МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
ЯНВАРЬ
ФЕВРАЛЬ
1 *1974
Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Год памятных дат, год большого труда К 250-летию Академии наук СССР
Академия наук и развитие математики МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Задачи с дидактическими функциями в IV—V классах Геометрические отображения в V классе Лабораторно-практические работы по математике в IV—V классах К решению геометрических задач в VII классе О решении геометрических задач с помощью векторов О некоторых стереометрических задачах Как помочь школьнику решать задачи? К составлению задач и упражнений по статистическим данным
В помощь самообразованию учителей
Анализ — поиск решения задачи
Профтехучилища со средним образованием и восьмилетняя школа
Молодой рабочей смене — полноценную математическую подготовку Технические средства обучения. Наглядные пособия
«Школьное оборудование-73»
Телевизионные передачи на уроках математики в IV—VI классах
Эксперимент
Графовая модель поиска рационального решения задачи
Внеклассная работа ВЗМШ — учителям математики
Математический вечер в сельской школе Из опыта работы математического кружка
Из опыта внеклассной работы с учащимися сельских школ Задачи, составленные по аналогии с другими задачами
Еще раз о решении уравнения *i
Математические
Л *f+1
i=i *
Летняя математическая школа в Вологодской области
250 ООО ООО
Занимательная страница Задачи
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИНСТИТУТЫ И СЕЛЬСКАЯ ШКОЛА
кафедры Ярославского педагогического института имени
К. Д. Ушинского — сельской школе
Из опыта очно-заочной подготовки абитуриентов ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ «Цифровые алфавиты» и состояние грамотности в древней Руси Математический календарь на 1973/74 учебный год
Алексей Митрофанович Аммосов
Александр Яковлевич Маргулис К 150-летию со дня рождения
Константин Дмитриевич Ушинский ЗА РУБЕЖОМ
Преобразование содержания курса математики в средних школах Франции
ХРОНИКА
Школа по истории математики и механики XIX—XX вв. Всесоюзный семинар преподавателей алгебры и теории чисел педагогических
институтов
Семинар заведующих кафедрами математики педагогических институтов РСФСР
II межвузовский научно-методический семинар К выходу в свет XVIII выпуска «Историко-математических исследований»
© «Математика в школе»! 1974
12
15
18
18
гг
26
29
32
34
40
45
48
49 51
53
55
55
56
58
59 59 61
75
78
80
82
83
84 84
94
94
95
96 U
Б. В. Гнеденко
Е. И. Лященко А. М. Янченко У. М. Халилов А. И. Мостовой Д. И. Хан Я. И. Груденов М. В. Потоцкий
В. Г. Болтянский
Е. С. Дубинчук
В. Г. Болтянский, М. Б. Воловин,
Э. Ю. Красс,
Г. Г. Левитас М. И. Калинина
И. А. Мешкова
3. А. Борисова,
П. И. Масарская, Г. Б. Юсина И. Н. Викован М. И. Айзенберг, Л. И. Тульчинская М. П. Маланюк Э. А. Ясиновый
В. И. Киреев
Ю. В. Ломакин И. Б. Вейцман В. П. Иващенко,
Б. А. Кордемский
3. А. Скопец,
О. И. Шендеровская
М. М. Чернецов
Р. А. Сгшоков А. И. Бородин Б. А. Агаев,
С. М. Насибов Б. В. Гнеденко
И. К. Андронов
A. И. Верченко
B. Н. Молодгиий
A. В. Штраус
Е. М. Белоногова
B. Н. Сергеев
В. Ы. Молодгиий


Год памятных дат, год большого труда
К новым трудовым победам, дорогие товарищи, к новым трудовым подвигам
во имя дальнейшего укрепления могущества нашей Родины, коммунистического строительства в нашей стране!
(Из «Обращения Центрального Комитета КПСС к партии, к советскому народу»,)
Идет по стране год 1974-й, предпоследний в девятой пятилетке, год большого труда и грядущих новых свершений. Под водительством ленинской партии советские люди настойчиво претворяют в жизнь решения XXIV съезда КПСС, намеченную им широкую программу дальнейшего подъема экономики, культуры, образования, благосостояния трудящихся нашей великой Родины. Глубокая верность ленинизму — вечно живому и развивающемуся учению составляет основу, творческую движущую силу многогранной реводю- ционно-преобразующей деятельности Коммунистической партии Советского Союза. «Обращаясь к идейному наследию В. И. Ленина, — отмечается в Отчетном докладе ЦК КПСС XXIV съезду, — партия видит свою важнейшую задачу в том, чтобы на основе ленинских мыслей, ленинской методологии находить решение актуальных проблем коммунистического строительства».
Январь нынешнего года снова и снова обратил нашу мысль, чувства и признания — к Ленину, к Ильичу: Пятьдесят лет минуло с того дня, как нет с нами Ленина, но ни на минуту не угасает о нем память. По пути Ленина, по его заветам ведет партия наш народ. Она учит нас всех на примере подлинного подвига, каким является жизнь Владимира Ильича Ленина, которая прошла в творческой работе мысли и неустанном революционном действии, в идейных и политических боях, жизнь, которая накрепко и всегда была прочно слита с борьбой рабочего класса, с борьбой за идеалы Коммунистической партии.
Этот исторический рубеж — пятьдесят лет без Ленина по ленинскому пути — с новой силой подчеркнул величайшее идейное, нравственное, моральное значение примера жизни и борьбы Ленина в воспитании молодежи, детей, юношества. Для школы, для учителя любого предмета это задача первостепенная, работа интереснейшая и богатейшая по своему духовному, политическому заряду и по своей благороднейшей цели ^ растить со¬
ветских патриотов, растить коммунистов, трудиться над благодарным делом «воспитания поколения, способного окончательно осуществить коммунизм».
В наступившем году исполняется пятьдесят лет с той памятной поры, когда комсомол и наша пионерия стали организациями имени Ленина. Это будет славный праздник детей и молодежи, праздник школы, праздник всей страны. Подготовка к этим дням естественно вызовет новый подъем воспитательной работы, улучшение и совершенствование обучения.
Неугасимый, живой ленинский пример в боевом арсенале коммунистического воспитания молодежи и юношества всегда тесно связан с примером рабочего класса и ленинской партии, с их традициями, с их огромным опытом. Это революционный маяк, освещающий путь молодому поколению. Ленин подчеркивал ту мысль, что революционная партия — это партия будущего, а будущее принадлежит молодежи, это партия новаторов, а за новаторами всегда охотнее идет молодежь.
Для преподавателя каждого предмета, любой науки кровным делом, прямым долгом является приобщение молодежи к повседневной жизни страны, развитие у своих учеников, своих воспитанников глубокой заинтересованности в той созидательной работе, которую ведут партия, народ, заинтересованности в том, что свершается в нашей пятилетке. У каждого предмета, у каждого курса, который учитель излагает учащимся, разумеется, своя ярко выраженная специфика. Но «предмет», «курс» идейного, политического воспитания — в программе и учебном плане всех преподавателей: здесь нет исключений, наука коммунистического воспитания преподается каждым учителем, она пронизывает его уроки, беседы с учащимися, разнообразные формы внеклассной работы. Большую роль в политическом, интернациональном воспитании учащихся призвано сыграть ознакомление их с речью Генерального секрегаря


ЦК КПСС товарища Л. И. Брежнева на Всемирном конгрессе миролюбивых сил, которая явилась центральным событием конгресса, воодушевила и сплотила его участников, в решающей степени содействовала успеху всей его работы.
В нынешнем году страна отметит знаменательную дату — двухсотпятидесятилетний юбилей флагмана нашей науки — Академии наук СССР. ЦК КПСС постановил отметить этот юбилей как смотр достижений советской науки, внесшей большой вклад в дело построения социализма в СССР, создание высокоразвитой социалистической экономики, оборонного могущества страны, в развитие образования и культуры, в упрочение мира и укрепление дружбы между народами. Коммунистическая партия и советский народ вырастили миллионную армию ученых, преданных социалистической родине, отдающих свои творческие силы делу строительства коммунизма. В наши дни неизмеримо возрастает роль науки во всех сферах жизни и деятельности развитого социалистического общества. Возрастает, и очень бурно, и роль математической науки. Возрастают требования к педагогической науке, от которой школа, учительство ожидают все бодее ощутимой помощи в решении задач, поставленных перед системой народного образования решениями XXIV съезда партии.
Все более насущным и актуальным представляется всемерное укрепление союза ученых с учительством, вооружение учителя новейшими данными и выводами науки в той или иной отрасли знаний, в том числе, конечно, и выводами и положениями общественных наук. С благодарностью отзываются педагоги Алма-Аты о выступлениях ученых перед учительством. В этих аудиториях побывало около 14 тысяч учителей, воспитателей. Большой интерес вызвала проведенная по инициативе горкома КП Казахстана конференция «Ученые — народному образованию». Необходимо, разумеется, чтобы в педагогических коллективах всячески поощрялось стремление самого учителя к расширению своего научного кругозора, к повышению научного уровня содержания и методов преподавания своего предмета и чтобы подвергались критике в коллективе те педагоги, которые предпочитают довольствоваться старым запасом знаний.
Партия и народ самоотверженно работают над осуществлением программы девятой пятилетки. Настойчиво решаются и задачи пя¬
тилетки развития народного образования. Все большее значение приобретает сейчас организованность и активность каждого трудового коллектива, каждого труженика. «Социалистическое общество, —■ подчеркнул Гене- ральный секретарь ЦК КПСС товарищ Л. И. Брежнев в речи в Киеве, — многое дает своим гражданам, и оно вправе спросить каждого из них: а что ты даешь в ответ на заботу о тебе, как используешь полученные знания, какой вклад ты вносишь в великое дело строительства коммунизма? Об этом неплохо почаще вспоминать, когда дается оценка тому или иному работнику».
Этот призыв партии, это партийное требование о повышении ответственности каждого работника, о значении его собственного вклада в нашу общую «копилку» примет в свой адрес и каждый педагогический коллектив, и каждый учитель. Надо настойчиво утверждать в коллективе сознание того, что очень многое в осуществлении задач, поставленных партией в области народного образования, зависит от нас самих, от каждого из нас, что успех дела куется прежде всего здесь, в главном звене нашей системы — в школе, трудом, опытом, знаниями ее учительского коллектива. Поэтому такой широкий и искренний отклик получило в среде учительства опубликованное в печати Обращение сельских педагогов Белгородской области, которые со всей силой подчеркнули, сколь высока ответственность каждой сельской школы и ее учителей, сколь велика роль их собственной инициативы и примера.
С 1 января наступившего нового года введены в действие утвержденные Верховным Советом СССР Основы законодательства Союза ССР и союзных республик о народном образовании.
В решении важнвдс задач, поставленных перед средней школой, велика и ответственна роль учителя мапгематики. В ближайшие один- два года завершается переход всех классов Средней щколы на новые программы по математике. Сейчас необходимо сосредоточить все нацщ усидия, всю организационную, педагогическую и методическую работу на решении новых задач, на позщшении уровня образовательного и воспитательного воздействия процесса обучения математике.
Идет год 1974-й, предпоследний год девятой пятилетки, год большого, творческого труда!
S


К 250-летню Академии наук СССР
Б. В. ГНЕДЕНКО
(Москва)
АКАДЕМИЯ НАУК И РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ
Советский народ и ученые всего мира отмечают в этом году знаменательную дату в жизни науки — 250-летие со дня основания Академии наук Советского Союза. Организация академии была естественным и необходимым звеном в комплексе реформ страны, проводившихся Петром I. Большой и славный путь прошла академия за истекшие четверть тысячелетия, отмеченный замечательными открытиями во всех областях знания, огромным вкладом в развитие страны и ее просвещение.
29 января 1724 г. (по старому стилю) был издан указ об учреждении академии, которому предшествовала долголетняя переписка Петра I со многими выдающимися учеными того времени: Г. Лейбницем, X. Вольфом и др. При академии первоначально были организованы гимназии и университет, и «таким бы образом одно здание с малыми убытками, тое же с великою пользою чинило, что в других странах разные собрания чинят». Университет при Академии просуществовал до 1783 г.
По планам Петра I Петербургская академия должна была значительно отличаться ог академий, уже имевшихся в Западной Европе. Если иностранные академии были лишь местом, где подводились итоги научных исследований, проводившихся в университетах, частных лабораториях и кабинетах, то Петербургская академия должна была стать основным источником науки в России. И действительно, уже в первом десятилетии ее существования академия обладала превосходными для своего времени химической лабораторией, обсерваторией, физическим кабинетом с. сотнями приборов, механическими и оптическими мастерскими, типографией, библиотекой и пр. С первых дней своего существования академия была государственной организацией, а не добровольной общественной, как это было во многих академиях мира.
Академия наук первоначально была разбита на три класса: первый из них объединял
математику, астрономию, механику и географию; второй — физику, химию, естественные науки; третий — гуманитарные дисциплины. Страна в ту пору не имела собственных ученых математиков, и первыми академиками были иностранцы. Сколь большое значение при этом придавалось математике, можно судить хотя бы по тому факту, что из 23 академиков, приглашённых в первые годы существования академии, семь были математиками. Выбор приглашенных был исключительно удачен, и подавляющее их большинство оставило в истории науки значительный след. Я позволю себе перечислить имена первых академи- ков-математиков молодой в ту пору Петербургской академии: Н. и Д. Бернулли, Я. Герман, X. Гольдбах, Г. В. Крафт, Ф. X. Майер, Л. Эйлер.
Петр I не дожил до торжества открытия академии. Ее первые собрания состоялись лишь в августе 1725 г., полгода спустя после его смерти. В целом начало работы академии было достаточно успешным: регулярно проходили собрания, началось бурное изучение страны и ее природных ресурсов, проводилось систематическое изучение важных явлений природы, выполнялись первоклассные математические исследования. О размахе математических исследований и об их значительности могут свидетельствовать два следующих факта. Начиная с 1728 г. стали выходить «Записки» Петербургской академии. За 80 лет было издано 15 томов. К этому моменту в изданиях академии было опубликовано свыше 700 мемуаров и книг по математике и механике, посвященных практически всем ветвям математической науки и многим ее применениям. Ряд исследований сыграл выдающуюся роль в развитии науки. Недаром уже в 1734 г., всего через шесть лет после выхода в свет первого тома «Записок», Даниил Бернулли, возвратившийся к тому времени в Швейцарию, писал Л. Эйлеру: «Не могу Вам довольно объяснить, с какой жадностью повсюду спрашивают о Петербургских мемуарах... Желательно, чтобы их печатание было ускорено». Так, уже на заре своего существования академия превратилась в крупный центр математических исследований.
Несомненно, что самым крупным ученым среди первых семи академиков-математиков был Леонард Эйлер (1707—1783). Трудно ука¬
4


зать какую-либо ветвь математики, в которой он не оставил бы решающих идей, результатов, методов исследования. Он был фактическим создателем ряда новых математических дисциплин, автором замечательных учебных пособий по математическому анализу, геометрии, алгебре, а также создателем первой математической школы в России.
Большой след в истории нашей науки оставил и Даниил Бернулли (1700—1782), С его именем связаны первые шаги гидродинамики, механики газов, теории колебаний, теории ошибок наблюдений. Ему принадлежит введение в математику тригонометрических рядов, получивших позднее наименование рядов Фурье (хотя почти за столетие до Фурье они были использованы Д. Бернулли при решении уравнений в частных производных). Интересно отметить, что Д. Бернулли принадлежит доказательство следующего равенства:
+ =1 + ТГ + "2Г + 1Г + •••>
известного каждому, кто знаком с началами математического анализа (сообщено 30.1.1729 г.). JI. Эйлером было установлено (в 1743 г.) другое широко известное тождество:
ИшЛ +-£-)" =е\
П->оа\ п J
Д. Бернулли был вынужден в 1733 г. покинуть Петербург из-за враждебного отношения к нему фактического правителя академии Шумахера.
Старший брат Д. Бернулли — Николай Бернулли (1695—1726) неожиданно скончался спустя несколько месяцев после переезда в Петербург. Он не успел проявить свой талант даже в малой степени. В «Записках» академии напечатаны лишь две его статьи — о движении тел под действием удара и об интегрировании дифференциальных уравнений (преимущественно линейных и Риккати).
Христиан Гольдбах (1690—1764) известен широкому кругу любителей математики в связи со знаменитой задачей (каждое четное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел), сформулированной им и остававшейся нерешенной до самого последнего времени. И лишь усилиями Л. Г. Шнирельмана и И. М. Виноградова были найдены методы, позволившие существенно сдвинуть решение этого вопроса X. Гольдбаха с мертвой точки. Интересны его результаты, относящиеся к теории трансцендентных чисел, к расходящимся рядам, интегрированию дифференциальных уравнений. Сам X. Гольдбах был юристом по образованию и как математик проработал сравнительно короткий срок.
Основная часть его жизни в России прошла на работе в ведомстве иностранных дел, где он занимал крупный пост.
Старейший из семи первых академиков Яков Герман (1678—1733) проработал в Петербурге недолго, так как в 1731 г. из-за происков Шумахера был вынужден возвратиться на родину. Тем не менее в «Записках» академии он опубликовал ряд работ, посвященных интегрированию дифференциальных уравнений, доказательству сфероидальной формы Земли, вопросам геометрии.
Фридрих-Христоф Майер (1697—1729) все свое внимание обращал на развитие тригонометрии и астрономии. В становлении современного состояния тригонометрии ему принадлежит видное место.
Георг Вольфганг Крафт (1701—1754) лишь короткий срок работал в качестве математика; основное его призвание было в области физики— физическую лабораторию академии он привел в образцовый порядок. Заслуги Крафта в области математики лежат в популяризации знаний, написании учебников и в работах по истории науки.
Первым академикам мы должны быть благодарны как за полученные ими научные результаты, так и за подготовку молодых людей к научной и педагогической работе. Особенно много в этом втором направлении сделал знаменитый Л. Эйлер. Ему удалось воспитать целую плеяду учеников, внесших неоценимый вклад в историю русской культуры. Естественно, что с таким гигантом мысли, каким был Л. Эйлер, никто из них сравниться не мог. Но спросим себя — так ли много было во всей Европе ученых, способных сравниться с ним по широте научных интересов и глубине проникновения в природу вещей? И вынуждены ответить — нет. Как среди современников, так и в более поздние времена. Ученики и ближайшие сотрудники Л. Эйлера — С. К. Котельников, А. И. Лексель, Ф. И. Шуберт, С. Я. Румов- ский, М. Е. Головин, М Софонов, Н. И. Фукс, С. Е. Гурьев, В. И. Висковатов работали в области астрономии, механики, математики, преподавали; они внесли огромный вклад в популяризацию научных знаний. Многие из перечисленных лиц сами стали академиями и исполняли с пользой и честью административные функции.
Крупные сдвиги в прогрессе математического творчества в стране в целом и в Академии наук пришлись уже на вторую четверть XIX в. Возрождение математической жизни в академии связано в первую очередь с именами М. В. Остроградского (1801—1862) и В. Я. Бу- няковского (1804—1889).
5


Воспитанник Харьковского университета и Парижской математической школы М. В. Остроградский оставил крупный след в развитии механики, математического анализа, математической физики. Его результаты до сих пор излагаются в основных математических курсах и играют заметную роль в науке.
Деятельность М. В. Остроградского в академии и за ее пределами была очень разнообразна. В собраниях академии он сделал 85 научных сообщений. Часть из них осталась неопубликованной. Ему поручали работу в разного рода комиссиях — по введению грего- рианского календаря и десятичных мер, по водоснабжению Петербурга, по изучению сферических снарядов и т. д. Некоторые из его научных работ тесно связаны с вопросами, рассматривавшимися во временных комиссиях. Он активно и очень успешно занимался преподаванием и был главным наблюдателем за преподаванием математики во всех военноучебных заведениях страны. С именем М. В. Остроградского связан большой период в жизни нашей родины. Его математические работы были еще при жизни высоко расценены современниками. Внешним проявлением этого было избрание его членом ряда академий, в том числе и членом-корреспондентом Парижской академии. Среди его учеников имеют-, ся выдающиеся деятели отечественной науки, как математики, так и инженеры.
Современник и большой друг Остроградского— В. Я. Буняковский в большей мере был просветителем, чем оригинальным исследователем. Впрочем, некоторые его результаты до сих пор живут в науке. Вспомним его знаменитое неравенство (неравенство Коши — Буня- ковского — Шварца), постоянно используемое и в современных исследованиях. Основными направлениями его исследований были теория чисел, математическая статистика (преимущественно прикладная), теория интегрирования. Большое значение имели для страны его учебники, а также предпринятая им грандиозная работа по созданию своеобразной математической энциклопедии, которую он назвал «Лексикон чистой и прикладной математики». В свет вышел лишь первый том, содержащий объяснения и исторические сведения о математических терминах на буквы А — Д. Им были подготовлены также обширные материалы для терминов на буквы Е — Л, но этот второй том автор уже не успел завершить. Термины были упорядочены по порядку французского алфавита.
Вторая половина XIX в. для всей нашей страны связана с серьезным повышением уровня математического творчества. Прочно
на ноги встала исследовательская работа в области математики в Московском, Киевском и Петербургском, Казанском и Харьковском университетах. Медленно, но все же развивалось высшее образование, развертывалась сеть высших учебных заведений. Это обстоятельство, несомненно, оказывало решающее влияние на уровень математических исследований и в Академии наук. Вторая половина прошлого века прошла в академии в значительной мере под влиянием идей и работ П. Л. Чебышева (1821—1894). Он внес в математику ряд новых идей, разработка которых продолжается и поныне. Под влиянием П. Л. Чебышева в России еще при его жизни выросла вторая по счету математическая школа Петербурга, успешно работавшая в области математического анализа, теории функций, теории чисел и теории вероятностей. Одновременно с широким размахом собственно математических исследований П. Л. Чебышев систематически занимался вопросами математического образования.
Научное творчество П. Л. Чебышева началось еще в бытность его студентом Московского университета. За работу «Вычисление корней уравнения» физико-математический факультет присудил ему в 1841 г. серебряную медаль. В эту пору и в годы, непосредственно следовавшие за окончанием университета, Чебышев занимался вопросами интегрирования алгебраических функций, сходимостью рядов, вопросами теории вероятностей, которые на многие годы определили его дальнейшие интересы.
В 1847 г. П. Л. Чебышев переехал в Петербург, и вся дальнейшая его жизнь связана с Петербургским университетом и Академией наук. В 1847 г. В. Я. Буняковский привлек Чебышева к изучению арифметического наследия Л. Эйлера. Работа была завершена исключительно быстро: через два года вышли в свет два тома, посвященные исследованиям Эйлера по теории чисел, которые были снабжены подробным указателем. Заслуживает упоминания, что в эти тома вошли многие неопубликованные заметки и фрагменты из записей Эйлера. Несомненно, что интерес Чебышева к теории чисел был усилен изучением исследований Эйлера. Но известно также, что этот интерес возник у него уже раньше в связи с защитой первой диссертации по вопросам интегрирования иррациональных функций. Недаром во вступительном слове к содержанию диссертации он специально отметил: «Такая зависимость интегрирования дифференциалов от свойств чисел весьма замечательна». В том же 1849 г, появилась в печати и была защи¬
6


щена в качестве докторской диссертации знаменитая книга Чебышева «Теория сравнений», служившая в течение десятков лет основным университетским учебником по теории чисел.
Здесь существенно отметить, что именно в этой книге впервые была опубликована заме- чательная работа «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» в качестве приложения. Эта работа была быстро переиздана на французском языке и обратила внимание всех, кто занимался математикой и интересовался теорией чисел. Дело в том, что именно в этой работе впервые после Евклида был осуществлен серьезный скачок в наших знаниях о свойствах простых чисел. И если Евклид доказал, что простых чисел существует бесконечно много, то Чебышев открыл асимптотическую закономерность их расположения в ряду натуральных чисел. Существенным дополнением к этому первому исследованию явилась вторая его статья на ту же тему под названием «О простых числах».
Основной результат П. Л. Чебышева относительно распределения простых чисел может быть сформулирован следующим образом. Обозначим через тс(х) число простых чисел, меньших х. Тогда для всех достаточно больших х выполняется неравенство
0,92149 < * (*): < 1,10555;
если при х —> оо отношение тс стре-
мится к некоторому пределу, то им может быть только число 1.
Этот последний факт верен и был доказан значительно позднее, почти через пятьдесят лет, французским математиком Ж. Адамаром и бельгийским ученым Ш. Ж. де Ла Валле Пуссеном, но методами значительно более сложными — с привлечением теории функций комплексного переменного. Метод же Чебышева исключительно элементарен, и до сих пор его возможности далеко не полностью исчерпаны.
Основной результат позволил получить ряд интересных следствий, и в частности доказать так называемую гипотезу Бертрана. Согласно этой гипотезе, между числами п и 2п—2 содержится по меньшей мере одно простое число (п>3).
Большое и важное направление исследований Чебышева по теории чисел относится к так называемым диофантовым приближениям. Им в этом направлении был решен ряд сложных задач и поставлены новые, которыми занимались многие выдающиеся исследователи как в нашей стране (например, А. Я. Хинчин),
так и за ее пределами (профессора Ярник в ЧССР, Морделл в Англии и Др.).
Вторым направлением математических исследований, в котором Чебышев надолго закрепил лидерство русской математической мысли, была теория вероятностей. С Чебышева началось систематическое изучение закономерностей, связанных с взаимодействием большого числа независимых случайных величин. В 1867 г. появилась исключительная по простоте использованного метода и по широте полученного результата работа «О средних величинах», в которой было дано доказательство закона больших чисел в очень широких предположениях. Доказанный результат без всяких изменений по существу дела излагается во всех современных руководствах по теории вероятностей. Позднее оказалось, что идея Чебышева может быть использована во множестве других задач, и не только теории вероятностей, но также и теории функций, теории чисел и других ветвей математики. Сама эта идея исключительно проста и доступна любому школьнику VIII—X классов. Теорема Чебышева включила в себя в качестве простейших частных случаев знаменитые законы Бернулли и Пуассона.
В 1887 г. появилась последняя работа Чебышева по теории вероятностей, в которой он предложил для доказательства предельных теорем особый метод, получивший впоследствии^ название метода моментов. Во-первых, в этой работе он сделал попытку, правда^ незавершенную, дать общие условия, при выполнении которых нормальное распределение вероятностей является предельным для распределений сумм независимых случайных слагаемых, нормированных своими дисперсиями. Во-вторых, именно здесь была изложена идея нахождения асимптотических разложений по степеням VД”1, где п—число слагаемых в сумме. Эта тематика до сих пор доставляет множество интересных вопросов и позволяет получать глубокие новые результаты. В некотором отношении этот мемуар представляет собой вершину теоретико-вероятностных замыслов Чебышева и источник многих позднейших работ,
В период между 1852 и 1856 гг. Чебышев дважды читал курс практической (прикладной) механики. Под тем же названием он несколько раньше прочел курс и на реальном отделении Петербургского .университета. Уже программа, составленная им в январе 1850 г., показывает, что его заинтересовали вопросы курса. Последующее показало, что эти курсы явились толчком к созданию Чебышевым не только нового раздела механики, но и нового
7


направления исследований в теории функций. Это направление относилось к разработке вопросов наилучшего приближения функций, которое получило особенно значительный размах в последние десятилетия.
Представим себе, что в некоторой области А задана функция f(M) точки М этой области. Кроме того, имеется класс функций ф(М,/7ь..., рп), заданных в той же области, но зависящих также от значений п параметров ри Р2, Рп• Спрашивается, как следует выбрать эти параметры, чтобы величина
sup\f(M) — <?{M,pl, рп)|
мел
достигала наименьшего значения? Постановка этого вопроса, пусть в несколько более простой форме, возникла у Чебышева в связи с поисками механизмов, которые в возможно более точной форме воспроизводили бы прямолинейное движение при превращении его из вращательного. В работе 1854 г. «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» эта задача Чебышевым ставится достаточно определенно в связи с попытками изучить действие параллелограмма Уатта и уменьшить отклонение конца шатуна от прямолинейного движения.
Чтобы проиллюстрировать общую постановку задачи Чебышева, остановимся на одном примере, изученном еще самим Чебышевым и приведшим к введению в науку полиномов, получивших наименование полиномов Чебышева. Среди всех полиномов /г-й степени найти тот, который меньше всего уклоняется от функции f(x), равной нулю в промежутке от — 1 до +1. Другими словами, среди всех многочленов только что указанного вида найти тот, для которого
max|P„(*) |
—KxsCl
равен минимально возможному значению.
Ответ был найден еще в 1859 г. Чебышевым; оказалось, что искомый полином имеет следующий простой вид:
Рп (х) = $к~ C0S (П аГС C0S
До Чебышева рассматривалась задача о приближенном представлении функций многочленами данной степени. При этом в решении ограничивались либо построением первых членов разложения в ряд Тейлора, либо построением интерполяционного многочлена заданной степени, значения которого в данных точках в точности совпадают со значениями функции. Однако при таком подходе ничто не гарантирует сближения приближающих многочленов с приближаемой функцией по мере увеличения степени многочлена.
Теория интерполирования заинтересовала П. Л. Чебышева в связи с задачами, которые он встретил во время своей работы в Артиллерийском комитете. Задача ставилась примерно так: найден интерполяционный многочлен для заданной системы значений функции. Стало известно еще несколько новых значений. Как найти новый интерполяционный многочлен, соответственно более высокой степени? Обычная практика работы состояла в том, что все громоздкие вычисления проводились заново. Чебышев поставил вопрос так: нельзя ли так построить вычислительную работу и построить такие интерполяционные многочлены, чтобы ранее проделанные вычисления полностью использовались при получении новых значений? Иными словами, чтобы ранее вычисленные коэффициенты сохранялись, а следовало бы вычислить лишь некоторые дополнительные коэффициенты. Он предложил метод, позволяющий положительно решить этот вопрос. Но для этого он воспользовался теорией ортогональных многочленов, в которую параллельно и сам внес много нового.
Описание вклада в математику, сделанного П. Л. Чебышевым, будет далеко не полным, если не упомянуть его работ по теории интегрирования алгебраических функций — теории, которая усиленно развивалась в России со времени М. В. Остроградского. Среди членов академии, много и успешно работавших в этом направлении, необходимо назвать О. И. Сомова (1815—1876). Специального упоминания заслуживает также теория механизмов, одним из основателей которой был П. Л. Чебышев. Позднее традиции Чебышева высоко поддерживались в академии и сейчас успешно продолжаются академиком И. И. Артоболевским.
Мы уже говорили об огромном влиянии П. Л. Чебышева. К его советам прислушивались, его идеи быстро распространялись и подхватывались другими исследователями, к Чебышеву приезжали учиться и обращались за темой самостоятельного научного исследования.
Мы ограничимся здесь лишь кратким упоминанием работ двух его выдающихся учеников— А. М. Ляпунова и А. А. Маркова, оставивших в математике весьма заметный след. Последствия выдвинутых ими идей и направлений исследований продолжают сказываться и в наши дни. Более того, теперь, в уже совсем новой обстановке развития математики, фундаментальность поставленных ими вопросов исследования только начинает осмысливаться в полной мере.
А. 	М. Ляпунов (1857—1918) вскоре после окончания Петербургского университета и по¬
8


следующей защиты магистерской диссертации был приглашен в Харьковский университет, где и проработал в течение 15 лет. К этому пераэду жизни Ляпунова относятся его замечательные исследования по теории устойчивости движения, работы по математической физике и теории вероятностей. Позднее он полностью посвятил себя исследованию фигур равновесия вращающихся жидких масс — одной из основных задач космогонии. Во всех названных ветвях науки Ляпунов получил основополагающие результаты, и его (работы послужили отправным пунктом для многочисленных новых исследований.
В области теории вероятностей работа Ляпунова была лишь эпизодом, он посвятил ей короткую часть своего научного пути и доказал лишь одну, но в высшей степени замечательную теорему, вошедшую в науку под его именем. Речь идет о центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин, попытка доказательства которой методом моментов была предложена П. Л. Чебышевым. Ляпунову удалось доказать в очень широких условиях применимость нормального распределения и оценить быстроту сближения функций распределения сумм с предельным нормальным распределением.
К изучению поведения решений систем дифференциальных уравнений при неограниченном возрастании аргумента (времени) сводится множество задач практики. Ляпунов взглянул на эти вопросы с позиций механики движения и разработал методы их исследования. В ту пору, пожалуй, работы Ляпунова представляли интерес преимущественно для небесной механики. Однако начиная с 30-х годов нашего века, в связи с появлением авиации, радиотехники, машин больших скоростей, идеи Ляпунова и предложенные им методы получили непосредственное практическое значение. Их разработкой занялась большая группа математиков как в нашей стране, так и за ее пределами. Само собой разумеется, в этих работах, как теоретического, так и прикладного плана, принимали участие и работники академии.
Вопрос о фигурах равновесия однородной жидкой вращающейся массы, частицы которой притягиваются ио закону Ньютона, возник еще в его время. Важность этой задачи диктуется запросами астрономии, поскольку от ее решения в значительной мере зависит ответ на вопрос об условиях образования солнечной системы. Несмотря на то что ко времени Ляпунова эта задача насчитывала уже почти двухсотлетний возраст и ею занимались многие выдающиеся математики — Мак-
лорен, Лаплас, Лагранж и др., она была далека от решения. Общей теории фигур равновесия не существовало. Построить такую теорию Ляпунову предложил П. Л. Чебышев. Два года (1882 и 1883) над этой проблемой напряженно работал Ляпунов. Ему удалось получить уравнения для первых приближений и ряд выводов, которые полностью включали в себя результаты английских физиков Томсона (лорд Кельвин) и Тэта. Эти результаты явились первой (магистерской) диссертацией Ляпунова.
Вновь возвратился к работе над этой темой Ляпунов через 17 лет и уже до конца своих дней посвятил себя решению возникавших здесь вопросов. На этом пути его выводы столкнулись с выводами выдающихся ученых того времени — французского математика
А. 	Пуанкаре и астронома Д. Дарвина (сына знаменитого естествоиспытателя). Последний, опираясь на нестрогие выводы А. Пуанкаре о том, что возможны устойчивые фигуры равновесия грушевидной формы, построил космогоническую гипотезу. Ляпунов обратил внимание на ошибочность исходных предпосылок этой теории, и еще при жизни его точка зрения восторжествовала.
С именем другого ученика П. Л. Чебышева— А. А. Маркова (1856—1924) связано становление нового направления исследований в теории вероятностей, все значение которого выявилось лишь в наши дни. Другие его работы относились к интегрированию дифференциальных уравнений, теории непрерывных дробей и их применениям в теории функций и анализе, теории квадратичных форм. Мы здесь коснемся слегка лишь вклада Маркова в теорию вероятностей, поскольку именно в этой области знания его идеи оказали наиболее решающее влияние.
Первые работы А. А. Маркова по теории вероятностей непосредственно примыкают к исследованиям П. Л. Чебышева. Ему прежде всего удалось обобщить условия применимости закона больших чисел, данные П. Л. Чебышевым. Следует заметить, что эти новые условия были применимы не только к независимым, как у Чебышева, но и к зависимым слагаемым. Далее Маркову удалось дать безупречное доказательство центральной предельной теоремы методом моментов. Вскоре эти результаты были перекрыты А. М, Ляпуновым, который шел другим путем, используя сильное аналитическое средство — характеристические функции. Казалось, что метод моментов не способен по самой своей структуре дать столь же сильные результаты. Однако Маркову удалось так видоизменить метод
9


моментов, что результат Ляпунова в полной мере был доказан и этим методом. Позднее нововведение Маркова (прием урезания слагаемых) прочно вошло в науку.
Судя по архивным материалам и некоторым работам, опубликованным самим Марковым, в годы, непосредственно следующие за первой русской революцией 1905 г., он заинтересовался изучением последовательностей связных случайных величин под влиянием некоторых лингвистических наблюдений и критики работ статистиков. Уже в 1907 г. вышла его первая работа, посвященная изучению последовательностей случайных величин, получивших впоследствии название цепей Маркова.
Значительное влияние на развитие математической физики было оказано академиком
В. 	А. Стекловым (1864—1926). Им был широко использован метод разложения функций в ряды по ортонормированным системам функций. В теорию этого метода В. А. Стеклов сделал фундаментальный вклад. Для улучшений свойств исследуемых функций Стеклов предложил усреднять их значения в малой области, окружающей данную точку. Этот метод прочно вошел в современную математику. Работы В. А. Стеклова оказали большое влияние на развитие отечественной науки.
После Великой Октябрьской революций
В. 	А. Стеклов безоговорочно принял новый социальный строй и охотно начал сотрудничать с Советской властью. Он одним из первых принял предложения В. И. Ленина по реорганизации отечественной науки и по созданию научно-исследовательских институтов. Сам он принял непосредственное участие в создании института физики и математики, из которого позднее выделился математический институт Академии наук, носящий сейчас его имя.
Великая Октябрьская революция коренным образом изменила отношение общества к науке. К науке стали относиться не как К украшению государства, а как к необходимому средству общественного и научно-технического прогресса. Вот почему еще в 1918 t\ в период разрухи и гражданской войны В. И. Ленин составил набросок плана научно-технических работ, согласно которому Академия наук привлекалась к экономическим и техническим исследованиям самого актуального государственного значения* Наметилась и стала претворяться в жизнь новая форма организации науки — большие хорошо оснащенные научно- исследовательские институты. Со временем это привело к ломке сложившихся структурных форм академии. Так, в ЗС-х годах возникло отделение технических наук, которое немало
дало прогрессу нашей техники и способствовало привлечению математиков к разработке вопросов производства, к решению многих вопросов его теории. В частности, большое внимание было обращено на теоретическую основу авиации — аэродинамику.
В Советском Союзе произошел исключительный подъем научной мысли в подавляющем большинстве математических дисциплин. Классический анализ и геометрия, теоретикомножественная математика и приближенный анализ, математическая логика и алгебра испытали особенный расцвет в нашей стране. В короткой статье нет возможности упомянуть всех ученых, даже только тех из них, кто работает в Академий наук, внесших весомый вклад в развитие нашей науки. Еще труднее описать при этом и полученные ими результаты. Именно поэтому мы вынуждены лишь упомянуть основные направления, в которых вклад ученых Академии наук был особенно весом.
Прежде всего необходимо назвать теоретико-множественную математику, которая в наше время стала базой для всей математики, в том числе й для классического анализа. Заслуги Академий наук в этом прогрессе неоспоримы, поскольку основные представители этого математического направления были избраны в академию: Н, Н. Лузин и
П. С. Александров, А. Н. Колмогоров и А. Н. Тихонов, Л. С. Понтрягин и А. Я. Хин- чин, а также многие Другие. На базе теоретико-множественных представлений возникли современные конструкции теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа, теории функций, топологии. Во всех этих областях знания советские ученые завоевали твердые позиции и всеобщее признание высказанных ими идей, а также полученных результатов.
Задачи математической физики были и остаются одним из основных направлений развития математики. В ее прогресс, а также в прогресс ее Применений к задачам практики огромный вклад сделали математики нашей страны, в том числе члены академии. История науки не сможет обойти такие имена, как
Н. 	А. Крылов, Н. М. Крылов, Н. М. Гюнтер, Н. Н. Боголюбов и др.
Велйка роль академии в развитии алгебры и теории чисел, математической логики и оснований математики. Имена И. М. Виноградова и Ю. В. Линника тесно связаны с блестящими достижениями советской теории чисел; О. Ю. Шмидта и А. И. Мальцева —с развитием современной алгебры; А. Н. Колмогорова, П. С. Новикова и А. А. Маркова — с
10


развитием математической логики. Наряду с ними можно и должно назвать множество других имен — имен их товарищей по работе и учеников, которые также сделали серьезный вклад в нашу науку. Тем и сильна академия* что наука творится не только ее членами, но также их товарищами и учениками, работающими и в академии, и в других научных учреждениях и во многих учебных заведениях страны. От того, как налажена научная работа в университетах и других высших учебных заведениях страны, зависит будущее самой академии. Ее пополнение составляют профессора университетов и бывшие воспитанники вузов страны.
Конечно, избрание в академию осуществляют люди, и не всегда при этом удается избежать ошибок. Случается и так, что крупнейшие представители науки остаются за бортом академии. Достаточно вспомнить, что такие пионеры науки и -ее реформаторы, как
Н. 	И. Лобачевский, Д. И. Менделеев,
Н. 	Е. Жуковский, так и остались вне академии.
Академия наук Советского союза является центральным и наиболее авторитетным научным учреждением страны. В ней работает большое число выдающихся ученых, и она
постоянно пополняется новыми талантливыми исследователями. Для страны исключительно важно, чтобы способные исследователи работали повсюду, чтобы знающие и научно активные математики работали не только в академии, но и в университетах и других вузах страны, чтобы математические методы разрабатывались не только для монографий и научных статей, но в первую очередь для решения проблем, волнующих общество, для прогресса человеческих знаний и для рационального использования природных ресурсов. Академия занята решением этих проблем. Научные центры Академии наук возникли теперь в ряде мест, и в этих центрах почетное место, соответствующее ее роли в эпоху научно-технического прогресса, занимает математика.
В заключение я укажу несколько работ, которые позволят ближе познакомиться с ролью Академии наук в прогрессе математики.
А. П. Юшкевич. История математики в России. М., «Наука», 1968.
Н. Н. Боголюбов и С. Н. Мергелян. Советская математическая школа. М., «Знание», 1967.
Б. В. Гнеденко. Полвека советской математической науки. «Слово лектора», 1973, № 1, стр. 38—44; № 2. стр. 32—38.
«История отечественной математики». T. I—IV. Киев, Академия наук СССР, Академия наук УССР, «Наукова думка», 1965—1970.
В. Н. МОЛОДШИЙ
(Москва)
К ВЫХОДУ В СВЕТ XVIII ВЫПУСКА «ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ»
В 1948 г. вышел в свет I выпуск «Историко-математических исследований»1. Впоследствии в «Исследованиях» нашли место работы историков-математиков СССР и социалистических стран; фактически они стали основным издавшем, посвященным специально проблемам истории математики2, В 1966 г. был опубликован XVII выпуск «Исследований», после чего Физматгиз издание прекратил. Начиная с 1973 г. Институт истории естествознания и техники АН СССР возобновил
1 «Историко-математические исследования». Вып. I. Под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича. М.—Л., Гостехиздат, 1948.
2 См. рецензию на 11 выпусков «Исследований», опубликованную в жур. «Математика в школе», 1959, JSfe 3.
издание «Историко-математических исследований»; поступил в продажу XVIII выпуск. Он содержит 21 статью, 4 написаны иностранными учеными. Статьи распределены по трем разделам: 1) о возникновении и развитии функционального анализа; 2) вопросы истории математического анализа; 3) статьи различного содержания. Для преподавателей математики старших классов средней школы представят интерес следующие статьи; А. Б. Паплаускас. Доньютоновский период развития теории бесконечных рядов; А. П. Юшкевич. Л. Карно и конкурс Берлинской академии наук 1786 г. на тему о математической теории бесконечного; А. П. Юшкевич. Ж. А. да Кунья и проблемы обоснования математического анализа; П. Дюгак (Париж). Понятие предела и иррациональные числа. Концепции Шарля Мерэ и Карла Вейерштрасса; В. П. Визгин. К истории «Эрлангенской программы» Ф. Клейна; Ю. А. Белый. Эйлеровы эквиваленты пятого постулата; Л. Е. Май- строе. Об оценке арифмометра П. Л. Чебышева; К.-Р, Бирман (Берлин. ГДР). Об избрании Н. И. Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского научного общества.
XIX выпуск «Историко-математических исследований» выйдет в свет в 1974 г.
II


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Е. И. ЛЯЩЕНКО
(г. Минск)
ЗАДАЧИ
С ДИДАКТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ В IV—V КЛАССАХ
Существенной особенностью обучения математике в IV—V классах является усиление роли теоретических знаний и в связи с этим изменение функций задач.
Теоретические сведения в курсе математики IV—V классов изучаются индуктивным методом, через «решения» специально подобранных задач. При таком методе обучения возникает необходимость в четком построении системы упражнений и определении функции каждого упражнения системы. Особое внимание должно быть уделено задачам, исполняющим дидактические функции. «Задачи с дидактическими функциями предназначаются преимущественно для облегчения усвоения уже изученных теоретических сведений курса. Это задачи на прямое применение изученной теории или рассматриваемой зависимости, на закрепление всех основных фактов школьного курса математики» !.
Мы выделяем три основных назначения задач, исполняющих дидактические функции: 1) способствовать раскрытию основных свойств изучаемых понятий и простейших связей между ними; 2) помогать учащимся находить алгоритмы действий и методы решения задач; 3) формировать умение пользо-
1 К. И. Нешков, А. Д. Семушин. Функции задач в обучении. «Математика в школе», 1971, № 3, стр. 5.
ваться простейшими логическими операциями при изучении теоретического материала и решении задач.
Рассмотрим некоторые требования к системе таких задач.
Одно из основных требований к системе задач, способствующих раскрытию свойств изучаемых понятий и установлению простейших связей между близкими понятиями, есть требование полноты системы. Проиллюстрируем это на двух примерах.
В IV классе при изучении понятия переменной раскрывается роль этого понятия, выясняется смысл термина «значение переменной», объясняется, при каких условиях делают вывод, что переменная может принимать те или иные значения. Между этими понятиями устанавливаются связи, указанные на схеме 1.
Схема 1
В систему задач с дидактическими функциями необходимо включить задачи на раскрытие каждого из этих понятий и простейших связей между ними. В учебнике для IV класса все эти задачи представлены с достаточной полнотой. В упражнения к п. 12 («Верно или неверно») включены разнообразные задачи на установление «верности» или «неверности» высказывания; упражнения к п. 13 («Переменная») содержат задания на подстановку значений переменной в предложения с переменными. Наконец, в п. 14 («Иногда верно, иногда нет») предлагаются задачи на установление истинности или ложности предложений после подстановки вместо переменной ее значения.
Второй пример. В IV классе формируется понятие о действии сложения натуральных чисел. Это не новое понятие для учащихся IV класса. Есть ли в этом случае необходимость в таком же тщательном подборе задач, исполняющих дидактические функции, как и при изучении понятия переменной? На первый взгляд кажется, что нет.


