здесь, что \[Х, Г],, ; X, Y^nt] порождает идеал в!)
и, следовательно, суженная линейная группа голономии канони-
канонической связности есть нормальная подгруппа линейной группы
изотропии Я = X (Я).
Как мы уже отмечали (см. замечание после следствия 2.5),
каноническая связность связана с инвариантной связностью
в А'(/С/Я, Я), определенной в теореме 11.1 главы II. Следствие 4.3
соответствует там утверждению D) теоремы 11.1.
Несмотря на то, что для естественной связности без кручения
А,„ точно выражается через скобочную операцию, следствие 4.2
не дает достаточно простого выражения алгебры голономии в этом
случае.
Следующая переформулировка теоремы 4.1 и следствия 4.2
иногда более полезна в приложениях.
Теорема 4.4. В теореме 4.1 алгебра Ли группы голономии
Чг(ы0) есть наименьшая подалгебра I,*в g такая, что A) R(X,Y)O?
?lj* для всех X, Y?t и B)[А(Х), 1)*]б1)* для всех X?'i.
Как обычно, Т0(М) отождествляется с R", и стсюда R (X, Y)o
в действительности означает Ug1o(R (X, Y)o) о и0.
Доказательство. По теореме 4.1 алгебра Ли для ^?(u0)
совпадает с наименьшей подалгеброй I)* в g такой, что A) ш„с:1д
где тп0 определено в теореме 4.1, и B) \А(Х), '()•] с: V Для всех
X 6 f• С другой стороны, тп„ порождается посредством R(X, Y)o,
X, Y?i, по предложению 1.4. ?
То же рассуждение с использованием следствия 4.2 и предло-
предложения 2.3 влечет
Следствие 4.5. В следствии 4.2 алгебра Ли группы голоно-
голономии х? (и0) совпадает с наименьшей подалгеброй I)* в g такой, что
A) R{X, У)в€)" для всех X, Y?m и B)[Ат(Х), If] с k* для
всех X 6 тп.
В работе Номидзу [3] следствие 4.5 было получено более
прямым путем из результата Нейенхёйса (см. теорему 9.2 главы III).
Для инвариантной связности на однородном пространстве уточ-
уточним результат § 4 главы VI. Пусть Р есть /(-инвариантная G-
структура на однородном пространстве /С/Я, а А: 1 —-*- g — линейное
отображение, определяющее /(-инвариантную связность в Р (см.
теорему 1.2). Положим а? равной подалгебре в д, порожденной
множеством \А(Х); X ?i'}.
По следствию 1.3 сп может также рассматриваться как алгебра
Ли линейных преобразований для Т0(М), порожденная посред-
посредством \(АХ)О; X?t}, где Ах= Lx — Vx- Первоначально Gi так и
была введена в римановом случае Костантом [1], [2] и исполь-
использовалась Лихнеровичем [3] и Ваном [1] в более общей
ситуации.
Основное свойство для cj таково.
Предложение 4.6. Пусть Р есть К-инварианткая G-струк-
тура на М = К!Н, а А: I—+$ —линейное отображение, опреде-
определяющее К-инвариантную связность в Р. Пусть I* — алгебра Ли
группы голономии W(u0). Тогда
A)
где щ
$• с й с: «„(§•),
— нормализатор для if в д, т.е.
п(!A)*)={Лбд; [A, I)*]c:f)*};
B) k(Jj)<=ai.
Доказательство. A) По теореме 4.1 а? яено содержит %*
Также по теореме 4.1 [А(Х), I,*] с I,*, и стскда [с*, %*](=%•
7 Зак. 425

194
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
B) Так как А(Х) — к(Х) для X ? I) по определению, то at со-
содержит Х($ = {А(Х), ХеЫ- О
Приведем несколько случаев, когда алгебра голономии §*
совпадает с ctf. Будем говорить, что /С-инвариантная связность
в Р нормальна, если f)* = aj.
Теорема 4.7. Пусть М — К/Н— однородное пространство
с К-инвариантной римановой метрикой. Тогда ее риманова связ-
связность нормальна в любом из следующих случаев:
(a) М компактно;
(b) M не допускает ненулевой параллельной 2-формы.
Доказательство. Как мы показали в доказательстве тео-
теоремы 4.5 главы VI, каждая инфинитезимальная изометрия X для
М порождает параллельное тензорное поле Вх типа A,1), которое
кососимметрично относительно римановой метрики, и Вх = 0 вле-
влечет (Ах)о ? {;*. Если (а) удовлетворяется, то at с §* по теореме 4.5
главы VI. Пусть $х есть 2-форма, соответствующая Вх по дуаль-
дуальности, определяемой метрическим тензором g, т. е.
$X(Y, Z) = g(BxY, Z) для всех векторных полей Y, Z на М.
Если (Ь) удовлетворяется, то |Зу = О для всех X?t, и поэтому
Вх = 0 для всех X ? f. Отсюда следует, что at cz i)*. П
Замечание. Доказательство теоремы 4.5 главы VI в действи-
действительности влечет следующий чуть более общий результат.
(а') Если М=К/Н— компактное однородное пространство с К-
инвариантной неопределенной римановой метрикой, то ее риманова
связность нормальна.
(W) Для однородного пространства М = К/Н с К-инвариант-
К-инвариантной неопределенной римановой метрикой каждая К-инвариантная
метрическая связность (т. е. каждая К-инвариантная связность,
для которой метрический тензор параллелен), которая не допускает
ненулевой параллельной 2-формы, нормальна.
Теорема 4.7 принадлежит Костанту [1]. Как мы видим
из предложения 4.6, если ?)* = irfl (i)), то I)* = aj.
Следующая теорема дает геометрическую интерпретацию поня-
понятию нормальной связности.
Теорема 4.8. Пусть Р есть К-инвариантная G-структура
на однородном пространстве М = К/Н. Фиксируем К-инвариант-
ную связность в Р, и пусть Р (и0) — расслоение голономии через
репер и0 ? Р. Тогда связность нормальна тогда и только тогда,
когда каждый элемент из К отображает Р (и0) в себя.
Доказательство. Пусть со — форма связности для данной
/С-инвариантной связности. Для каждого / ? К индуцированное
преобразование / для Р отображает каждую горизонтальную кри-
кривую в горизонтальную кривую. Отсюда следует, что f отображает
Р (и0) в себя тогда и только тогда, когда } (и0) ?Р (и0). Так как
§4. ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ ИНВАРИАНТНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ
195
К связна по предположению, f (uo)?P (u0) для всех /?/( тогда
и только тогда, когда X касается Р (ио) в и0 для всех Л' ? t.
(Здесь X обозначает, как и ранее, естественный лифт для X до Р.)
Поскольку горизонтальная компонента для X в и0 всегда касается
Р (и0), то X касается Р (и0) в и0 тогда и только тогда, когда его
вертикальная компонента касается Р (и0) в ио. Но последнее спра-
справедливо тогда и только тогда, когда со (X)Uo лежит в алгебре Ли '{)*
группы голономии W (и0). Поэтому / отображает Р (ио) в себя для
всех / ? К тогда и только тогда, когда со (X)Uo ^ If для всех X ? f.
С другой стороны, следствие 1.3 влечет, что go(X)Uo?I)* тогда и
только тогда, когда X ?сц . ?
Мы уже видели в главе II, что в силу теоремы редукции
(см. теорему 7.1 главы II) для определенного типа проблем, свя-
связанных со связностью в главном расслоении Р, мы можем считать,
что Р есть расслоение голономии. Если вовлекается в рассмотре-
рассмотрение группа автоморфизмов К для Р, то такое упрощение, вообще
говоря, недостижимо, если К не отображает расслоение голо-
голономии в себя. Теорема 4.8 означает, что если инвариантная связ-
связность на однородном пространстве нормальна, то теорема редукции
все еще может быть успешно использована. Доказательство сле-
следующего следствия иллюстрирует сказанное.
Следствие 4.9. Пусть Р есть К-инвариантная G-структура
на однородном пространстве М — К/Н'¦ Если К-инвариантная связ-
связность в Р нормальна, то каждое параллельное тензорное поле на
М инвариантно под действием К.
Доказательство. По теореме 4.8 мы можем считать, что Р
есть расслоение голономии. Пусть 5—параллельное тензорное
поле типа (г, s) на М, а 5 — соответствующее отображение из Р
в тензорное пространство Т[, т.е.
5 (и) = и~1 (Sji(U)),
где п: Р—>-М есть проекция, а и'1 означает изоморфизм Ts(n(u))—>-
— TJ, индуцированный отображением и'1: Тх (М) —->• R". (Более
интуитивно, S (и) можно рассматривать как компоненты для 5
относительно репера и.) Из определения ковариантного дифферен-
дифференцирования, данного в § 1 главы III, следует, что предположение
о параллельности S означает, что S есть Постоянное отображение
из Р в Ts- Отсюда S инвариантно при действии/ для всех f ? К.
Это означает, что S инвариантно при действии К. П
Замечание. Следствие 4.9 было доказано Лихнерови-
чем [3] при помощи такого рассуждения. Для каждого х?М =
= К/Н пусть at (х) — алгебра Ли линейных преобразований для
7- Зах. 425

196
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕ РАМА И НЕПРИВОДИМОСТЬ
197
Т
\{), порожденная множеством {(Лх)х; X?t}. Тогда тензорное
поле 5 на М, удовлетворяющее любым двум из следующих трех,
условий, необходимо удовлетворяет и третьему:
(a) 5 инвариантно относительно /С;
(b) 5 параллельно;
(c) Sx инвариантно под действием группы линейных преобра-
преобразований, порожденной посредством at (х) для всех х?М..
(Этот факт легко следует из AX = LX — V* без предположения,
что данная инвариантная связность нормальна.) Если связность
нормальна, то (Ь) влечет (с) и отсюда (а) тоже.
Из теоремы 4.7 и следствия 4.9 вытекает, что на компактном
однородном римановом многообразии М каждое параллельное
тензорное поле 5 инвариантно относительно наибольшей связной
группы изометрий для М. Это — специальный случай результата
Вана, доказанного в томе I (см. теорему 4.6 главы VI), он был
первоначально доказан Костантом [2]. ;
§ 5. Разложение де Рамами неприводимость
Пусть М — односвязное полное риманово многообразие. Тогда
(см. теорему 6.2 главы VI) М изометрично прямому произведе-
произведению Мо х Мх х • • • х Мг, где /Ио — евклидово пространство (воз-
(возможно, нулевой размерности), а Ми . . ., Мг — односвязные полные
неприводимые римаиовы многообразия, такое разложение одно-
однозначно с точностью до порядка следования сомножителей. По
теореме 3.5 главы VI наибольшая связная группа /°(М) изомет-
изометрий для М естественным образом изоморфна прямому произведению
наибольших связных групп /°(/W;) изометрий сомножителей М(:
/° (/И) « /° (Ма) х /° (MJ х • • • X /° (Мг).
Отсюда очевидно, что М есть однородное риманово многообразие
тогда и только тогда, когда однородными римановыми многооб-
многообразиями являются и сомножители Мо, Мх, . . ., Мг. Следующая
теорема (принадлежащая Номидзу [3]) дает более точный ре-
результат.
Теорема 5.1. Пусть М = К/Н — односвязное однородное про-
пространство с инвариантной римановой метрикой. Тогда суще-
существуют связные замкнутые подгруппы Ко, Klt ¦ ¦ ¦, Кг в К, каждая
из которых содержит Н, такие, что
K/H=KjHxKjHx ¦ ¦ ¦ ХКГ!Н
есть разложение де Рама, где каждый множитель К;/Н наделен
инвариантной римановой метрикой (К{ может и не быть эффек-
эффективной на KilH).
Доказательство. Сначала заметим, что будучи однород-
однородным, М полно (см. теорему 4.5 главы IV) и отсюда теорема о раз-
разложении де Рама, установленная выше, может быть применена
к М. Пусть М = Мох Мгх ¦ ¦ ¦ хМг — разложение де Рама для М.
Мы можем отождествить каждое М{ с вполне геодезическим под-
подмногообразием М; из М, проходящим через начало о в М=/С///
(см. § 6 главы IV). Так как К, предполагается связной, то она
содержится в /°(М). Для каждого фиксированного i положим
т. е.
Поскольку для каждого х?М; существует элемент f?/C такой,
что / (о) —х, и поскольку такой элемент необходимо лежит в /° (М,-),
/Q транзитивна на М, и подгруппа изотропии для К{ в о сов-
совпадает с Н. Отсюда М,-=/С;/Я. ?
Хотя теорема 5.1 верна для односвязных однородных рима-
новых многообразий, более желательно иметь, пусть при более
сильных предположениях, разложение следующего типа:
KJH.xKJH.x- ¦ ¦ хКг1Нг
Следующая теорем а Костанта [2] дает результат в этом на-
направлении.
Теорема 5.2. Пусть М = K.IH — односвязное естественно ре-
дуктивное однородное пространство с ad (H)-инвариантным раз-
разложением I = i) + m и К-инвариантной римановой метрикой g.
Пусть
— разложение де Рама касательного пространства Т0(М) и
m = m0 + mt -\ + mr
— соответствующее разложение для т при естественном отожде-
отождествлении Т0(М) = ш. Положим
t (m) = m + [m, m],
t,. = m,- + [m,-, m,.], I),- =f,- nf) для t = 0, 1, ...,r.
Тогда f(m), f0, tu ¦¦., tr — идеалы el и
t(nt) = to-irf1-ir . . . Jrfr (прямая сумма алгебр Ли),
f) = ?H -j- ^ 4- .. . + fyr (прямая сумма алгебр Ли).
Доказательство. Сначала докажем следующий общий
факт.

198
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Лемма 1. Пусть ТХ(М) = 2?=о^') — разложение де Рама
касательного пространства ТХ(М) в х односвязного риманова мно-
многообразия М. Пусть N — нормализатор суженной группы голрно-
мии Ч? (х) (он состоит из линейных преобразований s для ТХ('М)
таких, что s-lx? (x)sczW (х)). Тогда все подпространства Г</>
инвариантны при действии компоненты единицы № из М,
Доказательство леммы 1. Пусть s?N. Так как для
каждого а^^?(х) существует элемент а'?^?(х) такой, что
as(Tx») = sa'(Txl>)=s(Tx») для i = О, 1, ...,/-,
то каждое s(r<.") инвариантно при действии W (х). С другой сто-
стороны, Тх(М) = 2?-os(Tx})- Из единственности разложения де Рама
(см. теорему 5.4 главы VI) следует, что каждое s переставляет
подпространства Тх°\ Тхи, ..., Тхг\ Это порождает гомоморфизм
из N в группу подстановок множества {0, 1, . .., г\. Очевидно,
что ядро этого гомоморфизма содержит компоненту единицы №.
Это завершает доказательство леммы 1.
Лемма 2. Имеют место следующие соотношения:
A) aj(m/)c:m/, [i), m/Jcrm,- для i = 0, 1, ..., г;
B) [т{, mf]cm; + l) для i = Q, I, ..., г;
C) [га;, ту] = 0 для 1ф\, i, / = 0, 1, ..., г.
Доказательство леммы 2. Так как at содержится в нор-
нормализаторе алгебры голономии I)* по предложению 4.6, лемма 1
влечет первое соотношение в A). Поскольку [I), m^czat (m;) тоже
по предложению 4.6, второе соотношение в A) справедливо. Так
как К/Н естественно редуктивно, то риманова связность совпа-
совпадает с естественной связностью без кручения. Отсюда (см. тео-
теорему 2.10)
[X,Y]m = — 2(AxY)o для X, У em.
Отсюда следует, что
[X, Fjmc:aE(mi-)c:m1- для Xgm, К ? т,-,
т. е.
D) [m, rajmcrm,-,
что влечет B), а также
E) [Ш/, Шу],,, с га,- Г) in,- = 0 для 1ф\.
По предложению 2.3 тензор кривизны R задается так:
(R(X, Y)ZH = ±[X, [Y, Z]m]m-[Y, [X, Z]tn]M
для X, Y,
T[[X, Y]m, Z]m-[[X, Fj6) Z]
§5. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕ РАМА И НЕПРИВОДИМОСТЬ
Если X Gm,-, Y^my и 1ф], то D) и E) влекут
(R(X, Y)Z)O = — [[X, У],, Z] для Zem.
Но член в левой части — нуль, так как X и Y принадлежат раз-
различным множителям разложения де Рама. Так как линейное
представление изотропии точное, то из [[X, У]$,гп-] = 0 получаем
[X, Y\ = 0. Это вместе с E) влечет C), что и завершает дока-
доказательство леммы 2.
Теперь с помощью лемм 1 и 2 мы завершим доказательство
теоремы 5.2. Используя тождество Якоби, получаем из леммы 2
F) [f, ttt;]c:[f>, т(] + [т0, xnt]-\ b[ntr, tn«]
+ [m,, m,-].
Посредством тождества Якоби и F) получаем
G) [?, [ш;, mi-]]c:[mI- + [m1-, m;], m;] cr[f, m^czmi + lnii, m,].
В силу F) и G) каждое г,- есть идеал в ?. По лемме 2
(8) [*,., fy] = 0 для {ф\.
По лемме 2 еще
t(ra) = fo + f1+ . . . +fr (сумма не обязательно прямая).
Чтобы доказать, что правая часть в действительности есть пря-
прямая сумма, пусть X ? гг- П гу- для некоторого гф\. По (8)
(9) [X, т]<=[Х, to] + [X, IJ+...+IX, fr] = 0.
С другой стороны, f,-ZDm,- и f==f) + m влекут
где ^. = f. л^.
Поскольку fj-nfy-cr^-n ilyczf) для 1ф\, то Хб^)- Из (9) и точно-
точности линейного представления изотропии следует, что Х = 0. Осталь-
Остальное теперь очевидно. ?
Замечание. Если К. —связная группа, а К/Н односвязно,
то простые гомотопические рассмотрения показывают, что Н
связна. Беря универсальную накрывающую группу для К вместо
К, мы можем считать в теореме 5.2, что К односвязна; К остается
почти эффективной на KIH, хотя, быть может, уже не эффек-
эффективной. Так как К односвязна, то нормальные подгруппы К(т),
Ко, Кг, . ¦ ., Кг для К, порожденные идеалами f (ш), Io, Slt . ¦ ¦, fr
соответственно, замкнуты и односвязны и, сверх того,
K(m) = KoxKiX-- ¦ ХКГ.
Если мы положим Н (ш) = К (ш) П Н, Н'{ = Kt П Н для i = 0, 1, . . .,
г, то К{тIН{т), К{1Нг, i = 0, 1, ..., г, будут естественно

200
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
редуктивны, и
К/Н = К(т)/Н(т) = КоШохК1/Н1х--
совпадает с разложением де Рама для М =К/Н.
Весьма естественно теперь рассмотреть случай, когда 1 = 1 (т).
Следствие 5.3. В теореме 5.2, если ad (Н)-инвариантное
скалярное произведение Вт на т, соответствующее метрике g, мо-
может быть продолжено до ad (К)-инвариантной невырожденной
билинейной симметричной формы В на i такой, что В (т, Ь) = 0, то
Доказательство. Достаточно доказать, что f=f(m). Но
это имеет место в следующей более общей форме.
Лемма. В тех же предположениях, что и в теореме 3.5, имеем
1 = т-\-[т, ш].
Доказательство леммы. Так как f(т) = гп + [т, т]
есть идеал в f, его ортогональное дополнение и (в f, относи-
относительно В)-— тоже идеал из I. Поскольку п перпендикулярен к ш,
то он содержится в |). Поскольку К почти эффективна на К/Л,
то п сводится к 0. ?
Следствие 5.4. Пусть М = К/Н— односвязное естественно
редуктивное однородное пространство с К-инвариантной римано-
вой метрикой g. Если К проста, то М не приводимо (как рима-
ново многообразие).
Доказательство. Поскольку f не имеет нетривиальных
идеалов, f = f(m). По теореме 5.2 М или неприводимо или есть
евклидово пространство. Следующая лемма, доказательство кото-
которой взято у Лихнеровича [1], с. 113, завершает доказа-
доказательство .
Лемма. Если связная группа Ли К действует транзитивно
на евклидовом пространстве R" как группа евклидовых движений,
то К не полу простая.
Доказательство леммы. Допустим, что К полупроста.
Каждый элемент из К может быть единственным образом пред-
представлен в виде rt, где г — вращение вокруг начала, a t — сдвиг.
Пусть р: К—+SO (п)— гомоморфизм, который переводит rt в г.
Его ядро N есть абелева нормальная подгруппа из К и поэтому
должно быть дискретным. С другой стороны, образ р, будучи
связной полупростой подгруппой в SO(n), должен быть замкну-
замкнутым (см. т. I, с. 258) и отсюда компактным. Отсюда K/N (которая
изоморфна образу для р) компактна и полупроста. Ее накрываю-
накрывающая группа К тоже компактна по теореме Вейля (см. пример 3.2).
Будучи компактной, К имеет неподвижную точку в R" (см. т. I,
с. 185 или теорему 9.2 главы VIII), что дает противоречие. ?
§6. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ
201
Относительно дальнейших результатов о разложении де Рама
и неприводимости однородных римановых многообразий см. при-
примечание 25.
§ 6. Инвариантные почти комплексные структуры
Пусть М = К/Н—однородное пространство с группой Ли К.
В этой части мы сначала дадим алгебраическую характеризацию
инвариантных почти комплексных структур на М и их интегри-
интегрируемости. Мы обозначаем через о начало в М. Выберем раз и
навсегда разложение в прямую сумму векторных пространств
алгебры Ли f = f) + m, где мы не предполагаем, что ad(//)mc:m,
как это было в редуктивном случае. Соответственно мы пишем
Х = Хц + Хт для X?t. Мы отождествляем т с касательным про-
пространством Т0(М) при помощи сужения отображения я*: Те(К) =
= ?—>-То(М) на подпространство ш. Каждый элемент X из f
порождает однопараметрическую группу exp tX, и это индуцирует
векторное поле на М, которое снова обозначим X.
Пусть / — почти комплексная структура на М, инвариантная
при действии К- Сужая J на Т0(М) = т, мы получаем линейный
эндоморфизм I: хп—^т такой, что 12Х = —X для Х^хп. Так
как / инвариантна при действии К, то Jo: ТО(М)—уТ0(М) ком-
коммутирует с линейным представлением изотропии X для Н. Но после
отождествления Го (Af) =--in X задается так:
К (а) X = (ad (a) X)m для а^Н и X ?т,
где ad (а) обозначает присоединенное действие элемента а в ?. Так
мы получаем
/ (ad (а) Х)т = (ad (а) 1Х)т для а?# и Х?т.
Предложение 6.1. Инвариантные почти комплексные струк-
структуры на М = КШ находятся в естественном взаимно однозначном
соответствии с множеством линейных эндоморфизмов I для т
таких, что
A) /2Х = — X для Хеш;
B) /(ad (а) Х)т = (ad (а) 1Х)т для а?Н и Х?т.
Доказательство непосредственное и оставляется читателю. Сле-
Следующее предложение столь же легко доказывается; B)' ниже есть
инфинитезимальная версия для B).
П р е д'л ожение 6.2. Если Н связна, то инвариантные почти
комплексные структуры на М = /С/Я находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с множеством линейных эндоморфизмов I
для m таких, что:
A) /2Х = — X для Хеш;
B)' I[Y, X]a = [Y, IX]m для Хеш и Y еЬ

202
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Продолжим /: гп
полагая IX = 0 для
(а)
(b) Ъ
(c) 7
(с)'
Ясно, что почти'комплексная структура / на /С/Я и 7 связаны
так:
*¦ m до линейного эндоморфизма 7: f—*-f,
?f). Тогда условия A), B) и B)' влекут:
IX = 0 для Хе$;
для X?f;
I) для а 6 # и X ? f;
для X ? J и К?$.
(d)
я, GХ) = Jo (п9Х) для
Отождествляя 7 с 7' таким, что Т(Х) — Г(Х)?§ для X 6 ?.
имеем
Предложение 6.3. Инвариантные почти комплексные
структуры J на М = К/Н находится во взаимно однозначном
соответствии с линейными эндоморфизмами I для f(modl)), удов-
удовлетворяющими (а), (Ь) и (с). Если Н связна, то (с) может быть
заменено на (с)'. Соответствие задается формулой (d).
Доказательство. Для заданной J на К/Н мы указали,
как получить / на f. Обратно, если задан / на f, удовлетво-
удовлетворяющий (а), (Ь) и (с) (или (с)'), то мы можем выбрать подпро-
подпространство m такое, что f = §-j-tn, и определить / на га как
1Х = AХ)т для Х?т. Мы можем легко проверить, что / удов-
удовлетворяет A) и B) (или B)'), и так определить инвариантную
почти комплексную структуру / на К/Н, удовлетворяющую (d).
Остается показать, что соответствие J —>¦ I взаимно однозначно.
Если J м J' соответствуют одному и тому же 7, то (d) влечет
Jo(n»X) = Jo(n*X) для каждого X?l. Так как nm(t) = To(K/H),
то это означает, что J0 и J'o совпадают. Поскольку J м J' инва-
инвариантны, они совпадают всюду на К/Н. ?
Относительно интегрируемости будет доказана
Теорема 6.4. Инвариантная почти комплексная структура
J jia M = K/H не имеет кручения тогда и только тогда, когда
соответствующий линейный эндоморфизм 7 для i удовлетворяет
соотношению
[IX, /Y]-[X, Y]
для всех X, Y?f.
Доказательство. Так как i есть алгебра Ли левоинва-
риантных векторных полей на К, то 7 естественным образом
определяет левоинвариантное тензорное поле типа A,1) на К,
которое мы обозначим через 7. Мы определяем тензорное поле 5
i6. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ
203
типа A,2) на К так:
S(U, V) =
-I[IU, V]
для всех векторных полей U и V на К- (Тензорное поле 25 есть
то, что мы назвали кручением двух тензорных полей А и В типа
A,1) для случая А = В = Г; см. т. I, с. 44). 5 — также лево-
инвариантное тензорное поле. Наша задача—показать, что /
интегрируема тогда и только тогда, когда S(X, Y) касается Н
в точке е для всех X, Y?i.
Мы введем следующую терминологию. Скажем, что векторное
поле U на К проектируемо, если существует векторное поле V
на К/Н такое, что U я-связано с U' (см. т. I, с. 19), именно,
(л*) Ux= U'mxi Для каждого х ? К. В этом случае обозначим U'
через n*U. Если U и V проектируемы, то U-\-V, cU (с — кон-
константа) и [U, V] проектируемы и
Итак, множество всех проектируемых векторных полей на К есть
подалгебра, скажем, 9$(К), алгебры Ли Ж(М) всех векторных
полей на К и л* дает гомоморфизм алгебр Ли из ^5 (К) на алгебру
Х{К/Н).
Мы утверждаем, что если U проектируемо, то проектируемы
и IU и п*Aи) = J (nJU). Достаточно показать, что n*(IU) =
— J (n*U), если U — вектор в точке а из К. Это равенство оче-
очевидно из связи (d) для 1 в ей /во. Если мы обозначим через
La левый сдвиг для К элементом а, так же как и преобразова-
преобразование для К/Н при помощи а, то U имеет вид U = LaV для неко-
некоторого вектора Увей
л* (lU)=nm (ILaV) = я, (LJV) = Lfln. (IV)
= LJ (n*V) = JLanm (V) = J (я, (LaV)) = J (n*U),
что доказывает наше утверждение. Если U и V — проектируемые
векторные поля на К, то S (U, V) тоже проектируемо и
n.(S(U,V))
= [Уя.г/, /я*У] + J*[n*U, nmV] — J[nmU, Jn*V]-J[Jn*U, n.V]
= [Jn*U, Jny] — [n.U, n.V] — J[n.U, Jn*V] — J[Jn*U, nmV],
что отличается множителем 1/2 от значения тензора кручения
для J на векторных полях я*?/ и n*V на К/Н. Отсюда следует,
что J интегрируема тогда и только тогда, когда n9(S(U, У)) = 0
для всех проектируемых векторных полей, поскольку U?9$(K)
—+n*U 6 ?(К/Н) — сюръекция. Так как S—левоинвариантное
тензорное поле, то я* E (U, У)) = 0 эквивалентно условию, что

204
ГЛ. X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
S(U, V) касается Н в е для всех векторов X, Y?Te(K), т. е.
S(U, V)?f) для всех X, Yet. ?
Предложение 6.3 и теорема 6.4 принадлежат Косулю [2]
(см. также Фрёлихер [1]).
Для редуктивных однородных пространств получаем
Предложение 6.5. Пусть М = К1Н — редуктивное однород-
однородное пространство с разложением f = I) + m, где ad (H) mem. Тогда
(i) Имеется естественное взаимно однозначное соответствие
между множеством всех инвариантных почти комплексных струк-
структур J на К/Н и множеством линейных эндоморфизмов I для т,
удовлетворяющих условиям:
A) /«=—1;
B) / о ad (a) = ad (а) о / для каждого а ? Я.
Если. Н связна, то B) может быть заменено более слабым условием
B)' / о ad (Y) = ad (У) о / для любого У ? I).
(it) Инвариантная почти комплексная структура J интегри-
интегрируема тогда и только тогда, когда соответствующий эндоморфизм
I для т удовлетворяет условию
[IX, IY]W~[X, Y]ul-I[X, IY]m-I[IX, У]„ = 0
т. е.
для всех X, Y е пт •
Доказательство. Первая часть следует из предложений
6.1 и 6.2, если мы заметим, что ad (a) mem и ad(F)mcrm для
а?Я и Y(zi>- Чтобы доказать второе утверждение, проверяем
условие, данное в теореме 6.4. Условие это тривиально удовле-
удовлетворяется, если X, У6 J). Оно удовлетворяется для А~?т и У? f),
так как сводится к [X, Yj-j-I [IX, У] € f), что выполняется в силу
/ о ad (У) = ad (У) о /. Итак, / интегрируема тогда и только тогда,
когда
[IX, IY]-
для всех X, Y e
[IX, /У]Ш-[Х, У]Ш-1[Х, IY]m-I[IX, У],„ = 0
для всех X, У?т. П
Однородное пространство М=К/Н с инвариантной комплекс-
комплексной структурой называется комплексным однородным простран-
пространством. Если инвариантная почти комплексная структура J на
KlH интегрируема, то это — инвариантная комплексная структура
(по вещественно аналитической версии теоремы 2.5 главы IX;
см. приложение 8).
Пример 6.1. Пусть К — четномерная группа Ли. Рассмат-
Рассматривая К как однородное пространство К1{е) с действием К слева,
можем получить левоинвариантную почти комплексную структу-
структуру на К, просто беря произвольную комплексную структуру на
t=Tе(К), а именно, линейный эндоморфизм / для f такой, что
!6. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ
205
Г2 = —1. Это не означает, однако, что К — комплексная группа
Ли (см. пример 2.1 главы IX).
Пример 6.2. Пусть К — комплексная группа Ли и пусть
Я —замкнутая комплексная подгруппа Ли. В терминах алгебр
Ли это означает, что имеется комплексная структура J на f
такая, что ad (X) о J — J о ad (X) для каждого X ? f и что под-
подалгебра I) устойчива при действии /. В однородном пространстве
М = К/В имеем инвариантную комплексную структуру, как можно
доказать, следуя по аналогии доказательству существования диф-
дифференцируемой структуры на произвольном однородном простран-
пространстве группы Ли (см. Шевалле [1], с. ПО (с. 162 русского пе-
перевода)). Здесь мы укажем, как наши результаты могут быть
применены к этой ситуации. В f мы можем взять подпростран-
подпространство m такое, что f = f) + m и Jmczm (см. доказательство пред-
предложения 1.1 главы IX). Определим / на f как 7X = JX для
Х?т и 1х = 0 для X?t). Тогда/ удовлетворяет условиям (а),
(Ь) и (с) предложения 6.3. Мы можем также проверить условие
интегрируемости теоремы 6.4. Например, для A', Y^m имеем
[IX, 7Y] = [JX, JY] = J*[X, Y] = — [X, У].
Также [X, JY] = J[X, Y] влечет [X, JY]m=J[X, У]„„ так что
T[X,~IY] = J[X, JY]m=J2[X, У]ш = — [X, У]т и аналогично
I[IX, Y] = ~[X,Y]m. Итак, m-компонента для [IX, /У] —
— [X, Y]—1[X, IY] — I[IX, Y] есть нуль.
Замечание. В главе XI мы вновь рассмотрим многие при-
примеры, данные в главе IX, с точки зрения комплексных однород-
однородных пространств (в действительности эрмитовых симметрических
пространств).

Глава XI
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Аффинные симметрические пространства
Пусть М есть я-мерное многообразие с аффинной связностью.
Симметрия sx в точке х ? М есть диффеоморфизм окрестности U
на себя, который преобразует ехр X, Х?ТХ(М), в ехр (—X).
Так как симметрия в х, определенная в одной окрестности U
точки х, и симметрия в х, определенная в другой окрестности V
точки х, совпадают в U Л V, мы можем вполне законно говорить
о симметрии в точке х. Если {х1, . . ., хп) — нормальная коорди-
координатная система с началом х, то sx преобразует (л;1, . . ., х")
в (—х1, ...,—хп). Дифференциал от sx в х равен —Iх, где
/x —тождественное преобразование для ТХ(М). Симметрия sx ин-
волютивна в том смысле, что sxosx есть тождественное преобра-
преобразование окрестности точки х. Если sx есть аффинное преобразо-
преобразование для каждого х?М, то говорят, что М—аффинное локально
симметрическое многообразие (пространство).
Теорема 1.1. Многообразие М с аффинной связностью есть
аффинное локально симметрическое многообразие тогда и только
тогда, когда Г = 0, VR — 0, где Т и R— тензоры кручения и кри-
кривизны соответственно.
Доказательство. Допустим, что М — аффинное локально
симметрическое многообразие. Так как sx — аффинное преобразо-
преобразование, то оно сохраняет Т и \R. С другой стороны, Т есть тен-
тензорное поле степени 3, a \R—тензорное поле степени 5. (Степень
тензорного поля типа (г, s) есть по определению r-f-s.)
Лемма. На аффинном локально симметрическом простран-
пространстве М тензорное поле нечетной степени, инвариантное относи-
относительно sx, есть нуль в точке х.
Доказательство леммы. Так как дифференциал от sxbx
есть —1Х, то sx преобразует тензор К степени р в "очке х
в (—1)'/0
Из леммы следует, что Т = 0, \R = 0.
Обратно, допустим, что Г = 0 и ^R = 0. Так как .R —тензор-
—тензорное поле степени 4, то —1Х сохраняет Rx, По теореме 7.4
главы VI для каждого фиксированного х существует локальное
аффинное преобразование f такое, что f(x) = x, а дифференциал
от / в х совпадает с —Iх. Будучи аффинным преобразованием,
§1. АФФИННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 20-
/ коммутирует с ехр (см. предложение 1.1 главы VI), т. е.
/ (ехр X) = ехр (—1ХХ) для Х?ТХ(М).
Отсюда f = sx. ?
Теорема 1.1 обеспечивает возможность применить некоторые
из результатов, полученных в § 7 главы VI, к аффинным ло-
локально симметрическим пространствам. В частности, каждое
аффинное локально симметрическое пространство есть веществен-
вещественное аналитическое многообразие с вещественной аналитической
связностью по отношению к атласу, состоящему из нормальных
координатных систем (см. теорему 7.7 главы VI).
Говорят, что многообразие М с аффинной связностью аффин-
аффинное симметрическое, если для каждой х ? М симметрия sx может
быть продолжена до глобального аффинного преобразования
для М. Из следствия 7.9 главы VI получается
Теорема 1.2. Полное односвязное аффинное локально сим-
симметрическое пространство является аффинным симметрическим.
Следующая теорема показывает, что предположение полноты
в теореме 1.2 необходимо.
Теорема 1.3. Каждое аффинное симметрическое простран-
пространство полно.
Доказательство. Пусть x = xt, O^Lt^la,— геодезическая
из х в у. Используя симметрию sy, можно продолжить х за у
так: положим
xa+t = sy(xa_t) для 0<^<а. ?
Теорема 1.4. На каждом связном аффинном симметриче-
симметрическом пространстве группа аффинных преобразований транзи-
тивна.
Доказательство. Для заданных двух любых точек х и
у существует конечная последовательность выпуклых окрестностей
Ut, U2, ...,Uk таких, что x^U^, y^Uk и Uir\Ui+1^0 для
i=l, ..., k—l. Следовательно, х и у могут быть соединены
ломаной из конечного числа геодезических сегментов. (По поводу
существования и свойства выпуклой окрестности см. теорему 8.7
главы III.) Достаточно поэтому доказать, что для пары точек х
и у, которые можно соединить одним геодезическим сегментом,
существует аффинное преобразование, переводящее х в у. Пусть z
будет серединой геодезического сегмента из х в у (относительно
канонического параметра). Тогда симметрия sz отображает х
в у. ?
Как известно, группа 31 (М) аффинных преобразований для М
есть группа Ли (см. теорему 1.5 главы VI). Пусть G обозначает
компоненту единицы 21°(М) для 31 (М) ради простоты. Поскольку,
как легко видеть, компонента единицы группы Ли, действующей
транзитивно на многообразии М, тоже транзитивна на М, аффин-

208
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ное симметрическое пространство М, может быть представлено как
однородное пространство G/Я. Позже мы увидим, что M.= GlH
редуктивно и что связность, заданная на М, совпадает с канони-
канонической связностью, как и естественная связность без кручения,
определенная в § 2 главы X. В качестве подготовительного
результата будет доказана
Теорема 1.5. Пусть G— наибольшая связная группа аффин-
аффинных преобразований аффинного симметрического пространства М,
а Я—подгруппа изотропии для G в фиксированной точке о из М,
так что M = G/H. Пусть s0 —симметрия для М в о, а а —авто-
—автоморфизм для G, определенный так:
для
Если Ga —замкнутая подгруппа в G, состоящая из всех элементов,
неподвижных при действии а, то Я лежит между Ga и компо-
компонентой единицы для Go.
Доказательство. Пусть h?H, и рассмотрим о (К) =
= soohos~x. Так как дифференциал от so в о совпадает с —10,
то дифференциал от а (К) в о совпадает с дифференциалом от h
в о. Поскольку два аффинных преобразования с одинаковыми
дифференциалами в одной точке совпадают друг с другом
(см. конец § 1 главы X), то a (К) равен h, а это доказывает, что
HaGa. Пусть gt — произвольная 1-параметрическая подгруппа
в Go. Тогда
so°gt (o)=gt°so (о) = gt (о),
что показывает, что орбита gt (о) поточечно неподвижна при дей-
действии so. Так как о есть изолированная неподвижная точка для s ,
то орбита gt(o) должна сводиться к одной точке о, т. е. gt(p) = o.
Отсюда gt ? Я. Так как связная группа Ли порождается ее одно-
параметрическими подгруппами, то можно заключить, что тожде-
тождественная компонента для Ga содержится в Я. ?
§ 2. Симметрические пространства
Теорема 1.5 приводит к следующему определению. Симметри-
Симметрическое пространство есть тройка (G, Я, а), состоящая из связной
группы Ли G, замкнутой подгруппы Я для G и инволютивного
автоморфизма а для G такого, что Я лежит между Ga и ее ком-
компонентой единицы, где Ga обозначает замкнутую подгруппу из G,
состоящую из всех ' элементов, неподвижных при действии ст.
Говорят, что симметрическое пространство (G, Н, ст) эффективно
(соотв. почти эффективно), если наибольшая нормальная под-
подгруппа N из G, содержащаяся в Я, сводится к единице (соотв.
дискретна). Если (G, Н, ст) — симметрическое пространство, то
(GIN, HlN, ст*), где ст* —инволютивный автоморфизм для GIN,
§2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
209
индуцированный автоморфизмом ст, есть эффективное симметри-
симметрическое пространство. Здесь более удобно не предполагать, что
(G, Н, ст) эффективно, т. е. что G действует эффективно на GIH.
Результаты главы X, которые нам здесь нужны, все справедливы
без предположения, что G эффективна на G/H (см. замечание после
следствия 2.11 главы X).
Для данного симметрического пространства (G, Я, а) построим
для каждой точки х фактор пространства М = G/H инволютивный
диффеоморфизм sx, называемый симметрией в х, который имеет х
в качестве изолированной неподвижной точки. Для начала о из
GlH so определяется как инволютивный диффеоморфизм из GIH
на себя, индуцированный автоморфизмом ст группы G. Чтобы
показать, что о есть неподвижная изолированная точка для s0,
допустим, что g(o)—-неподвижная точка для s0, где g?G. Это
означает, что o(g)?gff. Положим h = g'1^ (g) € Я'. Так как
a (h) = h, то имеем
ft» = ha (/г) = g-1^ (g) a (g-1^ {g)} = g'^ (g) a (g~l) g = 1,
а это показывает, что h2 — единичный элемент. Если g достаточно
близко к единице, так что h тоже вблизи единицы, то h само
должно быть единицей и отсюда o(g) = g. Будучи инвариантным
при действии ст и близким к единице, g лежит в компоненте
единицы для Ga и потому в Я. Это влечет g(o) = o, что и дока-
доказывает наше утверждение о том, что о — изолированная непо-
неподвижная точка для s0. Для x = g(o) полагаем sx = gosoog-1. Тогда
sx не зависит от выбора g такого, что x = g(o).
Сейчас мы определим инфинитезимальную версию симметри-
симметрического пространства. Симметрическая алгебра Ли (иногда назы-
называемая инволютивной алгеброй Ли) есть тройка (д, (), ст), состоя-
состоящая из алгебры Ли t\, подалгебры I) из g и инволютивного авто-
автоморфизма а для g такого, что I) состоит из всех элементов в д,
неподвижных при действии ст. Говорят, что симметрическая
алгебра Ли (д, I), ст) эффективна, если (¦) не содержит ненулевых
идеалов из д.
Каждое симметрическое пространство (G, Я, ст) порождает
симметрическую алгебру Ли (g, t), ст) естественным образом; g и
1) при этом —алгебры для G и Я соответственно, а автоморфизм
ст для g таков, что он индуцируется автоморфизмом ст для G.
Обратно, если (д, I), ст) —симметрическая алгебра Ли и если
G —связная односвязная группа Ли с алгеброй Ли д, то авто-
автоморфизм ст для д индуцирует автоморфизм ст для G (см. Шевал-
ле [1], с. 113 (с. 166 русского перевода)) и для любой под-
подгруппы Я, лежащей между Ga и компонентой единицы для Ga,
тройка (G, Я, ст) есть симметрическое пространство. Отметим, что
поскольку Ga замкнута, то и Я замкнута. Если G не одно-
связна, то автоморфизм ст алгебры Ли может и не индуцировать

210
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
автоморфизм для G. Ясно, что (G, Н, а) почти эффективна
тогда и только тогда, когда (g, f), ст) эффективна. Легко также
видеть, что существует естественное взаимно однозначное соот-
соответствие между (эффективными) симметрическими алгебрами Ли
(д, I), а) и (почти эффективными) симметрическими пространствами
(G, Н, о) с односвязной G и связной Н.
Пусть (д, Ц, ст)— симметрическая алгебра Ли. Так как а инво-
лютивно, то его собственными значениями являются 1 и —-1,
а I) — собственное подпространство для 1. Пусть тп — собственное
подпространство для —1. Разложение
называется каноническим разложением для (ц, §, ст).
Каноническое разложение всегда существует, что следует из
разложения х = -^A — а) * + у A + с) * для х?% и из того, что
Предложение 2.1. Если g = I)-(-tn— каноническое разло-
разложение симметрической алгебры Ли (д, 1), о), то
[f), ЩаЪ>, [I), m]crm, [m, m]cr^.
Доказательство. Первое включение как раз выражает
то, что i) — подалгебра. Если X ? f), a F?tn, то
о([Х, Г]) = [а(Х), а(Г)] = [Х, -У] = -[Х, У],
что доказывает второе включение. Если X, Y ? ш, то
а([Х, Y]) = [o(X), a(Y)] = [—X, -Y] = [X, Y],
что доказывает третье включение. ?
Замечание. Отношения включения, данные в предложе-
предложении 2.1, характеризуют симметрическую алгебру Ли. Если дана
алгебра Ли g и разложение g = f) + m (прямая сумма векторных
пространств), удовлетворяющее соотношениям предложения 2.1,
а а— линейное преобразование для д, определенное так:
а(Х)=Х Для X?J), o(Y) = — Y для F^m,
то легко проверить, что о — инволютивный автоморфизм для д,
а (д, i), a)—симметрическая алгебра Ли.
Предложение 2.2. Пусть (G, Н, ст)—симметрическое
пространство, a (g, f), a) — его симметрическая алгебра Ли. Если
<$ = 'ф + m — ее каноническое разложение, то
ad (H) тат.
Доказательство. Пусть Х?т и h?H. Тогда
о (ad h¦ X) = ad ст (h)• ст (X) = ad h- (—X) = —ad h-X. Q
i 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
211
Гомоморфизм симметрического пространства (С, //', о') в сим-
симметрическое пространство (G, Н, а) есть гомоморфизм а из С
в G такой, что а.(Н')сН и что сто^=аосг'; он будет обозна-
обозначаться а: (С, //', а') —>¦ (G, Н, а). Гомоморфизм а: (G\ H', а') -~
—+ (G, Н, а) называется моно- или эпиморфизмом в соответствии
с тем, является ли a: G' —>- G моно- или эпиморфизмом. Он на-
называется изоморфизмом, если a: G' —>G — изоморфизм и а(//') = Я.
Тройка (С, //', а') называется симметрическим подпростран-
подпространством (соотв. симметрическим замкнутым подпространством или
симметрическим нормальным подпространством) симметрического
пространства (G, Н, о), если G' есть подгруппа Ли (соотв. замк-
замкнутая подгруппа или нормальная подгруппа) для G, инвариант-
инвариантная при действии ст, и если Н' = G' Л Н, а о'—-сужение для а
на G'. Если не указано иначе, мы будем предполагать, что G'
тоже связная, хотя определение имеет смысл и для несвязных G'.
Если дано симметрическое замкнутое нормальное подпростран-
подпространство (G', Н', о') симметрического пространства (G, Н, а), то мы
получаем симметрическое факторпространство (G/G1, H/h", о"),
где а" — инволютивный автоморфизм для G/G', индуцированный
автоморфизмом ст.
Для симметрических алгебр Ли определяем понятие гомо-
гомоморфизма, мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма, симметри-
симметрической подалгебры и симметрического идеала тем же способом.
Следует заметить, что в определении гомоморфизма а: (д', {)', о') —>-
—+ ((ц, i), о) условие a(t)')czl) следует из аоа = аоо'. Каждый
гомо-, моно-, эпи- или изоморфизма: (G', Н', а') — - (G, Н, о)
индуцирует естественным образом гомо-, моно-, эпи- или изо-
изоморфизм a: (g', i}', а')—>- (д, I), о) соответственно. Обратное верно
при подходящих предположениях. Например, каждый гомомор-
гомоморфизм a: (g',f)',o')—>- (g, I), ст) порождает гомоморфизм a: (G', Н',
о') —¦*¦ (G, Н, ст), если G' односвязна, а Н' связна.
Каждый гомоморфизм a: (G', //', о')—^(G, H, ст) индуцирует
отображение a: G'///' —¦> G/H, которое коммутирует с симметри-
ями, т. е.
^=s-ix^oa для x'?G'/H',
где sX' обозначает симметрию для G'jH' в х', a s-,—симметрию
для G/// в а (я').
Каждый гомоморфизм ос: (g', "t)', a')—*-(g, ?), ст) согласован
с каноническими разложениями: если g' = f)'-fm' и g = () + m —
канонические разложения, то a: q' —*• g переводит m' в in.
Если даны два симметрических пространства (G, Н, ст) и
(С, Я', ст'), то их прямое произведение есть симметрическое про-
пространство (GxG', Их В', ахст'). Аналогично, прямая сумма

212
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
двух симметрических алгебр Ли (д, I), а) и (д', ?)', о') задается
как (д + д', ^ + 1)', а-\-а').
Следующий пример показывает, что понятие симметрического
пространства есть обобщение понятия группы Ли.
Пример 2.1. Пусть G — связная группа Ли, a AG — диаго-
диагональ в GxG, т.е. AG = {(g, g)?GxG; g?G}. Определим а:
GxG—+ GxG как a(g, g') = (g', g). Тогда (GxG, AG, а) —сим-
—симметрическое пространство. Факторпространство (GxG)/AG диф-
феоморфно G, диффеоморфизм индуцируется при помощи отобра-
отображения g(zG—+(g, e)?GxG, где е — единица в G. Для заданных
двух связных групп Ли G и G' с гомоморфизмом a: G' —>¦ G
гомоморфизм а х a: G' XG' —* GxG индуцирует гомоморфизм
аха: (G'xG', AG', o')-^(GxG, AG, о). Если G' есть (замкнутая
или нормальная) подгруппа в G, то (G'xG', AG', а') есть сим-
симметрическое (замкнутое или нормальное) подпространство в (GxG,
AG, о). Аналогично каждая алгебра Ли g порождает симметри-
симметрическую алгебру Ли (g + g, Ag, о).
Пример 2.2. Пусть М есть л-мерное аффинное локально
симметрическое пространство. В точке х из М рассмотрим каса-
касательное пространство т = Тх (М) и тензор кривизны Rx. Обозна-
Обозначим через }) множество всех линейных эндоморфизмов U для
ТХ(М), которые, будучи продолжены до дифференцирования
тензорной алгебры в х, отображают Rx в нуль, т. е. (пишем
здесь R вместо Rx)
(U-R)(X,Y)=slIR(X, Y) — R(UX,Y) — R(X,UY) — R(X,Y)U = O
для всех X, Y ? m. Тогда I) есть алгебра Ли относительно обыч-
обычной скобочной операции (см. предложение 2.13 главы I). Отметим,
что R (X, Y) ? I) для любых X, Y ? ш, поскольку, если мы про-
продолжим X и Y до векторных полей, то R (X, Y)= [Vx, Vy] — V[x, y\
отображает Rx в нуль в силу ^R = 0. В прямой сумме g = ^ + tn
определяем
[X, Y] = — R(X, Y) для X,
[и, х]=их для ие
[U, V] = [U, V] для U,
хеш,
§, как уже определено в I).
Можно проверить, что тождество Якоби удовлетворяется в д, так.
Если X, Y, Z?m, то [[X, Y], Z] = — R(X, Y)Z, так что
©[[X, Y], Z] = 0
по первому тождеству Бианки (теорема 5.3 главы III). Если
X, Y?m и U ?\), то
[[X, Y], U] = -
[[Y, U], X] = [~UY, X] = R(UY, X)
§3. КАНОНИЧЕСКАЯ СВЯЗНОСТЬ
213
[[U, X], Y] = [UX, Y] = ~-R(UX, Y),
так что 2 [[X, Y], U] = 0 в силу того, что U-R — О. Наконец,
для U,V?'i) и X 6 m @[[f/, V], Х] = 0 следует немедленно из
[ +l есть алгебра Ли и, очевидно,
мы определим а(Х) = —X
? () ?) — инволютивный автомор-
автоморфизм для д. Итак, (д, t), ст) есть симметрическая алгебра Ли.
Она эффективна, ибо если О — элемент идеала rt для g из I), то
для Х?т имеем [U, X] ? rt и также [U, Х]= UX (Епт, что пока-
показывает, что ?/Х = 0 для любого Х^пт, т. е. {/ = 0.
[
для U,V?'i) и X 6 m @[[f/, V], Х] =
[U, V]— UV — VU. Отсюда g = m+l) ес
[m, mjcrl), [т, 1)]сгт и [i), f)]crf). Если
для X ?т и o(U)=U для U?'i), то а
И t
§ 3. Каноническая связность
на симметрическом пространстве
Мы показали в § 1, что односвязное многообразие М с полной
аффинной связностью такой, что Г = 0 и Y# = 0, порождает сим-
симметрическое пространство (G, //, ст) такое, что М = G/H. Теперь
покажем, что, обратно, если (G, Н, а) — симметрическое про-
пространство, то однороднее пространство G/H допускает инвариант-
инвариантную аффинную связность с Г = 0 и V^? = 0. Пусть
— каноническое разложение симметрической алгебры Ли (д, I), о).
В соответствии с предложением 2.2 G/H редуктивно относительно
канонического разложения в смысле, определенном в § 2 главы X.
Теорема 2.1 главы X устанавливает, что существует взаимно
однозначное соответствие между множеством G-инвариантных
аффинных связностей на G/H и множеством линейных отобра-
отображений Аш: m —^gl(n; R) таких, что
Am(adh(X)) = ad(X(h))(Am(X)) для Хеш и h 6 Н,
где к обозначает линейное представление изотропии If —*¦ GL (я; R).
(Вспомним, что ш и касательное пространство То (М) в начале
oeM = G!H отождествляются с R".) Инвариантная связность,
соответствующая Ат=0, называется канонической связностью для
(G, Н, о) или G/H. Так как для симметрического пространства
[m, m]cf), to каноническая связность совпадает с естественной
связностью без кручения, определенной в § 2 главы X, и мы
имеем Г = 0 и \R = 0.
Теорема 3.1. Пусть (G, Н, а) — симметрическое простран-
пространство. Каноническая связность есть единственная аффинная связ-
связность на М = G/H, которая инвариантна при действии симмет-
симметрии для М.

214
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Сначала докажем, что каноническая
связность инвариантна при действии симметрии sx. Так как
sx = gosoog-1, если x = g(o), как было показано в § 2, и так
как каноническая связность инвариантна при действии G, то
достаточно показать, что каноническая связность инвариантна
при действии so. Из способа, которым so была построена посред-
посредством о в § 2, следует, что g°so = sooa (g) для g?G, где g рас-
рассматривается как преобразование на M = G///. Это влечет, что
so отображает каждую G-инвариантную связность в G-инвариант-
ную связность. Пусть so отображает G-инвариантную связность
с Лш в G-инвариантную связность с Лш. Из теорем 1.2 и 2.1 главы X
следует, что Л,'„ = —Лш. В частности, so отображает каноническую
связность (определенную условием Л„, = 0) в себя.
Мы утверждаем, что симметрия sx, построенная с помощью а,
совпадает с симметрией для М в точке х относительно канони-
канонической связности в смысле § 1. Действительно, поскольку сг ото-
отображает Л'? m в —Х?т, дифференциал от sx в х совпадает
с — 1Х. С другой стороны, так как sx есть аффинное преобразо-
преобразование (относительно канонической связности), то оно коммутирует
с экспоненциальными отображениями, т. е.
sx(expX) = exp{—X) для Х?ТХ(М)
(см. предложение 1.1 главы VI), что и доказывает наше утвер-
утверждение. По лемме в доказательстве теоремы 1.1 каждое тензорное
поле нечетной степени, инвариантное при действии всех sx, должно
быть нулевым. Используем это, чтсбы доказать единственность
связности, инвариантной относительно sx.
Мы знаем (см. предложение 7.10 главы III), что разность
двух связностей на многообразии есть тензорное поле типа A,2).
Рассматриваем связность на М = G/H, инвариантную относительно
всех sx, и пусть S — разность такой связности с канонической.
Будучи разностью двух связностей, инвариантных относительно
всех sx, S инвариантно относительно всех sx и отсюда равно
нулю. ?
Специализируя результаты из § 2 главы X для канонической
связности симметрического пространства, мы устанавливаем сле-
следующее утверждение:
Теорема 3.2. Относительно канонической связности сим-
симметрического пространства (G, Н, о) однородное пространство
М — G/H есть (полное) аффинное симметрическое пространство
с симметриями sx, обладающее следующими свойствами:
A) Г = 0, V« = 0 и R(X, Y)Z = — [[X, Y], Z]
для X, Y, Z ? m, где m отождествляется с То (М) (о — начало в /VI);
B) для каждого X ? ш параллельный перенос вдоль л (exp tX)
совпадает с дифференциалом преобразования exp tX на М;
> 3. КАНОНИЧЕСКАЯ СВЯЗНОСТЬ
215
C) для каждого Х?т л (ехр /X) = (exp tX)-o есть геодези-
геодезическая, исходящая из о, и, обратно, каждая геодезическая из о
имеет такой вид;
D) каждое G-инвариантное тензорное поле на М параллельно;
E) алгебра Ли линейной группы голономии (" опорной точ-
точкой о) порождается множеством
{R(X, У) = —
X,
Отметим, что E) следует из следствия 4.3 главы X или, более
непосредственно, из теоремы 9.2 главы III.
Замечание. Если тензорное поле F на М = G/H инвариантно
относительно G, то каждая симметрия sx отображает F в F или — F
в соответствии с тем, четна степень для F или нечетна. Так как
sK=g о soog~1 для некоторого g ? G, то достаточно доказать утверж-
утверждение выше для so. Поскольку g о s0 = so о a (g) для каждого g ^ G,
как и в доказательстве теоремы 3.1, so (F) тоже инвариантно
относительно G. Но ясно, что so(F) = dz F в точке о в зависимо-
зависимости от четности степени для F. Так как F и s0 (F) инвариантны
при действии G, то имеем so (F) = ± F в соответствии с тем, четна
или нечетна степень для F.
Теорема 3.3. Пусть (G, Н, сг)—симметрическое простран-
пространство. ' G-инвариантная (неопределенная) риманова метрика на
М = G/Я, если таковая существует, индуцирует каноническую
связность на М.
Доказательство. Такая метрика параллельна относи-
относительно канонической связности по D) теоремы 3.2. Так как кано-
каноническая связность также без кручения по теореме 3.2, то она
должна быть римановой связностью (см. теорему 2.2 главы IV).
Эта теорема может быть также получена из теоремы 3.3 главы X. ?
Мы также заметим здесь, что если (G, //, сг) — симметрическое
пространство, то G/H естественно редуктивно (в смысле § 3 гла-
главы X) относительно произвольной G-инвариантной неопределенной
римановой метрики (если таковая существует).
Существует обширный класс симметрических пространств,
которые допускают инвариантные неопределенные римановы мет-
метрики.
Теорема 3.4. Пусть (G, Н, сг) — симметрическое простран-
пространство с полупростой группой G, и пусть g = lj + m — каноническое
разложение. Тогда сужение формы Киллинга — Картана с % на т
определяет G-инвариантную (неопределенную) риманову метрику
на G/H способом, описанным в следствии 3.2 главы X.
Доказательство. Так как форма Киллинга — Картана
полупростой алгебры невырожденна и инвариантна относительно
всех автоморфизмов (см. приложение 9), то достаточно доказать
следующее утверждение:

216
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лемма. Пусть (д, I), сг) — симметрическая алгебра Ли ид=
= {) + ш — каноническое разложение. Если В — симметрическая би-
билинейная форма на д, инвариантная при действии о, то В (fy, m) = 0.
Если В, сверх того, невырожденна, то невырожденны и ее суже-
сужение Вц на % и ее сужение Вт на т.
Доказательство леммы. Если X ? {) и Y?m, то
В(Х, Y) = B(a{X), a(Y)) =
, -Y) = ~-B{X, Y),
что и доказывает наше утверждение. Ясно, что В невырожденна
тогда и только тогда, когда В§ и Вт невырожденны. ?
Пусть М — аффинное симметрическое пространство, a G— наи-
наибольшая связная группа аффинных преобразований для М. Вы-
Выбирая начало о ? /И, получаем симметрическое пространство
(G, Н, а) такое, что M = G/H (см. теорему 1.5). Вообще говоря,
может существовать симметрическое подпространство (G', Н', сг')
для (G, Н, а) такое, что M = G/H = G'/H' естественным образом.
Чтобы увидеть это, допустим, что g = I) + m— каноническое раз-
разложение. Весьма просто проверить, что J)(m) = [m, m] есть идеал
в t), а g (пт) =Ц (т) + т — идеал в д. Для каждой подалгебры д'
из д, содержащей g(m), получаем симметрическое подпростран-
подпространство (С, Н', а') такое, что M = G/H = G''/Н', беря за G' связ-
связную подгруппу Ли в G, порожденную множеством д', и полагая
Н' ==G' Г\Н и a'=a\G'. Обратно, если (G', Н', а') —симметри-
—симметрическое пространство с М = G'/H' (с тем же началом, что и M = G/H)
и если G' эффективна на М, то (С, Н', сг')— симметрическое под-
подпространство для (G, Н, а) и д' содержит g(m). Если М = Rre
с естественной плоской аффинной связностью, то I) (№) = 0 и g (m) = m.
Следовательно, каждая связная подгруппа Ли G' из G, содержа-
содержащая группу сдвигов для Rre, приводит к симметрическому под-
подпространству (G', Н', а') в (G, И, а) такому, что Rn = G' /H'.
Если М есть аффинное локально симметрическое пространство,
то мы можем построить для каждой точки х?М симметрическую
алгебру Ли (д, {), а), как в примере 2.2. Пусть (G, Н, ст) —сим-
—симметрическое пространство, соответствующее (д, t), о), где G и G/H
могут предполагаться односвязными. Пусть о — начало в G/H.
Тогда имеем линейный изоморфизм F из Тх (М) на То (G/H),
который отображает тензор кривизны Rx для М на тензор кри-
кривизны канонической связности для GjH. По теореме 7.4 главы VI
видим, что F есть дифференциал некоторого аффинного изомор-
изоморфизма / из окрестности U точки х в М на окрестность V точки о
в G/H'. Так мы показали, что каждая точка аффинного локально
симметрического пространства М имеет окрестность, в которой
аффинная связность изоморфна с канонической связностью неко-
некоторого симметрического пространства G/H, суженного на окрест-
окрестность начала. Доказательство, приведенное выше, есть специальный
§4. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
217
случай метода, который работает для многообразий с аффинной
связностью, инвариантной при параллелизме (\Т = 0 и v^ = o),
и который дает локальную версию для B) теоремы 2.8 главы X.
§ 4. Вполне геодезические подмногообразия
Пусть (G, Н, а) — симметрическое пространство. Относительно
канонической связности М = G/H есть аффинное симметрическое
пространство (см. теорему 3.2).
Пусть (С, Н', а) — симметрическое подпространство для
(G, Н, а), т. е. пусть G' — связная погруппа Ли в G, инвариант-
инвариантная относительно а, Н' = G' Л Н и а' = а|С. Тогда существует
естественное вложение из М' = G'/И' в M = G/H. Из способа,
которым симметрии для М и М' строятся из а и а' (см. § 2),
легко видим, что симметрия sx для М в точке х из М' есть про-
продолжение симметрии для М' в х. Поэтому мы можем обозначить
симметрию для М' в х тоже через sx.
Теорема 4.1. Если (G' Я', о') — симметрическсе подпрост-
подпространства симметрического пространства (G, Н, а), тоМ' = G'/H' —
вполне геодезическое подмногообразие в М = G/H (относительно
канонической связности в М). Каноническая связность в М, сужен-
суженная на М', совпадает с канонической связностью в М'.
Доказательство. Пусть д = {) + m и д' = Ц' + т' — канони-
канонические разложения для g и д' соответственно. В данный момент
мы рассматриваем только каноническую связность в М. Геодези-
Геодезическая из М, касательная к М' в начале о, имеет вид ft(o), где
ft = exp tX с X^m'crm. Ясно, что геодезическая ft{o) лежит
в М'. Если задана любая точка x = g'(o) из М' с g'(zG', то
геодезическая из М, касательная к М' в х, имеет вид g' (ft(o))
и явно содержится в М', что доказывает, что /И'—вполне геоде-
геодезическое подмногообразие в М.
Так как каноническая связность для М инвариантна при дей-
действии симметрии для М, то ее сужение на М' тоже инвариантно
при действии симметрии для М'. По теореме 3.1 связность, инду-
индуцированная на М' канонической связностью для М, совпадает
с канонической связностью для М'. Q
Обратно, имеет место
Теорема 4.2. Пусть (G, Н, а)—симметрическое простран-
пространство, М = G/H — аффинное симметрическое пространство с кано-
канонической связностью, а М' — полнее вполне геодезическое подмного-
подмногообразие из М через начало о. Пусть G' — наибольшая связная под-
подгруппа Ли из G, оставляющая М' инвариантным, Н'—пересечение
G' [}Н, а а' —сужение а на G'. Тогда (G', И', а') есть симметри-
симметрическое подпространство для (G, Н, а) и М' = G'jH'.
Под полным вполне геодезическим подмногсобрагием мы пони-
понимаем вполне геодезическое подмногообразие в М, которое пелно

218
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
относительно связности, индуцированной из связности на М.
Предположение, что М' содержит о, не является ограничением,
так как каждое вполне геодезическое подмногообразие может
быть сдвинуто элементом из G так, что будет содержать о. Тео-
Теорема утверждает, хотя и в неточной формулировке, что G' инва-
инвариантно относительно сг.
Доказательство. Нам нужны несколько лемм.
Лемма 1. Произведение (композиция) двух симметрии sx и sy
для М есть преобразование, принадлежащее G.
Доказательство леммы 1. Запишем
sx = g ° so ° ?~\ гДе х = g (о), g ? G,
sy = g' ° soo g'~\ где y = g' (о), g' GG
Тогда
Sx ° Su=g° (So° g'1 ° g' ° So) ° g''1-
С другой стороны (см. доказательство теоремы 3.1), имеем
Отсюда
Лемма 2. Пусть М' и М"— два полных вполне геодезических
подмногообразия в М. Если в одной точке из М'f] M" касатель-
касательное пространство к М' совпадает с касательным пространством
к М", то М'=М".
Доказательство леммы 2. Пусть х ? М' Л М" и Тх (М') =
= ТХ(М"). Любая точка у из М' может быть соединена с л: лома-
ломаной геодезической (т. е. кривой, составленной конечным числом
геодезических сегментов) из М'. Эта ломаная геодезическая может
рассматриваться как ломаная геодезическая из М, потому что Ме
вполне геодезическое в М. Так как М" вполне геодезическое
и полное в М, то М" содержит эту ломаную геодезическую.
Отсюда у?М", что и доказывает М'аМ". Аналогично М"аМ'.
Лемма 3. Для каждой х ? М' симметрия sx для М в х пере-
переводит М' в себя.
Доказательство леммы 3. Так как sx есть аффинное
преобразование для М, то sx(M') тоже вполне геодезическое в М.
Применяя лемму 2 к М' и sx(M'), получаем лемму 3.
Теперь мы в состоянии завершить доказательство теоремы 4.2.
Докажем сначала, что G' транзитивна на М'. Если даны две
точки х и у из М', то нужно показать существование элемента
из G', который отображает х в у. Так как любые две точки
из М' могут быть соединены ломаной геодезической из М', то
для доказательства мы можем считать, что х и у могут быть
§4. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
соединены геодезическим сегментом т из М'. Напишем
х — х*
О < t < 4а,
с х=х0 я у = х4а.
219
Для каждого фиксированного t рассмотрим симметрии sx и sx
t 3i
и положим
Тогда /0 есть тождественное преобразование и fa (x) = у. Каждое fi
есть преобразование, принадлежащее G по лемме 1, и оно пере-
переводит М' в себя по лемме 3. Отсюда каждое ff лежит в С, что
доказывает транзитивность G' на М'.
Ранее мы показали (см. доказательство теоремы 3.1), что
go s0 = s0oa(g) для g?G.
Так как s0 оставляет М' инвариантным по лемме 3, то a (g) ==
= So1 о g о so оставляет М' инвариантным для g?G'. Пусть gt —
кривая из С, исходящая из единичного элемента. Тогда a(gt)
оставляет М' инвариантным. Поскольку a (g0) есть единица в G',
кривая о (gt) лежит в G'. Это доказывает, что о преобразует G'
в себя.
Если мы положим H'=G'{\H и a'=a|G', то (G\ #', a')
будет симметрическим подпространством в (G, Н, а). Транзитив-
Транзитивность группы G' на М' влечет М' =G'/Н'. П
Пусть т — геодезическая из х в у в аффинном симметрическом
пространстве М. Композиция двух симметрии sx и sy известна
как трансвекция (вдоль т). Лемма 1 гласит, что каждая транс-
векция содержится в связной группе G, хотя симметрии могут
в ней и не содержаться. Доказательство выше показывает, что
множество трансвекций порождает транзитивную группу.
Теоремы 4.1 и 4.2 не дают взаимно однозначного соответст-
соответствия между полными вполне геодезическими подмногообразиями М'
через о в М и симметрическими подпространствами (G', Н', о')
в (G, И, а). Два различных симметрических подпространства
(G\ Н', а') и (G", Н", а") могут породить одно и то же вполне
геодезическое подмногообразие (см. замечание в конце § 3).
Теорема 4.3. Пусть (G, Н, а) — симметрическое простран-
пространство, a g = {)-f-m — каноническое разложение. Тогда существует
единственное взаимно однозначное соответствие между множест-
множеством линейных подпространств ти' в ш таких, что \\т', ш'], ш']с: т',
и множеством полных вполне геодезических подмногообразий через
начало о аффинного симметрического пространства M = G/ff;
соответствие задается как т' = Т0(М') {при отождествлении
т = Т0(М)).
Доказательство. Пусть М' — полное вполне геодези-
геодезическое подмногообразие через о из М и (С, Н',а') — симметри-
симметрическое подпространство в (G, Н, о) такое, что М' = G'/H'. Пусть

220
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
g' = f)' + m' — каноническое разложение и m' = TO(M'). Так как
[m', m'jczi)', имеем [[т', т'], m'jczm'.
Обратно, пусть т' — подпространство- в m такое, что
[[m',m'], m'jczm'. Положим
Тогда (д', I}', а') есть симметрическая подалгебра в (д, I), а).
Пусть G' — связная подгруппа Ли в G, порожденная подалгеб-
подалгеброй д', и положим H' = G'nH. Так как а оставляет д' инва-
инвариантным, то оно оставляет инвариантным и G'. Полагая а' = а| G',
получаем симметрическое подпространство (С, Н', а') в (G, Н,о).
Вполне геодезическое подмногообразие М' =G'/H' имеет свойство
То(М') = т'. Теперь из леммы 2 в доказательстве теоремы 4.2
мы можем заключить, что соответствие М'—>т' взаимно одно-
однозначно.
Отметим, что представляет определенный интерес то, что сим-
симметрическая подалгебра (д', Ь', о'), построенная в доказательстве
теоремы 4.3 как g'=[m', m']+m', есть наименьшая симметри-
симметрическая подалгебра в (g, J), а) с желаемым свойством. Вообще
говоря, подпространство f алгебры Ли g такое, что [[f, f], f]crf,
называется тройной системой Ли.
Предложение 4.4. Пусть (G, Н, а)—симметрическое про-
пространство, а М' — полное вполне геодезическое подмногообразие че-
через начало о в M = G/H. Тогда М' плоское (т. е. имеет нулевую
кривизну) тогда и только тогда, когда соответствующее под-
подпространство т' из т в теореме 4.3 удовлетворяет соотношению
[[т\ m'J, m']=0.
Доказательство. Применим A) теоремы 3.2 к симметри-
симметрическому подпространству (С, Н', а')такому, что М' =G'/H'. ?
§ 5. Структура симметрических алгебр Ли
Пусть g — алгебра Ли, а т — ее радикал, т. е. максимальный
разрешимый идеал в д, так что g/т полупроста. Существует полу-
полупростая подалгебра § в д, дополнительная к х (теорема Леви;
см., например, Джекобсон [1], с. 91). Другими словами, корот-
короткая точная последовательность
О —>- х —¦>¦ g —* g/т —>- О
расщепляема. Хорошо также известна теорема (см. приложение 9
или Джекобсон [1], с. 71), что полупростая алгебра Ли §
есть прямая сумма ее простых идеалов. Мы распространим эти
результаты на симметрические алгебры Ли.
Поскольку радикал т есть наибольший разрешимый идеал
из д, он инвариантен при действии каждого автоморфизма для д.
§5. СТРУКТУРА СИММЕТРИЧЕСКИХ АЛГЕБР ЛИ
221
Отсюда (см. § 2), если дана симметрическая алгебра Ли (д, {), ст),
то имеем симметрический идеал (т, I) П х, сг'), где а' = а)х. Мы
также получаем симметрическую алгебру Ли (g/т, 1)/{)Пт, а*)
вместе с естественным эпиморфизмом (д, I), а) —* (g/т, f)/ij Г) х, а*).
Теорема 5.1. Пусть (д, {), а) — симметрическая алгебра Ли,
а х — радикал в д. Тогда существует симметрическая подалгебра
(¦3, §П?| <*") в (д, {), а) такая, что § — полупростая подалгебра
в д, которая дополнительна к х. Другими словами, короткая точ-
точная последовательность
О—»-(г, 1)Пт, а')—i-(g, I), а) —*¦ (g/r, 'ij/Jj П т, а*) —г О
расщепляема.
Доказательство. Все, что нам необходимо знать,— это
то, что по теореме Леви существует полупростая подалгебра §,
которая инвариантна при действии а. Это доказывается в при-
приложении 9. ?
Теорема 5.2. Пусть (д, I), а)—симметрическая алгебра Ли
с полупростой д. Тогда (д, i), а) может быть разложена в пря-
прямую сумму
где
A) Si. Й1.
— простые идеалы в д;
B)
инвариантны при действии a, of = а | дг- + gt' для i = 1, . . ., k,
Oj = а | gy- для j = k + 1, . . ., r;
C) для t = l, ..., k каждый д,- изоморфен gt- под действием а
Доказательство. Пусть дг, ..., g^ — простые идеалы в д.
Будучи автоморфизмом для д, а переставляет эти простые идеалы.
Так как о инволютивен, то имеем или
С1) CT(8/)=Si>
или
Меняя обозначения, можем написать
где a(g,.)=g- и cr(g-) = g,- для t = l, .... k и a (gy.) = gy для
j = k-j-l, ..., г. Теорема 5.2 следует теперь немедленно. П

