МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
5 1974
Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Трудовое воспитание и профориентационная работа в школе
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
О некоторых итогах работы VI—VII классов ч 1973/74 учебном году Степень с рациональным показателем в курсе алгебры VIII класса
Тригонометрические функции в VIII классе К преподаванию математики в X классе в 1974/75 учебном году Об обучении доказательству в IV классе Проверка решения текстовых задач Об организации учебной работы в старших классах средней школы
Заметки с уроков
О связи преподавания алгебры и геометрии в VI классе Об одном способе контроля при решении геометрических задач с параметрами
Построение корней уравнения а со^ х + b sin х = с В помощь самообразованию учителей
5
11
U
20
34
37
45
46
48
49
3. И. Моисеева, Н. А. Ко- пытов, М. Р. Леонтьева Ю. К. Макарычев, Н. Г. Мин дюк, К. С. Муравин, С. Б. Суворова
В. 	В. Пикан
Г. Р. Бреслер Г, В. Дорофеев Ш. X. Гущян
С. 	X. Головешко Д. И. Хан
Л. К. Бохан,
В. 	Г. Линевич
Логические основы курса планиметрии 51 А. М. Абрамов
Технические средства обучения. Наглядные пособия
Кодоскоп на уроках математики 63
Самодельные диафильмы 64
Проблемы и суждения
Е. И. Пакуловэ Л. Д. Полянский
Еще раз о равенстве и конгруэнтности фигур 64 Л. И. Чашечникова © Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1974


Внеклассная работа
Материалы по внеклассной работе вб Дополнительные вопросы арифметики на кружковых занятиях в IV—
VI классах 70 Операция поворота вектора на 90° 72
Т. Л. Ширяева
К. А. Нечипоренко 3. А. Скопец
Занимательная страница
«Алгоритм или случай. Что сильнее?» 78
Задачи gO
Математический календарь на 1974/75 учебный год 88
За рубежом
Обзор болгарского журнала «Математика и физика» за 1973 г. 90
3. И. Турлакова
Хроника
Научно-практические семинары АПН СССР 92
В секции средней школы Московского математического общества 94
В. И. Ефимов;
И. К. Андронов и В. Н. Шапкина;
В. П. Покровский А. Я. Маргулис
Критика и библиография
Об учебнике «Геометрия» Э. Э. Моиза и Ф. J1. Даунса 95 И. А. Лурье
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, в. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
3. С. Сухотина, И. Ф. Теслепко
Редакционный совет (представители союзных республик):
А. М. Алиев (АзССР), И. А. Артемьева (ЛатССР), X. А. Асадов (ТаджССР), Р. А. Балай- гиис (ЛитССР), Б. Д. Бердыев (ТуркмССР), В. П. Бычков (МолдССР), Д. И. Икрамов (УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), К. С. Муравин (РСФСР), Г. К. Мхитарян (АрмССР), УС. Ф. Рубанов (БССР), Д. С. Салажатов (КиргССР), 3. И. Слепкань (УССР), А. Э. Тельг- маа (ЭССР), А. М. Хоштария (ГрузССР)
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор Э. М. Боклаженко


Трудовое воспитание и профориентационная работа в школе
В решениях XXIV съезда КПСС и в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О завершении перехода ко всеобщему среднему образованию молодежи и дальнейшем развитии общеобразовательной школы» поставлен вопрос о необходимости совершенствования трудового воспитания и профессиональной ориентации учащихся.
Подготовка учащихся к жизни, к общественно полезной деятельности находится в центре внимания органов народного образования, партийных, комсомольских и советских организаций, руководителей производственных предприятий, совхозов и колхозов.
Родилось и развивается новое патриотическое движение учащихся старших классов средних школ — пятая, трудовая четверть,— выражающееся в том, что учащиеся часть летних каникул отдают труду на предприятиях, стройках, полях, плантациях и фермах. К общественно полезному труду привлекаются в организованном порядке учащиеся седьмых — девятых классов, а учащиеся четвертых — шестых классов, находящиеся в пионерских лагерях, также принимают посильное участие в трудовой деятельности.
Широкое распространение получили ученические производственные бригады. Двадцать лет назад они появились впервые на Ставрополье, а сейчас такие бригады утвердились повсеместно.
Партия, правительство и народ высоко оценивают работу ученических бригад и их руководителей. 5 августа 1974 г. указом Президиума Верховного Совета СССР большая группа организаторов и наставников ученических производственных бригад была награждена орденами и медалями СССР.
В 1973 г. около 6 млн. школьников работали в технических и юннатских кружках.
Различные формы организации общественно полезного труда школьников, наряду с созданием материальных ценностей, помогают всестороннему развитию личности школьника, способствуют формированию его интересов к профессиям, сознательному выбору своего будущего самостоятельного труда.
Выбор профессии для школьников представляет немалую трудность. В школе учащиеся часто получают небольшие, отрывочные сведения о трудовой деятельности взрослых и приобретают скудные знания о процессе создания материальных ценностей.
Такое положение создается в значительной степени в силу слабой организации трудового воспитания и профориентационной работы в ряде школ. В этих школах еще не сложилась определенная система работы по трудовому воспитанию и профессиональной ориентации школьников.
Л. И. Брежнев в своей речи на XVII съезде ВЛКСМ сказал: «Воспитание юношей и девушек в духе уважения и любви к труду всегда было и остается важнейшей задачей Коммунистической партии и одной из главных задач ленинского комсомола... В решении задач трудового воспитания детей и юношей у нас есть серьезные достижения. Однако встречаются и определенные трудности... Все отцы и матери хотят, чтобы их дети жили лучше, чем пришлось жить им самим. И это понятно и по-человечески объяснимо... Но подчас пожелание добра оборачивается во вред ребенку. Иные родители рассуждают примерно так: успеет, еще наработается. Так рождается иждивенчество, неуважение к труду, а, в конце концов, молодой человек оказывается в затруднительном положении при выборе места в жизни и не приспособлен к работе».
Воспитание школьников в духе уважения и любви к труду всегда было и остается важнейшей заботой партии и школы.
Эффективность работы по трудовому воспитанию и выбору учащимися пути к профессии зависит от активности работы учителей школы, общественности, установления прочных связей с местными производственными коллективами.
Во всех союзных республиках многие школы имеют богатый опыт трудового воспитания школьников и хорошо поставленную профориентационную работу. Этот опыт показывает, что для сознательного выбора профессии учащимися необходимо профориентационную работу начинать с младших классов. Учащимся этого возраста еще рано говорить о конкретных профессиях, и основное внимание должно быть обращено на воспитание настойчивости, честности, уважительного отношения к труду, правильного понимания «своего» и «общего дела».
В IV—VII классах учащиеся получают немало общетехнических и сельскохозяйственных знаний, принимают участие в различных
3


кружках, на уроках по труду знакомятся с рядом профессий, вовлекаются в юннатские кружки и принимают участие в опытнической работе на пришкольном участке, тем самым получая представления о труде полевода, овощевода и садовода.
В VII — VIII классах значительное внимание в профориентационной работе должно быть уделено ознакомлению учащихся с возможностью получения профессии через средние профессионально-технические училища. Надо разъяснить учащимся назначение и виды ПТУ, что именно ПТУ — основная школа подготовки производственников высококвалифицированных специальностей. Прежде всего надо установить между школой и ПТУ постоянный контакт. Установление контакта выльется в конкретные формы учебно-воспитательной работы: ознакомле¬
ние учащихся с профилем профессионального училища, проведение экскурсий, встречи с бывшими выпускниками школы — учащимися ПТУ, совместные комсомо.\ьские собрания, спортивные и другие мероприятия.
Обобщая опыт профориентационной работы в старших классах, можно считать наиболее эффективными следующие приемы и методы этой работы:
непосредственное привлечение старшеклассников к различным формам общественного труда (ученические производственные бригады, строительные отряды, учебно-производственные комбинаты и др.);
полное использование программного материала в раскрытии различных видов и значимости отдельных профессий;
рассказы и беседы специалистов; организация экскурсий на заводы, совхозы, колхозы, счетные станции и т. д.;
проведение встреч с передовиками производства и сельского хозяйства, устройство выставок и др.
Эти формы работы могут быть использованы как в классных занятиях, так и во внеклассной работе.
В работе по профориентации, подготовке учащихся к трудовой деятельности необходимо правильно учитывать местные условия. Здесь мы имеем немало хороших примеров.
Интересный опыт профориентационной работы по выбору рабочих профессий имеют школы г. Ногинска Московской области. Предприятия города испытывают потребность в слесарях, станочниках, ткачихах, прядильщиках и в рабочих других профессий. Педагогические коллективы школ г. Ногинска, привлекая общественные и хозяйственные организации города, успешно форми¬
4
руют у школьников интерес к рабочим профессиям.
Сельские школы Карачаево-Черкесской автономной области систематически проводят профориентационную работу силами учителей школ, специалистов совхозов и колхозов с привлечением родителей, работающих в колхозах и совхозах. Свыше 5 тыс. учащихся средних школ области участвуют в проведении опытнической работы; свыше 4 тыс. старшеклассников овладевают специальностями шофера и тракториста.
Большая работа по профориентации проводится рядом сельских школ Калужской области. Педагогические коллективы Детчин- ской, Мокровской, Ильинской и некоторых других сельских школ Калужской области, широко используя все звенья учебно-воспи- тательного процесса, психологически подготавливают учащихся к трудовой деятельности, формируют у них правильные представления о труде и осознанное отношение к выбору профессии, ориентируясь на сельскохозяйственные профессии.
Большой опыт в помощи учащимся по выбору профессии имеют кабинеты по профориентации, функционирующие уже ряд лет в республиках Прибалтики, так например, в Литовской ССР имеется 15 кабинетов по профориентации, обобщающих опыт передовых школ, разрабатывающих конкретные мероприятия по профориентационной работе для школ.
Учитель математики, принимая участие в профориентационной работе как член педагогического коллектива школы не должен забывать о том, что успешное овладение математикой формирует у учащихся ряд ценных качеств, необходимых для каждой профессии. На учителе математики также лежит особая ответственность за тех учащихся, которые проявляют повышенный интерес к математике и стремятся к получению профессии, где математика и ее приложения —■ основа специальности.
Наша школа делает немало в трудовом воспитании и в профориентационной работе, но имеющиеся в школе возможности далеко не исчерпаны.
Совместная кропотливая работа педагогического коллектива, общественных организаций, семьи и производства по профессиональной ориентации учащихся, дальнейшему подъему уровня общего среднего образования несомненно принесет хорошие плоды в решении проблемы трудового воспитания и профориентации выпускников нашей восьмилетней и средней школы.


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
3. И. МОИСЕЕВА, Н. А. КОПЫТОВ, М. Р. ЛЕОНТЬЕВА
(Москва)
О НЕКОТОРЫХ ИТОГАХ РАБОТЫ VI—YH КЛАССОВ В 1973/74 УЧЕБНОМ ГОДУ
Главное управление школ Министерства просвещения СССР совместно с НИИ содержания и методов обучения АПН систематически в течение ряда лет ведут наблюдение за обучением учащихся VI—VII классов по новой программе. В 1973/74 учебном году со* стояние преподавания и качество знаний учащихся этих классов изучались в отдельных школах Литовской ССР, в школах Костромской (октябрь) и Астраханской (февраль) областей.
Во время проверки были проведены контрольная работа и устный опрос.
Содержание контрольных работ и билетов для устного опроса позволили проверить не только умение учащихся воспроизвести изученное, но и умение применить полученные знания в нестандартной ситуации.
Анализ материалов проверок позволил сделать некоторые выводы о результатах работы VI—VII классов общеобразовательных школ в 1973/74 учебном году.
Алгебра
Контрольная работа и устный опрос по алгебре, проведенные в феврале в шестых классах школ Астраханской области, охватывали основные вопросы программы. Было провере¬
но усвоение учащимися понятий функции, степени с натуральным показателем, одночлена стандартного вида. Кроме того, проверялись умения строить график функции y—kx, решать уравнения и простейшие неравенства, находить значения выражения при заданных значениях переменной. Наряду с этим выяснялись навыки тождественных преобразований степеней и одночленов. Билеты для устного опроса включали и задания, выявлявшие усвоение понятия пропорции и пропорциональной зависимости.
При посещении уроков алгебры проверяли результаты изучения и некоторых других тем.
Приводим содержание одного варианта контрольной работы (45 мин.) и некоторых билетов для устного опроса.
Вариант I
1. Найдите значение выражения а2—аЪ-^Ь2
9
при а= ~ и Ь——0,1.
2. Даны два множества М—{ 1; 3; 6} и К={а; Ь}. Задайте с помощью стрелок два различных соответствия между множествами М и К так, чтобы одно из них было функцией, а другое — нет.
3. Преобразуйте в одночлен стандартного вида выражение (—0,5х*уг)2-4ху2.
4. Постройте график функции у—Ъх.
5. Решите уравнение:
а) (2Н-8)(0-3)=О,
б) Зу-5(2-у) = 6у + 32,
Билет № 1
1. Найдите множество значений выражения 2x2+l, если х £{—2; 0; 2}.
2. Решите уравнение 3(х—1)—5х=7х+9.
3. Покажите на числовой прямой множество решений неравенства и запишите его в виде числового промежутка:
a) 3<*sS9, б) х>1.
4. Приведите к стандартному виду одночлена выражение (—0,1а264)3.
5. Составьте верную пропорцию из чисел, входящих в равенство 18-15—54*5.
Билет № 2
1. Даны два множества М={1; 3; 6} и К—{Р\ С}. Задайте с помощью пар два различных соответствия между множествами М и К так, чтобы одно из них было функцией.
2. Решите уравнение (2х—7)(х+8)=0.
3. Представьте в стандартном для одночлена виде выражение:
а) 5х2х4х, б) —a2b**3ab4.
4. В таблице указаны все значения пере-
5


менных х и у. Пропорциональна ли переменная у переменной х?
— 3
15
— 1
20
— 5
100
40
8
200
12
20 25
4
5. Назовите какое-нибудь решение неравенства:
а) 2х<.х, б)—у>у.
Билет № 3
1. Дайте определение понятия функции.
2. Решите уравнение 17(3х+1)(х—4)=0.
3. Покажите на числовой прямой множество решений неравенства и запишите его в виде числового промежутка:
а) —4<х<2, б) х^8.
4. При каких значениях х верна пропорция:
а) 0,8: *=16: 10, х 0,Зо
б) б^”~Г?
5. Докажите, что 165+213 делится на 43.
Контрольную работу писали 1452 человека,
справились с пей 93,6% учащихся школ г. Астрахани и 91,2%—сельских школ, на «4» и «5» выполнили ее соответственно 47,5 и 37,8% школьников.
Результаты контрольной работы показали, что учащиеся хорошо овладели понятиями соответствия и функции; 83,5% писавших работу верно привели примеры соответствий, являющихся функцией и не являющихся ею.
Уменьшилось по сравнению с прошлым годом 1 число ошибок, допущенных учащимися VI класса при приведении подобных членов (с 12% в 1973 г. до 0,8% в 1974 г.). Стали лучше вычислительные навыки. Так, при возведении в квадрат обыкновенных дробей допустили ошибки 8,8% шестиклассников, отрицательных дробей—12,7%- Почти не вызвало затруднений обращение обыкновенной дроби в десятичную и обратное преобразование.
Вместе с тем следует отметить, что навыки тождественных преобразований степеней у шестиклассников все еще недостаточны. При выполнении соответствующего задания контрольной работы допустили ошибки 29% учащихся. Лишь 67,9% шестиклассников справились с построением графика функции прямой пропорциональности, хотя в 1972/73 учебном году с этим заданием справилось значительно меньшее число учащихся.
1 В марте 1973 г. была проведена контрольная работа з шестых классах Кировоградской и Свердловской областей, с которой справились 88,6% учащихся.
Недостаточно усвоен материал темы «Прямая и обратная пропорциональность». При устных ответах учащиеся показали поверхностные знания некоторых вопросов этой темы. Например, при выполнении упражнения: «Переменная у пропорциональна переменной х и коэффициент пропорциональности равен 4. Пропорциональна ли переменная х переменной у\ чему равен коэффициент пропорциональности?», понимая, что если у пропорционален х с коэффициентом &=4, то х будет пропорционален у, большинство школьников не могли указать коэффициент пропорциональности для этого случая.
Нетвердое знание определений прямой и обратной пропорциональности, а также свойств и признаков пропорциональных величин привело к ошибкам при выяснении вопроса о пропорциональности переменных. Эти ошибки, очевидно, можно объяснить и недостаточно четким изложением данного материала в учебном пособии «Алгебра 6».
Седьмые классы общеобразовательных школ страны в 1973/74 учебном году впервые начали работу по новым программам математики. К моменту проверки была пройдена тема «Дроби» и заканчивалось изучение темы «Неравенства и их применение к приближенным вычислениям».
В контрольной работе проверялись навыки тождественных преобразований дробей, решения задач, приводящих к уравнению с переменной в знаменателе, и решение линейных неравенств. При устном опросе выяснялись знания учащимися понятия дроби, условия равенства дроби нулю, умение найти значение дроби при заданных значениях переменной, область определения дроби. Билеты для устного опроса предусматривали проверку понятия степени с целым показателем. По теме «Неравенства» при опросе проверялись навыки решения линейных и простейших случаев нелинейных неравенств, систем линейных неравенств; понятия: решение неравенства, равносильность неравенств, понятие логического следования.
Приведем содержание одного варианта контрольной работы (45 мин.) и некоторых билетов для устного опроса.
Вариант I
1. Задача. Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Если к числителю и знаменателю прибавить по 1, то значение дроби будет
равно . Найдите дробь.
2. Решите неравенство
3 (4 — 2х) + 2 (л: — 8) < 20.
6


3. 	Упростите выражение:
V Ь2 ь
а2—b2 b — л *
4*2— 4.xу + у2 у5 0) у* ' 6л: — Зу*
Билет № 1
1. Какие из следующих выражений являются дробями:
а) Щг> б) ~тх’ в) 0,25*у, г)
2. Решите неравенство 2х — 3 (х — 2) <[ 4х—9.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой
Билет № 2
1. 	При каком значении х не имеет смысла дробь:
2. Какие из неравенств верны при всех значениях переменной х:
а) х2 + 12>0, б) Jt2 — 4>0, в) (х — 1)21>0, г) jc2 + 4jc + 4>0?
3. Решите систему неравенств:
Ч |а>4’ Н<2’
а) \в>20, * \в<5.
Билет № 3
1. Представьте выражение в виде дроби:
а) 2у~\ б) Зх~\ в) 25-1, г) 2~2 х~3.
2. Решите уравнение:
а) _(£-ЗИ£_±5)==0> 6)iy + 6 = 0
3. Истинно ли высказывание:
а) 	72^72, б) 16^20, в) 0^—2, г) х2^0?
Анализ материалов проверок работы седьмых классов позволяет сделать вывод, что большинство учителей математики в основном методически правильно строят уроки, умело используют содержание новой программы и учебного пособия.
Учащиеся хорошо усвоили понятия целого выражения и дроби, знают свойства дробей, достаточно бегло выполняют несложные тождественные преобразования дробных выражений, неплохо справляются с решением задач на составление уравнений, удовлетворительно решают линейные неравенства и системы линейных неравенств. Неплохо сформировано у семиклассников понятие степени с целым по¬
казателем: учащиеся сравнительно редко допускают ошибки при нахождении значения степени с нулевым и отрицательным показателем.
Из 1839 учащихся школ Астраханской области, писавших контрольную работу, справились с ней 92,5% (в городских школах — 95,8%, в сельских— 89,6%), хорошие и отличные результаты у 42,7% (соответственно у 47,5 и 37,8%). Лишь 7,2% писавших не смогли составить уравнение по условию задачи.
Умение выполнять тождественные преобразования дробей с разными знаменателями проверялось третьим заданием. Недостаточно твердые навыки разложения многочленов на множители с применением тождеств сокращенного умножения, изученных в VI и не отработанных в VII классе, привели к ошибкам при сложении дробей с разными знаменателями (31,1%). Достаточно большое число учащихся не смогли верно найти общий знаменатель таких дробей.
Наибольшее число ошибок при решении неравенств связано с неумением применить свойство об умножении и делении обеих частей неравенства на отрицательное число.
Результаты контрольной работы показали, что семиклассники еще не усвоили понятие области определения дроби. Видимо, формирование этого навыка не обеспечено системой упражнений учебника.
Хотя проведенная проверка и выявила некоторые недостатки в знаниях учащихся, в умениях применять эти знания при решении различного рода упражнений, сравнение результатов проверки качества знаний учащихся седьмых классов, обучающихся по новой программе, с результатами проверок, проведенных Министерством просвещения РСФСР в предыдущие годы по ранее действовавшей программе, позволяет сделать вывод, что значительно выросший объем знаний школьников не повлиял на прочность усвоения изученного материала. Нынешние семиклассники кроме традиционных ^вопросов знакомы с такими понятиями, как функция, график функции, область определения выражения, с линейными и нелинейными неравенствами, с системами неравенств с одной переменной, умеют применять неравенства для нахождения границ значений выражений и др.
Очевидно, нецелесообразно проводить проверку знаний учащихся, обучающихся по новой программе, по текстам прошлых лет. Изменились роль и назначение отдельных тем в курсе, трактовка целого ряда понятий, тре-
7


бозания к сложности выполняемых преобразований, к оформлению работ и т. д.
Вместе с тем материалы проверок прошлых лет дают нам основание для некоторого сравнительного анализа.
В 1966/67 учебном году Министерством просвещения РСФСР была предложена учащимся седьмых классов двухчасовая контрольная работа следующего содержания:
1. В одном куске число метров ткани вдвое больше, чем в другом. Если от каждого куска отрезать но 20 м ткани, то в первом куске станет ткани в 2,5 раза больше, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске?
2. Выполнить действия
/2 2т \ 2 т2 — 2 т
\ т1 — т 1 — т2) * т2 — 1
1 •
С предложенной задачей справились 90,6% учащихся, писавших работу; с примером, проверявшим навыки тождественных преобразований дробей,— всего 30% семиклассников. В то же время в 1973/74 учебном году контрольную работу, содержащую четыре задания на 45 мин., выполнили 92,5% учащихся, с примерами на тождественные преобразования дробей справились 55% школьников. Если в 1966/67 учебном году ошибку при нахождении общего знаменателя дробей допустили 13,3%, а неверно определили знак перед дробью, знаменатель которой был заменен противоположным выражением, 18% учащихся, то в 1973/74 учебном году эти ошибки допустили соответственно 8,2 и 13,2%. В 1966/67 учебном году 16% учащихся не хватило двух часов, чтобы приступить к выполнению второго задания.
Несомненно, что неоправданное внимание к громоздкому оформлению решения задач при обучении в прошлые годы приводило к большой потере времени и оказывало отрицательное влияние на результаты обучения.
Геометрия
В 1973/74 учебном году по геометрии шестые классы работали по новой программе второй год.
Для проверки качества знаний учащихся были проведены контрольная работа и устный опрос. Билеты для устного опроса включали вопросы по следующим темам курса: свойства расстояний, фигура как множество точек плоскости, пересечение и объединение фигур, отображение фигур, перемещения и их свойства (поворот, осевая и центральная симметрии). Контрольная работа проверяла знание учащимися таких понятий, как угол и его величина, пересечение и объединение фигур,
конгруэнтные фигуры и отображение фигур. Кроме того, проверялись навыки построения фигур, симметричных данным относительно оси, умение найти образ точки или фигуры в заданном перемещении, умение использовать признаки конгруэнтности треугольников при решении задач.
Приводим содержание одного варианта контрольной работы (45 мин.) и некоторых билетов для устного опроса.
Вариант I
1. Начертите отрезок АВ и прямую ру пересекающую его в точке О. Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно прямой р. Что является образом точки А и отрезка ОВ в данной осевой симметрии?
2. Дано: О = [КТ] П [МР]% \МО\ = \ОР\> /_КМО^/_ТРО (рис. 1). Докажите, что /\КМО^/\ТРО.
Рис. 1
Билет № 1
1. В перемещении F F(A)=B, F(C) = D. Вычислите | BD j, если | АС | == 5 см.
2. Даны три различные точки А, В и С. |ЛС|<| АВ\ + \ВС\. Можно ли утверждать, что точки А, В и С не лежат на одной прямой?
3. Какая фигура является пересечением
Рис. 2
Рис. 3.
Билет № 2
1. В повороте плоскости вокруг точки О А-*В, С —»D. Известно, что \АО\^=\СО\. Докажите, что точки А, В, С и D принадлежат одной окружности.
2. Верно ли высказывание (рис. 3):
8


1) [АВ1 скр(0, |-АО I),
2) [ДЯ]-кр(0, \АО\)Па.
3. 	Даны три различные точки А, В и С:
| Л/? | = 4 см, 15С | == 3 см и | АС | = 1 см. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой?
С работой, которую писали 1670 человек, справились 94,2% учащихся г. Астрахани и 76,2% учащихся сельских школ Астраханской области; на «4» и «5» выполнили ее соответственно 42 и 38% шестиклассников.
С заданием, проверявшим умение строить точку или отрезок, симметричные данным относительно оси, справились почти все учащиеся; с заданием, проверявшим умение использовать признаки конгруэнтности треугольников,— 55% учащихся.
Неплохо шестиклассники знают основные определения, формулировки аксиом и теорем, достаточно хорошо владеют навыками геометрических построений.
Результаты контрольной работы, устный опрос учащихся, посещение уроков позволяют сделать вывод, что преподавание геометрии в
VI классе в 1973/74 учебном году по сравнению с прошлым годом несколько улучшилось. Это, очевидно, можно объяснить тем, что накоплен некоторый опыт преподавания геометрии по новой программе, учителя более глубоко освоили новое содержание курса геометрии. Однако в преподавании целого ряда тем качественного изменения не произошло. Как и в 1972/73 учебном году, у большинства учащихся не сформировано понятие фигуры как множества точек. По-прежнему достаточно велико число учащихся, допускающих ошибки при нахождении пересечения и объединения фигур, в использовании символики. Нередко формально изучаются темы «Отображение фигур», «Перемещения и их свойства».
Изучение геометрии по новой программе в
VII классе в 1973/74 учебном году проводилось впервые.
Работа седьмых классов общеобразовательных школ по новой программе геометрии проверялась в Костромской и Астраханской областях РСФСР и Литовской ССР. Текст и результат контрольной работы, проведенной в октябре в Костромской области, опубликованы ранее2.
Учащимся Астраханской области была предложена контрольная работа следующего содержания (приводим один вариант):
1. 	На окружности (0; 4 см) расположены точки А, В и С, такие, что
А5 = 45° и [АС]±[ВО].
* См.; «Математика в школе», 1974, -4s 2, с. 32.
Вычислите площадь треугольника АС О.
2. 	Дано: ДЖ/СЯ, А£[МР]9 В£[МР)Щ
\МА\ — \АВ\ — \ВР\% AM = т и ~КА = п (рис. 4). Выразите через векторы т и п векторы КМ, МР и КР-
к
Билеты для устного опроса позволили выяснить знания учащимися таких основных разделов курса, как необходимые и достаточные условия, свойства параллелограмма и его частных видов, окружность и круг, векторы, площади многоугольников. Помимо этого, они проверяли усвоение семиклассниками ряда разделов курса VI класса (пересечение и объединение множеств, свойства перемещений), а также умение использовать символику.
Приводим тексты этих билетов.
Билет «Nb 1
1. Назовите достаточные условия того, чтобы два треугольника были конгруэнтными.
2. Для рис. 5 будет ли верным высказывание w АВ^^ CD?
Рис. 5 Рис. 6
3. 	Пара точек (М, IV) определяет вектор а.
Назовите пару точек, которая определяет зек- ->•
тор —а
Билет № 2
1. Назовите необходимое и достаточное условие того, чтобы параллелограмм был яря-, моугольником.
2. На рис. 6 [AM] — медиана Д Л£С. Докажите, что /\АВМ и ДА/WС равновелики.
Э


3. 	Будут ли коллинеарны векторы АВ и
1-ТЬ
Билет № 3
1. Площади двух треугольников равны. Является ли это достаточным условием того, чтобы треугольники были конгруэнтными?
Является ли это необходимым условием конгруэнтности этих треугольников?
2. На рис. 7 [АВ]— диаметр окружности О, / ОМ |), [MN] - хорда, [MN] ± [АВ]. Докажите, что ^ MB s ^ NB.
3. 	ABCD — параллелограмм, АВ = а, ВС =
= & (рис. 8). Найдите a(D)y Ь (Л), —b{D).
С первым заданием контрольной работы, проверявшим усвоение темы «Окружность и круг», семиклассники справились довольно успешно. Так, бёз недочетов (на оценку «5») выполнили это задание 45,7% Школьников. Однако большой процент ошибок, связанных с неумением применить теоремы о хорде и диаметре, перпендикулярном к ней (20%), и о центральных углах и дугах, им соответствующих (16,1%), свидетельствует о формальном усвоении учащимися данной темы.
Знания учащихся по теме «Векторы» проверялись вторым заданием контрольной работы и билетами для устного опроса. В основном учащиеся овладели этим материалом: без недочетов соответствующее задание контрольной работы выполнили 47% школьников. Наибольшее число ошибок было допущено ими при нахождении суммы (19,4%) и разности (21,8%) двух векторов. Устный Опрос показал, что понятие вектора и противоположного вектора изучено в ряде случаев формально и поэтому знания учащимися этих вопросов непрочны.
Отчасти это объясняется тем, что некоторые учителя недостаточно хорошо освоили новую (предложенную в учебнике) трактовку вектора как параллельного переноса и подменяют
ее традиционной (вектор — направленный отрезок). Кроме того, некоторые вопросы (сумма и разность двух векторов, противоположный вектор, коллинеарные векторы) изложены в учебном пособии без должной методической отчетливости, что также отрицательно сказалось на усвоении школьниками этого материала.
Проверка показала слабое знание семиклассниками отдельных тем курса VI класса, имеющих основополагающее значение при реализации теоретико-множественной концепции и в преподавании геометрии (фигура — мно* жество точек, пересечение и объединение фигур, перемещения и т. д.). Это объясняется во многом неумением учителя верно расставить акценты в преподавании нового содержания курса геометрии. Часто учитель более глубоко изучает темы, традиционные по содержанию, а теоретико-множественные и связанные с ними понятия изучаются поверхностно* иногда неверно. Так, при изучении темы «Подобие фигур» не всегда достаточное внимание уделяется тому, что подобие двух фигур устанавливается через понятие отображения фигур.
Понятие гомотетии также довольно часто изучается формально. Нередки случаи, когда учителя занимаются не формированием понятия гомотетии как отображения плоскости на себя, а только различного рода построениями.
Как известно, новая программа предъявляет особые требования к культуре математической речи учеников и учителй, к умению использовать символику. Однако многие учителя не уделяют этому достаточного внимания. Нередки случай неверного применения символики при обозначении отрезка как геометриче* ской фигуры и его длины, угла и его величины и т. п.
Проверка показала, что целесообразность перехода на новую программу геометрии не вызывает сомнения. Сравнение текстов контрольных работ для VI класса и результатов их выполнения, проведенных Министерством просвещения РСФСР в разные годы по традиционной программе, с контрольной работой для VI класса, проведенной в 1974 г. МйНй* стерством просвещения СССР, позволяет сделать вывод, что происшедшее принципиальное изменение содержания образования по геометрии позволило учащимся более осознанно усвоить изученный материал. Так, контрольная работа для VI класса, проведенная в школах Астраханской области и Литовской ССР в 1973/74 учебном году, включала задачи, для решения которых от учащихся требовался достаточно высокий уровень развития
10


логического мышления в соответствии с идеями новой программы.
При проверках же в прошлые годы (по ранее действовавшей программе) этому уделялось значительно меньшее внимание. Приведем пример.
В 1966/67 учебном году учащимся VI класса была предложена работа следующего содержания:
1. Задача. Построить треугольник по двум сторонам 4 см и 3 см и углу 110° между ними. Определить измерением угол между высотами, проведенными из вершин острых углов треугольника.
2. Начертить прямоугольный треугольник с углом в 48°. Вычислить с точностью до 0,01 отношение большего катета к гипотенузе.
3. Под каким углом пересекаются биссектрисы острых углов Прямоугольного треугольника?
С предложенной работой справились тогда
79,8% шестиклассников. Первую задачу решили 60,5% учащихся, вторую — 52,3%, на третий вопрос ответили верно и с обоснованием лишь 30% школьников, 25% учащихся VI класса даже не приступили к выполнению этого задания.
Более сложное задание в 1974 г. (см. контрольную работу, задачу № 2) выполнили на «4» и «5» 55% учащихся, допустили ошибки при решении 37,9%, не приступили к заданию 7,1% шестиклассников Астраханской области.
Итак, анализ материалов проверок, проведенных в 1972/73 и 1973/74 учебных годах, показывает, что необходимо еще многое сделать по дальнейшему улучшению работы школ по новым учебникам и программам. Органам народного образования, институтам усовершенствования учителей, руководителям школ предстоит большая работа по совершенствованию научно-методической подготовки учителя, его педагогического мастерства.
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, н. Г МИНДЮК, К. С. МУРАВИН, С. Б. СУВОРОВА
(Москва)
СТЕПЕНЬ
С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VIII КЛАССА
Глава IV нового учебника «Алгебра 8» содержит три параграфа: § 8. Функция, обратная данной, § 9< Корень п-и степени и его свойства, § 10. Степень с рациональным показателем. Основным содержанием этой главы является понятие степени с дробным показателем и свойства степеней с рациональным показателем.
Материал § 8 используется при изучении ко; г " г степени и в теме «Десятичные ло- rap*i : понятие корня п-й степени и свой- ctbl л п-й степени — при изучении степеней с ^обными показателями.
Остановимся На некоторых особенностях изложения материала главы IV.
Функция, обратная данной
Понятие функции, обратной данной, вводится через понятие обратного соответствия, содержание которого раскрывается на примерах. Показывается, что если данное соответствие— функция, то обратное ему соответст-
Рис. 1
Рис. 2
вие может быть функцией (рис. 1), а может и не быть функцией (рис. 2). Дается определение:
«Функция f с областью определения X и множеством значений Y называется обратимой, если обратное ей соответствие g между множеством Y и множеством X функция.
Функцию g— в этом случае называют обратной по отношению к функции f».
Понятия обратимой функции, функции, обратной данной, формируются на примерах соответствий между конечными множества¬
11


ми, задаваемых с помощью стрелок. Эти модели делают наглядным общий признак обратимости функции: если f — функция с областью определения X и множеством значений У такова, что каждое свое значение она принимает только один раз (лишь при одном значении аргумента), то функция f обратима. Действительно, при этом условии к каждой точке, изображающей элемент множества У, подходит стрелка, и только одна. Поэтому, изменив направление стрелок, получим соответствие g между множествами У и X, при котором из каждой точки, изображающей элемент множества У, исходит стрелка, и только одна. Значит, соответствие g— функция, т. е. f — обратимая функция.
Большое применение в последующих разделах курса найдет теорема о том, что каждая монотонная функция обратима. Следует показать учащимся, что обратная теорема неверна. Например, функция К заданная с помощью стрелок на рис. 3, обратима, однако она не является монотонной.
Упражнения направлены на усвоение содержания новых понятий и применение признаков обратимости функций. Учащиеся должны уметь выяснять, обратима ли функция, заданная с помощью: 1) пар (стрелок, таблицы), 2) графика, 3) формулы (на простейших примерах).
В первом случае обратимость функции устанавливается легко: если среди пар нет таких, у которых вторые элементы одинаковы, то функция обратима (каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента). Пусть функция задана графиком (рис. 4) на отрезке [—4; 6]. Легко видеть, что
любая прямая, параллельная оси х, может пересечь график функции не более, чем в одной точке. Значит, каждое свое значение функция принимает только один раз, т. е. эта функция обратима.
Функция, заданная графиком (рис. 5) на отрезке [—5; 5] , не является обратимой, так как существует прямая, параллельная оси х (например, прямая у= 1), которая пересекает график более, чем в одной точке.
Пусть функция задана формулой у == 3.
Эта функция монотонна, следовательно, она обратима.
Функция, заданная формулой у = х2 на отрезке [—1; 2], не обратима, так как существует прямая, например прямая у= I, которая пересекает график этой функции более, чем в одной точке.
В § 8 рассматриваются теоремы:
1) графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой У =
2) функция, обратная возрастающей (убывающей), также является возрастающей (убывающей).
2
Здесь же на примерах функций у = — д; —2
и у=-х2, где д:-<0, рассматривается способ задания формулой функции, обратной данной.
Учащиеся должны уметь вьгс:лг построение графика функции, обрати ■ :гой, задавать формулой функцию, обра... данной (в простейших случаях).
Рассмотрим решение задачи 351(6):
Функция задана формулой у = —5jc, где х £ [2; 4]. Найдите множество значений функции и задайте формулой функцию, обратную данной.
Решение. 1) Найдем множество Y значений данной функции. По условию 2<]д:<;4. Отсюда — 10 —5х > —20, т. е. —20 < у
<-Ю. Y = [-20; -10].
2) 	Выразим х через у из уравнения у — — 5х,
12


Имеем: х = у, где у €[—20; —10].
Поменяв обозначения х на у и у на х, получим: у g~A% где —20^ —10].
Корень п-й степени и его свойства
Введению понятия корня п-й степени предшествует рассмотрение функции у = хп, где п — натуральное число, и выяснение особенностей графика функции у = хп: симметрия относительно оси у, если п — четное число; симметрия относительно начала координат, если п—нечетное число. После этого рассматривается графическое решение уравнения хп — а (с целью выяснения числа его корней). Учащимся сообщается, что корень уравнения
хп == а, (1)
где п — натуральное число, большее 1, называют корнем п-й степени из числа а. Выясняется множество значений корня п-й степени из числа а в зависимости от знака числа а и четности п.
Если а>0, то уравнение (1) всегда (как при четном п, так и нечетном п) имеет неотрицательный корень. Этот корень называют арифметическим. Для обозначения арифметического
п
корня п-й степени из а^>0 вводится знак У а. Обращаем внимание учителя на то, что
П
знак У а в нашем курсе используется для обозначения лишь арифметического корня п-й степени. Поэтому в соответствии с принятой
5
в учебнике концепцией выражения типа У—32
4
не имеют смысла и записи типа ]/16==+2 не-
П
верны. Таким образом, выражение У а имеет смысл лишь при а ;> 0 независимо от четности показателя п и может принимать только неотрицательные значения.
Приведем некоторые аргументы в защиту целесообразности такой позиции.
п
1. 	Использование символа У а для обозначения неарифметического корня из а заставляет приписывать знаку равенства не свойственные ему функции. Например, обозначая симво-
4
лом У1 неарифметический корень (т. е. корень- уравнения х4 1), мы тем самым, по существу, вводим некоторую переменную, область значений которой, если уравнение рассматривается
на множестве R, есть множество {—1; 1}. За-
4
пись /Г=- 1 малосодержательна. Это равенство, как и равенство х = 2, нельзя назвать верным, а также и неверным. Знак равенства
4
в записи У\ ==—1 означает лишь то, что —1 принадлежит множеству корней уравнения х4 = 1.
п
Нельзя при таком толковании символа У а
4
считать, что формула у = Ух задает функцию, так как в этом случае нарушается одно из основных условий — однозначность.
Использование знака корня я-й степени в смысле арифметического корня вполне оправдано. Уравнение хп = а, если имеет неотрицательный корень, то только один. С помощью
П
знака У а можно выразить все корни уравнения хп = а. Например, уравнение х4 = 5 в по-
4 _ 4 _
ле R имеет корни: —У5 и У5.
п
Таким образом, использование символа У а для обозначения только арифметического корня устраняет двусмысленность при использовании одного и того же знака.
п
2. 	Использование знака У а только в смысле арифметического корня удобно при выполнении тождественных преобразований. Арифметический корень п-й степени имеет смысл лишь при тех значениях переменных, входящих в подкоренное выражение, при которых это выражение неотрицательно. Это дает возможность не различать случаи, когда показатель корня четное число, когда нечетное. Тем самым устраняются многие нагромождения, а иногда и ошибки, которые имеют место в ряде курсов. Например, в некоторых учебниках, где знак корня п-й степени для четного п используется в смысле арифметического корня, а для нечетного п в смысле неарифметического корня, допускается такая ошибка. Говорится: «Чтобы умножить корни с разными показателями, предварительно нужно их привести к общему показателю, а затем умножить как корни с одинаковыми показателями» — и приводится тождество
т п тп
Уа-УЬ — УапЬт .
Нетрудно понять, что это утверждение неверно. Действительно, при m = 3, /г = 2Э а<^0
3
и ||>0 имеем неверное равенство ]/~а• \ГЪ =
13


***У а2Ьъ (его левая часть отрицательна, а правая положительна).
п
3. 	Использование знака У а только как арифметического корня имеет и то преимущество, что позволяет производить замену выраже-
1 п
ния хп корнем Ух и наоборот без всяких оговорок. В противном случае нужны ограничения.
J_ 5 _
Например, заменяя л;5 корнем Ух, пришлось бы учитывать, что х>0; в то время как при
_i_ в
замене х 6 корнем ]/~х таких оговорок не требовалось бы.
п
Заметим, что употребление символа ]fa для обозначения неарифметического корня (в случае нечетного п) приводит к ошибкам. Так, в учебнике Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой «Алгебра и элементарные функции» сообщается,
j_ з
что «функции у « х 3 и у = Ух определены для всех действительных значений аргумента», в то время как ранее было сказано, что определение степени с дробным показателем (вводи-
т п
мое с помощью равенства а п = ]/а '1 , где <2>0) не распространяется на степени с отрицательными основаниями.
В заключение хотелось бы отметить, что занятая в новом учебнике алгебры для VIII класса
п
позиция в отношении использования знака У а не является новой. Такой точки зрения придерживается, например, Г. Е. Шилов, автор «Математического анализа» (М., «Наука», 1969). Так поступают в школьных курсах Чехословакии, ГДР, Франции.
Усвоению содержания понятия арифметического корня п-п степени способствуют такие упражнения:
358. Докажите, что:
б) число 3 есть арифметический кубический корень из 27;
в) число —2 не является арифметическим корнем четвертой степени из 16.
359. Докажите, что верно равенство:
в) 	/729 = 3; г) е) ]/Ж=25;
з) 	V? ~ 4 ]/3 = 2 — ]/3".
361. Решите уравнение:
Желательно, чтобы учащиеся четко проводили рассуждения при выполнении подобных упражнений. Доказать, что число Ь есть арифметический корень гь-й степени из а,— это значит показать, что выполняются два условия: 1) Ь ^ 0 и 2) Ьп — а — верное равенство.
п __
Функция у = Ух вводится как обратная функции у = хп, где jc>-0. Функция у = хп, где лг>0, возрастающая (это доказывается в учебнике), и, следовательно, обратимая. Выразив из уравнения у = хп, где х > 0, перемен-
П
кую х через у, имеем х = YУ- Перейдя к обыч-
П
ным обозначениям, получим формулу у =*= У~х, которой может быть задана функция, обратная функции у = где х > 0.
п
Свойства функции у = Ух выясняются на основании сведений об обратных функциях (графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х; функция, обратная возрастающей, является возрастающей).
Упражнения направлены на усвоение свойств
п
функции у = Ух. Следует обратить внимание на выполнение упражнения № 372.
372. Сравните значения выражений 18
е) V-Т
18
и ]/0,57
18
Решение. Значения выражений ]/
18
и ]/0,57 можно рассматривать как значения
функции у = у х .
__4_
7
= 0,571...:
Мы видим, что -у-^>0,57. Так как функция
is /~1Г 1в
у= Ух возрастающая, то 1/ -у- >1/0,57 (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).
Специальный пункт § 9 посвящен свойствам арифметического корня п-й степени. Здесь рассматриваются три теоремы и одно следствие.
Теорема I. Если а 0 и b 0, то
18
18
в)Кя = -1; е)|Ау = 0. уШ-Va-Vb.
14


Теорема 2. Если а :> 0 и b > 0, то
п п
Т|/ й /"а
г * * ’
/ 6
Л
Теорема 3. Если а О, то j/^"/‘2Г =
пк
~уТ.
«fe л
Следствие. Если а 0, то *|/ amk= У ат.
(Буквами п, т и k всюду обозначены натуральные числа, большие 1.)
Такие вопросы, как вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, корень из степени и другие, в теоретической части учебника не разбираются. Эти вопросы включаются в систему упражнений. Приведем примеры.
383. Представьте выражение в виде одночлена:
4 3
в) 	]/81с4, где д) V8а*12 .
385. Вынесите множитель за знак корня: з
г) 	У 27у, где у> 0; ж) У 12у2, где у< 0.
386. Внесите положительный множитель под знак корня:
V-r
в) 	2 ]/5"; д) —3 у —; ж) а У2 , где а>0;
4
к) У У 8 , где у<0.
П
388. Приведите выражение к виду а \ГЬ, где а — рациональное число, Ь — натуральное:
6>-7Г;
V в
Степень с рациональным показателем
Изучение материала начинается с повторения определений степени с целым показателем и свойств степени с целым показателем. Выясняется роль тождества атап — ат+п при обобщении понятия степени на случай нулевого и целого отрицательного показателя. Рассматриваются примеры функций, задавае- вых формулами вида у = ах на множестве целых чисел. Доказываются свойства функции у = ах9 где х £ Z: 1) ах > 0 при а > 0;
2) 	монотонность при а > 0 и а Ф 1. Этим положено начало построению показательной
функции, изучение которой в курсе восьми- Летней школы завершается в следующей главе.
В учебнике не рассматривается доказательство свойства: «Функция, заданная формулой у = ах на множестве целых чисел, при 0 < а < 1 убывает».
Приведем это доказательство.
Пусть хх и д:2 — любые целые числа, причем x2^>xv Докажем, что ах'<^ах'.
Введем подстановку а = -у*. По условию
0<а<1; отсюда £>>1. Имеем:
Ьх' Ьх'
b-u
1
Знаменатель дроби —-— число положи-
г ьх2 ьХх
тельное (по свойству 1), а числитель — число отрицательное, так как по доказанному в случае основания, большего 1, разность ЬХч — Ьх*^> 0.
b*t ъх*
Таким образом, дробь отрицательна,
следовательно, ах* — ах'0, т. е. ах' <^ах'.
Доказательство свойств, приведенных в учебнике, должно быть рассмотрено в классе. Однако требовать от всех учащихся умения доказывать эти свойства не следует.
Введению понятия степени с дробным показателем предшествует постановка проблемы и дается мотивировка целесообразности соответствующего определения. (По этому поводу см. статью «О новом учебнике алгебры для VIII класса». «Математика в школе», 1974, № 2.) Этот материал учебника (до определения понятия степени с дробным показателем) излагается в виде беседы учителя с учащимися. Необходимо обратить внимание на то, что, пока определение степени с дробным показателем не вве-
-1 !
дено, такие выражения, как 22, 5 4, оста¬
ются лишенными смысла. Определение дается для дробного рационального показателя. Затем на примере разъясняется, что значение степе-
р_
ни aq не зависит от того, каким образом представлен показатель — в виде дроби (/? — це-
0.
лое, q — натуральное). Например, применяя определение степени с дробным показателем _1_ _2 _6_ к выражениям 3 2, 3 4 , 3 12 , мы получим один и тог же результат. Тем самым показывается
15


