А.Х.. Шахмейстер
Тригонометрия
Практикум
Тренинг
Контроль
A. X. Шахмейстер
Тригонометрия
ПОСОБИЕ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ,
АБИТУРИЕНТОВ И ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
С.-Петербург
Москва
2014
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я71.6
Ш 32
Редактор:
Кандидат пед. наук, доцент кафедры
математики МИОО А. В. Семенов.
Рекомендовано:
Московским институтом открытого образования (МИОО)
и Московским центром непрерывного математического
образования (МЦНМО) в качестве пособия
для школьников, абитуриентов и преподавателей.
Шахмейстер А.Х.
Ш32 Тригонометрия : Учеб, пособие. — 4-е изд. —
СПб.: «Петроглиф» : М.: Изд-во МЦНМО : ИД КДУ, 2014.
— 750с.: илл.— ISBN 978-5-98712-042-2,
ISBN 978-5-4439-0050-6, ISBN 978-5-906226-15-0.
Данное пособие предназначено для углубленного изучения
школьного курса математики, содержит большое количество раз-
ноуровневого тренировочного материала. В книге представлена
программа для проведения элективных курсов в профильных
и предпрофильных классах.
Пособие адресовано широкому кругу учащихся, абитуриентов,
студентов педагогических вузов, учителей.
ISBN 978-5-98712-042-2 («Петроглиф»)	УДК 373.167.1:512
ISBN 978-5-4439-0050-6 (Издательство МЦНМО) ББК 22.141я71.6
ISBN 978-5-906226-15-0 (ИД КДУ)
© Шахмейстер А. X., 2014
© ООО «Петроглиф», 2014
© ИД КДУ, 2014
Посвящается памяти
Заслуженных учителей России:
Бориса Германовича Зива
Иосифа Яковлевича Веребейчика
Арона Рувимовича Майзелиса
Таисии Ивановны Курсиш
Владимира Леонидовича Ильина
Предисловие редактора.
Перед вами энциклопедическая по своей сути книга по три-
гонометрии из серии «Элективные курсы». Четкая структура
книги позволяет быстро найти материал по интересующему
вас разделу. Удивительно разнообразный и разноуровневый
подбор примеров и задач является уникальной кладовой пе-
дагогического и методического опыта преподавания сложных
тем курса тригонометрии в школе. Особенно хотелось бы вы-
делить тщательность и аккуратность разработки следующих
трудных тем: периодичности, обратных тригонометрических
функций и их графиков, тригонометрических уравнений и
неравенств.
Это прекрасный самоучитель для тех кто только начина-
ет или хочет глубже разобраться в курсе тригонометрии.
Наличие большого количества разноплановых примеров и
графиков позволит учащемуся «прочувствовать» сложные
понятия и нестандартные идеи, «увидеть» их естественное
применение.
Ценность книги заключается в том, что с рассмотренными
заданиями приходит понимание трудных для восприятия
математических понятий и идей тригонометрии. Естественно,
многие идеи, заложенные в систему примеров, тренировочных
самостоятельных, карточек заданий, безусловно, могут быть
использованы для подготовки к экзаменам и олимпиадам.
Желательно, чтобы подготовительная работа к изучению
тригонометрии началась уже в 8 классе с изучения книги
этой же серии «Геометрические задачи на экзаменах. Часть
1. Планиметрия».
А. В. Семенов.
Предисловие автора
Предлагаемая серия книг адресована широкому кругу учащихся
средних школ, классов и школ с углубленным изучением
математики, абитуриентов, студентов педагогических вузов,
учителей.
Книги можно использовать как самостоятельные учебные по-
собия (самоучители), как задачники по данной теме и как
сборники дидактических материалов. Каждая книга снабжена
программой элективного курса.
Для учащихся можно предложить следующую схему работы:
прочитав вступление и рассмотрев примеры решения, само-
стоятельно решать тренировочные работы, затем посмотреть
решения и, осмыслив их, попробовать решить проверочные
работы, проверяя их решения по книге и т.д.
Книги полностью подходят для самостоятельного овладения той
или иной темой и рассчитаны на последовательное обучение
от начального уровня до уровня, необходимого абитуриентам.
Для учителей эти книги предоставляют широкий выбор приемов
и методов работы:
Это могут быть задания учащимся для самостоятельной работы
с последующим контролем учителя.
Возможно использование книги как задачника для работы
в классе и для домашних заданий.
Эти пособия идеально подходят в качестве материала для
повторения параллельно изучению других тем в школе.
Подбор материала позволяет существенно дифференцировать
уровень требований к учащимся при проведении контрольных
и зачетных работ.
Уровень сложности и объем материала в книгах серии, безу-
словно, избыточен, и учитель должен сам выбирать сложность
и объем материала в соответствии с возможностями учащихся
и задачами, стоящими перед ними.
А. X. Шахмейстер
Программа элективного курса №1
для учащихся 9—11 классов (30 уроков).
№№ уроков	Название темы В скобках указаны номера заданий
1-8	Определения основных тригонометрических функций. Вычисление значений тригонометрических функций любого угла (стр. 7—68) Практикум 1 (1.1, 1.2, 3.2, 5.2, 5.3, 7.1, 7.3, 7.5, 7.8) Практикум 2 (1 - выборочно, 3 - выборочно, 6 - выборочно) Тренировочная работа 1 (2, 4, 6 - выборочно) Практикум 3 (1.1, 1.3, 2.2, 2.3, 3.2, 4.1, 4.2, 4.4, 4.5) Тренировочная работа 2 (1.1, 1.3, 2.3, 3.2, 4.1, 4.3) Практикум 4 (1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.3) Тренировочная работа 4 (1.3, 1.5, 2.2, 2.4, 3.2, 4.1, 4.4)
9-13	Решение простейших уравнений (стр. 69 — 88) Практикум 5 (2.3, 3.3, 3.5, 3.6, 4.2, 4.4, 4.7, 4.8)
14-18	Формулы приведения (стр. 89—105) Практикум 6 (1.1, 1.3, 2.1, 2.4, 2.6, 2.11, 2.14, 2.17, 2.18, 3.1, 3.4)
19-23	Теоремы сложения (стр. 116 — 134) Практикум 7 (1.1, 1.3, 2.1, 2.3, 2.4, 3.2, 3.4, 5.1, 5.2, 5.5) Тренировочная работа 6 (1.2, 1.3, 2.2, 2.4, 3.3, 3.4, 4.2, 5.2, 5.5)
24-30	Тригонометрические функции двойного и половинного угла (стр. 135 — 162) Практикум 8 (1.2, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 2.2, 2.3, 3.1, 4.1, 4.3, 4.6) Тренировочная работа 7 (1.3, 1.4, 1.7, 2.2, 2.3, 3.1, 4.1, 4.3, 4.5) Тренировочная работа 8 (1.3, 1.5, 1.7, 2.3, 2.4) Тренировочная 9 (1, 6, 8, 11, 12)
Программа элективного курса №2
для учащихся 9 — 11 классов (40 уроков).
№№- уроков	Название темы В скобках указаны номера заданий
1-4	Основные тригонометрические формулы (стр. 163-211) Тренировочная работа 10 (8, 9, 10, 15) Тренировочная работа 11 (4, 7, 13, 17, 18) Тренировочная работа 12 (6, 8, 9, 10) Тренировочная работа 15 (2.1, 3.1, 3.2, 3.3)
5-6	Периодические функции (стр. 263 — 285) Практикум 11 (3.1, 3.2, 3.7, 3.10, 4)
7-12	Обратные тригонометрические функции (стр. 286-321) Практикум 12 (1, 3, 4, 5, 6) Практикум 13 (1.2, 1.6, 2.1, 2.2) Практикум 14 (1, 2, 3, 5, 7, 8) Тренировочная работа 17 (6, 8, 11)
13-20	Свойства arc-функций. Графики агс-функций (стр. 322-389) Практикум 15 (1.1, 1.3, 1.6, 2, 3, 5) Тренировочная работа 18 (1.2, 1.4, 2.1, 2.2, 2.5, 2.8, 2.10, 2.12) Практикум 16 (2.1, 2.3, 2.4, 2.5) Тренировочная работа 19 (1.1, 1.4, 1.8, 2.1, 2.5, 2.7, 3.1, 3.2)
21-24	Системы тригонометрических уравнений (стр. 390 — 405) Практикум 17 (1, 3, 6, 8) Практикум 18 (1, 3, 4, 6, 8)
Программы разработаны по материалам книги и апробированы
на практике Заслуженным учителем РФ Е.Б. Лившицем.
Определение основных
тригонометрических
функций
Введение
Тригонометрия — слово греческое, в переводе означает изме-
рение треугольников. Термин этот ввел еще в 1595 г. немец-
кий богослов-математик Варфоломей Питиск, автор учебника
и тригонометрических таблиц. Но первые сведения по тригоно-
метрии были известны еще из клинописных таблиц Древнего
Вавилона. Более серьезные результаты получил Гиппарх из
Никеи (II в. до н.э.). Эти сведения вошли в «Альмагест»
13 книг по математике Клавдия Птолемея (II в. до н.э.). Тер-
мины «синус» и «косинус» пришли к нам от индийских мате-
матиков XI в.
Наибольшее влияние на развитие тригонометрии оказал
«Трактат о полном четырехугольнике» Насирэддина ат-Туси,
азербайджанского астронома-математика (1201-1274). Далее —
это работы Иоганна Мюллера (Региомонтан) (1436 1476), сыг-
равшие в этом вопросе в европейской математике решающую
роль. Затем — работы Франсуа Виета (1540-1603) с теори-
ей косинусов и формулами кратных углов, Исаака Ньюто-
на (1643- 1727) с представлением тригонометрических функ-
ций в виде рядов. И, наконец, работы Леопарда Эйлера
(1707-1783), обнаружившего связь между тригонометрически-
ми функциями и комплексными числами.
8
Определение основных тригонометрических функций
Обычно знакомство с тригонометрическими функциями начи-
нается с определения отношений в прямоугольном трсуголь-
. АВ СВ СВ АВ
Учитывая подобие треугольников, имеем
ДАВС ~ ДАВ0С0 - AABiCi - ДАВ2С2 ~	~ ДАВпСп,
Оказывается, эти отношения по зависят от линейных размеров
сторон треугольника. Значит, эти отношения — какая-то очень
существенная количественная характеристика, в данном слу-
чае — угла. Итак, данному углу мы будем сопоставлять кон-
кретное число, выраженное отношением сторон прямоугольно-
го треугольника:
. (/л. СВ f/AX АВ
5,п</л) = лс; “s<z'4) = ac;
./л. ВС , , АВ
‘8(гл, = лв; ctg(Z/1) = вс-
Далее произошло расширение тригонометрической характери-
стики нс только острого угла прямоугольного треугольника,
но и характеристики острого угла произвольного треугольни-
ка, а затем характеристики угла в пределах 0° А А 360°
и, наконец, рассмотрение тригонометрических отношений лю-
бого угла.
Введение
9
Рассмотрим единичную окружность и на ней фиксированную
точку Мо (радианное измерение), причем М$Ма — aR.
МоМа = aR.
Длина дуги, образованной углом в а радиан па окружности
радиусом Ry равна aR, и для единичной окружности дли-
на дуги и величина угла в радианах совпадают. Отображение
луча па окружность против часовой стрелки (положительные
углы) называют «намоткой». Таким образом, мы сопоставили
значение отрезка MqM(x углу а, а значит можем дать опреде-
ление тригонометрических отношений любого угла.
Примечание (тригонометрические функции числово-
го аргумента). Традиционно аргументами тригонометри-
ческих функций рассматривались именованные величины -
углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Зна-
чения тригонометрических функций как отношения отрез-
ков являются абстрактными величинами — числами. При
изучении тригонометрических функций необходимо срав-
нивать изменения функции в связи с изменением аргу-
мента. Сравнивать же можно только однородные или,
что точнее, абстрактные величины — числа. Поэтому
введение тригонометрических функций числового аргумен-
та даст возможность применять эти функции в матема-
тике, технике, физике и т. д. Понятие тригонометриче-
ской функции числового аргумента можно ввести следующим
способом.
В координатной плоскости хОу построим единичную окруж-
ность, а числовую ось t расположим так, чтобы она касалась
единичной окружности в точке се пересечения с положитель-
ной полуосью абсцисс (1; 0). За начало оси t возьмем точку
касания, а масштабную единицу выберем такую же, как и в
системе координат хОу.
10
Определение основных тригонометрических функций
Представим себе, что числовую
ось t намотали на единичную
окружность: положительную по-
луось против движения часовой
стрелки, а отрицательную полу-
ось t — по движению часовой
стрелки. Пусть при этом наматы-
вании точка Ag(t) числовой оси
совпадает с точкой А(х,у) еди-
ничной окружности. Так как при
единичном радиусе R = 1 дли-
на окружности равна 2тг, то при
первом витке точка Ai(t + 27r)
совпадает с точкой А(х,у), по-
сле второго витка точка числовой
оси
кой
что
кой
Аналогично при наматывании от-
рицательной полуоси t точка
A_i(t — 2тг) совпадает с точкой
А(х,у) (первый виток), точка
— 4тг) также совпадает с
точкой А(х,у) (второй виток) и
т. д. Итак, A_n(t — 2тгп) совпада-
ет с точкой А(х,у).
Таким образом, любым точкам
оси t Afc(t + 2тгА;), где А; = 0, =Ы,
±2, ±3,..., соответствует только
t Л2(£ + 4тг) совпадает с точ-
А(х,у) и т. д. Получается,
An(t + 2тгп) совпадает с точ-
А(х,у).
одна точка А(х,у) единичной окружности.
По определению тогда можно положить:
У 1
- = tgt;
х
~ = etgt;
У
у ~ sint;
х = cos t;
1
— = sect;
х
1
- = cosect.
У
Введение
11
При этом определении легко показать, что значения тригоно-
метрических функций числового аргумента t равны значени-
ям тригонометрических функций для угла в t радиан. Значит,
тригонометрическая функция числового аргумента t это одно-
именная тригонометрическая функция угла в t радиан.
Используя эти идеи, дадим более четкие определения. Поме-
стим единичную окружность в систему координат так, чтобы
центр окружности и начало координат совместились.
I. Определение. Синусом угла ос называется ордината точ-
ки Ма единичной окружности, где (•) Ма получается по-
воротом (•) Мо на угол ос в по-
ложительном направлении (про-
тив часовой стрелки), если ос > О
и в отрицательном (по часовой
стрелке), если а < 0.
Из определения следует, что раз ордината верхней полуплоско-
сти положительна, то синус угла I и II четверти больше пуля,
а так как ордината нижней полуплоскости отрицательна, то
синус угла III и IV четверти меньше пу-
ля. Очевидно, что — 1 sin а 1, так как
ордината точек единичной окружности ме-
няется только в этих пределах.
1. Таким образом, sin а = sin(a + 2тг/с), где к 6 Z, так как
ордината будет той же. Из определения синуса также сле-
дует, что
sin 0 = sin 180° = sin 360° = ... = sin 180%, или
sin 0 = sin я — sin 2тг = ... = sin л/с.
12
Определение основных тригонометрических функций
Таким образом, если sin а = 0, то а — як | к е Z, так как
проекция (•) Mq или на ось ординат равна нулю.
№
1 б) Л.А . 1	0 JMo х sin 90° = sin(90° + 360%) = t .	i т. е. если sina -- 1, то а — - в)	—L— к ^270^^° Х -1 М270о sin 270° = sin(270° + 360%) = / 7Г	\ = sin 1 — ~ + 2тгк 1 = — 1, т. е. если sina — — 1, то а ~	* я - А71" т А ип — — sm —h 2тгк — 1, 2	\2	У + 2ък | к е Z. /3 \ = sin(—90°) = sin ( -7г \ = — — + 2тгк | к е Z.
Введение
13
2. Из определения имеем следующие свойства:
№
a)	sin (—а) = — sin ct;
ум„ =
sin (—ct) = — sin а.
Это свойство означает,
что у(х) — sin а; нечетная
функция, а значит ее
график центрально-сим-
метричен относительно
начала координат.
б)	sin (а + 180°) — — sin а;
ума = -умо+1800;
sin а — — sin (ct + 180°);
например, sin 225° =
= sin(45°+180°) = - sin 45°
в)	sin(180° — ct) = sin ct;
^Ma ^M_a+180o ’
sin ct = sin( — ct+180°);
например, sin 120° —
= sin(—60° +180°) = sin 60°;
5%	/	7Г \
sm — = sm 7Г-------=
6	\	6 J
7Г
= sm —.
6
r) sin(ct — 180°) = — sin ct;
^Ma„180o’
sin ct = — sin (ct — 180°);
например, sin( —165°) =
= sin(15° —180°) = —sinl5°;
. / 2tt\ . / 7Г \
sm------— sm---------7Г —
\ 3 J \3 J
7Г
= — sin —.
3
14
Определение основных тригонометрических функций
3. a) sin а 0, неравенство вы-
полняется при л > а > 0.
Если обобщить для любого
угла с точностью до полно-
го числа оборотов, то
тг + 2тгк а 2тгк | к 6 Z.
б) sin а < 0, неравенство вы-
полняется при 2тг > а > тг.
Учитывая полное число
оборотов, получим
2тг+2тгк > а > тг-h2тгк | к 6 Z.
II. Определение. Косинусом угла а называется абсцисса
точки Ма единичной окружности, где (•) Ма получается
поворотом (-)Afo на угол ot в
положительном направлении
(против часовой стрелки), ес-
ли а > 0 и в отрицатель-
ном направлении (по часовой
стрелке), если а < 0.
Из определения следует, что раз абсцис-
са правой полуплоскости положительна, то
косинус угла I и IV четверти больше нуля,
а так как абсцисса левой полуплоскости от-
рицательна, то косинус угла II и III четвер-
ти меньше пуля.
Введение
15
Очевидно, что — 1 cos а С 1, так как абсцисса точек единичной
окружности меняется только в этих пределах. Так же, как и
в случае с синусом, значение косинуса угла а совпадает со
значением косинуса угла, повернутого па полный оборот в том
или ином направлении к раз (к £ Z), т.е. cosa = cos(a + 2тгА;),
где к £ Z, так как абсцисса будет той же.
1.	Из определения косинуса следует, что:
a)	cos90° - cos270° - ... =
= cos(90° + 180°A;) — cos^ =
/ тг \
— COS I — + 7Г 1 = . . . =
т. с. если cos a = 0,
to a — — + Tvk | к G Z.
6)	cos 0 — cos 2тг — ... —
= cos2ttA: — 1,
т. e. если coscu ~ 1,
to a — 2ivk | к £ Z.
в)	cos tt — cos(tt + 2tt) = ... —
— cos(tt + 2тгА:) — —1,
т. e. если cos a — — 1,
to a — tv + 2ivk | к £ Z.
16
Определение основных тригонометрических функций
2.	Из определения имеем следующие свойства:
a)	cos(—а) = cos а;
м_а ’
cos а = cos (—а).
Это свойство означает, что
у(х) = cosx есть четная
функция, а значит график
ее симметричен относи-
тельно оси ординат.
б)	cos(a + 180°) = — cosa;
жма+180о = ~xMa'
cos(a + 180°) = — cos a;
например, cos 240° =
- cos(60°+180°) - - cos60°;
в) cos(a — 180°) = — cos a;
cos(a — 180°) = — cos a;
например, cos(—150°) =
= cos(30°—180°)= - cos30°;
7Г
= — cos
о
г)	cos(180° — a) = — cos a;
x„ —	;
^180°-a	’
cos(180° — a) = — cos a;
например, cos 120° =
= cos(180°—60°) = - cos 60°;
Зтг	/	тг\
COS -- ~ COS 7Г-----=
4	\	4 /
7Г x	7
— — cos —.
4
Введение
17
3.
a)	cos а > 0, неравенство выпол-
няется при — а .
Учитывая полное число обо-
ротов, получим
— +2тгА; а — — + 2тгА; | к 6 Z.
б)	cos о < 0, неравенство выпол-
3	7Г
няется при -7г > а > —.
Обобщая, имеем
3
-7г + 2тгА: > а > — +2тгк | к G Z.
Для лучшего понимания и определения тангенса угла а рас-
смотрим единичную окружность (7? = 1).
Л0Махм ~ O.OM0M't
(Ма G I четверти), тогда
.	М«Хма	М'аМр
g Oxhf
м(3е
Так как R =
значит tg а =
Вертикальная
лельпая оси Оуу проходящая
через (•) Мо, по сути является
линией значений тангенса, т. е.
ОМо ’
1, то ОМ0 = 1,
прямая, парал-
оо А Ось
* тангенсов
м;

числовой осью.
Аналогично можно доказать, что утверждение верно и для II,
III и IV четверти.
Примечание. Имеется в виду ордината точки пересечения
прямой ОМа с прямой	т. е. с осью тангенсов.
18
Определение основных тригонометрических функций
III. Определение. Тангенсом угла а называется отноше-
ние ординаты точки Л/а, единичной окружности к ее абс-
4-	Ум~	Луг
циссе, т. е. tget —-, причем точка Ма не принадлежит
хма
оси ординат.
Примечание. Можно дать и иное определение:
тангенсом угла а называется проекция точки Ма единичной
окружности на ось тангенсов, где точка Ма получается из точ-
ки Mq поворотом на угол а в положительном направлении.
1. а) Из чертежа следует, что tga — tg(a + тг) =
— tg(<r —7г) = . . . ~ tg(a + 7rfc) =
= tg(a+180°)—tg(oj—180°) —
= tg(a + 180%) | к E Z,
oo А ОСЬ
мтангенсов

так как для углов
а + тгк проекция на ли-
нию тангенсов одна
и та же.
Из чертежа также
следует распределение
знаков по четвертям.
№
Мо х

6) tg(-a) = — tga;
это свойство означает,
что у(х) = tgrr — нечет-
ная функция (D(y) —
симметричное множе-
ство), а значит график
ее центрально-симметри-
чен относительно начала
координат.
Mi+180
Введение
19
№
!о
Ось
тангенсов
2. a) tga 0, неравенство
выполняется при
^>а^0 (90° > о
Учтя, что все значения
повторяются через
каждые пол-оборота,
получим обобщение
тг	(
“+T%>Q^T%|/cGZ
(или 90° +180% > а 180%).
б) tgQ < 0, неравенство
выполняется при
(-90° < а < 0°).
Обобщая, имеем
— —+t%<q<t%%6Z
2	1
(или —90°+ 180% < а <
2
Аналогично можно ввести в оборот линию котангенсов со все-
ми свойствами, следующими из чертежа. Рассмотрим единич-
ную окружность (R — 1). &ОМау ~ &OM'aML тогда
М Ci
etga —
Оул,
М'аМЬ
ОМ' 
Так как R = 1, то ОМ$ = 1, зна-
чит etga =
Горизонтальная прямая, парал-
лельная оси От, проходящая че-
рез (•) Mq, (т.е. (0;1)), по сути
является линией значений котан-
генса, т. е. числовой осью.
Ось котангенсов
20
Определение основных тригонометрических функций
IV. Определение. Котангенсом угла а называется отно-
шение абсциссы точки Ма единичной окружности к ее
ординате, т. е. ctga = -—, причем точка Ма не принад-
Ум„
лежит оси абсцисс.
Примечание. Можно дать и иное определение:
котангенсом угла а называется проекция точки Ма единич-
ной окружности па ось котангенсов, где точка Ма получается
поворотом точки Mq на угол а.
а)
ctga = ctg(a + тг) =
= ctg(a — тг) = ... =
= ctg(a + тг/с) —
= ctg(a + 180°) ~
= ctg(a — 180°) =
= ctg(a + 180%) | к 6 Z.
^цОсь котангенсов
6) ctg(—a) = — ctga.
Это свойство означает,
что у(х) = ctgrr — нечет-
ная функция (D(y) —
симметричное множе-
ство), а значит ее гра-
фик центрально-сим-
метричен относительно
начала координат.
2.
a) etga 0, неравенство вы-
7Г
полняется при ~ а > 0
(90° а > 0°).
Обобщая, получим
7Г
— +7r/c^a>7r/c|/cGZ
(или 90° + 180% > а >
> 180%).
Введение
21
б)
ctga < 0, неравенство вы-
7Г
полняется при тг > а > —
(180° > а > 90°).
Обобщая, имеем
7Г
тг + 7% > а > — + тгк\к Е Z
(или 180° + 180°к > а >
>90°+ 180%).
^мОсь котангенсов
Примечание. В радианной или градусной мере измеряется а,
специально оговаривать в дальнейшем мы не будем, если по
смыслу ясно, о чем идет речь.
Вычисление значений
тригонометрических
функций любого угла
Таблица некоторых значений
тригонометрических функций
Таблица некоторых значений тригонометрических функций
23
а°	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sin а	0	1 2	У2 V	Уз У	1	Уз ~Т	х/2 “Г	1 2	0
cos а	1	Уз 2	У2	1 2	0	1 ~2	Г	_\/3 Г	-1
tga	0	Уз 3	1		////		-1	~х/3 3	0
CtgQ		Уз	1	Уз Т	0	_\/3 з"	-1		у
^рад	0	7Г 6	7Г 4	7Г 3	кэ|	27Г т	Зтг т	5тГ "б"	ТГ
а°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
sin а	1 ”2	У2 Г	Г	-1	Уз Г	\/2 Г	1 ~2	0
cos а	_\/3 2	\/2 2	1 2	0	1 2	У2 ~г	Уз "2	1
tga	Уз ~3~	1			-\/3	-1	_\/3 з”	0
ctgo	Уз	1	Уз ~3~	0	_Уз 3"	-1	-Уз	
^рад	7тг т	5тг т	4тг т	Зтг Т	5тг т	7тг т	117Г “б”	27Г
24
Вычисление значений тригонометрических функций...
II
sin a | cos a
ч I
III
IV
tga
ctg а
sin(—а) = — sin а
cos(—а) = cos а
tg(-a) = -tga
ctg(—a) = — ctg a
sin(a ± 2тг) = sin а
cos (a ± 2тг) = cos a
tg(a ± я) = tga
ctg(a ± тг) = ctg a
sin2 a + cos2 a = 1
tga • ctg a = 1
sin a = ±x/l “ cos2 a
cos a = ± \/l — sin2 a
cos a — ±—....— — -
ytg2a + 1
sin a = ± —	=
V ctg2 a + 1
Практикум 1
25
Практикум 1
1.	Постройте углы:
1)	косинус которых равен —0,24;
2)	синус которых равен —0,25.
2.	Постройте углы и вычислите значения тригонометриче-
ских отношений этих углов, используя таблицу и неко-
торые свойства тригонометрических отношений, вытека-
ющие из их определения:
Птг
3.	Что больше:
1)	sin 1,8 или sin 2,8;
2)	sin 20° или sin 20° • sin35°?
Постройте эти углы.
cos 318°
4.	Определите знак частного----------.
F	tg394°
ТГЬ
5.	1) Существует ли sin а; ~ ---- и если да, то при каких
т — 1
значениях т?
2)	sin а = — ^1,75. Найдется ли такое а?
3)	T/ = 3sina; + 5. £(?/)=?
6.	Вычислите:
1)	а2 sin 2тг + b2 tg 0 — 2a6cosTT + b2 cos(—тг);
2)	sin(3a +15°) + 3 ctg(90° -2а) - tg(15° -4а) + 2cos(-2а),
если а = 15°;
26
Вычисление значений тригонометрических функций...
7.	Решите тригонометрические неравенства, используя три-
гонометрический круг:
1)	sin2z 0;
2)	sin ( Зх — — | <0;
\	4 /
3)	cos Зх > 0;
4)	cos | 2х + — ]	0;
\	6 /
5)	tg ^2х -	> 0;
6)	tg	0;
7)	ctg (2х +	0;
8)	ctg f Зх — — J < 0.
\	О /
Решение практикума 1
27
Решение практикума 1
1.	Постройте углы:
1)	косинус которых равен —0,24;
2)	синус которых равен —0,25.
1)	Отметим на оси Огг чис-
ло —0,24 и проведем через
эту точку хорду, перпендику-
лярную Огг (по определению
cos а — проекция па ось абс-
цисс). Получим па единич-
ной окружности точки Ма1
и Ма2. Тогда угол а есть
объединение двух серий уг-
лов Qi И «2 С ТОЧНОСТЬЮ ДО
полного числа оборотов.
cos	= —0,24;	о =	+ 360°k | к 6 Z;
cos	= —0,24;	q = Q2 + 360%;
Qi = — Q2-
Итак, a = ±ац + 360%, где к € Z,
или а = ±Q] + 2тг/с (в радианном исчислении углов).
2)	Отметим на оси Qy чис-
ло —0,25 и проведем через
эту точку хорду, перпендику-
лярную От/ (по определению
siri гт — проекция на ось ор-
динат). Получим на единич-
ной окружности точки
и Ма2. Тогда угол а есть
объединение двух серий уг-
лов, связанных с и гь с точностью до полного числа
оборотов.
28
Вычисление значений тригонометрических функций...
sin а = —0,25;
sinai = —0,25
sin ct2 = —0,25’
а — — Q'i + тг+2тгА:
а = ai + 360% ।
О = а2 + 360"к |fceZ-
Ho ai + H'2 = 180°;
a — cti +360%
и пи
a = _ai + 180°+360%
(в радианном исчислении углов).
2.	Постройте углы и вычислите значения тригонометриче-
ских функций этих углов, используя таблицу и некоторые
свойства тригонометрических функций, вытекающие из их
определения:
Птг
а =
1)
Птг	/	Зтг\	Зтг	у2
cos----= cos 2тг 4-----= cos — —----------;
4	\	4 J	4	2
11тг ( Зтг\ Зтг
tg^ = t<27r + TbtgT = -1;
11тг
ctg— =
1
~ ii7
Решение практикума 1
29
2)
По определению очевидно,
sin(a + 180°) = sin(a + тг) =
cos(a + 180°) = cos(a + тг) =
= — cos а;
tg(a+180°) =tg(o+7r) = tgc
ctg(a + 180°) =
— ctg (a + л) ctg a.
Поэтому
7тг /	7г\	7Г	1
sm — =	sin Нт H-~ — sm —	—--;
6	\	6j	6	2’
7тг	(	7г\	7Г
cos — — COS 7Г Н—	= — cos — =
6	\	6/	6
7тг	/	7г\
tg = tg и + 7
6	\	6)
7тг
ctg — =
6
1
. 7тг
tg-6-
3.	Что больше:
1)	sin 1,8 или sin2,8 (используйте построение углов);
2)	sin 20° или sin 20° -sin35°?
Построим эти углы.
1,8 « 1,8 • 57° « 103° 6 II четверти;
2,8	2,8 • 57°	160° е II четверти.
Так как	, то sin 1,8 > sin2,8.
30
Вычисление значений тригонометрических функций,..
2) Так как 35° 6 I четверти, то 0 < sin 35° < 1;
20° 6 I четверти, то 0 < sin 20° < 1.
Тогда
sin 20° = sin 20°
sin 35° < 1
Перемножим почленно, тогда sin 20° * sin 35° < sin 20°.
4	cos 318°
4.	Определите знак частного---------.
tg394°
Так как 318° 6 IV четверти, то cos 318° > 0;
так как 394° = 360° + 34° е I четверти, то tg394° > 0, тогда
cos 318°
“ tg394°
5.	1) Существует ли sin х ~ - и если да, то при каких
т — 1
значениях т?
2) sin о; = — ^1,75. Найдется ли такое а?
3) 7/ = 3sinx + 5. Е(у) =?
1) Так как J 8тж 1
[ sin х > -
Ответ: при т 6
т~т+1
j т ~ 1
5 т + т — 1 > Q ’
k т — 1
] .........
I	т
1]	.	т
—оо; - существует sin х —----.
2	т — 1
2)	Так как ^ф75 > 1, то -^75 < -1,
т. е. sin а = — v^l/75 < — 1. Но sin о;	— 1, т. е. не суще-
ствует такого а, чтобы sin о; = —^/1,75.
Решение практикума 1
31
3)	Так как — 1 sin х 1, то —3 3sin£ С 3, тогда
2 3sin£ + 5^8.
Ответ: £?(?/) —[2; 8] для	= 3 sin .т + 5.
6.	Вычислите:
1)	a2 sin 2я + b2 tg 0 — 2ab costt + b2 cos(—я) —
- а2 - 0 + Ь2 • 0 - 2аЬ • (-1) + Ь2 - (-1) - | Ь(2а — Ь) |;
2)	sin(3a+15°) 4-3ctg(90° — 2а) — tg(15° — 4а) 4-2cos( —2а),
если а — 15°.
Подставим в выражение вместо а его значение (15°),
получим:
sin 60° + 3 ctg 60° — tg(—45°) 4- 2cos(—30°) =
у/З у/З 2у/3	-----f-----
— ——h 3 • ——I- 1 Ч----— — |2,5д/3 + 1|;
О
л I \	^2/^1 п * I
4 cos I — з ) * ctg ( — 4 ) — 2 sm I -
з)	--------4-------------------
4 sin2 ( — ? ) — “2у/2 sin ? — 1
\	3 /	и
4-T(_i)2 + 2.^	2 + v/a
4- (-4/ “	- 1 2-v/2
(2 + y^)(2 + y^) = 4 + 4y/2 + 2 =
(2 — л/2)(2 +	4 — 2
3 + 2^2
32
Вычисление значений тригонометрических функций...
7.	Решите тригонометрические неравенства, используя три-
гонометрический круг:
1)	sin 2х 0.
тг + 2тг/с 2х 2тг/с;
+ тгк > х як | к 6 Z.
Иногда записывают
як; — + як
5	2,3
--7Г Н-7ГК: —7Г
12	3	4
2 '
+ я™
о
8Е
X 'емХми.ьм'еди эипэшэ^
34
Вычисление значений тригонометрических функций...
Примечание. Обратите внимание на то, что в данной
задаче не совсем привычные оси координат. Так как аргу-
ментами (углами) здесь являются выражения, зависящие
от х (а эти выражения — длины дуги или величины уг-
лов), то осями (проекциями) являются cosх и sin#.
Практикум 2
35
Практикум 2
Заполните таблицу, вычислив значения sin a, cosq, tga, etg а
для указанных углов.
а	720°	225°	300°	870°	900°	-330°	-630°	-210°
sin о								
cos а								
tga								
etg а								
а	117Г т	117Г 4~	Зг	20тг 3	55-тг Т	117Г 2	57Г “Т	Итг Г
sin а								
cos а								
tga								
etg О								
а	1080°	405°	330°	-225°	-300°	-1020°	Итг ~Г	29тг Т
sin а								
cos а								
tga								
etg а								
36
Вычисление значений тригонометрических функций...
си	870°	-630°	-810°	210°	315°	—240°	7тг	327Г Г
sincr								
COS О'								
tga								
ctg er								
er	137Г ~4~	-420°	-810°	55тг б”	21?Г 2~	-11|тг и	k i	557Г "6“
sin er								
cos er								
tga								
ctg er								
er	930°	“690°	750°	675°	157Г F	Итг Г	19тг ~г	17тг ~6~
sin er								
cos er								
tga								
ctg er								
Решение практикума 2
37
Решение практикума 2
Заполните таблицу, вычислив значения sinct, cosct, tga, ctgа
для указанных углов.
а	720°	225°	300°	870°	900°	-330°	-630°	-210°
sin а	0	_У2 2	_Уз 2	1 2	0	1 2	1	1 2
cos а	1	_У2 Г	1 2	_УЗ Г	-1	Уз ~Т	0	_Уз 2
tga	0	1	-у/3	_УЗ з”	0	Уз 3	нет	_Уз Г
ctg а	пет	1	_Уз з~	-Уз	пет	Уз	0	-Уз
а	117Г 3	117Г	4”	207Г Т	55-тг УГ	117Г УГ	5тг _т	117Г Г
sin а	_Уз Г	_У2 2	1 ~2	Уз 2	_У2 2	-1	У2	Уз У”
cos си	1 2	У2 2	Уз 2	1 2	У2 ~Т	0	_у/2 2	1 2
tga	-Уз	1	Уз 3	-Уз	-1	нет	-1	Уз
ctg а	_Уз 3~	1	Уз	_Уз 3	-1	0	-1	Уз 3
а	1080°	405°	330°	-225°	-300°	-1020°	117Г ~Т~	297Г У-
sin си	о	У2	1'	У2	Уз	Уз		_Уз
	и	“Г	“2	2	~2	2	2	Г
cos а	1	У2	Уз	У2	1	1	_У2	1
	1	~2~	“Г	Г	2	2	2	2
tga	0	1	_Уз 3	-1	Уз	Уз	-1	-Уз
ctg а	пет	1	-Уз	-1	Уз ~з"	Уз 3	-1	_Уз 3
38
Вычисление значений тригонометрических функций...
а	870°	-630°	-810°	210°	315°	-240°	7-тг _т	32тг Г
sin а	1 2	1	-1	1 ~2	У2 Г	Уз ~2~	Уз Г	Уз Г
cos а	_х/з 2	0	0	_л/3 “Г	^2 2	1 ~2	1 2	1 ~2
tga	_х/з 3	нет	нет	х/З 3	-1	-\/з	-Уз	Уз
etg а	-\/3	0	0	Уз	-1	_\/3 3	_х/з 3	х/З 3
а	13тг Т	-420°	—810°	55тг (Г	217Г 2”	О	Ю | О 1	55тг ~6~
sin а	_У2 Г	_х/3 2	-1	1 2	-1	^3 2	1 2	1 ~2
COS О'	_Т2 2	1 2	0	_х/з 2	0	~2	х/З 2	_7з 2
tga	1	—Уз	нет	_7з 3	нет	-Уз	л/3 Т	Уз т
etg а	1	_ \/3 Г	0	-Уз	0	_х/3 3	Уз	Уз
а	930°	-690°	750°	675°	157Г 4~	117Г Г	197Г ~т~	17тг
sin си	1	1	1	_^2		Уз	г/2	1
	~2 :	2	2	2	2	V	~Т	2
cos а	_7з	^3	7з	а/2	У2	1		_^з
	2	2	2	~Г	~2	2	2	2
tga	\/3 3	\/3 3	Уз 3	-1	1	Уз	-1	_7з 3
etg О!	Уз	Уз	Уз	-1	1	х/З 3	-1	-Уз
Тренировочная работа 1
39
Тренировочная работа 1
Заполните таблицу, вычислив значения sina, cosa, tga, ctg a
для указанных углов.
а	330°	630°	210°	420°	810°	-570°	-720°	-225°
sin а								
cos о								
tga								
ctg a								
a	117Г	7тг	4’	17тг T"	207Г Г	137Г T	117Г 2~	237Г 6
sin a								
cos a								
tga								
ctg a								
a	1050°	300°	225°	-1080°	-405°	-390°	Ю 1 Ю	11 —7Г 3
sin a								
cos a								
tga								
ctg a								
40
Вычисление значений тригонометрических функций...
а	5л ~~б"	32л Т	13л г	7л т	240°	-315°	-210°	810°
sin а								
cos а								
tga								
ctg а								
а	630°	-870°	11л ”б~	317Г 1”	-30°	-90°	29л Г	21л т
sin си								
COS (У								
tga								
ctg а								
а	660°	840°	-270°	-780°	-600°	15л ~1Г	7л -~б"	Юл 3
sin а								
cos а								
tga								
ctg а								
Решение тренировочной работы 1
41
Решение тренировочной работы 1
Заполните таблицу, вычислив значения sina, cosq, tga, ctga
для указанных углов.
2.	о	117Г ~Г	7тг “Т	-'4Г	17тг 6	20тг Г	137Г Т~	117Г Г	237Г б“
	sin о	у/2 2	Зтг	1 2	1 2	_Уз 2	2	1	1 2
	cos о	__У2 2	1 2	Уз 2	Уз 2	1 2	_У2 2	0	Уз 2
	tga	-1	-Уз	_Уз 3"	_Уз з”	V3	1	нег	Уз т
	ctg о	-1	_Уз з“	-Уз	-Уз	Уз 3	1	0	V3
									
3.	о	1050°	300°	225°	-1080°	—405°	-390°	Cl 1 Си 3	1 11-7Г 3
	sin о	1 2	_Уз 2	_\/2 2	0	_У2 2	1 — 2	1 “2	_Уз 2
	cos о	Уз "Г	1 — 2	_У2 2	1	У2 2	Уз 2	Уз 2	1 “2
	tga	_Уз 3~	-Уз	1	0	-1	_Уз 3	_Уз 3	Уз 3
	ctg О	-Уз	Уз Г	1	нет1	-1	-Уз	-Уз	Уз
42
Вычисление значений тригонометрических функций...
4.		5л	32л т	13л Г"	7л т	240°	—315°	—210°	810°
	sin а	1 ~2	Уз 2	х/2 ~2~	Уз 2	_%/з Г	х/2 V	1 2	1
	cos а	_\/3 2	1 “2	2	1 2	1 ~2	У2 2	_Уз 2	0
	tga	vz3 3	-Уз	-1	Уз	Уз	1	_7з 3	нет
	ctg а	л/З	_х/з Г	-1	Уз ~з”	Уз 3	1	-Уз	0
									
5.	а	630°	-870°	Пл “б”	31л	-30°	-90°	29л з"	21л Т
	sin а	-1	1 ~2	1 — 2	\/2 Г	1 ~2	-1	Уз	\/2
	cos а	0	_х/з 2	х/З 2	V2 2	х/З 2	0	1 2	_Т2 2
	tga	нет	Уз 3	_уз 3	-1	_Уз 3	нет	Уз	-1
	ctg а	0	Уз	-Уз	-1	-Уз	0	х/З 3	-1
Алгебраические соотношения...
43
Алгебраические соотношения
между тригонометрическими функциями
одного и того же угла
Можно доказать следующие взаимоотношения между тригоно-
метрическими функциями одного и того же угла, отраженные
в таблице.
	sin a	cos a	tga	etg a
sin a		±л/1 — cos2 a	tga	1
			± y/1 + tg2 a	iy/l+ctg2 a
cos a;	±\/l—sin2 a		1	etg a
			±x/l + tg2 a	±-y/l+ctg2 a
tga	sin a	±\/l — cos2 a		1 etg a
	±\/l— sin2 a	cos a		
etg a	±\/l— sin2 a sin a	cos a ±x/l—cos2 a	1 tga	
Здесь знаки определяются знаком тригонометрической функ-
ции, стоящей слева, в зависимости от того, какой четверти нри-
надлежит a.
Например, tga = —
Тогда cos a < О,
в формуле cos a
4	7Г
где - < a < тг.
О	£
а sin a > 0, значит
~	.	- необходимо поставить такой
Wi + tg2^
знак, чтобы косинус принимал отрицательные значения:
3
5’
cos а =
-1
а в формуле sin a =
tga
тельным:
t_____, чтобы синус был положи-
±71+tg2Q
4
sin a =
4 3 _ 4
3 * 5 “ 5
44
Вычисление значений тригонометрических функций...
Практикум 3
1.	Вычислите:
1)	tga, если cos а = —0,6 при 90° < а < 180°;
3
2)	sin а, cos а, если tga = — - при 270° < а < 360°;
3)
12 7Г
cos а, tga, ctg а, если sum — — при — < а < тг.
2.	Докажите тождества:
(•	\ 2	/	\ 2
sm	а \	/ cos а \	. 9	9
------------+ -- — sm а — cos а;
tga / \ctga J
2)	(1 + ctg2 а)(1 — sin2 а) = ctg2 а;
l + tgQ + tg2» 2
3)	т~—-----, . 2 =	°’
1 + ctg а + ctgz а
3.	Упростите:
.	2 sin2 а — 1
1	-----------;
sm а — cos а
2	) (а sin а + b cos а)2 + (а cos а — b sin а)2.
4.	Решите уравнения:
1)	sin2 х — cos2 х + 1 = 0;
2)	tgz • ctg rr = cos я;
3)	sinz — sin2 x + tg45° = cos2 x + cos 45°;
x	2
4)	tgz + etgz = ---;
sm x
. cosz
5	-----г = 0.
sm x + 1
Решение практикума 3
45
Решение практикума 3
1. Вычислите:
1)
2)
3)
tga, если cosa — - -0,6 при 90° < a < 180°*
| sin a = ±\/l — cos1 2 a [
sin a > 0, так как a 6 II четверти;
sin a = 0 - (—0,6)2 = x/1 - 0,36 = УО4 = 0,8;
sin a	0,8
tga--------; tga- ——
cosa	—0,6
4
3
3
sin a, cosa, если tga = — - при 270° < a < 360°.
a 6 IV четверти, значит cosa > 0, sin a < 0.
! COS a =   1	— ! ф cos a = —,	1	=
[_____“I	/ 74?
_ 4
2 “ 5 ’
_________ / /4\2
sin a = —л/l “ cos2 a; sina — — \ 1 — I - I
V \^/
Можно проще: так как sin a = cosa • tga,
4 / 3\	3
to sma — - • — - =
5 \ 4 J	5
3
5
12 7Г
cosa, tga, ctgа, если sma = — при — < a
1 О
a G II четверти, тогда cos a < 0;
। cos а
cosa = —
/12\2
1 ~ (13 )
cos а = —
169 - 144
169
5
13
sin a	12
tga =------; tga - —
cosa	13
1
ctg a —----;
tga
5
Ctg“= -12
46
Вычисление значений тригонометрических функций...
1)
2. Докажите тождества:
(\ 2	/	\ 2
sin a \	( cos a \	9	9
---- + -------- — sin a “ cos a’
tga J \ctga/
Пусть L — левая часть и П — правая часть.
(•	\ 2	/	\ 2
sma \	(cos а \	9
----	_|_	---- _ sjnz а —
tg a J у etg a /
2 / \ 2
sin a । I cos a I 9
---- _|_	---- _ Sjn^ Q =
sin a I I cos ct I
cos a )	\ since J
2 + (sin a)2 — sin2 a = cos2 a.
т n	( f sin a 7^ 0 \
=>Ь = П,	H Д	.
у [ cos a 7^ о J
, sin a \	( cos a \	9	9
Вывод. I ----- ] + I ---- ) — sin a = cos a есть
\ tga J \ctga J
7Г
тождество, если a — к | к 6 Z.
(1 + etg2 a)(l — sin2 a) = etg2 a.
L = cos2 а
П = cos2 а
2)
L — (1 + etg2 а)(1 — sin2 а) —
2	\
cos а \	9
—?— 1 • cosz а —
sinz а )
3)
sin2 а + cos2 а 2
• cos а =
. о
sin а
L = etg2 а
П— etg2 а
1 + tga + tg2a 2
--------------5— = tg а.
1 + etg а + etg2 а
1 + tga + tg2 а
В ~	'	9
1 + etg а + ctgz а
_ 1 + tg а + tg2 а _
tg2 a+tga+l
tg2 Ck
L = tg2 a
П = tg2 a
1
—: о
sin а
2	9
• cos а = etg а.
=Ф L — П, если sin а /О, а / як | к G Z.
1 + tg а + tg2 а
tg а tg2 ot
tg2a.
т ___ f sin а / 0	, , t ,
=Ф L = П, если <	а —к \к е Z.
1 cos а 0 ’	”2 1
Решение практикума 3
47
3. Упростите:
2 sin2 3 а — 1 sin2 а + sin2 а — 1
sin а — cos a sin а — cos а
sin2 а — cos2 a (sin а + cos a) (sin а — cos а)
sin а — cos a	sin а — cos а
= sin а + cos а при sin а 7^ cos а.
2) (n sin а + 6 cos а)2
= a2 sin2 а + 2аЬ •
+ a2cos2 а — 2аЬ *
= а2 (sin2 а + cos2
4. Решите уравнения:
+ (a cos а — b sin а)2 =
sin а • cos а + 62 cos2 а +
cos а • sin а + 62 sin2 а =
а) + 62(cos2 а + sin2 а) = а2 + Ъ2.
1) sin2 х — cos2 х + 1 = 0.
Так как 1 — cos2 х — sin2 ж,
то sin2 х + sin2 х = 0;
2 sin2 х — 0;
sin# = 0; x — тгк | к G Z.
cos x
—----= COS X]
sinz
2) tgz • ctg x — cos x.
sin x
cos x
( cos x ф 0 .
[ sin x Ф 0 ’
cos x = 1; x = 2пк,
но x —n fc, n 6 Z.
значит решения нет.
3) sin х — sin2 х + tg 45° —
= cos2 x + cos 45°.
•	* 9	9
sm x = sin x + cos x~
— tg45° + cos 45°;
y/2
siriT = 1 ~1 +
48
Вычисление значений тригонометрических функций...
sma; = -у;
х = 45° + 360%
х = 135° + 360°п
| /с, п G Z, или
х = — + 2т%
4
Зтг
х =-----1- 2тгп
4
| fc, п е Z.
(тг	Зтг	I
Ответ: < — + 2тгк; — + 2тгп | fc,n 6 Z > .
4	4	I
4) tg х + ctg х ~;
sma;
sin a; cosa;	2
-------1--;-------- = -----	j
cos x sm x-----------sm x
sin2 x + cos2 x	2
sin a; • cosa;	sin a;’
cos x Ф 0 .
sin а; ± 0 ’
1
cosa; =
2
Ответ: < ±— + 2тг/с | к 6 Z
I
cosa;
1 + sin a;
{cos x — 0
sin а; ф — 1 ’
r
ТГ
X = — + тг/с
<	2	|fc,neZ;
x ф — — + 2тгп
x =	+ 2тг/с I к 6 Z.
Ответ: < — + 2тгк | к е Z
Тренировочная работа 2
49
Тренировочная работа 2
1.	Вычислите:
7
1)	cosq, если tga ~ — 1- при 450° < а < 540°;
8
2)	cos fi, tg fi, ctg а, если sin a = —0,6 при cos a > 0;
24
3)	sinfi, cosfi, tgQ, если ctga при 630° < a < 720°.
2.	Докажите тождества:
1)	(tg2 fi — sin2 a) ctg2 a = sin2 fi;
2)	sin4 fi + cos4 fi + 2 sin2 fi • cos2 a = 1;
3)		= etg2 a.
1 _l_	1	_1___1 _
' ctg ci ' ctg2 a
3.	Упростите:
ч л . 4 sin a 1 — cos fi
1 la = 1------------+ —----------;
1 — cos a sm a
.	4	1 — (sin fi — cos fiУ2
2) A (a) =------
1 + sin a — cos2 fi
4. Решите уравнения:
1) tgrr + 1 — sin2 x + cos2 x\
2) 2 sin x + cos2 x ~ 2 — sin2 x\
4 cosz
3	--------7 = 0.
sm x — 1
50
Вычисление значений тригонометрических функций...
Решение тренировочной работы 2
1. Вычислите:
7
cos а, если tga = — 1- при 450° < а < 540°.
О
! cos a = - = । Л1
_______± i_ +_tg_1 2_q ‘
a 6 II четверти, тогда cos a < 0.
1
64+225
64
cos а = —
8
17
2)
cos a, tga, etg а, если sin а = —0,6 при cosa>0.
I cos о
cos а = д/1 - (-0,6)2 = \/1 - 0,36 = [Д8].
sin a
tga=-----; tga =
cos a
-0,6
0,8
3
4 ’
3)
1
etg а = ---;
tga
etg а = —
4
3
24
sin О', cosa, tga, coinctga = —— при 630°<a<720°.
а 6 IV четверти, значит sin а < 0, cos а > 0.
' sin а = ± —	= '
[.________]
sin а = —
7
25 ’
24
cos a = etg a • sin a; cos a = — —
7
25
24 .
“ 25 ’
1
tga = -----;
etg a
7
tg“=
Решение тренировочной работы 2
51
2. Докажите тождества:
1) (tg2 а — sin2 a) ctg2 а = sin2 а.
(• 2
sin (у,	. а
—5-------sm а
cos2 а
sm a cos^ а . 2 cos^ а
= —~---------------sm а  —— —
cos2 a sin a	sin а
9
cos^ а
~ 9
sin а
— 1 — cos2 а ~ sin2 а.
L = sin2 а
П = sin2 а
— П, если
sin а 7^ О
cosa 7^ О
л/с
т. е. ol^ — |/cGZ.
2) sin3 4 а + cos4 а + 2 sin2 a cos2 а = 1.
L = sin4 a + cos4 a + 2 sin2 a cos2 a — (sin2 a + cos2 a)2 = 1.
L = 1
П = 1
=> L = П.
3)
1 + ^ +Д-
—..........^7- =ctg2a.
1 I 1 I 1
' ctg a: ' ctg2 a
1 +	+ tg2 a
ctg Cl
a
a
тгк , ,	_
— | A; G Z.
tg2 a+tga+l
tg2 ci
—;— — ;----------------9— — —5— — ctg2 a-
1	1 + tg a + tg2 a tg2 a
ctg2 a
L = ctg2
П = ctg2
т r	f sma Z 0
=> L = 11, если <	. ,
[ cos a 7^ (J
t. e. a 7^
1
3. Упростите:
4 A z 4 sin a 1 — cos a
1 A a = --------------+ —----------
1 — cos a sm a
JZ 4 sm2 a+(l — cosa)2
A (a) = — -----------~-
(1 —cosa) sin a
2 — 2 cos a
(1 — cosa) sin a
x 2
t. e. A(a) —---, если
sm a
sin2 a+1 — 2 cos a + cos2 a
(1—cos a) sin a
2(1 — cosa) 2
(1 — cos a) sin a sin a ’
sin а Ф 0.
52
Вычисление значений тригонометрических функций...
ч 4	1 — (sin a — cos a)2
2) 4(a) = —
1 + sm a — cosz a
л , 4	1 — sin2 a + 2 sin a cos a — cos2 a
A(a) =
sin2 a + sin2 a
1 — 1 + 2 sin a cos a
2 sin2 a
4(a) = ctga (sina 7^ 0).
4.	Решите уравнения:
1)	tgx + 1 = sin2 х + cos2 х.
tgx + 1 = 1; tgx = 0; x
Ответ: {тг/с | к Е Z} .
2)	2 sin х + cos2 х = 2 — sin2 x.
2sinx+cos2x+sin2x—2 = 0;
2 sinx + 1 — 2 = 0;
2 sinx — 1 = 0; sinx =
’	2
% = 30°+ 360% 17
2 sin a cos a
9  2----= ctg a.
2 sm a
- 180%;
х — тгк (к €Z).
nsinx
1
1
или
cosx
Линия
синусов
7Г
x = — + 2%
|fc,neZ.
x =-----h 27ГП
6
Ответ: < —h 2%; -—h 2тг?г I	6 Z k
16	6	I
cosx
3 -------7 = 0.
smx — 1
7Г
(	n	I X = - + Й
I cos x = 0	I 2
| sin x 1 ’ I / я । Q
4	' I x — + 2тт
x = —+ 2тг/с; к 6 Z.
Ответ: < —+ 2тгк | к G Z ? .
Практикум 4
53
Практикум 4
1. Упростите:
1 A a =--------
sec а
cos а	1
	 (sec а =-);
tg a-----------------cos а
2)	А(а) = cosa(l + tga) — sina(l + etgа);
3)	Л(а) — (1 — cosa)2 + (1 + cos a)2 — 4 cos2 a.
2. Вычислите:
х	5
1)	sina, если tga = — при 180° < a < 270°;
3 sin а • cosa
2)	Л(а) = —-2----------— при etg а = -2;
2 sm2 а — 3 cos2 а
3)	А(а) = sec2 а + cosec2 а, если tg а + etg а = 3
(	1 А
cosec а =---- ] .
\	sma /
3. Докажите тождества:
i	\	/2 i \ sin ct
1	) cos a(sec a — 1) —---;
etg a
etg2 a — cos2 a sin a-cos a
2	. 2-----------+--------;----=
etg2 a	etg a
81 sin4 a — 16 cos4 a	2
3	)	------------.. .-------------- — 5sin a + 4.
(3 sin a — 2 cos a) (3 sin a + 2 cos a)
54
Вычисление значений тригонометрических функций...
Решение практикума 4
1. Упростите:
1) А (а) =--------1------. Так как sec а =----------, то
sec a tg a	cos а
sin а
л / х cosa cos a sin а • cos a cos а • cos а
А (а) ~ —  1 :  =----------------------1------:------
1	sinQ	cos a	sm а
cos a	cos а
cos2 a sin2 а + cos2 а 1
— sma Ч------;:-------------------— —-------,
sma	since	sma
л / \	1	f sin a ± 0
t. e. A(a) — —------= cosec а, если <	. .
sm a	cos а ф 0
2)
3)
A(a) = cosa(l + tga) — sina(l + ctg a).
л . ,	( sin a \	.	/ cos a\
A(aj = cosa 1 4-------— sma 1 4—;-------- —
\ cos a J \ sm a J
cos a • sin a . sin a • cos a
— cos a 4-------------sm a---------;----=
cos a	sm a
= cos a + sin a — sin a — cos a = 0,
л / \	Г sin a 0
t. e. A(a) = 0, если <	. .
[ cos а Ф 0
A(a) = (1 — cosa)2 + (1 + cosa)2 — 4cos2 a.
A(a) = 1 — 2 cos a + cos2 a +1 + 2 cos a + cos2 a — 4 cos2 a =
= 2 — 2 cos2 a — 2(1 — cos2 a) = 2 sin2 a,
t. e. A(a) = 2 sin2 a.
2. Вычислите:
1) sin а, если tga = — при 180° < a < 270°.
aG III четверти, тогда sina<0. !sina =
tga <
sin a =
5
12
5
12
13
12
5
13
Решение практикума 4
55
.	... 3sina • cosa
2)	А(а) = —--------при etg а = -2.
2 sin а — 3cos2a
, z 4 sin2 a • 3ctga
A (a) — —— -------------—- =
sin2 a(2 — 3 etg2 a)
ЛЫ =	3  (~2>	=
1 1	2 — 3  (-2)2	2-12
[з~
Итак, A(a) = - ,
5
3 etg а
2 — 3 etg2 а
_ 3
” 5
если etgа — —2.
3)	А(а) = sec2 а + cosec2 а, если tg а + etg а = 3.
1 sin2 а + cos2 а
^(^)	2	1	• 2	2
cos2 a sin a cos2 a
• 2	9	• '
• sm a cos2 а • sm
С другой стороны,
z	/ sina
(tg a + etg a)2 = 9;	-----
\cosa
/ • 2 t 2	\ 2	/
/ sm a + cos a \	/
\ cos a • sin a /	’	\ <
\ 2
cos a \
sina J
2
. —9.
cos a * sm a /
Таким образом, А(а) = |~9~1, если tg а + etg а = 3.
3. Докажите тождества:
/2 i\ smo;
1 cosa; sec а — 1) =-------
etg а
L = cosa(scc2 а — 1) ==
— cos а •
1 — cos2 а
cos2 а
/	1	\
cos а —---------1 =
\cos2a	/
• 2
sin	a	sin a	sina
cos	a	COSQ	etg a
sin a
1
a
1
sin О!
1 j — -----
etg а
П =
etg а
( sm а	О
если <	, _ .
[ cos а (J
56
Вычисление значений тригонометрических функций...
ctg2 а — cos2 а
£)	9
ctgz а
sm а • cos а
ctg а
ctg2 а — cos2 a sin а • cos а
ctg2 a	ctg а
о
cos a
-L 2
cos a
—r-%—
sin Ct
sm а * cos а	о. о.
-----------= 1 — sm а + sm а = 1.
COS Ot
sin ot
L =
П =
1
1
f sin а 7^ О
если <	, Л .
[ cos а / О
81 sm4 a — 16 cos4 a	2
——--------------4.----------------- = 5 sm а +
(3sina — 2 cos a) (3 sin а + 2 cos a)
81 sin4 a — 16 cos4 a
(3 sin a — 2 cos a) (3 sin a + 2 cos a)
(9 sin2 a — 4 cos2 a)(9 sin2 a + 4 cos2 a)
9 sin2 a — 4 cos2 a
= 9 sin2 a + 4 cos2 a =
= 5 sin2 a + 4 sin2 a + 4 cos2 a = 5 sin2 a + 4.
L = 5 sin2 a + 4
П = 5 sin2 a + 4
2
=> L = П, если tgai 7^ ±-.
о
Тренировочная работа 3
57
Тренировочная работа 3
1.	Упростите:
ч л , ч 2 cos2 а — 1
1)	Л(а) = ------------;
sm а 4- cos а
, / ч 1	1 sm2
2)	Л (а) = —z------------------;
cos2 a ctg2 a tg2 а
/ . о	\
.	. .	.	(sm а \
3)	а) = (ctg а — cos а)-----------h tg а .
\ cos а /
2.	Вычислите:
5
1)	sina, ctgа, если scca = —- при 180° < а < 270°;
2)	А(а) — CQSa."^ если cosa —0,5 при — 90° < а < 0;
1 4- sm а
х . ч 2 cos2 а — 3 sin2 а
3)	Л(а) =	2------5--- при ctgа = -2.
3 tg2 а • cos2 а
3.	Докажите тождества:
ч cosec а — sin а
1)		---------— sina;
ctgz ci
2
sm a — cos a cos a
2) ----------------------------= sm а — cos а;
1 — ctg2 a sm а + cos а
3)
(1 4- ctg a) sin2 a 4- (1 4- tga) cos2 a
(sin а 4- cos а)2
58
Вычисление значений тригонометрических функций,..
Решение тренировочной работы 3
1. Упростите:
л, ч 2 cos2 а — 1
Л (а) = -----------.
sm а + cos а
2) A(a) =
cos2 a
л, ч cos2 а + cos2 а — 1 cos2 а — sin2 а
Л (а) =-----;= —-----------------------------=
sm а + cos a sm а + cos а
(cos а + sin а) (cos а — sin а)
=------------------------------= cos а — sm а.
sm а + cos а
Таким образом, Л(а) = cosa—sina, если cosa^ — sina.
1	sin2 a
ctg2 a	tg2 a
. 2
Sin a . 2	2
—5-------sm a • ctg a =
cos2 a
I — sm a sm a • cos a
q	;	2
cosz a	sin a
2
cos a 2	2	• 9
= —5-------cos a — I — cos a = sm a.
cos2 a
тт л / x * 9	f sin a 0
Итак, A(a) = sin a, если <	. Л .
v	[ cos а ф 0
(. 2
sm a
---------(_
cos a
cosa	\ / sm a
	cos a ) I -
sm a-------------------) \ cos a
cosa(l — sina) sina(l + sina)
sin a	cos a
= 1 — sin2 a = cos2 a.
л / \	9	f sin a 0
A a — cos a, если <	. .
v 7	[ cos a ф 0
Л/ X	1
Л(а) = ——
cos2 a
Решение тренировочной работы 3
59
2. Вычислите:
,4	-	5
1) sina, etg а, если sec a — —- при
180° < a < 270°.
a G III четверти, тогда sina
1 L
4’
sec а =
cos а
0
4
cos a = —
5
sina =
—\/1 — cos2 а;
sina = —
cosa
----; ctga =
sina
etg а =
_ 4
5
5
4
3
3
5
. cos a + etg a
2) A(a) =------------, если cosa —0,5 при —90
1 + sina
a < 0.
a 6 IV четверти, тогда sina < 0.
sina = — \/1 — cos2 a;
sina = —
Zl\2
1 - -
\ 2 /
/3
~2
. cosa
COS a + ----
A / x	sin a
A(a) = —-------;----
1 + sm a
cos a(l+sin a)
sin a
1 + sin a
cosa
-----= etg a.
sm a
0,5
etg “ =
/3
T
Итак, A(a) = —
/3
зГ
, если cosa = 0,5
при —90° < a < 0.
1
3
A , 4	2 cos2 a — 3 sin2 a
3 A a - —5----
3 tg2 a * cos2 a
при etg a = —2.
2 cos2 a — 3 sin2 a
A(a) = — . 2
Q sin  a
cos2 a
2 cos2 a
2
• cos a
3 sin2 a
3sin2 a 3 sin2 a
2 cos2 a — 3 sin2 a
3 sin2 a
2	9
-etg a — 1,
О
60
Вычисление значений тригонометрических функций...
2	8	2
тогда А(а) = -  (~2)2 - 1 = - - 1 = 1-;
О	о	о
о
если ctg а — —2.
3. Докажите тождества:
cosec а — sin а
--------ту-----— sin а.
ctgz а
1_____г
cosec а — sin a sin a sm а
ctg2 a	cos2 о
sin2 а
.	♦ 9	.9	9
1 — sm а sm a cos а • sm а
----;------ * --Ту— ™ --------5------- = sin а.
sm а cosz a cosz а
L ~ sin а
П = sin а
sin а 7^ 0
cos аД 0 ’
=> L = П при
2
sm а — cos a cosz а
2) ----------ту-------;------------— sm а — cos а,
1 — ctgz а	sm а + cos а
.	2
sma — cos а cos а
1 — ctg2 a sin а + cos а
9
sm а — cos a cos а
1 _ cos2 a sin Q _|_ cos а
sin а
(sin а — cos а) sin2 a cos2 а
sin2 а — cos2 а sin а + cos а
• 2	2
sin a	cos а
sin а + cos а sin а + cos а
sm^ а — cos а
—;~ sina — cos а.
sm а + cos а
L = sin а — cos а
П = sin а — cos а
=> L — П, если
sin а 7^ 0
sin а 7^ ± cos а *
Решение тренировочной работы 3
61
(1 + ctga) sin2 а + (1 + tga) cos2 а _
(sin а + cosa)2
(1 + ctg a) sin2 а + (1 + tg a) cos2 а
(sina + cosa)2
/-I . cos a A -2	। (л । sin a A	2
1 + — sin a + 1 4------------cos a
у	sma J	\ cosa J
(sina + cosa)2
sin2 a + cos a sin a + cos2 a + sin a cos a
(sina + cosa)2
(sina + cosa)2
(sina + cosa)2
L = 1
П= 1
{sina ф 0
cosa 7^ 0
sin a 7^ — cos a
62
Вычисление значений тригонометрических функций...
Тренировочная работа 4
1. Вычислите:
12
ctgа, если sina = — — при
1 о
180° < a < 270°
2)
„	24
sin р, если ctg р — —— при
630° < В < 720'
3)
g
sina, cosa, если ctga — — — при 90° < a
15
180°;
4)
9	3
tga, если cosa — — — при 7Г < a < -
5)
6)
7
sina, cosa, если tga = —— при 810° < a
24
cosa, если ctga = —— при sina < 0.
900°;
2. Упростите:
1) sin4 a + cos2 a + cos2 a sin2 a;
2)
1 — cos a
1 + cos a
1 + cosa
1 — cos a
sin2 a + 2 cos2 a 3 cos2 a
2 sin2 a — 1	1 — 2 cos2 a1
4)
cosa	sina
1 — 2 sin2 a 1-2 cos2 a *
3.	Докажите тождества:
1)	(1 + tg2 a)• (1 — cos2 a) = tg2 a;
2)	cos2 a + sin2 a • sin2 /3 + sin2 a • cos2 /3=1;
3)	(sina + cosa)2 + (sina — cosa)2 = 2.
Тренировочная работа 4	63
4.	Решите уравнения:
1)	1 + etg х — cos2 х = sin2 х;
2)	cos х — cos2 x + etg 45° — sin2 x + sin 45°;
3)	-^=0;
cos x — 1
etg ж =
sin x + 1
64
Вычисление значений тригонометрических функций...
Решение тренировочной работы 4
1.	Вычислите:
1)
2)
12
etga, если sina = — — при 180° < a < 270°;
1 о
a G III четверти, тогда etg a > 0;
Г	7—^	’	I i
\ctga = ±.—5—i; (И) c^ga = \ -7-^—1;
। V sin a 1	V sin a
etg а =
13\2	/169-144
12 ) ~ ~ \	144
24
sin/?, если etg/? = — — при 630° < /? < 720°;
/? 6 IV четверти, значит sin/? < 0;
sin ft = ±,	1 2 I
v 1 + etg2 (3 I
sin/3 = -J 1	;
V 1 + etg2 /3
sin /3 = —
1
7
25
3)
g
sina, cosa, если etga — —— при 90° < a < 180°;
15
a € II четверти, тогда sina > 0, cosa < 0;
:.	, / i :
(Sina = ±. -------,
I	V 1 + etg2 a I
sina =
icosa
cosa =
8
17
Решение тренировочной работы 4
65
4)
9	3
tga, если cos а = — — при тг < а < —
a G III четверти, тогда tga > 0;
sin а,
810° < а < 900°;
О
7
cos а, если tga — — — при
6)
а 6 II четверти =4> sin а > 0, cos а < 0;
t sin а — ±\/1 — cos2 a ।
cos а, если ctg а = —
24
Т
при sin а < 0.
Так как
ctg а < 0
sin а < 0
то а Е IV четверти,
тогда cos а > 0.
ctg а =
24
~7
значит tg а = —
_7_.
24;
[ cos а = ±А / -—~—!
:	V1 + tg2 а:
66
Вычисление значений тригонометрических функций...
2)	1 +
2
1 + cosa
cos a	1
cos a	-
1 — 2 cos2 a
cos2 a
1 — 2 cos2 a
2.	Упростите:
1)	sin* 4 а + cos2 a + cos2 a sin2 a =
= (sin4 a + cos2 a sin2 a) + cos2 a —
= sin2 a (sin2 a + cos2 a) + cos2 a =
= sin2 a + cos2 O' = 1.
1 — cos a \ f 1 + cos a
-------- 1(1 + -----------
1 + cos a ) \	1 — cos a
(1 + cosa) + (1 — cosa) (1 — cosa) + (1 + cosa)
1 + cos a	1 — cos a
2	4	4
1—cosa	(1 — cos2 a)	sin2 a’
; a 7^ irk | к G Z.
sin2 a + 2 cos2 a 3 cos2 a
2 sin2 a — 1	1—2 cos2 a
sin2 a + cos2 a + cos2 a 3 cos2 a
2(1 — cos2 a) — 1
1 + cos2 a 3 co
1 — 2 cos2 a 1 — 2
1 + cos2 a — 3 cos2 a
1 — 2 cos2 a
2	7 1
cos a +
2
cos a	sin a
1—2 sin2 a 1 — 2 cos
cos a — sin a	cos a — sin a	cos a — sin a
1 — 2 sin2 a cos2 a + sin2 a -
cos a — sin a
(cos a — sin a) (cos a + sin a)
cosa ±sina; tga ± ±1;
cos a	sin a
i2 a 1 — 2 sin2 a 1 — 2 sin2 a
- 2 sin2 a	cos2 a — sin2 a
1
—-------------? если
cos a + sm a
a 7^ ±—I- тгк I к G Z.
4
Решение тренировочной работы 4
67
3.	Докажите тождества:
1)	(1 + tg2 а)(1 — cos2 а) = tg2 а;
т /	9	\ /	9	\	/ sin СХ. \	. п
L = (1 + tg2 а)(1 — cos2 а) — 1 4---— • sin2 а —
\ cos2 aJ
cos2 а + sin2 а . 2 sin2 а 2
—--------5-------- sm а — —z— = tg а.
cosz a	cosz а
L = tg2 а
П = tg2 а
=> L — П при cos а О,
что и требовалось доказать.
2)	cos2 а + sin2 а • sin2 в + sin2 а • cos2 /3 = 1*
L — cos2 а + sin2 а • sin2 (3 + sin2 а • cos2 (3 =
= cos2 а + sin2 о (sin2 (3 + cos2 (3) — cos2 a + sin2 a = 1.
L — 1
П- 1
=> L ~ П, что и требовалось доказать.
3)	(sin a + cos a)2 + (sin a — cos a)2 — 2.
L = (sin a + cos a)2 + (sin a — cos a)2 =
= sin2 a + 2 sin a ♦ cos a 4- cos2 a +
+ sin2 a — 2 sin a • cos a + cos2 a =
— 2 sin2 a + 2 cos2 a = 2(sin2 a + cos2 a) — 2.
L = 2 T
__	=> L — 11, что и требовалось доказать.
4.	Решите уравнения:
1)1+ ctgj? — cos2 х ~ sin2
1 + ctg х — cos2 х + sin2 x\ 1 + ctg j? = 1;
7Г
ctg j? — 0; x = — + кк I к e Z.
2) cos j? — cos2 x + ctg45° = sin2 x + sin 45°;
x/2
cos x + 1 = cos2 x + sin2 x +
68
Вычисление значений тригонометрических функций...
\/2
cost — -----;
2 ’
тг
х = — + 2тг/с
I к,п е Z.
тг 1 ’
х =-------h 2тгп
4
3) _^ = 0;
COS х — 1
f tgT — О
COST 1 ’
Г X = тгк	J
< f n	\k,n e
[ x 2тгп
x = тг + 2тг/с | к
6
Z.
4) - ctg3' —О-
sin х + 1
etg х = О
sin# —1 7
тг
х = — + 2тгк | к

Z.
тгк
тг
1=24
/ 7Г
X — — + 2тгп
Решение
простейших
уравнений
Уравнения вида cos ж = т
Решить такое уравнение — значит найти все значения углов,
косинус которых равен числу т.
Пусть х — множество всех таких углов.
Обозначим х = Arccosm — читается это так: множество всех
углов, косинус которых равен числу т.
Очевидно, что условие разрешимости уравнения
\т\	1, т. е. — 1 т 1, так как иначе нет пересечения с
единичной окружностью.
Так как	— — cti, то запись может быть иной.
х = Arccosm — ±cti + 2тг/с | к 6 Z.
70
Решение простейших уравнений
Так как на отрезке [0; тг] косинус принимает все значения
от —1 до 1 только один раз, введем обозначение главного
угла, ai = arccosm, принадлежащего [0; тг], косинус которого
равен т.
I. Определение. Арккосинусом числа т называется глав-
ная дуга или угол arccos т , принадлежащий отрезку [0;к],
косинус которого равен числу т.
Отметим очень важные свойства:
1.	По определению cos(arccosm) = т.
Тогда Arccosm = ±arccosm + 2тг/с,
т. е. х = ± arccos т + 2тгк \к е Z .
2.	arccos(—m) = тг — arccosm
Примечание. В функциях и уравнениях дуги и углы изме-
няются в радианной мере, т. е. являются числами.
Представим графическую
иллюстрацию:
Примеры решения уравнений вида cosx — т
3	3
1)	cosj;=-: х —± arccos—h 2ivk I к е Z.
4	4
^/3	/ ^/з \
2)	cos# —----; х = ±arccos I----I + 2тгА;,
7	2	\	2
/	V 3 \	/ V3
по arccos------= тг — arccos —
\ 2 /	\ 2
5
Тогда х = ±-тг + %як | fc Е Z.
5
6
6
Уравнения вида cos х — т
71
3)
v2	V2
cos Зге = —; Зге — ± arccos —- + 2тг/с, тогда
zS	£
1	ч/2	2 ,	у/2	тг
х — ±- arccos —- + -7гк, но arccos —- - —.
3	2	3	2	4
о	, 1 тг	2 ,
Значит х = ±- • — + -тгк.
О а	о
7Г 2
Итак, х — ±— + -тгк | к € Z.
X £ О
4)
/	ТГ
cos I 2х Ч—
\	6
2х + — — ± arccos
6
/ 1
arccos —-
\ 2
1
2’
+ 2тг/с, но
1	ТГ	2
— тг — arccos - — 7Г---------= —тг.
2	3	3
2
— Чз-тг -|_ 2тг/с, значит
О
Тогда 2х + —
6
Г.	77 i	,
2х = —— ± “% + 2тг/с, т. е. х —
6	3
ТГ ТГ , । ,	___
± - + 7rfc|fc е Z.
1Z о
5) (3cosz + 7r)(4cosz — тг) — 0;
3 cos х + 7Г = 0 .
4 cos х — 7Г — 0 ’
cosz — —	[—1; 1] (тг > 3)
о
тг
cos ге — — € [—1; 1]
Итак, cos ге — —. значит х ~ ± arccos — + 2тгп I п е Z.
4	4
72
Решение простейших уравнений
Уравнения вида sin х = тп
Решить такое уравнение — значит найти все значения углов,
синус которых равен числу т.
Пусть х — множество всех таких углов.
Обозначим х — Arcsin т  читается это так: множество всех
углов, синус которых равен числу т.
Очевидно, что условие разрешимости уравнения \т\	1,
т. е. — 1 т 1, иначе пересечения с единичной окружно-
стью пет.
х = Arcsin т =
(| — знак составной функции, т. е. состоящей в данном случае
из двух частей.)
cvi + 2тг&, если — —
2’
„	Зтг
OJ2 + 2тгА;, если — а? $ —.
Так как ct2 = тг — си, то получим две серии решений:
х = cvi + 2тгк
х = тг — сц + 2тг А;
или х = (—1)Лси + тг/с | к 6 Z.
Так как на отрезке
тг тг
2’2
синус принимает все значения от
— 1 до 1 только один раз, то введем главный угол си = arcsinт
из отрезка
тг тг
2’2
, синус которого равен т.
Уравнения вида sin х — т
73
II. Определение. Арксинусом числа т называется глав-
ная дуга или угол arcsin тп, принадлежащий отрезку
7Г 7Г *
---; — , синус которого равен числу тп.
Отметим очень важные свойства:
1. sin(arcsinm) = тп (по определению).
Тогда
х = arcsin тп + 2тгк . .	_
\к,п е Z
х = тг — arcsin тп + 2тгп
или х = (—1)^ arcsin тп + тгк | к 6 Z
2. arcsin(—-m) = — arcsin тп.
Приведем графическую
иллюстрацию:
Примеры решения уравнений вида sin х = тп
2	2
1) sinT = -; х = (—l)fc arcsin - + тгк | к 6 Z.
3	3
arcsin f — — j + тгк, но
х	1
2) sinT = —;
7	2’
. (	П	.1	тг
arcsin — = — arcsin - =---------. 1огда
\	2	2	6
— | + тгк, т. е. х — ( —l)fc+1 •	+ тгк I к 6 Z.
6 /	6
74
Решение простейших уравнений
3)
4)
5)
sin2х ~ 2х ~ l)fe arcsin —— + тг/с, но arcsin —- = —
2 ’ v 7	2	2	3
Тогда 2х = (—l)fe • — + тгк;
о
6	2
sin ( Зх + —
/2.
7Г	/ л/2\
Зх + — = (—1)^ arcsin I —— I + тг/c., но
. / V2\	. V2 тг
arcsin------= — arcsin-----=------. Тогда
\	2	2	4
2
— I + irk; Зх = —— +	• — + тг/с;
4 /	2	4
6
12	3
3 sin 2х — 2 — О
л/2 sin х — 2 — 0 ’
(3 sin 2х — 2) (л/2 sin х — 2) = 0;
2 г
sin 2х = - 6 [—1; 1]
sinj; = \/2	[—1; 1]
2	2
sin 2х — 2х = (—l)fe arcsin —F тг/с | к € Z;
3	3
1 , „чь .	2	\
х —	—1)к arcsin - + —/с | к 6 Z.
Уравнения вида tga: = т
75
Уравнения вида tg ж = т
Как было доказано (см. опре-
деление tga), прямая, парал-
лельная оси От/ и проходящая
через точку (1;0) — есть ось
тангенсов, значит т = ММ$ =
= tga.
х = Arctgm — множество всех
дуг или углов, тангенс которых
равен числу т.
Так как па интервале I — —; — j тангенс пробегает все значе-
ния от — оо до оо только один раз, то положим arctgm = aj
главным углом из интервала ( — —; — I , тангенс которого ра-
вен m.
III. Определение. Арктангенсом числа т называется
главная дуга или угол arctgm, принадлежащий интервалу
( 7Г 7Г\
I---. I , тангенс которого равен числу т.
Отметим очень важные свойства:
1. tg(arctgm) = т (по определению).
Тогда х = arctg т + лк | к Е Z.
2. arctg(—m) = — arctgm
Приведем графическую
иллюстрацию:
76
Решение простейших уравнений
Примеры решения уравнений вида tg х = т
tg х = 2; х — arctg 2 + ivk | к 6 Z.
2)
V3	/ Vз\
tg х = ——; х = arctg | —— 1 + тгя, но
о	\	о /
(v3 \	д/3	тг	тг	-
----। — — arctg — =-, значит т =-РтгАт | к 6 Z.
3 1	3	6	6
3)
tg 2х — 1; 2х = arctg 1 + тг/с, но
arctg 1 = —, значит 2х = — + тг/г; х = — + —к I к Е Z.
4	4	8	2
4)
3
^3; Зх — —тг = arctg д/З + тг/с,
5)
t Л 3 \
tg I Зх — -тг I =
но arctg д/З =
3 тг	3 тг
Тогда Зх — -тг — — + тг/г; Зх = -тг + — + тг/с;
13	,	13 тг , ,
Зх — —тг + тг/г, т. е. х = —тг + —к \к 6 Z.
12	36	3
2sinx + 3 cost — 0;
2sinx = — 3cos:r. Разделим на 2cost 0:
tgx = —1,5; х — arctg(—1,5) + irk | к 6 Z.
6)
3 cos I 2х--— 3 sin { 2х----= 0;
к 3 к 3)
3 sin I 2х----
к 3
3 cos I 2х — —
Разделим на 3 cos I 2х — — 1	0:
\ о /
tg 2а; - -
у о
/3.
з"’
тг	уЗ .
2т — — — arctg + тг/с;
2х = —F тг&; х = — 4—к I к G Z.
2	4	2
Уравнения вида ctg х — т
77
Уравнения вида ctg х — т
Как было уже доказано, прямая, параллельная оси Ох и про-
ходящая через точку (0; 1), есть ось котангенсов, значит
т = М^М = ctg а.
х — Arcctgm — множество всех дуг или углов, котангенс ко-
торых равен числу т.
Так как на интервале (0; тг) котангенс пробегает все свои зна-
чения только один раз, то обозначим arcctgm = oji главным
углом из интервала (0; тг), котангенс которого равен т.
IV. Определение. Арккотангенсом числа т называется
главная дуга или угол arcctg т у принадлежащий интерва-
лу (0; тг), котангенс которого равен числу т.
Отметим очень важные свойства:
1. ctg(arcctgm) = т (по определению).
Тогда х = arcctg т + тгк | к € Z.
78
Решение простейших уравнений
Примеры решения уравнений вида ctg х — т
2	( 2\
ctg# = ~ —; х = arcctg I — - 1 + тг/с, по
о	\ о /
( 2\	(2\
arcctg I — - I = я — arcctg I - ) .
2	,
Тогда х = я — arcctg —|- пк | к 6 Z.
3
2)	ctg# — \/3; х = arcctg \/3 + тг&, но
7Г	7Г
arcctg уЗ = —, тогда х — —|- irk I к G Z.
6	6
3)	ctg 2х = 3; 2х = arcctg 3 + тг&, тогда
х — - arcctg 3 + т^к \к € Z.
ч /	5 \
4)	ctg ( Зх — -тг I = —1;
5
Зх-----я = arcctg(-l) + irk, но
6
/	-14	1	7Г 3
arcctg( —1) = тг — arcctg 1 = я — — = -тг.
о 5	3	, п 5	3
1огда Зх-------7Г = -тг + т. с. Зх = -тг Н—7Г + пк.
6	4	6	4
ТХ	1	38	7Г	,	19	7Г	,	,
Итак, х = - • —я 4—к\ х — —я 4—к \ к G Z.
’	3	24	3 ’	36	3	1
Практикум 5
79
Практикум 5
1. Упростите:
ctg a sin а
cosec a ctg а ’
ч • ч
cos а — sin а
1 + cos а • sin а ’
2. Докажите тождества:
tg* 2 а — sin2 о; . 2
1) -------х------= sm а:
7	tg2 а
• 9
ч sm х sm х + cos х
2)---------------------_--------= sm х + cos т;
sm x — cos x tg2 x — 1
sin6 a — cos6 a
(1 — sin a • cos cm) (sin a — cos a)
— (sina + cosa)(l + sina • cosa).
3. Вычислите:
3
cosa при ctga = —если 90° < a < 180°;
2)
7
sec а при sina =------, если 270° < a < 360°;
F	25
3) s^nQ: + tga при sina = —0,5, если —90° < a < 0°;
1 + cos a
3 sin a + 4 cos a	1
----------:---- при tga =
cos a — sm a	3
5) tg3 a + ctg3 а, если tg a + ctg a = 3;
6) sin4 a — cos4 а, если tg a = 2.
80
Решение простейших уравнений
4. Решите уравнения:
2)
/2
cos -х
\3
2 sin -
\ 4
- ) = 1;
3 )
1\ _
2/ А
2;
3)
4)
5)
cos [ х -|— 1 —
\ /
4sin3 х — sina;;
4 cos3 х — cos x = 0;
Г- (	7Г
3 sm к + “
\	5
6)
7)
1 + cos 2x
cos x 1
1 + cos 3x
2 sin2 x + д/З sin x
8)
cos 2x
1 + tga;
Решение практикума 5
81
Решение практикума 5
1.	Упростите:
ctg a	sin а
cosec а	ctg а
cos а 1	sin а	cos а	cos а • sin а	sin2 а
—-------• ------1---— : ------=-----------------1-----
sina	sina 1	sin а sma	cos а
sin2 a cos2 а + sin2 а 1
—	cos а 4-----=-----------------—--------.
cos a	cos a cos а
sina 7^ 0
cos а ф 0
« у | fc e z.
7	• 4
4 cos a — sm a
2 1:---------- =
1 + cos a • sm a
(cos a — sin a) (cos2 a + cos a • sin a + sin2 a)
1 + cos a • sina
(cos a — sina)(l + cos a • sina)
=------------------------ = cos a — sm a
1 + cos a • sina
при cos a • sina — 1;
cos a — 1
sina = —1	0
cos a = — 1	’
sina — 1
т. e. не существует а, при котором cos a * 1 * sina ~ —1.
2. Докажите тождества:
tg2 a — sin2 a
tg2a
— sin2 a;
tg2 a — sin2 a
tg2a
= 1 — sin2 a • ctg2 a =
L =
• 2	2
sm a • cos a	2-2
= 1-----------------= 1 — cos a = sm a;
sim a
L — sin2 a
П = sin2 a
L — П при
sin a 7^ 0
cos a Ф 0 ’

82
Решение простейших уравнений
• 9
sin х sina; + cosa;
2)-------------------------* *-----= sina; + cosa;.
sm x — cos x tg x — 1
	sin x + cos x sin x + cos x
Так как --------x-------= ------~----------—
tg2a; - 1
COS2 X
(sin x + cos x) cos2 X COS2 X
= ------^2----------9------ = -------------’ TO
sin X — COS2 X sin x — COS X
sin2 x sina; + cosa;
J-J	’	Q	~
sin x — COS x tgz x — 1
• 9	9	-99
sin X	COS X sin X — COS X
sin x — cos x sin x — cos x sin x — cos x
(sina; — cos a;) (sin a; + cosa;)
—---------------------------------= sma; -p cosa;;
sm x — cos x
L = sin x + cos x _
П = sin x + cos x
7Г	7Г
при а ф ±— + тг/c; а ф — + im | fc, п G Z.
sin6 а — cos6 а
(1 — sin а • cos a) (sin а — cos а)
= (sina + cosa)(l + sina • cosa).
sin6 a — cos6 a
(1 — sin a * cos a) (sin a — cos a)
(sin3 a — cos3 a) (sin3 a + cos3 a)
(cos2 a — sin a cos a + sin2 a) (sin a — cos a) ’
x sin3 a —cos3 a (sina —cos a) (sin2 a+sina • cosa+cos2 a)
a) —------------= ------------------------------------------
sin a — cos a	sin a — cos a
• 2	о
= sm a + sm a • cos a + cos a = 1 + sm a • cos a;
_	sin a + cos a
6) -7-3	:	-	-	—
sm a — sin a • cos a + cos2 a
(sin a + cos a) (sin2 a — sin a • cos a + cos2 a)
— _ . . - =
sm a — sm a • cos a + cos2 a
= sin a + cos а; поэтому
L = (sin a + cos a) (1 + sin a • cos a);
Решение практикума 5
83
L = (sina + cosa)(l + sina • cosa)
П= (sina + cosa)(l + sina • cosa)
=^> L = П при
sin a 7^ cos a; ay^ — +ttA:|A:GZ
sina • cos а 7^ 1, так как иначе
sina = 1
cosa = 1
sina — —1
cosa = — 1
то всегда sina • cosa ± 1.
Таким образом, при a 7^ — + тг/с | A: 6 Z данное равен-
ство — тождество.
3. Вычислите:
3
1) cosa при ctga — — если 90° < a < 180°;
a 6 II четверти, значит cosa < 0.
] cos a — ±4 /  ----5— J
!	V 1 + tg2 a ;
1
1 + tg2 a
3	4
ctga = — -, следовательно, tga = —, тогда
4	3
cos a — —
3
5
1 _
'	4\2 “
7
2) sec а при sina = — —, если 270°
2^0
a 6 IV
360°;
sec a =
четверти, тогда sec a > 0;
1 / 1
sec a —---------------
cosa
\/l — sin2 a
sec a =
1
625—49
625
1
24
25
25
24
84
Решение простейших уравнений
3 л а + tga J* sjnQ; _ __q 5 если —90° < а < 0°;
'	1 + cos а
а 6 IV четверти, следовательно, tga < 0;
sin a + tg a / sin a \	1
-----------= sm a 4---------I • --------=
1 + cos a \ cos ay 1 + cos a
sin a • cos a + sin a 1
cos a	1 + cos a
sina(l + cos a) 1
cos a	1 + cos a
sina
-----= tga;
cos a
i	sina i
।tga = ± ,	. = > (0 tga =
[________V_1 л sin__a
sina
д/l — sin2 a
-0,5	1 . [3 _	1 _ \/3
“ У1 - (-0,5)2 “ ”2 ’ у 4 “ ”7з “ ” V’
sina + tga
Итак, -----------
1 + cos a
,4 3sina + 4 cos a	1
4)		:---------- при tga =
cos a — sin a	3
( q sina . Л
3 sin a + 4 cos a cos a \* cos a	4 J	3 tg a + 4
cos a — sin a	. A _ sina\ 1 — tg a
\	cos a J
5)	tg3 a + ctg3 a, если tg a + ctg a — 3;
tg3a + ctg3a — (tg a 4-ctg a) (tg2 a —tga-ctg a 4-ctg2 a) =
= (tga + ctga)(tg2a + ctg2 a - 1).
Так как (tga + ctga)2 — 9,
tg2 a + 2 tg a • ctg a + ctg2 a = 9;
tg2 a + 2 + ctg2 a = 9;
tg2 a + ctg2 a = 7, to
tg3 a + ctg3 a = 3 • (7 - 1) — 118 |.
Решение практикума 5
85
6)	sin4 а — cos4 а, если tg а = 2.
sin4 а — cos4 а = (sin2 а + cos2 q) (sin2 а — cos2 а) =
= 1 • (sin2 а — cos2 а) = 1 — 2 cos2 а,
гт.	9	1	9	1	1
Так как cos а =-----------»—, то cos а —-------------- — тогда
1 + tg2 а	1 + 4	5
1	9	3
1 — 2cos2 а = 1 - 2 • - = 1 - - —
5	5	5
Следовательно, sin4 а — cos4 а =
3
5 ’
если tg а = 2.
4. Решите уравнения:
1)
2	тг
-х-----— 2тгк | к Е Z;
3	3
2	ТГ
-х =---------h 2тг/с;
3	3
х =	+ ЗтгА; | к Е Z.
Ответ:
Зя	1	тг Л
---— 2/кк \ к G
4	2	4
Зя	1	Зтг t ’
~----“ = “Г + 2?ГП п Е Z
4	2	4
Зж
т
Зж
Т
7Г 1	„ ,
= —I------1- 2тгк
4	2
Зтг 1
= _ + _ + 2яп
тг + 2 8тг
—-	|- —к | к Е Z
О	о
Зтг + 2 8тг ,
—— + vn Iп G ‘
о	О
(тг + 2 8тг7Зтг + 2
Ответ: <----1--к:----
1з 3’3
8тг ц
—п \к,п е Z >.
О	I
86
Решение простейших уравнений
3) cos I х
\/3sin
etg ( х +	— )	= л/3; х + —	~ ~	+ тгA;	I А; е Z;
\	5 /	5	6
тг тг	5тг — бтг
х ~--------h тгАт; х —-------h тгАт;
6	5’	30
х = —	+ тгк | к G Z.
I "R
Ответ: < — — + 77 I &
4) 4 sin3 х ~ sina;;
4sin3 х — sina; = 0; sina;(4sin2 x — 1) = 0;
sin x (2 sina; + 1) (2 sina; — 1) = 0;
x = ±— + тгк | к G Z
x = тгп | n 6 Z
Ответ: < ±—h тгк; тгп I ky n 6 Z > .
I 6	I
Решение практикума 5
87
5) 4 cos3 х — cos х = 0;
cost(2cost — 1)(2cost + 1) = 0;
cos x — 0
1
cos x — -
2 ;
1
COST = —-
x = ±— + тгк | к E Z
cj
7Г	.
т = — + 7ГП I n G Z
Ответ:
тгк; — + тгп\к^п E Z
l+cos2rr
b) ---------= (J.
COST
J 1 + cos2t = 0 J cos2t = —1
cost 0	’	( cost 0
{2т = я + 2тг/с I к E Z
7Г
ту^ — +7rn|rz6Z ’
{x — — + тгк \ к E %
я	0-
ту^—+7ttz|tzGZ
Ответ: решений нет.
88
Решение простейших уравнений
7)	+	= 0.
2 sin2 х + v3 shit
1	+ cos Зх = О
/ г/з\
2	sin х I sin x H—— I ф 0 ’
cos3t — —1
sinT ф О
• _z 5
sinT Ф------
2
Зх = тг + 2тг&
х ф im
х + (- l)t+1^ +
7Г 2 ,
т. с. х ~ —|—ттк.
3	3
С учетом исключений
(см. рисунок) получаем
ответ.
Ответ:
+ 2itk | к 6 Z У .
о	I
Основные
тригонометрические
формулы
Формулы приведения
Для решения тригонометрических задач будут использоваться
следующие формулы приведения:
cos(a + 90°)	= — sin a	ctg(a + 90°)	= - tga
cos(a — 90°)	— sina	ctg(a — 90°)	= - tga
sin(a + 90°)	— cos a	tg(a + 90°) =	= — ctg a
sin(a — 90°)	— — cos a	tg(a - 90°) =	= — ctg a
cos(90° — a)	= sin a	ctg(90° — a)	= tga
sin(90° — a)	— cos a	tg(90° — a) =	= ctg a
cos(a + 180°	) — — cos a	ctg(a + 180°’	) = ctg a
cos(a — 180°’	) = — cos a	ctg(a — 180°'	) = ctg a
sin(a + 180°)	I = — sin a	tg(a + 180°)	= tga
sin(a — 180°)	l = — sin a	tg(a - 180°)	= tga
cos(180° — a	) = — cos a	ctg(180° — a’	) = - ctga
sin(180° — a)	l — sin a	tg(180° - a)	= -tga
cos(a + 270°'	) = sin a	ctg(a + 270°:	) = - tga
cos(a - 270°'	) = — sin a	ctg(a - 270°'	) = - tga
sin (a + 270°)	i = — cos a	tg(a + 270°)	= — ctga
sin(a - 270°)	i = cos a	tg(a - 270°)	~ — ctg a
cos(270° - a	) — — sina	ctg(270° - a	) = tga
sin(270° - a)	। = — cos a	tg(270° - a)	— ctga
90
Основные тригонометрические формулы
Конечно, запоминать все эти формулы не нужно, достаточно
понять простые правила:
1.	Если изменение угла а происходит на 90°; 270°; ...;
(2к — 1) * 90°, то название тригонометрических функций
меняется на ко-функцию, т. е. косинус на синус и наобо-
рот, тангенс на котангенс и наоборот.
2.	Если изменение угла происходит на 180°; 360°;
180° • /с, то название функций не меняется.
3.	Знак полученной после упрощения функции определяется
по знаку исходной функции в левой части равенства в за-
висимости от того, в какой четверти функция была задана,
полагая, что а принадлежит I четверти.
Аналогичное правило выполняется для углов, заданных в ра-
дианной мере. Обобщим:
1.	. ,	х	“ sm а, п — нечетное sin (а + яп) = <	; [ sina, п — четное
2.	z	х f — cosa, п — нечетное cosia + тгп) = <	: [ cosa, п — четное
3.	tg(a + яп) ~ tg a Vn G Z;
4.	ctg(a + тгп) — ctg a Vn G Z;
5.	. ( , тг	f cosa, п — нечетное sin а + — (2п — 1) ~	: \	2	J [ — cosa, п — четное
6.	(	f — sina, п нечетное cos а Н—\2п — 1) = <	.	: \	2	)	[ sina, п — четное
7.	tg ^а + ^-(2п — 1)^ = — ctga Vn G Z;
8.	ctg f а + — (2n — 1) J = — tga Vn G Z.
Практикум 6
91
Практикум 6 1. Докажите тождества: 1) ctg(90° — a) [cos(360°+ а) — sina] + /г»	( It	7Г 1 • ( ТГ । 7Г J > । < / 2 COS ( 2 — 5 j sm ( 5	2 ) + 1	sin а + tg а 	= sma; cosec а + etg а
О / ТГ . ТГ \	О / COS2 1 2 + 5 ) ~~ cos (	— 2 cosec	— cosec (тг tg(a + тг) — sin(7r + a) 3J	/тг А ctg(yr + a) + sec ( — al /	7г\ f	f 7Г -etg 1 a + - 1 1 sm 1 - - n	2 l ТГ .	\ 2 — cosec^ о + a 4)	1	9	2/	\	+Ct§2 1 — 2 cos2(tt — a) 2. Решите уравнения: 1) 2 cos ( 2x — — ] + д/З = 0; \	§ J /2	1\ 21 cos -x	1—1 = 0; 7	\3	3/ 3)	3tg(a;+|^	)	+ л/з = 0; ( 7Г\	( 41	sm I x 4—	+	cos	it	4— \	\	6 /—	f	7Г \	/ 5) v3 sin 1 x 4—- 1 + cos 1 x \	JL J	\ 6) 6 sin2 x — sin x — 2 = 0;	5) 7Г	7Г 	г—h cos — = sm —; _ ZE 1	5	5 5 J a 1 + cos 1 — + a 1 1 = sm a; (тг \ л ) = 0; 7Г \ М=0;
92
Основные тригонометрические формулы
7)	8 sin2 х — (6 — 4д/3) sin х — Зд/3 = 0;
8)	2 cos2 х + sin2 х — 3 sin х • cos х = 0;
9)	1 — sina; • cos а; + sina; — cos a; — 0;
10)	4 sin3 2x — sin 2x\
11)	2cos2 — x^ = 3sin(l,57r + x);
12)	2 cos2 x — cos x • sin x = 0;
13)	2 cos(z — 1,5тг) — 5 cos(a; 4- тг) = 0;
14)	sin2 x — д/З sin x • cos x = 0;
15)	2(cos4 x — sin4 x) = 1;
1 — 2 cos 2x
cos 2x — 2
IS)
J^ = 0.
sin 5a;
3. Решите неравенства:
1) д/2 — 2 sin a; > 0;
2) cos a; > —
3) 2 sin a; + д/З 0;
4) 2 cos a; д/2-
Решение практикума 6
93
Решение практикума 6
1. Докажите тождества:
ч	л ч г , л ч	sina + tga
1) ctg(90 — a) cos(360 +a) — sina 4---------------— sina.
7	7 L	7	cosec a + ctg a
L — ctg(90° — a) [cos(360°+ a) — sin a] 4-----—-Q—
cosec a + ctg a
. sin a
sm a 4------
cos a _
1	| cos a
sina "T" sina
. 2
sin a
= tga(cosa — sina) +
— tga(cosa — sina) +
• 2
sm a	sm* a
------- cos a	
cos a-cos a
cos a
. 9
sm
cos a + 1
1 + cos a
a
— = sina;
cos a
cos a 0
sina ф 0
L = sina
П= sina
L — П при a Ф —k | к 6 Z.
cosec
cosec
— cos
sm -f
5
+ cos — = sin —.
5	5
sin^-cos-F+cos -f
□	□	o
sin -f —cos* -F
5	□
sin 5 + cos
о	5
sm -F — cos -F
о	5
1
sin - — cos ?
5	□
sm 5 — cos 5
94
Основные тригонометрические формулы
Теперь преобразуем левую часть уравнения:
3)
г» • 7Г	7Г
1	2 sm • cos f тг
J-	5	5 , Л
—--------------------------------------1_ COg —
• ТГ	ТГ	• ТГ	ТГ	R
Sin f — COS F sm F — cos F	°
5	о	5	5
/.	\2
1 — 2 sin • cos тг	(sin £ — cos |J
—-----------------------hcos _ —-------------------L—pcos _ —
• ТГ	ТГ	. ТГ	ТГ
Sin F — COS F	° sm F “ COS F	°
5	5	5	5
. 7Г	7Г	7Г	7Г
= sin —	— cos	—	+	cos —	= sm	—.
5	5	5	5
т •
L = sm —
5
П = sm —
5
=> L = П, что и требовалось доказать.
tg(a + тг) — sin(7r + а)
ctg(7r + а) + sec (	— а
/ 7Г
-ctg I а+ -
 / \	(7Г
sin I-----а + cos —
\ 2	/	\ 2
— sma.
Решение практикума 6
95
tg(a + тг) — sin(7r + а)
ctg (тг + а) + sec — а
sina + tga	.
=--------------------(- tg а • (cos a — sm a) =
ctga+ —7^—?
cos I j —al
. sin a
sma H------
.	.	-	,	COS Ct
= tg a • cos a — tg a • sm a H----------— —
°	cosa .	1
sin ct ’ sina
. 9
sin a
= sm a-------
cosa
. 9
sm a
— sm a-------
cosa
. 9
sm a
H------= sma;
cosa
sina / 0
cos a 0 ’
L — sin a
П= sina
=> L = П при a /	| k G Z.
2 - cosec2 (+ a )	/	\
4) 1 9 2f------------A + Ctg2 ( ? - ° ) = -1'
1 — 2 cos2 (тг — a)	\ 2	J
2 — cosec2 ( ? + a )	/_
L = 1 -2cos2(7r-a) + Ctg (j ~ °
1 — 2 cos2 a
2 cos2 a—1
cos^ a
1 — 2 cos2 a
+ tg2 a =
5—
cosz a
1 — 2 cos2 a
+ tg2 a =
+ tg2 a =
1	sin2 a
cos2 a	cos2 a
— 1 + sin2 a
cos2 a
96
Основные тригонометрические формулы
(	2	/ 1
cos а Ф -
<	2 .
cos а О
L = -1
П= -1
=> L = П при <
2. Решите уравнения:
2 cos ( 2х —	) + л/3 = 0.
\	6 /
1)
2)
а
а
я
±- + тгк
I А;,п Е Z.
. 7Г	' ’
+ 2 +7ГП
А	77 А	Аз
cos [2х----—--------;
\	67	2
2т — = =Е (тг —	+ 2wk \к Е т = — =Е 3- як.
6 у 6/	12	12
Ответ: $ — ±------Ь як I к Е Z1.
X12	12	1	*
/2 Л . п
cos -т------— 1 = 0.
\3	3/
2	1
-х — - = 2як \к е Z;
Ответ: < + Зяк \ к Е %Л .
(2	1
cos ”.т — — 1;
\3	37
— - + Зтгк \ к Е Z.
3)
3tg (х +) + 7з = о.
у	36)
5тг	7Г	, . ,
X + — = -- + як \к G Z;
36	о
Г 117Г	1
Ответ: <---------Ь тгк I к Е Z > .
I	36	J
/3
Т;
(	5тг
tg 27 + —
\	Зо
Птг , , ,	„
х — ——- + тгк | к е Z.
ОО
4)
/	71 \	/	71 \
sin { х 3— + cos (.г 3— = 0.
\	67	у	67
/	7Г \	/	7Г \	/	7Г \
sm I х 3— 1 = — cos I х 3— ] , тогда tg \ х 3— I = — 1.
у	6/	у	6 /	\	6/
7Г 7Г .	. .	5тГ .
— =-------h 7гА; А; 6 Z, т. е. х —-Ь тгк\ к Е Z.
6	4	12
Ответ: <—^+ttA;|A;GZ>.
Решение практикума 6
97
(7Г \	/—	7Г 7Г	.
х Ч-= —уЗ; х Ч---~----h тг/c \ к G Z;
12 /	12	6	1
х —------------(_
4
Ответ: <-------h тг/с I k 6 Z
I 4
6) 6 sin2 х — sin х — 2 = 0.
Очевидно, что здесь квадратное уравнение.
. .	.	1 ± х/1 + 48	1 ± 7
12
12 ’
7)
1
sm.?; —-----:
2
2
suit =
3’
Ответ:
— ] + тгк \к G Z;
6 7
2
х = (—l)n arcsin - Ч- тт | п Е Z.
7г\	2	1
— 1 Ч-тг/с; (—l)n arcsin - Ч-тгп | /с, п Е Z
О /	о	I
х
8 sin2 х — (6 — 4л/3) sin х — Зл/З = 0.
-2х/3 + 3 ± л/(2л
(Sin Ж)! ,2 = -------------
_ -2г/3 + 3 + (2л/3 + 3) 
8
х/З
SUIT =------
2 .
3
SUIT — -
4
х — (—l)fc+1^- Ч- як | k Е Z;
о
х — ( —	arcsin I - Ч- тт I п Е
\ 4 /
Г	(з \	1
Ответ: < (—l)fc+1—1-тгА:; (—l)n arcsinl - ] -\-тт \ к}п .
13	\4 /	I
98
Основные тригонометрические формулы
Однородным тригонометрическим уравнением n-й степе-
ни называется уравнение вида
Aq sinn х + Al sinn—1 х cos х+
+А2 sinn-2 х cos2 х + ... + An cosn x = 0.
Примечания.
1. При n = 1 Agsinx + Aicosrr — 0 уравнение первой
степени.
При п = 2 Aosin2x +Al sinx-cosrr + A2cos2rr = 0 — уравнение
второй степени и т. д.
2. Если в однородном уравнении sinx — 0, то тогда и cosx = 0
и наоборот, что одновременно выполняться по может. Зна-
чит, возможно поделить обе части уравнения на (sinx)^ или
(cosx)^ (к п), и при этом потери корней не произойдет.
8) 2 cos2 х + sin2 х — 3 sin х • cos х = 0.
Здесь мы имеем дело с однородным уравнением. Поде-
лим обе части уравнения на sin2 ж, получим
2 ctg2 х + 1 — 3 ctg х — 0;
(Ctg Я) 1,2
3 ± \/9^8 _ 3 ± 1
4	“ 4
CtgX = 1
1 ;
CtgX - -
х — — + тгк | к G Z;
x = arcctg - + тгп | n G Z.
Ответ:
тгк; arcctg - + тгп | fc, n G Z
9) 1 — sinx • cosx + sinx — cosx = 0.
1 + sinx — (sinx • cosx + cosx) = 0;
1 -hsinx — cosx(sinx +1) — 0; (sinx +1)(1 — cosx) = 0;
sinx = — 1
cos x — 1
x = — — + 2тгк | к G Z
x = 2тгп | n G Z.
Ответ:
— ~ + 2тгА:; 2тгп | ky n G Z
Решение практикума 6
99
10) 4 sin2 3 * * * 7 2х = sin 2х.
sin2T(2sin2T — l)(2sin2z + 1) — 0;
sin 2x = 0
sin 2т — —
2
1
sin 2т — —
2
2т — тгк
2x = (—l)n^ + im
2x = (—1/ f ~ j + irt
| n, £ G Z .
Ответ:
2 sin2 x = — 3 cost; 2(1 — cos2 x) + 3 cos x — 0;
2 cos2 x — 3 cos x — 2 = 0;
z 4	3 ± V9 + 16	3±5
(cosrr)ij2 =-----------=	;
a) cost = 2;
2 EQ/= cost); 2 £ [-1; 1],
тогда x 6 0.
1
6) cost = —;
7	2
x ~ ±(тг“ — j + 2кк | к G Z;
2?r „ ,
x = ±— + 2-nk.
О
Ответ:
+ 2тгк | к G Z
100
Основные тригонометрические формулы
12)
2 cos2 * х — cos х • sin х — 0.
cos х • (2 cos x — sin x) — 0;
cos x = 0
tg x = 2 ’
X = — + 7vk . ,	™
2	| k,n 6 Z.
x = arctg 2 + тгп
13)
14)
Ответ: < —
I 2
тгА:; arctg 2 + im | A:, n 6 Z > .
2cos(a; — 1,5тг) — 5cos(rr + тг) = 0.
—2 sina; + 5 cos a; = 0; tga; = 2,5;
x = arctg(2,5) + 7vk | к 6 Z.
Ответ: {arctg(2,5) + лк | к 6 Z} .
sin x (sin x
sina; = 0
ctg x ~	’
V3
x = 7vk | к 6 Z;
7Г
X ~ — + 7ГП J П E Z.
o
Ответ: < тгАт; — +
l о
тгп | A:, n 6 Z > .
15)
2 (cos4 x — sin4 x) = 1.
2(cos2 x — sin2 a;) (cos2 x + sin2 x) = 1;
2(cos2 x — sin2 x) = 1; 2(cos2 x — 1 + cos2 x) — 1;
2	3
COS x— ~
4
V3
COS x — —
2
COS X =-----
2
x — ±— + 2л к
5тг \k,n<=Z.
x = ±-----1- 2тгп
6
Можно объединить: x = ± —
И- 7vt j t G Z.
Ответ: < ±—I- Tri 11 6 Z > .
I 6	I
Решение практикума 6
101
16)
cos 2х
1 + tgz
= 0.
cos 2х = 0
1 + tg х ± 0 ’
f cos 2х = 0
< cos х ± 0 ;
„ tg^ + “I
Ответ:
1 — 2 cos 2х
cos 2х — 2
1 — 2 cos 2х = 0
cos 2х — 2	0
2 Е(у = cost);

