/
Текст
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ
ДЕКАБРЬ
6-1974
Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Об усилении научно-атеистического воспитания учащихся средней обще-
образовательной школы
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Измерение углов 10 С. Г. Гиндикин
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе Развитие познавательного интереса к геометрии у учащихся VI—VII классов
Об изучении тождеств сокращенного умножения О приближенном извлечении квадратного корня
Квадратные уравнения в курсе алгебры VII класса О применении контрпримеров Один из способов построения точек параболы Об экзаменационных материалах за курс восьмилетней школы
Школы и классы с углубленным изучением математики
Факультативные курсы
Программа факультативных занятий по математике
18
25
29
30
31 34
41
42
Логарифмическая и экспоненциальная функции 46
53
Б. В. Гнеденко Ф. М. Барчунова Н. Т. Кутузова И. И. Москвитина, Н. И. Пушкарева С. М. Чуканцов Н. А. Хитрина А. И. Сагандуков
С. И. Шварцбурд, М. М. Мошкович
Внеклассная работа
VIII Всесоюзная математическая олимпиада 59 Н. Б. Васильев
Задачи XXXVII Московской математической олимпиады 65 Г. А. Гальперин
Дополнительные упражнения по теме «Натуральные числа» 69 С С Гамидов
Задачи 71
© Издательство «Педсгогика», «Математика в школе», 1974
t
К 50-летию образования союзных республик
Полвека развития
школьного математического образования в Киргизии Развитие методики математики в Таджикистане
Математический календарь на 1974/75 учебный год
Николай Михайлович Бескин
Леонид Яковлевич Куликов
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Полезное пособие для учителей IV—V классов
Нозые книги Главной
редакции физико-математической литературы издательства «Наука»
ЗА РУБЕЖОМ
Журнал «Математик ин дэр шуле» (ГДР)
Некролог
Василий Дмитриевич Чистяков
ХРОНИКА
С Коллегии Министерства просвещения СССР
Тематический
указатель статей, помещенных в журнале за 1974 г.
79 Т. Абдукаримов
81 Р. Н. Котельникова,
Д. Шарифов,
Б. Юнусова
83 А. И. Бородин
84 В. А. Кузнецова, А. Я. Маргулис, 3. А. Скопец
85 В. Г. Лемлейн
87 А. И. Мостовой, Ш. М. Ильясов,
М. Н. Наконечный 86 Н. И. Шушанский
88 А. Я. Халамайзер
90 В. Н. Виноградов
91 3. И. Моисеева
93
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ
В редакцию часто поступают письма от читателей журнала с просьбой о помощи в приобретении различных книг. Напоминаем, что редакции журналов книг не высылают. Если вы хотите приобрести книги, объявленные в тематическом плане издательства, то надо обратиться прежде всего в местные магазины или в ближайшие книжные магазины системы «Книга—почтой». Заказ на каждое название должен быть оформлен на почтовой открытке. В заказе указать: фамилию автора (или составителя), название, издательство, год
и место выпуска, свой почтовый адрес, фамилию, имя и отчество. Заявки на республиканские и местные издания принимают только магазины той республики или области, где планируется выпуск книги. Посылки или бандероли с книгами высылаются наложенным платежом, т. е. оплачиваются на почте при их получении.
Адреса магазинов «Книга — почтой» приводим на четвертой странице обложки.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов* В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков,
А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко
Редакционный совет (представители союзных республик):
А. М. Алиев (АзССР), И. А. Артемьева (ЛатССР), X. А. Асадов (ТаджССР), Р. А. Балай-
гиис (ЛитССР), Б. Д. Бердыев (ТуркмССР), Б. 17. Бычков (МолдССР), Д. И. Икрамов
(УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), К. С. Муравин (РСФСР), Г. К. Мхитарян (АрмССР), С. Ф. Рубанов (БССР), Д. С. Саламатов (КиргССР), 3. И. Слепкань (УССР), А. Э. Тельг- маа (ЭССР), А. М. Хоштария (ГрузССР)
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. Со Владимирская» Корректор Т. С. Капустина
2
ОБ УСИЛЕНИИ НАУЧНО-АТЕИСТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ'
В формировании коммунистического мировоззрения у подрастающего поколения одним из важнейших направлений является выработка атеистических взглядов и убеждений, отрицательного отношения к религиозной идеологии и морали.
В результате коренных преобразований социально-экономической, общественно-политической жизни в нашей стране, активного вовлечения масс в коммунистическое строительство, воспитательной деятельности партии и всех идеологических учреждений по формированию коммунистического сознания у подрастающего поколения Советский Союз стал страной массового атеизма.
Возможности воспроизводства религии в условиях развитого социалистического общества резко ограничены, однако религия еще оказывает свое влияние на определенные группы населения. При этом религиозные организации делают основную ставку на детей, на молодежь, которую они видят главным объектом религиозного воспитания. Служители религиозного культа, религиозные проповедники стремятся к усилению религиозного влияния в семье. Некоторые сектантские руководители поощряют распространение нелегальной религиозной литературы, издаваемой за рубежом и адресованной непосредственно детям, подросткам, верующим родителям. Специальные передачи на философско- религиозные темы для молодежи в качестве идеологической диверсии против социалистических стран ведет радио Ватикана, радиостанции ряда капиталистических стран. При этом усиливаются попытки использовать католицизм, ислам, иудаизм и другие религии в целях разжигания националистической вражды, антисоветизма.
В научно-атеистическом воспитании учащихся важное место принадлежит советской школе, формирующей марксистско-ленинское мировоззрение у подрастающего поколения,
1 Публикуемые методические рекомендации подготовлены НИИ общих проблем воспитания АПН и одобрены Главным Управлением школ Министерства просвещения СССР,
ш
воспитывающей детей и подростков в духе научного атеизма. В то же время в некоторых школах в процессе вооружения учащихся основами наук недостаточно эффективно формируются атеистические убеждения, слабо раскрываются классовый характер и реакционная сущность религии. Внеклассная и внешкольная работа по атеистическому воспитанию учащихся проводится эпизодически и нередко в отрыве от учебного процесса.
Существенным недостатком в научно-атеистическом воспитании детей является отсутствие наступательности в борьбе с религиозными воззрениями, слабость индивидуальной работы с верующими членами семей учащихся. При этом нельзя забывать, что при решении задач атеистического воспитания совершенно недопустимы по отношению к верующим элементы администрирования, оскорбление их чувств. Следует* пресекать всяческие попытки создавать вокруг ученика атмосферу изоляции и отчуждения, а наоборот, активно включать его в жизнь ученического коллектива, оказывая ему в этом доверие и необходимую помощь.
Органы народного образования, учителя не всегда своевременно приходят на помощь детям, которых верующие родители, руководители религиозных сект принуждают к совершению религиозных обрядов, вовлекают в религиозную среду. В этих случаях не используются в должной мере советские законы об охране прав детей, о пресечении вредного влияния на них со стороны церковников и сектантов.
Основы законодательства Союза ССР и союзных республик о народном образовании, подтверждая основные принципы народного образования в нашей стране, в частности, указывают на светский характер образования, исключающий влияние религии, а также предусматривают ответственность должностных лиц и граждан, допускающих нарушения законодательства об отделении школы от церкви.
Перед советской школой стоит важная задача воспитания всех учащихся в духе марксистско-ленинского материалистического ми-
3
ровоззрения, формирования у школьников умения активно отстаивать идеи коммунистического мировоззрения в борьбе с религиозной идеологией.
Все это настоятельно требует дальнейшего усиления атеистического воспитания в общеобразовательной школе.
Формирование научно-атеистических
взглядов и убеждений учащихся осуществляется:
— в процессе глубокого и осознанного изучения учащимися основ наук;
— в целенаправленной внеклассной и внешкольной работе педагогических коллективов, комсомольских и пионерских организаций по научно-атеистическому воспитанию учащихся, в разнообразных занятиях кружков, ученических обществ, секций, клубов по интересам как в самой школе, так и во внешкольных детских учреждениях;
— проведением атеистической работы в семье, а также индивидуальной воспитательной работы с отдельными учащимися, подверженными религиозному влиянию.
I. Формирование атеистических взглядов и убеждений школьников в процессе обучения
Существенные возможности для формирования атеистических взглядов и убеждений школьников содержатся в учебном процессе. В проведении данной работы учителя руководствуются важнейшими марксистско-ленинскими методологическими принципами: научности, в основе которой лежит марксистский диалектический метод познания; коммунистической партийности, наступательного характера в разоблачении реакционной сущности религии как социально-идеологического явления; связи научного атеизма с проблемами коммунистического строительства и формирования коммунистической морали. Первостепенное значение в осуществлении атеистического просвещения и воспитания учащихся имеет раскрытие социальной и гносеологической сущности религии, ее роли как орудия классовой борьбы эксплуататоров против эксплуатируемых, как опиума народа в различные эпохи истории, как средства духовного порабощения народных масс.
Необходимым условием успешного решения данных задач является постоянное разъяснение школьникам в органической связи с учебным материалом и в доступной форме основных принципов научного атеизма, содержащихся в произведениях К. Маркса, Ф. Энгельса, В. И. Ленина, документах Ком¬
мунистической партии и Советского государства.
Существенными возможностями для последовательного атеистического просвещения и воспитания учащихся располагает программный материал по предметам гуманитарного и естественно-математического циклов.
Так, изучение в курсе истории вопросов развития первобытного общества позволяет показать школьникам, что низший уровень условий материальной жизни, отражение явлений природы в сознании первобытных людей в фантастическом, искаженном виде привели к возникновению религиозных представлений. С разделением общества на антагонистические классы бессилие эксплуатируемых людей в борьбе с эксплуататорами порождало веру в лучшую загробную жизнь, веру в чудеса, в бога, который может избавить человека от страданий. На материале истории древнего мира, средних веков, развития капиталистического строя в новое и новейшее время учитель показывает, как эксплуататорские классы использовали религию для оправдания и обоснования эксплуатации и угнетения трудящихся, что религия утверждала свое господство насилием. Свидетельство этому — история религиозных войн, мрачная эпоха средневековой инквизиции. Эксплуататорские классы поддерживали религию, так как она являлась «опиумом народа», «духовной сивухой», а церковь на протяжении веков была и остается лютым врагом трудового народа. В процессе изучения соответствующих курсов истории представляется возможность показать учащимся, как духовенство добивалось насильственного утверждения религии. Раскрывая классовую сущность и социальную функцию религии, необходимо в первую очередь привлечь в органической связи с программным материалом по курсам истории, об- ществоведения^ литературы явления и факты современной эпохи, разоблачающие реакционную роль религии и церкви в идеологической борьбе двух противоположных общественных систем — социализма и капитализма.
В соответствии с этим в учебном процессе необходимо последовательно показывать сущность, характер, формы непримиримой многовековой борьбы науки и религии, раскрывать социальные и гносеологические корни материализма и идеализма, подводить учащихся к пониманию марксистско-ленинского учения о развитии природы, общества, мышления. Данный подход определяет направленность процесса овладения основами наук школьниками, предполагает учет резервов научно-атеистического просвещения и воспитания, за- 4
4
ключенных в школьных учебных дисциплинах.
Так, изучение в курсах естественнонаучных предметов таких вопросов, как физические, химические, биологические свойства материального мира, развитие научных представлений о его объективных закономерностях, формирование диалектико-материалистического объяснения законов и категорий природы и общества, позволяют сосредоточить внимание школьников на том, что становление научных знаний происходило в условиях ожесточенной борьбы против религии и церкви.
Освещение деятельности великого польского ученого Н. Коперника и выдающегося итальянского ученого Д. Бруно, погибшего от рук церковников, рассмотрение атеистической сущности трудов Г. Галилея, ознакомление с замечательными открытиями русского ученого М. В. Ломоносова в области физики, математики, химии, астрономии важно не только потому, что учащиеся познают ценность научных достижений замечательных мыслителей, понимают исторические факты, но и дают им идеологическую оценку, выражают свое личное отношение к этому. Учащиеся не остаются равнодушными при характеристике яростных атак церкви против науки, например против молекулярно-атомистической теории, при показе жестокостей служителей церкви по отношению к ученым (трагическая гибель Д. Бруно, преследования Г. Галилея, требование святейшего синода о заточении М. В. Ломоносова в церковную тюрьму Соловецкого монастыря, нападки, клевета на передовых людей, ученых, таких, как Р. Бэкон, Р. Бойль, Д. Пристли, А. Лавуазье и других).
На конкретных примерах, содержащихся в учебных курсах, следует показать учащимся, что уже античные мыслители и ученые отмечали противоположность научного знания и религиозной веры. Мысль о противоположности научного знания и религиозной веры получила наиболее четкое оформление в период становления буржуазного строя, когда стало быстро осуществляться развитие естественных и общественных наук. При этом важно показать значение борьбы против религии и церкви французских материалистов XVIII в., передовой домарксистской философии.
Центральной задачей в проведении данной работы является раскрытие сущности и всемирно-исторического значения революционного переворота в философии, совершенного Марксом и Энгельсом.
Следует разъяснить учащимся, что в на¬
стоящее время в помощь церкви, как и в прошлом, отдельные буржуазные ученые пытаются дать идеалистические философские интерпретации научного открытия, стремятся примирить науку и религию, заявляя, что наука в широком смысле могла бы обогатить основы религии, а религия облагородить научные понятия.
В действительности борьба науки и религии не только не затухает, а приобретает более острый характер. Служители религиозного культа, опасаясь потерять верующих или поколебать их веру, не могут выступать против конкретных достижений научно-технического прогресса и отрицать его значение для человечества. Они идут на различные ухищрения, пытаясь объяснить достижения научной мысли «высшим, данным богом разумом». Богословы, теологи ведут борьбу против основных теоретических принципов передовой науки, отражая сущность буржуазного мировоззрения, используя религию для защиты частнособственнических основ капитализма, для оправдания агрессии и реакции.
Содержание предметов гуманитарного и естественно-математического циклов создает возможность сделать принципиально важный вывод: только марксизм-ленинизм открывает возможность верного решения социальных и научных проблем, стоящих перед обществом на современном этапе, и только уничтожение основ эксплуататорского общества, построение социализма и коммунизма открывают путь для полного освобождения человека от всякого гнета, в том числе и духовного, для всестороннего развития и совершенствования личности.
В соответствии с этим существенное место в атеистическом просвещении и воспитании школьников должны занять вопросы разоблачения религиозной морали, утверждения принципов морального кодекса строителя коммунизма. В учебном процессе необходимо исходить из показа земного происхождения морали, ее изменения в различных формациях, раскрытия классовой сущности морали, показа того, что «люди, сознательно или бессознательно, черпают свои нравственные воззрения в последнем счете из практических отношений, на которых основано их классовое положение»2. Следует раскрывать абстрактный, оторванный от .реальной жизни гуманизм религии. Проповедь любви ко всем, в том числе к эксплуататорам трудового народа и в рабовладельческом, и в феодальном, и в капиталистическом обществе является ханжеской
2 К. Маркс, Ф. Энгельс. Соч., т. 20.
проповедмо. Эта проповедь игнорирует, замазывает факт сохранения в современном мире непримиримых, противоположных по своим интересам классов, затушевывает вместе с тем факт существования двух противоположных идеологий — социалистической и буржуазной, смыкается с проповедью классового мира.
Марксистско-ленинская этика отвергает спекуляции буржазных, в том числе церковных, идеологов насчет независимости нравственных понятий и чувств от условий бытия, от социально-экономической жизни и, наоборот, утверждает, что для коммунистов нравственность, взятая вне человеческого общества, не существует, что в основе коммунйстиче- ской нравственности лежит борьба за укрепление и завершение коммунизма. Именно в этой борьбе развиваются и закрепляются лучшие нравственные качества личности, которые веками складывались в среде трудящихся и осознавались ими как нравственные нормы.
При изучении основ наук необходимо последовательно показывать противоположность морали коммунистической и морали религиозной, разъяснять марксистско-ленинское положение о классовом характере всякой, в том числе и религиозной морали, углублять понимание учащимися нравственного содержания атеизма. С учетом указанных аспектов целесообразно рассматривать ряд программных вопросов по курсу обществоведения, прежде всего вопросов духовной культуры социализма и формирования нового человека, а также соответствующие учебные темы по литературе. При этом важно сосредоточить внимание на раскрытии социальной функции религиозной морали, ее реакционной антиобщественной направленности и псевдогуманизма. Необходимо заинтересовать учащихся темой активного протеста человека, любящего Родину, стремящегося к свободе, против религиозной морали, подавляющей деятельность человека, сковывающей его волю, увлечь темой борьбы за счастье людей на земле, темой подлинного гуманизма, утверждающего человека, а не бога высшей ценностью на земле.
II. Специфические формы внеклассной
работы по атеистическому воспитанию учащихся
Атеистическое воспитание учащихся в процессе внеклассной и внешкольной деятельности является органическим продолжением учебной работы педагогического коллектива и составляет неотъемлемую часть общей си¬
стемы формирования атеистических взглядов и убеждений учащихся. Во внеурочное время учащиеся вовлекаются в разнообразную практическую деятельность, которая при умелом целенаправленном руководстве и соблюдении основных педагогических требований содействует превращению научно-теоретических знаний в твердые атеистические убеждения. Атеистическая работа вне урока основывается на принципах коммунистической идейности, связи с жизнью, развития творческой самодеятельности, общественной активности учащихся.
Эта работа осуществляется при активном участии ученических общественных организаций — школьного комсомола и пионерских дружин. Планировать ее комитету комсомола и совету пионерской дружины помогают организатор внеклассной и внешкольной работы, классные руководители, старший пионерский вожатый.
В настоящее время в школах страны сложили сь различные формы внеурочной работы по атеистическому просвещению и воспитанию учащихся. Так, получили распространение тематические октябрятские утренники, связанные с победами ученых и трудящихся нашей страны, когда включение атеистического материала углубляет правдивый показ мужества людей в борьбе за торжество науки. Октябрятские звездочки готовят выставки на темы: «Гагарин — первый космонавт Земли», «Искусственные спутники *3емли» и др. Все содержание таких утренников утверждает детей в торжестве разума над измышлениями религии о мироздании, о человеке.
В школах используются разнообразные формы внеурочной атеистической работы с учащимися средних и старших классов: беседы и лекции, кружки и клубы атеистов, тематические атеистические вечера, чтение и обсуждение атеистических произведений на читательских конференциях, обсуждение кинофильмов, вечера вопросов и ответов, выпуск атеистических бюллетеней, экскурсии в музеи, тематические выставки, фотовыставки, смотры атеистической работы в классах и школе в целом и др. Целесообразно и проведение специальных атеистических бесед во время классного воспитательного часа. Для учащихся средних и старших классов более целесообразна организация лекций по атеистической тематике. Значительный интерес представляют и общешкольные лекции-собрания, лекции-диспуты, вечера вопросов и ответов, где учащиеся получают возможность активно, творчески участвовать в обсуждении проблемы, задавать вопросы, спорить, выска¬
6
зывать откровенно свое мнение, вносить предложения. Это содействует развитию сознательности, общественной активности, формированию отрицательного отношения к религии, а следовательно, и выработке позиции воинствующего атеиста. Круг обсуждаемых вопросов позволяет судить об уровне атеистической подготовки учащихся, о пробелах в их атеистических знаниях, о религиозности микросреды ряда учеников, на основании чего учителем вносятся коррективы в процесс атеистического воспитания на уроках и вне уроков.
В проведении кружковых занятий важно заинтересовать учащихся получением новых знаний о природе и обществе, стимулировать самостоятельный поиск ответов на волнующие вопросы, учить доказательности, умению разоблачать антинаучную реакционную сущность религиозной идеологии. В кружках школьники приобретают кавыки обобщения и анализа материала, умение делать выводы из данных, полученных при проведении опытной работы.
Кружковая работа позволяет учителю на протяжении длительного времени наблюдать за индивидуальными особенностями школьников, за развитием их склонностей, интересов.
Полезна и многообразна деятельность кружков и клубов «Юный атеист», объединяющих представителей разных классов школы в секциях по интересам. Например, секция краеведческая, где школьники собирают и обобщают местный материал, получают представления о памятниках старины, слушают квалифицированные лекции экскурсоводов историко-краеведческих, художественных музеев, картинных галерей, домов научного атеизма о древнерусском искусстве, о преемственности культурного наследия. В лекциях раскрываются вопросы о взаимоотношениях религии и искусства в условиях эксплуататорского общества, о правильном восприятии культуры прошедших веков, об охране памятников зодчества. В условиях повышенного интереса, особенно у молодежи, к истории прошлого нашей страны, ее культуре, традициям учитель должен предотвратить опасность переоценки культурной миссии церкви (создание замечательных по архитектуре соборов, привлечение известных художников к написанию полотен религиозной тематики и т. п.). В квалифицированных беседах экскурсоводов следует разъяснять идеологическую несостоятельность отождествления культурного и религиозного, художественного и культового, народного и церковного. Целесообразно и
создание музейной секции, которая организует экскурсии в историко-краеведческие, художественные музеи, включает учащихся в подготовку передвижных выставок в школах по изучаемым темам («Возникновение христианства», «Русские художники против религии и церкви», «Основоположники марксизма-ле- нинизма о религии» и др.), в оформление кабинетов и уголков научного атеизма в школе и в микрорайоне. Члены секции выступают как экскурсоводы школьного музея по разделу научно-атеистических знаний. В клубах юных атеистов практикуется также создание секций: библиотечной, юнкоровской. Они собирают атеистическую литературу, готовят обсуждения книг, проведение читательских конференций, подбирают статьи из журналов и газет на атеистические темы, создают тематические альбомы, издают стенные атеистические газеты, рукописные журналы стихов, рассказов, очерков атеистического содержания.
Секция лекторской работы создается под руководством и контролем опытного педагога, члена общества «Знание».
Творческая инициатива учащихся проявляется и при проведении тематических атеистических вечеров. Тематические вечера своим содержанием обычно связаны с учебным материалом и посвящаются раскрытию атеистического потенциала тех или иных вопросов физики, химии, географии, литературы, истории, обществоведения: «Физика против религии», «Чудеса без чудес», «Тайны вещества», «Советские писатели о религии», «Атеизм в зарубежной литературе», «Коммунизм и ре- .лигия» и др. Емкость этой формы, вбирающей в себя лекцию, устный журнал, викторину, декламацию, инсценировку, показ кинофильма, выставку, делают ее чрезвычайно привлекательной для школьников.
К атеистическим выводам можно подвести учащихся при ознакомлении с произведениями искусства: литературы, живописи, кино, театра, прямо не затрагивающих вопросов религии, а утверждающих радость жизни, активной позиции в ней человека, борца и созидателя. А это в конечном счете опровергает религиозное миропонимание с его принижением человека, земных ценностей.
Инициатива комсомольской и пионерской организаций по вовлечению всех учащихся в общественнополезный труд, в определении каждому общественно значимого, интересного поручения формирует чувство сопричастности к общему делу, коллективного сопереживания за его выполнение, воспитывает активного общественника.
7
III. Атеистическая работа с родителями
Необходимым условием повышения эффективности атеистического просвещения и воспитания учащихся является совместная работа школы и семьи.
Абсолютное большинство родителей свободны от религии, являются атеистами. Но и родители-атеисты по-разному относятся к религии. Одни из них ведут активную наступательную борьбу с религиозной идеологией, суевериями. Другие полагают, что в современных условиях религия не способна оказывать влияние на формирование убеждений молодого поколения, и поэтому относятся к ней как к автоматически уходящему из жизни анахронизму. Наконец, есть верующие родители, поборники религиозного воспитания детей в семье. Следовательно, атеистическая работа требует строго дифференцированного подхода.
Школа должна вести работу по атеистическому просвещению родителей, вооружению необходимым минимумом, атеистических знаний, включающим в себя круг следующих вопросов: об историческом характере и социальной роли религии, о сущности и вреде религиозных праздников и обрядов, о научных Основах отношения Советского государства к религии, церкви, верующим (в том числе знакомство с основами советского законодательства о религиозных культах); о несовместимости коммунистической и религиозной нравственности, о задачах атеистического воспитания.
Наиболее результативная форма пропаганды — циклы лекций, дающие слушателям не отрывочные, а систематизированные знания. В циклах лекций сочетается критика религии с широким распространением естественнонаучных и особенно общественно-научных знаний. Лекции необходимо строить, так чтобы, pie оскорбляя чувств верующих, они несли в себе атеистический заряд, способствовали утверждению диалектико-материалистических представлений у слушателей.
Индивидуальную работу с верующими родителями, культивирующими религиозные взгляды у своих детей, разумно начинать с установления с ними доверительных отношений, с разъяснений, цель которых — показать трудности?, создаваемые родителями для развития ребенка, подчеркнуть, что противоположные влияния семьи и школы ведут к лицемерию, лжи, а следовательно, и к эмоциональным перегрузкам детей (страх перед наказанием в семье, перед насмешкой в классе).
Учителя на конкретных фактах убеждают родителей в отрицательных последствиях религиозного воспитания. Верующих вместе с другими родителями приглашают на утренники,’ школьные праздники, пионерские сборы и т. п. Верующие родители, наблюдая за своим сыном или дочерью среди сверстников, воочию убеждаются в справедливости слов педагога: их ребенок, как правило, скован, замкнут, чем-то постоянно озабочен. Естественно, у родителей возникает волнующий вопрос: а не обедняют ли они жизнь детей? Правы ли они? Эти раздумья и являются психологической основой союза педагога с такими родителями в борьбе за ребенка.