корректность введенного определения. Заметим, что если а>0 и —целое число, записанное в виде дроби, где n£N и пф\, то
т п
равенство а п == Yат верно не на основании
определения степени с дробным показателем, а на основании определения арифметического корня. В учебнике это показывается на примере:
_9_ 3 3
2 3 = 23 = ]/(23)3= У29 .
В учебнике рассматриваются три свойства степени с рациональным показателем: а*' аХп = = ах, + ^ (ах')х* = ах'х*, (аЬ)х = а* Ьх (осно-
вания а и b всюду положительные числа, показатель — рациональное число). Эти свойства применяются в тождественных преобразованиях и при изучении показательной функции.
В связи с изучением тождественных преобразований выражений, содержащих степени с рациональными показателями, вводится понятие тождества на множестве. Дается определение:
«Два выражения называются тождественно равными на данном множестве, если на этом множестве они имеют смысл и все их соответственные значения на этом мнооюестве равны».
О целесообразности введения тождества на множестве уже говорилось (см. статью «О новом учебнике алгебры для VIII класса». «Математика в школе», 1974, № 2).
Упражнения на тождественные преобразования выражений, содержащих степени с рациональными показателями, направлены на выработку навыков в выполнении несложных тождественных преобразований. При этом повторяются формулы сокращенного умножения, правила преобразований произведения многочленов в многочлен, разложение на мно¬
жители, преобразование суммы дробей в дробь (на новом материале).
Учащимся необходимо усвоить основную особенность степеней с рациональными показателями: всякое положительное число можно представить в виде степени с любым, отличным от нуля, показателем. Если а>0и г — рациональ-
Л
ное число (г Ф 0), то а = (а г )т. Этому содействуют упражнения 430—433.
430. Представьте выражение в виде квадрата
Л _
v*6 у* 14 у у 4 — 1 у- 3
rv 9 А у */v ) А 9 *Л/ у А ) А •
431. Представьте выражение в виде куба (У > 0):
_i_
у6, у12, у5, у, у3, У-1, у-0'5.
I
432. Известно, что а — положительное число. Представьте а в виде:
а) 	квадрата; б) куба; в) четвертой степени; г) седьмой степени; д) восьмой степени; е) пятнадцатой степени.
433. Выражение а — Ь, где а^0 и Ъ ^ 0, разложите на множители разными способами.
При изучении степеней с рациональными показателями рассматриваются лишь простейшие иррациональные уравнения. Например:
422. Решите уравнение:
j_ i_ 5_
а) 	д:2 == 3; б) х 3 = 2; д) х 7 = 0;
_L _L _з
з) 	х 4 + 7 = 0; к) х 2 х 2 = 16.
Решение более сложных иррациональных уравнений программой по математике для восьмилетней школы не предусматривается (некоторые виды таких уравнений помещены в дополнительных упражнениях к главе IV).
Частные методические рекомендации, в том числе распределение материала по урокам, учитель сможет найти в книге «Алгебра в 8 классе. Пособие для учителей».
В В ПИКАН
(Ворошиловград)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В VB8I КЛАССЕ
В 1972/73 учебном году в экспериментальных классах средних школ № 129 и 134 г. Киева проводилось изучение геометрии по пробному учебнику геометрии для VIII класса
(под ред. А. Н. Колмогорова). На основании этого опыта преподавания мы хотим поделиться некоторыми методическими соображениями по поводу изложения некоторых вопросов темы «Повороты и тригонометрические функции» («Геометрия 8». Учебное пособие под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1974).
Тригонометрические функции принадлежат к таким вопросам новой программы по мате¬
16


матике для средней школы, которые, сохранив за собой традиционное название, приобрели принципиально новую дидактическую трактовку на базе основных идей современной математики. Следует отметить, что изменилась не только база, на которой формируется понятие тригонометрической функции. Новая программа предусматривает существенные изменения в распределении учебного материала. Процесс изучения тригонометрических функций разбивается на два основных этапа: в VIII классе вводятся функции синус и косинус, заданные на множестве угловых величин, в IX и X классах все внимание сосредоточивается на овладении учащимися свойств тригонометрических функций, определенных на множестве действительных чисел. Благодаря этому уменьшается концентризм, свойственный традиционной системе изложения, где тригонометрические функции определялись сначала для острых углов, затем для обобщенных углов и дуг и только после этого для действительных чисел.
Вопросы тригонометрии по прежней программе рассматривались в VIII классе лишь как материал для решения геометрических задач, сводящихся к вычислению элементов прямоугольных треугольников. Содержагше этой темы по новой программе, хотя и оставшейся в курсе геометрии VIII класса, коренным образом измейилось в соответствии с требованиями современной реформы. Теперь основным стержнем темы является функциональная природа синуса и косинуса.
В связи с изменением целевых установок изучения тригонометрических функций изменился объем свойств и зависимостей, изучаемых в VIII классе. По-прежнему отличительной чертой рассматриваемой темы является роль соединительного звена между алгеброй и геометрией — изложение темы увязывает идеи геометрического преобразования и действительного числа. Узловой вопрос темы — определение синуса и косинуса угловой величины— опирается на понятие перемещения, свойства окружности и некоторые сведения из курса алгебры (метод координат).
Для того чтобы понятие отображения вместе с другими теоретико-множественными понятиями не оставалось только объектом изучения, а стало необходимым рабочим аппаратом, мы с самого начала выделили основные множества, с которыми учащиеся встречаются при изучении тригонометрических функций угловых величин; в дальнейшем устанавливались отношения между некоторыми из них, выполнялись необходимые действия над множествами и рассматривались отображения
множеств, приводящие к понятию функций синус и косинус.
В теме «Повороты и тригонометрические функции» оперируют в основном такими множествами: множеством углов поворота, множеством угловых величин из промежутка [—180°, 180°], множеством точек окружности, множеством значений функций синус и косинус (числовой отрезок [—1, 1]).
Ниже мы остановимся на наиболее важных аспектах темы, на которые следует обратить внимание учителю.
I. Повороты и угловые величины. Повороты изучались учащимися в курсе геометрии VI класса. Основной целью повторения этого материала на первых уроках геометрии в VIII классе является определение поворотов на произвольный угол а, —оо<Са<Соо, a также установление логических связей между понятиями «поворот», «угол поворота», «угловая величина», «угол». Очень важно, чтоба учащиеся четко уяснили, что поворот — перемещение, которое можно рассматривать кате результат вращения на некоторый угол. Угловая величина, характеризующая данный поворот, называется углом поворота.
Следует заметить, что ученики часто путают понятия «угол» и «угол поворота». Такая ошибка возникает из-за употребления слова «угол» для обозначения различных понятий. Поэтому учителю нужно обратить особое внимание ft а примечание к п. 99, которое целесообразно рассмотреть уже при изучении п. 98. Чтобы добиться четкого разделения указанных понятий, следует повторить, что угол — определенное множество точек плоскости, поворот — отображение плоскости, которое определяется заданием его центра и углом поворота. Связь между понятиями состоит в том, что и углу и повороту ставят в соответствие некоторую угловую величину, причем данному углу можно поставить в соответствие единственную угловую величину, тогда как один и тот же поворот может быть получен в результате вращения на множество угловых величин. Элементы этого множества отличаются на 360°n, п £ Z. В качестве контрольных вопросов могут служить сл-едугояще:
1. Какая разница между понятиями «угол» и «угловая величина», «поворот» и «угол поворота»? Как эта разница отображается в обозначениях?
2. Какие из угловых величин: —500°, — 189°, —130°, 0°, 14°, 176°, 360°, 753°— могут характеризовать угол, угол между двумя лучами, угол между двумя прямыми, поворот?
II. 	Отображение множества углов поворота
17


на [—180°, 180°]. Изучение взаимосвязей между множеством углов поворота и его подмножеством [—180°, 180°] имеет широкие познавательные возможности. Прежде всего устанавливается, что каждому углу поворота р можно поставить в соответствие только один угол поворота а, такой, что а €]—180°, 180°], Учащиеся еще до вывода аналитической зависимости между величинами р и а могут самостоятельно сделать вывод о существовании отображения рХа. Обратное соответствие не является отображением, так как один и тот же поворот на угол а может быть образован различными вращениями.
Этот факт удобно иллюстрировать не только на подвижных моделях, но и на оси с градусными пометками (рис. 1). С помощью предлагаемого чертежа легко вывести формулу р = а + 360° д, где р — элемент множества углов поворота, образующих один и тот же поворот на а 6 [—180°, 180°]. Такая работа служит пропедевтикой к установлению периодичности и построению графиков функций синус и косинус.
Существование отображения рЛ а удобно наблюдать с учащимися в процессе выполнения упражнений с использованием диаграмм Венна. Например: указать во множестве углов поворота элемент а € [—180°, 180°], характеризующий один и тот же поворот вместе с данным углом р (рис. 2).
III. 	Композиция поворотов с общим центром. Введение этого понятия не только служит иллюстрацией композиции отображений, но и придает законченность изложению вопроса о поворотах. Вместе с тем изучение рассматриваемого материала может быть использовано для формирования понятия операции (этот термин можно не употреблять). Напомним, что композиция поворотов с общим центром — операция, заданная на множестве поворотов. Таким образом учащиеся знакомятся с операцией над элементами нечисловой природы. В связи с этим полезно обратить внимание учащихся на общие свойства различных операций, изучаемых в курсе математики. Особо следует выделить групповые свойства поворотов с общим центром:
1. Нейтральный элемент — поворот на 360° /г, п € 2.
2. Каждому элементу Ra множества поворотов можно указать противоположный ему элемент принадлежащий тому же мно¬
жеству.
3. Композиция поворотов с общим центром ассоциативна:
4- (Р + 7) = + Р) + Т .
Последнее свойство целесообразно установить при выполнении упражнений с конкретными данными, а затем предложить задание № 6 (п. 99).
Важным звеном предлагаемой работы является рассмотрение других примеров множеств с заданными на них операциями, обладающими такими же свойствами.
IV. 	У равнение окружности. Для того чтобы переход от поворотов к уравнению окружности и определению тригонометрических функций был логически обоснован, следует тщательно продумать систему целесообразных упражнений. В экспериментальных классах мы предлагали учащимся задания на нахождение образов точек при вращении плоскости, причем положение точек и их образов полностью определялось благодаря прямоугольной системе координат. Полезными в этом отношении являются упражнения пособия № 3, 4 (п. 100). Дополнительно целесообразно выполнить такие задания:
Дана точ га А (3;0) в прямоугольной системе координат. Назвать координаты точек Л,, Л2, Л3 таких, что Ах — /?-270°(Л), Л2 =/?540°(Л), Л3 = /?390°(Л) (центр вращения — начало координат). Найти расстояния \АхО\, |Л20|, |Л30|.
Как показал опыт, подобные упражнения готовят почву для установления соответствия между угловыми величинами, характеризующими повороты, и координатами точек, образуемых вследствие поворота плоскости.
Прежде чем перейти к определению sin а и cos а, нужно предложить учащимся самостоятельную работу с целью проверки качества усвоения пройденного материала. Такую работу мы проводили в форме математического диктанта:
18


1. В результате вращения плоскости на —550° получается поворот на угол а =
а € [—180°, 180°].
2. Поворот на угол 35° можно получить в результате вращения плоскости на два 1аких угла... .
3. Расстояние точки М (2; 3) от начала координат... .
4. Уравнение окружности с центром в начале координат, которой принадлежит точка М
5. Координаты точек Ми М2у МЪу симметричных точке М относительно: а) начала координат, б) оси Ох, в) оси Оу... .
В наших классах большая часть ошибок при выполнении работы была связана с иррациональностью длины радиуса окружности.
Кроме указанной ошибки некоторые ученики употребляли такую запись: «—550° = =—190°= 170°». Этот факт свидетельствует о том, что учащиеся интуитивно ощущают тут некоторую «эквивалентность» отношения «образовывать один поворот». Поэтому мы сочли необходимым в краткой беседе познакомить учеников с целым рядом отношений эквивалентности.
V. 	Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии VI и VII классов учащиеся знакомы с различными отображениями плоскости. Определение тригонометрических функций в курсе геометрии VIII класса базируется на рассмотрении отображения множеств другой природы. В этом состоит одна из методических трудностей введения понятий функций синус и косинус. Несколько облегчает работу предварительное рассмотрение отображения множества углов поворота на [—180°, 180°]. Вслед за этим отображением анализируется соответствие между множеством углов поворота и множеством точек единичной окружности. В пособии отмечается: «Любому углу поворота а будет соответствовать одна вполне определенная точка Ра» (с. 13). Учителю следует углубить и конкретизировать эту мысль при рассмотрении целого ряда соответствий между углами поворота и точками окружности. Завершающим этапом такой работы может быть вывод о существовании отображения а-+Ра.
Цепь умозаключений, приводящих к понятию функций синус и косинус, имеет такой вид: угловая величина а, характеризующая вращение точки Р(1;0) вокруг начала координат, определяет единственную точку Ра на окружности единичного радиуса; эта точка имеет только одну абсциссу и одну ординату, отсюда — каждой угловой величине а можно поставить в соответствие одно число (абсцис¬
су или ординату точки Ра). Целесообразно вести на доске запись в соответствии с после- доватздщостью рассуждений:
/
Г~90°-> Р—9qo
Ч
У —и х — 1.,
/
360 /*360°
Ч
У = 0,
х Ц,
/
180°-> Р180о
Ч
У“0,
jc^0,7,
45°-> Р 45о
Ч
у ^0,7, х = cosa
/
а Р а
Ч
у = sina.
Числам, поставленным таким образом в соответствие угловой величине а, дается название: синус и косинус угловой величины — и формулируется определение (с. 13).
Считаем необходимым сделать некоторые замечания по поводу определения функций синус и косинус. Среди функций, с которыми учащиеся уже знакомы, еще не встречалось такой, которую нельзя было бы задать формулой или как обратную функции, заданной таким способом. В этом состоит еще одна методическая трудность определения тригонометрических функций. Традиционно их определяли в VIII классе через отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника. Это отвечало общему определению функции, которое трактовалось в школе как переменная величина.
Исходя из современной трактовки функции в школе как однозначного соответствия, учащиеся должны «опознать» функции синус и косинус, как только выяснится, что каждому углу поворота ставится в соответствие одно, и только одно число (абсцисса или ордината). Именно это соответствие и определяет функцию.
Учителю следует добиваться строгого разграничения понятий: 1) функции синус и косинус a-^y = sina, a->y = cosa, 2) значения функций синус и косинус sin a, cos a. Предлагаемое обозначение тригонометрических функций подчеркивает характерною чер-
'Л9


ту всякого отображения: в нем принимают участие два множества (эти множества могут и совпадать). Все же определяющим фактором отображения является область задания и возможность указать каждому элементу из области определения только один соответствующий ему элемент из второго множества. В этом легко убедиться на примере функций синус и косинус. Тут в отображениях совпадают и области определения и множества значений, однако функции разные, так как различны пары соответствующих элементов.
Для сознательного усвоения определений очень важно привить навыки нахождения sin а и cos а для целого ряда угловых величин: 0°, —90°, 180°, 360°, 30°, 45°, 60°. В процессе этой работы учащиеся закрепляют понятия sin а и cos а и, кроме того, убеждаются в существовании отображений а->у = sin а, а -^у = cos а.
Для отработки указанных навыков целесообразно составить с учениками таблицу значений функций синус и косинус для угловых величин —180°, —165°, —150°, ..., 180°, пользуясь миллиметровой бумагой. С помощью такой таблицы можно не только наблюдать отображения множества углов поворота на отрезок [—1, 1], но и выявить некоторые формулы приведения.
Так, сравнивая значения функций синус и косинус для 0° ^ а ^ 180°, учащиеся устанавливают следующие равенства:
sin 15° = sin 165° |
sin 30° == sin 150° i sin a == sin (180° — a),
sin 45° = sin 135° J
sin 75° = cos 15° \
sin 60° = cos 30° • sin a = cos (90° — a),
sin 45° — cos 45° J
cos 75° = sin 15° |
cos 60° = sin 30° I cos a = sin (90° — a).
cos 90° = sin 0° j
В процессе составления таблиц sin a, cos a для угловых величин от —180° до 0° выявляются следующие свойства: sin (—a) =—sin a, cos (—a) == cos a.
С помощью таблиц легко наблюдать возрастание или убывание значений функций синус и косинус при изменении аргумента. Таким образом, свойства этих функций фиксируются после того, как учащиеся «ощутят» их путем исследования. Именно такой метод обеспечивает выполнение дидактического принципа сознательности усвоения учебного материала и активизирует мыслительную деятельность учащихся.
К ПРЕПОДАВАНИЮ МАТЕМАТИКИ В X КЛАССЕ В 1974/75 УЧЕБНОМ ГОДУ
В настоящем номере продолжается публикация материалов к преподаванию математики в X классе.. Публикуются: учебные материалы по теме «Комбинаторика», методические рекомендации к изучению этой темы, контрольные работы на второе полугодие, дополнительные упражнения по теме «Показательная и логарифмическая функции и их производные».
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 1
Часто из элементов некоторого конечного множества приходится составлять различные
1 Эта статья представляет собой главу II (с некоторыми сокращениями) из подготавливаемого к печати нового издания учебного пособия для IX класса «Алгебра и начала анализа» под ред. А. Н. Колмогорова. Подготовка материала для публикации в журнале выполнена К. П. Сикорским.
комбинации и затем производить подсчет числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи получили название комбинаторных, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой. Комбинаторика имеет большое значение в теории вероятностей, з вычислительной математике, в теории автоматов, в экономических расчетах.
В этой главе будут рассмотрены лишь некоторые начальные сведения из комбинаторики.
§ 2. Перестановки
4. 	Упорядоченные множества.
Число перестановок
Записи {а, Ь} и {Ь, а} являются лишь двумя разными обозначениями одного и того же множества: {a, b} — {b, а). Здесь буквы а и b написаны в разном порядке. Что значит установить в каком-либо конечном множестве, содержащем п элементов (n-элементном множестве) определенный порядок? Это значит указать, какой элемент множества мы считаем первым,
ЙО


какой — вторым, третьим и т. д. вплоть до п~го элемента.
Множество вместе с установленным в нем порядком расположения его элементов называется упорядоченным множеством.
Так, устанавливая в множестве {а, Ь} два возможных в нем порядка, мы получим два- разных упорядоченных множества (а, Ь) и (Ь, а). Элементы упорядоченного множества заключаются в круглые скобки. Таким образом, {а, Ь} = {Ь, а}, но (а, Ь)Ф(Ь, а).
Из множества {а, Ь, с}, содержащего 3 элемента, можно образовать 6 различных упорядоченных множеств: (а, Ь, с), (а, с, b), (b, а> с), (Ь, с, а), (г, а, Ь)у (с, Ь, а).
В самом деле, на первое место можно поставить любую из трех букв а, b или с. В каждом из этих трех случаев останутся две буквы, которые можно будет расположить на втором и третьем^ местах двумя способами. Всего получим 3*2 = 6 порядков расположения трех элементов множества.
\ Упорядоченное множество, образованное из Ьлементов некоторого множества, называется перестановкой из этих элементов.
Мы уже видели, что число перестановок из (двух элементов равно двум, из трех элементов— шести. Оказывается, что имеет место такая общая теорема.
^Теорема. Число перестановок из п элементов равно произведению первых п натуральных чисел, т. е. равно 1-2-3*...*п.
Произведение п первых натуральных чисел принято обозначать через п\ (читается «эн факториал»), например 21 = 2, 31 = 6, 4! = 24, 51 = 120.
Считают, что в множестве из одного элемента можно установить только один порядок (единственный элемент множества является и первым и последним). Поэтому полагаем 11 = 1.
Доказательство теоремы. Легко видеть, что теорема верна при п— 1: 1! = 1. Выше мы видели, что теорема верна для п=2 и п = 3.
Предположим, что теорема верна для n = k, т. е. предположим, что из k элементов можно образовать k\ перестановок (k\ упорядоченных множеств). Если данное множество содержит k + 1 элементов, то любой из них можно поставить на первое место, а из остальных k элементов можно образовать, по предположению индукции, k\ перестановок. Поэтому всего перестановок из k + 1 элементов будет
k\ (£+1) = 1-2-3- ...•£• (й-И) = (А + 1)!.
Таким образом, при п == 1 теорема верна, и если она верна для n = k, то она верна и для n = k-\-1. Следовательно, по принципу математической индукции, теорема верна для любого натурального числа п.
Для дальнейшего целесообразно условиться, что пустое множество можно упорядочить од- ним-единственным образом и считать, что «нуль факториал» равен единице: 01 = 1. При этом соглашении утверждение теоремы верно для всех целых п^0.
Пример 1. Сколькими различными способами можно усадить за стол 4 человека, если к столу приставлены 4 стула?
Р е ш е н и е. Способов столько, сколько можно образовать перестановок из четырех элементов, т. е. 41 = 24.
Пример 2. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 5, 7, не повторяя их?
Решение. Всего из пяти цифр можно образовать 51 = 1 •2*3-4-5=120 перестановок. Но перестановки, начинающиеся с нуля, не образуют пятизначных чисел. Всех перестановок, начинающихся с нуля, будет столько, сколько можно составить перестановок из четырех остальных цифр: 41 = 24. Ответ: 51—4! =
= 120 — 24 = 96.
Примеры вычислений с факториалами:
1) “!! =, ^l^ii = 8-9-10 = 720.
2) 11 -12-13- 14 -
(п + 3)! я! (п +•.!) (я + 2) (п + 3)
, ^ я! ^ • п\ "
= (л 4- 1) (я + 2) {п + 3).
4) 	-£j = (th -f 1) (пг +,2)... ги при /г>ш.
(h—m + l)(/i — m -f 2).. .п ' ' ml ~
(п — т)\{п — т 4 1) (п — т 4- 2)... п
(п — т)\ ml
- („-»)! ml ПРИ «>*•
Упражнения
28. Вычислить 6!, 7!, - 8!, 9!, 10!.
29. Составить все перестановки из четырех элементов а, Ь, с, d.
30. Сколько надо взять элементов, чтобы число всех перестановок, полученных из иаж, было 720?
31. Решить уравнение -^—^- = 72.
33. Среди перестановок цифр тесла 1234567 сколько таких, в которых: а) число 123 залш-


мает первое место; б) число 123 занимает последнее место; в) цифры 1, 2, 3, расположенные в любом порядке, занимают первые три места; г) цифры 1 и 2 не стоят рядом; стоят рядом; д) числа, составленные из всех этих цифр без повторений, делятся на 5? [а) 24;
б) 	24; б) 144; г) 3600; д) 720.] 2
§ 3. Подмножества конечного множества.
Число сочетаний Стп
5. 	Множество и его подмножества
Пусть дано некоторое множество А, состоящее из п элементов: А={а\, а% ..., ап}. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент из В принадлежит А. В этом случае пишут Bcz.A и говорят, что «В содержится в Л».
Например, множество А = {х, у, г}, состоящее из трех букв х, у, г, имеет 8 пОдмножбстб: пустое множество 0, 3 одноэлементных подмножества {.х}, {у} и {-г}, 3 двухэлементных — {*> У)> {у> z} и {г, х} и 1 трехэлементное — само множество А.
Таким образом, указанное множество А имеет всего 23=8 подмножеств.
Добавим к множеству А 4-й элемент t, получим М = {х, у, г, t). Подсчитаем теперь число всех подмножеств множества М.
Для этого к каждому из ранее составленных восьми подмножеств множества А (они, очевидно, остаются и подмножествами множества М) добавим элемент t. Получим 8 новых подмножеств множества М: {t}, {х, /}, {у, t}. {z, /}, {х, у, /}, {у, г, t}9 {г, х, *}, {х, у, г, t}. Всего подмножеств 4-элемен?ного Множества М имеем 23+23, т. е. 24=16.
Пусть множество А содержит п элементов, а его подмножество В — m элементов (O^m^n}.
Интересно получить ответы на следующие вопросы:
1. Сколько всего подмножеств содержит данное множество?
2. Сколько среди этих подмножеств состоит из заданного числа элементов?
Далее мы увидим, что ответы на эти вопросы зависят только от чисел пит.
Ответ на первый вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Число всех подмножеств множества А, состоящего из п элементов, равно 2п.
Доказательство проведем методом математической индукций по числу п.
1. 	Множество {а} из одного элемента а содержит два подмножества: пустое подмноже¬
2 Здесь и далее в [ J записаны ответы.
ство 0 и само себя. Значит, при п= 1 теорема верна, так как 2х = 2.
2. 	Предположим, что множество из k элементов содержит 2к подмножеств.
Рассмотрим множество
Л = {#1, #2» •••
из &+1 элементов, Любое подмножество этого множества может быть получено однйм из двух способов:
а) Берутся все подмножества множества
А' = {а19 а2, ... ,ak}.
Таким путем получаются все подмножества множества А, не содержащие элемента а&+ь Согласно предположению индукции, таких подмножеств будет 2к.
б) К каждому из 2* подмножеств множества А' присоединяется элемейт ак+ь Таким путем получаются всё подмножества множества А, содержащие элемент ак+\. Очевидно, что всех таких подмножеств тоже будет 2к.
Таким образом, множество А имеет 2к подмножеств, не содержащих элемента ак+ь и столько же подмножеств, содержащих элемент ah+1. Никаких других подмножеств множество А не ймеет, т. е. множество А имеет всего подмножеств 2к-\-2к = 2к+1. Оба требования принципа математической Индукции выполнены и тем самым теорема доказана.
Упражнения
35. Составить все подмножества множества А={а, b, с, d}, содержащие: а) по одному элементу; б) по два элемента; в) по три элемента.
36. Сколько всего подмножеств имеет множество А = {а, b, с, d}?
6. 	Сочетания и число сочетаний С™
Определение. Пусть множество А содержит п элементов. Каждое его подмножество, состоящее из т элементов, называется сочетанием из п элементов по т. Число таких сочетании обозначается символом С™.
Разобранный в п. 5 пример множества А = = {х, у> г} показывает, что Сз=1, Сз = 3, Св = 3, С|= 1.
Общую формулу для вычисления С™ мы получим позже, а сейчас заметим лишь, что при любом целом неотрицательном значении я имеют место следующие равенства:
1. С° = 1;
2. Сп = п при п 1, так как число ол ноэле- ментных подмножеств равно числу элементов данного множества А;
22


3. = 1, так как имеется только одно под¬
множество, содержащее все элементы множества А. 1
Полагаем, по Определению: Со = 1. Это равенство можно истолковать так: пустое множество имеет только одно подмножество — само себя.
Рассмотрим некоторые задачи.
1. 	В шахматном турнире приняли участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего сыграно партий в этом турнире?
Решение. Так как в каждой партии участвовали два шахматиста и они между собой сыграли только одну партию, то число всех сыгранных партий равно числу сочетаний из
15 по 2, т. е. Ci5-
С другой стороны, каждый участник турнира сыграл со всеми остальными участниками по одной партии, т. е. 15—1 = 14 партий. Но, приписывая каждому участнику 14 партий, мы тем самым каждую партию посчитаем 2 раза (так как в ней участвовали двое), поэтому
„ * 15-14 ^
всех сыгранных партии было—^—• Следовательно,
е>ч 1514
^15= о
105.
Ответ: в турнире было сыграно 105 пар¬
тий.
2. 	На плоскости расположены п точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Через каждые две точки из данных проведена прямая. Сколько всех прямых Проведено, на плоскости?
Решение. По существу эта задача аналогична предыдущей задаче. Так как через каждые две точки проведена только одна прямая, то всех прямых будет С2П.
С другой стороны, так как через каждую точку проходит п — 1 прямая и каждая прямая проходит через две точки, то всех прямых будет п . Отсюда следует, что
п(п— 1) ип — 2 *
Тем самым мы получили число сочетаний из п элементов по 2.
Теперь докажем основную формулу для вычисления числа сочетаний из п по т.
Теорема. Для любого натурального числа п и любого целого числа tft, удовлетворяющего условию 0^т^.п, имеет место равенство
п! Ш
0/1 ml (л — т)\ ' К )
Задание. Проверьте формулу (I) для следующих случаев: п = О, т = 0; п = 1, т = 0 и т= I; п = 2, /гг = 0, т = 1 и m = 2; /*-=3, га = О, /гг = 1, т = 2 и т = 3.
Доказательство. Докажем равенство
Сп ml (п т)\ = aly (д)
равносильное равенству (IV.
Справа в равенстве (а) стоит число всех перестановок из п элементов. Подсчитаем это число другим способом. Каждую перестановку из п элементов можно получить следующим образом:
1) отобрать какие-нибудь т элементов из п элементов данного множества,
2) эти т элементов расположить в определенном порядке,
3) расположить оставшиеся п — т элементов в определенном порядке и поставить их После ранее отобранных т элементов.
Операцию 1) можно совершить CJT способами. Как только выбрано подмножество, содержащее т элементов, его можно упорядочить ml способами. Из оставшихся п — т элементов можно образовать (п — т)1 перестановок. Следовательно, число всех перестановок элементов данного п-элементного множества действительно равно С™ >т\ (д _ т)! и, значит*
nl = Сп-ml (п — т)1. (а)
Отсюда уже непосредственно следует равенство (I).
Иногда при вычислении числа С„ удобнее пользоваться формулой
п (п — 1) (п — 2)... (л — т + 1)
Cm
п =
т\
(И)
которая получается из формулы (I) путем сокращения дроби на (п — т)1 (см. пример 5 на с. 21). В числителе правой части формулы (II) произведение содержит число множителей, равное верхнему индексу т в С™, напримерг 35-34.33
Ь35 =
1Г
35* 17 *11 = 6545.
Упражнения
37. Вычислить Cl, С\, С\, CL Ct, С5.
38. Выписать все подмножества, содержащие по три элемента множества {аь а2, а3, сцг а5}.
39. Проверить вычислением равенствам
/^4 . /-*3 /^*5 , /лб /об
С 7 -f~ U 7 = С*®, Ь 1о -f- С10 —
40. Написать формулы для:
a) 	С*±\; б) СЙ-1»; в) С”+2„.
41. Сколько существует различных прямых, соединяющих попарно 10 точек плоскости, из
33


которых никакие три не лежат на одной прямой?
4-2. Сколько диагоналей имеет выпуклый 12-угольник?
43. Сколько существует окружностей, проходящих каждая через три точки из данных 10 точек плоскости, из которых никакие четыре точки не лежат на одной окружности и никакие три точки не лежат на одной прямой? [120.]
3 1 4
44. Решить уравнение: а) Сл=— С„+2;
б) 	С^1: С£Гм = 3:5. [а) 3; 14; б) 7.]
45. Решить неравенство С*-1 <[ С* относитель- но к.
46. Решить неравенство 1,8С„+з CL+з. [0; 1; 2; 3.]
47. Сколько участников было в шахматном турнире, если известно, что каждый из них сыграл с каждым из остальных по одной партии, а всего было сыграно 210 партий? [21.]
48. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы, из которых в одной группе будет 4 человека, а в другой—И человек? [1365.]
49. В IX классе 35 учащихся. Из них нужно избрать 4 делегата на общешкольную конференцию. Сколько имеется возможностей такого выбора? [52 360.]
50. Решить уравнение
1 1 7 '• [2-1
Г'ТП
/~>тп с6
Ю-Cf
7. 	Некоторые свойства числа сочетаний Из формулы (I) п. 6 следует равенство
Сп—тп лг
п ^ п •
В самом деле,
п!
(III)
сп~
^п
(п — т)\ (п — (п — т))[ п\
Cm
п •
Cm
п
т+1
П\
(т + 1)1 (п — т — 1)!
п\ (п — т) п — т т
С п •
т\{т + 1)-(/г — т—1)! (п — т) т +
Равенство (V) позволяет вычислять число сочетаний последовательно:
С',=/г; Сд —
п — 1^1. п — 2
о ^>2» п—* п
С2 •
^ п >
С4 =
с3 •
, ... •
Такой способ последовательного вычисления чисел сочетаний нам нужен будет в дальнейшем изложении.
Таблицу чисел С™ можно составлять при помощи такой простой формулы
cj + cr1-®1. (VI)
Формулу (VI) можно получить с помощью формул (I) и (V):
Cm j j /
n ~r — ^n~T
m + 1
n\(n + 1)
Cm — Cm v ^ n '— n A
n + 1 m + 1
ml (m + 1) • (n - (л + 1)!
-m)\
(« + 1)1 ((n + l) —<m+l))l
_ 1 — 1 *
Упражнения
51. Вычислить:
a) 	C]l; б) C37; в) C100; г) Cgei; д) C15.
52. Найти Сп, если Ci7 = Ci7+5. [15.]
53. Имеется 9 монет различного достоинства. Сколькими способами эти монеты можно разложить в два кармана? [512.]
55*. Проверить равенство Сд + С?0 + Си +
10
(п — т)\ ml
Сумма С°п + С\ + Ся+ ... + Сп
представляет собой число всех подмножеств n-элементного множества Л. В п. 5 было доказано, что эта сумма равна 2те, т. е.
С° + С\ + С*+...+С" = 2и. (IV)
Укажем еще одно важное следствие формулы (I) п. 6:
с«+1==^ттс«*
Это равенство может быть получено следующим образом:
+ ... + С^> = СЙ
Указание. Согласно (VI), С™ = С2о+С2о= = С?0 + (С\д + Ci^) = ....
56. Доказать, что Сп 4-1 + C»-1+ 2С„ =Сл+2«
8. 	Треугольник Паскаля
Для составления таблицы чисел С*, кроме формулы (VI), мы будем пользоваться уже известными нам равенствами CS = C„ «С2=1.
Пои помощи этих формул составляется таблица;
24


X
0
1
2
3
4
5
6
7
8 . .
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • •
В этой таблице на пересечении п-й строки и т-го столбца стоит число
Например, числа 6-й строки 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 обозначают С?, Се' С\9 Ci Се, Cl.
Каждая строка начинается с 1 и заканчивается 1. Если 6-я строка уже написана, то для написания 7-й строки поступаем следующим образом: на первом месте пишем 1, на втором месте — сумму двух первых чисел 6-й строки 1 -f- 6 = 7, на третьем месте — сумму 6 + 15 =
= 21, далее — сумму 15 + 20 = 35 и т. д., т. е.
применяем формулу С™ + С™+1 = С™+В конце пишем 1.
Таблицу чисел С™ часто записывают в симметричной форме:
1
1 1 1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Эта таблица носит название треугольника Паскаля, по имени французского ученого Блеза Паскаля (1623—1662), который занимался исследованием свойств этой таблицы и применением этих свойств к решению задач. В треугольнике Паскаля каждое число, кроме крайних единиц, равно сумме двух соседних с ним чисел предыдущей строки.
Рассмотрим некоторые свойства треугольника Паскаля.
1. Сумма чисел п-й строки равна 2Л, где п принимает значения 0, 1, 2, ... .
2. Числа строки, расположенные на одинаковых расстояниях от концов строки, равны
между собой. Это следует из равенства С™ =
Сп—т
п
3. При четном п = 2k (к — 0, 1, 2, ...) числа
строки возрастают до наибольшего числа C\k, а затем убывают.
При нечетном п = 2k + 1 числа строки также возрастают, но здесь два наибольших числа
Cfft+i = С|йь последующие числа строки убывают.
9. 	Размещения и число размещений
Рассмотрим следующую задачу: в классе 35 учащихся, из них нужно выбрать трех делегатов на общешкольную конференцию. Сколькими способами можно выбрать этих делегатов?
Ответ: C!s = 6545.
Изменим условие этой задачи следующим образом: на собрании присутствуют 35 человек, из которых для ведения собрания надо избрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами можно избрать этих трех человек?
В первой из рассмотренных задач порядок выбора трех человек не играет никакой роли, во второй же задаче порядок выбора не безразличен. Так, если уже выбраны три человека, то среди них еще надо произвести выборы председателя, его заместителя и секретаря. Таких выборов можно ироизвести столько, сколько перестановок можно составить из трех элементов. Поэтому решение последней задачи выглядит следующим образом:
3!Сз5 = 6-6545 = 39270.
Мы нашли число способов, которыми из 35 элементов можно выбрать 3 и расположить их в определенном порядке, т. е. число упорядоченных подмножеств, содержащих по 3 элемента множества, состоящего из 35 элементов.
Поставим общую задачу: сколькими способами из множества, содержащего п элементов, можно выделить т элементов и расположить их в определенном порядке? Иначе говоря: сколько упорядоченных множеств, содержащих по т элементов, можно образовать из п элементов данного /г-элементного множества?
Определение. Если множество М содержит п элементов, то любое упорядоченное его подмножество, содержащее пг элементов, называется размещением из п элементов по тп. Число таких размещений обозначается символом А™ (читается: «Л из п по пг»).
Докажем, что имеет место следующее равенство:
В я-элементном множестве существует, как нам уже известно, С™ m-элементных подмно¬
25


жеств, каждое из которых можно упорядочить т\ способами. Следовательно, число /тг-элементных подмножеств из элементов данного /г-элементного множества есть
Формулу (VII) можно записать в виде:
А% = п(п- 1)... (п - т + 1). (VIII)
Последняя формула удобна для вычисления числа размещений, например:
Л35 = 35 • 34 • 33 = 39 270.
Произведение начинается с множителя, равного нижнему индексу, каждый следующий множитель на единицу меньше предыдущего, а число всех множителей равно верхнему индексу.
В частности, при т = п имеем: Ah=n\> т.е. число размещений, содержащих все элементы множества А из п элементов, равно числу перестановок из п элементов.
Упражнения
59. Вычислить А\, А]9 А\у А\\ А\, А\, Al, А\, А5-
60. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на 4 различные должности из 9 кандидатов на эти должности? [3024.]
61. В IX классе 35 учащихся. Они обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек? [1190.]
62. Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по 2 элемента в каждом? [15.]
63 *. Сколько различных аккордов можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков? [968.]
64. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами можно выбрать этих пять человек? [Aijo-Cfg.]
65. Решить уравнение А5п — 18Л^-2- [9; 10.]
66. Решить уравнение Ah = \2A2n. [6.]
67. Решить уравнение Л* +С^“2==14л: [5.]
§ 4. Бином Ньютона
10. 	Формула бинома Ньютона и ее основные свойства
Разложим первые степени бинома (двучлена) а+b по убывающим степеням а.
0. (а + 6)°-1.
1. (а + йу-Ьа + Ьй.
2. (a + bf- 1-а2 + 2.ай +1-й2.
3. (a + by~= \-a* + 3-a2b + 3-ab2 + \-b*.
Для получения разложения (а + b)4 умножим обе части равенства 3 на а + Ь, как это показано ниже:
(а + by = 1 - а4 + 3-а36 + 3 -а2&2+ 1 -ab*+
+ 1 -агЬ + 3-a2b2-\- 3-ab3 +
+ 1- ЬК
4. (а + by- 1 -а4+ 4 -аЧ + 6 -а262 + 4-аЬ*+ + 1 -Ь\
Сравнивая строки коэффициентов выписанных равенств с соответственными строками треугольника Паскаля, видим, что эти строки совпадают. Из этого сравнения возникает гипотеза, что такое совпадение будет справедливо для любого натурального показателя п в разложении (а+Ь)п, но это утверждение требует доказательства.
Теорема. Коэффициенты разложения степени (а+Ь)п совпадают с п-й строкой треугольника Паскаля при любом натуральном значении п, т. е. при любом натуральном значении п справедливо равенство:
(а + Ь)п - С° ап + С\ ап~1 Ъ + ...+С\ ап~к Ь* +
+ ... + СГ'а^-1 +0». (1)
Доказательство. По определению степени с натуральным показателем
(а 4~ Ь)п = (a -f- Ь) (a -f- b)... (а -(- b). (2)
п множителей
После перемножения и приведения подобных слагаемых получим многочлен, расположенный по убывающим степеням а и возрастающим степеням b:
(а + ьу = S0 ап + Sxa*-1 b + S2 а"-2 b2 +
+ ... + ап~к Ь* + ... + abn~l + Snb\
где SQ, Si, S2,..., Sk 5n_„ Sn — коэффициенты, которые предстоит определить. Мы докажем, что S0 = С°„, Si = С\, S‘2 — С\ , —
О» о» л>п—1 о
Каждое слагаемое многочлена, полученного после перемножения двучленов во (2) и до приведения подобных слагаемых, является произведением п множителей, каждый из которых равен либо а, либо Ь. Так, первое слагаемое будет ааа ... а(п множителей).
В следующем слагаемом на месте одного из множителей а появится b (множителей а останется п — 1), и таких слагаемых будет столько, сколькими способами из множества в п элемен¬


тов (мест) можно выбрать подмножества из 1 элемента (места), т. е. С1п, а значит, «= — С1
В последующих слагаемых множители b займут уже 2 места (множителей а останется п — 2); повторяя предыдущие рассуждения, найдем, что S2=C2n.
Вообще слагаемых, содержащих k множителей, равных Ь (и, значит, п—k множителей, равных а), будет ровно столько, сколькими способами из множества, содержащего п элементов (мест), можно выбрать подмножества из k элементов (мест) для множителей, равных b, т. е. их будет С*. Поэтому Sk — С* для любого k = 0, 1,2,..., /г.
Тем самым формула (1) доказана.
Формула (1) называется формулой бинома Ньютона, по имени выдающегося английского физика и математика Исаака Ньютона (1642— 1727).
Мы видим, что в формуле (1) в виде коэффициентов при произведениях an-kbk входят числа сочетаний из п по к. Поэтому эти числа называются также биномиальными коэффициентами. Их можно вычислять по уже известным формулам либо выбирать соответствующую строку треугольника Паскаля.
Пример 1.
(а + Ь)7 = а7 + 7 а*Ь + 21 а562 + 35 а4й3 +
+ 35а3#4 + 2\а2Ь5 + 7 ab* + Ь7.
Отметим основные свойства бинома Ньютона.
1°. Разложение (a+fc)n по формуле бинома Ньютона содержит п+1 членов.
2°. Обозначим k-u член разложения через Тk, Л —0, 1, 2, Т0 =» С %апЬ° === ап — нулевой
член, Clnan~lb — 1-й член, Г2= С2ал“2й2— 2-й член... и вообще
Tk ** Cknan~k bk. (3)
3°. Показатели степеней первого слагаемого а убывают от п до 0, показатели степени второго слагаемого Ь возрастают от 0 до п. Сумма этих показателей в любом члене разложения равна п — показателю степени бинома.
4°. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны между собой (так как Сп~т).
5°. Биномиальные коэффициенты сначала возрастают, а затем убывают. Если показатель степени бинома четный, то биномиальный коэффициент при среднем члене разложения наибольший, если же показатель степени бинома нечетный, то два средних биномиальных коэф¬
фициента равны между собой и являются наибольшими.
Пример 2. Найти четвертый член разложения (z~ + Z
Решение. Четвертый член этого разложения находим по формуле (3):
/ 1 \ 8 / 2 \ 4 20
Т4 = Си \2 2 ) \z 3 ) = 495г 3.
Пр и мер 3. Найти номер члена разложения (г+г~2)12, не содержащего 2, т. е. содержащего г в нулевой степени.
Решение. По формуле (3) находим:
Ть * С\2 г12-* (г-2)*' = С?2 г12~3\
По условию задачи, 12 — 36=0, откуда k — A. ^Следовательно, номер искомого члена равен 4.
Из равенства (V) С*+1 = С\ следует, что
Тк+1 = с*+1 а"-*-1 = С„ • аП~к~ Ъ»Ь =
n — k Ь т
~~ k + 1 а 1
Таким образом, если известен &-й член, то для получения (&+1)-го члена, надо: 1) биномиальный коэффициент Tfe-ro умножить на показатель степени первого слагаемого и разделить на номер определяемого члена, 2) показатель степени первого слагаемого бинома уменьшить на 1, а показатель степени второго слагаемого увеличить на 1.
Примечание. Следует различать коэффициент члена разложения и биномиальный коэффициент того же члена. Например, в разложении
(2 а — 3&)4= 16a4— 96a36+216a2&2 —
— 216afe3+8164
коэффициент второго члена разложения равен 216, а его биномиальный коэффициент равен С24=6.
Ун ражнения
69. Написать разложения следующих степеней биномов:
а) 	(a + b)б; б) {а + b2)5; в) (а — 6)7;
г) 	(а - 2Ь)*; д) (3b + af;
3 3
е) (У а + V~bY\ ж) (Уа-Vb)6;
3
з) 	{у2а-Узь)5.
70. Определить коэффициенты первого, четвертого и пятого членов разложения 7-й степени бинома 2х — у.
27


71. Найти член, содержащий х4 в разложе-
3
НИИ (\Zx + Vx)9. [84х*.]
72. Найти член, содержащий х3 в разложении ^/х + -^-у6. [С66 jc3.]
73. Найти два средних члена разложения
(х*-ах)31. [-СЦа15х63-, Сз?а16х61.]
(а l/~x\n ”7^ + -— 1 ,
Vх а 1
если отношение коэффициента второго члена к коэффициенту первого члена равно -у- . l495a4Jc-2.]
/ 1 , 3 _\12
75. В разложении + Ух] найти члены, которые не содержат радикалов [Г0, Тв, Тп.}
76. Найти все члены, которые не содержат
з _
радикалов в разложении (У3 + К2 )5. [Т2-\ 77*. Найти номер наибольшего члена в разложении:
. / 1 1 N100 / 2 1 уоо
а) (— + —) ^ 6Ц 3 + 3 ) :
в> (-ж + 11г)100-1а) Т*>'> б) Ь) Г10.]
Указание. Рассмотрите неравенства: и 7** >7’*+,.
78. Сколько членов без радикалов содер-
4
жится в разложении (У2 +У"3)100? [26.]
79. Какие члены в разложении
(2Л + ^)'
имеют отрицательные показатели? [Г6; Т7; Т» Т9.)
83. Пользуясь формулой бинома Ньютона, доказать, что
а) сумма всех коэффициентов разложения (а+Ь)п равна 2П;
Указание, а) Положить в формуле бинома Ньютона а= 1, b= 1.
б) сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна су*мме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ТЕМЕ «КОМБИНАТОРИКА» 2
1. 	Авторы публикуемых материалов по данной теме пользуются терминами теории мно¬
2 Рекомендации подготовлены К. П. Сикорским и Г. А. Ястребинецким, .
28
жеств с кратким их пояснением. Учитывая, что в курсе математики в предыдущих классах учащиеся X класса не были ознакомлены с понятием множества (это соответствовало программе), еще до изучения комбинаторики целесообразно вводить постепенно некоторые термины теории множеств и разъяснять их, используя для этого подходящие случаи, например: множество (Л) корней уравнения х4— 10.х:2+9 = 0 А={—1, 1, —3, 3}; множество (В) нечетных чисел в промежутке 11^дг^19 £ = {11, 13, 15, 17, 19}; множество корней уравнения smx-— 0, х—пп (п — любое целое число) бесконечно. Множество корней уравнения y.v-f-4 = 0 пусто.
К началу изучения комбинаторики обязательные знания учащихся из теории множеств могут быть ограничены следующими сведениями.
а) Элементами множества могут быть любые объекты, предметы, в частности буквы, цифры, числа.
Все элементы множества различны. Так, пусть, например, предлагается записать множество, элементами которого должны быть
^ 3 1 5
числа: —5; \ 2\ 0,5; —; — 0,75; 75%.
Здесь даны 7 чисел, из них две пары равных:
С' t-J ^—v г— 1 3
— 5= —, 0,5 = —, три равных — =
= 0,75 = 75%. Значит, имеем множество
— 5; \г2 ; 0,5; 0,75 J, в нем 4 элемента;
{о,5; —5; 0,75; ]/2 } это то же самое множество.
б) При изучении комбинаторики имеются в виду только конечные множества, т. е. содержащие п элементов (п — натуральное число). В некоторых случаях речь будет идти о множестве, не имеющем ни одного элемента. Такое множество называется пустым, оно обозначается 0.
Если этот минимум сведений будет усвоен учащимися, то уже на первом уроке по изучению комбинаторики (в «Планах» это 114-й урок) представится возможным начинать изложение учебного, материала в соответствии с опубликованной в настоящем номере журнала статьей «Элементы комбинаторики».
На уроке 114 устанавливаются понятия упорядоченного множества, перестановок, вычисляется Р2= 1*2, Р3 = 1 *2*3 = 6; учащимся предлагается составить перестановки из четырех элементов (а, Ь, с, d) и подсчитать их число. Учащиеся убедятся, что Р4= 1 -2*3-4 — 24.