1	7Г
cos 2т — 2х = ±— + 2тгк | к Е Z;
Z	о
Ответ: <±— + тгА:|А:б2>.
I 6	I
102
Основные тригонометрические формулы
18)	= 0.
sm 5а;
{х = пк
ТГ
X ф — + nt
5х / 7ГП
X — пк
п .
5
При п, кратном 5, тгк = —пу
5
поэтому уравнение решений
не имеет.
Ответ: решений нет.
3. Решите неравенства:
1) \/2 — 2sina; > 0.
г .	\/2
2sma; — v2 < 0; sma; < —.
Tjr	2
Исходя из построения на
тригонометрической окруж-
ности может показаться, что,
ТГ
стороны, х<~, а с
Зтг 4
с одной
другой, X >
и тогда выполняется двойное неравен-
3	ТГ
ство —тг < х < —
4	4
но это ложь.
Учтем, что для Va выполняется sin(a — 2тг) = sina,
тогда sin = sin (— и неравенство принимает
5	тг
вид — — тг < х < ~ — верно.
Значит, учитывая полное число оборотов, получим
— —тг + 2пк < х < — + 2тг/с I к 6 Z.
4	4	1
Ответ:
------h 2тг/с;-----h 2тг/с | I к е Z > .
4	4	7 I
Решение практикума б
103
2) COS ГЕ >
1
2
Исходя из построения на
тригонометрической окруж-
2
НОСТИ----7Г < X <
3
учитывая полное
2
—тг, тогда,
число обо-
ротов, получаем
2
—тг + 2ivk > х
О
2
— “7Г + 2тг/с.
о
2	2 \	)
—-тг +	2тг/с; -я + 2тгк j	| к Е	Z >	.
о	о /	I
3) 2 sin ге + д/З > 0.
sin ге
2
Исходя из построения на
тригонометрической окруж-
ности может показаться, что
по это — ложь.
2
3
> ГЕ >
3’
/ 2 \	4
Так как sin(o; + 2тг) = sin си, то sin I — —я I ~ sin и
4тг
У
— — верно. Значит, учитывая полное число
О
4	7Г
оборотов, получим —7Г + 2ivk ге ------------h 2л к.
3	3
Ответ:
7Г , 4
— — + 2тг/с; -тг + 2тгк
о	о
\к G Z
104
Основные тригонометрические формулы
4) 2 cos х \/2.
л/2
COS X С —.
2
Исходя из построения на
тригонометрической окруж-
ности может показаться, что
Л	Л
т > ~ и т , получим
Л	Л
— — > т > —, но это — ложь.
4	4
Так как cos(a + 2л)- = cos а,
7л	л
——	х — — верно.
4	4
Значит, учитывая полное число
7
оборотов, получим -л + 2тгк
/ л\	7
то cos----= cos -л, и
\ 4/	4
тг
— + 2тгк.
4
Ответ:
л	3
—h 2тгк; 1-л + 2тгк
4	4

Тренировочная работа 5
105
Тренировочная работа 5
1.	Докажите тождества (без указания условий существо-
вания):
(sin а + cos а)2 — 1 Л 9
—------------------------= 2 tg2 а;
tg(90° — а) — sin а • cos а
cos2 (90° + z)
cos(z + 180°) + cos(90° — z)
sin(360° + z) — sin (z — 90°)
-----------= smz + cosz:
ctg2(z + 90°) — 1
cos(360° — a) (cosec а — seca) +
+ cos(90° — a) (cosec a + sec a) = sec a • cosec a.
1)
2)
3)
1)
2. Решите уравнения:
. fx 7Г \
sm( 2 + 12 / =0,5;
2)
3)
4)
/“ l	тг \
v3sin hr----j + 3cos
6cos2z + cosz = 1;
.	/3	1
2sm -x + -
\ 4	2
2;
5)
6)
7)
8)
9)
7Г
5
/	л
cos I z — —
\	5
4 cos2 х + 2 (л/3 + 1) cos х + \/3 = 0;
х/3 ctg ( 5х + ~ J — —3;
4 cos3 х — 3 cos х = 0;
6 sin2 х + sin x • cos x — cos2 x = 2;
3sin

Ю)
3 cos2 (	+ x j —2 cos x + 2 cos2 x = 0;
106
Основные тригонометрические формулы
11)	\/3cos2х — sinj; • cosj; = 0;
13)	cos2 x + 3 sin2 x = 2;
14)	2 sin2 x — cos x • sin x = 0;
„ 4 cos 2x
15	1= °’
1 — sm 2x
16)	etgj; • cosj; — etgj; — cosj; +1=0;
(7Г \
— + x I = 4cos(1,5tt — x),
СО3 2Л:	= 0
cosj; — sinj;
Решение тренировочной работы 5
107
Решение тренировочной работы 5
1. Докажите тождества (без указания условий существо-
вания):
ч (sin а + cosa)2 — 1 Л 9
1) —7—----------------------- = 2 tg2 a.
7 tg(90° — a) — sin a • cos a
(sina + cosa)2 — 1
tg(90° — a) — sina • cosa
sin2 a + 2 sin a • cos a + cos2 a — 1
ctga — sina • cosa
2 sin a • cos a	2 sin a • cos a
cos a	/ 1
-7— — sm a • cos a cos a ( --------sm a
sma	\^sma
2 sin a 2 sin2 a
l-sin2a 1 - sin2 a
sin a
L = 2 tg2 a
П = 2 tg2 a
2' _________cos2 (90° + x)__________
cos(a; + 180°) + cos(90° — x)
sin (360° + x) — sin (x — 90°)
ctg2 (a; + 90°) — 1
= sina; + cosa;.
cos2 (90° + x)
cos(a; + 180°) + cos(90° — x)
sin(360° + x) — sin (a; — 90°)
ctg2 (a; + 90°) — 1
sin2 a; sina; + cosa;
sin x — cos x tg2 x — 1
sin2 a; (sina; + cosa;) cos2x
sin x — cos x sin2 x — cos2 x
108
Основные тригонометрические формулы
* 2	9
sm х	cos х
sin х — cos x	sin x — cos x
smz x — cos x
— —;----------------=sinx + cosa;.
sm x — cos x
L = sin x + cos x	T л-т
T-r -	=> L = IL
П = sm x + cos x
3)	cos(360° — a)(cosec a — sec a) 4-
L cos(90° — a) (cosec a + sec a) = sec a • cosec a.
L — cos(360° — a) (cosec a ~ sec a) 4-
+ cos(90° — a) (cosec a + sec a) =
/ 1 1 \	/ 1 1
= cos a —------------+ sm a--------------1----
\ sm a	cos a J	\ sm a	cos a
cos a	_ sin a cos a sin a
-------1 + 14--------= ------+-------
sma __ cos2 a + sin2 a	cosa	sma 1	cosa
sin a • cos a	sina	 cosa	
П = sec a • cosec a =	1	1	
sin a cos a ’
L = sec a • cosec a
П = sec a • cosec a
2. Решите уравнения:
1)	sin (j +	= °’5-
? + = ? +
z Iz о
X	7Г	5тг	„	.	’
- + — = — + 27rnnGZ
Z	1Z	0
2	12	. x = — + 4=тгк | к e Z
x Зтг
— — — + 27ГП X = 1.57Г + 47ГП InGZ
2	4	L
[ 7Г	]
Ответ: < —f- 4тгА;; 1,5тг + 4тгп | A;, n 6 Z > .
I 6	I
Решение тренировочной работы 5
109
(7Г \	(	7Г \
х----1 + 3 cos I х-I = 0.
3 /	\	3)
I 7Г
Разделим обе части на cos I х — ~
\/3 tg ( х -	) + 3 = 0;
у о /	у о
3
/з’
7Г
х = — — arctg
7Г	/	3 \	_ . _	_
х----= arctg------= + тгк \ к е Z;
3	\ \/3/
3 А
+ ^к.
/З/
гр	3 /ТГ
1ак как —— ~ V3 и
\/3
Ответ: {тгА: | к G Z} .
3
3) 6 cos2 X + COS X = 1.
6 cos2 х + cos x — 1 = 0;
z 4 -l±Vl + 4-6	-1±5
(cos X 1 2 = ----------- = ---2---
v л’	2-6	12
1
cost “ — 2
1 ’
COST = -
о
х
х
X
X
= ± f тг —	) + 2тгк \к 6 Z
\	О J
= ± arccos | + 2тгп | п е Z
О
2тг
=	+ 2тгА; I к е Z
О
— ± arccos | + 2тгп | п е Z
О
[ 2тг	1	1
?ет: < ±— + 2тгА;; ± arccos - + 2тгп | ку п е Z > .
I	о	о	I
по
Основные тригонометрические формулы
1
2
1
2
4)
(з
2sm ~х
\ 4
• <3
2. sm I -х
\ 4
/2.
Т’
’ 3
Т
з
Iх
4- ” — ~г 4- 2тг/с Ifc € Z
2	4
1	Зтг	Л ,
4— =---------1- 2тгп \п G Z
2	4
’3
3
Т~
--------1- 2кк
4
—2 4- Зтг
---------1- 2тгп
4
8тг 1
+ yfc
87Г |fc,nez.
—п
3
х 3
-2 + Зтг
Х ~	3
Ответ:
3
8тг —2 + Зтг 8тг	1
— А:;---+ —тг \к,п€%> .
ООО	I
5)
cos ж — —
\	5
3sin ж — —
\	5
ctg ж - -
\	5
3.
Зная, что arcctg (л/3) = и используя общую формулу
решения уравнения ctgj; — m, получим
х------= —I- тгк I к G Z; х = — -----------------1- тгк;
5	6	6	5
5
11тг , , ,
х = ~чп~ + I
о U
Г	1
Ответ: < -эд- + irk | к G Z ? .
6) 4 cos* 2 х + 2(л/3 + 1) cosa; + \/3 = 0.
-2(\/3 + 1) ± ^4 - (\/3 + I)2 -16х/3
(COS Ж) 1,2 = ----------------------------------
-2х/3-2±2(х/3-1)
8
1
cos х — —
2
\/3 ;
cos х —-------
2
j; = ± | 7Г —	) + 2тг/с | к G Z
\ /
(	ТГ \
X ~ ± ( ТГ---------I + 2 Л72 72 £ Z
\	6 7
Решение тренировочной работы 5
111
2тг
х = ±-----1- 2тгк
t?	I к,п Е Z.
। О7Г	1 ’
X — ±-----h 2тгп
6
Ответ:
р/д-	бтг
±— + 2тгА;; ±— + 2тгп | к, п Е Z
о	О
7) л/3 ctg ( 5х +	] = — 3.
\ /
ctg
5а; + — = arcctg
О
+ тгк \kEZ;
7Г	7Г	7Г	7Г
5х Ч— —---h тгк: ох =----h тгк:
3	6	3	6’
эх = — — + тгк;
тг, .	„
х —------1—к к Е Z.
10	5 1
Ответ:
^к\к е Z
5
8) 4 cos3 х — 3 cos х = 0.
cos rr (4 cos2 х — 3) = 0;
cos x(2 cos x — д/З) (2 cos x + ^3) = 0; Asinx
112
Основные тригонометрические формулы
9) 6 sin2 х + sin х • cos х — cos2 х = 2.
6 sin2 х + sin x * cos x — cos2 x — 2 cos2 x — 2 sin2 x — 0;
4 sin2 x + sin x • cos x — 3 cos2 x — 0;
4tg2x + tgx — 3 — 0;
z 4	-1±V1+ 4*4*3	—1 + 7
(tgx) ij2 =	-
tga; = -1
3
4
Ответ: < — —
I 4
8
x — — — _|_ I к G Z
4
3
x = arctg - + тт | n G Z
,	3	1
тгк; arctg - + тт | /с, n G Z > .
10)	3 cos2 + xj — 2 cosx + 2 cos2 x = 0.
3 sin2 x — 2 cos x + 2 cos2 x = 0;
3(1 — cos2x) — 2 cosx + 2cos2x = 0;
3 — 3 cos2 x — 2 cos x + 2 cos2 x — 0;
— cos2 x — 2 cos x + 3 — 0; cos2 x + 2 cos x — 3 = 0.
По теореме Виста
cosx = —3	[—1; 1] .
COS X — 1	’
cosx — 1; x ~ 2irk | fc G Z.
Ответ: {2тг/с | к G Z} .
11)	a/3cos2x — sinx • cosx = 0.
cos х(д/3 cosx — sinx) = 0;
cosx = 0
д/З cos x — sin x = 0 ’
cos x = 0
д/З — tgx = 0 1
Ответ:
cosx — 0
tgx — >/3 1
7Г т 7Г	. ,
—h тг/c; —I- тт I куп G
Z	о
x ~	+ л/с | /с G Z
7Г	.	_
x = — + 7rn|nGZ
о

8
Решение тренировочной работы 5
113
12)
COS 37
1 — cos 4х
cos х — О
1 — cos 4х 0 ’
х = — + тгк\кЕ^
<	2	*	;
к 4х 2тгп \ п Е Z
х — ^-+тгк\кЕ%
. 0.
7Г ,
х —п \п Е Z
Ответ: уравнение решения не имеет.
13) cos2 х + 3 sin2 х = 2.
cos2 х + sin2 x + 2 sin2 x — 2;
14) 2 sin2 x — cos x * sin x = 0.
sinj:(2 sinrr — cosrr) = 0;
sina; = 0
sins: = 0
2 sina; — cos x — 0 ’
2 — ctg x = 0 ’
sina; — 0	x = тгп \ n E Z
ctg x — 2 ’	x — arcctg 2 + лк | к E Z ’
Ответ: {тгтг; arcctg 2 + як | fc, n E Z} .
114
Основные тригонометрические формулы
15)	= 0.
1 — sm 2х
( о п 2х =	+ тгк I к Е Z
I cos 2х — 0 I	2
1 sm 2х ± 1 ’ 2ж ^ - + 27гп | n G Z ’
.	2	gin х
тг тг
< x=4 + 2k.
ТГ	’
X Ф — + тгп
4
х — — — + тг£ 11 G Z.
4
f 7Г
Ответ: <--------1- Trt \t G Z
I 4
16) ctg x • cos x — ctg x — cos
+ 1=0.
ctgz(cosz —1) —(cosz —1) = 0; (cosz —l)(ctgz —1) — 0;
(	COS X — 1
(	ctga; = 1 ;
sina; ф 0
(	x — 2тгк \ k EZ
I 7Г
(	x — —F тгп \n E Z ;
I L 4
[	x Trt 11 E Z
x = —F тгп I n E Z,
4
Ответ: < —F тгп I n E Z > .
4
17)
= 4 cos(1,5tt — x).
3sta (д
3cos# = 4*(—sinz); 3cosz + 4sinz = 0;	3+4tgz = 0;
3	( 3\
tga; = —x — arctg ( — -J + тгк | к E Z.
[	/ 3\	1
Ответ: < arctg ( — — J + тгк | к E Z > .
Решение тренировочной работы 5
115
cos 2х
2х =	+ лк | к 6 Z t
к tga: + 1
х = — + nt 11 е Z.
л 1
------------ 0.
cos х — sm х
( cos 2х — 0
[ cost — sinT 7^ 0 ’
{х — — + — к I к 6 Z
4	2 1
7Г
— +7Гп|пбХ
116
Основные тригонометрические формулы
tga + tg/?
tg(a + /3) =
1 - tga • tg/3
tg(a-g)=
l + tga-tg/3
Практикум 7
1. Вычислите:
Теоремы сложения
Напомним теоремы сложения.
sin(a + /?) = sin а • cos /? + cos а • sin /?;
sin(a — (3) ~ sin a • cos /3 — sin /? • cos a;
cos(a + (3) — cos a • cos (3 — sin a • sin /?;	Qg)
cos(a — (3) = cos a • cos (3 + sin a - sin /?;	Q)
z
7Г
а ф — + irk
< /? Ф + im \k^n1tE'Z] 0Э
a + fl /	+ TTt
7Г
a Ф — + irk
(3 Ф — + irn \k,n,t 6 Z.
« - P | + Tri
sina = — 0,6 при тг < a < 1,5тг;
7
2)	ctg(a —/?), если tga = 2 nsin/?=—при 90°</?<180°;
25
25
3)	tg(45° — a), если sec a = — при 0° < a < 90°.
2. Вычислите:
1)	sin 75°;
2)	sinl27° • cos23° + cosl94° + cos37° • cos383°;
3)	cos(150°-a)-cos(210° + a);
4)	sin(65° + a), если sin(20° + a) = 0,6 при 0° < a < 30°.
cos — — a , если
Практикум 7
117
3.	Упростите:
1)	sin(a + /3) — cos а • sin/3;
. Зтг . 7Г	Зтг	7Г
sm -g- • sm g — cos -g- • cos g
tg
cos • cos + sin • sin
3U	lo	30	lo
' . 7тг	4тг . 7tt	4tt ’
sm др • cos уз + cos • sm
• 7Г • 7Г .	7Г	7Г
sm T7T	*	sm -f	+	cos th	*	cos =
.ч	1U	о	1U	о
'	• 7Г	.	2тг	7Г	2тг
sm -= •	sm	tf	—	cos -= •	cos tf
о	lo	о	lo
4. Докажите:
1) sin(30° + x) • cost — cos(30° + t) • sinT =
2) tg a • tg 2a + 1 = sec 2a;
2	3
3) a + (3 = 45°, если tga = - и tg /3 = - при 0° < a < 90°,
5	7
0° < (3 < 90°.
5. Решите уравнения:
1) sin 2x • cos x + cos 2x • sin x — 0;
tgf^+^+tgf r-
2) --> -7--Ц-— = у/З;
1 - tg (ж +	• tg I
3) cos(m + t) — cos(m — x) = 0;
4)
COS
— л/3 sinT;
cos (— x) — 2 sin • sin x
5)	—7^----7-------------= 1;
sin ( — — x ) +2 cos ” • sin x
6)	tg* 2 x — 5 sec x + 7 — 0;
7)	2 sin2 x — 3 cos2 x + sin x • cos x = 0.
118
Основные тригонометрические формулы
Решение практикума 7
1. Вычислите:
1) cos — aj , если sina = —0,6 при % < a < 1,5%.
/ тг \	% .	1 л/З .
cos------a = cos —cosa + sin —sina = -cosaH------sma;
\3 J 3	3	2	2
। cos a = ± y/1 -- sin2 a i
a 6 Ш четверти, т. e. cos a < 0, значит
cosa - -0 - (—0,6)2 = -VI -0,36 = -0,8.
/7Г	\	1 ( 4\ V3 / 3\	4 + 3V3
cos------a — — * — H------------- — —---------------•
\ 3	)	2 \ 5 /	2	\ 5 /	10
7
2) ctg(a —/3), если tga —2 Hsin/3 — — при 90°</3<180°.
Так как (3 6 II, значит cos(3 < 0.
. A (7V 24
' у	\25/	25’
. _ sin^	7 _	=.
& cos (3	25 \ 25 J
7_
24’
ctg(a - (3) =
1 + 2*
24-14
48 + 7
10
55
2 + —
Z + 24
2
П
3)
25
tg(45° — a), если sec a = — при O'
25	24
sec a = —; cos a = —;
24’	25
a < 90°.
a e I, значит sina > 0.
sina —
7
tga = —
6	25
24 _ 7 .
25 “ 24’
Решение практикума 7
119
tg(45° - а) =--------
1 + Й
17
31
2.	Вычислите:
1)	sin 75° =
= sin(30° + 45°) = sin 30° • cos 45° + sin 45° • cos30° = ф
2)	sin 127° • cos 23° + cos 194° + cos 37°  cos 383°.
a)	sin 127° = sin(37° + 90°) = cos37°;
6)	cos 194° = cos(14° + 180°) = - cos 14°;
в)	cos 383° = cos(23° + 360°) = cos 23°.
sin 127° • cos 23° + cos 194° + cos 37° • cos 383° =
= cos 37° • cos 23° + cos 37° • cos 23° - cos 14° =
= - cos 14° + 2 cos 37° • cos 23° =
= - cos(37° - 23°) + 2 cos 37° • cos 23° =
= - cos 37° • cos 23° - sin 37° • sin 23° + 2 cos 37° • cos 23° =
= - sin 37° • sin 23° + cos 37°  cos 23° =
= cos(37° + 23°) = cos 60° = 1 .
3)	cos(150° - a) - cos(210° + a).
a)	cos(150° — a) — cos 150° • cos a + sin 150° • sin a =
- cos(180° - 30°) • cosa + sin(180° - 30°) • sina =
д/З 1
= — cos 30° • cos a + sin 30°  sin a = —— cos a + - sin a;
6)	cos(210° + a) = cos(30° + (180° + a)) =
= cos30° • cos(180° + a) — sin 30° • sin(180° + a) =
V3 z	x	1	/	• x	^3	1	.
—----—cosa----------- —sma —--------cosa+ -sma.
2 v	J	2	v 7	2	2
120
Основные тригонометрические формулы
Тогда cos(150° — а) — cos(210° 4- а) =
х/3	1 . f V3 1 .
= —~ cos а + 2 sm а ~ I —2~ C°S а 2 Sm а
1 . 1 . _
= - sin а-sm а = 0 .
2	2^
4)	sin(65° 4- а), если sin(20° 4- а) = 0,6 при 0° < а < 30°.
cos(20° 4- а) > 0, так как 20° 4- а 6 I четверти, тогда
cos(20° 4- а) = \/1 — sin2(20° 4- а), т. с.
cos(20° + а) = 0 - (0,6)2 = 0,8.
sin(65° + а) = sin [45° + (20° + а)] =
— sin 45° • cos(20° 4- а) 4- cos 45° • sin(20° 4- а) =
х/2	х/2
= — cos(20° 4- а) 4—~~ sin(20° 4- а);
2	2
х/2	х/2	-------
sin(65° + а) = -у (0,8 + 0,6) =	• 1,4 = |0,7л/2
3.	Упростите:
1)	sin(a 4- /3) — coso! * sin/3 —
— sin a * cos /3 4- cos a • sin /3 ~ cos a • sin /3 = | sin a • cos (3 |.
2)
* Зтг . 7Г	Зтг тг
sm -5- • sm -5- — cos -5- • cos q
00	00
при
7^0
7^0’
4
7Г	.7V	1	_
y + a^- + 7rnneZ,
4	2
Решение практикума 7
121
а ~ + тгк | к G Z
. 7Г	.	__
а ф — + 7гп|п е Z
, 7Г 7Г ,	„
а ^ - + -t 11 G Z.
£
* Зтг ♦ ТГ	Зтг	тг
sm -5- • sm q- — cos -Q- • cos
Ответ: -------?----------------------- = 0
tg
, 7Г 7Г .	„
при a — + — 111 G Z.
cos ♦ cos + sin • sin ~
• 7тг	4тг	. 7тг	• 4тг
sm ™	• cos	tf	+ cos ™	• sm 77
30	15	30	15
7Г
30
—2 cos —
10
sin • sin ~ + cos • cos -
10	5	10	5
'	•	7г	•	2тг	тг	2тг
sm -7 • sm yr- — cos -r • cos 77
5	15	5	15
cos (5 — 10)
-cOs(|)
4.	Докажите:
1)	sin(30° + x) • cosa; — cos(30° + x) • sina; =
L = sin(30° + x) • cos x — cos(30° + a;) • sin x —
= sin(30° + x — x) — sin 30° =
4
n=l
=>L = II.
122
Основные тригонометрические формулы
2)	tg а • tg 2а + 1 = see 2а.
sma
L = tg а • tg 2а + 1 =--
cos а
sin 2а
cos 2а
sin а • sin 2а + cos а • cos 2а
cosa • cos2а
— —-— — sec 2а.
cos 2а
L = sec 2a _
П = sec 2a
cosa
cosa • cos2a
Примечание. На будущее, если пет специального тре-
бования установить область определения равенства, то
мы по умолчанию не будем выяснять множество, на ко-
тором данное равенство есть тождество.
2	3
3)	а + /3 — 45°, если tga—- и tg/? = - при 0° < a < 90°,
5	7
0° < (3 < 90°.
2	_	3	2	3
Так как tg a = -,	tg р —	-;	то a —	arctg -;	р — arctg -.
5	7	5	7
t / zn tg a + tg 0 i
> tg(a + /?) = —----^-7: <
[__________1	9L'_tg_/3 < ***
2 i 3
, (	5 + 7 _ 14 + 15 _ 29
tg(a + /3)	2 3	35 _ 6 2g
1	5	7
тогда a + (3 = 45° + 180% | к e Z, no 0 < a + (3 < 180°,
тогда a + (3 — 45°, что и требовалось доказать.
5. Решите уравнения:
1) sin 2х • cos х + cos 2х * sin х = 0.
sin(2x + х) = 0; sin Зге = 0; Зге = ттк | к 6 Z;
х — —к | к е Z.
Ответ: < — к | к 6 Z > .
Решение практикума 7
123
2)
1 -
------= V3.
. X
•tg 2
3)
4)
5)
tgP+4 + 2
3;
= -jF + ^k\ke Z.
Io о
3	7Г	7Г
-27+- = -+7Tfc; X
£	тс	О
ГЛ f 7Г 2
Ответ: <-----1—тгк к
[18	3	1
cos(m + х) — cos(m —
cos m • cos x ~ sin m • sin x — cos m • cos x — sin m • sin x = 0;
—2sinm * sinj; = 0;
x — тгк | к G Z;
m — тгп | n G Z.
sinx — 0;
sin m — 0;
Ответ: x = тгк, если m ф тгп | fc, п 6 Z;
х — любое, если m — тгп | п € Z.
А . 2я
— — — v3sm х.
3 J
2тг	,	2тг	г-
cosz • cos---sinx • sm — — — v3smz:
3	3
i	Vs	r
— cos x---—- sm x + v 3 sm x ~ 0;
2	2
cos
3sin х.
r-	V3
— cosz + v3sinx = 0; tgx —	;
О
Ответ: < — + тгк | к е Z
sin ~ sin ж
---------------- = 1.
sm I у?, x j + 2 cos 12 ’ sin x
cos I 12
x — —F тгк I к € Z.
6
cos ” * cos x + sin ™ • sin z — 2 sin ” • sin x
Л £	Л £	Л £
sin • cos x — cos • sin x + 2 cos ♦ sin x
Л £	Л £	Л £
= 1;
124
Основные тригонометрические формулы
cos • cosrr — sin Y? • sina;
cos
sin  cos х + sin х • cos
sin (х +
= 1;
ctg ( rr Ч—-1=1;	— = — Ч-тг/с; х = — Ч-тг/с|к 6Z.
\ JL Z /	JL тс	(J
—h irk I к 6 Z
6
6) tg2 x — 5 sec x + 7 = 0.
D(y) : cosx 7^ 0;
5
tg2 x--------1-7 = 0; sin2 x — 5 cos x + 7 cos2 x — 0;
COS X
6 cos2 x — 5 cos x + 1 = 0;
5 ± V25 - 24
12
5±1
12 ’
x = ±— + 2ivk | к 6 Z
о
x = ± arccos - + 2тгп | n 6 Z
о
1
COS X = -
2
1 ’
COS X — -
о
e Р(У).
( 7Г	1	1
Ответ: < ±—h 2тг/с; ± arccos —h 2тгп | fc, n 6 Z > .
13	3	J
7) 2 sin2 x — 3 cos2 x + sin x • cos x = 0.	: cos2 x
( cost — 0 не является корнем однородного уравнения).
2 tg2 х + tg x — 3 = 0;
,	,	-1 ±>/1 + 24	-1±5
itCTTH n = ------------ = ------*
tga; = 1
3
lgI=-2
Ответ:
x = — 4-7r/c|/cGZ
4
3
x = — arctg - + тгп | n 6 Z
3
— arctg - + тгп | fc, n 6 Z
Тренировочная работа б
125
Тренировочная работа 6
1.	Вычислите:
	(	7г\		5
1) sin	4/	, если tga	— — — при 1,5тг < a < 2я
		( 3\	\	7
2) cos i	arccos	д) ~a)	, если sm a =	 25
при	я < a <	: 1,5tt;	
40	9
3)	а — (3, если sina = —— и tg/? — — при 270° < a < 360°,
180° < /? < 270°.
2.	Вычислите:
sin 65° * cos 5° — sin 5° • cos 65°
cos 40° • cos 10° + sin 10° • sin 40° ’
tgl2°+tg213°
J 1 - tgl92° • ctg 237°’
3)	cos(120°-a) + cos(a + 60°);
1 7Г - . 4тг
. tgis + tgls
4) -------------—.
1 + tg 7Г  tg У5
3.	Упростите:
1)	sin a * cos(3 — sin(a — /3);
sin 65° • cos 85° - sin 85° • cos 65°.
cos 55° * cos 35° + sin 55° • sin 35° ’
a/2 cos a — 2 cos ( ? + a )
3)	—Г.-------\	’
2 sin ( + a 1 — v2 sin a
1	cos(7F + a)
4)	—-----—-------------------г- (пе выясняя условия oo-
tg(a +/3) + ctg/3 C0S(^ + /?)
ласти определения выражения).
126
Основные тригонометрические формулы
4.	Докажите:
I} cos(45° — х) • cosх — sin(45° — х) • sin# — -^=;
cos си • sin(a — 3) — sina • cos(3 — a) 2\/3
2)		7--------\“ “V 3;
cos (3 —	— 0,5sin3	15
sin a + cos a	1
3)	-------;--------------------—== = sina
cos a • sin a(tg a + ctg a) ^/1 + tg2 a
7Г	7Г
при----< a < —.
1	2	2
5.	Решите уравнения:
sin
• cos 2x — cos
• sin 2x — 0,5;
. (к A
6) tg ( 4 -x j
cos X
sin x + cos x
Решение тренировочной работы 6
127
Решение тренировочной работы 6
1.	Вычислите:
1) sin(a —
—), если tga = — — при < а < 2тг.
sin
тг	тг
= sm a • cos-------cos a • sin — =
4	4
V2	v2
= -^-(sina — cosa) = cosa(tga — 1) =
24
cos a —
v/2 • 17 12 _	17x/2
24	’13“	26~
так как cosa =- =, a a e IV, значит
±yl + tg2 a
128
Основные тригонометрические формулы
(	( 3\	\
cos I arccos [ — ) — a I =
\	\ 5 J	J
f I 3\\	. /
= cos [ arccos I — —	• cosa + sm ( arccos
\	\ 5//	\
3	4	3 / 24
= — - cosa + -sma = ““* - —
5	5	5 \ 25
Так как a C III, cosa < 0, to
I	/ 7 \2	24
cos a ~ — i /1 —----=--------.
V	\ 25/	25
-У
5/;
4/7
5 ’ \ 25
• sina =
72 - 28
125
44
125
/Э	•	40
а — р, если sina = — —
180° < /3 < 270°.
sina ।
9
11
при 270° < a <360°,
а)	! а = —,	. о '
1______±у/1	sin2» ]
Тогда tg a =
_40
41
a G IV, значит tga < 0.
40
_	41 _ 40
“ ” JL _ ” 9"’
41
Т J270'	360°	О/ Л1/ТЙПО
б)	Так как i _27qO <	< _180° > то 0<а-/3<180°.
в)	Если а — (3 = 90°, то мы не можем воспользоваться
формулой tg(a — /3). Проверим это равенство:
_40 _ 9	1681
tg(Q-т = 'ea-tsl3a = —9 /° ч = -л.
1 + tga - tg(3	-1 । 9 t ( 40\	о
1	40	9 J
Значит, tg(a — /3) не существует, т. e. a — (3 = | 90° |.
2.	Вычислите:
sin 65° • cos 5° — sin 5° • cos 65°
cos 40° • cos 10° + sin 10° * sin 40°
sin(65° — 5°) _ sin 60° __
“ cos(40° - 10°) “ cos 30° “ U
Решение тренировочной работы 6
129
2)
3)
tgl2° + tg213°
1 - tgl92° • ctg 237° ”
tgl2°+ tg(180°+ 33°)
“ 1 - tg(180° + 12°) • ctg(270° - 33°) ”
tgl2° + tg33°	(12° + 33°)=t 45о=Ш-
1 — tgl2° -tg33° v
cos(120° — a) + cos (a + 60°).
a)	cos(120° — a) = cos 120° * cos a + sin 120° • sina —
1	Уз .
— — cos a H-----sina;
2	2
6)	cos(a + 60°) = cos a • cos 60° — sin 60° • sin a —
i	Уз .
— - cos a-------sina.
2	2
Тогда cos(120° — a) + cos(a + 60°) =
1	Уз .	1	Уз .
= — cos a H------sina d— cos a-----sm a = КЛ.
2	2	2	2
, 7Г . , 4tf
tg 15 + tg 15
, 14tf . 4tt
1 + tg ЗУ • tg уд
, 7Г . ,	47Г
tg 15 +tgT5
, 7Г . ,	4?T
tgl5 +tgl5
,	(	7Г	\	.	4ТГ
1 + tg	(j -	15 J'	15
(7Г	4тг\	7Г
----1-----I =	tg — —
15	15 J 6 3
1 x 77 X 4тг
^tgis’tgls
V3.
3. Упростите:
1)	sina • cos/? — sin(a — /?) =
= sin a * cos /? — (sin a • cos /? — cos a • sin /?) =
= sin a • cos /? — sin a • cos /? + cos a * sin/? = | cos a • sin/? |.
. sin 65° • cos 85° — sin 85° • cos 65°
2)		=
cos 55° • cos 35° + sin 55° • sin 35°
= sin(65° — 85°) = - sin 20° = r^noi
cos(55° — 35°) cos 20°	* 1------''
130
Основные тригонометрические формулы
\/2 cos а — 2 cos ( ~ + а )
3)	—Г.----\	>
2 sin ( 4 + ct) — v 2 sin а
\/2 cos а — 2 cos • cos а + 2 sin * sin a
2 sin * cos а + 2 cos • sin а — \/2 sin а
\/2 sina
\/2 cosa
= |tga|-
1	cosfvr + a)
4) ------------------------1<— =
tg(a +/3) + ctg/3 cos0i + /?)
1	— cos a
~~ sin(a+/3) cos/3 sin fl ~
cos(a+/3) sin/?
sin (3 • cos(a + /3)	— cos a
sin (3 • sin(a + /3) + cos (3 • cos(a + (3) sin (3
— cos (a + /3) • cos a — cos(a + (3) • cos a
cos(a + (3 — (3)	cos a
= — cos(a + /3) .
4. Докажите:
1) cos(45° — x) • cosrr — sin(45° — x} • sinrr ~
L = cos(45° — x) * cost: — sin(45° — x) • sin# —
\/2
= cos(45° — x + x) — cos 45° =
Решение тренировочной работы 6
131
cosa • sin(a — 3) — sina • cos(3 — a) 2л/3
2)	7	?	=	~ tg 3.
~ -0,5 sin 3	3
cos
cos a • sin(a — 3) — sin a • cos(3 — a)
4 -0,5 sin 3
cos
sin(a — 3 — a)
~ - 0,5 sin 3
6	’
cos 3 • cos + sin 3 * sin
sin(—3)	2\/3
—	------ —---------^p- J
\/з q 3	6
-y- cos 3
n=-^t63
sina + cosa
cos a • sin a(tg a + ctg a)
1
—.	- = sm a
д/l + tg2 a
при
7Г
2
7Г
a< 2
sin а + cos а
cos а • sin a(tg a + ctg a)
sin a + cos a
1
5/1 + tg2 a
1
L =
sin2 a+cos2 a
sm a • cos a • —:----------
sm a*cos a
cos2 a+sin2 ct
cos2 a
= sin a + cos a — | cos a| — sin a + cos a — cos a — sin a
l 7Г 7Г \
(так как на---------; — cosa
v	\ 2 2 J
L — sin a
sina
132
Основные тригонометрические формулы
5. Решите уравнения:
1)
sin I x + — I • cos 2rr — cos ( x + —
\ O /	\ о
• sin 2а; = 0,5.
sin ( х + — + (—2а;) 1 = 0,5;
\ о	/
sin —
\3
— 0,5; sin I х--------
\	3
1
2’
3
Л [------। + тгк I к 6 Z;
\ 6 /
к \ I + 77 + ^к | к 6 Z.
\ о /	3
Ответ: < (—l)fc I----I 4-----h тгк I к e
I \ 6 /	3
2)
5 cos I —
= 7 sin lx-------
\	3
5 {cos — -cosrr+sin — -sina; = 7 sinx-cos-cosx-sin — ;
\	6	6 J \	3	3/
5\/3	5 .	7 .	7\/3
---cos x 4— sm x ~ - sin x--------cos x\
2	2	2	2
6д/3 cos re = shirr; tgrr = 6д/3; x — arctg6\/3 + 7rA;| k e Z.
Ответ: {arctg 6д/3 + тг к | к 6 Z} .
3)
/ 7тг
sm { —
\ 4
/- /Зтг \
2 cos--------rr — 0.
\ 2	/
. 7тг	7тг	/- .
sm — • cos x + cos — • sin x — v 2 sm x — 0;
4	4
\/2	\/2 . r .
------cos x 4-----sm x — v 2 sm x = 0;
2	2
V2	y/2 .	тг , ,,
—— cosrr = -y- smrr; tgrr — — 1; x ~ — — +тг& | к e Z.
Ответ: <----h irk I к E Z
4
Решение тренировочной работы 6
133
4) 3cosx — 8 sin f —
3 cos x = 8 sin — • cos x — 8 cos — • sin x\
6	6
3 cos x — 4 cos x — 4д/3 sin x;	4д/3 sin x = cos x;
ctga; — 4д/3; x — arcctg4д/3 + тгк | к e Z.
Ответ: {arcctg 4\/3 + тгк | к 6 Z} .
sin — • cos x — cos — • sin x + cos — • cos x — sin — * sin x — 1;
4	4	4	4
y/2	V2 . V2	\/2 .
---cos x-------sm x 4---cos x--------sin x = 1;
2	2	2	2
a/2(cosx — sin re) = 1.
r ( тг\
Так как cosx — sinx = y2cos x H— . to
\	4 /
cos ^x + —J = x — —— ± — + 2тгк | к 6 Z.
Ответ: < — — ± — + 2тгк I к 6 Z ? .
14	3	1 I
Примечание.
1.	cos a — sina = д/2 ( -^= cos a-^=sina | =
\V2	y/2 J
/г- f 7Г	. 7Г .	\ r~ f 7Г
= v2 cos — • cos a — sm — • sina — \/2 cos aH—
\	4	4 J	\	4
134
Основные тригонометрические формулы
Аналогично можно доказать, что:
3.
cos а + sin а =
у/2 cos
4.
cos а + sin а =
\/2sin
/ тг \ cosa;
tg I — — х = --------------.
\ 4 J sm x + cos x
tg 4 — tga;	cosa;
l + tg^-tga; sina; + cosa;’
1 — tg x	cos x
1 + tg x	sin x + cos x ’
cosa; —sina; cosa;
cos x + sin x	cos x + sin x ’
cosa:—sina:
cosa:
cosa:+sina:
cosa;
cosa;
sin x + cos x ’
cos x — sin x — cos a;; sin x — 0; x = тгк | к 6 Z.
Подстановкой можно убедиться, что корни уравнения
принадлежат 7? (У):
при х = тгк tga; существует;
при х = тгк съзтгк + sinтгк = costtA; + 0 = costtA; ф 0.
Ответ: {тгА; | к G Z} .
Тригонометрические функции двойного и половинного угла
135
Тригонометрические функции
двойного и половинного угла
Напомним основные формулы двойного и половинного угла.
sin 2а = 2 sin а • cosa;
cos 2а — 2 cos2 а — 1 = 1 — 2 sin2 а — cos2 а — sin2 а;
sin 2а =
2 tga
1 + tg2 a
7Г
2
cos 2а =
1 — tg2 a
1 + tg2 a
7Г
2
tg2a =
2tga
1 — tg2 a
п 1 — tg2 а
ctg 2а = ——-----
2tga
. a 11 — cos a
sm — — ±
2
a /1 + cos a
cos — — ±4 /----------
2 V 2
a /1 — cos a
tg о " ±v гт---------
2 V 1 + cos a
a , /1 + cos a
ctg тг = ±1/1----
2 Vi- cos a
, ТГ
^4 +
, тг
^2 +
2к
7ГП
/ ТГ
^2 +
I К
^2П
7г/с
7Г
2
. 2
sin а =
2
cos а =
— cosa
sina
1 + cos a
sina
1 — cos 2а
1 + cos 2а
sina
1 + cos a ’
sina
1 — cos a
а
а
а
а
а
а
2
2
2
1
Примечание. Знаки определяются по тому, какой знак имеет
тригонометрическая функция в левой части в данной четверти.
136
Основные тригонометрические формулы
Практикум 8
1. Вычислите:
2)
cos2а, если sina — —0,6;
2	1
sin(2a+/?), если cosa = - и sin/? = - при 1,5% < a < 2л,
о	Л
< /3 < 7г;
3)
/	• 4
tg 2 arcsin -
\	5
4)
a	15 тг
cos —, если sma = — при — < a < %;
2	17 и 2
5) sin —, если cosa =--------при 90° < — < 180°;
’	2 ’	289 1	2
6)
a	4	3%
tg —, если ctg a = - при tv < a < —;
Zj	О	Zj
7) cos тг H— arcsin — ] ;
7	\	2	17/
8) tg если sin/3 — ~~г~ при 540° < /3 < 630°;
9) cosrr, если cos2j; = — при 0° < 2x < 90°.
2. Упростите:
1) cos4 2a — sin4 2a;
1+sin 2a
sina + cosa’
1 - 2 sin2 £
3) ----------
2 cos2 — 1
,4 1 - cos20°
4) -----------.
7 1 + sin 70°
Практикум 8
137
3.	Докажите тождества:
1)	tg 15°+ ctg 15° = 4;
2)
1 -sin25°30'
1 + sin25°30'
= tg232°15'.
4.	Решите уравнения:
1)	sinx — sin2x;
2)	2 sin2 x — 2 cos2 x — 1;
3)	sin4 x — cos4 x — 0,5;
4)	2cos2(x — тг) + 3sin(7r + x) — 0;
5)	3tg2x — sec2x — 1;
6)	sin2 x — cos2 x — cos2 2x.
138
Основные тригонометрические формулы
Решение практикума 8
1. Вычислите:
2)
cos2q, если sina——0,6.
cos 2а = 1 - 2sin2 а = 1 - 2 • (—0,6)2 = 1 - 0,72 = [Д28].
2	1
sin(2a + /3), если cosa — ~ и sin/З = - при 1,5тг < а < 2тг,
3	2
7Г
2
sin(2a + (3) — sin 2а  cos (3 + sin (3  cos 2a;
/ /1\2
cos/3 = — i/l — -
V	\ 2/
/3
Y (cos/3
/ /2A2
sm a = — i /1 — -
V	\3/
/5 , .
— sm a
3 v
sin 2a = 2 sin a • cos a — 2 •
4\/5
~9~’
cos 2a — 2 cos2 a — 1
= 2.^-1 = Д
9	9
/5 \ 2
3" / ' 3
sin(2a + /3) = —
4/15 - 1
18
/3 \	1 / 1
~2 I + 2 V 9
3)
/	4
tg 2 aresm -
\	5
rp	1-	9	2tgQ
1ак как tg 2a — ---5—, to
l-tg2a
/	4\ 2tg(arcsin|j
tg ( 2 arcsin — ) =----------—
\	5 /	1 — tg2 (arcsin i
•	4	T	4
aresm- = a; a G 1 четверти, sina —
5	5
Решение практикума 8
139
4)
5)
/	A4V 3
cos a = i /1 — -	= -;
V	\5/	5
. ,	2'S	24
-L I a I
4
tga - -
о
3 _ 4
5 ” 3
(	4
т. е. tg 2 arcsin -
\	5
а .	15
cos —, если sina = — при
&	1 I
a	/1 + cos a
cos — = ±4 /-----:
2 у 2
a
cosa < 0; cos — > 0, так
’	2
A p5\2
cos a — —4/1“ —	— -
V \17/
а
cos —
1-A
___u
2
161
7Г
2
a
как — 6 I четверти.
_8_ф
17’
3ч/34
34
a
a	Ibl	a
sin —, если cosa =-------при 90° < — < 180°.
2	289	2
289
a /1 — cos a
sm — = t /----------
2 V 2
. a
sm —
2
161
’ 289
2
3%
a	4
tg —, если ctga = - при % < a < —.
z	о
ctga
cos a —---- . . =;
±V 1 + ctg2 a
2
COSO! =
a /1 — cos a
tg — = ±a/—---;
2 V 1 + cos a
24
т
а € III четверти, поэтому
4
3
4(
5’
a	a	а
- е II;	tg	-	< 0;	tg -	=
&	£	&
140
Основные тригонометрические формулы
(	1	. 8
cos I тг Ч— arcsm —
\	2	17
/	1	. 8 \	1.8
cos ( тг Ч— arcsm — = — cos - arcsin —;
\	2	17/	2	17
•	8	т	8
так как arcsm — = а 6 1 четверти и sm а — —, то
а т
— 61 четверти;
Таким образом, cos
4/17
17
8) tg если sin/З = — при 540° < /3 < 630°.
Q
~41;
|gIV; tg^<0;
Р = ± /1 ~ cos/3.
& 2 у 1 + cos /3 ’
9) cosz, если cos2z — — при 0° < 2x < 90°.
x 6 I четверти, значит
/1+cos 2x
cosz = л /------
V 2
6/61
61
Решение практикума 8
141
2. Упростите:
1) cos4 2а — sin4 2а —
= (cos* 1 2 * * 5 2а + sin2 2а) (cos2 2а — sin2 2а) =
= 1 • cos 4а = | cos 4а |.
1 + sin 2а _
sin а + cos а
sin2 а + 2 sin а • cos а + cos2 a (sin а + cos а)2
sin а + cos a	sin а + cos а
= | sina + cos а |.
1 — 2 sin2 2 cos а 1
2cos2- — 1 cosa
1-cos 20°
4) -----------=
7 1+sin 70°
1 - cos 20°	2 sin2 10°	। »	
=------------=------------= tg2 10° ,
1 + cos 20°	2 cos2 10°	-------
q a	q a
так как 1 + cos a = 2 cos — и 1 — cos a = 2 sm —.
2	2
tg210°
3. Докажите тождества:
1) tg 15° + ctg 15° = 4.
L = tg 15° + ctg 15° =	+
cos 15°
_ sin2 15° + cos2 15°
cos 15°  sin 15°	1 -2cos 15° -sin 15°
=	= 4.
5 sin 30°
cos 15°
sin 15°
1
L = 4
П= 4
=> L = П.
142
Основные тригонометрические формулы
1—sin25°30' _ 2
2)	- — t £ 32 la.
' l + sin25°30
_ 1 — sin25°30' _ 1 - cos64°30'
“ 1 + sin 25°30' “ 1 + cos 64°30'
2 cos2 32°15
L = tg232T5'	, г _ тг
n=tg232°15'
4. Решите уравнения:
sin ге = sin 2ге.
sin ГЕ — 2 sin ге * cos ге = 0; sinrr(l — 2cosrr) — 0;
sinrE = 0
1 ;
COST = -
2
sinrE = 0
1 — 2 cos x — 0 ?
х — тгк | к 6 Z
7Г
х = ±—
3
+ 2тгп | п 6 Z *
2)
3)
I	7Г
Ответ: < тгк] ±—I- 2тгп | к,п 6
I	3
2 sin2 х — 2 cos2 х — 1.
Z
2(1 — cos2 х — cos2 ге) = 1;	— 2 cos 2ге = 1;
i
cos 2ге = —;
2
2ге — ± I тг-------j + 2тгк | к 6 Z;
X 3 /
— + тгк | к 6 Z.
О
Ответ: < ±—тгк | к 6 Z > .
13	J
sin4 x ~ cos4 x = 0,5.
(sin2 x — cos2 rr)(sin2 x + cos2 x) — 0,5;
2тг
cos 2x = —0,5; 2x — ±—- + 2тг&;
О
— cos 2х = 0,5;
7Г 2?T
з + T
х = ±—|- тгк | к 6 Z.
3
Ответ: < ±—тгк \ к G .
1 3	1
Решение практикума 8
143
4)	2cos2(j; — тг) + 3sin(?r + х) = 0.
2cos2 х — 3sina; — 0;	2(1 — sin2x) ~ 3sina; = 0;
2 sin2 x + 3 sin x — 2 = 0;
z 4	-3 ± x/9T16	-3±5
(sinx)1)2 =--------------= -1—;
since = — 2	[—1; 1]
1	7Г
sina; = x — (—l)fc — + тгк | к 6 Z ’
Ответ: ^(—l)fc-^ + тгА; | A; € Z .
5)	3tg2 x — sec2 x = 1.
3-	s*n ------L— — i; coscr ± 0 при x ± + тгк | к € Z;
cos2 x cos2 x	2
3 sin2 x — 1 = cos2 z; 3 sin2 x — 1 = 1 — sin2 x\
4sin2cr — 2 — 0;	—2(1 — 2 sin2 x) = 0;	—2cos2cr — 0;
7Г
cos2cr — 0; 2x = — + 7rn;
7V 7V t
- + -n\n e z.
7Г 7Г
Ответ: < — H—
4	2
6)	sin2 x — cos2 x — cos2 2x.
— cos 2x = cos2 2x; cos 2cr(cos 2x + 1) = 0;
cos 2x — 0
cos 2x — — 1 ’
я _
2x — — + tv к
2x — 7Г + 2тгп
7Г 7Г
x = 4 + о k
q 2 Ifc.neZ
7Г	1 ’
X — — + 7ГП
Ответ:
Z + ifc;? + 7rn|fc’neZ
144
Основные тригонометрические формулы
Тренировочная работа 7
1.	Вычислите:
1)	sin2а, если cosa=—О
2)	sin [ 2 arccos - I ;
\	5 /
3)	sin — 2 arctg 0,28^ ;
/	1	4\
4)	sin 2 л-arccos - ;
\	2	5/
. /1	5\
5)	sm - • arcctg — ;
Зтг 1	/ 3
6)	sin------1— arccos
7	\ 2	2
/	1	5
7)	tg (тг --arccos —
2.	Упростите:
cos 2a sin 2a
cos a sin a ’
sin За cos За
sin a
cosa
/ з \
3)	2sin2 (45° + -al — 1;
4)
1 — 2 cos ~ + cosrr
1 + 2 cos + cos x
Тренировочная работа 7
145
3.	Докажите:
1)	sin 15° • sin 75° = 1;
4
1 —cos25°30'	2^01 г/
2)	------------- = ctg2 7715
7	l + cos25°30'	6
4.	Решите уравнения:
• о	4 Х	• 4 х
1)	sm 2х — cos4---------sm —;
7	2	2
2)	tg 2х — 3sinT;
3)
3	3
cos2 —x = sin2 -x + 2 cos 4т • cos 3т;
2	2
4) 2 cos2(2tt — t) — 3 sin(7r — t) + 2;
5)
( 7Г T
1 — sm т — cos —I—
\ 4	2
6) 4sin2T(l + cos2t) = 1 — cos2t.
146
Основные тригонометрические формулы
Решение тренировочной работы 7
1. Вычислите:
1)
sin2а, если cosa = —0,8 при — < a < -тг.
sin 2a = 2 sin a • cos a; sin a = ±\/l — cos2 a;
sina > 0; sina = /1 — (—0,8)2 — 0,6;
sin2a = 2 • 0,6 • (-0,8) = | -0,96 |.
2)
. /	3\	„	/	3\	(	3
sm 2 arccos - I — 2 sm I arccos - I • cos I arccos -
\	5/	\	5)	\	5
a)
6)
(	3\	3
cos	arccos - 1 =
\	5/5
3	/ 7Г\	(	3\
arccos ” 6 0; — , значит sm arccos -
5	\ 2 /	\	5 /
3	I	9~	3 4	[24
5	у	25	55	|25	'
3)	sin — 2 arctg 0,28^ .
a = arctg0,28; tga = 0,28; a G ^0; —;
1 1
cosa =-----.	=; cosa = —,	=
±v/l+tg2a	/1 + (0,28)2
cos 2a = 2 cos2 a — 1;
sin — 2 arctg 0,28^ = cos (2 arctg 0,28) =
_ 2 625	[288"
“ 2’ 674 ~ “ 337 '
Решение тренировочной работы 7
147
4)	sin I 2тг
1 Л
- arccos - I
&	о J
— sin
4
arccos - — а е
5
а
тогда - е
sm — — ±
2
1 — cosa
2
. a
sm —
2
> 0, поэтому
a
sm — =
2

значит
sin
1	4\
- arccos “
2	5/
5 \
• arcctg — 1 .
5	( 7r\	ctg a
1ак как arcctg — = a G 0; — и cosa =.............  -....._,
12	V2;	±yi + ctg* 2a
148
Основные тригонометрические формулы
а
cos —
2
> 0;
а
COS 2
[1 + cos а
2
(	( ЗАА	/	ЗА
cos I arccos — 11 = cos -тг — arccos - =
\	\ 4/7	\	4/
/	ЗА	3
= — cos arccos - = —
\	4/	4
а
cos — —
2
’-5
7) tg -1
5 А	/1	5 А
arccos — = - tg I - arccos — I ;
Id J	\	1O 1
5
arccos — = a;
X о
5
cos a = —;
137
2. Упростите:
cos 2a sin 2a
cos a sin a
sin a • cos 2a — cos a  sin 2a	sin(a — 2a)
sin a • cos a	sin a • cos a
=------S^nQ— —----------— — | —~scc~a| при a ф irk I к € Z.
sm a • cos a cos a
sin 3a cos 3a cos a * sin 3a — cos 3a • sin a
2	-------------= -----------:------------------- -
sm a cos a	sm a • cos a
sin 2a 2 sin a • cos a	r—,
= _	_	.	= [2],
sm a • cos a sm a • cos a
/	3 \
3) 2 sin2 ( 45° + -a j — 1 — — cos(90° + 3a) = I sin 3a |.
Решение тренировочной работы 7
149
1 — 2 cos 5+cosz 2 cos2 5 —2 cos 2cos|(cos| —1
l+2cos|+cosz 2cos2f + 2cosf 2cos|^cosf + l
1	х	о • 2 х
1 — cos 2	2sm j
1 + cos I 2 cos2
3. Докажите:
1) sin 15° • sin 75°
1
4
L = sin 15° • sin 75°
= sin 15°  cos 15°
L 4 =ф L = П.
П=1
1 —cos25°30' 2^Olr/
2) -----------= ctg2 77° 15'.
7 l + cos25°30'	6
= sin 15° • sin(90° - 15°) =
= 1 sin 30'
2
1 1-1
2 ’ 2 “ 4
1 - cos25°30' _ 2 sin2 12°45' _
“ 1 + cos25°30' “ 2 cos2 12°45' ”
= tg2 12°45' = tg2(90° - 77°15') = ctg2 77°15'.
L = ctg2 77°15'	, _n
П= ctg2 77° 15'
4. Решите уравнения:
• о	4 x • 4 x
1) sm2z = cos------sm — .
}	2	2
•	/	9
sm 2x = cos----------------sin'
\	2
2 sin x • cos x —
п X	9 Д7 \
in — I f cosz — + sin x - 1 ;
J \	£ J
cosz • 1: 2cosz \ sinz------j = 0;
\	2/
cosz = 0
1 ;
sinz = -
2
Ответ: < —
I
x “	+ лк\к e Z
n [ — ] тт\п E Z
\6 J
— ) + 7Г71 | fc, П 6 Z >
6 /	J
150
Основные тригонометрические формулы
2)
tg2x = 3sinx.
sin2x o	_
----— = 3 sm x ( cos 2x + 0 ;
cos2x	v	Л
2 sin x • cos x = 3 sin x * cos 2x;	sin x (2 cos x — 3 cos 2x) = 0;
sin x = 0 x = тгк I к e Z	2 o o
Q oZ_ 2	1\	Л;	6 cosz x — 2 cosx —3 = 0;
2 cos x - 3(2 cos2 x - 1) = 0
.	.	1± ДТТ8
(cos X) 1,2 = -------
VI9
6
х = ± arccos---------Ь 2тгп | п е Z.
Очевидно, что корни уравнения удовлетворяют усло-
вию cos2x 7^ 0.
Ответ:
< х = тгА:; ± arccos
V19
6
+ 2тгп | fc, п е Z .
3)
23
COS “X
2
- 3
2 3
= sin -х + 2 cos 4х  cos Зх.
cos2 ~~х — sin2 -х ~ 2 cos 4х • cos Зх = 0;
2	2
2
cos 3x — 2 cos 4x • cos 3x = 0;
cos Зх = 0
cos 4х —	'
2
Зх = —+ тгА:
, тг
4х = ±—Ь2тгп
3
cos3x(l - 2cos4x) = 0;
7Г ТГ , , ,	™
х — — + тгМ
о 3
’	, ТГ 7Г ,	_
® = ±77f+9nln 6 Z
1	£л
4)
+ ЪП\к'П 6	•
О 1. £	!
о J Я
Ответ: < — ,	.
(6	3	12	2	J
2 cos2 (2тг — х) = 3 sin(7r — х) + 2.
2 cos2 х — 3 sin х — 2 = 0;	2(1 — sin2 х) — 3 sin х — 2 = 0;
2 sin2 х + 3 sinx = 0;	2 sinx (sinx + 1,5) = 0;
sin x = 0	. . .	_
sinx = -1,5 0 [-1; 1]	’
Ответ: {тг/с | к е Z} .
Решение тренировочной работы 7
151
5)
1 — sin х = cos
(7Г	зА	7Г	X	7Г	. X
— Н— — cos — ♦ cos------sm — • sm —,
4	2/	4	2	4	2
a/2	x	\/2 . x
to 1 — smrr =  cos----------sm —.
2	2	2	2
x	x	y/2 f	x	. aA
1 — 2 sm — ♦ cos — — — cos------sm — :
2	2	2 \	2	2/
a) cos - sin — 0; tg = 1;
7	2	2	6 2
2 = j+^
— + 2тг/с I k E Z;
v 2
6) cos------sin--------—- — 0;
7	2	2	2
>/2	x
— cos —
2	2
2
y/2 . X	1
-----sm — = —;
2	2	2
^ + ^ = ±^ + 2™|neZ;
Г 7Г , 27Г	7Г
Ответ: < — — ± — + 4тгп; — +
I	о	z
/ X 7lA 1
”42+JJ = 2;
7Г 27Г л .	_
x —--±----h 47ГП | n E Z.
2	3
2тг& | fc, n 6 Z ? .
6) 4 sin2 x(l + cos 2x) = 1 — cos 2x.
4 sin2 x(l + cos2x) — 2 sin2 x — 0;
2 sin2 x{2 + 2 cos 2x — 1) = 0;
sin x — 0
cos 2x = — 1
x — ivk
27Г	;
2x = ±— +2тгп
о
x ~ ivk
, 7Г I fc, n E Z.
X — ± — +7ГП
o
Ответ: < тг/c; ±—h тгп | к,п E Z > .
13	J
152
Основные тригонометрические формулы
Тренировочная работа 8
1. Вычислите:
sin ( —
\3
8	Зтг
, если cosa =-------при тг < a < —:
17 F	2
2)
sin | —
\ 4
7 ТГ
, если ctg а = ~24 ПРИ 2 < &
3)
(тг	\	4 тг
ctg \ 4	7 ’ ссли cos а ~ ~~ 5 ПРИ ~2 < а
4)
7	тг
tg (a — 45°), ссли sina — — при 0 < a < —;
zo	z
5) cos(arcsin — — а), если cosa = 0,8
Зтг
при — < а < 2тг;
. (	4\
bj sm I а — arcctg - 1 , если cosec a —
\	О /
5 ТГ
-при-<а
. /	.40	.9
7) sm arcsin-----h arcsin —
\	41	41
2. Докажите тождества:
1) cos(60° + а) • cosa + sin(60° + а) • sina =
2) sin(45° — a) • cosa + cos(45° — a) • sina —
3)
4)
ctg a — ctg 2a = coscc 2a;
sin2 a — 1	9
7-------------г—;------1- ctg a = ctg a • cosec a;
(cos a — sec a) • sm a
5)
tg а + ctg а	cos3 а	2
----------------1 + cosa Ч------х— — cosa • coscc а.
sec а • cosec a	sin а
Решение тренировочной работы 8
153
Решение тренировочной работы 8
1. Вычислите:
8
если cosa = пРи л
Зтг
Т’
а 6 III, значит sina < 0; sina = — \/1 — cos2a;
sina = —
15
17’
Так как sin
. тг
= sm —
3
ТГ
* cos a + cos — • sm a =
V3	1 .
= cos ad— sm a, to
2	2
8\/3 + 15
34
_	.	/ тг \	7 тг
2)	sm	( —	+ a I	, если ctga — — —	при ~	< a

, значит cosa < 0;
1
sin a — a I--------; sm a =
у 1 + ctgz a
1 _ 24.
~ 25’
576
cos a = — x/1 — sin2 a;
/ ( 24V
COSQ = _J!_/
_7^
25’
Так как sin [ —
\ 4
= sin — • cos a + cos — • sin a =
4	4
V2/	-X
= -^-(cosa + sma), to
sm ( —
\ 4
/2 /24
2~ ( 25
7
25
/2 17
2~ ' 25
17 y/2
50
154
Основные тригонометрические формулы
3)
/ тг	\	4	тг
ctg — + a , если cosa = — - при — < a
\ 4	/	5	2
тг.
Из условия следует, что sina > 0;
sina
tga=------; tga
cosa
/1	( 4
sina = a /1 — —
V	\ 5
4
5
3
5’
tg I + tg а
/ 77
tg т + Q >
V4 > 1-tgJ
1	3
i-4	1
4'
(ТГ
- + a
 tga
1 + tga
1 - tga’
7	1
- — - , значит ctg
4 7
3 5 _ 3
5 ’ 4 “ ~4’
з
4
4
4)
7
tg (a — 45°), если sina = — при 0 < a
2o
7Г
2
5)
a 6 I, значит cosa > 0;
/	/ 7 \2	24	7
cosa = JI- —	= —; tga= —
у	\25 J	25	25
4. /	tga —tg45°
raKK“tg(»-45)=1 + tgtt tg45o
Й-1
TO tg(a - 45°) =--=-
1 4“ 24
24 _
25 _ 24’
tga - 1
1 + tg а ’
17 31
24 ' 24
17
31
Зтг
cosa = 0,8 при — < a < 2тг.
,	. 5	.
cos aresm------a , если
v I3	h
Из условия следует, что sina < 0;
sina = —\/1 — cos2	a;	sina	=	— ^/1	—	0,82	=	—0,6;
5	(. тг\	(	5 \
aresm —	6	I 0; — )	,	значит	cos	I aresm	— ]	>	0,	тогда
13	\	2 J	\	13 /
(	5
cos aresm —
\	13
/ 5 \2 _ Г25 _ 12
~ I 13 J ~ \l ~ 169 ” 13
Решение тренировочной работы 8
155
1ак как cos arcsin----------а =
\ 13 /
/	5 \	/	5 \
= cos I arcsin — 1 • cos а + sin I arcsin — j • sin a,
\	J	\	/
(	5	\	12	5
to cos	I arcsin	— —	a )	=	—	• 0,8 — 0,6 •	—	=
\	-Lo	/	_L о	_L о
48	15
65 ~ 65
33
65
.	. /	4\	5	я
6)	sin а	-	arcctg - 1	, если cosec а —	-	при	—	< а < тг.
\	О /	О
m	5.3
1ак как cosec а = то sma — -
3	о
а € [ —:7г I , значит cosa < 0;
V 2 J
cos а = —
1-П2
\ 5/
1 - — =-1;
25	5
4	4	/ 7r\
arcctg-=/3; ctg/3 = -; (3 e 0; - ;
О	О	\ J
Тогда sin/J = —y	=, значит sin/J =
3
5
/	/3\2 4
cos/3 = J1 - -	=7
V	\ 5 /	о
/	4
Учтем, что sin la - arcctg -
/	4\	(	4\
= sin a • cos I arcctg - I — sin I arcctg - I • cos а, тогда
\ J	\	/
(	4\	3 4	3 / 4\
sin a - arcctg -	=
\	3/	OOOyO/
12	12
25 + 25
24
25
156
Основные тригонометрические формулы
. (	.40	. 9 \
7 sm arcsm -—|- arcsm — =
\	41	41/
40	( тг \
а)	Обозначим a = arcsin —60;—:
41	\ 2 /
40
sm a = —;
41
cosa
9
41
9 f it \
б)	Обозначим /? = arcsin — 6 ( 0; — ) ;
9	/	/ 9\2
sin (3 = —; cos (3 > 0; cos /3 ~ \ 1 — f — J
— sin(a + (3) — sina • cos/3 + sin/? • cosa —
_ 40 40	9	9	1600	81 „m
“ 41 ’ 41 + 41 ’ 41 ~ 1681 + 1681 “
40
41
2. Докажите тождества:
1)	cos(60° + a) • cosa + sin(60° + a) • sina =
a)	cos(60° + a) * cos a =
= (cos 60° - cos a — sin a * sin 60°) • cos a =
/1	V3 . \ i 2 V3 .
= I - cos a — sm a I * cos a = - cos a —— sm a • cos a;
6)	sin(60° + a) • sina =
= (sin 60° • cos a + cos 60° • sin a) • sin a =
( Уз i . \ . Уз .	1.9
= I — cos a + - sma I - sina = — sm a • cos a + - sin a.
L = cos(60° + a) • cos a + sin(60° + a) • sin a =
1	2	.	y/3	lo
= - cos a---sina‘cosa+ —cosa-sina + -sm a —
2	2	2	2
1 a 1*2	1 /	2	• 2 \	1
= - cos a + - sm a = “(cos a + sm a) —
4
1 => L = П.
П=2
Решение тренировочной работы 8
157
Примечание. Можно проще, если сразу увидеть, что
cos(60° + а) * cosa + sin(60° + а) • sina =
= cos(60° + a — a) = cos 60° =
2)	sin(45° — a) • cosa + cos(45° — a) • sina — —
Докажем по аналогии с предыдущим примером:
L = sin(45° — a) • cosa + cos(45° — a) • sina —
x/2
— sin(45° — a + a) = sin 45° =
L = П.
3)	ctg a — ctg 2a — cosec 2a.
cos a cos 2a
L = ctg a “ ctg 2a = —----------——— =
sm a sm 2a
cos a	cos 2a 2 cos* 2 a — cos 2a
sin a 2 sin a • cos a 2 sin a • cos a
2 cos2 a — (2 cos2 a — 1)	1
sin 2a	sin 2a
П = cosec 2a = . \ .
sm 2a
L =
Итак,
П =
1
sin 2a
1
sin 2a
a 7^ ^k | к e Z.
158
Основные тригонометрические формулы
. sm2 а — 1	о
4)	--------------------h ctg а — ctg а • coscc а.
(cos а — sec а) • sm а
_	9 cosa 1 cosa
11 = ctg a • cosec a = --• —9— — —9—.
sma sin a sin a
sin2 a — 1
L = ---------------—:----hctga =
(cosa — sec a) * sma
— cos^ a	cos a
fcosa----— • sina s^na
cosa J
о	2
—-----cos a cos a — cos^ a cos a
------2	i------1------ ~ --•~~2---------1--•--
£2^1. sina sina z^JL_^.sina sina
COS Ct	COS Ct
—	cos3 a cos a cos3 a + cos a • sin2 a
; Б “h ”	; Б
—	sin a sm a	sm a
cos a • (cos2 a + sin2 a) cos a
♦ ч	—• ч *
sin a	sin a
L =
Итак,
П =
cosa
sm a
cosa
__
sm a
=> L = П при a ^k I к 6 Z.
tg a + ctg a .	cos3 a	9
5) -----------------1 _|_ cos a _|---— — cos a . Cosec a.
sec a • cosec a	sin2 a
tg a + ctg a	cos3 a
L =-------------------1 + cos a H-----—
sec a * cosec a	sin2 a
sina
------(_
cosa
cosa
sin a
1	cos3 a
	1 _|_ cos Q _|	-
cosa • sma-------------------sin2 a
sm2 a + cos2 a cos a • sin a	cos3 a
--------------- . --------------1 _|_ COS Q _|-------
cosa • sma	1	sm a
z . 9	9 4 cos a • sin2 a + cos3 a
— (sm a + cos a) - Ц-----------------~-----------
sin2 a
cos a cos a	2
= 1 — 1 + -—9— = —9— — cosa • cosec a.
sin a sin a
TT L ™ cos a • cosec2 a
Итак. __	9
11— cosa • cosec a
=> L = П при a ^k I к 6 Z.
Тренировочная работа 9
159
Тренировочная работа 9
Упростите:
1)	cos (а — /3) — sina • sin /3;
2)	cosa • cos/3 — cos(a — /3);
3)	sin(a + 120°) — sin(60° — a);
.. cos 65° • cos 40° — sin 65° * sin(—40°)
4)		---------------------------------
sin 17° • cos 8° + cos 17° • sin 8°
5)
6)
7)
О7Г	7Г , - О7Г	♦ 7Г
cos • cos + sm -z- • sm
о	о	о	о
tg -а)
cos а — \/3 sin а
2	’
cos 75° • cos 25° - sin 75° • sin 25° .
sin 20°  cos 10° — cos 20° • sin 10° ’
8) sin740° - cos77° • cos213° - cos 13° • sin33°;
tg225° + tg 171° • tg 21°.
} tg(—171°) + tg201° ’
. a/2 cos a — 2 cos(45° — a)
2sin(30° + a) — \/3sincE ’
cosa — 2 cos(60° — a)
2sin(cu — 30°) — л/Ззтси’
sin £ - tg(45° + /3) • tg(45° + 3/3)
12)	tg(45° + /3) + ctg(45° — 3/3)
160
Основные тригонометрические формулы
Решение тренировочной работы 9
Упростите:
1)
2)
3)
4)
cos(a — /?) — sina • sin/3 —
= cos a • cos (3 + sin (3 ♦ sin a — sin a • sin (3 = [ cos a - cos /3 |.
cos a • cos /3 — cos(a — (3) =
= cos a-cos/? — (cos a • cos (3 + sin a -sin/?) =
sin(a + 120°) — sin(60° — a)
= sin a • cos 120° + sin 120° *
— (sin 60° * cos a — cos 60°
= — cos 60° • sin a + sin 60° •
— sin 60° • cos a + cos 60° •
cos 65° • cos40° — sin 65° • sin(—40°)
| — sing • sin/? |.
5)
COS а —
• sina) =
cosa—
sin 17° • cos 8° + cos 17° * sin 8°
cos 65° • cos 40° + sin 65° - sin 40°
“	sin(17° + 8°)
_ cos(65° — 40°) _ cos 25°
” sin(17° + 8°) “ sin 25°
5тг	тг , . 5тг	• ТГ
cos * cos +sin ’ sm
о	3	о	3
при 4
/Зтг	\	Л
sm I ——	a I	0
/Зтг	\
cos —-----a } Ф 0
\ 4	)
При а ±— + тгк
5тг	тг . . 5тг	7Г
cos -х- • cos + sm • sm
о	3	о	3
|ctg25°|.
cos
а


COS 2
= 0
+ тгк | к е Z
а
Зтг
Т
Решение тренировочной работы 9
161
cosa — V3sina
= - cosa----sina = cos60o-cosa—sin60o-sina = cos(60o+a).
Или -------------= - cos a----sin a —
2	2	2
( 7r
sin — — a
\ 6
cos 75° • cos 25° - sin 75° • sin 25° _
sin 20° • cos 10° — cos 20° • sin 10°
_ cos(75° + 25°) _ cos 100° _
sin(20° — 10°)	sin 10°
_ cos(90° + 10°) _ - sin 10° _ „
sin 10°	sin 10°
8)	sin 740° - cos 77° • cos 213° - cos 13° • sin 33° =
= sin20° - cos(90° - 13°) • cos(180° + 33°) - cos 13° • sin33° =
= sin20° — sin 13°  (— cos 33°) — cos 13° • sin33° =
= sin 20° + sin 13° • cos 33° - cos 13° • sin 33° =
= sin20° + sin(13° - 33°) = sin20° + sin(-20°) =
= sin20° - sin20° = [Oj.
tg225° + tg!71°  tg21°
}	tg(—171°) + tg201°
_ tg(180° + 45°) + tg(180° - 9°) • tg 21° _
—	tg(180° — 9°) + tg(180° + 21°)	“
_ tg45° + tg(—9°)  tg21° _ 1 —tg9°-tg21° _
—	tg(—9°) + tg 21°	~ tg 9° + tg 21°
= ctg(9° + 21°) = ctg 30° = [yT.
162
Основные тригонометрические формулы
10)
у/2 cos а — 2 cos(45° — а)
2 sin(30° + а) — л/З sin а
V^cosa — 2(cos45° • cosa + sin45° • sina)
2(sin30° • cosa + sina • cos30°) — Vasina
/—	(\
V 2 cos a — 2 -тг-cos a +-тг-sin a	./odnzv _______
\ Z	Z	/	V Zf Dill Ct	t—
—~7~------- A-----\---~~:---------------=1-^2 tga
2 ( ~ cosa + ^г sinaj—v3sina	cosa
cos a — 2 cos(60° — a)
2sin(a — 30°) — Vasina
cos a — 2 (cos 60° • cos a + sin 60° * sin a)
2(sina • cos30° — cosa • sin30°) — v^sina
Q /1	I V3 .	\	_
cosa — 2 ~ cosa + -5- sma	__A/q Q:n ___________
\ Z	Z	/	V О Dill Ct	/—
=	H-------x----—— =-----------------= I Уз tgq
2 sina — cosa j — \/3sina cosa
sin £ — tg(45° + /?) • tg(45° 4- 3/?)
12)	tg(45° 4- /?) 4- ctg(45° - 3/?)
Обозначим tg/? = a; tg3/3 = b. Тогда
-i l-f-л l-|-6
1—a 1—b _____
l-f-ci i l-f-6
1—a ' 1—6
(1 a) (1 b) (1 + a) (14~b) (14-a) (1 — 4~ (14~Ь) (1 — a)
(l-a)(l-b)	:	(1—a)(l—b)
1— b — a + ab— 1— b — a — ab 1—b+a — ab+l — a+b—ab
(1—a)(l—b)	:	(1—a)(l—b) =
— 2a — 2b	(1 — a)(l — b) — 2(a + b) a + b
~ (1 - a)(l - b) 2 - 2ab ~ 2(1 - ab) ~ ~ 1 - ab'
sin5-tg(45° + /?)-tg(45° + 3/?) =	=
tg(45° + (3) + ctg(45° - 3(3)	+
tg/1 + tg 3(3
1 - tg (3 • tg 3(3
= - tg(/? 4- 3(3) = |— tg4/3[.
Тренировочная работа 10
163
Тренировочная работа 10
Решите уравнения:
cos 2х • cos х — sin 2х • sin х = 1;
2)
/ 7Г \	.	(7Г
cos I 2x H— • cosa; + sm i 2x + —
\	4/	\	4
\/3
• sinx = —;
2
3)
4)
1 - tg(2z - £)
/ 7Г 4
cos x ~ 2 cos I — — x
5)
sin 5з; • cos 2х = cos 5з; • sin 2х — 1;
6)
( 7Г	\	/ 7Г
cos I — + x I + cos I —
\ О	/	\ о
= 1;
7)
sin(m + х) — sin(m — х) — 0;
8)
Q	о / 71
3 cos x = 8 cos I —
2tgJ^ = 2tgj;-tg^ - 1;
cos
10)
sin (x +
+ 2sinj; • sin ~
----------------= 1;
— 2 cos x • sin —
11)
5 sin
— ~ 7 sm
3 /
7Г
3
12)
4 sin3 x + 4 sin2 x — 3 sin x — 3 = 0;
13)
3cos —
\ 6
= sina;;
14)
15)
2 sec2 x — 3 tg2 x = 1;
sin 3x = 4 sin x • cos 2x.
164
Основные тригонометрические формулы
Решение тренировочной работы 10
Решите уравнения:
1) cos 2х • cos х — sin 2х • sin х — 1.
cos(2rr + х) = 1; cos Зх = 1
f 2тг	1
Ответ: < — к \к Е Z > .
I о	I
Зх = 27Г&;
2тг
х = — к | к € Z.
о
2)
cos
* cos х + sin
V3
• sm x — —
2
cos
cos
7Г 7Г
x + — — — + 2nk
4 о
7Г	7Г
X + — = - — + 27ГП
4	6
x — — — + 2wk | к E Z
t _
x = — — + 2тгп I n E Z
Ответ: < — ~ +27Г&;—+ 2тгп | fc, n E Z > .
tg f2rr -	+ 1
3) —-----------------= i.
1 - tg(2s - I)
tg^-f) +tg^	/	тг «у
l-tg^s-^) -tg£	v	* 6 4/
2x - J + у =	+ nk | к G Z; 2x~-=7vk;
6	4	4	1	6
2x — —h 7rfc: x ~-1—к \k G Z.
6	12	2 1
Ответ: < — + —к I к E Z
Решение тренировочной работы 10
165
4)
cos х — 2 cos
(77	А
2 cos I — — х 1 — cos х — 0;
\ о	J
/	7Г	7Г	\
2 cos — • cos х + sm — • sm x — cos x — 0;
\	3	3	J
(1	УЗ	\
- cost H----sinT I — cost = 0;
2	2	J
cost + \/3sinT — cost = 0;
\/3sinT = 0; sinT = 0; x = irk | к 6 Z.
Ответ: {irk | к 6 Z} .
5)
sin 5x  cos 2x = cos 5x  sin 2x — 1.
sin 5т • cos 2т — cos 5т • sin 2т = — 1;
sin(5T — 2т) = —1;
3т = — — + 2irk}
sin3T = — 1;
7Г 2ir T ,
:----H-----k\
6	3 1
| k G Z.
6)
Ответ: < -
I 6
7Г 2ir, , ,
-- + —A: A: G Z
o 3
cos I —
\
cos I —
\
1.
cos — • cos т — sin — • sin т + cos
3	3
1
2 • - • cos т =
2
т = 2im | n 6 Z.
3
* cos т + sin — • sin т = 1;
О
2 cos — • cost = 1;
О
cost = 1;
Ответ: {27m | n 6 Z} .
1;
7)	sin(m + t) — sin(m — t) = 0.
(sin m* cost + cosm • sinT) — (sinm • cost — sinT • cosm) — 0;
2sinT • cosm — 0;
166
Основные тригонометрические формулы
a)	cos т — 0 (Vx) при т — — + тгк | к 6 Z;
б)	cosm / 0; sina; — 0;
7Г
т — + тгА; | A; G Z; х = тгп | п 6 Z.
Ответ: при т ~ — + тгА; | A; G Z х — любое;
7Г
при т — + тгА; | A; G Z х = тгп | п G Z.
8)	3cosa; — 8 cos ( —
3 cos х = 8 ( cos — • cos х — sin — * sin x 1 ;
\	3	3	7
(1	x/3	\	r
3cosa; = 81- cosa;------sina; I ; 3cosa; = 4cosa; — 4y3sina;;
\ " £ /
1 v 3
cosa? — 4\/3 sina; = 0;	1 — 4x/3tga; = 0; tga;=—— — —;
4y3	12
V 3
х = arctg + тгк | к G Z.
v3
Ответ: < arctg + тгк | к G Z > .
9)	2tg — — tga; = 2tgx • tg — — 1.
Л Zi	Л &
2 tg - 2 tga:'tg П +1 - tga: = °’
2tg^(l-tgx) + (l-tga;) = 0; (l-tgx) ^2tg^ +	=0;
Л	\ Л J
1 — tga; = 0; tga; =1; x = — + тгк | к G Z.
f 7Г
Ответ: < —|- тгк \k G Z
I 4
Решение тренировочной работы 10
167
cos (х +	)	+ 2 sin х 	sin ™
10)	---7--------4-------------------—	=	1-
sin (x +	)	— 2 cos x •	sin ~
cos x • cos	— sin x • sin	+ 2 sin x • sin
sin x • cos	+ cos x • sin	— 2 cos x • sin
cosx • cos + sinx • sin
sin x • cos — cos x
ctg
smi2
Ответ:
И)
/	ТГ	7Г \	.	7Г	. 7Г
51 sm x • cos — + cos x • sm — 1 — 71 sm x • cos — — cos x • sm —
\	3	3 /	\	3	3
2 sin x • cos-12 cos x • sin — = 0;
3	3
\/з
sinx — 12 cos x * -y- = 0; sin x — бУЗсозх — 0;
tgx — бУЗ — 0; tgx = 6л/3; x = arctg бУЗ + irk | к € Z.
Ответ: {arctg бУЗ + тг/с | к 6 Z} .
12) 4 sin3 x + 4 sin2 x — 3 sin x — 3 = 0.
4sin2x ♦ (sinx + 1) — 3(sinx + 1) = 0;
(sin x + 1) (4 sin2 x — 3) — 0;
(sina; + l)(2sinz — x/3)(2sina; + \/3) = 0;
"sina; = — 1 Уз	X =	—+ 2тгА: | к G Z
SUIT = 	 2	;	X ~	(— l)n • — + 7ГП 1 n e Z
		v 7	3
Уз		
sinx = ——	X =	(—l)f • (—J + Tit 11 e Z
168
Основные тригонометрические формулы
х = -~ + 2тг& | к G Z
£
7Г
х = ±— + тт I п 6 Z
о
I	ТГ	7Г	I
Ответ: <-----к 2тгА;; ±—+ttti|A;,7igZ>.
1	Z	о	J
13) 3cos(^
= sin х.
о ( тг	. тг .	\
3 cos — • cosx — sm — • sinx — sinx;
\	6	6	/
o (\/3	1	.	\	3x/3	5	.
3 —- cos x-------sin x = sin x: -----cos x — - sm x = 0;
\ 2	2	/	2	2
3\/3cosx — 5 sinx — 0;	3\/3 — 5 tgx = 0;
+	3%/3	. 3x/3 , ,
tgx — ——; x = arctg —-------1- тг/с \k 6 Z.
5	5
3 у/з
Ответ: < arctg —----1- тгк | к 6 Z ► .
5
14) 2sec2x — 3tg2x = 1.
2	3 sin2 x 2 — 3 sin2 x
cos2 x cos2 x 1 cos2 x
2 — 3 sin2 x — cos2 x; x ± — + тгA?i | к\ E Z;
2 — 3 sin2 x = 1 — sin2 x;
1 — 2sin2x = 0;	(1 — \/2sinx)(l + \/2sinx) — 0;
Г .	1
sinx =
x = I к G Z.
1	4	2
sinx =-------=
Ответ: s -7 + -^k | к G Z > .
14	2 J
Решение тренировочной работы 10
169
15) sin Зх = 4 sin х • cos 2х,
sin(2x 4- х) — 4 sin х • cos 2х,
sin 2х * cos х 4- cos 2х • sin х = 4 sin х • cos 2х\
sin 2х * cos х — 3 cos 2х • sin х = 0;
2 sin х * cos x • cos x — 3(cos2 x — sin2 x) • sin x = 0;
sin x • (2 cos2 x — 3 cos2 x 4- 3 sin2 x) = 0;
sin:r*(3sin2:r--cos2:r) = 0; sin:r-(3sin2:r— (1— sin2 x)) — 0;
sinx(3sin2 x 4- sin2 x — 1) = 0;
sin x — 0
4 sin2 x — 1 = 0 ’
sinj; = 0
2 sin x — 1 — 0 ;
2 sin x 4-1 — 0
sin x ~ 0
1
smx = -
2 ;
1
sinz = —
2
x = тгк | к G Z
7Г
x — ± — 4- тгп | n G Z ’
Ответ:
7Г
тгк; ±— 4- тт | k,n G Z
170
Основные тригонометрические формулы
Тренировочная работа 11
Вычислите:
1)
2
tg2a, если cosa = - при
о
Зя
Т
2тг;
2)
ctg2а, если sina = —0,3
3%
при tv < a < —;
3)
з
cos(2a —/?), ссли tga = -;
5
2
sin/? = у при /? 6 II четверти;
4)
Л 7 \
cos I 2 arctg — 1 ;
5)
/	• 7 \
ctg 2 arcsm — ;
6 V 25 J
6)
3%
cos I — + 2 arcsin 0,96 ] ;
2
7)
sin —,
2
119
если tg a — при tv < a
з%
Т’
8)
tg тг
1	. 3
— - arcsm -
2 о
a	1	tv
tg —, если tga = t при 0 < a < —;
2’	6	v/224	2
Ю)
(7Г 1	3\
etB ( - - - ^rctg - Ы
И)
sin^, если sina — —0,8 при 180° < a < 270°;
12)
’1
cos - arctg
12
Т
13)
a		15	Й9ПО
cos —, если sma = — — при 630
720°;
Тренировочная работа 11
171
14) sin I 2 л
1	12
- arccos —
2	13
15)
(3	13
ctg —, если cos/3 =------~ при 540°
2	85
16)
cos 2л------arcsin
2
5
13
17) cos5z, если coslOz — —— при 1080° < lOz < 1200°;
18)
/ 7Г 1	12
ctg ( 2 + 2 arCSin 13
172
Основные тригонометрические формулы
Решение тренировочной работы 11
Вычислите:
п	2 Зтг
tg2ce, если cos се — - при — < се < 2тг.
3	2
2)
cos 2се — 2 cos2 а — 1;
sina < 0, так как a G
since = — а/1 — cos2 се;
sin 2а — 2 sin се • cos се;
Л sin 2се
tg2a =-----—; tg2a
cos 2се
4	1
cos2ce = 2 •----1 =-----;
9	9
IV четверти;
—
since = - JI — -
sin 2се = 2 •
—-л/5
9 VO
_ 1
9
ctg2ce, если since = —0,3 при тг
/5
з-’
/5 \ 2	4 г
I *	—	v 5 •
3/3	9	’
tg 2се — 4\/5 .
Зтг
Т
cosa < 0, так как a е III; cosa = —\/1 — (—0,3)2 = —
cos 2a = 1 - 2 sin2 a; cos 2a = 1 - 2 • (-0,3)2 = 0,82;
/91
To-’
I v91
sin2ce = 2 since-cos ce; sin2ce = 2-l---
’	I 10
3
50
Л cos2ce Л 0,82
ctg 2a = .	; ctg 2a =
sin Zee
41л/91
273
3)
3	2\/б
cos(2ce —/?), если tgce=sin/?=—— при (3 6 II четверти.
5	7
cos(2ce — (3) ~ cos 2ce • cos (3 + sin 2ce • sin /?;
g
1 —tg2a	1 “ 25	16	8
cos 2a —------X—; cos 2a =--------— = — = —;
1 + tg2 a	1 + ^	34	17’
Решение тренировочной работы 11
173
 9 2tga
sm 2q =  ----n—;
1 + tg2 a
sin 2а =
cos/З < 0, так как /3 G II;
О 3
2* 5 _ 30 _ 15
” 34 ” 17’
1	25
cos(3 = — \/l — sin2 /?;
cos/З =
/ 2
1_ / 2x/6\
\ 7 /
5
7’
85	15 2x/6
cos(2a - fl) =	• - + — • ——
'	17 7	17	7
40 - 30\/6
П9
/	7 \
4) cos I 2 arctg — 1 .
7	/ 7r\
arclgMe ;V'
7
Пусть arctg — = а, тогда tga —
Л 7'
cos I 2 arctg —
1
_7_.
24’
7
= 2 cos2 arctg — — 1;
cosa =-----  но cosa >0, a 6 I четверти.
±yi + tg2a
1 _ 24.
2 “ 25’
cosa =
/24\2	2-576 - 625 527
cos2“=2'Ul	——= ^'
7	7
t. e. cos I 2 arctg —
/	7 \
5) ctg ( 2 arcsin — I .
527
625
7	7
Пусть arcsin — — a; a 6 I четверти, sina — —
Zu	Zu
ctg 2a =?
174
Основные тригонометрические формулы
cos 2a = 1 — 2 sin2 a;
49	527
cos2a = 1 - 2 • — = —;
625	625
n	T	/, f7\2 24
cosa > 0, так как a 6 1; cosa = \ 1 — —	— —;
V \25 J 25
7 24
sin 2a = 2 sin a • cos a; sin 2a = 2 • — • —
25 25
336
625’
527
cos 2a	625	527
ctg2“=^; ctg2“=™ = 3M-
625
Таким образом, ctg 2а =
527
336
. /Зтг	\
6) cos I------1- 2 arcsin 0,96 j .
\ " /
(Зтг	\
----1-2 arcsin 0,96 j = sin (2 arcsin 0,96).
у
Пусть arcsin0,96 — a; sina = 0,96;
___________ 7
cosa > 0; cosa = л/l — (0,96)2 — —;
25
24
sin 2a — 2 sin a • cos a; sin 2a — 2 • —
zo
четверти;
7
25
336
625
а е I
/ Зтг
Таким образом, cos ( — + 2 arcsin 0,96
336
625
4 . a	119	Зтг
7) sin если tga = — при тг < a < —.
£	X	£
cosa =
cosa =
120
169’
cosa < 0;
a € III;
Решение тренировочной работы 11
175
a
sm — =
2
1 — cos а
2
тг а Зтг
2 < 2 < T’
sm — > 0;
2
. ct
sm — —
2
1	169
289
1
17
2
169
2
13
2
17ч/2
26
. 3
8) tg f тг — | arcsin -
5
3
Пусть arcsin - = а;
a G I;
3
sm а = -
5
Требуется найти tg (тг — J = — tg
а
*2
1 — cos а
sina
/
cos a — i /1 — -
_ 4
5 ) ~ 5’
а
tE2 =
1
3
5
3
/	1	3
Таким образом, tg I тг----arcsin —
\	2	5
a	1
9) tg —, если tga — .---
2’	6	л/224
2
1
cosa =----.	=; cosa >0; a G I четверти;
±yi + tg2 a
4a/14
15~’
1 _
1 “
“ 224
sina = \/1 — cos2a; sina >0; a Е I четверти;
cosa =
225
/	224
sm а — ч /1 — ——
\	225
1 .
“ 15’
a 1 — cos a
tg“ = —:-------
2 sina
a
tE 2 =
1 4vT4
1	15
15
= 15-4VT4.
176
Основные тригонометрические формулы
/тг 1	3
10) ctg ( 2 ~ 2 arctg4
3	3
Пусть arctg -= a; a G I; tga —
/ я	си \	а;	а	т
ctg ~ 77 = tg -el четверти;
\ Z/	& /	&	£
Таким образом, ctg
1 з\
2 “ГС‘е 4 )
11) sin^, если sina = —0,8 при 180° < а < 270°.
cosa = -У’Г- (-0,8)2 = -УЩ36 - -0,6;
90° < - < 135°; sin ~ > 0;
2	’	2
. a
sm — =
2
1 — cos a
2
. a
sm — =
2
'1
cos - arctg
12
5 '
Решение тренировочной работы 11
177

a cos — = 4 2 1	/1 + cos a	7Г	Q	- 0;	a cos — : 2	> 0;
	J 2	— 4 <	" 2 ‘			
а 1 + 13 /Г ЗуТЗ
cos2=^^ = Vi3 = 4T
Таким образом,
’1
cos - arctg
3х/13
13
13) cos—, если sina = —— при 630° < а < 720°.
cosa = ±\/1 — sin2 14 так как a £ IV, то cosa > 0;
6 IV;
1 + —
a 1 ' 17
cos — — Л -----—
2	\	2
5г/34
34
14) sin I 2тг
1	12
- arccos —
2	13
sin
1	12
- arccos —
2	13
/	12
= sm — arccos —
\	13
T	12
а 6 I; cosa = —
1 о
Пусть arccos — — а;
. a
sm — ~
2
178
Основные тригонометрические формулы
15)
в	13
ctg—, если cos(3 — — — при 540° < /3 < 630°.
Л	OU
- GIV;
2
ctg | < 0;
+ 0
Clg2 =
1 + cos /3
1 — cos /3 ’
, /3
с‘вг =
1-13
85
6
7
16)
cos 2тг-----arcsin
2
5
13
/	5 \
Пусть arcsin ( — — J = a;
71	r. •
— < a < 0; sm
2	’
5
а ~ “13
/	a \
cos 27Г-----— cos
\	2 7
a \	a
— — cos —;
2 /	2
7Г
cosa > 0, так как-------< а < 0;
2
cos а = \/1 — sin2 a;
/1	( 5V
V	\ 13 7
_ 12.
“ 13’
так как
7Г a
a
to cos — > 0;
a
cos — —
2
1 + cos a
2
а
cos —•
15 _ 5\/26
2	“ 26
Таким образом, cos
2тг----arcsin
2
5
13
5\/26
26
17)
1200°.
Решение тренировочной работы 11
179
,	(*	1	12
18) ctg —I— arcsin —
’	\2	2	13
12	т	12
Пусть aresm — = a; a Е I; sina = —
13	13
(тг a \	a
2 + 2) =“‘е(.2
т	/	/12\2 * *	5
cosa > 0, так как а 6 I; cosa = \ 1 — —	= —;
’	’ V	\13/	13’
a /1 — cos a
tg — = ± 4 / -------
& 2 V 1 + cos a
Так как 61 четверти, то
a 1 — cos a
tg - = J------------;
& 2 V 1 + cos a
1	5
1	13 _ 2
1	A 3’
а
‘S2 =
Z 7Г 1	12
ctg ( —I— arccos —
6 V 2	2	13
2
3
180
Основные тригонометрические формулы
Тренировочная работа 12
Упростите:
1	) sin1 2 * а — sin2 + а^ ;
2	) 1 — 8 sin2 а • cos2 а;
о \	9	9	9
3	cos а — 4 sinz — • cos —;
7	2	2
cos 2а sin 2а
4	—------------;
sm a cos а
1 — sin 2a
5)-------------;
sm a — cos a
6)	ctga — ctg2a;
ч n / тг 3a \
7)	2 cos2 I----) — 1;
\4 2 J
, 1 +cos 42°
8)	—J;
7 1 —sin 48°
1 — 2 sin - — cosa;
9)		—------------
1 + 2sm 2 — cosa;
1 + 2 cos £ + cos x
10)-----------i---------•
1 — 2 COS 2 + COS X
Решены тренировочной работы 12
181
Решение тренировочной работы 12
Упростите:
\	. 9	. о (ТГ
1)	smz а — sm I — + а
— sin2 а — cos2 а = | — cos 2о~].
2)1 — 8 sin2 а • cos2 а =
= 1 — 2 • (2 sin а • cosa)2 = 1 — 2sin2 2а = | cos4а |.
ч 9	, 9 а 9 а
3)	cos а — 4 sin — • cos — =
J	2	2
/	Q	Q, \ 2
= cos2 a — I 2 sin — • cos — | — cos2 a — sin2 a = I cos 2a L
V	2	2 J	---------
4 cos 2a sin 2a
4--------------------=
sm a cos a
cos 2a • cos a — sin 2a * sin a
sin a • cos a
cos 3 a
- sin 2a
2 cos 3a
sin 2a
.	1 — sin 2a
5--------------=
sm a — cos a
sin2 a + cos2 a — 2 sin a • cos a (sin a — cos a)2
sin a — cos a	sin a — cos a
_ । sina
6	) ctg a — ctg 2a =
cosa cos 2a	cos a • sin 2a — sin a * cos 2a
sina sin 2a	sin a* sin 2a
sin a	1	>-------—[
=------------- — —-----— I cosec 2a |.
sm a • sm 2a sm 2a
7	) 2 cos2
3aA -1
2 J
ЗоА	/ я
— = cos--------3a
2 J	\ 2
— | sin 3a |.
182
Основные тригонометрические формулы
1 +cos 42°
1 — sin 48°
1 + cos 42°
1 + cos 42° _ 2 cos2 21°
1 —cos 42°	2 sin2 21°
1 - sin(90° - 42°)
1 — 2 sin ~ — cos x
9)------------------
1 + 2 sin 2 — cos x
2*2^ r> • з?
sm 2 — sm 2
2’ 2 i Q '	3?
sm 2 + 2 sm 2
(7Г X \	-1
2 ~ 2j ~ 1
(7Г 3?\	. -I
COS( 2 “ 2) +1
2 sin | ^sin — 1
2 sin ^sin ^ + 1
-2su?0-Q
2 cos2
X
sm 2 — 1
sm 2 + 1
1 + 2 cos + cos x
10)-------------1----------=
1 — 2 cos 2 + cos x
2	2 ZE	I	о 3?
COS 2	+	2 COS 2
2	0 3? rj	ZE
COS Xz 2 — 2 COS 2
2 cos ^cos | + 1
2 cos - (cos I — 1
1 I	X	rt 2
1 + COS	2	2 COS д
1	x	n • 2
1 — cos	2	2 sm
-ctg2
Тренировочная работа 13
183
Тренировочная работа 13
Докажите тождества:
1) sin а - cos а • tg - = tg -;
1	+ 2 sin а • cos а — cos 4а
2	----------—------------у- - 2 sin а;
cosa(l +4sma • cos а)
sin(a — /3) + cos a • sin/3
	~ 2 cos /3;
COS	2
4	) cosa(l — 2cos2 a)(tga — tg2a) = sina;
ctg a — 2 ctg 2a 1
2sinf-cosf	c°sa’
1 — 8 sin2 a • cos2 a
cos2 2a — sin2 2a
7)
j. a . a
Ctg 4 - tg 4
sina
,	2 a
= 1 + ctg2
8)
a	\ /	9 а о a\ a
ctg----2 ctg a cosz-------sm — = sm —;
& 2 J \	4	4 J 2
cos 2a 2 sin a * cos a
9)-----------------------= cos 5a;
sec 3a cosec 3a
10)
cosa — sina * ctg у
a
= — cosec —;
n * ct ct	9
2 sm у • cos	z
4 cos 6a 2 sin 2a • cos 2a
11) ------------------------- cos 10a;
sec 4a cosec 6a
_ cos2 2a — 4 sin2 a • cos2 a
ctg 2a — sin 4a
ctg a-sin 2a
13) —----r-y- = Ct]
cos2 a — sm a
184
Основные тригонометрические формулы
14)
1 + sin За + cos За
1 + sin За — cos За
— ctg 1,5а;
15)
j - а яа А • 3 a ot
4 sm з • cos° з — 4 sin° * cos 3
о 2а
2 COS -y
2а
= sm —;
3 ’
4 sin4 ( —^a) + sin2 (\/2a)
16) ----------- , г \--------= 4*
1 — cos2 (^yaj
Решение тренировочной работы 13
185
Решение тренировочной работы 13
Докажите тождества:
1)
а а
sm а - cos а • tg - = tg-.
Т	.	а
L — sm а — cos а • tg = sm а
sin а • cos | — cos а • sin
COS 2
— cos а 
а
_ sm 2
Ot
COS 2
• Q
2 _
COS ту
a
= tg2'
а
L = tg2
П= tg-
6 2
=> L = П.
ч 1 + 2 sin a * cos a — cos 4a
2 -----------—----------- = 2sma.
cosa(l + 4sina • cosa)
1 + 2 sin a • cos a — cos 4a	2 sin2 2a + sin 2a
cosa(l + 4 sin a * cosa)	cosa(l + 2 sin 2a)
sin 2a(2 sin 2a + 1)
cosa(l + 2 sin 2a)
2 sm a * cos a л .
-----------— 2sma.
cos a
L = 2 sin a
П = 2 sin a
=> L — П.
3)
sin(a — (3) + cos a • sin (3
2 cos (3.
Ot * CV
COS у • Sin 2
sin(a — /3) + cos a • sin (3
ot * a
COS % * sm 2
sin a • cos (3 — cos a • sin (3 + cos a • sin (3
Ot • CV
cos 2 * sm
sin a • cos /3
= —-------------— 2 cos [3.
| sin a
L = 2 cos (3
П ~ 2 cos (3
=> L — TL
186
Основные тригонометрические формулы
4)	cos а( 1 — 2 cos2 a) (tg а — tg 2а) = sin а.
L = cosa(l — 2 cos2 a) (tga — tg2a) =
sin a • cos 2a — cos a • sin 2a
= — cos a • cos 2a -----------------------------
cos a • cos 2a
— cos a • cos 2a * (— sin a)
—---------------------------= sin
cos a • cos 2a
L — sina
П = sin a
=> L = П.
ctga — 2 ctg 2a 1
2 sin • cos cos a
cos a 2 cos 2a
ctga — 2 ctg 2a sin a sin 2a ______
2sin| -cos^	sin«
cos a • sin 2a — 2 cos 2a • .sin a
sin2 a • sin 2a
cos a • sin 2a — cos 2a • sin a — cos 2a * sin a
sin2 a * 2 sin a • cos a
sin a — cos 2a • sin a sina(l — cos 2a)
2 sin3 a * cos a
1
cosa
z sm a • cos a
sin a  2 sin2 a
2 sin3 a • cos a
L = —
CO1S“ => L = П.
11= —
cosa
1 — 8 sin2 a • cos2 a
cos2 2a — sin2 2a
r 1 — 8 sin2 a  cos2
6)
1.
a	1 — 2 • (2 sin a • cosa)2
cos2 2a — sin2 2a	cos 4a
1	— 2 sin2 2a	cos 4a
cos 4a	cos 4a
L = 1
П= 1
=>L = R.
Решение тренировочной работы 13
187
ctg z - tg
7 -------;--------
Sllltt
э а
= 1 + ctg2-.
. a
COS д- sin д-
ctg - tg I _	~ ^Tf _ cos2 - sin2
sin“	sin“ sina • sin -cos f
cos 2	1	2 a
---------------;-----—---------— 1 + ctg2 —.
2	sm 77 • cos tv • -> sm 77 sin -9	z
_	Г) Ot
L = 1 + ctg2 -
_	0 a
n = 1 + ctg2 -
=> L = П.
8)
a
ctg - - 2 ctg a
9 а\ . а
sm — = sm —
4/	2
T	/
L = I ctg - - 2 ctg а
a • 2
---sm
4
cos 2	2 cos a I а
----------;----- • cos — —
Rin — Sin I 2
cos • sin а — 2 cos а • sin ~ a
----------------------------------------------------cos — =
a .-----------------------9
sm 2 * sma	z
cos - • sin a — cos a * sin	— cos a • sin a
------------------------------------- • COS “ —
a •---------------------------------9
sm 2 • sm a	z
cos I (sin - cosa • sin |j sin |(1 - cosa) • cos f
sin  sina
• Ct n • CH	Ct
sm 2 • 2 sm • cos
sin I • 2 sin2
2 sin2 I
а
= sm —.
2
т • a
L = sm —
2
1-r	a
П ~ sm —
2
=> L = П.
188
Основные тригонометрические формулы
cos 2а 2 sin а • cos а
9)		------------------~ cos 5а.
sec За	cosec За
cos 2а 2 sin а • cos а
sec За cosec За
= cos 2а • cos За — sin 2а • sin За = cos 5а.
L	— cos 5а т
=> L = П.
11	— cos 5а
10)
cosa — sina • ctg |
п . а а
2 sm • COS j
а
— — cosec —.
2
cos a — sin a • ctg | * 2
Q • a a
2 Sin • COS j
a
COS -2
cos a — sin a • —-
sin 2
a
sm 2
sin • cos a — sin a • cos
• 2 a
sm 2
• a
sm 2
a
= — cosec —.
2
L = — cosec —
2
a
11= — cosec —
2
^Ь = П.
. cos 6a 2 sm 2a • cos 2a
11) -------------------------= cos 10a.
sec 4a cosec 6a
cos 6a 2 sin 2a • cos 2a cos 6a sin 4a
sec 4a cosec 6a	1	. 1
cos 4a	sin 6a
= cos 6a • cos 4a — sin 4a • sin 6a = cos 10a.
L = cos 10a
П= cos 10a
=> L = П.
Решение тренировочной работы 13
189
12)
cos2 2а — 4 sin2 а * cos2 а
ctg 2а — sin 4а
- tg 2а.
cos2 2а — 4 sin2 а * cos2 a cos2 2а — sin2 2а
ctg 2а - sin 4а	22^2 _ 2 sin 2а ♦ cos 2а
sin 2а
cos 4а	sin 2а • cos 4а
----------- =----------------------- — tg 2а.
гпч . 1-2sin 2q cos 2a • cos 4a
COb	sin 2a
L = tg 2a
П= tg 2a
=> L - П.
1QX ctga- sin 2a
1гО 2	* 2
cos2 a — sin a
ctg a — sin 2a sin a s^n a ' cos a
cos2 a — sin2 a	cos 2a
cos o(l —2 sin2 a)
sin a
COS 2a
cos 2a
= Ctg a------— = ctg a.
cos 2a
L = ctg a
П = ctg a
=>L = EL
. 1 + sm3a + cos 3a
14) -----------------= ctg 1,5a.
1 + sin 3a — cos 3a
1 + sin 3a + cos 3a
1 + sin 3a — cos 3a
2 cos2 1,5a + 2 sin 1,5a • cos 1,5a
2sin2 1,5a + 2sin 1,5a • cos 1,5a
2 cos l,5a(cos 1,5a + sin 1,5a)
= 9 . q r / - i r ,--------= ctg 1’5a’
2 sin l,5a(sm 1,5a + cos 1,5a)
L = ctg 1,5a
П= ctg 1,5a
=> L = П.
190
Основные тригонометрические формулы
15)
л • а за	А • з а	а
4 Sin у • COS° у “	4 Sin У	• COS	у	9zV
О	О	О	О
-----------------------------= sm —
2 cos у	°
L =
л * * ct 3 ct Л • з <* ct
4 sm з • cos° 3- — 4 sin° j • cos y
о 2ot
2 cos у
л * ct	а	(	*2«
4 sm у •	cos у	cos	у	—	sm у
о	о	\	о	о
о 2ск
2 cos у
L =
• 2ct 2ct
sm -y- • cos -y-	pzy
---------------= sm —.
2ot	Q
COS у	°
2a
sin —
3	. r _ TT
2a L ~ 1L
П — sin —
3
=> L = II.
L = 4
П= 4
Тренировочная работа 14
191
Тренировочная работа 14
1. Вычислите:
1) tg(a —/3), tg2/3 и tg —, если sina = 0,6 при — < а < тг
Зтг
и cos/З = 0,28 при — < /3 < 2тг;
\/3
2) sin3 а — cos3 а, если cos а — sin а — —;
3)
а	3 тг
tg2a + 5tg —, если tga ~ - при — < a < тг;
4)
/	лэ a	15	Зтг
cos(a—/3), cos2/3 и sin-, если ctga— — при тг < а< —
2	8	2
_	20 тг
и tg/З = - — при - < /3 < тг.
2. Решите уравнения:
1) sin3:r * cos 5з? + sin 5х * cos Зх = — 1;
2)
Г- / тг	X \	. X
2 sin--------+ sm — = 1;
\ 4	2/	2
3)
. /Зтг	Л \	./7Г	\
sin--------2х — sm — — 2.7? = 1;
\2	/	\2	7
4)
f Зтг 'Х
ctg I _ + з; j + tg (тг - х) - 2\/3 = 0;
5)
2 / ТГ
cos —
\ 2
+ sin2(2?r — х) = 2;
6)
5тг ( 5тг \	(тг
=4s,n( 2
192
Основные тригонометрические формулы
Решение тренировочной работы 14
1. Вычислите:
ot	тг
1)	tg(ct —/?), tg 2/3 и tg ~, если sin a — 0,6 при — < a
Зтг
и cos/? — 0,28 при — < (3 < 2тг.
7Г
a) cosa < 0;
0,6
= -0,8
cosa = —-^/1 — (0,6)2 = —0,8;
_ _3
“ ~4’
6)	sin (3 < 0;	sin (3 = - 0 - (0,28)2 = -0,96;
д -0,96	,3
0,28	37’
= tga-tg/1
1 + tga • tg/3’
_3
4
tg(a - /?)
tg(a - (3)
-21 + 96
28 + 72
2tg/?
ts2/s = ^W
2-
tg2/? =-----
1 -
-48-7
49 - (24)2
= ®
2 —
48-7
“ (24 + 7)(24 — 7)
ct 1 — cos ct
tg 5- =---:----;
2 sm ct
336
336
“ 31 • 17 ~ 527 [’
a _ 1 + 0,8 _ 1,8
tg 2 ~ 0,6 “ 0^6
.	л/3
2)	sin a — cos а, если cosa — sina = —.
m	. V3
1ак как cosct — since — —,
2 ’
9	9	3
TO COS ct — 2 sin ct • COS Ct + sin ct = -
4
о	• о 1
Значит, sin 2a =
4
Решение тренировочной работы 14
193
1
4
Тогда sin3 a — cos3 a =
= (sina — cos a) (sin2 a + sina • cosa + cos2 a) =
\/3 /	1 . „ \	\/3 Л 1
= —— ^1 + -sin2aj = —— ^1 + -
9\/3
~16~ ’
/3 9
T ’ 8
a	3 -тг
3)	tg 2a + 5 tg —, если tg a = — - при — <
б)
2tga	\ 4
2a = 1--Г1- J tg 2a =-----
1 - tg2 a	1 - A
sina > 0; sina =---—
-24	„3
— - -з?
sina =
з
~4______ = 3
/ T\2	5’
a 1 — cos a	a
tgl7 = —:------; tg-
2 sm a 2
cos a — — \/l — sin2 a; (
^1-3-
з
5
cosa - —
4.
5’
3
a 3
tg 2a + 5 tg - = —3- + 5 • 3 =
7
cn	15	Зтг
4)	cos(a—/?), cos2/? и sin — , если ctga — — при тг < a < —
2	8	2
„	20 тг
и tg/? = при - < /? < 7Г.
1
sina =----- =;
±V 1 + ctg2 a
_8__
17’
sin a - - —
cosa = —
- f-—V - •
” \ 17 / ~ ” 17’
194
Основные тригонометрические формулы
б) sin/? > 0; sin (3 =--------,	=;
±Vi + ts2/3
cos(o! — /3) — cos а • cos (3 + sin a * sin /?;
z	15/214 / 8 4 20 315 - 160
v 7	17 \ 29/ \ 17/29	17-29
155 __ ГТ55Г
“ 17-29 “ 493 ’
cos 2/? = 1 — 2 sin2 /?;
. a
sin — > 0;
2
cos 2/? = 1 - 2 •
• a
sin — — ±
2
. ch
sm —
841 - 800 _ 41
’	841	“	841
тг а Зтг
*2 < 2* < ”4”’
1 + if _ /16 _|4a/17
2 у 17 “ 17
2. Решите уравнения:
1) эшЗз; ♦ cos5j; + sin5j; • соэЗз; = —1.
sin(3j; + 5ж) = —1; sin 8x = —1;
8x — — + 2тгк; x — —	+ ~k I к 6 Z.
Ответ: <------1—к I к G Z
I 16	4
2) x/2sin I - - - +sm- = 1.
\ тг
(TV	"V	"V	ТГ \	ТГ
sin — • cos-sin — • cos — ) + sin — = 1;
42	24/	2
Решение тренировочной работы 14
195
г- I у/2 х у/2 . х\ . х
у2 --cos-----sm — + sm — = 1:
у 2	22	2 J 2
X	X	X	X X
cos — — sin	—	+	sin —	= 1:	cos — = 1: —	— 2тг/с;
2	2	2	2’2
x = 4жк | к E Z.
Ответ: {4тг/с | к 6 Z} .
3)
— cos 2x — cos 2x = 1; cos 2x = —;
2
2x — ± ( 7Г — — j + 2-тгА:;
\ о /
x — ±^- + ivk | к E Z.
О
zb-----1- тг/с I к E Z ? .
3	I
4)	ctg I — + x j + tg (тг — x) — 2\/3 = 0.
— tgx—tgx—2\/3 = 0;	tgx = — л/З; х = -~-+як\к€%.
f тг	|
Ответ: < — — + тг/с | fc 6 Z > .
5)	cos2	+ sin2(27r — t) — 2.
sin2 x + sin2 x — 2; sin2 x = 1; cos2 x — 0;
6)
x - — + 7rfc | к e Z.
Ответ: ^-^ + 7гА:|А:е2^.
. 5тг f 5тг\ i tv
sm--------tg-------— 4 sm —b x
2 b \ 4 J \2
. 7Г	/ 7r\
sm-----tg-------— 4 cos x\ 1 + 1
2	\ 4 /
1	7Г
cos x — z = ± — + 2ivk \k G Z.
£л	о
zb— 4- 2ък | к E Z > .
о	J
196
Основные тригонометрические формулы
Проверочная работа 1
1. Вычислите:
1) tg(a+/3),
/3	ТГ
tg2a и tg —, если cosa = —0,8 при — <а<тг
12
и sin ft — — — при тг < ft
1 о
3%
Т’
2)
Q	8	ТГ
cos(a —/3), cos — и sm2/3, если tga —----------при — <а<тг
2	15	2
_	21	„ Зтг
И Ctg /3 = — при % < /3 < — '
3)
cos 2х • ctg 4rr, если cos х + sin х =
4)
tg2a + 3tg^,
4
если tg а — - при л < а
О
Зтг
Т*
2. Решите уравнения:
1)	cos6j; • cos5j; + sin6j; * sin5z = —1;
\ г~ (	A
2)	v2 cos —h x — cos x = 1;
\4	/
О X	/	X	f	Зтг \	r~7
3)	cos(tt — X) + sm I x + — 1 = v 2;
4)
/19%	\	/11%	\
tg -тг- + x - ctg — + ж = —2;
\ У	/	\ lo	/
5)
1	•	(37r
1 — sm —
\ 2
[1 + cos(tt — x)] — 1;
6)
9 13тг . 2 28тг /-
cos2-------1- sin —— = v 3 tg 2x.
15	15
Решение проверочной работы 1
197
Решение проверочной работы 1
1. Вычислите:
(3	7Г
1) tg(a+/3), tg2a Htg —, если cosa = —0,8 при — <а
12
и sin/З = — — при тг < /3
Зтг
Т’
a) sina > 0; sina = ^/1 — (—0,8)2 — 0,6;
0,6	3
tea —-------- —;
6	-0,8	4
б) cos/З < 0;
_ 12
tgZ3 = TT
13
а	/ 12\2
COS/3 = -4/1- - —
V \	/
_5_
13’
12.
Т’
. /	. zv. tga + tg/3
tg(a + p) =-------------
l-tga-tg/3’
_3 _|_ 12
33
20 + 36
33
56
. r) 2 tga
tg2« = ----—2—;
1 — tgz a
tg2a =
2 •
1 -
_6
__ 4
1	16
24
Т
(3	1 — cos [3
tg — zzz ------------;
& 2 sin (3
t^=
8 2
13
3 12
13
18
—12
a
cos — и
2
2) cos(a — /3),
z. 21
И Ctg^ = 20 ПРИ
sin 2/3,
zr
8	7Г
если tg a = — — при — < a
15	2
a) cosa < 0; cosa =---- 	_;
±\/l+tg2a
198
Основные тригонометрические формулы
sina > 0;
6) cos /3 < 0;
cos/3 =
cosa — —
15.
17’
A ( 15V
sina = i/l - I 1
ctg/3
cos /3 =
21
20
±-\/l + ctg1 2 /3 ’
21.
29’
/	( 21\2
sm/З < 0; sm/З = -Jl - I - —
V \ J
cos(a — /3) = cos a • cos /3 + sin a • sin /3;
,	15 ( 21\	8/20
V	17 V 29/	17 \ 29
155"
315 - 160
17-29
a
COS 2
a /1 + cos a
cos — — ±\ -----------
2 V 2
0;
a
cos —
17 ’
sin2l3 = ^L^.
l + tg2/3’
sin 2/3 =
_8_.
17’
20
29’
840
2	841
493 ’
9 20
Z ' 21
v2
3) cos 2x • ctg 4x, если cos x + sin x ~
v 2	9	. 9	1
cos x +sinx = —тогда cos x + 2smx-cosx + sm x =
2	2
1
sin2x = —;
2
Решение проверочной работы 1
199
cos 2х • cos 4х
cos 2х • ctg 4т —----------
sm 4х
cos 2х • cos 4т	cos 4x
2 sin 2x • cos 2x 2 sin 2x ’
no cos 4т — 1 — 2 sin2 2x\ cos 4т — 1 — 2 • -
4
1
2
1
2
Тогда cos 2x * ctg 4x =
ex	4
4) tg 2a + 3 tg -, если tg ex = - при тг < a
Zt	о
Зтг
~2
6)
tg 2a =
tg 2a =
2 tga
1 — tg2 a ’
о 4
2 • з 24
1 _ f4V ~ 9 “ 16
1	\3)
1
cosa < 0; cosa =----==;
±v/l + tg2a
a sin a a	5
tg тг =	; tg о =--------
2	1 + cosa 2	1 1 (
\ 5
tg 2a + 3 tg ^ = —з| + 3 • (—2) =
2. Решите уравнения:
1) cos 6x • cos 5x + sin 6x * sin 5j; = — 1.
cos(6.t — 5ж) = — 1;
cos x ~ —1; x — л + 2тгА; |fc€l
Ответ: {л + 2тг& | fc 6 Z} .
200
Основные тригонометрические формулы
2)
2 cos I —
\ 4
— cosa; — 1.
2 ( cos — * cos x — sin — • sin x 1 — cos x = 1;
\	4	4	/
r- / v 2	V2 .	\
2 — cos x--------------sm x — cos x = 1;
I 2	2	/
cos х — sin х — cos x = 1;
sina; = — 1; x = — — + 2тгА; | к E Z.
Ответ: < — — + 2тгк | k E Z
3)
cos(tt — x) + sin
Зтг
~2
2.
x = ± ( тг---I + 2тг&;
\	4/
Зтг
x — ±-----1- 2тгА; I к E Z.
4
f Зтг	1
Ответ: < ±-----h 2тгк I к E Z > .
14	J
/ тг \ l тг \
tgl- + a;l+tgl-+a;l = -2;
tg (	+ x ] — — 1;	— + x = — — + ък\к eZ.
\9	/	9	4
Г 1 Зтг	*1
Ответ: <-----h тгА; I к E Z > .
I	36	J
Решение проверочной работы 1
201
L . /Зтг
5) 1 “ sin I -— x
(1 + cosz)(l — cosa;) = 1;
1 — cos1 2 x = 1; cos2 x — 0; x —	+ тгк | к 6 Z.
I	I
Ответ: <—+ttA:|A:GZ>.
ч 9 13тг . 9 28тг г-
6) cos2 —— + sm2 —— = v3tg2z.
15	15
cos2 + sin2 — >/з tg 2x;
15	15
1	ТГ
\/3tg2a; = l; tg2x= —2x = — + тгк;
у 3	о
ж = —+ -А:|А:ег.
Ответ: <-----—к \ к Е %
1 12	2
202
Основные тригонометрические формулы
Тренировочная работа 15
1.	Вычислите:
1)	2sin30° - л/Зsin60° ctg45° -tg30°;
ч 6 sin 30° • cos 30°
2	—о---------9—;
cos2 30° — sin2 30°
cos 64° • cos 4° — cos 86° cos 26°
cos 71° • cos 41° — cos 49° • cos 19° ’
4)	cos75°-ctg30° + sin75°;
5)	cos tg 2a, если tga — x/15 при 360° < a < 450°;
6)
a	cos(a + (3)	2
tg p , cos 2p и sm —, если ----------— = ~ и ctg a — 5
2	cos(a — p)	3
(a G (0; 2тг));
7)
/- x .	1 + 2т/2 n 2тг
yzctg —, если sinz — cosz =-------- при (J < x < —
2	3	3
2.	Упростите:
sin(2a — Зтг) + 2 cos (™ + 2a )
V -----Л----s—------------—
2cos ( g — 2aJ + v3cos(2a — Зтг)
3)	sina — cosa • tg —;
4)	cos2 a + cos2(60° + a) + cos2(60° — a);
3.	Решите уравнения:
1)	(2sinTr# — a/3)(a/2costt£ + 1) = 0;
4 sin 2x
2		----- 0;
1 + COS X
Тренировочная работа 15	203
ч 2тпг . 9 7Г.Т 2 7ГХ
3)	sin——hsin — — cos —;
3	6	6
4)	2 cos2 — + 3 sm — — 0;
. . 2 тле	r та
5)	sm — + 5 cos — — 5;
3	3
6)	sin Зя + sina: — 0.
204
Основные тригонометрические формулы
Решение тренировочной работы 15
1. Вычислите:
2 sin 30'
3 sin 60°
• ctg 45° • tg30°
2)
3)
4)
5)
1
~2 2
3 • cos 30°
1 sin 30°
cos 30°
6 sin 30° - cos 30° _
cos2 30° — sin2 30°
3 sin 60° o
----— = 3tg60°
cos 60°
= Зл/З .
cos 64° • cos 4° — cos 86° • cos 26°
cos 71° * cos 41° — cos 49° • cos 19°
sin 26° • cos 4° — sin 4° • cos 26°
sin 19° • cos 41° — sin 41° • cos 19°
cos 75° • ctg 30° + sin 75° =
cos 75° - cos 30°
—--------—---------[_ sm 75
sm30°
cos 75° • cos 30° + sin 75° • sin 30°
sin 30°
sin 22°
— sin 22°
cos 45°
sin 30°
/2
2
Т~
2
2.
a
cos—, tg2cn,
если tga — y!5 при 360°
450°.
a) coscn>0;
180° < ~
2
cos a = —-----------; cos a —
yi + tg2 a
C 225°; cos - < 0;
2
/1 + cos a
V 2	’
1
x/1 + 15 ~4’
а
COS —
2tga	2-
6) lg2“ = rT^ tg2“ = T-15
a
COS — =
2
1