В индивидуальной работе по преодолению религиозных представлений родителей важно наладить контакт с неверующими членами семьи, чтобы оказывать атеистическое воздействие и через близких.
Важно также проводить индивидуальную работу и с теми родителями, которые, не веря в бога, верят в ложные приметы, в гадания, по традиции справляют обряды и праздники, сохраняют в домах иконы. Сознательного, целенаправленного религиозного влияния на ребенка в таких случаях не ведется, вместе с тем объективно уклад жизни семьи, вся духовная атмосфера сказываются на формировании его личности. Беседы с этой категорией родителей можно сразу начинать с разъяснения вреда, непреднамеренно приносимого ими детям, и одновременно развенчивания суеверий, неправильных традиций.
В проведение атеистической работы с родителями непосредственно включаются педагогические коллективы, общественные организации, культурно-просветительные учреждения. Совместные усилия школы, семьи, общественности являются важным условием успеха воспитания подрастающего поколения в духе воинствующего атеизма.
IV. Атеистическая работа с верующими учащимися
Массовые и групповые занятия являются главными, но не единственными формами' внеурочной антирелигиозной работы. В дополнение к ним всегда следует использовать индивидуальное воздействие. В нем особенно нуждаются ученики, находящиеся под влиянием религии. Конечно, степень религиозности учеников бывает различной — от убежденности в вере до едва заметного следования ее предписаниям. В соответствии с этим и дифференцируется работа с ними.
Учеников, подверженных религиозному
влиянию, условно можно разделить на три группы.
Первая группа — это те школьники, которые убеждены в существовании бога, посещают церковь или молитвенный дом, из внутренних побуждений выполняют обряды. Обычно они почти не участвуют в коллективной деятельности класса, неохотно вступают в контакты с товарищами.
Вторая группа — это школьники, выполняющие религиозные обряды под влиянием старших, связывающие религиозную обрядность с семейными традициями.
Третья группа — это школьники, которые, не принимая идеи бога, не участвуя в религиозных обрядах, усвоили различные суеверия.
Наибольшие трудности вызывает работа с учениками первой группы.
Учителя часто говорят, что с верующим подростком трудно наладить контакт, трудно вести разговор; он, не принимая атеистических доводов, замыкается в себе. Речь идет о предубеждении верующего. Преодоление его — первостепенная задача учителя. Выполняется она чаще всего опосредованным путем — через включение ученика в систему действительных отношений, из которых он «выпал», будучи верующим. Вместе с тем следует учитывать, что верующий не хочет входить в целый ряд коллективистских отношений, боясь «греха». И потому вхождение его в коллектив должно начинаться с поручений, не вызывающих у него внутреннего протеста. Выбираются поручения с учетом склонностей, интересов, запросов ученика (санитарная служба, занятия в живом уголке, в библиотечном и биологическом кружках и т. д.). Активисты от имени коллектива отмечают в классе, на линейке, на занятии кружка добросовестность и аккуратность, проявленные верующим при выполнении поручения, чтобы он эмоционально переживал акт сближения с коллективом ребят. При этом большую роль играет правильно сформированное общественное мнение, организатором которого выступает пионерская или комсомольская организация класса. Оно способствует налаживанию более тесных контактов, создает широкие возможности для общения. Смысл такого подхода к перевоспитанию верующего сводится прежде всего к формированию актив¬
ной позиции ученика по отношению к научно-атеистической информации.
Своя специфика есть в атеистической работе с учениками второй и третьей группы.
Поскольку школьники, относящиеся ко второй группе, выполняют религиозные обряды в силу семейных традиций, побуждаемые к тому нередко эстетическими потребностями, по отношению к ним психологически оправданным будет иной подход. Их следует привлекать в кружки, и в первую очередь удовлетворяющие эстетические запросы, — в хоровые, драматические, танцевальные, музыкальные и т. п., включать в комиссии по подготовке школьных вечеров, смотров, всячески поддерживать при этом проявление их собственной инициативы, фантазии, выдумки. И параллельно вести с ними разъяснительную работу о связи религиозных обрядов с религиозной идеологией, подводя ученика к выводу о принципиальности в поведении, о сознательном отношении к своим действиям, поступкам.
В атеистическом воздействии нуждается третья группа, усвоившая круг суеверий. С этими учащимися уместны беседы о верных и неверных приметах, о возникновении суеверий, вовлечение их в предметные кружки и научные общества.
* * *
Атеистическое воспитание является функцией всего педагогического коллектива, общественных организаций школы. При планировании работы по атеистическому воспитанию в школе необходимо опираться прежде всего на советы и рекомендации партийных организаций о проведении атеистической работы среди взрослого населения и детей, в полной мере учитывать условия атеистической деятельности в данном районе, городе, селе, а также факты распространения тех или иных религиозных направлений в этой местности, характерные черты, приспособляемость, методы проникновения религии в семью и влияния на детей, причины религиозности школьников и их родителей.
Последовательная и целенаправленная работа по атеистическому просвещению и воспитанию учащихся является одной из важных задач органов народного образования, педагогических коллективов школ, их общественных организаций.
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
С. Г. гиндикин
(Москва)
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
1. Теория измерения углов служит мостом, соединяющим теории тригонометрических функций углового и числового аргументов. Тригонометрические функции любых углов могут быть определены из геометрических соображений, однако для того, чтобы преобразовать их в функции числового аргумента, нужно каким-то образом установить соответствие между углами и действительными числами. Если же не задаваться этой целью, то можно строить замкнутую теорию тригонометрических функций углового аргумента (содержащую формулы приведения, сложения и т. д.), не прибегая к измерению углов. При этом важно, что понятия прямого, развернутого, полного углов, суммы углов, дополнительных углов не опираются на понятие величины угла (см. приводимый ниже обзор теории углов). В этом плане следует отметить принципиальное отличие трудностей, встречающихся при определении тригонометрических функций, по сравнению с другими элементарными функциями. Если в случае, например, показательной функции основная трудность заключается в ее продолжении с рациональных аргументов на все действительные, то тригонометрические функции без осложнений могут быть определены для любых угловых аргументов и трудность состоит в переходе к числовым аргументам. Правда, существует прямой путь построения тригонометрических функций числового аргумента как непрерывных решений тех или иных функциональных или дифференциальных уравнений, и в этом плане все элементарные функции строятся единообразно. Но такой путь остав¬
ляет открытым вопрос, какое отношение имеют построенные функции числового аргумента к геометрии. При получении ответа на этот вопрос мы опять не сможем избежать теории измерения углов.
2. Теория измерения углов, как правило, излагается в два концентра. Первый обычно связывается с градусной мерой, (ныне его изложение начинается в IV классе) и, по существу, состоит в том, что для углов, соизмеримых с полным (или, что эквивалентно, с прямым), определяется их отношение к полному углу; для несоизмеримых углов это отношение определяется приближенно. Хотя после этого кажется естественным определить отношение произвольных углов к полному при помощи стандартной процедуры предельного перехода, на этом пути теория измерения углов не завершается. Величины произвольных углов аккуратно определяются во втором концентре, когда углы реализуются как центральные углы единичного круга и мерой угла (ра- дианной) объявляется длина дуги окружности, на которую он опирается. В чем же здесь дело? Идет ли речь о другом пути построения теории измерения углов или о преодолении каких-то существенных трудностей, встречающихся при точной реализации первого пути, который кажется очень естественным и, конечно, более элементарным. Действительно, во втором случае необходимо иметь достаточно развернутую теорию измерения длин дуг окружности, а это вопросы, относящиеся к компетенции интегрального исчисления, хотя и сравнительно элементарной его части. В связи с этим естественно возникает и другой вопрос. Если.реальные трудности действительно есть, то нельзя ли их преодолеть более элементарными средствами, чем измерение длин дуг?
Эти вопросы мы и попытаемся обсудить в этой статье. Основным содержанием статьи является доказательство основной теоремы теории измерения углов (п 4, 5). Этой теореме мы предпосылаем обзор основных фактов об углах. В первой части статьи доказательства опущены. Они могут быть легко получены в рамках любого строгого изложения планиметрии, причем приводимые формулировки ориентируются на изложение, основанное на перемещениях. При желании можно, усвоив лишь вводимые в п. 3 обозначения, перейти затем сразу к п. 4.
3. Будем исходить из понятия полуплоскости— открытой (если она не содержит ограничивающую полуплоскость прямую) или замкнутой (если она содержит ее) 1.
1 Приводимые ниже определения, конечно, не являются единственно возможными.
10
А. Неориентированные углы. Эта теория относится к геометрии полной группы перемещений2 (т. е. всех преобразований
плоскости, сохраняющих расстояния; эти перемещения являются композициями переносов, поворотов, осевых симметрий).
1) Пусть Пь П2 — открытые (соответственно замкнутые) полуплоскости с пересекающимися границами, причем Пь П2 не являются парой полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость3. Их пересечение (общая часть) П1ПП2 называется выпуклым открытым (соответственно замкнутым) углом ф(Пь П2) (рис. 1). Если П1 и Г12 совпадают, то угол Ф(Пь П2) называется развернутым. Пусть /ь /2 — прямые, ограничивающие Пь П2 соответственно. Если они пересекаются, то их точка
пересечения О называется вершиной угла; при этом исходящие из О лучи прямых Zb Z2, принадлежащие полуплоскостям II2, П1 соответственно, называются сторонами угла: ть пг2. У развернутого угла за вершину принимается любая точка ограничивающей угол прямой /i=/2, а за стороны — лучи, на которые эта точка делит прямую. Нулевым (замкнутым) углом называется любой замкнутый луч пг\ за вершину угла принимается конец луча, а тг и т2 считаются совпадающими с т. Открытые нулевые углы_не рассматриваются.
2) Дополнение ф к любому выпуклому ненулевому и неразвернутому открытому (соответственно замкнутому) углу называется невыпуклым замкнутым (соответственно открытым) углом (рис. 2); при этом вершина и стороны ф считаются теми же, что у ф.
3) В дальнейшем мы ограничимся только замкнутыми углами. Другими словами, под углом мы всюду будем понимать выпуклый или невыпуклый замкнутый угол, специально не оговаривая это.
2 Часто такие преобразования называются движениями.
3 Другими словами: или границы пересекаются в одной точке, или полуплоскости совпадают.
4) Углы ф1 и ф2 называются конгруэнтными, или равными (ф1 = ф2), если они могут быть переведены один в другой перемещением. Между собой конгруэнтны все нулевые углы, все развернутые углы. Фиксируем точку О и луч ть выходящий из точки О; пусть Zf— прямая, содержащая гаь Для каждого ненулевого угла ф имеется ровно два конгруэнтных ему угла, имеющих луч гп\ своей стороной (они симметричны относительно 1\\ см. рис. 3).
'"I
Множество всех углов разбивается на классы конгруэнтных углов: в один класс мы включаем все попарно конгруэнтные углы. Поскольку ф = г|) =>- ф = ф; ф1 = ф2, Ф2 = Фз=^ =^Ф1= фз (как говорят, конгруэнтность углов является отношением эквивалентности), это разбиение на классы корректно. В основной части теории углов, в частности в теории измерения углов, мы фактически имеем дело с классами конгруэнтных углов. Это обстоятельство иногда выражается словами: «мы рассматриваем углы с точностью до конгруэнтности» или «мы отождествляем конгруэнтные углы». Вероятно, школьникам психологически трудно отождествлять «конгруэнтные», но «не совпадающие» углы — различные множества точек на плоскости (эта трудность касается вообще вопроса о конгруэнтности фигур). В связи с этим, по-видимому, целесообразно рассматривать классы эквивалентности, не производя отождествления внутри класса.
Будем обозначать классы, конгруэнтных у i’¬
ll
лов (или коротко классы углов) прописными готическими буквами: 31, 23, ©,... . Равенство классов углов означает, что они состоят из одних и тех же углов. Класс, состоящий из нулевых углов, обозначим через 0.
5) В множестве классов углов вводится порядок: 91! <2Хо, если и существуют та¬
кие углы tpi’e^i- ?2 € 312 с общей вершиной, что содержится в <р2 (рис. 4). Здесь, как и в ряде других аналогичных мест, мы опускаем легко проводимую проверку корректности Определения, т. е. что отношение Sti <С не зависит от выбора представителей <plt <р2, отвечающих указанным условиям.
Рис. 4
Показывается, что для любых пар классов 31, 53 имеем: или 31 = 23, или 31 <23, или 23 <21. Легко проверяются обычные свойства отношения 31<23: антисимметричность (если 21 < 23, то невозможно 23 <31.), транзитивность (если 21 <23 и 23 <(£, то 31 <@). Будем писать 2[<23, если 21 = 23 или 21 < 23.
Мы видим, что отношение порядка естественно вводится именно для классов углов, причем для специальных представителей этих классов (<pj, <р2) оно приобретает непосредственный геометрический смысл. Иногда, допуская вольность речи, мы будем говорить, что <р<ф при условии, что ©6 31, ф£ЯЗ, где 31 <23. При этом” <р и ф могут быть расположены не так, как на рис. 4.
6) Для некоторых пар классов углов 31, $8 определена сумма 31 + 58. Именно пусть 31 <£}; здесь 25Эф. гДе ф€23, а <]> — дополнение к ф4. Выберем <? £ 31 и ф £ 23 так, чтобы они имели общую сторону тх и не имели других общих точек (это можно сделать в силу 4) и того, что 31 <23). Тогда объединение (р и f (рис. 5) обозначим через ер -f ф, а класс углов, равных 9 + ф, назовем суммой 21 + S3 классов 31 и 23. Сумма классоз углов, как можно пока-
4 Это не совсем точно: дополнение к ф — открытый угол, а в качестве ф нужно взять соответствующий замкнутый угол.
Рис. 5
зать, определена однозначно. Иногда для краткости говорят, что 9 + ф = X, если 9 € 31, ф€23, а X — любой угол из класса 31 + 23. Заметим, что если с самого начала рассматривать сумму углов таким образом, не отождествляя конгруэнтные углы, то сумма будет определена не однозначно. Впрочем, есть возможность избежать неоднозначности, определяя сумму лишь для углов, расположенных так, как показано на рис. 5.
7) Естественным образом вводится операция деления угла на п конгруэнтных частей (углов). Применительно к классам углов равенство 23 = -j-p означает, что
$ = я 23 = аз + ... + 23.
Возможность деления всякого угла на п конгруэнтных частей — факт не простой; обычно он доказывается при помощи теории измерения углов. Однако возможность деления угла пополам — существование биссектрисы — может быть доказана непосредственным построением последней. Отсюда по индукции доказывается, что всякий угол можно разделить на n=2k конгруэнтных частей. Этим фактом мы и будем пользоваться в дальнейшем (случай произвольного п нам не потребуется).
Половина развернутого угла называется прямым углом. Все прямые углы конгруэнтны и образуют класс, который мы будем обозначать через 95.
8) Если Stj < ЗХ2» то определена разность щ2 — gXj. Э го такой класс углов 33, что 3t2 = = ^ $8. Если выбрать <pt и ср2 так, чтобы с?iC?2> а сторона ш1 была общая (рис. 6), то
Рис. 6
т»
замыкание дополнения <pj до ср2 будет входить в 23. Полагаем 31 — 3t = 0.
Б. Обобщенные углы. Операции сложения и вычитания углов выполнимы не всегда. Для того чтобы сделать эти операции всегда выполнимыми, расширим понятие угла 5.
Обобщенным углом назовем пару (<р, я), где ср — угол, а п — целое число. Соответственно пару Ф = (81, п), где St —класс конгруэнтных углов, назовем классом обобщенных углов. Пусть Ф1 = (Щ1# пх), Ф2 = (312> л2). Полагаем (рис. 7):
Рис. 7
Ф,
Фо
если Stj = 312, пх = п2\
еСЛИ
или
— /z2, St! 312;
Ф1 + Ф2 =
Ф,
+ 312, пх + /г2), если 312 < 2^,
(5й2— 2^, ^1 Н- ^2~Ь 1)»
если Я2>Щ1;
— (21, я)= (I, -/г - 1);
ф2 = Ф1+(-Ф2).
0)
В определении обобщенного угла читатель, разумеется, узнал формализацию понятия угла, большего полйого (Ф «является» суммой 31 и п полных углов). Обобщенный угол (0,1) называется полным.
Итак, в множестве классов обобщеных углов всегда определены операции сложения и вычитания. Проверяется, что сложение коммутативно, ассоциативно и согласовано с порядком Ф1<Ф2 (т. е. Ф2>0=^Ф1+Ф2>Ф1), а также Ф — ф = 0= (0,0) и что вообще вычитание классов обобщенных углов — действие, обратное сложению ((Ф1+Ф2)—Ф2 =
= Ф0.
5 Это естественно сопоставить с тем, что расширение понятия о числе в ряде случаев (переход от натуральных чисел к целым, от целых к рациональным и т. д.) связано с желанием сделать какую-то операцию 'всегда выполнимой.
Сделаем несколько замечаний. _
1) Обобщенные углы вида—(ср, 0) = (ф, —1) допускают следующую интерпретацию на языке ориентированных углов. Назовем ориентированным углом неориентированный угол <р с фиксированным порядком сторон ть т2. Тогда неориентированному углу Ф=^0 будет отвечать два ориентированных угла ф+ и ф_. Условимся при этом обозначать через ф+ угол, у которого луч mi при достаточно малом повороте против часовой стрелки попадает внутрь угла ф (мы не будем превращать это описание в строгое определение). Теория ориентированных углов относится к геометрии собственных перемещений, т. е. перемещений, сохраняющих ориентацию (они являются композициями переносов и поворотов). При собственном перемещении неориентированный угол ф^О не- может перейти сам в себя так, чтобы его стороны поменялись местами, а потому относительно собственных перемещений ф+ и ф_ при ф^О не конгруэнтны. Оказывается, что если отождествить ф+ с (ф, 0) а ф_ с (ф, —1), то операции сложения и вычитания, когда они не выводят за пределы множества классов вида (91, 0), (21, — 1), допускают естественную геометрическую интерпретацию; однако мы не будем на этом останавливаться.
2) Распространена следующая мотивировка для введения углов, больших полного: такие углы вводятся потому, что часто приходится иметь дело с вращениями, превосходящими полный оборот (врар*ение ключа, пропеллера и т д.). При этом часто не отмечается, что причины, по которым в этих случаях существенно «число оборотов», имеют негеометрическое происхождение. В рамках евклидовой геометрии плоскости поворот как всякое преобразование — это отображение плоскости на себя и в этом плане «повороты на углы, кратные полному», не отличимы от преобразования, оставляющего все точки на месте. Поэтому углы, большие полного, являются формальным образованием, удобным для определения суммы произвольных углов и выходящим за рамки геометрии преобразований евклидовой плоскости.
3) Рассмотрение композиции вращений наводит на мысль об определении суммы углов, меньших полного, не выходя за пределы этого множества углов. Если поставить в соответствие паре углов ф! и ф2 (точнее классов углов) угол ф1 *4- ф2, на который повернется
плоскость при последовательных поворотах на углы
Ф1 и фг около одной и той же точки, то возникнет новая операция сложения углов, которую естественно назвать «сложением углов по модулю полных углов». Это название оправдывается тем, что если (911, «i)-f -f(2b, п2) — (^3,п5) (в смысле обобщенных углов), то Sli + 312= 23, т. е.
8U + 81. -f + 2*2' 6СЛИ 5ll<^2
I 2li —ЗГ2, если 5Г2-
Можно показать, что это сложение также коммутативно и ассоциативно, однако рассмотрения действий над углами в рамках теории обобщенных углов более содержательны.
Множество классов равных обобщенных углов относительно введенных отношения порядка ®i<®2 и операции сложения является .упорядоченной абелевой (коммутативной) группой. На этом языке задачу об измерении углов можно сформулировать как задачу об установлении изоморфного соответствия между упорядоченной группой классов обобщенных углов и упорядоченной
13
группой действительных чисел по сложению. Это означает, что каждому классу обобщен- ных углов Ф ставится в соответствие действительное число г(Ф) так, что соответствие Ф г (Ф) — взаимно однозначно, причем г (0) = 0,
/■(®1 + Ф2) = г(ф,) + г(Ф2), (2)
Ф1<Ф2=>Г(Ф1)<Г(Ф2)«.
Если мы каким-то образом установили соответствие Ф ♦-* г(Ф), удовлетворяющее (2), то соответствие Ф Хг(ф), где к — положительное число, также будет удовлетворять (2). Для того чтобы ликвидировать этот произвол, можно фиксировать значение для какого-то одного класса углов Ф0 (фиксировать единицу измерения). Потребуем; например, чтобы r(d) — 1, где d=(®, 0). Напомним, что5> — класс (неориентированных) прямых углов. Класс d мы для краткости будем называть «прямым углом». Мы покажем, что после выбора нормировки (r(d) = l) величины углов г(Ф) определяются однозначно. Нормированная указанным образом величина г(Ф) называется отношением класса Ф к классу прямых углов d (или коротко к прямому углу). Значение г(Ф) приписывается всем обобщенным углам (ср, п), входящим в Ф, и называется отношением угла (<р, п) к прямому углу.
4. Итак, построение теории измерения сводится к доказательству следующей теоремы.
Основная теорема теории измерения углов. Существует и единственно взаимно однозначное соответствие Ф г(Ф) между классами обобщенных углов и действительными числами, удовлетворяющее условиям (2) и нормировочному условию r(rf) = l.
Доказательство. Всякий класс обобщенных углов Ф однозначно представляется
в виде Ф — rid + SI, где п — целое число, а 21 = (21, 0), 0 < 21 < d. Тогда обязательно
г(Ф) = п + г(Щ (3)
и все определяется значениями г для классов углов 0 <2Далее, для любого натурального k
г (<0-2* »■(£), г (£)—!•.
а значит, если m — натуральное число, то
6 Из доказательства основной теоремы (п. 4) будет видно, что можно не требовать заранее, чтобы соответствие Ф ► г (Ф) было взаимно однозначным, а потребовать лишь, чтобы г(Ф)фО; кроме того, последнее из условий (2) можно ослабить, потребовав, чтобы Ф1<Ф2=^г(Ф1)^г(Ф2).
Более сильные условия из (2) будут выполняться автоматически.
Пусть 0<;2t<Cfl?. Для всякого k через 21 обозначим наибольший класс углов вида d> 0<^m<2*, не превосходящий 21, т. е.
Такой класс углов существует, так как имеется конечное число классов углов вида -^dy 0<!
<т<2*, причем при пг = 0 этот класс не превосходит 21, а при гп = 2* он больше 21. Положим
Г*-ГО«*)-•£. rk = r(%) = ^±I (4) Имеем: rk — r_k = Далее, в силу (2) г*<г(И)</>
Наконец, rk+i^rk, поскольку все
классы вида ~^d могут быть представлены
также в виде -J-ргd — ^d. Итак, число г(21)
должно являться общей точкой вложенных отрезков [rk> rk], & = 1, 2,..., причем длина k-vo
отрезка равна По лемме о вложенных отрезках существует единственная общая точка этих отрезков, так как их длины стремятся к нулю при k—>оо. Таким образом число г (21) однозначно определено.
Итак, с одной стороны, доказана единственность соответствия Ф г(Ф), удовлетворяющего условиям теоремы. С другой стороны, построено некоторое конкретное отображение ф->*г(ф). Остается только проверить, что построенное отображение удовлетворяет всем требованиям. Впрочем, это наиболее трудная часть доказательства.
Итак, при 0<21<д?
г(Щ =' Нш гА= Нш г*, гй<г (31) <гл,
к ОО fe -> оо
0<г(«)<1. (5)
На остальные Ф функция г(Ф) продолжается при помощи (3). Если 91 <23, то г (51) •< г (23), так как rk (21) •< rk (23) для всех k. Если Ф, =
— nxd -{- 21 < Ф2 = n2d + 23, то я, < п2 или
14
= 21 <23, т. е. r(®i)<r(®2) в силу (3),
(5). Однако нужно убедиться в большем, а именно, что
Ф1<Ф2И-г(Ф1)<г(Ф2).
Это, в свою очередь, сводится к тому, что
0<21<23<й?=*г(21)<г(23).
Итак, нужно показать, что если 0<2t<23<rf н г (Я) = г (23), то 91 = 23.
Пусть г (21) = г (23). Для любого натурального k
0<33-2t<23*-2l*, так как 2(* <21, 23* >93. Далее, 23* — 21* =
= [г (23*) - г (21*)] tf=[r (£*) - г (58) + г (Я) - — г (2t*)] d, так как 21*, 23* имеют вид •£*• d,
а г (2t) = г (23).
Из определения г (21), г (58) следует, что [г(&*)-г(23)]<-^, [г (21) -г (21*)]
Таким образом,
. 0<23-2t<g*-2r*<i^r-.
Доказательство интересующего нас утверждения будет завершено,. если будет доказана лемма.
Лемма 1. Если для класса углов 6 при всех k 0 то (£ = 0.
Эта лемма является аналогом «аксиомы Архимеда» для углов. Она часто воспринимается как очевидная и ее доказательство не проводится. Однако строго доказать ее не слишком просто, и необходимость в этом является одной из причин, по которой при измерении углов прибегают к измерению длин дуг. Мы отложим доказательство леммы до конца статьи, а пока, считая ее справедливой, продолжим рассмотрение функции г(Ф).