Теперь можно предположить, что справед- лива формула Рп — 1 •2-3-...-п=п! (Авторы статьи «Элементы комбинаторики» не пользуются обозначением Рп\ мы полагаем, что оно не представит затруднений для учащихся.)
Этот урок можно завершить рассмотрением 1 и 2 примеров из статьи на вычисление факториалов, а в домашнее задание включить анализ решения примеров 3 и 4 и упражнения 28, 30, 31, 33 (б).
На уроке 115 формулируется и доказывается методом математической индукции теорема Рп — п\ Определяются 1!, 0!. Рассматривается пример 5 на вычисления с факториалами; в домашнее задание включаются -упражнения 31, 33 (в, г. д).
На уроке 116 вводятся понятия подмножества, сочетания и намечается вывод формулы для вычисления С™.
Прежде всего рассматриваются иртмеры, формирующие понятие подмножества и, в частности, m-элементного подмножества данного n-элементного множества, т. е. сочетания из п по т, О^т^п.
Затем решаются следующие задачи.
1) Составить все подмножества множества А={а\, а2, аз, я4} и получить ответ на вопрос: сколько всего подмножеств содержит множество Л?
1. Пустое множество 0 С®=1.
2. 1-элементные подмножества {ах}, {а2} {а3},
{а,)-, С] = 4.
3. 2-элементные {аХУ а2}, {ах, а3}, {а15 я4},
(#2» ^з}’ {^2’ ^4}» {#3> ^4}* С4 6.
4. 3-элементные {ах, а2, а3}, {ах, а2, аА}> {ах, а3, а4}, {а2, а3, а4}; С4 = 4.
5. 4-элементные {av а2, а3, а4}; = 1.
Итак, получилось
cS + q + q+q + q = 2i
Можно высказать предположение, что с° + С1 + С2 4- ь С"-1 + о = 2Л.
п 1 л 1 л 1 1 п 1 п
Доказательство этого равенства можно считать необязательным для всех учащихся.
2) Составить все перестановки из элементов множества М={а, б, в, г, д}. Такая задача уже была решена ранее. Решим ее теперь другим способом.
а) 	Прежде всего составим те перестановки, в которых на первых двух местах стоят буквы а и б в том или ином порядке. Для этого достаточно к каждой перестановке из букв а и б, т. е. (а б) и (б а) приписывать последовательно каждую перестановку из остальных 3 букв.
Пшучям
а
б
в
г
Д
б
а
в
г
Д
а
б
в
д
г
б
а
в
д
г
а
б
г
в
д
б
а
г
в
д
а
б
г
Д
в
б
а
г
Д
в
а
б
д
в
г
б
а
Д
в
г
а
б
д
г
в
б
а
д
г
в.
Здесь получилось всего Р2-Рз=2!-3! перестановок из 5 элементов.
б) 	Теперь можно предложить учащимся самостоятельно составить те перестановки, в которых на первых двух местах стоят буквы а и в, и убедиться в том, что и в этом случае будет составлено Р2-Р3 = 2! 3! перестановок.
В домашнее задание можно предложить в*я- полнить такую же работу еще с одной нарой элементов множества М и, таким образом, еще раз убедиться, что и в этом случае получается 21 3! перестановок.
Выбор пары элементов равносилен выбору сочетания из 5 по 2; значит, выборов таких будет С2, а так как от каждой пары элементов получается 2! 3! перестановок, то число всех перестановок из 5 элементов будет равно С2 • 2! 31. Ранее было известно, что число перестановок из 5 элементов равно 5!. Итак, (Л-2! 3! = 5!. Таким образом, намечен путь к доказательству общей формулы.
В начале урока 117 напоминаем учащимся, что в итоге решения задачи, поставленной на предыдущем уроке, было получено равенство С2 2! 3! = 5!, а затем сообщаем общую формулу С™-т\ {п — т)\ = /г!, разъясняя способ ее доказательства ссылкой на решенную выше задачу. Полученную формулу учащиеся должны запомнить в таком виде
ст = пУ- m
т\{п — т)\ к
Используя результат решения примера 5 из статьи (стр. 21), получим
п(п— 1)(лг — 2)... (/г — т + I)
тГ v}'
Затем можно приступить к решению упражнений 37—53. На уроках 118—119 решаются упражнения на применение выведенных формул Рп и С™, а также в виде упражнений выводятся свойства числа сочетаний, причем формулу
С» “ Сп~т (Ш)
следует считать обязательной для запоминания. Желательно в классе иметь заранее заготов¬
29


ленную таблицу с треугольником Паскаля; вывод формулы
Cm + Crn+l^C™+\ (VI)
поможет учащимся разобраться в способе составления этой таблицы.
На одном из уроков 118—119 можно в ознакомительном порядке сообщить учащимся понятие размещения из п элементов по т и в виде упражнения вывести формулу А™ = т\ С™ .
Этот материал для запоминания можно считать необязательным.
Уроки 120—123 надо полностью посвятить формуле бинома Ньютона, ее выводу, основным свойствам разложения натуральной степени бинома и решению упражнений.
Аналогично тому как при выводе формул для вычисления Рп и С™ перед выводом формул были рассмотрены частные случаи, так и перед доказательством теоремы о биномиальных коэффициентах рекомендуется рассмотреть образование их на частном примере.
Пусть надо найти разложение (а + b)4.
(а + Ь)4 = (а + Ь) (а + Ь) (а + Ь) (а + Ь).
Запишем каждое слагаемое (их 16^ многочлена, полученного после перемножения 4 биномов в развернутом виде:
аааа + aaab -f aabb + abbb + bbbb + aaba + abab + babb + abaa + abba + bbab + baaa + baab + bbba + baba + bbaa
Каждое слагаемое представляет произведение четырех множителей, каждый из которых либо а, либо b. В первом слагаемом все 4 множителя а. В следующих слагаемых на одном из мест, занимаемых а, появляется b (множителей а останется 3). Таких слагаемых будет столько, сколькими способами можно из 4 мест, занимаемых а, выбрать 1 место для b, т. е. С\.
В следующей группе слагаемых для b нужно выбрать 2 места из 4; таких возможностей будет С2. Продолжая аналогичные рассуждения, получим С\ слагаемых, в которых из 4 мест а занимает только 1 место, а b —3 места. Наконец, в последнем слагаемом все 4 множителя а заменены 4 множителями Ь.
Вспоминая, что С°п = Спп = 1, полученные слагаемые в разложении (а + b)4 запишем следующим образом:
(а + by - Су + С\ aW +
30
Учащиеся убедятся, что при выводе разложения (а-\-Ь)п рассуждения вполне сходны с только что приведенными.
При доказательстве теоремы о биномиальных коэффициентах необходимо подчеркнуть, что под элементами множеств в данном случае понимаются не множители а и Ь, а те места, которые они занимают в слагаемых.
В практике изучения свойств разложения бинома Ньютона надо иметь в виду, что в опубликованной статье «Элементы комбинаторики» авторы в формуле Th начинают отсчет от 6=0, поэтому при пользовании сборниками задач прежних изданий учителю необходимо будет изменять условия некоторых «задач на бином». От учащихся можно не требовать заучивания словесной формулировки получения члена разложения 7Vh, когда известен Tk.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА 11 ПОЛУГОДИЕ *'
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА № 7 Вариант I
1. Построить график функции у = 2х+1 и, пользуясь им, ответить на вопросы:
а) Чему равно значение у при х, равном —1; 1; 0,5?
б) Как изменяется у в промежутке —0,5 <х <0,5?
2. Сравнить по величине числа тип, если:
а) 	(0,4)т > (0,4)л; б) (2,5)™ > (2,5)".
3. При каких значениях х 0,32х 3больше 3-j-?
4*. График некоторой функции симметричен относительно оси О у графику функции у =*2* И (см. № 1). Записать аналитическое выражение этой функции и указать ее область определения, множество значений, промежуток монотонности.
Вариант II
1. Построить график функции у «0,5^“* и, пользуясь им, ответить на вопросы:
а) Чему равно значение у при х% равном —1; 1; 0,5?
б) Как изменяется у в промежутке—0,5<лг<0,5?
2. Сравнить по величине тип, если:
а) 	(0,7)™ <(0,7)”; б) (1,7)"* < (1,7)"
2
3. При каких значениях х 1,5* меньше —?
4*. График некоторой функции симметричен относительно оси Ох графику функции у -= 0,5* (см. № 1). Записать аналитическое выражение этой функции и указать ее область определения, множество значений и промежуток мнотонности.
№ 8
Вариант I
1
1. 	Вычислить значения х, если: a) log 3
2 YT
3 Контрольные работы составлены С. М. Саакяном,
К. П. Сикорским и Г. Л. Ястребинецким.


6) 	log з — 1,5; в) log* Tjy- — — 2, г) л* «-
зУГ
e 32+log810e
2. Найти область определения функции у =* — log, (х — 2) и построить ее график. Как изменяется у, если 2,5 < х < 10?
3. Решить уравнение lg(JC + 6) — 0,5 Ig (2*— 3) —
= 2 lg 2.
^ 4*. Зная, что loga5 = 0, найти log540.
Вариант II
1
1. 	Вычислить значения х, если a)
2—logs 10
б) 	log 3 * = 0,75; в) log, = 1,5; г) лс = 5
4 /4
2. Найти область определения функции у = — log3(jc -f 1) и построить ее график. Как изменяется у, если 0 < х < 26?
3. Решить уравнение
Ig5 — Ig(0,5jr — 3) — 1 —0.5 Ig(3A: + 10).
4*. Зная, что logj6=»a, вычислить log6 54.
№ 9
В а р и а и т I
1. Вычислить 57,12 yf sin75°38'.
2. Решить уравнения: а) 0,63103* = 2,704; б) 32Х + + 4-32дг~* - 48 —3«+*.
3. Упростить
2tzR2 (cos2 а — sin2 д)
1 + cos 4а
и затем вычислить при R — 25,12, а = 17°18'.
4*. Решить неравенство logt(.r—2)2<2.
Вариант И
1. Вычислить 43,16 >/* cos75°38'.
2. Решить уравнения:
а) 7,9432* = 76,35; б) 2.53'г~1 + 5ШХ - 185 — 2.53*-2.
3. Упростить
8тс/2 sin* о cos2 а 1 — cos 4а
и затем вычислить при I =* 12,59 и а = 21°12'.
4*. Решить неравенство log0>5 (х — З)2 <—2.
№ 10
Вариант I
1. Решить уравнения:
а) 2*+* + 12 = 2-22-*;
б) log, (5л- — 4) + log3 (х + 1) — 2 — log3 2.
2. Дана функция у = 2*+1. Найти (с точностью до 1') угол наклона касательной к ее графику в точке с абсциссой х = 0.
3. Дана функция / (л:) — 2 In (0,5л:—1).
а) Найти ее область определения; б) вычислить /' (6).
Вариант II
1. 	Решить уравнения:
а) 42*-1 + 8 - 33-4*-1.
б) log^ (a: -h 2) — 1 — log* 2 — log* (х •—> 5).
2, Дана функция у «= logj(x + 2)^ Найти (с точностью до Г) угол наклона касательной к ее графику в точке с абсциссой х = 0.
3. Дана функция f (х) = 1,5-2*-И.
Вычислить /' (0,5).
№ 11
Вариант I
1. Задана последовательность ап = 2п Ц- 3. Доказать методом математической индукции, что сумма ее первых п членов Sn = п2 + Ап.
2. Решить уравнение С5Х = 10,5*С^_2.
( 3— Y
3. В разложении \а~2х — а2) коэффициенты членов Т4 и Г8 равны; найти член разложения, не содержащий а.
4*. Сколько всего четных делителей имеет число 2310?
Вариант II
1. Задана последовательность ап = 32-2~п. Доказать методом математической индукции, что сумма ее первых п членов равна Sn = 32(1 —2~п).
2. Решить уравнение = 4л:2— х.
3. В разложении ( " ‘ + #0>4^ коэффици¬
енты членов 7’3 и Т6 равны; найти член разложения, содержащий а3.
4*. На плоскости дано множество точек {А\у Аг, ,
Л10}, три из них лежат на одной прямой. Через каждые две из данных точек проводятся прямые. Сколько всего проведено прямых?
№ 12 (на 2 урока)
Вариант I
1. Дана функция у = х4 — 4х2.
Найти: а) нули функции, б) локальные экстремумы,
в) 	промежутки монотонности.
Построить график данной функции.
2. Доказать тождество
2 -j- sin 2а — 4 sin2 (“4" —
3 cos
2 cos а
и ответить на вопрос: при каких значениях а это равенство справедливо?
1 f \
3. Дана функция f {х) = —2 sin ( 4л: —-g- ). Найти
угол, образованный с осью Ох касательной к графику
и
данной функции в точке с абсциссой х = -g-.
4. Решить уравнение log2 (2х + 5) + log2 (л: + 5) = = 2 -f log2 3. 35
5. Написать разложение бинома л:2 — 2л:~1) ^
Вариант II
1. Дана функция у = -у- хг — х2.
Найти: а) нули функции, б) локальные экстремумы,
в) 	промежутки монотонности.
Построить график данной функция.
2. Доказать тождество
31


/Зте \ 2 ctg<r-cos21 “2” — а J
2 cos'
'(т-О-
■ 1
и ответить на вопрос: при каких значениях а это равенство справедливо?
2
3. 	Дана функция f (х)
cos
Найти угол, образованный с осью Ох касательной к
т.
графику данной функции в точке с абсциссой х ~“з“*
4. Решить уравнение 2 log3 {х — 2) — Iog3 (х + 4) = 1.
(
5. Написать разложение бинома \2а — а 1) '
ГЕОМЕТРИЯ № 5
Вариант I
В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом а. Боковая грань пирамиды, проходящая через катет, противолежащий данному острому углу, наклонена к плоскости основания под углом р. Расстояние от центра основания конуса до этой боковой грани равно а. Найти объем конуса.
Вариант II
Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит прямоугольник, диагональ которого составляет с его большей стороной угол а. Меньшая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом р. Расстояние от центра основания до этой боковой грани пирамиды равно га. Найти объем конуса.
№ 6
Вариант I
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при вершине а. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом р. Найти объем шара, описанного около этой пирамиды.
Вариант II
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом а и прилежащим к нему катетом, равным а. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом (3. Найти объем и поверхность вписанного в пирамиду шара.
№ 7 (на 2 урока)
Вариант I
1. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и наклонена к плоскости основания призмы под уголом а. Найти: а) объем и поверхность шара, описанного около призмы; б) угол наклона диагонали боковой грани к плоскости другой боковой грани.
2. Доказать, что около любой треугольной пирамиды можно описать шар.
Вариант II
1. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d и наклонена к плоскости основания призмы под углом а. Найти: а) объем и поверхность шара, описанного около призмы; б) угол наклона диагонали призмы к ее боковой грани.
2. Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. Доказать, что в нее можно вписать шар.
дополнительные упражнения по tems
«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ» 4
При вычислении значений показательной, и логарифмической функций и их производных надо пользоваться сборником «Четырехзначные математические таблицы В. М. Брадиса».
Выполнение некоторых заданий будет значительно облегчено, если учащиеся будут иметь шаблоны графиков функций у — 2х, у — ех.
Пользуясь свойствами функций у = я* (0 < а < 1 и а > 1) и у = log,* х (0 < а < 1 и а > 1, х > 0), решить неравенство (1 — 5):
1. 4-r*-8-v-20 < 1. 2.0,14*’-2*-2 < о, 1 — ~ +2
3. 	5Л +5* >130. 4. log0 2 (2х—3)< Iog0 2(^—
— 3)— 1.
5. log, (3*— 5) > log, (15 — 2*).
6. При каких значениях х верно равенство:
а) lg (х2 4- 5л* — 24) = lg (х + 8) +• Ig (х — 3);
х1 Н- 10* 4- 21
б) In - ~ — In (х -f- 7) -j- In (* -f~ о) —
— In (5 — х)?
7. Решить уравнение 3* — 3—* — 1.
Решить уравнение графически (8 — 11):
8. 0,5
cJr-3
— х + 8. 9. <?°’5г = — 2л-+ 4.
10*. 2х + 2~х = —д*2 + 3. И*, е* + е~*< = — .гг + + Зх + 10.
Заштриховать ту часть координатной плоскости, точки которой удовлетворяют системе неравенств (12—14):
12. 	f у > 2* — 1, 13. ( у < logo (.г -f
У <2- { у>х1— 1.
14*. j у < 1п(л- + 1),
( у 0,5х — 1.
15*. Доказать: a) logrt х = log * xk (а > 0, пф 1,
1о£л х 1оег*
**0. х > 0); б) _g-_(в > о, 00.
а ф 1, с ф 1, *>0, у>0, уф 1).
16. Даны функции: /,(*)=* 2х, Л(*) = *-г, /s(.v) =
Найти: а) их производные, б) угловые коэффициенты касательных к графикам каждой из них в точке с абсциссой х = 0, в) написать уравнения этих касательных.
Вычислить угловые коэффициенты с точностью до 0,0001 и соответственно углы (с точностью до Г), составляемые касательными с осью Ох (воспользоваться таблицами XX и IX из сборника Брадиса).
Сравнить полученные результаты с «Методическими рекомендациями» к урокам 94—97 («Математика в школе», 1974, № 3).
Найти производную функции и угол (а) наклона к оси Ох касательной к ее графику в точке с абсциссой х = 0 (17—21):
Упражнения подобраны К. П. Сикорским.
32


17. f(x) = e°’5x . 13. f(x) -e~*. 19. / (x) -
-*«+». 20. /(x) = e*+x. 21. f(x) = ex+ex.
Найти производную функции и вычислить ее значения при указанных значениях х (22—26):
22. /(.*•)=2Л’ + 1. Вычислить /'(—1), /'(0), /'(1)
23. / (х)=1,52*+1. Вычислить с точностью до 0,001 /'(-0,5), /'(0,5).
24. /(л)=3-г + х*. Вычислить /'(—1), /'(0), /'(1)
25. f(x)=xex. Вычислить /'(—I). /' (0), /' (1).
26. /(jc)=10x~2. Вычислить /'(1), /'(3).
Найти угол а, составленный касательной к графику функции и осью Ох в точке с абсциссой а) х = 1, б) х = 3.
27. Дана функция у = ех + е~~х.
а) Доказать, что у—четная функция, а ее производная— нечетная, б) Найти локальный экстремум функции. в) При каких значениях х у убывает, возрастает? г) В какой точке графика функции касательная
тс Зтс
к нему составляет с осью Ох угол 1) 2) — ?
д) Написать уравнения этих касательных, е) Построить график данной функции.
Решение.
б) Нахождение локальног о экстремума, у' = ех — е~х\ ех—е~* = 0, откуда лг=0. При х > 0, у' = ех—е~*>0; при *<0 у'<0 (можно привести примеры: при Л'= 0,5 у' = е0’5 —г”0,5 «1,65—0,61 « 1,04>0; при х = —0,5, у' «— 1,04 < 0). Вывод: при х =- 0 ymin= = е° + е° = 2.
в) При возрастании положительных значений х значения у возрастают; при возрастании отрицательных значений х значения у убывают. Можно и здесь привести примеры.
При
1
•* = ~4~’ У= « 1
+
/ -j/*2,718 1 1
1
~+е 4 = ‘|//2,718 +
1,284+ 0,779« 2,06; при
При х = у « 2,06 < 2,26.
г) / — ех — е~х * tg ~ ех __е-х _ о, е2Х — е-
/5 +1 то ех = о « 1,618
у«1,65 + 0,61 у « 2,26; при х =
2,26 >2,06.
1_ J_
4 2
Решение уравнения: 1=0. Так как е* > 0,
lg 1,618
ig"<?
;0,481.
Соответствующее значение
/5+1 2
У “ 2 +../■—
Г 5 +1
= /5 « 2,236.
Итак, касательная к графику функции у = + е—*"
в точке («0,481; «2,236) составляет с осью Од’угол,
ТС
равный
Нетрудно убедиться, что в уравнении касательной у = х + Ъ b « 2,236 — 0,481 « 1,76.
Так как у—функция четная, то касательная к ее графику в точке (« — 0,481; «2,236) составляет с осью Ох Зтс
угол, равный -j-, а ее уравнение у = — х + Ь, где Ь « 1,76.
Найти локальные экстремумы функций (28—31):
28. у = ех — х.
30. у = е~х — е~2
29. у = х2е~л 31. у =
sin д:, если
0 < х < тс.
Найти производную функции (32—40):
32. у = \п2х. 33. у=1п(л: + 5).
34. у = In (3*—1). 35. у = х In х.
36. у = х\пх — х. 37. _y=lg(2jc—1).
38. у = Ig х* + lg(A'—1). 39. y^xXgx.
40. y = x\gx— x.
Найти производную функции и вычислить ее значе* чения при указанных значениях х (41 — 43):
41. / (х) = In х + sin х. Вычислить /' / 0)*
42. / (л:) = sin х + х 1пд:. Вычислить /' (1), /' (е).
43. / (л:) = x2lg <r+cos2jt. Вычислить /'(1), /' (тс).
Найти локальные экстремумы следующих функций (44—45):
44. у —. х — In (1 + х). 45. у =* * + In (1 — 2х).
Ответы.
1. — 2 <jc< 10. 2. — оо <дг<0,5 и 0,5<лг < оо. 3. 0 < jc < 1. 4. 3<;с<4. 5. 4<*<;7,5.
6. а) лг>3; б) — 3<д:<5. 7. 3*= 0,5(/1Г+1);
дг» lg 1,618: lg3« 0,438. 8 . 0; 3. 9. «1,12.
10. «+0,82. 11. « —1,35; «2,45. 17. /' (0)=
= 0,5e°'5'° = 0,5 = tga; a«26°34'. 18. /'(0) =
= — 1 = tg a; a = 135°. 19. f (0) = 2e = tg a; tg a за « 5,4366; a « 79°35'. 20. /' (0) = 2 = tg a; a « 63°26'. 21. f'(x)*=ex + e- /'(0) = 1 +e= tge; tg a «3,718; a«74°57\ 22. /' ( — 1) = In 2; /' (0) = 2 In 2; /' (1) - = 4 In2. 23. /'( — 0,5) = 21nl,5«0,811; /'(0,5) =
- 2-1,5Mn 1,5 «1,82. 24. /' (—1) = + In 3+3; /' (0)=
In3; /' (1) =• 3(ln3+l). 25. 0; 1; 2e. 26. a) /' (1)- = 0,1 lnl0=tga; tg a «0,2303; a « 12°58'. 6) /'(3) = = 10 In 10 = tg a; tg a «23,03; a«87°31'. 28. При jc =■ 0 ymin = 1. 29. При x = 0 ymin “ 0; при jc = 2 4^_s«0,54. 30. При ^-2, л-= ln2«0,6931
Ушах :
1
Ушах “-4-. 31‘ ПРИ X— 1 Л 1
1
32.
37.
33.
jc + 5
(2х — 1) In 10 40. lg*+ lg£— 1.
42. cos 1 + 1« 1,5403;
34.
38.
41.
Ушах s
3
=-e 4 «0,322.
/2
3x—\ ’ In jt + 1. 36. In x.
(4* — 3)Ig^ Л x(x-\) • 39- ^x+lge.
2
— «0,6366; 1+cos 1«1,5403.
TC
cos^ +2« — 0,9124 +2 « « 1.088. 43. /' (x) — x (2 lg at + 1 ge) — 2sin2jc-
/'(1) ^ — 1,384; /'(tc)«4,49. 44. При x=0 ymin^OJ 45. При л = —0,5 Ушах ■= In 2 — 0,5 «0,193.
2 Математика о школе ЛЬ 5 1974 г.
33


Г. Р. БРЕСЛЕР
(г, Ставрополь)
ОБ ОБУЧЕНИИ ДОКАЗАТЁЛЬСТВУ В IV КЛАССЕ
Одной из задач курса математики IV класса является обучение учащихся элементам дедуктивных рассуждений.
Ниже предложена система упражнений, помогающая воспитать у учащихся потребность в доказательстве и дать им понятие о его сущности и структуре.
Упражнения на узнавание высказывания.
1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?
а) В сутках 48 часов.
б) Запишите домашнее задание.
в) Почему снег белый?
г) Что больше: 5 или 7?
д) 13+14 = 27.
е) *+15 = 75.
При выполнении этого упражнения учитель должен добиваться таких ответов учеников: «Предложение «В сутках 48 часов» является высказыванием, потому что о нем можно сказать, верно оно или нет. Предложение «х + + 15 = 75» не является высказыванием, так как нельзя сказать, истинно оно или ложно.
2. Придумайте предложения, являющиеся высказываниями. Приведите примеры предложений, не являющихся высказываниями.
Упражнения на определение истинности высказывания.
Вначале следует предлагать высказывания, истинность или ложность которых не вызывает сомнений у учащихся.
3. Верно ли высказывание?
а) Волга впадает в Черное море.
б) Кошка — животное.
в) Сокол —овощ.
г) 2*2=4.
д) Окружность имеет центр.
Здесь предполагается лишь констатирующий ответ: «Данное высказывание верно (неверно)».
4. Придумайте два верных и два неверных высказывания.
Упражнения, в которых истинность или ложность высказываний не очевидна и требует обоснования.
Учащиеся знакомятся с различными способами обоснования, прежде всего с вычислением, измерением, построением, а потом с доказательством (с помощью приведения примера или логического рассуждения).
Вычисление как способ обоснования истинности или ложности высказывания используется в упражнениях из учебника № 128 (д —
з), 133, 134, 150—152, 154, 155, 306, 392, 651, 795, 1014, 1170, 1266.
Необходимость измерения для обоснования истинности (ложности) высказывания лучше всего показать на упражнениях, связанных с иллюзиями зрения. На основании зрительного впечатления учащиеся часто получают неверный ответ. Это побуждает их искать способ контроля ответа.
5. 	Верно ли высказывание?
а) Длина отрезка АВ меньше длины отрезка CD (рис. 1).
б) Длина отрезка BF равна длине отрезка FD (рис. 2).
В
в D
Рис. I
Рис. 2
Той же целй служат упражнения № 262, 282 учебника.
Задачи, связанные с иллюзией зрения, могут быть использованы и при ознакомлении учащихся с построением как способом обоснования ответа.
Упражнения, в которых истинность высказываний обосновывается построением, связаны с условностью изображения геометрических фигур на чертеже.
К ним относятся задания № 26, 28, 32, 42, 43, 196 учебника, а также следующее:
6. 	Верно ли высказывание?
а) 	Прямые BD и КР пересекаются (рис. 3).
А
Рис. 3. Рис. 4
ff
*
б) 	Луч КС пересекает отрезок АВ (рис. 4). Чтобы убедиться в истинности или ложности этих высказываний, учащиеся должны продолжить изображенные на чертеже части прямой или луча.
34


Упражнений на обоснование истинности или ложности высказывания приведением хотя бы одного примера.
7. Верно ли высказывание?
а) Каждого мальчика нашего класса зовут Саша.
б) Именем Валя называют только девочек.
в) В нашем городе нет трехэтажных домой.
г) Существует чйсл<3, которое делится на 7.
д) Все четырёхугольники — квадраты.
Наконец, учащиеся должны узнать, что истинность высказывания можно обосновать логическими рассуждениями.
На первых порах целесообразно использовать высказывания, истинность или ложность которых надо определить, опираясь на ранее Изученное правило или свойство.
8. Верно ли высказывание?
а) Через две точки можно провести несколько Прямых.
б) Уравнение х + 7 == 5 не имеет корней.
в) 35 + 276 = 276 + 35.
г) 5 • (28 • 4) = (5 • 4) -28.
д) Число 4 является корнем уравнения 72:*= 18.
Ответы учеников должны быть примерно такими: «Высказывание «Через две точки
можно провести несколько прямых» неверно, так как мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Высказывание «Уравнение х + 7 = 5 не имеет корней» верно, потому что сумма не Может быть меньше слагаемого».
Для обучения учащихся доказательству могут быть использованы задания из учебника № 129, 131, 175, 188, 375, 425, 551, 593, 653, 785, 858, 894, 902 и ряд других.
Упражнения йа выяснение неравноценности различных способов обоснования истинности йли ложности высказываний.
9. Верно ли высказывание: «Длина отрезка АВ равна 25 см»? (Отрезок, длина которого примерно равна 25 см, изображен на доске.)
Два-три человека измеряют отрезок АВ и получают различные ответы. Тогда учитель подводит учащихся К нужному выводу: «Измерение не всегда дает точный ответ, результат его зависит от измерительного инструмента, от «толщины» линий чертежа, от недостатков зрения измеряющего».
Построение тоже не всегда дает точный ответ. Получить такой вывод помогает упражнение 10.
10. Верно ли высказывание: «Луч АВ пересекает отрезок CD (рис. 5)»?
При указанном на рис. 5 положении луча и отрезка вопрос об их пересечении остается
2*
спорным. Он зависит от толщины линий и точек чертежа, от особенностей наблюдения.
Итак, построение и измерение не всегда дают точный ответ на вопрос: «Истинно ли
данное высказывание?». Поэтому в том случае, когда на него можно ответить, например в результате измерения или логического доказательства, следует отдавать предпочтение последнему способу.
Логическое доказательство, доступное учащимся IV класса, проводится по типу следующего умозаключения.
«Все элементы множества М обладают свойством а (большая посылка).
Объект а является элементом множества М (малая посылка).
Следовательно, объект а обладает свойством а (заключение).»
Обучение выполнению умозаключений такого типа необходимо начать со следующих видов упражнений:
I. На отработку понятий «множество», «элемент множества».
II. На определение принадлежности элемента множеству.
Упражнения первого вида широко представлены в учебнике IV класса, а в пособии для учителя даны методические рекомендации к их выполнению, поэтому мы на них специально останавливаться не будем.
Второй вид упражнений также представлен в учебнике. Это № 58, 64, 94, 97, 98, 242, 250, 937 и № 60, 95, 96.
В первых восьми упражнениях множества заданы перечислением их элементов и вопрос О принадлежности элемента данному множеству решается простым сопоставлением: есть ли указанный элемент среди элементов данного множества.
В последних трех упражнениях каждое множество задано указанием общих свойств его элементов, поэтому вопрос о принадлежности элемента множеству решается рассуждением определенной формы, а именно: «Все элементы множества N обладают свойствами а, р,..., у. Предмет а обладает свойствами а, Р, Следовательно, он принадлежит множеству N.
Рис. 5
Рис. 6
с
\


Если же предмет а не обладает хотя бы одним из свойств а, р,у, то он не принадлежит множеству Л/».
Приведем пример.
Какие из чисел 9, 19, 0, 99, 109, 929 принадлежат множеству двузначных чисел? (п. 6,
cNb 60)
Данное множество задано названием отличительных свойств его элементов — они двузначные числа. Число 9 не обладает отличительным свойством элементов (оно записано одной цифрой). Следовательно, оно не принадлежит множеству двузначных чисел. По той же причине данному множеству не принадлежат числа 0, 109, 929, а числа 19 и 99 принадлежат.
Эта форма рассуждения применяется в упражнениях на узнавание нового понятия. При введении новых понятий указывают множество объектов, составляющих его объем, и предлагают упражнения на выяснение принадлежности данному множеству того или иного объекта.
11. Дан угол ЛОВ и прямая CD (рис. 6), проходящая через точку О. Можно ли сказать, что прямая CD является биссектрисой угла АОВ, если углы DOB и DOA имеют одну и ту же величину?
12. Принадлежат ли множеству вертикальных углов углы 1 и 2, обозначенные на рис. 7 соответственно одной дугой и двумя?
III. 	Упражнения, в которых по двум данным посылкам надо сделать вывод.
Вначале предлагаются задания, в которых сообщено свойство элементов данного множества (большая посылка) и назван элемент этого множества (малая посылка). Учащиеся должны сделать вывод, что названный элемент обладает тем же свойством, что и все элементы множества (заключение).
13. Все домаишие животные полезны (бп). Кошка—домашнее животное (мп). Можно ли утверждать, что кошка полезна, и почему?
В ответе ученика обязательно должны присутствовать все три части умозаключения, например: «Можно, потому что все домашние животные полезны, а кошка — домашнее животное, значит, она полезна».
При выполнении этого и ему подобных упражнений внимание учащихся не заостряется на структуре ответов, но вопросом «почему?» ученики побуждаются к проговариванию всех трех предложений.
Следующие упражнения предлагаются учащимся с целью выяснения структуры умозаключения.
14. Дисциплинированные ученики не нарушают правил поведения. Этот мальчик явля¬
ется дисциплинированным учеником. Сделайте вывод из данных предложений.
Ответ. Этот мальчик не нарушает правил поведения, потому что он является дисциплинированным учеником, а дисциплинированные ученики не нарушают правил поведения.
Рассмотрим несколько упражнений геометрического содержания.
15. Сумма смежных углов равна 180°. Углы ABC и CBD смежные. Чему равна сумма данных углов?
Ответ. Сумма углов ABC и CBD составляет 180°, потому что углы ЛВС и CBD смежные, а мы знаем, что сумма смежных углов равна 180°.
16. Вертикальные углы равны. Углы ABD и СВР вертикальные. Сравните величины этих углов.
Ответ. Вертикальные углы равны. Углы ABD и СВР вертикальные. Следовательно, ве- лична угла ABD равна величине угла СВР.
Подобные рассуждения входят составной частью в решение многих задач с использованием понятий «вертикальные углы» и «смежные углы».
IV. 	Упражнения на непосредственное выполнение умозаключений.
Теперь учащимся сообщают вывод умозаключения, а они должны построить рассуждение, подтверждающее верность вывода. Такие упражнения учащимся чаще всего приходится выполнять при изучении математики. Но если раньше они строили свои ответы в произвольной форхме, то теперь мы требуем рас- суждений в форме умозаключений.
17. Отрывок из приказа министра Обороны Советского Союза: «Приказываю 7 ноября произвести салют... в городах-героях...». Можно ли утверждать, что 7 ноября в Одессе будет салют?
Учащиеся должны постепенно научиться рассуждать так: «Салют должен быть во всех городах-героях. Одесса — город-герой. Следовательно, в Одессе 7 ноября будет салют».
18. Число 6 — корень уравнения л; — 2 — 4. Так ли это и почему?
Ответ. Значение переменной, при котором получается верное равенство, называют корнем уравнения. Подставим в уравнение вместо х число 6, получим 6 — 2 = 4, 4 = 4 — верное равенство. Следовательно, число 6 является корнем уравнения х — 2 = 4.
19. Дан треугольник ABC. Верно ли, что \АВ\ + \ВС\ > |ЛС|?
Ответ. Ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы. ABC — ломаная, АС — отрезок, соединяющий ее концы. Следовательно, \АВ\ + \ВС\ > \АС\.
36


т
20. 	Решить уравнение х-\-77 — 1035. Ответ. В этом уравнении неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое; х — неизвестное слагаемое, 77 — известное
слагаемое, 1035—сумма. Значит, *= 1035 — — 77, * = 958.
Ценность этих упражнений заключается не только в формировании у учащихся навыка построения умозаключения, но также и в том, что они служат средством более полного и глубокого осознания изучаемого материала.
V. 	Приведем упражнения на доказательство, требующее не менее двух умозаключений.
21. Угол МОК развернутый, ОС — биссектриса угла МОК (рис. 8). Найти угол МОС.
22. Известно, что углы АОД и ВОС (рис. 9) вертикальные. Угол DOB составляет 155°. Найти величины углов AOD и ВОС.
ОТ РЕДАКЦИИ
В связи с опубликованием в журнале статей Т. Н. Поляковой (1971, № 1) и В. Г. Болтянского (1971, № 3), посвященных проверке при решении задач на составление уравнений, и обзора полученных откликов (1971, № 4) в редакцию продолжают поступать письма и статьи от учителей, руководителей методических объединений, работников педагогических институтов.
В письмах отмечается, что в рассматриваемом вопросе все еще нет должной методической ясности, учителя часто получают разноречивые методические указания, что вносит немалые затруднения в их работу.
Авторы отдельных статей высказывают различные, часто противоречивые суждения.
Идя навстречу высказанным в ряде писем пожеланиям, редакция публикует статью Г. В. Дорофеева, в которой освещается ряд вопросов, поставленных в письмах читателей.
Г. В. ДОРОФЕЕВ
(Москва)
ПРОВЕРКА
РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Вопрос о необходимости проверки решения текстовых задач и о содержании этой проверки неоднократно становился предметом обсуждения среди методистов и учителей средней школы. Последний обмен мнениями по этому вопросу состоялся в 1971 г., когда в № 1 и 3 журнала «Математика в школе» были опубликованы статьи Т. Н. Поляковой' и В. Г. Болтянского, в которых высказываются на первый взгляд диаметрально противоположные суждения на сущность обсуждаемого вопроса. Кроме того, в № 4 был опубликован обзор писем читателей, посвященных этой теме. Обзор также
показывает, что разнообразие мнений, высказываемых методистами и учителями, слишком велико, чтобы на такой основе можно было зести единую «политику» в преподавания этой важной темы учащимся и предъявлении к ним соответствующих требований.
Между тем вопрос о содержании проверки и ее необходимости является вопросом не только методического, но прежде всего логического характера, и следовательно, по этому вопросу должно существовать совершенно четкое единое мнение. В настоящей статье делается попытка сформулировать такое мнение, основываясь на бесспорном положении, что поскольку текстовая задача формулируется на реальном, естественном языке, то и логика ее решения должна основываться на смысле слов и предложений этого языка К Оказывается, что именно игнорирование этого, казалось бы, совершенно тривиального положения и является источником разногласий и противоречий: вопрос о проверке часто ставится чисто абстрактно, без точного учета конкретной формулировки задачи.
Большинство участников обсуждения четко разделяют проверку как контроль вычислений и проверку <спо смыслу задачи». Проверке- контролю и роли обратных задач в связи с ней посвящен § 3 настоящей статьи, а в остальной части мы говорим исключительно о логическохм статусе проверки. Другими словами, мы предполагаем, что первая, «главная» часть решения задачи проводится абсолютно правильно —правильно составляются уравнения и правильно находятся их решения; после
1 Окончательному формированию описываемого ниже подхода к вопросу о проверке способствовали содержательные беседы автора с В. Г. Болтянским и Н. X. Розовым,, которым автор приносит искреннюю благодарность.
37


этого и возникает вопрос: что делать с этими решениями, считать ли задачу уже решенной или подвергать решения некоторой проверке?
В связи с выяснением логических аспектов вопроса о проверке оказывается целесообразным выделить два типа текстовых задач — задачи, в которых речь идет о некоторой реальной, а более точно, о реализованной жизненной ситуации, и задачи потенциального характера, в которых жизненную ситуацию требуется сконструировать, смоделировать, выяснить условия, при которых она реализуется. Принципиальное отличие задач этих двух типов состоит именно в том, что в первом случае наличие ситуации постулируется, а во втором — нет, и это обстоятельство является определяющим в вопросе о необходимости и содержании проверки. Надо заметить, впрочем, что подавляющее большинство задач, встречающихся в практике преподавания, относятся к первому типу — к задачам с реализованными ситуациями.
Естественно, что тип задачи должен определяться исключительно ее условием и в действительности при точной формулировке задачи и при ее точном понимании не представляет труда определить, к какому типу эта задача относится.
§ 1. Задачи на реализованные ситуации
Рассмотрим задачу, послужившую началом дискуссии.
Задача 1. Артель лесорубов должна по плану ежедневно заготовлять 100 кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя план, заготовляли ежедневно сверх нормы 10 кубометров дров, а потому закончили заготовку на 5 дней раньше намеченного планом срока. Сколько кубометров дров заготовили лесорубы?
Согласно элементарным представлениям о грамматических структурах русского языка, в условии задачи речь идет о некоторой конкретной артели и некотором конкретном, уже прошедшем периоде ее деятельности. В этом смысле условие задачи содержит даже неточность: следовало бы сказать «артель лесорубов должна была по плану заготовлять...», подчеркнув завершенность, реализованность описываемой ситуации.
Таким образом, в задаче описана реализованная ситуация и решающему предлагается найти некоторый, не заданный явно элемент этой ситуации. При постановке всякой задачи такого рода обычно подразумевается, что искомый элемент может быть определен из совокупности данных, известных о ситуации, причем, как правило, однозначно. В то же
время представление о текстовой задаче как об отражении некоторых фрагментов человеческой деятельности позволяет задавать и такие условия, в которых требуемый элемент не определяется однозначно — в практике нередки случаи, когда исходные данные не являются достаточными для отыскания той или иной неизвестной величины.
Вернемся к задаче о лесорубах. Обычное решение этой задачи состоит в том, что, обозначив искомую величину через х, мы составляем уравнение *Доо— */ио = 5 и находим его (единственный) корень х — 5500. Решена ли уже задача, или есть необходимость в каком-то исследовании полученного корня, в проверке?
Для ответа на этот вопрос более детально проанализируем логическую структуру этого решения, опираясь на описанное выше представление о реализованности предложенной в задаче ситуации. В рассматриваемый период времени артель выполнила план, т. е. заготовила некоторое количество а м3 дров, и потратила на это а/ц0 дней. По условию, план был выполнен на 5 дней раньше срока, и следовательно, справедливо равенство а/юо — — а/цо = 5. Таким образом, число а является корнем уравнения х/м 0 — */по = 5. Однако это уравнение имеет единственный корень — число 5500,— та к что мы можем сделать однозначный вывод: артель лесорубов заготовила 5500 м3 дров.
Приведенная схема рассуждений показывает, что никакого дополнительного исследования полученного корня не требуется и задача уже решена после нахождения этого корня. Вопрос же о проверке возникает исключительно потому, что при обычном изложении решения задачи его логическагт структура не описывается столь явно, как это сделано выше. Естественно, на наш взгляд, считать, что обычная схема решения является кратким изложением описанной более детальной схемы, и следовательно, в данной задаче никакого дополнительного исследования не требуется.
Так обстоит дело всегда, когда выполняются следующие два условия:
1) в условии задачи идет речь о некоторой завершенной, реализованной ситуации;
2) уравнение (или неравенство, или система уравнений и неравенств), составленное при решении задачи, имеет единственное решение.
Рассмотрим примеры, в которых нарушается второе условие.
Задача 2. Артель лесорубов должна была заготовить 5500 кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя ежедневную норму на 10 кубо¬
Ж


метров, закончили заготовку на 5 дней раньше срока. Какова была ежедневная норма заготовок?
Обозначив неизвестную величину через х, мы получаем уравнение 5500/л; — 5500/*+10 = = 5, которое имеет два корня: 100 и —110.
Решена ли задача? Нет, но не потому, что второй корень «не имеет смысла», а потому, что мы еще «не знаем», чему именно была равна ежедневная норма: 100 или —110 кубометрам дров.
Поэтому мы проводим дополнительное рассуждение: норма заготовок не может быть числом отрицательным, и следовательно, норма заготовок была равна 100 кубометрам в день. При этом, как было изложено выше, корень 100 ни в какой дополнительной проверке не нуждается.
Вопрос, является ли проведенное отбрасывание отрицательного корня «проверкой» — проверкой «по допустимым значениям» или «по физическим соображениям»,— носит уже чисто терминологический, а следовательно, методический характер.
Более естественным представляется следующий подход: после получения двух корней уравнения задача не решена, поскольку мы не получили ответа на вопрос, и для окончательного вывода мы продолжаем решение. Последующее рассуждение является столь естественным и органическим продолжением предыдущих рассуждений, что давать ему специальное название «проверка» вовсе не обязательно.
Задача 3. Из пункта А в пункт В одновременно выехал велосипедист и вышел пешеход, и в тот же момент времени навстречу им из пункта В выехал автомобилист. Через час после начала движения автомобилист встретил велосипедиста, а затем, проехав еще 142/i7 км, встретил пешехода, посадил его в машину, после чего они отправились вдогонку за велосипедистом и настигли его. С какой скоростью двигался автомобиль, если скорость пешехода была равна Ъкм/ч и АВ — 100км?
Пусть автомобиль двигался со скоростью и км/ч, велосипедист — со скоростью v км/ч. Тогда и + v = 100, а из условия встречи автомобилиста с пешеходом после необходимых преобразований получаем, что число и удовлетворяет уравнению \7х2 — 1375а: + 1200 = 0. Это уравнение имеет корни 80 и 15/i7, и следовательно, автомобиль двигался со скоростью либо 80, либо 15/17 км/ч.
Ясно, что задача еще не решена, поскольку мы так и не узнали, с какой именно скоростью
двигался автомобиль: 80 или 15/i7 км/ч? Возникшее положение совершенно аналогично тому, с которым мы столкнулись при решении задачи 2, с той лишь разницей, что в задаче 2 корень — 110 отвергался по совершенно очевидным соображениям, а в данной задаче» дело обстоит несколько сложнее.
Конечно, «физический» аспект задачи подсказывает, что вряд ли возможно движение автомобиля со скоростью 15/i7 км/ч и тем более соответствующее этому случаю движение велосипедиста со скоростью 992/17 км/ч. Однако этот аргумент, очевидно, нематематического характера (более подробно «физический» аспект обсуждается ниже, в § 4), и не составляет особого труда подобрать в условии такие числа, при которых «физическая» бессмысленность полученных результатов будет не столь бесспорной.
Естественно проверить сначала, мог ли автомобиль в предложенной в задаче ситуации двигаться со скоростью 15/i7 км/ч. Для этого «разыграем» с самого начала все условие задачи: первая фраза не содер¬
жит информации, связанной со скоростью автомобиля; далее, автомобилист встретится с велосипедистом в 15/i7 км от В, затем (через 16 ч) встретит пешехода, но, посадив его в машину и развернувшись, он не настиг' нет велосипедиста. Следовательно, автомобиль не мог двигаться со скоростью 15км/ч.
Полученный результат означает, что скорость автомобиля была равна 80 км'/ч,— подчеркнем, что исследование корня 80, алалогичное проведенному для 1б/17, совершенно излишне, поскольку мы знаем, что автомобиль мог двигаться лишь с одной из двух найденных скоростей, а скорость 15/i7 км/ч, ка>к мы показали, противоречит условию загдачи.
Теперь задача полностью решена.
Задача 4. Турист проехал 100*км на автомобиле и 60 км на катере, причем дорога на автомобиле заняла у него на 15* минут боль- ше времени, чем дорога на катере. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. Найти скорость автомобиля.
Пусть скорость автомобиля была равна v км/ч. Нетрудно убедиться, что число v удовлетворяет уравнению 100/ft — 60/х — 20 = V4. Это уравнение имеет два корня 100 и 80,— и таким образом, автомобиль двигался со скоростью либо 100, либо 80 км/ч. Как и в задаче 3, возникает вопрос: чему же в действительности была равна скорость автомобиля? И главное, не упустили ли мы из виду, как и в задаче 3, какое-либо условие?
Для выяснения этого вопроса снова «разыграем» все условия, данные в задаче, для зна¬
В9


чений скорости 100 и 80 км/ч. Это «разыгрывание» показывает, что оба значения согласуются со всеми условиями. После проведенных дополнительных рассуждений, таким образом, мы можем сделать вывод: автомобиль двигался либо со скоростью 100 км/ч, либо со скоростью 80 км/ч.
Следовательно, данные о ситуации, предложенной в задаче, не являются достаточными для (однозначного) определения скорости автомобиля— положение, которое вовсе не должно представляться странным с точки зрения на текстовые задачи как на возникающие из реальной жизненной практики.
Возникает естественный вопрос: являются ли проведенные дополнительные рассуждения проверкой — «проверкой по смыслу задачи»,— точнее, надо ли их так называть. И здесь, как и выше, этот вопрос носит, очевидно, терминологический характер, и с методической точки зрения такое название, быть может, целесообразно. Подчеркнем, что необходимость дополнительных рассуждений определяется здесь исключительно тем фактом, что в первой части решения мы не определили требуемого элемента изучаемой ситуации, т. е., попросту говоря, еще не решили задачу.
Для логического анализа решения двух следующих задач заметим, что, согласно излагаемой точке зрения, решение задачи на реализованную ситуацию является доказательством некоторой импликации, т. е. условного утверждения: «Если справедливы утверждения Л, Б, С, то справедливо утверждение £)», и напомним, что в логике импликация считается истинной, если ее посылка ложна (так называемое правило ложной посылки).
Задача 5. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина поровну. Сколько бензина было первоначально в третьем баке?
Пусть в третьем баке первоначально было а л бензина. Нетрудно убедиться, что число а удовлетворяет уравнению х-\- (л:+26) -f(x+36) — 50. Это уравнение имеет единственный корень —4, и следовательно, в третьем баке было,.. —4 л бензина.
Решена ли задача? Да, и этот вывод обоснован упомянутым выше правилом ложной посылки— с логической, математической стороны здесь не допущено никаких ошибок. Хотя такое положение несколько парадоксально, но ответ «в третьем баке было —4 л бензина» совершенно безупречен, несмотря на то что звучит весьма странно. Однако эта «странность» легко устраняется'следующей перефор¬
мулировкой: «Если действительно в трех баках было 50 л бензина и т. д., то в третьем баке было —4 л бензина».
Разумеется, «нормальное» человеческое восприятие заставляет сделать немедленный вывод, что предложенная задача неправильна, некорректна, что описанная в ней ситуация не могла иметь места. Между тем исследование вопроса, может ли реализоваться ситуация, предложенная в задаче, не входит в обязанность решающего (если, конечно, специально не оговорено противное, или условие задачи не требует этого явно, как эго бывает в задачах потенциального характера). Поэтому с чисто математической, логической точки зрения решение рассмотренной задачи представляется правильным, однако определенные методические трудности здесь налицо. Эти трудности возникают, очевидно, в любой задаче подобного рода, в любой задиче с ложными данны ми.
Задача 6. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина поровну. Сколыю бензина было первоначально в первом баке?
Пусть в первом баке было а л бензина. Нетрудно убедиться, что число а удовлетворяет ураггшению х—10 = 50 — х—(х—10)-f-26. Это уравнение имеет единственный корень 32, и следовательно, а — 32: в первом баке было 32 л.
Задача решена, хотя мы и знаем (из предыдущей задачи), что эта задача с ложными данными; но этот факт в решении данной задачи не установлен, и установление его условием задачи не требуется.
Итак, мы выяснили, как обстоит дело с проверкой в задачах, названных нами задачами на реализованные ситуации, т. е. в задачах, где само условие подразумевает, что описываемая ситуация уже имела место.
§ 2. Задачи потенциального характера
Задачи этого типа отличаются от рассмотренных в предыдущем параграфе тем, что их формулировка не предполагает, что излагаемая в условии ситуация уже имеет или имела место. В них требуется обычно выяснить вопрос, можно ли осуществить то или иное действие, состоится ли то или иное событие. И, как мы увидим ниже, именно это обстоятельство определяет необходимость проведения во всех случаях дополнительных рассуждений, естественно называющихся «исследованием» или «проверкой».
40