222
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Короткая точная последовательность симметрических алгебр
Ли может рассматриваться как инфинитезимальная версия сле-
следующей ситуации.
Предложение 5.3. Пусть (G, Н, а)—симметрическое про-
пространство, а (С, Н',а')—замкнутое нормальное симметрическое
подпространство в (G, Н, а)^ Если мы положим G* -= G/G', //*= HIH'
и определим а* как инволютивный автоморфизм для G*, индуциро-
индуцированный посредством а, то (G*, Н*, а*) есть симметрическое про-
пространство, а однородное пространство G/H будет расслоением
над G*lH* со слоем G'/H' естественным образом.
Доказательство тривиально.
Мы можем применить предложение 5.3 к случаю, когда G'
есть радикал в G, т. е. связная подгруппа Ли в G, порожденная
радикалом из д. Как мы увидим ниже, радикал G' замкнут в G.
Итак, G,Н — расслоение над G*/H* со слоем G'/H', где G* полу-
полупроста, a G' разрешима. По теореме 4.1 все слои вполне геоде-
геодезические относительно канонической связности в G/H. Докажем
теперь, что радикал G' замкнут в G. Пусть G'—замыкание для
G' в G. Так как С—связная нормальная подгруппа в G, то
и G'— связная нормальная подгруппа в G. Достаточно поэтому
доказать, что G' разрешима. Но, вообще говоря, связная плот-
плотная подгруппа Ли G' связной группы Ли G' нормальна в G' и суще-
существует связная абелева подгруппа Ли А в G' такая, что G' — G'А
(для доказательства см. Хохшильд [1], с. 190). Отсюда G' раз-
разрешима. Допустим дополнительно, что G односвязна. Пусть g =
= 8'+fi"—полупрямая сумма, где д'—радикал в д, ад" — полу-
полупростая подалгебра в д, инвариантная при действии а (см. тео-
теорему 5.3). Пусть G" — связная подгруппа Ли в G, порожденная
подалгеброй д". Так как G односвязна, то она представима как
полупрямое произведение G"G'. Действительно, проекция G —>- G/G'
индуцирует гомоморфизм р: G"—*G/G', который, очевидно, есть
локальный изоморфизм. Отсюда р — накрывающее отображение.
С другой стороны, так как G односвязна, то и GjG' односвязна
(см. Хохшильд [1], с. 135, 136). Отсюда, следует, что р есть
изоморфизм из G" на G/G' и что G" может рассматриваться как
образ глобального сечения слоения G—>G/G'. Наше утвержде-
утверждение следует теперь немедленно. Полагая Н" = G" П Н и а" = а \ G",
получаем замкнутое симметрическое подпространство (G", Н", а")
в (G, Н, а). Вообще говоря, имеем только Н"Н'czH. Но I) есть
полупрямая сумма I)' и If. Отсюда, если Н связна, то Н—Н"Н'.
Мы можем теперь заключить, что если G односвязна, а Н связна,
то расслоение G/H над G*/H* со слоем G''\Н' допускает глобальное
сечение G"/H", вполне геодезическое относительно канонической связ-
связности в G/H.
§5. СТРУКТУРА СИММЕТРИЧЕСКИХ АЛГЕБР ЛИ
223
Пусть (G, Н, о) — симметрическое пространство, где G одно-
односвязна и полупроста, а Н связна. Тогда соответственно разложе-
разложению в прямую сумму для (g, Ij, а) в теореме 5.2 имеем следую-
следующее разложение в прямое произведение для (G, Н, а):
(G^Gi, Нг, ojx... x(GkxG'k, Hk, ak)
x(Gk+1, Hk+1, ak+1)x...x(Gr, Hr, ar)
и, следовательно, разложение в прямее произведение аффинного
симметрического пространства G/H
(GlXG0/^lX . . . x{GkxG'k)/Hk xGk+1/Nk+1x.. . xGr/Hr.
Доказательство непосредственно очевидно и оставляется читателю.
Теоремы 5.1 и 5.2 показывают, что симметрическая алгебра
Ли строится из симметрических алгебр Ли следующих трех типов:
A) (8 + 8. А8- ст)> гДе 8 простая, Дд={(Х, X); Х?%\,
а о(Х, Y) = (Y, X) для X, Y ? д;
B) (д, i), а), где g простая;
C) (д, {), а), где g разрешимая.
Симметрические алгебры Ли типа A) находятся во взаимно од-
однозначном соответствии с простыми алгебрами Ли естественным
образом. Симметрические алгебры Ли типа B) были классифици-
классифицированы Берже [2] и Феденко [2].
Пример 5.1. Дана симметрическая алгебра Ли (д, I), а), по-
построим новую симметрическую алгебру Ли, которую будем обо-
обозначать через (Т (д), Т (I)), Т(о)). Пусть Т (д) — алгебра Ли, полу-
полученная введением новой скобочной операции [, ]' в g-f-g так:
[(X, X'), (Y, ?')]' = ([X, Y], [X, Y'] + [X', Y]) для (X, К) 6 8 + 8-
Тогда Т (д) — полупрямая сумма абелева идеала д' = {@, X');
X' ? д} и подалгебры д" = {(Х, 0); Х?д}, которая естественно
изоморфна д. Если д полупростая, то д' есть радикал в Т (д),
а д" —полу простая подалгебра в Т(д). Пусть Т (§) — подалгебра
в Т(д), состоящая из элементов (X, X') ? !) + !)• Мы определим
инволютивный автоморфизм Т (о) в Т (д), полагая
Полагая
получаем разложение для симметрической алгебры (Т (%), Т ({)),
Т (а)) в полупрямую сумму симметрического идеала (g', i) , о') и
симметрической подалгебры (g", f)", 0"). Соответствующая конст-
конструкция для симметрического пространства (G, Н, а) более геомет-
рична. Пусть Т (G) и Т (Н) — касательные расслоения для G и Н

224
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
соответственно; дифференциал умножения GxG—>G определяет
умножение Т (G)xT (G) —+T (G), превращая T(G) в группу Ли,
а Т (Н) в подгруппу Ли в T(G). Пусть Т (а) — дифференциал
для о. Тогда (Т (G), Т (Н), а) —симметрическое пространство,
а Т {G)lT (H) = T (G/H) естественным сбразом. О различных гео-
геометрических свойствах этой конструкции и сходных конструкций
в более общих ситуациях см. Яно и Кобаяси [1].
Пример 5.2. Мы представим для рассмотрения симметричес-
симметрическую алгебру Ли (д, I), а) со следующими свойствами:
(i) g простая и есть прямая сумма векторных пространств
с.7_, + д0 — д2 со свойствами:
[go. 8o]<=8o. [So, fi-J^e-i.tfio. fli]<=gi>
задается так:
(ii) каноническое разложение g =
(iii) относительно формы Киллинга — Картана В для g под-
подпространства д_! и дх дуальны друг другу и, сверх того,
Д(д_1, 8-0 = 0 и В(%х, д1) = 0.
Далее следует пример такой симметрической алгебры Ли:
Хц 0
о х,%
«--{
где А\1т Х22, Х12, Х21 — матрицы с р строками и р столбцами,
q строками и q столбцами, р строками и q столбцами, q строками
и р столбцами соответственно, a trace Xu + trace X22 = 0.
Существует двенадцать классов симметрических алгебр Ли
классических типов и шесть симметрических алгебр Ли особых
типов, обладающих тремя свойствами из примера 5.2. Они также
могут быть охарактеризованы свойствами, состоящими в том, что
с\ проста, а т содержит собственное (нетривиальное) подпрост-
подпространство, инвариантное при действии ad(Ij). Относительно всего
этого см. Берже [2], Кобаяси и Нагано [1] и Кох [1].
Мы рассмотрим теперь симметрическую алгебру Ли (д, I), а)
такую, что д проста и что ad (?)) действует неприводимо на т.
Согласно классификации Берже имеется 44 класса таких симмет-
симметрических алгебр Ли классических типов и 86 таких симметричес-
симметрических алгебр Ли особых типов (см. Берже [2]). Дадим только
один пример.
Пример 5.3. Пусть g = «I(p+ q\ R) и
С jl *11 Х12
Ц = \ у- v
| I А 21 Л 22
. 22 -^ 22'
'X,
= У \
•**¦ 21 Г »
§6. РИМАНОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
225
где 1ц, Xia, XiX, X22 — матрицы видов, описанных в примере 5.2.
Определяем инволютивный автоморфизм а для д, полагая
Чтобы получить симметрическую алгебру Ли (д, I), а) с раз-
разрешимой д, достаточно рассмотреть (gx+g^ Agx, 0) с разреши-
разрешимой дх (см. пример 2.1). Следующая конструкция дает другой
пример.
Пример 5.4. Пусть ^ — алгебра Ли, а \)с — ее комплексифи-
кация, т. е. i)c = i)-\-H). Выбирая произвольный идеал ^ в I), напри-
например \ = [I), Щ, положим g = § + i^ с §с. Пусть a: g —>- g — комп-
комплексное сопряжение, т. е. a(X-\-iY) = X — iY для X?l) иУ?|,.
Тогда (д, I), 0) — симметрическая алгебра Ли. Если ^ разрешима,
то \)с и д разрешимы.
§ 6. Римановы симметрические пространства
Говорят, что риманово многообразие М есть риманово локально
симметрическое пространство, если оно аффинное локально сим-
симметрическое относительно римановой связности. Аналогично го-
говорят, что риманово многообразие есть риманово (глобально)
симметрическое пространство, если оно аффинно симметрическое
относительно римановой связности.
Предложение 6.1. Пусть М — риманово локально симмет-
симметрическое пространство. Для каждого х 6 М симметрия sx изомет-
рична.
Доказательство. Поскольку sx — аффинное преобразова-
преобразование и его дифференциал в х сохраняет метрический тензор в х,
то достаточно доказать следующее утверждение.
Лемма. Пусть Ми М' —римановы многообразия и f: M—+M'—
аффинное отображение. Если /*: Тх (М) —*¦ Tf lx) (M') изометрично
для некоторой точки х ? М, то f изометрично.
Доказательство леммы. Пусть g и g' — метрические
тензоры для М и М' соответственно. Пусть у?М и пусть т —
кривая из у в х. Обозначим той же буквой т параллельный пе-
перенос вдоль т. Положим т'=/(т). Для X, Y?Ty(M) имеем
ЯяЛ/.*. f*Y) = sh« (*' (f*x)> *' W)) = gi («(/• (¦**)>
xY) = gy(X,Y). П
Из теоремы 1.1 получается
Теорема 6.2. Риманово многообразие есть риманово локально
симметрическое тогда и только тогда, когда тензорное поле кри-
кривизны параллельно.
Из теоремы 1.2 получается
8 Зак. 425

226
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Теорема 6.3. Полное односвязное риманово локально симмет-
симметрическое пространство является римановым симметрическим.
Из теоремы 1.3 получается
Теорема 6.4. Риманово симметрическое пространство полно.
Теорема 6.5. Пусть М—риманово симметрическое прост-
пространство, G — наибольшая связная группа изометрий для М, а Н —
подгруппа изотропии для G в точке о из М. Пусть s0—симмет-
s0—симметрия для М в о, а о—инволютивный автоморфизм для G, опреде-
определенный так:
o(g)==s0ogoso1 для g?G.
Пусть Gc—замкнутая подгруппа из G, состоящая из элементов,
неподвижных при действии о. Тогда
A) G транзитивна на М, так что M = G/H;
B) Н компактна и лежит между GCT и ее компонентой еди-
единицы.
Доказательство. A) Хотя это может быть получено из
теоремы 1.4, докажем это более прямым путем. Пусть х, у?М
и пусть x = xt, 0^.t^.4a, есть геодезическая из х в у. (Так как
М полно по теореме 6.4, х я у могут быть соединены геодези-
геодезической по теореме 4.1 главы IV.) Если мы положим
ft — S- OS.. ,
tt t
то ft есть однопараметрическое семейство изометрий по предло-
предложению 6.1. Так как f0 — тождественное преобразование, то это
однопараметрическое семейство изометрий ft содержится в G.
Ясно, что fa отображает х в у.
B) Пусть 3 (М) — группа изометрий для М, а 3О(М) — под-
подгруппа изотропии для 3(М) в о. По следствию 4.8 главы I или
по теореме 3.4 главы VI 30(М) компактна. Будучи компонентой
единицы для I(M), G замкнута в Э(М). Отсюда H=G(}30(M)
компактна. То, что Н лежит между Ga и ее компонентой еди-
единицы, может быть доказано точно так же, как и в теореме 1.5. ?
При изучении римановых симметрических пространств естест-
естественно поэтому рассмотреть симметрические пространства (G, Н, о),
удовлетворяющие условию
adfl(//) компактна.
Это означает, что образ группы Н при присоединенном представ-
представлении для G есть компактная подгруппа группы линейных пре-
преобразований для д. Условие это удовлетворяется, если Н ком-
компактна. Обратное справедливо, если присоединенное представление
для G, суженное на Н, точно, т. е. если Н пересекается с
центром в G только по единице. В частности, если (G, Н, о)
§7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
227
эффективно, то ad^ (//) компактна тогда и только тогда, когда Н
компактна.
Допустим, что (G, Н, о) — симметрическое пространство с ком-
компактной adfl(//)- Пусть g = f) + nx — каноническое разложение. Так
как I) и пх инвариантны при действии adfl (В) (см. предложение 2.2)
и так как adfl (В) компактна, то g допускает adfl (Я)-инвариантное
скалярное произведение, относительно которого f) и пт перпенди-
перпендикулярны друг другу. Это скалярное произведение, суженное
на гп, индуцирует G-инвариантную риманову метрику на G/H.
По теореме 3.3 любая G-инвариантная риманова метрика на G/H
определяет каноническую связность в G/H. Отсюда G/H есть ри-
риманово симметрическое пространство.
Замечание. Предложение 6.1, теоремы 6.2, 6.3 и 6.4 спра-
справедливы для случая неопределенной римановой метрики. Теоре-
Теорема 6.5, исключая компактность Н, справедлива в этом случае
тоже. Но доказательство A) должно быть слегка модифициро-
модифицировано; вместо одной геодезической из х в у здесь нужна ломаная
геодезическая из х в у. Можно также получить A) из теоре-
теоремы 1.4.
Теорема 6.6. Пусть М — односвязное риманово симметричес-
симметрическое пространство, а М = МохМ1х ¦ ¦ • хМк—его разложение де
Рама, где Мо — евклидово пространство, а Ми ..., Mk все не-
приводимы. Тогда каждый сомножитель М{ есть риманово сим-
симметрическое пространство.
Доказательство. Отметим сначала, что М полно по тео-
теореме 6.4 и теорема о разложении де Рама (см. теорему 6.2
главы IV) может быть применена к М. Достаточно доказать сле-
следующую лемму.
Лемма. Пусть Мх и М2 — римановы многообразия. Если их
риманово прямое произведение М1хМ2 риманово симметричес-
симметрическое, то оба Mt и М2 римановы симметрические.
Доказательство леммы. Возьмем произвольные точки
Oi^Mj и о2?М2. Пусть s — симметрия для М1ХМ2 в (ох, о2).
Пусть Хх€ТО1{Мд, и положим X = (Xl,0)^TiOuO^(MlxM%).
Тогда симметрия s отображает геодезическую exp tX — (ехр Хх, о2)
на геодезическую ехр (— tX) = (ехр (— ^J, o2). Отсюда легко сле-
следует, что s отображает Мгх{о2\ на себя и индуцирует симметрию
для Мг в ох. Отсюда Мх риманово симметрическое. Аналогично
и для М2. ?
§ 7. Структура ортогональных симметрических алгебр Ли
Пусть (g, i), a) — симметрическая алгебра Ли. Рассмотрим ал-
алгебру Ли ada (i)) линейных эндоморфизмов для д, состоящих из
ad X, где X ^ Ц. Если связная группа Ли линейных преобразо-
преобразований для д, порожденная алгеброй ada (§), компактна, то (g, f), о)
S' Зак. 425

228
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
называется ортогональной симметрической алгеброй Ли. Если
(G, Н, а) есть симметрическое пространство такое, что Н имеет
конечное число связных компонент, и если (д, ~Ц, а) — его сим-
симметрическая алгебра Ли, то adfl (H) компактна тогда и только
тогда, когда (д, I), сг)— ортогональная симметрическая алгебра
Ли. Пусть g = l)-j-m—каноническое разложение ортогональной
симметрической алгебры Ли. Тогда g допускает ada (^-инвари-
(^-инвариантное скалярное произведение, относительно которого I) и пх
перпендикулярны. Под adfl (^-инвариантным скалярным произ-
произведением мы понимаем скалярное произведение (,) такое, что
([X, Y],Z + (Y, [X,Z]) = O для Х?Ъ и У, Z^%.
Итак, adX кососимметрично относительно (,). Существование
такого скалярного произведения очевидно, поскольку скалярное
произведение ada (I))-инвариантно тогда и только тогда, когда оно
инвариантно относительно связной компактной группы Ли ли-
линейных преобразований для д, порожденной алгеброй adfl(f)).
Предложение 7.1. Пусть (д, §, о) — ортогональная сим-
симметрическая алгебра Ли, а В— форма Киллинга—Картанадля§.
Пусть с—центр для д. Если I) П с = 0, то В — отрицательно опре-
определенная на I) форма.
Доказательство. Пусть (,) есть ada (^)-инвариантное
скалярное произведение на g и фиксируем базис в д, ортонор-
мальный относительно (,). Тогда для каждого X ? t) ad X выра-
выражается кососимметрической матрицей (а/у- (X)). Имеем
В (X, X) = 2«, j аи (X) ан (X) = - 2/, j {atJ (X))* < О,
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда X лежит
в центре с. П
Используя предложение 7.1, докажем следующее утверждение.
Теорема 7.2. Пусть (%, I), сг) — ортогональная симметричес-
симметрическая алгебра Ли такая, что I) и центр в g имеют тривиальное
пересечение. Тогда (д, %, а) есть прямая сумма ортогональных сим-
симметрических алгебр Ли (д0, ^0, ст0) и (дх, J)lt стх) таких, что:
A) если д0 = iH-j- m0—каноническое разложение, то [пт0, пх0] = 0;
B) дх полу проста.
Доказательство. Мы существенно используем следующее.
Лемма. Радикал х алгебры Ли g есть ортогональное допол-
дополнение к [д, д] относительно формы Киллинга—Картона В для д.
Доказательство можно найти у Джекобсона [1], с. 73
(с. 86 русского перевода) или Бур баки [1], с. 69 (с. 63 рус-
русского перевода).
Пусть х — радикал для д, и пусть д=1)+пх — каноническое
разложение. Положим
то=пхПх.
$7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 229
Пусть т% есть ada A))-инвариантное подпространство в пх такое,,
что
m = тп0Ч-rrti (прямая сумма векторных пространств).
(Нужно только взять ортогональное дополнение к т0 в m относи-
относительно ada A))-инвариантного скалярного произведения.) Положим*
^1 = [т1,т1],
Поскольку В отрицательно определенная на I) по предложению 7.1„
§0 есть дополнение к ^ в I). Отсюда д — прямая сумма вектор-
векторных пространств д0 и дх. Из определения ш0 и nii получаем
A) Й, пхо]спхо,
B) Д), mjcznii.
Используя t)! = [nti, Шх], тождество Якоби и B), имеем
C) ft, ад=^-
Из инвариантности В и C) имеем
Ш, W, Ъг)<=В ф0, ftx, Й)СВ ffi0, Ы = 0.
Отсюда
D) ft, ^o]cl)o.
Из (см. лемму)
В ([пт„, mj, Ъ) = В (Шо, К, Щ)сВ (х, [д, д]) = О
и из предложения 7.1 получаем
E) [пх0, Ш1] = О.
Из fyi = [mu tttx], тождества Якоби и E) получаем
F) [mo,W = 0.
Докажем, что
G) fto.mJ = O.
Так как ft0, т^сп*! по B?и Шх П t = mx fit П m = nx1n шо = 0, то
достаточно показать, что [^0,лПх]с:т. По лемме это будет следо-
следовать из В ([tH, nix], д) = 0. Поскольку | и ш перпендикулярны
друг другу относительно В (см. лемму в доказательстве теоре-
теоремы 3.4), нужно только доказать В ([\H, mj, nx) = 0. Это в свою
очередь следует из
?(fto, mj, пто)с:?([д, д], т) = 0

ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
230
И
о. [пх1>от1]) = Б(^0, у = 0.
видим, что g есть прямая
Из (см. лемму)
В ([т0, от0], Ъ)сВ ([от0, Щ, то)сВ ([g, g], t) = О
и из предложения 7.1 получаем
[от0, ото] = О.
§ 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ^СИММЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
23В
достаточно доказать, что хП*с*.. Но этоТледу^й^
5(fll ^)Б( W
f [g, g]) = o.
noUJT РНЯ СУММЗ (Й0> ^' °оГ*И (9l> ^' ffi>- Чтобы
Доказательство, заметим, что связная группа Ли ли-
и?6 Ра30БаНИЙ ДЛЯ б. порожденная алгеброй ad8 (?,),
3 ГйГ TSTZX К J
p ГйГи T(STotcZ (К J-TJT
ортогональные симметрические алгебры Q
вна3^3"?6' ?СН°/ Т В чте°Реме 7-2' ес™ (д, |, 0) эффек-
эффеквна, то (д0, 1,0> Сто) и (9i) j,i? ai) эффективны.
„!ttMTM ортогональную симметрическую алгебру Ли (о, Ъ,а)
УТОИ 9- Изте°Ремы 5-2 виДим, что (8,f, a)-прямая
СИММетРических алгебР Л« следующих двух
(?) (9, ^. о), где д проста.
1ЖеНИ% ?3 ПуСШ
симмет1ииРг,ЖеНИ% ?-3п ПуСШЬ (9+,й' Дб'' ^)-орягогояаль«аЯ
симметрическая алгебра Л и с простой д'. Яг/сть о' + д' = Да' 4- т-~
каноническое разложение. Тогда "8+ш
(Ц ^(Дй') неприводима на т;
•определенная. Килшнга~^аРтана В [для д'+д' отрицательно
т,ня?°Ка3ательство- ПУСТЬ пг'— подпространство в т, инва-
идеал вей'ТНпИТеЛЬН° аA(Ав')- Тогда {Х;(Х,-Х)Ы\ есть
идеал в д. Поскольку д' проста, то отсюда или ш'= 0 или
?!7 Д?3ЫВаеТA) " 5'* Киллинга-Кар-
В ((X, Y), (X, Y)) = В' (X. X) + В' (Y, Y)
для (Х
С другой стороны, по предложению 7.1 имеем
0 > В ((X, X), (X, X)) = 25' (X, X)
для (X, ХNДЯ\. X=^(L
Отсюда следует, что В' я В отрицательно определенные. ?
Предложение 7.4. Пусть (д, I), a)—ортогональная сим-
симметрическая алгебра Ли с простой д. Пусть д = ^ + пх—канони-
пх—каноническое разложение. Тогда
A) ad f) неприводима на т;
B) форма Киллинга—Картана В для д положительно или-.
отрицательно определенная на т.
Доказательство. Выберем скалярное произведение (,>
на пх, которое ad ^-инвариантно. Пусть Р —линейное преобразо-
преобразование для пх, определяемое так:
фХ, Y)wB(X, Y) для X, Г€от.
Поскольку В симметрична и невырожденная на пх (см. лемму и»
доказательства теоремы 3.4), собственные значения для C будут
все вещественными и ненулевыми. Пусть пх = пт1+ • • • +nxft — раз-
разложение на собственные подпространства. Тогда т17 .. ., mk вза-
взаимно ортогональны относительно (,). Отсюда, если 1ф], то
0 = (Ш;, mj) = фт?, ту) = В (in,-, т,),
что влечет, что пт1( ..., шь взаимно ортогональны также и от-
относительно В. С другой стороны, так как В и (,) инвариантны
при действии ad f), то отсюда следует, что C коммутирует с ad I)
и что [f), intern; для каждого i. Отсюда, если 1ф], то
В ([т{, шу], [ш„ ту])с=5 ([т,-, т,], ад=5(т„ [m/t й)сБ (т?, ту)=0
Так как Б отрицательно определенна на I), то отсюда следует,,
что [nt/, Шу] = 0 для 1?ь/. Используя это, мы легко проверяем,
что каждое [от,-, т{]+т{ есть идеал в д. Так как д проста, то
мы должны иметь m=mi, т. е. что C имеет единственное собст-
собственное значение. Это доказывает, что В отличается лишь мно-
множителем от (,). Отсюда В положительно или отрицательно опре-
определенна на т, что и доказывает B) Чтобы доказать A), допус-
допустим, что от' — подпространство из т., инвариантное при действии,
adl), а от" — ортогональное дополнение к от' в от относительно (,}
(и отсюда также относительно'Б, так как В пропорциональна (,))..
Тогда от" тоже^инвариантно^относительно adf). Отсюда
Б([от', от"], [от', т"])с:В ([от', от"], §)=Б (от', [от", Щ)сВ (от', от") = 0..
Поскольку В отрицательно определенная на I), отсюда следует,
что [от', от"] = 0. Используя это, легко проверяем, что [от', от'] + от'
есть идеал в д. Так как д проста, то отсюда либо от'=0, либо»
от'=от. ?

232
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Как мы можем усмотреть из примера 5.2, в предложении 7.4
является существенным то, что (g, f), о) — ортогональная симмет-
симметрическая алгебра Ли. Следующее предложение, которое справедг
либо для любой симметрической алгебры Ли, может рассматри-
рассматриваться как обращение A) предложений 7.3 и 7.4.
Предложение 7.5. Пусть (%, f), a)—эффективная сим-
симметрическая алгебра Ли, a g = f)-|-m—каноническое разложение.
Если ad f) неприводима на т, то имеет место одно из трех:
A) в = 8'+ 9' с простой д\ $ = Дд' и о(Х,У) = (У,Х) для
х, yeg';
B) д простая;
C) [m, mJ = 0.
Доказательство. Если д полупроста, то имеем A) или
<2) по теореме 5.2. Достаточно поэтому доказать, что или g по-
полупроста, или [m, m] = 0. Предположим, что g не полупроста,
пусть х — радикал в g и рассмотрим повторные коммутаторы для х:
х, t' = [t'-1
для 1=1, 2, ...
Существует неотрицательное целое число k такое, что t* Ф 0, а
Tft+i_0. Поскольку г инвариантен при действии о, то и х* инва-
инвариантно при действии о. Отсюда
Так как х — идеал в д, то и xk — идеал в g и [§, т* Л т]сгх*Пт.
Поскольку ad fj неприводима на ш, то или х* П m = 0 или х* П пт = ш.
Если i*nm = O, то т* содержится в |, что противоречит эффек-
эффективности (g, Jj, а). Отсюда т* содержит пг. Так как [xk, xft] = 0,
то имеем [m, m] = 0. П
Замечание. Так как [т, m]-j-m есть идеал в д, то отсюда
следует, что 1)=[т, пт] в A) и B) предложения 7.5. Отсюда
можем заключить, что, для эффективной симметрической алгебры
Ли (g, i>, о) ad ([m, ш]) неприводима на m тогда и только тогда,
когда имеют место A) или B) предложения 7.5. Для симметри-
симметрического пространства (G, Н, а) неприводимость ad([m, m]), дей-
ствукщей на т, есть в точности неприводимость суженной
линейной группы голономии канонической связности на G/H
{см. теорему 3.2).
Будем говорить, что эффективная симметрическая алгебра Ли
(д, ф, а) неприводима, если ad([m, m]) неприводима на т, т. е.
если A) или B) предложения 7.5 имеют место.
Говорят, что ортогональная симметрическая алгебра Ли (д, §, о)
с полупростой д компактного типа или некомпактного типа в
соответствии с тем, будет ли форма Киллинга—Картана В на g
отрицательно или положительно определенной на пт. По предло-
§7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 233
жениям 7.3, 7.4 и 7.5 каждая неприводимая ортогональная сим-
симметрическая алгебра Ли имеет либо компактный, либо неком-
некомпактный тип. Из теоремы 5.2 мы также видим, что каждая
ортогональная симметрическая алгебра Ли (д, f), а) с полупрос-
полупростой д есть прямая сумма ортогональной симметрической алгебры
компактного типа и ортогональной симметрической алгебры
некомпактного типа. (Конечно, одно из слагаемых может быть
тривиальным.) Поскольку В отрицательно определенна на I) (см.
предложение 7.1), (д, |, а) будет компактного типа тогда и
только тогда, когда В отрицательно определенная на д. Говорят,
что алгебра Ли д компактного типа, если форма Киллинга—
Картана В отрицательно определенная на д. Отсюда ортогональ-
ортогональная симметрическая алгебра Ли (д, §, о) компактного типа тогда
и только тогда, когда g компактного типа. Известно (см. X о х-
шильд [1], с. 142—144), что связная, полупростая группа
Ли G компактна тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли g
компактного типа (см. также пример 3.2 главы X). Это делает
использование термина «компактный тип» правомерным.
Пример 7.1. Покажем, что каждая точка х риманова ло-
локально симметрического пространства М имеет окрестность, ко-
которая изометрична окрестности начала некоторого риманова
симметрического пространства G/H. Пусть т = Тх(М), и пусть
§ — множество всех линейных эндоморфизмов U для ш, которые
будучи продолжены до дифференцирования, отображают gx и R^
в 0 (условие U-gx = 0 означает, что U кососимметричен). Тогда
g = m +1) может быть превращено в симметрическую алгебру
Ли с а тем же способом, что и в примере 2.2. Пусть G — одно-
связная группа Ли с алгеброй Ли д, и пусть Н — связная подгруп-
подгруппа Ли, соответствующая I), так что (G, Н, о) — симметрическое
пространство для (д, I), а).
Покажем, что /C = ad(#) на пт компактна, так что (G, Н, а) —
риманово симметрическое пространство, а (д, I), а)—ортогональ-
а)—ортогональная симметрическая алгебра Ли. В силу конструкции д ad (§)
есть не что иное, как действие ^ на пг. Итак, достаточно пока-
показать, что группа К ортогональных преобразований, порожденная
подалгеброй i), компактна. Рассмотрим замыкание К для К в
ортогональной группе на ш, и пусть I) — ее алгебра Ли. Если
U ^ §, то ut — exptU?K есть предел последовательности элемен-
элементов ип ? К- Поскольку и„ отображает Дх в себя, то и щ тоже
обладает этим свойством. Так как это верно для каждого t, за-
заключаем, что UR.x—0, т. e. U €!)• Итак, К = К, что и дока-
доказывает наше утверждение о компактности К— ad (Н) на т. Теперь
в рассуждении в конце § 3 линейный изоморфизм F изометри-
чен, и отсюда аффинный изоморфизм / есть изометрия по лемме
для предложения 6.1.

234
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 8. Двойственность
Рассмотрим сначала произвольную симметрическую алгебру
Ли (g, i), а), которая не обязательно ортогональна. -Пусть
g = I) + т — каноническое разложение.
Если мы обозначим через дс и §с комплексификации для g и
§ соответственно, через ас инволютивный автоморфизм для д<\
индуцированный посредством а, то (%с, Цс, ас) будет симметри-
симметрической алгеброй Ли, a (g, i), а) будет ее вещественной симмет-
симметрической подалгеброй. Положим
Тогда легко проверить, что д* — вещественная подалгебра в д^,
инвариантная при действии ас. Если мы положим а* = ос\%*, то
получим симметрическую подалгебру (g*, i), о*) в (д^, дс, ас),
которая называется дуальной (двойственной) для (д, |, а). Оче-
шидно, что (д, Ц, а) дуальна к (g*, f), о*), это оправдывает тер-
термин «дуальная».
Теорема 8.1. Пусть g — алгебра Ли, а а — инволютивный
.автоморфизм для g + g, который отображает (X, Y) в (Y, X).
Тогда дуальная алгебра для (g + g, Ад, а) естественно изоморфна
(%с, д, а), где а обозначает комплексное сопряжение в %с (отно-
(относительно д), и обратно.
ДЪказательство. Рассмотрим отображение из (д + д)* в
%с, определенное так:
(X, X) + i(Y, -Y)-*X + iY, X, Y e д.
Просто проверяется, что это отображение и дает изоморфизм
дуальной алгебры для (д + д, Ад, сг) на (%с, д, а).
Теперь мы рассмотрим ортогональные симметрические
алгебры Ли.
Предложение 8.2. Ортогональная симметрическая алгебра
•Ли (д + д, Ад, о) с полупростой д необходимо компактного типа.
Доказательство. Пусть В и В—формы Киллинга — Кар-
Картана для д и д + д соответственно. Тогда
)
да
В((Х, X), (X, Х))^2В(Х, X)
), (X, Х))^2В(Х, X) для Х?$.
Выражение слева отрицательно для каждого ненулевого X € д
;по предложению 7.L Отсюда В отрицательно определенна на д.
А это влечет, что В отрицательно определенна на д + д. ?
Теорема 8.3. Ортогональная симметрическая алгебра
Ли (д, Ц, а) с простой д дуальна ортогональной симметрической
алгебре Ли вида (gi + gi, Адх, аг) тогда и только тогда, когда д
допускает комплексную структуру J, согласованную со структу-
§8. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
235
рой алгебры. Ли в д, т. е. удовлетворяющую условию
ad(/X) = /oad(X) = adXo/ для X ? д.
Доказательство. Допустим, что (д, |), аI дуальна к
(gi + gi. Ад^ ах). По теореме 8.1 д изоморфна д?. Умножение на
i в gj дает комплексную структуру / для д, согласованную со
структурой алгебры Ли д. Обратно, допустим, что g допускает
co^aeoBaHHvio комплексную структуру J. Если В — форма Киллин-
Киллинга— Картана для д, то
В (JX, JY) = trace (ad JXoad JY) = trace (Joad Xo/oad Y)
= trace (/2oad Xoad Y) = — trace (ad Xoad Y)
= — B(X, Y).
Используя это, покажем, что J^n^(^) = O. Если X€t)f}J(§), то
X — JY для некоторого Y ? §. По приведенной выше формуле
имеем
В(Х, X) = B(JY, JY) = ~B(Y, Y).
С другой [стороны, по предложению 7.1 В (X, X) и В (Y, Y
отрицательны, если ХфО. Отсюда 1H J (!))== О. Поскольку ad fy
неприводима на т = д/f) по предложению 7.4 и поскольку
(i) + J (Ю)Д) — ненулевое подпространство в д/|), инвариантное при
действии adl), имеем д = | + /(^), т. е. д«^с. Пусть X, Y?f).
Так как (adX)o(ad/F) отображает Jj и J (t>) в J (Ь)) и § соот-
соответственно, имеем В (X, JY) = 0, а это показывает, что § пер-
перпендикулярно J (§) относительно В. Отсюда д = ^ + /(^) есть
каноническое разложение/ Для'* (д, §, а), а о есть комплексное
сопряжение в д«f)c относительно §. По теореме 8.1 (д, §, а)
дуальна к A) + ^, А^, а'), где а' отображает (X, FNf) + f) в
(Y, Х)е^ + ^- ?
Теорема 8.4. (д*, fy, а*), дуальная к ортогональной симмет-
симметрической алгебре Ли (д, Ц, а), есть ортогональная симметричес-
симметрическая алгебра Ли. Если (д, 1), а) компактного типа (соотв. не-
некомпактного типа), то (д*, ~Ц, а*) некомпактного типа (соотв.
компактного типа).
Доказательство. При линейном изоморфизме X?m —*¦
—*-iX?im, ad |, действующая на m, и adf), действующая на
ш, изоморфны. Отсюда при линейном изоморфизме X + Y <Е ^ + т—->-
—»- X-\-iY? b)-\-im ad I), действующая на д, и ad Jj, действующая
на д*, изоморфны. Если ad \), действующая на д, порождает ком-
компактную группу Ли линейных преобразований для д, то ad fyT
действующая на д*, тоже порождает компактную группу Ли ли-
линейных преобразований для д*. Это доказывает наше первое
утверждение.
Пусть В и В* — формы Киллинга —Картана для д и д* соот-
соответственно. Фиксируем X, Y?т. Тогда В (X, Y) есть сумма

236
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
следов следующих двух линейных преобразований:
?/€$ — [*. [У, иЪ€Ъ и V?m-+ [X, [F,]]em.
Аналогично B*(iX, iY) есть сумма следов следующих-двух
линейных преобразований:
U€J)-+[iX, [iY, U]]?b и iV?im — [iXt [iY, tVfleim.
Отсюда B*{iX, iY) = — B(X, Y). Это показывает, что" В*
отрицательно определенная (соотв. положительно определенная)
на да тогда и только тогда, когда В положительно определен-
определенная (соотв. отрицательно определенная) на т. П
Из предложения 7.5 и из предыдущего результата этого па-
параграфа получается
Теорема 8.5. Неприводимые ортогональные симметрические
-алгебры Ли компактного типа делятся на два следующих класса:
(I) (д, 0), а), где g— простая алгебра Ли компактного типа;
(II) (8 + Й» Дв» °")> г^е % —простая алгебра Ли компактного
типа, а отображает (X, F)?g + g в (Y, Х)?д + д, а Ад — диа-
диагональ в д + д.
Неприводимые ортогональные симметрические алгебры Ли не-
некомпактного типа делятся на два следующих класса:
(III) (д, f), а), где д— простая алгебра Ли некомпактного
типа, которая не допускает согласованную комплексную струк-
структуру;
(IV) (дс, д, о), где д— простая алгебра Ли компактного типа,
$с обозначает комплексификацию для д, в а—комплексное сопря-
сопряжение в дс относительно д.
Ортогональные симметрические алгебры. Ли типа (I) дуальны
л ортогональным симметрическим алгебрам типа (III). Ортого-
Ортогональные симметрические алгебры типа (II) дуальны к ортого-
ортогональным симметрическим алгебрам типа (IV).
Типы симметрических пространств связаны с их геометричес-
геометрическими свойствами так:
Теорема 8.6. Пусть (G, Н,а)—симметрическое простран-
пространство с компактной ads(H), и пусть (д, §, а) — его ортогональная
симметрическая алгебра Ли. Возьмем любую G-инвариантную
риманову метрику на G/H. Тогда имеем
A) если (g, f), а) компактного типа, то G/H—компактное
риманово симметрическое пространство с неотрицательной сек-
секционной кривизной и положительно определенным тензором Риччи;
B) если (д, J), а) некомпактного типа, то G/H — односвязное
•некомпактное риманово симметрическое пространство с неполо-
неположительной секционной кривизной и отрицательно определенным
тензором Риччи, диффеоморфное евклидову пространству.
Доказательство. Пусть д = |) + m — каноническое разло-
разложение, а (,) — скалярное произведение на т, соответствующее
§ 8. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
237
данной G-инвариантной римановой метрике [n&G/H (см. предло-
предложение 3.1 главы X). Поскольку (д, i), а) предполагается ком-
компактного или некомпактного типа, то д полупроста. Разложим
(д, I), а) в прямую сумму неприводимых ортогональных симмет-
симметрических алгебр Ли:
(g. §> ог) = 2'Г-1(Йм $/. <**)•
Для каждого i пусть g/ = f)J + m, —каноническое разложение, а
В; — форма Киллинга—Картана для д,-. Тогда каждая ad (§)-
инвариантная симметрическая билинейная форма на m может
быть выражена при помощи Blt . . ., Вг так:
Лемма. ad (^-инвариантная симметрическая билинейная
форма (,) на т есть линейная комбинация из Blt ..., Вг, т. е.
существуют константы alt ..., аг такие, что (X, Y) =
= %UaiB?(Xi, Y{) для Х=2«-*«- " У=2чУ» где х>> У&Щ
для i = 1, ..., г.
Доказательство леммы. Докажем сначала, что для
1ф\ Ш; и т} перпендикулярны друг другу относительно (,). Пусть
Xt em,-, Xj ? mj и Zt € b)i- Тогда [Z,-, X;] = 0 влечет
([Z,, X,], Xf) = -{Xt, [Zit
Поскольку (g;, 1){, а,-) неприводимы, множество {[Z,-, X,];
Z,€^,-, X{ ? m,} порождает m,-. Это показывает, что произволь-
произвольный Xj^ttij перпендикулярен к m,- относительно ( , ), что и
доказывает наше утверждение. Остается доказать, что сужение
( , ) на т,- пропорционально В{. Но это легко следует из того,
что ( , ) и Bt инвариантны относительно ad §,-, действующего
неприводимо на ш,- (см. теорему 1 приложения 5). Это завер-
завершает доказательство леммы.
Сначала докажем утверждение о секционной кривизне и тен-
тензоре Риччи. В силу леммы достаточно рассмотреть неприводи-
неприводимый случай. Тогда G-инвариантная риманова метрика на G/H
определяется скалярным произведением вида аВ на т, где
В — форма Киллинга — Картана для д, а а —константа, положи-
положительная или отрицательная в соответствии с положительной или
отрицательной определенностью В на т, т. е. в соответствии
с некомпактностью или компактностью типа алгебры (д, J), ст).
Пусть X и Y — элементы из m такие, что аВ (X, X) — aB(Y,Y)=\,
а аВ(Х, Y) = 0. Тогда секционная кривизна R (X, Y, X, Y)o
плоскости, порожденной элементами X и Y в начале о из G/H,
задается так (см. A) теоремы 3.2):
R(X, Y, X, Y)o = -aB([[X, Y], У], Х)=аВ([Х, У], [X, Y]).
Поскольку В отрицательно определенная на § и [X, У] С J), то
отсюда следует, что R(X, Y, X, Y)o неотрицательно или непо-

ГЛ. Xi: СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ложительно в соответствии с компактностью или некомпакт-
некомпактностью типа алгебры (д, §, а). Отметим, что JR(X, Y, X, F)o = 0
тогда и только тогда, когда [X, Y] = 0. Так как тензор Риччи
для G/ff инвариантен, то он должен совпадать с метрическим
тензором с точностью до постоянного множителя по лемме выше.
Это показывает, что если (g, f), а) неприводима, то G/ff— эйнш-
эйнштейново пространство. Допустим, что (g, t), а) компактного типа.
Так как секционная кривизна неотрицательна, то тензор Риччи
для G/ff положительно полуопределенный. Поскольку G/H —
эйнштейново пространство, то тензор Риччи или положительно
определенный, или нуль. Из выражения тензора Риччи при по-
помощи секционной кривизны (см. т. I, с. 234) следует, что если
тензор Риччи есть нуль, то и секционная кривизна—нуль. Но
это противоречит неприводимости (g, Jj, а). Отсюда тензор Риччи
положительно определенный. Аналогично, если (д, I), а) неком-
некомпактного типа, то тензор Риччи для G/H отрицательно опреде-
определенный.
Теперь рассмотрим общий случай, когда (g, §, а) не обяза-
обязательно неприводима. Из того, что мы только что доказали в не-
неприводимом случае, видим, что если (д, §, а) компактного типа
(соотв. некомпактного типа), то секционная кривизна для GIH
неположительна (соотв. неотрицательна) и тензор Риччи для
GIH положительно определенный (соотв. отрицательно опреде-
определенный). Если (g, i), а) компактного типа, то GIH компактно
по теореме 5.8 главы VIII. Если (g, t), or) некомпактного типа,
то G/ff односвязно и диффеоморфно евклидову пространству по
теореме 8.3 главы VIII. П
Следствие 8.7. Пусть (G, Н, а)—симметрическое прост-
пространство с компактной ad9 (Н) такое, что его ортогональная сим-
симметрическая алгебра Ли (g, ф, а) неприводима. Возьмем любую
G-инвариантную риманову метрику на G/ff (которая единственна
с точностью до постоянного множителя). Тогда имеем или
A) (д, §, а) компактного типа, a G/ff — компактное эйнш-
эйнштейново пространство с неотрицательной секционной кривизной
и положительно определенным тензором Риччи; или
B) (д, if, а) некомпактного типа, a G/ff—односвязное эйнш-
эйнштейново пространство с неположительной секционной кривизной
и отрицательно определенным тензором Риччи, диффеоморфное
евклидову пространству.
Доказательство. В конце § 7 мы объяснили, что если
ортогональная симметрическая алгебра Ли (д, §, а) неприво-
неприводима, то она или компактного типа, или некомпактного типа.
Следствие 8.7 следует теперь немедленно из теоремы 8.6. То, что
G/ff—эйнштейново пространство, также было установлено в ходе
доказательства теоремы 8.6. П
§ 9. ЭРМИТОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
239
Замечание. В теореме 8.6 G/ff не обязательно эйнштей-
эйнштейново. Однако нетрудно видеть, что существует G-инвариантная
метрика на G/ff, для которой G/ff—эйнштейново пространство.
§ 9. Эрмитовы симметрические пространства
Пусть М — многообразие с аффинной связностью Г и почти
комплексной структурой /. Мы говорим, что М — комплексное
аффинное локально симметрическое (пространство), если для каж-
каждой точки х из М симметрия sx (определенная в § 1) оставляет
Г и / инвариантными. М комплексное аффинное (глобально) сим-
симметрическое, если каждая симметрия sx может быть продолжена
до глобального преобразования для М, которое сохраняет Г и/.
Пусть М комплексное аффинное локально симметрическое.
Тогда тензор V/ инвариантен относительно каждой симметрии sx.
Так как степень V/ нечетна, то заключаем, что V/ = 0 по лемме
для теоремы 1.1. По следствию 3.5 главы IX видим, что кру-
кручение для / есть нуль. По теореме 7.7 главы VI мы знаем, что
МиГ вещественно аналитические. Поскольку почти комплекс-
комплексная структура / параллельна, то она тоже вещественно анали-
аналитическая. По вещественно аналитической версии теоремы 2.5
главы IX заключаем, что / интегрируема. Итак, М есть комп-
комплексное многообразие и Г — комплексная связность. Предполо-
Предположим, что М — почти комплексное многообразие с эрмитовой
метрикой g, и пусть Г — риманова связность для g. Если М
комплексное аффинное локально (или глобально) симметрическое
относительно Г, то мы говорим, что М эрмитово локально (или
глобально) симметрическое. В этом случае / интегрируема, а
g — кэлерова метрика (так как V/ = 0). Теперь предположим, что
кэлерово многообразие М локально симметрическое, как рима-
ново многообразие (см. § 6). Тогда каждая симметрия sx ото-
отображает Jx в себя. Для любой точки у нормальной окрестно-
окрестности U точки х пусть т. — геодезическая из х в у в U. Так как
sx — аффинное преобразование, то имеем sxox = sx(x)osx, где т и
sx (т) обозначают параллельный перенос вдоль т и вдоль кривой-
образа. Так как / параллельно, то заключаем, что sx(Jy) = JSxy.
Итак, sx сохраняет / и М эрмитово локально симметрическое.
Суммируя, мы имеем
Предложение 9.1. Пусть М — дифференцируемое много-
многообразие с почти комплексной структурой J и эрмитовой метри-
метрикой g.
A) Если М комплексное аффинное локально симметрическое,
то J интегрируема, a g — кэлерова метрика.
B) Если (У, g)—кэлерова структура и если М риманово ло-
локально симметрическое, то М эрмитово локально симметри-
симметрическое.

240
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть М—эрмитово глобально симметрическое пространство.
Тогда М есть кзлерово многообразие такое, что каждая симмет-
симметрия sx может быть продолжена до глобального автоморфизма
(т. е. голоморфной изометрии) для М. Пусть 3? (М) обозначает
группу всех автоморфизмов для М. Те же рассуждения, что и
в доказательстве теоремы 1.4, показывают, что^(Л1) транзитивна
на М. Компонента единицы G для $(М) тоже транзитивна на М
и М может быть представлено как однородное пространство
G/H. Определим автоморфизм а для G, как и в теореме 1.5. Мы
можем заключить, что M = G/H есть симметрическое простран-
пространство; здесь G—наибольшая связная группа автоморфизмов для М.
Мы доказали
Предложение 9.2. Эрмитово глобально симметрическое
пространство М может быть представлено как симметрическое
пространство G/H, где G — наибольшая связная группа автомор-
автоморфизмов для М.
Теперь будем исходить из симметрического пространства G/H
с каноническим разложением g = f) + m алгебры Ли. Предполо-
Предположим, что m допускает комплексную структуру / такую, что
ad (а) о / = / о ad (а) для каждого а?.Н. По предложению 6.5
главы X получаем инвариантную почти комплексную структуру
/ на G/ff. Условие интегрируемости того же предложения удов-
удовлетворяется, потому что [m, m]c:f). Итак, G/H — комплексное
однородное пространство. Каноническая аффинная связность на
G/H тогда комплексная, поскольку VJ = O по D) теоремы 3.2
(это влечет также, что / интегрируема, как мы уже видели).
Если, дополнительно, тп допускает ad (//)-инвариантное скаляр-
скалярное произведение, которое эрмитово относительно /, то соответ-
соответствующая инвариантная метрика g на G/H эрмитова относи-
относительно / и G1H эрмитово глобально симметрическое. Суммируя,
имеем
Предложение 9.3. Пусть G/H—симметрическое однород-
однородное пространство с каноническим разложением g = § + m
алгебры Ли.
A) Если т допускает ad (Н)-инвариантную комплексную
структуру I, то G/H допускает инвариантную комплексную
структуру такую, что каноническая аффинная связность комп-
комплексная, a G/H комплексное аффинно симметрическое.
B) Если дополнительно m допускает ad (Н)-инвариантное
скалярное произведение, которое эрмитово относительно I, то
GjH допускает инвариантную кэлерову метрику, a G/H эрми-
эрмитово симметрическое.
Как применение предложения 9.3 имеем
Предложение 9.4. Пусть G/H и G*IH* — симметрические
однородные пространства с алгебрами Ли (д, §, о) и (д*, §*, о*)
соответственно, такие, что (д*, §*, а*) дуально (д, §, а). Тогда
§9. ЭРМИТОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
241
G/H комплексное аффинное симметрическое {соответственно эрми-
эрмитово симметрическое) тогда и только тогда, когда G*IH* комп-
комплексное аффинное симметрическое {соответственно эрмитово сим-
симметрическое).
Это немедленно следует из определения дуальной симметри-
симметрической алгебры Ли, данного в § 8, и из предложения 9.3.
Предложение 9.5. Пусть G/Н — комплексное аффинное
симметрическое пространство. Пусть т'—подпространство в т
такое, что [[т', т'], га']сга', и пусть М'—соответствующее
вполне геодезическое подмногообразие, как в теореме 4.3. Тогда
М' —комплексное подмногообразие в G/H в том и только в том
случае, когда т' инвариантно относительно комплексной струк-
структуры. I на т.
Доказательство. Если М' — комплексное подмногообра-
подмногообразие, то т'=Го(ЛГ) инвариантно относительно /. Обратно, пред-
предположим, что ш' инвариантно относительно /. Так как М'
вполне геодезическое, а / параллельно, то отсюда следует для
каждой х?М', что ТХ{М') инвариантно относительно Jx, где
У — комплексная структура для GjH. Итак, М' —комплексное
подмногообразие. ?
Примеры эрмитовых симметрических пространств и их вполне
геодезических комплексных подмногообразий обсуждаются в сле-
следующем параграфе.
Следующая теорема дает существенно теоретико-групповую-
характеристику эрмитовых симметрических пространств.
Теорема 9.6. A) Пусть G/U—эрмитово симметрическое
пространство, где Н компактна, a G эффективна на G/H. Если
G полупроста, то существует элемент Zo центра в | такой,
что / = adm(Z0) и f) = {X€%; [Zo, X]=0\.
B) Пусть G/Н — симметрическое пространство, где Н ком-
компактна, a G эффективна на G/H. Если G проста, а Н имеет
недискретный центр, то GIH допускает инвариантную эрмитову
структуру.
Доказательство. A) Продолжим комплексную струк-
структуру /: т—+т до линейного эндоморфизма для д, полагая
/(Х) = 0 для X ? §. Покажем, что / — дифференцирование для д,.
X Y] [X IY] X Y Э
() § ффрр д
т. е. I[X, Y] = [IX, Y] + [X, IY] для всех X, Y 6 Й- Это тож-
тождество тривиально для X, Y?i). ЕслиХ^.т, a F6fy> to IY = 0.
Т /
р ) fy
Также, так как / инвариантна относительно ad {И), имеем'
[IX, Y]=I[X, У] = 0, что доказывает тождество. Остается рас-
рассмотреть случай X, Y ? т. По предложению 4.5 главы IX име-
имеем R{IX, IY) = R{X, Y) для тензора кривизны R. Посколь-
Поскольку R {X, Y) = — adm {[X, Y]) по теореме 3.2, получаем
adm {[IX, /F]) = adm {[X, F]). Представление f) —+¦ adm(i)) является
точным (как мы видели в конце § 1 главы X), поэтому полу-
получаем [IX, IY] = [X, Y]. Заменяя Y на IY, получаем [IX, ]

242
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
+[Х, 7У] = 0. Поскольку 1[Х, К] = 0, то мы доказали тож-
тождество. Итак, /—дифференцирование. Так как G полупроста, то
каждое дифференцирование для g внутреннее (см. Б урбаки [1],
•следствие 3, с. 73 (с. 66 русского перевода)). Итак, существует
элемент Z0?g такой, что / = ad(Z0). Если мы напишем Zo=
=X0 + F0 с Х0?т и Yoeh то 0 = ad(Zo)Zo = /Zo = /X0, так что
1*Х0 = — Х0 = 0, т. е. Z0?f). Так как ad(Z0)Y=IY = 0 для
любого K?f), мы видим, что Zo лежит в центре для fj. Если
[Z0( Х] — 0 для некоторого Х?д, то IX = 0 и отсюда Х?ф, что
и доказывает, что I) есть централизатор для Zo в д.
B) Пусть ff° обозначает компоненту единицы для Н. По пред-
предложению 7.4 ad | неприводима на т, так что ad (Я0) неприво-
дима на т. Выбирая ad (Я)-инвариантное скалярное произведе-
произведение на т, рассматриваем ad (Я0) как связную неприводимую
подгруппу Ли ортогональной группы на т. Из доказательства
теоремы 2 приложения 5 видим, что центр в ad (ff) самое боль-
большее одномерен. Так как Н —-*-adllt(#) точное и так как Н имеет
недискретный центр по предположению, то заключаем, что ком-
компонента единицы центра в Н одномерна и изоморфна группе
вращений круга. Итак, имеется элемент h?H° такой, что
adm(/i)a = —1 на т. Следовательно, adm (h) есть ad (/^-инвариант-
(/^-инвариантная комплексная структура на т. Теперь предложение 9.3 за-
завершает доказательство нашего утверждения. ?
По теореме 3.3 нам известно, что тензор Риччи симметри-
симметрического пространства G/ff не зависит от выбора возможной
инвариантной римановой метрики на G/H. Тензор Риччи эрми-
эрмитова симметрического пространства G/ff с полупростой G имеет
простое выражение.
Предложение 9.7. Пусть GIH—эрмитово симметриче-
симметрическое пространство, где Н компактна, а G эффективна на GIH.
Если G полупроста, то тензор Риччи S для G/ff задается так:
S(X,
^B(X, Y) для X,Yem,
где В —форма Киллинга — Картана для д.
Доказательство. Пусть Zo — элемент центра в §, дан-
данный в теореме 9.6. По B) предложения 4.5 главы IX имеем
S(X, r) = y
для X,
Используя R(X,Y) = — adm([X,Y]) и / = adin(Z0), имеем
/ о R (X, IY) = — adm (Zo) о ad,,, ([X, [Zo, Y]]).
Пусть W = [X, [Zo, YJ] ? I). Так как [m, Щ <= t) и [$, Щ с §, имеем
trace ad (Zo) о ad (W) = trace adm (Zo) о ad
+ trace ad? (Zo) о ad$ (W).
§9. ЭРМИТОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
243
Ho ad$ (Zo) о ad^ (W) = 0, поскольку Zo лежит в центре для Ь
Итак, получаем
trace IoR(X, IY) = — trace ad (Zo) o>d (W) = — В (Zo, W)
= — B{Z0,{X,Z0,Y]-\).
Это в силу ad (д)-инвариантности В равно
B([X,Zol [Zo, Y]) = -B([Za, X], [Za,Y])
= В ([Z0) [Zo, X]], Y) = -B (X, Y)t
так как ad (Z0)a X = I2X = —X. Поэтому имеем
S(X,Y) = —jB(X, Y) для X, Yem. D
Пусть M — односвязное эрмитово симметрическое простран-
пространство, и пусть М = М0 х Мг х ... X Mh — разложение де Рама
для М как риманова многообразия, где Мй — евклидово прост-
пространство, а все М1г ..., Mk неприводимы. По теореме 6.6 каждый
сомножитель разложения есть симметрическое риманово прост-
пространство. По теореме 8.1 главы IX каждый сомножитель также
есть кэлерово многообразие. Отсюда каждый сомножитель раз-
разложения есть эрмитово симметрическое пространство. В част-
частности, Мо есть комплексное евклидово пространство, а
Mlt ...,Mk — неприводимые эрмитовы симметрические простран-
пространства. Пусть M = GiH—неприводимое эрмитово симметрическое
пространство, где Н компактна, a G эффективна на М = G/ff.
Пусть (д, 1), о) — ортогональная симметрическая алгебра Ли.
Поскольку S) имеет нетривиальный центр (см. теорему 9.6)у
(д, \), а) должна быть типа (I) или (III) из теоремы 8.5 в соот-
соответствии с компактностью или некомпактностью типа для G/ff.
Мы можем теперь заключить, что (д, I), 0) есть эффективная
ортогональная симметрическая алгебра Ли неприводимого эрми-
эрмитова симметрического пространства G/ff тогда и только тогда,,
когда g проста, а I) имеет нетривиальный центр.
Рассмотрим ограниченную область D из С" с метрикой Берг-
Бергмана g (см. пример 6.6 главы IX). Если D — эрмитово симметри-
симметрическое пространство, то область D называется ограниченной сим-
симметрической областью. Для ограниченной области D каждое
голоморфное преобразование необходимо есть изометрия (см.
пример 6.6 главы IX). Для ограниченной симметрической об-
области D наибольшая связная группа G голоморфных преобразо-
преобразований транзитивна на D и D представима как эрмитово симмет-
симметрическое пространство G/ff, где Я компактна. Из примера 3.3
главы IX мы знаем, что тензор Риччи S ограниченной симмет-
симметрической области (или, более общо, однородной ограниченной
области) D равен —g и отсюда отрицательно определен. Пусть

244
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕЕКИЕ ПРОСТРАНСТВА
D — универсальное накрывающее пространство ограниченной сим-
симметрической области D. (Мы увидим через мгновение, что D
односвязна.) Поскольку тензор Риччи для D отрицательно опре-
определенный, мы видим из теоремы 8.6, что все сомножители раз-
разложения де Рама Для D некомпактного типа. (Мы можем усмот-
усмотреть это и так. Проекция р: D —*¦ D с С индуцирует голоморф-
голоморфное отображение каждого сомножителя разложения де Рама для
D в С". Из принципа максимума модуля видим, что D не имеет
ни евклидовых, ни компактных сомножителей.) Итак, ограничен-
ограниченная симметрическая область D из С" некомпактного типа и одно-
связна (см. теорему 8.6). Известно, что, обратно, каждое эрмитово
симметрическое пространство некомпактного типа может быть
реализовано как ограниченная симметрическая область в С";
этот результат был получен Э. Картаном [18] перебором всех
возможных случаев, а первое априорное доказательство было
дано Хариш-Чандрой (см. Хелгасон [2]).
Э. Картан [18] доказал, что каждая однородная ограни-
ограниченная область D в Са или С3 симметрическая. X а н о [2] дока-
доказал, что ограниченная область D в С", на которой транзитивна
унимодулярная группа Ли голоморфных преобразований, необ-
необходимо симметрическая. Пятецкий-Шапиро [1], [2] открыл
однородные ограниченные области, которые не являются сим-
симметрическими.
§ 10. Примеры
В этом параграфе мы обсуждаем некоторые примеры прост-
пространств с точки зрения понятия симметрического пространства.
Пример 10.1. SO (n-\-l)/SO(n) = Sn (см. теорему 3.1 главы V
и пример в примечании 7). Пусть ев, е1г . ... еп — естественный
базис в Rn+1, и пусть Sn— единичная сфера в R"+1. Группа
вращений SO(n-j-l) действует на S" транзитивно, а группа изо-
изотропии в е0 ? Sn состоит из всех A?SO(n-\-l) таких, что Аео=ео,
а именно таких, что
А =
II 01!
OS
где В ? 50 (п).
Обозначаем эту подгруппу"(допуская вольность) через SO(n).
Так мы имеем диффеоморфизм f из SO (n-f I)/SO (n) на 5" такой,
что f(n(A)) = Ae0 для каждого A?SO (п+1), где л обозначает
•естественную проекцию из SO(n + l) на SO (п-\- l)/SO(n). Пусть
о— инволютивный автоморфизм для SO(n-\- 1), задаваемый как
<x(A)=SAS~1, где
S =
—1 о
о /„
(/„—единичная матрица порядка п).
§ ю. примеры
245
Подгруппа SO(n) совпадает с компонентой единицы подгруппы
всех неподвижных при действии о элементов. Итак,
SO (n -f- l)/SO (п) — симметрическое пространство. Каноническое
разложение алгебры Ли задается так:
где о (n-f-1) — алгебра Ли всех кососимметрических (я+1)х
x(^_|_l).MaTpH4, о (п) — подалгебра из о(я+1), состоящая из
всех матриц вида
II о ° II ч
(В — кзсосимметрическая степени л),
11° ~fS И е
a m — подпространство всех матриц вида ? во» где ^ есть век"
тор (столбец) из R". Присоединенное представление для SO(n) в
m задается так:
Ж - '
ad
другими словами, это есть по существу действие SO (п) на R".
Аналогично имеем для В ? о (п)
ad
О О || || 0 —(
о в
О —* (В!
В? О
т.е. присоединенное представление для о (я) на m по существу
есть действие о (п) на R".
Мы перенесем евклидово скалярное произведение (|, г\) для
R" на m посредством отождествления
s_Dn iio -Ч
получая ad (SO (п))-инвариантное скалярное произведение на т.
Отметим, что если |, ц 6 R" соответствуют X,Y ?m, то (|, т])==
= —i- trace XF; итак, наше скалярное произведение для m есть
сужение скалярного произведения для о (п+1), которое задается
так:
(Л,Б) = — traceЛВ, А,В^о(п+\),
и ad (SO (n + 1))-инвариантно на о(л+1). Известно также, что-
форма Киллинга —Картан а ф для о (п+1) имеет вид
Ф(Л, В) = (п— 1) trace Л5.
Итак ф отрицательно определенная на о(я+1) Иф(Х, У) =
;=_2(п_1).(Х, F) для X, Y?m.

246
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Чтобы найти дифференциал /« в начале, допустим, что
а X — соответствующий элемент в т. Тогда
/. (X) = [d (exp tX ¦ eo)/dt]t=o = Ц° | € Тво (S-).
Отсюда следует, что /» изометрическое в о (относительно обычной
метрики на S", индуцированной евклидовой метрикой на R"+1).
Поскольку метрики на SO (я -\- 1 )/50 (я) и 5" инвариантны при
действии SO(n-\-l), а /оЛ = Ло/ для каждого A?SO (я+1),
мы видим, что / есть изометрия из SO(n-)- \)/SO(n) на 5".
Тензор кривизны R для SO (я + 1 )/SO (я) вначале задается
при отождествлении m с R" как R (g, tj) = — ad ([?, т]]) (см.
теорему 3.2). Простой подсчет скобки от матриц показывает, что
R&, т]) = ? Л Л- гДе эндоморфизм 5 Л Л отображает ? в (т), ?)? —
— (|, ?)tj. Это показывает, что SO (п + l)/SO (п) имеет постоян-
постоянную секционную кривизну 1 (см. § 2 главы V).
Геодезические в SO (я -f 1)/SO (я), исходящие из начала, имеют
вид я(ехр^), где ?— элемент из т, соответствующий g ? R".
Например, если 5 = ^, то
ехр ?? =
так что
/(я(ехр«))=
cos
sin
0
t
t
— sin
cos
0
t
t
0 .
0 .
. . 0
. . 0
/n-l
cos ^
sin t
О
есть геодезическая на S", исходящая из е0. Все другие геодези-
геодезические на S", исходящие из еа, получаются из вышеописанной
вращениями, сохраняющими е0 (т. е. преобразованиями из SO (я)).
Чтобы найти все m-мерные вполне геодезические подмногообра-
подмногообразия в S", мы ищем все подпространства т' из m такие, что
[[т', т'], т'] сг т' (см. теорему 4.3). Рассмотрим подпростран-
подпространство т' в т, состоящее из всех элементов, соответствующих
подпространству Rffl = {S€ R"; Ък — 0 для т + 1 <;k< я}. Простой
подсчет показывает, что J)' = [m',m'] состоит из всех В?о(п)
таких, что Bek = 0 для m-\-\ ^.k^n. Обозначаем эту подал-
подалгебру через о(т). Так мы имеем [I}', m'] cz m', a g' = m' + i)'
§ ю. примеры
247
совпадает с _.{А ? о (п + I); Лей = 0:для /п+1 < &<я}, ее мы
обозначаем о(/п+1). Подалгебра g' = o(m + l) порождает
SO(m+l) = {j4eSO(ft+l); ^eft = eft для т + 1<?<я}, а
1/ = о(т) порождает SO(m) = {A ?SO (я); Лей = ей для т+1<
<:&*^я}. Отсюда следует, что SO(m-{- l)/SO(m) есть полное
вполне геодезическое подмногообразие в SO (я + 1)/SO (я), соот-
соответствующее т' (способом теоремы 4.3), и
/ (SO (m+1)/SO (/га)) = {jc€S"; хк = 0 для m + 1 < А: < я}
есть полное вполне геодезическое подмногообразие в S". Все
другие m-мерные полные вполне геодезические подмногообразия
в S", содержащие е0, получаются из только что описанного
вращениями подгруппы SO(n).
Пример 10.2. Гиперболическая пространственная форма
(см. § 3 главы V). В Rn+1 с естественным базисом е0, ег, ..., еп,
п^2, рассмотрим невырожденную симметрическую билинейную
форму
F(x,y)= — x«yo + 2nk=1x»yk, х,у?
Пусть 0A, я)—ортогональная группа для F, т.е.
O(l,n) = {A€GL{n+\;R\; F(Ax, Ay) = F(x, у), х,
= {AeGL(n+l; R); *ASA=*S\,
где
—1 О
о /„ ¦
Если я = 3, то 0A,3) называется группой Лоренца. Матрица
A=(aj), О^г, / ^ п, принадлежит 0A, я) тогда и только тогда,
когда ее векторы-столбцы высоты (я+1), скажем, а0, а15 ...,а„
удовлетворяют условию
F (а0, а0) = — 1, F (а„ а.{) =1 для 1 < i < п,
F (а;, а;) = 0 для 0 < i < / < я.
В частности, А €0A, я) удовлетворяет условию (—ag)a+
+ 2ft=i(ao)a=—Ь так что aS^l или ag<—1. Кроме того,
-если А €0A, я), то из tASA=S получаем det^ = ±l. Пусть
S0(l, я) = 0A, n)r\SL(n+l; R). Известно, что 0A, я) имеет
четыре связные компоненты; матрица Л €0A, я) принадлежит
компоненте единицы тогда и только тогда, когда det Л = 1 и
..aj ^ 1. В дальнейшем обозначим через G компоненту единицы
для 0A, я), она есть также и компонента единицы для S0(l, я).
„Алгебра Ли g группы G задается так:

248
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Гиперповерхность М в Rn+1, определяемая как F (х, х) =—1,
есть раздельное объединение двух связных компонент
; л:в> 1} и ЛГ= \х?М; лг°< —1|.
По теореме Витта (см. § 3 главы V) или из элементарной линей-
линейной алгебры мы знаем, что 0A, л) действует на М транзитивно
и что G действует транзитивно на ЛГ. Мы сосредоточим наше
внимание на действии G на ЛГ.
Пусть х?М', т.е. F(x, x) = — 1 и х°^1. Касательное про-
пространство Тх (ЛГ) задается через отождествление параллельным
переносом в Rn+1 подпространств всех векторов a?Rn+1 таких,
что F (х, а) = 0. Сужение F на ТХ(М') положительно определенно!
Так форма F, суженная на касательное пространство в каждой
точке из ЛГ, приводит к римановой метрике на ЛГ, которая,
очевидно, G-инвариантна.
Для ео?ЛГ группа изотропии есть подгруппа Н из G, состоя-
состоящая из всех матриц вида
||0 °|, где B?S0(n).
Так мы имеем диффеоморфизм / из G/H на ЛГ, согласованный
с действием G на G/H и на ЛГ. Если мы определим^инволютив-
ный автоморфизм а для G как a(A) = SAS~1, то*" множество
неподвижных его точек совпадает с Н. Итак, G/H есть симмет-
симметрическое пространство, а каноническое разложение алгебры Ли
есть
о A, л) = § + т*,
где § есть о (л), рассматриваемое как подалгебра в оA, л), а т*
есть подпространство всех матриц вида
' ~~ *; — вектор-столбец из R".
h о
где
Отождествляя т* с R", видим, что ad (Н) на т* есть не что
иное, как действие SO(n) на R", т. е.
ad
1 о [
о в\
0 Ч\
1 о |:
о
Aнaлoгичнo"'ad (i)) на т* выражается так:
ad
О О I
о в\
0 Ч\
1 о
ЧВ1)
о
Симметрическая алгебра Ли о A, л) = о (п) +т* изоморфна
дуальной к о (л+ 1) = о(л) +т (см. § 8) примера 10.1; действи-
действительно, имеем следующий изоморфизм алгебры о(п) + г'ш, дуаль-
§ ю. примеры
249
ной к
0 О fl
о в|е
.[о —*
О О
0 в
j .
*ц
|
€т*.
О Г"" '|6 О,.
Форма Киллинга — Картана ф* для оA,л) удовлетворяет равен-
равенству
ф*A, т)) = —ф(?, Л).
11° Щ 11° *Ч
где 1, т] ? Rn отождествляются с L ,. ? ш* в левой части
и с 1е 1 > n ? m в правой части равенства. (Это—специ-
(Это—специальный случай того, что мы видели в доказательстве теоремы 8.4.)
Мы можем также непосредственно проверить, что
Ф*(Х, Г) = 2 (л— l)(X, Y) для X, Y?m*.
Вместе с инвариантной метрикой, возникающей из (X, Y) на т,
О/Н будет римановым симметрическим пространством. Дифферен-
Дифференциал /* от f: GlH-ч-М.' в начале отображает элемент из т*,
|| 0 ||
соответствующий l?Rn, на L |€ Т<.а (М ) и есть изометрия. По-
Поскольку / согласовано с действием G на G/U и на ЛГ, а их
метрики G-инвариантны, мы видим, что / есть изометрия из
<31Н на ЛГ.
Тензор кривизны R Для GIH в начале выражается при отожде-
отождествлении т* с Rn как R(l, r\) = l Л г\; итак, G/ff имеет постоян-
постоянную секционную кривизну (—1).
Геодезические в GIH, исходящие из начала, имеют вид
л(ехр^), где l€m* = R'1. Например, если l=elt то
ch t sht о ... о
sht cht 0 ... О
о о
ехр (#) =
/в-1
так что f (exp tl) = (ch t, sht, 0, .. ., 0) есть геодезическая в ЛГ,
исходящая из е0. Все другие геодезические, исходящие из е„,
лолучаются из этой вращениями подгруппы SO (л).
Вполне геодезические подмногообразия могут быть найдены
тем же способом, что и в примере 10.1. Мы можем также следо-
следовать таким путем (который применим к примеру 10.1 тоже).
Если т' — произвольное /л-мерное подпространство в т*, то
[[m', m'J, m']c:m'. Действительно, отождествляя т* с R", до-
допустим, что cclt ...,an, am+1, . ..,<*„ — базис в т* такой, что

250
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
iai. •••> ат\ — базис в т', тогда [а,-, ау-] = а,- Л «/€о (л) и
[[а/> а/], ай] = (а,- Л а,)а*€ m' для 1 < i, j, А: < m. Итак,
[[m', m'], m'] c: m'. Отсюда m' порождает m-мерное полное впол-
вполне геодезическое подмногообразие в G/H через начало. В MJ
любое полное вполне геодезическое подмногообразие размерности
т через е0 может быть преобразовано вращением^ из .SO (n) в
подмногообразие
{х?Мг; хт+1=. .. =хп = 0\.
Вспомним, что М' может быть реализовано как единичный
открытый шар D" в R"+1 (см. теорему 3.2 главы V). В этом
представлении для М' вышеприведенное подмногообразие есть
Dm = {y = (y\ ...,y»)?Dn; z/OT+1=...=r/» = O}.
Пример 10.3. Ориентированное грассманово многообразие
SO(p + p)/SO(p) х SO(q). Пусть Gp,g(R) — грассманово многооб-
многообразие р-шюскостей из R^+«, дифференцируемая структура кото-
которого определена способом из примера 2.4 главы IX с заменой
всюду С на R. Пусть Gpy ,(R) обозначает множество всех ориен-
ориентированных р-шюскостей в Rp+i. Для того чтобы определить
дифференцируемую структуру, модифицируем рассуждение, при-
примененное в случае G^, 4(R), так: Ua есть множество всех ориен-
ориентированных р-плоскостей S таких, что xa*\S, ...,xap\S обра-
образуют упорядоченный базис в S, согласованный с заданной ориен-
ориентацией для S, где х1, ..., хр+4 (вместо г1, ..., zp+i в примере 2.4
главы IX) — естественная координатная система в Кр+д. Мы на-
называем Gp, ,(R) ориентированным многообразием Гроссмана.
Это—двулистное накрытие для GPtq(R).
Группа вращений G = SO{p-\-q) действует на Gp,9(R) тран-
зитивно. Пусть 50 есть р-плоскость х?+1= . . . == хр+ч =0 с ориен-
ориентацией, задаваемой упорядоченной координатной системой
х1, ...,хр. Группа изотропии Н в So состоит из всех матриц
вида
и 01
о v
где UeSO(p) и V?SO(q).
Обозначая эту подгруппу через SO(p)xSO(q), имеем G/H=
=SO(p + q)/SO(p)xSO(q) = Gpt „(R). Мы видели, что G/H есть
симметрическое пространство, если определить инволютивный
автоморфизм а для G так:
где S =
§ 10. ПРИМЕРЫ
Каноническое разложение алгебры Ли
251
имеет здесь
вид
где М (q, p; R) обозначает векторное пространство всех вещест-
вещественных матриц с q строками и р столбцами. Присоединенное
представление для Н на m задается так:
ad
о
0II 1@ — *
vш о
0
о
Сужение на т скалярного произведения (Л, В) = — -g- trace AB,
заданного на o(p + q), конечно, ad (Я)-инвариантно и индуци-
индуцирует инвариантную метрику на G/H.
Обсуждения свойств тензора кривизны, геодезических и т.д.
¦сходны с изложенными в примере 10.1. (См. также Лейхт-
вайс [1], Вон [4].) Мы обсудим еще один специальный случай
р=2, q = n в примере 10.6.
Пример 10.4. SO0 (p, q)/SO (p) x SO (q). Здесь 5° (р, q) обоз-
обозначает компоненту единицы ортогональной группы О (р, q) для
билинейной формы на
F (х, у) = — 2f=1 дсУ + 2?4
Инволютивный автоморфизм о определяется тем же способом,
что и в примере 10.3. Обсуждение этого симметрического про-
транства аналогично специальному случаю р=1, q — n, рас-
рассмотренному в примере 10.2.
Пример 10.5. Комплексное проективное пространство Рп (С).
Перед тем как обсуждать Рп (С) с точки зрения эрмитовых сим-
симметрических пространств, вновь рассмотрим комплексную струк-
структуру и метрику для Р„(С) из примеров 2.4 и 6.3 главы IX, но
с более геометрической точки зрения. В Сл+1 с естественным
базисом е0, ех еп рассмотрим h(z, w) = '^=ozkwk и
g' (z, w) — Re/t (z, w), которые связаны соотношением h(z, w) =
=g' (z, w) + ig' (z, iw). Действительно, g'\z, w) есть не что иное,
как обычное склярное произведение, когда мы отождествляем
c«+i c Ra«+a для единичной сферы Szn+1 = {z ?Crt+1; h(z, z)=\)
касательное пространство Tz(S2n+1) в каждой точке z может
быть отождествлено (через параллельный перенос в Сл+1) с
{w?Cn+1; g' (z, w) = Q\. Пусть Т'г — ортогональное дополнение

252
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
к вектору iz?ТхE2n+1), т.е.
1; g'(г, w)=0 и g' (iz, w) =
Если мы рассматриваем S2n+1 как главное расслоение над Рп (С)
со структурной группой S1, как в примере 2.4 главы IX, то
существует связность такая, что Т'г есть горизонтальное подпро-
подпространство в точке z. Естественная проекция л из San+1 на Р„ (С)
индуцирует линейный изоморфизм из Т'г на Тр (Рп (С)), где
p = n(z). Риманова метрика g' на S2n+1 (т.е. метрика на S2/l+1,
индуцированная посредством g') инвариантна под действием
структурной группы. Так мы можем определить риманову мет-
метрику g на Р„ (С) выражением
= ±g'z(X', Y'), X, УеТр(Рп(Щ
0 фиксировано),
где z — любая точка из S*n+1 с n(z) = p, а X', У — векторы в
Т'г такие, что п<,(Х') = Х, л»(У) = У'. С другой стороны, комп-
комплексная структура /': w—>-iw в подпространствах Т'г, z?S2n+1,
согласована с действием S1, т.е. /' (eiew) — eie(J'w). Отсюда сле-
следует, что мы можем определить комплексную структуру J на
каждом касательном пространстве Тр(Р„(С)) так:
где я, (Х') = Х. Действительно, так определенная почти комплек-
комплексная структура для Рп (С) совпадает с обычной комплексной
структурой для Р„(С). Поскольку каждая из них инвариантна
при действии группы U (п+1), действующей транзитивно на
Рп(С), то достаточно показать, что / в ро = п(еа) совпадает^
обычной комплексной структурой в ра, индуцированной комплекс-
комплексной картой <р: (z°, z1 z") € Uo -+ (t1, ..., tn)?Cn, где
(z°, ..., z") — однородные координаты, U^= {z; гоф0\, a (t1, ...
. . ., tn) — неоднородные координаты, т. e. tk = zk/z° для 1 ^й^ л.
Мы знаем, что Т'во, как вещественное векторное пространство,
порождается элементами ех, .... еп, ielt . . ., ien. Теперь я» )
есть касательный вектор в р0 к кривой
= (l> 0, ..., О, s, 0, .... 0),
где s есть (й+1)-я однородная координата; видим, что ф»(я. (ек))
есть k-й элемент естественного базиса в С". Аналогично зх» (iek}
есть касательный векторов р0 к кривой A,0, ..., 0, is, 0, ..., 0)
и (Ф.(я.(гей))) = г-ф,Р(л»[(ей)). Поскольку Jn*(ek) = n*(iek) по опре_-
делению J в р0 для 1=?С?^/г, заключаем, что ф./ = гф», т.е. /
есть не что иное, как комплексная структура, индуцированная
картой ф из обычной комплексной структуры для С".
Метрика g эрмитова относительно /, поскольку /' эрмитова
относительно g' на Т'г для каждого z?Sin+1. Отметим также,
§ 10. ПРИМЕРЫ
253
что g и J инвариантны при действии U (п-\-\) на Рп(С). В ра
выражение для метрики из теоремы 7.8 A) главы IX сводится
к D/с) '?p=1dtadta и совпадает с метрикой g. Из U (n -f 1 )-инва-
риантности обеих метрик заключаем, что наша метрика g совпа-
совпадает с метрикой в теореме 7.8 A) главы IX.
Для действия группы ?/(и+1) на Р„(С) группа изотропии в
р0 = л (е0) состоит из всех матриц вида
о
в\\
где
Обозначая эту подгруппу U A)х?/ (л), имеем диффеоморфизм f
из U(n+l)/U(\)xU(n) на Рп(С). Действие группы U (п+1)
неэффективно; если мы возьмем почти эффективное действие
группы SU (п+1) на Рп(С), то группа изотропии в ра есть под-
подгруппа S(U (l)xU(n)), состоящая из всех матриц в V (l)xU (n)
с определителем 1. Мы, однако, будем иметь дело с представле-
представлением G/H с G=t/(n+l) и H = U (l)xU(n).
Определим инволютивный автоморфизм ст для U (п-\-\) так:
где S =
1—1 0
I о /„
Подгруппа всех неподвижных элементов есть U(\)xU(n).
Итак, G/H — симметрическое пространство. Каноническое разло-
разложение алгебры Ли задается так:
где
= и(л+1) — все косоэрмитовы^матрицы порядка л+1,
о -*
В последующих рассмотрениях мы! отождествим m "с С этим
очевидным способом. Присоединенное действие группы Я нага
выражается так:
Скалярное произведение
(А, В) =
-jimceAB=*-^traceA*B, А, Вби(я+1),

254
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ad (U (n + 1))-инвариантно; его сужение на m задается так:
-1 trace
^I = y{A(ti, Б) + А(Б, T])} =
, л),
где h (g, т]) определяется в С так же, как вначале. Возьмем
t]) = 4/cReA(g, л)
в качестве скалярного произведения на т, инвариантного при
действии ad Я, и получаем инвариантную риманову метрику g
на G/H.
Рассмотрим также ad (Я)-инвариантную комплексную струк-
структуру на т, заданную как g —*- *g, т.е.
10 -<
IE о
10
I
Поскольку G/Я симметрическое, то, как мы знаем, индуциро-
индуцированная G-инвариантная почти комплексная структура / на G/H
интегрируема (см. предложение 9.1). Видим также, что g эрми-
эрмитова относительно J, поскольку это так на т.
Теперь мы хотим показать, что инвариантная метрика g и
инвариантная комплексная структура / на G/H соответствуют
при действии f метрике g и комплексной структуре 7 на Рп(С).
Поскольку g и / инвариантны при действии U {п-\-\), то доста-
достаточно проверить наше утверждение для дифференциала f, от f
в начале из G/H. Видим, что f, отображает | ? m = С" на
—
» принадлежит к T'eo(S2n+1). Итак, fm сохраняет метрики
и комплексные структуры.
Тензор кривизны R в начале из G/H подсчитывается так:
R (S, л) ? = 1% -
. т])С-А(л, Б)С
где g = D/с) Re А, а |Лл—эндоморфизм такой, что AЛл)'? =
=?(?> Л)!—§(?> 5) Л- Отсюда следует, что голоморфная секци-
секционная кривизна для G/H равна константе с (см. § 7 главы IX).
§ 10. ПРИМЕРЫ
25&
Чтобы найти геодезические в Р„(С), допустим, что
элемент, соответствующий е^О. Тогда
COS t
sin t
0
0
так что кривая {cost, smt, 0, ..., 0) в [однородных координа-
координатах есть геодезическая, исходящая из ро = A, 0, ..., 0). Отме-
Отметим, что она содержится в комплексной проективной прямой Рх,
определяемой как z2= ... =z" = 0. Все другие геодезические,,
исходящие из р0, получаются из этой преобразованиями из груп-
группы U(\)xU(n).
Для того чтобы найти вполне геодезические комплексные под-
подмногообразия из GjH через начало, мы должны найти /-инвари-
/-инвариантное подпространство т' в т такое, что [[т\ т'], т'] с т'.
Но в действительности любое /-инвариантное подпространство т'
из т удовлетворяет этому скобочному условию. Действительно,,
если т' соответствует комплексному подпространству из С", то
пусть а1У ..., ат, ат+1, ..., а„ —базис для m над С такой, что
alt ..., сст — базис в т' над С. Тогда alf .... ат, /alt ..., Ja.m
образуют^базис для т' над R. Мы видим, что
[[а,., ау]аА] = — R(ait ссЛ-сск
= — -J {а,
/ Л /а/
принадлежат к т' для 1 ^ i, /, {k ^ т. Аналогично двойные
скобки трех элементов vi3 а.х, .... ат, Jalt ..., Jam принадле-
принадлежат к т', что и доказывает наше утверждение. Если т'—комп-
т'—комплексное подпространство, порожденное элементами ег, ..., ет из
т = С", то д' = т'+[т', т'] состоит из всех матриц вида
А> Ol где
где Л'€?/(«+!).
о о
Подгруппа G', порожденная множеством д', есть подгруппа в
состоящая из^всех матриц вида
\А' 0
0 1„-т
Следовательно, соответствующее вполне геодезическое комплекс-
комплексное подмногообразие в Р„(С) есть Рт(С) = {(г°, .... 2")€^П(С);
2и+1= ... =2" = 0}. Отсюда следует, что любое полное вполне
геодезическое комплексное подмногообразие есть m-мерное комп-
комплексное проективное подпространство, где т — комплексная раз-
размерность.