Проанализируем требования программы и содержание учебника, а затем обратимся к опыту.
В объяснительной записке к программе IV класса отмечается, что в IV классе будет осуществлена систематизация сведений о натуральных числах. «Основой систематизации служит осмысление понятия «число» и опе- раций над числами (подчеркнуто мною.— Е. Л.) с привлечением понятий «множество», «элемент множества», «принадлежность»2. Это требование должно быть отражено в дидактических задачах, в которых следует использовать теоретико-множественную терминологию и символику. В задачах должна быть учтена и необходимость систематизации таких понятий, как действие сложения натуральных чисел, законы сложения.
Рассмотрим связи между отдельными вопросами, знание которых необходимо для прочного усвоения действия сложения натуральных чисел (см. схему 2).
Схема 2
В дидактических задачах необходимо отразить все приведенные в схеме 2 понятия и простейшие связи между ними.
В учебнике для IV класса нет дидактических задач, устанавливающих связь между понятиями «множество», «элемент множества», «принадлежность» и действием сложения натуральных чисел.
Всего две задачи (№ 310, 311) иллюстрируют необходимость использования действия сложения для их решения; в системе упражнений они помещены после того, как решены пять задач (№ 305—309) на сложение натуральных чисел. (Если эти упражнения не рассматриваются как задачи, приводящие к сложению натуральных чисел, то тогда не понятно, с какой целью они включены в учебник.) В учебнике нет упражнений на раскрытие сущности алгоритма сложения многозначных чисел, на использование для его объяснения
2 Программы восьмплетней школы на 1972/73 учебный год. «Математика». М., «Просвещение», 1972, стр. 3.
законов сложения. Это упражнения вида3: 235 + 428 = 100-2 + 10*3 + 5 + 100-4 + + 10-2 + 8 = (100*2 + 100-4)+ (10-3+10-2) +' + (5 + 8) = 100-6+10-5 + 10-1+3= 100-6+, 10-6+3=663.
Анализ системы задач пп. 27—29 учебника показывает, что из шести понятий схемы 2 три не представлены в дидактических задачах. Кроме того, задачи, иллюстрирующие непосредственное применение действия сложения, не связаны с обоснованием введения действия сложения, в задачах на законы сложения почти не используется алгоритм сложения многозначных чисел.
Таким образом, система дидактических задач, формирующих понятие сложения и связанных с ним понятий, не отражает полностью содержание этих понятий и связей между ними. Это не может не сказаться на знаниях учащихся.
Проверка знаний учащихся четвертых классов, проведенная нами в 1971 г. в школах БССР (устно было опрошено 283 учащихся, контрольную работу писали 910 учащихся), показала, что те математические факты и сведения, для усвоения которых в учебнике и книге для учителя приведена тщательно разработанная система дидактических задач, используются учащимися более осознанно и результативно.
Приведем некоторые результаты проверки (см. табл. 1).
Таблица 1
Класс
Виды задания
Правильно ответили на вопрос задачи {%)
Решили (ответили) с ошибками (%)
Не решили (не ответили) (%)
IV
Использование понятия переменной при решении задачи
89
6
5
Законы арифметических действий
96
3
1
Применение законов действий к вычислениям
32
16
52
Анализ результатов выполнения заданий контрольных работ подтверждает следующий вывод: если понятия и алгоритмы действий не рассматриваются в системе дидактических за¬
3 Такие упражнения приведены в «Сборнике упражнений по математике для IV и V классов» С. А. Пономарева и др. М., «Просвещение», 1971.
13


дач с достаточной полнотой, то теоретические сведения усваиваются учащимися формально.
Вторая функция дидактических задач — облегчить учащимся поиск алгоритмов выполнения математических действий и методов решения задач. С помощью этих задач раскрываются наиболее существенные особенности конкретного алгоритма, способа или метода решения задачи. Поэтому в систему задач включены задачи на рассмотрение случаев всех наиболее существенных «проявлений» алгоритма.
Приведем примеры. В IV классе учащиеся приступают к решению уравнений на основе зависимости между результатом действия и его компонентами. К этому времени учащиеся должны владеть такими понятиями, как уравнение, корень уравнения, множество решений уравнения, зависимость между результатом действия и его компонентами. При обучении решению уравнения, в котором переменная стоит на месте одного из слагаемых, в упражнениях с дидактическими функциями должны быть предусмотрены уравнения вида: а + х » = 6, х + а а + х — Ь ±су х + (а + с) ~ Ь9 (х ± а) + с = Ь.
Учитывая принципы развивающего обучения, отметим, что система этих задач не должна содержать излишних повторений.
Третья группа фактов, которая должна быть реализована в дидактических задачах, — логические операции, применяемые при изучении теоретических сведений или решении задач.
Проведенные психологами эксперименты показывают4, что не все учащиеся могут самостоятельно осознать, какие логические операции они использовали при решении задач, и применять их в дальнейшем в нужной ситуации. Большинство учащихся нуждается в специальном обучении выполнению логических операций.
Эту работу можно проводить на специально подобранных задачах, но вполне достаточно использовать дидактические задачи первых двух видов, включив в них дополнительные задания. Так, например, при сравнении положительных и отрицательных чисел в V классе можно уже на одном из первых уроков при решении задач обратить внимание учащихся на то, что для сравнения двух объектов (чисел, выражений, фигур и т. п.) необходимо:
а) 	выделить общие, существенные характери¬
4 См. В« А. Крутецкий. Психология математических способностей школьников. М., «Просвещение», 1968; Е. Н„ Кабанова-Меллер. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М., «Просвещение», 1968.
14
стики в сравниваемых объектах, б) на их основе произвести сравнение, а если этого требует условие задачи, и классификацию объектов.
К сущности классификации полезно возвращаться при изучении каждого нового расширения множеств чисел или нового вида геометрических фигур, являющихся подмножеством некоторого множества фигур.
Проведенная нами проверка системы дидактических задач показала, что дополнительные задания к ним, акцентирующие внимание учащихся на особенностях той или иной логической операции, позволяют учащимся успешно овладевать логическими операциями. Естественно, что разработка методики работы с такими задачами очень важна.
Мы высказали некоторые требования к содержанию системы задач с дидактическими функциями.
Если в учебнике или книге для учителя нет достаточного количества дидактических задач, то этот пробел можно компенсировать дополнительными вопросами к задачам или некоторым изменением существующих дидактических задач.
Так, например, в учебнике V класса при формировании понятия модуля числа предлагаются три дидактические задачи.
75. Найдите модуль каждого из чисел: 81;
I,3; —5,2; —1,5; 52; 0. Напишите соответствующие равенства.
77. Найдите расстояние от начала отсчета до каждой из точек: А (3,7); В (—7,8); С (—200); D (315,6); Е (0).
82. Найдите: а) отрицательное число, модуль которого равен 25; 4; 7,4; б) положительное число, модуль которого равен 27; 4,8;
II,41.
Модуль числа вводится с помощью числовой прямой и определяется как расстояние от начала отсчета до точки, которая соответствует этому числу.
При формировании этого понятия следует добиваться того, чтобы учащиеся поняли, что расстояние между двумя точками Л и В на числовой прямой не зависит от порядка, в котором берутся эти точки (расстояние между точками Л и В то же, что и расстояние между точками В и Л). Поэтому дополнительные вопросы к дидактическим упражнениям должны преследовать цель «соединения» понятий «расстояние» и «модуль числа», например:
а) 	на каком расстоянии от начала отсчета на числовой прямой будет находиться точка, соответствующая числу 81, —81?
Установить, каких дидактических задач нет в учебном пособии, можно с помощью состав¬


ления схемы связей изучаемых понятий. Это поможет предусмотреть все детали системы дидактических задач.
Схемы используются и на уроках (обычно при обобщении изученных понятий). Они помогают систематизировать знания учащихся и установить связи между изучаемым материалом. Использование схем — одна из особенностей работы с дидактическими задачами, формирующими понятия.
Вторая особенность работы с дидактическими задачами — использование контрпримеров. Это помогает учащимся увидеть реальные границы применения понятия или метода, т. е. способствует более глубокому и всестороннему пониманию и применению изученного материала.
Нам представляется, что в систему дидактических задач следует включать специальные задачи — контрпримеры, а при решении дидактических задач ставить дополнительные вопросы или давать дополнительные задания, делающие задачу «контрзадачей».
В качестве примера укажем способ обучения приведению подобных слагаемых. Подобные слагаемые — это такие, у которых одинаковая буквенная часть. Если же буквенные части различны, то слагаемые не подобны и приводить их нельзя. Эта простая и понятная
мысль, не будучи подкреплена дидактическими задачами, вызывает у учащихся затруднение при практическом применении. Они часто допускают ошибки при приведении подобных слагаемых, например в упражнениях вида 7 — За — 2а дают ответы: 2а; 2. Эти ошибки возникают чаще всего в том случае, когда все соответствующие упражнения учебника имеют подобные слагаемые. Если уже в первых задачах предложить учащимся привести подобные слагаемые в выражениях: 5а + 5Ь; 2,1 р — 3; 2k + с9 7 + 2а — 2Ь, 7 — За — 2а, то учащиеся будут выполнять эту операцию более осознанно.
В IV классе в системе дидактических задач могут быть задачи вида: решить уравнение
1) 	х + 28 = 12 — 1, 2) 7х = 45; измерить отрезок с помощью другого отрезка, который не укладывается в первом целое число раз; подставить в данное предложение с переменной значение переменной, обращающее его в неверное высказывание, и т. п.
Использовайие контрпримеров при решении задач с дидактическими функциями кроме обеспечения более глубокого и сознательного усвоения знаний позволяет поставить перед учащимися ближайшие перспективы изучения предмета, что, несомненно, создает большую заинтересованность в работе.
А. М. ЯНЧЕНКО
(г. Тернополь)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В V КЛАССЕ
Понятие о геометрическом отображении фигур и инвариантах этих отображений в обобщенном виде будет дано в VI классе. Однако уже в V классе при изучении геометрических построений ученики могут выполнять практические работы, которые разъяснят им смысл понятия «Отображение фигур».
В работе с учащимися V класса при изучении геометрических построений мы использовали индуктивный метод, как это рекомендует объяснительная записка к «Программе по математике для восьмилетней школы». Выполняя практические работы, ученики анализировали полученные результаты и делали индуктивные выводы. Навыки дедуктивного мышления формировались у них в процессе применения изученного материала к решению задач.
Рассмотрим практические работы по отдельным темам.
I. 	Параллельный перенос фигур
Для выполнения практической работы учитель предлагает учащимся:
1. Из жесткой бумаги вырезать модель треугольника (это ученики могли выполнить дома при подготовке к уроку).
2. На листе бумаги провести прямую линию и оставить линейку в том же положении.
3. Одной из сторон приложить треугольник к линейке.
4. Обвести треугольник и обозначить его (A ABC).
5. Отметить на модели точку М на стороне треугольника и точку К внутри треугольника (рис. 1). Перенести отмеченные точки на рисунок, проколов в них модель треугольника.
15


6. Передвинуть модель треугольника вдоль линейки на отрезок длиной 5 см, снова обвести треугольник и обозначить его (ДЛ1Б1С1).
7. Отмеченные на модели точки М и К снова перенести на рисунок, проколов в этих точках модель треугольника, находящуюся в новом положении.
8. Снять модель треугольника и обозначить след от прокола точек М и К модели соответственно буквами М и К на A ABC и Mi и К\ на ААхВхСи
После этого учитель сообщает ученикам необходимую терминологию:
а) будем говорить, что треугольник Л1В1С1 образовался параллельным переносом треугольника ABC вдоль линейки на отрезок длиной 5 см;
б) при параллельном переносе треугольника ABC на этот отрезок точка А перешла в точку Ль В в Ви С в Си М в Ми К в К\.
В заключение ученики, пользуясь полученным чертежом, устанавливают свойства параллельного переноса фигур. С этой целью им предлагается выполнить некоторые построения и измерения:
1) соединить отрезками точки А и Аи В и Вь С и Си М и Ми К и К\\
2) пользуясь линейкой и угольником, установить, как расположены прямые ААи ВВи ССи ММи ККи
3) найти длины отрезков ААи ВВи ССи ММи КК\ и сравнить их;
4) сделать вывод о свойстве параллельного переноса. [При параллельном переносе фигуры все точки ее перемещаются по параллельным прямым в одну и ту же сторону на одно и то же расстояние.];
5) сделать вывод о равенстве треугольников ABC и А\ВхСи Как это объяснить? [В первом и во втором случаях мы обвели один и тот же шаблон, а поэтому получили равные треугольники.]
По ходу выполнения учениками практической работы учитель выполняет рисунок на доске. При этом удобно пользоваться линейкой с пазом, в который вставляется модель треугольника с точками-отверстиями (рис. 2).
В результате выполнения практической работы ученики должны понять, как выполняется параллельный перенос фигур, как при этом перемещается каждая точка фигуры, ус¬
тановить инварианты этого вида отображения фигур.
Учитель, конечно, обратил внимание, что в V классе изучается параллельный перенос фигур, а в VI классе — параллельный перенос как вид отображения плоскости на себя.
II. 	Фигуры, симметричные относительно прямой
Сначала учащиеся выполняют практическую работу, для чего учитель предлагает им:
1. 	На прозрачном листе бумаги провести прямую линию / (рис. 3).
2. Слева от прямой I начертить произвольный четырехугольник ABCD.
3. Отметить точку М на стороне четырехугольника и точку К внутри его.
4. Перегнуть лист бумаги по прямой / и по другую сторону от нее обвести четырехугольник А В CD, отметить точки М и К.
5. Возвратить лист бумаги в начальное положение.
6. Обозначить четырехугольник, расположенный по правую сторону от прямой I (A\B\CiD\), точку на стороне четырехугольника (Mi) и точку внутри его (/(j) .
Выполнив эту часть работы, учитель вводит необходимую терминологию:
а) фигуру (четырехугольник) AxBiCxDx будем называть симметричной фигуре ABCD относительно прямой I. Прямая I называется осью симметрии фигур ABCD и A\BxCiDu
б) точки А и Аи В и Ви ..., К и К\ называются симметричными относительно оси /.
' Используя полученный рисунок, устанавливаются свойства точек, симметричных относительно оси. С этой целью учитель предлагает ученикам:
1) соединить отрезками симметричные точки и обозначить точки пересечения этих отрезков с прямой I буквами N, L, Р,...,
2) пользуясь транспортиром, измерить углы ANF и FNAu MLF и FLMU KPF и K{PF. Какой можно сделать вывод? [AA\A-U ММхЛ-1, ККг 1 /],


3) 	найти длииы отрезков AN и NA\, КР и РКи ML и LM\. Сравнить попарно длины этих отрезков и записать результат. [AN=NAь КР=РКх ML = LMl].
Обобщая полученные результаты измерения, ученики приходят к выводу, что отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею на две равные части.
Ученикам предлагается обосновать равенство фигур, симметричных относительно оси. [Первая фигура как бы шаблон, а вторую фигуру получили, обводя этот шаблон. Эти фигуры совпадают при перегибании листа бумаги по оси симметрии.]
Учитель для выполнения практической работы использует прибор, который представляет собой две прозрачные пластинки (можно использовать полистерол), соединенные шарнирно.
Обращаем внимание учителя на то, что в V классе изучаются фигуры, симметричные относительно прямой, а в VI классе — осевая симметрия.
III. 	Поворот фигуры около точки
Ученикам предлагается выполнить практическую работу в такой последовательности:
1. Вырезать из жесткой бумаги модель треугольника вместе с узкой полоской, прилегающей к одной из сторон треугольника (эту модель учитель показывает ученикам).
2. Приложить модель треугольника к листу бумаги, на котором будет выполняться чертеж, конец полоски прикрепить к листу бумаги булавкой, обозначить точку, в которой крепится модель, буквой О.
3. Обвести модель треугольника и обозначить его (A ABC).
4. Отметить точку М на стороне модели треугольника и точку К внутри ее,
5" Перенести отмеченные точки на рисунок, проколов в них модель треугольника.
6. Повернуть модель треугольника около точки О на произвольный угол (рис. 4).
7. Обвести модель треугольника в новом положении и обозначить вновь полученный треугольник (АА\В\С\).
8. Проколоть модель треугольника в новом положении в точках Ми/(.
9. Снять модель треугольника.
10. Обозначить след от прокола в точках М и К соответственно на треугольнике ABC через М и К, а на треугольнике AxBxCi через М\ и К\-
Учитель вводит соответствующую терминологию:
а) треугольник А\В\С\ образовался в результате поворота треугольника ABC около точки О;
б) при повороте треугольника около точки О точка А перешла в точку Ль В в Ви С в Сь КвКиМв Мх.
После этого ученики переходят к анализу полученного рисунка, для чего учитель предлагает им произвести некоторые построения и измерения:
1) соединить точки А, В, С, М, К и Аи Ви Си К\ с точкой О;
2) транспортиром измерить углы АОАи МОМи КОКи сравнить их, записать полученный результат;
3) найти длины отрезков О А и ОЛь ОМ и ОМь ОК и ОКи сравнить их попарно и записать результат. [ОЛ = ОЛь ОМ=ОМи ОК = = ОК\].
В результате измерения ученики приходят к выводу, что угол поворота каждой точки фигуры будет одним и тем же, расстояние каждой точки фигуры от центра поворота не изменяется.
Сравнивая треугольники ABC и ЛiSiCb ученики делают вывод, что треугольники равны. [Эти треугольники получили, обводя один и тот же шаблон, а поэтому фигуры можно наложить так, что они совпадут.]
Выполнение практической работы учитель сопровождает показом прибора. Прибор представляет собой квадратную подставку, на которой нанесена сетка углов от 0° до 90° с ценой деления 5°. К подставке в центре шарнирно может быть прикреплена любая модель; модели имеют отмеченные точки — отверстия, а некоторые из моделей имеют прикрепленные к ним полоски, чтобы показать поворот фигуры около точки, не принадлежащей фигуре.
Обращаем внимание учителя на то, что в V классе изучается поворот фигуры около точки, а в VI классе — поворот плоскости около точки.
17


У. М. ХАЛИЛОВ
(г. Ульяновск)
ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ( ПО МАТЕМАТИКЕ В IV—V КЛАССАХ
В данной заметке мы расскажем о двух видах лабораторно-практических работ, которые мы проводили в IV—V классах.
Работы первого вида помогают учащимся получить новые знания. Второй вид лабораторно-практических работ способствует выработке у учащихся умений и навыков применения полученных знаний к решению задач.
Выполняя работы первого вида, учащиеся устанавливают новые для них математические факты, выявляют отдельные закономерности, конкретизируют теоретические сведения. При этом учащиеся работают с моделями, рисунками, графиками, таблицами и т. д. Часть этих пособий они делают сами. В ходе работы учащиеся получают необходимые данные путем построений и измерений, производят над ними соответствующие действия, сравнивают результаты, делают определенные выводы.
Перед проведением лабораторно-практической работы на переносной доске записывается ее тема и порядок выполнения. Задание можно спроецировать на экран при помощи кодоскопа. Учащиеся в своих тетрадях пишут тему, оформляют результаты работы в виде таблиц, рисунков, математических выкладок, символической записи и т. д.
Приведем пример практической работы в IV классе «Сравнение числовых выражений».
Оборудование: все учащиеся должны иметь масштабные линейки и циркули; каждый учащийся получает карточку с числовыми выражениями.
Порядок выполнения работы.
1. Вычислите значения числовых выражений, написанных на карточке (например, 3206: (192+37) и (607 — 599)-2).
2. Полученные результаты отметьте на числовом луче.
3. Составьте из этих чисел верное неравенство или равенство.
4. Поставьте соответствующий знак (больше, меньше или равно) между данными числовыми выражениями.
5. Сделайте вывод о сравнении числовых выражений.
Лабораторно-практические работы второго вида проводятся тогда, когда учебный материал, применение которого является обязательным при их выполнении, учащимися хорошо осознан. Остановимся на работе, в которой учащимся предлагается «Установить равенство фигур».
Оборудование: каждый учащийся должен иметь бумагу, масштабную линейку, ножницы.
Порядок выполнения работы.
1. Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 6 см и 5 см.
2. Обозначьте вершины через Л, В, С, D, проведите диагонали АС и BD и точку их пересечения обозначьте через О.
3. Разрежьте прямоугольник по диагоналям и найдите, какие из полученных треугольников равны.
4. Результаты запишите с помощью математических обозначений.
Учащиеся делают чертеж и записывают: ААОВ = ACOD, АВОС = AAOD.
Каждая тема курса математики IV—V классов дает богатый материал для лабораторнопрактических работ.
А. 	И. МОСТОВОЙ
(г. Чимкент)
К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В VII КЛАССЕ
В статье «Некоторые методические рекомендации к решению геометрических задач в VI классе» («Математика в школе», 1973, № 4) говорилось о системе упражнений, способствующей успешному решению задач на максимум и минимум. Отрадно отметить,
что в VII классе эти задачи не исчезли, а получили дальнейшее развитие. Здесь мы продолжим разговор об этих задачах на материале учебного пособия по геометрии для VII класса х.
Обратимся к задачам № 13, 14, 15 (п. 53). В них предлагается найти максимальные площади. Предварительно с учащимися следует вспомнить неравенства: х^а и л^6(а>0,
1 А. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Ф. Ф. Нагибин, Р. С. Черкасов. Геометрия 7. Учебное пособие для седьмого класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. второе, переработанное. М., «Просвещение», 1973.
18"


b>0). В первом случае попросить учащихся указать наименьший, а во втором — наибольший элемент множества решений неравенства. После этого учащимся можно предложить названные выше задачи.
Рассмотрим решение одной из этих задач.
Задача № 14. Какой вид должен иметь треугольник со сторонами 10 см и 8 см, чтобы его площадь была наибольшей? Вычислите площадь такого треугольника.
Решение. Пусть в треугольнике ABC (рис. 1) |Л5| = 10 см, |ЛС[=8 см и \CD\ = ([CZ>] _L [АВ\).
SABC = \\AB\-h = ±-\0-h = Sh.
Обратим внимание на то, что по заданным основанию \АВ\ —10 см и боковой стороне |ЛС| =8 см можно построить бесконечное множество треугольников, площади которых вычисляются по формуле Sabc=5H. Искомая (наибольшая) площадь будет при наибольшем значении h. Найдем это значение. Очевидно, Л^|ЛС|. Следовательно, высота будет наибольшей при /г=|ЛС|=8 см. Итак, 5лвс=5-8=40 (смг) будет наибольшей, когда треугольник прямоугольный ([ЛС] _L ±[АВ]).
Решение задач 13 и 15 аналогично.
Рассмотрим еще три задачи на максимум и минимум: № 31*, 32*, 33* (задачи на повторение к главе II).
Решение последней из этих задач сведем к неравенству х^а.
Задача № 33*. Отрезок данной длины перемещается так, что концы его скользят по сторонам прямого угла. При каком положении этого отрезка площадь отсекаемого треугольника будет наибольшей?
К данной задаче имеется указание в учебнике. Однако ее полезно решить и другим способом.
Решение. Пусть данный «скользящий» отрезок в некоторый момент занимает положение отрезка АВ (рис. 2). Построим [CD] JL JL[AB], вершину С треугольника ABC соеди-
С
ним с серединой гипотенузы — точкой Е. Тогда |С£| —| Hfij. (Задача 13, п. 47). Если
|С£>| = h, то 5двс = 4*\AB\'h- Но Л<|С£|,
и при h=\CE\ высота (а следовательно, и площадь треугольника ABC) будет наибольшей.
Итак, площадь отсекаемого треугольника будет наибольшей, когда высота CD совпадет с медианой СЕ, т. е. когда треугольник ABC равнобедренный, в таком случае его площадь
равна • \АВ\2.
Двум другим названным задачам (31*, 32*) полезно предпослать следующую.
Дан треугольник. Постройте равновеликую ему трапецию.
Эту задачу можно предложить после задачи 7 (п. 54). Решение ее сводится к следующему. Пусть в треугольнике ABC (рис. 3) [KD]—средняя линия. Проведем (BfJIljylC] и через точку D — прямую FE. Образовавшаяся при этом трапеция ABFE равновелика треугольнику ABC, так как у них средняя линия и высота общие.
Обратим внимание учителя на то, что при решении этой задачи используются два следствия, которые предлагаются в новом учебном пособии.
Площадь треугольника равна произведению средней линии на высоту.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
В учебном пособии по геометрии для VII класса значительное число задач основано на этих следствиях, например задачи 31* и 32*.
Задача №31*. Через точку Е, расположенную внутри угла ВАС, проведите прямую линию так, чтобы она от угла ВАС отсекала треугольник наименьшей площади.
Решение. Пусть MN и РО — две произвольные прямые, проходящие через точку Е и пересекающие обе стороны угла ВАС. Отло-
Рис. 3 Рис. 4
жим на (MN) отрезок EL так, чтобы \EL\»i = |£JV|, проводим (FL) 11 [ЛС); (F£)nHC) = — К. Тогда AFLE&AENK. и, следовательно, [FE]^[EK] (рис. 4).
Теперь докажем, что площадь треугольника AFK меньше площади треугольника /ШАГ иди треугольника АРО.
)Э


Треугольник AFK и трапеция AFLN равновелики (предыдущая задача). Трапеция AFLN является частью треугольника AMN, поэтому SAFLN^SAMN И $AFK AMNm ПрОВеДвМ
(KR) || [АВ\ SAPRK = SAPK (так как &FPE^ ^Д/?^£). Трапеция APR К — часть треугольника АРОу следовательно, S APRK<CS АРО
И $AFK^SАРО*
Итак, прямая, проходящая через точку Е, отсекает от угла ВАС треугольник наименьшей площади в том случае, когда отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делится этой точкой пополам.
Эту задачу можно решить несколько иначе.
$AMN = $AFK + &FEL + $ NEK*
Sfel — Snek (так как A FEL^/\NEK),
следовательно, SAMN =SAFx-\-SN£K
“ SnEK~ $AFK 4- SfML* т- e- SAMN^> SAFK'
Аналогично доказывается, что SAP0^> SAFK.
Задача 32*. Через точку Е (рис. 5) проведите прямую так, чтобы она пересекала параллельные лучи ВА и CD и отсекала бы фигуру наименьшей площади.
Решение. Через точку Е проведем прямые BR, CF и MN, середину отрезка ВС (точку L) соединим с серединой отрезка BR (точкой О). Образовавшиеся треугольники BCF, BCR и трапеция BCMN имеют одну и ту же высоту. Поэтому площадь той из этих фигур меньше, средняя линия которой меньше. Но \LP\ < \LK\ < \LO\t поэтому SBcf <
< SbCMN < 5BCR-
Итак, прямая CF отсекает фигуру наименьшей площади.
Рассмотренное нами решение позволяет сделать другой вывод: прямая BR отсекает фигуру наибольшей площади. В связи с этим, нам кажется, данную задачу полезно предложить учащимся в такой редакции. Через точку Е (рис. 5) проведите прямую так, чтобы она пересекала параллельные лучи ВА и CD и отсекала фигуру: а) наименьшей площади,
б) 	наибольшей площади.
С учащимися полезно рассмотреть три возможных случая расположения точки Е относительно лучей: а) точка Е ближе к лучу ВА,
б) 	точка Е ближе к лучу CD и в) эта точка равноудалена от лучей В А и CD. Особое внимание следует уделить третьему случаю, при котором задача не имеет решения, так как прямые, о которых говорится в задаче, будут отсекать фигуры одинаковых площадей.
Данную задачу можно решить и другими способами.
Решение задач различными способами весьма полезно для развития познавательных способностей учащихся. Поэтому нам кажется
целесообразным то, что в учебное пособие по геометрии включены задачи, нацеливающие учащихся на поиск различных путей их решения.
Например, задача № 4 (п. 53) требует:
«Дайте несколько различных доказательств теоремы о вычислении площади треугольника».
Предлагаем отдельные способы доказательства этой теоремы.
1-й способ. Пусть в треугольнике ABC (рис. 6) отрезок DE—средняя линия. Прове-
М R D
дем высоту BF и отрезки АР и CL так, чтобы [АР] JL [AC], [CL] JL [АС] и\АР\ = \СЬ\ =
= \ OF\ =2“* |BF\. Легко доказать, что
AOBE^AELC, a APDA^ABOD. На основании первого и второго свойства площадей заключаем, что пряхмоугольник APLC равновелик треугольнику ABC. Но SAPLC = | Л С | •
• | OF\, значит,
т- е. SАвС — |ЛС| • l-S/7).
Четыре следующих способа можно предложить учащимся в форме карточек-заданий (с соответствующими чертежами и указаниями) для самостоятельного доказательства. При этом на рис. 7—9 отрезок DE — средняя линия треугольника.
2-й способ (рис. 7). Указание: (МЛПЦ || [AC], [MF] J_ [АС] и [NK] ± [АС].
3-й способ (рис. 8). Указание: (В/7) |j || [AC], (FK) II [АВ].
Рис. 7 MB N
Рис. 8
В F
й
В
A F ПС
А К О
20


«
4-й способ (рис. Э). Указание: j£F| = = \DE\.
5-й способ (рис. 10). Указание: ADOC, ADBF, FBOC — прямоугольники.
А С A F С
Рис. 9 Рис. 10
б-й способ. Пусть точки D, F и Е являются серединами сторон треугольника ABC (рис. 11). Пересечением параллелограммов ADFE, EDBF и EDFC является треугольник DFE. Площадь треугольника DFE равна половине площади каждого из названных параллелограммов, поэтому все четыре треугольника ADE, DBF, DFE и EFC — равновелики. Из этого следует, что SABC = 2-SAdfb- Но Sadfe — \АЕ\-hi, где \АЕ\ =
= Y • \АС\, a hl — -^-k{h-— высота треугольника ABC). Итак,
Sавс — ^ • SADFE — 2 ■ — • \АС\ • — • h —
= 4-\AC\-h.
Рассмотрим задачу 13 (п. 47). Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Докажите обратную теорему.
Рассмотрим несколько способов доказательства прямой теоремы (на доказательстве обратной теоремы хмы останавливаться не бу-. дем).
в А
!«й способ. В прямоугольном треугольнике ЛВС (рис. 12) \AD\ = \DB\. Проведем (Df)-L[AC]. Докажем, что (DF)—серединный перпендикуляр к катету АС. На основании второго признака параллельности прямых
(п. 34) имеем (FD) || [ВС]. Далее, по теореме Фалеса, из равенства \AD\ = \BD\ следует равенство \AF\ = \CF\, т. е. (DF)—серединный перпендикуляр к катету АС и поэтому | CD\ = \AD\ = \BD\.
2-й способ. Пусть 5всИ) = А\ (рис. 13). /\
В силу того что АСВ=90°, АСА\ — прямая. Опираясь на понятие осевой симметрии, имеем \АС\ = \A\C\ и \АВ\ = \A\B\. К тому же \AD\ = \DB\. Эти рассуждения приводят нас к тому, что [CD] является средней линией треугольника А А\В и, следовательно, \CD\ =
= 4-.|Л15| = 4|Л5|.
3-й способ. Если |DF| = |DC| (рис. 14), тогда ACBF — параллелограмм (задача 11, п. 44). А так как в параллелограмме ACBF один угол прямой, то он прямоугольник (задача 1, п. 47). Опираясь на следствие 2 (п. 47), заключаем, что \CF\ — \АВ\ или |СО| =
=4~ив|.
4-й способ (рис. 15). Указание: \АМ\ — = \МС\, |ВЛ/| = |C/V|. Доказать, что
MCND — прямоугольник.
с
К этой задаче следует вернуться после решения задачи 3 (п. 48). Она допускает и другие способы решения.
Рассмотренной задачей учащиеся могут воспользоваться при доказательстве теоремы А (п. 64).
Кроме рассмотренных выше мы подметили в главах II и IV еще ряд задач, допускающих различные способы решения. Назовем отдельные из них: № 20 (п. 47), № 12, (п. 51), № 3, 11, 12 (п. 63), № 7 (п. 64) и др.
Решение задач различными способами может оказаться особенно плодотворным на занятиях математического кружка.
21


Д. И. ХАН
(г. Актюбинск)
О РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ
Векторный аппарат находит широкое применение при решении геометрических задач. При этом многие задачи допускают простое решение с использованием векторов, в то время как традиционное их решение вызывает значительные трудности.
Рассмотрим один из способов применения векторов к решению некоторого вида геометрических задач. Предлагаемый способ использует понятие перемещения векторов, в которое вкладывается следующий смысл.
Пусть имеется вектор а, определяемый парой точек (А, В), и пусть некоторое перемещение F отображает точку Л на Л' и точку
В на В'. Рассмотрим вектор а', определяемый
парой точек (АВ'), и будем говорить, что
• —*
он получен из данного вектора а перемещением F. Если бы мы рассмотрели другую пару
« ►
точек (С, D), определяющую тот же вектор а, то полученная в результате перемещения F пара точек (С\ D') определила бы снова вектор а'. Это следует из свойства перемещений сохранять расстояния, параллельность отрезков й порядок точек на прямой. Таким образом, любому вектору можно поставить в соответствие вектор той же длины путем перемещения любой пары точек, определяющей первый вектор.
Введенное понятие перемещения вектора очень удобно использовать при решении задач. Причем на рисунках все операции проводятся с направленными отрезками, пара точек которых (начало, конец) определяет данный вектор.
В такой интерпретации перемещения вектора можно говорить об осевой и центральной симметриях вектора, о повороте вектора и о переносе вектора (вектор от вектора). Тогда
нетрудно убедиться в справедливости таких —^ —► —*► —►
равенств: а(Ь) =Ь и Z{a) ——а (Z — центральная симметрия с произвольным центром симметрии).
Аналогично сказанному выше, можно ввести
понятие «гомотетии вектора», тогда Hk(a) =
= ka, где Hh — гомотетия с произвольным центром гомотетии.
Понимая всюду в дальнейшем перемещение вектора во введенном нами смысле, рассмот¬
рим две теоремы и решение задач с их использованием.
Теорема 1. Если над всеми векторами, входящими в некоторое равенство, произвести одно и то же перемещение, то данное равенство не нарушится.
Доказательство. Если имеется равенство, содержащее векторы, то в нем могут содержаться некоторые операции над векторами. Ограничимся следующими;
а) сложение векторов,
б) умножение вектора на число,
в) сложение векторов и умножение вектора на число,
г) скалярное произведение векторов.
Рассмотрим последовательно эти случаи.
а) Имеем АВ + ВС = АС. При некотором перемещении А —► Л', В-+ В' и С — С'. Но для трех точек плоскости Л', В' и С' всегда
верно равенство А'ВГ + В'С' = А'СВекторы А'В\ В'С' и А'С' получены из данных
векторов АВ, ВС и АС в результате некоторого перемещения. Таким образом, первоначальное равенство не нарушилось и теорема для случая а) справедлива. При доказательстве можно было бы рассмотреть и большее число слагаемых:
б) пусть k-AB = АС. При некотором перемещении
Л—Л', В-*В9 и С—*С* (рис. 1). Из определения перемещения получаем, что
l\AB\ = \AW\9
||ЛС|Н^С'1>
откуда
'\k\-\AB\ = \k\-\A4i'\9
I л СI = I I.
Левые части последних двух равенств равны, следовательно, равны и правые части, т. е.
\k\• \AFB'\ = \ArC/\9
или
\k-AB'\ = \A'C'\. (1)
2 2


Так как перемещение сохраняет порядок точек на прямой, то А', В\ С' и А, В, С расположены в одном и том же порядке. Тогда от равенства (1) можно перейти к векторному
равенству k-A'B' = А'С', и теорема для случая б) доказана;
в) справедливость теоремы в этом случае вытекает из справедливости ее в двух предыдущих случаях;
г) для случая скалярного произведения векторов имеет место более сильное утверждение, чем то, что высказано в теореме, а именно: при перемещении двух векторов их скалярное произведение не изменяется.
Справедливость высказанного утверждения следует из определения скалярного произведения векторов. В самом деле,
AB-CD = \AB\ - | CD | • cos а,
где а = АВ, CD. Пусть в данном перемещении * А\ В-^В', С —С' и D-*D't тогда
\АВ\=\АЧ5'\, \СО\ = \СЧУ\. Использовав свойство перемещений сохранять конгруэнтность фигур, в частности углов, можно написать
\AB\-\CD\ • cos of = | АЧЗ' | • |СЧУ\ -cosa,
т. e. AB-CD = A'B' C'D'. Теорема для случая г) доказана.
Теорема 2. При повороте вектора а вокруг произвольных центров на ориентированный угол а получается один и тот же вектор
а'. Другими словами, образом вектора а при повороте на угол а всегда является некоторый
вектор анезависимо от выбора центра поворота.
Ркс 2 Oz
Доказательство. При повороте вектора а вокруг центра 0\ на угол а получаем вектор а' (рис. 2). Тогда угол между векторами а и а' будет равен а. Угол между вектором а", полученным из а поворотом на угол а вокруг другого произвольного центра 02,
и вектором а также будет равен а. Кроме того, так как поворот есть перемещение, то |а'| = = KI = \а\.
Итак, векторы а й а" при одинаковых дли- нах образуют один и тот же угол а с вектором
а, т. е. а' = а".
Доказанные теоремы можно использовать при решении задач. Рассмотрим это на конкретных примерах.
Задача 1 .На сторонах параллелограмма, вне его, построены квадраты. Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата.
Доказательство. Из рис. 3 видно, что ОА = ОИ + Ж^. (1)
Повернем векторы Правой части равенства (1) на +90°. Так как по теореме 2 при повороте векторов центр поворота не имеет значения, то мы будем искать на рисунке такие векторы, длины которых равны соответственно преобразуемым векторам и которые образуют с исходными векторами угол в +90°. Нетрудно заметить, что такими векторами в нашем случае являются
01А-*0^В и AO^BOv (2)
Из рис. 3 имеем
д^в + вооД. (3)
Сравнивая равенства (1) и (3) и принимая во внимание равенство (2), теорему 1, замечаем, что 0Х02 получен из ОхОА поворотом
23


✓\
на -f 90°. Это значит, что 020,04 = 90° и
/\
\0Х021 = 10Х041. Аналогично 0х020й — 90° и |0,08| = |080з1- Итак, 0,020304 — квадрат.
Задача 2. На сторонах четыреху голь- ника вне его построены квадраты. Доказать, кто центры этих квадратов являются вершинами четырехугольника с равными и взаимно перпендикулярными диагоналями.
Доказательство. Докажем прежде, что
1' —^ У
вектор 0,03 получается из вектора 0204 поворотом на 90° (рис. 4): 0204 = 02М + MN -{- ЛЮ4, т. е.
ОР4==О^М + ±(ВС + АО) + №а. О)
Повернем каждый вектор правой части равенства (1) на 90°, тогда
О^М-*МВ = -^-АВ, ±BC-.Q03,
1 -> >
-4- AD —* ОхР,
2
no4-
1 *
4-DC
0204
4- 	AB+ Q03 + OlP + ArDC -
= OyP + 4- (AB + DC) + Q03
OxP -f PQ + Q03 = ОхОй.
Это значит, что ОхОъ получается из 0204 поворотом на + 90°. Следовательно,
[0204ИЬ103] = 90° и |0А| = |0204|-
Задача 3. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC построены вне его квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF вдвое больше медианы ВР треугольника ABC и перпендикулярен ей.
Доказательство. Из Д ABC (рис. 5) ——> ——> ——
2ВР = В A -f- ВС. Повернем векторы правой части этого равенства на —90°:
ВА-* BD
=* 2ВР —> BD — BF — FD.
ВС
BF
Рис. 5
Это значит, что 21 BP | = | FD | и угол между отрезками FD и ВР равен 90°.
Задача 4. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники АСВХ и ВСАХ. Определить углы треугольника МАхО, где М — середина стороны АВ, О — центр треугольника АСВХ.
> ——у ——у
Решение. Имеем АхО = АХС -\-СО (рис. 6).
Повернем векторы правой части этого равенства на —60°: АХС —> АХВ, СО О А и отложим вектор ВОх так, чтобы ВОх — О А. Тогда АхО —* АХВ + ВОх— АхО}, и так как выполнялся поворот векторов на —60°, то Д ОАхОх— равносторонний.
Из равенства
О А -■ Вбх
24


следует, что АОВОг — параллелограмм. Следовательно, М — середина [OOJ, а тогда
/\ /\ /\
МО А, - 60°, ОАхМ = 30°, ОМАх = 90°.
Задача 5. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены квадраты ACDAX и ВС ЕВ х. Доказать, что прямые АВХ а ВАХ пересекаются в точке, лежащей на высоте треугольника, проведенной к стороне АВ.
Доказательство. Имеем (рис. 7)
АВХ = АВ + ВВХ. (1)
в
Пусть [СС\] — высота треугольника ABC. На (CCj) отложим \СМ]^[АВ]. Если теперь поьернуть векторы правой части равенства (1) на +90°, то
АВ - ЖС, ВВХ ->СВ и АВХ - МС + сЪ = МВ==$ [ АВХ] J. [ВМ].
Аналогично [ВАХ] _1_ [ЛМ]. Тогда (MCi), (АВХ) и {ВАХ) —прямые, содержащие высоты треугольника АВМ, поэтому они пересекаются в одной точке. Задача решена.
При решении задач теорема 1, как видим, используется своеобразно. Вначале подвергаются преобразованию (повороту) векторы, стоящие в одной части равенства, затем на рисунке находится вектор, соответствующий этому преобразованному выражению. После этого утверждаем, что найденный вектор получен тем же преобразованием из вектора, стоящего в левой части равенства.
Решение приведенных задач показывает, что изложенный способ решения геометрических задач весьма эффективен и находит достаточно широкое применение. Этот способ можно
применить к тем задачам, которые решаются композицией поворотов. Последнее рассмотрено в статье 3. Л. Скопеца и Л. И. Чегодаееа «Теоремы о произведении двух и трех вращений и их применение к решению и составлению геометрических задач» («Математика в школе», 1963, № 3.).
Предлагаем читателю решить несколько задач с помощью указанных выше теорем. Некоторые из этих задач взяты со страниц журналов, но решены они были другими способами. При решении задач 9—11 нужно использовать свойство сохранения векторного равенства при умножении обеих его частей на одно и то же число.
Задача 6 («Квант», 1973, № 4, М-198). Дан параллелограмм ABCD. На прямых АВ и ВС выбраны точки соответственно Н и К так, что треугольники КАВ и НСВ равнобедренные (\КА\ = \АВ\ и \НС\ = \СВ\). Докажите, что треугольник KDH— тоже равнобедренный и что точки К, A, D, С и Н лежат на одной окружности.
Задача 7 («Математика в школе», 1962, № 6, задача 13). Четырехугольник ABCD повернут около некоторой точки О, лежащей в его плоскости, на 90° в положение AXBXCXD\. Доказать, что если точки Р, Q, R и S суть соответственно середины отрезков АХВ, ВХС, CXD и DXA, то отрезки PR и QS перпендикулярны и равны.
Задача 8 («Квант», 1971, № 5, М-81), Внутри квадрата Л1Л2Л3Л4 взята произвольная точка Р. Из вершины Ах опущен перпендикуляр на прямую А2Р, из Л2 — на (А3Р), из Л3 — на (А4Р), из Л4 — на (АХР). Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Задача 9. В прямоугольнике ABCD проведен перпендикуляр В К на диагональ АС; М и N — соответственно середины отрезков А К и CD. Доказать, что ABMN — прямоугольный.
Задача 10. В треугольнике ABC из вершины А проведена биссектриса AD до пересечения с описанной около данного треугольника окружностью в точке Ах. Доказать, что ААСАХ со AANM, где М и N — соответственно середины отрезков CD и АХВ.
Задача 11 .Из произвольной точки М, взятой на окружности, описанной около треугольника ABC, проведены перпендикуляры МАХ и MB 1 к сторонам ВС и АС. Доказать, что /\
PQM — 90°, где Р и Q — соответственно середины отрезков АВ и А\ВХ.
25


Я. И. ГРУДЕНОВ
(с* Танганрог)
о некоторых
СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Рассмотрим ряд задач школьного курса стереометрии, которые допускают не одно, а несколько решений. Эти решения учащиеся могут найти самостоятельно, если будут знакомы с решениями некоторых простейших задач.
Задача I. Если две боковые грани КАВ а КВС пирамиды КАВС... наклонены к плоскости основания ABC... под одним и тем же углом ф (ф =7^=90°), то основание О высоты КО пирамиды принадлежит: а) биссектрисе угла ABC (или ее продолжению), б) биссектрисе угла, смежного с ним (или ее продолжению).
Доказательство. Пусть [/СО] — высота пирамиды КАВС... (рис. 1, рис. 2). Прове-
Рис. Г
Рис. 2
дем [ОМ] _L (ЛВ) и соединим точки К я М. По теореме о трех перпендикулярах
(АВ) -L [КМ\, т. е. КМО = ф. Аналогично, ес- ЛН ^ т0 1^1-*-(££)» следова¬
тельно, КРО == ф. Отсюда АРКО ^ АКМО и \ОР\ = \ОМ\. Точка О равноудалена от прямых В А и ВС. Следовательно, точка О принадлежит: а) биссектрисе угла ABC (или ее продолжению), б) биссектрисе угла, смежного с ним (или ее продолжению),
26
Задача 2. Основанием пирамиды МАВС является прямоугольный треугольник ABC. Боковая грань, проходящая через гипотенузу АВ, перпендикулярна к плоскости основания, а каждая другая боковая грань образует с плоскостью основания угол р. Найти объем
пирамиды, если \АВ\ = с, ВАС — а.
Решение. Пусть ВАС = а, АСВ = 90 (рис. 3). Высота пирамиды принадлежит плос¬
кости грани МАВ. На основании доказанного в задаче 1 утверждаем, что вершина пирамиды проектируется либо в точку Я, либо в точку О (Н — точка пересечения прямой АВ с биссектрисой угла АСВ, О — точка пересечения прямой АВ с биссектрисой угла ВСЕ).
I случай. Высота пирамиды — [МО] ^здесь
(Рис- 4)- Проведем [ОЕ] ±(АС), тогда, по теореме о трех перпендикулярах,
/\
[МЕ\±(АС) и Ж£0 = р.
Рис. 4
/\
Аналогично, МТО = ф. Следовательно, АМТО^АМЕО. Обозначим 107^ | = | О-С | = jc.
$асо Sjbco ~ $'
J_ *. ^ 1
2
1
= — -c-cosa-tf-sin a; с-sin 2a
МЯС»
■ x • С • cos a y x *c • sin a
X —
2 /2-cos (-|- + a)


Из Д ОМЕ | ОМ \0М\ =
:X-tgP; С-Sin 2a-tg р
2 if 2 -cos +
v_Y2^где 0<a<x- 48-cos (-4" + °7
Если < a < , то получим
Tr >/"2"• C® • sin* 2a • tg P
^ 1— "
48-[ — cos (ir + a)]
II случай. [MH] — высота пирамиды (рис. 5). В результате аналогичных преобразований получим:
V2=
■/2 - с*-sin* 2a-tg р
48-cos
(т-) ’
М
Рис. 5
Учащиеся, не усвоившие задачу 1, не видят необходимости рассмотрения двух случаев задачи 2. Авторы некоторых задачников приводят только одну последнюю формулу в ответе к задаче 2 (или ей подобным).
Определение. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписан- ной окружностью треугольника.
Центры вневписанных окружностей Оь Ог, Оз треугольника ABC есть точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника (рис. 6).
Задача 3. Дан треугольник ABC со сторонами а, Ь, с. Найти радиусы вневписанных окружностей этого треугольника.
Решение задачи общеизвестно. Пусть /?0. Rb> Re — радиусы вневписанных окружностей, касающихся соответственно сторон а, Ь,
с. Тогда яй==_А_;
5 о
= —где S — площадь, р — полупериметр треугольника ABC.
Задача 4. Каждая боковая грань треугольной пирамиды МАВС наклонена к плоскости основания ABC под углом <р. Найти объем пирамиды, если стороны ее основания равны а, Ь, с.
Решение. Из задачи 1 следует, что основание высоты пирамиды принадлежит биссектрисам внутренних или внешних углов ААВС, эта точка равноудалена от прямых АВ, АС, ВС, т. е. является центром вписанной или одной из вневписанных окружностей, и может занимать одно и только одно из четырех положений О, Ои О2, Оз (рис. 6). В каждом из этих случаев высота пирамиды равна
произведению радиуса соответствующей окружности на tg<p, а площадь основания постоянна. В результате получаем четыре значения объема пирамиды!
3Р ' _SMgjL
3~ 3 (/> — i)
3 (р — а) » SMgy ■3(p-с) •
где 5= V р(р — а)(р — — с), р =
= 4-(а + Ь + с).
Полное решение учащиеся могут найтн самостоятельно только тогда, когда знакомы с задачами 1 и 3. В противном случае для них является совершенно неожиданным тот факт, что условию задачи удовлетворяют четыре различные пирамиды. Авторы некоторых пособий выпускают из вида возможность различных случаев решения и дают в ответе к этой или ей аналогичным задачам только одно значение искомой величины*
7?


Определение. Выпуклый четырехугольник, имеющий только одну ось симметрии, совпадающую с его диагональю, называется дельтоидом или ромбоидом.
Определение. Окружность, касающуюся продолжений всех сторон четырехугольника, назовем вневписанной окружностью четырехугольника.
Нетрудно доказать, что для дельтоида существуют одновременно две окружности: вписанная и вневписанная.
Задача 5. Основанием пирамиды является дельтоид, меньшие стороны которого — а, угол между ними — 2а, диагональ, являющаяся его осью симметрии, — b. Найти объем пирамиды, если каждая боковая грань ее наклонена к плоскости основания под углом <р.
Решение. Пусть ABCD — основание пирамиды MABCD, \BC\ = \CD\=a, \АС\=Ь,
Рис. 7
/X
BCD = 2а( рис. 7). Так как все грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом ф, то (задача 1) основание высоты пирамиды равноудалено от прямых АВ, ВС, CD, DA, т. е. совпадает с центром 02 вписанной или с центром 0\ вневписанной окружности дельтоида ABCD.
Пусть /?! — радиус окружности с центром Ov тогда
S — SABCD — 2 • (SQlAD S0iCD) —
= 2 • (-g- Ri ■ \АЩ \СЩ ) =
= /?!(\AD\~a), /?,=
\AD\
/\
S=2.S*Ci) = 2(-i- .| CD 1.1СЛ Г-sin ACD) -- = a-b-sin a.
Из Д ACD 1 AD |
Ri-
Ya2+b2 ■
ab sin a
2ab cos a .
j/ aa + 6’ — 2ab cos a—a '
Длину высоты пирамиды j | (рис. 8) на-
/\
ходим из /\МОхК
\МО{ | = |OiA'|*tg<p = /?1*tg(p =
ab sin a • tg <p
^1=4-I ^0,1-5
+ b2 — 2ab cos a — a
a?#1 sin* a • tg cp
3(s/"a2 -f bl — 2ab cos a—a) '
Аналогично находим объем другой пирамиды, высота которой проходит через центр 02 окружности, вписанной в основание:
у я5 b'1 sin5 a-tg cp
2— 	3(/F+62— 2a6coilifa) ’
В заключение отметим, что ознакомление с предложенными задачами поможет учащимся самостоятельно найти решения ряда других, более сложных задач.