Итак, для разных углов г(Ф) принимает различные значения, причем
®1<®2=*г(®|)<г(Ф2).
Проверим теперь, что отображение Ф —»г (Ф) обладает свойством аддитивности, т. е. что г (Ф -f- ЧГ) = г (Ф) -f- г (ЧГ)«
Если Ф = nd + 21, то положим Ф* = ad -j- 21*, Ф* = nd + 21*. Тогда
г (Ф) = lim г (Ф*) = Пт г (Ф*).
k ->■ оо k ->■ оо
Это непосредственно следует из (3), (5). Имеем:
Ф* + ^<(Ф + ЧГ)4<Ф* + Ф*; при этом первое из неравенств может быть строгим: (Ф + ^)* может быть на больше
Ф* + ЧГ*. Однако
г (Ф) + г (4F) = 1 hn г (Ф* + Wk) =
k+oo
= Нтг(Ф* + ЧГ*) = Итг(Ф + ,Г)*,
к оо оо
а поэтому этот предел совпадает с г (Ф -J- Ф) = = lim г(Ф-f Ф)*. Аддитивность отображения
к оо
Ф — г (Ф) доказана. Заметим, что в этом доказательстве нам не потребовалась лемма 1.
Осталось проверить еще один факт. Надо доказать, что Ф — г (Ф) — отображение на в с е множество действительных чисел. Это легко сводится к доказательству того, что г(Щ) при 0<21<а? принимает все значения 0<r< 1. Пусть г — какое-то число из этого интервала. Для всякого натурального k через г* обозначим наибольшее число вида не превосходящее г, а через г* — число г* + -р-. Имеем:
Цк<г<гк.
Для указанных г*, г* существуют классы углов 21*, Щ* вида -~d такие, что
'(**) = г*, г&й) = ?>.
Имеем для всех kz
**<«*+1, «*>Я*+Ь $*-21*=™
Если бы существовал такой класс углов 21,
что 31* <21-<21* для всех &, то было бы г (21) = г, так как г* < г (21) < г* для всех k,
а единственной общей точкой отрезков [г*, г*] является точка г. ~
Итак, нужно убедиться, что справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Пусть имеются две последовательности классов углов {21*}, {21*}, такие, что для всех k
0 < 2l*< 2lft+i < d, 0<2T*+i <«*<<*, 2l*<f*.
Тогда существует такой класс углов 21, кто 21* <21 <21* для всех к.
15
Замечание В силу леммы 1, если дополнительно 91* — 31* то St единствен.
Лемму 2 естественно назвать леммой о «стягиваю щих с я углах» (она аналогична лемме о стягивающихся отрезках). Если выбрать углы cp*€3t*, 9*631Л, имеющими общую первую сторону, то наглядный смысл леммы 2 состоит в том, что вторая сторона угла <р€31 отделяет вторые стороны углов <рл от вторых
сторон углов срл. Однако этот факт нуждается в доказательстве.
Итак, исследование естественного отображения Ф —>■ т (Ф) свелось к обоснованию того, что при этом отображении разным классам углов Ф отвечают разные числа г(Ф) (как принято говорить, нужно доказать мономорф- ность этого отображения) и что это отображение на все множество действительных чисел (это свойство называется эпиморфностью). Трудности, возникающие при рассмотрении этих вопросов, локализованы в леммах 1, 2.
5. В случае теории измерения отрез'ков аналоги лемм 1, 2 (либо эквивалентные им утверждения) принимаются за аксиомы (аксйома Архимеда и аксиома полноты),. Один из возможных путей построения теории измерения углов состоит в принятии утверждений лемм 1, 2 за аксиомы. Однако этот путь привадит к избыточной аксиоматике, поскольку леммы 1, 2 могут быть доказаны, исходя из остальных аксиом геометрии. Заметим, что при использовании теории измерения длин дуг для доказательства леммы 1 нужно воспользоваться тем, что половинному углу отвечает дуга половинной длины и что длина дуги, отличной от точки, положительна. В случае леммы 2 нужно знать, что для любого 0<а:<2я существует дуга единичной окружности длины х. Предварительно эти факты должны быть доказаны. Возникает вопрос: нельзя ли доказать леммы 1, 2 более элементарно? Для этого попытаемся связать с измерением углов измерение каких-либо прямолинейных отрезков (а не криволинейных дуг) и вывести леммы 1, 2 из их «прямолинейных» аналогов: аксиомы Архимеда и принципа стягивающихся отрезков на прямой. При этом мы лишимся того преимущества, что длина дуги пропорциональна величине угла; однако мы заинтересованы лишь в доказательстве лемм 1, 2.
Нам придется рассматривать лишь классы углов 31, 0<3(<Сd. Фиксируем некоторый
луч тх с концом О, и во всех классах углов 31 будем выбирать углы <р€21, имеющие тх первой стороной.
Выберем (рис. 8) на луче тх какую-то точку Л, отличную от О (для определенности А находится от О на единичном расстоянии), проведем через А прямую п, перпендикулярную тг; через В (у) обозначим точку пересечения т2 (второй стороны угла ср) с п, через s (^ — отрезок [В (ср), А]. Нетрудно заметить, что
/71*
s < —тр-; эт0 следует из того, что бис¬
сектриса острого угла в прямоугольном треугольнике делит противолежащий катет на отрезки, из которых меньший прилежит к вершине прямого угла (рис. 9).
По индукции доказывается, что s
Доказательство леммы 1. Пусть ср£6. Тогда для всякого k имеем: s (?) < , где
ф = Откуда по аксиоме Архимеда для отрезков 5 (ср)=0, а значит, <р = 0 (его стороны совпадают).
Доказательство леммы 2. Пусть
(V /V
углы <?* (Е Й k выбраны указанным выше
образом. Тогда для всех k угол <р4 содержится
в <р*+1; fk+i в ср*; срл в <рл. Отсюда следует,
/-Ч/
что система отрезков [2?(<рй), #(?*)] является
вложейной: [£(?*)> .6(9*)] г> [В (cp*+i), £(?ft+i)] при всех k (рис. 10). Пусть В — их общая точка, существующая по принципу вложенных отрезков. Очевидно, существует единственный угол ср, для которого В — В(уУ, класс конгруэнтных ему углов будет искомый.
Замечание. Фактически наши рассмотрения при доказательстве лемм 1, 2 основываются на тригонометрических функциях углового аргумента. Прямая п — это не что иное, как линия тангенсов. При доказательстве леммы 1 мы, по существу, воспользовались тем, что
при 0<cp<rf,
а при доказательстве леммы 2 мы фактически пользовались монотонностью тангенса как функции угла и тем, что из полноты прямой следует, что при О^ф<C.d тангенс принимает все неотрицательные значения. При этом еще раз подчеркнем, что тригонометрические функции углового аргумента — это функции, принимающие числовые значения, аргумент которых пробегает множество обобщенных углов или, что удобнее, классов таких углов. В последнем случае можно говорить о монотонности, поскольку в множестве классов углов определен порядок.
6. Итак, мы показали, что можно построить теорию измерения углов, не прибегая к теории измерения длин дуг. При этом мы видели, что хотя понятие отношения угла к прямому легко переносится с углов, соизмеримых с прямым, на произвольные углы, проверка некоторых существенных свойств этого отношения требует доказательства дополни¬
тельных утверждений, аналогичных аксиомам Архимеда и полноты, которые либо можно принять в качестве дополнительных аксиом, либо (как мы и поступили) вывести из прямолинейных аналогов.
Отметим еще, что мы интересовались отношением угла к прямому, а потому нормировали г (Ф) условием r(d)— 1. Чтобы получить радианную меру, нужно заменить это условие
нормировочным условием г' (d) = таким образом радианной мерой класса углоз будет величина г' (Ф) = ~ г (Ф), где г (Ф) — отношение Ф к прямому углу. Для того чтобы убедиться в эквивалентности этого определения обычному, нужно заметить, что радианная мера, определенная при помощи длины единичной окружности, удовлетворяет условиям (3), и воспользоваться тем, что из доказанной теоремы следует единственность функции г'(Ф), удовлетворяющей (3) и нормировочному условию
Чтобы перейти от тригонометрических функций углового аргумента к функциям числового аргумента, положим f(r(ф))=/(ф). В силу взаимной однозначности отображения Ф—► —*г(Ф) это соответствие (f—*f) корректно; поскольку г сохраняет порядок, монотонные функции углового аргумента переходят в монотонные функции числового аргумента; в силу аддитивности г периодические функции переходят в периодические, сохраняется также четность и нечетность. Те же соображения позволяют осуществить обратный переход от функций числового аргумента к функциям углового аргумента.
Автор благодарен А. Н. Колмогорову и И. М. Яглому за целый ряд критических замечаний и рекомендаций, использованных при написании окончательного варианта статьи.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Б. В. ГНЕДЕНКО
(Москва)
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Политехнизация среднего образования вол-< нует педагогов советской школы с первых дней ее существования. Как известно, основные задачи политехнического обучения состоят в овладении системой знаний по науч- ' ным основам современного производства, приобретении первичных навыков в обращении с наиболее употребительными орудиями труда, формировании творческого отношения к труду, Привычек к систематическому труду и развитии способностей учащихся.
Различные аспекты среднего образования были и остаются предметом пристального внимания Коммунистической партии и Советского правительства. Недаром в грозный 1919 год в программу РКП (б), принятую на VIII съезде партии, был включен раздел о развитии школьного дела. Много важных для последующего направления всеобщего обучения положений содержит этот документ. В частности, там зафиксировано «проведение бесплатного и обязательного общего и политехнического (знакомящего в теории и на практике со всеми главными отраслями производства) образования для всех детей обоего пола до 17 лет».
В заметках на тезисы Н. К. Крупской об основах политехнического образования В. И. Ленин особо подчеркнул, что политехнический принцип обучения требует широкого общего образования. Это обстоятельство заслуживает самого пристального внимания в наши дни,
поскольку именно теперь, в эпоху ускоренного научно-технического прогресса, конкретные знания, относящиеся к способам производства, к имеющемуся оборудованию, стареют исключительно быстро, в то время как законы природы находят все более частое и непосредственное использование на практике. Этот момент вновь нашел отражение в постановлении ЦК партии от 5 сентября 1931 г. о начальной и средней школе. В нем четко сказано, что всякая попытка оторвать политехнизацию школы от систематического и прочного усвоения основ наук, особенно физики, химии и математики, представляет собой грубейшие извращения самого принципа политехнической школы.
В июле 1973 г. сессия Верховного Совета СССР приняла «Основы законодательства Союза ССР и союзных республик о народном образовании». Естественно, что вопросы политехнического обучения нашли здесь должное отражение. В разделе IV принятого закона сказано, что «политехническое обучение, трудовое воспитание*и профессиональная ориентация учащихся осуществляются в процессе изучения основ наук... в соответствии с требованиями научно-технического прогресса». Особого внимания заслуживают заключительные слова этого раздела закона. Из них с полной определенностью вытекает, что политехническое обучение осуществляется не только и не столько на уроках труда, сколько при прохождении всех, без исключения, дисциплин курса средней школы. При этом, естественно, на долю математики выпадает серьезный аспект работы, особенно если учесть роль математизации знаний в современном мире, значение математики в осуществлении научно-технического прогресса.
В 1972 г. вопросы политехнического обучения были предметом специального обсуждения на общем собрании АПН СССР. Вице- президент академии В. Г. Зубов выступил с большим докладом о проблемах политехнического обучения. Естественно, что в этом докладе общего характера не были и не могли быть рассмотрены вопросы преломления принципа политехнизации в процессе математического образования школьников. Это должно быть серьезно и всесторонне обсуждено самими математиками. Однако ряд общих моментов, отмеченных в докладе, имеют общий интерес и заслуживают того, чтобы их использовать при решении вопросов политехнизации в процессе преподавания не только естественнонаучных дисциплин, но и математики. Приведем эти положения, используя опубликованную часть доклада.
18
«Реализация принципа политехнизации в основных учебных предметах означает прежде всего:
осуществление выбора таких основных понятий, форм законов, последовательности и логики изложения учебного материала в каждом предмете, которые имеют наибольшую широту и возможности применения во всех областях человеческой деятельности;
обеспечение полноценного показа особенностей действия законов, ознакомление с возможностями, путями и формами применения основных законов в общественном производстве;
построение учебного материала и выбор методов обучения, максимально стимулирующих познавательную активность учащихся, обеспечивающих ученику возможность самостоятельно раскрывать действие законов на практике;
максимально возможное (и, конечно, педагогически оправданное) увеличение удельного веса практических занятий;
ознакомление учащихся на практике с простейшими приборами и инструментами, практическими устройствами, входящими в компетенцию учебного предмета, и развитие начальных навыков обращения и работы с ними;
активное ознакомление с реальным производством на уровне более высоком, чем те «экскурсии на производство», которые проводятся сейчас».
Несомненно, что общие положения о политехническом образовании нуждаются в тщательном и всестороннем анализе при претворении их в педагогическом процессе. Не может быть сомнений в том, что осуществление политехнизма при изложении курсов физики, математики, биологии и литературы будет проходить разными путями с привлечением существенно различных средств и методов. Эта работа не может быть предоставлена самотеку, она нуждается в серьезных научных разработках и организационных мерах. Но прежде всего в руки учителя должны быть даны такие пособия, в которых всесторонне раскрывались бы возможности преподаваемой дисциплины в современной практике. В них должен содержаться полноценный и разнообразный материал, которым учитель мог бы воспользоваться при проведении интересных и содержательных в научном, прикладном и педагогическом отношениях уроков по своей дисциплине в политехническом плане. К сожалению, до сих пор такого типа учебных пособий для учителя у нас еще нет.
В современном обучении, как в общем, так и в специальном, математика занимает весьма значительное место. И к этому принуждает
не только ее общеобразовательная роль, в частности значение курса математики в воспитании логического мышления. Для подавляющего большинства учащихся ценность математического образования состоит в ее практических возможностях, в необходимости ее методов и результатов для глубокого понимания практических ситуаций й для познания закономерностей окружающего нас мира. Эта познавательная и прикладная роль математики во все времена была не только движущим стимулом прогресса самой математики, но и решающим аргументом при определении места математики в педагогическом процессе. Несомненно, что требования практики должны в решающей мере определять содержание курса математики и способ ее изложения как в общеобразовательной школе, так и в специализированных учебных заведениях. Само собой разумеется, что при этом нельзя пренебрегать и другими моментами, определяющими содержание математического обраоова- ния, такими, как требования научной современности и педагогической целесообразности.
Несомненно, что нет возможности заранее предусмотреть все аспекты приложений математики, с которыми придется столкнуться учащимся в жизни. Заранее можно быть' уверенным в том, что среди тех, кто обучается в школе сейчас, найдется определенная доля таких, кому придется воспользоваться лишь самыми первичными элементами знаний, закладываемых в школьном курсе. Но одновременно значительная часть учащихся столкнется с настойчивой необходимостью постоянно пополнять и совершенствовать запас имеющихся у них на вооружении математических знаний и навыков. Важно подчеркнуть, что к этой категории будут принадлежать не только те, кто займется научными исследованиями в области естествознания, но и те, кто посвятит себя работе в области экономики, управления производством, изобретательства, конструирования и эксплуатации сложных технических систем и т. д. Поэтому следует организовать образование и определить его содержание в соответствии с наблюдаемыми тенденциями требований практики к основам научных знаний.
Занятия по каждому предмету, в том числе и по математике, обязаны не только увеличивать объем знаний учащихся, но систематически, настойчиво и ненавязчиво воспитывать те качества, которые крайне необходимы каждому члену общества. Вот почему так важно предъявлять к школьной жизни ряд совершенно обязательных требований. В первую очередь хотелось бы особо подчеркнуть необходи¬
19
мость систематического воспитания в каждом из учащихся следующих качеств:
уважение к коллективу и ответственное отношение к любому поручению;
привычка к систематическому труду; уважение к работе и презрение к безделью; стремление к хорошо выполненной работе и нетерпимость к выполнению порученного задания «как-нибудь»;
стремление к познанию и постоянному совершенствованию полученных знаний и навыков;
привычка к поискам нового и самостоятельность мышления;
интерес к приобретению научного взгляда на процессы природы и общественной жизни.
Само собой разумеется, что достижение этих целей требует от преподавателей огромного систематического труда, повседневной требовательности, а может быть, и серьезного изменения методических приемов содержания обучения. Конечно, эти воспитательные задачи решает не только педагогический коллектив, семья, но и общественные организации. Уважение к труду воспитывается каждодневно.
Кроме того, для жизни исключительно важно научиться выполнять дело сразу, без излишних раздумий, черновиков. Ведь так часто бывает необходимо принимать решение и сразу же исполнять его «набело». При управлении самолетом или быстропротекающим технологическим процессом нет возможности сначала принять решение «начерно», посмотреть, что из этого получится, затем подправить его и вновь посмотреть и лишь после этого думать о решении «набело». Легко понять, что это окончательное решение может запоздать, а само это опоздание привести к катастрофическим последствиям. Вот почему так важно, чтобы школа приучала к привычке принимать сразу окончательные решения и по мере возможности избегать черновиков. Делать аккуратно и верно сразу, чтобы не тратить время позднее на исправление. Это нужно для жизни, и математика в воспитании этих качеств в состоянии сделать очень многое.
Вернемся к обсуждению того, что может сделать математика в политехнизации обучения.
Прежде всего содержание обучения должно быть приведено в соответствие с потребностями практики нашего времени и обозримого будущего. Изложение предмета необходимо строить так, чтобы учащиеся видели, как понятия, с которыми их знакомят, применяются в жизненных ситуациях. И это надо делать систематически, а не только в общих речах
о пользе науки. Отметим еще один возможный аспект политехнизации математического образования. Одно время была хорошая традиция помещать в учебниках добавления, содержащие беседы о соответствующей науке и ее месте в жизни общества. Почему бы нам не вспомнить об этом и в наших учебниках? Задачники также должны быть пронизаны идеей политехнизации.
Перейдем теперь к более подробному изложению сформулированных положений.
Какой смысл вкладываем мы в слова: «содержание математического образования должно быть приведено в соответствие с потребностями практики нашего времени и обозримого будущего»? Означают ли они полный разрыв с прошлым содержанием курса школьной математики и переход на совсем новое? На наш взгляд — нет. Но вместе с тем в школьном математическом образовании должны быть перемены, и притом большие. Необходимость арифметических знаний никем не оспаривалась и не оспаривается. Умение считать будет необходимо всегда, оно является непременным элементом политехнического образования. И вполне понятно, что воспитание арифметической культуры занимает и в новых программах школьного математического образования значительное место. Современные учебники делают это, пожалуй, лучше и нагляднее, чем учебники прежних лет. Введение в преподавание арифметики некоторых элементов теории множеств не мешает, а помогает более сознательному усвоению арифметических знаний, но нельзя при этом терять чувство меры. Точно так же знакомство с простейшими геометрическими образами — фигурами и телами, приобретение навыков в вычислении площадей и объемов всегда останется основным элементом всякого математического образования. Интересы политехнизации требуют и определенных навыков в приближенном вычислении объемов и площадей. Это необходимо для практики, и никто не предполагает, что хороший опыт, приобретенный в прошлом, будет отброшен.
Однако кто сказал, что содержание геометрических знаний, сообщаемых в школе, на вечные времена определено Евклидом? За две тысячи лет, прошедших с той поры, требования к геометрии существенно изменились и выросли. Современные физические воззрения в значительной степени геометризировались, и в повседневный обиход физики наших дней вошли многие геометрические понятия, которые сформировались на протяжении лишь последнего столетия. Достаточно напомнить понятия многомерного пространства, движения.
20
Эти понятия элементарны и педагогически вполне посильны для ребят школьного возраста. Можно ли искусственно сдерживать возможности познания детьми этих геометрических понятий? Думаем, что нет. Современные учебники по геометрии вводят школьника в круг этих понятий.
Для практики наших дней исключительную роль приобрели вычислительные устройства. С идеями способов современных вычислений школьники должны быть ознакомлены. Нет нужды, чтобы из школы выходили программисты, но абсолютно необходимо, чтобы среднее образование давало хотя бы общее представление о возможностях современной вычислительной техники и об азбуке программирования, которое тесно связано и с логическим воспитанием школьника. Без логически четкого мышления нет возможности составить хорошую программу для ЭВМ. Вот почему современное программирование обязательно предполагает постоянное внимание к логическому воспитанию школьника. Такое воспитание обладает высокой политехнической значимостью, поскольку логические навыки, приобретенные в школе, будут крайне необходимы в дальнейшей практической работе при сборе и обработке информации, при поиске неисправностей в сложных технических системах, при управлении технологическим процессом и составлении для него соответствующих математических моделей. Внимание к логическому развитию школьника в наши дни является обязательным элементом политехнического образования. Вот почему старый тезис о математике как мощном средстве воспитания логического мышления в наши дни приобретает особое звучание.
Элементы математического анализа открывают перед глазами человека огромный мир применений, мощное средство познания мира. Недаром передовые ученые на протяжении последних полутораста лет требовали включения элементов дифференциального и интегрального исчислений в курс средней школы. Более 125 лет прошло с момента опубликования статьи «Погрешности при вычислении процентов» выдающегося педагога и математика М. В. Остроградского. В этой популярной статье он с полной определенностью заявлял: «Фраза «дифференциальное исчисление есть трансцендентный или высший анализ», повторяемая со времени Лейбница, должна же, наконец, устареть. Что может быть проще дифференциального исчисления для читателей, хотя бы несколько знакомых с математическими науками?» А какие огромные возможности для рассказа о законах природы и их
математической формулировке, о многообразных применениях математических знаний к вопросам организации производства, биологии и техники дает даже одно знакомство с основными понятиями математического анализа!
Современная жизнь полна стремления найти оптимальные решения. С этим связаны важнейшие вопросы сохранения природы, экономии труда, материалов, станочного времени при изготовлений массовой промышленной продукции. Мы слышим постоянные требования об оптимальном управлении производственными процессами или космическим кораблем, учебным процессом или системой снабжения. Чтобы требование оптимальности решений не было сведено к чисто словесной эквилибристике, нужно ‘придать этому понятию строгое количественное определение. Школьника надо познакомить с разными методами решения задач на нахождение оптимальных решений, подготовить к тому, что задачи на оптимальные решения могут ставиться по-разному и в зависимости от их постановки нуждаются в различных математических средствах. Классические задачи на максимум и минимум функции, требующие чисто алгебраических или геометрических методов, либо методов дифференциального исчисления, а также задачи на смеси, нуждающиеся в методах линейного программирования, должны найти место в курсе средней школы. Нет необходимости, чтобы после окончания средней школы каждый ее воспитанник был в состоянии решить практическую задачу на линейное программирование. Однако ему необходимо научиться грамотно формулировать возможные результаты. Во всяком случае, выпускники школ должны отчетливо понимать бессмысленность так часто повторяемой цели оптимизации: «при минимуме затраченных средств добиться максимума произведенной продукции». Важно, чтобы выпускники школ понимали, что если при определенном способе производства достигнут максимум экономии материалов, то без изменения технологии изготовления или перехода на новый тип изделия нельзя каждый год получать еще дополнительное снижение затрат материалов. Конечно, даже такое ограниченное знакомство с проблемами приучит учащихся к важному выводу: никакой разговор о желательности оптимизировать тот или иной процесс не приблизит к решению нужной нам задачи, пока не дана точная математическая ее постановка, пока она не сформулирована на математическом языке.
Перечисленные темы курса математики в том или ином объеме уже вошли в действую¬
21
щую программу, и в первую очередь следует вести речь о том, как придать этим темам необходимый для политехнического обучения характер изложения. Теперь же мы перейдем к вопросу, который ждет своего включения в обязательный курс математики средней школы и который остается пока вне этого курса, несмотря на его очевидную необходимость практически для всех современных применений математических методов. Имеется в виду теория вероятностей.
Вопрос о теоретико-вероятностном образовании выходит далеко за пределы чисто математического расширения круга получаемых знаний. В неменьшей степени речь при этом идет и о расширении методологического кругозора учащихся, о приобщении их к знакомству с закономерностями, выходящими за пределы привычных строго детерминистических закономерностей, когда определенные условия протекания явления влекут вполне определенный результат. Однозначность исхода, его полная предопределенность начальными условиями являются характерной чертой строго детерминистических процессов. В реальной обстановке приходится сталкиваться с несравненно более сложной обстановкой, когда, казалось бы, одинаковые начальные условия приводят к множеству различных возможных исходов. Длительность «жизни» деталей, изготовленных на одном и том же станке, одним и тем же рабочим, из одних и тех же полуфабрикатов, резко различна и изменяется от долей часа до многих тысяч часов непрерывной работы. И это при условии, что испытания производятся на стенде при одинаковых нагрузках и прочих равных условиях. Различие вызывается рядом неизвестных нам причин, в частности молекулярной и атомной неоднородностью строения материала изготовления, а также ничтожными колебаниями условий изготовления. С различного рода явлениями, приводящими к подобному же непредсказуемому разбросу, приходится сталкиваться буквально во всех областях практики: число вызовов от абонентов, поступивших на телефонную станцию за определенный промежуток времени; число отказов технической системы за смену; время, затраченное на ремонт определенного узла машин, и т. д. Само собой разумеется, что примеры такого рода легко могут быть заимствованы и из предметов естественного и гуманитарного циклов — биологии, физики, химии, литературы, экономики. В результате легко убедиться, что нас со всех сторон окружают случайные события, а мы не принимаем никаких мер, чтобы молодое поколение познакомилось хотя бы в са¬
мых элементах с методами их количественного изучения.
