3 ЛОЛЮЩЬ ШКОЛЬНОМУ У -
Л.А. ОБУХОВА О.В. ЗАНИНА И.Н. ДАНКОВА
ПОУРОЧНЫЕ
РАЗРАБОТКИ
по
АЛГЕБРЕ и НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

В ПОМОЩЬ ШКОЛЬНОМУ УЧИТЕЛЮ
Л.А. Обухова, О.В. Занина, И.Н. Данкова
ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ
АНАЛИЗА
К учебному комплекту
А.Г. Мордковича и др.
(М.: Мнемозина)
10 класс
МОСКВА «ВАКО» 2008
УДК 372:851
БЫ< 74.262.21
026
Авторы благодарят учителей математики г. Нововоронежа, предоставивших
свои материалы: Л.Г. Нужную, О.А. Зуеву, С.В. Острецову (все из МОУ
СОШ № 3); О.П. Воронову, О.И. Дюкову, О.В. Меркулову, Л.В. Мешалкину,
О.В. Николаеву, М.Ю. Медведеву, Ю.И. Поддубова (все из МОУ
СОШ № 4).
Обухова Л.Л., Занина О.В., Данкова И.Н.
026 Поурочные разработки по алгебре и началам анализа:
10 класс. - М.: ВАКО, 2008. - 304 с. - (В помощь школьному
учителю).
ISBN 978-5-94665-611-5
Пособие предлагает полный комплект поурочных разработок по
алгебре для 10-го класса, ориентированных на педагогов, работаю-
щих по учебному комплекту А.Г. Мордковича и др. (Л/.; Мнемози-
на). Издание содержит все, что необходимо для подготовки к уро-
кам: подробные поурочные планы, примеры, задания, задачи с раз-
бором решений, а также самостоятельные и контрольные работы в
нескольких уровнях сложности.
Пособие автономно и содержит материал для проведения пол-
ноценных уроков в классах и группах различного уровня. Может
быть использовано как начинающими педагогами, так и препода-
вателями со стажем.
УДК 372:851
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-94665-61 1-5
ООО «ВАКО», 2008
Тематическое планирование
учебного материала по алгебре.
10 класс (102 ч)
ПОВТОРЕНИЕ (10 ч)‘
ГЛАВА I. Тригонометрические функции (28 ч)
1. Введение
2-3. Числовая окружность
4. Урок-лекция с опорным конспектом темы «Числовая окруж-
ность на координатной плоскости»
5. Решение типовых задач
6-8. Синус и косинус
9-10. Тангенс и котангенс
11-12. Тригонометрические функции числового аргумента
13-14. Тригонометрические функции углового аргумента
15-16. Формулы приведения
17-18. Функция у = sinx, ее свойства и график
19-20. Функция у = cosx, ее свойства и график
21. Периодичность функций у = sinx, у = cosx
22. Как построить график функции у = mf(x), если известен график
функции у =f(x)
23-24. Как построить график функции y-f(Rx), если известен гра-
фик функции у =f(x)
25. График гармонического колебания
26-27. Функции >> = tgx, = ctgx, их свойства и графики
28. Контрольная работа № 1 (см. приложение)
ГЛАВА II. Тригонометрические уравнения (5 ч)
29. Первые представления о решении тригонометрических уравне-
ний
30-31. Арккосинус. Решения уравнения cos /= а
32-33. Арксинус. Решения уравнения sin /= а
34. Арктангенс и решение уравнения tgx= а. Арккотангенс и реше-
ние уравнения ctgx= а
35-37. Тригонометрические уравнения
38. Тригонометрические уравнения. Контрольная работа № 2 (см.
приложение)
ГЛАВА III. Преобразование тригонометрических уравнений (10 ч)
39—40. Синус и косинус суммы аргументов
Уроки повторения планируются с учетом уровня знаний учащихся.
4 Тематическое планирование учебного материала по алгебре. 10 класс
41--42. Синус и косинус разности аргументов
43-44. Тангенс суммы и разности аргументов
45. Контрольная работа № 3
46-47. Формулы двойного аргумента
48. Формулы понижения степени
49-51. Преобразование сумм тригонометрических функций в про-
изведение
52.	Преобразование произведений тригонометрических функций в
сумму
53.	Преобразование выражений Asinx + Bcosx к виду Csin(x + /)
ГЛАВА IV. Производная (34 ч)
54.	Числовые последовательности (определение, примеры, свойства)
55-56. Предел числовой последовательности. Вычисление преде-
лов последовательности
57.	Сумма бесконечной геометрической прогрессии
58-59. Предел функции на бесконечности
60-61. Предел функции в точке
62. Приращение аргумента, приращение функции
63. Определение производной, ее геометрический и физический
смысл
64-65. Алгоритм отыскания производной
66-67. Вычисление производных. Формулы дифференцирования.
68-70. Правила дифференцирования
71.	Дифференцирование функции у =fikx + т)
72.	Контрольная работа № 4
73.	Уравнение касательной к графику функции
74-75. Исследование функции на монотонность
76-77. Отыскание точек экстремума
78-80. Построение графиков функций
81-82. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерыв-
ной функции на промежутке
83-85. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений
величин
86-87. Контрольная работа № 5 (см. приложение)
ПОВТОРЕНИЕ (5 ч)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Глава I.
Тригонометрические функции
Урок 1. Введение
Цели: повторить алгебраические функции, изучаемые в курсе ал-
гебры 7-9 классов, единицы измерения угловых величин, формулу
для нахождения длины окружности, геометрический смысл числа л
и его значение; рассмотреть понятие «числовая окружность», длина
окружности ее дуги; закрепить изученное в ходе выполнения упраж-
нений.
Ход урока
I. Повторение изученного материала
1. Вспомнить уравнение прямой; для каждой прямой составить
ее уравнение.
(Ответ', у = -2,v.)
{Отвепг. х = -1.)
6
Гпава /. Тригонометрические функции
2. График какой из функций изображен на рисунке?
б)^ = -х + 3;	е)^-^+2;
в) У ~ Ч* _ 3)";	ж) у = — ;
X
X
II.	Решение задач
1.	Радианная мера двух углов треугольника — и —. Найдите
3	6
радианную меру третьего угла и градусную меру каждого из
углов.
(Ответ: ; 60°; 30°; 90°.)
2.	Найдите радианную меру углов треугольника, если их вели-
чины относятся как 2:3:4.
2я л 4л
(Ответ'. —; —; —.)
9	3	9
3.	Переведите из градусной меры в радианную следующие углы:
1°; 180°; 45°; 60°.
III.	Изучение нового материала
1.	Вступительное слово (см. учебник § 1).
2.	Работа с учебником.
Обратить внимание на новые понятия: «единичная окружность»,
«четверти» окружности и «открытые дуги».
Урок 1. Введение
7
Начертить в тетради следующий рисунок:
По рис. 4 учебника найти точки, для которых длины дуг АЕ\ = 1;
АЕ2 = 2.
IV. Закрепление изученного материала
№ 1. Разобрать задание по чертежу с самостоятельной записью в
тетрадях и последующей проверкой.
, , 71	71 Зя
/Ш-2 + 4- 4;
В К = —+—= — ит. д.
2	6	3
AM: МВ = 2:3. Заметив, что АВ = — .
2
Решить задачу устно.
№ 5. Точка N будет находится на пересе-
чении диаметра с окружностью.
№ 6. Можно, так как — <2<я; — <5<2я
2	2
и т. д.
V. Итог урока
Домашнее задание
1. Построить графики функции
а) у =-3(х - 2)2 + 4;
б)
2
У =
х
8
Гпаеа I. Тригонометрические функции
2. Решить номера 2, 4.
3. Повторить определение синуса и косинуса угла (учебника
геометрии Атанасяна).
Ответы и решения:
а) у =-3(х-2)2+4.
а)	у = х2;
б)	_у = (х-2)2;
в)	>’ = 3(х-2)2;
г)	j/ = -3(x-2)2;
д)	=-3(х-2)2+4.
Уроки 2-3. Числовая окружность
9
Уроки 2-3. Числовая окружность
Цели: повторить определение синуса и косинуса угла; продол-
жить работу с «азбукой» функции; продолжить решение задач по
изученному материалу; разобрать определение числовой окружности
и примеры, приведенные в § 2; закрепить изученный материал в ходе
выполнения упражнений.
Ход урока 2
I.	Проверка домашнего задания
II.	Повторение изученного материала
1.	Построить график функции:
Зх-х3	Зх-х3	1
у =-----; у-------\у- —
6х	6х	2
1 , 1,1
— х”;у = —х’ +— и т. д.
6 Л 6	2
D{y): х g (-оо; 0) и (0; +оо).	у А
2.	Вспомнить определение синуса,
косинуса, тангенса и котангенса угла а.
Из Д ОМК: sin а =	= — = у;
ОМ г
ОК х	ух
cosa =---= — = x;tga = —; ctga = —.
ОМ г	х у
3.	Найти угол между лучом ОМ и положительной полуосью ОХ,
если точка М имеет координаты:
ч f4i 41}
а)^—J; б)(0;1);	в)(3;0).
{Ответы, а) 45°; б) 90°; в) не существует.)
4.	Найти угол между лучом OD и осью ОХ, если точка D имеет
координаты:
а) (2; 2);	б) (-2; 2);
{Ответы: а) 45°; б) 135°; в) 30°.)
5.	№ 7. cos ХА ОМ = - => ХА ОМ - 60°;
2
/з
MN = 2sin ХАОМ = 2— - V3;
10
Гпава I. Тригонометрические функции
2 яг
л-1-600 л
71 Л Я
l =	— -а => !^=----------= 1МБ--------=
360°	180°	180°	3	236
III.	Изучение нового материала
1.	Определение числовой окружности.
2.	Работа с учебником.
3.	Самостоятельно нанести на числовой окружности точки:
• л л я я 2я 5л	7л 4л Зя 5л 11л
6’ ?’ 2 ’ 2 ’ Т’ ~6~’	~6~’ Т’ Т’ ~Т’ ~~6~‘
4.	Проверка по готовому макету на доске.
5.	Правило 4 с решением в тетради.
6.	Вывод: М(7) = М(/ +2л£) где £ е z\k- параметр.
7.	Правило 5 устно.
IV.	Закрепление материала
Выполнение № 17 (с объяснением у доски), № 19.
Домашнее задание
1.	§ 2, задание № 8, 14(a), 18.
2.	Решить графически систему уравнений:
'у = (х+1)2 -3
У = ~
Отве/пы и решения:
\.№8
AM = NA = 60°
MB = DN= 30°
BP = QD = 30°
PC = CQ = 60°
=>AM = MP = PC = CQ = QN = NA =60°
№ 14. Используем основное тригонометрическое тождество:
sin— =----
12	2
Уроки 2-3. Числовая окружность
11
№ 18
а) — + 2л£; k g Z;
4
6)5 + 2пк’, к е Z;
в) —+ 2лЛ; к е Z;
4
г) -3 + як, ке Z.
^ = (х + 1)2-3;
2.
А (-2,8; 1)
(Ответ\ х ~ -2,8; у ~ 1.)
Ход урока 3
I.	Проверка домашнего задания
1.	Найти на числовой окружности точку, которая соответствует
л	Зл	5л	я	2л	Зл	25л
заданному числу: —; —; —; —;--------;-----; ---.
12	8	8	3	3	4	4
Ответы. 1; I; II; IV; III; III; I.
2.	На доске записать решение задачи 8.
3.	В какой четверти расположена точка, соот-
ветствующая данному числу:	/
Зл . 5л. 5л.	25л. 16л. Зл	(____ )
Т’Т’ Т’ 6 ’ з ’ Т’	О у
Решить устно.	\	/
II.	Объяснение нового материала	d
1.	Правило 7 разобрать у доски в соответствии с учебником и с
записью в тетрадях.
а) ядро: 0 < t < —.
Аналитическая запись:
2тгк < t < л/2 + 2лк\ к е Z.
71
о) ядро: — < t < 2л.
12
Гпава I. Тригонометрические функции
Аналитическая запись:
— + Ink < t < 2 л + 2лА; k g Z.
2
III.	Закрепление изученного
№24
a)	i (2nk; — + 2лк ), к e z;
4
6)	t e. (-л + 2ттк\	+ 2 л к ), к g z;
в)	t g (~ + 27tk\ 2n + 2nk}, kez;
r) t e (~ + 2ттк\ я + 2тгЛ), к g z.
№ 27 (a, г)
а) дуга BD;
г)	дуга CL.
№ 28 (at г)
а) дуга BD;
г)	дуга KL.
IV.	Самостоятельная работа
Вариант I: № 21,27 (б), 28 (в).
Вариант II: № 22, 27 (в), 28 (б).
Ответы и решения:
Вариант I
№21. а) IV; б) II; в) II; г) III.
№27(6)
№ 28(e)
дуга МК
дуга А К
Вариант II
№22. а) IV; 6)1; в) II; г) III.
• Уроки 2-3. Числовая окружность
13
дуга BD
№ 28 (б)
Домашнее задание
1.	§2, №23, 26.
2.	При каких значениях х выражение >/9-8х-х2 имеет смысл?
та	х + 11
3.	Решить неравенство: ----------< 0.
(х-8)(Зх + 2)
Ответы и решения:
№23
a) III; б) II; в) IV; г) IV.
№26
a)	t е (л/4 + 2кк\ Зтс/4 + 2л£); к е z;
б)	t е (-л/4 + 2пк; -л/4 + 2кк); к е z\
в)	t е (—Зтг/4 + 2ти£; Зтг/4 + 2ик)\ kez;
г)	t е (тс/4 + 2тгАг; 5тт/4 + 2тг£); к е. z.
Дополнительные задания
1. >/9-8х-х2; 9 - 8х-х2 > 0; х2 + 8х - 9 < 0; (х- 1)(х + 9)<0.
Метод интервалов:
(Ответ: х е [-9; 1].)
х +11 Л Т1
2. ------------< 0. Используем метод интервалов.
. (х-8)(Зх + 2)
Найдем нули функции f(x) =------------ и D(f).
(х-8X3x4-2)
14
Гпава I. Тригонометрические функции
Урок 4. Урок-лекция с опорным конспектом темы
«Числовая окружность на координатной плоскости»
Цели: рассмотреть числовую окружность в декартовой системе
координат; учиться находить абсциссу и ординаты точек на окруж-
ности.
Ход урока
I.	Анализ самостоятельной работы
II.	Проверка домашнего задания
III.	Изучение нового материала
1.	Числовая окружность в декартовой прямоугольной системе ко-
ординат.
Для любой точки М (х; у) -1 <х < 1; -1 <у < 1.
2.	R = 1; х2 + у2 = 1 - уравнение окружности.
Макет 1
вине АВ) =>х = у;
х = у
х2 + у2 =1
Урок 4. Урок-лекция с опорным конспектом темы
15
Решим систему методом подстановки. Имеем |х| = -^=;
h ’2)
б) МЛ —). Так как во II четверти х < 0; у > 0, имеем
4
Л/2
V2.V2
2 ’ 2
, аналогично М3 ( — ): МЛ---—;-----
4	3	2	2
мА-
4
Полученные данные сводим в таблицу № 1 (см. учебник).
Макет 2
а)	МЛ—). М-зЛОМЛ3 : М,Р = -ОМ, =-, у = ~;
1 6	1	2	1 2	2
OP = +y]OM2 -MP1, ОР - ±.р-; так как х > 0 => х =	;
V4	2
Mt
/3 1
2 ’2
б)	Л/2(у). Д ОКМ2: Л/2(у): М2 -
2 2
3. Пример 1.
ч о ,45л. 45л 45	1П 5л _ с 5л
а) РА-----):-----= — л = 10л + — = 2л-5 + — =>
1 4	4	4	4	4
16
Гпава I. Тригонометрические функции
4. Пример 2.
7л _ , я _ , ,	1
----h2як < t < — 4-2як. к g z; у< —.
6	6	2
6. Примеры 6-7.
Урок 5. Решение типовых задач
17
/>-----;---+ 2nk<t<— + 2nk; k е z;
2	4	4
^2 Зл а , 5л	.
t<-----; — + 2itk<t<— + 2itk',kez.
2	4	4
IV. Итог урока
Домашнее задание
1. Из § 3 разобрать пример 1 (б, в, г); пример 3.
2. №29 (а); 30 (а); 31 (а); 32 (а).
Ответы и решения:
№29 (а)
№ 30 (а)
М(2л) = (1;0)
№ 32 (а)
о
Урок 5. Решение типовых задач
Цель: закрепить изучаемый материал в ходе решения задач.
Ход урока
I. Устная работа
1.№29 (в, г), 30 (б, г), 32 (б, г).
{Ответы.^-, у-); (0, 1); (0; 1); (-1;0);
7
I2
2. № 35 (а, в) по готовому чертежу на доске, № 36 (б, г).
{Ответы: 35 (а, в): а)
и
Г 2; 2)
t = — + 2лл; — + 2ли; в) (1; 0) и (-1; 0) / = л/г, n е z.)
4	4
18
Гпава I. Тригонометрические функции
3. № 37 (в), 38 (а; г).
№ 36 (б, г)
б) (0; 1); х = ^ + 2лк; k g z;
г) (0; -1); х = -у + 2лА; к <е z.
№37 (в)
(1; 0);j/ = 2ли; n е z.
№ 38 (а, г)
а) (0; 1) и (0; -1) у = + 2nn; n е z.
г) (-1; 0); у = л + 2лл; n е z.
II. Выполнение упражнений
\)№33(и,г)
a) M —
2 2
л
mm., .. = —; max.
+	6
Ня
6
; M ;—
2	2
7л	5л
min,... =—; max.. = —
6	'	6
№ 34 (a9 в)
а) М — ; —
2 2
и
; min,... - —; max.. .
3
5 л
—; M -
3
2	2
4л	2л
mnv.. = —; max.. „ =--.
3	’	3
№ 42 (e9 6)
б) х<0;~? + 2лл; M
1 л
в) у = 2’x > 0; 6+
№ 43 (a9 г)
a)
Урок 5. Решение типовых задач
19
Г)
71	71
а)х> 0; t е (-—+2т; — + 2т);
g z;
ч /X / ТЕ	Зя
г) х < 0; t е (— + 2т\ — + 2т );
G Z.
/'х	л/3 5л , 7л ,
б) х<----; te — + 2л£;— + 2itk
2 L 6	6
k g z.
x V3 л , л ,
в) x> — je — + 2л£;—+ 2л£ ;
2	[6	6 J
к g z.
№ 48 (б, г)
yJ~2 л _ ,	5 л ~	,
y>------; — + 2л£<г< — + 2л£; k^z.
2	4	4
V2	5л	_ ,	7л	_ , .
y<------; — + 2ля</< — + 2лл; к g z.
2	4	4
№ 49 (а, в)
y<—; ~— + 27ik<t< — + 2nk\k^z.
2	3	3
л/з л , 2л ,
y>—; —+ 2лА</< — + 2^;^gz.
2	3	3
III. Итог урока
Домашнее задание
1. § 3; № 33 (б; в); 34 (б, в) 48, 46 (а; г).
20
Гпава /. Тригонометрические функции
2. Сколько решений имеет система уравнений?
у = |+(х + 2)2-3|,
у = х3 4- 2.
Ответы и решения:
№ 33 (б, в) (7з Р б) М —;— : min + 1 2 2J . ,,( Л Й . в) М	: min + 1 2 2J № (б, г) ( 1 VP б) М —;— : min + : 1 2 2 J . л/1	• г) М —;	: min + : I2 2) № 48	11л	л =	; max _ = — ; 6	6 5л	7л = — ; max _ =	. 6 .	6 2л	4л = — ; max _ =	; 3	3 5л	л = — ; max _ = — . 3	3
х/2	5л а) у <—;	+ 2пк< 2	4	: t < — + 2л/:; к е z; 4
6)	+ 2лЛ 2	4	5л	, < t < — + 2лл; к е z; 4
.	х/2 п . . в)у>—; — + 2nk<t 2	4	Зл _ . . < — + 2лл; к е z; 4
.	х/2 5л „ , г) у <	; — + 2ик < 2	4	7л _ , , < — +-2л£; к е z. 4
№ 46 (и, г)
а) ,
2
ч л/3 л , 11л ,
а) х<—; Ге —+ 2лк;--+ 2лл ; k g z;
2	6	6
3
ч / V3 5я . . 5л ,1 ,
г)х<----; Ге----+ 2л£;— + 2лк ; k е z.
2	6	6
2 ’
Уроки 6-8. Синус и косинус
21
Дополнительное задание:
Уроки 6-8. Синус и косинус
Цели: дать определение синуса и косинуса числового аргумента;
изучить свойства синуса и косинуса.
Ход урока 6
I.	Упражнения устно
1.	Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = ~ и за-
писать, каким числам t они соответствуют.
II.	Изучение нового материала
1.	Ввести определение синуса и косинуса.
2.	Составить таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям ок-
ружности.
3.	Ввести равенство cos21 + sin21 - 1.
4.	Опираясь на макеты окружности, научить находить соответст-
вующие значения sin/и cos/ .
5.	Изучить свойства синуса и косинуса.
III.	Закрепление изученного материала
№ 50, 51 (выполнить, используя заранее заготовленные макеты
окружности в тетрадях и на доске).
22
Гпава I. Тригонометрические функции
№ 55 (а, б)
iz\ Л Л Л Л	Л _
б)	cos — ♦ cos — • cos—• cos— = 0, так как cos— = 0 .
6	4	3	2	2
№ 56 (а)
х . ( ЗкЛ Л 7гЛ . 7С Л л . ТС
a) sin----+cos — н-sin — -cos— + cos 0-sin — =
'	4 J 4)	4	2	2
.3л	it _ i i 41 y[l . ,
= -sin— + cos —+ 0 + 14 =--+ — +1 = 1.
4	4	2	2
№57 (a, 6)
a)	t = —. Найти: cos2z.
2
Решение:
cos 2/ = cos 2 • — = cos л = -1
I 2J
(Ответ’. -1.)
— \	Л TT “
6)	t = —. Наити sin — .
3	2
Решение:
. t . ( л 1A . ( л^ . л
sin — = sin----= sin — = - sin —
2 I 3 2j 6J 6
2 ‘
(Ответ’. -—.)
№ 59 (a, 6)
a) 2 sin /, так как -1 < sin t < t, to -2 < 2 sin t < 2 .
Значит, -2 - наименьшее значение выражения, 2
значение выражения.
6)3 + 4 cos t, так как -1 < cos t < 1 , то
-4 < 4cosr < 4 , а -1 < 4cos/ + 3 < 7
Значит, -1 - наименьшее значения выражения, 7
значение выражения.
№ 60 (а9 б) - устно.
№> 60 (в, г)
в) 1 + sin21 + cos21 =1 + 1 - cos21 + cos21 - 2 ;
найбольшее
наибольшее
Уроки 6-8. Синус и косинус
23
г) sin t - sin t cos21 = sin /(1 - cos2 /) = sin t • sin21 = sin31.
№ 61 (a)
a) (sin t- cos/)2 4-2 sin/cos/ - sin21 - 2 sin/cos / + cos2 / +
+2sin / cos/ = sin2 / + cos2 / = 1.
№ 73 (a, 6)
4 sin2/ 1 - cos21 (l-cos/)(l + cos/) i
a)---------=----------=	= 1 -cos/;
14-cos/ 14-cos/ 1 + cos/
6)	sin4 / +cos4 Z + 2sin2 /cos21 = (sin214-cos2 Z)2 = 1.
Домашнее задание
№ 52, 55 (в, г).
№ 56 (б), 59 (в).
Ход урока 7
Цель: выработать у учащихся умения решать простейшие триго-
нометрические уравнения.
I. Упражнения устно 1. Вычислить sin/	и cos /,если:
а) / = 0 ;	л	ч 5л б) t = -;	в) t = — 4	4
г) / = -20л;	. 5л	. 7л д)/ = —;	е) z = ——• 6	4
2. Определить знак числа: sin 2; sin3; cos(-5); cos 7.
IL Изучение нового материала
Решение простейших тригонометрических уравнений,
sin/ = 0,	cos/ = 0,
1	1
sin/ = —,	cos/ = —,
2	2
V2	. V2
cos / ---,	sin t ----.
2	2
(обязательно с использованием числовой окружности)
III. Решение упражнений
Ле 63 (а, б) ft
1 7Г
a) cos t = —;	б) sin / = — ,/.= — 4- 2лп, neZ.
2	2'6
24
Гпава I. Тригонометрические функции
№64 (б, г)
б) cos г = л/з , так как Vi > 1, то уравнение решений не имеет.
ч	71	71	, z	v
г) cos/ = —, так как — > 1, 3	3 не имеет. № 67 (в, г) /У в) l-2sin/ = 0; 2sin t = 1; 1 sin/=—; 2 71 Л = —+ 2ли,и 6 Z. 1	6 5тг /? = — -1- 2 ли, n G Z. 2	6 r) 2cos/ + l = 0; 1 cos/ = —; 2 / = ± —+ 2л£,А g Z. 3 № 74 (a, 6) . ) 10sinr = V?5;	(л-3,14), то уравнение решении .4 5л S 2 \ 71 6 /	\б — 4 3^	 1 2	] 2л ' У
Уроки 6-8. Синус и косинус
25
• ,
sin t -----;
10
Л
sin t = —.
2
Л
л = — + 2пп, neZ.
1 3
х 2л _	_
= — 4- 2ли, п G Z.
“	3
б) д/8 sin / + 2 = 0;
2
sin z = —
V8
2
Sin t =----T=\
V2
1
sinZ - —= ;
V2
Л
sinZ = ----.
2
5л _
t ----+ 2ЛИ, n G Z.
1	4
7л _	_
= — + 2Tin, neZ.
4
M 75 (a, 6) 3f
a) sin2 — + cos2 — - V2 sin Z = 0;
8	8
1 — л/2 sin r = 0;
л/2 sin / = 1;
1
V2
sin/ -----.
2
71
f, = — + 2itn, n g Z.
1 4
3л _	_
/э = — + 2nn, neZ.
~	4
26
Гпава I. Тригонометрические функции
/ <	9	э
б) j— cost = cos“ 1 -+ sirr 1,
cos; = I: -}=г,	/
7з	——
75	\
cosz =—,	\
2	\
t = ± — + 2nk, k е Z.
6
32 № 76 (а)
a) |sin/| = 1,
sin Г = -1,
t = — + 2кк, к е Z.
2
sinY = 1,
И	71
t = — + 2itk, к e Z (или t = ~ + nk,k e Z ).
№ 79
a) cos2-(2x-l) < 0.
Так как cos2 < 0, то получим: 2x-l > 0, x > —
я
6
(Ответ'. — ;+оо .)
Домашнее задание
№ 64 (а, в), 67 (а, б), 68 (a), 74 (в).
11-
Ход урока 8
Цель: выработать у учащихся умения решать простейшие триго-
нометрические неравенства.
I. Самостоятельная работа
Вариант I
1. Решить уравнения:
Вариант II
a) sin / =------,
2
Уроки 6-8. Синус и косинус
27
б) cos Г =--,
2
2.	Упростить выражения:
a)	sin(7t + г);
б)	tg/cosr;
б) cosr = —.
2
a)	cos(rc + z);
б)	ctgf-sinr
П. Изучение нового материала
Для объяснения новой темы использовать макеты числовых ок-
ружностей.
№87 (а)
sin г > 0;
0 + 2я£ < t < 7г + 2л&, k g Z;
2пк <t <7t + 2Ttk, к eZ.
№ 88 (а)
cost > 0;
-— + 2пк <t < — + 2пк, к е Z.
2	2
№ 89 (а, б)
1
a)	sinf < —;
2
— + 2nk<t < — + 2пк,к eZ.
6	6
6)	sinf >---
2
+ 2itk < t <— + 2ик, к eZ.
4	4
28
Глава I. Тригонометрические функции
№ 90 (a, б)
a) cosz >
2
- — + Ink < г < —+ 2л, A' g Z.
6	6
№91
a) sin z < —;
2
- —+ 2лА < t < — + 2 л A, k g Z.
6	6
Ученики выполняют самостоятельно № 91 (в, г) с последующей
проверкой у доски.
Домашнее задание
№87 (в), 88 (в), 89 (в, г), 90 (в, г).
Уроки 9-10. Тангенс и котангенс
29
Уроки 9-10. Тангенс и котангенс
Цели: дать определение тангенса и котангенса числового аргу-
мента; закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.
Ход урока 9
I.	Закрепление изученного материала
1.	Повторить определение синуса и косинуса а (а - угол или
число).
2.	Разобрать таблицу значений sin а и cos ос, где 0 < а < 2л.
II.	Изучение нового материала
1.	Определение', отношение синуса числа / к косинусу того же
числа называют тангенсом / и обозначают tg t. Отношение косинуса
числа t называют котангенсом числа t и обозначают ctg t.
sin г	cos/	л	, ,
tg / =--; ctg t =---; t * — + ilk, k e z; t Ф nk, k e z.
cos/	sin/	2
2.	Таблица знаков для тангенса и котангенса:
Четверти окружности	1-я	2-я	З-я	4-я
tg t, ctg /	+	-	+	-
3.	Решение примеров.
Рассмотреть решение примера № 1 по учебнику.
№ 96 (а, г)
ч	Л Л
a)tg-ctgy =1;
ч Л Л
r)7tg—-ctg — =7.
№ 97(a)
-> 2л	2л
tg 2,5 • ctg 2,5 + cos^tt -sin-cos— = 1 +1 -1 = 1.
6	8	8
№ 98 (и, г)
6л „
a) tg — < 0;
Пл „
Г) ctg —>0.
№ 99 (б, в)
30
Глава I. Тригонометрические функции
cos t
sin / • “—~= cos t.
sin t
в)	cos t • tg t = sin /;
sin t
cos t •---- = sin t,
cos t
Домашнее задание
№ 97 (б); 99 (а; г); 100 (б, г).
Ход урока 10
I.	Проверка домашнего задания
1.	Фронтальный опрос класса.
2.	Выполнение на доске № 96 (в, г), № 97 (б)
II.	Изучение нового материала
1.	Вместе с классом составить таблицу основных значений тан-
a)	tg (-/) = -tg z;	ctg (-z) = - ctg z.
6)	tg (z + л) = tg z;	ctg (z + Л) = ctg z.
(класс доказывает самостоятельно)
Для tg и ctg выполняются и такие равенства:
в)	tg (z + nk) = tg z;	ctg (г + л/с) = ctg t.
2.	Решение примеров.
Разобрать пример 2 (по учебнику).
№ 92 (а, б)
a)	tg-r- = tg(n + -) = tg- = 1;
ч	44
Уроки 9-10. Тангенс и котангенс
31
471	/ К х л V3
б)	ctg — = ctg(K + y)= ctg— =—.
№ 93 (в, г)
. „ , л	л	х/з
в)	tg (-—) =-tg	;
о	о	5
х / 2л.	. 2л.	. л. >/з
г)	Ctg(-y ) = -Ctg(y ) = -Ctg(7C- ~ )= —.
№ 94 (б, г)
, л .	. л ч х/з х/з
б) ctg(-) tg(-)=— —
3 о 3	3
3’
Г) tg(^) + ctg(-^) = tg(2n + ^)+ 1 =tg^ + 1 = 1 + 1 =2.
4	4	4	4
№ 95 (в, г)
ч э • 2Е л 1	х/з х/з 1 /г 3 х/3 3-х
3	62 UJ 222	22	2
г)	2 tg 0 + 8 cos y-6sin?=2-0 + 8*0-6-= -3 л/з.
з	2
№101
. л	л
Sin--СО5Л-^—
4_________4 =Y£-
п . л . Зл 4
2 sin — sin —
6	2
. Л	л	72
sin — cosл-tg— — + 1-1
4______L4.	= _2___
. л ,3л	_ 1 .
2 sin — sin—	-2- —+ 1
6	2	2
III. Самостоятельная работа
Вариант Г. № 102 (а, г), 104 (а, в).
Вариант II: № 102 (б, в), 104 (б, г).
№ 102
5л 25л
a) cos "q" - tg < 0; б) tg 1 - cos 2 > 0;
32
Гпава I. Тригонометрические функции
в) sin Yq - ctg у > 0; г) sin 2 - ctg 5,5 >0.
№104
а)	1 + tg1 2/ = cos'2/;
, э , sin2/ cos2/ +sin2/ 1
1 + tg~t = 1 +-— =-------;-----=-------— = cos “ /;
cos / cos"/ cos"/
6)	1 + ctg2/ = sin'2/ (аналогично);
X •	/1 . x 2 X 1	• 2 /1 . 2x •	, sin2 Z + COS2 t 4	,
в)	sm"Z (1 + ctg t) = 1; sin t (1 + ctg /) = sin7 (-;---) = 1;
cos" t
r) cos2/ (1 + tg2/) = 1 (аналогично).
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 105, 106.
Уроки 11—12. Тригонометрические функции
числового аргумента
Цели: дать определение тригонометрических функций числового
аргумента; доказать соотношения между этими функциями; закре-
пить изученное в ходе выполнения упражнений.
Ход урока 11
L Проверка домашнего задания
II.	Закрепление изученного материала
1.	Вспомнить некоторые соотношения, изученные раньше:
• 2	2	2 sin/	71
sin t + cos t = 1; tg t =- при t * — 4- лк;
cosz	2
2 COS t
ctg / =--- при t * лк;
sin/
2.	Доказать формулы:
t	g / • ctg / = 1 при / уД e z;
1	2	1	^k ,
1	+ tg - —г при / Ф ~z“, k g z;
b cos t H 2 ’
1 + ctg2/ = • при / * ilk, k e z.
b sin t r
Уроки 11-12. Тригонометрические функции числового аргумента 3‘
Вывод: все полученные формулы используются в тех случаях,
когда при заданном значении какой-либо тригонометрической функ-
ции требуется вычислить значения остальных тригонометрических
функций.
3.	Самостоятельное решение примеров 1 и 2 по учебнику.
III, Решение примеров
№ 110 (а, б)
а)	1 - sin2/ = cos2/;
б)	cos'/ - I = - sin /.
№111 (в, г)
в)	(1 - cos /) (1 + cos /) = 1 - cos2/ = sin2/;
г)	sin2/ + 2 cos2/ - 1 = sin2/ + 2 cos2/ - sin2/ - cos2/ = cos2/.
№ 112 (a, 6)
1	,	1 — cos2/ sin2/ э
a)		;--1=-----,— =-----=
COS' /	COS"	/ cos /
1-	sin2/	cos2/
6)	---— =---------—	= 1.
COS' /	cos /
№ 115 (в, г)
4 sin4/-cos4/ (sin2/-cos2/)(sin2/ + cos2/) .
в)	—------— =--------------------;--------= 1.
sin' / - cos' /	(sin- / - cos' /)
№ 116 (б, г)
5 тс
6) sin t = —; 0 < t <	1 G I четверти.
r-----—	[	25	/144	12	5	12	5
cos / = x/1 — sin' / = JI--= J----= —; tg / = 77; 77 = 77;
V	169	V169	13	13	13	12
12
ctg/=y;
r) sin/ = - 0,25, 7t < / < y-, / g III четверти;
cosz = -J-(-0,25)2 = = -,/1-0,0625 =-^;
№ 117(e)
3л
в) cos / = 0,6; ~ < t < 2л, t g IV четверти.
2 Л. А. Обухова и др.
34
Гпава /. Тригонометрические функции
sint - -Jl -0,36 - -Jo,64 = -0,8; tg t = —7ГТ = -т = -т; ctg t = - —.
v	v	° U,o о 3	° д
№ 118 (6)
6) tg t = 2,4; я < t < y; t g III четверти.
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 119 (г), 118 (г), 117(a), 115(6).
Ход урока 12
I.	Проверка домашнего задания
1.	Один ученик доказывает формулы у доски.
2.	Класс решает № 121 (а).
№ 121 (а)
cos/-sin/-cos/+1 cos/-cos/+ 1	1
ctg/ -	1  ------------------------:------= -—.
sinZ	sin/	sin/ sin/
a)	(1 - cos /) (1 + cos /) = 1 - cos"/ = sin"/;
Уроки 11-12. Тригонометрические функции числового аргумента 35
о	о	о 1	/—
б)	sin 30 ctg 30--cos 30 = у V3 -
—- = 0;
2
в)	cos2a tg2a + sin2a-ctg2a = sin2a + cos2cc = 1;
(1 - sin 30°) (1 + sin 30 ) + (1 + cos 30°) (1 - cos 30°) =
= 1 - sin230°+ 1 - cos230°= 2 - (sin230°+ + cos230°) = 2-1 = 1.
IL Самостоятельная работа
№ 122 (в)
cost cosz _ cosz(l-sinz) + cosz(l + sinz) _
1	+ sin t 1 —sinz	(1 + sinz) (1-sinz)
_ cosz(l-sinz + l + sinz) _ 2cosz _ 2
1-	sin2z	cos2 Z cosz
№ 123 (a)
(3 sin z + 4 cos z)2 + (4 sin Z - 3 cos Z)2 = 9sin2 Z + 24sin z cosZ +16cos2 Z +
-4-16sin2 z-24sinzcosz + 9cos2 Z = 25sin2 z + 25cos2 Z = 25.
№ 124 (6)
2	cos2 z
cos2 Z-Ctg2Z _ C0S Sin2 z _ (sin2 Zcos2 Z-cos2 Z)-cos2 Z _
sin2Z-tg2Z . 9 sin2 Z sin2 z-(sin2 Zcos2 Z-sin2 z)
COS" t
_ cos2 Z(sin2 Z - 1) • cos2 Z _ cos2 Z • (- cos2 Z) • cos2 Z _ - COS6 Z _	6/
sin2 z sin2 z(cos2 Z —1) sin2 Z-sin2 z -(-sin2 z) -sin6 Z
№ 125 (a)
tgZ	. Э
---£----= sin“ z;
tgz + ctgz
sinz
tgZ _ COSZ _ sinz-sinz-COSZ
tgz + Ctgz	sinz [ COSZ COSZ (sin2 Z + COS2 z)
cosz sinz
№ 126 (6)
sinz 4
(sinz +----)cosz
sinz + tgz	sinz + tgz _ v cos/
-- 1 I Lvd I	--
tgz	tgz	sin Z
(sin z cos z + sinz) cosz sinz(l + cosz)
= ---------------------=------—-------= 1 + cos z.
cosz sinz	sinz
2’
36
Гпава I. Тригонометрические функции
II. Самостоятельная работа
Смотри приложение
Вариант Г.№ 121 (в), 122 (а), 126 (в).
Вариант II: № 121 (г), 122 (г), 126 (г).
Ответы и решения:
№ 121 (в, г)
в) cos2/ - (ctg2/ + 1) • sin2/ = cos2/ - cos2/ - sin2/ = -sin2/;
4 sin2/-1	-cos2/ , cos2 / + sin2/ 1
r)---;----- + tg/ • ctg/ = —— +1 =-—-----= ——
cos“ t -1	-sin /	sin“/ sin /
№ 122 (а, г)
sin/ + sin/ _ sin/(l-cos/) + sin/(l+ cos/) _
1 + cos/ 1- cos/ (l + cos/)(l-cos/)
sin/-sin / cos/+ sin/ +sin/cos/	2sin/ _ 2
sin2/ sin/
7
1-cos /
sin/ +]
r) tg/ + l _ cosj _ (sin/ +cos/)-sin/
1 + ctg/
cos/
sin/
cos / - (sin/+ cos/)
sin/
-----= tg/.
cos/
№ 126 (в, г)
4 1-sin/
в)---------
cos/
cos/ 1 + sin/
1-sin2 / - cos2 /
1-sin/	cos/ _ (1 - sin/)(1 + sin/) - cos2 / _
1 + sin/ cos/(1 + sin/)
cos/
-0.
cos/(l + sin/) cos/(l + sin/)
sin i 1 + cos /
1 - cos / sin / ’
7
sin/ -1 + cos/ _ sin“ / -(1 + cos/)(l - cos/) _
1-cos/ sin/
sin /-1 + cos /
sin/(1 - cos/)
= 0.
sin/(1-cos/) sin/(1-cos/)
0
0
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 125 (б, в, г), 123 (б, в, г).
Уроки 13-14. Тригонометрические функции углового аргумента 37
Уроки 13-14. Тригонометрические функции
углового аргумента
Цели: повторить изученные ранее единицы измерения угловых
величин; ввести понятия радиана: переход от градусной меры к ра-
дианной и наоборот.
Ход урока 13
I.	Закрепление изученного материала
Повторить определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
из курса геометрии.
II.	Изучение нового материала
1.	Связь между, sin, cos, tg и ctg угла и числа.
2.	Определение угла в 1 рад. и 1°.
3.	Формулы перехода от градусной меры к радианной и наоборот.
л	180°
1° =---рад.;	1 рад. =---;	1 рад. ® 57,3°;
180	я	F
1°« 1,57 рад.
4.	Доказательство теоремы о том, что определение синуса, коси-
нуса, тангенса и котангенса, которые изучались в геометрии,
представляют собой частные случаи тех определений, которые
были предложены на предыдущих уроках.
Подвести учащихся к изучению формул приведения.
III.	Закрепление изученного материала
№ 13 5 (б, г)
а)120°=т?х- 120=^ = ^; б) 220°=• 220 =	”
1 ОМ	10 Э	1 ои	10 У
п 30 71 571	71	Ti-765 17 71
B)3(X>-=W3°°—jg-.-;	r)765--Tg5 765—
№ 138 (а-г)
б)	Ze = 7.122.=
12	12
r)ZZE = ZZ_12£.940o,
9	9
3
a) x = 2 tg a; 6) x = 4 cos ос; в) x = cqs x = ctg a.
a) — =--------= 112,5°;
8	8
11я = 1Г180 = 1
12	12
№144 (устно)
38
Глава I. Тригонометрические функции
№145
2
а) х = —= 4
2
в)	х = ——
sin 60
IV.	Итог урока
Домашнее задание
№ 137, 140.
г) — — cos 60 х = 1.
2	2
Ход урока 14
I.	Проверка домашнего задания. Опрос
II.	Математический диктант
1.	В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза С и ост-
рый угол а°. Найдите катеты, площадь треугольника и радиус
описанной окружности:
а)	С = 12, а = 60°, a = С cos а = 12 cos 60°= 12^=6;
ab = = 2 • 6 • 6л/з - 18>/з; R = у = “ = 6;
V2 Г
б)	С = 6, а = 45°; я = 6-cos450° = 6-——= 3V2;
2
Z> = 6 sin 45° =3^2; S = —-3^2-ЗЛ = 9; R=r=3;
2	2
в)	С = 6, а = 30°, n = 4cos30° = 4 —= 2^3;
2
6 = 4sin30°= 4—= 2; 5 = --2-2у[з = 2>/3; Я =4=2.
2	2	2
2.	Расположите в порядке возрастания числа.
а)	1, sin 1, cos 1, tg 1 - cos 1, sin 1, 1, tg 1;
6)	2, sin 2, cos 2, ctg 2 - ctg 2, cos 2, sin 2, 2.
3.	Определите знак выражения.
a)	sinl • cos2 • tg3 • ctg4 > 0, так как sin 1 > 0, cos 2 < 0, tg 3 < 0,
ctg 4 > 0;
Уроки 13-14. Тригонометрические функции углового аргумента 39
б)	sin(-5) • cos(-6) • tg(—7) • ctg(-8) < 0, так как sin(-5) > О,
cos(-6) > О, tg(—7) < О, ctg(—8) > О.
III.	Решение задач
I.	Решение заданий с классом.
№ 109 (б)
(2? - 72) < О, так как	> О, ГО - 72) < 0.
sin 1	7	sin 1	v '
2? - 72 < 0. ?< 36, |x| <6,x e (-6;-6).
(Ответ'. (- 6; - 6).)
№127 (a)
(sin/ + cos/)2-1 э (sin/ + cos/)2-1
-------:------= 2tg7; -------:-------= 2tg7 =
ctg/-sin/cos/	ctg/-sin/cos/
_ sin2 / + 2sin/cos/ + cos2/-1 _ 2sin/cos/ sinz _ 2sin2/cos/
cos/ .	cos/-sin2/cos/ cos/(l-sin2/)
-----sin/cos/	v 7
sin/
2sin2/cos/ 2
=---------~ = 2/g2/.
cos/-cos t
№ 128 (a)
3	71
sin(4 я + /) = y, 0 < / < -у Вычислить: tg(7i - /).
[.	9	/Тб	4	sin/	3
sin(4 7i + /) = sin/ = 3/5; cos/ = JI-= J— = —; tg/ =----= —;
V	25	v 25	5	cos/	4
3	3	3
tg (“0 = - Б tg (ti - t) = —-. (Ответ: --.)
4	4	4
№132
Дано: sin t cos t = - 0,5.
Вычислить: sin4/ + cos4/.
Решение: sin4/ + cos4/ =1-2 sin2/ + cos2/ = l- 2- |= l-^ = ^.
№133
tg/- — = - —, так как 0 < / <?, то tg 10. 12 tg2/ + 7 tg /- 12 = 0,
tg/ 12	2
25	32	3
£> = 49 + 576 = 625. tg/ = -7± —; tg/=----=--------не подходит,
24	24	4
40
Гпава I. Тригонометрические функции
n	п 25	18	3
так как tg / > 0; tg/ = -7 ± — - — = —
24 24	4
I	16	3	.	4	3	7
sin / = 1---= —; sin t + cos /=7 + 7 = 7.
V	25	5	5	5	5
7
{Ответ’. у.)
№ 134 (в, г)
в) у = sin2 л/х + cos2 />/х = 1. х > 0.
3	4
tgr = 4 => cos/ = -,
IV.	Итог урока
Домашнее задание
№ 134 (а, б) 131, 130 (б).
Уроки 15-16. Формулы приведения
41
Уроки 15-16. Формулы приведения
Цели: познакомить с формулами приведения; развивать матема-
тическое мышление; воспитывать познавательную активность.
Ход уроков
I.	Закрепление изученного материала
II.	Устные упражнения
1.	Определите знак (+ или -) sin 120°, sin 240°, sin 310° sin (- 30°);
cos 110°, cos 225°, cos 300°, cos (- 60°), tg 145°, tg 135°, tg 200°,
ctg (-50°).
л л л Зл 5л
2.	Переведите в градусную меру: j;
3.	Переведите в радианную меру 30°, 180°, 90°, 60°, 45°.
4.	Назовите значение sin, cos, tg, ctg для 0°, 90°, 180°, 270°.
III.	Изучение нового материала
Выражение вида sin(^)±r, cos (л ± Г), то есть, если под знаком
тригонометрической формулы содержится выражение вида (на доске
л	Зл
2 ± t, л ± ~ ± г), то это выражение можно упростить.
Понаблюдаем и сделаем вывод (на доске запись):
sin (л + t) = -sin t	sin (*2 + t) = cos t
cos (л + /) = -cos t	Л . cos (^ -t) = Sin t
sin (л - t) = sin t	3л tg (— + t) = -ctg t
tg (2л +1) = tg t	.ЗЛ X ctg (— + 0 = -tg t
Найдем значения выражений. 1. Сравните название функций левой и правой части. 2. Знаки левой и правой части	1 -го и 2-го столбика I -го столбика 2-го столбика
Выводы:
I) если под знаком преобразуемой функции содержится сумма
аргументов вида л ± /, 2л ± Z, то наименование функции со-
храняется:
42
Гпава /. Тригонометрические функции
2)	если под знаком преобразуемой функции содержится сумма
я Зя
аргументов вида у ± г, ~ ± /, то наименование функции меня-
ется на родственное: sin на cos и tg на ctg;
3)	перед полученной функцией от аргумента t надо поставить гот
знак, который имела бы преобразуемая функция при условии
я
0<z<y.
Это правило используется и в тех случаях, когда аргумент задан в
градусах.
Примеры:
cos (я + г);	tg (у+ Г);
Зя
sin (у + /);	ctg (90 - t).
IV.	Закрепление изученного материала
Устно № 151-154 («по цепочке» с подробным объяснением).
f № 151
a) sin (у+" г) = cos t.
Название функции меняем; (у-^-г) - угол If четв., sinz в 1^четв. Ф.
г) sin (я + /) = - sin t
Название формулы не меняем; (я + г) - угол III четв., sinz в III
четв.©.
J № 154
в) tg (270°+ а) = - ctgoc;
г) ctg (360 + а) = ctga.
= sin(270° - 30°) = - cos 30° = -
л/3
a) sin 240° = sin(180°+60°) = - sin 60° = - у или sin 240° =
л,
2 ’
i ) ctg 315° = ctg(270° + 45°) = -tg 45°= - 1 или ctg 315° =
= ctg (360°- 45°) = -ctg 45° = -1.
Z № 156
5я 6я я	яч 1
a) cosy = cos(y - у) = соз(2я - у) = у;
Уроки 15-16. Формулы приведения
43
эГ	of	Зл^
tg" t— cos" \ t-----
I 2J I	2 J
/	7Г я 1
г) cos(-~) = cos(2ti + у) = cosy = у
№157
a) cos630° - sinl470° - ctg 1125° = cos270° - sin(360° • 4 + 30°) -
-ctg45°=0-|- 1 =-l|;
za	/ 49лч z 21ti	. 49л
г) cos(-9k ) + 2 sin(-~y~) - ctg(-“y—) = cos9k - 2 sin~y +
4-	Ctg(7C + y) = 1 - 2 • | + 1 = - 1.
№ 162 (6)
 ->(	3л	4
sirr \ t--cos(2k-/)	2
I 2 J	cos r-cosr
= cosz; —------— = cos/;
ctg / - sin" t
cosJ t
------------= cosz.
COS" I . Э
—— -Sin" t
sin" t
165 (г)
7Г	1
3sin(— + r)-cos(2ft + z) = 1; 3 cosz-cosz = 1; 2cosz = 1; cosz = —;
t = ± — + 2nk, k e Z.