М. В. ПОТОЦКИЙ
(Москва)
КАК ПОМОЧЬ ШКОЛЬНИКУ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ!
Основная тема этой статьи — как учить школьника решать задачи, или, иначе говоря, как учить школьника думать над задачей. Таким образом, здесь ставится в какой-то мере психологическая проблема мышления.
Мышление учащегося в процессе изучения им математики, грубо говоря, можно подразделить на пассивное и активное. Пассивное мышление связано с усвоением чужих мыслей—в процессе усвоения теории. Активное мышление характеризуется возникновением своих мыслей — в процессе самостоятельного решения задач.
Существовавшие до настоящего времени раздельно учебник и задачник и отвечали этим различным мыслительным процессам. Ныне сделана попытка объединить учебник с задачником в одной книге, связав теорию с задачами в единое целое. Благодаря этому появляется возможность установить более непосредственную связь между теоретическим материалом и задачами. И это очень важно.
Дело в том, что роль задач двоякая. Их цель как в том, чтобы показать применение теории к практике, так и в том, чтобы обеспечить понимание теории: только в процессе
применения общей и часто абстрактной теории к конкретным примерам и задачам и достигается полное понимание теории.
Соединение вместе учебника и задачника позволяет с наибольшей полнотой решить эту проблему. Это облегчает и работу учителя по подбору задач.
Однако надо подчеркнуть, что наличие единых «учебников-задачников» не исключает существования и отдельных сборников задач. Последние могут представлять собой как «Сборники задач повышенной трудности», так и тематические сборники (например, «Сборник задач на построение», — «вычисление»,— «доказательство» — «составление уравнений»,— «для устного счета» и т. д.).
Соображения, изложенные в этой статье, относятся в равной мере как к задачам, расположенным в учебнике, так и к задачам, помещенным в отдельном задачнике, так как процессы мышления при решении задач, взятых из них, в основном сходны •. Вопросы же
1 В дальнейшем под словом «задачник» мы будем понимать как набор задач в учебнике, так и «Сборник задач», изданный отдельной книгой.
изложения теории сейчас мы оставляем в стороне.
В данной статье мы останавливаемся в качестве примера на задачах по геометрии, хотя все, что будет сказано, с принципиальной стороны относится и ко всем другим задачам. Естественно, что рекомендации, даваемые в этих случаях, будут соответственно меняться.
Школьник вернулся домой из школы и приступил к решению задач, заданных ему на дом. С этого момента школьник, оставаясь наедине с заданием, предоставлен только самому себе. Считается, что если правило или формула, на применение которых рассчитана задача, учащемуся известны, то он сам должен сообразить, как решить задачу средней трудности, быть может припомнив для этого, как решались аналогичные задачи на уроке.
Однако такая точка зрения на обучение далеко не бесспорна. Действительно ли для школьника решение задачи средней трудности так просто, что ни в какой помощи он не нуждается?
Прежде всего отметим, что с виду простой путь от формулы через ее применение к ответу задачи (если оно не сводится к подстановке в нее чисел вместо букв!) с точки зрения психических процессов, протекающих при решении задачи, оказывается весьма сложным.
Опыт преподавания показывает, что даже при решении несложной задачи львиная доля времени уходит у школьника часто не на рассуждение о данных и искомых в задаче, а на «хождение вокруг да около» задачи и размышление о том, «за что взяться», «о чем думать», «с чего начать» и т. д.
Не должны ли мы здесь попытаться как-то помочь школьнику целенаправленно думать над задачей?
Современная литература содержит различные попытки помочь учащемуся в решении задач. Наиболее известная из них — книга Д. Пойя «Как решать задачу» (М., Учпедгиз, 1961). Но эта книга рассчитана на решение задач относительно более высокого уровня и вряд ли будет эффективна при решении задач из обычного школьного учебника или задачника.
Другие указания, встречающиеся в методических йособиях и в журнале «Математика в школе», представляют собой обычно рекомендации чисто математического характера, говорящие о том, как решать задачи определенных типов. Поэтому казалось бы желательным расширить нашу помощь учащемуся и попытаться найти для него такие рекомендации, которые носили бы более общий и одновременно в какой-то мере психолого-педа-
29


гогический характер. Эти указания не должны быть столь узкими, чтобы указывать только пути решения задач определенных типов, но одновременно они не должны быть столь широкими, чтобы превращаться в ничего не говорящие общие фразы.
Такие рекомендации должны говорить учащемуся, как подходить к задаче, на что обращать внимание, что искать, к чему стремиться, как планировать решение задачи и т. д., т. е. как над ней думать. Короче говоря, такие рекомендации должны быть полезными при встрече с любой задачей.
Сейчас набора таких рекомендаций нет. Поэтому возникает важная педагогическая проблема найти такие рекомендации. Здесь открывается широкое поле деятельности для учителя. Ниже приводятся несколько отдельных примеров рекомендаций, которые на первых порах могли бы в геометрии носить, например, такой характер: «Если даны две фигуры, а в задаче требуется найти нечто связанное с обеими, то попытайтесь провести различные вспомогательные линии, которые бы их связали». Или: «Ищите в рассматриваемых фигурах треугольники, как простейшие фигуры, с которыми проще всего иметь дело. Еели их нет, попытайтесь создать их путем вспомогательных построений». Или: «Ищите подобные или прямоугольные треугольники или попытайтесь создать их. Если имеете дело с четырехугольником, посмотрите, нельзя ли описать отноеительно него окружность (или вписать окружность). Это позволит определять и сравнивать углы и стороны» и т. д. Или: «Если дана геометрическая задача на вычисление, то попытайтесь составить достаточное число уравнений, представляющих собой аналитическое выражение геометрических теорем, в которые входили бы известные и неизвестные величины. Иногда для составления таких формул надо провести вспомогательные линии» и т. д.
Получиэ подобные указания, учащийся уже не будет блуждать вокруг да около задачи и не будет «гадать», что ему делать, а будет знать, на что направить свои усадия, по очереди испытывая различные возможности.
Польза таких указаний еще и в том, что иногда учащийся может просто забыть подумать о каком-либо приеме решения задачи. Но если он будет знать эти рекомендации, будет вспоминать их перед тем, как браться за решение задачи, то это уже может принести большую пользу.
Было бы ошибочно считать, что такие указания помешают школьнику самостоятельно думать. Дело обстоит как раз наоборот. Эти
указания основных элементарных методов очень важны: они в какой-то мере направляют мысль учащегося, показывая ему, о чем думать, что искать; этим они стимулируют и развивают мышление, а не тормозят его.,
До сих пор были даны советы больше математического характера. Чисто педагогические советы могли бы носить такой характер: «Не торопитесь с решением задачи: может быть, ее возможно решать разными способами. Поищите простейший». «Попробуйте наметить план решения задачи: заметьте, что дано, что надо найти и что надо знать, чтобы от данных перейти к искомым. В какой последовательности этот переход совершить?» и т. д.
Итак, дело педагога заключается в том, чтобы научить школьника рационально пользоваться его знаниями для решения новых, более сложных для него задач. В этом и состоит одна из важных проблем психологии мышления, которой занимается эвристика. Конечно, не надо думать, что приводимые указания или им подобные (мы их будем называть «готовые советы») имеют универсальный характер. Но несомненно одно: во многих случаях они могут помочь решению задач, сразу направляя мысль учащегося в определенную сторону.
Вот пример задачи, решение которой сразу обнаруживается, если обратиться к приведенным выше рекомендациям. Задача взята из книги К. У. Шахно «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности» (Минск, 1965).
Задача № 848. Доказать, что прямая, проходящая через основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от треугольника подобный ему треугольник (см, рис.).
М
Пусть АС и DB две высоты. Надо доказать, что Д/ЩС ~ AAMD. На чертеже видим четырехугольник ABCD. Используем рекомендацию: «Если есть четырехугольник, то посмотреть, нельзя ли около него описать или в него вписать окружность».
30


Видим, что углы ZABD и ZACD прямые. Итак, описываем окружность, диаметром которой будет отрезок AD. Но теперь сразу видно, что ZDBC = ZDAC. Отсюда ZADM =
= ZCBM9 так как ZADM =J — ZDAC и FZCBM = ^ —ZDBC. Но угол М у треугольников общий. Следовательно* треугольники ВМС и AMD подобны.
Метод «готовых советов» оказывается эффективным и нетривиальным. Он дает другой путь решения задачи, чем предложенный автором задачника, и, по-видимому, более наглядный. Притом находится он, исходя из определенной, заранее высказанной идеи.
Конечно, учитель в классе и сейчас дает много различных подобных советов и указаний. Встречаются они и в отдельных методических работах, и в пособиях, которыми пользуются обычно более сильные учащиеся, иногда и в журналах. Но эти рекомендации обычно не систематизированы и подчас носят случайный характер. Поэтому желательны разработка и систематизация таких советов и доведение лучших из них до сведения всех учащихся.
Стоит заметить, что было бы весьма целесообразно специально обучать в школе умениям, которые сейчас приобретаются школьником, так сказать, «между прочим», в процессе решения других задач. Так, например, стоит обучать умению «смотреть на чертеж», т. е. умению обнаружить в сложном чертеже заранее заданные фигуры, умению дополнить чертеж так, чтобы в нем обнаружились фигуры определенного вида, и т. д. С помощью последовательного усложнения таких задач можно было бы достигнуть существенного развития геометрической зоркости. Хотя ее воспитание осуществляется при решении любой геометрической задачи и математическая зоркость требуется на всех стадиях ее решения, но воспитание определенных сторон мышления должно происходить не «между прочим», как это делается сейчас, а на специальных и своевременно подобранных примерах. Такое преднамеренное внимание к определенным процессам мышления наиболее эффективно для овладения ими. Здесь чрезвычайно важно последовательно, без пропусков развитие всех процессов, из которых слагается творческое мышление. Поэтому установление последовательных этапов, которые проходит мышление при решении задачи, — очень большая и сложная психологическая проблема. Однако в этом направлении сделано еще очень мало.
Необходимо комментировать задачи, подводить известные итоги решения задачи по определенным разделам.
Так, до или после решения задач определенного раздела или типа следует обратиться к учащимся примерно с такими пояснениями:
«В этом разделе вы решали различные задачи, однако в них есть то-то общее, среди различных способов их решения следует обратить внимание на такие-то идеи, лежащие в их основе.
Эти задачи должны вас научить тому-то. Из таких-то задач вы должны извлечь для себя такие-то общие выводы и т. д.». Надо помнить, что рядовой школьник (не будущий математик) будет рад, если все вышло «по ответу», и совсем не будет интересоваться выводами и обобщениями, как бы они ни были полезны. Поэтому таким обобщениям надо учить.
В связи с решением задач по стереометрии на вычисление поверхностей или объемов конуса или шара были бы целесообразны, например, такие общие и принципиальные замечания:
«Теперь мы подошли к решению ряда важных и более трудных задач, о которых говорили выше. Однако ценность этих задач далеко не только в том, чтобы получить то или иное число в качестве ответа. Основная их ценность в том, что именно вам придется делать для того, чтобы этот ответ получить.
При решении этих задач придется использовать приобретенные вами умения точно и логично мыслить, видеть, чего в чертеже недостает и какие линии надо провести дополнительно, чтобы можно было к нему применить такие-то теоремы и с их помощью составить такие-то уравнения, из которых будут найдены искомые величины и т. д. Далее, в процессе решения этих задач вам придется много вычислять, а это разовьет у вас умение быстро и безошибочно выполнять алгебраические и арифметические действия. При решении этих задач вам придется составлять план решения задачи: например, чтобы получить длину такого-то отрезка, надо сначала провести такую-то плоскость, найти такой-то угол, опустить перпендикуляр и т. д.
Конечно, в жизни, может быть, не каждому из вас придется вычислять поверхность шара или объем конуса для нужд вашей профессии. Однако уметь логически мыслить, вычислять, делать чертежи, уметь смотреть на чертеж, планировать свои действия понадобится всем. И в развитии этих ваших умений лежит главная цель решения этих задач».


Нельзя недооценивать этих «бесед с учащимися». Ведь речь идет об обучении в общеобразовательной средней школе. Основная часть оканчивающих ее не пойдет на физматы.
Но математика имеет общеобразовательное значение. Вот эту мысль и надо разъяснить школьнику, чтобы он сознавал, что делает важное и полезное для себя дело, решая математические задачи. А от того, понимают ли они это или нет, зависят отношение их к обучению и, следовательно, их успехи.
Такие «беседы с учащимися» будут хорошей помощью учителю, закрепляя в сознании его
К СОСТАВЛЕНИЮ
ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Публикуемые статистические материалы рекомендуются к использованию учителем математики в его работе в школе. Наибольшее практическое применение они могут найти в сельской школе.
При работе с таблицей 3 надо иметь в виду, что показатели по начальным, неполным средним и средним школам в сумме отличаются от показателей по всем школам за счет вспомогательных школ.
При составлении настоящих материалов использованы статистические сборники ЦСУ СССР: 1) Народное хозяйство СССР 1922— 1972. М., 1972, и 2) Народное образование, наука и культура в СССР. М., 1971 1.
1 Материалы из статистических сборников подобраны Л'. П. Сикорским.
Таблица 1
Энергетические мощности сельского хозяйства
(на конец года)
1916
1940
1950
I960
1965
1970
1971
Все энергетические мощности (млн. л. с.)
23,9
47,5
62,3
155,9
236,6
336,4
348,2
Механические двигатели
В том числе:
0,2
36,9
55,0
151,2
232,9
333,3
345,0
тракторы

17,6
22,3
50,3
85,5
124,1
128,3
двигатели автомобильные

11,9
21,3
64,3
84,5
114,5
114,9
Рабочий скот (в пересчете на механическую силу) Приходится всех мощностей (л. с.)
23,7
10,6
7,3
4,7
3,7
3,1
3,2
на одного работника
0,5*
1,5
1,7
5,4
7,7
11,2
12,1
на 100 га посевной площади
20
32
47
74
100
148
150
1 В среднем за 1913—1917 гг. в крестьянских хозяйствах
учеников то, что говорит учитель, ту пропаганду ценности математики, которую он, неустанно ведет всем своим преподаванием и которая в первую очередь важна для будущих нематематиков, чтобы стимулировать их интерес к математике.
Поэтому все такие «готовые советы», «комментарии к задачам», «обращения к учащимся» и т. д. должны войти в преподавание как неотъемлемые его части, равноценные с его чисто математической частью, так как они решающим образом будут влиять на успешность обучения в школе.
Краткие методические рекомендации к использованию таблиц
К таблицам 1 и 2.
а) Построение диаграмм по отдельным показателям таблиц.
б) Вычисление среднегодовых приростов энерговооруженности (в млн. л. с.) за периоды 1950—1960, 1960—1965, 1965—1970 и потребления электроэнергии в колхозах за периоды 1960—1965, 1965—1970.
в) Сравнение показателей энерговооруженности «на одного работника» и «на 100 га посевной площади», а также «процента дворов колхозов, пользующихся электроэнергией по своему колхозу (совхозу)» с показателями по СССР.
К таблицам 3 и 4.
Показатели этих таблиц дают материал для различных процентных расчетов, построения диаграмм, вычисления «удельного веса» отдельных видов школ в общем числе «всех школ» и соответственно численности учащихся
32


Таблица 2
Потребление электроэнергии в колхозах
I960
1965
1970
1971
Всего потреблено электроэнергии (млн. квтч) . . .
4140
7613
12 701
14081
В том числе на производственные нужды , . . *
2216
4416
8958
10 494
Процент дворов колхозников, пользующихся электроэнергией . . • . .
43
74
96
98
в школах отдельных видов и классах в общей «численности учащихся».
Интересные показатели могут быть получены путем сопоставления изменения численно- сти сельского населения (см. «Математика в школе», 1972, № 2) и изменения численности учащихся по школам отдельных видов, а также численности клубных учреждений.
Таблица 3
Дневные общеобразовательные школы
В том числе
Числен¬
ность
В том числе
На
начало
Всего
в школах
в классах
учебного
гола
школ
началь¬
ных
неполных
средних
средних
учащихся — всего (тысяч)
началь¬
ных
неполных
средних
средних
I — IV
V — VIII
IX-XI
Всего по СССР в городских поселениях и сельских местностях
1914/15
1927/28
1932/33
1937/38
1940/41
1945/46
1950/51
1955/56
1960/61
19Ь5/66
1970/71
123 687
119 430
1961
2 296
9656
8 638
272
746
...

118 558
108 780
6554
1775
11466
8 427
2 084
858
9910
1407
52
166275
136209
26752
1261
21 397
12 093
7 921
1243
17 675
3 579
3
168 404
122 086
34 199
9909
29 562
10 925
11 167
7 354
20755
8 246
445
191 545
125894
45745
18811
34 784
9 786
12 525
12 199
21375
11955
1180
186 853
131 625
41 687
12 836
26094
9 430
9 558
7 021
19858
5 649
502
201 628
126426
59 640
14961
33 314
7 518
15 509
10171
19 671
12811
716
195 271
108 75Ь
58 739
26863
28 217
3 600
9 372
15 129
13 580
11523
2998
199 228
110 070
58944
29 179
33417
4 435
11963
16883
18 605
13144
1532
190 397
94 386
62 430
31 909
43 410
3 844
16 606
22697
20172
18 112
4863
174 645
74 481
53848
44 226
45 448
2 349
12 502
30 235
20459
19863
4764
В том числе в сельских местностях
1914/15
1927/28
1932/33
1937/38
1940/41
1945/46
1950/51
1955/56
1960/61
1965/66
1970/71
109071
108 572
395
104
7 407
7 347
41
19

-
—
107 552
102 720
3540
326
8 246
7 313
820
76
7 784
420
5
154 983
130 968
22 440
123
16563
10901
5527
62
14 282
2 208
0,4
151 736
115 720
30 075
4 561
20882
9 322
8 910
2 603
15 553
5138
144
170 044
118 991
40 914
9 924
24 006
8416
10 343
5 081
16039
7 340
461
168 460
124 469
37 041
6 707
18 186
7 977
7 494
2 692
14 364
3 589
210
177 309
117 264
52 406
7 518
21561
5877
11869
3790
13 525
7 715
296
169 250
101 553
52 455
14 953
16 085
2 782
7169
6111
7 903
6846
1313
168 203
101 895
50559
15 381
17 344
3422
8163
5725
10 239
6 486
585
157 080
88 284
50 577
17 590
21637
3 003
9 881
8 674
10 692
8 999
1867
141 402
70 463
45271
24 919
22 379
1924
8 490
11862
10516
9787
1973
Клубные учреждения (на конец года в тысячах)
Таблица 4
1927
1932
1937
1940
1945
1950
1955
1960
1965
1970
Всего по СССР в городских поселениях и сельских местностях 32,9 | 53,2 | 95,6 | 118,0 J 94,4 | 125,4 | 126,4 | 128,6 | 127,0 | 134,0
В том числе в сельских местностях 28,6 I 47,8 I 88,2 I 108,0 I 87,9 I 116,1 I 114,9 I 114,5 I 111,3 I 115,9
2 Математика в школе, ЛЬ 1 33


В помощь самообразованию учителей
В. 	Г. БОЛТЯНСКИЙ
(Москва)
АНАЛИЗ —
ПОИСК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Учителю математики хорошо известно, что решение задачи на построение распадается в общем случае на четыре части: анализ, по¬
строение, доказательство и исследование. Оставим в стороне последние три части, остановившись более подробно на первой. На этой стадии осуществляется поиск будущего построения. Анализ, как составная часть решения задачи на построение, методически «узаконен» во многих учебниках и руководствах. В то же время при решении других задач (как геометрических, так и алгебраических) стадия анализа как будто отсутствует. Создается впечатление, что анализ свойствен только задачам на построение. Так ли это?
Слово «анализ» заимствовано из древнегреческого языка. Оно означает метод изучения явлений, основанный на разложении, расчленении целого на отдельные составные части. Наблюдая какое-то сложное, многообразное явление (что-то «целое»), исследователь пытается извлечь из этого «целого» отдельные «части» и в зависимости от вида «частей» сделать заключения об устройстве «целого».
В такой дедуктивной науке, как математика, «целое» — это чаще всего решение той или иной задачи, проблемы; частности же, которые можно извлечь из этого «целого», — это, например, те следств и я, которые можно сделать, если решение уже получено (или те непосредственные предпосылки, из которых это решение сразу можно было бы получить). Поэтому анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем ее уже решенной и находим различные следствия (или предпосылки) этого предположения, а затем, в зависимости от вида этих следствий, пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи. Грубо говоря, «рецепт» проведения анализа состоит в последовательном проведении трех этапов рассуждений: 1) предположим, что задача решена; 2) посмотрим, какие из этого можно извлечь выводы; 3) теперь, сопостав- ляя полученные выводы, попытаемся найти путь для действительного решения задачи.
Применение этого «рецепта» анализа к решению задач на построение хорошо известно. Цель этой статьи — показать на примерах,
что и в других случаях — при решении урав¬
нений, доказательстве неравенств и т. д. — мы постоянно применяем метод анализа (не всегда осознавая это).
I. 	Анализ при решении уравнений
Учащемуся предлагается решить уравнение
Vx+2 +1/ЗГЛ=з. (1)
Он последовательно упрощает его следующим образом:
Vx+Т= 3 - Ух-Г, (2)
jc + 2 = 9 —61Лс —1-fjc — 1, (3)
6 КЗГЛ = 6, (4)
Vx—T= 1, (5)
х—1 = 1. (6)
После этого он находит, что х = 2, проводит проверку (подстановкой в уравнение (1)) и получает ответ: единственным корнем уравнения (1) является х = 2.
Что же происходит в описанном процессе решения уравнения? Легко видеть, что последовательный переход от уравнения (1) к уравнению (6) представляет собой анализ предложенной задачи, хотя в явном виде никто на уроках алгебры об этом не говорит.
В самом деле, в полном виде описанный выше процесс решения уравнения может быть осмыслен следующим образом. Мы вначале не знаем корней заданного уравнения (1), т. е. решение задачи нам неизвестно. Предположим, что задача решена, и пусть число Х\ является искомым корнем этого уравнения; тогда справедливо числовое равенство
Ухх + 2 + V хх — 1 = 3.
Вычитая из обеих частей этого равенства чис- л0 VХ\ — 1. получаем новое равенство
V -^г 4" 2 = 3 — Vxt — 1,
которое показывает, что Xt является также корнем уравнения (2). Далее мы последовательно убеждаемся, что Xi является корнем каждого из уравнений (3), (4), (5), (6). Наконец, мы замечаем, что уравнение (6) принадлежит к известному нам типу (это — уравнение первой степени с одним неизвестным). На этом процесс анализа и заканчивается. Дальнейшее решение состоит в нахождении корня уравнения (6) и проверке.
Проведенный процесс анализа схематически показан на рис Ь Штриховая стрелка изобра-
34


жает сделанное в начале анализа допущение («предположим, что задача решена, т. е. нам известен корень уравнения (1)»). Дальнейшие стрелки (тонкие) показывают следствия, которые мы выводим из этого предположения («тогда Х\ является корнем каждого из уравнений (2), (6)»). Наконец, замечаем, что
полученное уравнение (6) принадлежит известному типу («ага, такое уравнение мы уже умеем решать!»); это изображено на рис. 1 жирной стрелкой. Цикл замкнулся — анализ решения задачи закончен (дальнейшая часть решения на этой схеме не показана).
Разумеется, схема анализа будет иметь такой вид лишь для учащегося, который только что приступает к решению иррациональных уравнений (и хорошо уже умеет решать уравнения первой степени). При некотором навыке он мысленно произнесет «ага, такое уравнение я уже умею решать!» раньше, например, получив уравнение (5) или даже (4). Но существо дела от этого не меняется.
Подобным же образом проводится решение уравнений, принадлежащих и к другим типам. Заданное уравнение постепенно преобразовывается, например «расщепляется» на одно или несколько уравнений все более простых типов, пока не обнаружится, что уравнения, к которым мы в конце концов пришли, решаются известными нам методами.
Конечно, не всегда процесс анализа проходит так гладко. Нахождение описанного выше цикла, символизирующего завершение стадии анализа, может быть осложнено тем, что учащийся уходит в сторону от основного решения, попадает в тупики и т. д. (т. е. производит преобразования, которые ведут его по ложному пути, уводят от решения). Например, учащемуся могло показаться, что для решения уравнения (1) нужно обе его части умножить на
«сопряженное выражение»]/^ я+2 — V х—1, подобно тому как это делается при освобож¬
дении от иррациональности в знаменателе. В результате получается уравнение
(х -f- 2) (х — 1) — 3 (}/ х +~2 — Ух— 1), (/)
которое после упрощения приводится к виду
У х + 2— У^с^Л = 1. (8)
Однако это уравнение не проще первоначального. Поэтому, если только учащийся не заметит, что целесообразно сложить уравнения (1) и (8), он снова возвратится к уравнению (1) и будет искать другие пути. Возможны и иные попытки, не приводящие к решению (рис. 2).
Заметим, что жирная стрелка на рис. 1 или 2, замыкающая цикл анализа, символизирует озарение, происходящее в сознании учащегося. До этого момента учащийся делает шаги, если и не вслепую, то, во всяком случае, не зная точно, по верному или ложному "пути он следует. Иными словами, до замыкания цикла учащийся еще не может сказать, что он в и- дит уже, как решать задачу. Замыкание цикла— озарение («нашел!», «понял!», «эврика!»).
Какие же практические выводы можно сделать из сказанного? Во-первых, целесообразно систематически напоминать учащимся, что постепенное преобразование уравнений (с целью приведения их к уравнениям уже известных типов) представляет собой лишь анализ, лишь часть процесса решения уравнения. При такой методике работы учащийся никогда не забудет, что надо проводить проверку (или указывать причины, в силу которых проверка не обязательна).
Во-вторых, следует заметить, что анализ представляет собой наиболее трудную, творческую стадию процесса решения задачи. Поэтому весьма важно учить процессу анализа. Один из возможных путей для этого состоит в том, чтобы устно проводить обсуждение процесса анализа. Учащемуся можно предложить, не решая уравнения, объяснить, какие преобразования он сделал бы для его решения и почему он считает, что в результате получится уравнение уже известного типа. Например, в отношении уравнения (1) ученик должен был бы сказать, что коэффициенты при х в обоих подкоренных выражениях одинаковы, так что, уединяя один радикал и возводя в квадрат, получим уравнение, в котором члены, содержащие хч в сумме дают нуль и останется только один радикал. Такое обсуждение требует меньшего времени, чем полное решение уравнения, а дает не меньше (если не больше) для осознания процесса решения. Если, например, на каждое полностью решенное уравнение еще 1—2 уравнения обсуждать уст¬
35


но, то это фактически приведет к увеличению
числа решенных задач в полтора-два раза и к более глубокому осмыслению приемов решения.
II. 	Анализ при доказательстве неравенств
Возьмем в качестве примера задачу: доказать, что для любого натурального п справедливо неравенство
4
Vn?-\{Vn+\-Vn-\)<\. (1)
Умножая обе части на «сопряженный множитель» V П+1+ V п—1 и производя дальнейшие преобразования, последовательно перепишем это неравенство следующим образом:
<|/й+1 + К«-1, (2)
4
2Уя2-1<]/Т+1 + ]/«—1, (3)
2 V/дм<кд+т + т/й=т: (4)
zVVn+l • Vn^+Vn-i~, (5)
V^Ti+T . Kirrf</"ТТг■ <6>
Наконец, мы замечаем, что неравенство (6) нам известно: это — частный случай неравенства
Yab <; —-трД справедливого для любых неотрицательных чисел а, На этом процесс ана¬
лиза и заканчивается: установлена некоторая связь между неравенством (1), подлежащим доказательству, и известными фактами.
Но чего мы добились выполнением этих преобразований? В полном виде проведенные рассуждения можно осмыслить следующим образом. Предположим, что задача решена, т. е. справедливость неравенства (1) уже установлена. Тогда, домножая на «сопряженный множитель», находим, что неравенство (2) также должно быть справедливо. Далее последовательно убеждаемся, что должны быть справедливы неравенства (3), (4), (5), (6). Наконец, замечаем, что неравенство (6) нам известно. Цикл замкнулся, причем в данном случае этот цикл имеет тот же вид, что и раньше (рис. 1).
Получили ли мы (в результате проведения анализа) доказательство неравенства (1)? Разумеется, нет! Ведь, формально говоря, мы лишь установили, что из неравенства
(1) 	(если бы мы его уже умели доказывать!) можно было бы вывести (6), т. е. частный случай хорошо известного неравенства. Вроде бы
невелико приобретение! Однако мы нашли при этом цепочку неравенств (1) — (6), каждое из которых близко примыкает к предыдущему, т. е. как бы построили «лесенку» из шести ступенек, ведущую от известных фактов к неравенству (1). Возникает надежда, что если в этой цепочке (1) — (6) не только каждое неравенство следует из предыдущего, но и наоборот, из каждого неравенства можно было бы вывести предыдущее, то мы смогли бы, идя от (6) к (1), получить искомое доказательство неравенства (1). Иными словами, в процессе анализа был осуществлен п о и с к доказательства, в результате которого найден возможный путь доказательства:
(6)^(5)^(4)=^(3)=И2)=^(1).
Легко проследить, что в данном случае этот путь доказательства реализуется, т. е., действительно, из (6) непосредственно вытекает (5), из (5) вытекает (4) и т. д.
Таким образом, решение поставленной задачи состоит из двух стадий: 1) анализа (в процессе которого осуществляется поиск пути доказательства) и 2) доказательства. Разумеется, при некотором навыке учащиеся могут совместить обе стадии: сразу же устанавливать, что все «шаги» обратимы (т. е. устанавливать не только соотношения (1)=^(2),
(2)=^(3) и т. д., но и (1)^=^(2), (2)^(3) ит. д.).
Но, может быть, стадия анализа является лишней (ведь все равно доказательство приходится проводить заново)? Конечно, нет! Вряд ли ученик (даже очень хороший) сможет по виду неравенства (1), не проводя анализа, определить, что надо исходить именно из неравенства (6), вывести из него (5) и т. д.
Может быть, в таком случае лишним является доказательство (ведь оно повторяет в обратном порядке рассуждения, проведенные на стадии анализа)? Конечно, нет! Ограничиться одним анализом нельзя, так как если хотя бы один шаг в цепочке
(1)=И2)=>(3)=И4)=И5)=*(6)
окажется необратимым, то доказательства мы на этом пути не получим. Проверка обратимости всех шагов и представляет собой доказательство. Таким образом, обе стадии (анализ и доказательство) являются неотъемлемыми частями решения.
Заметим, что и в рассматриваемом случае жирная стрелка на рис. 1, замыкающая цикл, означает озарение («ага, это неравенство мы уже умеет доказывать!»). В момент замыкания цикла происходит скачок из незнания
36


к знанию: учащийся увидел путь доказательства.
Практический вывод здесь состоит в том, что целесообразно явно расчленять на уроке две части решения задачи на доказательство неравенства, называя одну из них анализом, а другую — доказательством. Если учащиеся привыкнут к тому, что решение такой задачи состоит из двух различных стадий, имеющих самостоятельные названия, то реже будет встречаться типичная ошибка, когда учащийся, проведя анализ, заявляет: «Требуемое неравенство доказано».
Кроме того, сюда в полной мере относится сделанное выше (по поводу решения уравнений) замечание о необходимости учить процессу анализа. И здесь целесообразно часть задач обсуждать устно, предлагая учащемуся рассказать, как он собирается проводить процесс анализа и почему он полагает, что именно такая последовательность преобразований приведет доказываемое неравенство к уже известному.
III. 	Анализ при доказательстве теорем
За недостатком времени на уроке мы обычно не рассказываем о поиске доказательства теоремы. Между тем путь доказательства (включая проведение вспомогательных построений) часто бывает довольно неожиданным и вызывает у вдумчивого ученика естественный вопрос: «А как же можно было «открыть» это доказательство?» Для воспитания математической культуры учащихся было бы весьма полезно рассказать о поиске еще неизвестного доказательства, т. е. провести анализ стоящей перед нами проблемы.
Возьмем в качестве примера следующую теорему: Мнооюество всех точек (на плоскости), равноудаленных от двух заданных точек А и В, есть прямая I, перпендикулярная отрез- ку [АВ] и проходящая через его середину.
Для доказательства этой теоремы нужно установить следующие два факта (через
d(P, Q) обозначается расстояние между точками Р и Q): 1) если М £ /, то d(My А) = = d(M, В); 2) если M$U то d(M, А)Ф =^=d(Mt В). Справедливость первого факта непосредственно следует из соображений симметрии. Второй факт доказывается несколько сложнее; в этом случае с целью поиска доказательства целесообразно провести анализ.
Пусть М (£ /; для определенности будем считать, что точки М и А лежат по одну сторону от прямой I (рис. 3). Чертеж подсказывает, что из двух неравенств d(M9 B)>d(M, А)у
d{M, B)<Cd(Mf А), которые могут иметь место при d(M, A)=7^=d(M, В), видимо, нужно доказывать первое: d(M, B)>d(M, Л). (1)
Прежде всего замечаем, что точки М и В лежат по разные стороны прямой /, и потому отрезок [MB] пересекает прямую I в некоторой точке С (рис. 4). Так как d(M, В) —d(M4 С) + +rf(C, В), то неравенство (1) можно переписать в виде: d(M, C)+d(C, B)>d(M, А). (2)
Теперь замечаем, что, поскольку С £ /, точка С (в силу уже доказанного) равноудалена от точек А и В. Это естественно приводит к мысли провести отрезок [АС] и написать равенство d(C, B)=d(C, А). Неравенство (2) переписывается после этого в виде d(M9 C)+d(C, A)>d(M, А). (3)
Наконец, мы замечаем, что соотношение (3) нам известно (сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны). Цикл замкнулся (рис. 5, а) — стадия анализа закончена. Идя в обратном порядке (3)=^ =>. (2) =»* (1), мы получаем доказательство требуемого неравенства (1).
В данном случае процесс анализа несложен; он содержит всего три «ступеньки». Однако для учащегося он очень важен. В самом деле, представим себе, что учитель демонстрирует рис. 3 и ставит задачу доказать неравенство
(1). Затем он вдруг проводит отрезок [А С] (рис. 4). Почему? Далее он говорит: «Применим теорему о том, что сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны». Почему именно эту теорему? К тому же на основании этой теоремы можно написать три различных неравенства, связывающих длины сторон треугольника. Почему учитель пишет именно неравенство (3)? На эти вопросы учитель может дать только один ответ: «Проследи за ходом рассуждений до конца и увидишь, что таким путем удается получить нужное доказательство». Проведение стадии анализа делает ученика не пассивным на-


блюдателем, а активным, сознательным участником процесса доказательства теоремы.
Замыкание цикла при проведении анализа (жирная стрелка на рис. 5,а) ив этом случае
Рис. 5
означает оз а ренете Г(«ага, этот факт мы уже умеем доказывать!»). В результате ученик понял, как может быть доказана интересующая нас теорема. Заметим, что если учитель, не проводя анализа, сразу объясняет доказательство теоремы, то озарение (возникающее, когда ученик понял излагаемое учителем доказательство) имеет психологически совершенно иной характер, показанный на рис. 5, б. В этом случае штриховая стрелка означает то, что нам надо доказать (и что мы держим в памяти), а тонкие стрелки — рассуждение учителя, за которым учащийся следит, хотя и не видит еще, куда оно ведет. Наконец, наступает озарение, изображенное на рис. 5,6 жирной стрелкой, замыкающей цикл («да, действительно, из уже установленного соотношения
(2) 	следует то, что мы хотели доказать!»). В результате ученик понял объяснение учителя.
Таким образом, характер озарения, возникающего при проведении анализа (т. е. поиска доказательства) и при прослушивании готового доказательства, излагаемого учителем, различен. Вывод ясен: изложение готовых доказательств не может заменить той психической деятельности (и, как следствие, тех элементов математического развития), которая сопровождает проведение анализа теорем. Поэтому весьма желательно, чтобы для большинства теорем стадии доказательства предшествовала стадия анализа (это, по существу, и есть «проблемное обучение» в применении к доказательствам теорем).
Обучение математике преследует сейчас не столько цель запоминания каждой теоремы, каждого доказательства, вплоть до мельчайших, сколько овладение общими методами математики и логики. Метод анализа является одним из важнейших в этом плане, и потому
обучение анализу доказательств следует рассматривать как огромное приобретение в знаниях и культуре учащихся; затраченное время с лихвой окупится в будущем.
Более того, процесс анализа важен не только начинающему. По-видимому, при решении большинства задач (даже принадлежащих к хорошо знакомому типу) в голове решающего проводится анализ задачи. Однако подчас он проводится настолько быстро и незаметно для человека (т. е. проводится «свернуто и автоматизированно», как говорят психологи), что ему кажется, будто он «сразу» увидел путь решения. Если это так, т. е. если процесс анализа (пусть в свернутом виде) является неотъемлемой частью решения большинства задач, то становится особенно важной задача обучения процессу анализа на ранних ступенях изучения математики.
IV. 	Пример решения нестандартной задачи
После сказанного выше ответ на вопрос, поставленный в начале статьи, очевиден. Анализ, как первая, поисковая стадия решения,— это общий эвристический прием, общий метод мышления, широко применяемый при решении не только задач на построение, но также всевозможных математических (и не только математических) задач. Эта мысль — не новая; в частности, ее неоднократно высказывал Я. С. Дубнов, выступая на методические темы.
Почему же в таком случае роль айялиза особо подчеркивается в методике решения задач на построение и смазывается в других случаях? По мнению, высказанному Н. М. Бескиным, это объясняется тем, что нахождение цепочки умозаключений, ведущей от искомого к известному, и установление эквивалентности соседних звеньев этой цепочки является в случае задачи на построение существенно менее тривиальным, чем в других случаях. Например, переход от уравнения (1) к уравнению (2) на стр. 34 (так же, как и каждый следующий переход) представляет собой очень маленький «шажок мысли». Даже в тех случаях, когда решение уравнения представляет трудности, отдельные шаги процесса решения стандартны и отработаны в школе на многих примерах.
В нестандартных же задачах (которых, к сожалению, в школьном курсе почти нет!) процесс анализа, как и в задачах на построение, становится менее тривиальным и потому особенно заметным. В качестве примера рассмотрим следующую задачу: доказать, что ес¬


ли в треугольнике две биссектрисы конгруэнтны, то этот треугольник — равнобедренный.
Эта задача в 1940 г. была предложена Д. О. Шклярским (в школьном математическом кружке при МГУ) для «чисто геометрического» решения (т*. е. без использования формул, выражающих длины биссектрис). Автору удалось тогда найти такое решение. Воспроизведем анализ, который для этого пришлось провести.
В треугольнике ABC (рис. 6) проведены биссектрисы [AD] и [СЕ]. Известно, что [AD]^[CE]. Требуется доказать, что треугольник ABC — равнобедренный, т. е.
[ЛБ]^[ВС]. (1)
Зная, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, проведем третью биссектрису,— возможно, это пригодится.
Чтобы доказать конгруэнтность каких-либо отрезков, часто используют следующий прием: устанавливают конгруэнтность треугольников, имеющих эти отрезки своими сторонами. В данном случае, видимо, лучше всего попытаться доказать, что AABDg*ACBE, (2)
так как в этих треугольниках сторонами являются и отрезки [AD], [СЕ], которые по условию конгруэнтны, и отрезки [АВ], [ВС], конгруэнтность которых нужно доказать.
Для доказательства конгруэнтности треугольников обычно применяют признаки кон- груэнтности. Посмотрим, какие одинаковые элементы имеются у интересующих нас треугольников ABD и СВЕ (для удобства эти треугольники изображены на рис. 7 отдельно).
Рис. 6 Рис. 7
В этих треугольниках основания [AD] и [С£] по условию конгруэнтны. Кроме того, угол В у них общий (т. е. на рис. 7). На¬
конец, оба треугольника имеют общую биссектрису [ВО] (т. е. [В0]^[В'0'] на рис. 7). Итак, интересующие нас треугольники имеют по три соответственно конгруэнтных элемента. Но эти элементы таковы, что не подходит ни один из известных признаков конгруэнтно¬
сти треугольников. Похоже на то, что придется доказать новый признак, который формулируется следующим образом:
Если в двух треугольниках конгруэнтны основания, конгруэнтны углы при вершине и конгруэнтны биссектрисы, проведенные из вершины, то эти треугольники конгруэнтны. (3)
Как же доказать утверждение (3)? Для удобства на рис. 8 один из треугольников симметрично отражен относительно биссектрисы, так что треугольники находятся теперь «в одинаковом положении». Используя метод доказательства «от противного», можно попытаться вместо (3) доказать следующее утверждение:
Если в двух треугольниках конгруэнтны основания и конгруэнтны углы при вершине, но сами треугольники не конгруэнтны, то у них не могут быть конгруэнтны биссектрисы, проведенные из вершины. (4)
У треугольников, о которых идет речь в утверждении (4), конгруэнтны основания и конгруэнтны углы при вершине. Это наводит на мысль использовать теорему о сегменте, вмещающем данный угол. Иными словами, если основания [Л/5] и [СЕ] совместить, то обе вершины В, В' окажутся на одной окружности, проходящей через концы основания (рис. 9). При этом обе точки В, В' лежат по
одну сторону перпендикуляра /, проведенного через середину основания, и не совпадают (т. е. ВфВ'), поскольку мы предполагаем, что треугольники не конгруэнтны. Заметим, наконец, что продолжения биссектрис проходят через точку пересечения прямой I с окружностью. В результате мы приходим к следующей эквивалентной формулировке:
В окружности проведены диаметр [MN] и перпендикулярная ему хорда [Л/Э]. На дуге DM (меньшей полуокружности) взяты две различные точки В, В\ Если О и О' — точки
39


пересечения прямых BN, B'N с хордой [AD]r то
d(B, 0)Фй(В', O'). (5)
Судя по чертежу, можно высказать более определенное суждение: если Z-MNB<i
В\ то
d(B9 0)>d(B\ O'). (6)
Чтобы доказать неравенство (6), удобно воспользоваться соотношениями d(B, 0) — d(B, N)—d(0, N), d(B', 0') = = d(B\ N)—d{0', N). Ясно, что если /LMNB<Z-MNB\ то d(B, N)>d{B\ N). Значит, неравенство (6) будет установлено, если мы обнаружим, что d(0. N)<d(0N). (7)
Но это неравенство представляет собой известный факт.
Цикл замкнулся — анализ завершен. Читатель без труда проверит, что, проводя рассуж¬
дения в обратном порядке, мы получим искомое доказательство равенства (1). Разумеется, при дедуктивном изложении доказательства порядок рассуждений будет обратным. Но разве мыслимо было бы, не проводя анализа, догадаться, что для решения поставленной задачи надо начать с рассмотрения чертежа, показанного на рис. 9?!
Заметим, что в приведенном примере дедуктивная связь между «ступеньками» следующая:
(1)-И2)-ИЗ)о(4)<=К5)-Иб)-И7).
Однако психологически, с точки зрения последовательности появления идей во время рассуждения, связь между ступеньками имеет вид
(1)-» (2)-v (3)-v (4)(5)(6)-v (7),
т. е. цикл имеет такой же вид. как на рис. 1 (только содержит семь «ступенек»).
Профтехучилища со средним образованием н восьмилетняя школа
Е. С. ДУБИНЧУК
(г. Киев)
МОЛОДОЙ РАБОЧЕЙ СМЕНЕ — ПОЛНОЦЕННУЮ
МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ПОДГОТОВКУ
В системе общеобразовательной подготовки учащихся средних профтехучилищ математика занимает одно из ведущих мест. Это объясняется исключительной ролью математики в ускорении темпов современного научно-технического прогресса, который предъявляет новые, более высокие требования к математическому образованию квалифицированных рабочих. Решающую роль здесь играет общая математическая культура рабочего, умение применять знания на практике, в новой ситуации.
Формированию этих качеств во многом способствует обеспечение единства учебно-воспи- тательного и производственного процессов в профтехучилище. Использование на уроках математики материала о коммунистическом строительстве в нашей стране, привлечение элементов историзма, сведений, взятых непо¬
средственно из производственного опыта учащихся, служит воспитанию у молодежи чувства советского патриотизма, желания пополнить ряды героического рабочего класса страны.
В настоящее время выпускники профтехучилищ и средней школы поставлены в одинаковые условия относительно содержания математической подготовки, так как преподавание математики в этих двух типах учебных заведений проводится по единым программам.
Вместе с тем решение ряда организационно- методических вопросов преподавания математики в среднем профтехучилище имеет определенную специфику, обусловленную организацией в них учебно-воспитательного процесса и некоторыми особенностями контингента учащихся, поступающих ныне в училища.
В связи со все возрастающей популярностью системы профтехобразования из года в год в целом улучшается качество общеобразовательной подготовки учащихся, поступающих в училища. Во многих училищах существует уже конкурсная система отбора учащихся. Однако до сих пор в некоторых училищах, важных для народного хозяйства страны (например, сельскохозяйственных, строительных, горных), среди поступающих преобладают еще «троечники». Нередко у таких учащихся за тройкой по математике кроются серьезные пробелы в знаниях и отсутствие элементарных навыков самостоятельного умственного труда. Это создает серьезные препятствия не только для овладения учащимися математикой, но и для изучения специальных предме¬
40


тов, материал которых множеством нитей связан с математикой. Вот почему в средних профтехучилищах актуальными являются вопросы обеспечения преемственности в обучении математике с восьмилетней школой.
Взаимосвязь в преподавании математики среднего профтехучилища и восьмилетней школы предполагает прежде всего опору на знания, приобретенные учащимися в школе. Но преемственность — это в известной мере и перспективность. Из этого следует, что проводимая в школе ориентация восьмиклассников на рабочие профессии должна включать как необходимый компонент серьезную работу по вооружению учащихся прочными знаниями и навыками по основам наук. Очень важно, чтобы учителя школ прониклись серьезностью задач, стоящих ныне перед системой профтехобразования.
Остановимся на некоторых направлениях работы учителей школ и профтехучилищ по повышению уровня математической подготовки учащихся.
Типичным и наиболее актуальным в условиях работы средних профтехучилищ является осуществление взаимосвязи между общеобразовательной и профессионально-технической подготовкой учащихся.
Следует иметь в виду и то, что содержание многих специальных предметов, изучаемых в училищах разных профилей, связано с программным материалом по математике IV— VIII классов. Поэтому важное значение имеет ликвидация пробелов в знаниях учащихся по курсу восьмилетней школы, систематизация и углубление знаний по отдельным разделам и темам. Если для изучения самой математики в ряде случаев достаточно ограничиться выборочным повторением материала, то в целях создания математической основы для изучения специальных предметов необходимо систематическое повторение теории и упрочение важнейших навыков — вычислительных, измерительных, графических.
В условиях работы среднего профтехучилища вопросы методики повторения ранее изученного материала по математике являются чрезвычайно важными. Речь идет о такой организации повторения, которая способствует развитию у учащихся познавательного интереса к предмету, привитию им навыка самостоятельной работы (к сожалению, эти качества еще отсутствуют у многих учащихся, поступающих ныне в училища). Сложность этих задач обусловлена тем, что учащиеся профтехучилищ загружены основными занятиями намного больше, чем учащиеся общеобразовательных школ, и время для домашней работы
у них очень ограничено. Особое значение приобретает целенаправленная работа на уроке, построенная по принципам дифференциации и индивидуализации обучения.
Отправным пунктом в организации повторения и создании дидактических условий для ликвидации пробелов в знаниях учащихся по материалу восьмилетней школы являются контрольные работы, проводимые на первых курсах профтехучилищ в начале учебного года. Тщательный анализ таких работ с учетом типичных и индивидуальных ошибок учащихся дает преподавателям необходимый материал для совершенствования процесса обучения.
В 1972/73 учебном году в средних профтехучилищах Украины контрольные работы проводились в октябре месяце по единым текстам отдела профтехобразования НИИ педагогики и Госпрофобра республики. Обобщение результатов проверки дало основания для разработки рекомендаций по ликвидации пробелов в знаниях учащихся и улучшению общего состояния преподавания математики на первых курсах профтехучилищ. Ознакомление учителей математики восьмилетней школы с материалами подобных проверок поможет своевременно принять меры по предупреждению отмеченных недочетов в знаниях и навыках учащихся.
При составлении контрольной работы ставилась задача выявить сознательность усвоения учащимися важнейших математических понятий, являющихся «сквозными» для всего курса (такими являются, например, понятия об уравнении, свойствах фигур и т. п.); умение выполнять тождественные преобразования выражений; уровень вычислительных навыков учащихся; умение самостоятельно делать умозаключения дедуктивного характера.
Приведем содержание работы.
Вариант I
1. При каких значениях у выражения у2—22у+25 и 1—2*/(10—у) равны?
2. Выполнить действия:
2,0928+47,9072: (7—0,195).
3. Подобны ли два равнобедренных треугольника, имеющие по равному углу при основании? Ответ обосновать.
Вариант II 1 .При каких значениях с выражения
с + 4 2 0
—g— tl — 2е_з равны?
2. Выполнить действия:
67,4591—7,4591 - (3,7+4,3).
3. Подобны ли любые два равносторонние треугольника? Ответ обосновать„
И