а
1
Решение тренировочной работы 15
205
.	a cos(a + /3)
6) tg/3, cos 2/3 и sin-, если --------------г
2 cos (а — /3)
2
-и ctgа = 5
(a G (0; 2тг)).
2	1 — tga • tg/3 2
3’	1 +tga-tg/3	3*
1 - pg/3 _ 2	5 -tg/3 _ 2
i 1 <-«• я 3’ 5 + tg/3 3’
. cos а • cos в — sin а * sin /3	2
а)		 = —;
cos а • cos /3 + sin а • sin /3	3
cos a-cos /З—sin o-sin /3
cos crcos /3
cos (X-cos ff+sin o-sin [3
cosa-cos/3
rr.	1
Так как tg a — -,
5
* 1 5
15 — 3 tg/3 = 10 + 2 tg/3;	5 tg/3 = 5; tg/3 = 1;
1 — tg2 в	1 — 1
6)	cos 2/3 =------y—; cos 2/3 =--------= 0; cos 2(3 = 0;
7 M l + tg2/3 P 1 + 1
. 1
в)	cosa — ----- =;
±V 1+tg2 a
Поскольку ctga = 5, ad или a6III. Рассмотрим
оба варианта.
Пусть 0
cosa =
0
0;
д)
5
26
cosa > 0, тогда
Пусть ТГ
a
2
a
sm —
sm —
cosa < 0;
Зтг\
— J . Тогда cosa
26 - 5C26
52
26 + 5C26
52
Зтг
T’
a
2
5
26
206
Основные тригонометрические формулы
cos(a	+ (3)	2	.	. п ..
Ответ: если	-----  -7	—	-	и	ctg а —	5	(а	6	(0: 2я))
cos(a	—/?)	3	6	v	v ’ п
то tg/? = 1; cos2(3 = 0;
а /26-5^/26
sm — — \ ----------
2	у 52
а /26 + 5^/26
sin — = \ ---------
2 V 52
я
при 0 < а < —;
Зя
при я < а < —
7) \/2ctg если sin х — cosz —
1 + 2л/2
при 0
2я
т
3
\ * ? п •	2	1 4“ 4\/2 + 8
a) sin х — 2 sin rr • cos ге + cos х —-----------;
так как sinrE > cosrr,
я	Зя	2я
то — < х < —— И 0 < ГЕ < —,
4	4	3
/я 2я
значит х е —; —
4 г-	4 г-
1 — sin 2х — 1 + - v2; sin 2х = — - v 2;
sin2rE < 0, тогда 2х G (я;2я), получим
б) Так как я < 2х < —, то
значит
sin х ~
Решение тренировочной работы 15
207
а /1 + cos а
Ctg “ “ ±4 / ---------
ь 2 V 1 — cos а
1 + COS а
sina
z.A /- X	ТГ	2тг
Ответ: y2ctg — — 1, если — < х < —.
6 2	2	3
Примечание. При х е I 0; —
1 + 2^2
условие sinх — cosx —
---- не выполняется.
3
2.	Упростите:
sin fa — 4^	/	5ур\	/тр	\
1)		з----г- • ctg a----1 — cos —Fa- sin(a — тг) =
sin(j+a)	\	4/	V	)
sin ^a — 4^	/	.
=----=——--------r-y- • ctg [a--1 — (— sm a) (— sm a) =
v 47
sin (a — ) cos (a — )
—----X------Z_  ---У----Z------sjn2 a —
cos ( ~ — a) sin (a — )
= 1 — sin2 a — | cos2 a |.
sin(2a — Зтг) + 2 cos f^ + 2a^
2)	—	-	—	—
2cos ( g — 2a j + v3cos(2a — Зтг)
— sin 2a — 2 cos + 2a^
2 cos — 2a^ — д/З cos 2a
— sin 2a — 2 cos ? • cos 2a + 2 sin 5 • sin 2a
о	о
2 cos 5 • cos 2a + 2 sin • sin 2a — д/З cos 2a
о	о
— sin 2a — д/З cos 2a + sin 2a
д/З cos 2a + sin 2a — д/З cos 2a
— V^ctg 2a
208
Основные тригонометрические формулы
3)	sin а — cos а • tg — =
• Ct
Sin 2
— sin си — cos on •-----=
a
COS ?
sin on • cos ~ — cos a • sin ~
a
COS 2
• Ct
Sm 2
COS
4)	cos1 2 on + cos2(60° + on) + cos2(60° — a).
a) cos2(60° + on) = (cos 60° • cos on — sin 60° • sin on)2 —
(Г-	\ 2
i	7з . \
- cos on---sm on	=
2	2 J
1	2	73 .	3.2
= - cos on---sm on • cos ad— sm on —
4	2	4
1	2	73 .	3.2
= - cos on---sm 2a 4— sm on.
4	4	4
6) cos2(60° — a) = (cos 60° • cos on + sin 60° • sin on)2 =
(Г-	\ 2
i 7з . \
- cos си 4—-- sm al =
1	2	73 .	3.2
= - cos a 4--sm on • cos си 4— sm on —
4	2	4
1	2	73 .	3.2
— - cos си 4-sm 2a 4— sm a.
4	4	4
в) cos2(60° + a) + cos2(60° — a) —
1	2	73 . n 3.2
= - cos a------sm 2a 4— sm cn+
4	4	4
1	2	73 .	3.2
4— cos си 4-----sm 2a A— sm on —
4	4	4
1	2	3 . 2
= - cos a 4— sm on.
2	2
Значит, cos2 cn + cos2(60° + a) + cos2(60° — a) =
2	1	2	3.9
— cos a + - cos a + - sm a —
3
2
cos2 cn + sin2 cn) — [1,5].
Решение тренировочной работы 15
209
Возможен другой способ:
cos2 а + cos2 (60° + а) + cos2 (60° — а) =
- cos2 a + 1 + cos(120° + 2a)	1 + cos(120° - .2d)
= cos2 a + 1 + ^cos(120° + 2a) + cos(120° — 2a)^ —
a)	cos(120° 4- 2a) = cos 120° • cos 2a — sin 120° • sin 2a =
1	>/3
= — cos 2a---------sin 2a:
2	2
6)	cos(120° — 2a) = cos 120° * cos 2a + sin 120° • sin 2a =
1	>/3
= — - cos 2a +	sin 2a;
1	л/3	1	л/3
в)	— cos 2a---— sin 2a---cos 2a H-----sin 2a = — cos 2a.
7	2	2	2	2
= cos2a+ 1 — cos 2a = 1 + cos2 a+ ^(1 — 2 cos2 a) = |1,5|.
3. Решите уравнения:
1) (2sin7nr — \/3)(x/2cos7rz + 1) = 0.
\/3
sm тгт — —
2
1 ’
COS ЯХ —-------=L
ЯХ — (— 1)*^ + як
О
I (
7ГЖ = ± 7Г-----+ 27ГП
\	4 7
О
3
x = ±—h 2n
4
(	i	з
Ответ: < (—l)fc- + к; ±- + 2n | /г, n G Z
I	о	*
2)
sin 2x
1 + cos x
sin 2x — 0
cosz 7^ — 1 ’
2x = як
X 7^ тг + 2тгп ’
X 7^ 7Г + 2тгп
210
Основные тригонометрические формулы
7Г
х — — + тгк
х = 2тгп
Ответ: — + тгА;; 2 7m | А;, п е Z .
21ГХ 9 7VX	2 7ГХ
3) sm ——I- sm —— — cos ——
7	3	6	6
. 2та
3
2 sin — * cos — cos — = 0
3
___	9 та 9 та
sm-------h sm —-----cos — = 0;
6	6
7VX
та
кх
2 cos —
о
та
sm-----
3
- 0;
та
T
7ГХ	/ i xk71
--- = (-1) ~ + 7ГП
3	v 7 6
] sin 2а = 2 sin а • cos а
| cos 2а — cos2 а — sin2
7ГХ
cos — = 0
о
. 7ГХ 1 ’
sin —- = -
3	2
х = 1,5 + ЗА;
х = (-!)”• | + Зп ’
3
3
- + rt
1
2
Ответ: < 1,5 + ЗА;; (—1)п • + 3n | А;, п е ZI.
n 9 та „ . та Л	n n , 9 та „ . та
4) 2 cos2 — + 3 sm — =0; 2 — 2 sm2--------k 3 sm — = 0;
6	6	6	6
п . а 7ГХ	п 7ГХ
2 sin2-------3sin--------2 — 0;
6	6
6
3 ± \/9 + 16 _ 3 ± 5
4	“ 4
7Г37
”б"
k f	71 \
1 +7Г^;
\	6 /
1
2
/ . та \
sm —
\	6/12
7ГХ
sin — = 2
6
7ГХ
sm — = -
6
X = (-l)fc . (-1) +6k.
Ответ: {(—l)fc+1 + 6fc | к G Z} .
Решение тренировочной работы 15
211
. 9 7VX	7ГТ
5)	sm — + 5 cos — = 5.
О	о
.	9 7ГТ	7ГТ
1 — cosz------F 5 cos —
3	3
r	9 7ГТ	7ГТ
— 5; cos^ —-------5 cos —- + 4 — 0;
о	о
7ГТ
cos — = 4 £ [—1; 1]
О
7ГТ
cos — — 1
о
Ответ: {6k | к E Z} .
7VX
= 2тгА:; х = 6к | к Е Z.
О
6)	sin Зх + sin х = 0.
Для решения этого уравнения необходимо знать фор-
мулу тройного угла для sin За. Выведем ее.
sin За = sin(a + 2а) — sin а • cos 2а + cos а • sin 2а =
= sina(l — 2 sin2 а) + cosa * 2 sin а • cosa =
= sin a — 2 sin3 a + 2 sin a ♦ cos2 a ~
= sin a — 2 sin3 a + 2(1 — sin2 a) sin a = 3 sin a — 4 sin3 a,
т. е.
sin За — 3 sin а — 4 sin'
Тогда уравнение примет вид 3sinrr — 4 sin3 х + sinrr = 0;
4sinz(l — sin2 x) = 0; 4sinrr • cos2 x = 0;
sinT = 0
cos2 x = 0 ’
X = тгк
тг ;
X = — + 7ГП
x = — n Inez.
2 1
Ответ:
Примечание. Несколько позже, зная новые формулы,
переводящие суммы тригонометрических отношений
в их произведение, получим более изящное решение'.
212
Основные тригонометрические формулы
Проверочная работа 2
1. Вычислите:
1) 2cos45° • ctg60° -tg60° -3sin45°;
1 — 2 sin2 60°
2 cos2 60° — 1 ’
cos 66° • cos 6° + cos 84° • cos 24°
cos 65° • cos 5° + cos 85° • cos 25° ’
4) sin75°-tg30° + cos75°;
5) sin-,
tg2a, если ctg a = — \/15 при 90° < a < 180°;
6) tg/?,
sin 2a
/5
если 2cos(a — /?) = 3cos(a + /3)
и cos —.
2
и ctg a = 2;
7)
n X	1 7Г
3tg —, если sina; + cosa; — - при — < x
Зтг
T*
2.	Упростите:
tg (— a ) — cos(tt — a) • sin(37r + a)
i)	-г1---------------------------;
[cos(3,5rr — a) + sin(l,57r + a)] — 1
( i ЗиЛ , Л	/117Г	\
cos ( a + -y 1 +2 cos I -g--a 1
2	sin + a^ + \/3sin — a^
3)	cosa — sma • ctg —;
4)	sin2 a + sin2(60° + a) + sin2(60° — a).
3.	Решите уравнения:
1)	(\/2sin7ra; — 1) (2cos7tj; + \/3) = 0;
cosa; = o.
1 + sina;
Проверочная работа 2
213
v .	о 7ГЖ , о 7Г*Е
3)	эшта + cos^ — = sin —;
4	4
.X л . 9 ЛХ -	71 X
4)	2 sm2 — + 3 cos — = 0;
6	6
г . КХ
5)	cosz — + 5 sm — = 5;
<5	<5
6)	cos Зя; — cosa; = 0.
214
Основные тригонометрические формулы
Решение проверочной работы 2
1. Вычислите:
1) 2 cos 45° • ctg 60° -tg 60° -3 sin 45° =
1 - 2 sin* 2 60° _ cos 120°
> 2 cos2 60° - 1 “ cos 120°
3)
cos 66° • cos 6° + cos 84° • cos 24°
cos 65° * cos 5° + cos 85° • cos 25°
sin 24° • cos 6° + sin 6° • cos 24°	sin 30°
sin 25° • cos 5° + sin 5° • cos 25°	sin 30°
4) sin 75° • tg30° + cos 75° =
= sin 75° • Sin30° + cos 75° =
cos 30°
_ sin 75° • sin 30° + cos 75° • cos 30° _
cos 30°
_ cos45° _	_ [2 _ Г7ё
~ cos 30° ~ yf ~ V 3 ~ ”3~ ’
2	’	----
5) sin-,
tg2a, если ctga — — \/15 при 90° < a < 180°.
a) cosa < 0; sin — > 0;
ctga	— vl5 v 15
cos a =----.	=; cos a = .	—------—;
± y^l + ctg2 a	\/l + 15	4
. a /1 — cos a . a
sin — = 4 /---------; sm — =
2 V 2	2
1 /4 + ч/15 _ \/8 + 2\/15
2 V 2	~	4
Решение проверочной работы 2
215
б) tga = -
1
/15’
6) tg/3, sin 2a
и ctga ~ 2.
р
и cos “, если
2
2 cos(a — (3) = 3 cos(a + (3)
cos a • cos /3 + sin a • sin /3	3
cos a • cos (3 — sin a • sin (3	2 ’
cos crcos /З+sin a-sin /3
sin a*sin /3	_	3	ctg a •	ctg /3 +	1	_	3
cosa-cos/3—sin a-sin/3 — 2 ’	ctg a •	Ctg /3—1	~	2 ’
sin a-sin /3
2ctg/3+l 3
тогДа 2ctg^ _ 1 = 4ctg/3 + 2 = 6ctg/3 - 3;
2ctg/3 = 5; ctg/3 = 2,5; tg/3 = |~0~4~|;
6)
.	2tga	2 ‘ 2	4
sm2a =------; sm2a — --------- = - ;
1 + tg2 a	1 + |	[£’
Учтем, что tg/? = 0,4, значит (3 e I или (3 € III.
7Г	3
при 0 < /3 < — cos /3 > 0, cos “ > 0;
cos 3 = —t	1	;
\/l + tg2 /3
n	1	5	5\/29
COS 0 = -...... =	~	t
>/l + (0,4)2	>/29	29
(3	/1 + cos (3
cos -r = i /-----;
2 У 2
i	I	/-=]
/3	1 + -29-	29 + 5>/29
cos — = \ -------= ч /--------- :
2^2 у 58	’
216
Основные тригонометрические формулы
cos (3 — —
/3
COS —
Зя	/?
С — coso < 0; cos — < 0;
2 н ’	2
1	„	5\/29
l + tg2/3	29
1 _ 5т/29
1	29
2
29- 5\/29
58
1
_ о х .	1
7)	3 tg ”, если sinx + cosх = -
2	5
5
2
Зя
Т
я Зя	Зя
- < з; < —, тогда я < 2х < —
— cos х на
sin2 х + 2 sin х • cos х + cos2 х =
1
25 ’
. .	24
sin2jr = ” —;
25
cos 2х < 0;
2. Упростите:
tg — а) — соэ(я — а) • зш(3я + а)
[соб(3,5я — а) + 8ш(1,5я + а)]2 — 1
ctgа — (— cosa) • sina)
(— sin а — cos а)2 — 1
Решение проверочной работы 2
217
ctg а — cos а • sin а
sin2 а + 2 sin а • cos а + cos2 а — 1
cosa
--------cos а • sm а
since
2 sin а • cos а
2 sin а • cos а
cos2 а 1
(I 37Г \ . о / 117Г	\
а + у 1 + 2 cos I -g---------а )
sin а + 2 cos ^2тг —	— a J
2 sin • cos а + 2 cos • sin а — д/З cos а
sin а + 2 cos + а)
д/З cos а + sin а — д/З cos а
sin а + 2 cos • cos а — 2 sin • sin а
sin о
sin а + д/З cos q — sin а д/З cos а
sin о
sina
V^ctgm
— cos a — sin a
1 + cos а
sina
— cosa — (1 + cosa) = | —1|.
4) sin2 a + sin2(60° + a) + sin2(60° — a).
a) sin2(60° + a) — (sin60° • cosa + cos60° • sina)2 =
(Г-	\ 2
\/3	1 .	\
cos a + - sm ml =
3	2	\/3	1.2
= - cos a 4--sm a • cos a 4— sm a —
4	2	4
3 2 Q 1.2
— -cos mH----sm2m4—sm m.
1 Л	Л	Л
218
Основные тригонометрические формулы
б) sin2(60° — а) = (sin60° • cosa — cos60° • sina)2 =
(Г-	\ 2
Уз	i . \
— cos a-----sm a I —
2	2	/
3	2	73 . In
— - cos a------ sm 2a + - sm a.
4	4	4
в) sin2 (60° + a) + sin2 (60° — a) =
3	2	73 . In
= - cos a 4—— sm 2a + - sm a+
4	4	4
3	2	73 .	1.2
4— cos a------sm 2a 4— sm a —
4	4	4
3	2	1 . 2
= - cos ad— sm a.
2	2
Поэтому sin2 a + sin2 (60° + a) + sin2 (60° — a) =
• 9	3 о 1 . 2	3 , . 2	2 \	r;—гП
— sm a + ~ cos a + - sm a=-(sm a + cos a) = |1,5|.
Возможен другой способ:
sin2 a + sin2 (60° + a) + sin2 (60° — a) =
_ . 2	1 - cos(120° + 2a)	1 - cos(120° - 2a) _
- sm a +	-	+	-	-
= sin2 a + 1 — 1 (cos(120° + 2a) + cos(120° — 2a)) =
a)	cos(120° + 2a) = cos 120° - cos 2a — sin 120° • sin 2a =
1	73
_ — cos 2a------sin 2a;
2	2
6)	cos(120° — 2a) = cos 120° • cos 2a + sin 120° • sin 2a =
1	73
= — - cos 2a + sin 2a;
в)	cos(120°+2a)+cos(120° - 2a) =
i	7з i 7з
= — - cos2a—— sin 2a— - cos 2a +	sin 2a = — cos2a.
= sin2 a + 1 — - • (— cos 2a) —
= sin2 a + 1 — | (2 sin2 a — 1) — [1,5|.
Решение проверочной работы 2
219
3. Решите уравнения:
1)
sin ivx — 1) (2 cos ivx + \/3) = 0.
\/2sin7ra; — 1 — 0
2 cos 7га; + \/3 = 0 ’
их — (—Vik— + ivk
4
। /	?г\
тга; — ± тг-----I + 27гп
\	6 J
Ответ:
1
4
2)
cosa;
1 + sina;
1
sm их = —~
y/3 ’
COS7TX =----—
5
X = ±—h 2n
6
5	1
—h 2n I ky n E Z > .
6	I
| к,п Е Z.
cosa; = 0
sin x Ф —1 ’
X
7Г _
= — + irk
t тг л ’
~2 +27ГП
+ 2vk | к G Z.
Ответ: < ~ + 2тгА: | к Е Z г .
3)
sin 7ГХ +
2
COS
7ГХ . 9 7VX
— = sin —
4
4
sin 7TZ +
2
COS
7VX . 9 7VX
— - sm2 — = 0;
4	4
. 2 KX
4
7га;
sm tvx + cos — = 0;
TTX
7VX	7ГХ
2 sm — cos-------h cos — = 0;
2	2
2
7VX (	TTX	1\
2 cos — sm---------1— — 0;
2 \	2	2
220
Основные тригонометрические формулы
. 7ГТ 1 Г TV X	,	( 7Г\
sin — = --	— = (-1)------+ пк
2	2.	2	\ 6/
7VX	’	TV X	7Г
COS-- = 0	-- =----1- 7ГП
L 2	[22
I = (“1)i+14 + 2t |k,„ez.
х = 1 + 2п
Ответ: < ( — l)fc+1 • ~ + 2к, 1 + 2п | к,п 6 Z > .
1	3	1
. О /I „ /I Л
4) 2 sm2 — + 3 cos — = 0.
6	6
2 I 1 — cos2 — + 3 cos — = 0; 2 cos2 —— 3 cos —— 2 = 0;
\	6 J 6	6	6
/ 7гаА 3±л/9+16	3±5 cos — = 2 0 [-1; 1]
cos —	=-------------= ——;	,	;
\	6 J, 9	4	4	™	1
x ' M	cos — = —
6 2
— = ± [ я — — j +27Г& = ± — + 27Г&; x — ±4+12fc I к GZ.
6	\	3/	3
Ответ: {±4 + 12fc | к 6 Z} .
9	. 71X
5) cos-------1- 5 sin — = 5.
7	3	3
,	. 9 7ГЖ r . 7ГЖ
1 — sin------1- 5 sin — = 5;
3	3
f i^x\ 5 ± V25 - 16
\	3 J12	2
sin — = 4^ [-1; 1]
3	L ’ J 7ГХ
. TVX	’ “T-
sin — — 1
3
Ответ: {1,5 + 6k | к G Z} .
. 9 7VX , 7VX
sin-----5 sin----1-4 = 0;
3	3
_ 5±3
~ 2 ’
— +27Г&; x — l,5 + 6fc | к 6 Z.
2
Решение проверочной работы 2
221
6)	cos3rr — COS ГЕ = 0.
Для решения этого уравнения необходимо вывести
формулу косинуса тройного угла.
cos За = cos(a + 2а) = cosa • cos 2а — sina • sin 2а =
=	cos а * (2 cos2 а — 1) — sin а • 2 sin а • cos а —
=	2 cos3 а — cos а — 2 sin2 а • cos а =
=	2 cos3 а — cos а — 2(1 — cos2 a) cosa =
—	4 cos3 а — Зсоэа,
О
т. е. cos За = 4 cos3 а — 3 cos а
Тогда уравнение примет вид:
4	cos3 х — 3 cos х — cos х = 0;
4	cos a;(cos2 x — 1) — 0;
—4 cos а; • sin2 x = 0;
cos x = 0 .
sin x — 0 ’
7Г ,
x — — + тгк
X = 7ГП
t. e. x — — 111 G Z.
2 1
Ответ:
~t|tG Z
Суммы и произведения
тригонометрических
функций
Преобразования
суммы тригонометрических функций
в произведение и наоборот
Напомним известные формулы:
a + /3 a — (3
cos a + cos p = 2 cos-------- cos---
2	2
„	. a+P . a~fi
cos a — cos /3 = — 2 sm-• sm
M	2
2
•	z->	. ct И- (3
sm a + sm /3 = 2 sm —-—
• cos
a — /3
2
.z, o . ^-/3 a + /3
sm a — sm p = 2 sm------ cos---
M	2	2
sin(a + /3) f cos a 0
tga + tg/3 =----------- при	;
cos a • cos /3	[ cos /3^0
2	_	sin (a — /3) f cos a 0
tg a — tg p — -------- при <	~	•
cos a • cos /3	{ cos /3^0
cos а • cos /3 — | [cos(a + /3) + cos(a — /3)];
Преобразования суммы тригонометрических функций...
223
sin а • sin (3 = - [cos(a — /3) — cos(a + /?)];
sina • cos/? = | [sin(a + /3) + sin(a — /?)];
sin a + cos a =
a/2 sin
a/2 cos
sina — cosa = v2sin [a----
\	4
— д/2 cos
Asina + В cosa =
у/ A2 + B2 * sin |	[ a + arctg — j /	, если В :	> 0;
— д/А2 + B2 • sin |	a + arctg — ) \ & /	, если В <	i 0;
у/A2 + B2 • cos |	a — arctg — j \ /	, если А ;	> 0;
— \/A2 + B2 • cos |	a — arctg ~ j \ /	, если А <	: 0.
224
Суммы и произведения тригонометрических функций
Практикум 9
1.	Разложите па множители:
.ч . 5а .За
1)	sm----h sm —;
7	3	2
2)	cos 10а • cos 8а + cos 8а • cos 6а;
3)	sin а + sin 2а + sin За.
2.	Докажите тождества:
. ч cos За + cos а
1)	;-- = ctga;
sm За — sm а
sin2 * За — sin2 а
----5----------------= 2 cos 2а.
cos2 За — cos 5а • cos а
3.	Вычислите:
1)	sin2 68° - sin2 38° - 0,5 sin 106° + 3;
3(cos20° - sin 20°)
sin 25°
3)	(tg 14° + ctg 28°)-cos 14°-sin 14°;
sin2 • cos2 ?
4)		55;
7 -< л 2-tt о 2tt . 2 2-tt ’
1 — cos^ -E— cos	• sm
о	5	5
r I	I 77 Зтг\ . 7Г 1
5 [COS ( 2 - 14 J - Sm 14 J .
)
/	7Г * 7Г	7
cos у - sm 14
sin2 32° 4-sin 26°
'	5 cos2 32°	’
7)
cos 9° 4- cos 51° 4- л/З cos 21°
2л/3соз21°
2 cos2 16° 4- 2 cos2 76° - 3
cos2 44°
Практикум 9
225
9)
3 cos 196° + 12 cos 164°
COS 16°
sin 43° + sin 17°
) 2 cos 13° + 3 sin 77°’
cos 6° + cos 12° + cos 36° + cos 42°
sin 87° • cos 15° • cos 24°
3 cos 23° - 3 sin 113° + cos 203°
cos 10° • cos 13° — cos 80° • cos 77° ’
13)
2 + sin a • cos a
1 + 5 cos2 a
, если tga — 2;
14)
sm I x + — ) — sm I x-1
\ о J \	3 J
уД
если cos x = ——;
4
15) tgz, если sin(z + 30°) + sin(z — 30°) = 2\/3cos2;;
16)
cos2a, если sina — — —;
4
17)
a
tga, если tg — —
2;
18) sin(?r + 2a), если sina + cosa —
19)
2
9 / 7Г a \
20)	sin I —I— , если sina = 0,6;
\4	2/
21)	sin [ ^ + 2a | , если tga — 2\/3;
\ 6	/
22)
cos a + cos /3, если a
— /3 = —, a a + /3 = 4тг;
23)	cos(a + /3), если sina • sin/3 = a a — /3 = —;
226
Суммы и произведения тригонометрических функций
х	х
24)	sin — + cos — при sin х — 0,21;
£	л
25)	sin4 а + cos4 а, если sin а + cos а — -^=
4. Решите уравнения:
1)	sin 2х + sin 4х = 0;
2)	cos Зх — cos Зх — 0;
3)	sin Зх • sin 5х = cos 4х • cos 2х\
4)	sin 2х • cos бо; = sin Зх • cos 5а;;
5)	sin Зх + cos Зх = 1;
о) cos 4а; — sm 4а; —
Решение практикума 9
227
Решение практикума 9
1» Разложите на множители:
5а За
1)	sm-----h sin — =
J 3	2
2)
3)
J »	•	Of i-
i sin a + sin fl = 2 sin ——
a — fl i
• cos —-— ।
2__j
f5a I 3a \	/bet Set
_ ± __ i	2"
----- .cos I --
2/12
cos 10а • cos 8а + cos 8а • cos 6а =
19а	а
2 sm----- cos —
12	12
f	zi ot fl a — Ji
1 cos a + cos fl — 2 cos —-— • cos —-— г Щ
/ 10a + 6a\ f 10a — 6a
= 2 cos 8a • cos ------------- • cos --------------
\	2	7	\	2
= 2 cos 8а • cos 8а • cos 2а = 2 cos2 8а • cos 2а .
sill а + sin 2а + sin За =
Г .	. ~ n . ot + fl a — Ji
j sm a + sin fl = 2 sin —-— • cos —-— । Щ
= 2sin2а • cosa + sin2a = sin2a(2cosa + 1) =
= sin 2a • 2 f cos a + — ) =
= 2 sin 2а • I cos а + cos — j —
\	о /
'	z, Л а + fl a — fl'\
j cos a + cos fl — 2 cos —-— • cos —-— «
= 4 sin 2а • cos
+ 3 ]	/ a 3
-—	• cos —-—
2 /	I 2
	( Ot	7Г\	/ a	7Г\
4 sin 2a • cos	—	+ ~ )	’ cos	— — 1
	<2	6 J	\2	6 /
228
Суммы и произведения тригонометрических функций
2.	Докажите тождества:
cos За + cos а
-7-^-----;--= ctga.
sm За — sina
1)
cos За + cos a
L — —;—г----;---
sin 3a — sina
2)
•	( zq Q a + P a-fi\
i cos a 4- cos fi — 2 cos-- cos —-— <
i____________________2__________2 _ i
i. , a a- fi a 4- 3 1
i___________________2	2	;
2 cos 2a • cos a
2 sin a • cos 2a
L = ctga ^L = ]
11 = ctga
sin2 3a — sin2 a
cos а
-----= ctga.
sina
что и требовалось доказать.
= 2 cos 2a.
cos2 3a — cos 5a • cos a
sin2 3a — sin2 a
L = ------------------------- =
cos2 3a — cos 5a • cos a
(sin 3a — sin a) (sin 3a 4- sin a)
cos2 3a — cos 5a • cos a
I cos a - cos fi = - [cos(a 4- fi) 4- cos (a — fi
(sin 3a — sin a) (sin 3a 4- sin a)
cos2 За — I (cos 6a 4- cos 4a)
___ _
i sm a 4- sm fi = 2 sm —-— • cos —-—
। sm a — sm fi = 2 sm —-— • cos
! cos2 a = - (1 4- cos 2a); 1 — cos 2a = 2 sin2 a!
1.------------------------------------j
! sin 2a = 2 sin a - cos a	|
2
2 sin 2a * cos a • 2 sin a • cos 2a
| (1 + cos 6a) — i cos 6a — | cos 4a
2 sin 2a * cos 2a * sin 2a
| cos 6a — | cos 6a — | cos 4a
Решение практикума 9
229
2 sin2 2а • cos 2а 2 sin2 2а * cos 2а
| cos 4а	i(l — cos4а)
2 sin2 2а * cos 2а
----------------— 2 cos 2а.
sin 2а
L = 2 cos 2а
П = 2 cos 2а
=> L = П, что и требовалось доказать.
3. Вычислите:
1) sin2 68° — sin2 38° — 0,5 sin 106° + 3 =
! sin2 a = - (1 — cos 2a)' 1^1
L--------------------4
= | (1 - cos 136°) - | (1 - cos 76°) -0,5 sin 106° + 3 =
= 0,5 - 0,5 cos 136° - 0,5 + 0,5 cos 76° - 0,5 sin 106° + 3 =
= 0,5(cos 76° - cos 136°) - 0,5 sin 106° + 3 =
= 0,5 • (-2) • sin 106° • sin(—30°) - 0,5° sin 106° + 3 =
= 0,5 sin 106° - 0,5 sin 106° + 3 = U].
3(cos20° -sin20°)
\/2sm25o
J cos a = sin(90° — a) j
3 [cos(90° — 70°) — sin20°] __ 3(sin70° - sin 20°)
\/2 sin 25°	y/2 sin 25°
3- 2 sin 25°  cos 45° _ 3\/2
х/28т25о	y/2
3) (tg 14° + ctg28°)-cos 14°-sin 14° =
sin 14° cos 28° \
cos 14° sin 28° /
• cos 14° • sin 14° —
j sin 2a = 2 sin a • cos a [ djftb
(sin 14° • sin28° + cos 14° • cos 28°) • cos 14° • sin 14°
cos 14° • 2 sin 14° • cos 14°
cos(28° - 14°)
2 cos 14°
cos 14°
2 cos 14°
1
2
230
Суммы и произведения тригонометрических функций
4)
sm -f • cos -f
э	5
1	л 2тг	2 2тг . 2 2тг
1 — cos4 -f— cos -=- • sm -f-
O	0	0
| sin 2a = 2 sin a  cos a;
1
'•2a л • 2	2
t sm 2a = 4 sin a • cos a;
• 2	2	1 • 2 n 1
sm a - cos a = - sm 2a t
4 i
1 • 2 2тг
	4 5111 ~5~________
/ 1 ।_________________________4?r \ 2
I 1+cos -5- \	1 . 2 4тг
1	(	2	)	4 Sm 5
• 2 2тг
SHI -f-
o
л 1 a 4тг	2 4тг
4—1 — 2 cos -г— cos -f-
о	о
• 2 4тг
Sim
о
• 2 2тг
sm V
2 - 2 cos
О
• 2 2тг
sm
о о • 2 2тг
2 • 2 • sm -E-
o
1
4
5
— sm
5)
COS у • SHI 14
• Зтг • ТГ
sm 14 - sm n
тг ♦ тг
cos у • sm 14
5rj • ТГ	ТГ
• 2 sm 14 • cos у
cos у • sin
sin2 32° + sin 26°
5 cos2 32°
4(1 — cos 64°) + sin(90° - 64°)
5 cos2 32
0,5-0,5 cos 64° +cos 64°
5 cos2 32'
0,5+ 0,5 cos 64°
5 cos2 32°
cos2 32°
1
5 cos2 32° “ 5
Решение практикума 9
231
cos 9° + cos 51° + \/3cos21
2\/Зсо8 21о
2 cos 30° - cos 21° + \/3cos21o _
2л/Зсо8 21°
\/3cos 21° + \/3cos 21°	(у,
2\/3cos 21°
:os2 16° + 2 cos2 76° — 3
cos2 44°
l+cos32° + l+cos 152°-3 _ -1+ 2 cos 92° • cos 60°
cos2 44°	cos2 44°
-1 + cos 92° _ -(1 - cos 92°) _ -2 sin2 46° _
cos2 44°	cos2 44° cos2 44°
2 sin2 (90° - 44°) _ 2 cos2 44° _
cos2 44°	cos2 44°
}osl96° + 12 cos 164° _
cos 16°
3cos(180° + 16°) + 12cos(180— 16°) __
cos 16°
-3 cos 16° - 12 cos 16°
sin 43° + sin 17°
2 cos 13° +3 sin 77°
2 sin 30° • cos 13'
cos 13'
2 cos 13° + 3sin(90° - 13°)	2 cos 13° + 3cos 13°
cos 6° + cos 12° + cos 36° + cos 42°
sin 87° * cos 15° • cos 24°
_ 2 cos 24° • cos 12° + 2 cos 24° • cos 18° _
sin 87° • cos 15° * cos 24°
2 cos 24° (cos 12°+cos 18°)	2-2 cos 15° • cos 3°
sin(90°—3°) • cos 15° • cos 24° cos 15° • cos 3°
232
Суммы и произведения тригонометрических функций
3 cos 23° - 3 sin 113° + cos 203°
cos 10° • cos 13° — cos 80° • cos 77°
3 cos 23° - 3 sin(90° + 23°) + cos(180° + 23°)
0,5(cos 23° + cos 3°) — 0,5(cos 157° + cos3°)
3 cos 23° - 3 cos 23° - cos 23°
0,5 cos 23°+ 0,5 cos 3°—0,5cos(180° — 23°)— 0,5cos3°
cos 23°
0,5 cos 23° + 0,5 cos 23°
2 + sina • cosa
13) —---------, если tga = 2.
7	1 + 5 cos1 2 a	b
2 + sin a * cos a (2 + sin a • cos a) : cos2 a
1 + 5 cos2 a (1 + 5 cos2 a) : cos2 a
= ++ + tga = 2(1 + tg2 a) + tga = 2(1+ 4)+ 2
_|_ 5	(1 + tg2a) + 5	1 + 4 + 5
cosz a
15)
tgrr, если sin(j; + 30°) + sin(j; — 30°) = 2д/3со8з;.
sin(j; + 30°) + sin(j; — 30°) = 2д/3созд;;
„ . x + 30° + x - 30° x + 30° - x + 30°	/-
2 sin-------------------cos-------------------— 2v3cosz;
2 sin x cos 30° = 2д/3 cos x, д/З sin x = 2д/3 cos x\
sina;	.
------- tga; = [2].
cosa;
Решение практикума 9
233
16)
1
cos 2а, если sma = —.
4
cos 2а = 1 — 2 sin2 а — 1 — 2 • — = -
16	8
а
17) tga, если tg — — 2.
2 tg 1	2-2	ГТ
tga =---------=-------= — .
1-tg2^	1—4 з|
18) sin(7r + 2a), если sina + cosa =
sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a =
1.
2’
1	1
1+2 sin a • cos a = -; 2 sm a • cos a — — -;
2	2
1
sin 2a = —;
2
sin(7r + 2a) — — sin 2a = -
a /-------
19) 2 sin 3a • sin 2a + cos 5a, если cos — = у 0,6.
2 sin 3a • sin 2a + cos 5a = cos a — cos 5a + cos 5a =
— cos a = 2 cos2 — — 1 = 2 • 0,6 — 1 — 10,21.
2	ш
20)
если sin a — 0,6.

э / тг a\ 1
sm Г + Г = 2
1Z1	.	.	1+0,6
= -(1 + sma) = —-—

234
Суммы и произведения тригонометрических функций
21)	sin + 2а
• ( 77
sm I — + 2а
\ 6	?
1	1 — tg2 а
2	14- tg2 а
_ 1 1 - (2^/3)2
“ 2' 1 + (2УЗ)2
_ 1 — 4-3 + 4-3
2(1 + 12)
если tga = 2\/3.
• 77	ТГ
m — - cos 2а 4- cos — * sm 2а =
6	6
V3 2 tga _
2	14- tg* 2 a
y/3	2 - (2^3) _
+ 2	1 + (2^/3)2
_ T
“ 26 '
22)
cos a 4- cos /3, если a — (3 = —,
a a 4- (3 = 4tt.
Если a 4- (3 = 4тг и a — /3 ~ , to
cos a + cos p — 2 cos I —-— I • cos I —-—
4tt
= 2 cos — •
2
2	7Г
cos — — 2 cos 2tt • cos — ~
2	4
2 .
23)
cos(a 4- /3),
1	7Г
если sma * sinp = a a - p ~
Если a — [3
2’
TO
/3) - cos(o + 0)]! ©
= | [cos(a — (3) — cos(a 4- /3)];
= | (cosf — cos(a + /?)) ;
jsina • sinfl = -
1
2
1
2
1 — 0 — cos(a 4- /3); cos(a 4- (3) = | —1 |.
Решение практикума 9
235
24) sin — + cos — при sin x = 0,21.
\ 2
X \
cos — J — 1 + sinrr; sinrr — 0,21;
sin - +
2 sin — • cos — = 0,21;	1 + 2 sin — * cos — = 0,21 + 1;
2	2’’	2	2’
9 X	о X	X X
sin —I- cos —I- 2 sin — • cos — = 1,21;
2	2	2	2’’
/	4 2
(cos—+ sin— | =1,21; cos —+sin— — ±л/1,21—1 + 1,11.
\	2	2/	2	2 v ’	1---u
25) sin4 а + cos4 се, если sin а + cos а — ~^=
1	9	9	1
sin a + cos a ~	; sm a + cos a + 2 sm a • cos a = -;
y/2	2
1	1
1 + 2 sin a * cos a = -; 2 sin a • cos a = —;
2	2
• 9	9	1
sm a • cos a = —;
16
* 4	।	4
sm a + cos a —
— sin4 a + cos4 a + 2 sin2 a • cos2 a — 2 sin2 a • cos2 a =
7
8 ’
= (sin2 а + cos2 а)2 — 2 sin2 а • cos2 а — 1 — 2 • —
4. Решите уравнения:
1)	sin2j; + sin4:r = 0.
2х + 4.r
2sm----------
2
4:X — 2x	. o
• cos--------- — 0; sm лх • cos x = 0;
2
sin З.г = О
cos х = 0 ’
x —
3	\k,neZ.
7Г	1 ’
x = — + itn
Ответ: < ~-k: -
13’2
— + тт | к, п е Z > .
236
Суммы и произведения тригонометрических функций
2)	cos Зя — cos 5х = 0.
_ Зх + 5х 5х — Зх
2 sm--------- sm------= 0;
2	2
зт4я — 0
sin х = 0 ’
тг
rjQ - -- 'JY
4 , значит, х = —к как более общий случай.
х — тгп
I 7Г	I
Ответ: < —к \к Е Z > .
14	I
3)
sin Зх • sin Ьх = cos ^х • cos 2я.
- [сов(5я — Зя) — cos(5x + Зя)] =
~ [соз(4я + 2х) + соб(4я — 2я)];
cos 2х ~ cos 8х = cos 6х + cos 2я;
8х — 6х
• cos--------= 0;
2
cos 6х + cos 8я = 0;
Л 6х + 8х
2 cos--------
2
cos7х - cosx
= 0;
соз7я — 0
cos я = 0 ’
7 я — — + 7г/с
7Г
X = — + 7ГП
7Г
14
7Г
2+”‘
-к
7к
х =
4)
Ответ: < —
I 14
7Г . 7Г	. _
— к] — + тгп I я, п Е
sin 2х • cos 6х — sin Зх • cos 5я.
- [зт(2я+6я)+8т(2я—6я)] = | [зт(3я+5я)4-8ш(3я—5я)];
sin 8я — sin 4я = sin 8я — sin 2я;
_ . 4я — 2я
2sm--------
2
sin4x — sin 2х — 0;
4я + 2я
• cos-------— 0;
sin я • cos Зя = 0;
sin я = 0
cos Зя = 0 ’
2
X — тгк
7Г
Я = —
6
7Г
зп
I	7Г	7Г
Ответ: < тгА:; —I—п fc, n С Z
I	6	3
Решение практикума 9
237
5)	sin3z 4- cos3z = 1.
\/2sin (зх 4- —— 1; sin (Зх 4-
\	4J	\	4/2
_ 7Г /	-.\t-7T	7	„	7Г z _ ч л 7Г
3z + — = (—1)*	• —	+ тгА;; 3rr = ——	+ (—l)fc	• —	+ тгА:;
4	4	4	4
Ответ: I	| к e Z k
I -L &	X & о	I
v 2
6)	cos 4z — sin 4z —
y/2 cos ( 4z 4- — J —	;
\ 4/ 2
(. тг\ 1	.	, тг л ,
cos I 4x 4— = 4x 4- ~ = ±—h 2тг/г:
\	4/2	4	3
л	л 7	7Г , 7Г 7Г
4x=--±j+2^; x = --±- + -k.
Ответ: <}	±	| A: e z|.
I lo 12	2	I
238
Суммы и произведения тригонометрических функций
Тренировочная работа 16
1.	Разложите на множители:
ч 2а
1)	1 +sm—;
О
2)	cos 2а + 2 sin 2а * sin За — cos 4а;
3)1+ sin 2а + cos 2а.
2.	Докажите тождества:
_ 1 — cos 2а 9
1)		= tg2 а;
1 + cos 2а
ч cos2 а — ctg2 а + 1	9
2)	—----------------- = ctg2 а.
sm2 а + tg2 а — 1
3.	Вычислите:
1)	sin43° -sin 17° + sin2 13° -2;
(1 + tglO°) -coslO0.
л/2йт55°
tg 15°-ctg 15°
’ ctg 30°
27Г (tgY + ctgY)-COS2n
4) sm — • ---------------------
7	7	1	। 7Г
'	1 + cos y
q	О7Г	7Г
2 COS 777 • COS 777
6)	tg7 ’ (sin 14° + tgl4°) ’
sin 87°
8)	cos2 23° + cos2 83° + cos2 37° + 3;
Тренировочная работа 16
239
9)
2 cos 201° - 16 sin 111°
cos 21°
3 cos 9° + sin 81° .
sin 21° + sin 39° ’
11)
sin 36° + sin 40° + sin 44° + sin 48°
2 sin 88° • cos 4° * sin 42°
5 cos 63° + 2 sin 27° - 4 sin 207° .
sin 15° • sin 78° + sin 75° • sin 12° ’
3 — sin ct • cos ct
13) -------------x, если tga — —2;
6 cos2 a — sin a
CX. t-------
14) 2 cos 3a • cos 4a — cos 7a, если cos — — у 0,8;
15)
2 ( 7Г
cos* —
\ 4
a \
— , если sina = —0,4;
2 J ’
16)
/3.
T’
17)
/ 7Г	\
cos I — + 2a j , если tg a =
\ о	J
sin3 a + cos3 a, если sin a + cos a = 0,8.
4. Решите уравнения:
1)	sin я; + sin3z + sin5z = 0;
2)	cos 2x + cos 8x — cos 4x + cos 6z;
3)	sin x + cos x = sin 3x + cos 3x;
4)	cos 4x • cos 2x — sin 6x • sin 8x;
5)	cos 3x * sin 5z = cos 5z • sin 7z;
6)	tg x + tg 2x — tg 3x — 0.
240
Суммы и произведения тригонометрических функций
Решение тренировочной работы 16
1. Разложите на множители:
, • 2«
1 + sin — =
о
1)
. тг . 2a Л . / тг	a\
— sm —I- sm — ~ 2 sm — 4— • cos
2	3	\4	3/
Л . /Зтг4-4а\ /Зтг — 4a\
— 2 sin ——— • cos -----------— .
V 12 J \	12	7
-тг а
4 “ 3
2)
cos 2а 4- 2 sin 2а • sin За — cos 4а =
o . /2a 4-4a \	. f2a — 4a
= 2sm2a • sin3a — 2sm ---~--- -sin --------
\	2 J \	2
= 2 sin 3a • sin a 4- 2 sin 2a • sin 3a —
— 2 sin За • (sin а 4- sin 2а) = 4 sin За • sin • cos —.
3)
1 4- sin 2а 4- cos 2а =
= 2 cos2 а 4- 2 sin а • cos а = 2 cos a(cos a 4- sin a) =
— 2 cos a • \/2 cos ( т - a | = 2\/2 cos a • cos ( ~ — a
\ 4	/	\ 4
2. Докажите тождества:
1 - cos2a 2
1) т------— = tg a.
1 4- cos 2a
_.	1 — cos 2a 2 sin2 a 9
L =--------=-----= tg2 a:
1 + cos 2a 2 cos2 a
L = tg2 a
П = tg2 a
cos2 a - ctg2 a 4- 1	2
2)	—m—Г = ctg a-
sin a 4- tgz a — 1
=> L = П, что и требовалось доказать.
cos2 a — ctg2 a + 1
1^	, O	Q
sin a 4- tgz a — 1
9
2 cos a ( ч
cos a------—T-----1- 1
sin a
• 2	। sm a -t
sm a 4-------5----1
cos2 a

Решение тренировочной работы 16
241
9	• 9
2 cos a—sin а
cos а--------—5——
sm а
; q	q
• 2	। sin a—cos а
siir а Ч--------2---
cosz а
cos2 ct-sin2 a—cos2 ct+sin2 а
------------------------------------
sinz а
cos2 ct-sin2 ct+sin2 a—cos2 a
cos2 a
2 cos 2а
cos а--------
sirr а
• 2 cos 2а
sin а----------
cos^ а
2
cos a
~ 2
sm a
= ctg2 a;
L = ctg2 a
П — ctg2 a
L = П, что и требовалось доказать.
3. Вычислите:
1) sin 43° • sin 17° + sin2 13° - 2 =
— ^(cos26° — cos60°) +	| cos 26° — 2 —
1 111 ,_________.
- - cos 26° - - + - - - cos 26° - 2 - [ —1~75|.
(1 + tg 10°) * cos 10°
V^sinSS0
Wo । sin 10°	-| aq
_	+ EiiHiF ' cos 10 _ cos 10° + sin 10° _
y/2 sin 55°	y/2 sin 55°
_ cos 10° + sin(90° — 80°) _ cos 10° + cos 80° _
\/2 sin 55°	~	\/2 sin 55°
_ 2cos45°-cos35° _ ^2cos(90° - 55°) _ sin55°
/2 sin 55°	~	/2 sin 55°	" sin 55°
tg 15° - ctg 15° _
ctg 30°
= —-— I tg 15°-------— ) =
ctg 30° \ tgl50/
= =	=
ctg 30°	tgl5° ctg 30°
242
Суммы и произведения тригонометрических функций
.	27Г (tg 7 + cfcg 7)  cos2 П
'	1 + COS у
(sin v cos v \ о -
“4 + -4 • cos2 * 4
cos у sm у ]	141
= sm — --------------------------------=
7	1 1 тг
'	1 + COS у
(sin2 у + cos2 у \	9 _
cos у-sin у J	14
= SIH — • ----------------------------- =
1 + COS у
. 2тг 1	о тг
sm — • n - .	• cos 14	9 cos2 —
'	0,5 sm-у-	z cos
2 COS2 4	2 COS2 Yj
q ЗТГ	ТГ
2 cos yg • cos уд
( 7Г j	2тг
I COS 5 + COS -y
2	Зтг	7Г
COS уд • COS уд
5)
3d ЗтГ	7Г
• 2 COS 77 • COS 777
2 Зтг	7Г
COS Tn * COS T7^
6) tg7°
1
sin 14°
1
tg!4°
(	1 cos 14° \
= tg 7 • (---------1--------I —
\ sin 14° sin 14°/
= tg7°  (1 + C°b.1o4°) = tg7° • ctg7° = Ш-
\ sm 14° J
cos 48° + cos 42° + v^cosB0
^2 sin 87°
2 cos 45° • cos3° + ^2cos3°
V/2sin(90° - 3°)
2 cos3° + v2 cos3(
y/2 cos 3°
Решение тренировочной работы 16
243
8) cos2 23° + cos2 83° + cos2 37° + 3 =
= 0,5(1 + cos 46°) +0,5(1 + cos 166°)+
+ 0,5(1 +cos 74°)+ 3 =
= 0,5 + 0,5 cos46° + 0,5 + 0,5 cos(180° - 14°) +
+ 0,5 + 0,5cos74° + 3 =
= 4,5 + 0,5 cos 46° - 0,5 cos 14° + 0,5 cos 74° =
= 4,5 - sin 30° • sin 16° + 0,5 cos(90° - 16°) =
= 4,5 - 0,5sin 16° + 0,5sin 16° = |~4j].
9)
io)
2cos201° - 16sinlll°
cos 21°
2cos(180° + 21°) - 16sin(90° + 21°)
cos 21°
-2 cos 21° - 16 cos 21°
cos 21°
= EB
3 cos 9° + sin 81°
sin 21° + sin 39°
3cos9° + sin(90° — 9°)
2 sin 30° • cos 9°
3 cos 9° + cos 9°
2 sin 30° • cos 9°
11)
sin 36° + sin 40° + sin 44° + sin 48°
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
o . 36°+44°	36°—44°	,	o .	40°+48°	40°-48°
2 sm-----2--- • COS---2-----ь sm	--2--- * C0S---2----
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
2 sin 40° * cos 4° + 2 sin 44° • cos 4° __
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
2 cos 4° (sin 40° + sin 44°)
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
2 sin 42° • cos 2°	2 cos 2°	„
sin(90° — 2°) * sin42° cos 2°
244
Суммы и произведения тригонометрических функций
5 cos 63° + 2 sin 27° - 4 sin 207°
sin 15° • sin 78° + sin 75° • sin 12°
• _ 5 cos 63° + 2sin(90° - 63°) - 4sin(270° - 63°) _
0,5(cos63° — cos 93°) + 0,5(cos63° — cos 87°)
5 cos 63°+2 cos 63°+4 cos 63°
“ 0,5cos63°—0,5cos(90°+3°)+0,5cos63°-0,5 cos(90°-3°)
___11 cos 63°______________________ 11 cos 63° _ —I
cos 63° + 0,5 sin 3° — 0,5 sin 3° cos 63°
3 — sina • cosa
13) -----------—?—, если tga — —2.
6	cos* 2 * a — sin a
3	— sin a • cos a	(3 — sin a • cos a) : cos2 a
6 cos2 a — sin2 a	(6 cos2 a — sin2 a) : cos2 a
_	~ tgQ' _ 3(1 + tg2 a) - tga _
6 — tg2 a	6 — tg2 a
_ 3(1 + 4) + 2 _
— ------------- - I rSi> L
14) 2 cos3a • cos4a — cos 7a, если cos — = уОД
2 cos 3a • cos 4a — cos 7a = cos 7a + cos a — cos 7a —
— cosa = 2cos2 — — 1 — 2 • 0,8 — 1 — 10,61.
15) cos2	если sina — —0,4.
7 V4 2/
= 1(1 + sina) = |(1 - 0,4) = [0^].
16)
/ 7Г	\	V3
cos I — 4- 2a I , если tg a — —-
\ о	/	Zi
I \	• 77
cos —f- 2a = cos — • cos 2a — sm — • sm 2a =
V 3	7	3	3
Решение тренировочной работы 16
245
1 1 — tg2a	\/3	2 tga
2 1 + tg2 a 2	1 + tg2 a
f 3	-I 3 Q
1-4	3	1 - 4 “3
11
14
17) sin3 a + cos3 а, если sin a + cos a — 0,8.
sina + cosa = 0,8;
sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a = 0,64;
1 + 2 sin a • cos a = 0,64;	2 sin a * cos a — —0,36;
sina • cosa — —0,18;
sin3 a+cos3 a — (sina+cosa) (sin2 a+cos2 a—sin a-cosa) =
= 0,8(1 + 0,18) = | 0,9441.
4.	Решите уравнения:
1)	sinz + sin 3т + sin 5т = 0.
. х + 5т т — 5т . Л
2 sm----------- cos — ----h sm Зх = 0;
2	2
2 sin Зх • cos 2х + sin Зх — 0;	2 sin Зх * (cos 2т + | j = 0;
sin Зх = 0
cos 2т = — - ’
2
Зт = tv к
2тг Л ;
2х = ± — + 2тгп
о
x — — к
3
х — ±— + тгп
О
x = — к как более общий случай,
о
Ответ: < —к | к Е Z > .
246
Суммы и произведения тригонометрических функций
2)	cos 2х + cos 8х = cos 4х + cos 6х.
2х + 8а; 2х — 8а; 4х + 6х 4х — 6х
 2 cos------------ cos-------= 2 cos-------------- cos-------;
2	2	2	2
cos 5x • cos3x — cos5x • cosa;; cos5a;(cos3a; — cosa;) = 0;
. 3a; — x 3x + x
2 cos 5a; • sm-------• sm----------= 0;
2	2
cos 5a; • sin x • sin 2x = 0;
	7Г
cos 5a; = 0	I=W +
sina; = 0 ;	X = 7ГП
sin 2x = 0	7Г
—	a; =
-k
ь
л
—p включает в себя случай
Заметим, что случай х =
х = яп. Обобщая, получим ответ.
I 7Г	7Г 7Г ।	I
Ответ: < — + —к; —р | к,р е Z > .
I 10	5	2	I
3)	sin х + cos х — sin За; + cos За;.
a/2shi
\/2 sin
= 0;
sin
— sin
За; + j — a; — ? За; + + a; + ?
2 sin----------------------- cos-----------------= 0;
2	2
/	7Г \
sma; • cos 2a; + — = 0;
\	4 /
sin x — 0
cos(2a; + -~) = 0 ’
4
x = тгк
7Г	7Г	;
2a; + - = - + тгп
4	2
x = тгк
Ответ:
7Г 7Г ,
7г/с; — + — n \k,n G Z
8	2
Решение тренировочной работы 16
247
4)	cos 4х • cos 2х = sin 6х • sin &г.
| (cos 6х + cos 2х) = (cos 2х — cos 14з;);
cos 14з; + cos 6т = 0;
2 cos 10х • cos 4х = 0;
cos Ют = 0
cos 4х = 0 ’
10т = — + тгк
20	10
4х — —тт
2
8	4
Стает: j — + — fc; - + -п | к, п G Z
5)	cos Зх • sin 5х = cos 5х • sin 7х.
- (sin 8х + sin 2х) — - (sin 12т + sin 2т);
2	2
sin 12# — sin 8х = 0;
2 sin 2х • cos Ют = 0;
sin 2x — 0
cos 10т — 0 ’
X=2k
20	10
Ответ: < — kt---1--n
12 ’ 20	10
| fc, n G Z
6)	tg x + tg 2x — tg 3x — 0.
sin 3x sin 3x
------------о-------7- = °;
cos x * cos 2x cos 3x
. o cos 3т — cos x • cos 2x
sm ---------------------------= 0;
cosrr * cos 2x • cos 3x
sin 3x • (cos 3x — cos x • cos 2x)
cos x • cos 2x • cos 3x	’
sin 3:r (cos x • cos 2x — sin x • sin 2x — cos x • cos 2z)
cos x • cos 2x * cos 3x
248
Суммы и произведения тригонометрических функций
sina; • sin 2х • sin За;
cos х • cos 2х • cos Зх
tga; • tg2a; * tg3a; — 0;
tga; = О
tg 2х = 0 ;
tg Зх = О
х = тгк
тг
X = —п
2
7Г
а; -т?
о
{cos x ± 0
cos 2x ± 0 .
cos 3a; 7^ 0
Ответ: < — к | к G Z > .
Практикум 10
249
Практикум 10
Рассмотрим более сложные примеры.
Вычислите:
1)
/ 5тг \ f 5тг
tg I — + x 1 + tg I — -x
-1	/Зтг
, если tg I —
’	\ 2
_ 3
“ 4’
2)
>7ctg a + v/tg a	x /тг
.	--------, если ctg —
Vctg a - Vtg a	\ 4
_ 1
“ 2’
3)
ctga — tga — 2tg2a, если tg4a = 0,2;
4)
x	5з7
5 sin — * cos —, если cos
2	2 ’
Зтг\ 4	( тг\
т)=-,где1£|0;51;
5)
ЛТ X	.	1 + 2л/2
V2tg —, если sinx + cos я? =------
2	3
6)
7)
6(9sin2a + 7cos2a) \ если tga = 2;
sin3 a + sin 3a
—x------------, если ctga = 0,3;
cosJ a — cos 3a
8)
12 + 16 cos 4a + cos 8a	Л 1
----------------------, если tg2a =
3 — 4 cos 4a + cos 8a	3
9)
4 sin3 a • cos 3a + 4 cos3 a  sin 3a, если sin 4a = 0,2;
10)
• 4	4	4-
sm a — cos* а, если tg — =
1
2’
И)
a
120
a . Л 12(J тг
3tg—, если sin2a — при — < a
2
169
7Г
2’
12)
128(sin8 a + cos8 a), если sin 2a — 0,5;
13)
10	/ . 19	12 X	*	V 2
----— sin a — cos a , если sm a + cos a =
39л/3 V	7	2
ТГ
при — < a < тг;
250
Суммы и произведения тригонометрических функций
14)
___________2 sin2 4а - 1_________ =
2 ctg(45° + 4а) • cos2(225° — 4а) ’ если a ’
15)
ctg а — tg а — 2 tg 2а — 4 tg 4а — 8 tg 8а, если а
16)
cos2 4х — sin 8х • ctg 2х + sin2 4х * ctg2 2z, если x
7Г
48’
7Г
: 36’
17)
sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin 54z, если:
a) ctg2 27z — ctg 27z + 1 — ctg — ;
18)
6) x — —;
7	27’
7	71
cosz • cos2x • cos4z •... • cos 2 x, если x =---
’	256
Решение практикума 10
251
Решение практикума 10
Вычислите:
' (5тг	\ , , (Зтг
1) tg(y + d+tgl
tg
-1	/Зтг
, если tg I —
3
- ctga:; тогда ctga: = значит tga: = -
_ 3
“ 4
'-Г I cc
/5тг \ tg^ + tga:
tg ~г + х ) = ----57“---
\ 4	J	1-tg^-tga:
„	,	4
/ 5тг	\	*	з	1
\	/	1 -г	з
/ 5тг	\	tg^-tga:
tg-----XI— -------Р-----
\ 4	/	1 + tg^-tga:
/	ч	1 -Г 1
/ 5тг	\	1 "г 3	»
\	/	1	з
С учетом полученных результатов
/ 5тг	\ , / 5тг	\ 1
tg (	+ у + tg “ х)
=-^=ет-
_ 1 + tga:,
1 - tg x ’
1 — tg х
1 + tga:’
; Г
1
2
2) v, — , —если ctg -
/ctga — /tga	\4
/ctga + /tga _ Ttga + a _ 1 + (/tga) _ 1 + tga,
X-----------------/tga 1 — (/tga)2 1-tga
i 1 - tg I • tga _ 1 - tga _ 1
т + a) tg^+tga 1 + tga 2
/ctga - /tga
ctg ( 4 + <*
Значит, . , ----ут—-
/ctga - /tga
252
Суммы и произведения тригонометрических функций
3) ctg ct — tg а — 2 tg 2а, ссли tg 4a — 0,2.
ctg a — tg a — 2 tg 2a = — -tg a — 2 tg 2a =
tga
1 — tg2 a	1
= —;--------2 tg 2a = -r---
tg a	2 tg
n 2 tga
tg2a = -—t"2—•
1 — tg2 a
9.	2(!-tg22a)
2 tg 2a —-----------
tg2a
так как
2
tg 2a
2 tg2a,
2
|tg4a
4
tg 4a
Значит,
= Д = 20.
0,2
ctgct — tga — 2tg2a = I 20 L если tg4a —0,2.
4) 5 sin • cos , если cos
Зтг\ 4	/ 7Г
— = где x G 10; -
2/5	\	2
„ . x	5x	_ 1
5 sm —  cos — — 5 • - i
2	2	2
. / x 5x\	. / x 5x
Sm(2 + T )+Sm(2-T
cos
= 2,5(sin3z — sin 2z);
/ Зтг\ 4	.	4	/ я
— 1 = -, значит smz = ”, где x E 10; —
2 J О	О	\	2
sin 2x — 2 sin x * cos z; cos x —
_ 3
“ 5’
4 3	24
^ = 2-.- = -;
/3\2	7
cos 2x = 2cos2z — 1; cos 2x = 2 • ( - j — 1 = — —;
у 5 у	25
sin 3z = sin(z + 2x) = sin x * cos 2x + cos x • sin 2x —
4 / 7 \ , 3 24 _ 72 - 28 _ 44
5 ’ V 25) + 5 ’ 25 “ 125 “ 125
Решение практикума 10
253
24
25
5
2
Тогда 5 sin • cos = 2,5(sin Зх — sin 2т), т. е.
. х 5т / 44
5sin - • cos — — 2,5
= _g=FT^2|.
25 1-------—1
44 - 120
125
X
5) д/2 tg —, если sin х + cos х =
1 + 2^2
3
при —тг
тг.
Так как sin х > — cos х и х
sin2 х + 2 sin х • cos х +
( тг Зтг \	,	,
то тЕ — —С — тг:тг , значит
\ 4 4 /
9	9 + 4^2
cos т —---------

4 г
1 + sin 2т = 1 + - v 2;
4 г
sin 2т = -v 2, но
— < 2т
2
Зтг
т
— < 2т < 0;
2
cos 2х > 0;
/	/4 /_\2	7
cos 2т=ч/1— I—v2] = -;
4
0, значит cost > 0, sinT < 0;
/1 + cos 2х	/1 + э 2 /-
cost = i /-----------; cost “ \l —-— = - v2;
Zi	о
2
sinx = —
1 — cos 2х
shit — —
1-5
2
1
3’
2
так как
tg 2
1 — COS т
--------, то
SHIT
v^tgj
—1
3
= 4 - 3^2.
254
Суммы и произведения тригонометрических функций
7Г	7
б) 0 < 2т < cos 2т > 0; cos 2т =
0 < х <
тогда cost
sinT > 0, т. с.
sinT =
1
тогда
о
= 3^2- 4.
в) — < 2т < тг; cos 2т < 0;
7
cos 2т — —;
9
7Г X 7Г
4 < 2 < 2’
cost > 0; sinT > 0, тогда
cos 2т < 0,
7
т. е. cos 2т — —;
9
7Г	ЗТГ
тогда — < х < —, значит cost < 0;
cos х = —
1 + cos 2т
2
COS X — —
1
3’
2
Решение практикума 10
255
д)
sin 37 + cosrr	0, но
1 + 2х/2
sinj; + cosrr =------, что одновременно невозможно,
значит задача неразрешима.
е) при х = 0,
1 + 2х/2
равенство sinx + cosrr —---------не выполняется,
О
Ответ:
а)	на f ; 0j v^2 tg = 4 — 3x/2;
б)	на (0; ^0 x/2 tg ~ = 3\/2 — 4;
,	/ 7Г 7Г \ г X
B) Ha (7; 2 ) v2tg 2 = 1;
,	/ тг Зтг\ /- X
г) иа ( 2’Т) ^tg 2 = 2’
6)	6(9 sin 2a + 7 cos 2a) \ если tga —2.
rp	* 0 2tga	.
1ак как sm 2a =-----. to sm 2a =
1 +tg2a
1 — tg2 a
так как cos 2a =----5—, to cos 2a =
1 + tg2 a
/4	3
6 • (9 sin 2a + 7 cos 2a)-1 = 6 • ( 9 --7 • -
\	5
2-2
1 + 22 :
1 - 22
1 + 22 :
SV1
5/
4_
5’
3
5'
/36- 21V1
=6-HH
256
Суммы и произведения тригонометрических функций
. sm3 а + sm3a
7)		~, если ctga = 0,3.
cosJ а — cos За
Мы уже доказывали ранее, что
sin За — 3 sin а — 4 sin3 a; cos За = 4 cos3 а — 3 cos а.
sin3 а +	sin За	sin3 а + 3 sin а — 4 sin3 а
Тогда х	~	— о ~ о ~	—
cos'3 а —	cos За	cos'3 а — 4 cos'3 а + 3 cos а
3 sin а(1 — sin2 a) sin а • cos2 а
о Я 2 V	• 2 ctg а.
3cosa(l — cosz a) cosa • sin а
sin3 а + sin За
Ответ: ---х-----------= 0,3, если ctga — 0,3.
cos'3 а — cos За
12 + 16 cos 4а + cos 8а	1
8)	—----~л---~л--------—, если tg2a = ~.
3 — 4 cos 4а + cos 8а	3
Так как cos 4a —
1 — tg2 2a
1 + tg2 2a
to cos 4a =
cos 8a = 2 cos2 4a — 1;
cos 8a = 2 •
/4\2	7.
\5/	” 25’
12 + 16 cos 4a + cos 8a	12 + 16  5 + 25
3 — 4 cos 4a + cos 8a
з-44 + 4
12  25 + 16 • 20 + 7 _ 300 + 320 + 7 _ 627 _	,
3-25 - 4-20 + 7 “ 75 - 80 + 7 ~ T ~
9)	4 sin3 a • cos 3a + 4 cos3 a * sin 3a, если sin 4a = 0,2.
Учтем, что из формул тройного угла
sin За = 3 sin a — 4 sin3 а и cos За — 4 cos3 а — 3 cos а
можно получить формулы кубов:
о 3 sin а — sin За ?	3 cos а + cos За
sm а —----------------: cos а —-----------------.
4	4
Решение практикума 10
257
Л(а) = 4 sin3 а • cos За + 4 cos3 а • sin За =
3 sin а— sin За	л 3 cos а 4-cos За . о
= 4 --------•------- cos За 4- 4 •-------------- sm За =
4
4
= 3 sin а • cos За — sin За ♦ cos За4-
4- 3 cos а • sin За 4- cos За * sin За =
= 3(sin а • cos За 4- cos а • sin За) = 3 sin 4а.
Значит Л(а) = 3 sin 4а, а так как по условию sin 4а — 0,2,
то Л(а) = 3 ♦ 0,2 — 0,6.
Ответ: 4 sin3 а • cos За 4- 4 cos3 а • sin За = 0,6.
1 п\ • 4	4	а 1
10)	sm а — cos а, если tg — — -.
sin4 а — cos4 а = (sin2 а 4- cos2 а) (sin2 а — cos2 а) — — cos 2а,
1 - tg2 а
но cos 2а = -----.
1 + tg2 а	/ х \ 2
а	1	1-Ы	3
Тогда так как tg — — -, то cos а =-------у = -.
Z	Z	1 I / 1 \	о
(3\2	9	7
-) — 1 = 2- — — 1 — — — = —0,28,
5 J	25	25
7
так как cos 2а = 2 cos2 а — 1. Итак, — cos 2а — — = 0,28.
25
СИ
Ответ: sin4 а — cos4 а = 0,28, если tg — = 0,5.
. а .	120 тг тг
11)	з tg -, если sin 2а = — при - < а < -
1 ОУ	ТГ
С учетом условий получим
значит
— < 2а < тг, тогда cos 2а < 0,
I /120\2
cos 2а = — а /1 — ——
V \ 169 /
V289 • 49 _ 17 • 7 _ 1.19
169	“	169" “ —169
/---------- L 119
/14- cos 2а	/1 169	5
cos а > 0, тогда cos а — ч /---------; cos а = А / —-— = —;
у z	у £ la
258
Суммы и произведения тригонометрических функций
/	( з \ 2
sin а > 0; sin а = < /1 — ( — ]
V \13/
12
13
_	а sm а
так как tg — =--------, то 3 tg
2	1 + cos a
= 3-
12
13
-I- ~
Г 13
3*12
18	'
а
2
12)	128 (sin8 a + cos8 a), если sin 2a = 0,5.
a) A(a) = sin8 a + cos8 a —
= (sin4 a + cos4 ci)2 — 2 sin4 a • cos4 a —
sin2 a + cos2 ci)2 — 2sin2 a • cos2 a] —2sin4a*cos4a=
L — 2 sin2 a • cos2 a)2 — - (2 sin a
1 \2 1
1 — - sin2 2a J — - sin4 2a;
6)
sin2a = 0,5, тогда
cosa)4 =
A(a)=
I ' <°-5>4 =
/	1\2	1 1 _ 49	1	97
\ ” 8/ “ 8 * 16 ” 64 “ 128 “ 128’
Тогда 128 (sin8 a + cos8 a) = 128 --= 97.
Ответ: 128(sin8 a + cos8 a) = 97, если sin 2a = 0,5.
. o \	/10	/.12	19 \	.
13) A /---= sm a — cos a , если sm a + cos a = —
V 39д/3 * V	7	2
при — < a
A(a) — sin12 a — cos12 a = (sin4 a)3 — (cos4 a)3 —
— (sin4 a — cos4 a) (sin8 a + sin4 a • cos4 a + cos8 a) =
= (sin2 a — cos2 a) (sin2 a + cos2 a) x
x [(sin4 a + cos4 a)2 — 2 sin4 a • cos4 a + sin4 a • cos4 a] =
Решение практикума 10
259
= — cos 2а х
х ^(sin2 a+cos2 а)2 —2 sin2 a • cos2 a^ —sin4 a • cos4 a
= — cos 2a • [(1 — 2 sin2 a * cos2 a)2 — sin4 a • cos4 a] —
= — cos 2a x
x [1 — 4 sin2 a • cos2 a + 4 sin4 a * cos4 a — sin4 a • cos4
= — cos 2a [1 — 4 sin2 a • cos2 a + 3 sin4 a • cos4 a] =
3
= — cos 2a(l — sin2 2a + — sin4 2a).
w	V2 тг
Учтем, что по условию sma + cosa = -у- при — < а
sin а + cos а —
( Тг\ 1	ТГ ТГ
cos I а — — I = а — — = ± — + 2тгА;;
тг тг „ ,
а = — ± — + 2тг&.
О
ТГ	тг тг	7тг	7тг
Так как	—	< a <	тг,	то a —	—I—	—	—;	2а =	—.
2	’	4	3	12’	6
77Г Л . 2 77Г , 3 -4
= - cos — 1 - sm — + — sm
6 \	6	16
х/З 256 - 64 + 3
2	256
х/З 195
~2~’ 256’
тогда
7тг / 10	V3-39-5
’ Л(12 ’ ~ V 39х/3 ’ 2-256
2 sin2 4a - 1
14) -----------"----------------------—_ если а ~ 3°.
2ctg(45° + 4a) • cos2(225° — 4a)
2 sin2 4a — 1
a 2ctg(45° + 4a) • cos2 (225° — 4a)
;cos2'(225° - 4a)” - cos2 [270° - (45° + 4a)] = sin2 (45° + 4a) ‘ ®
— cos 8a	— cos 8a
2з°п(4£'+Э ‘ sin2(45°+4a)	2 cos(45°+4a!) • 8т(45о+4о!)
260
Суммы и произведения тригонометрических функций
— cos 8 а — cos 8а
sin(90°+8a) cos 8а
Решение от а (при а Е D(A)) не зависит (3° С D(A)).
2 sin2 4а — 1	1
2ctg(45° + 4а) • cos2(225° — 4а)
7Г
15) ctgа — tga — 2tg2а — 4tg4а — 8tg8a, если а = —.
A(a) = ctg a — tg a — 2 tg 2a — 4 tg 4a — 8 tg 8a.
9	• 2
cos a — sin a
sin a • cos a
cos a sin a
ctg a — tg a = —-------------
sm a cos a
cos 2a
_ ---------— 2 ctg 2a;
sin 2a
Л	(cos 2а
2ctg2a — 2tg2a = 2 I --
\ sm 2а
sin 2а \ cos 4а
------ =2*-i-------
cos 2а/	1 sin 4а
Далее по аналогии 4 ctg 4a — 4 tg 4a = 8 ctg 8a;
8 ctg 8a — 8 tg 8a — 16 ctg 16a.
А —
\ 48
= 16 Ctg (16 • £-) = 16 Ctg = у Уз =
\ Ло /	О О
Ответ: ctg а — tg а — 2 tg 2а — 4 tg 4а — 8 tg 8а =
= 4ctg4a.
16л/3
3
16л/3
3
16)
прИа = -.
cos2 4z — sin 8z * ctg 2x + sin2 4x • ctg2 2x, если x — —.
36
A(x) = cos2 4rr — sin 8x * ctg 2x + sin2 4x • ctg2 2x =
? л . 4	4 cos 2x 4 . 9 Л о Л cos2 2x
= cos 4x — 2 sm 4x • cos 4x • —-1- 4 sm 2x * cos 2x-~— =
sm 2x	sin2 2x
9 л 4 sin 2x • cos 2x • cos 4x • cos 2x 4
— cos 4x------------------t— ------------h 4 cos 2x =
sm 2x
= (2 cos2 2x — I)2 — 4 cos2 2x{2 cos2 2x — 1) + 4 cos4 2x =
— 4 cos4 2x — 4 cos2 2x4-1 —8 cos4 2rr + 4cos2 2rr + 4cos4 2x — 1.
__	7Г
Ответ: A(x) — I 11 и не зависит от х = —.
36
Решение практикума 10
261
17) sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin 54rr,
a) ctg2 27a; — ctg 27rr + 1 = ctg
если:
6) x = —
7	27
a) ctg2 27a; — ctg 27x + 1 = ctg ~.
sina;
1 — cosa;
1	cos 27x
sin2 27a;	sin 27a;
1—cos 27а; • sin 27а;
sina;
x sinx
ctg - = т--------;;
2	1 — cos x 1
sin2 27a;
1 — i sin 54a;
1 — COS X ’
sin - / 0
sina;
1 “ COS X
-(I — cos 54a;)
(2 — sin 54a;) (1 — cosa;) — sina;(l — cos 54a;);
2— sin 54a;— 2 cos a;+sin 54a;-cos a; = sin a; —sin a;-cos 54a;;
2(1 — cosa;) — sin 54a; + sin 55a; — sina; — 0;
9 x	109a;	. x	x	a;
2 • 2 • sm —h 2 cos------• sm-----2 sm — • cos — = 0;
2	2	2	2	2
x f	x	109a;	a;\	f	. x	. \
2sm — 2 sm —h cos------------cos — I — 0 sm — Ф 0 I;
2 \	2	2	2)	V 2
. 55x	• 54x
t x n . 55a; , 54a;	sin ~2~ *sm~2~
2sin----2sm------sm-----— 0. 1огда
2	2	2
1.
X
sm 2
2. Пусть A (a;) = sina; + sin 2a; + sin3x + ... + sin 54a;;
(sina;+sin2a; + .. .+sin 54a;) • sin - / x \
A(x) =---------------—---------------- (sin - / 0 .
. X
Sm2
isina • sin/3 = [cos(ct —
. x	.	1 ( x
2	2^2
т	1 / Чг
sin — ♦ sin 2x = - I cos —
2	2 k 2
x t X f bx
sm — • sm 3x — - cos —
2	2 V 2
3a; \
cos--cos — :
2 J
bx
-cosy
7x
-cosy
x	1 /	107a;	109a;
sm — • sm 54a; ~ — cos-------------cos —-—
2	2 \	2	2
262
Суммы и произведения тригонометрических функций
Поэтому
if x 109a:
COS 77 — COS “5“
A(x) =	-----—---------
. 55а:	• 54х
sm ~2~ • sm —
Sm 2
Sm2
7Г	( 7Г \
6) x — —, тогда A — = 0.
7	27	\27 J
. /54
так как sm —
\ 2
7Г
27
= sin7r = 0.
Ответ: а) А(х) = 1,
если
ctg2 27х — ctg 27x + 1 = ctg ;
б) А(х) = 0,
если
7Г
27
18)
cos x • cos 2x • cos 4x • ...
cos27x, если x ~
A(x) — cos x • cos 2x • cos 4x •... • cos 27x
smx ,
—--= (sm x yt 0)
smx
1	7
2 sin 2x • cos 2x *... • cos 2
sinx
1 sin 4x • cos 4x • ... * cos 27
= 22
sinx
1
так как cosx • sinx = - sin2x.
2
1
2»
sin 28
smx
. , 4	1 sm 28;
Л(х) = —г • —;-----
28 sin x
256
\ 256 /	28
1
2*
Sin 2^6
Ответ: A(x) = cos x • cos 2x • cos 4x • .
7Г
если x — ----.
256
sm тг
Sin 2^6
.. • cos27x = 0,
Периодические функции
263
Периодические функции
I. Определение. Функция у = /(ж) называется периодиче-
ской на D(f), если для Vx Е D(f) ЗТ 0, называемое ее
периодом, такое что 1)	£>(/);	2) /(х + Т) = /(ж).
II. Определение. Пусть у = f(x) — периодическая функ-
ция с периодом Т. Основным периодом функции назы-
вается число То, наименьшее из всех положительных пе-
риодов Т.
Пример 1. Докажите, что функция f(x) — Asin(az + b) + В
периодическая и найдите ее основной период.
/)(/) —(—оо;оо), для VT^O верно, что xlTeD^f)^ значит
первое условие определения периодической функции выполня-
ется.
Проверим второе условие. Рассмотрим f(x + Т) — f(x) =
= Asin(a(z + Т) + 6) + В — (Asin(az + Ь) + В) =
= A sin(a£ + аТ + b) — A sin(a£ + Ь) —
_ л . ах + аТ + Ь — ах — Ь ах + аТ + 6 + ах + b
= 2 A sm------------------* cos------------------=
2	2
. аТ (	1
— 2A sm — • cos I ах + b +
аТ\
Т) *
аТ	аТ	2тгк
Вели sm — 0, то —- — тгк; при а о Т =-------------, и при к О
2	2	а
найден Т / 0, для которого f(x + Т) = /(ж) (к е Z).
Значит, функция у = f(x) — периодическая функция.
Так как по определению основного периода Т > 0 и То —
наименьшее из таких Т, то очевидно, что То —	- основной
|а|
период (а 0).
Примечания.
1.	Из доказательства периодичность у = Asin(aa; + Ь) + В
не зависит от коэффициентов А, В и Ь и зависит только
от а ф 0.
264
Суммы и произведения тригонометрических функций
2.	При а = 0 у = A sin b 4- В — постоянная величина, не за-
висящая от х, тогда f(x 4-Т) = f(x) для всех Г, т. е. в этом
случае функция является периодической с периодом Т лю-
бым числом, значит в этом случае, так как нет наименьшего
положительного числа 7Ь, то основного периода нет.
3.	Аналогично доказывается, что периодическими являются
функции
2я
у = A cos(ax 4- Ь) 4- В — Т$ = —г (а 0);
Н
у = Atg(aa; + Ь) + В — То = -Д- (а 0);
У = A ctg(aa; + 6) + В ~ То = гт W 0).
|а|
Пример 2. Проверить периодичность у — f(x) — cosa;2.
В(/) = (—сю; сю), значит первое условие периодичности выпол-
няется.
Рассмотрим f{x 4- Т) — f(x) = cos(a; + Т)2 — cosa;2 =
(х + Г)2 — х2 . (х + Г)2 + х2
= — 2 sin----------* sm--------------.
2	2
(х В)2 — а;2
а)	Если sin ----------— 0, то f(x + Т) — f(x), значит
(х + Т)2 — х2	Т2
-------------~ 7г/с; тогда хТ + — = тгк — получили урав-
2------------2
нение относительно Г, решения которого, конечно, зави-
сят от а;, что противоречит определению периодичности
функции.
Г а; 4“ Т)2 4~ х2
б)	Если sin-----------= 0, то f{x 4-Г) = значит
2 Т2
х 4- хТ 4—~ ~	~ но решения этого уравнения также
зависят от х.
Итак, равенство f(x 4- Г) = f(x) для Va; € D(f) не выполня-
ется пи для какого Г, следовательно, функция у = cosa;2 —
непериодическая.
Периодические функции
265
Пример 3. Выясните периодичность функции у = cos2 Зх.
D(J) = (—00; оо) — первое условие выполняется.
9 Л 1 +cos 6х	11
cos Зх —---------, т. е. у = - + - cos от,
£	L L
а это функция вида у = Acos(az + Ь) + В, значит, она перио-
_ 2тг тг , ч
дическая с основным периодом То = — = ~ (а — о).
|а|	3
Пример 4. Выясните периодичность у — f(x) = -—^-^-ctgT.
1 — sina;
7 sinT Ф 0	z	'
k	1	X 7^ 7ГП
Ha D(f) f(x) = ctgT,
эта функция имеет вид у = Actg(aT + 6) + В, а значит пери-
7г/ь
одическая с периодом Т — — (а^О)и основным периодом
Tq — Так как в данном случае а = 1, то основным периодом
|а|
должно быть То — тг.
Но в случае То = тг не выполняется условие на область опре-
деления, так как т = —G D(f\ нот = --~+тг = — D(f\
т. е. не выполняется условие периодичности.
значит D(f)  несимметричное множество.
Значит, у =--. ctgT — непериодическая функция.
1 — sin т
Пример 5. Может ли функция быть периодической, не явля-
ясь тригонометрической?
Рассмотрим у = {т} — функция дробной части числа (ее гра-
фик представлен на чертеже).
№
/7///V//ZZ..
0	12	3	4
х
266
Суммы и произведения тригонометрических функций
D(z) =
Очевидно, что D(f) = (—00; оо) — первое условие выполнено.
Также очевидно, что {ж + Т} = {#} при любом целом Т (дроб-
ная часть числа при прибавлении Т остается той же).
Значит, у — {#} — периодическая, a Tq = 1 (наименьшее
положительное целое число).
Ответ: да1.
Пример 6. Может ли функция, не являясь постоянной, быть
периодической и не иметь основного периода?
Рассмотрим функцию Дирихле:
1, если х — рациональное число;
О, если х — иррациональное число.
D(D) = (—00; 00) — первое условие выполнено.
Проверим второе условие.
а)	Так как сумма двух рациональных чисел есть рациональ-
ное число, то если х рациональное, то для любого рацио-
нального Т D(x + Г) = D(x) = 1.
б)	Известно, что сумма иррационального числа и рациональ-
ного числа есть число иррациональное, значит если х
иррациональное число, то для любого рационального Т
х + Т — иррациональное, и D(x + Г) = D(x) = 0.
Итак, для любого х и для любого рационального Т выпол-
няется равенство D(x + Г) = D(x). По определению D —
периодическая функция.
Основного периода эта функция не имеет, так как не существу-
ет наименьшего положительного рационального числа.
Примечание. Рациональным числом называется бесконеч-
ная периодическая десятичная дробь. Можно доказать, что
р
се можно представить в виде обыкновенной дроби вида -, где
Q
р е z, q е N.
Иррациональным числом называется бесконечная непериоди-
ческая десятичная дробь.
1 Более подробно см. Шахмейстер А. X. Множества. Функции. После-
довательности. СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2008. С. 92.
Периодические функции
267
Отметим ряд свойств периодической функции.
1.	Область определения периодической функции есть беско-
нечное множество.
2.	Периодическая функция не может иметь конечного числа
точек разрыва.
3.	Периодическая функция не может быть строго монотон-
ной на всей своей области определения.
4.	Непрерывная и неограниченная на всей числовой оси
функция не может быть периодической.
5.	Сложная функция, промежуточный аргумент которой
периодическая функция, также является периодической
функцией.
6.	Если функции у — f(x) и у = д(х) периодические, то их
алгебраическая сумма, произведение и частное — также
периодические функции, если их основные периоды соиз-
меримы. Для их алгебраической суммы основной период
есть наименьшее общее кратное основных периодов f(x)
И д(х).
Пример 7. Найдите основной период функции
у{х) = tg (г/2тгж) + sin(7nr).
У = /1(я) — tg (л/2тпг) — периодическая,
ч тг л/2 /m	тг \
(0)1 = Ж = т \ °= и);
У —	= sin(7rz) — периодическая,
, . 2тг / 2тг \
(Т0)2 = —-2 (т0^.
л/2
Числа и 2 несоизмеримы,
значит функция у = tg (л/2тгя) + sin(Trz) — непериодическая.
Примечание. Соизмеримость чисел Д и Т2 означает, что
71	р
—---рациональное число (т. е. число вида -, где q 6 N,p 6 Z).
Т2	q
268
Суммы и произведения тригонометрических функций
Пример 8. Найдите период функции у(х) = cos—+cos—+sin-.
3	4	5
Как мы уже знаем,
х
У1 = fi(x) = cos - —
О
У2 = /г(ж) = cos - —
Уз = /з(ж) = sin - —
□
Очевидно, числа бтг,
х х
у(х) = cos — + cos —
основной период равен Tq = Н. О. К. (бтг; 8тг; Ютг) = 120тг.
периодическая, (7b)i — бтг (tq = —
периодическая, (То)2 — 8тг;
периодическая, (7Ь)з = Ютг.
8тг и Ютг соизмеримы, значит
X
+ sin — — периодическая функция, а ее
5
Пример 9. Найдите основной период функции
у — cos1 2 х + cos2(l + z) — 2 cos 1 • cosx • cos(l + x) —
) = (—co; oo) — первое условие периодичности выполнено.
Проверим второе условие.
а)	2 cos 1 • cosх = cos(l + х) + cos(l — z);
б)	—2 cos 1 • cos z • cos(l + z) =
= — cos2(l + z) — cos(l — z) • cos(l + z);
в)	cos2(1 + z) — 2 cos 1 • cosz • cos(l + z) —
= — cos(l — z) • cos(l + z) = — ^(cos2 + cos2z);
r) cos2 z + cos2(l + z) — 2cos 1 • cosz • cos(l + z) — | —
9	1.1.1
— cos z---cos 2---cos 2z--=
2	2	2
1 + cos 2z	1	11	1
—------------cos 2------cos 2z = — cos 2.
2	2	2	2	2
Периодические функции
269
Так как у — — - cos 2 — число, не зависящее от z,
то f(x + Т) = — ± cos 2 = f(x) при любом Т О,
т. е. у(х) — периодическая.
д) Основного периода функция не имеет, так как пет наи-
меньшего положительного числа.
Примечание. Используя свойства, можно доказать, что сле-
дующие функции не являются периодическими:
у — log2 х — не выполняется свойство 3 (функция строго мо-
нотонная);
у = rr2sinz — свойство 4 (функция не ограниченная);
sinz
у = "2—Г
Хл — 1
свойство 2 (имеет конечное число разрывов);
\/1 - ГС2 + \/ж4 +3ж2 - 4	„	/п/П г 1 11 >
---------------------------свойство 1 (D(f) — { —1;1});
sinz
у — sinz • sin (\/2ж) — свойство 6 (основные периоды функций-
сомножителей несоизмеримы);
у = sin (2х) — свойство 5 (промежуточная функция t(x) = 2х
не является периодической).
270
Суммы и произведения тригонометрических функций
Практикум 11 (Продолжение рассмотрения
более сложных примеров)
1. Вычислите:
1) (tg40° — cos 140°) (cos 40° — ctg 40°) 1 —
2x tg3 _ 3-tg2l
' tgl l-3tg2r
.	Л	2л	4л	87Г	16л
3 4 cos — • cos —- * cos — ’ cos — * cos ;
'	99	99	99	99	99 ’
4)
5)
6)
7)
9)
10)
v^(tg 20°+ 4 sin 20°);
sin 18° - sin 54°;
. Л 13л
s,n 10 + sin w“;
(V3 - 1) cos — • cos
1 £i	A
tg2 20°-tg2 40°-tg2 80°;
2л 4л 8л
cos — + cos — 4- cos —;
5л
sm —
6
Г- f . Л . Зл
5(3sm-+S,„- +
2.	Докажите неравенства:
3
cos a + cos /? + cos 7	, ГгЛ,е
ника;
. a . /? . 7 . 1 д
sm —-sm-sm—<где a, p, 7 — углы треугольника;
2	2	2	8
1)
2)
3)
sina < а < tga, если а 6
a, /3, 7 — углы трсуголь-
угол в радиа-
4)
нах);
а3 .	/
а —— < sm а, если а G 10;
— угол в радианах).
Практикум 11
271
3.	Определите периодичность функций и основной период:
i)	у =
2 + cos Зх
sin 2х
2)	У = 1 + sin2x’
3)	у = cos х • cos (\/2x);
4)	у = Зх + sin2x;
5)	у = sin 2х • sin Зх • cos 5х;
.	1 - cos4x .	ч2
6)	у = ——— --------(smx + cosx) + 1;
2 sm 2х
7)	т/ = 3sin 2 + 2tg з ;
9)	у = sin2 (cos2x);
10)	у — л/sin x * sin y/x.
4.	Периодическая функция у — f(x) определена для всех
действительных чисел. Ее период равен 8. График функ-
ции на отрезке [—3; 5] изображен на рисунке. Найдите
Д-10)-Л-4)
значение выражения -----/(28)----*
।	Л i	।	।	।	।
I	М i	!	I	I	I
]3-[2 | 0
Lit x
272
Суммы и произведения тригонометрических функций
Решение практикума 11
1. Вычислите:
1)
(tg40° — cos 1 40°) (cos40° — ctg40°) 1 ——=
v	z	cos2 40°
“1 sin 40°
cos2 40°
sin 40°
cos2 40°
sin 40° - 1
cos 40°
sin 40° - 1
cos 40°
sin 40°
cos2 40°
2)
/ cos 40° • sin 40° — cos 40°
\	sin 40°
sin 40°
cos 40° (sin 40° — 1)
sin 40°	г—л
cos2 40°
tg3 _ 3 - tg2 1
tgl l-3tg2r
Похоже, здесь необходимо знать
гене тройного угла:
, ч tga + tg2a
tg 3a = tg a + 2a = --
1 — tg a • tg 2a
tg3a. Выведем тан-
3)
.	.	2 tg a
tga 4- —
1—tg2 a
1	.	2 tg a
1 — tg a • -г—г^г-
1—tg2ct
tg a — tg3 a 4- 2 tg a	3 — tg2 a
1 — tg2 a — 2 tg2 a a 1 - 3 tg2 a
Тогда, полагая a = 1, получим
t t n 3-tg2l
o Ig3 3-lg’l
Значит---------------г?—
tgl 1 —3tg2l
. TV 2тг 4?T
4 cos — • cos — * cos — •
33	33	33
_ 3 - tg2 1	3 - tg2 1
1 - 3 tg2 1	1 - 3 tg2 1
87Г	167Г
COS---- • COS---- =
33	33
4- 7Г	7Г	2ТГ
sm	• cos	хх	* cos	хх
JO	Ои	Ои
4тг 8тг 16
COS 22 * COS 22 * COS 22
sin ~
Q * 2тг 2тг 4тг 8тг 16тг
2 sin 22 * cos 22 * cos 22 * cos  cos 22
sin2L
Решение практикума 11
273
4тг 4тг 87г 16tt
SIH. 22 * COS * COS "gg" • cos
Sln33
1 • 8tt 8tt 16tt
2 sm 23 * COS 32 • COS -33“
1 * 16tf 16tf
4 Sm "33" ’ COS “33“
Sin 55
sin. 33
• 32тг
1 sm -33-
sm
Q	• тг
0	sm 33
sm 33
81Пзз
sm 33
4) 4/3(tg20° + 4 sin 20°) =
sin 20° + 4 sin 20° • cos 20°
cos 20°
sin 20° + 2 sin 40°
cos 20°
sin 20° + sin 40° + sin 40°
cos 20°
2 sin 30° • cos 10° + sin 40°
cos 20°
= ч/З-
sin 80° + sin 40°
cos 20°
r- 2 sin 60° • cos 20°
o •
cos 20°
1
8
8
= Vz - \/з = Ш.
5) sin 18° • sin 54° = sin 18° • cos 36°.
Чтобы вычислять далее, необходимо знать значение
sin 18° *
Так как cos36° = sin 54°, 1 — 2sin2 18° = sin(3 • 18°);
Учтем, что sin Зег ~ 3 sin а — 4 sin3 сг.
1 - 2sin2 18° - 3sin 18° - 4 sin3 18°.
Пусть sin 18° = t.
4t3 - 2i2 - 3t + 1 = 0;
очевидно, что t = 1 — корень, тогда
274
Суммы и произведения тригонометрических функций
4£3 — 2£2 — 3£ + 1 t - 1
4t3 - 4t2	4t2 + 2t - 1
2t2 — 3t + 1
2t2 - 2t
t +1
t + 1
Но sin 18° ф 1, значит 4£2 + 2£ — 1 = 0;
( = zL+<°
Очевидно, sin 18° > 0, таким образом sin 18°
/г-	\ 2
/ л/5 _ 1 \
cos36° - 1 - 2sin218° = 1 - 2 ------ =
\	4	/
5-1
~4
_ 8 - (5 + 1 - 27^) _ 2^5 + 2 __ 75 + 1
”	8	“	8	“	4 ‘
Значит sin 18° * sin 54° = sin 18° • cos 36° —
_ 75-1 75 + 1
“	4	4
5-1
4-4
1
4
• 77 । • 137r
o) sm------h sm------- =
’	10	10
тг . 13тг
п . То + ТТГ
— 2 sm----------------
2
• cos
7-тг	Зтг
= 2 sm — • cos — =
10	5
Зтг
л . Зтг	Зтг
= 2 sin —- * cos — =
111	5
10
13тг	тг
То	10
2
о Зтг • Зтг Зтг
2 COS -тут • sm -Г7Т • COS -е-
1U	1U	о
Зтг
COS Уо
. Зтг Зтг
sm — • cos -н-
э	о
Зтг
COS 10
1 * бтг
о sm -7-
2	5
sm
cos
o • ТГ
2sin =
5
lsinK
9	. ТГ
z sm -E
5
Решение практикума 11
275
7)	(л/3 — l)cos 'cos| =
, f- _	1 Г / ТГ тг\ / 7Г тг\
= (V3-1)._ ^- + lJ+c<,s^--^
. /-	„.	1 ( 7Г	7Г
= (V3 - 1) • - cos - + cos -
2 \	3 о
14-х/З
2
3-1
4
1
2
8)	tg2 20° • tg2 40° • tg2 80°.
a)	sin 20° • sin 40° • sin 80° =
— 1 sin 80° (cos 20° — cos 60°) —
= 1 sin 80° • cos 20° — 1 sin 80° =
2	4
= l(sin80° + sin 60°) — 1 sin 80° =
4	4
= 1 sin 80° + — — 1 sin 80° =	;
4	8	4	8 ’
6)	cos 20° • cos 40° • cos 80° =
_ 2 sin 20° • cos 20°  cos 40° • cos 80° _
2 sin 20°
sin 40° • cos 40° • cos 80°
“	2 sin 20°	~
_ sin80°-cos80° _ sin 160° _
4 sin 20°	8 sin 20°
_ sin(180° - 20°) _ sin 20° _ 1
8 sin 20°	8 sin 20°	8 ’
m2
в)	tg2 20° • tg2 40° • tg2 80° = —4- = [3].
a)
276
Суммы и произведения тригонометрических функций
2%	4тг	8тг
s------h cos------h cos — =
9	9	9
2 sm -Q- • cos -Q- 4- 2 sin -Q- • cos -q- + 2 sm • cos -5-
У	У	У	У	У	У
Г) * 2тг
2 S1X1 -g-
4тг	♦ 2тг ,	• 67Г	бтг .	107Г
sm -g— sm -у + sm -g— sm -g- + sm -g-
2 sin
•	4:7T	,	n • Ч:7Г	07Г sm	-g-	+	2 sm -y * cos -g- q • 2-тг 2 sm -g- /	тг	Зтг	5' 10) y/5 { 3 sin — + sin — + sin - % Учтем, что sin — = sin 18° - ’	10 . 3%	7Г	. 2 7Г sm — = cos — = 1 — 2 sm — 10	5	К rr	/Е Л • %	• 3% 1огда v 5 3 sm	h sm — \	10	10 = 75 (3 .	+ ^±1 - 14	4 3\/5 - 3 + д/5 + 1 + 2	. Ч7Г	• Ч:7Г sm -5— sm -5- —	- =®- О •	"7Г 2 sm -g- 7r^ X^-l /	A \ - —-— (см. пример 4). _ д/5 + 1 ) “	4 . 5тг\ + sm — = 0 / 1\ ^2/
V	4 2. Докажите неравенства: з 1) cosa + cos/? T cos7 C ника. L — cos a + cos (3 + cos 7 а) Так как a + (3 + 7 a + (3 поэтому cos —-— =		 = VO • VO = [0]. где a,	7 — углы трсуголь- a	+ /3	a-/3 = 2 cos		 cos	h cos 7. 2	2	' =	180°,	to	=	90°	- ’	2	2 = cos ( 90° — - ) ~ sin \	2 J 2
Решение практикума 11
277
б)	Очевидно, что 0 cos—-—	1.
а + /3 а-/3	у
Значит cos------- cos--- % sm —
2	2	2
Тогда 2 cos —-— • cos — --k cos 7	2 sin — + cos 7.
£ £
в)	Преобразуем выражение 2 sin — + cos 7 =
— 2 sin 2 + 1 — 2 sin
1\ _
2 2;
1\2 3	3
2^2’
2 7 о / • 2 7	.7
— ~ —2 sm---sm----
2	\	2
//	1 \ 2
Q . 7 1 \
— ~2 sm------------
\\	2 2/
так как —2 ( sin — —
\	2
3 1	9 I ’ 7
- = —2 sm------
4J	\	2 2
1\2
-I О для V7.
г)	Теперь можно выстроить логическую цепочку:
а + В а — В
cos а + cos р + cos 7 = 2 cos —-— • cos — -k cos 7
7	7	/7
< 2 sin —k cos — = — 2 sin —
2	2	V 2
t. e. cos a + cos (3 + cos 7
3
что и
2
- для Vrr,
требовалось
доказать.
. a • P • 7
2 sm — sm — sm —
’	2	2	2
1 где a, (3, 7
z о
углы треугольника.
X т	. а . (3 . 7
a)	L — sm — • sm — • sm — =
7	2	2	2
1
2
а — [3 а + (3~\	.7
cos------------cos------------ • sm — =
2	2	2
а — (3
cos--------
2
1
2
.7 а + (3	. 7
sm----cos------- sm —
2	2	2
. a + (3 + 7	. a + /3 - 7
— sm------------h sm-----------
278
Суммы и произведения тригонометрических функций
б)	а + (3 + 7 = 180° по условию, поэтому
а - (3 + 7 = 180° - 2/3;
—а + /3 + 7 = 180° -2а;
а + /3 - 7 = 180° - 27.
Отсюда следует, что
. а-/3 + 7	. 180° — 2/3	.
sm-----------— sm------------— SU1(9Q — [3j — cos/3;
. —a + /3 + 7	. 180° - 2a .
sm-----------= sm------------= sin (90 — a) = cosa;
. a + /3 - 7	. 180° — 27	.
sm-----------= sm------------— sin (90 — y) — cos 7;
. a + /3 + 7	. 180°	.
sm----------- — sm------— sm 90 = 1.
2	2
в)	Тогда L = “ (cos a + cos /3 + cos 7 — 1),
3
но cosa + cos/3 + cos7 + - (см. выше, пример 1).
Значит cos a + cos /3 + cos 7 — 1 +
TT	1
Домножаем па —:
i (cosa + cos/3 + cos7 — 1) + i
4	8
T .a /3.7
t. e. L — sm — • cos — • sm — =
2	2	2
= -(cosa + cos/3 + cos 7 — 1) +
4	8
Отсюда следует, что sin
ж	, /3	. 7	1
— * sm — • sm — + если
2	2	2	8
a, /3 и 7 — углы треугольника, что и требовалось
доказать.
Решение практикума 11
279
3) sina < а < tga, если а 6 ^0; — ) (а — угол в ради-
анах) .
Для доказательства использу-
ем геометрические соображе-
ния. Рассмотрим окружность
R и треугольник ДОАВ, где
АВОА~а (ОА^АВ).
Очевидно, ЧТО S&OAC < S'сект. О АС < S&OAB-
S&OAC = -OA2*sina— -R2-sina; ВСект. ОАС ~	'
S&OAB = ^ОА-АВ =	• О А • tg а = |/?2 • tg а.
Тогда i/i2 • sin а < -7?2 • а < ^7?2 * tg а.
Отсюда sina < а < tga при а 6 I 0; — 1 , что и требо-
валось доказать.
Ч	/х
а	/ тг \
4) а—— <sina, если а6 ( 0; — ) (а - угол в радианах).
/	ч а
Так как а < tga (см. пример 3), то —
а
2
а
tg2‘
а
• cos —;
2
9 а
Домножим на cos —:
а 2
— * cos
2
. а
sm —
2
/ 1	• 2 а
а 1 — sin —
\	2
. а
2 sin — -cos—;
2 Г
2’
- sin2
а \
— < sma.
2 7
Так как sina < а (см. пример 3), то
9
Q/ Q/	Qj
Тогда sin2 — < —, значит — sin2 —
2	4’	2
Q2
Т’
а
sm —
2
_а\
4 ’
а
2’
Q а
in —
2
а
а ( 1
280
Суммы и произведения тригонометрических функций
/	\	Q
/	СИ \	Ct
Домпожим на a > 0: all — sin* 1 2 — j > a ——
Учитывая, что а I 1 — sirr — 1 < sina < а, получим
a3 .	Л
a--— < sina < a, что и требовалось доказать.
Примечание. Это двойное неравенство можно ис-
пользовать для приближенного вычисления sina с лю-
бой степенью точности, так как a — радианное изме-
рение угла.
3. Определите периодичность функций и основной период:
1) У = 0 , 1 о •
2 + cos Зх
D(f) = (—оо; оо) — симметричное множество.
Рассмотрим
+ Г) - /(ж) - 2 + cos	- 2 + cos3a, =
2 + cos Зх — 2 — cos 3(х + Т)
(2 + cos 3(х + Т)) (2 + cos Зх)
cos Зх — cos 3(х + Т)
(2 + cos 3(х + Г)) (2 + cos Зх)
о • Зх+ЗТ—Зх . Зж+ЗТ+3.т
2 sm------2----- sm---2---
(2 + cos 3(х + Г)) (2 + cos Зх)
О . зт .	. зт\
2 sin -у • sin ( Зх + -у I
(2 + cos 3(х + Г)) (2 + cos Зх)
ЗТ „ _ 2тг/с
При sm — = 0 Т =----------,
1	2	3
2л/с
т. е. если Т = —— при к 6 Z и к 0, то f(x+T) = /(ж),
о
значит у = ---------- периодическая, и Т$ =
2 + cos Зх
основной период.
27Г
т
Решение практикума 11
281
sin 2х
2) У = l + sin2^
£)(/) = (—сю; сю)
„, . sin 2х
— симметричное множество.
2 sin х • cos х
1 + sin2 х 2 sin2 x + cos2 x
б)
Пусть х ф — + тгп (симметричное множество). То-
гда рассмотрим определенную на этом множестве
2 tg х
функцию /1(ж) = -—2-----7 — сложная функция
2 tg х 1 1
от tgx.
tgrr — периодическая функция с основным перио-
дом То — тг. По свойству 5 из этого следует, что и
/1(х) — периодическая функция.
sin2rr
Вернемся к j\x) —------—.
1 + sin х
При х — — + тгк
f(x) равна нулю;
при х ф — + тгк
sin 2х
у — --------— _ периодическая
1 + sin х
Таким образом,
функция с основным периодом 7о = тг на (—оо;оо).
Можно доказать, что Tq = тг — основной периодю
sin 2х 2 sin 2х
Для этого преобразуем у = ------5— =  ------—.
Р 1 j У l + sin2£c 3 —cos2rc
2sin2(rc + Г) 2sin2rc
Из--------------- =----------после преооразова-
3-cos2(> + T) 3 —cos2rr
ний следует Т = тг/с, и Tq = тг.
3)	у = cosrr • cos (>/2rr) .
Так как у = cosrr — периодическая (Tq = 2тг) и
у — cos>/2^ — периодическая (Tq = а/2тг), и их пери-
оды несоизмеримы, то по свойству 6 их произведение
есть непериодическая функция.
282
Суммы и произведения тригонометрических функций
4)	у = Зх + sin 2т.
Можно доказать, что
у = Зт + sin2т $ (у1 — 3 + 2 cos2т > 0), тогда по свой-
ству 3 функция периодической не является.
5)	у — sin 2т * sin Зт * cos 5т.
1 Г	!	1	1	2
у — — cos т — cos 5т • cos 5т = - cos т • cos 5т-cos 5т =
у 2 L	J	2	2
1	1	11
— — cos 6т Ч— cos 4т------cos Ют.
4	4	4	4
2тг
Так как для Acos(aT + 6) + В основной период Т$ = —
то:
У1
У2
= cos 6т периодическая, (ТЬ^ = —;
о
= cos 4т — периодическая, (7q)2 = —;
Уз
= cos Ют — периодическая, (7Ь)3 = —.
5
Очевидно, что наименьшим общим кратным этих ос-
новных периодов является число тг, следовательно, в
силу свойства 6 для исходной функции То = тг.
1 “ cos4t .
6) у = ———-------(shit + cost) + 1.
2 sm 2т
D(f) : sin 2т 0; т Ф
жсство (А: С Z).
2 sin2 2т о	9
У —	-----sm х ~ 2 sin т • cos т — cos т + 1 =
2 sm 2т
— sin 2т — 1 — sin 2т + 1 — 0 на D(f).
тх	1 “ COS 4Т	.	ч2	, тг,
Итак, у ~ ——---------(shit + cost) + 1 при т Ф — к -
2 sm 2т	2
постоянная, и /(т + Г) — f(x) = 0.
— симметричное мпо-
Решение практикума 11
283
Поэтому функция — периодическая с периодом, кото-
тг
рый находится только из условия на — Т = —fc,
тг	2
и основной период То — —.
qSin tg |
7) т/ = 3 2 + 2 3. х
Рассмотрим т/1—3	2 . Это сложная функция.
По свойству 5, учитывая периодичность t — sin^,
заключаем, что т/i — периодическая функция.
Так как показательная функция 7/1=3* — строго
монотонная, то каждое свое значение она прини-
х
мает только один раз. Значит, функция т/i = sin —
Л
имеет основной период, совпадающий с основным
периодом t = sin .
Основной период функций вида T/ = Asin(aj;+6) + B
/	1 \	2тг
(см. пример 1) равен —.
а 2
Значит, для t = sin — Ti = — = 4тг.
Л	_
2
Аналогично рассуждая, получим, что функция
л
7/2 = 4 ° — периодическая с основным периодом
Тг = Зтг (для функций вида у — Atg(a# + b) + В
х
2
б)
основной период равен — — см. примечание к при-
-I \	О
меру 1).
в) По свойству 6 у = 3Sin 2 + 2tg 3 — периодическая.
Основной период ее равен То = Н.О.К. (Ti;T2).
Таким образом, То = Н.О.К. (4тг; Зтг) = | 12тг |.
sin 9ж
8) у =
sm Зх
а) Пусть т/i = sin Эх. Очевидно, что это периодическая
2тг
функция, основной период которой равен Ti — —.
284
Суммы и произведения тригонометрических функций
9)
б)
б)
Пусть у2 — sin3z. Тогда Т} — —.
т Л 1 .	3	.
1ак как — = - (рациональное число), значит ос-
Т2 3
новные периоды у\ и у% соизмеримы.
По свойству 6 исходная функция — периодическая,
sin 9х
Для нахождения основного периода у = ------ ис-
sin Зх
пользуем формулу тройного аргумента:
sin За = 3 sin а — 4 sin3 а,
sin 9х	3 sin 3х — 4 sin3 Зх	, 9
у = ——— =--------;— --------= 3 — 4 sm Зх.
sm Зх	sm Зх
При sin3z 7^ 0; х ^к | к 6 Z у = 3 — 4sin2 Зх —
периодическая.
л . 9 „	„ л 1 — cos 6z Л
у = 3 — 4 sm2 Зх = 3 — 4 -------= 1 + 2 cos 6я.
Получили функцию вида у — Acos(ax + b) + В.
2тг
"б"
ТГ
3
периодическая с основным периодом
— тг. По свойству 5 сложная функция
Значит, Tq =
у = sin2 (cos 2х);
t = cos2x —
2тг
у — sin(cos 2х) ~ периодическая.
2	1 — COS 2t
у — sm t —----------.
У	2
Для у = sini основной период Tg — 2тг.
Для у = cos2i основной период 7з — — — тг.
Значит, для у — sin21 основной период в два раза
меньше, чем для у — sin i.
у = sin(cos 2х) — периодическая.
t = cos2x имеет основной период Д = тг, тогда
у = sin(cos2(z + Tr)) — sin(cos(2z + 2Tr)) —sin(cos2j;).
Таким образом, 7\ = тг — основной период и для
функции у = sin(cos2z).
Решение практикума 11
285
г) Так как для у = sin2 (cos 2z) основной период в два
раза меньше основного периода у — sin(cos2z), то
основной период для 7/ = sin2(cos2z) равен Tq— — .
10)	у ~ \/sinz • sin у/х.
а)	?/1 — \/sinz — периодическая по свойству 5.
б)	?/2 = sin у/х — не периодическая, так как t = у/х —
промежуточная не периодическая функция. Зна-
чит, свойство 5 не выполняется.
Можно использовать для доказательства неперио-
дичности идеи примера 2 со страницы 264.
в)	Значит, условия свойства 6 для у = д/sinz • sin у/х
не выполняются, и у = д/sinz • sin у/х - не перио-
дическая функция.
4. Периодическая функция у — f(x) определена для всех
действительных чисел. Ее период равен 8. График функ-
ции на отрезке [—3; 5] изображен на рисунке.
Найдите
значение выражения
/(-10)-/(-4)
/(28)
Из графика определим значения функции:
/(-10) = /(-10 + 8) = /(-2) = 3;
/(-4) = /(—4 + 8) = /(4) = 0,5;
/(28) = /(28 - 3 • 8) = /(4) = 0,5, значит
/(-10)-/(-4) _ /(-2)-/(4)
/(28)	/(4)
\2>
Обратные
тригонометрические
функции и их графики
Напомним некоторые теоретические положения.
Пусть /(х) строго монотонная. Тогда каждое свое значение
опа принимает только один раз.
Обозначим А — D(f) (область определения функции /(ж)),
В — E(J) (область значений функции f(x)).
Для такой функции каждому значению из В можно сопо-
ставить вполне определенное значение из Л, т. е. установить
функциональное соответствие между В и А, обратное функ-
циональному соответствию /.
Итак, чтобы найти функцию, обратную монотонной функции
у — /(я), нужно поменять местами буквы х и у, написав
х = f (у) и найдя из полученного равенства у как из уравне-
ния. Это и определит обратную функцию у — д(х).
Свойства обратных функций
Если у = f(x) — строго монотонная и у = д(х) — обратная
ей функция, то они имеют следующие свойства.
1. Функция у — д(х) — также строго монотонная, причем
характер монотонности сохраняется (если у ~ f(x) f , то
У = Т ; е^и у = f(x) 1 , то у = д(х) 1).
2. При переходе от функции y = f(x) к обратной ей функции
у — д(х) области их определения и области их значений
меняются местами, т. e. D(f) = Е(д) и E(f) ~ D(g).
Арксинус
287
3. Графики взаимно-обратных функций симметричны отно-
сительно биссектрисы первого
углов — прямой у = х.
4. Для любого х Е D(f)
(принадлежащего обла-
сти определения у — f(x))
справедливо соотношение
д	= х; и наобо-
рот, для любого х Е D(g)
справедливо соотношение
Цд&У) =х.
Арксинус
Рассмотрим функцию у = sina;.
£>(/) = (—оо;оо), на своей об-
ласти определения она является
кусочно-монотонной, но не моно-
тонной, а значит обратное соот-
ветствие у — Arcsin х функцией
не является.
Пусть х Е
отрезке у
7Г 7Г
2’2
На этом
= sina; строго мо-
нотонно возрастает и пробега-
ет все значения из области зна-
чений синуса ([—!;!]) только
один раз, значит, для функции
у = sina; на отрезке
7Г 7Г
2’2
су-
ществует обратная, которая обо-
значается у = arcsin а;, график
которой симметричен графику
функции у = sina; на отрезке
мой у = х.
и третьего координатных
288
Обратные тригонометрические функции и их графики
3. ^(arcsinx) =
7Г 7Г
2’2
7Г
2*
4. у — arcsin з; является нечетной функцией: D(arcsincr) —
симметричное множество, и arcsin(—х) = — arcsin се.
5. arcsin з; > О
arcsin х — О
arcsine < О
при 0 < х 1;
при х = 0;
при — 1 х < 0.
6. Функция у = arcsin се является строго возрастающей,
т. е. из 1 х\ х<2	— 1 следует arcsin х\	arcsin а;2
7Г 7Г
2’2
(в силу строгой монотонности у = since на
7- Унаиб = У(1) = Унаим = у(~1) = “•
. х\ + Х2 arcsin х\ + arcsin хъ
8. arcsm------- >------------------- при 0 > х\ > х<2 > — 1
(выпуклость вверх);
. х\ + х<2 arcsin х\ + arcsin х^
arcsm-------- < ------------------ при 1 > х^ > х^ > О
(выпуклость вниз).
Арккосинус
289
Арккосинус
Рассмотрим функцию у = cosx.
D(f) — сю; сю), на своей об-
ласти определения она является
кусочно-монотонной, но не моно-
тонной, а значит обратное соответ-
ствие у — Arccos х функцией не
является.
Пусть х € [0; тг]. На этом отрезке
у = cosx строго монотонно убыва-
ет и пробегает все значения из об-
ласти значений косинуса ([— 1; 1])
только один раз, значит, для функ-
ции у — cosx на отрезке [0;тг] су-
ществует обратная, которая обозна-
чается у = arccosz, график кото-
рой симметричен графику функции
у = cosz на отрезке [0;тг] относи-
тельно прямой у = х.
Учитывая свойство взаимно-обрат-
ных функций, имеем
cos(arccosz) — х\ — 1	z < 1;
arccos(cos?/) — у, 0 С у тг.
Итак, подведем итоги:
1.	у — arccos z непрерывна и ограничена (в силу непрерыв-
ности и ограниченности у — cosz на [О;тг]).
2.	Z) (arccosz) = [—1; 1], т. е. — 1 С х < 1.
3.	F( arccos z) — [0; тг], т. е. 0 С у тг.
4.	у = arccos z — функция общего вида в смысле четности,
но ее график является центрально-симетричным относи-
тельно точки
т. е. — — arccosz = arccos(—z) — ~
значит arccos(—z) = тг — arccosz.
290
Обратные тригонометрические функции и их графики
5.	arccos х > 0 при — 1 < х < 1;
arccos х = 0 при х — 1.
6.	Функция у — arccos х является строго убывающей,
т.е. из 1 ху > Х2	— 1 следует arccosху < arccos Т2
(в силу строгой монотонности у — cost па [0; тг]).
7-	Унаиб = У(-1) = ТГ! Унаим = И1) = °-
х\ + Х2 arccos ху + arccos Т2
8.	arccos-------<---------------------при 0 > ху > Х2 > -1
(выпуклость вниз);
Ti + Х2 arccos ху + arccos Т2
arccos------ < ------------------- при 1 > ху > Х2 > О
2	2
(выпуклость вверх).
Арктангенс
291
Арктангенс
Рассмотрим функцию у = tg х.
7Г
D(f): х — 4-тг/с, т. е. на своей области определения она явля-
£
ется кусочно-монотонной, но не монотонной, а значит обратное
соответствие у — Arctg а; функцией не является.
гт	/ Я	тт
Пусть х G I —— ; — ) . На этом отрезке у = tg х строго моно-
\ & & J
тонко возрастает и пробегает все значения из области значе-
292
Обратные тригонометрические функции и их графики
ний тангенса (—оо; оо) только один раз, значит, для функции
(7Г 7г\
— —; — I существует обратная, которая обознача-
ется у = arctg а;, график которой симметричен графику функ-
ции у = tga; на отрезке I — —; — ) относительно прямой у — х.
Учитывая свойство взаимно-обратных функций, имеем
tg(arctga;) = х; —оо < х < оо;
arctg(tgy) = у; ~ < У < |-
Арктангенс
293
Итак, подведем итоги:
1.	у = arctg х непрерывна и ограничена (в силу непрерывно-
/ 7Г 7Г V
сти у = tgz на I - I).
2.	7?(arctgrr) = (—сю; ос).
^г/	ч { 7Г 7Г
3.	E^arctga;) = I -
4.	у — arctg х — нечетная функция, так как D(arctg я) —
симметричное множество, и arctg(—х) — — arctg х.
5. arctg х > О
arctg х = О
arctg х < О
при х > 0;
при х — 0;
при х < 0.
6.	Функция у = arctg х является строго возрастающей,
т. е. из х\ > х2 следует arctg ац > arctg х2
( 7Г 7Г
(в силу строгой монотонности у = tg х на I — —; —
7.	Наибольшего и наименьшего значения нет.
о xi + х2 arctg xi + arctg х2
8.	arctg------ < ------------------ при 0 > Xi > х2 > —сю
2	2
(выпуклость вниз);
zi +х2 arctg х± + arctg х2
arctg---- < -------------- при oo>Zi>Z2>U
2	2
(выпуклость вверх).
294
Обратные тригонометрические функции и их графики
Арккотангенс
Рассмотрим функцию у — ctg х.
D(f) : х 7^ 7vky т. е. на своей области определения она являет-
ся кусочно-монотонной, но не монотонной, а значит обратное
соответствие у — Arcctg д; функцией не является.
Пусть х 6 (О;тг). На этом отрезке у = ctgj; строго мо-
нотонно убывает и пробегает все значения из области значе-
ний котангенса (—сю; сю) только один раз, значит, для функ-
Арккотангенс
295
ции у — ctgz на (0; тг) существует обратная, которая обозна-
чается у = arcctg х, график которой симметричен графику
функции у = ctgz на отрезке (0; тг) относительно прямой
У =
Учитывая свойство взаимно-обратных функций, имеем
ctg(arcctgz) = х; —оо < х < оо;
arcctg(ctgy) = у; 0 < у < тг.
296
Обратные тригонометрические функции и их графики
Итак, подведем итоги:
1.	у = arcctg £ непрерывна и ограничена (в силу непрерыв-
ности у = ctg;r на (О;тг)).
2.	D(arcctg;r) = (—оо;оо).
3.	£/(arcctg;r) = (О;тг).
4.	у = arcctg £ — функция общего вида в смысле четности,
но ее график центрально-симметричен относительно точки
тг \ тг	,	. тг
0; — ! , т. е. ~ — arcctg я = arcctg( —х) — —.
Значит arcctg(—;r) = тг — arcctg я.
5.	arcctgm >0 \/х е (—оо;оо).
6.	Функция у = arcctg £ является строго убывающей,
т. е. из Х\ > Х2 следует arcctg х\ < arcctg
(в силу строгой монотонности у = ctg;r па (0; тг)),
7.	Наибольшего и наименьшего значения нет.
х\ + Х2	arcctg х\ + arcctg Х2 Л
8.	arcctg------<--------------------при 0 > х\ > Х2 > -оо
(выпуклость вверх);
х\ + Х2 arcctg х\ + arcctg ^2
arcctg-------<--------------------при оо > х\ > Х2 > О
(выпуклость вниз).
Практикум 12
297
Практикум 12
Установите D(y):
V arcsin х
v log2(l - Зж)’
2) у =	;
arccos (х — 1) ’
_ уЛ) - .т'2
arcsin (д; — 1)1
logi (4 - х2)
arcctg х —
5	= ctg 2х • log3(6 + х — х2)
V arctg(2z2 — Зх + 1)
arccos у/х
л/arcctg д;’
298
Обратные тригонометрические функции и их графики
Решение практикума 12
Установите D(y):
у/arcsin х
У log2(l-3x)’
2)
tga: ~ 1
arccos(;r — 1)
О < arcsin а: < —
< — 1 С х < 1
1 - Зх > О
k 1 - Зх 1
=> £>(у) =
х /	+ тгA;; k 6 Z
— 1 < х — 1 < 1
arccos (х — 1) / О
7Г
х yt — + пк
0 х < 2
X — 1	1
3)
ад=
\/9 — х2
arcsin(a; — 1)
f -1 х - 1 < 1 Г 0 х 2
< arcsin(a; — 1)^0=><;г—1^0	;
k 9 — х2 0	< (3 “ ^)(3 + х) О
D(y) - [0; 1) U (1; 2].
Решение практикума 12
299
logi (4 - х2)
У = ~~~-------7-
arcctg х —
Г 4 — х2 0	z
>U	( -2 <х <2
I arcctg х 7^ —	[ х 1	’
D(y) = (—2; 1) U (1;2).
_ ctg 2х • log3 (6 + х — х2')
V arctg(2rr2 — Зх + 1)
7	X
r А	Q	S _7С	71
< 2х / Л ;
2х2 — Зх + 1 7^ 0	1	V * * * * Х
X
D(y) = (-2;-^ ) U \ -^;О ) U [ 0;1 ] U [ 1; 1 ) U
уу> \ ’ 2/ \ 2 J V2/	\2 J
(. тг\	/ тг \
и 1;- и -;3 .
V 2/	\2 J
arccos у/х
^/arcctgrr ’
Г — 1 С х/х 1
[ arcctg х > 0 ’
ад = [0;1].
О с .7,- с 1
Ух (arcctg х G (Отт)) ’
300
Обратные тригонометрические функции и их графики
Свойства агс-функций
и некоторые соотношения между ними
arccos(—х}	= тг — arccos х
arcsin(— х) = — arcsine	
arctg(—х) = — arctg х	
arcctg(—х}	— тг — arcctg х
7Г arcsm х + arccos х — —	
7Г arctg х + arcctg х = —	
f arccos \/1 — х2 0 С х 1 arcsm х = <	г-	 ( — arccos V1 — х, — 1 С х С 0	
f arcsin \/1 — х2,	0 С х 1 arccos ж = <	. г	 тг — arcsm v 1 — хл, — 1 х U	
(	л/1 — X2 arcctg	,	0 < х 1 )	X arcsm х = <	/	 I	v 1 ~ хл 1 arcctg	тг, — 1 гг < 0 К	х	
(	у/1 — X2 arctg	,	0 < х 1 J	X arccos х = <	z	 1	v 1 “ хл тг + arctg	, — 1 < х < 0 \	х	
arccos -	, х > 0 .	1	V1 + х2 arctg х = <	1 — arccos .	, х < 0 (	Vi + ж2	
arcsin	:,	х 0 .	1	V1 + х2 arcctg х — <	। I тг — arcsin ,	, х 0 1	V1 + X2	
arctg х — <	arcctg —,	х > 0 X arcctg	тг, x < 0 < x
0000 0 0
CD
CD
ф
(J0
ф)
гдр
гдр
Тригонометрические функции от агс-функций
301
Тригонометрические функции от агс-функций
Формулы		D(y)		
sin(arcsin х)	= X	-1	/Л /Л	1
sin(arccos х}	— \/l — X2	-1	X	1
sin(arctg:r)	X \/l + X2	— OO	< x <	oo
sin (arcctg х]	1 x/1 + x2	—oo	< x <	oo
cos (arccos x	= X	-1	/Л /Л	1
cos(arcsin x}	— x/1 — X2	-1	< X	1
cos(arctgrr)	1 x/1 + X2	—oo	< x <	oo
cos(arcctg x\	X	—oo	< x <	oo
tg(arctgrr) =	= X	—oo	< x <	oo
tg(arcctgrr)	_ 1 X			
tg(arcsin x)	II 1 « w	-1	< X <	1
	a/1 — X2	-1	< X <	0;
tg( arccos x)	X	0 <	X 1	
ctg(arcctg x\	) = X	—oo	< X <	OO
ctg(arctgrr)	_ 1 X			
	\/l — X2	-1	< X <	0;
ctg(arcsm x)	X	0 <	X 1	
	X			
ctg (arccos af	x/1 — X2	-1	< X <	1
8 § 0@@@@@eeeeQ09s
302
Обратные тригонометрические функции и их графики
Практикум 13
1. Вычислите:
2)
3)
4)
5)
6)
• (	з\
sin arccos - ;
\	5/
sin (arctg 2);
/	. 2\
cos 2 arcsin - ;
cos (2 arctg 2);
sin J 2 arctg - j ф cos (arctg 2\/2) ;
/	3	12\
tg arccos —F arcsin — :
6\	5	13/’
2. Решите уравнения:
1) sin (arcsin(2a;2 ф Зя)) = 2x ф 3;
2) cos(arcsin x) — |д;|.
Решение практикума 13
303
Решение практикума 13
1. Вычислите:
.	/	3\	/	/3\2
1)	sm arccos - — 4 /1 — -
\	5/V	\5 /
4
- . (см. табл, на стр. 301)
5
2
2)	sin (arctg 2) =
(с.		2\
3)	cos I 2 arcsin - =
\	5 /
2/5
ЛГ
(см. табл, на стр. 301)
/	2\	/2\2
— 1 — 2 sin2 I arcsin - ] — 1 — 2 • [ - )
\	5 /	\ 5 /
17
25
4)	cos (2 arctg 2) =
i n 1 - tg2 a t
i cos 2a — ---5— t (D
• ___	__1 + tg2a < w
1 — tg2 (arctg 2)	1 — 22
1 + tg2 (arctg 2)	1 + 22
5)	sin (2 arctg “ ) + cos (arctg 2д/2) =
3
5
 . Л 2tga i
' sin 2a —  ---5—;	1 ffi)
I	_l + tg2a’ ; ***
1	' *гь
1 cos a =---1	' IM
!_______+ I
7Г	7Г
Так как — — < arctgm < —, то cos(arctga;) > 0.
Zi	& 14 15
ч
1 +1
1
3
1
,	/~ч2
6 1 _ 28
10 + 3 - 30
14
— . (см. табл, на стр. 301)
15
304
Обратные тригонометрические функции и их графики
6)	tg (arccos | + arcsin ; tg(a + /3) =
3	12
Обозначим a = arccos /? = arcsin —,
о	lo
тогда (см. табл, на стр. 301)
33
2. Решите уравнения:	2
1)	sin (arcsin(2x2 + Зх)) — 2х + 3. £>(У) : -I	5
2х2 + Зх — 2х + 3; (ж — 1)(2х + 3) = 0, значит
х = 1	7?(У), так как |2 • I2 + 3 • 1| С 1 — ложь
х = -1,5 е £>(У)
х = —1,5 G £>(У), так как
( |2 • (—1,5)2 + 3 • (—1,5)| = 0	1
( |2 • (-1,5) + 3| = 0^1
Ответ: х = —1,5.
истина.
2)	cos(arcsin х) = |х|;
Р(У): -1 х 1; (см. табл, на стр. 301)
\/1 — д;2 = |гг|, тогда х2 = 1 — ж2;
Практикум 14
305
Практикум 14
Решите уравнения:
1)	2 arcsin х + 3 arccos х — тг;
2)	2 arcsin х = arcsin л/Г—~х^;
1	27Г
3)	arccos —;---+ 2 arcctg ж — —;
\	1	7Г
4	arcctg х — 2 arccos t.. — —;
7	yrw	3’
5)
arcsin x + arcsin 2x —
2?T.
T;
6)	arcsine = 2arcsin (ж\/3) ;
7)	arctg(:r — 1) + arctg x + arctg(:r + 1) = arctg Ъх\
1 7Г
8)	arccos — = — (1 — x^\ ;
xz 2 x 7
9)	arccos ж + arccos 2x — arccos (3x — 1).
306
Обратные тригонометрические функции и их графики
Решение практикума 14
Решите уравнения:
1) 2 arcsin х + 3 arccos х — тг.
Так как arcsin х + arccos х =
тг
2’
то 2(arcsinrr + arccos #) + arccos £ — тг;
отсюда arccos х = 0 х — 1.
тг + arccos х = тг;
Ответ: х = 1.
2) 2 arcsin х — arcsin \/1 — х2.
о
а) 0 < х 1 => arcsin д/1 — х2 = arccos х;
2arcsinя — arccosm = 0, но arcsine + arccosэ; — —.
тг	1
Решая как систему, получим arcsm гг = —, т. е. х —
6	2
б) — 1 С х < 0 arcsin л/1 — а?2 — тг — arccos
2 arcsin х + arccos х = тг, но arcsin х + arccos х
тг
2‘
Решая как систему, получим arcsin £ = —,
т. е. х — 1	[— 1; 0].
Ответ: х = -
2
3) arccos ,	+ 2 arcctg х — —.
7	у/Г+х2	8	3
х > 0 arccos -	 = arctgх:
у/ТТ^2
2тг
arctg х + 2 arcctg х = —, но arctg х + arcctg х
3
2
Решая как систему, получим arcctg х — —, т. е. х — уЗ.
6
Решение практикума 14
307
б) х < 0 => arccos —,	— — arctg я;
7	*/i . ^2	6
2тг	тг
— arctg х + 2 arcctg х = —, но arctg х + arcctg х = —,
О
тогда, решая как систему, получим
7тг	7тг , .
arcctg х — —, т. е. х = ctg — £ (—оо; 0).
18	18
Ответ: х — \/3.
4) arcctg х — 2 arccos —— ---
yl + x2
ТГ
3
1
х 0 => arcctg х — arcsin .	;
yrw
(см. табл, на стр. 300)
1 Л 1 1
aresm —,	— 2 arccos ,	=
ч/l +x2	л/l +x2
1 1
aresm t.... + arccos  	— —,
УГТ^2	УГТ^2	2
з’ но
тогда, решая как систему, получим
тг	1
—,значит ,
18’	vTT^2
--- = 1 + я2;
9 7Г
5 18
1
arccos .
ГТ.	1
Тогда ——X
1 + xz
2
-cos 18;
cos
cos 18>
1	2 тт
1 — COS тт?
1о
9 q 7Г	9
= х ; tg2 — = х ;
.2. <.„2
I = te18
C°SZ 18
18
I = - tg —	[0; +оо)
1о
1
б) х < 0, тогда arcctg х = тг — arcsin .. ,
yl + х2
(см. табл, на стр. 300)
1	1	тг
тг — aresm —;	— 2 arccos .	— —,
^14^2	71^2	3’
308
Обратные тригонометрические функции и их графики
1	1	7Г
но arcsin ,	+ arccos ,	= —,
УТТ^ УТ+1У	2’
1	5тг
значит тг — arccos ,	: — —:
л/IT^2 6
1	_ >/3
+ £E2	2
arccos
1	7Г
д/T -|- j;2	6 ’
1
1 + X2
3
4’
>2
_4.	2-1.
3’ х 3’
/3
Уз
“з"
.	v3 7Г
Ответ:	—— ;tg —
. 2-тг
5) arcsm х + arcsm 2х — —-
О
27Г
arcsin 2х =-------arcsin х,
3
тогда
* /	* п \	/ 2тг
sm(arcsin 2х) = sm I —-----arcsin x
n . 2тг ,	.	2tt . ,	.
2x — sin — • cos arcsinx) — cos — • sm arcsinx).
3 v '	3 v '
Так как arcsin х 6
, то cos (arcsin rr)	0,
2’ 2
тогда cos (arcsine) = л/1 — х2.
Уравнение примет вид 2х = -%- л/1 — гг2 + —