3
167(6)
sin2(K + t) + cos2(2k - Z) = 1; sin2Z + cos2r = 1; t e R.
V.	Самостоятельная работа
Вариант Г. № 158 а; 159 а, в; 160 а; 161 а; 163 а; 164 а; 165 а.
Вариант II 158 6; 159 6, г; 160 6; 161 6; 163 6; 164 6; 166 6.
VI.	Итоги урока
Ответы и решения:
Вариант L	Вариант II
№ 158
a)	sin(90° - а) + cos( 180° + а) +	6) sin(y + t) - cos( л - /) -г
44
Глава I. Тригонометрические функции
+ tg(270° + а) + ctg (360° + а) =
= cosa + (-cosa) - ctg а +
+ ctg а = 0.
+ tg(n -1) + Ctg(— - /) =
= cosz + cosz + (-tg z) +
+ tg z = 2 cos z.
№159
a)
cos(l 80 + а) • cos(-a)
sin(-a)sin(90 + a)
sin(-a)ctg (-a)
cos(360 - a) • tg( 180 + a)
-cos a cos a
=-------------= ctga;
-sin a cos a
. sin(7T-Z)-COS(27l-r)
в) ---------------------=
tg(7l-z) -COS(7U-r)
- sin a( - ctg a) cos a
------ --—- =-----=ctga;
cosatga sin a
sin(7r + Z)-sin(27t + Z)
z \ z Зти .
tg(zr + t)cos(— + /)
sinz - cos t
-------------= cosz;
-tgZ-(-COSZ)
-sinz - sinz
------------= - cosz.
tgZ-(+sinZ)
№160
cos(ti-z) + cos(— -z)
a)		1---------------------
sin(2 л - Z) - sin(— ~ 0
Sin (714-Z)sin“ (-Z)
6)	 	—---------—tg(n-z)=.
Sin(7l-Z)
-cosz + sin/
-sinz + cosz
№161
	X
a)
cos(n + Z) tg(|r + 0
—tgz (-cosz) ,
——  /------r =
-cosz (-Ctg/)
tg z tg / = tg2/.
sin2Z + cos2Z z
------:--------(-tgz) =
sinz
_ 1	( sinZ)_ 1
sinz cosZ cosZ
sin(ji-Z) Ct^2
sin(-Z)
sinz tgz cosz
---------------------= sin z;
tgz (-ctg/) -sinz
sin z
COS Z •----- = sin Z.
cos z
Уроки 15-16. Формулы приведения
45
№163 (а, б)
Вариант I
11 cos287 -25sin557 _ 1 lcos(270 4-17 )-25sin(3-180L+17^)
sinl7J	sin 17
11 sin 17 4-25sinl7
--------------------= 36.
sin 17°
Вариант II
6)	13sin469°-8cos341°	13sin(450 +19 )-8cos(360(-19°)
cos19°	cos 19
13cosl9°-8cosl9° _5
cos 19°
№ 164 (a, 6)
Вариант I
_	1 1Л o . 13л
2 cos--4-8 sin---
a) ------5--------1».,
Л
cos —
5
_ л o . ,15л 2лх
2 cos — 4-8sin(----)
5	10 10
я
cos —
5
Вариант II
_ . 5л _	25л
5 sin---ь 2 cos--
7.2„ 14 -
sin —
7
_ . 7л 2л. п ,21л 4лч
5 sin(----) 4- 2 co.s(-4- —)
к7 7	14 14
. 2л
sin—
7
2 cos — 4-8(—cos —)
----------------^- = -6.
я
cos —
5
2л (	2л Y
5 sin — 4- +2 sin —
_____1-1_________l2=7.
. 2л
sin —
7
№ 165 (a)
a)	2 со8(2л + z) + sin(^ 4-1) = 3
2 cosz 4- cosz = 3
3 cosz = 3
№ 166 (б)
б)	8Ш(2л + z) - cos(^ - Z ) +
4- зт(л - Z) = 1
sin z - sin z + sin z = 1
cosz = 1
Z = 2л£;
sin z = 1
z = 2 + 2лА.
Домашнее задание
№ 162 (a), 165 (а, б, в), 166 (б), 167 (a).
/3
46
Гпава I. Тригонометрические функции
Уроки 17-18. Функция у = sinx, ее свойства и график
Цели: изучить функцию у = sin х; научить строить график функ-
ции у = sin х.
Ход уроков
I.	Повторение изученного материала
1.	Выполнение № 168, 169, 171.
2.	Назовите формулы, которые задали графики. (На доске чер-
теж, справа формулы.)
б) у = Vx;
в) у = х2;
3.	Назовите координаты вершин параболы у = (х - 2)2 + 3.
4.	Назовите промежутки возрастания, убывания функций (III и
IV), точки min, max.
II.	Изучение нового материала
Рассмотрим свойства функции у = sin х.
l)D(/) = (-cc; + ^).
2)	sin (- х) = - sin х => sin х - нечетная функция, график симмет-
ричен относительно начала координат.
3)	Функция возрастает на [0;^], убывает на
[—; л], или функция у = sin х возрастает
Уроки 17-18. Функция у = sinx, ее свойства и график
47
г Я ~ 1 Л 1 п г-	.-7Г	_ , 371	_
на [-—+ 2лк; —+ 2як], убывает на [— + 2як;— + 2лл'], где
k е z.
4)	Значение функции: - 1 <sinx< 1 (ограниченная сверху и сни-
зу);
5)/(х) = - 1 - min,/(х) = 1 - max;
6)	График.
Таблица значений (заранее подготовлена верхняя строка,
заполняем нижнюю):
а) На основании свойства нечетности строим симметрично
относительно 0.
б) На основании свойства sin (2 л + х) = sin х получаем.
7) Область значений функции: Е (/) е [— 1, 1 ].
48	Гпава /. Тригонометрические функции
III.	Закрепление изученного материала
1)	Пример 1; 3 рассмотреть по учебнику.
71
2)	Пример 2. Построить график у = sin (х - у) + 2 (построение на
доске).
а) строим вспомогательную систему координат с началом (у; 2);
№177(6)
Построить график функции у = -sin х + 3.
1)	строим вспомогательную систему координат с началом (0; 3);
2)	строим в новой системе график у = sin х;
3)	строим график симметрично относительно оси ОХ.
Уроки 17-18. Функция у = sinx, ее свойства и график
49
№ 182 (б)
№ 187 (б)
№ 189 (г)
f(x) = л'3- sin х; f (х) = (—л*)3— sin (-х) = -х3+ sin х => f(x) = -f (х) =>
/(х) - нечетная.
№190
f (х) = 2х2 - х + 1;
/(sinx) = 2sin2x - sinx + 1 =2(1 - cos2x) - sinx + 1 = 3 - 2 cos2x - sin x.
№193
50
Гпава /. Тригонометрические функции
IV.	Самостоятельная работа
Уровень I
Вариант I. 174 а, г; 175 а; 176 а; 178 а; 179.
Вариант II. 174 б, в; 175 б; 176 б; 178 б; 180.
Уровень II
Вариант Г. 185 а, г; 186 а, в; 192; 188 а, г.
Вариант II. 185 в, б; 186 б, г; 194; 188 б, в.
V.	Итог урока
Домашнее задание
№ 175 в, г; 181 в, г; 184 а, г.
Ответы и решения:
Уровень I
Вариант I	Вариант II
№174 (а, г)	№174 (б, в)
Уроки 17-18, Функция у - sinx, ее свойства и график
51
№176 (а)	№176(6)
№180
№179
fsinx, -7i<x<0
= i I—	„
[ д/х, х > О
а)	/(~) = -1;
б)	/(О) = О;
в)	/(л2) = л.
/(*) =
х < О
sin х, О < х < л
а) /(-2) = -^;
/(О) = О;
52
Гпава I. Тригонометрические функции
Вариант I
№ 185 (а, г)
Уровень II
Вариант II
№ 185 (б, в)
у = -sin(x-£) + 2.
№ 186 (б, г)
2х + 2я,
у = < sin х, -л < х < О
а)/(-тс-2) = 4;
Уроки 19-20. Функция у = cosx, ее свойства и график
53
_ г/ \ я
o)/(-^) = sinp
в)/(2) = -4.
№ 188 (а, г)
a) /W = x5sin
f(-x) = (-х)5- sin = 5 • sin ;
/(х) =/(-х) =>/(х) - четная.
г) f (х) = sin2x - х4;
f(-х) = sin2 (-х) - (-х)4 = sin2x - х4
/(х) =/(-•*) => /(х) - четная.
/(6)= 1;
/(- л -2) - не существует.
№ 188 (б, в)
ч sin2x
б) /(х) = -7—
sin2(-x) _ sin2 х
J ~(-х)2-1 ” х2-1 ’
/(х) =/(~х) =>/(х) - четная.
2 sin —
в) /(х) = —;
2sin(—) 2 sin-
д_х) =______^_ =______2.
П '	(-х)3 х3 ’
f W =/(~*) =>/W - четная..
Уроки 19-20. Функция у = cosx, ее свойства и график
Цели: изучить функцию у = cosa*; научить строить график функ-
ции у = cosa; развивать математическое мышление; воспитывать во-
лю, любознательность.
Ход уроков
I.	Проверка домашнего задания
II.	Повторение изученного материала
Построить график функции:
.у = sin(x--)-2;
J2 = sin(x + -).
III.	Математический диктант
1.	Дана функция f (х) = cos х, найдите:
а)/ф = 0;	б)/(-у) = 0;
5л х/з
а)/(—) = ^-;	б)/(-л) = 0.
о 2
54
Гпава I. Тригонометрические функции
2.	Найдите значение функции:
а) у - 2sinх + cosx;
л
х = —;
2
71
6

£ J
б) у =
cosx
2л
х =----;
3
(f(x) = -2);
_ 11л
~ V’
2
3.	Не выполняя построения графика, ответьте на вопрос: «При-
надлежит ли графику функции у = cosx точка с координатами»?
а)
3 2
а)
6 2
б)
б)
3	2
IV.	Проверка математического диктанта
V.	Изучение нового материала
1.	Свойства функции у = cosx.
1)	£)(/) =-оо; ос;
2)	у = cosx - четная функция;
3)	убывает на [0; л], возрастает на [л; 2л];
4)	ограничена сверху и снизу;
5)	JVmin 1 j JVinax ~ 1 •>
6)	у = cosx - непрерывна;
7)	£(/) = [-!; 1].
VI. Закрепление изученного материала
1.	Пример 1 (из учебника, с. 52).
2.	Пример 2.
3.	Решение примеров у доски.
№ 207 (г)
f-cosx, еслих < 0;
[2х2 -1, еслих > 0.
Уроки 19-20. Функция у = cosx, ее свойства и график
55
№ 211 (г)
/(х) = (4 + cos x)(sin6 х -1);
f (х) = (4 + cos(-x))(si n6 (-x) -1);
/(x) = (4 + cosx)(sin6 x-1) => /(-x) = /(x)=> /(x)-четная.
№ 212 (г)
/(x) = x11 ♦ cos x + sin x;
f (x) = (-x)11 • cos(-x) + sin(-x) = -x11 • cos x - sin x;
f (-x) = -/(x) => /(x) - нечетная.
213 (a)
f\x) = 2x2. - 3x - 2; -f (cosx) =
= -(2cosx2 - 3cosx - 2) =
= -2( 1 - sin2x) + + 3cosx + 2) =
= -2 + 2sin2x + 3cosx +
+ 2 = 2sin2x + 3cosx.
213 (6)
/(x) = 5x2 + x + 4;
f (cosx) = 5cosx2 + cos x + 4
= 5(1 - sin2x) + cosx + 4 =
= - 5 - 5sin2x + cosx + 4 =
= 9 - 5sin2x + + cos x.
56
Гпава I. Тригонометрические функции
Урок 21. Периодичность функций у = sinx, у = cosx
Цели: рассмотреть восьмое свойство тригонометрических функ-
ций у = sinx, у = cosx; показать применение этого свойства при по-
строении графиков этих функций и при нахождении основных пе-
риодов тригонометрических функций.
Ход урока
I.	Повторение изученного материала
1.	Какие вы знаете тригонометрические функции числового аргу-
мента?
2.	Какие вы знаете тригонометрические функции углового аргу-
мента?
3.	В чем отличие тригонометрических функций числового аргу-
мента от функций углового аргумента?
4.	По рисункам рассказать известные свойства функций у = sin х,
у = cos х:
Свойство 1. D (/) = (- оо; + оо).
Свойство 2. у = sinx - нечетная функция;
у = cosx - четная функция.
Свойство 3. у = sinx возрастает на отрезке [0; "j], убывает [—; я];
у - cosx возрастает на отрезке [л; 2л], убывает на [0; л].
Урок 21. Периодичность функций у = s/nx, у = cosx
Учащиеся могут назвать и другие отрезки, что позволит предпо-
ложить о существовании восьмого свойства.
Свойство 4. Ограниченность сверху и снизу.
Свойство 5. Наибольшее и наименьшее значение функции.
Свойство 6. Непрерывность функции.
Свойство 7. Е (/) = [- 1; 1].
II.	Изучение нового материала
1.	Введение восьмого свойства (по учебнику).
а)	периодичность функции;
б)	период функции;
в)	основной период функции;
г)	построение графиков периодичных функций.
2.	Рассмотреть примеры из учебника.
3.	Сделать вывод.
П1. Закрепление изученного материала
№217
-5\ -4/-з\ -2 /-1\о
А '!> /А 4 Л
№219
-2 О
№221
32 тс является периодом, но не основным.
sin3jr = sin(2ju • 16 + 0) = sin 0 = 0;
cos3tc = cos(2tc • 16 + 0) = cos 0=1.
58
Глава I. Тригонометрические функции
222, 223
п
a)	sin50,5 я = sinO,5 я = siny = 1;
<1	7л V2
б)	cos51,75 я = cosv =-;
4	2
.5л Л
в)	81п25,25я = sm~y =--;
я '
г) зтЗО,5я = siny = 1.
№223
1	/з
a) sin390°= sin30°=	б) cos 750°= cos 30°= -у;
в) sin 540°= sin 180°= 0;	г) cos 930°= cos 210°= —у.
№224
a)	sin2(x - 8я)°= 1 - cos2 (16я -х).
Упростим левую часть: sin2(x - 8я)°= sin2x.
Упростим правую часть: 1 - cos2 (16я - х) = 1 - cos2x = sin2x.
sin“x = sin'x , что и требовалось доказать.
б)	со82(4я + х) = 1 - зт2(22я - х); cos2x = cos2x.
№ 225 (а, в)
а) у = sin2x, Т = я, у (х +Т) = sin(2x + 2я) = sin2x = у (х);
X	XX
в) у = siny, Т = 4я, у (х +Т) = sin(y + 2я) = siny = у (х).
Решение:
зт(32я - Z) = sin (2я - /) = "jy
{Ответ: jy)
№ 228 (в, г)
в)	sin(r + 4я) + sin(r — 6я) = 73;
>/з
sinr + sinz = >/3; 2sinz = Vi; sinz = —.
2
я ~	, 2я ,
z = у + 2nk, k g z, z =~ + 2пк, к g z.
{Ответ: у + 2я£;	+ 2лк, к е z.)
Урок 21. Периодичность функций у = sinx, у = cosx
59
г	г
г)	cos(7 +2л) + cos(r-8 л) =>/2. 2 cos I = л/2, cosz=-^-,
л	л
/ = 4 + 2л« , и е z; t =	+ 2лл, п е z.
л
{Ответ', t = ± + 2лл, п g z.)
II уровень № 225 (в), № 228 (г) учащиеся решают самостоятельно
с последующей проверкой.
IV. Итог урока
Домашнее задание
1.	§ 11, №218, 220, 225 (б, г).
Ответы и решения:
2.	I уровень: № 227 (а).
3.	II уровень: дополнительно № 228 (а, б).
№ 225 (б, г)
б) у =	cos3x,	Т = у; у	(х + Т) =	sin(3x + 2л) = sin3x = Xх);
За'	8л _ч	За' Ъх
г) у =	cosy,	Т - у; у	{х + Т) =	cos(y + 2л) = cosy = у (х).
60
Гпава I. Тригонометрические функции
№ 228 (а, б)
a)	sin(z + 2 я) + sin(Z - 4 я) = 1; sinz + sinz = 1; sinz = Л 2л£;
5л ,
ь =	+ 2лк, к g z\
б)	cos(2k + Z) + cos(Z - 2л) = 0; 4 cosz = - 2; cosz = - z =
2л _
= ± ~+ 2ля, n G Z.
Урок 22. Как построить график функции у = /иДх),
если известен график функции у =Дх)
Цели: ознакомить с преобразованием, позволяющим строить график
функции у = mflx), зная график функции у =Дх); работать над выработ-
кой навыков у учащихся в построении графиков с использованием изу-
ченного преобразования.
Ход урока
1.	Повторение изученного материала
1.	Объясните, как, зная график функции у =/(х), строить графики
функции:
а)	У +	~ с помощью параллельного переноса на - а,
вдоль оси х;
б)	у = /(х) + /?, - с помощью параллельного переноса на
b единиц, вдоль оси у\
в)	у =J(x + а) + Ь,	► на - а ед., |на Ь ед.;
г)	Построить график функции у = (х - 3)" + 2.
Графиком является парабола с вершиной в точке О'(3; 2),
у-г
у К
о”
Урок 22. Как построить график функции у = mf(x)...
61
II.	Изучение нового материала
1.	Рассмотреть задачу 1 из учебника.
2.	Ввести понятия преобразования графиков функции у = /(а):
а) растяжение от оси х с коэффициентом т, если т > 1;
б)	сжатие к оси х с коэффициентом если 0< т < 1.
3.	Рассмотреть рисунки 45 и 46 и оформить в виде опорной таб-
лицы.
4.	Рассмотреть решение задач 2, 3 и пример из учебного посо-
бия.
III.	Закрепление изученного материала
№231
JAnax “' 2,
Утт 2,
Утах — 1 >
Утах —
а) на отрезке [-^
Зл
б) на (0, “2”);
ч л ’Злч
в) X е [у, у);
Зл л.
г) X G [у;
Утт
Утах - не существует;
Утт 1 >
У min	2.
62
Гпава I. Тригонометрические функции
а) хе[0; + оо); утах= 3;	.Утт 3,
л б)хе(-^о;у);	jinax= 3;	Л min	3,
Л	_ в)хе [^; + со);	№ах=3;	J^min 3;
г)х G (—°о; 0);	№аХ= 3;	.Ут in 3.
№233 Известно, что f (х) = -3 sin х Найдите: а)Д- х) = “3 sin х;	б) 2/(х) = 6 sin х;
в) 2/(х) + 1 = 6 sin х + 1;	г)/(“*) +/W = -3 sin х + 3 sin х.
№234 а)Л-х);	б) 2Дх);	в)У(х + 2л);	г)/(- х) -f(x).
Ответы. &)J{-x) = cos х;	б) Zflx) = -cos х;
в)Х* + 2л) = -‘j cos х;	г)Л~х) ~ЛХ)= ~2 C0SlY + 2 соах = О’
3. С комментированием у доски решить № 238 (а).
- • 71
3sinx, еслих<—,
/«=	2
2cosx + 3, еслих> —
I	2
1)	D(/) = R;
2)	Е(/) = [-3;5];
3)	при х < ’J, т = 2л, при х > ^, т = 2л;
4)	ни четная, ни нечетная;
5)	/(х) = О при х = -лп, п > 0;
Урок 22. Как построить график функции у = mf(x)...
63
6) ,/niin 3,Уп1ах
= 5;
7)	/(х) < 0 при -я + 2тш < х <2тш, п < О;
/(х) > О при -2тш < х < я + 2nn, n < -1, х > О;
8)	Убывает на промежутках
— + 2тш; —+ 2тгл
2	2
[2тгА:; 7i + 2nk] п <-1; k> 1.
Возрастает на промежутках
-~ + 2тш; -^ + 270? , л<0, [7i + 2ti£;27i + 27i£], к> 1.
4. Построить график функций:
а) у= |3 -х2|;
Строим при х>07 = х2-Зх + 2и отображаем относительно оси Y
симметрично.
IV. Самостоятельная работа
Уровень I
Вариант Г. № 235 (а), 236 (б).
Вариант II: № 235 (б), 236 (а).
Уровень II
3) = |х2-9|х| + 20|.	3) у=|х2-9|х| + 10|.
Ответы и решения:
№ 235
а) у = 2sinx - 1;	б) у = cosx + 2.
64
Гпава I. Тригонометрические функции
V. Итог урока
Домашнее задание
1. § 12, №230, 235 (b), 236 (в).
2. II уровень № 238 (б).
М = X2 - 2х.
Урок 22. Как построить график функции у = mf(x)...
65
Ответы и решения:
№ 235(e)
№ 236(e)
3 Л. А. Обухова и др
66
Гпава I. Тригонометрические функции
Уроки 23-24. Как построить график функции
у =ДКх), если известен график функции У=Ях)
Цели: ознакомить учащихся с преобразованием, позволяющим,
зная график функции y=f(x), быстро строить график функции
у = flJRx), где R - любое действительное число, не равное нулю;
вырабатывать навыки применения данного преобразования.
Ход уроков
I.	Проверка домашнего задания
1.	У доски 3 ученика выполняют № 235 (в), 236 (в), 238 (б).
2.	Устно выполняется № 230:
-	Назовите область определения и множество значений функ-
ций.
-	Назовите наибольшее и наименьшее значения функций.
-	Назовите период функции (основной).
-	Назовите точки пересечения с осью ОХ.
3.	Проверить задания, выполненные у доски (см. решение в пре-
дыдущем уроке).
II.	Изучение нового материала
1.	Разобрать пример 1 из текста учебника.
2.	Ввести понятия:
а)	сжатие к оси у;
б)	растяжение от оси у.
Уроки 23-24. Как построить график функции у - f(Rx)...	67
3.	Рассмотреть задачу 2. Обратить внимание на замечание.
4.	Разобрать задачу 3. Обратить внимание на 3 шага в решении.
5.	Пример 2 из учебного пособия. Рассмотреть 5 этапов построе-
ния графиков по ранее заготовленным на доске рис. 57 (а, б).
III.	Закрепление изученного материала
1.	Устно решить № 242-244.
№242		
у = sin 2х		
а) х е [-f;0];	.Утах- 0,	Утт	>
Г Л		
б) X е	2];	.Утах- 1,	Утт	1 >
		
В) хе [-4;4];	Утт	1 >	Утах- 1 >
г) х е [0; я];	Утт 1 >	Утах- 1 •
№243		
X		
у = cos у;		
а) х е [0; +оо);	.Утах- 1 >	Утт 1 >
б) х е (-оо; л);	Утах- 1 >	Утт	1»
л_ в) х е (-оо; 2];	Утах- 1 >	У min	1 ч
ч z л г) (у; +<»);	Утах- 1,	Утт	1 •
№244		
/(x) = cos|.		
а) /(х) = cos у;	б)	3/(x) = 3cos|;
в) f (-Зх) = cosx;	г)	-/(х) = 0.
№ 241 (б)
Построить график,функции у = -2cos(-3x).
1)	у = cosx; 2) у = 2cosx; 3) у = -2cosx; 4) у = -2cos3x.
68
Гпава I. Тригонометрические функции
Ла 241 (в)
у = 2sin(-2 х).
1) у - sinx; 2) у = -sinx; 3) у - -2sinx; 4) у = -2sin2x.
Гд
-з
Ла 245
Известно, что/(х) = 2 sin 2х.
Найдите:
а)/(-х)
б) 2/(х)
в)/(-Зх);
г)/(-х) -/(х);
а)/(-х) = -sin2x;
б)	2/(х) = 2sin2x;
в)	f (-Зх) = - sin6x;
г)	f (-*)	W = -2sin2x.
Ла 246 (в, г)
в) у - cos2x + 3.
Строим:
1) = cosx;
2) у = cos2x;
3) у = cos2x + 3.
Уроки 23-24. Как построить график функции у = f(Rx)...
69
Строим:
IV.	Самостоятельная работа
Вариант Г. № 247 (б), 249 рис. 14, 16.
Вариант II. № 247 (б), 249 рис. 15, 17.
Ответы и решения:
Вариант I
№ 247 (б)
1.	Построить и прочитать график функции:
f-sin3x, еслихсО,
/W = i /—
I 7х’ если х - о
70
Гпава I Тригонометрические функции
2)	£(/) = [-!; 4-^);
3)	при х < 0, периодическая с основным периодом Т = j л;
4)	ни четная, ни нечетная;
5)	f(x) = 0 при х =	• и, п > 0, n е z;
6)	Уши! 1,/\пах— Нет,
2 я 2
7)	f (х) < 0, при х е (-ул; J - улл); n > 1 ;/(х) > О,
z л 2	2
при х (-J - ули; -^лл); п > 0, х > 0;
8)	/(х) возрастает при х е	2~зяпЬ n>\\ xcz[O; +оо],
г 71 3 л 3
убывает, при х е — лл; — л«], х 1; х

№249
а) Рис. 14
f -х,
’V=l • о
I sin 2х,
х<0
х>0
в) Рис. 16
[ sin 2х,
У = к
12 cosx,
х < О
х > О
Вариант II
№ 248 (б)
Построить и прочитать график функции:
/•/ х	если х < 0;
/(x) = S v	ос
[3cosx-3, если х > О
Уроки 23-24. Как построить график функции у - f(Rx)...
71
1)	£>(/) = /?;
2)	£(/)= [-6;+00);
3)	при х > 0 периодическая с основным периодом Т = 2 я;
4)	ни четная, ни нечетная;
5)	f (х) = 0, при х = 2ял, п > 0, п е z;
У min 6,У\пах~ НОТ,
7) f (х) < 0, при х е ( 2 ян; 2 я п + 2я); п > 0;/(х) > 0, при х < 0;
8) f (х) возрастает при х е [ 2 я п - я; 2 я п ], при п > 1;/(х) убы-
вает при х е [ 2 я п ; 2 я п + тг], при п > 0; п < 0.
№249
б) Рис. 15	б) Рис. 17
cos3x,
-1,
-2 sinx, хе[-2я;0]
cos — , хе(0;Зя]
V. Итог урока
Домашнее задание
1.	№ 239, 240, 241 (а, г), 246 (а, б), 247 (а).
2.	Дополнительно: № 248 (а).
Ответы и решения:
№246
а)	у = sin2x - 1.
1)у = sinx;	2)j' = sin2x;	3)y = sin2x-l.
72
Гпава I. Тригонометрические функции
х
б)	у = cos — + 1.
№ 247 (a)
Постройте и прочитайте график функции:
1)	D(f) = R-,
2)	E(f) = H;+l);
3)	при х < п, т = я;
4)	ни четная, ни нечетная;
5)	/(х) = О при х =	п<-2,п g z;
6)	/пмп=-1;/тах=1;
Урок 25. График гармонического колебания	73
7)	f(x) < 0 при х е (^- т; Tin) и (я; + х), п > 1; f (х) > О,
я я х Зя ч
при х е - ял; -~^in) и я) п > 1;
8)	f (х) возрастает при хе	- ял; я - ял], при л > 0;/(х) убывает
г л
при х е [-ял; ял], при л > 1.
Урок 25. График гармонического колебания
Цель: ознакомить учащихся с уравнением гармонических коле-
баний и построением графиков гармонических колебаний.
Ход урока
I.	Проверка домашнего задания
1.	№ 246 (а). Перечислить этапы построения графика, назвать
основной период функции, область определения и множество
значений функции.
2.	№ 247 (а). Прочитать график функции.
II.	Изучение нового материала
1.	Показать практическое применение тригонометрических
функций для описания колебательных процессов.
2.	Изучить формулу 5 = Н sin (wt + а).
3.	Рассмотреть пример из учебника и построить график функции
5=3 sin(2r + у).
III.	Закрепление изученного материала
1.	С комментированием у доски решить № 251 (а).
График функции у = - 2cos2(x + j) можно получить из графика
функции у = cosx , осуществив следующие преобразования:
1)	сжать к оси ординат с коэффициентом 2;
2)	растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 2;
я
3)	сдвинуть вдоль оси абсцисс на у влево, рис. см. ниже.
4)	отобразить симметрично относительно оси х.
2.	Самостоятельно решить на доске № 253. I в. - а, II в. - б.
74
Гпава I. Тригонометрические функции
Построить график функции.
Вариант I
Вариант II
х	3 х	3 х п
l)y = cosx; 2)^ = cos^; 3)у =-^ cos^; 4) у = -^ cosfy -‘j).
IV.	Итог урока
Домашнее задание
1.	§ 14, №250.
Дополнительно:
2.	II уровень № 252 (б).
Ответы и решения:
№ 250.
а) у = 3sin(x + у).
Урок 25. График гармонического колебания
75
71	71
1) у = sinx; 2) у = sin(x + ^);	3) у = 3sin(x +
№ 252 (б)
Построить график функции;/ = -3cos(2x + j).
76
Гпава /. Тригонометрические функции
№ 251 (а)
у = -2cos2(x + у).
Уроки 26-27. Функции у = tgx, j = ctgx,
их свойства и графики
Цели: ознакомить со свойствами функций у = tg х, у = ctg х;
вырабатывать навыки схематически изображать графики этих
функций; находить область определения и область значений,
промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства, нули
функций; вырабатывать умения графически решать уравнения,
вычислять значения функций, выполнять преобразования графиков.
Ход уроков
I.	Проверка домашнего задания
По заранее заготовленным чертежам перечислить этапы построе-
ния графиков. № 250, № 252 (б).
II.	Изучение нового материала
1.	Изучить свойства функции у = tgx:
а)	область определения и область значений;-
б)	периодичность;
в)	нечетность - симметрия относительно начала координат.
2.	Используя свойства и составив таблицу значений, построить
график функции у = tgx.
3.	Ознакомить учащихся с понятиями: тангенсоида, главная
ветвь тангенсоиды.
4.	По графику отметить еще несколько свойств функции = tgx:
а) промежутки возрастания;
б)	отсутствие наибольшего и наименьшего значений;
в)	промежутки непрерывности;
Уроки 26-27. Функции у = tgx, у = ctgx, их свойства и графики
77
г)	отсутствие ограниченности функции;
д)	множество значений функции.
5.	Построение графика функции у = ctgx:
а)	рассмотреть тождество (формула приведения)
ctgx = - tgx(x +
б)	построить график функции у = ctgx;
в)	по построенному графику прочитать свойства функции
у = Ctgx.
IIL	Закрепление изученного материала
1.	Разобрать решение примеров 1 и 3 из учебника.
2.	Устно выполнить № 254, 257, 258.
№254
y = tgx.
тт	_ч	2 л гт ч Зл
a) tg^=l; б) tg—= —73;	в) tg-^- = -l; r)tgn = 0.
Ле 257
у = ctgx.
a) ctg^ = 1; б) ctgy = ^; в) ctg2n - не сущ.; r)ctg^ = O.
Ле 258
у = ctg х.
а)	хб[Ь-^]; K>ax=U	Jmin=0-
4 2
б)	хе[^;я);	_утах =0;	jmjn - не сущ.;
в)	хе(-я;0);	к™, - не сущ.;	,ут1П - не сущ.;
Утах — "'/З,	-Уmin — —
[ Зл
г) хе я;—
I 2
3. Выполнить Ле 261 (в).
y=tg(*~4)-
78
Гпава I. Тригонометрические функции
IV. Самостоятельная работа
I уровень № 262 (в), 264 (б).
II уровень № 263 (г), 264 (г).
Ответы и решения:
№ 262 (в)
Уроки 26-27. Функции у - tgx, у = ctgx, их свойства и графики
79
№ 263 (г)
у = -tg(x + 3) - 2.

№ 264 (б)
У = Ctg X + 1.
80
Глава I. Тригонометрические функции
№ 264 (г)
71
б)	tgx = 1;	+ ilk;	k е Z;
в)	tgx = -1;	-^+лк;	к g Z;
г)	tgx = 0;	я А;	к g Z.
3)	По графику рис. 67 с. 69 учебника решить уравнение
ctgx = - — .
Уроки 26-27. Функции у = tgx, у = ctgx, их свойства и графики
81
№ 259 (в)
+ пк; к е Z.
№ 246 (а)
Докажите, что п - период.
у - tgx + sin 2х - tg3x - cos 4х.
у(х + л) = tg(x + л) + sin(2x + 2л) - tg(3x + Зя) - cos(4x + 4л) = у(х),
Т = л.
№269
Определите знак разности:
a)	tg200°- tg201° < 0;
б)	tgl - tgl,01 < 0;
в)	tg2,2-tg2,l > 0;
ч Зя 6л л
f)tgy-tgy <0.
№270
Исследуйте на четность функцию
a)	/(*) - tg(x)sin2 х; /(-х) = -tg(x)sin2 х = -/(х) - нечетная.
(Ответ: нечетная.)
б)	/(х) = -^Ц-; /(-х) = -^Ц- = /(х) - четная,
х -1	х -1
(Ответ: четная.)
в)	/(х) = x5tgx;
/(-х) = (—х)5 tg( - х) = - х5(-tgx) = x5tgx = /(х)
(Ответ: четная.)
г)	/(х) - х2 +sinx+ tgx, f(-x) = (—х)2 + sin(-x) + tg( - x) =
= x2 - sin x - tgx.
(Ответ: ни четная, ни нечетная.)
№273
Дана функция у - f (х), где f (х) - х2 +1. Докажите, что
82
Гпава I. Тригонометрические функции
Решение:
Найдем f (tgx) = (tgx)2 +1 = tg2x +1 = —, что и требовалось
cos’ х
доказать.
IV. Итог урока
Домашнее задание
1. Подготовиться к контрольной работе.
2. § 15, №263 (а), 265,271,272.
Ответы и решения:
№ 263 (а)
№265
а)	у = tg2x;
б)	y = tgy;
в)	у = tg5x;
Т = —;
2
Т-Зя;
Т = —;
5
2
у(х + Т) = tg(2r + л) = tg2x;
Ях + Т) = tg(| + 7r) = tg|;
у(х + Т) = tg(5x + я) = tg5x;
у(х + Т) = tg(y + л) = tg-y.
№271
а) /’(.v) = sin х - ctg.v;
{Omeenv. нечетная.)
б) четная;
/(-.г) = - sin Л- - ctgr = -/(*);
в) нечетная;	г) нечетная.
Урок 28. Контрольная работа № 1
83
№272
Дана функция у = /(х), где /(х) = tgx .
Докажите, что f (2х + 2тг) + /(7л - 2х) = 0.
Доказательство:
f(2x + 2л) + f(Jn- 2х) = tg(2x + 2л) + tg(7n - 2х) = tg2x - tg2x = 0,
что и требовалось доказать.
Урок 28. Контрольная работа № 1 (см. приложение)
З^наиб. У( 2)	1 ’
(Ответ'. 1.)
2 а) Решение:
cos2 (л + Z) + cos2 (л + Z) = cos21 + cos21 = 2 cos2t.
(Ответ'. 2cos2z.)
2	б) Решение:
• 7 Л	4 z .
sin(—— z)tg( — z)
,Л 4 '
COS(—+ Z)
-cosz tgz
-sinz
= ctgz • tgz = 1.
(Ответ'. 1.)
3.	Решение:
z 4	. z 3 л
cos(2 л - z) - sin(~ + - U
84
Гпава I. Тригонометрические функции
COS/+COS/ = 1.
1
COS Г = —
2
t = ? + 17tk\ t = — + 2тгА:; k g Z.
3	’	3
(Ответ'. ± — + 2nky k g Z.)
4.	Решение:
График функции у - cos(x + у) - 2 можно получить из графика
у = cosx, выполнив следующие преобразования:
я
1)	сдвинуть вдоль оси абсцисс на j влево;
2)	сдвинуть вдоль оси ординат на 2 единичных отрезка вниз.
5.	Решение:
График функции у = -2sin3x можно получить из графика функ-
ции у = sinx, выполнив следующие преобразования:
1)	сжать к оси ординат с коэффициентом 3;
2)	растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 2;
3)	отобразить симметрично относительно оси х.
Урок 28. Контрольная работа № 1
85
Докажите, что f (sin х) = 3 sin х - 2 cos2 х.
Решение:
1. Найдем /(sinx).
/ (sin х) = 2(sin х)2 + 3(sin х) - 2=2 sin2 х+3 sin х - 2 cos2 х=
= 3sinx-2cos2 х, что и требовалось доказать.
Глава II.
Тригонометрические уравнения
Урок 29. Первые представления
о решении тригонометрических уравнений
Цели: повторить таблицу значений тригонометрических функ-
ций, формулы приведения; дать первое представление о решении
тригонометрических уравнений.
Ход урока
I.	Анализ контрольной работы
II.	Повторение изученного материала
1.	Вычислить:
а)	. л sin — ; 6 л	д)	sin 60°;	и) sin л; л
б)	cos —;	е)	cos 45°;	к) cos—;
	2			4
в)	л ,g3;	ж)	tg30°;	л) tg90°;
г)	л ctg—;	з)	ctg60°;	м) ctgO°.
2. Найти наименьший положительный период функции.				
а)	у = sinx;	г)	у = ctgx;	ж) у = cos(4x + 1);
б)	у = cosx;	д)	. X у = sin —; 2	з) y = tg2x;
в)	y = tgx;	е)	у = cos3x;	ч	Х и) у - cos —.
(Ответ: а) 2л; б) 2тс; в) л; г) я; д) 4л; е)				2л ч л ч л ч х ч — ; ж) — ; з) — ; и) 6л.) 3	2	2
III.	Изучение нового материала
1.	На доске заготовить единичную окружность и с ее помощью
решить устно № 278 (б, г), 279 (а, в), 280 (б, в), 278, 279 (б, г),
280 (а, г).
2.	На доске построить график функций у = tgr, у = ctgx и решить
устно №281.
Урок 29. Первые представления о решении...
87
3.	Вспомнить формулы приведения.
№ 283 (б, г)
71
б)	cos(/-7i) = 0; cos(7t-r) = 0; cosz = 0; t = — + лп, n g Z.
{Omeem\	neZ.)
4	. f Л |	,	. f Л ]	,	1	~	Г-,
r) sin\t— = 1; -sin —t = 1; cosz = - 1; t = л + 2ли, n g Z.
< 2j U )
(Ответ'. n + 2Tin, n e Z.)
№ 282 (в, г)
в)	cosz(2sinz + 1) = 0; cost = 0; t = ~- + яи, n g Z;
x .	1 7л _	11л
r)sinz =—; t = — + 2ли, neZ' t =-----------+ 2ли, hgZ.
2	6	6
/хл	к 7л	11л	4
(Ответы'. — + Tin, — + 2 ли, ---+ 2ли, neZ.)
2	6	6
№ 284 (в, г)
в) 4sin2Z-l=0; (2sinZ-l)(2sinz+1) = 0; sinz=-^ или sinz = ~;
Л _	rz	5Л
Z= — + 27U7, n g Z; Z = — + 2ли, hgZ; t- — + 2ли, n g Z;
6	6	6
5л
z =----+ 2ли, n g Z.
6
(Ответы’. ±-^ + ли, n g Z.)
r) 2sin2z + sinz = 0; sinz(2sinz + 1) = 0; sinz = 0 или sinz = --^;
7л	11л
Z = ли, и g Z; t- — + 27in,neZ'. t--------+ 2nn,neZ.
6	6
7л	11л
(Ответ'. Tin,----н2ли,-------н2ли, hgZ. )
6	6
№ 286 (6)
2cos2z - 5cosz + 2 = 0. Пусть cosz = Z, |z| < 1, тогда 2z2 - 5z + 2 = 0;
z, = — , z2 = 2 > 1; cos z = — ; Z = ± — + 2Tik, k eZ.
1 2	2	3
88
Гпава II. Тригонометрические уравнения
(Ответ: ±^ + 2лк, к е Z.)
№287
б) sin2/ + 3cos/ - 3 = 0; 1 - cos2/ + 3cos/ -3 = 0; cos2/ - 3cos/ + 2 = 0,
cos/ = z, |z| < 1; z2 - 3z + 2 = 0, Z| = 2 > 1, z2 = 1; cos/ = /; t - 2ли, n^Z.
(Ответ: 2лп, n e Z.
№ 288 (6)
sin(n + /) + sin(27i-/)-cos^y+ /^ + 1,5 = 0; -3sin/ = -l,5; sin/=^-.
/хл	я ~ 5л _	_ .
(Ответ: — + 2ли, — + 2ли, n^Z.)
6	6
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 16, № 282 (а, б), 283 (а, в), 284 (а, б), 286 (а), 287 (а), 288 (а).
Ответы и решения:
№ 282 (а, б)
a)	sin/(2cosz + 1) = 0; sin/ = 0 или cos / = " •
2л
(Ответ: лп, ± — + 2 ли, и g z.)
б)	(sin/ - 1 )(cos/ + 1) = 0; sin/ = 1 или cos/ = - 1.
л
(Ответ: — + 2ли, л + 2ли, и g z.)
№283
\	I	।	1	1
a) cos —/ = I; sin/= I.
u J
Л
(Ответ: — + 2ли, и g z.)
в)	8ш(л - /) = I; sin/ = I.
(Ответ: t = + 2ли, и g z.)
№ 284 (a)
д/З
a)	3 - 4sin2/= 0; (д/з-2sin/)(V3+2sin/) = 0; sin/= — или*
Урок 29. Первые представления о решении...
89
V3	л	4л	2л
sin/ =--------; t — — + 2 л/?, п g z; / =— + 2л/г, /zgz; t- — + 2л/?, n g z;
2	3	3	3
5л _
t - — + 2 Л/?, И G Z.
3
/хл	л _	4л _	2л	_	5тг _
(Ответ'.	— + 2лл,	— + 2л/?,	— +	2л/?,	— + 2ли, n g z.	)
3	3	3	3
б)	sin2/- sin/= 0;	sin/(sin/-1)	=	0;	sin/=	0	или	sin/=l;
л о
/ = л/?,/?gz; t = — + 2л/?,/? g z.
2
{Ответ', лп, у + 2л/?,/? g z. )
№ 286 (a)
i	э	1
2sin"/ + 3sin/ -2 = 0, пусть sin/ = z, |z| < 1; 2z“ + 3z - 2 = 0; zj = — ;
„	,	1	л	5л
zn = -2 < -	1;	sin t = —	;	t = — +	2 л/?, n g	z; t	= — + 2л/?, n	g z.
2	6	6
л _ 5л
{Ответ'. —+ 2л/?, — + 2л/?,/?Gz.)
6	6
№ 287 (a)
2cos2/ + sin/ +1=0, пусть sin/ = z, |z| < 1; 2( 1 — sin2/) + sin/ +1=0;
Э	9	3
2sin2/ - sin/ -3 = 0; 2z2 - z - 3 = 0, z, = —
2
z2 = -1; sin/ = -1;
л
/ = — + 2л/?, /? g z.
2
{Ответ’. -^- + 2л/?,/? g z.)
№ 288 (a)
8ш^~ + /^-со8(л + /) = 1; cos/+ cos/=1; 2cos/=l; cos/ = ^-;
, Л
/ = ±—+ 2л/?, n G z.
3
{Ответ'. ± — + 2Tin,nez.)
90
Гпава II. Тригонометрические уравнения
Уроки 30-31. Арккосинус.
Решение уравнения cos t = a
Цели: дать определение арккосинуса; вывести общую формулу
решений уравнения cos t = а; сформировать навык решения уравне-
ния cos t = a.
Ход урока 30
I. Проверка домашнего задания
№ 282 (а, б), 283 (а, в), 284 (а, б), 286 (а) - устно.
№ 287 (а), 288 (а) - на доске.
II. Самостоятельная работа
Вариант Г. № 285 (а), 286 (в), 288 (в).
Вариант II: № 285 (б), 286 (г), 288 (г).
Ответы и решения:
Вариант I	Вариант II
№ 285 (а) э 3 3 - 4cos"Z = 0; cos" t ; 4	№ 285 (6) 2cos2z - cosz = 0; cosz (2cosZ - 1) = 0; cos Z = 0 или
cosz = ±—; cosz =—; 2	2	' 1	71 cosz = — ; z=—+ тш; 2	2
^3	71 cosz =	; t = ± — + 2тш, n e Z; 2	6 571	_ t = ± — + 2тш. 6	71 Z = ±~- + 27U7. 3 71	71 (Ответ: — +Tin, ± — + 2Tin,neZ.)
(Ответ: ±^ + 2тги, 5 тс ±— + 2itn, ne.Z.) 6	№ 286 (г)
№ 286 (в) 2 sin21 + sin г -1 =0. Пусть sin / =	4cos2z + 9 cos z + 5 = 0. Пусть cos z = = z, |z| < 1; 4z2 + 9z + 5 = 0;
= 2l|z|<l; 2z?+z-l=0; z, =1;	z,=-l;z? =— <-l; cosz = -l; 1	“	4
, 1 • * ! z^=-l; sin t - — ; sin t = - 1; 2	Z - 71 + 2tih, n e Z. (Ответ: ti + 2тт, n e Z.)
Уроки 30-31. Арккосинус. Решение уравнения cos t ~ а	91
л	71	№ 288(e)
i= — + 2nn, neZ; i-—+ 2 ли;
6	~	Sin(K т/)-rCOS(—+ 7) - д/З ,
5л ~	„	-
I- + 2ЛИ, И GZ.
6	-sin/(-sin г) = л/з ; sin г -:
я 5л	2
(Ответ; - + 2пп, — + ^	5
0	0	1=— + 2лп, п е Z; 1=---------н2тги.
л	3	3
-- + 2nn,neZ.)	n&z
4я _
(Ответ'. — + 2ли,
№ 288 (в)	3
cos -8Ш(Л + /) = V2;	— + 2ли, п eZ.)
<2 J	3
г~ • V2
sinz + sin t = v2 ; sin Г = —;
2
t = — + 2ли : t = — + 2ли.
4	4
(Ответ:
— + 2лй, — + 2ли, и g Z.)
4	4
III.	Объяснение нового материала
§ 17 (в виде лекции).
IV.	Закрепление изученного материала
№ 290 (а-г)
( 41}	41	л зтс
a)	arccos----=л-агссо$—-л— = — ;
I 2 J	2	4	4
, f V3^ 5л
б)	arccos----=—.
I 2 J 6
в)	arccos(-1) = л;
ч f О 2л
г)	arccos — = —.
I 2J 3
№ 291 (в, г)
f	V2	Зл л
в) arccos----+ arccos— = — + — = л;
2 J 2	4	4
92
Гпава II. Тригонометрические уравнения
. f П 1 2л Л Л
г) arccos — -arccos—=---= —.
< 2J 2333
№ 292 (a, г)
. f 1) . f 1A • ( лЗ . 3 л >/з
a) sinlarccos — =sin л-arccos— =sin л— =sin — = —;
I 2j L 2J < 3}	32
r) sin(arccos
№ 293 (в, г)
.	73	+5л^э	_
в) cos х =---; х = ± — + 2Tin, n е Z.
2	6
{Ответ’. ±”Г + 2ли, n g Z.)
х V2 , Зл _
г) cos х =---; х = ± — + 2ли, n g Z.
2	4
3 л
{Ответ’. ±— + 2лл, n g Z.)
М 294 (в9 г)
в) cosxх = ±arccos^- +2ли, и е Z.
3	3
{Ответ’. ± arccos-^-+2 ли, neZ.)
.	4~5 4~5 ,
г) cos х = —; корней нет, так как -у > 1.
{Ответ’, корней нет.)
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 17, № 289, 291 (а, б), 292 (а, г), 293 (а, б), 294 (а, б).
Ответы и решения:
№289
\	а	71	\	7з л
a)	arccos 0	= —;	в)	arccos— = —;
2	2	6
/-Ч	1	Z4	\	1л
о)	arccos 1 = 0;	г)	arccos — = —.
2 3
Уроки 30-31. Арккосинус. Решение уравнения cos t = а
93
№291
\	/ 1 \	а	3 л
a)	arccos(-l) + arccosO = л+ —= —;
1	>/з	л л л
б)	arccos— arccos—- —
2	2	3	6	6
№292
, . С (	. 2л Л
a) sinl (arccosI-—I I = sin—= -^-;
ч ( 1 А	1 2л 71	71
г) arccos — - arccos — -----= —
V 2)	2	3	3 3
№293
a)	cosx = —-.
2
71
(Ответ: х = ± — + 2пп, п е Z.)
Л
б)	cosz =----.
2
Зл
(Ответ: х = ± — + 2ли, п g Z.)
№294
ч 1
a)	cosx = —.
3
(Ответ'. ± arccos~ + 2пп, п g Z.)
б)	cosx = -1,1.
(Ответ', корней нет.)
Ход урока 31
I.	Проверка домашней работы
1.	№ 289, 291 (а, в), 292 (а, г), 293 (а, б), 294 (а, б).
2.	Опрос.
-	Дайте определение арккосинуса.
-	Запишите формулу корней уравнения cosr = а.
-	Найдите решения уравнений cos/ = 0; cos/ = 1; cos/ = -1.
-	Чему равен arccos (-о)?
94
Гпава II. Тригонометрические уравнения
II.	Устный счет
V2
; arccos — ; arccosO;
2
in	I1!	( П
1.	Вычислить: arccos — ; arccos — ;
Ш I 2j
arccos
V3
— ; arccos 1; arccos(-l).
2.	Решить уравнения: cosr = -—;
72
cosz =----.
2
3.	Выполнение № 298.
' я
cost =------;
2
cosz = 0;
III.	Решение задач
№ 295 (б), 297 (б, в), 299, 300 (б), 302, 303 (б), 304 (б), 305 (б), 307 (а).
№ 295 (б)
cosx = х е [2л; 4л]; х = ±агссоз^-~^ + 2лп, n g Z;
, 2л _	_
х = ±— + 2лп, n g Z.
3
2л
1)	х- — + 2ли, weZ.
Если л = 0, то х=— ё[2л,4л], если л? = 1, то х=—+2л=
~~ е [2л,4л], если п = 2, то х=~^ + 4л g [2л,4л].