256
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 10. ПРИМЕРЫ
257
Пример 10.6. Комплексная квадрика Qn-x{C>). В Р„(С) с од-
однородными координатами г", г1, . . ., zn комплексная квадрика
Qn-i(C) есть комплексная гиперповерхность, определенная урав-
уравнением ¦ .
Пусть g—метрика Фубини — Штуди с голоморфной секционной
кривизной с для Р„(С). Ее сужение g на Qn-^C) есть кэлерова
метрика (пример 6.7 и § 9 главы IX). Мы представим Qn_!(C)
как эрмитово симметрическое пространство. Щ;;;.&
Сначала мы зафиксируем следующие обозначения. В Сп+1 с
естественным базисом е0, ех, ..., еп обозначаем через Н(z, w)
комплексную билинейную форму, определенную так:
Н (z, w) = 2/Uoг*ав*, г = (г*), w = (да*).
Тогда Qn-i(C) = {n(z); 2^C»+1 —{0}, Н(z, г) = 0}, где я—есте-
я—естественная проекция из Cn+1 — {0} на Pn(C). Единичный вектор
удовлетворяет соотношению Я (Р„, р0) = 0. Положим <7o = It(Po)?
€QB-i(C). Касательное пространство ГРо E2n+1) имеет базис, со-
состоящий из ieo — elt ieo-\-e_1,. —eo + ielt e2, ...,
iea,
»<?„
где первый вектор есть у 2ф0. Подпространство Тро, определен-
определенное в примере 10.5, порождается векторами iea-{-e1, —eo-\-iex,
е2, ..., еп, ie2, ..., ien. Пусть Т$а — подпространство, порожден-
порожденное векторами е2, . .., еп, ie2, .. ., ien. Естественная проекция я
индуцирует линейный изоморфизм
и линейный изоморфизм
Чтобы доказать второе утверждение, достаточно [показать, что
я«G'з0) содержится в ^0(Qn-i(C)), поскольку оба пространства
имеют размерность 2/г — 2. Для каждого k, 2-^Lk^n, кривые в
^, t, 0, ..., 0, sin^, 0 0)
и
6t = (l, icost, 0, ..., 0, isint, 0, ..., 0),
где [sin t и isin^ появляются в качестве (&+1)-х однородных
координат, лежат в Qn_1(C). Итак, их касательные векторы при
/ = 0
<Zo = n,(ek) и bo = n,(iek)
содержится в ТЯл (Qn_i (С)), что и доказывает наше утверждение.
Для произвольной точки <7€Qn-i(C) возьмем точку z?S2n+1
такую, что H(z, г) = 0 и xi(z) — q. Мы можем записать z одно-
однозначно в виде z = x-\-iy, где х и «/ — ортогональные веществен-
вещественные векторы в Сп+1 длины 1/К 2. В пространстве Т'г, определен-
определенном в примере 10.5, пусть Т"г — ортогональное дополнение (отно-
(относительно g') подпространства, порожденного векторами ix-\-y и
—x + iy. Мы можем тогда доказать, что л индуцирует линейный
изоморфизм из Т"г на TQ(Qn_1(C)); это может быть сделано или
непосредственно, как в случае, когда z = (е0 -f- ie^)IV2, или с ис-
использованием транзитивного действия SO(n-\-\) на Qn_x(C), что
мы обсудим в следующем параграфе.
Группа SO (п + 1), рассматриваемая как подгруппа в U (п -!- 1),
действует на Рп (С) и оставляет Qn_1(C) инвариантной, поскольку
H(Az, Aw) = H(z, w) для всех A^SO{n + \) и z, w€Cn+1. На
самом деле SO(n-{-l) транзитивна на Qn_a(C). Действительно,
для любого z?S2B+1 такого, что Н (z, z) = 0, мы хотим найти
A^SO(n-{-\) такое, что я (Лро) = л (г). В однозначном представ-
представлении z = x-\-iy мы можем нормировать х и у и получить два
вещественных ортонормальных вектора а0, ах таких, что я(ао-т
-f-taj = я; (г). Дополняя а0, а.г до упорядоченного ортонормаль-
ного базиса а0, <хг, . .., осп в R"+1, получаем A ^SO(n+ 1) с век-
векторами-столбцами а0, с^, ..., а„. Имеем тогда я (А (Р„)) = я (г).
Для действия G = 50(n + l) на Qn_a(C) группа изотропии Н
в <7„ оказывается подгруппой SOB)xSO(n — 1) из SO(n-{-1), со-
состоящей из всех матриц вида
R (9) х В =
cos0 —sinS 0 ... О
sin 0 cos 6 0 ... 0
0 0
В
0 0
, где
Так мы имеем диффеоморфизм f: G!H —» Qn_a (С).
Из примера 10.3 мы уже знаем, что G/Я — симметрическое
пространство. Каноническое разложение алгебры Ли есть
где
§ = оB)+о(п-1) =
о —я, о
Я 0 0
о о в
1П =
о о — *;
0 0 — h
1 ц о
. 41 — векторы-столбцы в R"J
9 Зак. 425

258
ГЛ. ХЬ'СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Отождествляя (g, л) €R"~1 + R" с матрицей [из т, мы видим,
что ad H на т выражается так:
fad (# F) х ?)•(!, ri) = (Bg> ?т})^(—6),
где выражение справа есть матричное произведение. Аналогично,
ad (?)) на m выражается так:
О —Я, 01|
ad Я 0 0 .(?, ^ — (^g
О О В ||
Дифференциал Д* в начале G/H отображает^,
^),=0 (л (ехр
•Ро)
О
О
где вектор
О
о
принадлежит^
Определяем скалярное произведение g на mxm так:
§'(A,^), (Г, тГ)) = т«?« ^'> + <т1. fo'>}.
где <?, ?'> — стандартное скалярное произведение в Rn~x. Опре-
Определяем также комплексную структуру / на тп формулой
J(l, ц) = (-ц, I).
Как g, так и / ad (//)-инвариантны и порождают структуру эр-
эрмитова симметрического пространства на G/H. Теперь легко
проверяется, что / есть изоморфизм G/H и Qn_1(C) как кэлеро-
вых многообразий.
Тензор кривизны R в начале задается так:
о в
гдеХ=(|', Ti)—(|, л'). а 5 =
'}. где эндоморфизм
§Л1' определяется с использованием стандартного скалярного
произведения в R". Если мы подсчитаем тензор Риччи S с ис-
использованием формулы предложения 4.5 B) главы IX, то получим
(л
8-
Итак, Qra_1(C) — эйнштейново пространство.
§ 10. ПРИМЕРЫ
259
Для п > 3 можно показать, что ad (Я) на m неприводимо, и
поэтому Qn_i(C) неприводимо. При /г = 3 видим, что
т, =
0
0
с
d
0
0
а
-Ь
0
0
d
—с
0
0
b
а
—а
—Ь
О
0
—с
—d
0
0
b
—а
0
0
инвариантны относительно ad (H). Действительно, можно пока-
показать, что Q2 (С) и P1(C)x/>i(C) изоморфны как кэлеровы много-
многообразия.
Пример 10.7. Комплексное гиперболическое пространство.
В Сп+1 со стандартным базисом е0, ех, . .., еп рассмотрим эрми-
эрмитову форму F, определенную так:
F (г, w) = —
Пусть
где
; С); F(Az, Aw) = F(z, w), z, w?Cn+1
= {A?GL(n+l; C); t~ASA =
—l о
о /„
Известно, что U(l, n) связна. Ее алгебра Ли есть
+\\ С);
= i
Пусть М — вещественная гиперповерхность в Сл+1, определенная
как F(z,z) = —1. Отметим, что группа U (I, п) действует на М
транзитивно. С другой стороны, группа Sx = {em\ действует на
М свободно так: z—>eiez; пусть М'—базисное многообразие
главного расслоения М с группой 5х.
**? Для z?M касательное пространство Тг(М) представляется
так:
В частности, iz?Tz(M). Пусть T'z — подпространство в Тг(М),
определенное так:
T'2 = {w?T'z(M); ReF (iz, w) — 0} = {w^Cn+l; F(z,w) = 0\.
Замечаем, что сужение формы F на Т'г положительно определенно.
9* Зак. 425

2G0
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Мы имеем связность в М такую, что Т'г, z?M, будут гори-
горизонтальными подпространствами. Естественная проекция л из М
на М' индуцирует линейный изоморфизм из Т'г на. ТП(г)(М').
Комплексные структуры w—>-iw на Т'г, z?M, согласованы с
действием 51 и индуцируют почти комплексную структуру J'
на М' такую, что n9i = J'n4 (Позже мы увидим, что J' интег-
интегрируема, так что М' — комплексное многообразие.) Фиксируя
любую отрицательную константу с, мы определяем в каждом
касательном пространстве Тр(М'), р?М', скалярное произведе-
произведение g' выражением
где X', Y' ?Т'г и n{z) = p, п9(Х') = Х, n»{Y')=Y. Метрика g'
эрмитова относительно J'.
Теперь группа G = U(l,n) действует транзитивно на М и
отсюда на М'. Как g', так и J' будут G-инвариантными. Группа
изотропии в р0 = л (еа) есть подгруппа Н = U A)х U(n) из?/A,п),
состоящая из всех матриц вида
Так мы имеем диффеоморфизм / из GjH на М'. Действие
группы U(\, п) неэффективно; если мы берем SU (\,n)—{A ?U\l, n);
det А = 1}, которая действует почти эффективно на М', то группа
изотропии в р0 есть
S(U(l)xU (n)) = {A?U(l)xU (n); det A=\).
— 1 О II
г, , как инво-
0 /«II
лютивный автоморфизм для G, то Н есть в точности подгруппа
всех его неподвижных элементов. Итак, GjH — симметрическое
пространство. Каноническое разложение алгебры Ли есть
Если мы берем сопряжение матрицей 5 =
где
= u(l, л),
Отождествляя \ ? О с вышеописанной матрицей в от, мы можем
выразить ad (H) на т так:
I е'8 О
ad
о в
§ 10. ПРИМЕРЫ
261
Комплексная структура ?—*¦ i\ на от = С'г ad (//^-инвариантна
и индуцирует инвариантную комплексную структуру на симмет-
симметрическом пространстве GjH. Скалярное произведение на тп, за-
заданное так:
4
ё(ъ, л)= Re/г (|, т|),
где Л(|, т|) — стандартное эрмитово скалярное произведение на
от = С", ad (//)-инвариантно и индуцирует инвариантную эрмитову
метрику на GjH. (Скалярное произведение g на от, конечно,
связано с сужением формы Киллинга — Картана для tt(l, n).)
Дифференциал /* в начале из GjH отображает %?т на
°1
€ТРа(М'), где
? Т'ео. Итак, g и J на G/// соответствуют
g' и /' на М' при помощи диффеоморфизма /. Отсюда следует,
что /' в действительности интегрируема, а / есть изоморфизм
GjH и М' как кэлеровых многообразий.
Тензор кривизны R в начале выражается на от так:
что показывает, что G/H имеет постоянную голоморфную кри-
кривизну, равную с.
Если мы берем %—ег в О, то
л (exp
ch t
sht
0
0
есть геодезическая в М'. Все геодезические из М' получаются
из этой преобразованиями из группы U(l,n). Любое /-инвари-
/-инвариантное подпространство т' вещественной размерности 2гп удов-
удовлетворяет условию
[[in', m'], ш']с:т'
и порождает вполне геодезическое комплексное подмногоооразие
комплексной размерности m в М'¦ (Ситуация аналогична ситуа-
ситуации для Рп (С) = SU (л+1)/5 (U A) х U (п)), которое дуально нашему
пространству SU (I, n)/S (U (l)x U (л)).)
Мы можем отождествить М' с открытым единичным шаром в С":
посредством отображения
n(z°, г1, ..., г")
М'

262
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1 влечет
где F (г, z) = —1, a wk = zk/za (отметьте, что F (z, z) =
Пример 10.8. Комплексное ?рассманово многообразие Gp>q(C)\
Мы берем пример 6.4 главы IX с точки зрения симметрических
пространств, обобщая пример 10 5. Пусть М' = M'(p-\-q; p; С)—
пространство комплексных матриц Z с р + q строками и р столб-
столбцами таких, что tZZ = Ip (или, эквивалентно, р вектор-столбцов,
ортонормальных относительно стандартного скалярного произве-
произведения в С+'). Группа U(р) действует свободно на М' справа,
Z —>~ZB, где В ? U (р). Мы можем рассматривать Gp< q(C) = М как
базисное пространство главного расслоения М' с группой U (р),
С другой стороны, группа U(p-\-q) действует на М' слева,
Z—*- AZ, где A^U(p~\-q). Это действие транзитивно и индуци-
индуцирует транзитивное действие группы U(p-hq) на М. Пусть <?х, ...
ер+<,— естественный базис в О+<?, и пусть Zo — матрица с векто-
векторами-столбцами ег, . . ., ер. Тогда Z0^M'. Группа изотропии в
po = n(Zo)? M для действия группы U{p-\-q) есть тогда
= Z0B для некоторого В ? U (/?)}
.... "')
что мы обозначим U(p) x U{q). Итак, имеем М= U(p-\-q)lU(p) x U{a).
Для каждой точки Z ? ЛГ касательное пространство Tz(M')
есть множество всех матриц с p + q строками и р столбцами
такое, что iWZ-\-tZW = Q. В Tz(M') имеем скалярное пронзве-
№ше g(W1,W2) = RetracetWiW1. Пусть T'Z = {ZA; A^n(p)}<=
czTz(M'), и пусть T'z — ортогональное дополнение к T"z в TZ(M')
относительно g. Подпространство T'z допускает комплексную
структуру W—>iW. Мы видим, что я: М'—>-М индуцирует ли-
линейный изоморфизм из T'z на Тл(г)(М). Переносом комплексной
структуры i и скалярного произведения g на T'z посредством я*
получаем обычную комплексную структуру J на М и эрмитову
метрику на М, которые определены в примерах 2.4 и 6.4 гла-
главы IX соответственно.
С другой стороны, U(p-\~q)/U (р)х U(q) есть симметрическое
пространство, где мы определяем инволютивный автоморфизм а
как o{A) = SAS-x, где
5 =
— 1р 0
О У„
Разложение алгебры Ли есть
§ 10. ПРИМЕРЫ
263
где
I 0
\ X
X—комплексная матрица )
с «7 столбцами и р строками/ ¦
Пространство ш допускает комплексную структуру, которая
есть по существу X —>- IX, и мы получаем соответствующую инва-
инвариантную комплексную структуру / на U{p-\-q)/U(p)xU(q).
Сужение на m скалярного произведения g (Ах, Ла) = — -^ trace AXA%
задается так:
8
|о — *
\х
-*р
о
= Re (trace *YX).
Это скалярное произведение на m вместе с комплексной струк-
структурой / порождает эрмитову структуру для U'{р-\- q)/U(p) x U(q).
Теперь очень легко проверить, что эрмитова структура на
U(p+q)/U(p)x U{q) изоморфна эрмитовой структуре на M=Gp,q(C).
Пример 10.9. Dp<i q из примера 6,5 главы IX. Это — обоб-
обобщение примера 10.7 и оно дуально к примеру 10.8. Пусть М'—
пространство всех комплексных матриц Z' — 7Х , где Zo — рхр-
_?о
матрица, a Zx — рх<?-матрица такие, что —tZuZ0+tZ1Zx= —Ip.
Если F — эрмитова форма на Ср+Ч, определенная так:
F(z, a») = -Sf-1z9f + 2/-P+i2/^.
то матрица Z' с векторами-столбцами ух, ..., ур?.Ср+ч принад-
принадлежит М' тогда и только тогда, когда
Для 1 < i < р,
для 1ф\.
Группа U (р) действует на М' свободно как Z'—>-Z'B, где
B?(J(p). Факторпространство М может рассматриваться тогда
как множество всех р-мерных подпространств V из Cp+q таких,
что F (х, х) ^ 0 для каждого х ? V.
С другой стороны, пусть
U(p, q) = {A?GL{p + q; С); F{Ax, Ay) = F{х, у), х,
С);
где S =
-IP 0
0 1а
ствует^на М' как Z' —
вие на iVf. Если ро = я
Известно, что i/(p, q) связна. Эта группа дей-
AZ' и
где
индуцирует транзитивное деист-
? ^/И',а я—проекция М'—^М,

264
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
то группа изотропиив р0 для действия U (p, q) на М есть
U(p)xU(q) = {\* *\; BeU(p), С ? U (q)} .
Инзолютивный автоморфизм а: а(А) = SAS~X для U(p,q) опре-
определяет U (p, q)/U(р) х U (q) — M как симметрическое пространство.
Естественная эрмитова структура может быть определена спосо-
способом, аналогичным примеру 10.8.
Укажем, как можно отождествить наше пространство М
с пространством Dp,q> определенным в примере 6.5. Если
Отсюда tZ0Z0 положительно определенна. Это влечет, что если.
Z' ? М', то Zo не сингулярна. Пусть Z = ZXZ^X. Мы покажем, что
эрмитова уохр-матрица 1 —iZZ положительно определенна, так
что ZeDpti.
iP - lzz = /„ - *z; x*zxzxz-u x = ^ (% - %гх) zzx = *z^z^ > o.
a ivl , то отсюда следует,
что ZxZax=WxWax. Поэтому отображение Z' = ZA-*Z^ ин-
дуцирует отображение из М в DPt „. Оно взаимно однозначно.
Чтобы показать сюръективность, допустим, что Z^,Dp^q. Тогда
существует положительно определенная эрмитова рхр-матрица,
скажем Р, такая, что 1р — tZZ = Pi. Положим Z^ — P'1 и
Zj — ZP~X. Тогда Z'= _° ?М', как легко может быть проверено,
Действие группы U(p-\-q) на М, будучи перенесено на Dp<q
посредством отождествления, совпадает с действием в примере 6.5.
и
§ 11. Набросок классификационной теории
гт-
По теореме 6.6 классификация односвязных римановых сим-
симметрических пространств сводится к классификации неприводи-
неприводимых пространств этого типа. Аналогично по теоремам 5.2 и 7.2
классификация эффзктивных ортогональных симметрических алгебр
Ли сводится к таковой в неприводимом случае.
Мы скажем, что два римановых многообразия М и М' с мет-
метрическими тензорами соответственно g и g' гомотетичны друг
другу, если существует диффеоморфизм ср из М на М' такой,
что <?>*§•' = c2g, где с — положительная константа. Тогда имеем
§11. НАБРОСОК КЛАССИФИКАЦИОННОЙ ТЕОРИИ 265
Предложение 11.1. Классы гомотетической эквивалентности
односвязных неприводимых римановых симметрических пространств
М находятся во взаимно однозначном соответствии с классами
изоморфных эффективных неприводимых ортогональных симмет-
симметрических алгебр Ли (д, ?), о), где соответствие задается теоремой 6.5.
Доказательство непосредственное. Достаточно будет
только следующего замечания. Если (g, f), о) задана, то мы по-
построим, как в § 2, почти эффективное симметрическое простран-
пространство (G, Н, о), где G односвязна, а Н связна, так что M = G/H
односвязно. Поскольку (g, H), о) неприводима, то инвариантная
риманова метрика на G/H единственна с точностью до постоян-
постоянного множителя. Пусть N — дискретная нормальная подгруппа
в G, состоящая из тех элементов, которые действуют тривиально
на М = GlH. Обозначая G/N и H/N снова через G и Н соответ-
соответственно, получаем эффективное симметрическое пространство
(G,H,a), где M = G/H односвязно. Мы утверждаем, что G есть
наибольшая связная группа изометрий для М. Пусть G1 = 3° (M) —
наибольшая связная группа изометрий для М. Симметрия для М
в начале индуцирует инволютивный автоморфизм ог для Glt
который продолжает автоморфизм а для G (см. теорему 1.5).
В канонических разложениях g = !?) + ttt и gI = ^i + m1 имеем
111 = 111!. Отсюда (см. замечание, следующее за предложением 7.5)
получаем
5 = [т,Гтп] — [тпъ шх] = 1)г.
Это влечет й = йг и G = GX. Q
По теореме о дуальности (см. теорему 8.5) мы можем далее
ограничиться эффективными симметрическими пространствами
(G, Я, а) с неприводимыми ортогональными симметрическими
алгебрами Ли (g, f), о) некомпактного типа. Если (д, |, с) — такая
симметрическая алгебра Ли, то она принадлежит одному из сле-
следующих классов теоремы 8.5:
(III) (%, I), о), где g—простая алгебра Ли некомпактного
типа, которая не допускает согласованную комплексную структуру;
(IV) (д, I], с), где f| — простая алгебра Ли компактного типа,
g = 1)с — комплексификация для f), a a — комплексное сопряжение
в g относительно f).
В каждом из этих случаев g проста и некомпактного типа
(см. приложение 9). Если (G, Н, с) — эффективное симметрическое
пространство с неприводимой ортогональной симметрической
алгеброй Ли (д, I), о) некомпактного типа, то G имеет тривиаль-
тривиальный центр (см. теорему 8.4 главы VIII и теорему 8.6) и Я —
максимальная компактная подгруппа в G (см. следствие 9.3
главы VIII и теорему 8.6). Если (Gx, Нх, ах) — другое эффектив-
эффективное симметрическое пространство с неприводимой ортогональной
симметрической алгеброй Ли (glf \, аа) некомпактного типа и

266
ГЛ. XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
если 9 = ^!, то G — Glt поскольку G и Gt имеют тривиальный
центр, а' Нг сопряжена Н в G по следствию 9.3 главы VIII.
В канонических разложениях g = I) + m и g1 = ^1-1f.m1 m и mr—
ортогональные дополнения к I) и |г соответственно в д== с^ от-
относительно формы Киллинга — Картана на g = fti- Мы можем
теперь заключить, что для каждой простой алгебры Ли g неком-
некомпактного типа имеется (с точностью до изоморфизма) самое боль-
большее одна неприводимая ортогональная симметрическая алгебра
Ли (g, ij, о) некомпактного типа. Принимая результат Вейля о
существовании компактных вещественных форм, покажем, что
каждая простая алгебра Ли g некомпактного типа порождает
неприводимую ортогональную симметрическую алгебру Ли (g,t), a)
некомпактного типа.
Теорема Вейля устанавливает, что если д —комплексная прос-
простая алгебра Ли, то существует вещественная простая алгебра Ли ц
компактного типа такая, что д изоморфна комплексификации ис
для ц. Такая и называется компактной вещественной формой для
д (см. Хохшильд [1], с. 167).
Сначала рассмотрим случай, когда д— простая алгебра Ли,
которая допускает согласованную комплексную структуру. Пусть
\) — компактная вещественная форма для д. Тогда (д, I), а), где
а — комплексное сопряжение относительно ?), есть неприводимая
ортогональная симметрическая алгебра Ли некомпактного типа.
Теперь рассмотрим случай, когда д — простая алгебра Ли не-
некомпактного типа, которая не допускает согласованной комп-
комплексной структуры. Пусть дс — комплексификация для д; это —
простая алгебра Ли некомпактного типа. Пусть ц — компактная
вещественная форма для о/. Тогда (qc, и, at), где о^ —комплексное
сопряжение относительно ц, есть неприводимая ортогональная
симметрическая алгебра Ли некомпактного типа. Обозначим через
(Ga, U, <rt) эффективное симметрическое пространство с симмет-
симметрической алгеброй Ли (дс, и, аг). Обозначим через а комплексное
сопряжение в д'' относительно д. Тогда а — инволютивный автомор-
автоморфизм для %с (как вещественной алгебры Ли) и он индуцирует
инволютивный автоморфизм а односвязной группы Ли Gx с алгеб-
алгеброй Ли д<\ Поскольку Gx — факторгруппа группы 6г по ее центру,
ее индуцирует инволютивный автоморфизм а для Gx. По теоре-
теореме 9.4 главы VIII и теореме 8.6 существует максимальная ком-
компактная подгруппа /Сиз Glt которая инвариантна относительно а.
По следствию 9.3 главы VIII и теореме 8.6 К сопряжена с U
в Gx. Отсюда следует, что f тоже есть компактная вещественная
форма для $с. Если мы обозначим через о комплексное сопря-
сопряжение в %с относительно f, то (qc, t, о) — неприводимая ортого-
ортогональная симметрическая алгебра Ли некомпактного типа. По-
Поскольку/С инвариантна при действии а в каноническом разложении
§11. НАБРОСОК КЛАССИФИКАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
267
ge = f + if, ассоциированном с (де, f, о), f и if инвариантны при
действии а. Так как д состоит из тех элементов в %с, которые
неподвижны при действии а, получаем
Если мы положим 1) = дГ)? и обозначим также через <т сужение
о на д , то получим неприводимую ортогональную симметриче-
симметрическую алгебру Ли (g, f), о) некомпактного типа.
Итак, мы установили, что неприводимые ортогональные сим-
симметрические алгебры Ли (д,§, а) некомпактного типа находятся
во взаимно однозначном соответствии с вещественными простыми
алгебрами Ли g некомпактного типа.
Классификация вещественных простых алгебр Ли впервые
была получена Э. Ка ртан ом |[17] в 1914 г. Используя теорию
симметрических пространств, он дал более систематическую
классификацию в 1929 г. (см. Э. К ар тан [16]). Более алгеб-
алгебраическое и систематическое доказательство было получено
Гантмахером [1], [2]. Дальнейшее упрощение было достиг-
достигнуто Мураками [6] и Уоллахом [1], [2] независимо, на
сходном пути. Используя результаты Сатаке [2],Араки [1]
дал другой систематический метод классификации. Главная раз-
разница между методами Араки и Мураками — Уоллаха состоит в
различных выборах подалгебр Картана.
Результаты главы XI о римановых^симметрических простран-
пространствах в основном принадлежат Э. Ка^ртану [7], [15]. Обобще-
Обобщение на аффинные симметрические^ пространства принадлежат
Номидзу [2]. Относительно дальнейших деталей и ссылок для
римановых симметрических пространств см. Х'ел гасон [2].
Относительно аффинных симметрических пространств см. Бер-
же [2] н Ко [1].

Глава XII
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
§ 1. Гомоморфизм Вейля
Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли д. Пусть Ik(G) — множе-
множество симметрических мультилинейных отображений f: д х .. . хд—>-R
таких, что f ((ad a) tit .. ., (ad a) tk) — f (tx, ..., tk) для а ? G и
^i. •••> ^а€й- Мультилинейное отображение f, удовлетворяющее
указанному выше условию, называется инвариантным (относи-
(относительно G). Очевидно, Ik(G) есть векторное пространство над R.
Положим
Для
и g€ll(G) определим fg?lk+l(G) так:
где суммирование берется по всем подстановкам о чисел A,. . ., &+/).
Продолжая это умножение на / (G) естественным образом, мы
превращаем / (G) в коммутативную алгебру над R.
Пусть Р — главное расслоение над многообразием М с груп-
группой G и проекцией р. Наша ближайшая цель — определить неко-
некоторый гомоморфизм алгебры / (G) в алгебру когомологий Н* (М; R).
Выберем связность в расслоении Р. Пусть со — ее форма связ-
связности, а Q — ее форма кривизны. Для каждого /?/й(С) пусть
f (Q) есть 2?-форма на Р, определенная так:
f(Q)(X1, ..., Х%к)
для Xlt . . ., X2k ? Ta(P), где суммирование берется по всем под-
подстановкам а чисел A, 2, ..., 2?), а еа обозначает знак подста-
подстановки а. Цель этого параграфа — доказать следующую теорему.
Теорема 1.1. Пусть Р—главное расслоение над М с груп-
группой G и проекцией я. Выберем связность в Р и пусть Q — ее
форма кривизны.
A) Для каждого f?Ik(G) Ik-форма /(Q) на Р проектируется
в (единственную) замкнутую 2к-форму, скажем f(Q), на М, т. е.
f(Q) = n*(T(Q))
§ 1. ГОМОМОРФИЗМ ВЕЙЛЯ
269
B) Если мы обозначим через w (f) элемент группы когомологий
де Рама Н*к(М; R), определяемый замкнутой 2/г-формой J(Q),
то w(f) не зависит от выбора связности, a w: I (G) —» Н* (М; R) —
гомоморфизм алгебр.
Доказательство. Сначала будет доказана
Лемма 1. q-форма ф на Р проектируется в (единственную)
q-форму, скажем ф, на М, если:
(a) ф (Хи . .., Xq) = 0, как только хотя бы один из Х; вер-
вертикален;
(b) q(RaXlt ..., RaXq)=(f>(X1, ..., Xq) для правого сдвига,
определяемого каждым элементом a?G.
Доказательство леммы 1. Пусть Vlt ..., Vq — каса-
касательные векторы к М в точке из М. Определим <7-форму ф на М
так: _
i(Vlf .... Vq) = v(Xlt ..., Xq),
где Хх, . . ., Xq — касательные векторы к Р в точке и ? Р такие,
что n(X;) = Vi Для t = 1 * •••, а. Нам нужно показать, что
Ф (уи .. ., Vq) корректно определено (не зависит от выбора
Хх Xq). Пусть Yu . . ., Yq 6 Tv (Р) с it (У,-) = V{ для i = 1, . . ., V
б (X X) (F Y)
хq) у
Чтобы доказать ф (Xlt
q v ()
Xq) = ф (Fl5
X
{ V
Yq), мы можем до-
до..., Хя)
2, Xs, . . ., Xq) = . . .
Yq).
ф (l q) ф ( q
пустить по (Ь), что « — v. Поскольку X; — У,- вертикален для каж-
каждого i, из (а) следует, что
ц>(Хх, ..., Xq) = (p(Y1, Х2,
= ф (Yl7 Y2
= Ф(У1, ..
Это завершает доказательство леммы 1.
Вспомним (т.*! I, с. 80) определение внешнего ковариантного
дифференциала D. Для каждой <7-формы ср на Р полагаем
(Dip) (Хг Xq+X) = (dq>) (hXlt .... hXq+1),
где hXt — горизонтальная компонента для Xt.
Лемма 2. Если q-форма ср на Р проектируется в q-форму
ср на М, т. е. ф = л*(ф), то
Д
ф (ф) ф ф
Доказательство леммы 2. Пусть Хх,
тельные векторы к Р в точке из Р. Тогда
X
q+1
каса-
касаlf ..., Xq+1)=(n*dq>)(X1, ..
:it ..., hXq+1) = (dn*q>) (hX±,
= (dq>) (hXlt ..., hXq+1) = (ДФ) (Xlt . . .
Это завершает доказательство леммы 2.
, rchXq+1)
hXq+1)

270
Г Л XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Применяя леммы 1 и 2 к f (Q), докажем A) теоремы 1.1. Так
как форма кривизны Q удовлетворяет (а) из леммы 1 по самому
определению Q (см. т. I, с. 80), то такова и f(?2). Так- как
Q —тензориальная форма типа ad G, так что
R*a(Q) = (ada~1)Q для a?G,
и так как / инвариантна при действии G, то / (Q) удовлетворяет
(Ь) леммы 1. Отсюда / (Q) проектируется в единственную 2^-форму,
скажем f(Q), на М. Чтобы доказать, что / (Q) замкнута, доста-
достаточно доказать, что / (Q) замкнута. Но по лемме 2 имеем d (f (Q)) =
= D (f (Q)). Поскольку D действует как косое дифференцирование
на алгебре тензориальных форм на Р и поскольку DQ = 0 (по
тождеству Бианки, см. теорему 5.4 главы II), отсюда следует,
что D (f (Q)) = 0. (Вспомним, что форма Q на Р называется тен-
зориальной формой, если она горизонтальна в том смысле, что
Q(Xlt ..., Ха) = 0, если хотя бы один X, вертикален; см. т. I,
с. 79.)
Без труда проверяется, что w: I (G)—*Н*(М; R)— гомомор-
гомоморфизм алгебр. Остается показать, что w не зависит от выбора
связности. Рассмотрим две формы связности со0 и са1 на Р и оп-
определим
а = со1 —со0,
cot = со0 + ta для 0 <: t ^ 1.
Следующая лемма получается немедленно.
Лемма 3. а есть тензориальная {-форма типа ad G, т. е.
A) а(Х) = 0, если X вертикально;
B) /?*(«) = ad (а-1)а для a?G.
\(ot; O^t^l} есть однопараметрическое семейство форм связно-
связности на Р.
Пусть Dt — внешнее ковариантное дифференцирование, a Qt —
форма кривизны, определяемая формой связности a>t. Тогда имеет
место
Лемма 4. ~Qt = Dta.
Доказательство леммы 4. В силу структурного урав-
уравнения (см. т. I, с. 80)
Qt = dxat + ^ [Щ, «/] = d(o0 + tda. -f ~ [<ot, щ].
Так как
получаем
i-[o)M a].
По предложению 5.5 главы II правая часть последнего равенства
равна Dta. Это завершает доказательство леммы 4.
§1. ГОМОМОРФИЗМ ВЕЙЛЯ
271
Теперь мы в состоянии показать, что w не зависит от выбора
связности. Для заданных f?.Ik(G) и g-значных форм ц>1 Фй
на Р соответственно степеней qlt . . ., qk определим форму
/(Ф1. . . ., <pft) степени qx+ . . . +qk на Р так:
, ¦•¦,Xa(gi)), ...,
где Л = 1/(<7х + . . . -j-qk)l, суммирование берется по всем подста-
подстановкам о чисел A, . . ., <7i+ • • • +<7fc). а ea — знак подстановки о.
2&-форма f(Q), определенная в начале этого параграфа, может
рассматриваться как сокращенное обозначение для /(Q, ..., Q).
Мы можем выразить / (фг, .. ., фй) так. Пусть Е±, ..., Ег — базис
для g и напишем
Ф,- = Sf
Если мы положим
то
Теперь мы: завершим доказательство теоремы 1.1, показав сле-
следующее:
Лемма 5. Пусть f?lk(G). Если положить
f(a, Qt, ..., Qt)dt,
то Ф [проектируется в (единственную) Bk— \)-форму на М и
> = /(Q1; ..., Q1)-f(Q0, ..., Qo).
Доказательство леммы 5. По лемме 1 f (a, Qt, . . ., Qf)
проектируется в Bk— 1)-форму на М. Отсюда CDJ проектируете я
в Bk—1)-форму на М. По леммам 2 и 4 и в силу^ОД = 0 (тож-
(тождество Бианки) получаем
kd(f(a,
= feOt(/(a, Q,, ..., Qt))
= fcf(Dta, Qt, ..., Qt)

272
Отсюда
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Qt)))dt
Qt))dt
.... QX)-/(QO, ..., Qo).
Это завершает доказательство леммы 5, а отсюда и теоремы 1.1. ?
Теорема 1.1 принадлежит А. Вейлю, a w. I (G)—*Н*(М; R)
называется гомоморфизмом Вейля. Читатель найдет более алгеб-
алгебраическое доказательство у А. Картана [2]. Наше доказатель-
доказательство взято у Черна [2]. Нарасимхан и Раманан [1] дали
другое доказательство, используя существование универсальных
связностей.
§ 2. Инвариантные полиномы
Пусть V—векторное пространство над R, a Sk(V) — простран-
пространство симметричных мультилинейных отображений / из Vx . • • XV
(k раз) в R. Тем же способом, каким мы превратили /(G) в ком-
коммутативную алгебру в § 1, определим умножение в 5 (V) = ^Г-.о^* (V),
превращающее его в коммутативную алгебру над R.
Пусть Е\ ..., Е/— базис дуального к V пространства. Ото-
Отображение р: V—^R называется полиномиальной функцией, если
оно может быть выражено как полином от Е1, . . ., Е/. Это поня-
понятие, очевидно, не зависит от выбора Е.1, ..., Е/. Пусть Pk(V)
обозначает пространство однородных полиномиальных функций
степени k на V. Тогда Р (V) = ^k=0Pk (V) есть алгебра полино-
полиномиальных функций на V.
Предложение 2.1. Отображение <р: S(V) —*Р (V), опреде-
определенное так:
(ф/)(О =
для /€5*(V) и
есть изоморфизм из S (V) на Р (V).
Доказательство. Отображение ф, как легко видеть, есть
изоморфизм алгебр. Построим отображение т|х Р (V)—>¦ S (V) и ос-
оставим читателю проверку того, что \р — обратное отображение к <р.
Используя базис I1, ..., Ег дуального к V пространства, выра-
выражаем каждую полиномиальную функцию p?Pk(V) так:
2
• Г*,
где а^.,.1 симметричны по
k
как линейные функционалы на V, положим
ik. Рассматривая с1, . . .., tr
для tlt
§2. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ
273
Предложение 2.2. Для данной группы G линейных преоб-
преобразований пространства V пусть Sa(V) и PG(V) —подалгебры
в S (V) и Р (V) соответственно, состоящие из G-инвариантных
элементов. Тогда изоморфизм ср: 5 (V) —> Р (У), определенный в пред-
предложении 2.1, индуцирует изоморфизм из Sa(V) на Pa(V).
Доказательство непосредственное и оставляется читателю.
Применяя предложение 2.2 к алгебре /(G), определенной
в § 1, получаем
Следствие 2.3. Пусть G — группа Ли. Тогда алгебра I (G)
всех (ad G)-инвариантных симметричных мультилинейных отобра-
отображений ее алгебры Ли g e R может быть отождествлена с ал-
алгеброй всех (ad д)-инвариантных полиномиальных функций на %.
Следующая теорема полезна при фактическом нахождении и
алгебры /(G), определенной в § 1.
Теорема 2.4. Пусть G—группа Ли, a g—ее алгебра Ли.
Пусть G' — подгруппа Ли в G с алгеброй Ли §', и пусть 1 (G)
(соотв. I (G')) — алгебра инвариантных симметричных мультили-
мультилинейных отображений из g (соотв. из д') в R. Положим
Рассматривая N как группу линейных преобразований, дейст-
действующих на д', обозначим IN(G') подалгебру в I (G'), состоящую
из всех элементов, инвариантных при действии N. Если
то отображение сужения I (G)—*¦ I (G') отображает I (G) изо-
изоморфно в lN(G').
Доказательство. Ясно, что элемент из / (G), суженный
на д', принадлежит IN(G'). Чтобы показать, что отображение
I(G) —>¦ lN(G') инъективно, допустим, что f — элемент из Ik(G)
такой, что f (f, ..., t') = 0 для t'?$'. Наше предположение
гласит, что каждый элемент t из g имеет вид (ad a) f с agG и
f 6 8'- Тогда инвариантность / влечет f(t, . . . ,t) = f (f, . . ., t') = 0.
По следствию 2.3 мы можем заключить, что / = 0. ?
Замечание. В теореме 2.4, если G компактна, a G'—мак-
G'—максимальный тор Т в G, то 1 (G)—>¦ 1х(Т) — изоморфизм. Поскольку
мы не используем этого, мы дадим только набросок доказатель-
доказательства. Допустим сначала, что G связна. Пусть f'^lN(T) — одно-
однородный полином степени k. Для t ? g выберем элемент а? G такой,
что (ad a) t лежит в алгебре Ли I для Г. Определим fit) как
f(t) — f'((&da)t). Если Ъ — другой элемент из G такой, что (adb)t
принадлежит X, то существует элемент п из N такой, что
(ad b) t = (ad n) (ad a) t. (Это вытекает из следующего: если 5 — лю-
любое подмножество в Т, a g—элемент из G такой, что gSg~xcT,
то существует элемент n?N такой, что nsn~x = gsg~x для всех
s?S; см. «Семинар Софус Ли» [1], гл. 19, § 4.) Поскольку /'

274
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
инвариантно относительно N, f (t) корректно определено. Легко
видеть, что / есть G-инвариантная дифференцируемая функция
на д, она однородна степени k в том смысле, что f (Xt) = Xhf (t)
для igR. Дифференцируем тождество k раз по Я и полагаем
Я = 0. Тогда справа получаем k\f(t). Используя координатную
систему I1, . . ., %,г для g и применяя цепное правило, получаем
слева полином У!а/.. .сЛ'1- ¦ • ?'а , где а/ . .t- есть значение
dkf/dQi... дЪ, к в начале. Это"показывает, что f?l(G). Если G
не связна, то естественный изоморфизм N/(N Л G°) —*¦ G/G" может
быть использован, чтобы свести проблему к случаю, когда G
связна.
В качестве приложения теоремы 2.4 определим I(U (п)).
Теорема 2.5. Определим полиномиальные функции /1( ...,/„
на алгебре Ли ц(л) группы U (п) так-]
§ 2. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ]
Х
для Х?и(п).
Тогда flt ..., fn алгебраически независимы и порождают алгебру
полиномиальных функций на и (п), инвариантных относительно
ad U{n). '«»
Доказательство. Пусть Т — подгруппа в U (п), состоя-
состоящая из диагональных элементов. Ее алгебра Ли t состоит из
матриц вида
V~ is1
(?'' вещественны),
которые будут обозначаться [I1 |я] для простоты. Мы ис-
используем g1, ..., \п как координатную систему в i. Если поло-
положить N = {A^U (n); AX A'1 ^i для X?t}, то теорема 2.4 влечет,
что I (U (n))—>- lN(T) инъективно. Теперь достаточно установить
следующие три факта:
A) Д, ...,/„ инвариантны относительно ad(i/(/z));
B) будучи сужены на f, полиномиальные функции ft, ...,/„
являются элементарными симметрическими функциями от g1 g";
C) каждая полиномиальная функция на t, инвариантная от-
относительно N, есть симметрическая функция от g1, ..., g".
Первые два факта очевидны. Чтобы доказать третий, мы
должны только показать, что для каждой пары (i, у) с i < /
существует элемент из АГ, который переводит [J;1, ..., |г', ...
. . ., У, ,.., ?'г] в [I1, . .., ?Л . ., is ..., %п]. Такой элемент
275
задается матрицей, имеющей 1 на (?, /)-м месте, (/, i)-u месте^и
(k, k)-x местах для k=f=i, j и 0 на всех остальных местах. ?
Теорема 2.6. Определим полиномиальные функции fx, .. ., fm
на алгебре Ли о (п) группы О (п) (где п = 2т или п = 2т + 1) так:
det (Un-X) =X» + /i (X) Я— • + /, (Х)Х«-4 + ...
для Х?о(п).
Тогда fx, . .., fm алгебраически независимы и порождают алгебру
всех полиномиальных функций на о (л), инвариантных относи-
относительно ad (О (л)).
Доказательство. Доказательство аналогично доказатель-
доказательству теоремы 2.5. Мы только отметим необходимые изменения.
В соответствии с тем, будет л = 2т или л = 2т+1, пусть Т —
связная подгруппа Ли в О (л), алгебра Ли которой i состоит из
матриц следующего вида:
О I1
-I1 О
0 g"»
—lm о
или
О ?1
-I1 о
о
-Iя
которые для простоты будут обозначаться через [I1, ..., ?""].
Сначала заметим, что коэффициент при Хп~' в det (XIn — X) есть
нуль для каждого нечетного номера i. Это обусловлено тем, что
транспонированная к Я/„ — X матрица равна Х1п-\-Х, так что
det (XIп — X) = det (XIn-{-X). Теперь достаточно установить три
следующих факта:
A) /х, ..., fm инвариантны при действии О (л);
B) будучи сужены на ?, полиномиальные функции суть эле-
элементарные симметрические функции от E1J, • • •, (§стJ;
C) каждая элементарная симметрическая функция на ?, инва-
инвариантная относительно N, есть симметрическая функция от E1J,
¦ • ¦, (IT-
Первые два факта тривиальны; покажем только, как получить
третий. Для каждой пары (?, /) с i < /' построим элемент А из N,

276
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
который переводит [I1, . . ., %', . . ., У, . . ., %т] в [I1, . . ., Ъ/, . ..,
g'\ . . ., g], и для каждого i построим элемент В из N, который
переводит [g1, ...,?', . . ., lm] в [g1, . . ., —?', . .., 1т]. Действи-
Действительно, А может быть выбрано из N (] SO (п); например, для i— 1
и / = 2 можно взять в качестве А такую матрицу:
10 12
О
Для »=1, например, можно взять в качестве В такую матрицу:
10 1
1 0
Если п нечетно, то можно выбрать В из SO(ri)f\N, заменив
(п, л)-элемент в матрице выше (т. е. 1) на —1. То, что А и В
для нечетного п могут быть выбраны не только из N, но и из
N[}SO(n), будет использовано в доказательстве следующей тео-
теоремы.
Теорема 2.7. Определим полиномиальные функции flt ...,
fm на алгебре Ли о (п) группы SO(n), как и в теореме 2.6.
A) Если л = 2т+1, rno flt ..., fm алгебраически независимы
и порождают алгебру полиномиальных функций на о (л), инва-
инвариантных относительно ad E0 (л)).
B) Если л = 2т, то существует полиномиальная функция g
(единственная с точностью до знака) такая, что fn — g2, а функ-
функции fu ..., /„_!, g алгебраически независимы и порождают ал-
алгебру полиномиальных функций на о(п), инвариантных при дей-
действии ad (SO (л)).
Доказательство. Пусть
^t для Х<=Ц.
Эта подгруппа N из SO (п) есть пересечение SO (л) с подгруп-
подгруппой N из О (л), определенной в доказательстве теоремы 2.6.
A) В этом случае доказательство теоремы 2.6 остается в силе,
поскольку матрицы А и В в доказательстве теоремы 2.6 могут
быть взяты из только что представленной подгруппы N в SO (л).
B) В этом случае матрица А в доказательстве теоремы 2.6
может быть взята из N. Для каждой пары (i, j) с i < / построим
элемент С из N, который переводит [g1, .. ., g', .. ., Р, .. ., ?ст]
в [g1, ..., —V, ..., —V, •¦•. 5й]- Для ?=1 и / = 2, например,
полагаем
С =
0 1
1 О
0 1
1 О
§2. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ
277
Из того, что полиномиальная функция, принадлежащая к IN(T),
инвариантна при действии А, следует, что каждый элемент из
IN(T) есть симметрическая функция от g1, .. ., Ъ,т. С другой
стороны, для полиномов от I1, ..., 1т, инвариантных при дей-
действии С, член, содержащий нечетную степень |', должен содер-
содержать также нечетную степень У. Следовательно, каждая поли-
полиномиальная функция, принадлежащая к IN(T), имеет свойство,
что каждый член ее имеет четную степень по каждому из I1,
. .., gm или нечетную степень по каждому из I1, . . ., gCT. Другими
словами, каждый элемент f ? IN(T) может быть представлен в виде
где р и q — полиномы от d1J, ..., (gCTJ. Поскольку f есть сим-
симметрическая функция от g1, . . ., gm, то отсюда следует, что р и
q — симметрические функции от (g1J, .. ., (gmJ. Чтобы завершить
доказательство, построим полиномиальную функцию g на о(п),
инвариантную при действии ad (SO (n)), такую, что fm = g% и
g = ^1...g'ra на ?. Пусть
= (*//) € о Bт) с хи = — xJt.
Положим
ё (Л) = 2т т\
где суммирование берется по всем перестановкам чисел A, . .., 2т),
а е1,...12/л есТЬ 1 или —1 в соответствии с тем, будет ли (i±,
.. .,' i«J) четной или нечетной перестановкой чисел A, ..., 2т).
Из обычного определения определителя следует, что g инвари-
инвариантна при действии ad (SO (n)). Сужение g на '{, очевидно, равно
i1...!1». Отсюда fm = g2 на f. Поскольку / (SO (п)) -* / (Т) инъек-
тивно по теореме 2.4, мы можем заключить, что fm = g2 на о (п). П
Рассмотрим теперь группу Sp (m), которая состоит из уни-
унитарных матриц X ^ U Bm) таких, что
где
-1т О
Теорема 2.8. Определим полиномиальные функции fx,
на алгебре Ли §р (т) группы Sp (m) так:
.., f
fl()-!)¦»fm(X)
Тогда fx, .. ., fm алгебраически независимы и порождают алгебру
полиномиальных функций на %$(т), инвариантных относительно
ad (Sp(m)).

278
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Доказательство. Пусть Г —подгруппа в Sp(m), состоя-
состоящая из диагональных матриц. Ее алгебра Ли ? состоит из матриц
вида г
вещественны),
которые будут обозначаться [I1, . .., gm] ради простоты. Положим
N = {A?Sp{m); ЛХЛ^ для X?t\. Тогда / (Sp (т)) — IN{T)
инъективно по теореме 2.4. Поскольку fly . . ., fm инвариантны
при действии ad (Sp (т)) и поскольку, будучи сужены на I, Д,
. . ., fm являются элементарными симметрическими функциями
от (I1J, ..., (?m)a, то достаточно доказать, что каждая полино-
полиномиальная функция на f, инвариантная относительно N, есть сим-
симметрическая функция от (I1J, ..., (?тJ. Но это может быть
выполнено, как и в доказательстве теоремы 2.6, построением
некоторых матриц А и В, принадлежащих к N. Точнее, для каж-
каждой пары (i, /) с t</ рассмотрим матрицу A^Sp (т), имею-
имеющую 1 на (?, /)-м месте, (/, i)-M месте, (m-^-i, /л + /)-м месте,
(m-{-j, m-\-i)-iA месте и (k, k)-u месте при k^=i, /, m-\-i, m-\-j
и нули на всех других местах. Тогда А есть элемент из N, кото-
который переводит [I1, ..., g'\ ...,%', ¦ ¦ ¦, lm] в [g1, ...,lJ, •¦•,
I', ..., ?m]. Для каждого i с l^i^/n пусть B?Sp(m)— ма-
матрица, имеющая У — 1 на (i, m-\-i)-u месте и (m-\-i, i)-u месте,
1 на (k, k)-x местах при l^.k^2m и k^=i, tn-\-i и нули на
всех других местах. Тогда В — элемент из N, который переводит
Замечание. В доказательстве теорем 2.5, 2.6, 2.7 и 2.8 мы
использовали только то, что отображение сужения / (G) —^ IN(T)
есть инъекция, хотя в действительности это изоморфизм; см.
замечание, следующее за теоремой 2.4. Но из доказательства
этих теорем непосредственно видим, что / (G) —>-1N (T) есть изо-
изоморфизм, если G есть U (n), O(n), SO (n) или Sp(m). Относи-
Относительно дальнейших результатов о I(G) см. А. Картан [3].
Факторгруппа N/T называется группой Вейля для G. Отсюда IN{T)
изоморфна алгебре полиномиальных функций на I, которые
инвариантны относительно группы Вейля NJT. По общему ре-
§3. КЛАССЫ ЧЕРНА)
279
I зультату Шевалле [2] IN(T) конечно порожденная. Мы ука-
| зали порождающие (конечные) множества в случае, когда G есть
\ одна из компактных групп, рассмотренных выше.
j
: § 3. Классы Черна
; Вспомним аксиоматическое определение классов Черна (Ф. X и р-
\ це^брух[3], Хьюзмоллер [1]). Мы рассматриваем категорию
дифференцируемых комплексных векторных расслоений над диф-
. ференцируемыми многообразиями.
; Аксиома 1. Для каждого комплексного векторного рас-
: слоения Е над М и для каждого целого i ^ 0 t-й класс Черна
С; (Е) € Я2' (М; R) задан и со(?)=1.
; Мы полагаем с (Е) = 2П=о сс (Е) и называем с(Е) тотальным
'. классом Черна для Е.
'¦ Аксиома 2 (естественность). Пусть Е — комплексное вектор-
: ное расслоение над М, а /: М' —-«- М—дифференцируемое отобра-
отображение. Тогда
с(/-!?) = /•(<?(?))?Я*(AT; R),
где f~1E обозначает комплексное векторное расслоение над М',
индуцированное отображением / из Е.
Аксиома 3 (формула Уитни для сумм). Пусть Ех, ..., Eq —
комплексные линейные расслоения над М, т. е. комплексные век-
: торные расслоения со слоем С. Пусть ? = ?1ф.. .ф?9 — их
сумма Уитни, т. е. ?хф.. .ф?G = й~:1 (?iX . .. x?3), где d: M —+
—>-Мх ¦ ¦ • хМ отображает каждую точку в диагональный эле-
элемент (х, ..., х) ?Мх . . . хМ. Тогд;
= с (?,). . .с (?,).
Чтобы сформулировать аксиому 4, нам нужно определить
некоторое естественное комплексное линейное расслоение над
/г-мерным комплексным проективным пространством Рп(С). Точка х
из Рп (С) есть одномерное комплексное подпространство, обоз-
обозначаемое Fx, из Сп+1. Каждой х?Рп(С) сопоставим соответст-
соответствующее Fx как слой над х, получая так комплексное линейное
расслоение над Рп(С), которое будет обозначаться Е„. Вместо
того чтобы детально описывать комплексную структуру для Еп,
рассмотрим его ассоциированное главное расслоение. Пусть С* —
мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел. Тогда
С* действует на пространстве С"+1 — {0} ненулевых векторов из
С"+1 так:
((Л z\ ..., г"), ш)€(С«+1-{0})хС*;
n+1 — \0\.

280
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
При таком действии С* пространство С"+1 — {0} будет главным
расслоением над Рп (С) с группой С*, ассоциированным с естест-
естественным линейным расслоением Еп. Если .мы обозначим через р
проекцию этого главного расслоения, а через ?/,- — открытое под-
подмножество в Рп(С), определенное как г'Ф0, то
Если обозначить через ср,- отображение p~1(Ui)—*-C*, определяе-
определяемое как ср,- (z°, . . ., zn) = z', то функции перехода ipy7 задаются
так:
%ч (р (z°, . . ., z»)) = 2//z' на U{ П Uj.
Для аксиомы нормализации нужно рассматривать только Ег.
Аксиома 4 (нормализация).—сг(Е^) есть порождающий эле-
элемент для H^(P1{Q,); Z); другими словами, c1(E-i), вычисленный
(или проинтегрированный) на фундаментальном 2-цикле Pt (С),
равен —1.
Хотя мы рассматривали категорию дифференцируемых ком-
комплексных векторных расслоений и определили с, (Е) как элемент
из H%i(M; R) вместо В*'(М; Z), обычное доказательство сущест-
существования и единственности классов Черна справедливо и в нашем
случае без каких-либо модификаций (см. Хьюзмоллер [1]).
Пусть Е — комплексное векторное расслоение над М со слоем Сг
и группой GL(r; С). Пусть Р — его ассоциированное главное
расслоение. Дадим теперь формулу, которая выражает k-й класс
Черна ск(Е) через замкнутую дифференциальную форму yk сте-
степени 2k на М. Определим сначала полиномиальные функции /0,
flt .. ., fr на алгебре Ли %1 (г; С) так:
для
; С)Т
Тогда они инвариантны относительно ad (GL (г; С)). Пусть со —
форма связности на Р, a Q — ее форма кривизны. По теореме 1.1
существует единственная замкнутая 2&-форма yk на М такая, что
где р: Р —*¦ М — проекция. Когомологический класс, определяе-
определяемый формой ук, не зависит от выбора связности. По определе-
определению 7ft мы можем написать
detfl.—
Теорема 3.1. k-й класс Черна ск (Е) комплексного векторного
расслоения Е над М представляется замкнутой 2к-формой ук,
определенной выше.
§3. КЛАССЫ ЧЕРНА
281
Доказательство. Покажем, что вещественные классы
когомологий, представленные через ук, удовлетворяют четырем
аксиомам.
A) Очевидно, 7о представляет 1?Н°(М; R).
B) Пусть Р — главное расслоение, ассоциированное с ком-
комплексным векторным расслоением Е над М. Для данного ото-
отображения /: М' —*¦ М ясно, что индуцированное расслоение f~^P
есть главное расслоение, ассоциированное с индуцированным
векторным расслоением f~1E. Обозначая тоже через f естествен-
естественное отображение расслоений f~1P —*¦ Р и через со форму связ-
связности на Р, положим
со'=/*(со).
Тогда со'—форма связности на /-1Р, а ее форма кривизны Q'
связана с формой кривизны Q для со как Q'=/*(Q) (см. пред-
предложение 6.2 главы II). Если мы определим замкнутую 2&-форму
Yft на М, используя Q' так же, как мы использовали U для
определения ук, то тогда ясно, что f* (ук) = Ук-
C) Пусть Elt .... Eq — комплексные линейные расслоения
над М, а Р1г ..., Рд — их ассоциированные главные расслэения.
Для каждого i пусть со,- — форма связности на Pt, a Q,— ее форма
кривизны. Поскольку PiX-..хРд есть главное расслоение над
Мх ¦ ¦ ¦ хМ с группой С*х • • • хС*, где C* = GLA; С), то диаго-
диагональное отображение d: М—» Мх ¦ ¦ -ХМ индуцирует главное
расслоение Р =drx {Рхх ¦ ¦ ¦ xPq) на М с группой С*х . . • хС*.
Группа С*х . • • хС* может рассматриваться как подгруппа
в GL(q;C), состоящая из диагональных матриц. Сумма Уитни
? = ?10. .-.0.Е, есть векторное расслоение со слоем С". Его
ассоциированное главное расслоение Q с группой GL(q; С) содер-
содержит Р как подрасслоение. Пусть р{: Р —> Р ,• есть сужение про-
проекции Ptx ¦ ¦ ¦ xPq—+ Pi на Р, и положим
со=со*+ • • ¦ -г-ю?. где со^ = р* (сог-).
Тогда со —форма связности на Р, а ее форма кривизны Q за-
задается так:
Q = ЙГ + . . . +П;, где Q; = р\ (Q,).
Пусть со —форма связности на Q, которая продолжает со. Пусть
U — ее форма кривизны на Q. Тогда сужение для
на Р равно
Это устанавливает формулу сумм Уитни.

282
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
D) Пусть Р = С2 — {0} есть главное расслоение над Рт_(С)
с группой С*, ассоциированное с естественным ^линейным рас-
расслоением Ех. Определяем 1-форму со на Р так:
co=~z, dz)/(z, г),
где (z, dz) = z°dz° -\-l1dzL и (z, z) = z°z°-\-z1z1. Тогда со есть форма
связности и ее форма кривизны Q задается так:
— (z, dz)A(z, dz)}/(z, zJ,
где
(dz, dz) = dz° A dz° + dz1 A dz1.
Пусть U — открытое подмножество в РХ(С), определенное нера-
неравенством z° фЬ. Если мы положим w = z1/z°, то w может быть
использовано как локальная координатная система в U. Под-
Подставляя z1 = z°w в формулу для Q, получаем
Тогда
Q = (dw A dw)l{\ +ww)*.
— 7i (^Уможет'быть^записано так:
на U.
Если^мы положим
то
_Yl = Brdr A"dt)I(\ +r2J на U.
Поскольку Pi(C) — U ^есть [точка, то интеграл — ]Pi(C)Yi равен
интегралу —\c/Ti- Мы хотим показать, что последний равен 1.
Из формулы для Yl в терминах г и t получаем
dt = 1. О
Если мы выражаем форму кривизны Q матричнозначной
2-формой (Q)'), то 2&-форма ук, представляющая k-й класс Черна
ск(Е), может быть записана так:5"
где суммирование берется по всем упорядоченным подмножествам
(iu ..., ik) из k элементов из A, .... г) и всем перестановкам
(jt jk) для (ilt . . ., ik), а символ &[['"'* обозначает знак
§ 3. КЛАССЫ ЧЕРНА
283
перестановки (i1( . . ., ik) —<- (jlt . . ., jk). Проверка является легкой
и оставляется читателю.
Пусть Р — главное расслоение с группой GL(r; С), ассоцииро-
ассоциированное с комплексным векторным расслоением Е над М. Покажем,
что алгебра характеристических классов для Р, определенная в § 1,
порождается классами Черна для Е. Редуцируя структурную группу
GL(r;C) к U (г), мы рассмотрим подрасслоение Р' в Р и выберем
форму связности со' на Р' с формой кривизны Q'. Пусть со — форма
связности на Р, которая продолжает форму со', а Q — ее форма
кривизны. Пусть / есть ad (GL (r; С))-инвариантная полиномиальная
функция на gl(r; С), а /'—ее сужение на it (г). Тогда /' будет
U (/^-инвариантна. Так как сужение f (Q) на Р' равно /'(Q'), то
характеристический класс для Р, определяемый функцией /, совпа-
совпадает с характеристическим классом для Р', определяемым функ-
функцией /'.В § 2 мы определили все ad (U (г))-инвариантные поли-
полиномиальные функции на XI (г), и наше утверждение теперь следует
из определения yk и теоремы 2.5.
Если мы сузим полиномиальную функцию det (IГ X
использованную для определения классов Черна, на подалгебру
i из gl(r; С), состоящую из диагональных матриц [В,1У ..., |г]
с диагональными элементами У — 1 %lt . . ., У— 1 gr, то
для
2лу Л"Л "-—[Si. ¦•¦> ЬЪ
Аналогично, если мы сузим функцию, определенную рядом
trace ( ехр ( ¦?=- X ) ) = trace ( > — v~ . -г- Хк )
для X?ql(r; С),
на t, то получим
Тривиально усматривается, что этот ряд, определенный на gl (r; С),
инвариантен относительно ad (GZ, (г; €)). Подставим форму кри-
кривизны Q вместо X. Так как след (Хк) инвариантен относительно
ad (GL (г; С)), то след (Qft) проектируется в замкнутую 2?-форму
на М по теореме 1.1. Отсюда следует, что trace(Qft) = 0, если
Ik > dim M. Форма
trace (ехр ( ~
2л у~—1

284
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
определенная на расслоении Р, проектируется в замкнутую форму
на М. Когомологический класс, определенный этой замкнутой
формой на М, называется характером Черна векторного расслое-
расслоения Е и обозначается ch(E). Характер Черна ch (E) обычно опре-
определяется при помощи формулы факторизации (см. Хирцебрух
[3], глава III) так:
Если ]T.Lo с/ (Е) xt = llf=i A + Ц/Х), то ch (Е) = ?J=1 ехр гу.
Сравнивая формулы (*) и (**), легко видим, что наше определе-
определение характера Черна совпадает с обычным. Характер Черна
удовлетворяет условиям (см. Ф. Хирцебрух [3])
ch(E®E')=ch(E)+ch(E'),
c/i (? (g) ?') = ch (E) ch (?").
Класс Черна был впервые введен Черном [10].
Пример 3.1. Пусть Е — эрмитово векторное расслоение над
комплексным многообразием М со слоем С и послойной метри-
метрикой h (см, § 10 главы IX). Мы можем использовать форму кри-
кривизны эрмитовой связности, чтобы выразить классы Черна для Е.
Поскольку первый класс Черна ct (E) может быть представлен
замкнутой 2-формой yi на М такой, что р*ух — / trace Q,
2л У —1
то мы видим из формул E) и A0) § 10 главы IX, чтос1(?) может
быть представлен замкнутой 2-формой
где К,ц может быть вычислено по формуле A4) § 10 главы IX,
Отсюда сх (Е) может быть представлен замкнутой 2-формой
1=-дд\пН, где Н =
2л У —
§ 4. Классы Понтрягина
Пусть Е — вещественное векторное расслоение над многообра-
многообразием М со слоем Rg. Комплексификация Ес для Е есть комплексное
векторное расслоение над М со слоем Qq, полученное комплек-
сифицированием каждого слоя из Е. Пусть Р (соотв. Рс) — главное
расслоение с группой GL(q; R) (соотв. GL(q; С)), ассоциированное
с Е (соотв. Ес). Тогда Р — подрасслоение для Рс.
k-й класс Понтрягина рк{Е) для Е определяется так:
§4. КЛАССЫ ПОНТРЯГИНА
285
где с2к (Ес) обозначает 2&-й класс Черна комплексного векторного
расслоения Ес. Тотальный класс Понтрягина р (Е) определяется
как 1+рх (?)+ р, (?)+...€ #* (М; R).
Определяем ad (GL(q; Я))-инвариантные полиномиальные функ-
функg g g дГ( R)
ции g0, glt
gq на
р
R) так:
detU/.-^X =
для
Пусть со —форма связности на Р, a Q — ее форма кривизны. По
теореме 1.1 существует единственная замкнутая 4?-форма pft на М
такая, что
где р: Р —>~ М — проекция. (Причина, почему не рассматриваются
gk(Q) с нечетными k, будет объяснена позже.)
Теорема 4.1. Замкнутая Ak-форма pft на М, определенная
выше, представляет k-й класс Понтрягина векторного расслоения Е.
Доказательство. Пусть ср — форма связности на Рс, ко-
которая продолжает со. Пусть Ф — форма кривизны для ф. Как
и в § 3, определяем полиномиальные функции Д,, /1( . . ., fq на
Й1(<7;'С) так:
det (*/,--
Мы легко видим, что
для
для
; С).
и отсюда что сужение для (—1)Й/2&(Ф) на Р совпадает с g2k(Q).
Наше утверждение следует теперь из теоремы 3.1 и определения узк
в § 3. ¦?
Если записать Q как матричнозначную форму (Q)), то мож-
можно выразить g2k(Q) так:
* wБ*bf№lii л... л т,
где суммирование пробегает все упорядоченные . подмножества
(*!, . . ., i2k) из 2k элементов A, . . ., q) и все перестановки (/\, . .., jak)
для (ilt ..., i2k) и где 6J-';;;^* обозначает знак перестановки.
Пусть Е — вещественное векторное расслоение со слоем R9,
а Р — его ассоциированное главное расслоение с группой GL(q; R).
Тогда алгебра характеристических классов для Р, определенная
в § 1, порождается классами Понтрягина для Е. Доказательство
аналогично случаю комплексных векторных расслоений; в § 3
следует заменить U (г) на О (q) и использовать теорему 2.6 вместо
теоремы 2.5.