Задача 7. Артель лесорубов должна заготовлять ежедневно 100 кубометров дров, однако лесорубы решил,и заготавливать в день 110 кубометров. Какой план заготовок артель смогла бы выполнить на 5 дней раньше срока?
Не будем обращать внимания на несколько неестественную постановку задачи (план работы «подгоняется» под заранее определенное досрочное выполнение) —такая постановка нам нужна для более четкого противопоставления этой задачи задаче 1.
Предположим, что некоторый план а м3 артель выполнила на 5 дней раньше срока; тогда, как и в задаче 1, находим, что а —5500. Однако в данном случае задача еще не решена: ведь мы сделали предположение, что артель выполнила некоторый план на 5 дней раньше срока, и поэтому мы установили лишь, как и в задаче 1, что если план выполнен на 5 дней раньше срока, то он равен 5500 м3. Между тем условие данной задачи в отличие от задачи 1 не подразумевает, что план на самом деле был выполнен, и мы нуждаемся в проверке, может ли быть выполнен план 5500 м3.
Наиболее естественный прием проверки — разыгрывание условий задачи подобно тому, как это делалось при решении задач 3 и 4: при плане 5500 м3 срок его выполнения составляет 55 дней, но лесорубы могут его выполнить за 50 дней, т. е. на 5 дней раньше срока. Теперь задача полностью решена.
В связи с этим решением сделаем еще три замечания. Часто высказывается мнение, что разыгрывание условий задачи является не «проверкой по смыслу задачи», а проверкой, действительно ли полученный корень удовлетворяет исходному уравнению, и поэтому предназначено лишь для контроля вычислений, но не выполняет функции действительной проверки. Это мнение, однако, представляется неверным: разыгрывание условий задачи вряд ли не самый убедительный способ проверки того или иного полученного значения, а сходство с проверкой полученного при решении задачи уравнения является чисто внешним и к тому же неизбежным, поскольку процесс составления уравнения и есть разыгрывание условий задачи, но без фиксированного числового значения искомого элемента описываемой ситуации.
Далее, необходимость проверки в данной задаче определяется не только самой постановкой, но и предложенным способом рассуждений. И если рассуждения проводятся иначе (как это, впрочем, часто и бывает), то необходимость в проверке может отпасть. В самом деле, можно рассуждать и так: для того чтобы
план а м3 был выполнен на 5 дней раньше срока, необходимо и достаточно, чтобы число а удовлетворяло уравнению х/100 — х/110 = = 5, а это уравнение имеет единственный корень 5500, и следовательно, на 5 дней раньше срока артель может выполнить план 5500 м3 и только этот план.
Сказанное означает, что вопрос о необходимости проверки является в определенной мере схоластическим, если не указано, о каком конкретном способе решения задачи идет речь, или если этот способ изложен без должных логических комментариев.
Наконец, необходимость проверки в данной задаче, казалось бы, можно исключить следующим соображением: существование плана, о котором идет речь, с практической точки зрения очевидно, поскольку маленький план можно выполнить раньше, чем за 5 дней до срока, а большой — только за меньшее число дней до срока, и следовательно, некоторый промежуточный, средний план можно выполнить на 5 дней раньше срока. Однако это рассуждение представляет собой, просто иной способ проверки, а говоря более точно, является некоторым эвристическим соображением в пользу существования.хотя бы одного решения данной задачи, заведомо менее строгим, чем разыгрывание условий задачи.
Задача 8. Требуется разлить по трем, бакам 50 л бензина. Сколько бензина надо налить в первый бак, чтобы в нем было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало столько же, сколько во втором?
Предположим, что бензин разлит требуемым образом; тогда в первом баке находится а л бензина, и число а удовлетворяет уравнению, полученному при решении задачи 6. Это уравнение имеет единственный корень 32, так что в первом баке находится 32 л бензина.
Ясно, что задача еще не решена: мы не можем утверждать, что для выполнения всех условий надо в первый бак налить 32 л бензина. Это связано с тем, что в реальном языке слово «надо» часто имеет смысл, близкий к смыслу математического термина «необходимо и достаточно», а мы установили лишь одно: если бензин уже разлит требуемым образом, то в первом баке оказалось 32 л; остается неясным, будет ли разлит бензин требуемым образом, если в первый бак налить 32 л бензина.
Проводя дополнительные рассуждения, мы устанавливаем, что для осуществления требований задачи в третий бак придется налить —4 л бензина, что невозможно. Следовательно, мы можем сделать вывод: разлить бензин


так, как это требуется в задаче, нельзя—и записать ответ: задача не имеет решения.
Отметим, что такой ответ в задаче 5 или в задаче 6 был бы неверным; об этих задачах можно сказать скорее, что они «не имеют условия», хотя вряд ли такое словоупотребление целесообразно.
Особенно четко выступает необходимость дополнительных рассуждений — проверки по смыслу задачи — в задачах потенциального характера, содержащих параметры.
Задача 9. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый весит 3 кг и содержит 40% меди, второй весит 7 кг и содержит 30% меди. Какого веса нужно взять куски этих слитков, чтобы после совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего г% меди?
Пусть мы взяли а кг первого и (8 — а) кг второго сплава и после их совместной переплавки получили сплав, содержащий г% меди; тогда число а удовлетворяет уравнению 40*+30(8— л:)=8г. Это уравнение имеет единственный корень 0,8г — 24, и нам остается выяснить, действительно ли, взя^ (0,8г— 24) кг первого сплава и (32 — 0,8г) кг второго сплава, мы получим после переплавки сплав, содержащий г% меди. Иными словами, мы должны сделать проверку по смыслу задачи.
Прежде всего указанные количества можно взять только тогда, когда выполняются неравенства:
0 < 0,8г - 24 < 3, 0 < 32 - 0,8г < 7.
Решением этой системы неравенств является множество
31,25<г<33,75.
Отсюда мы уже можем сделать вывод, что при г, не удовлетворяющих этому неравенству, требуемый сплав составить невозможно. В противном случае мы действительно можем взять куски сплавов полученного веса и убедиться непосредственным просчетом, что после переплавки получится сплав, содержащий г% меди.
Заметим, что и при решении этой задачи можно вести рассуждения несколько иначе: заранее выписывать ограничения, возникающие при решении задачи, что позволит в дальнейшем обойтись без проверки. Некоторые комментарии о целесообразности такого способа решения содержатся в § 4.
Итак, получен ответ: при 31,25^г^33,75 следует взять (0,8г — 24) кг первого сплава и (32 — 0,8г) кг второго сплава; при стальных г составить требуемый сплав невозможно (задача не имеет решения).
§ 3. Обратные задачи как средство контроля правильности решения
Как известно, задача, обратная к данной, состоит в том, что величине, искомой в исходной задаче, придается значение, полученное в ходе решения, а одно из данных исходной задачи объявляется неизвестным. И если после решения обратной задачи окажется, что новое неизвестное принимает значение, которое дано в условии исходной задачи, то проверка считается «удавшейся», а исходная задача считается правильно решенной.
Между тем логика такого поведения представляется весьма неясной, если термину «проверка» придавать в данном случае логический смысл. Как правильно указывает в вышеназванной статье В. Г. Болтянский, уравнение, составленное при решении обратной задачи, всегда будет иметь своим корнем число, бывшее данным в исходной задаче. Таким образом, проверка _сегда «удается», точнее, почти всегда, поскольку может случиться, что уравнение, составленное при решении обратной задачи, будет иметь еще и другие корни. Надо ли и в этих случаях считать задачу решенной? Естественно, что и при удавшейся проверке может оказаться, что обратная задача не учитывает некоторых «неявных» ограничений и один из полученных корней не будет решением исходной задачи.
Таким образом, представляется очевидным, что к логике решения исходной задачи решение обратной задачи имеет достаточно отдаленное отношение. Однако составление обратной задачи может оказать существенную помощь в контроле проведенных вычислений и рассуждений. Для того чтобы не увеличивать объем статьи, мы не будем приводить конкретных примеров, но ограничимся абстрактными иллюстрациями графического характера.
Пусть буква х обозначает неизвестное исходной задачи, у — неизвестное обратной задачи; остальные данные исходной задачи будем считать фиксированными. Тогда решение исходной задачи состоит в выведении некоторой, как правило, «неявной» зависимости вида F(xy у)— 0, из которой получаются, вообще говоря, несколько «явных» функциональных зависимостей x=fi(y)9 ..., x=fh(y) (при подстановке вместо у его значения из условия исходной задачи во все эти зависимости и получаются несколько «кандидатов» на значение искомого неизвестного).
Мы рассмотрим наиболее простой и наиболее типичный случай, когда k—\. Пусть кривая I на рис. 1 изображает зависимость
42


F(xy y)= 0 и пусть в результате вычислительных или иных ошибок вместо правильной кривой I мы получили кривую II. Тогда, подставив вместо у число b, данное как значение у в условии исходной задачи, мы получим число а* в качестве значения неизвестного * исходной задачи.
И если теперь безошибочно составить и решить уравнение для обратной задачи, мы получим в ответе число Ь'фЬ и, следовательно, обнаружим, что при решении данной задачи была допущена ошибка.
Следует отметить, что здесь возможен и совершенно казуистический случай (рис. 2), когда и правильная и ошибочно найденная зависимости приводят к одному и тому же значению х\ в этом случае решение обратной задачи не дает возможности обнаружить ошибку, однако искомое значение неизвестной величины фактически правильно (!), хотя получено из неверных рассуждений и вычислений. Считать ли теперь данную задачу решенной — вопрос чрезвычайно тонкий.
Заметим, что и в более сложных случаях (при k>\) неправильно найденные «решения» исходной задачи отбрасываются в точности тогда, когда они в действительности не являются ее решениями (рис. 3). Однако, как видно из рис. 3 и 4, некоторые решения исходной задачи могут быть потеряны. При этом в ситуации на рис. 4 совпадение корней а\ и а[ заставит поверить, что задача решена
Рис. 3 Рис. 4
правильно, и значение а2 так и не будет обнаружено. Если же такого совпадения не произойдет (как на рис. 3), то ошибка в решении будет обнаружена.
Мы видим, таким образом, роль обратной задачи в контроле вычислений и рассуждений такова: «лишние» решения отбрасываются, однако при наличии нескольких решений некоторые из них могут потеряться и, кроме того, может оказаться, что правильный ответ получен из неверных вычислений и рассуждений.
Таким образом, в достаточно простых случаях метод составления обратной задачи может быть средством контроля, но, вообще говоря, он недостаточен для гарантии правильного решения задачи. Подчеркнем дополнительно, что все рассуждения проводились нами в предположении, что обратная задача решена правильно, и ясно, что без этого предположения анализировать сущность любого метода контроля бессмысленно. Очевидно, кроме того, что всякий метод контроля ограничен в том смысле, что не дает полной гарантии в правильности проведенных вычислений и рассуждений.
§ 4. Дополнительные замечания
А. 	Текстовые задачи и уравнения. При предложенной трактовке текстовых задач на реализованные ситуации уравнения и текстовые задачи отличаются друг от друга не только формой записи, но и логикой постановки.
Задача 10. Ученик задумал число. После того как он возвел это число в квадрат, отнял 5, извлек квадратный корень и, наконец, при- бавил 1, получилось задуманное число. Какое число задумал ученик?
Пусть ученик задумал число а; тогда а является корнем уравнения Ух2 — 5 + 1 = л:, и задача сводится к решению этого уравнения— сводится, но не эквивалентна этому уравнению.
В самом деле, при решении этого иррационального уравнения обычным способом надо аккуратно исследовать знаки частей перед возведением в квадрат либо в конце решения обязательно сделать проверку.
В то же время в рассматриваемой задаче гожно без всяких беспокойств возводить в квадрат и, получив в конце решения единственный корень х = 3, записать ответ без вся- кой проверки.
Мы видим, таким образом, что логика решения текстовой задачи отличается от логики решения уравнения именно в вопросе о проверке. И это различие определяется различием в постановке задачи.
9


Разумеется, можно привести и примеры, где решение текстовой задачи по логике полностью совпадает с решением получающегося уравнения.
Б. Физические ограничения в текстовой задаче. При выполнении проверки «по смыслу задачи» могут возникнуть специфические трудности, связанные с естественными физическими ограничениями, которым подчинены известные и неизвестные величины, входящие в условие задачи, и преодоление этих трудностей представляет собой определенную методическую проблему.
Во многих случаях дело обстоит достаточно просто — так, в задаче 2 нетрудно «догадаться», что лесорубы не могли заготавливать —110 м3 дров в день. Однако уже в задаче 3 можно размышлять по поводу того, может ли автомобиль двигаться со скоростью 15/i7 км/ч и может ли велосипедист в течение часа поддерживать скорость 992/i7 км/ч. Конечно, в настоящее время и то и другое представляется невероятным, но нетрудно придумать задачу с несколько иными числами, в которых решение соответствующих вопросов потребует знания мирового рекорда скорости велосипедиста и высших достижений в соревнованиях автомобилистов на движение с наименьшей скоростью. И вовсе не ясно, как следовало бы поступить— отбросить корень 15/17 или нет,— если бы в задаче не было дополнительного условия, что автомобиль догнал велосипедиста.
При более внимательном анализе обнаруживается тонкий момент и при решении задачи 9: если число г очень близко к одному из полученных для него крайних значений, то можно ли взять необходимое количество соответствующего сплава? Физически говоря, нет, математически — да. Таким образом, здесь и во многих аналогичных случаях математическая абстракция не согласуется с физической конкретностью. Выходом из этого противоречия является, скорее всего, явное формулирование и использование так называемой «потенциальной осуществимости», или, быть может, «принципиальной осуществимости».
В. 	«Полная» запись условия задачи. Часто высказывается мнение, что многие вопросы, связанные с проверкой, можно снять, если записывать условие задачи «полностью», т, е. не ограничиваться решением «основного» уравнения, но решать систему уравнений и неравенств, полностью описывающих ситуацию, предложенную в задаче.
Однако такой метод решения наталкивается на принципиальную трудность — как гарантировать, что составленная система действитель¬
но полностью описывает условие задачи? Не придется ли для этого проделывать фактически то же самое «разыгрывание условий задачи», но не в числах, а в буквах?
Кроме того, и это, пожалуй, более существенно, в большей части задач это было бы излишне сложно. Здесь уместно провести аналогию с уравнениями: если при решении уравнения мы применяем лишь такие преобразования, при которых не происходит потери корней, и в конце получаем «хорошие» корни, то самый простой путь решения состоит, очевидно, в непосредственной подстановке этих корней в уравнение, а исследование эквивалентности уравнений, возникающих в процессе решения, нахождение ОДЗ и наблюдение за ее расширением — все это совершенно излишне. Точно так же «разыгрывание условий задачи», если оно и понадобится, более просто, чем аккуратное составление системы, «полностью» описывающей ситуацию, данную в задаче.
Хорошей иллюстрацией является здесь задача 3: при проверке корня 15/i7 нам достаточно было убедиться, что в этом случае автомобиль движется медленнее велосипедиста и, следовательно, не догонит его; между тем условие «автомобиль догнал велосипедиста» не равносильно условию «скорость автомобиля больше скорости велосипедиста», поскольку при небольшой разности скоростей велосипедист приедет в В раньше, чем его догонит автомобиль. Конечно, здесь мы опираемся на естественный смысл слова «догнал» — догнал в пути, а не разыскал потом в городе.
Добавим, что запись условия «догнал» представляет собой в данном случае большие трудности, чем все решение задачи. И эти трудности будут к тому же совершенно не по существу задачи.
Г. Терминология. В этой статье мы ставили целью лишь выяснить логический статус проверки, но не имели в виду предлагать специальные термины. Поэтому употребляемые выше названия «задачи на реализованные ситуации», «задачи потенциального характера», «проверка по смыслу задачи», «разыгрывание условий задачи», «задачи с ложными данными» являлись для нас чисто рабочими.
Кроме того, предложенные при анализе задач решения — сначала предположить, что неизвестная величина имеет значение а, и потом убедиться, что число а является корнем уравнения — преследовали цель более четко установить логическую структуру решения, но рекомендовать такой стиль изложения вместо стандартного введения буквы х в качестве значения неизвестного вовсе не имелось в виду.
44


§ 5. Выгоды
1. Текстовые задачи естественно разделяются на два класса: задачи, в которых идет речь о некоторой уже сложившейся ситуации («задачи на реализованные ситуации»), и задачи, в которых требуется выяснить, при каких условиях некоторая ситуация может реализоваться («задачи потенциального характера»). Принадлежность задачи к тому или другому классу определяется, разумеется, исключительно формулировкой задачи, и поэтому текст задачи должен исключать малейшую двусмысленность в этом отношении.
2. Задача, в которой речь идет о реализованной ситуации, должна считаться полностью решенной, если полученная в ходе ее решения система соотношений (уравнений или неравенств) имеет единственное решение. «Проверка» этого решения каким бы то ни было способом не является логически необходимой.
Если же полученная система соотношений имеет несколько решений, то каждое из них подлежит дальнейшему исследованию, «проверке». Это исследование может быть проведено, в принципе, единственным способом — «разыгрыванием» всего условия задачи для каждого из полученных решений,— однако этот
процесс может быть закончен в самом начале, если проверяемое значение «не подходит» по очевидным физическим соображениям.
3. В задаче потенциального характера составление системы соотношений и ее решение являются лишь частью решения задачи: оно исходит из предположения, что ситуация, о которой идет речь в задаче, уже реализована. Поэтому, независимо от числа решений этой системы, все они нуждаются в дальнейшем исследовании, и таким образом, в этом случае «проверка» является логически абсолютно необходимой.
4. Метод составления и решения обратных задач может, хотя и ограниченно, рассматриваться как метод контроля вычисления. Методическая целесообразность его применения проблематична.
5. «Полная» запись условия задачи в виде системы всех соотношений, которым удовлетворяют искомые величины, и всех ограничений, которым они должны удовлетворять по физическим или иным соображениям, на практике нецелесообразна: во-первых, обычно
трудно сказать, действительно ли выписаны все необходимые ограничения, и, во-вторых, это часто может излишне осложнить решение.
Ш. X. ГУЩЯН
(г. Ереван)
ОБ ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
В условиях работы старших классов по новой программе большое значение имеют поиски организационных форм, повышающих эффективность обучения. В учебно-педагогической литературе имеется достаточное количество работ, относящихся к этой проблеме, но большинство из них относятся к начальным и средним классам.
Исходя из анализа опыта работы средних технических учебных заведений и ряда школ г. Еревана, мы пришли к выводу, что организация учебной работы в техникумах имеет некоторые положительные моменты, которые можно успешно применять в старших классах средней школы. Так, например, мы убедились, что в старших классах средней школы основными организационными формами обучения должны быть лекционные и практические за¬
нятия. Значительные усовершенствования необходимо внести в организацию самостоятельной работы и самоконтроля учащихся, в систему учета и проверки знаний.
В старших классах нецелесообразно сохранять традиционно сложившееся параллельное изучение двух различных математических предметов. Результаты обучения значительно улучшаются, если сначала изучать программный материал курса алгебры и элементарных функций, а затем курс геометрии.
Для изучения математики необходимо выделять сдвоенные уроки. Сдвоенные часы дают возможность учителю и ученику сосредоточить свое внимание на решении поставленной проблемы в целом. Заметим, что на положительные результаты введения сдвоенных уроков неоднократно указывалось в нашей печати (см. например, «Математика в школе», 1973, № 1, с. 50—52).
В старших классах одним из основных методов обучения является изложение программного материала учителем. Эффективность обучения значительно повышается, если в этих классах достаточно широко применять лекционный метод. Лекционный метод при
45


обучении математике в старших классах не новость, но наблюдения, проведенные в школе, показывают, что учителя этим методом редко пользуются. В то же время осуществление требований, предъявляемых к обучению в старших классах средней школы, требует значительного повышения роли лекционных форм занятий. В курсе стереометрии лекции дают особенно большой эффект при изучении таких тем, в которые входят новые понятия.
Для каждого предмета, преподаваемого в средней школе, известно роль и место практических занятий. На этих занятиях основное внимание необходимо сосредоточить на организации плодотворной самостоятельной работы учащихся.
Проведенные нами в школах наблюдения показывают, что постановка самостоятельной работы по математике в VI—VIII классах стоит на более высоком уровне, чем в старших классах. В большей части прослушанных нами уроков в IX—X классах отсутствовала самостоятельная работа учеников, а если и были фрагменты самостоятельной работы, то они носили случайный характер.
Недостаточное внимание к самостоятельной работе учащихся в старших классах в значительной мере связано с тем, что традиционные методы проверки знаний отнимают от учебного процесса больше половины времени. Конечно, говоря о перестройке учебного процесса, мы не ставим вопрос о полном отказе
от традиционных методов проверки и оценки знаний, но здесь нужны серьезные усовершенствования. В первую очередь следует четко поставить вопрос о том, что именно необходимо проверить и как проверить.
В нашей практической работе проверка знаний учащихся проводится не на всех уроках, а после изучения определенного раздела и на это отводится отдельный зачетный урок. Из каждого раздела мы выделяем вопросы, знания которых обязательны для всех учащихся, такие вопросы ученики получают в начале изучения любой темы.
Общую проверку знаний по каждой теме проводим при помощи письменных контрольных работ. Учащиеся, получившие неудовлетворительную оценку за письменную работу, должны по этой теме сдать дополнительный устный зачет.
По каждой программной теме ученики получают зачетные оценки, на основе которых ставится оценка за полугодие. По каждой теме ученики имеют возможность пересдать зачет и получить повышенную оценку.
Конечно, в этой заметке мы не затронули всех вопросов, связанных с проблемой совершенствования организационных форм учебных занятий в старших классах. Только широкий обмен накопленным опытом поможет дать проверенные практикой общие рекомендации, необходимые для повышения уровня преподавания математики.
Заметки с уроков
С. 	X. ГОЛОВЕШКО
(г. Глазов)
О СВЯЗИ ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ
Для традиционной школьной математики был характерен глубокий разрыв между различными математическими предметами, в частности между алгеброй и геометрией.
Одно из главных достоинств новой программы состоит в том, что в основу изучения и алгебры и геометрии с самого начала кладутся некоторые общие идеи современной математики, и в первую очередь теоретико-множествен¬
ная концепция. Тем самым открываются широкие возможности для того, чтобы алгебра и геометрия, оставаясь различными школьными предметами, изучались в тесной и органической взаимосвязи.
К сожалению, эти возможности реализуются пока далеко не полностью.
Примером тому может служить изучение тем «Функция» в курсе алгебры и «Отображения фигур» в курсе геометрии VI класса. Их органическая связь совершенно очевидна. Это обстоятельство подчеркивается и в «Объяснительной записке» к программе, где, в частности, говорится: «В курсе алгебры объясняется, что термины «отображение» и «функция» имеют один и тот же логический смысл (они являются синонимами)... Формирование общего понятия отображения (функции) на основе рассмотрения разнообразных примеров целет сообразно проводить на уроках алгебры». (Программы восьмилетней школы на 1974/75 учебный год. «Математика», с. 19.)
46


Но в соответствии с примерным тематическим планированием, рекомендованным пособиями для учителя, п. 13 «Отображения фигур» изучается на 13—14-м уроках, т. е.^ при двух уроках геометрии в неделю — на 7-й неделе, в то время как п. 16 «Соответствие между множествами» и п. 17 «Что такое функция?» отнесены к 37—38-му урокам алгебры, т. е. на 10-ю неделю обучения.
Таким образом, понятие отображения появляется на уроках геометрци раньше, чем на уроках алгебры. Надо учесть и другое: в курсе геометрии с самого начала рассматриваются отображения бесконечных (точечных) множеств (окружности на окружность, окружности на отрезок и т. п.). Между тем само понятие отображения и все связанные с ним понятия: соответствия, отображения «на» и отображения «в», обратимого отображения и др., усваиваются шестиклассниками значительно легче на примерах конечных множеств, а именно такие примеры имеются в большом количестве в учебном пособии по алгебре.
Для преодоления этой трудности в некоторых школах г. Глазова было изменено распределение уроков между алгеброй и геометрией, начиная с 3-й и кончая 14-й учебной неделей следующим образом:
3_8-я недели —5 уроков алгебры и 1 урок геометрии;
9_14-я недели —3 урока алгебры и 3 урока геометрии.
При таком распределении уроков понятие отображения в курсе геометрии появляется как раз после того, как оно отработано на многочисленных примерах на уроках алгебры и не вызывает здесь особых затруднений.
Аналогичный подход —от примеров с конечными множествами — был применен нами и при введении важнейшего понятия — «отображения плоскости на себя».
Мы начали с рассмотрения следующего примера: «В классе сидят за партами Алеша с Сергеем, Виктор с Петей, Борис с Мишей, а Гриша сидит один. Обозначим множество всех этих учеников через X и поставим в соответствие каждому ученику его соседа по парте, если же ученик сидит один, то будем считать, что он соответствует сам себе. Это соот-
Рис. 1
ветствие может быть изображено с помощью стрелок (рис. 1).
Рассмотренное соответствие является отображением (почему?) множества X на множество X, т. е. отображением множества X «на себя». (Идея примера заимствована из статьи А. Н. Колмогорова «Что такое функция», «Квант», № 1, 1970.)
Затем рассматривался второй пример: «Прямая MN перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через его середину — точку О: (jWjV)JL J_ [АВ], (MN) П ИВ] = О, \АО| = \ОВ\
(рис. 2).
h
Ы
Рис. 2
В
Рассмотрим симметрию относительно прямой MN. При этом точке А соответствует точка В, точке В соответствует точка Л, точке X соответствует точка Х\, точке О соответствует сама точка О, и, вообще, любой точке отрезка АВ соответствует одна и только одна точка того же отрезка. Таким образом, мы имеем отображение отрезка АВ на отрезок АВ, иначе говоря, отображение отрезка АВ на себя».
После рассмотрения этих примеров формирование понятия «отображение плоскости на себя» проходит значительно легче, а главное, сознательно.
47


Д. И. ХАН
(г. Актюбинск)
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ КОНТРОЛЯ
ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
С ПАРАМЕТРАМИ
При решении сложных геометрических задач с параметрами иногда оказывается весьма затруднительным выяснить, правильно ли найден ответ к задаче или нет. Бывает так, что к задаче имеется ответ, отличный от того, который получен при решении. Многократная проверка решения не всегда выявляет верный ответ, так как допущенную ошибку сам учащийся может и не заметить, но у него возможно появится сомнение в справедливости и данного к задаче ответа. Значит, из двух отличных друг от друга ответов нужно выявить неверный. В таких случаях можно предложить решить эту задачу для частного случая при некоторых определенных значениях параметров. Рассмотрим это на конкретных примерах.
Задача № 479 (Я. В. Стратилатов. Сборник задач по тригонометрии для 9 и 10 кл. средней школы. Просвещение, 1964). В правильную треугольную пирамиду вписана другая правильная пирамида так, что ее вершина лежит в центре основания первой, а вершины оснпвания лежат на боковых ребрах первой. Ребро основания первой пирамиды равно а, и боковое ее ребро составляет с плоскостью оснпвания угол а. Боковое ребро вписанной пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом р. Определить объем вписанной пирамиды.
Дано: SABC и ОА]В1Сх — правильные пирамиды (рис. 1), | АВ\ = \ВС | « | АС | = а,
/\ /\
SCO- а, ОСА-Р.
О п р еде ли ть V — объем пирамиды OA^fi и
В книге к этой задаче приводится ответ: V ~- аь sin3 a sin В cos2 В 0
Допустим, что в процессе
12 sin3 (а + р)
решения получен другой ответ:
Vi-
/3 а3 sin3 а sin р cos2(3
12 sin3 (а -f Р)
Нам нужно выявить из них неверный. С этой целью составим новую задачу, представляющую частный случай этой задачи, и решим ее. Для этого примем в данной задаче а = р=-60°. Тогда | SCX | = | СХС |, и из параллельности оснований пирамид (что легко показать, предположив противное) получим : SABC =1:4.
1
Далее находим =
X a- sin 60°
' $АВС — 1
-а X
|OO1|=-j-A=-5-tg60eX X \OC\=~^-VT-\-asm№° -4-(из&COS),
где /г —высота пирамиды SABC. Тогда V2
--g-Sw.-IOG!!-!-- —
а
Т
а9
16 2 32 /а
Теперь подставим в выражения для V и V1 значения а = р = 60°. При этом получим
V
Vi-
/3 1
2 ‘ 4
12 sin3120°
9-8 а*
а•
16-4-12-3/3
32/3 ’
М'7)'-
/3 1
2 ’ 4
12 sin* 120°
а*
Ж
Рис. 1
Сравнивая эти значения для V и V\ со значением V2, делаем вывод, что полученный нами ранее ответ V\ является неверным. Сделав проверку решения по ее ходу, найдем ошибку и получим верный ответ.
В данной задаче при упрощении нельзя было допустить, чтобы а — р = 0° или р = 90°, так как при этом V=V\=0, и такое упрощение не выявит неверный ответ. Еще недопустимы такие числовые значения параметров, входящих в ответ, при которых последний не имеет смысла.
Особенно эффективен этот способ при проверке ответов к задачам, в которых вычисляются поверхности. Рассмотрим пример.
Задача № 548 (там же). В полушар радиуса R вписан усеченный конус так, что его большее основание совпадает с основанием полушара, а образующая наклонена к плоскости большего основания под углом cl Опреде-
48


лить площадь поверхности усеченного конуса.
Дано: ADMCB — полушар, \АО | = | ВО |=
/\
= /?, ADCB — усеченный конус, DAK = а.
Найти S — площадь поверхности усеченного конуса. На рис. 2 показано осевое сечение усеченного конуса.
м
В книге приводится ответ: S = vR2(l +
+ cos2 2а + 2 sin а sin 2а), а ученик получил: 51== тс/?2(1 + cos2 2а + 4 cos а sin2 а).
При выборе частных значений параметра а надо учесть, что 45°<а<90°. Наиболее простым решение задачи будет при а=60°, несколько сложнее — при а = 75°.
Допустим, ученик в целях проверки выбрал а = 60°. Даже без применения тригонометрических функций он нашел, что искомая площадь
равна Такой же результат дает и под¬
становка а = 60° как в ответ задачника (5), так и в формулу ученика (5Х).
Таким образом ученик получил подтверждение, что он задачу и в общем виде решил правильно, а отличие его ответа от ответа в книге объясняется различным подходом к тригонометрическим преобразованиям.
Из разобранных примеров видно, что при решении ряда задач можно найти при проверке упрощенное решение путем рассмотрения частных значений величин, входящих в условие задачи в качестве параметров. Так, например, вместо пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник, можно рассматривать правильную четырехугольную пирамиду; вместо треугольной пирамиды — правильный тетраэдр и т. д., для конкретной задачи имеется возможность рассмотреть ее частный случай.
Предлагаемый способ выявления неверного ответа, не заменяя проверки по ходу решения, является достаточно эффективным.
Вместе с тем покажем, что выбор для проверки решения задачи частных значений параметра может не обнаружить допущенной учащимся ошибки.
В качестве примера возьмем ту же задачу о вычислении площади полной поверхности усеченного конуса (№ 548).
При а = 90° усеченный конус вырождается в два совмещенных круга радиуса R, тогда площадь его полной поверхности равна 2tcR2. При а=45° усеченный конус вырождается в конус, а меньшее его основание — в точку; площадь его полной поверхности будет я/?2(]/2+1).
Предположим, что ученик при решении задачи ошибочно принял cos (180°—2а) = cos 2а и получил искомую площадь S2=nR2(l +• + cos2 2а + 4 cos3 а).
Подставляя в эту неверную формулу а —90° или а = 45°, он получит те же результаты, что и при подстановке в ответ из книги, а значит, своей ошибки ученик не сможет обнаружить.
Л. К. БОХАН, В. Г. ЛИНЕВИЧ
(г. Брест)
ПОСТРОЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
a cos х + b sin х с
В школьной практике тригонометрическое уравнение
a cos я + Ь sin х — с (1)
решают обычно одним из следующих способов:
1) 	вводят вспомогательный угол 9, определяемый из равенств г cos 9 -== b и г sin 9 = as
где г -* У a2 -у b1 и после подстановки зна¬
чений а и Ь в уравнение (1) получают уравнение
sin(x + rt-77^—, (2)
равносильное (1);
2) выражая sin л; через cosx, получают уравнение, которое приводится затем к квадратному относительно cos х;
3) выражая sin* и cos л: через tg-^, получают после преобразований квадратное уравнение относительно tg
Во всех случаях при решении уравнения (1) необходимо условие с2 ^ а2 -у Ь2Л
49


В этой заметке предлагается геоме' иче- ский способ построения корней уравнения (1).
Запишем уравнение некоторой прямой «в нормальном виде»:
х cos а + У sin а = ру (3)
где — длина перпендикуляра, проведен¬
ного из начала координат к прямой, а — угол, образованный осью Ох и этим перпендикуляром.
Уравнение (1) можно рассматривать как условие того, что прямая (3) проходит через точку (а; 6), отстоит от начала координат на расстоянии с ^ 0, х = а.
Отсюда вытекает следующее построение углов х9 являющихся решениями уравнения (1):
а) 	строим окружность со (О, с); б) из точки К(а; Ъ) проводим касательные КМ и KN к окружности со; в) проводим радиусы окружности со в точки касания А и В (рис. 1).
из ДОЛ/7 c = l sin jCj. Итак>
a cos хх-\- b sin хх « с,
Отсюда следует, что х\ — корень уравнения (1).
Обратим внимание на то, что выполняется при этом условие c2<CQ2 + b2, так как У а2 + b2 — длина гипотенузы треугольника ОАК% в котором | ОЛ | — длина катета.
Аналогично убеждаемся, что х2 — также корень уравнения (1).
Как видно из построения, двум касательным, проведенным из точки К к окружности а>, соответствуют две серии углов — решений урав-
/\ /\ нения (1): хх = ХОА -\-2ш\ х2 = ХОВ+2~п (п — целое).
Рассмотрим несколько примеров.
1. 	cos х + Ю sin х = 5.
Иллюстрацией к построению корней этого
Углы х\ и х2, отсчитанные от положительного направления оси Ох до проведенных радиусов, — искомые решения уравнения (1).
Это следует из построения и понятия «нормального уравнения прямой».
Но школьникам неизвестно это понятие. Можно предложить следующее доказательство того, что углы Х\ и х2 — действительно решения уравнения (1).
Из уравнения касательной КМ, пересекающей Оу в точке F (обозначим | О/71 = /) и проходящей через точку К(а\ Ь), имеем
Ь = а • tg (-J- -f + I. (4 )
После преобразований (4) получим последовательно:
a ctg л'; b /; а соь хх Н b sin = I sin
уравнения является рис. 1, где а = 1, b — 10, с = 5. Заметим, что выполнено условие: 52< i2+ 102.
2. —cos х — sin х — 1.
Здесь (—1)2+ (—1)2> I2.
Строим окружность со (О, 1), точку
К (—1; —1) и касательные КА и КВ (рис. 2).
Искомые решения: дс1 = я + 2я7г и Хг —
= 1,5я + 2п п.
3. 4 cos х + 3 sin х == 5.
В этом случае точка К (4; 3) лежит на окружности со (О, 5); 42+32=52. Уравнение имеет одну серию решений:
/\
хг = ХOK + 2icп (рис. 3).
4. —3 cos х + 2 sin х =f 6.
50


В этом случае точка К (—3; 2) лежит внутри окружности (О, 6); (—3)2 + 22<62. Уравнение решений не имеет.
5. 	cos х + 2 sin х = 1.
Здесь а — 1, Ъ = 2, с = 1; 12 + 22>12. Построение и х2 ясно из рис. 4. Решения:
хх = 2icп; х2 — ХОВ + 2кп.
6. 	—cos х -f 2 sin х = 1.
Рис. 5 служит иллюстрацией построения корней данного уравнения. Решения: хх = я -J- 2тся;
/\
х2= X О В -(- 2 ■кп.
В помощь самообразованию учителей
А. 	М. АБРАМОВ
(Москва)
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Введение
В целях постепенного ознакомления учащихся с аксиоматическим методом в основу современного курса планиметрии положена система аксиом, принадлежащая А. Н. Колмогорову. Сплошь дедуктивное изложение геометрии в школе вследствие неподготовленности учеников к восприятию подобного курса, длительности пути от аксиом до содержательных предложений и сложности доказательства некоторых теорем невозможно. Поэтому в учебных пособиях (особенно в «Геометрии 6») имеется довольно много «недоказанных утверждений». Выделение их в явном виде призвано упростить изложение материала и вместе с тем способствовать осознанию учениками необходимости обосновывать каждый шаг доказательства. Наличие таких утверждений и заставляет специально обсудить вопрос о строгом обосновании планиметрии.
Для удобства ссылок доказываемые предложения нумеруются. При этом принято такое соглашение: литеры У и Т — сокращения слов «утверждение» и «теорема».
Первое число, стоящее после литеры,— номер параграфа, в котором доказывается предложение; второе число — порядковый номер теоремы (утверждения), доказанной в указанном параграфе. Так У.4.3 — третье утверждение четвертого параграфа; Т.3.2 — вторая теорема третьего параграфа. Различие между утверждениями и теоремами носит условный характер. Как правило, утверждениями в статье называются вспомогательные предложения, используемые при доказательстве более важных предложений — теорем.
§ 1. Предварительные сведения
В этом параграфе мы опишем кратко те сведения общематематического характера, которые наряду с геометрическими аксиомами служат основой для построения планиметрии по Колмогорову. В п. 155 «Геометрии 8» по этому поводу говорится следующее: «...при
построении планиметрии мы будем пользоваться правилами логики и общими свойствами теории множеств как известными. После того как в одной из аксиом будет сказано, что расстояние от точки до точки есть неотрицательная величина, мы будем пользоваться также изучаемыми в алгебре свойствами величин».
51


1) Из «правил логики» мы узнаем, что значит «доказать», как проводятся доказательства. Нелегкая задача точного описания этих правил относится к математической логике. Для знакомства с логикой рекомендуем доступно написанную книгу Р. Столла, а также более серьезную монографию П. С. Новикова К Здесь же договоримся считать, что «известные правила логики» — это те интуитивные представления о наших логических возможностях, которые усваиваются в ходе изучения математики.
2) Некоторые понятия и предложения теории множеств хотя и встречаются в курсе геометрии, но явно в учебных пособиях по математике не описаны. К ним относятся: прямое (декартово) произведение множеств, операция, отношение унарное, бинарное, /2-арное, отношение рефлексивное, симметричное, транзитивное, отношение эквивалентности, класс эквивалентности, разбиение, график отображения, сужение отображения, продолжение отображения.
Если список понятий может претендовать на известную полноту, то составление списка предложений теории множеств — задача менее обозримая. Нужны известные теоретико- множественные тождества, свойства обратимых отображений и т. д.
Выделим некоторые предложения, не сформулированные явно в существующих пособиях.
Т. 1.1 (теорема о разбиении на классы). Всякое множество, на котором задано отношение эквивалентности R, разбивается на классы эквивалентности так, что любые два различных элемента, принадлежащих одному классу, находятся в отношении R, а любые два элемента, принадлежащие разным классам, отношением R не связаны.
У. 1.1. Если F — обратимое отображение произвольного множества X, то образ пересечения (объединения) произвольных подмножеств Ф1 и 02 множества X при отображении F есть пересечение (объединение) их образов:
Р(Ф1[]Ф2)^Р(Ф1)(]Р(Ф2)У F (0J U Ф2) == F (Фг) U F (Ф2).
Т. 1.2. Для произвольного множества М множество всех преобразований М (обратимых отображений М на себя) есть группа2.
1 П. С. Новиков. Элементы математической логики. М., «Наукам, 1974; Роберт Р. Столл. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., «Просвещение», 1968.
2 Знания теорем абстрактной теории групп далее не требуется. Групповая терминология привлекается в ос-
Приведем примеры из школьного курса, по д тв е р ж д а ю щи е цел есоо б разность в ы д е л е н и я понятий и предложений, приведенных выше.
В п. 31 и 78 явно говорится об отношениях сонаправленности и протизонаправленности на множестве лучей, отношении подобия на множестве фигур; отмечается, что отношения сонаправленности и подобия — отношения эквивалентности, так как они рефлексивны, симметричны и транзитивны одновременно. Анализ определений гтучка параллельных прямых (п. 30) и направления (п. 31) показывает, что фактически пучок параллельных (направление) определяется как класс эквивалентности по отношению параллельности (сонаправленности) .
Предложение У.1.1 часто применяется при доказательствах методом «геометрических преобразований» (см., например, доказательство теоремы п. 30 о том, что при центральной симметрии каждая прямая переходит в параллельную ей прямую).
Подробнее с минимумом сведений из теории множеств можно ознакомиться по книгам
Н. 	Я. Виленкина («Математика 4—5 классы. Теоретические основы». М., «Просвещение» 1974) или Р. Столла (см. сноску 1).
1. 	Величины и числа
Понятие «величина» встречается в курсе часто (расстояния, меры углов, площади, объемы). С концепцией величины, лежащей в основе школьных курсов ’ алгебры и геометрии, можно ознакомиться по статьям А. М. Колмогорова в БСЭ (2-е и 3-е изд.) «Величина» и «Измерение», в которых формулируются свойства величин. Другая концепция, отличная от «школьной», проведена в книге
Н. 	Я. Виленкина, упомянутой выше (гл. VI, п. 5).
Сравнивая свойства скалярных величин и действительных чисел, можно обнаружить много общего (в множестве действительных чисел R выполнены все аксиомы системы S — системы скалярных величин). Есть, впрочем, и важное отличие: умножение в S не определено. Поэтому, в частности, формулировки типа «Площадь прямоугольника с длинами сторон а и Ъ равна произведению сторон» или «Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов» допустимы лишь как вольности речи. (Замечания,
новном для удобства изложения. Однако ввиду значимости теории групп рекомендуем для самообразования книги П. С. Александрова «Введение в теорию групп» (М., Учпедгиз, 1939) и Г. С М. Кокстера «Введение в геометрию* (М., «Наука», 1966).
.52


сделанные на с. 19 и 23 «Геометрии 7»,— соответствующие комментарии.)
С помощью процесса измерения, фиксировав величину е > О, любой неотрицательной величине а можно поставить в соответствие вполне определенное неотрицательное действительное число ха — числовое значение величины а при единице измерения е. Множество числовых значений всех неотрицательных величин при фиксированной единице измерения есть множество всех неотрицательных чисел; если а> Ь, то и ха> Хь, если с = = а + Ь, то и хс = ха + хь; числовое значение нулевой величины — число нуль.
Свойства скалярных величин и предполагаемые известными свойства натуральных чисел позволяют обосновать теорию действительного числа. Именно от величин шли древнегреческие математики к созданию науки о числе. Идеи Евдокса, Архимеда, Евклида сохранили свою ценность и по сей день. Введение понятия «величина» в школьный курс геометрии во многом объясняется желанием сохранить возможность обсуждения свойств величин и чисел, проблем измерения величин.
Сопоставление выделенных свойств числовых значений со свойствами расстояний между точками плоскости позволяет утверждать, что плоскость — метрическое пространство.
2. 	Метрические понятия и предложения
Напомним, что метрическим пространством называется пара (М, р>, где М — произвольное множество элементов, называемых точками, ар — отображение М X М в /?+ (расстояние или метрика), удовлетворяющее следующим свойствам:
1. Для любых А и В р(Л, В) ^ 0, причем
р(Л, В) = 0*±А = В.
2. При любых А и В из М р(А, В) =р(В, А).
3. (Неравенство треугольника.) Для любых точек Л, В, С р(Л, С) ^р(Л, В) +р(£, С),
Часть понятий планиметрии имеет смысл в произвольных метрических пространствах. Приведем некоторые определения.
Точка X называется внутренней точкой множества Ф пространства М (для краткости часто называют метрическим пространством само множество М, а не пару <М, р>), если существует круг с центром X, целиком содержащийся в Ф; X — граничная точка Ф, если всякий круг с центром X содержит как точки Ф, так и точки, не принадлежащие Ф; множество Ф называется открытым в М, если всякая точка Ф — внутренняя точка Ф;
множество всех граничных точек Ф называется границей Ф. Изометрией называется отображение пространства <Мь pi> »а <Ма, р2>, сохраняющее расстояния.
В известном смысле можно сказать, что задача составления системы аксиом планиметрии, положенной в основу курса, состояла в добавлении к аксиомам расстояния таких аксиом, которые постепенно выделяли евклидову плоскость из других метрических пространств. Приведем примеры метрических пространств.
Л. Мх — множество из трех элементов: М{ = {Л, В, С}. Р,(Л, £) = Pl(£, Л) = 3, Pl (В, С) = Р, (С, В) - 4, Pl (А, С)= Pl (С, А) = = 5; Pl (А, А) - Pl (В, В) = Pl (С, С) = 0.
B. (Дискретное пространство.) Мъ — произвольное бесконечное множество:
f 1, если X ф Y, Р2(^,Г)=|0) если х==у.
C. (Декартова плоскость.) Мз — «числовая плоскость» (RXR); расстояние евклидово:
Рз ((•*!. Ух)- С*2. Уг)) — V(*2 — -*i)2 + (У2 — УО2-
D. М4 — «числовая плоскость»;
Р4 (C*i. У1). (-«а. У2)) = max (| л:2 - хг |, | у2— yj).
E. М5 — «числовая плоскость»;
4
Po(C*i.yi). (-«а» У2)) — (-«а— JCi)4 + (Уа — У1)4-
На рис. l,a отмечен отрезок с концами Л и В пространства М4, а на рис. 1,6 — единичный круг этого пространства (определения круга и отрезка см. в п. 1 и 7 «Геомет-
1 (0‘1}
н,0)
**• • *
L- о . . . .
(Ю)
Г л
и.
X
(0,-1)
Рис. 1
Т. 1.3. Множество изометрических преобразований метрического пространства М — подгруппа группы преобразований М.
Важно и другое свойство изометрических преобразований произвольного метрического пространства: эти преобразования сохраняют метрические свойства. В частности, отрезки переходят в отрезки той же длины; выпук¬
53


лость сохраняется; открытые множества отображаются на открытые; граница множества переходит в границу и т. д. Так как и прямая допускает чисто метрическое определение3, то при перемещениях (изометриях плоскости) прямые отображаются на прямые, полуплоскости — на полуплоскости, лучи — на лучи и т. д.
§ 2. Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой
1. 	Основные понятия
Неопределяемые понятия в построении планиметрии по Колмогорову таковы: «точка»,
«расстояние», «прямая». Множество всех точек— плоскость, если эти основные понятия обладают свойствами, сформулированными в 12 аксиомах. При иных подходах к аксиоматическому обоснованию евклидовой планиметрии выбирались и другие наборы основных понятий. Например, в системе Гильберта к неопределяемым понятиям отнесены «точка», «прямая», «принадлежит», «между», «конгруэнтность» (отрезков и углов). В развиваемой теории последние три понятия определяются.
2. 	Аксиомы принадлежности
Как и во всех работах по основаниям геометрии, аксиомы будем вводить постепенно. Каждая аксиома или группа аксиом используется с возможно большей интенсивностью, т. е. нужные предложения доказываются с привлечением не всех аксиом системы, а лишь той ее части, которая необходима для доказательства этих предложений. Постепенность введения аксиом обусловлена и другими соображениями. Например, при введении аксиомы АЛ 11.2 предполагается, что уже определено понятие «луч», существование которого следует из аксиомы А.II 1.1. К аксиомам принадлежности (соединения) относят следующие аксиомы:
А.1.1. Прямая есть множество точек.
А Л.2. Для любых двух различных точек существует одна и только одна прямая, их содержащая.
А.1.3. Существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
Как явствует из АЛЛ, в обсуждаемой аксиоматике принят теоретико-множественный подход к пониманию отношения принадлеж-
3 Из аксиом порядка следует: луч ОЛ — множество точек, которое состоит из всех точек отрезка ОА и всех таких точек X, для которых А лежит между О и X; прямая АВ — объединение лучей АВ и ВА.
ности точек прямым: в плоскости — множестве а, элементы которого называются точками (обозначаются прописными латинскими буквами Л, В, С, ...),— выделена система L подмножеств а, называемых прямыми (обозначаются строчными латинскими буквами а, Ь% с, ...). Таким образом, отношение принадлежности, связывающее элементы а и L, есть известное из теории множеств отношение принадлежности элемента множеству. Прямая— один из видов геометрических фигур — произвольных подмножеств плоскости. Другие геометрические фигуры определяются ниже.
Т.2 Л. Дее различные прямые либо имеют одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Замечание 1. Теоретико-множественное понимание принадлежности точек прямым не является единственно возможным. Так, согласно Гильберту4, есть две системы вещей: система прямых и система точек. Между этими системами установлено некоторое отношение «инцидентности» (принадлежности), которое в схеме Гильберта относится к неопределяемым, и следовательно, прямые —не обязательно множества точек.
Замечание 2. Аксиомами принадлежности на плоскости принято называть другую систему аксиом, имеющую и самостоятельный интерес5. Недостающие предложения, дополняющие приведенную выше систему аксиом принадлежности до общепринятой, появляются позднее (из A.III-4 вытекает наличие трех точек, не принадлежащих одной прямой; аксиома параллельных по традиции помещается в конце списка.аксиом; существование прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, следует из других аксиом).
3. 	Аксиомы расстояния
A.II.1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки А и В совпадают.
А Л 1.2. Для любых двух точек А и В расстояние от А до В равно расстоянию от В до А: \АВ\ = \ВА\.
A.II.3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С:
\АС\ ^ \АВ\+\ВС\.
4 Д. Гильберт. Основания геометрии. М.—Л., Гостех- издат, 1948, с. 56.
5 Список аксиом принадлежности на плоскости приведен в «Геометрии 8», с. 94. См. также книгу Р. Хартс- хорна «Основы проективной геометрии*. М., «Мир»,
1970.
54