Проверка подтверждает, что х — - — корень уравнения.
Ответ: х —
2
Решение практикума 14
309
6)	arcsin ге — 2 arcsin (атл/З) .
sin(arcsinrr) = sin (2 arcsin (ж\/3)) (см. табл, на стр. 301);
так как cos (arcsin (ге\/3)) = \/1 — Зге2 и
sin (2 arcsin (ге\/3)) = 2sin (arcsin(ге\/3)) * cos (arcsin (ге\/3)),
то х = 2 * х\/3 • д/1 — Зге2;
ГЕ = 0
2л/3 - 9я2 - 1 ’
ГЕ — 0
4(3 - 9ге2) - 1 ’
Проверим:
а)	х — 0; arcsin 0 = 2arcsin(0 • д/5);	0 = 0 истина.
/И . \/П	„	. v<33
б)	х — ——; arcsm = 2 arcsm 	;
УГГ	\/2 Д1	1Ч
так как ——— <	(—<-), то
6	2 v36	2'
. л/П . V2 л ,	.	_
arcsm---- < arcsin — = — (у = arcsin x T ).
6	2	4	7
\/33	\/2 33	1
С другой стороны, —— > — (— > -), тогда
л/33	у/2	7Г
arcsm-----> arcsm — = —
6	2	4
Таким образом, получим
. \/33	7Г
2 arcsm----- > —
6	2
\/И	тг
arcsin —— < —
6	2
значит
уп
уравнение при х = —— решения не имеет.
310
Обратные тригонометрические функции и их графики
ч Ул . ( л/m л . ( 7зз\
в) х =-----; aresm---------] = 2arcsin---------;
7	6 ’	\	6 /	\	6 /
Ул	Узз
тогда — arcsin----= — 2 arcsin---,
6	6
. v/п	Узз
т. е. arcsin--= 2 arcsin---, но мы уже доказали, что
6	6
это ложь.
Ответ: х = 0.
7) arctg(j; — 1) + arctg х + arctg(z + 1) — arctg Зх.
arctg(j; — 1) + arctg(j; + 1) = arctg Зх — arctg x;
tg(arctg(:r — 1) + arctg(j; + 1)) = tg(arctg3z — arctg z);
1	t -и /?	c°s(a + p) и i
itg(a + /?) =	---~-z при cosa / 0 j ф
;	1 —tga-tg/? | cos p * о !
!	4.	4. /Э	f cos(a - /?) ф 0 ’
] tg(a - (3) =	при j cosa / 0 QJ
,	1 + tga tgp	cogp 0	,
tg (arctg(a; - 1)) + tg (arctg(a; + 1))
1 - tg (arctg(a; - 1)) • tg (arctg(a; + 1))
tg (arctg 3x) — tg (arctg x}
1 + tg (arctg 3x) • tg (arctg ж) ’
x — 1 + rr + 1 3x — x
1 — (x — l)(z + 1)	1 + 3x • x"
2x 2x
2 — x2 1 + Зге2 ’
x = 0
( 2	1
<	4
x2 Ф 2
x = 0,
Проведя проверку, убеждаемся, что
1 1
2’ Х = 2 ~ К°РНИ*
Г 1	1
Ответ: < —: 0; —
I 2	2
Решение практикума 14
311
х
Проверка показывает, что х = — 1 и х = 1 — корни урав-
нения.
Ответ: { —1;1}.
9) arccos х 4- arccos 2х — arccos(3x — 1).
{|х|	1
|3rr — 1|	1
f “1 X 1
О х
cos(arccosx + arccos 2х) = cos(arccos Зх — 1);
cos(arccosx) ♦ cos(arccos 2х) — sin(arccosx) • sin(arccos 2x) —
= Зх - 1;
x * 2x — л/l — x1 • V1 — 4x2 = Зх — 1;
2x2—3x4-1 — ^/(1—x2) (1—4x2) о
2x2 — 3x 4- 1	0
x
|| условие равносильности.
Но Р(У) — 0; - , значит корни должны € 0; - .
11
2
(х — 1)2(2х — I)2 = (1 — х2)(1 — 4х2);
(х — 1)(2х — 1)(2х2 — Зх 4- 1 — 2х2 — Зх — 1) — 0;
(х — 1)(2х — 1) • 6х — 0;
Ответ:
х = 1 £ Р(У)
1
Х~ 2
х = 0
312
Обратные тригонометрические функции и их графики
Тренировочная работа 17
Вычислите:
/ 1
tg I 2 arccos -
4
2 arcsin -
5
sin
’1	3
tg - arccos — — 2 arcctg
6)	- 2 arctg - + arctg — ;
7Г \	4	Zo /
ч /117Г	1	2\	/117Г
7)	Ctg — + - arccos - I + ctg ——
\ 4	2 b J \ 4
1	2\
- arccos - ;
2	5 J
8)	cos(2arctg7) — sin(4 arctg 3);
9)	sin2 [arctg 3 — arctg(—0,5)];
10)	arctg - + 2 arctg - + arctg —;
11)
Л . 1 \	. Л 3
cos 2 arcsm —= — sm 4 arccos ,—
\	л/5/	\ vTO
12)
4 (	1 -|- x	\	_____
— ( arctg-------------arctg x при x — yl68.
7Г \	1 — x	)
Решение тренировочной работы 17
313
Решение тренировочной работы 17
Вычислите:
л/2- 1
/1	.	1\ Л	1	/ 7Г
cos - arcsin - > О, так как arcsin - G 0; —
\2	3/	3	\ ’ 2
2) tg
1
2 arccos -
2
2tg ^arccos 0
-t , о (	1
1 — tgz ( arccos 2
/	1\	2 • v3
tg 2 arccos - = ---------5- =
\	2? 1-(V3)
(	1 7Г
sm I arccos - 1 > 0 arccos - G I 0; —
/	Л	/2 \ i—
или tg I 2 arccos - I = tg I -7Г ) — —j
\	" /	\ о /
3 .
3 .
314
Обратные тригонометрические функции и их графики
3)
. Л .4
sm 2 arcsin -
\	5
• п . 4\	/	.4
= 2 sm I arcsm — j • cos I arcsin -
\	5 /	\	5
„ 4 / /4\2	4
= 2-rv1-d
5 V V о /	о

4)
5)
/	4
cos arcsin -
\	5
О, так как
arcsin а? 6
2 2
1
7Г
arcsin
/2 \
— I + arccos
/2
т
Так как arcsin(—m) = — arcsinm; arccos(—т) = тг—arccosm,
/2\	х/2	тг
— I = — arcsin—— — — —:
2 /	2	4’
то arcsm
arccos
1
Значит, —
1
/2 \	у 2	тг	Зтг
—	= тг — arccos — 7Г —- = —
2 /	2	4	4
arcsin
Зтг
тг V 4	4
/2\
— I + arccos
/
1 7Г
тг ’ 2
Примечание. Можно проще,
тг
arccos z 4- arcsin z = — при любом
А
3	3 o
tg - arccos - — 2 arcctg
Л-Г	3	3
Пусть arccos - — a; cosa =
о	о
arcctg
1\ „ 1
-I = ^; ctg/? = --
f	L
2
2
если знать тождество
a
7Г
2’
7Г.
Тогда tg
tgf - tg2/?
l + tg|.tg2/?'
Решение тренировочной работы 17
315
а 1 — cosa sina
tg 5 = —;--=
2 sina
A py
sma = \ /1 — —
4
- (sin а > 0).
5
б)
1-1
4
2‘«й 
так как ctg/3 — — то tg/З = —2.
2-(-2)	4
Значит lg2/? = 1(_2^ = -.
1g 5 «12Л
а
Значит tg — —
1
2
в) tg (	— 2(3
V ) l + tg?-lg2e
Г1	3
Ответ: tg - arccos - — 2 arcctg
2	о
1 _ 4
2 3
.1.4
^2 3
“ “2
3-8
= 1
6+4	2
6
1 /	1	7 \
6) - 2 arctg - + arctg — .
тг \	4	23/
.1
4 ------------&4
4 „ 1 1
а)	Пусть arctg- — a; tga —
arct+=ft
KW (9 -1_ tg2a + tg/3
6)	te(2“ + /’) = r^2^ei
tg2a= 2tga ; tg2a = -
_ 8_
“ 15’
8 . 7
о U9	15 + 23	23 - 8 + 7-15
Значит tg(2a + Ц) =	±— = 15.23 _ 8.7
1	15 23
289 _
289 “ '
316
Обратные тригонометрические функции и их графики
2а +	~ + тгА;.
4
1	7 7Г
О < arctg - < arctg — <
тогда 0 < 2а + (3 < С, значит 2а + /3 = .
„	1 (п 1	7 \	1 7Г	1
Следовательно, — I 2 arctg - + arctg — = — • — —
7Г \	4	23/ тг 4	4
1 /	1	7 \
Ответ: — 2 arctg —h arctg — = 0,25.
тг \	4	23 /
ч /117Г	1	2\	/117Г
7) ctg —- + - arccos - + ctg ——
\ 4	2	5)	\ 4
1	2 А
- arccos - I .
2	5 j
2	ТГ
Пусть arccos - = а; 0 < а < —;
о	Z
2
cos а = -
5
,	х 1	1 Птг . а ч , 1 а
,	/11% а\ l-tg^--tg2 1 + tgj-
a)	Ctg \ 4 + 2 J ~ 4- 117r I 4 a ~ 4 a 1 ’
\ 4	tg — + tg 2 tg 2 - 1
/117Г a\ 1 + tgi^-tg^
6)	CM^~2j= t и* t » =
V4	tg— -tgj
1-tgg _tgg-l
“ -l-tg2 " tg^ + 1’
ч a 1 — cos a
в)	tg~ = —;--;
2 sina
Решение тренировочной работы 17
317
ч /11тг а\
г)	ctg + 2;
(7 + /21)2
28
-	V21	.—
1 + — _ 7 + >/21
_ 1 “ /21-7
7	1
49 + 21 + 14/21
28	’
5 + /21
2
.	ч	V21	1	.—
/11тг	а\	—	“I	/21-7
\ 4	2)	/21	1	/21 + 7
21 + 49 - 14/21 _ 5 - /21
“ ~	28	“	2	’
ч / 117Г а\	/ 11тт а\
д) «6	+2,)+С‘Ц“Г- 2)
Ответ:
/117Г	1	2\ /Птг
ctg ( —— + - arccos - I + ctg I ——
\ 4	2	& /	\ 4
1	2>l
— arccos - I = —5.
2	5 J
8)	cos(2arctg7) — sin(4 arctg 3).
a)	arctg7 = a; tga = 7;
arctg 3 — /3; tg/? — 3.
1 — t(?2 Qj
6)	cos 2a = -----9—; cos 2a —
’	l+tg2a
в)	sin 4/3 = 2 sin 2/? • cos 2/?;
s-:125 = l//: sin2<J=
1 — tff^ /3
cos 2/3 = । tg2 ’ cos 2^ =
3
Тогда sin 4/3 = 2 • - •
5
1 - 72	48	24
1 + 72 ~ ~ 50 “ —25
2-3 _ 3
1 + 32 ” 5’
1 - 32 _ 4
1 + 32 ~ ~5
4\ _ _24
5/
24	/ 24\
Значит cos 2a — sin 4/3 = —— — I — — I — 0.
2o	\ /о /
Ответ: cos(2arctg7) - sin(4 arctg 3) = 0.
318
Обратные тригонометрические функции и их графики
9)	sin2 [arctg 3 — arctg(—0,5)].
a)	arctg 3 = a; tg a = 3;
6)	arctg(—0,5) = /?; tg (3 — —0,5;
x • 2	t;K2«
в)	sin a =  --9—
7	l + tg2a
x . ,	tga-tg/?
te(a~ffl = i + tEa.w;
.	-	3 — (—0,5)	3,5	3,5
tg(a	/?) -	j + 3 (_0 5)	“ i _ i)5	“ —0,5	“
\	-2/^	tg2(a-/?)
д) тогда sm («-/?)= 1 + tg2(a_/?),
(—7^2 до
T.e. «„’(a -	= _ = 0,98.
Ответ: sin2 [arctg 3 — arctg(—0,5)] = 0,98.
1	1	11
10) arctg - + 2 arctg - + arctg
4	5	75
.	1 И
Пусть arctg - + 2 arctg - + arctg — — x\
f 1	11\	( n 1\
tg arctg -	+ arctg	—	= tg	Hr - 2 arctg -	.
\	4	75 J	\	5 /
a)	tg arctg - + arctg —
\	4	75
tg (arctg i) + tg (arctg * 1
~ 1 I ( X 1\ X ( X 11\
1 - tg [^arctg 4 J • tg [^arctg J
3 + Й _ 75 + 44 _ 119 _ 7
“ i _ 1 . 11 “ 300 - 11 ~ 289 “ 17'
1	4 75
Решение тренировочной работы 17
319
6)	tg fx — 2 arctg -
\	2 /	1 + tg x •
tgx -
tg [ 2 arctg |
\	5
2-| = 5
_ ±	12
25
4-	5
12 12tgx — 5
” 1 + tgx-^ ~ 12 + 5tgx'
7 _ 12tgx —5
17	12 + 5tgx’
7- (12+ 5tgx) - 17- (12tgx - 5);
7 • 12 + 5 • 17 — (12 * 17 — 7 • 5) tgx;
7Г .
x —----1_
4
169 = 169 tg х\ tgx = 1;
7Г
значит х — —.
4
1
arctg -	<
2 arctg	<
5
11
arctg —	<
75
1.1 И
0 < arctg - +2 arctg - + arctg — <
4	5	75
1.1 И
Ответ: arctg - + 2 arctg ~ + arctg —
4	5	75
7Г
4
7Г
2
7Г
4
7Г.
7Г
4
О
О
О
11)
(	1 \	( з
cos 2 arcsin —7= — sin 4 arccos -7=
\	^5/	\	\/10
/ ]_ \ /1
a)	cos I 2 arctg —1=1 — 2 sin2 I arcsin -y=
X v 5 J	\ v 5
О 0
320
Обратные тригонометрические функции и их графики
/	з
б) sin ( 4 arccos ,__
(	3 \	/	3
= 2 sin 2 arcsin 	• cos 2 arccos t—
\ VW \ vT)
. . (	3 \	(	3
= 4 sm arccos t_____ • cos arccos .—
\	\/To7	\ \/io
/	9 (	3 \	1
x 2 cos arccos t_ — 1
\	\ xW
Г 7з \	з	( f з \2
= 4A /1 — cos2 ( arccos — |	• —	•	I 2 I  I	— 1
V k Ю/	10	I \vT07
= 4.W	3
V io Tlo \ io J io

24
25
Значит,
/	. 1 \	. Л 3
cos 2 arcsm —= — sm 4 arccos ._______
\ ч/б/ \	\/10
3
5
24
25
9
25
4 /	i -p x	N	____
12) — ( arctg----------arctgx ) при x = yl68.
7Г \	1 — x	/
а) Пусть arctg-----= a; tga =-------
1 — x	1 — x
При x — V168 tga < 0, t.e. —— < a
0.
6)	arctg x = /3;
Тогда tg a —
z--- /(
tg/3 — x; так как x = у168, to 0 < /5 < —.
1 + x _ 1 + tg (3
1 — x 1 — tg/3
tgi + tg/3
1 - tgl  tg/?
/ 7Г \
= tg( 4 +f3)-
Решение тренировочной работы 17
321
Значит,
L 2
“= "
ТГ
« — — + р + тг . Проверим:
а — Т + 0 ~ тг
Z 4
тг
4
Зтг	тг
т </?<—, ко
0;

4	1	’
z. 5тг	тг \
В <------также невозможно U < р < — );
4	X 2/
2.
Зтг
тг тг
3. -- <- + /Э-
Зтг	( тг тг
Тогда а = В-------Учтем, что —; —
4	\4 2
Oi 4
Зтг
Т’
°;2 '
°;2 '
4 /	1 +х
в) - arctg ----------arctg х
тг \	1 - х
тг \ 4 J
arctg---------arctg х I = —3 при
1 - х	)
Примечание. Можно иначе, если знать, что arctg(tgrr) =
= х — tv к. Остается убедиться, что только при к = 1 все
условия будут выполняться.
322
Обратные тригонометрические функции и их графики
Графики агс-функций
1. Рассмотрим функцию у = arcsin(sin х).
Так как у = sina; — функция периодическая, где Tq = 2тг
на всей числовой оси, то у — arcsin(sina;) также периоди-
ческая с основным периодом То = 2тг.
Значит для исследования поведения функции и постро-
ения графика у = arcsin(sina;) достаточно рассмотреть
функцию на промежутке
длина которого рав-
на 2тг, причем по определению arcsin(sina;) 6
— E(arcsin(sina;)).
1) Пусть х Е
па этом промежутке
у = sina; мо7ютонно
возрастает и имеет обрат-
ную ей функцию, тогда
у = arcsin(sina;) = х.
ТГ ТГ
2’2
2) С другой стороны, sin(7r — х) = sina;.
т. е. на
у = sina;
2
ТГ 3
—; -тг
2 2
монотонно убывает,
а значит имеет об-
ратную ей функцию
у = arcsin(sina;) — тг—а;,
ТГ ТГ
2’2
причем тг — х Е —
— E(arcsin(sina;)).
3
-тг,
2 ’
2	2
Графики arc-функций
323
Итак на
Л 3 ‘
2’2^
график функции у
мы рассмотрели характер поведения и
— arcsin(sin х), и, учитывая основной
период То = 2л, можно говорить о поведении и графика
функции на любом промежутке.
Подводя итоги, отметим, что так как
. / . ч Л Л
arcsin (sin х) 6-; — ,
v 7	/22
то именно из-за этого условия
1) Так как arcsinfsinz) G
при х е
тг Л	Л 1
— — + 2тгЛт; — + 2тгк
arcsin(sin х) = х — 2тгк1
где х — 2тгЛт 6
Функция имеет аналитический вид
у = arcsin(sinT) = (—1)кх + тгк, где —— + тгк С х С — + тгк.
2. Рассмотрим функцию у — arccos(cosя;). Рассуждая ана-
логично, получаем, что данная функция периодическая с
периодом То = 2л. Поэтому достаточно рассмотреть ее на
[—л; л].
324
Обратные тригонометрические функции и их графики
1) Пусть х € [0; тг] на этом промежутке у — cost моно-
тонно убывает и имеет обратную ей функцию, тогда
у — arccos(cosT) =
причем arccos(cosT) 6 [0; тг] = £?(arccos(cosT)).
2) С другой стороны, у = cost — четная функция,
т. е. cos(—т) = cost, тогда если — тб[0;тг], то тб[—тг;О]
т. е. на [—тг; 0] у = cost монотонно возрастает, а зна-
чит имеет обратную функцию у = arccos(cosT) = —т,
причем —т е [0;тг] = £?(arccos(cosT)).
Итак, на [—тг; тг] мы рассмотрели характер поведения и
график функции у = arccos(cosT) и учитывая основной
период Tq — 2тг можно судить о поведении и графике
функции на любом промежутке*
Подводя итоги отметим, что так как arccos(cosT) € [0;тг],
то
1)	при т 6 [2тг/г; тг + 2тг/г] arccos(cosT) — т — 2тгк
2)	при т 6 [—тг + 2тгА;; 2тг/г] arccos(cosT) = —т + 2тгк
Графики arc-функций
325
у = arccos(cosz) = |z — 2тг/с|,
где тг(2/с — 1) х тг(2/с + 1), k 6 Z.
3.	Рассмотрим функцию у = arctg(tgz).
Так как у = tgz — функция непрерывная, где То = тг
на всей числовой оси, то у — arctg(tgz) — периодическая
с основным периодом Tq = тг, значит для исследования
поведения функции и построения графика у = arctg(tgz)
/ тг тг\
достаточно рассмотреть функцию на I — —; — 1 , причем
по определению arctg(tgz) G I — —; — j — E'(arctg(tga;)).
\ l Li !
Пусть х 6 (— 2 >2/ этом промежутке у = tgz
монотонно возрастает и имеет обратную функцию, тогда
у = arctg(tgz) = х.
326
Обратные тригонометрические функции и их графики
Итак на
7Г 7Г \
—; — j мы рассмотрели характер поведения
и I
и график функции у = arctg(tgrr) и учитывая основной
период То = 2тг можно говорить о поведении и графика
функции на любом промежутке.
Подводя итоги отметим, что так как
4.	Рассмотрим функцию у — arcctg(ctg:r). Рассуждая анало-
гично и учитывая, что arcctg(ctgrr) 6 (О;тг), получим, что
при х G (тг/с; тг 4- тгк) arcctg(ctga;) = х — як.
Практикум 15
327
Практикум 15
1. Вычислите:
1) arctg(tg3);
4) arccos(cos4);
2) arcsin(sin 2);
7)
8)
1	. ( . 29% \
— aresm I sm--- 1 ;
%	\	5 /
6) arcctg (ctg(—3));
2	v 2
— [2 arcsin y/x — arcsin(2z — 1)1 при x = —.
7Г	J	R
2.	Решите уравнения:
.ч	. ( . 8%\	„
1)	arcsin sin — = 2x — 1:
\ 7 /
2)	arccos (— 2 sin2 x2 4-1) — x;
2x
3)	arctg --2 = 2(7r - 3);
1 — xz
4)	arcctg (ctg(4rr2 — 10® — 10)) = x2 — 3®.
3. Найдите E(y) (область изменения функции):
1) у — — j arcsin rr — arcsin----------
% I	v 2
1 /	, 2x
у = — I 2 arctg x — arcsin
3) у = — (2 arcsin я; 4- arccos fax2 — 1)) ;
4)
5)
1 /	2x \
у = — I 2 arctg x — arctg -----7 ;
7Г \	1 — X1 )
у — — fa arccos я; — arccos (4a;3 — 3rr)) .
328
Обратные тригонометрические функции и их графики
Решение практикума 15
1. Вычислите:
1) arctg(tg3).
7Г	ТГ
Учтем, что arctg(tga;) =х — тгк при — — 4-тгА; <х < — Н-тгД;.
(ТГ ТГ \	( ТГ Зя \
—; — при к — О, а 3 G —; —
2 2 J 1	у2 2 /
при к = 1 (см. график), то arctg(tg3) = | 3 — тг].
2) arcsin(sin2).
3)
Учтем, что arcsin(sina;) =
{ТГ
х — 21гк,	—— + 2ък
ТГ
тг — х + 2тг/с, — + 2ък
m	, ТГ ТГ
Так как 2 е — —; —
2 2и
фик), то arcsin(sin2) ~ | tF~— 2].
при к — 0, а 2 6
тг ~ ,
С — + 2л к
£
Зтг '
— + 2тг&
ТГ ЗТГ
2’Т
(см. гра-
1	. ( . 29тг\
— arcsm sm —- I =
ТГ у 5 J
arcsin
1 ’ Г •
= — arcsm sm бтг — —
я [у 5 /
1
= — arcsm
7Г
sin
1 i тг \	1———1	( тг тг тг
гЬ =Е®а -5е -2;2
4) arccos(cos4).
Учтем, что arccos(cosa;) =
_ J х — 2тг2пк х (2к + 1)тгА; ,
[ —х + 2тгА;, (2к — 1)тг х 2тг/с
Так как 4 [0; тг] при к ~ 0, а 4 G [тг; 2тг] (см. график),
то arccos(cos4) = | 2тг — Т].
Решение практикума 15
329
7
— arccos
тг
тг — arccos
7	Г . /5тг
= — arccos sm —
7Г	|_	\ 14
7	/	5тг\
= — arccos — cos — =
7Г	\	14 )
6) arcctg (ctg(-3)).
Учтем, что arcctg(ctgz) —х — тгк при тгк < х < тг + ък.
Так как —3 (О;тг), а —3 G (—тг; 0) (см. график),
то arcctg (ctg(—3)) — I -3 + 7Г |.
7)
arcsin х — arcsin
при х = 0,1.
б) arcsin
а) Пусть arcsinх — a; sina — х.
так как х > 0, то 0
и cosa > 0.
так как х > 0,
Раз sina —ж, значит
. . 1 . V3 /“
smp= -smaH---v 1
1 . V3
sin a = -sinaH--cosa =
7Г	. 7Г
= cos — • sm a + sm — • cos a = sin
о	3
arcsin
sin
330
Обратные тригонометрические функции и их графики
Так как arcsin(sinz) = х — 2тг/с
при —+ 2тг/с < х + 2тг/с, 0 < /? < -^,
ТГ	ТГ	ТГ	ТГ
значит 0 < а +	—	<	—;	--	< а <	-.
о	£	о	о
/ тг тг
Так как ——; —
\ 3’ 6
Так как х = 0,1, то 0
значит 0 < arcsin 0,1
(& = 0), то /? = а+-^.
о
< 0,1 < - (arcsin0,1 — а),
1
arcsin - —
2
2’ 2
0 < arcsin0,l Н— < —,
’	3	2
т. е. 0
тг
6’
тг тг
;+ 3	2
arcsin х — arcsin
ГА	3
Ответ: —
тг
1)] при
2 г . г~
8) — 12 arcsin у/х — arcsin(2z —
тг
а)	Пусть arcsinу/х = a; sina = у/х > 0,
значит, с учетом условий, 0 < а < —
v2
б)	Пусть arcsin(2rr — 1) = /3;	sin/? — 2х — 1; приз;——
2х — 1 < 0, значит sin/? < 0, т. е.-
2
С другой стороны, 2з;—1 = 2(^/х)2 —1 = 2sin2a—1 —
— — cos 2а, т. е. sin /? — — cos 2а — sin
2«--
Решение практикума 15
331
(3 = 2а - -
2
/3 = Я —
Тогда
(Я \
2се — — I , значит
„ я \ Зя
2а----) =------2а
2 /	2
2
я
О < а < —
4
2се — — < О
2
Зя
-----2а < О
2
О < 2а < -
2
Зя
— < 2а < 2я
2
Зя
т<а
но 0 < а < —
2
°; 4
’ Н° 2
2
и

значит /3 — 2а---.
2
2
Следовательно, — [2 arcsin у/х — arcsin (2х — 1)1 =
я
2
2л - I 2л - -
Я 2
Я
2 г	г-	/ М	* 2
Ответ: — 2 arcsin у/х — arcsin(2j; — 1) =1 при х = ——
я L	5
2. Решите уравнения:
ч	( . 8я\
1) arcsm Ism — 1 — 2х — L
Г(У); --«2Х-К-;
Так как arcsin(sin я) =
2-я	2 +
х — 2ntk, 2irk — —
87Г
и у е
я — х + 2я/с, — + 2яА:
я Зя
2’Т
х — + 2тгА:, к 6 Z
Зя
х — + 2я/с, к 6 Z
, . 8я
, то arcsm I sm —
8я
Т’
332
Обратные тригонометрические функции и их графики
. ( . 8тг
т. е. arcsin sin —
\	7
тг
значит 2х — 1 —--;
7
7 — тг
Ответ: х = ----.
14
тг
~7’
* = е Р(У).
2) arccos (—2 sin2 х2 + 1)
= х.
( О С х тг
1 ’ 1 — 1	cos2j;2 1 ’
om={0_^Xin2a:2 + 1
arccos(cos 2х2) = х; так как
[ х — 2тгЕ 2тг/с С х С (2к + 1)тг, к € Z
arCCOS X =<	, Г. ; /Г.;	, X ?	1 1 П7
( — х + 2тг/с, (2к — 1)тг С х 2тг/с, к е Z
и 0 х тг при к — 0^ то arccos (cos 2гг2) — 2х2, тогда
х = 0
1
Х ~ 2
ifi
2х2 = х] < О
2х2 ~ х
2х2^ тг;
О С % тг
Ответ: < 0; - > .
12]
2х
3) arctg -----~ = 2(тг - 3).
1 — х£
Р(У): х^±1.
х = О
1
/ - 2
О С ^х2 тг
О х < тг
О < х
Пусть х = tga, тогда arctg —_ % fa _ 3).
1 — tg2 а
I тг тг \
arctg(tg2a) = 2(тг — 3) G	; k = Q (см. график),
ТГ
тогда 2а — тг/с — 2(тг — 3); а = тг — 3 + —к.
Решение практикума 15
333
а)	Пусть к = 2п, где n е Z. Тогда а = тг - 3 + тгп,
значит
х — tga = tg (тг —- 3 4~ тгп) = tg(-3) = -tg3,
т. е. х — — tg3 е £>(У).
б)	Пусть к ~ 2п — 1, где п е Z.
тг
Тогда а = тг — 3 + тгп — —, значит
х = tga = tg (-3 - 0 = -ctg(-3) = ctg3 G Г»(У).
Ответ: { — tg 3; ctg 3} .
4) arcctg (ctg (4x2 — lOx — 10)) = x2 — 3x
Уравнение равносильно системе:
f4z2 — ICkr — 10 — irk — x2 — 3x
irk < 4x2 — lOx — 10 < тг + irk .
0 < x2 — Зх < тг
9	, Л	7 ± х/169 + 12тгАт
Тогда Згг2 — 7х — 10 — irk — 0, xij —------------------
х = — 1 (/?(—1) = 4	(0; тг)
(^) = 4 е (0; тг)
\ о / У
а) При к — О
10
х~ 3
(где (/?(fc) = х2 — Зх).
Для 0 < х2 — Зх < 7Г
3 ± V9 + 4тт
*1,2 =------2------
3~У9+4л
2
б)	При к = 1 Зх2 — 7х — 10 — тг = 0;
7 + V169 + 127Г	( У9 + 4тг\
6	\ ’	2 J
7 - х/169 + 12тг /3 - х/9 + 47Г '
6	"	\	2	’
х2 — Зх — тг — О;
3+^9+471
2
х —
x —
Очевидно, что для к Е N корни не подходят усло-
/3 -	\	/ 3 +
вию х Е I ----------; 0 j U I 3;--------] .
\	2	/	\	2	/
334
Обратные тригонометрические функции и их графики
в)	При к = “1 Зз;2 — 7х — 10 + тг = 0;
7+ V169- 12тг / 7+ х/9 + 4тг'
х =------а----- 6 3;-----5-----
о	\	2
7 - л/169 - 12тг	/3 - V9 + 47T J
х =------------ 6 -----------; 0
L	6	\	2
г)	При к = —2 Зз;2 — 7х — 10 + 2тг = 0;
, Л 3+У9 + 47Г-
V 2
/3-vJ+4^;Q
7 + х/169 - 247Г
6
7 - х/169 - 247Г
2
Аналогично для любых к < — 2 | к G Z
(при к < —4 D < 0).
f 7 - л/169 - 12тг 7 + л/169 - 12тг „ 11
Ответ: <--------------:---------------; 3- > .
[	6	’	6	’ 3J
3. Найдите Е(у).
2 /	£ -- -у/2 -
1) у = — I arcsin х — arcsin-----------—-------
Пусть arcsine — а;
Тогда
тг тг
----а ;	sina — х.
2	2’
sin a — \/1 — sin2 а
значит на
1 /
при этом у = — ( а
\
у = 0,25.
Итак, на

Решение практикума 15
335
б) - 2 а -р Т0ГДа	а - 4	- 2’
Так как arcsin(sinrr) =
х — 2тгк при
% — х + 2/пк при
3	7Г 7Г
то зная, что —ТГ % Q-------------%-------,
’	4	4	2
получим
Значит, это второй случай при к = — 1,
тогда arcsin(sinrr) = тг — х — 2% = —тг — ху
Отсюда следует, что
1 /	3	\
У = — I Q + -л + а )
ТГ \	4	/
1 Л	3 \
— 2а + -тг .
ТГ \	4 /
/(а) — возрастающая, тогда на
_	1 Л (	3 \
./наиб 1^1 Т ) + ~л^ )
7Г \ \ 4 /	4 J
учитывая случай а).
Ответ: Е(у) — [—0,25; 0,25]
График данной функции иллюстрирует исследование
Е(у)-
У
а
336
Обратные тригонометрические функции и их графики
1 Л	2х
2) у — — 2 arctg х — arcsin ---------z-
'тг \	1-4-
Пусть arctg х = а, где а 6 ( — —; ~ .
2х 2tga . Л
X = tg а;	——2 = 1 , . 2	= sin 2<Т
1 + xz 1 + tg2 а
arcsin(sin 2а) =
2а — 2тг&; 2ттк — — ^2а^ — + 2тг& (первый случай)
Zi	&
7Г	3
тг — 2а;	—+2тг&^ 2а^-7Г + 27Г& (второй случай)
к — 0.
arcsin(sin2a) =
Учтем
1. на
2а;
тг —2а;
только, что а <
7Г
Тогда
k I'*
у — —(2a — 2a) = 0;
7Г
= —(4a — тг)
7Г
у — — (2a — (тг — 2a)) =
7Г
= У(а)-
возрастающая линейная функция.
3/(а) на
т. е. y(a) 6 [0; 1) на
Решение практикума 15
337
б) при —— < а С — — , т. е. —тг < 2а С — —, что возможно
только при k = — 1 во втором случае,
3	тг
-тг < 2а < — —.
2	2
л	3
— — 2л С 2а < —л — 2л
2	2
3
2^
Но
2 ’
2
тогда arcsin(sin 2а) = —2а — тг на	5
отсюда следует, что
у(х) — —(2а — (—2а — тг)) — —(4а + тг),
ТГ	ТГ
т. е. т/(а) — возрастающая линейная функция.
/ тг\ 1 /	/ тг
4 *-----
\ 2
= -1
= О
У ~9	=
\	2 / ТГ \
(	7Г\	1 А
у------I = — I 4 .
\ 4/ тг \ V 4
т. е. з/(а) 6 (—1; 0]. Значит Е(у) = (—1; 1).
График иллюстрирует поведение данной функции.
fy
1-
_ л
4 О
-21] /
2!/
л а
2
1
3) у = — (2 arcsin х + arccos (2а;* 2 — 1)) .
Л V
, тогда х = sin а.
Пусть arcsinа: = а6
2’ 2
Значит 2т2 — 1 = 2 sin2 а — 1 = — cos 2а;
arccos (2х2 — 1) — arccos(— cos 2а) = тг — arccos(cos 2а).
С другой стороны,
, Л ч f 2а — 2тг/с; 2тгк 2а (2/с + 1 )тг
arccos(cos2a) — < п	о ; .
v 7	[ —2а + 2тгА:; (2я — 1)тг 2а 2тг/с
338
Обратные тригонометрические функции и их графики
Так как-----< а < —, то
2	2
а)	при к — 0	0 < 2а тг,
тг
значит на 0; — arccos(cos 2а) = 2а,
тогда г/(а) = — (2а + тг — 2а) = 1
тг
(напомним, что arccos (2#2 — 1) = тг—arccos (cos 2а)).
б)	Во втором случае при к — 0 —тг < 2а < 0,
значит на
arccos(cos 2а) — —2а,
тогда па
1 1
г/(а) = —(2а + тг — (—2а)) — —(4а + тг), т. е.
г/(а) на — — ;0 возрастающая линейная функция.
Упаиб = 3/(0) = —(4 • о + 7Г) = 1;
ТГ
(тг\ 1 / / тг
Т / I Л I 77
2 / ТГ \	\	^
- -1.
Итак, подводя итоги, получим
на
тг тг
2’2
Е(у) = [-!;!];
График демонстрирует поведение данной функции.
Решение практикума 15
339
л 1 Л	2z
4) у — — 2 arctg х — arctg ---------и
7Г \	1 —
2х
значит------
1 — х1
Пусть arctg а? = (3 6	; — j , тогда х — tg(3,
_ j. 2 л
1 -tg2/? “ tg
Отметим, что arctg(2/?) — 2(3 — тгк^
где 2(3 G
— + тг/с; — + тгк ] .
£	и	I
Рассмотрим
б)
при к = 0 -- < 2(3 <
(7Г 7Г \
— ~; — 1 arctg (tg 2(3} = 2/3,
значит на	у((3} = —{2(3 — 2(3} = 0.
7Г	3
при к = 1	- < 2(3 < -7Г,
/	7Г	7Г\
2 < < 2 )’
т. к.
7Г
значит —
2
тогда на ; — J arctg(tg 2(3} — 2(3 — тг.
Отсюда следует, что
1	/ ТГ 7Г \
2/(/?) = — (2/? — (2/? — тг)) = 1 на (д; -J .
3
2
при к — — 1
2’
7Г
но —тг < 2(3 < тг, значит —я < 2(3 < —
Отсюда следует, что на ~
arctg(2/?) = 2(3 + тг,
тогда на	- j у((3 =-(2(3 - (2(3 + 1)) = -1.
2	4	7Г
340
Обратные тригонометрические функции и их графики
Подводя итоги, получим Е(у) = {—
График демонстрирует поведение данной функции.
3
5) у — — (arccosх — arccos (4х3 — Зх)) .
Пусть arccosх = /3, где /3 6 [0; тг], тогда х = cos/3,
значит 4х3 — Зх = 4 cos3 /3 — 3 cos /3 — cos 3/3.
Так как arccos (cos 3/3) =
_ Г 3/3 — 2тг/с; 2тгк 3/3 2тгк + тг
[ —3/3 + 2тгА:; 2тгк — тг 3/3 < 2тгк
а) при к = 0 0	3/3 тг в первом случае
(второй случай к — 0 не подходит)
ТГ*1
на 0; —
3
, то
значит на
°!3
arccos(cos3/3) — 3/3,
у(/3) = — (3/3 — 3/3) = 0.
б) Пусть к — 1 в первом случае 2тг 3/3 < Зтг,
arccos(cos3/3) — 3/3 — 2тг,
тогда на
значит на
*2
-ТГ
3
Г2
3
значит на
в) При к = 1
*тг 2
3’зя
на
arccos(cos3/3) = 3/3 — 2тг,
у((3) = -(3/3 - 3(3 + 2тг) = 6.
3
во втором случае
arccos(3/3) — —3/3 + 2тг,
ТГ 2
—; -тг
3’3
тогда на
у(/3) = -(3/3 - (—3/3 + 2)) = -(6/3 - 2%).
Решение практикума 15
341
7Г 2
з;з%
2/(Х па
возрастающая линейная функция.
/2 \	3/2	\	„
?/наиб = У Нтг = - 6 • -7Г - 2рг = 6
\3 /	7Г \	3	/
/ 7Г\	3 /	7Г	\
't/найм	~	6 ----2?Г I = 0
\ 3/	7Г \	3	/
Подводя итоги, полупим Е(у) = [0;6].
График иллюстрирует поведение данной функции.
х| 1
4я3 — Зя| 1 ’
f — 1 С х 1
4я3 — Зх С 1
k 4х3 — 3x^—1
" —1 < х < 1
< (х- 1)(2х + 1)2	0 .
k (х 4- 1)(2х — I)2	0
П(1/) = [—1; 1], дополнительных ограничений нет.
342
Обратные тригонометрические функции и их графики
Тренировочная работа 18
1.	Вычислите:
1)	arcctg(ctg5);
2)	arcsin(sin(—3));
3)	arccos(cos6);
4)	arctg(tg(—4)).
2.	Решите уравнения:
1)	arcsin (sin —тг	| = Зх + 1;
\	7	/
/	17	\
2)	arccos I cos —тг I — 2 — 3z;
\	5	/
3)	arcctg(ctg(—4)) = х + 3;
4)	arccos(cos(—4)) = 2х — 1;
5)	arctg(tg8) = 3 — 2z;
б)	arcctg j ctg f — тг) | = Зх + 4;
\	\ 5 J J
7)	arcctg (2sin2z — sinz) =
3
8)	arctg (3 cos3 2x + 4 cos 2z) — -тг;
9)	arccos(ctg(2 arctgx)) = 0;
10)	arctg (2x2 + x) + arctg (2x2 — x) =
. ..	1 — x2 . 2x	2x Зтг
11)	arccos -----+ arcsin -------- + arctg -------- = —;
1 + xz	1 + xz	1 — xz 2
12)	arctg(2 + cosz) — arctg f 2 cos2 J =
Тренировочная работа 18
343
13)	cos(2arccos rr) = arcsin(cosa;);
14)	sin(2 arctg x) • tg(arcctgrr) = 1;
15)	arccos(4rr — 3) = 3 arccos ar;
5тг2
16)	arcsin2 x + arccos2 x —
36
344
Обратные тригонометрические функции и их графики
Решение тренировочной работы 18
1. Вычислите:
1) arcctg(ctg5) = 5 — тгА, где тгА; < 5 < тг + тгА, что верно
при к = 1; тг < 5 < 2тг, значит arcctg(ctg5) — | 5 — тг].
2) arcsin(sin(—3)) =
f
—3 — 2тг/с, где 2тгА С — 3 С + 2тгА
= < 2 3
тг + 3 + 2тгку где — + 2тгА —3 -тг + 2тгк
Так как —3 6
—1,5тг; ~2
верно, что возможно только
во втором случае при к — 1,
то arcsin(sin(—3)) = тг + 3 — 2тг = | 3 — тг |<
Можно не запоминать формулы агс-функций.
Пусть у = arcsin (sin (—3)), тогда
sin?/ = sin(—3)
Так как из sin а — sin следует
а — /3 + 2тг А;
а = тг — /3 + 2тгк ’
то
у = — 3 + 2тгА
у = тг + 3 + 2ък
что верно только для
' у = 3 - тг
у = тг + 3 + 2тгА при к — —1;
arcsin(sin(—3)) — 3 — тг
3)
arccos (cos 6) —
f 6 — 2тгА;, где 2тгк С 6 С (2к + 1)тг
[ —6 + 2тгА, где(2А — 1)тг 6 2тгк
Так как 6 Е [тг; 2тг] верно, что возможно только во вто-
ром случае при к— 1, значит arccos(cos6) =| —6 + 2тг|.
Решение тренировочной работы 18
345
Можно рассуждать иначе.
Пусть у — arccos(cos6), то
cos у = cos 6
О у С тг
Так как cosa = cos/?, равносильно
а = (3 + 2тгА;
а = — (3 + 2тгА; ’
у = 6 + 2тгк
то < у = — 6 + 2тгк ,
0 у < тг
что верно только для у — — 6 + 2тгк при к — 1,
т. е.
Г у — — 6 + 2тг
[ 0 < у тг
, тогда
arccos(cos6) = —6 + 2тг
тг	тг
4) arctg(tg(—4)) = — 4 — як, где — — + 2-тгА; — 4	— + як,
тг
что верно только при к = —1, тогда —4 € —1,5;--,
значит arctg(tg(—4)) ~ | —4 +У].
2. Решите уравнения:
1) arcsin I sin — тг ] = Зх + 1.
\	7 J
Так как —тг 6 [1,5тг; 2,5тг],
то это первый случай при к — 1.
. /	/11 \\	11
arcsm sm —тг — —тг — 2тг,
\	\ 7 JJ	7
3
значит Зх + 1 — —тг;
7
1 тг
Ж = -3 - 7 '
346
Обратные тригонометрические функции и их графики
(	17 А	о о
arccos cos —тг = 2 — Зх
V	5 7
(	17тг
1ак как arccos cos---------
\	5
17	17
—тг — 2тг&, где 2тг/с —тг (2к + 1)тг
5	5
17	17
-------h 2тг/г, где (2к — 1)тг —тг С 2тг/с
5	5
что верно во втором случае при к — 2,
/	17 \	17
то arccos cos —тг = —тг — 4тг,
\	5 /	5
тогда —тг — 4тг = 2 — Зх: х = —I—
5	’53
3) arcctg(ctg(—4)) = х + 3.
Так как arcctg(ctg(—4)) — — 4—тг&, где тг&< —4<тг+тг&,
что верно при к ~ —2, то arcctg(ctg(—4)) = 2тг — 4,
значит 2тг — 4 — х + 3	| х = 2тг — 7 |.
4) arccos(cos(—4)) — 2х — 1.
Так как arccos(cos(—4)) =
—4 — 2тг&, где 2тгк —4	(2к + 1)тг
4 + 2тг/с, где (2к — 1)тг	—4 2тгА; ’
а это верно при —4 Е [2тг; — тг] при к = — 1 в первом
случае, то arccos(cos(—4)) = —4 + 2тг,
тогда —4 + 2тг = 2х — 1;	| х ~ —1,5 + тг |.
Можно решить и не помня формул для агс-функций.
Пусть у = arccos (cos (—4)), тогда
cosy = cos (—4)
О С У тг
Решение тренировочной работы 18
347
Так как если cos а — cos/З, то
а — /3 + 2тг/г
а — —(3 + 2тг/с ’
значит <
у = —4 + 2тгк
у — 4 + 2тгк
О С У С тг
что верно только для у — — 4 + 2тгк при к — 1;
f у — —4 + 2тг	/	/	.
<	, тогда arccos(cos(—4)) = — 4 + 2тг,
а уравнение примет вид —4 + 2тг = 2х — 1;
[ х = —1,5 Т ТГ [.
5) arctg(tg 8) = 3 — 2х.
Так как arctg(tg 8) = 8 — тг/г, где — — Т тг/с 8 С — + тг/г,
что верно при к — 3 (8 6 [2,5тг;3,5тг]),
то arctg(tg 8) = 8 — Зтг, значит 8 — Зтг = 3 — 2z;
|z = -2,5+Т^Г|.
6) arcctg f ctg ( v-тг) ] = Зх + 4.
X X 5 / /
гтх	( И А И
Так как arctg [ ctg — тг 1 = —тг,
\	5 )	5
тг _	11 тг _
где — — Т тг/с С —тг С — + тг/г,
2	5	2
что верно при к — 2 (—тг 6 [1,5тг; 2,5тг]),
5
5
/11
то arctg I —
\ 5
значит “~7г — 2тг = Зх + 4;
5
тг 4
Х= 15 ” 3
348
Обратные тригонометрические функции и их графики
7Г
7) arcctg (2 sin2 х — sin т) — —.
Так как углы равны, то котангенсы этих углов равны,
т. е. ctg (arcctg (2 sin2 х — sin х)) = ctg ;
2sin2x—sinx = 1;
sinx = 1
1 ;
SHIT “ —
2
— + 2як
- + 7ГП
о
Ответ: < —h 2тг/с; ( —l)n+I-
12	1	7	6
— + 7ГП куп
3
8) arctg (3 cos3 2х + 4 cos 2х) = -
С одной стороны, взяв тангенс обеих частей уравнения
3
получим tg(arctg(3 cos2 2х + 4 cos 2х) ~ tg -л;
cos 2т = — 1
1	.
cos 2х = —
3
3 cos2 2х + 4 cos 2х = — 1;
Но увы, это ошибочное решение*
(7Г 7Г \	3 ./ 7Г 7Г \
---’ "о / ’ а I “Т’ “ / ’ то Данное
2 2/	4	\ 2 2 /
уравнение корней не имеет.
9) arccos(ctg(2 arctgх)) = 0.
По определению это значит, что ctg(2 arctg х) = 1.
1
Т°ГДа tg(2arctg х) ° l; ‘g<2“retE= 1;
2	tga	2tg(arctgrr)
так как tg2a =  -----5—, то  ------------- = 1;
1 - tg2 а 1 - tg2 (arctg х)
2х
-----х — 1; х2 + 2х — 1 = 0; Xi 2 = -1 ± л/1 + 1;
1 — хл
^1,2 = “1 =Ь \/2
Решение тренировочной работы 18
349
10) arctg (2x* 1 2 * + z) + arctg (2x2 — x) ~
tg (arctg (2x2 + z) + arctg (2x2 — ж)) — tg
Так как tg 2a =------,
&	1 — tg2 a
tg (arctg (2x2 + x)) + tg (arctg (2x2 — z))
1 — tg (arctg (2x2 + z)) * tg (arctg (2x2 — z))	’
2x2 + x + 2x2 — x	4z2
1 — (2x2 + x) (2x2 — x) 1’ 1 “ 4z2 + x2
1
X ~~ 2
1 *
x = —
2
2 = —1
.2 _ 1
4
4х4 * * 7 + 3z2 - 1 = 0;
n I 1 1
Ответ: < —: —
1 2’2
2х Зя
~2
-t л ч	1 —	. 2z
11 arccos------« + aresm-------+ arctg n —
7	1 + x2	1 + x2	1 - X2
. —	1 — X2 1 — tg2 a
а) Пусть x = tga, тогда--------~ =-------5— = cos2a:
1 + хл 1 + tg2 a
2x 2 tg a
-----о — ------9~ = sm 2a;
1 + x2 1 + tg2 a
2x 2 tg a
1----2	1---Г2~ =	2a’
1 — xz 1 — tg2 a
Значит
3
arccos(cos2a) + arcsin(sin 2a) + arctg(tg2 a) = -я
один из возможных вариантов.
arccos(cos(2a)) = 2a
arcsin(sin(2a)) = 2a ,
arctg(tg(2a)) — 2a
тогда 2а + 2а + 2а =
Я
значит tg — = х = 1.
3 Я
—тг; а — —,
2 ’	4
350
Обратные тригонометрические функции и их графики
1 — z2
7Г 2z
=
б) Можно доказать, что
1	— z* 1 2 * *	2z	2z
arccos ----~ = arcsin------— arctg------~ , тогда
1 + z2	1 + z2	1
_	. 2z 3	2z тг
2	arcsm---= -тг: arcsm--------~	;
1 + z2 2	1 + z2 2
z2 — 2z + 1 — 0; z — 1.
Но внимание! z = 1 D(y) — корней нет.
ч	/	ч	/9	1
12) arctg(2 + cosz) — arctg I 2cos — I = —
tg(arctg(2 + cosz) — arctg(l + cosz)) = tg —;
Л ,	- tga-tgff\ .
\ S	1 + tga • tg/З/ ’
tg(arctg(2 + cosz)) — tg (arctg (1 + cos)) тг
1	+ tg(arctg(2 + cosz)) • tg(arctg(1 + cosz)) 4’
2	+ cos z — 1 — cos z
1 + (2 + cosz) • (1 + cosz) ’
1
-------6--------------=
1 + cos2 z + 3 cos z + 2
cos2 z + 3 cos z + 3 = 1; cos2 z + 3 cos z + 2 — 0
cosz — —1
cosz — —2
тг + 2тг/с~| к e Z.
13) cos(2 arccos z) = arcsin(cosz).
Так как cos 2a — 2 cos2 a — 1,
to cos(2 arccos z) — 2 cos2 (arccos z) — 1 = 2z2 — 1.
Так как arcsin a + arccos a = —,
2
to arcsin(cosz) —	— arccos(cosz),
arcsin(cosz) =	— arccos(cosz) = — — z;
2	2
z 4 f z — 2тг/с; 2тгк + z + (2k + 1)тг
( — z + 2тгк; (2k — 1)тг z 2тгк
Решение тренировочной работы 18
351
а) При А; —0 О^я^тг (первый случай), но — 1 С % 1
(условие существования arccos ж), значит на [0; 1]
arccos(cos х) = ж,
9 тг
тогда 2х — 1 = — — х\
-1 ± VI + 8 + 4тг
*1,2 =--------1--------
— 1 — д/9 + 4тг , . 4
но
4ж2 + 2х — 2 — тг — 0;
__ -1± У9 + 4тг
4
б) Во втором случае при к = 0 —тг С х 0,
т. е. на [—1; 0] arccos(cos х) = —х,
значит 2х — х — — + х\
л „ п	п	1 ± ^9 + 4тг
4т* 2 * * * — 2т — 2 — -тг — 0; Ti 2 — -:-
’	4
1 + ИУ+4^ 1-ита
4	~ I	J	L
Ответ:
14) sin(2arctg:r) • tg(arcctg:r) = 1.
m • n 2tSa
1ак как sm2ai —--------5—,
1 + tg2 а
. /„ ч 2tgfarctgж) 2т
то sm(2arctga:) = ------тг-.------- = ----
v 6 '	1 + tg2 (arctg ж)	1 + т2
/ ч	1	1 2т 1 л
тогда tg(arctgT) = — -------—- =	• - = 1;
ctg(arcctgT) т 1 + tz т
1
1 + т2 = 2;
X — 1
х — — 1 ’
Ответ: {—1; 1}.
352
Обратные тригонометрические функции и их графики
15) arccos(4a; — 3) — 3 arccos а;.
cos(arccos(4a; — 3)) = cos(3 arccos а;);	4х — 3 = 4х3 — За;;
 (cos За = 4 cos3 oi — З cos о);	4x3 — 7x + 3 = 0.
4a;3	— 7x + 3 x — 1
4a;3 — 4a;2
4a;2 —
4a;2 —
4а;2 + 4а; — 3
7х
4х
— За; + 3
—За; + 3
-2± x/4+ 12	-2 ±4
^1,2 =--------~л------= —~л—
’	4	4
Ответ: {0,5; 1}.
5тг2
*9	9 О
1 о) arcsm х + arccos х =-------
7	36
Так как arcsin х + arccos а; — —,
3
Х ~ ~2
1
Х ~ 2
/	\ 2
(ТГ	\	9
то I — — arccos х \ + arccos^ х =
7Г2	5тг2
—----тг arccos х + arccos2 х + arccos2 х =-----;
4	36
72 arccos2 х — Збтг arccos х + 4тг2 = 0;
18 arccos2 х — 9тг arccos х + тг2 = 0;
5тг2
"Зб"’
arccos х — —
arccos х — —
6
ГА	1
Ответ: < —:-----> .
2 2
1
Х ~ 2
УЗ '
х ~ т
Практикум 16
353
Практикум 16
1. Решите неравенства:
1)	cosz >
7	2
V3
2)	cosz >-----:
7	2 1
3)	cos2х < -у;
(ТГ \
2х + — 1 <
5)	sin3z >
6)	sin ( 2х +	) >
7)	sm2x <
8)	sin ( Зх —	]
\ /
9)	tg [2х + )
\ J
10)	tg ^2х -
И) ctg ^2х -
12)	ctg ( Зх + — j
13)	cos ^3 sin •
14)	sin I cos I x +
73
T’
~2 Ha I0;#.
72.
V’
y|.
IT’
73;
354
Обратные тригонометрические функции и их графики
2.	Решите неравенства:
7Г
1)	arctgх >
о
7Г
2)	arccos х < —;
3)	arcsin 2х > arccos z;
4)	arccos(8z2 — 5z) < 2 arccos z;
5)	arcctg rr < arccos 2z;
6)	2 arctg x > arcsin x.
Решение практикума 16
355
Решение практикума 16
1. Решите неравенства:
— arccos —h 2тгк < х < arccos —h 2тгя;
тг	тг
— ~ + 2тг& < х < — + 2кк.
о	о
Так как arccos(—т) — tv — arccos m, то
/ тг\ _	тг ,
— I тг---+ 2тгк < х < тг-------h 2тгк.
\	6/	6
Ответ: х G (-------h 2тг&;----h 2ък ) VA: 6 Z.
\ 6	6	/
356
Обратные тригонометрические функции и их графики
arccos
+2тгА; < 2z+ —
б
< 2 тг—arccos
( х/3\	7Г	5тг
1 ак как arccos I----] = тг----= —,
2 у	6	6 ’
( г/з\	5тг
то — arccos-------=---------;
\	2 /	6
5тг	5тг
— < а <-----------ложь, значит
6	б
5тг
т
5тг
а <----------|-2тг;
6
5тг
-----1- 2тг/с
6
тг
2я+- <
б
Л 5тг
2тг--------F 2тг&;
6
Решение практикума 16
357
2тг	тг	,	тг ,
— + 2тгя < 2х < тг + 2тг&; ~ + тгк < х < — + тгк.
о	О
ТГ , ТГ ,
- + тгк-, - + тгк
О	£
Ответ:
358
Обратные тригонометрические функции и их графики
тг	л ,	5тг
— — + 2тгк < 2х < — + 2тгА;;
&	О
7Г ,	5тг _
— — + тгк, < х < —- + тгк.
4	12
Учтем, что х 6 [О;тг].
Ответ:
\	л/з
—	< а < arcsin-------ложь.
2 у	2
Тогда
тг ~ aresm —- — 2тг < а < aresm —;
\ 2	2 ’
v3	v3
2тгк — тг — arcsin —- < 2х < arcsin —- + 2тгfc;
4тг	Л ,	7Г
—— + 2тгк <2х < —F 2тгк.
3	3
Ответ: < f—— + тгк; — + тгк ) | к 6 Z1.
1 \ О	О /	1
Решение практикума 16
359
7Г т	7Г 7Г т 7Г 7	7Г
— +	тгА;>2а; + —	^ —	+ тгк; —	+ тгк > 2х — —	+ 7rfc;
2	3	4	о	12
7Г 7Г _
12 + 2к>Х
7Г 7Г
24 + 2
Ответ:
7Г 7Г , 7Г 7Г
— И- —kt — + —
24	2’12	2
360
Обратные тригонометрические функции и их графики
Так как arctg(— т) = — arctgm,
тг	тг	тг
— “ + тгя >	— — > —— + тг&;
О	О
тг > 3, тогда
12’
5-тг	7тг Итг	11тг 7-тг 21 5-тг
Т <	Т	< 1Г’	~8~ > Т	> У	> Т’
3	21
Ответ:
3
8
/ тг 5тг\ (5тг 5
U — U —;2- .
\ 3 ’ 12 7 V 6 ’ 8
Решение практикума 16
361
Так как arcctg(—т) = тг — arcctgm,
(	л 7Г 7
я — arcctg I -у- I + тгя > 2z — — > 7г/с;
7Г 2тг J	Я 7	11ТГ ТГ _	ТГ ТГ .
~ + -+А>2х>-+хк-, -^ + ^>х>- + -к.
тг + тгк > Зх + arcctg л/3 + тгк;
о
ТГ	ТГ	2тг	7Г
7г + 7гА:>Зз;+——	+ тгк;	—	+ тгк > Зх	~ +	тгк;
3	6	3	6
2тг 7Г	тг тг
Т + 3* > 1 35-18 + 3к-
Ответ:
7Г 7Г , 2?Г 7Г , \	, „I
-!8 + 3fc;T+3fc) |te2T
362
Обратные тригонометрические функции и их графики
. 5тг 5тг
aresm---------h 2тгп < х <
18	6
тг	5	.	„
— — arcsin — + 2тгп | п 6 Z.
6	18
Решение практикума 16
363
б) Л; = 0;
• 5тг	тг . бтг
тг — arcsm — + 2тгт? > х — ~ > arcsin --------h 2тгр;
18	о	18
7%	. бтг	ТГ	бтг
—----arcsm — + 2тгр > х > — + arcsin — + 2тгр.
о	18	о	18
При остальных значениях к 6 Z решения нет.
Ответ:
— + 2тгк >
6
(ТГ \
X + —
4 /
— — + 2тгк I к G Z.
6
364
Обратные тригонометрические функции и их графики
Т-Г 7	7ТГ
При к — 0 — > cos
6’
4
7тг	тг
но — > 1, а — 1 <-----<1, тогда cos
6	6
4
6’
arccos -----
\ 6
= тг — arccos —;
6’
— arccos------= arccos--------тг, значит
\ 6/	6
тг
тг — arccos —I- 2тгп
6
— > arccos-----тг 4- 2тгтт;
4	6
Зтг	тг	тг	5тг
-----arccos —I- 2тш > х > arccos--------— + 2тгп.
4	6	6	4
|sinx
я-arccos^
cosx
arccos-^ -я
о
При других
Ответ:
к 6 Z решения нет.
ГI	5тг Зтг	тг \|
< ( arccos-------h 2тгтт;----arccos —Н 2тгп n Е Z >.
|д 6	4	4	6 J )
2. Решите неравенства:
1)	arctg х >
у = arctg.т j ;	Г>(у) = (-оо; оо); Е(у) =
/3
Т’
у = tga; т , тогда tg (arctgж) > tg -; х
I V 3
Ответ: I
Решение практикума 16
365
2) arccosm < —.
у = arccos x | ;
cos (arccos х)
ВД = [-1;1]; ВД = [М;
i
х > -
2
— 1 < х С 1
7Г
cos-;
О
Ответ: \	.
\2
3)	arcsin 2z > arccos z.
yi = arcsin 2z;
y2 = arccosz; £>(y2) = [-1; 1];
X	7Г 7Г
E(yi) = ~2'2 ’
E(y?) = [°; тг]-
Неравенство, возможно, выполняется только
при х Е В(Н), где D(H) = D(yi) О D(y2).
Тогда Е^л) П Е(у2) = 0;	,
т. е. если arcsin 2х е 0; — С [О;тг],
тогда х € 0; -
1 1
2’2
с учетом D(H) =
7Г 7Г
3’2
у — sin х Т ,
Значит arccosm Е
arccos 0 — —;
2
1 7Г
arccos - — —
2	3
На 0; —
. 2
значит sin (arcsin 2х) > sin (arccos z);
2х > \/1 — z2
1
2
О
О < х С -
2
4z2 > 1 — х2
0 < x -
2
x> V
\/5
V5 1
T<^2-
I
Ответ: I ——
\ 5
1
2
366
Обратные тригонометрические функции и их графики
4)	arccos(8a;1 2 — 5а;) < 2arccosm.
у — cosx j, на [0;тг], тогда
cos (arccos(8a;2 — 5а;)) > cos (2 arccos х);
' Sx2 — 5х > 2х2 — 1
— 1 < 8а;2 ~ 5.т < 1 ;
— 1 < х < 1
{6а;2 — 5а; + 1 > 0
8а;2 — 5а; — 1 < 0
8а;2 — 5а; + 1	0
— 1 < х < 1
(V.t) ’
16	16
Ответ:
5)	arcctg х < arccos 2х.
D(y)=
£ £
ctg (arcctg а;) > ctg (arccos 2.7?);
2а;
х >	= (см. табл, на стр. 301).
VI — 4а;2
у — ctga; j, па (0;тг);
х
(л/1 - 4г2 - 2
1 г
2’ 2

х
G
( ( 1 ц
х € I —; — ]
\ 2 2/
х > 0
k VI - 4а;2 > 2
' х < 0
V1 — 4а;2 < 2
( 1 iA
a; G —-
V 2 2/
Решение практикума 16
367
х > О
1 — 4z2 > 4
х < О
1 — 4z2 > О
1 — 4д;2 < 4
Ответ:
6)	2arctgх > arcsine.
у = sina; f на
sin (2 arctgx) > sin (arcsine);
' 2 tg (arctgж) >x	2tga
< 1 + tg2 (arctg x) , так как sin 2a =	2
-1 x < 1	1 + tg a
\
2x	( ж(1 + x2 — 2)
“-----9 > x	Ъ----- < О
< 1 + x2 ;	1 + x2	;
— 1 X 1	—1 X 1
(O;l).
Ответ: (0; 1).
368
Обратные тригонометрические функции и их графики
Тренировочная работа 19
1. Вычислите:
1	/	33тг\
1) — arcsin cos —— ;
7Г	\	5 /
2) cos (2 arctg 2) — sin (4 arctg 3);
4)
/	1\	/1	15
sin I 2 arctg - I * tg I - arcsin —
2
5)
. 9
sin
/ 3\	( 4V
arctg I --	I	+	arctg	I	--	I
’1	4	'
- arcsin	-	—	2 arctg(—2)	;
Z	о
6)
7)
. 2 Г 1	/ 1V
sin arctg - — arctg I — - I ;
z	\	/
Г f Ttt 1	2\
7 tg ( ~T + 9 arCCOS 7 ) + tg
7тг
T
1	2
- arccos -
2	7
3 /	11	13\
— arcsin — + arcsin —	;
тг \	14	14/
1 f	J —	\
— I arcsin x — arcsin-----—------ I при x > 0;
7Г I	y/2	I
10)	— [ 2arctgm + arcsin-----| при x < —1.
7Г \	1 +	/
2.	Решите уравнения:
arcctg? + arcsin x = —;
2)
arccos x + arccos 2x =
О
arccosz = 2arccos (x\/3} ;
3)
4)	arcctg(j; — 1) + arcctg x + arcctg(# + 1) = arcctg 3x;
Тренировочная работа 19
369
5)	2arccos — = arccos(3 — х);
6)	2arcsine = arccos ^2#д/1 — x1 2
7)	arcsm rr — arccos \/l — #2;
8)	tg (5 arctg z) ~ ctg (5 arctg x).
3.	Найдите E(y) (область изменения функции):
1)	У = — (2 arccos х — arccos (2z2 — 1)) ;
2)	у — — ( 2 arctg x — arccos--------| ;
7Г \	1 + ХЛ J
1 (	2x + \/l — 4z2
3) у = — I arcsin 2x — arcsm--------------------
370
Обратные тригонометрические функции и их графики
Решение тренировочной работы 19
1. Вычислите:
1	/	33тг\
1)	— arcsin I cos----
7Г у 5 J
7Г . /	33тг\ ТГ
— — arcsm cos ——	—
2	\	5 1	2
1	/ Зтг\
= — arcsin cos I бтг Ч-----1
7Г	\	5 )
1	/тг тг \
= — arcsm cos — + —	—
тг [_	\ 2 Ю/.
1	(	. тг \	1	тг	.——и
= — arcsm — sm — =-----* — = —0,1
ТГ	\	10/	ТГ	10	1--
2)	cos (2 arctg 2) — sin (4 arctg 3).
tga = 2;
1-4
cos2q = TZ4
tg/3 = 3;
3
5
а)	Пусть arctg 2 = a;
9	1 - tg2 a
cos 2a =-----я—;
1 + tg2 a
б)	Пусть arctg 3 =/3;
sin 4/3 = 2 sin 2/3 • cos 2/3;
.	2-3
sin 2/3 =----5—; sm2/3 = -------7
M l + tg2/T M 1 + 32
9/9	9/9	1 — 32
с“ад=1Т^; tos2/j=iT¥
.	„ 3 ( 4\	24
sin 4/3 = 2 • - • I — I —-.
M 5 \ 5/	25
в)	cos (2 arctg 2) — sin (4 arctg 3) —
3 / 24A _ 24 ~ 15 _ 9 _r
“ ~5 ~ \ 25/ “	25	“ 25 “L
3
5’
4.
~5’
• Л 1\	/1	. 15
3)	sm I 2 arctg - I • tg I - arcsin —
a) sin ( 2 arctg -
9	1
2’2 _ 4
Решение тренировочной работы 19
371
б) Пусть
15	15
arcsm — = a; since = —; a G I четверти;
а
tS2 =
а
tg2 =
/	/	\ 2
1 — cosa	.	( 15 \
---------; cos а = * /1 — — j
sina	у \17/
1	8
1	17 _ 3
15	- 5’
17
ч	1\	/1	• 15\
в) sin I 2 arctg — I • tg I - arcsin — I —
4 3	12	,_____.
5 5	25	L-2—1
17’
2
4) — arctg
7Г
3\	/4
- I + arctg ( --
= /3; tg/3 =
3
= <*; tga = —
4
3‘
/ 3
а)	Пусть arctg I — -
,	/4
б)	Пусть arctg I —-
\ 4
X . /	.	tga + tg/?
в)	tg(a + /?) = -—	;
1 - tga • tg/3
_3+ f_4\
/	4 I 3)
tg(a + /?) =---z 3\"/
1- (-7	•	-
__25
12
12-12
12
25
У
Значит tg(a + /?) не определен, т. e. a + @ — — или
X.	К
« + /? = ~2
7Г	7Г
Ho —— < q < 0 и -- < (3 <0, значит подходит
только a + /? = — —
ч 2 Г	( 3\	/4
г) - arctg I -- + arctg --
тг L	\ 4/	\ 4
372
Обратные тригонометрические функции и их графики
5) sin2
’1	. 4 о
- aresm - — 2 arctg( —
L	о
. _	.4	4	тг
Пусть aresm - — a; sina =7? О < а < —;
5	5	2
arctg(—2) = /3; tg/3 = -2; -^ < /3 < 0;
(Qf	\	Qf	Of
— — 2/3 I = sin — * cos 2/3 — sin 2/3 • cos —.
L	/	Li	L
6)
. л
значит sm —
l-S
2
/5
5~’
+ =
2
• ™	2tg/3
sin 2/3 = ----y—;
l + tg2/3’
9/4	1-tg2^
cos 2/3 = ----y-r;
l+tg2/3
. fa Vs
S1" 1.2 “	= V
’1	. 4	„ z
- arcsin - — 2 arctg(—2)
Z	о
а
COS —
. 9
sm
2л/5
~~5~~
2-(~2)
l + (-2)2
1 - 4
cos 2/3 =---- — -
1 + 4
( 3A
\ 5/ ~ \ 5/ ’
др
Г
sin 2/3
_ _4
“ “5’
3
5
2a/5 _ 7
“7 ” T
2
6) sin2
1
arctg - — arctg
_ 1 1
Пусть arctg - = q; tga =
/ 1A	1	к
arctg -- =/3; tg/3 = - -; ——</?< 0;
у о /	о	Z
sin(a — /3) = sin a • cos /3 — sin /3 * cos a.
Решение тренировочной работы 19
373
в
v 5
) sin(a -/?) = —
О
2л/5
чг
5\/2
Чо-
г) sin2
7) 7
‘ /7тг 1	2
tg \ Т + 2 arccos 7
1	2
— - arccos -
2	7
тт	2	2
Пусть arccos- = a; cosa =
z	ч	х 7тг . , ос
/7тг	Т +	2
\ 4~l~2/	1	4-7тг,а
\4	1 - tg т • tg 2
-1 + tgf
1 + tg^
374
Обратные тригонометрические функции и их графики
a 1 — cos a
tg^ =-------:-----
2 sin a
Гл-----— A f2\2
sin a = v 1 — cos2 a = \ 1— 1-1 = ——
/5
T‘
1 — -
1	7
а
t62 =
7
б)
7?r
, .а
tgU+2
4
(У5-3)2
5-9
1 + —
1	3
[ _|_ У^.
3
14 — 6^5 _ 7-3^5
4	“	2
5-3
/ 7тг а
ЧТ~2
1 + tg ? • tg I
1+tgf
1 - tgf
tgf-1
Учтем, что tg	тогда
о
: +	= 3 + У5
1 _ У^ 3 — y/5
1 з
(7тг а
Т~2
(3 + У5)2
4
/7?Г	1
tg V + о arccos 7 + tg
\	if
2
2\ . . /77Г
7/ ' v°4t
1
---- arccos -
2
2
^ = -7'
„	/77Г	- ,
7 tg I ~T + 9 arCC0S 7 ) + tg
= E19]-
1
2
2
7
7тг
т
2
7
2
1
---- arccos -
2	7
7
Решение тренировочной работы 19
375
x 3 (	.11	.13
8)	— arcsm------1- arcsin —
' 7Г \	14	14
ч	11	11	„	Л
а)	Пусть arcsin — — a; sma —	0 < а < —;
77	14	14;	2
13	„	13	„ Л
arcsin — = р; sinp = —; 0 < р < ~.
б)	sin(a + (3) = sin а * cos (3 + sin (3 • cos a;
/	/п\2 5аз
О < а
2’
cos/? =
и 2’
5^3	98у/3
~14
3^3
14 ’
11 3\/3 13
ТОгда8т(а + /?) =
уз
Если sin(a + /3) =	то a + (3 — — или
но так как
11	^2
sm a =	— > —-.
14	2	’
.	,	13	У2
smp — —- > ---,
M	14	2	’
z. 27Г
Итак, a + p = —-
 о
11	. 13
arcsm----h arcsm —
7Г \	14	14
1
142 “ 2~
О
4’
3 2л
л 3
4
2
3
1 /	д; — -у/2 — Д72 \
9)	— I arcsin х — arcsin----------------- | при х > 0.
2
а) Пусть arcsin .т ~ а;
7Г
О < О! С — •
2
cosa = \/1 — sin2 а;
sina = х\ так как х > 0, то
2
376
Обратные тригонометрические функции и их графики
.	. х - л/1 - X2	х- V1 - X2
о) Пусть aresm-------—----™ р; sinp —
2	' '	'
Учитывая предыдущие обозначения, получим
_ sin а — \/1 — sin2 a sin а — cos а
sm (3 =	—	—
2
2
2 sin
/	• / тг \
~= sm а —- .
2	\	4/
Тогда cos (3 = \/1 — sin2 (3 = cos ( а — —
тг . . . тг
так как-----%	Р	,
2	^	2’
(	о
т. е. cos (а----0.
\	4 /
в) sin(a	— (3)	=	sin а *	cos (3 — cos	а • sin (3 —
f	Тг\	.	7Г	л/2
= sm	q — а	+	~	=	sin	-	--	——,
\	4 /	4	2
тогда
„ тг
37Г 
а-^=т
т-г	Зтг	Зл
1. Проверим: а — [3 — —, значит а = — + р,
Л 3% п тг 3% п тг
т. е. О < — +/3
3%	. X — а/1 “ ^Г2 ТГ
Следовательно,------< aresm-------—----.
4	л/2	4
возраста-
Учитывая, что у — sinT на
7Г 7Г
2’2
Решение тренировочной работы 19
377
Отсюда следует, что х — \/1 — z2	— 1;
х + 1	\/1 — х2\ так как х > 0, то
(х + I)2	1 — х2;
2х(х + 1)^0;
Зтг
но [—1; 0] £ (0;оо), значит a — (3 = — не под-
ходит
тг
2. a — /3 — Рассуждая аналогично, получим
х — 1	х/1 — z2, но по D(y) 0 < х 1.
Значит х — 1	0 всегда, т. е. д/1 — re2 х — 1
всегда, а значит a — р = — — истина.
1 тг
Тогда, учитывая, что — • — = 0,25, получим
тг 4
£ / £ — | \
— f arcsinх — arcsin---—------ I = |0,25| при x > 0.
4 1 /	2z \
10) — 2 arctg x + arcsin-------= при x < —1.
7Г \	1 + хл J
а) Пусть arctgz = a; tga = z.
/ ТГ Тг\
Так как x < —1 и у — tgz на I — —; — I возраста-
ющая, то tga < tg I — — j = — 1;	——
4’
б)
2’
„ 2х
Пусть arcsm -----?
2х
= в, т.е. sin/З = ——2-
значит
2х
---< 0 и в силу возрастания
rpZ
у — sina; на
2’ 2
Так как tga = z, то
’	2
2z 2 tga .
----х = ------у— = sm 2a.
+ х/ 1 + tgz a
378
Обратные тригонометрические функции и их графики
2х
г) 2 arctg х 4- arcsin ---~ — 2а 4- arcsin (sm 2а).
Учитывая, что arcsin (sin х) —
х — 2тг А;,
— — + 2тгк
тг — х + 2тг А;,
- + 2тг к
С — 4- 2тгк
Зтг
— + 2тгА;
и — тг <2a <-,
2
нам подходит только второй слу-
чай при к — — 1, т.е. arcsin(sina) = тг — а — 2тг.
Следовательно, в данном случае
arcsin (sin 2а) = — тг — 2а, т. е.
2х
2 arctg х + arcsin --~ = 2а — тг — 2а = — тг.
m 1 Л	. 2Х
1огда — I 2 arctg х 4- arcsm-
1
при х < — 1.
Для вычисления можно использовать производную.
Действительно, так как
(arctgxY =------и (arcsinxY —  ... . , то
v 7	1 + z2 v J
.	1 ('	. 2x V
у = ~ [ 2 arctg x 4- arcsm ——1 —
2^2
2(1 — х2)
2 (1-х2)
2(1 4- х2) — 2х • 2х
по х < — 1, тогда |1 — х2| =
Решение тренировочной работы 19
379
1 ( 2	O1 2\
y ~ я (j + ж2 -21 + i I =0, т.е. у = const.
Выберем для удобства x = — \/3 < — 1;
+ arcsin
1 / 2
- I 7
т \ 3	3 /
2. Решите уравнения:
7Г	7Г
1) arcctg? + arcsinж — —;	arcsinж — ~ — arcctg7;
7Г	7Г
так как 0 < arcctg? < —, то 0 > — arctg7 > — —.
2	A
7Г7Г	_ 7Г /7Г7Г
Получим —	—arctg7>но I
7Г
t. e. — — arctg 7 6
области изменения у = arcsin m.
7Г
4
7Г 7Г
2’2 ’
7Г 7Г
2’2
а значит не выходит из
Тогда sin (arcsin ж) = sin
sin(arcsinT) = х.
Вычислим sin
— sin cos (arcctg 7) — cos • sin (arcctg 7).
Напомним:
ctga
cosa =------. t—; sina =-----------,	—
±Vl + ctS2Q!	±yl + ctg2a
arcctg 7 G I 0; — I , t. e. sin a > 0, cos a > 0.
\ £л J
1
/	* „ч ctg (arcctg?)	7
cos (arcctg 7) = —.	= ~	,	=
^/1 + ctg2 (arcctg?) vl + 72
_ 7л/50 _ 7^/2
50	10 ’
380
Обратные тригонометрические функции и их графики
1
. ,	,	1	72
sin (arcctg?) =	...-.........—	— —= = ——
^/1 + ctg2 (arcctg?) д/50	10
Q . <7Г	\ V2 7х/2 V2 Vz
Значит sin — — arcctg 7 = — ------------ —
\4	6 J 2	10	2	10
7	1
= 16~1O = 0’6’ Te- x = 0fi-
Ответ: x — 0,6.
2) arccos x + arccos 2x = —.
arccos 2x — — — arccos xy тогда
о
cos (arccos 2x) —
= cos — • cos (arccos x) + sin — * sin (arccos x);
О	О
(см. табл, на стр. 301)
9 9	3 , 9х 9
-z2 — ~(1 — х2) 4х2 ~ 1
х 0
Проверим.
2
При х = - arccos - + arccos 1 = —;
L	L	о
7Г	7Г	7Г	7Г
о =	—;	—	=	—	— истина.
3	3’	3	3
Ответ: х —
2
Решение тренировочной работы 19
381
3) arccos х = 2 arccos [ху/З) .
cos (arccos z) = cos (2 arccos (za/з)) ;
| cos 2a — 2 cos2 a — 1 j
x — 2 (cos2 (arccos (хл/з))) — 1;
x = 2 (zV3)2 - 1;
1
6z2 — x — 1 = 0;
2
1 ’
X ~ ~3
Проверим.
i
2’
1	n v3
arccos - = 2 arccos —;
2	2	’
— — 2 • — истина,
3
6
6) x — —
1	/ o
arccos — — 2 arccos
3	\ 3/
/3
F
1	„ /	V3\
тг — arccos - — 2 I тг — arccos — — ложь, так как
3	\	3 /
1
тг — arccos - < тг
o (	УЗ
2 тг — arccos —
\	3
V3	тг
тг — arccos — > —
3	2
Ответ: x = -
2
Примечание. Вопросы равносильности преобразова-
ний для уравнений, содержащих arc-функции, доволь-
но трудны, поэтому прямая проверка бывает более эф-
фективной и простой.
382
Обратные тригонометрические функции и их графики
4) arcctg(rr — 1) + arcctg х + arcctg(rr + 1) = arcctg Зх.
. arcctg(j; — 1) + arcctg(rr + 1) — arcctg Зх — arcctg x\
1 , /	/эх ctga • ctg/3 — 1 ctg(a + Z?) = —				— при < 7	ctga + ctg/3 p	sin(a + /3) / 0 sin a	0 sin /3	0
,	„ ctga • ctg fi + 1 ctg(a /?) =	при ctg /3 — ctga	sin(a — /3)	0 sina 7^ 0 sin /3	0
ctg (arcctg(z — 1) + arcctg(£ + 1)) =
= ctg (arcctg Зх — arcctg x);
ctg (arcctg(x — 1)) • ctg (arcctg(x + 1)) — 1
ctg (arcctg(rr — 1)) + ctg (arcctg(rr + 1))
ctg (arcctg 3x) • ctg (arcctg x) + 1
ctg (arcctg x) — ctg (arcctg Зя) ’
(x — l)(x + 1) — 1 3x • x + 1
тогда--------------------—-----------•
x — 3x
x 0
Зге2 + 1 + x2 - 2 = 0 ’
х О
2 _ 1 ;
х 4
x* 1 2 3 — 2	3x2 + 1
2x	—2x ’
1
X~ 2
1 •
X~~2
3
3
+ arcctg - + arcctg - = arcctg
3
тг — arcctg - + arcctg - + arcctg - = arcctg -;
' 2
3
2
Проверка:
ч 1
a) x =
( 1\ 1
arcctg I -- I
1	.1
'	° 2
3	3
% + arcctg - = arcctg - — ложь.
б) х =
( 3\	/ 1\	1	/ 3
arcctg I — - I + arcctg I — - I + arcctg - = arcctg I — -
\ Zi J	\ " /	"	\ "
/ 3\	/ 3
% + arcctg I — ~ 1 = arcctg ( —-
ложь.
Ответ: 0.
Решение тренировочной работы 19
383
5) 2 arccos — — arccos(3 — х).
cos ( 2 arccos ~ ) = cos (arccos(3 — z));
\ /
2 cos2
— 1 = 3 — х;
х2 + 2х — 8 = 0;
2 1
— 1 = 3 — ж; -х2 + х — 4 = 0;
х = — 4
х - 2
( -
Рассмотрим 25 (У): \ 2	;	<
; I = 2'
Получили 25 (У) = 2. Проверкой x — 2 подтверждаем,
что это корень.
Ответ: х = 2.
Примечание. Если бы мы догадались сразу устано-
вить 25(У), то решение было бы значительно проще.
6) 2 arcsin х = arccos ^2а?л/1 — z2^ .
cos (2 arcsin x) — cos ^arccos ^2za/1 — z2^ j
1	— 2 sin2 (arcsin x) = 2z\/l — £2;
1	— 2z2 = 2z\/l — z2.
Чтобы решать дальше, проанализируем ситуацию.
Так как тг arccos ( 2za/1 — х2\ , то
— arcsin x 0, значит x e [0; 1], тогда на [0; 1]
1 — 2z2 = 2z V1 — х2 О <
2	1
X	2
0 x < 1
1 — 4rr2 + 4rr4 = 4rr2 — 4rr4
384
Обратные тригонометрические функции и их графики
О
V2
О < х < —
2
8я4 — 8гс2 + 1 — О
/2
2~
х —
а)	Очевидно, что ^^/2 + \/2	0; “
1 /	7=	у/2
б)	Проверим - у 2 — V 2	:
2 — у/2	2;	— у/2	0 — верно.
Ответ: х —
2.
7) arcsinгс — arccos д/1 — я2- Выясним 7?(У):
f -1 д; 1	f _1
— 1	\/1 — гс2 1 ;	<	5	—1 гс 1.
1 1 — rcz С 1
л/f — ГЕ2 — \/1 — X2
k 1 - х2 0
cos(arcsinrc) = cos ^arccos
ТГ	.	7»	/	. ч
так как —	arcsm х -----, то cos(arcsmrc) 0.
2	2
^/1 — cos2 (arccos гс) — д/1 — гс2;
похоже, получили тождество па [—1; 1].
Увы, мы ошиблись, так как может быть, что а Д а
cos о; = cos/? (например, cos — = cos —).
Вернемся к исходному уравнению.
arcsinгс = arccos д/1 — гс2.
Так как тг arccos(l — гс2) 0, а — arcsin гс —
то равенство в уравнении возможно только при
I СМ
arcsin гс 6 0; — , но тогда х 6 [0; 1], значит
arcsin rc — arccos \/1 — х2 тождественно только па [0; 1].
Ответ: [0; 1].
Решение тренировочной работы 19
385
Примечание. Если бы мы были более вниматель-
ны к тождествам в таблице, отражающей соотношения
между arc-функциями, то мы бы сразу использовали
формулу 8.7. В данном случае мы ее просто доказали
(см. стр. 300).
8) tg (5 arctg х) = ctg (5 arctg х).
Так как arctg х + arcctg х — —, то
tg (5 arctg х) — ctg ^5 — — arctg xjj
/5тг	\
tg (5 arctg х) — ctg I —— 5 arctg x j ;
tg (5 arctg x) = tg (5 arctg x).
Если 5 arctg x ± — ;	± tg I — 1 , то утверждение
истинно.
Ответ: любое х ±tg — есть решение данного уравне-
ния.
3. Найдите E(y) (область изменения функции):
1) у = i (2arccosm — arccos (2х2 — 1)) Е(у)
Обозначим arccosm = а 6 [0;тг], тогда х — cosa,
значит 2х2 — 1 = 2 cos2 а — 1 — cos 2a. Известно, что
arccos(cos2a) —
2a — 2тг/с; 2тг/с 2a (2к + 1)тг
—2a + 2тг/с; (2к — 1)тг a < 2тг/с *
Так как 0 2a 2тг, то
на [0; тг] arccos(cos 2a) = 2a при к — 0 (первый
случай), тогда на
(2а € [0; тг]);
°’2
?/(а) = —(2а — 2а) = 0.
тг
386
Обратные тригонометрические функции и их графики
7Г
[2;7Г_
4а — 2я
б) па [тг; 2тг] arccos(cos2a) = —2а + 2тгп при к — 1
/	\	Гтг
(второй случай), тогда на — ;тг
1	4а — 2я
у(а) = -(2а-(2а+2тг)) = —------;	(2а 6 [тг; 2тг]);
7Г	7Г
, . 4а — 2тг
2/(а) =-----------возрастающая линейная фупк-
7Г
ция относительно а, значит
Лг\	4-5-27Г
у 9	= —-— = °;
\ 2 / тг
. . 4тг — 2тг
7/(тг) = -----= 2.
Т. е. Е(у) — [0; 2] па [О;тг].
Рассмотрим другой способ нахождения Е(у) для
у ~ — (2arccosm — arccos (2х2 — 1)) .
Найдем Е(у), используя аппарат дифференциального
исчисления.
у' = (arccos я)' =	;
V 1 — %
у1 = (arccos (2ж2 — 1)V =---;
{	{ JJ -2\x\VT^
1/2	4т \
v' = ^(-y^ + WT/^)’ W) = [-l;l].
7Г \ VI — х2 2|x|Vl — X2 )
а)	на х > 0 у' = 0, т. е. у — const на (0;оо);
3/(1) = 1(2-0-0) =0.
Я	4
б)	на х < 0 у1 = —	< 0;
V 1 — х
У(°) = - (2 •	- тг) = 0;
7Г \ Z J
3/(-1) = -(2 • тг - 0) = 2;
7Г
значит Е{у} ~ [0; 2] па [—1; 1].
у (а) | (убывающая).
Решение тренировочной работы 19
387
2 /	1 — х2 \
2) у = — ( 2 arctg х — arccos--------~ ) Е(у) =1
тг \	1 = хл /
Пусть arctgm = а, тогда tga = х.
причем а G I — —; — 1 ,
1 — х2 1 — tg2 а
значит ------тг =-----о— = cos 2а.
1 + х2 1 + tg2 а
1 — х2
Отсюда следует, что arccos------« = arccosfcos 2а), где
1 I	х
,	_ ч ( 2а — 2тгк, 2тгк < 2а < 2тгк + тг
arccos cos 2а) — <	. /л7	, ч	.
v	( — 2а + 2тгА;, (2к — 1)тг 2а 2тг&
Покажем, что это возможно.
а)	в первом случае при к = 0 0 2а тг;
2’
по по определению — — < а < —,
значит на 0;	arccos(cos2a)	= 2a,
тг \	2
тогда на 0; — I ?/(а) = —(2а — 2а) = 0.
L 2 /	тг
б)	Во втором случае при к = 0
2
0.
Учитывая, что---< а < —
2	2
/ч 2 .	/ чч 8а
у(а) = _ (2а - (-2а)) = —
ТГ	тг
возрастающая линейная функция.
~2’° '
У (-2 ) = -4;	= °’
Т'епа(_2;2/	=
388
Обратные тригонометрические функции и их графики
1 [	. 2х + \/1 — 4ж2
3) у = — I arcsm 2х — arcsm------—-------
Е(у) =1
Пусть arcsin 2х — а^ где а е
тогда sin а — 2я,
2х + Vl — 4^2 sin а + \/1 — sin2 а
значит -------—------ = ---------—--------
у/2	у/2
sina+l cosa| sin a+cos а
y/2	”	y/2
cos a 0
11	тг	тг
= —= sm a H-zr cos a	— sm a •	cos —H	sm — • sin a	—
y/2	y/2	4	4
= sin
Так как arcsin
ТГ _ ТГ ,	ТГ ТГ
a 4---------2тг/с,----------h 2тг/с C q4— + —h 2тг/с
4	2	4	2
= < тг — a
тг
—k 2тг/с,
4
ТГ	ТГ	3
—h 2тг/с	< a	H—	+	-тг	+ 2тг/с
2	4	2
то рассмотрим при к = О
ч	тг тг тг
а) первый случай ——
3	тг	тг	тг
т. е —тг + a + —, но---+ a + —,
4	4	2	2’
значит па
(/	тг\\	7Г
sm a + —	= a +
\	4 J J	4
тогда на
2’ 4
Решение тренировочной работы 19
389
б) на
го случая при к = 0.
тт
Действительно, если ~
будет находиться уже в условиях второ-
7Г	7Г
—, то —
2	2
ТГ < 3
4^4
значит на
7Г 7Г
4’ 2
a — aresm
1
7Г
Так
(	3	\	1	Л 3
I a —-тг + a ) = — I 2a —-тг
\	4	J	тг	\	4
7Г	7Г 7Г
как - а то -
7Г	Л 3	ТГ	z ч
— < 2a — -тг С —, т. е. у{а) €
4	4	4
2а тг, а значит
1 Г
“4’4
2
Подводя итоги, приходим к выводу, что для функции
z ч 1 f	. 2х + \/1 — 4а;2 \
у(х) — — arcsin 2х — aresm
7Г \
1'
“4’4 *
Е(у) =
390
Обратные тригонометрические функции и их графики
Системы тригонометрических уравнений
Практикум 17 (Системы уравнений)
Решите системы:
cos х + cos у = 0
4тг
Х~У = Т
1)
sin х + sin у — 1
2)
3)
V3
cos x • cos у = ——
4 .
7Г	’
z+y=-~
4)
V2
sina; • cosy — ——
Зтг 1
5)
sina; — 2 sin у = 0
5тг
х~у = —
о
6)
7)
8)
о	v3 .	1
2 cos х--— sm у = - cos у
7Г
3
sinx + sin у = 1
I I 27Г
F - У1 = V
О
3
3
Решение практикума 17 (Системы уравнений)
391
Решение практикума 17 (Системы уравнений)
Решите системы:
cos х + cos у = О
х + у	х-у
2 cos-------- cos---= О
2	2
4-тг
х — у — —
У 3
х + у 2тг
2 cos------------ cos — = О
2	3
4-тг
х = У + —
О
Х + У п
cos------- ~ о
2
4тг
х = у + —
о
X + у 7Г
^=2+’rt
4-тг
х = у + —
О
у + у + ^- ТГ
------2-------= 2 +
4-тг
х = у+ ~
О
2тг 7Г ,
У + — = - + 7Tfc
О
4-тг
г = У + —
О
2тг 7Г ,
У =	—5-	+	-	+7i-fc
О	2/
2тг	тг	4тг
I =	”T+2+T+rt
Ответ:
у = -- + 7Г/С
О
7тг _
X —---------h 7ГК
6
7тг _ 7Г 1
----h тг&;-------h тгА;
6	6
sin х + sin у = 1
2)	, тг
х + у = о
О
О . Х + У
2sm —-—
2
7Г
х + у =
о
• COS
Х~У
2
л . 7Г X — у
2 sm — • cos--------
6	2
392
Обратные тригонометрические функции и их графики
- У ,
cos--------— 1
2
7Г
ху ~ -
о
3 -У-У
2
7Г
х — — — у
3 * У
= 2тг/с
7Г
У = - + 2тт
О
7Г 7Г
х =------------2тгп
3	6
х — у п ,
7Г	’
X —	— у
3 у
Г
7Г
У - - = 27ГП
7Г
х — — — у
3
{7Г
у=- + 2ттп
7i
X =------27ГП
6
-fc)
_	( f 7е	7е	_
Ответ: < I — — zTrn; — + 27rn I | n € Z
3)
COS X • cos у =
If/ X / M V 3
- [cos(a; + y)+ cos(x - y)\ = —
V3 .	. V3
— + cos(a; - y) = —
л/З
V .
cos(rr — y) — Q
71"
у = — X------
У 6
Решение практикума 17 (Системы уравнений)
393
/I	л	, /I	'I	,	1		,	I
—I—/с;----к I \к е Z > .
6	2	3	2 / 1 J
sin х • cos у —
Зтг
У-х = ^-
1	у2
- (sin(>+y)+ sin(rr—у)) = ——
Зтг	’
y-z = T
Зтг
sin(j? + j/) + sin
sin(j? + у) — О
Зтг
y = z + T
х + у = тгк
Зтг тг
8~ + 2
Зтг тг,
Т+2к
(f Зтг	тг, Зтг	7Г,\ . ,	1
Ответ:	—- + - к; — + - к \ | к & Z к
l\®	Zo	Z J	J
394
Обратные тригонометрические функции и их графики
5) S
sinz — 2 sin у — О
5тг
х — у — —
У 3
(5тг
У + у
5тг
X = у+ —
о
— 2 sin у = О
5тг	. 5тг
sin у • cos---h cos у • sin----2 sin у — О
3	3
5тг
х = у+ —
о
1 . V3
— sin у-----cos у — 2 sin у = О
2	2
5тг
3 л/З
--sini/ = -у cosy
5тг
ж = ?/ + —
о
+ тгк
5тг
"з”
тг
у = -- + тгА:
о
7Г	5тг
£ = -— + — + тгк
о	3
?/=-- + тгк
о
Зтг .
х = — + тгк
1,5тг + тгк] — ~ + тгк j | к G Z > .
{п	.	1
2 cos х-----sin у — - cos у
2	2
7Г
х + У = ~
о
1	v з .
2 cos х = — cos у Ч—~ sin у
тг
х + у = -
о