Вариант III
1. При каких значениях х выражения (Зх + 1) • (Зх — 1) и 12х + 4 равны?
2. Выполнить действия:
5 “Г + 3 "§" : (4 ~Т ~ 2 -г)-
3. Подобны ли два равнобедренных треугольника, имеющие по равному углу при вершине? Ответ обосновать.
Вариант IV
1. При каких значениях а выражения (За+2)2 и 12(За+2) равны?
2. Выполнить действия:
3 J 1 _L . 1 I 2
° 15 1 15 * 1 5 + X-
3. Можно ли утверждать, что любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны? Ответ обосновать.
Работу писали 12 698 учащихся первых курсов средних профтехучилищ шестнадцати областей республики. Общий процент успеваемости по результатам работы 41,1%. На «5» работу выполнили 0,9% учащихся, на «4», «3», «2», «1» —соответственно 8,7%, 31,5%, 52,9%, 6,0%.
В ряде областей (Ворошиловградской, Черкасской, Кировоградской) показатели успеваемости по результатам этой работы значительно превышают общий процент по республике. Отрадно, что в отдельных училищах с работой справились 90—100% учащихся, писавших ее.
Не секрет, что значительная часть преподавателей математики профтехучилищ склонна относить все недостатки в подготовке учащихся за счет учителей восьмилетней школы. При этом не учитываются естественные трудности акклиматизации учащихся в новом коллективе, забывание ими материала, необходимость привыкнуть к требованиям новых преподавателей, к повышенным нагрузкам. Специфические условия создаются в группах, где преобладают учащиеся-«троечники», которые вначале проявляют беспомощность из-за отсутствия навыков систематического умственного труда, неумения работать самостоятельно, а также из-за своеобразного страха перед предметом, нередко возникающего еще в восьмилетней школе.
Благодаря целенаправленной работе педагогических коллективов училищ, которая основывается на достижениях современной дидактики и теории воспитания, уже в конце первого полугодия удается достичь заметных успехов в обучении первокурсников. Опытные преподаватели математики, пришедшие в систему профтехобразования из общеобразова¬
тельной школы, в течение одного — полутора месяцев даже в наиболее слабых группах обеспечивают условия для дальнейшего изучения программного материала.
Приведенный ниже анализ результатов письменной работы не только дает представление о необходимом уровне и содержании повторения материала за IV—VIII классы на I курсе профтехучилищ, но и одновременно служит основанием для предъявления определенных требований учителям математики этих классов общеобразовательных школ.
Привлекает внимание тот факт, что часть учащихся вообще не приступила к выполнению первого задания, где вместо традиционного «решить уравнение» требовалось определить, при каких значениях переменной данные выражения, содержащие эту переменную, равны. Таким образом, выяснилось, что у этих учащихся не сформировано понятие уравнения.
При решении квадратного уравнения 42% учащихся, писавших работу, допустили разнообразные ошибки и недочеты. Типичным является незнание формул корней квадратного уравнения и неумение рационально применять эти формулы. Только в редких случаях учащиеся делали проверку найденных корней. При решении уравнения с дробными членами, заменяя его уравнением с целыми членами, в преобладающем большинстве случаев учащиеся не сделали оговорки об условиях, при которых полученное уравнение будет равносильным данному. Много ошибок и недочетов было также при решении неполного квадратного уравнения.
На применение формул сокращенного умножения (в старой терминологий) при упрощении уравнений допустили ошибки 22% учащихся, писавших работу, на другие преобразования выражений — 24%. В перемене знака при перенесении членов уравнения из одной части в другую ошиблись 16% учащихся.
Несмотря на то что примеры на действия с дробями (второе задание) по своей структуре и характеру были несложными (на уровне требований действующей ныне программы IV—V классов), учащиеся допустили при их решении много ошибок. Наиболее распространенными оказались такие недочеты: запись «смешанных чисел» в виде неправильных дробей при выполнении действий сложения и вычитания; запись результатов действий в виде сократимых дробей; отсутствие сокращения при умножении и делении дробей.
Отдельные учащиеся при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями приводили их к новому (большему) знамена¬
42


телю; при делении на дробь заменяли обратным числом не делитель, а делимое.
Числовые данные в примерах на действия с десятичными дробями позволяли многие действия выполнить в строчку (полуписьменно). Однако такие попытки в большинстве случаев оказывались неудачными из-за ошибок в действиях над натуральными числами, что можно объяснить слабыми навыками в устных вычислениях.
Всего на сложение и вычитание дробей допустили ошибки 21% учащихся, писавших работу, на умножение и деление — 24%. В порядке выполнения действий ошиблись 29,7% учащихся.
В третьем задании от учащихся требовалось применить признаки подобия треугольников к равнобедренным, равносторонним, равнобедренным прямоугольным треугольникам и дать соответствующее обоснование ответа; 34% учащихся затруднились в этом. Некоторые учащиеся сопровождали свой ответ рисунком (лишним в данном случае), вместо равнобедренных треугольников чертили разносторонние, вместо равносторонних — прямоугольные, вместо прямоугольных треугольников — прямоугольники и т. п. Нередко в ответах вместо термина «подобные» фигурировал термин «равные»; 19,7% учащихся не знали свойств равнобедренного треугольника.
Выполняя третье задание, 37% учащихся не дали никакого обоснования своему ответу, а 32% —дали неполное обоснование.
Наблюдения показали, что недочеты в знаниях учащихся, выявленные во время контрольной работы, имеют устойчивый характер. Так, например, повторное проведение этой работы (по измененным вариантам) в тех же самых группах после тщательного ее анализа не дало никакого улучшения оценок. Это дает право утверждать, что выборочное повторение материала отдельных тем малоэффективно. Вот почему, организуя повторение материала за курс восьмилетней школы, преподаватели профтехучилищ должны обратить особое внимание на систематическое повторение. В ряде случаев придется начинать с основных понятий, важнейших зависимостей, с решения упражнений, типичных для данной темы. Важное значение имеет сочетание фронтального повторения материала, которое имеет обзорный характер и сопровождается кратковременными письменными работами, с индивидуальной работой учащихся по специально составленным заданиям.
Опыт лучших преподавателей показывает, что действенным способом повторения мате¬
риала с учащимися, имеющими существенные пробелы в знаниях, является решение целесообразно подобранных упражнений с попутным повторением теоретического материала. Для экономии времени при повторении необходимо шире применять наглядность, технические средства обучения, средства программированного контроля знаний.
Следует иметь в виду, что повторение ранее изученного материала всегда связано с преодолением трудностей психологического порядка, так как учащихся труднее заинтересовать этим материалом. Поэтому необходимо так организовать повторение, чтобы старый материал предстал перед учащимися в новом освещении. С этой целью многие преподаватели используют на уроках сведения о значении математики в современных достижениях науки и техники, привлекают элементы историзма, устанавливают межпредметные связи, на ярких примерах убеждают учащихся в необходимости математических знаний для овладения конкретной профессией. В работе с учащимися, которые в восьмилетней школе изучали математику по старой программе, некоторые преподаватели руководствуются измененным содержанием новой программы. Например, эффективным является повторение материала об уравнениях и неравенствах на теоретико-множественной основе, использование нового подхода к формированию понятия функции, применение идеи геометрических преобразований при решении задач по геометрии и т. п.
Многие из этих рекомендаций, не являющихся принципиально новыми, полностью относятся к организации текущего и итогового повторения материала и в восьмилетней школе. К сожалению, в процессе повторения и систематизации материала отдельные учителя не обращают еще должного внимания на выявление и устранение пробелов в знаниях более слабых учащихся.
Нынешние условия, когда средние профтехучилища признаны одним из наиболее перспективных путей подготовки высококвалифицированных рабочих и получения молодежью среднего образования, предъявляют повышенные требования к общеобразовательной подготовке учащихся, поступающих в эти учебные заведения. Если раньше учитель интересовался только тем, как учатся его питомцы в соседней средней школе, техникуме или вузе, то теперь ему необходимо также знать, как преуспевают в овладении сложными профессиями на базе сочетания специальной и общеобразовательной подготовки те учащиеся, которые поступили в профтехучилища.
43


Необходимо, в частности, чтобы вопросы
преемственности в математической подготовке учащихся общеобразовательных школ и профтехучилищ стали предметом систематического обсуждения на методических секциях, предметных комиссиях, тематических семинарах и конференциях. Важно, например, проанализировать совместно с учителями школ результаты контрольных работ, проводимых на первых курсах училищ по текстам самих учителей, руководства училищ, областных управлений, методических центров Государственного комитета по профтехобразованию. В связи с обсуждением итогов работ целесообразно заслушать на совместных заседаниях ряд докладов, построенных в плане преемственности обучения в профтехучилищах и школах, например:
Методика проведения первых уроков математики в профтехучилище.
Уроки повторения при изучении алгебры и начал анализа (соответственно при изучении геометрии).
Воспитание у учащихся интереса к изучению математики.
Коммунистическое воспитание учащихся на уроках математики.
Методика использования диафильмов и кинофильмов при повторении материала.
Анализ качества знаний учащихся по результатам контрольных работ.
Опыт организации индивидуальной работы с учащимися, имеющими пробелы в знаниях.
Организация уроков в математическом кабинете.
Опыт проведения зачетов по материалу предыдущих лет обучения.
Методика проведения кратковременных письменных работ,
Небезынтересно также провести ряд работ по единым текстам по новому материалу на 1 — III курсах училищ и в IX—X классах школ и вместе обсудить их итоги.
Учителя старших классов школы могут почерпнуть много полезного из опыта своих кол¬
лег— преподавателей профтехучилищ. Это относится в первую очередь к осуществлению межпредметных связей, использованию на уроках материалов, взятых непосредственно из производства. Следует иметь в виду, что основой связи общеобразовательной и специальной подготовки учащихся в среднем профтехучилище является принцип политехнизма, поэтому и фактический материал (естественно, выборочно), а главное — формы и методические приемы таких связей могут с успехом использоваться в практике работы учителей школы.
Для совместной профориентационной работы училища и школы целесообразно использовать материалы, разрабатываемые преподавателями профтехучилищ с целью придания своему предмету профессиональной направленности. Это задачи с производственно-техническим содержанием, самодельные диафильмы и кинофильмы, оригинальные наглядные пособия, иллюстрирующие применение математики в данной профессии, приборы с математической основой, применяемые на производстве, и т. п.
Большую помощь в деле расширения политехнического кругозора учащихся средней школы могут оказать экскурсии в кабинеты и лаборатории училищ, учебные мастерские, на полигоны и производственные участки. Отдельные экскурсии, имеющие комплексный характер, можно планировать для группы учащихся профтехучилища и соответствующего класса общеобразовательной школы.
Трудно предусмотреть все разнообразие форм и методов этой важной и интересной совместной работы, которая, по существу, только начинается. Как и во всяком новом деле, здесь требуется живой обмен мнениями, изучение и внедрение передового опыта.
Желательно, чтобы творческие находки преподавателей профтехучилищ и работников системы профтехобразования шире освещались на страницах журнала.


Технические средства обучения. Наглядные пособия
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ, М. Б. ВОЛОВИЧ, Э. Ю. КРАСС, Г. Г. ЛЕВИТАС
(Москва)
«ШКОЛЬНОЕ
ОБОРУДОВАНИЕ-73»
С 22 ноября по 2 декабря 1973 г. в Московском выставочном комплексе «Сокольники» функционировала выставка школьного оборудования. На ней были представлены средства обучения из 18 стран: СССР, ГДР, ЧССР,
ПНР, НРБ, ВНР, СФРЮ, США, ФРГ, Англии, Японии, Франции, Австрии, Италии, Австралии, Швейцарии, Швеции и Норвегии.
Выставка привлекла внимание широкой общественности. На ней побывало около 230 тысяч посетителей. Сюда, в Сокольники, приезжали работники народного образования со всех концов страны. Особым вниманием пользовались учебные кабинеты советского раздела выставки. Наибольшее число посетителей неизменно собирал кабинет математики.
На выставке была представлена одна из возможных его моделей, отличающаяся простотой, что позволяет воспроизвести ее в самых разнообразных условиях. В различных модификациях эта модель распространена в школах СССР. Как показывает опыт, накопленный в нашей стране, преподавание математики в условиях кабинетной системы имеет ряд неоспоримых преимуществ. В кабинете учащиеся получают более разносторонние и прочные знания. Вычислительные навыки, пространственные представления, понимание специфики и строения математической науки становятся более глубокими. Экспозиция не просто давала возможность посмотреть выставленное на стендах оборудование. Вниманию посетителей была предложена действующая модель кабинета математики, т. е. единая, органически связанная система оборудования, подобранная в соответствии с содержанием и методикой обучения предмету, с требованиями научной организации труда учителя и учащихся.
В кабинете математики удалось сосредоточить и продемонстрировать последние достижения в области методики преподавания математики: показать возможность управлять учебным процессом (и прежде всего усвоением) с помощью учебного оборудования. В органическом единстве предстали здесь учебники и методические пособия, экранные средства обучения и приборы, таблицы и печатные материалы для индивидуального использования. В частности, была полностью представлена система учебного оборудования для IV класса: 3 книги, 5 кинофрагментов, 10 диафильмов, 6 серий диапозитивов, серия таблиц1, 5 приборов, а также комплект брошюр с индивидуальными заданиями и тетрадь с печатной основой, которые содержат задачи к каждому пункту стабильного учебника «Математика-4».
Комплексный подход к созданию и использованию учебного оборудования демонстрировался также и по другим темам программы. Экскурсовод нажимает кнопку на пульте учителя, и на экране возникает кадр из серии диапозитивов «Работа с логарифмической линейкой»2. А рядом висит демонстрационная логарифмическая линейка. Даже без объяснений понятно, что деления и цифры, хорошо различимые на экране, значительно облегчают учащимся понимание вычислений с помощью демонстрационной линейки. На одном из столов кабинета с этикеткой «Логарифмы» сосредоточены индивидуальные средства обучения по той же теме: логарифмические линейки, таблицы и т. д.
Особый интерес у посетителей неизменно вызывали технические средства обучения, представленные в кабинете математики: кинопроектор, диапроекторы «ЛЭТИ» и «Протон», магнитофон с записями математических диктантов в два варианта (первый вариант читает мужской голос, второй — женский), кодо- скоп3 и контролирующее устройство «Мор- шанск»4 (рис. 1). Продуманная система управления этой техникой с пультов, расположенных на столе учителя, делает ее удобной в эксплуатации.
Посетители видели ящики для таблиц и приспособления для их подвески, шкафы
1 Г. Г. Левитас. Таблицы по математике для IV класса. «Математика в школе», 1971, № 2; М. Б. Воловин, Г. Г. Левитас. Таблицы для V класса, «Математика в школе», 1971, № 5.
2 В. Г. Болтянский, Г. Г. Левитас. Диафильмы и диапозитивы на уроках математики. «Математика в школе», 1971, № 3.
3 В. Г. Болтянский. Применение кодоскопа на уроках математики. «Математика в школе», 1971, № 6.
4 Ю. В. Головин. Контролирующее устройство «Мор- шанск-ЗА». «Математика в школе», 1973, № 1.


с укладками для диафильмов, передвижные подставки с проекционной аппаратурой, и понимали, что при оборудовании кабинета особенно важно обеспечить учителю максимальные удобства в работе. Многие учителя признавались, что только теперь они увидели в кабинетной системе не очередную «кампанию», а подлинное средство научной организации педагогического труда. «Теперь я понимаю, почему мои учителя не пользуются таблицами и диафильмами,— говорила нам директор одной школы Украины.— Таблицы в рулонах хранятся у меня в кабинете, диафильмы тоже. Думала — так сохраннее...».
Рис. 1
В своих отзывах (и письменных, и устных) многие посетители отмечали, что хотя у них нет возможности приобрести уже сегодня «ЛЭТИ», «Протон» и передвижные подставки для них, но они поняли, как обеспечить максимально эффективное использование того оборудования, которым они располагают сейчас.
Из экспонатов кабинета наибольшее внимание, естественно, привлекли новинки: приборы, тетради с печатной основой (рис. 2), брошюры с индивидуальными заданиями. Рядом с доской располагалось ^лектросветовос таб-
Рис. 2
ло5. «Читал его описание,—говорит посетитель,— но делать прибор не стал: казалось, что он не очень полезен. А теперь вижу: нужен он и для изучения множеств, и для решения систем уравнений». В самом деле, языком всего курса математики должен быть по новой программе язык теории множеств; поэтому электросветовое табло может использоваться повсеместно. Например, при решении систем уравнений можно «высветить» на приборе зеленым цветом множество решений первого уравнения, красным — множество решений второго уравнения. Пересечение этих множеств дает наглядное представление о решении системы.
Всеобщее одобрение вызвали приборы «Прозрачная доска»6, «Двоичные счеты»7, «Квадрат, вписанный в треугольник»8, «Прибор «6 — б»9, «Углы и их виды» 10 и магнитный набор «Измерение площадей»11 (рис. 1). А «Полигон логических структур» был отмечен в статьях «Правды» и «Учительской газеты». Читатели журнала «Математика в школе» познакомятся с описанием полигона в одном из ближайших номеров журнала. Будут опубликованы описания и других приборов, экспонировавшихся в кабинете. Большинство приборов либо уже выпускаются промышленностью, либо подготовлены к производству,
5 Э. Ю. Красе, Г. Г. Левитас. Электрифицированное световое табло. Сборник «Учебно-наглядные пособия по математике» под ред. А. М. Пышкало, вып. III. М., «Просвещение», 1968.
6 А. О. Антонов. Прибор для демонстрации параллельного переноса, поворота и осевой симметрии. «Математика в школе», 1973, № 6, обложка.
7 Г. Г. Левитас. Использование русских счетов при изучении двоичной системы счисления. Сборник «Учебно-наглядные пособия по математике» под ред. А. М. Пышкало, вып. III. М., «Просвещение», 1968.
8 М. М. Лиман. Квадрат, вписанный в треугольник. «Математика в школе», 1972, № 4, обложка.
9 Г. Г. Левитас. К определению понятия предела. «Математика в школе», 1974, № 1, обложка.
10 Э. Ю. Красс. Прибор «Углы и их виды». «Математика в школе», 1971, № 3, обложка.
11 Г. Г. Левитас. Набор моделей «Площадь плоских фигур» на магнитах. Сборник «Учебно-наглядные пособия по математике» под ред. А, М. Пышкало ьып. III. М., «11рос1>ещеш1с*, IbGb.


однако тиражи пока невелики, а изготовление их в условиях школьных мастерских не так уж трудно. Было отрадно слышать от посетителей, что даже сравнительно сложное устройство «Моршанск» изготовлено и успешно работает в ряде шу.ол
Горячие отклика вызвали тетрадь с печатной основой 12 и брошюры с заданиями (новый способ предъявления учащимся индивидуальных заданий). Более половины письменных отзывов посвящены этим учебным средствам.
Из других стран нужно прежде всего сказать о ГДР, также представившей на выставке отдельный кабинет математики. Здесь можно было видеть шаблоны, чертежные инструменты, кодоскоп с рабочим столиком 250 X Х250 мм и материалами к нему и ряд других предметов учебного оборудования.
Интересны были и экспозиции других социалистических стран. ВНР продемонстрировала контролирующие устройства, близкие по своим возможностям к нашему «Моршанску». Среди других приборов следует отметить «Лаб-лог», предназначенный для индивидуального моделирования логических схем, в частности сумматора, работающего в двоичной системе счисления. ПНР показала модели разборных многогранников, части которых скрепляются при помощи вмонтированных магнитов, а также модель, показывающую образование тел вращения (ее идея широко и давно известна, но исполнение вращающихся контуров из тонкой и твердой пластмассы делает модель эффективной). ЧССР показала новый вариант демонстрационных счетов: вместо
круглых косточек на спицы надеты кубики с фигурными отверстиями, позволяющими фиксировать ту или иную переднюю грань, Грани окрашены каждая в свой цвет: синий, красный, желтый и зеленый. Это позволяет «окрашивать» в определенный цвет тот или иной десяток или его часть.
В экспозициях капиталистических стран много внимания быля уделено различном конструкциям досок: от самоклеящейся магнитной доски без рамы фирм Шредель (ФРГ) и Обек (Франция) до сложной комбинации досок фирмы Вейель (ФРГ), в которой отдельные части перемещаются относительно друг друга, а одна из створок складная: ее
12 М. Б. Воловин, Г. Г. Левитас, Тетради с печатной основой. «Математика в школе», 1970* «N° .1*
внешняя сторона — полупрозрачное стекло, на котором можно писать мелом и под которое можно подложить таблицу или, например, лист с прямоугольной системой координат. Есть доски из магнитной резины и из магнитного пластика, из непрозрачного стекла и из стального листа. Цвет досок повсеместно зеленый или белый (доска-экран).
Вторая большая тема зарубежной части выставки — кодоскопы. Они разного размера. Но рабочий столик имеет освещенную часть не меньше 250X250 мм. Кодоскоп позволяет не только проецировать на экран надписи и рисунки, но также показывать прозрачные приборы. Вот на экране круги Эйлера-Венна с разложенными на них геометрическими фигурами. Круги начерчены на кодопозитиве, а фигуры из прозрачного пластика положены сверху на эту заготовку учеником или самим учителем. Интересно отметить, что ни один зарубежный кодоскоп не имеет таких простых и удобных приспособлений, которые были описаны в статье Э. Ю. Красса и В. Н. Толя- рова («Математика в школе», 1973, № 5).
К сожалению, собственно по математике оборудование капиталистических стран было представлено недостаточно полно и, несмотря на наличие отдельных интересных и технически весьма совершенных приборов, не давало возможности судить об уровне оснащенности учебным оборудованием уроков математики. Не видели мы ни одной тетради с печатной основой по математике (кроме рабочей тетради для I класса, представленной НРБ); не было диафильмов и диапозитивов по математике; экспонировавшиеся таблицы по математике были малочисленны.
Среди зарубежных экспонатов было много таких, которые лишь косвенно относятся к школе. Таковы представленная США система индивидуального обучения студентов или целая поточная линия по производству фл а мастеров, выставленная ФРГ.
В настоящее время материалы выставки всесторонне изучаются. Многие экспонаты закуплены у зарубежных фирм.
В дальнейшей работе важно использовать все новое и полезное, что было представлено на выставке. Это позволит более полно и эффективно решить поставленную XXIV съездом КПСС задачу об оснащении школ современным учебным оборудованием.
47


М. И. КАЛИНИНА
(Ленинград)
ТЕЛЕВИЗИОННАЯ ПЕРЕДАЧА
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В IV—VI КЛАССАХ
При массовом переходе школ на новую программу возникает потребность в поиске наиболее эффективных методов и средств обучения. Одним из современных технических средств, совершенствующих методы и приемы обучения, является телевидение.
Лаборатория учебного телевидения совместно с кафедрой методики преподавания математики Ленинградского государственного педагогического института имени А. И. Герцена ведут экспериментальную работу по использованию телевизионных передач в процессе обучения математике учащихся IV—VI классов.
Эти телепередачи являются органической частью урока. Они начинаются через 5 минут после звонка на урок и продолжаются 20— 25 минут. Сравнительно небольшая продолжительность телепередач объясняется повышенной утомляемостью школьников при работе с телеэкраном (разнообразие зрительных впечатлений, темп передачи, насыщенность ее новыми понятиями значительно выше, чем на обычном уроке).
Пять минут до начала телепередачи учитель использует для подготовки учащихся к ее просмотру, организует внимание учеников. Наличие на уроке времени после просмотра телепередачи позволяет учителю ответить на вопросы учащихся, выяснить, как дети поняли объяснение ведущего, в случае надобности дополнить объяснение, приступить к закреплению полученных знаний.
На уроке необходима четкая, согласованная работа учителя и ведущего передачу. Чтобы достичь этого, учителю нужно познакомиться с методическими рекомендациями по использованию телепередачи и проведению второй части урока.
Эти сведения содержатся в специально выпущенных «Методических разработках к учебным телевизионным передачам по математике для IV—VI классов».
В методических разработках дано краткое содержание каждой телепередачи с указанием ее темы и цели, раскрыты пути формирования вводимых на телеуроке понятий, указаны наглядные примеры, используемые в передаче.
В этом же пособии указано, что необходимо повторить с учащимися до телепередачи, как
провести закрепление изученного материала, что задать на дом.
Для лучшей подготовки учителя к телеурокам ежемесячно в соответствии с установленным расписанием транслируется «Час учителя».
Кроме того, сотрудниками кафедры методики преподавания математики ЛГПИ и Ленинградского городского института усовершенствования учителей проводятся групповые и индивидуальные консультации для преподавателей.
На этих консультациях учителя получают ответы на вопросы, возникающие при подготовке к телеуроку, уточняют особенности предстоящего урока. Консультации проводятся в кабинете технических средств обучения ЛГИУУ и на летних курсах, организуемых Ленинградским областным институтом усовершенствования учителей.
По формированию понятия функции была создана система телепередач: «Координатная плоскость», «Графики», «Построение графиков» (V класс); «Соответствие», «Функция», «Способы задания функции» (VI класс).
Первая телевизионная передача для пятых классов была посвящена теме «Координатная плоскость». В IV классе и в первой теме V класса дети учились геометрически изображать числа на числовом луче и на числовой прямой, получили представление о том, что каждому числу соответствует точка на числовой прямой. В теме «Координатная плоскость» учащиеся знакомятся с геометрическим изображением упорядоченной пары чисел точкой на координатной плоскости, продолжают знакомство с понятием соответствия: получают представление о том, что с помощью координатной плоскости устанавливается соответствие между множеством упорядоченных пар чисел и множеством точек плоскости. Таким образом, тема «Координатная плоскость» является естественным завершением изучения числовой прямой и подготовкой к большой теме «Функция».
Эффективность усвоения материала телепередачи зависит и от практической деятельности учащихся во время передачи. Учащиеся строят в тетрадях координатную плоскость, отмечают на ней точки по их координатам. Организацию этой самостоятельной работы учащихся берет на себя ведущий.
Наблюдения за уроком и проверочные работы учащихся показали, что в классах, где принимались соответствующие телепередачи, темы, связанные с понятием функции, усвоены.
48


Эксперимент
И. А. МЕШКОВА (г. Горький)
ГРАФОВАЯ МОДЕЛЬ ПОИСКА РАЦИОНАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Работа по решению задач занимает видное место в школьной практике. Хорошо известны модели синтетического и аналитического способов поиска решений задач [1].
Данная статья предлагает графовую модель поиска рационального решения задачи. При построении такой модели будем пользоваться следующими символами языка теории графов: вершина, ненаправленное ребро, направленное ребро, ребро «равно». Вершина графа изображается точкой на плоскости; ненаправленное ребро — прямолинейным или криволинейным отрезком, соединяющим две вершины графа; направленное ребро в отличие от ненаправленного снабжено стрелкой (рис. 1). Ребро «равно» изображается криволинейным отрезком с «узелками» на концах (рис. 2).
F
Рис. 1 Рис. 2
Задача состоит из данных и искомых и соотношений между ними. Причем соотношения между данными и искомыми не всегда присутствуют в тексте задачи, их надо установить решающему из опыта или используя определенный материал. Поиск решения заключается в установлении указанных соотношений и нахождении следствий условия задачи, в числе которых будет ответ на вопрос задачи, или таких, которые могут служить левой и правой частями уравнений для решения задачи.
Опишем способ построения графовой модели поиска решений задачи.
Условие 1. Условимся вершинами графа моделировать данные, искомые и следствия задачи. Причем вершины будем располагать в разных строках по следующему принципу: з первой строке — данные и искомые, во второй— результаты возможных действий между
объектами, моделируемыми вершинами первой строки, в третьей — результаты возможных операций между объектами, моделируемыми вершинами первой и второй строк. Если следствие есть результат операции между объектами второй строки, то его модель поместим в четвертую строку. Вообще: результат операции между двумя объектами, моделируемыми вершинами т-й и п-й строк, поместим в (т-\-п)-ю строку.
Условие 2. Если между объектами Р и К (объектами будем считать данные, искомые или следствия задачи) возможно произвести действие и получить результат F, то этот процесс будем моделировать графом, как показано на рис. 1. Ненаправленное ребро (Р, К) будет моделью указанного действия, а направленное ребро будет показывать, что в результате этого действия получен объект F.
Условие 3. Ребром (А, В) «равно» условимся моделировать условие равенства объектов, моделируемых вершинами А и В (рис. 2).
Ребро «равно» может соединять две вершины модели, находящиеся в любых строках, кроме первой. Действительно, если ребро «равно» соединяет две вершины первой строки, значит, среди данных есть одинаковые или такие, которые дают ответ на вопрос задачи, чего обычно не бывает. Самый короткий путь составления уравнения тот, на который указы-, вает ребро «равно», если оно соединяет вершины первой и второй строк.
Условие 4. Условимся определять степень сложности пути составления уравнения по формуле (т-\-п — 2), где т, п — номера строк, в которых находятся вершины, соединенные ребром «равно».
Примечание. Если результат действия (Р, К) между двумя объектами, моделируемыми вершинами Р и К, является выражением, тождественным одному из объектов, уже нашедшему свое место в модели, то условимся операцию (Р, К) и ее результат не моделировать. Если результат операции (Р, К) есть объект, которому соответствует вершина графа, уже соединенная ребром «равно», то его также не будем моделировать.
Модель, составленная согласно данным условиям, должна быть такой, что все ее вершины соединены ребрами «равно» по одному разу. В этом случае можно считать, что найдены возможные пути решения задачи. Однако на практике нет необходимости искать все возможные пути решения задачи, достаточно ограничиться наиболее рациональным.
Предлагаемая модель покажет возможные пути составления уравнений для решения за¬
49


дачи, позволит определить их степень сложности (условие 4), выбрать из всех путей составления уравнений самый короткий, т* а, имеющий наименьшую степень сложности,
Не исключено, «пго модель покажет несколько различных путей составления уравнений одинаковой степени сложности. В этом случае простейшим будет считаться тот путь, который приводит к уравнению, решаемому с помощью меньшего числа операций.
Рассмотрим на примере модель поиска рационального решения задачи.
Задача 1. Из двух точек, расстояние между которыми 1320 м, выходят навстречу друг другу два тела. Одно из них может пройти это расстояние за 12 минут; скорость другого в 2 раза больше скорости первого. Через сколько минут тела встретятся? ([2], стр. 37, №198).
Покажем модель поиска некоторых уравнений к данной задаче, именно тех, которые расположены в ближайших строках графа, т. е. наиболее рациональных. Вершины 1, 2, 3, 4 (рис. 3) расположены в первой строке
ла)- Из вершины 2 исходят два ненаправленных ребра к вершинам 3 и 4. Операция (2, 3} определяет следствие 6 (возможное время движения второго тела на участке АВ), а операция (2, 4)— следствие 7 (время движения первого тела на участке ВС). Между объектами 3 и 4 можно произвести две операции и получить следствие 8 (время движения второго тела на участке АС) и 9 (время движения первого тела на участке ВС). Следствие 10 есть результат операции между объектами 4 и 9 (первой и второй строк графа) и помещено в третью строку.
Ребра «равно» соединяют вершины 7 и 9 второй строки, вершины 2 первой и 10 третьей строк. Значит, можно составить уравнения:
2х= 12 — х (1)
и
Зх= 12. (2)
Уравнение (1) 2+2 — 2= 2-й сложности, уравнение (2) 3+1—2= 2-й сложности, т. е. оба пути получения уравнений (1) и (2) одинаковой сложности. Если же продолжить граф
тим(АВ)
и
Пмиф.шАВ) вгта^,)
2х мим (it наВС)
Рис. 3
Ю
Зл мин (t, на А В)
и моделируют данные и искомые задачи. На рисунке указаны краткие обозначения моделируемых ими объектов. Так, вершина 1 моделирует расстояние АВ (1320 м)\ вершина 2 —время движения первого тела на пути АВ (12 мин.); вершина 3 — соотношения: «скорость второго тела больше скорости первого в 2 раза» или «время движения первого тела на каком-то пути больше времени движения второго на том же пути в 2 раза»; вершина 4 — искомое время движения первого тела на участке АС или второго на участке ВС.
Во второй строке графа расположены вершины 5—9, моделирующие первую группу следствий условия задачи, полученных путем возможных операций между данными и искомыми. Так, вершина 1 соединена единственным ненаправленным ребром с вершиной 2. Это значит, что возможна единственная операция между данными 1 и 2. Операция (1, 2) определяет следствие 5 (скорость первого те-
поиска решений и дальше, то найдем иные пути решения задачи той же или большей сложности. Так, традиционное арифметическое решение, выраженное числовой формулой
1320
. Х~ 1320 1320-2’
12 + 12
будет решением 1+6 — 2= 5-й сложности.
Графовая модель показала наиболее рациональные пути решения данной задачи, а также и тот факт, что данное 1 в приведенной задаче является лишним, т. е. задача переопределена. Действительно, рациональные пути решения не используют данного 1.
Предоставляем читателю самостоятельно осуществить поиск рационального решения другой задачи.
Задача 2. Расстояние между турбазами А и В равно 25 км. Из А в В вышел турист, а через три часа со скоростью 20 км/ч вслед за ним выехал велосипедист, который догнав
Ш


туриста, навернул мазад и, двигаясь с той же скоростью, прибыл в А одновременно с при- ходом туриста в В. Найти скорость туриста. ([3], стр. 276, № 1118.)
Наиболее рациональным будет путь получе-
25 — Зх Зх л \ л
ния уравнения -—^— = 20=Т? т‘ е‘ 4 + 4~~~
— 2 = 6-й сложности.
Для того чтобы не потерять возможных следствий задачи, целесообразно поступать так: пусть в первой строке п вершин (1, 2, 3,..., л). Будем последовательно сопоставлять вершину 1 с остальными (2-й, 3-й,..., /г-й). Если возможно действие (1, k) (1 <Lk^.n), то смоделируем его вместе с полученным результатом. Затем будем сопоставлять вершину 2 со всеми последующими и моделировать возможные действия и их результаты и т. д.
Аналогично будем поступать с вершинами второй и других строк. Только сначала будехМ последовательно сопоставлять каждую вершину т-й строки с каждой вершиной предыдущих (т — 1)-й строк, а затем друг с другом.
Предложенный способ моделирования за¬
дач помогает расчленить сложную задачу на ряд простых. Графовое моделирование может быть использовано для работы учителя над за-; дачей с целью обучения учащихся рациональным способам решения задач.
В средней школе № 166 г. Горького (на кружковых занятиях в 1971/72 и в 1972/73 учебных годах) проводился эксперимент обучения учащихся VIII класса поискам рациональных путей решения задач. В заключение была дана контрольная работа, в которой следовало найти рациональные решения достаточно сложных задач. Учащиеся успешно справились с работой; примерно 69% выполнявших ее получили оценки «4» и «5».
Литература
1. В. В. Репьев. Очерки по общей методике математики. Горьковское книжное издательство, 1955.
2. В. А. Игнатьев и др. Сборник задач и упражнений по арифметике (для педучилищ), изд. IV. М., «Просвещение», 1966.
3. /С. С. Муравин, Е. Г. Крейдлин. Сборник задач по алгебре (для 6—8 классов), изд. 2-е. М., «Просвещение», 1968.
Внеклассная работа
3. А. БОРИСОВА, П. И. МАСАРСКАЯ, Г. Б. ЮСИНА
(Москва)
ВЗМШ — УЧИТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ
1973/74 учебный год — десятый год работы Всесоюзной заочной математической школы. За это время ВЗМШ окончили более 20 тысяч учащихся. Большая заслуга в этом — учителей математики, которые не только поддерживают интерес учащихся к работе ВЗМШ, но и помогают им в преодолении неизбежных трудностей, возникающих при самостоятельной работе над ее заданиями.
Особенно большая и регулярная работа проводится учителями математики — руководителями групп «Коллективный ученик». (Подробно об этой форме работы ВЗМШ можно прочитать в журнале «Математика в школе», № 4 за 1966 г., № 3 за 1970 г. и др.).
В 1973/74 учебном году в ВЗМШ работают 700 групп «Коллективный ученик» с общим количеством учащихся 10 500.
В юбилейный, десятый год работы приятно отметить учителей математики, работающих в ВЗМШ почти со дня ее основания:
Байрамгулов А. Е. — г. Уфа, школа № 39.
Бененсон М. М. — г. Бобруйск, школа № 3.
Возняк Г М — Корчинская школа Радеховского р-на Львовской иол.
Васильев Н. Т. — г. Сочи, школа № 7.
Дратва Г. В. — г. Кишинев, школа № 37.
Иванов А. И. — Карачевская школа д. Илебары Козловского р-на ЧувАССР.
Исайчев А. В. — г, Новотроицк Оренбургской обл., школа № 12.
Каплун JI. Е. — г, Троицк Челябинской обл., школа № 3.
Короткова В. С. — г, Фролово Волгоградской обл., школа № 3.
Нудельман А. Г. — г. Омск, школа № 88,
Пафнутов Н. А. — г. Омск, школа № 88.
Плетнев В. И.— пос. Мстера Владимирской обл.
Плясов А. П. — пос, Красноусольск Гафурийского р-на, БашкАССР.
Ругарева А. Я. — г„ Ростов-на-Дону, школа № 5„
Чепкасов Г. С. — г. Краснодар, школа № 53.
Цхай Т. Т. — г. Андижан УзССР, школа № 14.
Позже активно включились в работу ВЗМШ руководители групп «Коллективный ученик» сельских школ:
Кирсанова Г. А. — с. Марфино Астраханской обл.
Лахман Н. П. — с. Развильное Песчанокопского р-на Ростовской обл., школа № 9.
Охримович С. М. — пос. Шантобе Балкашинского р-на Целиноградской обл.
Процишин В. Н. — с* Песчаное Качирского р-на Пав лодарской обл. и др.
Работа групп «Коллективный ученик» позволяет учителям хорошо организовать внеклассную работу пс математике. Пособия ВЗМШ (задания) являются <цен- ным материалом для факультативных занятий.
Учителя в своих отзывах о работе ВЗМШ отмечают, что работа групп «Коллективный ученик» особенно полезна сельским школьникам. Обучаясь индивидуально, эти ребята часто затрудняются в выполнении заданий ВЗМШ, поэтому коллективное обсуждение этих заданий для них особенно полезно. По отзывам учите
61


лей, сотрудничество с ВЗМШ помогает им не только в организации внеклассной работы, но и в непосредственной работе на уроке со всем классом.
На вопрос «Как вы используете пособия ВЗМШ в классе?» нам отвечают: «Брошюру «Метод координат» применяю при изучении в VII классе темы «Координаты точек», книгу «Функции и графики» регулярно использую в VIII, IX и X классах» (Г. А. Кирсанова). «Символику, принятую в ВЗМШ, образцы оформления работ использую в своей работе с учащимися» (Н. П. Лахман). «Задачи из пособий B3MLLI часто использую на уроках» (Г. С. Чепкасов).
За время учебы в ВЗМШ углубляется интерес учащихся к математике. Часто занятия в ВЗМШ оказывают влияние на выбор будущей профессии. Вот что пишет учительница школы № 14 совхоза «Элит» Краснодарского края Т. Т. Калашникова: «95% из окончивших группу «Коллективный ученик» связали свою жизнь с математикой или выбрали профессии, близкие к математике, 31% учатся или окончили физматы пединститутов или университетов».
Группы «Коллективный ученик» работают в самых отдаленных уголках Советского Союза. Долгие годы руководит одной из таких групп учительница математики Л. С. Дербенева (г. Южносахалинск, школа № 10). Рассказывая о выпускниках своего кружка, она сообщает, что 16 учащихся, получившие одновременно с аттестатом справки об окончании ВЗМШ, поступили в высшие учебные заведения. Успех своей работы она связывает с помощью, которую ей оказывали заочные консультации и методическая литература ВЗМШ.
Учитывая просьбы учителей, было принято решение в 1974/75 учебном году расширить прием в группы «Коллективный ученик». В группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной контрольной работы.
В качестве «Коллективного ученика» может быть принят любой математический кружок учеников VIII или IX классов (в 1973/74 учебном году эти ученики обучаются в VII или в VIII классах соответственно). Прием в группу «Коллективный ученик» проводится до 20 сентября 1974 г.
Ниже печатаются задачи вступительной контрольной, работы и условия приема 1974 г. Просим учителей математики рекомендовать своим сильным учащимся принять участие в конкурсе работ.
Вниманию семиклассников!
Во Всесоюзную заочную математическую школу (ВЗМШ) принимаются ученики VII класса. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в ВЗМШ не принимаются.
Занятия начнутся с I сентября. Обучение в школе бесплатное. Учащиеся, принятые в школу, будут регулярно (примерно раз в месяц) получать задания, которые содержат объяснения теоретических вопросов и задачи для решения. Выполненные задачи будут проверяться преподавателями ВЗМШ — студентами, аспирантами и преподавателями МГУ и других университетов и институтов, при которых организованы филиалы нашей школы.
В ВЗМШ три курса обучения.
Предлагаем вам задачи, которые служат вступительной контрольной работой в ВЗМШ.
Желающие поступить в ВЗМШ должны выслать решения задач не позднее 20 марта 1974 г. После проверки работы (примерно в июле 1974 г.) будет сообщено, приняты ли Вы в ВЗМШ. Преимуществом при зачислении пользуются школьники, проживающие в сельской местности и рабочих поселках.
Хотя некоторые из вступительных задач по внешнему виду отличаются от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительны? знаний по математике.
Для того чтобы быть принятым в школ>. не обязательно решить все задачи без исключения. При оценке работы будет учитываться не только количество решенных задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких объяснений может быть не засчитан. Если в задаче возможны несколько разных ответов, то надо указать их все.
Работа должна быть выполнена на русском языке в ученической тетради в клетку. Вступительные работы обратно не высылаются.
Просим при пересылке не сворачивать тетрадь в трубку. В конверт вместе с тетрадью нужно вложить листок бумаги размером 14X6 см с написанным на нем Вашим почтовым адресом (мы наклеим его на конверт, когда будем посылать Вам ответ).
На обложку тетради наклейте лист клетчатой бума- ти, разграфив и заполнив его по следующему образцу (иначе Ваша работа проверяться не будет):
Область Фамилия, имя Год рождения Класс
Школа (полное название)
Фамилия, имя, отчество учителя математики Место работы и должность родителей
Полный почтовый адрес
Калужская
Иванов Петр
1960 г.
VII класс
г. Сухиничи, средняя школа № 1
Никаноров Владимир
Алексеевич
Отец — шофер автобазы № 3
Мать — домашняя хозяйка
2. 	Сухиничи, ул. Ленина, д. 3, кв. 23
Результаты проверки (заполняется проверяющим)
1
2
3
4
5
6
7а
76
8
9а
96
10
11а
116
1 1
1 1
Школьникам, проживающим в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской и Псковской областях, Коми и Карельской АССР, Белорусской, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, следует высылать работы по адресу: Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61. Специнтернат при ЛГУ. Заочная математическая школа. На конкурс.
Учащимся, проживающим в Воронежской, Белгородской, Тамбовской, Курской и Липецкой областях, следует высылать работы по адресу: г. Воронеж, университет, ФЗМШ. На конкурс.
Учащимся, проживающим в Казахской ССР, следует направлять свои работы в Уральский филиал ВЗМШ по адресу: г. Уральск Зап. Казахстанского края, пединститут, физмат, кафедра высшей математики, ЗМШ. На конкурс.
Школьникам, проживающим в остальных областях РСФСР и других союзных республиках, следует высылать работы по адресу: 117234, Москва В-234, МГУ, мех-мат, ВЗМШ. На конкурс.
Задачи вступительной контрольной работы в ВЗМШ в 1974 г.
1. 	Три друга сыграли несколько партий в шахматы, причем каждые двое сыграли друг с другом одинаковое количество партий. Потом стали решать, кто по-
52


бёдитель. Первый сказал: «У меня больше, чем у каждого из вас выигрышей». Второй сказал: «У меня меньше, чем у каждого из вас, проигрышей». Но когда подсчитали очки, то оказалось, что больше всех очков набрал третий. (Выигрыш—I очко, ничья — 1/2 очка, проигрыш —0). Могло ли так быть? Если нет — докажите, если да — приведите пример.
2. Существуют ли три положительных целых числа а, Ь, с, таких, что а меньше 1974, b на 1575 меньше с и а2 + Ь* - с2?.
3. На дороге, соединяющей аулы А и В, нет ровных участков. Автобус в гору идет всегда со скоростью 15 км/ч, под гору — 30 км/ч. Найдите расстояние между А и В, если из А в В и обратно автобус идет 4 часа (без остановок).
4. Основания трапеции равны 15 см и 11 см, боковые стороны — б см и 9 см. Постройте такую трапецию и докажите, что ее можно разрезать на три конгруэнтных трапеции.
5. Дама сдает в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак. Саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем две остальные веши: корзина и чемодан, а корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая и какая самая легкая?
6. Точка D лежит на биссектрисе угла АС В. На луче С А выбрали точки Ау и Л2, а на луче СВ — точки
В1 и В2 так, что четыре точки Аи С, Ви D лежат на
одной окружности и четыре точки А2, С, В2, D тоже
лежат на одной окружности. Докажите, что
7. Подряд в строчку выписаны 1974 цифры. Каждое двузначное число, записываемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в каком они написаны), делится на 17 или на 23.
а) Последняя цифра 1. Какова первая?
б) Первая цифра 9. Какова последняя?
8. Периметр выпуклого четырехугольника ABCD равен 10, его стороны А В и CD параллельны. Найдите длины всех сторон, если известно, что биссектрисы углов А и В четырехугольника делят сторону CD на три равные части, а биссектрисы углов С и D делят
сторону А В на три равные части.
9. а) Перечислите все возможные прямоугольники, у которых длины сторон больше 10 и которые можно разрезать на 28 прямоугольников размером 3X5.
б) Можно ли 28 брусками размером 3X5X10 заполнить какую-нибудь прямоугольную коробку axbxc, где а^Ь^с^Ю?
10. Существует ли девятизначное число, записываемое цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, у которого нельзя вычеркнуть пять цифр так, чтобы оставшиеся четыре шли в порядке возрастания или в порядке убывания?
И. Можно ли указать внутри треугольника со сторонами 3, 4, 5 точку, расстояния от которой до каждой из сторон треугольника: а) меньше 2; б) меньше 1?
И. Н. ВИКОВАН
(с. Хряцка Черновицкой обл.)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЕЧЕР В СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ
Поделимся опытом организационно-методической работы по подготовке математического вечера для учащихся VII—VIII классов в условиях сельской школы (Хряцкая восьмилетняя школа Черновицкой обл.).
На первом занятии математического кружка в сентябре 1972 г. учащиеся были ознакомлены с планом работы кружка на 1972/73 учебный год. На этом же занятии было решено подготовить математический вечер. Для организации вечера члены кружка были распределены на четыре группы: I группа учащихся отвечала за пригласительные билеты, значки и дежурство на вечере; II группа готовила математические игры и соревнования; III — оформляла помещение; IV — занималась подготовкой игры «Математическая лотерея». Учащиеся избрали жюри и главного ответственного за вечер. На вечер было решено пригласить из соседних школ учащихся, интересующихся математикой.
Программа математического вечера.
1. Организационная часть.
2. Доклады и сообщения по темам: «Конечные и бесконечные множества», «Элементы теории отношений в IV—VIII классах», «Приемы устного счета».
3. Математическое соревнование «Барьеры».
4. Стихотворение «Бумага и ножницы», игры: «Разрежь и сложи», математические загадки, шарады и фокусы.
5. Математическая лотерея.
6. Заключительная часть.
Для вечера был оформлен школьный $ал и три классные комнаты — помещения «математиков».
Всем учащимся VII—УIII классов были вручены
пригласительные билеты на вечер. Текст одного из таких билетов приведен ниже.
Билет № 4 Ученику VIII класса ...
Члены математического кружка приглашают Вас принять участие в вечере, который состоится ... (число, месяц) в ... часов.
Предлагаем Вам повторить теорему о средней линии трапеции.
При входе в школу каждый участник вечера попадал в помещение «математиков». Там он отдавал свой пригласительный билет, получал «корешок» с задачей, бумагу и карандаш. (Пример «корешка» к билету JS&4 дан на рис. 1.)
Корешок N° 4 (VIII кл.). Решите задачу. ;
На прямой линии, соединяющей два телеграфных ' столба, на одинаковом расстоянии от них растм>- жен третий телеграфный столб. На каком рассто& нии от прямой дороги находится этот столб, если два других удалены от нее на 32 м и на 58 м?
Рис. I


Каждый вошедший решал задачу, потом подходил к жюри и сдавал корешок с решением. Если задача была решена верно, то решившему для поощрения выдавался специальный нагрудный значок. При этом номер значка совпадал с ответом задачи. (В задачах мы так подбирали данные, чтобы их ответы были целыми числами от 1 до 100.) Если же ученик не смог решить задачу, то ему разрешалось присутствовать на вечере, но нагрудного значка он не получал. Нагрудные значки учащиеся — организаторы вечера сделали сами (рис. 2).
Рис. 2 Рис. 3
Участники вечера, вышедшие из комнаты «математиков», попадали в зал, где должны были состояться доклады. После небольших докладов «Конечные и бесконечные множества», «Элементы теории отношений в IV—VIII классах», подготовленных учителем, трое учащихся сделали сообщение о приемах устного счета. Основным пособием для подготовки этого сообщения была книга для учителей Я. Ф. Чекмарева «Методика устных вычислений (с набором упражнений по устному счету)» (М., «Просвещение», 1970).
Для проведения математического соревнования «Барьеры» поперек коридора натянули шнуры, к которым прикрепили карточки с заданиями. На каждом шнуре-барьере поместили 10 карточек, по одной на каждого участника; таким образом, в одном туре соревнования могли одновременно участвовать 10 человек.
На каждой карточке была записана задача. Ответ на задачу каждой карточки первого барьера был записан на карточках второго барьера, ответы на задачи второго барьера помещались на карточках третьего барьера и т. д. Номер барьера был равен числу очков, которое присуждалось за решение каждой задачи данного барьера. При правильном решении задачи первого барьера участник соревнования получал от судьи первого барьера кубик с цифрой 1 на нем, а затем должен был найти на втором барьере ту карточку, на которой был помещен ответ первой задачи, на этой же карточке была записана угорая задача. Если и вторую задачу ученик решил верно, то он получал кубик с цифрой 2 на нем и переходил к третьему барьеру и т. д. Если
ученик неправильно решил какую-то задачу, то к он не получал. В таком случае судья по барьеру л сообщал ему ответ задачи. Результаты соревнова оформлялись в виде таблицы:
Фамилия
участника
Класс
Время
Количество кубиков
Количество очков
Ме.
Иванов
VIII
18—00
7
28
1
Лазоренко
VIII
18—03
6
21
II
Климова
VII
18—07
4
11—1 = 10
11
При подсчете очков жюри учитывало время прохож ния барьеров. За каждые 5 минут отставания от у стника, сдавшего кубики первым, судьи вычитали од очко (см. табл.). Продолжительность турнира не iij вышала 35—45 мин. Учащимся, занявшим первые, вг рые и третьи места, присуждались призы. >
На математическом вечере проводились и различи! игры: математическое лото, «Разрежь и сложи», «0 гадай ребус» и др.
Ниже мы описываем организацию игры «Математ ческая лотерея». Для этой игры нужно изготовить ок ло 200 карточек с задачами-билетами и таблицу «в; игрышей». Эта таблица должна состоять из ответов н некоторые задачи (до 50 «счастливых» билетов).
Каждый учащийся, желающий принять участие в лс терее, должен «купить» лотерейный билет. Стоимост билета — ответ на шуточный вопрос или задачу в тс чение нескольких секунд. Например:
Сколько треугольников вы видите на рис. 3?
Какое отношение существует между каждыми двум: числами из трех: 20 <С 25 С 40?
Подсчитайте сумму за 15 сек.: a) XX+32+XXXVIII,
б) 	146+VI+34+XVI.
Найти Л Г) Я, если А = {1, 2, 3, 4} и В = {х, у, z} (3 сек.)
В конце вечера все победители игр и соревновании получили призы. В качестве призов мы вручали книги по занимательной математике. Среди них можно указать «Занимательную геометрию» Я. И. Перельмана и «Математическую смекалку» Б. А. Кордемского. Участники вечера поручили редколлегии выпустить газету «Юный математик», посвященную итогам вечера. В газете были помещены ответы на наиболее интересные задачи, шарады и загадки.
Математические вечера расширяют кругозор учащихся и развивают у них любовь к математике.