Аксиома A.II.1 проясняет природу основного понятия «расстояние»: расстояние — отображение а X а в S+. Для удобства речи расстояния между точками мы считаем чисда- ми. Как разъяснено в § 1, это вполне допустимо. (Свойства действительных чисел далее предполагаются известными.) Таким образом, из аксиом принадлежности и расстояния мы узнаем, что евклидова плоскость <а, L, р> — метрическое пространство, наделенное системой прямых.
С помощью перечисленных основных понятий в «Геометрии 6» даются определения понятий «между», «отрезок», «внутренняя точка отрезка», «концы отрезка», «длина отрезка». Если точка X лежит между точками А и В, то следуя Кокстеру, будем писать [АХВ].
У.2.1. Если [АХВ], то [ВХА], но неверно: [ХВА], [ХАВ], [АВХ], [ВАХ].
Доказательство. По определению отношения «между» точки А, В, X различны и \АХ\ + \ХВ\-\АВ\. (1)
Из А.II.2 следует, что \АХ\ = \ХА\, \ВХ| = == |ХЯ|, |Л£| = |ВЛ|. Отсюда, учитывая равенство (1), получаем, что X лежит между В и А.
Остальные предложения доказываются аналогично. Докажем для примера, что точка В не лежит между X и Л. Пусть это не так. Тогда \ХВ\+\ВА\ = \ХА\. (2)
Из АЛ 1.1 следует, что |Л*|>0, |*В|>0, \ВА \ >0 (по условию точки Л, Bt X различны). Из равенства (2) получаем, что \ХА\> > \ВА\, а из (1) \ХА\ <С \ВА\. Противоречие.
Доказанное утверждение имеет относительную ценность: оно применимо, если известно, что на плоскости существуют тройки точек, из которых одна лежит между двумя другими. Доказать это из выписанных аксиом пока нельзя. Приведем пример.
Пусть Х\—дискретное пространство (пример В из § 1). «Прямой» назовем любую пару различных элементов — «точек» Х\.
Ясно, что множество внутренних точек произвольного отрезка пусто. В то же время в этой модели выполнены аксиомы принадлежности и расстояния.
4. 	Аксиомы порядка на прямой
A.III.1. Любая точка О, принадлежащая произвольной прямой р, разбивает6 множе-
• Термин «разбивает» означает, что множества, о которых идет речь в A. III. 1, образуют разбиение /?\{0}:
Р\{0) - PoUPq, РоПРо-0’ Ро^0> Ро¥^0-
ство всех отличных от О точек р на два непустых подмножества так, что:
а) для любых двух точек А и В, принадлежащих разным множествам, точка О лежит между А и В;
б) если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О.
А.II 1.1 постулирует существование разбиения прямой, удовлетворяющего требованиям
а) 	и б). Докажем единственность такого разбиения 7.
Надо доказать, что если {р'0% р"} и {<7о’ - разбиения множества р\{0], удов¬
летворяющие требованиям аксиомы, то либо
Р'о ~ У 'о’ а Ро ~ 4о’ либ° Po—4v а Р'о~УО'
Существует точка Л, принадлежащая р’0% Эта точка принадлежит q'Q или q"0 =
= Ро^ Ро)- ПУСТЬ A€qf0. Допустим, что Р'о^Я'о- Тогда существует такая точка В, отличная от Л, что В£р'0, B^q'Q (случай B£q!0, В р0 рассматривается аналогично).
Очевидно, что В принадлежит q"Q{q'0\^ q"Q = = Р\{0}). Из условий В £ р0у АвРо и А. III. 16 следует: [АВО] или [ВАО]. Из условий В £ q"0, A£q'0 и A.III.la вытекает соотношение \АОВ\. Пришли к противоречию с У.2.1. Значит, Ро^Яо* Очевидно, что
Ро- Последствие из A.III.1 —существование лучей и открытых лучей (определения см. в «Геометрии 6», с. 12). В дополнение к обозначениям, принятым в школе, лучи прямой /?, имеющие началом О, будем обозначать Ро и ро, а открытые лучи прямой р с тем же началом — р'0 и
A.III.2. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В и С принадлежат одной прямой.
В «Геометрии 6» (с. 12) с помощью A.III.1 доказано: «Из трех различных точек, лежащих на прямой, одна лежит между двумя другими». Следствие этого утверждения и A.III.2 — критерий принадлежности трех точек прямой:
Т.2.2.Три различные точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими.
Выделим следствия из этой теоремы.
У.2.2. Для любых трех точек А, В и С, не
7 Без доказательства этого предложения утверждение о том, что точка задает на прямой два луча, а следовательно, и два направления, поспешнс.
55


принадлежащих одной прямой, справедливо строгое неравенство треугольника: . \АС\с\АВ\ + \ВС\.
У.2.3. Отрезок АВ — подмножество прямой АВ.
У.2.4. Если С и D — различные точки отрезка АВ, то: 1) прямые CD и АВ совпадают; 2) отрезок CD — подмножество отрезка АВ.
Доказательство. 1) Так как отрезок АВ — подмножество (АВ), то С£ (АВ), (АВ). По А.1.2 (AB) = (CD).
2) Пусть р'А —открытый луч с началом Д, содержащий точку 5; С и D — внутренние точки отрезка АВ (случаи совпадения этих точек с А или В рассматриваются аналогично). Тогда верны соотношения [АСВ], [ADB]. По определению луча С £ р'А, D £ р'А. По А ЛИ. 1 либо [ACD], либо [ADC]. Допустим
для определенности, что точка С лежит меж¬
ду Л и Ь, т. е.:
| АС | +1 CD | = | AD |. (3)
Пусть X — произвольная точка отрезка CD. Тогда
\CX\ + \XD\ = [CD\. (4)
Из неравенства треугольника следует:
| АХ | ■< | АС | + | СХ |, \BX\^C\BD\ + \DX\. Сложив почленно эти неравенства, получим | АХ | + I ВХ\ | АС\ + \ СХ\ -\-\XD\ + \ BD |.
(5)
Из соотношений (3), (4), (5) имеем \АХ\ + \ВХ\<\АВ\.
Но вследствие неравенства треугольника \АХ\ + \ВХ]>\АВ\.
Значит, \АХ\ + \ХВ\ = \АВ\, т. е. X € [АВ]. Точка X — произвольная внутренняя точка отрезка CD, следовательно, [CD] cz [АВ].
Замечание 3. В «Геометрии 6» вместо А.III.2 в качестве аксиомы принято эквивалентное свойство: «Если три точки Л, В и С не принадлежат одной прямой, то \АС\ < <\АВ\ + \ВС\». Это предложение следует из АЛ II.2. (У.2.2). Из этого предложения следует A.III.3 (доказывается от противного).
A.III.3. Для любой неотрицательной величины а на заданном луче с началом О существует ровно одна точка А, расстояние от которой до О равно а: | О А | = а.
Из бесконечности множества скалярных величин сразу получаем с помощью АЛ II.3, что прямая и луч — бесконечны (заметим, что этот факт может быть установлен с несколько большими трудностями и без применения A.III.2 и A.II1.3). Аксиома АЛП.З имеет це¬
лый ряд других, более важных следствий; ее естественно назвать аксиомой непрерывности, которая в той или иной форме присутствует в любой системе аксиом евклидовой плоскости.
Т.2.3. Каждая прямая плоскости изометрич- на множеству8 действительных чисел R.
Доказательство. Пусть О — произвольная точка прямой р. Пользуясь АЛП.З, построим следующее отображение ср множества R на р:
1. Если л: > О, то ср (х) — такая точка А луча р'оу что |Ол41=л\
2. ^Если то 9 (У) — такая точка В луча р’о, что | О ВI = — у.
3. Образ нуля при отображении ср — точка О.
Легко понять, что ср — изометрия. Пусть,
например, л:>0, Тогда ср(х)—точка А
луча р'0, причем | О А | = х\ ср (у) — точка В луча р"0, причем | ОВ | = — у. Так как точки А и В принадлежат противоположным лучам с общим началом О, то по A. III. 1.
\АВ | =|ЛО| + |ЯО| = * + (-у)= l*-vl-
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Если задана изометрия прямой р на множество действительных чисел, будем говорить что на р задана система координат. Из доказательства Т.2,3 ясно, что любая точка X прямой р может быть принята за начало системы координат (точка, которой соответствует число куль); при этом точкам любого из двух открытых лучей с началом X можно отнести положительные числа.
Т.2.3 избавляет нас от необходимости всякий раз проводить формальные доказательства наглядно очевидных предложений о расположении точек на прямых, так как из этой теоремы мы узнаем, что числовая прямая и евклидова прямая устроены одинаково.
АЛПЛ — АЛП.З постулируют порядковые свойства прямых. Йз Т.2.3 следует, в частности, что на каждой прямой можно ввести отношение порядка: А > В, если хА > хв. О других свойствах плоскости из этих аксиом мы узнаём довольно мало. В частности, пока неизвестно, существует ли более одной прямой на плоскости. Доказать, что прямых более одной, из выписанных аксиом нельзя: множество действительных чисел, являющееся и прямой, и плоскостью,— соответствующая модель.
8 Напомним два обстоятельства, указанные выше:
1) 	мы условились считать расстояние числом; 2) при фиксированной единице измерения множество числовых значений всех неотрицательных величин есть множество всех неотрицательных чисел.
56


§ 3. Некоторые следствия из аксиомы порядка на плоскости
A.III.4. Любая прямая плоскости разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два непустых подмножества так, что:
а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р;
б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, прямой р не разделены.
Из A.III.4 следует существование полуплоскостей и открытых полуплоскостей (определения см. .в «Геометрии 6», с. 19). Аналогично единственности разбиения прямой доказывается единственность разбиения плоскости любой прямой на два непустых подмножества, удовлетворяющие требованиям а) и б) A.111.4. Договоримся обозначать открытые полуплоскости с границей р через а'р и а", а полуплоскости с той же границей через ар и а". Из АЛИ.4 получаем, что:
= U <*'; *^Па' = 0;
«;=£ 0; «;^0.
У.3.1. Плоскость содержит бесконечно много прямых.
Доказательство. Одна прямая существует (АЛ.З); обозначим ее р. Существует точка Ху не принадлежащая р (по АЛ 11.4 а \ р ¥= 0). Остается заметить, что если А и В — различные точки р, то прямые АХ и ВХ — различны. Так как на прямой точек бесконечно много, утверждение доказано.
С помощью АЛП.4 доказываются теорема о длине ломаной, Т.ЗЛ и Т.3.2 (доказательства см. в «Геометрии 6», с. 17, 19 и «Геометрии 8», с. 91).
Т.ЗЛ. Ломаная, соединяющая точки А и В, которые лежат в различных открытых полуплоскостях с общей границей р, пересекает р по меньшей мере в одной точке.
Т.3.2 (теорема Паша). Пусть А, В и С — точки, не принадлежащие одной прямой. Если прямая р имеет общую точку с одним из отрезков АВ, ВС или АС, то р пересекается и с другим из этих отрезков.
Предложение Т.3.2 в системе Гильберта принято в качестве аксиомы. Нетрудно проверить, что все гильбертовы аксиомы соединения и порядка на данный момент доказаны, и поэтому вполне законна ссылка на «Основания геометрии» (с. 409—419), где выводится «теорема Жордана для многоугольных
областей», которую здесь мы приводим в другой редакции.
Т.3.3. Множество точек плоскости, не принадлежащих простой замкнутой ломаной Р, разбивается на два непустых подмножества так, что:
а) две точки, принадлежащие одному мно- оюеству, можно соединить ломаной, не имеющей общих точек с Р;
б) две точки, лежащие в разных множествах, такой ломаной (или отрезком) соединить нельзя;
в) одно из этих множеств содержит хотя бы одну прямую, другое не содержит ни одной прямой.
Множество, содержащее прямые, называется внешней областью, ограниченной ломаной Р\ множество, не содержащее прямых, называется внутренней областью, ограниченной Р. С помощью понятия «внутренняя область, ограниченная простой замкнутой ломаной», как известно, определяется понятие «многоугольник». В данной статье достаточно определить треугольник. Для доказательства существования треугольников нет необходимости в Т.3.3. Пусть точки Л, В и С не принадлежат прямой. Треугольником ABC называется пересечение полуплоскостей а{АВ)ь о!{ВС),
<*(лс)» содержащих точки С, А и В соответственно. Пересечение открытых полуплоскостей а'АВ)9 а'(Вс) и а'.ас)~ внутренняя область треугольника ABC.
Т. 3. 4. Полуплоскости и открытые полуплоскости — выпуклые фигуры,
Доказательство. Пусть Л и В — точки открытой полуплоскости зу По определению открытой полуплоскости отрезок А В не содержит точек р. Допустим, что существует такая точка С этого отрезка, что а". Так как точки Л и С разделены прямой р, существует точка D прямой р, принадлежащая отрезку АС. Вследствие У.2.4 [АС] а \АВ\. Значит, D£p{\[AB]. Но точки А и В прямой р не разделены. Полученное противоречие показывает, что а'р — выпуклая фигура.
Полуплоскость а'р — объединение открытой полуплоскости а'р и прямой р. Вследствие доказанной выпуклости а'р и выпуклости прямой (У.2.3) остается показать, что если А£р, В£а'р% то [АВ\ао!р. Это легко доказывается от противного.
Из Т.3.4 вытекает, что треугольник и его внутренняя область — выпуклые фигуры.
У.3.2. Если начало О открытого луча q'Q принадлежит прямой р} то q0 либо
57


совпадает с р'0 или р"0, либо содержится в одной из открытых полуплоскостей с границей р.
Доказательство. Если существует точка А открытого луча q'Q, принадлежащая р, то очевидно, что р'0 = q'Q или р”0 = q'Q. Пусть 4оП/*===0- Возьмем произвольную точку В, принадлежащую q'0. Тогда либо В£ <х'р> либо В£ а". Для определенности считаем, что
Допустим, что существует точка С открытого луча q'Q, принадлежащая а". Точки В и С разделены прямой /?, и значит, q'0 содержит точку прямой р. Это противоречит допущению <7оП/> = 0.
В заключение параграфа докажем несколько предложений о кругах и окружностях.
У.3.3. Круги и окружности плоскости содержат бесконечно много точек.
Доказательство. Через любую точку О плоскости проходит бесконечно много прямых (докажите). На каждой из этих прямых имеются две точки X ц Y окружности радиуса г с центром О (A.III.3). Любая точка отрезка XY (их также бесконечно много) принадлежит кругу радиуса г с центром О.
У.3.4. Каждый круг (окружность) плоскости имеет единственный радиус и центр.
Доказательство. Пусть
{* : 10,;q < г,} = {X : 102Л </-2}.
Надо доказать: Ог = 02, гх — г2.
Допустим, что г,>-г2. На произвольной прямой, проходящей через Ои возьмем различные точки А и В, такие, что | ОхЛ | = = |01/?| = г1. Точки А и В принадлежат множеству {X : | ОхХ | < rj. Из условия следует, что А и В — точки фигуры {X:\Oo х\< <г2}. Значит, |02Л|<г2, [02/?|<г2. В силу А.Н.З|Л02| + | 02/?]> | Л£|, откуда 2г2>2г1.
Последнее неравенство противоречит допущению г\ > г2. Следовательно, гх = г2 = г.
Докажем теперь, что Ох — 02. Точка 02 не может находиться вне {АВ), так как неравенство треугольника вырождается в равенство лишь для трех точек, принадлежащих одной прямой, и значит, одновременное выполнение неравенств |02Л| ^ г и |02В| ^г в этом случае невозможно.
Остается заметить, что на прямой АВ имеется лишь одна точка, удаленная и от Л и от В на г. Это точка Ог.
При доказательстве существенное значение имели порядковые свойства плоскости. Это не случайно: в дискретном пространстве, как легко проверить, для любых двух точек 0{ и 02 множества {X : р(Оь X) ^ 1} и {X : р(02, X) ^2}
совпадают со всем пространством, и следовательно, центры и радиусы кругов в дискретном пространстве, в котором аксиомы порядка не имеют места, определяются неоднозначно.
У.3.5. 1) Фигуры {Х:\ОХ\<г} и
{X : | ОХ | > г) — открытые подмножества пло- скости. 2) Граница кр (О, г) —окр (О, г).
Доказательство. 1) Пусть 0\ — такая точка, что 10101 С г. Докажем, что круг с центром Ох радиуса (г—|OiO|)—подмножество кр(0, г).
Возьмем произвольную точку X круга с центром 01 радиуса г— fОхО |. Тогда \ОХ\<\ ООх | + |ОхХ [<| ООх| + г-\ООг\ - г. Значит, X £ кр (О, г).
Аналогично доказывается, что {X: |ОЯ| > > г} — открытое подмножество плоскости.
2) 	Пусть А £ окр (О, г). Рассмотрим круг произвольного радиуса гх с центром А. Точки луча АО, удаленные от А на расстояние, не превышающее и г и г1э принадлежат обоим I ругам. Точка луча О А, удаленная от О на
расстояние не принадлежит кр(0, г).
Утверждение доказано.
Замечание. Теорема о том, что «открытая полуплоскость» — открытое подмножество плоскости, также может быть доказана в этом параграфе (это же относится и к некоторым теоремам о перпендикулярных прямых). Однако такое доказательство носит существенно неэлементарный характер, требуя привлечения теорем о непрерывных функциях.
§ 4. Углы
В п. 9 «Геометрии 6» дается следующее определение: «Фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом». Предварительно разъясняется наглядный смысл понятия «часть плоскости, ограниченная двумя лучами». Предполагается, что может быть доказана теорема, из которой следует существование углов.
Т.4.1. Два различных луча ро и q'o с общим началом разбивают множество точек плоскости, не принадлежащих этим лучам, на два непустых подмножества Фх и Ф2 так, что:
а) любые две точки каждого из этих множеств можно соединить ломаной (или отрезком), не имеющей общих точек с ро и q'0;
б) любые две точки, принадлежащие разным множествам, такой ломаной (или отрезком) соединить нельзя•
58


Доказательство проведем в несколько этапов.
1) Если р'о и q'o — противоположные лучи одной прямой, то справедливость Т.4.1—очевидное следствие А.III.4: Фх и Ф2— открытые полуплоскости с границей р. Отметим, что в этом случае Фх и Ф2 — выпуклые фигуры. Далее рассматриваем лучи р'о и qo, не содержащиеся в одной прямой.
2) По У. 3.2 открытый луч р'0 (так же как и q'0) содержится в одной из открытых полуплоскостей с границей q (соответственно р). Пусть Р’0 С a;, q’0 с а'р, тогда р”0 С а£, q'Q (прямая р разделяет точки q'0 и q*0, а 17—точки Ро и рп0). Естественно предположить (рис. 2), что Ф] = а'р П <*', а Ф2 = a” U Покажем, что эти множества удовлетворяют требованиям а) и б) теоремы Т.4.1. (Докажите самостоятельно, что {Ф^ Ф2} — разбиение множества точек плоскости, не принадлежащих р'о и q'o.)
Рис. 2
3) Докажем справедливость а). Фигура Ф{ (пересечение открытых полуплоскостей) — выпуклая (применяем Т.3.4). Поэтому отрезок А]Ви соединяющий любые две точки Фь содержится в Ф\ (рис. 2). Если точки А2 и В2 лежат в одной из открытых полуплоскостей ар или а", то их также можно соединить отрезком, содержащимся в Ф2.
Пусть Л 6 а", но А(£ар; В£ар, но В ф а". Возьмем произвольную точку С открытого луча q“0. Ломаная АСВ соединяет точки Лив и целиком содержится в Ф2 (применяем Т. 3.4 и У. 3.2).
4) Докажем выполнимость требования б).
Пусть Л£Ф,, В £Ф2 (рис. 3). Рассмотрим
произвольную ломаную L = СХС2... С„+х, где С, = В, С„+1 = Л Так как Л £а'р П <*', В£<хр и а", концы ломаной разделены или пря¬
мой р, или q, или и той и другой прямой. Следовательно, L имеет по меньшей мере одну общую точку с р или q (Т. 3.1).
Допустим, что L не имеет общих точек с р'о и q'o, а пересекает р'о. Занумеруем звенья L : [С1С'2j — первое, [С2С3] — второе,..., \СпС„+1] — га-е звено.
Пусть k — наибольший из номеров звеньев, имеющих общую точку с р"0,, а М — наиболее удаленная от Ck точка этого звена, принадлежащая ро (может случиться, что звено [CkCk+i] — подмножество р). В силу выбора к и М получаем: ломаная Lx = MCk\\ ••• С„> i не имеет общих точек с р”0, кроме М. р> Точки Л и М разделены прямой q. Поэтому Lx имеет общую точку с q (Т.ЗЛ). Если Lx пересекает q в точке, принадлежащей q0, доказательство завершено. В противном случае аналогично находим ломаную Ц (Z.2 с Lx), концы которой — Л и некоторая точка N открытого луча q"0\ L2 пересекается с р. Так как L3czLx, a Lx не имеет общих точек с p"0l точка пересечения Z,2 с прямой р должна принадлежать лучу ро. Приходим к противоречию с предположением L П ро = 0 •
От противного легко доказывается единственность разбиения на две области парой различных лучей с общим началом множества точек плоскости, не принадлежащих этим лучам. Между областями Ф\ и Ф2 (сохраняем обозначения, введенные выше) есть важное отличие: если р'о и q'o не содержатся в одной прямой, то Фх — выпуклая фигура, а Ф2—нет.
У.4.1. Из двух областей, ограниченных лучами с общим началом, не содержащимися в прямой, только одна фигура выпукла.
Доказательство. Выпуклость Фх уже отмечалась выше. Покажем, что в Фз найдутся такие точки С и D, что [CD] ф Ф2.
Пусть A€p'0,B£q'0 (рис. 4). Выберем на луче АВ такую точку С, что \АС\^>\АВ\,
59


Рис. 4
а на луче В А — точку D так, что \BD\^>\AB\. Точки А и С разделены прямой q, а В и D— прямой р. Но А£а'д, В£ а' . Значит, Cg £)£а". Внутренние точки отрезка при¬
надлежат отрезку CD. Отрезок АВ (за исключением концов) — подмножество Фг. Следовательно, отрезок CD не является подмножеством Ф2, хотя концы его принадлежат этой фигуре.
Итак, каждый угол есть либо полуплоскость, либо пересечение, либо объединение полуплоскостей. Соответственно этому будем различать развернутые, выпуклые и невыпуклые углы. В тех случаях, когда это_ удобно, выпуклый угол со сторонами р'о и q0 будем обозначать /_p'q' или, если важно указать вершину, — p'Oq’.
Заметим, что за вершину развернутого угла может быть принята любая точка О его границы р (есл_и точка О принята за вершину, то лучи р0 и Ро — стороны этого угла).
У.4.2.. Если открытый луч с началом О содержит внутреннюю точку угла АО В, то каждая точка этого луча — внутренняя9 точка угла АО В.
Это предложение — очевидное следствие У.3.2 и Т.4.1.
Т.4.2. Луч с началом в вершине выпуклого угла Z_p'q', содержащийся в Z.p'q' и отличный от его сторон пересекает любой отрезок с концами на р' и qf в его внутренней точке.
Доказательство. Пусть А и В— концы данного отрезка, А £ р'0, В £q'0, 1'0 — данный луч (рис. 5). Возьмем произвольную точку С на р"0. По теореме Паша прямая / имеет общую точку с отрезком А В или ВС.
Но отрезок ВС с I общих точек не имеет ([£С]са" л«р, /рСа', a/рСа"), Следовательно, прямая I пересекает отрезок АВ. Открытый луч и фигура [Л/?]\{Л} лежат в разных открытых полуплоскостях с границей /?, зна- чит, ГоП[АВ]-0.
9 Напомним, что точки угла, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними, а точки, принадлежащие сторонам,—граничными точками этого угла.
Остается заметить, что так как V0 лежит внутри угла АОВ, точка пересечения Г0 с отрезком АВ отлична от А и В.
Т.4.3. Если выпуклые углы а и р имеют общую вершину, а стороны а содержатся в р, то угол а — подмножество угла р.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай: аир имеют общую сторону. Докажем, что Z~a'с'cz/La'Ь'( рис. 6, а).
/
/
/л
1 V
<У\сс
О
/ „ ■’'Л
^А.А1
и
Рис. 6
Пусть X — произвольная внутренняя точка /_а’сг. Все точки луча ОХ, кроме О, —внутренние точки /_а'с' (У.4.2). Так как по условию с’0 лежит внутри /_а'Ь\ луч с'0 пересекает \MN\ в некоторой точке Л", а луч ОХ пересекает \KN\ в точке L (Т.4.2). * Точка L — внутренняя точка /а'с'.
Так как L£\KN\, то [KL] — подмножество \MN], a L^/_a'b'. Следовательно, луч ОХ — подмножество В частности,
Х£/_ а'Ь'. Поскольку X — произвольная точ- ка /а'с', то /_а'с'с ^_а'Ь'.
Очевидно, что имеет место строгое включение. Например, внутренние точки отрезка МК не принадлежат точки М и L разде¬
лены прямой с, и поэтому М £ <*". Значит, но М^/_а'с'.
Доказательство в общем случае просто (рис. 6,6). Применяя дважды уже полученный результат, имеем: асу
7<=Р
60


§ 5. Общие свойства перемещений
1. 	В п. 24 «Геометрии 6» принято без доказательства следующее утверждение: «Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности, то окружности пересекаются в двух и только в двух точках».
Наличие не более двух таких точек сразу вытекает из следующей теоремы, которая окажет существенную помощь при исследовании группы перемещений 10.
Т.5.1. Пусть А и В — различные точки плоскости; г и s — положительные числа, удовлетворяющие неравенствам \АВ\ < г + s, \АВ\ > | г — s |. В заданной открытой полуплоскости с границей А В существует не более одной точки, удаленной от А на расстояние г, от В - на s.
Доказательство. Допустим, что кроме точки С в открытой полуплоскости ь[АВ) существует точка М, для которой | АС| — | АМ \ — г, | ВС \ = | ВМ | -■= 5 (рис. 7, а, б). Очевидно, что точка М не принадлежит лучам АС и ВС.
а) 61
Рис. 7
Рассмотрим другие возможности:
а) 	Пусть точка М принадлежит пересечению открытых полуплоскостей а'АВ)9 Р('ЛС), 1{во (рис. 7,а). По Т.4.2 луч AM пересекает отрезок СВ в его внутренней точке. Обозначим эту точку D. Имеем: {А, D, С} и {В, М, D} — тройки точек, не принадлежащих одной прямой, поэтому
| AD | < | АС | -{- | CD | и | ВМ | < j DM ] + I BD\.
Точка М лежит между А и D Поэтому эти неравенства можно переписать так:
| AM | + |DM | < | AC | + |CD |
10 Доказательство существования здесь мы не приводим, так как для этого необходимы явные ссылки на свойства непрерывных функций. Доказательство это довольно громоздко.
\BM\<\DM\ + \BD\.
Сложив почленно последние неравенства, получим:
| AM | -f | ВМ | < | АС | + \BD | -f | CD |.
Точка D лежит между В и С, поэтому
| AM | + | ВМ | < | АС | + | ВС | = г + 5.
Из последнего неравенства ясно, что одновременное выполнение равенств | AM | = г и \BM\ = s невозможно.
Точка Л1'у удовлетворяющая условиям теоремы, ве может принадлежать и пересечению открытых полуплоскостей а[АВ)> $1'АС) и т'^С) (рис. 7,а). Аналогично доказывается, что в этом случае
| AM' | + | BMf \>r + s.
б) 	Пусть точка М принадлежит области а<'лв)ПТ('к')ПР('ж.т Применяя Т.4.2, получим, что луч AM пересекает отрезок СВ в его внутренней точке D. Для троек точек {А, С, D} и {В, М, D] справедливо строгое неравенство треугольника:
\CD\ + \AD\>\AC\ = r,
| DM ( -f |£D|>|£Af | = s.
Складывая почленно эти неравенства и учитывая, что D — внутренняя точка отрезков AM и ВС, получим:
| CD |+| BD | -И AD | + j DM | > | AC | + | ВМ | - = r-\~s,
\BC\ + \AM\>r+ s.
По предположению | AM | = г, | ВС | =- «>. Полученное противоречие (г-f s>r-f-s) доказывает утверждение. Случай, когда М' принадлежит пересечению открытых полуплоскостей КаС)' 1{вс> (рис. 7, б), рассматриваемся аналогично.
Таким образом, если точка С, для которой \АС\ = г, |БС| = s, существует, то только одна.
2. 	Перед тем как перейти к доказательству теорем о перемещениях, уточним сказанное в § 1: если F — перемещение, то F отображает отрезок АВ на отрезок F(A)F(B)) прямую АВ на прямую F{A)F(В), полуплоскость с границей р на полуплоскость с границей F(р) и т. д.
Введем новое понятие. Точка X называется неподвижной точкой отображения F, если F(X) =Х.
Докажем теорему, позволяющую классифицировать перемещения по числу неподвижных точек.


Т.5.2. Множество неподвижных точек любого перемещения может быть: а) пустым множеством, б) точкой, в) прямой, г) плоскостью, Других возможностей нет.
Доказательство. Допустим, что неподвижные точки F существуют. Возможны такие случаи: 1) F имеет в точности одну неподвижную точку; 2) F имеет rlo меньШей мере две различные неподвижные точки А и В, причем не существует неподвижных точек F, не лежащих на прямой ЛВ; 3) существуют три неподвижные точки F\ не принадлежащие прямой.
Мы докажем Т.5.2, доказав, что в случае 2) все точкй (АВ) под действием F остаются на месте, а в случае 3) F = Е. В самом деле:
2) Образ прямой АВ при перемещении F — сама прямая АВ. Пусть С 6 (АВ), С ФАЛ СфВ. На прямой АВ существуют две точки, удаленные ОТ А На расстояние |ЛС|. Одна из них —точка С, другая принадлежит открытому лучу с началом А, не содержащему С. Так как А и В — неподвижные точки F, лучи с началом А под действием F переходят в себя. Значит, F(C) = C.
3) Если точки Л, В, С— неподвижные точки F, то, как только что доказано, все точки прямых АВ, АС и ВС — неподвижные точки F. Пусть М — произвольная точка плоскости, не принадлежащая этим прямым (рис. 8); К —
внутренняя точка отрезка АС. По теореме Паша прямая КМ имеет общую точку D либо с [АВ\, либо с [ВС]. К и D — различные неподвижные точки F. Следовательно, все точки прямой KD (в том числе и М) — неподвижные точки F. ТочкаМ — произвольная точка плоскости, поэтому F = Е.
Т.5*3. Пусть точка Л, В, С не принадлежат одной прямой; Fx и F2 — перемещения. Если Fx (Л) = F0 (Л), Fx (В) = F2 (В), Fx(C) = F2(C), то FX~F2.
Доказательство. Рассмотрим перемещение F'~1oFx. Из условия теоремы сразу следует, что F2loFx (А) = Л, F~loFx (В) =- В, F-'oF(C) = C. Вследствие Т.5.2 F~loFx = Е.
Как отмечалось в § 1, перемещения плоскости образуют группу. Поэтому можно оперировать с перемещениями примерно так же как с числами при умножении (роль чисел играют перемещения, умножения — композиция перемещений). Следует только поМнйть, Что свойство коммутативности для композиции перемещений, вообще говоря, не имеет места.
«Домножим» слева обе части рабенства F2x°Fx = Е на F2:
F2o(F-'oFx) = F2oE,
(F2oFT')oFx - f29 EoFx ~ f2.
Ft = F2, что и требовалось доказать.
3. 	Пусть Хх—дискретное пространство. Выберем в Х\ две пары различных точек — {Л, В} и {Л', В'}. Существует бесконечно много изометрических отображений Хх на себя, переводящих Л в Л', В в В' (каждое преобразование Хх, переводящее Л в Л', В в В', сохраняет расстояния). Из результатов этого параграфа следует, что, приняв аксиомы порядка (которые не верны в Xj), мы избавились от такой излишней подвижности.
В самом деле, пусть Л, В, Л', В' — произвольные точки плоскости, для которых | Л В |' = \А'В'\ > 0. Пусть С — точка, не лежащая на прямой АВ. Каждое перемещение, переводящее Л в А\ В в В', переводит С в точку, удаленную от Л'на |ЛС|,отВ'на |ВС|. По Т.5.1 существует не более двух точек Мх и М2, лежащих в разных открытых полуплоскостях с границей А'В\ для которых верно:
\А’МХ\-\А’М2\-\АС\%
\В'МХ\^\В'М2\^\ВС\>
Перемещение вполне определяется указанием трех точек, не лежащих на одной прямой, и их образов (Т.5.3). Поэтому существует не более двух перемещений, переводящих Л в Л', В в В': одно переводит С в Ми другое — в Af2.
Однако существование таких перемещений доказать нельзя: существует модель плоскости (которую лучше обсудить в специальной работе), удовлетворяющая аксиомам соединения, расстояния и порядка, но не обладающая максимальной подвижностью, возможной при соблюдении этих аксиом. Существование таких перемещений характерно лишь для плоскостей Евклида и Лобачевского. Необходима новая аксиома — аксиома существования указанных перемещений.
62


Технические средства обучения. Наглядные пособия
Ё. И. ПАКУЛОВА
(г. Краснодар)
КОДОСКОП НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
В книге «Кабинет математики»1 отмечен ряд особен- ностей кодоскопа: большая яркость изображения, возможность совмещать изображения, передвигать их в поле экрана и смещать относительно друг друга, удобство ведения записей, стоя лицом к классу, и т. д. В связи с этим в книге поставлен вопрос о преимуществах кодоскопа перед диапроектором и классной доской. Однако определенного ответа на этот^вопрос в указанной книге не содержится, а в другой литературе, насколько нам известно, он даже и не поставлен. Между тем в той же книге отмечается ряд особенностей использования классной доски, экранных пособий и настенных таблиц в учебном процессе. В своей работе по использованию кодоскопа мы попытались проанализировать возможность выполнения этим аппаратом функций классной доски и других средств обучения.
На классной доске можно делать записи и быстро их стирать. Однако при этом возникает ряд трудностей, связанных с малой площадью доски, с необходимостью иметь на ней некоторые заготовки, которые не должны исчезать при стирании других записей. Этих трудностей при работе с кодоскопом не возникает. Мы использовали кодоскоп вместо классной доски при опросе, объяснении нового материала и записи домашнего задания.
Много хлопот доставляет классная доска в работе с координатной плоскостью» Даже в лучшем случае, когда координатная плоскость процарапана на доске или нанесена на доску краской, ее возможности ограничены. Полуоси такой плоскости имеют по 9—10 делений, поэтому не всякий график можно удобно на ней расположить. Большие трудности возникают в тех классах, где используются и координатная, и логарифмические сетки. Если обе эти сетки нанести на доску, то большая ее часть будет занята (а делать обычные записи на сетке очень неудобно). В то же время координатная плоскость или логарифмическая и полулогарифмическая сетки, нанесенные на кодопозитив, обладают теми преимуществами, что могут мгновенно появляться на экране в любой момент урока и Смешаться, освобождая место другому материалу.
Второе преимущество кЬдоскопа перед классной доской проявляется при предъявлении учебной информации всему классу в готовом виде.
В самом деле, при проведении математического диктанта или самостоятельной работы обучающего характера учитель зачастую предлагает одному из учащихся писать на переносной доске или на классной доске за шторками с целью показать верное решение и правильное оформление задания. Это не всегда удобно и даже не гигиенично. Необходимые записи можно выполнять на маленькой пленке, затем проецировать их на экран с помощью кодоскопа, что гораздо проще и удобнее. Большие преимущества у кодопозитивов и в такой работе, как чтение графиков. Кодоскоп позволяет не толь¬
1 В. Г. Болтянский и др. Кабинет математики. М., «Педагогика>, 1972.
ко рассмотреть много чертежей, не затрачивая время на их вычерчивание (используя графики, изображенные йа пленке), но и быстро продемонстрировать смещение графиков относительно оси.
Проведенной нами работой выявлено также, что значительное удобство представляет кодоскоп в тех случаях, когда важен не процесс записи или построения, а работа с готовым изображением — устный счет, решение задач по готовому чертежу, чтение графиков, дополнительные построения на чертеже, анализ числовых зависимостей й т. д. Чтобы провести такую работу, учитель вынужден был готовить дома таблицы или терять время на уроке, делая необходимые записи на доске. Кодоскоп позволяет использовать большое количество пленок с готовыми заданиями.
Таким образом, кодоскоп может выполнять некоторые функции классной доски, оправдывая свое название классной оптической доски.
Кодопозитивы могут в некоторых случаях заменить собой рабочие таблицы. Так, на уроках геометрии ко- допозитивы заменяют большое количество таблиц с готовыми чертежами для устной и письменной работы.
Преимущества кодоскопа становятся еще более очевидными, если учитывать, что для изготовления настенной таблицы нужно иметь определенный навык чертежной и оформительской работы, а самодельный кодопозитив можно изготовить быстро, наложив пленку На рисунок в книге. Конечно, кодопозитивы никогда не смогут заменить такие постоянно действующие таблицы, как таблица квадратов и кубов чисел, греческий и латинский алфавит, таблицы с инструкциями по оформлению какой-либо работы. Такие таблицы должны постоянно висеть в кабинете математики. .Кодопозитивы не заменят и таблицы со справочным материалом — всякого рода формулами, значениями тригонометрических функций и Прочее. Такие таблицы должны висеть в кабинете в Течение всего времени изучения данной темы. Кодоскоп не дает возможности продемонстрировать несколько таблйЬ, одновременно. Однако этот недостаток можно до некоторой степени устранить увеличением линзы кодоскопа.
Кодоскоп позволяет заменить некоторые подвижные модели. Например, для демонстрации поворота можно приготовить два кодопозитива с одинаковыми чертежами, но выполненные разными цветами. Один — с пробивками для установочных штифтов и чертежом синего цвета. Другой — с чертежом зеленого цвета. На экран оба чертежа проецируем совмещенными. Затем, сделав иглой прокол обеих пленок в центре поворота, поворачиваем вторую пленку относительно этого^центра. Тогда синий чертеж остается на месте, а зеленый станет образом синего при данном повороте. Для демонстрации осевой симметрии достаточно вторую пленку обрезать по оси симметрии и приклеить вдоль этой оси к первой прозрачной липкой лентой. При демонстрации вторую пленку повернуть вокруг оси и наложить на линзу. Синий чертеж останется, а зеленый продемонстрирует его симметричное отображение. Наконец, кодоскопом можно пользоваться при обучении счету на логарифмической линейке. Для этого достаточно заготоврггь шкалы линейки на прозрачной пленке с двумя отдельными движками и подвижной визирной линией. Произвольное удаление кодоскопа от экрана позволит создать достаточное увеличение делений такой линейки, а использование масок из непрозрачной бумаги даст возможность акцентировать внимание учащихся на определенном месте линейки. !
Кодопозитивы обладают многими положительными качествами экранных пособий. Это и возможность мгновенной подачи на экран, легкость и быстрота перехода от кадра к кадру, простота управления процессом демонстрации, возможность использования «немых» кадров, любой темп работы, нормальное освещение для
63


работы всего класса над кадром. Отметим некоторые преимущества кодопозитивов перед диафильмами и диапозитивами. Первые можно совмещать и смещать относительно друг друга, склеивать в пособие. Кодоскоп обеспечивает лучшую освещенность экрана, чем прочие аппараты световой проекции, а новая конструкция ко- доскоиов предусматривает еще более мощные лампы и гораздо большее рабочее поле кодопозитивов.
Опыт нашей работы с кодоскопом показывает, что этот прибор в состоянии выполнить функции клагсной доски и статичных экранных пособий; демонстрация кодопозитивов может иногда заменить настенные таблицы и подвижные модели.
Учитывая все указанные преимущества кодоскопа, можно сделать вывод, что этот прибор в кабинете ма¬
тематики необходим. Он значительно упростит работу учителя и учащихся и сделает обучение более эффективным.
Однако и ученикам, и учителю в процессе работы с кодоскопом придется преодолеть своего рода психологический барьер. Он возникает от недостаточного навыка работы с аппаратом. Это и боязнь закрыть экран собою, и опасение того, что незначительные технические промахи пишущего на пленке в несколько раз увеличатся на экране, и укоренившаяся привычка всегда пользоваться доской. Этот психологический барьер можно преодолеть только в результате длительной работы с кодоскопом. Многие вопросы методики использования этого интересного аппарата еще подлежат изучению и анализу.
Л. Д. ПОЛЯНСКИЙ
(г. Куйбышев)
САМОДЕЛЬНЫЕ ДИАФИЛЬМЫ
Значительная роль в практике школьного преподавания принадлежит техническим средствам обучения.
Заслуживает внимания вопрос об использовании диафильмов и диапозитивов. В настоящее время школа испытывает нехватку их, особенно по темам новой программы, поэтому учителям приходится применять в работе самодельные диапозитивы и диафильмы.
О способе изготовления диапозитивов для эпидиаскопа и кодоскопа была напечатана статья В Н. Морань- кова «Рисованные диапозитивы» («Математика в школе», Ю72, № 5), в которой отмечается, что для диапроекторов, имеющих кадровое окно 24 X 36 мм или 18X24 мм, изготовление рисованных диапозитивов практически невозможно. Но именно такие диапроекторы имеются в школах в достаточном количестве, а кодо- скопы пока еще редкость.
При изготовлении самодельных диапозитивов и диафильмов для таких диапроекторов применяется другой способ — способ фотографирования. Имея элементарные навыки и сведения по фотографированию, можно с успехом изготовить диафильмы для проекторов «Свет», ЛЭ31И и др. Для этого нужно иметь переносную доску черного цвета (можно использовать лист фанеры) размером 1200X900 мм, что соответствует увеличенным размерам кадрового окна указанных выцге диапроек¬
торов. Можно использовать фотоаппарат любой марки, предварительно закрепив в нем перед пленкой рамку из черной бумаги с отверстием 24Х1& мм, чтобы кадр на пленке получался соответственно такого же размера (можно этого и не делать). На доске, расположенной горизонтально, мелом выполняется нужный для урока чертеж с соответствующими надписями. Затем чертеж фотографируется (фотоаппарат при этом должен находиться в вертикальном положении).
При решении задач иногда приходится делать дополнительные построения, которые во многих случаях подсказывают решение задачи. Поэтому второй кадр можно сделать с дополнительными построениями. Ненужный чертеж стирается влажной тряпкой, и процесс изготовления диафильма продолжается.
Безусловно, при разработке новых тем следует предварительно заготовить на листе бумаги все эскизы чертежей и надписи к ним в необходимой последовательности (проверка домашнего задания, изучение нового материала, повторение, решение задач и т. д.). Чтобы полностью использовать пленку, надо сразу подготовить материал (на 36 кадров) на несколько уроков.
После проявления пленки кадры негатива хорошо проецируются на экран, а также на доску светло-коричневого цвета в незатемаенном помещении.
К изготовлению таких диафильмов можно привлечь и учащихся, занимающихся в фотокружке.
Затрата времени на изготовление таким способом диафильмов вполне окупается: его применение создает экономию времени на уроке, а также является хорошим средством привлечения внимания учащихся.
Проблемы й суждения
Л. И. ЧАШЕЧНИКОЗА
(Кировоград)
ЕЩЕ РАЗ О РАВЕНСТВЕ И КОНГРУЭНТНОСТИ ФИГУР
В своем письме в редакцию Н. Я. Виленкин1 возражает против использования в школьном курсе геометрии термина «конгруэнтные фигуры». Рассмотрим, на чем основаны возражения Н. Я. Виленкина.
1 Н. Я. Виленкин. Равенство или конгруэнтность? «Математика в школе», 1972, № 6.
64
Н. 	Я- Виленкин считает, что использование термина «равны» только для совпадающих фигур противоречит употреблению слова «равенство» в русском языке и в математике. Ссылаясь на «Словарь русского языка» С. И. Ожегова (М., «Советская энциклопедия», 1964), автор письма указывает, что «слово «равенство» разъяснено как полное сходство, но не как тождественное совпадение».
Совершенно очевидно, что не может существовать двух вещей или двух явлений, которые бы имели полное сходство, так как любые две вещи, любые два явления обязательно имеют какое-нибудь различие. Поэтому имеет смысл говорить только о «полном сходстве» вещи самой с собой, а следовательно, утверждение Н. Я. Виленкина «равенство» означает «такой же», но не «тот же» — под равенством двух объектов понимают их эквивалентность по некоторому свойству (равный вес, равная длина и т. д.)» является необоснованным. Таким образом, равенство элементов следует пони¬