Теоретико-вероятностные знания широко используются в наши дни для непосредственной производственной работы (скажем, статистические методы контроля качества массовой промышленной продукции, статистические методы управления качеством продукции, организация работы телефонных станций, расчет оборудования морских портов и т. д.). И этой работой приходится заниматься не только ученым или работникам конструкторских отделов, но и техникам, рабочим. Таким образом, необходимость в теоретико-вероятностных знаниях касается очень широкого круга членов общества.
Теоретико-вероятностное образование требует не единичного кратковременного усилия, когда в курсе математики будут выделены 20, 30 или 40 часов и компактно в течение двух с половиной или трех месяцев ученики узнают определения, основные теоремы и прорешают задачи. Таким путем статистическую концепцию воспитать нет возможности. Развитие статистических представлений и способа мышления требует длительного времени и постепенного вхождения в стиль рассуждений, осмысливания примеров из окружающей нас действительности. Такое воспитание необходимо начинать в VI классе и продолжать его до окончания школы. Серьезные размышления насчет педагогики теории вероятностей в школе приводят к убеждению, что ее введение в курс математики средней школы должно существенно повлиять на все построение курса, на подбор упражнений; и на связи с предметами естественнонаучного цикла.
Исключительного внимания заслуживает форма изложения материала в учебнике и подбор задач для упражнений. Воспитание четкой логической формы построения курса математики, несомненно, нужно, ведь речь идет о курсе математики. Но учащийся при изучении различных глав математики постоянно должен понимать, зачем этот предмет ему нужен, как связаны изучаемые им понятия с насущными задачами практики. Ему следует отчетливо показать, что вводимые в курсе математики понятия, во-первых, естественным образом появляются из запросов практики, а затем получают в их абстрактной форме, очищенной от непосредственной связи с определенным практическим источником, многочисленные другие истолкования и применения. Во-вторых, ни в коем случае недопустимо, чтобы учебник создавал впечатление, что математика живет своей собственной жизнью, отличной от жизни всей остальной науки и прак¬
22
тической деятельности. Ленинская позиция должна пронизывать построение учебника как для средней, так и для высшей школы от начала до конца. Здесь имеем в виду известное положение В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности». Именно это положение раскрывает тот реальный путь, по которому следует идти при создании учебников для * политехнической школы.
Конечно, при таком построении учебника неизбежно придется несколько увеличить его в объеме по сравнению с учебником, излагающим тот же материал в чисто формальном духе. Но мы ни в коем случае не можем забывать о том, что научное мировоззрение в его основах закладывается именно в школе, и это делается не столько во время специальных бесед учителя, сколько следует из всего построения школьного курса. Сколько бы ни говорил учитель-о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для практики, но если он не показывает, как практика влияет на развитие математики и как математика помогает практике в решении ее проблем, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьезный ущерб. Должно быть обязательное единство слов и дела. Если же вдобавок учебник построен так, что связи математики с практикой отодвинуты на второй план или же отсутствуют вовсе, то о каком политехнизме обучения может идти речь! Конечно, это совсем не означает, что на каждом занятии необходимо практическое задание. Курс школьной математики должен дать систему математических знаний и лишь показать широту их возможных применений.
Сказанное показывает, сколь важно обсудить характер учебников для средней школы, чтобы они всей своей структурой построения и изложения способствовали политехнизации обучения. При этом хотелось бы вновь подчеркнуть ранее высказанную мной мысль: воспитание строгости логических рассуждений и построение математики как строгой системы математических знаний являются элементами политехнизации обучения.
При политехнизации процесса и содержания обучения естественно* предъявлять требования не только к соответствующему преподаванию математики. Не менее существенна другая сторона дела — систематическое использование математических знаний на уроках по другим дисциплинам: физики, химии, биологии, географии. Это поможет не только углубить
изучение этих дисциплин, но и сократить необходимое время для изложения заданного объема материала. Систематическое привлечение математических средств при преподавании других дисциплин, так же как и привлечение материала других . дисциплин для упражнений по математике, усилит политехнический аспект преподавания и будет служить углублению усвоения школьных курсов.
Теперь несколько слов о добавлениях к учебникам, в которых сообщались бы сведения об ученых-математиках, о связях математики с практикой, о месте математики в современном мире. Такие рассказы должны быть краткими, но захватывающими по содержанию и по форме; они должны быть рассчитаны на психологические особенности детей различного возраста, которые могут оказаться в данном классе, и соответствовать научному их развитию. Нам могут возразить, что такого рода математические новеллы должны помещаться в особые математические хрестоматии и им не место в учебниках, но учебник — обязательная принадлежность каждого школьника, и поэтому почти наверняка он заинтересуется этими добавлениями к уже имеющейся у него книжке, в то время как математическую хрестоматию ученику нужно еще доставать. А вот когда он, заинтересовавшись содержанием первых таких рассказов, пожелает приобрести хрестоматию, то он сумеет преодолеть те трудности, которые могут встретиться.
Политехническое образование не следует понимать в применении к математике как простое насыщение занятий большим числом примеров практического характера. Основное для политехнизма — понимание важности математических методов, присущей им логической строгости в рассуждениях; отчетливое представление о том, что математика изучает не само явление, а лишь его математическую модель, и потому выработанные при этом приемы исследования удается распространить на большое число других явлений. Иллюстративные примеры следует выбирать такими, чтобы они пробуждали у учащихся дух познания, сохранялись в памяти на долгие годы и возбуждали стремление сделать полезное для общества. Эти примерц должны возбуждать у учащихся веру в силу знания и неограниченные его возможности, подчеркивать еще одну важную мысль, что любые активные математические знания, в том числе и самые начальные, могут быть с пользой применены к практическим делам. Но для этого следует проникнуть в суть дела, которое выдвигает перед нами практика, а также глубоко уяснить смысл математических понятий и резуль¬
23
татов. Поверхностные знания не приносят пользы ни их обладателю, ни обществу.
Как ни широки представления учащихся о применимости арифметических действий в повседневной жизни или о важности правил вычисления площадей и объемов, сами занятия арифметикой или геометрией увлекают лишь немногих. В этих занятиях нет полета мысли в героическое, отрыва от обыденного, стремления к высокой и яркой цели. А ведь в период изучения арифметики большинство мальчиков и девочек мечтают о подвигах, о чем-то необычном. И мы должны пойти им в этом навстречу, показать, как много героического и исключительно важного содержит в себе математика.
Академик А. Н. Крылов писал о том, что «математические теории, кажущиеся отвлеченными и приложений не имеющими, может быть, завтра найдут себе приложение совершенно неожиданное, а может быть, и через две тысячи лет; но всякая истина всегда представляет вечный вклад в сокровищницу человеческого знания, независимо от того, когда этой истиной воспользуются». По его словам, основная задача, которая должна стоять перед человечеством, состоит «не только в использовании старых сокровищ, уже имеющихся, но и в накоплении новых, не только в использовании процентов, но и в создании капитальных вложений». Учащимся необходимо понять, что математика является как раз тем основным капиталом мысли, которым владеет человечество. Но с этих знаний удается ежегодно получать и проценты.
Об одном из примеров использования процентов с капитала теоретической математики, и при том достигнутом самыми элементарными средствами, имеет смысл рассказать всем школьникам. Речь идет о так называемых «таблицах непотопляемости судов», предложенных в конце прошлого века известным адмиралом С. О. Макаровым и вычисленных для ряда судов русского флота (в частности, для тех, которые участвовали в Цусимском сражении) академиком А. Н. Крыловым.
Известно, что трюм корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки. Это делается для того, чтобы вода, проникнув по той или иной причине внутрь корабля, не заполнила всего трюма, и тем самым уменьшается опасность гибели судна от затопления. При получении судном пробоины вода мощным потоком устремляется внутрь корабля, и редко удается заделать пробоину судовыми средствами, а затем, откачав воду из затопленного отсека, вновь возвратить кораблю плавучесть, а экипажу — возможность
работать в нормальных условиях. Обычно же приходится предоставлять воде свободу заполнять отсек. Для того чтобы составить представление о мощи потока воды через пробоину, скажем, что через пробоину в 9—10 дм2, погруженную на 2—2,5 м, за час вливается около 2000 т воды. Даже с такой, казалось, небольшой пробоиной водоотливные средства справились бы с трудом. В действительности же площади пробоин достигают нескольких квадратных метров. Корабль, приняв в свои отсеки тысячи тонн воды, получает значительный крен, который не только мешает работе экипажа, но и грозит судну гибелью из-за опрокидывания. И вот в такой грозный для корабля и для команды судна час нужно принять решение о мерах борьбы за спасение людей, судна-и находящегося на нем груза. Как правило, в этих случаях имеется только один способ спасти положение — уже сознательно затопить отсек с другой стороны судна. История судоходства знает множество случаев, когда капитан, растерявшись, отдавал приказ о затоплении не тех отсеков и тем самым осложнял положение. В результате корабль получал еще больший крен, опрокидывался и погибал вместе с экипажем.
Идея С. О. Макарова, претворенная в жизнь А. Н. Крыловым, состоит в том, чтобы заранее в тиши кабинета рассчитать таблицы, в которых было бы указано, как скажется на судне затопление тех или иных отсеков, что следует сделать, чтобы выправить положение. Эти таблицы учитывают возможность повреждения не только одного, но и нескольких отсеков; они получили название таблиц непотопляемости. В настоящее время ими снабжаются корабли всех флотов мира. Простая мера, требующая для своего осуществления лишь арифметических подсчетов и знания элементов геометрии и механики, но сколько человеческих жизней и материальных ценностей спасено благодаря этим расчетам! Краткий рассказ о таблицах непотопляемости и сопутствующие им вычисления для самых простых случаев дадут школьникам гораздо больше, чем десятки задач псевдопрактического содержания.
Обсуждение вопросов, связанных с политехнизацией обучения на уроках математики, очень важно для школы. Надеемся, что эта статья откроет серию дальнейших предложений. В конечном счете удастся найти хорошие и действенные практические меры для всестороннего и полноценного претворения в жизнь идей политехнического образования на уровне, отвечающем требованиям современной советской школы.
Ф. М. БАРЧУНОВА
(Москва)
РАЗВИТИЕ
ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА К ГЕОМЕТРИИ
У УЧАЩИХСЯ VI—VII КЛАССОВ
Дать каждому ученику глубокие и прочные знания — задача, требующая постоянного совершенствования собственных знаний учителя и серьезного продумывания всех элементов учебного процесса. Все усилия учителя, однако, могут оказаться бесплодными, если первым помощником в решении этого вопроса не будет сам ученик.
Основной стимул учения — интерес к знаниям, и он должен систематически развиваться у каждого ученика. Для решения этой задачи очень важна общая атмосфера в школе. Большое значение при этом имеет внеклассная работа.
Однако главным условием формирования познавательной активности школьников являются содержание и организация урока. Отбирая материал и продумывая приемы, которые будут использованы на уроке, учителю надо оценивать их и с точки зрения возможности возбудить и поддержать интерес учащихся к предмету.
Класс не представляет собой однородную массу. Безусловно, имеется какая-то часть учащихся, у которых интерес к математике зародился еще до ее изучения. Таким ученикам нужны разнообразные и более сложные задания, однообразные упражнения их утомляет. Во время выполнения упражнений тренировочного характера для них всегда надо иметь в запасе более сложные задания. Включение в домашние задания необязательных упражнений тоже в. основном рассчитано на них. В качестве необязательных задач удобно предлагать задачи со звездочками из учебника, чтобы не тратить время на запись их условий. Учителя Калининского района Москвы, как правило, дают такие упражнения для желающих и оценивают правильное их выполнение. Но дело не только в этом стимуле. Важно привлечь к решению этих задач как можно больше учащихся. Даже среди желающих решить такую задачу подчас не все могут это сделать. К тому же из-за недостатка времени организовать проверку ее решения на уроке невозможно. Поэтому в классе делается стенд, где вывешивается сначала текст необязательного задания, а затем его решение. Бывает очень интересно, когда учашиеся представляют различные решения. В некоторых слу¬
чаях на стенде помещаются рисунки, по которым можно «додумать» решение. Например, в VII классе после изучения темы «Площадь многоугольника» учащимся предлагалась в качестве необязательной задача на доказательство (рис. 1), а через неделю помещался только рисунок к ее решению (рис. 2).
Говоря о развитии интереса у всех учащихся класса, прежде всего надо сказать, чем он вызывается у среднего ученика и когда может теряться.
Основным фактором развития интереса к предмету является понимание учащимися излагаемого материала и успешное выполнение ими предлагаемых упражнений. Выполняя задание, ученик никогда не исходит только из его полезности. Если он справляется с предлагаемым материалом, он любит это дело. В действительности любить тот или иной предмет у него равносильно умению сделать ту или иную работу. Это подтверждают и беседы с учащимися.
Таким образом, непонимание материала и отсюда неумение справиться с какими-то заданиями, которые им предлагаются, — основная причина потери интереса к предмету. Лишь у сильных учащихся непонимание приводит к отысканию его истоков; остальные ученики чаще не ищут этих причин, не стремятся ликвидировать пробелы в знаниях; тогда-то и пропадает у них интерес к предмету.
Чтобы предупредить непонимание изучаемого материала, учителю Еажно не только умело подобрать этот материал и продумать
25
методику его изложения, но и все время быть в курсе того, насколько он усвоен каждым учеником. Этого можно достичь лишь при условии «дробного» контроля за работой ученика (предупреждая тем самьш пробелы в его знаниях) и оказания ему своевременной помощи.
Систематический курс геометрии начинается в VI классе, и от того, как. он будет усвоен здесь, во многом зависит понимание учащимися всего школьного курса геометрии. Первая тема «Введение», расчитанная на 12 часов, т. е. почти на всю I четверть, насыщена понятиями и их определениями, подчас громоздкими. Запись решения задач на этом этапе затруднительна, так как обозначения понятий вводятся поздно. К тому же в планировании на эту тему дается всего одна контрольная работа на последнем уроке. Таким образом, вопрос контроля за знаниями учащихся стоит очень остро.
Нам кажется более целесообразным планировать прохождение этой темы иначе. Учитывая, что первый урок по новому предмету име.ет большое значение для зарождения интереса у учащихся к тому, что будет изучаться в дальнейшем, лучше не начинать сразу с темы «Что такое геометрическая фигура». Полезно первый урок построить так: сначала небольшой яркий рассказ учителя о возникновении геометрии, а затем работа учащихся под руководством учителя над некоторыми понятиями геометрии и их условными изображениями. Урок следует хорошо оснастить моделями, предметами, имеющими различную форму, из разного материала и разных цветов. В процессе беседы, конечно, необходимо использовать жизненный опыт учащихся. На этом же уроке можно ввести обозначения прямой, отрезка, луча и выполнить записи принадлежности точек этим фигурам.
На втором уроке после введения определения геометрической фигуры как множества точек целесообразно сразу же применять к фигурам уже известные учащимся понятия теории множеств (пересечение и объединение), не относя этот материал на 3 последних урока темы, а распределив по всей теме, ввести условную запись для окружности и круга. Все это сразу расширяет круг упражнений, которые можно предложить ученикам, дает возможность делать при их выполнении записи в принятых обозначениях и облегчает контроль за знаниями учащихся. На втором же уроке можно провести первый диктант, который носит обучающий характер (выполняется параллельно с доской; письменных пояснений учащиеся не делают).
Задание
1. Постройте прямую КР и отметьте на ней точку О. Запишите это.
2. Запишите образовавшиеся ка чертеже лучи.
3. Отметьте на прямой КР различные точки А и В на расстоянии 1 см от точки О. Запишите это.
4. Запишите все отрезки, получившиеся на чертеже.
5. Запишите пересечение луча ОБ и отрезка АВ.
Работа
ученика
К А О В р
' 4 Се(КР)
[ОКУ \ОР).
А£(КР), В£(КР), АфВ, Тол I = 1 см,
IО В 1 = 1 см. [АО], [АВ]. [ОБ].
[0£)ПМЯ] =
- [ОВ].
Включение таких диктантов и самостоятельных работ поможет решить проблему осуществления «дробного» контроля не только в I теме VI класса, но и в последующих темах VI и VII классов.
Вот пример диктанта в VII классе по теме «Окружность и круг»:
Задание
1. Постройте окружность с центром О и радиусом в 5 см. Запишите это.
2. Проведите наибольшую хорду АВ. Чему равна ее длина?
3. Отметьте на окружности точку С, отличную от А и В. Запишите это.
4. Прокедите хорды АС и ВС. Чему равна величина угла ВС А?
5. Какая из хорд СВ и АС ближе расположена к центру? Покажите это на чертеже и сделайте записи.
6. Постройте хорду ВМ, конгруэнтную хорде ВС, и запишите все пары дуг, конгруэнтных между собой.
Работа
ученика
В окр(о;5см)
| АВ | = 10 см.
С ф А, СфВ,
С £ окр (О; 5 см).
!зсА ■■
ЧСА = 90°. [ОК] _!_ [ЛС], [ОР\ J. [СВ], \ОК\<\ОР\.
w ВМ ^ kj ВС, ^ С Л = w AM, ACB^kj АМВ, ^BAM^kjBAC.
Как уже было сказано, в VI классе вводится много понятий и их определений. Как же следует работать над ними?
На первых порах изучения материала очень важна наглядность (модели, картинки, чертежи). Например, для иллюстрации пересечения множеств удобно использовать цветную лавсановую пленку, которая к тому же электро- статична и хорошо держится на доске. Учащиеся при этом наглядно видят, что угол, меньший развернутого, есть пересечение двух полуплоскостей, что пересечение двух полос может быть параллелограммом, угла и поло-
25
сы — трапецией. Полезно выяснить также, используя пленку, какой фигурой может быть пересечение каких-либо других фигур, в частности двух треугольников, кругов и т. д.
При изучении темы «Перемещения» также очень важно иметь подвижные модели, иллюстрирующие конкретное перемещение, закон получения образов точек в нем. С их помощью учащиеся лучше понимают, а дальше и без моделей представляют не только закон, с помощью которого получаются образы точек, но и многие свойства перемещений, например: поворот на 135° по часовой стрелке и на 225° против часовой стрелки — это один и тот же поворот, при параллельном переносе каждый луч отображается на сонаправленный и т. д. При повторении, если ученик затруднится ответить на тот или иной вопрос, тоже полезно обратиться к этим подвижным моделям.
В VI классе после введения основных неопределяемых понятий ставится задача: постепенно давать определения всем остальным понятиям, с которыми придется встречаться в дальнейшем, важно показать ученику необходимость знания определений. В том случае, когда понятие хорошо знакомо учащемуся и он безошибочно может его выделить из множества сходных с ним, ему непонятно, зачем необходимо определение, особенно если оно громоздко. Примером этому может служить определение понятия «лежать между». Мы этот вопрос решали так: поставили на доске две точки Л и В на большом расстоянии одна от другой и третью точку X так, чтобы она лежала между ними (прямой не проводили). Ставили вопрос, лежит ли точка X между точками А и В. Ответ был единодушным. Постепенно удаляя точку X от прямой АВ, мы задавали тот же вопрос. Начались разногласия, и это было то, что нам требовалось. Почему ответы различны? Причина этому—отсутствие определения. После того, как было введено определение «лежать между», для каждого положения точки X можно было дать однозначный ответ; учащиеся поняли необходимость введения этого определения и запомнили его.
Лучшим нашим помощником в работе над определениями были те ошибки, которые делали учащиеся из-за незнания этих определений или из-за неточностей в них. Мы всегда использовали эти ошибки, включая соответствующий материал в устные упражнения.
В VI классе учащиеся должны знать и уметь доказывать большое количество теорем. Первые теоремы мы доказывали сами, показывая строение теоремы, логику рассуждений
в их доказательстве. Дальше шаг за шагом приучали учащихся к активному участию в их доказательстве. В некоторых случаях до доказательства теоремы мы проводили практическую работу, помогающую учащимся высказать некоторую догадку, которую затем они доказывали (учащиеся уже были приучены к тому, что справедливость какого-то факта не может подтверждаться экспериментом, им это много раз показывалось). Например, в VII классе перед изучением п. 64 учащиеся практически находили точки на плоскости, отмечаемые вершиной прямого угла чертежного угольника при скольжении его катетов по двум гвоздикам, отмечающим две точки плоскости. После этого они измеряли расстояния от середины отрезка, определяемого этими двумя точками, до полученных точек. Возникало некоторое предположение, которое далее следовало доказать.
Некоторые теоремы мы предлагали учащимся для самостоятельного доказательства, разрешая тем, кому трудно, пользоваться учебником и тем осуществляя в этой работе дифференцированный подход. Предварительно выполняли устные упражнения, которые убирали «подводные камни» при самостоятельном доказательстве, вспоминали теоремы, необходимые для его проведения, или идеи, лежащие в его основе.
Так, перед доказательством теоремы о площади параллелограмма предлагали учащимся с помощью рис. 3 ответить на вопросы:
& С
1) Назвать многоугольники, имеющиеся на чертеже.
2) Какие фигуры конгруэнтны и почему?
3) Чему равна площадь параллелограмма ABCD?
4) Какие еще две фигуры, кроме треугольников, равновелики? Почему?
Такие же упражнения мы давали и в том случае, когда теорему доказывали на доске. В трудных случаях, когда доказательство громоздко, например в теореме о сравнении длин хорд в зависимости от их расстояний от центра окружности, предварительно рассматривалась идея доказательства. Этим облегчалось понимание последовательности этапов доказательства и обеспечивалась активность учащихся,,
Чтобы облегчить рабету учащихся над теоремой, мы старались показать алгоритм доказательства. Так, в теоремах — трех признаках подобия треугольников — мы записали:
1) Находим |Д2|г||.
2) Строим Д гомотетичный Д ABC
(рис. 4, с * = 1^1-.
$)
а
Рис. 5
г)
VII класс
1) Назовите пары гомотетичных треугольников на рис. 6 и укажите центр гомотетии.
2) Почему треугольники АОВ и COD на рис. 6,6 не гомотетичны?
3) (Д А1В1С1 ~ Д А2В2С2) =Ф
=*(&а1в1с1~&а2в2с2).
' 4) (ДДад~ДЛ£С И ДЛ2Я2С2~
1 k
~ А1В1С1)=Ф(Д А2В2С2~ /\АВС), так как подобие транзитивно.
Как уже указывалось, большое значение мы придаем устным упражнениям. Вот примеры таких упражнений: ■
На понимание изучаемого материала VI класс
Задачи из п. 25 № 11, 12, 14, 15 (рис. 5, а, б, в, г) на конгруэнтность треугольников мы перенесли в устные упражнения на свойства соответствующих перемещений с заданием доказать конгруэнтность треугольников.
На повторение изученного VII класс
1) Существует ли перемещение, отображающее катет прямоугольного треугольника на его гипотенузу? Ответ обосновать.
2) В некотором перемещении катет прямоугольного треугольника отобразился на другой его катет. Каков вид этого треугольника? Чему равны его углы?
На обнаружение логических ошибок
Установите, верно ли высказывание:
1) Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной к ней.
2) Если две хорды конгруэнтны, то конгруэнтны и соответствующие им дуги.
3) Окружность определяется тремя точками.
4) Вектор определяется заданием двух точек.
5) (В A ABC и А А\В\С\ [Л^! = \ АВ\ и IBiCil = \ВС\) =>- {ААВС^АА.В.С,).
Что следует изменить в высказывании, чтобы оно стало верным?
Полезно, чтобы учащиеся сами исправляли допущенные ими логические ошибки; этому способствует приведение учителем контрпримеров.
На установление связи геометрии с алгеброй
1) Длина окружности выражена (в см) целым числом, не большим 1. Чему она равна?
2) Площадь прямоугольника не больше 40 см2 и не меньше 40 см2. Чему она равна?
3) Гомотетичны ли точки Л (3; 5) и В (—6; —10) относительно начала координат? Если да, то чему равен коэффициент гомотетии?
На сообразительность
1) О параллелограмме известно, что каждая его сторона меньше 2 см. Какой вывод можно сделать о возможных значениях его площади?
2) Может ли параллелограмм со сторонами 3 см и 5 см иметь высоту, равную 6 см?
28
3) Смежные стороны одного параллелограмма 5 см и 8 см, а другого — 5 см и 6 см, а их высоты, проведенные из вершин тупых углов на большую сторону, делят ее пополам. Равновелики ли эти параллелограммы? (К задаче делается чертеж.)
Эти задачи, как правило, мы позже помещали на стенд, так как некоторые учащиеся могли что-либо не понять при устном доказательстве их.
Наибольшая трудность в VI классе — научить учащихся решать задачи и оформлять их решение.
Мы начинаем обучать шестиклассников с решения задач по готовому чертежу — видеть данные и искомые, уметь записывать условие, различать факт (утверждение) от его обоснования.
Следующий этап — это решение текстовых задач. Здесь важна тщательная работа каждого ученика над текстом. Поэтому так же, как и в IV—V классах, учащиеся вслух текст задачи не читают. Вопросы по ее содержанию учащиеся класса задают ученику, решающему задачу на доске, и они же отвечают на эти вопросы, если он затрудняется. Это приучает учащихся тщательно изучать текст задачи и активизирует работу класса.