2)	х =	+ 2ли, п 6 Z.
3
т-	.	2л _ 4л	л 1
Если /7=1, то х=-—+2л=—ё [2л,4л], если /2 = 2, то
Юл г_ . _
[2л,4л].
8л 10л .
(Ответ'. —;
№297 (б, в)
б) arccos2r;|2x|< 1;-1 <2х< 1;
Уроки 30-31. Арккосинус. Решение уравнения cos t = а
95
(Ответ', х е [-—; у].)
№299
tg(arccosO,l + arcos(-0,l) + х) = tgx;
tg(arccosO, 1 + я -arcos(0,1) + х) = tgx; tg(п + x) = tgx; tgx = tgx.
№ 307 (a)
cosx=—, xg (1, 6); x=± —+ 2ли, n&Z.
2	3
-------1----1	d-------1-------
1Л---------------------------------5л	6
3	3
(Ответ', у; ” •)
№ 300 (б)
3cosx + l 5cosx-l , л
	+	= 1,75; 9cosx + 3 + lOcosx- 2 = 10,5;
2--------------3
1	I Я , O	7
cosx = —; x = ± — + 2тш, neZ.
2	3
(Ответ: ± у + 2 тш, n^Z.)
гн
б) у = cos(arccosx) = х; D(y) = [-1; 1 ]; у = х.
96
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№ 303 (в, г)
Зя	Зя	я	Зя
----н2яи<г< — + 2яя, п 6 Z. —+2Tin<t<— + 2лп, ntZ.
4	4	3	3
1
cos г > —.
7
№304(6)
-агссо8(-у) + 2яи < t < arccos(-y) + 2ял,
n е Z;
-я +arccos —+2 яя < z < я-arccos — + 2 я/?,
7	7
n е Z.
(Ответ: -л + arccos — + 2яя < z < я - arccos — + 2яя, n е Z.)
№305(6)
6cos1 2 3z + l >5cosz.
7	7	11
Пустьcosz = z,тогда6r—5z+ 1 >0;6z"-5z+ 1 =0; Z| =—; z2
1
z > —
2
cos z > —
2
1
cosz < -
3
Уроки 30-31. Арккосинус. Решение уравнения cos t = а
97
cost > —	cost < -
- arccos - + 2ял, neZ.)
3
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 17, № 296, 297 (а, г), 300 (а), 301 (б), 303 (а, б), 306 (в).
Ответы и решения:
№296
1	1	ТС 7С ТС
a) cos(2arccos—-3arccos0-arccos(—))=cos(2y-3y -2 у) =
, Зтс	Зтс ~
= cost---) = cos— = 0;
2	2
1	1	z kx 1 z 1	k Я
б) у (arccos у + arccos(- -))=у (arccos у + тс - arccos у) = у.
№297
г) arcos(3 - 2х). -1 < 3-2х < 1; -4 < -2х < -2; 2 < 2х < 4; 1 < х <2.
(Ответ: х g [1; 2].)
4 Л. А. Обухова и др.
98	Гпава II. Тригонометрические уравнения
Уроки 32-33. Арксинус. Решение уравнения sin t = a
Цель: отрабатывать навык решения уравнений sin t = a, cos t = a,
навык решения тригонометрических неравенств sin t > ci, sin t < a,
cos t > a, cos t < a.
Ход уроков
I.	Проверка домашнего задания
№ 311, 313 (а, б), 314 (а, б), 315 (а, б), 306 (б), 305 (г).
Ответы:
Вариант I
3.	a) t - 71/7, n е Z..
б)	t =	+ 2ю1, n е Z.
2
в)	I - 71 + 271/7, /7 е Z.
г)	/ = (-1)" —+ 7ш, /7 е Z.
л \	г~\	7 тт „
4,а) —-; б) —;в) —; г) 0.
обо
5. arccosf - — I + 271/7, n g Z . ±— + 2тиг n е Z.
< 3)	6
Вариант II
3.	a) t = — + 7i/7, /7 е Z.
2
б)	t - 2nn, /7 G Z.
в)	t = Л/7, И G Z.
Г) t - (-1)"^- + 71/7, /7 G Z.
д)	t = (~1)"+1 — + 71л/, п е Z.
6
2тг _ 71	5 71	,
4.	а) —; б) —; в)-------; г) 1.
3	3	6
5.	±arccos— + 2л/7, n g Z.
Уроки 32-33. Арксинус. Решение уравнения sin t = а	99
II. Повторение изученного материала
№ 316 (а) - у доски, (б) - самостоятельно; № 317 (в), 319, 321 (г),
322 (б), 323 (а, в), 324 (б, г), 326 (в).
№> 316
a)	sin(arccosx + arccos(-x)) = 0; sin(arccosx + л - arccosх) = 0;
sin л = 0; 0 = 0.
6)	cos(arcsinx + arcsin(-x)) = 1; cos(arcsinx-arcsinx) = 1; cosO = l;
1 = 1.
№317
71
в)	sin x = ——, x g [-я; 2л]; x = (-l)"+l — + яд, n g Z, если n = 0, to
/ i\l	г n i	1	/ i\^ ТС Я
x = (-1) — = — g [-я; 2я], если д = 1, то x = (-1) — + я = — + я =
4	4	4	4
= — g [-я; 2л], если д = 2, то х = (-1)2+1 — + 2я = - — + 2я =
4	4	4
= — g [-я; 2я], если д = -1, то х = (-1)1-1 — -я = — -я =
4	4	4
Зя _	_ _	я Зя 5я 7я ч
=----g [-я; 2я]. (Ответ'.--;-----; — ; —.)
4	4444
№319
a)	arcsinx, х g [-1; 1].
б)	arcsin(5 - 2х); -1 < 5 - 2х < 1; -6 < -2х < -4 ; 4 < 2х < 6 ;
2 < х < 3 ; х g [2; 3].
в)	arcsin у; -1 < у < 1; -2<х<2; х g [-2; 2].
г)	arcsin(x2 -3); -1 < х2 -3 < 1 ; 2 < х2 < 4 ; ^2 < х < 2 ;
- 2 < х < -V2 ;
xg[V2; 2]u[-2;-V2],
№321 Зл	-71 4	г) 2sin2x-l = 0; (V2 sinx - 1)(V2 sinx + 1) - 0 ; 1 1 sin x =	или sin x - —; V2	V2
4*
100
Гпава II. Тригонометрические уравнения
. . п Л	„	.,, । Л
Х = (~1)----F Л/7, /7 G Z ;	.V—	1)  — + Л/7.
4	4
/Z.	Л Т1П „ .
{Ответ'.	n е Z. )
№ 322
б) 3cos2 x = 7(sinх + 1); 3cos2 x-7(sin x + l) = 0;
3(1-sin2 a')-7 sin a'-7 = 0; 3-3sin2 x - 7 sin л* - 7 = 0 ;
3sin2 x + 7 sin x + 4 = 0 . Пусть sin x = /, I /1 < 1; 3/2 + 7/ + 4 = 0 ;
4
£> = 49 _48 = i;. t =_]; t = — <-l; sinx = -l;
3
л _
A' =---h 2л/7, П G Z.
2
(Ответ: “ + 2nn, n g Z.)
№326
в) sin x = a'g (-4; 3); x = (-1)" + ла?, n g Z;
H-----1----1---4---------1--
-4 5п	я 2/L	3 Л
” 4	4	4
{Ответ:	; — ) 4	4	4 №323 , . , Л a) sinz > — . 2 (Ответ: — + 2nn < t < — + 2лл, n g Z.) в) sin / <	. 2 4л	л	ч (Ответ:	+ 2лп < / < — + 2л/?, n g Z.)	т	ъ 11 о )	о
Уроки 32-33. Арксинус. Решение уравнения sin t - а
101
№ 324
б) sin г > -0,6.
{Ответ'. arcsin(-0,6) + 2яп < t <п +
+ arcsin 0, 6 4- 27177, И € Z.)
г) sinr<-0,6.
{Ответ: ~л + arcsin 0,6 +
+2яп < t < - arcsin 0,6 + 2тш, п е Z.)
III. Итог урока
Домашнее задание
§ 18; № 318, 317 (б), 321 (б), 323 (б, г), 324 (а, в).
№318
Т ’ I	11	 I -Л	Т I	I • I	Я
a) sin 2arcsin—3arcsin — =sin 2—3 — =sm —я + —
l 2 V	2J) I 6	I	6)	<3	2
, ( 5n
= sin —
I 6
2
1	• i • У2
6) cos — arcsin 1 + arcsin----
2	2
2
( 1 71	71
= COS-----------
12 2	4
A . .УЗ	У2 f я 7i 5я
в) tg arcsin — + 2 arccos- = tg — + 2 • — = tg — =
2	2	13	4 J 6 6
УЗ
3
\ In	•i ll f'l Я ।	[ Я ]
r) ctg 3arccos(-l)-arcsin — =ctg Зя+— -ctg я + — =
I	\ J I 6 J V 6)
71
= ctg- = V3 .
О
№317
1	271
6) cost =	, x e [-я; я]; x = ±— + 2я/7, neZ.
102
Гпава II. Тригонометрические уравнения
. ч 2л _	_	_ 2л г _
1) л* - — + 2 л/г, n е Z; п = 0, х = — е -л; л 1; n = 1,
3	3
2л	2л	4л
л'-— 4-2л £ [-л; л]; /г = -1, х = — - 2л -ё [-л; л].
2) х =	+ 2л/г, n g Z; п = 0, х = е [-л; л]; n = 1,
3	3
2л	4л г
х =-----+ 2л = — £ -л; л ; /г = -1,
3	3
2л -	-8л _	_
х =-----2л =-----£ Г-л; л].
3	3
2 л
{Отвепг. ± —.)
№321
б) 2 cos д'-3 sin л* cos л = 0; cosx(2-3sinx) - 0; cosx = 0; х = — 4-л/г,
2	2
/7 g Z, или 2-3sinx = 0; sinx = —; a* = (-1)" arcsin — + л/7, n g Z.
3	3
л	2
{Ответ'. — + iin; (-1)" arcsin у + л/7, n g Z.)
№323
6) sm t > — . {Ответ’. — + 2л/7 < t <-и 2л/7, n e Z.)
2	6	6
r) sint . {Ответ: -— + 2Tin<t<- — + 2Tm,n^Z.)
2	6	6
№324
a) sin t < у . {Ответ’, -к - arcsin ~ + 2л/г < / < arcsin ~ + 2л/7, /? g Z.)
в) sin t > — . {Ответ', arcsin ^- + 2тсп <t< л - arcsiny + 2 л//, n g Z.)
Урок 34. Арктангенс и решение уравнения tgx = а...
103
Урок 34. Арктангенс и решение уравнения tgx = a.
Арккотангенс и решение уравнения ctgx = a
Цели: дать определение арктангенса и арккотангенса; вывести
формулы решений уравнений tgx = a, ctgx = a.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
№318,317 (б), 321 (б), 323 (б, г), 324 (а, в).
(Взять у нескольких учеников тетради на проверку.)
II. Повторение изученного материала
Три ученика работают по индивидуальным заданиям, два ученика
у доски 317 (а, г), № 325 (а, в).
№317
a) sinx =—, х g[0; 2л];	х = (-1)" — + кп, п е Z; если и = 0, то
2	6
х = ~ £[0; 2л],
1	тт 5л	_
если п = 1,то х = — + л - — е [0; 2л] , если п = 2, то
6	6
л	13л
х — — + 2л —--£ [0; 2л].
6	6
{Ответ\ — ; — .)
6 6
\	^2	Г П 1	I 71 П	7
г) cosx------, хе[-2л; л]; х = ±— + 2л/?, п е Z.
2	6
{Ответ'.
№325
а) 5 sin21 > 11 sin Г +12 ; 5 sin21 -1 Isinr -12 > 0 , пусть sin t = z;
5z2 — 1 Iz — 12 > 0 ; 5?-1 lz-12 = 0 ; z, = 3; z,
5
5
104
Гпава II. Тригонометрические уравнения
z > 3 sin t > 3
4 ;	4 . Неравенство sin t > 3 решений не имеет.
z < — sin t < —
L 5 L 5
о	4	• 4
Решим неравенство sin t < -л + arcsin у +
4
+2пн < t < - arcsin — + 2лп, n e Z.
5
4	4
(Ответ', (-л + arcsin у 4- 2лл; - arcsin — + 2tuT), n e Z.)
в) 6cos2/4-sin/ >4 ; 6(1-sin2/) 4-sin/-4 > 0 ;
6-6sin2 / +sin/-4 > 0; 6sin2 / - sin / - 2 < 0 , пусть sin t = z;
6z2-z-2<0;
П G Z. )
III.	Устный счет
1)	Имеет ли смысл выражение:
X • ГТ	.а1	. с/2 4-1
a) arcsin v2 ; б) arcsin—;-; в) arcsin——
ст 4-1	сг
г) arcsin(V2 -1)2; д) arccos^- у- j .
(Ответы', а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет.)
Урок 34. Арктангенс и решение уравнения tgx - а...
105
2)	Найдите множество значений выражения:
a) arcsin а
б)	arccos a.
(Ответы: а)
71 . П
У’!
,б) [0; я].)
3)	Вычислите:
V2	у/2
a) arcsin(-l); б) arcsin 0 ; в) arcsin-у ; г) arcsin ——
д) arcsin2 ; е) arcsin-y; ж) arcsin у ; з) arccos(-l); и)
arccos2;
. Л
к) arccosy-;n) arccos
; м) arccos п ; н) arccos — .
(Ответы: а) -у б) 0; в) у г) -у д) не сущ.; е) у; ж) не
\	\	\	\ Зтт .	.
сущ.; з) я; и) не сущ.; к) —; л) — ; м) не сущ.; н) не сущ.)
4	4
IV.	Изучение нового материала (§ 19-лекция)
V.	Закрепление изученного материала
Устно: №328, 329, 331.
Письменно: № 339, 340 (а, б), 343 (в, г), 344 (в, г).
№339
a)	tg(arcctgl) = tg-^ = 1.
4
б)	sin(arcctgV3) = sin у = у
х	Зя V2
в)	cos(arcctg(-l)) = cos у = --у
г) ctg
= ctg — =—
3 3
106
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№340
a)	tg2x-3 = 0; (tgx-V3)(tgx + 73) = 0; tgx = л/З; tgx = -V3;
л	л
.X = —ь mi, n е Z; х =--н mi, n е Z.
3	3
{Ответ'. ±y + o,weZ.)
б)	2tg2x + 3tgv = 0; tgv(2tgv + 3) = 0; tgv = 0 или tgv = --|; x = ян,
n g Z ; x - -arctg — + лп, n e Z.
(Ответ: тт ; -arctg+ лп, n g Z.)
№ 343
№344
в) ctgx < 2. (Ответ: [arctg2 + яя; я + я/?], n g Z.)
r) 2tgx + l>0; tgx >	. (Ответ: [-arctg — + тт\ — + яя], n g Z.)
VI. Итог урока
Домашнее задание
1.	№ 332, 333 (а, б), 336 (а, б), 343 (а, б), 344 (а, б).
2.	Дополнительно: № 346, 348.
№332
Зя я я
a) arcctg(-l) + arctg(-l) = —-—= у
7я
?2 '
Урок 34. Арктангенс и решение уравнения tgx = а...
107
в) arcctg -
л	л	л
л--------= —
3	6	2
f П / ЛЛ ( лЛ ( л
г) arccos — — arcctg( — л/3) = л— -- л —
I 2J	{	3) {	6
2л 5л
Т~"б~
4л 5л _ л
6	6	6
№ 333
a)	tgx = 1. (Ответ', х = — + лп, п е Z.)
4
гх . л/з , „	Л	„ ч
б)	tgx = —— . (Ответ'. ~— + Tin,neZ.)
№334
a)	tgx = 0. (Ответ', х = ла/, п е Z.)
б)	tgx* = -2. (Ответ', х = -arctg2 + л/7, п g Z.)
№335
a)	ctgx = 1. (Ответ', х = — + л/7, п е Z.)
4
б)	ctgx = л/з. (Ответ', х = — + л/7, п g Z.)
6
№ 336
a)	ctgx = -д/з. (Ответ', х = — + л/7, п е Z.)
6
б)	ctgx = -1. (Ответ', х = — + л/?, // е Z.)
4
№343
\	77 / /л	I л л
a)	ctgx = л/3. (Ответ'. I - — + л/7; — + лп L п е Z.)
б)	ctgx > у/З. (Ответ', ^лп; у + л/7^, // eZ.)
№344
a)	tgx<3. (Ответ'. + л/7; arctg3 + л/?^,//g Z.)
б)	3ctgx -1 > 0 : ctgx > ~. (Ответ', f л//; arcctg- + ли \ п g Z.)
108
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№346
а)	г — sin(arcsin л*);
.7 (г) = [-1; 1];j=.y;
б)	у = arctgv + arctg(-A') -
= arctgv - arctgA' = 0;
у = 0.
в) у = tg(arctgr)
г) у - arcsin х + arcsin(-x) =
Д (у) = R	= arcsin л* - arcsin х = 0
у=х-	>) = Н; 1];^ = 0.
L 16	з ,п з
sin ot = 1---= — . (Ответ’. с.)
V	25	5	5
(	12^ ,,	12	12
о) cost arcctg— I. Пусть arctg — = а , тогда ctgu = — ;
12
cos а - — .
13
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
109
в) sinarcctg—JJ . Пусть arctg| — — J —и, тогда ctga = - — ,
1Т	1	1	•	9	• 3	3	ч
а - II четв.	1 + ctg”a = —;—;	sin' а	= — ;	sin а = -	. {Ответ'.	—	.)
sin" а	25	5	5
г)
I ( $
cos arctg---------
I 12
о (Я
Пусть arctg I I = а , тогда tgcx =
-)	1	Э	1 II	1 - -
а - IV четв. l + tg“a =--------------—; cos” а =-------; cosa = —. (От-
cos2 а	169	13
12 ч
вегт. —.)
13
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
Цель: рассмотреть методы решений тригонометрических уравне-
ний.
Ход урока 35
1.	Проверка домашнего задания
№ 332, 333 (а, б) - 336 (а, б), 343 (а, б), 344 (а, б). На доске разо-
брать №346, 348.
И. Выполнение индивидуальных заданий в тетрадях
3 ученика - № 342(а, б), 342 (в, г), 341 (а).
На доске: № 345 (в, г), 347 (а, в) - 2 ученика.
№342
a) tg(n + x) = V3; tgx = V3.
(Ответ'. х = — + кп, n^Z.)
б) 2ctg(27i + x)-tg(^ + x) = л/З;
2ctgx + ctgr = 7з; 3 ctgr = л/з;
(Ответ: х = — + пп, п е Z.)
110
Глава II. Тригонометрические уравнения
в) ->/3’tg(n-.r)=l; 73"tg-v=l; tg.v=-7=
(Ответ', х-— + кп, neZ.)
(Ответ: нет решений.)
№341
tg2x-6tgx + 5 = 0 , пусть tgx = z; z2-6z + 5 = 0; zj = 5; z2=l;
tgx = 5; tgx = 1.
71
(Ответ: — + тгя; atctg5 + тм, n g Z.)
№ 345 (в, г)
в) tg2x<9; (tgx-3)(tgx + 3) < 0, пусть tgx = z; (z -3)(z + 3) < 0 ;
_3<r<3.	fz>~3 ftgx>-3>
[z < 3 [tgx < 3
(Ответ: -arctg3 +ж?; arctg3 + тш, n e Z.)
r) tg2x < 2tgx, пусть tgx = z; z2-2z<0; z(z -2) < 0; z = 0, z = 2;
[у/////?/////1------------
0	2
Jz > 0 j tgx > 0
(z < 2 [tgx < 2
(Ответ: n«;arctg2 + тш, n g Z.)
№347
a) у = arccosx +arccos(-x), у = л. D(y) = [-1; 1].
в) у = arcctgx + arcctg (-x) = n . D(y) = R.
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
111
III. Устный счет
1) Решите уравнение:
a)sinx = O;	6)cosx = 0;	B)tgx = O;
д) sin х = 1;	е) cos х = 1;	ж) tg л* = 1;
Ответы'.
ft
а) Tin;	о) — + пп;
c)2iin;	ж) -^ + Tin;
X	X ft
в) Tin;	г) — + Tin;
2
, ft _	_
з) — + 2тш , п е Z.
г) ctg х = 0;
з) sin х = -1
х ft
д) — + 2пп ;
2
2) Найдите область определения выражения:
a) arcsin 2х; б) arccos Зх; в) arctg 4х; г) arcsin (х - 2)
Ответы: а) [-у;	б)[-|; |]; в) R: г)[1;3].
3) Найдите значение выражения:
a) cos (arccos 1); б) cos (arccos 0,5);
f V2
в) sin (arcsin 1); r) sin arcsin у .
V2
Ответы', a) 1; 6)0,5; в) 1; г) -у.
IV. Изучение нового материала. § 20 п. 1.
V. Закрепление изученного материала
№349
в) 2cosx -1 = 0; cosx = — . (Ответ'. ±~ +	п е Z.)
№350
в) ctgx +1 = 0 ; ctgx = -1 . (Ответ'. — + тм, п е Z.)
4
г) д/Tctgx -1 = 0; ctgx = -у . (Ответ', у + Tin, п е Z.)
№351
. . х 1
в) sin — = —
4 2
г) cos4x = 0 ;
-^ = (- 1)" — + Tin . (Ответ'. (-1)” у+ 4лл, п-е Z.)
л ft	„ _ ft Tin _ ч
4х = —h Tin, п е Z. (Ответ'. — н---, п е Z.)
2	8	4
112
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№352
в) tg(-4x) =-4=r ; tg4x =—4х =	+ Tin, n е Z.
л/з	V3 6
(Ответ:------1- —, n е Z .)
24 4
.	( х^ , х , х Зл
Г Ctgl ~2 Г ’ Ctgi = '1; 2 =Т + ™'
Зя
(Ответ: — + 2лп, n е Z.)
Ле 353
. ~ . f, л:^ гт  f, тН V2
в) 2sin Зх— =— V2; sin Зх— =---------;
I 4)	{	4)	2
П	/ 1 \М + 1 71	•~7	I 1 \Л + ! 7Г	_
Зх — = (-1)	— + nn,neZ\ Зх = — + -1	— + 7tn,neZ;
4 V 7	4	4 v 7 4
я
Y2
А+2Е2
12 3
.	. X Я 1	. X я
г) sin---------+ 1 = 0; sin---------
12 6j	<2 6
х я	я
-----= — + 2ял,я е Z;
2 6	2
ХЯЯ_	_ X	_
— =----+ 2яп, agZ; — = — + 2ял, neZ :
2 6 2	2	3
2я .	/z-л	2я
х-——+ 4яи,я g Z. {Ответ'. —— + 4iin,n е Z.)
№354
—2sin
4
--- = (-1Г'- + ял;
3 4J	<4 3j 4 3	3
Yii+i я я z/^	/	\//+i 4я 4я	ч
”	“+~+л?7 • {Ответ', х - (-1) — + — + 4яи, n е Z.)
г) 2cos
2;
_ я я _	я я	„
Зх — = ± —+ 2яи, п е Z; Зх = ± —+ —+ 2яп, n g Z.
4	4	4 4
Я	Я 2я/1	_ .
{Ответ'. ±-----1------1--, n е Z.)
12 12	3
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
113
№ 365
X 71	Л	71
в) — = — + лл, п е Z; х = — + 2лл, п е Z; -Зя < — + 2лл < Зя ;
2	6	3	3
о 1 п о J п ^2	10	8
-3<- + 2и<3; -3— <2п<2 — ;-----<2п< —;
3	3	3	3	3
10 < < 8
6 ~П~ 6"
-1— <п<1 —, п = -1; 0; 1, если л = 0, х = —; п = 1, то
3	3	3
я 7я , я -5л
х = — + 2я = —; /? = -1,х =— 2л =----
3	3	3	3
-5л л 7л .
(Ответ'. —j—
VI. Итог урока
Домашнее задание
№ 349 (а, б) - 354 (а, б), 365 (а).
№ 349
a)	2cosx + V3=0; cosx = ——. (Ответ', х = ± —+ 2ли, n g Z.)
1	п л
б)	2sinx-l=0; sinx = — . (Ответ'. (-1)” — + ля, я g Z.)
№ 350
a)	tgx + л/з = 0 ; tgx = -\/з . (Ответ'. -у + ял, л е Z.)
б)	д/з tgx -1 = 0 ; tgx =	. (Ответ', х = — + лл, п е Z.)
V3	6
№351
a) sin2x=^~; 2х-(-1)/;	л/?, п е Z.
z/^	/ , \ п л Tin
(Ответ'. х = (-1) —+ —	Z.)
-х х	\	X 271
о) cos — =	— ;	— = ± — + 2Tin ;	х =	±2я + 6л/?, п е	Z.
3	2	3	3
114
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№352
ч . (	Х^|	V2	. X	41	X	/ lV,+| Л
a)	sin — = — ; sin— =-------; — = -1	— + ли ;
I	3)	2	3	2	3	v 7 4
х =	~“ + Зли, n e Z.
6)	cos(-2x) = -— ; cos2x = -—; 2x = ± — + 2ли, n g Z;
2	2	6
x = ±— + ли, neZ.
12
№353
Ч	*	71	.L.71 Э	7 X	7
a)	2cos----=л/3;-------= ±— + 2ли, n g Z; — = — ±— + 2ли, n g Z;
12 6)	2 6	6	2 6 6
л л
(Ответ: х = — ± — + 4nn, n е Z.)
/т (X э х (х тО 3 х л л
б)	V3tg —+ — =3; tg — + — = ~7=г; — + — = — + ля,neZ;
U 6	(3 6 Л 3 6 3
X Л	Л
— = — + Tin, n g Z. {Ответ’, x = — + Зли, n g Z.)
3 6	2
№ 354
\ Г П 1 Г П	! n 71 Э 7
a) cos----2x = -1; cos 2x— = -1; 2x — = л + 2ли, n g Z;
1.6	)	<	6 J	6
2x = — 4- 2ли, n g Z. (Ответ: x = — + ли, n g Z.)
6	12
X Л Л	„
-----= — + ли, и g z;
2 4 4
( Л X )	t ( X л
б)	tg-----=-1; tg--------
<4 2) U 4
= у + ли, и g Z. {Ответ: x = л + 2ли, и g Z.)
№365
a) sin3x = ^y-, [0; 2л]; Зх = (-1)" -^ + ли, и g Z;
x = (-1)” — + —, и g Z, если n = 0, to x = — g ГО; 2л] ; и = 1,
v 7 12	3	12 L J
to x = g [О; 2л]; и — 2, то x = g [0; 2л] ; и = 3, то
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
115
11л
12
[0; 2л]; п = 4, то х = ~~ е
[0; 2л]; п = 5, то
19л
12
[0;2л].
X =---G
х =----е
{Ответ'. —
л Зл 11л 17л 19л
4 ’ Т ’ ТГ ’ ТГ ’ ~П ’
Ход урока 36
I. Проверка домашнего задания
II. Математический диктант
Вариант I	Вариант II
a)	cos5x = -1;
б)	sin —х - 1;
в)	tg4x = л/з ;
г)	cos(-2x) =
д)	tg(2л — х) = л/з ;
е)	2tgx = 3.
1.	Решите уравнение:
a)	sin3x = -1 ;
1
б)	cos-x = 1;
3
в)	tg4x = -1 ;
г)	sin(-2x) = ^-;
ч (	Л
д)	tgl х + у 1 = 0;
е) tgx = -1,35 .
2. Построить график функции:
у = arccos - + arccos (-- |.	у = arctgVx +arctg(-Vx).
			Решение:
1)			1)
а)	л 2л/? х = — +	 5	5	, п g Z;	ч Л 2л/? а) — +	, п g Z; 6	3
б)	х = л + 4л/?,	п е Z;	б) 6л/?, п е Z;
в)	л пп X =	4-	, 12	4	п е Z;	ч Л Л/7 в)	н	,/?gZ; 16 4
116
Глава II. Тригонометрические уравнения
2)
ч , 71
г)	± — + Tin, neZ;
12
х 71
д)	4- 71/7, П G Z;
3
ч 3
е)	arctg — + Tin, neZ.
1 1
у - arccos — + ti - arccos — = ti
ч 71	'V
д) — + Tin, n e Z;
2
e) -arctgl,35 + Tin, n e Z.
2)
у = arctg Vr + л - arctgJx = n
ад = [0;+«).
III. Изучение нового материала
§ 20 п. 2, n. 3.
1. Метод введения новой переменной:
№ 355 (б)
3sin22x + 10sin2x + 3 = 0. Пусть sin 2т = t, |r| < 1; 3r2 + 10/ + 3 = 0 ;
1	'T	1	•	1 л	/ i \Л + 1	. 1	_
t] = —; b = -3 < -1 ; sin2x = —; 2x = -1	arcsin — + Tin, n eZ.
3 "	3 V 7	3
{Ответ: x =	arcsin, n e Z.)
№ 357 (г)
4sin3x + cos2 3x = 4; 4sin3x + l-sin2 3x-4 = 0;
-sin2 3x + 4sin3x-3 = 0; sin2 3x-4sin3x + 3 = 0. Пусть
sin 3x = t, |r| < 1; r - 4z + 3 = 0; t} = 3, t2 = 1; sin 3x = 1;
a я	тс	2тт
Зх =— + 2т1п, n e Z; x = — +-,neZ.
2	6	3
_ ti 2тш
(Ответ: — +-----,neZ.)
6	3
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
117
№ 372 (в)
2ctgx - 3tgx + 5 = 0, так как ctgx =--, то - 3tgx + 5 = 0;
tgx tgx
Tin	2	т
x . Пусть tgx = t, то---------3z + 5 = 0 ; -3z~ + 5t + 2 = 0 ;
3/2 -5/ - 2 = 0 ; r, = 2 , Z2 = - j ; tgx = 2 , tgx = -y;
x = arctg2 + ли, hgZ; x = -arctg^- + ли, n g Z.
{Ответ'. arctg2 + ли, -arctg+ ли, и g Z.)
2. Метод разложения на множители:
№ 360 (в)
cos х-----
2
2
V2	V2
sinx +-у = 0 , [0; 2л]; cosx—или
2
1)
2)
3)
V2 _ V2	. V2	л _	7
sinx4----= 0; cosx =------; sinx =-----; x = ±— + 2ли,и g Z;
2	2	2	4
x = (~l)n+l ~ + Tin , n e Z;
x = -^ + 2nn, n eZ', n = 0, x = g [0; 2л].
x = ——+ 2ли, n gZ; n = 1, x = -— + 2л = — g[О; 2л].
4	4	4 L J
gZ; n = 1, x = — + л = — g [0; 2л].
4	4 L J
— + Tin, п
4
л 5л 7л
{Ответ'. —;—; —.)
4 4 4
№ 373 (а)
2 cos2 — + л/з cos— = 0;
2	2
х _	*	/7 1 л х 71
cos— 2cos— + д/3 = 0; или — = — + пп,
2\	2	)	22
х _ х 5л _	_	_ х
и gZ; cos—= 0; — = ±—+2ли, и gZ; х = л + 2ли, cos—=
2	2	6	2
^7	^Л .
и gZ; х = ± — + 4ли, и gZ.
3
{Ответ’. л + 2ли; ±-^- + 4ли, и gZ.)
УЗ .
2 ’
118
Гпава II. Тригонометрические уравнения
3. Однородные тригонометрические уравнения:
№361
a) sin х + д/з cos х = 0; tg х + д/з = 0 ; tg х = -д/з ; х =	+ Tin ,
n eZ.
{Ответ'. -~ + Tin ,n eZ.)
№362
в) sin2 х = 3sinxcosx ; sin2 x-3sinxcosx = 0 ; tg2x-3tgx = O;
tg x(tgx - З) = 0; tg x = 0 или tg x = 3; x = Tin, n eZ;
x = arctg 3 + Tin, n eZ. {Ответ'. Tin; arctg 3 + Tin, n gZ.)
№ 363
r) 3sin2 x + sinxcosx-2cos2 x = 0 ; 3tg2x + tgx-2 = 0 , tgx = t;
Э	2	2
3r + t -2 = 0;	, t2 = -1, tgx = у, tgx = -1 ;
2	ti	-7	я
x = arctg — + Tin, n g Z; x =-1- Tin , n el {Ответ: — -у Tin ,
3	4	4
2
n eZ;x = arctg — + Tin, n eZ.)
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 355 (г), 358 (а), 360 (а), 362 (а), 363 (а).
Ответы и решения:
№355
г) 2sin2 —-3sin —+1 = 0; 2г - Зг + 1 =0; Л = 1 , Ь= — ;
2	2	1	2 2
sin — = 1 ; sin — = — ;	— = — + 2тт , n g	Z; — =	(-1)" — + Tin ,
2	2 2	2 2	2	v 7	6
n e Z; x = л + 4 л/?, n g Z; x = (-1),? у +	2 Tin , n	eZ.
{Ответ: ti + 4л/?, n gZ;	(-l)" у + 2тш , n	gZ.)
№358
a) 3tg2x + 2tgx-l = 0 , tg x = t; 3r + 2t -1 = 0 ;	, t2 = -1 ;
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения	119
tgx = —, tgx = -1 ; х = arctg — + ли, n g Z; x = - + Tin , n eZ.
{Ответ', arctg+ ли;х = --^- + ли,и gZ.)
№360
a) ^sin x - ^(sin x + 0 ~ 0 > [0; 2л]; sin x = ~ или sin x = -1;
x = (-1)” — + Tin ;x =	+ 2ли,и gZ.
V 7 6	2
~	’ n e Z; и = 0, x - g [0; 2л]; n = 1,
Ye[°; 2л].
Л
x = —
6
2) x = -у + 2ли , n eZ;n = 1, x = -у + 2л =	g [0; 2л] .
{Ответ'. — ; — ; —.)
6 6	2.
№362
a) sin2 x + sin xcosx = 0; sin x(sin x + cosx) = 0; x + nn ;
sin x = 0; tgx +1 - 0; x = nn; x = — + nn,n g Z.
4
.„	Зл	_4
{Ответ', лл; — + лл, n eZ.)
№ 363
a) sin2 x + 2 sin xcosx - 3 cos2 x = 0, cos2x 0, x = ^ + ли, n g Z;
tg2 x + 2tgx — 3 = 0, tgx = t; t2 + 2r-3 = 0 ; t\ = -3; t2 == 1; tgx = -3;
tg x = 1; x = -arctg3 + ли , n e Z; x=— + Tin, n g Z.
4
{Ответ'. — + ли, -arctg3 + тги , и g Z.)
4
120	Гпава II. Тригонометрические уравнения
Ход урока 37
I.	Проверка домашнего задания
II.	Устная работа
1.	Решить уравнение:
a)	sin2 .г-sinл* = 0;
б)	cos2 х- cosx = 0;
в)	1 - sin2 х = 0;
г)	tg2x = 3tgx;
д)	cos2 x-cosx = 0.
Ответы'.
а)	ля; — + 2яя ; n g Z; 6) — + nn ; 2tw, n g Z; b) — + Tin ; n g Z;
2	2	2
r)	nn\ arctg 3 + Tin, n g Z; д) + nn ; n g Z.
2.	Найти область определения каждого выражения:
a)arcos(x + 1); б) arctgVx; в) arcsin —х;	г) arctg — ;
2	х
д) arcsin (cos х); е) arcos (sin2x); ж) arctg (1 - х2).
Ответы'.
а) [-2; 0]; б) [0; +оо); в) [-2; 2]; г) (-оо; 0) и (0; +оо);
д) А; е) 7?; ж) R.
III.	Тренировочные упражнения
№364
. . -> Зх л/2	Зх
a)	sin"------= sin х - cos" — +1;
4	2	4
. ? Зх 2 Зх .	, V2	V2	у/2
sin"— + cos----sinx = l + —; -sinx = —;sinx =-------
4	4	2	2	2
(Ответ'. x = (-l)"+1^ + 7i/2, л g Z.)
№366
6)	cos x = 1, [-6; 16]; x = 2m, n e Z, если n = 0, x = 0 g [-6; 16];
n = 1, x = 2л g [-6; 16]; n = 2, x = 4л g [-6; 16].
(Ответ'. 0; 2л; 4л .)
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
121
№370
б) yjlx-x2 -(2cosx-l) = 0.
О.о. 7х - х2 > 0; х (х - 7) < 0.
О	7
лЛх-х2 = О ; х = 0; 7, или 2 cosx - 1 = 0; <
cos х = —	1
2 ; cosx = —;
-Г е [0; 7]	2
х = ±— + 2ттп, п е Z.
3
„ я 5я
(Ответ'. 0; 7; у; —
№384
в) |sin 2х| = |л/з cos 2х| х ф ~ + уу, л е Z.
I четв.
1)	sin 2х = 7з cos 2х; sin 2х - л/з cos 2х = 0; tg2x = л/з;
х = — н----уп g Z; х = — + 2я/?, л е Z е I четв.
6 2	6
II четв.
2)	sin2x = л/з cos2x; tg2x = -V3; х = -у + уу, п g Z;
х = — + 2тт ‘ п g Z g II четв.
6
III четв.
3)	sin 2х = Vi cos 2х; х = — + —, п е. Z; х = — + 2тсп ,
6	2	6
п е Z g III четв.
IV четв.
4)	-sin2x = V3 cos2x; х =	— п g Z; х = -— + 2тт ,
6 2	6
п g Z g IV четв.
я
{Ответ'. ± —+ яя , п g Z.)
122
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№ 390
б)
tg2 Зх - 6ctg
-0;
tg23x -6lg3x = 0;
tg23x (tg3x-6) = 0; tg3x = 0 или tg3x = 6; х = у,ле£
I z nn
x = - arctgo + —, n g Z.
,„	Tin 1 x Tin
(Ответ: — ; -arctgo + — , n e Z.)
№ 394 (в, г)
.	~ л/з .	л/з л ~
в) COS Зх > -у- , пусть Зх = t, COS t >	+ 2лл<Г
к
— + 2лл,
6
_	71	_	_	71	_	_
л e Z; — + 2лл<3х< —+ 2лл , n g Z.
6	6
_	л 2лл л 2лл
(Ответ:----+------< х < — +----, л g Z.)
18	3	18	3
ч . х . х 1	х _ .	1
г) 7sin— >-1; sin—> — .пусть— -i, is\x\t>—;
2	2	7	2	7
-	arcsin — + 2лл < t < л + arcsin — + 2лл, л е Z;
7	7
-	arcsin — + 2л/? < — < л + arcsin — + 2лл, n е Zr
7	2	7
-	2 arcsin — + 4лл < х < 2л + 2 arcsin — + 4лл, л е Z.
7	7
(Ответ: -2arcsin — + 4лл < х < 2л + 2arcsin — + 4лл , л eZ.)
7	7
№395
Уроки 35-37. Тригонометрические уравнения
123
-arccos — + 2пп < t < arccos — + 2пп , п е Z;
I 4 J	I 4J
- arccos — + 2 л/7 < Зх — < arccos — + 2пп , п g Z;
I	6 V 4J
71	f И	п 71	(	П	Э 7
----arccos — + 2 л/7 < Зх < — + arccos — + 2лп , п е Z;
6	<4>	6	<	4J
я	1	(	П	2 л/z	л	1	f	П	2л//
18	3	<	4J 3	18	3	I	4J 3
л 1	1	1 2л/7 л л 1	1 2лл
-------л + — arccos — +--< х < — н------arccos — н----, // е Z;
18 33	43	18 33	43
5л	1	1	2л/7	7л	1	1	2л/7	_
----+ -arccos—+-------< х <-------arccos —+----, п е Z.
18	3	4	3	18	3	4	3
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 364 (б), 370 (а), 366 (а), 376 (а), 381 (а); для сильных учащихся -
№ 392 (а).
Ответы и решения:
№364
б) cos 2x-l-cosx =--sin 2х; -cosx-—; cosx =-------.
2	2	2
{Ответ', x = ± — + 2л/7, n e Z.)
№370
I T	[ 16 — x‘ > 0
a) V16-A'" -sinx = 0; 16-х" = 0или <
sinx = 0
x = ± 4
x = Л/7
{Ответ'. 0; ± л; ± 4.)
124
Гпава II. Тригонометрические уравнения
№366
a) sinx = " [-4; 4]; х = (-1)"+1 — + л/?.
5л
(Ответ'.	; —.)
6	6	6
№376
а) 2 sin* 2 2x-5sin2xcos2x + 2cos2 2х = 0; cos2 2x^0;
2tg22x-5tg2x+2 = 0, пусть tg 2х = Г; 2г2 - 5/ + 2 = 0 ; tt = 2;
Ь = ~; tg 2х = 2; 2х = arctg 2 + л/7, n g Z; х = — arctg2 + —,
n g Z; tg 2х = —; 2х = arctg — + ял, n е Z; х = — arctg — + —,
n g Z.
Tin	1	1 Tin
(Ответ: — arctg2 + — , n е Z; — arctg —+ — ,/? e Z.)
№381
) X	XX
a) 4sin‘ — 3 = 2sin —cos—;
2	2	2
4 sin — 2 sin — cos — 3 sin — 3 cos — = 0;
2	2	2	2	2
sin2 — - 2 sin — cos — -3cos2 — = 0; tg2 — -2tg — -3 = 0, пусть
2	22	2	2	2
tg^- = t ; tgz - It - 3 = 0; t| = 3; t2 = --1; tg^ = 3;
Урок 38. Тригонометрические уравнения. Контрольная работа №2 125
~ = arctg3 + л//, п е Z; х = 2arctg3 + 2 л//, п е Z; tg^- = -l;
X 71	~	Л
— = — + Tin , п g Z; х — — + 2пп , п е Z.
2	4	2
л
{Ответ’. 2arctg3 + 2пп ; — + 2лл/ , п g Z)
№> 392
а) |cos х| = 2 cos х - л/з sin х.
f cos х > О
[cosx = 2cosx- V3 sinx
2 cos x - cos x - V3 sin x - 0;
cos x - д/з sin x = 0, cos x 0;
1 - V3tgx = 0;
ig'^;
Л
x = — + Tin ; n e Z;
6
x = — + 2Tin ; n g Z.
6
f cos x < 0
[ - cos x = 2 cos x - >/з sin x
3cosx-V3 sinx = 0;
t&v=3;
tgx = Vi;
л
X = — + Я/7;
3
n= 1,3,5
4л	_
x — — + 2Tin ; п е Z.
3
(Ответ’. — + 2т1п\ — + 2л« ; п g Z.)
6	3
Урок 38. Тригонометрические уравнения.
Контрольная работа № 2 (см. приложение)
Ответы и решения
Вариант I
1.	2 sin х + л/2 = 0, sin х = -	, х = (-1)"и — + Tin , п g Z.
2	4
(Ответ’. (-l)"+l — + тш , п g Z)
4
126
Гпава II. Тригонометрические уравнения
2.	COSI — + — | + 1	=	О,	COSI — + — I = - I,	—	+ — = Я + 2я/? , n g	Z,
<2 4J	<2	4J	2	4
х я _	v х Зя	v	Зя .
— = я — + 2ял	,	n	е Z, — = — + 2яи	, n	е Z,	х = — + 4я«	,
2	4	2	4	2
П G Z.
/хл	Зя .	_ .
{Ответ'. —+ 4ял , n е Z.)
3.	Решите уравнение соз(2я - х) - sin + х^ = 1, cos х + cos х = 1,
1	я
2cosx = 1, cosx = —, х = ±— + 2лп , n е Z.
2	3
я
{Ответ'. ± — -^2Tin,neZ.)
4.	sinхcosx + 2sin1 2 x = cos2 x , sinxcosx + 2sin2 x-cos2 x = 0,
cos2 x/0, x ~ + ли , n g Z, 2tg2x + tgx-1 = 0, пусть tgx = /,
2r + 7-1 = 0 ; D = 9, /. = —=— ; z? =-l, tgx = — , tgx = -l,
*42"	2
1	я
x = arctg — + ли , n g Z, x --\-лп ,n e Z.
2	4
{Ответ', x = arctg-^ + лп y n e Z, x = ~~ +	, n e Z.)
5. Найдите корни уравнения sin2 x-2cosx+2 = 0 на отрезке [-5я; Зя].
1-cos2x-2cosx + 2 = 0, cos2 x + 2cosx-3 = 0; пусть
cosx = /, 111 < 1, t2 +2/-3 = 0, t\ = -3; t2 = 1; cosx = -3, корней
нет, cosx = 1, x = 2лп, n g Z, -5л < 2лп < Зя, -5 < 2n < 3,
-2,5 < n < 1,5; n = -2; -1; 0; 1) n = -2, x = -4я; 2) n = -1,
x = -2я; 3) n = 0, x = 0; 4) n = 1, x = 2я.
{Ответ'. -4я; -2я; 0; 2я.)
6. Решите уравнение 3sin2 x-4sinxcosx + 5cos2 х = 2,
3sin2 x-4sinxcosx + 5cos2 x-2cos2 x-2sin2 x = 0,
sin2 x + 3cos2 x-4sinxcosx = 0, cos2 x 0, x + — + лп , n g Z,
2
Урок 38. Тригонометрические уравнения. Контрольная работа №2 127
tg* 1 2 3x-4tg^ + 3 “ 0, tgx = z, t2 -4r + 3 = О; t\ = 3; ь - 1;
х = arctg3 + Tin, n g Z, tgx = 1; x = ~ + ™ , n g Z.
71
(Ответ: —+ ял, arctg3 + 7m, n g Z.)
4
7. Найдите корни уравнения sin3x = cos3x, принадлежащие отрезку
71 ЦП
[0; 4], sin3x = cos3x, cos3x * 0, x 5 77 e Z, tg3x = 1,
я
Зх = — + Tin , n G Z.
4
n 5ti Зя 13я
П 12 7 "1?
G Z.
(Ответ:
я 5я Зя 1 Зя
77 ’ 17 ’ 7~ ’ 77 ’
Вариант II
1. 2cosx + >/з = 0, cosx = х = ± — + 2яя , п g Z.
2	6
(Ответ: ± —+ 2я/?,л g Z.)
2. sin| 2х~ — | + 1 = 0, sin| 2х~— | = -1, 2х-—~ ~— + 2т1п ,neZ,
• V 3J	V 3J	32
2х = — + 2Tin ,neZ, х =--и Tin, п е Z.
6	12
(Ответ:-----+ Tin , п g Z.)
12
3. Решите уравнение 8ш(2я-х)-со8 — + х +1 = 0, -sinx-sinx = -l,
-2sin х - -1, sinx = —, х = (-1)" — + Tin , n g Z.
(Ответ: (-1)" — + Tin , n g Z.)
128
Гпава II. Тригонометрические уравнения
4. 3sin2 x-2sinxcosx = cos2 x, 3sin2 x-2sinxcosx-cos2 x = 0,
cos2 x 0, 3tg2x - 2tgx -1 = 0, пусть tgx = z; x Ф ~ + Tin , n g Z,
3z2 - 2z -1 = 0, Zj = 1; z2 = у ; tgx = 1; х = ^ + лп , n g Z,
1 1
tgx =	, x = -arctg- + лп , n g Z.
, „ я	1	„ 4
(Ответ'. — + лл, -arctg- +ял n g Z.)
4	3
5. Найдите корни уравнения cos2 x + 3sinx-3 = 0 на отрезке -
[-2л; 4л].
1-sin2 x + 3sinx-3 = 0 ; sin2 x-3sinx + 2 = 0 , пусть sinx = Z,
|z|< 1, Z2-3z + 2 = 0, Zj=2; z2=1, sinx = 2, корней нет,
sinx = 1, — + 2лп , n g Z, -2л < — + 2лп < 4л , -1,25 < n < 1,75 , '
2	2
n = -\; 0; 1, 1) д=-1; x =-у g [-2л; 4л]; 2) n = 0.
л '
2 ’
(Ответ'. -—
i	571
3) n = 1 x = — .
2
я 5л
Г’2’Т’
6. Решите уравнение 5sin2 x-2sinxcosx + cos2 х = 4,
5sin2 x-2sinxcosx + cos2 x-4sin2 x-4cos2 x - 0,
sin2 x - 3 cos2 x - 2 sin x cos x = 0 , cos2 x Ф 0, x — + Tin ,
2
tg2x-2tgx-3 = 0, tgx = Z, t2 - 2z -3 = 0, t\ = 3; ь = -1, tgx = 3;
x = arctg3 + Tin , n g Z, tgx = -1, x =	+ Tin , n g Z.
4
n е Z,
(Ответ'. ~— + Tin, arctg3 + Tin , n g Z.)
4
7. Найдите корни уравнения sin 2x = VJ cos 2x, принадлежащие
отрезку [-1; 6], sin 2x = V3 cos 2x;	sin2x->/з cos2x = 0;
Урок 38. Тригонометрические уравнения. Контрольная работа №2 129
71 Т1П	г-	ТС
cos2x * 0, х * —+—, п g Z, tg2x-x/3 = О , 2х = — + Tin , п g Z,
4 2	3
Т1	Т1П
— + —, п е
6	2
Z.
л	л	2л	7л	5л	,
-1	—	—	—	—	о
6	3	6	3
/z_	л	2л	7л	5л	.
(Ответ'. — ; — ;	— ;	—	.)
6	3	6	3
Вариант III
1	л
1.	2sin.г-1 = 0, sinx = — , х = (-1)" — + пп , п е Z.
2	6
Л
(Ответ'. (-1)” — + Tin , п е Z.)
6
। * л । ,	„ л _	5л	г-
2.	cos 2х+— +1 = 0,	2х + — = л + 2лл	, п g Z,	2х = — + 2ли , п	е	Z,
<	6	J	6	6
5л	„
X - — + ЛЛ , Л G Z.
12
/ /~х	5 л	'у \
(Ответ: — + лп , п g Z.)