Решение практикума 17 (Системы уравнений)
395
I тг \ тг	. тг
2 cos I — — у j = cos ~ • cos у 4- sm — • sm у
узу 3	3
тг
3 у
cos
тг
3 У
ТГ	ТГ ,
--B = - + Irt
тг
х = ъ~у
тг
X =-------V
3 У
тг тг
-«=3-3+^
ТГ ТГ ТГ .
Х=3 + 2-3+,,к
у^~-тгк
О
тг
х — — 4- тгл
£
r cost 4- cos?/ — — т/З
7)	।	. тг
к+ з/1 = й
ч	о
х + у	х-у
2 cos —-— • cos----
2, 2
I	I
к + i/l = з
к
Так как у — cos х — четная, то
тг
2 cos — • cos
I 6	2
. тг
k 4- У\ = з
{Х-у
cos 2
к + з/1 = i
^ = -Уз
= -1
тг
3
3
>/3cos^ = -73
£
I	t
к+ 2/1=3
^=7T + 27rfc
2
ТГ
к+ 2/1 = з
396
Обратные тригонометрические функции и их графики
f х — у = 2тг + 4тг А;
Г 71
1 + 9=3
7Г
х+У=
О
2х = ~~ + 2тг + 4тг А;
о
ТГ
2у — — — 2тг — 4тгА
2х = — ^ + 2тг + 4тгА
о
ТГ
2т/ — — ~ — 2тг — 4тгА
7тг
х = — + 2тгАт
6
5тг _
у — —- 2irk
У 6
5тг л ,
х = — + 2тгк
6
7тг
У = —g- - 2тгА
7тг л _ 5тг
— + 2тгАг; ——
6	6
/ 5тг	л , 7тг	\
|-------h 2тгА;;---------2ivk |
V 6	6	J
{sin х + sin т/ = 1
I I 2%
\х-у\ - —
о
- 1
Так как у = cos х — четная, то
о . х + у 7Г
2 sin----------- cos — = 1
2	3
X + у 7Г „ ,
—5— — 9 +
I I 2?г
1*-у| = о
о
х + у = тг + 4тг&
2тг
х — у = —
У 3	;
2тг
х — у = ——
У 3
Решение практикума 17 (Системы уравнений)
397
f х + у — тг + 4тгк
2тг
х — у — —
3
х + у — тг + 4тг к
2тг
( У 3
f 5тг л ,
2х — —- + 4тгАг
2у = - + 4тгк
> ;
ТГ
2х = — + 4тг/с
I 9	57Г
2у = — + 4тг к
х — — + 2тгА;
6
тг ,
+ 2тгА;
о
тг
х = — + 2тглс
6
5тг
?/ = — + 2тг к
о
f 5тг л 1 тг л , \
{ — + 2тгк; — + 2тгк ) ;
\ о	о /
— + 2тгк;	+ 2тг& ) | к
6 о /
398
Обратные тригонометрические функции и их графики
Практикум 18 (Системы уравнений)
Решите системы:
1)
sinj; • cos у =
sin?/ • cosj; =
/3
4
/3 ’
4
2)
1
sin X  sin у — -
1 ’
COS X  cos у — —
2
3)
. о
Sin X — COS X • cos у .
2	*
cosz x = sin ж • sin2/
4)
V3
sin x + sin у - —
£
Vs ’
cos x + cos у — —
y 2
5)
4 tg Зх = 3 tg 2y
2 sin x • cos(rr — y) = sin у ’
6)
4x + 3 cos x = 8y + 3 cos 2y
4a:2 — xy — 3 = x — у ’
tg2 кх + ^sinTry = О
7)
(у3 — xy — 6)«/4 • 31 x — 2 —
X
= 0 ’
8)
Sin4 7Г.Г + y/1 + COS 7Г1/ = 0
(x3 + y2 + 2xy - 5)>/7 • 2»+2 - 3 • 4? - 10 = 0 '
Решение практикума 18 (Системы уравнений)
399
Решение практикума 18 (Системы уравнений)
Решите системы:
sin у • cos х =
sin х * cos у =
) sin х  cos у + sin у 
[ sin х  cos у — sin у •
( . .	.	л/3
sin(x + у) = — .
Z f
< sin(a; — у) — 0
у/З
cost ~ —
2 ;
cos х — О
х + у “ ( — l)fc^ + 7vk ф + (2\
О	)
х — у — im	ф — (2)
2х = (— l)fc— + irk + im	х — (—l)fc^ + 77 k + ^-п
2у= (-l)fc^+7rA:-7rn	у = (-l)fc^ + ^k -
О	О £
Ответ: (f(—l)fc^- + ^(fc+7i); (-1)к^ + т:(к-п)\ \ к,п&%
2)
1
sm x * sm у — -
y 2
1
cos x • cos у ~ -
cos x • cos у + sin x * sin у — 1
cos x • cos у — sin x • sin у — 0 ’
cos(x — y) = 1
cos(t + у) — 0 ’
x — у ~ 2ivk
x + ?/= — + тт
2x = 2jvk + — + тт
x — —I—n + wk
4	2
2y = — + im — 2тгк
У =	+ —п — тгк
Ответ: < [ — + — (n + 2fc); —h — (n — 2k) ) I k,n € Z > .
I \ 4	2	4	2	/	I
400
Обратные тригонометрические функции и их графики
z • 2
. J sm х — cos х • cos у
3) >2
[ cos х = sm x • sm у
sin2 x + cos2 x = cos x • cos у + sin x • sin у
9	• 2	•	•	?
cos x — sin x = sm x • sm у — cos x • cos у
cos(x — y) = 1
cos 2x = — cos(a; + y) 1
x — у — 2тгк
cos 2x = — cos(a; + y) 1
у — x — 2тгк
cos 2x — — cos(a; + x — 2тг A:)
у = x — 2ък
cos 2x = — cos 2x ’
у — x — 2тгк
cos 2x — 0
у = x — 2т: к
2x = — + 7ГП
—n — 2тгк
2
Ответ:
4) <
V3
smx4-sin2/ = —
\/3
cosx+cosy —
. x+y x-y
2 sm----- cos----
2	2
x+y	x-y
2 cos---♦ cos----
2	2
x + y
= 1 I cos
- У
2
X + у 7Г	7Г
—-— — — + 7г/с? т. е. х + у ~ — + 2тгfc, тогда
7Г
х + у — —h 2тг к
COS X + cos
— + 2тгк — х
7Г 1
х + у = — + 2тгк
V3 ’
cosa: + sina; = —
2
7Г _
х + у — — + 2nk
/77	( ТГ \
v2cos а; —-
\	4 /
Решение практикума 18 (Системы уравнений)
401
7Г _
х + у = — + 2тг/с
7Г .	л/б
х —г = ± arccos ——h 2тгп
4	4
{7Г	7Г	уб
у = — + 2ттА; — — PF arccos —-2тгп
Z	71
7Г ,	л/б
х = — ± arccos ——h 2тгп
4	4
f тг	л/б
у = — ЯР arccos ——h 2тг (к — п)
ТГ I	>/б	г.
х — — ± arccos---h 2тгп
(4	4
Ответ:
/ 7Г	уб	7Г	уб	\
< I — ± arccos——+2тгп; — ЯР arccos —— + 2тг(А;—п) I к.п е Z >.
\ 4	4	4	4	/*
5) Г 4 tg Зх = 3 tg 2у
' [ 2 sin х • cos(x — у) = sin у ’
( 4 tg Зх — 3 tg 2у
[ sin(x + х — у) + sin(x — х + у) — siny ’
( 4 tg Зх = 3 tg 2y f 4 tg 3x = 3 tg 2y ( 4 tg 3x = 3 tg 4x
[ sin(2j; — y) = 0 ’ [ 2x — у = тгк 1 у = 2x — тгк
Рассмотрим отдельно решение уравнения
sin Зх	sin 4ж
4 tg3x — 3 tg4x — 0. 4----------3---— = 0;
cos Зх	cos 4з;
т-ч/ ч f cos Зз; 0
D(s): (с«4^0;
4 sin Зх • cos 4х — 3 sin ^х • cos Зх = 0;
2sin7:r — 2 sina; — 1,5 sin lx — 1,5 sina; = 0;
sin lx — 7 sin x — 0;	sin lx + sin x — 8 sin x = 0;
2 sin ^x • cos 3x — 8 sin x = 0;
4 sin 2x • cos 2x • cos 3x — 8 sin x — 0;
8 sin x • cos x • cos 2x • cos 3x — 8 sin x = 0.
402
Обратные тригонометрические функции и их графики
х	f	х — тт	[ х	= тт
a	sinx = 0;	х = тт,	тогда	<	л	, ;	<	_ ,	;
2х — у = тгА;	[ у	— 2тт — тгк
б) cos х • cos 2х • cos Зх — 1 = 0;
[cos 4х + cos 2х] • cos 2х — 1 = 0;
(2 cos2 2х — 1 + cos 2х) • cos 2х — 2 = 0.
Пусть cos 2х = t 6 [—1; 1];	2t3 + t2 — t — 2 = 0;
/(1) = 0, тогда 2(t — l)(t2 + t + 1) + t(t — 1) — 0;
~ DP*2 +	+ 2) = 0;	[‘^M + 2 = 0 (D<0);
cos 2x — 1; 2x = 2ттр; x — тгр.
Тогда решение совпадает со случаем а).
Ответ: {(тгп; 2тгп — ттк} | fc, п 6 Z} .
v \ 4гт + 3 cos х = 8у + 3 cos 2у
' 1 4х2 — ху — 3 — х — у
Пусть f(x) = 4х + 3 cosrr; /'(rr) = 4 — 3 sinrr > 0,
значит функция f строго монотонная, а значит каждое
свое значение принимает только один раз.
В правой части та же функция, только от 2у. Получаем
равенство f(x) ~ f(2y)- В силу монотонности это равен-
ство равносильно
(	х = 2у	( х = 2у
4т2 — ху ~ 3 = х — у '	1 бу2 — 2у2 — 3 — у = 0 ’
(
(	14у2 - у ~ 3 = 0 ’
Г _ 1
_ 1 ± д/1 + 168 _ 1 ± 13 у “ 2
2/1,2 ”	28	“ 28 ’	3 *
У
Решение практикума 18 (Системы уравнений)
403
{tg2 та +	= 0
I / 1\х
(у3 — ху — 6) л /4 • З1"^ — 2 — I - J =0
т f tg2 тгх > 0 f tg та — О ( та = тгк
Так как < ^г.------	, то «V	;	<	;
[ Vsm7r?/ U ( sm тгу — (J I тгу = тгп
х — k
У _ п I п Е Z, т. е. и z, и у — целые числа.
Из второго уравнения для существования корней необхо-
димо
/1V
4 • З1”* - 2 - -	> 0;	12 • 3-гс — 2 — 3“2*	0;
\9/	’	’
- (3~2* - 12 • 3~х + 2) 0;	(3“*) = 6 ± д/36 — 2 = 6 ± 7^34;
6 + V34 3-*V 6 - V34.
Учтем, что 11 < 6 + \/34 <12:	— < --— < —;
12	6+V34 И
1	6-7^34	111	2	1
— < -----— < —; - < - < 6 - 734 < — <
12	2	1Г 9	6	11	3
Таким образом, 11 < 6 +
^34 < 12 и 1 < 6 -
9
Значит для х Е Z 3 х < 12, т. е. —х ^2; х —2.
Аналогично для х Е Z
3 х > т. е. — х —1;
х 1.
Следовательно, возможные корни второго уравнения
х Е {—2; —1; 0; 1}. Проверим их:
а)	Пусть х = —2.
Второе уравнение приобретает вид у3 + 2у — 6 = 0.
Его целые корни могут быть только числами ±1, ±2,
±3, ±6.
Проверкой убеждаемся, что целых корней у уравнения
нет.
404
Обратные тригонометрические функции и их графики
б)	Пусть х = — 1. Получаем уравнение у3 + у — 6 = 0.
. Аналогично целых корней у него нет*
в)	Пусть х = 0. Имеем уравнение г/3 — 6 = 0 — также
целых корней нет.
г)	Пусть х — 1. У уравнения г/3 — у — 6 = 0 есть един-
ственный целый корень у = 2.
Итак, единственная пара решений системы — (1; 2).
Ответ: (1;2).
J sin4 тгх + ^/1 + cos тгу = 0
I (я3 + у2 + 2ху - 5)У7*2^+2-3 *4^-10 - 0 ’
Решение проведем аналогично.
Из первого уравнения
f sin4 тгх = 0	( тгх = тгк	( х — к
[ 1 + cos тгу = 0 ’	[ тп/ = тг + 2тт ’	[ у = 1 + 2п ’
Значит, решениями системы могут быть только целые х
и целые нечетные у.
Второе уравнение системы имеет решение, если
- (з • (2^)2 - 28 • 2У + ю) > 0;
14 ± а/196 - 30	14 ± х/166
(2 /1,2 -	о	- й •
1	14--/166	1 „	14 +/166	„
Учтем, что — < --------- <	8 < -------- < 9.
’	3	3	2’	3
Рассуждая аналогично предыдущей задаче, получим
У& { —1;1;3}.
Решение практикума 18 (Системы уравнений)
405
Проверим, какие из этих чисел действительно являются
корнями.
а)	Пусть у — —1.
Из второго уравнения т3 + 1 —2т —5 = 0;	т3—2т—4 = 0;
х = 2 — корень. Разделив уголком, получим
т3 — 2т — 4	9	. z Q
----------= х2 + 2х + 2; (х — 2)(х2 + 2х + 2) = 0.
х — 2
Множитель т2 + 2т + 2 корней не имеет, значит
т = 2 — единственный корень, и пара (2;— 1) — ре-
шение системы.
б)	Пусть у = 1.
Второе уравнение принимает вид т3 + 2т — 4 = 0.
Проверкой убеждаемся, что из возможных целых кор-
ней ±1, ±2, ±4 ни один не является корнем.
в)	Пусть у — 3.
Тогда имеем уравнение т3 + 6т + 4 = 0. Аналогично
убеждаемся, что целых корней нет.
Ответ: (2;—1).
Тренировочные
карточки
Карточка 1
1.	Разложите на множители:
5а	За
1)	sin — + sin—;
О	Zt
2)	cos 10а • cos 8а + cos 8а • cos 6а;
3)	sina + sin 2а + sin За.
2.	Докажите тождества:
cos За + cos a
1)	:-= ctga;
sm За — sm а
sin2 За — sin2 а
---5—----------------= 2 cos 2а;
cosJ За — cos 5а • cos а
3.	Вычислите:
1)	sin2 68° -sin2 38° -0,5 sin 106° + 3
3 (cos 20°-sin 20°) .
x/2sin25°
3) (tg 14° + ctg28°)-cos 14° * sin 14°;
Карточка 1
407
. 9 7Г 2
sin* ё- • COS ё-
о	о
1	л 2тг	2 2тг . 9 2тг ’
1 “ COS4 -Р----COS -ЕГ • Sin* V
о	о	о
5
5)
-smT4
cos у • sm
6)
sin2 32° + sin 26°
5 cos2 32°
7)
8)
cos 9° 4- cos 51° 4- v3cos21°
2v/3cos21°
2 cos2 16°+ 2 cos2 76°-3
cos2 44°
9)
3 cos 196° + 12 cos 164°
cos 16°
sin 43° 4- sin 17°
J 2 cos 13° 4-3 sin 77° ’
11)
3 cos 23° - 3 sin 113° + cos 203°
cos 13° • cos 10° — cos 80° * cos 77°
408
Тренировочные карточки
Карточка 2
1.	Разложите на множители:
1)	1+sin—;
О
2)	cos 2а + 2 sin 2а • sin За — cos 4а;
3)	1 4- sin 2а 4- cos 2а.
2.	Докажите тождества:
cos2 а — ctg2 а 4- 1
)	*	9	9	-I
sir а 4- tgz а — 1
3.	Вычислите:
1)	sin 43° • sin 17° + sin2 13° - 2;
(1 +tg!O°) -cos 10°
\/2sin55o
tg 15°-ctg 15°
ctg 30°	’
. 2тг (tg y + ctg y 1 • cos n
/11 oin _ . __2_________'________
1 i	К
1 + cos y
x/2sin87°
8) cos2 23° + cos2 83° + cos2 37° + 3;
Карточка 2
409
9)
3cos9° 4- sin 81°
sin 21° 4- sin 39° ’
10)
sin 36° 4- sin 40° 4- sin 44° 4- sin 48°
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
11)
5 cos 63° 4- 2 sin 27° - 4 sin 207°
sin 15° * sin 78° 4- sin 75° • sin 12°
410
Тренировочные карточки
Карточка 3
1. Разложите на множители:
(я ск\ / я ск\
3 +1) +18 (з^а)'
. 1 1
2) sin 2а • sin За — - cos а + - cos бек;
3) sinск + sin/3 + sin(cK + /?).
2. Докажите тождества:
ч ч cos 4ск + cos 2а
1) --------------— = 2cosck;
'	9 Зек • 2 За	5
COS2 "2--Sin -у
cos2 2а — 4 cos2 а + 3	4
cos2 2а + 4 cos2 а — 1 а
3. Вычислите:
1) cos2 36° - cos2 120° - 0,5 sin 18° - 0,5;
2)
л/2(со825° - cos 65°)
sin 20°
3)
(tg 26° — ctg 52°) • cos 26° • sin 52°
cos 78°
(л X 7Г \	2 71
(J-tggJ -cos2g
'	* 2 7Г
sm g
6)
cos2 34° - sin 22°
4 sin2 34°
7)
cos 73° + cos 47° + 2 cos 13°
2 cos 13°
Карточка 3
411
2 sin2 85°+ 2 sin2 25° - 3
4 cos2 55°
. cos 71° + cos 49°
7 cos 11° — 3sin 79° ’
cos 16° — cos 24° — cos 32° + cos 40°
cos 86° • sin 8° • cos 28°
3 sin 124° - cos 146°-2 cos 34°
cos 49° * cos 15° + cos 41° • cos 75°
412
Тренировочные карточки
Карточка 4
1.	Разложите на множители:
1)	cos + 4а^ + sin(37r — 8а);
2)	sin 10а • sin 8а + sin 8а * sin ба;
3)	cos а + 2 sin 2а — cos За.
2.	Докажите тождества:
(sina — cosa)2 __
sin2 (i - a)
1 + 2 cos a + cos 2a 2 a
cos 2a — 2 cos a + 1	2 *
3.	Вычислите:
1)	sin 49° • sin 11° + cos2 71° + 1;
. sin 40° — cos 40°
2)	—f;
x/2cos85°
3)	sin 24°. (tg 12° +ctg 12°);
( * ТГ	7Г \ 2	i
sm й — cos □	— 1
cos — cos
5) -----
2 sm io -smyo
sin 10° • (1 + tg25°)
4 ---------;
. cos 85° — cos 35° — \/3 cos 65°
x/3sin25°
8) cos2 86° + cos2 34° — cos2 64° + 3;
9)
11)
cos 49° + 2 sin 41°
sin 79° — sin 19° ’
sin 48° - sin 60° - sin 72° + sin 84°
4 cos 84° • sin 12° • sin 66°
6 sin 25° - 3 cos 65° + 7 sin 155°
cos 53° • cos 12° — cos 37° ♦ cos 78° ’
Карточка 5
413
Карточка 5
Вычислите:
1)
2 4- sin а * cos а
1+5 cos1 2 а
, если tga = 2;
2)
sin
у/З
если cos х =
4
3)	tgx, если sin(# + 30°) + sin(# — 30°) = 2y/3cosx;
4)	cos2a, если sina = —
5)	tga, если tg — 2;
6)	sin(7r + 2a), если sina + cosa =
2
a	i—
7)	2 sin 3a * sin 2a + cos 5a, если cos — —	0,6;
\	*? I	CV 1	•	H
8)	sm I — + — I , если sma — 0,6;
9)	sin + 2a^ , если tga = 2\/3;
7Г
10)	cos a + cos /3, если a — /?=—, a + = 4тг;
1	тг
11)	cos(a + /5), если sin a < sin (3 = a — (3 = —;
12)
. X	X
sm — + cos —, если sm# = 0,21;
13)
. л .	4
sin a + cos a,
1
если sin a + cos a =	.
V2
414
Тренировочные карточки
Карточка 6
Вычислите:
ч sin2 а — 2 cos2 а
1)		ГЧ’ если
5sina • cosa + 3
2)	tg ( z + — I — tg I z — — 1, если tg х = -;
3)	tgz, если sin(z — 45°) + sin(z + 45°) — -у cosz;
4)	cos2a, если cosa = 0,25;
5)
ctga, если ctg — = —2;
6)
• (n тг \	—
sm 2a-------, если cosa = — v0,l;
\	2 J ’	v
7)
2 sin 3a • cos 5a — sin 8a, если sin a — cos a = 0,9;
8)
n f Зтг a 'X
cos---------1--) , если sina = —0,2;
\ 4	2 /
/4тг \	V3
cos I-----2a , если tga = —;
\ 3 J ’	6	4 ’
10)
cos a + cos (3
........, если a + 0 a - /3 =-
sin a + sin /3	2	3
И)
cos(a — /3), если sina • sin/3 = -, a + /3 = 1,5тг;
12)
. X	X
tgz, если sin —I- cos — —
2	2
13) sin3 a + cos3 a, если sina + cosa = 0,8.
Карточка 7
415
Карточка 7
Вычислите:
ч 2 + 3 sin а • cos а
1)	—~, если tga = 4;
sin a + sin a • cos a
2)	sin Lt 4- — ] + sin i x - — | , если sin x = —;
\	4/	\	4/	4
3)	sinrr, если sin(j; + 30°) + sin(:r — 30°) — >/3;
4)	sin2a, если tga —
5)	tg a + ctg a, если tg — — 3;
Zi
6) sin I------1- 2a
V 2
если sin a =
a/OJ;
7)	2 sin 5a • cos 3a — sin 8a, если sin a + cos a = y4\6;
n f тг	a \
8)	sm — — — j , если sina = 0,8;
\ 4	£ j
9)	>/2sin /	+ 2a J , если tga = — 3;
10)	sina + sin/?, если a + /? = Зтг, a -/? = — ;
И)
>/2cos(a — /?), если cos a  cos (3 =
1
2’
a + /? =
5%
T;
12)
X	X ;--------
cosrr, если sm-------cos — — v0,5:
2	2 v ’ ’
13) sin3 a — cos3 a, если sina — cosa = 1,2.
416
Тренировочные карточки
Карточка 8
Вычислите:
2 + 5 sin а • cos а	1
1)	—5-------:---------, если tg о: = —;
sin а — sin а • cos а	I
2)	cos ( х Н— I + cos ( х--------] , если cosa; — —:
\	4 /	\	4 )	5
3)	ctg х, ссли cos(a; + 30°) + cos (я — 30°) = >/3sinj;;
4)	cos 2а, если tga =
5)
a
sma, если tg — = 3;
6)
• (Зя \	__
sm I-----2a , если cosa = — v0,2;
\ 2	/	v
7)
9 / я a \	.
cos-----------, если sma — —0,6:
\ 4	2 J ’
8)
. /7%	\	3\/3
sm I------2a , если tga =---------;
\ 6	/ ’	6	2
9)
sina — sin/3	Зя	я
--------(если a + /3 —	, a- (3=
cos a + cos p	2	2
10) 3cos(a + /3), если cos a * cos/3 = —
/э 77Г
a - p =
11)	sin — — cos —, если sina; = —0,44;
a	/—
12)	2 cos 3a • cos 2a — cos 5a, если cos — — у 0,6;
1	1	.	/з
13)	—2----1----л—? если sma + cosa = л /
sin4 a cos4 a	у 2
Карточка 9
417
Карточка 9
1.	Вычислите:
1)	у/2cos45° • ctg 73° • tg73° - sin 780°;
2)	7sin75° cos 75°;
3)	tg 2° • tg 4° • tg 6° •... • tg 86° • tg 88°;
4)	(tg40° — cos-1 40°) (cos40° — ctg40°)“1 —s^n4Q
v	7	cos2 40°
cosa	a
—----------, если tg — — —0,5.
sm a + cos a	2
2.	Найдите минимальное значение функции (при tga > 0)
/(a) = sin a + cos a + ctg a + tg a 4---~-----1--x—.
sin a cos2 a
3.	Решите уравнения:
1)	2 cos2 4- 3sin = 0 при |rr| C 1;
6	6
2)	tg(7nr) — \/3ctg(7nE) = V3 — 1 при x € [—2,5; —2].
4.	Вычислите:
2 /	. 3	3\
— arcsm - + arccos - I
7Г \	4	4/
2) sin
2 arctg j
. /1 • 15
* tg - arcsm —
6 \ 2	17
418
Тренировочные карточки
Карточка 10
1. Вычислите:
1)	(6 tg* 2 3 30° + 2 cos 180°) -sin 93°;
sin 20° • cos 10° • cos 60° + cos 160° • cos 100° • sin 150°
sin 21° • cos 9° + cos 159° • cos 99°
3) 128 • sin2 20° • sin2 40° • sin2 60° • sin2 80°;
sin4 3 + cos4 3 — 1
cos6 3 + sin6 3 — 1
1
3’
2. Найдите наименьшее значение функции
f(a) = tg2 а + ctg2 а + -2--1---
sin2 a cos2 а
3. Вычислите:
1	/	/	v 2	\	/	у 2
1)	—	I	arcsin	I-----j	+ arccos	I-----
тг	\	\	2	/	\	2
/1	3	/ 1
2) tg I — arccos - — 2 arctg I —-
\ Zt	о	\ z
4. Решите уравнения:
1) tg(Trrr) + tg(2?rx) = tg(3?rx), 2,4
2) 2cos2(7nr) = v^2sin(7rx); |x| C
3,2;
.	,	(TVX\	( TV X\	- [ TVx\	f TV X\	1
3) snr — • cos — ~ cos'5 — • sin — =
J \2 J \ 2 J \2 J \ 2 J 4
1,5 < x < 3.
Карточка 11
419
Карточка 11
1. Вычислите:
6sin390° - cos(—390°)
cos2 30° — sin2 30°
2)	sin6 15° + 3sin2 15° • cos2 15° + cos6 15°;
3)	tg20° • tg40° • tg80°;
/— a	5 тг
4)	у26cos—, если tga = — — при — < a < тг;
5)
г-	a	4\/3 тг
3 sm 2a + sm —, если sm a — ----- при — < a
2’	7	2
i j arctg(—1) + arccos
. /	.4
sm I 2 arcsm —
\	5
2. Решите уравнения:
+ cos(2ttz) = 3 при 10 C x 11;
.	о ( TV
2) 5ctg2 ( -
3
/1	3	„
tg I - arccos - — 2 arcctg
\ 2	о
= x2 — Зт — 4,5.
5
420
Тренировочные карточки
Карточка 12
1.	Вычислите:
1)	(2 cos 30° - ctg 45° + sin2 60° + ctg 960°);
2)	sin 167° • sin 107° + sin 257° • sin 197°;
3)	cos 17° • cos 73° - sin 13° • cos 21° - cos4° • cos86°;
4)	cos 10°-cos50°-cos70°;
5) sin 18°;
6)
7)
„ . .	2 sin2 a — sin a  cos a	a y/5 — 1
“ n'-..2--77-----5----’ если tg о = —5—;
3 sin a + 2 cos2 a	2	2
2\/2 ТГ	7Г
sin a + cos а, если sm 4a = при — < a < —;
8) ctg 40°
^/ctg 5° + Vtg 5°
v/ctg 5° - v/tg 5° ’
2. Решите уравнения:
о (irx\	( пх\	( tvx\	о (-пх
1) sin — • cos — I — sin — • cos —
’	\2 J \2 J \2 J \ 2
1
4
1
2
2) cos (2 arctg 7) — sin (4 arctg 3) = x2 — 4.?; — 5.
Карточка 13
421
Карточка 13
1.	Решите уравнения:
1)	у/З + 2 cos — О ПРИ 8 < х < 20;
2)	sin(х — 30°) * cos 2х — sin (х — 30°);
.	5	л 7Г
3)	;---э~- = 3 ctg ~ * cos х;
7 1 + tg2 х 6 3
4)	cos3x = sin 2гг;
5)	= 1 при 170° < х < 200°;
sm 4х
6)	cos(70° 4- х) • cos(20° — х) =
7)	sin х 4- sin 2х = cos х 4- 2 cos2 х;
8)
Л /	7Г \
cos 2 I x 4- — I 4- 4 sm
\	о /
9)	sin2 х 4- sin2 2х = sin2 Зх 4- sin2 4х;
10)	sin2 х — (у/З 4-1) sin х • cos x 4- у/З cos2 x = 0;
11)	sin2x 4- tgx = 2.
(1 + tga) -sin (Д -a)	/%	•
2.	Докажите тождество----------———---------—=sin I — 4-a
3.	Вычислите sin 2a, cos 2a, tg2a, если ctga = \/2 4-l.
4.	Решите неравенство у/5 — 2sinx	6sinx — 1.
5.	Постройте график
-------------	(1 — tgz) • tg + rr)
y(x) = v 1 — sin2 x  	—-—г------------.
1 - tg
422
Тренировочные карточки
Карточка 14
1. Решите уравнения:
1)1 + 2 sin — — 0 при 2 < х < 4;
3
2) cos2z • sin3z — cos2z;
3)
4)
6)
7)
8)
9)
Ю)
11)
sin 2x — tg 60° • sin x;
sin 2x + cos Зх — 0 при 0 -
cos 5x + cos x = — 2 cos 3x,
2sin(40° + x) • sin(50° — z) = —1;
sin 3x = cos4 5 x — sin4 x,
8 cos4 x = 11 cos 2x — 1;
Зх о Зх о 5x о 3x
cos-----h sm------|-2sin —= cos —:
3	2	6	2 ’
д/З sin2 x — 4 sin x * cos x + д/З cos2 x = 0;
sin2 x — 2
’2 A 9 Я
sm x — 4 cosz 2
9 x
tg2 ~
S 2
7Г
2’
2 cos a — 2 sin
2. Докажите тождество ------
2 sin
-= V2.
3cosa
3. Вычислите
sin(a —2/3), если tga = 2,4,
tgВ — —0,75 при 0 < a <
4. Решите неравенство y/7 — 18tgx 6tga; + 11.
5. Постройте график:
y(x) — \/l — sin2 x •
ctg 2x * (1 + tg 2x)
1 + tg - 2^
Карточка 15
423
Карточка 15
1.	Решите уравнения:
1)	2cos2ге + 5sina; — 4 — 0;
. COS Z
1 — sin ге ’
3)	sin2rE = sin Зге;
4)	cos(2rE — 630°) — sin(4rr + 540°) при 90° < ге < 180°;
5)	sin ге + sin 5ге — 2 cos 2z;
6)	cos 5ге — sin 5ге = sin 7z — cos 7z;
8)	2 sin ге • sin 8z = cos 7z;
9)	\/3 cos 3z + sin Зге = cos ге + \/3 sin ге;
10)	sin ге * cos ге • cos2:e • cos8z — 4 sin 12%;
4
11)	sin3 х • (1 + ctgz) + cos3 x • (1 + tgz) = 2\/sinz • cosz;
12)	cos z — cos 2x — sin Зге.
2.	Докажите тождество
1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a = S*n .
sina
3.	Вычислите--------4sin70°.
sml0°
4.	Постройте график y(x) = sinz • Vsin2 z — cosz • Vcos2 z.
424
Тренировочные карточки
Карточка 16
1.	Решите уравнения:
1	) 2 sin2 2х + 7 sin 2х — 4 = 0;
sin 2х
2	--------= 0;
1 + cos 2х
3)	cos — cos2z;
4)	sin(3z — 450°) = sin(6z — 540°) при 0° < х < 45°;
5)	C°S= 1 при 170° < х < 280°;
sm 2х
6)	sin х + sin 2х + sin Зх + sin 4z — 0;
7)	sin2z + cos2z = —1;
8)	2 sin 2x • cos x = sin 3z;
9)	sin 4z + cos 4z ~ \J2 sin z;
10)	4 cos x • cos 2x • cos 3x = cos 6z;
11)	sin2z + 5(sinz + cosz) + 1=0;
12)	cos 2z + cos z = sin 3z.
2.	Докажите тождество
d	cos 14a
1 — 2 cos 4a + 2 cos 8a — 2 cos 12a =---.
cos 2a
3.	Вычислите tg20° + 4sin 20°.
4.	Постройте график y(x) — sinz • | ctgz|.
Решение карточки 1
425
Решение карточки 1
1. Разложите на множители:
. ч . 5а . За
1 sm------1- sm — =
7	3	2
'sin а sin /? = 2 sin

Л . 19а а
=28Ш—.СОЗ-.
2) cos 10а • cos 8а + cos 8а • cos 6а =
= cos 8а • (cos 10а + cos 6а) —
i	„	[а +7Г\ Ла — ~/3\ ।
1 cos а + cos /3 = 2 cos f —-— j - cos I —-— I » Щ
= 2 cos 8а • cos 8а • cos 2а = 2 cos2 8а • cos 2а.
3) sin а + sin 2а + sin За —
!sina + sin/? — 2 sin

— 2 sin 2a • cos a + sin 2a =
— sin 2a • (2 cos a + 1) =
— sin2a • 2 cosa +
/а	тг \	/a
= 4 sin 2a • cos I — + -• 1 • cos I —
\ Zi	D /	\
426
Тренировочные карточки
2. Докажите тождества:
_ cos За + cosa
1)' ---------- — ctga.
sm За — sma
cos За + cos a
sin 3a — sina
2 cos 2a • cos a
2 sin a • cos 2a
cosa
----= ctg a;
sma
L = ctg a
П = ctg a
=> L = П.
sin2 3a — sin2 a
cos2 3a — cos 5a • cos a
2 cos 2a.
a — /ЗЛ
j sin a — sin /3 = 2 sin
1 sin a + sin 0 = 2 sin ( ——— ) • cos .
1	\ __2 /________2___
a — p \	( a + P
------ ] • cos -------
__2_ _________\_J2 „
] cos a • cos P = - (cos(a — /3) + cos(a + /3))
!	2
[ 2 cos “ = 1 + cos a
r---------------------------------------------
' sin 2a = 2 sin a * cos a
j 1 — cos 2a = 2 sin2 a
sin2 3a — sin2 a
L = o
cos2 3a — cos 5a • cos a
(sin 3a — sin a) (sin 3a + sin a)
cos2 3a — cos 5a * cos a
(sin 3a — sin a) (sin 3a + sin a)
cos2 3a — (cos 6a + cos 4a)
2 sin 2a • cos a * 2 sin a * cos 2a
i(l + cos 6a) — | cos 6a — | cos4a
Решение карточки 1
427
2 sin 2а • cos 2а • sin 2а	2 sin2 2а • cos 2а
i i ~л
у — 2 cos 4а
2 cos 2а;
| i cos 6a — | cos 6a — | cos 4a
2 sin2 2a • cos 2a 2 sin2 2a • cos 2a
i(l-cos4a)	sin2 2a
L = 2 cos 2a	_
n= 2cos2a	- 
3. Вычислите:
1) sin2 68° - sin2 38° - 0,5 sin 106° + 3 =
1 о Ct
12 sm — = 1 — cos a	j
* „ +
j cos a — cos p — —2 sm —-— I • sm I —-—J j
isin(—a) = — sin ct	i
1 1
= -(1 - cos 136°) - -(1 - cos 76°) - 0,5 sin 106° + 3 =
= 0,5 - 0,5 cos 136° - 0,5 + 0,5 cos 76° - 0,5 sin 106° + 3 =
= 0,5(cos76° - cos 136°) - 0,5sin 106° + 3 =
= 0,5 • (-2) sin 106° • sin(—30°) - 0,5 sin 106° + 3 =
= 0,5 sin 106° - 0,5 sin 106° + 3 = [3].
3 (cos 20°-sin 20°)
•\/2sin25o
j cos(90° — a) = sin a	j
i	. 7 a- (3\ Г a+7P\1
i sm a — sm p = 2 sm I —-— I • cos I —-— 1 i Щ
_ 3 (cos(90° - 70°) - sin 20°) _
•\/2sin25o
_ 3(sin70° - sin 20°) _
V2 sin 25°
_ 3 • 2 sin 25° • cos 45° _ 3^2 _
sin 25°	л/2
428
Тренировочные карточки
3) (tg 14° + ctg28°)-cos 14°-sin 14'
sin 2а = 2 sin а * cos а [ (D
sin 14°
cos 14°
cos 28 \ cos	_
sin 28° /
cos 28°
sin 14°
cos 14°
2 sin2 14° + cos 28° \	1/10 . 1/1O
-------------------- • cos 14° • sm 14° =
2 sm 14° cos 14° J
2 sin2 14° + 1 — 2 sin2 14° \	.
 cos 14° • sm 14° =
.	. t • cos 14° • sin 14‘
2sm 14° • cos 14° )
2 sin 14° * cos 14°
----------------- j • cos 14° • sin 14° = -
2 sm 14° • cos 14° J
sin -г • cos f
4) -------------------- 5
1 — cos4 — cos2
5
2тг . 2 2тг
-•sm -
sin 2а = 2 sin ct * cos a [
5
5) -
Sin =•
5
1	2 2tt
1 — COS2 -г- •
5
* COS 5
cos2 y? + sin2 y?
Sin у • COS у
i	2 2тг
1 — COS2
□
1 • 2 2тг
4 Sln ~5
• 2 2тг
sm
о
-Slni4
cos у • sm уд
1
2
1
4
i cos
= sin a
i sin a — sin /3 = 2 sin
. Зтг
sm -yy — sm
SIH yy • COS у
cos у • sm yy
cos у • sm yy
Решение карточки 1
429
sin2 32° + sin 26'
5 cos2 32°
[sin(90° — a) = cosa]
ь---------------------ч
! 2 cos2 — = 1 + cos a ’
i(l - cos 64°) + sin(90° - 64°)
5 cos2 32°
0,5 — 0,5 cos 64° 4- cos 64°
5cos232°	”
0,5 4-0,5 cos 64° _ cos2 32°
5 cos2 32°	” 5 cos232°
. cos 9° 4- cos 51° 4- y3cos21°
7 ----------7=---------------
2x/3cos21°
! cos a + cos /3 = 2 cos
_ 2 cos 30° • cos 21° + V3 cos 21°
~	2\/3cos21o
_ х/3сов21° + \/3cos21o
~	2\/3cos21o	~
2 cos2 16° + 2 cos2 76° - 3 _
cos2 44°
1 _	9 Ct	i
12 cos — = 1 + cos a	i fcEJ
i 2	»
i	/no f 4- /3\ Г & —	1
i cos a 4- cos /3 = 2 cos ( —-— I • cos I —-— 1 । Ц)
j 2 sin — = 1 — cos a	
!sin(90° — a) = cosa	|
14-cos 32°4-14-cos 152°-3	-1+ 2 cos 92° • cos 60°
cos2 44°
—2 sin2 46° _
cos2 44°
cos2 44°
_ -(1-cos92°) _
-1 + COS 92°
cos2 44°
2sin2(90° — 46°)
cos2 44°
2 cos2 44(
cos2 44°
cos2 44°
430
Тренировочные карточки
3 COS 196° + 12 cos 164°	;cos(180° - a) = —cosetj
COS 16°	;cos(180° + a) = — cos a J (££)
_ 3cos(180° + 16°) + 12cos(180° - 16°) _
cos 16°
-3 cos 16° - 12 cos 16°
=------------------------=ЕЖ
sin 43° + sin 17°
J 2 cos 13° + 3 sin 77°
। sin a + sin/3 =
jsin(90° — a) =
2 sin 30°  cos 13°
cos 13°
1
5
2 cos 13° + 3 sin(90° - 13°)	2 cos 13° + 3 cos 13°
3 cos 23° - 3 sin 113° + cos 203° _
cos 13° • cos 10° — cos 80° • cos 77°
j cos a • cos/3 = (cos(a + /3) + cos(a — /3))!
| cos(180° + a) = — cos a	|
| sin(90° + a) = cos a	|
] cos(180° — a) = — cos a	|
_ 3 cos 23° - 3 sin(90° + 23°) + cos(180° + 23°) _
0,5(cos23° + cos3°) — 0,5(cos 157° + cos3°)
3 cos 23° - 3 cos 23° - cos 23°
” 0,5 cos 23°+0,5 cos 3°-0,5 cos(180°-23°)-0,5 cos3°
cos 23°	,
0,5 cos 23° + 0,5 cos 23'
Решение карточки 2
431
Решение карточки 2
1.	Разложите на множители:
1)
,	. 2а
1 + sin — =
О
2) cos 2а + 2 sin 2а • sin За — cos 4а =
। cos а — cos /3 = — 2 sin
(.-------------------------
। sin a + sin (3 = 2 sin I 
— 2 sin 3a * sin a+2 sin 2a • sin За — 2 sin За • (sin a+sin 2а) =
За	а
= 2 sin За • 2 sin — • cos — — 4 sin За • sin 1.5а • cos 0,5а.
2	2	’
3) 1 + sin 2а + cos 2а =
2 cos2 = 1 + cos a
sin 2ct = 2 sin ct • cos a
—	2 cos2 а + 2 sin а • cos а = 2 cos a • (cos a + sin a) =
—	2 cos a • v/2 cos [ -r — a ) = 2\/2 cos a • cos (	— a
\ 4	/	\ 4
2.	Докажите тождества:
. 1 — cos 2a 9
1)		= tg2 a.
7 1 + cos 2a 5
1 — cos 2a 2 sin2 a 9
L = —-------— = ---------— = tg a.
1 + cos 2a 2 cos2 a
L = tg2 a
П = tg2 a
=> L = П.
432
Тренировочные карточки
cos2 а - ctg2 а + 1	2
2)	—г-б-------5-----г = ctg а
sin2 а + tg2 а — 1
| cos 2а = cos2 а — sin2 a J
cos2 а — ctg2 а + 1
sin2 а + tg2 а — 1
„__2 л cos2 ct—sm2
cos а--------------
sm ct
sin2 a +
• Q	Q
sm ct—cosz ct
cos2 ct
9
cos а —
cos 2ct
. 2—
sin ct
. 9
sin а
cos 2ct
cos2 ct
cos2 ct • sin2 ct — cos 2ct
---------^“2-----------
sinz ct
cos2 ct • sin2 ct — cos 2ct
cos2 ct
9
COS Q о
2	= ct§ °;
sm а
L = ctg2 а
П = ctg2 a
^L = H.
3.	Вычислите:
1)	sin43° -sin 17° + sin2 13° -2 =
! sin a • sin p = [cos(ct — /?) — cos(ct + p)]!
k----------------------------------------4
12 sin — = 1 — cos a	t
= -(cos26° — cos60°) + x ~ x cos 26° — 2 —
= cos 26°	+ cos26° - 2 = H>75/-
(1 + tg 10°) • cos 10°
2 sin 55°
I sin(90° — a) — cos a	J
f	/"ct — ~P^\ l
i cos ct + cos p — 2 cos ( —-— 1 ’ cos I —-— ) । Щ
| cos(90° — ct) = sin ct	j
cos 10° + sin 10° cos 10° + sin(90° — 80°)
V^2 sin 55°	y/2 sin 55°
cos 10° + cos 80°	2 cos 45° • cos 35°
\/2sin55°
y2sin55°
^2 cos(90° — 55°) _ sin 55°
sin 55°
2 sin 55'
Решение карточки 2
433
tg 15° — ctg 15°
ctg 30°
| cos 2a = cos2 a — sin2 a [
h-------------------------4
] sin 2a = 2 sin a • cos a [
sin 15°	cos 15°
cos 15°	sin 15°
sin2 15°—cos2 15°
sin 15°-cos 15°
ctg 30°	ctg 30°
cos 30°
0,5 sin 30°  	2	30°
ctg 30° ctg 30°
9 7Г
• COS2 n
4)
. 2tt
sm------
7
1 + COS у
1 o 2
i2cos —
. 7Г
sm у
27Г
= sm — ♦
7
cos 7 ।	2
..	——	•	COS2	n
cos у	sm у j
1 i	7Г
1 + COS у
. 2-ТГ
— sm — •
7
sin2 y+cos2 у \	9
-----  *	• COS2 n
cos у • sm у /
1 + COS у
. 2k
sm —
2 7Г
-g- • COSZ T-7
0,5 sin	14
2 cos2
2 cos2 ™
2 cos2
1
434
Тренировочные карточки
. 7о А 1	+	1	\	; 2cos2 | = 1 + cosa ; ©
\ sin 14	tg 14 /	; sin 2a = 2 sin a-cos aj
tg7° •	= tg7° • p + C0Sin =
\ sin 14° sin 14° /	6	\ sin 14° J
„n 2 cos2 7° sin 7° 2 cos2 7° m
tg 7----------=------------------= [1].
sin 14° cos 7° sin 14°
7)
cos 48° + cos 42° + y/2 cos 3°
л/2 sin 87°
i cos a 4- cos (3=2 cos —-— j • cos
_ 2 cos 45° - cos 3° + л/2со5 3°
”	л/2зт(90° - 3°)
_ л/2С05 3° + л/2со8 3° _ „
”	л/2 cos 3°
8) cos2 23° + cos2 83° + cos2 37° + 3 =
I _ о Cl	I
12 cos — = 1 -j- cos a	r
k-----------------------------------------------i_
jcos(180° — a) = — cosa	j
a •	7 a +		Ca	~	'	ЯЧ
। cos a — cos [3 = —2 sin	I —-— I • sm I	—-—	I t
jcos(90° — a) = sina	j	ДЬ
= 0,5(1 + cos 46°) + 0,5(1 + cos 166°)+
+ 0,5(1+ cos 74°)+ 3 =
= 0,5 + 0,5cos46° + 0,5 + 0,5cos(180° - 14°)+
+ 0,5+ 0,5 cos 74° + 3 =
= 4,5 + 0,5 cos 46° - 0,5 cos 14° + 0,5 cos 74° =
= 4,5 - sin 30°  sin 16° + 0,5 cos(90° - 16°) =
= 4,5-0,5 sin 16°+ 0,5 sin 16° =g5].
Решение карточки 2
435
9)
3 cos 9° + sin 81°
sin 21° + sin 39°
। sin a + sin /3 = 2 sin |
jsin(90° — a) = cosa
3 cos 9° + sin(90° — 9°)	3 cos 9° + cos 9°
2 sin 30° • cos 9°	2 sin 30° • cos 9°
sin 36° + sin 40° + sin 44° + sin 48°
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
! sin a + sin /3 — 2 sin ( & @ j • cos f	-— j !
1________________________________
!sin(90° — a) = cosa	]
L ----------------------------------------J
2 sin 44° • cos 4° + 2 sin 40° * cos 4°
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
2 cos 4° • (sin 44° + sin 40°)
2 sin 88° • cos 4° • sin 42°
_	2 sin 42° - cos 2°	_ 2 cos 2°
sin(90° — 2°) • sin42° cos 2°
5 cos 63° + 2 sin 27° - 4 sin 207° _
sin 15° ‘ sin 78° + sin 75° • sin 12°
Jsin(90° — a) = cosa
(.---------------------------------------
j sin(270° — a) — — cos a
b----------------------------------------
j cos(90° + a) = — sin a
j sin a • sin /3 = ~ [cos(a — /3) — cos(a + /3)]
_ 5 cos 63° + 2sin(90° - 63°) - 4sin(270° - 63°) __
0,5(cos 63° — cos 93°) + 0,5(cos 63° — cos 87°)
_	5 cos 63°+ 2 cos 63°+4 cos 63°
~ 0,5 cos 63°—0,5 cos(90°+3°) +0,5 cos 63°-0,5 cos(90°-3°)
_ 11 cos 63°___________________________ 11 cos 63° _ „
cos 63° + 0,5 sin 3° — 0,5 sin 3° cos 63°
©
°
436
Тренировочные карточки
Решение карточки 3
1.	Разложите па множители:
1)	tg (--1--14-1g (---------- I	= i tg a +	tg fi =---।
' уЗ 4 J \3	4 J _______________cos_a^cqsj5]
. 2тг	r-
__sm^- V3
(тг . a \	(тг a \ г»	(тг . ot \	/ тг оЛ
COS тг + -г I ’ COS 7 — 7 )	2 COS ту 4- 7 I • COS ту — 7 1
2)	sin 2a  sin 3a — - cos a + - cos 6a =
!	2	2
I sin a • sin fi = - [cos(a — fi) — cos(a 4- fi)]
’	“	----7-a^-fiX---~Yot~-
t COS Of — cosfi = —2 Sin I ------ I • Sin I -;
1/	X	1	1
= — (cos a — cos 5a) — - cos a + - cos 6a —
11 1 1
= - cos a-cos 5a-cos a H— cos 6a —
2	2	2	2
4 R , ч . Ha . a
= -(cos ba — cos оси = — sin-- sin —.
2V	J	2	2
3)	sin a 4- sin /3 4- sin(a 4- /?) =
. . „ o • (& + fi\ 7 ot~ fi
sm a 4- sin fi = 2 sm I —-— 1 • cos 1 —-—
sin 2a = 2 sin a  cos a
cos a 4- cos fi = 2 cos
9 . (oc + (3\
= 2sm --------
\ 2 /
. / a + /?\
“ 2 sm -------
\ 2 /
a	/?
= 4 cos — • cos —
2	2
f a — /3\ f a + (3
• cos --------- 4- cos I ---------
\ 2 / \ 2
9 a (3
 2 cos — • cos — —
2	2
Решение карточки 3
437
2.	Докажите тождества:
ч cos 4а + cos 2а
1)		= 2 cos а.
7 л 9 За • 9 За
COS* 2 --sin
 cos а + cos р — 2 cos —
i cos 2а = cos2 се — sin2 се
L cos 4а + cos 2а
cos2 -2— sm -у
L = 2 cos а т
тт о	L	_ 1
11= 2 cosa
2 cos За • cos а
---------------— 2 cos а:
cos За
cos2 2а — 4 cos2 а + 3	4
(%.
' cos2 2а + 4 cos2 а — 1
о се
12 cos —
cos2 2а — 4 cos2 а + 3
cos2 2а + 4 cos2 а — 1
cos2 2а — 2 cos 2а + 1 __ (cos 2а — 1)
(cos 2 а + I)2
cos2 2а + 2 cos 2а + 1
4 sin4 а л
= ~л—Г~ =	а-
4 cos4 а
n=Sa => l = п.
П — tg а
cos2 2а — 2 — 2 cos 2а + 3
cos2 2а + 2 + 2 cos 2а — 1
2
3.	Вычислите:
1)	cos2 36° - cos2 120° - 0,5 sin 18° - 0,5 =
I 2 cos2 — — 1 + COS ce t fiQ
i 2	_________1
; sin(90° — ce) — cos ce [
L_________________4
= 1(1 + cos 72°) - 0,25 - 0,5sin(90° - 72°) - 0,5 =
= 0,5 + 0,5 cos 72° - 0,75 - 0,5 cos 72° = | -0,25 |.
438
Тренировочные карточки
2)
a/2(cos25° — cos 65°)
sin 20°
д/2 • 2 sin 20° • sin 45°
sin 20°
3)
(tg 26° - ctg 52°) • cos 26° • sin 52°
cos 78°
| ctg(90° — a) = tg a j
।	„ sm(a — 0) ।
'tga - tg/3 = ---------- । ф
1____________
jsm(90° — a) = cosa j
_ (tg 26° - ctg(90° - 38°)) - cos 26° • sin 52°
cos 78°
_ (tg26° - tg38°) • cos 26° * sin(90° - 38°)
cos 78°
sin 12°
cos 26°-cos 38°
• cos 26° • cos 38°
cos 78°
sin(90° - 78°)
cos 78°
cos 78°
cos 78°
Решение карточки 3
439
. 2к .	. 4тг
sm 4- sm -5-
5)	----7--------4--------т-------ч-	=
7	г •	(7Г	2?Г \	(7Г	2тг \
5sm(j + -gj -cos (j-tJ
2 sin 7 + §) ’ cos (7	9")	2
5 sin (j +	• cos (y - A
I 9 Ct
12 cos — = 1 4- cos ct
. cos2 34°-sin 22°	1-------?-----------
6) ----------n--------- — Ssin(90° — a) — cosa
'	4 sin2 34°	--------
12 sin2 — = 1 — cosa
1	2
0,5(1 + cos 68°) -sin(90° - 68°)
4 sin2 34°
0,5 + 0,5 cos 68° - cos 68° _
4 sin2 34°
0,5-0,5 cos 68° _ sin2 34°
4 sin2 34°	4 sin2 34°
1
4
7)
8)
cos 73° +cos 47°+ 2 cos 13°
2 cos 13°
cos a + cos /3 = 2 cos
3 cos 13°
2 cos 13°
2 cos 60° • cos 13° + 2 cos 13°
2 cos 13°
2 sin2 85° + 2 sin2 25° - 3 _
4 cos2 55°
i 9 a	i
t2sm — — 1 — cosa	t JjJJ
i cos a + cos /3 = 2 cos	• cos	‘
 2 cos2 = 1 + cos ct	!
_ 1-cos 170°4-1-cos50° — 3 _ 14-cos 170°4-cos50'
4 cos2 55°	4 cos2 55°
1 4-2 cos 110° • cos 60°
4 cos2 55°
2 cos2 55°
4 cos2 55°
1
2
440
Тренировочные карточки
cos 71° + cos 49°
' 7 cos 11° — 3 sin 79°
। cos a 4- cos 0 = 2 cos ( -
'___________________\__2_
| sin(90° — a) = cos a
2 cos 60° - cosTT°
7 cos 11° — 3sin(90° - 11°)
cos 11°	cos 11°
7 cos 11° — 3 cos 11°	4 cos 11°
1
4
10)
11)
cos 16° - cos 24° - cos 32° + cos 40°
cos 86° • sin 8° • cos 28°
। cos a 4- cos 0 = 2 cos
i cos a — cos 0 = —2 sin
!cos(90° — a) — sina
2 cos 28° • cos 12° - 2 cos 28° • cos4(
cos 86° • sin 8° • cos 28°
_ 2 cos 28° • (cos 12° — cos4°) _
cos 86° • sin 8° • cos 28°
— 2 • 2 sin 4° • sin 8°	4 sin 4°	.—
_-----------------------=-----------— 1—41.
cos(90° — 4°) • sin 8° sin 4°
3 sin 124° - cos 146° - 2 cos 34°
cos 49° * cos 15° + cos 41° • cos 75°
! cos a • cos 0 — [cos(a 4- 0) 4- cos(a — /3)]
f	/эп Г a + 0\ Га ~ 0\ 1
। cos a 4- cos 0 = 2 cos I —-— I • cos I —-— 1 i Щ
^~~3si~n(Vo°“+34~°~) - cos(180o'-3~4~°~) -2 cos34° _
0,5(008 64° 4- cos 34°) 4- 0,5(cos 116° 4- cos 34°)
_	3 cos 34° 4- cos 34° — 2 cos 34°
0,5 cos 64° 4- 0,5 cos 34° 4- 0,5 cos 116° 4- 0,5 cos 34°
2 cos 34°	2 cos 34°
=---------------------------=------------= [2l
cos 34° 4- cos 90° • cos 26° cos 34°
Решение карточки 4
441
Решение карточки 4
1. Разложите на множители:
1)
cos
+ sin(37r — 8m) =
— — sin 4m + sin 8m = 2 cos 6m • sin 2m.
2)	sin 10m • sin 8m + sin 8m • sin 6m =
! sin a • sin fl = ~ [cos(a — fl) — cos(a + /?)]	!
fh	n о Ia	м
i	cos a + cos fl = 2 cos I —~— 1 - cos f —-— I j Щ
l . о Oi	i
12	sin — = 1 — cos a	i |2|
= 0,5(cos 2m — cos 18m) + 0,5(cos 2m — cos 14m) =
— 0,5 cos 2m — 0,5 cos 18m + 0,5 cos 2m — 0,5 cos 14m =
= cos 2m—0,5(cosl8m+cosl4m) — cos2m—cosl6m-cos2m =
— cos 2m(l — cos 16m) = 2 cos 2m • sin2 8m.
3)	cos m + 2 sin 2m — cos 3m =
‘	a	n	•	+	m
।	cos a — cos fl =	— 2 sin I —-—	I	• sm I —-— 1 j	fgj
।	.	. Л	. 7a + fl\	7a — fl\	I
।	sin a + sin fl —	2 sm ( —-— I •	cos I —-— 1	j	Щ
* — 2 sin 2m • sinm + 2 sin 2m = 2 sin 2m • (1 + sinm) —
( тг \
= 2 sin 2m * I sm — + sin m 1 =
442
Тренировочные карточки
2. Докажите тождества:
(sina — cosa)2
1)	7 г = 2.
. о
sm
I o	.	2	a	1
12 sm	— = 1 — cos a ।
।	2	।
k------------------------H
' sin 2a = 2 sin a - cos a |
’ I * 1
tcos-------a | = sma i
[ \ 2_______)_____________]
(sina — cosa)2
L — -------------------\—
• 2 l 7Г \
sin I 7 — a
sin2 а + cos2 a —2 sin a • cos a
•2
0,5 I 1 — cos
1 — sin 2a
0,5(1 — sin 2a)
L = 2	_ n
П=2 L 1L
2.
4 1 + 2 cos a + cos 2a	9 a
2) ---------------------= - ctgi 2
cos 2a — 2 cos a + 1	2
! cos 2a = 2 cos2 a — 1 j
-----------------и
t	9 a	t
i 2 cos — = 1 + cos a i
i	о a	<
12 sm — = 1 — cos a	। fjf
1 + 2 cos a + cos 2a
cos 2a — 2 cosa + 1
1 + 2 cos a + 2 cos2 a — 1
2 cos2 a — 1 — 2 cos a + 1
2 cos a • (1 + cos a) 2 cos2	2 a
— 2cosa • (1 — cosa)	2sin2^	2
о a
L = - ctg2 -
z => L = П.
9 a
n= - ctg2 -
Решение карточки 4
443
3. Вычислите:
1) sin 49° • sin 11° + cos* 2 71° + 1 —
2)
3)
4)
I sin а • sin/? = [cos(a — (3) — cos(a + /?)] j
j.-----------------------------------q
12 cos2 — = 1 -j- cos a	i О
_______2______________________________i
jcos(180° — a) = — cosa	j
+ 1 =
= 0,5 cos38° - 0,5 cos 60° + 0,5 + 0,5 cos(180° - 38°) +1 =
= 0,5cos38° - 0,25 + 1,5 - 0,5 cos 38° = рЦ25~|.
sin 40° — cos 40°
cos 85°
Jcos(90° — a) = sina
k---------------------
t sin a — sin /3 = 2 sin I
sin 40° — cos(90° — 50°) sin 40° — sin 50°
x/2 cos 85°	\/2 cos(90° — 5°)
2 sin 5° • cos 45° _ a/2 sin 5° _ .—
x/2 sin 5°	y/2 sin 5°
Г	2tga ~	1
ч t sin 2a =  ---5—	’
sin24° • (tg 12° + ctg 12°) = __ktJg_«—J
] sin 2a = 2 sin a • cos a i
tg212° + l\ ---------------------
tg!2°	)~
= sin 24° •
= 2sin 12° • cos 12° • ( . inn*--—-
\ sin 12° • cos 12°
j sin 2a = 2 sin a • cos a j
sin g — cos <
: 27
Sin-g-
sin2 + cos2 - 2 sin • cos - 1
:	; Sr
sm-9-
2 Sin g • COS g	Sin -g-	____
. 2тг	• 2тг ।*
Sin -g-	Sin “g"
444
Тренировочные карточки
2тг	тг
COS -F- — cos =
5)	9.4.....-4
• 2 sin 5Й-sin -77;
! cos a — cos p = — 2 sin
O • 7Г	ЗТГ
~2sin To ' sm To
o • 7Г -37Г
2sinTo -sin To
= RH.
sin 10° • (1 + tg2 5°)	! 1 + tg2 a = —I (£)
6)		-________-______- — ’______________________J
tg 5	' sin 2o = 2 sin о  cos о j
2 sin 5° • cos 5°	2 sin 5° • cos 5°	2 sin 5°	,
0,5 sin 10° sin 5° • cos 5° sin 5°
7)
cos 85° — cos 35° — a/3cos65°
УЗэш 25°
i	. 7 ct — /3 X , Г a + p \ 1 A
[ cos ct — cosp = —2 sm I —-— 1 • sm I —-— 1 j ВД)
I cos(90° — ct) — sin ct	J
_ —2 sin 60° • sin 25° - УЗ cos 65° __
УЗзш 25°
_ -V3sin25° - V3cos(90° - 25°) _
УЗ sin 25°
-УЗ sin 25° - УЗ sin 25°	.__,
= —-------—-------------=F-2b
V3sin25°
8) cos2 86° + cos2 34° — cos2 64° + 3 =
I 9 Ct	i
12 cos — = 1 + cos ct	i
।	2	* 1
‘	л	Ia	~	+ ~P\	1	A
। cos ct 4- cos p	~ 2 cos	I	—-— I - cos I —-—	1	’	(QJ
j cos(180° — ct) = — cos ct	;
|sin(90° — ct)	= cos ct	|
jsin(90o 4- ct)	= cos ct	[
= 0,5(l+cosl72°) + 0,5(l+cos68°)-0,5(l+cosl28°)+3-
= 0,5+0,5cosl72°+0,5+0,5cos680-0,5-0,5cosl28°+3 =
Решение карточки 4
445
9)
Ю)
11)
- 3,5 + 0,5 * 2 cos 120° * cos 52° - 0,5 cos 128° =
= 3,5 - 0,5 cos 52° - 0,5 cos(180° - 52°) =
= 3,5 - 0,5 cos 52° + 0,5 cos 52° = [3X|.
cos 49° + 2 sin 41° _
sin 79° — sin 19°
|sin(90° — a) = cosa
r----------------------
। sin a — sin /3 = 2 sin |
__ cos49° 4- 2sin(90° - 49°) _ cos49° 4- 2 cos 49°
2 sin 30° • cos 49°	cos 49°
sin 48° - sin 60° - sin 72° 4- sin 84°
4 cos 84° • sin 12° • sin 66°
- л / a + fl\ 7 a — /3
sin a 4- sin /3 = 2 sin I —-— I • cos I —-—
\ \
cos а — cos/? = —2 sin
2 sin 66° • cos 18° — 2 sin 66° • cos 6° cos 18° — cos 6°
4 cos 84° • sin 12° • sin 66°	2 cos 84° • sin 12°
—2 sin 12° • sin 6° sin 6°	.—
2cos(90° — 6°) • sin 12° sin6°
6 sin 25° - 3 cos 65° + 7 sin 155°
cos 53° • cos 12° — cos 37° • cos 78°
icosa cos fl = i [cos(a 4- /?) 4- cos(a — fl)]!
J sin(90° — a) = cos a	J
j sin(90° 4- a) = cos a	J
}cos(180° — a) — — cosa	j
L~'¥sin('90°'- 65°)-'3cos6~5~° + 7sin(90° 4- 65°) _
0,5(cos65° 4- cos41°) — 0,5(cos 115° 4- cos41°)
_______________6 cos 65° - 3 cos 65° 4- 7 cos 65°___________
0,5 cos 65°4-0,5 cos 41 °—0,5 cos(180°— 65°) — 0,5 cos 41
10 cos 65°	— Г101
0,5 cos 65° 4- 0,5 cos 65°
446
Тренировочные карточки
Решение карточки 5
Вычислите:
2 +sin a-cos a
1 + 5 cos2 a
1 t	i I r 2	1
I --— = 1 + tg ft 1
1 COS2 Ct	'
при tg а — 2
2	I 4.
—2-----H tga
cosz ct °
---2— + 5
cosz ct
(2 + sina * cosa) : cos2 a
(1 + 5 cos2 a) : cos2 a
_ 2(1 +tg2 a) + tga _ 2(1 +4) + 2 _
2)	sin ( x + — 1 — sin
V3
при cosa; —
i sin а — sin /3 = 2 cos
. тг	n V3 V3
— 2 sm — • cos x — 2 • — • —
3	2	4
3)	sin(a; + 30°) + sin(a; — 30°) = 2д/3соза;; tga; —?
j sin ct + sin/? = 2 sin
2 sin x • cos 30° = 2д/3 cos а;; д/З sin x = 2д/3 cos a;;
sina;	r—,
----- = tga; = [2].
cosa;
4)	cos 2а, если
cos 2a = 1 — 2 sin2 a =
1
1 — 2- —
16
1
sma = —
3
3
4
1
sma = —
4
7
8
CH
5) tga, если tg — = 2.
2tg|
i - tg4
2-2
1-4
tg = 2; tga —
Решение карточки 5
447
6) sin(7r + 2а), если sina + cosa = —
1
sma + cosa =
у/2
sin2 а + cos2 а + 2 sin а  cos а =
1
2’
1 + 2 sin a • cos a =
1.
2’
2 sin a • cosa =-;
2
sin(7r + 2a) — — sin 2a — —2 sin a • cos a —
7)
8)
a
2 sin 3a • sin 2a + cos 5a, если cos ~ =
2 sin 3a • sin 2a + cos 5a = cos a — cos 5a + cos 5a —
= cosa = 2cos2 — — 1 = 2* 0,6 — 1 = 10,2L
2	’
9 f it a \	,
sin I —I— , если sma — 0,6.
\ 4	2 J
. 9 ( я a \
s,n (j+ 2) =
= 1 (1 — cos (
2 \ \2
=1±^=B
2	L^J
i 2 sin2 — 1
= |(1 + sina) =
9)	sin I —h 2a ] , если tga — 2^/3.
\ 6	/
(7Г \	. ТГ	7Г
— + 2a J = sm — • cos 2a + cos — • sm 2a —
6
3sin
1	1 - tg2 a i
1 cos 2a = ---— 1
'_______Л+М_Я]
1 .	2tga i
t sm 2a —----7;— f
i	1 + tg2 a ‘
448
Тренировочные карточки
Ю)
11)
12)
1 /1 — tg2 а	л/З • 2 tg а \
2 I 1 + tg2 а	1 + tg2 а )
1 1-(2^/3)2 + \/3-2-2^/3 _ 1	1
2	1 + (2^3)2	~ 2 ’ ТТ12
cosa
7Г
+ cos/?, если а — р — —,
a + /3 — 4тг.
1 cos а + cos /3 = 2 cos
2 .
7Г
cos a + cos /3 = 2 cos 2% • cos — =
4
1	тг
cos(a + /3), если sina • sin/3 = a — /3 = —.
1
26
cos(a + /3) = cos a • cos /3 — sin a • sin /3 = cos a • cos /3 — |
= cos a • cos /3 — — + sin a • sin /3 — sin a • sin /3 =
= cosa • cos/3 + sina • sin/3 — — — - =
7Г	____
= cos(a — /3) — 1 = cos — — 1 = j — 11.
X	X
sin —I- cos —, если sinx = 0,21.
2	2’
x x
sin x — 0,21: 2 sin — • cos — = 0,21:
’ ’	2	2	’ ’
1 + 2 sin • cos = 0,21 + 1;
. 9 X	2 X n . X X
sin —I- cos —1-2 sm — • cos — = 1,21:
2	2	2	2’’
/	X 2
( sin — + cos ~ ] = 1-21; sin ~ + cos — = ±v/l>21 ~ 1+1,11.
\	2	2 /	’ ’	2	2 v ’	1--
Решение карточки 5
449
13) sin4 a + cos4 a, если sin a + cos a — -j=
Так как sin a + cos a =	,
У2
to sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a = -;
1 + 2 sina * cosa = ^; 2 sin a • cosa = —
• 2	9	1
sm a * cos a = —, тогда
sm a + cos a =
= sin4 а + cos4 a + 2 sin2 a • cos2 a — 2 sin2 a • cos2 a —
7
= (sin2 a + cos2 a)2 — 2 sin2 a • cos2 a = 1 — 2 •	.
v	7	lb 8
450
Тренировочные карточки
Решение карточки 6
Вычислите:
ч sin2 а — 2 cos2 а
1)		, если tga = —2.
5	sina • cosa + 3
sin2 a — 2 cos2 a	/ sin2 a — 2 cos2 a \ cos2 a
5	sin a • cos a + 3	\ 5 sin a • cos a + 3 / cos2 a
tg2 a — 2	tg2 a — 2
5tga+—V-	5tga + 3 + 3tg2a
4-2
=---------------
-	5-2 + 3 + 3-4 ш
/ 7Г \	1
2)	tgl# + — 1— tglrr—если tg x = -
sm(a — 3)
tga - tg/3 = ---i
____________COSCX^COSp___________
cosa  cos/3 = - [cos(a + /3) + cos(a
2	1
cos a — -------—
________l_+_tg*a
Мх+4/МХ~4 / = -
\ 4 /	\ 4 / COS
sin I
0,5 (cos
1
0,5 cos 2x 2 cos2 x — 1
2	__	2
2	1 “	2	1
tg^x+1	|+1
10
У
3)	tgx, если sin(rr ~ 45°) + sin(# + 45°) =
— cosa;.
2
1
2
4-
v2
sin(a; — 45°) + sin(# + 45°) = cosa;;
Решение карточки 6
451
2 sin х • cos 45° =
• V2
2 sma; = — cosa;;
2
1
sma; = ~ cosa;;
2
tga; =
4) cos2a, если cosa = 0,25.
cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 2 • 0,0625 - 1 = |-0,875 |.
5)
a
ctg a, если ctg — = —2.
ctg2 I - 1
ctg « =---------—
2 ctg 2
4 - 1
—4
= E3
6)	sin (2a — — 1 , если cosa; — — д/ОД.
Isin(—ci) — — since’
sin I 2a--| = — sin (----2a I — — cos 2a —
\	2/	\2 J
— —(2 cos2 a — 1) — 1 — 2 cos2a = 1 — 2 • 0,1 = | 0,8 |.
7)	2sin3a; • cos5a — sin8a, если sina — cosa — 0,9.
[ sin(a 4- P) = sin a • cos (3 4- cos ce • sin (3 j CD
P--------------------------------4	, _
J sin(ce — p) = sin a - cos /3 — cos a • sin /3 J
sina — cosa = 0,9;
sin2 a + cos2 a — 2 sin a • cos a = 0,81;
1	— 2 sin a • cosa = 0,81;	—2 sin a • cosa — —0,19.
Поэтому
2	sin 3a • cos 5a — sin 8a — 2 sin 3a • cos 5a — sin(5a + 3a) —
= 2 sin 3a * cos 5a — sin 3a • cos 5a — cos 3a • sin 5a —
— sin 3a * cos 5a — cos 3a • sin 5a — — sin 2a =
= —2 sin a • cosa = | —0,19 |.
452
Тренировочные карточки

9)
V3
если tg а =
| cos(a — /3) = cos a • cos (3 + sin a * sin (3 J ©
f	1 — tg1 2 a	1
। cos 2a = ----5—	i
J._________l_+_tg_2^________________’
1 . „	2tga	i
। sin 2a = ----5—	i
'_____________________________________J
/4%	\	4%	. 4% .
cos I-----2a 1 = cos —- • cos 2a + sin —- • sin 2a =
\ з у 3	3
1 V3 . „
- cos 2а 3—— sin 2а
10)
1
2
1
2
1 - tg2 a
1 + tg2 a
1 — —
16
1 + —
1 ' 16
cos а + cos /3
sina + sin/3 ’
если
/3	2 tg a
2	1 + tg2 a
Г- V3
/3
2 ’ 1 +А
1	16
37
38
71	71
—, а — /3 - —
2	3
cos a + cos (3
sin a + sin (3
Решение карточки 6
453
11)	cos(a — /?), если sina • sin/? — |, a + (3 = 1,5тг.
cos(a — /3) = cos a • cos /3 + sin a • sin /3 —
cos a • cos (3 + 0,5 — sin a • sin /3 + sin a • sin /3 —
Зтг
= cos(a + /?) + 0,5 + 0,5 = cos — + 1 — |T|.
X	X
12)	tg £C, если sin — + cos — =
X	X i--------
sin —h cos — — v 0,4;
2	2 v
9 X	9 X . X X A
sinz —I- cos —1-2 sm — • cos — = 0,4;
2	2	2	2’’
x	x
1 + 2 sin — • cos — — 0,4; sin x — —0,6;
2	2
cos x — ±>/l — 0,62 = ±0,8;
sinx	—0,6	. ,	
tgar =------; tgar = —— = ±0,75 .
cos x	±0,8	1------1
13)	sin3 a + cos3 a, если sin a + cosa = 0,8.
sina + cosa — 0,8;
sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a = 0,64;
1 + 2 sin a • cos a = 0,64;	2 sin a • cos a — —0,36;
sina • cosa = —0,18;
sin3 a + cos3 a =
— (sin a + cos a) (sin2 a + cos2 a — sin a • cos a) —
= 0,8 > (1 + 0,18) = | 0,9441.
454
Тренировочные карточки
Решение карточки 7
Вычислите:
2 + 3sinO! • COSO!
1) —я------------------, если tga = 4.
sin а + sin а * cos а
2 + 3 sin а • cos а (2 + 3 sin a • cos a) : cos* 2 1 a
sin2 a + sin a • cos a	(sin2 a + sin a • cos a) : cos2 a
_ +«+7 +3tga _ 2(1 + tg2 a) + 3tga _
tg2a + tga	tg2a + tga
2-17 + 12	_.	1	2
— ----------— 2,3 , так как --=— = 1 + tg a.
16 + 4	cos2 a
2)
(7Г \	/	7Г\
x 4— + sm -
4/	\	4/
y/2
если suit =----.
4
(7г\	/	7г\
x 4— + sm it-
4/	\	4/
.	71	.
= 2 sm x • cos — — V 2 sm x —
4
1
2
3) sinT, если sin(T + 30°) + sin(T — 30°) = д/З-
2sinT • cos30°
д/SsinT = д/З;
A
sinT = |T].
4)
sin2a, если tga = |
! sin 2a —
~2tga ]
1 +_ t g 2_a j