мать в смысле «тот же», а равенство множеств — в
смысле «состоят из тех же элементов».
В тех случаях, когда рассматривается эквивалентность ло некоторому свойству, следует говорить не о равенстве, а об одинаковости, т. е два объекта одинаковы в том смысле, что они обладают одним и тем же свойством. Н. Я. Виленкин не делает различия между понятиями равенства и эквивалентности (одинаковости) по некоторому свойству. Следуя Н. Я. Виленкину, можно считать равными любые два объекта, так как любые два объекта имеют хотя бы то общее свойство, что каждый из них является элементом некоторого множества.
В математике понятие равенства всегда понимается в смысле «тот же» или «состоит из тех же элементов». В разговорной речи слово «равны» нередко используется в смысле «одинаковы по некоторому свойству». Например, мы говорим о равенстве всех граждан Советского Союза не в смысле тождественности, а в том смысле, что все граждане СССР имеют одинаковые права и обязанности.
В учебной математической литературе также часто не различают понятия равенства и одинаковости, особенно в тех случаях, когда рассматривается числовая функция, заданная на некоторых объектах или множествах. При равных значениях числовой функции на двух объектах или множествах нередко говорят о равенстве самих объектов или множеств. Так, например, при равенстве длин отрезков, числовых значений выражений, объемов или весов тел часто говорят соответственно о равенстве отрезков, выражений, тел. Однако практика неправильного использования термина «равны» не «может служить основанием для того, чтобы в дальнейшем продолжать неправильно использовать этот термин.
Необоснованным является и утверждение, что введение термина «конгруэнтны» может привести к внутренним противоречиям. Равносторонний треугольник определяется не через конгруэнтность его сторон, а через равенство их длин.
Понятие конгруэнтности несколько шире понятия равенства фигур, которое рассматривалось в старых учебниках геометрии.
Мы можем говорить о конгруэнтности двух точек, двух пар точек, ... двух лучей, прямых, полос, но не можем говорить о равенстве этих фигур в старом понимании равенства фигур.
Как отмечал А. Н. Колмогоров2 и как показал опыт преподавания геометрии в шестых классах по новым программам, серьезным аргументом в письме Н. Я. Виленкина является появление трудностей для учителей и учащихся в связи с необходимостью использовать различную терминологию в различных классах. Однако эти трудности могут быть устранены путем отказа от использования в I—V классах термина «равны» для наложимых фигур.
В I классе тему «Равны, длиннее, короче» можно заменить темой «Одинаковые, длиннее, короче». При сравнении отрезков путем наложения можно использовать термины «отрезки имеют одинаковую дл^яу», «первый отрезок длнннее (короче) второго». После изучения темы «Сантиметр» отрезки сравниваются путем измерения их длин. При этом следует пользоваться терминами «отрезки имеют равные длины», «первый отрезок длиннее (короче) второго на ... см».
Так как учащиеся I класса еще не знакомы с понятием величины угла, то при введении понятия прямого угла можно использовать термин «одинаковые углы»,
2 А. Н. Колмогоров. По поводу письма Н. Я. Виленкина. «Математика в школе», 1972, № 6.
3 Математика в школ» № 5 Ш4 г.
понимая одинаковость в смысле наложимости. Квадрат следует определять как прямоугольник, все стороны которого имеют равные длины.
Во II классе необходимо согласовать обозначение отрезков с тем обозначением, которое вводится в курсе геометрии VI класса, т. е. отрезок с концами в точках А и В обозначать символом [АВ]. Здесь же следует ввести обозначение \АВ\ для длины отрезка АВ и рассмотреть несколько упражнений для выяснения различия между понятиями «отрезок» и «длина отрезка». При сравнении отрезков уже можно пользоваться записями: \АВ\ = |CD|; \АВ\ > \CD\; \АВ\ С \CD\.
При изучении темы «Острый и тупой углы» еще не следует вводить понятие величины угла, при сравнении углов следует использовать термины «углы одинаковые», «первый угол больше (меньше) второго».
Определения разностороннего, равнобедренного и равностороннего треугольников нужно сформулировать в следующем виде:
Если все стороны треугольника имеют разные длины, то треугольник называется разносторонним.
Если две стороны треугольника имеют равные длины, то треугольник называется равнобедренным.
Если все стороны треугольника имеют равные длины, то треугольник называется равносторонним.
При рассмотрении понятия «доля» во II—IV классах вместо термина «равные части» нужно использовать термин «одинаковые части». Аналогично в III классе при вычислении площадей вместо «равные квадраты» следует говорить «одинаковые квадраты», а при изучении темы «Шкалы» (в IV классе) — о делении отрезка не на равные, а на одинаковые части.
В IV классе перед определением прямого угла целесообразно рассмотреть сложение углов. Если некоторый угол представлен в виде суммы двух одинаковых углов, то каждый из меньших углов называется половиной большего угла. После этого прямой угол определяется как половина развернутого угла.
Перед введением градусного измерения угла следует рассмотреть основные свойства длины отрезка. Необходимо подчеркнуть, что при измерении отрезков каждом^ отрезку ставится в соответствие некоторое число, которое называется длиной отрезка. Для измерения отрезков выбирается единичный отрезок, т. е. отрезок, которому ставится в соответствие число 1. Каждая единица измерения имеет свое название (сантиметр, метр, и т. д.). Наложимые отрезки имеют равные длины. Если отрезок является суммой двух отрезков, то его длина равна сумме длин составляющих отрезков.
Теперь можно поставить вопрос об измерении величины угла. Замечаем, что (так же как и при измерении длин отрезков) число, выражающее величину угла, зависит от выбора единичного угла. Если прямой угол разбить на 90 одинаковых углов и взять за единицу измерения один из полученных углов, то полученная единица измерения называется градусом. Следовательно, величина прямого угла равна 90°, а величина развернутого угла —180°. Вместе с введением градусного измерения углов следует ввести и обозначение величины угла. Особое внимание нужно уделить выяснению различия между понятиями «угол» и «величина утла».
Тему «Равенство фигур» следует заменить темой «Одинаковые фигуры». При изучении темы «Одинаковые фигуры» полезно продемонстрировать классу модели мало отличающихся друг от друга фигур, изготовленных из прозрачного материала или окрашенных в различные цвета. Затем можно попросить учащихся определить, являются ли эти фигуры одинаковыми. При обсуждении ответов учащиеся сравнивают модели путем наложения и затем с помощью учителя делают вывод, что одинаковыми являются те и только те фигуры, которые при наложении совпадают. Далее замечается, что одинаковые, фигуры имеют равные длины соответствен-
65


ных отрезков и равные величины соответственных углов, а поэтому являются одинаковыми по размерам. Дается определение фигур, одинаковых по размерам.
Две фигуры называются одинаковыми по размерам, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.
Затем необходимо указать, что фигуры могут быть одинаковыми и по площади. Одинаковые по размерам фигуры также являются одинаковыми по площади. Обратное неверно. Последнее утверждение иллюстрируется примерами.
При изучении темы «Измерение площадей земельных участков. Масштаб» следует ввести понятие одинаковости фигур по форме. Необходимо заметить, что соответственные углы одинаковых по форме фигур имеют равные величины.
В V классе при изучении геометрических построений нужно сформировать у учащихся убеждение, что всякую геометрическую фигуру можно рассматривать как точечное множество. Для этого в первую очередь следует определить окружность и отрезок как точечные множе¬
ства, а затем и любую фигуру рассматривать как точечное множество.
Пользуясь языком теории множеств, необходимо убедить учащихся в том, что две наложимые фигуры нельзя считать равными, так как они не состоят из одних и тех же точек, а поэтому необходимо ввести какой-то термин для наложимых фигур. Понятие одинаковости является непригодным, так как в каждом случае нужно указывать, в каком смысле фигуры одинаковы. После этого вводится определение конгруэнтности фигур через отображение одной фигуры на другую.
В VI классе конгруэнтность фигур уже следует определить через перемещение, т. е. определение конгруэнтности фигур нужно дать в виде:
Фигура F\ называется конгруэнтной фигуре F2, если существует перемещение, при котором фигура Fj отображается на фигуру F2.
Нам представляется, что приведенные рекомендации позволят значительно уменьшить трудности, которые возникли у учащихся и у учителей в связи с введением термина «конгруэнтные фигуры» в курс геометрии VI класса.
Внеклассная работа
Т. Л. ШИРЯЕВА
(г. Свердловск)
МАТЕРИАЛЫ ПО ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ (К знаменательным датам)
Сообщения о математике и математиках имеют немалое воспитательное значение. Они способствуют расширению умственного кругозора учащихся, пробуждают их интерес к математике, помогают ощутить эту науку как развивающуюся и сегодня, острее почувствовать связь современной математики с жизнью. Такие сообщения воспитывают чувство патриотизма и интернационализма, когда речь идет об успехах математиков во всех республиках Советского Союза и связях советских и зарубежных ученых.
Ниже приведены темы сообщений о математике и математиках, которые можно подготовить к празднованию одной из знаменательных дат.
ГОДОВЩИНА ОКТЯБРЯ
Общие сведения о достижениях советской математики.
Математики — Герои Социалистического Труда.
Математики — лауреаты Государственных премий.
ДЕНЬ КОНСТИТУЦИИ СССР
Республиканские академии наук, республиканские математические школы и их достижения.
ДЕНЬ СОВЕТСКОЙ АРМИИ, ПРАЗДНИК ПОБЕДЫ
О роли математики в обороне страны.
Математики-воины.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЖЕНСКИЙ ДЕНЬ
Женщины-м атем атики.
ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ В. Я ЛЕНИНА
Математика в семье Ульяновых.
Математики — лауреаты Ленинской премии.
1 МАЯ
Зарубежные математики.
Связь советских математиков с математиками других стран.
Сообщения о международных конгрессах, съездах и конференциях и участии в них советских математиков.
Укажем теперь, что может сделать преподаватель математики вместе с членами математического кружка, например, к Дню Конституции.
Подготовку к этому празднику можно организовать следующим образом.
Несколько классов получают задание изучить вопрос: математика в одной (или нескольких) из республик Советского Союза. (Ответственность за эту работу несут члены математического кружка.)
Ко Дню Конституции можно сделать стенды: «Развитие математики на Украине», «Развитие математики в Узбекистане» и т. д., на каждом стенде поместить фотографию здания республиканской Академии наук с кратким сообщением о ней, а также здания университета или математического института. Здесь можно кратко написать о математиках — членах данной академии и поместить их портреты.
Работу разных классов целесообразно объединить на математическом вечере, посвященном Дню Советской Конституции. На вечере первым докладом может быть доклад об Академии наук СССР и ее роли в послеоктябрьский период становления более молодых республиканских академий (докладчики — учащиеся старших классов).
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ДОКЛАДОВ АН СССР
БСЭ 1, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
1 БСЭ — Большая советская энциклопедия.


ИОМ2, т. 3—4. Км 1968—1970.
М. В. Келдыш. Великая Октябрьская социалистическая революция и научный прогресс. «Вестник АН СССР», 1967, № И.
Я. Н. Боголюбов, С. Н. Мергелян. Советская математическая школа. М., «Знание», 1967,
МвШ 3, 1974, № 2.
«Квант», 1974, № 5.
Президент АН СССР Келдыш Мстислав Всеволодович
БСЭ, изд. 2-е, т. 20; изд. 3-е, т. 12.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
УМН4, 1955, т. 10, вып. 2 (64); 1971, т. 26, вып. 4 (160). МвШ, 1961, № 4; 1971, № 2.
«Природа», 1961, № 6; 1971, № 2.
«Наука и жизнь», 1971, № 6.
«Огонек», 1971, №6.
Вице-президент АН СССР Лаврентьев Михаил Алексеевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 24; изд. 3-е, т. 14.
ИОМ, т. 3—4, К., 1968—1970.
УМН, 1951, т. 2, вып. 1(41); 1961 т. 16, вып. 4(100); 1970, т. 25, вып. 6(156).
МвШ, 1961, № 1.
«Огонек», 1965, № 4.
«Наука и жизнь», 1970, № И.
Действительные члены Академии наук, работавшие в первые годы Советской власти
Вице-президент Академии наук с 1919 по 1926 г., первый директор Математического института Стеклов Владимир Андреевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 40.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
УМН, 1946, т. 1, вып. 3—4 (13—14).
Памяти Стеклова. Сборник статей. Л., Изд-во АН СССР, 1928.
Люди русской науки. Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники, [т. 1]. М., Физматгиз, 1961.
В. С. Владимиров, И. И. Маркуш. Академик В. А. Стеклов. М., «Знание», 1973.
МвШ, 1949, No 1; 1964, № 1, 2.
Марков Андрей Андреевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 26; изд. 3-е, т. 15.
ИОМ, т. 2. К., 1967.
А. 	А. Марков. Избранные труды. ГИмеется биография, написанная А. А. Марковым-сыном^]. М., Изд-во АН СССР, 1951.
Люди русской науки, [т. 1]. М., 1961.
МвШ, 1949, № 1; 1952, № 5; 1962, № 3.
И. Г. Зенкевич. Не интегралом единым. Из записной
книжки преподавателя. Тула, Приок. кн. изд-во, 1971.
Ляпунов Александр Михайлович
БСЭ, изд. 2-е, т. 25.
ИОМ, т. 2. К., 1967.
Люди русской науки, [т. 1]. М., 1961.
Б. В. Гнеденко. Очерки по истории математики в России. М., Гостехиздат, 1946.
2 ИОМ — История отечественной математики. В 4-х т., К., «Наукова думка», 1967—1971.
3 МвШ — ж. «Математика в школе».
4 УМН — ж. «Успехи математических наук».
3*
В. /7. Цесевич, А. Шульберг. Академик Александр Михайлович Ляпунов. Одесса, Обл. изд-во, 1951. МвШ, 1949, № 1; 1962, № 2.
И. Г. Зенкевич. Не интегралом единым. Из записной книжки преподавателя. Тула, Приокск. кн. изд-во; 1971.
В. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск, «Вышэйшая школа», 1966.
Директор Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР Виноградов Иван Матвеевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 8; изд. 3-е, т. 5.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
УМН, 1951, т. 6, вып. 5(45); 1962, т. 17, вып. 2(104); 1971, т. 26, вып. 6(162).
Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. 64. Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову и его семидесятилетию. М., Изд-во АН СССР, 1961.
МвШ, 1953, № 5; 1961, № 5; 1966, № 4; 1971, № 6.
Александров Павел Сергеевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 2; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. К-, 1968.
УМН, 1966, т. 21, вып. 4.
МвШ, 1966, № 3; 1969, № 3; 1971, № 2.
Александров Александр Данилович
БСЭ, изд. 2-е, т. 2; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
УМН, 1962, т. 17, вып. 6(108).
«Вестник Ленинградского университета», сер. «Математики, механики и астрономии», 1963, вып. 1, № 1. МвШ, 1962, № 3.
Бернштейн Сергей Натанович
БСЭ, изд. 2-е, т. 5; изд. 3-е, т. 3.
ИОМ, т. 4, кн. 1. К., 1968.
УМН, 1950, т. 5, вып. 3(37); 1951, т. 6, вып. 1(41); 1961, т. 16, вып. 2(98); 1969, т. 24, вып. 3(147).
Н. 	И. Ахиезер. Академик С. Н. Бернштейн и его работы по конструктивной теории функций. Харьков, 1955. МвШ, 1965, No 2; 1969, № 1.
Боголюбов Николай Николаевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 5; изд. 3-е, т. 3.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
Николай Николаевич Боголюбов. М., Изд-во АН СССР, 1959.
МвШ, 1969, No 4.
«Огонек», 1969, № 32.
Векуа Илья Несторович
БСЭ, изд. 2-е, т. 7; изд. 3-е, т. 4.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
УМН, 1950, т. 5, вып. 3(37); 1957, т. 12, вып. 4(?6); 1967, т. 22, вып. 5(137).
МвШ, 1964, № 4.
А. 	В. Бицадзе. Илья Несторович Векуа. Тбилиси, «Мецниереба», 1967.
«Природа», 1963, № 10.
Владимиров Ваеилий Сергеевич
БСЭ, изд. 3-е, т. 5.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
Глушков Виктор Михайлович
БСЭ, изд. 3-е, т. 6.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
МвШ, 1973, N9 3.
«Наука и техника», 1964, JSTs 5.
67


Граве Дмитрий Александрович
Мальцев Анатолий Иванович
БСЭ, изд. 2-е, т. 12; изд. 3-е, т. 7.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
Сборник, посвященный памяти академика Д. А. Граве. М.— Л., Гостехиздат, 1940.
В. А. Добровольский. Д. А. Граве. М., «Наука», 1968. МвШ, 19-10, № 3; 1952, № 1; 1963, Пя 5.
Канторович Леонид Витальевич
БСЭ, изд. 3-е, т. 11.
НОМ, т. 3-4. К., 1968—1970.
УМН, 1962, т. 18, вып. 4; 1972, т. 27, вып. 3.
«Сибирский математический журнал», 1962, т. 3, № 1.
Колмогоров Андрей Николаевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 22; изд. 3-е, т. 12.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
УМН, 1953, т. 8, вып. 3(55); 1963, т. 18, вып. 5(113).
МвШ, 1963, № 2; 1965, № 5; 1966, № 1; 1973, № 2.
«Огонек», 1963, N° 48.
И. Г. Зенкевич. Не интегралом единым. Тула, 1971. В. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск, 1966.
Красовский Николай Николаевич
БСЭ, изд. 3-е, т. 13.
ИОМ, т. 4, кн. 3—2. К., 1970.
МвШ, 1974, № 4.
Крылов Алексей Николаевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 23; изд. 3-е, т. 13.
ИОМ, т. 2, К., 1967.
УМН, 1946, т. 1, вып. 1(11); вып. 3—4(13—14). Люди русской науки, [т. 1]. М., 1961.
A. И. Крылов. Мои воспоминания. М., Изд-во АН СССР, 1963.
Памяти Алексея Николаевича Крылова. Сборник статей. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1958.
МвШ, 1949, № 1; 1956, N* 1; 1963, № 4.
И, Г. Зенкевич. Не интегралом единым. Тула, 1971. К. А. Малыгин. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1958.
B. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск, 1966.
Крылов Николай Митрофанович
БСЭ, изд. 2-е, т. 23; изд. 3-е, т. 13,
ИОМ, т. 2. К., 1967.
УМН, 1950, т. 5, вып. 1(35).
Биографический словарь деятелей естествознания и техники. М., 1958.
О. 	В. Исакова. Николай Митрофанович Крылов. М., Изд-во Всесоюзной кн. палаты, 1945,
МвШ, 1969, Кя 5.
Линник Юрий Владимирович
БСЭ, изд. 2-е, т. 25; изд. 3-е, т. 14.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
УМН, 1965, т. 20, вып. 2; 1973, т. 28, вып. 2.
Лузин Николай Николаевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 25; изд. 3-е, т. 15.
ИОМ, т. 2. К., 1967.
Николай Николаевич Лузин fBcTynHT. статья
Д. Е. Меньшова и П. С. Новикова]. М.— Л„ Изд-во АН СССР, 1948.
Люди русской науки, [т. 1]. М., 1961.
УМН, 1950, т. 4, вып. 4; 1953, т. 8, вып. 2; 1967, т. 22, вып. 4.
МвШ, 1950, Ня 3; 1963. N° 6; 1965. № 3.
В. Д. Чиаяков. Рассказы о математиках. Минск,
1966,
БСЭ, изд. 2-е, т. 26; изд. 3-е, т. 15.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
УМН, 1959, т. 14, вып. 6(90); 1968, т. 23, вып. 3(141). «Сибирский математический журнал», 1967, т. 8, № 4. МвШ, 1964, № 6.
Президент АН ГрузССР Мусхелишвили Николай Иванович
БСЭ, изд. 2-е, т. 28.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
И. Н. Векуа. Академик Николай Иванович Мусхелишвили. Новосибирск, Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1961.
Николай Иванович Мусхелишвили. М., «Наука», 1967.
УМН, 1951, т. 5, вып. 2(42); 1961, т, 16, вып. 2(98); 1972, т. 27, вып. 4(166).
МвШ, 1961, № 4.
«Природа», 1973, № 3.
Никольский Сергей Михайлович
ИОМ, т. 3—4. к., 1968—1970.
УМН, 1965, т. 20, вып. 5.
Новиков Петр Сергеевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 30.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
УМН, 1952, т. 7, вып. 2(48); 1971, т. 26, вып. 5(161)
МвШ, 1958, № 3; 1961, № 6; 1972, Кя 1.
«Наука и жизнь», 1957, № 8.
«Природа», 1957, № 8.
В. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск, 1966.
Петровский Иван Георгиевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 32.
Биографический словарь деятелей естествознания и техники, т. 2. М., 1959.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970.
УМН, 1951, т. 6, вып. 3(43); 1961, т. 16, вып. 3(99);
1971, т. 26, вып. 2(158).
МвШ, 1961, № 3; 1973, N2 4.
«Огонек», 1965, № 22; 1971, № 4.
Понтрягин Лев Семенович
БСЭ, изд. 2-е, т. 34.
ИОМ, т. 3—4. К., 1968—1970,
УМН, 1968, т. 23, вып. 6.
МвШ, 1946, № 1; 1963, № 3.
«Квант», 1971, № 3.
«Техника — молодежи», 1950, № 3.
«Культура и жизнь», 1963, № I.
«Семья и школа», 1949, Mb 7.
В. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск,
1966.
Прохоров Юрий Васильевич
ИОМ, т. 4. К., 1970.
Смирнов Владимир Иванович
БСЭ, изд. 2-е, т. 39.
ИОМ, т. 4. К., 1970.
УМН, 1947, т. 2, вып. 6; 1957, т. 12, вып. 6; 1%8,
т. 23, вып. 4.
«Вестник Ленинградского университета», 1967, № 7.
Соболев Сергей Львович
БСЭ, изд. 2-е, т. 39.
ИОМ т 3—4. К.. 1968—1970.
УМН, 1959, т. 14, вып. 3(87); 1968, т. 23, вып. 5(143).
68


«Сибирский математический журнал», 1968, № 5.
МвШ, 1963, Но 5.
В. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск,
1966.
Шмидт Отто Юльевич
БСЭ, изд. 2-е, т. 48.
ИОМ, т. 3. К., 1968.
УМН, 1951, т. 6, вып. 5(45); 1956, т. И, вып. 6(72). Отто Юльевич Шмидт. Жизнь и деятельность. М., Изд-во АН СССР, 1959.
Люди русской науки, [т. I]. М., 1961.
МвШ, 1966, № 6.
В. Д. Чистяков. Рассказы о математиках. Минск, 1966. «Природа», 1956, № 10; 1957, № 9; 1961, № 10.
Яненко Николай Николаевич
* ИОМ, т. 3. к., 1968.
Математика в СССР за 40 лет, т. 1—2. М., 1959. Математика в СССР, 1958—1967, т. 1—2. М., 1969. МвШ, 1971, № 2.
ЛИТЕРАТУРА О РЕСПУБЛИКАНСКИХ АКАДЕМИЯХ АН УССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. К-, 1969.
История Украинской ССР. В 2-х т. К-, «Наукова думка», 1969.
В. 	В. Немошкаленко и др. Академия наук Украинской ССР. Км «Наукова думка», 1969.
АН БССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. К-, 1968.
История Белорусской ССР. В 2-х т. Минск, Изд-во АН БССР, 1961. ‘
«Вопросы естествознания и техники», 1962, вып. 13.
АН УзССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
История Узбекской ССР, т. 3—4. Ташкент, «Фан»,
1967.
X. М. Абдуллаев. 40 лет советской науки в Узбекистане. Ташкент, Изд-во АН УзССР, 1958.
«Знание — сила», 1972, № 12.
АН КазССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968; т. 4, кн. 1, 1970.
История Казахской ССР. Алма-Ата, Изд-во АН КазССР, 1963.
Октябрь и наука Казахстана. [Сб. статей]. Алма- Ата, «Наука», 1967.
АН ГрузССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
Сорок лет Советской Грузии (1921 —1961). Краткий очерк. Тбилиси, «Сабчота Сакартвело», 1961.
Н. 	И. Мусхелишвили. Наука в Советской Грузии. Краткий обзор. Тбилиси, Изд-во АН ГрузССР, 1961. «Вопросы естествознания и техники», 1962, вып. 13.
АН АзССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
История Азербайджана. В 3-х т. Баку, Изд-во АН АзССР, 1963.
3. 	М. Касумов и др. Академия наук Азербайджанской ССР. 20 лет. Баку, Изд-во АН АзССР, 1960.
АН ЛнтССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. К., 1968; т. 4, кн. 1, 1970.
Р. Ю. Жюгжда, А. С. Смирнов. Литовская ССР. М., Госполитиздат, 1957.
^ Ю. Ю. Мат у лис. Академия наук Литовской ССР. XXV, Вильнюс, «Минтис», 1965.
АН МолдССР
БСЭ, изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
УМН, 1965, т. 20, вып. 2(122).
АН ЛатССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968; т. 4, кн. 1, 1970.
Академия наук ЛатССР. Рига. 1946—1970. Рига, «Зи- натне», 1971.
«Природа», 1957, № 11; 1959, № 3.
АН КиргССР
БСЭ, изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
История Киргизской ССР. Фрунзе, «Кыргызстан»,
1968.
«Вопросы истории естествознания и техники», 1964, вып. 17.
АН ТаджССР
БСЭ, изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
История Таджикской ССР. Душанбе, «Ирфон», 1965.
3. 	111. Раджабов. Наука Советского Таджикистана. Душанбе, «Дониш», 1968.
АН АрмССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1968.
Академия наук Армянской ССР за 25 лет. [Сб. статей]. Ереван, Изд-во АН АрмССР, 1968.
АН ТуркмССР
БСЭ, изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. К., 1969.
А. 	М. Ахундов, А. А. Каррыев. Из истории развития математики в Советском Туркменистане. Ашхабад, 1964.
Академия наук Туркменской ССР (1951—1966). Ашхабад, «Ылым», 1967.
АН ЭССР
БСЭ, изд. 2-е, т. 1; изд. 3-е, т. 1.
ИОМ, т. 3. Км 1969.
Десять лет Академии наук Эстонской ССР. 1946— 1956. Таллин, 1956.
АН ЭССР в годы 1956—1964. Таллин, 1965.
Дополнительные сведения о членах республиканских академий наук и о заслуженных деятелях в области математики и математического образования учитель может найти в дополнительной литературе, в частности в республиканских изданиях.
69


К. А. НЕЧИПОРЕНКО
(г. Луцк)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ АРИФМЕТИКИ НА КРУЖКОВЫХ ЗАНЯТИЯХ В IV—VI КЛАССАХ
Во внеклассной работе с учащимися IV—VI классов сложились определенные традиции. Одна из них — занимательность занятий, как по форме, так и по содержанию.
В связи с перестройкой математического образования кружковая работа не утрачивает своего значения, а в IV—VI классах ее роль даже возрастает. Обеспечивая воспитание интереса учащихся к математике и развитие их математических способностей, кружковые занятия в этих классах могут также стать подготовительными к факультативным.
Повышение роли кружковых занятий вносит новые элементы в их организацию и содержание; кружки должны работать на более высоком теоретическом уровне.
Анализируя содержание тем, включенных в программу факультативного курса для VII—VIII классов, по каждой из них можно отобрать доступные для учеников IV—VI классов вопросы, которые хорошо иллюстрируются на конкретном материале. Эти вопросы и послужат основой программы кружковых занятий.
Приводим программу кружковых занятий (вразбивку на занятия), по которой на протяжении нескольких лет проводилась работа с учениками IV—VI классов средних школ № 8 и 9 г. Луцка. При составлении программы учтено содержание новых учебников по математике и то, что темы тесно примыкают к арифметическому материалу, изучаемому в IV и V классах. Предполагается, что основной состав кружка, организованного в IV классе, сохраняется при переходе в V и VI классы и на базе этого кружка в VII классе можно организовать факультативные занятия.
IV класс. Натуральные числа
1. Множество. Изображение множеств кругами Эйлера. Соответствие множеств.
2. Взаимно-однозначное соответствие. Равносильность множеств.
3. Натуральные числа как количественные характеристики классов конечных равносильных множеств.
4. Действия с натуральными числами. Решение задач на свойства действий.
5. Понятие об отношении на множестве. Граф отношения. Свойства отношения: симметричность, рефлексивность, транзитивность; их графическое представление.
6. Отношение порядка на множестве. Свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел.
7. Десятичная система счисления. Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
8. Понятие о других позиционных системах счисления. Двоичная система: запись числа, перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную и обратно, действия над числами в двоичной системе (2—3 занятия).
9. Выполнение различных упражнений, в том числе и упражнений на действия с числами, записанными в различных системах счисления.
V класс. Делимость целых чисел
1. Повторение сведений об отношении. Отношение делимости на множестве натуральных чисел. Свойства отношения делимости: рефлексивность, транзитивность, антисимметричность Иллюстрация свойств с помощью графов.
2. Доказательство свойств отношения делимости. Решение примеров на применение свойствв
3. Теорема о делении с остатком, ее следствия. Нахождение остатков от деления суммы, разности и произведения на данное число.
4. НОД и НОК нескольких чисел. Алгоритм Евклида.
5. Числа простые и составные. Некоторые свойства простых чисел. Решето Эратосфена.
6. Признак делимости на 9. Способ проверки результатов арифметических действий с помощью девятки.
7. Признак делимости на 11. Проверка результатов арифметических действий с помощью 11.
8. Признаки делимости на 7 и 13. Формулировка и доказательство в пределах шестизначных чисел.
9. Решение задач на делимость (несколько занятий).
VI класс. Элементы теории сравнений и неопределенных уравнений
1. Определение сравнения. Сравнение как некоторое отношение на множестве целых чисел. Рефлексивность, симметричность и транзитивность сравнений.
2. Понятие о классах чисел по данному модулю. Разбиение множества целых чисел на классы. Множество классов вычетов. Геометрическая интерпретация классов вычетов на окружности.
3. Свойства сравнений (формулировка и запись на основании теорем об остатках).
4. Применение свойств сравнений к решению задач на нахождение остатков от деления числовых выражений на данное натуральное число.
5. Решение задач на свойства сравнений.
6. Функция Эйлера и функция т(п)\ определение, нахождение значений по определению, построение графиков на заданных промежутках.
7. Неопределенные уравнения с двумя переменными. Исследование условий существования решений на основе анализа конкретных задач.
8. Решение неопределенного уравнения подбором значений переменных. Геометрическая интерпретация решений. Общие формулы решений.
9. Решение задач на составление неопределенных уравнений. Исследование наличия натуральных решений уравнения ах + by =» с с помощью графиков.
Дадим краткую характеристику содержания и методики изучения некоторых вопросов, включенных в приведенную программу.
В разделе «Натуральные числа» главное внимание уделено двум вопросам: уточнению понятия натурального числа на теоретико-множественной основе и ознакомлению с различными позиционными системами счисления. Занятия кружка начались после того, как понятие множества и соответствующая символика были уже изучены на уроках.
Новые понятия «соответствие», «равносильность», «отношение» иллюстрировались с помощью графов. Построение графов, их анализ — интересная творческая работа, ученики выполняли ее с удовольствием.
Знакомство с понятием «отношение» начиналось на примерах конечных множеств, близких учащимся. Например, им предлагали записать такие множества: А = {Коля, Яша, Антон, Никон, Петя}—множество мужских имен; С — {Люба, Катя, Вера} — множество детей одних родителей. На множестве А определяли отношение таким правилом: каждому имени относили (сопоставляли) другое имя, которое начинается с такой буквы, какой первое заканчивается. Строим граф отношения (рис. 1).
На множестве С определили отношение, которое назвали «быть сестрой», при этом условились считать, что каждая девочка сама себе сестра. Граф этого отношения изображен на рис. 2.
Проанализировав оба графа, установили, что каждый из них имеет стрелки и завитки, но расположение их
70


Рис. 1
неодинаково. Пришли к выводу, что отношения на множествах А и С имеют различные свойства.
При изучении отношения порядка было подчеркнуто, что правило, определяющее отношение, устанавливает «следование» элементов друг за другом. Разобравшись с порядком на произвольном конечном множестве, перешли к изучению свойств отношения порядка на множестве натуральных чисел.
Отношение порядка на числовом множестве эквивалентно отношению «больше» или «меньше», а с этими понятиями ученики знакомились еще в I классе.^ На занятии кружка с помощью графов установили свойства отношений строгого и нестрогого порядка. Графы строили для конечных множеств с небольшим числом элементов, причем на одном и том же множестве рассматривали отношения > и ^ или <С и Это давало возможность путем сравнения установить общие свойства отношений, сформулировать новое свойство отношений. Графы помогли ученикам лучше осмыслить различие символов, задающих отношения строгого и нестрогого порядка.
Раздел «Делимость целых чисел», который мы предлагаем для V класса, фактически включает те же вопросы, которые входят в темы факультативного курса VII класса. Естественно, что на этом этапе их нельзя изучить с полным теоретическим обоснованием, но с помощью геометрических и графических иллюстраций, тщательного подбора примеров, использования элементов дедуктивных доказательств можно обеспечить полное понимание материала. Начинать изучение этого материала можно параллельно с изучением соответствующего раздела обязательной программы. На первом занятии следует повторить все сведения об отношении и обобщить сведения о делимости, полученные на уроках. Чтобы подчеркнуть, что делимость является важной характеристикой множества натуральных (целых) чисел, можно рассмотреть делимость как новое отношение на этом множестве. Определяется отношение формулой а = bq, которая допускает разные толкования. Чтобы добиться глубокого понимания содержания понятия, мы использовали разные названия отношения делимости:
1) 	«делит» или «быть делителем»; 2) «делится» или «быть кратным». Свойства отношения были установлены с помощью графов. Ученики без труда сделали правильный вывод о том, что графы отношений «быть делителем» и «быть кратным» для данного множества отличаются только направлением стрелок; свойства отношений одинаковы.
Большое внимание было уделено теореме о делении с остатком. Ученикам эта теорема фактически известна как правило проверки правильности деления с остатком. После повторения материала о делении с остатком и была сформулирована теорема для натуральных чисел в такой форме: «Для произвольных натуральных чисел а и Ь, где а > Ъ, можно найти единственную пару натуральных чисел q и г, таких, что а — bq + г и О < г < Ь. В справедливости теоремы ученики убеждались, выполняя непосредственно деление. Рассуждения при доказательстве проводились с использованием числовой оси.
После ознакомления с теоремой был решен вопрос о числе различных остатков, которые получаются при делении произвольных натуральных (а затем целых)
чисел на данное натуральное число. Частично с этим материалом ученики знакомятся на уроках. Но ^десь он подчинен идее формирования понятия класса по данному модулю. Например, относительно делителя 5 задача решалась так: «При делении на 5 возможны
только остатки 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие множества чисел можно записать формулами: 5k, 5& + 1, 5& + 2, 5k + 3, 5k + 4. Если изобразить числа каждого множества точками числовой оси, то получим все множество целых чисел».
Теоремы об остатках суммы, разности и произведения доказывались после индуктивной проверки.
В программе значительное место отведено признакам делимости. Приемы доказательства обычные, но для записи преобразований, которые сводятся к нахождению и исследованию чисел, равноостаточных с данными, была использована символика сравнений. Ученикам было сказано, что числа, которые дают одинаковые остатки при делении на натуральное число т, условились называть сравнимыми по модулю т и записывать так: а = b (mod га). Других сведений о сравнениях на этом этапе не сообщали, а лишь добивались, чтобы ученики научились пользоваться символикой сравнений, правильно читать выражения и понимать их смысл.
Все новые признаки делимости были доказаны с использованием символики сравнений. Возможность почленного сложения, вычитания и умножения сравнений вытекала из теорем об остатках.
Программа кружковых занятий VI класса наиболее близко примыкает к факультативному курсу VIII класса. Она включает элементы теории сравнений и теории неопределенных уравнений.
С первоначальными сведениями о сравнениях мы познакомили учащихся в V классе. Здесь же основное внимание уделяли свойствам сравнений и их приложениям.
Понятие сравнения устанавливает новое отношение на множестве целых чисел. С изучения свойств этого отношения, которое получило название отношения сравнимости, и начались занятия кружка в VI классе.
Поскольку ученики не первый раз встретились с отношением, они быстро и легко справились с заданием построить граф отношения сравнимости и сформулировать его свойства. Было установлено, что новое отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно; другие изученные отношения (порядка и делимости) обладают не всеми названными свойствами. Затем подчеркнули, что на множестве целых чисел отношение с такими свойствами единственно; оно-то и обеспечивает разбиение его на взаимно непересекающиеся классы сравнимых по данному модулю чисел.
Далее на конкретных примерах было введено понятие класса и показано, что по любому модулю т получается точно т классов.
Из свойств сравнений были сформулированы только самые необходимые и простые — о сложении, вычитании и умножении сравнений по одному и тому же модулю. Предварительное знакомство с этими свойствами произошло в V классе, здесь же они были доказаны. С большим интересом учащиеся выполняли упражнения на нахождение остатков от деления разных числовых выражений на данное число.
71


В систему упражнений были включены и те, которые раньше выполнялись на уроках другими способами, в частности с использованием тождеств сокращенного умножения. Так, упражнение «Если натуральное число при делении на 5 дает в остатке 4, то сумма его куба и квадрата делится на 5», можно решить с помощью сравнений. «По условию данное число а г= 4 (mod 5), по свойству сравнений можно записать: а3 ег 43 =г 64 з= = 4 (mod 5), а2 16 = 1 (mod 5). Сложив почленно эти сравнения, получим а3 + а2 — 4 + I ^ О (mod 5), что и доказывает справедливость утверждения».
В качестве пропедевтического материала в этом разделе были даны первоначальные сведения о числовых функциях ф(я) и т(п). Составляя таблицы значений функций, ученики пытались найти формулу для нахождения этих значений. Им было сказано, что это будет сделано в факультативном курсе.
Понятия неопределенного уравнения, множества его решений вводились после рассмотрения конкретных задач. В частности, мы рассматривали задачи на размен монет. Частные решения уравнения ах by — с ученики находили подбором, формулы общих решений для конкретных уравнений получали с помощью графиков, для чего достаточно было подметить закономерность расположения целочисленных точек на графике уравнения.
В данной заметке мы лишь схематически осветили содержание отдельных вопросов, которые изучались на кружковых занятиях как подготовительные к факультативным. Естественно, что они не исчерпывают всего содержания материала кружковых занятий и на них затрачивается приблизительно третья часть всего отводимого времени.
На занятиях кружка VI класса были изучены и такие вопросы, которые можно отнести к пропедевтике других тем факультативного курса VIII класса: «Метод
координат», «Функции и графики» и частично «Номограммы». Приводим эти вопросы:
1. Координаты точек на плоскости. Построение отрезка по координатам его концов. Нахождение координат середины, отрезка (решение конкретных задач непосредственным подсчетом в выбранном масштабе). Зависимость координат середины отрезка от координат его концов.
2. Нахождение координат точек, делящих отрезок в данном отношении. Решение непосредственным построением и подсчетом.
3. Функции, графики которых симметричны относительно оси Оу. Способ их построения ^на примерах
k \
функций: у - |*|, У~\х\ + Ь J.
4. Функции, графики которых получаются с помощью отображения симметрии относительно оси Ох (на примерах функций: у = \х — 5|, у= |За: — 4| и т. д.).
5. Понятие о сжатии (или растяжении) графика. Исследование на примерах функций у ~ ах и у = ах2 (для второй функции берутся только значения а, являющиеся точными квадратами).
6. Построение кривых по заданным уравнениям (на примере окружности и эллипса).
7. Понятие о функциональных шкалах. Построение простейшей функциональной шкалы (шкалы линейной и квадратной функций).
8. Графическое решение различных систем нелинейных уравнений.
Основной метод изучения перечисленных вопросов — конкретно-индуктивный. Никаких элементов теории учащимся не давали, все выводы делали на основе анализа выполненных упражнений.
3. 	А. СКОПЕЦ
(г. Ярославль)
ОПЕРАЦИЯ ПОВОРОТА ВЕКТОРА НА 90°
Для решения аффинных задач планиметрии, касающихся взаимного расположения двух прямых, принадлежности трех точек одной прямой, вычисления отношения коллинеарных отрезков удобно пользоваться векторами. В процессе решения таких задач необходимо владеть лишь операциями сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, с которыми учащиеся знакомы из школьного курса геометрии.
Если же задача носит метрический характер, то этих операций недостаточно. На помощь приходит обычно операция скалярного умножения векторов. Посредством этой операции (в сочетании с аффинными операциями) можно вычислять расстояния и углы, находить метрические соотношения между линейными и угловыми элементами многоугольников, описывать различные множества точек, решать ряд задач, связанных с окружностью.
Между тем очень полезной при решении метрических задач является операция поворота вектора на 90° в положительном направлении (в предположении, что на плоскости введена ориентация). Эта несложная операция позволяет нередко освободиться от применения скалярного умножения векторов, особенно в тех случаях, когда в задаче приходится установить перпендикулярность прямых или отрезков. Более того, указан»
ная операция во многих случаях имеет преимущество перед скалярным умножением векторов, так как в результате ее применения не приходится загленять векторные равенства числовыми (как в случае скалярного умножения), закрывающими геометрическую картину решаемой задачи.
Для иллюстрации приведем решения нескольких нестандартных планиметрических задач, в которых находит применение операция поворота вектора на 90°.
Вектор Ь, получаемый из вектора а поворотом его на 90° в положительном направлении (против движения
часовой стрелки), обозначим символом I а. Множитель i указывает действие поворота (никакого другого смысла в этот множитель вкладывать не следует). Итак, из
/\
b — / а следует, что | b | — | а\, (а, Ь) =» 4- 90°. Верно и обратное утверждение.
Нетрудно доказать следующие свойства операции умножения на t, вытекающие из ее определения:
1) i (<ka) ** k (i a), k — вещественное число,
2) i(a + b)-*ia + tb,
3) /0-0,
4) /(/!)=» — a.
Этими свойствами мы будем пользоваться при решении задач и доказательстве теорем Читатель без труда самостоятельно докажет истинность перечисленных свойств.
72


Задача 1. Дан положительно ориентированный треугольник ABC, точка И—его ортоцентр. До-
казать, что СН = ctg С (iBA),
Решение. Пусть С < 90°. Легко доказать, что \СН\ = \ АВ\ ctg С. В самом деле, окружность, построенная на диаметре СН, проходит через основания Л и В, высот Л Л, и ВВХ треугольника ABC (рис. 1). Следовательно, |CA| = |C#| sin В, где |СЛг| — \СА\ соsC Отсюда
\СА\
\СН\ -
sin В
cos С.
Рис. 1
Но по теореме синусов | СА | :| АВ | = sin В : sin С Поэтому
| АВ | cos С sin С
\СН\
ный с СН (точки С и D лежат по разные стороны
от (АВ)). Значит, СН — k (iBA), где k > 0. Поэтому
\СН\ — k \ВА\. Сопоставляя последнее равенство с (1), получаем k « ctg С.
Итак, СН -* ctg С (1ВА).
Формула (1) остается в силе и тогда, когда С> 90° (рис. 2) и С - 90е. (Доказательство опускаем.)
Применим результат, содержащийся в решении задачи 1, для решения следующей задачи.
Задача 2. Выразить радиус-вектор ортоцентра Н треугольника ABC через радиус-векторы его вершин.
Решение. Если треугольник прямоугольный, то вершина прямого угла является ортоцентром треугольника. Поэтому положим, что данный треугольник не прямоугольный. Согласно задаче 1, имеем
С#- ctg С (iBA).
Отсюда
АВ - tg С (iCH), AB = tgC (iH — iC). Аналогично
ВС-tg A (iH- /Л), CA*~tgB (iH — IB).
После почленного сложения полученных равенств найдем
/ [tg А (Н ~ А) + tg В (Я- В) + tg С (Н - С)] = 0,
откуда
Н (tg А + tg В + tg С) - Atg А + В tg В + С tg С
| СН | = \АВ\ ctg С. (1)
Если вектор В А повернуть на + 900 около вер-
——У -—^
шины В, то получим вектор i В А = BD, сонаправлен-
Рис. 2
A tg А + BtgB + CtgC
tg^ + tg5+tgC
Если точка Н совпадает с началом радиус-векторов, то Я « 0 и
A tg А + В tg В + С tg С — 0.
Покажем, что получение этого соотношения посредством скалярного умножения векторов сопряжено с громоздкими выкладками.
Примем ортоцентр Н за начало радиус-векторов. Тогда
Отсюда
Л (В— С)«0, В(Л — С)*0.
Л-В-ЛС, А-В-В-С.
Положим С ** ffiA + пВ. Значения тип находим из системы
А-В — mЛ2 4* пА-В,
->■ -у
Л*В — /иЛ-В + лВ2.
Имеем
(ЛВ) (В2— А В) -> -> -► » Л*-В* — (Л В)*
(.4-В)Мг— Л В) А*'В*—(А-ВУ
73


Выразим тип через элементы треугольника. Заме- ■> —► ■>
тим, что А В*~ —\А\- |£|cosC- Поэтому
— I l|.|^|cosC(|B|8 + M|.|B|cos С) т — —— —
| А\2-\В\2 — \А\*-\В\* cos2 С cos С ([ ~В\ + \А\ cos С) 1 АI • jbl2 | A I2- |il2sin2C
1
\В\
cos С
tgC
+'
^ | А | sin С sin С
Но | В |: | А | = cos В: cos А (по теореме синусов для треугольника ИАВ). Следовательно,
hr(
cos В
cos Л sin С sin С 4 cos В -f cos A cos С
cos С'
t gC 1
’ tg С * cos A sin С " 1 sin A sin С tg A
tg С ‘ cos A sin С tg C*
tg В
Аналогично находим, что n — - Итак,
с tgc л
tgc~
*g в *■
‘tgc^
A tg A + #tg£ + CtgC-0.
Приведенное здесь решение требует привлечения теоремы синусов, теоремы сложения для функции косинусов, различных тождественных преобразований. Операция поворота вектора на 90° в данной задаче оказалась более эффективной.
Задача 3. Дан треугольник ABC. Поворотом точ- ки С около точки А на +90° получаем точку D, а поворотом точки С около точки В на —90° получаем точку Е. Вычислить расстояние от середины М отрезка DB до прямой АВ.
Решение. Выбирая произвольно начало векторов (рис. 3), получим
D .
Отсюда
М -
1
“2-(D + E)
этому
Следовательно,
АВ 2 ■
M — S-i
АВ
SM
АВ i— и
I «s-и I
\АВ |,
причем (SAi) X (АВ).
Итак, искомое расстояние равно — |ЛВ|. Интересно
отметить, что оно зависит только от расстояния между А и В, но не зависит от положения вершины С.
Задача 4. Даны четыре прямые, из которых ника- кие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку (такая фигура называется полным четырехсторонником). Доказать, что ортоцентры четырех треугольников, образованных данными прямыми, взятыми по три, принадлежат одной прямой.
Решение. Пусть прямые а, b, с образуют треугольник ABC, а прямая d пересекает эти три прямые в точках Аи B\t С{ (рис. 4). Рассмотрим положительно
Если S — середина [АВ], то 5» -g- (А + В), и по- Рис. 3.
Рис. 4
ориентированные треугольники ABC и АС\Ви имеющие общий угол А. Обозначим их ортоцентры соответственно через Hd и #«. Согласно (1), имеем:
АНа — ctg А (/ СВ), АНа-ctg A(lBtCt).
Но нЦн<1 - АНd—АН а, поэтому
HaHd - ctg At (СВ — В,С,).
(2)
Теперь рассмотрим два положительно ориентированных треугольника AxCBt и AtBCi. Согласно (1), имеем:
А,Не - ctg в(а^С 0lBtC), A iHb — ctg (f^B (iC.B).
(3)
Atne Отсюда
Но
HbHe - ctg AABiC — CiB). СВ + ВС it cSi -t£iC-0,
74


поэтому
СВ — ВХСХ
-(ВХС — С,Б)
/ (IСВ — B,C,) / (ВгС — С,В).
Из сопоставления равенств (2) и (3) находим, что векторы HaHd и НьНс коллинеарны.
Аналогичным образом доказываем коллинеарность
векторов НьНа и НсНа, HcHd и НаНь. Но в таком случае все четыре точки На, Нь, Hd принадлежат
одной прямой h. Задача решена.
Предложенное решение имеет то преимущество перед другими известными решениями, что оно позволяет также найти отношение коллинеарных векторов
HaHd и НьНс. В общем случае, когда Аф 90°, Л, ф 90°, имеем
ctg А, • HaHd + ctg А • НЬНС - 0
HaHd:HbHc
Аналогично
/\ /\ tg(a. d) Ag{b, с).
V > ///Ч\
HbHd : НсНа — tg(£, rf): tg(c, a),
/\ /\
HcHd НаНъ — tg (6\ af): tg (a, 6).
(4)
(4')
Итак, если даны четыре прямые а, 6, с, d, то находим четыре точки Я0, Нь% Нс, Ял, причем тангенсы углов между прямыми и расстояния между ортоцентрами связаны соотношениями (4) и (4').
Предлагаем для самостоятельного исследования проблему: На прямой h даны четыре точки На, Нь, Нс, На. При каких условиях существуют на плоскости такие четыре прямые а, Ь, с, d, чтобы данные точки были ортоцентрами четырех треугольников, образованных этими прямыми, взятыми по три? Построить эти четыре прямые.
Задача 5 (теорема Гаусса). Прямые а, Ь, с, d образуют полный четырехсторонник (см. задачу 4) с вершинами
а(\Ь=>С, cCid^Cl9 а(\с = В> b(\d — Въ Ь{\с — Л, a(\d = Л,.
Доказать, что середины М, N, Р отрезков AAlf BBU CCi принадлежат одной прямой.
Почленное сложение этих векторных равенств приводит к соотношению
MN -^(аВ + ~АхВх).
так как
ЛМ, +~МА «= 0, ~BN + WXN - 0.
Аналогично получаем
np~^y(bxc + 5с,х Тм - 4" + сл,).
Сопоставляя предпоследнее равенство с (3), обнаруживаем
7hHc - 2ctg А, (WP). (5)
Отсюда следует, что вектор NP перпендикулярен
вектору НьНс или прямой Л, которой принадлежат точки Нф Нь, Hd. Аналогичным образом устанав¬
ливаем перпендикулярность векторов РМ и MN той же прямой h. Следовательно, точки Ж, N, принадлежат одной прямой g.
В ходе решения этой задачи посредством операции поворота на 90° дополнительно выяснено, что прямая g перпендикулярна прямой /г, а также найдено отношение длин отрезков NP и НьНс.
\NP\:\HbHc\~^r\\g(C^)\.
Обращаем внимание на то, что теорема Гаусса, носящая аффинный характер, решена метрическими средствами.
Задача 6. В четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О. Для треугольников ОАВ и OCD построены ортоцентры Нх и Н2, а для треугольников ОВС и ODA — центроиды (точки пересечения медиан) — Gs и G4. Доказать, что отрезки Н\Н2 и G3G4 перпендикулярны.
С
Решение. Рассмотрим вектор MN (рис. 5). Очевидно, что
MN - НаХх + ДА + l^N, MN - МА + АВ + BN.
Решение. Пусть треугольники ОАВ и OCD ориентированы положительно (рис. 6). Тогда, согласно решению задачи 1, имеем:
ОНг = ctg ср (/ В А), ОН2 = ctg <Р (/DC),
6oh.
75


Следовательно,
Н^Н2 = ctg4t(DC-BA).
С другой стороны
OGs - у* 4- (OB + ОС),
поэтому
да, = (ов + ос), og* = “j- (оЬ + 0.4),
откуда
= -у (оЬ + О А — ОБ —ОС)-
Так как
до—ОС - СД ОВ —ОЛ - АВ,
то
— -> ] —>
GzGi « -j- (CD — ЛВ).
Итак,
tf7//2 = ~3ctg?(/<^C4).
Из последнего равенства следует, что [Н,//а] 1 [С8С4]. Задача решена.
Однако выяснено больше, а именно,
|//i//i|-3lctgT||G,G4|#
т. е. одновременно вычислено и отношение этих от* резков;
\Н,Н2\:\030*\ - 3|ctgcp|.
Эта задача предлагалась на Всероссийской математической олимпиаде школьников в 1972 г. и вызвала у участников олимпиады большие затруднения.
Задача 7. В четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О. Для треугольников ABO, ВСО, С DO, DAO построены центроиды GXt G2, G3, С4 и ортоцентры Ни Н2, #з> #4. Доказать, что G\G2GzG4 и И1Н2Н^И4 — подобные параллелограммы, и найти коэффициент подобия ([Я^г! * * \ GxG2| = &).
Р е ш е и и е. Примем точку О за начало радиус- векторов (рис. 7). Тогда
C?i = ~у^2 = ~у (В С),
2. -^+
7f-
Поскольку
5, + О, * О, + С4 = у (Л | В f С + О),
то а»С2С?,С4— параллелограмм.
Согласно решению задачи 4, <
—► -> ///ч\ —►
//, = ctg ЛОВ (/ЯЛ), - ctg /ЮС (iCB),
H-s = ctg СоЬ (IDC), H4 = ctg DO^ (MO), .причем
/A0h = C0b^f, fiob - = 180° — <p.
Тогда
Я, f tf, = ctg? /(£?4 + 5c)-
— ctg<p*/M — В -{- С — £>),
Я2 + tf4-ctg9-/(£c + ZM)-
= ctg ф- / (С — £ + Л — D).
Итак, Я, -f Я3 =- Н2 4 //4 и Н^Н^Н— параллелограмм.
Вычислим отношение | НхНг |: | С,С81. Для этого найдем
я7//2 = ctg 9. / (ВС — В А) = ctg 9 (МС),
— 1 -* 1 —► (7)
G|С2 « 02 — О, = -у (С — Л) - у ЛС.
Итак, | НгН2 \: | | — 31 ctg <р|.
Аналогично убеждаемся, что отношения других сходственных сторон и диагоналей параллелограммов равны 3|ctg<p|. Поэтому k = 31ctg ф|.
Наконец, остается выяснить, будет ли подобие первого или второго рода.
Из равенств (7) следует, что
^t-3ctg*(/OA>.
Следовательно, стороны НгИ2 и 0,(7* рассматриваемых параллелограммов перпендикулярны. Легко убедиться, что
1иНг~ -3ctg'f (/^аТ).
Значит, стороны НгНг и G2G3 также перпендикулярны.
Если направление вектора НХН2 получается из на*
правления вектора GXG2 поворотом на 90° в одном
направлении, то направление вектора Н2И3 получается
из направления вектора G2GZ поворотом на 90° в противоположном направлении. Следовательно, параллелограммы ориентированы противоположно.
Интересно отметить, что диагонали одного параллелограмма перпендикулярны диагоналям другого, но эти диагонали не являются соответствующими. Поэтому, хотя стороны и диагонали одного параллелограмма перпендикулярны сторонам и диагоналям другого параллелограмма, нельзя поворотом на 90° привести один из параллелограммов в гомотетичное расположение относительно другого. Мы здесь имеем при* мер подобия второго рода*


Задача 8. На плоскости даны произвольно четыре точки Аи А2, Л з, /44. Построены четыре другие точки Р, Q, R, S, такие, что треугольники AiA42, A2QA2, AsRAa, .445Л, одинаково ориентированные, рав- нобедренные и прямоугольные с прямыми углами при вершинах Р, Q, R и S. Доказать, что отрезки PR и QS конгруэнтны и перпендикулярны.
Решение 1. Из условия задачи следует (рис. 8),
Рис. 8
РЛ2 - /РЛ„ QA3 = IQA2, RA4 - 1ЯАг, SAX - /5Л4. (6)
Если О — начало векторов, то эти равенства можно записать так:
Аъ-Р-КАг-Р), Л8-0~/(Л2 —Q),
A4—jR-i(A9 — R), At — S~i(A — S).
Из последних двух пар равенств почленным сложением найдем
2RP л7л4 — ЛГЛ + lAi\ + MHi, 2SQ **= Л1Л3 “f* Л4Л2 /Л1Л3 -f- /Л2Л4.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что —>- — ->■ —»->■
2RP = i (2SQ), или PP *= /SQ. Следовательно, отрезки ЯР и SQ конгруэнтны и перпендикулярны.
Решение 2. Согласно правилу цепи сложения век* торов, имеем:
RP -» РЛ* + T4S + SQ + (?Л2 + Л^Р,
/SQ*- / (SX + TXP + PR + rX + A&)- Но из (6) находим:
— ISA*, АгР — /РЛ2, РЛ8 = iЛ4Р,
AjQ -* — tQAf
Следовательно,
/SQ - / (/5л4 + *РЛ2 -f PP + iAJZ — iQA2) -
Отсюда
->■ —>• “V
iP — P = Mi — Л, i<? — <? - — j43,
-> ->■
iP — R — £Л3 — Л4, /S — S = /Л4 — Л1.
Вычитая почленно из первого равенства третье, а из второго четвертое, получим
iRP — RP =* /Ла Лх — Л4Л2,
iSQ — SQ — /Л4Л2 — At Л,.
Повернем полученные равные векторы на 90°:
— RP — iRP «— — Л*Л, — /Л4Л2,
— SQ — LSQ “= — Л4Ла — /ЛаЛ,.
- .44S -f Л»Р + iPR + RA + QA* -RP — SQ + iPR. Отсюда
РР — iSQ — SQ—iPR.
Повернем полученные равные векторы на 90°:
— -V —-г
/ЯР + SQ = /50 + PP.
Из последних двух равенств вытекает, что /50 = РР-
В заключение заметим, что мы не стремились связать операцию поворота вектора на 90° с понятием мнимой единицы и с применением комплексных чисел в решении геометрических задач. Наша цель заключалась лишь в том, чтобы к аффинным операциям присоединить операцию поворота вектора на 90° и показать применение этих операций к решению планиметрических задач в пределах программы восьмилетней школы. Поэтому мы оставили также в стороне интересный в методическом отношении вопрос перехода от скалярного умножения векторов к косому путем поворота одного из умножаемых векторов на 90%
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в июне 1974 г. вышли и поступили в продажу следующие книги:
1. Журова JI. И. Обучение грамоте в детском саду.
2. «Новые исследования по возрастной физиологии», № 3.
3. «Самостоятельная работа учащихся на уроках в малокомплектной школе». Под ред, М. Л. Мельникова,
А. 	М. Пышкало.
4. Якушина Л. 3. Методика построения урока иностранного языка.