। л ]
3.	Решите уравнение sin I — + х I - cos(л + х) +1 = О
1	2л
cosx + cosx = -1, 2cosx = -l, cosx = —, x = ±— + 2ли,
2	3
П G Z.
(Ответ: ±-^- + 2лп , n g Z.)
4.	3sin2 x-4sinxcosx + cos2 x = 0 , x = — + Tin , n g Z,
2
3tg2x - 4tgx +1 - 0 , tg x = t, 3r2 - 4r +1 = 0, t\ = 1; ti = -j ,
л	1	_
tgr = 1; x = — + Tin, n e Z, tgx = — , x = arctg - + Tin , n e Z.
(Ответ: ^ + 7in, arctg-^ + лл, n g Z.)
Л. А. Обухова и др.
130
Гпава II. Тригонометрические уравнения
5.	Найдите корни уравнения 6sin2 х - 5 eosх + 5 = 0 на отрезке
[-Зя; 5я]. 6-6 cos2 х - 5 cos х + 5 = 0 ; 6 cos2 х + 5 cos х -11 = 0 ;
cosx = Z; 111 < 1, 6z2 + 5z -11 = 0 ; D = 25 + 264 = 289;
-5 + 17 ,	22	11
z, =-------- 1 ; Z9 - — - — > 1, cos x = 1, x- 2nn , n g Z.
12	’ 12	6
1) n = -1, x = -2я; 2) л = 0, x = 0; 3) n = 1, x = 2я; 4) n = 2, x = 4я.
{Ответ: -2я; 0; 2я; 4я.)
6. Решите уравнение sin2 x-9sinxcosx + 3cos2 х = -1,
sin2 x-9sinxcosx + 3cos2 x + cos2 x + sin2 x = 0,
2sin2 x + 4cos2 x-9sinxcosx = 0 ; cos2x + 0; x = —+ яя,
2
n g Z, 2tg2x + 4 - 9tgx = 0 , пусть tg x = Z, 2z2 - 9z + 4 = 0 ;
D = 81 - 32 = 49;	= 4 ; Z2 = — , tgx = 4; x = arctg4 + Tin, n e Z,
1 1
tgx = —, x = arctg — + Tin , n g Z.
{Ответ'. arctg4 + K/z, arctg“ + 7l/7 n G Z.)
7. Найдите корни уравнения л/з sin 2х = cos 2х, принадлежащие
отрезку [-1; 4], 7з sin 2х - cos 2х = 0 ; cos2x + 0; х *	,
n g Z, V3tg2x = 1 , tg2x = —U , 2х = — + лп , n g Z,
V3 6
-1 я 7я 13я	4
12	12
z „ я
{Ответ'. —
7я 1 Зя
Т2Ч ТГ ’
Урок 38. Тригонометрические уравнения. Контрольная работа №2 131
Вариант IV
1.	2 cos х - ^2 = 0, cos х =	, х - ± — + 2ты , п g Z.
2	4
{Ответ'. ±-4-2ли, и g Z.)
. f X Л^ , X Л Л _	„ X 2л _	„
2.	sin----= 1,------= — + 2тт, п е Z, — = — + 2 ли ,neZ,
<2 6J 2 6 2	2	3
4л .
x = — 4- 4 ли , П G Z.
3
4л
{Ответ: — 4-4ли , n g Z.)
3.	Решите уравнение cosf -^4-х)-зш(л-х) = 1, -sinx-sinx = 1 ,
-2 sin x = 1, sin x = —
2
X = (-1 )"+l — 4- 71П , П G Z.
6
{Ответ'. (-l)n+1 — 4- Tin , n g Z.)
6
4.	6sin2 x = 5sinxcosx-cos2 x, 6sin2 x-5sinxcosx4-cos2 x = 0,
cos2 x * 0; x = -^ 4- ли , и g Z, 6tg2x - 5tgx +1 = 0 , tg x = t,
6r -5r 4-1 = 0; t. = — ; t. = -, tgx = —; x = arctg —+ ли , n g Z,
1 2 2 3	2	2
1 1
tgx = —, x = arctg — 4- ЛИ , П G Z.
{Ответ: arctg ± 4- Tin ; arctg •- 4- Tin, n g Z.)
5.	Найдите корни уравнения cos2 x 4- 2 sin x 4- 2 = 0 на отрезке
[-4л; 2л]. 1 - sin2 х 4- 2 sin х 4- 2 = 0, sin2 х - 2 sin х - 3 = 0 ,
sinx = z; 111 < 1, r -2t-3 = 0 ;	= 3 ; t2 = -1, sinx = 3, корней
нет, sinx = -1, x = -— 4- 2тт , n g Z, n = 0, x - -— g [-4л; 2л] ;
2	2
n = 1, x =	+ 2л = — g [-4л; 2л]; n = 2,
132
Глава II. Тригонометрические уравнения
х = - — + 4 л = — ё Г-4 л; 2 л 1; п = -1,
2	2
х = —~ + 2л = g [-4л; 2л]; п - -2, х = -у-4л g [-4л; 2л].
/хл	л Зл 5л .
(Ответ'. —; —;---------.)
2	2	2
6. Решите уравнение 5sin2 х + 2sinxcosx-cos2 х = 1,
5 sin2 х + 2 sin х cos x - cos2 x - cos2 x - sin2 x = 0 ,
4 sin2 x + 2 sin x cos x - 2 cos2 x = 0, cos2 x^O; x — + ли,
2
n g Z, 4tg2x + 2tgx - 2 = 0, tg x = Z, 4r + 2t - 2 = 0,
2t2 +/-1 = 0, Л = — ;	=-l, tgx — —•; x = arctg —+ ли , n e Z,
2 '	2	2
tgr = -1, X = — + Tin , n G Z.
4
1	Л
(Ответ', arctg —+ ли, -— + ли и g Z.)
7. Найдите корни уравнения sin3x + cos3x - 0, принадлежащие
ГГЛХТ	1	ЦП
отрезку [0; 6], tg3x = -1, cos Зх ф 0; х ф — + —, и g Z,
6	3
л	Л	ЛИ
Зх = — + лп , п g Z, х =------1--, и е Z.
4	12	3
л л 7л Зл 5л
И 4 И 77 Т
п = 1
И = 2,
п = 3,
л,
4’
7л.
77 ’
11л
12
Урок 38. Тригонометрические уравнения. Контрольная работа №2 133
п = 4,	5л х - —; 4
// = 5,	19л л' =	; 12
п = 6,	23л л =	; 12
А? = 7,	27л х =	; 2
{Ответ’. -
л л ,7л л 5л
?2 ’ 4 ’ Г2 ’ 12 ’ Т’
Глава III.
Преобразование
тригонометрических уравнений
Уроки 39^40. Синус и косинус суммы аргументов
Цели: повторить определения синуса, косинуса, тангенса угла; .
ввести понятия «синус суммы» и «косинус суммы» и познакомить с '
формулами для их вычисления; вырабатывать умения и навыки вы-
полнять несложные преобразования.
Ход урока 39
I.	Устная работа
Найдите значение выражений:
1.	sin2 63° + cos2 63° = 1, sin2 а -1 = -cos2 а,
(1 + tg215°) • cos 15° =—!—, tg63°-ctg63°-cos2 20° = sin2 20°,
cos15°
tga • cosa = sin a .
2.	Вычислите: cos0° + sin0° = 1 , cos — -sin— = -——,
3	3	2
_ . Л .	71	4\/2 +1	-> Д . э 71 Л
2 • sin —+ sin" — =-, cos" —sin" — = 0 .
4	6	4	6	3
3.	Определите знак: sin 127°; cos 73; tg 175°; sin 230°; ctg 290°;
II.	Изучение нового материала
В соответствии с пунктами учебника формулы даются без вывода
(§21).
III.	Тренировочные упражнения
№ 399
а)	sin 1050=sin(600-f-450) = sin600-cos450 + cos600sin450 =
_>/з	1 V2 Уб + л/2
" 2	2	2 2	4
б)	cos 105° - cos(60° + 45°) = cos 60° • cos 45° - sin 60° sin 45° =
-1	_ л/2-Уб
2 2	2	2	4
Уроки 39-40. Синус и косинус суммы аргументов
135
№ 400
б) sin —+ се —since = sin —cos ое +cos—since— since =
3	3
i . 7з
i .
= — cos а + — sin а — sin oe = — cos а .
2	2	2	2
(	71) V2 .	71	. 71 V2 .
г) cos а + — + — sin а = cos a cos — sin a sin — + — sin oe =
4J 2
4	2
= — cos а-------sin а + — sin oe = — cos oe .
2	2	2	2
№401
6) cos(a + p) + sin(-a) sin(~P) = cos a cos P ,
cosacosp-sinasinp + (-sina)-(-sinP) = cos a cos p ,
cos a cos p - sin a sin p + sin a sin p = cos a cos P .
№408
. ( 71	. 71	7t . л/З	1 .
a)	sin —+ z = sin — cosz + cos —sinz = —cosz + — sinz =
<3	)	3	,3	2	2
f я	71	.71.	_	4 , 3 3
6)	cos — + Z	= cos — cos z	- sin — sin z = 0-1 • — = —.
<2 J	2	2	555
№410
a) sin(ce + P) = sin a cos P + cos a sin P =-4--=------= —.
17	5	17	5	85	85
n •	•	о	15	4	8	3	60-24	36
о) cos(a + P) = cos a cos p-sin a sin p =--------------
17	5	17	5	85	85
№413
a) sin 75° cos 75° = — ,
4
sin(30° + 45°)cos(30° + 45°) = (sin 30°cos45° +
136	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
+ cos 30° sin 45°) • (cos 30° cos 45° - sin 30° sin 45°) =
Д 2 + 2 ' 2 Д 2 ’ 2 2 2 ,
/ r~\2 / r-\2
V6j jyl। _A_2.-A-1
Ч 4 J [ 4 J ~ 16 16 ~ 16 “ 4
/j
6) cos2 75°-sin2 75° = -— ,
2
1 - sin2 75° - sin2 75° = 1 - 2sin2 75° = 1 - 2 •
4
8 + 2V12 _ 8-8-4V3 __ Л
8	8	2 ’
sin75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° +cos 45° sin 30° =
VI Уз VI i _ Убч-У!
2	2	2 2 ”	4
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 21. № 400 (а, в), 401 (а), 408 (в, г), 412, 413 (в, г).
Ответы и решения:
№400
a) sin(a + р) - sin a cos Р = sin a cos P + cos a sin P -
- sin a cos P = cos a sin p.
в) sin a sin p + cos(a + p) = sin a sin p + cos a cos P -
- sin a sin p = cos a cos p.
№ 408 (в, г)
3	л	4
sin t = 7, 0 < t < —, cos t = 7.
5’	2	5
ч . (я	4
в) sin —+ r = cosz = —;
U	)	5
. (it	я . л .	1 4 Уз 3 4 - 3-
г) cos — + t = cos — cost -sin—sin t  --= ----
U J 3	3	2525	10
Уроки 39-40. Синус и косинус суммы аргументов
137
№ 412
9	А л	40	. о 40	Зя	о п
sin а = —, 0 < а < —, cos а = — ; sin В =-----, — < В < 2я,
41	2	41	41	2
п 9
cos р = —.
41
a) sin(a + В) = sin a cos В + cos a sin В = — - — =-----.
U1J (41J 1681
/ ох	о •	• о 40 9	9 40	720
o) cos(a + p) = cos a cos В-sin a sin В =--+--------------
41 41 41 41	1681
№413
в) sin 105°cos 105° = sin(60° + 45°)cos(60° + 45°) =
= (sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°) • (cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°) =
_fV6 + V2VV2 £
I4 + 4 Л 4 ’ 4
r) sin2105° - cos2105° = 1 - cos2105° - cos2105° =
= 1-2 cos2105° = 1 - 2 cos2 (60° + 45°) =
= 1 - 2(cos 60° cos 45° - sin 60° sin 450)2 =
Ход урока 40
I.	Проверка домашнего задания
П. Устная работа
№402
а)	sin 74° cos 16° + cos 74° sin 16° = sin(74° + 16°) = sin 90° = 1.
6)	cos 23° cos 22° - sin 23° sin 22° = cos(23° + 22°) = cos 45° =	.
в)	sin 89° cos 1 ° + cos 89° sin 1 ° = sin(89° +1 °) = sin 90° = 1 .
r) cos 178° cos 2° - sin 178° sin 2° = cos(l 78° + 2°) - cos 180° - -1 .
№403
4	. я я я. я . (я я . я 41
а) sin —cos — + cos —sin— = sin — н-= sin — = — .
5	20	5	20	< 5 20 J 4	2
138
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
6)	2л	5л	. 2л . 5л cos — cos	sin — sin — - 7	7	7	7	= cos^-	2л 5л — + — = cos л = -1 7	7 J
B)	л	Нл	л . 11л sin — cos	+ cos—sin	 12	12	12	12	= sin^	л Нл^ . — +	 = sin л = 0 12 12 J
r)	2л л . 2л . л	(2л cos — cos — sin — sin— = cos — 15	5	15	5	U5		л	л	1 • + — = cos — = — . 5 J	3	2
№405
a) sin 5х cos Зх + cos 5х sin Зх = sin 8л .
б) cos 5х cos Зх - sin 5х sin Зх = cos 8х .
в) sin 7х cos 4х + cos 7х sin 4х = sin 1 lx .
г) cos 2х cos 12х - sin 2х sin 12х = cos 14х .
III. Тренировочные упражнения
№406
a)	sin 2х cos х + cos 2х sin х = 1, sin Зх = 1, Зх = — + 2тиг, n g Z,
б)	cos Зх cos 5х = sin Зх sin 5х , cos Зх cos 5х - sin Зх sin 5х = 0 ,
cos(3x + 5х) = 0 , cos 8х = 0, 8х = — + nn , n е Z, х = — + — п,
2	16 8
П G Z.
№416
. VI . VI и .	. л
а) --sinх4--cosx = l, cos — sinx + sin — cosx = I,
2	2	4	4
(71	1	71	71	Л
sin — + X = 1 , — + X = — + 2 л/7 , n G Z, X - — + 2л/7 , n G Z.
<4742	4
. .VI Л .	. Л VI
o) sinx + cosx = l-, cos — sinx + sin — cosx =-,
2	4-	4	2
f 71 VI 7Г / t\k • VI , ,	г-*
sin — + x = — , — + x - (-1) arcsin-\-7tk , k e Z,
U )	2	4	2
x = (-1)^ • — - — + Tik , k e Z.
4 4
№417
a)	sin x cos 3x + cos x sin 3x > — , sin 4x > — ,
2.2
Уроки 39-40. Синус и косинус суммы аргументов	139
л f я _ 5я _ I
4х g — + 2яи;----ь 2тш , п g
16	6 J
71 7Ш 571 71П\
--+----;--+---- , 77 G Z.
24 2 24 2 J
6)	cos2xcos5x-sin2xsin5x <-—, cos7x<- —,
3	3
7x g | tl - arccos — + 2ял; я + arccos - + 2 я/? |, n g Z,
I 3	3	)
1 2Tin
Г з 7
Я 1	1 271П 71	*	л	I
---arccos— + --; —+ —arccos- +- , п g Z.
77	3777	3	7 J
3	7
IV. Самостоятельная работа
Вариант I:		Вариант II:	
№406	в)	№406	г)
№409	a), 6)	№409	в), г)
№411	a)	№411	б)
№416	r)	№416	в)
Ответы и решения:
в)	sin 6х cos х +cos 6х sinx = — , sin7x = —,
2	2
7х = (-1/ arcsin — + 7ik , k g Z, 7x = (-1/ • — + 7ik , k g Z,
2	6
x = (-l)* .-+-k ,k eZ.
42 7
\ С *7	• C • -7 V3	<3
r) cos5xcos7x-sin5xsin7x =-----, cos!2x =-----,
2	2
/
12x = ± arccos
I
5я я
+ 2Т1П , n G Z, X = ± — + — n , n G Z.
72 6
. f я^ я . я 12 >/з
a)	sin /+— = sint cos — + costsin—  --------+
< 6J	6	6 13 2
Г 5	1 12^3-5
Л 13j2~	26
(	Зтс	Зя	.	. Зя	5 (	я^	12
6)	cos t + — h=cosrcos------sin/sin— =-------cos— 1-------
'v	2 )	2	2	13 I	2)	13
140	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
( • И Н 12 1 12
• -sin— =0 + — 1 = —
I 2J 13	13
x ( Л ]	Л	.	. 71	5 - yjo 12
в) cos / + — = cos/cos—sin/sin—----------
6J	6	6	13 2	13
ч . ( Зл^	(	71^	. (	Л^|
r) sin / +— = sin t COS 71+ — + COS/Sin Л + — =
I 2 J <2j	< 2 J
5 , 5
13 * 13‘
1 _ -5>/3-12
2 ”	26
= Ио+А.1=А
13
№411
я	f 4
— < а < ti , cosa = -Jl- —
2	V I 5
cos р = -
15.
17 ’
71
2
i-Г--T
I 17 J ~17 :
a) siп(ос + Р) = sin a cos р + cos a sin р =
-60-24 _ 84
85	~ 85
/ PA	a •	• n 3 (	15^	4	8
0) cos(a + p) = cos a cos p - sin a sin p =----------
5 I 17j 5 17
_ 45-32 _ 13
85 ” 85 ’
№ 416
1.	.	71	. 71 .	f Л А
в) --cosx — sinx = 1, cos — cosx-sin — sinX - 1, cos —+ x - 1 ,
2	2	6	6	<6 J
— + x = 27in , n g Z, x = -— + 2тт , n e. Z.
6	6
4
sin а = —;
5
3
5 ’
— + x = ± arccos — + 2ла? ; a? e Z, x = ±--+ 2tih , n e Z.
6	2	3 6
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 21. №404, 414, 417 (в), (г).
Уроки 39-40. Синус и косинус суммы аргументов
141
Ответы и решения:
№404
а) —cos х + — sin л' = sin — + х ,
2	2	<3	)
.я	я .	. (я . f я . (я А
sin — cosx + cos—sinx = sin —+ x ; sin —+ x = sin —+ x .
3	3	<3 J <3 J <3	)
1	V3 . Г я
o) —cosx----sinx = cos — + x ,
2	2	<3	)
Я . я .	( я^ ( я^ f я^
cos—cosx-sin —sinx = cos x + — ; cos x + — =cos x + — .
3	3	< 3 J < 3 J <	3 J
№ 414
a)	sin 2x = 2 sin x cos x, sin 2x = sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x =
= 2sinxcosx;
6)	cos 2x = cos2 x - sin2 x,
cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x - sin x sin x = cos2 x - sin2 x.
№417
4 . x . x 2	. 3x 2
в)	sinxcos—+ cosxsin — < — , sin—< —,
2	2	7	2	7
— g -я + arcsin — + 2яи;
2 L 7
2
-arcsin — + 2 tiki
7
, n g Z;
x G
2	2	.24	2	. 2 4ял
— я + — arcsin — + — я/?; — arcsin — +-
3	3	7 3	3	7	3
n e Z.
4 x x . x . x л/2 3x V2
r) cos —cos — sin—sin —>—, cos — >—,
2	4	2	4	2	4	2
3x
--G
4
f я я	( я 8я я 8я
— + 2я/г; — -и 2яи \ ,п е Z, х g — + — л; — ч-п ,
<4	4	)	I 3 3	3 3 )
П G Z.
142
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
Уроки 41-42. Синус и косинус разности аргументов
Цели: вывести формулы синуса и косинуса разности, вырабаты-
вать умение и навыки применять их, выполняя тригонометрические
преобразования.
Ход урока 41
I.	Проверка домашнего задания
II.	Устная работа
1.	Вычислите:
a)	sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20°;
6)	cos 18°cos 12°-sin 18°sin 12°;
в)	sin 40° cos 5° + cos 40° sin 5°;
r) cos7°cos38o-sin7°sin380.
i 7з V2 V?
(Ответ-, a) 6) —; в) —; г) — .)
я я . я . я
2.	a) cos—cos—sin —sin—;
3	6	3	6
.	TI	я	я	.	я
6)	sin— cos —4-cos—sin — ;
3	6	3	6
ч .Зя	я	Зя . я
в)	sin — cqs — + cos—sm—.
4	4	4	4
{Ответ', a) 0; б) 1; в) 0.)
3.	a) (cos 18°cos7°-sin 18°sin7°)2 + (sin 19°cos6° + cos 19°sin6°)2;
f я (я	(я	V (я
6)	sin — + a cos —a +cos — + a sin —a ;
<4	)	<4	)	<4	)	<4	)
в)	cos(45° + a) cos(45° - a) - sin(45° + a) sin(45° - a).
{Ответы’, а) 1; 6) 1; в) 0.)
III.	Изучение нового материала
Выполняя № 415, выведем формулы синуса и косинуса разности:
а) sin(a - Р) = sin(a + (-р)) = sin a cos(~P) + cos a sin(-p) =
= sin a cos P - cos a sin p.
6)	cos(a - p) = cos(a + (-p)) = cos a cos(~P) - sin a sin(-p) =
= cos a cos P + sin a sin p.
sin(x - у) = sin x cos у - cos x sin у
cos(x - y) - cos x cos у + sin x sin у
Уроки 41-42. Синус и косинус разности аргументов
143
IV.	Тренировочные упражнения
№419
б)	л/з cos a - 2 cos ос - — = л/з cos а - 2 cos ot cos — + sin а sin —
<	6)	<6	6.
= л/з cos а - л/з cos ос - sin а - - sin а;
ч • (	71	•	71	. 71^	.
г) <2 sin а— -sin а = <2 sin а cos—cos ос sin— -sin а =
< 4J	<4	4j
= sin а - cos ос — sin ос = — cos a.
№423
Чл/3 1.	. я	я .	. (я \
a)	—cosx — sinx = sin — cosx-cos—sinx = sin —x .
22	3	3	<3 J
№427
6)	cos 15° = cos(45° - 30°) - cos45°cos30° + sin 45°sin 30° =
2 ' 2	2 2 ~	4
a) sinl5° = sin(45°-30°) = sin450cos30°-cos450sin30° =
_	1 _ V6-V2
2 ' 2	2 ' 2~	4
№428
a) sin 77° cos 17° - sin 13° cos 73° = sin(90° -13°) cos(90° - 73°) -
- sin 13° cos 73° = (sin 90° cos 13° - cos 90° sin 13°) • (cos 90° cos 73° +
+ sin900sin730)-sinl30cos73° = cosl30sin73°-sinl30cos73° =
= sin(73° -13°) = sin 60° = yL
№432
4 . (я	A	. л	я	. л/з (	12^	1 5
a)	sin —t = sin — cost-cos—sinz =--------------------
<3	J 3	3	2 <	13j	2 13
12>/з + 5>
26	’
_	(	71^1	Я .	. Я	5
6)	cos t— = cos/cos—+ sinzsin— = sin / = — .
< 2j	2	2	13
144
Глава III. Преобразование тригонометрических уравнений
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 22.	№ 419 (а), (в), 423 (б), 428 (б), 433.
Ответы и решения:
№419
х . Л 5тг Л 1	. 5я	5я .	1
a)	sin-а —cos а = sin — cos а-cos — sin а — cosa =
<	6	) 2	6	6	2
1	>/з .	1	л/з .
= —cosa +—sin а — cosa = —sin а ;
2	2	2	2
л/з .	( 5тгЛ у/з .	5я .	. 5я
б)	—sin а + cos а-=—sin а 4-cos a cos— + sin a sin— =
2	I 3 ) 2	3	3
1
= —cosa .
2
№423
_ 1 л/з . Я . я .	(я
б) — COS X + — sin X - cos — cos X 4- sin — sin X = cos — X .
2	2	. 3	3	<3	)
№428
6)	cosl25°cos5° + sin55ocos850 = - cos 55° cos 5° + sin 55° sin 5° =
= - cos 60° = -— .
2
№ 433
3 Зя	4
cos t = —; — < t < 2я , sin t = — .
5	2	5
ч . f 7СЛ . л .л 4 7з 3 1	4Тз+3
a)	sin t— = sintcos—cost -sin— -----------------
6	65252	10
_ . ( Зя^	Зя .Зя 3
6)	sin t--= sinzcos--cosz-sin— = cosZ = —.
I 2 J 2	2	5
(	Зя	Зя	.	. Зя	4
в)	cos z--= COS Z cos — + sin z sin — = - sin z = —.
<	2 J	2	2	5
(	n]	л	.	. л 7з 3 4 1	зТЗ-4
г)	cos z — = COS Z COS — 4- sin z sin — =---.
<	6J	6	'62552	10
Уроки 41-42. Синус и косинус разности аргументов
145
Ход урока 42
I.	Проверка домашнего задания
II.	Устная работа
№421
a)	cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17° = cos(l 07° -17°) = 0.
6)	cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24° = cos(36° + 24°) = |.
в)	sin 63°cos 27° + cos 63°sin 27° = sin(63° + 27°) = 1.
r) sin51ocos21°-cos51osin21° = sin(51°-21°) = y
№ 422
ч 5л Зл . 5л . Зл Л 5л Зл Л л Л
a) cos—cos— + sin—sin— = cos------= cos—=—.
8	8	88	< 8	8 J 42
. 2л	л	2л . л	. (2л	л^	. л	>/з
б) sin — COS —+ COS—sin—= sin — + — =sin—= —.
15	5	15	5	<15	5J 3	2
ч л л.л.л ^лл^ л1
в) cos—cos—sin—sin—= cos — + — = cos— = —.
12	4	12	4	<12	4J	3 2
ч .	л	л	л	.	л	.	f л	л^	1
г) sin — cos — cos—sin—= sin--=—.
12	4	12	4	<12	4j	2
III. Тренировочные упражнения
№437
4 /Z [ Л ]	л	| л	. Л .	]
a) V2cos —x -cosx = 0,5; V2 • cos—cosx + sin —sinx -cosx =
<4 )	<	4	4	)
1	z 1ЧА . I
= cosx + sinx-cosx = sinx, sinx = —; x = (-l) arcsin —+ лл,
2	2
n g Z; x = (-l)A • — + Tin , n g Z.
6
№438
x . V2	Л .	. Л
a)----sinx-----cosx = l; cos — sinx-sin — cosx = I;
2	2	4	4
f 1 л л _	„ 3л _
sin x — = I; x---= — + 2л/7 , n g Z; x = — + 2tih , n g Z.
I 4j 4 2	4
146
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
б)	sinx-cosx = — ; -sin.v-cosx =—— \ sin л* cos —
2	2	2	2	4
. и >/2	. (	у/2
- cos л* sin — =-; sin x — =-;
42	<	4j 2
x — —~ = (-1/ arcsin —+ я£	x - (-1/ • — + — + itk , k e Z.
4	2	.	4 4
VI. Самостоятельная работа
Вариант I: № 430 (a), 434, 436 (a).
Вариант II: 430 (6), 435, 436 (6).
№430
4 cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85° - sin 15° cos 5° + cos 15° sin 5°
a)--------------------------=-----------------------
sin 195° cos 5° - cos 195° sin 185°	- sin 15° cos 5° + cos 15° sin 5°
sin750cos50-cos750cos85° _ sin750cos5°-cos750sin5°
cos 375° cos 5°-sin 15° sin 365°	cos 15° cos 5°-sin 15° sin 5°
sin 70°
cos 20°
№434
4 71	I 16	3 o 15
sin a = —; — < a < 71, cos a = -JI------------= — ; cos p =----------
5 2	V 25	5	17
< p < 7t, sin p
L 225
V 289
8
17 ’ .
\ • / p\ • R	• r * 4( 15И
a) sin(a-p) = sinoccosp-cosasinp = — --- — —
5 I 17 J I 5 J 17
60
----н
85
24__36 .
85 - 85 ’
n ....	3 ( 153 4 8
0) cos(a -p) = cos a cos p + smasinp = -— I l + y —
45 + 32 77
85	85
№435
’ R 12 R 371 R 11 144	5
sinp =----; л < p < — , cosp = - l---=------;
13	2	V 169	13
cos a = -0,8; — < a < 71, sin a = Jl -O,82 = 0,6.
2
Уроки 41-42. Синус и косинус разности аргументов
147
a)	sin(a-p) = sin ос cos Р~ cos ос sin р =
__J2_48__63
65 65 “ 65’
4 ( 15^ 3 ( 12
б)	cos(a-P) = cos а cos Р +sin а sin Р =--+ -•---
5 I 13j 5 I 13
__ 20-36 - 16
65	65 ‘
№436
->/2 sin а /-
=----------= -V2tga.
cosa-2cos — + a
6)------------------— = -V3tga;
т • I n I Я •
2sin a— \-yj3 sin a
I	6)
эГ 71	. Л .
cosa-2 cos—cos a-sin —sin a	r
\	3	3 J cosa-cosa + \/3sina
ni •	71	- 71 i 77 • \/3sina-cosa-\/3sina
2 sinacos—cosasin— -V3sina
I 6 6y
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 22, № 432 (в), (г), 431 (а), (в), 438 (в), (г);
148
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
Ответы и решения:
№432
ч . (л	12
в) sin —t = cos г =---.
U )	13
ч f л	л . л .	1 12 л/з 5
г) cos —t = cos —cosz + sin—sin г =------+------
u )	3	3	2 13 2 13
№ 431
5 V3-12
26
a)
в)
sin(a + (J) - cos a sin p _ sin a cos P + cos a sin p - cos a sin p
sin(a - P) + cos a sin p sin a cos P - cos a sin P + cos a sin p
sin a cos p _
sin a cos p
cos(a + p) + sinasinp _ cosacosP-sinasinP + sinasinP
cos(a - P) - sin a sin p cos a cos P + sin a sin p - sin a sin p
_cosacosp_i
cos a cos p
№438
x л/З 1.	1 Л .71.	, f Л ,
в)—cosx +—sinx = 1; cos—cosx + sin —sinx = 1; cos —x = 1;
2	2	6	6	U )
Л	—	7	П	'У
---x = 2тглг, n g Z; x = — + lim, n t Z.
6	6
ч /Г	, V3 1.1	( 7t 1
r) V3cosx + sinx = 1; —cosx+—sinx=—; cos x— =—;
2	2	2 I 6) 2
л л _	. л Л
X---= ± — + 271/7, n G Z; x = ±—+ —+27Г/7 , /7 g Z.
6	3	3 6
Уроки 43-44. Тангенс суммы и разности аргументов
Цель: знакомство с формулами тангенс суммы и разности аргу-
ментов и их применение на практике.
Ход урока 43
I.	Проверка домашнего задания
II.	Устная работа
1.	Упростите:
а)	cos a cos 3a-sin a sin За;
149
Уроки 43-44. Тангенс суммы и разности аргументов
б)	sin 2а cos а + cos 2а sin а;
в)	sin а cos За + cos а sin За;
г)	cos а cos 2а + sin а sin 2а.
{Ответы', a) cos 4а; б) sin За; в) sin 4а; г) cos а.)
_ sin 37° cos 8° + cos 37° sin 8°
2.	----------------------------= 1 ;
sin 30° cos 15° + sin 15° cos 30°
cos 20° cos 65° + sin 20° sin 65° _
sin 75° cos 30° - sin 30° cos 75°
III.	Изучение нового материала
Вывод формулы тангенс суммы аргументов:
z ч sin(x + y) sinx cos у + cosx sin у
tg(x + у) =--------=-------------------= разделим
cos(x + y) cos x cos у- sinx sin у
почлен-
но и числитель и знаменатель на cosх cosy;
sin х cos у + cos x sin у	sin x sin у
cosxcosy cosxcosy _ cosx cosy. _ tgx + tgy
cosx cos у sinx sin у 1 sinx siny 1-tgxtgy
cosx cos у cosx cos у 1 cosx cosy
tg(x + j) =
tgx + tgy
1 - tgxtgy
tg(x-y) =
tgx-tgy
1 + tgVtg}'
IV. Тренировочные упражнения
№440
a) tg!5° = tg(45°-30°) =
tg45°-tg30°
l + tg45°tg30°
3
6) tg75° = tg(45° + 30°) =	±11---
l-tg45°tg30°
3
в) tglO5° = tg(60° + 45°) =
tg60° + tg45°
1 - tg60°tg45°
150
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
-tg!5" = -
г) tgl65° =
_____3
№447
х Г a g g 4 tga-1 _	. _ _
a)	tg a—1 = 3; -----------— =-------= 3; tga -1 = 3 + 3tga;
\	4)	i , x .л	1 + tga
4	7	1 + tga-tg —	5
2tga = -4; tg a = -2;
л tga + 1	1 r ,
6)	tg a + — =0,2; --------= -; 5tga + 5 = 1-tga, 6tga = -4 ,
V 4 J 1 - tga 5
2	3
tga = -y, ctga = -y.
№ 449 (a, 6)
12	Зя	5	12
sina =-; я<а<—, cosa =------, tga = —.
13	2	13	5
я
(	tga + tg —
ч я	4
a)	tg a + —	=--------—
I 4 J	n
v 7 1-tgatg—
4
12	5 '7
5
17
7 '
(	n't tga-1	5^75	7
6)	tg a — = —---= -2-— =------= —.
Л	4) 1 + tga 1 + 12 5 17 17
5
№452
tga + tgP + tga-tgp = 2 tga + tgP < tga-tgP _
tg(a + P) tg(a-P) ’ tg(a + P)	tg(a-P)
_ (tga + tgP)(l-tgatgp) ' (tga - tgp)(l + tgatgp)
tga + tgP	tga - tgP
= 1 - tga tgp +1 + tga tgp = 2.
V. Итог урока
Домашнее задание
§23. №448, 450, 453,452 (а).
Уроки 43-44. Тангенс суммы и разности аргументов
151
Ответы и решения:
№448
a)	tg а = 3 и tg (а + р) = 1. Найти: tg Р; tg(a + р) =
1-tgatgp
3 + tgP = l-3tgp ; 4tg р — 2; tgp = -|.
6)	tga = — и tg (a - p) = 2. Найти: tg P; tg(a - P) =	= 2;
4	1 + tga tgp
±-tgp = 2 + -|tgP>tgp =	-4tgp = 14;tg₽ = 4-
4	4	4^2/2	4	6
№450
3/4	tt _ / w
cosa = —, 0 < a < — . Найдите:
5	2
f nA •	4	4	( nA tga + >/3
a)	tg a + — , sina = —, tga = ~; tg a+- =-j=— =
\ 3J 5	3\3j 1-V3tga
- _3___ - 4 + 3^ - 25^3+48
= ]_f.^ = 3-4V3=“	39
3
(	nA	tga-л/з	4-зТз 3	4-зТз
6)	tg a — =-----t=— =-------------f= =------.
I	3j	1 + V3tga	• 3	3 + 4V3	3 + 4V3
№453
ч (3л	(Зл	i tgx +1	tgx +1
a)	tg---x +tgx = tg-----x tgx-1; —----+ tgx =------tgx-1;
V 4	)	<4	) tgx-1	tgx — 1
tg2x +1 _ tg2x + tgx - tgx +1 tg2x + 1 _ tg2x + 1
tgx -1	tgx -1	tgx -1 tgx -1
[	71	1	(11
6)	tg a— -tga = 1 + tg — ±a tga ;
I 4J	14	)
tga + 1	, 1 + tga
—---------tga = 1 +-----tga;
1 - tga	1 - tga
-tga + tg2a + tga +1 _ 1 - tga + tg2a + tga tg2a +1 _ tg2a +1
1 - tga	1 - tga	’ 1 - tga 1 - tga
152	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
№ 452
ч 1-tga ,AFn . ,А,П ч 1-tga 1-tga 1-tga
а)----— = tg(45° - a); tg(45° - a) =---— ; ----— =-----— .
1 + tga	1 + tga 1 + tga 1 + tga
Ход урока 44
I.	Проверка домашнего задания
II.	Устная работа
№441
^t.^°.tg45o = 1.
l-tg25°tg20°
^Z^ = ctgl35° = -1.
tg7O° + tg65°
-S^S^-,g60" = A-
l-tg9°tg51°
tg54°-tg9°
№443
1O1
tga = y,tgp=
a)
6)
в)
1 £
.	, „ч tga + tgB 2 3 5 6
а) tg(a + P) = —---— = -^—i =--------
1 - tgatgP
16 5
6
6) tg(a-P)
11
2 3 _ 1
1 + - 6
6
6 _£
7 ~7
№445
1-tg2,22tg0,92
б) tgl,47-tg0,69 =	47 _	=
1 -tgl,47tg0,69	6
III. Тренировочные упражнения
Вариант I: № 446 (а).
Вариант II: № 451 (б).
Уроки 43-44. Тангенс суммы и разности аргументов
153
Ответы и решения:
№446
. tgr + tg3x !	л	1	л я	я	я
а) _Е_-®----= 1	;	tg4x=	1;	4х	= — + ял , п g	Z;	х = — + — П,
l-tgxtg3x	4	16	4
п е Z.
я	я я
- + ял , л g Z; х = — + — л ,
3	6 2
l + tg5xtg3x
n G Z.
№451
(я (я
tg — + a +tg —a
4	<8	)	18	)	(n	я	)	я	.
а)	—— у-------------v = tg - + a + --a =tg- = l;
, (я ] [я	]	I 8	8	J	4
1 -tg - + a tg --a
6)	.,e(4S.+a-0).,e45..i.
l-tg(45° + a)tga
№455
х <3 - tgx , (я	1 , я	я
а)----г-  = 1; tg — х = 1 ; х — = — + ял , л
l + TTtgr U	)	3	4
Л	„ гот Нл
л- = — + ли, л е Z;x 6 [-л; 2лI; х =-л, —;
12	12	12
№457
ч п Я	71 П О Л 1 + tgP
а)а-р =—; а = —+ Р;Р = а —; ---^=tga;
4	4	4 1-tgp
е Z;
tga = tg
№458
л
12’
13л
12
tga - tgp	о
—-----— - tga + tgP
tg(a-₽)-tga+tg0 _ 1 + tgatgP	t„„
IgU- •
tg(a-₽)tgP
^-tgp.tgp
1 + tga tgp
№459
л
tg — -ь tgx-
а) —5------
1-tg^tgx
Я 1 , я я	я
— < 1 ; х + — g — + ял; — + ял
5 J 5 I 2	4
154
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
Г 7Л	Я	I	7
X G------F Tin: — + Tin , n G Z.
A io	20	J
№460
>’i = 3x + 1, У2 = 6 - 2x.
tgj4 = 3 - тангенс угла наклона 1-й прямой; tgjb = -2 - тангенс
угла наклона 2-й прямой; yi = arctg 3; у2 = -arctg 2; tg(j/j - уг) =
i	Зл
-1; У\	— ’
4
1-6
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 454 (а), 455 (б), 457 (б), 459 (б).
Ответы и решения:
№454
а) tg(a + P)-(tga + tgP) =
_ tga + tgp + tg2atgp - tgP + tgatg2p - tga _
1 - tgatgP
tg2atgp + tgatg2p
= ————	= tgatgptg(a + P).
1 - tgatgp
№455
л
tg--tg2x
б)----------=7з
tg у tg2x +1
Л Tin
X------F---, П
15 2
29л
15 '
_ г ~ т 17л
Z. х g [-л, 2 л]; х =----;
30
л
-----f Tin, п е Z;
3
л 13л 14л
15’ "зо-’ ТГ’
n п \ л ) tga -1
= tgp ; tgP = tg a-- =----------
V 4 J 1 + tga
5
43л
30 ’
№457
6)
tga +1
№459
tg3x-l ,	Л^ , „ Л f Л
б) -------> 1; tg 3х — > 1; Зх — g — + лл;
tg3x + l	Ч	4J	4 И
(л	л	л	л
х g — + — n;— + — n L п е Z.
<6	3	4	3	)
Л	7
— + Tin , n е Z;
2	)
Урок 45. Контрольная работа № 3
155
Урок 45. Контрольная работа № 3
Вариант I
1.	Решение:
V2
) = sin45° = —
2
J_
2 ‘
a)	sin 58° cos 13° - cos 58° sin 13° = sin(58° -13°i
л	7л	Л . 7л	[71	7лА	2л
б)	cos—cos---sin— sin — = cos — +— =cos— =
12	12	12	12	U2	12 J	3
2.	Решение:
a)	cos(Z - S) - sin t sin 5 = cos/ cos S + sin t sin 5 - sin t sin 5 =
= cos/cosS.
1	. Л Л Л 1 f . Л	Л.
6)	—cosa-sin — + a = —cosa- si n —cosa + cos—sina
2	<6	)• 2 V 6	6
i	i	7з . Л .
= —cosa— cosa------sina =----sina .
2	2	2	2
3.	Решение'.
sin(a + P) + sin(a - P) = sin a cos P + cos a sin p + sin a cos P -
- cos a sin P = 2 sin a cos P .
4.	Решение:
sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0 ; sin 4x = 0 ; 4x = Tin , n e Z; x = —n ,
4
n e Z.
5.	Решение:
(л 1-tga , э 1	>	1	.
tg —a =-------— \ l + ctg“a =—7—; ctg"a = —------1;
V4 ) 1 + tga	sin~ a	sin a
э 169 ,	25	5	rTT '	12
ctg"a = —-1 = — ’ ct£a = ~ ’ так как HI четверть tga = —;
Z A	1--
tX _ X	= _L = _Z: 11 = _Z.
<4 J 1 + tga i +	5	17
5
6.	Решение:
,	( Л	f Я	я ,Л.	Л
1.	cos —+ / + cos —t = cos — cos/-sin — sint + cos — cost +
1^4	)	14 J 4	4	4
Л	у/з.	Г~	Г~	p
-t-sin — sin t - 2-cos/-V2 cos/; nicest - p\ cost----.
4	2	2
156
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
( П	У	(П	У	(	Я	.71.
2.	cos — +t cos —t = cos—cosz-sin —sin/
И	J	U	J	I	4	4
(	71	. я . V2 . yJ2 '	. '
• cos—cos/+sin—sin t = — (cos/-sin/)---(cos/ + sin/) =
I 4	4	2	2
11.1
— = — p~ —.
2 2	2
= ^-(cosi 2 * * * 6 - sin2 /) = -^(cos2 /-1 + cos2 /) = ^-(2cos2 / -1) = cos2 /“,
, ЯР (Яр}2
так как cos / = —— • —— -
2
{Ответ’, ^р1
2
Вариант II
1.	Решение:
ч .71	371	71 . Зя . ( 71 Зя . Я
a)	sin —cos — + cos—sin— = sin — + — = sin — = 1.
5	10	5	10	^5 10 J 2
6)	cos 78°cos 108° + sin 78°sin 108° = cos(78° -108°) = cos(-30°) =
2.	Решение:
a) sin(a - p) + cos a sin p=sin a cos P - cos ct sin P + cos a sin p =
=sin a cos p .
1 .	(я	^1.	я	.я.
о) — sina + cos — + a = — sina + cos — cosa-sin — sina =
2	<6	) 2	6	6
i . Я	i . я
- — sin a h-cos a — sin a = — cos a .
2	2	2	2
3. Решение:
cos(a + p) + cos(a-p) = 2 cos a cos P;
cos a cos p - sin a sin p + cos a cos p + sin a sin p = 2 cos a cos p.
4. Решение:
cos 2x cos x - sin 2x sin x = 0 ; cos 3x = 0; 3x = — + Tin , n e Z;
Я Я	яя
x = — + — n ,n e Z. (Ответ: x = — + — n , n g Z.)
6 3	6 3
Урок 45. Контрольная работа № 3
157
5.	Решение:
f 71 A tg 4 + t£a 1 + tga 9	1
U 1-tg^tga ’-tga	cos'a
,	169 , 25	5
tg'a =----1=---; tga =---, так как IV четв.;
144	144	12
z	\ 1--
fir	V и	7	17	7
tg —+a =—-/-=—:—=—.
<4	J , + J_	12	12	17
12
7
(Ответ: —.)
6.	Решение:
. Л	Л .	.71	Л .
sin — cos/ + cos—sin/ + sin — cos/ —cos—sm/ = p;
3	3	3	3
p _ pfi.
3 ’
~ . Я
2 sin —
3
.	71	|	. I 71	]	.71	Л	.	]
sin — + t sin----t = cos/sin— +cos—sin/ •
I 3	J I 3	J	<	3	3 J
( . Л	Л	.
• sin — cost -cos — sint
I 3	3
— cos/
2
1 .
— sin Г
2
1
3	,	1Z1	, x 3	,	1	,	1
= — cos" t—(1-cos" t) = —COS" /4- —cos" t —
4	4	4	4	4
,	1	л/Зр
= cos’ t —, если cosz = ——, to
4	3
4
. 3
i=w
4 3	4
Вариант III
1.	Решение:
a)	sin81°cos210-cos8I°sin210 = sin(81°-21°) = sin60° = y-
_ 5л л	. 5л . л (5л л^ Зл	41
б)	cos — cos-sin — sin— = cos — + — = cos—  --.
8	8	88 I 8 8)	4	2
158	Гпава ///. Преобразование тригонометрических уравнений
2.	Решение:
a)	cos х cos у - cos(x - у) = cos х cos у - cos х cos у - sin х sin у =
- -sinxsinj,.
. (71	\	>/3	.71	71	.	>/3
б)	sin — + а----cosa = sin — cosa + cos — sina--cosa =
U	)	2	3	3	2
7з	i . Л	i .
= — cos a + — sin a--cos a = — sin a
2	2	2	2
3.	Решение:
sin(a + p) - sin(a - p) = 2 cos a cos P .
sin a cos p + cos a sin p - sin a cos p + cos a sin p = 2 cos a sin p .
4.	Решение:
sin 5x cos x - cos 5x sin x = 0 ; sin(5x - x) = 0; sin 4x = 0 ; 4x = Tin ,
71	71
n g Z; x = — n , n e Z {Ответ: —n, n e Z.)
4	4
5.	Решение:
1	,	о 25 , 16	4
--— = l + tg'a = ; tg"a = —-1= —; tga = -;
cos' a	9	9	3
я	, 4
tgf71 ccL t8^~tga--- 1-1ёа	~3 :: 1.7_ 1
> 1 + tg —tga- 1 +	~ 1+ -~ 3 4 *’3~ 7'
64 6	3
6.	Решение:
(71	\	(71	\ Я	. Я .
COS —+ / + COS-----I = COS —cos/-sin—sin/ +
<6 )	<6 )	6	6
Я	. Я .	Я ’ nr	p
+ cos—cos/ + sin —sin/ = 2cos—cos/=v3cos/; cos/ =	= ——•
66	6	7з з
(7t A	(я	A
COS — + / COS------1
16 J	<6	J
— cos/ + — sin/
I 2	2
V3
—cosr
2
1	I	3	2	1 . ?
—sin/ =—COS t-------Sin‘/ =
2	)	4	4
3	7	1	7X	7	1	P
= — cos" / — (l-cos“ /) = cos" / —, если cos / = -^=, to
4	4	4	7Г
f p 1	1,1
lV3j 4 3	4
Урок 45. Контрольная работа № 3
159
Вариант IV
1.	Решение:
ч .5л	л	5л	. л	. f 5л	лА	. л
a)	sin — cos —4-cos—sin — = sin — + — = sin — = 1.
14	7	14	7 Ы	7j 2
6)	cos 78°cos 18° + sin 78° sin 18° = cos(78° -18°) = cos 60° = |.
2.	Решение:
a) sin a cos p - sin(a -P)=sin a cos p - sin a cos p + cos a sin p =
=cos a sin P .
' Гл л/з . л . л . у/З .
o) cos — 4-Х 4- — sin x = cos—cos x — sin— sin x 4-— sin X =
{3	) 2	3	3	2
i	7з . Vs . i
= — cos x---sin x + — sin X = — COS X .
2	2	2	2
3.	Решение:
cos(a 4- p) - cos(a - P) = -2 sin a sin p.
cos a cos P - sin a sin p - cos a cos p - sin a sin p = -2 sin a sin P.
4.	Решение:
cos 4x cos x 4- sin 4x sin x = 0 ; cos(4x - x) = 0 ; cos 3x = 0;
3x = — 4- Tin , n e Z; x = — 4- — n , n e Z. (Ответ'. — +—n9neZ.)
2	6 3	6 3
5.	Решение:
cosa = -	, 16	3	4 f 3 3	4 / 25	5	5 f 5 J	3
( Я tg -4-a <4	1	4 + tga _ 1 + tga 1 + tga ? з _ 1 . 7 _ 1 G-tg^tga '-tga’ 1-tga’l + 4’ З3- 7’
.	71	J	. । Л	।	. Л	Л.
6.	Решение: sin — + t 4-sin —t = sin — cost 4-cos—sinZ.4-
<6	)	16	)	6	6
. Л	Л .	. Л
4-sin—cost -cos—sinz = 2sin—cost = cosz; cos t-p;
6	6	6
. ( Л . (Л
Sin —4-Z Sin----Z
^6 )	<6 )
fl	л/з .
— COSZ 4- Sinz
I2	2
f 1	л/З .
— cosz-----sinz
I2 2 )
1	,	3 . ,	1	2	3 /.
= —cos“Z—sin~ z — — cos z-1 — cos" z
4	4	4	4?
160
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
1	7 о о 7	э J
= — cos" t — + — cos" t = cos t —, если cos t = p, to
4	4 4	4
7	3	2	3	7	3
cos" t — = p —.{Ответ: p~-----r)
4	4	4
Уроки 46-47. Формулы двойного аргумента
Цели: вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить
sin 2х, cos 2х, tg 2х через sin х, cos х, tg х; показать их применение;
развивать умение использовать эти формулы в тригонометрических
преобразованиях.
Ход урока 46
I.	Анализ контрольной работы № 4
I.	Анализ допущенных ошибок.
2.	Выполнение работы над ошибками.
II.	Изучение нового материала
1.	У доски трое учащихся записывают формулы синуса, косинуса,
тангенса суммы и разности аргументов.