286
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Мы можем рассмотреть в доказательстве теоремы 4.1 замкну-
замкнутую 2^-форму ctk на М, определенную равенством р* (<хк) — gk (Q)
для нечетных к. Но aft всегда когомологична нулю. Действительно,
редуцируя структурную группу GL(q; R) к О (q), рассмотрим под-
расслоение Q в Р и используем форму связности на Q и ее форму
кривизны, которые принимают значения в о (q). Тогда ясно, что
нужно только доказать gk (X) = 0 для X ? о (q) и нечетных к.
Поскольку X?o(q) — кососимметрическая матрица, мы имеем
detfxij-^-
и отсюда
ДЛЯ
что и влечет наше утверждение. Отсюда следует, что тотальный
класс Понтрягина может быть представлен так:
det ( Iq — -f,^-
(спроектированный на базу М).
Класс Понтрягина был впервые введен Понтрягиным [2].
§ 5, Классы Эйлера
Пусть Е — вещественное векторное расслоение над многообра-
многообразием М со слоем R?. Пусть Р — его ассоциированное главное
расслоение с группой GL(q\ R). Пусть GL+ (q; R) —подгруппа
в GL(q; R), состоящая из матриц с положительным определите-
определителем, это — подгруппа индекса 2. Говорят, что векторное расслое-
расслоение Е ориентируемо, если структурная группа для Р может быть
редуцирована к GL+ (q; R). Если Е ориентируемо и если такая
редукция выбрана, то говорят, что Е ориентировано.
Пусть / — отображение другого многообразия М' в М, a f~1E —
индуцированное векторное расслоение над М'. Если Е ориенти-
ориентируемо, то ориентируемо и f~1E. Если Е ориентировано, то и f~1E
ориентировано естественным образом.
Пусть Е и Е' —два вещественных векторных расслоения над М
со слоями Re и R*' соответственно. Так как
L{q; R)xGL(q';
GL+(q; R)xGL+(q'; R) cr'GL+
R)
'\ R)
естественным образом, то отсюда следует, что если Е и ?" ори-
ориентируемы, то и их сумма Уитни ?©?" ориентируема, и если Е
и Е' ориентированы, то и Е@Е' ориентирована естественным
образом.
§ 5. КЛАССЫ ЭЙЛЕРА
287
Пусть Е — комплексное векторное расслоение над М со слоем С,
Оно может рассматриваться как вещественное векторное расслое-
расслоение со слоем R2r. Поскольку ассоциированное главное расслоение
для Е как комплексное векторное расслоение имеет структурную
группу GL(r; С) cz GL+ Br; R), то Е ориентировано естественным
образом как вещественное векторное расслоение.
Дадим теперь аксиоматическое определение классов Эйлера
Рассмотрим категорию дифференцируемых ориентированных ве-
вещественных векторных расслоений над дифференцируемыми мно-
многообразиями.
Аксиома 1. Для каждого ориентированного векторного рас-
расслоения Е над М со слоем R' класс Эйлера %(?) ?Нч (М; R)
задан и %(Е) = 0 для нечетных q.
Аксиома 2 (естественность). Если Е — ориентированное ве-
вещественное векторное расслоение над М и если / — отображение
другого многообразия М' в М, го~
-%(f-lE)=p(%(E))?H» (M'i R),
где f~xE — векторное расслоение над М', индуцированное отобра-
отображением / из Е.
Аксиома 3 (формула сумм Уитни). Пусть Е1г ...,ЕГ — ори-
ориентированные вещественные векторные расслоения над М со
слоем R2. Тогда
X
%
Аксиома 4 (нормализация). Пусть Ех — естественное комп-
комплексное расслоение над одномерным комплексным проективным
пространством РХ(С) (см. § 3). Тогда его класс Эйлера % (?х)
совпадает с первым классом Черна с1(Е).
Под римановым векторным расслоением мы понимаем пару
(Е, g)—вещественное векторное расслоение Е и послойную мет-
метрику g в Е. По определению g определяет скалярное произведе-
произведение gx в слое в точке х^М.и семейство скалярных произведений gx
зависит дифференцируемо от х (см. т. I, с. 116).
Пусть Е — векторное расслоение над М со слоем Rg, a P —
его ассоциированное главное расслоение с группой GL (q; R). Тогда
множество послойных метрик на Е находится в естественном
взаимно однозначном соответствии с множеством редукций для Р
к подрасслоению со структурной группой О (q) (см. предложение 5.6
и пример 5.5 главы I, а также т. I, с. 117). Если Е ориентиро-
ориентировано, то каждая послойная метрика g определяет редукцию для Р
к подрасслоению с группой SO(q), которое будет называться
главным расслоением, ассоциированным с ориентированным рима-
римановым расслоением (Е, g).
Пусть задано риманово векторное расслоение (Е, g) над М
и отображение /: М'—>М; обозначаем через f~1{E,g) риманово

288
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
§ 5. КЛАССЫ ЭЙЛЕРА
289
векторное расслоение над М', состоящее из индуцированного
векторного расслоения f~1E над М' и послойной метрики, естест-
естественно индуцированной посредством / из g. Если заданы два ри- .
мановых векторных расслоения (Е, g) и (?", g') на М,то обозначим
через (Е, §)ф(?", g') риманово векторное расслоение над М,
состоящее из ?©?" и естественно определенной послойной мет-
метрики g + g', назовем это суммой Уитни для (Е, g) и (?", g').
Пусть Еп — естественное комплексное линейное расслоение
над Рп(С), определенное в § 3. Точка из Рп (С) есть одномерное
комплексное подпространство в Cn+1, а слой из Еп в этой точке
есть в точности соответствующее подпространство в Сп+1. Отсюда
естественное скалярное произведение в Cn+1 индуцирует скалярное
произведение в каждом слое из Еп и определяет то, что мы на-
называем естественной послойной метрикой в Е„.
Мы теперь рассмотрим следующий когомологический класс
%(Е, g), определенный аксиоматически:
Аксиома Г. Для каждого ориентированного риманова век-
векторного расслоения (Е, g) над М со слоем R« класс % (Е, g) ?
?Нч(М; R) задан и %(Е, g) = 0 для нечетных q.
Аксиома 2' (естественность). Если (Е, g) — ориентированное
риманово векторное расслоение над М и если / — отображение
из М' в М, то
%(ГЧЕ, g)W ОС (Я. g))<=B*(M; R).
Аксиома 3' (формула сумм Уитни). Пусть (Е1г g]), ...
..., (Er, gr) — ориентированные римановы векторные расслоения
над М со слоем R2. Тогда
%((Е„ gd + ...+(Er, gr)) = %(E1, g1)...%(Er, gr).
Аксиома 4' (нормализация). Пусть Е± — естественное комп-
комплексное линейное расслоение над Pi(C}, a gx — естественная по-
послойная метрика в Ег. Тогда % (Еи gx) совпадает с первым классом
Черна сг (Ej).
В отличие от класса Черна, класс Эйлера обычно определяется
конструктивно, а не аксиоматически (см., например, Хьюзмол-
лер [1]). Это обусловлено тем, что в алгебраической топологии
класс Эйлера определяется как элемент из В* (М; Z), а не из
Н*(М, R). Однако нас интересуют классы Эйлера как элементы
из Н*{М, R). Поскольку класс Эйлера, определенный обычным
способом алгебраической топологии, удовлетворяет аксиомам 1,
2, 3 и 4, то существование % {Е), удовлетворяющего аксиомам 1—4,
обеспечено. Ясно, что %(Е), удовлетворяющий аксиомам 1—4,
удовлетворяет и аксиомам Г—4'. Если мы докажем единствен-
единственность %(Е, g), удовлетворяющего аксиомам Г—4', то будем иметь
и единственность для %(Е), удовлетворяющего аксиомам 1—4.
Принимая некоторые факты из алгебраической топологии, мы
покажем единственность %(Е, g).
Пусть (Е, g) — ориентированное риманово векторное расслое-
расслоение со слоем R2P. Пусть G2j0,2ft обозначает грассманово многооб-
многообразие ориентированных 2р-плоскостей в RV+8*, так что
G»P, ш = 50 Bр + 2k)ISO Bp) х 50 Bk).
Присоединяя к каждой точке из Ga/), aft (которая есть 2р-плоскость
в R2^+2ft) соответствующее 2р-мерное ориентированное подпрост-
подпространство из R2/>+afti получаем ориентированное векторное расслое-
расслоение Е2р< 2к над G2/), 2ft со слоем R2^. Естественное скалярное про-
произведение в Rv + aft индуцирует послойную метрику g0 в Е2р> 2к.
Главное расслоение
V2p, 2к = 50 Bр + Щ1{ 1} х 50 Bk)
над G2/)i 2ft с группой 50 Bр) есть расслоение, ассоциированное
с векторным расслоением Е2р, aft. Классификационная теорема вле-
влечет, что для достаточно большого k существует отображение
/: M-+G2p,2k такое, что (Е, g) = !~г (Etp, tk, g0). Пусть Т обоз-
обозначает максимальный тор 50 B)х ¦ • • xSO B) (p + k раз), естест-
естественно вложенный в SOBp)x5OB?). Пусть h: SO Bp + 2k)IT —>¦
~^(?2р,2к — естественная проекция. Тогда структурная группа для
h~г (Е2р, 2к) может быть редуцирована к Т естественным образом.
Другими словами,
h-l{E2p,,k, go) = (Elt g1)+...+(Ep, gp),
где (Elt gj), .. ., (Ep, gp) — ориентированные римановы векторные
ра?слоения над SO Bр + 2k)IT со слоем R2. Допустим, что % (Е, g)
и l(E, g) удовлетворяют аксиомам Г—3'. Тогда
Х(Е, g) = /*x(?2p+2fe, go), %(E, g) = f*X(E,p,*k, g0),
Х(Ех, ei)---7L(Ep, gP)=h*%_(E2p+2k, gQ),
%(Elt g1)...%(Ep, gp)=h*x(Eap+ak, go).
Допустим, что %(Е{, g,) = x(?,-, gi) Для i = \, .... p. Поскольку
h* есть изоморфизм из Ji* (G2/,, 2к\ R) в В* (SO Bp -\-2k)JT\ W;,
получаем % (E2p, aftt g0) = % (E2py aft, g^n отсюда % (E, g) = %(E,g).
Остается показать, что %(Eiy gi) = yi(Ei, g{). Допуская теперь,
что (Е, g) есть ориентированное риманово векторное расслоение
со слоем Ra, покажем, что %(Е, g)=%(E, g). По классифика-
классификационной теореме существует отображение /: М—>-Pt(C) такое,
что (Е, g) = /-1 (Ег, gt), где Ег обозначает естественное комплексное
линейное расслоение над Рг(С), a gt обозначает естественную
послойную метрику в Ег. Отсюда % (E,g) = f*%(Elt gL) = f*%(Ely g-J =
10 Зяк. 42Р

290
ГЛ. XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
= %(?> S) по аксиомам 2' и 4'. Это завершает доказательство
того, что %(?, g") единствен. Доказательство, данное здесь, по
существу то же самое, что и доказательство единственности класса
Черна (см., например, Хьюзмоллер [1]). Главное отличие
в доказательстве заключается в том, что
Н*Фч„п> R)^H*(SOBp+2k)/T; R)
инъективно, но
Н*(<32р,2к; Z)-^H*(SOBp + 2k)/T; 1)
не инъективно, в то время как
Н* (у {p + k)/U (p)xU (k); Z)-+B*(U(p + k)/T; Z)
инъективно (где Т обозначает максимальный тор U A)х .. . Y.U A)
в U (p)x U (k)). Это и есть точная причина, почему класс Эйлера
как элемент группы целых когомологий обычно не определяется
аксиоматически.
Теперь мы выразим класс Эйлера % (Е) ориентированного ве-
вещественного векторного расслоения Е над М со слоем R2j° через
замкнутую 2р-форму на М- Выберем послойную метрику g в Е,
и пусть Q — главное расслоение с группой SO Bp), ассоциирован-
ассоциированное с рим .новым векторным расслоением (Е, g). Пусть со = (со/) —
форма связности на Q, a Q = (fi/)— ее форма кривизны. Из тео-
теорем 1.1 и 2.7 (см. выражение полиномиальной функции g в дока-
доказательстве теоремы 2.7) следует, что существует единственная
замкнутая 2р-форма у на М такая, что
Теорема 5.1. Класс Эйлера ориентированного вещественного
векторного расслоения Е над М со слоем R2p представляется
определенной выше замкнутой 2р-формой у на М.
Доказательство. Если послойная метрика g на ? выбрана,
и ассоциированное главное расслоение Q с группой SO Bp) по-
построено, то когомологический класс, представленный посредством у,
по теореме 1.1 не зависит от связности, выбранной в Q. Однако
не ясно априори, что класс, представленный посредством у, не
зависит от выбранной послойной метрики. Докажем поэтому^ что
когомологический класс, представленный замкнутой формой у,
удовлетворяет аксиомам Г—4' для %(?, g). Отсюда тогда сле-
следует, что у представляет класс %(E,g) и потому %(?). Положим
Y = 0, если размерность слоя нечетна. Тогда аксиома 1' триви-
тривиально удовлетворяется. Аксиомы 2' и 3' могут быть проверены
тем же способом, что и аксиомы 2 и 3 в доказательстве теоре-
§ 5. КЛАССЫ ЭЙЛЕРА
291
мы 3.1. Чтобы проверить аксиому 4', допустим, что /\ со и
О, такие же, как и в доказательстве теоремы 3.1. Пусть' Q
единичная сфера в О, т.е. Q = {(z°, z1); z°z° + z^1 = 1}. Тогда
Q есть подрасслоение в Р с группой U(\) и есть главное рас-
расслоение, ассоциированное с естественным комплексным линей-
линейным расслоением Е1 над Рг (С) с естественной послойной метри-
метрикой gx. Мы отождествляем U(I) с SO B) так:
\ЬО {2), где a, b?R.
Пусть со —форма связности на_Р, определенная в доказательстве
D)^из теоремы^ 3.1, т. е. co=(z, dz)/(z, z). Пусть со' —ее сужение
на Q. Тогда со' чисто мнимая, т. е. принимает значения в алгебре
Ли иA). Это означает, что со' есть форма связности на Q. Ее
форма кривизны Q' есть сужение на Q формы кривизны Q для со.
При отождествлении U (\) и SO B), описанном выше, и A) отож-
отождествляется с §о B) так:
О —а
О
6 So B), где а ? R
При этом форма связности со' и ее форма кривизны Q' отожде-
отождествляются соответственно со следующими формами со значе-
значениями в So B):
— 1 со
О
— У—\ Q'
Теперь ясно, что у совпадает с формой у^{Еп), определенной
в §_3. ?
Если М — ориентированное компактное риманово многообра-
многообразие размерности 2р и если Е есть касательное расслоение для М,
то замкнутая 2р-форма у, проинтегрированная по М, дает число
Эйлера для М. Это—так называемая теорема Гаусса — Бонне.
Наш аксиоматический подход сводит вычисление до минимума.
Об истории теоремы Гаусса — Бонне см. примечание 20.
Для выражения классов Черна и Понтрягина в теоремах 3.1
и 4.1 мы можем использовать любую связность в векторном рас-
расслоении Е. Но для выражения класса Эйлера в теореме 5.1 мы
должны использовать связность, согласованную с послойной
метрикой для Е. Из теорем 3.1 и 4.1 следует, что если Е до-
допускает связность с нулевой кривизной, то классы Черна и
Понтрягина тривиальны. Но для того чтобы применить тео-
теорему 5.1 к доказательству обращения в нуль класса Эйлера
Для Е, нужна связность нулевой кривизны, согласованная
с послойной метрикой, т. е. связность с нулевой кривизной,
группа голономии которой содержится в SOBp).
10*
Зак. 425

ПРИЛОЖЕНИЯ
8. Интегрируемые вещественно аналитические
почти комплексные структуры
В теореме 2.5 главы IX мы сформулировалиЯследующую тео-
теорему Н ью л енд ер а и Ниренберга [1]:
Почти комплексная структура есть комплексная структура,
если она интегрируема, т. е. если она имеет нулевое кручение.
Полное доказательство этой теоремы выходит за рамки данной
книги. Мы докажем здесь теорему при более сильном допущении,
что данная почти комплексная структура вещественно аналити-
аналитическая и интегрируемая.
Пусть М есть 2п-мерное многообразие с почти комплексной
структурой J.
Лемма 1. Если каждая точка из М имеет окрестность U
и п комплекснозначных функций f1, . . ., fn на U таких, что
df1, . . ., df" типа A,0) и линейно независимы всюду на О, то
почти^комплексная структура J для М есть комплексная струк-
структура.
Доказательство леммы 1. Беря U малым, если необ-
необходимо, мы можем считать, что /\ ...,/" определяют взаимно
однозначное отображение из U в С", которое будет обозначаться
для простоты /. Пусть V — малая окрестность другой точки
с аналогичными функциями g1 gn и соответствующим одно-
однозначным отображением g: V—>-Сп. Допуская, что U Л У не пусто,
покажем, что go/-1: f (U Л V) —+ g (U Л V) голоморфно. По пред-
предложению 2.9 главы IX / и g — почти комплексные отображения.
Отсюда go/—тоже почти комплексное отображение. По пред-
предложению 2.3 главы IX go/-1 голоморфно. Это показывает, что,
беря (U, /) как карту, мы получаем комплексную структуру
на М, которая индуцирует данную почти комплексную струк-
структуру J- ?
Лемма 1 показывает, что теорема, которую мы хотим дока-
доказать,— локальной природы. Пусть U — малая окрестность и
со1, ..., со" — вещественно аналитические комплексные 1-формы
типа A,0) на U, линейно независимые всюду на U. Если
х1, . . ., х2п — локальная координатная система в ?/,томы можем
выбрать со1, . . ., со11 из 2п 1-форм dx1 + UdxL, . . ., dx2n + U dx2n
приложения
293
типа A, 0). Положим
со/ =о>/ для / = 1, .
По теореме 2.8 главы IX имеет место
Лемма 2.
, п.
2, k
Напишем теперь
(uJ' = 2X=if!A(x)dxA и <в> = 25 = i
где каждая f'A (x) комплекснозначна и вещественно аналитична
по х1, .... х2п, а !'а(х) комплексно сопряжена с /л(х) и потому
тоже вещественно аналитична по х1, ..., х2".
Мы можем рассматривать U как окрестность начала в R2*
с координатной системой х1, ..., х2". Рассмотрим Са" с коорди-
координатной системой г1, ..., z2", где zA = xA-\-iyA для А = 1, . . ., 2л.
Таким путем мы рассматриваем R2" как подпространство в С2".
Раскладывая /^ (х) и 1а{х) в ряды Тейлора по х1, ..., х2п, заме-
заменим х1, . .., х2п формально на г1, ..., г2". Тогда полученные сте-
степенные ряды от г1, ..., z2" сходятся в окрестности, скажем U*,
начала в С2л и определяют голоморфные функции, _скажем
F'a(z) и F{ (z), на U*. (Необходимо подчеркнуть, что Fa (z) го-
голоморфны и не являются комплексно сопряженными к F'A(z).)
Положим
для / = 1, . .., п. Тогда_О-/ и QJ' — голоморфные 1-формы на U*.
(Снова укажем, что QJ не является комплексно сопряженной
к ОЛ)
Поскольку со1, . . ., со™— 1-формы типа A,0) и линейно неза-
независимы, со1, . . ., со™, со1, . .., со™ тоже линейно независимы. Поэтому
2пх2д-матрица, образованная коэффициентами f'A(x) и fi W>
невырожденна. Поскольку FA(x) — pA(x) и F!A(x) = f'A(x) для х
из окрестности начала в Ra™, то 2/гх2п-матрица, образованная
посредством FA(z) и FA(z), невырожденна для z из малой окрест-
окрестности начала в С2". Отсюда следует, что 2п голоморфных 1-форм
Q1, . . ., Qn, Q1, . .., Q™ линейно независимы в окрестности начала
в С2™. Беря 0* малым, мы можем считать, что они линейно
независимы на U*. Запишем
= Г»
ля*+2л

294
ПРИЛОЖЕНИЯ
где коэффициенты AL, Bkk, CiU— голоморфные функции от
г1, . .., г2я. Так как сужение для_?У на U совпадает с о^, а суже-
ние для & на U совпадает с ©7, то, суживая написанное выше
уравнение на U, мы видим по лемме 2, что
для х из U. Поскольку C'nk голоморфны, то1 они^тождественны
нулю на U*. Отсюда получается
Лемма 3. <ЙУ = 2» <АйлЛЙ* + 2*. k В'н^А^.
Теперь нам необходима следующая теорема^Фробениуса:
Теорема (Фробениус). Пусть ср1, . ., фг—голоморфные
l-формы, определенные в окрестности V начала из^Ст. Если
Ф1, .. ., фг линейно независимы всюду на V и если
2*=1^ЛФ* для /=1, ...,г,Щ
где каждая ty*—голоморфная Х-форманаИ, то существует мень-
меньшая окрестность W начала и голоморфные функции g1, ..., gr
на W такие, что
<P/ = 2?=i pi dgk для 1 = 1,..., г,
где каждая р\—голоморфная функция на W.
Доказательство этой теоремы по существу то^же, что и до-
доказательство обычной теоремы Фробениуса в вещественном слу-
случае, и потому опускается.
Применим теорему Фробениуса к голоморфным 1-формам
Q1, . ¦ ., Q" леммы 3. Тогда мы видим, что существуют голоморф-
голоморфные функции F1, .. ., F" в малой окрестности (которую по-преж-
по-прежнему обозначим U*) начала в С2" такие, что
для /=1 п,
где каждая Р*— голоморфная функция на U*. Если мы обозна-
обозначим через fk и р{ сужение для Fk и Р{ на U, то имеем
Так как со1, ...,©" — линейно независимые 1-формы типа A, 0)
на U, то df1, ..., df"—тоже линейно независимые 1-формы типа
A, 0) на U. Отсюда /*, ...,/" удовлетворяют требованиям, сфор-
сформулированным в лемме 1. Это завершает доказательство теоремы
о том, что интегрируемая вещественно аналитическая почти-
комплексная структура есть комплексная структура.
Как мы уже говорили, Ньюлендер и Ниренберг [1]
доказали, что интегрируемая почти комплексная структура класса
C2n+h, 0 < К < 1, есть комплексная структура. Нейенхёйс и
ПРИЛОЖЕНИЯ
295
Вольф [1] распространили этот результат на случай класса
Другое доказательство было дано Дж. Коном [1]; оно исполь-
использует аналог теоремы Ходжа —Кодаиры о разложении для так
называемой d-проблемы Неймана (см. также Хёрмандер [1]).
Теорема для вещественно аналитического случая, доказанная
в этом приложении, доказана Эресманом [5], а также Экма-
ном и Фрёлихером [1] (см. также Фрёлихер [1]).
Позже Мальгранж получил доказательство, которое сводит
дифференцируемый случай к вещественно аналитическому.
Для п=\ теорема Ньюлендера — Ниренберга означает по
существу существование изотермических координат (см..
Черн [16]).
9. Некоторые определения и факты теории алгебр Ли
Мы суммируем здесь основные факты об алгебрах Ли, кото-
которые необходимы в этом томе, в частности, в главе XI. За дока-
доказательствами, которые опускаются, мы отсылаем читателей
к Бурбаки [1], Хохшильду [1] и Джекобсону [1].
Всюду в этом приложении рассматриваются только конечно-
конечномерные алгебры Ли над полем R вещественных чисел или по-
полем С комплексных чисел. ;v
1. Пусть g — алгебра Ли. Производный ряд для g есть убы-
убывающая последовательность идеалов D°g, Dxq, ... из g, опреде-
определенная индуктивно так:
Нижний центральный ряд для g есть убывающая последователь-
последовательность идеалов С°д, Схд, ... из д, определенная индуктивно так:
Очевидно,
Говорим, что g абелева, если D1g = 0, нильпотентна, если
д 0 для некоторого р, и разрешима, если D^g = 0 для неко-
некоторого р. Каждая алгебра Ли g имеет единственный максималь-
максимальный нильпотентный идеал п, т. е. нильпотентный идеал, который
содержит каждый нильпотентный идеал из д. Каждая алгебра
Ли g имеет единственный максимальный разрешимый идеал г,
называемый радикалом для д. Говорят, что алгебра Ли д полу-
полупростая, если ее радикал г сводится к нулю. Говорят, что
алгебра Ли простая, если она неабелева и не имеет ненулевых
идеалов, отличных от самой д.
2. Форма Киллинга — Картана В алгебры Ли д —это били-
билинейная форма на д, определенная так:
В{Х, Г) = trace ad (X) о ad (Г) для X, К?й.

296
ПРИЛОЖЕНИЯ
где ad X — внутреннее дифференцирование для д, определенное
как ad (X) Z = [X, Z] для всех Z? g. Для любого автоморфизма а
алгебры g имеем
В (аХ, аУ) = B(X,Y) для X, Y € д.
Аналогично для любого дифференцирования D алгебры g имеем
B(DX, Y)+B(X, DY) = 0 для ^
(Дифференцирование D для g есть, по определению, линейный
эндоморфизм для д, удовлетворяющий соотношению D [X, Y]=
= [DX, Y] + [X, DY].) В частности, имеем
В ([Z, X], Y) + B(X, [Z, Y]) = О для X, Y, Z € %.
Для подпространства а из g мы обозначим|через а-*- подпро-
подпространство из д, определенное так:
aJ- = {X€g; B(X, Г) = 0 для всех Y?a\.
Если а —идеал из д, то aJ—тоже идеал из д. Если мы обоз-
обозначим через п и х максимальный нильпотентный идеал в g и
радикал из g соответственно, то имеем дзгзд-^-гэп.
Если а — идеал из д, то форма Киллинга — Картана для a
есть сужение формы Киллинга — Картана В алгебры g на а.
3. Любое из следующих свойств для g эквивалентно полу-
полупростоте д:
A) ее радикал г = 0 (по определению);
B) ее максимальный нильпотентный идеал п = 0;
C) g-L = O, т.е. форма Киллинга — Картана В невырожденна;
D) каждый абелев идеал в g есть 0;
E) g изоморфна прямой сумме простых алгебр Ли;
F) каждое конечномерное представление для g — полупростое,
т. е. вполне приводимо (Г. Вейль). :
Говорят, что алгебра Ли g редуктивна, если ее присоединен-
присоединенное представление полупростое, g редуктивна тогда и только
тогда, когда она изоморфна прямой сумме полу простых алгебр
Ли и абелевой алгебры Ли. Говорят, что подалгебра Ц из g ре-
редуктивна в д, если сужение присоединенного представления для
g на I) полупросто. Если ^ редуктивна в g и если р — конечно-
конечномерное полупростое представление для д, то сужение р на ^ по-
полупростое. Если ^ — подалгебра из д, редуктивная в §, и если
i — подалгебра из ?), редуктивная в I), то I редуктивна в д.
Если подалгебра I) из g полупроста, то она редуктивна в g по
свойству F) полупростых алгебр Ли.
Если Н—компактная подгруппа группы Ли G, то алгебра
Ли I) для Н редуктивна в алгебре Ли g для G. Действительно,
если Ado обозначает присоединенное представление для G, то
Ado(#) компактна и существует (положительно определенное)
ПРИЛОЖЕНИЯ
297
скалярное произведение для д, инвариантное при действии Ad (H).
Если a — подпространство из д, инвариантное при действии
adg(I)), то его ортогональное дополнение относительно этого ска-
скалярного произведения тоже ad8(^)-HHBapHaHTHO. В частности,
алгебра Ли g компактной группы Ли редуктивна.
4. Подалгебра § алгебры Ли g называется подалгеброй Леей,
если g = r-4-<§ (прямая сумма векторных пространств), где г —
радикал в д. Поскольку § изоморфна д/г, то она полупроста.
Теорема Леви гласит, что каждая алгебра Ли g имеет подалгебру
Леви. Мы докажем следующий результат, необходимый в § 5
главы XI.
Если А—компактная группа автоморфизмов алгебры Ли д,
то д имеет подалгебру Леви, инвариантную при действии А.
Доказательство индукцией по размерности радикала х
из д.
__ (i) Случай [х, фт^О. Положим д = д/[т, г] и г = г/[т, г]. Тогда
г есть радикал в д. Так как А оставляет г инвариантным, то
она действует на g как группа автоморфизмов. По индуктивному
предположению имеется подалгебра Леви § в д, инвариантная
при действии А. Если мы обозначим через р естественный гомо-
гомоморфизм g —-с g = g/[r,_r], то [г, г] есть радикал в р~г(§). Так
как А оставляет р~1(§) инвариантной, то А может рассматри-
рассматриваться как группа автоморфизмов для р (§). Снова по индук-
индуктивному предположению, имеется подалгебра Леви » в р (Л),
инвариантная при действии А. Тогда § — подалгебра Леви для д,
которая инвариантна при действии А.
(и) Случай [г, г] = 0. Фиксируем одну из подалгебр Леви
§0 в д. Пусть 3 — произвольная подалгебра Леви в д. Для каж-
каждого X € §0 напишем
= f(X)
где /(Х)€т и X,
[X,, Xt
Отсюда
есть линейное отображение. Если'Х, Y^§0, то
[X, Y]-[X, f(Y)]-\f(XLY].
f([X, Г]) =
, Y] для X, Y?§0.
Обратно, пусть /: B0—^x — линейное отображение, удовлетворяю-
удовлетворяющее (*). Тогда отображение Х?§а —»- X— f(X)? g есть изомор-
изоморфизм из <?0 в д, а ее образ есть подалгебра Леви в д. Пусть
^ — пространство всех линейных отображений /: §0—>-т, удовле-
удовлетворяющих (*). Теперь легко видеть, что конструкция для f,
данная выше, дает взаимно однозначное соответствие между
множеством подалгебр Леви § и векторным пространством V ли-

298
ПРИЛОЖЕНИЯ
иейных отображений /: §0 —>- х, удовлетворяющих (*). (Читатель,
знакомый с теорией когомологий алгебр Ли, увидит, что V есть
-пространство Z1 (<§„, х) всех 1-коциклов для §0 относи. ельно пред-
представления р для ё0, определенного как р (X) U = [X, U] для
Xg§9 и U ?х. Но это не будет здесь использовано.) Каждый
автоморфизм для g переводит подалгебру Леви в g в подалгебру
.Леви в д. Поэтому группа Л действует на множестве подалгебр
Леви из g и, следовательно, на V. Теперь проблема в том, чтобы
найти неподвижную точку действия А на V. Покажем, что А —
группа аффинных преобразований, действующих на V. Пусть
•а— элемент из А. Пусть /0, /?, / и /а—элементы из V, соответ-
соответствующие подалгебрам Леви g0, а 0§о), 3 и а (?) соответственно.
Пусть Х?30, и обозначим через а(Х) ^-компоненту д.гя а(Х)
¦относительно разложения g^t+^o. так что а(Х) -^ $(Х) = а(Х),
где р(Х)?г. Если мы перепишем это как а(Х) =—Р(Х)-{-а(Х),
то мы можем рассматривать —Р(Х) как т-компоненту для а(Х)
¦относительно разложения g = т + а (<§„). Так как /? соответствует
<а(<?0) по определению, то —Р(Х) равно /j?(a(X)). Отсюда
Правая часть может быть записана так: {/?(а (Х)) + а(/(Х))} +
+ {а(Х)—а(/(Х))}. Так как X — /(X) принадлежит к § по опре-
определению /, то \a(X)—a(f(X))\ принадлежит a(s) и {f?((§X)) +
есть т-компонента для а(Х) относительно разложения
§). Отсюда
Поскольку X —произвольный элемент из ?„, то
Это показывает, что / ? F^> /a € V есть аффинное преобразо ание
для V с частью-сдвигом /? и линейной частью f—>ao/oa. Во-
Вообще, если Л — компактная группа аффинных преобразований
векторного пространства У, то существует неподвижная точка
действия А в V. Хотя это специальный случай теоремы 9.2 гла-
главы VIII, поскольку V допускает скалярное произведение, отно-
относительно которого А есть группа евклидовых движений, мы можем
дать более точное выражение для неподвижной точки. Пусть р,—
мера Хаара на Л с тотальной мерой ц(А)—\. Тогда точка из У,
.заданная так:
неподвижна при действии Л.
ПРИЛОЖЕНИЯ
299
В наших приложениях в § 5 главы XI Л есть конечная группа
порядка 2, порожденная инволютивным автоморфизмом ее для д.
В этом случае формула для неподвижной точки сводится к
Результат, полученный нами здесь, был доказан Т афт ом
[1], [2] для более широкого класса алгебр с конечными груп-
группами автоморфизмов.
5. Мы докажем следующий факт, приведенный в § 11 главы XI.
Если g—вещественная простая алгебра Ли, то или g допускает
согласованную комплексную структуру (т. е. комплексную струк-
структуру J такую, что J ([X, Y])=[X, JY] для X, Y ?$) или ее
комплексификация дс проста над R (и, следовательно, также
над С). Допустим, что дс не проста, и пусть a — любой нетриви-
нетривиальный идеал в §с. Тогда a fl g есть идеал в § и, следовательно,,
равен или g или 0. Если afig = g, то
ar>[a, gcjr)[g, g + fg]=[g, g] + i[g, в] = й + *й-вс.
что есть противоречие. Отсюда afig = O. Легко проверить, что
{^€3; ^€aDig} есть идеал в д. Если этот идеал равен д, то
атэ[а, дс]:э[?д, g + tg] = ig + g = g'?, что является противоречием.
Отсюда a n tg = 0.
Определим два линейных отображения р и q из а в g так:
p(X + iY) = X и q(X + lY) = Y для X + iY?a.
Образ для р есть идеал в д, а ядро для р есть а Л Щ. Отсюда
р — биекция. Аналогично и q — биекция. Определим линейный
изоморфизм /: д—*¦ д как J = qop~1, так что каждый элемент
из а имеет видХ + tVX, где Xgg. Непосредственно проверяется,,
что / — согласованная комплексная структура для д.
6. Говорят, что вещественная полупростая алгебра Ли д ком-
компактного типа, если ее форма Киллинга — Картана В отрица-
отрицательно определенная. Покажем, что если g есть алгебра Ли ком-
компактной группы Ли G, то форма Киллинга — Картана В для д:
отрицательно полуопределенная. Так как Ad (G) компактна, то
существует положительно определенное скалярное произведение-
(,) в д, которое Ad G-инвариантно. Для любого X € д ad (X) тогда,
кососимметрическое. Поскольку (ad (X) ad (X) Y, Y) = — (ad (X) Y,
ad (X) Y) ^ 0 для всех Y € g, то отсюда следует, что (ad X ad X).
отрицательно полуопределенно. Поэтому его след В(Х, X) непо-
неположителен, что и доказывает наше утверждение. Так как В не
вырождена для полупростой алгебры Ли д, мы можем заключить,,
что если G — компактная группа Ли с полупростой алгеброй Ли д,.
то д компактного типа. Обратно, если G—связная группа Ли.

300
ПРИЛОЖЕНИЯ
¦с полупростой алгеброй Ли g компактного типа, то G компактна
{см. пример 3.2 главы X).
Если алгебра Ли в допускает согласованную комплексную
структуру J, то ad (JX ad JY) = — ad (X) ad (Y) и отсюда
B(JX, JY) — — В (X, Y), так что В не может быть отрицательно
определенным.
7. Вещественная подалгебра ц комплексной алгебры Ли g
называется вещественной формой для д, если д = I) + Щ и § П Щ = 0»
так что g==^e. Каждая комплексная полупростая алгебра Ли g
имеет вещественную форму компактного типа (теорема Вейля).
Доказательство требует знания корневой системы, но в осталь-
остальном простое (см. Хохшильд [1], с. 167).
ПРИМЕЧАНИЯ
12. Связности и группы голономии
(дополнение к примечанию 1)
1. В теореме 7.2 главы IV мы доказали, что если М — связное
односвязное и полное риманово многообразие такое, что его
(суженная) аффинная группа голономии Ф" в точке х?М остав-
оставляет точку уф^х евклидова касательного пространства ТХ(М)
неподвижной, то М изометрично евклидову пространству. Н о-
мидзу и Яно [1] дали более простое доказательство этой тео-
теоремы, используя то, что если М — полное неприводимое риманово
многообразие, отличное от линии, то каждое аффинное преобра-
преобразование для М с необходимостью есть изометрия (см. теорему
3.6 главы VI).
2. Теорема разложения де Рама (теорема 6.1 главы IV) была
распространена By [1], [2], [3] на случай неопределенной рима-
новой метрики. Чтобы объяснить его результат, допустим, что
V — векторное пространство с невырожденной симметричной били-
билинейной формой g. Говорят, что подпространство Vt из V невы-
невырожденное, если сужение формы g на Vx невырожденное. Если Vx
невырожденное, то его ортогональное дополнение V2 тоже невы-
невырожденное и V = F1 + F3 (прямая сумма) Пусть Я —группа ли-
линейных преобразований для V, которые оставляют g инвариант-
инвариантной. Мы говорим, что Н слабо неприводима, если V и @) — един-
единственное невырожденные подпространства из V, инвариантные
относительно Н. Пусть М — односвязное многообразие с не-
неопределенной римановой метрикой g. Пусть ? (х) — суженная
линейная группа голономии для М с опорной точкой х? М. При-
Применим понятия, введенные выше, к ТХ(М) и ~V(x). Пусть Т^
означает подпространство из ТХ(М), состоящее из трех векторов,
которые неподвижны при действии ^(х). Допустим, что Т%} не-
невырожденное. Тогда его ортогональное дополнение в ТХ(М) может
быть разложено в прямую сумму 2*-i ^*l> взаимно ортогональ-
ортогональных, Y (;е)-инвариантных и слабо неприводимых подпространств.
Мы назовем Тх (М) = 2*-о Т^ каноническим разложением (или
разложением де Рама) для ТХ(М). Тогда каноническое разложение
единственно с точностью до перенумерации Txl>, i = l, ..., п,
а ЧГ(х) есть прямое произведение лРа(х)хлР1(х)х .. . xYft(.x) нор-

300
ПРИЛОЖЕНИЯ
<; полупростой алгеброй Ли g компактного типа, то G компактна
,(см. пример 3.2 главы X).
Если алгебра Ли g допускает согласованную комплексную
структуру J, то ad (JX ad JY) = — ad (X) ad (Y) и отсюда
B(JX, JY) = — B(X, Y), так что В не может быть отрицательно
определенным.
7. Вещественная подалгебра ~Ц комплексной алгебры Ли g
называется вещественной формой для д, если д = I) + Щ и ~Ц П Щ = 0»
так что 8 = §в. Каждая комплексная полупростая алгебра Ли g
имеет вещественную форму компактного типа (теорема Вейля).
Доказательство требует знания корневой системы, но в осталь-
остальном простое (см. Хохшильд [1], с. 167).
ПРИМЕЧАНИЯ
12. Связности и группы голономии
(дополнение к примечанию 1)
1. В теореме 7.2 главы IV мы доказали, что если М — связное
односвязное и полное риманово многообразие такое, что его
(суженная) аффинная группа голономии Ф" в точке х ? М остав-
оставляет точку уф^х евклидова касательного пространства Тх (М)
неподвижной, то М изометрично евклидову пространству. Н о-
мидзу и Яно [1] дали более простое доказательство этой тео-
теоремы, используя то, что если М — полное неприводимое риманово
многообразие, отличное от линии, то каждое аффинное преобра-
преобразование для М с необходимостью есть изометрия (см. теорему
3.6 главы VI).
2. Теорема разложения де Рама (теорема 6.1 главы IV) была
распространена By [1], [2], [3] на случай неопределенной рима-
новой метрики. Чтобы объяснить его результат, допустим, что
V — векторное пространство с невырожденной симметричной били-
билинейной формой g. Говорят, что подпространство Vx из V невы-
невырожденное, если сужение формы g на Fx невырожденное. Если Vx
невырожденное, то его ортогональное дополнение V2 тоже невы-
невырожденное и V = F1 + F3 (прямая сумма) Пусть Я —группа ли-
линейных преобразований для V, которые оставляют g инвариант-
инвариантной. Мы говорим, что Н слабо неприводима, если V и @) — един-
единственное невырожденные подпространства из V, инвариантные
относительно Н. Пусть М — односвязное многообразие с не-
неопределенной римановой метрикой g. Пусть ? (х) — суженная
линейная группа голономии для М с опорной точкой х? М. При-
Применим понятия, введенные выше, к ТХ(М) и ^(х). Пусть Т^
означает подпространство из ТХ(М), состоящее из трех векторов,
которые неподвижны при действии ^(х). Допустим, что Т^ не-
невырожденное. Тогда его ортогональное дополнение в ТХ(М) может
быть разложено в прямую сумму 2*-i ^"*й взаимно ортогональ-
ортогональных, Y (дг)-инвариантных и слабо неприводимых подпространств.
Мы назовем Тх (М) — 2?=о Т^ каноническим разложением (или
разложением де Рама) для ТХ(М). Тогда каноническое разложение
единственно с точностью до перенумерации T{J\ i =. 1, . .., я,
a W (х) есть прямое произведение у?9(х)х'х?1 (х) х ... xTs(j«;) нор-

302
ПРИМЕЧАНИЯ
мальных подгрупп, где ^((х) тривиальна на Т%\ если i^j, и
слабо неприводима на T(J} для каждого i = 1, .. . f k, a y?0(x) со-
состоит лишь из единицы. Если М, сверх того, полное, то, М
изометрично прямому произведению Мо х Мх х ¦ ¦ ¦ X Mk многообра-
многообразий с неопределенной метрикой, где Мо плоское, а Мг, ..., Мк
имеют слабо неприводимые группы голономии. Аффинные симмет-
симметрические пространства, описанные в примере 5.2 главы XI, до-
допускают инвариантные неопределенные метрики и имеют приво-
приводимые, но слабо неприводимые группы голономии.
3. В своей второй работе Нарасимхан и Раманан [1]
доказали, что для заданной группы Ли G с конечным числом
связных компонент и для положительного целого п. существует
главное расслоение Е (N, G) и связность Го на Е такие, что лю-
любая связность Г в любом главном расслоении Р (М, G), dim M-^n,
может быть получена как прообраз для Го некоторого гомомор-
гомоморфизма из Р в Е. Это обобщает результат их первой работы
(см. также т. I, с. 265), в которой G предполагается компактной.
(См. также Леман [2].)
4. Результаты Вейля и Картана, упомянутые в т. I на
с. 264—265, были прояснены Кобаяси и Н а г а н о [2] так.
Пусть G — подгруппа Ли в GL(n; R), а дсдЦя; R) — ее алгебра
Ли. Тогда каждая G-структура Р на п-мерном многообразии М
допускает связность без кручения тогда и только тогда, когда
/7°.2 ($) = 0, где №•2 (д) — некоторая когомологическая группа,
определенная Спенсером, которая зависит не только от д, но и
от представления gcgl(n; R). Классификация линейных алгебр
Ли g с //0>2(g) = 0 была дана Кобаяси и Нагано, что пополняет
результат Э. Картана.
5. О плоских связностях, их группах голономии (§ 4 главы V
и примечание 5) и их характеристических классах см. также
Ауслендер [1]—[10], Л. А у ел ен дер и М. А у ел ен дер [1],
Ауслендер и Кураниси [1]. Ауслендер и Маркус
[1], [2], Ауслендер и Щарба [1]. Бензекри [1], [2],
Чарлап [1], Чарлап и Васкес [1], Кюипер [1]—[4J,
Торп [2], Мил нор [6], КамбериТондер [1], Леман [3].
Все еще остается открытым вопрос, имеет ли компактное и полное
плоское многообразие аффинной связности нулевое число Эйлера.
13. Группа автоморфизмов геометрической структуры
(дополнение к примечанию 9)
В примечании 9 мы перечислили геометрические структуры,
группы автоморфизмов которых являются группами Ли. Содер-
Содержание примечания 9 было расширено в обзорной статье Ч ж у и
Кобаяси [1].
ПРИМЕЧАНИЯ
303
Сделаем здесь сообщение о дальнейшем прогрессе в этой об-
области.
Пусть G —подгруппа Ли в GL(n; R), и пусть М— многообра-
многообразие размерности п. Пусть Р = Р(М, G) есть G-структура на М,
т. е. подрасслоение расслоения L (М) линейных реперов с группой
GcGL(n; R) (см. т. I, с. 264). Преобразование / для М назы-
называется автоморфизмом G-структуры Р, если преобразование /
для L(M), индуцированное посредством/ (см. т. I, с. 213), отобра-
отображает Р в себя. Например, О (п)-структура есть не что иное, как.
риманова метрика, а ее автоморфизмы суть изометрии. Чтобы
описать результаты о группах автоморфизмов G-структур, опре-
определим вкратце следующие понятия.
Пусть gl (V) — алгебра Ли линейных эндоморфизмов «-мерного
векторного пространства V (скажем, над R). Пусть g — подалгебра
Ли в $l(V). k-e продолжение g(ft> для g есть по определению век-
векторное пространство, состоящее из всех симметричных
динейных отображений
а: (хг, ...
таких, что для произвольно фиксированных хх, х%, ..., xk?V
линейный эндоморфизм для V, который переводит xk+1
в a(xlt ..., хк, хк+1), есть элемент из д. Говорим, что д конеч-
конечного типа, если д<*'=0 для некоторого k. В противном случае
говорят, что g бесконечного типа. Для д = о(га), алгебры Ли всех
кососимметрических матриц степени п, имеем дA)=0.Для g=gI(m;C),
рассматриваемой как вещестгенная подалгебра Ли в gl Bm; R)
естественным образом, g бесконечного типа.
Следующая теорема впервые была объявлена Эресманом [7].
Теорема 1. Пусть G — подгруппа Ли в GL(n; R), алгебра
Ли которой gcrgl(n; R) конечного типа с дш = 0. Тогда для лю-
любой G-структуры на многообразии М размерности п группа авто-
автоморфизмов G-структуры есть группа Ли размерности самое боль-
большее n + dim g + 2*-i dim д0).
Оставляя детали доказательства Стернбергу [ 1 ], след-
следствие 4.2, с. 348 или Ру [1], объясним лишь основную идею.
Если задана G-структура Р на М, то мы построим, следуя
Черну [3], башню главных расслоений Р = Рт, Ра), Р{3), ...
таких, что P{i) есть д("-структура на Ра~1}. Если д(А) = 0, то
Pik) есть {е}-структура на Р'*-1', где \е\—тривиальная группа,
состоящая из одного единичного элемента. Поднимем каждый
автоморфизм для Р до автоморфизма для Ра} для каждого i
естественным образом. Этим путем доказательство сводится
к специальному случаю {е}-структуры, который был рассмотрен
Коба яси[1] с целью дать единое доказательство теоремы Майерса—
Стинрода о группе изометрии и теоремы Номидзу — Хано—Мо-
римото о группе аффинных преобразований (см. примечание 9),

304
ПРИМЕЧАНИЯ
так же как и теоремы о группе конформных преобразований ри-
манова многообразия и группе проективных преобразований мно-
многообразия проективной связности. Все эти теоремы теперь по
существу содержатся в теореме 1.
Бузби, Кобаяси и Ван [1] доказали, что группа авто-
автоморфизмов почти комплексной структуры на компактном много-
многообразии есть группа Ли, показав что автоморфизмы удовлетво-
удовлетворяют некоторой системе эллиптических дифференциальных урав-
уравнений в частных производных. Это обобщает теорему Бохнера—
Монтгомери о группе автоморфизмов компактных комплексных
многообразий (см. примечание 9). Ру [1] обобщил результат
Бузби, Кобаяси и Вана на некоторый класс G-структур. Чтобы
описать наиболее общий результат в этом направлении, дадим
еще одно определение. Говорим, что gczgl(K) эллиптическая,
если она не содержит линейных эндоморфизмов ранга 1. Если g
конечного типа, то она эллиптическая. Это можно увидеть так.
Если Л ? g есть элемент ранга 1, то Л = е(х)со, где e?V, а со из
дуального пространства для V, т.е. А (х) = со (х) е для всех х ? V.
Для любого положительного целого k симметричное (&+ ^-ли-
^-линейное отображение a: Vx .. . XV—>V, определенное так:
a(xlt ..., xk+1) = (?>(x1)...(?>(xk+1)e,
есть ненулевой элемент из g(ft). Это доказывает наше утверждение.
Будучи рассмотрено как вещественная подалгебра в gtB/n; R)
естественным образом, %1(т; С) эллиптическая и бесконечного
типа. Следующий результат принадлежит Очи аи [1]. (Тандаи
указал, что теоремы Очиаи и Ру эквивалентны (см. Фудзи-
мото [4]).)
Теорема 2. Пусть G—подгруппа Ли в GL(n; R), алгебра
Ли которой дсдГ(п; R) эллиптическая. Для любой G-структуры
на компактном многообразии М размерности п группа авто-
автоморфизмов есть группа Ли.
В этом случае неизвестны какие-либо оценки размерности груп-
группы автоморфизмов. Как и в случае почти комплексной структуры,
доказательство достигается построением системы эллиптических
дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют автомор-
автоморфизмы.
Упомянем два результата, которые не содержатся в теоремах
1 и 2. Пусть М — вещественная гиперповерхность размерности
2л—1 в С". Диффеоморфизм из М на себя называется псевдокон-
псевдоконформным преобразованием для М, если он может быть продолжен
до голоморфного диффеоморфизма окрестности для М на окрест-
окрестность для М. Говорим, что М невырожденная в х?М, если так
называемая форма Леви — Кшоски невырожденная в л;. Танака [3]
доказал следующую теорему:
ПРИМЕЧАНИЯ
305
Теорема 3. Если М—вещественная гиперповерхность в С,
которая невырожденна в одной точке, то группа псевдоконформ-
псевдоконформных преобразований есть группа Ли размерности самое большее
n2-f2n.
Если М — компактная вещественная гиперповерхность в С",
то существует точка, в которой М невырожденна, и теорема 3
применима к М. Доказательство теоремы 3 тесно связано с до-
доказательством теоремы 1.
Кобаяси [24], [26] ввел класс комплексных многообразий,
называемых гиперболическими, которые включают в себя все
кэлеровы многообразия с голоморфной секционной кривизной,
ограниченной сверху отрицательной константой. Имеет место
(Кобаяси [24], [26] и X. By [5])
Теорема 4. Группа голоморфных преобразований гиперболи-
гиперболического многообразия М комплексной размерности п есть группа
Ли размерности самое большее п2-\-2п с компактной подгруппой
изотропии.
Доказательство опирается на теорему ван Данцига и ван дер
Вардена о группе изометрий локально компактных метрических
пространств (см. теорему 4.7 главы I). (В работе X. By, где
использовано понятие тесного многообразия, доказательство ис-
использует свойство нормальных семейств голоморфных отображений.)
См. также Кауп[1]об автоморфизмах комплексных пространств.
Брикелл [1] дает другую геометрическую структуру (назы-
(называемую мерой площади), группа автоморфизмов которой есть
группа Ли.
Помимо того, что группа автоморфизмов есть группа Ли
в случаях, перечисленных выше и в примечании 9, известно
очень мало о структуре таких групп Ли. Сначала отметим, что
группа 3 (М) изометрий связного компактного однородного рима-
нова многообразия М полупроста, если число Эйлера % (М) отлично
от нуля. Действительно, поскольку М компактна, то 3 (М) ком-
компактна по теореме 3.4 главы VI. Алгебра Ли t(M) для 3(М)
поэтому редуктивна (см. приложение 9). Если X — векторное поле
на М, принадлежащее центру в i(M), то транзитивность 3(М)
влечет, что X постоянной длины. Если %(М)Ф0, то X тождест-
тождественно равно нулю. Доказательство показывает, что любая под-
подгруппа Ли в 3(М), транзитивная на М, редуктивна, если М
компактно, и полупроста, если, сверх того, %(Л4)=^0. в дока-
доказательстве теоремы 8.4 главы VIII мы установили, что если М
есть связное однородное риманово многообразие с отрицательно
определенным тензором Риччи и если G есть подгруппа Ли в 3 (М),
которая транзитивна на М, то центр группы G дискретен
Отсюда следует, что если М—связное однородное риманово много-
многообразие с (положительно или отрицательно) определенным тензо-
тензором Риччи, то никакая нильпотентная подгруппа Ли из 3 (М)

306
ПРИМЕЧАНИЯ
не транзитшна на М; этот факт, указанный нам Г. Р. Иенсеном,
обобщает частично результат Вольфа [5] о том, что если М—
связное неплоское однородное риманово многообразие с всюду
неотрицательной или с всюду неположительной секционной кри-
кривизной, то никакая нильпотентная подгруппа Ли в S (M) не
транзитивна на М. См. также Херман [14] и Вольф [16].
Относительно структуры группы голоморфны преобразований
кэлерова многообразия имеем следующий результат М а ц у-
с и мы [3]. Для компактного эйнштейново-кэлерова многообразия М
алгебра Ли голоморфных векторных полей естественно изоморфна
() + ] 11 (M). Поскольку i (M) редуктивна, то ее омплек-
сификация тоже редуктивна. Этот результат следует из теоремы
разложения Ходжа, примененной к 1-форме, соответствующей
голоморфному векторному полю. Теорема Мацусимы была обоб-
обобщена на случай компактных кэлеровых многообразий постоянной
скалярной кривизны Лихнеровичем [8]. См. также Я н о [8]
с. 92—98.
Теорема Бохнера утверждает, что если М — компактное рима,
ново многообразие с отрицательно определенным тензором Риччи-
то группа 3(Л1) изометрий для М конечна (см. следствие 5.4
главы VI). В качестве вариации этого результата Бохнера
Франкель [5] доказал, что если М—компактное риманово
многообразие с секционной кривизной =^0 и отрицательно опре-
определенным тензором Риччи, то каждая изометрия для М, гомо-
гомотопная тождественной (в группе всех диффеоморфизмов для М),
есть тождественная изометрия. Доказательство сродни доказа-
доказательству теоремы 8.3 главы VIII. Другая вариация — это сле-
следующая теоремы Кобаяси [15]. Если М — компактное кэлерово
многообразие с отрицательно определенным тензором Риччи (более
общо, с отрицательным первым классом Черна), то группа голо-
голоморфных преобразований для М конечна. Это обобщает аналогич-
аналогичный результат Бохнера [3], Холи [2] и Сампсона [1]
о компактных комплексных многообразиях, которые могут быть
униформизированы ограниченными областями в С". Это также
усиливает теорему Бохнера [1]о том, что группа голоморф-
голоморфных преобразований компактного кэлерова многообразия с отри-
отрицательно определенным тензором Риччи дискретна. По поводу
примыкающих результатов см. Петере [1].
О гр ппе 3 (М) изометрий римаяова симметрического прост-
пространства см. Такеучи [2]. В то время как определение компо-
компоненты единицы 9° (М) простое, определение 3 (М) весьма тонкое.
По поводу други результатов о группах автоморфизмов ри-
мановых и кэлеровых структур и других G-структур мы отсы-
отсылаем читателя к работам Либермана [1], [3], Лихнеро-
вича [3], [10], [И], Я но [2], [8] и указанной там литературе.
ПРИМЕЧАНИЯ
307
14. Лапласиан
Пусть М — риманово многообразие. Для любой дифференци-
дифференцируемой функции / определяем градиент для /, обозначаемый
через grad /, как единственное векторное поле X такое, что\
[g(X, Y)=df (Y) = Yf для всех векторных полей Y,
где g обозначает7(положительно определенную) метрику для М.
Для любого векторного поля X на М определяем дивергенцию
для X, обозначаемую через divX, как функцию такую, что
в каждой точке х из М
(div X)x равно следу эндоморфизма V- >-7уХдля ТХ(М).
В случае, когда М ориентировано, мы определили div X, исполь-
использовав элемент объема для М (см. приложение 6). Конечно, эти
определения совпадают.
В терминах локальных!координат (х1, , хп) имеем
grad/ = 2?-i/'<W, где /' =
была определена в т. I, на с. 152,
где
то
Лапласиан (или оператор Лапласа—Белыпрами) А на М
есть отображение, которое сопоставляет каждой дифференцируе-
дифференцируемой функции / функцию Д/ = div (grad/). В терминах локальных
координатных систем имеем
[А/ = 2?_х7{:, = 2?. I^SUfh i = 2? /-1*"Л: /•
В частности, если"*1, ..., хп — нормальные координаты с нача-
началом р, то
потому что gij ,7 g
Легко проверить, что
= б,7,
=8ls и fl;! =
в р.
для любой функции / и любого векторного поля'Х;
(п) A(/*) = 2/A/+(grad/)./=2/A/ + g(#, df)
для любой функции /, где g {df, df) обозначает скалярное""произ-
ведение в кокасательном пространстве ТЦМ) для каждого х
(см. т. I, с 152). Докажем следующую лемму:

308
ПРИМЕЧАНИЯ
Лемма (Э. Хопф). Пусть М—компактное риманово много-
многообразие. Если f — дифференцируемая функция на М такая, что
А/^0 всюду, то / — постоянная функция (а Л/=0).
Доказательство. Мы можем считать, что М ориентиро-
ориентировано, беря в случае необходимости двулистное накрытие для М.
Пусть X = grad/. По теореме Грина (приложение 6) имеем
где dv—элемент объема для М. Поскольку А/^0 по предполо-
предположению, мы должны иметь Д/ = 0 всюду на М. Используя теоре-
теорему Грина для /2/2 и (и), получаем
Так как А/ = 0, как показано, получаем
что влечет df = O всюду, т. е. / — постоянная функция.
Говорят, что /—гармоническая функция, если А/ = 0. Лемма
показывает, что компактное риманово многообразие не имеет
гармонических функций, кроме констант.
Лемма Хопфа была успешно использована в работах Бохнера,
Лихнеровича, Яно и других (см. Яно и Бохнер[1] и Яно
[2]). Лихнерович [3], с. 4 дал обобщение на случай тензор-
тензорных полей: если К—тензорное поле с компонентами КТ". и если
то
?:::;,=о (т. е. чК =
Мы дадим некоторые примеры вычисления А. Пусть М есть
л-мерное риманово многообразие, изометрически погруженное в
Rn+p. Так как вычисления проводятся локально, то отождествим
точку х из М с радиус-вектором х соответствующей точки в
цп+р Пусть а — любой постоянный вектор из R"+^, и рассмот-
рассмотрим функцию f(x) = (x, а) на М. (Если а есть t-й вектор стан-
стандартного базиса ег, ..., еп+р из Rn+f, то/ есть i-я координатная
функция погружения.) Подсчитаем А/.
Для любого векторного поля У на М имеем
Yf = (Y, a),
где Y в правой части есть Кп+^-значная векторная функция,
которая представляет векторное поле Y на М. Для любого век-
векторного поля X на М имеем
a(X, Y), а),
ПРИМЕЧАНИЯ
используя формулу Гаусса (§ 3 главы VII)
309
где а (X, У) —вторая основная форма на М.
Так как
(VxY)f^(VxY, a),
получаем
Левая часть равна (V2/)G Y; X). Если {Х1г ..., Хп\ — ортонор-
мальный базис в ТХ(М), то
Д/=2?./-^-/(^Л(; х,; х,)
= S?-i(V2f)(; Xt; X,) = B?-ia№. Xt),a).
Если 5i» • • •» %P — ортонормальный базис в нормальном подпрост-
подпространстве в х и если положить
то
2?-iA*№. Xt)=* trace Ak,
где Ак—оператор, соответствующий hk. Итак,
есть не что иное, как нормаль средней кривизны х\ в х (см. за-
замечание, следующее за примером 5.3 главы VII). Итак,
= я(т|, а) для
= (*, а).
Пример 1. Мы можем получить другое доказательство ре-
результата о том, что не существует минимальных компактных
подмногообразий в евклидовом пространстве (см. приведенное
выше замечание). Действительно, нормаль средней кривизны ц для
М в Rn+-f есть нуль тогда и только тогда, когда А/ = 0 для лю-
любой функции f вида (х, а). Если М компактно, то гармоническая
функция / должна быть константой. Беря a = eh где {elt ...
..., en+f,\ — ортонормальный базис евклидова пространства, видим,
что t-я координатная функция погружения постоянна. Итак, М
сводится к одной точке.
Пример 2. Пусть S" (г) — гиперсфера радиуса г > 0 в R"+1:
+ +(J 2
)+ +()
Как и в примере 4.2 главы VII, берем внешнюю единичную
нормаль \ = х/г и получаем А^=(—1/г) /. Итак, нормаль средней

310
ПРИМЕЧАНИЯ
кривизны г\ равна
¦? (trace
Имеем для функции / вида ftfx) = {х^а)
A) Af=(—n/r')[f.
В частности, каждая координатная функция х1 как функция на
Sn(r) есть собственная функция для собственного значения—га/г"
лапласиана Д. Имеем также
B) cV2/ + (//ra)?=0,
т. е. (V2/) (; Y; X) + (f/r2) g (X, Y) = 0 для всех векторных полей
X и Y. Это следует из
(Va/)(; Y; X)=*(a(X,~Y), a),
которое появляется в сделанном выше подсчете, и из
(а(Х, Y),a) = (h(X, Y)l, a)=(~g(X, Y)'xlr\ a)
\ )
для Sn (г). Если мы положим Z = grad/, то мы можем также
доказать
C)
которое показывает, что Z есть инфинитезимальное конформное
преобразование (которое не гомотетично, потому что / не есть
константа).
Известно, что связное полное риманово многообразие М раз-
размерности п > 2 допускает некулевое решение дифференциального
уравнения B) тогда и только тогда, когда М изометрично S" {г).
Если М — связное компактное ориентируемое эйнштейново прост-
пространство скалярной кривизны 1, то М допускает собственную
функцию f с А/ = —nf тогда и только тогда, когда М изомет-
изометрично 5"A). Об этих результатах и соответствующих результа-
результатах для комплексного проективного пространства Рп (С) см.
Обата [1] и ссылки, приведенные там (см. также примечание
11). Отметим, что лапласиан у Обаты [1J отличается от нашего
знаком. |
Пример 3. Пусть М есть А-мерное подмногообразие в S" (г)
в Rn+1. В дополнение к единичной нормали g = х/r к S" (г) выбе-
выберем п—k векторных полей ?,, которые нормальны к М и каса-
тельны к Sn(r), таких, что ?, ?lF ..., %,n-k ортонормальны в каж-
каждой точке из М. Обозначим через D, V0 и v римановы связнос-
связности в R"+1, S"(r) и М соответственно. Для векторных полей^Х
и Y, касательных к М, имеем
ПРИМЕЧАНИЯ!
311
7iW(X, Y) lj,
так что
где h—вторая основная форма для Sn (г) в Rn+1, а Л1, ..., hn~k —
вторые основные формы для М как подмногообразия в Sn (r).
Для любого постоянного вектора а в R"+1 рассмотрим f (х) =
= (х, а) как функцию на М. Подсчетом того же типа, что и в
примере 1, получаем для лапласиана А на М
где Xlt —, Хк есть ортонормальный базис^;касательного про-
пространства к М в точке. Конечно, имеем
и ^j^^fZih^{Xit X{)^/ равно kt,, где ^ — вектор средней кри-
кривизны для М в Sn(r). Так мы получаем
А/= -(?//¦*)/ + (??, а).
В частности, для каждой координатной функции х', рассматри-
рассматриваемой как функция на М, имеем
Ах1 = — (А/г2) *' + К1. 0 < i
где (^°, ..., С") — компоненты для ?, рассматриваемого как век-
вектор в Rn+1. Эта формула влечет, что М минимально как под-
подмногообразие в S"(г) тогда и только тогда, когда
См. Такахаси [2], Н а га но [9], Такеучи и Кобаяси [1],
Саймоне [2], [3] и К а л а б и [7] по поводу дальнейших ре-
результатов в этом направлении. Относительно собственных зна-
значений лапласиана см. также Б ер же [2], Маккин и Зингер
[1], Ми л нор [7].
По поводу теории инвариантных дифференциальных операто-
операторов (обобщенных лапласианов) и сферических функций на рима-
новых симметрических пространствах мы отсылаем к X ел га-
сон у [2], глава X.
Лапласиан может быть определен для дифференциальных
форм на римановом многообразии. Относительно теории гармо-
гармонических интегралов см. Ход ж [1], А. Вейль [2] и де Рам
[2]. Относительно их применений к различным проблемам диф-
дифференциальной геометрии см. Янои Бохнер [1] иЛихне-
р о в и ч [3].

312
ПРИМЕЧАНИЯ
15. Поверхности постоянной|кривизны в R3
В главе VII мы доказали, что связное полное риманово мно-
многообразие размерности п^З, изометрически погруженное в Rn+I,
в действительности вкладывается как гиперповерхность, если оно
имеет^ ненулевую постоянную секционную кривизну. Для случая
п = 2 имеет место
Теорема 1. Пусть М — связное полное 2-мерное риманово
многообразие, изометрически погруженное в R3. Если М имеет
постоянную кривизну k^O, то
(a) k > 0;
(b) M вкладывается как сфера.
Часть (а) принадлежит Гильберту [2]; мы опускаем до-
доказательство. Докажем здесь часть (Ь), принимая, что k > 0.
При этом допущении следует, что М компактно (в действитель-
действительности сфера или проективная плоскость) в силу теоремы 1 при-
примечания 4. Заменой М на его универсальное накрывающее
пространство, если необходимо, можно достичь того, что М
будет в действительности сферой с обычной метрикой; наше
утверждение сводится к высказыванию, что изометрическое погру-
погружение сферы в R3 есть не что иное, как обычное вложение (жест-
(жесткость сферы). Итак, это — специальный случай теоремы Кон-
Фоссена [1], [2] (см. Черн [18]).
Мы докажем жесткость сферы в следующей форме:
Теорема 2. Пусть М есть 2-мерное связное компактное
риманово многообразие постоянной кривизны k. Если М изомет-
изометрически погружено в R3, то М вкладывается как сфера (и k > 0).
Подготовим несколько лемм; для этого предположим, что М
ориентируемо, и выберем поле единичных нормалей так, что
вторая фундаментальная форма h и соответствующий симметри-
симметрический оператор А определены на М глобально.
Лемма 1. Для каждой х?М пусть Х(х) и fx (я)— собствен-
собственные значения для А такие что X(x)^\i(x). Функции X и ц. не-
непрерывны на М и дифференцируемы на W = {х ? М; X (х) > \х (х)}.
Доказательство. Если (я1, я2) — локальная координатная
система вблизи точкиТл;, то А может быть выражен матрицей
Ы(хг,®х2) Ь(х\ х2)\\
Собственные значения X и [х.—корни квадратного уравнения
t — а —Ь
-с t—d
где ф (х\ х2) = а (х1, х2) + d (х\ х2) и т|э (х\ х2) = а (х1, х2) d (х1, х2) —
— 6 (ж1, xi)c(x1, х2) — дифференцируемые функции вместе с а, 6, с
примечания
313
и d. Утверждение легко следует из|формулы для корней квад-
квадратного уравнения.
Лемма 2. Допустим Х(х0) > ц (х0). Тогда существуют диф-
дифференцируемые векторные поля X и Y в окрестности U точки
хв такие, что
g(X, X)=g(Y,Y) = \, g(X,Y) = 0,
\ = кХ и AY^
в каждой точке из U.
Доказательство. Пусть У —окрестность точки х0, в ко-
которой Я > [i. Выберем касательный вектор Za в х0 так, что
AZe^=XZe и AZ0^=\iZa (это возможно, потому что Хфр в хЛ).
Продолжим Zo до дифференцируемого векторного поля Z на V.
Тогда
X = AZ — iiZ и Y = AZ — %Z
— дифференцируемые векторные поля на V такие, что АХ = КХ
и AY = nY в каждой точке. По нашему выбору Zo, X и Y не
равны нулю в х0, и поэтому они не равны нулю в окрестности
U точки х0. Поскольку X и Y — собственные векторы для А,
отвечающие различным собственным значениям, X и Y ортого-
ортогональны в каждой точке. Нормализуя X и Y, мы и получаем же-
желаемые векторные поля.
Лемма 3. В обозначениях леммы 2 имеем
A)
где а и
B)^кривизна k"задается^так:
Доказательство. (\)n3g(X,X)= 1 получаем g (x )
= 0, так что yxX = aY для некоторой функции а. Аналогично
g(VyX, X) = 0, так что yYX = bY для некоторой функции Ь. Из
g(Y, Y)=l получаем \xY = cX и yYY = dX тем же способом.
Из g(X, F) = 0 получаем g(VxX, Y)+g(X, \xY) = 0, так что
а + с=0. Аналогично g(Vy*. Y)+g(X, VYY) = 0, так что b + d =
= 0. Функции а и b могут быть определены с использованием
уравнения Кодацци (ухА) 00 = (Vy-A)(X).
B) Результаты в A) дают
R(X, Y)Y = -(a2 + b2)X
и отсюда
= g(X, R(X,
= —a2-b*—Xb + Ya

314
ПРИМЕЧАНИЯ
Лемма 4. Допустим Х(хв) > р(хв). Если X имеет относи-
относительный максимум в х0 и |а имеет относительный минимум в ха,
то кривизна k ^ 0 в х0.
Доказательство. Для векторных полей X и Y в лемме 1
имеем XX = Хц = YX = Y[i — 0 в х0. Подсчетом, основанным на лем-
лемме 3, имеем в х0
k = Y*X/(X — (i)—
Так как X имеет относительный максимум в х0, то имеем У2Я ^
^0 в х„. А так как \i имеет в х0 относительный минимум, то
имеем X3(i^0 в хо. Итак, k(xo)^O из формулы для k.
По-прежнему считая М ориентируемым, мы теперь докажем
теорему 2. Так как М компактно, то имеется точка, в которой
вторая основная форма (положительно или отрицательно) опре-
определенная (см. предложение 4.6 главы VII). Итак, k = Х\а положи-
положительно. Отсюда постоянная кривизна k положительна. Так как
М компактно, то функция К имеет максимум в х0, а функция fi
имеет в хд минимум. Если Х(х0) > [л (л:„), то лемма 4 дает про-
противоречие с k > 0. Отсюда Х(хо) = ц(хо), что влечет Х(х) = ц(х)
для каждого х?М. Так как каждая точка теперь омбилическая,
то видим, что М есть сфера по теореме 5.1 главы VII. Если М
не ориентируемо, то пусть М—ориентируемое дважды накрываю-
накрывающее пространство для М. Применяя вышеприведенные рассужде-
рассуждения к М, видим, что М, погруженное в Rn+1 как двойное на-
накрытие для М, омбилическое в каждой точке. Отсюда М омби-
омбилическое в каждой точке и есть сфера по теореме 5.1 главы VII.
Мы можем использовать лемму 4, чтобы доказать другую
классическую теорему. Связная компактная поверхность в R3
называется овалоидом, если ее кривизна положительна всюду.
Овалоид с постоянной средней кривизной есть сфера. (Отметим,
что овалоид с необходимостью ориентируем; условие постоянства
Н не зависит от выбора поля единичных нормалей, т. е. как раз
от изменения знака.) Sfr-от результат принадлежит Либм а н у [1].
Докажем здесь более общий результат, принадлежащий Алек-
Александрову [2] и Черну [9].
Теорема 3. Если овалоид М изометрически погружен в R3
таким образом, что \i = f(X), где X и [а — функции, дающие собст-
собственные значения для А, как в лемме 1, a f — невозрастающая
функция (т. е. t^s влечет f(t)^f(s)), то М вкладывается как
сфера.
Доказательство. Пусть х0 — точка, где X имеет макси-
максимум. Тогда X (х) ^ X (х0) и отсюда \i (х) ^ ц (х0) для каждого х,
т. е. jj, имеет минимум в ха. Если Х(х0) > [х(л;„), то лемма 4 дает
ПРИМЕЧАНИЯ]
315
k (х0) й^ 0, что противоречит допущению k > 0. Итак, X (х0) =
= ц (х„) и X (х) = fi (x) для каждой х, как и в доказательстве те-
теоремы 2.
Теорема 3 включает случай постоянной средней кривизны
//(X + fA = const), так же как и теорему 2 (\a = k/X, где k— поло-
положительная константа).
Хопф [7] доказал, что связная компактная ориентируемая
поверхность в R3 такая, что Н — константа, есть сфера при ус-
условии, что ее род есть нуль. Александров [3] доказал этот
результат без допущения, что род есть нуль.
Рассмотрим теперь случай, когда постоянная кривизна k есть
нуль в теореме 1. Погорелов [3], [4] и Хартман и Ни-
ренберг [1] доказали, что М тогда погружается как плоскость
или цилиндр. М а ее и [1] дал более элементарное доказательство.
Хартман и Ниренберг в действительности доказали общую тео-
теорему относительно гиперповерхностей евклидова пространства,
для которых отображение Гаусса имеет якобиан постоянного зна-
знака ^=0 (или <;0), и получили следующий результат. Если f —
изометрическое погружение п-мерного связного полного плоского
риманова многообразия М в Rn+1, то f (M) имеет вид CxRn~x,
где R" есть евклидово подпространство размерности п—1, а
С—кривая, лежащая в плоскости R2, перпендикулярной к R".
Более прямое доказательство, обобщающее метод Масси, может
быть найдено у Номидзу [12], где рассмотрены и некоторые
родственные проблемы.
Сакстедер [1] и О'Нейл [5] изучали обобщение вышеука-
вышеуказанной теоремы на случай, когда М имеет неотрицательную сек-
секционную кривизну всюду или когда М большей коразмерности.
Хартман [1] доказал следующий общий результат в этом
направлении, пусть f — изометрическое погружение п-мерного
полного риманова многообразия М в Rn+P. Допустим, что:
A) секционная кривизна для М неотрицательна для всех
плоскостей;
B) индекс относительной дефектности v (x) есть положитель-
положительная константа, скажем, v.
Тогда существует (п—v)-мерное полное риманово многообразие
М', изометрическое погружение f из Мг в R"+^-v и изометрия
Ф из М на М' х Rv такие, что диаграмма
х Rv
коммутативна; здесь id означает тождественное отображение.
(О понятии индекса относительно дефектности см. примечание 16.)