Много времени требуют задачи на построение. Для хорошего их понимания следует де¬
лать запись этапов построения и доказательства. Для решения таких задач можно вызвать к доске сразу двух учеников: один выполняет построение и рассказывает (или доказывает), а другой (независимо от первого) записывает решение в принятых обозначениях (учащиеся класса успевают сделать и чертеж, и записи). Это не только дает экономию времени на уроке, но полезно и потому, что, имея записи в тетради, ученику легче восстановить в памяти решение той или иной задачи, а также оформить по такому образцу и другую, подобную ей задачу.
Большое значение в понимайии материала, а следовательно, в развитии и интереса к геометрии, имеет систематическое возвращение к пройденному — повторение. Оно должно быть в той или иной форме ежеурочным и обязательно включаться в новый материал или в решение задач в качестве каких-то элементов, хотя и небольших. Это тем более необходимо, что специальных часов на повторение материала по геометрии в конце года почти нет.
Безусловно, в данной статье невозможно было сказать обо всем, что помогает решить проблему развития познавательного интереса ученика. Однако надо помнить, что, каковы бы ни были возможности, большое значение имеет личное творчество учителя с учетом конкретного коллектива учащихся, его сильных и слабых сторон.
Н. Т. КУТУЗОВА
(г. Джанкой)
ОБ ИЗУЧЕНИИ ТОЖДЕСТВ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
В VI классе при изучении тем «Числовые выражения», «Выражения с переменными», ^Многочлен. Стандартный вид многочлена» целесообразно включать в материал урока уп-. ражнения следующих дв>х видов.
1. Укажите словесные формулировки выражений: а2 + Ь2, а2 — Ь2У а3.+ Ь3, а3 — Ь3, 2аЬ, ЗаЬ, ЗаЬ(а + Ь).
Учитель должен добиваться таких ответов учащихся: 3ab(a + b) — утроенное произведение двух выражений на их сумму.
2. Упражнения на запись названных учителем выражений (математические диктанты). Приведем пример одного такого диктанта.
Даны выражения — 2х и 3у2. ‘Запишите:
а) сумму квадратов этих выражений; б) сум¬
му (разность) их кубов; в) сумму квадратов этих выражений, сложенную с их удвоенным произведением; г) многочлен, состоящий из суммы квадратов этих выражений и их произведения, взятого с противоположным знаком.
В упражнения на доказательство тождественности выражений полезно включать тождества сокращенного умножения.
Вывод формулы
(а — Ь)(а + Ь) — а2 — b2 (1)
(как и всех других формул сокращенного умножения) начинается с упражнения, в котором требуется привести многочлены к стандартному виду, пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен. Например, привести к стандартному виду следующие многочлены: (а — Ь) (а + Ь), (За — Ь) (За + Ь),
(—2а — Ь) (—Ь + 2а), (—а + 3) (а + 3).
После анализа полученных результатов учитель спрашивает: «Нельзя ли сразу найти произведения (а—2) (а+2) и (За—Ь) (3а+£)?» Этот вопрос создает на уроке проблемную
29
ситуацию. В поисках ответа учащиеся (с помощью учителя) приходят к формуле (1), а затем — к ее словесной формулировке.
Тождество (а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь2 можно записывать несколько иначе, чем в учебнике, и соответственно изменять его словесную формулировку.
Квадрат суммы двух выражений равен сум- ме квадратов этих выражений, сложенной с их удвоенным произведением, т. е.
(а + Ь)2 = а2 + Ь2 + 2 ab. (2)
Преимуществом такой записи и формулировки мы счиТаем то, что для трехчлена а2 + Ь2 + 2ab учащиеся запоминают только два термина («сумма квадратов» и «удвоенное произведение»), а поэтому лучше знают формулу и быстрее пишут ее.
Тождество (а + Ь)3 = а3 + 3 а2Ъ + 3 ab2 + Ь3 легко привести к4 виду (а + Ь)3 = а3 + Ь3 + + 3 ab(a+b). (3)
Это помогает учащимся самостоятельно сделать следующий вывод.
Куб суммы двух выражений равен сумме
кубов этих выражений, сложенной с утроенным произведением этих выражений на их
сумму.
Затем учитель предлагает сравнить формулы (2) и (3), записав их одну под другой:
(а + Ь)2 = а2 + Ь2 + 2аЬу
(а + Ь)3 = а3 + Ь3 + 3 ab(a + Ь).
Учащиеся видят сходство и различие обеих формул и получают большое удовлетворение от того, что в них ничего перепутать невозможно.
Формулировку тождества а3 + Ь3 =
= (а + 6)(а2 + 62— ab), выводимого так, как указано в учебнике, можно несколько изменить.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и многочленасостоящего из суммы квадратов этих выражений и их произведения, взятого с противоположным знаком.
Наш опыт показал, что при такой методике изложения материала учащиеся усваивают формулы быстро и прочно.
И. И. МОСКВИТИНА, Н. И. ПУШКАРЕВА
(г. Владимир)
О ПРИБЛИЖЕННОМ ИЗВЛЕЧЕНИИ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
В учебном пособии «Алгебра-7» под ред. А. И. Маркушевича в теме «Квадратные корни» рассматривается прием, с помощью которого можно найти приближенные значения У 5, выраженные десятичными дробями с любой степенью точности. Этот прием состоит в том, что числовой промежуток [2; 3], содержащий У 5, делится на 10 равных частей и требует последовательного возведения в квадрат чисел 2,1; 2,2; 2,3; ... и 2,21; 2,22; 2,23 ... При этом, очевидно, учитель должен либо заранее заготавливать таблицы квадратов этих чисел, либо учащимся придется вычислять эти квадраты на уроке, так как пользоваться готовыми таблицами квадратов чисел учащиеся еще не умеют (это предусмотрено програм- ной несколько позже).
С целью ускорения_вычисления десятичных приближений числа У а, где а > 0, мы предлагаем пользоваться так называемым «комбинированным» методом подбора 1. Он основан на
1 Учащимся этот термин можно не сообщат
делении пополам отрезка, которому принадлежит точка с координатой Уа.
При объяснении этого метода мы исходим из того, что в VI классе учащиеся научились отыскивать корни уравнения f(x) =0 по графику функции y = f(x). Прежде всего предлагаем учащимся указать с помощью графика функции у = х2 — 5 приближения к корням уравнения х2 — 5 = 0 с точностью до целых. Очевидно, что один из_корней лежит на отрезке [2; 3], т. е. 2<у 5<3 (см. рис.).
30
Далее отмечаем, что имеют место неравенства 22 — 5 < 0 и З2 — 5 > 0; анализируя вместе с учащимися рисунок, подводим их к следующему выводу: если корень данной функции принадлежит некоторому числовому промежутку, то значения функции, соответствующие концам этого промежутка, имеют разные знаки. Этим свойством будем пользоваться в дальнейших рассуждениях.
Теперь поставим перед учащимися вопрос: «Как найти на отрезке [2; 3] точку, которая ближе к точке с координатой у 5, чем какой- либо из его концов?» Учащиеся догадываются взять середину этого отрезка — точку с координатой 2,5. Чтобы узнать, какому из отрезков [2; 2,5] или [2,5; 3] принадлежит корень, достаточно выяснить, на каком из них функция у = х2 — 5 принимает как положительные, так и отрицательные значения. Так как 22 — 5 < 0, а 2,52 — 5 > 0, делаем вывод, что искомый корень_ находится на отрезке [2; 2,5], а значит, 2<У5<2,5.
Далее предлагаем учащимся взять на оси Ох точки с координатами 2,1; 2,2; 2,3; 2,4 и выяснить, на каком из отрезков [2; 2,1], [2,1; 2,2] ... [2,4; 2,5] находится искомый корень. При этом указываем, что числа 2,1; 2,2; 2,3; 2,4 следует испытывать не подряд, а начинать с середины отрезка [2; 2,5] или с точек, лежащих вблизи нее, т. е. с 2,2 или 2,3. Учащиеся выясняют, что 2,22 — 5 < 0, а 2,32 — 5 > 0, и приходят к выводу: 2,2 <
< У 5 <С_2,3. Следовательно, найдены приближения У 5 с точностью до 0,1. Очевидно, что в данном случае количество вычислений мень¬
ше, чем По методу деления отрезка на 10 рав-* ных частей.
Для вычисления приближений У 5 с точ- ностью до 0,01 поступаем аналогично предыдущему. А именно, находим середину отрезка [2,2; 2,3] —точку с_координатой 2,25 и убеждаемся, что 2,2<У 5<2,25. Далее предлагаем учащимся определить знак разностей 2,212—5\ 2,222 — 5; 2,232 — 5 и 2,242 — 5, начиная с разности 2,222 — 5 или 2,232 — 5. Поскольку 2,232 — 5 < 0, 2,242 — 5 > 0, учащиеся находят, что 2,23 < У 5 < 2,24.
Нужно обратить внимание учащихся на то, что при вычислении корня методами деления числового промежутка на равные части мож- но достигнуть любой заданной степени точ- ности.
Подводя итоги вычислений, целесообразно заметить, что в результате получились две последовательности: 2; 2,2; 2,23; 2,236 ... и 3; 2,3; 2,24; 2,237 ... (Первоначальное знаком^ ство с понятием «последовательность» уча- щиеся получили в V классе при изучении темы «Формула числа, кратного данному».) Члены первой последовательности (левые концы полученных числовых__промежутков) — десятичные приближения У 5 по недостатку; члены второй последовательности — десятичные приближения у 5 по избытку.
Такое изложение рассматриваемой темы, на наш взгляд, приводит к тому, что отрезок, содержащий искомый корень из положительного числа, выделяется не формально, а с олорой на некоторые функциональные представления учащихся.
С. М. ЧУКАНЦОВ
(г. Калуга)
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VII КЛАССА
Опыт преподавания по новой программе показал, что курс алгебры в VII классе стал значительно содержательнее, преподавать по новому учебнику интереснее, учебник написан в основном удачно и занятия по нему больше, чем раньше, способствуют успешному изучению программного материала и развитию математического мышления учащихся.
Выскажем некоторые основанные на опыте замечания по поводу изложения темы «Квадратные уравнения» в учебном пособии «Алгебра-7» под ред. А. И. Маркушевича (изд. 3-е. М., «Просвещение», 1974).
Изложение темы «Квадратные уравнения» в учебном пособии начинается с решения конкретной задачи, приводящей к квадратному уравнению х2 + 2х — 8. В результате графического решения этого уравнения получаются два корня: —4 и 2. Далее поясняется, что «условию задачи удовлетворяет только положительный корень уравнения. Задача имеет единственное решение» (п. 46).
У любознательных учащихся возникают вопросы: «Почему, составляя уравнение по условию конкретной задачи, мы получили уравнение, один из корней которого не имеет никакого отношения к решаемой задаче? Как поступить в том случае, если оба корня окажутся положительными?» В учебнике не даны ответы на эти весьма интересные вопросы. Значительно позже приведена задача, условию которой удовлетворяет любой т ншйдешшх кор¬
П
ней уравнения., Решение убедительно проиллюстрировано графиком, но других пояснений по этому, вопросу не дано.
Не лучше ли в начале изучения данной темы предложить учащимся задачу, приводящую к квадратному уравнению, оба корня которого удовлетворяют условию задачи? Это поможет обратить внимание учащихся на основную особенность задач, решение которых приводит к квадратным уравнениям.
Для привлечения большего внимания задачу можно сформулировать в виде практического задания. (В начале изучения темы постановка перед учащимися некоторой практической задачи всегда полезна.) Приведем одну из таких задач.
Школьникам предложили огородить прямоугольную клумбу, площадью в 6 м2. Одна сторона клумбы прилегает к уже имеющейся ограде. Каких размеров прямоугольную клумбу могут огородить школьники, если у них заготовлен материал на 8 м ограды?
Решение задачи приводит к уравнению х(8 — 2х) =6, упростив которое, получаем: х2 — 4х + 3 = 0. Легко показать графически, что числа 1 и 3 являются корнями уравнения х2 = 4х — 3, а следовательно, и корнями равносильного ему уравнения *(8 — 2х) = 6.
Оба найденных корня удовлетворяют условию задачи. Следовательно, задача имеет два решения. Первое — ширина участка 1 м, длина 6 м; второе — ширина участка 2 м, длина 3 м. Какое выбрать решение из возможных двух — дело самих школьников. Правильность решения задачи обязательно проверяем. Здесь полезно обратить внимание учащихся на то, что при решении задачи мы получили не один ответ, а два. Следовательно, огородить клумбу возможно двумя способами, и это подсказали нам математические расчеты.
Неожиданный результат — два равноправных ответа — обычно весьма удивляет учащихся. И это понятно: раньше с подобными случаями при решении практических задач они не встречались.
Как правило, кто-либо из учащихся задает при этом вопрос: «Не может ли задача иметь еще и третье решение?» Надо разъяснить, что этого быть не может, так как прямая у = 4х—3 пересекает параболу у = х2 не более чем в двух точках.
Для более быстрого и точного графического решения квадратных уравнений следует рекомендовать учащимся изготовить дома из картона или плотной бумаги шаблон параболы у = х2, который.окажется весьма полезным и при изучении темы «Квадратный трехчлен».
Для построения параболы на классной до¬
ске учителю тоже следует иметь соответствующее лекало '(желательно из прозрачного материала) К
Пункт 47 учебного пособия посвящен решению квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. Здесь приведено подробное решение трех уравнений и четвертое, не имеющее решений. В классе совсем не обязательно решать именно эти уравнения. Наоборот, полезнее выполнить аналогичные упражнения, а те, которые разобраны в учебнике, предложить учащимся рассмотреть дома самостоятельно. Желательно решить в классе и такое уравнение, дискриминант которого не является точным квадратом рационального числа.
В^-конце п. 47 приведены два упражнения. В первом требуется решить уравнения (№ 816), а во втором —доказать, что следующие 4 уравнения не имеют решений (№ 817), Вряд ли целесообразно выделять группу уравнений, не имеющих решений, и предупреждать об этом учащихся. Семиклассникам значительно интереснее обнаружить самим такие уравнения среди других, самостоятельно догадаться, что они не имеют корней, и доказать это.
Решая квадратные уравнения способом выделения квадрата двучлена учащиеся скоро обнаруживают, что при таком методе решения каждое квадратное уравнение требует к себе индивидуального подхода. Возникает вопрос о поиске более рациональных способов решения таких уравнений. Совместными усилиями учащиеся, под руководством учителя, выводят формулу корней квадратного уравнения.
В п. 48 («Формулы корней квадратного уравнения») указано, что если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет единственный Ь u
корень, равный —2^-. Не приведет ли такой
подход в дальнейшем к трудностям при формулировке теоремы Виета? В п. 52 («Теорема Виета») разъясняется: «Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет не один, а два равных корня, то вывод (теорема Виета. — С. Ч.) распространяется на любое квадратное уравнение, имеющее корни». Возникает вопрос, не лучше ли соответствующую оговорку сделать раньше, уже при выводе формулы корней квадратного уравнения (п. 48). Получив уравнение
1 В 1954 г. были изданы «Таблицы по математике. Шкалы измерительных /приборов» Л. П. Карасева и Т. И. Попова. Они содержали набор лекал парабол, показательной и логарифмической функций и др. Было бы желательно возобновить издание этих или подобных таблиц.
32
«(*+£)’
= 0,
записываем его так: а (л:+ (^t-f А^=о. От-
сюда делаем вывод, что можно условиться и в этом случае считать, что квадратное уравнение (при D ■= 0) имеет два корня, но они являются-
равными: j:, = - А *2= _ Целесообразность такого вывода полезно подкрепить рассмотрением решений соответствующих квадратных уравнений графическим способом.
В п. 50 учебного пособия показано решение задачи, приводящей к квадратному уравнению. Здесь рассмотрена следующая задача: «Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/сек. Через сколько секунд тело окажется на высоте 60 м?»
Задача интересна тем, что, во-первых, отражает определенную практическую ситуацию, во-вторых, ее решение имеет два равноправных ответа: /1 =; 2 сек и ti = 6 сек. Правильность решения подтверждается построением графика зависимости высоты полета тела (Л) от времени (/), где h =—Ы2 + АЫ.
Хотелось бы сделать одно замечание. Учащимся известно, что ускорение свободного падения тела в безвоздушном пространстве равно 9,8 м/сек2; сопротивление воздуха замедляет свободное падение тела, так что в условиях предложенной задачи оно может быть только значительно меньшим. Почему же в учебном пособии оно округлено до 10 м/сек2?
Можно понять авторов учебника: при
g = 9,8 м/сек2 задача приводит к довольно трудоемким вычислениям. И все же в курсе алгебры не следует противоречить тем знаниям, которые учащиеся ранее получили в курсе физики. Лучше изменить другие данные в условии задачи: начальную скорость и высоту подъема тела. Можно рассмотреть, например, такую задачу.
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 49 м/сек. Через сколько секунд тело окажется на высоте 102,9 м?
Пользуясь тем, что g = 9,8 м/сек2, получим: ti = 3 сек и U = 7 сек. Нельзя вольно обращаться с физическими константами ради удобства вычислений.
Вторая задача из этого же пункта приводит к уравнению, у которого два положительных
корня ~§~ и 12, но условию задачи удовлетворяет только один — 12. Вернемся теперь к тому вопросу, о котором было упомянуто выше: «Почему один из корней полученного уравнения не имеет никакого отношения к данной задаче?»
Ответить на него можно так. Уравнение, составленное по условию данной задачи, отражает зависимость, существующую между величинами не только данной задачи, но и других задач, решение которых приводит к такому же уравнению. Среди них имеются и такие, условию которых удовлетворяет и значение
второго корня—-т». Желательно привести соответствующий пример.
Выводу теоремы Виета (п. 52) предшествуют рассмотрение конкретного квадратного уравнения и установление зависимости между его корнями и коэффициентами. Это можно понять, как предложение авторов учебника не спешить с формулировкой и доказательством теоремы, а предварительно организовать с учащимися соответствующие наблюдения на ряде примеров, чтобы дать им возможность высказать соответствующую гипотезу, и только после этого приступить к доказательству теоремы. Такой подход воспитывает у учащихся умение наблюдать и подмечать существенное, делать обобщения и выводы. При этом полезно выработать у них привычку не делать поспешных заключений из единожды наблюдаемого факта, подобно тому как на основании того, что 2 + 2 = 2-2, нельзя делать вывод, что п + п — п-п.
В подготовительные упражнения к выводу теоремы Виета желательно ввести и такие уравнения, дискриминант которых или равен нулю, или не является, точным квадратом рационального числа. Последнее тем более желательно, что в число упражнений на составление квадратных уравнений по его корням включены и такие, в которых корни являются иррациональными числами.
Некоторые замечания по поводу задач на составление квадратных уравнений.
1. р учебном пособии дано понятие ирра- ционального числа и множества действитель- ных чисел. Приведен пример решения уравнения х2 ='2 и пояснено, что корни его можно приближенно выразить рациональными числами ]/ 2 1,4 и —J/2 «г!—1,4. На наш взгляд,
это дает полное основание рассматривать задачи, приводящие к квадратным уравнениям, дискриминант которых не является точным квадратом рационального числа2. Это необходимо потому, что практические задачи часто приводят к квадратному уравнению, корни ко- торого оказываются иррациональными.
2 Математика в школе № б 1974 г.
2 В статье «Особенности изложения курса алгебры irv7oK\?Cf? В новом Учебнике» («Математика в школе», 1973, № 1) авторы учебного пособия разъясняют: «Множество действительных чисел — это то универсальное учащиеся 6 множество» К0Т0РЫМ теперь будут оперировать
33
2. Полезно было бы включить в пособие и такие задачи с практическим содержанием, которые не имеют решений. Учащиеся, не подготовленные в школе к решению таких задач, затрудняются, когда встречаются с ними в жизни. В результате некоторые из них теряют веру в практическую ценность математических знаний и приходят к тому, что вообще не пытаются пользоваться математическим аппаратом при решении практических задач. Такое положение нельзя считать нормальным.
Приведем примеры задач, не имеющих решений.
а) Юннатам выделили для опытов участок земли площадью в 2000 м2. Одна сторона участка прилегает к уже готовой ограде. Каких размеров прямоугольный участок могут огородить юннаты, если у них заготовлен материал на 120 м ограды?
Решение задачи приводит к уравнению Х2 _ едя + 1000 = 0; D = —100, —100 < 0,
уравнение корней не имеет, следовательно, не имеет решения и задача. Вывод: имея материал на 120 м ограды, нельзя выделить участок прямоугольной формы, сумма длин трех сторон которого равнялась бы 120 м.
б) Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м!сек. Через сколько секунд тело окажется на высоте 55 м?
Ответ: тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 30 м/сек, не достигнет высоты 55 м3.
3. Отметим, что в первых тиражах пособия в ответах к задачам № 833 (а), 839 (б), 921 (а, б), 924 (а) допущейы опечатки. Задача № 833 (а) имеет опечатку в условии. Если ее сформулировать так: «Найти два таких натуральных числа, одно из которых на 6 больше другого, чтобы их произведение было равно 182», то получим задачу, не имеющую решений. Ответ: не существует таких двух натуральных чисел, которые бы удовлетворяли всем условиям задачи.
Если же в условии число 182 заменить числом 187, то задача будет иметь решение: искомые числа — 11 и 17,
8 Другие примеры задач, не имеющих решений, см. в статьях С. М. Чуканцова «О некоторых задачах, не имеющих решений» («Математика в школе», I960, № 2) и М. М. Лимана «О задачах «невозможных» и задачах, не имеющих решений» («Математика в школе», 1961, № 1) ,
Н. А. ХИТРИНА
(Москва)
О ПРИМЕНЕНИИ КОНТРПРИМЕРОВ
Математикам довольно часто приходится размышлять об истинности или ложности утверждения 5, которое в общем виде формулируется так: «Множество В есть подмножество множества А». Если удается найти хотя бы один элемент множества В, не принадлежащий А, то тем самым доказывается, что высказывание s ложно. В таком случае говорят, что оно опровергнуто с помощью контрпримера [1].
Заметим, что нельзя проводить резкой грани между примерами и контрпримерами. Один и тот же факт может служить примером для одного высказывания и контрпримером — для другого. Но в данной статье рассмотрены только такие высказывания, к которым можно подобрать опровергающие примеры, т. е. контрпримеры.
Изучая отдельные факты, математики порой приходят к мысли о возможности истинности некоторого общего заключения, относяще¬
гося к множеству всех подобных фактов. Если это утверждение не удается доказать сразу, они выдвигают его в виде гипотезы, которую стараются подтвердить новыми фактами или опровергнуть с помощью контрпримера.
В этом смысле поучительна история так называемых чисел Ферма. Знаменитый французский математик Пьер Ферма (1601—1665) сообщал современникам свои многочисленные результаты или с весьма краткими доказательствами, или вовсе без них. При этом в нескольких случаях Ферма указал, что сформулированное им утверждение не доказанный факт, а только гипотеза. Почти все результаты Ферма впоследствии были подтверждены строгими доказательствами. Казалось, что и гипотезы его должны быть верными.
Вот одна из них: рассматривая числа вида 22" + 1, где я = 1,2, .3, 4, Ферма высказал гипотезу о том, что числа такого вида при любом натуральном п являются простыми.
В 1732 г. Эйлер обнаружил, что при п — 5 число 225 -f 1 делится на 641. Таким образом, он дал контрпример и тем доказал ошибочность гипотезы Ферма.
В школьной практике контрпримеры ис-
34
пользуют весьма широко. Особенно часто их применяют тогда, когда надо убедить учащихся в том, что они ошибаются.
При обучении действиям с обыкновенными дробями учитель сталкивается с тем, что некоторые учащиеся при сложении дробей складывают как числители, так и знаменатели.
Ошибка становится явной, если представить целые числа в виде неправильных дробей:
2+3=т + т-=4=24-
или находить сумму одинаковых дробей
, _1_ __ _2 1_
2*2 4 2 *
В таких примерах ясно, что при вычислении суммы дробей сложение числителей и знаменателей приводит к неверному результату. В самом деле, нельзя к прибавить и снова
получить -g- или к 2 прибавить 3 и получить
число, которое меньше 3.
Полезно приучать школьников самостоятельно ^отыскивать контрпримеры высказываний, ложность которых надо доказать. Такую работу можно проводить при изучении теорем о делимости произведения и суммы:
Если каждое слагаемое делится нацело на какое-то число, то и сумма делится нацело на это число.
Если один из множителей делится нацело на какое-то число, то и произведение делится нацело на это число.
Здесь целесообразно, используя конкретный материал, обратить внимание учащихся на то, что обратные утверждения неверны.
Если сумма нескольких слагаемых делится нацело на какое-то число, то следует ли отсюда, что каждое слагаемое делится нацело на это число?
Нет, это видно хотя бы из таких примеров: 4+5+6+11=26; 62+49=111. Два слагаемых первой суммы нечетные, а результат четное число; во втором примере ни 62, ни 49 не делятся на 3, а сумма кратна 3.
Если произведение нескольких сомножителей делится на натуральное число п, то можно ли утверждать, что хотя бы один из сомножителей делится на п?
Нет, в самом деле: 12-35 = 420, 420 делится на 28, однако ни 12, ни 35 на 28 не делятся.