Занимательная страница
«АЛГОРИТМ ИЛИ СЛУЧАЙ. ЧТО СИЛЬНЕЕ!» 1
Поиски алгоритма, «укрощающего» случай, увенчались успехом (см. «Занимательную страницу» в № 3 за 1974 г.), причем читатели не обошли стороной и возможный теоретико-вероятностный аспект задачи. Правда, поступила только одна разработка вероятностного направления решения задачи — от М. Я. Дубравского (пос. Воловец, Закарпатская обл.). Это интересное сообщение приводим полностью.
Мысленно соединяем отверстия между собой, как указано на рисунке. Будем производить следующие действия:
Опускаем руки в соседние отверстия и располагаем оба сосуда горлышками вверх. (1)
(Это действие совершаем один раз.)
Опускаем руки в отверстия по диагонали и также располагаем оба сосуда горлышками вверх. (2)
Если действие (1) не привело к решению, то совершаем действие (2) несколько раз подряд, пока не будет решена задача.
После действия (1) и первого действия (2) три сосуда будут расположены горлышками вверх (рис. 1; Н сосуд
дном вверх, О — горлышком вверх).
Вероятность удачи и вероятность неудачи при следующем действии (2) равны соответственно:
J. 1 _L
Рис. 1 Р 2 9 У *** Р *** 2 *
Вероятность неудачи при п действиях (2) равна
/ 1 V /1 у
(у ) и (у 1 -»0 при п -> оо.
/ 1 уо
Уже при п =* 10 имеем ("у) <0,001.
На этом и основана наша уверенность в правиль¬
ности действий (1) и (2).
А теперь подсчитаем, сколько в среднем надо произвести действий (2) до получения удачи. Обозначим искомое число через т.
Если первое действие (2) закончилось неудачей, то условное среднее число действий (2) равно 1 + mf а если первое действие (2) закончилось успехом, то условное среднее число действий равно 1. Поэтому т «= р-\ + </(1 + т) = 1 + qm.
1 1
Получаем, что т — ; так как р — -у, то т — 2.
Таким образом, в среднем надо произвести два действия (2) и еще одно действие (1); следовательно, надо произвести всего три действия (в среднем).
1 Продолжение обзора решений задачи («Математика
в школе», 1973, № 5), присланных в редакцию. Начало
см. в № 3 за 1974 г. Обзор составлен Б. Л, Кордем-
скин.
Примечание. Совершая с самого начала только действия (2), получим тот же результат.
В разработке М. Н. Дубравского привлекает внимание остроумный прием отыскания оценки математического ожидания (т) дискретной случайной величины (X).
X — число попыток придать сосудам в бочке одинаковую ориентацию (все дном вверх или все дном вниз).
Искомая оценка математического ожидания (среднее число попыток) появляется в качестве корня некоторого уравнения относительно т.
Любопытно и другое. Применение алгоритма гарантирует успех максимум за пять попыток, а если действовать бессистемно, отдавшись воле чистого случая, то возможное число попыток безгранично. Но и случайные действия, оказывается, приводят к решению задачи в среднем за три попытки. А это значит, что успех будет достигнут за одну-две случайных попытки значительно чаще, чем за пять, шесть и большее число попыток. Следовательно, признавая алгоритм «сильнее» случая, все-таки добавим: но в данной задаче — с незначительным превосходством.
Для кружковых или факультативных занятий по теории вероятностей может представить интерес дополнительная задача: найти закон распределения вероятностей случайного числа попыток (X), последняя из которых завершается успехом, и вычислить ее математическое ожидание по формуле
оо
м (X) - £ XIPU Pl~P(X~ Xi).
/=1
Будем исходить из того, что во всех попытках, считая от второй, вероятность успеха р = 0,5 и неуспеха q — 0,5.
Пусть X — 1 — успех с первого раза, Р (X — 1) — р, X — 2 — неуспех в первый раз и затем успех:
Р (X *- 2) — qp,
X ша 3 — неуспех в первый раз и во второй раз и затем успех: Р (X — 3) — q*p и т. д.
Ряд распределения вероятностей, предусматривающий возможность неограниченного числа неудач, предшествующих успеху, имеет вид:
X
1
2
3
п
...
Р
р
ЧР
Я*Р
...
<гп-'р
Получившееся распределение вероятностей называют геометрическим, или распределением Фарри. Искомое
оо
*-Л1{Х}-£ /№-*(1+2? +
t=i
+ 3q* + ... +nq"~' + ...)-/>• (i —g)«
При р — 0,5 получаем х — 2 (считая от второй попытки).
Напомним, что формула для вычисления суммы, записанной в скобках, получается дифференцированием тождества
9 + ^+... + ^+...-^—0<«7<1.
Не менее увлекателен и такой вариант задачи: составить ряд распределения вероятностей случайной вели- нины X — числа аопшдк добиться цспехал—возмож-
78


пые значения которой 1, 2, 3, 4, 5 предусмотрены алгоритмом, и еще раз вычислить М{Х}.
Алгоритм, напоминаем, рекомендует чередование опускания рук в диагональные и соседние отверстия (сначала в диагональные).
Поэтому всю «анатомию» решения удобно представить схемой (рис. 2).
В разделе I схемы представлены все принципиально различные начальные расположения сосудов, которые только и могут возникнуть перед опусканием рук в отверстия по диагонали. Разумеется, не предусматриваются в качестве исходных те случаи, когда все четыре сосуда ориентированы одинаково. Образовавшиеся 8 исходных случаев считаем равновозможными. Аналогичные соображения справедливы и для остальных разделов схемы.
Сведем результаты в таблицу2.
2 Если на шаге II случаи не считать равновероятны¬
ми, учитывая, что случаи 1, 2, 3 и 4 могут появиться
из расположения I по 4 раза, а случаи 5, 6, 7 и 8 толь¬
ко по 2 раза (убедитесь!), то получится несколько иная
таблица распределения вероятностей (составьте ее), ко¬
торая дает М[Х} = 2,625, т* е. М[Х} » 3.
X
1
2
3
4
5
р
1 1
i 3
9
9
9
4
1 16
32
64
64
Проверяем:
SI JL _9_ JL 9 1
Pi ~ Т + 16 + 32 + 64 + 64
Закон распределения найден. Вычисляем М {X}:
1 3 9 9
М {X} =» + 2« ^ -f 3- 32 + 4* ^ +
9
4" 5» g4 2,7 ~ 3.
Как видим, случайность, зажатая в тиски алгоритма, противодействует наступлению успеха в среднем до трех попыток, равно как и при неорганизованной системе попыток, когда теоретически возможно неограниченное их количество: в той и другой системах действий М{Х} « 3.


Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1406. Доказать, что при любом п справедливо равенство
1 + (1 +2) + (1 +2 + 3) + (1+2 + 3+ ... +л)~ ~.л.l + (л — 1).2 + (л —2)-3+ ... +1 п.
Ким Хо (Ташкентская обл., Аккурганекий р-н)
1407 Доказать, что число 88.. .8, состоящее из 1974 цифр, делится на 13.
М. А. Агаев (ДагАССР, с. Брянск)
1408. В выражении 5*5*5* 5 *5, не содержащем
4 J 1 о
скобок, звездочками обозначены различные арифметические действия, а под ними указан порядок их выполнения Найти значение этого выражения.
В. А. Юдаков (Крымская обл., пос. Армянск)
1409. Школьница заменила в своем имени каждую букву ее номером в русском алфавите и получила число 1411810151. Как ее звали?
Я. Н. Темралиев (Астраханская обл.,
с. Новый Рычан)
1410. В трех ящиках было 200 яблок. Когда из первого взяли 1/3, из второго 2/5, а из третьего 13/15 содержащихся в них яблок, то всего оказалось взято 70 яблок. Сколько яблок было бы взято, если бы из второго взяли 1/10, а из третьего 4/5 содержащихся в них яблок?
С. 	Р. Сефибеков (ДагАССР, с, Кашкент)
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—V!!! КЛАССОВ
1411. Доказать, что если перемещение f че имеет неподвижных точек, то композиция f°f также не имеет неподвижных точек.
1412. Найти углы треугольника, если его площадь S выражается через длины его сторон а и b формулой
S- {-(а2 + 62).
Я. Н. Темралиев
1413. Стороны АВ а СО четырехугольника Л BCD перпендикулярны. Вычислить площадь этоъо четырехугольника, если \АВ\ 12 см, | ВС | — 17 см, \CD \ 4 см, | DA | — 5 см,
И. Т. Михалкович (Минская обл.»
Солегрский р-н)
1414. Стороны одного четырехугольника параллельны сторонам другого, а диагонали первого — диагоналям второго. Можно ли утверждать, что данные четырехугольники гомотетичны?
3. А. С к о п е ц (г. Ярославль)
1415. Четыре прямые а, b, с9 d имеют общую точку. Для точки А £ а построены ортогональные проекции В и С на прямые b и с, для точки d — В\ и Сi на те же прямые Доказать, что углы между прямыми ВС и B\Ci конгруэнтны углам между прямыми а и d%
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1416. Доказать, что для любых действительных чисел х, у, г
max {| * + у — 2* |, \х — у\} = \ х— z\+ \у —z\.
Математический кружок 173-й школы Киева (рук. Р. П. Шейнцвит)
1417. Доказать, что при
ТС 11 1C тс
, -у < Р < —
2__
cos а + cos р
Математический кружок 173-й школы Киева
3 v2 — 4 х v
1418. При каких х и у выражение
х "т У
принимает наибольшее и наименьшее значения?
1419. Найти какую-либо формулу для общего члена последовательности, если ее первые 12 членов таковы: 1, 0, — 1, 0, 7, 28. 79, 192, 431, 924, 1927, 3952.
Ф. А. Бартенев (г. Евпатория)
1420. На vucijHKe задан график функции —/(—х); построить график функции f(\x\) + /(—|*|).
В. 	А. 10 д а к о в
I
У1
\
п
1
7
\
/N
/
/
1421. В какой из точек
*1 — logs 4> *i-'Ogs6
функция у = х + ~ принимает большее значение?
1422. Доказать. что не равенство
л-2 — .г < 0
является следствием уравнения х1 4- х — 1 =0.
1423. Доказать, что система неравенств
sin х > уг3х2 — 20* + 32 , cos л* >- X1 не имеет решений
1424. Около окружности описана трапеция. Доказать, что длины тип диагоналей трапеции и радиус г окружности связаны неравенством т2 + л2 ^ 16 г2.
Я. Н. Суконнкк (Киев)
1425. Три плоскости а, 3 и у имеют только одну общую точку М. В каждой из плоскостей построена прямая, перпендикулярная к прямой пересечения двух других плоскостей. Доказать, что построенные три прямые параллельны одной плоскости. (Никакая из данных плоскостей не перпендикулярна к прямой пересечения двух других.)
В. 	М. риский (г, Курск)


ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ Производная
1426. Что больше: ел или пе?
В. 	В. Б е х (Житомирская обл., г. Коростень)
1427. Пусть f — дифференцируемая функция, тогда, как известно, f непрерывна. Представляя себе наглядно ее график, мы видим, что он не имеет ни одного острия, ни вертикальных касательных. Более того, если представить по графику поведение касательной; то возникает впечатление, что ее угол наклона изменяется непрерывно.
Верно ли это впечатление? Сформулировать точный смысл требуемого утверждения и доказать его или опровергнуть.
Применение комплексных чисел
1428. Поворот треугольника ЛВС на у зол ср вокруг точки Р, принадлежащей окружности, описанной около этого треугольника, отображает его на треугольник АХВХСХ, а поворот вокруг точки Р на угол—<р отображает треугольник ЛВС на треугольник ЛгВ2Съ. Доказать, что прямые АХА2, В^В? и C-tC9 пересекаются в одной точке М.
Выяснить взаимное распо :'>жение точек Р, М и О (О — центр окружности) и описать тожество точек М, если ф меняется от 0 до 2л.
Ф. Д. Б е з и о с и к о в (г, Сыктывкар)
Применение геометрических преобразований
1429. Даны плоскость у и две пересекающие се в точке М прямые а и Ь. Провести через эти прямые плоскости аир так, чтобы очи образовали с у равные углы и пересекались по прямой, лежащей в у.
3. 	А. П е к л и ч (Москва)
ИЗО. Через точку в пространстве проведены две прямые а и b и еще две прямые cud, причем иглы между а и Ь конгруэнтны углам между cud. Какие существуют перемещения пространства, отображающие первые две прямые на вторые две?
Л. И. Кузнецова (г. Горький)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В К2 1 ЗА 1974 г.
1306. 6 карасей тяжелее 10 лещей но легче 5 окуней; 10 карасей тяжелее 8 окуней. Что тяжелее: 2 карася или 3 леща?
Решение. Поскольку 6 карасей тяжелее 10 лешей, то тем более 6 карасей тяжелее 9 лещей, и поэтому 2 карася тяжелее 3 лешей. Мы видим, что два из трех условий задачи — лишние.
1307. Дина, Зина, Инна, Лена и Нина собрали вме~ сте 75 грибов, и Зина предложила поделить их поровну — при этом она все равно имела бы столько же грибов, сколько и собрала. Но Дине досталось бы меньше грибов, и она ушла, забрав свои грибы. Тогда Инна предложила разделить оставшиеся грибы поровну, но теперь уже отказалась Зина и тако/се ушла, а после аналогичного предложения Лены ушла Инна. Оставшись вдвоем, Лена и Нина не смогли разделить грибы поровну. Сколько грибов собрала каждая девочка?
Решение. Зина собрала 75:5=15 грибов. Пусть Дина собрала х грибов, тогда 75 — х делится на 4 (это следует из предложения Инны) и 60 — х делится на 3 (это следует из предложения Лены). Но тогда
75 — х тоже делится на 3, а следовательно, и на
3-4= 12. В число 75 — х входит число грибов, собранных Зиной, поэтому 75 — х > 15; кроме того, х> 15. Отсюда следует, что 75 — х равняется одному из чисел 24, 36, 48, т. е. число х может равняться 51, 39, 27.
Если х = 51, то после ухода Дины осталось 75 — 51 — = 24 гриба, и поскольку их предложила разделить Инна, то она собрала 24:4 — 6 грибов. Лена и Нина собрали 24—15 — 6 = 3 гриба, но Лена предложила разделить грибы после ухода Дины и Зины, а следовательно, она собрала (75 — 51 — 15): 3 = 3 гриба. Нина в этом случае не собрала ни одного гриба.
Если х = 39, то, рассуждая аналогично, получим, что на долю Лены и Нины приходится 12 грибов. В этом случае Л$на и Нина смогли бы разделить грибы поровну, но это противоречит условию.
Если х = 27, то те же рассуждения приводят нас к следующему: Зина собрала 15 грибов, Дина — 27, Инна — 12, Лена — 11 и Нина — 10 грибов.
Считая, что каждая из девочек нашла хотя бы один гриб, мы заключаем, что этот набор значений является единственным решением задачи.
1308. <гРанним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько предложений можно составить, используя слова этого предложения?
Решение. Будем считать два предложения одинаковыми, если они составлены из одних и тех же слов. В предложения, составленные из слов данного набора, обязательно входит подлежащее «Игорь» и сказуемое «мчался». Для каждого из слов «улыбающийся», «босиком» и словосочетания «на рыбалку» есть две возможности — входить или не входить в предложение. Таким образом можно составить 2-2-2 = 8 предложений. Кроме того, в каждое из полученных предложений можно поставить слово «утром» — и мы получим еще 8 предложений, в каждое из которых можно поставить слово «ранним» — и мы получим еще 8 предложений.
Итак, всего можно получить 8 + 8 + 8 = 24 предложения.
1309. Расставить цифры от 1 до 8 по вершинам куба таким образом, чтобы суммы чисел, стоящих у вершин каждой граниt были равны.
Решение. Обозначим вершины куба буквами, как это показано на рис. 1.
Сумма цифр от 1 до 8 равна 36. Суммы цифр, стоящих в вершинах квадратов A BCD и EFKL, должны быть равными, а следовательно, сумма цифр, стоящих в вершинах любой грани куба, должна равняться 18.
Пусть в вершине А стоит число 8 (этого всегда можно добиться, повернув куб и переименовав вершины). Остальные цифры для граней с вершиной А можно выбрать только следующими способами:
К
Рис. 1
8 + 7 + 2+1 = 18, 8 + 6 + 3+ 1 = 18, 8 + 5 + 4+1 = 18, 8 + 5 + 3 + 2* 18.
Цифра 1 не может стоять в вершине L, так как у нас нет двух наборов без Цифры 1 для заполнения вершин квадратов AEFB и ABCD. По той же причине цифра 1 не может стоять в вершинах К, F, С. Пусть цифра 1 стоит в вершине Е. Если бы она стояла в вершине В или D, мы повернули бы куб и переимено¬
81


вали вершины. Сумма цифр, стоящих в вершинах F и Bt L и £>, а следовательно, в вершинах К и С, должна равняться 9. Число 9 можно составить из неиспользованных цифр только тремя способами: 7 + 2 = 9, 6 + 3 = 9, 5 + 4 = 9, причем цифры 2, 3, 5 должны стоять в вершинах В, С, D, так как цифра 1 уже занята.
Таким образом, чтобы получить все решения, надо поставить в вершине А цифру 8, в вершине Е цифру 1, цифры 2, 3, 5 расставить произвольным образом в вершинах В, С, D, а в вершинах F, /С, L поставить соответствующие однозначно определенные цифры. Таких решений 6.
1310. На гранях кубиков требуется написать буквы русского алфавита. Какое наименьшее количество кубиков надо взятьг чтобы все буквы были написаны одинаковое количество раз?
Решение. 33 буквы русского алфавита нельзя разместить на гранях кубиков, так чтобы все их грани были заполненными. Если же каждую букву взять дважды, то 66 букв можно разместить на гранях 66 : 6 = 11 кубиков. Это и есть наименьшее количество кубиков, удовлетворяющее условию задачи.
1311. Найти все п-значные числа вида *00 ... 0**, которые делятся одновременно на 15, 18 и 20.
Решение. Достаточно потребовать, чтобы искомые числа делились на 9 и 20. Следовательно, последней цифрой искомых чисел должен быть 0, предшествовать ему должна четная цифра и сумма цифр искомого числа должна делиться на 9. Такими числами будут 900...000, 700...020, 500...040, 300...060, 100...080.
1312. Решить в натуральных числах уравнение
5х = 1 + 2у.
Решение. При четном х данное уравнение преобразуем следующим образом:
— 1 = 2У,
(5* _ 1) (52л—2 + 52л—4 + ... + 5s + 1) - 2У,
24 (52п—2 + 52я—4 + ... + 52 + 1) = 2У.
Левая часть последнего равенства делится на 3, а правая нет, так что данное уравнение не имеет решений с четным х.
При нечетном х аналогично получаем:
б2^1—1 =2У,
(5—1) (52л + 52”-1 + ... + 5 + 1) = 2У, 4(52" + 52"-1 + ... + 5 + 1) = 2У.
В скобках левой части последнего равенства стоит сумма нечетного числа нечетных чисел, т. е. нечетное число; поэтому п — 0, откуда х — 1 и у = 2.
1313. Даны параллельные прямые а и b и две точки А а В. Через точки А и В провести соответственно прямые а\ и Ь\ так, чтобы они были параллельны и чтобы диагональ параллелограмма, определяемого парами прямых а, b и аь Ь\, имела заданное направление.
Решение. Искомые прямые ах и Ь\ надо построить так, чтобы прямая, проведенная параллельно заданной прямой /, пересекала а\ и Ь\ в точках, расстояние между которыми равно lAlA/'l, где N — l{\a
(рис. 2). Отсюда следует построение.
Через одну из данных точек, например точку В, проведем прямую 1\ параллельно заданной прямой /. От точки В на прямой 1\ отложим отрезок, конгруэнтный [MN], он займет положение [ВВ{] либо [ВВ^\.
Прямые АВ\ и АВ2 — искомые. Через точку В проведем прямые Ь\ и Ь2 соответственно параллельно прямым ABi и ЛВ2. В общем случае задача имеет два решения.
Если точки А и В принадлежат прямой, параллель¬
ной /, и \АВ\ = \MN\, то задача имеет бесчисленное множество решений.
Если точки А и В принадлежат прямой, параллельно» I, и \АВ\ Ф \MN\, то задача не имеет решений.
1314. 	Дан равнобедренный треугольник ABC. (| АВ I = | ВС I). В области, ограниченной стороной АС и про должениями сторон В А и ВС за вер-
/\
шины А и С, взята точка D так, что ВАС — /\ /\ /\ /\
= 2BDC = a, ADC = Ь. Определить BAD и BCD.
Решение. Построим окружность о>, для которой [ВС] является хордой, стягивающей дугу в а градусов. Точка D принадлежит этой окружности (рис. 3). При-
/\ /\ мем | АВ | =* | ВС | = 1, обозначим BCD = <р, BAD = ф-
Построим хорды DE и ВМ, проходящие через А.
а 1
Из Л BDC 1=2R sin ~к~у поэтому 2R =
.Но
sin ■
\ЕВ\ = 2Rs\n (^S следовательно,
Рис. 3.
(180°
s** —
УХ /ч
Далее, С ВБ = Г80° — Ъ, АВЕ = 180°
-2а) = 2а — 5.
Из треугольника АВЕ по теореме синусов | АЕ |: 1 = = sin (2а — 5):sin (180°-— <р), откуда sin (2а — Ь) sin? w
82


Из треугольника ABE по теореме косинусов sin2 (b — —2~^
1Л£|*-1+-
sin
2
sin
— 2 ■ Аналогично
=$> sin ^ =
(*-т)
fOS (2а —5).
(2)
sin-тт
sin — | BE | sin ср=Ф sin (s ——) Sin (2a — 6)
sin-
\AE\
(3)
2
причем | AE | находим из (2).
1315. Доказать, что если стороны треугольника ЛВС связаны соотношением a2 -f b2 = kc2, то
k 2 •
Решение. Поскольку с < я 4- b и (a 4- b)2 < <2(д24- Ь2), то получаем
a2 4- b2 a2 -f“ i
а г 4- Ь'г
2 (а2 + bг)
с* ^ (а 4- 6)а
что и требовалось доказать.
1316. Доказать, что при натуральном п справедливо неравенство
/»<.+/?•
Решение. При п — 1 неравенство справедливо. Если
л rt __
л > 1, то /я>1, т. е. п *= 1 -f х, где х > 0. Имеем
П = (1 + •*)" — 1 +/UT+ —”2" ^ дсг -f ... + хп>
я(я —1)
или
4(*f+... + **_!)>(*, + .7. + (1)
Из неравенства Коши — Буняковского для jt„
..., хп—х и 1, 1,..., 1 ((п — 1) раз) получается неравенство
(Л—1) (л?+ ... +■*£_! )>(*, + ... +*„_,)»,
и поскольку 4 !>л — 1, то неравенство (1) доказано.
Таким образом, данное неравенство является тождественным только при /1 = 2, 3, 4, 5.
1318. Доказать, что функция -g- х9 + -?р х* +
4- + l пРи любом целом х принимает целые
значения. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы функция у — ах9 4“ Ьхг 4- сх 4- d при всех целых х принимала целые значения. Решение. Представим данную функцию в виде
у — ах* 4- Ьх2 + сх + d
+ 2 Ь
х(х-\)
+ (а + Ь + с) х 4- d.
> 1 + - 2 2 ,/Т
откуда х2 < — и х<у
Л— п — Л /~2
Так как — 1 4- л:, то я < 1 4- |/ —•
1317. При каких натуральных /г > 1 неравенство
Х\ 4” • • • 4" хп ^ (Xj 4" • • • 4“ *^я—i)
выполняется при любых действительных xlt...,xn?
Решение. При *i — л:2 — ... — хп—\ — 1 и хп — 2 получаем л— 1 4-4 >(л—1)*2, откуда л <5. Перепишем данное неравенство следующим образом:
х\ — (*< + ••• + хп-\ ) Хп + (■*? + ••• +*n_l)>°-
Левая часть последнего неравенства есть квадратный трехчлен относительно хПУ который должен принимать только неотрицательные значения, т. е. его дискриминант должен быть неположительным:
(•*1 4“ • •. + хл—i)2^ (**1 + ••• + l) ^
При любых целых х числа (х — 1)х(х 4- 1) и х(х—1) делятся на 6 и на 2 соответственно как произведения последовательных целых чисел. Следовательно, требуя, чтобы числа 6а, 2Ь, а 4- Ь 4- с и d были целыми, мы получаем достаточные условия.
Эти условия будут и необходимыми. Действительно при х =- 0, 1, — 1, 2 получаем целые числа d, а 4- b 4- 4- с 4- dy — а 4- Ь — с 4- d, 8а + 46 4- 2с 4- d, откуда a + b + c^fa + b + c + d) — d — целое, 2Ь =» (а 4- b 4- 4-с4-*0 + ( — а + b — с 4- d) — 2d— целое, 16 а = (8а4- 4- \Ь 4- 2с 4- d) 4- 2 ( — а 4- b — с 4- d) — 6b — 3d — целое. Значения а «■ ~g~, b = —, с = -g- и d = 1 удо&.
летворяют найденным необходимым и достаточным условиям.
1319. Решить уравнение
2 4- sec х sec Зх — 2 ctg 2х tg Зл:.
Решение. Область допустимых значений данного уравнения определяется условиями cos хфО, cos Зл: ф 0
и sin 2х ф 0, откуда хф-^к и хф -g- 4- ~7£-k. В этой области имеем:
/cos2x sin3jt \
\sin2j: ‘cos Ъх )9
sec х sec Зх < sec х sec 3*
sec x sec Зх ■- sec x sec 3x *
sin 2x 9 cos 3x ‘ sin(3jc — 2x) sin 2x cos3jc' sin x
2 sin x cos x cos 3x 9 » sec x sec 3x.
Следовательно, область решений данного уравнения совпадает с областью допустимых значений.
1320. Решить систему уравнений
( IOjc2 4- 5у2 4-13*2 = \2ху 4- *xz 4- буг,
I д:3 + У* + г8 - 288.
Решение, Первое уравнение данной системы приводится к равенству
(3* — 2у)2 4- (х— 2г)2 + (у ~ 3г)2 - 0,
83


которое выполняется только при х =’*2г и у = 3г.
Подставляя найденные выражения х и у через z во второе уравнение, получаем
(2zf + (Зг)* + 2® ~ 288,
откуда г — 2, а следовательно, дс = 4 и у — 6.
Итак, данная система имеет единственное решение х = 4, у = 6, 2 = 2.
1321. 	Дан треугольник ABC с площадью S'. Три прямые, параллельные соответственно трем сторонам этого треугольника и пересекающие их, образуют треугольник MNK с площадью S". Сторонами этих двух треугольников определяются шесть треугольников с площадями St, S2, Sif S4, S6 и S6.
Доказать, что j/"S, -f yr~S2 + y^Sj + VS* + V+
+ - /s7 + /s77.
Решение. Пусть данные треугольники ABC и MNK расположены, как показано на рис. 4.
Нетрудно видеть, что все восемь треугольников подобны. Из подобия треугольников MNK и DAE имеем
в
yS»-.yrSl = \MK\:\DE\.
Учитывая, что
| МК | = | ME | + | ED | -f | DK I,
получим
/S77 | ME j | DE\ | D/Cl /S7'
/37 “ \DE\ + \DE\ +| DEI ^ /s; “
_ v''’S2 -f- VSx + ~)/~S6
/s;
откуда ,
yTs* - + yrsi + /s;. (i)
Аналогично, рассматривая подобные треугольники АБС и NQP и учитывая, что | БС j = j БР | + | PQ | -+ | QC |, получим
У S' ■* yr~S3 -f S4 -f- |/"Sg. (2)
После почленного сложения равенств (1) и (2) получим требуемое равенство.
1322. 	В трапеции с основаниями а и b {а > Ь) и высотой h диагонали взаимно перпендикулярны, а боковые стороны об разуют острый угол а. Доказать, что
Решение. Пусть в трапеции A BCD ([AD] О [ВС])
/\
\AD\-a, \ВС\ = Ь [АС] ± [BD\t (АВ, DC) = а 84
(ркс. 5). Обозначим | АВ | = х, } DC | * у. Через вершину В проведем [BE] параллельно [CD], тогда
/х
, АВЕ = а, \АЕ\-а — Ь, | BE | = у.
Вычислим площадь треугольника41 АВЕ. С одной стороны,
1 f
$аве = ~ k(a'—b)e
с другой,
1
S,y*£ = —-tysina.
Отсюда
h (а — b) = ху sin а.
По теореме косинусов для треугольника АВЕ имеем (а — bf = х2 -{- у2 — 2ху cos а.
Используя полученное выше равенство, запишем (а — Ь)2 = х2 + у2 — 2h (а—6) ctg а,
Из прямоугольных треугольников с общей вершиной О по теореме Пифагора следует, что
\АО |2 + | ВО |2 = х2% | £0 |2 + | ОС |2 = Ъ2,
| ОС |2 -Ы OD |2 = у2, | OD |2 + | ОЛ |2 = а2.
Складывая почленно эти равенства, получим а2 + Ь2 = х2 у2,
а тогда
(а — Ь)2 = л2 -f b2 — 2h (а — £) ctg а.
Отсюда
1 /1 1 \ аб =■ Л (а — 6) ctg о и ~)
1323. 	Из точки, принадлежащей диаметру длины 2R некоторой полуокружности, проведен к нему перпендикуляр. Окружности радиусов г\ и г2 проведены так, что каждая из них касается диаметра, полуокружности и перпендикуляра. Доказать, что
/■« + rj<2^(y^2 — 1).
Решение. Пусть точка О — центр окружности радиуса R. На диаметре АВ окружности выберем точку С и проведем [CD] 1 [АВ] (рис. 6). Пусть (Ои гг) и (02, г2) — указанные окружности, (09, гя) — образ окружности (02, гг) в симметрии относительно диаметра АВ. Очевидно, точки Ои С, 03 принадлежат одной прямой. Для точек О, 03,01 выполняется неравенство 10,0, |< Ю,0| + |00,|._
Так как | О, Ог | = >^2 (г, + г,), |0,0|~Я — ги
|00,| = R— гг, то /2(г, + r2) <2R — (г, + гг) и
2 R
Г' + Гг< /2+_1 ’
Таким образом, rx -J- гг < 2R (уг2 — 1).


Рис. 6
Если точки О и С совпадают, то
гх + г, - 2R (/2 — 1).
В этом случае
г, — г2 и г, — Ж/Т— 1).
1324. Б окружность единичного рад uvea вписан правильный семиугольник Ах А2А3АХ A5AqA7. Доказать, что квадраты, длин хорд АХА2, AxAtt АХА4 являются корнями уравнения
ха — 7х2 -f 14* — 7 = 0.
Рс\шЛн?,е- Пусть Is,
л'з — являются корнями уравнения **— 7*2 4-
4-14* —7 = 0. Поскольку данный семиугольник правильный, то
I АхАг | = 2 sin у, | Л1Л31 = 2 sin у,
Тогда
Зтс
| AiA^] — 2sin —.
г 4 sin
Зтс
Х\ 4 sin2 у , в 4 sin2 -j и хз = ч sin ^
Покажем, что хи xtf х8 удовлетворяют условиям теоремы Виета, т. е.
( *1 + Хг + хг - 7,
| -*1*2 + = 14,
ХгХпХъ — 7.
V 1 л. 2 л. з
1) Хх 4- х2 -f Хг — 4
(sin2 -у- +
_ 2тс Зтс \
sin2 — 4-sin2—J ,
/ 2тс 4тс бтс \
I cos — 4- cos у 4- cos — )
2 / 2тс тс 4тс тс
5 тс— \cos ~7~ sin ~Т cos ~7~~ sin "У
Sin —
бя t it \ г 1 / Зтс тс
4- cos — sin ~ ) «б — — (sin у — sin -у 4*
sin у
бтс Зтс 5тс \
4- sin у — sin у — sin у ) = 7.
= 16 (s
2) лг,лг2 + дг,дг3 f x,x3 тс Зтс
sin2 -y sin2y
.. Jtc 2tc 3tc \
4- sin2 у sin2 у 4 sin2 у sin2 — J = 12 —
— 4 J^2 ^cos у
2n 4tc 6tc \
4- cosy 4~ cos у 1 .
2tc
4tc
cos cos у *4*
14.
2* бтс 4тс бтс \1
-f cos у cos -у 4- cos — cos у ) = 12 —
/ 2тс 4тс — 4 (cos у 4- cos у 4-
3) хххгхг
/ 2тс\/ 4тс \ / бтс \
^8(1 — cosy HI — cos — HI — cos у)
бтс д cos у )
.тс „ 2тс Зтс • 64 sin* у sin2 у sin2 у
2тс
I — 8 cos 4
2tc 7 2
^ COS COS у
sin
4тс бтс
4тс 4tc бтс ' sin у cos у cos у
8тс
бтс
sin ■
2tc
sin у cos у
7.
В условии задачи, опубликованном в № 1 журнала за 1974 г., допущена опечатка: корнями уравнения являются не длины хорд, а их квадраты.
1325. 1) Отрезки длиной а и Ь принадлежат различным. параллельным прямым. При помощи одной линейки построить отрезок длиной х, чтобы
JL JL 1
х “ а
+ т-
2) Отрезки длиной а и b принадлежат одной из параллельных прямых, а отрезок длиной с — другой из них. При помощи одной линейки построить отрезок длиной х, чтобы
1111 х “ а "*■ Ь с *
Решение. 1) Пусть m И п, [АВ] с m,, [CD] С п и \ АВ\=*а, \CD\ = b (рис. 7). Построим отрезок ab
длиной л: - .
м
Рис. 7
Отметим точки (АО)П(ВС) = М, [AC]C\[BD] = О и проведем прямую МО, пересекающую отрезки А В и CD в точках Е и F. В четырехугольниках AEFD и EFCB построим точки пересечения диагоналей: [££]П[Л/Ч - К. - L. Отрезок KL — иско¬
мый.
Доказательство. Четырехугольник A BCD — трапеция. Прямая МО, проведенная через точки пересечения ее диагоналей и продолжений боковых сторон, делит основания АВ и CD пополам (доказательство
общеизвестно), т е. j АЕ I — 1 BE 1 — у, [ =[С/7|—
85


b Решение.
—. Из подобия треугольников Л£/( и DKF сл^-
\ЕК\ а дует, что • | =* ~у"» отсюда
\ЕК\ а
| DE\ ~ а + Ь *
Аналогично из подобия треугольников ELB и FLC
запишем
\EL\
\СЕ\ а + Ь- Сравнивая две последние пропорции, получим, что
\EK\_ \EL\
\DE\~\CE\ •
I K,L I \ЕК\ Отсюда Д KLE оо д DEC, а тогда | q-щ =
1 /<Z. | =, JC —
а + Ь
103
lE=0(mod3/4-i),
т. е.
W3 = 1(якм13л+>),
откуда
103*‘* = 1 (mod Зя+1) для любого натурального k.
Таким образом,
2 Ю3"* нг n(mod3n+«)
k=l
и 0 < £ < /?2 — 1, то Ср Зттт1 щ (■—!)* (mod р).
2) 	Используя предыдущее построение, найдем отрезок длиной у, чтобы
J__ _1_
у в а с *
Далее строим отрезок длиной л:, такой, что
J 1_ _1_
х ”* у b '
Построенный отрезок длиной х — искомый.
п
1326. 	Найти остаток от деления 2 на
k—i
Зп +• \
Решение. По теореме Эйлера
Ю? (зл+1) = j (mo(j 3”+,),
но ф(Зл+1) = Зл*2, поэтому
(l03“)2£= 1 (mod Зл+«),
ИЛИ
(lO3" — l) (lO3” + l) = 0 (mod Зл+>).
оЛ
Число 10° 4-1 не делится на 3, так как сумма цифр его равна 2. Следовательно,
г* {р'-\)(р'-Ч)...(р'-Ю V-1- 1-2.....ft “
_ /_п* 1~р' . ?-р\. . . L~P*
-(—О ! 2 ”• k ■
Если число 5 из промежутка 1 «< s < k не делится на р, т. е. БфО (mod р), то, поскольку 5 — р2~ s (mod р), в поле 1р вычетов по модулю р s-Р2 -
S в А-
s —р2
Если же s делится на р% т. е. s *= тр, то —-— — т— р
= ———. Но т < р, так что т не делится на pt по- т— р
этому ——— в поле Ър равно 1.
Таким образом, в поле Ър
С*^-(-
или, что то же самое,
Ср'—1 = (— l)ft (mod р).
1328. 	Дан косой четырехугольник ABCD, у которого А = В, С = D. Доказать, что \ AD | — | ВС |, \BD\~\AC\.
Решение 1. Имеем (рис. 8):
ABAD - ВАВС
cos Л = ——:—17", cos В =—————.
\AB\.\AD\
\ВЛ\\ВС\
Рис. 8
Поскольку А = В, то
AB-AD В А • ВС
\AD\ ~ \ВС\ *
СВ CD DA DC
Аналогично
\св\
|£М|
(1)
(2)
и искомый остаток равен п.
1327. 	Доказать, что если р—простое число
86
Примем произвольную точку О за начало [векторов. Из (1) и (2) следует:
(В— A) (D— А) (А т- В) (С В)
[AD[
\ВС[
(3)


\св\
-* -► -V ->• ->
A-C—A-D—D-C + D* |Di4|
(6)
После почленного сложения равенств (5) и (6) приходим к равенству
-> -> ->--»■ -> ->• -> -> ->
(A — Df + A-C — D-C + BD—BA \AD\
-> -> ->■ ->■ -*■ -V
(В — С)*4-Л-С — Л-Б + BD — C-D • " |CJ5|
из которого после несложных преобразований следует, что
1ЛД1 I (С-В)(А-Р)
I AD I + | др | — | ВС | -J*
+
Отсюда
((C-B)(A-D)
|СВ|
( cb dI \
V-| ВС |*| AD \/~
(| AD | — I ВС |) \\ — j вс |.| AD
Но векторы ВС и DA неколлинеарны, поэтому ВС-йАф Ф | ВС\-\ AD |. Следовательно, | AD | — | ВС | . Из конгруэнтности треугольников ABC и ABD следует \AC\-\BD\.
Решение 2. Построим общий перпендикуляр I прямых АВ и DC. Пусть он пересекает их в точках М и N. Построим прямую В\Си симметричную прямой ВС относительно /. Если допустить, что (ВХСХ) ф (AD), то получим четырехугольник ADC\B\, у которого сумма углов равна 2л (А Ф BXt D Ф С^. Это значит, что четырехугольник плоский и прямые АВ и CD лежат в одной плоскости, что противоречит условию задачи.
Если А — В\, ОфС\, то получаем треугольник ADCU у которого внешний угол равен внутреннему, не смежному с ним, чего быть не может. Следовательно* А = В\ и D «а Cj. Но тогда в силу осевой симметрии \AD\-\BC\ и |ЛС| = |ВО|.
1329. 	Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса его третьего плоского угла перпендикулярна первым двум биссектрисам.
Решение. Пусть дан трехгранный угол SABC (рис. 9). На ребрах его SA, SB, SC отложим единич-
ные векторы ех, ett е3 соответственно. Направляющие векторы биссектрис плоских углов AS В, BSC, CSA
соответственно раины 4 еъ 4- ех. Соглас¬
но условию биссектрисы двух плоских углов взаимно
*► -г —►
перпендикулярны. Пусть (ех + е2) (ег + ех) — 0. Отсюда -*■ -*•
ех ел 4- е9 4* + 1 — 0. Используя полученное ра¬
венство, нетрудно показать, что две другие пары биссектрис также взаимно перпендикулярны. Действительно,
(ех + et) (е9 + еь) — ех et + ех ег 4- ez ex 4* 1 = 0,
—>■ ->• —► -4- ->■ -> ->■ —-►
(е, + <?,)(<?, + е,) - еу et + е, et + е, е, + 1 - 0.
1330. 	На плоскости даны два подобных и одинаково ориентированных треугольника ABC и АХВХСХ. Доказать, что
\ААг\\ВС\<\ВВх\\СА] + \ССх\\АВ\.
Решение, Пусть вершинам треугольников ABC и АХВХСХ в комплексной плоскости соответствуют
числа а, Ь% с и аъЬх,сх. Так как | zx-z2 \ = | zt |-| z2 | и | гх 4- г% | < | гх | + | гш |, то
\ВВХ \ | С А | 4-1ССХ | |ЛВ|-|<*1-*> (а~с) | +
+ I (ci — С)(Р — а) | — | bxa — ab — bxc + bc j -f-
+ I cxb — сЪ — сха 4* ас | > | bxa — ab —
— Ьхс + схЬ — сха -f ас |.
По условию треугольники ABC и АХВХСХ подобны
и одинаково ориентированы, поэтому
а — b ах — Ьх
Ь ~ с Ъх ““ сх
Отсюда
(а — Ь) (Ьх — сх) = (ах — bx) (b — с) ab, — ас, 4*
-f bcx — ахЬ 4 с 4 Ь^ == 0.
Следовательно, полученное выше неравенство можно записать так:
| ВВ\ \ | С A J -{-1 ССХ | | АВ | ^ j Ьха — аЬ — Ьхс 4-
4- 	схЬ — сха 4-ас — (abx —асх 4- Ьсх — ахЬ 4- ах с 4- Ьхс)\ =* — | axb — ахс — ab 4- ас | \ах — а | \Ь—~с\.
Так как \ах — — \ААХ\, | b — с | — | ВС |, то
справедливо неравенство
\AAt\\BC\<\BBt\ \СА\ + \ССг\\АВ\.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО NS 1 ЗА 1974 г.
Абиров А. К. (Гурьевская обл.) — 1306, 1307, 1309, 1311, 1312, 1315—1320, 1322, 1326, 1327. Алиев Э. И. (Ташкентская обл.) — 1306, 1307, 1309—1312, 1315, 1316,
1319—1325. Амирбаев К. (Каракалпакская АССР, Чим- байский р-н) —1306—1308, 1311, 1312, 1314, 1316, 1319,
87