316
ПРИМЕЧАНИЯ
По поводу жесткости гиперповерхностей, см. также Черн
[18], [22]; Черн, Хан о, Сюнь [1]; Сюнь [1]—[4]; Кацу-
рада [1] —[4]; Эппли [1].
16. Индекс дефектности
Для риманова многообразия М индекс дефектности в х есть
размерность [i(x) подпространства
Т0(х) = {Х?Тх(М); R(X, Y) = 0 для всех Y?ТХ(М)\.
Если М изометрически погружено в евклидово пространство Rn+p,
где n = dim_M, то индекс относительной дефектности v (х) в х
есть размерность подпространства
= 0 для всех 1^Т
где Т^- (М)—нормальное пространство к М в х. Эти понятия
были определены Черном и Кюи пером [1].
Если коразмерность р есть 1, то возьмем единичную нор-
нормаль \ в х. Подпространство Т" (х) есть как раз нуль-простран-
нуль-пространство для А = А%, так что п — v (x) равно рангу А, а именно,
типовому числу в я. В теореме 6.1 главы VII мы показали, что
если типовое число в х будет ^2, то v(x) = [i(x).
Докажем следующий результат Черна и Кюипера.
Предложение 1. Для произвольной коразмерности р имеем
Доказательство. Как и в случае коразмерности 1, имеем
Т"аТ0 в силу уравнения Гаусса. Отсюда v (x) ^.ц(х). Пусть
S — ортогональное дополнение к Т" в пространстве То, так что
Т0 = Т" + S. Если мы положим m=dimS, то т=\а(х) — v (x)
и мы хотим доказать, что ^
Заметим, что Т" может также быть определено так:
\Х^ТХ(М); а(Х, К) = 0 для всех Y?TX(M)\;
это легко следует из предложения 3.3 B) главы VII. Рассмот-
Рассмотрим отображение ее: SxS —"Тх (нормальное пространство). Если
р < т, то доказательство леммы для теоремы 4.7 главы VII
дает пару векторов X, Y ? S, из которых хотя бы один ненуле-
ненулевой, таких, что
os(X, X)=a(Y, Y) и а(Х, Y) = 0.
Поскольку X?ScT0, мы имеем R (X, Y) = 0. Из формулы
g(R(X, Y)Y, X) = g(a(X, X), a(Y, Y))-g(a(X, Y), a(X, Y))
следует, что g (a (X, X), a (Y, Y)) = 0, т. e. a (X, X) =a (F, Y) = 0.
ПРИМЕЧАНИЯ
317
Так как R (X, Z) = 0 для произвольного Z из ТХ(М), то имеем
0 = g (R (X, Z) Z, X) = g (a (X, X), a (Z, Z)) -g (a (X, Z), a(X,Z))
= -g(a(X, Z),a(X, Z)).
Итак, a(X, Z) = 0 для каждого Z?TX(M), что и показывает,
что Х?Т". Итак, Х€Г"п5и Х = 0. Аналогично Y = 0, а это
противоречит тому, что хотя бы один из X, Y отличен от нуля.
Так мы доказали, что р^т.
Пространства дефектности То на римановом многообразии
изучались Мальцем [1] и Розенталем [1]. А. Грей [4]
определил индекс дефектности для любого кривизненноподобного
тензорного поля L типа A, 3) на римановом многообразии М.
Тензорное поле L типа A, 3) кривизненноподобное, если оно
имеет те же формальные свойства, что и тензорное поле^кри-
визны R, а именно:
A) L(X, У) — кососимметрический эндоморфизм;
B) L(X, Y) = — L(Y, X);
C) @L(X, F)Z = 0;
D) ®(VxL)<y, Z) = 0.
Здесь © обозначает циклическую сумму по X, Y, Z. Для L
определим дефектность в х как размерность пространства де-
дефектности
Т0(х) = {Х€Тх(М); L{X, У) = 0 для всех Y?TX(M)\.
Тогда имеем
Предложение 2. Для кривизненноподобного тензорного
поля L:
A) ортогональное дополнение Tt(x) к Т0(х) в ТХ(М) порож-
порождается посредством L(X, Y)Z, где X, Y, Z — произвольные век-
векторы в х;
B) если dim То (х) — const на М, то распределение То инво-
лютивно и вполне геодезично (т. е. V^-F € ^о для любых вектор-
векторных полей X, Y, принадлежащих Тв).
17. Типовое число и жесткость вложения
Пусть V — вещественное векторное пространство размерности п
со скалярным произведением. Отождествим Д3У с простран-
пространством Е (V) кососимметрических эндоморфизмов для V: (x/\y)z =
= (у, z)x — {x, г) у.
Для данной системы {Аг, . .., Ак\ симметрических эндомор-
эндоморфизмов, которые линейно независимы, определим типовое число
системы как наибольшее целое г, для которого существуют г
векторов хг, ..., хг из V таких, что kr векторов Аа{х{), 1 s=t
^.k, 1 ^ i ^ r, линейно независимы.

318
ПРИМЕЧАНИЯ
Если k = l, то типовое число системы {А} из одного эндо-
эндоморфизма А как раз равно рангу А.
Имеет место
Теорема 1. Пусть \Ait ..., Ак\ и {Аг, ..., Ак) — &ве
системы симметрических эндоморфизмов, и допустим, что {Ait ...
..., Ak\ линейно независимы, с типовым числом ^ 3. Если
2* = 1 К А Ла = 2?-1 А* Л Аа,
т. е. если
2?= 1 Аа (х) Л Аа (у) = 2а=1 'Аа (х) Л Аа (у) для всех х, y$V,
то существует ортогональная матрица S = (s$a) порядка k та-
такая, что
Эта теорема, как и следующее доказательство,— переформу-
переформулировки результатов Черна [5].
Лемма 1. Предположим, что уг, ..., ук, zit ..., zk линейно
независимы, и пусть f = 2cUi УаА^а- Рассматривая f как эле-
элемент из E(V), имеем:
(i) образ f равен подпространству, порожденному множеством
{ \
k\ _ _ _ _ _ _
(ii) если J равно 2o=i УаАга, где ух, ..., ук, zlt .... zk из V,
то ух,
ук,
zb линейно независимы и
Sp{y~i, .... ук, zlt ..., 7k\ =
, zu .... zk},
где Sp{...} обозначает подпространство, порожденное элемен-
элементами из {. }.
Доказательство. Так как f (x) = S«=i {(*> 2а)Уа —
— {х,уа)га\, то ясно, что образ fc=Sp{y1, ..., ук, zlt ...,zk\.
Чтобы доказать обратное включение, возьмем любое р1 и выберем
х ^ V такое, что
(х, Уа) = 0 для всех
и
(х, га) = 0 для всех а.|
Это возможно, так как {уа, za\, I s^a^&, линейно независимы.
Тогда мы имеем /(х) = г/р, а это показывает, что г/Р€ образу /.
Аналогично 2Р€ образу / для^каждого р. Итак,
Sp{y» •••, Ук, zit ..., zft}co6pa3yf/.
Чтобы доказать (и), заметим^сначала, что образ fczSply^, •••
•••. Ук' zu -•'¦> zk)' так что по @ мЫ имеем
ук, г±, ..., zk}<=.Sp{y1, ..., ук, zu .... zk\.
ПРИМЕЧАНИЯ 319
Так как {уа, га\, l<^.a^.k, линейно независимы, то
dimSp{yt, ..., ук, гг, .... zk} = 2k,
что влечет, что dhnSp{y-L, ...,yh,zx, ..., zk} = 2k, а это дока-
доказывает, что {уа, za), l^a^C^, тоже линейно независимы. Вто-
Второе утверждение в (ii) тоже очевидно.
Лемма 2. Предположим, что хг, ..., хк линейно независимы.
Если уг, ..., yk(zV и если 2a=i хаАУа = 0> то каждое уа ли-
линейно независимо от хг, ..., хк.
Доказательство. Выберем хк+1, . .., хп так, что {xlt . ..
..., хк, хк+1, .... хп\ есть базис в V, и пусть
Положим также
Тогда
ais = 0 для
и 1 -sC /
п.
2*= 1 xt/\yt = 2?= 1 */ Л B"= 1 atjxj) = S*= i S"= i aij*iЛдсу
= J" / = i fl/ /*/ Л xj = 2/ < / («/у — ay «•) */ Л *у
Поскольку 2»=1^/Л^г=0 и поскольку Xi/\Xj линейно незави-
независимы, имеем a{j- — ayi = 0 для всех i < /. Итак,
а/у- = ау/ = 0 для 1 ^ i ^ Л и ] ~> k.
Это показывает, что г/;,
линейно независимы от
Доказательство теоремы. Пусть xlt x2, xa?V таковы,
что Аа (х;), \z^La^:k, l^i^3, линейно независимы. Из
1 А~а (Xj) Л Аа (Х2)
2а= 1 Аа (Хг) Л Аа (Х2) =
по лемме 1 заключаем, что каждое Аа (хг) есть линейная комби-
комбинация Ap(Xj) и Лр(х3), 1^:р^^. Из
2a=l
Л (Х3) =2а=1 Аа
а (X,)
видим, что каждое Аа(х1) есть линейная комбинация А${хх) и
Лр(х3), 1 <Р<Л. Поскольку Лр^), Лр(л;2), Лэ(^з),_1 <Р<^,
линейно независимы, то отсюда следует, что каждое AaixJ есть
линейная комбинация всех А&(х1), l^$z^.k. Аналогично каж-
каждое Ла(х2) есть линейная комбинация всех Лр (х2), 1^р^^т
и каждое Аа(х3) есть линейная комбинация всех А$(х3), 1^
^ Р ^ k. Положим
4_
Аа (х3) =

320
Ив
ПРИМЕЧАНИЯ
ПРИМЕЧАНИЯ
321
2а= 1 Аа (*,
Тх]) = 2а= 1 Аа (х;) Д А* (Х/), I < /, / < 3,
получаем для матриц S = (S|Ja), T = (t^) и U = (иЭа) соотношения
где * означает транспонирование, а / — единичную матрицу. Они
влекут S = T = U и 8*8 = I, т. е. 5 —ортогональная матрица.
Если мы положим
то известно, что
А* (*;)= Ах (*<•), 1<1<3.
Мы желаем показать, что Аа(х.) = Аа(х,) для />4. Для
имеем
2а= 1 A
. е.
(X,) = 2а= 1 А» (*,-) Л А» (*,),
— Аа(ху))лАа {х{) = О, 1 < i < 3.
Мы знаем, что Аа(хг), 1<а<&, линейно независимы. Из на
писанного выше уравнения для i=\ мы заключаем по лемме 2
что Аа(xj) — Аа(ху) есть линейная комбинация Аз(^), 1<р<?.
Аналогично мы^видим, jrro Aa(xf) — AJixf) есть линейная ком-
комбинация Ар(х2), 1<р<?. Поскольку Лр(^), Аз(л:2), 1<Р<?,
линейно независимы (как и Ai(*i)> А$(х2), l<p<yfe), то отсюда
следует, что Аа (ху) — Аа (Х/) = 0, l<a<yfe, /^4, что доказы-
доказывает наше утверждение. Это завершает доказательство теоремы 1.
Пусть /: М —^R«+^_изометрическое вложение n-мерного ри-
манова многообразия М в евклидово пространство R"+*\ Мы будем
иметь дело только с локальной теорией и используем обозначе-
обозначения, разработанные в § 3 главы VII.
Ообж I Л Т (М)>
, ррта
Отображение
§
Л? из Тх (М)->- в векторное пространство
ф Т(М) б
Отбражение I Л? из Тх (М) в векторное пространство
всех симметрических эндоморфизмов для ТХ(М) было определено
в предложении 3.3 главы VII. Пусть k(x) — ранг этого линей-
линейного отображения. Если мы обозначим через iV0 (x) нуль-простран-
нуль-пространство линейного отображения \ —*¦ А%, то ортогональное дополнение
к Л^0(л;) в ТХ(М)Х- называется первым нормальным пространст-
пространством в х. Ясно, что k(x) равно размерности первого нормального
пространства в х. Если мы выберем базис %lt . .., \к, где k =
= k(x), в первом нормальном пространстве, то соответствующие
эндоморфизмы At. • • •. Ak линейно независимы.
Теперь теорема локальной жесткости Аллендорфера [1],
которая является распространением результатов о гиперповерх-
гиперповерхностях (следствие 6.5 главы VII), может быть сформулирована так.
Теорема 2. Пусть f и f — два изометрических вложения
п-мерного риманова многообразия М в евклидово пространство R"+p.
Допустим, что для окрестности U точки х0 ? М мы имеем:
A) размерности первых нормальных пространств в х ? U для
обоих вложений f и f равны константе, скажем, k;
B) типовое число для f в каждой точке x?U есть по край-
крайней мере 3.
Тогда имеется изометрия х из Цп+р на окрестность точки хЛ
такая, что /=то/.
Отметим, что теорема 1 может быть использована для дока-
доказательства теоремы 2. См. также Черн [15].
18. Изометрические вложения
Теория поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве
значительно отличается от общей теории* подмногообразий в N-
мерном евклидовом пространстве в методах и результатах (см.
примечание 15). Проблема изометрического вложения 2-мерного
риманова многообразия в 3-мерное евклидово пространство, в част-
частности так называемая проблема Вейля, не будет здесь обсуж-
обсуждаться.
Первый результат об общих изометрических вложениях — это
теорема Жане [1] и Э. Картана [14], которая утверждает,
что вещественное аналитическое риманово многообразие М раз-
размерности п может быть локально изометрически вложено в любое
вещественное аналитическое риманово многообразие V размер-
размерности Yn(n+^)- (См. у Бурстина [1] комментарии о доказа-
доказательстве Жане.) Обобщение на случай С00 остается открытой
проблемой, даже если V — евклидово пространство. Теорема о гло-
глобальном изометрическом вложении была получена Нэшем [2].
Теорема 1. Каждое компактное п-мерное риманово много-
многообразие М класса Ck (З^&^оо) может быть Ск-изометрически
вложено в любую малую порцию евклидова пространства RN, где
N = -jп(Зп-\- 11). Каждое некомпактное п-мерное риманово мно-
многообразие М класса CkC^.k^.oo) может быть Ck-изометрически
вложено в любую малую порцию евклидова пространства RN, где
Для С'-изометрических вложений размерность пространства,
в которое производится вложение, может быть очень малой.
Результат Нэша [1] и Кюипера [5] гласит:
П Зак. 425

322
ПРИМЕЧАНИЯ
Теорема 2. Пусть М —компактное п-мерное риманово мно-
многообразие класса С1 с границей (которая может быть пуста).
Если М может быть С^-вложено в евклидово пространство R/V,
N ~^п-\-\, то оно может быть ^-изометрически вложено в RN.
В частности, М может быть локально ^-изометрически
вложено в R"+1. А С1-изометрическое вложение может быть очень
патологично, n-мерный тор может быть С'-изометрически вло-
вложен в R"+\ однако он не может быть С4-изометрически вложен
в R2n-i (Том пк ин с [1], см. следствие 5.3 главы VII).
Так как мы знаем, что каждое риманово многообразие может
быть изометрически вложено в евклидово пространство достаточно
большой размерности, то естественно искать евклидово простран-
пространство наименьшей возможной размерности, в которое риманово про-
пространство может быть изометрически вложено. Гильберт [2] дока-
доказал, что полная поверхность постоянной отрицательной кривизны
не может быть С4-изометрически погружена в R3, что упомянуто
и в примечании 15. Результат Гильберта был обобщен Ефимо-
Ефимовым [1] на полную поверхность ограниченной отрицательной
кривизны.
Результат Черна и Кюипера [1], обобщающий теорему
Томпкинса, упомянутую выше, гласит, что компактное п-мерное
риманово многообразие с неположительной секционной кривиз-
кривизной не может быть изометрически погружено в R2" (см. след-
следствие 5.2 главы VII). Дальнейшее обобщение О'Нейла [2] со-
состоит в том, что если N — полное односвязное риманово много-
многообразие размерности 2п—\ с секционной кривизной Kn ^ 0, то
компактное rt-мерное риманово многообразие М с секционной
кривизной Км ^Kn не может быть изометрически погружено в yV.
Оцуки [2] доказал, что тг-мерное риманово многообразие М
постоянной отрицательной кривизны не может быть (даже ло-
локально) изометрически погружено в R2"~2. О дальнейших резуль-
результатах в этом направлении см. Оцуки [2], [3].
Группа голономии тоже дает некоторые ограничения на изо-
изометрические погружения. Если компактное n-мерное риманово
многообразие М может быть изометрично погружено в Rra+1,
то его суженная линейная группа голономии должна быть SO (n)
(см. Кобаяси [8]). Если компактное тг-мерное риманово много-
многообразие М может быть изометрически погружено в R"+2, то
его суженная линейная группа голономии должна быть SO (k) x
xSO(n-k), за исключением п = 4 (см. Бишоп [1]). Если ком-
компактное n-мерное риманово многообразие М с суженной группой
голономии SO(k)xSO(n — k) изометрически вкладывается в R"+J,
то вложение есть произведение двух вложений гиперповерхностей,
за исключением случая k=l илип — &=1(см. Александер [1]).
Для некомпактного n-мерного риманова многообразия М, изо-
изометрически погруженного в Rn+1, имеются некоторые ограничения
ПРИМЕЧАНИЯ
323
на группу голономии (см. Дольбо и Лемуан [1]). Согласно
Бишопу [1], если некомпактное n-мерное риманово многообра-
многообразие М изометрически погружается в R"+2, то его суженная ли-
линейная группа голономии имеет вид SO(k)xSO(n — k) или U (т),
где п = 2т (если М не плоское).
Проблема изометрического вложения становится легче, если
пространство, в которое производится вложение, может иметь
бесконечную размерность. Бибербах [4] доказал, что одно-
связная полная поверхность Н2 постоянной отрицательной кри-
кривизны может быть изометрически вложена в гильбертово про-
пространство. Это было обобщено Бланушей [1]на изометрическое
вложение односвязного полного n-мерного пространства Нп по-
постоянной кривизны в гильбертово пространство. Позже Б л а-
н у ш а [2] улучшил свой результат, показав, что Нп может быть
изометрически вложено в Re"~6, а //2 — в Re. Голоморфное изо-
изометрическое вложение кэлерова многообразия в комплексное
евклидово пространство не всегда возможно. Компактное комп-
комплексное многообразие положительной размерности никогда не
может быть погружено в комплексное евклидово пространство.
Согласно предложениям 8.3 и 8.4 главы IX кэлерово много-
многообразие, которое может быть голоморфно и изометрично погру-
погружено в комплексное евклидово пространство, должно иметь
неположительную голоморфную секционную кривизну и отрица-
отрицательно полуопределенный тензор Риччи. Бохнер [2] доказал,
что некоторый класс кэлеровых многообразий (включающий по
крайней мере все классические ограниченные симметрические
области с метрикой Бергмана) не может быть голоморфно и изо-
изометрично погружен в конечномерное комплексное евклидово про-
пространство. Систематическое изучение вложений кэлеровых много-
многообразий в комплексное гильбертово пространство и другие
бесконечномерные пространства было проведено Калаби [1].
Интересно отметить (см. Бохнер [2] и Кобаяси [14]), что
метрика Бергмана комплексного многообразия М определяется
так, что М голоморфно и изометрично вкладывается в комплекс-
комплексное проективное пространство (вообще говоря, бесконечной раз-
размерности) естественным образом.
Рассмотрим теперь следующее обобщение проблемы изомет-
изометрического вложения. Пусть М — риманово многообразие, a G—
группа его изометрий. Проблема, интересующая нас,— найти не
только изометрическое вложение для М в евклидово простран-
пространство R^, но также и согласованное вложение для G в группу
S(R^) евклидовых движений для R™. Такое вложение (скорее,
пара вложений) называется эквивариантным изометрическим вло-
вложением для (М, G). Если G транзитивна на М, так что М =
= GIH, и если линейное представление изотропии для Н непри-
водимо, то дифференцируемое вложение для М в RN с согласо-
II* За к. -\'25

324
ПРИМЕЧАНИЯ
ванным вложением для G в 3 (RN) изометрично, поскольку
имеется, с точностью до постоянного множителя, только одна
риманова метрика на GIH, инвариантная относительное Известно
(Л'ихнерович [3], с. 158—167), что эрмитово симметрическое
пространство GIH компактного типа может быть эквивариантно
и изометрично вложено в R^, где N==dimG. Этот результат
был распространен почти на все симметрические пространства
компактного типа (Нагано [10] и Кобаяси [25]).
В заключение упомянем работу Фридмана [1], в которой
получено обобщение теоремы Жане —Картана на случай неопре-
неопределенной римановой метрики.
19. Проблема эквивалентности для римановых многообразий
Говорят, что отображение /: М —»- М' для двух римановых
многообразий М и М' сильно сохраняющее кривизну, если / отоб-
отображает VmR в 4'mR' для каждого т = 0, 1, 2, ..., где VяR и
4'mR' обозначают т-е ковариантные дифференциалы тензорных
полей кривизн R на М и R' на М' соответственно. Номидзу
и Я н о [3], [4] доказали теорему:
Теорема 1. Сильно сохраняющий кривизну диффеоморфизм
между неприводимыми аналитическими римановыми многообра-
многообразиями М и М' размерности ^ 2 есть гомотетическое преобразо-
преобразование.
В комбинации с леммой 2 (т. I, с. 228) эта теорема дает
Следствие. Сильно сохраняющий кривизну диффеоморфизм
полного неприводимого аналитического риманова многообразия М
размерности ~^> 2 на себя есть изометрия.
Соответствующий результат для инфинитезимальных преобра-
преобразований был доказан Номидзу и Яно [2]. См. Тан но [1]
по поводу обобщения на случай неопределенной метрики.
Мы говорим, что риманово многообразие М сильно кривиз-
ненно однородное, если для любых точек х и у из М имеется
линейный изоморфизм из Тх (М) на Ту (М), который отображает
gx (метрика в х) и (^mR)x, m = 0, I, 2, ..., в gy и (VnR)y,
m = 0, 1, 2, ... Тогда имеет место
Теорема 2. Если связное риманово многообразие сильно
кривизненно однородное, то оно локально однородно. Если, сверх
того, М полное и односеязное, то оно однородное.
Теорема 2 была первоначально доказана Зингером [2] в
случае, когда М полное и односвязное. Локальная версия, сфор-
сформулированная в теореме 2, была позже получена Номидзу [9].
Кулкарни [1] изучал следующий вонрос, связанный с тео-
теоремой 1 и теоремой Шура (теорема 2.2 главы V): если сущест-
ПРИМЕЧАНИЯ
325
вует диффеоморфизм двух римановых многообразий М и М',
сохраняющий секционную кривизну, будут ли М и М' изомет-
ричны?
20. Теорема Гаусса — Бонне
1. Теорема Гаусса—Бонне для компактного ориентируемого
2-мерного риманова многообразия М гласит, что
1
где К — гауссова кривизна поверхности М, dA обозначает эле-
элемент площади для М, а%(М) — число Эйлера для М. Она обычно
получается из формулы Гаусса — Бонне для куска поверхности.
Пусть D — односвязная область на М, ограниченная непрерывной
кусочно дифференцируемой кривой С, состоящей из т дифферен-
дифференцируемых кривых. Тогда формула Гаусса —Бонне дает
где kg — геодезическая кривизна для С, аat, .... am обозначают
внутренние углы в точках, где С не дифференцируема. Триан-
Триангулируя М и применяя формулу Гаусса — Бонне к каждому тре-
треугольнику, мы получаем теорему Гаусса — Бонне для М.
2. Первый шаг в обобщении теоремы Гаусса — Бонне на мно-
многообразия высших размерностей был сделан Хопфом [2]. Сле-
Следующая лемма Хопфа основная.
Лемма. Пусть N есть п-мерное компактное многообразие в
R" с границей dN. Тогда степень сферического отображения
Гаусса dN—^S"*1 равна числу Эйлера %(N) для АГ.
По поводу доказательства см., например, Ми л нор [5].
Теперь рассмотрим n-мерное компактное подмногообразие М
(без границы) в Rn+k. Пусть Ne обозначает замкнутую е-окрест-
ность для М. Для достаточно малых е Ns есть дифференцируе-
дифференцируемое многообразие с границей. Так как % (-^в) = Х (МО. то лемма
влечет, что степень сферического отображения Гаусса dNs —*¦
-+Sn+k~1 равна числу Эйлера %(Л4) для М.
Рассмотрим специальный случай, когда k=\, а М ориенти-
ориентируемо. Тогда dNe состоит из двух компонент. Пусть d — степень
сферического отображения М —*- Sn. Тогда степень сферического
отображения dNs—>-Sn задается как d + (—l)"d. Отсюда
Теперь выразим степень d через интегралы. Пусть у0, у1, ..., у" —
естественная координатная система в Rn+1. Элемент объема еди-

326
ПРИМЕЧАНИЯ
яичной сферы S" задается так:
2?=о (—iyyldy°A •.. Л
Л •• •
Пусть \— сферическое отображение М—> S"; оно может быть
задано п+\ функциями ?°, I1, ..., \п на М с A°)а + Aх)а+
+.. . + (?V = 1. Тогда
Формула Вейнгартена дает (см. § 3 главы VII) |»(Х) = — А (X)
для каждого векторного поля X на М, г;е Л = Л| — симметри-
симметрическое преобразование каждого касательного пространства 7^ (Л1),
определяемое второй основной формой. После простого подсчета
получаем
de»—\ Kndv (со„ равно объему единичной п-сферы),
где К„ — гауссова кривизна для М, a dv обозначает элемент
объема для М.
Для четного п можно заменить d на ухС-М) и выразить Кп
как полином от римановой кривизны: Результирующая формула
может рассматриваться как обобщение теоремы Гаусса—Бонне.
Отметим, что 2Kndv равно гс-форме у, определенной в § 5
главы XII для векторного расслоения Т (М) и римановой связ-
связности для М.
3. Дальнейшее обобщение было получено Аллендорфе-
ром [1] и Фенхелем [1] независимо. Пусть Месть п-мерное
компактное ориентируемое подмногообразие в Rn+k, a Ne — замк-
замкнутая е-окрестность для М с достаточно малым е. Пусть d —
степень сферического отображения дЫг —*-S"+ft~1, a Kn+k-i —
гауссова кривизна гиперповерхности дЫг. Тогда по полученному
выше результату имеем
где dv обозначает элемент объема для dNe. Допустим, что п и
k—1 четны. Так как dNe — сферическое расслоение над М, имеем
X (cWE) = х (М) ¦ х (S*-1) - 2% (М).
С другой стороны, интегрируя Kn+k-i вдоль слоев, получаем
(нетривиальными вычислениями)
ПРИМЕЧАНИЯ 327
где у есть n-форма, определенная в § 5 главы XII. Отсюда
Предположение, что k—1 четно, не ограничительно. Если k—1
нечетно, то достаточно вложить М в /?«+*+! естественным спо-
способом.
4. Как мы упомянули в примечании 18, каждое риманово
многообразие может быть изометрично вложено в евклидово
пространство достаточно высокой размерности. Однако эта тео-
теорема вложения.не была еще известна в то время, когда Аллен-
дорфер и Фенхель получили теорему Гаусса—Бонне для под-
подмногообразий евклидовых пространств. Но локальная теорема
вложения Жане и Картана (см. примечание 18) тогда была
известна. В 1943 г. Аллендорфер и Вейль [1] получили
теорему Гаусса—Бонне для произвольного риманова многообра-
многообразия, доказав обобщенную формулу Гаусса—Бонне для куска
риманова многообразия, изотермически вложенного в евклидово
пространство.
5. Так называемое внутреннее доказательство было получено
Черном [4] в 1944 г. Пусть М есть 2/п-мерное ориентируемое
компактное риманово многообразие, a S (М) — касательное сфе-
сферическое расслоение над М, т. е. расслоение единичных каса-
касательных векторов для М. Пусть р: S(М)—>~ М — проекция. Черн
строит Bт— 1)-форму л на S (М) такую, что dn = p*(y), и та-
такую, что интеграл от л вдоль каждого слоя в S (М) есть 1.
Пусть X — единичное векторное поле на М с изолированными
особенностями в ху, ..., xk. Пусть аг, ..., ak — индексы для X
в х1У . .., xk. По теореме Хопфа аг + . . . -\-ак равно числу Эйлера
X (М) (см., например, Ми л нор [5]). Сечение X для 5 (М) может
рассматриваться^как подмногообразие в S(М) с границей, него
граница дХ задается как ах5х+ . .. -\-akSk, где Sx, . . ., Sk — слои
из 5 (М) в х1( . . ., хь. Отсюда
у =
В доказательстве Черна мы видим рождение понятия трансгрес-
трансгрессии. Черн [23] распространил теорему Гаусса—Бонне на слу-
случай неопределенной римановой метрики. Наше аксиоматическое
доказательство легко может быть обобщено так, чтобы включить
также случай неопределенной римановой метрики. См. также
Иле [1], Р. Бишоп и Гольдберг [2], Аве [1] по поводу
теоремы Гаусса—Бонне. О некоторых оценках числа Эйлера при
помощи теоремы Гаусса—Бонне см. Черн [14], Б ер же [14],
Берже и Ботт [1].
6. Кон-Фоссен [3] исследовал глобальные свойства не-
некомпактных римановых многообразий размерности 2. Среди про-

328
ПРИМЕЧАНИЯ
чего он доказал, что для полного ориентируемого риманова
многообразия размерности два неравенство
SmV<X(M)
имеет место при условии, что интеграл существует как несобст-
несобственный. Никаких обобщений этого на высшие размерности неиз-
неизвестно.
7. Мы также упомянем результат Милнора [6] о том, что
компактная ориентируемая поверхность рода g^2ue допускает
какой-либо аффинной связности с нулевой кривизной. См. также
Бензекри [2].
21. Тотальная кривизна
Как и в примечании 20, пусть М есть n-мерное многообра-
многообразие, погруженное в евклидово пространство R^, а В — расслое-
расслоение единичных нормальных сфер над М- Степень канонического
отображения v: В—>S^ была определена так:
— ? Gdv3,
где cojv_i — объем единичной (TV — 1 )-сферы ISN, a G(g)— опре-
определитель симметрического преобразования А%, определенного
второй основной формой на М. Тотальная кривизна для М, по-
погруженного в RN отображением /: М —>- RN, определяется так:
Мы свяжем тотальную кривизну для М с топологией в М.
Для заданной функции ф на М точка х есть критическая
точка функции q>, если (dq>)x = O. Говорят, что критическая
точка х функции q> невырожденная, если гессиан (форма) для q>
в х невырожденный. В этом случае размерность подпространства
максимальной размерности в ТХ(М), на котором гессиан отри-
отрицательно определенный, называется индексом критической точки х.
Введем следующие обозначения. Ф(М) равно множеству функ-
функций ф на М, все критические точки которых невырожденные;
РА(ф) равно числу критических точек индекса k для ф;
6 (ф) = 2*-о Ра (ф) равно числу критических точек для ф;
= min
ПРИМЕЧАНИЯ
329
Для произвольного поля К положим
bk(M, K) = d\mKHk(M, К);
b(M, K) = '?k=°bk(M, К);
b(M) = max {b (M, К); К—поле}.
Тогда основные соотношения между различными числами, вве-
введенными выше, могут быть представлены так:
Теорема 1. Для компактного п-мерного многообразия М
имеем
где точная нижняя грань берется по всем погружениям f и пере-
переменному N.
Черн и Лашоф [1], [2] доказали неравенство x(M,f, RN)~^
^$(М). Равенство inf/T(M, /, R7V) = p(M) принадлежит Кюи-
перу [7]. Неравенство Р(М) ^ У$к(М) очевидно, а неравенство
^.(¦>а(-/И) ^ р (М) есть неравенство Морса (см., например, М ил-
нор [3]). Говорят, что погружение / минимальное, если
х(М, f, R*v) = j3 (M). Не следует путать этот термин с использо-
использованным на с. 40.
Приведем другие известные факты о тотальной кривизне.
Теорема . Пусть /: M-^RN и /': М' -+ RN' —погруже-
—погружения. Тогда
xRn') = t(M, f, RN)r(M', f, RN').
т(МхМ, /х/', RNxRN'
В частности, полагая М' точкой, получаем
Следствие. Пусть /: М'—>¦ RN—погружение,
tv*RN ^k
a i:
A'
у
R
N
в
ру
в качестве линейного подпрост-
подпрост—вложение
ранства. Тогда
т(М, to/,
Следствие это принадлежит Черну и Лашофу [2], а его
обобщение (теорема 2) принадлежит Кюиперу [7]. Следующий
результат тоже принадлежит Черну и Лашофу [2].
Теорема 3. Пусть М есть п-мерное компактное много-
многообразие, a f: М —>¦ RN—погружение. Тогда r(M, f, R7V) = 2 тогда
и только тогда, когда погружение f есть вложение, a f (M) — вы-
выпуклая гиперповерхность в линейном подпространстве R"+1 из RN.
Как указано Кюипером [7], теорема 3 влечет, что если
многообразие М, гомеоморфное сфере, может быть минимально
погружено в RN, то М диффеоморфно обычной сфере. (Ибо мно-
многообразие М, гомеоморфное сфере, допускает функцию лишь
с двумя критическими точками, т. е. Р(М) = 2.)
Нам неизвестен какой-либо общий способ характеризовать те
компактные многообразия, которые могут быть минимально по-

330
ПРИМЕЧАНИЯ
гружены в евклидово пространство. Вот некоторые многообра-
многообразия, допускающие минимальные погружения.
Теорема 4 (Кюипер [9]). Каждая ориентируемая замк-
замкнутая поверхность, а также каждая неориентируемая замкнутая
поверхность с числом Эйлера ^ — 2 может быть минимально
погружена в R3. Вещественная проективная плоскость и бутылка
Клейна не могут быть минимально погружены в R3.
В более ранней работе Кюипер [7] показал минимальную
погружаемость вещественной проективной плоскости в R4.
Теорема 5(Кобаяси [23]). Каждое компактное однородное
кэлерово многообразие может быть минимально вложено в евкли-
евклидово пространство достаточно высокой размерности.
Относительно дальнейших свойств минимального вложения
в теореме 5 таких, как размерность евклидова пространства и
эквиварнантность, см. Коба я си [23]. Таи [1] построил ми-
минимальные вложения всех проективных пространств и плоско-
плоскостей Кзли. Такеучи и Кобаяси [1] получили минимальные
вложения всех ^-пространств, обобщив теорему 5 и результаты
Таи.
Относительно результатов теории узлов, связанных с тоталь-
тотальной кривизной, см. Ферус [1].
Статья Кюипера [11] содержит список нерешенных проблем
о тотальной кривизне. См. также Кюипер [10], Оцуки [7],
У и л со н [1].
22. Топология римановых многообразий
с положительной кривизной
Пусть б—положительное число, 0<б^1. Говорят, что п-
мерное римановое многообразие М 8-защепленное, если его сек-
секционная кривизна К удовлетворяет условию
для некоторого положительного А. Величина константы А в на-
написанном выше неравенстве не существенна. Вообще, секционная
кривизна К римановой метрики g и секционная кривизна К ри-
мановой метрики g = cg (где с — по ожительная константа) свя-
связаны так: К —К/с Поэтому мы можем «нормализовать» метрику
так, что если М б-защепленное, то б</С^1.
В томе I мы доказали такую теорему Хопфа [1] (см. тео-
теорему 3.1 главы V и теорему 7.10 главы VI):
Теорема 1. Полное од несвязное 1 -защепленное риманово
многообразие М изометрично обычной сфере.
Вольф [7] получил полную классификацию полных 1-за-
щепленных" римановых многообразий.
ПРИМЕЧАНИЯ
331
В общем известно очень мало о б-защепленных римановых
многообразиях. Следующие результаты, кажется, исчерпывают
все, что мы знаем в настоящее время.
Теорема 2. Полное 8-защепленное риманово многообразие М
с 5 > 0 компактно и имеет конечную фундаментальную группу*
Теорема 2 принадлежит Май ер с у [1], она доказывается в
теореме 5.8 главы VIII. Действительно, теорема Майерса силь-
сильнее теоремы, сформулированной выше, так как в ней предпола-
предполагается только, что собственные значения тензора Риччи ограни-
ограничены снизу положительной константой. Следующий результат
принадлежит С и н г у [2].
Теорема 3. Полное 8-защепленное риманово мнорообрсие М
(с 8 > 0) четной размерности или A) односвязное или (.) не-
ориентируемое с n1(M) = Z2.
Теорема 1 наводит на мысль, что если риманопо многообра-
многообразие Л1-полное и б-защепленное с достаточно близким к единице б,
то М подобно сфере в том или ином смысле. Первый результат
в этом направлении был получен Ра ух ом [1], доказавшим, что
полное односвязное риманово многообразие, которое 0,75-защеп-
ленное, гомеоморфно сфере. Для четномерных многообразий это
характеризующее защепление б-число было улучшено до 5 = 0,54...
Клингенбергом [2], предпринявшим систематическое изуче-
изучение точек среза после Майерса и Уайтхеда. Усовершенствовав
метод Клингенберга, Бе рже [6], [7] получил в итоге следую-
следующее утверждение:
Теорема 4. Пусть М —полное односвязное 8-защепленное
риманово многообразие четной размерности. Если 8 > — , то М
гомеоморфно сфере. Если 8 = -j-, \то М или гомеоморфно сфере,
или изометрично компактному симметрическому пространству
ранга 1.
Первая часть теоремы 4 была получена независимо также
Т'опоноговым [3]. Усовершенствовав свои результаты о точ-
точках среза и использовав доказательство Берже теоремы 4,
Клингенберг [5], [6] получил следующее утверждение:
Те^орема 5. Полное односвязное —-защепленное риманово
многообразие нечетной размерности гомеоморфно сфере.
Первые части теорем 2 и 5 известны как «теорема о сфере».
Так как все комплексные и кватернионные проективные про-
пространства и плоскость Кэли, как известно, —-защепленные, то
теорема 4 дает наилучший возможный результат. С другой сто-
стороны, в нечетномерном случае неизвестно, может ли теорема 5

332
ПРИМЕЧАНИЯ
быть усилена. Доказательство теоремы о сфере частично было
упрощено Цукамото [3].
Клингенберг дал новый подход к теореме о сфере. Пусть
М — полное односвязное риманово многообразие. Он доказал, что
если множество сопряженных точек одной выбранной точки в М
устроено так же, как и у компактного односвязного симметри-
симметрического пространства ЛГ, то Я'(/И; Z) изоморфно Jj*(M'; Z).
В частности, он показал, что если секционная кривизна вдоль
геодезических, исходящих из одной выбранной точки в М, будет
б-защепленной с б > — , то М имеет гомотопический тип сферы
и отсюда гомеоморфно сфере, если dim M ^ 5 (в силу решения
Смейла обобщенной гипотезы Пуанкаре, Смей л [1]).
В теореме о сфере неизвестно, диффеоморфно ли М обычной
сфере. Но Громол [1] доказал следующее:
Теорема 6. Существует последовательность чисел -j- = 61<
< б2 < б3 <. . ., lim6Xi=l, такая, что если М — полное одно-
связное п-мерное риманово б„_2-защепленное многообразие, то М
диффеоморфно обычной сфере.
В надежде на окончательную классификацию б-защепленных
римановых многообразий важно получить как можно больше
свойств таких многообразий. Интересная гипотеза Черна состоит
в том, что полное б-защепленное риманово многообразие четной
размерности имеет положительное число Эйлера %(М). Для
dim Л! = 2 гипотеза тривиально выполняется. Для dim./W = 4
имеем х Щ) = 2 + dim H2 (M; R) > 0. Действительно, если М ком-
компактное с положительным тензором Риччи, то НХ(М.\ R) = 0 по
теореме 5.8 главы VIII и Н3 (М; R) = 0 в силу двойственности
Пуанкаре. Для dimM=4 %(M)>0 может быть также прове-
проверено с использованием формулы Гаусса— Бонне (см. Черн [14]).
Используя формулу Гаусса — Бонне, Бе рже [14] доказал, что
если М — полное б-защепленное риманово многообразие размер-
размерности 2т, то | х (Л1) | ^ 2~т Bт) \Ъ~т. Используя гармонические
формы, Б ер же [6] доказал, что для полного риманова много-
многообразия нечетной размерности 2т + 1, которое 2(т— 1)/(8т—1)-
защепленное, второе число Бетти есть нуль.
Имеется очень мало примеров римановых многообразий с по-
положительной секционной кривизной. Единственные римановы
компактные односвязные многообразия с положительной секцион-
секционной кривизной, которые известны, — это обычные сферы, комп-
комплексные проективные пространства, кватернионные проективные
пространства, плоскость Кэли и два однородных пространства
(размерностей 7 и 13), найденные Бе рже [8] (см. также
Элиассон [1]). В частности, неизвестно, существуют ли произ-
ПРИМЕЧАНИЯ
333
ведения компактных многообразий М= М' хМ" с римановой мет-
рикой положительной секционной кривизны. Вопрос остается
открытым даже для произведения двух двумерных сфер S2 x S2.
Близко к понятию многообразия положительной секционной
кривизны понятие многообразия с положительным оператором
кривизны. В каждой точке х из М тензор римановой кривизны
R определяет линейное преобразование из Л2ТХ (М) в Л2ТХ(М), ко-
торое переводит X AY в R (•, ¦, X, Y). В силу двойственности между
Л2ТХ(М) и Л2ТХ(М), определяемой римановой метрикой, это
линейное преобразование может быть отождествлено с линейным
эндоморфизмом пространства 2-форм Л2ТХ(М), называемым опера-
тором кривизны в х. Обозначим его р^.. Так как R (X, Y, U, V)=
= R (U, V, X, Y), то р^. ¦ симметричен (т. е. самосопряжен)
относительно скалярного произведения, определенного на А2Т*Х(М)
римановой метрикой. Поэтому собственные значения для рх ве-
щественны. Пусть X и Л — два вещественных числа. Если все
собственные значения для рх лежат в замкнутом интервале
[X, Л], то будем писать X^.px^LA. Аналогично А,^р(М)^Л
будет означать, что все собственные значения для рх и всех х? М
лежат в [X, Л].
Если {Х{} — ортонормальный базис для ТХ(М), а {XI} —
дуальный базис в ТХ(М), то g(px(XlAXi), X*AX;) = R(X1,
Xit Хг, Х2). Отсюда, если 0<А,<р(М)<Л, то М будет
(А,/Л)-защепленное (см. Берже [11]). Следующий результат при-
принадлежит Б ер же [11].
Теорема 7. Пусть М — компактное риманово многообразие
с положительным оператором кривизны, т. е. О < Я,^ р(М) ^ Л;
тогда Н2(М; R) = 0. Если оператор кривизны неотрицателен,
т. е. 0 ^ р (М) ^ Л, то гармонические 2-формы для М суть па-
параллельные тензорные поля.
Используя формулу Гаусса — Бонне, К. Джонсон доказал
следующее:
Теорема 8. Если М — компактное риманово многообразие
четной размерности с положительным оператором кривизны, то
его число Эйлера % (М) положительно.
Следующий результат принадлежит Бохнеру и Яно (Б о х-
нер и Яно [1] и Яно и Бохнер [1] с. 83).
Теорема 9. Если М —компактное п-мерное риманово много-
многообразие с
то все числа Бетти Ьи ...,&„_, для М — нули.
Эллиптический параболоид есть полное односвязное двумер-
двумерное риманово многообразие с положительной секционной кри-
кривизной. Поскольку оно некомпактно, то секционная кривизна не

334
ПРИМЕЧАНИЯ
ограничена снизу положительной константой. Г ром о л и
Майерс [1] показали следующее:
Теорема 10. Полное некомпактное риманово многообразие
размерности >5с положительной кривизной диффеоморфно R".
23. Топология кэлеровых многообразий
положительной кривизны
Пусть М — кэлерово многообразие комплексной размерности п.
В дополнение к секционной кривизне и голоморфной секционной
кривизне, которую мы ввели в § 7 главы IX, определим кэле-
рову секционную кривизну так. Пусть р — плоскость в ТХ(М),
т. е. двумерное вещественное подпространство в ТХ(М). Пусть
X и Y — его ортонормальный базис. Как и в § 7 главы IX,
определим угол а (р) между р и J (р) при помощи cos а (р) =
= \g(X,JY)\. Мы знаем (см. предложение 7.4 главы IX), что
секционная кривизна пространства постоянной голоморфной кри-
кривизны 1 задается как ^-A+3cos2a(p)). Обозначим через К(р)
секционную кривизну для М. Тогда весьма естественно положить
К* (р) = 4/С (р)/A + 3 cos2 а (р)).
Будем называть К* (р) кэлеровой секционной кривизной плоского
сечения р.
Для кэлерова многообразия рассмотрим три вида защеплений.
Говорим, что М есть б-защепленное, если оно является 6-защеп-
ленным как риманово многообразие (см. примечание 22). Мы
говорим, что М есть Ь-кэлерово защепленное, если существует
константа А такая, что
б Л s^ К* (р) ^ А для всех плоскостей р.
Говорим, что М есть Ь-голоморфно защепленное, если существует
константа А такая, что
дА^К* (р) ^А для всех плоскостей р, инвариантных относи-
относительно J.
Теперь пусть X и Y — произвольные касательные векторы для
М ч х. Если мы определим Q (х) так:
Q(x) = R(X, JX, X, JX),
то поляризация дает (см. Бишоп и Гольдберг [2])
R(X,Y, X, Y) = ±[3Q(X + JY) + 3Q(X-JY)
-Q{X-Y)-AQ(X)-4Q(Y)].
ПРИМЕЧАНИЯ
335
Из этого тождества мы можем вывести некоторые соотношения
между тремя защеплениями, введенными выше. В частности (см.
Гольдберг [2]), если М б-голо-
C6 —2)Л</С(р)<Л для всех пло-
Берже [5], Бишоп
морфно защепленное, то
скостей р.
Теперь выпишем некоторые связи между различными пред-
предположениями о защеплениях.
Теорема 1. Полное кэлерово многообразие М комплексной
размерности п голоморфно изометрично комплексному проектив-
проективному пространству Рп(С) с канонической метрикой тогда и
только тогда, когда удовлетворяется одно из следующих трех
условий:
A) М есть -^--защепленное;
B) М есть 1 -голоморфно защепленное;
C) М есть 1 -кэлерово защепленное.
Как установлено в конце § 7 главы IX, случай B) следует
из теорем 7.8 и 7.9 (см. Иг уса [1]). Условие C) явно влечет
условие B). Простыми алгебраическими преобразованиями полу-
получаем B) из условия A) (см. Бе рже [5]).
Теорема 2. Полное Ь-голоморфно защепленное кэлерово много-
многообразие с б > 0 компактно и односвязно.
Доказательство теоремы 2 по существу то же, что и доказа-
доказательство теоремы Майерса (теорема 5.8 главы VIII), как указано
Цукамото [1]. (В доказательстве теоремы 3.3 главы VIII
полагаем Y==J(x), а затем рассуждаем тем же способом, что и
в доказательстве теоремы 5.8 главы VIII.)
Теорема Майерса может быть в кэлеровом случае высказана
так (см. Кобаяси [17]):
Теорема 3. Компактное кэлерово многообразие М с поло-
положительно определенным тензором Риччи односвязно.
В доказательстве используются теорема Майерса, теорема
Римана —Роха (Хирцебрух [3]) и следующий результат
Бохнера (см. Лихнерович [3]):
Теорема 4. Компактное кэлерово многообразие М с поло-
положительно определенным тензором Риччи не допускает ненулевых
голоморфных р-форм при р^ 1. Другими словами, Н^ ° (М; С)=0
для р ^ 1.
Аналогичная теорема для компактного кэлерова многообразия
с положительной голоморфной секционной кривизной неизвестна.
Следующий результат принадлежит Бишопу и Гольд-
Гольдберг у [3].
Теорема 5. Пусть М — полное кэлерово многообразие, ко-
которое или Ь-защепленное с б > 0, или Ь-голоморфно защепленное

336
= 4-. Тогда
ПРИМЕЧАНИЯ
dim#2(M; R)=
Так как прямое произведение двух одинаковых комплексных
проективных пространств будет -^--голоморфно защепленное, то
•у в теореме 5 не может быть понижена. Представляет некото-
некоторый интерес отметить, что -у-голоморфно защепленное кэлерово
многообразие имеет положительно определенный тензор Риччи
(Берже [5]). Теорема 5 влечет, что если М есть произведение
двух компактных комплексных многообразий, то М не может
допускать кэлерову метрику положительной секционной кривизны
или голоморфной защепленности > -~-.
Кэлеров аналог теоремы о сфере был бы таков: если М —
компактное кэлерово многообразие размерности п с положитель-
положительной секционной кривизной, то М голоморфно гомеоморфно Рп(С).
Это, однако, еще не доказано. Раух [3] получил некоторые
подготовительные теоремы в этом направлении. До Кармо[1]
получил кэлеров аналог теоремы сравнения Рауха и использовал
его для доказательства того, что компактное п-мерное кэлерово
многообразие М с кэлеровой защепленностью б > 0,8 имеет то
же кольцо когомологии, что и комплексное проективное прост-
пространство Рп(С) (т. е. Z2). Это число кэлеровой защепленности было
улучшено разными методами. Клингенберг [8] доказал, что
если М имеет кэлерову защепленность 6 > 0,64, то М имеет тот
же гомотопический тип, что и Рп(С). Кобаяси [20] дал число
кэлеровой защепленности у = 0,571 ... На сегодня следующий
результат Клингенберга [8] дает наилучшую оценку кэле-
кэлеровой защепленности.
Теорема 6. Компактное п-мерное кэлерово многообразие
М кэлеровой защепленности >yg = 0,562 ... имеет тот же гомо-
гомотопический тип, что и комплексное проективное пространство
Л, (С).
В то премя как Клингенберг использовал теорию Морса,
Кобаяси свел проблему к теореме о сфере, установив следующее:
Теорема 7. Если М есть компактное кэлерово многообра-
многообразие с кэлеровой защепленностью > б, то существует главное кру-
круговое расслоение Р над М с римановой метрикой, риманова защеп-
защепленность которого больше чем 6/D — 36).
Благодаря теореме 5 доказательство теоремы 7 (Кобаяси
[20]) может быть значительно упрощено.
ПРИМЕЧАНИЯ
337
Доказательство теоремы 7 дает также следующий результат:
Теорема 8. Если М—компактное кэлерово многообразие
с голоморфной защепленностью > б, то существует главное кру-
круговое расслоение Р над М с римановой метрикой, защепленность
которого больше чем C6 — 2)/D— 36).
Теорема 8 есть улучшение Бишопом и Гольдбергом [1]
аналогичного результата Кобаяси [20]. Из теоремы 8 полу-
получается
Теорема 9. Компактное п-мерное кэлерово многообразие
4
голоморфной защепленности > -=- имеет тот же гомотопический.
тип, что и комплексное проективное пространство Рп(С).
Берже [19] доказал, что п-мерное компактное кэлерово-
эйнштейново многообразие М с положительной секционной кри-
кривизной изометрично Рп(С) с канонической метрикой. Для ком-
компактного кэлерова многообразия постоянной скалярной кривизны
так называемая форма Риччи будет гармонической. Из теоремы 5
следует (Бишоп и Гольдберг [4]), что компактное кэлерово
многообразие с постоянной скалярной кривизной и положитель-
положительной секционной кривизной есть эйнштейново многообразие.
Теорема 10. п-мерное компактное кэлерово многообразие
с постоянной скалярной кривизной и положительной секционной
кривизной голоморфно изометрично Рп (С) с канонической мет-
метрикой .
Анализируя доказательство Берже [19], Бишоп иГольд-
берг [4] получили также следующий результат:
Теорема 11. п-мерное компактное кэлерово многообразие
с постоянной скалярной кривизной и голоморфной защепленности
> -к голоморфно изометрично Рп (С) с канонической метрикой.
Для кэлеровых многообразий размерности 2 мы имеем наи-
наилучший возможный результат, принадлежащий Андреотти и
Франкелю (см. Франкель [3]):
Теорема 12. Двумерное компактное кэлерово многообразие
с положительной секционной кривизной голоморфно гомеоморфно-
комплексному проективному пространству Р2(С).
Доказательство опирается на известную классификацию алгеб-
алгебраических поверхностей.
Гольдберг и Кобаяси [3] ввели понятие голоморфной
бисекционной кривизны. Если заданы две /-инвариантные пло-
плоскости р и р' в ТХ(М), то голоморфная бисекционная кривизна
Н(р, р') определяется так:
H(p,p') = R{X, JX,Y, JY),
где X (соотв. Y) — единичный вектор в р (соотв. р'). Весьма
просто проверить, что R (X, JX, Y, JY) зависит лишь от р и р'.

3,38
ПРИМЕЧАНИЯ
Ясно, что Н (р, р) есть голоморфная секционная кривизна, опре-
определяемая плоскостью р. По тождеству Бианки (теорема 5.3
главы III) имеем
H{p,p') = R (X, Y, X, Y) + R (X, JY, X, JY).
Выражение справа есть сумма двух секционных кривизн (с точно-
точностью до постоянных множителей). Мы можем поэтому рассмат-
рассматривать понятие голоморфной бисекционной кривизны как проме-
промежуточное понятие между секционной кривизной и голоморфнсй
секционной кривизной. В теоремах 5, 10 и 12 предположение
о положительности секционной кривизны может быть заменено
предположением о положительности голоморфной биеекционной
кривизны (см. Гольдберг и Кобаяси [3]).
24. Структурные теоремы
об однородных комплексных многообразиях
Первое систематическое изучение компактных однородных
комплексных многообразий было предпринято Ваном [4], кото-
который полностью классифицировал С-пространства, т. е. односвяз-
ные компактные однородные комплексные многообразия. Один из
его главных результатов формулируется в виде следующей
теоремы.
Теорема 1. Пусть К — связная компактная полупростая
группа Ли, Т — тороидальная подгруппа в К, а С (Т)— централи-
централизатор для Т в К- Пусть U — замкнутая связная подгруппа из
К такая, что (С (T))s a U с С (Т), где (С (T))s обозначает полу-
полупростую часть в С(Т). Тогда факшорпространство K/U в случае
четной размерности имеет инвариантную комплексную струк-
структуру. Обратно, каждое С-пространство может быть так полу-
получено.
С-пространство K/U есть голоморфное расслоение над одно-
однородным кэлеровым многообразием К/С (Т) с комплексным торои-
тороидальным слоем U/(C(T))s. Согласно Гото [2] базисное простран-
пространство К/С (Т) проективное алгебраическое и рациональное. Мы
можем сказать, что С-пространство K/U лежит между Kl(C(T))s
(называемым Ваном [4] М-пространством) и однородным кэле-
кэлеровым многообразием К/С(Т).
Этот результат позже обобщили Грауэрт и Реммерт
Теорема 2. Каждое компактное однородное комплексное
многообразие М есть голоморфное расслоение над однородным-
проективным алгебраическим многообразием V с комплексно парал-
лелизуемым слоем F.
Говорят, что комплексное многообразие комплексно паралле-
лизуемо, если его касательное расслоение комплексно аналити-
ПРИМЕЧАНИЯ
339
чески тривиально. Согласно Вану [5] компактное комплексно
параллелизуемое многообразие имеет вид G/D, где G — комплекс-
комплексная группа Ли, a D — ее дискретная подгруппа (см. пример 2.3
главы IX).
Ван показал также, что следующие три условия на С-прост-
ранство K/U эквивалентны: A) U = C(T); B) второе число Бетти
для К/U отлично от нуля; C) число Эйлера для K/U отлично
от нуля. В частности, кэлерово С-пространство необходимо имеет
вид К/С (Т). Следующий результат принадлежит Мацусиме [4]:
Теорема 3. Каждое компактное однородное кэлерово много-
многообразие есть кэлерово прямое произведение кэлеровых С-прост-
ранств и плоского комплексного тора.
Под однородным кэлеровым многообразием мы понимаем, ко-
конечно, кэлерово многообразие, на котором группа голоморфных
изометрических преобразований транзитивна. (См. также
Эппли [2].)
В некомпактном случае результаты не столь полны. Пусть
M = G/H— однородное комплексное многообразие с инвариантным
элементом объема и. В терминах локальной системы координат
г1, ..., zn в М v может быть написано в виде v = Vdzx /\ ...
. . . A dz1 Д • • ¦ Л dzn. Тогда мы определяем эрмитову форму
h = 2 2 hq dz' dzJ' при помощи
Эрмитова форма h определена корректно, т. е. независимо от
выбора локальной системы координат. (Отметим, что та же кон-
конструкция была использована для получения метрики Бергмана
посредством ядерной формы Бергмана в § 6 главы IX.) Косуль [2]
рассмотрел случай, когда каноническая эрмитова форма h невы-
рожденна. Если Н компактна, то однородное комплексное много-
многообразие М — G/H всегда допускает инвариантный элемент объ-
объема v и, следовательно, каноническую эрмитову форму h. Среди
прочего Косулем была доказана
Теорема 4. Пусть М = G/H — однородное комплексное много-
многообразие со связной и полупростой группой G и компактной
группой Н. Если каноническая эрмитова форма h невырожденна, то
A) Н связна;
B) центр в G конечен;
C) число отрицательных квадратов в канонической эрмитовой
форме h равно разности между размерностью максимальной ком-
компактной подгруппы в G и размерностью Н.
Если в теореме 4 h положительно определенная, то Н — мак-
максимальная компактная подгруппа в G. Отсюда выводится
Следствие. Пусть М = G/H — однородное комплексное много-
многообразие со связной и полупростой G и компактной Н. Если.

340
ПРИМЕЧАНИЯ
каноническая эрмитова форма h положительно определенная, то
G/H — эрмитово симметрическое пространство некомпактного
типа.
Это следствие было также получено Б орел ем [1], а позже
обобщено X ано [2] на случай, когда G унимодулярна. Если М—
однородная ограниченная область в С", то М имеет вид GjH
с компактной Я и ее каноническая эрмитова форма h есть не
что иное, как метрика Бергмана на М, и потому положительно
определена. Пятецкий-Шапиро [1], [2] открыл однородные
ограниченные области в О, которые не являются симметриче-
симметрическими.
Хано и Кобаяси [1] рассмотрели случай, когда h вырож-
денна, и получили следующее утверждение:
Теорема 5. Пусть М = GIH—однородное комплексное много-
многообразие с инвариантным элементом объема v. Тогда существует
замкнутая подгруппа L в G, содержащая Н, такая, что
A) G/L — однородное симплектическое многообразие, т. е.
допускает замкнутую 2-форму максимального ранга, инвариант-
инвариантную при действии G;
B) LjH— связное комплексное подмногообразие в G/H и комп-
комплексно параллелизуемо.
В расслоении для GjH над G/L со слоем L/H слои суть мак-
максимальные интегральные подмногообразия в G/H, определяемые
распределением {Х^Т (GjH); h(X, -) = 0\. Неизвестно, будет ли
базисное пространство G/L однородным комплексным, а расслое-
расслоение голоморфным. В специальном случае, когда G полупроста,
a G/H компактно, G/L будет однородным кэлеровым многообра-
многообразием, а расслоение голоморфно (см. Мацусима [7]).
В теоремах 4 и 5 группа G вещественна и обычно далека
от того, чтобы быть комплексной, как это имеет место в случае,
когда M — G/H— ограниченная область. Мацусима [6] рас-
рассмотрел однородные комплексные многообразия G/H тогда, когда
G — комплексная группа Ли, а Н— замкнутая комплексная под-
подгруппа, и охарактеризовал те из них, которые являются много-
многообразиями Штейна.
25. Инвариантные связности на однородных пространствах
1. В § 2 главы X мы обсуждали существование инвариант-
инвариантных аффинных связностей на редуктивных однородных простран-
пространствах. Обратно, если задано дифференцируемое многообразие М
с аффинной связностью, то мы можем спросить, при каких усло-
условиях М допускает транзитивную группу аффинных преобразова-
преобразований. Теорема 2.8 в главе X дает некоторый ответ. Обобщая эту
теорему, К о с т а н т [5] получил такой результат. Пусть V и
ПРИМЕЧАНИЯ
341
•у'—две аффинные связности на дифференцируемом многообра-
многообразии М, и пусть S — тензорное поле типа A, 2), которое есть
разность V' и V, т.е. S(X, Y) = YXY — 4XY> как в предложении
7.10 главы III. Говорим, что V жесткая относительно V', если
5 параллельно относительно V' (т. е. V'S = 0). Результат Костанта
заключается в следующем: пусть V — аффинная связность на
односвязном многообразии М. Тогда М — однородное редуктивное
пространство связной группы Ли с V в качестве инвариантной
аффинной связности в том и только в том случае, когда суще-
существует аффинная связность V' на М такая, что:
A) V' инвариантна при параллелизме (см. т. I, с. 246);
B) V жесткая относительно V';
C) V' полная.
Аналогичный результат был получен Мол и но [1]. Говорим,
что аффинная связность V локально инвариантна относительно
другой аффинной связности V', если каждое из тензорных полей
Т, R, Vm7\ VmR, I <m < оо (а именно, тензорные поля кривизны
и кручения и их последовательные ковариантные дифференциалы),
параллельно относительно V'. Результат Молино гласит:
если аналитическая аффинная связность V на вещественном ана-
аналитическом многообразии М локально инвариантна относительно
другой аффинной связности, то М с V локально изоморфно одно-^
родному пространству с некоторой инвариантной аффинной
связностью.
2. Нгуен Ван Хей [2], [3], [4] изучал условия сущест-
существования инвариантной аффинной связности на (не обязательно
редуктивном) однородном пространстве. Его результат в [5]
обобщает некоторые результаты Номидзу [8], [9] и связан
с проблемой характеризации аффинной связности, которая допу-
допускает транзитивную группу аффинных преобразований. Проблема
характеризации римановых многообразий, которые допускают
транзитивную группу изометрий, изучалась Амброузом и
Зингером [2], Зингером [2], Номидзу [8], [9] (см. при-
примечание 19).
3. В следствии 5.4 главы X мы доказали, что односвязное
естественно редуктивное однородное пространство GjH с инва-
инвариантной римановой метрикой неприводимо (как риманово много-
многообразие), если G проста. Пусть G/H — риманово однородное про-
пространство такое, что G компактна, а число Эйлера %(G///)
отлично от нуля (и, следовательно, положительное). Если G
проста, то G/H — неприводимое риманово многообразие (Хано и
Мацусима [1]). Обратно, если G/H — неприводимое риманово
многообразие, то G проста при условии, что G эффективна на
GjH (Костант [4]). Костант привел пример, который показы-
показывает, что условие на %(GjH) не может быть отброшено. Относи-
Относительно детального анализа групп голономии и их приводимости

342
ПРИМЕЧАНИЯ
для естественно редуктивных однородных пространств и для
произвольных римановых однородных пространств см. Кос тант
[2] и [4] соответственно.
4. Как часть общей проблемы определения всех полных ри-
римановых многообразий со строго положительной кривизной (см.
примечание 22) Б е р ж е [8] изучал компактные однородные
пространства G/H с инвариантной римановой метрикой, которые
естественно редуктивны в смысле следствия 3.6 главы X. В при-
принятых там обозначениях условие, что секционная кривизна по-
положительна, влечет [X, Y] Ф 0 для любых линейно независимых
векторов в подпространстве т. Изучая эти алгебраические усло-
условия для алгебры Ли, он получил все такие пространства и
показал среди прочего, что, за двумя исключениями, такие про-
пространства GjH гомеоморфны, но не обязательно изометричны
компактным римановым симметрическим пространствам ранга 1.
Например, S2n+1 допускает риманову метрику рассмотренного
типа, которая не будет постоянной кривизны. Относительно
исключительных случаев он показал, что они не гомеоморфны
компактным римановым симметрическим пространствам ранга 1.
5. Известно, что кэлерово однородное пространство GjH с ре-
дуктивной группой Ли G есть прямое произведение кэлеровых
однородных пространств Wo, Wx, . . ., Wm, где Wo — центр bG
с инвариантной кэлеровой структурой (следовательно, комплексный
тор) и Wlt . . ., Wn — односвязные кэлеровы однородные простран-
пространства с простой группой Ли(Борель [1], Лихнерович [1],
Мацусима [4]). Хан о и Мац у сим а [1] показали, что это
разложение —в точности разложение де Рама, данное в теореме 8.1
главы IX; они показали, что если G проста, то G/H неприво-
дима,— результат, контрастирующий с римановым случаем, опи-
описанным в п. 3 этого примечания. Они также доказали, что если
G/H — кэлерово однородное пространство с полупростой G, то
разложение алгебры Ли g = m + I) такое, что ad(#)m = m, одно-
однозначно и что если соответствующая каноническая связность сов-
совпадает с кэлеровой связностью, то GjH эрмитово симметрическое.
6. Пусть G/Я — риманово однородное пространство, где G
связна и эффективна на GjH. Если связная линейная группа изо-
изотропии № неприводима, то GjH односвязное и риманово симмет-
симметрическое при условии, что G/H не компактно (результат Мацу-
симы; доказательство см. в приложении к работе На га но [8]).
26. Комплексные подмногообразия
1. Результаты Томаса —Э. Картана и Фиалкова об эйнштей-
эйнштейновых гиперповерхностях М в Rn+1, n > 3, содержащиеся в тео-
теореме 5.3 главы VII, были распространены Фиалковым [1] на
случай гиперповерхностей в вещественных пространственных фор-
ПРИМЕЧАНИЯ
343
мах (т. е. в римановых многообразиях постоянной кривизны с).
Аналогичная проблема для комплексных гиперповерхностей в комп-
комплексных пространственных формах (т. е. кэлеровых многообразиях
постоянной голоморфной секционной кривизны) изучалась Б. Сми-
Смитом [1]. Стандартные модели комплексных пространственных
форм —это комплексное евклидово пространство С" с плоской
метрикой, комплексное проективное пространство Рп(С) с метри-
метрикой Фубини — Штуди (см. пример 6.3 главы IX и пример 10.5
главы XI) и единичный шар Dn(C) с метрикой Бергмана (см.
пример 6.5 главы IX и пример 10.7 главы XI). Смит показал,
что эйнштейнова комплексная гиперповерхность в комплексной
пространственной форме локально симметрична, и доказал сле-
следующую классификационную теорему:
Теорема. Единственными односвязными полными эйнштей-
эйнштейновыми 'комплексными гиперповерхностями М в С"+1 (соотв.
Dn+]_(?)), п^2, являются С" (соотв. ?>„(С)). Единственными
полными эйнштейновыми гиперповерхностями М в Рп + 1(С), п~^ 2,
являются Р„(С) или комплексные квадрики (см. пример 10.6
главы XI).
Соответствующая локальная теорема была доказана Черном
[27]. Такахаси [3] показал, что условие эйнштейновости М
может быть ослаблено до условия, что тензор Риччи S параллелен
на М. Кобаяеи [28] получил следующее частичное обобще-
обобщение: если М — полная комплексная гиперповерхность с посто-
постоянной скалярной кривизной в Рп+1(С), п^2, то М есть или
проективная гиперплоскость Рп(С) или комплексная квад-
квадрика.
2. Продолжая исследования Смита [1], Номидзу и Смит
[1] распространили указанные выше результаты и на случай «= 1,
а также устранили предположение односвязности для М в клас-
классификационной теореме. Они также доказали, что линейная группа
голономии любой комплексной гиперповерхности в Dn+1(C) (соотв.
Рп+1(С)) изоморфна U (п) (соотв. U (п) или 50(п)х51, вторая
возможность возникает, лишь если М—локально комплексная
квадрика). Линейная группа голономии комплексной гиперповерх-
гиперповерхности в С"+1 изучалась также Кербра [1]. Номидзу и Смит
[1] также изучали локальную жесткость и другие родственные
проблемы для комплексных гиперповерхностей.
3. Пусть / — кэлерово (т. е. голоморфное и изометричное) по-
погружение кэлерова многообразия М в кэлерово многообразие М.
Как мы видели в предложении 9.2 главы IX, разность Д (р) го-
голоморфных секционных кривизн для М и М для голоморфной
плоскости, натянутой на единичные векторы X и JX в М, есть
—1| а (А", Х)|2, где а —вторая основная форма. Итак, Д(р)<0.
О'Ней л [4] изучал кэлеровы погружения, для которых Д(р)—

344
ПРИМЕЧАНИЯ
константа для всех голоморфных плоскостей р, и доказал, что
такое погружение вполне геодезическое (т.е. а = 0), если т <
< п (« + 3)/2, где п и т — комплексные размерности для М и М-
Он также показал, что этот результат перестает быть верным
при т = п (п + 3)/2.
4. Относительно других замечаний и результатов о кэлеровых
погружениях см. примечание 18. Относительно некоторых других
результатов и проблем о комплексных подмногообразиях комп-
комплексных проективных пространств см. Черн [19] и Поль [2].
27. Минимальные подмногообразия
Изометрическое погружение / риманова многообразия М в дру-
другое риманово многообразие М называется минимальным, если нор-
нормаль средней кривизны (или ее длина, которая есть средняя
кривизна), определенная в § 5 главы VII, есть нуль. Мы говорим
также в этом случае, что М есть минимальное подмногообразие,
погруженное в М. Локально оно может быть получено как экстре-
экстремаль n-мерного объема при деформациях с фиксированной гра-
границей, где n = dimM (см. Эйзенхарт [IJj.
Вполне геодезическое подмногообразие, конечно, минимально.
Мы показали, что не существует компактных минимальных под-
подмногообразий в евклидовом пространстве (§ 5 главы VII). См. также
пример 1 примечания 14, где дано другое доказательство с исполь-
использованием лапласиана. Тот же результат справедлив, если евкли-
евклидово пространство заменить на односвязное риманово многообразие
с неположительной секционной кривизной (см. О'Н е й л [2]).
См. также Майерс [5].
Франкель [4] доказал следующее. Пусть М — компактное
минимальное подмногообразие, погруженное в полное риманово
многообразие М. Тогда:
A) если М имеет неположительную секционную кривизну, то
фундаментальная группа я1(М) бесконечна;
B) если М имеет положительно определенный тензор Риччи,
то естественный гомоморфизм л^ (М) —* яг(М) сюръективен,
В примечании 14 мы показали,что ^-мерное подмногообразие М
в Sn (г) с R"+1 минимально тогда и только тогда, когда
где х", х1, ..., х" —ортогональная координатная система в Rn+1.
Такахаси [2] доказал, что компактное однородное риманово
многообразие с неприводимой линейной группой изотропии допу-
допускает минимальное погружение в евклидову сферу. Ву-йи Сянь
примечания
345
[1] показал, что каждое риманово однородное пространство G/H
с компактной группой Ли G допускает минимальное погружение
в сферу таким способом, что образ однороден относительно неко-
некоторой подгруппы группы вращений сферы. Относительно даль-
дальнейших результатов о минимальных подмногообразиях сферы
см. Такеучи и Кобаяси [1], Саймоне [2], [3] и К а-
лаби [7].
В комплексном случае известно, что любое комплексное под-
подмногообразие М кэлерова многообразия М минимально. Мы можем
доказать это так. Для любого вектора 5. нормального к М в точке х
из М, имеем симметрический эндоморфизм Л| касательного про-
пространства ТХ(М) такой, что g(AgX, Y) — g(a,(X, Y), g), где g—
метрический тензор, а а — вторая основная форма (см. § 3 главы VII
и § 9 главы IX). Так мы получаем
g{A%JX, Y) = g(a(JX, Y),t),
где J обозначает комплексную структуру. С другой стороны, имеем
g{JA%X, Y) = —g(AtX, JY) = —g(a(X, JY), I).
Поскольку a(JX, Y)=a(X, JY) по предложению 9.1 главы IX,
получаем
iAJX Y) (JAX, Y),
т.е. Л|/ =— J А%. Простые соображения из линейной алгебры
показывают тогда, что Л| = 0. Итак, М минимально в М. Резуль-
Результаты для 2-мерных минимальных поверхностей чрезвычайно об-
обширны, см. Нитше [1], а также Черн [24], [28], Поль [2],
Алмгрен [1], [2].
28. Контактные структуры и структуры, с ними связанные
1. На дифференцируемом многообразии М размерности 2/г + 1
1-форма со называется контактной формой, если со Д (аЪ)" Ф- О
в каждой точке из М. В частности, для R2n+1 с координатами
(г, х1, . . ., х", у1, .. ., у") имеем каноническую контактную форму
m —dz V?. и1 dx{
Локальное преобразование / для R2n+1 называется локальным
контактным преобразованием, если /*со0 = асо„ в области опреде-
определения /, где а —ненулевая дифференцируемая функция. Множество
всех локальных контактных преобразований образует псевдо-
псевдогруппу, которую обозначим через Г.
Контактная структура на Bп+ 1)-мерном дифференцируемом
многообразии М определяется полным атласом, согласованным
с Г в смысле § 1 главы I. Карта (U, ср), принадлежащая такому

346
ПРИМЕЧАНИЯ
атласу, определяет контактную форму соу=ф*со0 на U, и для
двух карт (?/,-, ф,-), t = 1, 2, с непустым Ux П U2 имеем со^ =cci2<B6ri
на ихГ\и2 с некоторой ненулевой функцией а12. 1-форма со на М
называется контактной формой, принадлежащей к данной кон-
контактной структуре, если для любой карты (U, ф) имеем со =
= ссцЫи на U, где <хи — ненулевая функция на U. Автоморфизм/
контактной структуры называется контактным преобразованием;
оно может быть определено как дифференцируемое преобразова-
преобразование / для М такое, что если со — контактная форма, определенная
на открытом подмножестве из М и принадлежащая контактной
структуре, то /*со — контактная форма, принадлежащая контакт-
контактной структуре.
Если дифференцируемое многообразие М размерности 2га+1
допускает контактную форму со, глобально определенную на М>
то со определяет контактную структуру. Это основано на резуль-
результате Э. Картана [19]: каждая точка х из М допускает коор-
координатную систему z, х1, . .., х", у1, . .., уп в окрестности U
такую, что со = с?г— ^/i-iy'dx' на U. Множество таких коорди-
координатных окрестностей образует атлас, согласованный с псевдо-
псевдогруппой Г, и определяет контактную структуру на М.
Обратно, контактная структура на многообразии размерности
2га -\- 1 с четным га допускает глобально определенную контактную
форму, принадлежащую контактной структуре, тогда и только
тогда, когда многообразие ориентируемо (см. Дж. Грей [1] и за-
замечание после теоремы 4.3 в работе Сасаки [3]). С другой
стороны, Bга + 1)-мерное многообразие с контактной структурой
всегда ориентируемо при нечетном п.
Типичная модель для контактного многообразия — это S2n+1.
Действительно, если {х1, . .. ,х2п+2} — естественная система в R2/I+2,
то сужение со на S21 имеет вид
У1±\ (х2'-1 dx2i~x2i dx21'1)
и есть контактная форма на S2"+1. Другой пример—это единич-
единичное кокасательное сферическое расслоение S*(M), а именно,
множество единичных ковекторов риманова многообразия М-
Действительно, если мы возьмем форму со на кокасательном
расслоении Т*{М), определенную в примере 6.10 главы IX, то
ее сужение на S* (М) — контактная форма.
Изучение контактных преобразований восходит к Ли и Эн-
гелю [1]. Псевдогруппа локальных контактных преобразований
есть бесконечная непрерывная простая псевдогруппа в смысле
Э. Картана [19] (см. Черн [3]). Контактные структуры, их
автоморфизмы и деформации изучались Греем [1], Ваном
и Бузби [1]. Последний показал, что компактное контактное
многообразие при определенных условиях есть главное расслоение
над симплектическим многообразием с круговой группой в каче-
ПРИМЕЧАНИЯ
347
стве структурной группы. Расслоение для S2n+1 над Рп(С) из
примера 10.5 дает типичную модель для этих результатов.
2. Известно (см. Черн [3]), что контактная структура на М,
определенная глобальной контактной формой, допускает G-струк-
туру (именно, редукцию структурной группы касательного рас-
расслоения к подгруппе G из GLBra+l; R)) с G = 1 X U (га), состо-
состоящей из всех матриц вида
10 ГО II
0 А — в\
0 В А ||
где Л, б —вещественные матрицы порядка га такие, что A + iB
унитарны. А A х U A))-структура была названа почти контакт-
контактным многообразием Греем [1]. Забыв о каких-либо метриче-
метрических условиях, можно рассмотреть, как это сделал Черн [3],
G-структуру на Bга+1)-мерном многообразии М, где G состоит
из всех матриц вида
|с о о
0 А —В f
OS A
где с > 0, а А и В — вещественные матрицы порядка п. Струк-
Структура тогда аналогична почти комплексной структуре (см. пред-
предложение 3.1 главы IX). Пусть R2n+1 = R+ R2" с координа-
координатой z для R и координатами (х1, ..., хп, у1, . . ., уп) для R2";
группа G действует на R2/J+1, как указано выше. Для каждого
х?М возьмем элемент из G-подрасслоения Р в L (М) такой, что
л(и) = х, и определим, рассматривая и как линейный изоморфизм
RTM
Sx = u(R*") и Jx = uoJ0ou-\
где /0 — линейное преобразование для R2/J+1, задаваемое матрицей
о
о
J =
о —/„
/„ о
Тогда Т" есть одномерное распределение с ориентацией, 5—^га-
мерное распределение, а /—тензорное поле типа A,1) такое, что
J = 0 на Т°, а /2=—1 на S. Эта структура называется почти
кокомплексной структурой в работе Б у зон а [1]. Сасаки [5]
определил по существу ту же структуру слегка отличным спо-
способом; он использовал тройку (ф, |, ц), где ф—-тензорное поле
типа A,1), g—векторное поле, а г\—1-форма, удовлетворяющая
условиям т](?)=1 и ф2=:—1+S®1!- В любом случае такая
структура имеет близкую аналогию с почти комплексной структу-
структурой, а аналогия с эрмитовой метрикой может быть определена
как риманова метрика g, в которой Т" и S ортогональны и кото-

348
ПРИМЕЧАНИЯ
рая эрмитова на каждом Sx относительно комплексной струк-
структуры, задаваемой сужением Jх на Sx. Если М — вещественная
гиперповерхность (размерности 2п+1), вложенная в почти эрми-
эрмитово многообразие М размерности 2я + 2, то существует естествен-
естественная почти кокомплексная структура вместе с такой метрикой.
С другой стороны, если М есть почти кокомплексная струк-
структура, то мы можем определить почти комплексную структуру
для M = MxR так:
/=/ на S, J(Z)=W, J(W) = — Z,
где Z—ненулевое векторное поле в направлении Т°, a W обоз-
обозначает стандартное векторное поле на вещественной линии R.
Более общо, если Mt и М2 — многообразия с почти кокомплекс-
ными структурами, то MjXMj допускает почти комплексную-
структуру. С этой точки зрения Моримото [4] получил обоб-
обобщение результата Калаби—Экмана о том, что S2-P+1xS2l'r+1 до-
допускает комплексную структуру (см. пример 2.5 главы IX).
По поводу различных результатов о почти кокомплексных
структурах (или почти контактных структурах) см. Б у зон [1]:
и Сасаки [3], [4] и ссылки, содержащиеся там.
3. Я но [11] объединил понятия почти комплексной и почти
кокомплексной структур, рассмотрев тензорное поле / типа A,1)-
б М /3 / 0 f
на /г-мерном многообразии М такое, что /3 + / = 0 и ранг для f
всюду равен константе k. Очевидно, k четное. В случае, когда
k—n (четное), / есть почти комплексная структура. В случае,
когда k = 2m, a n = 2m+l, имеем по существу почти кокомп-
лексную структуру. В общем случае каждое касательное прост-
пространство Тх разлагается в прямую сумму T'lJ + S*» где
ТХ={Х?ТХ(М); fX=0\
и
как легко следует из рассмотрения минимального многочлена.
Итак, получаем два дополнительных распределения Т" и 5 раз-
размерностей п — k и k (четное) соответственно. Об изучении этих,
структур см. Яно и Исихара [1] и ссылки, приведенные там.
Более общо, структура, определенная набором взаимно допол-
дополнительных распределений Т;, l^.i^.k, называется структурой
почти произведения. У о к ер [7] изучал существование аффинных,
связностей, связанных с такой структурой. См. также Уокер'
[3], [4], [5], Уилмор [1]—[6], Э. Кобаяси [1]—[3], Леман
и Лежен [1], [2], Кларк [1], Кларк и Брукхеймер [1],
К ур ит а [4].
4. Контактные формы и контактные преобразования могут
быть определены для комплексного многообразия М комплексной
ПРИМЕЧАНИЯ
349
размерности 2п+1. Комплексная контактная форма на М есть
голоморфная 1-форма со такая, что со Л <2со" ^ 0 всюду. На С2"+1
с комплексными координатами имеем стандартную контактную
форму
Локальное контактное преобразование для С2л+1 есть локальное
голоморфное преобразование / такое, что /*со0 = асо0, где а — не-
ненулевая голоморфная функция. Определение комплексной кон-
контактной структуры теперь аналогично вещественному случаю.
Относительно основных результатов см. Ш. Кобаяси [13].
Комплексная контактная структура допускает глобально опреде-
определенную комплексную контактную форму тогда и только тогда,
когда первый класс Черна сг(М) есть нуль. Бузби [3], [4]
изучал однородные комплексные контактные многообразия, исполь-
используя результаты Вана о С-пространствах (см. примечание 24). (См.
также Вольф [8].).

БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I и II
Абрахам (AbrahamR.)
ll] Piecwise differentiable manifolds and the space-time of general relativity.—
J. Math. Mech., 1962, 11, p. 553—592.
А в е (Avez A.)
[1] Formule de Gauss — Bonnet —Chern en metrique de signature quelconque.—
С. г. Acad. Sci Paris, 1962, 255, p. 2049—2051; De Revista de la Union
Mat. Argentina, 1963, 21, p. 191—197.
[2] Applications de la formule de Gauss—Bonnet—Chern aux varietes a quatre
dimensions.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1963, 256, p. 5488—5490.
[3] Espaces harmoniques compactes.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1964, 258, p.
2727—2729.
[4] Essais de geometrie riemannienne hyperbolique globale.— Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), 1963, 13, № 2, p. 105—190.
[5] Index des varietes de dimension 4.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1964, 259,
p. 1934—1937.
[6] Valeur moyenne du scalaire de courbure sur une variete compacte. Appli-
Applications relativistes,— С r. Acad. Sci. Paris, 1963, 256, p. 5271—5273.
[7] Remarques sur les varietes de dimension 4.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1967,
264, p. 738—740.
[8] Conditions necessaires et suffisantes pour qu'une variete soit un espace
d'Einstein.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1959, 249, p. 1113—1115.
Ада мар (Hadamard J.)
[1] Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geodesiques.— J. Math.
Pures Appl., 1898, 4, p. 27—73.
Адаме (Adams J. F.)
[1] On the non-existence of elements of Hopf invariant one.— Ann. Math.,
1960, 72, p. 20—104.
Адлер (Adler A. W.)
[1] Characteristic classes of homogeneous spaces.— Trans. Amer. Math. Soc,
1957, 86, p. 348—365.
[2] A characteristic relation in fibre bundles.— Amer. J. Math., 1957, 79, p.713—
724.
[3] Classifying spaces for Kaehler metrics, I.— Math. Ann., 1963, 152, p. 164—
184; II.—Math. Ann., 1964, 154, p. 257-266; III.—Math. Ann., 1964,
156, p. 378—392; IV.—Math. Ann., 1965, 160, p. 41—58.
[4] Integrability conditions for almost complex structures.— Michigan Math.
J., 1966, 13, p. 499—505.
А к и в и с М. А.
[1] О геодезических лупах и локальных тройных системах пространств
аффинной связности.—Сиб. матем. ж., 1978, 19, № 2, с. 243—253.
Александер (Alexander S. В.)
[1] Reducibility of Euclidean immersions of low co-dimension: Thesis.— Univ.
of Illinois, 1967.
Александров А. Д.
[1] Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей.— М.; Л.: Гостехиздат,
1948.
[2] Одна общая теорема единственности для замкнутых поверхностей.—
ДАН СССР, 1938, 19, с. 233—236.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ If И II
351
поверхностей в целом, I.— Вестн. ЛГУ,
58,
[3] Теоремы единственности для
1956, 11, № 19, с. 5—7.
[4] A characteristic property of spheres.— Ann. Mat. Рига Appl., 1962
p. 303—315.
Алексеевский Д. В.
[1] Группы голономии римановых пространств.— Укр. матем. ж., 1967,
79, с. 100—104.
Алламижон (Allamigeon А. С.)
[1] Espaces homogenes symetriques harmoniques a groupe. semi-simple.-— C. r.
Acad. Sci. Paris, 1956, 243, p. 121—123.
[2] Espaces harmoniques decomposables.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1957, 245,
p. 1498—1500.
[3] Espaces homogenes symetriques harmoniques.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1958, 247, p. 1004—1005.
[4] Quelques proprietes des espaces homogenes reductifs a groupe nilpotent.—
С. г. Acad. Sci Paris, 1958, 247, p. 628—631.
[5] Proprietes globales des espaces de Riemann harmoniques.— Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), 1965, 15, p. 91—132.
Аллендорфер (AHendoerfer С. В.)
[1] Rigidity for spaces of class greater than one.— Amer. J. Math., 1939, 1,
p. 633—644.
[2] The Euler number of a Riemannian manifold.— Amer. J. Math., 1940,
62, p. 243—248.
[3] Global theorems in Riemannian geometry.— Bull. Amer. Math. Soc,
1948, 54, p. 243—248.
[4] Einstein spaces of class one.— Bull. Amer. Math. Soc, 1937, 43, p. 265—270.
Аллендорфер и Вейль (Allendoerfer С. В., Weil A.)
[1] The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polyhedra.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1943, 53, p. 101 — 129.
Аллендорфер и Иле (Allendoerfer С. В., Eelles J., Jr.)
[1] On the cohomology of smooth manifolds.— Comment. Math. Helv., 1958,
32, p. 165—179.
А л м г р е н (Almgren F. J., Jr.)
[1] Three theorems on manifolds with bounded mean curvature.— Bull. Amer.
Math. Soc, 1965, 71, p. 755—756.
[2] Some interior regularity theorems for minimal surfaces and extension of
Bernstein's theorem.— Ann. Math., 1966, 84, p. 277—292.
А м б p о у з (Ambrose W.)
[1] Parallel translation of Riemannian curvature.— Ann. Math., 1956, 64,
p. 337—363.
[2] The Cartan structural equations in classical Riemannian geometry.— J.
Indian Math. Soc, 1960, 24, p. 23—76.
Higher order Grassmann bundles.— Topology, 1964, 3, Suppl. 2, p. 199—
238.
[4] The index theorem in Riemannian geometry.— Ann. Math., 1961, 73,
p. 49—86. (См. Такахаси[1]по поводу исправлений.)
Амброуз и Зингер (Ambrose W., Singer J. M.)
[1] A theorem on holonomy.— Trans. Amer. Math. Soc, 1953, 75, p. 428-—
443.
[2] On homogeneous Riemannian manifolds.— Duke Math. J., 1958, 25, p.
647—669.
А о м о т о (Aomoto K.)
[1] L'analyse harmonique sur les espaces riemanniens a courbure riemannienne
negative I.—J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1966, 13, p. 85—105.
А п т (Apte M.)
[1] Sur certaines classes caracteristiques der varietes kahleriennes compactes.—
С. г. Acad. Sci. Paris, 1955, 240, p. 149—151.
[3]

352
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
353
64, р. 255—259.
1956, 7, р. 685—
Ант и Лихнерович (Apte M., Lichnerowicz A.)
[1] Sur les transformations affines d'une variete presque hermitienne compa-
cte.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1956, 242, p. 337—339.
Араки (Araki S.)
[1] On root systems and an infinitesimal classification of irreducible symmet-
symmetric spaces.— J. Math. Osaka City Univ., 1962, 13, p. 1—34.
Араньоль (Aragnol A.)
[1] Sur la geometrie differentielle des espaces fibres.— Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 1958, 75, p. 257—407.
Арене (Arens R.)
[1] Topologies for homeomorphism groups.— Ann. Math., 1946, 68, p. 593—
610.
Арнольд В. И.
[1] Sur la courbure de Riemann der groupes de diffeomorphismes.— С. г. Acad.
Sci. Paris, 1965, 260, p. 5668—5671.
A p т и н (Artin E.)
[1] Geometric Algebra.— N. Y.: Interscience, 1957. [Русский перевод: Ар-
тин Э. Геометрическая алгебра.— М.: Наука, 1969.]
А т ь я (Atiyah M. F.)
[1] Complex analytic connections in fibre bundes.— Trans. Amer. Math. Soc,
1957, 85, p. 181—207; Intern. Symp. Algebraic Topology, Mexico City,
1958, p. 77—82.
Атья и Ботт (Atiyah M. F., Bott R.)
[1] A Lefshetz fixed point formula for elliptic differentials operators.— Bull.
Amer. Math. Soc, 1966, 72, p. 245—250.
Ауслендер' Л. (Auslander L.)
[1] Examples of locally affine spaces.— Ann. Math., 1956,
[2] On holonomy covering spaces.— Proc. Amer. Math. Soc,
689.
[3] On the group of affinities of locally affine spaces.— Proc. Amer Math
Soc, 1958, 9, p. 471—473.
[4] Some compact solvmanifolds and locally affine spaces.— J. Math. Mech ,
1958, 9, p. 963—975.
[5] On the sheeted structure of compact locally affine spaces.— Michigan Math
J., 1958, 5, p. 163—168.
[6] Bieberbach's theorems on space groups and discrete uniform subgroups
of Lie Groups.— Ann. Math., 1960, 71, p. 579—590; II.— Amer. J. Math.,
1961, 83, p. 276—280.
[7] On the theory of solvmanifolds and generalizations with applications to
differential geometry.— Proc. Symp. Pure Math. (Tucson), 3, Amer. Math.
Soc, 1961, p. 138—143.
[8] On the Euler charactersitic of compact locally affine spaces.— Comment.
Math. Helv., 1961, 35, p. 25—27; II.— Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67,
p. 405—406.
[9] The structure of complete locally affine manifolds.— Topoiogy, 1964, 3,
Sup.l, p. 131—139.
[10] Four-dimensional compact locally Hermitian manifolds.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1957, 84, p. 379—391.
Ауслендер Л. и Ауслендер М. (Auslander L., Auslander M.)
[1] Solvable Lie groups and locally Euclidean Riemann spaces.— Proc Amer.
Math. Soc, 1958, 9, p. 933—941.
Ауслендер Л., Грин и Хан (Auslander L., Green L., Hahn F.)
[1] Flows on Homogeneous Spaces.— Princeton (N. J.): Princeton Univ.
Press., 1963.
Ауслендер Л. иКураниси (Auslander L., Kuranishi M.)
[1] On the holonomy group of locally Euclidean spaces.— Ann. Math., 1957,
65, p. 411—415.
Ауслендер Л. нМаркус (Auslander L., Markus L.)
[1] Holonomy of flat affinely connected manifolds.— Ann. Math., 1955 62
p. 139—151.
[2] Flat Lorentz 3-manifold.—Mem. Amer. Math. Soc, 1959, 30.
Ауслендер Л. и Щарба (Auslander L., Szczarba R. H.)
[1] Characteristic classes of compact solvmanifolds.— Ann. Math., 1962, 76,
p. 1—8.
Б а (Ва В.)
[ll Structures presque complexes, structures conformes et derivations,—Ca-
hiers de Topologie et Geometric Differentielle, 1966, 13, p. 1—74.
Б а р б а н ж (Barbange C.)
[1] Transformations conforme d'une variete riemannienne compacte.— C. r.
Acad. Sci. Paris,1965, 260, p. 1547—1549.
[2] Decomposition d'un tenseur symetrique sur un espace d'Einstein.— С. г.
Acad. Sci. Paris, 1964, 258, p. 5336—5338.
де Баррос (de Barros С. М.)
[1] Espaces infinitesimaux.— Cahiers de Topologie et Geometrie Differen-
Differentielle, 1965, 7.
[2] Varietes hor-symplectiques.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1964, 259, p. 1291—
1294.
[3] Varietes presque hor-complexes.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1965, 260,
p. 1543—1546.
[4] Operateurs infinitesimaux sur l'algebre des formes differentielles exterieu-
res.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1965, 261, p. 4594—4597.
[5] Sur la construction d'operateurs infinitesimaux gradues.— С. г. Acad.
Sci. Paris, 1966, 263, p. 72—75.
Белоусов В. Д.
[1] "Основы теории квазигрупп и луп.— М.: Наука, 1967.
Бензекри (Benzecri J. P.)
[1] Sur les varietes localement affines et localement projectives.— Bull. Soc
Math. France, 1960, 88, p. 229—332.
[2] Sur la classe d'Euler de fibres affins plats.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1965,
260, p. 5442—5444.
Бервальд (Berwald L.)
[1] Una forma invariante della secocla variazione.— Rendicontr dei Lincei,
1928, 7, p. 301—306.
Берг м.а н (Bergman S.)
[1] Uber die Kernfunktion eines Bereiches und ihr Verhalten am Rande.—
J. reine angew. Math., 1933, 169, p. 1—42; 1935, 172, p. 89—128.
Б е р ж е (Berger M.)
[1] Sur les groupes d'holonomie des varietes a connexion affine et des varietes
riemanniennes.— Bull. Soc. Math. France, 1955, 83, p., 279—330.
[2] Les espaces symetriques noncompacts.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.,
1957, 74, p. 85—177.
[3] Les varietes riemanniennes a courbure positive.— Bull. Soc. Math. Belg.,
1958, 10, p. 89—104.
[4] Varietes riemanniennes a courbure positive.-- Bull. Soc. Math. France,
1959, 87, p. 285—292.
[5] Pincement riemannien et pincement holomorphe.— Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa, 1960, 14, p. 151—159. Correction-.—Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa, 1962, 16, p. 297.
[6] Sur quelques varietes riemanniennes suffisam°nt pinces.— Bull. Soc. Math.
France, 1960, 88, p. 57—71.
[7] Les varietes riemanniennes т-pincees.— Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,
1960, 14, p. 161 — 170.
12 3ax. 425

354
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
[8] Les varietes riemanniennes homogenes normales simplement connexes a
courbure strictment positive.— Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1961. 15,
p. 179—246.
[9] Sur quelques varietes d'Einstein rompactes.— Ann. Mat. Рига Appl.,
1961, 53, p. 89—95.
[10] Sur les varietes a courbure positive de diametre minimum.— Comment.
Math. Helv., 1961, 35, p. 28—34.
[11] Sur les varietes a operateur de courbure positif.— С. г. Acad. Sci. Paris,
1961, 253, p. 2832—2834.
[12] Les spheres parmi les varietes d'Einstein.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1962,
254, p. 1564—1566.
[13] An extension of Rauch's metric comparison theorem and some applica-
applications.— Illinois J. Math., 1962. 6, p. 700—712.
[14] On the characteristic of positively pinched Riemannian manifolds.—Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1962, 48, p. 1915—1917.
[15] Les varietes riemanniennes dont la courbure satisfait certaines conditions.—
Proc. Intern. Congr. Math. Stockholm, 1962, p. 447—456.
[16] Sur les varietes D/23)-pincees de dimension 5.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1963, 257, p. 4122—4125.
[17] Les varietes kahleriennes compactes d'Einstein de dimension quatre a
courbure positive.— Tensor, 1963, 13, p. 71—74.
[18] Sur quelques varietes riemanniennes compactes d'Einstein.— C. r. Acad.
Sci. Paris, 1965, 260, p. 1554—1557.
[19] Sur les varietes d'Einstein compactes.— С. г. Ille Reunion Math. Expres-
Expression latine, Namur, 1965, p. 35—55.
[20] Trois remarques sur les varietes riemanniennes a courbure positive.— C. r.
Acad. Sci. Paris, 1966, 263, p. 76—78.
[21] Remarques sur les groupes d'holonomie des varietes riemanniennes.— C. r.
Acad. Sci. Paris, 1966, 262, p. 1316—1318.
[22] Sur le spectre d'une variete riemannienne.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1966,
263, p. 13—16.
Берже и Ботт (Berger M., Bott R.)
[1] Sur les varietes a courbure strictement positive.— Topology, 1962, 1, p. 301 —
311.
Бернард (Bernard D.)
[1] Sur la geometrie differentielle des G-structures.— Ann. Inst. Fourier (Gre-
(Grenoble), i960, 10, p. 151—270.
Б е ц (Beez R.)
[1] Zur Theorie der Krummungmasses von Mannigfaltigkeiten hoherer Ord-
nung.—Z. Math. Phys., 1876, 21, S. 373—401.
Б и б е р..б a x (Bieberbach L.)
[1] Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I,— Math.
Ann., 1911, 70, p. 297—336; II.- Math. Ann., 1912, 72, p. 400—
412.
[2] Uber die Minkowskische Reduktion der positiven quadratischen Formen
und die endliche Gruppen linearer ganzzahlige Substitutionen.— Gottin-
?en Nachr., 1912, S. 207—216.
[3] Uber topoiogischen Typen der offenen Euklidischen Raumformen.— Sit-
zungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1929, S. 612.
[4] Eine singularitatfreie Flache konstanter negativer Krummung im Hilbert-
schen Raum.— Comment. Math. Helv., 1932, 4, S. 248—255.
Бибед. бахиШур (Bierbach L., Schur I.)
[1] Uber die Minkowskische Reduktiontheorie der positiven quadratishen For-
Formen.— Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1928, S. 510—535.
Б н ш о п P. (Bishop R. L.)
[1] The holonomy algebra of immersed manifolds of co-dimension two.— J.
Differential Geometry.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
355
Б*и шоп Р. иГольдберг (Bishop R. L., Goldberg S. I.)
[lj On the topology of positively curved Kaehler manifolds.— Tohoku Math
J., 1963, 15, p. 359—364. "
[2] Some implications of the generalized Gauss-Bonnet theorem — Trans
Amer. Math. Soc, 1964, 112, p. 508—535.
[3] On the 2nd cohomology group of a Kaehler manifold of positive curvature.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1965, 16, p. 119—122.
[4] On the topology of positively curved Kaehler manifolds II.— Tohoku
Math. J., 1965, 17, p. 310—318.
[5] Rigidity of positively curved Kaehler manifolds.— Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1965, 54, p. 1037—1041.
[6] A characterization of the Euclidean sphere.— Bull. Amer. Math. Soc,
1966, 72, p. 122—124.
Бишоп Р. иКриттенден (Bishop R. L., Crittenden R. J.)
[1] Geometry of manifolds.— N. Y.: Academic Press, 1964. [Русский перевод:
Бишоп Р. Л., Кр иттенденР. Дж. Геометрия многообразий.—
М.: Мир, 1967.]
Бишоп Э. (Bishop E.)
[1] Partially analytic spaces.— Amer. J. Math., 1961, 83, p. 669—692.
Б л а н у ш a (Blanusa D.)
[1] Eine isometrische und singularitatenfreie Einbettung des ra-dimensionalen
hyperbolischen Raumes im Hilbertschen Raum.— Monatsh. Math.,,1953,
57, S. 102—108.
[2] Uber die Einbettung hyperbolischer Raume in euklidische Raume.— Mo-
Monatsh. Math., 1955, 59, S. 217—229.
Б л а н ш а р (Blanchard A.)
[1} Sur les varietes analytiques complexes.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.,
1956, 73, p. 157—202.
Бляшке (Blaschke W.)
[1] Einfuhrung in die Geometrie der Waben.— Basel; Stuttgart: Birkhauser
Verlag, 1955. [Русский перевод: Бляшке В. Введение в геометрию
тканей.— М.: Физматгиз, 1959.1
Б о к а к (Bonan E.)
[1] Structure presque quaternale sur une variete differentiable.— С. г. Acad.
Sci. Paris, 1965, 260, p. 5445—5448.
[2] Sur des varietes riemanniennes a groupe d'holonomie G2 ou Spin G).— С. г.
Acad. Sci. Paris, 1966, 261, p. 127—129.
[3] Structures presque quaternioniennes.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1964, 258,
p. 792—795.
[4] Connexions presque quaternioniennes.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1964, 258,
p. 1696—1699.
[5] Structures presque hermitiennes quaternioniennes.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1964, 238, p. 1988—1991.
Бонне (Bonnet O.)
[1] Sur quelques proprietes des lignes geodesiques.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1855, 40, p. 1311—1313.
[2] Memoire sur la theorie des surfaces аррНсзЫев sur une surface donnee.—
J. Ecole Polytechnique, 1867, 42.
Б о р е л ь (Borel A.)
[1] Kahlerian coset spaces of semi-simple Lie groups.— Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1954, 40. p. 1147—1151.
[2*] lopology of Lie groups and characteristic classes.— Bull. Amer. Math.
Soc, 1955, 61, p. 397—432.
[3] On the curvature tensor of the Hermitian symmetric manifolds.— Ann.
Math., 1960, 71, p. 508—521.
[4] Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie.— Seminaire Bour
baki, Expose 33, !950.
12* 3a;;. 425

356
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
357
Борель и Лихнерович (Borel A., Lichnerowicz A.)
[1] Groupes d'holonomie des varietes Riemanniennes.— С. г. Acad. Sci. Paris,
1952, 234, p. 1835—1837.
[2] Espaces riemanniens et hermitiens symetriques.— С. г. Acad. Sci Paris,
1952, 234, p. 2332—2334.
Боре ль и Реммерт (Borel A., Remmert R.)
11] liber kompakte homogene Kahlersche Mannigfaltipkeiten.— Math. Ann
1961/62, 145, S. 429—439.
Борель и Cepp (Borel A., Serre J. P.)
il] Determination des /?-puissances reduites de Sleenrod dans la cohomologie
des groupes classiques, Applications.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1951, 233
p. 680—682.
Борель и Хирцебрух (Borel A., Hirzebruch F.)
[1] Characteristic classes on homogeneous spaces I.— Amer. J. Math , 1958
80, p. 458—538; II,— Amer. J. Math., 1959, 81, p. 315—382; III.— Amer.
J. Math. 1960, 82, p. 491—504.
Б ott (Bott R.)
[1] Non-generate critical manifolds. — Ann. Math., 1954, 60, p. 248—
261.
[2] On manifolds all of whose geodesies are closed.— Ann. Math., 1954, 60.
[3] An application of the Morse theory to the topology of Lie groups.— Bull
Soc. Math. France, 1956, 84, p. 251—281.
i4] Homogeneous vector bundles — Ann. Math., 1957, 66, p. 203—248.
[5] Vector fields and characteristic numbers.— Michigan Math. J., 1967, 14
p. 231—244.
Ботт и Черн (Bott R., Chern S. S.)
[1] Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeros of their
holomorphic sections.— Acta Math., 1965, 114, p. 71—112.
Б о x н e p (Bochner S.)
[1] Vector fields and Ricci curvature.— Bull. Amer. Math. Soc, 1946, 52,
p. 776—797.
[2] Curvature in Hermitian metric— Bull. Arner. Math. Soc, 1947, 53, p.
179—195.
[3] On compact manifolds.—J. Indian Math. Soc, 1947, 11, p. 1—21.
[4] Curvature and Betti numbers.— Ann. Math., 1948, 49, p. 379—390; II.—
Ann. Math., 1949, 50, p. 77—93. (По поводу исправлений см. Б о х н е р
и Я н о [1].)
[5] Euler-Poincare characteristic for localiy homogeneous and complex spaces.—
Ann. Math., 1950, 51, p. 241—261.
[6] Tensor fields with finite bases. - Ann. Math., 1951, 53, p. 400—411.
[7] Tensor fields and Ricci curvature in Hermitian metric.— Proc Nat. Acad.
Sci. USA, 1951, 37, p. 704—706.
i8] Vector fields on Riemannian spaces with boundary.— Ann. Mat. Рига
Appl. D), 1961, 53, p. 57—62.
Бох нер и Монтгомери (Bochner S., Montgomery D.)
[1] Locally compact groups of differentiable transformations.— Ann. Math.,
1946, 47, p. 639—653.
[2] Groups on analytic manifolds.— Ann. Math. 1947, 48, p. 659—669.
[3] Groups of differentiable and real or complex analytic transformations.—
Ann. Math., 1945, 46, p. 685—694.
Бохнер и Яно (Bochner S., Jano K.)
[1] Tensor fields in non-symmetric connections — Ann. Math., 1952, 56, p.
504—519.
Бремерман (Вгегпггтапп Н.)
[1] Holomorphic continuation of the kernel function and the Bergman metric
in several complex variables.— Lectures on Functions of a Complex Variab-
Variable. Univ. Michigan Press, 1955, p. 349—383.
1967,
08
о p
у к
111
Б р и к е л л (Brickell F.)
[1] Differentiable manifolds with an area measure.— Canad. J Math
p. 540—549.
Брискорн (Brieskorn E.)
[1] Ein Satz uber die komplexen Quadriken.- Math. Ann., 1964, 154, S. 184—
193.
(Bruck R. H.)
Survey of Binary System.— 3 ed.— Berlin: Springer, 1971.
Б у з б и (Boothby W.)
[1] Some fundamental formulas for Hermitian manifolds with non-vanishing
torsion.— Amer. J. Math., 1954, 76, p. 509—534.
[2] Hermitian manifolds with zero curvature.— Michigan Math. J., 1958, 5,
p. 229—233.
[3] Homogeneous complex contact manifolds.— Proc. Symp. Pure Math.,
Amer. Math. Soc, 1961, 3, p. 144—154.
[4] A note on homogeneous complex contact manifolds.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1962, 13, p. 276—280.
Бузби и Ван (Boothby W., Wang H. C.)
[1] On contact manifolds.—Ann. Math., 1958, 68, p. 721—734.
Бузби, Кобаяси и Ван (Boothy W., Kobayashi S., Wang H. C.)
[1] A note on mappings and automorphisms of ;>lmost complex manifolds.—
Ann. Math., 1963, 77, p. 329—334.
Б у з е м а н (Busemann H.)
[1] Similarities and differentiability.— Tohoku Math.
67.
[2] Convex Surfaces.— N. Y.: Interscience, 1958.
[3] Spaces with finite groups of motion.— J. Math. Pure Appl., 1958, 37,
p. 365—373.
[4] The Geometry of Geodesies.— N. Y.:
перевод: Буземан Г. Геометрия
1982.]
Б у з о н (Bouzon J.)
[1] Structures presque-cocomplexes.— Univ.
Nat., 1964/65, 24, p. 53—123.
Б у р б а к и (Bourbaki N.)
[1] Elements de Mathematique. Livre I: Theorie des ensembles. Ch. I, II.—
2ed.— Paris: Hermann, 1960. Ch. III.— Paris: Hermann, 1956. Ch. III.—
Paris: Hermann, 1957. Fascicules de resultats.-- 3ed.— Paris: Hermann,
1958. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы математики. Книга
первая: Теория множеств.— М.: Мир, 1965.1
[2] Elements de Mathematique. Livre II: Algebre.--Paris: Hermann, 1960.
[Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы математики. Книга вторая:
Алгебра. Гл. 1—III.—M.: Физматгиз, 1962. Гл. IV—VI.—М.: Наука,
1965. Гл. VII—VIII.— М.: Наука, 1966.]
[3] Elements de Mathematique. Livre III: Topologie Generate.—3 ed.— Paris:
Hermann, 1967. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы мате-
математики. Книга третья: Общая топология. Гл. I—II.— М.: Наука,
1968. Гл. III—VIII.—М.: Наука,- 1969. Гл. IX—X.—М.: Наука,
1975.]
[4] Elements de Mathematique. Livre IV: Functions d'une variable reelle.—
Paris: Hermann, 1963. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы
математики. Книга четвертая: Функции действительного переменного.
М.: Наука, 1965.]
[5] Elements de Mathematique. Livre V: Espaces vectoriels topologiques.—
Paris: Hermann, 1958. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы мате-
математики. Книга пятая: Топологические векторные пространства.— М.:
ИЛ, 1959.]
J., 1957, 9, р. 56—
Academic Press, 1955. [Русский
геодезических.—М.: Физматгиз,
et PoHtechn. Torino Rend. Sem.

358
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[6] Elements de Mathematique. Livre VI: Integration.— Paris: Hermann, 1965.
[Русский перевод: Б у р б а х и Н. Элементы математики. Книга шестая:
Интегрирование. Гл. I—V.— М.: Наука, 1967. Гл. VI—VIII.— М.: Нау-
Наука, 1970. Гл. III—V третьего издания и гл. IX.— М.: Наука, 1977.]
[7] Elements de Mathematique. Algebre commutative. Ch. I—II.— Paris:
Hermann, 1961. Ch. Ill—IV.— Paris: Hermann, 1961.— Ch. V—VI. Paris:
Hermann, 1964. Ch. VII.— Paris: Hermann, 1965. [Русский перевод: Бур-
Бурбаки H. Элементы математики. Коммутативная алгебра.— М.: Мир,
1971.]
[8] Elements de Mathematique. Groupes et algebres de Lie.— Paris: Hermann,
1970. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы математики. Группы
и алгебры Ли. Гл. I—III.— М.: Мир, 1976. Гл. IV—VI,— М.: Мир, 1972.
Гл. VII—VIII.—М.: Мир 1978.]
[9] Elements de Mathematique. Theorie spectrales, ch. I—II.— Paris: Hermann,
1967. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы математики. Спект-
Спектральная теория, гл. I—II.— М.: Мир, 1972.]
[10] Elements de Mathematique. Varietes diiferentielles et analytiques. Fasci-
Fascicule de resultats. §§ 1—7,—Paris: Hermann, 1967. §§ 8—15.—Paris:
Hermann, 1971. [Русский перевод: Бурбаки Н. Элементы матема-
математики. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка резуль-
результатов.— М.: Мир, 1975.]
Б у р с т и н Ц. Л.
-. [1] Ein Beitrag zum Theorie der Einbettung der Riemannschen Raume in eukli-
dischen Raume.— Матем. сб., 1931, 38, № 3—4, с. 74—85.
[2] Beitrage der Verbiegung von Hyperflachen in euklidischen Raume.— Матем.
сб., 1931, 38, № 3—4, с. 86—93.
В а й н ш т е й н (Weinstein A. D.)
[1] The cut locus and conjugate locus of a Riemannian manifold.— Ann. Math.,
1968, 87, p. 29—41.
[2] On the homotopy type of positively-pinched manifolds.— Arch. Math.,
1967, 18, p. 523—524.
[3] A fixed point theorem for positively curved manifolds.— J. Math. Mech.,
1968, 18, p. 149—153.
В а й с м а н (Vaisman Izu)
[1] Sur quelques formules du calcul de Ricci global.— Comment. Math. Helv.,
1966/67, 41, p. 73—87.
Вакакува (Wakakuwa H.)
[1] On affinely connected manifolds with homogeneous holonomy groups
GL(n, Q)XT1.— Tohoku Math. J., 1959, 11, p. 364—375.
[2] Remarks on 4-dimensional differentiable manifolds.— Tohoku Math. J.,
1964, 16, p. 154—172.
Ван iWang H. C.)
[1] On invariant connections over a principal fibre bundle.— Nagoya Math.
J., 1958, 13, p. 1—19.
[2] Homogeneous spaces with non-vanishing Euler characteristics.— Ann.
Math., 1949, 50, p. 925—953.
[3] Two point homogeneous spaces.— Ann. Math., 1952, 55, p. 177—192.
[4] Closed manifolds with homogeneous complex structure.— Amer. J. Math.,
1954, 76, p. 1—32.
[5] Complex parallisable manifolds.— Proc. Amer. Math. Soc, 1954, 5, p.
771—776.
Васильев А. М.
[1] Инвариантные аффинные связности в пространстве линейных элемен-
элементов.— Матем. сб., 1963, 60, № 4, с. 411—424.
Вассерман (Wasserman A.)
[1] Morse theory for G-manifolds.— Bull. Amer. Math. Soc, 1965, 71, p. 384—
388.
359
1918, 2, S. 384-411.
der projektiven und konformen
99—112.
0E
Ватанабе (Watanabe S.)
[1] Sur les formes spatiales de Clifford-Klein.— Japan. J. Math 1931 8
p. 65—102. ' ' '
[2] Formes spatiales de l'espace elliptique.— Japan. J. Math., 1932, 9, p. 117—
134.
Веблен и Уайтхед (Veblen О., Whitehead J. H. C.)
[1] The Foundation of Differential Geometry.— Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1932. [Русский перевод: Веблен О. и Уайтхед Дж. Осно-
Основания дифференциальной геометрии.— М.: ИЛ, 1949.]
В егжиновский (Wegrzynowski S.)
[1] Representation of generalized affine symmetric spaces by s-structures.—
Demonstrate math., 1976, 9, № 4, p. 707—726.
Ведерников В. И.
[1] Об одном специальном классе однородных пространств.— Изв. высш.
учебн. заведений, Математика, 1972, № 12, с. 17—22.
В е й л ь (Weii A.)
[1] Sur un theoreme de de Rham.— Comment. Math. Helv., 1952, 26, p. 119—
145.
[2] Introduction a l'Etude des Varietes Kahleriennes.— Paris: Hermann, 1958.
[3] On discrete subgroups of Lie groups I.— Ann. Math., 1960, 72, p. 369—384;
II.— Ann. Math., 1962, 75, p. 578—602.
В е й л ь Г. (Weyl H.)
[1] Reine Iniinitesimalgeometrie.— Math. Z.
[2] Zur Infinitesimalgeornetrie: Einordnung
Auffassung.— Gottingen Nachr., 1912, S
[3] Raum, Zeit, Materie.— Berlin: Springer, 1918.
[4] On the foundations of general infinitesimal geometry.— Bull. Amer. Math.
Soc, 1929, 35, p. 716—725.
[5] Die Einzigartigkeit der Pythagoreischen Massbestimmung.— Math. Z...
1922, 12, S. 114—116.
[6] Zur Infinitesimalgeometrie: /?-dimensionale Flache im /i-dimensionale
Raum.—Math. Z., 1922, 12, S. 154—160.
[7] On the volume of tubes.— Amer. J. Math., 1939, 61, p. 461—472.
[8] Uber die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Flache durch ihr
Linienelement.— Vierteljarsch. Naturforsch. Ges. Zurich, 1916, 61,
§.. 40—72.
[9] liber die Starrheit der Eiflachen und konvexen Polyeder.— Preuss. Akad.
Wiss. Sitzungsber., 1917, S. 250—266.
В е н с а н (Vincent G.)
[1] Les groupes lineaires finis sans points fixes.— Comment. Math. Helv.,
1947, 20," p. 117—171.
ВинбергЭ. Б.
[1] Об инвариантных линейных связностях.— ДАН СССР, 1959, 128, № 4,
с. 653—654.
[2] Инвариантные линейные связности в однородном пространстве.— Тр.
Московск. матем. о-ва, 1960, 9, с 191—210.
Вольф (Wolf J. A.)
[1] Sur la classification des varietes riemanniennes homogenes a courbure con-
stante.—С r. Acad. Sci. Paris, 1960, 250, p. 3443—3445.
[2] The manifolds covered by a Riemannian homogeneous manifold.— Amer.
J. Math., 1960, 82, p. 661—688.
[3] Homogeneous manifolds of constant curvature.— Comment. Math. Helv.,
1961, 36, p. 112—147.
[4] The Clifford-Klein space forms of indefinite metric.— Ann. Math., 1962,
75, p. 77—80.
[5] Vincent's conjecture of Clifford translations of the sphere.— Comment,
Math. Helv., 1961, 36, p. 33—41.

360 БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[6] Discrete groups, symmetric spaces, and global holonomy.— Amer. J. Math.,
1962, 84, p. 527—542.
[7] Spaces of Constant Curvature.— N. Y.: McGraw-Hill, 1967.
[8] Complex homogeneous contact manifolds and quaternionic symmetric spa-
spaces.— J. Math. Mech., 1965, 14, p. 1033—1047.
[9] Exotic metrics on immersed surfaces.— Proc. Amer. Math. Soc, 1966, 17,
p. 871—877.
[10] On locally symmetric spaces of non-negative curvature and certain other
locally homogeneous spaces.— Comment. Math. Helv., 1963, 37, p. 266—295.
[11] Geodesic spheres in Grassman manifolds.— Illinois J. Math., 1963, 7,
p. 425—446.
[12] Elliptic spaces in Grassman manifolds.— Illinois J. Math., 1963, 7, p. 447—
462.
[13] Homogeneous manifolds of zero curvature.— Trans. Amer. Math. Soc,
1962, 104, p. 462—469; Errata.— Trans. Amer. Math. Soc, 1963, 106, p. 540.
[14] Isotropic manifolds of indefinite metric.— Comment. Math. Helv., 1964,
39, p. 21—64.
[151 Curvature in nilpotent Lie groups.— Proc. Amer. Math. Soc, 1964, 15,
p. 271—274.
[16] Homogeneity and bounded isometries in manifolds of negative curvature.—
Illinois J. Math., 1964, 8, p. 14—18.
[17] Differentiable fibre spaces and mappings compatible with Riemannian
metrics.—Michigan Math. J., 1964, 11, p. 65—70.
[18] Locally symmetric homogeneous spaces.— Comment. Math. Helv., 1962/
63, 37, p. 65—101.
[19] Space forms of Grassman manifolds.— Canad. J. Math., 1963, 15, p. 193—
205.
Вольф и Гриффите (Wolf J. A., Griffiths P. A.)
[1] Complete maps and difierentiable coverings.— Michigan Math. J., 1963,
10, p. 253—255.
В о н (W о n g Y. C.)
[1] Recurrent tensors on a line.irly connected differentiable manifold.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1961, 99, p. 325—341.
[2] Existence of linear connections with respect to which given tensor fields
are parallel or recurrent.— Nagoya Math.. J, 1964, 24, p. 67—108.
[3] Two-dimensional linear connexions with zero torsion and recurrent curva-
curvature.—Monatsh. Math., 1964, 68, p. 175—184.
[4] Differential Geometry of Graseman manifolds.— Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1967, 57, p. 589—594.
[5] Linear connections and quasi-connections on a differentiable manifold.—
Tohoku Math. J., 1962, 14, p. 48--63.
[6] Linear connections with zero torsion and recurrent curvature.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1962, 102, p. 471--506.
[7] Conjugate loci in Grassman manifolds.— Bull. Amer. Maih. Soc, 1968,
74, p. 240—245.
Вранчану (Vranceanu G.)
[1] Lecons de Geometric Differentielle, vol. I—III.— Paris: Gautheir-Villars,
1964.
[2] Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace de Riemann.—
Comment. Math. Helv., 1959, 33, p. 161 — 173.
Вранчану, Ханган и Телеман (Vranceanu G., Hangan Т., Tele-
man С.)
[1] Recherches de geometrie differentielle en Roumaine.— Rev. Roumain
Math. Pures Appl., 1966, 11, p. 1147—1156.
В у В. (Wu W. Т.)
[1] Sur les classes caracteristiques de structures fibres spheriques.— Paris:
Hermann, 1952.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
361
В у X. (Wu H.)
[1] On the de Rham decomposition theorem.— Illinois J. Math., 1964, 8,
p. 291—о 11.
[2] Decomposilion of Riemannian manifolds.— Bull. Amer. Math Soc 1964
70, p. 610—617.
[3] Holonomy groups of indefinite metrics.— Pacific J. Math., 1967 20 n
351—392. ' P'
[4] Two remarks on sprays.— J. Math. Mech., 1965, 14, p. 873—879.
[5] Normal families of holomorphic mappings.— Acta Math., 1967, 119 n
193—233.
Г а н н и н г (Gunning R. C.)
[1] Connections for a class of pseudogroup structures.— In: Proc. Conf. Com-
Complex Analysis (Minneapolis, 1964). Berlin: Springer, 1965, p. 186—194.
Ганнинг и Росси (Gunning R. С, Rossi H.)
[1] Analytic Functions of Several Complex Variables.— Englewood Cliffs
(N. J.): Prentice-Hall, 1965.
Гантмахер Ф. P.
[1] Canonical representations of automorphisms of a complex semisimple Lie
groups.— Матем. сб., 1939, 5 D7), с. 101—146.
[2] On the classification of real simple Lie groups.— Матем. сб., 1939, 5D7),
с. 217-248.
Гарабедян и Спенсер (Garabedian P. R., Spenser D. С.)
[1] A complex tensor calculus for Kaehler manifolds.— Acta Math., 1953, 89,
p. 279—331.
Гарднер (Gardner R.)
[1] Invariant of Pfaffian systems.— Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 126, p.
514—533.
Г а ф н и (Gaffney M. P.)
[1] A special Stokes theorem for complete Riemannian manifolds.— Ann. Math.,
1954, 60, p. 140—145.
[2] The heat equation method of Milgram and Rosenbloom for open Riemannian
manifolds.— Ann. Math., 1954, 60, p. 458—466.
[3] Hilbert space methods in the theory of harmonic integrals.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1955, 78, p. 426—444.
Герглотц (Herglotz G.)
[1] Uber die Starrheit der Eiflachen.— Abh. Math. Sem. Hamburg, 1943, 15,
S. 127—129.
Г е ц (Goetz A.)
[1] On induced connections.—Fundam. math., 1964, 55, p. 149—174.
Г к й е м е н (Guiliemin V. W.)
[1] The integrability problem for G-structures.— Trans. Amer. Math. Soc,
1965, 116, p. 544—560.
Гийемен и Зингер (Guiliemin V. W., Singer I. M.)
[1] Differential equations and G-structures.— Proc. US-Japan Seminar in
Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 34—36.
Гийемен и Стернбёрг (Guiliemin V. W., Sternberg S.)
[1] An algebraic model of transitive differential geometry.— Bull. Amer.
Math. Soc, 1964, 70, p. 16—47.
[2] Sur les systemes de formes differentielles.— Ann. Inst. Fourier (Grenoble),
1963, 13, № 2, p. 61—74.
[3] On differential systems II.— Proc Nat. Acad. Sci. USA, 1963, 50, p. 994—
995.
Г и л ь б„е р т (Hilbert D.)
[1] Uber das Dirichletsche Prinzip.— J. reine angew. Math., 1905, 129, S.
63—67.
[2] Ober Flachen von konstanter Gausscher Kriimmung.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1901, 2, S. 87—99.

362
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
Годбийон (Godbillon С.)
[1] Geometrie differentielle et mecanique analytique collection methodes.—
Paris: Hermann, 1969. [Русский перевод: Годбийон К- Дифференци-
Дифференциальная геометрия и аналитическая механика.— М.: Мнр, 1973.]
Г о д е м а н (Godement R.)
[1] Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux.— Paris: Hermann, 1958.
[Русский перевод: Годеман Р. Алгебраическая топология и теория
пучков.— М.: ИЛ, 1961.] i
Гольдберг Дж. и К е р р (Goldberg J. N., Kerr К- P.) i
[1] Some applications of the infinitesimal holonomy groups to the Petrov clas-
classification of Einstein spaces.— J. Math. Phys., 1961, 2, p. 327—332.
ГольдбергС. (Goldberg S. I.)
[1] Tensor fields and curvature in Hermitian manifolds with torsion.— Ann.
Math., 1956, 63, p. 64—76.
[2] On characterizations of the Euclidean sphere.— Indag. Math., 1959, 21,
p. 384—390.
[3] Groups of transformations of Kaehler and almost Kaehler manifolds.—
Comment. Math. Helv., 1961, 35, p. 35—46.
[4] Conformal maps of almost Kaehlerian manifolds.—Tohoku Math. J.,
1961, 13, p. 119—131.
[5*] Curvature and Homology.— N. Y.: Academic Press, 1962.
ГольдбергС. и Кобаяси (Goldberg S. I., Kobavashi S.)
[1] The conformal transformation group of a compact Riemannian manifold.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1962, 48, p. 25—26; Amer. J. Math., 1962, 84,
p. 170—174.
[2] The conformal transformation group of a compact homogeneous Riemannian
manifold.— Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, p. 378—381.
[3] On holomorphic bisectional curvature.—J. Differential Geometry, 1967,
1, p. 225—233.
Гото (Goto M.)
[2]
Гото
[1]
[1] Faithful representations of Lie groups I.— Math. Japan, 1948, 1, p. 1—15.
f2l On algebraic homogeneous spaces.—Amer. J. Math., 1954, 76, p. 811—
On algebraic homogeneous
818.
и С а с а к и (Goto M., Sasaki S.)
Г р а
а у
[1]
Some theorems "on holonomy groups of Riemannian manifolds.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1955, 80, p. 148—158.
Г р а у э р т (Grauert H.)
[1] Characterisierung der Holomorphiegebiete durch die vollstandige Kahler-
sche Metrik.— Math. Ann., 1956, 131, S. 38—75.
Эр и Реммерт (Grauert H., Remmert R.)
Uber kompakte homogene komplexe Mannigfaltigkeiten.— Arch. Math.,
1962, 13, S. 498—507.
Грей A. (Gray A.)
[1] Minimal varieties and almost Hermitian submanifolds.-
p J., 1965, 12, p. 273—287.
[2] Some examples of almost Hermitian manifolds.— Illinois J. Math.
10, p. 353—366.
[3] Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersions.— J. Math.
Mech., 1967, 16, p. 715—737.
[4] Spaces of constancy of curvature operators.— Proc. Amer. Math. Soc,
1966, 17, p. 897—902. ;
Грей Дж. (Gray J. W.)
[1] Some global properties of contact structures.— Ann. Math., 1959, 69,
p. 421—450. • ¦ ¦
Грейб и Тондер (Greub W., Tondeur F.)
[1] On sectional curvatures and characteristic of homogeneous spaces.— Proc.
Amer. Math. Soc, 1966, 17, p. 444—448.
Michigan Math.
1966,
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
363
Грин (Green L. W.)
[1] Surfaces without conjugate points.— Trans. Amer. Math. Soc, 1954 76
p. 529—546. ' '
[2] A theorem of E. Hopf.— Michigan Math. J., 1958, 5.
[3] A sphere characterization related to Blaschke's conjecture.— Pacific I
Math., 1960, 10, p. 837—841.
[4] Auf Wiederschensflachen — Ann. Math., 1963, 78, S 289—299
Гриффите (Griffiths P. A.)
[1] On a theorem of Chern.— Illinois J. Math., 1962, 6, p. 468—479.
[2] Some geometric and analytic properties of homogeneous complex mani-
manifolds.—Acta Math., 1963, 110, p. 115—155, 157—208.
[3] On the differential geometry of homogeneous vector bundles.— Trans
Amer. Math. Soc, 1963, 109, p. 1—34.
[4] Hermitian differential geometry and the theory of positive and ample
holomorphic vector bundles.—J. Math. Mech., 1965, 14, p. 117—140.
Г р о м о л (Gromoll D.)
[1] Differenzierbare Strukturen and Metriken positiver Krummi'ng auf Spha-
ren.—Math. Ann., 1966, 164, S. 353—371.
Громол, Клингенберг, Мейер (Gromoll D., KHngenberg W., Meyer W.)
[1] Riemannsche Geometrie im Grofien.— Berlin; Heidelberg; N. V.: Springer,
1968. [Русский перевод: Громол Д., Клингенберг В., Мей-
Мейер В. Риманова геометрия в целом.—• М.: Мир, 1971.]
Громол и Мейер (Gromoll D., Meyer W. Т.)
[1] On complete open manifolds of positive curvature.— Ann. Math.
Гроссман (Grossman N.)
[1] Two applications of the technique of length-decreasing variations.— Proc
Amer. Math. Soc, 1967, 18, p. 327—333.
Грот е..м е й e p (Grotemeyer K. P.)
[1] Uber das Normalebiindel differenzierbarber Mannigfaltigkeiten.— Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. A 1, 1963, № 336/15.
[2] Zur eindeutige Bestimmung von Fiachen durch die erste Fundamentalform —
Math. Z., 1952, 55, S. 253—268.
Грэхем, Леджер (Graham P. J., Ledger A. J.)
[1] Sur un classe de s-varietes riernanniennes ou affinnes.— С. г. Acad. Sci.
Paris, 1968, 267, № 2, p. 105—107.
[2] s-regular manifolds.— In: Differential geometry — in honour of Kentaro
Yano. Tokyo, 1972, p. 133—144.
Г у г г е.н х е й м е р (Guggenheimer H.)
[1] Uber komplex-analytischer Mannigfaltigkeiten mit Kahlerscher Metrik.—
Comment. Math. Helv., 1951, 25, S. 257—297.
ван Данциг иван дер Варден (van DantzigD., van der Waerden B. L.)
[1] Uber metrisch homogenen Raume.— Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.
1928, 6, S. 374—376.
Д е в и с (Davies E. Т. J.)
[1] The first and second variations of the volume integral in Riemannian spa-
space.— Quart. J. Math., Oxford, 1942, 13, p. 58—64.
Джекобсон (Jacobson N.)
[1] Lie Algebras.— N. Y.: Interscience, 1962. [Русский перевод: Джекоб-
Джекобсон H. Алгебры Ли.—М.: Мир, 1964.]
[2] Cayley numbers and normal simple Lie algebras of type G.— Duke Math.
J., 1939, 5, p. 775—783.
Д о л ь б о (Dolbeault P.)
[1] Formes differentielies et cohomologie sur une variete analytique comple-
xe.— Ann. Math., 1956, 64, p. 83—130; 1957, 65, p. 282—330.
Дольбо-Лемуан (Dolbeault-Lemoine S.)
[1] Sur la deformabilite des varietes plongees dans un espace de Riemann.—
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1956, 73, p. 357—438.

364
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[2] Reducibilite de varietes plongees dans un espace a courbure constante.—
Rend. Mat. Appl. E), 1958, 17, p. 453—474.
Домбровский (Dombrowski P.)
[1] On the geometry of the tangent bundles.— J. reine angew. Math., 1962,
210, p. 73—88.
[2] Kriimmungsgrossengleichungsdefinierter Untermannigfaltigleiten Riemann-
scher Mannigfaltigkeiten.— Jahresber. Deutsch. Math. Ver.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
[1] Современная геометрия.— М : Наука, 1979.
Дуг лис и Ниренберг (Douglis A., Nirenberg L.)
[1] Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations.—
Comm. Pure Appl. Math., 1955, 8, p. 503—583.
Душек (Duschek A.)
il] DieStarrheit der Eiflachen.— Monatsh. Math. Phys., 1929, 36, S. 131—134.
[2] Zur geometrischen Variationsrechnung.—Math. Z., 1936, 40, S. 279-291.
Дьедонне (Dieudonne J.) ,
[1] Sur les espaces uniformes complets.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1939-,
56, p. 277—291.
Дюбуа (Dubois E.)
il] Beitrage zur Riemannschen Geometrie in Grossen.— Comment. Math.
Helv., 1966/67, 41, S. 30—50.
Егоров И. П.
[1] Движения а пространствах аффинной связности.— УМН, 1953, 8, № 4,
с. 182—183.
[2] О римановых пространствах первых трех лакунарностей в геометриче-
геометрическом смысле.— ДАН СССР, 1963, 150, № 4, с. 730—732.
Ефимов Н. В.
[1] Порождение особенностей на поверхностях отрицательной кривизны.—
Матем. сб., 1964, 64 A06), с. 286—320.
[2*] Flachenverbiegung im Grossen.— Berlin: Akad. Verlag., 1957.
[3] Качественные вопросы теории деформаций поверхностей.— УМН, 1948,
3, № 2, с. 47—158.
Жане (Janet M.)
il] Sur la possibility de plonger un espace riemannien donne dans un espace
euclidien.— Ann. Soc. Math. Pol., 1926, 5, p. 38—43.
Зейферт и Трельфаль (Seifert H., Threlfall W.)
[1] Topologische Untersuchung der Diskontinuitatsbereiche endlicher Bewe-
gungsgruppen des dreidimtnsionalen spharischen Raumes.— Math. Ann.,
1930, 104, S. 1—70; 1933, 107, S. 543—586.
Зигель (Siegel С L.)
[1] Einheiter quadratische Formen.— Abh. Math. Sem. Hamburg, 1940, 13.
Зингер (Singer I. M.)
[1] Geometric interpretation of a special connection.— Pacific J. Math., 1959,
9, p. 585—590.
[2] Infinitesimally homogeneous spaces.— Comm. Pure Appl. Math., 1960,
13, p. 685—687.
Зингер и Стернберг (Singer I. M., Sternberg S.)
[1] On the infinite groups of Lie and Cartan I.— Ann. Inst. Fourier (Grenoble),
1965, 15, p. 1—114.
3 ю с с (Suss W.)
[1] Zur relativen Differentialgeometrie V.— Tohoku Math. J., 1929, 30.
И в а м о т о (Iwamoto H.)
[1] Sur les espaces riemanniens symetriques I.— Japafi. J. Math., 1948, 19,
p. 513—523.
[2] On integral invariants and Betti numbers of symmetric Riemannian mani-
manifolds.—Japan. J. Math., 1949, 1, p. 91—110; II.—Japan. J.Math., 1949,
1, p. 235—243.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
365
[3] On the structure of Riemannian spaces whose holonomy groups fix a null
system.— Tohoku Math. J., 1950, 1, p. 109—135.
[4] On the relation between homological structure of Riemannian spaces and
exact differential forms which are invariant under holonomy groups
Tohoku Math. J., 1951, 3, p. 59—70.
И в а с а в a (Iwasawa K.)
[1] On some types of topological groups.— Ann. Math., 1949, 50, p. 507—558.
И в a x о р и (Iwahori N.)
[1] Fixed point theorem in Riemannian symmetric spaces.— Summer Seminar
in Diff. Geometry, Akakura, Japan, 1956 (in Japanese).
[2] Some remarks on tensor invariants O{ri), U(n), Spin).— J. Math. Soc
Japan, 1958, 10, p. 145—160.
[3] On discrete reflection groups on symmetric spaces.— Proc. US-Japan Se-
Seminar in Differential Geometry, Kyoto, Japan, 1965, p. 57—62.
[4] Theory of Lie Groups (in Japanese).— Tokyo: Iwanami, 1957.
И г у с a (Igusa J.)
il] On the structure of a certain class of Kahler manifolds.— Amer. J. Math ,
1954, 76, p. 669--678.
Иле (Eells J., Jr.)
[1] A generalization of the Gauss — Bonnet theorem.— Trans. Amer Math
Soc, 1959, 92, p. 142—153.
[2*] A setting for global analysis.— Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, p 751 —
807.
Иле и Сампсон (Eells J., Jr., Sampson H.)
[1] Harmonic mappings of Kiemannian manifolds.— Amer. J. Math., 1964,
86, p. 109—160.
[2] Energie et deformations en geometrie differentielle.— Ann. Inst. Fourier
(Grenoble), 1964, 14, p. 61—69.
[3] Variational theory in fibre bundles.— Proc. US-Japan Semianr in Diffe-
Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 22—33.
И о с и д a (Yoshida К.)
[1] A theorem, concerning the semi-simple Lie groups.— Tohoku Math. J.,
1937, 43, № 2, p. 81—84.
И с е (Ise M.)
il] Some properties of complex analytic vector bundles over compact complex
homogeneous spaces.— Osaka Math. J , 1960, 12, p. 217—252.
[2] On the geometry of Hopf manifolds.— Osaka Math. J., 1960, 12, p. 387—
402.
13] Generalized automorphic forms and certain holomorphic vector bundles.—
Amer. J. Math., 1964, 86, p. 70—108.
И с н x a p a (Ishihara S.)
[1] Homogeneous Riemannian spaces of four dimensions.--J. Math. Soc.
Japan, 1955, 7, p. 345—370.
[2] Groups of projective transformations and groups of conformal transforma-
transformations.— J. Math. Soc. Japan, 1957, 9, p. 195—227.
К а л а б и (Calabi E.)
[1] Isometric imbedding of complex manifolds.¦—Ann. Math., 1953, 58, p. 1—
23.
[2] On Kaehler manifoicis with vanishing canonical class.— In: Algebraic
Geometry & Topology. Symposium in honour of S. Lefschetz. Princeton,
1957, p. 78—89.
{3] An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Rie-
Riemannian Geometry.— Duke Math. J., 1957, 25, p. 45—56.
[4] Improper affine hyperspheres of convex iypa and a generalization of a theo-
theorem of K. Jorgens.— Michigan Math. J., 1958, 5, p. 105—126.
[5] Construction and properties of some 6-dimensional almost complex mani-
manifolds.— Trans. Amer. Math. Soc, 1958, 87, p. 407—438.

366
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ]! И II
[6] On:-) mpact Riemannian manifolds with constant curvature, I,— Proc.
Symp. Pure Math., Amer. Math. Soc, 1961, 3, p. 155—180:
[7] Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres.— J. Differential
Geometry, 1967, 1, p. 111—126.
Калаби н Везентини (Calabi E., Vesentini E.)
[1] Sur les varietes complexes compactes localement symetriques.— Bull.
Soc. Math. France, 1959, 87, p. 311—317.
[2] On compact, locally symmetric Kaehler manifolds.— Ann. jVath., 1960,
71, p. 472—507.
Калаби и Маркус (Calabi E., Markus L.)
[1] Relativistic space forms.— Ann. Math., 1962, 75, p. 63—76.
Калаби и Розенлихт (Calabi E., Rosenlicht M.) •
[1] Complex analytic manifolds without countalbe base.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1953, 4, p. 335—340.
Калаби и Экман (Calabi E., Eckmann B.)
[1] A class of compact complex manifolds which are not algebraic.— Ann.
Math., 1935, 58, p. 494—500.
Камбер и Тондер (Kamber F.. Tondeur P.)
[1] Flat bundles and characteristic classes of group representations.— Amer.
J. Math., 1967, 89, p. 857—886.
Канеюки и Нагано (Kaneyuki S., Nagano T.)
[1] On the first Betti numbers of compact quotient spaces of complex semi-
simple Lie groups by discrete subgroups.— Sci. Papers Coll. Gen. Ed.,
Univ. Tokyo, 1962, 12, p. 1—11.
[2] On certain quadratic forms related to symmetric Riemannian spaces.—
Osaka Math. J., 1962, 14, p. 241—252.
К а р а н д a (Karanda H. M.)
[1] О геометрии симметрических луп: Кандидатская диссертация.— М.:
Ун-т Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1972.
до К а р м о (do Carmo M. Р.)
[1] The cohomology ring of certain Kaehlerian manifolds.-
81, p. 1—14.
К a p p e p (Karrer G.)
[l] Einfiihrung von Spinoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten.— Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. A, 1, 1963, 336/5.
К a p т а н A. (Cartan H.)
[1] Sur les groupes de transformations analytiques.— Paris: Hermann,
Ann. Math., 1965,
[2]
1935.
Notion d'algebre differentielle. applications aux groupes de Lie et aux
varietes ой орёге un groups de Lie.— Colloque de Topologie, Bruxelles,
1950, p. 15—27.
[3] La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibre principal.—
Colloque de Topologie, Bruxelles, 1950, p. 57—71.
Картан А. иЭйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
[1] Homological Algebra.— Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press, 1956.
[Русский перевод: Картан А., Эйленберг С. Гомологическая
алгебра.— М.: ,ИЛ, I960.]
К а р т а н Э. (Cartan E.)
[1] Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee.—
Ann. Ecole Norm. Sup., 1923, 40, p. 325—412; 1924, 41, p. 1—25; 1925,
42, p. 17—88.
[2] Les espaces a connexion conforme.— Ann. Soc. Pol. Math., 1923, 2, p.
171—221.
[3] Sur un theoreme fondamental de M. H. Weyl.—J. Math. Pures Appl.,
1923, 2, p. 167—192.
[4] Sur les varietes a connexion projective.— Bull. Soc. Math. Franca, 1924,
52, p. 205—241. [Русский перевод работ [1], [2] и [4]: К а р т а н Э. Про-
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
367
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[Ю]
[И]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[173
[18]
[19]
Карт
p т
II]
Каси
11]
[2]
странства аффинной, проективной и конформной связности.—¦ Казань:
Изд. Казанского ун-та, 1962.]
La Geometrie des Espaces de Riemann.— Mem. Sci. Math., Paris- Gauthier-
Villars, 1925, 9.
Les groupes d'holonomie des espaces generalises.— Acta Math., 1926, 48,
p. 1—42. [Русский перевод: К а р т а н Э. Группы голономии обобщенных
пространств.— В кн.: VIII Международный конкурс на премию Н. И. Ло-
Лобачевского. Казань: Издание Казанского физ.-матем. о-ва, 1937, с 61—
111.1
Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann.— Bull Soc. Math
France, 1926, 54, p. 214—264; 1927, 55, p. 114—134. [Русский перевод:
К а р т а н Э. Об одном замечательном классе римановых пространств.—
В кн.: Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М.: ИЛ,
1949, с. 112—149.]
Lecons sur la Geometrie des espaces de Riemann.— Paris: Gauthier-Vil-
lars, 1928; 2ed.— Paris: Gauihier-Villars, 1946. [Русский перевод первого
издания: Картан Э. Геометрия римановых пространств.— М.; Л.:
ОНТИ, 1936.]
La Methode du Repere Mobile, La Theorie de Groupes Continus et les Es-
Espaces Generalises.— Paris: Hermann, 1935. [Русский перевод: Картан
Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия,
изложенные методом подвижного репера.— М.: Изд. МГУ, 1963.]
La deformation des hypersurfaces dans 1'espace euclidien reel a n dimen-
dimensions.— Bull. Soc. Math. Fiance, 1916, 44, p. 65—99.
Sur les varietes de courbure constante d'un espace euclidien ou non-eucli-
dien.— Bull. Soc. Math. France, 1919, 47, p. 125—160; 1920, 48, p. 132—208.
La geometrie des groupes de transformations.— J. Math. Pures Appl., 1927,
6, p. 1—119. [Русский перевод: К а р т а н Э. Геометрия групп преобра-
преобразований.— В кн.: Геометрия групп Ли и симметрические пространства.
М.: ИЛ, 1949, с. 7—111.]
La geometrie des groupes simples.— Ann. Mat. Рига Appl., 1927, 4, p. 209—
256; 1928, 5, p. 253—260. [Русский перевод: Картан Э. Геометрия
простых групп.— В кн.: Геометрия групп Ли и симметрические про-
пространства. М.: ИЛ, 1949, с. 183—239.]
Sur la possibilite de plonger un espace riemannien donne dans un espace
euclidien.— Ann. Soc. Pol. Math., 1927, 6, p. 1 — 17.
Sur certains formes riemanniennes remarquables des geometries a groupes
fondamental simple.— Ann. Ecole Norm. Sup., 1927, 44, p. 345—467.
Groupes simples clos et ouverts et geometrie riemannienne.— J. Math.
Pures Appl., 1929, 8, p. 1—33. [Русский перевод: К а р т а н Э. Компакт-
Компактные и некомпактные простые группы и риманова геометрия.— В кн.:
Геометрия групп Лн и симметрические пространства. М.: ИЛ, 1949,
с. 150—182.]
Les groupes reels simples finis et continus.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.,
1914, 31, p. 263—355.
Sur les domaines bornes de 1'espace de n variables complexes.— Abh. Math.
Sem. Hamburg, 1935, 11, p. 116—162.
Les groupes de transformations continus, infinis, simples.— Ann. Ecole
Norm. Sup., 1909, 26, p. 93—161.
ан Э. иСхоутен (Cartan E., Schouten J. A.)
On the geometry of the group manifold of simple and semi-simple groups.—
Proc. Amsterdam, 1926, 29, p. 803—815.
вабара (Kashiwabara S.)
On the reducibility of an affinely connected manifold.— Tohoku Math. J.,
1956, 8, p. 13—28.
The decomposition of a differentiable manifold and its applications.— To-
Tohoku Math. J., 1959, 11, p. 43—53.

368
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[3] The structure of a Riemannian manifold admitting a parallel field of one-
dimensional tangent vector subspaces.— Tohoku Math. J., 1959, 11, p.
327—350.
Каттанео-Гаспарини (Cattaneo-Gasparini I.)
{1] Sur un classe de connexions lineaires a groupes d'holonomie isomorphes.—
С. г. Acad. Sci. Paris, 1958, 246, p. 1145—1147.
К а у п (Каир W.)
[1] Reele Transformatiotibgruppe und invariante Metriken auf komplexen
Raumen.— Invent. Math., 1967, 3, S. 43—70.
Кацурада (Katsurada Y.)
[1] Generalized Minkowski formulas for closed hypersuperfaces in Riemann
space.— Ann. Mat. Рига Appl., 1962, 57, p. 283—293.
[2] On a certain property of closed hypersurfaces in an Einstein space.— Com-
Comment. Math. Helv., 1964, 38, p. 165—171.
[3] On the isoperimetric problem in a Riemann space.— Comment. Math.
Helv., 1966/67, 41, p. 18—29.
[4] Some congruence theorems for closed hypersurfaces in Riemann spaces (Part I:
Method based on Stokes theorem).— Comment. Math. Helv., 1968, 43,
p. 176—194.
[5] On a piece of hypersurface in a Riemann manifold with mean curvature
bounded away from zero.— Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 129, p. 447—457.
К ё б е (Koebe P.)
[lj Riemannsche M.innigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen.—
Bericht Preuss, Akad. Wiss., 1927, S. 164—196; 1928, S. 345—442; 1929,
S. 413—457; 1930, S. 304—364, 505—541; 1931, S. 506—534; 1932, S. 249—284.
К ел л и (Kelley J. L.)
[1] General Topologyy.— Princeton: van Nostrand, 1955. [Русский перевод:
Келли Дж. Л. Общая топология.— М.: Наука, 1968.]
Кер бр a (Kerbrat Y.)
[1] Sous-varietes complexes de С.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1966, 262, p. 1171 —
1174.
К е р в е р (Kervaire M.)
il] Courbure integrate general isee et homotopie.— Math. Ann., 1956, 131,
p. 219—252.
К ё x e p (Koecher M.)
[1] Die Geodatischen von Positivitatsbereichen.— Math. Ann., !958, 135,
S. 192—202.
К и к к а в a (Kikkawa M.)
[1] On local loops in affine manifolds.— J. Sci. Hiroshima Univ., ser. A-l,
1964, 28, p. 199—207.
[2] On locally reductive spaces and tangent algebras.— Mem. Fac. Lit. & Sci.
Shimane Univ. Nat. Sci., 1972, 5, p. 1—13.
[3] On some quasigroups of algebraic models of symmetric spaces.— Mem.
Fac. Lit. & Sci. Shimane Univ. Nat. Sci., 1973, 6, p. 9—13; II.—Mem.
Fac. Lit. & Sci. Shimane Univ. Nat. Sci., 1974, 7, p. 29—35.
[4] Geometry of homogeneous Lie loops.— Hiroshima Math. J., 1975, 5, p.
141—179.
[5] A note on subloops of a homogeneous Lie loop and subsystems of its Lie
triple algebra.— Hiroshima Math. J., 1975, 5, p. 439—446.
К и л л и в г (Killing W.)
[1] Die nicht-Euklidischen Raumformen in analytische Behandlung.— Leip-
Leipzig: Teubner, 1885.
[2] Uber die Clifford — Kleinschen Raumformen.—Math. Ann., 1891, 39, S.
257—278.
[3] Uber die Grundlagen der Geometrie.— J. reine angew. Math., 1892,
109, S. 121—186.
[4] Einfiihrung in die Grundlagen der Geometrie.— Paderborn, 1893.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
369
Кирхгоф (Kirchhoff A.)
[1] Sur l'existence de certains champs tensoriels sur les spheres a n dimensions —
С. г. Acad. Sci. Paris, 1947, 225, p. 1258—1260.
[2] Beitrage zur topologischen linearen Algebra.— Compositio Math , 1953
11, p. 1—36.
Кларк (Clark R. S.)
[1] Special geometric object fields on a differentiable maniflod.— Tensor,
1963, 13, p. 60—70.
Кларк и Брукхеймер (Clark R. S., Bruckheimer M.)
[1] Tensor structure* on a differentiable manifold.— Ann. Mat. Рига Appl
D), 1961, 54, p. 123—141.
К л е й н (Klein F.)
[1] Vergleichende Betrachtur.gen uber neuere geometrische Forschungen.—
Math. Ann., 1893, 43, S. 63—100.
[2] Vorlesungen uber nicht-Euklidische Geometrie.— Berlin: Springer, 1928.
[3] Zur nicht-Euklidischen Geometrie.— Math. Ann., 1890, 37, S. 544—
572.
Клингенберг (KHngenberg W.)
[1] Eine Kennzeichnung der Riemannschen sowie der Hermiteschen Manning-
faltigkeiten.— Math. Z., 1959, 70, S. 300—309.
[2] Contributions to Riemannian geometry in the large.— Ann. Math., 1959,
69, p. 654—666.
[3] Uber kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten.— Math. Ann., 1959,
137, S. 351—361.
[4] Neue Ergebnisse uber konvexe Flachen.— Comment. Math. Helv., 1960,
34, S. 17—36.
[5] Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit poaitiver Krummung.— Com-
Comment. Math. Helv., 1961, 35, S. 47—54.
[6] Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach oben beschrankter Krum-
Krummung.— Ann. Mat. Рига Appl., 1962, 60, S. 49—59.
[7] Neue Methoden und Ergebnisse in der Riemannschen Geometrie.— Jahres-
ber. deutsch. Math.-Ver., 1963/64, 66, S. 85—94.
[8] Manifolds with restricted conjugate locus.— Ann. Math., 1963, 78, p. 527—
547; II.— Ann. Math., 1964, 80, p. 330—339.
[9] The triangle theorem in the Riemannian geometry.-- Textos de Mat.,
Recife, Brazil, 1964, № 14.
[10] On the number of closed geodesies on a Riemannian manifold.— Bull.
Amer. Math. Soc, 1964, 70, p. 279—282.
[11] The theorem of three closed geodesies.— Bull. Amer. Math. Soc, 1965,
71, p. 601—605.
[12] Closed geodesies on Riemannian manifolds.— Rev. Roum. Math. Pures
Appl., 1965, 10, p. 1099—1104.
К л нфтон (Clifton J. H.)
[!] On the completeness of Cartan connections.— J. Math. Mech., 1966, 16,
p. 569—576.
Клотц иОссерман (Klotz Т., Osserman R.)
[1] Complete surfaces in E3 with constant mean curvature.— Comment. Math.
Helv., 1966/67, 41, p. 313—318.
Кнебельмаи и Яио (Knebelman M. S., Jano К.)
il] On homothetic mappings of Riemann spaces.— Proc Amer. Math. Soc,
1961, 12, p. 300—303.
К о (Koh S. S.)
[1] On affine symmetric spaces.— Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 119, p. 291—
309.
К о б а я с и Ш. (Kobayashi S.)
[1] Le groupe de transformations qui laissent invariant un parallelisme.— Col-
loque de Topologie, Ehresmann, Strasbourg, 1954.