sin 2a —
2 tga
1 + tg2 a
2-0,5
1 + 0,25
Решение карточки 7
455
_	ct
5) tga + ctga, если tg — — 3.
«. о 2tga i
»tg 2се = --i
'	1 — tg2 се ‘
1 2tg?
tga + ctga = tga + — = —-^
l~tg1 2f
2tgf
6) sin I — + 2a
\ "
6	1-9
1 -9 + 6
если sina — —y/OJ.
sin (---F 2a j = — cos2a = — (1 — 2sin2a) — —1+2*0,7 = | 0,4].
\ " /
7) 2 sin 5a • cos 3a — sin 8a, если sin a + cos a = д/0]6.
! since • cos/? = [sin(ce + /?) + sin(ce — /3)]! ©
I	£
L_______________________________________J
sin a + cos a — a/O;
sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a — 0,6;
1 + 2 sin a • cos a = 0,6;
2 sin a * cosa = —0,4; sin 2a = —0,4;
2 sin 5a • cos 3a — sin 8a =
— sin 8a + sin 2a — sin 8a —
— sin 2a = | —0,4 [.
• 2 /
sm —
\ 4
a \
— j , если sma = 0,8
12 sin2 — = 1 — cos ce !
i 2	।
1
2
1 - cos [	- a = ^(1 - sina) =	- 0,8) — |0,l|.
\ " // " "
456
Тренировочные карточки
9)
Г- / 7Г	\
2 sin [ — + 2a 1 , если tg a — —3.
i sin(a + /?) = sin a • cos p + sin p • cos a 
Jcos(—a) — cosa
tr	7 л	Д
i cos I — + a I = — sin a
1	\ 2	7
Г	1 — tg2 a
i cos 2a = ----75—
*_________l_+_tg_2q__
t . 0	2tga
i sin 2 a = ---—
[_________i_+jsLa______
\/2sin ( — + 2a
\ 4
Г~ ( Л	Л	Л
2 sm — • cos 2a + cos — • sin 2a
\	4	4
У2
V2 • (cos 2a + sin 2a) = cos 2a + sin 2a =
1 — tg2 a 2tga	1 — 9
1 + tg2 a + 1 + tg2 a	1+9
6
1+9
Ю)
sina + sin/?, если а + (3 = Зтг,
7Г
a - /? = -
О
/a + /?\ fa-(3
sm a + sm p — 2 sin I —-— I • cos I —-—
. Зл	%	v3
= 2 sm — • cos — = — 2 • ——
2	6	2
3 .
11)
"2 cos(a — /3), если cos a • cos (3 = -,
5л
Т
cosa • cos/? =
2
cos a • cos (3 = [cos(a + /?) + cos(a — /?)];
5л .
cos — + cos(a — (3) ;
1 _ 1
2 “ 2
V2
cos (a — /?) = значит
Решение карточки 7
457
• cos ~ — (\/6^) ;
X X
—2 sin — - cos — = —0,5; sina: — 0,5;
cos X = ± 4 /1 — -
V 4
12) cosz. если sin------cos — = л/ОЛ
7	2	2 V ’
• х х
sm — — cos — = у 0,5;
Zi	£
X	<1Х	.	Х
sm - + cos	- — 2 sm -
2i	Л
1 - 2 sin • cos = 0,5;
cos x = ± \/l — sin2 z;
13) sin3 a — cos3 a, если sin a — cos a — 1,2.
sina — cosa = 1,2;
sin2 a + cos2 a — 2 sin a • cosa = 1,44;
1	— 2 sin a • cosa — 1,44;	2 sin a * cosa — —0,44;
sina • cosa = —0,22;
sin a — cos° a =
=	(sin a — cos a) (sin2 a + cos2 a + sin a * cos a) —
=	(sina — cosa)(l + sina • cosa) =
458
Тренировочные карточки
Решение карточки 8
Вычислите:
2 + 5 sin а • cos а	1
, если tga = -
sin a — sin a • cos a	2
' —= 1 + tg2 a I
[ cos2 a	J
2 + 5 sin a * cos a
~: о :
sin a — sm a • cos a
(2 + 5 sin a * cos a) : cos2 a
(sin2 a — sin a • cos a) : cos2 a
_ cos7» + 5 tga 2(1 + tg2 a) + 5tga _
tg2 a — tg a
[ + 1Л + 5
4y 2
1 _ 1
4	2
tg2 а — tg а
2-
= Е20].
2)
[	,	7Г,	V2
cos \ x 4— + cost#------------), если cosa; = —
\	4 /	4	5
! cos а + cos /3 — 2 cos
(7Г \	, 7Г	7Г
x H— + cos (x--= 2 cosx • cos — =
4J	4	4
*2
3) ctgx, если cos(x + 30°) + cos(x — 30°) — \/3sinx.
i cos a + cos /3 = 2 cos
Га + /3\ Г a — /3\ i Л
2 cos х ~
cos(x + 30°) + cos(x — 30°) = \/3sinx;
2 cos 30° • cos x = \/3 sin x;
\/3cosx — \/3sinx;
ctgx — H~|.
Решение карточки 8
459
4)
1
cos 2а, если tga =
cos 2а = 2 cos2 а — 1 =
! cos2 а = —
i________tg
2	_ T _ 1 - tg2 а
1 + tg2 а 1 + tg2 а ’
cos 2а =
1
16
15
17
5)
а
sina, если tg — = 3.
2 tg	2-3	.__
sina —---------: sina —------ = 0,6
l + tg2^	1 + 9	>—
6) sin f ~— 2a 1 , если cosa = —^/0^2.
sin ( —— 2a j — — cos 2a — 1 — 2 cos2 a — 1 — 0,4 — | 0,6 |.
2 I n a\	•	n a
cos'1 —------, если sina = —0,6.
\ 4	2 / ’
I о Of	1
12 cos ~ = 1 + cos a i |2I
= |(sina + 1) = 1(1 - 0,6) = [0^2].
+	3\/3
если tg a =
cos 2a =
sin 2a —
l 22 tg£
l + tgS a_
sin (a — /3) = sin a • cos /3 — cos a • sin
460
Тренировочные карточки
. /7тг \	. 7тг	7тг .
sm---------2а = sm — * cos 2а — cos — • sin 2а —
\ 6	/	6	6
— — cos 2а +
\/3	„	1
---sin 2а = — •
2	2
1 — tg2 а	х/З 2 tga
1 + tg2 а 2	1 + tg2 а
1
2 1 + ?
9 зТз
2 ’ 2
59
62
sina — sin /3
cos a + cos /3
Зтг
если a + p = —,
ТГ
a - /3 =
sina — sin/3 2sin 2 у cos \ 2 у
cosa + cos/3 9 pnQ (. PnQ (
2 ~ I CW I “
2 I
7Г	ЗТГ
sm -r * cos -p
= -4--------
COS • COS -j-
10) 3cos(a + /3), если cosa • cos/3 = —
1
2’
a — /3 —
7тг
T’
Так как cos(a + /3) = 2 cos a • cos /3 — cos(a — /3), to
3cos(a + /3) = 3 • (2 cos a • cos/3 — cos(a — /3)) =
1\	7тг
— — cos —
27	2
= 3-(-1-0) = ED-
X	X
11) sin----cos —, если sina; = —0.44.
7	2	2
(	X	x\
sm----cos —	=
\	2	2 J
9 X	2 X . X X
= sin —I- cos — — 2 sm — • cos — —
2	2	2	2
= 1 — sina; = 1 +0,44 = 1,44;
. x	x	r~—
sm-----cos — = ±\/l,44,
2	2 v ’ ’
значит, sin-----cos — = 1+1,2
’	2	2	1---—
Решение карточки 8
461
ft	/----
12) 2 cos За • cos 2a — cos 5a, если cos — = у 0,6.
! COS ce • cosp — - [cos(ce — /3) + cos(ce + /3)]! 3)
2 cos 3a • cos 2a — cos 5a = cos 5a + cos a — cos 5a —
= cos a — 2 cos2---------1 — 1,2 — 1= 10,2|.
2
x 1	1
13) —-7----1-----2—> если sma + cosa =
sin a cos4 a
sin a + cos a —
•2	9	. .	3
sm a + cos^ a + 2sma • cos a — -;
1	. 1
sma • cosa —
2	4
3
1 + 2 sin a • cosa =	2 sin a • cosa
1	1 cos4 a + sin4 a
“ 4	2	'• 4	2
sm a cos^ a sm a • cos4 a
cos4 a + sin4 a + 2 sin2 a • cos2 a — 2 sin2 a • cos2 a
(sina • cosa)4
(cos2 a + sin2 a)2 — 2(sin a • cos a)2	1 — 2 •
"	—	~y~	-
64-4
(sina • cosa)4
462
Тренировочные карточки
Решение карточки 9
1.	Вычислите:
1)	\/2 cos 45° • ctg 73° • tg73° - x/3sin780° =
Х/2	г-
= \/2 •-7—• 1 — v3 sin 60°
2
1
2
2)	7 sin 75° - cos 75° =
7	7	7 1	7
= - • 2 • sin 75° • cos 75° = - • sin 150° =--= -
2	2	2 2	4
3)	tg 2° • tg 4° • tg 6° • ... • tg 86° • tg 88°.
tg46° = tg(90° - 44°) = ctg 44°;
tg48° = tg(90° - 42°) = ctg42°;
tg88° = tg(90° - 2°) = ctg 2°;
tg2° • tg4° • tg6° •... • tg86° • tg88° =
= tg2° • tg4° •... • tg44° • ctg 44° • ctg 42° •... • ctg 2° — [Т].
4)	(tg40° — cos-1 40°) (cos 40° — ctg 40° )-1 —=
/sin 40°	1	\	1	sin 40°
\ COS 40°	COS 40°/	COS40° cos2 40°
^соьчи sin 40° )
sin 40° — 1	1	sin 40°
cos 40°	Pn«40° (1 —	1 cos2 40°
COS4U ^1 sin40o j
sin 40° - 1	1 sin 40°
COS2 40°	sin 40°-1	COS2 40°
sin 40°
(sin 40° — 1) • sin 40° sin 40°
cos2 40° • (sin 40° — 1) cos2 40°
sin 40°	sin 40°	~
cos2 40°	cos2 40°
Решение карточки 9
463
. COS СЕ	СЕ
5)		, если tg — = — 0,5.
sm се 4- cos се	2
Найдем tg се по формуле тангенса двойного угла:
2tg^ _ 2-(-0,5) _ -1
1 - tg2 ~ 1 - (-0,5)2 - Щ
Разделив числитель и знаменатель на
cos се	11
sin СЕ 4- COS СЕ 1 4“ tg СЕ 1 — |
tg се =
1
3-4
3
-1
“з"
4
cos се, получим:
-Л-ЕЭ.
4
3
2.	Найдите минимальное значение функции (при tgCE > 0)
f(a) = sina cosa 4- ctga 4- tga 4------------I----5—.
sinzCE cos2ce
a)
sincE 4- cos ce — sincE 4- sin
Минимальное значение выражение принимает, когда
sm се 4— 1 = — 1, т. е.
\	4 /
тг тг Л ,	Зтг Л ,
се 4— =------------1- 2тгАт; се = —— 4- 2тгАт.
4	2	4
б)	tgсе 4- ctgсе = tgсе 4-2 (так как tgсе > 0).
tgCE
Найдем се, при которых достигается равенство
tgCE 4—— = 2; домножим на tgcr
tgCE
tg2 а 4-1 — 2 tg а\	tg2 се — 2 tg а 4- 1 = 0;
(tgCE — l)2 — 0; tgCE = 1; ce = — 4- тг/с.
464
Тренировочные карточки
1	1 cos2 * а + sin2 а
_ Т -	. _	-
sin a cos2 a	sin а • cos2 а
- 1 _ 1 4
sin2 а  cos2 а 1.4 . sin2 а  cos2 a	sin2 2а'
Минимальное значение принимается, когда sin2 2а = 1;
•	л ТГ 7	ТГ ТГ
sin 2а = 1: 2а = —I- тг/с; а = —I—к.
1	2	4	2
Теперь убедимся, что существует такое а, при котором
достигаются все три минимума одновременно.
а =
Зтг
-------1- 2тгк:
4
а =
а =
ТГ
— + пк;
4
ТГ ТГ ,
4 + 2^
\к е Z.
Зтг
Очевидно, что а = —— + 2тгк удовлетворяет всем трем
условиям; кроме того, tga > 0, следовательно
/min = /(а) = -V2 + 4 + 2 = |б-^2
3.	Решите уравнения:
7ГТ	7ГТ
1)	2 cos2 — 4- 3 sin — = 0 при |х| С 1.
f .	. 9 ТГХ \	. ТГХ л Л Л . 9 тгх „ . тгх
2 1 — sin2 — J +3sin — — 0; 2—2sm2-1-3 sin— = 0;
\	6/6	66
„ . 9 7ГХ	„ 7VX
2 sin2--------3 sin------2 = 0.
6	6
ТГ£
Решим это квадратное уравнение относительно sin—:
6
. тгх 3± V9+ 16	3±5
sm —— =--------------- — -----
6	4	4
2
1 ;
~2
Решение карточки 9
465
7ГХ
sin — —
6
. TVX
sm — —
6
2
1
~2
тгх
T
irx
T
тг
------k 2irk
6
5тг 1
-------k 2тгк
6
^H;i]
_ —________Ok
6	6	. X = -1 + 12fc
3	x = —5 + 12/с
— —--------h 2k l
6	6
0 (так как |z|	1)
Ответ: x = — 1.
2)	tg(7rir) — v/3ctg(7rz) — д/З — 1 при x E [—2,5; —2].
Домножим на tg(?rz):
tg2(7rz) -у/3= (х/3 - 1) tg(7Tz);
tg2(7rz) — (\/3 — 1) tg(7rz) — х/3 = 0.
Получилось квадратное уравнение относительно
tg(vrz). Решим его.
х/3 - 1 ± х/(х/3 - I)2 + 4х/3
tg(7rz) =-----------------------=
_ х/3 - 1 ± x/З + 1 - 2х/3 + 4х/3 _
“	2	“
_ х/з - 1 ± Уз + 1 + 2х/3 _
“	2	“
_ х/3- 1 ± У(\/3+ I)2 _ (х/3 - 1) ± (х/3 + 1)
“	2	~	2	’
7Г	1
a)	tg(%z)~уЗ; тгх= —+тгА;; z=-+fc; х£[—2,5;— 2],
о	о
так как к G Z;
7Г	1.1
б)	tg(7rz) = —1; 7Г£:= ——+7rfc; х — — -+fc; х = ~2-
'	4 '	4	4	4
при к — —2.
Ответ: х — -2-.
4
466
Тренировочные карточки
4.	Вычислите:
П 2/	. 3	3\
1)	— I arcsin —h arccos - .
тг \	4	4/
Возьмем косинус от выражения в скобках, учтя, что
. 3	3	( тг\
arcsm - е 0: — , arccos - е 0; — :
4	V2/	4	\ 2/
/	. 3	3\
cos arcsin —h arccos — =
\	4	4/
(	3\	/	. 3\
— cos I arccos — • cos ( arcsin — 1 —
\	4/	\	4/
. /	. 3\	/	3\
— sin arcsin — • cos arccos — —
\ 4/	\	4/
3	/	. 3\	3	/	3\
= - cos arcsin -----sin arccos - —
4\	4/	4 X 4/
.3	3	тг
значит, arcsin —h arccos - = —I- тгк.
4	4	2
ТГ	. 3 ТГ ТГ	3
—	>	arcsin -	> —,	—	> arccos -	> 0, тогда
2	4	4’	4	4	’
Зтг	.3	3	тг
—	> arcsm —h arccos - > —,
4	4	4	4
что возможно только при к = 0, тогда
.3	3 тг
arcsin - + arccos - = —.
4	2
2 (	. 3	3\	2
Следовательно, — ( arcsin —h arccos -
тг \	4	4
можно было бы уместить решение в одну строку.
Решение карточки 9
467
. Л И И . 15А
2) sm I 2 arctg - I • tg I - arcsin — 1 .
1	. 15
Пусть arctg - = a, arcsin — = p,
Li	1 (
1	. _	15	/	7г\	/	7Г
тогда tga =	sin/3 =	—;	a	G	10;	- I	,	(3 G	I 0; -
л	1 I	\	Zi j	\	z
Найдем	sin2a	и	tg	j , азатем	перемножим.
\ Li 1
ч 1	sina
a) tea — - —-------, значит cosa — 2sin a;
’ 6	2	cosa’
cos1 2 a — 4 sin2 a; 1 — sin2 a — 4 sin2 a;
, , . 2 ,2 1 . 1
1 = 5sin a: sm a —	sina = -—=
5’	y/5
sin a > 0, так как a G I 0; — I j;
\ ^ //
„ •	2
cosa = 2 sin a = —=.
^5
1	2	4
Итак, sin 2a = 2 • —= • —= =
У5 5
 а 15
б) sm/З = —;
__________	/	/ 15 \ 2
COS (3 — л/1 — sin2/3 = 4 /1 — ( — }
1 _ 225 __ / 64 __
” 289 ” V 289 “ 17
/ 7Г
cos /3 > 0, так как (3 G f 0; —
15
17
Р _ sin/З _____________
S2 1 +cos/3 1 + ^_
„	. о /3	4 3
Значит, sm 2а • tg — = - • - =
Л 0	0
= 3- =0,6.
17 + 8	25	5	•’
Ц=и-
468
Тренировочные карточки
Решение карточки 10
1. Вычислите:
1) (6 tg* 1 2 * 4 * * 30° + 2 cos 180°) -sin 93° =
2 \
+ 2- (-1) lsin93°
\
--2 )-sin93°=[0].
з /
2)
sin 20° • cos 10° • cos 60° + cos 160° • cos 100° • sin 150°
sin 21° • cos 9° + cos 159° • cos 99°
i sin 20° • cos 10° + i cos 160° • cos 100°
sin 21°  cos 9° + cos 159° • cos 99°
1 sin20°-cos 10° + cos20°-sin 10°
2 sin 21°  cos 9° + cos 21° • sin 9°
1 sin(20° + 10°) _ 1 sin30°
2 ' sin(21° + 9°) ” 2 ’ sin30°
1
2
3) 128 • sin2 20° • sin2 40° • sin2 60° • sin2 80° =
(^\ 2
x/3 \
—	• sin2 80° =
2 /
= 3-32 sin2 20° • sin2 40° • sin2 80°;
sin 20° • sin 40° • sin 80° = sin 40° • (sin 20°  sin 80°) —
= cos 50°  (cos 10° cos 70°) = cos 50° • — (cos 80° + cos 60°) =
= - cos 50° • cos 80° + - cos 50° =
2	4
= -(cos 130° + cos30°) + - cos 50° =
4	4
= -(cos 130° + cos 50°) + - cos 30° =
4	4
= -(— cos50° + cos50°) 4- - •	.
4V	7	4	2	8
3
Значит, 3 • 32(sin20° • sin40° • sin80°)2 = 3 • 32 • —
’ v	’	64
Решение карточки 10
469
4)
sin4 3 + cos4 3 — 1
cos6 3 + sin6 3 — 1
1
3’
a)	sin4 3 + cos4 3 — 1 —
— (sin2 3)2 + (cos2 3)2 +
+ 2 sin2 3 * cos2 3—1 — 2 cos2 3 * sin2 3 —
= (sin2 3 + cos2 3)2 — 1 — - • 4sin2 3 • cos2 3 =
= 1 — 1 — sin2 6 = — x sin2 6;
2	2
6)	sin6 3 + cos6 3 — 1 — (cos2 3)3 + (cos2 3)3 — 1 =
= (sin2 3+cos2 3) (cos4 3 + sin4 3 —sin2 3 * cos2 3) — 1 =
= cos4 3 + sin4 3 — sin2 3 • cos2 3 — 1 =
= (sin2 3 + cos2 3)2 —2sin23*cos23 —sin23-cos23 —1 =
= 1 — 3 sin2 3 • cos2 3 — 1 —
3	9	9	3	9
= — • 4 sin2 3 • cos2 3 = — sin2 6.
4	4
Следовательно,
sin4 3 + cos4 3 - 1 . 1 _ 4sin26.1 - 2 • 1 - [21
cos6 3 + sin6 3—1 3	_ | sin2 6 3	33
2.	Найдите наименьшее значение функции
/(q) = tg2 a + ctg2 a +	--1--.
sin a cos2 a
9	1	2	.	1
tg2 a + 1 = —ctg2 a + 1 = . 9
cosz a	smz a
Произведем замену:
/(q) = tg2 a + ctg2 a + tg2 a + 1 + ctg2 a + 1 =
— 2 (tg2 a + ctg2 q) + 2;
tg2 a + ctg2 a = tg2 a 4-9— > 2;
tg2Q
значит 2 (tg2 a + ctg2 q) 4;	2 (tg2 a + ctg2 q) + 2	6.
Итак, /(q)	6, т.е. /min(a) = 6.
470
Тренировочные карточки
3.	Вычислите:
2) tg
1	3
- arccos -
2	5
з
Обозначим arccos - — a, a arctg
5
3
тогда cos а = -
5
tg/3 = -|;	/3е •
Вычислим
3
если cos а = —
5
a sina
tg о =	------
2	1 + cos а
б) tg 2/3 =
tg 2/3 =
2tgZ?
1 - tg2/?’
\/1 — cos2 a
1 + cos a
4
= 5 = 4	1
8	8	2
5
tg /3 = — ”, значит
-1 __ 4
Т--з*
4
1 , 4	3	8
2	3	6 + 6
tg 1 - tg 2/3
1 + tg j tg 2/3
1 4
2 ’ 3
1 - -
1	6
Решение карточки 10
471
4.	Решите уравнения:
1)	tg(7rxr) + tg(27nr) = tg(37rxr), 2,4 < х < 3,2.
tg(7rxr) + tg(27nr) = tg(7RE + 2тпг);
tg(?nz:) + tg(27r:r) =
tg(?ra;) + tg(27nr)
1 — tg(?nr) • tg(27r:r) ’
а)	Пусть tg(vnr) + tg(2?nr) ф 0
(обозначим это условие (*)), тогда
1 - 1
1 — tg(7nr) • tg(27r:r) ’
1 — tg(7nr) • tg(27nr) = 1; tg(7nr) ♦ tg(27nr) = 0.
1.	tg(7nr) — 0; тгх = тгк; x = k\k 6 Z;
x — 3 e (2,4; 3,2) при к — 3 не удовлетворяет
условию (*);
к
2.	tg(27nr) = 0; 2тпг — тгк | к € Z; х — —;
х = 2,5 6 (2,4; 3,2) при к = 5;
х = 3 6 (2,4; 3,2) при к = 6 не удовлетворяет
условию (*).
б)	Пусть tg(7rrr) + tg(27ra;) = 0, тогда
[tga + tg/3 =
sin(a + /Г)
cosa :cos_£
к
sin(3?nr) = 0; Зтгх — тгк\к E
2
x = 2- e (2,4; 3,2) при к = 8;
x — 3 6 (2,4; 3,2) при к — 9.
Ответ:
2 I
2,5; 2-;3 > .
2) 2 со82(тпг) = л/2зт(та);
1
2
|z|
2(1 — зт2(та)) — \/2sin(7nr); 2—2sin2(7nr) = у/2з!п(тгх);
2з1п2(тгх) + \/2sin(7nr) — 2 — 0.
472
Тренировочные карточки
Решим квадратное уравнение относительно sin (тле):
. , ч -х/2± \/2 + 16	-х/2±\/18
• sin^rr) =---------------=-------
4
a)	sin(7r;r) = —\/2	[—1; 1]	0;
\^2	X
б)	sin (тле) —----: тгх = —F 2тг/с:
2	4
Зтг	.	,	3	_
тгх —-------1- 2тг/с; х = —|- 2к\
4	4
Ответ: х =
4
х = - + 2к I к е Z;
4
= Т
, • 3 /тгх\ f 7Гх\ о (1tx\ f ТЛе\ 1
3) sm ( у ) • cos I — I - cosJ I — 1 * sm I — I =
1,5 < x < 3.
. [ 7ГХ\ ( ТЛе\/ . 9 ( ТЛЕ\ 9 ( КХ\\ 1
sm I — • cos — sin	— — cos	—	=
\2 J \2 J\ \ 2 J \2 JJ 4'
. /тгх\	(irx\ f f	9 (7ЛЕ \	9/7^ \\\	1
2 sin — • cos —	— cos — — sin —	=
\2 J \2 Д \	\ 2 7	\ 2 JJJ 2’
sin(7r;r) • (— cos(tee)) = --sin(7Er) • cosfjvx) —
2 sin (тле) • cos(tee) — —1; sin(27nr) = —1;
7Г	1
2тлг = — — + 2tt/c; x = — -+ k \ к € %:
2	4
7	11
= - (fc = 2); x2 = — (£ = 3);
Ж1,жг 6 (1,5; 3).
Ответ: {1,75;2,75} .
Решение карточки 11
473
Решение карточки И
1. Вычислите:
1)
6 sin 390° -cos(—390°)
cos2 30° — sin2 30°
6sin390°-cos390°
cos 60°
6sin(36Q° + 30°) • cos(36Q° + 30°)
cos 60°
6 sin 30° • cos 30°
cos 60°
3 sin 60°
cos 60°
= 3tg60° = |3x/3 .
2)	sin6 15° + 3sin2 15° • cos2 15° + cos6 15° —
= (sin2 15°+ cos2 15°) (sin4 15° — sin2 15° • cos2 15°+ cos4 15°) +
+ 3 sin2 15° • cos2 15° =
= sin4 15° + cos4 15° + 2 sin2 15° ♦ cos2 15° =
= (sin2 15° + cos2 15°)2 = ГП,
3) tg20° • tg40° • tg80°
sin 20° - sin 40° - sin 80°
cos 20° • cos 40° • cos 80° ’
a)	cos 20° • cos 40° • cos 80° —
2 sin 20° • cos 20° • cos 40° • cos 80°
”	2 sin 20°	“
_ 2 sin 40° • cos 40° * cos 80° _ 2 sin 80° ♦ cos 80° _
4 sin 20°	8 sin 20°
_ sin 160° _ sin 20° _ 1
8 sin 20°	8 sin 20°	8 ’
6)	sin 20° • sin 40° • sin 80° =
= sin(90° - 70°) • sin(90° - 50°) • sin(90° - 10°) =
= cos 70° • cos 50° • cos 10° =
= - cos 50° • cos 80° + - cos 50° —
2	4
= -(cos 130° + cos30°) + - cos50° —
4	4
= -(cos 130° + cos50°) + - cos30° =
4	4
474
Тренировочные карточки
1	1 \/3
= - (cos(180° — 50°) + cos50°) + - •
1	\/3	\/3
= cos50° +cos50°) + — = —.
4	8	8
Уз
Таким образом, tg20° • tg40° • tg80° = -|-
8
3 .
4) х/26 cos , если tg а = — — при < а
2	12	2
7Г.
tga =
2tg|	5 2tg|
l-tg2|;	I2	l-tg^;
/ э а \ п л а	л а ~ ( 9 а
-5 I 1 - tg2 - \ = 24 tg—; 24 tg — = 5 (tg2 - - 1
24tg^ = 5tg2 | - 5; 5tg2|-24|-5 = 0;
12 ±-\/Тб9
5
a
‘6 2 =
12 ±13
5
5
а
tg 2 = 5
а 1 ’
tg2=~ 5
7Г
— < a
2
7Г
4
а
значит, tg —
а
	2
1
— ПС подходит.
5
7Г
2
a
2
cosa =
а
2
1
7Г
4
а %
^2
_	al
Поэтому cos — = 
1
^26
2
26
Решение карточки 11
475
5)
г- .	.а .	4\/3 тг
3 sm 2а + sin —, если sm а —-----при — < а
2	7	2
ТГ.
а)
Найдем cos се.
/ 2
/4^3\ = _1
\ 7 ]	7’
cos се < 0, поэтому cos се = —
б)
• а ।
sin — = ±
2
. CY
значит, sm ~
1 — COS СЕ , СЕ
Sm 2 > °’
! + 1 2 д
2	7
sin 2а — 2 sin а * cos се, значит,
• - -
7 ” \ 7 /	- 49 '
sin 2а = 2 • ——
г- . „ .a f- ( 8л/3\	2 /-	14^7-24
^3B,n2a+sin - = /3-	+ ? V7 =-------
/тт • «	. а 14>/7 - 24
Ответ: v3sih2ce + sm — =------—----
2	49
6)
— | arctg (—1) + arccos
тг \
/2
~2
1 / тг Зтг\ 1 тг
тг\4~^4/ тг 2
1
2
7)
. /	. 4\
sm 2 arcsm - I .
\	5 J
4
Обозначим arcsin ~~ — се,
5
Найдем sin2cE.
4	/	тг
sin се = се е 0; —
5	\	2
24
25
3
5
COS СЕ = yl—sin2 СЕ =
3 4
sin 2а = 2 sin се • cos а = 2 • - • -
5 5
476
Тренировочные карточки
2.	Решите уравнения:
(TVX \
— 1 + cos(27nr) = 3 при 10 < х < 11.
Для любых х 2 sin2 ( j 2 и соз(2тгд;) 1,
значит, для любых х 2 sin2 + соз(2тгд;) < 3.
Очевидно, что для корней уравнения одновременно
Л . о f тгх\
должны выполняться равенства 2 sm I — 1=2
и cos(2?rx) = 1.
. Л 9 / 7Гя\ Л 9 (7ГЯ7 \	(1тх\
a)	2smz — = 2;	snr — = 1 => cos — = 0;
\ 2 /	\ 2 /	\ 2 /
7ГД? 7Г ,	,
— = — + тгА;; к 6 Z;
х = 1 + 2fc, по условию х = 11 (к = 5).
б)	cos(27nr) — 1; 2тгд; = 2тгтг; п е Z;
х = п; по условию х — п = 10 или х — п — 11.
Одновременно с первым равенством решением яв-
ляется только х = 11 6 [10; 11].
Ответ: х
2)	5 ctg2
 = 11.
тгх
~ т
—5— = 1 + tg2 а, то
cos2 а
_9 /	7VX \
— cos I 2тг + — 1 = 3 при 1 х С 4;
\	о /
Так как
2	7ГЖ\
3	/
= v + тгк: х — - + Зк I к G Z.
4	4
х G [1;4], замечаем, что подходит
х = 3,75.
7ГЖ
т
9 7ТХ
= 3; tg2—= 1.
О
3	.
1 + tg
4
5tg2 —-
О
х ТГХ	7VX
a)	tg — = 1; —
О	о
Учитывая, что
только к = 1,
7VX	7VX 7Г г	3
б)	tg — — —1; — = — — + тгп | n G Z; х — — - + Зп.
Тут подходит только п = 1, х = 2,25.
Ответ: {2,25; 3,75}.
Решение карточки 11
477
/1	3	/ 1\\
3)	tg I 2 arccos g — 2 arcctg ( — - )) = x2 — 3x — 4,5.
___________J.+Jg/* L £________j
। ~ ot 1 — cos a______________।
(tg ----------- ।
i__2_______sina ______________i
f _	1 — tg73 a ctg2 a — 11
। ctg 2a = ----— = — --------i
[__________ 2tga_ ____
' ”71	3 ”
tg I - arccos - — 2 arcctg
4-/1 з\ , i
tg I 2 arccos 5 J — tg I
1
2
/ j з \	1 — cos [ arccos
tg I - arccos -
ь V 2	5
3	/	тг
arccos - е I 0; —
5	\	2
T1 = 0.5;
5
.	3\
, значит sin i arccos - I —
\	5/
' pV _ 4.
\5 /	5’
• (	3
sin arccos н
\	о
1	2<	3
1 — cos2 arccos -
\	5
1
/	( 1
tg 2 arcctg — 11 —---------—----------————
\	\ 2 //	ctg (2 arcctg (—0,5))
2 ctg (arcctg(—0,5))	“1	4
ctg2 (arcctg(—0,5)) — 1	0,25 — 1	3
r.	/1	3 o	(	1\\
Значит, tg 1 - arccos - — 2 arcctg I — - 11 :
1 — 4
= " Д - -0,5.
Получаем уравнение x2 — Зх — 4,5 = —0,5;
x2 — Зх — 4 = 0; Х 4
[х = —1
Ответ: {—1;4}.
478
Тренировочные карточки
Решение карточки 12
1. Вычислите:
1)	(2 cos 30° -ctg 45° + sin2 60° + ctg 960°) * =
= fV3_i + i (1+1_Г)-1 =
\	4 y/3J \ y/3	4/
_ /4>/3 Й-1_ Лбх/З-ЗуУ 12
\ 3	4/	“ (	12 J ~16\/3-3~
_ 12(16y/3 + 3) _4(l6\/3+3)	/4(16\/3 + 3) (
~	256-3 - 9 ~	256 -3
253
2)	sin 167°  sin 107° + sin 257° • sin 197° =
= sin(180° - 13°)  sin(90° + 17°)+
+ sin(270° - 13°) • sin(180° + 17°) =
= sin 13° • cos 17° + sin 17° • cos 13° =
= sin(17° + 13°) = sin30° = | .
3)	cos 17° • cos 73° - sin 13° • cos 21° - cos 4° • cos 86° =
= cos 17°  sin 17° - sin 13° • cos 21° - cos 4° • cos 86° =
= 1 sin 34° — 1 (sin 34° — sin 8°) — cos 4° • sin 4° =
1111
= - sin 34°-sin 34° H— sin 8°-sin 8° = [0].
2*2	2	2
4)	cos 10° • cos 50° • cos 70° =
= cos50° • | (2 cos 10° • cos70°) =
— - cos 50° • (cos 80° + cos 60°) =
= - cos 50° • cos 80° 4— cos 50° =
2	4
Решение карточки 12
479
= (cos 130° + cos 30°) + 1 cos 50° =
4	4
111
= - cos 130° + - cos 50° 4— cos 30° =
4	4	4
111
= — - cos 50° + - cos 50° + - cos 30° =
4	4	4
5) sin 18°.
sin54° = sin(90° - 36°) = cos 36°;
cos(2 • 18°) = 1 — 2 sin2 18°;
sin 3a = sin(a + 2a) = sin a • cos 2a + cos a • sin 2a =
= sin a • (1 — 2 sin2 a) + 2 sin a • cos2 a =
— sina — 2sin3 a + 2 sina * (1 — sin2 a) = 3sina — 4sin3 a;
sin54° = sin(3 • 18°) = cos(2 • 18°);
3 sin 18° — 4 sin3 18° = 1 — 2 sin2 18°;
4 sin3 18° - 2 sin2 18° - 3 sin 18° + 1 = 0;
Обозначим a = sin 18°, тогда 4a3 — 2a2 — 3a + 1 = 0;
Очевидно, a — 1 является корнем: 4 — 2 — 3+1 = 0.
Разделим:
4a3 — 2a2 — За + 1 a — 1
4a3 — 4a2	4a2 + 2a — 1
2a2 — 3a + 1
2a2 — 2a
—	a + 1
—	a+ 1
Значит, (sin 18° — 1) • (4 sin2 18° + 2 sin 18° — 1) = 0;
sin 18° 7^ 1, значит 4 sin2 18° + 2 sin 18° — 1 = 0;
Г -1 - y/5
4
480
Тренировочные карточки
Ответ: sin 18'
— 1 — v5
a)	sin 18° —--------< 0 не подходит, так как sin 18° > О
4
(0° < 18° < 90°).
_ 1 _i_ л/5
б)	Значит, sin 18° =---------.
4
+ л/5
4
.	2 sin2 a — sin a * cos a	a
6)	= о • 2	 n---2---’ еСЛИ 9 =
3sin a+2cosza	2
A . .	2 sin2 a — sin a • cos a
Л(а) =-------------------
3 sin2 a + 2 cos2 a
cos2 a • (2 tg2 a — tg a)
cos2 a • (3 tg2 a + 2)
2tg^
--------, TO
l-tg2^	1-1
_ a/5-1 _ 2(a/5-1) =
Так как tga =
5 - 1
~2
2 tg2 a — tg a
3tg2 a + 2
9 ч/б—1
Z 	2_____ _
5-1 A 2
tga =
5-1
5 - 1
3
7
1	5-2\/5+l	,	3—ч/б
1	4	1	2
2	• 22 - 2	6
Итак, A(a) --------ъ------= Л
’ v ’	3 • 22 + 2	14
• к	к	. л 2a/2 ТГ	7Г
7) sin a + cos a, если sm 4a =	 при — < a < —.
Пусть Л(а) = sin6 a + cos6 a —
= (sin2 a + cos2 a) (sin4 a — sin2 a • cos2 a + cos4 a) =
= sin4 a + cos4 a — sin2 a * cos2 a =
— (sin2 a + cos2 a) — 3 sin2 a * cos2 a =
= 1 — 3sin2 a • cos2 a = 1 — sin2 2a.
4
Так как — < 4a < тг, то cos 4a — — \/l — sin2 4a,
т. е. cos 4a =
/ /”\ 2
i-
\ 3 /	3
Решение карточки 12
481
_	♦	/1 — cos4а
Тогда sm 2а = л --------
тг
так как —
4
2а
тг
2*
Значит, sin 2а —
3
Таким образом, А(а) = 1 — -
8) ctg 40°
y'ctgS0 + -/tg5°
\/ctg 5° - ytg 5°
= ctg 40°
= ctg 40°
= ctg 40°
l+tg5c
A/tg5°
1—tg5°
= ctg 40°
l+tg5°
1 — tg5°
cos 5°+sin 5°
cos 5°	_	4 o _ cos 5° + cos 85°
cos 5°-sin 5° c ®	cos 50 _ cos §50
cos 5°
2 cos 45° * cos 40°	cos 40°
-----------------ctg 40° - ——-
2 sin 45° • sin 40°	sin 40°
2. Решите уравнения:
.	/ 7ГХ \	/ 7ГХ \	( . 9
sm — • cos — • sin
\ 2 / \ 2 /
1 . ,	.1
- sm ttx • (— cos тг re— —:
2 v	} 4
2тгх — — + 2тг& I k 6 Z;
Ответ: x = —.
4
тгх\ 9 /тгх\\ 1
— — cos —	—
2/	\ 2 1 //	4
—-sin2Trx — sin2Trx — — 1:
2	2’
1 ,
x — -7	+ к	,
4	1
1	<n;	4'
482
Тренировочные карточки
2)	cos (2 arctg 7) — sin (4 arctg 3) = x2 — 4x — 5.
arctg 7 e (0’2*); arctg 3 e ( 0; — I .
a)	cos (2 arctg 7) — 2 cos2 (arctg 7) — 1;
/	x	1	1	1
cos (arctg 7) — —/ :	— t
^/1 + tg2 (arctg 7)	\/l + 72	\/5б
/ 1 \2	24
Тогда cos (2 arctg 7) = 2 • I _ j — 1 =----.
\v50/	25
6)	sin (4 arctg 3) = 2 sin (2 arctg 3) • cos (2 arctg 3).
sin (2 arctg 3) =
2tg (arctg 3)
1 + tg2 (arctg 3)
2-3 _ 3
1 +32 “ 5’
cos (2 arctg 3) —
1 — tg2 (arctg 3)	1 — 32
1 + tg2 (arctg 3)	1 + 32
4
5’
тогда sin (4 arctg 3) — 2 •
5 \ 5
24
25
Итак, cos (2 arctg 7) — sin (4 arctg 3) = —
24
25
и уравнение принимает вид 0 — х2 — 4.т — 5;
х = 5
х = — 1 *
Ответ: {—1;5}.
Решение карточки 13
483
Решение карточки 13
1.	Решите уравнения:
1)	ч/3 + 2 cos ( — ] — 0 при 8 < х < 20.
5
х = ±- • 9 + 2fc • 9;
о
КХ , /	7г\ л ,
— = ± тг - - ) + 2vrfc;
9	\ Ь J
а: = ±7,5 + 18А: | А: 6 Z.
По условию 8 < ±7,5 + 18k < 20;
к € 0
к — 1 ;
0,5 < 18fc < 12,5
15,5 < 18А: <27,5
х = 18 - 7,5 = 10,5.
Ответ: х = 10,5.
2)	sin (а; — 30°) • cos 2х = sinfa: — 30°).
/ пх / л	Г sinfa; — 30°) = 0
sin (ж — 30 )-(cos2x-l) =0;	[cos23. = 1
х -30° = 180% Го: = 30° + 180% ,
2х = 360%	’ [ж = 180%
Ответ: {30° + 180%; 180% | к, п G Z} .
5	7Г
3)	1	, . ~ = 3Ct? 9 ' mSX-
1 ± tg2 х	3
i
------= 3 • —- • cos х (cos x 7^ 0);
1	। s^n_x	уЗ
cos2 x	2
— 2COS x------— cos x; 2 cos2 x — VS cos x = 0;
sin2 x + cos2 x
cosx • (2cosa: - 7з) = 0; разделим на cosx 0:
cosa: —	; x = ±— + 2тгА: | fc 6 Z.
2	о
Ответ: < ±— + 2кк | к € Z > .
484
Тренировочные карточки
4) cos3z — sin2z.
sin f 3x + — ) — sin 2x ~ 0;
3x + — 2x 3x + - + 2x
2 sjn--------------- cos
2
= 0;
2
.	( x 7Г \
8,11 \2 + 4/ = °
( bx 7г\
“ I*! =°
X 7Г
2 + 4=7rt
Ьх 7Г 7Г
Т+4 = 2+,Г"
x — — — + 27%
Z.
10
27Г lfc’ne
—n
5
Ответ:
7Г	Л , 7Г	27Г , ,	%
— — + 2t%; — 4-------n | k,n e Z > .
2	10	5	I
5)	= 1 при 170“ < x < 200’.
sm 4x
sin 6x — sin 4x = 0
sin 4x 0
. 6x — 4x 6x + 4x
2 sm-------- cos-------— (j
;	2	2
4z + 180°p
~x^ 180%
bx = 90° + 180% ;
x 7^ 45°p
{sin x — 0
cos bx — 0 ;
x 45°p
f [z - 180%
< |_z = 18° + 36%; z = 18° 4-36%.
k x Ф 45°p
По условию
170° < 18° + 36% < 200°;	152° < 36% < 182°;
при n = 5 152° < 180° < 182°, значит,
x = 180° + 18° = 198° ± 45°p.
Ответ: x = 198°.
Решение карточки 13
485
6)	cos(70° + z) * cos(20° — z) =
[cos(70° + z — 20° + z) + cos(70° + z + 20° — z)] =
£ £
cos(2z + 50°) + cos 90° — 1;
cos(2z + 50°) = 1; 2z + 50° = 360° A:;
z = —25° + 180°A: | Ar G Z.
Ответ: {-25° + 180°A: | k G Z} .
7) sin z + sin 2z = cos z + 2 cos2 z.
sinz • (1 + 2cosz) — cosz • (1 + 2cosz) — 0;
(1 + 2 cosz) (sinz — cosz) — 0;
	7Г
tgx = 1 1 ; cosz — — 2	z = — + тгк Q	|fc,nEZ. Z7T	1 z = ±— + 27ГП о
Ответ:
тг	2тг
— + irk; ±— + 2тгп | k, n G Z
8) cos 2
+ 4 sin
= 2,5.
1 — 2 sin2
— I + 4 sin z 4— I = 2,5;
3/	\	3 J
2 sin2
— j — 4 sin ( x 4— I — 1 4- 2,5 = 0.
3 /	\	3 /
Положим sin
2i2 -4i + 1,5 = 0;
4± 5/16- 12
H,2 =
- ) = t, тогда
4i2 - 8t + 3 = 0;
Г 6 _
4 ~
2
4±2
4
4
3
2
1 ’
4	2
486
Тренировочные карточки
sin
sin
7Г\	1	’
3/2
x +	= (— l)n arcsin + 7tzz;
о	£
7Г	1
x = — — + (—l)n arcsin - + тгп.
O	&
Ответ: < — —
— + 2тгп | n e z
или <---1- 2тгfc;-h 2тг72 I fc, n 6 Z > .
[62	J
9) sin2 x + sin2 2x — sin2 3x + sin2 4x.
1 — cos 2x 1 — cos 4x 1 — cos 6x 1 — cos 8x
2	+	2	“	2	+	2	’
cos 2x + cos 4x = cos 6x + cos 8x;
2	cos 3x • cos x — 2 cos 7x • cos x = 0;
2	cos x • (cos 3x — cos 7x) = 0;	2 cos x • 2 sin 5x • sin 2x = 0;
cos x = 0
sin 5x = 0 ;
sin 2x — 0
7Г
X = — + 7rfc
7Г
x = — n
5
x ~ ~En
\n,t e z.
7Г 1	'
2
2
—n;
—1\ n, t € Z > .
2	J
10) sin2 x — (д/З + 1) sin x • cos x + д/З cos2 x — 0.
tg2 x — (д/З + 1) tgx + д/З — 0;
tgx = V3
_ tg X = 1
x = — + тгк
3	|fc,nGZ.
7Г	1 ’
X —-----h 7ГП
4
Ответ: < —
k: —I- тт I k.n 6 Z > .
4
Решение карточки 13
487
11) sin 2а: + tga: = 2.
 о 2 tga:	, к
sm 2х = -	; х - + тгк.
1 + tg2 х 2
Обозначим tgx = t, тогда
2t	,
+ t = 2; t3 - 2t2 + 3t - 2 = 0.
1 + p
Очевидно, t — 1 — корень. Разделим на t — 1:
t3 - 2t2 + 3t - 2 It - 1
t3- t2	t2 — t + 2
t2 + 3t
- t2+ t
_2t-2
2t — 2
t2 — t + 2 — 0; D < 0, остается один корень.
tga: = 1; x =	+ тгк | к G Z.
Ответ: < — + тгк\к (E % \ .
4	J
2.	Докажите тождество
(1 +tga) -sin (j -a)
--------------------— = sin I —h a
1 — tg a	\ 4
(1 + tga) • sin (j - aj (cosa + sina) • sin (j ~ a
1 — tga	cosa — sina
L = sin
П= sin
=>Ъ = П.
488
Тренировочные карточки
3.	Вычислите sin 2d, cos 2d, tg2d, если ctgd = \/2 + l.
г _	2 tgd _	у/2+i	__	2 (л/2 + 1)	_
1 + tg1 2 * * * 6 a 1	( i \2	2 + 2y/2 + l + l
+ [V2+1J
_ >/2 + 1 _	у/2+I	_ 1 _ ^2
~2 + y/2~y/2(y/2+l) ~ \[2~ 2 ’
( 1 V
1 — tg2 a	2 +2^2 + 1-1
cos 2d —	q —	q —	.—	—
1 + tg2 a 1	( i \2	2 + 2\/2 + l + l
_ 2 (1 + л/2)	1 _^2
~ 2 (2 + V^) ~	~ ~2~’
4.	Решите неравенство \/Ь — 2 sin rr 6 sin а; — 1.
( 6 sin x — 1	0
[ 5 — 2sinrr (6sinrr — I)2
{1 ;
smrr C “
6
5 — 2sinrr 0 V.t
f .	1
smrr > —
6
36 sin2 x — 10 sin x 4 ;
1
sina; < -
6
’ ( . 1
smrr > —
<	6
18 sin2 x — 5 sin x — 2 < 0 .
1
sin .7; < -
6
Рассмотрим неравенство 18 sin2 а; — 5sina; — 2^0.
z .	.	5 ± x/25 + 144	5 ± 13
(sina;), о =---------------=---------;
k M’2	2-18	36 ’
Решение карточки 13
489
5. Постройте график:
-------------—- (1 - tgz) • tg (Д + ж)
у(х) = у 1 — sin х ---------7-----\---
1 - tg + х)
у = | cosz| •
(1 — tgrr) •
1+tgs
1 —tg rr
1 + ctg X
= |eosx|.l±^
1 + tg7
.	.	f sinz. cosz > 0
— cosz • tgz = <
I — sinz, cosz < 0
D(y) :
cos + z^ Ф 0
J cosz Ф 0
sin z Ф 0
k ctgz Ф — 1
ж	e Z.
490
Тренировочные карточки
Решение карточки 14
491
Решение карточки Ц
1. Решите уравнения:
7ГХ
1) l + 2sin—= 0при 2
О
4.
7ГХ	1 7ГХ
sin —- = —	—- -
3	2’3
х = (—+ ЗА:.
" "к +7Г*;
\ 6 /
По условию 2 < (—1)^+1^ + ЗА: < 4.
4, других таких целых
При к = 1 2 < 3,5
существует.
Ответ: х = 3,5.
не
2) cos 2х • sin 3z = cos 2х.
cos 2х * (sin 3z — 1) = 0;
cos 2х — 0
sin3z = 1 ’
тг .
2х = — + тгк
х =
4
3z — ~ + 2тгп
х =
2
27Г
Ответ:
6
2тг
,	.V,	,	—п
4	2’6	3
3) sin 2х = tg 60° • sin х.
2sinz • cosz — v3sinz — 0;
sinz = О
V 3 ;
cos х — —
2
х = irk
. тг I к, п G Z.
х = ±- + 2тгп 1
6
Ответ: < тг/с; ±— + 2тгп | fc, n € Z > .
I о	)
492
Тренировочные карточки
4)
sin 2х + cos Зх — 0 при 0 < х <
ТГ
2*
sin 2х + sin
= 0;
2х + Зх + Зх — 2х +
2 sin--------------- cos------------= 0;
2	2
ТГ 2тг _
| k, п G Z;
х — — + 2тгп 0 ( 0; —
тг 2тг, тг тг 2тг, Зтг
-----1---к <	— < —к < —;
10	5	2’ 10	5	5
7Г 2тг
при к = 1 х =	+ —
10 о
Зтг
10’
Ответ:
5)	cos5:r + cosrr = —2cos3:r.
5x + x 5x — x n
2 cos —-— • cos —------h 2 cos 3x = 0;
2cos3:r • (cos2;r + 1) = 0;
x =
cos 3x — 0
cos 2x = — 1 ’
6
x —
зк
d |A;,71GZ.
2+7ГП
Ответ: < —h ~zk; — + ivn | kyn 6 Z > .
16	3	2	J
Решение карточки 14
493
6)	2 sin(40° + х) • sin(50° — х) — —1.
cos(40° + х — 50° + х) — cos(40° + х + 50° — х) — —1;
cos(2rr - 10°) = -1; 2х - 10° = 180° + 360°*;;
х - 95° + 180° А; | к Е Z.
Ответ: {95° + 180°к | к Е Z} .
7)	sin 4х — cos4 х — sin4 х.
sin4x — (cos1 2 х + sin2 x)(cos2 x
2 sin 2х • cos 2х — cos 2х — 0;
— sin2 ж);
2 cos 2x = 0
sin 2x — -
2
2x = — + тгк
2x — (—l)n^ +
1 = 4 + 2*
12
I к, п Е Z.
7Г •
2П
Ответ: < — + —к; (—l)n--h — n \k,n E Z > .
14	2	7 12	2	J
8)	8 cos4 x = 11 cos 2x — 1.
/1 + cos 2x \ 2
8	I -------- j — n cos 2x — 1;
\ 2 /
2(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) — 11 cos 2x — 1;
2	cos2 2x — 7 cos 2x + 3 — 0;
7±5
4 ’
7 ± л/49 -~24
cos 2x =--------------
4
cos2x = 3 0 [—1; 1]
cos 2x = —	’
2
1
cos 2х — -
2
2х —	+ 2тгА;; х =
О
±—h тгк I к Е Z.
6
Ответ: <±—h тг/с I A; 6 Z > .
I 6	1
494
Тренировочные карточки
ч 4х 9 Зх л 9 5а;	9 За;
9)	cos-------F sin — + 2 sin — — cos —
3	2	6	2
5x 5x
"З"	. T ” T . „ . 2 3^ n
— • sm-------------F 2 sm — — 0;
2	2
4x о Зх о Зх	5а;
cos-----F sm--------cos-----Fl — cos — = 0;
3	2	2	3
4a;	5a;
cos-----cos 3x + 1 — cos — = 0;
3	3
4x . 5x 5x	4a?
n . T ’ T	. "3	з
2sm-----
2
3x
2 sin — •
2
x	3a; \
sm —F sm — = 0;
6	2 /
• 3a;
sin — =0
2
x । 3 a?
n . 6 + T
2 sm-----------
2
 cos
3a? x
--------- = 0
2
= 0
3x
sin —
2
5a;
sin —
6
2x
cos — ~ 0
3
= 0 ;
2тг
x — —к
3
бтг
х = —п
5
Зтг
1 = т4
| fc, n, t G Z,
Зтг
~2~f
f 27Г7
Ответ: <
бтг Зтг
5 ’ 4
Зтг , ,	1
—11 fc, n, t G Z > .
10) д/Ззш2 x — 4 sin x  cos x + л/3 cos2 x = 0.
\/3tg2a;—4tga;+v/3 = 0;	(tga;)12 =	~“
V 3
tga; =
3
tga; = —
О
X =
X —
- + 71-fc
15	|A:,neZ.
ТГ	1 ’
- + im
b
Ответ: < —F тг/с; —F
I 3	6
im | fc, n G Z
Решение карточки 14
495
4 Sin X — Z	9 X
n) —----------------o’
Sin X — 4 COSZ 2	z
X . X . IT
COS 2 ^ °’ 2	2 + 7rfc’
sin2 x — 2
х У тг + 2тгк.
9 X
--------------------— tg2 —;
4 cos2 | • ^sin2 | — 1 j
sin2 н / л x
sm x — 2 —---------- I —4 cos —
9 x \	9
COSZ 2	'
X .9	, 9
—; sin x — 2 = — sin X-.
2
7Г	7Г
x = ±— + 2тгп; x = — -Рття.
У2 cos oi—2 sin ( — a)
2. Докажите тождество -----------------г----------— — У2.
2 sin ( -P fi) — л/3 cos fi
\/2cosa! — 2 sin — fi^
2 sin + a) — УЗ cos a
y/2 cos oi — 2 sin • cos a + 2 cos • sin a
2 sin • cos fi + 2 sin fi • cos — УЗ cos fi
У2 cos fi — У2 cos fi + У2 sin fi y/2 sin fi
УЗ cos fi + sin fi — УЗ cos fi sin a
sin2 х — 2 = —4 sin2 —
2
sinx —
sinx —
sin2 x — 1;
Ответ: < — + тгк | к 6
• cos2
1
-1
3. Вычислите
7Г
sin(4i — 2/3), если tgn = 2,4; tg/3 = —0,75 при 0 < a < —.
sin(oi — 2Д) — sin a • cos 2/3 — sin 2/3 • cos a.
Найдем sin fi > 0 и cosci > 0.
496
Тренировочные карточки
tga
sina — —	=; sina —
V1 + tg2 a
2,4
2,4
2^6
_ 12.
“ 13’
/ A12V
cosa = d 1 — t — I
V \ J- о /
5
13
cos2/3 = Ll^
1 + tg2/?’
cos 2/? =
1	9
!-i6	16-9
1 + ^
16
7 .
16 + 9 “ 25’
2-
sin 2/3 = 1 "7 2 n sin 2P =
1 + tg2 /3
2tg/3
24
25
12 7
1 + —
1 + 16
5 ( 24\_84 + 120
25/	13-25
204
325
4. Решите неравенство ^/7 — 18tga; > 6tga; + 11.
Положим tga; = t. Тогда неравенство равносильно системе
6t + 11	0
7 - 18t	(6t + ll)2 .
6t+ll<0	’
7 - 18t > 0
t
11
t -----
6
36t2 + 132t + 121^7- 18t
11
”1T
7
f 18
J)
6
( n
6 U+ 3-Hf + 1)	0 ;
(<-4
► ts£-l.
t

t
Итак, t = tga;
1;	2
тгк < x C---------1- тгА\
4
Ответ: < (-------1- 7rfc;--1- тгк I fc 6 Z > .
I \ 2	4	I
Решение карточки 14
497
5. Постройте график у(х) = у/1 — sin2 х •
у(х) = | cosa;| •
ctg2a; • (1 + tg 2х)
1 + ctg 2х
ctg2a; * (1 + tg 2ат)
1 + tg (£ - 2х)
,	. cos 2х cos 2х + sm 2х sm 2х ,	.
= cos ж • .	• -г—---------— -------— — COS X .
sm 2х sin 2х + cos 2х cos 2х
498
Тренировочные карточки
Решение карточки 15
1. Решите уравнения:
1) 2 cos2 а; + 5 sin а; — 4 = 0.
2 — 2 sin2 х + 5 sin х — 4 = 0;
sina; = 2	[—1; 1]
1
sina; = —
2
2 sin2 х — 5 sin х + 2 = 0;
х = (—+ тг/с | /с 6 Z.
Ответ: < (—+ тг/с | /с G Z > .
2)
cosa;
1 — sin х
cosa; — 0	тг
; х = -- +27Г/С.
sma; 1	2
I 7Г	I
Ответ: < — — + 2кк | к Е Z > .
3)
sin 2а; = sin За;.
. о	* 2х — Зх
sin 2х — sm Зх = 0;	2 sm---------♦ cos
2
2х + Зх
2	= ’
/ х
sin------
\ 2
Бх
• cos — = 0;
2
sin (jaJ = »
5а;
cos — = 0
2
- =кк
2
Бх ТГ
-2=2+”"
х — 2тг/с
5
2 I /с п 6 Z.
-тт
5
f 7Г 2	1
Ответ: < 2кк; —I—кп | /с, п 6 Z > .
15	5	I
Решение карточки 15
499
4)	соз(2я - 630°) = вш(4я + 540°) при 90° < х < 180°.
a)	соз(2я - 630°) - cos(2x - 630° + 720°) =
= cos(2x + 90°) = — sin2x;
6)	эт(4я + 540°) = эт(4я + 540° - 720°) =
= sin(4x — 180°) = — зш4я.
Тогда — sin 2x — — sin 4я; sin 4x — sin 2x — 0;
. 4x — 2x 4я + 2x
2 sin---------• cos---------= 0; sin x • cos Зя = 0;
2	2
x = 180°к
Зя = 90° + 180°n ’
По условию
90° < 180°A: < 180°
90° < 30° + 60°n < 180° *
Первое неравенство не выполняется при любых
целых к.
Второе выполняется только при п = 2, тогда
х = 30° + 2 • 60° = 150°.
Ответ: х — 150°.
5)	sin я + sin5x = 2соз2я.
о . я + 5я 5я — я
2 sin--------- cos----------2 cos 2я = 0;
2	2
2соб2я • (sin Зя — 1) = 0
cos 2я — 0
sin Зя — 1 ’
2 \k,neZ.
ТГ 1	’
7Г 7Г 7Г 2?Г
500
Тренировочные карточки
6)	cos 5х — sin 5z = sin 7x — cos 7x.
cos 5a; + cos 7x = sin 7x + sin 5a;;
5z + 7x 5x — 7x _ . 7z + 5z 7x — 5x
2 cos-----cos--------2 sin-----cos------= 0;
2	2	2	2’
2 cos x • (cos 6x — sin 6z) = 0.
Учитывая, что cos6z = sin6z => tg6z = 1,
cosz — 0
tg 6z — 1 ’
имеем совокупность:
x — — + тгк
6x —------1- 7ГП
4
x = — + тгк
24
I к, n G Z.
7Г 1 ’
6П
7)
Ответ: < —h тгк: —
[2	24
—n \k,n e Z > .
6	I
/з
Sin X — COS X — i
2 sin
sin I а:----
\	4
/3
2?
4
ТГ /	1 \A-	j
4 = (-!)	3 +7rfc;
x —	+ тгк | к 6 Z.
Ответ: + (—l)fc— + тгк | к e Z.
8) 2sinz • sin8z = cos7z.
cos(z — 8z) — cos(z + 8z) — cos 7z;
cos 9x — 0; 9z = — + тгк] x — — + — к | к 6 Z.
2	18	9
f тг 7Г
Ответ: < -—I—к | к 6 Z
118	9
Решение карточки 15
501
3sinx.
/3
T
о 1 . о 1	V3 .
cos Зх + - sm 3x — - cos x 4—— sm z;
cos I Зх —
— = cos x------
6/	\	3
cos I Зх —
— J — cos
6 /
я - - = 0;
о /
3x —
2 sin-----
6 4
~2
3
— * sm
3x 6
2
- 0;
sin I 2x-----)=0
\	4 /
I=8 + 2k
|fc,ne z.
sin
12 =°
z=-a+m
з
I 7Г 7Г 7Г
Ответ: 1 8 + 2k' "12
+ 7ГП | fc, n G Z
10)	sinx • cosx • cos2x • cos8x — - sinl2x.
-	cos 2x • sin 2x • cos 8x = sin 12x;
2	4
sin 4x • cos 8x = sin 12x;
-	(sin 12x — sin4x) = sin 12x; sin4x + sin 12x — 0;
8x = 7vk
2sin8x • cos4x = 0;
4x = — + 7ГП ’
7Г ,
x — —k
8
8
; x = —к I к E. Z.
7Г ’	8
4П
Ответ: < —к | к 6 Z
I 8
502
Тренировочные карточки
11)	sin3z • (1 + ctgх) + cos3z • (1 + tgz) = 2\/sinz • cosz.
sin3x + cos3x + sin2x cosx + cos2x sinz — 2\/sinz • cosz;
L = (sin x + cos z) x
x (sin2 z —sinz • cosz + cos2z +sinz • cosz) =
= (sinz + cosz)(l — sinz • cosz + sinz • cosz),
тогда sinz + cosz = 2\/sinz • cosz.
Положим sinz + cosz = t; t 0;
. n •	2	.	-l+£2
1 + 2sinz • cosz = t , тогда sinz • cosz =---,
и уравнение равносильно системе
г-
[ t2 = 2(—1 + t2) ’	[t2 Итак, sinz + cosz = л/2; /	7г\	.	7 cos z —- = 1; x ~ - \	4/ f 7Г Ответ: < — + 2тгп 1 n e Z I 4 12) cos z — cos 2z = sin 3z. _ x + 2z	2z — z 2 sm		 sm	 2	2 _ .	3z	/	x	3z^ 2 sm — * sm	cos — 2	\	2	2	? .	3z	f	/ Z	7r\ 2 sm — • ( cos	I - 2	\	\2	2/ X	7Г . 3x _ . 3x	2 ~ 2 T 2 sm — • 2 sm	 2	2	= 2 ’	v * /-	/	7г\	r V2 cos z	= v2; \	4/ 7 + 2тгп Inez. 1 o . 3z	3z 2 sm — • cos — = 0; 2	2 ) =0; 3z\ - cos — =0; 2 ) ЗЯ	X , 7Г . "2	2 + 2 • sm	= 0; 2
Решение карточки 15
503
sm — = 0
2
Ответ:
х = -тгк
3
ТГ	.
х ~ — + тгп \К, n, t 6 Z.
4
ТГ
х = — — + 2тг/
2 , тг	7Г
2тг11	6 Z
2.	Докажите тождество
1 + 2 cos 2а + 2 cos 4а + 2 cos ба =
sin 7а
sin О!
L = (1 + 2 cos 2а + 2 cos 4а + 2 cos ба) • ( - I =
\sma J
sin а + 2 cos 2а * sin а + 2 cos 4а • sin а + 2 cos ба • sin а
sina
sin а — sin а+sin За — sin За + sin 5а — sin 5а+sin 7а
sina
sin 7а
-----; sma + 0.
sma
sin 7a
sina
sin 7a
sina
3.	Вычислите---------4 sin 70° =
sm 10°
1 - 4 sin 70° • sin 10° _ 1 - 2(cos60° - cos 80°)
sin 10°	sin 10°
1 — 2 • | + 2cos80° _ 2sin 10°
sin 10°	sin 10°
504
Тренировочные карточки
4.	Постройте график: у(х) = sina; * Vsin2 х — cosx • Vcos2 х.
у(х) = sina: • | sinх| — cosa: • | cosa:|;
а)	х 6 I четверти: у = sin2 х — cos2 х = — cos 2а:;
б)	х е II четверти: у = sin2 х + cos2 х = 1;
в)	х 6 III четверти: у = — sin2 х + cos2 х — cos 2а;;
Решение карточки 16
505
Решение карточки 16
1. Решите уравнения:
1)
2 sin2 2х + 7 sin 2х — 4 = 0.
-7 ± ^/49 + 32
(sm2z)lj2 ----------—
sin2x — —4 [—I; 1]
sin 2х — -
2
-7 ±9
4
sin 2х — -
2
2х — (—1)^ + тгк; х — (—j- + ^k | k e Z.
Ответ: < (—l)fc+ ^k | k 6 Z
2)
sin 2x
1 + cos 2x
sin 2x — 0
cos 2x — 1 ’
x = —k
2
X 7^ ~ + тт
x = Tti j t e Z;
2x = Tvk
2x 7^ тг + 2тгп
3)
Ответ: {ivt 11 6 Z} .
x
cos — — cos 2x.
3
x
cos----cos 2x — 0: 2 sin
3
’ . 7x
sm — = 0
6
sm — = (J
6
n J 67r l
Ответ: < —/с;
I 7
x —
x —
f + 2x
2
бтг 1
~7k
бтг 1 ’
2x -
• sin —-— = 0;
бтг . ,	_
—t \kyt 6 Z
5
506
Тренировочные карточки
4)	sin(3x — 450°) = sin(6x — 540°) при 0° < х < 45°.
Зх- 450°+ 6х — 540° Л
* cos------------------= 0;
2
-----45° = 180° к
2
9т
— - 135° = 90° + 180%
По условию
. 6ж—540° —Зж+450°
' 2 sin-----------------
2
(Зт	\
----45° ) =0
2---)
(Qnr	\	*
cos [----135°	) =	0
\ 2	)
~х = 30° + 120% , ,
ГАО i Л АО \к,П Е Z.
X = 50° + 40°п 1
’0 < 30° + 120% < 45°
_ 0 < 50° + 40% < 45° '
Неравенства выполняются при п = — 1 или к = 0:
' х = 30° е (0°;45°)
х = 10° е (0°;45°) ’
Ответ: {10°; 30°}.
5)	= 1 ПрИ 170° < х < 280°.
sin 2х
2
х—18°+72°п
х--90°+360°^
х + 90%
<
cos Зх = sin 2х ( cos Зх — cos (2х — 90°) — 0
sin 2х 7^ 0	’ 2х 7^ тгк
„ . Зж + 2ж — 90°	. Зх - 2ж + 90°	„
2 sin-------------- sin---------= 0
2
х + 90%
sin (~y~ 45°^ =0
sin ^+45°^ =0 ’ |
x + 90%
170° < 18° + 72% < 280°
170° < -90° + 360% < 280° ’
Подходят значения к = 1 (по тогда х = 270° ОДЗ!)
и п = 3 — в этом случае х = 234°.
Ответ: х = 234°.
По условию
Решение карточки 16
507
6)	sin х + sin 2х + sin Зх + sin 4х — 0.
х + Зх
2 sin---------• cos х + 2 sin Зх * cos x — 0;
Zi
2 cos x • (sin 2x + sin 3x) — 0;
. 5x	x
2 cos x • 2 sm — • cos — = 0;
2	2
cos x — 0
. bx
cos “ — 0
Ответ:
x = — + тгк
2тг	I k,n, t G Z.
X — —n	'
5
x = тг + 2тг£
2тг
Trfc; — n; тг + 2тг/ [ fc, n, t G Z
5
7)	sin2:r + cos 2:r = — 1.
>/2sin [ 2x + — | = —1;
\ 4/
. /	тг\	1
sm \ 2x + — =-------
\	47
2x + - = (-l)fe I —— ) + kA:;
4	\ 4/
x = ~l + (-i)k+ll + lk\keZ.
О	о z
Ответ: (-J + (-l)fc+1 J + ^-к | k G z) .
( 8	8	2 J
8)	2 sin 2x • cos x — sin 3x.
sin 3x + sin x = sin 3x;	sin x — 0; x — тгк | к G Z.
Ответ: {тгА: | к G Z} .
508
Тренировочные карточки
9)	sin 4х + cos 4х = У2 sinx.
>/2 sin
>/2 sinx;
sin
— sinx = 0;
4x + ^ — x 4x + + x
2 sin-----------* cos-----------= 0;
2	2
Я 2я,
-12 + Tl
Зя 2я
20 +T"
| fc, n 6 Z.
Ответ:
я 2я, Зя 2я , ,
-n + Tk'w + TMk’nEZ
10) 4 cos х • cos 2х • cos Зх = cos бх.
2 cos 2х * cos 4х + 2 cos2 2х = cos бх;
cos бх + cos 2х + 2 cos2 2х = cos бх;
2 cos 2х
cos2x + у ~ 0;
cos 2х = 0
1 ;
cos 2х — —
2
Я	7
2х = — + я/с
2я _	’
2х = ±—- + 2яп
О
4 + 2к
4	2 IA:,neZ.
Я	1 ’
X = ±— + ЯП
о
Ответ:
я	я,	я	. ,	„
—I—к:±—F тгп\к.п 6 Z
4	2	3	1
Решение карточки 16
509
11) sin 2т + 5(sinT + cosx) + 1 = 0.
Положим £ = sin т+cost =
тогда 1 + sin 2х = t2; sin 2х = t2 — 1.
i = 0
t2 - 1+5J+1 = 0;	i(i+5) = 0;
sin I x + — I = 0; x Я— = тгк\
\	4 1	4
x = —— + тгк I к е Z.
4
Ответ: <----h тгк I к е Z > .
14	I
12) cos 2т + cost = sin 3т.
Л Зт t . 3т 3t
2 cos — • cos-2 sin — • cos — = 0;
2	2	2	2’
Зт / т . 3t\
2 cos — • cos----sin — = 0:
2 \	2	2 )
3т / . /x тг\ 3t\
2 cos — • sin - + - - sin — I = 0;
Z \	\ Z Z j	z /
X । 7Г 3*2?
„	3a;	2 + 2 Г
2 cos — • 2 sin-------------------
2	2
X । 7Г । 3*27
2 + 2 + ~2
2
cos
Ответ:
2тг , 7Г
~3k’2
7Г 2?r
X=3 + Tk
7Г
т = — + 2тгп | fc, n, t e Z.
7Г
T = — + TTt
4
2тгп: —F Trt I k. n, t 6 Z
4
510
Тренировочные карточки
2.	Докажите тождество
а с.	л	cos 14а
1 — 2 cos 4а + 2 cos 8а — 2 cos 12а =------—.
cos 2а
L = 1 — 2 cos 4а + 2 cos 8а — 2 cos 12а —
cos 2а—2 cos 4а * cos 2а+2 cos 2а • cos 8а—2 cos 12а • cos 2а
cos 2а
cos 2а—(cos 6а+ cos 2а) + cos 10а+ cos 6а—(cos 14а+ cos 10а)
cos 2а
cos 2а— cos 6а— cos2a+ cos 10а+ cos 6а— cos 14а— cos 10а
cos 2а
cos 14а
cos 2а
cos 14а
JL —------т—
cos 2а   т  т—г
cos 14а	—
cos 2а
3.	Вычислите tg20° + 4 sin 20° —
sin 20° А . о sin 20° + 4 sin 20° • cos 20°
cos 20°	cos 20°
o . 20°+40°	40°—20° . . .oo
_ sin 20° + 2 sin 40° _ 2 sin —----cos —2— + sm 40
cos 20°	cos 20°
2 sin 30° • cos 10° + sin 40° cos 10° + sin 40°
cos 20° sin 80° + sin 40° cos 20° 2 sin 60° • cos 20° cos 20°	cos 20° n . 80°+40°	80°—40° 2 sln	— . cos	— cos 20°
Решение карточки 16
511
4.	Постройте график = sinx • | ctgx|.
__ ( cosx, ctgx 0, sinx / О
[ — cos х, ctg х < 0, sin х 0 ’
7/=sinx-|ctgx|
о
о
Зачетные
карточки
Карточка 1
1.	Разложите на множители:
ч	За	7а
1)	cos ----cos —
7	8	24
2)	sin 2а • cos За — sin 6а * cos За;
3)	sin 2а — sin 4а + sin 6а.
2.	Докажите тождества:
1)	sin 2а • cosa — cos 2а • sin За = — cos 4а • sina;
4	• 4	2
ч cos а — sm а — cos а 9 а
2)	---—----------—----- = cos2 —.
2(cosa —1)	2
3.	Вычислите:
1)	sin2 16° + cos 46° • cos 14° + 1;
4 1 — 2 cos2 13°
2)	-----------;
7 sin 64°
3)	(ctg 27°-ctg 54°) sin 54°+ 1,5;
Карточка 1
513
2тг .	/ тг 4тг\
Sin jj + COS (2-------у- I
) 1(1 • ( тг , 2тг\ • / тг	тг . 2тг\ ’
lOsin + 7 J • sin (2	и + 7 j
1	- sin2 38°
2	(sin 14° + sin2 38°) ’
7)
10)
cos 31° + cos 89° + 1
- cos2 14°30'
-3 + 2 sin2 78° + 2 sin2 18°
5 sin2 42°
sin 44° + cos 74°
2 cos 14° + 2 sin 104° ’
sin 36° + sin 40° + cos 62° + cos 42°
4 cos 6° • cos 4° * sin 38°
cos 37° - 8 cos 143° + 2 sin 127°
sin 42° • sin 79° + sin 48° • sin 11° *
514
Зачетные карточки
Карточка 2
1.	Разложите на множители:
5а	4а
1)	cos — + cos —;
6	15
2)
1 . 1 .
sin 2а • cos 4а + — sin 2а 4— sin 8а;
2	2
3)	1 — sin 2а 4- cos 2а.
2.	Докажите тождества:
1)	sin 4а • cos 2а — sin а • cos а = - sin 6а;
7	2
ч 1 4- sina 4- cosa а
2)	--;------------ = Ctg
1 4- sina — cosa 2
3.	Вычислите:
1)	sin 67° • sin 7° - sin2 37° - 2;
1 —2sin246°
>	8 cos 92° ’
ctg31°-tg31°	3
tg 31° 4- ctg 31° cos 62°1
А к , n\2
( tg 10	ctg 10 1
4) --------------—;
ctg2i
7Г •	37Г
sin 26 • Sin 2g
1 + cos 62° — cos2 31°
7)
2 cos2 42° + cos 36°
cos2168°
Карточка 2
515
2 cos2 46° + 2 cos2 106° - 3
sin2 76°
sin 91° — sin 1°
9\/2 cos 46° + \/2 sin 44° ’
10)
sin 8° — sin 10° — sin 12° + sin 14°
4 sin2 1° * cos 1° • sin 11°
5 sin 211° + 8 cos 59° - 5 sin 31°
sin 54° • sin 67° — sin 36° • sin 23° ’
516
Зачетные карточки
Карточка 3
1.	Разложите па множители:
1)	sin 2а — sin(3a + тг);
2)	sin 2а — 2 sin 4а • cos а + sin 6а;
3)	cos 2а + 2 sin 2а — cos 6а,
2.	Докажите тождества:
1)	(tg 2а — tg a) (cos а + cos За) = 2 sin а;
_ 1 + cos а + cos 2а + cos За
2)	—;— -------—-------------= ctga.
sm 2а + 2 sm а * cos 2а
3.	Вычислите:
1)	cos2 41° + cos 79° • cos 19° - 1;
\/2(cos80° + sin 80°)
sin 125°	’
tg2 31° - sin2 31°
4 tg2 31°-sin2 31°’
• 4 7Г	4 7Г
sm н — cos n
4) ----- 2,	•
2 cos -Q-
7Г . 7Г
sm □ — sm ту
5) 4 Д;
4 cos у • sin g
tg 34°(1 — tg2 17°)
' 4tgl7°
cos 85° + cos 35° — 2 sin 65°
cos 25°
8) cos2 23° - cos2 7° + sin2 53° - 3;
2л/2со87° + \/2sin83°_
cos 52° + cos 38°
cos 4° — cos 6° — cos 8° + cos 10°
sin2 1° • cos 1° • cos 7°
3 cos 215° — 4 cos 35° — 2 sin 125°
cos 17° • cos 18° — cos 73° * cos 72° *
Карточка 4
517
Карточка 4
1. Упростите tg
7Г
4
/ 7Г
2.	Разложите на множители:
1)	cos4o! + 2 cos о: • cos 6се + cos8ai;
2)	2 sin За — cos 2а + cos 4а.
3.	Докажите тождества:
_ 2sina — sin2а 9 а
1	—□_ • о = о;
2 sma + sm2a 2
cos
(т - 2“)
= sin 4а.
4.	Вычислите:
1) cos2 84° + cos 51° • cos 39° + 3;
2)
1 - tg2 75°
cos 150°
•2 cos2 75°;
ctg2 34° — cos2 34°
2 ctg2 34° • cos2 34° ’
/	\ 2
I COS ту + Sin ту )
4)	1-------7------A;
9	l 7Г	7Г \
cos	(j	- nJ
7Г	.	7Г
COS TK + COS д
5)		1?-----
'	7Г	7Г
COS g • COS 24
1 + sin 18° — cos2 36°
2 cos2 36°
4’
7)
cos 68° — 2 cos2 4°
2 cos2 26°
518
Зачетные карточки
8) cos2 19° + sin2 11° + cos2 41° + 2;
8 sin 194° + cos 256°
sin 14°
10)
2\/2sin22o + 5\/2cos68o
cos 23° — cos 67°
11)
cos 5° + cos 85° + sin 75° + sin 15°
4x/2cos5° * sin 55°
12)
7 cos 29° - 2 cos 151° +4 sin 61°
cos 67° • cos 38° + cos 23° • cos 52°
Карточка 5
519
Карточка 5
Вычислите:
cos2 а 4-2
1)		о—> если tgm — 3;
3 sm а • cos а + cos2 а
х ( 2тг\ / 2тг\	.	1
2)	cos I х-— 1 — cos I х + — I , если sina; = —
\	3 j у 3 J	v з
3)	cosa;, если cos(a; — 45°) + cos(a; + 45°) — \/2;
4)	1 +cos 2m, если sinm ——0,6;
5)	tga, если ctg - =
О
6)	cos(2m — тг), если sinm = ^/(\2;
7)	2 sin 5m • cos 7m — sin 12m, если sin m + cos m = 0,3;
sin m + 2 cos m	ml
—-------------, если tg — = -;
sin m + 4 cos m	2	2
11)
12)
13)
2(sinm — sin/3), если
m + /3 = 2тг
„ 27r 5
m -	—
O
1	7Г
5cos(m — /3), если cosm • cos/3 = - и m + /3 = —
Zi	0
X	X
cosa;, если sin - + cos — = 0,5;
£
sin6 m + cos6 m, если sin m + cos m —
520
Зачетные карточки
Карточка 6
Вычислите:
ч sm2 а — 3 sin а • cos а
1)		-л--------------, если tga = 2;
cos4 а
/	7г\ f
2)	ctg I х + — \ + ctg I x — — 1 , если ctg x = 2;
3)	cosa;, если sin(120° — ж) + sin(120° + x) — — \/3;
4)	sin2a, если tga = —0,5;
5)
6)
a
cosa, если ctg — = — 1;
sin(7r + 2a), если sina + cosa = 0,7;
7)
2 sin 6a • sin 4a + cos 10a, если cosa =
0,3;
8)
*? f 5я a \	,
cosz — + — , если sina — —0,3;
\ 4	2 )
sin a — 4 cos a	a
—-------------, если tg - = 2;
2 sin a + cos a	2
10)
sin a + sin/3	Зя
------------если a + p — — и a — p
cos a — cos p	2
3’
И)
1	7Г
4 sin(a — /3), если sin a • cos й = - и a + 5 = - -;
12)
\/T9tg£, если sin
x
— cos —
2
x
2
- У6Д;
*44	о
_ sin a cos a .	2
13) -5-1--«—, если sina + cosa — —
cos2 a sin a	у 5
Карточка 7
521
Карточка 7
Вычислите:
cos2 а — 2 sin2 а
—------------—, если tga = -3;
5 sm а • cos а + 3
1)
2)
3)
(7Г\	/	7Г\	1
х — — 1 — ctg I х + — J , если tgrr —
х/2
ctgж, если cos (х — 45°) — cos (х + 45°) — —;
4)
5)
/а тг \
cos 2a, если cos I — + — ) = 0,25:
\2	4 J
a
tga, если tg — = —3;
6)
cos(2a —тг), если cos
2
'о?3;
7)
2 cos За • cos 5а — cos 8а, если sin —
2
а
+ COS-
0,8;
8)
о/З	a\	„
sin —тг + — , если sma = —0,3;
\4	2 )
/4	n \	V3
cos I —тг + 2a — , если ctg a =	;
у о	/	Z
10
о	a — в — —
cos a — cos p I	2
------;—если <
sma - sm fl I t Q
a + p = -
1	о
И)
cos(a + /3), если sin а • sin /3 — - и а
5
-^3
12)
. х	х	V3
sm----cos — если cos x — ——:
2	2	2
13)
sm2 а cos2 а .	\/3
-------1—------? если sina + cosa — —-
cos a sin а----2
522
Зачетные карточки
Карточка 8
Вычислите:
3 sin a * cos a — sin2 a
—-——------------, если tga = — 3;
9 + 5 sin a • cos a
1)
2)
tgfj; + — l+tgln; — — I, если tgrr =
3)
ctgx, если cos(x — 45°) + cos(x + 45°) = V2sinx;
4)
sm2a, если ctga =
5)
a 1
sma, если ctg — —
’	6 2	3
6)
/ Зтг	\
cos ( — + 2a I , если sma — cosa = 0,5;
\ £	j
7)
2 cos 5а • cos 7а — cos 12а, если cos а = 0,2;
8)
. 2 ( 5tf	a \
sin —-------— , если sina — 0,1:
\ 4	2 /
9)
, если tg а = Зл/З;
Ю)
/3 cos a + cos /3	2тг
--------------- если a + /3 = — и
2 cos a — cos /3	3
a-0 = -
И)
0,2cos(a — /3), если cosa • cos/3 = — |
и а + (3 =
|CO
12)
sinx,
если sin---cos — = v0,44:
2	2 v
13)
. 9
sin a
cosa
cos2 a .	\/3
------, если sma — cosa ~	
sina--2
Карточка 9
523
Карточка 9
1.	Вычислите:
1)	4(cos24° + cos48° — cos 84° — cos 12°);
2)	ctg 1° • ctg3° • ctg5° ctg 89°;
3)	sin4 a ~ cos4 ct, если tg = 0,5;
1 — sin6 a — cos6 a
4)		2--------л— 5 если a —	>
1 — sin4 ct — cos4 ct
(/	-i
/ 7з\\
arccos I —— II • arctg 1;
6)	cos(2 arctg 2) — sin(4 arctg 3).
2.	Найдите наименьшее значение функции
/(а) = | tga + ctga|.
3.	Решите уравнения:
ч 9/ . Зл/2 , ч	,	1
1)	cos (ttzj Ч-— sm(7rz) — 2, если |z|
2)	cos(ttz) + sin — —2, если 2 х 6;
3)	tg2 та + ctg2 та = 2, если — | < х <
524
Зачетные карточки
Карточка 10
1. Вычислите:
1) sin 160° • cos 110° + sin 250° • cos340° + tg 110° • tg340°;
2)
i	4	• 4
1 — cos a — sm a _4
• cos cn;
tg2a
3)
f 7Г \
tg I — — 2a \ , если tg a = 2;
4)
5)
tg2x + ctg2x, если tga; + ctga; = 5;
/	1\	/1	15\
sin 2 arctg - + tg - arcsin — ;
\	6 2/	6 \ 2	17/
6)
/1	3 .	( 1
ctg I - arccos - — 2 arcctg I — -
2. Найдите наибольшее значение функции
f(a) — sin2 a • cos2 a.
3.	Решите уравнения:
1)	2cos(tt:e) + 3sin(7nr) = 5, если 1 + x 2;
2)	sin4(тле) + cos4(же) ~ sin(7rj;) • cos(ttz), если 0 + x 2;
3)	x2 + 6x • sin + 9 = 0.
Карточка 11
525
Карточка 11
1.	Вычислите:
7тг
C0S 12’
1)
2)
tg7° • sin 14° — 1
cos 14°
3)
4)
cos 47° - cos 13° + cos 73°;
sin 20° • sin 40° • sin 80°;
5)
162(sin4x + cos4z), если sina; — cosz =---;
3
6)
7)
sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a * cos2 ce;
arccos (—0,5 • x/З) : arctg f ~ • л/З j ;
у о /
8)
/1	з	„ Л
tg I - arccos — — 3 arctg(—2)) .
\ 2	5	/
2. Найдите область изменения функции
/(/3) = 2 sin2 /5 + 3 tg/3  ctg (3.
3. Решите уравнение
cos(ttz) — 2 cos
= 2, если —6 x —2.
526
Зачетные карточки
Карточка 12
1. Вычислите:
4	5%
D tg-;
2)
6%	37Г
cos — * cos —;
5	5
3)
—---------4 sin 70°;
sin 10°
4)
5)
6)
7Г	2тг	6%
cos 0 + cos —I- cos--------1- ... + cos —;
7	7	7
cos (2 arctg 7) — sin(4 arctg 3);
/	5	. 12'
tg 2 arccos t____— arcsin —
& k д/26	13
2.	Найдите наименьшее значение функции
f(a) — sin6 a + cos6 a.
3.	Решите уравнения:
1)	tg(7nr) — ctg(7nr) = sin^^Trx) — cos-1 (яте),
если — 1 x 1,5;
2)	cos(7rrr) • cos(2ttz) • sin(37nr) = sin(27rrr),
если 0 x 0,5;
3)	y/x + \/x — 1 = cos Vх! — x.
Карточка 13
527
Карточка 13
1.	Вычислите:
1)	sin2а, cos2а, tg2a, если ctga = 1 — \/2;
2)	4 cos 20° - х/3 ctg 20°.
2.	Решите уравнения:
1)	1 + 2 cos — = 0;
15
2)	2 cos(z 4- 60°) * cos 3z = cos(z 4- 60°);
sinx
3	—fino=ctg30 ’tg2:;
cos 60°
4)	cos4z = sin2z, если 0 < x < 80°;
sin 4z
5)	----= -1, если 80° < x < 180°;
cos 5x
6)	sin(30° — x) * cos(60° + x) = 1;
7)	(1 4- cos 2z) * sin x = cos2 z;
8)	9 ctg2 x 4- 4 sin2 x = 6;
9)	sin4 x 4- cos4 x —
8
10)	\/3sin2z 4- 5cos2z — (5\/3 4- 1) sinx • cosz — 0;
и) i-cos^ = tgT
3.	Решите неравенство \/10 — 18cosz 6cosz — 2.
________cos2(—z) • cos (— z)
4.	Постройте график y(x) ~ \/l 4- tg2 z—-----r-----------
tg (	— z) • sin(?r — z)
528
Зачетные карточки
Карточка 14
1.	Докажите тождества:
(1 — tga) • cos — a
1 + tga
cos x • cos 2x cos 2x • cos 3z	cos 9x • cos lOz
2 sin 9x
sin 2x * cos lOz
2.	Решите уравнения:
1)	3 sin2 2x + 7 cos 2x — 3 = 0;
2)	8in<J -	= 0;
COS X---2"
3)	tgz = tg 4rr;
4)	cos(z + 360°) = cos(2z - 270°), если 270° < x < 360°;
5)	sin 3x — sin 7x = \/3 sin 2x;
6)	sin x •	cos 5x = sin 9x	• cos 3z;
. X	/- z
7)	sm —I-	V3cos —1-1	= 0;
6	6
8)	2 cos x • cos 4z = cos 3z;
9)	2cos4x = \/2(cosx — sinx);
10)	cosz • cos 2x — —-—;
8 sinz
11)	cos x + sin x — v^l — 2 cos2 x;
12)	cos 2z — cos 3z = sin 5z.
3.	Решите неравенство sin5z + sinz 0.
Карточка 15
529
Карточка 15
1.	Вычислите:
5	4	тг
1)	cos(2a - (3), если tga =	, tg/3 = - при 0 < /3 < —;
1Л	о	Z
. 2тг	тг
2)	cos —----cos	—.
5	5
2.	Докажите тождества:
sin а 4- 2 sin — a j
2 cos ( — a) — у/З cos а
у/З
tg СЕ ’
2)	8 ctg 24а 4- 4 tg 12a 4- 2 tg 6a 4- tg 3a = ctg 3a.
3.	Решите уравнения:
\	x
1)	ctg — — ctg5:r;
2)	sin6:r = cos4:r при 0 < x < 90°;
3)	sin(:r — 45°) = cos(3:r — 180°) при 0 < x < 180°;
4)	cos 3x — cos 7x = sin 5x;
5)	cos(20° 4- x) 4- cos(100° — x) =
6)	cos2 x 4- cos2 2x = cos2 3x 4- cos2 4x\
sin x * sin 2x • sin 3x — - sin 4x\
4
8)	cos 3x 4- cos 2x = sin 5x.
4.	Решите неравенства:
1)	У25 — 16 ctg я > 8 ctg j: — 5;
2)	cos x 4- cos5a: 0.
5.	Постройте график
tg ( 4- я) • sin(Tr 4- x)
y(x) =	+ ctg2a;---------—-------Г-----.
Ctg(TT — X)
530
Зачетные карточки
Карточка 16
1. Найдите 2а + /?, если tga = —2,
7Г	7Г
при — < а < тг, 0 < /? < —.
Ctg/? = |
2. Вычислите ctg 70° + 4 cos 70°.
3. Докажите:
(1 + tg 2а) • cos (+ 2а)
1) --------;----—-------— — COS
— , - - 2а
1 — tg 2а	^4
2)	4 sin3 а • cos За + 4 cos3 а • sin За — 2,4,
л 3	ТГ
если cos 4а — - при 0 < а < —.
5	4
4.	Решите уравнения:
\/3
1)	cos(170° + а;) — cos(50° +я) = если “180° < х < 90°;
2)	sina; • sin Зги + sin 4а; ♦ sin 8а; = 0;
3)	л/3 sin 2х + cos 2х = у/З;
4)	sin7а; + cos2 2х = sin2 2х + sina;;
5)3 + 2 sin 2х = tg х + ctg а;;
6)	cos х • cos 2x • cos 4x • cos Sx = —;
J	16’
15
7)	sin6 x + cos6 x =---h cos 2x при 0,5тг + x 1,5тг;
16
8)	arcsin (cos (2 arcctga;)) = 0.
5.	Решите неравенства:
1)	arcsin a; < arccos a;;
. 2x2 — 9x + 8 тг
2)	arcsin-------------- < —
J	2	6
6.	Постройте график y(x) =
cos x + cos 3x
л/l + cos 2x
Решение карточки 1
531
Решение карточки 1
1.	Разложите на множители:
ч	За	7а	а	а
1)	cos— cos— — —2sm—• sin —
7	8	24	24	3
2)	sin 2а • cos За — sin 6а • cos За =
= — cos За • (sin 6а — sin 2а) —
= —2 cos За • sin 2а • cos 4а.
3)	sin 2а — sin 4а + sin 6а =
= 2 sin 4а • cos 2а — sin 4а — 2 sin 4а • I cos 2а-
\ 2
(7г\
cos 2а — cos — I =
л . л . /	7г\	. /	7Г\
= —4 sm 4а • sm а Ч— * sm а-.
\	6/	\	6/
©
2.	Докажите тождества:
1)	sin 2а * cosa — cos 2а • sin За = — cos 4а * sina.
L = sin 2a • cos a — cos 2a • sin 3a =
= 0,5(sin3a + sina) — 0,5(sin5a + sina) =
= 0,5 sin 3a — 0,5 sin 5a + 0,5 sin a — 0,5 sin a =
= 0,5(sin 3a — sin 5a) = — cos 4a * sin a.
L = — cos 4a • sin a T
. L = П.
11= — cos4a • sina
4	*4	2
cos4 a — sm4 a — cos a 9 a
2)	-----------------------= cos2
2(cosa —1)	2
4	*4	2
cos a — sm a — cos a
2(cosa — 1)
(cos2 a — sin2 a) (cos2 a + sin2 a) — cos2 a
2(cosa — 1)
532
Зачетные карточки
1^1
9	• 9	9
cos а — sin а — cos а
. 9
sm а
—4 sin2 ~
л . 9 а 2 а
4 sm * cos -2
2 Q
— cos —
2
4 sin2 ~
т	2
L = cos —
_	9 а
П = cos —
2
3.	Вычислите:
Ф
1^1
1)	sin2 16° + cos 46° • cos 14° + 1 =
= sin2 16° + 0,5(cos 32° + cos 60°) + 1 =
= 0,5(1 - cos32°) + 0,5cos32° + | + 1 =
= 0,5 + 1,25 — 0,5 cos 32° + 0,5 cos 32° =
4 1 — 2 cos2 13°
2)	-------------=
7 sin 64°
cos 26°
sin(90° - 26°)
cos 26°
cos 26°
3D 3) (ctg 27°-ctg 54°) sin 54°+ 1,5 =
1 + cos 54°
sin 54°
cos 54°
sin 54°
sin 54°+ 1,5 =
1 + cos 54° — cos 54°
sin 54°
sin 54°+ 1,5 =
---------sin 54° + 1,5 = 1 + 1,5 = [2j
sin 54°--1------------------------------

= [2).
Решение карточки 1
533
5)
10 sin
2тг i / к 4тг
sm -у + cos ( 2 —7"
2tt . 4k
sm yy + sm y-
. •	( 7Г , 2тг\
sin (n + “J
. 2тг .	. 4тг
Sin 11 + Sin —
1
5
6)
1 - sin2 38°	_
sin 14° + sin2 38°)
cos2 38'
2 (sin(90° - 76°) + 0,5(1 - cos 76°))
cos2 38°
7)
2(cos 76°+ 0,5-0,5 cos 76°)
cos2 38°	cos2 38°
= 2(0,5+ 0,5 cos 76°) = 2 cos2 38°
cos 31° + cos 89° + 1 _
- cos2 14° 30'	“
2 cos 60° • cos 29° + 1
“ -0,5(1 + cos 29°) “
-3 + 2 sin2 78°+ 2 sin2 18'
cos 29° + 1
—0,5(1 + cos 29°)
5 sin2 42°
_ -3 + 1 - cos 156° + 1 - cos 36° _
“	5-0,5(1 - cos 84°)	“
—1 — (cos 156° + cos 36°)
=	2,5(1-cos 84°)	=
1 + 2 cos 60° • cos 96° _ 1 + cos(90° + 6°) _
“ ~ 2,5 (1 — cos(90° — 6°)) “ ~ 2,5(1 - sin6°) “
1 — sin 6°
2,5(1-sin 6°) L2111-
534
Зачетные карточки
@@ 0 0	0 0	0 @0
sin 44° + cos 74°
2 cos 14° + 2 sin 104°
' _ sin(90° - 46°) + cos 74°
“ 2 cos 14° + 2sin(90° + 14°) “
cos 46° + cos 74°	2 cos 60° • cos 14°
2 cos 14° + 2 cos 14°	4 cos 14°
cos 14° _|T
4 cos 14°	4
10)
11)
sin 36° + sin 40° + cos 62° + cos 42°
4 cos 6° • cos 4° * sin 38°
sin 36° + sin 40° + cos(90° - 28°) + cos(90° - 48°)
4 cos 6° • cos 4° * sin 38°
sin 36° + sin 40° + sin 28° + sin 48°
4 cos 6° • cos 4° • sin 38°
2 sin 38° - cos 2° + 2 sin 38° - cos 10° _
4 cos 6° • cos 4° • sin 38°
2 sin 38° • (cos 2° + cos 10°)	2 cos 6° * cos4°
4 cos 6° • cos 4° • sin 38°	2 cos 6° • cos 4°
cos 37° - 8 cos 143° + 2 sin 127° _
sin 42° • sin 79° + sin 48° • sin 11°
_ cos37° - 8cos(180° - 37°) + 2sin(90° + 37°) _
0,5(cos 37° — cos 121°) + 0,5(cos 37° — cos 59°)
cos 37° + 8 cos 37° + 2 cos 37°
“ 0,5 cos 37° - 0,5 cos 121° + 0,5 cos 37° - 0,5 cos 59° “
11 cos 37°
“ 0,5 (2 cos37° - cos(180° - 59°) - cos 59°) “
___11 cos 37°_________________________ 11 cos 37° _ ™
0,5(2 cos 37° + cos 59° — cos 59°) cos 37°
Решение карточки 2
535
Решение карточки 2
1. Разложите на множители:
1)
5а	4а	Ног	17а
cos — 4- cos ——= 2 cos —— • cos-----.
6	15	20	60
2)
sin 2a • cos 4a 4- | sin 2a 4- ~ sin 8a —
— - (sin 6a — sin 2a) 4- - sin 2a 4- - sin 8a —
— - sin 6a — - sin 2a 4- - sin 2a 4- - sin 8a =
2	2	2	2
= - (sin 6a 4- sin 8a) = sin 7a • cos a.
3)1 — sin 2a 4- cos 2a —
— 1 — 2 sin a • cos a 4- 2 cos2 a — 1 =
— 2 cos2 a — 2 sin a • cos a =
file A
я t3 ra
— 2 cos a • (cos a — sin a) =
= 2 cos a * ^/2sin(45° — a).
2. Докажите тождества:
ч 1
1) sin4a • cos2a — sina • cosa = - sin6a.
L — sin 4a • cos 2a — sin a • cos a =
= |(sin 6a 4- sin 2a) — | sin 2a =
1	• Я . 1 • O 1 • о 1 . A
= - sin 6a 4— sm 2a-------sm 2a = - sm 6a.
2	2	2	2
©
L = - sin 6a
2
tt 1 •
11 = - sm ba
2
536
Зачетные карточки
2)
1 + sm а + cos а	а
-----------------— ctg “.
1 + sin а — cos а	2
1 + sin а + cos а
1 + sin а — cos а
-f I	о	* Ct	Ct	. ri	2	ct	-|
1 +	2	sm 2	•	cos	2	+ 2	cos	2	—	1
1 I	ri	• ct	ct	1	1	n	•	2	ct
1 +	2	sm 2	•	cos	2	— 1	+	2	sm
r> • Ct	Ct . r> 2 Ct
2 sm 2 • cos 2 + 2 cos
2* ct ct , n • 2 ct
sm 2 • COS 2 + 2 Sin 2
ct f • ct . ct \
COS 2 I sm *2 + COS 2* )
sin f cos I + sin
ct
COS 2
* ct
sin5
a
L = CtS2
Л-Г	CK
n= ctg—
^>L = n.
3. Вычислите:
1) sin 67° • sin 7° - sin2 37° - 2 =
= 0,5(cos 60° - cos 74°) - sin2 37° -2 =
= 0,25 - 0,5 cos 74° - 0,5(1 - cos 74°) - 2 =
= 0,25 - 0,5 cos 74° - 0,5 + 0,5 cos 74° - 2 =
= -0,25 - 2 = |-2,25 |.
, 1-2 sin2 46° cos92°
2) -------------=----------
8 cos 92°	8 cos 92°
1
8
ctg31°-tg31°	3
tg 31° + ctg 31° cos 62°
cos 31°	sin 31°
sin31°	cos31°
sin31° . cos31°
cos 31°	sin 31°
3
cos 62°
cos2 31°—sin2 31°
sin31°-cos31°	3
sin2 31°+cos231° COS 62°
sin31°-cos31°
cos2 31 — sin2 31	3	3
—----------------------------— cos 62 •-------—
sin2 31° + cos2 31° cos 62°	cos 62°
Решение карточки 2
537
5)
2тг •	/ тг тг
cos 13 - sm - 13
. 7Г • ЗТГ
sm 7^ * sm Т7Г
2b 2b
2тг	ТГ	n • ЗТГ • ТГ
cos ту — cos тт	2 sm	• sm
13	13	zb 2o
• ТГ •	37Г
sm 26 • sin 26
6)
• 7Г •	37Г
sm 26  sm 26
1 + cos 62° — cos2 31
cos2 31°
1 + 2cos2 31° — 1 — cos2 31°
cos2 31
7)
cos2 31°
2 cos2 42° + cos 36°
cos2 168°
cos2 31°
1 + cos 84° +cos 36°
cos2168°
1 + cos 24°
cos2 12°
2 cos2 46°+ 2 cos2 106°-3
1 + 2 cos 60° • cos 24°
cos2(180° — 12°)
1 + cos 24°
0,5(1 +cos24°)
8)
sin2 76°
1 + cos92° + 1 + cos212° - 3
sin2 76°
-1 + 2 cos 152° • cos 60°
0,5(1 - cos 152°)
_ cos 152° - 1
1 — cos 152°
0 00 0 0 00
538
Зачетные карточки
©
9)
sin 91° — sin 1°
9>/2cos460 + >/2sin44o
2 sin 45° • cos 46°
9>/2cos46o + >/2sin(90o - 46°) "
y/2 cos 46°	cos 46°
9>/2cos46o + ^2 cos 46° ” 10 cos46°
1
To
G>
Ю)
@0 0
sin 8° — sin 10° — sin 12° + sin 14°
4 sin2 1° • cos 1° • sin 11°
©
2 sin 11° • cos 3° — 2 sin 11° • cos 1°
4 sin2 1° • cos 1° • sin 11°
2 sin 11° (cos 3° — cos 1°)
4sin2 1° • cos 1° • sin 11°
2 sin 2° • sin 1°	2 sin 1° • cos 1°	-----
=--------9---------=----------------— = F2K
2 sin2 1° • cos 1° sm 1° * cos 1°
5 sin 211° + 8 cos 59° - 5 sin 31° _
sin 54° • sin 67° — sin 36° • sin 23°
_ 5 sin(270° - 59°) + 8 cos 59° - 5sin(9Q° - 59°)
sin(90° — 36°) • sin(90° — 23°) — sin 36° • sin 23°
_ -5 cos 59° + 8 cos 59° - 5 cos 59° _ 2 cos 59°
cos 36° • cos 23° — sin 36° • sin 23° cos 59°
Решение карточки 3
539
Решение карточки 3
1.	Разложите на множители:
1)	sin 2a — sin(3a + тг) =
•	.о	. 5a а
— sm 2a + sm 3a = 2 sm — • cos —.
2)	sin 2a — 2 sin 4a • cos a + sin 6a =
= 2 sin 4a • cos 2a — 2 sin 4a • cos a =
§ 0 @
Л . л ,	. л . За . a
= 2sm 4a(cos 2a — cos a) = —4 sm 4a • sm — • sm
л
3)	cos 2a + 2 sin 2a — cos 6a = 2 sin 4a • sin 2a + 2 sin 2a =
(7Г	\
sin — + sin 4a I =
/
(тг о \	/ тг ъ \
—I- 2a • cos-----2a .
4	/	\4	/
2. Докажите тождества:
1)
(tg 2а — tg a) (cos а + cos За) = 2 sin а.
L = (tg 2а — tg а) (cos а + cos За) =
sin(2a — а)
—---------------- 2 cos 2а • cos а = 2 sm а.
cos 2а • cos а
L — 2 sin а т
-> L -- II.
11 = 2 sma
2)
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
sin 2a + 2 sin a • cos 2a
_ 1 + cos a + cos 2a + cos 3a
sin 2a + 2 sin a • cos 2a
_	2 cos2 a + 2 cos 2a • cos a
2 sin a * cos a + 2 sin a * cos 2a
2 cos a • (cos a + cos 2a)
— 7"^-------;------------тг-т- = ctg a.
2 sm a • (cos a + cos 2a)
L =	h.
П = ctg a
540
Зачетные карточки
3. Вычислите:
@@ @ @
1) cos2 41° + cos 79° • cos 19° — 1 =
= cos2 41° + 0,5(cos 60° + cos 98°) — 1 —
= 0,5(1 + cos 82°) + 0,25 + 0,5 cos 98° - 1 =
= 0,5 cos(90° - 8°) + 0,5 cos(90° + 8°) - 0,25 =
= 0,5(sin 8° - sin 8°) - 0,25 = | -0,25 |.
^(cos 80° + sin 80°)
) sin 125°	“
cos80° + sin(90° - 10°) _
r- v 2 cos 35'
2 • ---------
cos 35°
3)
sin 125°
cos 80° + cos 10c
sin 125°
„ r- cos 45° • cos 35е
sin(90° + 35°)
tg2 31° - sin2 31° _
4tg2 31° • sin2 31°
sin2 31°	-2 oio	о	о	n
cos2 3i° Sin 31 sin2 31° — sin2 31° • cos2 31
4 . si<3i° ~	4 sin4 3Г
cos2 31°
sin2 31° • (1 — cos2 31°) sin2 31°
4 sin4 31°	4 sin2 31
1
4
• 4 7Г	4 7Г
sm g — cos g
Решение карточки 3
541
5)
sin — sin
6)
7)
2тг • 7Г
COS ~g- • Sin g
л 2тг • тг	A	2тг ♦ 7Г
4 cos -g- • sm g	4 cos -g- • sm g
tg34°(l - tg2 17°) _ 2tgl7° (1 - tg2 17°)
4tgl7° “ (1 — tg2 17°) 4tg 17°
cos 85° + cos 35° - 2 sin 65° _
cos 25°
_ 2cos 60° • cos25° - 2sin(90° - 25°) _
cos 25°
_ 2 cos 25° • (cos 60° - 1) _r—.
1
2
1
2
©
©
8)
cos 25°
cos2 23° — cos2 7° + sin2 53° — 3 =
= 0,5(1 + cos 46°) -0,5(1 + cos 14°) + 0,5(1 -cos 106°) -3 =
= 0,5(cos46° - cos 14°) - 0,5cos(90° + 16°) + 0,5 - 3 =
= — sin 30° • sin 16° + 0,5 sin 16° — 2,5 =
= -0,5 sin 16° + 0,5 sin 16° - 2,5 = | -2,5 |.
2\/2cos7o + \/2sin83o _
cos 52° + cos 38°
_ 2\/2cos7o + \/2sin(90o — 7°) _ 2 cos 7° + cos 7°
2 cos 45° * cos 7°	cos 7°
10)
Q Q Q Q
cos 4° — cos 6° — cos 8° + cos 10°
sin2 1° • cos 1° • cos 7°
CD
2 cos 7° ’ cos 3° - 2 cos 7° • cos 1°
sin2 1° • cos 1° • cos 7°
2 cos 7° (cos 3° — cos 1°)
sin2 1° • cos 1° • cos 7°
2 - (—2) sin 2° - sin 1° _
sin2 1° • cos 1°
4 • 2 sin 1° • cos 1° • sin 1°	.—-
sin2 1° • cos 1°
CD

542
Зачетные карточки
s
3 cos 215° - 4 cos 35° - 2 sin 125° _
cos 17° • cos 18° — cos 73° • cos 72°
_ 3cos(180° +35°) -4 cos 35° -2sin(90° + 35°)
0,5(cos35° + cos 1°) — 0,5(cos 145° + cos 1°)
__________-3 cos 35° - 4 cos 35° - 2 cos 35°__
0,5 cos 35° + 0,5 cos 1° — 0,5 cos 145° — 0,5 cos 1°
_____________-9 cos 35°___________
0,5 cos 35° — 0,5cos(180° — 35°)
_	—9 cos 35°
0,5(cos35° + cos 35°)
Примечание, Можно проще, если учесть, что
cos 73° = sin 17°
fyoo • 1 оо , тогда
cos 72 = sin 18
cos 17° • cos 18° - cos 73° • cos 72° =
= cos 17° • cos 18° - sin 17° • sin 18° =
= cos(17° + 18°) = cos 35°.
Решение карточки 4
543
Решение карточки 4
1.	Упростите tg ( а + ~ j — tg ( а — —
1 — cos ^2а + tQ
sin (2а + 30
1 — cos + 2<0
sin + 2а}
d Q A A
1 + sin 2а 1 — sin 2а
cos 2а cos 2а
1 + sin 2а + 1 — sin 2а 2
cos 2а
cos 2а *
2.	Разложите на множители:
1)	cos 4а + 2 cos а • cos ба + cos 8а =
—	2 cos а • cos 6а + 2 cos 6а • cos 2а —
/	х	За а
—	2 cos 6а • (cos а + cos 2а) = 4 cos 6а • cos — • cos —.
2)	2 sin За — cos 2а + cos 4а =
= 2 sin За — 2 sina • sin За = 2sin3a(l — sina) =
n • о ( •	• A
— 2 sm 3a • sm — — sm a =
\ 2 /
(тг	a\	/ тг	a\
—-----• COS-------h — •
4	2/	\4	2 J
3.	Докажите тождества:
ч 2 sin a — sin 2a 9 a
1	• 9	=	9 •
2 sin a + sm 2a 2
2 sin a — sin 2a	2 sin a — 2 sin a • cos a
2 sin a + sin 2a	2 sin a + 2 sin a • cos a
544
Зачетные карточки
2sina(l — cosa) 2sin2 2	2 a
2sina(l 4-cosa) 2cos2|
v	9 Q
L = tg2 -
z => L = П.
П= tg2 -
2 1 +
@@@
cos 4a
—------------r- — sin 4a.
tg (t - 2«)
cos 4a i cos 4a
tg f - 2a')	sin -to)
\ 4	/	1 .	/37Г л \
1+cosl ~2—4a I
cos 4a cos4a(l — sin 4a)
~ cos 4a	cos 4a
l—sin 4a
1 + sin 4a = sin 4a.
L = sin 4a т тг
TT * л => L = IL
11 = sm4a
4. Вычислите:
cos2 84° + cos 51° • cos 39° + 3 =
= 0,5(1 + cos 168°) + 0,5(cos 90° + cos 12°) + 3 =
= 0,5 + 0,5 cos(180° - 12°) + 0,5 cos 12° + 3 =
= 3,5 - 0,5 cos 12° + 0,5 cos 12° = [3j].
2)
1 —tg275°	2„,
----------• 2 cos 75
cos 150°
fl - sinUr°) • 2 cos2 75°
у cos^ 75° j
cos 150°
2 cos2 75° - 2 sin2 75°	2 cos 150'
cos 150'
cos 150‘
Решение карточки 4
545
. ctg2 34° - cos2 34°
2 ctg2 34° • cos2 34°
cos2 34° — cos2 34° -sin2 34°
sin2 34°
2 cos4 34°
sin2 34°
sin2 34°
cos4 34°
cos234° ITJ
cos2 34°	/2/
cos2 34° (1 - sin2 34°)
sin2 34c
1	1— sin2 34
2	' cos2 34°
2
1
2
1
2
4)
cos2 + sin2 “ + 2sin Л • cos
ii	ii	ii	ii
cos2
cos2
ii
1 ।	* 2tt
1 + sin jy
1 ।	• 2tt
1 4- sin yt
— о___________—-
i . 2tt
1 + Sin -jj
cos + cos |	2 cos || • cos
TV	TV	TV	7Г
COS g • COS 24 COS g • COS
1 + sin 18° — cos2 36°	1
'	2 cos2 36°	+ 4
1 + sin(90° - 72°) - 0,5(1 + cos 72°)	1
1 + cos 72°	4
1 + cos 72° - 0,5 - 0,5 cos 72°	1
1 + cos 72°	4
1 + cos 72°	1 _ 1	1 _ [T
°’5 ’ 1 +cos 72° + 4 ~ 2 + 4 “ 4 ’
7)
cos 68° — 2 cos2 4°
2 cos2 26°
cos 68° — 1 — cos 8°	—2 sin 38° • sin 30° — 1
2 cos2 26°	”	1 + cos 52°
sin(90° — 52°) + 1 _ cos 52° + 1 _ „
1 + cos 52°	1 + cos 52°
546
Зачетные карточки
s eg s e @66	@ 6	@@ @@@6
9)
И)
8) cos2 19° + sin2 11° + cos2 41° + 2 =
= 0,5(1 + cos38° + 1 - cos 22° + 1 + cos82°) + 2 =
= 0,5 (3 - 2 sin 30° • sin8° + cos(90° - 8°)) + 2 =
= 3,5 + 0,5(sin 8° - sin 8°) = [ЗД.
8sin 194° + cos 256° _ 8sin(180° + 14°)+cos(270° —14°)
sin 14°	sin 14°
—8 sin 14° — sin 14°
sin 14°
2x/2sin22°+5x/2cos68° _
cos 23° — cos 67°
_ y/2 (2 sin 22° + 5 cos(90° - 22°))
2 sin 45° • sin 22°
_ \/2(2sin220 + 5sin22°) _ 7sin22°
\/2sin220	" sin 22°
cos 5° + cos 85° + sin 75° + sin 15°
4\/2 cos 5° • sin 55°
2 cos 45° • cos 40° + 2 sin 45° • cos 30°
4%/2 (0,5(sin60° + sin 50°))
ч/2 cos40° + y/2 •	cos(90° - 50°) +
2%/2 (sin 50° +
sin 50° 4-
2 (sin 50° +
2 (sin 50° +
7 cos 29° - 2 cos 151° + 4 sin 61° _
cos 67° • cos 38° + cos 23° • cos 52°
_ 7cos 29° - 2cos(180° - 29°) + 4sin(90° - 29°)
0,5(cos29° + cos 105°) + 0,5(cos29° + cos 75°)
7 cos 29° + 2 cos 29° + 4 cos 29°
0,5(cos 29° + cos 105° + cos 29° + cos 75°)
_	13 cos 29°	_ 13 cos 29°
0,5(2cos 29° + 2 cos 90° • cos 15°) cos29°
Решение карточки 5
547
Решение карточки 5
Вычислите:
. cos2 a-h 2
1) —----------------х—, если tga = 3.
3 sin а • cos а + cos^ а
COS2 а + 2	cos2 а (1 "* cos2 а)
3 sin а • cos а + cos2 a cos2 а(3 tg а + 1)
_ l + 2(l + tg2q) _ 3 + 2tg2a _ 3+18
3 tg а + 1	3 tg а + 1	9 + 1
( 2тг\
2) cos I х —— \ — cos
27г\	.	1
— , если sin х =
3 Г	у/3
/	2я\	/	2я\
cos I х--— 1	— cos I х	+	— 1	—
\	О /	\	О /
. 2тг . n \/3	1 m
= 2sin — • sina: = 2 • — 	= Щ.
3	2^/3

3) cost, если cos(t — 45°) + cos(t + 45°) — л/2.
cos(z — 45°) + cos(z + 45°) — л/2;
2 cost • cos45° = a/2;
л/2со8т = д/2; cosz — 1.
4) 1 + cos2а, если sina = —0,6.
1 + cos2a = 1 + 1 - 2sin2 a = 2 - 2 • 0,36 = 11,28 |.
1
3
5)
a
tg а, если ctg — —
£
a 1
tg — =------= 3;
° 9	, a	7
2	Ctg 2
tga =
2tgg
1-tg2^
2-3
1-9
= |-0,75|.
6)	cos(2a — тг), если sina = y/0^2.
cos(2a — тг) = cos(vr — 2a) = — cos 2a —
= -(1 - 2sin2 a) = -(1 - 2 • 0,2) = |-0,6 |.
548
Зачетные карточки
7)	2 sin 5а • cos 7 а — sin 12а, если sin а + cos а = 0,3.
sina + cosa = 0,3;
sin2 а + cos2 а + 2 sin а • cos а = 0,09;
1 + 2 sin а • cos а — 0,09; sin 2а = —0,91;
2 sin 5a • cos 7a — sin 12a — sin 12a — sin 2a — sin 12a —
= - sin 2a = |~0^9T|.
v *9 f Зтг a \	.
8)	sin----------, если sina = 0,7.
7	\ 4	2/ ’
= |(1 + sina) = 0,5 • 1,7 = [0^5].
9)
sin a + 2 cos a	al
----------------, если tg — = —
sin a + 4 cos a-2	2
sin a + 2 cos a (sin a + 2 cos a) : cos a
sin a + 4 cos a (sin a + 4 cos a) : cos a
2tg£
—— + 2
i~tg2 у
2tg " +4
i-tg2 у
tga + 2
tga + 4
2-0,5	, o
1—0,25 Z
-2^L+4
1-0,25
[0^25].
10)
2\/3 (sina — sin/3), если
a + /3 = 2тг
„	27Г .
a - /3 = —
О
2\/3 (sina — sin/?) = 2\/3 • 2 sin ( a j • cos (
\ 2 1	\ 2
з + 2
3 + 4
4 + 6 _ 5
4+12 “ 8
Решение карточки 5
549
1	тг
11) 5cos(a — /3\ если cosa • cos/З = -иа + /3=—.
О
5cos(a — /3) — 5(cosa • cos/3 + sin о: • sin/3) —
= 5	+ sin a • sin (3 — cos a • cos /3 + cos a * cos /3
~	\ | ~ (cos a ’ cos $ ~~ sin a * sin | / =
/	тг\	(	1
= 5(1 — cos (a + /3))	=	511	— cos — j	= 5(1 —	-
\	O J	\	£i
X	X
12) cosz, если sin — + cos — = 0,5.
X	X
sin — + cos —	= 0,5;
2	2
9 Z	9	Z	Z	X
sin —h cos —|- 2 sm — • cos — = 0,25;
2	2	2	2
l + 2sin — ‘cos — = 0,25;
2	2
2sin — -cos — = —0,75; sinz = —0,75;
2	2
cosz = ±\/l — sinl 2 z;
13) sin6 a + cos6 а, если sina + cosa =
sin a + cos a =
3
sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a = -
1 + 2sinai • cosa = 1,5; sina * cosa = 0,25;
sin6 a + cos6 a =
= (sin2 a + cos2 a) (sin4 a + cos4 a — sin2 a • cos2 a) =
= sin4 a + cos4 a + 2 sin2 a • cos2 a — 3 sin2 a • cos2 a =
= (sin2 a + cos2 a)2 — 3 sin2 a • cos2 a =
/1\2	3
= 1—3 sin2 a • cos2 a = 1 — 3 • I - I = 1 — —
\ 4 /	16
13
16 *
550
Зачетные карточки
Решение карточки 6
Вычислите:
sin2 a — 3 sin a • cos a
y если tga — 2.
cos4 а
sin2 a — 3 sin a • cos a	(sin2 a — 3 sin a • cos a) : cos2 a
cos4 a : cos2 a
cos4 a
tg2a-3tga z 2
=-------j----= a ~ 3 tg a
cosz a x
= (4 — 6)(1 + 4) = рЛо].
2)
(	ТГ \	/	7Г \
ctg I X + — 1 + ctg I х — — 1 , если ctg X = 2.
ctg I x + — I + ctg I x — ~ I = —
\	4 /	\	4 / sin
Х~ 4
sin 2х
— cos
2 sin 2z	2 tg z
-------------= -2tg2z = —2 • 	-
cos — cos 2z-1 — tg z
_ _2 2‘°>5
1 - 0,25
-2-
3
4
х —
3)
cos х, если sin(120° — х) + sin(120° + х) = —\/3.
sin(120° — x) + sin(120° + x) = — д/3;
2sin 120° • cosz = — x/3; \/3cosz = —\/3; cosz =	11.
4) sin2a, если tga = —0,5.
sin 2a —
2tga _ 2 - (-0,5) _ _4
1 + tg2 a 1 + 0,25	5
Решение карточки 6
551
.	a
5) cosa, если ctg — = — 1.
, a	a	1 tg2 2
cl62 = ~i~l4 = ~i; “s“=rz^f
1 - 1
6) sin(7r + 2a), если sina + cosa = 0,7.
sin a + cos a = 0,7; sin2 a + cos2 a + 2 sin a • cos a = 0,49;
1 + 2 sin a • cosa = 0,49;	2 sin a • cosa = —0,51;
sin(7r + 2a) = — sin 2a = —2 sina • cos a = | 0,511.
7)
8)
2 sin 6a • sin 4a + cos 10a, если cosa = 0,3.
2 sin 6a • sin 4a + cos 10a — (cos 2a — cos 10a) + cos 10a =
= cos 2a = 2 cos2 a — 1 = | —0,82 |.
9 / 5?r	a \
cos---------1— I , если sma = —0,3.
\ 4	2 J
9 (5тг a\ 1 A / 5тг
™	+ = 2 V +
1 А А тг
= - ( 1 + cos I 2тг + — + a
= 1(1 - sina) = 0,5(1 + 0,3) = f0^5].
1 A (тг
-I 1 + cosl -+a
sin a — 4 cos a	a
—--------------, если tg - = 2;
2 sm a + cos a	2
sin a — 4 cos a
2 sin a + cos a
tga — 4
2 tga + 1
(sin a — 4 cos a) : cos a
(2 sin a + cos a) : cos a
2tgv
------------4	4 A
1-tg2 ?	„ 1-4 — 4 _ 16
1-tg2 2
552
Зачетные карточки
10)
©
sin а + sin (3	_ Зтг _ тг
---------, если а + /3 = — и а-(3 = -.
cos а — cos (3	2	3
sin а + sin (3	%sin \ 2 ) ' cos \ 2 J
cosa —cos^- 2sin(^)-sin(^) ~
• Зтг тг
Sin - J- • COS 6
. Зтг • тг
Sin -j- • Sin g
7Г
= - ctg - =
о
1	7Г
11) 4sin(o! — /?), если sincu • cos/3 = - и а + /3 — — —
sin си • cos/? = | [sin(a — /3) + sin(a! + /3)] = -;
(7Г\	1
“7 I = й!
О /	Zt
sin(a! — /3) — 1, значит 4sin(a! — /3) = |~4].
12)
2
2
. 9 Z	* X X
sin —h cos--2 sin — * cos — — 0,1;
2	2	2	2’’
X	X
1 — 2 sin — • cos — = 0,1;
2	2
— sin x = —0,9;	sin x = 0,9;
<—	<— sin x	r—	sin x
/19tgz = /19— = ±V19 ._____________r=. =
c°s x	V 1 — sin2 x
r— 0,9	r— 0,9 r—	1
=	 °-9  71
= ±10 • 0,9 = [±9].
Решение карточки 6
553
х sin4 a cos4 а	2
13) —-----1---q—, если sin а + cos а = —=,
cos2 a sin а	у 5
.99	4
sin а + cos а + 2 sin а • cos а = -; 1 + 2 sin а • cos а — 0,8;
5
2 sin а • cos о; = —0,2; sin 2m ~ —0,2;
sin4 a cos4 a sin6 а + cos6 а
О ~Ь ~ 9	9	9
cosz a sin a sin а • cos2 а
(sin2 а + cos2 m) (sin4 а — sin2 а  cos2 а + cos4 m)
sin2 а • cos2 а
sin4 а — 2 sin2 а • cos2 а + sin2 а • cos2 а + cos4 а
*2	9
sin а • cos2 а
(cos2 а — sin2 m)2 + sin2 а • cos2 а
sin2 а • cos2 а
(cos 2m)2 + sin2 а • cos2 а 1 — sin2 2m + sin2 m • cos2 m
sin2 m ’ cos2 m	sin2 m • cos2 m
_ 1 - (-0,2)2 + (-0,l)2 _ 1 - 0,04 + 0,01 _ 1 - 0,03 _
”	(-0,l)2	” 0ДЛ “ 0,01 “
554
Зачетные карточки
Решение карточки 7
Вычислите:
ч cos2 а — 2 sin2 а
1)	-----------П7’ если = ”3-
5 sin се • cos а 4- 3
cos2 а — 2 sin2 a	cos2 а 1 — 2 tg2 а
5 sin а • cos а 4- 3	cos2 а 5 нг гу -I_L-
о cos2 а
1 - 2 tg2 а _	1 — 4	_Г“3
“ 5tga + 3 + 3tg2a “ -5 • 2 + 3 + 3 • 4 “ ~5
2) ctg ^z — — j — ctg ^z + — j , если tg z = —.
Jg ctg(z--J -ctg^z + -j =
l + tgz-tg^ 1— tgz-tg7r4 1+tgz 1 —tgz
tgz-tg^ tgz + tg^ tgz —1 tgz + 1
_ (tgz + I)2 — (tgz — I)2 _ 4tgz _
tg2 z — 1	tg2 z — 1
_ 4' I _ 2	8 _|	2
1-1	_3	3	3'
4	1	4	----
3)
ctg x.
если cos (x — 45°) — cos (x 4- 45°) =
V 2
cos (x — 45°) — cos (x 4- 45°) = cosz;
л/2	г/2
2 sm x • —— — — cos x:
2	2
2 sinz = cosz;
ctgz —1~2~|.
Решение карточки 7
555
{ Ос 7Г
4) cos 2a, если cos I — + —
= 0,25.
a	7Г	. a . я-
= cos — • cos — — sm — • sin — = 0,25:
2	4	2	4’
a a . 2 a _ 1
2 ~~ 2 ' ““ 2 ' 8
/ а	тг \ a
“Ч2 + 4/	“2
a a	9 a a a . 2 a
cos---sin — — 0,25 v 2; cos — — 2sm — - cos — + sin — =
2	2	2
1	•	1	•	7
1 — sina = -; sina —
8	8
49
cos 2a = 1 — 1 sin2 a = 1 — 2 • —
64
17
32 ‘
5)
a o
tga, если tg — = —3.
2tgf _ 2 • (-3) _ -6
1 - tg2 I ~ 1-9 “ -8
tga =
1-9
3
4
6)
7)
.	( 7Г
cos(2a — тг), если cos I a + —
\
'ОД
/	7Г \	.	__
a)	cos ( a + — 1 — — sina = —^0,3; sina = —^0,3;
6)	cos(2a — тг) = — cos 2a — — (1 — 2sin2 a) = 2- (д/ЩЗ)2 — 1 —
= o,6 — i = рчм]-
9 a a
2 cos 3a * cos 5a — cos 8a, если sm — + cos — — 0,8.
X	&	a Л	• 9	Л a	a	9	П A
a)	sin —4-cos——0,8; sinz—h2sin — • cos — + cos a —0,64;
2	2	2	2	2
9
sina = —0,36 — ——.
25
6)	2cos3a-cos5a — cos8a = 2cos3a• cos5a — cos(3a + 5a) =
= 2 cos 3a • cos 5a — cos 2a • cos 5a + sin 3a • sin 5a =
= cos3a• cos5a + sin2a-cos5a = cos(5a —3a) = cos2a ~
, n . 2	. A /9 V , 162	635 - 162
-1 2sin a —1 2-( 25) -1 625-	625
463
625
556
Зачетные карточки
8)
.0^3	а \	п
sin	-тг 4— ] . если sma = —0.3.
\ 4	2 7
.. /3	1 (	(3
81П	-7Г + —	= -	1 — COS -
\ 4	2 /	2 \	\2
1	1Q ______
= 2<1+0'3, = 20=И-
9)
/4
cos I -тг 4- 2a
V3
если ctg a =
/4	\	4	4
cos I -тг + 2a I = cos -тг • cos 2a — sm -тг • sm 2a =
\ о	/	о	о
1	. V 3 . Л
— cos 2a---------sm 2a = —
2	2
1 1 — tg2 a
2 1 + tg2 a
л/З 2 tga
2	1 4- tg2 a
1 — tg2 a — 2^/3 tga
2(1 4-tg2a)
1- (|^3)2-2^3-^
4+(И2)
13
14
10)
cos a — cos (3
sin a — sin /3
если
z
a~l3=2
ТГ
a + /3 = -
О
Решение карточки 7
557
sin а • sin /? =
1 _
5 “
2
I
5
1
2
'З
~Т'
11)	cos(a 4- /3), если sin а • sin /3 - - и а — /? = —.
5	3
cos(a + /?) = cos а • cos/? — sin а • sin /3 —
= cos a * cos /3 — + sin a • sin /? —
5
= cos a • cos /? + sin a • sin (3 — ~ —
/ nx	2	ТГ	2
= cos(a -/?)-- = cos - - -
5	3	5
. x	x
12)	sm — — cos —, если cosz = —
/ о	2’
v3	5тг .
—у	x ~	27r^ | A: G Z;
о
Z Z /-	/ Z	ТГ \	/-	/ 5тГ 7Г \
sm-—cos- = — v2cos - + — =— v2cos ±—- + — + 7vk
22	\2	4/	\ 12	4 J
x /77 /5тг тг _ \	/-	/ 2тг _ \	. y/2
a) — V2cos I —- 4-F vrfc ) = — v2cos I — + тгк j —
\ 12	4	7	\ 3	/	2
z
2
cosz =
г- ( тг
2 cos I-----F тгк
\ б
г- v3 уб
= ±V2.V=± —.
. sm2 a cos2 a .	л/3
13)	1---------;, если sma + cosa = —
cos a sm a	2
sin a + cos a =
♦ 3
l + 2sma-cosa= -
4
sin2 a + cos2 a + 2 sin a * cos a =
l
2 sin a-cos a = —sma-cos a = -
I
8’
sin2 a cos2 a sin3 a + cos3 a
---- --1---:---- — —:	=
cos a sm a sm a * cos a
(sin a + cos a) (sin2 a + cos2 a — sin a • cos a)
sin a • cos a
ф Л i
(sina + cos a) (I — sina • cosa) __ 2	8
sina • cosa	_ 1
9^3
2
558
Зачетные карточки
Решение карточки 8
Вычислите:
1)
3 sin a  cos a — sin2 3 a
------------------------, если tga = —3.
9 + 5 sin a • cos a
3 sin a  cos a — sin2 a
9 + 5 sin a  cos a
3 tg a — tg2 a । cos2 a
—+ 5tga/ cos2 a
cos2 a °	/
3tga —tg2a =	-9-9	,_0 24|
9tg2a + 9 + 5 tga 81 + 9 — 15	*-—''
2)
(	^X	(	^X	1
tg f a; + — I + tg ( x - - I , если tg x = - -
tg I я + - I + tg I x — -
tg^ + tg^
1 -tgx-tg^
tgx-tg£
1 + tgx-tg^
2
- - 3 = -2- .
3	3
-0,5 + 1	-0,5-1 _ 0,5	1,5 _ 1
1 + 0,5 + 1 - 0,5 “ 1^5 - Oj “ 3
3) ctgx, если cos(x — 45°) + cos(x + 45°) = x/2sinx.
cos(x — 45°) + cos(x + 45°) = \/2sinx;
2 cos x • cos 45° — \/2 sin x;
sinx = cosx; ctgx = ГП.
4 .	4
4) sin2a, если ctga =
3
о 3	---
1	3	2tga 2 * 4	24
tg a —------— sin 2a —  ----------5— —-------— = —
ctga 4	l + tg2a 1 + ^	25
5)
a
sina, если ctg — —
1
3*
16 2 =
1
, a
Ctg 2
sina —
2tg^ _ 2-3 _ 6
1 + tg2^ " ГТз2 - io
a
Решение карточки 8
559
6)
/ Зтг \	.
cos ( — + 2а I , если sm а — cos а = 0,5.
sin2 се + cos2 се — 2 sin се-cos се = 0,25;	1 — 2 sin се-cos се — 0,25;
—2sincE • cos се = —0,75; sin 2а = 0,75;
/Зтг \	]-----(
cos I — + 2а 1 — sin 2а — | 0,75 |.
7)
2 cos 5се • cos 7а — cos 12се, если cos се — 0,2.
2 cos 5се • cos 7а — cos 12а — cos 2а + cos 12а — cos 12а —
= cos 2а = 2 cos2 а — 1 = 2 • 0,04 — 1 = | —0,92 [.
8)
. о / 5тг
sm —
\ 4
СЕ X
— , если sin се = 0,1.
2 1
се\ 1
2/2
1 — COS--------СЕ
\ 2
. 9 /
sm —
\ 4
= |(1 - sina) = 0,5(1 - 0,1) = [0~45].
9)
/11тг	\
\/3 tg (-----2а ) , если tgCE = 3\/3.
\ 6	/
y/3tg —-------2а
\ О
1 + tgV • tg2a
2-Зх/З 6х/3 Зх/З
tg а ~ 1-27 ~ ^26 ”	13-’
11тг	/	тг\	ТГ	\/3
tg — = tg 27Г - -	= - tg - = ——;
6	\	6)	6	3
/3 , Зх/з\
3 + 13 )
(Птг
х/з tg —----2а
\ о
3	13
= М-13 + 9) = _ 12 =
3-13 + 9	48	1-—1
560
Зачетные карточки
. уЗ cos a + cos (3	. 2л _ л
10) — -------------- если a 3- /3 — — и a — p — —
7 2 cosa —cos/?	3	2
/3 cos a + cos(3 v3
2 cos a — cos (3 2
2 cos
—2 sin
/3	COS	3	•	cos
9	.	7Г	.	7Г
z	sm	4	•	sm g
/3
Т V2
2
a + /3 -
cosa  cos/3 = 1 [cos(a + /3) + cos(a — /3)] — — 1;
Л	1
cos — + cos(a — (3) — —cos(a — /?) = —1;
0,2 cos(a - /?) = 0,2 • (-1) = |-072 ].
2 * 2
/3
2
11) 0,2 cos(a —/?), если cosa • cos/? —
и
Л
3
12)
13)
. я
sin ж, если sm — 
2
/	\	2
{ .	X	Х\
sm — — cos —
\	2	2/
1 — sin х — 0,44;
* 2	2
sm a cos а
— cos — = \/0,44.
2 v
1	. 2 Х	2 Х . х х Л ,
— sm —h cos — — 2 sm — • cos — = 0,44;
2	2	2	2’’
sin# = | 0,56 |.
V3
, если sina — cosa = —.
cos a sm a	2
/3.2	2	3
—; sin a + cos a — 2 sm a • cos a — -;
2	4
1
sma • cosa =
8’
sin° a — cos° a
sin a • cos a
sin a — cos a =
3
1 — sin 2a =
4’
* 2	2
sin a	cos a
cos a	sin a
(sin a — cos a) (sin2 a + cos2 a + sin a • cos a)
sin a • cos a
(sina — cosa)(l + sina * cosa)
sin a * cos a
2
0,125
^~=|4,5a/3.
Решение карточки 9
561
Решение карточки 9
1. Вычислите:
1) 4(cos24° + cos48° — cos84° — cos 12°) =
л Го . 24°+84°	. 84°—24° . / o • 48°+12°	. 48°-12°\]
= 412 sin —— • sin —2----1- ( — 2 sin —~— • sm —?— J =
- 4 • 2(sin54° • sin 30° - sin30° • sin 18°) =
= 4(sin 54° — sin 18°)	. o  54°—18° = 4-2 sm —2—	54°+18° • COS	2	 —	a>
= 8 sin 18° • cos 36° =	8 sin (90° - 72°) •	cos 36° =	©
= 8 cos 36° • cos 72° =	8 sin 36° • cos 36°	• cos 72° _	
	sin 36°		
_ 2 • 2 sin 72° • cos 72°	_ 2 sin 144° _		
sin 36°	sin 36°		
_ 2sin(180° - 36°) _ sin 36°	2 sin 36° : sin36°		
2) ctg 1° • ctg 3° • ctg 5° •... • ctg 89° —
= ctg 1° • ctg 3° • ctg 5° • ... • ctg 43° • ctg 45° x
x ctg(90° - 43°) • ctg(90° - 41°) •... • ctg(90° - 1°) =
= ctg 1° • ctg 3° • ctg 5° •... • ctg 43° • 1 x
x tg43° • tg41° • tg39° • ... • tg5° • tg3° • tg 1° =
= (ctgl0-tgl0)-(ctg30*tg30)-(ctg5°-tg50)-.. .-(ctg43o-tg43o) =
= 1 • 1 * 1 •* 1 =|T|.
3)
. 4	4	.	r
sin a — cos а, если tg — — 0,5.
2tg^ 2-0,5	4
sina ~	“ i + м2 - К;
sin4 a — cos4 a — (sin2 a + cos2 a) (sin2 a — cos2 a) =
/4\2
= sin2 a — cos2 a — 2 sin2 a — 1 = 2 • ( - I —1 =
\5 J
_ 2- 16 T _pF
“ ~~25	“ 25 ‘
562
Зачетные карточки
4)
1 — sin6 а — cos6 а	_п
-------j---------—, если а = 7 .
1 — sin а — cos4 а
' 1 — sin6 а — cos6 а	1 — (sin6 а + cos6 а)
1 — sin4 а — cos4 а	1 — (sin4 а + cos4 а)
1 — (sin2 а + cos2 а) (sin4 а — sin2 а • cos2 а + cos4 а)
1 — [(sin2 а + cos2 а)2 — 2 sin2 а • cos2
1 — [(sin2 a + cos2 a)2 — 3sin2 a • cos2 a]
1 — (1 — 2 sin2 a • cos2 a)
1 — 1 + 3 sin2 a • cos2 a
3
1 — 1 + 2 sin2 a • cos2 a 2 ’
т. e. значение выражения не зависит от а на области
существования.
/	/	г-\\ -1
ч /	/ \/з П
5) I arccos I —— 11	• arctg 1 =
r-\ -1
^3 \ 7Г
тг — arccos —	• —
2 /	4
-1
6
7Г	б	7Г
4	5тг 4
3
10
6) cos(2 arctg 2) — sin(4 arctg 3).
Обозначим ct = arctg 2, (3 — arctg 3,
тогда tga — 2, tg/3 = 3.
1 - tg2 a
------5—; cos 2a —
1 + tg2a
l + tg2/3
l + tg2/3
cos 2а =
cos 2(3 =
1 - 22
- 7 -*
1 - 32 _
i + з2 “ "To
2-3
8
4
5’
6
i + з2 “ То
з
sin 4/3 = 2 sin 2(3  cos 2(3; sin 4/3 = 2 • - •
5
sin 2(3 =
3
5’
4^
5,
24
25
Тогда cos(2arctg2) — sin(4 arctg 3) = cos 2a — sin 4/3 =
3	24	9	r----.
= — + — = — = Rk36L
5	25	25	u—1
Решение карточки 9
563
2. Найдите наименьшее значение функции
/(а) = | tga + ctga|.
. sina cosa
/а = ------
cosa
sina
2
sin2 а+cos2 а
sin а • cos а
1
sin а  cos а
1
i sin 2а
Так как наибольшее значение sin2oi =
значение /(а) = 2.
sin 2а
1,
то наименьшее
1
2
3. Решите уравнения:
1) cos2(7nr) + sin(7nr) = 2, если |ж|
3\/2
1 — sin2(та) Ч-— эш(та) = 2;
обозначим вш(та) = тогда 2t2 — 3 х/2/, + 2 = 0;
/2 £ E^sinrr)
/2
т
Зх/2±х/18- 16
=-------4-----
4
TVX
V 2
Итак, эт(та) =
arcsm ——F тг/с;
та = (—1)*^ + irk I к е Z;
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
Ответ: х =
4
При к = 0 <
1
2	,
। , при других к решения нет.
~2
564
Зачетные карточки
.	/ ч	57ГХ
2) cos\nx) + sm —— — —2, если 2 х о.
cos (тле) = — 1
5тпг ;
sin —— = — 1
2
их = тг + 2пк
5пх
тг |fc,neZ;
— — + 2тгп
х — 1 + 2к
1	4
х = “Р + г
5	5
4
-п 6
5
4
-п 2
5
1
“5
1
— 5
1 + 2к 6
1 + 2к 2
1 + 2к = — +
5
4
5П
к > 0,5
31
n < —
4
11
2n = 3 + 5k
k = 2
_k = 1
n
n
n
n
n
2n = 3 + 5k
= 7
= 6
= 5
= 4
= 3
f A; = 1
Проверяя пары, получаем <	;
х — 3.
Ответ: х = 3.
3) tg2 их + ctg2 их = 2, если — - < х
1
2
tg2 tvx Н---у— = 2; tg4 Tix — 2 tg2 irx + 1 = 0;
tgJ тгх
(tg2 тгх — l)2 = 0;
tg2 тг.т = 1;
tg тгх — 1
tg7rz = —1 ’
их — —h пк
4
их — — — + пп
4
x = - + к
|fc,n£Z;
x = -- + n
4
Решение карточки 9
565
к = О
п = О
1
Ответ:
1 Ц
4’4J ’
566
Зачетные карточки
Решение карточки 10
1. Вычислите:
1) sin 160° • cos 110° + sin 250° • cos 340° + tg 110° • tg 340° =
0 0000
= sin(180° - 20°) • cos(90° + 20°) +
+ sin(270° - 20°) • cos(360° - 20°)+
+ tg(90° + 20°) • tg(360° - 20°) =
= sin 20° • ( - sin 20°) - cos 20° • cos 20° + ctg 20° • tg 20° =
= —cos(20° - 20°) + 1 = — cos0° + 1 = -1 + 1 = [>
1	4	-4
1 — cos a — sin a _4
2) -------—----------- cos a —
tg2a
1 — (cos4 а+ sin4 а—2 sin2 а  cos2 а+2 sin2 а  cos2 а)
,;„2
sin a 4
—?— •cos a
cosz а
1 — [(cos2 a + sin2 q)2 — 2 sin2 a • cos2 a
sm a • cos2 a
1 — 1 + 2 sin2 a • cos2 a „
• 2	9	L=-l*
sm a • cos2 a
/ 7Г \
3) tg f — — 2а I , если tg a = 2;
/к \ tg^-tg2a
tg I — — 2a I =--------;
\ 4	/	1 + tg J • tg 2a
„ 2tga 2-2
tg " ~ 1 - tg2 a ~ 1^4
1 + f _
1-1-Г
M 4 ~2a
4.
’ -з’
7
_3__7 / 3
_1 “ 3’ \ 1
3	4
Решение карточки 10
567
4) tg2z + ctg2z? если tgz + ctgz —5.
(tgz + ctgx)2 = tg2 x + 2tgx • ctgx + ctg2 x =
— tg2 x + 2 + ctg2 x;
(tg X + ctg x)2 = 52 — 25; tg2 x + ctg2 x + 2 = 25;
tg2 x + ctg2 x = | 23 |.
ч л f 1\	/1	15\
5) A = sin I 2 arctg - I + tg I - arcsin — J .
1	15
Обозначим arctg - = a, arcsin — — (3 (a, (3 6 I);
1	„	15	n	£
тогда tga = sin/3 = —; A = sin2a + tg —;
Z	11	z
/ 1
cos a = \  -------5—
V 1 + tg2 a
2_
/5’
/1	4
sm a — 4 /1 — -
V $
Л 2
sin 2a = 2 • —7=
\/5
sin/3

=
A =
4
5
1
л/б’
1 _ 4
/5 “ 5
15
17	= 15
1 + A 17
1	17
3
b 5
17 _ 3 1 _ 3
25 ~ 1 ’ 5 - 5’
7
5
/13	( 1 \\
6) ctg - arccos - - 2 arcctg I -- 11
\2 o	\ " //
3
Обозначим arccos - = a (a e I),
5
arcctg I - - I = p {P € U).
3	1
Тогда cosa = ctg/) = — - => tg/3 = —2.
5	Z
68 8 68
568
Зачетные карточки
X тт	Q
а) Найдем tg—.
sina
1 + cos a
2 tg/3
а
2 =
б) tg2/3 =
л/l — cos2 a
1 + cos a
-4 _ 4
1 - tg2/? ” =3 “ 3‘
4
5 __ 1.
3 ” 2’
5
Поэтому
/a \	1 + tg “2 * tg 2/3
ctg(-~2/P
tg 5 - tg 2/3
+ -•-
'2 3
1 _ 4
2	3
5
3
ЗГЕ
6
2.
Найдите наибольшее значение функции
f(a) = sin2 а * cos2 а.
/(a) — sin2 a • cos2 a = sin2 2a = ^(1 — cos4a);
— 1 C cos 4a < 1;	1	— cos 4a — 1;
2	— cos 4a + 1^0;	^(1 — cos 4a)	0.
Наибольшее значение функции /(a)
1
4
3.	Решите уравнения:
1)	2 cos (тле) + 3зт(та) = 5, если 1 С х 2.