1320, 1322, 1325, 1329. Асенов А. (Болгария, г. Бов) — 1309, 1311—1316. Бабаян Г. А. (АрмССР, г. Горис) — 1306, 1307, 1309—1313, 1315, 1318, 1328. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 1306, 1307, 1309—1313, 1316,
1320—1322. Багиров М. О. (АзССР, Физулинский р-н) —
1306, 1309—1312, 1315, 13)9—1322. Баламетов Г. И. (АзССР, г. Кусары) — 1306—1311. Баламетов И. Г. (АзССР, г. Кусары) — 1306—1312, 1315—1321, 1325. Богомолов А. П. (КазССР, г. Петропавловск) — 1306— 1325, 1327. Вакутин А. В. (г. Уфа)— 1306—1311. Ветров К- В. (г. Братск) — 1306—1313, 1315—1317, 1319—
1323, 1325. Владимиров А. С. (г. Асбест) — 1306—1330. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) — 1306—1329. Джаббаров М. Б. (АзССР, Саатлинский р-н) — 1306,
1307, 1309, 1314—1324. Джалалов А. (Андижанская
обл.)— 1307, 1309, 1311—1321, 1325. Докучиц А. Г1. (г. Брест) —1306, 1312, 1315, 1316, 1318, 1319, 1321—
1324, 1327, 1328. Екшембеев Г. М. (Татарская АССР, с. Нижний Услон) — 1306—1312, 1315, 1317, 1319—1323, 1326—1329. Енокян Д. М. (АрмССР, пос. Веди) — 1306, 1307, 1309—1312, 1315, 1316, 1318—1322. Жохов Н. И. (Москва) — 1306—1318, 1320—1323, 1325. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1306—1320, 1322. Иванов К. А.
(г. Днепропетровск) — 1306—1327. Каминский К. II. (Киевская обл.) — 1306, 1307, 1311 — 1316, 1318—1325, 1327, 1329. хМакаров М. Ф. (Орловская обл.) — 1306, 1307, 1309—1313, 1315, 1318—1320. Мамедов О. И.
(АзССР, Саатлинский р-н) — 1306, 1307, 1309, 1311,'
1312, 1315—1324. Мамедов Э. О. (АзССР) — 1306,
1309—1311, 1315, 1317, 1319—1321. Маркарян Г. А.
(г. Ереван) — 1306, 1307, 1309—1313, 1316, 1319. Мо- сян М. А. (г. Краснодар) — 1306—1313, 1315, 1316, 1319, 1320, 1322. Мун В. К. (Ташкентская обл., г. Чиназ) — 1306—1313, 1315—1327. Мухамбеткалиев X. М. (Гурьевская обл.) — 1306—1313, 1315—1323, 1326, 1328. На- биев Д. (АзССР, г. Варташен) — 1306—1309, 1311—
1313, 1315, 1318—1320, 1325, 1326. Невзоров А. Л.
(г. Кременчуг) — 1306, 1307, 1309—1311, 1313, 1315,
1319—1322 Османов Д. Д. (ГрузССР, Болнисский р-н) — 1306, 1308, 1311, 1312, 1316, 1319, 1320, U22.
Панченко Я. Е. (г. Невинномысск) — 1306, 1309—1311, 1315, 1316, 1320, 1323. Повелий В. И. (Ровенская
обл.) — 1306, 1309, 1311, 1312, 1315—1323. Полхов-
ский Н. Н. (г. Фергана) — 1306, 1.309, 1311, 1319—1323. Проскуряков А. А. (Свердловская обл.) — 1306—1312, 1315, 1316, 1320, 1323. Саргсян Г. А. (г. Иджеван) —
1311, 1312, 1315, 1316, 1318—1321. Симеонов А. А. (Болгария, г. Бов) — 1320—1327, 1329, 1330. Смирнов Г. Е. (Псковская обл.) — 1306—1311, 1320. Сысуев Г. Я. (Хабаровский край, прииск Херпучи) — 1306, 1307, 1309,
1312, 1315, 1318, 1320, 1322, 1323. Тевосян К. Г.
(г. Ереван) — 1306, 1310—1312, 1315—1320, 1322, 1325. Тимошенко Н. Р. (Черниговская обл.) — 1306—1327. Ткачев В. Ф. (Воронежская обл.) — 1306—1313. 1315— 1323, 1325—1327. Утемов В. А. (г. Красноуральск) — 1306—1313, 1315—1328. Цхай Т. Т. (г. Андижан) -
1306—1329. Чабанюк И. М. (Орловская обл.) —1306— 1311, 1315—1317, 1319, 1320, 1322, 1325. Шнипор Б. Н. (Винницкая обл., г. Литин) — 1308—1312, 1315, 1317— 1325. Юсупов В. К- (Северо-Казахстанская обл.) — 1306, 1308—1310, 1312, 1319, 1320, 1322.
Математические кружки: 173-й шк. Киева (рук.
М. М. Гитман) — 1306, 1310, 1313, 1315, 1316, 1320— -1322; 6-й шк. Вильнюса (рук. М. И. Гольдшгейнас) — 1311, 1312, 1315—1321, 1323, 1325; 2-й шк. с. Кузоватова Ульяновской обл. (рук. Н. К. Ермолаев) — 1306—1313, 1315—1326, 1329; 106-й шк. г. Уфы (рук. В. И. Карпу- шенко) — 1306—1311; 178-й шк. Киева (рук.
И. А. Кушнир) — 1311, 1315, 1316, 1319—1322, 1325;
118-й шк. г. Уфы (рук. Р. М. Лукманов) — 1306, 1309, 1311, 1312, 1318—1320; 2-й шк. г. Рогачева Гомельской обл. (рук. С. Л. Нахамчик) — 1306—1312, 1315, 1316,
1318—1321, 1324, 1326—1328; 2-й шк. с. Русского Андижанской обл. (рук. О. Саттаров) — 1311, 1312, 1314,
1315, 1318—1321, 1323; 173-й шк. Киева (рук.
Р. П. Шейнцвит) — 1306—1313, 1315—1327.
Математический календарь на 1974 [75 учебный год
Ноябрь
8 ноября — 60 лет со дня рождения советского математика Михаила Александровича Пудовкина. Он родился в с. Панове, ныне Татарской АССР, окончил Казанский университет (1938), доктор физико- математических наук (1966), профессор. В 1938—1940 гг. работал в Куйбышевском индустриальном институте, с 1940 г. (с перерывом 1941 — 1945 гг.) работает в Казанском университете. Основные труды Пудовкина относятся к теории функций действительного переменного и теории дифференциальных уравнений в частных производных (см.: «История отечественной математики», т. 4 (кн. 2). Киев, 1970).
15 ноября — 80 лет со дня рождения русского математика Михаила Яковлевича С у с л и н а (см.: «Математика в школе», 1964, № 6).
19 ноября — 80 лет со дня рождения швейцарского математика Хейница (Гейница) Хопфа или Гопфа (1894—1971). С 1931 г. Хопф был профессором Цюрихской высшей политехнической школы; он был близким другом академика П. С. Александрова, вместе с которым в 1927—1928 гг. они были в Принстоне в качестве рокфеллеровских стипендиатов. Основные работы Хопфа относятся к топологии и топологическим свойствам дифференциальной геометрии, где его именем названы проблема, теорема, группа (см.: «Биографический сло¬
варь деятелей естествознания и техники», т. 1. М., 1958; X. Хопф. Некоторые личные воспоминания, относящиеся к предыстории современной топологии; «Успехи математических наук», 1966, 21, № 4).
20 ноября—125 лет со дня рождения русского историка математики Виктора Викторовича Б о б ы- н и н а (см.: «Математика в школе», 1964, № 6).
26 ноября — 80 лет со дня рождения американского ученого — «отца кибернетики» Норберта В и- н е р а (см.: «Математика в школе», 1964, № 4).
29 ноября — 70 лет со дня рождения советского математика Ивана Евгеньевича Базилевича. Он родился в с. Годуновке, ныне Сум¬


ской области, окончил Электромашиностроительный институт (1927), Московский университет (1930), доктор физико-математических наук, профессор (1950). Работал в ряде вузов Москвы и Саратовском университете, с 1951 г. работает в Московском институте стали и сплавов. Основные работы Базилевича относятся к теории функций комплексного переменного и программированию (см.: «Успехи математических наук», 1965,- т. XX, вып. 5; «История отечественной математики», тт. 3—4).
Декабрь
3 декабря — 90 лет со дня рождения советского математика и механика Владимира Васильевича Голубева (1884—1954). Он родился в г. Сергиев посад, ныне г. Загорск Московской области, окончил Московский университет (1908), доктор чистой математики, профессор (1917), член-корреспондент АН СССР (1934), заслуженный деятель науки и техники РСФСР (1943). В 1917— 1930 гг. работал в Саратовском университете, с'1932 г. — начальник кафедры высшей математики в Военно-воздушной академии имени
Н. 	Е. Жуковского. Основные работы
В. 	В. Голубева относятся к теории функций комплексного переменного (теорема Голубева — Привалова), аналитической теории дифференциальных уравнений, гидро- и аэродинамике, прикладной математике и истории механики и математики (см.: «Прикладная математика и механика», т. 19, вып. 2, 1955; БСЭ, 3-е изд.).
4 декабря — 400 лет со дня смерти немецкого астронома и математика Георга Иохима Ретика (1514—1574) (см.: «Математика в
школе», 1964, № 1).
8 декабря — 80 лет со дня смерти великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева (см.: «Математика в школе», 1946, № 3; 1948, № 5; 1951, № 3; 1962, № 1; 1964, № 6; 1971, № 3).
8 декабря—50 лет со дня рождения советского математика, лауреата Ленинской премии Сергея Всеволодовича Яблонского. Он родился в Москве, окончил Московский университет (1950), доктор фи- зико-математических наук (1962), профессор (1964), член-корреспон- дент АН СССР (1968). С 1953 г. работает в Институте прикладной математики АН СССР. Основные труды Яблонского относятся к математической логике (алгебра логики, дескриптивная теория множеств) и математическим исследованиям, свя¬
занным с эксплуатацией электронно- вычислительных машин (в частности, математической кибернетике). Еще будучи аспирантом П. С. Новикова, Яблонский получил существенные результаты в алгебре логики. За цикл работ по математической теории синтеза улравляющих систем
С. 	В. Яблонскому, Ю. И. Журавлеву и О. Б. Лупанову в 1966 г. была присуждена Ленинская премия (см.: «Математика в школе», 1966, № 6; «История отечественной математики», т. 4).
10 декабря —170 лет со дня рождения немецкого математика, члена Берлинской АН и многих других академий, почетного члена Петербургской АН Густава Якоби (см.: «Математика в школе», 1964, № 6).
13 декабря — 250 лет со дня
рождения немецкого математика Франца-Ульриха-Теодора Э п и н у с а (1724—1802), Он родился в Ростоке, умер в Дерпте, член Петербургской АН. Его основные работы относятся к общей теории уравнений, в частности ему принадлежит одно из доказательств так называемого правила знаков Декарта.
16 декабря—170 лет со дня рождения известного русского математика члена Петербургской АН Виктора Яковлевича Б у н я к о в- ского (см.: «Математика в школе», 1948, № 3; 1954, № 4; 1964, № 6; 1966, № 3).
21 декабря — 60 лет со дня рождения советского математика Георгия Северьяновича Ч о г о ш в и- л и. Он родился в г. Сачхаре, ныне Грузинской ССР, окончил Московский университет (1936), доктор физико- математических наук (1945), профессор (1946), академик АН ГрузССР (1960), заслуженный деятель науки ГрузССР (1966). С 1939 г. работает в Тбилисском математическом институте АН ГрузССР и с 1943 г. также в Тбилисском университете. Основные труды Чогошвили относятся к топологии, алгебре и вариационному исчислению (см.: «Успехи математических наук», 1965, т. 20, вып. 5; «История отечественной математики», т. 3—4).
31 декабря — 75 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН СССР лауреата Государственной премии Лазаря Ароновича Люстерника (см : «Математика в школе», 1969, № 5).
▲. И. БОРОДИН
(г. Донецк)
АВГУСТ АВГУСТОВИЧ ЛЁВЕ (1824—1893)
Август Августович Лёве принадлежит к славной плеяде русских педа- гогов-математиков второй половины XIX в., усилиями которых были созданы многочисленные учебные руководства по математике.
А. А. Лёве родился 3 ноября 1824 г. (по ст. ст.). Образование получил в Петербурге — в Николаевском инженерном училище, а затем в Военно-инженерной академии (1846). Преподавательская деятельность его протекала в военно-учеб- ных заведениях, где он преподавал математику, а также геодезию, черчение и фортификацию.
А. А. Лёве создано несколько учебных руководств по арифметико, многие из которых выдержали проверку временем и были неоднократно переизданы: «Практические задачи по арифметике» (1850), «Арифметика и собрание арифметических задач» (1857), «Курс арифметики и собрание арифметических задач» (1857), «Общепонятная арифметика» (1864), «Первоначальные упражнения в арифметике» (1867). Особенно следует отметить изданную в 1867 г. «Арифметику для начальных народных училищ», которая прошла по конкурсу в Ученом комитете Министерства народного просвещения. По отзыву П. Л. Чебышева, эта работа «далеко оставила за собою все прочие сочинения» по простоте, наглядности и ясности изложения.
Большой интерес проявлял А. А. Лёве и к преподаванию геометрии. Им написаны «Начальные основания геометрии» (1868), «Наглядная геометрия и собрание геометрических задач (1873). Лёве изданы также «Начальная алгебра и собрание алгебраических задач» (1865) и учебники по геодезии и по теории перспективы.
А. А. Лёве выступал с методическими статьями на страницах «Педагогического сборника», «Народной школы» и других периодических изданий того времени. Представляет значительный интерес его статья «Приближенные вычисления» («Педагогический сборник», 1884, № 7), где он, в частности, пишет: «...следовало бы пожертвовать в пользу приближенных вычислений правилами пропорционального деления и смешения, задачи на которые, как известно, решаются с помощью уравнений. Устранение этих правил не может считаться ущербом для курса арифметики, который давно бы следовало поставить на более научную почву».
Б. Н. БЕЛЫЙ
(Киев)
$9


ЗА РУБЕЖОМ
3. 	И. ТУРЛАКОВА
(г. Тирасполь)
ОБЗОР БОЛГАРСКОГО ЖУРНАЛА «МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА» ЗА 1973 Г.
«Математика и физика» — орган Министерства просвещения Болгарии и Союза болгарских учителей математики и физики средних общеобразовательных школ и специальных техникумов.
Журнал выходит один раз в два месяца и имеет разделы: „научно-популярный”, „методика преподавания”, „из опыта работы учителей”, „модернизация преподавания”, „исследования”, „внеклассная работа”, „эксперимент”, „колонка инспектора”, „из писем читателей”, „критика”, „задачи”, „наша консультация”, „наши ученые”, „конкурсы”, „экзамены”, „библиография” и др.
Мы остановимся здесь на тех математических материалах, которые, по нашему мнению, представляют наибольший интерес для советских читателей.
1. 	Средние школы Болгарии переходят на новые планы и программы. Реформа математического образования обсуждается как с точки зрения содержания, так и с точки зрения методов преподавания.
В 1972 г. создана новая программа по математике для I—III классов; с 1973 г. началась реализация этой программы.
И. Ганчев в статье «К вопросу о современной реформе по обновлению математического образования и ее отражение у нас» отмечает, что в основу этой программы заложен теоретико-множественный подход при изложении курса математики. Дети знакомятся с понятиями: множество, подмножество, взаимно однозначное отображение одного множества на другое, сечение, дополнение множества. На основе именно этих понятий проводится введение понятия натурального числа, действий над натуральными числами, геометрической фигуры и др., т. е. всех основных понятий традиционного курса математики начальной школы.
В конце 1973 г. создан проект программы по математике для IV—X классов. Основные положения проекта сообщались в статье Д. Серафимова.
Проект углубляет и расширяет те идеи, которые заложены в курсах I—III классов. Предполагается изу¬
чение десятичных дробей в IV классе, положительных
и отрицательных чисел в V классе, до изучения обыкновенных дробей. Геометрический материал IV и V классов связывается по возможности с алгебраическим и арифметическим и в отдельный предмет не выделяется. В VII классе дается понятие квадратного корня (учитывая нужды геометрии), вектора, системы координат и тригонометрических функций (учитывая нужды физики). Систематический курс геометрии начинается в VI классе на основе геометрических преобразований (параллельного переноса, симметрии и поворота).
Проект предусматривает фуркацию учащихся IX и X классов по четырем профилям: физико-математический, историко-филологический, биолого-химический и производственный.
Обучение должно проводится согласно следующей недельной сетке часов:
IX
X
Классы
IV
V
VI
VII
VIII
Фигико-
матем.
проф.
Ос¬
таль¬
ные
Физихо-
матем.
проф.
Ос¬
таль¬
ные
Количество часов
6
6
5
5
4
6
4
6
4
В проект программы старших классов включены элементы теории множеств, применение неравенств при оценке точности в приближенных вычислениях, элементы вычислительной техники, теории вероятностей и статистики, элементы комбинаторики, интеграл и его приложение при вычислении площадей, поверхностей и объемов.
Рекомендуется некоторые теоремы планиметрии в VI—VIII классах и некоторые вопросы стереометрии в IX—X классах принимать без доказательств.
Авторы проекта программы стремились к тому, чтобы соотношение между теоретическими и практическими занятиями было бы в IV, V, VI классах 1:2, а в остальных не более, чем 2:3.
Довольно широко обсуждаются новые методы преподавания математики. Болгарских учителей волнует и метод обучения через задачи, и применение технических средств обучения, и вопросы программированного обучения. С этой точки зрения интересны статья Б. Панова «Каналы для осуществления обратной связи в учебном процессе» и статья М. Желязовой «Математические тесты». Кроме теоретических вопросов здесь даны конкретные бланки (типа перфокарт) для непосредственного использования на уроках стереометрии.
Реформа математического образования не ограничивается средними школами; ею затрагиваются и математические курсы вузов страны. Этому вопросу посвящена статья С. Манолова «Математическое образование во втузе и его связь с обучением математике в средней школе».
2. 	Много статей посвящено методической разработке отдельных тем. Перечисляя названия некоторых из них, мы дадим возможность нашим читателям представить себе тематику тех конкретных вопросов, которые обсуждаются на страницах журнала «Математика и физика».
Вот некоторые из них:
Л. Портев «Иррациональные неравенства»;
Г. Коларов «Урок по решению задач с использованием тождества а2 + b2 — (a -f b)2 — 2ab\
Ил. Пашов и Здр. Краичева «Урок «Осевая симметрия»;
90


Я. Велева «Урок по решению задач с использованием неравенства а-\- b ^ 2Уab»\
Р. Грозданов «Приложение и обобщение неравенства а b
при ab> О»;
Б. Божидаров «Разложение полиномов на множители»;
Я. Мартинов «О понятии угла» и др.
3. Некоторое внимание уделяется вопросу о расширении и углублении знаний учителей по вычислительной технике. Именно этому служат статьи М. Бырнева «Основные сведения об языке ФОРТРАН» и «Дополнительные сведения о языке ФОРТРАН» и др.
4. В ряде номеров журнала печатаются статьи советских авторов. По содержанию это статьи различного характера.
В № 5 и 6 печатается статья Ю. Колягина (Москва) «Общая типология задач и ее приложение в педагогике математики». В ней выясняется понятие «задача». Подход кибернетико-психологический.
В двух номерах напечатана статья Э. Г. Готмана (г. Арзамас) «Изучение метрических зависимостей между элементами треугольника на занятиях математических кружков» и в последнем номере 1973 г. — статья Л. М. Лоповок «Математические задачи творческого характера».
Фамилии советских авторов имеются в разделе задач как в качестве составителей, так и в качестве авторов решений.
В № 5 редакция поместила по просьбе читателей библиографию по теме «Структура урока» и «Программированное обучение» по математике и физике.
5. В журнале имеется раздел «Колонка инспектора», в котором инспектора рассказывают о результатах проверки средних школ. Читатели знакомятся с опытом работы передовых учителей; предупреждаются относительно некоторых возможных ошибок в работе, узнают
тексты некоторых контрольных работ, проведенных инспекторами в проверенных школах. Полезен, конечно, и анализ результатов таких контрольных.
6. Своеобразен раздел «Наша консультация». В нем редакция отвечает на вопросы читателей. Полные, терпеливые, в хорошем дружеском тоне ответы располагают читателей к откровенности. Почти в каждом номере имеется рубрика «Наша консультация». Приведем, для примера, несколько вопросов, на которые отвечает редакция:
1) «Можно ли сформулировать предложение, обратное предложению из курса стереометрии X класса: всякая плоскость, которая пересекает одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую?»
2) «Дано уравнение:
1 _ 2 а 5
х + а — 1 х2—(а—I)2 ~ х—(а—1) *
а) Решите его относительно х и выполните исследование.
б) Определите значение параметра при условии х < 2». Вопрос: корректна ли формулировка задачи, в каком случае можно ее считать решенной?»
3) «Является ли теоремой в геометрии Лобачевского утверждение: две различные прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны?» и др.
7. Большое внимание уделяется в журнале восьмиклассникам. Для них имеется специальная заочная математическая школа. Материалы печатают почти в каждом номере.
8. На страницах журнала часто встречаются материалы конкурсных устных и письменных экзаменов. Немалое место занимает внеклассная работа по математике.
9. Освещаются работы международных Совещаний по вопросам преподавания математики, общества математиков и физиков Болгарии, математических конгрессов страны.
Продолжается подписка на журнал «Математика в школе» на 1975 г. В год выходит 6 номеров журнала. Стоимость годовой подписки — 2 р. 70 к. Индекс 70557. }
Подписка принимается в пунктах «Союзпечати», отделениях свя- >
3ut городских и районных узлах связи, почтамтах, а также обществен- ъ
ными распространителями печати на предприятиях, в школах, учреждениях и организациях«
Редакция
S


ХРОНИКА
НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ СЕМИНАРЫ АПН СССР
«Основные проблемы преподавания математики в средней школе»
В 1973/74 учебном году семинар продолжал работу под руководством действительного члена АПН СССР, профессора А. И. Маркушевича и действительного члена АН УССР, профессора Б. В. Гнеденко.
С сентября 1973 г. по май 1974 г. было проведено девять заседаний, на которых заслушаны и обсуждены ряд интересных докладов. В большинстве выступлений акцентировалось внимание на совершенствование и модернизацию содержания математического образования в нашей стране и за рубежом. Особый интерес Еызвали доклады, посвященные проблеме обучения математике в восьмилетней школе.
Ниже приводится краткое содержание сообщений в хронологическом порядке.
27/Х—73 г. В докладе В. А. Скворцова и Н. Б. Васильева «Отражение математической подготовки школьников в международных олимпиадах» были приведены сравнительные данные об успехах школьников разных стран в международной математической олимпиаде 1973 г., что позволило оценить уровень математической подготовки лучших юных математиков СССР (см.: «Математика в школе», 1973, № 6).
25/Х—73 г. С продолжением сообщения «Новые учеб- ники для старших классов французской школы» выступил А. Б. Сосинский (Москва). Доклад был посвящен новой серии учебников математики первого цикла французской средней школы, написанных в связи с проводимой во Франции реорганизацией среднего математического образования. Приведен анализ научных и методических принципов изложения курса математики в новых учебниках, дана характеристика структуры построения учебников, приведено краткое содержание некоторых узловых разделов курса. Более подробно докладчик остановился на характеристике таких центральных вопросов, как изложение числовых множеств и аксиоматический подход к школьному изучению планиметрии.
22/XI—73 г. В докладе Г. Г. Масловой (Москва) «Опыт осреднения программ по математике средней школы (по материалам ЮНЕСКО)» был дан анализ основных тенденций построения курса математики в старших классах зарубежной школы и рассмотрена некоторая обоб¬
щенная программа курса математики для естественноматематических отделений.
27/XII—73 г. А. Н. Колмогоров посвятил свой доклад «Синтаксис и семантика языка математических знаков» необходимости совершенствования и упорядочения математической терминологии и символики в восьмилетней школе.
24/1—74 г. Основное содержание доклада 77. М. Оло- ничева (г. Винница) «Величина в школьном курсе математики»—проблема формирования понятия величины. Автор доклада привел ряд аргументов, на основании которых, по его предположению, можно было бы более строго, логичнее и абстрактнее, используя аксиоматический подход, вводить уже в VI классе это весьма сложное понятие, и подробно рассказал о возможном пути реализации этой идеи, отметив, что решающим здесь будут результаты планируемого эксперимента.
На следующих двух заседаниях обсуждался вопрос о введении понятия вектора в курсе геометрии восьмилетней школы.
28/11—74 г. В. А. Гусев (Москва) в докладе «Понятие вектора в курсе геометрии восьмилетней школы» остановился на содержании темы «Векторы» в VII классе. Были рассмотрены различные способы введения понятия вектора в курсе геометрии, в том числе более подробно рассказано о точке зрения на вектор как множество пар точек, задающих параллельный перенос.
28/1II—74 г. Дискуссия о введении понятия вектора была продолжена докладом И. А. Лурье j (Москва) «Проблема взаимосвязи введения понятий '’вектора и векторной величины в курсах математики и физики (VI—VII классы)».
Резюмируя содержание этих двух докладов, профессор А. И. Маркушевич обратил внимание на то, что наша задача состоит в обосновании необходимости и приемлемости той или иной концепции введения понятия вектора, важно, чтобы эта концепция была целесообразной и доступной; что весьма существенным в рассматриваемом вопросе является проверка того, подходят или не подходят элементы того или иного множества под определение понятия вектора как общего математического понятия.
25/1V—74 г. В докладе Н. Г. Миндюк и С. Б. Суворовой (Москва) «Показательная и логарифмическая функции в курсе математики восьмилетней школы» были рассмотрены особенности изложения тем «Показательная функция» и «Десятичные логарифмы» в новом учебнике алгебры для VIII класса. По сравнению с традиционным преподаванием значительно большее место в новом учебнике занимает наглядность. Графические представления широко используются и при изложении теоретического материала, и при выполнении упражнений. Введению понятия десятичного логарифма предшествует большая пропедевтическая подготовка. С этой целью рассматриваются свойства функции у — 10х и ее график.
23/V—74 г. На последнем заседании семинара Ю. Н. Макарычев (Москва) в докладе «Понятие корня п-й степени в курсе алгебры восьмилетней школы» рассмотрел различные трактовки понятий, связанных с изучением корня п-й степени. Было дано обоснование целесообразности (как в научном, так и в методическом отношении) использования символа корня п-й степени для обозначения только арифметического корня.
Участники последнего майского заседания семинара наметили предварительно план дальнейшей работы. Предполагается обсуждение основных вопросов преподавания математики в старших классах средней школы.
Заседания семинара проходят в четвертые четверги каждого месяца (кроме июля и августа).
В. 	И. ЕФИМОВ (г. Тула)
92


«Современные идеи в преподавании математики в СССР и за рубежом»
Семинар, руководимый профессором И. /<. Андроновым, продолжает вести работу по обмену педагогическим опытом, по обсуждению исследований, связанных с реализацией новых программ, по информации о передовых идеях математического образования в СССР и за рубежом.
В 1972/73 учебном году прочитаны и обсуждены следующие доклады:
1. «Просвещение и культура в России до 1917 г. и достижения в области математического образования в СССР за 50 лет» (12/Х—72 г., И. К. Андронов, Москва).
2. «Обзор итальянского научно-методического журнала «Archimedes» за 1971/72 учебный год» (30/XI—72 г., И. Б. Шапошникова, г. Тула).
3. «Роль французского педагогнко-математнческого журнала «Bulletin de I’Association des Pt'otesseur des Mathematiques de l’Enseignernent Public» (издающегося с 1910 г. но настоящее время) в развитии международного школьного математического образования» (14/X1I— 72 г., С. Л. Вартанян, г. Кировакан).
4. «Изучение теории матричных игр на факультативных занятиях в девятых классах средней школы» (11/1—73 г., //. П. Меновщикова, г. Джамбул).
5. «Процесс развития объективно-субъективной математики мышления людей — методическая основа построения учебного предмета математики» (8/11—73 г., И. Г. Федоров, г. Глазов).
6. «Подготовка преподавателей математики в ГДР» (1/1II—73 г., А. Я. Халамайзер, Москва).
7. «Формирование у учащихся понятия о предмете современной алгебры (на примерах изучения простейших структур)» (13/1V—73 г., Г. /7. Бычкова, Белгород).
8. «Из истории возникновения и развития теории графов; применение элементов теории графов на факультативных занятиях» (10/V—73 г., И. А. Волкова, г. Йошкар-Ола).
1973/74 учебный год
20 сентября Э. А. Мирошниченко (г. Абакан) доложила «О постановке современного курса теории вероятностей с учетом факультатива по элементам теории вероятностей в средней школе». Она обратила внимание на большое значение понятий зависимых и независимых, совместных и несовместных событий в курсе; установила необходимые и достаточные характеристики, передающие сущность этих понятий. Кроме того,
Э. 	А. Мирошниченко предложила систему задач теоретико-вероятностного характера, решаемых лабораторно с использованием «Датчика случайных чисел», усовершенствованного прибора Гальтона и других наглядных пособий.
11 октября в докладе «Начала современного математического языка и математической логики на факультативных занятиях в школе» Г. В. Лютомских (г. Вологда) доложил о своем опыте проведения факультатива по элементам математической логики с учащимися IX и X классов. Эта работа способствовала повышению математической культуры учащихся и более четкому и глубокому усвоению ими школьных знаний. Трехлетний эксперимент выявил содержание и методику изложения факультатива и позволил ее автору сформулировать четкую программу курса на 54 часа.
13 декабря в связи с 150-летием со дня рождения К. Д. Ушинского И. К. Андронов (Москва) сделал доклад о жизни и деятельности великого педагога (см.: «Математика в школе», 1974, № I, с. 84—87).
10 января в сообщении «Отношение эквивалентности ъ wOiipfcw-jHiiOM школьном курсе математики» В. Н. Шип-
кина (Москва) проиллюстрировала, как одно из основных понятий современной математики — понятие эквивалентности позволяет многие темы школьной математики изложить с единой теоретико-множественной позиции. Это было показано на темах «Натуральные числа», «Отрицательные числа», «Рациональные числа» и «Векторы».
14 февраля М. А. Петрова (Москва) в докладе «Элементы математического анализа, геометрии и алгебры в их единстве, развиваемые на факультативных занятиях в VII—IX классах» представила содержание своей продолжительной работы по проведению факультатива в указанном направлении при школе № 352 Москвы.
14 марта Г. Аратюнян (г. Кировакан) доложил о своем исследовании деятельности Математического общества в ФРГ и издаваемого им журнала «Математическое и естественнонаучное обучение в школе» и их роли в повышении культуры немецкого учителя. Общество разрабатывает методику нового курса современной школьной математики. Автор хорошо подобрал методический материал по основным разделам, характеризующим этот новый курс: алгебра — элементы теории
групп, колец и полей, математический анализ — математика бесконечных процессов, геометрия — элементы усовершенствованной теории геометрических преобразований, начатой Ф. Клейном.
18 апреля Ф. Ф. Проничкин (г. Ставрополь) сделал весьма интересное сообщение о факультативе, связанном с творческим формированием понятия функции в современной школе. Он удачно составил систему задач, заставляющих учащихся мыслить, ставить и разрешать интересные математические проблемы, связанные с движением и преобразованием геометрических фигур.
Заключительное заседание было проведено 30 мая и посвящено журналу «Математика в школе». Анализ на- учно-методической деятельности журнала, начиная с 1912 г. и кончая настоящим временем, сделала А. П. Слободская (г. Петропавловск-Камчатский).
Занятия семинара проходят, как правило, во второй четверг каждого месяца (кроме июня — августа).
И. К. АНДРОНОВ, В. Н. ШАПКИНА
(Москва)
«Методы преподавания геометрических и графических дисциплин»
Основателем и руководителем этого семинара до последних дней жизни был действительный член АПН, профессор Н. Ф. Четверухин. С марта 1974 г. руководство семинаром возглавили старшие научные сотрудники института — А. Д. Семушин и А. И. Фетисов.
С января 1973 г. по июнь 1974 г. было заслушано 14 докладов, тематика которых посвящена теоретическим основам нового содержания геометрического образования в школе и практике изучения его на уроках и факультативных занятиях.
Разработке проблем, связанных с введением понятия вектора и систематическим использованием его при изложении курса геометрии, посвящены доклады: «Отношения векторов в плоскости. Комплексные числа» и «Отношения векторов в пространстве. Кватернионы и их применение в геометрии» (А. И. Фетисов), «Применение скалярного произведения векторов при решении задач по стереометрии» (И. Г. Евсин).
В докладе А. Д. Семушина были раскрыты особенности экспериментального учебного пособия по геометрии для учащихся VI—VIII классов, написанного авторским коллективом — В. Г. Болтянскийt М. Б. Волович и
А. 	Д. Семушмн.
уа


Различные системы аксиоматического построения элементарной геометрии были рассмотрены в докладах: «Возможность построения аксиоматики планиметрии без использования понятия угла» и «Изложение теории подобия без применения аксиом непрерывности» (А. И. Фетисов), «Об аксиоматической основе школьного курса геометрии» (Я. Я. Шоластер).
«О реализации основных идей курса геометрии VI класса в практике» рассказал В. Ю. Гуревич.
Е. А. Дышинский предложил оригинальный способ выполнения изображения шара в комбинациях его с другими геометрическими телами в курсе стереометрии.
Решению проблем по определению тематики, содержания и методики изложения факультативных курсов были посвящены доклады: «Теория поверхностей и геометрия Лобачевского (наглядный факультативный курс для учащихся VIII класса)» (Л. Л. Шершевский), «Те-
А. Я. МАРГУЛИС
(Москва)
В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА (Год двадцать шестой)
На заседании 2Q сентября 1973 г. были подведены итоги XV Международной математической олимпиады (5—16 июля 1973 г., Москва). Докладывали Л. И. Мар- кушевич, И. С. Петраков и В. А. Скворцов. Выступали лауреаты олимпиады В. Будаев, Н. Гольцман, П. Г роз- ман, Г. Егоров, С. Конягин, Д. Лещинер (см.: «Математика в школе», 1973, № 6; «Квант», 1973, № И).
18 октября 1973 г. Н. X. Розов рассказал о вступительных экзаменах по математике в МГУ в 1973 г. (см.: «Квант», 1974, № 4; «Справочник для поступающих в Московский университет». Изд. МГУ, 1974, с. 153—199).
13 ноября 1973 г. на распорядительном заседании Московского математического общества было избрано новое Правление общества: президент — Л. Я. Колмогоров, вице-президенты—В. И. Арнольд и А. А. Марков, секретарь — А. Я. Ширяев, казначей — А. В. Михалев, библиотекарь — В. М. Тихомиров, редактор «Трудов» Московского математического общества —
В. 	М. Олейник; члены правления — В. М. Алексеев, Я. В. Ефимов, Ю. И. Манин, С. П. Новиков, Я. Г. Синай, А. Т. Фоменко, И. Р. Шафаревич; члены ревизионной комиссии — Л. А. Кириллов, А. И. Коетрикин,
А. 	С. Мищенко, Ю. М. Смирнов, С. В. Фомин.
15 ноября 1973 г. заседание секции было посвящено издательским делам. Р. А. Хабиб доложил план издания литературы по математике издательства «Просвещение» на 1973—1975 гг., Р. С. Черкасов посвятил свое выступление теме «Новое в журнале «Математика в школе», В. 10. Иваницкий рассказал о серии брошюр «Математика — кибернетика» Всесоюзного общества «Знание».
20 декабря 1973 г. Л. М. Лопшиц выступил с докладом на тему «Центр площади многоугольника». Предусмотренное новой программой школьного курса геометрии раннее введение основных понятий векторной алгебры создает возможность выделения аффинных свойств геометрических фигур. Нетривиальным примером может служить изучение класса «центральных» многоугольников, обладающих «центром» площадей — общей вершиной треугольников, имеющих одинаковую площадь, основания которых суть все стороны многоугольника. Аффинноправильные многоугольники — центральные.
17 января 1974 г. Б. В. Гнеденко прочитал доклад на
ма «Симметрия» в факультативном курсе VII класса» и «О системе задач на геометрические преобразования в факультативном курсе VII—VIII классов» (Я. Н. Шоластер, С. С. Филатова и В. П. Лилишенцева), «Геометрические преобразования на факультативных занятиях в восьмилетней школе» (О. Б. Епишева), «Поиск решения нестандартных геометрических задач» (Я. Г. Фе- дин).
Для желающих принять участие в работе семинара сообщаем, что заседания проходят ежемесячно — каждый первый четверг (кроме июля — сентября) по адресу: ул. Макаренко, 5/16. Для выступления с докладом необходимо представить секретарю семинара тему с подробной аннотацией к нейс
В. 	П. ПОКРОВСКИЙ
(Москва)
тему «250 лет Академии наук СССР и развитие математики» (см.: «Математика в школе», 1974, № 1). На этом же заседании было избрано бюро секции в следующем составе: председатель — Б. В. Гнеденко, заместители председателя — Я. М. Бескин и А. Я. Маргу- лис, секретарь — М. Я. Покровская, члены бюро — Л. И. Маркушевич, А. И. Фетисов, Р. С. Черкасов, И. М. Яглом.
21 февраля 1974 г. Л. П. Юшкевич посвятил свое выступление теме «Математическое образование в нашей стране и Академия наук (см.: А. П. Юшкевич. История математики в России. М., «Наука», 1968; «Математика в школе», 1974, № 2).
21 марта 1974 г. секция заслушала доклад П. М. Оло- ничева «Скалярная величина в школьной математике». Цель доклада: опираясь на понятие действительного числа, дать обоснование скалярной величины, согласованное со школьным представлением о величине и с метрическим подходом к геометрии в средних классах.
18 апреля 1974 г. Л. Д. Семушин прочитал доклад «Признаки конгруэнтности, признаки подобия и геометрические преобразования». Докладчик рассмотрел пути последовательного проведения в школе идеи геометрических преобразований. Было показано, как в условиях восьмилетней школы можно обойтись при решении задач без использования признаков конгруэнтности треугольников и признаков подобия (см.: В. Г. Болтянский, М. Б. Волович, А. Д. Семушин. «Геометрия 6» и «Геометрия 7»).
16 мая 1974 г. в докладе «Аксиоматический метод в средней школе» Я. М. Бескин отметил, что аксиом этический метод заключается не только в логическом выводе всех теорем из данной системы аксиом. Аксиоматический метод — это определенная методология. При внедрении ее в среднюю школу самое важное — показать взаимодействие между абстрактной математической теорией и ее различными интерпретациями, а также показать аксиоматические (в противоположность конструктивным) определения некоторых понятий. В качестве примеров для средней школы докладчик предложил дать очерк аксиоматической теории площадей и объемов (при условии, что некоторые понятия будут излагаться описательно, без доказательств). Далее докладчик предложил показать связь между булевой алгеброй и некоторыми ее конкретными интерпретациями (алгебра множеств, алгебра высказываний, алгебра событий, алгебра контактных схем). В докладе были также затронуты некоторые общеметодологические вопросы.
Заключительное заседание секции в этом учебном году, 20 июня 1974 г. было посвящено обсуждению доклада С. И. Шварцбурда «О работе школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением математики» (см.: «Математика в школе», 1974, № 3, 4 и 5).
94


КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
И. А. ЛУРЬЕ
(Москва)
ОБ УЧЕБНИКЕ «ГЕОМЕТРИЯ»
Э. 	Э. МОИЗА И Ф. Л. ДАУНСА
В старших классах части школ США геометрию изучают по учебнику Э. Э. Моиза и Ф. Л. Даунса. Из выпущенных за последние годы в США школьных учебников по геометрии эта книга пользуется большой известностью. Издательство «Просвещение» в 1972 г. издало этот учебник на русском языке. Знакомство с учебником для американских школ будет полезно учителям математики Советского Союза.
Данная книга написана как учебник для учащихся старших классов. Текст разбит на главы, главы — на параграфы. В конце каждого параграфа дается набор упражнений по теме данного параграфа, а в конце каждой главы — набор упражнений по всему изученному в данной главе материалу. Дополнительно к учебнику в США издано «Руководство для учителя», в котором даются развернутые комментарии к тексту учебника, решение всех задач, дополнительный материал для работы с сильными учащимися. В русском издании переводчик И. А. Вайнштейн и редактор перевода И. М. Яглом часть этих комментариев и решения задач включили в текст предлагаемого учебника, что значительно облегчает читателю работу с книгой.
Логическое построение курса геометрии в учебнике основывается на 24 аксиомах. Аксиоматика, положенная в основу данного курса, была предложена известным американским математиком Дж. Д. Биркгофом. Эта аксиоматика существенно отличается от той, которая положена в основу учебников по геометрии VI— VIII классов под редакцией А. Н. Колмогорова, хотя также является «метрической» (основным понятием в такой аксиоматике является понятие «расстояние»).
Учителю математики, работающему по новой программе, будет полезно познакомиться с предложенным вариантом аксиоматики. Другие возможные подходы к аксиоматическому построению курса геометрии читатель найдет во включенной в русское издание статье И. М. Яглома «Метрические» системы обоснования геометрии и книга Моиза — Даунса».
Книга дает материал и для сравнения различных подходов к определениям основных математических понятий.
Остановимся несколько подробнее на содержании учебника. Курс геометрии содержит 17 глав, включая планиметрию и стереометрический материал, причем весь этот материал органически связан.
Первая глава вводная. В ней говорится о необходимости логически последовательного изложения геометрии.
Вторая глава посвящена вопросу о связи понятий: множества, действительные числа, прямые линии. (Прямая и плоскость, как это делается и у нас, рассматриваются как множества точек.) Понятие расстояния между двумя точками связывается с выбором единицы измерения отрезков. Одновременно с введением понятия расстояния аксиоматически (аксиома масштабной линейки) вводится и понятие числовой прямой. После этого с помощью установления соответствия между точками прямой и действительными числами определяются понятия отрезка, длины отрезка, луча, середины отрезка. Доказывается теорема единственности точки луча, находящейся на данном расстоянии от его начала, говорится об изменении единицы длины.
В третьей главе рассматриваются прямые, плоскости и разбиения. Здесь даются аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, очень кратко говорится о построении их изображений. После введения понятия выпуклого множества излагается материал о разбиениях плоскостей прямыми и пространства плоскостями. На примере задачи о семи кенигсбергских мостах сообщается о специальной ветви математики — топологии.
В четвертой главе изучаются углы и треугольники. Угол определяется как объединение двух лучей с общим началом, треугольник — как соответствующим образом построенное объдинение трех отрезков, внутренность угла и треугольника — как пересечение соответствующих полуплоскостей, говорится о направленных и ненаправленных углах. Затем вводится угловая (градусная) мера и ее аксиоматика, аналогичная аксиоматике расстояний, отличающаяся от принятой в наших учебниках. Классификация углов проводится соответственно их мерам: прямой угол —тот, мера которого 90°, конгруэнтные углы — те, меры которых равны (заметим, что в наших учебниках дан другой подход к понятию конгруэнтности).
В этой же главе дается удачная схема записи доказательства теоремы в виде цепочки «утверждение — обоснование» — в два столбца.
В пятой главе дается определение понятия конгруэнтности, рассматривается конгруэнтность треугольников. Признаки конгруэнтности треугольников формулируются как аксиомы. Здесь же приводится много интересных задач. Определяется биссектриса угла и изучаются ее свойства, рассматриваются равнобедренные и равносторонние треугольники, затем «перекрывающиеся» (имеющие непустое пересечение) треугольники, далее говорится о различных четырехугольниках, их частных видах — квадратах и прямоугольниках.
Шестая глава посвящена различным методам геометрических доказательств. В ней же рассматривается ряд теорем о прямых и плоскостях, перпендикулярных данной прямой, способ доказательства геометрических утверждений с помощью введения вспомогательных точек и прямых; говорится об избыточности системы аксиом (для чего показывается, что часть из введенных аксиом можно доказывать как теоремы) и о неполноте системы аксиом.
Седьмая глава названа «Геометрические неравенства». Здесь вводятся отношения «больше» и «меньше» для отрезков и углов (эти отношения связываются с соответствующими отношениями между их мерами) и изучаются свойства этих отношений. Доказывается теорема о внешнем угле треугольника и ряд связанных с нею теорем. Вводится понятие высоты треугольника.
95


Восьмая глава посвящена перпендикулярности прямых и плоскостей. В ней даются определение, свойства, доказываются существование и единственность перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.
В девятой главе рассматривается параллельность прямых на плоскости (параллельными прямыми называются прямые, если они компланарны и не пересекаются). Здесь приводится теорема о сумме углов треугольника, рассматриваются плоские четырехугольники и их частные виды: трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат; доказывается несколько теорем о прямоугольных треугольниках и теорема Фалеса.
Десятая глава посвящена параллельным прямым и плоскостям, в ней изучается и зависимость между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве, рассматриваются двугранные углы и перпендикулярные плоскости. В конце главы излагаются вопросы, связанные с ортогональным проектированием на плоскость. Заметим, что здесь дается определение площади, от которого наша школа отказалась. В курсе геометрии нашей школы длина, площадь и объем определяются как величины.
В одиннадцатой главе вводятся понятия треугольной и многоугольной областей, площади многоугольной области, формулировки четырех аксиом (аксиома площади, аксиома конгруэнтности, аксиома сложения площадей, аксиома единицы площади). Затем изучаются формулы для вычисления площадей треугольников и четырехугольников и теорема Пифагора, после чего рассматриваются метрические соотношения в прямоугольных треугольниках специального вида (равнобедренных и с острыми углами в 30° и 60°).
Теме «Подобие» отведена двенадцатая глава. Подобие фигур связывается с пропорциональностью отрезков. Здесь рассматривается подобие треугольников (отдельно вынесено рассмотрение подобия прямоугольных треугольников), изучается вопрос о площадях подобных фигур, о тригонометрических отношениях в прямоугольных треугольниках и зависимостях между ними.
Тринадцатая глава называется «Аналитическая геометрия на плоскости». В ней вводится понятие о системе координат на плоскости, а в упражнениях фигурирует и система координат в пространстве. Дается понятие о «подъеме» (угле наклона) прямой и рассматриваются зависимости между углами наклона параллель¬
ных и перпендикулярных прямых. Здесь же выводятся формулы для вычисления расстояний на координатной плоскости и в координатном пространстве, рассматривается деление отрезка в данном отношении, применение этих формул для доказательства теорем. В конце главы рассматривается понятие графика как множества точек, удовлетворяющих некоторому условию.
В четырнадцатой главе «Окружности и сферы» проводится параллельное изучение планиметрического и стереометрического материала: определения, связанные с окружностями и сферами, касательные прямые к окружности и касательные плоскости к сфере. Затем рассматриваются дуги окружностей, степень точки относительно окружности, окружности на координатной плоскости.
Пятнадцатая глава возвращает нас к логическим проблемам: необходимым и достаточным условиям и их роли в геометрии. В этой же главе излагаются материал о конкуррентности медиан, высот и биссектрис треугольника и вопросы, связанные с построениями с помощью циркуля и линейки.
В шестнадцатой главе по традиционной схеме с помощью последовательностей правильных многоугольников изучаются вопросы, связанные с площадью круга и его частей.
Последняя глава учебника носит название «Тела и их объемы». В ней дается определение призмы и пирамиды, рассматриваются их свойства. Затем вводится аксиоматика объемов, состоящая из двух аксиом: объем прямоугольного параллелепипеда и принцип Кавальер и, на основании этих аксиом выводятся формулы для вычисления объемов многогранников. Далее рассматриваются цилиндры, конусы и их объемы, объем шара и площадь его поверхности.
Как видно из приведенного нами весьма краткого рассмотрения содержания учебника, в нем не нашел отражения целый ряд вопросов, которые в последнее время включены в программы курсов геометрии многих стран (отображения и его частные виды, векторы, вывод формул объема с использованием понятия интеграла и др.). Вместе с тем этот учебник, как уже отмечалось выше, представляет для учителя несомненный интерес. Изложенные в нем отдельные вопросы, а также ряд задач могут быть непосредственно использовпни- учителем как на уроках, так и на внеклассных занятиях.
Сдано в набор 21/VIII 1974 г. Подписано в печать 26/IX 1974 г. Объем 6 (10,08) п. л.
Учетно-изд. л. 11,55. Бумага типогр. JNfc 2. 84X108Vie. Тираж 411.410 экз. Цена 45 коп. Заказ 391.
Адрес издательства: 107066, Москва, В~т, Лефортовский переулок, д. 8. Телефон редакции 283-85-83
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Московская типография № 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 107005, Москва, В-5, Денисовский пер., д. 30.