2.	Из формул:
cos(a + Р) = cos a cos Р - sin а sin Р;
tgot + tgP
sin(a + p) = sin a cos р + sin р cos a; tg(a + P) =-— , путем
1-tgatgp
замены p на а самостоятельно вывести формулы:
о 2	2	• ~ э	+ ~ 2tga
cos 2a=cos a-sin a; sin 2a = 2 sin a cos a; tg2a =-—.
l-tg~a
3.	Показать применение данных формул:
sin 1 2х = sin 2 • 6x = 2 sin 6x • cos 6x;
X	X	X
sin x = sin 2 • — = 2 sin — • cos —;
2	2	2
cos 4x = cos 2 • 2x = cos2 2x - sin2 2x; tg — - 2t = tg2 • — -1
U ) 6 <8
; sin 5,5/ • cos 5,5/ - — sin 11/.
2
2tg(j-'l
V о J
1	7 f я
!-tg-
К о J
Уроки 46-47. Формулы двойного аргумента
161
4.	Самостоятельно разработать правило 1; правило 2, с. 119.
III.	Закрепление изученного материала
№464
- = sin 30°.
2
Л/3
6) cos30° = —
2
а)
г)
cos2 75°-2sin75°-cos75° +sin2 75 = 1-sin 150° = —
2
cos215° + 2sin 15°-cos 15° + sin215 = 1+— = —.
2 2
№465
a)	sin — = —
4	2
в) cos — = —
4	2
№466
1 V2 1
6)	+ - = •
2 2	4
A 72 ( 72
r)-----1 + —
2	2
= -1.
4
a) tg30° = -^.
7з
№470
. .	5 я
a)	sinr = — ; — < t <
13 2
Найти: sin 2t.
Решение:
Я.
1 я 1
6)	-tg- = -
2 4 2
sin 2t = 2 sin t cos t ; cos t = ±71 - sin2 / ;
25 ^ + 12
169 "“13
Я
Так как — <t 
2
n 5
sin 2/ = -2 —
13
144
6)	cos2r =----
169
x .	120
в)	tg2r =------
119
a	12
71 , TO cos t < 0 и cos t ---,
13
12 _ 120
13 " 169
25 _ 119
’169 " 169
119
г)	ctg2r =-----
120
6 Л. А. Обухова и др.
3
162
Глава III. Преобразование тригонометрических уравнений
№479
a) sin 2х-2 cosx = 0; 2sinxcosx-2cosx = 0; 2cosx(sinx-l) = 0;
г м	х = — + пк,к е Z
cos х = 0	2	я	,	,
;	; х = — 4- лк, k е Z.
sin л' = 1	я	2
L	А' = — + 2ял, п G Z
L	2
(Ответ', х ~ ~ + ^к, к е Z.)
№ 482
a) sin 11 ° 15'• cos 11°15'-cos22°30'-cos45° -
= -sin 22°30' • cos 22°30' •cos 45° = - sin 45° • cos 45° = -.
2	4	8
№484
Предварительно вывести формулы:
. _ 2sinx-cosa' 2sinx cosx
sin 2x =---------=-------------—
1 cos‘x + sin~x
2tgx	1 —tg2x
-----— ; cos 2х =------7- .
1 + tg\v	1 + tg“x
Так как я < x < —, то 2я < 2х < Зя.
2
2.2	2
a)	sin2x =---^-7 = 7^- = —.
ГЗ? 25	25
1+ -	77
I 4 \ 1о
в) tg2x = —.
Домашнее задание
№485,473,487.
б)	cos2x = —= —.
1Л 25
16
ч	7
г) ctg2x = — .
Ход урока 47
I.	Проверка домашнего задания
№473
ч 2 sin/(cos г — 1)	.
а)		= 2 sin t.
cos / -1
Уроки 46-47. Формулы двойного аргумента	163
cos2 z-sin2 Z-cos2 Z
6)	------------------= -1 •
1 - cos" z
x ~ •	COSZ ,	Э
в)	2 sin z cos z----1 = 2 cos" t -1.
sinz
z	ч . sinz .	cosz .
r) (tgz + ctgz)sin2z =------2sinzcosz +-------2sinzCOSZ =
sinz
cosz
= 2sin2 Z + 2cos2 z = 2.
№485
4 3л
ctgx =	— < x < 2л.
Решение:
2
4
/4
Так как ctgx = то tgx = -
X • n 2tgX
a) sin 2x =-------—
l + tg“.x
б) cos 2.x =
1+tg X
x sin 2x
B) tg2x =----—
cos 2x
7
r) ctg2x = -—.
4;	2	24
U~H~
16	16
_9_
l~tg2* _ 1 16	2
T’’25'
16
24
25
№487
Доказать тождество:
• ~
sin 2z-2 sin —Z
X	U J
a)-----7----------- = -2ctgz.
(71	]	. э
cos —z —sin" z
12	)
Доказательство:
. f Л	j	I 71	I	.
sin —z = cosz и cos —z = sinz;
u	J	<2	)
sin2z-2sin----1
cos —z -sin" z
12 • J
6”
164	Гпава ///. Преобразование тригонометрических уравнений
2 sin/ cos/ -2 cos/ 2 cos/(sin / — 1)
=--------------;-----= —----'-------2- = -2ctgr.
sin/-sin" / -sin+(-l 4-sin/)
1 - cos 2/ + sin 2/	( л
-----------------tg —
1 + cos 2/+ sin 2/	(2
, 1-cos2/+ sin 2/	( л
1 ;---------------tg --/
1+ cos2/+ sin2/ (2
X
= cos—.
2
sin21 + cos2t - cos21 + sin2 / + sin 2t
=	—-------3--------i---—------— ’	=
sin" / + cos‘ t + cos“ t - sin“ / + sin It
2sin2/ + sin2/ 2sin2 / + 2sin/cos/
=	--------------ctg/ =------------------ctg/ =
2 cos** t + sin 2/	2 cos“ t + 2 sin t cos /
2sin /(sin /4- cos/)
= -----—------------- • ctg/ = tg/ • ctg/ = 1.
2 cos/(sin/4-cos/)
2. Упростить:
№462
a) sin/;	6)2tg3/; в) sin"/;	r) sin/.
№463
a) 2cos 20°; 6) cos 40° - sin 40°; в) sin 50°; r) cos 18°.
№467
x . X X 1	. X X 1 .
a) sin — -cos— = —-2sin — -cos— sinx.
2	2 2	2	2	2
-> X 2 X	- (X
o) cos —sin — = cos2- —
4	4	<4
в) sin 2x • cos 2x = — • 2 sin 2x • cos 2x - — sin 2 • 2x = — sin 4x.
2	2	2
.	2 X	. 2 X	X
r) cos —sin — = cos2- — = cosx.
2	2	2
II. Закрепление изученного материала
№476
a)	(sin / - cos /)2 = 1 - 2 sin t • cos / = 1 - sin 2/.
6)	2 cos2 / = 1 + cos 2/, так как
1 + cos 2/ = sin21 + cos21 + cos2 / - sin2 / = 2 cos2 /.
в)	(sin/+ cos/)2 =1-i-sin2/.
r) 2 sin2 / - 1 - cos 2/, так как
1	- cos 2/ = sin2 / + cos2 / - cos2 / 4- sin2 / = 2 sin21.
Выписать на листок формулы:
2	cos21 = 1 4- cos 2t ; 2 sin21 - 1 - cos 2/.
Уроки 46-47. Формулы двойного аргумента
165
№ 490 (б, г)
ч	~ sin 4х
a) cosx cos 2х =-----;
4 sinx
sin4x 2sin2xcos2x 4 sinx cosx cos 2x	_
------=-------------= — -------------- - cos v. cos 2x.
4sinx 4sinx	4sinx
в)	аналогично.
Л sin8x sin8x 8sinxcosxcos2xcos4x
o) cos x cos 2x • cos 4x = —:; -=----------------------
8sinx 8sinx	8sinx
= cos x • cos 2x • cos 4x.
г)	аналогично.
№492
ч л	2 л	4л 8л 16л
a) cos — cos—cos—cos — cos-----=
33	33	33	33	33
~ . л л 2л 4л 8л 16л
2 sin — cos — cos — cos — cos — cos-
_	33	33	33	33	33	33
о • л
2 sin —
33
— . э л 2л 4л 8л 16л
2sin“ —cos—cos—cos—cos-------
_	33	33	33	33	33
4 sin —
33
_ . 4л	4л	8л ' 16л
2 sin — cos — cos — cos-
33	33	33	33
8 sin —
33
_ . 8л	8л	16л
2 sin — cos — cos-
33	33	33
16sin —
33
.32	. (
_ . 16л	16л
2 sin---cos-----
33	33
32sin —
33
. 32
sin — л .
33 = 1
• 71	32’
32 sin —
33
.	, л . л
так как sin — л = sin л--------= sin —.
33 J 33
33
№493
a) 2-cos2x + 3sinx = 0 ; 2 • 1 - cos 2x + 3sinx = 0 ;
2(sin2 x + cos2 x)-cos2 x + sin2 x + 3sinx = 0 ;
2sin2 x+2cos2 x—cos2 x+sin2 x+3sinx=0;
3sin2 x+cos2 x+3sinx=0; 3sin2 x + 1 -sin2 x + 3sinx = 0; 2sin2x +
+3 sin x +1 — 0 . Пусть t = sin x; 2r + 3t + 1 = 0;
166
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
1
f, = —
2
sin х — — 1
1
sin х = —
2
- — + Ink,
2
1 я .	„
— + пн, k,n g Z.
6
Возможен другой вариант. В № 476 доказана формула
l-cos2x = 2sin1 2 3 х, тогда 1 +1-cos2x + 3sinx = 0 ;
1 + 2 sin2 х + 3sin х = 0 и т. д.
№497
а) Сколько корней имеет уравнение:
(cosx-sinx)2 =1-2sin2x на отрезке
20л,28л
9 ’ 9 J’
cos2 x-2sinxcosx + sin2 x = 1 -2sin2x ; 1 -sin2x = 1 - 2sin2x,
• Э Л Э	7	71	7	20л /	2871
sin 2x = 0; 2x = Tin,	n g Z;	x = —,	и g Z;	-<	x <-;
2	9	9
2 c z 5л
— , n = 5,6; x - — ;
9	2
л
20л л	28л 40
----< — n <----; —
9	2	9	9
x = 3л.
{Ответ'. ; Зл.)
№ 499 (a)
2 '
56 л 4
—; 4-
9	9
sin х + 7 cos х = 5 ; sin х =
2tg2
------— ; cos x =
1 + tg21
новка называется универсальной.
--------, такая подста-
1	> х
l+tg--
2tg- J-tg Э
------^- + 7-—^- = 5; 2tg- + 7-7tg2- = 5 + 5tg2-;
l + tg2- l + tg2-
12tg2 —-2tg —-2 = 0 . Пусть Z = tg тогда 12z2 -2z - 2 = 0 ;
1 ±5
D= 1 + 24 = 25, z = -tt-
1
z = —
2
1
z - —
3
Урок 48. Формулы понижения степени
167
X	1
— = arctg — + ян
2	2
х	1	_
— - arctg-----1- Tin, n e Z
L2	3
x = 2arctgy + 2тсп
x = -2arctg — + 2Tin, n e Z
Домашнее задание
№ 497 (б), 499 (б), 482. Дополнительно 502 (а, б).
Урок 48. Формулы понижения степени
Цели: вывести формулу понижения степени; совершенствование
навыков в освоении формул двойного угла, понижения степени.
Ход урока
I.	Проверка усвоения изученного материала
1.	Вычислить:
a)	sin 35°25' • cos24°35' + sin 24°35' • cos35°24' = —.
2
б)	cos75°-cos 15° +sin75°-sin5° = —.
2
№475
к z, > х 2 COS2 Z-sin21	>
a)	(l-tg’Z)-cos t =---------cos“Z = cos2z.
cos“ z
of	+ t	+ H	э (Л + Н	~ Л 7Г	Z Л	О - Z
6)	2 cos-----sin ------ = 2 cos - = 2 cos —+ — = -2 sin—.
I	4	4 J { 2 J <2	2j 2
168
Гпава ///. Преобразование тригонометрических уравнений
№ 502 (б)
cos" — sin" — > — ; cos— > —
4	4 2	2 2
- — + 2лл < — < — + 2ля, n е Z;
3	2 3
2л . 2л	.	_
'----+ 4лп < х < — + 4 ли, n g Z.
3	3
№499
х	,	-> х
2tg-	1-tg'-
б) 5------—+10------- + 2 = 0;
1 + tg--	1 + tg'-
10tg| +10- 10tg1 2 * ч-| + 2 + 2tg21 = 0; -8tg-’^ + 10tg|- + 12 = 0;
4tg" —5tg — 6 = 0 .
2
Пусть tg— = n, тогда; 4и2 -5n-6 = 0; D = 25 + 96 = 121,
n = 2
з;
n = —
4
5 ± 11
n =-------
8
tgr2 .
x 3 ’
tg2 ~~4
3
x = 2arctg2 + 2ли; x = -2arctg— + 2ли, n g Z.
4
№482
2
a) - sin 11 ° 15' • cos 11015' • cos 22°30' • cos 45° =
2
2	2
= — sin 22°30' • cos 22°30' • cos 45° = — sin 45° • cos 45
4	8
Л Л Л Л 1 . Л Л Л
6) sin — cos — cos — cos —=—sin — cos — cos — =
48	48	24	12 2	24	24	12	'
1 . Л	Л	1 . Л
=—sin — cos— = - sin — -
4	12	12 8
№497
ч л	л	л	3л
a) —<-----+	;
. 2	24 2	2
8
л
12 2
L
6 ’16
1	1	л	1	3	1
—I < — < 1— ; 1 + —
2	24	2	24	2	12
12 ’
Урок 48. Формулы понижения степени
169
то есть п = 2; 3;
л 23л
X = л----=-----
24	24
_ Зл л _ 35л
Х~Т~24~1а
б) 2cos21 2х-— j-2sin21 —~2х 1 + 1=0;
I 4j U J
71. Зл
j’Tj
2cos2| 2х~— | + 1=0; cosf 4л'-—| = ~—; sin4x = -—;
I 4j I 2 J 2	2
л	.	(	1 ]	.
4х = arcsin — + 2лп
I 2J
4х = л-arcsin |-—| + 2л£, neZ, ktZ
I 2)
л л
х =---+ — п
24 2
7л л,	,
.¥ =--+ — к\ n,keZ.
L 24л 2
л 7л л
— < — + —У
2 24 2
1- —<А<
12
7л л
х = — + —
24 2
7л
X =---+ 7
L 24л
зл. 2
2 ’ 2
7 5
12 12
19
х- —
24
31
х = —
24
7 k_
24 2 < 2 24 ’
/ n $
k < 2 — ; так как ,
12
19	23	31	35
{Ответ: —л, —л, —л, —л.)
24	24	24	24
II.	Изучение нового материала
Вернуться к № 476 и самостоятельно прочитать учебник, с. 122-124,
разобрать примеры.
III.	Фронтальная работа с классом
№507
2
.	l-cos45'
a)	sin 22,5° = J------
2
2
2
170 Глава Ш. Преобразование тригонометрических уравнений
№509
б)	l-cos.r = sinxsin —, так как 1 -cosx = 2sin" — и
2	2
X X	э X	X -) X
sinx = 2sin — • cos— ; 2sin" — 2cos—-sin" — = 0:
2	2	2	2	2
2sin2 l — •[ 1 —cos— 1 = 0;
2 I 2
• 2 * n
sin — = 0
2
1 - cos— = 0
2
sin — = 0
2
-cos— = -1
2
X
— = 71/7
2
— = 2tm, n e Z
2
x = 2nn
x = 4тш, n e Z.
№512
ч	3	„	7Г	т T	t	. t	t	t
a) cosz = —;	0 < t	< —.	Наити	cos—	;	sin— ;	tg— ;	ctg— .
4	2	2	2	2	2
Решение:
Z	/7"	-2^1	2^1	• t	П"
cos—=—; sin — = l-cos — = -, a sin—= J-;
2	V8 2	28	2	V8
№514
sin2z cosz z
-----------------= tg —.
l + cos2z 1 + cosz 2
Доказательство:
sin2z cosz 2sinz cosz cosz sinz 2sin cos
-----------------—	=------------------------—-----±— tg — .
l + cos2z 1 + cosz-2cos2z	1 + cosz 1 + cosz 2cos2-
cos
Урок 48. Формулы понижения степени
171
Г
—7
и
2 z-2sinzcosz 2cosz(cosz-sinz)
№515
1 + cos2z -sin 2г
б)---------------= tg
1 + sin 2/+ cos 2/
Доказательство:
1+ cos2z-sin2z _ 2 cos
1 + sin2z + cos2z 2cos21 + 2 sinz cosz 2cosz(cosz+ sinz)
.	. V2 V2 V2 .	. 7t 71 .
(cos z-sin Z)— —cosz------sinz sin —cosz-cos —sin Z
2 = 2 2	_ 4 4
x/2	x/2	Jl	71	. 71 .
(cos z + sin z) ——- — cos z + — sin z cos - cos z + sin - sin z
2	2	2	4	4
После (*) можно прерваться и начать работу с первой частью:
я
( я	1 - tgz cosz-sinz
tg I — z =----------=-------=----------, то есть повторить
<4	) « , . к 1 н-tgz cosz + sinz
v 7	1 + tg —-tgz 6
4
разные способы доказательства тождеств.
№517 (а)
/(х) = 2cos2x + sin2 х, так как sin2 х = ~-^-cos2x, то
11	3	1
/ (х) - 2 cos 2х + +--cos 2х = — cos 2х + —.
7	2 2	2	2
Из свойств функции g(z) = cosz и свойств неравенств следует:
3 3
-1 < cos 2х < 1; — < — cos 2х
2 2
-1 < /(Л-) < 2 .
(Ответ. 1>Ушах — 2.)
№ 521 (а)
4sin2 x + sin2 lx - 3 | х | < 4;
sin2 2х = 1 - cos2 2х, получим
2-2 cos 2х +1 - cos2 2х = 3; cos2 2х + cos 2х = 0;
2 2 ’
2 ’
2 2
2
. 2	1 - cos 2х
sin X =-----------
• 2
l-cos2.v 2
4-----------+1 - cos 2х = 3;
172
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
cos 2х = 0
cos 2х - 1’
cos2x(cos2x + 1) = 0;
2х = — 4- лп
2
2х = 2лк, n,k е Z
к л
4 2 Так как | х | < 4, то -4 <х < 4:
х = лк, n,k е Z.
71 Л
1) -4< — +—п<4; -16 < л + 2лп < 16 ; -л-16 < 2лп < 16-л ;
4 2
Л + 16	16-л	1 Л 1 Т
-----< п <------; п = -3; -2; -1; 0; 1; 2.
271	271
-4	4
2) -4<лк<4; — <к<-\ Л = -1;0; 1.
л	л
5л	37Г	71	71	371	571	_
(Ответ'.---;-----; —; —; —; —; -л; 0; тс.)
4	4	4	4	4	4
Домашнее задание
№513 (б), 515 (а), 519 (а), 520 (а).
Уроки 49-51. Преобразование сумм
тригонометрических функций в произведение
Цели: вывести формулы; отработать навыки в применении их;
проверка усвоения изученного материала.
Ход урока 49
I.	Самостоятельная работа (8-10 мин)
Вариант I
Упростить:
sin/	cos/
а) ------; б)-----------
/	/	. t
2 cos— cos —+ sin —
2	2	2
{Ответ', a) sin — ; 6)
/	. t .
cos—sin—.)
2	2
Вариант II
x sin4/ cos2/-sin2/
a)------; 6)------------
cos 2t cos 4t
(Ответ: a) 2sin 2/; 6)
---7.--y-)
cos 2/ 4-sin 2/
Уроки 49-51. Преобразование сумм тригонометрических функций... 173
II.	Изучение нового материала
1.	Рассказ учителя, опирающийся на материал учебника.
1)	Сумма синусов.
2)	Разность синусов.
3)	Сумма косинусов.
4)	Разность косинусов.
2.	Работа учащихся с учебником (с. 127, пр. 1 (а, б, в)).
3.	Опираясь на пример 1 (в), решить уравнение:
. (я .
sin х + sin —х =1;
U J
sin х + cos х = 1
71
хн-----X
о
2 sin-----------cos
2
(	71 1
COS X------=
I	4 J V2
71
—+ Х	/	\
—----= 1; 2sin — -cos х-— = 1;
2	4 4J
71	, 71 _	7Г 7Г
— = ±—+ 2лщ х = — ± — + 2тш, п е Z.
4	4	4 4
(Ответ: 2пп, — + 2тслг, n g Z.)
III.	Закрепление изученного материала
№ 523
a)	sin 40° + sin 16° = 2 sin 28° • cos 12°.
6)	sin 20° - sin 40° = 2 sin(-10°) • cos 30° = 2 sin 10° cos 30° =
= -V3sinlO°
в)	sin 10° + sin 50° = 2 sin 30°  cos(-20°) = 2 • cos 20° = cos 20°.
r) sin 52°-sin 36° = 2 sin 8°-cos 44°.
№524
a)	cos 15° + cos 45° = 2 cos 30° • cos(-15°) = х/з cos 15°.
6)	cos 46° - cos 74° = -2 sin 60° • sin(-14°) = х/з sin 14°.
в)	cos 20° + cos 40° = 2 cos 30° • cos(-10°) = х/з cos 10°.
x/2
r) cos75°-cos 15° = -2sin30°-sin45° =--—.
'	2
№ 529 самостоятельно (по вариантам)
Вариант I
cos68°-cos22° -2sin45°-sin 23°	,
a)---------------=-----------------= -1 .
sin 68° - sin 22°	2sin 23°-cos45°
174
Глава III. Преобразование тригонометрических уравнений
Вариант II
_ sin 130° + sin 110°
б)		
cos 130° +cos 110°
2 sin 120° -cos 10°
2 cos 120°-cos 10°
= tg!20°--V3 .
№532
a)	cos x + cos 3x = 0; 2 cos 2x • cos(-x) = 0;
It	71
— + — П
4	2
я
X = — 4- Tin, n e. Z.
2
(Ответ: +	— + nn,ne Z.)
6)	sin 12x + sin 4x = 0; 2 sin 8x • cos 4x = 0;
71
X = —n
8
Сделаем выборку
71	71
x = — + — n, n e Z.
L 8 4
корней на окружности:
cos2x = 0
cosx = 0
sin 8x = 0
cos4x = 0’
(Ответ: — п, п е Z.)
Домашнее задание
§ 26, пр. 1, пр. 2. № 527, 530, 531, 534 (а).
Ответы и решения:
№ 527
a)	sin 3t - sin t = 2 sin t • cos 2z.
6)	cos(a - 2p) - cos(a + 2P) = -2 sin a • sin(-2p) = 2 sin a sin 2p.
в)	cos 6t + cos 4t = 2 cos 5t • cos t.
r) sin(a - 2P) - sin(a 4- 2p) = 2 sin(-2p) • cos a = -2 sin 2p cos a.
№ 530
a)	sin35°4-sin25° = 2sin30°-cos5° = cos5°.
6)	sin 40° 4- cos 70° = sin 40° + sin 20° = 2 sin 30° • cos 10° = cos 10°.
в)	cos12°-cos48° = -2sin30°-sin(-18°) = sinl8°.
r) cos 20° - sin 50° = cos 20° - cos 40° = -2 sin 30° • sin(-10°) =
= sin 10°.
Уроки 49-51. Преобразование сумм тригонометрических функций... 175
№ 531
ч sin2а + sin6а 2sin4а-cos2а
а)--------------=--------------= tg4a.
cos 2а + cos 6а	2 cos 4а-cos 2а
cos2а-cos4а -2sin3a-sin(-a)
б)--------------=---------------—- = tg3a • tga.
cos 2а + cos 4а 2 cos За-cos а
№534
71	Я
- + Г --t
ч 1	я	_ . з	.3
a) — cos t = cos—cos t = -2 sin-sin —-=
2	3	2	2
. (я t A . Г я
- -2 sin —+ — sin —
<6 2)	<6
я	я
/г	- + /	--/
_ УЗ .	. я _ . 3	3
б) — + sin t = sin — + sin t = 2 sin-cos-=
2	3	2	2
= 2 sin
Ход урока 50
L Проверка усвоения изученного материала
1.	Устно решить:
№525
a)	2sin — -cos —.
. 20	20
б)	2sin — -cos—.
24	24
№526
ч _ . Зя . я
а)	-2 sin-sin —.
40	40
10я	я	5я	я
б)	2cos---cos— = 2cos-----cos—.
12	12	6	12
2.	Упростить:
2	2 sin t cos t	. _
-------  - — ------— - sm 2t\
tg/ + ctg/ sin" t + cos" t
Z1 7 4 cos2/-sin2/	7	_
(l-tg~/)cos" /=----;---COS" t- COS 2/ .
cos" /
176	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
3.	Решить уравнение письменно:
. э х
sin' —
sinx = tg2 — (1 + cosх); sinx =-—2cos2—;
2	cos2 -
2
2sin —cos—-2sin2 — = 0; 2sin —-(cos —-sin—) = 0;
2	2	2	2	2	2
sin — = 0
2
x x
cos — sin — = 0
L 2	2
1)	— - Tin, neZ, x = 2nn.
2
2)	sin[ —-—^l-sin—= 0; 2sinf — -—\cos— = 0;
<2 2J 2	<4 2)	4
Л7 . f Л X^ . (x 7t Л n X 71	.
<2 sin------ 0; sin--------= 0;-----= лА;
<4 2)	<2 4y 2 4
x = — + 2nk, keZ.
2
(Omeenr 2nn, n g Z; — + 2nk, keZ.)
II. Закрепление изученного материала
№528
\ f oco f ICO Sin25° sin35°
a) tg25 +tg35 =-----------+------=
cos 25° cos 35°
_ sin 25° cos 35° + sin 35° cos 25° _	sin 60°
cos25°cos35°	cos25°cos35° 2cos25°cos35°
3
и
sin —
10
It	Tl
cos — cos —
10	5
. I И 71 ]
sin-----
л 71 io?
6) tg--tg— = —ь-------z =
5	10 Ti 7i
cos —cos —
5	10
По учебнику пример 2, с. 128.
№535
a)	sin 5х + 2 sin 6х + sin 7х = sin 5х + sin 7х + 2 sin 6х =
= 2 sin 6х cos(-x) + 2 sin 6х = 2 sin 6x(cos x +1).
177
Уроки 49-51. Преобразование сумм тригонометрических функций...
б)	2 cos х + cos 2х + cos 4х = 2 cos х + 2 cos Зх cos х =
= 2cosx(cos3x + l).
№ 538
a)	sin 87° -sin 59° -sin 93° + sin 61° = sin 87° -sin 93° + sin 61 ° -
-sin59° - 2sin(-3°)• cos90° + 2sin 1°• cos60° =
= -2sin3° + sinl° = sinl°.
6)	cosl 15°-cos35° +cos65° +cos25° = (cosl 15° + cos65°)-
—(cos 35° - cos 25°) = 2 cos 90° • cos 25° + 2 sin 30° sin 5° = sin 5°.
№542
Дано: ctg 4a = 0,2.
n	sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a
Вычислить: --------------------------.
cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a
Решение:
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a _ 2 sin 2a cos a 4-2 sin 6a cos a
cos a 4- cos 3a 4- cos 5a 4- cos 7a 2 cos 2a cos a 4- 2 cos 6a cos a
2cosa(sin2a4-sin6a) _ 2 sin 4a cos 2a	1 _ 1
2cosa(cos2a4-cos6a)	2 cos 4a cos 2a	ctg4a 0,2
№543
a) tga 4- tgp 4* tgy = tga 4- tgp + tg(7c - (a 4- p)) = tga 4- tgP - tg(a 4- p)
_»(«+»	---------i_J =
cos a cos p cos(a4-P)	cos a cos p cos(a4-P) J
sin(a 4- P) • (cos(a 4- P) - cos a cos p)
cos(a 4- p) • cos a • cos p
= tg(a4-p)«
cos a cos p - sin a sin 3-cos a cos P	z sin a sin 3
---------------------------------------- = -tg(a 4- 3)--:
cos a cos 3-------------------------------------cos a cos p
= tg(7Г - (a 4- p)) • tgatgP = tgatgptgy и т. д.
№545
a) sin3x = cos2x; sin Зх - cos 2x = 0; sin 3x-sin — -2x =0;
3-v-f5-2^	3x + --2x
~ .	<2	)	2 л
2 sin----------- cos-------= 0;
2	2
cos
178
Глава III. Преобразование тригонометрических уравнений
71 2л _
x  -----h — n, n g z
10 5
x = — + 2nk, k eZ
2
5x 71
------= Tin, n e Z
2 4
X 71 71	. .
— + — = — + nk, keZ
L2 4 2	L
71 2nn
X -----H-----, n G Z.
10	5
6) sin(5K-x) = cos(2x + 7л);
sinx = -cos2x; sinx + cos2x = 0;
cos — - х + cos 2x = 0;
12 J
л	л
---x 4- 2x ----------x - 2x
2
2 cos —-----------cos —----------= 0;
2	2
cos
2 cos
•	( 3 Я ]
cos — x— = 0
I 2 4J
X я я
— + — = Tin+ — , n G Z
2 4	2
3 я , я ,
— x-— = 7ik-^ — , k e Z
L2 4	2
x я
— = — + Tin', n^Z
2 4
3	Зя	, ,
— x = — + 7ik', k eZ
L2	4
Я
x = — + 2nn, n e Z
2
я 2 . .
x- — + — Tik,k^Z
L 2 3
(Ответ'. ^ + ^7ik, k e Z.)
Домашнее задание
№ 533, 539, 545 (в, г); 543 (б).
Ответы и решения:
№ 533
a)	sin x + sin 2x + sin 3x = 0; sin х + sin Зх + sin 2х = 0;
Уроки 49-51. Преобразование сумм тригонометрических функций... 179
2 sin 2х cos х + sin 2х=0; sin 2х(2 cos х +1) = 0;
sin2x - 0
1 ;
COS X = —
2
71	7
X = —n, n G Z
2
x = ±—+ 2яА, AgZ
L 3
6)	cos 3x cos 5x = sin 4x; -2 sin 4x • sin(-x) - sin 4x = 0;
sin4x(2sinx-l) = 0;
sin4x = 0
1 ;
sinx = —
2
71	7
x = — n, neZ
4
x = (-1/ — + Tik, k g Z
6
№ 539
sin(a + p) + sin(a~P) _ 2sinacosp
cos(a + P) + cos(a - P) 2 cos a cos p
cos(a~P)-cos(a + p) _-2sinasin(~P) _ t a
sin(a + p) - sin(a - p) 2 sin p cos a
№545
/	\	--5x-15x
( 71	]	7
в) cos 5л = sin 1 5x; sin-5x - sin 15x = 0; 2 sin —-
12	)	2
71	-	, _
— 5x + 15x	z x / x
• cos—--------= 0; 2sin —-lOx -cos — + 5x = 0;
2	<4 J I 4 J
sin 10x- — | = 0
I 4)
C * 71 I I A
cos 5x + — = 0
I 4 J
1 Ox - — = Tin
4
r 71	71
5x + — = — + 7ik
4 2
71	71
x = — + — n, heZ
40 10
7t я , ,
x +— + — A, k g Z
20 5
№545
б) cos22x = cos24x
1 + cos 4x ? A
или --------------= cos" 4x;
2
1 + cos4x _ 1 + cos8x
2	~	2
cos4x = cos8x;
2cos24x - cos4x - 1 =0;
D = 9\
180	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
cos8x - cos4x = О;
-2sin6xsin2x = 0;
cos4x = l; x =—m,meZ
2
cos4x = --; x = -—+—l, I eZ
2	6 2
sin 6х = 0; х = —n, n е Z
6
7t
sin2x = 0; x-—k, keZ
L	2
№548
a)	tgx + tg5x = 0;
x	Ф — + nn, n g Z;
2
71	71	'
x	* — + — n ,neZ;
10 5
sin(x + 5x)
cosxcos5x
sin6x = 0;
7i
x	= — m, m g Z;
6
6)	tg3x = ctgx;
sin3x cosx_q
cos3x sinx
sin x sin 3x-cosx cos 3x
cos 3x sinx
71	71
x * Titv, x * — + — m , n e Z;
6 3
-cos4x = 0;
cos4x = 0;
71	71 t ,
x = — + — k , k g Z.
8 4
№ 550 (a)
sin2x + sin6x = cos2x, x g [0; — ]. 2sin4xcos2x - cos2x = 0;
cos 2x = 0
71	71
-----1----
4	2
cos2x(2sin4x -1) = 0;
sin 4x = —
2
71	71
-----1--
24 2
571 7T
-----1--
24 2
(Om&em: 3.)
M 552 (a)
a = cos7x; b = cos2x; c = cosl lx.
Уроки 4&-51. Преобразование сумм тригонометрических функций... 181
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
2b - a + с.
2cos2x = cos7x + cosl lx; 2cos2x = 2cos9xcos2x; 2cos2x(cos9x - 1) = 0.
71	71
X = —+ —Я, /7 G Z
4 2
2ti , ,	_
X = —К, k g z
9
cos 2х = О
cos 9х = 1 ’
Домашнее задание
№541,547, 551 (a)
Ответы и решения:
№541
ч . 2/ . m • 2z m 1 - cos(2(a + Р)) -1 + cos(2(a - р))
a) sin (a + p) - sin (a - P) = —-—-----—----------—-----— =
2
cos(2a-2p)-cos(2a-2P) -2sin2asin(-2P) . _	.
=-----------------------=--------------— = sin 2a sin 2p.
2
sin 10х-— = 0
I 4J
С 71 А
cos 5х + — = 0
I 4J
1 Ox - — = Tin
4
ТС 7Г ,
5x + — = — + Ttk
4 2
ТС ТС
X =-----+----Л, П G Z
40 10
ТС ТС , .	_
х = — + — к, к е Z
20 5
№545
r) sin(77t + x) = cos(9tc + 2x); -sinx - -cos2x; sinx-cos2x = 0;
/	\	x — + 2x x +----2x
i тс ।	2	2
sin x ~ sin — 2x = 0; 2 sin---------cos---= 0.
U )	2	2
№543
a P у
6) sin a + sin p +sin у = 4cos—cos-|cos^-, если a + P + у = тс.
Доказательство:
sin a + sin P + sin у = 2 sin	cos	+ sin( л - (a + P)) =
_ . a+P	a~P _ . a+P	a+P
= 2 sin-cos-----+ 2 sin-cos------------=
2	2	2	2
. a+Pf a-p a+p^ . a+P a P
2 sin--- cos----+ cos--------- = 2 sin-— 2 cos — cos — =
2^2	2 J 2	2	2
182	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
'	(л: —(ос-+-В)Л а Р а р у
= 4cos --------— cos — cos — = 4cos—cos — cos— .
<	2	)	2	2	2	2	2
Ход урока 51
I. Активизация опорных знаний
№ 534 (в, г)
( 1	71	f Я Z (71 t\
1) l + 2cosz=2 —+cosz =2 cos—+cosz =4cos —+— cos---------.
U J I 3	)	2) <6 2)
. rr . f я
2) cos z + sin z + sin-Z + sin Z = V 2 sin — + Z .
U )	<4 )
№ 537 (a, 6)
Доказать, что верно равенство:
1) sin20° + sin40o-cosl0° = 0;
2 sin 30° cos 10° - cos 10° = 2 — cos 10° - cos 10° = 0.
2
2) cos 85° +cos 35°-cos 25° = 0;
2 cos 60° cos 25° - cos 25° = 2 • - cos 25° - cos 25° = 0.
2
> 544 (a, 6)
1) sin210° + sin2130° + sin2110° = 1~.cos 2.°°. + '.~.c.os 299°. +
2	2
1 - cos 220° 3 - cos 20° - cos 260° - cos 220°
н----------=-----------------------------—
2	2
_ 3 - cos 20° + cos 80° + cos 40° _ 3 - cos 20° 4- 2 cos 60° • cos 20° _ 3
~	2	~	2	“ 2 *
2) cos2 35° + cos2 25° - cos2 5° =
1 + cos 70° 1 + cos 50° 1 + cos 10°
_----------1--------------------_
2	2	2
_ 1 + cos70° +cos50°-cos 10° _ 1 + 2-cos60° cos10°-cos10° _ 1
2	”	2	" 2 ’
IL Закрепление изученного материала
№546
a) 1 + cos 6.x = 2 sin2 5x; 1 + cos 6.x = 1 - cos 1 Ox; cost Ox + cos6x = 0;
Уроки 49-51. Преобразование сумм тригонометрических функций... 183
2 cos 8х- cos 2х = 0;
cos8x = 0
cos 2х = 0’
о 71
ЪХ = — 4- 71П
2
_	71
2х = — + Tin
2
71 ПП
х — — 4---; nez
16 8
71 ПП
х - — 4- —; neZ
4	2
№ 547
a)	2sin2x 4- cos5x = 1;
1 - cos2x 4- cos5x = 1;
cos5x - cos2x = 0;
-2sin3,5xsin l,5x = 0;
6)	2sin23x - 1 = cos24x - sin24x;
1 - cos6x - 1 = cos8x;
cos8x 4- cos6x = 0;
2cos7xcosx = 0.
•	7 A
sm—x = 0
2
•	3 A
sin-x = 0
. 2
2
x = — Tin, neZ
7
2
x = — Tin, n 6 Z
3
cos7x = 0
cos3x = 0’
Tl Tl
x-— +—n neZ
14 7
Tl Tl _
— 4— П, neZ
l_6 3
№ 551 (a)
cos6x 4- cos8x =cosl0x 4- cosl2x, x g (0; 2,5);
2cos7xcosx = 2cosl Ixcosx; 2cos*(cosl lx - cos7x) = 0;
Tl	л Tl
cos x = 0 sin2x = 0;	X = — + Tin, n&z, /1 = 1, x = — 2	2 x = — k,k e z, k = 1, x = —
sin9x = 0	2	'	2 X=-1,1<=Z, / = 1,2,3,4,5,6,7 L 9
л л 2n л 4я 5tt 2ti 7ti ч
(Ответ: —; —;—; ~;—; —; —; —.)
299 3 9	939
184
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
Урок 52. Преобразование произведений
тригонометрических функций в сумму
Цели: вывести формулы; совершенствовать навык в преобразо-
ваниях.
Ход урока
I.	Проверка усвоения изученного материала
1	х/з
sinl5°cosl5° = —; sin75°cosl5°-cos75°sinl5° = —.
4	2
„ J +cos 150° l-cos30° 2-Тз
2cos‘'75° =2---------=--------=--------.
2	2	2
, Т	sin 2х	cos 2х
Упростить: ------= 2 cos х\----------- cos х - sin х.
sinx	cosx + sinx
II.	Изучение нового материала
1)	cos(a + Р) = cosacosp - sinasinP;
2)	cos(a - Р) = cosacosp + sinasinP;
3)	sin(a + P) = sinacosP + sinPcosa;
4)	sin(a - P) = sinacosP - sinPcosa.
Из (1) + (2) cosacosp = ^(cos(a + p) + cos(a - P));
из (2) - (1) sinasinP = (cos(a - P) - cos(a + p));
из (3) + (4) sinacosP = — (sin(a + P) + sin(a - P)).
III.	Закрепление изученного материала
№ 553
cos9°-cos55°
a) sin23°sm32° =-------------;
2
571 n
cos — + cos—
zrx 71	71	24	24
6)	cos — cos — =-—---------—;
12	8	2
X • 1ЛО	1ГО	sin 30° + sin(-2°)
в)	sin 14 ° cos 16° =-----------
ч . я Я . 1 Зя . ( Зя
г) 2sin — cos— = sin--+ sin------
8	5	40 I 40
Урок 52. Преобразование произведений тригонометрических функций... 185
№ 556 (а)
(	71	[	71 |
cos х + — cos х — - 0,25-0;
I	3J	I	3J
1 (	(	71	7U^	(	71	TU^	1
— cos xh------hx— +cos x + — x + — — = 0;
I	3	3j	V	3	3jJ	4
if	2tc ]	1	_ 1 [	п П)	1	n
— cos2x + cos— — = 0; — cos2x+ — — = 0;
2<	3 J	4 2l I 2 }	4
— cos2x = —; cos2x = 1; x = 2Tin, neZ.
2	2
№ 557 (6)
(x 3x^|	( x 3x^|
cos---------cos - + —
. X . 3	1	<2 2 J U 2 J 1	п л
sin — sin — x = —; -------------------------- —; cosx - cos2x = 1;
2	2	2	2	2
cosx = 1 + cos2x; cosx = 2cos~x. cosx(2cosx - 1) = 0;
cos x = 0 x = — + Tin, n, k e Z
i;	2
cosx = -	, Л
2 x = ±— + 2nk, n, к e Z
L L 3
№558
a)	sin 10°cos8°cos6° = sin 10° 2 (cos 14°+cos 2°)=2 (sin 10° cos 14°+
+ sin 10° cos 2°) = — (sin 24°+sin(^°)+sin 12° + sin 8°).
4
6)	4sin25°cosl5°sin45° = 4(sin25°sin5°)cosl5° =
= 2(cos20° - cos30°)cos!5° = 2(cos20°cosl5° - cos30°cosl5°) =
= cos35° + cos5° - cos45° - cos 15°.
№561
1	„ . l-4sin70°sinl0° 1-2cos600 + 2cos80°
a)---------2 sin 70° =------------=---------------------
2sinl0°	2sinl0°	2sinl0° .
_ l-l + 2cos80° _ cos80° _ 1
2sinl0° sin!0°
186
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
tg60° л 1ЛПО tg60°+4cos 100°sin40°
б)-------—------+ 4cosl00= —— ----------
sin40°	sin40°
V3+2(sinl40°+sin( - 60°)) _ Уб+ 2sinl40°-Уз
sin40c	sin 40°
№ 563 (a)
sinxcos3x = —; — (cos2x - cos4x) = —; cosZv - cos4.v = 1;
2 2	2
cosZv = 1 + cos4x; cos2x = 2cos~2x; cosZy(1 - 2cos~Zv) = 0;
cos2x = 0	я я	„ x-— + — n\ n^Z
„ 1; cos2x=— L	2	4 2 я	_ x=±—+ял; n g Z 6
я
(Ответ'. ±—.)
№564
\ /’/ \	• I Я j I	I ‘I I I Я
a) J (*) = sin x 4- — cos x--------------; sin x + — cos x------------
I 8 J I 24 J I 8 J I 24
2
я	я
---h X----
8	24
Я	Я
---X 4---
8	24
. А	Я ]	. Я	]	1 I • I	<4 Я	1
sin 2xh------4-sin— = — sin 2x4--------+ —
V	\2)	6	21 I 12j	2
71
12
1<1
4 ~ 2
2
\2J 2	2
1|<L	__j_.	-2
12J 2 J~ 4 ’ 'Vmin " 4 ’ >max - 4
№565
cos2 (45° - a) - cos2 (60° 4- a) - cos 75° • sin(75° - 2a) =
_ 14- cos(90° - 2a) 14- cos(l 20° 4- 2a) sin(l 50° - 2a) - sin 2a _
~	2	A	2	~
_ 1 + sin 2a -1 - cos(l 20° 4- 2a) - sin(l 50° - 2a) + sin 2a _
-	-sin a.
Так как -cos(120° + 2a) = -cos(90°4-(30°4- 2a)) = sin(30° + 2a),
a -sin(l50°-2a) = -sin(l80° -(30° 4- 2a)) - -sin(30° 4- 2a).
Урок 52. Преобразование произведений тригонометрических функций... 187
Домашнее задание
№ 557 (а), 560 (а, б), 563 (б), 546 (б)
Ответы и решения:
№557
а) 2 sin .vcos 3.x + sin 4л = 0; sin4x + sin(-2x) + sin4x = 0;
sin4.x(-sin2x + l) = 0
sin 4x = 0
sin 2x = 1
я
— n, n G Z
4
71 nk ,
— + —, k g Z
4	2
71
x = — n, n e Z.
4
№560
X Чо ’ю ЛО ™ l + cos6° l + cos2°
a) cos" 3° + cos" 1 - cos 4 • cos 2 =-+-----------
2	2
cos 6° + cos 2°
2	”
• 2 mo cno HAO 1-cos 20° cos 120° +cos 20°
6) sin 10° +cos50°-cos70°=---------+----------------
2	2
1-cos 20°- —+ cos 20° ,
_____________2_______
2	" 4 '
№ 563
6) cos x cos Зх-i-0,5 = 0
cos 4x + cos 2x I
--------------+ - = 0;
2-------------2
cos 4x + cos 2x +1 = 0 ; 2 cos2 2.x -1 + cos 2.x +1 = 0 ;
cos2x(2cos2x +1) - 0 ;
cos 2x = 0
э i;
cos 2x = —
2
71	71
.X - — + — /2, П G Z
4 2
.x = ± — + k g Z.
3
(Ответ'. ± —.)
6
188
Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
№564
( 2л! -> 1
/ х / ч cos -cos2,v------------------------cos2x
/-ч	\	•(	I • I	I	\	/	2
б)	/ (х) = sin х — sin х + — =------------------=------------
I 3 J I 3 J 2	2
-1 < -cos2x < 1
_2
•Утах —	•
1	1 э 3	1
“~2 ~cos2x~ 2 ’ -Ут1П =~4 ’
Урок 53. Преобразование выражений
/Isinx + Bcosx к виду Csin(x + f)
Цели: учить учащихся преобразовывать выражение Лsinx + Bcosx
к виду С sin(x + Г); совершенствовать навык в преобразованиях; под-
готовиться к контрольной работе.
Ход урока
I.	Проверка домашнего задания
II.	Изучение нового материала
Учитель объясняет новый материал. Обратить внимание, что
z д у z в \2	д
— + — j = 1, где С = у/А2 + В2 разрешает замену = cos /;
В .	. ,	. 1Ч
= sin t в силу равенства sin" t + cos“ t = 1).
III.	Закрепление изученного материала
№567
а) у/з sin x + cos x = 2 sin(x + /), t = arcsin \
6
cosx = 2sin(x + /), t = arcsin — - у ; sinx + УЗ cosx =
= 2sin(x + Z) = 2 sin I x + — I.
Урок 53. Преобразование выражений Asinx + Bcosx к виду Csinfx + t) 189
в)	sin х —cosx = х/2 sin(x4-/) = х/2 sin^x-~J; t = arcsin^——
г)	2sin x - VH cosx = 4sin(x + r) = 4sin x - — = - —;
• (
t - arcsin ---- .
I 4 J
№ 569 (a, г)
а) >/з sin x + cos x = 1 ; 2 sin(x + /) = !, t = arcsin — = — ;
sin! x + — | = — ; x + — = (-l)A — + nk,k g Z;
I 6 J 2	6	6
x - - —+ (-l)A —+ яЛ, k ^Z.
6	6
r) sinx-cosx = 1; x/2sin(x + z) = 1, t = arcsin —
I V2.
sin I X-— I = —5 x =- + (-!)" — + 7ГА?, П G Z.
I 4; V2 44
№570
г) у = V6 sin x - V2 cosx; у - 2>/2 sin(x -1- /),
я
4’
. Можно ограни-
читься С = >/8 ;	= -2>/2;	= 2^2.
№571
в) ^ = 7sin| + 24cos|; С = >/49 + 576 = 25; Е(>>) = [-25; 25].
№574
a) cos2х + \/зsin2х = >/2, С = 2, /= arcsin— = —;
2 6
2sin(2x-r/) = V2; sinf 2х +
_ Я / Я , ,	Я , z я я , ,
2x4— — (— 1) —ь яА\ k g Z; х ~-ь ( — 1) —i— к, к g Z.
6	4	12	4 2
190	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
№575
г) 5cos— — 12sin — = 6,5 , С= 13, / = arcsin | — |;
2	2
12 sin — -5 cos — = -6,5; 13sin| — +1 | = -6,5; sin| — + / | = -—;
2	2	<2 J	{2)2
— + / - (~1)"+1 — + Tin, n^Z', x = -2r = (-l)'z+1 — + 2тш, n g Z;
2	6	3
,x = 2 arcsin —+ (-l)"+1 — + 2to, n e Z.
13	3
№577
a) 2 sin 17x4- Л cos 5x4-sin 5x - 0, так как
•Л
sin 5x + <3 cos 5x = 2 sin(5x + /), где t = arcsin , to
2sinl7x + 2sin 5x + — = 0; 2 sin 17x4-sin 5x4- — = 0.
I 3J I I 3
sin (1 lx + — I = 0
\	6	J
(, Ti\ a
cos 6x— 1 = 0
I 6 J
1 lx + — = Tin, n 6 Z
6
, Tl Tl . J „
6x— = — + Tik, k g Z
6 2
Ti	ti	Tik ,
— + — 4--------, k G Z
36	12	6
IV. Итог урока
1. Рассмотреть основные результаты, с. 134.
2. Объявить о контрольной работе на следующем уроке.
Домашнее задание
1.	Составить справочник с формулами.
2.	Повторить материал.
3.	№ 569 (б, в), 572 (а, в), 576 (а), 577 (б).
Урок 53. Преобразование выражений Asinx + Bcosx к виду Csin(x +1) 191
Ответы и решения:
№569
г<	t ,1л
б)	sinх + cosx = <2 С - у!2 , t = arcsin—;
Л 4
. (	Л^|	/т . (	Tt\ 4?.
2sin х + — = л/2; sin х + — =—;
V	А)	V	А)	2
х = - —+ (-1)” — + тш, п е Z.
4	4
в)	sinx-л/з cosx = л/з С - 2, / = arcsin- — = - —;
2	3
~ . ( 7Г [Z . ( Л^ >/3 Л , Л
2sin х— = л/3; sin х— = — ; х = — + (-!) — + л/, t е Z.
V з; <	3) 2	33
№572
a)	sin5x + cos5x = l,5 ; C = V2«l,4h V2 sin(5x + r) = l,5 ;
sin(5x +1) = =	> 1 нет, не существует.