Учащиеся подчас придумывают свои собственные теоремы и «доказывают» их справедливость с помощью примеров. Приведем одну из таких «теорем»: «Если два из трех слагае¬
мых суммы не делятся на п, а третье делится на п, то сумма делится на п». Подтверждающих примеров сколько угодно. Укажем некоторые из них для /г = 5: 4 + 6 + 5=15, 15 + 2 + 8 = 25, 20 + 41 +9 = 70 и т. д. Однако равенство 2 + 5 + 6=13 опровергает данное высказывание.
Рассмотрим теперь возможности использования контрпримеров при изучении геометрического материала.
Ось симметрии двух точек (А и А\) задается двумя условиями: а) ось симметрии перпендикулярна отрезку АА\\ б) ось симметрии делит отрезок АА\ на два конгруэнтных отрезка.
Учащиеся легко усваивают каждое из этих условий в отдельности, но испытывают трудности логического характера, не всегда осознавая, что только одно из данных условий еще не может определить ось симметрии двух точек.
Следующие вопросы помогают сделать этот факт наглядным.
Всегда ли прямая, перпендикулярная отрезку ААи является осью симметрии точек А и i4i? Прямая делит отрезок АА\ пополам; всегда ли точки А и А\ симметричны относительно этой прямой?
Отрицательные ответы следуют из рис. 1,а и 1,6 соответственно.
а) б)
Рис. 1
С помощью контрпримеров учитель может показать учащимся, в чем именно они ошибаются, формулируя какое-либо утверждение.
Учащиеся часто говорят, что медиана — это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его стороны. В ответ учитель указывает, что в соответствии с данным «определением» линию, изображенную пунктиром на рис. 2, а, следует назвать медианой. Поняв свою ошибку, учащиеся изменяют определение таким образом: «Прямая, проходящая через вершину треугольника и середину противоположной стороны, называется медианой», но, увидев рис. 2,6, понимают, что опять до-
2*
35
а)
Рис. 3
«Пусть пересечением двух углов является луч. Всегда ли верно, что их объединение является суммой этих углов? Приведите примеры». Из рис. 3, б видно, что на этот вопрос следует ответить отрицательно.
Эти задания очень полезны, так как подсказывают учащимся, как расчленить определение суммы углов на две части. Такой анализ определения помогает лучше понять его и запомнить.
При изучении центральной симметрии полезно с помощью контрпримеров проделать анализ свойств центра симметрии.
Пусть \ОА \ — \A\0\. Следует ли отсюда, что точка О есть центр симметрии точек А и А1?
Нет, так как при этом точки А, О, А\ могут не лежать на одной прямой (рис. 4,а).
Верно ли, что точка О всегда является центром симметрии точек А и Аи если 1 А А11 = \АО\ + |0/4i|?
Нет, может иметь место случай, представленный на рис. 4,6.
Л/
я;
б)
Рис. 4
пустили оплошность, и окончательно исправляют определение.
В учебном пособии «Геометрия 6» под ред. А. Н. Колмогорова есть задания, нацеливающие учащихся на отыскание контрпримеров. Таковы .упражнения 10 и 11 из п. 12.
«Два угла АОВ и ВОС имеют общую сторону О В. Всегда ли верно, что угол Л ОС является их суммой? рриведите пример». Это не всегда верно, так как может иметь место случай, указанный на рис. 3? а.
Приведем несколько вопросов, которые можно предлагать учащимся с целью предотвратить их возможные ошибки и научить конструктивно решать поставленные задачи.
Всегда ли расстояние от точки Р до прямой АВ равно расстоянию от Р до отрезка АВ? На рис. 5 расстояние от Р до [АВ] равно |Pfi|, а от Р до (АВ) — \РК\. Очевидно, что в данном случае \РК\ < \РВ\.
Рис. 5
Верно ли, что конгруэнтные углы всегда определяются соответственно сонаправленными или противоположно направленными лучами?
Среди лучей ВА, ВС, В\Аи В\С\ (рис. 6) нет ни сонаправленных, ни противоположно направленных, однако Z ABC ^ Z А\В\Си так как они оба прямые.
Отрезки АВ и CD заключены между двумя параллельными прямыми. Следует ли отсюда, что [АВ] £* [CD] ?
Отрицательныей ответ очевиден из рис. 7.
Умение отыскивать контрпримеры можно развить при изучении темы «Необходимые и достаточные условия». В учебном пособии «Геометрия 7» под ред. А. Я. Колмогорова упражнения на «достаточность» н «необходимость» начинаются именно с тех вопросов, на которые можно ответить с помощью контрпримеров. Приведем первое из этих упражнений.
Рис. 7
Рис. 8
36
«Верно ли высказывание: чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были противоположными лучами?»
На рис. 8 [ОА) и [ОС) —.противоположные лучи. Однако углы АОВ и DOC не смежные. Следовательно, данное высказывание ложно.
Это упражнение можно дополнить еще рядом вопросов.
Верны ли высказывания: а) чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы две его стороны были параллельны, а две другие конгруэнтны; б) чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы диагональ делила его на два конгруэнтных треугольника; в) чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы каждая его высота являлась биссектрисой и медианой.
Контрпримеры к этим высказываниям приведены на рис. 9, а—в соответственно.
Рис. 9 В &
Подобные задания помогают учащимся выработать верное представление о таких трудных для них понятиях, как необходимое и достаточное условия.
Над этими понятиями целесообразно работать и на уроках алгебры.
Верны ли для дробей, содержащих переменную х в числителе и знаменателе, следующие высказывания:
а) для того чтобы дробь была равна нулю при любых х, достаточно чтобы ее числитель был тождественно равен нулю;
б) для того чтобы дробь была тождественно равна 1, достаточно, чтобы ее числитель и знаменатель были равны при любых х~
Контрпримеры:
/х 5\2 дЛ2
а) числитель дроби * х + 2 тождественно равен нулю, но при х = —2 дробь не равна нулю;
б) 8 — 2х — (х2 -f 9) — (л: + 1 )2 при любых л:,
(х2 4-9) (х 4- I)2
однако дробь 8—~2х не Равна *
при х=4.
При изучении темы «Арифметическое значение корня» особенно много затруднений вызы¬
вают примеры типа: «Найти арифметическое
значение корня V(x— I)2».
Хорошей тренировкой в такого рода упражнениях является рассмотрение софизмов. Приведем один из них.
5=1.
К обеим частям тождества 25 — 30= 1 —6 ирибавим 9. Получим 25 — 30 + 9=1—6 + + 9. Представим это тождество как равенство двух квадратов (5—3)2=(1—З)2. Отсюда «вытекает» 5 — 3=1 — 3, или 5=1.
Здесь правильное извлечение корня привело бы к равенству |5 — 3| = |1 — 3|, или 5 — 3 = —(1—3).
В курсе математики VIII класса выводится уравнение окружности. Этот вопрос здесь раньше не изучался, тем более целесообразно проанализировать возможные ошибки учащихся. В книге В. Литцмана «Веселое и занимательное о фигурах и числах» (М., Физ- матгиз, 1963) приводится ошибка ученика, выводившего уравнение окружности.
Ученик рассуждал так: «Расстояние г от
точки Р(х\ у) на окружности до начала координат выражается формулой, г2 = х2 + у2. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки окружности». Это «доказательство» как будто бы повторяет изложение учебника, данное для случая, когда центр окружности совпадает с началом координат, однако рис. 10, приведенный учеником для иллюстрации «доказательства», демонстрирует полное непонимание вопроса.
Контрпримером для такого вывода может служить цитируемое ниже не лишенное сарказма замечание Литцмана: «Метод автора 1 этого «решения» имеет, правда, то преимущество, что для любой кривой он дает то же самое уравнение, что и для окружности» (там же, стр. 96).
При работе над темой «Последовательности» есть опасность слишком увлечься всевозможными заданиями на отыскание n-го члена последовательности и тем невольно создать у
$7
учащихся впечатление, что п-и член последовательности определяется только какой-либо формулой. Надо почаще показывать, что числовая функция, определенная любым способом на множестве натуральных чисел, является последовательностью.
Рассмотрим кубик, у которого на каждой из шести граней проставлены цифры от 1 до 6 (по одной на каждой грани). Подбросим кубик несколько раз и зафиксируем, какая цифра выпадет при каждом броске. Тогда каждому номеру броска 1, 2, 3, ... , п будет поставлено в соответствие некоторое натуральное число аЛ, где 1 ^ ап ^ 6. Пусть в результате пяти бросков мы получили последовательность (ап):
л | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
“в. | 2 | 5 | 3 | 3 | ' 1
Эта последовательность может быть продолжена,, если бросить кубик шестой раз, затем седьмой и т. д. Но можем ли мы, зная пять первых членов полученной таким образом последовательности, без подбрасывания кубика указать ее шестой член? Нет, ав, 07, ... определяются только в результате продолжения описанного эксперимента, так как число, выпадающее при каждом броске, не зависит ни от номера броска, ни от того, какие числа выпадали раньше.
Этот пример помогает наглядно показать, что существуют последовательности, которые невозможно задать никаким иным способом, кроме табличного.
Учителя иногда обнаруживают, что учащиеся убеждены, будто последовательности, которые не возрастают и не убывают, обязательно являются знакопеременными. Контрпример: последовательность (&я), где
1 при п нечетном;
что якобы других случаев и быть не может. Контр пр и м ер:
Л/Т 1 . п. 1 . V3,
V 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 1
- 1:
/з. 2 ’
-i-; 0;
1
2; ••
Tzn
;cosT
Изучение темы «Предел числовой последовательности» связано с наибольшими затруднениями. Представления учащихся об этом понятии часто ограничиваются определенными штампами.
Например, среди учащихся иногда бытует убеждение, что если п-й член последовательности есть дробь, знаменатель которой зависит от п, то последовательность имеет предел только в том случае, если знаменатель этой дроби стремится к бесконечности. (К этой мысли, очевидно, приводит обилие примеров на нахождение предела последовательности (ап), (Ьп), (Сп), где:
_1_
п
5л8— л -f- 12
2я—1
л Зл* + л—11’ 2Л ’
и им подобных.)
Контрпримеры. Рассмотрим последовательности (х„) и (у„):
a) ^—, Иш 8/2 = 8, 11шх„= 1
оо П+ оо
б) Ул =
8/2
П
У^Б
8
Нш/5= 1,
arctg п 7 Нш arctg п =-j-, Ит уп =
_2_
те
^п \2 при п четном.
В школе чаще всего имеют дело с монотонными последовательностями, поэтому учащиеся нередко думают, что всякая последовательность имеет или наибольший, или наименьший член. В том, что это неверно, можно убедить на примере последовательности с общим членом хп = (—\)пп. (Члены этой последовательности образуют множество целых чисел, кроме 0.)
Говоря о знакопеременных последовательностях, чаще всего приводят примеры таких последовательностей, в которых каждый положительный член непосредственно следует за отрицательным или наоборот. Это способствует возникновению ошибочного мнения,
П ->оо “ /!-*■ оо
Учащиеся порой привыкают только к монотонным сходящимся последовательностям. Укажем немонотонные последовательности, имеющие конечный предел.
1. Последовательность (dn), члены которой стремятся к ее пределу справа и слева;
/ь L. J_. L. _L. N
2 ; з ’ 4 ’ 5 ; "У’
П П-> ОО
dn
2. Последовательность (гп), члены которой то приближаются к ее пределу, то удаляются от него:
О * ~5~’ * ^ ”0’
*п=1 + f---, llmz, = l.
' П-+ оо
Если спросить учащихся, достигает ли переменная своего предельного значения, то ответы скорее всего будут категоричны: «да»
38
или «нет». В таком случае уместно привести контрпримеры.
Предел переменной уп — -~г равен нулю.
Однако ни при каком натуральном п дробь не равна нулю.
] ( ]уг
Последовательность (ап),ап= —имеет
пределом нуль. Между тем нуль можно найти среди членов этой последовательности беско-
2
нечно много раз: ах — 2, а2 = 0, а3 = -у>
а4 — 0, *•• •
Последовательность, общий член которой | 2 при /г, кратном 3;
~ J2 + -i- при /г, не кратном 3,
имеет предел, равный 2. Число 2 является каждым третьим членом этой последовательности.
В школьном курсе математики теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности не доказывается. Поэтому особенно важно показать, что выполнение только одного из условий теоремы Вейерштрасса еще недостаточно для того, чтобы последовательность имела предел.
1) Ограниченные расходящиеся последовательности:
а) (cos тс; cos 2ir;...), ап — ъоъъп\
Л 1 1 2 l 3 \
б) —; —; -js -у послеД°-
вательность всех несократимых правильных рациональных дробей. «Порядок определяется
тем условием, что из двух дробей — и ~-
Я ч
дробь -р- следует за дробью если q'^> q\ н ч
а в случае q'=q, если р'^>р» (ЭЭМ, т. III, М.—Л., 1952. Статья В. Л. Гончарова, с. 151).
2) Монотонные расходящиеся последовательности:
а) (2; 4; 6;...), ап = 2п;
б) (2; 5;...), Ьл = п\+\.
Таким образом, нельзя говорить о сходимости только монотонных или только ограниченных последовательностей.
Учащиеся иногда недостаточно ясно осознают, что теоремы о пределе суммы, произведения и частного последовательностей относятся только к таким последовательностям, которые имеют предел. Для разъяснения этого положения полезно предложить следующее упражнение.
Верно ли высказывание: «Если последова-’
тельность (.хп) стремится к нулю, а последовательность (уя) — произвольная, то lim(xwX
П-Уоо
Хуп) = О»?
Учащиеся, пользуясь теоремой о пределе произведения двух последовательностей, рассуждают так: lim (хп • у„) = lim хп • lim уп =
о Я->оо П-Уоо
= 0-limy„ = 0, не задумываясь о том, суще-
П ->оо
ствует или нет предел последовательности (уп).
На первый взгляд такой вывод подтверждается примерами. В самом деле, пусть даны последовательности (хп) и (уп): ч 1 4л2 „
а) хя = —, Уп = -зг_го* Итуя = 4,
п п * П-+оо
Пт (х„-уп) = 0
оо
б) хп = -^г, уп = (— 1)л. Последовательность (у„) не имеет предела. Однако последовательность (хп • ул). 2 > 4 > g-> jg > • ••) имеет предел, равный нулю. '
Рассмотрим теперь случаи, когда последовательность (уп) не ограничена:
в) ■** = —., 'У« = я, тогДа хл‘уя = \,
11ш {хп • уп) = 1. Предел произведения после-
П ->оо
довательностей существует, но отличен от нуля.
г) хп = уп = (—1)" п. Произведение этих последовательностей не имеет предела.
д) х„ = -^-, уа = я2, хп'Уп — п. Последовательность (хп'У„) расходится.
Аналогичную работу можно провести и при изучении теоремы о пределе суммы последовательностей.
Последовательности (3 — п) и (п. + расходятся, однако предел их суммы равен 3,
lim (3 — п ti ~ \ = 1 iП1 (з -( ^ = 3.
в-мхЛ «/ в-,-.» V «/
.Следует ли отсюда, что соотношение lira (а„ + b„) = lim а„ -f lim bn
tl->oo П->оо п-> оо
справедливо и для расходящихся последовательностей?
Даже огромное количество примеров не может служить доказательством этого положения. С помощью контрпримера его можно опровергнуть:
а) ап = 2п, Ьп = 3я, ап + Ьп = 5п, последовательности (ап), (Ьп) и (йп + Ьп) расходятся;
б) хп = 2 ■ (—1)", уп = 3-(— 1)",
хп + 3,п = 5-(—!)"•
Последовательности (хп), (у„) и (х„ + уп) расходятся.
С помощью приведенных примеров и контрпримеров учащимся можно наглядно показать, что теоремы о пределах последовательностей не могут быть автоматически распространены на те случаи, когда некоторые из них не являются сходящимися.
Как известно, расширение множества рациональных чисел предваряется теоремой: «Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2». Геометрически это означает, что сторона квадрата, принятая за единицу, несоизмерима с его диагональю. Последнее утверждение было доказано пифагорейцами на основании учения о четном и нечетном (так фактически был__открыт геометрический эквивалент числа У 2).
В обзорной беседе по теме «Действительные числа» преподаватель может разъяснить учащимся, что открытие несоизмеримых величин представляло сначала ценность именно как контрпример, который заставил пифагорейцев отказаться от принятого ими учения о господствующей роли числа в процессе познания.
Пифагорейцы учили, что числа — начало и сущность всех вещей, что арифметика — основа науки. Поскольку пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа, их учение по сути означало, что основой знания является арифметика положительных рациональных чисел. В частности, они полагали, что числом можно выразить длину любого отрезка, если иметь отрезок, принятый за единицу измерения.
Открытие несоизмеримых величин означало: при выборе стороны квадрата в качестве единицы длины диагональ квадрата не может быть выражена не только целым, но и дробным числом. Так пифагорейцы обнаружили конкретный объект, который нельзя выразить никаким из известных им чисел. Затем Феодор из Кирены показал, что диагонали квадратов со сторонами 3, 5, ..., 17 также нельзя выразить ни целым, ни дробным числом.
Эти факты заставили эллинских математиков признать, что геометрические объекты являются понятиями более общими, чем положительные рациональные числа, и приступить к разработке новой системы математики, в которой роль фундамента играет геометрия, а не арифметика [3]. Классический пример построения математики на геометрической основе дают «Начала» Евклида.
&
При изучении действий над действительными числами важно показать учащимся, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Этой цели служат вопросы 1) и 2).
1) Всегда ли сумма (разность) двух иррациональных чисел есть число иррациональное?
Чаще всего учащиеся отвечают на этот вопрос положительно. Этой ошибке, может быть, невольно способствуют задания вида: «Доказать, что число У 5 — У 3 — иррациональное». Кроме того, учащихся иногда запутывает следующая аналогия: сумма целого
числа и иррационального есть иррациональное число, сумма рационального и иррационального также число иррациональное, следовательно, поверхностно заключают учащиеся, сумма иррациональных чисел тем более должна быть иррациональным числом.
Ошибку помогают обнаружить следующие контрпримеры.
а) Сумма двух противоположных иррациональных чисел равна рациональному числу 0.
(У“5-у"3) + (У~3-У5) =0.
б) Составим две бесконечные непериодические дроби, у которых соответствующие десятичные знаки в сумме составят 4, и сложим их.
,3,13113111...
“П, 31331333...
4,44444444...
Сумма 4, (4)—бесконечная периодическая дробь, т. е. рациональное число 4-^-.
в) Рассмотрим иррациональные числа: lg2 и lg5. Как известно: Ig2 + lg5= 1.
2) Всегда ли произведение (частное) двух иррациональных чисел есть иррациональное число?
Отрицательный ответ следует хотя бы из ниже приведенных_примеров.
а) (У‘2+.1).(У2—1) = 1.
б) sin 45° • cos 45° =
в) lM2: у 3"= 2.
г) Даны числа tg 37° и ctg 37°. Известно, что эти числа иррациональные tg 37° == 0,753554..., ctg 37°= 1,327044.... Их произведение tg37°x X ctg 37° = 0,753554...-1,327044... = 1, так как известно, что tg 37°-ctg 37° = 1.
д) Рассмотрим две бесконечные дроби
10,1001000100001000001... и 2,02002000200002000002...
В записи этих чисел встречаются только цифры 1 и 0 (2 и 0), причем число нулей
между соседними, отличными от нуля цифрами неограниченно растет: вначале это один
нуль, потом 2, 3, 4, 5 и т. д. до бесконечности. Легко видеть, что эти дроби не являются периодическими [2], однако 1-0,10010001...: : 2,020020002... =± 5. В последнем убеждаемся, заметив, что число 10,1001000100001000001... есть произведение чисел
2,02002000200002000002... и 5.
В заключение отметим, что новая программа по математике дает учителю большие возможности для воспитания у учащихся способности к конструктивному мышлению.
Такое мышление развивается тогда, когда учащиеся придумывают примеры или контрпримеры для рассматриваемого математического высказывания.
Способность к такого рода умственной деятельности можно в достаточной степени развить лишь в там случае, если учитель сам чз* сто использует примеры и контрпримеры в процессе работы с учащимися. .
Литература
1. Гелбаум БОлмстед Дж. Контрпримеры в анализе, М., «Мир», 1967.
2. Маркушевич А. ИСикорский /С. П., Черкасов Р. С. Алгебра и элементарные функции. М., «Просвещение», 1968.
3. Моловший В. Н. Очерки по философским вопросам математики, М., «Просвещение», 1969.
4. Рубинов А. М., Шапиев К. Ш. Элементы математического анализа, М. «Просвещение», 1972.
А. И. САГАНДУКОВ
(Москва)
ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕК ПАРАБОЛЫ
Ко времени рассмотрения свойств квадратного трехчлена и графика функции у = ах2-\- -f-bx-f с учащимся известно, что график функции у = ах2— парабола, что это симметричная кривая, ее ось симметрии — ось ординат. На простейших примерах показано, что график квадратного трехчлена — также парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат и проходящей через точку с абсциссой
х = — тг- независимо от того, имеет ли квад- 1а
ратный трехчлен действительные корни или нет.
Для практики построения параболы у— = ах2+Ьх-\-с необходимо брать произвольные значения х и вычислять соответствующие значения у.
Вычисления значительно упрощаются, если выбирать на оси абсцисс точки, симметричные точке А с абсциссой вершины параболы х =
= — следовательно, одинаково удаленные
от нее.
Пусть,на оси Ох взята точка Вх с абсцис-
LOH а;, ипа _удалспа ui -п па —
значит, симметричная ей (относительно А) точка В2 (х2) удалена от Л на х2 — ~) =
ъ
= 2а. Xl' .откуда
значения
I о
*1 + *2 J-.
♦
В частности, если точки Вх и В2 совпадают, ь
то х1=х2 = — ^, т. е. в этом случае имеем
абсциссу йершины параболы.
В силу симметричности параболы относительно ее оси (т. е. прямой х = — ух ==уХл', обозначим их короче: у.
у = axi + bxj + с — (ахj -f b) хг + с =
= (« (—| *2) + b) +с =
= (—b — ах2 + b) xt + с = с — axjxs.
Итак, если х1 + х2 = —то у = с — ахг х2.
Пример: построить графики функций'
1) у = 0,5.** — Зх -f- 5; Xj -f x2 = 6;
у = 5-—0,5x^2.
Хх
**
У
3
3
5 —0,5*3.3 = 0,5
2
4
5 — 0,5-2-4 - 1
1
5
5 — 0,51*5 — 2,5
0
6
5 — 0,50-6 = 5
— 1
7
сд
1
о
Сл
X—N
11
ОО
СД
Таким образом вычислены координаты девяти точек параболы: (3; 0,5), (2; 1), (4; 1),
ОБ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ ЗА КУРС ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
В июне 1975 г. учащимся VIII класса школ с русским языком обучения, а также всех школ РСФСР, Украины, Белоруссии и ряда других территорий, занимающимся по новым программам математики, предстоит сдавать экзамены по содержанию нового курса.
Главное управление школ утвердило разработанные Научно-исследовательским институтом содержания и методов обучения АПН СССР типовые тексты экзаменационных материалов за курс восьмилетней школы. Содержание типовых билетов доведено до сведения министерств просвещения (народного образования) союзных республик, которые должны определить перечень и тип экзаменов.
Публикуя тексты примерных итоговых работ по алгебре и контрольные вопросы по алгебре и геометрии, которые войдут в текст экзаменационных билетов, редакция надеется, что они помогут учителю организовать повторение учебного материала за курс восьмилетней школы.
42
''•Л;''
'ц
Рис. 3
(1; 2,5), (5; 2,5), (0; 5), (6; 5), (—1; 8,5), (7; 8,5) (рис. 2).
2) у ===== —х2 -f- 5х — 4; хх -f- х2 ===: 5j
У = —4 + хгх2.
X,
*«
У
2,5
2,5
2,25
2
3
2
1
4
0
0
5
—4
— 1
6
—10
График изображен на рис. 3.
Содержание курсов алгебры и геометрии в VIII классе позволяет повторить практически весь материал предшествующих лет в связи с изучением нового. Вместе с тем необходимо, чтобы в VIII классе был подведен и итог тому, что узнали учащиеся по математике за эти годы, чтобы весь изученный материал предстал перед ними в определенной системе. Этому, а также подготовке к экзаменам должно служить целенаправленное систематическое повторение узловых вопросов программы.
Алгебра
Вопросы для повторения алгебры охватывают материал трех лет обучения (VI, VII, VIII классы). Среди них широко представлены вопросы, связанные с функциональной тематикой, графическим решением систем уравнений и неравенств и т. д.
Учащиеся должны не только знать определение функции или конкретного ее вида, уметь построить соответствующий график, но и ответить на вопросы, связанные с этим графиком, читать график заданной функции.
Достаточно широко представлены в публи¬
куемых материалах вопросы, связанные с определением и свойствами степеней с различными показателями, числовые неравенства, определение и свойства арифметического корня и др.
Как и в прежние годы, серьезное внимание уделяется выработке у учащихся навыков тождественных преобразований, уровень сложности которых в каждом конкретном случае определен ссылкой на соответствующие номера упражнений учебника.
VI КЛАСС
Функция (определение). Способы задания функции.
Построение графика функции вида у = kx при заданном значении k (№ 389—391) 1.
Функция У = и ее график. Построение
k
графика функции у = — при заданном значении k (№ 401—403).