М. И. АЙЗЕНБЕРГ Л. И. ТУЛЬЧИНСКАЯ,
(пос. Дрокия МолдССР)
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА
На занятиях кружка в VI классе мы уделяем внимание решению уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. При этом необходимо каждый пример сопровождать геометрической иллюстрацией.
Из ранее изученного учащимся известно, что модуль числа есть расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует это число.
Задание решить неравенство
И <5 (1); \х\ >5 (2)
можно понимать так: найти координаты точек, расстояния от которых до начала отсчета меньше (больше) пяти единиц Множество решений неравенства (1)—числовой промежуток ]—5; 5[ (рис. 1). Неравенству (2) удовлетворяют числа, принадлежащие множеству ]—оо; —5[U]5; -foo[ (рис. 2).
Расстояние между любыми двумя точками А(х\) и В(х2) на числовой прямой можно представить как модуль разности их координат:
|ЛВ| = |х,— хг\.
М. П. МАЛАНЮК
(г. Тернополь)
ИЗ ОПЫТА ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ СЕЛЬСКИХ ШКОЛ
Жизнь давно подсказала, что раннее приобщение одаренных школьников к серьезным занятиям математикой помогает многим из них в зрелом возрасте заняться творческой работой в области точных наук. Поэтому работники советского просвещения ищут пути, которые
Воспользуемся этим при решении примеров.
Решить уравнение \х — 21 = 3 — это значит найти координаты точек, удаленных на числовой прямой от точки с координатой 2 на три единичных отрезка. Корни этого уравнения образуют множество: {—1; 5} (рис. 3).
Решить неравенство;
[л: — 21 <3 (3),
|л: — 2| >3 (4К
Это задание можно понимать так: найти числа, удаленные на числовой прямой от числа 2 на расстояние, которое меньше (больше) трех единиц. Любое число множества ]—1; 5 [ (рис. 4) удовлетворяет неравенству (3). Объединение числовых промежутков ]—оо; —-l[U]+5; +оо[ есть множество решений неравенства (4) (рис. 5).
Найти х из условия \х+2\ = \х — 4|—значит ука-* зать координату точки, одинаково удаленной от точек : координатами —2 и 4. Это будет середина промежутка [—2: 4], т. е. точка с координатой 1 (рис. 6).
Числа, удовлетворяющие неравенству \х— 4|>>|лг — — 2|, на числовой прямой удалены от 4 дальше, чем от 2. Множество решений этого неравенства обозна^ чается: ]—оо; 3[ (рис. 7).
Геометрическое истолкование уравнения \х — 2| + + |* — 61 =4 таково: сумма расстояний от точки с координатой х до точек с координатами 2 и б равна четырем. Этому уравнению удовлетворяет каждый элемент числового множества [2; 6] (рис. 8).
обеспечивали бы лучшие условия для всестороннего развития математических способностей детей. Появление вузовских математических кружков для школьников, лекториев, математических классов и даже специализированных физико-математических школ — лишь отдельные вехи этого поиска. Однако такие формы работы могут функционировать нормально лишь в больших городах. Одаренные к математике дети часто встречаются в сельской местности и многие из них из- за отсутствия соответствующих занятий не успевают развивать свои способности.
.......
-5 0 5
-5 0
5 *
ч
2 $
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
-/ г 5
^ г
5
2
; 4 '
i Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
.
!
о г 34
0
2 6
Рис. 7
Рис. 8
.55


Наиболее удачной формой массового обслуживания детей, проживающих в сельской местности, помш^* математических ОЛИМПИаД И КОНКУРСОВ ЯВЛЯЮТСЯ райЛИЧ- ные формы заочного обучения школьников в математических школах.
На наш взгляд, польза от заочного обучения могла бы быть значительно большей, если б немного снизить трудность и объем обязательных заданий для учащихся ВЗМШ. Известно, что успех в занятиях математикой зависит не только от важности изучаемого, но и от того, как часто школьник отдается самостоятельным занятиям любимым делом. Иногда незначительные, но частые успехи становятся важными стимулами дальнейшей углубленной работы. Кстати, при переходе на трехлетний срок обучения в ВЗМШ характер заданий для учащихся первого года обучения стал значительно проще и занимательнее. Некоторое облегчение заданий для второго и третьего годов обучения было бы тоже очень полезным делом. Исходя из этих положений, мы задались целью, как сочетать эту форму работы ВЗМШ с другими формами, чтобы давать больше пользы учащимся сельских школ.
Опыт подтвердил, что возможности ВЗМШ и ее филиалов, как и других заочных математических школ университетских центров, ограничены и они отбирают для обучения наиболее настойчивых и одаренных школьников. Учитывая это, мы решили параллельно с существующим филиалом ВЗМШ создать заочную математическую© школу облегченного типа учащихся средних школ одной области. С этой целью был создан «Клуб юных математиков» при редакции Тернопольской областной комсомольской газеты «Ровесник». Через газету регулярно через каждые 15—20 дней печатались задания школьникам, ответы и указания к решенным задачам, методические указания и объяснения. Всего на протяжении учебного года под рубрикой ЗМШ напечатано 17 газетных подач.
Совет клуба принял решение печатать задания для двух групп школьников: из выпускников и учащихся VIII—IX классов. Для каждой группы предлагалось за год 12 заданий по 6—7 задач в каждом из них. Известно, что самостоятельная работа немыслима без проработки соответствующей литературы. Поэтому к каждому заданию учащимся VIII—IX классов рекомендовалось изучить один-два параграфа из пособий для факультативных занятий по математике. Выпускникам школ подбирались задан^, способствующие повторению и систематизации знаний за весь курс обучения в
средней школе. Для самостоятельной работы им указывалась полезная книга Г. В Дорофеева, М. К. Потапова и Н. X. Розова «Пособие по математике для поступающих в вузы». При составлении заданий нам очень помог опыт рецензирования работ ВЗМШ. Частично использованы и задачи, предлагаемые в заданиях ВЗМШ.
Уменьшение объема заданий, оперативное ознакомление всех желающих с их условиями, детальное рецензирование работ учащихся студентами привлекло внимание к такой форме работы многих школьников. В редакцию газеты «Ровесник» регулярно направляли свои решения 182 ученика VIII—IX классов и 56 десятиклассников. Это дало возможность на протяжении года привлечь студентов, будущих учителей математики, к проверке и рецензированию заданий школьников, к руководству их работой путем персонального прикрепления студентов к отдельным учащимся, их личных встреч и переписки. Эта работа дает непосредственную пользу как школьникам, так и студентам. При этом значительно уменьшились почтовые расходы, отпала необходимость высылать литературу школьникам. Характерно, что отсев при такой форме работы оказался лишь около 30%. Правда, на протяжении года появлялось много новых заявлений от школьников, желающих принимать участие в решении этих заданий.
Наш опыт подсказывает, что подобная форма работы возможна в условиях любой области, где есть молодежные газеты. Небольшая газетная площадь, от водимая на публикацию материалов ЗМШ, может принести значительную пользу для поднятия интереса к математике у многих детей. Кроме того, можно печатать и отдельные статьи методического характера. Так, под рубрикой «Клуб юных математиков» напечатана статья о методе математической индукции, о советских ученых-математиках и другие материалы, даны решения тех задач, на которые было много ошибочных ответов в ученических решениях и т. п.
В конце учебного года учащиеся десятых классов, регулярно высылающие свои решения рекомендованных заданий, были приглашены на собеседование. Преподаватели педагогического института проводили его с помощью экзаменационных билетов примерно в тех условиях, в каких проводится вступительный экзамен по математике. Собеседование подтвердило, что самостоятельные занятия школьников дали им значительную пользу.
Э. А. ЯСИНОВЫЙ
(г. Куйбышев)
ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕННЫЕ ПО АНАЛОГИИ С ДРУГИМИ ЗАДАЧАМИ
«Я больше всего дорожу аналогиями, моими верными учителями. Они знают все секреты природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в геометрии».
(Н. Кеплер)
При решении задач или при доказательстве теорем часто усматривается возможность составления новой задачи или новой теоремы, аналогичной данной.
Под аналогичными задачами (теоремами) мы будем понимать такие две задачи (две теоремы), которые
в определенном смысле сходны, хотя в целом они и выражают различное содержание.
Об аналогии мы находим высказывание в книге
А. 	И. Головиной и Я. М. Яглома «Индукция в геометрии» (М., Физматгиз, 1961). Авторы этой книги отмечают, что вопрос об аналогии между планиметрическим и стереометрическим предложениями, вообще говоря, не решается однозначно. Иногда для треугольника на плоскости аналогом в пространстве считают пространственную фигуру — тетраэдр, иногда — такой же треугольник, только расположенный в пространстве; аналогом прямой в пространстве можно считать или прямую, или плоскость. Поэтому можно получить разные стереометрические аналогии одной и той же планиметрической теоремы.
В журнале «Математика в школе» № 4 за 1952 г. помещена задача А. Мурклинского; «Дана треуголь-
5Ь


пая пирамида. Доказать, что “^г 1 1
лГ+ аГ +
+
+ , где R — радиус шара, вписанного в пи-
-f~ ~ji~ ~ТГ> где г — радиус окружности, вписанной
рамиду, a hu h2y h3i h4 — длины перпендикуляров, опущенных из вершин пирамиды на противоположные грани».
Нетрудно видеть, что формула, приведенная в условии этой задачи, является стереометрической аналогией для формулы плоского треугольника: — = -д- -Ь _1_
^3
в треугольник, Л„ Л2, —ег0 высоты.
Сходство двух теорем или двух задач может проявиться по-разному. Особенно хорошо это видно на теоремах сферической геометрии, элементы которой учащиеся изучают во многих школах на факультативных занятиях. Не всегда формулы, выражающие зависимость между элементами сферического треугольника, сходны по внешнему виду с аналогичными формулами плоского треугольника. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно сравнить теоремы синусов и косинусов для плоского и сферического треугольников.
Для решения некоторых стереометрических задач (особенно на сечения) полезно применить теорему Ме- нелая. Многие учителя доказывают ее своим ученикам либо на факультативных занятиях, либо на уроках в классах с углубленным изучением математики. Можно дать ученикам и теорему Чевы, хотя бы для того, чтобы при ее доказательстве использовать теорему Менелая. На факультативе, посвященном сферической геометрии, можно доказать теоремы Менелая и Чевы для сферического треугольника.
Теорема Менелая для плоского и сферического треугольников (рис. 1, я, б): Пусть А{ — точка на ВС, Ci — точка не АВ, Вх — точка на продолжении АС. Для того, чтобы Ль В\, С{ лежали на одной прямой1, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство САу АСг
А,В * С,В
СВх:ВгА (для плоского треугольника)
sin 'и САх sin ЛС,
sin kj АХВ ' sin kj С,В сферического треугольника),
sin CBi: sin ВгА (для
Рис. 1
Внешнее сходство между этими теоремами может вызвать интерес у учащихся.
Целесообразно не только показать ученикам аналогии для каких-либо теорем или формул, но предложить им и самим найти эти аналогии. Приведем примеры.
1. 	Будем считать тетраэдр ABCD фигурой, аналогичной плоскому треугольнику ABC.
1 В случае сферического треугольника имеется в виду геодезическая прямая.
Для плоского треугольника доказываем с учениками равенство
a-cos B+b- cos А—с.
Для получения стереометрической аналогии целесообразно перевести длины сторон а, Ь, с треугольника в площади граней Say Sb> *SC, Sd тетраэдра, а углы А, В, С треугольника перевести в двугранные углы при соответствующих ребрах тетраэдра: АВ, AC, AD, ВС и т. д. (рис. 2, а, б). Различие числа сторон треугольника и числа граней тетраэдра, числа углов треугольника и числа двугранных углов тетраэдра не является препятствием для установления аналогии. Для тетраэдра
Sa • cos a+Sb • cos p+Sc • cos y—Sd, где a, P, y — двугранные углы при ребрах ВС, АС, АВ.
8 Я
В
2. Пусть hu h2, fa — расстояния любой внутренней точки правильного треугольника до его сторон, h — его высота; hu h2, /i3, h4 — расстояния любой внутренней точки правильного тетраэдра до его граней, h — его высота (рис. 3,а, б). Для треугольника и тетраэдра имеем соответственно:
hi'\mh2~\-hzz==h и hi'\*h2~\mh$-\~h4=h.
3. Плоский четырехугольник с его диагоналями можно назвать плоским шестисторонником, причем диагонали этого четырехугольника рассматривают как противоположные стороны шестисторонника. Тетраэдр можно назвать пространственным шестисторонником, и в некотором смысле тетраэдр можно считать аналогом плоского шестисторонника.
Рис. 3
щ
в
Сформулируем планиметрическую теорему. Для того, чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов противоположных сторон были равны между собой.
Для плоского шестисторонника теорему можно сформулировать следующим образом: Для того, чтобы две противоположные стороны шестисторонника были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов двух других пар противоположных сторон были равны между собой.
57


После доказательства этой теоремы можно предложить ученикам сформулировать стереометрическую теорему, аналогичную приведенной: Для того, чтобы два противоположных ребра тетраэдра были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов двух других пар противоположных ребер были равны между собой.
4. Поставим задачу: Найти для тетраэдра теорему, аналогичную теореме косинусов плоского треугольника. В примере 1 мы говорили о том, что целесообразно перевести длины сторон треугольника в площади граней тетраэдра, а углы треугольника в двугранные углы
при ребрах тетраэдра. Будет справедлива следующая
теорема:
Пусть АхА2АгАь — тетраэдр, в котором SA^AsAi =
S„ 5
Ах Л3Л4
^2>' $АХА*А,
= S4, тогда
sl + sl + sl
где а, р, 7- А\А2>
>4 — 2S2*53-cos а —
— 2S4-S2*cos р —2S8-54-cos 7,
- двугранные углы при ребрах АХА^ АгА3,
В. 	И. КИРЕЕВ
(г. Саратов)
ЕЩЕ РАЗ О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ
п п
1
i=l 1=1
Пусть надо найти п таких чисел, сумма первых степеней которых равна су*мме их квадратов.
Возьмем п произвольных комплексных чисел, из которых по крайней мере два различных, притом таких, что ни их сумма, ни сумма их квадратов не равны нулю:
Сц С2* •..» Сп—1» сп.
Пусть
с\ “Ь с2 ”Ь • • • + СП'~ 1 “Ь сп *** а Ф ci “Ь с2 “Ь • • • "Ь — Р Ф о*
Найдем отношение а:р, на которое умножим затем каждое с/, получим
а а а
Х\ — С\' р , дг2 = С2*' р , Xц—| = Сп—1 • ,
а
хп в * рп •
Докажем, что получены л чисел, сумма которых равна сумме их квадратов.
В самом деле: п
S а а5
= (^1 + ^2 + • • • + Сп-1 + СлГ“р“ в
/—1
S “ (с1 + с2 + • • • + сп-1 + сп) • ]F =
1=1
Итак, найдено решение уравнения п п
X п)
i=i 1=1
Если Cj = с2 = ... = сп-1 = сп = сф 0, т. е. а = пс9 а 1
и р = пс' ф 0, то -рг = —; тогда хг = х2 = ...
= Xn—\ ХП = 1.
Если Ci + с, -Ь .. о + сл_, + — а *= 0, но р 0, то
JC, - х% — ... — — 0.
58
Пусть теперь произвольно взятые числа таковы, что сумма их первых степеней а=/= 0, а сумма их квадратов р = 0. Например, а = 2 + (2 4- 0 + (2 — /) + 3/ + + / « 6 + 4/; р _ 4 +(3 + 4/)+ (3 — 4/) —9 — 1 = °- Это показывает, что выбранные числа не дадут решений уравнения (1).
Примеры.
1. Найти 5 чисел, удовлетворяющих уравнению (1). Возьмем произвольные с1г с2, ..., с5, из которых хотя
бы два числа различные и притом а=£0 и Р=^=0. Например: 3, —2, —2, — 1, 6; их квадраты: 9, 4, 4, 1, 36. Значит, а «- 4, р — 54; а:р = 2/27; отсюда искомые числа (л:*) и их квадраты (xj):
A JL JL 2_ JL
9 ’ 27 * 27 ’ 27 ’ 9 ;
_4_ _16_ J6_ _4_ J_6
81 ’ 729’ 729» 729’ 81/
Нетрудно проверить, что хг + х2 + х3 + х4 + х5=
= + х\ + х% + х\ + х\ — -2у".
Если бы были взяты вначале числа: —3, 2, 2, 1, —6, окончательный результат был бы тем же.
2. Найти б чисел, удовлетворяющих уравнению б 6
S хп ■“ S •*/*• 6°зьмем произвольные 6 чисел /2=1 /1=1
с2, св, для которых выполняются поставленные
выше условия. Например: —3/, —1+2/, 2, 1 + 2/,
— /, 1. Их квадраты: —9, —3 — 4/, 4, —3 + 4/,
— 1,1. Значит, а = 3, р — — 11; а:р = —3/11. Тогда
искомые числа (х„) и их квадраты (х%):
91 3—6/ б 3+6/3/ 3
11 » 11 ’ "" 11 ’ И * 11 » 11 ;
81 27 + 36/ 36 —27 + 36/ 9 9
121 » 121 ’ 121 * 121 ’ 121’ 121 ’
Непосредственное вычисление показывает, что
*1 + *2 + • • • + — х\ + х\ -Ь . . . + х\ = — -ур
Возведем каждое С{ в степени т и (m-Н). Пусть сумма т-х степеней равна а и сумма (т + 1)-х степеней р. Умножив каждое С{ на &=а:р, найдем п чисел, сумма m-х степеней которых равна сумме (т+1)-х степеней н равна am+1: pm, т натуральное.


Ю. В. ЛОМАКИН
(г. Вологда)
ЛЕТНЯЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА В ВОЛОГОДСКОЙ ОБЛАСТИ
В июле 1973 г. кафедра математики Вологодского педагогического института совместно с Вологодским облоно организовала третью летнюю математическую школу (ЛМШ) для учащихся VI—IX классов сельских школ Вологодской области.
В третьей ЛМШ, так же как и в первых двух, обучалось 120 учащихся из всех районов Вологодской области. Отбор учащихся проводился на математических районных и областной олимпиадах. Кроме того, в школу были приглашены победители областной заочной математической олимпиады, которую проводили редакция газеты «Вологодский комсомолец», кафедра математики Вологодского пединститута и обком ВЛКСМ.
Ребята были разделены на 4 отряда, каждый из которых объединял школьников по параллелям.
Для учебных занятий в ЛМШ организовали классы из расчета 10—12 учеников на одного учителя.
Учителями и воспитателями работали студенты III и IV курсов отделения математики, а старшими учителями по параллельным классам — выпускники Вологодского педагогического института этого года, которые в последний год учебы в институте были студентами- стажерами математико-механического факультета Ленинградского государственного университета имени
А. 	А. Жданова. Завучами в школе работали два студента ЛГУ.
Программа учебных занятий в ЛМШ предусматривала повышение математической культуры учащихся, развитие их мышления, выявление математических способностей.
Ребята занимались четыре раза в неделю по 4 часа. На занятиях решали в основном нестандартные задачи, которые тоебуют творческого подхода. Домашних заданий ребятам не задавали, но занятия вызывали у них такой интерес, что и в свободное время они сами охотно решали задачи или читали математическую литературу (в лагере была создана математическая библиотека).
Кроме классных занятий в ЛМШ проведено 7 математических боев, 2 общелагерные олимпиады, причем вторая — в два тура (письменный и устный), конкурс на лучшее решение задач. Для школьников были прочитаны лекции по различным разделам математики.
С ребятами проводилась разнообразная политиковоспитательная, культурно-массовая и спортивно-оздоровительная работа.
Опыт работы ЛМШ в течение трех лет показывает, что можно успешно совмещать летний отдых ребят с посильными занятиями математикой. В дальнейшем следует подумать о создании 2—3 таких математических лагерей для учащихся сельских школ нашей области.
Работа ЛМШ всесторонне анализируется на кафедре математики и в комсомольской организации факультета. Подготовка к работе очередной ЛМШ начинается уже в первом семестре учебного года. В ней участвуют многие студенты отделения математики, работать же в ЛМШ доверяется 20 лучшим из них.
Участие студентов в такой работе приносит им, как будущим учителям математики, большую пользу.
И, Б. В5ЙЦМАН (Москва)
250 000 000
Интерес к вопросам демографии — науке, изучающей состав и движение населения,— был всегда велик, но особенно он возрос, когда 10 августа 1973 г. Центральное статистическое управление при Совете Министров СССР опубликовало во всех газетах Советского Союза сообщение, что 9 августа один из 12 тыс. новорожденных заявил, что у нас стало 250 млн. человек.
Это сообщение было воспринято как всенародный праздник.
Прежде всего повторим официальную справку роста численности населения с 1913 г. по наши дни.
Итак, на начало 1973 г. у нас было 248,6 млн. человек. Как же установили, что именно 9 августа 1973 р. стало 250 млн.?
Итоги последней переписи обрабатывались в ЦСУ СССР на ЭВМ «Минск-32», созданной конструкторами применительно к задачам переписи населения. И теперь ЭВМ, храня в своей памяти итоги Всесоюзной переписи, помогает наблюдать за численностью населения.
В 1972 г. в нашей стоане рождалось в минуту 3— 9 детей, в сутки — более 12 тыс., в месяц — 368 тыс., в год — 4,1 млн. Имея также данные о смертности, было подсчитано, что 9 августа 1973 г. СССР стал
1 Численность населения в таблице дана в млн. человек.
государством с 250-миллионным населением. Это значит, что все родившиеся 9 августа — а их более 12 тыс.— могут считать себя виновниками этого торжества.
Таблица J, которая приведена ниже, дает учителю математики цифровой материал для работы с учащимися.
Вообще демография очень близко соприкасается с математикой, и данные ее всегда вызывают у учащихся большой интерес.
Первая всеобщая перепись населения в России была проведена в 1897 г., хотя уже при Петре I были установлены государственно-обязательные ревизии Российского государства. Их стали проводить с 1719 г. через
Все население
Городское
Сельское
Мужчины
Женщины
1913 г., на конец го¬
да
159,2
28,5
130,7
79,1
80,1
1939 г., на конец го¬
да • .
194,1
63,1
131,0
93,0
101,1
1959 г., по переписи
на 15 января . . .
208,8
100,0
108,8
94,0
114,8
1970 г., по переписи
на 15 января . . .
241,7
136,0
105,7
111,4
130,3
1973 г., на начало
года ••••»•*
248,6
146,1
10?, *
115,0
133,6
£9


равные промежутки (около 20 лет). Надо признать, что эти ревизии давали неполные данные и для установления общей численности населения приходится делать дополнительные прикидки.
Оказывается, по данным ревизии 1719 г., в России было 15,5 млн. человек. Учащиеся всегда с удивлением воспринимают эти данные.
А вот еще некоторые данные о населении России в последующие годы: 1795 г. — 37,2, 1858 г. — 67,8,
1897 г.— 124,6 и 1913 г.— 159,2 (все в млн.).
В настоящее время Советский Союз занимает по численности населения третье место в мире.
Сравнительно недавно в Румынии отмечено рождение 20-миллионного гражданина, во Франции — 50-миллионного, в Соединенных Штатах Америки — 200-миллионного. Население Земли к 1830 г. достигало одного миллиарда, за второй миллиард по нашей планете перешагнули уже к 1930 г., т. е. через 100 лет. А всего через 32 года, в 1962 г., на Земле было уже три миллиарда человек. Каждый год население земного шара увеличивается более чем на 50 млн. человек.
Возвращаясь к данным таблицы ЦСУ СССР, мы видим, что прирост населения страны с 1913 г. по 1973 г. составил около 90 млн. человек. И это несмотря на тяжелые последствия навязанных нашему народу войн. Заметим, что 207 млн. человек, или 83% всего населения нашей страны,— это люди, родившиеся после Великой Октябрьской социалистической революции.
Увеличение численности населения нашей страны обусловлено прежде всего за счет резкого снижения
смертности Bicex возрастных групп и повышения продолжительности жизни. В 1972 г. число умерших на тысячу жителей составляло 8,5 против 29,1 в 1913 г. Детская смертность за это время уменьшилась в 11 раз. Накануне Великого Октября средняя продолжительность жизни в России равнялась 32 годам. Теперь же средняя продолжительность предстоящей жизни достигла 70 лет.
Все это — результат коренного улучшения материального и культурного благосостояния, условий труда и жизни советских людей. В настоящее время на 10 000 жителей приходится 29 врачей против 2 в царской России. По обеспеченности населения врачами наша страна занимает первое место в мире, и это при бесплатном медицинском обслуживании.
До революции почти 75% населения России в возрасте 9—49 лет было неграмотно, а среди женщин неграмотность достигала 83%. Теперь СССР — страна сплошной грамотности. Между переписями населения 1939 и 1970 гг. число людей с высшим образованием увеличилось в 7 раз, а со средним (полным и неполным) — в 5,2 раза. В текущем пятилетии в соответствии с решениями XXIV съезда КПСС мы завершаем полный переход ко всеобщему среднему образованию2.
2 Более подробные данные по союзным и автономным республикам можно получить в статье «К составлению задач и упражнений по статистическим данным» в нашем журнале № 2 и № 3 за 1972 г.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 3 ЗА 1973 Г.
Абиров А. К. (Гурьевская обл.) — 1216, 1218, 1219,
1224, 1225. Алекин В. и Викторов С. (Москва) — 1206— 1212, Г216—1219, 1225. Аляев А. В. и Аляева Т. А. (Пензенская обл.) — 1206—1216, 1218, 1219, 1223,
1225—1227. Амирбаев К. (Каракалпакская АССР) — 1207—1212, 1216, 1217, 1219, 1220. Арутюнян К. М. (АрмССР, г. Кафан) —1207—1212, 1216, 1219, 1220, 1223,
1225, 1226. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут)—1206, 1207, 1209—1212, 1216, 1217, 1219, 1220, 1223, 1225. Ба- гиров М. М. (АзССР, Физулинский р-н) — 1207, 1209— 1212, 1216, 1218, 1219, 1225. Баламетов И. Г. (АзССР, г. Кусары) — 1207—1211, 1213, 1215—1220, 1222—1226. Ветров К. В. (г. Братск) — 1207—1212, 1214—1225.
Владимиров А. С. (г. Асбест) — 1207—1220, 1222—1227, 1230. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)— 1206—1212,
1214—1219, 1221—1227. Горбатый Е. 3. (г. Одесса) — 1207—1211, 1213—1223, 1225—1227. Гусейнов С. Р.
(АзССР, Нефтечалинский р-н) — 1206, 1207, 1209, 1210, 1212, 1216, 1218, 1225. Драганский К. И. (Одесская обл.) — 1207—1210, 1216, 1223. Дубравский М. Н. (Закарпатская обл.) — 1207—1214, 1216, 1217, 1219—1227, 1230. Егорова Т. (г. Ангарск) — 1207, 1209, 1210, 1212, 1216—1218, 1223, 1225. Зубилин Н. И. (Орловская
обл.) — 1207—1220, 1223—1225. Иванов К. А. (г. Днепропетровск) — 1206—1225, 1227, Каменщиков В.
(г. Канск) — 1212, 1213, 1215—1219, 1223, 1225, 1227, 1230. Каминский К. П. (Киевская обл.) — 1207—1219, 1223—1225. Карпушенко В. И. (г. Уфа) — 1207—1210, 1212, 1216, 1217. Ключко В. И. (Алма-Атинская обл.) — 1207—1213, 1215—1217, 1223, 1225. Кольченко Ю. М. (Новосибирская обл.) — 1207, 1209, 1210, 1212, 1216,
1217, 1219, 1226. Креймер М. О. (Житомирская обл.) —
1206—1213, 1215—1217, 1219, 1220, 1222, 1223, 1225, 1227. Лановлюк О. И. (г. Кривой Рог) — 1207—1210, 1212, 1214—1225. Маилян М. Р. (г. Ереван) — 1206, 1207, 1209, 1210, 1212, 1214—1217, 1219, 1220,
60
1223. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 1207—1214, 1216, 1217, 1219, 1220, 1222. Малайчук А. М.
(г. Брест) — 1207, 1210, 1213, 1215—1219, 1225—1227. Мен- щиков Л. Е. (г. Южно-Уральск)— 1207—1210, 1216—1218. Молибога И. Н. (г. Лисичанск) — 1207—1213, 1215— 1220, 1222, 1223, 1225, 1227. Мосян М. А. (г. Краснодар) —1207—1212, 1215—1217, 1219, 1225. Муми-
нов Г. М. (г. Днепродзержинск) — 1206—1210, 1212,
1216, 1217, 1219, 1223, 1225. Мун В. К. (г. Чиназ) —
1207—1229 Панченко Я. Е. (г. Невинномысск) — 1207, 1209, 1210, 1212, 1213, 1216, 1219, 1223, 1225, 1227. Пове- лий В. И. (Ровенская обл.) — 1206—1212, 1214—1221, 1223—1227. Полховский Н. Н. (Каракалпакская АССР, Тахта-Купырский р-н) — 1211—1217, 1219, 1220, 1222, 1223, 1225. Рашидов X. Р. (г. Ош) —1207, 1209—1212,
1215—1220, 1223, 1225. Рожков Ф. А, (г. Рязань) — 1207, 1209, 1210, 1212, 1214—1217, 1219, 1223,
1225. Рубенчик Б. М. (г. Минск) — 1206—1210, 1212—
1217, 1219, 1223, 1225, 1227. Симеонов Ангел А. (Болгария, г. Бов) —1207, 1209, 1210, 1212, 1214, 1215. Симеонов Асен А. (Болгария, г. Бов) — 1216—1227, 1230. Токпаев А. В. (г. Казань) — 1206—1227, 1230. Федя- ков В. Е. (г. Йошкар-Ола) — 1207, 1209, 1210, 1216, 1217, 1226. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 1207—1220, 1222—1227, 1230. Чабанюк И. М. (Орловская обл.) — 1206—1210, 1212, 1215—1222, 1225—1227. Чваньков И. Т. (Гомельская обл.) — 1206—1212, 1214—1219, 1222—1227. Шнипор Б. Н. (г. Литин) — 1207—1212, 1215—1219, 1225, 1227.
Математические кружки: школы-интерната при Ханойском пединституте, ДРВ (рук. Нгуен Конг Кви) — 1206—1220, 1222, 1224, 1225, 1227; 178-й шк. г. Киева (рук. И. А. Кушнир) — 1207, 1211, 1212, 1214, 1216, 1217, 1219, 1225, 1226; 2-й шк. г. Рогачева (рук.
С. 	Л. Нахамчик) — 1206—1213, 1216—1227; 173-й шк. г. Киева (рук. Р. П. Шейнцвит) — 1206—1219, 1221, 1223, 1225
Методическое объединение учителей математики 173-й шк. Москвы— 1207, 1209—1219, 1223, 1225—1227.


Занимательная страница
СТЕПЕННОЕ СВОЙСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ
Известные свойства чисел треугольника Паскаля
можно дополнить еще одним.
1
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Будем считать каждое число треугольника Паскаля «разрядной цифрой» числа, образуемого строкой. Тогда число в строке является степенью одиннадцати, причем показателем степени является номер строки. Как видно из таблицы, до 5-й строки это наблюдается непосредственно, а с 5-й строки и дальше становится заметным в результате применения разрядных черточек: «|». Естественно, что допускается существование таких «разрядных цифр», которые равны или превышают основание системы счисления,
3
V~abcd = a +b + c + d- СКОЛЬКО РЕШЕНИЙ!
На «Занимательной странице» (1973, № 1) было по- з
казано, что 5832 = 5 + 8 + 3 + 2.
А, Н. Прокофьев (г. Смела Черкасской обл.) приводит еще одно решение: У 4913 «4+9+1+3 и утверждает, что при условии a,btc,d £ N и 0•< < а, 6, с, d < 9 других решений нет.
Доказательство. Очевидно, что з
10<VS55<22.
но так как а, 6, с, £ Af, то 10 ^ а + 6 + с + d ^ 21 и 1000а + 1006 + Юс + d — (a + 6 + с + d)8. Преобразуя последнее равенство, получаем:
999а + 996 + 9с • (а + 6 + с + rf)3 — (а + 6 + с + d)9
9 (111л + 116 + с)-(а+ 6 + c + d)X
Х(я + 6+с + <* + 1)(Д + & + c + rf—1).
В правой части стоит произведение трех последовательных чисел, следовательно, только одно из них делится на 9.
Так, например, запись числа из 5-й строки 115 f 101101511 надо понимать как промежуточный результат возведения числа И в пятую степень (II5), который по известным правилам образования разрядов преобразуем в окончательный результат, используя формулу
ахп + Ьхп~1 + . *«+сх3 + dx2 + kx + hx°, где х — основание системы счисления, а, 6, ..., с, d, k, h — коэффициенты, не превышающие основание х:
И5 = 115110110151 1 = 1-105 + 5-104+ 10-ГО3 +
+ 10-102 +5-10+ 1 = 161 051.
Степенное свойство треугольника Паскаля распространяется и на другие системы счисления»
Пример. Для пятиричной системы имеем:
(111)2 = 112| 1 = 25 + 2-5+ 1 = 36 = 62,
(111)3 = 113|3| 1 = 125 + 3-25 + 3-5 + 1 = 216 = 68.
Пользуясь таблицей треугольника Паскаля, можно легко и быстро возводить двузначные числа с одинаковыми цифрами в любую натуральную степень.
Пример. 882 = 82(11211) = 641128164 = 7744.
В. 	П. Иващенко (г. Куйбышев)
а) Пусть а+6+с+й делится на 9. Вместе с условием 10^a + 6 + c + d^:21 это дает равенство a + b + c + d = 18 9(111а + 116 + с) = 18-19-17 => =Ф 111а + 116 + с = 646.
Единственно возможные натуральные корни a = 5, 6 = 8, с = 3, d = 18 — 5 — 8 — 3 = 2.
б) Пусть a+6+c+d+l = 18. Аналогичные рассуждения приводят к решению а = 4, 6 = 9, с = 1, d — 3.
в) Третье предположение: a + 6 + c + d — 1 = 18 не приводит к натуральным решениям (убедитесь!).
Дополнительно А. Н. Прокофьев исследовал урав- з
нение abc ■» a + 6 +^ и доказал существование единственного решения: уг 512 = 5+1+2.
Полезно предложить учащимся самостоятельно осуществить должные рассуждения.
з
Известно также, что У17 576 = 1+7 + 5 + 7 + 6.
А в общем случае для пятизначного числа?
Б. А. Кордемский (Москва)
11° *1 11» -11
И* - 121 11е - 1331 И4 — 14641
II5 = 115 11011015 [ 1 = 161051 11е- 116115 | 201151 6 11 - 1771561 1Г - 11 7 | 21135 1 35 1 211 7 11 - 19487171


Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—У КЛАССОВ
1306. 6 карасей тяжелее 10 лещей, но легче 5 окуней; 10 карасей тяжелее 8 окуней. Что тяжелее: 2 карася или 3 леща?
В. А. Ю д а к о в (Крымская обл., пос. Армянск)
1307. Дина, Зина, Инна, Лена и Нина собрали вместе 7Ъ грибов, и Зина предложила поделить их поровну — при этом она все равно имела бы столько же грибов, сколько и собрала. Но Дине досталось бы меньше грибов, и она ушла, забрав свои грибы. Тогда Инна предложила разделить оставшиеся грибы поровну, но теперь уже отказалась Зина и также ушла, а после аналогичного предложения Лены ушла Инна. Оставшись вдвоем, Лена и Нина не смогли разделить грибы поровну. Сколько грибов собрала каждая девочка?
В. А. Ю д а к о в
1308. <гРанним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько предложений можно составить, используя слова этого предложения?
В. А. Юдаков
1309. Расставить цифры от I до 8 по вершинам куба таким образом, чтобы суммы чисел, стоящих у вершин каждой грани, были равны.
В. П. Чичин (Хабаровский край, с. Н-Омми)
1310. На гранях кубиков требуется написать буквы русского алфавита. Какое наименьшее количество кубиков надо взять, чтобы все буквы были написаны одинаковое количество раз?
В. П. Чичин
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1311. Найти все п-значные числа вида
* 00 ... 0**,
которые делятся одновременно на 15, 18 и 20.
Ф. А. Б а р т е н е в (г. Евпатория)
1312. Решить в натуральных числах уравнение
5* =1+2*'.
И. И. Михайлов (г. Иваново)
1313. Даны параллельные прямые а и b и две точки А и В. Через точки А и В провести соответственно прямые аА и Ьи так чтобы они были параллельны и чтобы диагональ параллелограмма, определяемого парами прямых а, b и а\, Ъ\, имела заданное направление.
М. X. П р и е д е (г. Даугавпилс)
1314. Дан равнобедренный треугольник ABC (\АВ\ — = \ВС\). В области, ограниченной стороной АС и продолжениями сторон В А и ВС за вершины А и С, взя-
/\ /\ /\
та точка D так, что ВАС=2 BDC=a, ADC=5. Опре-
/\ /\
делить BAD и DCB.
В. 	Ю. Васильев (Москва)
1315. Доказать, что если стороны треугольника ABC связаны соотношением a2+b2=kc2, то k>'!2.
С. 	И. М а й з у с (г. Запорожье)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1316. Доказать, что при натуральном п справедливо неравенство
/п< 1 + ]/"-|".
С. 	И. М а й з у с
1317. При каких натуральных п неравенство хг + ... +4>fe-f... + хп-\) хп выполняется при любых действительных xv...,xn?
Математический кружок при Ханойском пединституте (рук. Нгуен Конг Кви)
1318. Доказать, что функция у = х9 + х9 +
+ х + 1 при любом целом х принимает целые
значения. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы функция у = ах3 + bx* + сх + d при всех целых х принимала целые значения.
В. 	В. Малинин (Псковская обл., пос. Крюки)
1319. Решить уравнение
2+sec х sec 3 х—2 ctg 2 х tg 3 х.
У. А. Алла (Эстонская ССР, г. Выру)
1320. Решить систему уравнений
Г Юх2 + 5/ + 13<г3 = \2ху + 4хг + бyz,
1 ** + У1 + г3 - 288.
Математический кружок 178-й школы г. Киева (рук. И. А. К у ш н и р)
1321. Дан треугольник с площадью S'. Три прямые, параллельные соответственно трем сторонам этого треугольника и пересекающие их, образуют треугольник MNK с площадью S". Сторонами этих двух треугольников определяются шесть треугольников с площадями Su *^2, S3, SAy Sb и S6. Доказать, что
V sx + yr s2 + Y s3 + Y s4 + Y sb + Y Sq =
= /s7 + /s77.
Я. H. Темралиев (Астраханская обл., с. Новый Рычан).
1322. В трапеции с основаниями а и Ъ (а>Ь) и высотой h диагонали взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют острый угол а. Доказать, что
Я. Н. С у к о н н и к (г. Киев)
1323. Из точки, принадлежащей диаметру длины 2R некоторой полуокружности, проведен к нему перпендикуляр. Окружности радиусов гх и г2 проведены так, что каждая из них касается диаметра, полуокружности и перпендикуляра. Доказать, что rl+r2^.2R(y2— 1).
К. В. Ветров (г. Братск)
1324. В окружность единичного радиуса вписан правильный семиугольник А^А^А^А^А^. Доказать, что длины хорд Лi/42, А\А$, А1А4 являются корнями уравнения
х3—7х2+14х—7=0.
К. Л. Захаров (Москва)
1325. 1) Отрезки длиной а и b принадлежат раз- личным параллельным прямым. При помощи одной
линейки построить отрезок длиной х, чтобы — =»
_L -L ■ Х
“ а b *
62


2) Отрезки длиной а и b принадлежат одной из параллельных прямых, а отрезок длиной с — другой из них. При помощи одной линейки построить отрезок длиной х, чтобы
_L JL JL JL
JC = a + b + с •
С. 	И. Зетель (Москва)
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Сравнения
п
So Tl.
10 на 3я + .
k=i
И. Д. Ч е р е п и и с к и й (г. Черкассы)
1327. Доказать, что если р — простое число « 0<К <р2—1, то С*,_! = (—l)ft(mod р).
Ф. Г. Л а з е б н и к (г. Киев) Применение координат
1328. Дан косой четырехугольник ABCD, у которого А Д А А
А = В, C=D. Доказать, что \AD\ = \BC\, \BD\ = \AC\.
Т. М. К о р и к о в а (г. Ярославль)
Применение преобразований
1329. Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса его третьего плоского угла перпендикулярна первым двум биссектрисам.
3. 	А. Скопец (г. Ярославль)
Применение комплексных чисел
1330. На плоскости даны два подобных и одинаково ориентированных треугольника ABC и А\В\С\. Доказать, что \АА!||ЯСК |ВВх\\САt+1ССЛАВ\.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1973 г.
1181. Кузнечик прыгает по прямой большими и малыми прыжками. Большой прыжок составляет 12 см, малый — 7 см. Как ему попасть из точки О в точку А, находящуюся от нее на расстоянии 3 см?
Решение. Кузнечик может попасть в точку А например, следующим способом: сделать в направлении к точке А два больших и в обратном направлении три маленьких прыжка.
1182. Какими цифрами можно заполнить «кроссворд»
СОН
око
НОС,
если по всем горизонталям и вертикалям стоят точные квадраты?
Решение. Среди трехзначных чисел, являющихся точными квадратами, есть только три с одинаковыми цифрами единиц и сотен: 121, 484, 676. Первое из них в качестве числа око не подходит, так как нет точного квадрата из трех цифр с 1 в середине. Второе число тоже нельзя поставить в среднюю строку, гак как все точные квадраты трехзначных чисел с цифрой 4 в сере« дине (144 и 441) имеют две одинаковые цифры. Точных квадратов трехзначных чисел с цифрой б в середине два— 169 и 961. Отсюда следует, что «кроссворд» можно заполнить двумя способами:
16 9 9 6 1
6 7 6 и 6 7 6 9 6 1 1 6 9.
1183. Пусть Ап—множество натуральных чисел, делящихся на п, Вп — множество делителей числа п. Каковы следующие множества: Л4ПЛб, В8(]В9, А\ъ[\ Ва,
А4 П Big, Ais[}Aq, Bi8[)Bg?
Решение. A4f)A6 = Al2, В80 В9 = {1} = Ви А16(]В 4 = 0, Л4П^1б = {4, 8, 16}, Л181М9 = Л9,
Bi8 U £9 = В18.
1184. На координатной плоскости отмечены точка с целыми координатами. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, не содержащий ни одной отмеченной точки?
Решение. В условии задачи не сказано явно, рассматриваются ли квадраты вместе с границей или без нее; другими словами: разрешается ли, чтобы отмеченные точки лежали на границе квадрата?
Если запретить отмеченным точкам лежать на границе, то квадрата с наибольшей площадью не существует: всякий квадрат, на границе которого нет отмеченных точек, можно еще «чуть-чуть» расширить, так, чтобы на сторонах (и внутри) нового квадрата также не было отмеченных точек.
Будем разрешать отмеченным точкам лежать на сторонах рассматриваемых квадратов. Для решения заметим, прежде всего, что квадрат, изображенный на рис. 1, имеет площадь 2, а круг, вписанный в этот квадрат, d
имеет радиус-^, где d — длина стороны квадрата. Таким образом, наибольшая возможная площадь квадрата не меньше 2.
С другой стороны, если бы имелся квадрат большей площади, не содержащий отмеченных точек, то имелся бы и больший круг, не содержащий таких точек; но тогда центр этого круга находился бы на расстоянии, d
большем *2“ от всех отмеченных точек, чего не может быть.
1185. 0,5 кг лука, 3 кг картофеля и I кг огурцов сто- ят вместе 2,38 руб., а 2 кг лука и 4 кг огурцов стоят 8,20 руб. Сколько стоят 1 кг лука, 2 кг картофеля и 2 кг огурцов вместе?
Решение. Из второго условия задачи следует, что 0,5 кг лука и 1 кг огурцов стоят 2,Э5 руб., а тогда из первого условия получаем, что 3 кг картофеля стоят 0,33 руб., а 1 кг — 0,11 руб. Поэтому 1 кг лука, 2 кг картофеля и 2 кг огурцов стоят 2*2,05+ 0,22 = - 4,32 (руб.).
1186. Квадрат на клетчатой бумаге размером 5X5 заполнен числами так, что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Доказать, что в некотором столбце произведение чисел также отрицательно.
Р е w«■ ** и е. Так как произведения чисел, стоящих в строках, отрицательны, то и произведение всех чисел таблицы отрицательно. Пусть aXt аа$“-произ¬
ведения чисел, стоящих в столбцах. Поскольку
63


01^20304^5 ^ Т0 Должен существовать столбец с о**
рицательным произведением чисел.
1187. При каких натуральных а уравнение (относительно х и у)
ах3 -f- ху — 61а — О
имеет единственное решение в натуральных числах?
Решение. Перепишем данное уравнение следующим образом:
ху = а(61 — х3).
Так как х, у и а — натуральные числа, то 61 — х3 >• О, поэтому х может принимать только три натуральных значения: 1, 2 и 3.
Рассмотрим следующие случаи:
1. При а = 6k уравнение ху = 6^ (61 —х3) имеет три натуральных решения:
Г хх « 1, ( х2*=*2, ( х3 = 3,
1 Уж _ 60-6^; \ у, = 53-3^; \ у9 = 34.2*.
2. При а = 6k ± 1 уравнение ху = (6k =fc 1) (61 — х3) имеет единственное натуральное решение:
r*-i
\ у «_ 60-(6£ ± 1).
3. При а = 6k ±2 уравнение ху = (6k ± 2) (61 — х3) имеет два натуральных решения:
( ^1—1» J в 2,
\ yt - 60-(6£ ± 2); { у2 - 53. (3* + 1).
4. При а = 6& + 3 уравнение ху = (6& -f- 3) (61 — jc8) имеет два натуральных решения:
( Х\ *= 1» Г х% *= 3,
1 У\ - 60.(6* + 3); I уа - 34.(2k + 1).
Итак, данное уравнение имеет единственное решение в натуральных числах только при а = 6k do I, где k = 0, 1,2,....
1188. Изобразить на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
( 18 х2у2 — 4л:8у2 — 3 х2у3 = О,
1 12/— 2ху2 + 3у* = 0.
Решение. Разложим левые части уравнений данной системы на множители:
I хгу2 (18 — 4х — Зу) = О,
{ у2 (12 — 2х + 3у) = 0.
Если у — 0, то х — любое действительное число.
Если у =7^=0 и х — 0, то соответствующее значение у находится из уравнения у2(\2-\-Зу) =0, т. е. у = —4.
Если уф0 и лс=7*=0, то
I 18 — 4л: — Зу «О,
\ 12 — 2х -\-Зу *= О,
2
откуда х = 5 и у = — -тр
Итак, на координатной плоскости надо выделить ось абсцисс и две точки (0; —4) и ^5; —
1189. Даны два одинаково ориентированных равносторонних треугольника ABC и АВХС\ (А — общая вершина). Найти угол между прямыми ВВ\ и СС\ и доказать конгруэнтность отрезков ВВХ и ССХ.
Решение. Легко видеть, что ABABi отображается на ACACi при повороте на угол 60° около точки А (рис. 2). Отсюда следует, что угол между прямыми ВВ{ и СС\ равен 60°, а отрезки ВВ{ и ССХ конгруэнтны.
1190. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 108°. Доказать, что высота треугольника, проведенная к основанию, составляет половину биссектрисы угла при основании.
64
Д
/\ /\ /\
БАГ = ГАС - 18°, ВГА = 54° (рис. 3); треугольник ВО Г равнобедренный и [50] S [О^Ь Проведя (DE)\\(CB), заметим, что ADOE*&aBOF. Отсюда [ОЕ] ^ [OD], а тогда и [BD] ^ [Я/7]. Так как [DE] — средняя линия треугольника АГС, значит, | ЕГ 1 —
—• ~2~ \AF |, следовательно, и \BD | — — (Л/7!.
В
1191. В турнире участвовали 30 начинающих шахматистов. По условиям турнира получившие не менее 60% наибольшего возможного количества очков становились разрядниками. Каково максимально возможное число шахматистов, ставших разрядниками?
Решение. Для того чтобы стать разрядником, участник турнира должен набрать не менее 60% от 29 очков, т. е. не менее 17,5 очков. Так как в турнире 30-29
играется всего —g—=435 партий, то число участников,
ставших разрядниками, не более 435: 17,5, т. е. не более 24.
С другой стороны, если 24 участника сыграют между собой вничью, а у остальных 6 участников выиграют, то каждый из них наберет 17,5 очков, т. е. станет разрядником.
Итак, максимально возможное число разрядников равно 24.
1192. В языке страны жевунов всего три буквы: а, в,
о. 	Слова из этих букв составляются так, чтобы три одинаковые буквы не стояли подряд. Сколько шестибуквенных слов может быть в этом языке?
Решение. Приводим решение, присланное участниками математического кружка 178-й школы г. Киева (руководитель Я. А. Кушнир).
Каждое шести буквенное слово составлено из трех блоков вида
аа, ав, ао, ва, вв, во, оа, ов, оо.
Если в середине слова стоит блок аа, то в начале слова может стоять любой из 6 блоков, не кончающийся на букву а, а в конце — любой из 6 блоков, не начинающийся с буквы а. Поэтому блок аа в середине имеют 6*6 = 36 слов, а общее число слов, имеющих в середине блок из одинаковых букв, равно 36*3 = 108.
Если же в середине слова стоит блок из разных букв, то слева и справа от него может стоять один из 8 блоков, и, следовательно, существует 64 слова с таким блоком в середине. Общее число слов, у которых средний блок имеет разные буквы, равно 64-6 — 334.