в) sin7х-4з cos7х = — , С = 2 ; sin(7x + /) = —, так как — е[-1; 1],
№577
б)	5 sin х -12 cos х + 13 sin Зх = 0 ; 5 sin х -12 cos х = 13 sin(x +1), где
13 = л/52 + 122, t = -arcsin— , тогда 13sin(x + z) + 13sin3x - 0 ;
13
sin(x +1) + sin Зх = 0 ; 2 sinI 2x + ~ j • cost x + у j - 0;
192	Гпава III. Преобразование тригонометрических уравнений
	N w	|‘еп N	-и s:	к	о §	КI	I +	+	II I ГЧ	| гм	- II	1	g и	п	5 гч	И 1	1	N N	ц| ®	О	W	с 11	* 1 OJ	Х	ГТ?	~	|	04 +	*- 1 с|	К |сч	+ И	J	-1-	— I СЧ _ ™ S,  , -l-t	1 eg	II	II ' сл	О	И	И I	1 i	।
Глава IV.
Производная
Урок 54. Числовые последовательности
(определение, примеры, свойства)
Цели: вспомнить с учащимися, что такое числовая последова-
тельность; рассмотреть свойства числовых последовательностей.
Подготовка учащихся к введению понятия предел числовой после-
довательности.
Ход урока
I.	Проверка домашнего задания
1.	Опрос:
-	Дайте определение числовой последовательности. Приведи-
те примеры.
-	Назовите способы задания числовой последовательности
(аналитический, рекуррентный). Приведите примеры.
2.	Выполнение устных упражнений:
№581
а)	у = Зх2 + 5, х g Z не является;
б)	у - sin х, х е [0; 2л] не является;
в)	у = 7 - х2, х е Q не является;
ч	х
г)	v = cos—, хеУ является.
2
Одновременно у доски работают 3 ученика:
№ 582 (б), 582 (в), 583 (б) с последующей проверкой.
№ 582 (б, в)
б) у - Зх - х2 - Y) г	= х(З-х), х е 7V;	в) у = 1	YI • •	х + 5 :	, X G N. 2 • • • •
1 'о	. i ' ’ °x 1	
	'о	. i ' ' х
7 Л. А. Обухова и др.
194
Гпава IV. Производная
№ 583 (б)
б)	у - ctg — (2х +1), х g N.
1
о
1 . . *
II.	Изучение нового материала
1.	Определение ограниченной сверху и снизу последовательно-
сти. Примеры.
2.	Определение возрастающей и убывающей последовательности.
Примеры.
III.	Решение задач
№ 602 (а, б)
а)	1;
2 3 4
{Отвепт. последовательность ограничена снизу.)
б)	-1; 2; -3; 4; -5.
{Ответ', не является ограниченной снизу.)
№ 603 (а, б)
а)	-3; -2; -1; 0; 1;...
{Ответ-, последовательность не ограничена сверху.)
б)	1;Ч; 1;-2; 1;-3; ...
{Ответ-, ограничена сверху.)
№ 605 (а, б)
а) л; = 3/7 +2; Х| = 5; х2 = 8; х3 = 11; х4 = 14; х5 = 17;
5 < 8 < 11 < 14 < 17 < ... х( <х2 <х3 <х4 <х5 < ... 5, 8, 11, 14,
17,	..., 3/7 + 2, ... - возрастающая последовательность.
5	5,5	5	5
о) х =----; х. = — ; х-) = 1; х. = —; х, = — ; xs = — ;
" л + 3	1 4 '	3 6	4 7	’ 8
5,555
—	— > — > — Xi > х? > х3 > х4 > х5 > ...
4	6 7 8	“
5,5 5 5	5
—	.1,—,—,—,...-, ... - убывающая последовательность.
4	6 7 8	/7 + 3
№ 607 (а, б)
а)	У„.\ ~ Уп > 0, Уп^\ > У„ - по определению последовательность
возрастающая.
Урок 54. Числовые последовательности...
195
б)	—— < 1(>; > 0); уп^ < уп - по определению последователь-
ность убывающая.
№ 629 (а)
.,^ = 2-1. ,
п
п
№ 630 (а)
х„ =-;х„ е [0; 2].
п
<^"Т"*2 £ 2 2	Г
10 7 3 5 3
2, п е V.
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 29	(п. 1, п. 2); № 602 (в), 603 (в), 605 (в, г), 607 (в), 629 (б), 630 (б).
Ответы и решения:
№602
12 3 4
в)
2 3 4 5
(Ответ', последовательность ограничена снизу.)
№603
11111
в)
2 3 4 5 6
(Ответ', последовательность ограничена сверху.)
№605
в) хп = и3; *1 = 1; *2 = 8; *з = 27; х4 = 64; х5 = 125;
1 <8<27<64< 125< ...;xj <х2<х3<х4<х5< ...; 1,8, 27, 64,
125, ... /?3, ... - возрастающая последовательность.
г) xn = (-1)"’1; Xi =1; х2 = -1; х3 = 1; х4 = -1; х5 = 1. Не является
монотонной.
№ 607 (в)
У.^\ ~ Уп < 0 ’ У„+\ < У„ ~ по определению последовательность убы-
вающая.
№ 629 (б)
(Ответ', последовательность xit ~~ является ограниченной.)
7*
196
Глава IV. Производная
№ 630 (б)
(-1)"
-Т* r'd'i'i j	1	*
3 5	6 4 2
Уроки 55-56. Предел числовой последовательности.
Вычисление пределов последовательности
Цели: рассмотреть теоремы о пределах последовательности;
учить применять их при вычислении пределов.
Ход уроков
I.	Проверка домашнего задания
1.	У доски 2 человека выполняют № 652 (в), 654 (в).
2.	Фронтальный опрос класса.
-	Дайте определение числовой последовательности.
-	Дайте определение ограниченной сверху и снизу числовой
последовательности.
-	Что такое возрастающая и убывающая последовательности?
-	Что такое окрестность точки, радиус окрестности, предел
последовательности?
И. Изучение нового материала
1. Теорема о пределах.
2. Рассмотреть примеры № 4, 5, 6 п. 31.
Ш. Закрепление изученного материала
№639
5	( 17^
a) lim — = 0 ; б) lim —- = 0.
П )
№640
Г7	8	9
a)	lim|- +	+ —| = 0 + 0 + 0 = 0.
yjn п )
(	7 3	3
б)	lim 6—--------= = 6-0-0-0 = 6.
п~ п yjn)
Уроки 55-56. Предел числовой последовательности...
197
№643
.. 2л2 -1	( Н .
a) hm------— = lim 2 —- =2.
п2	п- J
№656
(2л-1)(л-3)	2/Г-7/7 + 3	(	7 ЗЛ .
a)	hm -----------= lim------------= hm 2 — + — = 2.
Л-+СС	п~	Д-+=С	П~	п п~ J
17 + 1—1
(3/7 + 1) (4/7-1)	(12л2 + п -1	„ п2
б)	lim  ----—---= hm —г---------- = lim-------—;— = 12.
(77-1)2	л2-2л + 1 ) >^	2	1
1	+	2
п п
№657
7-1
(2/? + 1)(Зп-4)-6/7‘+12и	7/7-4	„
a)	lim ---------------------- lim----= lim---— = 7.
.. п + 5	— , , 5
п + 5
п
Юл2-13
/?2 (2/7+ 5)-2л3 +5п2-13
б)	lim —---------------------- lim ,
л(п + 1)(л-7) + (1-л) п -6п' —8/7 + 1
10_В
4im ” о—7-0-
— 1_6Д+1
п п~ п
IV. Самостоятельная работа
Вариант I: № 641 (а), 642 (а), № 656 (в).
Вариант И: № 641 (б), 642 (б), 656 (г).
Ответы и решения:
Вариант I
№ 641 (а)
7	5 + "
г 5л + 3 .. п .
hm-------- hm---= 5.
'-»а и + 1 л->а | + £
п
№ 642 (а)
lim—= 0.
Т
№ 656 (в)
(3/?-2)(2л + 3)	6/72+5я-6	(, 5	6^
hm--------------- = hm------= hm| 6 +------- =6.
п~	п~	л->л^ п	J
198
Гпава IV. Производная
Вариант II
№ 641 (б)
7'-S 7““
lim —-—- = lim-%- = 7.
+ 2 -1 + 2
№ 642 (б)
lim[j-5"J = 0.
№ 656 (г)
, J________L -2
'->а (п + 2)~ А-*х/7“+4/7 + 4 л>х । + 4 + 4
п п2
VI. Итог урока
Домашнее задание
§ 30, п. 3; № 639 (в), 640 (в), 643 (в), 657 (в, г).
Ответы и решения:
№ 639 (в)
lim| --Ц- | = 0.
•' ->у \ п~)
№ 640 (в)
<3	7	5	13Л
lim - + — —г + 4 =0 + 0-0 + 0 = 0.
v“*xV/7 П~ П	П )
№ 643 (в)
г ^-П2 Г ( 3	4 Л 1	1
hm—— = Inn — -I I = 0-1 = -l.
'->x n-	J
№657
1+ 1 _!
в) .. (l-/z)(n2 +l) + 773	/Г+1-/7	+ n- n
/7“ +2/7	A~*x /7'+2/?	| + f
/7
4_ 1_
r)..	/?(7-/?2) + /73-3/7-1	4/7-1	n
'	(/? + l)(/7 + 2)+ (2/7" + 1)	л->у- 3/7" +3/7 + 3	л->лз+^+^
И /7^
Урок 57. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 199
Урок 57. Сумма бесконечной
геометрической прогрессии
Цели: вывести формулу суммы бесконечной геометрической
прогрессии; выработать практические навыки применения этой
формулы при решении заданий.
Ход урока
I. Проверка домашней работы
Проверка осуществляется выборочно у доски.
П. Анализ ошибок самостоятельной работы
III.	Изучение нового материала
1.	Вспомнить понятия суммы геомегрической прогрессии и фор-
мулу суммы первых п членов геометрической прогрессии.
2.	Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрес-
сии при |(?| < 1.
3.	Разобрать пример № 7 на доске.
IV.	Решение задач
№ 644 (а, б)
а) Л = 3; q = -. S = —1— = 4—.
3	1-1	2
3
№ 645 (а, б)
I 32
а)	32, 16,8,4,2, ... Д =32; <?=-;. 5 =-= 64.
1	2	1
1--
2
8	8	1	24
б)	24,-8, -, -- ... Ь. =24; q =—; 5 =-= 18.
3	9'	3	1
1 + -
3
№646
11	12
а) 2 +1 н-1-и... Ь. = 2; q = —  S —---— 4 .
2 4	2	1
9
200
Гпава IV. Производная
№ 658 (а)
25
25	25
Ь = — ; Ь. = —; Ь.
п 3"	'	3	‘	9
25	1
’4 3
. 5 = -^- = 12,5 .
№ 660 (а)
5 = 24,53 = 21;
—1— = 24
1-?
М<73 - О
9-1
= 21
7
; -24-(^-1) = 21; ^-1 = --;
О
’’4
—— = 24
1-<7
(Ответ'. Ь\ = 12,
?=-.)
1
Ч = ~
2
3
6, =12
ч = -
2
№ 663 (а)
• ? -з	.	7177
sin х +sin' x + sin х + ... + sm х + ...,	; b, = sinx, я = sinx;
2	'
1 - sinx
sinx
(Ответ'. 5 =--------
1 - sinx
№ 664 (а)
х + х2 + х3 + х4 + ... + х" + ... = 4, I х | < 1;	= х ; 9 = х ; S = ——,
1-х
х	4
----= 4 ; х = 4 - 4х; 5х = 4; х = — .
1 -х .	5
(Ответ'. х = —.)
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 30 (п. 4); разобрать пример № 8; 645 (в, г), 647 (в), 658 (в), 665 (а),
666 (а).
Урок 57. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
201
Повторить теорему о пределах.
Ответы и решения:
№ 645 (в, г)
1	1	27	81
в) 27,9,3,1,-...; Ь. =27; q = ~. 5 =----= — = 40,5.
3	3	!_1	2
3
2	1	18
г) 18,-6,2, —; А =18; <? = — . 5 =-
3	3.1
54
— = 13,5.
4
№ 647 (в)
8	2	49	343	1
49-14 + 4 — + ...; Ь. =49; л = —. 5 = — =-----= 38-.
7	7	1 + 2	9	9
7
Л* 658 (в)
45
45
Ьп = уГ ; Ьх
45
—; Ь.
3
45 _ 1
> 665 (а)
- + Х + Х1 +ху +х4 + ... + х" +
X
= 22,5.
— + 1 + х + х2+х3 +
X
4	п	'	1	1	1	2	3	4	и	у
4-х 4-... 4- х 4-... — —hl; —н 1 4- х 4- х 4-х 4-х 4-... 4- х 4-... — —;
2 х	2
1 1
1	~	—	9
Ь=-;^ = х.5 =	= — ; 9х - 9х2 = 2; 9х2 - 9х + 2 = 0;
х	1 - х 1 - х 2
1	2 , ‘	1 2 ч
X] = —; х? = у . {Ответ". -; — .)
№666
a) sinх + sin2 х 4- sin3 х +... + sin" х +... = 5 .
Значения х, при которых sinx = 1, не являются корнями данного
уравнения, так как если sinx = 1, то левая часть уравнения - ограни-
ченная последовательность (/? = 5), что противоречит условию.
202
Гпава IV. Производная
sin х sin х
b} = sin x ; q - sin л*; | q | < 1; 5 =-----; —----------- 5 ;
1 - sin x 1 - sin x
6 sinx = 5; x = (-1/ -arcsin — + Tik, ktZ,
6
(Ответ'. (-1/ - arcsin — + Tik, к eZ.)
6
Уроки 58-59. Предел функции на бесконечности
Цели: рассмотреть понятие предела функции на бесконечности;
закрепить на примерах.
Ход урока 58
I.	Проверка домашнего задания
II.	Изучение нового материала
1.	По заранее подготовленным чертежам (рис. 106, 107, 108 учеб-
ника) напомнить учащимся понятие горизонтальной асимпто-
ты, ввести понятие предела функции на бесконечности.
2.	Записать правила вычисления пределов функции на бесконеч-
ности
III.	Решение задач
№667 (устно)
при х —► +оо рис. 23, 25;
при х —> -ос рис. 24, 25;
при х —> ос рис. 25.
№ 668 (а, б) - устно
a)	lim /(х) = 3; lim/(х) и lim/(х) не существуют.
б)	lim /(х) = -2; lim f(x), lim /(х) не существуют.
№ 669 (а)
a) lim/(x) = 3.
Уроки 58-59. Предел функции на бесконечности	203
№670 (а, б)
a)	lim /(х) = -3; lim(6/(x)) = -18.
(
б)	lim ---- = -1.
№ 671 (а, б)
lim f (х) = 2, lim g(x) = -3 , lim A(x) = 9.
a)	lim(/(x) + g(x)) = lim /(x) + lim g(x) = 2 + (-3) = -1.
6)	lim(/(x) - Л(х)) = lim /(x) - lim A(x) = 2 - 9 = -7.
№672 (a, 6)
lim f (x) = -2 , lim g(x) = 7 , lim й(х) = -2.
a)	lim(g(x) • /(x)) = lim g(x) • lim /(x) = 7 • (-2) = -14.
6)	lim(/(x))2 = lim /(x) • lim/(x) = (-2) • (-2) = 4.
№ 673 (a, 6)
lim/(x) = 6, limg(x) = -10, lim/z(x) = 25.
lim/(x)
a)	lim =	----= - =
_v—>00 g(x)	lim g(x) -10	5
X—>GC
6)	ит(^^И)\100 = 4
л~*х A(x) lim /z(x)	25
X—>OC
№ 674 (a, 6)
№ 676 (af 6)
6)
lim f~v + l Yf—^--2^= lim I -^r + lT lim f—^--2^= I -(-2) = -
*-*Чх3 A ) -'-^Цх3	X" )
204
Гпава IV. Производная
№ 700 (а)
4Г 9	л 9
—г- + -7	4 + —
л 2 п	—э—* 7	4  7
.. 4х +9	у- х~	у~
lim —-2----= lim --------— = hm------= 4.
л->осх2+2 х2 2	л_>ос1,_3.
х~ х~	*
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 31, п. 1. № 669 (в), 670 (в), 671 (в), 672 (в), 673 (в), 674 (в), 676 (в),
700 (г).
Ответы и решения:
№669 (в)	г А
lim /(х) = -5.
№670 (в)	V
lim f (х) = -3 , lim 8/(х) = -24.
№ 671 (г)
lim(g(x) + f (х) - /?(х)) = lim g(x) + lim f (x) - lim h(x) = -3 + 2- 9 = -10.
№ 672 (в)
lim(g(x) • (A(x))2) - lim g(x) • lim(A(x))2 - 7 • (-2)2 = 7 • 4 = 28.
№ 673 (в)
r fMg(x)	6 (-10)	12	„ л
A(x)	limA(x)	25	5
№674 (в)
44+7=o.
-^Vx x )
№ 676 (в)
((	02^1	( О 2
lim 4 + — — =lim 4 + — • lim— = (4 + 0) 0 = 0.
-v->col<< X J x J x-**\ x~ ) x^ X
№ 700 (г)
X x2
Уроки 58-59. Предел функции на бесконечности
205
Ход урока 59
I.	Проверка домашнего задания
II. Решение задач
№ 675 (а, б)
А г f 2	1^1
a) hm — 4-1=1.
J
№677 (а, б)
1 + -
к 1.	Х+1	,•	X
a)	lim---= hm---z- = l.
х-2 '-^2
х
№ 701 (ау б)
3	1
( 4 7
б)	lim —------------21 = -21..
< Л' х )
3--
Г Зх-4 х 3 1
lim----= lim--77 =- = 1-.
'-2x4-7 '^2 + - 2 2
a)	lim -----—!— = lim..= q
'— х2 4-7x4-5	1 + Z + A
X X1
_5__5
б)	lim-Д—— = lim——-^- = 0.
'—х2-9х	j_9
х
III.	Самостоятельная работа (см. приложение)
Ответы и решения:
Уровень I
Вариант I
1.	Найдите пределы числовых последовательностей:
ч v Зл2-5и + 2
a) lim----;-----
п2 4-1
о 5	2
3---4- —
= lim
1+±
п~
1 _L
3" +1 I + г*1	1
б)	lim——т-= lim3 3	=-.
з-1	1 з
2.	Вычислите пределы:
1 1
г4 — 1	5
a)	lim — -= lim ——7- = 0.
— 2х5+х л“'х2 + —
206
Гпава IV. Производная
V ((А О 16 1	(12-16
б)	hm 12 —- • — = hm I —-—
... n2 + п-2
a) hm---------;------= hm
л-^°о	4л~ 4- 1 п->х
Вариант II
1. Найдите пределы числовых последовательностей:
1-2-
п п2 _ J_
п
Т
2. Вычислите пределы:
2?,+2
б) lim---------= lim
2" + 2
a) lim
"'зД 3
Г I I Л 1 I 2 I Г I 8	2 I А
б) hm 114 + — • — = hm — + — = 0.
•Hl х ) х ) Н/ х J
Уровень II
Вариант I
1.	Найдите пределы числовых последовательностей:
*-3
. .. 8-Зи .. „	.
a)	hm-----= hm -—- = -3.
n->x ^ + 4	«->«	4
2" +Зл
б)	lim—= lim —
/г-»ос 3"+ -f-4	3'
Г	1
= hm---------
A2J +2”
2.	Вычислите пределы:
п
<yi	д/?
—---+lim—4----=
,,+ +4 «->«з"+|+4
г 1 Л 1	1
+ hm---— = 0+-=-
“зЛ з з
3"
. .. 12х2 +5х + 2
a) lim—--------
= lim
5 2
12ч--1——
х х~ _ 2
, 5 3
6 + ~“~Г
Уроки 58-59. Предел функции на бесконечности
207
3-2 + А
Зх-2х2+4 х х2 2
б) lim--------= lim —--±- = —
Зх2+2х — 3 + —	3
Вариант II
1. Найдите пределы числовых последовательностей:
3
Э	2+“
2л7-нЗ	п
a) lim----= lim —----
5-4/7	2-4
п
2
6) lim —;------- = lim
л-кх>5”+1 +4”+1	«-><»
2. Вычислите пределы:
1	5
-----+lim—F----г = 0 + 5 =
+ 4"+'	5"+’ +4-1
4__3_
ч 10х2+4х-3	1 х х2 .
a) hm—---------=hm-----—т- = 2.
л->°° 5х" + lx +1 д-*х
2
1 3
х — Зх"
б) lim—--------= lim
2^ = °-
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 31, п. 1. № 677 (в, г), 675 (в, г), 701 (в, г), 702 (а, б).
Ответы и решения:
№ 677 (в, г)
Ч V Х~4	1
в) hm-------= I.
т->ос х + 3
№ 675 (в, г)
<64
в) lim -4 + — + 9 = 9.
л-*ог\х х )
№ 701 (в, г)
2
г) lim
7х + 9
6х-1
(7	1
г) lim — -7 = -7.
7
6
X г ~2х~Х
в) hm—~2----
= lim—х - о.
4	1
3----h —
X х~
208
Гпава IV. Производная
№ 702 (а, б)
a) lim
л—>ос
4х - х1 +1
5х2 - 2х
= lim
Л—>00
£
5’
б) lim
Уроки 60-61. Предел функции в точке
Цели: дать определение функции, непрерывной в точке, на про-
межутке; учить вычислять пределы функции в точке.
Ход урока 60
1.	Анализ ошибок в самостоятельной работе
II.	Проверка домашней работы
III.	Изучение нового материала
1.	Работа по заготовленным графикам:
-	ввести понятие функции, непрерывной в точке X = а;
-	ввести понятие функции, непрерывной на промежутке X.
2.	Используя чертежи, изготовленные дома, показать, что функции,
изученные ранее, являются непрерывными на промежутке X.
3.	Обратить внимание на утверждение о непрерывности выраже-
ния, составленного из рациональных, иррациональных и три-
гонометрических выражений.
4.	Рассмотреть примеры 2, 3, 4 (п. 2).
_ та	,	.. sinf ,
5.	Рассмотрение формулы lim--= 1 .
'-° I
IV.	Решение задач
№678 (устно)
Рис. 26 lim/(x) = 3.
Рис. 27 lim J\x) = 4.
/->3
Уроки 60-61. Предел функции в точке
209
Рис. 28 lim/(x) = 4.
Рис. 29 предел не существует.
Рис. 30 предел не существует.
Рис. 31 предел не существует.
Рис. 32 предел не существует.
Рис. 33 lim /(х) = 0.
№679
a) limg(x) = 2.
№680
б) lim f (х) = 4.
№681
в) lim / (х) = 9.
a) lim(x2 -Зх + 5) = 3.
,г->1
б)
.. 2x4-3 1
hm-------= 1.
4x4-2
2
№682
a)	lim л/х + 4 = 3 .
№683
б)	lim >/2х- 6 = 1.
а—>3,5
А Г 2*-1	1
a) lim—-------= —
х2 + Зх - 4 4
№684
ч sinnx sin4л Л
a) hm----=---= 0.
х-1	3
№685
х2	I
a)	lim—--= lim-- = 0;
X
1-	Х~	1-	Х
hm--------= hm------= 0.
v->0 х(х-1)	'^u х-1
№ 705
. v х24-2х-3 .. (Х-1)(Х4-3) ... л
a) hm-------------- hm --------------- hm(x 4- 3) = 4.
л->1	х-1	,V->1	х-1	'->1
210
Глава IV. Производная
№ 707
sin3x + sinx	2sin2xcosx ..
б)	lim-----------= hm------------= lim tg2x = 0.
Г_Л cos3x + cosx	2cos2xcosx
2	2	2
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 31 (п. 2). № 679 (в, г), 681 (в, г), 682 (в, г), 683 (в), 684 (в), 705 (в),
707 (а).
Ответы и решения:
№679
в) lim g(x) = -4.
л—>-7
г) limg(x) = 3,5.
в) lim(x2 + 6х-8) = -13.
А—>-1
г) lim
\_>_121х + 2	-7 + 2	15
3
№682
в) Нгпл/я + З = 3.
х —>6
г) lim л/Зх-8 = 2.
л'->4
№683
X г 4Х + 7
в) hm —-----
7
3*
№684
в) lim
л—>0
COS71X
х + 2
№705
в) lim ——--------------= lim-------------------
.v->-ix- -2х-3	г-*-1 (х +1)(х-3)
4
№ 707
a) lim S — Х = lim cos х = 1.
л-^() tgr л'-*()
Уроки 60-61. Предел функции в точке
211
Ход урока 61
I.	Актуализация знаний
Выявление степени усвоения понятия непрерывности функции в
точке через устные задания по готовым чертежам (рис. 17, с. 19 из
пособия «Производная и интеграл» Э.С. Беляева).
II.	Проверка домашнего задания
Теоретический опрос:
-	определение функции, непрерывной в точке и на промежутке;
r sin/
-	замечательный предел lim-= 1.
III.	Практикум по вычислению пределов
№ 704
a)	lim/(x) = 3 и/(2) = 3. в) lim/(x) = 4 и/(-1) не суще-
л—>2	х->-1
. .. х + 2	х + 2	1
a)	lim —--= hm---------z---------= —.
<г’+8 (х + 2)(х2 - 2х + 4) 12
№ 707
COS X
в)	lim----- - lim sin x = 1.
Л-Л Ctgx
IV.	Самостоятельная работа (см. приложение)
Выполняется под копирку с последующей самопроверкой реше-
ния по готовому решению, которое заранее заготовлено за доской.
Учащиеся сами оценивают свою работу.
Ответы и решения:
Уровень I
Вариант I	Вариант II
Вычислите пределы:
Y__|	2х 4
a)	lim-*--= 0.	a) lim —---= 0.
7 v-.lv2 4- Г	' ,-,-2 г2 -2
212
Гпава IV. Производная
л "9 /
о) lim------= -6.
Х4-3
б)	lim ——— = 8.
'->4 4-л- •
sin X
Зх
в)	lim-------— = 5.
л-*и 3 sin х
a) lim- = О
<14-х
Уровень II
a) lim - 0.
Зх2 - 5х + 2
б) hm------------=
v^'	х‘-1
б)
в)
^im(3,v-2)(x-1) =
— (л-1)(л+1)
Зх-2 1
= lim----= —.
х + 1	2
,. х + sin 2х
hm------------=
v~>° sinx
.. х 2sinxcosx
= lim----4- hm-----------
'-^sinx -v-*° sinx
= lim
(x-2)(x + 2)
(2x-l)(x-2)
X4-2
= hm------
2x-l
4
3’
2x-sinx
h m-------
л-*° sin2x
.. 2x	sinx
= lim----------hm---------------
л sin 2x •v-*° 2 sin x cos x
2
a)	lim tg(3 x)=0.
x~*2 2 4-х
.. x2 -2x-3
6)	hm-----------=
1	X34-l
Уровень III
sin(x + l)
a)	hm—------- = 0.
x-1
*3-8
6)	hm—-------=
-v->2 x" - x - 2
r (x+l)(x-3)	4
hm —-------------— =—.
—1(x + 1)(x2-x4-1)	3
.lim^-2^ +2^ + 4) =4.
(x-2)(x+l)
4 sin7x-sin3x
в) hm--------------=
•v-»° 4x
7 . '	3
— sin7x — sin3x
- lim —-----lim—---------
r^0 7x	3x
4 .. co s 3x - CO S X
в) hm--------------------
-o 4X2
-2 sinx sin 2x
lim-------;-----
-sinx-sin2x
= lim----------------= -1.
•v-*° x-2x
Уроки 60-61. Предел функции в точке
213
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 31 (п. 2). № 686, 704 (б, г), 706 (в, г), 707 (г).
Ответы и решения:
№686
XV	-1	~
a) lim----- 2.
л-и х-1
в) lim---— = 10.
л~>5 х - 5
№ 704
б) lim /(х) = 4
и lim /(х) = 0.
.. х2 -4
б) lim-------
_1_
6
г) lim /(х) = -1
и lim /(x) = -5.
№ 706
ч х-3 г х-3	1
в) lim—----= hm--------;----------- —.
'->3	_ 27	v->3 (х _ З)(х2 + Зх + 9)	27
. r 16-х2 ..	(4-х)(4 + х)	1
г) hm------- = hm---------------— = —.
л->4 64-х	г-*4 (4-х)(16 + 4х + х“) 6
№ 707
ч cos5x-cos3x	f-2sin4xsinx^
г) hm--------------= hm ---------------- = - hm tgx = 0.
sin5x + sin3x 2sin4xcosx )
214
Гпава IV. Производная
Урок 62. Приращение аргумента,
приращение функции
Цели: ввести понятие приращения аргумента, приращения функ-
ции; рассмотреть простейшие примеры нахождения приращения
функции.
Ход урока
I.	Проверка домашнего задания
II.	Изучение нового материала
1.	Определение приращения аргумента.
2.	Определение приращения функции = /(х0 + Аг)- /(х0).
3.	Пример 5.
4.	Новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.
5.	Пример 6.
III.	Закрепление изученного материала
1.	Пример 7.
2.	Решение задач.
№ 688 (а, б)
а)	у = х2 + 2х , х0 = Х| = -1,9; Ду = /(х + Av) -/(х) = (-1,9)2 -
-3,8-4 + 4 = -0,19.
б)	х{ = -2,1; Ду = /(х+Дх)-/(х)=(-2,1)2 -4,2-4+4=- 0,21.
№689
\	’ •	А	А ’	’ А 1
а)	у = sin х, Хо = 0; х, = — ; Ду = sin-sin 0 = — .
6	6	2
£Z\	A • ТЕ ’ A
6)	x0 = 0; Xj = — ; Ay = sin I — - sin 0 = — .
6	у 6 J	2
№691
a)	у = y[x ; x0 = 1; Xj = x0 + Ax ; Av = 0,44; X| = 1 + 0,44 = 1,44;
Ду = 7^4-71 =1,2-1 =0,2.
6)	Ax = -0,19;x, = 1 -0,19 = 0,81; Ay = ThST-Vi = 0,9-1 = -0,1.
№694
6)	/(x) = -x2; Ay= -(.v + Ar)2 + x2 = -x2 -2xAx-(Av)2 + x2 =
= -2xAx-(Av)2 .
Урок 62. Приращение аргумента, приращение функции
215
№ 708
а)	/(х) = kx + т; Д/ = к(х + Дх) + т - кх - т - к Ах.
№ 709
б)	f (х) = ax2; Af = а(х + Дх)2 - ах2 = 2ахАх + с/(Дх)2;
Дх Дх
№ 710
,	.	1	./•	1	1 х~х~Дх
в)	/(*) = - ; Д/ =-------=----------=---------;
х х + Дх х х(х + Дх) х(х + Дх)
Д/' г f 1^1
lim — = hm-------------- —-.
Лг-+0 Дх Av^0^ х(х + Ду) J	х"
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 31 (п. 3); 688 (в), 691 (в), 694 (в), 708 (г), 710 (г).
Ответы и решения:
№ 688 (в)
у = х2+2х; х0 =-2; xj =-1,5; Ду=(-1,5)2-3-4+4=2,25-3= -0,75.
№ 691 (в)
в) У = 4х ;х0= 1; Дх = 0,21;х, = 1 +0,21 = 1,21;
Ду=7Г21-71=1,1-1=0,1.
№ 694 (в)
в) У = 4 - 2х; Ду = 4 - 2(х + Дх) - 4 + 2х = -2Дх.
№ 708 (г)
/—	I----- I—	Ах
г) / (*) = V-v ; Af = у/х + Дх - Vx = -===--=
V х + Дх + у/Х
№ 710 (г)
\	\ Г АГ	Г А/ 1
г) / (+) = у/х ; AJ = —== 4= ; hm — = —
>/х + Дх + у/х Ах 2у/х
216
Гпава IV. Производная
Урок 63. Определение производной,
ее геометрический и физический смысл
Цели: дать определение производной; рассмотреть ее геометри-
ческий и физический смысл.
Ход урока
I.	Проверка домашнего задания
Заранее заготовлены решения домашнего задания на доске с
ошибками (продуманными); детям найти ошибку.
II.	Изучение нового материала
1.	Определение производной, обозначение.
2.	Производная функции: (кх + т\ = к\ х' - 1 (х2)' - 2х.
3.	Физический смысл производной V =
4.	Геометрический смысл производной к - f\a).
III.	Закрепление изученного материала
а) /'(х,) = tg60° - Л ; f\x2) = tg45° = 1;
б) /'(x,) = tg30° = ^.
f'(x2) = tg90°-ne существует.
№ 717
a)y = 9,5x - 3;/'(x) = 9,5;
б) у = -16л• + 3;/ (л-) = -16.
№ 718
а) Дх) = X2, х0 = 2; /'(х0) = 2х0; /'(2) = 4.
№ 719
а) /(х) = 1,х0 = 2; /'(х0) = —Г /'(2) = -Г
х	х0-	4
№ 720 (а)
S(t) = r- /=1 с; V = S'(t) = 2t, Г=2 (м/с); «=Г(/) = 2, а = 2
(м/с2).
№ 725
а)	/'(х() > 0 при Xi = -1; /'(х2)>0 прих2=1;
б)	/'(х1)<0 приХ[=-5; /'(х2)>0 прих2 = 2.
№> 726
а)	<р’(х) > 0 при X] = -7; х2 = 2; х3 = 2,5.
б)	(р’(х) < 0, х > 0 при Х| = 4; х2 = 5.
Уроки 64-65. Алгоритм отыскания производной
217
№ 727
a) S(t) = r+t; t= 1 с; V = S' (/) = 2t + 1, И=3 (м/с); а= Г (t) = 2,
а = 2 (м/с2).
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 32 (п. 2); 718 (б), 719 (б), 720 (б), 725 (в), 727 (б).
Ответы и решения:
№ 718 (б)
/(x) = .r,.r() = -l;/'(.г) = -2.
№ 719 (б)
/(х) = —, х0 =-1; /'(х) =-1.
X
№ 720 (б)
S (г) = г2; t = 2,1 с; V = S'(t) = 4,2 (м/с); а = 2 (м/с2).
№ 725 (в)
/Дл;) < 0 х, = -5; /'(х2) < 0; *2 = ~4-
№ 727(6)
S (/) = Г + г; t = 2,1 с; 7= S' (г) = 2t + 1 = 5,2 (м/с2); а = 2 (м/с2).
Уроки 64-65. Алгоритм отыскания производной
Цели: закрепление определения производной; рассмотреть алго-
ритм отыскания производной функции.
Ход урока 64
1.	Проверка домашней работы
1.	Разобрать задания, вызвавшие затруднения.
2.	Теоретический опрос.
-	Дайте определение производной.
-	В чем заключается геометрический смысл производной.
-	В чем заключается физический смысл производной.
11.	Изучение нового материала
1.	На доске и в тетрадях записать алгоритм отыскания производ-
ной.
2.	Пример 1 учебника.
3.	Пример 2 учебника.
218
Гпава IV. Производная
III.	Закрепление изученного материала
№ 1. Найти производную функции по алгоритму:
у = кх + Ь; у = л*2; у = х3; у = Vx.
IV.	Итог урока
Домашнее задание
1.	§ 32 (п. 2). Выучить алгоритм отыскания производной.
2.	№721,723 (в, г), № 724.
Ответы и решения:
№ 721.
у = х~
а)	у' = 2х; 2х > 0 при х > 0.
б)	2х < 0 при х < 0.
№ 723
в)	S(z)-z2+4; K-S'(Z); AS - (z + A/)2 + 4-Z2-4 = 2Az
AS 2AZ-Z „ n
lim — = hm-------= 2z; V = 2z.
Д/->0Д/	Д/-Я) Д/
г)	S(t) = r -2t\ K = S'(t); AS = (z +Az)2-2(Z + Az)-Z2+2z =
= 2tM - 2M + (A/)2; lim — = lim A/<2/~2 + AO = 2/ - 2;
Az A/*° Az
Г = 2t -2.
№ 724
a) ./ "(-7) </'(-2);	6) /'(-4) </'(2);
в) Л-9)< HO);	г) /'(-!)> H5).
Ход урока 65
I.	Математический диктант
1.	Что называется приращением функции?
2.	Что называется приращением аргумента?
3.	Напишите определение производной функции в точке.
4.	Каков физический смысл производной?
5.	Напишите алгоритм вычисления производной, используя ее
определение.
П. Практикум вычисления производной по алгоритму
1. / (х) = ах1 т Ьх + с . Найти /' (л).
2. Самостоятельная работа (см. приложение).
Уроки 64-65. Алгоритм отыскания производной
219
Ответы и решения:
Уровень I
Вариант I
Найти производную функции по алгоритму:
I.	1) f(x) = x2 -Зх ВТ. х0 = -1;
2)	f(x + Av) = (х + Av)2 - 3(х + Ах) - х2 -г 2xAv + (Ах)2 - Зх - ЗАх;
3)	А/ = f (х + Ах) -/(х) = х2 + 2хАх + (Ах)2 -Зх-ЗАх-х2 + Зх =
= 2хАх + (Ах)2 - ЗАх .
АГ Ах(2х + Ах-3) _ л 7
4)	— =-----1---------- = 2х + Ах - 3.
Ах	Ах
5)	lim — = lim(2x + Ar-3) = 2л-3; f\x) = 2х-3; /7-1) = -5.
л\ Ay av-»o
2
2.	1) /(х) = - х0 = -2.
х
2)	/(х + Ах) = -^—.
х + Ах
2	2 2х-2х-2Дх	2 Ах
3)	А/  --------=------------------------.
х + Ах х х(х + Ах)	х(х + Ах)
4)	— =---------.
Ах х(х + Ах)
АГ 2	2	1
5)	hm -у = —- ; / (.г) = —г ; / '(-2) =
Av ->() Ду	х~	2
(Ответ: 1) —5; 2) ““•)
Вариант II
1.	1) /(х) = 4х-х2, х0 = 3.
2)	/(х +Ах) = 4(х +Ах)-(х± Ах)2 =4х + 4хАх-х2 -2хАх-(Ах)2.
3)	А/‘ = /(х + Ах)- /*(х) = 4х + 4Ах-х2 -2хАх-(Ах)2 -4х + х2 =
= 4Ах-2хАх-(Ах)2 •
Л АГ Ах(4-2х-Ах) Л
4)	-- =-------------- 4 - 2х - Ах.
Ах	Ах
5)	lim — = lim (4-2.v-Av) = 4-2.v; /7 v) = 4-2.v; /'(3) = -2.
Av-->0 Ax Av- >0
220
Гпава IV. Производная
2.	1) ./V) = --,x0 = 3.
X
3
2)	f(x + kx) =---
х + Ах
А ..	3	3 -3x4-3x4-3 Ах	ЗАх
3)	А/ =-------+ - =--------------=----------.
X 4- Ах х х(х 4- Av) х(х 4- Ах)
Л \ А/	3
4)	_2_ =--------.
Ах х(х 4- Ах)
5)	lim ^- = 4; /'(х) = Д; /'(3) = |.
хх-ю Дх х~	х-	3
1
(Ответ: 1) -2; 2) — .)
Уровень II
1- 1)/(х) = ^—X, х0 = 2.
4
(х4-Ах)2	X2 4-2xAv4-(Ax)2
2) f(x 4- Av) =------(х 4- Av)=-----------------x - Av =
4	4
_ x2 4- 2xAv 4- (Av)2 - 4x - 4Ax
4
x .. x2 4-2xAv 4-(Av)2 — 4x — 4Ax x2
3) А/ --------------------------------— 4-x =
4	4
_ x2 4-2xAv4-(Ax)2 -4x-4Ax x2 4x _ -
~	4	4	4 ~
_ 2xAv 4- (Ax)2 - 4Ax
”	4	‘
А/ (2x4-Av-4)
Av	4
A/‘	2x4-Ax-4 x , x x ,	Z.,z^4
5) hm — = hm-------------=	/ (2) - 0.
ax-->o At	4	2	2
2
2. 1) /(л-) = - + 1, x0 = -l.
X
r. A .	2	2 4-x 4-Av
2) /(X4-Av) =-------4-1 =---------.
X 4- Av X 4- Av
Уроки 64-65. Алгоритм отыскания производной	221
2	, 2 ,	2	2 2x-2x-2Av 2Av
3) А/ —--------ь 1-1 —--------------------------—	.
Д'4-Av л* X 4-Дх* Д' Л'(х4-Дх') Л'(х + Ах')
п-у - —
Av х(х 4- Av)
5) lim А- = --=7 ; /'(л) = -Л ; /'(-1) = -2.
^-4()Av х~	д'"
(Ответ'. 1) 0; 2) -2.)
Вариант II
I. 1)/(х) = ^- + 2х, х0 = -1.
(л'4-Av)	д' +2д'Аг+(Аг)“
2) / (х4- Av)= ----- + 2(д'+Ах)=------------—- 4- 2л-4-2Av=
2	2
_ д'2 + 2хДх + чAv)2 + 4х 4- 4Av
2	'
Г х2 4-2xAv + (Av)2+4x + 4Av л2
3)	А/ =---------------------------------2л- =
2	2
_ .V2 4- 2л'Ах' 4- (Av)2 4- 4д- 4- 4Av - х2 - 4х _ 2xAv 4- (Av)2 + 4Av
-	2	”	2	'
4)	А/ _ Av • (2д- 4- Av 4- 4)
Av 2 • Av
5)	lim —= lim ^Х + Ал + 4= х4-2; /'(x) = x + 2; /'(-1) = 1.
Av->() Дд;	Av—>0	2
4
2. 1)/(X) = 3 —, x0 = 2.
x
4
2)	/(X4-Ar) = 3----
x +Av
_ЧАУ._ 4	_44	4	4x4-4Av-4a- 4Av
3)	V = 3-----------34--=--------7 =------------=---------.
X4-Av XX X + Ar x(x4-Av) x(x4-Ax)
А/ 4
4)	.
Av x(x 4- Av)
Af	4	4
5)	=	/'(x)- — ; H2)-i.
•u-"°Av	x"	x
(Omeenr 1) 1; 2) 1.)
222
Гпава IV. Производная
Уровень III
Вариант I
1.	1) /(л-) = 4^2.
2)	/(х + Ay) = д/х +Av-2.
3)	А/ = V л* + Ay - 2 - у/х - 2 = ................  т=
у/х + Ay - 2 + у/х - 2
-rj	—	.--------- .------.
Ay	y/x + Ay - 2 + y/x - 2
5)	lim ~- = J------ /'(x) = —t^=-
дл->о Ay 2y/x — 2	2\x — 2
2
2.	l)/(x) = 4~ —.
2
2
2)	f(x 4- Ay) = 4--------- = 4 - 9
(л* + Ay)' x' + 2xAy 4- (Ay)'
3)	ду = 2___________1________= 4xAx + 2(Ax)2
x2 x2 + 2xAx + (Ax)2	х2-(х + Дх)2
.. AX’ 4x + 2Ax
4)	— = —2--------
Ax x -(x + Ax)'
.. .. А/ 4х 4	г(/ ч 4
5>	1гр.т-=-т=-г; /м=^-
Вариант II
1.	i)/(x) = V7Ti.
2)	f (* + Ay) =	+ zAc +1.
3)	А/ = Vx + zAv + l - yjx +1 = -у--.-.:. _________
у/.X 4* Ay 4-1 4- "\/X 4- 1
4)	^ = -...... 1	.
Ay yjx + Ay 4-1 4- у/х 4-1
5)	]im0^ =	г—; 4'W =	г—
лх->о Ay 2у/х 4-1	2у/х + 1
3
2.	1) /(.г) = 4-7.
X
2) /(х + Дх) = ;..3	-7.
(х 4- Ах)~
Уроки 66-67. Вычисление производных...
223
3
3)	Д/ =-----—~-7--^+7 = ---------------г-4
(х + Дх)* х~ х~ + 2хДх + (Дх)‘ х~
-бхДх - 3(Дх)2
х2(х + Дх)2
А/ бх + ЗДх
4)	— = —---------г-
Дх х (х + Дх)"
г ,. Д/ 6х
5)	lim — = —-
^^иДх х
6 /V \	6
—; J (*) =—5
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 32 (п. 2); 719 (в), 720 (в), 725 (г), 726 (г).
Ответы и решения:
№ 719 (в)
/Сх) = -,*о = 5; /'(*„) =-2-.
х	25
№ 720 (в)
S (I) = г2; z = 2 с; V = = 4 (м/с); а = 2 (м/с2).
№ 725 (г)
/'(*,) > 0, Xj = 1; /'(х2) < 0, х2 = -7
№ 726 (г)
ср'(х) >0, х < 0 при Х| = -6; х2 = -7.
Уроки 66-67. Вычисление производных.
Формулы дифференцирования
Цель: выработать практические навыки применения формул вы-
числения производной.
Ход урока 66
I.	Актуализация знаний учащихся
1.	Анализ диктанта и самостоятельной работы.
2.	Проверить наличие домашней работы.
3.	Выписать формулы дифференцирования на доске и в тетрадях.
224
Глава IV. Производная
II.	Изучение нового материала
1.	Дополнить таблицу производных формулами sin'x = cosx;
cos'x = -sin x.
2.	Вывести формулу sin'x = cosx (аналогично выводится формула
cos'x = -sin х).
III.	Вычисление производных
№ 728 (а, б)
а)	у = 7х + 4, j/ = (7x + 4) - 7.
б)	у'= (Х2)' = 2х.
№ 729 (а, б)
а)	у' - sin" х = cosx.
б)	у' = (4х)' =—U.
2л/7
№ 730 (а, б)
a)	g'(x) = (Vx)' = —!=•; g'(4) = r
2Vx	4
б)	g'(x) = (*2)' = 2х; g'(-7) = -14.
№ 731 (и, б)
a)	g'(x) = sin'x = cosx; g'^--|J = O.
6)	g'(x) = cos'x =-sinx; g'l — | = —-
I 6 J 2
№ 732 (a, 6)
а) //'(x) = (7x-19)'= 7; h\-2) - 7.
б) Л'(х) = (7?)' = Д=; A'(16) = 1
2Vx	8
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 33 (п. 1); № 728 (в, г), 729 (в, г), 730 (в, г), 731 (в, г).
Ответы и решения:
№ 728
в) / = -6.	г) у' -—V-
Уроки 66-67. Вычисление производных...
225
М> 729
в) у' = - sinx.
№ 730
в) g'(x) = -3.
731
в) g'(.v) =-sinx; g'(3n) = 0.
г) у = 0.
г) g'(х) =—V; g'(0,5) = -4.
Х“
г) g'(x) = cosx; g'(0) = 1.
Ход урока 67
1. Проверка домашней работы
II. Устная работа
Найдите производную:
х'; -х'; к'\ (кх)'; О'; Г; (Зх)';	;(х2)';(7х) ;(sinx) ;(cosx
III. Практикум по вычислению производных
№ 733 (а, б)
а) А'(л) = —V; Л'(-2) = -1. X'	4 734 (а, б)	б) //(x) = cosx;	=
а) ,/'(х) = 2х ; /'(-4) = -8	б) Пб = -А	= х* V з)
№ 735 (а, б) . / < 1 .	г f \	1 а) / (x) = cosx; j lyl=2' № 736 (а, б) а) /'(л-) = 2.г; f(x) = x2.	(	72 б) /'(x) = -sinx; б) /'(x) = cosx; /(x) = sinx.
V. Повторение изученного материала
1.	Пользуясь определением непрерывности функции в точке, до-
1
кажите, что функция /(х) = х + — непрерывна в точке х0 = -1,
х
но не является непрерывной в точке х( = 0.
Решение:
1 1 11
А/ — хч-Ахн----х —=Av+----------, если Av —> 0 , то А/ —> 0
х + Аг	х	х + Av х
И Л. А Обухова и др.
226
Гпава IV. Производная
в точке Ти = --1. Функция /(х) непрерывна в точке х0 = -1. В точке
Х[ =0 lim /(х) не существует. Значит, функция /(х) = х + — не яв-
л->0	х
ляется непрерывной вт.Х] - 0.
2.	Определите, является ли непрерывной функция в точке
f(x) = —, Ху = 1.
х + 1
Решение:
lim /(х) = 0
Л—>1
(Ответ-, функция /(х) является непрерывной в т. х0 = 1.)
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 33 (п. 1); № 732 (в, г), 733 (в, г), 734 (в, г), 735 (в, г), 736 (в, г).
Ответы и решения:
№ 732 (в, г)
в) Л'(х) = -6 .
№ 733 (в, г)
в) Л'(х) = 2х; Л'(-0,1) = -0,2.
№ 734 (в, г)
. f,( П .
в) f - = -4.
г) Л'(х) = ‘ ; h'(9) = —.
2у/х	6
г) Л'(х) =-sinx; /г'(л) = О.
г) /'(2) = 4.
№ 735 (в, г)
№ 736 (в, г)
в) /'(х) = 3; /(х) = Зх.
г) ~ sin х; /(х) = со s х.
Уроки 68-70. Правила дифференцирования	227
--------—_
Уроки 68-70. Правила дифференцирования
Цель: рассмотреть правила дифференцирования суммы, произве-
дения, частного, формулы дифференцирования функции у = х".
Ход урока 68
I.	Проверка домашней работы
II.	Изучение нового материала
1.	Правило 1.
((./'(•*) + g(x))' = f'(x) + g'(x)..
Пример: (х" + sin х)' = 2х + cos х.
2.	Правило 2.
(W))' = W).
2.,	,n ( cosx'i sinx
Пример: (5х ) = 10х ; I-—-—I =	.
3.	Правило 3.
(/(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Пример: ((2х + 3) sin х)' = 2 sin х + (2х + 3) cos х.
4.	Правило 4.
f - /'(Ajg(-<)-/(x)g,(x)
UwJ	g2w
( x2	2x(5-4x) + 4x2	10x-4x2
Пример: ------ = — -----—-----=---------.