Функция у = ах2 и ее график. Построение графика функции у = ах2 при заданном значении а (№ 478, 479).
Определение и свойства степени с натуральным показателем. Доказательство основного свойства.
Формулы сокращенного умножения (вывод).
Разложение на множители разности квадратов, суммы и разности кубов двух выражений. Обратные преобразования (№ 703 а—г).
Линейная функция и ее график. Построение графика функции у = ах-\-Ъ при заданных значениях а и b (№ 754, 768).
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными. Графическое решение системы линейных уравнений (№ 951—953, 957).
Задачи, решаемые с помощью составления системы уравнений с двумя переменными или уравнения с одной переменной (№ 970—973).
VII КЛАСС
Дробь. Область определения дроби. Условие равенства дроби нулю. Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Нахождение значения дроби (№ 62 а—г, 76, 104).
Тождественные преобразования дробных выражений (№ 120 д, е, 121 г—е).
Определение и свойства степени с целым показателем. Доказательство основного свойства (на конкретном примере).
Решение уравнений с переменной в знаменателе (№ 169, 828 а—ж).
1 Здесь и далее в скобках указаны номера упражне¬
нии из учебника соответствующего класса.
Неравенства и их свойства (с доказательством).
Решение линейных неравенств (№ 351, 352, 359—361).
Решение системы линейных неравенств (№ 380,381).
Решение нелинейных неравенств (№ 392— 394,404).
Задача на применение метода границ (№ 430, 431, 433).
Арифметический квадратный корень. График функции у = Графическое решение урав- неюш вида ^ х = а и неравенств вида У х > а. Квадратный корень, из произведения и дроби. Преобразование выражения, содержащего квадратные корни (№ 681, 682, 732).
Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта. Составление квадратного уравнения по его корням. Задачи, приводящие к решению квадратного уравнения (№ 841, 843, 844, 855 а—е).
Квадратный трехчлен. Построение графика функции вида у — ах2 + Ь* + с при заданных значениях а, b и с (№ 875, 876).
VIII КЛАСС
Уравнения, приводимые к квадратным (№ 1,2).
Системы двух уравнений второй степени с двумя переменными (№ 21, 61).
Неравенства с двумя переменными и их решение (№ 33, 34, 37, 38).
Решение систем неравенств с двумя переменными (№ 42—44).
Последовательности и способы их задания.
Арифметическая прогрессия. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии (№ 185, 187, 188, 194, 204, 209).
Геометрическая прогрессия. Формула п-го члена геометрической прогрессии. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии (№ 225, 226, 230, 237—239).
Понятие функции, обратной данной. Построение графика функции, заданной формулой, и графика функции, обратной данной (№ 349).
Степень с рациональным показателем; свойство степени с рациональным показателем. Доказательство основного свойства степени (на конкретном примере). Вычисление значения выражения, содержащего степени с рациональными показателями. Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем (№ 414—416, 428, 429).
43
Функция у — ах при а>1, ее график и свойства. Функция у = ах при 0<а<1, ее график и свойства. Сравнение выражений с помощью свойств показательной функции (№ 520, 521, 525, 527, 529).
Целая и дробная части числа.
Функция у = lg х и ее свойства. Логарифмирование и потенцирование выражений (№ 652, 653, 662 а—е, 663).
Задачи, решаемые на основе определения логарифма. Вычисление значения выражения с помощью логарифмической линейки (№ 619— 621, 634, 635, 730).
Приводим примерный вариант письменной работы по алгебре, рассчитанной на три часа. Предлагаемая работа проверяет основные разделы программы (прогрессии, показательная и логарифмическая (с основанием 10) функции, тождества сокращенного умножения, системы двух линейных уравнений с двумя переменными, линейные неравенства, квадратные уравнения, тождественные преобразования) и определяет уровень сложности экзаменационной работы.
При оформлении решения следует придерживаться рекомендаций методических пособий к учебникам алгебры VI—VIII классов.
Вариант I
1. Задача. Пятый член бесконечной арифметической прогрессии (ап) равен 5, а одиннадцатый член равен 29. Найти разность прогрессии d и первый ее член а\. Является ли число 147 членом этой прогрессии?
2. Упростите выражение а2 а — b\ a -f- Ь а
а2 — b2 a -f Ь ) ' 2а — b Ь — а ’
3. Постройте график функции у — 2х. Сравните значения выражений 21*5 и 22>5.
4. Найдите область определения функции у = lg (15—2х) . При каком значении х значение этой функции равно нулю?
5. Существует ли такое значение перемен¬
ной х, при котором значение трехчлена 2х2 — 7х 4- 13 равно 5?
я
Вариант II
1. Задача. Седьмой член бесконечной арифметической прогрессии (Ьп) равен 8, а тринадцатый член равен 26. Найти разность прогрессии d и первый ее член Ь\. Является ли число 77 членом этой прогрессии?
2. Упростите выражение
Ь Ъ — с (Ь + с Ь2 \
Ь + с + 2 b + c \b — c~~b2 — c2)'
3. Постройте график функции у = 3х. Сравните значения выражений З0*5 и З1»5.
4. Найдите область определения функции у = lg (4‘д;—18). При каком значении х значение этой функции равно 1?
5. Существует’ли значение переменной х, при котором значение трехчлена Зх2 + 5х— 10 равно 12?
Геометрия
В повторение -следует включить важнейшие вопросы курса геометрии VI—VIII классов, теоремы, доказательство которых должно воспроизводиться при ответах. В некоторых случаях достаточно ограничиться воспроизведением только формулировки теоремы (так, на- прймер, при доказательстве теоремы о том, что параллельный перенос является перемещением, достаточно лишь сослаться на теорему о конгруэнтных отрезках; аналогично, при решении задачи на деление заданного отрезка на п конгруэнтных отрезков достаточно сослаться на теорему Фалеса).
Большое внимание рекомендуется уделить повторению понятия отображения и умению находить образ заданной фигуры в заданном отображении.
Среди вопросов на повторение не выделены, например, такие, как «язык теории множеств в геометрии», — считается, что этот материал систематически используется в курсе геометрии и хорошо известен учащимся.
В число задач, решение которых следует повторить, включены задачи на построение, вычисление, доказательство. .
VI КЛАСС
Геометрическая фигура. Угол. Измерение углов.
Пересечение и (Объединение фигур.
Отображение. Примеры отображений, сохраняющих и не сохраняющих расстояния. Конгруэнтные фигуры.
Поворот плоскости вокруг точки. Отображение, при котором квадрат отображается на себя.
Центральная симметрия. Построение фигуры, центрально-симметричной данной. Симметричность окружности относительно ее центра.
Осевая симметрия. Построение фигуры, симметричной данной относительно прямой. Ось симметрии окружности.
Расстояние от точки до прямой.
Пересечение прямой и окружности. Пересечение двух окружностей.
Построение треугольников по заданным их элементам и соответствующие признаки кон¬
44
груэнтности треугольников (в том числе и прямоугольных).
Свойства равнобедренного треугольника. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. Свойство биссектрисы угла.
Параллельные прямые. Теорема о параллельности центрально-симметричных прямых.
Аксиома параллельных.
Теорема о сумме внутренних углов треугольника.
Признаки параллельности прямых.
Параллельный перенос. Доказательство теоремы о том, что параллельный перенос — перемещение.
Теорема Фалеса (формулировка и иллюстрация на чертеже). Деление отрезка на п конгруэнтных отрезков.
Определение многоугольника. Сумма всех внутренних и сумма всех внешних углов многоугольника.
VII КЛАСС
Параллелограмм, свойства параллелограмма, признаки параллелограмма.
Прямоугольник. Теорема о серединном перпендикуляре к стороне прямоугольника и следствия из нее.
Ромб, свойства ромба.
Квадрат, свойства квадрата.
Трапеция, теорема о средней линии трапеции.
Свойства площадей. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.
Число точек, определяющих окружность.
Пересечение круга и прямой. Касательная.
Теорема о прямой, перпендикулярной диаметру окружности и проходящей через его конец. Теорема о свойстве касательной к' окружности. Теорема о множестве всех вершин прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой.
Необходимое и достаточное условие конгруэнтности двух дуг окружности. Теорема о хордах и стягиваемых ими дугах окружности. Следствия: дуги, заключенные между параллельными хордами, конгруэнтны; диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам; диаметр, делящий хорду, не проходящую через центр, пополам, перпендикулярен этой хорде (без доказательства).
Теоремы о зависимости между расстоянием хорды от центра, ее длиной и угловой величиной стягиваемой ею дуги.
Способы задания вектора.
Сложение векторов. Основные законы сложения векторов. Противоположный вектор. Вычитание векторов.
Основные законы умножения вектора на,, число.
Подобие фигур.
Гомотетия; основные свойства гомотетии.
Теорема о параллельных прямых, пересекающих стороны угла.
Признаки подобия треугольников. Теорема , Пифагора.
Подобные многоугольники. Теорема об отношении периметров подобных многоугольников; теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Определение высоты предмета; определение расстояния до недоступной точки.
VIII КЛАСС
Задание поворота. Угол поворота. Композиция поворотов с общим центром. Переместительность композиции поворотов с общим центром.
Синус, косинус, тангенс. Вывод тождеств: sin2 а + cos2 а = 1, sin (180° — а) = sin а, cos (180° — а) = —cos а, sin (—а) = —sin а, cos (—а\ = cos а, sin (90° + а) = cos а, cos (90° + а) = —sin а.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника.
Теорема косинусов; следствие из теоремы косинусов.
Формула площади треугольника:
5Д авс :==: 2 sin а.
Теорема синусов.
Вписанный угол. Теорема о величине вписанного угла и следствие из нее.
Теорема о сумме противоположных углов вписанного четырехугольника и ей обратная; теорема о сумме длин противоположных сторон описанного четырехугольника.
Правильный многоугольник. Построение
правильных многоугольников. Выражение
стороны правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности.
Длина окружности; длина дуги в п°.
Площадь круга; площадь сектора, дуга которого содержит п°.
Примерные задачи
Начертите две фигуры, пересечение которых есть отрезок, а объединение — треугольник.
Начертите две фигуры, объединением которых является четырехугольник.
45
Начертите углы АОВ и COD (ЛОВ = 90°,
COD = 60°) так, чтобы их пересечением был угол, величина которого равна 30°. Вычислите величину угла, являющегося объединением этих углов.
Постройте отрезок, симметричный данному относительно прямой I (прямая I не имеет с данным отрезком общей точки).
Дан треугольник ABC и точка О (Os [АВ\, \АО\ = \ОВ\). Найдите образ треугольника ABC при повороте вокруг точки О на угол 13°°,
В четырехугольнике А В CD [Л С)—биссектриса угла BAD, Z-Bsz/LD. Докажите, что Л ABCszA ADC.
Задачи из учебников: п. 25 —№ 15, 22;
п. 27 —№ 2; п. 29 —№ 5, 6; п. 38 —№ 2, 3; п. 44 —№ 8, 9; п. 52 —№ 4—6; п. 62 —К» 8, 9, 11; п. 64 —№ 6, 8; п. 67 —№ 1, 4, 6; п. 68 — № 7; п. 89 —№ 11—14; п. 111—№ 2, 4, 5; п. 112 —№ 2, 5; п. 113 —№ 2, 3.
В число практических задач включается также нахождение площадей поверхностей и объемов призм, пирамид, цилиндров (по моделям) .
Школы и классы с рубленным изучением математики
С. И. ШВАРЦБУРД, М. М. МОШКОВИЧ
* (Москва)
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ1
Идея функциональной зависимости пронизывает весь школьный курс математики, внедряющийся сейчас в практику на основе новой программы. Учащиеся заблаговременно и длительно подготавливаются в младших классах к введению понятия функции, которое даётся уже в VI классе. В связи с этим некоторые функции изучаются раньше, чем это было по старой программе. Так, показательная функция и понятие логарифмической функции вводятся теперь уже в VIII, а не в X классе, как планировалось по старой программе, поэтому меняется и методика изложения этого материала. Однако изучение указанных функций не завершается в восьмилетней школе, а продолжается в старших классах. В связи с этим возникает методическая проблема изложения этого материала в старших классах. Избегая простого повторения материала на уровне его изучения в восьмилетней школе и используя элементы математического анализа, можно добиться более эффективных методов исследо-
1 Материал статьи подготовлен авторами на основе работы семинара учителей математики Москвы, который они ведут при МГИУУ,
вания функций и лучшего усвоения материала.
Данная статья посвящена изложению логарифмической и показательной функций в школах и классах с углубленным теоретическим и практическим изучением математики и программирования. Это изложение соответствует утвержденным Министерством просвещения СССР программам (см. «Математика в школе», 1974, № 4, с. 61), согласованным с новой программой восьмилетней школы. Напомним, что по новой программе логарифмическая функция изучается в X классе и к этому времени учащиеся уже знакомы с определенным интегралом. Это обстоятельство создает благоприятные условия для введения логарифмической функции через определенный интеграл, как это предлагал Ф. Клейн. Такой же подход по существу принят в статье А. И. Маркуше- вича «Логарифмическая и показательная функции в школе» («Математика в школе», 1965, № 3, с. 43—51). Однако предложения А. И. Маркушевича относились к VIII классу массовой школы, поэтому элементы математического анализа (в частности, понятие интеграла) в статье не использовались. Определение логарифмической функции через определенный интеграл использует А. А. Егоров в статье «Площадь под гиперболой, логарифм и экспонента» («Квант», 1973, № 6).
Предполагаем, что предлагаемый ниже учебный материал может быть использован дополнительно к учебному пособию Н. Я. Виленкина, С. И. Шварцбурда «Математический анализ» для IX и X классов с математической специализацией (М. «Просвещение», 1969, 1973), а также к другим пособиям по математике для школы, в которых логарифмическая и показательная функции изложены традиционно. При этом естественно придется изменить преподавание всей темы.
1. Логарифмическая функция при натуральном основании
Определение. Функция от аргумента х вида
С dt
I —, где х>0,
1
называется логарифмической функцией при натуральном основании.
Для этой функции принято специальное обозначение у = 1плс, т. е.
1ПДГ-/4-.
1
Значение функции при заданном значении аргумента называется натуральным логарифмом данного числа. При х = а натуральный логарифм числа а записывается так: In а.
Рассмотрим некоторые свойства таким об- рг: ом введенной логарифмической функции. Для этого прежде всего обратимся к определенному интегралу.
В соответствии с понятием определенного интеграла через интегральные суммы натуральный логарифм числа а можно записать так:
1 к=О
При этом выберем конкретное разбиение отрезка [1; а] на п равных отрезков, каждый из которых Ajc* = a~fl—, а число — точка промежутка kxk:
^€[1 + *й=л, ,+jaL+as5=a].
Поскольку функция у = -i- убывающая при
1
положительных значениях х, то
1
fe=i 1 +
k(x— 1)
1
■Д^_1
1 +
(fe — !)(■*-— 1)
Л=1 * ' п
Поэтому имеет место неравенство
k—i 1 +
<s
1
ft=l
1 +
0)
С помощью неравенства (1) можно находить приближенные значения функции у — 1пдс (натурального логарифма любого числа). Найдем, например, значения натурального логарифма чисел 2 и 3:
1 1
Будем разбивать отрезок интегрирования на равные отрезки. Чем больше число равных отрезков, тем точнее результат вычисления. Разобьем отрезок [1; 2] на 20 равных частей, тогда Дх* =* 0,05, а неравенство (1) примет вид:
°*05(то5" +-ПнГ + •"
< In 2 <0,05-(l Н j од
После вычисления получим
0,6806< In 2 < 0,7056.
Взяв приближенное значение In 2 равным среднему арифметическому чисел 0,6806 и 0,7056, получим
1п2«0,6931.
Полученное значение ki2 совпадает со значением, приведенным в четырехзначной таблице натуральных логарифмов. Заметим, что In 2 < 1.
Найдем теперь значение In 3, применяя тот же метод вычисления — разбиение отрезка [1; 3] на 20 равных отрезков. Длина каждого отрезка будет равна 0,1 =»
з-1
— —20”- • а неравенство (1) примет вид
* f * 1
0>1(. 1,10 +'
заклю¬
чен между нижней и верхней интегральными суммами, т. е.
п
откуда
1,0660 <1пЗ< 1,1327.
Взяв среднее арифметическое чисел 1,0660 и 1,1327, получим
In 3» 1,0993.
Это значение ТпЗ совпадает со значением, данным в таблице натуральных логарифмов, до второго десятичного знака. Заметим, что In 3 >> 1.
Каковы же методические особенности выполненных упражнений? Вполне естественные и оправданные после введения понятия новой функции усилия, направленные на нахождение числовых значений функции, обладают здесь большим идейно-математическим богатством.
Во-первых, введенное понятие определенного интеграла через интегральные суммы здесь эффективно «работает»: используется при вычислении значений логарифмической функции. Само по себе это очень полезно, так как иллюстрирует редкий для учащихся случай
47
практическогр применения введенного понятия определенного интеграла через интегральные суммы, оправдывает в их глазах его ценность и силу. Помимо применения определенного интеграла, при решении задач на вычисление площадей и объемов, здесь показано его применение и как вычислительного «инструмента» для отыскания приближенного значения логарифма.
Во-вторых, в этих упражнениях дано полезное истолкование логарифма как площади под кривой, что существенно дополняет истолкование логарифма как показателя степени.
В-третьих, упражнения, использующие понятие определенного интеграла, наилучшим образом устанавливают связь между элементарными функциями — традиционным школьным учебным материалом курса математики— и вопросами так называемой высшей математики. Они способствуют стиранию разрыва между высшим и средним математическим образованием, улучшая условия преемственности в обучении средних и высших учебных заведений.
У пражнения
1. Начертите график функции у — и выясните, какой геометрический смысл имеет функция у==1пд: при х>0. Почему площадь под
положительной ветвью графика функции у =
от 1 до х, где 0<х<1, по смыслу целесообразно считать отрицательной?
2. Какой геометрический смысл имеет верхняя и нижняя интегральные суммы из равенства (1)?
3. Докажите, что неравенство
1 —^-<1плг<л: —1
справедливо для всякого положительного значения х. Каков геометрический смысл этого неравенства?
4. С помощью неравенства из упражнения 3 покажите, что имеют место следующие числовые неравенства:
а)4-01,2<4-, б) ^-<1п0,9<—-0,1.
Рассмотрим теперь некоторые свойства изучаемой функции.
Из определения In х = следует, что
1
(In х)' = — и, значит, функция у = In х дифференцируема на множестве положительных чисел, а из дифференцируемости функции следует ее непрерывность на том же множестве.
Далее, так как при д:>0 и -^->0, то
(1плг)'>0, а это означает, что функция у = = In х —• монотонно возрастающая.
Из последнего свойства вытекает следствие: если #>0, с>0 и In а = In с, то а = с. Докажем это. Допустим, что а =£ с, тогда из монотонности функции у = In х следует, что
In а Ф In с, а это противоречит условию Следовательно, а = с.
Покажем теперь, что !n 1 = 0. В самом деле,
Inl-J-f.o.
1
Если х>>1, то 1пл:>-0; если 0<л:<М, то 1пх<^0. Эти свойства следуют из монотонности функции и равенства In 1 = 0.
Докажем, что при х—>оо Inх — оо. Пусть х^>п, где п — натуральное число. Принимая Ад: — 1, получим, что
■«—f">t-r--r + T +
+i+-'- + V-i+(4-+4-) +
+ (~r + 1Г + ~Г + ~г) + • • • + (2*-* +1 +
+
1
2*—1 -f 2 1
2
+ ^г) +
+—> п
~о 1 о I о Н ••• + "оГ-Ь
Если п—+ оо, то и k —► 00, следовательно, In /г —>оо, а так как х>/г, то \пх—»оо. Другими словами, с ростом х функция у = \пх неограниченно возрастает.
Следует обратить внимание учащихся на использование конкретного разбиения промежутка интегрирования [1; х] на п равных частей в качестве средства доказательства математического факта. Достойно обсуждения положение о независимости значения определенного интеграла от того, каково конкретное разбиение промежутка интегрирования. Важно лишь, чтобы в процессе предельного перехода в интегральной сумме обеспечивалось стремление к нулю наибольшего из отрезков разбиения.
Логарифм произведения, частного, степени и корня
Для вывода ряда свойств логарифмической функции при натуральном основании докажем теорему:
Если х > 0 и т > 0, то имеет место равенство
х тх
1 т
Дока за тельство.
п-1
I *=0 1+ и
х — \
48
я—1
J Л->-оо ,
я ft=0 w +
1
mx -
k (mx — m)
я-1
— Ига У]
1.
m (л:— 1)
k
/i-l
=0« [
%=o 1 +
1 +
1
—1)
k(x — 1) j
X — 1
_£L
*
Используя эту теорему, выведем следующее свойство логарифмов при натуральном основании:
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей, т. е. для а>0ий>0 верно равенство
In (ab) = In а + In b.
Доказательство
ab а
In,
1 1
а
dx
х
График функции у = In*
Вычертим график функции у = In* (рис. 1).
Рис. 1
Для этой цели составим таблицу приближенных значений функции
X
0,25
0,5
1
2
3
4
5
У
-м
— 0,7
0
0,7
1,1
1,4
1,6
Следствие.
In (аха2.. ,ап) = In ах + In а2 + • • • + Inап> где ай>0 и
(Доказательство очевидно.)
Легко доказываются теоремы о логарифме частного положительных чисел; логарифме степени положительного числа с натуральным показателем; логарифме корня из положительного, числа; логарифме степени с целым рациональным и действительным показателями.
Перечислим теперь рассмотренные свойства функции у = In*.
1. Областью определения функции является множество положительных чисел.
2. Область изменения функции — множество действительных чисел.
3. Функция монотонно возрастающая.
4. In 1 = 0.
5. Если х > 1, то In* > 0; если 0 < х < 1, то In* < 0.
6. Функция непрерывна в области определения.
7. Функция дифференцируема в области определения.
8. При х—>■0 Inх—г*: — оо, при х—>■ оо \пх—>■ оо.
Уже было показано, что 1п2 С 1, а 1пЗ > 1. Так как функция у = In* монотонно возрастающая и непрерывная, то существует такое число *, что In* = 1. То число, для которого натуральный логарифм равен 1, принято обозначать буквой е. Как видно, 2 < е < 3; точные приближения показали, что е = = 2,71828....
2. Логарифмическая функция при любом > положительном основании
Если k — фиксированное положительное число, то
1 1
Функция у = k\nx обладает свойствами функции у = In*, так как ее график можно получить из графика функции у = In* умножением ординат на одно и то же положительное число k.
Учащимся из курса VIII класса известна логарифмическая функция при основании 10. Рассмотрев функцию при натуральном оснований, замечаем, что графики этих функций похожи друг на друга. Принято вместо у = k Inx писать у == log *, т. е.
log х = & In л:.
Так как функция у = log* непрерывна и принимает все действительные значения (как было показано для функции у = In*), то найдется такое значение аргумента *, при котором значение функции равно 1. Это значение на-
,49
зывается основанием логарифмической функции. Если его обозначить буквой а, то можно записать, что
log а = 1.
Среди логарифмических функций выделяются две: «логарифмическая функция * при десятичном основании» (при основании 10), которая имеет специальное обозначение у = lg*, и «логарифмическая функция при натуральном основании» (основании, равном числу е), которая также имеет особое обозначение у = 1т;. В этих обозначениях «основание» не указано. Для того чтобы указать основание логарифмической функции, употребляют обозначение у = loga*. Поэтому logi0x = = lgx, а log** = In*.
Формула перехода от логарифмов при одном основании к логарифмам при другом основании
Мы ввели логарифмическую функцию при основании а. По определению loga* = £lnx. Подберем теперь такое значение числа а, чтобы k\nа = 1. Отсюда k = и
1°£°х = йПГ[пх- <2)
Формула (2) дает возможность находить значения логарифма при основании а, зная значения логарифма при натуральном основании.
Множитель -ддд ■ называют модулем перехода
от логарифмов при натуральном основании к логарифмам при основании а.
Выведем формулу перехода от логарифма при одном основании к логарифму при другом основании. Имеем
, lnjf f In х
log^ = w Ioe»x—ш~‘
При х = а получим logfta = тогда
. In х In Ь In х
°ёах in a In a In b
__J in„ log*^
~ log* а юьь ^ logi a,
<3>
Формула (3) дает возможность перейти от логарифма при основании а к логарифму при
основании Ь. Число -г~— также называется log* а
модулем перехода.
Следствие. loga£-log4a = 1.
При а^> 1 имеем ^ >• 0, и поэтому свой¬
50
ства функции у = logax совпадают со свойствами функции у = In х.
При 0 < а < 1 получаем, что ■ < 0
и некоторые свойства функции у = loga х отличаются от ранее изученных.
Рассмотрим эти свойства.
а) Если 0 < а <[ 1, то функция у = loga х монотонно убывает. Действительно, так как
у = In х функция возрастающая, a --j--- <[ 0, то функция у = logfl х — — In х убывает.
б) Если х > 1, то log0 х < 0; если 0 < х ■< 1, то logax^>0. Действительно, при х^>1 1пл>0 , и поэтому функция 3' = logaJf =
in а ‘^П-У отрицательна, а при 0 <d -v <11 1пл<[0 и поэтому loga;c= tдд-• Inх^>0.