370 БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[2] Espaces a connexion de Cartan completes.— Proc. Japan. Acad. Sci., 1954,
30, p. 709—710.
[3] Espaces a connexions affines et riemanniennes symetriques.— Nagoya
Math. J., 1955, 9, p. 25—37.
[4] A theorem on the affine transformation group of a Riemannian manifold-.—
Nagoya Math. J., 1955, 9, p. 39—41.
[5] Induced connections and imbedded Riemannian spaces.— Nagoya Math.
J., 1956, 10, p. 15—25.
[6] Theory of connections.—Ann. Mat. Рига Appl., 1957, 43, p. 119—194.
[7] Une remarque sur la connexion affine symetrique.— Proc. Japan. Acad.
Sci., 1956, 31, p. 14—15.
[8] Holonomy groups of hypersurfaces.— Nagoya Math. J., 1956, 10, p. 9—
14.
[9] Canonical connections and Pontrjagin classes.— Nagoya Math. J., 1957,
11, p. 93—109.
[10] Principal fibre bundles with the 1-dimensional toroidal group.— Tohoku
Math. J., 1956, 8, p. 29—45.
[11] Fixed points of isometries.—Nagoya Math. J., 1958, 13, p. 63—68.
[12] Compact homogeneous hypersurfaces.— Trans. Amer. Math. Soc, 1958, 88,
p. 137—143.
[13] Remarks on complex contact manifolds.— Proc. Amer. Math. Soc, 1959,
10, p. 164—167.
[14] Geometry of bounded domains.— Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 92, p.
267—290.
[15] On the automorphism group of a certain class of algebraic manifolds.—
Tohoku Math. J., 1959, 11, p. 184—190.
[16] Riemannian manifolds without conjugate points.— Ann. Mat. Рига Appl.,
1961, 53, p. 149—155.
[17] On compact Kahler manifolds with positive Ricci tensor.— Ann. Math.,
1961, 74, p. 570—574.
[18] On characteristic classes defined by connections.— Tohoku Math. J., 1961,
13, p. 381—385.
[19] Homogeneous Riemannian manifolds of negative curvature.— Tohoku
Math. J., 1962, 14, p. 413—415.
[20] Topology of positively pinched Kahler manifolds.— Tohoku Math. J..
1963, 15, p. 121—139.
[21] Frame bundles of higher order contact.— Proc. Symp. Pure Math., Amer.
Math. Soc, 1961, 3, p. 186—193.
[22] On complete Bergman metrics.— Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13, p.
5П—513.
[23] Imbeddings of homogeneous spaces with minimal total curvature.— To-
Tohoku Math. J., 1967, 19, p. 63—74.
[24] Intrinsic metrics on complex manifolds.— Bull. Amer. Math. Soc, 1967,
73, p. 347—349.
[25] Isometric imbeddings of compact symmetric spaces.— Tohoku Math. J.,
1968, 20, p. 21—25.
[26] Invariant distances on complex manifolds and holomorphic mappings.—
J. Math. Soc. Japan, 1967, 19, p. 460—480.
[27] On conjugate and cut loci.:— Studies in Global Geometry and Analysis,
Math. Assoc. Amer., 1967, p. 96—122. - ¦ '
[28] Hypersurfaces of complex protective space with constant scalar curvature.—
J. Differential Geometry, 1967, 1, p. 369—370.
[29] Transformation groups in Differential Geometry.— Berlin; Heidelberg;
N. Y.: Springer, 1972.
КобаясиШ. иИлс (Kobayashi S., Eells J. Jr.)
[1] Problems in differential geometry.— Proc. US-Japan Seminar in Diffe-
Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 167—177.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И I 1
371
К о б а я с и Ш. иНагано (Kobayashi S., Nagano T.)
[1] On protective connections.—J. Math. Mech., 1964, 13, p. 215—236.
[2] On a fundamental theorem of Weyl-Cartan on G-structures.— J. Math
Soc. Japan, 1965, 17, p. 84—101.
[3] On filtered Lie algebras and geometric structures I.— J. Math. Mech ,
1964, 13, p. 875—908; II.— J. Math. Mech., 1965, 14, p. 513—522; III —
J. Math. Mech., 1965, 14, p. 679—706; IV.—J. Math. Mech., 1966, 15,
p.. 163—175; V.— J. Math. Mech., 1966, 15, p. 315—328.
[4] A report on filtered Lie algebras.— Proc. US-Japan Seminar in Differential
Geometry, Kyoto, 1965, p. 63—70.
К о б а я с и Ш. и Н о м и д з у (Kobayashi S., Nomizu К.)
[1] On automorphisms of a Kahlerian structure.— Nagoya Math. J., 1957, II,
p. 115—124.
Кобаяси Э. (Kobayashi E. J.)
[1] Integration of subspaces derived from a linear transformation field.— Ca-
nad. J. Math., 1961, 13, p. 273—282.
[2] A remarks on Nijennuis tensor.— Pacific J. Math., i962, 12, p. 963—977;
Correction.— Pacific J. Math., 1962, 12, p. 1467.
[3] A remark on the existence of a G-structure.— Proc. Amer. Math. Soc ,
1965, 16, p. 1329—1331.
Ковальский (Kowalski O.)
[1] Riemannian manifolds with general symmetries.— Math. Z., 1974, 136,
p. 137—150.
[2] Classification of ^generalized symmetric Riemannian spaces of dimension
=s? 5.— Rozprawy CSAV Academia, Praha, 1975, 85,.№ 8.
[3] Smooth and affine s-manifolds.— Periodica Mathematica Hungarica, 1977,
8, № 3_4, p. 299—311.
[4] Generalized affine symmetric spaces.— Math. Nachr., 1977, 80, p. 205—208.
К о д а и p a (Kodaira K.)
[1] Harmonic fields in Riemannian manifolds.— Ann. Math., 1949, 50, p
587—665.
[2] On differential geometric method on the theory of analytic stacks.— Proc
Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39, p. 1263—1273.
[3] On Kahler varietes of restricted type.— Ann. Math., 1954, 60, p. 28—48.
[4] Complex structures on SlXS3.—Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1966, 55.
p. 240—243.
Кодаира и Спеисер (Kodaira K-, Spencer D. C.)
[1] Groups of complex line bundles over compact Kahler manifolds.— Proc
Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39, p. 868—872.
[2] On the variation of almost complex structure.— In: Algebraic Geometry,
Topology: Symposium in honor of S. Lefschetz. Princeton (N. J.): Princeton
•Univ. Press, 1957, p. 139—150.
К о н Д ж. (Kohn J. J.)
[1] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds.— Ann. Math.,
1963, 78, p. 112—148; II.—Ann. Math., 1964, 79, p. 450—472.
К о н П. (Cohn P. M.)
[1] Lie groups.— N. Y.: Cambridge Univ. Press, 1957.
[2] Universal Algebra.— N. Y.: Evanstone; London: Harper & Row Publishers,
1965. [Русский перевод: Кои П., Универсальная алгебра.— М.: Мир,
1968.]
Кон-Фоссен (Cohn-Vossen S.)
[1] Zwei Satze iiber Starrheit der Eiflachen.— Nachr. Ges. Wiss. Gottingen,
1927, S. 125—139.
[2] Unstarre geschlossene Flachen.— Math. Ann., 1929, 102, S. 10—29.
[3] Kurzeste Wege und Totalkriimmung auf Flachen.— Compositio Math.,
1935, 2, S. 69—133.
[4] Existenz kurzester Wege.— Compositio Math., 1936, 3, S. 441—452.

372
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
373
Косман (Kosmann Y.)
[1] Derivees de Lie des spineurs.—С. r. Acad. Sci. Paris, Ser. A — B, 1966,
262, p. 289—292; Applications.— С. г. Acad. Sei. Paris, 1966, 262, p. 394—
397.
К о с т а н т (Kostant В.)
[1] Holonomy and the Lie algebra of infinitesimal motions of a Rieman-
nian manifolds.— Trans. Amer. Math. Soc, 1955, 80, p. 528—542.
[2] On differential geometry and homogeneous spaces.— Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1956, 42, p. 258—261, 354—357.
[3] On invariant skew tensors.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956, 42, p. 148—
151.
[4] On holonomy and homogeneous spaces.— Nagoya Math. J., 1957, 12, p.
31—54.
[5] A characterization of invariant affine connections.— Nagoya Math. J.,
1960, 16, p. 35—50.
Косуль (Koszul J. L.)
[1] Homologie et cohomologie des algebres de Lie.— Bull. Soc. Math. France,
1950, 78, p. 65—127.
[2] Sur ia forme hermitienne canonique des espaces homogenes complexes.—
Canad. J. Math., 1955, 7, p. 562—576.
[3] Multiplicateurs et classes caracteristiques.— Trans. Amer. Math. Soc,
1958, 89, p. 256—266.
[4] Domaines bornes homogenes et orbites de groupes de transformations af-
affines.—Bull. Soc. Math. France, 1961, 89, p. 515—533.
[5] Varietes localement plates et convexite.— Osaka J. Math., 1965, 2, p. 285—
290.
[6] Exposes sur les Espaces Homogenes Symetriques.— Publ. Soc. Mat. Sao
Paulo, 1959.
[7] Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry.— Bombay: Tata
Inst. Fund. Research, 1960.
[8] Sur un type d'algebre differentielles en rapport avec la transgression.—
Colloque de Topologie (Espaces Fibres), Bruxelles, 1950, p. 73—81.
[9] Ouverts convexes homogenes des espaces affines.— Math. Z., 1962, 79,
p. 254—259.
К р е й н с (Kraines V. Y.)
[1] Topology of quaternionic manifolds.— Bull. Amer. Math. Soc, 1965, 71,
p. 526—527; Trans. Amer. Math. Soc, 1966, 122, p. 357—367.
Крис т. о ф е л ь (Christoffel E. B.)
[1] Uber die Transformation der homogenen Differentialausdriicke zweiten
Grades.— J. reine angew. Math., 1869, 70, S. 46—70.
Kp иттенден (Crittenden R.)
[1] Minimum and conjugate points in symmetric spaces.— Canad. J. Math.,
1962, 14, p. 320—328.
[2] Covariant differentiation.— Quart. J. Math., Oxford Ser. B), 1962, 13,
p. 285—298.
Кручкович Г. И.
[1] К теории римановых пространств V{K).— Сиб. матем. ж., 1961, 2, № 3,
с. 400—413.
К у б ox.a (Kubota Т.)
[1] Uber die Eibereiche im n-dimensionalen Raum.— Science Reports Tohoku
Imp. Univ., 1925, 14, S. 399—402.
Кулкарни (Kulkarni R. S.)
[1] Curvature and metric: Thesis.— Harvard Univ., 1967.
К у р и т a (Kurita M.)
[1] On the vector in homogeneous space.— Nagoya Math. J., 1953, 5, p. 1—33.
[2] On the holonomy group of the conformally flat Riemannian manifold.—
Nagoya Math. J., 1955, 9, p. 161 — 172.
13] A note on conformal mappings of certain Riemannian manifolds.— Nagova
Math. J., 1962, 21, p. 111—114.
[4) Tensor fields and their parallelism.— Nagoya Math. J., 1961, 18, p. 133—151.
К у р о ш А. Г.
[1] Лекции по общей алгебре.—М.: Наука, 1973.
Кути (Couty R.)
[1] Sur les transformations de varietes riemanniennes et kahleriennes.— Ann
Inst. Fourier (Grenoble), 1959, 9, p. 147—248.
[2] Transformations projectives sur un espace d'Einstein complet.— С. г
Acad. Sci. Paris, 1961, 252, p. 1095—1097.
[3] Transformations conformes.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1961, 252, p. 3725—
3726.
[4] Transformations projectives des varietes presque kahleriennes.— С. г.
Acad. Sci. Paris, 1462, 254, p. 4132—4134.
Кэ л ep..(Kahler E.)
[1] Uber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik.— Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 1933, 9, S. 173—186.
К ю и n e p (Kuiper N. H.)
[1] Sur les surfaces localement affines.— Colloque de Geometrie Differentielle,
Strasbourg, 1953, p. 79—88.
[2] Einstein spaces and connections I, II.— Indag. Math., 1950, 12, p. 505—521.
[3] On conformally flat spaces in the large.— Ann. Math., 1949, 50, p. 916—924.
[4] On compact conformally Euclidean spaces of dimension >2.— Ann. Math.,
1950, 52, p. 478—490.
[5) On CMsometric imbeddings I.— Indag. Math., 1955, 17, p. 545—556; II.—
Indag. Math. 1955, 17, p. 683—689.
[6] Groups of motions of order -^ n(n—1)+1 in Riemannain n-space.— Indag.
Math., 1955, 17, p. 313—318.
[7] Immersions with minimal absolute curvature.— Colloque de Geometrie
Differentielle Globale, Bruxelles, 1958, p. 75—87.
[8] On surfaces in Euclidean three-space.— Bull. Soc. Math. Belg., 1960, 12,
p. 5-22.
[9] Convex immersions of dosed surfaces in E3. Non-orientable closed surfaces
in E3 with minimal total absolute Gauss-curvature.— Comment. Math.
Helv., 1961, 35, p. 85—92.
[10] On convex maps,— Nieuw. Arch. Wisk., 1962, 10, p. 147—164.
[11] Der Satz von Gauss—Bonnet fur Abbildungen in E-™ und damit verwandte
Probleme.— Jahresber. Deutsch. Math.-Ver., 1967, 69, p. 77—88.
Кюипер и Яно (Kuiper N. H., Yano К )
[1] Two algebraic theorems with applications.— Indag. Math., 1956, 18, p.
319—328.
Л а у г в и ц (Laugwitz D.)
[1] Differential and Riemannian Geometry.— N. Y.: Academic Press, 1965.
[2] Uber die Erweiterung der Tensoranalysis auf Mannigfaltigkeiten unendli-
cher Dimension.— Tensor, 1963, 13, S. 295—304.
[3] Differentialgeometrie in Vectorraum, unter besonderer Berucksichtigung
der unendlichdimensionalen Raumen.— Braunschweig: Frier. Vieweg. Sohn,
1.965.
[4] Uber eine Vermutung von Hermann Weyl zum Raumproblem.—Arch. Math.,
1958, 9, S. 128—133.
[5] Einige differentialgeometrische Charakterisierungen der Ouadriken.— Ann.
Mat. Рига Appl. D), 1961, 55, S. 307—314.
Лебедь (L5bell F.)
[1] Beispiele geschlossener dreidimensionaler Clifford — Kleinscher Raume
negativer Knimmung.— Berichte Sachs Akad. Wiss. (Leipziger Berichte),
1931, 83, S. 167—174.

374
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
Л е в. и (Lewy H.)
[1] On differential geometry in the large,— Trans. Amer. Math. Soc, 1938,
45, p. 258—290.
Леви-Чивита (Levi-Civita T.)
[1] Nozione di paralleh'smo in una varieta qualunque e consequente specifica-
zione geometrica della curvature Riemanniana.— Rend. Palermo. 1917,
42, p. 73—205.
Леви-Чивита и Риччи (Levi-Civita Т., Ricci Q.)
[1] Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications.— Math. Ann.,
1901, 54, p. 125—201.
Легран (Legrand Q.)
[1] Etude d'une generalisation des structures presque complexes sur les varietes
differentiables.—Rend. Circ. Mat. Palermo, 1958, 7, p. 323—354;' 1959,
8, p. 5—48.
Л е д ж e p (Ledger A. J.)
[1] Harmonic homogeneous spaces of Lie groups.— J. London Math. Soc,
1954. 29. p. 345—347.
[2] Symmetric harmonic spaces.— J. London Math. Soc., 1957, 32, p. 53—
56.
[3] EspaceS de Riemann symmetriques generalises,— С. г. Acad. Sci. Paris,
1967, 264, p. 947—948.
Леджер н Обата (Ledger A. J., Obata M.)
[1] Affine and Riemannian s-manifolds.— J. Diff. Geom., !968, 2, „M> 4, p.
451—459.
Леджер и Яно (Ledger A. J., Yano K.)
[1] Linear connections on tangent bundles.— J. London Math. Soc., 1964, 39,
p. 495—500.
[2] The tangent bundle of a locally symmetric space.— J. London Math. Soc,
1965, 40, p. 487—492.
Лейхтвайс (Leichtweiss K.)
[1] Zur Riemannischen Geometrie in Grassmannschen Mannigfaltigkeiten.—
Math. Z., 1961, 76, p. 334—366.
]2] Uber eine Art von Krummungsinvarianten beliebiger Urfermanr.igfaltig-
keiten des n-dimensionalen euklidischen Raumes.— Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 1963/64, 26, S. 155—190.
/елон-Ферран (Lelong-Ferrand J.)
[1] Quelques proprietes der groupes de transformations infinitesimaies d'une
variete riemannienne.— Bull. Soc. Math. Belg., 1956, ft, p. 15—30.
[2] Sur les groupes a un parametre de transformations des varietes differentiab-
differentiables.— J. Math. Pure Appl., 1958, 37, № 3, p. 269—278.
[3] Sur l'application des methodes de Hilbert a l'etude des transformations
infinitesimaies d'une variete differentiable.— Bull. Soc. Math. Belg. 1957,
9, p. 59—73.
Л е м а н (Lehmann D.)
[1] Extensions a courbure nulle d'une connexion.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1964, 258, p. 4903—4906.
[2] Remarques sur la connexion canonique d'une variete de Stiefel.— С. г.
Acad. Sci. Paris, 1964, 259, p. 2734—2757.
[3] Remarques sur les fibres C°° de base compacte, admettant une connexion a
groupe d'holonomie fini.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1966, 263, p. 348—
351.
[4] Remarques sur l'indice d'un espace fibre vectoriel complexe differentiable.—
С. г. Acad. Sci. Paris, 1966, 263, p. 470—473.
Леман-Лежен (Lehmann-Lejeune J.)
[1] Integrabilite des G-structures definies par une 1-forme 0-deformable a va-
leurs dans le fibre tangent.— Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1966, 16, № 2,
p. 329—387.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И 11
375
Л ере (Leray J.)
[1] Sur l'homologie des groupes de Lie,...— Colloque de Topoiogie, Bruxelles,
1950, p. 101 — 115.
Ли и Эн г е л ь (Lie S., Engel P.)
[13 Theorie der Transformationsgruppen.— Bd. I—III.— Leipzig: B. G. Teu-
bner, 1888—1893.
Либерман (Libermann P.)
[I] Sur le probleme d'equivalence de certaines structures infinitesimaies.—.
Ann. Mat. Рига Appl., 1954, 36, p. 27—120.
[2] Sur les structures presque complexes et autres structures infinitesimaies
regulieres.— Bull. Soc. Math. France, 1955, 83, p. 195—224.
[3] Sur les automorphismes infinitesimaux des structures symplectiques et
des structures contactes.— Colloque Geometrie Differentielle Globale,
Bruxelles, 1958, p. 37—59.
[4] Sur la geometrie des prolongements des espiices fibres vectoriels.— Ann.
Inst. Fourier (Grenoble), 1964, 14, № 1, p. 145-172.
[5] On sprays and higher order connections.— Proc Nat. Acad. Sci. USA,
1963, 49, p. 459—462.
[6] Pseudogroupes infinitesimaux attaches aux pseudogroupes de Lie.— Bull.
Soc Math. France, 1959, 87, p. 409—425.
[7] Sur quelques exemples de structures pfaffiennes et presque cosymplectiques.—
Ann. Mat. Рига Appl. D), 1962, 60, p. 153—172.
Л и б м а, н (Liebmann H.)
[1] Uber Flachen von konstanter Gausscher Kriimmung.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1901, 2, S. 87—99.
Л и т л (Little J. A.)
[1] On singularities of submanifolds of higher dimensional spaces: Thesis.—
University of Minnesota, 1968.
Лнхнерович (Lichnerowicz A.)
[1] Espaces homogenes kahleriens.— Colloque Geometrie Differentielle, Stras-
Strasbourg, 1953, p. 171—201.
[2] Theorie Globale des Connexions et des Groupes d'Holonomie.— Rome:
Ed. Cremonese, 1955. [Русский перевод: Лихнерович А. Теория
связностей в целом и группы голоиомий.— М: ИЛ, I960.]
[3] Geometrie des Groupes de Transformations.— Paris: Dunod, 1958.
[4] Sur les espaces riemanniens completement harmoniques.— Bull. Soc. Math.
France, 1944, 72, p. 146—168.
[5] Quelques theor&nes de geometrie differentielle globale.— Comment. Math.
Helv., 1949, 22, p. 271—301.
[6] Courbure, nombres de Betti et espaces symetriques.— Proc. Intern. Congr.
Math. Cambridge, Mass., 1950, 2, p. 216—223.
[7] Equations de Laplace et espaces harmoniques.— Premier Colloque Equa-
Equations Derivees Partielles, Louvain, 1953, p. 9—23.
[8) Isometries et transformations analytiques d'une variete kahlerienne com-
compacte.— Bull. Soc. Math. France, 1959, 87, p. 427—437.
[9] Lapalcien sur une variete riemannienne et spineurs.— Atti. Acad. Nat.
Lincei Rend. Cl. Sci. Fis.-Mat. Nat., 1962, 33, p. 187—191.
[10] Transformations des varietes a connexion lineaire et des varietes riemannien-
nes.— Enseignement Math., 1962, 8, p. 1 — 15.
[II] Theoremes de reductivite sur des algebres d'automorphismes.— Rend.
Mat. Appl. 1963, 22, p. 197—244.
[12] Sur les transformations conformes d'une variete riemannienne compacte.—
C. r. Acad. Sci. Paris, 1964, 259, p. 697—700.
A3] Operateurs differentiels invariants sur un espace homogene.— Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup., 1964, 81, p. 341—385.
[14] Varietes complexes ettenseur de Bergmann.— Ann. Inst. Fourier (Grenob-
(Grenoble), 1965, 15, p. 345—407. •

376
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ [ И II
[15] Sur certaines varietes kahleriennes compactes.— С. г. Acad. Sci. Paris,
1966, 263, p. 570—575.
Л у с (Loos О.)
[1] Spiegelungsraume und homogene symmetrische Raume.— Math. Z., 1967,
99, S. 141—170.
[2] Symmetric spaces, v. 1—2.— N. Y.: Benjamin, 1969.
[3] Reflexion spaces and homogeneous symmetric spaces.— Bull. Amer. Math.
Soc, 1967, 73, № 2, p. 250—253.
Майерс (Myers S. B.)
[1] Riemannian manifolds in the large.— Duke Math. J., 1935, 1, p. 39—
49.
[2] Connection between differential geometry and topology.— Duke Math. J.,
1935, 1, p. 376—391; 1936, 2, p. 95—102.
[3] Riemannian manifolds with positive mean curvature.— Duke Math. J.,
1941, 8, p. 401—404.
[4] Curvature of closed hypersurfaces and non-existence of closed minimal hyper-
surfaces.— Trans. Amer. Math. Soc, 1951, 71, p. 211—217.
Майерс и Стинрод (Myers S. В., Steenrod N.)
[1] The group of isometries of a Riemannian manifold.— Ann. Math., 1939,
40, p. 400—416.
Маккин и Зингер (McKean H. P., Singer I. M.)
[1] Curvature and the eigenvalues of the Laplacian.— J. Differential Geometry,
1967, 1, p. 43—70.
Мальграиж (Malgrange B.)
[1] Theoreme de Frobenius complexe.— Seminaire Bourbaki, 1957/58, Expose
166.
M а л ь ц (Maltz R.)
[1] The nullity spaces of thi curvature operator.— Cahiers de Topologie et
Geometric Differentielle, 1966, 8, p. 1—20.
Мальцев А. И.
[1] Об одном классе однородных пространств.— ИАН СССР, сер. матем.,
1949, 13, с. 9—32.
[2] Аналитические лупы.— Матем. сб., 1955, 36, № 3, с. 569—573.
[3] Алгебраические системы.— М.: Наука, 1970.
М а н т у р о в О. В.
[1] Однородные римановы пространства с неприводимой группой вращений.—
Тр. семин. по вект. тенз. анализу при МГУ, 1966, 13, с. 68—145.
Мартинелли (Martinelli E.)
[1] Varieta a struttura quaternionale generalizzata.— Atti. Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis.-Mat. Nat., 1959, 26, p. 353—362.
[2] Modello metrico reale dello spazio proiettivo quaternionale.— Ann. Mat.
Рига Appl., 1960, 49, p. 78—89.
M а с с и (Massey W. S.)
fl] Surfaces of Gaussian curvature zero in Euclidean 3-space.— Tohoku Math.
J., 1962, 14, p. 73-79.
M а у т н e p (Mautner F. I.)
[1] Geodesic flows on symmetric Riemann spaces.— Ann. Math., 1957, 65,
p. 416—431.
Мацусима (Matsushima Y.)
[1] On the discrete subgroups and homogeneous spaces of nilpotent Lie groups.—
Nagoya Math. J., 1951, 2, p. 95—110.
[2] Un theoreme sur les espaces homogenes complexes.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1955, 241, p. 785—787.
[3] Sur la structure du groupe d'homeomorphismes analytiques d'une certaine
variete kahlerienne.— Nagoya Math. J., 1957, 11, p. 145—150:
[4] Sur les espaces homogenes kahleries d'un groupe de Lie reductif.— Nagoya
Math. J., 1957, 11, p. 53—60.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
377
[5] Fibres holomorphes sur un tore complexe.— Nagoya Math. J , 1959 14
p. 1—24.
[6] Espaces homogenes de Stein des groupes de Lie complexes.— Nagoya Math
J., 1960, 16, p. 205—218; II. —Nagoya Math. J., 1961, 18, p. 153—
164.
[7] Sur certaines varietes homogenes complexes.— Nagova Math. J., 1961,
18, p. 1—12.
[8] On the first Beiti number of compact quotient spaces of higher dimensional'
symmetric spaces.— Ann. Math., 1962, 75, p. 312—330.
[9] On Betti numbers of compact, locally symmetric Riemannian manifolds —
Osaka Math. J., 1962, 14, p. 1—20.
Мацусима и Моримото (Matsushima Y., Morimoto A.)
[if Sur certain espaces fibres holomorphes sur une variete de Stein.— Bull
Soc. Math. France, 1960, 88, p. 137—155.
Мацусима и My раками (Matsushima Y., Murakami S.)
[1] On vector bundle valued harmonic forms and automorphic forms on sym-
symmetric riemannian manifolds.— Ann. Math., 1963, 78, p. 365—416.
[2] On certain cohomology groups attached to Hermitian symmetric spaces.—
Osaka J. Math., 1965, 2, p. 1—35; Proc. US-Japan Seminar in Differen-
Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 82—94.
M и л н о р (Milnor J. W.)
[1] Groups which act on S" without fixed points.— Amer. J. Math., 1957,
79, p. 623—630.
[2] On manifolds homeomorphic to the 7-sphere.— Ann. Math., 1956, 64,
p. 394—405.
[3] Lectures on Morse Theory.— Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press,
1963.
[4] Lectures on Characteristic Classes.— Notes from Princeton Univ.,
1958.
[5] Topology from the Differentiable Viewpoint.— Univ. Virginia Press, 1965.
[6] On the existence of a connection with curvature zero.— Comment. Math.
Helv., 1958, 32, p. 215-223.
[7] Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds.— Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 1964, 51, p. 542.
Милнор и Сташеф (Milnor J., Stasheff J.)
[1] Characteristic classes.— Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press and
Univ. of Tokyo Press, 1974. [Русский перевод: Милнор Дж., Ста-
Сташеф Дж. Характеристически», классы.— М.: Мир, 1979.]
Минагава и Радо (Minagawa Т., Rado Т.)
[1] On the infinitesimal rigidity of surfaces.— Osaka Math. J., 1952, 4, p. 241—
285.
Минковский (Minkowski H.)
[1] Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Aquivalenz.— J. reine angew.
Math., 1905, 129, S. 220—274.
M о л и н о (Molino P.)
[1] Champs d'elernents sur un espace fibre principal differentiable.— Ann.
Inst. Fourier (Grenoble), 1964, 14, p. 163—219.
Монтгомери (Montgomery D.)
[1] Simply connected homogeneous spaces.— Proc. Amer. Math. Soc 1950,
1, p. 467—469.
Монтгомери и Зиппин (Montgomery D., Zippin L.)
[1] Transformation Groups.— N. Y.: Interscience, 1955.
Монтгомери н Самельсон (Montgomery D., Samelson H.)
[1] Transformation groups of spheres.— Ann. Math., 1943, 44, p. 454—470.
Моримото (Morimoto A.)
[1] Structures complexes invariantes sur les groupes de Lie semi-simples.—
С. г. Acad. Sci. Paris, 1956, 242, p. 1101—1103.

[2]
[3]
[4]
Мори
Мори
378 БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1ИП
Sur la classification des espaces fibres vectoriels holomorphes admettant
des connexions holomorphes sur un tore complexe.— Nagoya Math. J.,
1959, 15, p. 83—154.
Sur le groupe d'automorphismes d'un espace fibre principal analytique
complexe.—Nagoya Math. J., 1958, 13, p. 15/—178.
On normal almost contact structures.— J. Math. Soc. Japan, 1963, 15,
p. 420—436.
мото и Нагано (Morimoto A., Nagano T.) /
On pseudo-conformal transformations of hypersurfaces.— J. Math. Soc.
Japan, 1963, 15, p. 283—300.
т a (Morita K.)
On the kernel functions of symmetric domains.— ScL Rep. Tokyo Kyoiku
Daigaku, Sect. A, 1956, 5, p. 190—212.
p с (Morse M.)
[1] The Calculus of Variations in the Large.—N. Y.: Amer. Math. Soc,
1934.
г к а м и (Murakami S.)
On the automorphisms of a leal semi-simple Lie algebra.— J. Math. Soc.
Japan, 1952, 4, p. 103—133. Corrections.—J. Math. Soc. Japan, 1953,
5, p. 105—112.
Algebraic study of fundamental characteristic classes of sphere bundles.—
Osaka Math. J., 1956, 8, p. 187—224.
Sur certains espaces fibres principaux differentiables et holomorphes.—
Nagoya Math. J., 19ВД, 15, p. 171 — 199.
Sur certains espaces fibres principaux holomorphes admettant des conne-
connexions holomorphes.— Osaka Math. J., 1959, 11, p. 43—62.
Sur certains espaces fibres principaux holomorphes dont le groupe est abe-
lian connexe.— Osaka Math. J., 1961, 13, p. 143—167.
Sur la classification des algebres de Lie reelles et simples.— Osaka J. Math.,
1965, 2, p. 291—307.
н о (Nagano T.)
The conformal transformation ou a space with parallel Ricci tensor.— J.
Math. Soc. Japan, 1959, 11, p. 10—14.
On fibred Riemannian manifolds.— Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ.
Tokyo, 1960, 10, p. 17—27.
On conformal transformations of Riemann spaces.— J. Math. Soc. Japan,
1958, 10, p. 79—93.
Sur des hypersurfaces et quelques groupes d'isometries d'un espace rieman-
nien.— Tohoku Math. J., 1958, 10, p. 242—252.
Transformations groups with (n—l)-dimensional orbits on noncompact
manifolds.— Nagoya Math. J., 1959, 14, p. 25—38.
Compact homogeneous spaces and the first Betti number.— J. Math. Soc.
Japan, 1959, 11, p. 4—9.
On some compact transformations groups on spheres.— Sci. Papers Coll.
Gen. Ed. Univ. Tokyo, 1959, 9, p. 213—218.
Homogeneous sphere bundles and the isotropic Riemann manifolds.— Na-
Nagoya Math. J., 1959, 15, p. 29—55.
On the minimum eigenvalues of the Laplacians in Riemannian manifolds.—
Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo, 1961, 11, p. 177—182.
Transformations groups on compact symmetric spaces.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1965, 118, p. 428—453.
A problem on the existence of an Einstein metric.— J. Math. Soc. Japan,
1967, 19, p. 30—31.
но и Такахаси (Nagano Т., Takahashi Т.)
Homogeneous hypersurfaces in Euclidean spaces.— J. Math. Soc. Japan,
1960, 12, p. 1—7.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И И
379
[2)
[3]
[4]
[5]
[6)
Нага
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[П]
н"а"г а
[1]
H а к а и (Nakai M.)
[1] Algebras of some differentiablefunctions on Riemannian manifolds —Japan
J. Math., 1959, 29, p. 60—69.
H а к а н о (Nakano S.)
[1] On complex analytic vector bundles.— J. Math. Soc. Japan, 1955,7, p. 1 — 12.
Нарасимхан (Narasimhan R.)
[1] Imbeddings of holomorphically complete complex spaces.— Amer. J. Math.,
1960, 82, p. 917—934.
[2] Analysis on Real and Complex Manifolds.— Paris: Masson & Cie, 1968.
[Русский перевод: Нарасимхаи Р. Анализ на действительных и
комплексных многообразиях.— М.: Мир, 1971.]
Нарасимхан и Рамаиан (Narasimhan M., Ramanan S.)
[!] Existence of universal connections.— Amer. J. Math., 1961, 83, p. 563—
572; II.— Amer. J. Math., 1963, 85, p. 223—231.
H а ч б и н (Nachbin L.)
[1] The Haar Integral.—Princeton (N. J.): van Nostrand, 1965.
Нгуен ван Хай (Nguyen van Hai)
[1] Sur le groupe d'automorphismes de la variete affine des connexions lineaires
invariantes d'un espace homogene.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1964, 258,
p. 3952—3955.
[2] Conditions necessaires et suffisantes pour qu'un espace homogene admette
une connexion lineaire invariante.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1964, 259.
p. 49—52.
[3] Un type de connexion lineaire invariante sur un espace homogene.— С. г.
Acad. Sci. Paris, 1964, 259, p. 2065—2068.
[4] Relations entre les diverses obstructions relatives a '«'existence d'une con-
connexion lineaire invariante sur un espace homogene.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1965, 260, p. 45—48.
[5] Construction de l'algebre de Lie des transformations infinitesimales affines
sur un espace homogene a connexion lineaire invariante.— С. г. Acad.
Sci. Paris, 1966, 263, p. 876—879.
Нейенхёйс (Nijenhuis A.)
[1] Xn_i-forming sets of eigenvectors.— Indag. Math., 1951, 13, p. 200--212.
[2] On the holonomy group of linear connections IA, IB.— Indag. Math., 1953,
15, p. 233—249; II.— Indag. Math., 1954, 16, p. 17—25.
[3] A note on infinitesimal holonomy groups.— Nagoya Math. J., 1957, 12,
p. 145—147.
[4] A note on hyperconvexity in Riemannian manifolds.— Canad. J. Math.,
1959, 11, p. 576—582.
[5] Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain
tensor fields I, II.— Nederl. Akad. Wetensch. Proc, Ser. A, 1955, 58.
p. 390—403.
[61 Geometric aspects of formal differential operators on tensor fields.— Proc.
Intern. Congr. Math. 1958 (Edinburgh), p. 463—469.
Нейенхёйс и Вольф (Nijenhuis A., Wolf W. B.)
[1] Some integration problems in almost complex manifolds.— Ann. Math.,
1963, 77, p. 424—483.
Никерсон (Nickerson H. K)
[1] On complex form of the Poincare lemma.— Proc. Amer. Math. Soc, 1958,
9, p. 183—188.
[2] On differential operators and connections.— Trans. Amer. Math. Soc,
1961, 99, p. 509—539.
Ниренберг (Nirenberg L.)
[1] The Weyl and Minkowski problems in the differential geometry in the
large.— Comm. Pure Appl. Math., 1953, 6, p. 337—394.
[2] A complex Frobenius theorem.— In: Seminar Analytic Functions, 1. Prin-
Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press, p. 172—189.

380
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И И
[3] Elementary remarks on surfac-js with curvature of fixed sign.— Proc. Symp.
Pure Math., Math. Soc, 1961, 3, p. 181—185.
[4] Rigidity of a class of closed surfaces, Nonlinear problems.— Proc. Symp.
Madison (Wise), 1962, p. 177--193.
H и тше (Nitsche J, С. С.)
[1*] On recent results in the theory of minimal surfaces.— Bull. Amer. Math.
Soc., 1965, 71, p. 195—270.
H о в а ц к и (Nowacki w.)
[1] Die euklidischen, dreidimensionalen geschlossenen und offenen Raumfor-
men.— Comment. Math. Helv., 1934, 7, p. 81—93.
H о м и д з у (Nomizu К.)
[1] On the group of affine transformations of an affinely connected manifold.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1953, 4, p. 816—823.
[2] Invariant affine connections on homogeneous spaces.— Amer. J. Math.,
1954, 76, p. 33—65.
[3] Studies on Riemannian homogeneous spaces.— Nagoya Math. J., 1955,
9, p. 43—56.
[4] Reduction theorem for connections and its application to the problem of
isotropy and holonomy groups of a Riemannian manifold.— Nagoya Math.
J., 1955, 9, p. 57—66.
[5] Un theoreme sur les groupes d'holonomie.— Nagoya Math. J., 1956, 10,
p. 101 — 103.
[6] On infinitesimal holonomy and isotropy groups.— Nagoya Math. J., 1957,
11, p. 111 — 114.
[7] Lie Groups and Differential Geometry.— Publ. Math. Soc. Japan, 1956, 2.
[8] On local and global existence of Killing vector fields.— Ann. Math., 1960,
72, p. 105—120.
[9] Sur les algebres de Lie de generateurs de Killing et l'homogeneite d'une
variete nemannienne.— Osaka Math. J., 1962, 14, p. 45—51.
[10] Holonomy, Ricci tensor and Killing vector fields.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1961, \?,, p. 594—597.
[11] Recent development in the theory of connections and holonomy groupes.
In: Advances in Mathematics, 1, N. Y.: Academic Press, p. 1—49.
[12] On hypersurfaces satisfying a certain condition on the curvature tensor.—
Tohoku Math. J., 1968, 20, p. 46—59.
Номидзу и Одзеки (Nomizu К., Ozeki H.)
[1] The existence of complete Riemannian metrics.— Proc Amer. Math. Soc,
1961, 12, p. 889—891.
[2] On the degree of differentiability of curves used in the definition of the
holonomy group.— Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, p. 74—75.
[3] A theorem on curvature tensor fields.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1962,
48, p. 206—207.
Номидзу н Смит (Nomizu K-, Smyth В.).
[1] Differential geometry of complex hypersurfaces II.— J. Math. Soc. Japan,
1968, 20, p. 498—521.
Номидзу и Яно (Nomizu К., Yano К.)
[1] Une demonstration simple d'un theoreme sur le groupe d'holonomie affine
d'un espace de Riemann.—C. r. Acad. Sci. Paris, 1964, 258, p. 5334—5335.
[2] On infinitesimal transformations preserving the curvature tensor field and
its covariant differentials.— Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1964, 14, p.
227—236.
[3] Some results related to the equivalence problem in Riemannian geometry.—
Proc. US-Japan Seminar in Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 95—100.
[4] Some results related to the equivalence problem in Riemannian geometry.—
Math. Z., 1967, 97, p. 29—37.
H q. p д е н А. П.
[l] Пространства аффинной связности.— M.: Наука, 1976.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
381
Ньюлендер и Ниренберг (Newlander A., Nirenberg L.)
[1] Complex analytic coordinates in almost complex manifolds — Ann Math
1954, 65, p. 391—404. ' "'
Нэш (Nash J. F.)
[1] CMsometric imbeddings.— Ann. Math., 1954, 60, p. 383—396.
[2] The imbedding problem for Riemannian manifolds.— Ann. Math 1956
63, p. 20—63.
О б а т a (Obata M.)
[1] Affine transformations in an almost complex manifold with a natural af-
affine connection.— J. Math. Soc. Japan, 1956, 8, p. 345—362.
[2] On the subgroups of the orthogonal groups.— Trans. Amer. Math. Soc ,
1958, 87, p. 347--358.
[3] Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphe-
sphere.— J. Math. Soc. Japan, 1962, 14, p. 333—340.
[4] Conformal transformations of compact Riemannian manifolds.— Illinois
J. Math., 1962, 6, p. 292-295.
[5] Riemannian manifolds admitting a solution of a certain system of diffe-
differential equations.— Proc. US-Japan Seminar in Differential Geometry.
Kyoto, 1965, p. 101—114.
[6] Quelques inegalites inte^rales sur une variete riemanniene compacte —-
С r. Acad. Sci. Paris, Ser. A—B, 1967, 264, p. 123—125.
Обата и Яно (Obata M., Yano К.)
[1] Sur le groupe de transformations conformes d'une variete de Riemann dont
le scalaire de courbure est constant.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1965, 260,
p. 2698—2700.
Обей (Aubin T.)
AJ Sur la courbure scalaire des varietes riemanniennes compactes.— C. r.
Acad. Sci. Paris, 1966, 262, p. 130—133.
[2] Sur le groupe fondamental de certaines varietes riemanniennes compactes.—
С r. Acad. Sci. Paris, 1965, 261, p. 3032—3034.
[3] Sur la courbure conforme des varietes riemanniennes.— C. r. Acad. Sci.
Paris, Ser. A—B, 1966, 262, p. 391—393.
[4] Varietes hermitiennes compactes localement conformement kahleriennes.—
С. г. Acad. Sci. Paris, 1965, 261, p. 2427—2430.
Одзеки (Ozeki H.)
[1] Infinitesimal holonomy groups of b.indle connections.— Nagoya Math.
J., 1956, 10, p. 105—124.
[2] Chern classes of projective modules.— Nagoya Math. J., 1963, 23, p. 121 —
152.
О л и в ь е р (Olivier R.)
[1] Die Existenz geschlossener Geodatischen auf kompakten Mannigfaltigkei-
ten.— Comment. Math. Helv., 1961, 35, S. 146—152.
[2] Uber die Dehnung von Spharenabbildungen,— Invent. Math., 1966, 1,
S. 380—390.
О м о р и (Omori H.)
[1] Isometric immersions of Riemannian manifolds.—J. Math. Soc. Japan,
1967, 19, p. 205—214.
O'H e й л (O'Neill B.)
[I] An algebraic criterion for immersion.— Pacific J. Math., 1959, 9, p. 1239—
1247. „
[2] Immersion of manifoods of non-positive curvature.— Proc. Amer. Math-
Soc, 1960, 11, p. 13 —134.
[3] Umbilics of constant curvature immersions.— Duke Math. J., 1965, 32,
p. 149—159.
[4] Isotropic and Kaehler immersions.— Canad. J. Math., 1965, 17, p. 907—915.
[5] Isometric immersion of flat Riemmanian manifolds in Euclidean space.—
Michigan Math. J., 1962, 9, p. 199—205.

382
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И
П
[6] Isometric immersions with preserve curvature operators.— Proc. Amer.
Math. Soc, 1962, 13, p. 759—763.
[7] The fundamental equations of a submersion.— Michigan Math. J., 1966,
13, p. 459—469.
О'Нейл и Сти л (O'Neill В., Stiel E.)
[1] Isometric immersions of constant curvature manifolds.— Michigan Math.
J., 1963, 10, p. 335—339.
О с б о р н (Osborn H.)
[1] The Morse index theorem.—Proc. Amer. Math. Soc, 1967, 18, p. 759—762;
Correction.— Proc. Amer. Math. Soc, 1968, 19.
О ц у к и (Otsuki T.)
[1] On the existence of solutions of a system of quadratic equations and its
geometrical application.— Proc. Japan. Acad., 1953, 29, p. 99—100.
[2] Isometric imbedding of Riemannian manifolds in a Riemannian mani-
manifold.— J. Math. Soc. Japan, 1954, 6, p. 221—234.
[3] Note on the isometric imbedding of compact Riemannian manifolds in Eucli-
Euclidean spaces.— Math. J. Okayama Univ., 1956, 5, p. 95—102.
[4] On focal elements and the spheres.— Tohoku Math. J., 1965, 17, p. 285—304.
[5] Integral formulas for hypersurfaces in a Riemannian manifold and their
applications.— Tohoku Math. J. B), 1965, 17, p. 335—348.
[6] On the total curvature of surfaces in Euclidean spaces.— Japan. J. Math.,
1966, 35, p. 61—71.
[7] Surfaces in the 4-dimensional Euclidean space isometric to a sphere.— Kodai
Math. Sem. Rep., 1966, 18, p. 101 — 115.
О ч и а и (Ochiai Т.)
[1] On the automorphism group of a jr-scructure.— J. Math. Soc. Japan, 1966,
18, p. 189—193.
Пале (Palais R. S.)
[1] A Global Formulation of the Lie Theory of Transformation Groups.—
Mem. Amer. Math. Soc, 1957, 22.
[2] On the differentiabilitv of isoimtries.— Proc. Amer. Math. Soc, 1957,
8, p. 805—807.
[3] Morse theory on Hilbert manifolds.— Topology, 1963, 2, p. 299—340.
П а п и (Рару G.)
[1] Sur la definition intrinseque des vecteurs tangents a une variete de classe
Cr lorsque 1<л<оо.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1956, 242, p. 1573—
1575.
Пасиенсьер (Pasiencier S.)
[1] Homogeneous almost complex spaces of positive characteristic.— Proc.
Amer. Math. Soc, 1964, 15, p. 471—481.
Паттерсон (Patterson L. N.)
[1] On the index theorem.— Amer. J. Math., 1963, 85, p. 271—297.
Пете р..с (Peters K-)
[1] Uber holomorphe und meromorphe Abbildungen gewisser kompakter kom-
plexer Mannigfaltigkeiten.—Arch. Math., 1964, 15, S. 222—231.
Петров А. 3.
[1] Пространства Эйнштейна.— M.: Физматгиз, 1961.
ПогореловА. В.
[1] Некоторые вопросы геометрии в целом в римановом пространстве.—
Харьков, 1957.
[2] Some results on surface theory in the large.— Advances in Math., 1964, 1,
№ 2, p. 191 -264.
[3] Непрерывные отображения ограниченной вариации.— ДАН СССР, 1956,
111, с. 757—759.
[4] Распространение теоремы Гаусса о сферическом изображении на случай
поверхностей ограниченной внешней кривизны.— ДАН СССР, 1956, 111,
с. 945—947.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
383
Поль (Pohl W. F.)
[1] Differential geometry of higher order.— Topology, 1962, 1, p. 169—211.
[2] Extrinsic complex projective geometry.—• In: Proc. Conf. Complex Analysis
(Minneapolis, 1964). Berlin: Springer, 1965, p. 18—29.
[3] Connexions in differential geometry of higher order.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1966, 125, p. 310—325.
ПонтрягинЛ. С.
[1] Непрерывные группы.— 3 изд.— М.: Наука, 1973.
[2] Некоторые топологические инварианты замкнутых римаиовых многооб-
многообразий.— ИАН СССР, сер. матем., 1949, 13, с. 125—162.
Постников М. М.
[1] Вариационная теория геодезических.— М.: Наука, 1965.
Прейсмаи (Preismann A.)
[1] Quelques proprietes globales des espaces de Riemann.— Comment. Math.
Helv., 1942, 15, p. 175—216.
Пуанкаре (Poincare H.)
[1] Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1905, 5, p. 237—274.
Пятецкий-Шапиро И. И.
[1] Об одной проблеме Э. Картана.— ДАН СССР, 1959, 124, № 2, с. 272—273.
[2*] Geometrie des Domaines Classiques et Theorie des Fonctions Automor-
phes.— Paris: Dunod, 1966.
Рагунатан (Raghunathan M. S.)
[1] Deformations of linear connections and Riemannian manifolds.— J. Math.
Mech., 1966, 13, p. 97—123. Addendum.—J. Math. Mech., 1966, 13.
д е Рам (de Rham G.)
[1] Sur la reductibilite d'un espace de Riemann.— Comment. Math; Helv.,
1952, 26, p. 328—344.
[2] Varietes Differentiables.— Paris: Hermann, 1955.
P а у x (Rauch H. E.)
[1] A contribution to differential geometry in the large.— Ann. Math., 1951,
54, p. 38—55.
[2] The global study of geodesies in symmetric and nearly symmetric Rieman-
Riemannian manifolds.—Comment. Math. Helv., 1961, 35, p. 111—125.
[3] Geodesies symmetric spaces and differential geometry in the large.— Com-
Comment. Math. Helv., 1953, 27, p. 294—320.
[4] Geodesies and Curvature in Differential Geometry in the Large.— N. Y.:
Yeshiva Univ., 1959.
[5] Geodesies and Jacobi equations on homogeneous Riemannian manifolds.—
Proc. US-Japan Seminar in Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 115—127.
РашевскийП. К-
[1] О геометрии однородных пространств,— ДАН СССР, 1951, 80, с. 169—171.
[2] О геометрии однородных пространств.— Тр. семин. по вект. теиз. анализу
'при МГУ, 1952, 9, с. 49—74.
[3) Риманова геометрия и тензорный анализ.—2 изд.— М.: Наука, 1964.
[4] Симметрические пространства аффинной связности с кручением.— Тр.
семин. по вект. тенз. анализу при МГУ, 1950, 8, с. 82—92.
Р е б (Reeb G.)
[1] Sur certaines proprietes topologiques des varietes feuilletees.— Paris:
Hermann, 1952.
Ре йнхарт (Reinhart B.)
[1] Foliated manifolds with bundle-like metrics.— Ann. Math., 1959, 69, p.
119—131.
[2] Harmonic integrals on almost product manifolds.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1958, 88, p. 243—276.
[3^ Harmonic integrals on foliated manifolds.— Amer. J. Math., 1959, 8U
p. 529—539.

384
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
385
Р ё р л ь (Rohrl H.)
[1*] Holomorphic fibre bundles over Riemann surfaces.— Bull. Amer. Math.
Soc, 1960, 68, p. 125—160.
P и м а н (Riemann B.)
[1] Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen.— Ges. Werke.
[Русский перевод: Р н м а н Б. О гипотезах, лежащих в основаниях гео-
геометрии.— В ки.: Об основаниях геометрии. М.: Гостехиздат, 1956, с.
309—341.]
Р и н о в (Rinow W.)
[1*] Die innere Geometrie der metrischen Raume.— Berlin: .Springer, 1961.
[2] Uber Zusammenhange zwischen der Differentialgeometrie im Grossen und
im Kleinen.— Math. Z., 1932, 35, S. 512—528.
Родригес (Rodrigues A. A. M.)
[1] Characteristic classes of complex homogeneous spaces.— Bol. Soc. Mai,
Sao Paulo, 1955, 10, p. 67—86.
Розеиталь (Rosenthal A.)
[1] Riemannian manifolds of constant nullity.— Michigan Math. J., 1967,
14, p. 469—480.
P у (Ruh E. A.)
[1] On the automorphism group of a G structure.— Comment. Math. Helv.,
1964, 39, p. 189—264.
Руз, Уокер и Уилмор (Ruse H., Walker A. G., Willmore T. J.)
[1*1 Harmonic Spaces.— Rome: Ed. Cremonese, 1961.
Сабииин Л. В.
[1] О геометрии субсимметрических пространств.— Научн. докл. высш.
школы, физ.-матем. науки, 1958, № 3, с. 46—49.
[2] О структуре групп движений однородных римановых пространств с осе-
осевой симметрией.— Научн. докл. высш. школы, физ.-матем. науки, 1958,
№ 6, с. 127—138.
[3] Геометрия однородных римановых пространств и внутренняя геометрия
симметрических пространств.— ДАН СССР, 1959, 129, №6, с. 1238—1241,
[4] О геометрии трисимметрических римановых пространств.— Сиб. матем.
ж., 1961, 2, № 2, с. 266—278.
[5] Некоторые алгебраические тождества в теории однородных пространств.—
Сиб. матем. ж., 1961, 2, № 2, с. 279—281.
[6] О явном выражении форм связности квазисимметрического простран-
пространства.— ДАН СССР, 1960, 139, № 6, с. 1273—1276.
[7] О классификации трисимметрических пространств.— ДАН СССР, 1970,
194, № 3, с. 518—520.
[8] Трисимметрические пространства с простыми компактными группами
движений.— Тр. семин. по вект. тенз. анализу при МГУ, 1972, 16, с.
202—226.
[9] К эквивалентности категорий луп и однородных пространств.— ДАН
СССР, 1972, 205, № 3, с. 533—536.
[10] О геометрии луп.— Матем. заметки, 1972, 12, № 5.
[11] Одули как новый подход к геометрии со связностью.— ДАН СССР,
1977, 233, № 5, с. 800—803.
С а г л (Sagle A.)
[1] On anti-commutative algebras and homogeneous spaces.— J. Math. Mech.,
1967, 16, p. 1381 — 1394.
[2] A note on simple anti-commutative algebras obtained from reductive homo-
homogeneous spaces.— Nagoya Math. J., 1968, 13, p. 105—124.
Сагл и Уинтер (Sagle E., Winter D. J.)
[1] On homogeneous spaces and reductive subalgebras of simple Lie algebras.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 128, p. 142—147.
Саймоне (Simons J.)
[1] On transitivity of holonomy systems.— Ann. Math., 1962, 76, p. 213—234.
- Amer. J. Math.,
11, p. 929—939.
2—37.
[2] A note on minimal varieties. — Bull. Amer. Math. Soc, 1967,73, p. 491 —
495.
[3] Minimal varieties in Riemannian manifolds.— Ann. Math., 1968, 88,
p. 62—105.
Сакстедер (Sacksteder R.)
[1] On hypersurfaces with no negative sectional curvatures.-
1960, 82, p. 609—630.
[2] The rigidity of hypersurfaces.—J. Math. Mech., 1962,
Самельсон (Samelson H.)
[1*] Topology of Lie groups.— Bull. Amer. Math. Soc, 1952, 58, p.
[2] On curvature and characteristic of homogeneous spaces.— Michigan Math.
J., 1958, 5, p. 13—18.
С а м п с о н (Sampson H.)
[1] A note on automorphic varieties.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1952, 38,
p. 895—898.
С а с а к и (Sasaki S.)
[1] On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds.—
Tohoku Math J., 1958, 10, p. 338—345; П.— Tohoku Math. J., 1962, 14,
p. 146—155.
[2] A global formulation of the fundamental theorem of the theory of surfaces
in three-dimensional Euclidean space.— Nagoya Math. J., 1958, 13, p.
69—82.
[3*] Almost Contact Manifolds, Part I.— Math. Inst. Tohoku Univ., 1965;
Part II — Math. Inst. Tohoku Univ., 1967; Part III.— Math. Inst. Tohoku
Univ., 1968.
[4] On almost contact manifolds.— Proc. US-Japan Seminar in Differential
Geometry, Kyoto, 1965, p. 128—136.
[5] On differentiable manifolds with certain structures which are closely re-
related to almost contact structures.— Tohoku Math. J., 1960, 12, p. 459—
476; II (совместно с Хатакеямой (Y. Hatakeyama)).— Tohoku Math. J.,
1961, 13, p. 281—294.
С а т а к е (Satake I.)
[1] The Gauss-Bonnet theorem for F-manifolds.—J. Math. Soc. Japan, 1957,
9, p. 464—492.
[2] On representations and compactifications of symmetric Riemannian spa-
spaces.—Ann. Math., I960, 71, p. 77—110.
С а т о (Saito M.)
[1] Sur certain groupes de Lie resolubles,— Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ.
Tokyo, 1957, 7, p. 1 — 11; II.—Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo,
1957, 7, p. 157—168.
Сбитнева Л. В.
[1] Совершенные s-структуры.— Диф. геом. многообразий фигур, Калинин-
градск. ун-т, Калининград, 1979, 10, с. 97—103.
«Семинар Софус Ли» («Seminaire Sophus Lie», le annee 1954/55)
[1] Theorie des algebres de Lie. Topologie des groupes de Lie.— Paris: Ecole
Normale Superieure. Secretariat mathematique. 1955. [Русский перевод:
«Семинар Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.— М.:
ИЛ, 1962.]
Серпинский (Sierpinski W.)
[1] Sur les espaces metriques localement separable?.— Fundam.
21, p. 107—113.
С e p p (Serre J.-P.1
[1] Lie algebras and Lie groups.— N. Y.; Amsterdam: Benjamin, 1965.
[2] Algebres de Lie semi-simples complexes.— N. Y.; Amsterdam: Benjamin,
1966.
[3] Алгебра Ли и группы Ли.— М.: Мир, 1969. [Русский перевод книг [1{
и [2).f
13 Зак. 425
math., 1933,

386 БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
С и б у й я (Sibuya Y.)
[1] Note on real matrices and linear dynamical system$ with periodic coeffi-
coefficients.— J. Math. Anal. Appl., 1960, 1, p 363—372
С и н г (Synge J. L.)
[1] The first and second variations of length in Riemannian space — Proc
London Math. Soc, 1926, 25, p. 247—264.
[2] On the connectivity of spaces of positive curvature.— Quart. J Math
(Oxford Ser.), 1936, 7, p. 316—320
С и н г х (Singh К. D.)
[1] Sous-espaces d'une vanete kahlerienne.— Bull. Sci. Math. B), 1957 81
p. 21—29.
Слебодзинский (Slebodzinski A.)
[1] Formes Exterieurs et Leurs Applications.— Vol. I — Warszawa 1954 Vol
II.— Warszawa, 1963.
[2] Sur les prolongements d'une connexion lineaire — Bull. Acad Pol Sci
Ser. Math. Astr. Phys., 1960, 8, p. 145—150
Смит Б. (Smyth В.)
[Г] Differential geometry of complex hypersurfaces.— Ann. Math , 1967 85
p. 246—266.
[2] Homogeneous complex hypersurfaces.— J. Math. Soc. Japan, 1968 20
p. 643—647.
Смит Дж. (Smith J. W.)
[1] Lorentz structures on the plane.— Trans. Amer. Math. Soc, 1960 95
p. 226—237.
С м и т П. (Smith P. A.)
[1] Fixed point theorem for periodic transformations.— Amer J Math 1941
63, p. 1—8.
Солодовников А. С
[1] Проективные преобразования римаиовых пространств.— УМН 1956
11, № 4, с. 45—116.
Стернберг (Sternberg S.)
[1] Lectures on Differential Geometry.— Englewood Cliffs (New Jersey):
Prentice-Hall, 1964. [Русский перевод: Стернберг С. Лекции по
дифференциальной геометрии.— М.: Мир, 1970 ]
Стил (Stiel E.)
[1] Isometric immersions of manifolds of nonnegative constant sectional cur-
curvature.—Pacific J. Math., 1965, 15, p. 1415—1419.
[2] On immersions with singular second fundamental form operators — Proc
Amer. Math. Soc, 1966, 17, p. 699—702.
[3] Immersions into manifolds of constant negative curvature — Proc Amer
Math. Soc, 1967, 18, p. 713—715.
С т и н р о д (Steenrod N.)
[1] Topology of Fibre Bundles.—Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press,
1951. [Русский перевод: Стинрод Н. Топология косых произведе-
произведений.—М.: ИЛ, 1953.]
Стокер (Stoker J. J.)
[1] Developable surfaces in the large.—Comm. Pure Appl. Math., 1961 14
p. 627—635.
[2] On the form of complete surfaces in three-dimensional space for which
K<— c2 or /fee2.— In: Studies in Math. Analysis and Related Topics
Stanford: Stanford Univ. Press, 1962, p. 377—387.
С x о у т„е н (Schouten J. A.)
[lj Uber unitare Geometrie.— Proc. Kon. Ned. Akad 1929 32 S 457—
'465.
[2*] Ricci-Calculus.—2nd ed.— Berlin: Springer, 1954.
Схоут.еи ii ван Данциг (Schouten J. A., van Dantzig D.)
[1] Uber unitare Geometrie.—Math. Ann., 1930, 103, S. 319—346.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
387
Схоутен и Стройк (Schouten J. A., Struik D. J.)
[1] On some properties of general manifolds relating to Einstein's theory of
gravitation.— Amer. J. Math., 1921, 43, p. 213—216.
[2] Einfiihrung in die neueren Methoden der Differentialgeometrie.— B. I.—
Berlin, 1935. B. II.— Berlin, 1938. [Русский перевод: С х о у т е н И. А.,
Стройк Д. Я- Введение в новые методы дифференциальной геометрии.
Т. I.—М.; Л.: ГОНТИ, 1939. Т. П.—М.: ИЛ, 1948.]
С ю н ь (Hsiung С. С.)
[1] On differential geometry of hypersurfaces in the large.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1956, 81, p. 243—252.
[2] Some global theorems on hypersurfaces.— Canad. J . Math., 1957, 9, p. 5—14.
[3] A uniqueness theorem for Minkowski's problem for convex surfaces with
boundary.— Illinois J. Math., 1960, 4, p. 526—540.
[4] Some uniqueness theorems on compact Riemannian manifolds with boun-
boundary.— Illinois J. Math., 1960, 4, p. 526—540.
[5] Curvature and homology of Riemannian manifolds with boundary.— Math.
Z., 1963, 82, p. 67—81.
[6] On the group of conformal transformations of a compact Riemannian mani-
manifold.—Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1965, 54, p. 1509—1513.
[7] Vector fields and infinitesimal transformations on Riemannian manifolds
with boundary.— Bull. Soc Math. France, 1964, 92, p. 411—434.
[8] On the congruence of hypersurfaces.— Atti. Accad. Naz. Lincei Rend.,
Cl. Sci. Fis. Nat. Natur. (8), 1964, 37, p. 258—266.
С я н ь (Hsiang Wu-Yi).
[1] On the compact homogeneous minimal submanifolds.— Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1966, 56, p. 5—6.
[2] The natural metric on SO(n)lSO (n—2) is the most symmetric metric—
Bull. Amer. Math. Soc, 1967, 73, p. 55—58.
[3] On the bound of the dimensions of theisometry groups of all possible riema-
nian metrics on an exotic sphere.— Ann. Math., 1967, 85, p. 351—358.
Тан (Tai S. S.)
[1] On minimum imbedding of compact symmetric spaces of rank one.— J.
Differential Geometry, 1968, 2, p. 55—66.
Такахаси (Takahashi T.)
[1] Correction to «The index theorem in Riemannian geometry» by W. Am-
Ambrose.—Ann. Math., 1964, 80, p. 538—541.
[2] Minimal immersions of Riemannian manifolds.— J. Math. Soc. Japan,
1966, 18, p. 380—385.
[3] Hypersurface with parallel Ricci tensor in a space of constant holomorphic
sectional curvature.—J. Math. Soc. Japan, 1967, 19, p. 199—204.
T а к е у ч и (Takeuchi M.)
[1] On Pontrjagin classes of compact symmetric spaces.— J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, Sect. I, 1962, 9, p. 313—328.
[2] On the fundamental group and the group of isometries of a symmetric spa-
space.—J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 1964, 10, p. 88—123.
[3] Cell decompositions and Morse equalities on certain symmetric spaces.—
J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 1965, 12, p. 81 — 192.
Такеучи и Кобаяси (Takeuchi M., Kobayashi S.)
[1] Minimal imbeddings of ^-spaces.—J. Differential Geometry, 1968, 2,
p. 203—215.
Такидзава (Takizawa S.)
[1] On Cartan connections and their torsions.— Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto,
Ser. A, 1955, 29, p. 199—217.
[2] On Stiefel characteristic classes of a Riemannian manifold.— Mem. Coll.
Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, 1953, 28, p. 1—10.
[3] On the primary difference of two frame functions in a Riemannian mani-
manifold.—Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, 1953, 28, p. 11—14.
3* Зак. 425

388
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И I
[4]
[5]
[6]
[7]
Тана
[1]
[2]
[3]
[4]
Т а н н
[1]
Т а с и
[1]
Т а ф т
[1
[2.
Теле
[1]
[2]
[3)
[4]
Тите
[1]
[2]
Тома
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Т о м п
[1]
Some remarks on invariant forms~of a sphere bundle with connections.—
Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, 1955, 29, p. 193—198.
On the induced connexions.— Mem. Coll. Sci. Univ, Kyoto, Ser. A, 1957,
30, p. 105—118.
On soudures of differentiable fibre bundles.— J. Math. Kyoto Univ.', 1962/
63, 2, p. 237—275.
On contact structures of real and complex manifolds.— Tohoku Math. J.,
1963, 15, p. 227—252.
к a (Tanaka N.)
Conformal connections and conformal transformations.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1959, 92, p. 168—190.
Projective connections and protective transformations.— Nagoya Math.
J., 1957, 11, p. 1—24.
On the pseudo-conformal geometry of hypersurfaces of the space of n com-
complex variables.— J. Math. Soc. Japan, 1962, 14, p. 397—429.
On the equivalence problem associated with a certain class of homogeneous
spaces.—J. Math. Soc. Japan, 1965, 17, p. 103—139.
о (Tanno S.)
Strongly curvature-preserving transformations of pseudo-Riemannian ma-
manifolds.— Tohoku Math. J., 1967, 19, p. 245—250.
p о (Tashiro Y.)
Complete Riemannian manifolds and some vector fields.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1965, 117, p. 251—275.
(Taft E. J.)
Invariant Wedderburn factors.— Illinois J. Math., 1957, 1, p. 565—573.
Invariant Levi factors.—Michigan Math. J., 1962, 9, p. 65—68.
м а н (Teleman G.)
Sur les connexions infinitesimales qu'on peut definir dans les structures
fibrees differentiables de base donnee.— Ann. Mat. Рига Appl., 1963, 62,
p. 379—412.
Sur une classe d'espaces riemanniens symetriques.— Rev. Math. Pures
Appl., 1957, 2, p. 445—470.
Sur les varietes de Grassmann.— Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. Rep.
Popul. Roumanie, 1958, 2 E0), p. 202—224.
Sur les groupes des mouvements d'un espace de Riemann.— J. Math. Soc.
Japan, 1963, 15, p. 134—158.
(Tits J.)
Sur certaines classes d'espaces homogenes de groupes de Lie.— Acad. Roy.
Belg. Cl. Sci. Mem. Coll., 1955, 29.
Espaces homogenes complexes compacts.— Comment. Math. Helv., 1962/
63, 37, p. 111—120.
с (Thomas T. Y.)
Riemannian spaces of class one and their characterizations.— Acta Math.,
1935, 67, p. 169—211.
Imbedding theorems in differential geometry.— Bull. Amer. Math. Soc,
1939, 45, p. 841—850.
Extract from a letter by E. Cartan concerning my note: On closed spaces
of constant mean curvature.— Amer. J. Math., 1937, 59, p. 793—794.
On a class of existence theorems in differential geometry.— Bull. Amer.
Math. Soc, 1934, 40, p. 721—728.
On closed spaces of constant mean curvature.— Amer. J. Math., 1936,
58, p. 702—704.
On the variation of curvature in Riemann spaces of constant mean cur-
curvature.— Ann. Mat. Рига Appl., 1934/35, 13, p. 227—238.
к и н с (Tompkins С.)
Isometric imbedding of flat manifolds in Euclidean space.— Duke Math.
J., 1939, 5, p. 58—61.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ 1 И II
389
[2] A flat Klein bottle isometrically imbedded in Euclidean 4-space — Bull
Amer. Math. Soc, 1941, 47, p. 508.
Тондер (Tondeur P.)
[1] Ein invariantes Vektorraumfeld auf einem reduktiven, lokal-symmetri-
schen homogenen Raum ist involutorisch.— Math. Z., 1964, 85, S. 382—384.
[2] Champs invariants de p-plans sur une espace homogene.— C. r. Acad. Sci.
Paris, 1964, 259, p. 4473—4475.
[3] Invariant subbundle of the tangent bundle of a reductive homogeneous
space.—Math. Z., 1965, 89, p. 420—421.
Топоногов В. A.
[1] Римаиовы пространства ограниченной снизу кривизны.— УМН, 1959,
14, с. 87—130.
[2] Оценки длины замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях.—
ДАН СССР, 1959, 124, с. 282—284.
[3] Зависимость между кривизной и топологической структурой римановых
пространств четной размерности.— ДАН СССР, 1960, 133, с. 1031—
1033.
[4] Граница длины замкнутой геодезической в компактном римановом про-
пространстве положительной кривизны.— ДАН СССР, 1964, 154, с. 1047—
1049.
[5] Метрическая структура римановых пространств неотрицательной кри-
кривизны, содержащих прямые линии.— Сиб. матем. ж., 1964, 5, с. 1358—
1369.
Т о р n (Thorpe J. A.)
[1] Sectional curvatures and characteristic classes.— Ann. Math., 1964, 80,
p. 429—443.
[2] Parallelizability and flat manifolds,— Proc Amer. Math. Soc, 1965, 16,
p. 138—142.
[3] On the curvatures of Riemannian manifolds.— Illinois J. Math., 1966,
10, p. 412—417.
Уайтхед (Whitehead J. H. C.)
[1] Convex regions in the geometry of paths.— Quart. J. Math., 1932, 3, p. 33—
42, 226—227.
[2] On the covering of a complete space by the geodesies through a point.—
Ann. Math., 1935, 36, p. 679—704.
[3] Affine spaces of paths which are symmetric about each point.— Math.
Z., 1932, 35, p. 644—659.
У н л м о p (Willmore T. J.)
[1] Parallel distributions on manifolds.— Proc. London Math. Soc. C), 1956,
6, p. 191—204.
[2] Connexions for systems of parallel distributions.— Quart. J. Math. B),
1956, 7, p. 269—276.
[3] Connexions associated with foliated structures.— Ann. Inst. Fourier (Gre-
(Grenoble), 1964, 14, p. 43—47.
[4] Systems of parallel distributions.—J. London Math. Soc, 1957, 32, p.
153—156.
[5] Derivations and vector 1-forms.— J. London Math., Soc, 1960, 35, p.
425—432.
[6] Generalized torsional derivation.— Atti Acad. Naz. Lincei, Rend. Cl.
Sci. Fis. Mat. Nat., 1959, 26, p. 649—653.
[7] The Poincare Lemma associated with certain derivations.— J. London
Math. Soc, 1962, 37, p. 345—350.
[8] An Introduction to Differential Geometry.— Oxford: Oxford Univ. Press,
1959.
У и л с о и (Wilson J. P.)
[1] The total absolute curvature of an immersed manifold.— J. London Math.
Soc, 1965, 40, p. 362—366.