J соэ(та) = 1 .
( sin (тле) — 1 ’
Ответ: х 6 0.
та — 2тг/с
тг ;
та — — + 2тгп
х — 2к
х — | + 2п
2)	sin4 (тле) + соз4(тпг) = sin(jnr) • cos (тле), если 0 < х < 2.
зт4(тгж) + cos4 (тле)+
+ 2 sin2(тле) • cos2 (тле) — 2 sin2 (тле) • cos2(та) =
= эт(та) • cos (тле);
(sin2 (та) + cos2 (та))2 — 2 sin2 (та) • cos2 (та) =
31	= зт(та) • соз(та);
Решение карточки 10
569
2 — sin2(27nr) — sin(2Tnr) = 0;
зш2(2та) 4- sin(2Tnr) — 2 = 0;
f .	— 1±VT + 4*2*1	-1±3
(81П(27ПГ))12 = -----------
sin27nr = —2 [—1; 1] ,
sin 2та = 1	’
sin(27nr) — 1;
к 1	1
2та = —h 2?rfc: х = - + fc.
2	4
Придавая к различные целые значения, отберем толь-
ко те, при которых х 6 [0; 2].
Ответ: < —; 1— > .
4 4
3)	х2 4- бх • sin 4-9 — 0.
а)	При х = 0 9 = 0 — ложь.
б)	Рассмотрим случай х 0. Тогда
. 7ГЯ х2 4- 9
sm —- = — -—-—
2 бх
— 1 sin —	1:
2
x2 + 9 + бх >
x2 —	4- 9 <
«1;
Х х & {-3; 3} .
р////ж
Проверка показывает, что х~ — 3 и ж = 3 — корни.
Ответ: {—3;3}.
570
Зачетные карточки
Решение карточки 11
1. Вычислите:
_ 7тг бтг + тг {тг
1) cos — = cos —---------= cos —
7	12	12	\2
(D
2D
\/2- V3
2
sin2 7° — cos2 7°
cos2 7° — sin 7°
Г-	1	Z-
. ТГ 1 ТГ у/з . ? ТГ 1	2	2 — у/з
in — = -; cos — — —; sin — —-------------—----------
6	2 ’	12	2	4
2 - л/3 _ >/2- V3.
4	“	2	'
7тг . тг
поэтому cos — = — sin — —
tg 7° - sin 14° - 1 _	-2 sin 7° - cos 7° - 1
cos 14°	cos2 7° — sin2 7°
2 sin2 7° — sin2 7° — cos2 7°
cos2 7° — sin2 7°
3)	cos 47° - cos 13° + cos 73° =
= cos(60° - 13°) - cos 13° + cos(60° + 13°) -
— cos 60° • cos 13° + sin 60° • sin 13° — cos 13°+
+ cos 60° • cos 13° — sin 60° • sin 13° =
1	х/З	1	х/З
— - cos 13°-f-	sin 13°—cos 13°+ - cos 13°—— sin 13° = [0].
@33
4)	sin 20° • sin 40° • sin 80° =
— sin40° • (sin20° • sin80°) = cos50° • (cos 10° • cos 70°) =
= cos50°-|(cos80°4-cos60°) = |cos50°-cos80°4-^cos50° =
= -(cos 130° + cos 30°) + - cos 50° —
4	4
1	11 \/3
= -(-cos 50° 4-cos 50°) 4- - cos 30° = - • —
4	4	4	2
Уз
“s’
Решение карточки 11
571
v 2
5)	А — 162(sin4 5 х + cos4 х), если sin х — cos х = —
3
(sinx ~ cosx)2
2	.9	2	_ .
- — sm х + cos x — 2 sm x • cos x =
2	7
sin 2x — 1-----= —;
9	9’
= — sin2x + 1;
2
- — 1 — sin2x;
A = 162(sin4x + cos4x + 2sin1 2 3x-cos2x — 2 sin2 x-cos2 x) —
= 162((sin2	x + cos2 x)2	— 2 sin2 x • cos2 x) =
/	i	\	/	1	/ 7\2\
= 162	1 -	- sin2 2a? )	=	162	I 1------  =
\	2	/	I	2	\9J /
- 162
f 1 49 \	(	49 \
= 162 | 1 — -• — )= 162 I 1 - -— | =
2 81J \	162/
162 —49 \	.___.
——— = 162 - 49 = [ПЗ].
J-Oz^ /
6)	sin6 а + cos6 а + 3 sin2 а • cos2 а =
= (sin2 ct + cos2 ct) (cos4 ci + sin4 ci — sin2 ci • cos2 a)+
+ 3 sin2 ci • cos2 ci —
— 1 • (cos4 ci + sin4 ci — sin2 ci • cos2 a) + 3 sin2 ci • cos2 ci =
= cos4 a + 2 sin2 ci • cos2 ci + sin4 ci — (sin2 ci + cos2 a)2 = H~l •
7)	arccos (—0,5 • \/3) : arctg ( i • л/З J =
\ о /
7Г	5тг	6
6	6	7Г
8) A = tg
1	3
- arccos -
2	5
3arctg(—2) ] .
3
Обозначим ci = arccos arctg 2 = Д, тогда
5
3
cosa = tg/3 = 2.
5
572
Зачетные карточки

л А1 3
А = tg - arccos -
5 \ 2	5
3 arctg(—2) ) = tg ( + 3/3
tgf + tg3/3
1 -tgf -tg3/3’
a	/1 — cos a
= \ z—-------
2 V 1 + cos a
2 5
5 ’ 8
1
2
(так как a 6 I четверти).
2-2
1-4 :
2
з_ = 2
11	3
з
tg2/3 =
2tg/3
tg3/3 =
1 - tg2 /3
2 — -
z з _
1 + 2-1
4
—поэтому
3
11
2
И
Значит
A = tg(| + 3/3
i + -
2	11
1-1.A
1	2	11
11 + ±
22	22
15 11
i_± “ 22 ’ 10
1 и
3
4
2. Найдите область изменения функции
/(/3) = 2sin2/3 + 3tg/3 • ctg/3.
/(/3) = 2 sin2 /3 + 3 = 1 - cos 2/3 + 3 = 4 - cos 2/3;
,4 f COS/3 7^ 0	д / 7Г , , ,	„
D(/): bin/?#»- T'e' 2^kEZ-
-1 cos 2/? ^1;	1	- cos 2/?	-1;	5	4 - cos 2/?	3;
Ho cos 2/3 = 1 при (3 — тгк D(f\
cos 2(3 — —1 при (3 =	+ тгк D(f).
Значит, 5 > 4 — cos 2/? > 3, т. e. наибольшего и наименьшего
значения у функции нет.
Ответ: E(f) = (3; 5).
Решение карточки 11
573
3. Решите уравнение
cos (та) — 2 cos
= 2, если —6 х —2.
/	\ л о ( X \	,	\	п / ТГ X \
соз(та) — 4 cos I — 14-2 = 2; соз(та) — 4 cos I — I = 0.
\ О /	\ о /
Так как cos За = 4 cos3 а — 3 cos а, то
, Q /та\ /та\ л 9 /та\
4 cos — — 3cos — — 4 cos — — 0.
\ 3 7	\ 3 7 V 3 /

/ 7ГТ \	7ГТ	ТГ
a) cos ( — ) — 0; — = — + тгк | к G Z; х — 1,5 + ЗА;.
\ О /	О	А
По условию —6 С х + —2, тогда
( 1,5 + ЗА: -2	( Зк =£-3,5	_7
1 1,5 + ЗА: > - 6 ’ [ЗА: ^-7,5’	’5 " " 6’
Подходит к — —2, тогда х = —4,5.
л 2 I та \ л	ГКХ\ о п
б) 4 cos — — 4 cos — — 3 — 0;
\ 3 7	\ з 7
2 ± х/4 + 12 _ 2 ± 4
4	“ 4
( I кх \\
cos —-
X X 3 // 1}2
/ ТГ'Т \
Cost — ] =1,5£[”1;1]	/ \
\ 3 /	L J / та \
>	\	1	; cos —
(та \	1	\ 3 /
cos — = — -	4	7
L \ 3 7	2
тгж	2тг
— =	+ 2тгп; х = ±2 + 6n | п G Z.
о	о
1.
2’
По условию — 6 х —2, т. е.
2 + 6п — 2
2 + 6п —6
-2 + 6п < -2 ’
—2 + 6п —6
Если п = —1, то х =
—4; если п — 0, то х = —2.
Ответ: {—4,5;—4;—2} .
574
Зачетные карточки
Решение карточки 12
1. Вычислите:
5тг
t612=tg
1)
7Г
2
ТГ \	ТГ
12 =Ctgi2'
хг	а
Учтем, что tg — —-----------,
2	1 + cos а
1
=	2	= 1 ( __2_
" 2+Уз ~ 2 ’ 2 + х/3
2
1
_	2
1 +
J- "Г 2
5тГ
tg — — ctg — = 2 +
й 12	6 12 LX
2)
sina;	тг
тогда tg — =
• тг
sm т?
о
1	|	ТГ
1 + COS 6
бтг	37Г
cos — • cos — =
5	5
о • Зтг
бтг	Зтг 2 Sin -у
= cos — • cos —-----------—
5	5	2sin^
о
• 12тг ’	(I 2тг\
Sin -у- sin ( 2тг + -у )
л • Зтг	л . Зтг
4 sin -=-	4 sin
□	о
_sin (я - ¥) _ sin ¥
л • Зтг	л . Зтг
4sin-r-	4sm-z-
□	о
бтг • бтг
COS • sin
5	5
• 2тг
Sin -r-
□
j • Зтг
4 sin
о
3 .
1
4
1
n * отг
2 Sin -=-
□
ш
140°	20°
1 -4sin70° - sin 10° _ 1 - 2 • 2sin — • sin _
sin 10°	sin 10°
-1 . о •	60°+80°	.	80°-60° \
1 + 2 ( —2sin —— • sm —2— )
sin 10°
1 + 2(cos80° — cos 60°)	1 + 2 ^cos80 — 7^
sin 10°	sin 10°
1 + 2 (sin 10° - I) _ 1 + 2 sin 10° - 1 _ 2 sin 10°
sin 10°	sin 10° sin 10°
Решение карточки 12
575
л	к	2тг	бтг
4) А — cos 0 + cos — + cos — + ...+ cos —.
7	7	7	7
Рассмотрим отдельно три суммы: 2-го и 7-го, 3-го и
6-го, 4-го и 5-го слагаемых:
ТГ . 6тГ	6тГ ТГ
ТГ бтг	7 + ~	~7	7
cos —h cos — = 2 cos----------- cos-----=
7	7	2	2
7Г	5tt
— 2 cos — ♦ cos —т-0.
2	14
.	2тг	5тг	Зтг	4tt
Аналогично cos —-	+ cos —	= 0 и	cos —	+ cos —	= 0.
7	7	7	7
Следовательно, A=l+O+O+O— |T].
5) cos(2arctg7) — sin(4arctg 3);
Обозначим arctg7 = a, arctg3 — (3 (a,/3 6 I).
Тогда tga — 7, tg/3 — 3.
а)	Вычислим cos 2a.
2	1	11
COS °" ~ 1 + tg2 a “ 1 + 49 “ 50*
1	24
Значит, cos 2a = 2 cos2 a — 1 = 2--1 =--
’	50	25
б)	Вычислим sin 4/3.
sin 4/3 — sin(2/3 + 2/3) — sin 2/3 • cos 2/3 + cos 2/3 • sin 2/3 —
— 2 sin 2/3 • cos 2/3;
. 1 11
cos /3 —-------y— =---------— —;
M 1 + tg2/3	1 + 9	10’
1	4
cos 2/3 — 2 cos2 /3 — 1 = - — 1 = —- (2/3 6 II);
5	5
sin2/3= OF=?.
у 25	5
r,	.	„ ( 4\ 3	24
Значит, sin4p = 2-1 — - I • - = — —.
@ @ @ @
Таким образом, cos 2a — sin 4(3 = —
24
25
576
Зачетные карточки
2.
ч л (п	5	. 12\
6 А = tg 2 arccos —= — arcsm — .
\	\/26	13/
5	12
' Обозначим arccos —= = a, arcsin — = в
\/26	13
™	5	. п 12
Тогда cosa = .___. sinp = —.
v/26	13
l + tg2a-tg/3
а)	Вычислим tg2a.
25
cos 2а — 2 cos2 a—1 — 2- — — 1 —
= “-1 = ^ (2„е1).
13	13	7
n I 1	/132 - 122
tg 2(1	4 /	1	4 /	2
у cos2 2a у 122
б)	Вычислим tg/3.	_______
„	12	„	/	144	5
sinp = —; cos 13 = 4/1 — -— = —;
13	у 169	13
д 12 13	12
tg/? “ 13 ’ T “ T5 2
m « a	25-144
Таким образом, A =	= 12.5.2
Найдите наименьшее значение функции
f(a) = sin6 a + cos6 a.
5
12
119
120
/(a) = (sin2 a)3 + (cos2 a)3 =
= (sin2 a + cos2 a) (sin4 a — sin2 a • cos2 a + cos4 a) =
= 1 ’ [((sin2 a)2 + 2 sin2 a • cos2 a + (cos2 a)2^ — 3 sin2 a * cos2 aj =
= (sin2 a + cos2 a)2 — 3sin2 a • cos2 a —
3	n	3Z	4	3	5
= 1----sin 2a = 1----(1 — cos 4a) = - cos 4a 4—.
4	8V	7	8	8
3	3	3 1	3	л 5	,
— 1 cos4a < 1; —- < - cos4a <	< - cos4a + - < 1.
88	8’48
Значит, наименьшее значение функции f(a) - 
1
4
Решение карточки 12
577
3. Решите уравнения:
1) tg(yrz) — ctg(jrz) — sin”1 (же) — cos-1 (же),
если — 1 х 1,5.
8П1(же) СОэ(же)
соб(же) sin (же)
sin2 (же) — cos2 (же)
sin(7rz) соэ(же)
1 1
эш(же) соэ(же) ’
cos (же) — эт(жЕ)
эш(же) • соб(же) ’
(sin(Trx)— cos(7rx))(sin(7rx)+ cos(ttx))= — (sin(Trx) — cos(ttx))
бш(же) • cos(ttz) Ф 0
f бш(же) ф 0
соб(же) Ф О
sin (же) = cos(ttz)
k зш(же) + cos(ttz) — — 1
7TZ Ф як
. я I k.n e z
ях ф ЯП + —
~ г (
v2sin l ях —г-0
4 J
тг\ _	л/2
4/ Г
sin [ 7TZ
ях ф як
ях ф — + яп
я
ях — — + я1
4
ях = я + 2як
тг
ях = — — + 2як
х ф к
z 1
X 2 +п
Г 1
S х = т + t
4
х = 1 + 2р \t,p,m е Z;
х = — - + 2т
3
t = — 1 х = —
4
1
t = 0 х = -
4
• 5
t = 1 х — -
4
Ответ:
3 151
4’4’4/‘
578
Зачетные карточки
2) cos(jrrr)-cos(27tx)-sin(37rrr) = - sin(2Trrr), если O^rr^O,5.
a>
4cos(ttz) • cos(2?rz) • sin(37rrr) — 2sin(Trz) • cos(ttz) = 0;
2cos(ttz) • (2cos(2?rz) * sin(37rz) — sin(Trz)) = 0;
2cos(ttz) • (sin(57rz) + sin(Trz) — sin(Trrr)) — 0;
2 cos(ttz) • sin(57rz) = 0;

cos(ttz) = 0
sin(5Trrr) = 0 ’
7VX ~ — + tv к
5TVX = 7Г72
1
2
п
5
| куп 6 Z;
Ответ: {0,2; 0,4; 0,5} .
3) у/х + у/х — 1 — COS \/1 — X.
х ~ 0,5
х = 0,2 .
х = 0,4
к = 0
п — 1 ;
п = 2
DW-.
f х 0
х —1> 0
k 1 — х 0
Р(У) удовлетворяет только х = 1. Проверим:
л/1 + у/\ — 1 — cos \/1 — 1; cos 0=1 — истина.
Ответ: х = 1.
Решение карточки 13
579
Решение карточки 13
1. Вычислите:
1) sin 2a, cos 2a, tg2a, если ctga= 1 — ^/2.
1	r- *
tga —---7=
1-72
2 — 1;
2tg^	l-tg2^	2tg^
sina =------: cosa —-------: tga =
l+tg*J	l + tg*f
2(-(У2+1))
1 - tg2 1
-2(72+1) _
б)
sin 2a =---------5- —--------7= —
l+(_(^2 + l))2	1 + 2 + 272 + 1
_ ~2(v/2+ !)   72 + 1 _ _72.
2(2 + 72) - ”7^ ’ 72 +1 - 2”’
MS 2a - l-(-(^+l))2 _ 1 - (^+1)2 _
1 + (— (72 + 1))	1 + (72 + 1)
_ 1-2-272-1 _ -2(72+1) _ 72.
“ 1 + 2 + 272 + 1 ~ 272 (72 + 1)	2 ’
/2
= 1.
2
Л sin 2a
tg 2a =------—
cos 2a
2) 4 cos 20° - 73 ctg 20° =
_n v3cos 20°	4cos20° • sin 20° - 73cos20°
= 4 cos 20° -	--=----------——— ----------
sin 20°	sin 20°
2 sin 40° - 73 cos 20°	2	/ . ,no 73
----------------------=-------— sin 40° - cos 20°
sin 20°	sin 20° \	2
2
----— (sin 40° - cos 30° • cos 20°) =
sin 20° v	!
2	/	1
------— ( sin 40°-----(cos 50° + cos 1C
sin 20°
2
sin 20°
A	AQA
sin 40° — 1 sin 40° — 1 sin 80°
580
Зачетные карточки
2
sin 20°
• | (sin 40° — sin 80°) —
1	. 40° — 80°	40°+ 80°
------ 2 • sm-------- cos------
2	1	,__
---------- sin(—20°) * cos 60° = —2 • - = | —1
sin 20° v 7	2	1--
2.	Решите уравнения:
TVX
1)	1 ± 2 cos — = 0.
15
1 7ГХ . 2тг
cos -— = —	— = ±—- + 2тг/с; x — ±10 ± 307c.
15	2	15	3
Ответ: {±10 ± 30A; | к 6 Z} .
2)	2cos(x ± 60°) • cos3x = cos(x ± 60°).
Г
2
2 cos(x ± 60°) cos 3x —
0;
’х± 60° = 90° + 180° к
Зх ±60° ± 360°п
= 30° + 180°/c	, ,
= ±20° + 120°n । к,П 6 Z'
X
X
Ответ: {30° ± 180%; ±20° ± 120°n | k. n G Z} .
x sinx
3)	--«m=ctg3° 'tga:-
cos 60°
cosx 7^ 0; sinx = — • v^3tgx;
ЕЮ
fV3 \
1---— 1=0;
cosx /
sinx = 0
V3 ;
cos x =
x = тгк
тг | к,п G Z.
х — ±—I- 2тгп
6
Ответ: < ti±; ±— ± 2тгп | /с, п 6 Z > .
Решение карточки 13
581
sm2z = —1
sin 2z = - ’
2
4)	cos 4z = sin2z, если 0 < х < 80°.
1 — 2 sin2 2z = sin 2z;	2 sin2 2z + sin 2x — 1 = 0;
2x = -90° + 360°fc
2x = (-l)n30° + 180°n ’
[x = -45° + 180U
[x = (-l)n15° + 90°n ’
' 0° < -45° + 180° к <80°	к G 0
0° < (—l)n15° + 90°n <80°	n = 0, n = 1 '
Ответ: {15°, 75°}.
Qiri Дд*
5)	= -1, если 80° < x < 180°.
cos bx
cos5t 0; x 18° + 36°t 11 e Z;
sin 4x + cos 5т = 0; sin 4т + sin(5T + 90°) = 0;
4x + 5т + 90° 4x - 5т - 90° Л
2 • sin----------------- cos------------= 0;
2	2
sin(4,5T + 45°) — 0
cos (0,5a; + 45°) = 0 ’
4,5т + 45° = 180° fc (	Гx = -10° + 40°к .
0,5z + 45° = 90° + 180°n |fc’ne ’ [ x = 90° + 360°n ’
’80° < -10° + 40°fc < 180°
80° < 90° + 360°n < 180° ’
’fc = 3 x = 110°
к = 4 x = 150°
n = 0 x = 90° ОДЗ - t = 2
Ответ: {110°; 150°}.
6) sin(30° — x) • cos(60° + ж) — 1.
sin (30° — x) — cos [90° — (30° — ar)] = cos (60° + x);
cos2 (60° + ж) = 1;
sin2 (60° + x) = 0; 60° + x = 180°fc; x = -60° + 180°fc.
Ответ: {—60° + 180°fc |fc 6 Z}.
A A A	A A	A A A
WF Gp Gf	Gp Gp	Gp Gp Gp
582
Зачетные карточки
7) (1 + cos2х) • sina; = cos2х.
2 cos2 х • sin х — cos2 х = 0;	2 cos2 х \ sin х — - J = 0:
\	27
ED
ЯГ1
8)
9)
cosa; = О
1 ;
sina: = -
2
х = — + тгк
2	|fc,nGZ.
х = ( — 1)П^ + ТГП
Ответ: < — + 7rfc; (—1)п — + тгп | fc, n 6 Z > .
I "	п	1
9 ctg2 х + 4 sin2 х = 6.	! ctg2 х = —
1	sm х
9 ( —х----1)4-4 sin2 х = 6.
\ sin х J
Обозначим sin2 х = t, t G [0; 1]; тогда
$ + 4t - 15 = 0; 4t2 - 15i + 9 = 0;
15 ± д/225 - 144	15 ± 9
8~”
<1,2 =
. о
sin X =
3
4’
’3£[0;1]
3
4
V3	тг
sina; — ±—; х = ± — + тгк | к 6 Z.
£	о
Ответ: < ±— + тгк | к 6 Z > .
I о	I
. 4	.	4
sin X + COS X —
5
8‘
8
SI
(sin2 x + cos2 a;)2 — 2 sin2 x  cos2 x =
,	1 .	5
1-----sin2 2a: =
2	8’
• . V3
sin 2a; = --
2
sm 2x =------
2
• On
sm 2x ~
x = G1) R +
b 2
x = (-1 +G + -n
b 2
| fc, n 6 Z.
Решение карточки 13
583
тг тг
Можно обобщить: а: = ±— + —t|tEZ.
О ли
Ответ: <	It Е Z
I 6	2
10) д/Ззт2 х + 5 cos2 х — (5д/3 + 1) sina: • cosa: = 0.
Разделим обе части на cos2 ar.
л/З tg2 х — (5д/3 + 1) tg х + 5 = 0;
5л/3 + 1 ± i/(5V3 + I)2 - 4  5^3
т?-----------------------------
Z * у О
_ 5V3 + 1 ± (5л/3 — 1) _	.
2^3	’
V
tga: = 5	х — arctg 5 + тгк
л/3 ;	_ тг	| к,п Е Z.
arctg 5 + ?rfc; — + тт | А:, п Е Z > .
11) 1 — COS — = tg —.	! 1 — cosa = 2sin2 !
J	2	4	[__________________2 <
Л . 7X sinI
2 sin2 — — —---— 0
4 cos I
* X
sin 4
„ . X x л
2 sm — • cos — — 1
4	4
x
tB4
x = 4?rfc
4 x — % + 4тгп ;
k x 2тг + 4тг£
^4= °
• x 1
[Sm2 = 1 ’
X
COS — 7^ 0
x = 4тгА:
x — тг + 4тгп
Ответ: {4тгА:; % + 4тгп | fc, п Е Z} .
a:
-7 = тгк
4
x тг
,2 = 2+2’r"1
X , тг
4^ 2+,ri
| fc,n E Z.
А А А
к1 ц!
584
Зачетные карточки
3. Решите неравенство д/Ю — 18cosz > 6cosz — 2.
6 cos х — 2 О
10 — 18 cos х (6 cos х — 2)2
6 cos х — 2 < 0	1
10 — 18cosz > 0
1
cosz -
36 cos2 z — 6 cos х — 6	0
1
cosz < -
5
cos Z С -
9
6 cos2 z — cos z — 1	0
1
cosz -
3
1
cosz < -
о
5
cosa; < -
9
2тг —	+ 2irk x + 2тгА;;
О	о
ОТТ 1	ТГ 1
— + 2тг& х > — + 2тг&.
о	о
Ответ:
тг	2
—I- 2тг&; 1 -тг + 2тг&
3	3
|fc G Z
Решение карточки 13
585

________cos2 (—я) • cos
4. Постройте график у(х) = \/1 + tg2 х—----------г---
tg Г — х \ • sin(7r — х)
1
2	•	2
cos х • smx cos х
У	9 Г •	1 Г *
у cosz х ctg х • sm х	| cos х|
( sinx, cosx > 0 (sinx 0)
— sinx, cosx < 0 (sinx Ф 0)
_	f sin x ф 0	. тг, . ,	™
По условию <	.	; x —А: \ к, E
I COS X U	2i
586
Зачетные карточки
Решение карточки 14
1. Докажите тождества:
(1 — tga) • cos
1 + tga
(1 — tga) • cos (
L =--------------
1 + tga
cos x • cos 2x	cos 2x • cos 3x ’ cos 9x • cos 10:r
2 sin 9x
sin 2x • cos lOx
гтл	/ nx	SIH/?
1ак как tg(a + p) — tga —------------------—to
cosa • cos(a + p)
tg 2x — tg x =
sin#
cos x • cos 2x ’
tg 3x — tg 2x =
sinz
cos 2x * cos 3x ’
tg 10:r — tg 9x =
sin#
cos 9x • cos Юж’
Решение карточки 14
587
tg Юж — tgx =
/ 1 1 1 \
— sin х (------------1-------------F. * • Н------------I,
\ cos ж • cos2x cos2x • cos3x cos 9ж * cos Юж/
но tg Юж — tgж =-------Sn^-,^ > тогда	Q)
cos ж • cos Юж
1 1 1
cos ж • cos 2ж cos 2ж ♦ cos Зж ’ cos 9ж • cos Юж
sin 9ж	2 sin 9ж
sin ж • cos ж • cos Юж sin 2ж • cos Юж ’
2 sin 9ж
sin 2ж • cos Юж
2 sin 9ж
бш2ж • cos Юж
2.	Решите уравнения:
1)	3 sin2 2ж + 7 cos 2ж — 3 — 0.
/	7\
3 cos 2ж I cos 2ж — - I = 0;
3(1 — cos2 2ж) + 7 cos 2ж — 3 — 0;	3 cos2 2ж — 7 cos 2ж = 0; ф
cos 2ж = 0
соэ2ж = 2^	[—1; 1] ’
о
2х = —I- тгк; х — —I—к I к 6 Z.
2	4	2
Ответ: < — + —к I к G Z > .
14	2	I
2)	Sin(* ~	= 0;
COS Ж-----2"
sm(T 45^)	0 г _ 45О = 180ОА.
cost^^ ’ [т / ±45° + 360°п \к,П G ’
588
Зачетные карточки
х = 45° + 180%
х ±45° + 360% ’
x = 225° + 360% | n G Z.
Ответ: {225° + 360% | n 6 Z} .
3)	tga; = tg4a;.
sinfa — /3)
tga - tg/3 =------------
cos a • cos p
. / A x	( sin За; = 0
sin(4x ~ X)	I
-------------= 0;	< cosa; 0 ;
cos x • cos 4a; I A t
( cos 4a; yt 0
х =	| A; G Z.
Ответ: — к | к G Z | .
4)	cos(a; + 360°) = cos(2a; - 270°), если 270° < х < 360°.
cos х — — sin 2х\	2 sin х • cos х + cos х = 0;
2cosa; fsinx + - j =0;
х = 90° + 180%
х = (~1)" . (-30°) + 180% ’
cos x ~ 0
1 ;
sina; — — -
“270° < 90° + 180% < 360°	к 6 0 .
270° < (-l)n • (-30°) + 180°n < 360° n = 2’ Ж-33° '
Ответ: x — 330°.
5)	sin 3a; — sin 7a; — V3 sin 2a;.
. Зх — 7x 3a; + 7a; r- .
2 sin--------------- cos------------v 3 sin 2x — 0;
2	2
/ \
—2 sin 2х I cos 5х Ч—“ 1=0;
sin 2х = О
cos 5х = —
/3 ;
~2
Решение карточки 14
589
х = —к
2
бтг
5х = ±------h 2тгп
6
| к, п е Z.
(тг 1 t тг 2тг . .	1
Ответ: < —к;±— Ч-----п | к,п 6 Z > .
12	6	5	I
6)	sin х * cos 5х = sin 9х • cos Зх.
-	[sin(х + 5а;) + sin(rr — 5х)] =
= | [sin(9a; + Зге) + sin(9a; — За;)];
sin 6х — sin 4а; = sin 12а; + sin 6а;; sin 12а; + sin 4а; = 0;
2 sin 8а; • cos 4а; = 0;
8х = тг/с
. ТГ	;
4ге = — + тгп
х — —к \к Е Z.
8
fil fil
Kl
Ответ:
^-k \k Е Z
8
7) sin - +
Vs cos ^ + 1 = 0.
6
(1 . х	VS	x\
-	sm — 4—— cos —	= —1;
2	6	2	6y
(ТГ X	7V	X	\
sin — • sin —h cos — • cos — |	= — 1;	Д)
6	6	6	6	J	w
(x тг\ 1 x tv ,2тг л
cos--------- = —	= ±— + 2тг/с;	QJ
\6	6/	2	6	6	3	’	w
— — — ±	+ 2тг/с; x = tv ± 4тг + 12тгА: I к e Z.
6	6	3
Ответ: {тг ± 4тг + 12тгА: | к 6 Z} .
590
Зачетные карточки
S в
8)	2 cos ж • cos 4а; — cos Зя;.
cos(a; + 4х) + cos(a; — 4х) = cos Зх; cos 5х — 0;
Ьх —	+ тгк; х = ^~ + ~к | к 6 Z.
2	10	5
Ответ: < —- + — к\к Е	.
I Ю 5	I
9)	2cos4a; — \/2(cosa; — sina;).
©
2 cos 4x = y/2 • \/2 cos
cos 4x — cos
4x + x + ? 4x — x — j
—2 sin-------------- sin----------— 0;
2	2
sin
sin
5x
T
3x
T
7Г
— -- + ^k
8
7Г
= -+™
Ответ:
ял
10)	cosa; • cos2a; =	. D(Y) : sina; 0;
1	. л 1	1 . л 1	1
- sm2z • cos2a; — -: - sin4x = sin4x =
2	8	4	8	2
4x = ^ • (-l)fe + 7rfc; x =	e D(y).
Ответ: < (—l)fe—г + yk I к G Z
24	4
Решение карточки 14
591
11)	cosz + sinz = \/1 — 2cos2z.
cosz -k sinz = у — cos2 z + sin2 z;
b^O
a = b2 ’
поэтому
cos z + sin z 0
(cosz + sinz)2 — (cosz + sinz)(— cosz + sinz) — 0 ’
cos z + sin z 0
(cos z + sin z) [cos z + sin z + cos z — sin z] = 0 ’
cosz + sinz 0
cos z + sin z — 0 ;
2 cos z = 0
f cosz + sinz 0
< tgz = -1
cos z — 0
Проверим решения уравнений на соответствие неравен-
ству.
Рассмотрим z = — — + тгп,
корень уравнения tgz = —1.
(тг	\	( тг	\
-----f- тгп ) + cos-f- тгп J =
4	)	\ 4	)
г- . ( ТГ	тг\	р- .
— v 2 sm-----h тгп Ч— — v 2 sin тгп > 0.
\ 4	4/
тг
т. е. х —---------h тгп —
4
корень.
б) Рассмотрим х — — Ч-тг/с, корень уравнения cosz = 0.
cos —h тгк | + sin —h тгк I —
\2	/	\2 J
= — sin тгк + cos тгк — cos тгк 0 при к — 2m.
@@ @
Ответ:
-------h тгп; —h 2тгт I n, m e Z
4	2
592
Зачетные карточки
S>
12) cos 2х — cos Зх = sin 5а;.
Ьх	( х\	Ьх	Ьх
—2sm — * sm — — — 2 sin — • cos — = 0;
2	\ 2/	2	2
bx / x bx\
— 2 sin — — sin —F cos — — 0;
2 \	2	2 )
ш
bx
sin — = 0
ял
ял
5a;
+ cos — = 0
bx
sm — = 0
7Г X | 5x	7Г X	5x
„ . 2 ~ 2 + T . 2 ~ 2	2
2 sm------------* sm-----------= 0
2
2

(2тг тг тг2тг
Ответ: < —к;----F тгп; —I--1 k,n,t 6 Z
[ 5	4	6	3
3. Решите неравенство sin5:r + sina; 0.
2 sin 3a; * cos 2x 0;
sin 3a;	0
cos 2x	0
sin 3a;	0
cos 2x	0
Решение карточки 14
593
б)
{sinЗх О
cos 2х > 0 ’
f 2тг + 2ък > Зх > тг + 2тгА:
7Г	7Г
— + тт х —— + тгп
4	4
594
Зачетные карточки
Объединяем две серии решений,
получая серию из пяти отрезков:
Ответ:
ТГ , ТГ
— + 2тг/с; — + 2тгк
Q	о
2тг	3%
— + 2тгп; — + 2тгп
О	Q
п 5тг
тг + 2тг£:------h 2тг£
4
4тг	Бтг
— + 2тгт;--------h 2тгт ;
3	3
7тг
-----h 2ttZ: 2тг + 2тг1
4
| /с, п, m, I € Z >.
Решение карточки 15
595
Решение карточки 15
1. Вычислите:
5	4	тг
1) cos(2a - /3), если tga = - —, tg/3 = - при 0 < (3 < -
1Z	о	Z
cos(2oi — (3) — cos 2а • cos 2а =	1	Чу- 1+Н)	cos/3 + sin2a • sin/3; _ 122 — 52 _ 119 “ 122 + 52 — 169’	®
2,Н) sm 2 а =			 л , ( 5 V	-2-5-12	120 122 + 52 “ 169’	®
1 +	12 J cos/З =				—	3	f	к \ так как cos/3 >0 1 0 < (3 < — j ; о	\	j
sin (3 — tg (3 • cos (3\ sin (3 = - • 7
3 5
Итак,
ПЭ 3 / 120\ 4
cos (2a-/3) = — •-+ -— )•-
169 5 \ 169 j 5
4
5’
357 - 480
169-5
123
845
2тг 7Г
2) cos--------cos —.
7	5	5
Так как sin — = sin 36° — cos 54°, то
5
2sin 18° • cos 18° = 4cos3 18° - 3 cos 18°.
Так как cos 18°	0, то 2 sin 18° = 4 cos2 18° — 3, t. e.
2sinl8° = 4(1- sin218°)- 3; 4sin218° + 2sinl8°-1 = 0;
A A Q АА
Еж	Ел Еж
Так как sin 18° > 0, то подходит корень
.	. к д/5 — 1
sin 18 = sm — =----------.
10	4
596
Зачетные карточки
ЯП
. тг \/5 — 1
а)	;
б)	cos — = 1 — 2 sin2 — = 1 — 2 • f——=
’	5	10	у 4	у
_ 16-2 - (5-2/5 + 1) _ 16 — 12 + 4^/5 _ /5+1
16	16	4
(_ \ 2
/5 + 1 \
---- — 1 =
4 7
5 + 2/5 + 1 - 8	/5-1
8	4
2тг тг /5-1	/5 + 1 ГТ
—---cos — =------------= — -
2. Докажите тождества:
sina + 2sin — ay
2 cos ( — a) — VS cos a
Vs
tga*
sina + 2sin ( - — a )
l = ——Д—J—
2 cos f — a) — VS cos a
00
sin a + 2 sin ~ • cos a — 2 cos ~ • sin a
2 cos • cos a + 2 sin • sin a — VS cos a
sin a + VS cos a — sin a
VS cos a + sin a — VS cos a
VS cos a /- VS
—;-----= v3ctga =-----.
sina	tga
П =
tga
Vs
tga

Решение карточки 15
597
2) 8 ctg 24а + 4 tg 12а + 2 tg 6а + tg За = ctg За.
Преобразуем левую часть равенства, разбивая ее на
слагаемые.
2 cos 24a	sin 12a
2 ctg 24a + tg 12a = .	— +-------—
sm 24a cos 12a
2 cos 24a • cos 12a + sin 12a • sin 24a
sin 24a • cos 12a
(так как cos24a• cos 12a + sin 12a-sin24a — cos 12a CD
cos 24a • cos 12a + cos 12a cos 24a + 1	_	_k
=-------------------------=------------= ctg 12a. SD
sin 24a • cos 12a	sm 24a
Следовательно,
8 ctg 24a + 4 tg 12a = 4(2 ctg 24a + tg 12a) = 4 ctg 12a.
Аналогично
б)
2 cos 12а sin 6а
2 ctg 12a + tg 6a = .	— H-------—
sin 12a cos 6a
2 cos 12a • cos 6a + sin 6a • sin 12a
sin 12a • cos 6a
cos 12a * cos 6a + cos 6a
sin 12a • cos 6a
cos 12a + 1
—— -------= ctg 6a.
sm 12a
Следовательно, 4 ctg 12a + 2 tg 6a = 2 ctg 6a.
o 2 cos 6a sin 3a
Точно так же 2 ctg 6a + tg 3a = —;— ---1----—
sm oa cos 3a
2 cos 6a • cos 3a + sin 3a • sin 6a
sin 6a • cos 3a
cos 6a + 1
——-------= ctg 3a.
sin6a
и™,
n=ctg3a
3. Решите уравнения:
1) ctg = ctg 5а?.
sin(/J — a) sm 4 J
Так как ctga — ctg/3 — -------------;to--------------------
sm a * sm /3 sin 5^ . sin E
598
Зачетные карточки
3 sin 4—х = 0 4	19х	. 	 = 7Г/С 4	4тг _ х=
sin 5х 7^ 0 ; <	5х ф тт ; <	У
	х ,	5
sm — ф 0 4		х 7^ 4тт£
| fc, n, t G Z;
4тг
тогда x = —А;, где & не кратно 19 (A:/19).
f 4тг	1
Ответ: < —к |А;/19иА;б2>.
2)	sinбх — cos4x при 0 < x < 90°.
sin бх — sin(90° — 4x) — 0;
_ . бх — 90° + 4x бх + 90° — 4x
2 sm------------------- cos-------------= 0;
2	2
Г sin(5x - 45°) = 0 . Г x - 9° + 36%
Q) |_cos(x + 45°) — 0 ; [x = 45° + 180% ’
Произведем отбор корней, чтобы 0 < х < 90°. Прида-
вая к и п соответствующие целые значения, получим:
Xi = 9°, х2 = 45°, х3 = 81°.
Ответ: {9°;45°; 81°}.
3)	sin(x — 45°) = cos(3x — 180°) при 0 < х < 180°.
sin(x — 45°) = sin(90° — Зх + 180°);
sin(x - 45°) - sin(270° - Зх) = 0;
Л . х - 45° - 270° + Зх
2 sin
х - 45° + 270° -Зх „
• cos------------------= 0;
2
2ж — 157°30'= 180%
х - 112°30' = 90° + 180% ’
2
sin(2x — 157°30') = 0
cos(x-U2°30') = 0
х = 78°45'+ 90%	17
х = 202°30' + 180°п lfc’neZ-

Учитывая условие 0 < х < 180°:
Х1 = 78°45', х2 = 168°45', х3 = 22°30'.
Ответ: {22°30';78°45';168°45'}.
Решение карточки 15
599
4)	cos За; — cos 7x = sin 5ar.
л . За; + 7x . 7x — 3x .
2 sm---------------- sm-----------= sm 5ar:
2	2
2 sin 5x • sin 2x — sin 5a; = 0;
sin 5ar — 0
sin 2x = - ’
2
5z = 7%
2x = (—l)n^ + 7ГП ‘
о
Ответ:

5)	cos(20° + x) + cos(100° — x) =
20° + x + 100° - x 20° + x - 100° + x 1
2c°s--------------------cos--------------------
1 1
2 cos 60° • cos (a; — 40°) = cos(ar — 40°) =	CD
X - 40° = ±60° + 360%.
Ответ: {40° ± 60° + 360% | к e Z} .
6)	cos2 x + cos2 2x — cos2 3x + cos2 4ar.
1 + cos 2x + 1 + cos 4x 1 + cos 6x + 1 + cos 8x
2	=	2
cos 2x + cos 4x = cos 6x + cos 8x;
2 cos x • cos 3a; — 2 cos 7x • cos x — 0;
2 cos a;(cos 3x — cos 7x) = 0;	4 cos x • sin 5a; • sin 2x = 0;
	7Г	7Г
cos x — 0	x — —h тт	
sin 2x — 0 ; sin 5a; — 0	2 2x = nt	1	2	(S>
	5x — irk	5
_	] 7Г 7Г * .	j Ответ: < —k\ —n k.n 6 Z > .		
5	2		
600
Зачетные карточки
7)	sin х * sin 2х • sin Зх = ~ sin 4х.
©
ф
ф
ф
sin 2х • sin х ♦ sin Зх---sin 2х - cos 2х — 0;
2
sin 2х [ ~ cos 2х — i cos 4а: — i cos 2х J = 0:
\2	2	2 J
sin 2а; • cos 4а; = 0;
sin 2 х — 0
cos 4а; = 0 ’
2х = тг/с
X —
4х = — + тгп ’
X ~
-к
ТГ
8 4
тг
4П
Ответ:	/
8) cos Зх + cos 2х — sin 5х.
77 + ~7п 1 к,п е Z > .
V Л 4	'	I
А fi fi
2 cos 2,5а; • cos 0,5а; = 2 sin 2,5а; • cos 2,5а;;
2 cos 2,5a; • (cos 0,5a; — sin 2,5a;) = 0;
ТГ
a)	cos 2,5a; = 0; 2,5a; — — + тг/с; x —
6)	cos 0,5a; — sin 2,5a; = 0;
/ тг \
cos0,5a; — cos I — — 2,5a; I = 0;
тг	2тг ,
~ + —к.
5	5
0,5a; + — 2,5a;	— 2,5a; — 0,5a;
2 sin---------------------- sin-----------------= 0;
2	2
sin
sin
тг
x —- — TVt
4
тг
1,5a; —- = тгп
4
тг
x = — + 7Vt
4
тг	2тг
А + V72
6	3
f тг	тг	2тг	тг	2тг. , .	1
Ответ: < — + Tri; — + — п; — 4----к | fc, п, i е Z .
14	6	3	5	5	I
Решение карточки 15
601
4. Решите неравенства:
1) л/25 — 16 ctg гг 8 ctg х — 5.
8 ctg х ~ 5 > 0
25 — 16 ctg х	64 ctg2 х — 80 ctg х + 25
8 ctg х — 5 < О
25 — 16 ctg х	О
(
ctg х -
<	6	8
ctg j:(ctgrr — 1) О
>	5
ctgs < -
>	*
)	25
ctga? —
I
5
У	ctgx
-	с ctga; с 1
О
5
ctga? < -
О
Ctg X
тг + тгк > х — + тгк.
4
— + тгк; тг + тгк ] I fc 6 Z > .
4	7 J
602
Зачетные карточки
2)	cos х + cos Ьх < 0.
2 cos3z • cos 2x < 0;
a)
cos3z 0
cos 2x < 0 ’
— + 2nk 3x — — 4- 2тг&
Зтг	тг
— 4- 2тг£ 2x — + 2тг£
тг 2тг,	тг 2тг,
- + — k X > -- + — к
о о	о 3
Зтг
— + тг/;
4
Решение карточки 15
603
„ Г cos Зх 0
ДЛЯ Ьа»2х«0
получаем серию
тг „ , Зтг
—F 2тг&;-------F 2тг& U
2	4
Г бтг	Зтг
U--------F 2тгп;-----F 2тгп
4	2
где fc} п 6 Z.
604
Зачетные карточки
Для
cos Зх	0
cos 2х	0
получаем серию
бтг	7тг
------h 2тг/;;------h 2тг£ U
6	6
U - 4- 2ttZ; - + 2тг/ U
6	4
7тг	11тг
U---------1- 27Г£>;------1- 2тгр
4	6
где l,p 6 Z
Ответ: <
тг , Зтг Л ,
—I- 2тгА;;---------1- 2кк
2	4
бтг	Зтг
—- 4- 2тгтг;-------1- 2-тт ;
4	2
бтг	7тг
-----1- 2тг£;-----1- 2тг£ ;
6	6	J
7тг	Птг
— + 2тгр; ——I-	2тгр
тг Л , тг Л ,
— -j- 2тг I j — 4" 2тг/
6	4
ч
| к, тг, £, Цр 6 Z
5. Постройте график
у(х) — \/1 4- ctg2 X
tg (Д 4- х j • sin(7r 4- х)
ctg(Tr — х)
у(х) =
— ctgT • (— sinx)
— ctgx
cos x 0
sinx 0
v(z) — —-—r • (—sinx):
7 |sinz| v h
' у = -\
/ тг ,
< x —к
2
sinx > 0
9=1
< X +
sinx < 0
Решение карточки 15
605
606
Зачетные карточки
Решение карточки 16
	1. Найдите: 2а + /3, если tga — —2, ctg/3 — % % при - < а < 7Г, 0 < (3 < -.
СВ	cos(2a + /3) = cos 2a * cos (3 — sin 2a • sin /3;
СВ	n 1 - (—2)2	3 “s2“ = 1 + (-2)2 = 5’
	• n	2-(-2)	4 Sm ° ~ 1 + (-2)2 ~ 5’
	1	7 r- sin/3 — —			- — — • v2 (sin(3 > 0); /	/1\2	10 v1+3) 7 r 1	\/2 cos/? = sin/? • ctg/?; cos/? = — • V2 • - = —. Значит, ,	3 \/2	/ 4\	7 r М2а + Д = --- —-^--^-.72 =
св	- 28-3 /9-^2 50	2 ' 2a + /? =	+ 2?rfc | k G Z. 7Г	7Г Учитывая, что — <а<тги0</3<—, имеем ’	2	2 я < 2а + (3 < 2,5тг; я < ±— + 2?rfc < 2,5тг; х = 1,75тг е (тг; 2,5тг) х = 2,25тг е (тг; 2,5тг) ’ Ответ: 2а + (3 е {1,75%; 2,25%} .
Решение карточки 16
607
2.	Вычислите ctg 70° + 4 cos 70° =
cos 70° л	cos 70° + 4 cos 70° • sin 70°
=--------+ 4 cos 70° =--------------------------
sm 70°	sm 70°
_ cos 70° + 2 sin 140° _ cos 70° + 2 cos 50° _
sin 70°	sin 70°
cos 70° + cos 50° + cos 50°
cos 20°
_ 2 cos 60° • cos 10° + cos 50° _ cos 10° + cos 50°
cos 20°	cos 20°
_ 2 cos 30° • cos 20° _ r-^
cos 20°
@ @@ S
O)
O)
3.	Докажите:
(1 + tg2a) ♦ cos + 2a
)	1 — tg 2a
(1 + tg2a) • cos + 2a^
1 — tg 2a
(-1 . sin 2a \	(тг । o \
1 +	•C0S(44 +2aJ =
1 sin 2a
cos 2a
(cos 2a + sin 2a) • cos + 2a
cos 2a — sin 2a
608
Зачетные карточки
2) 4 sin3 а • cos За + 4 cos3 а * sin За = 2,4,
.	3	7Г
если cos 4а = - при 0 < а < —.
5	4
L = 4 sin3 а • cos За + 4 cos3 а * sin За =
—	4 sin3 а * cos(2a + а) + 4 cos3 а * sin(2a + а) =
=	4 sin3 а * (cos 2а • cos а — sin 2а • sin а)+
+ 4 cos3 а • (sin 2а • cos а + cos 2а * sin а) ~
=	4 sin3 а • cos а • cos 2а — 4 sin4 а • sin 2а+
+ 4 cos4 а • sin 2а + 4 cos3 а • cos 2а • sin а =
=	2 sin2 а • sin 2а * cos 2а + 4 sin 2а • (cos4 а — sin4 а)+
+ 2 cos2 а * sin 2а • cos 2а =
= sin2 a-sin4a+4sin2a* (cos2 a—sin2 a) (cos2 a+sin2 a)+
+ cos2 a • sin 4a =
=	sin 4a(cos2 a + sin2 a) + 4 sin 2a • cos 2a =
—	sin 4a + 2 sin 4a = 3 sin 4a.
3
Так как cos 4a = -, to
5
I /з\2
sin 4a — a /1 — I — I
у \5/
4
тогда 3 sin 4a = 3 • -
5
L = 4 sin3 a • cos 3a + 4 cos3 a • sin 3a = 2,4;
L = 2,4
11=2,4 L 1L
4
5
4а
= 2,4. Значит,
4.	Решите уравнения:
л/З
1)	cos(170° + x) — cos(50° +ж) = если —180° < x < 90°.
170° + x + 50° + x . 50° + x - 170° - x V3
2sm--------------------- sm-----------------= ——;
2	2	2’
л/З	1
2 sin(j; + 110°) * sin(—60°) = —sin(j; + 110°) — — -;
Z	z
Решение карточки 16
609
х + 110° = (-l)fc • (-30°) + 180%;
х = (-l)fc+1 • 30° - 110° + 180%.
Условию х € ( — 180°; 90°) удовлетворяет только к — 0;
х = -30° - 110° = -140° е (-180°; 90°).
Ответ: х — —140°.
2)	sin х • sin Зх + sin 4х • sin 8х — 0.
| (cos2x — cos4x) + | (cos4x — cosl2x) = 0;
cos 2x — cos 12x = 0;	2 sin 7x • sin 5x — 0;
sin 7x = 0
sin 5x — 0 ’
7x — тгк
5x — тгп 1
7Г 1
X = —k
7
ТГ
X — —n
5
Ответ:
—n | fc, n 6 Z
5
3)	д/Зэт 2x + cos 2x = д/З.
(y/3	1	\ r-
2 I -y sm 2x + - cos 2x I — v3;
7Г	. ТГ . д/з f ТГ
cos — • cos 2x + sm — • sm 2x — —; cos I 2x-
3	3	2 ’	\	3
Л 7Г 7Г ,	7Г 7Г
2x----— ±—h 2тг&: x — — ±------h тгк.
36	’	6	12
4)
Ответ:	± — +7rfc|fceZj.
sin7x + cos2 2x — sin2 2x + sinx.
sin7x — sinx + cos2 2x — sin2 2x = 0;
2 sin 3x * cos 4x + cos 4x = 0;	2 cos 4x fsin 3x +	— 0;
cos 4x = 0
1 ;
sm 3x — —
2
4x = — + тгк
ЗХ = ( —l)n+1	+ 7Г72
610
Зачетные карточки
7Г 7Г .
X=S + 4k
Ответ: f ^ +	( —l)n+1^ +	| е zl .
(84	18	3	J
5)	3 + 2sin2z = tgz + ctg я.
o .	sin X COS X
3	+ 4 sin x • cos x —------1------;
cos x sin X
A .	sin2 x + cos2 x
3	+ 4 sm x • cos x = —:.
sin X * cos X
Обозначим t = sinz • cosz. Получаем 3 + 4t =
4i2 + St - 1 = 0;
- sin2z — —1
2
1.0	1
-sin2z = -
t = — 1	sin x • cos x = — 1
,	1 ;	.	1 , t. e.
t — - sin x • cos X = -
4	4
sin 2x = —2	[—1; 1]
sin 2x = -
2x = (-+J + irk; x = (-V)k^- + ?-k.
о	12	2
Ответ: < (—l)fc + ^k | к 6 Z
6)	cos x • cos 2x • cos 4x • cos 8x = —.
7	16
Пусть x — 7vk (тогда sinTrfc = 0).
Легко убедиться, что такой х — не корень:
cos(ttA;) • cos(2ttA;) • cos(4ttA;) • cos(8ttA;) = ±1, и ±1
Можно домножить обе части уравнения на sinz:
Л	sin z • cos z • cos 2z • cos 4z • cos 8z — — sin z;
Решение карточки 16
611
- sin 2х * cos 2х • cos 4а; • cos 8х — — sin х:
2	16
1 . А А „	1
- sm 4а; • cos 4а; * cos 8а; = — sm а;;
4	16
sin 8а; • cos 8а; = — sina;;	—sin 16а; = — sina;;
8	16	’	16	16
sin 16а; — sina; — 0;	2sin 7,5а; • cos 8,5a; = 0;
7,5a; = nk
тг ;
8,5a; = — + тгп
@ Q 00
sin 7,5а; — 0
cos 8,5a; = 0 ’
2тг
(A:/15)
/ 1	2	,
(,17 + 17"^Z
2% , .
17
17
27Г
17П
_	। 2тг тг 2тг . ,	_ , v 1	2
Ответ: |T5fc; +	E Z’ к/15,
\ fi	fi 15
7) sin° x ± cos0 x = — ± cos 2x при 0,5тг x 1,5тг.
16
sin6 x ± cos6 x — (sin2 a;)3 ± (cos2 a;)3 =
(sin2 x ± cos2 a;) (sin4 x — sin2 x • cos2 x ± cos4 a;) =
= 1- ((sin2 a;± cos2 a;)2 —2sin2 x • cos2 x— sin2 x • cos2 x
£Zk
= 1 — 3 sin2 x * cos2 x = 1 — - sin2 2x, тогда
4
3	2	15	3 z 2 \	15
1 —~sin 2x = — ±cos2a;; 1 —- (1 — cos 2x) = — ±cos2a;;
3	2.	И л
- cos 2x — cos 2x — — = 0;
4	16
. n .	8 ± V64 + 132
(cos2a;)li2 =-----—----------
12 cos2 2х — 16 cos 2а; —11 = 0;
8 ±14
12
cos 2а; =	[—1; 1]
6
cos 2х — — -
2тг
2х = ±— + 2тгк;
о
3
612
Зачетные карточки
7Г	7Г
По условию — С =Ь—h як С 1,5%;
2	3
7	,	2%	1
при к = 1 Xi = —, Xi — 1-%.
При других значениях к
х
% 3%
2’Т
Ответ: х 6
2% 1 1
—; 1—тг > .
3 ’ 3 J
8) arcsin (cos (2 arcctgх)) — 0.
cos(2arcctgа;) = 0 (arcsin0 = 0);
%
2 arcctg x = — + %fc,
0 arcctg a; %
Л	, тогда
0 < 2 arcctg a; < 2%
%
2 arcctg x — —
2 arcctg x ~ —
%
arcctg a; — —
3% ’
arcctg x — —
x = 1
x ~ — 1
arcctg 1 — — \
/14	3%
arcctg(-l) = —
Ответ: {—1; 1} .
Решение карточки 16
613
5. Решите неравенства:
1) arcsin х < arccos z.
Решим неравенство графиче-
ски, представив на одном гра-
фике обе функции:
Из чертежа следует, что
arcsin z < arccos z,
2 /
если х Е
Ответ:
-1;—).
2 /
. 2z2 — 9z + 8
2) arcsm
£>(Н):
arcsin x
ТГ
2	'6’
2z2 — 9z + 8
2
Так как
у(х) = sinz возрастает на
тг тг
2’2
, то
. /	. 2z2 - 9z + 8
sin arcsm---------------
\ x
2z2 — 9z + 8	1
I 2	< 2
|	2z2 — 9z + 8
6
(	2
2х2 - Эх + 8 < 1 .	( 2х2 - Эх + 7 < О
2х2 - Эх + 8 —2 ’	[ 2х2 - Эх + 10 0
2,5 х
Ответ: (1; 2] U [2,5; 3,5).
614
Зачетные карточки
cos х + cos Зх
6. Постройте график у\х) — —	=-.
у 1 + cos 2х
Так как cos х + cos Зх — 2 cos 2х • cos х и
VT+"cos2x = V2cos2х — \/2| cosx|, тогда
D(y)t cosx 7^ 0;
2 cos 2х • cos х f y/2 cos 2x, cos x > 0
У —---- --------— /	r-
V2|cosx| [ — v2cos2x, cosx<0
кУ
z/=cosx
о
Итоговые
карточки
Карточка 1
1.	Вычислите:
а	3
1)	cos—, если ctgа —	90° < а < 180°;
2)	sin 10° + sin 30° + sin 50°----.
4 sin 10°
2 cos (2ip — ) — x/3 sin 2ip
2.	Упростите-----у---------------------г-------
o • / 2тг \	/ тг \ , • 7тг
2sm I - -у ] • cos I	- уд ] + sin^
3.	Решите уравнения:
4
1
= 2tg2az;
1 — sin x	1 + sm x
2)
(7Г
— — 2x
3)
arcsin 2x + arcsin x —
7Г
2’
4.	Докажите cos(/3+19°)-sin(/3+l°) <sin(106°+/3)-sin(/3+4°).
616
Итоговые карточки
5. Решите неравенство 2 sin2
+ л/Зсоэ 2х > 0.
6. Решите систему уравнений
7. Постройте график у =
1
sin х • sin у = ——
У 4^2
1
tgz-tgy = -
О
sin х + sin Зге
^/2(1 + cos2:r)
Карточка 2
617
Карточка 2
7Г 37Г
2’IF
1. Вычислите:
1) sin если tga = j— при a е
2* ( I тг |	• (	। TV 1 I	57Г
sm I а + з I * sm ( a + £ ) + cos -g-
2) -----——7Г-------Д----------при a = —.
2 sin \2a + j — \/3cos2a	11
2.	Докажите:
1)	cos 5° + cos 15° + cos 25° — —Д— = 0;
4 sin 5°
2)	cos(a — 9°) • cos(a — 45°) > sin(a + 40°) • cos(a — 4°).
3.	Решите уравнения:
2	1 2cos2z
7	1 —tgz 1 + tgz cos2z
2)	1 + sin x + sin 3z + cos(tt + 4z) = 0;
3)	2 arcsin x = arccos 2z.
4.	Решите неравенство sinz + cosz > a/2cos3z.
{2 sin z H----— = 2
• „ C°S
SIM X Л _
-----= 0,5
COST/
Л	,	cosz — cos3z
6.	Постройте график у = —t
^2(1 - cos 2z)
618
Итоговые карточки
Карточка 3
1.	Докажите:
1)	cos 6° • cos 66° • cos 42° • cos 78° =	;
16
4 cos 6a — cos 7a — cos 8a + cos 9a 15a
2)	—--------;------:-------;----= ctg----;
sin 6a — sin 7a — sin 8a + sin 9a	2
1	15%
3)	arcctg - + 2 arcctg - = —;
4)	------1--4—	8.
sin a cos4 a
2.	Решите уравнения:
7 X a x . x
1)	- cos — = cos — + sm —;
4	4	4	2
. in m 29
2)	sin10r + cos10 ж — —;
64
3)	cos(5j; + 516°) - cos(3j; + 172°) = cos(4rr + 254°).
9 x
3.	Решите неравенство 8 sin —h 3sinx — 4 > 0.
2
4.	Решите систему уравнений
5.	Постройте график у = 2| sinгг] • cosj; .
1
sinj; + siny = -
у/З *
cos x — cos у =
Карточка 4
619
Карточка 4
1R	a~^	•	• n 27 a +/3	7
1.	Вычислите cos----, если sin a + smp =-, tg----—-
2	H 65 ’ 6 2	9
7Г
при 2,5тг < a < 3% и —— < 0 < 0.
тт	. , ч sin4а + sin 10а — sin 6а
2.	Найдите А(а) —------------------«-----,
cos 2а + 1 — 2 sin2 4а
если sin а — cos а = т.
3.	Докажите:
1)	tg6 20° - 33 tg4 20° + 27 tg2 20° = 3;
.4	.12	.56
2)	arcsm ~ + arcsin — + arcsm — = тг;
5	13	65
ч sina — 1	1	2 — sina
3)	h -	---------
sina — 2	2	3 — sina
4.	Решите уравнения:
.	1 о
1)	1 + cos2z • cos3z = - sin 3z;
2)	2sin2 — • sin2 — = ж2 + —.
2	4	x2
cos2 2x
5.	Решите неравенство ----z—	3tgz.
cos2 x
6.	Решите систему уравнений
• 2
sin X ~ siny
4
COS X — cos у
7. Постройте график у = 2
х
cos —
2
'Sm 2’
620
Итоговые карточки
Карточка 5
1.	Вычислите tg 2/3,
tg если sin/З = —при /3 6 [1,5тг; 2тг].
ZS	V1
2.	Упростите
4 sin2 (45° + а) - sin 10° — 1 + 4 sin 10° • sin 70°
4sin 10° • tg(45° + a) • cos2(45° + a)
3.	Докажите:
1) cos36° — sin 18° =
2) sina < a < tga,
если a e
4.	Решите уравнения:
1)	cos x • cos 2x — cos Зж;
2)	3 cos 2x + 4 sin 2x + 5 — sin2 x;
3)	arccos .г — arctg .г.
5.	Решите неравенство \/5 — 2sina; 6sina; — 1, если x 6 [0;тг].
„	„ f sina; • sinw = 0,75
6.	Решите систему уравнении <	__
7.	Постройте график у = tg X • sin 2x.
Карточка 6
621
Карточка 6
1.	Вычислите cos 24° + cos48° — cos 84° — cos 12°.
2.	Найдите a + 2/3, если tg a = -, sin (3 — при a, /3 6 I.
Л __	. , 4 sin2 2a + 4 sin4 a
3.	Упростите A (a) —------5---------—
v 7	4-sin2 2a — 4 sin4 a
4.	Докажите------sma------ < 2 для \/a J9(H).
sina — cosa • tg ~
5.	Решите уравнения:
1)	39 + 7sin2z + 12sin2z = 33cosz + 44sinz;
2)	cos z • cos 2z • cos 4z = -;
8
3)	arcsin(z2 — 2z + 2) — ^z.
£4
6.	Решите неравенство 3cos2 z • sinz — sin2 z < — 1.
7. Решите систему уравнений
f x + у + z = тг
< tg z • tg z = 2 .
k tg?/ * tgz = 18
8. Постройте график
2 sin2 (45° + z) • sin 10° — 1 + 4 sin 70° • sin 10°
4sin 10° • tg(45° + z) • cos2(45° + z)
622
Итоговые карточки
Карточка 7
.	9 тг п Зтг 9 5тГ
1. Вычислите tg2 — + tg — + tg —.
Л £	х £	x £
2. Докажите:
а + (3
1) cos——
cos a 4- cos (3	nr
, где a,p G I.
2
.	(	5
2) tg 2 arccos ._____
\	y/26
12
— arcsin —
13
119
120
о тт “	CV + /?
3. Найдите cos —-—
{ о 21
sina + snip — — —
65
97
cos a + cos p =-
65
при 2,5тг < a < Зтг,
ТГ
2
4. Решите уравнения:
cos2 z(l 4- ctgz)
sin z — cos z
(14-2cos2z) • sinz 4- (1 — 2cos2z) • cosz — 0
7тг
T’
1)
= 3 cos x;
2)
при ТГ
ТГ
2x------
2
3)
sin x — COS X =
1_______1
cosz sinz
sin
5. Решите неравенство —
sin 2z
О на [0; 2тг].
~	„ f ctg x + sm 2y = sm 2x
о. Решите систему уравнении < Л . z ч
[ 2 sm у • sin(z 4- у) = cos х
7. Постройте график у = | tg z| • sin2z.
Карточка 8
623
Карточка 8
1. Упростите:
2 cos а — 2 cos
2 sin
2 sina
2)	ctg a • ctg(60° + a) • ctg(60° — a).
2тг	4тг	бтг
2.	Вычислите cos-----h cos---h cos —.
7	7	7
3.	Докажите cos 36° > tg36°.
4.	Решите уравнения:
1)	tg(i - 15°) • ctg(a? + 15°) =
О
2)	arcsin — + arccos
/3 \ ТГ
2~ / = 6 ’
3)	2 sin ( a; + — 1 — tg x + ctg x.
5.	Решите неравенство 4 sin a; • sin 2x • sin 3a; > sin 4a;.
{1
sin x — sin у = -
2
*
cos x + cos у =
7.	Постройте график у = \/1 — sin2а; + sina; + cosa;.
624
Итоговые карточки
Карточка 9
cos3 а — cos За sin3 а + sin За
1.	Упростите-----------------1-----:-------
cos а	sin а
2.	Докажите тождества:
ч 3 + 4 cos 2а + cos 4а 4
1)--------------------= ctg а;
3 — 4 cos 2а + cos 4а
2)	tg2 36° • tg2 72° = 5.
3.	Решите уравнения:
_	1 + 2 cos 2х 2
1		— tg х — 3. если 0 + х + 2тг;
2 cos х
2	) tg(120° + Зх) - tg(140° - х) = 2sin(80° + 2х).
Л	В	С	1
4.	Докажите sin — • sin — • sin — + если А + В + С — 180°.
2	2	2	8
5.	Решите неравенства:
1)	sin 4z + cos 4z • ctg 2х > 1;
arccos(z2 — Зх + 2)
8z2 — 10z + 3	>
z • 2
_ ~	„ sm х — cos х * cos у
Ь. Решите систему уравнении <	9	.	.
[ cos х = sin х • sin у
7. Постройте график у — 2| sinz| • cosz + | tgx| • ctgж.
Карточка 10
625
Карточка 10
1.	Упростите:
1)	tg(35° + а) • tg(25° - а) -	—"5
 v ’ v 7 2cos(10° + 2а) +1
2)	tga • tg(a + 60°) • tg(a — 60°).
2.	Докажите:
. ч . n тг q 2тг 9 Зтг 7
1)	sm — • sm — • sm — = —;
7	7	7	7	64’
7Г
2)	tgna > ntga, если 0 < a < ------— при Vn 6 N, n 1;
4(n — 1)
3)	ycosx + Vsinx > 1, если 0 < x < —.
£
3.	Решите уравнения:
1	\ 4х 2
1)	cos — = cos х;
х	2	,-----	1
2)	arcsin — arcsin у 1 — т = arcsin
Зл/ х	3
4.	Решите неравенство tgx + tg2x — tg3x > 0.
„ „	f cos2 у + 3 sin x • sin у — 0
5.	Решите систему <	o
J { 21 cos 2x - cos 2y = 10
6.	Постройте график у = sin — -----cos ——- + tg x • | ctg x|.
Zi	£
626
Итоговые карточки
Решение карточки 1
1. Вычислите:
. a	3
1) cos —, если ctg a =
90° < a < 180°.
ctga
cos a ~;
±V 1 + ctS2 a
_3
4
cosa =
cos a < 0;
3
5
Так как 45° < —
2
a 1 + cos a
и cos — —	---------
2 V 2
90‘
a
то cos —
2) sin 10° +sin 30°+sin 50°
1
4 sin 10°
4 sin* 2 * 4 10° + 4 • | sin 10° + 4 sin 10° • sin 50° - 1
4 sin 10°
2(1 - cos 20°) + 2sin 10° + 2(cos40° - cos60°) - 1
4 sin 10°
2 - 2 cos 20° + 2 sin 10° + 2 cos 40° - 1 - 1
4 sin 10°
2 cos 40° - 2 cos 20° + 2 sin 10'
4 sin 10°
—4 sin 30° * sin 10° + 2 sin 10°
4 sin 10°
~2 sin 10° + 2 sin 10°
4 sin 10°
Решение карточки 1
627
2 cos (2(^	3) v3 sin2y?
2.	Упростите--------7----—г---------------r---------
2*	/ 2тг \	/ тг \	• 7тг
sm I cp —1 • cos (ip — jq 1 + sm
2 cos 2cp • cos + 2 sin 2cp • sin — \/3 sin 2cp
2?T .	7Г \ I •	(	27Г	. 7Г \	• 7тг
- ~5 +	- 10 ) + Sln	+ 10 ) + Sln 10
sm
cos 2y? + v3 sin 2y? — v3 sin 2y?
lc^ “ 9 ) + sm ( -Tn ) + sm (	“ io
cos2y?
— cos 2tp — sin + sin “ cos
cos2y?
3.	Решите уравнения:
1)		-------------------= 2
1 — sin x 1 + sm x
tg2z.
f sinx ф 1
1?(У) : < sinx —1 ;
k COS X	0
4(1 + sinx) — 1 + sinx
X ф — + 7Tfc.
1 — sin2 x
3 + 5 sinx = 2sin2x;
.	5±7
(sinx)1>2 -
sinx = 3 £?(sinx)
sinx = — 6 7?(sinx)
2 sin2 x
cos2 x ’
2 sin2 x — 5 sin x — 3 = 0;
X =	+ 7rfc.
О
Ответ:
— + ivk | к G Z > .
2) (1 + cos4x) • sin(7r — 3x) = sin2 ( — — 2x
\ &
(1 + cos4x) • sin3x = cos2 2x;	2 cos2 2x • sin3x — cos2 2x;
@ eo
628
Итоговые карточки
ф
СТ1
cos2 2х = О
1 ;
sin Зх = —
2
4	2
77 1
2х — — + ТГ/С
Зх = ( —1)п— + ТГ71
Ответ:
f ТГ 1 / л \п ТГ ,	1
) 7 + 5fc;(-1) То +	е zf •
Ч Z	1о о	J
3) arcsin 2х + arcsin х — —.
D(y) : ( |2f!Д1 ; |rr|	J;
v '	[ |rr| 1	1 1	2
СЕ)
cos(arcsin 2x + arcsin x) = cos
ТГ
2’
cos(arcsin 2x) * cos(arcsin:r) —
— sin(arcsin 2x) • sin(arcsin:r) = 0;
так как arcsin m e
ТГ ТГ
2’2
to cos(arcsinm) 0;
суш
QI
cos(arcsin 2x) = \/l — sin2 (arcsin 2:r) = л/1 — 4з;2;
cos (arcsin x) = \/l — sin2 (arcsin ж) — x/1 — j;2;
sin(arcsin2;r) — 2x; sin(arcsin:r) = x;
\/l — 4j;2 • д/l — £2 — 2x2 = 0;
(1 — 4ж2)(1 — x2) = 4x4;
5x2 = 1; x2 = ~ e D(V);
5
Решение карточки 1
629
V 5
а)	Проверим значение х — —
5
тг
— < aresm--------<0;-------< aresm-----------< 0.
2 I 5 /	’	2	\	5 /
Сложим почленно:
. I х/5\	.	2х/5 \	„
aresm I —— I + arcsin I-------— I < 0, но
\	5 /	\	5 /
,	. / \/5\	. ( 2х/5\ тг
должно быть aresm-------I + arcsin I---— I = —,
\	5 /	\	5 /	2
V5
значит х =-------посторонний корень.
5
V 5
б)	Проверкой можно убедиться, что х = —---корень
5
уравнения.
4/5
Ответ: x = —
5
4.	Докажите:
cos(/3 + 19°) • sin(/3 + 1°) < sin(106° + (3) • sin(/3 + 4°) о
о cos(/3 + 19°) • sin(/3 + 1°) < cos(16° + (3) • sin(/3 + 4°) о
O | [sin(/3 + 1° + p + 19°) + sin(/3 + 1° - P - 19°)] <
< | [sin(16° + P + P + 4°) + sin(/3 + 4° - 16° - P)] &
sin(2/3 + 20°) - sin 18° < sin(2/3 + 20°) - sin 12°
О sin 18° > sin 12° — истинно,
так как у = sinz возрастает на (0;90°).
Значит, предположение верно, и неравенство
cos(/3 + 19°) • sin(/3 + 1°) < sin(106° + /3) • sin(/3 + 4°) —
истинно, что и требовалось доказать.
@ э
630
Итоговые карточки
5.	Решите неравенство 2 sin2
+ >/Зсо8 2гг > 0.
1 + sin 2х + >/3 cos 2х > 0;
1 . n V3
- sin 2х Ч---cos 2х
2	2
cos
Z7T	7Г	Z7T
------h 2тгк > 2х-------->------------h 2тг/с;
3	6	3
О7Г	ТГ	.
—- + 2тгк > 2х > —— + 2тг/с;
6	2
] f "К	бТГ	\ |	1
Ответ: <---------h тгк:---h тглт ) fc 6 Z > .
1 \ 4	12	/ I
{1
sinх • sin?/ — —
&	4 /?
1
tga; • tgy = -
О
Г .	1
sm х • sm v = —т=
4^2
sinх • sin?/ 1	. .	.	’
--------~ о (3 sm x • sm у — cos x * cos y)
. cos x • cos у 3
Решение карточки 1
631
1
sm х • sm у = —=
У 4\/2
3
COS X  COS У =  7=
y 4\/2
cos(x - y) = —
/ Ч Л ’
cos(x + y) — —
x — у = ±— + 2irk
v 2	1
x + у = ± arccos —I- 2тгп	- ((2) —(f))
те
7Г	1	\/2
x = ±— ± - arccos ——I- тт(к + n)
8	2	4
Л y/2
у = ± - arccos —------
y 2	4
8
Расшифровывая, получим:
x — у = — + 2irk
V2 „	’
x + у — arccos ——|- 2тгтг
7Г	1	y/2
x = — 4— arccos-------1- 7г(к + n)
8	2	4
1	y/2 tv
у = - arccos —----— + 7г(п — k)
2
4	8

— + 2rvk
4
х + у =
Х 8
V2
— arccos-----1- 2-тгр
4
1
— - arccos + 7г(к + р)
1
------arccos ——I- тг(р — к)
2----4
У==”8
632
Итоговые карточки
X
X
-у = -~+2TTt
у/2	„
+ у = arccos ——h 2тгп
X
У
ТГ	1	х/2
=------1— arccos ——h TVlt + П)
8	2	4
тг	1	х/2
= —|— arccos---------h ТГ172 — t)
8	2	4	v 7
- У =	+ 2тг<
V2 „
+ у = — arccos ——h 2тф
x = — — — - arccos ——h Tv(p + t)
8	2	4
7Г	1	x/2
у = Q ~ 9 arccos — + 7г(р - t)
о	2	4
Ответ:
f (tv 1	x/2 zr ч 1	x/2 тг
<	—I— arccos-------1- Tv(k + п); - arccos----h 7r(n — к)
118	2	4	2	4	8
f tv 1	x/2	tv
q “ o arccos “т- +7r(fc+p);--
\ о 2	4	о
1
---- arccos
2
x/2
— + 7f(p - k)
\/2	. tv
arccos------1- Tv\t + n); — +
4	8
1	V2
- arccos ——
2	4
+ 7r(n — t)
f TV	1	x/2	7Г
- ё -	о arCC0S	“Г	+	Q
\ о	2	4	о
1
- arccos
2
V2
— +Tv(p-t)
| ky n, typ e Z
Решение карточки 1
633
7. Постройте график у =
sin х + sin 3z
д/2(1 + cos 2z)
2 sin 2x • cos x 2 sin 2x • cos x
л/4 cos2 x	21 cos x |
J sin2z, cosa; > 0
[ — sin2z, cosz < 0 *
634
Итоговые карточки
Решение карточки 2
1. Вычислите:
. а	5
1) sm—, если tga = — при а 6
ТГ Зтг
2’Т
1
cos а —-- =;
±yl + tg2 а
a G
тг Зтг
т
2
COS а — —
12
13’
. а / 1 — COS Of
sm — — ±
2
Зтг
Т
. Л Л / а
sm — > О — Е
2	\ 2
4
2
Of
sm — =
2
n •	/	. тг \	/	। 7Г \ | 5тг
2 sm а + й • sm а + z + cos уг
2) k / 7 Д J------------------------------------------=
2sin (2а + 1 — v3 cos 2а
cos ^а + ^ — а —	— cos ^а + ~ + а +	+ cos
2 sin 2а • cos + 2 cos 2а • sin ~ — л/З cos 2а
7Г	(г» । ТГ \ ।	(	7Г \
cos 6 — cos I 2а + 2 1 + cos (77 — 6 )
sin 2а + л/З cos 2а — л/З cos 2а
cos 5 + sin 2а — cos
о	о
sin 2а
а 6 D(A).
2. Докажите:
1) cos 5° + cos 15° + cos 25° - —-— = 0.
7	4sin5°
L = cos 5° + cos 15° + cos 25°-------~
4 sin 5°
4 cos 5° * sin 5° + 4 cos 15° • sin 5° + 4 cos 25° • sin 5° — 1
4 sin 5'
Решение карточки 2
635
_ 2sinl0° + 2(sin20°-sin 10°) + 2(sin30°-sin20°)-1
4 sin 5°
_ 2sin 10° + 2sin20° -2sin 10° + 1 - 2sin20° - 1 __
4 sin 5°
L = 0 T rr
n=o n'
2)	cos(ct — 9°) • cos(ct — 45°) > sin (a 4- 40°) • cos (a — 4°).
| (cos(q — 9° 4- a — 45°) 4- cos (a — 9° — a 4- 45°)) >
> | (sin(a 4- 40° 4- a — 4°) 4- sin 44°);
cos(2q — 54°) 4- cos 36° > sin(2ci 4- 36°) 4- sin 44°;
cos(2q — 90° 4- 36°) 4- sin 54° > sin(2ci 4- 36°) 4- sin44°;
sin(2a 4- 36°) 4- sin54° > sin(2ci 4- 36°) 4- sin44°;
sin 54° > sin 44° — истинно.
tga: ф -1 .
cos 2x 0 ’
cosa: 0
3.	Решите уравнения:
2	1	2 cos2x
1 — tg x 1 4- tg x	cos 2x
r tga: 1
2 cos2 x
cos2 x — sin2 x ’
(tga: 4- 3) • cos2a: = 2cos2 я; cosa: — 0 £>(У);
tga: = —1; x = —4- irk
Ответ: 0.
1?(У): {
2(1 4- tga:) 4-1 - tga:
1 — te2 x
636
Итоговые карточки
2) 1 + sinz + sin3z + соз(тг + 4z) — 0.
1^1
©
CD
1 + sinz + sin За; — cos4z = 0;

(1 — cos 4z) + (sin x + sin 3z) = 0;
2 sin2 2z + 2 sin 2x • cos x — 0;
2 sin 2z(sin 2x + cos x) = 0;
2sin2z(2sinz • cosz + cosz) — 0;
2sin2z • cosz(2sinz + 1) = 0;
cos z = 0	z =	- + k4
sin 2z — 0		7Г
	z =	—n
1 ’		2
smz = — -		
L	2	z =	
Ответ: j —fc; ( —l)t+1— + ivt | fc, t e Z
3) 2 arcsin z — arccos 2z.
0 C arccos 2z тг
—тг < 2 arcsin z тг
=> 0 C arcsin z <
тогда
0 < z 1;
( |z| < 1
cos(2 arcsinz) — 2z;	< |2z| C 1 ;
[ 0 z 1
1 - 2z2 = 2z;	2z2 + 2z - 1 = 0;
0
z
1
2’
0
Vs -1
2
0 sS v/3- 1	1;
-1± Vs
^1,2 = ------
Ml
1 л/З C 2 — истинно.
Ответ: x =
v/3- 1
2
Решение карточки 2
637
4. Решите неравенство sin х + cos х > \/2cos3j\
sin
sin
sin
sin
sin
• sin I 2x — --
\	8
8
7Г + 27ГП > 2x — — > 27ГП
8
Г7Г n 1	7Г n ,
----Ь2тгА:> x>-------Ь2тг/с
I 8	8
] 9тг	7Г
—- + 7ГП > X > — +7ГП
lb	lo
8
15тг n 7тг „
—- + 27ft > X > — + 27ft
8	8
177Г	07Г
—+7Гр>Ж>—+7Гр
lo	lo
638
Итоговые карточки
л л , 9л л ,
— + 2тгк < х < — + 2ттк
16	16
7л	17л
— + 2лп < х <	+ 2лп ;
8	16
7л	л
— — + 2тг1 < х <-------f- 2тг1
16	8
1
17л
16
7л
8
A sinx
9л
16
-1
7л
16
л
16
1 COSX
л
8
/ тг	n	т	9л	Л	\
— + 2тгА;; — + 2ък ;
у 16	1Ь	/
7л	17л	\
— + 2лп;	—- + 2лп I ;
8	16	J
7л	л	~	\	.
— — + 2л£; —— + 2л£ J |fc,n,£€Zk
5. Решите систему уравнений
2sinx Ч-----— = 2
cos?/
= 0,5
sin ГЕ
cos?/
D(C) : у ф - + тгк, к 6 Z.
2 sin х • cos у + 1 = 2 cos у
2 sin a; = cos?/	’
cos2 у — 2 cos у + 1 — 0
2 sinx — cos?/	’
(cos?/ — I)2 = О
2 sinx = cos?/
cos у = 1
2 sin x — 1 ’
cos у = 1
1 ;
sinx = -
2
у = 2тгк
х — ( —1)п— + тгп
6
Ответ: < f (—1)п— + лп; 2тгк \ | к,п е Z > .
Решение карточки 2
639
„	.	cos х — cos За;
о. Постройте график у — —,
д/2(1 — cos 2а;)
2 sin 2х • sin х sin 2х • sin х f sin 2x. sin x > 0
у ~ ---- —------ — ----------- = /
V4sin2x	|sina;| [ — sin2a;, sina; < 0

у = sin х
1
X
-1
{5л
। 2

у = sin 2х (х t л/г)
1
-1
—2л
1
-1
-2л '
1
; _ cosx-cos Зх
f >/2(1-cos 2х)
2
Зл
2
4 2
-1
640
Итоговые карточки
Решение карточки 3
1.	Докажите:
1)	cos 6° • cos 66° * cos 42° • cos 78° = —.
J	16
L = cos 6° • cos 66° * cos 42° * cos 78° =
= (cos 72° + cos 60°) • - (cos 120° + cos36°) =
=	If cos 72°
4 \
=	1 f cos 72°
4 \
= 1 f cos 72°
4 \
= 1 (2 cos 72° - cos 36°
4 \
+ I) (cos 36° - 1) =
£ J \	L J
• cos 36° + cos 36° — 1 cos 72°
£ &
• cos 36° + sin 54° • sin 18°
1
4
так как cos 36° • cos 72° =
1
4
1\ _
4/
1\ _
4/
-h-1-
4 \ 4
2sin72°-cos72° _ sin 144° _ 1
4 sin 36°	4 sin 36°	4
cos 6a — cos 7a — cos 8a + cos 9a
2)
7a—8a
2
1
1ё]’
4 sin 36°  cos 36° • cos 72°
4 sin 36°
L = 16
n=i^
15a
sin 6a — sin 7a — sin 8a + sin 9a 2
cos 6a — cos 7a — cos 8a + cos 9a
sin 6a — sin 7a — sin 8a + sin 9a
r> 6a+9a	6a—9a o 7a+8a
2 COS —J— * COS--2----2	cos —— • cos
o • 6a+9a	6a—9a o . 7a+8a	7a—8a
2 Sin--2- ’ cos-2----Sin----2-- ’ COS-2--
15a	( 3a	a\
_	cos^	•	(^COST	-cos	2J 15a
~~	. 15a	( 3a	a\ ~ Ctg 2 ’
Sin -j-	•	I COS -j-COS	2 )
r	15a ।
L = Ctg —
,-r	15a
n=ctg-—
Решение карточки 3
641
1	15%
3) arcctg - + 2 arcctg - = —
О
Так как <
О
1 уз
з < "з~
1 Уз ’
7 < ~3~
то, учитывая, что функция arcctg х убывает, имеем
1	1
arcctg - + 2 arcctg -
I	о
' 7Г	1	тг
2>ar«tg->-
<	,	=> 1,5%
% 1	%	’
— > arcctg “ >	“
(2	5 3	3
Значит, arcctg + 2 arcctg ~ 6 (%; 1,5%).
5%
Очевидно, и — € (%; 1,5%) — правая и левая части рас-
положены в одной четверти. Функция tga; на (%; 1,5%)
возрастает. Поэтому переход от равенства углов к ра-
венству значений функции tga; не нарушает равно-
сильности:
(	1	.	1\	5%
tg ( arcctg - + 2 arcctg - I = tg —.
Обозначим a — arcctg /3 — 2 arcctg
I	о
1
tga = tg farcctg 1 j =-------------[V = 75
/ j \	2 tg f arcctg j ]
tg/3 = tg f 2 arcctg - j =--------------p-
\	15 '	1 — tg2 I arcctg x I
2
1 -
1
_2
3	6 _ 3
““4-
9
642
Итоговые карточки
L = tg(a + /3) =
tga + tg/3
1 -tga-tg/3’
7-1
1-7-
L =
5я / 7Г \ 7Г
n = tgT = tg(7r + -j = tg—= 1;
4)
L = 1
П= 1
=> L = П.
1
sin4 a
1
cos4 a
Учтем, что при a 0, b 0 a + b 2\/ab.
Действительно,
a + b > 2\/ab О a — 2\/ab 4- b > 0 <4>
истина. Поэтому
1 1
-Т~4---1------j—
sin a cos4 a
2
1
cos4 a
2
__
sin a • cosz a
| sin2 2a sin2 2a'
• 2 n	1	°
sin 2a C 1, значит —~1, откуда —~8, что
sin 2a	sin 2a
и требовалось доказать.
2. Решите уравнения:
7 х о х х
1) - cos — = cos —Н sm
4	4	4	2
7 х о х . х х
- cos — = cos —2 sin — • cos —:
4	4	4	4	4
X /7	9 X	x\
cos — • I---cos-------2 sin — — 0:
4 \4	4	4/
X Л	X 7Г	, f „
cos —	= 0;	—	= —	4- тг/c; x — 2тг 4- 4тгА; fc	6 Z;
4	4	2	f 7
7	9 x x	x	o
- — 1	4- sin2 — — 2 sin -	— 0;	sin —	= t:	4i2 — 8t 4-	3 = 0:
4	4 4	4
Решение карточки 3
643
4±л/16- 12 _ 4±2
4	” 4 ’
sinz = h
т ~ (“1)П7 + ^п', х ~ (—1)” + + 4тгп;
4	6	3
Г	2тг	1
Ответ: < 2тг + 4тг&; (—1)п— + 4тгп | fc,n е Z > .
I	о	1
2) sin10 х + cos10 х = —.
64
1 — cos 2х \ 5	/1 + cos 2х \ 5	29
2	) + \	2	) ~ 64’
11а A A5 =_aL АА4А+А0?3 А А А АААьАА A A J
1 — 5 cos 2х + 10 cos2 2х — 10 cos3 2х + 5 cos4 2х — cos5 2х+
+ l+5cos2a;+10cos2 2z+10cos3 2rr+5cos42z+cos5 2х —
29
2 + 20 cos2 2х + 10 cos4 2х = —; cos 2х = t;
20f2 + 40f - 25 = 0;	4f2 + 8t - 5 = 0;
—4 ± A16 + 20	-4 ±6	< =-2,5
tll2= 2 =^~' l/=l ;
9	11 + COS 4x 1	7Г 7Г ,
cos 2x = - : --------= cos4z — 0; x — —h — k.
2’	2	2’	’84
Ответ: < —I—к I к G Z > .
18	4 I
3) cos(5z + 516°) - cos(3z + 172°) = cos(4z + 254°).
-2sin(4;r + 344°) • sin(2: + 172°) = cos(4z + 254°);.
2sin(4z + 254° + 90°) • sin(z + 172°) + cos(4a; + 254°) = 0;
2cos(4z + 254°)  sin(a; + 172°) + cos(4z + 254°) = 0;
2cos(4z + 254°)
sin(z + 172°) + - = 0;
644
Итоговые карточки
cos(4j; + 2540) =0
sin(:r + 1720) = —- ’
4х + 254° — 90° + 180°fc
х + 172° = (—l)n+130°4-180°n ’
% = -41°+ 45%
x = -172° + (-l)n+130° + 180% ’
Ответ: {—41° + 45%;
-172° + (-l)n+130° + 180% | k, n G Z
3. Решите неравенство 8 sin2 —h 3sina; — 4 > 0.
/у»	/у»	/у»	/у»	/V»
n vb	JU	JU	„ О JU	О JU
8 sin —h 6 sm — • cos------------------4 sm------------4 cos — > 0;
2	2	2	2	2
9 X	X X	2 х
4 sin —1-6 sm — • cos-4 cos — > 0;
2	2	2	2
б) Пусть cos — Ф 0,
тогда cos2 > 0.
Значит, 2 tg2 + 3 tg — 2 > 0;
1,2
-3 ± Ж16 __ -3 ± 5
4	~	4
x
tg 2 = ”2
x 1
2 = 2
Решение карточки 3
645
4
7Г _ X	1	_
- + 7rfc > - > arctg-+7rfc
X 7Г
arctg(-2)+7rn > - > --
Объединяя оба случая, получаем следующий ответ.
Ответ: < (2 arctg +2?rfc; 2тг+2 arctg(—2) + 2?rfc j |fceZ>.
lx"	/	I
4. Решите систему уравнений <
1
sm х + sm у = -
Уз •
cos х — cos у = ——
”	2
n - X + y
2sm-----
2
O . Х + У
2sm-----
2
х-у 1
•	cos —-— — -
2
. У-х
•	sm---
2
2
Уз ’
Т
х-у
2
X — у	7-
тогда tg —— = “V 3;
2тг
х = у--— + 2тг/с
{	(	27Г 9 Л
sm I у-— + 2тгк 1 + sm?/ = -
\ о	/
{2тг „ ,
X = у--— + 27ГК
. (	2я\	.	1 ’
sinly- — I +siny= -
\	О /	£/
2тг ,
х — у--— + 2тгк
/	\	/	\	1 ;
2 sm [у — — ♦ cos — — — -
( V 3 у \3/	2
{2тг о ,
х = у-— + 2тгк
о
/ -f Л 77 ТГ	5
У= о +(-1) д +7ГП
3	о
1 ’
2
ТГ ,
- + тгк-,
О
27?	„ ,
x — у----— + 2тгА;
о
.	/	7Г\	1	’
sm	[у — —	—	~
V	3/	2
646
Итоговые карточки
7Г /	\т> тг 2тг
X = - + (-1) - - — + 7ГП + 2тг/с;
о	О о
ж = —1)п^ + 7г(п + 2А:).
О	V
Ответ: | (—+ (—1)п^ + 7г(п + 2k);	+ (~1)п^ + тт
| kyп 6
5. Постройте график у = 2| sin а?) • cosa; *
( sin2а;, sina; О
у = <
I — sin2а;, sina; < О
Решение карточки 4
647
Решение карточки 4
а — /3	.	.	27 а +
, если sma + smp = — —, tg—-
65	2
1. Вычислите cos
2
7
9
при 2,5тг
7Г
2
sin а + sin /3 = 2 sin
a — /3
• cos —-—
27
65
Так как tg —-
а+/3
Sln^
COS —y-
Учтем, что 2тг < а + (3 < Зтг, тогда тг
1,5тг, значит
cos-----
2
1
tg2^’
cos
2
9 ,__________
= —— a/130;
130
sm —-
2
= tg
sm----
2
Так как 2 sin
---- cos---
2	2
7/9	,-->
- -------л/130
9 V 130	)
a — /3
sm —-
2
7
a — /3
cos--------
2
-----• cos —
2
27
65 • 2 sin
, т. е.
V130
27
- ~, TO
65
a — (3
cos—Г"
7 а + [
-  cos ——
9	2
7	,---
— •
130
27^/130
910
2
2
_ 7.
“ 9’
7
9
2
2
тт	л , 4 sin 4a + sin 10a — sin 6a
2. Найдите A(a) =---------------------~,
v ’ cos 2a + 1 - 2 sin2 4a
если sina — cosa = m.
л . sin 4a + sin 10a — sin 6a
A(a) =--------------------5----=
cos 2a + 1 — 2 sin2 4a
2 sin(—a) • cos 5a + 2 sin 5a • cos 5a
cos 2a + 1 — 1 + cos 8a
2 cos 5a • (sin 5a — sin a) 2 cos 5a • 2 sin 2a • cos 3a
cos 2a + cos 8a	2 cos 5a • cos 3a
= 2 sin 2a;
648
Итоговые карточки
т = sin а — cos а — y/2 sin (а —- I , тогда — у/2 < т + у/2;
\	4 J
(sina — cosa)2 = m2;	1 —sin2a = m2; sin2a=l — m2.
Значит, A(a) — 2(1 — m2) при m G [— y/2; у/Щ .
Ответ: A(a) = 2(1 — m2) при m G [— y/2; у/Щ .
3. Докажите:
1) tg6 20° - 33 tg4 20° + 27 tg2 20° = 3.
9 n sin2 20°	1 — cos 40°
tg2 20 = —_____=------------•
cos2 20°	1 + cos 40° ’
L = tg6 20° - 33 tg4 20° + 27 tg2 20° = --1 x
6	6	6 (l + cos40°)3
x ((1 — cos40°)3 -33(1 — cos40°)2(1 + cos40°)+
+ 27(1 - cos40°)(l + cos40°)2} =
— Ti---- xo f(l — cos40°)[(I — cos40°)2—
(l + cos40°)3V	7LV	7
- 33(l - cos40°)(l + cos40°) + 27(l + cos40°)2]} =
= -----------f (I — cos 40°) [l — 2 cos 40° 4- cos2 40° —
(l + cos40°)3V	7L
-	33 + 33 cos2 40° + 27 + 54 cos 40° + 27 cos2 40°]) =
_ (I - cos40°)(6l cos2 40° + 52cos40° - 5) _
(I + cos40°)3
= ------ifei cos2 40° - 61 cos3 40° + 52 cos 40°-
(I + cos40°)3 \
-	52 cos2 40° - 5 + 5 cos 40°) =
-	61 cos3 40° + 9 cos2 40° + 57 cos 40° - 5
(I + cos40°)3
Решение карточки 4
649
Используя тождество cos За = 4 cos3 а — 3 cos а
при а = 40°, получаем:
cos 120° — 4 cos3 40° — 3 cos 40°; умножим на 16:
—8 = 64 cos3 40°—48 cos 40°; 64 cos3 40°—48 cos 40°+8 = 0;
L = У.-1	u f—61 cos3 40° + 9 cos2 40° + 57 cos 40°-
(1 + cos40°)3 \
- 5 + (64 cos3 40° - 48 cos 40° + 8)) =
_ 3 cos3 40° + 9 cos2 40° + 9 cos 40° + 3 _
(1 4- cos40°)3
_ 3(cos40° + I)3 _
(l + cos40°)3
. 4	.12	56
2)	arcsin - + arcsin — + arcsin — = я.
5	13	65
. 56
Предположим, что тождество выполняется. Тогда оно
равносильно
4	12	56
arcsin - + arcsin — = л — arcsin — о
5	13	65
65
. 4	12
arcsin —h arcsin —
5	13
= sin
. 56
я — arcsm —
65
a
/3
7	/
О sin(a + /3) ~ sin 7 о sin а • cos /3 + sin (3 • cos а = sin 7;
56	.	4	3
sin 7 = —; sina = cosa =
65	5	5
. n	12	n	5
v	13	v	13
Тогда равенство равносильно
4 5	12	3	56	56	56
7'77 +	77'7	=	77;	77	=	77	— истинно.
5 13	13	5	65	65	65
650
Итоговые карточки
Значит, предположение о справедливости тождества
верно, что и требовалось доказать.
Примечание. То, что из а 4- (3 = 7 следует, что
sin (а 4- /3) = sin 7 — очевидный факт. Но в общем слу-
чае из sin(a 4-/3) — sin 7 не следует а 4-/3 — 7. В данном
случае следствие выполняется, так как:
тг .4	. \/2 тг
—	arcsin - > arcsin —- — —
2	5	2	4
4	х/2	,
— > и функция arcsin а; возрастает на
тг тг
2’2
тг	12	\/2	тг
—	arcsin	—	> arcsin	—-	=	—
2	13	2	4
аналогично так как
~	.56	. - тг
0 < aresm — < arcsin 1 — —
65	2
Поэтому а 4- /3 G —; тг
А если sin (а 4-/3) — 8ш(тг — 7) и углы из одной четверти,
то углы равны.
ч sin а — 1	1
3)	Ь -
sin а — 2	2
2 — sin а
3 — sin а
Домножим обе части неравенства
на 2(2 — sin си) (3 — sin о) > 0. Тогда
2(1 — sina)(3 —sina)4- (2 —sina)(3 —sina) — 2(2 — sina)2 7 0 О
О 4 — 5 sin a 4- sin2 a 0 <=> (sina — l)(sina — 4)	0;
Г sin a 4 0
.	— истина. Сле-
4----' sina sina 1 Va
довательно, предположение о том, что неравенство вы-
полнено, верно для Va, что и требовалось доказать.
Решение карточки 4
651
4.	Решите уравнения:
.	1	9
1)1 + cos 2х • cos 3z = - sin Зх.
£
2 + 2 cos 2х • cos Зх = sin2 Зх\
1 + sin2 Зх+cos2 Зх+2 cos 2х - cos Зх + cos2 2х — cos2 2х — sin2 Зх;
sin2 2х + (cos Зх + cos 2х)2 = 0;
sin 2х — О
cos 3z + cos 2х = 0 ’
при
fc = 0
б)
при
в) при
г) при
Ответ: {z — тг
~ . 9	. 9 7ГЯ 9	1
2) 2 sin2 — • sm2 — — х2,
2	4	х2
к = 2
fc-3
х — —к
2
Зтг	т 
cos —к + costtA; = 0
cos 0 + cos 0 = 0’— ложно;
Зтг
cos — + cos тг = 0 — ложно;
cos Зтг + cos 2тг = 0 — истинно;
cos4,5Tr + cos Зтг = 0 -- ложно.
+ 2тгп | п Е Z} .
к = 1
г ~ . О ЯХ . п ЯХ п	9	1 п п 1
L — 2sm2 —— - sm2 — ^2; П = х2 + —z- > 2* х2 •	= 2;
2	4	х2 у х2
L < 2	1
т-r п , значит L = П = 2. х2 + — = 2 при
11	2	хл
= 1
= -1 ’
х
х
Проверим левую часть:
а) х = 1; L = 2 sin2 — * sin2 — = 1; L П;
т	2	4^
б) х = — 1; L = 2 sin2 (— — - sin2 ( — —= 1;
\ 2 /	\ 4 7
L^IL
Ответ: решений нет.
5.	Решите неравенство ------3tgz.
cos2 х
D(H) : cosz 7^ 0;
cos2 2x	3 tg x • cos2 z;	cos2 2z 3 sin z * cos z;
652
Итоговые карточки
9	3
1 — sm 2х - sin 2х\
2
2 sin2 2х + 3 sin 2х — 2 < 0;
, . ч -3 ± V9 + 16	—3 ± 5
(smrr)1>2 ----------------= —-—;
sin2x = —2
sin 2 х = -
sin 2rr
Из чертежа следует, что
7Г	7Г	Л ,
— — +	2тг& < 2х	—	+	2?rfc
2	6
3%	Л Бтг
— + 27Г72 > 2х > — + 2тгп
2	6
7Г
—- + тгк
4
Бтг	Зтг
— + ТТЛ X < — + 7Г72
12	4
Ответ:

5тг Зтг
— + тгп; — + тт
С * ч
ъ	о sin X = sin?/
6.	Решите систему уравнении < л	•
[ cos х — cos у
( . 4	.2
I sin х — sin у
S 8	2	?	тогда
[ COS° X = cosz у
cos8 x + sin4 x — 1; cos8 x + (1 — cos2 я;)2 = 1;
cos8 x + cos4 x — 2 cos2 x = 0; cos2 x (cos6 x + cos2 x — 2) = 0.
Решение карточки 4
653
Обозначая t — cos2 z, получаем t • (t3 + t — 2) = 0;
_ t3 + t - 211- 1
t3-t2 j f2 + t + 2 D < 0
?+ t — 2
~ t2- t
_2t-2
2t — 2
COS2 X — 1 _
cos2 x = 0 ’
X — 7rfc
7Г
X = — + ТГП
£
( sin2 irk = sin у
[ cos4?rfc = cosy 1
( sin у = 0
[ cos у = 1 ’
У = тгк
у = 2тгр ’
у = 2тгр; (тгк; 2тгр) \кур 6 Z;
= sin?/
— cosy
sin у — 1
cos у — 0
ТГ	f ТГ	7Г	\
у — “ + 2тгт; ( ~ + тгп; — + 2тгт I .
21	\ 2	2	j
ТГ	ТГ	\	I
— +	тгп; —	+	2тгт j	| fc, у, п, т	е Z >	.
Zi	&	/	I
654
Итоговые карточки
Решение карточки 5
655
Решение карточки 5
1. Вычислите tg2/3, tg если sin/З = при /3 6 [1,5тг; 2тг].
£	О J.
r, L ( 60\ 2	/(61 + 60)(61 - 60)
cos/3 =4/1-	1 - 1	--------
V X 61
_ П
~ 61’
612
. д sin/3
тогда tgzJ=
tr2a = 2t^ .
s V l-tgv
60
__61 _	60
11 “ 1Г
61
2-
tg2/3 =------
1 -
120-11
3600 - 121
1320
3479 ’
2 —
_ Зтг
1ак как — $
значит, cos — < 0, sin > 0.
’	2	’	2
Зтг
то —
4
/3 ~
ft /1 + cos (3
COS — = - 4 /---------
2 V 2
. (3	/1 — cos (3
sm — = 4 /--------
2 V 2
V
2
. /3
sm —
Р
COS —
11
61
-л/61.
61
Значит, tg =
2. Упростите
4 sin2 (45° + a) * sin 10° — 1 + 4 sin 10° • sin 70°
4 sin 10° • tg(45° + a) • cos2(45° + a)
2(1- cos(90° + 2a)) * sin 10° - 1 + 2(cos 60° - cos 80°)
4 sin 10° • sin(45° + a) * cos(45° + a)
2(1 + sin 2a) • sin 10° — 1 + 1 — 2 cos 80° _
2 sin 10° • sin(90° + 2a)
5
6
2

656
Итоговые карточки
2 sin 10° + 2 sin 2а • sin 10° — 2 sin 10°
2 sin 10° • cos 2a
2 sin 2a • sin 10°
------------------= tg 2a.
2 sin 10° • cos 2a
3. Докажите:
1) cos 36° — sin 18° —
L — cos 36° — sin 18° = cos 36° — cos 72° =
= 2 sin 54° * sin 18° = 2 cos 36° • cos 72° =
2 cos 36° • sin 36° • cos 72°
sin 36°
sin 72° - cos 72° _ sin 144° _ sin 36° _ 1
sin 36°	2 sin 36°	2 sin 36°	2’
S&aob —	• BO • sinm —
— ft2 • sina:
2
S^ocb = \OB • CB = |<9B2 • tga = |л2 • tga;
Lt	Li	Lt
^сект. AOB = ~ft
-i?2sina < -T?2a < -7?2
2	2	2
a < tgai.
Решение карточки 5
657
4. Решите уравнения:
1) cos х • cos 2х — cos 3z.
1
2
(cos Зх + cos х) = cos Зх;
(cos Зх — cosx)
-0;
- • 2sin2z • sinz = 0:
2
x — тгк	7Г
x — —n.
2x — тт	2
Ответ:
—n | n G Z
2) 3 cos 2z + 4 sin 2x + 5 — sin2 x.
3 cos 2x + 4 sin 2x + 5 — sin2 x;
3cos2z—3sin2z+8sinz-cosz+5sin2z+5cos2z—sin2z = 0;
8 cos2 x + 8 sin x • cos x + sin2 x — 0;
tg2 x + 8 tg x + 8 = 0; tg x = — 4 ±	— — 4 ± 2>/2;
x — arctg (—4 ± 2\/2) + irk.
Ответ: {arctg (—4 ± 2\/2) + тгк | к G Z} .
arccosz G [0;я]
3) arccos x = arctg x.
т. e. углы в левой и правой части располагаются в пер-
вой четверти, и косинус этих углов положителен.
Так как cos х =---.	-, то
± х/1 + tg2 ГЕ
х =	.. : х4 + х2 — 1 = 0;
\/1 + х2
'	2 С5-1
--------^[0;оо); х2 = —-—;
_______1________
у/1 + tg2 (arctg х)’
_ -1± у/5
х =	е (°; 11
* =	ям'
Ответ: х =
658
Итоговые карточки
5. Решите неравенство1 V5 —2sinz 6 sinz—1, если х е [О;тг].
( 6 sin х — 1 О
( 5 — 2sinz 36sin2 х — 12sinz + 1
( 6sinz < 1	’
( 5 — 2 sin z > О
’ f 1
sinz —
6
36 sin2 z — 10 sin z — 4^0
I •	1	5
sinz < -
6
sinz C 2,5
5 ± ^25 + 144	5 ± 13
sinz = t: ty 2 —--------—------= —;
’ ’
1 Более подробно см. Шахмейстер А. X. Иррациональные уравнения
и неравенства. СПб.: «Петроглиф», 2008.
Ответ: z €
Решение карточки 5
659
„ f sinz • sin?/= 0,75
о. Решите систему уравнении <
sinz * sin?/ = 0,75
< sin х • sin у
= 3
COS X • cos у
з
sin z • sin у — - Q) + @
1 z-X
cosz • cos у = -	(2) — (1)
cos(z — ?/) — 1
/ \ 1; <
cos(z + ?/) = --
z — у = 2тгк
<	2%
х + у — — + 2тгп
х — у — 2тгк
\	2тг
X + У =-------- + 2тгп
,	о
х — у — 2тгк
2% л ;
z + ?/ — ±—- + 2тгп
о
ф +®
ф +®’
х = — + тг(п + к)
о
У =	+ тг(п - к)
о
к, п G Z.
х = — — + тг(п + к)
о
у = -- + тг(п - к)
О
Ответ: < ( — + тг{п + &);—+ 7г(п — к) ] ;
I \ О	О	/
— — + тг(п + к)] — — + тг(п — к) j \k,n€Z>.
о	о	/	J
7. Постройте график у = tg
------ sin 2z.
2
( tgz • sin2z, z 0
У ~ 1 0,	х < 0 ’
У = <
2 sin2 z, х 0 при х 7^ — + тгк
z < 0
О,
660
Итоговые карточки
Решение карточки 6
661
Решение карточки 6
1. Вычислите cos 24° + cos 48° — cos 84° — cos 12° =
= (cos 24° — cos 84°) + (cos 48° — cos 12°) =
= —2 sin 54° • sin(—30°) - 2 sin 30° • sin 18° =
= sin 54° — sin 18° = 2 sin 18° • cos 36° = 2 cos 36° • cos 72° =
_ 2 sin 36° > cos 36° > cos 72° __ sin 72° • cos 72°
sin 36°	sin 36°
_ sin 144° _ sin(180° - 36°) _ sin 36°
“ 2 sin 36° “	2 sin 36°	“ 2 sin 36<
1
2
2. Найдите а + 2/3, если tgm = —, sin (3 = при ш, (3 6 I.
, /	,	tga + tg2/3
tg(“ +	= 1—tga-tg2/3’
з ___	i
— V10, поэтому tg /3 = —.
2 • i
_______ _ Z 3
1 - tg* * 2 з * 1-1
tga + tg 2(3
cos/3 = + ~То
2-3 _ 3
~8~ “ 4
tg2/3=
4 + 21 _ 25 _ г
28 -3 ” 25 “
4
oi + 2/З — —+ 7Г&, но
2
1	v 2
так как t, то
Vlo	2
. .	1	n/2	. 7Г
Sinp=—=< —=sin-,
v!o 2	4
7Г
T.e.
значит, 0 < 2(3
и 0 < а + 2/3 < тг.
При к = 0 а + 2(3 = при к — 1 а + 2(3 =	(0;тг).
Это все возможные значения а + 2(3 € (0; 1,5тг).
Ответ: а+ 2(3 = —.
662
Итоговые карточки
3. Упростите А(а) =
sin2 2а + 4 sin4 а
4 — sin2 2а — 4 sin4 а
/, ч 4 sin* 2 * а • cos2 а + 4 sin4 5 а
А(«) = ~л---Г--------2-----л • 4	=
4 — 4 sinz a cos2 а — 4 sm а
4 sin2 а • (cos2 а + sin2 а)
4 — 4 sin2 а • (cos2 а + sin2 а)
4sm а sin a 2
~л ~л • 2	2
4 — 4 smz a cos2 а
4. Докажите ------------------- < 2 для Va 6 D(H).
sina — cosa • tg |
a
По условию cos — / О
a
условие существования tg —
a / 2тгп + тг
sina
sina — cosa • tg |
. 2
sm a
sina
•	1—cosa
sin a — cos a • —;---
sin a
sin2 a — cos a + cos2 a
sin a
sin a •----------< 2 о
1 — cos a
. 2
sin a
1 — cos a
a
при sin — 7^ 0 и a 7^ 2тгп + тг
a	a a 2	9 a
sin a-ctg — < 2 2sin — -cos-------< 2	2 cos — < 2 о
2	2	2 sin«	2
доказать.
<^>1 + cos a <
истина, что и требовалось
5. Решите уравнения:
1) 39 + 7sin2 х + 12sin2j; = 33cosa; + 44sinj;.
30 + 9 cos2 x + 9 sin2 x + 7 sin2 x + 24 sin x • cos x =
= 11(4 sin x + 3cos j;);
30 + (4sinz + 3 cos x)2 = 11(4 sina; + 3 cos x\
Решение карточки 6
663
Учтем, что a sinrE + Ьсоэге =
— \/а2 + b2 sin(rE + (£>о) Е а/я2 + Ь2; а/п2 + Ь2]
b
где сро = arctg-.
а
Тогда 4 sinrE + 3cosrE = 5sin(rE + <ро) £ [“5; 5].
Обозначим f = 4 sin гг + 3 cos гг, тогда
t2- lit + 30 = 0; R = 5;
t = о
4 sinrE + 3 cos ге = 5
4 sin ге + 3 cos ге — 6 E(y — 4sinrE + Зсоэге) ’
4	3
4 sin x + 3 cos x = 5;	- sin x + - cos x = 1;
5	5
( 3
5 — cos tpo	2
< 4	; <fo = arccos - ((p0 G I);
- = sin (p0
k о
cosc^o • cosx + sin(£>o * sinrE — 1;
cos(rE — y?o) — 1; ге —	= 2тгА:.
3
Ответ: ге = arccos - + 2тгА: | к е Z.
5
cos ге • cos 2ге • cos 4ге = -.
8
sinrE * COS ГЕ • cos 2гг • cos 4ге 1
а)	х тгк; -----------------;
sm гг	8
sin 2ге • cos 2ге * cos 4х 1 sin 4ге • cos 4ге	1
2 sin ге	8’4 sin ге	8 ’
sin 8ге 1	. _
-------— —; sinSrr — sm гг = 0;
8 sin ге 8
2 sin 3,5ге • cos 4,5ге = 0;
3,5ге — тгк
4,5ге = Trt + —
ге — —к к£ 7
664
Итоговые карточки
б)	х = тгА;; costtA; • соз2тгА; • cos4ttA; = —;
, 1
costtA; = — — ложно, т. е. х = тгк корнем уравнения
о
не является.
\ 2тт 2тт тг
Ответ: < — к; — t + — | A;, t е Z, к / 7, (2£ + 1) / 9
3) arcsin(a;2 — 2х + 2) = — х.
Выясним, чему равно 7?(У).
1 9I 1 .	/ Х “
х2 — 2х + 2 > — 1 ’
х2 — 2х + 3 > 0 ’	[ Ух
х — 1.
Проверим: arcsin(l — 2 + 2) — —; arcsin 1 — —;
2	2
— = — истинно.
2	2
Ответ: х = 1.
6. Решите неравенство 3cos2a; • sina; — sin2 а; < — 1.
3 cos2 х • sina; + cos2 x < 0; cos2 x(3 sina; + 1) < 0;
A sinx
Решение карточки 6
665
7. Решите систему уравнений
f X + у + Z — ТГ
<	tgz • tgz — 2 .
k tgy -tgz = 18
' Z = 7Г — (x + y)
<	tg a; • tg [тг — (ж + у)] = 2;
ч 9tga; = tgy
Z = 7Г — (x + y)
tga; • tg(a; + y) = -2 ;
9tga; = tgy
' Z = 7Г - (x + У)
tga;(tga; + tgy)
1 - tga;-tgy
k 9tga; = tgy
tga;(tga; + 9 tga;)
1 — 9 tg2 x
’ 1
tgZ=2
< . 9
tgy=2
I tg z = 4 .
I	1 ’
‘^=-j
. 9
169 = 2
tg г = —4
9	1
tg x = 4
1,9	л
arctg - + 7rfc; arctg - + тгп; arctg 4 + 7ri
arctg
+ 7rp; arctg
+ тгт; arctg(—4) + тг/
1	,	9	nA
arctg - + тгк; arctg - + тгп; arctg 4 + J ;
arctg
+тгр; arctg
+7rm; arctg(—4) + тг/
| fc,i,n,p, m, Z € Z >.
666
Итоговые карточки
8. Постройте график
2 sin2(45° + х) • sin 10° — 1 + 4sin 70° • sin 10°
4sin 10° • tg(45° + x) • cos2(45° + x)
[1 — cos(90° + 2a;)] • sin 10° — 1 + 2 [cos 60° — cos 80°]
4 sin 10° * sin(45° + x) • cos(45° + x)
sin 10° + sin 2x • sin 10° — 1 + 1 — 2 sin 10°
2 sin 10° • sin(90° + 2a?)
sin 10° * (sin 2x — 1)	1 (sin x — cos x) (sin x — cos x)
2 sin 10° • cos 2x	2 (cos x — sin x) (cos x + sin x)
1	sina; — cosa;	v2sin (a; — 4 J	1	/
= —  -------------—-----------------L— — — tg I a; — — 1
2	sina; + cosa;	9,/9me f.-r ’’Л	2	\	4/
4 /	'	'
{1	(	7Г\
У= 2 tg	\ “ 4/
7Г	V	7 *
X 7^ — + 7lk
Решение карточки 7
667
Решение карточки 7
9 7Г 9 ЗтГ 9 57Г
1. Вычислите tg2 — + tg — + tg —
1 &	1 £	1 £
1	7Г
1 — COS 77
D
1 i
1 + COS g
1	5ТГ -|	7Г
1 — cos 1 — cos
--------<-=------------- +
1 i	O7T	।	7Г
1 4“ COS -g-	1 4“ COS g
/	\ 2
1	।	71
1 4“ COS 6
1
1 — cos тг
D
cos
cos
-i	9 7Г
1 — COS2 Д-
о
1 П 7Г .	9 7Г .	♦ 9 7Г . i . n 7Г .	2
1 — 2 cos g + cos g + sin g + 1 + 2 cos g + cos g
3 + cos2 д
о
sm g
• 2 it
sin «
о
3+|	г-,
4
2. Докажите:
. си + 3 cos q + cos /3
1) cos > ---------------------, где a,(3 G I.
£ &
Q + 3 COS Q + COS /3
cos —-—	-
2
о a + P
2 cos-------
2
_ 9	& + (3
2 cos----—
2
« 3r (3
cos-------	0
2
2
„ a + 3 a — 3
— 2 cos------ cos-----0 о
2	2
Л	«- P\	„
1 — cos----- 1^0— истинно, так как
\	2 )
Va,0e 0; — ,
cos - - — С 1 Vq, /3.
2
Примечание. Из определения выпуклости функ-
ции вверх на множестве М (функция называется вы-
(ХХ + Х2\	/(^1) + /(Ж2)
пуклои вверх, если j ( --- 1	------ для
\/Ж1,Ж2 £ следует, что мы доказали выпуклость
7г"|	.
0; — , что графически очевидно.
у = cos x вверх на
668
Итоговые карточки
5 хэ	.	12
Обозначим а = arccos t_____, р — arcsin —.
\/26	13
tg 2а-tg/3
1 + tg2a • tg/3’
5	/ 7г\
arccos..e 0; — ;
\/26 V 2/
• (	5 A
sm arccos
\	V 2o /
( И
cos arccos —7=
\	V26 /
L = tg(2a - /3) =
2 tga
tg2a = 1—тЦ—;
1 “ tg2 a
I 5
tg a = tg arccos -7=
\	\/26
1
<26
<26
1
5’
5
a/26
24
tg 2a =------r
1 ~ 25
10
24 “ 12’
5
* (	.12
/	12 \ sin (aresm уд
tg 3 — tg I arcsin — ] =----7-------
'	13 /	(	.12
/ cos (aresm уд
12	v
13 _ 12
A 5
13
12
13
144
169
Решение карточки 7
669
_5_12
^-/3) = 7ТтА2
1 + 12 ' 5
25-144
60
2
119
120’
L = ->“
120
п=-»®
120
3. Найдите cos
а + /3
2
. л + (3
sm-------, если
2 ’
. а 21
sma + sm/3 = — —
65
cosa + cos/3 = — —
65
при 2,5тг < а < Зтг,
. а +/3 а ~/3
2 sm —-— • cos —-—
Zi
а + /3 а — (3
2 cos —-— • cos —-—
Zi
21
65
27
65
Тогда tg
Учитывая, что 2тг < а + /3 < Зтг,
.	&	а + fl
sm —-— < 0 и cos —-— < 0.
а + /3 Зтг
тг < —-— < —, получаем
Значит, sin
а + /3
COS~T~ ~
а + /3
COS—2~ “
. а + /3
sm —-—
2
670
Итоговые карточки
4.	Решите уравнения:
cos2 ж(1 + ctga:)
1)		;-------- = 3cosx.
sm x — cos x
Р(У) : х - + тгА; | А; Е Z и sin х 0; х ф тгп | п 6 Z.
ТГ	7Г
a)	cosx — 0; х — — + тгп | п 6 Z, тогда — + тгп 6 £)(У);
&	£
sinx + cosx п	1 + ctgx
б)	ctgx • ----------— 3; ctgx *----------= 3.
sm х — cos x	1 — ctg x
Обозначим ctgx = £;
t(l + t)=3(l-t); t2 + 4t — 3 = 0; ti,2 = -2±v7;
x = arcctg (—2 ± \/7) + тгк
ТГ
x = — + тгп
+ тгк | fc, п 6 Z > .
Ответ: < — + тгп;
2) (1 + 2cos2x) • sinx + (1 — 2cos2x) • cosx = 0
л тг 7тг
У’
2
Так как cosx — 0 не является решением уравнения,
можно разделить обе части уравнения на cosx:
2 cos 2х — 1	1 — tg2 х
tgx — --------—; cos2x = --------у—.
1 + 2 cos 2x	1 + tg2 x
t+p—1
Обозначим t = tgx. Тогда t =-------—y-;
1	_i_	/
2	- 2t2 - 1 -t2	r- 1+‘
i=i + t2 + 2_2t2;
t(3 - t2) = 1 - 3t2; t3 - 3t2 - 3t + 1 = 0;
(t + l)(t2 -1 + 1) - 3t(t + 1) = 0; (t + l)(t2 -4t + 1) = 0;
a)	t = —1; х =	+ тгк I к Е Z:
4
б)	*ij2 = 2 ± л/З; tgx-2 + х/З;
х — arctg (2 ± х/3) + тгп | п Е Z.
Решение карточки 7
671
Отметим, что ±л/3	{ —1; 2 ± л/З} .
Расшифруем условия:
Зтг 17тг
Т’ЗГ
X
X	х
11л	Зя 17л
12^0^4	4с/у/\12
к = -1: (Zi)i £М
a) zi — —— + тгк £ М: к = 0: (#1)2 Л/.
4	А:=1: Ыз£М
Х2 = arctg (2 — л/з) + тгп. Вычислим tg
п = 0:
п — 1:
Проверим принадлежность х? =--------Ь тгп 6 М:
/ ч Итг _
п = -1: (ж2)1 = —— G М
(^2)2 = ^2 М
/ \ 13тг
Ыэ = ^еМ
А
Аналогично: tg — —
5 12
л 1 I	5тт
Л 1 + cos -g-
1	бтг
1 — COS -тг
о
(2 + ^3)2
4-3
3.
672
Итоговые карточки
Проверим х3 — — + irt е М (t е Z):
. .	7тг ,
t = -1: (2:3)1 = G М
бтг
t = 0:	(2:3)2 = — £ М .
17тг
t = l:	—
1	£
[ Птг 7тг 13тг 17тг 1
Ответ: <------:----:----:---> .
(	12 ’	12’ 12 ’ 12 J
11	тг
3)	sin5 х — cos5 х —---------. DCV) : х ф —к.
cos х sm х	2
(sin х — cos x) • [sin x • cos x • (sin4 x + sin3 x • cos x+
+ sin2 x • cos2 x + sin x * cos3 x + cos4 x) — 1] = 0;
ТГ
a)	sin x — cos x = 0; z — — + й G P(y).
6)	sin x • cos x • (sin4 x + cos4 z+
+	sinz • cosz • (sin2z + cos2z) + sin2z * cos2z^ = 1;
sin z * cos z • [(sin2 z + cos2 z)2 — sin2 z cos2 z+
+	sinz * cosz] = 1.
Обозначим sinz • cosz = t. Тогда
t(l - t2 + t) = 1; t3 - t2 - t + 1 = 0;
t2{t — 1) — (t — 1) = 0; (t - l)2(t + 1) = 0;
t = 1	sinz • cosz = 1
t = — 1 ’	sinz • cosz = —I ’ 
sin2z = 2 £(sinz)
sin2z = —2	E(sinx) *
f 7Г	1
Ответ: < x — —|- тгА: I A: G Z > .
4
Решение карточки 7
673
sin Зх • cos ( 2х —
5. Решите неравенство --------------------
sin 2х
0 на [0; 2тг].
2х = “ + - + Tim | т G Z;
о 2
в) cos ( 2х	—	— ]	=	0;
\	6	J
тг	тг
~	=	- +	тгт;
о	2
674
Итоговые карточки
5% \	/ Зтг \
—; тг ) U ( тг; — ) U
6’7	\	2 /
5тг 117Г
“з:в
(7Г 2%
2;Т
„ \ ctga: + sin2у = sin2х
о. Решите систему уравнении <	. z ч
[ 2 sm у • sin(x + у) = cos х
ctg х + sin 2у = sin 2х
cos(y — х — у) — cos(x + 2у) — cosx ’
ctg х + sin 2y — sin 2x
cos(x + 2y) = 0	’
/ 7Г	\	/	7Г
ctg I — — 2y + тгк I + sin 2y — sin 2 I —2y + — + тгк
\ &	J	\	&
X 7^ 7ГП
7Г
x + 2y = — + тгк
tg 2y + sin 2y = sin(7r — 4?/)
7Г
x + 2y = — + тгк	;
X Ф тгп
sin 2y .
--------1- sin 2y = sin 4v
cos 2y
7Г
x ~ —2y + — + тгк 1
X 7^ ТГП
Решение карточки 7
675
Sin 2?/ , л л 9	\
---— (1+cos 2у—2 cos2 2у) — О
cos2у v	7
< х тт
sin 2у = О
cos 2у = 1
cos2y =
х 7^ тт
7Г
х — —2у + — + тгк
&
7Г
У= 2Р
7Г
у = ±- + 7Г/
О
х ± тт
7Г
х — —2?/+“ + 7гА:
Ответ:
2тГ 7Г z,	< 7Г \ ।	,	|
±— Ч------Ь (А: — 2£)тг; ±—+ 7г£ j |p,t,A:GZ>.
3	2	3	/	I
7. Постройте график у = | tg rr| • sin2:r.
J tg x • sin 2xy tg x 0
[ — tg x • sin 2x, tg x < 0 ’
f 2 sin2 x, tg x 0
( —2 sin2 x, tg x < 0 ’
fl — cos2j;, tg x 0
[ cos2:r — 1, tg x < 0 ’
676
Итоговые карточки
Решение карточки 8
677
Решение карточки 8
1. Упростите:
\/2cosa — 2 cos + а^
2 sin + а^ — \/2sina
\/2 cos а — 2 cos • cosa + 2sin- • sina
2sin • cosa+2cos • sina—\/2 sina
Vasina
= -7=-----=tga.
V 2 cos a
2) ctg a * ctg(60° + a) • ctg(60° — a) =
cosa * cos(60° + a) • cos(60° — a)
sina • sin(60° + a) • sin(60° — a)
cosa [cos(a+60°+a —60°) + cos(a + 60° — a+6O0)]
sina [cos(a+60°—a+6O0) —cos(a + 60° + a —60°)]
cosa(cos 120° + cos2a) cosa (cos2a — 2)
sin a(cos 120° - cos 2a) “ sin Q (cos 2a +
cos a [2(2 cos2 a — 1) — 1]	cos a(4 cos2 a — 3)
sina [2(2cos2 a — 1) + 1]	sina(4cos2 a — 1)
4 cos3 a — 3 cos a 4 cos3 a — 3 cos a
sina • [4(1 — sin2 a) — 1] 3sina — 4sin3 a
cos 3a
=	~ = ctg 3a.
sm 3a
2тг	4тг	бтг
2.	Вычислите cos----h cos---h cos — =
7	7	7
2тг • 7Г . 4тг • тг .	бтг . ТГ
cos • sm у + cos у • sin у + cos у • sm у
ТГ
sm у
• Зтг • тг . • бтг • Зтг .	• бтг
sin -7— sin у + sm -7— sin у + sm тг — sm у
sin -
Г) • ТГ
2 sin у
D • ТГ
2 sin у
1
2
678
Итоговые карточки
3.	Докажите cos 36° > tg36°.
cos 36° > tg36° cos* 2 * 4 36° > sin 36°
+> 1 + cos72° > 2sin36° +>
1 + sin 18° > 2sin6° • cos 30° + 2 sin 30° - cos 6° +>
О 1 + 2sin9° *cos9° > 2 sin 6° • cos 30° + cos 6°.
С другой стороны, sin 9° > sin 6°, cos 9° > cos 30° =>
=> 2sin9° • cos9° > 2sin6° • cos30°;
1 > cos6°, 2sin9° -cos9° > 2sin6° • cos30° =>
=>1 + 2 sin 9° • cos 9° > 2 sin 6° • cos 30° + cos 6° —
верное утверждение.
Значит, предположение о выполнении неравенства
cos 36° > tg36° также истинно, что и требовалось доказать.
4.	Решите уравнения:
1)	tg(x - 15°)  ctg(x + 15°) = 1
О
sin(:r — 15°) • cos(:r + 15°)	1
cos(rr — 15°) • sin(:r + 15°)	3’
sin 2x — |
sin 2x + i
— -; 3 sin 2x — 1,5 = sin 2x + -;
О
sin 2х = 1;
2x = — + 2тгк* x = —|- тгк.
2	4
Ответ: < —h тгк 1 к E Z > .
4	I
• х
2) arcsin — + arccos
/3 \ 7Г
~2 / = 6
. х тг
arcsin — — — — arccos
2	6
/3
Т
• (	* x\	I 71
sin arcsin — = sm-------arccos
\	2/	\ 6
/3
Т
Решение карточки 8
679
X	(	I 3 ii 7Г 1	1	3
— = sin — -cos I arccos I rrH---11 —cos — -sin I arccos I rrH---
2	6 I I 2 //	6 I \	2
arccosm 6 [0;тг], значит sin(arccosm) 0;
cos — —
sin — =
6
1	/
sm [ arccos
2	\
2 ’
4’
х = 0
Проверим:
—------x------— | = 0;
2	2 /
/3
—: cos I arccos
2 ’
1 -
2’
а) х — 0;
•	v3 ТГ
arcsm 0 + arccos — = —
2	6
6
6
истинно.
arcsin
/3
T
+ arccos
тг 5тг
77 —T-
3 о
Ответ: x = 0.
6’
ложно.
3) 2 sin	“ tg a; + ctg x.
2 sin
• 9	9
sin X + COS X
Sin X  COS X
2 sin x  cos x  sin
4 =1;
/3 \ 7Г
T / 6 ’
4
2	6
Г>(У) : x + 2
680
Итоговые карточки
sin 2х • sin
sin 2х = 1
(тг \
х + —
4 /
sin 2х — — 1
/ тг\
sm z + —
\	4/
2х =	+ 2тгк
тг	тг
х + - = - + 2тгп
4	2
2х — — — + 2тг t
тг тг
ж + - = -- + 2тгр
тг
х = — + 2тг/с
4
4 /	1;
Ответ: < —f- 2тг/с I к € Z > .
4	I
5. Решите неравенство 4sin:r • sin 2х • sin3z > sin4z.
2 sin 2x • (cos 2x ~ cos 4x) > sin 4:r;
2 sin 2x • (cos 2x — cos 4x — cos 2x) > 0;
2 sin 2x • (— cos 4z) > 0; sin 2x • cos 4x < 0;
Решение карточки 8
681
sin 2х > О
cos4j; < О
sin 2х < 0 ’
cos4j; > О
— + тгк > х >
Зтг тг
Т + 2" > 1
тгк
ТГ
8
тг + 2тгк > 2х > 2тг/с
Зтг
— + 2тгп > 4т
2тг + 2тг/ > 2х :
тг
2
> — + 2 тгп
тг + 2тг/
тг
+ 2тгр > 4т > —— + 2тгр
2П
Ответ:
(тг .Зтг . \ / тг
I — + тг/с; — + тгк ) ; I —— + тгп; тгп
у 8	8 J у 8
тг 5тг \ , ,	1
— + тг/;; — + тг/ 1 | ку п, t 6 Z ?.
2	8/	I
682
Итоговые карточки
6. Решите систему уравнений
1
sm х — sm у — -
У 2
COS X + COS У = —
У 2
sin2 x = sin2 у + sin у +
9	3	4-	2
cosz x = - — у 3 cos у + cos у
1 = 1 + 1+ sin?/ — уЗ cos?/;	sin?/ — y3cos?/ = — 1;
l.i/3	1	/тг \	1
- sm у-— cos у — — -; cos —I- ?/ — -;
2 y 2 y 2	\6	2
| +	+ 2тг/с; у =	±	+ 2ттк-,
6	3	6	3
{1
sm?/ = snu------
y	2
y/3
cos у — —---COS X
1 = 1 + 1 — (sina; + д/Зсоза;) ;
/	тг\ 1
\	6/2’
• 9	*9	•	1
sin у = sm х — sina; +
9	3 г-	2
cos у — - — у 3 cosa; + cos х;
ТГ	ТГ
х------= ±—h 2тгп;
6	3
ТГ	ТГ
X — - ± - + 2тГП.
6	3
Значит,
ТГ ТГ
x = — ± — + 2тгп
6	3
7Г 7Г
у =	± - + 27гА:
О О
Проведем проверку при к = 0, п = 0.
ТГ ТГ ТГ ТГ \	/ ТГ ТГ \
6 + 3;-6 + 3/ = \ 2’б/
. тг . тг 1	(11
sm----sm — = -	- = -
2	6	2	I	2	2
/ТГ ;	<	47	47 —	ИСТИННО.
тг	тг	у 3	]	у 3	уЗ
cos —h	cos — = —	I	— =	—
2	6	2	1 2	2
Решение карточки 8
683
I / ТГ	7Г	\
Ответ: < I — + 2тгА:; — + 2тгп 1 ;
i \ z	/
f + 2тгА:; —— + 2тгп j |A:,nGZ>.
\ О	£	J	J
7. Постройте график у = \/1 — sin2x + sinx + cosx.
1 — sin2x = (sinx — cosx)2;
у — | sinx — cosx| + sinx + cosx;
f sin x > cos x
[ у — 2 sin x
_ sinx < cosx
6) < o
I у — 2 cos x
5тг л ,	7Г л ,
— + 2тгА: х + 2тгк
<4	4	;
у — 2 sin х
{Зтг	7Г
------h 2тгп < х < — + 2тгп
4	4
у = 2 cos х
684
Итоговые карточки
sina; cosa; на
К л , О7Г ,
—F 2тг/с; — + 2тг/с
4	4
Зтг	7Г	л \
-------F 2тгп; —F 2тгп .
4	4	7
sin х < cos х па
Решение карточки 9
685
Решение карточки 9
4 _ Т	cos3 а — cos За sin3 а + sin За
1.	Упростите-----------------1-----------
cos а	sin а
cos За = 4 cos3 а — 3 cos а; sin За — 3 sin а — 4 sin3 а.
cos3 а — cos За sin3 а + sin За
Поэтому-------------------1--------------—
cos а	sin а
cos3 а — 4 cos3 а + 3 cos а sin3 а + 3 sin а — 4 sin3 а
—---------------------------1-------------------------=
cos а	sm а
3 cos а — 3 cos3 а	3 sin а — 3 sin3 а
—-------------------1-------.--------—
cos а	sm а
—	3 — 3 cos2 а + 3 — 3 sin2 а — 6 — 3(cos2 а + sin2 а) — 6 — 3 = 3.
2.	Докажите тождества:
_ 3 + 4 cos 2a + cos 4a 4
1)------------------— = ctg a.
3 — 4 cos 2a + cos 4a
3 + 4 cos 2a + cos 4a
3 — 4 cos 2a + cos 4a
3 + 4(2 cos2 a — 1) + 2 cos2 2a — 1
3 — 4(2 cos2 a — 1) + 2 cos2 2a — 1
8 cos2 a — 1 + 2(2 cos2 a — l)2 — 1
—8 cos2 a + 6 + 2(2 cos2 a — I)2
8 cos2 a — 1 + 8 cos4 a — 8 cos2 a + 2 — 1
—8 cos2 a + 6 + 8 cos4 a — 8 cos2 a + 2
8 cos4 a
8(1 — cos2 a) + 8 cos2 a(cos2 a — 1)
8 cos4 a
8 sin2 a — 8 cos2 a * sin2 a
8 cos4 a	8 cos4 a 4
—--------------------—------------— ctg4 a*
8 sin2 a(l — cos2 a) 8 sin4 a	’
L =	=>Ь = П.
П — ctg a
686
Итоговые карточки
2) tg2 36° • tg2 72° = 5.
7Г	2тг	/	Зтг \	Зтг
. cos — — cos Зо ; cos — — cos ( тг------------j = — cos —;
5	5	\	5 /	5
2тг Зтг	9 тг	о ТГ
cos — +	cos —	— 0; 2 cos —	— 1 + 4 cos —	— 3 cos — —	0;
5	5	5	5	5
a □ ТГ	9 тг	ТГ
4 cos3 — + 2 cos2 — — 3 cos — — 1 = 0.
5	5	5
Обозначим cos — — t:
5
4£3 + 2t2 - 3t - 1 t + 1
4£3 + 4t2	4t2 — 2t — 1
— 2£2 — 3£ — 1
” - 2t2 - 2t
1
t-1
(t + l)(4t2 — 2t — 1) = 0;
cos —• / —1 => 4 cos2 — — 2 cos — — 1 = 0;
5	5	5
ТГ	ТГ	x/5+1
cos ~ > 0 => cos — =-----;
5	5	4
5 + 1 + 2\/5	\/5-l
8	4
5 + 2т/5 + 1 _ 3 + \/5.
16	~	8	’
3 + V5 _ 5- x/5.
8	~	8	’
tg2
9 2tt
cos —
5
•	2 тг	f—
sm 5 _ 5- x/5
cos2 5	3 + \/5
5
/ r- \ 2	r-	r~
/x/S-iA _ 5 + 1 — 2т/5 _ 3-x/5
у 4 J ~	16	~	8
. 2 2тг 1	2 2тг ,	3 - V5
sm — = I — cos — = I---------------------
5	5	8
Решение карточки 9
687
9 2тг 5 + v5
tg v = о—7ё;
о 3 v а
2 7Г 2 27Г _ (5 - \/5) (5 + \/5) _ 25 - 5 _ 20
tg 5 ’tg Т “ (3 - v/5) (3 + х/5) “	“ Т “ ’
что и требовалось доказать.
3. Решите уравнения:
1 + 2 cos 2х о	Л
------------= tg х — 3, если 0 + х + 2тг.
2 cos а;
-Д-----1-3;
C0S2 X
-Р(У) : cosa; 0;
1 + 2(2 cos2 х — 1)
2 cosa;
—— = 1 + tg2 a;; cosa; • (4 cos2 x— 1) = 2(1—4 cos2 a;);
COS2 X
(4cos2a;—l)(cosa;+2) = 0;	(2+2 cos 2a;—l)(cosa;+2) = 0;
cosa; = —2	E(cosx)
1	2?r
cos 2x = — 2x = ±— + 2тгк
о
Ответ: х = ±—h тгк | к € Z.
3
2) tg(120° + За;) - tg(140° - а;) = 2 sin(80° + 2х).
tg 3(а; + 40°) - tg(180° - (40° + а;)) = 2sin 2{х + 40°);
tg 3(а; + 40°) + tg(40° + х) = 2 sin 2(х + 40°).
Обозначим х + 40° — z. Тогда tg Зг + tg z = 2 sin 2г;
sin 4г Л Л
--------------2 sm 2г = 0;
cos Зг • cos г
2	sin 2г • cos 2г
----------------2 sin 2г = 0;
cos Зг • cos г
2 sin 2г	Г cos г / 0
--------------- cos 2г — созЗг * cos г =0;	<	Л ;
cos Зг * cos г-[ cos Зг 0
688
Итоговые карточки
sin2z(cos2z — cos 4г) = 0;
z = тгк
2z — Tvt ;
Зг = тт
7Г
+ 2 +
. тг
2 sin 2г • sin Зг * sin г = 0;
A sinx
2л |
с 3 * 2
5л
6
Л
ТГ	ТГ
Z С +
б	3
6
я
7л
6 4,
3 f
л
6
О
—
cosx
11л
5я 6
3
7Г
Ответ: < тг&; ±— + тт | fc, п е Z
I	о
л п	. А . В
4. Докажите sin —  sin —
С 1
• sin — если А + В + С = 180°.
2	8
. А В
sin — • sin —
2	2
1	. А ’
— -sin —
2	2
cos
• sm — =
2
В~С
-----cos
2----2
в+с
1 А /
-sin— 1 —
2	2 \
. 1
sin — <
2/ 8
eos 2
тг — А / 7Г
— cos-------- = cos —
V 2
А
— = sm —
2 /	2
0;
2
В-С
cos ——	1. Прибавим к обеим
В-С	. А	А
cos-------sm — < 1 — sm —.
2	2	2
у!
Обозначим sin — = х. Тогда
1
1
(	А
частям — sin —
\	2
1
2
1\2 1
2 / — 4
1
2
1\2
2/
1
8’
/И «
. А . В
sm — • sin —
2	2
1
8
= f(x) — наибольшее при х — значит
. С i
• sm — $ что и требовалось доказать.
2	8
Решение карточки 9
689
5. Решите неравенства:
1) sin4x + cos4x • ctg 2х > 1.
Ответ:
arccos(x2 — Зх + 2)
8х2 — 10х + 3	>
arccos(x2 — Зх + 2) 6 [0; тг];
f 8х2 — 10х + 3 > 0
х2 — Зх + 2 Э — 1 ;
х2 — Зх + 2 < 1
f 8х2 - 10х + 3 > О
< х2 — Зх + 3	0	;
k х2 — Зх + 1 О
Г	13
X____J	х
1 х
2	2
Ответ:
690
Итоговые карточки
( ♦ 2
sm х = cosz • cos у
Ь. Решите систему уравнении <	9	.	.
[ cos х = sm z • sm у
( sin2 z 4- cos2 z = cos(z — y)
I cos z = sm z • sm у
cos(z — у) — 1
2	•	*	?
cos х = sm x • sm у
х - У = 27vk	I к 6 z.
cos2(?/ 4- 2тгА:) = sin(j/ 4- 2тгА:) • sin?/ ’
x — у 4- 2тгА:	J z — у 4- 2тгА:
cos2 у — sin2 у = 0 ’	[ cos 2у = 0	’
x = у 4- 2тгА:
тг тг ;
у — —|—п
У 4	2
V=l +
Ответ:
—п 4- 2тгА:
—п
2
- 4- - (n + 4fc); - + -п ) \ k,nEZ>.
4	2	4	2 /	I
7. Постройте график у = 2| sin z| • cosz 4- | tgz| * ctgz.
sinz > 0
tgz > 0
у = sin2z 4- 1; ( 2тгА:; — 4- 2тгк 1 ;
. \ sinz > 0
tgz < 0
у = sin 2z — 1; I — 4- 2тгп; тг 4- 2тгп 1 ;
sinz < 0
tgz > 0
( Зтг \
у — — sin2z +1; I тг 4- 2тг£; — 4- 2тг£ I ;
sinz < 0
tgz < 0
/ Зтг	\
у = — sin 2z — 1;	I — 4- 2тгр; 2тг 4- 2тгр I .
(k,n,t,p е Z)
Учтем, что х —к.
’	2
4
Решение карточки 9
691
692
Итоговые карточки
Решение карточки 10
1. Упростите:
1) tg(35° + а) • tg(25° - а) -
tg(35° + а)  tg(25° — а) —
2cos(10° +2а) - 1
2cos(10° + 2а) + Г
2cos(10° +2а) - 1
2 cos(10° + 2а) + 1
sin(35° + а) • sin(25° - а) cos(10° + 2а) - |
cos(35° + а) • cos(25° - а) Cos(10° + 2а) + |
i [cos(35° + а - 25° + а) - cos(35° + а + 25° - а)]
| [cos(35° 4- а 4- 25° — а) 4- cos(35° 4- а — 25° 4- а)]
cos(10° 4- 2а) — |
cos(10° 4- 2а) 4- |
cos(10° 4- 2а) —	cos(10° 4- 2а) —
----------------------------------------- = 0.
cos(10° 4- 2а) 4- |	cos(10° 4- 2а) 4- |
2) tga • tg(a 4- 60°) • tg(a — 60°) =
sin(a 4- 60°) • sin(a — 60°)
cos(a 4- 60°) • cos(a — 60°)
cos(a 4- 60° — a 4- 60°)	— cos(a 4- 60°	4- a — 60°)
g	cos(a 4- 60° 4- a — 60°)	4- cos(a 4- 60°	— a 4- 60°)
cos 120° — cos 2a	2 cos 2a	4-	1
= tga-------= - tga • -------------------------- =
cos 120° 4- cos 2a	2 cos 2a — 1
2(2 cos2 a — 1) 4- 1	4 cos2 a — 1
tg a * ,	2	7 tg a • —	2	7
2(2 cos2 a — 1) — 1	4 cos2 a — 3
4 cos2 a • sin a — sin a	4(1 — sin2 a) • sin a — sin a
4 cos3 a — 3 cos a
3 sin a — 4 sin3 a
4 cos3 a — 3 cos a
4 cos3 a — 3 cos a
sin 3a
----— = - tg 3a.
cos 3a
Решение карточки 10
693
2. Докажите:
-I \	• 9 ТГ ,э
1) sin — • sin
7	7
2?T	. 2
— • sin
7
Зтг
Т
7
64
•2
т • 9 л .9
L — sin — • sin
7
1	2tt
1 — COS -y-
2
Зтг
Т
I	4тг
1 — cos —
2
27Г
у • sin'
•2
1 — cos
2
1 / 2тг 4тг	... , .
- 1—cos ——cos —+cos -—-cos — H 1—cos —-
8 \	7	7	7	7	\	7
27Г
4тг
67г
7
7
7
1 /	2тг	4тг	2тг	4тг	бтг
-1 — cos —— cos — + cos — • cos —— cos —+
8 \	7	7	7	7	7
+ COSy
2тг бтг бтг 4тг
• COS — +
cos — • cos —----
7	7
2тг	4тг	бтг
— cos — • cos — • cos —
7	7	7
1
8
1-2
Зтг	тг
COS — • cos —
7	7
2тг	4тг
cos — • cos — + cos
7	7
ТГ
7
2тг тг Зтг тг 2тг 4тг тг \
— cos-cos — + cos-cos — + cos-cos-cos — —
77	77	7	7	7/
1	4тг
1 — - cos —
2	7
1 2тг 1 бтг 1 2тг
“2COST+2COST + 2C°ST +
тг	1	тг
cos--------cos------
7	2	7
1 Зтг тг 2тг 4тг
- cos — + cos — • cos — • cos —
2	7	7	7	7
1
8
+
+
1 Л тг
8l1+“S7
2тг	4тг
• cos — • cos —
7	7
8 \	8/	64’
тг 2тг 4тг
так как cos — • cos — • cos —
7	7	7
8- 7Г	тг	2тг	4тг
Sin у • COS у • COS — ♦ COS -у-
л . 2тг 2тг 4тг
4 sin — • COS — * COS —
о * к
8 sin у
О * ТГ
8 Sin у
694
Итоговые карточки
о .	47Г	47Г	• О7Г	• 7Г
2 sm ‘ cos -у sm — sm у x
8 sin у 8 sin у 8 sin у 8

=> L = П.
2) tgпа > ntga, если 0 < а < —-—- при
Vn е N, п ф 1.
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции.
а) Пусть п = 2.
Докажем, что tg2a > 2tga;
О < а < —
4
2 tga
tg2a - 2tga = ------------2tga =
1	— tgz a
2	tga(l — 1 + tg2 a) 2tg3a
1 — tg2 a	1 — tg2 a
так как при 0 < a <
tgO < tga < tgp
а значит, 0 < tga < 1,
поэтому tg2a > 2tga, и
при n = 2 неравенство выполнено.
б) Пусть неравенство выполнено при п — /с,
т. е. tg ка > к tg а, если 0 < a <
тг
4(fc — 1)
Докажем, что неравенство выполняется
при п = к + 1, т. е. tg(fc + l)a > (к + 1) tga,
тг
если 0 < a < —.
4/с
Доказательство: tg(fc + l)a —
к tg a + tg a
1 — tg ka • tg a
tg/ca + tga
1 — tg ка • tg a
{k + l)tga
----— -----— > (k + 1) tga.
1 — tg ka • tg a
Решение карточки 10
695
Так как по индуктивному предположению
7Г
tg ка > к tg а при 0 < a < —-----,
4(fc — 1)
7
то 0 < tg ka < tg — = 1;
0 < tg ka < 1
0 < tga < 1
Значит, 1 > 1 — tgka • tga > 0,
t. e. tg(fc + l)a > (k + 1) tga.
Индуктивный переход доказан.
tg ka - tg a < 1.
1, если 0 < х < —
2
sinx = 1
cos x = 0
sinx = 0 ’
cos x — 1
х = — + 2тг/с; 1 > 1 — ложно
х — 2тгп; 1 > 1 — ложно
x — + 2n:k
x 2im
1 — у/cos x > 0;
cos x + sin x = v 2 cos | x-----
\	4
cos x — sin x = v 2 cos
4 J ’
sinx > 1 — 2^/cos x + cosx; 2^/cosx > 1 +cosx —sinx > 0;
Так как х 6 | 0; — ) и
\ 2/
(a + b + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2ab + 2Ъс + 2ас, то
4cosx > 1 + cos2x + sin2x + 2cosx — 2sinx — 2sinx-cosx;
2 — 2 (cos x + sin x) — 2 sin x • cos x < 0;
3 — 2(cosx + sinx) — (cosx + sinx)2 < 0.
Обозначим t = cosx + sinx; t2 + 2t — 3 > 0;
XWWWW '////////^
-3
(f + 3)(£-l) >0;
t
696
Итоговые карточки
утверждение Vsinx + Уcosx > 1
т. е. для Ух 6
верно.
Примечание. Есть более простое доказательство, ко-
торое требует догадки.
cosx(l — cos3 х) > 0 для Vx 6 I 0; — ) ,
т. е. cosx > cos4x, тогда ^/cosx > cos2x.
Аналогично sinx(l — sin3 x) > 0; д/sinx > sin2x.
Почленно сложив полученные неравенства, получаем:
д/sinx + ^/cosx > sin2x + cos2x = 1, что верно для
Vx 6
что и требовалось доказать.
3. Решите уравнения:
П 4ж 2
1) cos — = COS X.
о
4х 1 + cos 2х
cos — =
3
4х
2 cos — = 1 + cos 2х;
3
□ 2х	2х
= 1 + 4 cos'3------3 cos —:
3	3 ’
9 2х \
4 cos2 —— 3 ] — 0;
2
п t Q 2х
2 [ 2 cos2----1
\ 3
9 2х	2х
4 cos------3 — cos — •
3	3
/	9 2х \ /	2х\
4 cos-----3	1 — cos — — 0:
\	3 И 3 1
Решение карточки 10
697
2х
cos — — 1
3
9 2х 3
cos — = -
3	4
2х
cos — = 1
3
1 + COS -3-
2
2х
cos — -- 1
4а;	1 ’
cos — = -
3	2
2а;
— = 2тгк
3
4а;	тг
— = ±— + 27ГП
3	О
Ответ:
х = ЗтгА;
тг Зтг
ЗтгА;; ±— + —и | fc, п е Z
2	_____ 1
2) arcsin — arcsin л/1 — х = arcsin
О у/ X	3
Найдем 7?(У).
2
-	> 0, \/1 ” х 0? значит
•	2	Л тг
arcsm —— Е С.
Зу/х	\	2
тг	.	/----- ТГ
0; — , arcsm VI “Ж G 0: -- .
’ 2 ’ v	’2
С другой стороны, Зу/х
ч	X
4
^9
. , ; Итак, х е
— х С 1
— х 0
4
9’
sin
arcsin -	— arcsin \/1 — х
( . 1
= sin arcsin -
\	3
3
4
2
1
1
1
£
sin(a-/3) = 1;
О
sin(o; — /3) = sin а • cos /3 ~ sin /3 • cos
2	z.	/------
sina =	; sin/3 = yl — X]
698
Итоговые карточки
/	4	____________
cos а = 4 /1----------; cos /3 = д/1 — 1 + а; = у/х.
V	9а;
2	___ /41
Получим: sin(a — /?) = —-= • у/х — \/1 — х • ч /1-= -;
З/x	V 9т 3
1 л---------	“ 4
- = v 1 — х • 4 /-------;
3	у 9х ’
х — 9х — 9а;2 + 4а; — 4;
2
(За; — 2)2 = 0; х = - G
о
2
Ответ: х = —.
3
= л/Г—а; * у/9х — 4;
9ж2 - 12ж + 4 = 0;
И
4. Решите неравенство tga; + tg2x — tg3a; > 0.
sina; sin 2a; sin 3a;	sin 3a; sin 3a;
-----+-------------------> 0;--------------------------> 0;
cos x cos 2x cos 3x cos x • cos 2x cos 3x
f cos 3x — cos x • cos 2x \
sm 3x • -----------------------—
\ cos x • cos 2x • cos 3x J
COS 3x — I (cos 3x + cos x)
0;
cos x • cos 2x
cos3a; — cosa;	Л —2sin2a; • sina;
tg3a; • ----------— > 0; tg3a; • -------------— > 0;
2 cos x • cos 2x	2 cos x * cos 2x
Решение карточки 10
699
6432346^6432346
tg Зх	+		+	—	+1 +	—	+		+	—	+1 +	—
tg 2х	+	+1 -	—	+	+ -	—	+	+ -	—	+	+ -	—
tga:	+	+1 +	+	—		—	+	+ +	+	—		—
/(ж)	+	-1 +	—	+	“ 1 +	—	+	-1 +	—	+	-1 +	—
{/ 7Г	7Г,7Г	7Г	\	/ ТГ	7Г	7Г	ТГ	\	1
й + 9/С;7+9/С ;	9 + 9П;9 + 9П \k^n^Zl-
уо	2	4	2	/	\3	2	2	2	/	J
21
_	f cos2 у + 3 sm х • sm у ~	0
5.	Решите	систему	< _ л л _
J	[ 21 cos 2х - cos 2у = 10
Пусть sinz/ = 0. Тогда cos2у — 0; sin2?/ = 1 ложь.
Следовательно, sinv/^O. Тогда
z	9
COS У	/	л \
smx = -о	Л о cos*у \
<	3sm?/	; 21(1—2*	. 2 l=cos2?/+10;
ч 21(1—2sin2х) — cos2у—10	' sm
n ( H-cos2y\2 \
1-----— cos ^у + 10.
О 1-CQS 2У
у ‘	2	/
7	(	l + 2f + f2
Обозначая t = cos2?/, получим 21 II————
21 (9 — 9t — 1 — 2t — t2) = 9(1 - t)(t + Ю);
21(8 - lit - t2) = 9(10 - 9t - t2);
4t2 + 50t - 26 = 0;	2t2 + 25t — 13 = 0;
-25 ± V625 + 104	-25 ± 27
£1,2 =
= / + 10;
— 13 J?(cosx)
1
2
4
4
cos2y =
2у = ±— + 2тг/с; у — ±— + тгк | к € Z;
3	6
1
cos 2y = -
21 cos2x — - — 10
2
cos 2y = |
cos 2x = |
7Г ,
У = ±7 +ък
о
тг
х — ±— + тт
6
Ответ:
±— + тгА:; ±— + тгп j | fc, п 6
6	6	/
700
Итоговые карточки
6.	Постройте график у = sin —-— • cos —-—- + tg х * | ctg z|.
а)	х > 0, тогда у — 0 + tg ctgгг] =
1,	etgz >0; тгк > х > тгк\к Е Z и к 0
= < 2
7Г
— 1, etgz < 0; тг + тт > х > — + 7гп | n 6 Z и п > 0
б)	х < 0, тогда у = sinz + tgz * | ctgz| =
sinz+1, ctgz>0; — + тгк>х>тгк \ к e Z и k<0
тг
sinz — 1, etgz<0; тг + тгп>x> — + тгп|п€2ип<0
Самостоятельные
работы
Самостоятельная работа 1
Решите простейшие уравнения и неравенства:
Вариант А
Вариант Б
1	sm 1 4х	= — 1 \ 2/	1	( Л	1 cos [ 4х	= — 1 \	2/
2	/	7г\ cos 1 2х Я— =0 \	4/	2	sin [ 2х 4- — ) = 0 \	4/
3	• Л 2тг\ sm 1 2х + — 1 = 1 \	О J	3	Г	2тг\ cos 1 2х + — 1 — 1 \ /
4	(	Зтг\ cos 1 Зж + — 1 = — 1	4	. /	Зтг \ sin ЗжН	— — 1 \	2 /
5	• Л 57Л п sin «и		 = 0 \	4 J	5	(ч 57Л п \	4 J
6	(	Зтг\ cos 1 2х		 = 1 \	4 /	6	, (Зтг\ sm 1 2х	—1=1 \	4 J
7	sm	- р 0 \	6 J	7	f	тг\ cos 1 2х + ~~ 1 ^0 \	6 /
8	cos Зж Н— <0 \	4/	8	sin ( Зх + — I <0 \	4/
9	• Л М п sm I Зх	$ 0 \	3 /	9	К	М о cos 1 Зх — 1 $ 0 \ /
10	/	Зтг\ cos 1 2х Н	0 \	4 /	10	•	Зтг\ sm 2х Я	I	0 \	4 /
702
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 2
Решите уравнение:
Вариант А
1	2 cos ( 2х + — j = \/3 X	3 )
2	2 sin [ Ъх — — ) = \/2 \	4)
3	x/3tg [2г -	) = 3
4	cos З.т	— — 1 \	6/
5	/	7Г \ 2 sin ( 4х + — 1 = — 1 \	*9 /
6	2 cos2 х — cos х — 1 = 0
7	tg2 .т — 3 tg .т ~ 4 = 0
8	8 cos2 2х — (б — 4\/3) cos 2х — 3\/3 = 0
9	• 4	4	1 sm х — cos х — — - 2
10	• Ч	ч	• 9	9 sm х 4- cos х = sin х — cos х
Вариант Б
1	2 cos ( З.г +	] — y/2 \	4 /
2	2 sin f 2x — ~ j = \/3
3	x/3 ctg f Зз; 4- — j = — 1 X	3 J
4	. /_	7r\	1 sm \2x	I = - \	6/2
5	/	7Г\ 2 cos I 4x	= — 1 \	3/
6	2 sin2 2x 4- sin 2x — 1 = 0
7	ctg2 3x 4- 4 ctg 3x 4- 3 — 0
8	8 sin2 2x — (6 4- 4\/3) sin 2x 4- 3\/3 = 0
9	Sin X 4- cos X = sin X
10	sin3 x — cos3 x = 2 (sin x — cos x)
Самостоятельная работа 3
703
Самостоятельная работа 3
Решите уравнение:
Вариант А
1	3 cos ( 2х + — j + а/З sin ( 2х +	) — 0 \	/	у	о /
2	( 7Г	\	z— sin 1 — + Зх 1 = v3cos(l,5 — Зх)
3	3 sin2 (	+ х ) + 2 sin(x + тг) + 2 cos2 ( х — ~ j — 0 \ “	Z	\	" /
4	4 sin2 2х — 2 (л/З + 1) sin 2х + л/З = 0
5	3sin2(7r — 2х) + cos2(2x + тг) = 3
6	6 cos2 Зх + sin Зх • cos Зх — sin2 Зх = 2
7	cos Зх 7	=° 1 — sm Зх
8	sin2 + х^	cos(2?r + х) — cos ^х + tQ
	sin(x + тг) + sin	tg2	— 1
9	„	1 — (sin2z + cos2z)2 2 tg2 2x + —	r	—r—-—= 0 tg (— 2x\ — sin \ 2x + j • cos \ 2x — j
10	2 sin2 x — x/3sinz 9	2	1 =° 2 cos-2 x — cos x — 1
704
Самостоятельные работы
Решите уравнение:
Вариант Б
1	3 sin ( 2х — ~ ) + л/З cos ( 2х — — ] = 0 \	3 /	у	3 J
2	/ тг	\ cos 1 — + 2а; 1 = sin(l,57r — 2х)
3	9 / ТГ	1	/	\	• 9 /	ТГ \ 3 cos 1 — — х j + cos(a; — тг) + sin 1 х + — 1 = 0
4	4 cos2 Зх + 2 (л/З + 1) cos Зх + л/З = 0
5	Зсоз2(тг + 2х) + sin2(2rr — тг) = 3
6	6 sin2 Зх + cos Зх • sin Зх — cos2 Зх = 2
7	sin Зх -	= о 1 — cos Зх
8	COS 1 “2" + I	31П(2ТГ — х) — Sin 1^—2) cos(:r — тг) + cos + x'j	cos2 — х) — 1
9	Л о Л	1 —(cos 2х+ sin 2х)2 2 ctg2 2х+		Г— 	Т	Г-2—	г- = 0 ctg — 2х \ — cos	• sin \ 2x-l-^ j
10	2 cos2 x — v3 cos x 	 = 0 2 sin x — sin x — 1
Самостоятельная работа 4
705
Самостоятельная работа 4
Вариант А
Докажите тождество:
1	11 г 1 — tg2 а 1 — ctg2 а
2	cos а • tg2 а	1 1 + — 1 + cos a	cos а
3	1 - tg2 а + tg4 а	6 ,	= 1 + tg а cos2 а
4	1-4	4 1 — sin а — cos а Л 9 4	= 2tg2a cos4 а
5	sin2 а — tg2 a 2	12 cos2 а — ctg2 а
Вычислите:
6	since, если tgce = 2 при тг < а < 1,5тг
7	7 tga, если cosa = — при 1,5тг < a < 2тг Zo
8	tg2 а — 3 tg се + 1	.	3	тг -—5		, если sin a = - при — < a < тг 2tg2a + 3tga + 2	5	2
9	2 + 3 sin а • cos а —~, если tgce = 4 sin се + sin се • cos се
10	sin3 се + cos3 се	2 —т		—, если since + cos се = - sin4 се + cos4 се	3
706
Самостоятельные работы
Вариант Б
Докажите тождество:
1	tg а 1 — ctg2 а; 1 — tg2 о; ctg а
2	sin а; • ctg2 а; ,	1 + 1 — . 1 + sin о;	sm а;
3	1 - ctg2 а + ctg4 а	6 . 9	— 1 + ctg а; sin а;
4	1-4	4 1 — sin а — cos а;	9 	Г4	= 2 ctg2 а sin а
5	3 (sin4 а; + cos4 а) — 2 (sin6 а; + cos6 а) — 1
Вычислите:
6	cos а, если ctga = - при тг < а < 1,5тг
7	8	тг ctga, если sma = — при — < а < тг
8	ctg2 а + 2 ctg а + 1	4 	q	, если cosa = — при тг < а < 1,5тг 2ctg2 а - 3ctga + 2’	5
9	cos2 а + 2 	5—, если tg а — 3 3 sm а • cos а + cos2 а
10	cos а + sm а	.	1 —~, если sma — cosa = - sin а — cosJ а	5
Самостоятельная работа 5
707
Самостоятельная работа 5
Вариант А
Упростите:
1	sin2 а * cos2 а + cos4 а
2	cos2 ot • tg2 а + cos2 а
3	2 sin2 х — 1 sin а + cos а
4	sin4 а + cos2 а • sin2 а sin2 а • cos2 а + (1 + cos2 а) (cos2 а — 1)
5	(sina — cosa)2 — 1 (sina + cosa)(sina — cosa) — 1
6	cos a + sin° a n •	\ •	ctg“ (1 — sm a • cos a) sm a
Докажите тождество:
7	sin4 a + cos2 a + sin2 • cos2 a — 1
8	sin a + tg a 1 >	= tg° 1 + cos a
9	sin4 a + sin2 a * cos2 a	1 cos2 a	cos2 a
10	2 (sin6 a + cos6 a) — 3 (sin4 a + cos4 a) = — 1
708
Самостоятельные работы
Вариант Б
Упростите:
1	• 2	9	,	• 4 sin а • cos а + sin а
2	sin2 а + sin2 О' • ctg2 а
3	1 — 2 cos2 а sin а — cos а
4	cos4 а + sin2 а • cos2 а (1 + sin2 а) (1 — sin2 си) — sin2 a • cos2 a
5	(cos a + sin on) (cos a — sin on) — 1 (sin on + cos on)2 — 1
6	9	.9 cos° a — sin a tga + Z1 .	. (I + sin a • cos a) cos a
Докажите тождество:
7	cos4 O' + sin2 O' • cos2 O' + sin2 O' = I
8	cos a + ctg a .	= ctga I + sm a
9	cos4 O' + sin2 a • cos2 a	I • 2	• 2	4 sin a	sm a
IO	z	9 \ (	2tgOf \ cos a I — 2 cos a) I tg on	5— = sm a v	' \ 6	l — tg2 a /
Самостоятельная работа 6
709
Самостоятельная работа 6
Вариант А
Вычислите:
1	3	Зтг sm а, если cos а = — при — < а < 2тг 5	2
2	г/13 cosa и tga, если sma —	— при я < а < 1,5тг
3	/2	7Г sin а и cos а, если tg a — > - при 0 < a < —
4	4 sma и cosa, если ctga = - при тг < a < 1,5тг О
5	sin2 а + sin а • cos а 	5	, если tga — —2 2 cos2 а — 2 sm а • cos а
6	2 tg2 а — 3 tg а — 1	5	тг 	о			-, если sm a = — при — < а < тг 3tg2a + 2tga —1	13 F 2
Зная, что sina + cosa — 0,5, вычислите:
7	sin а • cos а
8	* ч	ч sm а + cos а
9	* 4 г	4 sin а + cos а
10	sin6 а + cos6 а
710
Самостоятельные работы
Вариант Б
Вычислите:
1	3	Зтг cos а, если sin а — - при — < а < 2тг ’	5	2
2	\/15	ТГ sma и tga, если cosa =	— при — < a < тг
3	л/5	тг sma и cosa, если ctga —	при 0 < a < —
4	3 sma и cosa, если tga = — при тг < a < 1,5тг
5	2 cos2 a — sin a • cos a _	op TTTJ	ГТ Z"V — 	 <
	J1 21	v Ca —tj 3 sin a + 2 sin a • cos a
6	2 ctg2 a + 3 ctg a + 1	8	тг 	о	, если cos a =	при — < a < тг 3 ctg2 a — 2 ctg a — 2	17	2
Зная, что sina — cosa = вычислите:
7	2 sin a • cos a
8	• ?	я sin a — cos a
9	* 4	i	4 sin a + cos a
10	sin6 a + cos6 a
Самостоятельная работа 7
711
Самостоятельная работа 7
Упростите:
Вариант А
1	/ тг \	.	f Зтг \	. tg 1 -	+ а 1	• tg(7r + а)	• tg 1 —	+ а 1	• tg(2rr + а)
2	sin(7r 4- а) • sin	4- а^ • эт(2тг 4- а) cos	• cos(tt 4- а) • cos	— а^
3	sin f ~ + а ] * sin f 77 “ ач 4- cos f 4- а ) • sin(2Tr 4- а)
4	эт(тг — 2а) • sin 4- 2a^ 4- sin(2a — 2tv) • sin	— 2a^
5	shi2(2tt 4- a) — sin 4- a^ • cos 4- a^ sin2(?r 4- a) — cos2(tt — a)
6	sin 4- a^ • cos(tt — a) * sin(2Tr 4- a) cos — a^ • sin(7r 4- a) • cos(2tt — a)
7	[ tv	\	1	Зтг	\	,	r\ \ ctg 1 —	— a 1	• ctg(7r — a) • ctg 1	—— al	ctg (a —	2тг)
8	• 9 f 'к \	• 9 /	\ sm 1 — — a \ 4- sm (a — тг)
9	/	/	\	\ 2	/	\ / . / \ \ Ism 1 2	sm(7r+a)) 4-2 sm(Tr—a) • sm 1	1
10	sin2(Зтг — a) 4- sin(Tr — a) • cos(tt 4- a) sin 4- a) 4- sin(3Tr 4- a)
712
Самостоятельные работы
Упростите:
Вариант Б
1	f тг	\	.	к	(Зтг	\	> ctg 1 — + а 1 * ctg(Tr + а) • ctg ( — + а ) • ctg(2Tr — а)
2	cos(tt — а) * cos	— а^ • cos(2tt + Of) sin — aj • sin(Tr + oi) • sin — a^
3	cos ( ~ + a j  cos ( — — a j + sin (	+ a j • cos(2tt — a)
4	cos(tt — 2a) • cos + 2a^ + cos(2tt — 2a) • cos — 2a^
5	cos2(2tt + a) — cos + a^ • sin + a^ cos2(tt + a) — sin2(Tr — a)
6	cos ^a —	• sin(Tr — a) • cos(2tt + a) sin — a^ • cos(tt + a) • sin(2Tr — a)
7	f	i	/	\	t Зтг	.	r» \ tg \ 2 - tg^ ~ ’tg V T - a J ’tg^ ~ 37Г)
8	9 ТГ	\	n ,	4 cos 1 — — a 1 + cos (тг + a)
9	(	(^	\	f Л2	/ л	/ Зтг \ ( cos	l —+a 1	+ cos(a—Tr) j	+2 cos(tt—a) •	cos 1	ha 1 V	\ 2	/	J	\	2 J
10	cos2(Зтг — a) + cos(tt — a) • sin(Tr + a) cos + a^ + cos(3tt + a)
Самостоятельная работа 8
713
Самостоятельная работа 8
Упростите:
Вариант А
1	2а .	• 2а . 2а COS -=- + SHI -ir • Ctg уг о	5	° 15 • 2а .	2а . 2а sm - + cos -у • tg и
2	/ За За Л2 V6T't6i6 + 1J
3	/	. 2?г\	/ 7Г . 7г\ 2 1 + sm — : I cos —h sm — \	7 J \ 7	7/
4	2 tga 	о— • cos 2o — sm 2a 1 - tg2 а
5	2 sin 1 — sin 2 ,	9 1 		 4 ctti — 2 sin 1 + sin 2	2
6	5tg3 _ 3 + tg2 1 4 tg 1	1 — 3 tg2 1
7	тг	13тг sin io + s,n W
8	sin 40° + 2 sin 20° - x/3 cos 40°
9	ctg4 | ^sin2 a — 4 sin2
	sin2 ai — 4 + 4 sin2 |
10	. 2тг	• 4тг	2тг	Зтг sm	• sm -=— cos tf • sm th 15	5	15	10
	бтг . 11тг	8тг	Зтг sm — • sm -^g— cos * sm
714
Самостоятельные работы
Упростите:
Вариант Б
1	4а ,	• 4а , 7а cos -у + sm -3- • tg • 2а	2а , 7а sm -у - cos -у • ctg уд
2	f 5а	5а \ 2 (CtSl2-Ct6Tj
3	2 ( тг a \ COS I 4 ~ 2 ) "" Sin Q л • 2 (тг a \ 4sln (4 - 2)
4	4 cos4 a — sin2 2a — cos 4a — 2 cos 2a
5	2	2	4 cos 2 sin 1 sin 3 sin 3
6	1 — sin6 4 — cos6 4 1 — sin4 4 — cos4 4
7	1	_ y/3 sm	cos
8	cos2 85° + sin 115° • sin 55°
9	sina + tga • tg tga
10	. тг	• 4тг	17тг	8тг sm у • sm — cos ♦ cos ~ бтг	тг ,	7тг	25тг COS 24 • COS 24 + COS 24 * Sin
Самостоятельная работа 9
715
Самостоятельная работа 9
Упростите:
Вариант А
1	1 + sin 6а — cos 6а 1 + sin 6а + cos 6а
2	• ct	Q а	Л . 3 а	а 4 sm • cos 4 — 4 sin • cos sina
3	4 sin4 (\/2a) + sin2 (2\/2a) 1 — cos2 (\/2a)
4	1 — 2 sin 3 — cos 6 1 + 2 sin 3 — cos 6
5	cos 47° • cos 73° + cos2 77° - 2
6	ctg 75° - tg 75° tg60°
7	sin 47° + sin 48° + sin 87° \/2 cos 3°
8	cos 54° + cos 50° + cos 46° + cos 42° 2 cos 2° • sin 86° • 48°
9	cos 70° • sin 80° • sin 30° + sin 70° • sin 10° • sin 150° cos 69° • sin 81° + sin 69° • sin 9°
10	ctg6 70° - 33 ctg4 70° + 27 ctg2 70°
716
Самостоятельные работы
Упростите:
Вариант Б
1	1 + sin а + cos а 1 sin а — cos а
2	л . а	за	4	а	«за 4 sm -г • cos° -f — 4 cos -г * sm =• о	о	о	о . 4а sin -Р“ о
3	1 — cos2 4 sin -g- + sin —
4	1 + 2 cos 3 + cos 6 1 — 2 cos 3 + cos 6
5	ctg 83° • [—		1		— | \ cos 76° ctg 76° J
6	sin2 67° + sin2 7° • cos2 53° + 3
7	2 cos 201° - 16sin 1110 cos 21°
8	5 sin 27° + 2 cos 63° - 4 cos 153° cos 75° • cos 12° + cos 15° • cos 78°
9	4 cos 55° - 3 sin 35° + 2 cos 35° sin 73° • sin 72° — sin 17° • sin 18°
10	ctg2 54° • ctg2 18°
Самостоятельная работа 10
717
Самостоятельная работа 10
Решите уравнение:
Вариант А
1	sin 2х — 3 cos2 х
2	2 cos2 х = 1 + 4 sin х
3	2 cos 2x + 2 cos x * sin2 x — cos x
4	sin 2x + 2 sin x — 3 cos x = 3
5	2 cos x + cos 2x = 2 sin x
6	sin3 x + cos3 x = 1
7	2 sin2 x + sin2 2x = 2
8	8 sin x • cos 2x * cos x = \/3
9	sm x + cos x = sin° x
10	d 3x . 4 3x 1 cos	sin — = —= 2	2	y/2
718
Самостоятельные работы
Решите уравнение:
Вариант Б
1	sin4 х 4- cos4 х = 0,5
2	sin3 х • cos x 4- cos3 x • sin x = cos 2x
3	sin6 x 4- cos6 x = - sin2 x 4
4	4 sin x • cos 2x • cos x — cos 4x
5	2 4- cos2 x 4- 4 sin x • cos x = sin2 x
6	cos x • cos 3x = cos 5x • cos 7x
7	2 sin x • sin 3x — cos 2x
8	sin x 4- sin 2x 4- sin 3x 4- sin 4x = 0
9	sin 3x 4- cos 7x — 0
10	(	5?r	\	l	7Г \	7Г sm 1 x	4-	— 1	4- sin	1 x	4-	— 1	=2 sin	— \	-L Za /	\	-L Za j	О
Самостоятельная работа 11
719
Самостоятельная работа 11
Решите уравнение:
Вариант А
1	sin 4х + sin2 2х — 0
2	sin Зх = 3 sin х • cos2 х
3	1	• г	(	х	. х\ 1 — sm ох = cos	sm — ] \	2	2 J
4	5 sin х + cos х = 5
5	sin Зх + cos Зх = y/2
6	sin 2x + 3 ~ 3 sin x + 3 cos x
7	cos x • sin <4x = cos 3x • sin 7x
8	2 cos2 2x + 3 sin	+ 4 sin2 2x = 0
9	sin 4x = 6 cos2 2x — 4
10	2 sin2 x + 1 sin3 2x = 1 4
Вариант Б
1	sin2 2x + cos2 Зх — 1 + 4 sin x
2	sin x • sin 5x = 1
3	9	1 sin x — cos x * cos 3x — - 4
4	sin 3x — 3 sin x
5	sin x + cos x = y/2 sin 7x
6	4 cos4 x = 11 cos 2x — 1
7	л/З cos 3x + sin 3x = cos x + л/З sin x
8	2 sin (40° + x) • sin (50° — x) = —1
9	4 cos x • cos 2x • cos 3x = cos 6x
10	sin x  sin 2x  sin 3x = - sin 4x 4
720
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 12
Решите уравнение:
Вариант А
1	cos 2х + cos 6z + 2 sin2 х = 1
2	sin х + sin Зх — 4 cos2 х
3	sin2 х + sin2 2х + sin2 Зх + sin2 4z — 2
4	144 cos4 x — 4 sin4 x = 9 sin2 2x
5	cos 7x + cos x = 2 cos 3x • (sin 2x + 1)
6	cos3z — sinz — \/3(cosz — sin3z)
7	sin 5z = sin x + sin 2x
8	2 tg2 x + 4 cos2 x = 7
9	x/3 sin 2z + 2 sin2 x — 1 — 2 cos x
10	x/5sin2z = x/1 + 8sinz • cosz
Вариант Б
1	2 sin2 2z — (cos z + sin z)2
2	4 cos z • sin z + tg z + ctg z = 0
3	cos z = cos 3z + 2 sin 2z
4	cos2 3z + cos2 4z + cos2 5z = 1,5
5	2(cos4z — sinz • cos3z) = sin4z + sin2z
6	5 sin4 z — cos4 z = sin2 2z
7	9 ctg2 z + 4 sin2 z — 6
8	(cos 6z — 1) ctg 3z — sin 3z
9	x/3 sin 2z + 2 cos2 z — 1 = 2 sin z
10	x/10 cos z = x/4 cos z — cos 2z
Самостоятельная работа 13
721
Самостоятельная работа 13
Вычислите:
Вариант А
Вариант Б
1	/	17% \ arccos cos —— \	5 /	1	/	13% \ arccos I cos	 1 \	5 J
2	/	3%\ arcctg ctg —	2	f 4%\ arcctg 1 ctg — \	5 J
3	. ( . 6% \ arcsm 1 sm — \ 5 /	3	. / . 10% \ arcsm ( sm	 1 \	7 J
4	arctg(tg(—3,2тг))	4	arctg (tg(2,7?r))
5	sin (arctg 2)	5	• (	3\ sm 1 arctg - 1
6	(	( 4\\ cos I arcsm — ) \	\ 5//	6	(	( 5 \\ cos arcsm	1 \	\ 13JJ
7	sm - arccos - \2	9/	7	sin arccos(0,l)^
8	f - /3\\ tg arcsm - ) \	\5 / /	8	/	( 4\\ tg arcsm 1—7 \	\ J J
9	/	/12\\ ctg arccos — 1 \13//	9	(	15A ctg arccos — \	I7/
10	cos(arctg(2\/2))	10	(	( 5 \\ cos 1 arctg 1 — 1 j
722
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 14
Укажите номер графика соответствующий каждой из данных
функций
1	у = sin(2 arcsine)
2	у = cos (2 arcsin х)
3	у = cos (2 arccos х)
4	у = sin(2arctgrr)
5	у = cos(2 arctgm)
6	у = sin (arctg x)
7	у = cos(arctgrr)
8	у = tg(arcsin x)
9	у = tg(arccosrr)
10	у = tg(2arctga;)
11	Л	A у = cos - arccos x \2	J
12	• /1	\ у = sm I - arccos x \2	J
Самостоятельная работа 14
723
724
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 15
Решите системы уравнений:
Вариант А
Вариант Б
1	н 2	-к Ю	I Н 1	II g- ND] М № II		1		7Г x __ у — y 2 cos2 x + sin2 у = 2
2		z sin2 x — cos2 у = 0 sin2 x + cos2 у = 2	2		sin x — cos у = 1 sin у — cos x = 0
3	j 4у + \/3 cos х — — | 1 2 8 у + 3x/3cosz = 1		3	I 2\/3sinz —8j/= — 1 ] . 7 1 I y3smz — ly = -	
4		Г .	.	3 sm x • sin у — — J 4 1 COS X • COS V = — I	4	4		Г .	1 sm x • cos у — - y 4 3 cos x • sm у = -
5		. 2	2	3 sm x + cos у — - cos 2x + 2 cos у — 1	5		z sin x + cos у = 1 sin2 x — cos2 у — 1 к
6	( .	/3 sin X • COS V = — <	4 1 cos(z+?/) • cos(z—у) = -		6	f	1 1 COS X • cos у — - ] . ,	4 . z	.3 1 sin(a;4-y) • sm(z-У) — ~^	
7		sin2 x + sin у = 1 cos2 x + cos у — 1	7		sin2 x — cos у = 1 cos2 x — sin у — 1 к
8		r .	.	1 sm x — sm у =	 sinz 1 cos x — cos у —	 k	cosz	8	<!	Г .	.	1 smz + sm?/ =	 cosz 1 cos z + cos у =	 k	sinz
Самостоятельная работа 16
725
Самостоятельная работа 16
Вариант А
Вычислите:
1	cos 26° + cos 98° + cos 170° + cos 242° + cos 314°
2	2 cos 80° 4			 2 cos 40°
3	arcctg(tg 9)
4	cos(2 arctg 2) — sin(4 arcctg 3)
Что больше?
5	a = sin 40° + sin 51° или b — sin 48° + sin 52°
Найдите основной период:
6	cos ?	sin ? у = 4	4 + 3 3
Решите уравнения:
7	16sin (— +	= 9tg + 5ctg	если 12 C x 18 \ 3	2 J	3	3
8	. 3x	. 4x arcsin	h arcsin — = arcsin x 5	5
Найдите целые решения и их число:
9	X arccos — :	. X > arcsin —
	3	3
Решите неравенство:
	(	[	a/3 „	„
10	( COS ТГХ + - j	ч / cos-та 4——	0, если 0 x 2
726
Самостоятельные работы
Вариант Б
Вычислите:
6-\/3sm 100° • sin40°
cos 10° — cos 110° + sin 60°
2 cos 100° + sin 70° + cos 140°
arcsin(sin 28)
. Л Л /1	. 15
sin ( 2 arctg — I tg I — arcsin —
Что больше?
5	а = sin(cos26°) или b — cos(sin26°)
Найдите основной период:
Решите уравнения:
7	„	/ тгх 7г\ Л тгх	Их 16 cos	- - J = 9 ctg — + 5tg—, если 17 х 26
8	•	2	• Гл		• 1 arcsm —т= — arcsin v 1 — х = arcsin - 3^	3
Найдите целые решения и их число:
9	X arccos — > arctg x
Решите неравенство:
	(	iA	I	\/3
10	I Sin7TX	 \	2 J	4 / sin 7гх	0, если 0,5 x < 2,5 у	2	’
Ответы к самостоятельным работам
727
Ответы к самостоятельным работам
Самостоятельная работа 1
А	Б
1	-к 2к			1	Зтг тг, Т+з1	
2	ТГ ТГ , 8 + 2*			2	ТГ тг, -8 + 2^	
3	TV “12 + ,rt			3	7Г — — + 7Г/С О	
4	ТГ 2тг, 6	3			4	27Г	2 ,	
5	1-1 I СП to| + w|			5	к +	
6	Зтг Т+ Л			6	5тг	
7		тг , 5тг ,1 ri2+rt;l2+rt]		7		ТГ	тг	"1 — —+тг/с; -ч-тт/с 3	6
8	( тг 2тг, 5тг 2тг, \ п+Тк)			8	/ 5тг 2тг. тг 2тг, \	
9		5тг 2тг, 8тг 2тг, [у + Тк’ <Г + Тк		9		7тг 2тг, 13тг 2тг, 1
10		5тг , тг 1 ~~8 + Пк’ ~ 8 +		10		Зтг , тг , 1 -у + тг/с; - + тгк
728
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 2
А	Б
1	, ТГ	ТГ ±12 “ 6 + "к	1	тг . тг 2тг —12 ± 12 + ~Зк
2	ТГ	z	jl ТГ	ТГ 12 + '-1’ 12 + з‘	2	ТГ	/	1	ТГ 6+(”i:i 6 + 21
3	- + -к 2 2	3	ТГ тг, -3 + 3fc
4	7тг 2тг, 18+Т‘	4	тг z ч ь. тг тг 12+ '”1’ 12 + 2‘
5	тг	/ 1 \ А*-1-1	ТГ ”12+ '"1’	24 + 4*	5	7Г , 7Г	7Г , — ± - + -к 12	6	2
6	2тг 2тг/с; ±	1- 2тгп 3	6	ТГ тг --+7rfc; (-!)"— +-п
7	тг	, + тг/с; 4 arctg 4 + тгп	7	ТГ тг, ”12+3*; 1	о	ТГ -- arcctg 3 + -тг
8	±5-тг ±12’ , 1	з ±- arccos - + тгп 2	4	8	/	-1 \ А*	1 (-П+2^ 1 / 1 \п	-3 тг -(-1) arcsm- + -Т2
9	ТГ ± — + тгк 6	9	ТГ	тг тг 2+rt; 4 + 2П
10	тг	, -- + тгА;; 4 тг ” + 2тгп; тг + 2тгтп	10	ТГ — + тгА; 4
Самостоятельная работа 3
729
Самостоятельная работа 3
А	Б
1	7Г 7Г , -3 + 2*	1	Ю 1 + ьо| ?г
2	-sa к |со + к |2 1	2	7Г	7Г , 8 + 2*
3	ТГ — + 2тгк	3	2ък
4	1	1 и-*	и-* о,'=|	4	2тг 2я ± V + Tt; 5тг 2я ±18+Т,‘
5	7Г 7Г , 4 + 2*	5	-к 2к
6	7Г	7Г , ~12 1	4	л - arctg - +	-п О	о	о	6	7Г	7Г	, -~2+Зк'’ 1	3	л -	arctg -	+ -п О	-г	О
7	7Г 2тг, -- + —к о 3	7	7Г 2тг, з+Т‘
8	0	8	arccos	— 2^ + тгк
9	V.T ~П 4	9	Ух ~к 4
10	7Г — + 2tt/v; я + 2тгп о	10	7Г Л ,	Зя —h 2тгА:;	— + 2тгп 6	2
730
Самостоятельные работы
Самостоятельная
работа 4
А	Б
6	245 5“	_45 Г
7	-4	
8	4	4
9	2,3	2,1
10	1 1137	152 1185
Самостоятельная
работа 5
А	Б
1	9 cosz а	. 2 sm а
2	1	1
3	sin а — cos а	sin а + cos а
4	-1	1
5	tga	-tga
6	1	1
Самостоятельная
работа 6
А Б
1	4 — 5	4 5
2	_4| Г	1 4 415 15~
3	42 ~3~ х/7 "з~	2 3 45 1Г
4	со | Ю | Ю; 1	1 :	3 ~ 5 4 — 5
5	2 7	—7
6	86 —189	7 18
7	СО | 00 ' 1	8 9
8	11 16	13 27
9	23 32	49 81
10	37 64	33 81
Самостоятельная работа 7
731
Самостоятельная работа 1
А	Б
1	1	1	-1
2	1	2	1
3	1	3	-1
4	0	4	0
5	sina	5	cosa
	sin а — cos а		cos a — sin a
6	ctg a	6	-tga
7	-1	7	-1
8	1	8	1
9	1	9	1
10	— sina	10	— cosa
Самостоятельная
работа 8
Самостоятельная
работа 9
А Б
1	/2a\	/7a \ - tg — \15/
2	9 / 3a \ tg w	9 /5a\ ctg2 — \ D J
3	1	1 4
4	0 .	1
5	4	0
6	0,75	1,5
7	-0,5	4
8	0	0,75
9	1	1
10	_\/2 Г	_x/2 Г
А	Б
1	tg 3a	О  ей"
2	1	1
3	4	1 4
4	- ctg2 ^1,5+^	— ctg 1,5
5	-1,75	1
6	—2	4,5
7	2	-18
8	2	11
9	1 2	-9
10	3	5
732
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 10
Б
1	ТГ — + тг&; arctg 1,5 4- тгп	1	ТГ тг, - + -к 4	2
2	х/б - 2 ( —l)fc arcsin —		ЬтгА:	2	1	П	7 - arctg 2 + —к
3	ТГ тг, - + -к 4	2	3	тг тг, 4 + 2к
4	тг 4- 2тг/г	4	1^ + t= IS
5	тг	_ - 4- ТГ& 4	5	ТГ — — 4- тг/г; — arctg 3 + тгп
6	тг 2тг/г;	—h 2тгп ’ 2	б	-к 8k
7	тг	тг —h тг&:	±— + тгп 2	4	7	ТГ тг, - + -к 8	4
8		8	тг	2тг — + тг/г; тг + 2тгп; — т 2	5
9	7Г - + TVK	9	7Г 7Г ,	37Г 7Г — + -к;	1- -п 8	2 ’ 20	5
10	, 7Г 2тГ,	10	ТГ — + тгк 4
Самостоятельная работа 11
733
Самостоятельная работа 11
А	Б
1	7Г .	1	Л 7Г —к; — arctg 2 Ч—п 2	2	6	2	1	як
2	пк	2	
3	7Г	7Г 7Г ~к\ —I—п 2’6	3	3	±- + тгк 6
4	7Г	3 — Ч- 2% к;	2 arctg ~ Ч- 2тгп 2	5	4	як
5	7Г 2% п + т"	5	3% 7Г	7Г	7Г 32 + 4fc; Й+3П
6	7Г — + 2тг/с; 2тгп	6	9- С73 ± arccos			1- тгп
7	7Г	7Г	7Г _ 4t; ±12 + 2fc	7	7Г	7Г	7Г 8 + 21; ~12 +™
8	7Г 7Г , 	+ -fc; 8	2 ’ 1	7Г --arcctg 2 + -п	8	19 	7Г + 7ГК 36
9	7Г 7Г , "8 + 2 1	1	7Г - arctg —I—п 2	6 2	2	9	^к, где к'/. 3; О 7Г	7Г 4 + 2"
10	7Г 7Г , 4 + 2к	10	7Г	7Г 7Г 2к'	8 + 4П
734
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 12
А	Б
1	+ о| И	1	ТГ	_ — 4- irk\ 4 („i)n+i2L + ZLn v 7	12	2
2	ТГ - + ^	2	0
3	ТГ	,	7Г	7Г 2+^ 4 + 2*1 ТГ	ТГ 	1—п 10	5	3	?r
4	ТГ ±— + ТГП о	4	ТГ	ТГ	ТГ - + -k; ±- + ™
5	Y' ом + + wM J7 tol 4- кэМ	5	ТГ	ТГ , — + ~k 16	4
6	тг	тг	тг —1—к:	1- тт 8	2 ’ 12	6	ТГ ТГ , - + ~k 4	2
7	тг,	тг 2тг 2t; ±9 + Т"	7	ir ±— 4- irk о
8	ТГ ±— 4- тгп о	8	2тг 2тг,
9	2тг 2тг, 2тг V + Tt; т + 2™	9	тг Л ,	5тг 2тг ~6+2Л;	18 + Т"
10	тг — 4- irk 4	10	±~ 4- 2тг/г О
Самостоятельная работа 12
735
Самостоятельная
работа 13
Самостоятельная
работа 14
А	Б
1	0,6тг	1	0,6тг
2	0,6тг	2	4тг Т
3	—0,2тг	3	Зтг
4	—0,2тг	4	- 0,ЗтГ
5	от 1 to От]	5	3 5
6	0,6	6	12 13
7	2 3	7	0,3\/5
8	3 4	8	4 ~з
9	2,4	9	15 Т
10	1 3	10	12 13
1	Е
2	[12]
3	[8]
4	
5	ш
6	и
7	[7]
8	[6]
9	
10	[9]
11	[2]
12	
736
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 15
1	f / тг	\	1 < ( — + тг/с; — лк 1 к Е Z >				
2	{ ( л	\	1 < [ ~ + тгА;; тгп 1 к, п 6 Z >				
3		V, (	3\/з\ „ , 5 \ I ± I тг — arccos	 I + 2тг/с; — 1 \ \	8 /	32 /		к е Z > 7	
4	< f + (п + А)тг; + тг(п — к) j 1 \ о	о	/			fc, п Е Z^	
5	+ 2тгА^ А, п Е Z^				
6	<	< > [ тгп + (—+ 2тг/с ) к,п Е Z \	6	6/ Гтгп + ( —1)п+1 —; ±— + 2тгА?) < \	6	6	/	;			
7	( (тг	\ / тг <	—h тг/с; 2тгп ; | тг/с; —h 2тгп l\2	5	)’\	2		к^п Е Z^		
8	f / тг тг Зтг тг . 11 А 1 ( 4 + 2п;  Т + 2<4fc “ п		к^п Е Z^		
Самостоятельная работа 15
737
6
Б
H+2(2fc“n)
— + 2тгА;; — + тт
2тг
2тгп ± —; 2тгк + тг
о
k.nEl
к,п 6 Z
(тгп; (2fc + 1)тг); ( — + тгп; —— + 2тгк
7Г , Л1 ч
— + тгп; — + (п + 2/с)тг
738
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа 16
А	Б
1	0	1	3
2	1	2	0
3	3,5тг - 9	3	Этт-28
4	0,36	4	0,48
5	а > b	5	а < b
6	247Г	6	12тг
7	12,5; 14,5	7	1	2	1 17-; 22-; 25- 3’	3’	3
8	-1; 0; 1	8	2 3
9	-3;-2;-1;0;1;2 (шесть решений)	9	—2;—1;0;1 (четыре решения)
10	1	'	» см ^’| со 1	1 см 1 со o' Ю 1 О 1 о	10	1	1 оГ ^'Гсо см 1	,	1 D ।	1 см |со I см 1	1
Тригонометрические формулы
739
Тригонометрические формулы
1. Алгебраические соотношения между тригоно-
метрическими функциями одного и того же угла
sin a = ±уТ — cos2 a B sm a =	. . .	= ±0 + tg2 a  1 M sin a =	—== ± у 1 + ctg2 a	cos a = ± \/l — sin2 a _1 И cos a = 	.	= ±д/1 + tg2 a ctga cos a =	. 	= ±yl + ctg2 a
		sina ® tga= ,	r-5- ±v 1 — sin a 		±\/l	— cos2 a (D tga = cosa 1 (D tga = -— ctga	—_	zb \/l — sin2 a щу ctg a —	 sin a _	cos a (KD ctga =		 ± V1 — cos2 a 1 ЩН ctg a —	 tga
2. Решение простейших уравнений
cos х = т => х = ± arccos т + 2тгк | к G Z
sins = т => х = (—l)fc arcsinт + тгк | к g Z
tg х = т => х = arctg т + тгк | к G Z
£Ю ctg х = т => х = arcctg т + тгк | k G Z
3.	Формулы	приведения
©	cos(a + 90°)	= — sin a	cos ( a + —
	cos(a — 90°)	/	7Г = sina	cos ( a — —
	sin(a + 90°)	• A 71-4 = cosa	sm ( a + —
©	sin(a — 90°)	/	TT^ = — cos a	sin ( a — —
	cos(90° — a)	/ тг — sm a	cos 1 ~ — a
= — sin а
= sina
= cosa
= — cos a
= sina
740
Тригонометрические формулы
	sin(90° — a) =	= cosa	* I	\ sin	a = cosa \2	/
	ctg (a + 90°) =	= - tga	( ctg 1 a + - \ = - tga
©	ctg (a — 90°) =	= - tga	/	7Г\ ctg 1 a - - 1 = - tg a
	tg(a + 90°) =	— ctg a	/	7г\ tg 1 a + - 1 = -ctga
	tg(a - 90°) =	— ctg a	f 'n\ tg I a - - 1 = - ctg a
QP	ctg (90° — a) =	= tga	/л	\ ctg 1 - - a i = tga
	tg(90° - a) =	ctg a	/л \ tg 1 - - a 1 = ctga
	cos(a + 180°)	— — cos a	cos (a + л) = — cosa
CC)	cos(a — 180°)	= — cos a	cos (a — л) — — cos a
	sin(a + 180°)	= — sina	sin (a + л) = — sina
gyri	sin(a — 180°)	— — sina	sin (a — л) = — sin a
	cos(180° — a)	= — cos a	cos (л — a) — — cos a
	sin(180° — a)	— sina	sin (л — a) = sina
GE)	ctg(a + 180°)	— ctg a	ctg (a + л) = ctga
	ctg(a - 180°)	= ctg a	ctg (a - л) = ctga
лги	tg(a + 180°) =	= tga	tg (a + л) = tga
	tg(a - 180°) =	= tga	tg(a - л) = tga
	ctg(180° - a)	= — ctg a	ctg (л — a) = — ctga
tg (л — a) = — tga
tg(180° — а) = — tga
cos(a + 270°) = sin a
cos (a — 270°) = — sina
sin(a + 270°) = —cosa
sin(a — 270°) = cosa
cos(270° — a) = — sin a
cos
cos
sin
sin
cos
— sin a
= — sin a
= — cos a
= cosa
= — sin a
Теоремы сложения
741
	sin(270° - a)	i — — cos a
flpl	ctg(a + 270°	) = - tg a
	ctg(a- 270°;	) = - tg a
	tg(a + 270°)	= — ctg a
	tg(a —270°)	= - tga
	ctg(270° - a	) = tga
	tg(270° - a)	= ctg a
/ Зтг \
sin------о	— — cos а
\2 /
/ Зтг\
ctg I а + — I = - tga
f Зтг\
ctg I a - — I = - tg a
f	Зтг\
tg I a + у ) = - Ctg a
f	Зтг\
tg I a - у I = -tga
/Зтг \
ctg I у - a ) = tg a
/ Зтг \
tg ( у - al =ctga
4.	Теоремы сложения
CD sin(a + fl) — sin a • cos fl + cos a • sin fl
sin(a — fl) — sin a  cos fl — sin fl - cos a
CD cos(a + fl) — cos a • cos fl — sin a * sin fl
CD cos(a — (3) = cos a  cos/3 + sin a  sin /3
tg(a + /3) =
tg a + tg /3
1 - tg a  tg (3
f	i
a yt — + тг/с
fl + тгп
a + (3 У 7rt
CD
tg(a - (3) =
tga - tg/3
1 + tg a • tg [3
f , я
a / — + тг/с
fl + тгп | G Z
| + 7Tt
742
Тригонометрические формулы
5.	Функции двойного и половинного угла
fit
Я
sin 2а = 2 sin а • cos а
cos 2а = cos2 а — sin2 а = 2 cos2 а — 1 = 1 — 2 sin2 а
A tff Ct	7Г
sin 2а =---------5—	а —I- тгА: | fc £ Z
1 +	tg2 а	2 1
(Л	cos2а =	--а	а^ — +Trk\k&Z
1 + tg2 а	2	1
—	2 tea , тг тг ,	„
tg2а —------а - + -d/c Е Z
1 — tg а 4	2
	ctg 2а = —	- tg2 а 	 а 2 tga	у- —k | k G Z	
	а	/1 + cos а		1 + cos 2a
	cos-=±,	V 2	cos2 a —	2
	• а	/1 — cos а	,	9	1 — cos 2a
(D	sm — — ±4 2	1	/ 2	sin a =	2
	а	/1 — cos а	1 — cos a	sina
(£)	tg - = ±4,	?	=		
	2	у	1 + cos а	sina	1 + cos a
	а	/1 + cos а	1 + cos a	sina
	ctg 2 = ±<	VI — cos а	sina	1 — cos a
угла
6.	Функции тройного
sin За = 3 sin а — 4 sin3 а
СВ cos За = 4 cos3 а — 3 cos а
W	4
о 3 tg а — tg3 а , тг тг, . ,	_
® с	|'	“^б + з‘1‘ег
<D etg3a=Ctf°-3ttf°
3 ctg а — 1	3
. з 3 sm а — sm За
sm а =----------------
4
з	3 cos а + cos За
cos а =----------------
Преобразование суммы в произведение и наоборот
743
7.	Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и наоборот
—.	СЕ + (3 СЕ — (3
cos СЕ + cos р = 2 cos —-— • cos —-—
cos а — cos/З = —2 sin ——
2
. а — /3
* sin —-—
2
CE — (3
* cos —-—
sin се + sin (3 = 2 sin —-—
. а о . а-/?
sin се — sm р = 2 sm----------- cos-----
н	2	2
л sin(cE + /3) f COS СЕ О
tgCE + tg/? = -------------- при	,
COS СЕ • cos р	[ cos р и
n sin(cE + f3) f sin СЕ О
ctg СЕ + Ctg /3 = ------— при . д / п
sm се * sm р	[ sin р и
л sin(CE-/?)	f COS СЕ О
tgCE - tg/? = -------------- при <	/3 / n
cosce-cos/?	[ cos/3 ^0
siri(/? — ce) ( SincE ^0
Ctg CE - ctg (3 = ------— при • о / n
sm ce • sm p	[ sm p U
cos ce • cos j3 = | [cos(ce + /?) + cos(ce — /5)]
sincE • sin/? = ~ [cos(ce — (3) — cos(ce + /5)]
sincE • COSf3 — - [sin(cE + /?) + sin(cE — /5)]
а 4
7Г
а~ 4
4
A sin а + В cos а =
л/А2 + В2 • sin |	(а + arctg -g j	если В ;	> 0
— у/А2 + В2 • sin 1	(а + arctg	если В <	0
у/А2 + В2 • cos I	(а - arctg j	если А ;	> 0
— у/А2 + В2  cos 1	fa - arctg j	если А <	: о
744
Тригонометрические формулы
8. Свойства агс-функций
О
©
©
©
©
©
гдр
ГД<1
arccos(—т) — тг — arccos гп
arcsin(—т) = — arcsin гп
arctg (—т) = — arctgm
arcctg(—m) = тг — arcctg т
arcsin х + arccos х =
тг
2
arctg х + arcctg х — —
f arccos У1— х2,
arcsin х = <	/-----ту
I — arccos vl -r
arccos т С [0; тг]
arcsin т €
тг тг
2’2
arctg т G
arcctg т € (О;тг)
0 < x 1
-1 < x 0
f arcsin л/l ~ x2
arccos x = <	. r-------5-
[ тг — arcsin у 1 — хл
arcsin x ~ <
arccosx ~
arctg x = <
arcctg x — <
arctg x = <
0 < x 1
-1 < x < 0
\/l — T2
arcctg---------,
x
\/l - x2
arcctg-----------тг,
x
y/1 ~ x2
arctg---------,
x _______
Vi — x2
тг + arctg--------
x
arccos
— arccos
x 0
x 0
1
arcsin —;	,
x/T+^2
1
тг — arcsin:
Vl+x2
arcctg —, x > 0
x
arcctg----тг, x < 0
X
0 < x 1
-1 < T < 0
x 0
x 0
Тригонометрические функции от агс-функций
745
9. Тригонометрические функции от аге
функций
CD	sm(arcsinrr)	= X	— 1	X c	1
	sin(arccosrr)	1 = л/1 — X2	— 1	X c	1
о	sin(arctg x)	X \/l 4- x2	—OO < X <	: oo
	sin(arcctgrr)	_ 1 \/l + X2	—OO < X <	: oo
	cos (arccos x	) = x	— 1 X	1
(D	cos(arcsinrr)	1 — >/l — X2	— 1 X	1
	cos(arctgrr)	1 \/l + X2	—OO < X <	: oo
	cos(arcctgsf	)= x Vl 4- я2	—OO < X <	: oo
	tg(arctgz) -	= X	—OO < X <	: oo
	tg(arcctg^)	_ 1 X	Vx^O	
<ДГ1	tg(arcsma:)	CQ R 1 II	— 1 < X <	1
	tg(arccosa:)	R 1 H II	— 1 X < 0 < x 1	0;
	ctg(arcctgsf	) = X	—OO < X <	: oo
	ctg(arctgrr)	_ 1 X	Vx^O	
бДЬ	ctg(arcsinrr)	II 1—1 « 1 4,	н V/ V/ ^4 V 1 о	0;
	ctg(arccosaf	x/1 — X2	— 1 < X <	1
Содержание
Программы элективных курсов.........................5
Программа элективного курса №1....................5
Программа элективного курса №2....................6
1.	Определение основных тригонометрических функций ... 7
Введение.........................................  7
2.	Вычисление значений тригонометрических
функций любого угла..................................22
Таблица некоторых значений
тригонометрических функций.......................22
Практикум 1 . . ..................................25
Практикум 2.......................................35
Тренировочная работа 1........................  .	39
Алгебраические соотношения между тригономе-
трическими функциями одного и того же угла. .....43
Практикум 3......................................45
Тренировочная работа 2...........................49
Практикум 4......................................53
Тренировочная работа 3...........................57
Тренировочная работа 4...........................62
3.	Решение простейших уравнений..................  69
Уравнение вида cosx = т........................  69
Уравнение вида sinx = т..........................72
Уравнение вида tg х == ?п......................  75
Уравнение вида ctg х = т.........................77
Практикум 5.................................    .	79
4.	Основные тригонометрические формулы.............89
Формулы приведения...............................89
Практикум 6......................................91
Тренировочная работа 5..........................105
Теоремы сложения................................116
Практикум 7.....................................116
Тренировочная работа 6..........................125
Тригонометрические функции двойного
и половинного угла ..............................135
Практикум 8......................................136
Тренировочная работа 7...........................144
Тренировочная работа 8...........................152
Тренировочная работа 9...........................159
Тренировочная работа 10..........................163
Тренировочная работа 11........................  170
Тренировочная работа 12..........................180
Тренировочная работа 13 . .......................183
Тренировочная работа 14..........................191
Проверочная работа 1..........................  .196
Тренировочная работа 15..........................202
Проверочная работа 2.............................212
5.	Суммы и произведения тригонометрических
функций............................................ . 222
Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и наоборот ...............222
Практикум 9......................... ............ . .224
Тренировочная работа 16..........................238
Практикум 10.....................................249
Периодические функции............................263
Практикум 11 ..................................  270
6.	Обратные тригонометрические функции
и их графики.................................      286
Арксинус.........................................287
Арккосинус.......................................289
Арктангенс...................................    291
Арккотангенс .................................  .294
Практикум 12...................................  297
Свойства arc-функций и некоторые соотношения
между ними ......................................300
Тригонометрические функции от агс-функций........301
Практикум 13..................................... . .302
Практикум 14..................................... . .305
Тренировочная работа 17......................    312
Графики arc-функций ................................322
Практикум 15........................................327
Тренировочная работа 18...........................  342
Практикум 16
(Решение тригонометрических неравенств).............353
Тренировочная работа 19..........................  .368
Системы тригонометрических уравнений ..........	. 390
Практикум 17......................................  390
Практикум 18........................................398
7.	Тренировочные карточки ............................406
Карточка 1..............................   406.	. .425
Карточка 2................................ 408.	. .431
Карточка 3.............................ч.	. 410 . . .436
Карточка 4................................412.	.	.441
Карточка 5. . . ..........................413.	.	.446
Карточка 6................................414.	.	450
Карточка 7................................415.	.	.454
Карточка 8................................416.	.	.458
Карточка 9...................................417..	.462
Карточка 10...............................418.	.	.468
Карточка 11...............................419.	.	.473
Карточка 12 .............................. 420 .	.	.478
Карточка 13 .............................. 421.	.	.483
Карточка 14 .............................. 422.	.	.491
Карточка 15 .............................. 423.	.	.498
Карточка 16 .............................. 424.	.	.505
8.	Зачетные карточки..................................513
Карточка 1.................................513.	.	.531
Карточка 2.................................514.	.	.535
Карточка 3.................................516.	.	.539
Карточка 4........................ 517 .	.	.543
Карточка 5.................................519.	.	547
Карточка 6................................ 520 .	.	550
Карточка 7...............................  521.	.	.554
Карточка 8................................ 522.	.	.558
Карточка 9................................ 523.	.	.561
Карточка 10 ............................... 524. . .568
Карточка 11 ............................... 525. . 570
Карточка 12 ............................... 526. . .574
Карточка 13 ............................. 527 . . .579
Карточка 14 ................................. 528. . .586
Карточка 15 .......................... 529. . .595
Карточка 16 ............................... 530 . . .606
9.	Итоговые карточки................................  615
Карточка 1. . . ...........................615.	.	.626
Карточка 2.................................617 .	.	.635
Карточка 3................................. 618..	640
Карточка 4.................................619.	.	647
Карточка 5........................... 620 .	.	.655
Карточка 6................................. 621.	.	.661
Карточка 7................................. 622.	.	667
Карточка 8................................. 623.	.	677
Карточка 9................................. 624.	.	.685
Карточка 10 ............................. 625.	.	.692
10.	Самостоятельные работы........................    701
Самостоятельная работа 1 .................. 701. . 727
Самостоятельная работа 2 ................ 702. . .728
Самостоятельная работа 3 .................. 703. . .729
Самостоятельная работа 4 .................. 705. . 730
Самостоятельная работа 5 .................. 707 . . 730
Самостоятельная работа 6 .................. 709.. 730
Самостоятельная работа 7...................711. ..731
Самостоятельная работав....................713. ..731
Самостоятельная работа 9...................715. ..731
Самостоятельная работа 10..................717. ..732
Самостоятельная работа 11..................719.. .733
Самостоятельная работа 12.................. 720 .. .734
Самостоятельная работа 13.................. 721. . .735
Самостоятельная работа 14.................. 722. . .735
Самостоятельная работа 15.................. 724. . .736
Самостоятельная работа 16.................. 725. . .738
Тригонометрические формулы........................  739
1.	Алгебраические соотношения между тригонометри-
ческими функциями одного и того же угла..........739
2.	Решение простейших уравнений..................739
3.	Формулы приведения.......................    .	739
4.	Теоремы сложения..............................741
5.	Функции двойного и половинного угла...........742
6.	Функции тройного угла.........................742
7.	Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и наоборот................743
8.	Свойства агс-функций..........................744
9.	Тригонометрические функции от агс-функций......745
Учебное издание
Шахмейстер Александр Хаймович
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Научный редактор серии А, В. Семенов
Художник Е.И. Герасимчук
Компьютерный набор К. В. Шевяков, И. В. Малинин
Компьютерный набор и верстка С. С. Афонин
Компьютерная графика А. С. Широкий
Корректоры Е.Г. Никитина, И. Б. Смирнов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПЕТРОГЛИФ»
Тел.: (812) 943-8076; e-mail: spb@petroglyph.ru; www.petroglyph.ru.
ИЗДАТЕЛЬСТВО МЦНМО
119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11.
Тел.: (495) 241-7285; e-mail: biblio@mccme.ru; www.mccme.ru.
Подписано в печать 10.02.2013. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать цифровая. Печ. л. 47. Тираж 1000 экз. (По требованию)
Заказ № Пет-015.
Налоговая льгота — ОКП 005-93-95-3005
Отпечатано с диапозитивов, предоставленных издательством
«Петроглиф», в типографии Издательского дома КДУ.
119234, Москва, а/я 587. Тел./факс (495) 638-57-34;
e-mail: kdu@kdu.ru; www.kdu.ru.
11еред вами серия книг практически по всем разделам
школьного курса математики.
По существу это энциклопедия различных методов решения
задач, которые чаще всего встречаются непосредственно
в школьном курсе.
Это прекрасные самоучители, которые позволят ученикам
и абитуриентам без репетитора подготовиться к экзаменам.
Естественная логика построения материала «от простого
к сложному» позволит учителю использовать эти книги
для дифференцированной работы с учениками различного
уровня подготовки.
Желательно, чтобы работа с материалами этой серии книг
начиналась уже с 7, 8 класса и была постоянной
и планомерной, тогда она даст наибольший эффект.
Б. Г. Зив.
Сэряд	КУРСЫ*
1.	Дроби.
2.	Корни.
3.	Уравнения.
4.	Дробно-рациональные неравенства.
5.	Системы уравнений.
6.	Иррациональные уравнения и неравенства.
7.	Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии.
8.	Логарифмы.
9.	Тригонометрия.
10.	Построение графиков функций элементарными методами.
11.	Уравнения и неравенства с параметрами.
12.	Задачи с параметрами на экзаменах.
13.	Введение в математический анализ.
14.	Комплексные числа.
15.	Комбинаторика. Статистика.
Вероятность.
16.	Геометрические задачи на экзаменах.
Часть 1. Планиметрия.
17.	Геометрические задачи на экзаменах.
Часть 2. Стереометрия. Часть 3. Векторы.