5 - 4x )	(5 - 4x)“	(5 - 4x)2
5.	Рассмотреть примеры 3, 4 учебника. На основании примера 4
сделать обобщение: (х")' = дх"’1.
П1. Закрепление изученного материала
№ 737 (а, б)
а) у' -2х-7.	б) У = -6х-13.
№ 738 (а, б)
а) >’' = 12 + Ц=.	б)/ = Ц=-18х.
228
Гпава IV. Производная
№ 739
а) у' = —г+ 4. х~ . № 743 а) у' = 5cosx-sinx. № 746 а) у = 5х4 + 180х19.	б) у' = -4 + — . X' б) у - 3cosx-sinx. б) у = 7.x6-64л-15.
IV. Итог урока
Домашнее задание
1. § 33 (п. 2); индивидуально разобрать правило дифференциро-
вания частного (доказательство).
2. № 740 (а, б), 741 (а, б), 742 (а, б), 745 (а, б).
№ 740
.,33 а) У =~/=—у- у/Х х № 741 а) у' - cosx. № 742 а) у' - -sinx + 2. № 745 а) у' - Зх2 + 10х4.	, 11 б) у = /= + —• у/Х А'" б) у'=-4sinx. б) у' = 2cosx-6. б) у' = 4х3 -9х8.
Ход урока 69
I.	Проверка домашней работы
II.	Акзуализация знаний учащихся
1.	Ввод правил 1 и 2 (у доски 2 ученика).
2.	Правило 3 выводит у доски сильный ученик. Класс пишет.
3.	Устная работа.
Найдите производную:
1) (х' -Зх2 +х + 5)'.	3) 4 Vx J
2) (8>/х)'.	4) (гМ • У 1 + А )
Уроки 68-70. Правила дифференцирования
229
III.	Изучение нового материала
Л	д	,	1
Применить правило 4 для вывода формул tgx =------------—;
COS' X
ctgx = —-V (пример 6).
sin' X
IV.	Закрепление изученного материала
№ 747
а)	у' - 2х(х4 + 2) 4- (х2 -1) • 4х3 = 6х5 - 4х' + 4х.
б)	у' - 2х(х6 -1) + (х2 +3)-6х5.
№ 749
а) у' = sinx + xcosx.
, cosx Vxsinx cos х-2х sinx
№> 751
, _ Зх2 -(2x + 4)-2x? _ 4x3 +12x2 _ 4(x? +3x2) x3+3x2
У~ (2x + 4)2	~ (2x + 4)2 " 4(x + 2)2 ” (x + 2)2 ’
, 2x-(x2 -l)-2x’	-2x
°) V =--——-------= —-----~-
(Л--1)-	(%--!)-
752
^2-6^
4 , 2л/х	6x + 27-12x	27-6.V
a) у = —--------------------------------
(2x + 9)2	2д/х(2х + 9)2	2^(2x4- 9)2 ’
f x cosx-sinx
б) У =--------з----•
x~
№ 754
a) у = 3cosx--------—.
sin x
№ 783
a) / = (x’ -l) = 3x2.
№ 786
a) y' = (sinx)' = cosx.
б) у --------— + sinx.
cos' x
6) y' = (sinx)' = cosx.
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 33 (п. 2); № 748 (а, б), 750 (а, б), 784 (а, б), 785 (а, б).
230
Гпава IV. Производная
Ответы и решения:
№ 750
1	2	3
а)	у'=-— (2х-3) + —+ 2 = 2 + —.
, 6х + 1 6	..	..	1
б)	у = —— - — + 42 = 42 + —.
х	х	х'
№ 784
(	3 Y 9
а)	/= л-6-- =6х5+ —.
\ х J	X
15х'4(л-'° + 1)-10л-У5 _ 5х24+15,у14
у.~	(л-10 + 1)2	- (хш + 1)2
№ 785
а) у' - (cos ХУ ~~ sin а,	б) у' ~ (sin х)' = со s х.
Ход урока 70
I.	Проверка домашнего задания
II.	Актуализация знаний учащихся
1.	Разобрать пример № 5 (рис. 125), с. 173.
2.	Решить: № 765 (а), 769 (а), 789 (а).
№ 765
а) Л'(х) = 6л5-4, Л'(1) = 2 , tg а = 2.
№ 769
a)/'(*) =-7= ~5, -l=-5 = 2, х = У
•Jx 4x	49
#<? 789
а) /(х)-sinxcosx,	/(х) = ~sin2x, /'(x)-cos2x; cos2x = -^,
Зп
X - ±------+ ТТЛ?, П G Z.
8
Уроки 68-70. Правила дифференцирования	231
III.	Самостоятельная работа
Вариант I
Уровень I
№ 1. а) /'(х) - 1 Ох4 +	.
/гч г/ ч 1	3 X Г 2 о 7х’’+3х~-л/х 2 г о 2
б)	+ 6<хх + Зх =-----------------------— 1х л/х+Зх .
л/х	у] X
. 2х(х + 2)-(х2-3) 2х2+4х-х2+3 х2+4х + 3
№ 2. a) j (х)=---------------=---------------=-------—;
(х + 2)2	(х + 2)2	(х + 2)2
х2 + 4х + 3
(* + 2)2
х, =-1
< _х2 = -3.
х * ~2
{Ответ'. -3; -1.)
б) /(x) = 4--L) 4-2- = 0; (2х № + 1)=0;
X * 0
{Ответ'. —; —
2 2
№ 3, а) /(х) = 8 - 2х - х“; 8 - 2х - х" > 0 ; х2 + 2х - 8 < 0;
(х + 4) (х - 2) < 0.
+
Н----------
2 А’
х е (-4; 2).
{Ответ'. -4; 2.)
б) f{x) =
х+ 2-х _	2
(х + 2)2 ~ (х + 2)2 ’
2
(х + 2)2
{Ответ: х е R, кроме -2.)
Уровень II
№1. a) /'(x) = 1,5Vx-24x2.
232
Гпава IV. Производная
16, .	<	4	16 16	z 8	8	16	,
о) J (л)=—(.<+!) +2.Г 3—- =—+—+6х—-=—+—+6х.
X	\	X	J X Г Л”	X	X
№2 а) r(v)/2x+3)(x+4)-x3-3x_2x2+llx+12-x2-3x^
(х + 4)2	(х + 4)2
х2 + 8х +12 _ (х+6)(х + 2)	(х + 6)(х + 2)_п
(х + 4)2	(х + 4)2 ’ ' (	’ (х + 4)2'
Л*( - -6
< [х2 = -2 .
х ф -4
(Отвеят. -6; -2.)
_. г,, ч „	1	2х2-1 2jv2 — 1	1 2л*2-1-х л
б)	/'(х) = 2-—=——; —- =	;------= 0;
X’ X*	X" X X"
lx1-1 -X = 0 ;х* 0; D = 9; х. =1; х,
1	’	2
(Ответ: .1;-^-)
№3. а) /'(х)=2х-2; (х2-2х-3)(2х-2)>0; 2(х-3)(х + 1)(х-1)>0.
х е [-1; 1]и[3; + <х>].
(Ответ: хе[-1; 1]и[3;+°о].)
б)	/(х).-^ + 3^<?-^=—
(х + 3)- (х + 3/ х + 3
 Л'~--7 < 0; х е (-3; 2].
(х + З)3
(Ответ’, х е (-3; 2].)
5
(х + 3)2
Уровень III
№1.
а) /'(х) = 20х4+-тД
2	2	5
б) J (х) = 2 + 5х2 - Зх3-5 + Зх+—+—3 = -Зх-’ + 5х‘ + Зх +
X	X' Д'
г 2	3	4
+ ^ + 4-6; f'(x) = -9х2 +1 Ох + 3—-—
3 х-	х- х’
Уроки 68-70. Правила дифференцирования
233
№ 2.
_	[х2-х = О
бом х; <
2х + 1>0
х = 0
>-0,5
{Ответ’. 0; 1.)
,	(2х-2)(х-3)-х2+2х-1 _ 2х2-8х + 6-х2+2х-1
7	W= (х-3)2	=	(х-3)2
_х-6х + 5 = (х-1)(х-5) .	=	= 0.
U-3)2
U-3)2
(х-1)(х-5)=0
(л--3)2
х2 =5.
х * 3
(Ответ'. 1; 5.)
х4 - 4л*2
3. а) /'(х) = 4х’ - 8х ; ----- > 0 ; OS* X.^.XO^.. >
4х3-8х	4х(х-х/2)( х + Л)
х.о^-^2)^Ьо.
(x-V2)(x + V2)
“2	-V2	0 Л
{Отвепг. [-2; - V2)o(0; V2)o[2;+ос).)
, f х +1 x + 2-x-l	2(х + 1)
б)/(х) = 2----- •
<х + 2 )
(х + 1) (х + 2) > 0. х _2; X * -1; (х + 1)(х + 2) > 0 .
2(х + 2)2(х + 1)
(х + 2)3 1
-2
X G (-00; - 2) и(-1; + оо) .
{Ответ', (-ос; - 2) о (-1; + ос) .)
234
Гпава IV. Производная
Вариант II
Уровень I
№1. a)/V) = 12x’-4
г/ \	2 z Г л 14х~ -8х\[х г л
б) f(x) = —^x‘+6vxx-4x =----г---= 7xVx-4x.
2Vx	2Vx
д. . ч ч 2х(х-2)-(х2+5) 2х2-4х-х2-5 х2-4х-5
Ло2. а)/(х)^	7	9
(х-2)"
(х-2)2
(х-2)2
х2“4х"5=0;-
(х-2)2
х2 - 5 . .
х * 2
(Ответ'. -1; 5.)
б) /'(*)=—-9-(1~3x)(1 + 3x) 4-—= 0- <x~3XJC+3)
0;
3
L ' з
х * 0
(Ответ'. - j ; j .)
№3. a) /'(х) = у + 2х-6; х2+4х-12 < 0 ; (х + 6) (х - 2) < 0.
-6
х
2
х е (-6; 2).
(Ответ'. (-6; 2).)
б) /'(х)=^—=
(х-3)2
(Ответ', х е R, кроме 3.)
3
-----7-	—Т<0.
(x-З)' (л--3)2
Уровень II
№1. a) /'(х) = 15х4 + 2,5xVx .
Уроки 68-70. Правила дифференцирования
235
ч 9 ,	3	9 9.3
б) f (х) =—-(х-1)+2+—=—г + — +2 + — =
X	X	X X X
a) f'(г)-(2*-3)(х-4)-х: +Зх_2х2-1 lx + 12-x2 +3х_
Х	(х-4)2	’	(х-4)2
_ х2 -8х+12 _(х-6)(х-2)	, (х-6)(х-2)
Э	9 J к*^ ) U	э	к/
(х-4)2	(х-4)г	(х-4)2
х, = 2
< х2 = 6 .
х * 4
(Ответ'. 2; 6.)
(Ответ'. —.)
№ 3. а)	/'(х)=2х-4;	(х2-4х+3)(2х-2)<0;
2(х-1)(х-3)(х-1)<0
х е (-оо; 1] и [2; 3].
(Ответ', (-оо; 1]и[2; 3].)
б) /'(х) = 4~Х+^Х<9=--------------------^__<0; 5(Х+1)<0;
(4-х)2	(4-х)2 4-х (4-х)2	(4-х)3
------------1-----------------------Н
-1	4
х е (-оо; - 1] и (4; + ос) .
(Отвепг. (-оо; - 1] и (4; + ос).)
236
Глава IV. Производная
Уровень III
№1. a) /'(x) = 4-f--Y —^=+18х5 =—-^= + 18х5.
к 2 J х\Jx	х \/х
30 15	2
б) /(х) = 30х +-----7~4х2~4 + — 2х3-2х + 1 =
х х"	х
32 15
=-2х3-4х2 + 28х + ----~-3;
X X
32 30
/'(х) = -6х2 - 8х + 28 - -у + -у .
X" X
№2. а) /'(х) =-2х-4; |-х2-4х-4| = 2х + 4 ; |-(х + 2)2| = 2х + 4 ;
->	?	f + 2х — 0
-(х + 2)’<0 при любом х (х + 2)’ = 2х + 4;
|2х + 4>0
х, = -2
< х2 = 0 ; Х{ = -2, х2 = 0.
х >-2
(Ответ'. -2; 0.)
,	(2х+2)(х + 3)-х2-2х-1 2х2 +8х+6-х2-2х-1
б) 1 -----------------------------------
,£Х^.<5 + 1)(-^). /ViWV5).0;
(х + 1)(х + 5)
(х + 3)2
х1 =-1
I -х2 =	•
х Ф -3
(Ответ: -1; -5.)
»/• j ч гч х г. з 9х-х3 , л х (3-х)(3 + х)
Л«3. а)/(х) = 9-Зх3;-----—Д------------ ,___ 0;
9-Зх2	3(73-х)(7зТ7)
xg(-oo; -3]и(-73; 0]и(73; 3].
(Ответ: хе(—со; — 3]<_>(—д/З; 0]О(73; 3].)
Уроки 68-70. Правила дифференцирования
237
л-2	(л-2)-	(л-2)3 (х-2)22(х-1)
(л-1)2(х-2); £0.
(л—2)22(х-1)	’
х * 2; х * 1; (х - 1)(х - 2) > О
л' е (-оо; 1)и(2; + оо).
{Ответ', (-оо; 1)и(2;+ос).)
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 33 (п. 2); № 767 (а, б), 769 (б), 786 (в, г), 795 (а, б).
Ответы и решения:
№ 767
a)	f'M - 2хsinx + х2 cosx,	=
-х /-/ х /7 2х 1 /яА 3 1 1	_ 1
О) /(x) = V3cosx + —+ -; / - =- + - + — = 2-.
я 2 V 6) 2 3 2	3
№ 769
б)	/'(х) = 3-!=; 3-----!= = 1; х = —.
’	2>/7	2>/х	16
А? 786
в)	у = cosx; У =-sinx.	г) у = cosx; у = -sinx.
№ 795
a)	h'(x) = Зх2 - 6х ; Зх2 - 6х > 0 ; хе (-ос; 0) о (2; + оо).
2	2	2	г-
б)	/?'(х) = -у=г -1; —= -1 > 0 ;	> 1 ; Vx < 2; х е [0; 4).
у/Х	yJX	у/X
238
Гпава IV. Производная
Урок 71. Дифференцирование функции у =J{kx + т)
Цели: вывести правило дифференцирования функции вида
у = J\kx + m\, учить применять его.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
II. Изучение нового материала
1. Вычисление производной функции у = sin 2х с использованием
формул двойного аргумента и правила произведения (у доски
ученик).
2. Формулы.
.	.	( Л 1 1
(cos4x) = -4sin4x; (sin Зх) - 3cos3x; tg— -------;
\ 2 J 2	2 x
4	7 cos —
2
((2x+I)5/ = 2-5-(2x +I)4 =10(2x + l)4
3.	Теорема.
f\kx + m) = k- f(kx + m)
4.	Пример 7 учебника (с. 176).
5.	Доказательство теоремы.
III. Закрепление изученного материала
№ 771 (а, б)
а) / = -5 (3-х)4.	б) ^' = -240-(7-24х)9.
№ 772
а) у* = 3cos(3x-9).
№ 773
а)	у'= -5sin(5x + 9).
№ 774
I
б)	-------------.
. 7 ( л Л ]
sin“-4х
у 6 J
№ 775
X -	“7	,	1
а) у=—Т==.	б) у'=—==.
2<15-7х	4^42 +0,5х
Урок 71. Дифференцирование функции у - f(kx + т)
239
№ 776
а) у'= 21(Зх-2)6; у’(3) = 3-77.
№ 777
,	Я ]	, 71
а) у =2 cos 2х— ; у —
в) y’=4sin —
-2.
IV. Самостоятельная работа
№ 778
2
а)	у --------------г; у1
cos2 2х + —
I 8 )
,	1	, 71 ]	.
б)	у =-----7------г; у - = 4-
. U я ]	13)
sin~ —x
16 J
№ 779
. ,	3	....	3	Зл/29
а) у = ,..; у (5)=-т==-------.
V29	29
-4
б)у'=^_; у'(0) = -2.
л/4-8х
№800
a) /'(x) = 2cos(2x-3); g'(x)=-2sin(2x-3); cos(2x-3)+sin(2x-3)=0;
	„	3 Я ЯИ „
sin 2х-3+— =0; х=-----+ — ,neZ.
V 4j 2 8 2
3 71 Tin	ч
(Ответ'.-----1--,neZ.)
2 8 2
6) /'(x) =--------gf(x) =--------------------- =-------
(5x-9)2	(7-5x)2	(5x-9)2	(7-5x)2
2 (7-5x)2 =-(5x-9)2 нет корней.
{Ответ', нет корней.)
№801
, х 1 . э .	30	7 .	15 э 1
a) fM=~sin2x; f (х) =--------g(x) =---------cos2x< —;
2	(5x-9)2	(7-5x)	2
240
Глава IV. Производная
— + 2 л/7 <2х < — + 2ли; — + т < х <-и л/г, п е Z.
3	3	6	6
л	5л
(Ответ: — + кп<х< — + л/?, п е Z.)
6	6
б) /(x) = sin3x; f'(x) = 3cos3x; g'(x) = -3; 3cos3x<-3;
„	, л 2лл
cos3x<-l; x- — +----, n g Z.
3	3
ZXA	Я 2Л/7
(Ответ: y + -y-,fleZ.)
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 33 (п. 3); № 770, 777 (б, г), 778 (в, г), 779 (в, г), 802 (б, г).
Ответы и решения:
№ 770
а) у' = 28(4х-9)6;	б) v' = 4-jj + 2^ ;
7 / уз
в) у' = 45• (5л +1)8;	г) у' = --I 4--2J .
> 777
б) / = -2cos^-2x^; _у’(д) = -2.
№ 778
№ 779
7
в) ./=	......; у'О) = 0,7.
2V7x + 4
Урок 72. Контрольная работа №4	241
9	1
г) У' = —г—; /(1) = -1~.
2V25-9x	8
Ли 802
4
б) Л'(л) =------ = tgl35°; 4 = (.v + 2)’; .г, = 0;х,=-4.
(л-+ 2)-
(Отвепг. 0; -4.)
г) //(*) = 4 cos 4х-— ; 4cos 4х-— =0; 4х- — = — + пп, п е Z;
I 3j I 3J 32
571 ’ 717?
х = — + —, и е Z.
24 4
(Ответ’. — + —, п g Z.)
24 4
Урок 72. Контрольная работа № 4 (см. приложение)
Цель: проверить усвоение изученного материала.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
II. Выполнение контрольной работы
Вариант I
2. у '(л) = х’ - х6 + Тб ; у '(1) = >/3 ; tga = 7з ; а = 60°.
(Ответ’, ос = 60°.)
3.	= 1. (Отвепг. 1.)
4. S'(2) - 68 ; £'(/) = V ; V - 68 м/с. (Отвепг 68 м/с.)
5. 12-3.V2 3 4 5 <0: 4-л-2 <0; (2 - д;)(2 + х) < 0.
I.	и лр
242
Гпава IV. Производная
/'(х)<0 при х е (-ос; -2]о[2; ос).
(Ответ-, (-оо;-2]и[2; оо).)
6. /'(х) = 0; -2sin2x =-л/З; sin2x = —; х - (-1)" • — + —; n е Z;
2	6 2
_ ТС ТС J. _ . _	ТС ТС ТС ТС г/_ л _
п = 0, х = —, — е [0; 4тс]; n = 1, х =-1— = —; — е [0; 4тс];
6 6	6 2 3 3
7тс 7тс	4	4 гл . _
п = 2, х = —, — е [0; 4тс]; п = 3, х = — тс, — тс е [0; 4тс];
п = 4, х = ^7 ТС’ ~~тс е [0; 4тс]; п - 5, х =	е [0; 4тс];
а 17	17 гп л 1 п 20к	10 ГА л П
п = 6, х = — тс, — тс е [0; 4тс]; п = 7, х =-= — тс е [0; 4 тс];
6	6	6	3
п = 8, х = е [0; 4тс].
6
тс тс 7тс 4	13 7тс 17тс 10	23 ч
(Ответ-. —; —; —; — тс; —тс; —; -----------; —тс; —тс.)
6363	6	363	6
Вариант II
х
1 х , sin2 х Ct^ x + 0,5sin2x
1.	Ж) у'=  S11? х2-----=	_г_------.
X	х‘ sin“ X
2.	у ’(х) = хн +х2 +1 ; у '(-1) = 1; tga = 1 ; a = 45°.
(Ответ: a = 45°.)
3.
= 2. (Ответ: 2.)
4.	S'(У) = 96 ; S'(t) = V ; V= 96 м/с. (Ответ: 96 м/с.)
5.	/'(л-)>0; 12-З.г2 >0; Зх (4-х)>0.
/’U)
/'(х) > 0 при х е (0; 4).
(Ответ: (0; 4).)
6.	/ '(х) = 0; cos2x = ^-; 2х = ± — + 2тс/т; n е Z;
Урок 73. Уравнение касательной к графику функции
243
л = ± — + ли; п g Z; 0 < ± —-т л/7 < 4л ; ± — < л/7 < 4л ± — ;
8	8	8	8
1) —<п<4—;п= 1;2;3;4;
8	8
1	7	п
2) —<л<3-;п = О; 1;2;3.; п = О, л- = -е[0; 4л]; п = 1,
8	8	8
7л 9л 7л Л л 9л л
х = — и х = — ; — е [0; 4л]; — е [О; 4л];
8	8	8	8
_	15л	_	17л г_ _
п = 2, =-----е [0; 4л]; х2 =-е [0; 4л];
8	8
„	23л Г/А л _	25 r/л л
/7 = 3, Xj =-е [0; 4л]; х2 = — л е [0; 4л];
8	8
/7 = 4, х = -— + 4л = е [0; 4л].
8	8
л 7л 9л 15л 17л 23л 25	31л ч
(Ответ*. —; —; — ; --; ---; --; — л ; --.)
88	88	8	88	8
Урок 73. Уравнение касательной к графику функции
Цели: отрабатывать алгоритм составления уравнения касатель-
ной; показать применение производной к приближенным вычисле-
ниям.
Ход урока
I. Актуализация знаний учащихся
1. Вывод уравнения касательной; сформировать алгоритм со-
ставления касательной.
2. Рассмотреть примеры применения производной к приближен-
ным вычислениям.
П. Практическая часть урока
1. Устные задания.
№ 809 (и)
u:tgcr = O; b : tgcr < 0; с : tg« > 0.
244
Гпава IV. Производная
№ 810 (а)
у' = 0 при х = О, х = 3,5; у' не существует при х = -1.
2. Практикум.
№ 822 (а)
гч X 2	1 х ,	21
/(*) = -"---— + tcos-; / (Зл) =	=-1.
3cos х 3	3	33
№828
9-х2 =0, х± З.у' = -2х;х0 = 3; ^(3) = 0; >>'(3) = —6; _у = -6(х-3) =
=-6х + 18; х = -3; j(-3) = 0; /(-3) = 6; у = 6(х + 3) = 6х +18.
(Ответ', у = -6х +18; у = 6х + 18.)
№831
a) j' = 2x; у = х2 + 2х0(х-х0) = 2хох-хо2; х0= 1;^0= 1; (1; 1).
«ч 1	1 { 1 И
4	16 V 4 16J
№832
а)	Г(х) = х2-6х + 10; X(J-6х0+10 = 1; xj-6x„+9 = 0; х0=3.
6)	/'(х) = х3 - 2х; х3 - 2х0 = 0; х0 = 0; х2 =2; х0 = ±V2.
№838
а) 0,9985 « 1 - 5 • 0,002 = 0,99.
№839
а) ТГ05 ~1+ - 0,05 = 1,025.
N	2
№ 834 (а, б)
а)_у' = 2х; _у = х2 +l + 2x0(x-x0) = 2x0x-x„ +1; -2 = 2х0 -х2 +1;
xj + 2х0 - 3 = 0; х0 = -3; х0 = I ;у = -6х - 8;jy = 2х.
№ 847 (а)
, i  i -7  М V3 7Л . Г. (Т1\ 7 7	.
у = -7sin /х-7sinx; у — =- — +----= 3V3; у — =—-— = 0;
46J	2	2 ’UJ 2 2
у - Зл/З; у = cos 7а + 7 cos а - (7 sin 7а +7 sin а)(х- а);
-7 sin 7а - 7 sina = 0; sin 7а + sin а = 0; 2 sin 4а cos За = 0;
• л м	я ин
sin 4а - 0; cos За = 0; а = —; а = —+ —. n g Z.
4	6	3
III. Итог урока
Домашнее задание
§ 34; № 822 (б), 829; 832 (в, г); 838 (б); 839 (б).
Уроки 74-75. Исследование функции на монотонность
245
Ответы и решения:
№ 822 (б)
/(x) = -sinx--------
8 sin2 -
2
2л
а=—
3
2	2
№829
х2-3х = 4; x2-3x-4 = 0; х = 4; х = -1; j/(4) = 5; у = 4 + 5(х-4);
у - 5х -16 ; У"(—1) = -5 ; у = 4 - 5(х +1); у = -5х - 1.
№832
в) /'(х) = х2 -2х + 2; х2-2х0+2 = 1; х2-2хо+1 = О; х0=1.
г) /'(х) = 5х3-Зх2; 5х3-Зх2=0; х2 (5х0 - 3) = 0; хо=О;хо=|.
№ 838 (б)
1,037 * 1 + 7-0,03 = 1,21.
№ 839 (б)
Д99 =2--L o,O1 = 1,9975.
Уроки 74-75. Исследование функции на монотонность
Цель: ознакомить учащихся со способом нахождения промежут-
ков монотонности функции с помощью производной.
Ход урока 74
I. Проверка домашней работы
I. № 847 (б) выполняет ученик у доски.
2. Ответы на вопросы по заданиям домашней работы.
П. Изучение нового материала
Заранее на доске подготовить рис. 129, 130 учебника § 35, с. 182.
1.	Установление связи между характером монотонности функции
и знаком ее производной.
2.	Теорема 1 (формулировка).
3.	Теорема 2 (формулировка).
4.	Физическое истолкование сформулированных теорем.
5.	Пример № 1.
246
Гпава IV. Производная
6.	Пример № 2 (утверждение об использовании теорем 1 и 2 для
решения уравнений).
7.	Теорема 3.
III.	Закрепление изученного материала
№ 854 (а) - устно.
/'(*)> о, /Л)>0, Г(с)<0, /Л)>0.
№ 855 (а) - устно.
„	( с+Ь\ Г, с-Ь
Возрастает на -со;--- и а -------; со
I 2 J L 2
_	(с + Ь . с-Ь
убывает на I \а -	.
№ 856 (а) - устно.
Убывает на [-2; 2]; возрастает на (-со; -2] и [2; со).
№857 (в), 858 - устно.
№ 862 (а, б)
а)	у' = - sin л• + 2; у' > 0 при любых х.
б)	у' = 5х4 + 9х2 + 7; D < 0, у' > Q при любом х.
№ 863 (а)
y’ = 2cos2x-3; у’<0 при любом х.
№867 (а)
у = х4 - 2х2 - 3 ; у ’ = 4х3 - 4х = 4х(х - 1)(х +1).
№ 868 (а)
у = —!— ; у' =--!—7 убывает на (-ос; -3) и на (-3; оо).
•V + 3 (х + з)“
№ 869 (а)
I—	з	1	Г1
г = л/Зх-1; v’ = —; Зх - I > 0; х > - возрастает на -;
2V3X-1	3	L3
IV.	Итог урока
Уроки 74-75. Исследование функции на монотонность
247
домашнее задание
§ 35	(п.1); № 860, 861 (а, б), 862 (в, г), 863 (б), 867 (б), 868 (б), 869 (б).
Ответы и решения:
№ 860
№862
в) у’= cosx + 3x2+1; у'> 0 при любом х.
г) у' = 5х4 +12х2 + 8; у ’ > 0 при любом х.
№863
б) у' = -3 sin Зх - 4; у' < 0 при любом х.
№867
б) у' = -5х4 -1; у' < 0 при любом х, у (х) убывает на R.
№868
х .	6	Г	1И 1
а) у1 =------ возрастает на -оо; - - и - -; оо .
(Зх + 1)"	\	3J V 3 )
№869
,	1	4\/Г-х-1 _	15	(	15
о) у =---== + 2; --.	=0, х —— возрастает на -со; —
2VTT 16	I 16
15
убывает на —;1 .
и
248
Гпава IV. Производная
Ход урока 75
I.	Проверка домашней работы
II.	Актуализация знаний учащихся
1.	Сформулировать теоремы 1; 2; 3.
2.	Решить уравнение 5cosx + sin4x - 10х = х3 + 5 и сделать вывод: ес-
ли одна их функций у или у = g(x) возрастает, а другая убы-
вает и если уравнение/х) = g(x) имеет корень, то только один.
III.	Практическая часть урока
№ 870 (а)
у' = Зх2- 3; убывает хе [-1; 1].
возрастает хе(-оо; -1] и на [1; +оо).
-3	-2	-10
№872
У
5 6
10 х
4-2	------- ,
№ 930 (а, б)
а)	х" + 5 = 15 - х ; у = х3 + 5 возрастающая функция, у = 15 - х
убывающая функция. Следовательно, 1 корень х = 2.
(Ответ. 2.)
б)	х5 + Зх3 4- 7х - 11 = 0; х5 + Зх3 = 11 — 7х ; у х~ + 3xJ - возрастает
на R: у -= 11 - 7х - убывает на R. Следовательно, 1 корень
х = - 1.
(Отвепг. -г]
Уроки 74-75. Исследование функции на монотонность
249
IV.	Самостоятельная работа (см. приложение)
Ответы и решения:
№ 1
а)	/(-3) = 27;Дх) = 4х + х2;
Д-З) = -12 + 9 = -3;
г = 27-3(х + 3) = -
Зх + 18.
( Ответ: у = -Зх +18.)
б)/(2) = 3;
Уровень I
а)/(3) = 3; Д(х) = х2 - 2;
Д3) = 7; _у = 3 + 7-(х - 3).
(Ответ: у = 7х - 18.)
ЛД =
(х-1)2
2
“ (.v-1)2 ’
Д2) = -2;
v = 3-2-(x-2).
(Ответ: у = -2х + 7.)
№2
D(f) = R; Дх) = Зх2 - 8х + 5;
Зх2 - 8х + 5=0;
Dt = 16- 15 = 1;
,	5
Х| = +1; Х2 = — .
б)	Л-2) = 3;
Дх) =it!~:Y7+1 = —
(х + 1)2 (х + 1)2
Л-2) = 2;
у = 3 + 2-(х + 2).
(Ответ: у = 2х + 7.)
£>(/)= Я; Дх) = 24-6х-Зх2;
Зх2 + 6х-24 = 0;Д =81;
2
1 -
3
./(л*) возрастает на (-оо; 1 ] и на
[-; +оо);Дд') убывает на [1; — ].
о	3
ЛД возрастает на [-4; 2];
fix) убывает на (-оо; -4] и [2; +оо).
№ 1
а) /(2) = 2,5;
Уровень II
а) ./(-2) = -1,5:
./’(.v) =
Л(л-) =
Д2) = -
4
250
Глава IV. Производная
_у = 0,75х + 1.
б) Л-0,25) = 1;
f(x) = -4 sin( 1 + 4х);
Д-0,25) = 0; у = 1.
у = -1,5 + 1,25(х + 2);
у = 1,25х + 1.
б) ДО,5) = 0;
Дх) = -2cos(l -2х);
ДО,5) = -2;
у - -2(х - 0,5); у = -2х + 1.
№2
D(J) = R, кроме -4.
_ (2х + 3)(х + 4) - х2 - Зх
J (л)	~	2
(х + 4)2
D(f) = R, кроме 4;
/(л) - (2х-3)(х-4)-х2 +Зх
(х-4)2
_ 2х2 +1 lx + 12-x2 -Зх_х2 + 8х+12
(х + 4)2	(х + 4)2
Дх) = 0; х2 + 8х + 12 = 0; D{ = 4;
Х| = -6; х2 = -2;
_ 2х2-1 lx + 12-x2 + 3х_
(х-4)2
_ х2 - 8х + 12
(х-4)2 ’
Дх) = 0; х2 - 8х + 12 = 0;
Z)| = 4; Х| = 2; х2 = 6;
+ _ _ +
Дх) возрастает на (-оо; -6] и
[-2; +оо);
fix) убывает на [-6; -4) и
(-4; -2].
2'4	6 х
Дх) возрастает на (-оо; 2] и
[6; +оо);
Дх) убывает на [2; 4) и (4; 6].
Уровень III
№1
а) 4^7=0,х0=1. Д1)=0;
х' +1
. х2 +1-2х2 +2х
(?++ 
—х2 + 2х н— 1
(х2+1)2 ’
Д1)=у;у = 0,5(х-1);
у = 0,5х-0,5.
б) (7-Зх)3=1.х0 = 2.
/(2) = 1; Д(х) =-9 (7 - Зх)2;
Д2)=-9; у=1-9(х-2);
Зх’ +2	.
а)	Дх) =---—; х0 = 0;
х-1
Д0) = -2;
дх)	=
(х-1)’
_ 6х2 -6х-3х2 -2 _3х2 -6х-2
й7!?	(х-1)2
у = -2-2(х-0);^ = -2х-2.
б)	(4х + 3)5 б) = -1. 4х + 3 = -1.
х = -1
/'(-!)=-1; /'(х) = 20(4х + З)4;
Уроки 74-75. Исследование функции на монотонность
251
v -	+ 19.
Л«2
£>(/) =	-6]	[0; +со).
-6	-3	0
/(*) возрастает на [0; +оо);
/(*) убывает на (-оо; -6].
Д-1) =20; у ——1 + 20(х + 1);
>- = 20х + 19.'
D(f) = R, кроме 4;
_ (2х-3)(х-4)-х2 +3х _
У V* /	->
(х-4)-
_ 2х2-11х+12-х2+Зх_х2 -8х+12.
"	(-г-4)2	" (х-4)2 ’
f(x) = 0; х- - 8х + 12 = 0; £>, = 4;
Х| = 2; хз = 6;
/(*) возрастает на (-оо; 2] и на [6; +оо);
fix) убывает на [2; 4) и на (4; 6].
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 35, (п. 1). № 870(6), 871 (б), 867 (в, г), 868 (в, г), 869 (в, г), 930 (в).
Ответы и решения:
Л> 870 (б)
D(y) = R; у' = Зх2 + 12х- 15;
убывает* е [-5; 1];
возрастает х е (-оо; -5] о [1; +оо).
Л> 871 (б)
D(y) = R; у' ~ -4*3 +16* = -4*(* - 2)(* + 2);
убывает [-2; 0] и на [2; +оо);
возрастает (-оо; -2] и на [0; 2].
Ли 867 (в, г)
в) D(y) = R; у' = -12*3+ 12*2 = -12*2(* - 1);
убывает на [1; +ос); возрастает на (-оо; 1].
г) D(y) = R; у' = 25*4. у' > 0 при любых * функция возрастает на R.
252
Глава IV. Производная
№ 868 (в, г)
,	2
в) D(y) = R\ кроме 0; у = —- ;
х1
убывает на (-оо; 0) и на (0; +оо).
г) D(y) = R; кроме -1,5; у=-Ст; убывает на (-чю; — 1,5) и (-1,5; -Но).
(3+2х)2
№ 869 (в, г)
в) D(y) =(~^уЛ];у' = —;
2	>/2х-1
убывает на (-<»; — ].
г) w =	1 /<^ = 0; х= 1;
2	V2x-1	V2x-1
убывает на [ 1; +оо); возрастает на [ ±; 1 ].
№930 (в)
2х3 + Зх3 = 17 - 12х; у = 2х5 + Зх3; - возрастает,
у = 17- 12х- убывает, следовательно, 1 корень х = 1.
(Ответ: 1.)
Уроки 76-77. Отыскание точек экстремума
Цели: ввести определение точек минимума и точек максимума,
понятие стационарных и критических точек. Изучить теоремы 4,5;
алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и
экстремумы.
Ход урока 76
I.	Актуализация знаний учащихся
1.	Анализ самостоятельной работы.
2.	Работа над ошибками.
3.	Ответы на вопросы учащихся по домашней работе.
II.	Изучение нового материала. Работа с учебником
1.	Определение точек минимума и максимума (точек экстремума).
2.	Теорема 4 (необходимое условие экстремума).
3.	Стационарные и критические точки (пример № 4).
4.	Теорема 5 (достаточное условие экстремума), пример № 5.
Уроки 70-77. Отыскание точек экстремума	253
5.	Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и
экстремумы.
6.	Пример 6.
III.	Закрепление изученного материала
'.№ 873 (а, б)
a)./W=rW = 0;6)/(c) = 0.
№874 (а, б)
а) е; б) а; Ь.
№ 875 (а, б)
а) 1; б) 2.
№ 876 (а, б)
а) 2; б) 1.
№ 878 (а, б)
а) да; б) да.
№ 880 (а)
у = 7 + 12х -х3; у' = 12 - Зх2; у' = 0, х = ±2.
'№> 881 (а, б)
8	8
а)	у = 2х + — , у' = 2 —- ; у' = 0, х = ±2 - стационарные.
х	х^
б)	у = >/2х-1, у' = —1=2= ; х = — - критическая точка.
V2x-1	2
№ 882 (а)
у = 2sin2x - sin4x, у' = 4cos2x - 4cos4x, у' = 0, 4cos2x - 4cos4x= 0;
sin3x sinx= 0; x = —, n e z - стационарные точки.
№ 884 (a, 6)
x3 5 э	э
a)	у = — ~~x' +6x-l, y'=x“-5x + 6; yf = 0, x"-5x + 6 = 0;
y' = (x - 2)(x - 3); X| = 2; x2 = 3.
max - min + y'
2	3
x = 2- точка максимума; x = 3 - точка минимума.
б)	у =х3- 27x4- 26; у' = Зх2-27; у' = 0, Зх2 - 27 = 0; х = ±3 ;
/ = 3(х-3)(х + 3).
max - min + v'
х —3 - точка максимума; х = 3 - точка минимума.
254
Гпава IV. Производная
IV. Итог урока
Домашнее задание
1. § 35, н. 2.
2. № 877, 880 (в, г), 881 (в, г), 883 (в, г).
Ответы и решения:
№877
а) (-оо;-5] и [-2; оо); б) [-5;-2]; в)-5; г)-2.
№ 880 (в, г)
в) у = 8 +2х2-х4; у' = 4х-4х3 = 4х( 1 - х2); у' = 0, 4х( 1 -х)( 1 +х)= 0.
х = 0; х = ±1
<	2
стационарные точки.
г) у = х4-8х2; у' = 4х3-16х = 4х(х2-4); у' = 0, 4х(х-2)(х+2)= 0.
х = 0; х = ±2
Ч_____"____7
стационарные точки.
№ 881 (в, г)
ч *515,	(х-5)(х + 5) п
в) У = — + — , у = -—у;у' = 0, --------- = 0.
з х 5 х~	х"
х = ±5 - стационарные точки
г) У = (*-3)4, у' = 4(х-3)3, у' = 0, х = 3 - стационарная точка.
№ 883 (в, г)
в) у = 4х2-6х -7; у' = 8х-6, у' = 0, х = — ;
4
--------—!—:—
3_
4
3
х = — - точка минимума.
г) у = -Зх2-12х +50; у' - -6х-12, у' = 0, х = 2;
X
-2
х = -2- точка максимума.
Уроки 7&-77. Отыскание точек экстремума
255
Ход урока 77
1.	Проверка домашнего задания
1.	Сформировать необходимое и достаточное условие экстремума.
2.	Повторить алгоритм исследования функции.
II.	Практикум по решению задач
№ 885 (а, б) - самостоятельно.
а)	у = - 5х5 + Зх3; у' = - 25х4 + 9х2; х2(9 - 25х2) = 0; х = 0; х2 = —;
. 5	5
3	3
х =	- точка минимума; х = — - точка максимума.
б)	у = х4-4х3-8х2 + 13;у' = 4х3- 12х2- 16х; 4х(х2-Зх-4) = 0.
X] = 0; Х2 = 4; х3 = - 1.
х = - 1; х = 4 - точки минимума; х = 0 - точка максимума.
№ 886 (а)
4	4
£>(у) = (- °°; 0) и (0; - оо). у = х + — ; у' = 1 —у = 0; х = ±2 ;
х	х1
+	-	-	+ у'
-------1--------1-------1—г
-2	0	2 х
х = - 2 - точка максимума; х = 2 - точка минимума.
№887 (а)
0,0 х> 2. у = х — 2>/х-2 ; / =1—Д—; / = 0; Vx-2 = 1; х = 3;
х = 3 - точка минимума.
256
Гпава IV. Производная
№ 902 (а, б)
у = sinx —х; D(y) = R; у - cos х - — у' = 0; cos х - = 0 ; cosx = у;
Я _	~	1 Я	К	_
х - ± — -и 2я/7, и е Z ; у > 0; cosx> —; — + 2nn < х < — +	n g Z.
3	2	3	3
1
у = sin х-----X
2
возрастает на
я	я
— 4-2я/?; —+ 2я/7
3	3
У<0;
, n е Z .
cosx<—. —+ 2яи<х< — + 2ян, neZ.
2 3	3
1
у ~ sin х —х убывает на
я	5я
— + 2яя;----ь2пп jieZ .
3	3
х = - у + 2яя, n е Z - точки минимума, х = — 4- 2 я//, n е Z - точки
максимума.
№902
х	1
б) y = y-cosx; D(y) - R ; у' - — 4- sinх.
у' = 0; — + sin л" = 0; ,г = (-1 /'+1 — + пк, к &Z. 2	6		
п •	1	71 о у >0; sinx>—. — + 2я//<х<- 2	6	7л Э	7 	4- 2Я/7, /7 G Z. 6	
-V Функция у = — - cosx возрастает на	я _ 7я — 4- 2я//; — 4- 2я/? 6	6	, /7 е Z;
1 7л э	Ня у <0; sin х < —; — 4- 2пп < х <	+ 2я//, n е Z. 2 6	6		
Функция y = y-cosx убывает на	7я _ Ия ~ 	h 2Я/?;	4 2Я/7 6	6	, n G Z.
7я	71 х = — 4- 2пп - точки максимума; х = -- Ло 903 (а)	- 4- 2я /1 - точки минимума. >	
t	1 х ,	V г =—sin —: у =0; sin— = 0; х - 2я/?, п g Z. />O;-sir 2	2	2		i->0; 2
sin— < 0 . -я 4- 2лп < — < 0 -t- 2я/я н е Z. -2я + 4я?? < х < 4я/?, n е Z.
7	о
Функция у-2-i-cos^- возрастет на [-Зя-i 4яц Зя/?1 //eZ. у' < 0;
Уроки 76-77. Отыскание точек экстремума
257
sjn А > о. 2л/7 < < л + 2л/?, п е Z ; 4л п < х < 2л + 4л/?, п е Z.
функция v = 2 + cos~- убывает на [4л/?; 2л// + 4л/?], п е Z.
х = 4я// - точки максимума; х = 2л + 4л/? - точки минимума.
К 904 (а)
г = т - sin2x; D(y) = R; у' = 1 - 2cos 2т; cos2т = —;
2т = ±y + 2л/?, n e Z ; x - ± — + л/?, n e Z ; возрастает на проме-
жутке
л	5
— + л/?; — л + л/?
6	6
убывает на промежутке
П Е Z
л	л
— + л/?; — + Л/7
6	6
, п Е Z\
л	л
т — — + л/7 - точки минимума; т = -—+ л/7 -
точки максимума.
К<> 907 (а)
у' = 5т4 + 3; D(y) = R; у' > 0 при любом х.
Ко 910 (а)
4х	1	1	, 4(4т+1)-16т	4
-----; 2)(у)=(ос;—)и(—;оо). у=----------—=----------7>0;
4т+ 1	4	4	(4т+ 1)"	(4т+1)“
возрастает на
Ко 911 (а)
У = -т3 - 5т + 3; D(y) = R;у- - Зт2 - 5 < 0, убывает наR.
№ 912 (а)
Зт+7	, Зт+6-Зт-7	-1
-----; D(y) = (- оо; - 2) и (- 2; оо). у=-----—=------<0,
х- + 2	(т+2)~	(т+2)
убывает на (- 2; оо).
П1. Итог урока
Домашнее задание
1. §35, п. 2.
2. № 885 (в), 886 (б), 902 (в), 903 (б), 907 (в), 910 (б).
Ответы и решения:
№ 885 (в)
J; = t4-50t2; Z)(y) = A; у' = 4т3-100т; 4т(т - 5)(т + 5) = 0; Т] = 0:
л'2-5;т3--5.
А. Обухова и лр.
258
Гпава IV. Производная
+
-5
1-
0
х = -5; х = 5 - точки минимума, х = 0 - точка максимума.	j
№886(6)	*
х2+9	/а А ' 1 9	(х-3)(х + 3)	*
у =-----'> D(y) = (-^о; 0) и (0; оо); у =1—-----------= 0 ; ]
X	Х~	X	I
х = ±3.	’
-3
0
3 х
х = -3 - точка максимума, х = 3 - точка минимума.
№ 902 (в)
y=~7=x+cosx; D(y)=R; у'=—sinx; sinx =
V2	Л ^2
- 1 . „ . 1
£
/2
keZ. -£r-sinx>0; sin х <; возрастает на -~я+2яя;-^+2ял?
3	1
2	V2
n е Z;
1
j=; убывает на
я
; х = (-1/—+ я£,
4
i
—+ 2ял;—я + 2яп ,«eZ;
4	4 J 1
4
Я _	3	S
х = — + 2пп - точки максимума; х=—я + 2яи - точки минимума. 
№903(6)	1
j/ = --sin-; £>(у) = Я; у =--cos— ; cos^=0; х = —+ 3яи,ие7;
63	33	3	^
_______ Г Зя г Зя , "I
" L 2 ’ ’’ 2 J	'
7 Зя	Зя z
nez; х = —^ + 6яи - точки максимума; х = — + 6ял - точки ми-
нимума; П G Z.
№ 907 (в)
D(y) — R\ у' = 7х6 + 21х2 + 2 > 0 для любого хе/?; возрастает
на (-юо; оо).
№ 910 (6)
4
Зтс
2
Зя 9я
убывает +6яи;—+6яи , neZ; возрастает —+6ял;—+6ял.
D(y) = (-«; 5) и (5; оо); у=^-+Р- 4+13=_+^>Qi х е D{y)
(х-5)2	(х-5)2
возрастает на (- оо; 5).
Уроки 78-80. Построение графиков функций
259
Уроки 78-80. Построение графиков функций
Цели: отработать навыки применения схемы исследования функ-
ций с помощью производной и построения графиков; ввести понятие
вертикальной и горизонтальной асимптот; закрепить навыки иссле-
дования функции с помощью производной; провести проверочную
самостоятельную работу.
Ход урока 78
1. Проверка домашней работы
II. Изучение нового материала
1. Изучение схемы исследования свойств функции.
2. Пример 7.
III. Закрепление изученного материала
№ 890 (а, в)
№ 892 (а)
у = Зх2 - х3
1)	D(y)=R.
2)	у(- х) = Зх2 + х3; не является ни четной, ни нечетной.
3)	Асимптот нет.
4)	у' = 6х - Зх2, Зх(2 - х) = 0, Х| = 0, х2 = 2 - стационарные точки.
X	0	3	-1	2	4
у	0	0	4	4	- 16
922(a)
1) D(y) = (- оо; - 2) и (- 2; 2) и (2; оо).
10*
260
Гпава IV. Производная
2) у(-х) = -т^~;
х -4
функция не-
четная.
3) Горизонтальная: у = 0, так как
lim - 0. Вертикальные
асимптоты: х = - 2; х = 2.
t_x2-4-2x2_ -4-х2
У (х2-4)2 ~(х2-4)2~
4 + х~
= -(х2_4)2’ У < ° при х* ±2.
5)	у(0) = 0.
№ 925(a)
у = 2у[х -х.
1)	D(y) = [0;a)).
2)	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3)	Асимптот нет.
4)	/ = -J=r-l;	- * = 0; х=1 -
VX	у/X
критическая точка; х = 0 - стационарная
точка.
5)	______________________________
X	0	1	4	9
л.		0	1	0	-3
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 35	(п. 3); № 893 (а), 919 (а), 924 (а).
Ответы и решения:
№ 893(a)
у = х3 - Зх2 + 2.
1) O(y) = R.
2) у(~ х) = - х3 - Зх2 + 2 - не является ни четной, ни нечетной.
3) Асимптот нет.
+ max - min +
X
Уроки 78-80. Построение графиков функций
261
4) у' = Зх2 - 6х; Зх2 - 6х = 0; Xi = 0 и х2 = 2 - стационарные точки.
5) у(0) = 2; у(2) = - 2.
№ 919 (а)
-1 1
У~х2+4х + 4~ (х + 2)2
1) D(y) = (^o;-2)u(-2;oo).
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) х = - 2 - вертикальная асимптота;
limLu) = 0; У = 0 - горн-
(х + 2)
зонтальная асимптота.
2
4) у' = (х + 2)з i у’ > 0 при X е (-2; оо);
у’ < 0 при х е (-оо; -2).
№ 924(a)
1) ЕХу) = (-оо; -2) и (-2; 2) и (2; оо).
Х ~ 4" 4
1) у(-х) = —-----; функция чет-
х~ -4
ная.
2) х = - 2, х = 2 - вертикальные
асимптоты;
.. х2+4 .
hm  * = 1;
у = 1 - горизонтальная асимптота.
2х3 - 8х - 2х3 - 8х
16х
(х2 -4)2 ;
16х
U2-4)2
= 0; х = 0 - ста-
ционарная точка.
4) Я0) = -1.
Ход урока 79
I. Проверка домашней работы
II. Решение задач
№ 898 (а, б)
262
Гпава IV. Производная
№ 901 (устно)
а) да; б) нет; в) нет; г) нет.