390 БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
Уитмен и Кон л он (Whitman A. P., Conion L.)
[1) A note on holonomy.— Proc. Amer. Math. Soc, 1965, 16, p. 1046—1051.
У о к е р (Walker A. G.)
[1] On Ruse's spaces of recurrent curvature.— Proc. London Math. Soc. B),
1950, 52, p. 36—64.
{2] The fibring of Riemannian manifolds.— Proc. London Math. Soc. C),
1953, 3, p. 1 — 19.
[3] Connexions for parallel distribution in the large.—-Quart. J. Math. (Ox-
(Oxford) B), 1955, 6, p. 301—308; II. — Quart. J. Math. (Oxford) B), 1958,
9, p. 221—231.
[4] Distributions and global connexions.— Colloque Geometrie Differentielle
Globale, Bruxelles, 1958, p. 63—74.
[5] Derivation torsionelle et second torsion pour une structure presque com-
plexe.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1957, 245, p. 1213—1215.
[6] islote on metrisable Lie groups and algebras.— In: Calcutta Math. Soc. Gol-
Golden Jubilee Commemoration Volume A958/59). Calcutta: Calcutta Math.
Soc, 1963, Part 1, p. 185—192.
[7) Almost-product structures.— Proc. Symp. Pure Math., 1961, 3, p. 94—100.
У о л л a x (Wallach N.)
[1] A classification of involutive automorphisms of compact simple Lie al-
algebras up to inner equivalence: Thesis.— Washington Univ., 1966.
[2] On maximal subsystems of root systems.— Canad. J. Math., 1968, 20,
p. 555—574.
У о p н e p (Warner F. W.)
[1] The conjugate locus of Riemannian manifold.— Amer. J. Math., 1965,
87, p. 575—604.
[2] Extensions of the Rauch comparison theorem to submanifolds.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1966, 122, p. 341—356.
[3] Conjugate loci of constant order.— Ann. Math., 1967, 86, p. 192—212.
У э с т (West A.)
[1] The projection of infinitesimal connection.— J. London Math. Soc, 1965,
40, p. 551—564.
Феденко А. С
[1] Регулярные пространства с симметриями.— Матем. заметки, 1973, 14,
№ 1, с. 113—120.
[2] Симметрические пространства с простыми некомпактными фундамен-
фундаментальными группами.—ДАН СССР, 1956, 108, № 6, с. 1026—1028.
Фельдман (Feldman E.)
[1] The geometry of immersions I.— Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, p.
693—698; Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 120, p. 185—224.
[2] The geometry of immersions II.— Bull. Amer. Math. Soc, 1964, 70, p.
600—607.
Фенхель (Fenchel W.)
[1] On total curvatures of Riemannian manifolds.— J. London Math. Soc,
1940, 15, p.. 15—22.
Фенхель и Иессен (Fenchel W., Jessen B.)
[1] Mengenfunktionen und konvexe Korper.— Danske Videns. Selskab. Math.-
Fysiske Medd., 1938, 16, S. 1—31.
c. (Ferus D.)
Uber die absolute Total-kriimmung hoher-dimensionaler Knoten.— Math.
Ann., 1967, 71, S. 81—86.
Ф и а л к о в (Fialkow A.)
[1] Hypersurfaces of a space of constant curvature.— Ann. Math., 1938, 39,
p. 762—785.
Фибеп (Fieber H.)
[1] Uber eine Riemannsche Geometrie ohne Kurzeste.— Arch. Math., 1964,
15, S. 388—391.
Ф e
и
БИ БЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
391
Фимен и Сюнь (Feeman G. F., Hsiung С. С.)
[1] Characterizations of Riemannian n-spheres.— Amer. J. Math.. 1959, 81
p. 691—708.
Ф л а д т (Fladt K.)
[1] Uber den Parallelism us von Levi-Civita in der Geometrie konstanten Kriim-
mungsmasses.— J. reine angew. Math., 1959, 201, S. 78—83.
Флаидерс (Flanders H.)
[1] Development of an extended exterior differential calculus.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1953, 75, p. 311—326.
[2] Methods in affine connections theory.— Pacific J. Math., 1955, 5, p. 391—
431.
[3] Remarks on mean curvature.— J. London Math. Soc, 1966, 41, p. 364—366.
Ф о с с (yoss К.)
[1] Differential geometrie geschlossener Flachen im Euklidischen Raum.—
Jahresber. Deutsch. Math. Verein., 1960/61, 63, S. 117—136.
[2] Einige differentialgeometrische Kongruentzsatze fur geschlossene Flachen
und Hyperflachen.— Math. Ann., 1956, 131, S. 180—218.
[3] Uber geschlossene Weingartensche Flachen.— Math. Ann., 1959, 138,
S. 42-54.
Френкель (Frankel Т. Т.)
[1] Homology and flows on manifolds.— Ann. Math., 1957, 65, p. 331—339.
[2] Fixed points and torsions on Kaehler manifolds.— Ann. Math., 1959, 70,
p. 1—8.
[3] Manifolds with positive curvature.— Pacific J. Math., 1961, 11, p. 165—174.
[4] On the fundamental group of a compact minimal submanifold.— Ann.
Math, 1966, 83, p. 68—73.
[5] On theorems of Hurwitz and Bochner,— J. Math. Mech., 1966, 15, p. 373—
377.
[6] Critical submanifolds of the classical groups and Stiefel manifolds.— In:
Symposium of Differential and Combinatorial Topology in honor of M.
Morse. Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press, 1965, p. 37—53.
Фрейдентель (Frendenthal H.)
[1] Die Topologie der Lieschen Gruppen als algebraisches Phanomen I.— Ann.
Math., 1941, 42, S. 1051—1074.
[2] Topologische Gruppen mit gemigent vielen fastperiodischen Funktio-
nen.— Ann. Math., 1936, 37, S. 57—77.
[3] Neure Fassungen des Riemann — Helmholtzsche Raumproblem.— Math.
Z., 1955/56, 63, S. 374—405.
[4] Zu den Weyl—Cartanschen Raumproblemen.— Arch. Math., 1960, 11, S.
107—115.
[5] Clifford—Wolf-Isometrien symmetrischer Raume.— Math. Ann., 1963,
150, S. 136—149.
[6] Das Helmholtz—Liesche Raumproblem bei indefiniter Metrik.— Math.
Ann., 1964, 156, S. 263—312.
Фрёлихер (Frolicher A.)
[1] Zur Differentialgeometrie der komplexen Strukturen.— Math. Ann., 1955,
129, S. 50—95.
Фрёлихер и Нейеихёйс (Frolicher A., Nijenhuis A.)
[1] Theory of vector-valued differential forms I.— Indag. Math., 1956, 18,
p. 338—359; П.— Indag. Math., 1958, 20, p. 414—429.
[2] Invariance of vector form operations under mappings.— Comment. Math.
Helv., 1960, 34, p. 227—248.
[3] A theorem of stability of complex structures.— Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1957, 43, p. 239—241.
Фридман (Friedman A.)
[1] Local isometric imbeddings of Riemannian manifolds with indefinite me-
metrics.—J. Math. Mech., 1961, 10, p. 625—649.

392
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[2] Isometric imbedding of Riemannian manifolds into Euclidean spaces.—
Rev. Modern Phys., 1965, 37, p. 201—203.
[3] Function-theoretic characterization of Einstein spaces and harmonic spa-
spaces.— Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 101, p. 240—258.
Фробеииус (Frobenius G.)
[1] Uber die unzerlegbaren diskreten Bewegungsgruppen.— Sitzungsber. Ko-
nig. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 1911, 29, S. 654—665.
Ф у б и н и (Fubini G.)
[1] Sulle metriche definite da una forma Hermitiana.— Atti Instit. Veneto,
1903, 6, p. 501—513.
Фудзимото (Fujimoto A.)
[!] On the structure tensor of G-structures.— Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto,
Ser. A, 1960, 18, p. 157—169.
[2] On decomposable symmetric affine spaces.— J. Math. Soc. Japan, 1957,
9, 158—170.
[3] On automorphisms of G-structures.—J. Math. Kyoto Univ., 1961/62, 1,
p. 1—20.
[4] Theory of G-structures, A report in differential geometry (in Japanese),
vol. 1.— Tokyo, 1966.
Ф у к с Б. А.
[1] Кривые Риччн метрики Бергмана, инвариантной относительно биголо-
морфных отображений.— ДАН СССР, 1966, 167, с. 996—999.
X а н г а н (Hangan т.)
[1] Sur !es connexions projectives.— Rev. Math. Pures Appl., 1958, 3, p. 265—
276.
[2] Derivees de Lie et holonomie dans la theorie des connexions infinitesi-
males.— Acad. Rep. Pop. Romfne Stud. Cere. Mat., 1960, 11, p. 159—173.
X а н о (Hano J. I.)
[1] On affine transformations of a Riemannian manifold.— Nagoya Math. J.,
195-5, 9, p. 99—109.
[2] On Kaehlerian homogeneous spaces of unimodular Lie groups.— Amer.
J. Math., 1957, 79, p. 885—900.
[3] On compact complex coset spaces of reductive Lie groups.— Proc. Amer.
Math. Soc, 1964, 15, p. 159—163.
Хано и Кобаясн (Hano J. I., Kobayashi S.)
[1] A fibering of a class of homogeneous complex manifolds.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1960, 94, p. 233—243.
Хано н Мацусима (Hano J. I., Matsushima Y.)
[1] Some studies of Kaehlerian homogeneous spaces.— Nagoya Math. J., 1957,
11, p. 77—92.
Хано и Моримото (Hano J. I., Morimoto A.)
[1] Note on the group of affine transformations of an affinely connected mani-
manifold.— Nagoya Math. J., 1955, 8, p. 71—81.
Хано и Одзеки (Нало J. I., Ozeki H.)
[1] On the holonomy groups of linear connections.— Nagoya Math. J., 1956,
10, p. 97—100.
Ханцше н Вендт (Hantzsche W., Wendt W.)
[1] Dreidimensionale euklidische Raumformen.— Math. Ann., 1934, 110,
S. 596—611.
X a p т м а н (Hartman P.)
[1] On isometric immersions in Euclidean space of manifolds with non-nega-
non-negative sectional curvatures.— Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 115, p. 94—
109.
[2] On homotopic harmonic maps.—Canad. J. Math., 1967, 19, p. 673—687.
Хартман и Ниренберг (Hartman P., Nirenberg L.)
fl] On spherical image maps whose Jacobians do not change sign.— Amer.
J. Math., 1959, 81, p. 901—920.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И 11
393
Хартман и Уинтнер (Hartman P., Wintner A.)
[1] On the embedding problem in differential geometry.— Amer. J. Math,
1950, 72, p. 553—564.
[2] The fundamental equations of differential geometry.— Amer. J. Math.,
1950, 72, p. 757—774.
X а т т о р и (Hattori A.)
[1] On 3-dimensional elliptic space forms (Japanese).— Sugaku, 1960/61, 12,
p. 164—167.
X e й н ц (Heinz E.)
[1] On Weyl's embedding problem.—J. Math. Mech., 1962, 11, p. 421—454.
Хелгасон (Helgason S.)
[1] Some remarks on the exponential mapping for an affine connection.—
Math. Scand., 1961, 9, p. 129—146.
[2] Differential Geometry and Symmetric Spaces.— N. Y.: Academic Press,
1962. [Русский перевод: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия
и симметрические пространства.— М.: Мир, 1964.]
[3] A duality in integral geometry on symmetric spaces.— Proc. US-Japan
Seminar in Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 37—56.
[4] On Riemannian curvature of homogeneous spaces.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1958, 9, p. 831—838.
[5] Totally geodesic spheres in compact symmetric spaces.— Math. Ann.,
1966, 165, p. 309—317.
[6] Differential Geometry and Symmetric Spaces.— N. Y.; London: Academic
Press, 1962. [Русский перевод: Хелгасон С. Дифференциальная
геометрия и симметрические пространства.— М.: Мир, 1964.]
Хенрих (Henrich С. J.)
[1] Derivations on an arbitrary vector bundle.— Trans. Amer. Math. Soc,
1963, 109, p. 411—419.
X e p м а н (Hermann R.)
[1] On the differential geometry of foliations,— Ann. Math., 1960, 72, p. 445—
457; J. Math. Mech., 1962, 11, p. 305—315.
[2] Compact homogeneous almost complex spaces of positive characteristic —
Trans. Amer. Math. Soc, 1956, 83, p. 471—481.
[3] Geodesies of bounded symmetric domains.— Comment. Math. Helv.,
1961, 35, p. 1—8.
[4] Focai points of dosed submanifolds of Riemannian spaces.— Indag. Math.,
1963, 25, p. 613—628. Щ
[5] Spherical compact hypersurfaces.— J. Math. Mech., 1964, 131, p. 237—242.
[6] An incomplete compact homogeneous Lorentz metric.— J. Math. Mech.,
1964, 13, p. 497—501.
[7] Geometric aspects of potential theory in the symmetric bounded domains.—
Math. Ann., 1962, 148, p. 349—366; II.— Math. Ann., 1963, 151, p. 143—
149; III.— Math. Ann., 1964, 153, p. 384—394.
[8] Convexity and pseudo-convexity for complex manifolds.— J. Math. Mech.,
1964, 13, p. 667—672; II.—J. Math. Mech., 1964, 13, p. 1065—1070.
[9] Complex domains and homogeneous spaces.— J. Math. Mech., 1964, 13,
p. 243—247.
[10] A sufficient condition that a map of Riemannian manifolds be a fiber bund-
bundle.—Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, p. 236—242.
[11] Existence in the large of totally geodesic submanifolds of Riemannian
spaces.—Bull. Amer. Math. Soc, 1960, 66, p. 59—61.
[12] Cartan connections and the equivalence problem for geometric structu-
structures.—Contributions to Differential Equations, 1964, 3, p. 199—248.
[131 A Poisson Kernel for certain homogeneous spaces.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1961, 12, p. 892—899.
[14] Homogeneous Riemannian manifolds of non-positive sectional curvatu-
curvature.— Indag. Math., 1963, 25, p. 47—56.

394
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И 11
[15] Vanishing theorems for homology of submanifolds.— J. Math. Mech., 1965,
14, p. 479—483.
[161 Equivariance invariants for submanifolds of homogeneous spaces.— Math.
Ann., 1965, 158, p. 284—289.
[171 Existence in the large of parallel homomorphisms.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1963, 108, p. 170—183.
Хёрмандер (Hormander L.)
[1] An introduction to Complex Analysis in Several Variables.— Princeton:
van Nost.rand, 1966.
X и kc (Hicks N.)
[1] A theorem on affine connexions.— Illinois J. Math., 1959, 3, p. 242—254.
[2] An example concerning affine connexions.— Proc. Amer. Math. Soc,
1960, 11, p. 952—956.
[3] Connexion preserving, conformal and parallel maps.— Michigan Math.
J., 1963, 10, p. 295—302.
[4] Linear perturbations of connexions.— Michigan Math. J., 1965, 12, p.
389—397.
[5] Submanifolds of semi-Riemannian manifolds.— Rend. Circ. Mat. Palermo
B), 1963, 12, p. 137—149.
[6] On the Ricci and Weingarten maps of a hypersurface.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1965, 16, p. 491—493.
[7] Connexion preserving spray maps.— Illinois J. Math., 1966, 10, p. 661—679.
Хиронака (Hironaka H.)
[1] An example of a non-Kaehlerian complex analytic deformation of Kaeh-
lerian complex structures — Ann. Math., 1962, 75, p. 190—208.
Хирцебрух У. (Hirzebruch U.)
[ll Uber Jordan-Algebren und kompakten Riemannsche symmetrische Raume
von Rang 1.—Math. Z., 1965, 90, S. 339—354.
Хирцебрух Ф. (Hirzebruch F.)
[1] Some problems on differentiable and complex manifolds.— Ann. Math.,
1954, 60, p. 213—236.
[2] Automorphe Formen und der Satz von Riemann — Roch.— Intern. Symp.
Algebraic Topology, Mexico City, 1958, S. 129—144.
[3] Topological Methods in Algebraic Geometry.— 3rd enlarged ed.— N. Y.:
Springer-Verlag, 1966. [Русский перевод: Хирцебрух Ф. Тополо-
Топологические методы в алгебраической геометрии.— М.: Мир, 1973.]
Хирцебрух Ф. и Коданра (Hirzebruch F., Kodaira К.)
fl] On the complex projective spaces,—J. Math. Pures Appl., 1957, 36, p.
201—216.
Ходж (Hodge W. V. D.)
[1] The Theory and Applications of Harmonic Integrals.— Cambridge (Eng-
(England): Cambridge Univ. Press, 1952.
[2] A special type of Kaehler manifolds.— Proc. London Math. Soc, 1951, 1,
p. 104—117.
[3] Structure problem for complex manifolds,— Rend. Math., 1952, 11, p.
101 — 110.
Холи (Hawley N. S.)
[1] Constant holomorphic curvature.— Canad. J. Math., 1953, 5, p. 53—56.
[2] A theorem on compact complex manifolds,— Ann. Math., 1950, 52, p.
637—641.
Холл (Hall M.)
[1] The Theory of Groups,— N. Y.: Macmillan, 1959. [Русский перевод:
Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.]
X опф X. (Hopf H.)
[1] Zum Clifford—Kleinschen Raumproblem.—Math. Ann., 1925, 95, S. 313—339.
[2] Uber die Curvatura integra geschlossener Hyperflachen.— Math. Ann.,
1925, 95, S. 340—367.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
395
[3] Geometrie infinitesimales et topologie.— Enseignement Math., 1931, 30
p. 233—240. & s ,
[4] Differentialgeometrie und topologische Gestalt.— Jahresber. Deutsch.
Math. Ver., 1932, 41, S. 209—229.
[5] Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten.— In: Studies and Es-
Essays presented to R. Courant. N. Y.: Interscience, 1948, S 167—
1.85.
[6] Uber komplex-analytische Mannigfaltigkeiten.— Rend. Math. Univ. Roma,
1.951, 10, p. 169—182.
[7] Uber Flachen mit eiher Relation zwischen den Hauptkriimmungen.—
Math. Nachr., 1951, 4, S. 232—249.
[8] Zur Differentialgeometrie geschlossener Flachen im Euklidischen Raum.—
In: Conv. Int. Geometria Diff. Italia 1953. Roma: Ed. Cremonese, 1954,
S. 45—54.
Хопф..Х. и Ринов (Hopf H., Rinow W.)
[1] Uber den Begriff der vollstandigen differentialgeometrischen Flachen —
Comment. Math. Helv., 1931, 3, S. 209—225.
[2] Die topologlschen Gestalten differentialgeometrisch verwandter Flachen.—
Math. Ann., 1932, 107, S. 113—123.
Хопф X. и Самельсон (Hopf H., Samelson H.)
[1] Zum Beweis des Kongruenzsatzes fur Eiflachen.— Math. Z., 1938, 43,
S. 749—766.
Хопф X. и Фосс (Hopf H., Voss К.)
[1] Ein Satz aus der Flachentheorie im Grossen.— Arch. Math., 1952, 3, S.
187—192.
X о п ф „X. н III и л ь т (Hopf H., Schilt H.)
[Г] Uber Isometrie and stetige Verbiegung von Flachen.— Math. Ann., 1938,
116, S. 749—766.
Хопф Э. (Hopf E.)
[1] Closed surfaces without conjugate points.— Proc. Nat. Acad. Sci , 1948,
34, p. 47—51. >
[2] On S. Bernstein's theorem on surfaces z(x, y) of non-positive curvature —
Proc. Amer. Math. Soc, 1950, 1, p. 80—85.
Хохшильд (Hoschchild G.)
[1] The Structure of Lie Groups.— San Francisco: Holden-Day, 1965.
X у (Ни S. T.)
[1] Homotopy Theory — N. Y.: Academic Press, 1959. [Русский перевод:
X у С. Т. Теория гомотопий.— М.; Мир, 1964.]
X у a (Hua L. К.)
[1] Harmonic analysis of functions of several complex variables in the classi-
classical domains.— Translations of Math. Monographs, Amer. Math. Soc,
1963, 6.
X ьюзмоллер (Husemoller D.)
[1] Fibre Bundles.— N. Y.: Mc-Graw-Hill, 1966. [Русский перевод: X ь ю з-
м о л л е р Д. Расслоенные пространства.— М.: Мир, 1970.]
Цагас, Леджер (Tsagas G., Ledger A.)
[1] Riemannian s-manifolds.—J. Diff. Geom., 1977, 12, p. 333—343.
Цассенхаус (Zassenhaus H.)
[1] Beweis eines Satzes fiber diskrete Gruppe.— Abh. Math. Sem. Univ. Ham-
Hamburg, 1938, 12, S. 298—312.
[2] Uber endliche Fastkorper.— Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1936, 11,
S. 187—220.
Цукамото (Tsukamoto Y.)
[1] On Kaehlerian manifolds with positive holomorphic sectional curvature.—
Proc. Japan Acad., 1957, 33, p. 333—335.
[2] On a theorem of A. D. Alexandrov.— Mem. Fac Sci. Kyushu Univ., Ser.
A, 1962, 15, o. 83—89.

396
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[3] On Riemannian manifolds with positive curvature.— Mem. Fac Sci Kyu-
Kyushu Univ., Sec. A, 1962, 12, p. 90—96.
[4] A proof of Berger's theorem.— Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., Ser A 1963
17, p. 168—175. '
[5] On certain Riemannian manifolds of positive curvature.— Tohoku Math
J., 1966, 18, p. 44—49.
[6] Closed geodesies on certain Riemannian manifolds of positive curvature
T6hoku Math. J., 1966, 18, p. 138—143.
[7] Curvature, geodesies and topology of Riemannian manifolds.— A report
in differential geometry (in Japanese), 1966, 2.
Чавел (Chayel J.)
[1] Isotropic Jacobi fields, and Jacobi's equations on Riemannian homoge-
homogeneous spaces.—Comment. Math. Helv., 1967, 42, p. 237—248.
[2] On normal Riemannian homogeneous spaces of rank one.— Bull Amer
Math. Soc., 1967, 73, p. 477—481.
Ч а р л а п (Charlap L. S.)
[1] Compact flat Riemannian manifolds I.— Ann. Math., 1965, 81, p. 15—30
Чарлап и Васкес (Charlap L. S., Vasquez A. T.)
[1] Compact flat Riemannian manifolds II: The cohomology of Zo -mani-
-manifolds.— Amer. J. Math., 1965, 87, p. 551—563.
Черн (Chern S. S.)
[1] Differential geometry of fibre bundles.— Proc. Intern. Cong. Math. 1950
2, p. 396—411.
[2] Topics in Differential Geometry.—Princeton (N. J.): Inst. for Adv. Study, 1951.
[3] Pseudo-groupes continus infinis.— Colloque de Geometrie Differentielle
Strasbourg, 1953, p. 119—136.
[4] A simple intrinsic proof of the Gauss— Bonnet formula for closed Rieman-
Riemannian manifolds.— Ann. Math., 1944, 45, p. 747—752.
[5] On a theorem of algebra and its geometrical applications.— J Indian Math
Soc, 1944, 8, p. 29—36.
[6] Integral formulas for the characteristic classes of spheres bundles — Proc
Nat. Acad. Sci. USA, 1944, 30, p. 269—273.
[7] On the curvature integral in a Riemannian manifold.— Ann. Math., 1945
6n, p. 674—684.
[8] On Riemannian manifolds of four dimensions.— Bull. A.mer Math Soc
1945, 51, p. 964—971.
[9] Some new characterizations of Euclidean sphere.— Duke Math J , 1945
12, p. 279—290.
[10] Characteristic classes of Hermitian manifolds.— Ann. Math., 1946 47
p. 85—121.
[11] Some new viewpoints in differential geometry in the large.— Bull Amer
Math. Soc, 1946, 52, p. 1—30.
[12] On the characteristic classes of Riemannian manifolds.— Proc Nat Acad
Sci. USA, 1947, 33, p. 78—82.
113] Relations between Riemannian and Hermitian geometries,— Duke Math
J., 1953, 20, p. 575—587.
[14] On curvature and characteristic classes of a Riemannian manifold.— Abh
Math. Sem. Univ. Hamburg, 1955, 20, p. 117—126.
[15]* La geometrie des sous-varietes d'un espace euclidien a plusieurs dimen-
dimensions.— Enseignement Math., 1951 — 1954, 40, p. 26—46.
[16] An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a sur-
surface.— Proc. Amer. Math. Soc, 1955, 60, p. 771—782.
[17] On a generalization of Kaehler geometry.— In: Algebraic Geometry Topo-
Topology Symp. in honour of S. Lefschetz.— Princeton (N. J.): Princeton Univ
Press, 1957, p. 103—121.
[18] A proof of the uniqueness of Minkowski's problem for convex surfaces
Amer. J. Math., 1957, 79, p. 949—950.
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
397
[19] Geometry of submanifolds in a complex projective space.— Intern. Symp.
Algebraic Topology, Mexico City 1958, p. 87—96.
[20] Dilferentiable Manifolds.— Textos de Mat., Recife, Brazil., 1959, № 4.
[21] Complex manifolds.— Textos de Mat., Recife, Brazil, 1959, № 5. [Русский
перевод: Черн С. С. Комплексные многообразия.— М.: ИЛ, 1961.]
[22] Integral formulas for hypersurfaces in Euclidian space and their appli-
applications to uniqueness theorem.— J. Math. Mech., 1959, 8, p. 947—955.
[23] Pseudo-Riemannian geometry and Gauss—Bonnet formula.— Ann. Acad.
Brazil. Ci., 1963, 35, p. 17—26.
[24] Minimal Surfaces in an Euclidian space of n dimensions.— In: Symp.
Differential and Combinatorial Topology in honor of M. Morse. Princeton
(N. J.): Princeton Univ. Press, 1965, p. 187—198.
[25] On the curvatures of a piece of hypersurface in Euclidean space.— Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg, 1965, 29, p. 77—91.
[26] The geometry of G-structures.— Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, p. 167—
219.
[27] On Einstein hypersurfaces in a Kaehlerian manifold of constant holomor-
phic sectional curvature.— J. Differential Geometry, 1967, 1, p. 21—31.
[28] On the differential geometry of a piece of manifold in Euclidean space.—
Proc. US—Japan Seminar in Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 17—21.
[29] Curves and surfaces in Euclidean spaces.— In: Studies in Global Geo-
Geometry and Analysis. Math. Assoc. Amer., 1967, p. 16—65.
Черн и Кюипер (Chern S. S., Kuiper V.)
[1] Some theorems on the isometric imbedding of compact Riemannian mani-
manifolds in Euclidean space.— Ann. Math., 1952, 56, p. 422—430.
Черн и Лашоф (Chern S. S., Lashof R. K.)
[1] On the total curvature of immersed manifolds.— Amer. J. Math., 1957,
79, p. 306—318; II.— Michigan Math. J., 1958, 5, p. 5—12.
Черн и Спеньер (Chern S. S., Spanier E.)
LI] A theorem on orientable surfaces in four-dimensional space.— Comment.
Math. Helv., 1951, 25, p. 205—209.
Черн и Сюнь (Chern S. S., Hsiung C. C.)
[1] On the isometry of compact submanifolds in Euclidean space.— Math.
Ann., 1962/63, 149, p. 278—285.
Черн, ХаноиСюнь (Chern S. S., Hano J., Hsiung C.C.)
\l] A uniqueness theorem on closed convex hypersurfaces.— J. Math. Mech.,
I960, 9, p. 85—88.
Ч?ж у и Кобаяси (Chu H., Kobayashi S.)
" [1] The automorphism group of a geometric structure,— Trans. Amer. Math.
Soc, 1963, 113, p. 141 — 150.
Ч о у (Chow W. L.)
[1] On compact complex analytic varieties.— Amer. J. Math., 1949, 71, p.
893—914; 1956, 78, p. 898.
Шварц (Schwartz M. H.)
" [1] Connexions adaptees a une sous-variete.— An. Acad. Brasil Ci., 1962, 34,
p. 427—444.
Шевалле (Chevalley C.)
[1] Theory of Lie groups — Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press, 1946.
[Русский перевод: Шевалле К. Теория групп Ли, т. I,— M.: ИЛ, 1948.]
[2] Invariants of finite groups generated by reflections.— Amer. J. Math.,
1955, 77, p. 778—782.
Шенберг (Schoenberg J. J.)
[1] Some applications of the calculus of variations to Riemannian geometry.—
Ann. Math., 1932, 33, p. 485—495.
Ш и б я к (Szybiak A.)
[1] On the general connections and continuity of the operator y-— Bull. Acad.
Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 1965, 13, p. 665—667.

БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
399
398
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
[2] On prolongation of fibre structures and connections of higher order.— Bull.
Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 1965, 13, p. 661—664.
Ш н о д a (Shioda T.) .
[1] On algebraic varieties uniformizable by bounded domains.— Proc. Jap.
Acad., 1963, 39, p. 617—619.
Широков А. П.
[1] О симметрических пространствах, определяемых алгебрами.— Изв.
высш. учебн. заведений, математика, 1963, № 6, с. 159—171.
111 м и д (Schmid J.)
[1] Zum Begriff des linearen Zusammenhanges.— Monatsh. Math., 1964, 68,
S. 326—367.
Шт удн (Study E.)
[1] Kurzeste Wege im komplexen Gebiete.— Math. Ann., 1905, 60, S. 321—377.
Шур (Schur F.)
[1] Uber den Zusammenhang der Raume konstanten Krummungsmasses mit
den projektiven Raumen.— Math. Ann., 1886, 27, S. 537—567.
Эдварде (Edwards H. M.)
[1] A generalized Sturm theorem.— Ann. Math., 1964, 80, p. 22—57.
Эйзенхарт (Eisenhart L. P.)
[1] Riemannian Geometry.— Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press,
1949.
[2] Non-Riemannian Geometry.— Amer. Soc. Colloq. Publ., 1927, 8.
ф е р Э к к e (ver Eecke P.)
[1] Sur les connexions d'elements de contact.— Topol. et Geom. Diff. (Sem.
Ehresmann), Inst. H. Poincare, 1963, 5.
Э к м а н (Eckmann B.)
[1] Sur les structures complexes et presque complexes.— Colloque de Geo-
metrie Differentielle, Strasbourg, 1953, p. 151 — 159.
[2[ Quelques proprietes globales des varietes kahleriennes.— С. г. Acad. Sci.
Paris, 1949, 229, p. 577—579.
[3] Complex analytic manifolds.— Proc. Intern. Congr. Math. Cambridge,
Mass, 1950, 2", p. 420—427.
[4] Structures complexes et transformations infinitesimales.— Convegno In-
Intern. Geometria Differenziale, Italia, 1953, p. 176—184.
Экман и Гуггенхеймер (Eckmann В., Guggenheimer H.)
[1] Formes differentielles et metrique hermitienne sans torsion.—С. г. Acad.
Sci. Paris, 1949, 229, p. 464—466, 489—491.
[2] Sur les varietes closes a metrique hermitienne sans torsion.— C. r. Acad.
Sci. Paris, 1949, 229, p. 503—505.
Экман нФрёлнхер (Eckmann В., Frolicher A.)
[1] Sur I'integrabilite de structures presques complexes.— C. r. Acad. Sci.
Paris, 1951, 232, p. 2284—2286.
Э л и а с с о н (Eliasson H. I.)
[1] Die Krummung des Raumes SpB)/SUB) von Berger.— Math. Ann., 1966,
164, S. 317—323.
[2] Ober die Anzahl geschlossener Geodatischen in gewissen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten.—Math. Ann., 1966, 166, S. 119—147.
[3] Geometry of manifolds of maps.—J. Differential Geometry, 1967, 1, p.
169—194.
Э п n л и (AeppH А.)
[1] Einige Xhnlichkeits und Symmetriesatze fur differenzierbare Flachen in
Raum.—Comment. Math. Helv., 1959, 33, S. 174—195.
[2] Some differential geometric remarks on complex homogeneous manifolds.—
Arch. Math., 1965, 161, S. 60—68.
Э р е с м а н (Ehresmann C.)
[1] Sur la notion d'espace complet en geometrie differentielle.— C. r. Acad.
Sci. Paris, 1936, 202, p. 2033.
[2] Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differentiable.— Col-
ioque de Topologie, Bruxelles, 1950, p. 29—55.
[3] Sur les espaces localement homogenes.— Einseigment Math., 1937, 35,
317—333.
[4] Sur la theorie des espaces fibres.— Colloque de Topologie, Paris,
p. 3—15.
1947,
[5] Sur les varietes presque complexes.— Proc. Intern. Congr. Math., Cam-
Cambridge (Mass.), 1950, p. 412—419.
[6] Introduction a la theorie des structures infinitesimales et des pseudogrou-
pes de Lie.— Colloque de Geometrie Differentielle, Strasbourg, 1953 p.
97—110.
[7] Sur les pseudo-groupes de Lie de type fini.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1958,
246, p. 360—362.
Я м а б e (Yamabe H.)
[ll On an arcwise connected subgroup of a Lie group.— Osaka Math. J , 1950,
2, p. 13—14.
[2] On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds.— Osaka
Math. J., 1960, 12, p. 21—37.
Я н о (Yano K.)
[I] On harmonic and Killing vectors.— Ann. Math., 1952, 55, p. 38—45.
[21 The Theory of Lie Derivatives and its Applications.— Amsterdam: North-
Holland, 1957.
[3] Quelques remarques sur les varietes a structure presque complexe.— Bull.
Soc. Math. France, 1955, 83, p. 57—80.
[4] Sur un theoreme de M. Matsushima.— Nagoya Math. J., 1957, 12, p. 147—
150.
[5] Harmonic and Killing tensor fields in Riemannian spaces with boundary.—
J. Math. Soc. Japan, 1958, 10, p. 430—437.
[6] Harmonic and Killing vector fields in compact orientable Riemannian
space with boundary.— Ann. Math., 1959, 69, p. 588—597.
[7] Some integral formulas and their applications.— Michigan Math. J., 1958,
5, p. 68-73.
[8] Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces.— N. Y.:
Pergamon Press, 1965.
[9] Closed hypersurfaces with constant mean curvature in a Riemannian mani-
manifold.— J. Math. Soc. Japan, 1965, 17, p. 333—340.
[10] On Riemannian manifolds with constant scalar curvature admitting a
conformal transformation group.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1966, 55,
p. 472—476.
[II] On a structure defined by a tensor field / of type A,1) satisfying f3Jrf—0.—
Tensor, 1963, 14, p. 99—109.
[12] Notes on hypersurfaces in a Riemannian manifold.— Canad. J. Math.,
1967, 19, p. 439—446.
Яно и Бохнер (Yano K-, Bochner S.)
[1] Curvature and Betti Numbers.— Princeton (N. J,): Princeton Univ. Press,
1953. [Русский перевод: Яно К- и Бохнер С. Кривизна и числа
Беттн.— М.: ИЛ, 1957.]
Яно и Исихара (Yano К-, Ishihara S.)
[1] Structure defined by f satisfying fs-\-f=O.— Proc. US-Japan Seminar in
Differential Geometry, Kyoto, 1965, p. 153—166.
Differential geometry in tangent bundle.— Kodai Math. Sem. Rep., 1968,
18, p. 271—292.
и Кобаяси (Yano A., Kobayashi S.)
[1] Prologantions of tensor fields and connections to tangent bundles.—
J.Math. Soc. Japan, 1966, 18, p. 194—210; II,—J. Math. Soc. Japan,
1966. 18, p. 236—246; III.—J. Math. Soe. Japan, 1967, 19, p. 486—
488.
[2]
Яно и

400
БИБЛИОГРАФИЯ К ТОМАМ I И II
Я н о и Моги (Yano К., Mogi I.)
[1] On real representations of Kaehierian manifolds.— Ann. Math., 1955, 61,
p. 170—189.
Яно и Нага но (Yano K-, Nagano T.)
[1] Einstein spaces admitting a one-parameter group of conformal transfor-
transformations.—Ann. Math., 1959, 69, p. 451—461.
[2] Some theorems on projective and conformal transformations.— Indag.
Math., 1957, 19, p. 451—458.
[3] The de Rham decomposition, isometries and affine transformations in
Riemannian spaces.—Japan J. Math., 1959, 29, p. 173—184.
[4] On geodesic vector fields in a compact orientable Riemannian space.—
Comment. Math. Helv., 1961, 35, p. 55—64.
Яно и Такахаси (Yano K-, Takahashi Т.)
[11 Some remarks on Einstein spaces and spaces of constant curvature.— J.
Math. Soc. Japan, 1960, 12, p. 89—96.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Здесь собраны только те основные обозначения, которые наиболее часто
используются в томах I и II.
1. 2»1 2л /¦•• и т- Д- означают суммирование по i или i, /, . .., где мно-
множество изменения индексов обычно ясно из контекста. @ означает цикличе-
циклическую сумму, т. е. BR (X, Y)Z=R(X, Y)Z+R(Y, Z)X+R(Z, X)Y.
2. R и С обозначают поле вещественных и комплексных чисел соответ-
соответственно.
R"—векторное пространство re-наборов вещественных чисел (л1, ..., хп)
С™—векторное пространство re-наборов комплексных чисел B1, ..., гп)
(х, у)—стандартное скалярное произведение 2;x'V в Rn(^ix'yi в С")
GL (л; R)—общая линейная группа, действующая на R™
gl(«; R)—алгебра Лн для GL («; R)
GL («; С)—общая линейная группа, действующая на С™
д1 («; С) — алгебра Ли для GL(n\ С")
О (р, Я) —ортогональная группа для — 2?=1 ('х'K + 2?=р + i (х')* на R/) + "
О(п) = О@, «) — ортогональная группа стандартного скалярного произве-
произведения в R™
с (Р> Я) — алгебра Лн для О(р, q)
о («) — алгебра Ли для О (п)
^ (Р. Я)—унитарная группа для — ^f=I x'x1 +^У^~р + 1 х'х1' на Ср + ч
U (n) = U @, п) — унитарная группа стандартного скалярного произведения
в Сл
U (Р< Я) — алгебра Ли для U (p, q)
U («)—алгебра Ли для U (п)
Ts (V)—тензорное пространство типа (г, s) над векторным пространством V
Т (V)—тензорная алгебра над V
Vе — комплексифнкация вещественного векторного пространства '/
Ап — пространство R™, рассматриваемое как аффинное пространство
А («; R) — группа аффинных преобразований для Ап
а («; R)—алгебра Ли для А («; R)
О (п, р)—грассманово многообразие «-плоскостей в Rn+P
G («, р)—грассманово многообразие ориентированных «-плоскостей в Rn + P
V \п, р) — многообразие Штифеля л-реперов в Ra+P
Gp,q(C) — комплексное грассманово многообразие р-плоскостей в СЯ + 1?
DPt д — пространство комплексных матриц Z с q строками и р столбцами
таких, что 1р—tZZ положительно определенная
Рп (С) = Gn, 1 (С) — комплексное проективное пространство
Dn = D1<n—единичный круг в С".
3. М обозначает «-мерное дифференцируемое многообразие.
Тх (Af) — касательное к М пространство в х
^ (М) — алгебра дифференцируемых функций на М
Ж (М) — алгебра Ли векторных полей на М

402
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
©(/VI) — алгебра тензорных полей на М
2) (М) — алгебра дифференциальных форм на М
Т (М)—касательное расслоение для /И
L (М) — расслоение линейных реперов для М
0 (М) — расслоение ортонормальных реперов для М (относительно данной
римановой метрики g)
Q=iQl) — каноническая 1-форма на L (М) илн О (М)
А (А1) — расслоение аффинных реперов для М
Тг(М) — тензорное расслоение типа (г, s) для М
/?—дифференциал дифференцируемого отображения f
/*со—преобразование дифференциальной формы со отображением /
Xf — касательный вектор кривой xt в точке Xf
Lx—дифференцирование Ли по отношению к векторному полю X.
4. Для группы Ли G G" обозначает компоненту единицы, a g — алгебру Ли
для G
La—левый сдвиг элементом a?G
Ra— правый сдвиг элементом a?G
ad a—внутренний автоморфизм, порожденный элементом a?G; также при-
присоединенное представление в g
Р (М, G) — главное расслоение над М со структурной группой G
А*—фундаментальное векторное поле, соответствующее A?q
со—форма связности
й—форма кривизны
Е(М: F, G, Р) — расслоение, ассоциированное с Р(М, G) со слоем F
5. Для аффинной (линейной) связности на М
6 = (в') — форма кручення
Tljk—символы Кристофеля
W (х) — линейная группа голономии в
Ф (х) — аффинная группа голономии в ?
Х/х—ковариантное дифференцирование относительно вектора (поля) X
R — тензорное поле кривизны (с компонентами Щк[), порождающее пре-
преобразование кривизны R (X, Y). Также тензор римановой кривизны:
R(X, Y, Z, W)=g(R(Z, W)Y, X)
Т — тензорное поле кручення (с компонентами 74fe)
S—тензорное поле Риччи (с компонентами jj
К (р) — секционная кривизна для 2-плоскости р в ТХ(М), где М — рима-
ново многообразие
21 (М)—.группа всех аффинных преобразований для М
а (М)—алгебра Ли всех инфинитезимальных аффинных преобразований
для М
3 (М) — группа всех -язометрий риманова многообразия М
1 (М)—алгебра Ли всех инфиннтезимальных изометрий.
6. Для многообразия М, погруженного в риманово многообразие N,
Txt.M)J нормальное к М пространство в х
Т (M)J нормальное расслоение для М
0 (N, М) — расслоение адаптированных реперов
j(/VI)J множество векторных полей, нормальных к М
а (X, Y) — вторая основная форма, определенная как отображение ТХ(М)Х.
ТМ)Т(М)±
()Х()
Л|—эндоморфизм такой, что g(A%X, Y) = g(a(X, Y), |), где 1?Х(}
hl(X, Y) — симметричные билинейные формы на ТХ(М), определенные так:
«(*. 10 = 2 ^(Х. У)Ь,
где |i %р — ортонормальный базис для TX(M)J~
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
4J3
г)—нормаль средней кривизны=—V" (trace A% .) |,-,
n = dim M
Кп—гауссова кривизна гиперповерхности М (« = dim M)
t (x) — типовое число.
7. Для многообразия М с почти комплексной структурой J
ТСХ(М) — комплексное касательное пространство в х
Тгх' ° — пространство касательных векторов типа A, 0)
Тх-1—пространство касательных векторов типа @, 1)
6 (М) — множество комплексных г-форм
©Я, Ч (М) — множество комплексных форм степени (р, q)
С (М) — расслоение комплексных линейных реперов со структурной груп-
группой GL(n; С)
U (М) — расслоение унитарных реперов (относительно эрмитовой метрики)
со структурной группой U («).
8. Для однородного пространства G/H
И—линейная группа изотропии
g = nt-i-fj—разложение алгебры Ли такое, что [m, I)] CZ Ш
Хт и Х^ обозначают тп-компоненту и ^-компоненту для X?q соответст-
соответственно
В — форма Киллинга — Картана
а—инволютивный автоморфизм для G, который определяет симметрическое
пространство (G, Я, а)
(Я, tj, а) — симметрическая алгебра Ли
(g*, Ij, а*)—дуальная симметрическая алгебра Ли (fl,
9. Для векторного расслоения Е над М
С[(Е) — i-й класс Черна
с (Е)—тотальный класс Черна
ch(E) — характер Черна
Pk(E) — k-Pt класс Понтрягина
X (Е) — класс Эйлера
[), а).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К ТОМАМ I И II*)
Абелева алгебра Ли 295
Абелево многообразие 126
Абсолютный параллелизм 1-121
Автоморфизм алгебры Ли 1-47
— группы Ли 1-47
— почти комплексной структуры 122
— инфинитезимальный 122
— связности 1-84
— G-структуры I-281, 174, 303
ннфинитезимальный 174
Автопараллельное подмногообразие 57
Адаптированный репер 11, 57
— —, расслоение 12, 57
Алгебра Ли 45
абелева 295
— —, автоморфизм 1-47
инволютивная 209
ортогональная 228
компактного типа 232—233, 299
комплексная 116, 299
—¦ — —, вещественная форма 266, 300
линейная бесконечного типа 303
— — — конечного типа 303
— — некомпактного типа 232—233
— — неприводимая симметрическая
232
— — нильпотентная 295
— —, нижний центральный ряд 295
— — ортогональная симметрическая
228
полупростая 295
— —, производный ряд 295
— — простая 295
-, радикал 220, 295
— — разрешимая 295
— — редуктивная 296
— — симметрическая 209, 220
— —¦ — дуальная 234
— эффективная 209
Альтернация 1-35
Аналитическое продолжение 1-238
*) Прн ссылках на термины, встре-
встречающиеся в первом томе данной книги,
перед номером страницы ставится циф-
цифра I.
Ассоциированное расслоение 1-60
Атлас 1-12
— полный 1-12
Аффинная группа голономии 1-128, 301
— связность 1-127
— — жесткая 341
— — инвариантная 340
, — при параллелизме 181
локально симметрическая 1-278
— — обобщенная 1-125
плоская 1-198
Аффинное отображение 1-212
— преобразование 1-124, 1-213
инфинитезнмальное 1-217
— пространство 1-123
касательное 1-123
— — локально симметрическое 206
— — — — комплексное 239
симметрическое 207
— — — комплексное 239
Аффинный параллельный перенос 1-128
— параметр 1-135
— репер 1-124
, расслоение 1-124
Бисекционная кривизна голоморфная
337
Бутылка Клейна 1-210
Вариация геодезической 65
инфинитезимальная 65
Вектор 1-14
— касательный 1-14
— — комплексный 119
типа @,1) или A,0) 120
Векторное поле 1-15
— — голоморфное 124
Киллинга 1-223
полное 1-22
проектируемое 203
— — стандартное горизонтальное
1-118
— —¦ фундаментальное 1-57
—• расслоение 1-113
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
405
Векторное расслоение ориентированное
286
ориентируемое 286
риманово 287
—¦ — эрмитово 167
Вертикальная компонента 1-68
Вертикальный вектор 1-68
Вещественная форма компактная 266
комплексной алгебры Ли 266,
300
Вещественное представление для GL (п,
С) 111
SL (п. С) 144
— проективное пространство 1-67
Вложение 1-18, 1-59
— допустимое 55
— жесткое 317
— изометрическое 1-156, 321, 322, 323
эквивариантное 323
— эквивариантное 323
Внешнее дифференцирование 1-17,
1-43
ковариантное 1-80
Внешняя производная 1-17, 1-43
— — ковариантная 1-80
Внутреннее произведение 1-42
Вполне геодезическое подмногообразие
1-174, 57
симметрического простран-
пространства 217, 219—220
Вторая основная форма 21, 27
— гиперповерхности 13, 24
— — — комплексной гиперповерх-
гиперповерхности 165
Выпуклая гиперповерхность 45
— окрестность 1-146, 1-161
Гамильтоново многообразие 142
Гармоническая функция 308
Гауссова кривизна 39
гиперповерхности 39
Геодезическая 1-135, 1-142
—, вариация 65
—, — инфиннтезимальная 65
— минимизирующая 1-161
Гиперболическая пространственная
форма 1-198, 247
• комплексная 259
Гиперболическое пространство комп-
комплексное 259
Гиперповерхность 14
— в евклидовом пространстве 25, 36
— выпуклая 45
— комплексная 343
, вторая основная форма 165
— строго выпуклая 45
— эйнштейнова 41, 342, 343
Главная кривизна 38
— — гиперповерхности 38
Главное направление 38
— расслоение 1-56
Голоморфная форма 123
Голоморфное векторное поле 124
— преобразование 306
Гомоморфизм Вейля 272
—- расслоений 1-59
— симметрических алгебр Ли 211
пространств 211
Гомотетия многообразий 264
Горизонтальное векторное поле 68
¦ стандартное 1-118
Горизонтальный вектор 68
— лифт 1-69, 1-73, 1-90
Градиенты 307
Грассманово многообразие 15, 18, 250
комплексное 128, 152, 262
ориентированное 250
ориентированных р-плоскостей
18, 250
Группа Вейля 278
— голономии 1-75, 1-76
аффинная 1-128, 301
инфинитезнмальная 1-98, 1-147
кэлерова многообразия 163
линейная 1-128
локальная 1-96, 1-147
однородная 1-128
подмногообразия 322
суженная 1-75, 1-76
— изотропии линейная 1-150, 175
— Ли 1-45
— —, автоморфизм 1-47
— — комплексная 125
— — преобразований 1-48
— линейных преобразований слабо
неприводимая 301
— Лоренца 247
— преобразований однопараметричес-
кая 1-21
— разрывная 1-51
— собственно разрывная 1-50
Движение евклидово 1-204
Действие группы эффективное 1-48,
175
Дефект билинейной формы 87
Дивергенция 1-259, 307
Диффеоморфизм 1-19
Дифференциал коварнантный 1-122
— отображения 1-17
— полный 1-16
— — функции длины 80
— функции 1-17
Дифференциальная форма 1-16

406
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференциальная форма голоморф-
голоморфная 123
комплексная 119, 120
— — — голоморфная 123
Дифференцирование внешнее 1-17,
1-43
— коварнантное 1-115, 1-121
— — внешнее 1-80
— косое 1-41
— Ли 1-37
Дифференцирования алгебры ?)(М)
1-41
% (М) 1-38
— тензорной алгебры 1-33
Длина дуги 1-153
Допустимое вложение 55
Дуальная симметрическая алгебра Ли
234
Евклидов тор 1-199
— цилиндр 1-199
Евклидова метрика 1-150
Евклидово движение 1-204
— касательное пространство 1-185
— подпространство 1-206
Естественная ориентация почти комп-
комплексного многообразия 117
— связность без кручения 184
Естественно редуктивное однородное
п ространство 188
Естественный лифт векторного поля
1-216
Жесткая аффинная связность 341
Жесткость вложения 317
— гиперповерхности 49
Изометрическое вложение 1-156, 321,
322, 323
— — эквивариантное 323
— погружение 1-156, 322, 323, 344, 321
Изометрия 1-52, 1-156, 1-222, 305
— инфннитезимальная 1-223
Инвариантная аффинная связность 340
— при параллелизме 1-246, 181
— почти комплексная структура 201
— риманова метрика 1-150
— неопределенная 186
— связность 1-84, 1-104, 340
Инвариантный полином 268, 272
Инволютивная алгебра Ли 209
— —- — ортогональная 228
Инволютивное распределение 1-19
Индекс 87
— дефектности 316
" Индекс критической точки 328
— относительной дефектности 316
— полный 87
Индексная форма 81
— —, кратность 88
Индуцированная риманова метрика
1-150
— связность 1-85
Индуцированное расслоение 1 -66
Интегральная кривая 1-21
Интегральное многообразие 1-19
Интегрируемая почти комплексная
структура 119, 292, 294
Инфинитезимальная вариация геоде-
геодезической 65
— группа голоиомии 1-98, 1-147
— изометрия 1-223
Инфиннтезимальное аффинное преобра-
преобразование 1-217
Инфинитезнмальный автоморфизм по-
почти комплексной структуры 122 '
G-структуры 174
Каноническая инвариантная риманова
метрика 1-151
связность 1-110, 1-276, 179,
213
— комплексная структура 111
— линейная связность 1-277
— метрика 1-151
— плоская связность 1-94
— связность 1-110, 1-2ГГ. '6, 213
— — симметрического npoci,.Г'ттва
213
— форма на L (М) 1-118
— эрмитова форма 339
— 1-форма на группе 1-48
Канонический параметр на геодезичес-
геодезической 1-158
Каноническое разложение (разложе-
(разложение де Рама) 1-178, 1-184, 161, 227, 243,
301
симметрической алгебры Ли 210
Карта 1-12
Касательное пространство 1-13
аффинное 1-123
— — евклидово 1-185
—¦ — комплексное 119
— расслоение 1-62
Касательный вектор 1-14
комплексный 119
типа A,0) илн @,!) 120
Класс Понтрягнна 284
— Черна 279
— Эйлера 286
Коварнантная производная 1-114,
1-115, 1-121
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
407
Ковариантная производная внешняя
1-80
Ковариантное дифференцирование
1-115, 1-121
внешнее 1-80
Ковариантный дифференциал 1-122
— тензор 1-29
Ковектор 1-16
Компактная алгебра Ли 190, 232, 233,
299
— вещественная форма 266
— симметрическая алгебра Ли 232
Компактное симметрическое простран-
пространство 232, 233, 236
Компактно открытая топология 1-52
Комплексификация алгебры Ли 299
— векторного пространства 112
Комплексная алгебра Ли 116, 299
—, вещественная форма 266,
300
— гиперповерхность 343
— —, вторая основная форма 21, 27
— группа Ли 125
— дифференциальная форма 119, 120
— — — голоморфная 123
— квадрика 256, 343
— контактная форма 349
— структура каноническая 111
контактная 349
на векторном пространстве ПО
— многообразии 118
Комплексное многообразие 1-12, 116
— — аффинное глобально симметри-
симметрическое 239
локально симметрическое
206, 239
грассманово 128, 152, 262
однородное 204, 338
— — сопряженное 118
— подмногообразие 155, 165, 342
— пространство 1-12, 116
— — аффинное локально симметри-
симметрическое 206, 239
— — гиперболическое 259
— — касательное 119
однородное 204, 338
проективное 129, 151, 251
— сопряжение 112
Комплексно параллелизуемое много-
многообразие 127, 338
Комплексный касательный вектор 119
типа A,0) или @,1) 120
— линейный репер 135
— тор 126, 151
Компоненты векторного поля 1-15
— линейной связности 1-138
— тензора 1-30
— тензорного поля 1-34
Компоненты 1-формы 1-16
Контактная структура 345
комплексная 349
— форма 345
—¦ — комплексная 349
Контравариантный тензор 1-29
Конформное преобразование 1-283
инфинитезимальное 1-284
Координатная окрестность 1-13
Косое дифференцирование 1-41
Кратность индексной формы 88
¦— сопряженной точки 87
Кривизна 1-130
— бисекционная голоморфная 337
— Гаусса — Кронекера 39
— гауссова 39
для гиперповерхности 39
— главная 38
— — для гиперповерхности 38
— голоморфная бисекционная 337
секционная 158
— кэлерова секционная 334
—, оператор 333
— постоянная 1-192
—, преобразование 1-130
— рекуррентная 1-279
— риманова 1-191
, тензор 1-191
— секционная 1-192
голоморфная 158
— скалярная 1-269
— средняя 39
— — гиперповерхности 39
нормальная 39—40, 309, 310
постоянная 314
—, тензорное поле 1-130, 1-142
— тотальная 328
—, форма 1-80
Критическая точка 328
, индекс 328
невырожденная 328
Кручение двух тензорных полей типа
A,1) 1-44
— почти комплексной структуры
119
—, тензорное поле 1-130, 1-142
—, трансляция 1-130
—, форма 1-119
Кубическая окрестность 1-13
Кэлеров аналог теоремы Шура 158
Кэлерова метрика 141
— секционная кривизна 334
Кэлерово многообразие 141
невырожденное 163
— — однородное 339, 341
— —, тензор Риччи 142
— — 6-защепленное 334
— погружение 155

408
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лапласиан 307
Лассо 1-77, 1-177, 1-261
Линейная алгебра Ли бесконечного
типа 303
— —- — конечного типа 303
— — —, продолжение 303
— эллиптическая 304
— группа голономни 1-128
— — изотропии 1-150, 175
— связность 1-118
— — каноническая 1-277
— — плоская 1-199
— — полная 1-137
Линейное представление изотропии 175
Линейный репер 1-61
комплексный 135
Лист Мёбиуса 1-210
Лифт (подъем) 1-69, 1-73, 1-90
— естественный 1-216
Локальная координатная система 1-13
Локально аффинное многообразие 1-199
— евклидово риманово многообразие
1-188, 1-198, 1-199
— симметрическая аффинная связ-
связность 1-278, 206
— симметрическое многообразие 206
— — риманово многообразие 225
— — эрмитово многообразие 239
Локальный базис распределения 1-19
Лоренцева метрика 1-267, 1-272
Лоренцево многообразие 1-267, 1-272
Максимальный нильпотентный идеал
295
Мера Радона 105
Метрика Бергмана 154
— евклидова 1-156
— каноническая 1-151
— лоренцева 1-207, 1-272
— послойная 1-116
— риманова 1-35, 1-150, 1-151
инвариантная 1-150
— — индуцированная 1-150
— — каноническая инвариантная
1-151
— — неопределенная 1-151
инвариантная 186
— — полная 1-166
Метрическая связность 1-117, 1-154
Минимальная точка 94
Минимальное погружение по средней
кривизне 344
тотальной кривизне 329
— подмногообразие 40, 309, 311, 344
Многообразие абелево 126
— аналитическое действительное 1-12
Многообразие аффинное локально сим-
симметрическое 206
— — — — комплексное 239
— — симметрическое 207
— — — комплексное 239
— гамильтоново 142
— грассманово 15, 18, 250
комплексное 128, 152, 262
—¦ — ориентированное 250
ориентированных р-плоскостей
18,250
— дифференцируемое 1-12
— комплексное 1-12, 116
однородное 204, 338
— — сопряженное 118
— кэлерово 141
однородное 339
— локально аффинное 1-199
симметрическое 1-278, 206, 215
— ориентированное 1-12
— ориентируемое 1-18
— псевдокэлерово 141
— риманово 1-65, 1-150
— — локально евклидово 1-188, 1-198,
1-199
симметрическое 1-277, 215,
225
однородное 1-150, 1-170, 186,
194, 196, 341
плоское 1-198, 1-199
— — полное 1-166
— симметрическое однородное 1-275,
208—209
— симплектическое 141
— Хопфа 131
— Штифеля 15
— эйнштейново 1-268, 306, 310
— эрмитово 139
локально симметрическое 239
— б-защепленное 330, 334
— — голоморфное 334
кэлерово 334
Множество среза (раздела) 98
Накрывающее пространство 1-67
Направление главное 38
Невырожденное кэлерово многообра-
многообразие 163
Некомпактный тип алгебры Ли 190,
232—233, 299
— — симметрического пространства
233, 236
— — симметрической алге#ры Ли 232
Неоднородная система координат 129
Неопределенная рнманвва метрика
1-151
инвариантная 186
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
409
Неприводимая группа евклидовых дви-
движений I-20S
— симметрическая алгебра Ли 232
Неприводимое риманово многообразие
1-173
Непродолжаемое риманово многообра-
многообразие 1-172
Нижний центральный ряд алгебры Ли
295
Нильпотентная алгебра Ли 295
Нормальная связность 194
— система координат 1-144, 1-158
— средняя кривизна 39—40, 309, 310
Нормальное расслоение 12
Нормальный репер 12
, расслоение 12
Область ограниченная 153, 340
—¦ — симметрическая 243
Овалоид 314
Ограниченная область 153, 340
симметрическая 243
Однопараметрическая группа преоб-
преобразований 1-21
— подгруппа 1-45
Однородная группа голономии 1-128
— система координат 129
Однородное комплексное многообра-
многообразие 204, 338
— кэлерово многообразие 339
— пространство 1-50
— — естественно редуктивное 188,
342
комплексное 204, 338
— — кэлерово 339
— — редуктивное 178, 341
риманово 1-150, 1-170, 186, 194,
196, 341
, сильно сохраняющее крнвизву
324
симметрическое 1-275, 1-301,
208
— риманово многообразие 1-150, 1-170,
186, 194, 196, 341
Окрестность выпуклая 1-146, 1-161
Омбилика (омбилическая точка) 36
Оператор кривизны 333
Орбита 1-21
Ориентация 1-12, 1-13
— естественная 117
— — почти комплексного многообра-
многообразия 117
Ориентируемое векторное расслоение
286
Ортогональная симметрическая алгебра
компактного типа 232
Ли 228
Ортогональная симметрическая алгеб-
алгебра некомпактного типа 232
Ортонормальный репер 1-65
, расслоение 1-65
Отображение аффинное 1-212
— мультилинейное инвариантное 268
— почти комплексное 118, 122
—, сильно сохраняющее кривизну 324
— сферическое Гаусса 18, 26, 325
— для гиперповерхности 18
— экспоненциальное 1-46, 1-137, 1-143
Паракомпактность 1-63
Параллелизм абсолютный 1-121
— комплексный 127, 338
Параллельное сечение 1-90
— тензорное поле 1-122
Параллельный перенос 1-74, 1-90,
1-91
аффинный 1-128
Параметр аффинный 1-135
Первое нормальное пространство 320
Перенос Клиффорда 102
Плоская связность 1-94
аффинная 1-198
— — каноническая 1-94
линейная 1-199
Плоское риманово многообразие 1-198,
1-199
Поверхность постоянной кривизны 312
Погружение 1-18
— изометрическое 1-156, 321, 322, 323,
344
— кэлерово 155
— минимальное по средней кривизне
344
— тотальной кривизне 329
Подалгебра Леви 297
— редуктивная 296
Подгруппа изотропии 1-55
— Ли 1-46
Подмногообразие Ы8
— автопараллельное 57
— вполне геодезическое 1-174, 57,
217
— — — симметрического простран-
пространства 217, 219, 220
— комплексное 155, 165, 342
— минимальное 40, 309, 311, 344
Подпространство евклидово 1-206
— симметрическое 211
Подрасслоеиие 1-59
Поле векторное 1-15
голоморфное 124
— Якоби 65, 70
Полиномиальная функция 272
инвариантная 272

410
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полная линейная связность 1-137
— риманова метрика 1-166
Полное векторное поле 1-22
— риманово многообразие 1-166
Полный атлас 1-12
— дифференциал 1-16
— — функции длины 80
— индекс 87
Полупростая алгебра Ли 295
Послойная метрика 1-116
Постоянная кривизна 1-192
— — голоморфная секционная 158
— — —, пространство 158
— —, поверхность 312
, пространство 1-192, 1-194
средняя 314
Почти гамильтоново многообразие 142
— кокомплексная структура 347
— комплексная связность 136
— — структура 116
— , автоморфизм 122
— , — инфинитезимальный 122
инвариантная 201
— — — интегрируемая 119, 292—294
на сферах 132—134
— — — сопряженная 118
— комплексное отображение 118, 122
— контактная структура 347
— кэлерово многообразие 141
•— симплектическое многообразие 142
— эрмитово многообразие 139
— эффективное действие группы 175
— — симметрическое пространство
208
Представление изотропии линейное 175
— присоединенное 1-47
Преобразование 1-19
— аффинное 1-124, 1-213
— — ннфинитезнмальное 1-217
— голоморфное 306
—- гомотетии 1-227, 1-284
— конформное 1-283
— — инфинитезнмальное 1-284
— кривизны 1-130
— псевдоконформное 304
Присоединенное представление 1-47
Проблема эквивалентности 1-241, 324
Продолжение линейной алгебры Ли
303
Проективное пространство 1-67, 129,
151
— — вещественное 1-67
комплексное 129, 151, 251
Проектируемое векторное поле 203
Проекция накрывающая 1-56
Производная внешняя 1-17, 1-43
— ковариантная 1-114, 1-115, 1-121
внешняя 1-80
Производная Ли 1-36
Производный ряд алгебры Ли 295
Простая алгебра Ли 295
Простое покрытие 1-162
Пространственная форма 1-198
— — гиперболическая 1-198, 247
— — — комплексная 259
эллиптическая 1-198, 244
Пространство аффинное 1-123
касательное 1-123
— гиперболическое комплексное 259
— касательное 1-15
аффинное 1-123
— — евклидово 1-185
— ковариантных тензоров 1-29
— комплексное 1-12, 116
— контравариантных тензоров 1-29
— — касательное 119
— локально симметрическое 206, 225,
239
— комплексное 239
— неположительной кривизны 35, 71,
99, 105
— однородное 1-50
— —¦ естественно редуктивное 188,
341
комплексное 204
— — кэлерово 339
— — редуктивное 178, 341
риманово 1-150, 1-170, 186, 194,
196, 341
— — сильно кривизиенное 324
— — симметрическое 1-275, 208
— положительного тензора Риччи 75,
87
— положительной кривизны 75, 79, 87,
330
— постоянной кривизны 1-192, 1-194
— — голоморфной секционной кри-
кривизны 158
— проективное 1-67, 129, 151
— — комплексное 129, 151, 251
— симметрическое 208
— — компактного типа 232, 233,
236
— — некомпактного типа 233, 236
однородное 1-275, 208, 209
почти эффективное 208
— ¦— эфектнвное 208
Прямая сумма симметрических алгебр
Ли 211—212
Прямое произведение симметрических
пространств 211
Псевдогруппа преобразований 1-11
Псевдоконформное преобразование
304
Псевдокэлерово многообразие 141
Псевдотензориальная форма 1-79
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
411
Радикал алгебры Ли 220, 295
Разбиение единицы 1-252
Развертка 1-129
Разложение (разложение де Рама)
1-178, 1-184, 161, 227, 243, 301
— каноническое 1-178, 1-184, 161, 227,
243, 301
— симметрической алгебры Ли кано-
каноническое 210
Разрешимая алгебра Ли 295
Разрывная группа 1-51
Ранг отображения 1-18
Распределение 1-19
— инволютивное 1-19
Расслоение адаптированных реперов
12, 57
— ассоциированное 1-60
— аффинных реперов 1-124
— векторное 1-113
— — ориентированное 286
— — ориентируемое 286
— — риманово 287
— — эрмитово 167
— главное 1-56
— голономнн 1-87
— индуцированное 1-66
— касательное 1-62
— нормальное 12
— нормальных реперов 12
— ортонормальных реперов 1-65
— редуцированное 1-59
— тензорное 1-62
— тривиальное 1-57
— унитарных реперов 144
Редуктивная алгебра Ли 296
— подалгебра 296
Редуктивное однородное пространство
178, 342
Редукция связности 1-84, 1-86
— структурной группы 1-59
Редуцированное расслоение 1-59
Редуцируемая связность 1-84, 1-86
— структурная группа 1-59
Редуцируемое риманово многообразие
1-173
Рекуррентная кривизна 1-279
Рекуррентный тензор 1-279
Репер адаптированный 11, 57
— аффинный 1-14
— линейный 1-61
— — комплексный 135
— нормальный 12
— ортонормальный 1-65
— унитарный 144
Риманова кривизна 1-191
— —, тензор 1-191
— метрика 1-35, 1-150, 1-151
— инвариантная 1-150
Рнманова метрика инвариантная ка-
каноническая 1-151
— — индуцированная 1-150
неопределенная 1-151
— — — инвариантная 186
— — полная 1-166
— связность 1-153
Риманово векторное расслоение 287
— многообразие 1-65, 1-150
—• — локально аффинное 206
евклидово 1-188, 1-198, 1-199
— — — симметрическое 215, 225
— — неприводимое 1-173
— — непродолжаемое 1-172
однородное 1-150, 1-170, 186, 194,
196, 341
плоское 1-198, 1-199
— — полное 1-166
сильно кривизненно однородное
324
— однородное пространство 1-150,
1-170, 186, 194, 341
— симметрическое пространство 1-277,
215, 225
Свертывание 1-30
Свободное действие группы 1-48
Связность 1-68
—, автоморфизм 1-84
— аффинная 1-127
— — жесткая 341
— — инвариантная 340
— —, — при параллелизме 181
— — обобщенная 1-125
— — плоская 1-198
— без кручения 302
— — — естественная 184
— в нормальном расслоении 13, 14, 23
— инвариантная 1-84, 1-104, 340
каноническая 1-110, 1-276, 179,
213
—, — при параллелизме 1-246, 181
— индуцированная 1-85
— каноническая 1-110, 1-276. 179, 213
инвариантная 1-110, 1-276. 179,
213
— — линейная 1-277
— — плоская 1-94
— — симметрического пространства
213
— Леви-Чивита 1-154
— линейная 1-118
каноническая 1-277
— — локально симметрическая 1-278
— — плоская 1-199
полная 1-137
— метрическая 1-117, 1-154

412
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Связность нормальная инвариантная
194
— обобщенная аффинная 1-125
— плоская 1-94
каноническая 1-94
— редуцируемая 1-84, 1-86
— риманова 1-153
— универсальная 1-265, 302
—, форма 1-68
— эрмитова 1-167
Сегмент 1-163
Секционная кривизна 1-192
— — голоморфная 158
— — — постоянная 158
—¦ — , пространство 158
— — кэлерова 334
Сечение 1-63
— адаптированное с нормальной систе-
системой координат 1-241
— параллельное 1-90
Сильно кривизненно однородное рима-
ново многообразие 324
— сохраняющее кривизну отображе-
отображение 324
Символы Кристофеля 1-138
Симметризация 1-36
Симметрическая алгебра Ли 209, 220
— дуальная 234
компактного типа 232
• некомпактного типа 232
— — — неприводимая 232
ортогональная 228
— — —-, прямая сумма 211, 212
—, форма Киллинга — Карта-
на 231
эффективная 209
Симметрическое аффинное многообра-
многообразие 207
— комплексное локально аффинное
многообразие 239
— локально аффинное пространство
206, 207
— подпространство 211
— пространство 208
— —, вполне геодезическое подмного-
подмногообразие 217, 219, 220
¦ компактного типа 232, 233, 236
— — локально риманово 1-277, 215,
225
— эрмитово 239
некомпактного типа 233, 236
¦ однородное 1-275, 208, 209
почти эффективное 208
эффективное 208
Симметрия 1-276, 206, 209
Симплектическая структура на Т* (М)
156
Симплектическое многообразие 142
Система координат неоднородная 129
нормальная 1-144,- 1-158
— — однородная 129
Скалярная кривизна 1-269
Скалярное произведение 1-32
эрмитово 113
Скрученный тор 1-210
— цилиндр 1-210
Слабо проводимая группа 301
Слой 1-60
Слой-транзитивность 1-107
Собственно разрывная группа 1-50
Сопряженная почти комплексная
структура 118
— точка 68—69, 73
— —, кратность 87
Сопряженное комплексное многообра-
многообразие 118
Средняя кривизна 39
— — для гиперповерхности 39
нормальная 39, 40, 309, 310
постоянная 314
Стандартное горизонтальное векторное
поле 1-118
Степень (р, q) 120
Строго выпуклая гиперповерхность 45
Структура на векторном пространстве
комплексная 110
многообразии комплексная 118
— почти контактная 347
— произведения 348
— симплектическая на Т*(М) 156
Структурная группа 1-56
Структурные константы 1-48
— уравнения 1-80, 1-81, 1-117, 1-120,
1-127
Сужение тензорного поля 60
Сумма Уитни 279
Сферическое отображение Гаусса 18,
26, 325
— — — для гиперповерхности 18
Тензор ковариантный 1-29
— комплексный 119
— контравариантный 1-29
— кривизны 1-130
— кручения 1-130
— рекуррентный 1-279
— Риччи 1-233, 1-268, 41
— — для гиперповерхности 41
— — кэлерова многообразия 142
Тензориальная форма 1-79
Тензорная алгебра 1-30, 1-32
Тензорное поле 1-34
кривизны 1-130
кручения 1-130
параллельное 1-122
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
413
Тензорное поле римановой кривизны
1-191
— произведение 1-25
— пространство 1-29, 1-130
— расслоение 1-62
Теорема Бонне 79
— Вейля Г. 190, 266, 300
— Гаусса — Бонне 290, 325
— голономии 1-91
— Грина 1-259
— жесткости 48, 51, 312, 321
— о сфере 331
— об индексе Морса 88
— основная для гиперповерхности
51
— редукции 1-86
— сравнения Рауха 77
— Фробениуса 1-20, 294
— Шура 1-192
— —, кэлеров аналог 158
— egregium Гаусса 39
Тип тензора 1-30
@,1) 120
A,0) 120
— ad G 1-80
Типовое число 47, 317
для гиперповерхности 47
Тождества Бианки 1-82, 1-120, 1-132
Тор 1-67
— евклидов 1-199
— комплексный 126, 151
— скрученный 1-110
Тотальная кривизна 328
Точечное поле 1-128
Точка среза 94
Трансвекция 219
Трансляция кручения 1-230
Тривиальное расслоение 1-57
Тройная система Ли 220
Универсальная связность 1-265, 302
Универсальное факторизационное
свойство 1-26
Унитарный репер 144
, расслоение 144
Уравнения Гаусса 30, 33, 51
— — для гиперповерхности 30, 31,
36
— Кодацци 32, 33, 51
— — для гиперповерхности 33, 36
— Маурера — Картана 1-47, 1-48
— структуры 1-80, 1-81, 1-117, 1-120,
1-127
— Якоби 65
Условия интегрируемости почти комп-
комплексной структуры 119, 138, 292,
294
Факторпространство 1-50
Форма голоморфная 123
— Киллинга — Картана 1-151, 232—
233, 295
для о (я+1) 245
о (/г, 1) 249
— — —• симметрической алгебры Ли
231
— кривизны 1-80
— кручения 1-119
— на L (М) каноническая 1-118
— псевдотензориальная 1-79
— Рнччи 145, 171
— связности 1-68
— тензориальная 1-79
Формула Вейнгартена 23
— Гаусса 23, 26
— Лейбница 1-21
— Синга 86
— Уитни 279, 287
Фундаментальная оеновкая 2-форма
эрмитова многообразия 140
— теорема для гиперповерхности 51
Фундаментальное основное векторное
поле 1-57
Функция длины 80
— —, полный дифференциал 80
— перехода 1-57
—¦ полиномиальная 272
— — инвариантная 268, 272
— расстояния 1-153
Характер Черна 284
Характеристический класс 268
Хопфа многообразие 131
Центр тяжести 105
Цилиндр 1-210
— евклидов 1-199
— скрученный 1-210
Числа Кэли 133
Эйнштейнова гиперповерхность 41,
342, 343
Эйншейново многообразие 1-268, 306,
310
Эквивариантное изометрическое вло-
вложение 323
Экспоненциальное отображение 1-46,
1-137, 1-143
Элемент объема 1-259

414
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эллиптическая линейная алгебра Ли
304
— пространственная форма 1-198, 244
Эрмитова метрика 139
— связность 167
— форма каноническая 339
Эрмитово векторное расслоение 167
— многообразие 139
локально симметрическое 239
— скалярное произведение 113
Эффективная симметрическая алгебра
Ли 209
Эффективное действие группы 1-48,
175
— симметрическое пространство 208
С-пространство 132, 343
G-структура I-264, 302, 303
—, автоморфизм 1-281,. 174, 303
п-репер 15
/¦-форма 1-16
б-защепленное многообразие
334
330,
голоморфное 334
— — кэлерово 334
(О)-связность 185
1-форма 1-16
2-форма эрмитова фундаментальная
основная 140
(+) -связность 185
(—)-связность 185
Шосичи Ксбаяси
Кацуми Номидзу
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Том II
Редакторы А. М. Васильев, В. В. Данченко
Т=хн. редактор Е. В. Морозова
Корректор Т. С. Вапсберг
ИБ № 11540
Сдано в набор 18.11.S0. Подписано к печати 30.07.81.
Формат бОХЭО1/^. бумага тип. № 1. Литературная гар-
HHTvpa. Высокая печать. Услоан. печ. л. 26. Уч-изд. л.
29,4. Тираж 15 000 экз. Заказ К« 2574/425 Цена 2 р. 40 к.
Издательство «Наука*
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано в Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудо-
Трудового" Красного Знамени Первой Образцовой типографии
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государст-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 2 8
Отпечатано в Подольском филиале ПО «Периодика»
г. Подольск, ул. Кирова, 25