Всего в языке жевунов может быть 492 шестибуквенных слова.
1193. В языке страны мигу нов 4 гласные и 6 соглас- ных букв, причем гласные и согласные непременно чередуются при составлении слов. Сколько девятибуквенных слов может быть в этом языке?
Решение. Для составления слова, начинающегося с гласной буквы, надо заполнить 5 мест четырьмя гласными буквами, что можно сделать 45 способами, и 4 места шестью согласными, что можно сделать 64 способами. Поэтому общее число возможных слов, начинающихся с гласной буквы, равно 45-64. Аналогично, число слов, начинающихся с согласной буквы, равно 44 • 65.
Итак, в языке мигунов может быть 10 *244 девятибуквенных слов.
1194. Найти все целые решения неравенства
х— 1 < log6(* + 3).
Решение. Данное неравенство имеет смысл для х > —3, и легко проверить, что числа —2, —1, 0 и I являются его решениями. Докажем, что целые числа х ^ 2 не являются решениями этого неравенства.
Переписав данное неравенство в виде
6*-1 <* + 3, (1)
заметим, что число 2 является решением неравенства
6*-1 >х + 3г (2)
но если число k является решением последнего неравенства, то и число k + 1 является его решением:
6* = б^-б^ (& + 3) -б ^5 6 + 4.
Тем самым по индукции доказано, что любое число, большее или равное 2, является решением неравенства (2), т. е. не является решением данного неравенства.
Отметим, что в подавляющем большинстве присланных решений нет строгого обоснования доказанного утверждения, и авторы ограничиваются графической иллюстрацией. Следует подчеркнуть, что такая иллюстрация с точки зрения требований, предъявляемых к абитуриентам, не является доказательством. С другой стороны, использование индукции в решении не обязательно, если заметить, что разность между левой и правой частями неравенства (1) увеличивается при увеличении х на 1. Доказательство этого факта несложно: неравенство (6х —х — 4)—(б*-1 — х — 3) > 0 равносильно неравенству 5-б*”1 >1, а последнее при х^2 очевидно.
1195. Найти все такие числа х и у, чтобы наибольший общий делитель чисел Зх + 2у и 2х + 3у был равен 8,
Решение. Используя известные свойства наибольшего общего делителя (а, £) = (а ±Ь, Ь) = (а, а ±6), получаем (3* + 2 у, 2х + 3 у) = (х — у, 2х + 3у) = = (х — у, х + 4у) — (х — у, 5у). Если х — у = 5л, то наибольший общий делитель чисел Зх + 2у и 2х + 3у делится на 5. Если х — уфЬп, то (х — у, 5у)~ = {х — у, У) = (х, у).
Итак, наибольший общий делитель чисел 3jc + 2у и 2х + 3у равен 8 тогда и только тогда, когда х — у не делится на 5 и наибольший общий делитель чисел х и у равен 8.
1196. В треугольнике ABC угол С тупой, биссектриса угла В делит сторону АС на отрезки АЕ (3 см)
и ЕС (2 см). Точка К, лежащая на продолжении ВС
за вершину С, является центром окружности, проходящей через точки С, Е и точку пересечения биссектрисы угла В с биссектрисой угла АС К. Определить расстояние от точки Е до стороны АВ.
/\ /\ /\ /\
Решение. Пусть АВМ = МВС, ACM •= MCD
(рис. 4). Выясним зависимость между углами А и АСВ:
/\ 1 /\ /\ /Ч
MCD = — АБС -Ь ЕМС, с другой стороны, МСи —
3 Математика в школе, Ш 1
• 90*
1 /\ 1 ~
*— АСВ. Отсюда ЁМС — -я- А ,
а значит,
и
1
у А. Треугольник CED — прямоугольный, ^ 90°, или 180° — С +
следовательно, ECD + ЕйЬ
+ -у- — 90°, откуда С = 90° +-у.
Рис. 4
Используя теорему синусов, имеем
Л
а с а 2 sin А
sin A sin С 1 ^
отсюда sin -j- А
а
с
2_
3
1 л'
со s —А
1 4 /■—
г | sin А *■" g f 2»
Проведем [EN] JL [АВ], тогда | EN | — | АЕ \ sin А, т. е. | EN [ — - j- Y2.
1197. 	В треугольник ABC вписан параллелограмм ADEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС. Через середину М стороны ВС проведена прямая AM, пересекающая прямую DE в точке К. Доказать, что CFDK — параллелограмм.
Решение. Проведем (МР)Ц(ЛС) (рис. 5), тогда | МР | — 1 АС |.
Рис. 5
Из подобия треугольников ADK и АРМ следует, что |П„, \АР | \АС\ \AD\-\AC\
'“^-TAPr 2 " |АВ1 •
а из подобия треугольников FEC и ABC
,р,-, \РВ\'\ЛС\ \ADV\AC\
ПШ] UB| *
Итак, |FC| = |ОЛ"!. Кроме того, (FC) || (DK) по условию задачи. Следовательно, DKCF — параллелограмм,
65


Т198. Из вершин В, С и D параллелограмма A BCD опущены перпендикуляры ВВи ССХ и DD{ на прямую AM, не принадлежащую его плоскости. Доказать, что отрезки ВВЬ CCi и DD{ могут служить сторонами треугольника.
Решение 1. Пусть ABCD данный параллелограмм (рис. 6), (АМ)££пл. ABCDt [СС,]_Ь(ЛМ), \ВВХ]±.(АМ)% [Ьо,]1.(ЛМ). Проведем через точку А плоскость а, перпендикулярную прямой AM. По свойству параллельных проекций проекция параллелограмма ABCD на плоскость а есть параллелограмм AB2C2D2. Так как (АМ)±.а, [СС\]±.(АМ)У то [CCi]||a, а тогда
[CCi] \АС2], где ЛС21 = npJCCi]. Аналогично доказывается, что [ADi] = [Obi] и [АВъ] 2* [ВВ\\.
получим параллелограмм: следовательно, длины этих векторов могут служить длинами сторон треугольника.
1199. В треугольнике ABC |^431 ===== 20 л*> |ЛС| =24 м. Известно, что вершина С, центр вписанного в треугольник ABC круга и точка пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС лежат на окружности, центр которой принадлежит стороне АС. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Р е пт* е н и е. Пусть О — центр вписанного в треугольник АБС круга, D — (АО) П (ВС), Ох — центр окружности, проходящей через точки О, D и С (рис. 8).
В
Рис. 8
/\ /\ /V
Введем обозначения: ВАС = a> ABC = Р и АС В =* т.
/\ а „
Очевидно, ADB - -у- + Г с другой стороны, ADB -
Рис. б
Отрезки AD2, АС% АВ2 могут служить сторонами треугольника, так как AD2C2B2 — параллелограмм. Следовательно, отрезки DDU ССХ и ВВХ также могут служить сторонами треугольника.
Решение 2. Пусть вершины В, С п D параллелограмма ABCD проектируются на прямую AM в точки Ci и Dt (рис. 7). Примем точку А за начало век- -—► —► —► -*■ —> —► торов, и пусть АВ — at, AD — я*, АС — а, ABt — b%.
ADi ■* Ь& ACi ** bf B\B ™ D\D ■■ rfj» C\C d.
Согласно условию задачи + д* — a; кроме того,
так как проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов.
90°
JL
2
Aot
так как ADi Т
. 90° + -75-
90° — или а = 180 -j- р + ^ я. 180°, значит, р
зом, — -f- *t = w — 2
Таким обра- - 3?. Но a -f
2т. По теореме синусов 24 20
отсюда
Из треугольника ABBt dx*~at — b%. Аналогично,
— at — b5 и d — a —Ь. Поэтому ^
dj + - (й, —*,) + (a, —*,) -(a-b)-d.
Поскольку векторы rf, не коллинеарны, причем
-f- tft, то, отложив эти векторы от одной гочки,
66
для треугольника ABC имеем sin р = sin 7 *
3 4
cost — -у, sin7 — —.
Итак, для радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, имеем R = |, т. е. R — 12,5 м.
1200. Расстояние между точками М = (*i; и N — (хъ У2) плоскости определим по формуле р (М, N) шах {1 дг, — xt\, |у, —у2|}.
Найти множество точек, равноудаленных от точек А » (0; 1)«В = (0; 3).
Решение* Пусть С =» (дг; у) — точка искомого множества, т. е. р(С, А) *■ р(С, В), тогда
тах{| дг|, |у— 1 ]} - шах{|ж|, |у —3|}. (1)
Рассмотрим четыре возможных случая.
1.
1 |х|>|у-3|.
В этом случае равенство (1) всегда верно. Область, которая задается системой, симметрична относительно оси ординат. Часть этой области в правой координатной полуплоскости задается системой
*>0,
X ^ у 1 Х9
— хКу — 3<X,
откуда
х>0,
1— *<у<лг4-1, 3— *<><л + 3,


или
Г *>0,
1 3 — х ^ у х -f-1 •
Множество точек, координаты которых удовлетворяют последней системе, занимает внутреннюю часть и границы угла, расположенного в правой координатной полуплоскости с вершиной в точке (1; 2), образованного пересечением прямых у = 3 — х и у = х+ 1. Кроме этого, искомому множеству принадлежит часть плоскости, симметричная выше построенной области относительно оси ординат.
2.
Г |*|<|у_1[,
11*1<1у-3|.
В этом случае из равенства (1) следует, что | у—11 =* = IУ — 3|, поэтому координаты искомых точек удовлетворяют системе
(У-2.
I —1 <*<1,
которая задает отрезок, соединяющий вершины углов, построенных в первом случае.
3.
(1*|>1у-11,
11-*1 <1 у—з |.
В этом случае равенство (1) принимает вид \Х\ — \У — 31, что противоречит второму условию системы.
4.
Г |*|<|у-1|,
I 1*|>|у-3|.
В этом случае равенство (1) принимает вид |у—1| = = \х\, что противоречит первому условию системы.
Итак, исследовав все возможные случаи, мы нашли искомое множество точек. Оно изображено на рис. 9.
в, Покажем, что а* является корнем многочлена
4- С* 4- 1)2*+1. Действительно,
<**+2 + (а/ + 1)г*+* = «*+2 + (— <фг*+' -
(1
„3*
) = 0.
Следовательно, многочлен хк+* + (х + 1)г*+* делится на х2 -f х -f 1, причем коэффициенты частного — целые числа, так как коэффициенты делимого и делителя целые и старший коэффициент делителя равен 1. Утверждение доказано.
1202. 	В пространственном (косом) четырехугольнике A BCD все стороны конгруэнтны. Доказать:
а) противоположные углы и углы между парами его противоположных сторон попарно равны;
/\
А а, ——> >
б) cos A -f cos£ -b cos (АВ, DC) *= 1.
Решение. Пусть | АВ ] = [ ВС | ~ | CD | = \DA\ = а. (рис. 10).
Рис. 9
1201. 	Доказать, что при любых натуральных п и k число nk+2 4* (п -Ь l)2**1 делится на п2 -h п + 1.
Решение 1. При k — 0 утверждение справедливо. Если nk+* 4- (п 4- 1)2Л+1 делится на п2 4- п 4- 1» то и
/**+» 4- (п + l)zk+* « п [nk+* + (п + 1)**+*] +
+ (П! + П + 1)(л+1)гЙ+*
делится на п2 + п 4-1. Согласно принципу полной математической индукции наше утверждение доказано.
Решение 2. Пусть а*(/ «1, 2) — корни многочлена х2 4- х 4- тогда (а*— 1)(«* 4- ai + 1) —
_ 1 = 0, т. е. — 1, кроме этого а* 4- 1 — ~ а\ и
з*
Рис. 10
а) 	Противоположные углы данного четырехугольника равны, так как они лежат против общих сторон АС и BD конгруэнтных треугольников:
Л ADB = д CBD =£ ^ А = С,
Л ADC ~ A ABC =Ф ^ В ^ D.
Покажем равенство углов между парами противоположных сторон четырехугольника. Имеем:
АВ — DC = AD — ВС, так как АВ + ВС + CD 4- ——>
DA = 0. Подсчитав скалярные квадраты обеих частей равенства АВ — DC = AD—ВС, получим АВ • DC — AD*ВС. А тогда
cos (АВ, DC) ■■
AB-DC
AD ВС
а2 а2
_/\+ *=cos(^D, ВС).
Следовательно, (АВ, DC) = (AD, ВС).
/\
л /s —> —>
б) cos А 4* cos В + cos (АВ, DC)
AB-AD . ВАВС *Т
+
AB-DC
АВ (AD 4- DC — ВС) а*
АВАВ
а2
1.
67


Примечание. Понятие конгруэнтности неприменимо к углам между скрещивающимися прямыми. Эти углы имеют меру, но с ними не связано множество точек, вследствие чего они не являются фигурами.
1203. 	Даны три гомотетии, центры А, В и С которых не принадлежат одной прямой. Доказать, что в общем случае существует единственная прямая I, которой во всех трех гомотетиях соответствует одна и та же прямая
Решение. Обозначим данные гомотетии с коэффициентами ku k2, k3 через Yu Y2» Уз- Пусть прямая / существует и пересекает стороны треугольника ABC соответственно в точках Ль Ви Сх, а параллельная ей прямая V пересекает соответствующие стороны треугольника в точках А[у В[ и С[ (рис. 11). Очевидно, что
7t(Ci)-Cp ъ(Сг)-С[.
Следовательно,
Ъ (Pi) ** Т2 (Ci)> Т2 (Ci) “ Ct*
Поэтому Ci — центр гомотетии с коэффициентом kt:ki9 так как произведение двух гомотетий есть гомотетия {Ьхф1гг). Точка Ct строится просто: для точки X строим точку A"i—7i(A"), а для точки Хл строим гочку Х2 — Ч21 пРямая ХХ% пересекает (АВ)
в точке Ci. Аналогично можно построить точки Аг и Вг на прямых ВС и С А. Значит, если прямая / существует, то ее легко построить. Остается доказать, что построенные три точки Av Bt и Ci действительно принадлежат одной прямой. Вычислим *= ACiiCtB.
——> '—>, —►
Имеем: АСХ ^kxACl9 ВСг — k2BCt, отсюда при любом выборе начала О
-> -> -> -> -> С'-4 = МС,-Л), С[-В- k2 (С, - В),
£_Л-МС,-Л)-*а (С, - В),
(*, - *а> С, - (1 - Ьг) В-a-*,) А.
Следовательно,
(1 — fea)g— (1 — kx)A
Итак, = лим и -
Аналогичным образом вычис»
ВА%: АХС и Хв = 1— k%
А,-
1.
СВг.ВгА:
X - s “1—*.*
Но АД2Я3 = —1. Поэтому согласно обратной теореме Менелая точки Ль Вх и Сх коллинеарны. Этим существование и единственность прямой I доказаны. Возможные частные случаи при решении задачи опущены.
1204. 	Поворот треугольника ABC около точки Р, принадлежащей описанной окружности, отображает его на треугольник АХВХС\. Доказать, что точки Ло =» - (ВС) п (Вхсх), Во - (СА) п (СИ,), Со = (Л^ГКЛ,^) коллинеарны.
Решение. Опустим из точки Р на (ЛВ) перпендикуляр, основание которого обозначим через С'. Точка Со получается из точки С' в результате поворота около
центра Р на угол — фициентом
и гомотетии с центром Р и коэф-
cos-
1 —
(а — угол поворота треугольника ABC). Следовательно, отображение С ^С0 есть подобие. Это же преобразование подобия отображает основания Л' и В' перпендикуляров, опущенйых из Л и В на (ВС) и (СЛ), в точки Л0 и В0. Но точки Л', В' и С7 принадлежат одной прямой — прямой Симеона точки Р относительно треугольника ABC. Поэтому и образы Л0, Во и С0 этих точек в рассматриваемом подобии также принадлежат одной прямой.
1205. В окружности cdj (О; R) проведен радиус О А. Из точки N £ [ОА] проведен к (ОА) перпендикуляр, пересекающий о, в точке Р. Окружность о радиуса р касается coj в точке Р и окружности со2(#;г), где т = |М4|. Найти предел радиуса р, когда г-*0.
Решение. Пусть точка О — центр окружности ©ь точка N — центр окружности ©2, 0\ — центр окружности со (рис. 12). Рассмотрим треугольник OOxN, в котором
100,1 — л — pv IOJV1 — /? — г, 1 АГОж! -г + Р
Согласно теореме косинусов для треугольника ONOt
имеем:
ItfOtP-IOOtP + lOtfP- — 21 OOl Н ON I. cos (<0£)N).
Но
cos (О^ОЛО — IО АЛ 1 : \ОР\ - (/?—r):R. Следовательно, имеет место уравнение
(Г + 9? - (Л—г)1 + (Л + Р)* - 2 .
Из этого уравнения находим р:
R* — Rr Р- ZR—r *
Найдем предел радиуса р при г 0;
R
lim


РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В N9 3 ЗА 1973 г.
1206. Заполнить квадрат 3X3 цифрами от 1 до 9 так, чтобы по краям и диагоналям в любом направлении читались квадраты целых чисел (некоторые цифры могут повторяться).
Решение. По таблице квадратов натуральных чисел находим, что среди трехзначных чисел только числа 121, 144, 169, 441, 676, 961, записанные в обратном порядке, будут квадратами натуральных чисел.
Если какую-нибудь диагональ квадрата заполнить одним из трех чисел 121, 484, 676, то остальные цифры однозначно определятся и мы получим три искомых квадрата:
О
7
6
7
7
7
6
7
6
1
2
1
2
2
2
1
2
1
Если на какую-нибудь диагональ квадрата поставить одно из чисел 144 или 441, то все возможные способы заполнения будут следующими:
1
2
1
4
4
4
4
8
4
4
4
1
8
4
2
4
4
1
4
8
4
4
4
4
1
2
1
1
4
4
2
4
8
1
4
4
Если на какую-нибудь диагональ квадрата поставить одно из чисел 169 или 961, то, пытаясь заполнить оставшиеся клетки цифрами так, как об этом сказано в условии задачи, мы всегда будем сталкиваться с поиском трехзначного квадрата целого числа, который начинается и заканчивается цифрой 9. Но такого квадрата целого числа нет.
Итак, данный квадрат можно заполнить семью указанными способами.
1207. Найти пятизначное число abcde такое, что- бы двузначные числа ab, be, cd, de являлись квад- ратами целых чисел.
Решение. Двузначные числа, являющиеся квадратами целых чисел, начинаются цифрами 1, 2, 3, 4, 6, 8, а оканчиваются цифрами 1, 4, 5, 6, 9. Цифры Ъ, с, d лежат как в первом, так и во втором из этих множеств. Следовательно, цифрамис, d могут быть только 1, 4, 6. Так как числа be, cd являются квадратами целых чисел, то b = 1, с — 6, d — 4. Теперь легко видеть, что для цифр а и е остается единственная возможность быть равными 8 и 9 соответственно.
Итак, искомое число равно 81 649.
1208. Составлены все возможные суммы из пар дву- значных чисел. Сколько среди этих сумм двузначных чисел и сколько трехзначных?
Решение. Наименьшая сумма двух двузначных чисел 10+10 = 20, а наибольшая 99+99 = 198. Кроме того, любое число от 20 до 198 можно представить в виде суммы двух двузначных чисел. Следовательно, из построенных сумм двузначных 80 (все числа от 20 до 99), а трехзначных 99 (все числа от 100 до 198).
1209. Человек родился в (1900+а) году, b числа, с месяца, и в 1973 году ему исполнилось d лет. Найти его дату рождения, если abed = 76 096.
Решение. Из условия задачи следует, что a+tf* 73, 1^&<31, 1^с^12; кроме того, abed^s 76096=
=26*2941. Так как из делителей числа abed без делителя 41 нельзя сложить сумму 73, то либо а, либо d должно равняться 41. Если а = 41, то rf = 32 (так как 41+32=73 и 32=25), откуда Ъ — 29 и с — 2. Если же с? = 41, то а — 32, 6=29 и с—2. В первом случае человек должен был бы родиться 29 февраля 1941 года. Но такой даты нет, так как 1941 год не високосный, и поэтому аф\ 1. Во втором случае человек должен родиться 29 февраля 1932 года.
Итак, человек родился 29 февраля 1932 года.
1210. У девочки 10 копеек, и она думает, какой карандаш купить, простой или красный. 3 простых карандаша стоят дороже, чем 1 красный, а 2 красных дороже, чем 5 простых. Сколько стоит простой карандаш?
Решение 1. Если I красный карандаш дешевле 3 простых, то 2 красных карандаша дешевле 6 простых. Пусть простой карандаш стоит х копеек, а красный — у копеек. По условию задачи xs^lO, у^ 10, 2у>Ьх и 3х>у (а следовательно, 6*>2у), откуда 5х<2у<1бх. хф\ и хф2, так как множеством решений двойных неравенств 5<2уСб и 10<2г/<12 является пустое множество. Если х = 3, то неравенство 15<2г/< 18 имеет единственное решение у = 8. При х^4 получаем, что 2г/>5х^20, откуда 2г/>20 и, следовательно, #>10, что противоречит условию.
Итак, простой карандаш стоит 3 копейки.
Решение 2. 15 простых карандашей дороже 5 красных и дешевле 6 красных. Поэтому стоимость 15 простых карандашей заключается между стоимостью 5 и стоимостью 6 красных карандашей. По условию красный карандаш стоит от 2 до 10 копеек, и, следовательно, 5 и 6 красных карандашей стоят соответственно
10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50,
12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.
Отсюда видно, что 15 карандашей стоят 45 копеек, так что 1 простой карандаш стоит 3 копейки.
1211. Для каких натуральных п числа /15+л+1 и яп+я+1 являются простыми?
Решение. Имеем:
пъ + п + 1 ~ п5 — п2 + п2 + п + 1 =
= п2(п — 1 )(п2 + П+1)+Я2 + Л+1 =
= ("2 +/г + 1)[п2(л-1)+ 1]
и
пи + п + 1 = пп — пъ + пъ + п + 1 =
= /г5(п3 — 1)(я3 + 1) + (л2 + /г + 1) [п2(п — 1) + 1] =
= (п2 + п + 1) [л5(л —- 1) (л3 + 1) + л2(л — 1) + 1].
В обоих случаях при л>1 все множители больше 1, а следовательно, при л>1 оба числа составные. При п — 1 оба числа равны 3, а следовательно, простые.
1212. Все натуральные числа от 1 до 101 включительно записаны подряд, образуя многозначное число. Доказать, что полученное число составное. Является ли оно квадратом натурального числа?
Решение. Подсчитаем сумму цифр полученного числа. Сумма цифр каждой из 49 пар чисел I и 98, 2 и 97, 3 и 96, и т. д. до 49 и 50 равна 18. Кроме этого, сумма цифр оставшихся трех чисел 99, 100, 101 равна 21. Следовательно, сумма цифр полученного числа равна 18-49 + 21 = 903. Отсюда следует, что полученное число делится на 3 и не делится на 9, поэтому оно составное, но не является квадратом натурального числа.
1213. На плоскости даны две пересекающиеся прямые а и b и некоторая прямая т. Построить прямую d, перпендикулярную т, пересекающую а и b в точках А и В, равноудаленных от т%


Решение. Искомые точки А и В должны быть симметричными относительно прямой т и принадлежать соответственно прямым а и Ь. Очевидно, точка В£ Ь, как симметричная А £ а, должна лежать также и на прямой а', симметричной а относительно т (рис. 1). Следовательно, B=b[\a'.
Рис. 1
Задача имеет единственное решение, если прямые Ъ и а' пересекаются. Задача не имеет решений, если прямые Ь и а' параллельны, но не совпадают. Наконец, если b = а', задача имеет бесчисленное множество решений; в этом случае прямые а и b = а' — симметричны относительно т.
1214. 	Дан четырехугольник ABCD. Окружности, вписанные в треугольники АБС и ADC, касаются диагонали АС в точках Р и Q, а окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются диагонали BD
в точках М и N. Доказать, что |PQ| = |MN|.
Решение. Пусть \АВ\ — а, \ВС\ = b, |CD| \DA\ = d, \АС\ == m (рис. 2).
Рис. 2
Для треугольника ADC
| АР | = (пг -f- — с), для треугольника АБС
]AQ\--y(m + a — b).
Отсюда
\PQ] - I AQ\ — I АР] - -у (а + c — b — d).
Аналогичные рассуждения приводят к равенству | MN | - -у (д + с — b — d)-
Итак, [ PQ | — | MN |.
1215. 	Через вершину А квадрата ABCD проведены два луча, образующие между собой угол в 45°. Один луч пересекает сторону ВС в точке М и диагональ BD в точке N, другой — сторону CD в точке Р и диагональ BD в точке Q. Доказать, что точки С, М, N, Q и Р лежат на одной окружности.
Решение. Из вершин А и В квадрата ABCD отрезок QM (рис. 3) виден под равными углами
/\ /\
(QAM QBM — 45е). Значит, около четырехугольника ABMQ можно описать окружность. В этом четырех-
/\ /\ угольнике АВМ = 90°, а тогда и AQM = 90°, т. е. [MQ] ± [АР].
Рис. 3
с,
Аналогично рассуждая, получим, что около четырехугольника ANPD можно описать окружность, угол ANP прямой, т. е. [AM] J_ f/W].
Следовательно, из точек С, Q и N отрезок РМ виден под прямым углом. Значит, окружность, построенная на
отрезке РМ как на диаметре, проходит через точки
С, Q и N.
Итак, {С, М, N, Q, Я}с=<в(0, |0/>| = \ \РМ\).
1216. Доказать неравенство
1 , 1 1 1 1
1001 + 1002 + 1003 + • • • + 2000 > 2 •
Решение. Имеем:
11. .1.1
1001 + 1002
+ 2000 + • • • + 2000 ' что и требовалось доказать.
+ • • • + 2000 > 2000 +
' 2000 ' 1000 ” ~2~’
1217. Доказать, что левая часть неравенства
в задаче 1216 больше -g-
Решение. Имеем: 1 1
1001 'г 1002 + 1003
1
• 4* ... 4*
2000 ‘
Y-L
Ч1001
+ ••• + 125o) + (l251 + ••• + 15Со) +
+ (l50l+ *' * + 175о) + (l75T + •" +200о)> 250 250 250 250
> 1250 + 1500 + 1750 + 2000 “
/1 1 1 \ 1 “(х+-ь-+-;+т-
107
1
' 210 + ' 8
1
’> 2
что и требовалось доказать.
1218. Доказать. что сумма 1
4- ... 4* — ни при каком п не является целым числом.
+ -Г + -Г +
70


Решение. Пусть k — самое большое натуральное число, для которого 2к << п, тогда дополнительные множители для всех слагаемых данной суммы, кроме
6УДУТ четными, а для слагаемого ——нечетным. 2я 2R Следовательно, знаменатель суммы всегда четен, а числитель всегда нечетен. Отсюда получаем, что данная сумма ни при каком п не является целым числом.
Эту задачу вместе с решением можно найти, например, в книге «Математические задачи» Е. Б. Дынкина и др. (М., «Наука», 1971, задача № 25).
1219. Найти системы счисления с основаниями а, Ь, с, не большими 10, для которых
Решение. Если а ;> 4 или 6 ;> 4, то (д3 + а + 1) X X (*’ + *+1)>7.21-147, но -f-£ + 1 < 111 (так как 2 < с < 10). Если а = 2 и 6 = 2, то (а4 + a -f- 1) X X (63 + 6 + 1) = 49, но уравнение с3 -f с + 1 = 49 не имеет целых корней. Если а — 2 и 6 = 3 или а = 3 и 6 = 2, то (д3 -f д -f 1 )(63 + 6 + 1) — 91 и уравнение с3 -f с + 1 = 91 имеет целый положительный корень с = 9. Если а = 3 и 6 = 3, то (д3 -f а + 1)(63 + б-j-l) = - 169.
Итак, задача имеет два решения д = 2, 6 = 3, £ = 9 и а = 3, 6 = 2, с = 9.
1220. 5 какой системе счисления имеются числа, равные произведению своих цифр?
Решение. Мы не будем рассматривать, естественно, однозначные числа. Пусть в системе счисления с основанием
У-П-Ч I
—)- а2х и 0 < й/ < х > а, • аг • . . .
й]^2■. + Ял для
• дя,
.а
П(д)- а, • а2 •... • а„, т. е. а,*»-» + ауа2-... • Дл> причем 0 < д, < jr / = 2,...,л. Отсюда Д!*”^1 > следовательно, а,д2... а
П(Х)
>
д1•д2*... ‘Спитак, ни в какой системе счисления нет чисел (с числом цифр, большим 1), равных произведению своих цифр.
1221. Доказать, что если
it
т
то
0 <Д/<6/<д/+1<
(/ = л),
2 (sin 6/ — sin д*) < sin I 2 6/ — 2 д/ I.
/=1 \/=1 / = ] /
Решение. Доказательство проведем методом математической индукции. При п — 1 имеем:
sin 6,
, — sin д, = 2 sin ^
6i — Д1 6, -f- Д1
■ cos
<
3, —Д, 6, Д,
< 2 sin T5 cos ^ = sin (6, — ax)
2 2 6] "f Д, 61 — Д]
(^так как у > 9 ^ 2
Пусть данное неравенство справедливо для л — 1. Тогда
п п—1
2 (sin 6/ — sin д/) = 2 (sin bi — sin ai) + sin bn — /=1 /=1
n—1
— sin an = 2 (sin — sin Д/) +
+ 2 sin
V
' cos
(n-1 Я—1 \
/=1 i=l )
/П—1
/2—1
+ 2sin- 2a" cos ( '2}bi — '%\ai + bn 2°”
\i=1
/л—1
n—1
= sin
\/=i
i=l
\i=1
/=1
-f- sin
г /я_1 Я_1 \ ”1 у л л >
(так как сложив неравенства д, >0, д2 > 6„ д3 >. >62,..., дл>6Л_ъ получим д, + д2 4-... + дЛ> > 6, + 62 -f ... + 6Л_„ откуда
л-1 ,
^ Ьп + ап ^ /t ч Ьп — ап
2 2 — ai) + 2
i=i J
что и требовалось доказать.
1222. В четырехугольнике ОАВС проведена диагональ АС. Через точку М диагонали АС проведена прямая, параллельная \АВ\ и пересекающая \БС\ в точке N. Доказать, что если треугольники О AM и OBN равновелики, то [АБ\ || [ОС]. Сформулировать и доказать об ратную теорему.
Решение. Пусть в четырехугольнике ОАВС [.MN] || [АВ] (рис. 4). Тогда можно записать, что
\BN\ ы | АМ[ Soam
I МС | “Twj- С другой стороны,
IВЩ Sobn ПТГ11П1 Sobjv _
и I NCI - W 0ТСЮДа Somc " W"- Согласно
условию задачи, 50дж - S0bn> а значит, Sqmc в
— $onc или 1 ОС | Л, «= | ОС | Л2, где Л1 и h2 высоты
треугольников ОМС и ONC. Отсюда Л, = Л2, а тогда [MN] И [ОС]. Следовательно, [АВ] || [ОС].
Рис. 4
Обратная теорема. Если в трапеции ОАВС через точку М диагонали АС провести прямую, параллельную ее основаниям и пересекающую боковую сторону ВС в точке N, то треугольники О AM и OBN равновелики.
Решение. Пусть [АВ] И [AW] В [ОС]. Тогда
1АМЛ _ IJ^LL ОТСЮЛя S°AM « S°BN или S°AM I AC I IBC1 * Scmc Sobc f
Sqac
5OBN
= Sobc ' ^aK K3K тРеУгольники О AC и О ВС имеют общее основание и равные высоты, то они равнове-
Sqam
лики. Следовательно, $~0 в 1» или Sqam = Sobn»


1223. 	В равнобочную трапецию вписана окружность радиуса г и около трапеции описана окружность радиуса R, причем центр последней принадлежит основанию трапеции. Найти зависимость между г и
•Решение 1. Пусть | АВ | = у, | ВС | = 2х (рис. 5). Так как ABCD—описанный четырехугольник, то 2у = *» 2R -Ь 2ху или y = R-\-x. Проведем [BE] _\_[AD]> тогда I АЕ )«=*/? — х. Из прямоугольного треугольника АВЕ имеем (R + х)п = 4г2 4- (R — х)*. Отсюда х — г2
e==~R'' пРЯМ0Згг0льн0г0 треугольника ВЕО
г4 R2 г2
R2 = 4г2 + = 4 -f
Рис. 5
откуда
|- = /2+/5.
в —с _ , В + С ^ /3
и 0 < COS—2 < 1» а т0гДа sin 2 ^ Т"1
Л ~ it 1 а
cos — > Отсюда А < — и -у < cos Л < 1.
2
Докажем, что sin 2Л:в*п ЗЛ > -тр . Действительно,
sin 2Л 2 sin A cos Л
У - —^ —-
sin ЗЛ sin Л (3—4 sin9 Л)
2 cos Л 2 cos Л
3 — 4sin2 Л
4 cos* Л — 1 х
Положим, 2 cos Л — х, тогда у — XTZZJ (1 < -* < 2). 1
Но функция у вает, поэтому у >
X —
— при лг> 1 монотонно убы-
2 — *
2_
3
Итак, sin 2Л : sin ЗА > -у. (В условии задачи допущена неточность.)
1225. 	Пусть А. В и С — углы треугольника, измеренные в радианах. Доказать, что
а) 	Л2+ 5’ +С’ >^г\
2) Л-В + В-С4-С-Л <
3 •
Решение 2. Расстояние между центрами вписанной и описанной около четырехугольника окружностей выражается формулой \ООх |2 — R* 4* г2— г Y4R* 4- г2 (см. 3. А. Скопец, В. А. Жаров. Задачи и теоремы по геометрии. М., Учпедгиз, 1962).
Для данной задачи | OOi | г, поэтому г2 = R* + 4- г* — г Y4* /**, или /?2 — г Y4/?’ + ''а. Отсюда находим, что R =* 2-\- }/ Ь.
1224. 	Б треугольнике ABC b 4- с «= 2/? 3. Дока-
в1п.2Л 2
за/иь, что — > "о~.
sin ЗЛ
Решение. Прежде всего заметим, что Ьфс.
УЧ л
В самом деле, если b = с, то sin В = sin С и равенство b + с — 2R /3 примет вид sin В + sin С ■» у^З, или
sin В =« -тр /*3. Отсюда следует, что А *= В * С*»60о.
Л /V
Но в этом случае отношение вЬ^Л^пЗЛ теряет смысл.
л те
Итак, о ф с, Аф -g-. Используя теорему синусов,
можно равенство Ь + с «= 2R j/"3 записать так: sin В + + sin С — у^З. Преобразовав это равенство, получим
А Л А» А.
J5 *|“ С В —С /•— л а.
2 sin—о—cos—о—-у 3. Так как то ВфС
Решение. Известно, что углы треугольника свя-
А А А
заны соотношением Л 4- В + С — те. Возведем обе
части этого равенства в квадрат:
Л9 4- В’ + С3 4- 2(Л-В 4- ВС 4- С-Л) - я9. (1)
л л
Воспользуемся очевидными неравенствами Л* 4* В* >
>2ЛВ, В2 + С2>2В С, С2 4* Л2 > 2С • Л. После почленного их сложения получим
Л2 + в* + С* > ЛВ + В.с + С. Л. (2)
Сопоставляя равенства (2) и (1), получим неравен¬
ство 3(Л* +• В2 4- С5)> те2, или Л2 4- В9 4“ С’> Аналогично, из (1) и (2) находим, что
Л-В 4- S-C + С-Л 4- 2 (Л В + В-С 4- С-А) <*2,
или
А I А А А» А
или
Л*В 4^*С4С*Л< -у\
1226. 	Доказать, что если
2а* — ЪачЬ + 2Ь*
делится на Ъ, то а и b делятся на 5 (а, Ь — целые числа).
Решение. Данное утверждение эквивалентно следующему: доказать, что если в поле вычетов по модулю 5 выражение 2а* — За*Ь + 2д* равно нулю, то в этом поле а — 0 и b — 0. Поле вычетов по модулю 5 состоит из пята элементов {0, 1, 2, 3, 4}, причем каж-
72


дый из них, кроме 0, имеет обратный. Пусть, например, ЬфО, тогда существует Ь~1. Умножая равенство 2а*— За*Ь + 2Ь* = О на (Ь~1)*, получим 2 (ab-1)*— — 3 (ab ~1у 4- 2 «= 0, т. е. уравнение 2х* — Зхч 4-2 = 0 должно иметь корень в поле вычетов по модулю 5. Но ни один элемент поля не удовлетворяет полученному уравнению. Поэтому b = 0, а следовательно,
и а = 0 в поле вычетов по модулю 5, что и доказывает
утверждение задачи.
1227. 	На плоскости дан квадрат ABCD со сто- роной а. Охарактеризовать множество точек М этой плоскости, для которых \ МА\*-\ МС 4-1 МБ |* • | MD |* *= а\
Решение. Введем на плоскости систему координат хОу, оси которой перпендикулярны сторонам квадрата, а начало координат совпадает с центром квадрата. Вершины квадрата имеют следующие координаты:
(а а \ / а а \
Л\2 • 2 )' Б\ 2 ’ “ 2 )'
Пусть точка М (х, у) принадлежит искомому множеству. Тогда, согласно условию, имеем
+*)-+
х[(*~"г) +(у + -г)]=*4-
_
т
После упрощения получим х* 4- у* ■
Следовательно, точка М принадлежит окружности
а
с центром в начале координат и радиусом
1228. 	Найти зависимость между плоскими узлами а, р, 7 трехг ранного угла, если их биссектрисы, взятые попарно, образуют три равных между собой угла.
Решение. Отложим на ребрах данного трехгранного угла от его вершины О единичные отрезки О А,
ОБ, ОС (рис. 6). Пусть БОС = а, СОА = р и ЛОБ = 7, а биссектрисы /„ /2, la этих углов пересекают отрезки ВС, СА и АБ соответственно в точках L, М, N. Тогда,
Рис. 6
если положим OL = L, ОМ «= М, ON — N, то ~L-M {Б 4- С) (С4- Л)
/\ cos (/1Э /2) «
cos а 4- cos р 4- cos 7 4-1
А а Р
4 cos -g- cos “2"
Аналогично
/\ cos а + cos р 4* cos у 4-1
cos (/2, /3) = р 7 »
4 cos — cos -у
/\ cos а 4* cos р 4" cos 7 4-1
cos (/8, /0
7 а
4 cos -g" cos “2~
/\ /\ /\
Если (/lt /2) = (/2, /8) — (*3» *i)> то
(cos а + cos р 4" cos 7 4* 1) (cos -у — cos = 0,
/а p \
(cos а + cos p 4- cos 7 4- 1) ^ cos — — cos -y J « 0.
Поэтому если cos а 4- cos p 4- cos 7 4-1 0, то a«=p=-
■* 7. Если же углы а, р, 7 не равны между собой, то cos а -f cos р 4- cos 7 4-1=0. В этом случае углы между биссектрисами, взятыми попарно, прямые.
1229. 	Б окружность вписан четырехугольник ABCD. Прямая g, не проходящая через его верши- ны, пересекает прямые АВ, ВС, CD, DA соответственно в точках Р, Q, R и S. Доказать, су-
ществует бесчисленное множество четырехугольников A\BiCiDXt вписанных в данную окружность, причем таких, wrn? прямые АгВг, БгСl9 CiDu DXA% проходят соответственно через точки Р, Q, #, S Решение. Рассмотрим произведение четырех инволюций данной окружности © с центрами Р, Q, R и S (рис. 7). Если g П о) = М, g П (о — N, то произведение этих инволюций отображает М в М и N в N. Следовательно, точки М и N — двойные точки проективного
4\Ц-\М\
преобразования о окружности, являющегося произведе- нием рассматриваемых инволюций. Но по условию задачи о (А) = А. Таким образом, преобразование с имеет три неподвижные точки М, N и А и является поэтому тождественным преобразованием. В таком случае для любой точки А|£(о имеем о(А\) = А\. Это значит, что (А\Р){\ со = В\, (BiQ)f) <*> = Сь (Ci#)n<o = = (Л^)По) =
1230. 	Даны три различные прямые и некоторая точка. Через эту точку провести прямую так, чтобы образ прямой в произведении симметрий относительно трех данных прямых был ей параллелен*
73


Решение. Пусть а\, а2> аг — данные прямые, М — данная точка. Произведение трех симметрий с осями аи о>2» Дз есть либо переносная симметрия, либо симметрия. Если ось переносной симметрии (или симметрии) построена, то через М необходимо провести две прямые: одну прямую, перпендикулярную оси, вторую — параллельную оси. Построенные таким образом прямые имеют инвариантные направления, и поэтому их образы им параллельны.
Если а\{\а2—Аз, а2[\аъ=А\. az()ai — A2 (рис. 8), то основания перпендикуляров, проведенных из Ах и Л3 соответственно к а, и а3, принадлежат искомой оси а4 переносной симметрии.
Рис. 8
Если среди прямых аи а2, Дз имеются две параллельные, а третья их пересекает, то две пересекающиеся прямые можно заменить двумя другими поворотом около их точки пересечения на произвольный угол. Этим поворотом задача сводится к случаю, когда все три прямые попарно пересекаются.
Если данные прямые аи a2t аъ пересекаются в одной точке (или параллельны), то произведение симметрий сводится к одной симметрии, ось которой cii принадлежит тому же пучку, что и данные прямые, причем
/\ /\
(дь Яг) = (Дз, Я4).
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЗА 1973 г.
Абиров А. К. (Гурьевская обл.) — 1181, 1183, 1185— 1188, 1190, 1194, 1199, 1201. Аляев А. В. и Аляева Т. А. (Пензенская обл.) — 1181—1186, 1188—1190, 1193—
1197, 1199, 1201. Ахматов М. А. (г. Ейск) — 1181—1191, 1193, 1194, 1196, 1197, 1199, 1205. Ахметов М. Ш.
(г. Арысь) — 1181, 1182, 1184—1187, 1191, 1194. Багда- сарян Ж. (АзССР, пос. Гадрут) — 1181, 1183, 1185, 1186. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 1181—1183, 1185—1190, 1194, 1196, 1197, 1199, 1201. Баламетов И. Г. (г. Кусары) — 1181—1183, 1185—1191, 1194—1197, 1199,
1201. 	Ветров К. В. (г. Братск) — 1181—1183, 1185—1190, 1194—1197, 1199, 1205. Владимиров А. С. (г. Асбест) — 1181 — 1205. Владимиров Г. А. (Марийская АССР, Мор-
кинский р-н)—1181—1183, 1185—1187, 1195. Высоцкая М. Л. (г. Киев)— 1181—1183, 1185—1191, 1194,
1195. Гилехманов Р. Г. (г. Себеж) —1181, 1183, 1185, 1191, 1194. Голайдо И. Н. (г. Трубчевск) — 1181—1191, 1194—1197, 1199. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) — 1181—1183, 1185, 1186, 1188—1192, 1194—1204. Горбатый Е. 3. (г. Одесса) — 1181—1205. Джаббаров М. Б. (АзССР, р-н Саатлы) — 1181—1185, 1187—1190, 1194— 1197, 1201. Жиляев В. В. (г. Астрахань)—1181—1183, 1185—1205. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1181— 1183, 1185—1188, 1190—1192, 1194, 1195, 1197, 1199.
Иванов К. А. (г. Днепропетровск) — 1181—1191, 1193—
1202. Каменщиков В. (г. Канск) — 1186—1190, 1194— 1197, 1199, 1202, 1205. Каминский К. П. (Киевская обл.) — 1181, 1183, 1185—1190, 1194—1197, 1199, 1201. Кольченко Ю. М. (Новосибирская обл.)—1181—1186,
1191. Коногорский И. П. (г. Иркутск) —1185, 1189, 1190, 1196, 1197. Креймер М. О. (Житомирская обл.)— 1181—1191, 1194, 1196, 1197, 1199—12Q1. Лялькин М. А. (г. Арзамас)— 1181—1192, 1194—1199. Маилян М. Р. (г. Ереван) — 1181—1190, 1195—1197, 1199. Мака¬
ров М. Ф. (Орловская обл.) — 1181—1191, 1194, 1197. Мирошкин Г. А. (Калужская обл.) —1181—1195, 1197, 1199, 1200. Молибога И. Н. (г. Лисичанск) —1181— 1188, 1190—1199. Насрулаев М. Н. (г. Махачкала) — 1181—1183, 1185—1189, 1191, 1192, 1194, 1195. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск) —1181, 1182, 1184, 1185,
1187, 1188, 1190, 1194. Повелий В. И. (Ровенская обл.) — 1181—1192, 1194—1201, 1205. Проскуряков А. А. (Свердловская обл) —1181, 1182, 1185, 1186, 1188, 1191, 1194. Рашидов X. Р. (г. Ош)— 1181—1188, 1190—1194, 1196, 1199, 1201. Ромов Я. И. (г. Петропавловск) — 1191—
1203. Саргсян Г. (г. Иджеван) —1181—1183, 1186—
1188, 1190, 1194. Симеонов А. А. (Болгария, г. Бов) — 1200—1205. Тевосян К. Г. (г. Ереван) —1181—1190, 1199. Тимошенко Н. Р. (Черниговская обл.) —1181—
1192, 1194—1205. Федяков В. Е. (г. Йошкар-Ола) — 1181, 1182, 1184—1187, 1194, 1201. Фесенко В. Д.
(г. Чимкент)— 1181, 1182, 1185, 1188, 1194. Харитонов М. (Павлоград) — 1181—1183, 1185, 1186, 1188, 1193, 1197. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 1181, 1183—1202, 1205.
Чваньков И. Т. (Гомельская обл.) — 1181—1190, 1192— 1203, 1205. Черепинский И. Д. и Черепинский О. Д. (г. Черкассы) — 1186—1192, 1194—1197, 1199—1202,
1205. 	Юсупов В. К. (Северо-Казахстанская обл.) — 1181—1183, 1185, 1188, 1196, 1199.
Математические кружки: 10>й шк. г. Ангаоска (рук.
В. 	А. Васильева) — 1181 —1183, 1185—1193, i 195—1197, 1199; 106-й шк. г. Уфы (рук. В. И. Карпушенко) — 1181—1183, 1185; школы-интерната при Ханойском пединституте, ДРВ (рук. Нгуен Конг Кви) —1183, 1185, 1186, 1189, 1190, 1194, 1197, 1198, 1204; Шепотской восьмилетней шк. Черниговской обл. (рук. Н. И. Ку- чевский) — 1181 —1183, 1185—1191; 178-й шк. г. Киева (рук. И. А. Кушнир) — 1181—1183. 1185—1188, 1190— 1192, 1194—1197, 1199, 1200, 1201; 2-й шк. г. Рогачева (рук. С. Л. Нахамчик) — 1181 —1183, 1185—1193, 1195— 1197, 1199—1201, 1205; 173-й шк. г. Киева (рук.
Р. П. Шейнцвит) — 1181 — 1201, 1205.
Методическое объединение учителей математики 173-й шк. Москвы (рук И К. Сурин) — 1181—1191, 1194,
1196, 1197, 1199, 1201.


ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИНСТИТУТЫ И СЕЛЬСКАЯ ШКОЛА
3. 	А. СКОПЕЦ, О. И. ШЕНДЕРОВСКАЯ
(г. Ярославль)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КАФЕДРЫ
ЯРОСЛАВСКОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
ИМЕНИ К. Д. УШИНСКОГО — СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ
В осуществлении задач, поставленных перед советской средней школой по совершенствованию учебно-воспитательного процесса, повышению качества работы учителей, созданию необходимых условий для непрерывного роста их профессиональных знаний, значительную помощь могут оказать педагогические институты.
В этой статье мы хотим сделать небольшой обзор деятельности наших математических кафедр в помощь сельской школе.
За последнее десятилетие связь математических кафедр нашего института с сельской школой осуществляется по следующим направлениям: участие в массовом повышении квалификации учителей математики; работа с небольшими группами передовых учителей; индивидуальная работа с учителями; работа с учащимися. В каждом из этих направлений используются различные формы.
I. 	Одной из главных своих задач на современном этапе развития нашей школы математические кафедры института считают активную помощь в повышении теоретического и методического уровня учителей математики сельских школ. Для этого нами прежде всего используются летние курсы учителей, органи¬
зуемые областным институтом усовершенствования учителей, в работе которых кафедры принимают деятельное участие. Начиная с 1970/71 учебного года, когда наша средняя школа начала переход на новые программы и учебники, преподаватели и аспиранты кафедр ежегодно читают лекции по содержанию, структуре и методике изучения всех тем школьного курса по новой программе. Из года в год объем этой работы увеличивается, к занятиям с учителями привлекаются все новые силы. Так, если летом 1970 г. (по программе IV класса) в работе принимали участие 5 преподавателей, то уже в следующее лето этот коллектив пополнился еще тремя преподавателями. А в 1971/72 учебном году, когда школа готовилась к работе по новым учебникам алгебры и геометрии в VI классе, эти занятия проводились особенно тщательно; к работе были привлечены новые члены кафедр и аспиранты. Часть учителей сельских школ (более ста) прослушали полный цикл лекций в зимние каникулы, затем лекции были прочитаны в весенние каникулы, и, наконец, в летний период эта работа была закончена. Летом 1973 г. около 300 учителей сельских школ прослушали лекции по алгебре и геометрии VII класса, прочитанные им преподавателями кафедры методики математики и других математических кафедр.
В течение учебного года члены кафедр выезжают с лекциями на районные методические конференции. С большим вниманием учителя встречают лекции по вопросам повышения самообразования и по содержанию новых программ по математике, лекции о требованиях, предъявляемых к поступающим в институт, об анализе наиболее характерных ошибок, допускаемых выпускниками школ.
В областной конференции учителей по вопросам факультативных занятий и внеклассной работы приняли активное участие и учителя математики сельских школ.
И. Помимо участия в массовых формах повышения методического уровня учителей большое внимание кафедрами уделяется повышению научно-теоретической и научно-методической подготовки руководителей математических секций школ.
Так, в 1964 г. для этой цели были организованы двухгодичные очно-заочные курсы учителей математики опорных школ Ярославской области. Программа курсов содержала следующие основные разделы:
1. 	Теоретические вопросы — 44 часа. В этом разделе излагались: а) элементы математической логики (14 ч) у б) элементы теории ве¬
75


роятностей и теории информации (10 ч);в) основные задачи линейного программирования (8 ч); г) избранные вопросы теории функций (12 ч).
2. Вопросы общей методики — 30 часов. Здесь рассматривались такие вопросы:
а) культура математической речи учащихся;
б) историзм в преподавании математики;
в) связь преподавания математики со смежными дисциплинами; г) современные технические средства обучения и опыт их использования в учебной работе; д) приемы формирования абстрактных представлений в процессе преподавания математики; е) методика доказательства теорем при изучении математики;
ж) знакомство с аксиоматическим методом при изучении математики в средней школе;
з) развитие интереса учащихся к математике;
и) индивидуальный подход к учащимся и методы развития их математических способностей; к) внеклассная работа по математике и ее роль в учебном процессе; л) роль математики в решении практических задач.
3. Вопросы частных методик—106 часов. В этом разделе рассматривалась методика изучения наиболее важных и сложных тем школьного курса математики.
4. Практические занятия — 50 часов. На этих занятиях обсуждали опыт организации методической работы в районе, проводили практикум по решению задач повышенной трудности и посещение уроков с их последующим анализом.
5. Самостоятельная работа (изучение литературы, подготовка рефератов и докладов, выполнение контрольных заданий)—70 часов.
Вся программа была рассчитана на 300 часов. Проводились шестичасовые занятия по три дня в школьные каникулы в ноябре, январе, марте, июне. На обсуждение методических сообщений учителей приглашались члены математических кафедр. Руководители сообщений (из числа членов кафедр) устанавливали связь с докладчиками-учителями, консультировали их в ходе подготовки доклада.
III. 	В 1962 г. по инициативе руководителя секции математики Ярославского областного отделения Педагогического общества и кафедры элементарной математики пединститута была организована группа из наиболее активно работающих учителей для повышения их научного и методического уровня со сроком обучения 2 года. Была поставлена задача подготовки без отрыва от работы квалифицированных методистов по вопросам преподавания математики в средней школе. Учебный план, рассчитанный на 300 часов, был составлен ка¬
федрами. План включал лекции по математической логике, теории множеств, теории функций, теории геометрических преобразований, векторной алгебре, теории вероятностей и др. Занятия проводились ежемесячно в течение двух дней, по 6 часов в день, и, кроме того, в школьные каникулы по особому расписанию. Расписание составлялось на календарный год. В конце каждого года слушатели должны были сдать по одному экзамену. В конце первого года — по алгебре и методике ее преподавания; в конце второго года — по геометрии и методике ее преподавания. Программа экзаменов составлена в объеме требований, предъявляемых к аспирантам, сдающим кандидатский минимум по математике и методике ее преподавания. Кроме того, каждый слушатель должен был представить два реферата (по одному в конце каждого года обучения), провести два открытых урока, участвовать в обсуждении открытых уроков, проводимых товарищами, представить рецензию на учебно-методическое пособие.
Первая такая группа была создана в январе 1963 г. при активном участии заведующего кабинетом математики ИУУ П. Я. Великиной. По приказу заведующего облоно директора школ обязаны были предоставлять учителям, зачисленным в группу, два свободных от работы дня (понедельник и вторник последней недели каждого месяца) для занятий в институте. Приказом по институту учителя были прикреплены к кафедре элементарной математики для сдачи кандидатского минимума по методике преподавания математики. В апреле 1965 г. был произведен первый выпуск. Все слушатели весьма успешно сдали обе части кандидатского экзамена. Успех в работе был обеспечен их серьезным отношением к учебе, вниманием и заботой, проявленными к ним профессорско-преподавательским составом математических кафедр института, а также благоприятными условиями для работы, созданными областным отделением педагогического общества и областным отделом народного образования.
Эта новая форма повышения квалификации учителей получила одобрение Министерства просвещения и Совета центрального педагогического общества РСФСР, поздравивших выпускников аспирантуры на общественных началах при Ярославском отделении Педагогического общества и всех преподавателей математических кафедр, принимавших участие в этой работе с учителями.
Учителя, сдавшие успешно кандидатский минимум, работают методистами, возглавляют методическую работу в районах, оказывают
76


методическую помощь молодым учителям, выступают с лекциями на педагогических чтениях.
Учитывая положительный опыт и эффективность такой формы повышения теоретического уровня учителя, эта работа с учителями продолжается и в текущем учебном году.
IV. Совместно с ИУУ регулярно в течение нескольких лет по определенному плану некоторые наши преподаватели выезжали в школы Ростовского, Петровского, Тутаевского, Бур- макинского, Гаврилов-Ямского, Переславского и других районов для проведения открытых уроков и посещения уроков учителей с последующим их анализом.
С наиболее творчески работающими учителями ведется систематическая работа по повышению их научного и методического уровня. Некоторые из них были приглашены в очную или заочную аспирантуру, которую они успешно закончили. Например, А. Й. Чегодаев — бывший директор Гаврилов-Ямской восьмилетней школы, ныне кандидат физико-математических наук; Г. Ф. Пискарев, учитель Неко- узской средней школы, представил к защите кандидатскую диссертацию по методике математики; некоторые учителя математики сдали все кандидатские экзамены и работают над диссертациями.
V. Одной из форм работы с учащимися является проведение областных олимпиад по математике (проводятся они уже более четверти века). К девяти олимпиадам (1961—1972 гг.) были изданы сборники подготовительных задач (каждый сборник тиражом в 1000 экземпляров). Сборники составлялись членами математических кафедр и рассылались во все восьмилетние и средние школы области. В последних сборниках ко всем задачам были даны решения или указания. Для проведения некоторых районных олимпиад в районные города области выезжали студенты факультета и преподаватели кафедр с целью проведения консультаций для учителей по материалам олимпиады.
В текущем учебном году выбрана новая форма подготовки школьников к олимпиаде. Объявлен конкурс по решению математических задач для учащихся VII—X классов. В областной газете «Юность» от 23 октября
и 25 декабря опубликованы условия проведения конкурса и первые 40 задач. Новые конкурсные задачи также будут печататься на страницах газеты «Юность» (раз в два месяца).
Четвертый год при Ярославском пединституте работает заочная математическая школа (ЗМШ). В начале года в каждую сельскую школу на имя директора направляется письмо, в котором сообщаются условия приема и работы ЗМШ. Ежегодно направляется не менее пяти заданий для учащихся IX и X классов (отдельно). С каждым приславшим решения ведется индивидуальная переписка — консультация. В этой работе принимает участие группа студентов (30 человек) под руководством преподавателей. Всю работу возглавляет энтузиаст этого дела кандидат физико- математических наук В. М. Ермакова. В конце года учащимся десятых классов, выполнившим все задания, высылается удостоверение об окончании ЗМШ.
В течение нескольких последних лет в институте с 6 по 30 июля работают летние подготовительные курсы для сельских абитуриентов. В течение трех недель по 6 часов в день преподаватели читают лекции по программам вступительных экзаменов. Специальное время отводится для самостоятельных занятий абитуриентов. Для этой работы выделяются лучшие студенты факультета, которые оказывают учащимся нужную помощь. Эта форма работы хорошо себя зарекомендовала. За время занятий школьники приводят в систему свои знания, увереннее чувствуют себя на экзаменах. На факультете вырос процент студентов— выпускников сельских школ.
Подводя итоги, можно наметить основные направления в деятельности математических кафедр по связи с сельской школой: 1) ознакомление массового учителя с новым содержанием школьного курса математики и структурой новых учебников; 2) подготовка и издание совместно с ИУУ методических пособий для учителя; 3) подготовка наиболее активно работающих учителей как методистов для работы в районах; 4) работа с учащимися сельских школ по профессиональной ориентации, по пробуждению их интереса к математике, а также по привлечению их к профессии учителя сельской школы.


М. М. ЧЕРНЕЦОВ
(Москва)
ИЗ ОПЫТА ОЧНО-ЗАОЧНОЙ ПОДГОТОВКИ АБИТУРИЕНТОВ
Одной из важных задач педагогических институтов является работа по оказанию помощи выпускникам сельских школ при подготовке к поступлению в вуз. Об опыте такой работы в МГПИ имени В. И. Ленина и рассказывается в нашем сообщении.
С 1969 г. в институте работают заочные подготовительные курсы, на которые зачисляются преимущественно учащиеся выпускных классов сельских школ различных областей. На факультетах математическом и физическом ежегодно учатся 400—500 человек. Занятия рассчитаны на 8 месяцев (октябрь — май).
Учащиеся курсов пользуются пособием по математике, изданным институтом специально для заочных курсов, в котором указаны объем изучаемого материала, последовательность работы, литература по темам. Пособие не заменяет стабильные школьные учебники. Наоборот, цель его — привлечь максимальное внимание учащихся к школьному учебнику, научить их работать с учебником, научить брать из учебника наибольшую информацию. В пособии подчеркивается необходимость тщательной работы с учебником, по каждой теме ставятся контрольные вопросы, в необходимых случаях по отдельным темам даются подробные указания, разъяснения. На примерах, взятых с экзаменов, показывается, к каким неприятностям приводят невнимательное прочте- ние учебника, отсутстзие аргументации и самоконтроля, шаблонность мышления. В каждой теме дополнительно к материалу учебников приводится система упражнений для самостоятельной работы.
За время обучения на курсах учащиеся выполняют 5 контрольных работ. В целях большей оперативности каждый учащийся прикрепляется к определенному преподавателю, который проверяет все контрольные работы, рецензирует их, делает необходимые пояснения, отсылает учащегося к соответствующему материалу в учебниках и пособии.
Часть учащихся, естественно, не выдерживает напряженной работы или понимает, что математика не их призвание, и оставляет курсы.
Из тех, кто успешно справляется с контрольными работами, 100—120 человек приглашаются на месячные летние курсы при институте. Здесь на лекциях освещаются наиболее сложные вопросы программы, попутно уча¬
щиеся учатся слушать лекции, записывать их, работать над ними. На практических занятиях анализируются наиболее распространенные ошибки с учетом обобщения итогов контрольных работ. Проводятся собеседования, по форме и содержанию близкие к устному экзамену; проводится контрольная работа, обращается внимание на ее оформление.
Большинство учащихся, прошедших такую подготовку, успешно сдают вступительные экзамены. Примерно 40% из них поступают на математический и физический факультеты нашего института, многие поступают в другие вузы.
Но дело не только в этом. Мы полагаем, что было бы неверно сводить работу курсов только к узкой задаче — подготовке учащихся к вступительным экзаменам путем решения большого числа конкурсных задач и подготовки ответов на вопросы программы. Мы исходим из того, что обучение на курсах должно заключаться не только (и даже не столько) в накоплении некоторого фонда знаний (конечно, учащиеся должны знать весь фактический материал школьного курса математики), сколько в выработке умения свободно и сознательно владеть этими знаниями, в преодолении уже приобретенного формализма и некритического отноше*ния к решению задач, в воспитании потребности и умения аргументировать, в воспитании привычки к самоконтролю, к критической оценке возможных способов решения задач и полученных результатов, в ознакомлении с методами математики, в формировании навыков самостоятельного добывания знаний.
В широком смысле цель курсов — привести математическую подготовку учащихся к уровню, достаточному для успешного обучения в вузе. С этой точки зрения следует отметить, что большинство поступивших с курсов успешно учатся в институте. Нельзя сказать, что всем это дается легко, но все они, как правило, любят педагогическое дело, достаточно трудолюбивы и через некоторое время полностью осваиваются с требованиями высшей школы.
В заключение приводим тексты двух первых контрольных работ для заочных курсов.
Контрольная работа № 1
1. Задача. На складе есть 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время оказалось, что содержание воды в ягодах упало до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
2. Задача. Найти двузначное число, частное от деления которого на произведение его.
78


цифр равно 22/3, а разность между искомым числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 18.
3. Теорема. Если сумма двух целых чисел есть число нечетное, то их произведение — число четное.
а) Выделите разъяснительную часть теоремы, условие, заключение. Докажите теорему.
б) Сформулируйте обратную теорему. Верна ли она? Ответ обосновать.
4. Доказать, что число k3(k2—7)2—36 k при всяком натуральном k делится на 5040.
5. Доказать, что при любом натуральном п
сумма —гг- +—т~о обращается в беско-
п п 4- i п + 1 г
нечную смешанную периодическую дробь.
6. Рациональным или иррациональным числом является дробь если:
а) а — рациональное число, Ь — иррациональное число:
б) а и b — иррациональные числа?
Ответ обосновать.
7. Извлечь корень и, если можно, сократить дробь
х 4- у/' х9 4- yf (х 4-1 У —■• 4л*
1 — 2х~ Зх' *
8. Выполнить действия:
6 12
а 4~ "V2 4- v 5 • ]/9 — 4уЛ5
а)
г о а
У 2 — /Г-1/9+ 4/5 — Уа'+
б)
,1.5.
,0,5
0,2\—1
_L * а0*-а-**
а —а 2 +(3,7)°
9. Доказать, что если sina + sinp = a, cosa + cosp = b, то
5 ab a' + *
+ (¥)
sin (a -f p) :
Контрольная работа № 2
1. Решить относительно х уравнение
Зх
р + 2
2{х — 2) = х — 2 + 2р '
2. Найти все значения а, при которых система
( 2х + (9а2 - 2) у = За»
1 х + у== 1
не имеет решений. Дать графическую иллюстрацию при найденных значениях а.
3. Пусть т — некоторое действительное число.
а) Доказать, что если выражения 3jC_
и 1 — х ни при каком действительном значении х не принимают одинаковые значения, то от <С 5.
б) Верно ли обратное утверждение?
4. Даны функции
/(*)=_ JL И £(*) = 1-Х.
Решить графически и аналитически неравенство fix — 1)>£(л:+ 1).
5. Решить неравенство
дг’ — 5х + 4
<1-
х3 — 4
6. Найти все решения уравнения
[sin л; — cos (х - тс)]2 = I
удовлетворяющие условию |х|<С4г.
7. Найти все решения уравнения
— sin 2х — sin Зх + cos Зх, удовлетворяющие условию ^-<д:<2тс.
8. 3 а д а ч а. Из одного пункта одновременно и в одном направлении выехали два велосипедиста: первый — со скоростью а — , вто-
рой — со скоростью Ьк\ Через полчаса в том
же направлении выехал третий велосипедист, который, после того как обогнал первого велосипедиста, находился в пути еще полтора часа, пока догнал второго. Определить скорость третьего велосипедиста.
9. Доказать, что отрезки, соединяющие вершину параллелограмма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине, делят диагональ, соединяющую две другие вершины параллелограмма, на три равные части.
10. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 см; радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника.


НЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В
Р. А. СИМОНОВ
(Москва)
«ЦИФРОВЫЕ АЛФАВИТЫ» И СОСТОЯНИЕ ГРАМОТНОСТИ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
С открытием берестяных грамот закончился многолетний спор о распространении грамотности на Руси. Стало ясно, что написанное слово в древнерусском средневековом обществе не было диковинкой. Переписка между людьми, принадлежащими к самым широким слоям населения, была явлением повседневного быта.
Археологические находки в Новгороде осветили процесс обучения грамоте в древней Руси, о чем конкретно было известно крайне мало. В 1954 г. была найдена дощечка с вырезанной на ней древнерусской азбукой. Это драгоценное учебное изделие, изготовленное в Новгороде в XIII—XIV вв., открыло новую страницу в изучении процесса обучения грамоте в древней Руси. Руководитель археологической экспедиции в Новгороде член-корреспондент АН СССР А. В. Арциховский писал по поводу указанной дощечки с азбукой: «До этой находки наша древнейшая школа ускользала от изучения. Никаких археологических материалов и никаких надежных письменных известий по древнерусскому школьному делу нигде не было» (А. В. Арциховский и В. И. Борковский. Новгородские грамоты на бересте (из раскопок 1953—1954 гг.). М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 81). Для чего предназначалась найденная азбука? По мнению А. В. Арциховского, «это своего рода учебное пособие. Ученик мог держать дощечку в руках и списывать буквы (нижняя часть поэтому свободна от надписей). Форма и отделка предмета заставляет предположить, что такие азбуки изготовлялись на продажу» {там же, стр. 81).
Древнерусский школьник мог переписывать алфавит, положив на свободную часть дощечки кусок бересты. По обрывкам берестяных грамот учебного характера, найденных в Новгороде, видно, как шло обучение грамоте. Усвоив буквы, переходили к слогам; среди грамот встречаются тексты, содержащие соответствующие упражнения: ба, ва, га, да и т. д. Археологи обнаружили своеобразный ученический архив новгородского школьника Онфима, жившего в XIII в. На клочках бересты отслужившего службу донышка берестяного туеса маленький новгородец упражнялся в написании букв и складов. На одном из фрагментов мальчик
оставил автограф: «Поклон от Онфима к Даниле». Онфим любил рисовать; рядом с учебными записями он изображал человечков, всадников, сражающихся витязей, чудовищ.
Новгородские находки открыли еще один неизвестный ранее атрибут обучения грамоте в древней Руси: аналогичные буквенным, но от них отличные «цифровые алфавиты», представляющие собой совершенно самостоятельные документы, характеризующие процесс обучения счету.
Чтобы лучше можно было уяснить значение этих источников, следует вкратце остановиться на древнерусской цифровой системе. В начале XVIII в. Петр I реформировал кириллическое письмо, введя новые виды шрифтов, которые до сих пор определяют облик современной русской письменности. Одновременно была введена новая нумерация, которая также употребляется до сих пор. Это всем знакомые, так называемые индоарабские цифры. Древнерусская же нумерация имела принципиально другой вид, совпадая по графике со многими буквами кириллицы, поэтому эту архаичную цифровую систему называют иногда «алфавитной» или «буквенной».
На рис. 1 приведена таблица древнерусской цифровой системы конца XIII —начала XIV в. Символы верхнего ряда выражали единицы, среднего — десятки, а нижнего — сотни. Например, число 342 в этой нумерации записывалось так: т м в. Чтобы цифровые знаки отличались от буквенных, над ними ставился специальный горизонтальный значок — «титло», а по бокам — точки. Основными 27 цифрами можно было выразить числа от 1 до 999. Для обозначения тысяч — к основным цифрам слева «привешивался» специальный «хвостик» — знак тысяч. Десятки тысяч передавались посредством окружности, которой обводился основной цифровой символ.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ЕДИНИЦЫ
А
В
г
А
€
г,$
5
и
0
ДЕСЯТКИ
1
к
А
м
/V
1
0
п
S.S
СОТНИ
Р
с
т
У
ф
X
ч*
со,си
А
Рис. 1. Таблица древнерусских цифр конца XIII — начала XIV в. В таблице использованы обобщенные начертания букв-цифр по данным рукописных источников и надписей на предметах указанного времени. В таблице приведены наиболее типичные варианты некоторых цифровых знаков: 6, 90, 800.
Среди знаков таблицы на рис. 1 только один не служил буквой кириллицы. Это — символ, обозначавший 90: им был вариант греческой «коппы». «Коппа» в греческом письме когда-то являлась буквой, но в средневековый византийский период утратила буквенное (звуковое) значение и употреблялась лишь в качестве цифры. Наличие варианта «коппы» в древнерусской нумерации свидзтельствует о византийском (греческом) происхождении последней, как, впрочем, и большинства букв самой кириллицы.
Среди знаков древнерусской нумерации имелись символы, которые редко употреблялись в качестве букв. Например, «кси»=60, «пси» = 700 и др. В частности, указанные символы отсутствуют среди букв азбуки, вырезанной на дощечку по которой новгородцы в XIII—XIV вв. изучали кириллический алфавит. Если также учеетьэ что цифровых знаков было меньше, чем
80


буквенных, и их порядок не совпадал с последовательностью букв в кириллическом алфавите, то будет ясно, что, несмотря на сходство древнерусской «буквенной» нумерации с буквами кириллического алфавита, при обучении счету приходилось преодолевать трудности, обусловленные указанными различиями. Найденные три «цифровые» берестяные грамоты (№ 287, 342 и 376) подтверждают сказанное.
1. 	Грамоту № 287 (рис. 2) А. В. Арциховский характеризует так: «Стратиграфическая дата — рубеж
XIII—XIV вв. или первая половина XIV в. Для толкований первая строчка слишком коротка. Вторая строчка имеет ясный смысл. Это цифры, первые шесть цифр подряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6» (А. В. Арциховский и
В. 	И. Борковский. Новгородские грамоты на бересте (из раскопок 1956—1957 гг.). М., Изд-во АН СССР, 1963, стр. 115).
Если в грамоте изображено начало азбуки, то вслед за буквой «а» шла бы пропущенная буква «б», а за «е» располагалась бы «ж», которой также нет. Вместе с тем порядок знаков в грамоте полностью совпадает с шестью первыми древнерусскими цифрами (см. рис. 1). Поэтому проф. А. В. Арциховский определил, что в грамоте представлен ряд цифр, а не букв.
Рис. 2. Берестяная грамота № 287 рубежа XIII—XIV вв. или начала XIV в. с перечнем первых шести цифр.
Грамота № 287 написана как будто бы второпях. Об этом свидетельствует «пляшущий» ряд цифр, отсутствие точек между ними и титл, а также нечеткая запись верхнего слова из трех букв. Из них только первая хорошо читается, это — «д», вторая напоминает «и», но могла быть и «н», третья — недописанная, может обозначать то же, что и предыдущая. Если предположить, что здесь написано слово «дни», тогда шесть ниже расположенных цифр будут обозначениями дней. Аналогичный ряд обозначений от А (1) до 3 (7) известен для дней «вруцелета», правда, в более позднее время, около XV в. (С. И. Селешников. История календаря и хронология. М., 1970, стр. 155).
Возможно, грамота является не обрывком незавершенного текста, а заметкой для памяти или учебной записью о цифровом обозначении дней.
2. 	Грамоту № 342 (рис. 3) А. В. Арциховский относит к началу XIV в. Она представляет собой «цифровой алфавит» —* перечень цифр от 1 до 40 ООО. Береста
0 12 3 4 5см
«-■—»—„Д » I |
Рис. 3. «Цифровой алфавит» на берестяной грамоте № 342 начала XIV в.
частично оборвана вместе с рядом находившихся на ней знаков. Судя по характеру обрывов, десятитысячный разряд в ней, наверное, содержался полностью, а стотысячного не было.
Чтобы правильно понять значение этой находки, следует учесть исторические изменения, происшедшие в арифметике. В наше время под арифметикой понимают совокупность операций сложения, вычитания, умножения и деления, производимых с числами; запись чисел (нумерация) не считается самостоятельным арифметическим действием. На вопрос: сколько арифметических действий? отвечают: четыре. В период средневековья их насчитывалось больше. Так, нумерация считалась отдельным арифметическим действием. Видимо, в таком историческом смысле следует понимать слова А. В. Арциховского о том, что грамота № 342 написана, «очевидно, в связи с изучением арифметики» (А. В. Арциховский. Новгородские грамоты на бересте (из раскопок 1958—1961 гг.). М., Изд-во АН СССР, 1963, стр. 29, 30).
Следы выполнения арифметических действий в письменной форме в древней Руси отсутствуют, в том числе и в берестяных грамотах. Есть основание полагать, что древнерусская арифметика была «наглядноинструментальной». Все арифметические действия выполнялись на каком-то наглядном счетном приспособлении, и только конечные результаты записывались. Поэтому отсутствие остатков каких-либо письменных подсчетов может свидетельствовать вовсе не о слабости математической культуры древней Руси, а о ее особом характере, отличном от современного, привычного нам теперь. О том, что в Новгороде производили подсчеты с большими числами порядка десятков тысяч, говорит рассматриваемая грамота. Она служила своего рода учебным пособием при обучении счету или была своеобразным справочно-цифровым документом.
3. 	Грамоту № 376 (рис. 4), стратиграфическая дата которой — рубеж XIII—XIV вв. или начало XIV в., А. В. Арциховский харакхеризует следующим образома
Рис. 4. Берестяная грамота N° 376 рубежа XIII—XIV вв. или начала XIV в. с перечнем первых четырех цифр.
«Это донце туеса с буквами и буквообразными значками, нанесенными на него в беспорядке... На донце туеса небрежно нарисована человеческая фигура, перечеркнутая затем ^крестообразно. Над головой фигуры четыре буквы: а в г д. Это четыре первые цифры, что
81


ясно уже из их порядка и подтверждено титлами» (там же, стр. 76). С разрешения проф. А. В. Арцихов- ского эта грамота одновременно с основным изданием была опубликована автором настоящей заметки и истолкована в качестве детской (Р. А. Симонов. Числовые грамоты на бересте XIII—-XIV вв. и некоторые вопросы истории кирилловской нумерации. «Хиляда и сто годипи славянека писменост (863—1963). Сборник в мест на Кирил и Методий». София, изд. Болгарской Академии наук, 1963, стр. 287—294). С этим не согласился болгарский ученый II. Илчев. «Едва ли можно считать доказанным,— писал он,— что знакомство с цифрами начинали в детстве — грамота 376, которая, по мнению Симонова, есть «детское упражнение в написании букв и цифр» (289), может быть делом и взрослого человека» (П. Илчев. Делото на Кирил и Методий през погледа на нашите съвременни изеле- дователи. «Български език», кн. 4—5. София, 1964, стр. 454—455). Теперь, несколько лет спустя после этого спора, можно сказать, что опасения болгарского исследователя были напрасными. Берестяные грамоты, для которых основой послужило дно туеса, известны в бе- рестологии как детские. Именно этот признак отмечает член-корреспондент АН СССР проф. В. JI. Янин в рассматриваемой грамоте № 376: «Кстати, последняя запись была сделана также на донышке отслужившего свой срок берестяного туеса. Маленьких новгородцев не особенно баловали, для их школьных упражнений годилась любая береста» (В. JI. Янин. Я послал тебе бересту.-. М., Изд-во МГУ, 1965, стр. 56). С учетом того, что на этой грамоте есть рисунки, которые, как известно по другим источникам (грамоты Онфима), любили делать маленькие новгородцы, ее принадлежность ребенку кажется еще более достоверной.
Открытие новгородских берестяных грамот дало нечто существенно повое по многим вопросам древнерусской культуры. Помимо основного сенсационного вывода о небывало высоком уровне грамотности на Руси в эпоху, в которой прежние исследователи видели только дикость и невежество, берестяные грамоты содержат конкретные сведения о способах, при помощи которых грамотность в Новгороде сделала поразительные успехи.
Обучение письму шло в связи с изучением счета, в обоих случаях использовались аналогичные учебные
Рис. 5. «Цифровой алфавит», приводящийся на оборотной стороне первого листа в пергаменной рукописи «Ирмологий» XV в.
пособия — буквенные азбуки и «цифровые алфавиты». Последние применялись при обучении счету и в последующее время. На рис. 5 приводится «цифровой алфавит» из русской пергаменной рукописи XV в. «Ирмологий», хранящейся в Государственной публичной библиотеке имени М. Е. Салтыкова-Щедрина (Ленинград), шифр: Соф. № 487. В этом «цифровом алфавите» помимо специальных обозначений десятков тысяч приводится символ стотысячного разряда в виде окружности из точек. Таким образом, методы обучения в древнем Новгороде грамоте, в том числе и счету, были в общем такими же, как в XV—XVII вв.
Математический календарь на 1973 /74 учебный год
Март
12 марта — 70 лет со дня рождения советского математика Людмилы Всеволодовны Келдыш (см.: «Математика в школе», 1964, № 2; 1965, № 2).
21 марта — 80 лет со дня рождения советского математика Алек¬
сандра Александровича Г л э г о л е- ва (1894—1967). Он родился в Москве, окончил Московский университет (1922), профессор (1933), доктор физико-математических наук (1946). В 1939—1962 гг. работал в Московском институте народного хозяйства, с 1962 г.— в Московском областном пединституте. Работы А. А. Глаголева относятся к геометрии и номо¬
графии (см.: «История отечественной математики», т. 3,4(2). Киев, 1970).
21 марта — 90 лет со дня рождения американского математика Джорджа Давида Биркгофа (1884—1944) (см.: «Математика в
школе», 1969, N2 5).
22 марта — 580 лет со дня рождения знаменитого узбекского астронома и математика Улугбека
82


(1394—1449) (см.: «Математика в
школе», 1969, № 1).
23 марта — 225 лет со дня рождения знаменитого французского математика, физика и астронома Пьера Симона де Лапласа
(1749—1827) см.: «Математика в
школе», 1967, № 1).
Апрель
21 апреля — 200 лет со дня рождения знаменитого французского физика, геодезиста, астронома и математика, члена Парижской АН Жана Батиста Био (1774—1862). Био родился и умер в Париже. Образование получил в Политехнической школе. Был профессором в Коллеж де Франс и Парижском университете. По математике известна его работа «Аналитический трактат о кривых и поверхностях второго порядка». Он дал простые уравнения касательных для канонических уравнений всех трех видов конических сечений, впервые высказал общепринятую теперь идею рассматривать синус и косинус как координаты точек окружности с радиусом, равным единице, и на этом основании определять их знак и др. Он написал биографии Декарта, Франклина, галилея и Ньютона (см.: БСЭ, Изд. 3, т. 3;
Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966).
25 апреля-^-125 лет со дня рождения немецкого математика Феликса Клейна (1849—1925). Клейн окончил Боннский университет. В 1872—1885 гг. он работает в университетах в Эрлангене, Мюнхене, Лейпциге, а с 1886 г. — в Геттингене. В 1872 г. опубликовал «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», известное под названием Эрлангенской программы. В этой работе он изложил единую точку зрения на различные геометрии, и в дальнейших своих работах он много внимания уделяет неевклидовой геометрии, находит для нее интерпретацию.
Клейн стремился раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики (в частности, между «элементарной математикой» и «высшей») и между математикой, с одной стороны, физикой и техникой — с другой. Известны его «Лекции по истории развития математики в XIX столетии», переведенные на русский язык, как и двухтомная работа «Элементарная математика с точки зрения высшей». Большой труд был вложен Клейном в создание «Энциклопедии математических наук». Клейн много занимался вопросами математического образования. Перед первой мировой войной он организовал международную комиссию по реорганизации преподавания математики (см: БСЭ, Изд. 2;
«Математика в школе», 1965, № 3).
30 апреля — 90 лет со дня рождения советского педагога, методи- ста-математика Александра Васильевича Ланкова (1884—1953). А. В. Ланков родился в дер. Воронцово Тверской губ. Свою педагогическую деятельность А. В. Ланков начал в 1903 г. учителем сельской школы. По окончании в 1910 г. Московского учительского института стал учителем Тверского городского училища. С 1934 г. до последних дней своей жизни А. В. Ланков работал я Пермском пединституте.
Все годы после Октябрьской революции А. В. Ланков педагогическую работу совмещал с большой общественной работой, был одним из организаторов конференций математических кафедр педвузов Урала.
А. В. Ланков является автором многих учебных и методических работ, в 1918 г. вышел его учебник «Начала алгебры», позднее выходят «Устный счет», «Математика в трудовой школе», сборники задач по арифметике и алгебре не только на русском языке, но и на других языках народов СССР. В 1951 г. вышла его работа «К истории развития передовых идей в русской методике математики» (см: «Математика в
школе», 1954, № 2).
А. И. БОРОДИН (г. Донецк)
АЛЕКСЕЙ МИТРОФАНОВИЧ АММОСОВ (К 100-летию со дня рождения)
Среди ученых-математиков, работавших в Азербайд- жане, особое место занимает видный педагог-математик, просветитель, профессор, Герой Труда А. М. Аммосов (1873—1946), 47 лет своей жизни посвятивший развитию математического образования в Азербайджане.
А. М. Аммосов родился 31 декабря 1873 г. в г. Кашине Тверской губ.; среднее образование получил в Астраханской гимназии, высшее — на физико-математическом факультете Московского университета, который закончил с дипломом первой степени в 1897 г., и в том же году начал работать в г. Баку в средней школе.
Вся научно-педагогическая и общественная деятельность А. М. Аммосова протекала в г. Баку, за исключением небольшого периода (1910—1916 гг.), когда он работал директором Темрюкского реального училища (два года), а затем Кутаисского (четыре года).
С конца 1920 г. началась работа А. М. Аммосова в высших учебных заведениях Азербайджана: университете, политехническом, нефтяном и педагогическом институтах. С 1931 г. он — профессор.
А. М. Аммосов вел большую общественную работу. Еше в 1901 г. он был в числе учредителей и несколько позже членом правления Бакинского народного универ¬
ситета, читал там лекции по астрономии и математике. В советское время принимал активное участие в профсоюзных учительских организациях; как член лекционного бюро секции научных работников читал лекции по астрономии в рабочих районах и красноармейских частях.
Из многогранной деятельности А. М. Аммосова выделяется его работа в области методики математики как в средней, так и в высшей школе. На XIII съезде естествоиспытателей и врачей в 1913 г. в г. Тифлисе А. М. Аммосов выступил с докладом «К вопросу о переработке курса анализа бесконечно малых для средней школы и о его пропедевтике». После Октябрьской революции он принимал активное участие в составлении первых программ по математике, публиковал статьи о методических обоснованиях новых программ по математике для единой трудовой школы. В работавшем на общественных началах Бакинском институте народного образования А. М. Аммосов читал лекции как по общим вопросам методики математики, так и по отдельным темам новых программ. Большую помощь учителям оказала вышедшая на азербайджанском языке в 1928 г. «Методика математики» А. М. Аммосова.
Методы, применяемые в преподавании математики, Аммосов делит на следующие четыре группы:
1. Методы, характеризуемые построением рассуждений и формой мышления (индукция и дедукция*/ анализ и синтез).
2. Методы, характеризуемые последовательностью учебного материала (метод изучения чисел, метод изучения действий, метод числовых фигур).
83


3. Методы, характеризуемые формой участия учителя и учеников в процессе обучения (догматический, лабораторный и исследовательский методы).
4. Методы, характеризуемые формой проведения занятий (лекция, беседа, эвристический метод).
Автор резко критикует догматизм и словесный метод как вредные наследия старой школы, призывает к применению активных методов, к связи обучения с занятиями по труду и с жизненно-практическими задачами. Учебным пособием А. М. Аммосова много лет пользовались студенты педагогических техникумов и пединститута, им пользовались учителя в процессе преподавания и для подготовки различных методических докладов на методических объединениях и совещаниях.
«Курс математики для педагогических техникумов» А. М. Аммосова, составленный совместно с М. Эфен- диевым в 1929 г., в переводе на азербайджанский язык оказал большую помощь в успешном преподавании математики в техникумах.
А. М. Аммосов внес ценный вклад в области методики преподавания математики и в высших школах. Его книги и статьи, относящиеся к этой области, представляют интерес и в настоящее время.
Профессор А. М. Аммосов был неутомимым пропагандистом математических знаний в полном смысле этого слова. Его заслуги были высоко оценены партией и правительством.
В Ю34 г. Азербайджанский Центральный Исполнительный Комитет присвоил А. М. Аммосову за успешную многолетнюю научную и педагогическую деятельность звание Героя Труда. В 1941 г. он был награжден орденом «Знак Почета», этот орден вручил ему М. И. Калинин.
А. М. Аммосов награжден медалями «За оборону Кавказа» и «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.» и Почетной грамотой Верховного Совета АзССР.
Б. А. Агаев, С. М. Насибов (г. Баку)
АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ МАРГУЛИС
Александру Яковлевичу Маргулису исполнилось 60 лет.
Александр Яковлевич окончил рабфак и пединститут в г. Кривом Роге. Преподает математику с 1933 г. С декабря 1941 г. находился в рядах Красной Армии, участвовал в боях под Северным Донцом, под Моздоком и под Новороссийском,
Основная линия деятельности Александра Яковлевича— методика преподавания математики. Он ученик
А. 	Я. Хинчина и во многом унаследовал его идеи. «Его кандидатская диссертация,— писал А. Я. Хинчин в 1949 г.,—отличается методической свежестью и проникнута здоровым и ценным стремлением приблизить школьное преподавание математики к ее современному уровню». Александр Яковлевич автор многих работ по вопросам преподавания математики. Много лет работал инспектором-методистом в различных районах Москвы. Учителя математики видели в нем всегда внимательного и отзывчивого помощника, в совершенстве владеющего методическим мастерством.
А. 	Я. Маргулиса хорошо знают читатели журналов «Математика в школе» и «Квант». Он активный деятель общества «Знание», неоднократно выступал в Чехословакии, Венгрии, Болгарии, ГДР и Польше с лекциями, пропагандирующими достижения советской методики математики.
С особым увлечением Александр Яковлевич работает в секции средней школы Московского математического общества. Он заместитель председателя этой секции. Секция средней школы — общественная организация, объединяющая учителей и научных работников, интересующихся преподаванием математики в школе. Попытки организовать такую секцию делались еще в 30-х годах, но секция оказывалась недолговечной, потому что не находилось человека, для которого она была бы главной в жизни и который посвятил бы ей все свои интересы. В 1948 г. таким человеком стал П. Я. Дорф, и с тех пор секция работает непрерывно. С 1961 г. (после смерти П. Я- Дорфа) всей организационной частью работы секции ведает Александр Яковлевич, он достиг в этой работе несомненных успехов. Это его большая заслуга. Секция приносит заметную пользу школе и учительству. В ней часто обсуждаются разные мероприятия по преподаванию математики в школе еще задолго до их официального обсуждения или проведения.
Секция собирается в Московском университете третий четверг каждого месяца учебного года. Александр Яковлевич вносит в ее работу свойственный ему дух бодрости и оптимизма.
Желаем Александру Яковлевичу сохранить эти качества на долгие годы.
Б. В. Гнеденко (Москва)
К 150-летию со дня рождения
И. К. АНДРОНОВ
(Москва)
КОНСТАНТИН ДМИТРИЕВИЧ УШИНСКИЙ |f824—1870|
Константин Дмитриевич родился 19 февраля (2 марта) 1824 г. (по другим данным — 1823 г_) в г, Туле, где его отец Дмитрий Григорьевич служил в казенной палате. Вскоре
Дмитрий Григорьевич уходит в отставку и переезжает с семьей из Тулы в небольшое поместье, расположенное в трех километрах от Новгород-Северска. Воспитанием сына занималась мать Любовь Степановна (урожденная Капнист). Под ее руководством началось первоначальное обучение. Она пробудила в сыне любознательность, пытливость, любовь к чтению. Вскоре родился второй сын, Сергей (в 1829 г.), а затем дочь Екатерина (в 1831 г.). Константин, хорошо подготовленный матерью, поступает в 1833 г. в Новгород- Северскую гимназию, где директором был в то время профессор Илья Федорович Тим- ковский, страстно любивший науку и передавший эту любовь многим ученикам гимна¬
84


зии. Нужно отметить, что у отца Ушинского была большая библиотека, которая с детства поступила в полное распоряжение Константина.
Позднее К. Д. Ушинский написал интересные воспоминания о годах гимназического учения: «Наша гимназия стояла за городом, а домик моего отца находился на другой стороне города, верстах в четырех от гимназии, тоже за городом, в местности гористой и очень живописной. Прекрасное местоположение, богатое самыми живыми и разнообразными ландшафтами, огромный сад, изрытый переполненными зеленью оврагами, рано могли развить во мне любовь к природе. Из хутора я ежедневно должен был ходить в гимназию и еще до города пройти версты две по живописному берегу реки Десны. Боже мой, сколько перемечталось на этом прекрасном берегу, на этих «кручах», нависших над рекой... Зовите меня варваром в педагогике, но я вынес из впечатлений моей жизни глубокое убеждение, что прекрасный ландшафт имеет такое огромное воспитательное влияние на развитие молодой души, с которым трудно соперничать влиянию педагога... другое вне- учебное влияние — дух, живущий между товарищами; третье — книги библиотеки моего отца».
В 1840 г. Константин Ушинский получает аттестат зрелости с посредственными отметками, характеризующими больше школу я учителей того времени, чем даровитого ученика, каким был обладатель аттестата.
Константин Ушинский мечтает о храме университетской науки. Так, в дневнике, ко¬
торый вел Ушинский, читаем: «Почтительнейший страх овладевал нами при слове университет! Трое нас, товарищей, избрали Московский университет. Какое-то неизъяснимое очарование скрывалось для нас в слове Москва! Втроем мы наняли извозчика. Стали прощаться с родным гнездом детства. Я плакал горько, но в слезах было какое-то отрадное чувство: широкий мир, о котором мы столько мечтали, наконец открывается перед нами! Мы ехали дней 12. Мценск показался для нас хорошим городом, Орел и Калуга — громадными и красивыми городами. Но что же должны были мы почувствовать, когда наш ямщик разбудил нас в кибитке, говоря: «Не хотите ли, господа, взглянуть на Москву?» Сои слетел с нас в одну минуту, и мы, стоя на передке, смотрели во все глаза, смотрели и не понимали: неужели это один город обхватил полгоризонта?»
В августе 1840 г. К. Д. Ушинский поступил на юридический факультет. Ему пришлось проходить университетский курс в один из лучших периодов жизни Московского университета.
Константин Дмитриевич с увлечением слушает лекции Т. Н. Грановского (1813—1855), профессора всеобщей истории, о котором
Н. 	Г. Чернышевский писал: «Все, что было в Москве благороднейшего между людьми молодого поколения, соединялось вокруг него». «Грановский,— писал А. И. Герцен,— думал историей, учился историей и историей впоследствии делал пропаганду».
С большим интересом относился Ушинский и к лекциям профессора Г1. Г. Редкина (1808—1891) —юриста-философа, который был председателем Санкт-Петербургского педагогического общества.
В 1844 г. Ушинский окончил Московский университет с примерным поведением и отличными успехами, в связи с чем был удостоен Советом университета степени кандидата наук и представлен министерству (в числе других трех) как отличнейший кандидат для определения на службу в министерстве.
В 1846 г. К. Д. Ушинский был назначен исполняющим обязанности профессора по кафедре энциклопедии законоведения, государственного права и науки финансов в Демидовский юридический лицей в Ярославле. В течение двух лет Ушинский работает в Ярославле; читает обширные курсы студентам лицея, увлекая их живой речью и глубиной мысли.
В связи с революционным движением, охватившим Европу, Николай I принял ряд предупредительных мер. Министерство потре¬


бовало от профессоров университетов и лицеев подробные программы и конспекты читаемых лекций с распределением содержания лекций по часам. Ушинский категорически высказался против такой не педагогической, а чиновничьей меры. Делить весь курс на часы — значит совершенно убить живое дело преподавания. Эти смелые высказывания Ушинского обратили внимание начальства. В начале 1849 г. ярославский губернатор доносит в министерство внутренних дел: «...видел я в студентах лицея дух неуважения к начальству и даже противодействия директору лицея... отзыв этот до всех и каждого не должен касаться, а следует отнести исключительно к профессорам Ушинскому и Львовскому, которые подали слишком невыгодное о себе понятие за свободу мыслей и передачу оных воспитанникам лицея». В связи с этим Ушинский как неблагонадежный был уволен.
Начинается тяжелый период в жизни Константина Дмитриевича. Короткое время он был помощником столоначальника. Не имея в дальнейшем служебной должности, он жил только на заработки от статей и других корреспонденций в журналах.
Только в 1854 г. материальное положение К. Д. Ушинского начинает улучшаться: бывший его сослуживец по Ярославскому лицею, теперь директор Гатчинского сиротского института, приглашает Константина Дмитриевича на должность преподавателя русской словесности и географии. В 1855 г. Ушинский назначается инспектором этого института. Ста® во главе Гатчинского института, Ушинский полностью отдается педагогической работе. Он провел большие преобразования в организации учебной и воспитательной работы и проявил себя как талантливый педагог и руководитель.
Отметим, что предшественником Ушинского в Гатчинском сиротском институте был инспектор-педагог Е. О. Гугель (1804—1840), который внес многие педагогические усовершенствования, в частности рациональную методику преподавания родного языка и арифметики. Случайно К. Д. Ушинский нашел в институте два запечатанных шкафа, в которых оказалась редкая ценность — первая в России большая педагогическая библиотека, собранная Гугелем. Эта библиотека настолько увлекла Константина Дмитриевича, что он с головой ушел в нее. Так, он пишет: «Этим двум шкафам я обязан в своей жизни очень многим».
Второй случайностью явился факт, о котором рассказал редактор журнала «Библиотека для чтения»: «Отобрав несколько номеров
английского журнала «Athenaeum» со статьями об американской системе образования, я послал Ушинскому для их журнальной обработки. Через некоторое время явился К. Д. Ушинский со словами: «Ах, что вы со мной сделали! Я по прочтении «Athenaeum» не мог спать несколько ночей. Статьи произвели переворот в моем сознании, моих понятиях и убеждениях. Они подняли ряд проблем по воспитанию и образованию. Они навели меня на многие новые педагогические мысли. Я не знаю, что я сделаю, что со мной будет, но я решил посвятить себя с этого дня исключительно педагогическому делу».
Плодотворная педагогическая деятельность Ушинского в Гатчинском институте обратила на себя внимание. К. Д. Ушинского переводят на должность инспектора Смольного института благородных девиц — старейшего женского учебного заведения России. С юношеским жаром и увлечением К. Д. Ушинский приступает к реформе института, закрытого заведения, куда не доходили свежие веяния в области педагогики. Был введен новый учебный план, внедрены передовые методы обучения, организовано проведение предметных уроков в младших классах. Ушинский обратил внимание на изучение естествознания — анатомии, физиологии — с опытами и наглядными моделями. Были составлены новые учебные пособия. Ушинский привлек к преподавательской деятельности в Смольном институте выдающихся педагогов того времени. Систематически проводятся учительские конференции с целью обсуждения недостатков и достоинств учебных планов, программ и учебных пособий, а также успеваемости учениц. Создается единый коллектив преподавателей, преданных своему делу, объединенных общими идеями.
Министерство просвещения назначает К. Д. Ушинского редактором «Журнала Министерства просвещения».
Преподаватель Смольного института Д. Д. Семенов, вспоминая о деятельности К. Д. Ушинского в Смольном институте, говорит: «Еще ценнее были для нас знаменитые четверги. В Смольном запросто собирались как учителя, так и сотрудники «Журнала Министерства просвещения», где за чашкой чая толковали и спорили о новостях литературы, о государственных реформах, но больше говорили о «смолянских» делах, о программах, методах и разных педагогических вопросах. На тех же собраниях читались и обсуждались статьи для «Журнала Министерства просвещения», который при Ушинском получил педагогическую живую окраску, и До того ин¬
85