№ 905 (а)
У=|х-3|-2.
1)	D(y) = R.
2) х>3;у = х-5,у' = 1 - возрастаетприх>3;х<3;у = 1 -х;/= - 1 -
убывает при х < 3; х = 3 - точка минимума.
№926
а) у = х4 - 2х2 + 3.
1)	О(у) = Л;
2)	у'= 4x3 -4х;
3)	у' = 0 при х, = 0; х2 = -1; х3 = 1;
у(0) = 3;у(-1)=у(1) = 2.
- min + max - min + у'
Ч 0	1 Т
б) при а - 3 х4 - 2х2 + 3 = а, уравнение имеет 3 корня.
№ 933(a)
э I Г 3	л
ЗУх + 1 = -х + 3х~ +6.
у = Зл/х+Т; у = -х3 + Зх2 + 6; D(y) = [- 1; ос); D(y) = /?;/ = - Зх2 +
+ 6х = - Зх(х - 2); у = 0 при X] = 0, х2 = 2.
X	-1	0	3	8
	0	3	6	9
Я0) = 6;Я2) = Ю;
х = 3.
{Ответ'. 3.)
Уроки 78-80. Построение графиков функций
263
III. Итог урока
Домашнее задание
§ 35	(п. 3); № 899 (а; б), 927, 933 (б).
Ответы и решения:
№ 899 (а, б)
№ 927
a)	j; = -x4 + 2x2+8.
б)	уравнение -х4 + 2х2 + 8 = а не имеет кор-
ней при а > 9.
№ 933(6)
?-Зх = (х+ 1)6 + 2.
264
Гпава IV. Производная
Ход урока 80
I. Проверка домашней работы
И. Решение упражнений
№ 914 а)
у = х3 + ах D(y) = 7?;
у' = Зх2 + а у'>0 при а > 0.
III.	Самостоятельная работа
Уровень I
Вариант I
1.	а) /?(/) = ??;
f(x) = 4х3 - 4х = 4х(х - 1)(х + 1),
х = 0;х = -1;х=1- стационарные точки.
б)	Z)(/) = (-oo;-4)u(-4;oo),
.	2х2 + 8х — х2 — Зх х2 + 5х
№ =-------—7^--------- = 7—Tv ’
(х + 4)	(х + 4)“
Xi = 0; х2 = - 5 - стационарные точки.
2.	у = х3 - Зх2
а)	£>(/) = Я;
б)	не является четной, не является нечетной;
в)	асимптот нет;
г)	у' = Зх2 - 6х = Зх(х - 2);
Уроки 78-80. Построение графиков функций
265
Вариант II
l.a) D(J) = R.-
f(x) = 36л-3 - 4х3 = 4х(3 - х)(3 + х);
х = 0; х = - 3; х = 3 - стационарные точки.
б) /)(/) = (-оо;4) и (4; оо).
„. ч 2х2 - 8х - х2 + Зх	х2 - 5х
ЛО = —-—-------------= -—тт;
(х-4)	(х-4)2
Xi = 0; х2 = 5 - стационарные точки.
1 з
2. у = —xJ + 4х
3
a)	D(y) = R-
б)	у(- х) = -Xх) является нечетной;
в)	асимптот нет;
г)	/ = -х2 + 4 = (2-х)(2+х);
- min + max -
2	2 Xх* v
Уровень II
Вариант I
(х + 1)
f,( Л _ 2(х-2)(х + 1)-х2 + 4х-4 _ 2х2 - 2х - 4 - х2 + 4х - 4
(х + 1)2	(х + 1)2
_ х2 + 2х - 8 _ (х + 4)(х - 2)
(х + 1)2 ' (х + 1)2	’
Дх) = б при Х| = - 4; х2 = 2 х ф - 1.
266
Гпава IV. Производная
Возрастает на (- оо; -4] и [2; оо), убывает на [- 4; - I) и (- 1; 2].
б) Дх) = 4х-х,
£>(/) =
/(х) = —L-1=—-^Е,/(х) = 0х =
2^	2л/7	4
Возрастает на
, убывает на
1
— ;оо
4
a)	D(y) = R;
б)	функция нечетная;
4х	4х
в)	lim----- = 0; lim--- = 0; у = 0 горизонтальная асимптота;
, = 4 + 4х2 -8х2 _ 4-4х2 _ 4(1-х)(1+х)
Г У (1 + х2)2	~(1 + х2)2" (1 + х2)2	’
_у' = 0 прих| = - 1;х2 = 1.
д) Я-1) = -2;Х1) = 2;И0) = 0
Уроки 78-80. Построение графиков функций
267
Вариант П
Х-1
0(/) = (-«;-1)и(1;х);
2(х+2)(х-1)-х2-4х-4 _ 2(х+2)(х-1)-х2-4х-4
J(X~ (х-1)2	=	(х-1)2
_ 2х2 + 2х - 4 - х2 - 4х - 4 _ х2 - 2х - 8 _ (х - 4)(х + 2)_
_ __
Дх) = 0 при X) = 4; х2 = - 2.
Возрастает на (- оо; - 2] и [4; оо), убывает на [— 2; 1) и (1; 4].
б) fix) = х - 4-Ух ;
Ой = [0;х);
Дх) = 0 при х = 4.
Возрастает на [4;со], убывает на [0; 4].
2.	,=4-
х“ +1
a)	D(y)~R',
б)	функция четная;
4
в)	lim —— = 0;у = 0 - горизонтальная асимптота;
»->±®х +1
-8х	,
у = —---- , у - О при х = 0.
(х +1)
Г) Я0) = 4;Я1)=Я- 1) = 2
268
Гпава IV. Производная
а) Дх) = х2 >/1 -х2
£>(/) = [-1;1];
f (х) = 2x71-х2
2х-2х3 -х3 _ 2х-Зх3 х(2-3х2)
f(x) = 0 при xt = 0; х2 =
+ max - min + max -	f'(x)
[2
x = - Jy ; x = Jy - точки максимума;
x = 0 - точка минимума.
б) Дх) = sin2 х-cosx.
D(J) = R-
f(x) = sin 2x + sin x = sin x(2 cos x +1);
f(x) = 0 sin x = 0 или cos = -y;
x > nn, n e Z;
x= ± — + 2nk,k g Z.
3
Уроки 78-80. Построение графиков функций
269
-ТС	71 0 п	п X
"з 3
х = ян, п е Z - точки минимума;
л
х = ± — + 2пк, к eZ - точки максимума.
„ 4х + 1
2.	у =------.
х
a)	D(y) = (- оо; 0) и (0; оо);
б)	является нечетной;
в)	х - 0 - вертикальная асимптота; у = 4х - наклонная асим-
птота.
ч , 8х2-4х2-1 (2х-1Х2х+1) г)/”	2	=	2 X	X +	max	-	min	+ у' 	1	1	1	i 1 х ~2	2 д)	Х-|) = -4;	= ' у 11 1 411 1 1 - 7 Вариант II а) Дх)= х^2-х2. D{f)= [-V2;V21.	«л	11 ;У = 0прих!= --\х2=
270
Глава IV. Производная

И-----1--------F
-V2	-1	1
х = -1 - точки минимума;
х = 1 - точка максимума.
6) Л* * * х)= 2 sinx 4-cos 2х.
f(x) = 2 cos x - 2 sin 2x = 2 cos x(l - 2 sin x);
Дх) = 0, cosx = 0 или sinx = —;
7Г	_ Л _ , ,	_ 5я _ , , _
x = — 4- nn.n g Z. x, = — 4- 2лл, к g Z; x, = — 4- 2лк, к eZ,
2	1 6	2 6
7л л л л 5л
~6	~2	' 6	2	6
x = — 4- Tin, n g Z, n g Z - точки минимума;
x = ~ 4" к g Z и	4-2nk, к g Z - точки максимума.
„	9x2+l
2.	y =-------.
X
a)	D(y) = (- 00; 0) u (0; 00);
б)	является нечетной;
в)	x = 0 - вертикальная асимптота; у = - 9х - наклонная асим-
птота.
г)
-18х2 4-9х2 +1 _ (1-Зх)(14-Зх)
;У = 0 при х = ± —.
Уроки 78-80. Построение графиков функций
271
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 35 (п. 3), № 914 (б), 929 (а), 931 (а).
Ответы и рещения:
№ 914 (б)
7 = y-ax2+5x-3; D(y) = 2.
у' = х2 -2ах + 5;
D < 0; £>, = а2 - 5;
а2 - 5 < 0;
(a-V5)(a + V5)<0;
а е л/5; V5
№ 929 (а)
х3 - Зх = а.
у ~ х3 — Зх; D(y) = R;
у' = 0 при х = ±1;
max - min +
-1	1 х
X- 1) = 2;Х1) = -2.
а е (- оо; - 2) и (2; оо).
272
Глава IV. Производная
№ 931 (a)
sin5x - 2cosx - 8x = x5 - 2.
у = sin5x - 2cosx - 8x; D(y) = R\
У = 5cos5x + 2sinx - 8, / < 0 при любом x, убывает на R\
у = x5 - 2; D(y) = R;
у' = 5x4; у' > 0 при любом х возрастает на А;
х = 0 - единственный корень.
Уроки 81-82. Отыскание наибольшего
и наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке
Цели: показать основные приемы нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции в промежутке.
Ход урока 81
I.	Актуализация знаний учащихся
1.	Анализ самостоятельной работы.
2.	Работа над ошибками.
3.	Ответы на вопросы по домашнему заданию.
II.	Изучение нового материала
1.	По заранее подготовленным рисункам 146-148 учебника сде-
лать выводы, подводящие к алгоритму отыскания наименьшего и
наибольшего значений непрерывной функции на отрезке.
2.	Запись алгоритма на доске и в тетрадях.
3.	Пример 1 учебника.
4.	Теорема (с. 202).
5.	Пример 3 учебника.
III.	Закрепление изученного материала
№ 935 (а, б), 936 (а, б), 937 (а, б), 947 (а, б), 948 (а, б).
Решение заданий:
№ 935
а)	у = х2-8х + 19; х е [-1; 5]. D(y) = R; у' = 2х - 8; у' = 0, х = 4 -
точка минимума. 4 е [-1 ;5]; у(4) = 16 - 32 + 19 = 3;	= 28;
— 4. .Углах — 28, .ymin ~ 3.
Уроки 81-82. Отыскание наибольшего и наименьшего значений... 273
б)	у = х2 + 4х - 3; хе[О; 2]. D(yj = 7?; у’ = 2х + 4 = 0, х = -2; -2 g
[О; 2]; ЯО) = -3; Я2) = 9;№ах = 9;№п = -3.
№ 936 (а; б)
а) у = 2sinx; D(y) - R; хе
71
2
я	, о	г п	71
—; л ; у = 2 cosx. у =0, х = —;
2 J	2
я
; — е
2
я
я
— е
2
я
—; я
2
х =
—; я
2
'.Утах 2, J/min 2.
б)у = -2cosx, хе -2тс; -у ; у’ = 2sinx,у' = 0, D(y) = R, х=лл; nez;
у(-2п) = -2; у(-п) = 2; у I -у I = 0 ; у))ИХ = 2; ymin = -2.
№937 (а, б)
1
а) у = tgx, хе
71. 71
cos~ х
D(y) = R, кроме
л
— + пп, п е Z. у
2
Уз =_уз
3 ; Утах 3 ;
J^min	"4 J.
Ле 947 (а, б)
а) у = х3 - 2х2 + 1; х е [0,5; +«>). у' = Зх2 - 4х; D(y)=R; у' = 0 при
4	<4^5
х = 0, х= у; 0 е [0,5; +оо); ymin =yl - 1=	; у,пах не суще-
ствует.
б) у = х-2л/х ; х е [0; +оо). у' = 1—1=г = 0; х = 1. 0,1 £ [0; +оо);
№п =Х1) = -1;№ах не существует.
Ле 948
а) у = х+ —; х е (-оо; 0);У = 1--у = 0, х = ±1 . D(y) = 7?, кроме 0.
1 g (со;0];у,мх =у(-1) = -1 - 1 =-2.у„„„ не существует.
З^н-9-бл-^ЗХ-З)^.^
б) у = -2ЗХ' - , хе[0; +оо). у' = - -у
х2+3	(х-+3)
у <0,х
y;y,nin=X0)=0.
II Л. А. Обухова и др.
274
Глава IV. Производная
V. Итог урока
Домашнее задание
§ 36 (п. 1), № 935 (в), 936 (в), 937 (в, г), 948 (в, г).
Ответы и решения:
№ 935(e)
ъ)у = 2х2 - 8х + 6; [-1; 4]. D(y) = А; у' = 4х- 8; у' = 0, х = 2;
2 е [-1;4];Я2) = -2;Я-1)= 16;Я4) = 6.?тах= 16;№in = -2.
б)	у = бсо&х, хе - —; 0 ; y' = -6sinx, У=0, х = лп; п g Z;
D(y) = R, у(- у) = 0; Х0) = 6; упмх = 6; ymm = 0.
№ 937 (в)
\	гч	_ 7С
a) y = -2tgx, 0; —
6
И *= Z. J^inax
2
:------< о, £)(у) = R, кроме
COS“ Л'
2л/з
3
л
— + лп ,
2
№ 947 (е, г)
в) у =
1 ]; у' = х4 - 2r. D(y) = R. х(х3 - 2) = 0, х = 0;
Г) у =
5
V2; V2 й (-со; 1 ]; упшх = Х0) = 0. ym,n не существует.
х4	1	4х
-7—7 = !——хе(-оо; +ос). D(y)=R, у'= ——
у’ = 0, если х = 0; Х0) = 0- №in = 0; J’max не существует.
№ 948 (в, г)
в)	у = -2х-— ; (0; +оо); D(y) = R, кроме 0. у' = -2 + —у; у' = О,
2х
х = ±| • -у (0; +оо); j/inax =Х~) = -1 - 1 = -2.y.nin не суще-
ствует.
г)	у = у/2х + 6 - х; [-3; +оо); D(y) = [-3; +оо). у'= —=L=-1;
V 2х + 6
^' = 0, л/2л' + 6 =1; х= --|.утах =У(-^)	yinin не
существует.
Уроки 81-82. Отыскание наибольшего и наименьшего значений... 275
Ход урока 82
1.	Проверка домашнего задания
II.	Самостоятельная работа
Вариант I: ЛФ 938 (а), 939 (а), 940 (а)
№ 938
а)	у = >/х, [0; 9], D(y) - [0; +оо); у' = —i— ; у’ > 0 на (0; +со);
2-4 х
у (0) = 0;у (9) = 3; jmin= 0;.^1пах= 3.
№ 939
а) у — 12/; [~\\2].D(y) = 7?;/= 48х3,/=0, х = 0, 0 е [-1; 2];
Я-1) = 12; Я0) = 0; у(2) = 192; №in = 0; №ах = 192.
№940
а) у = sinx ,
2л
0; -у- ; D(y) = R, у' = cosx, у' = 0, х = у + я/?; п е Z;
3
Я С\	(Г\\ (\	(	1	[	1 л/З^	/ч
0;Т ’ у '°'=0; у I1Г ’ у IТ Г ~ ’ №п=0;
.Утах ~ 1 •
Вариант II: № 938 (б), 939 (б), 940 (б)
№938
б)	у =	[-4; 0], D(y) = (-оо; 0); у' =-1= ; у' < 0 на (-оо;
2л/-х
0]; у (0)= 0; у (-4)= 2; ymin = 0; у,гах = 2.
№939
б)	у = -6?; [0,1; 2]. D(y) = Л;у'=-30/,у'=0, л=0, 0 g [0,1; 2];
6	3	3
у(0,1) =---------=----—; у(2) =-192; у„их =---------; ymi„ =-192.
100000	50000	50000
№940
б) у = sinx , | 2тс; —-
L 3 .
D(y) = А, у'= cosx, у1 - 0, х = —или;
5л 5л Г 8л "I , \	<5л^|	(8л
е Z; х = — ; — е 2л; — ; у 0; v — = 1; jy — =
2	2	[_	3 J	2 J <3j
'У i '	’ Vinin и>.Утах
276
Гпава IV. Производная
III.	Закрепление изученного материала	J
Л° 945	J
4	-4	4
а) у-х +----, [2; 4]. D(y)=R, кроме 1. у' = 1 +-- = 1-- i
х —1	(х —1)'	(х-1)2 '
у' =0, (х — 1)2 = 4, х = —1, х=3, -1g [2; 4]; у(2) = 6; _у(3) = 5;^
_у(4)— 3 —; ymin— 5; .у max— 6.
№ 961	J
в) у = х2 + 8х + 7; [1; 5], D(y) = R, на [1; 5] х > 0, значит,
у=х2 +8х+ 7;_у' = 2х + 8;.у' = 0,х = -4;-4 £ [1;5];
Х5) = 25 + 40 + 7 = 72; у( 1) = 1 + 8 + 7 = 16;	72; y,n.n= 16.
№964
X	11
а) у = sin2 — sin х, [-л; 0]; D(y) = R, у - — sin х - — cos х sin х =
1	.	1 . _	, 1	1	_	„ . Зх . х .
= — sinx-sin2x;у = — cosx---cos2x = 0; sin —sin — =0;
2	4	2	2	.22
о 2nn 2л n ( 2И Зл/з
x = 2nn; x =-; x =---; x = 0; у-----=-----; у (0) = 0;
3	3	V 3 )	8
_ зТз. =n
Упйп g ♦ Утах xj-
№966
a) у = 2x-716x-4, x e
y^=8,5-8 = 0,5 = 1; ye [-1,5; 0,5].

1	8
£»(y)= -;+oc;y=2-	;
|4 J 71^4
JI П
4’ 4
№ 967
a) у = xy/x + 2.
+o°);
D(y) = [-2;
4
y' = 0;x = -y; у
4ч/б
9
4>/б
-----; 4-ос
9
у (-2)= -2 0 = 0; у е
Уроки 81-82. Отыскание наибольшего и наименьшего значений... 277
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 36	(п. 1). № 945 (б), 961 (г); 965 (б); 966 (б), 967 (б).
Ответы и решения:
№945
4	4
а)	у = л* +-, [-2; 0]. D(y)=R, кроме 1. у' = 1----у' = 0,
х-1	"	(т-1)"
4	1	1
х = -1,х = 3,3 £ [-2;0];у(-2) = -2+—= -2- 1- =- 3-.
4
Я-1) = -1- — = - 1 —2 = - 3 ;j’(0) = -4;>max = -3;7,nil, = -4.
№961
г) у = х2 + 8/х/+ 7; [-8; -2], D(y)=R, на [-8; -2] х < 0,
у = х2 - 8х+ 7; у' = 2л- -8; /= 0, л = 4; 4 г [-8; -2];
у(-8) = 64 + 64 + 7 = 135; у(-2) = 4+16 + 7 = 27; ynux= 135;
>'min= 27.
№965
б)	у = /х3 - 1/ - Зх; [-1; 3]. D(y)=R.
1)	х > 1, у = х3- 1 - Зх; у' = 3x^-3; у' = 0, х =±1; -1 £ [1; +оо);
Х1) = -3;ЯЗ) = 26-9= 17;
2)	х < 1, у = 1-х3 - Зх; у' = -Зх2 - 3; у' < 0, Х-1) = 5; _ymin- -3;
Утах” 12.
№966
б) _у = 2>/х-1-0,5х; хе[1;10];
D(y) = [1; +оо); у' = .----0,5;
у' = 0; х = 5; Х1) = -0,5; Х5)=4-2,5 = 1,5; v(10)= 6-5 = 1;
уе[-0,5; 1,5].
№967
б) у = х->/1 - 2х, D(y) = (-оо; 0,5]; _/ =
V1 - 2х +
=-J=^-; у' = 0; х = -. - е(-оо; 0,5]; J-1=
з з аз;
-2х _\-2х-х
2х/ь2х Vl-2x
= Д= = — ;v(0,5)=0;ye
ЗТЗ 9 	•
л/з
ос;----
9
278
Гпава IV. Производная
Уроки 83-85. Задачи на отыскание наибольшего
и наименьшего значений величин
Цели: показать три этапа математического моделирования задач
на оптимизацию; вырабатывать практические навыки.
Ход урока 83
I.	Проверка домашнего задания
II.	Изучение нового материала
1.	Записать этапы математического моделирования оптимизаци-
онных задач.
2.	Пример 4 учебника.
3.	Пример 5 учебника.
III.	Практическая часть урока
№ 950 (а)
Пусть одно число х, тогда другое равно (10 + х). Произведение их
равно х(10-х). /(х) = х(10 + х) = 10х + х2, х g R; /’(х)=10 + 2х;
f'{x) = 0 при х = -5.
——।— --------------4-
-5	X
х = -5 единственная стационарная точка; /(х) в ней принимает
наименьшее значение. Одно число равно -5; другое равно 5.
{Ответ'. -5; 5.)
№ 969 (а)
Пусть ci\ = х; я9 = 1; а4 = а\ + 3d = х + Зс/; а7 =х + 6d;	= х + Id.
ci\ — \ — 8d;	= 1 - 5d\ а-i = 1 - 2d', а% = 1 - d.
/(</) = (! -50(1 -20(1 - с!) = -1 (М3+1'ld'-'&d+1.
D е R; f'(d) = -30</2+34rf -8;-2(15J2 - 17<7 + 4) = 0;
£> = 289-240 = 49; d. =Ht2 = -; <7,=-.
'	30	5	’ 3
Если d = — , то a. 5	=-3;	cl, - —; а.-—. cl cl a =—. 7	5	5	4	8 25
Если d - — , то tz4	__2. 3’	1	2	4 </,=—; a4 = —. ci, • a. -as =	 3	3	27
{Ответ'. 0,8.)		
Уроки 83-85. Задачи на отыскание...
279
№ 970 (а)
1) 2? < 4х; Ъс - 4х < 0; 2х(х - 2) < 0.
/(х) = 4? - 16? + 16?, х (0; 2); f\x) =16?- 48? + 32х =
= 16х(х2 - Зх + 2) = 16х(х- 1)(х - 2).
/'(х) = 0 при xj = 0; х2 = I; х3 = 2. 1 е (0; 2).
Ч--1-1--
0	15 х
х = 1 - единственная стационарная точка; х = 1 - точка максиму-
ма; в ней f(x) принимает наибольшее значение. /(1) = 4; АВ = 2.
(Ответ: 2.)
IV. Итог урока
Домашнее задание
№ 36 (п. 2), № 949 (б), 970 (б).
Ответы и решения:
№ 949 (б)
т-г	484
Пусть одно число х, тогда другое х +---------------.
484
хе(0;ос). /(х) = 1-4^ = (* 22)(х + 22)	f,(x} = q при х = ± 22;
22 £ (0; оо).
о
X
^.Av)
22
280
Гпава IV. Производная
х = 22 - единственная стационарная точка, она является точкой
минимума; f{x) - принимает при х = 22 наименьшее значение. Одно
число 22, другое - 22.
{Ответ'. 22; 22.)
№ 970 (б)
1)х2<-2х;	2) А(х; х2); В(х; -2х)
х2 +2х <0
АВ2 = 0 + (х2 + 2х)2 = х4 + 4х3 + 4Х2
х(х + 2)<0	/(х) = х4 + 4х3 + 4Х2, х е (-2; 0)
х е (-2; 0)	Дх) = 4х3 + 12х2 + 8х =
= Axtf + Зх + 2) = 4х(х + 1 )(х + 2)
Дх) = 0прих| =0;х2=-1;х3=~2
-1 е (-2; 0).
_______!. + , -|____С
-2	-1	0 X
х = -1 - единственная стационарная точка; х = -1 - точка макси-
мума; в ней; Дх) принимает наибольшее значение. /(-1) = 1; АВ = 1.
{Ответ. 1.)
Ход урока 84
I.	Проверка домашнего задания
IL Решение задач
№ 954 (а)
Пусть длина участка х м, тогда ширина (100-х) м. Площадь рав-
на (100 - х) м2. S(x) = х( 100 - х), х е (0; 100); S\x) = 100 - 2х; $(х) = 0
прих = 50.
------1 + । ~ ।—4-
О 50 100 X
На (0; 100) х = 50 - единственная стационарная точка, она явля-
ется точкой максимума. Наибольшее значение функция S{x) достига-
ет в точке х = 50. Длина участка равна 50 м, ширина 50 м.
{Ответ-. 50 м, 50 м.)
Уроки 83-85. Задачи на отыскание...
281
Ш. Самостоятельная работа (см. приложение)
Решение
Уровень I
Вариант I
х - искомое число; х е R; f(x) = х + х1 2; f'(x) = 1+ 2х; f'(x) = 0 при
1 1
х = -— - единственная стационарная точка; х =	- точка ми-
£/ . 1
нимума; ](х) в х = достигает наименьшего значения.
(Отвепг.
Вариант II
х - искомое число; х g R; f(x) = х-х2; f'(x) = 1 - 2х; f'(x) = 0 при
1
х = —.
2
-с max - f\x)
1 1
х = — - единственная стационарная точка; х = — - точка макси-
мума. f(x) в х = - достигает наибольшего значения.
(Ответ’. ±.)
Уровень II
Вариант I
х - одно слагаемое, (12-х)- другое слагаемое.
По условию х g [0; 12]. /(х) = х3-2*(12 -х) = 2х3-(12 -х) = 24х3 - 2х4.
f'(x) = 72х2 - 8х3 = 8х2-(9 - х). f'(x) = 0 при х\ = 0; х2 = 9. х = 0; х = 9 -
стационарные точки; 0 g [0; 12], 9 е [0; 12]. /(0) = 0; /(9) = 4374.
282
Глава IV. Производная
При х = 9 /(х) принимает наибольшее значение. Одно слагаемое 9,
второе слагаемое 3.
{Ответ'. 9; 3.)
Вариант II
х - одно слагаемое, (20 - х) - другое слагаемое. По условию
х е [0; 20]. f(x) = х3-(20 - х) = 20х3 - х4. fix) = 60х2 - 4х3 = 4х2-( 15 - х);
f{x) = 0 при Х| = 0; х2=15. х = 0; х = 15 - стационарные точки;
0 е [0; 20], 15 е [0; 20]. /(0) = 0; /(15) = 16 875; /(20) = 0. Прих= 15
/(х) принимает наибольшее значение. Одно слагаемое равно 15, дру-
гое 5.
{Ответ'. 15; 5.)
Уровень III
Вариант I
Пусть х дм - длина стороны основания; а высота равна -	(дм).
X
5(х) = х2 + 4х^| = х2 . х е (0; оо); 5'(х) = 2х-; S'{x) = 0;
Х“	X	X"
х3 = 64; х = 4; х = 4 - единственная стационарная точка.
—I - I+
0	4 X
х - 4 - точка минимума. В точке х = 4 5(х) принимает наименьшее
значение. 4 дм - длина стороны основания; 2 дм - высота бака.
{Ответ'. 4 дм, 2 дм.)
Вариант II
Пусть хдм - длина стороны основания; а высота равна -
343	. 1372	1372
— (дм). S{x) = 2х~ + 4ху = 2х2 +— . х е (0; оо); S'(x) = 4х-—;
Х“	X	X"
S'{x) = 0; х3 = 343; х = 7; х = 7 - единственная стационарная точка.
0	7 X
х = 7 - точка минимума. В точке х = 7 5(х) принимает наименьшее
значение. 7 дм - длина стороны основания; 7 дм - высота бака.
{Ответ: 7 дм, 7 дм, 7 дм.)
Уроки 83-85. Задачи на отыскание...
283
IV. Итог урока
Домашнее задание
§ 36	(п. 2), №953 (а), 971 (а).
Ответы и решения:
№ 953(a)
Пусть одна сторона х м; другая сторона (28 -х) м2. 5(х) = 28 -х;
х е (0; 28). S'(x) = 28 - 2х; S'(x) = 0 при х = 14.
-------(-^—+---4-----4-
0	14 28 X
На (0; 28) х = 14 - единственная стационарная точка, она является
точкой минимума. Наибольшее значение функция S(x) достигает в
точке х = 14. Одна сторона прямоугольника 14 м; другая -14 м.
(Ответ'. 14 м; 14 м.)
№ 971 (а)
М (х; х2); А (0; 1,5); AM1 = х2 + (х2 - 1,5)2; /(х) = х2 + х4 - Зх2 + 2,25 =
= х4- 2х2 + 2,25. £>(/) = R; f'(x) = 4х3 - 4х = 4х(х - 1 )(х +1); f'(x) = 0 при
Xi = 0, х2 = 1;хз = -1.
- min + max - min + f
----------1-----1----1-----
-1	0	1 X
x = -1, x = 1 - точки минимума; /(x) принимает в x = -1 и x = 1
наименьшее значение; М\ (1; 1); М2 (-1; 1).
Ход урока 85
I.	Актуализация знаний учащихся
1.	Анализ самостоятельной работы.
2.	Работа над ошибками.
3.	Ответы на вопросы учащихся по домашней работе.
II.	Практическая часть
№ 826 (а)
J\x) = 2V3X-5 , а = 2. /(2) = 2; /'(х) =	;
V Зх - 5
/'(2) = 3; г = 2 + 3(х - 2),.у = Зх - 4.
284
Гпава IV. Производная
№ 884 (и)
У = у-|л-2+6х-1; D(y) = R: у' = х2 - 5л- + 6 = (v- 2)(.v- 3);
у' = 0 при Х[ = 2; х2 = 3.
____+ +..
2........3 X
х = 2 - точка максимума; х = 3 - точка минимума.
№> 954 (б)
Пусть хм длина участка, тогда ширина равна (120-х)м. Пло-
щадь равна х(120-х)м2. /(х) = х(120 -х) = 120х -х2; х е (0; 120).
/'(х) =120 — 2х; f'(x) = 0 при х = 60.
------1 + । -1—4-
О 60 120 X
х = 60 - единственная стационарная точка; х = 60 - точка макси-
мума. Функция S(x) в х = 60 принимает наибольшее значение. Одна
сторона 60 м, другая сторона 60 м.
{Ответ\ 60 м, 60 м.)
№ 924 (б)
1	• D(y) = (-ос; -1) и (-1; 1) u (1; оо);
2.	функция четная;
¥ ~ 4* 1
3.	х = -1, х = 1 - вертикальные асимптоты; lim —— = 0; у = 0 -
'->±у х" -1
горизонтальная асимптота;
Уроки 86-87. Контрольная работа № 5
285
III. Итог урока
Домашнее задание
№ 36, 955 (а).
Ответы и решения:
№ 955 (а)
„	16
Пусть х см длина прямоугольника, тогда — см ширина. Пери-
х
(	16^	32
метр равен 2 х + — см. Дх) = 2х +—; х е (0; оо).
V	X )	X
f\x)= 2-Ц= 2(х ^(Х-+4). у,(х) = 0 прих = ±4;_4 g (0.
х = 4 - единственная стационарная точка; х = 4 - точка миниму-
ма; fix) принимает при х = 4 наименьшее значение. 4 см длина пря-
моугольника, 4 см - ширина.
(Ответ'. 4 см, 4см.)
Уроки 86-87. Контрольная работа № 5
(см. приложение)
Цель: проверить степень усвоения учащимися изученного мате-
риала и умения применять его к решению задач.
Ход уроков
Ответы и решения:
Вариант I
\.&)D(y) = R.
у' = Зх2 - 6х = Зх(х - 2).
Возрастает на (- оо; 0] и на [2; оо).
Убывает на [0; 2].
б)	х = 0 - точка максимума; х = 2 - точка минимума.
в)	у(0) = 4, у(2) = 0, у(- 1) = 0, Д4) = 20.
Наибольшее значение на [- 1; 4]. у(4) = 20.
Наименьшее значение на [- 1; 4]. у(- 1) = у(2) = 0.
286
Гпава IV. Производная
2. График.
З.у= 4V7;x0 = 4;X4) = 8.
2
у'=	= 1;
\х
у = 8 + (х - 4);
у = х + 4.
(Отвепт. у = х + 4.)
144
4. Пусть х м длина участка, тогда ширина--- м. Периметр прямо-
х
угольника равен (х +—) • 2 м. Рассмотрим функцию f (х) = (х +-)
и найдем ее наименьшее значение при х е (0; оо).
„ , ч 288
/W= 2-—;
/'(х) = 0;
2_288 = 0. 2(.г -12)(х +12) q
х2 ’ х2
f\x) = 0 при х = 12; 12 е (0; оо), а также прих = -12, но - 12 £ (0; оо).
х - 12 единственная точка минимума на интервале (0; ос).
144
/(12)= (12+—)’ 2 = 48 м.
144
Наименьшая длина забора равна (12 + -j^-) • 2 = 48 м.
{Ответ', размеры участка 12 м, 12м.)
с х2-4 х2 +4-4-4 X2+4-8 ,	8
5. у = —— =-----------= —-------= 1 -----.
х + 4 х~ + 4 х" + 4 х‘ + 4
Уроки 86-87. Контрольная работа № 5
287
Вариант II
\.a)D(y) = R.
у' = 2х3 - 8х = 2х(х - 2)(х + 2).
Возрастает на [- 2; 0] и на [2; оо), убывает на (- ос; - 2] и [0; 2].
б) х = - 2 - точка минимума.
х = 2 - точка минимума.
х = 0 - точка максимума.
в)X-2) = -3,5; у(0) = 0; у(2) = -8; Х3) = 4,5.
Наибольшее значение на [-1; 3] равно 4,5; наименьшее значе-
144
Рассмотрим функцию 5(х) = х2 +—— и найдем ее наименьшее
значение при х е (0; оо).
'х 288 2(/-144) 2(х*-144) 2(х-л/12)(х+V12)(< +12)
5(х) = 2х-г =--5---=--------=---------5.
XXX	X
xroin=2>/3.
= 12 + 12 = 24 (см2). Наименьшее значение площади квад-
рата равно 24 см2.
(Ответ'. 24 см2 )
288	Гпаеа IV. Производная
D(y) = R\ у{-х) =
.Г +4
у(х) - нечетная функция;
Х0) = 0;
, = 8(х2+4)-16х: _ 8(2-х)(2 + х)
У (х2+4)2	”	(х2+4)2	’
у' = 0 прих = ±2;
у(2) = 2; у(- 2) = - 2; при х —> ± оо у	0.
Приложение
Урок 28. Контрольная работа № 1
Вариант I
1.	Найдите наименьшее и наибольшее значение функции
у = sinx на отрезке .
|_6 6 _
2.	Упростите выражения:
a)	cos2 (л + /) + cos2 (л + /).
sin(^-/)tg(-Z)
б)		2-------.
cos(— + z)
ч . z Зл
3.	Решите уравнение cos(2 л - Z) - sin(— + 0 = »•
4.	Построить график функции у = cos(x + у) - 2.
5.	Построить график функции у - -2sin3x.
6.	Известно, что f (х) = 2х2 + Зх - 2.
Вариант II
i.
Унаим. = у W = - 1;
2.
3.
а) 1;
/ = (-1)л —+ лл, ле/.
6
.Унаиб. У(^) —
61-1;
Вариант III
_ 5л	V?	п
1-	-Унаим. ~ у( )“ ~ > .Унаиб. Хо) 1-
п	2	z
2.	а) 0;	б) ctg t;
3.	t = ±— + 2лл, п g Z.
3
Вариант IV
1 • Унаим. = У (Л) = - 1.
Л д/2
.Унаиб. “ X ^ ) —
290
Приложение
6)1.
2. а) 1;
3. /=(-1)"+1- + тет, neZ.
6
К уроку 33
Математический диктант
Вариант I
1.	Дать определение арккосинуса.
2.	Записать формулу корней уравнения sin z = а.
3.	Решить уравнения:
a)	cos z = 0;
в) cosz = -1;
б)	sinz = -1;
ч . 1
г) sinz = —;
2
ч ’ V3
д) sinz = ——
4.	Вычислить:
a)	arcsin — ;
2
б)	arccos ------
2
г) sin(3arccos(-l)).
в)	arccos — + arcsin 1;
V 2)
5.	Решить уравнение: 6cos1 2 x + 5cosx + l = 0.
Вариант II
1.	Дать определение арксинуса.
2.	Записать формулу корней уравнения cos Z = а.
3.	Решить уравнения:
а)
sin г -1;
в)
sinz = 0;
б)	cos г = 1;
. •
г) sinz = —;
.2
Д)
1
sinz =-----
2
Приложение
291
4. Вычислить:
А ( И
a) arccos — ;
I 2 J
' -гм4 1
в) arcsin (-1)-уarccos-j=-;
• V3
о) arcsin —;
2
г) cos(2 arcsin 1).
5. Решить уравнение: 5 cos2 x + 9cosx-2 = 0.
Урок 38. Контрольная работа № 2
Вариант I
Решите уравнения:
1.	2 sin х + у/2 = 0.
2.	cos| — + — | + 1 = 0.
U 4J
3.	Решите уравнение cos(2 л - х) - sin	+ х j = 1.
4.	sinxcosx + 2sin2 х = cos2 х.
5.	Найдите корни уравнения sin2 x-2cosx +2 = 0 на отрезке
[-5л; Зл].
6.	Решите уравнение 3sin2 x-4sinxcosx + 5cos2 х = 2.
7.	Найдите корни уравнения sin3x = cos3x , принадлежащие от-
резку [0; 4].
Вариант II
Решите уравнения:
1.	2cosx +>/з = 0.
2.	sin| 2х-— | +1 = 0.
I 3)
3.	Решите уравнение зт(2л - х) -cos^^~ + х^+ 1 = 0.
4.	3sin2 х = 2 sin xcosx + cos' x.
5.	Найдите корни уравнения cos2 x + 3sinx-3 ~ 0 на отрезке
[-2л; 4л].
6.	Решите уравнение 5 sin2 х - 2 sin х cos х + cos? х = 4.
292
Приложение
+ 1 = 0.
sin ( + xj - СО8(л + х)*+1 = 0.
7.	Найдите корни уравнения sin 2х = д/з cos 2х, принадлежащие	J
.1
отрезку [-1; 6].	|
I
Вариант III	|
Решите уравнения:	3
1.	2sinx-l = 0.	;
ъ к
2.	cos 2х + —
I 6
3.	Решите ура
4.	3sin2 x-4sinxcosx + 2cos2 х = 0.
5.	Найдите корни уравнения 6sin2x-5cosx + 5 = 0 на отрезке
[-Зл; 5л].
6.	Решите уравнение sin2 х -9sin хcosх + 3cos2 х = -1.
7.	Найдите корни уравнения д/з sin 2х = cos2x, принадлежащие
отрезку [-1; 4].
Вариант IV
Решите уравнения:
1.	2cosx-л/2 = 0.
э • (х л^
2.	sin----=1.
<2 6)
3.	Решите уравнение cos	+ x^j - sin(л - х) = 1.
4.	6sin2 х = 5sinxcosx-cos2 x.
5.	Найдите корни уравнения cos2 x + 2sinx + 2 = 0 на отрезке
[-4л; 2л].
6.	Решите уравнение 5 sin2 х + 2 sin х cos х - cos2 х = 1.
7.	Найдите корни уравнения sin Зх + cos3x = 0 , принадлежащие
отрезку [0; 6].
Приложение
293
Урок 45. Контрольная работа № 3
Тригонометрические формулы
сложения аргументов
Вариант I
1.	Найдите значения выражений:
a)	sin580cosl3°-cos580sinl3°.
л	7л	. л . 7л
б)	cos — cos--sin — sin—.
12	12	12	12
2.	Упростите выражения:
a)	cos(/ -5)-sin г sin 5 .
1	. ( ti
б)	—cosa-sin —+ а .
2	J
3.	Докажите тождество:
sin(a + p) + sin(a-P) = 2 sin a cos Р
4.	Решите уравнение:
sin Зх cos х + cos Зх sin х = 0 .
z-	.	12	Зл	л
5.	Зная, что sin a = -уу, л < a < -у, найдите tg (у - а).
1^1	1^1
6.	Известно, что cos — + / + cos-1 \ = р .
<4 J	И ' )
ГТ -Л	( 71	( 71
Найдите’, cos —+ Z cos--t .
Вариант II
1.	Найдите значения выражений:
.71 Зл л . Зл
а) sin —cos— + cos —sin—
a 1 Dill - VMD	Г	Dill
5	10	5	10
6)	cos78°cosl08° + sin78°sin 108°.
2.	Упростите выражения:
a)	sin(oc - p) + cosasin P .
1 • 71
6)	— sin a + cos — + a
294
Приложение
3.	Докажите тождество:
cos(a + Р) + cos(a - Р) = 2 cos a cos р
4.	Решите уравнение:
cos 2х cos х - sin 2х sin х = 0 .
.	12 Зя	я
5.	Зная, что cos а = уу, < а < 2я, найдите tg (у + а).
6.	Известно, что sin — +1 + sin — -1 = p .
<3	)	<3 J
r r v ч	.|Я	|	| Я |
Hauoume'. sin — + t sin--1 .
<3 J 13 J
Вариант III
1.	Найдите значения выражений:
a) sin81ocos2r-cos81°sin21°.
5я	я	. 5я . я
б)	cos — cos--sin — sin—.
8	8	8	8
2.	Упростите выражения:
a) cosA'cosy-cos(x-y).
f л л/з
о) sin —+ a-------cosa .
U ) 2
3.	Докажите тождество:
sin(a + P) - sin(a - P) = 2 cos a cos P.
4.	Решите уравнение:
sin 5x cos x - cos 5x sin x = 0 .
c	3	Зя	я
5.	Зная, что cos a = — , я < a < найдите tg (у - a).
Z"TX	1^1	I	I
6.	Известно, что cos — +1 + cos----r = p .
l6 )	\6	J
л г - \	I Я ]	| Я
Hauoume\ cos —H cos------1
<6 J 16
Приложение
295
Вариант IV
1.	Найдите значения выражений:
ч . 5л л	5л . л
a)	sin — cos—+ cos—sin—.
14	7	14	7
6)	cos 78° cos 18° +sin 78° sin 18°.
2.	Упростите выражения:
a)	sin a cos p - sin(a - P).
~ (и	Л ->/з .
6)	cos — + x + — sin X .
U	)	2
3.	Докажите тождество:
cos(a + p) - cos(a - P) = -2 sin a sin p.
4.	Решите уравнение:
cos 4x cos x + sin 4x sin x = 0 .
„	.4л	~ л
5.	Зная, что sin a = у, - < a < л, найдите tg + a).
XTI	• I Л |	. [ Л |
6.	Известно, что sin — +1 + sin-1 = p .
U ) U J
Г r w \	. j Л | . I Л |
Напоите', sin —\-t sin-1 .
Урок 72. Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. а) / = 5х4.
б) у' = 0.
г)	у' = -2.
д)	у' - —j= + 3 COS X.
\lx
е)	v' = cos х-х sinx.
296
Приложение
з) у' = 12 (Зх + 5)3.
2-	/(x0) = tga.
3.	/'(x) = 2cosx + 6x-2n.
4.	5' = 5z4-3z2.
5.	/'(х) = 12-3х2.
6.	/'(x) = -2sin2x + V3.
Вариант II
1.	а) у' = 4х3.	б) _у' = 0.
л	. ,	ч . о •	2
г) у =3.	д) у =-2smx—==.
NX
е) у' = sinx + xcosx.
, (ctgx4!
Ж) у = ----- .
V х. /
з) / = 10 (2х-3)4.
2.	/(х0) = tga.
3.	/'(х)= Зх-у+ 4sinx.
4.	s' = 4z3-4z.
5.	/'(х) = 12-Зх2.
6.	/'(х) = 2cos2x-V2.
в)
У' =
3
х'
Уроки 74-75. Исследование функции на монотонность
Самостоятельная работа
Уровень I
Вариант I	Вариант II
№ I. Составьте уравнение касательной к графику функции j(x) в
т. М.
Приложение
297
а)	Дх) = 2х2+|х3, М-3; 9).	а) /х)=|х3-2х, Л/(3; 9).
б)	М2; 3).	б) /(х)=±4 Л/(—2; 3).
№ 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
/(х) = х3-4х2+5х- 1.	Дх) = 3 + 24х-Зх2-х3.
Уровень II
№ I. Составьте уравнение касательной к графику функции Дх) в
т. х0.
Ю Дх)= , х0 = 2.	а) Дх)=-—-, х0 = -2.
х	х
б)	Дх)= cos (1+4х), х0 = -0,25. б)Дх)= sin (1-2х), х0 = 0,5.
№ 2. Найдите промежутки монотонности функции.
Уровень III
№ I. Составьте уравнение касательной к графику функции Дх) в
т. х0.
а) Лх)=~----;х0-точка
х“ +1
х п х Зх2+2
a) /W=-------J *0 - точка
пересечения графика
с осью абсцисс;
б) Дх)= (7-Зх)3; х0 - точка
пересечения графика
с прямой у = 1.
пересечения графика
с осью ординат;
б) Дх)= (4х+3)3; х0 - точка
пересечения графика
с прямой у = -1.
Л" 2. Найдите промежутки монотонности функции
/(х)=ух2 4-6х.
Дх)=х/4х-х:.
298
Приложение
К уроку 80
Уровень I
Вариант I
1. Найдите критические и стационарные точки функции:
а)Дх) =х4 - 2х2 - 3;
б) Ах) =
2. Исследуйте функцию и постройте ее график:
у = х3 - Зх2.
Вариант II
1.	Найдите критические и стационарные точки функции:
а)/(х) = 2 + 18х2-х4;
б)Дх) =
х2 - Зх
х-4
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
1 з Л
у = --х + 4х.
3
Уровень II
Вариант I
1.	Найдите промежутки монотонности функции:
б)/(х) - 4х-х.
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график
4х
v -------.
*	1 + х"
Вариант II
1. Найдите промежутки монотонности функции:
a)/W^.
х-1
б) /(х) = х - 4д/х.
2. Исследуйте функцию и постройте ее график:
4
Приложение
299
Уровень HI
Вариант I
1. Найдите точки экстремума функции:
а)/(х) = х2 л/1 - х2.
б) /W = sin2x - cosx.
2. Исследуйте функцию и постройте ее график:
4х2 +1
У~-------•
х
Вариант II
1. Найдите точки экстремума функции:
a) /(*) = хл?2 - х2.
6)/W= sin2x-cosx.
2. Исследуйте функцию и постройте ее график:
9х2 + 1
У~-------•
К уроку 84
Самостоятельная работа
Уровень I
Вариант I
Найдите число, которое в сумме со своим квадратом давало бы
наименьшую величину.
Вариант II
Найдите число, разность которого со своим квадратом была бы
наибольшей.
Уровень II
Вариант I
Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных сла-
гаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное
второе было наибольшим.
300
Приложение
Вариант II
Представьте число 20 в виде суммы двух неотрицательных сла-
гаемых так, чтобы произведение одного из них на куб другого было
наибольшим.
Уровень III
Вариант I
Открытый металлический бак с квадратным основанием должен
вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет
наименьшее количество материала?
Вариант II
Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь
объем 343 м3. При каких размерах на его изготовление пойдет наи-
меньшее количество материала?
Уроки № 86-87
Контрольная работа № 5
Вариант I
Дана функция: у = х3 - Зх2 + 4.
1.	Найдите:
а)	промежутки возрастания и убывания функции;
б)	точки экстремума;
в)	наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке
Н;4].
2.	Постройте график функции: у = х3 - Зх2 + 4.
3.	Составьте уравнение касательной к графику функции: у = 4у/~х
в точке х = 4.
4.	Площадь прямоугольного участка 144 м“. При каких размерах
участка длина окружающего его забора будет наименьшей?
Д-' - д
5.	Постройте график функции: у = -.
х’ +4
Вариант II
Дана функция: у = 0,5х4 - 4х".
Приложение
301
1.	Найдите:
а)	промежутки возрастания и убывания функции;
б)	точки экстремума;
в)	наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке
[-1;3].
2.	Постройте график функции: у = 0,5х4 - 4х2.
3.	Составьте уравнение касательной к графику функции: у - —, в
х
точке х = 3.
4.	Площадь прямоугольного треугольника 6 см2. Найдите наи-
меньшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе
треугольника.
8х
5.	Постройте график функции: у = —--.
Оглавление
Тематическое планирование
учебного материала по алгебре. 10 класс...............3
Глава L Тригонометрические функции....................5
Глава II. Тригонометрические уравнения...............86
Глава IIL Преобразование тригонометрических уравнений.134
Глава IV. Производная...............................193
Приложение............................................289
Учебно-методическое издание
В помощь школьному учителю
Обухова Людмила Александровна,
Занина Ольга Васильевна,
Данкова Ирина Николаевна
ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
К учебному комплекту А. Г. Мордковича и др, (М.: Мнемозина)
10 класс
Дизайн обложки Екатерины Бедриной
Налоговая льгота -
Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000.
Издательство «ВАКО»
Подписано к печати с диапозитивов 19.12.2007.
Формат 84*108/32. Печать офсетная.
Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 15,9.
Тираж 15 000 экз. Заказ № 226.
По вопросам приобретения книг издательства «ВАКО»
обращаться в ООО «Образовательный проект»
по телефонам: 8 (495) 778-58-27, 746-15-04. Сайт: www.obrazpro.ru
Приглашаем к сотрудничеству авторов.
Телефон: 8 (495) 507-33-42. Сайт: www.vaco.ru
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Дом печати — ВЯТКА»
610033, г. Киров, ул. Московская, 122
Пособие предлагает полный колтлект поурочш i
разработок по а хгебре для 10-го класса, ориентированных
на педагогов, работающих по учебному комплект
А.Г. Мордковича (М.: Мнемозина). Издание содержит все.
что необходимо для подготовки к урокам: подробные
поурочные планы, примеры, задания, задачи с разбором
решений, а также салюстоятельные и контрольны^
работы в нескольких уровнях сложности.
Пособие автономно и содержит материал для пробе
дения полноценных уроков в классах и группах различного
уровня. Может быть использовано как начинающими
педагогами, так и преподавателялш со стажем.