тересную, что журнал стали читать не только присяжные педагоги».
В 1861 г. выходит оригинальная книга К. Д. Ушинского «Детский мир и хрестоматия», которая предназначалась для классного чтения на уроках родного языка в первых классах Смольного института. В книге был дан богатый и систематизированный материал для творческих бесед с учащимися из области родной природы, родной истории, географии и были приведены лучшие произведения русских классиков, весьма удачно подобранные и расположенные.
Книга имеет более 600 страниц. К этому пособию для учеников К. Д. Ушинский составил рукописное методическое пособие для учителей. Книга Ушинского внесла большое оживление в педагогический мир, быстро вошла в школу и потребовала все новых и новых изданий.
Писатель Д. Н. Мамин-Сибиряк писал об этой книге: «Детская книга» Ушинского — это веселый солнечный луч, который заставляет пробуждаться дремлющие силы детской души и вызывает рост брошенных на эту благодатную почву семян. В нашей библиотеке первой детской книгой явился «Детский мир». Книгу эту пришлось выписывать из Петербурга, и мы ее ждали каждый день в течение трех месяцев. Наконец она пришла и была, конечно, с жадностью прочитана от доски до доски».
Казалось, все в Смольном шло прекрасно, как вдруг ошеломленные сотрудники узнают, что К. Д. Ушинский вынужден был подать заявление об освобождении его от должности в Смольном.
К. Д. Ушинский навсегда оставил свое детище. Он не вынес интриг многих высокопоставленных лиц, которые не сочувствовали прогрессивным реформам. Ушинского обвиняли в том, что он враг церкви и христианской религии, что он революционер-материалист, воспитывающий молодежь на материалистических основах натурализма и т. п.
В 1862 г. К. Д. Ушинский направляется в вынужденную пятилетнюю заграничную командировку для ознакомления с зарубежными женскими институтами и гимназиями и написания краткого учебного пособия по педагогике.
За границей Ушинский изучает постановку женского образования, продолжая интенсивно работать в области педагогики*
Каждым летом 1863—1866 гг. он приезжал в Россию и здесь печатал произведения, под¬
готовленные за границей. Так, в 1864 г. выходит «Родное слово» для детей младшего возраста — азбука и первая после азбуки книга для чтения с прописями и образцами для первоначального рисования; «Руководство к преподаванию по «Родному слову», книга для учащих,— советы родителям и наставникам о преподавании родного языка, приспособлен» ном к учебнику.
Большинство учителей в России перешли к работе в школах по книгам К. Д. Ушинского. Но в каталог рекомендованных министерством книг для школ книга Ушинского «Родное слово» не была включена.
Возвратившись из-за границы, К. Д. Ушинский оформляет подготовленную им рукопись и в 1868 г. издает свой фундаментальный труд «Человек как предмет воспитания». Через год, в 1869 г., выходит II том труда К. Д. Ушинского «Человек как предмет воспитания», где продолжается вторая психологическая часть, начатая в I томе.
К. Д. Ушинский, увлеченный своими педагогическими трудами, переутомлялся, забывал об отдыхе. Из-за границы он вернулся больным. В России начались неприятности и трудности с разрешением на печатание педагогических трудов. Простудившись при переездах, он заболел воспалением легких.
21 декабря 1870 г. (3 января 1871 г.) Константин Дмитриевич скончался на 47-м году жизни,
В трудах К. Д. Ушинского навеки сохранилась память о выдающемся деятеле педагогической науки.
Советское правительство и оэветская педагогическая общественность высоко ценят деятельность и педагогическое наследство Ушинского. Его имя присвоено нескольким учебным заведениям, учреждено несколько стипендий имени Ушинского, учреждена медаль Ушинского, которой награждаются лучшие учителя и научные работники в области педагогики. Академия педагогических наук издала «Полное собрание сочинений» К. Д. Ушинского в одиннадцати томах и три тома «Архивов К. Д. Ушинского».
Подводя итоги, нельзя не вспомнить замечательных слов педагога Д. Д. Семенова: «Если весь славянский мир гордится Я. А. Ко- менским, Швейцария — И. Г. Песталоцци, Германия—Адольфом Дистервегом, то мы, русские, не забудем, что среди нас жил и учил учитель учителей Константин Дмитриевич Ушинский, обессмертивший свое имя ее личайшим трудом «Человек как предмет воспитания».
87


ЗА РУБЕЖОМ
А. 	И. ВЕРЧЕНКО
(Москва)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ
КУРСА МАТЕМАТИКИ В СРЕДНИХ ШКОЛАХ
ФРАНЦИИ
Французская школа всегда привлекала внимание мировой педагогической общественности своей организационной четкостью, централизацией и достаточно высоким уровнем постановки преподавания математики. И в настоящее время, в эпоху развития идей «современной математики», естествен для всех стран вопрос: что происходит во Франции в школьном преподавании математики?
1. 	Структура средней школы Франции 1
Французская средняя школа — двенадцатилетняя трехэтапная: элементарный цикл — 5 лет обучения (начальная школа), первый цикл — 4 года обучения (неполная средняя школа), второй цикл — 3 года обучения (полная средняя школа).
Начальная школа охватывает детей в возрасте от 6 до 11 лет. Понятие класса в начальной школе теряет свой смысл. Учащиеся делятся на группы сообразно индивидуальным темпам усвоения знаний. Трудно говорить об отдельных предметах, поскольку учебные программы предусматривают взаимопроникновение различных дисциплин, среди которых преобладают родная речь и математика. Каждый учащийся учится по способностям, быстрее или медленнее, а наиболее способным предоставляется возможность сократить весь курс обучения на целый год.
Первый цикл средней школы охватывает детей в возрасте от 11 до 15 лет. Этот цикл имеет общеобразовательный характер и является заключительным этапом обязательного образования во Франции. После первого цикла учащиеся сдают экзамен на получение свидетельства об окончании неполной средней школы2.
г Подробно со структурой средней школы Франции можно познакомиться в книге Б. Л. Вульфсона «Школа современной Франции», М., «Педагогика», 1970.
2 Brevet d'etudes du premier cycle — BEPC.
8S
Второй цикл средней школы открывает много возможностей. На этом этапе происходит постепенная дифференциация обучения соответственно десяти уклонам. Основными из них являются отделения литературы, лингвистики и философии; экономических и социальных наук; физико-математических наук; естественных наук; технических наук.
По окончании полного курса средней школы учащиеся сдают экзамен на степень бакалавра3, которая дает право поступления на соответствующее отделение университета без вступительных экзаменов.
Школьные учреждения общего образования делятся на два типа: лицеи — учреждения полного среднего образования и коллежи — неполного среднего образования (первый цикл). Коллежи, в свою очередь, делятся на «коллежи среднего образования»4 и «коллежи общего образования»5.
Кроме того, существуют специальные лицеи (технические, сельскохозяйственные, учительские и т. д.) и коллежи технического образования б. Здесь учащиеся получают профессиональное образование.
Исторически сложившееся деление школы на начальную и среднюю привело к резкому разграничению целей начального и среднего образования. Начальное обязательное образование ставило своей целью дать всем детям минимум необходимых знаний. Среднее же образование предназначалось исключительно для детей лиц привилегированных классов. Преподавание в средних общеобразовательных школах — лицеях было ориентировано на формирование умственной деятельности учащихся. «Ни к чему не готовя, в то же время готовить ко всему» — так определялась основная цель среднего образования.
Это различие целей и направленности обучения еще больше усилилось с продлением в 1959 г. срока обязательного обучения всех детей до 16 лет. Наряду с лицеями и коллежами среднего образования во Франции были организованы коллежи общего образования. Коллежи общего образования развились на основе так называемых «дополнительных курсов» — классов, которые давали учащимся более расширенное начальное образование. В отличие от лицеев и коллежей среднего образования перед коллежами общего образования была поставлена задача дать учащимся прочные, но ограниченные знания. Несмотря на то что распределение часов и учебные программы во всех учебных заведениях первого цикла одни и те же, коллежи общего образования находятся в подчинении органов начального образования и продолжают традиции начальной школы.
В настоящее время коллежи общего образования охватывают около 60% учащихся в возрасте от 11 до 15 лет. Таким образом, основная масса учащихся Франции направляется к практическому, утилитарному образованию, в то время как монополия на теоретическое образование принадлежит привилегированным слоям населения.
2. 	Организация преобразований в области преподавания математики
Более пятнадцати лет назад бюллетень Ассоциации преподавателей математики Франции7 начал выступать за необходимость глубокой реформы в преподавании
3 Baccalaureat — разновидность аттестата зрелости.
4 College d’enseignement secondaire — CES.
5 College d‘enseignement general — CEG.
6 College d‘enseignement technique — CET.
7 Bulletin de l’association des professeurs de mathema- tiques de l’enseignement public.


математики. За это время во Франции был выдвинут ряд проектов реорганизации среднего математического образования. Они в основном предлагали реализацию идей сближения школьного курса математики с современной наукой: введение некоторых элементов современной математики и современного математического языка, создание единого курса математики без традиционного разделения на отдельные предметы, исключение из школьного курса некоторых вопросов классического характера и т. д.
Официальные программы более осторожно подходили к решению ьтой проблемы. Изменению подвергались только курсы старших классов. Программа младших классов оставалась традиционной.
В результате многочисленных дискуссий специалистов, выступавших за радикальные преобразования в преподавании математики, в 1967 г. при Министерстве национального образования Франции была организована специальная комиссия, куда вошли видные ученые, педагоги и методисты. Руководителем комиссии был избран известный французский математик А. Лихнерович. В задачу комиссии входило:
1. Разработать экспериментальную программу, отличающуюся от действующей главным образом ранним введением некоторых фундаментальных понятий современной математики.
2. Организовать педагогические эксперименты по проверке и уточнению новой программы и определению путей реализации перестройки в преподавании матема- ки в первом цикле средней школы.
3. Создать научно-исследовательские институты обучения математике8, которые должны были:
а) способствовать созданию новых кадров учительства,
б) обеспечить постоянную работу по переподготовке и усовершенствованию учителей,
в) проводить и курировать всякого рода педагогические исследования и эксперименты по совершенствованию содержания и методов преподавания математики,
г) собирать и распределять документацию, связанную с обучением математике.
Первые НИИ были созданы к концу 1968 г. в Париже, Лионе и Страсбурге (к началу 1972/73 учебного года в стране уже насчитывалось 16 таких институтов). \ Экспериментальные работы в школах начались с 1967/68 учебного года. Характерной особенностью эксперимента была свобода в выборе методики обучения. Все группы экспериментаторов работали по карточкам, которые они сами разрабатывали согласно своим собственным педагогическим замыслам. После каждой серии уроков, проведенных по этим карточкам, происходил их качественный разбор по уточнению содержания и составлению методических пособий.
Уроки обычно проходили по следующему плануз
A. Формирование нового понятия в процессе игры или выполнения занимательного задания. Эта работа была построена так, чтобы каждый ученик чувствовал себя непосредственным участником открытия. Преподаватель при этом играл роль организатора, посредника и постепенно и как можно естественнее проводил математизацию игры или задания.
Б. Более быстрое рассмотрение нескольких других аналогичных ситуаций (предложенных учениками).
B. Обобщение полученного математического понятия; критическое и коллективное изучение этого понятия, контрпримеры.
Г. Приложение полученного понятия для решения новых разнообразных задач.
8 Institut de Recherche pour l’Enseignement de Ma- thematiques — IREM.
В силу коллективного характера обучения и частого вмешательства преподавателя карточки, по которым велись занятия, были составлены довольно кратко и предлагали ученикам почти только упражнения, соответствующие названным выше этапам А и Г. Ученики наклеивали карточку в тетрадь с левой стороны, оставляя страницу справа для составления решения и краткой записи выводов. Чаще всего ученики выполняли каждое упражнение самостоятельно. Оформление же результата проходило сообща, когда довольно большое число учеников нашло решение. Вторая тетрадь, названная «тетрадь для теории», служила для записи полученных в результате работы математических понятий.
Такой метод работы исключал возможность формального подхода к изучению того или иного понятия. Обучение, построенное на интуитивно-экспериментальной основе, приобрело в какой-то степени проблемный характер, что более соответствует умственному развитию учащихся младшего возраста.
Контроль и наблюдение за экспериментом осуществляли преподаватели-координаторы и секторы педагогических исследований районных отделений Национального института педагогики (впоследствии НИИ обучения математике) .
Для сравнения приведем тексты действовавшей и экспериментальной программ для VI класса в 1967/68 учебном году.
Действовавшая программа в 1967/68 учебном году
1. Прямая, луч, отрезок. Мера длин.
2. Углы. Измерения углов.
3. Окружность. Дуги и центральные углы. Практические задачи на получение формулы длины окружности.
4. Сфера. Долгота и широта.
5. Измерение времени.
6. Многоугольники. Площадь. Формула площади круга.
7. Тела. Боковая поверхность. Объем. Формулы объемов цилиндра, конуса, шара.
8. Измерение веса.
9. Равномерное движение. Скорость.
10. 	Проценты.
Программа, разработанная комиссией А. Лихнеровича в 1967 г.
Замечание. Предложенный порядок разделов программы не является обязательным; преподавателям рекомендуется в течение всего эксперимента найти оптимальный порядок изложения первых трех разделов.
1. Экспериментальное измерение обыденных физических величин; округление результатов измерения: длина, площадь, объем, время, масса, энергия (ватт-час), удельная масса, скорость.
Устный счет. Порядок величины результата.
Описание окружности и сферы (использовать знания по географии): длина окружности, деление окружности на градусы и минуты; полюсы, экватор, меридианы, параллели, долгота, широта.
2. Упражнения на конкретных примерах, вводящих теоретико-множественную терминологию: множество, элемент, принадлежность, подмножество, включение, пересечение, объединение, пустое множество.
Обозначения: £ сг, U, П, 0-
Примеры отношений между элементами двух множеств; представление соответствия в отдельных случаях с помощью таблицы или с помощью стрелок.


Примеры числовых функций пропорциональности.
3. Упражнения по проверке знаний о натуральных числах и десятичных дробях; операции сложения и умножения, обратные операции.
Решение конкретных задач с числовыми данными, в которых неизвестное обозначается буквой.
4. Примеры, вводящие понятие положительных и отрицательных целых чисел и десятичных дробей; сумма двух или нескольких чисел и разность двух чисел
Примеры соответствующих конкретных задач9.
3. 	Новая программа, разработанная комиссией Лихнеровича, для первого цикла средней школы
Используя результаты экспериментов, комиссия Лихнеровича выработала окончательный вариант программы для первого цикла средней школы. Эта программа была одобрена Высшим советом Министерства национального образования Франции и рекомендована для массовой школы начиная с октября 1969 г. Ill класс — последний класс первого цикла средней школы — перешел на новую программу в 1972/73 учебном году.
Объяснительная записка так определяет основное направление новой программы: «Программы VI и V классов ставят своей целью постепенное введение современного словаря математики и изложение на его основе общих понятий; программы IV и III классов, следуя этому же принципу, имеют, кроме того, цель добиться у учащихся, в зависимости от их возраста, сознательного подхода к дедуктивным умозаключениям и умения их проводить» 10.
' Понятия множества, преобразований, структуры не являются отдельными вопросами или темами изучения, а пронизывают весь материал курса, заставляя пересматривать значимость многих традиционных тем. Так, понятие целых положительных и отрицательных чисел, построенное на основе теории пар, вводится уже в VI классе. Изучение же обыкновенных дробей, с которыми учащиеся познакомились в начальной школе, отнесено в IV класс после введения множества действительных чисел. Здесь обыкновенные дроби рассматриваются в связи с определением понятия частного действительных чисел и построением множества рациональных чисел.
Значительную роль программа отводит «десятичным числам». Это можно объяснить стремлением придать курсу в какой-то степени прикладной характер: измерение физических и геометрических объектов, приближе>ь ные вычисления, определения границ, вычисление погрешностей и т. д. производятся с помощью «десятичных чисел».
По-прежнему большое значение программа отводит функциональной зависимости. Понятие функции вводится на основе современных идей — как отношение между элементами двух множеств.
Программа полностью отказалась от традиционного изучения курса евклидовой геометрии. В начальной школе учащиеся знакомятся с некоторыми геометрическими терминами, изучают формы окружающих их простейших тел и объектов, выполняют различные работы по выре¬
9 Данные об эксперименте и экспериментальная программа взяты из статьи /. Fort. Experimentation d’un enseignement des mathematiques en classes de sixieme des lycees et colleges. Buletin al comisiei nationale a Republicii Socialiste Romania pentru UNESCO, 4, 1968.
10 Commentaire pour les programmes de mathematiques (arrete du 22 juillet 1971).
90
занию, окрашиванию, калькированию, измерению, выполнению простейших числовых расчетов и т. д.
В VI и V классах программа предлагает продолжать изучение объектов окружающего пространства с точки зрения измерений. Однако на этом этапе измерения носят более «строгий характер»: учащимся разъясня¬
ется, что измерение какого-нибудь объекта — эксперимент, а эксперимент может дать только приближенный результат. Учащиеся приучаются отличать понятия длины, площади, объема как величины от их мер как числа, поставленного в соответствие той или иной величине. Большое внимание уделяется упражнениям в употреблении формул площадей и объемов и в умении их применять в каждом конкретном случае, выполнению различных построений на бумаге с использованием чертежных и измерительных инструментов.
Геометрия в IV и III классах представляет первый пример математизации реальности. Сначала плоскость, прямая, точка рассматриваются так, как они представляются в реальной жизни: плоскость — нечто плоское, прямая — нечто прямолинейное... Примеры, которые имеются в распоряжении учащихся: «кусок» плоскости (поверхность доски или тетрадного листа), «кусок» прямой (натянутая нить или линия, проведенная с помощью линейки), маленькое пятнышко вместо точки, являются вполне удовлетворительными моделями для изучения предмета. Изучение этих объектов и сравнение различных ситуаций приводит к выделению, преимущественно интуитивным способом, множества свойств, которые рассматриваются как проверенные практически и которые представляют собой «отправную точку» математизации
Далее математические объекты определяются как множества элементов, обладающие выделенными выше свойствами, которые формулируются в форме аксиом. На основании аксиом выводятся другие соотношения между математическими объекта?ли и их комбинациями (в форме теорем).
Проиллюстрируем сказанное на примере изучения в IV классе прямой линии. Вначале рассматривается «физическая» прямая, затем абстрактная евклидова прямая и, наконец, аффинная прямая п.
«Физическая» прямая
Имеются физические объекты, которые называются прямолинейными: натянутая нить, тонкая линия, проведенная карандашом с помощью линейки, и т. д., они представляют собой «куски» физических прямых, которые можно представить бесконечно продолжающимися; физическая точка отмечается в виде пятнышка на физической прямой. Следующие факты устанавливаются наглядно: физическая прямая есть множество
физических точек, выражение «точка С лежит между точками А и В» имеет смысл, существует два направления движения по физической прямой.
С другой стороны, имеется «некоторый промежуток» между двумя точками, который приводит естественным образом к тому, что каждой паре точек (А, В) придается положительное действительное число, называемое расстоянием между точками и обозначаемое d(A, 5). Этому числу приписываются следующие свойства:
а) d(Ay B)=d(B, Л),
б) d(A, В)^0 по определению, причем d(A, В) = = 0 тогда и только тогда, когда А — В,
в) если точка С лежит между точками А и В, то имеет место соотношение: d(A, В) = d(At С) + d(C, В).
Из последнего свойства вытекает, что для любых
11 Эта детализация изучения геометрии дана в объяснительной записке к программе (см. сноску 10).


трех точек Я, Q, R прямой всегда имеет место соотношение:
d(P, R) < d(P, Q) +d(Q> R).
Расстояние между двумя точками физической прямой зависит от выбора единицы длины, но равенство (или неравенство) расстояний d(A, В) и d(A\ В') не зависит от этой единицы.
Далее, на примере мерной линейки устанавливаются следующие факты:
а) биективное соответствие f между точками физической прямой и множеством R действительных чисел (градуировка физической прямой),
б) возможность осуществить градуировку прямой различными способами, причем если fag — две различные градуировки, то существуют два действительных числа а и b (а ф 0), таких, что для любой точки М прямой выполняется соотношение g(M) — af(M)-{-b,
в) расстояние между двумя точками равно абсолютной величине разности чисел, соответствующих этим точкам при данной градуировке.
Изучение физической прямой сопровождается большим количеством практических работ и числовых упражнений. Учащиеся должны как следует усвоить терминологию, которая сохранится при изучении математических прямых.
Абстрактная евклидова прямая
По определению, евклидова прямая D есть множество Е, наделенное семейством F биекций множества Е на множество R, таким, что:
а) для всякого элемента f из F и для всякой действительной константы а отображения множества Е на R g(M) = f(M) +а и g'(M) = —f{M) +а принадлежат Л
б) для двух произвольных элементов fx и /2 из F выполняется одно из следующих двух соотношений: существует действительное число а, такое, что Ь(М) = =f 1 (Л1) + а; существует действительное число Р, такое, что /2(М) = —fi(M) + р.
Множество Е называется носителем евклидовой прямой D, элемент М множества Е называется точкой евклидовой прямой D.
А и В — две точки прямой D, число | f(A)—f(B) | не зависит от выбора / из F. Это число называется расстоянием между точками А и В и обозначается
d(At В).
Далее доказывается, что определенное таким образом расстояние обладает тремя свойствами (см. «физическая» прямая), доказывается свойство, обратное третьему, из предыдущих свойств дается определение отрезка, луча и т. д.
Абстрактная аффинная прямая
По определению, аффинная прямая Д есть множество Е, наделенное семейством Ф биекций множества Е на множество R, таким, что:
а) для всякого элемента f из Ф и для всякого элемента (а, Ь) из R*XR отображение множества Е на R g(M) — af(M) -f-b принадлежит Ф;
б) для двух произвольных элементов f\ и ^ из Ф существует элемент (а, Р) из R * X R. такой, что f2(M) = af, (М) р.
Множество Е называется носителем аффинной прямой Д, элемент М множества Е называется точкой аффинной прямой Д.
Р и Q—две произвольные точки аффинной прямой А, разность f (Q) — / (Р) зависит от выбора / из Ф; если R и 5—две различные точки А, отношение
есть Действительное число, не зависящее
от выбора / из Ф, иногда это отношение записывают
PQ
ввиде Ж*
Аналогичным образом дается определение математической плоскости.
При изучении математических прямых и плоскостей подчеркивается, что «физические» прямые и плоскости являются одной из моделей, которые позволяют проводить необходимые пояснения с использованием наглядности, построения и т. д. Кроме этого, рекомендуется, в зависимости от уровня развития учащихся, привести примеры других моделей математических объектов.
4. 	Текст новой программы
Во всех классах первого цикла на математику отводится 4 часа в неделю (3 часа теоретических занятий и 1 час самостоятельных работ).
VI класс (возраст учащихся от И до 12 лет)
I. Отношения.
Изучая конкретные ситуации, сформировать понятия: множество, элемент и принадлежность; подмножество, включение; пересечение, объединение.
Обозначения: е, с:, f), U, 0.
Используя конкретные примеры, дать краткое описание отношений и их свойств. Представление, в случае конечных множеств, через таблицы соответствий или с помощью стрелок.
Примеры и графическое представление числовых отношений.
II. Натуральные числа и десятичные дроби.
Проверка усвоения техники и смысла операций над
натуральными числами и десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение (десятичная система счисления).
Применение знаков <, >.
Примеры других систем счисления.
Порядок величины результата вычислений.
Устный счет: упражнения на сложение и вычитание нескольких натуральных чисел.
III. Изучение геометрических и физических объектов. Измерение (выбор единицы измерения, порядок результата измерения, границы):
а) отрезок прямой. Длина,
б) окружность, длина. Дуга окружности и угловой сектор,
в) полоса, треугольник, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, круг. Площадь,
г) измерение объемов и масс. Плотность,
д) промежутки времени. Скорость равномерного движения. Производительность.
IV. Методы ориентировки:
а) определение местонахождения города с помощью координатной сетки,
б) земной шар. Полюсы. Параллели. Экватор. Меридианы. Начальный (нулевой) меридиан. Нахождение точки по широте и долготе.
V. Положительные и отрицательные числа.
Примеры, приводящие к понятию положительных и
отрицательных чисел (целых и десятичьых дробей).
Сумма двух или нескольких чисел и разность двух чисел. Соответствующие конкретные примеры.
V класс (возраст учащихся от 12 до 13 лет)
I. 	Отношения:
а) повторение раздела I программы VI класса. Декартово произведение. Отображение, биекция,
б) на различных конкретных примерах разъяснение понятий: часть множества, дополнение подмножества. Разбиение множества на части; отношение эквивалентности. Примеры отношения поряди
91


в) 	совместно с изучением французского языка и на примерах выяснить: смысл определенного артикля «1е», различные смыслы неопределенного артикля «ип», смысл союза «et» («и»), два значения союза «ои» («или» и «либо ... либо»), значение слова «tout» («всё», «весь», «всякий», «целое», «совсем»).
II. Арифметика. \
Множество кратных одного числа; евклидово деление натуральных чисел. Делители натурального числа; простые числа.
На примерах: практика разложения натурального числа на простые множители и упражнения на нахождение общих кратных и общих делителей двух или нескольких натуральных чисел.
III. Положительные и отрицательные числа:
а) положительные и отрицательные целые числа и десятичные дроби. Сумма и разность. Противоположные числа, противоположное сумме, противоположное разности; сложение и вычитание сумм и разностей. Умножение на натуральное число (как сумма нескольких равных слагаемых). Умножение суммы и разности на натуральное число. Числа положительные, числа отрицательные. Порядок на множестве положительных и отрицательных чисел. Абсолютная величина, обозначение \х\. Порядок и сложение,
б) (приступать к изучению этого пункта только после полного усвоения и понимания учащимися понятий сложения и порядка) произведение двух чисел (целых и десятичных дробей); произведение нескольких чисел. Степени с целым показателем (положительным, отрицательным, нулевым). Произведение двух степеней одного и того же числа. Степень произведения. Умножение суммы на положительные и отрицательные числа; вынесение общего множителя за скобки. Порядок и умножение.
IV. Первые понятия о пространстве. (Материал излагается в описательном виде.)
Прямые, лучи, отрезки, плоскости, полуплоскости; взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; перпендикулярность прямых и плоскостей; вершины, грани и ребра тетраэдра и наклонной призмы. Определение выпуклых множеств; пересечение выпуклых множеств.
V. Ориентировка.
Упражнения на определение положения точки на плоскости, снабженной наклонной координатной сеткой; в частности, две плоскости снабжены такой сеткой — соответствие между точками с одинаковыми координатами; перенесение чертежа, рисунка.
При прохождении материала IV и III классов преподаватели имеют полную свободу в выборе порядка изучения различных разделов программы.
Значение каждого раздела и время для его изучения не являются пропорциональными объему изложения: вопросы, которые не изучались по старой программе или которые фигурировали в другой формулировке, излагаются более детально.
IV класс (возраст учащихся от 13 до 14 лет)
I. Отношения.
Повторение понятий, изученных в предыдущих классах. Декартово произведение, отношение, отображение, композиция отображений, биекция множества на множество, обратная биекция.
Понятие группы: определение (выводить, основываясь на различных примерах программы).
II. Положительные и отрицательные целые числа и десятичные дроби. Приближение к действительным числам.
1. 	Группа степеней десяти.
Положительные и отрицательные целые числа и деся¬
тичные дроби, записанные в виде а *10*, где aeZ и реZ, и в виде числа с запятой12: сложение, умножение, порядок, абсолютная величина. Краткое изложение основных свойств построенного таким образом множества положительных и отрицательных целых чисел и десятичных дробей.
2. Приближенные вычисления:
а) определение границ данного «десятичного» числа с помощью интервалов типа [а- 10р, (а+1) • 10р[;]а • 10р (а+1)*10Р]; [а*10р, (а+1) • 10?], где agZ и p<=Z.
На примерах: определение границ суммы, произведения,
б) упражнения на нахождение по данным — «десятичному» положительному числу d и целому «относительному» числу п — «десятичного» числа х*10п, где
такого, чтобы выполнялись неравенства 0<d- 10"<^1<</- (х+1) • 10",
в) упражнения на нахождение по данным — «десятичному» положительному числу d и целому «относительному» числу п — «десятичного» числа f/*10n, где
N, такого, чтобы выполнялись неравенства feM0"]2<rf<[(H-l) • Ю”]2,
г) «десятичные» неограниченные последовательности, действительные числа, определение границ действительного числа.
3. Перечисление основных свойств, определяющих структуру множества R действительных чисел: сложение, (R, +)—коммутативная группа; умножение, ассоциативность, дистрибутивность относительно сложения; порядок и абсолютная величина.
Допускается, что для всякого действительного числа а, отличного от 0, существует одно и только одно действительное число а~\ такое, что a-a-1 — 1. Для всякой пары (а, Ь) с аФ0 существует единственное действительное число ху называемое частным от деления Ь
Ь
на а и обозначаемое b • а~г, или — , такое, что а-х=&.
Простые упражнения на вычисление определенного таким образом частного.
Решение уравнений и неравенств первой степени с одним неизвестным (на числовых примерах).
Применение целых показателей степени: группа степеней отличного от нуля действительного числа.
Приближенные вычисления с действительными числами.
4. Примеры функций-многочленов (отображение R в R). Степень. Упражнения на вычисления с многочленами. Произведения (х+а)2, (х—а)*2, (х-\-а) (х—а).
Упражнения на разложение на множители.
III. 	Геометрия прямой.
1. Прямая. Расстояние между двумя точками прямой. Нормированный репер прямой. Абсцисса точки М относительно нормированного репера; обозначение ММ' (алгебраическая величина). Перемена нормированных реперов на прямой. Выражение расстояния между двумя точками в функции их абсцисс относительно нормированного репера. Перемена единицы.
2. Порядок на прямой. Ориентированная прямая (или ось). Луч. Отрезок. Середина двух точек. Упражнения на нахождение центра тяжести двух точек. (Пусть дамы прямая Д и g — биекция прямой А на множество R действительных чисел; тогда для двух данных точек прямой А и В и двух действительных чисел а и bf в сумме не равных нулю, точка М, абсцисса g (М) которой вычисляется по формуле
а + b
12 Во французском математическом словаре для обозначения чисел такого типа употребляется термин «десятичные» числа.
92


не зависит от выбора биекции g. Точка М, определенная таким образом, называется центром тяжести (barycentre) точек А и В, определенных коэффициентами а и Ь.)
IV. 	Геометрия на плоскости.
1. Прямые, плоскости. Определение прямой двумя точками. Параллельные прямые. Параллелизм — отношение эквивалентности; определение направления прямых как класс эквивалентности.
Параллельное проектирование точек плоскости на прямую. Аксиома Фалеса. Проективное отношение по данному направлению оси на ось. (Пусть р — проекция прямой А на прямую А' по направлению прямой А", отличному от направлений А и А', тогда для любой пары (МУ N) точек прямой А существует действительное число kt зависящее только от р и выбора осей на прямых А и А', такое, что р (М) р (N) = k (MN). Число k называется проективным отношением оси А на ось А' по направлению прямой А".)
2. Треугольник. Приложение аксиомы Фалеса к треугольнику. Проекция на прямую середин, центров тяжести. Графическое построение центра тяжести двух точек, определенных данными коэффициентами.
Центральная симметрия.
Параллелограмм (определенный через существование центра симметрии). Параллельность прямых, несущих стороны параллелограмма. Проекция параллелограмма на прямую.
3. Эквиполентность пар точек — отношение эквивалентности. Векторы и параллельный перенос, сложение векторов и композиция параллельных переносов. Направление ненулевого вектора.
Умножение вектора на действительное число. Свойства.
Даны два вектора различных направлений: всякий вектор можно представить как линейную комбинацию данных векторов одним и только одним способом.
Реперы плоскости, декартовы координаты относительно репера.
Упражнения на вычисления с векторами; медианы треугольника.
III класс (возраст учащихся от 14 до 15 лет)
I. 	Действительные числа, алгебраические вычисления, числовые функции.
1. Повторение свойств сложения, умножения и порядка, определяющих множество R как вполне упорядоченное поле.
Сумма, произведение, частное действительных чисел,
; ■ b \
выраженных в форме — > гДе а и b — действительные числа и аф0.
Число г называется рациональным, если существуют два целых числа аФЪ и Ьу такие, что аг=Ь. Поле рациональных чисел. Упражнения на вычисления в поле рациональных чисел.
2. Допускается, что отображение х-> х2 множества R в R+ есть сюрьекция. Пусть а — действительное неотрицательное число. Символ yf а или а? обозначает действительное неотрицательное число Ь, называемое квадратным корнем числа а, такое, что 62=а.
Применение^ таблиц для вычисления приближенных
значений V а.
Квадратный корень из произведения действительных чисел; из числа, обратного данному строго положительному числу.
3. Примеры функций-многочленов. Упражнения на рациональные функции.
Линейная функция (х ах) и аффинная функция (х b). Примеры ступенчатых и кусочнолинейных
функций; графическое представление.
4. 	Решение различных задач (математических н нематематических) с помощью уравнений.
Примеры, приводящие к составлению уравнений или неравенств первой степени с одним или двумя неизвестными (с числовыми коэффициентами). Графическое решение уравнения или неравенства первой степени с двумя неизвестными.
II. Евклидова плоскость.
1. Введение понятия ортогональности прямых, на-* правлений прямых. Ортогональная проекция на прямую. Ортогонально-проективное отношение одной оси на другую. Симметрия этого отношения.
2. Расстояние d(M, N) двух точек на плоскости. Норма вектора. «Неравенство треугольника». Даны две различные точки М и N; изучение множества точек Q, таких, что
d(M, N) =d(My Q)+d(Q, N).
Для всякого треугольника (А, В, C)v условие d(Ay C)2—d(Ay B)2-\-d(By С)2 равносильно ортогональности прямых А В и ВС (теорема Пифагора).
Орто-нормированный репер. Выражение для расстояния двух точек.
Структура евклидовой плоскости на R2 (можно допустить частично или полностью).
III. Геометрия евклидовой плоскости.
1. Множество точек, равноудаленных от двух данных различных точек (медиатриса). Расстояние от точки до прямой.
2. Окружность и круг. Пересечение окружности и прямой, круга и прямой; касательная к окружности. Через три не лежащие на одной прямой точки проходит одна и только одна окружность.
3. Изометрия евклидовой плоскости: это, по определению, биекция евклидовой плоскости на себя с сохранением расстояний. Примеры: параллельный перенос, центральная симметрия, ортогональная (осевая) симметрия.
Образ прямой при изометрии. Всякая изометрия сохраняет ортогональность и параллелизм прямых.
Группа изометрий. Простые примеры композиции изометрий. Определение изометрии по образу данного ор- то-нормированного репера, по образу данного треугольника.
Всякая изометрия сохраняет ортогонально-проективное отношение двух осей; обратная теорема. Геометрический угол, определенный как класс эквивалентности изометричных пар лучей с общим началом.
4. Симметрия окружности. Изометричные дуги окружности. Определение положения точки М полуокружности диаметра АВ мерой дуги AM (допускается существование и единственность меры дуг окружности, мера полуокружности фиксирована). Применение этой йеры для определения углового смещения двух ориентированных направлений или двух лучей.
Применение тригонометрических таблиц в градусах и градах; косинус, синус, тангенс углового смещения.
5. Изометрии, оставляющие инвариантным объединение двух лучей с общим началом (биссектриса), объединение двух прямых.
Упражнения на равнобедренный треугольник, ромб, прямоугольник, квадрат.
Процесс перестройки системы математического образования во Франции еще не закончен. Он происходит в условиях острой борьбы между сторонниками крайней «модернизации» и теми, кто выступает против радикальных преобразований.
Еще многое остается неясным и спорным в преобразованиях французской школы, но уже первые результаты показывают, что постановка математического образования в средней школе Франции заслуживает серьезного внимания и изучения.
93


ХРОНИКА
В. 	Н. МОЛОДШИЙ
(Москва)
ШКОЛА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ XIX—XX вв.
В 1970—1972 гг. Институт истории естествознания и техники Академии наук СССР подготовил и выпустил в- свет коллективный труд — три тома «Истории математики с древнейших времен до начала XIX столетия» 1. Поскольку возник вопрос о продолжении этого труда (XIX и первая половина XX столетия), было решено провести обсуждение основных проблем, связанных с предстоящей работой. С этой целью Институт истории естествознания и техники АН СССР совместно с Эстонским отделением Советского национального объединения историков естествознания и техники и Тартуским государственным университетом организовали школу по истории математики и механики, которая работала в г. Тарту с 3 по 10 июля 1973 г. В работе школы приняли участие 55 человек — историки, математики и механики из Москвы, Тарту, Ленинграда, Киева, Риги, Ташкента, Харькова, Одессы, Иркутска и других городов.
Каждый день заслушивались и обсуждались три часовых доклада, по тематике отвечающих целевой установке работы школы.
А. 	П. Юшкевич в докладе «О структуре книги по истории математики XIX—XX вв.» отметил некоторые основные особенности развития математики этого периода, благодаря которым она по содержанию, логическому строю и методам исследования существенно отличается от математики предшествующих столетий. В этой связи он высказал несколько соображений о содержании и структуре книги, в которой эти особенности математики XIX—XX вв. получили бы наиболее полное отображение.
1 «История математики с древнейших времен до начала XIX столетия». Под ред. А. П. Юшкевича, тт. 1—3. М., «Наука», 1970—1972.
Том 1. «С древнейших времен до начала нового времени». 1970.
Том 2. «Математика XVII столетия». 1971.
Том 3. «Математика XVIII столетия». 1972.
Пять докладов были посвящены философско-методологическому аспекту проблем истории математики XIX— XX вв.:
Г. Е. Шилов. Математика и действительность.
A. Н. Боголюбов. Проблема фундаментального и прикладного знания в истории точных наук.
B. П. Визгик,. Четыре проблемы взаимосвязи физики и математики.
Ю. И. Манин. Математический и физический континуумы: представления XX в.
Н. И. Симонов. Возникновение и развитие проблемы существования и единственности в теории дифференциальных уравнений в XIX и начале XX в.
Были так же заслушаны и обсуждены доклады, посвященные развитию в XIX-—XX вв. отдельных математических дисциплин и теорий:
Ф. А. Медведев. Некоторые вопросы истории теории функций действительного переменного.
Б. А. Розенфельд. Геометрия групп Ли.
И. Г. Башмакова. Арифметика алгебраических кривых у Якоби и Пуанкаре.
Е. П. Ожигова. Основные этапы развития теории чисел в XIX — первой половине XX в.
А. 	Паршин. Д. Гильберт и теория инвариантов.
JI. Е. Майстров. Цифровые вычислительные машины в XIX и первой половине XX в.
Три доклада сделали работники Тартуского университета:
Ю. Г. Лумисте, П. Мюрсепп, Э. Эплер. Математика в Эстонии в XVII—XVIII вв.
Ю. Г. Лумисте, Э. Э. Тамме. Некоторые вопросы истории математики в Тартуском университете.
Л. Э. Рейзинъ. Завершение построения общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и развитие топологических качественных методов в ней после Пуанкаре и Ляпунова (период от 90-х годов XIX столетия до 20-х годов XX столетия).
По истории механики был сделан один доклад:
А. 	А. Космодемьянский. Математические методы в ракетодинамике.
Заслушанные доклады и выступления по ним содержат много ценных идей и фактов, полезных для исследований по истории математики XIX—XX вв. В настоящее время подобные исследования приобрели особую актуальность в связи с разработкой современных проблем материалистической диалектики и ее истории2. Они актуальны и для разработки методологии планового развития математики.
А. 	В. ШТРАУС
(г. Ульяновск)
ВСЕСОЮЗНЫЙ СЕМИНАР
ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
С 24 по 29 сентября 1973 г. в Ульяновском государственном педагогическом институте имени И. Н. Ульянова проводился Всесоюзный семинар преподавателей алгебры и теории чисел педагогических институтов. Семинар был организован по инициативе Научно-методического совета по математике при Министерстве просвещения СССР. Как известно, в этом учебном году завершается переход на новые учебные планы и про¬
2 См. в этой связи: 1. Б. М. Кедров. О разработке материалистической диалектики. «Вопросы философии», 1973, № 9. 2. Б. М. Кедров. О «Диалектике природы» Энгельса. М. «Высшая школа», 1973.
94


граммы по специальности «математика» в педагогических институтах страны. Введение этих планов и программ является одним из звеньев в совершенствовании всей системы народного образования, оно теснейшим образом связано с существенным обновлением школьного курса математики, с задачей подготовки учителей математики, глубоко знающих эту дисциплину в ее современном виде и владеющих методикой ее преподавания.
В работе семинара приняло участие 170 преподавателей из 119 педагогических институтов страны.
Были заслушаны следующие доклады:
«Проблемы осуществления всеобщего среднего образования и пути совершенствования подготовки учителей математики в свете решений XXIV съезда КПСС», докладчик — зам. начальника Управления учебных заведений Министерства просвещения СССР С. О. Мелик- Нубаров;
«Элементы теории множеств и логики» — проф. Л. Я. Куликов;
«Основные алгебраические системы в курсе алгебры и теорий чисел» — проф. Е. С. Ляпин;
«О связях курсов алгебры и геометрии» — проф.
В. 	Г. Лемлейн;
«Системы линейных неравенств» — проф. Л. #. Куликов;
«О связях курсов алгебры и математического анализа»— доц. Б. В. Базанов, проф. А. В. Штраус;
«Теоретико-числовые темы в курсе алгебры и теории чисел» — доц. В. И. Нечаев;
«О связях курса «Алгебра и теория чисел» с курсом «Научные основы школьного курса математики» — профессора В. Г. Лемлейн, С. В. Смирнов;
«Новая программа госэкзаменов по математике» — профессора Л. Я. Куликов, В. Т. Базылев, П. П. Коровкин;
«Методическое руководство к учебному плану» — проф. В. Г. Лемлейн.
Участники семинара обменялись опытом работы по новой программе курса алгебры и теории чисел. В выступлениях подчеркивалось, что эта программа составлена с учетом современного уровня развития математической науки. Курс алгебры и теории чисел находится в тесном взаимодействии с другими математическими дисциплинами, изучаемыми в педагогических институтах,— с геометрией, математическим анализом, научными основами школьного курса математики. Он способствует тому, что в процессе преподавания находят отражение прогрессивные тенденции, направленные на систематизацию всей математики, унифицируется терминология, внедряется удобная логическая символика.
Как показал семинар, новая программа по курсу алгебры и теории чисел в основном успешно реализуется. Отмечалось, что весьма актуальной и важной задачей является подготовка и выпуск учебников и учебных пособий, отвечающих новой программе. Желательно, чтобы решение этой задачи было ускорено.
Работа семинара проходила в новом здании педагогического института, уникальном по своей архитектуре. Участники семинара имели возможность ознакомиться с городом Ульяновском — родиной В. И. Ленина. Были организованы экскурсии в Ленинский мемориальный центр, в дом-музей В. И Ленина, в бывшую мужскую гимназию, ныне школу № 1 имени В. И. Ленина, в которой учился юный Владимир Ульянов.
Е. М. БЕЛОНОГОВА
(Москва)
СЕМИНАР
ЗАВЕДУЮЩИХ КАФЕДРАМИ МАТЕМАТИКИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ РСФСР
Со 2 по 5 октября 1973 г. в Тульском педагогическом институт проходил семинар заведующих математическими кафедрами педагогических институтов РСФСР по обмену опытом работы по новым учебным планам и программам. В работе семинара приняли участие 150 заведующих кафедрами из 86 педагогических институтов РСФСР, члены Ученой комиссии по математике при ГУВУЗе Министерства просвещения РСФСР, представители Министерства просвещения РСФСР, члены Научно-методического совета по математике Министерства просвещения СССР.
С докладом «О совершенствовании работы математических кафедр педагогических институтов РСФСР по подготовке учителей» выступил заместитель начальника ГУВУЗа Министерства просвещения РСФСР В. А. Сла- стенин, который подчеркнул необходимость повышения роли педагогических институтов в подготовке учительских кадров, и прежде всего для сельской школы, в формировании личности учителя математики, отвечающей требованиям современной советской школы. В докладе председателя Ученой комиссии по математике Министерства просвещения РСФСР профессора В. И. Левина «Научно-методические проблемы кафедр математики в связи с переходом на новые учебные планы и программы» были отмечены достоинства нового учебного плана и его прогрессивное значение в улучшении теоретической подготовки учителя математики. Обобщая опыт работы математических кафедр пединститутов РСФСР, В. И. Левин остановился на трудностях, с которыми пришлось столкнуться при реализации программ на местах, и наметил пути их преодоления. В докладе была отмечена необходимость усиления профессиональной направленности в подготовке учителей математики как в процессе преподавания математических дисциплин, так и путем возможно более раннего привлечения студентов к самостоятельной работе по методике математики.
Опыту работы педагогических институтов по новым программам объединенных математических курсов были посвящены доклады профессора Ульяновского пединститута А. В. Штрауса (по математическому анализу), профессора Смоленского пединститута Б. И. Аргунова (по геометрии), профессора Б. М. Бредихина к доцента А. А. Полянского Куйбышевского пединститута (по алгебре и теории чисел). Особенно остро на семинаре прошло обсуждение вопроса о постановке курса геометрии в педагогических институтах.
Два доклада были посвящены непосредственно школьному курсу математики: профессора Р. С. Черкасова (Москва) «Построение курса геометрии в новой программе средней школы» и доцента Б. Е. Вейца (г. Мурманск) «О математическом языке школьного курса математики».
На семинаре также ставились вопросы, посвященные методической подготовке студентов-математиков и организации педагогической практики,— сообщения доцента
В. 	Я. Саннинского (г. Тула) и доцента Н. А. Шмаковой (г. Свердловск), роли вычислительной математики в подготовке учителя средней школы — доклад доцента
В. 	В. Щенникова (Москва), организации практикума по измерениям и вычислениям — доклад доцента А. Р. Еса- яна (г. Тула). Рассматривались вопросы организации научной работы преподавателей на кафедре — доклаг" профессора Ленинградского пединститута Е. С. Ляш


» профессора Рязанского пединститута И. /7* Макарова, координации научной и методической работы математических кафедр в рамках зональных объединений — сообщения председателей бюро зональных объединений: профессора С. П. Пулъкина (г. Куйбышев, Поволжская зона), доцента А. Н. Чалова (г. Ростов-на-Дону, Южная зона), а также вопросы упорядочения издательской деятельности педагогических институтов.
На семинаре был высказан ряд предложений, направленных на дальнейшее совершенствование учебных планов и программ.
Участники семинара выразили благодарность ректорату и коллективу преподавателей Тульского педагогического института за хорошую подготовку и проведение семинара.
В. 	Н. СЕРГЕЕВ
(г. Омск)
IV МЕЖВУЗОВСКИЙ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР
Семинар «Физико-математическая подготовка во втузе в современный период научно-технической революции» проходил с 24 по 30 сентября 1973 г. в Омске. Как и I семинар (1972), он имел своей целью рассмотреть указанную проблему в комплексе — от вопросов преподавания курсов математики и физики в школе, преемственности обучения в школе и вузе, помощи школе со стороны вуза до проблем согласования материала общеобразовательных предметов и спецдисциплин во втузе.
Следует отметить, что если в I семинаре приняли участие представители трех городов (Омска, Новосибирска и Томска), то на данный семинар командировали своих представителей более 40 университетов, технических вузов и пединститутов из 22 городов, кроме того, в работе семинара приняли участие учителя школ г. Омска и Омской области.
Кроме «вузовских» работали секции комплексных проблем физико-математической подготовки инженеров, подготовительных отделений и курсов, а также секция «Школа-вуз», на которых были заслушаны 27 докладов.
Большой интерес присутствующих вызвал доклад Л. М. Лоповка (г. Ворошиловград) «Коммунистическое воспитание студентов и учащихся в процессе преподавания математики». Полезным был и второй его доклад о
системе работы математической кафедры вуза с учащимися и учителями.
Несомненно, привлекли внимание слушателей выступления 10. И. Соколовского (г. Новосибирск), посвященные проблемам научности курса, сочетания научности с доступностью, наглядностью, интуитивностью, а также онтодидактическим аспектам рассматриваемого вопроса.
Справедливые и несколько неожиданные выводы следовали из доклада Л. Ф. Пичурина (г. Томск) «О перестройке математического образования в школе и ее следствиях для вузов и втузов». Отметим, что проблемы, поставленные в этом докладе,— знакомство математических кафедр с содержанием и духом новой школьной программы, согласование языка нового школьного и вузовского курсов математики и т. д.— еще ждут своего решения.
Вопросы оценки преемственности школьного курса «Алгебра и начала анализа» и институтского курса математического анализа были затронуты в выступлении В. Л. Байдака (г. Омск).
Внеклассная работа по математике и связь ее с аудиторными занятиями — тема доклада 3. О. Шварцманй (г. Томск); о понятии скалярной величины и его месте в школьном курсе математики говорилось в выступлении М. И. Сырецкого (г. Омск), а о постановке учебного процесса в ФМШ при НГУ рассказала Р. С. Созоненко (г. Новосибирск).
Оживленная дискуссия возникла после докладов П. Б. Кагана и Л. М. Калининой (г. Новокузнецк) «Об опыте приема вступительных экзаменов в Сибирском металлургическом институте» и Г. В. Асауляк (г. Кемерово) «Вступительные экзамены по математике, составление билетов и критерии оценки». Эти выступления продемонстрировали два принципиально различных подхода к стандартизации экзаменационных билетов и оценок.
Активизации познавательной деятельности учащихся на уроке математики посвящалось выступление
A. Г. Нудельмана (г. Омск), оценка трудности и сложности задач, классификация их — содержание докладов
B. Ф. Волгиной (г. Южно-Сахалинск), В. Ф. Чучукова (г. Киев), В. В. Завьялова (г. Омск).
Психологическим и методологическим причинам возникновения формализма в знаниях учащихся, путям борьбы с ним было уделено внимание в докладе
В. 	Н. Сергеева (г. Омск).
В ряде выступлений анализировался опыт работы подготовительных отделений и курсов при различных вузах.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик, Б. В* Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. Я. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
3. 	С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор В. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор В. А. Седова
Сдано в набор 21/XII 1973 г. Подписано в печать 28/1 1974 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 12,0 Бумага типогр. JVfe 2 Формат 84 X ШУи Тираж 414 840 экз. Цена 45 коп. Заказ 588
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 5.
Телефон редакции 283-85-83.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Московская типография № 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 107005, Москва, В-5, Денисовский пер., д. 30