в) При х—*0 Iog0;t —*оо, а при х—*оо log0 х —* — оо. Действительно, при х —* 0
In X —* — ОО И поэтому logaAr==-j^-lnA:—оо,
при X ‘—* оо In х —* оо, поэтому loga X —* — оо.
Ясно, что логарифма при основании, равном единице, не существует, так как In .1=0, а
-jjj— не существует.
Свойства логарифмической функции при любом положительном основании, не равном единице
Учитывая изложенное выше, мы можем перечислить свойства функции у = loga*.
1. Областью определения является множество положительных чисел.
2. Область изменения — множество действительных чисел.
3. При а> 1 функция монотонно возрастает, а при 0<а<1 монотонно убывает.
4. logal =0.
5. Если а> 1, то при х>1 имеем loga*>0, при 0<*<1 имеем logax<;0. Если 0<а<1, то при х>1 имеем loga*<0, при 0<л:<1 имеем loga*>0.
6. loga а = 1.
7. Функция непрерывна на множестве положительных чисел.
8. Функция дифференцируема, так как
(logаХУ = (-f^ •:In х) —• 4- =
=1о^е4-
9. Функция неограниченная, так как
I loga | — ОО.
10. Теоремы о логарифмировании произведения, частного, степени и корня, доказанные
для логарифма при натуральном основании, распространяются на логарифмы при любом положительном основании. В качестве упражнения учащимся полезно провести все выкладки, доказывающие эти теоремы.
а) loga(m«) = log0m -f \ogati, где а>0, аф 1, /и > 0 и п^> 0.
б) ]oga-j-='logam — \ogan, где а>0,
а^1, /я>0 и в>0.
в) loga /иа = a loga т, где а>0, аф 1, т^>0, а—действительное число.
График функции у = loga х Как уже было сказано, график функции У = loga х можно получить из графика функции у = In х умножением ординат на число
k = щ1. • На рис. 2 и 3 изображены схемы
графиков функции у = loga х при а > 1 и 0<a < 1.
Экспоненциальная функция
Определение. Функция, обратная логарифмической функции при натуральном основании (y=lnx), называется экспоненциальной функцией и обозначается г/=ехр или у — ех.
Функция, обратная логарифмической функции у — loga ху называется экспоненциальной функцией с основанием а и обозначается у = ехра х, или у = ах.
Из определения экспоненциальной функции и на основании свойств обратных функций следует, что:
1. Областью определения экспояенциалыюй функции является множество действительных чисел.
2. Область изменения — множества положительных чисел.
3. При а > 1 функция монотонно возрастает, при 0<са<;1 функция монотонно убывает.
4. Если а> 1, то при *>0 ехра*>1, а при *<0 0<ехра*<1; если 0<а<1, то при *>0 0<ехрах<1, а при х<0 ехра*>1.
5. ехра 0=1.
6. Функция непрерывна на множестве действительных чисел. •
7. Из свойств монотонности и непрерывности функции следует, что для любого действительного значения функции существует единственное значение аргумента.
8. Если а> 1, то при х—>оо ехра х—>-оо, а при х—^ — оо ехра х—^0; если 0 < а < 1, то при х—>■ оо ехра х—>-0, а при а:—^ —оо ехра*—*оо;следовательно, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
9. ехра Х\ • ехра х2=ехра (*1 +*2).
Доказательство. Найдем
loga(exря*1-ехра*2) = Iogfl (ехрд хх) -f + loga (expa *,) = *1 +
Ho loga fexPa (xi + x*)] = xx -f- x2; следовательно, loga (expa*i-expa xt) = logfl [expfl (xt + x2)].
Из свойства монотонности логарифмической функции следует, что
ехра х^ехрахг = expa(.*i + х%).
10. ехралг!: ехрал:2 = ехра — х2). (Доказательство очевидно.)
11. (ехрв х^- = ехр„ (л;, • х2).
Доказательство. Найдем логарифмы при осно • вании а от левой и правой частей:
log а [(ехра х,)х'] = х, !oga (ехра *,) - х,х„
logа [expat*,-*,)] = xtxb
отсюда следует, что
loga [(expa *,)*’] = Iog„ [ехрй (х, ■ ж*)].
Из свойства монотонности логарифмической функции следует, что
(ехр„ xt)Xt = ехра (х,*,).
График экспоненциальной функции
Так как экспоненциальная функция — функция, обратная логарифмической, то ее график симметричен графику логарифмической функции относительно прямой у=х. График экспоненциальной функции называется экспонентой. На рис. 4 дан график функции у — expa х при а = е, т. е. г/ = ехр х, а на рис. 5 дан график функции у —ехра х при a=l/2.
Разбор свойств экспоненциальной функции показывает, что рассматриваемая в VIII клас-
51
се показательная функция для рационального показателя обладает теми же свойствами, что и экспоненциальная функция (учащимся можно предложить убедиться в этом, прочитав соответствующие свойства в учебнике алгебры для VIII класса). В связи с этим экспоненциальную функцию часто называют показательной функцией, поэтому ехрах = ах9 и, таким образом, нами были уже доказаны для любых действительных Х\ и х2 следующие равенства:
а** •ах* = aXi+JC*, ах':ах* = ах'~х\
(ах*)х* =ах'х'.
Основное логарифмическое тождество
Так как ехра (loga х) = х, т. е.
a,0V = x,
то loga х есть тот показатель, в который надо возвысить число а, чтобы получить число х. Равенство
a10 V = х (4)
называют основны-м логарифмическим тождеством.
Можно предложить учащимся сравнить запись основного логарифмического тождества (4) с равенством sin (arc sin л:) = х.
Дифференцирование экспоненциальной функции
Пусть у = ехра х, тогда х == loga у, или
X =
1
• In у и х'
1
1
у'. Но х' = 1,
In а * In а у
поэтому у' = у In а = In a-expfl х. Если а = е, то у' = у, т. е. (ехр х)' = ехр л;. Доказанные
равенства можно записать по-иному: если
у = а*, то у' = \па-ах-, если а = е, то (еху - е*.
Замечательный предел
.0+4-)*-
lim
Z—>oo \
Выведенные формулы дают возможность доказать ряд равенств, связанных с понятием предела, а именно:
рХ 1
1. lim 1.
х+о х
Доказательство. Так как {ех)' = ех, то
Ддг->0 аХ Д*-*0
или
е*х-\
Дх
ех • Игл
ьх+о
откуда следует, что
Дх
ех,
Иш
Ддг ->-0
е^х— 1 Дх
1.
Полагая Дл: = х, при х —* 0 имеем ех — \
Пт
х->-0
2. Ит 1п(1,+^-
.V+0
1.
1.
Доказательство. Пусть In(1 -f- х) = у, тогда 1 + х = еу -и х = — 1. Так как при
д:-*0и у —I>0, то
, In (1 -f X) _ ,,m у 1
lim
x-+Q
■■ lim
y->0
еУ—l
1
еУ—1 lim ——
y-+Q У
y->0 = 1.
еУ—\
52
3. lim (l + 4-)* = *•
Z-+ oo \ /
Доказательство. Вследствие непрерывности логарифмической функции имеем
цт 0+ *),._ пт П_. in (1 + *)] =
х->0 х JC ^0 L_ J
= llm In(1 +х)* =lnlim(l + х) * — 1,
Л-*0 Х-*0
— 1 откуда (1 + х) х = е. Если положить — = z,
то при х —>0 2 —>оо; следовательно,
llm Г1 + —У— г.
ZJ
Эту формулу называют вторым замечательным пределом, она дает возможность находить приближенные значения числа е.
Хотя и изменен порядок изучения темы «Степенная, логарифмическая и показательная функции» общее число часов, отводимых на данную тему, в настоящее время остается без
изменения. В будущем, после внедрения новой программы VIII класса массовой школы, в X классе с углубленным изучением математики в этом месте курса появится некоторый резерв учебного времени.
Обратим внимание читателя на некоторые особенности методики изложения логарифмической и экспоненциальной функций, дополнительные по отношению к уже упомянутым в статье.
Знакомство учащихся с экспоненциальной функцией и экспонентой, с навыками оперирования с ее обозначениями полезно ввиду их частого использования в прикладной и математической литературе.
Предлагаемый в данной статье порядок и методика изложения учебного материала дают возможность избежать и «обойти» ряд сложных и тонких мест при изучении экспоненциальной и логарифмической функций. В частности, отпадает надобность в обосновании существования степеней с иррациональными показателями и обоснование правил действий со степенями с иррациональными показателями; нет надобности и в обосновании существования логарифмов иррациональных чисел. Эти положения являются лишь следствиями определения логарифмической функции через определенный интеграл с переменным верхним пределом. Не вызывают сомнений и свойства непрерывности и дифференцируемости логарифмической и экспоненциальной функций,
Факультативные курсы
ПРОГРАММА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
К 1974/75 учебному году в издательстве «Просвещение» вышли сборники программ факультативных курсов, рекомендованные Главным управлением школ Министерства просвещения СССР.
Программы по математике, как и прежде, представлены в двух видах: «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики» и «Специальные курсы».
В программе «Дополнительных глав» учтено изменение содержания программы основного курса математики. Исключены темы: «Метод координат» (VII класс), «Множества и операции над ними», «Бесконечные множества», «Г еометрические преобразования»
(VIII класс), «Производная» (IX класс). Изучение материала этих тем предусмотрено в обязательном курсе. Темы, связанные с изучением множеств и операций над ними и первых
сведений об интеграле, оставлены в программе IX—X классов только на 1974/75, 1975/76 учебные годы, т. е. на время работы в старших классах по переходной программе.
В содержание тем «Арифметические основы электронных вычислительных машин» (VII класс), «Геометрические преобразования» (IX класс), «Сведения об ЭВМ», «Вычислительный практикум» (X класс) внесены изменения, учитывающие опыт проведения факультативных занятий.
Как извёстно, из новых программ основного курса математики средней школы исключена тема «Комплексные числа». Составители новых программ исходили из того, что в ранее действовавших программах эта тема была урезана и сохранение ее в том виде представлялось нецелесообразным. Было принято решение изучать комплексные числа на факультативных занятиях, расширив теоретическое содержание вопроса. В публикуемых программах предлагается изучение комплексных чисел в двух темах — в IX и X классах.
Включена в программу X класса и еще одна принципиально новая для школьного курса математики тема «Дифференциальные уравнения и их значение в естествознании» (X класс). Наличие в программе факультативных занятий этой темы отнюдь не означает, что
53
в школе должны изучаться какие-либо начала теории дифференциальных уравнений. Предполагается на примере двух уравнений — уравнения показательного роста и уравнения гармонического колебания — познакомить учащихся с принципом записи элементарных законов природы в виде дифференциальных уравнений и показать, как математики справляются с их решением, т. е. дать понятие о «математическом естествознании».
Программы специальных курсов «Вычисли^ тельная математика» и «Программирование» рекомендованы в прежнем объеме.
В соответствии с некоторым изменением программы факультативных курсов внесены коррективы и в список рекомендуемой литературы: перечень литературы пополнился вновь изданными книгами, исключены редкие издания прошлых лет, ставшие библиографиче-. ской редкостью, а потому практически недоступные основной массе учителей и учащихся.
Издательством «Просвещение» в 1974/75 учебном году вторым изданием выпускаются переработанные пособия для факультативных занятий (составители К. П. Сикорский, П. В. Стратилатов, 3. А. Скопец).
Дополнительные главы и вопросы
к систематическому курсу математики
VII КЛАСС (35 ч)
1. Дополнительные вопросы арифметики
целых чисел (12 ч)
Простые числа: делимость чисел, признаки делимости. Разложение чисел на простые множители, наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
2. Арифметические основы электронных
вычислительных машин (12 ч)
Позиционные системы счисления и их свойства (на примере десятичной системы счисления). Восьмеричная система счисления. Двоичная система счисления. Перевод целых и дробных чисел из двоичной системы в десятичную и обратно (на примерах).
Двоичная арифметика. Особенности вычитания и умножения двоичных чисел.
Элементарные сведения о выполнении арифметических операций на ЭВМ. Разбор функциональной схемы двоичного сумматора — основного счетного узла ЭВМ. Двоцчное сложение на сумматоре.
3. Симметрия (12 ч)
Теорема Шаля (любое перемещение на плоскости есть поворот, параллельный перенос или скользящая симметрия).
Группы симметрии конечных и бесконечных фигур (рассмотреть на примерах всех перемещений, отображающих данную фигуру на себя; составление таблиц их композиций; термин «группа» вводится на заключительных занятиях).
Заключительная беседа с демонстрацией симметрии в пространстве (примеры из кристаллографии).
4. Решение задач по всем разделам общего курса
(с включением заданий на использование пантографа и мензулы — 11 ч)
Примечание. Для занятий выбирают две из предлагаемых трех тем.
ЛИТЕРАТУРА1
К т е м е 1
«Факультативный курс математики 7—8 классов». Сост. Сикорский К. П. М., «Просвещение», 1974.
Виноградов Я. М * Основы теории чисел. М., «Наука», 1965.
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Башмакова Я. Г. Как люди считали в старину и как писали цифры).
Энциклопедия, элементарной математики, т. I*. Л., Гостехиздат, 1951.
Вагутен В. Н. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. «Квант», 1972, № 6.
К те м е 2
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 2. М., «Просвещение», 1964 (см.: Доморяд А. П. Счетные приспособления; Рейнберг М. Г. Электронные счетные машины), т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Соколов¬
ский Ю. Я. Электронные вычислительные машины).
Гутер Р. С. Вычислительные машины и системы счисления. «Квант», 1971, № 9.
Монахов fi. М. Системы счисления и арифметические устройства вычислительных машин. «Математика в школе», 1968, № 3, 4.
Яглом Я. М. Системы счисления. «Квант», 1970, № 6.
Монахов В. М. Программирование. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1973 (гл. III и IV).
Кальбертсон Д. Т. Математика и логика цифровых устройств. М., «Просвещение», 1965.
Фомин С. В. Система счисления. М., «Наука», 1964.
1 Работы, отмеченные знаком *, рекомендуются для учителя.
54
К теме 3
Болтянский В. Г., Яглом Я. М* Геометрия для IX класса средней школы. М., «Просвещение», 1964.
Болтянский В. Г., Яглом И. AL* Преобразования. Векторы. М., «Просвещение», 1964.
Вейль Г. Симметрия. М., «Наука», 1967.
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М.^ «Педагогика», 1972 (см.: Яглом И. М. Геометрические изображения; Геометрические преобразования).
Фетисов А. Я. Геометрия. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963.
Шубников А. В., Копцик В. А* Симметрия в науке и искусстве. М., «Наука», 1972. ,
Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М., «Просвещение»,
1972.
VIII КЛАСС (70 ч)
1. Геометрические преобразования (10 ч)
Скользящая симметрия. Вращение.
Подобие, гомотетия.
Сжатие к прямой. Эллипс и его уравнение.
Решение задач.
2. Дополнительные вопросы арифметики (10 ч)
Сравнения. Вычеты. Арифметика вычетов. Применение к выводу признаков делимости. Неопределенные уравнения.
3. Преобразования графиков функций (10 ч)
Функции, графики которых имеют ось или центр симметрии.
Функции, графики которых переходят один в другой при параллельном переносе в направлении оси Ох или Оу. Функции, графики которых переходят один в другой при сжатии к Оу или Ох. Последовательное применение нескольких преобразований при построении графиков функций.
4. Экстремальные задачи (10 ч)
Задачи на максимум и минимум с практическим содержанием. Понятие о задачах линейного программирования. Геометрическое решение задач линейного программирования с двумя переменными.
5. Номограммы (10 ч)
Простейшие примеры номограмм — номограмма сложения и умножения. Функциональные шкалы, их уравнения и построения.
Номограммы с параллельными шкалами.
Номограмма с криволинейной шкалой. Но* мограмма квадратного уравнения.
Решение задач с использованием номо-* грамм.
6. Решение задач по всем разделам общего курса (20 ч)
ЛИТЕРАТУРА
К т е м е 1
Болтянский В. Г., Яглом И. Af.* Преобразования и векторы. М., «Просвещение», 1964.
Фетисов А. Я. Геометрия. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963.
Яглом Я. М. Геометрические преобразования на плоскости. М., Гостехиздат, 1955.
К теме 2
Кроме литературы к теме I для VII класса рекомендуется:
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Нечаев В. Я. Простейшие неопределенные уравнения).
Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика? М., «Просвещение», 1967.
К теме 3
Гельфанд Я. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и графики. М., «Наука», 1965.
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Виленкин Я. Я. Функции в природе и технике).
Энциклопедия элементарной математики, т. III. Л., Гостехиздат, 1951 (см.: Гонча¬
ров В. J1. Элементарные функции действительного переменного).
«Алгебра. Учебное пособие для 6-го класса средней школы», под ред. А. Я. Маркушевича. М., «Просвещение», 1972 (дополнительные задачи к главам).
«Алгебра. Учебное пособие для 7-го класса средней школы», под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1973 (дополнительные задачи к главам).
«Алгебра. Учебное пособие для 8-го класса средней школы», под ред. А. Я. Маркушевича. М., «Просвещение», 1974 (дополнительные задачи к главам).
К теме 4
Натансон И. П. Простейшие задачи на максимум и минимум. М., Физматгиз, 1960.
Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика? М., «Просвещение», 1967 (гл. VII).
Савин А. Я. Максимум, минимум и теорема о средних. «Квант», 1970, № 11.
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Монахов В. М. Чем за¬
55
нимается теория линейного программирования).
Маргулис А. ЯРадунский Б. А. Познакомимся с линейным программированием. «Математика в школе», 1971, № 4.
К теме 5.
Глаголев А. А. Номография для школьников. М., Учпедгиз, 1959.
Пентковский М. В. Считающие чертежи. М., Физматгиз, 1959.
IX КЛАСС (70 ч)
1. Множества и операции над ними 2 (10 ч)
Множество решений уравнения и неравенства с одним и двумя переменными. Множество решений систем уравнений и неравенств.
Множество и его элементы (общие понятия). Объединение и пересечение множеств. Дополнение множества. Символические обозначения операций над множествами.
2. Натуральные числа и принцип математической индукции (10 ч)
Делимость, разложение на простые множители. Системы счисления.
Принцип математической индукции. Решение задач.
3. Численные методы решения уравнений (10 ч)
Метод итерации. Метод касательных. Нахождение корней уравнений с заданной степенью точности.
4. Геометрические преобразования на плоскости 2 (10 ч)
Движения (осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, вращение, скользящая симметрия). Преобразование подобия. Понятие о группе преобразований.
5. Геометрические преобразования (15 ч)
Теорема Шаля на плоскости и в пространстве. Преобразование подобия в пространстве. Проекции и аффинные преобразования плоскости. Группы преобразований. Решение геометрических задач.
6. Алгебраические уравнения любой степени (15 ч)
Делимость многочленов, теорема Безу, теорема о существовании корня (без доказательства), разложение многочленов на линейные множители. Решение „задач на составление уравнений и систем уравнений.
2 Рекомендуется для изучения в 1974/75 учебном
году. % ~
7. Комплексные числа (15 ч)
Комплексные числа. Сложение и умножение, вычитание и деление комплексных чисел. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Применение комплексных чисел к решению квадратного уравнения. Двучленные уравнения.
8. Решение задач по всем разделам общего курса (15 ч)
Примечание. Из первых семи тем учитель по своему усмотрению выбирает темы так, чтобы их изучение заняло 55 часов.
ЛИТЕРАТУРА
К т е м е 1
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Александров П. С. Понятие множества).
«Факультативный курс математики 7—8 классов». Сост. Сикорский К. П. М., «Просвещение», 1974.
Энциклопедия элементарной математики, т. I. Л., Гостехиздат, 1951 (см.: Проскуряков И. В* Множества).
Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М., «Просвещение», 1972.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. Стратилатов 77. В. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1974.
«Сборник задач по математике», под ред. 3. А. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971.
К теме 2
Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика? М., «Просвещение», 1967.
Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. ИМордко- вин А. Г. Метод математической индукции (IX класс). «Математика в школе», 1967, № 3.
Соминский И. С. Метод математической индукции. М., «Наука», 1974.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. Стратилатов П. В. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1974.
К теме 3
Виленкин Н. Я. Метод последовательных приближений. М., «Наука», 1965.
Соминский И. С. Элементарная алгебра (дополнительный курс). М., «Наука», 1967.
56
Ашкинузе В. Г., Шоластер Я. Я. Алгебра и
элементарные функции. М., «Просвещение»,
1964.
К темам 4, 5
Болтянский В. Г., Яглом И. М.* Преобразования и векторы. М., «Просвещение», 1964.
Энциклопедия элементарной математики, т. IV. М., Физматгиз, 1963 (см.: Яглом И. М. и Атанасян J1. С. Геометрические преобразования).
«Сборник задач по математике», под ред. 3. А. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971 (гл. 10).
К теме 6
«Математика. Факультативный курс.
X класс». Сост. Скопец 3. А. М., «Просвещение», 1970.
«Сборник задач по математике», под ред. 3. А. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971 (гл. 9).
К теме 7
Маркушевич А. Я., Сикорский К. Я., Черкасов Р. С. Алгебра ц элементарные функции, под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1968 (гл. XXI).
Виленкин Я. #. и др. Алгебра. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1968 (гл. V).
«Сборник задач по математике», под ред. 3. А. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971 (гл. 7).
X КЛАСС (70 ч)
1. Комплексные числа и тригонометрия3 (15 ч)
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муав- ра. Корни из единицы и двучленные уравнения.
Формулы Эйлера. Приложения к теории колебаний.
2. Сведения об ЭВМ (10 ч)
Представление о вычислительном процессе как процессе по обработке числовой информации по определенному алгоритму. Понятие об ЭВМ как устройстве для автоматической обработки информации. Составные блоки ЭВМ — ввод, вывод, память, арифметическое
3 Тема 1 рекомендуется для изучения с 1974/75 учебного года (предварительно должна быть изучена тема 7 из IX класса).
устройство, устройство управления. Назначение каждого блока при обработке информации.
Принцип программного управления ЭВМ. Понятие о решении задач на ЭВМ. Элементы программирования для машинных вычислений. Составление программы решения квадратного уравнения.
Беседа о применениях ЭВМ в народном хозяйстве.
3. Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики (18 ч)
Понятие вероятности. Подсчет вероятности как отношения благоприятствующих случаев к общему числу случаев.
Независимые испытания. Схема Бернулли. Треугольник Паскаля.
Формулы:
ci++'. = ci + c",+1: с; = с;-; с; + с;+= 2».
Бином Ньютона.
4. Интеграл4 (12 ч)
Первообразная функция. Определенный интеграл и его применение к определению площади под кривой. Формула Ньютона — Лейбница. Применения в геометрии и механике.
5. Интеграл (продолжение)5 (12 ч)
Интеграл как предел суммы. Натуральный
логарифм как —. Число е и показательная
функция ех при действительном х. Приложения.
6. Дифференциальные уравнения и их значение в естествознании 6 (10 ч)
Уравнение показательного роста и уравнение гармонического колебания.
Г еометрическая интерпретация уравнения первого порядка (поле направлений). Понятие о задачах с начальными условиями. Примеры дифференциальных уравнений.
7. Понятие о неевклидовых геометриях и об аксиоматическом методе в геометрии (10 ч)
Здесь могут быть рассмотрены избранные теоремы геометрии на сфере, рассказ учителя о геометрии Лобачевского и других системах геометрии.
4 Тему 4 рекомендуется изучать в 1974/75, 1975/76 учебных годах (после изучения производной).
5 Тему 5 изучают после темы 4.
6 Тема 6 изучается после темы 4 или темы 5.
57
8. Вычислительный практикум (10 ч)
Организация ручных вычислений по заданной формуле с использованием логарифмической линейки, таблиц, арифмометра. Составление вычислительной схемы расчетов по готовой формуле. Оценка точности получаемых результатов по правилам подсчета верных цифр. Вычисления с заданной точностью окончательного результата. Простейшие приемы контроля вычислений.
Линейная интерполяция,
9. Решение задач по всем разделам
общего курса (30 ч)
Это время может быть использовано концентрированно или распределено по разделам общего курса; внимание должно быть уделено стереометрическим задачам на развитие пространственных представлений.
Примечание. В X классе можно выбрать тему 4 или 5 и одну из тем 1—3, 6—8 так, чтобы общее время на изучение выбранных тем составило 40 часов.
ЛИТЕРАТУРА
К т е м е 1
Маркушевич А. И., Сикорский К. Черкасов Р. С. Алгебра и элементарные функции, под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1968 (гл. XXI).
Виленкин И. Я. и др. Алгебра. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1968 (гл. V).
«Сборник задач по математике», под ред. 3\ А. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971 (гл. 7).
К теме 2
Варпаховский А. С. Машина учится распознавать. «Квант», 1971, № 11.
Гутер Р. С. Язык человека и язык машины. «Квант», 1971, № 10.
Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Глушков В. М. Что такое кибернетика? Соколовский Ю. И. Электронные вычислительные машины).
Монахов В. М. Программирование. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1973.
Монахов В. М. Сведения об электронных вычислительных машинах. «Математика в школе», 1968, № 1,
К теме 3
«Математика. Факультативный курс.
X класс». Сост. Скопец 3. А. М., «Просвещение», 1970.
«Сборник задач по математике», под ред. 3. А. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971 (гл. 6).
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. * Элементарное введение в теорию вероятностей. М.— Л., Гостехиздат, 1957. 1
Гмурман В. Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. М., «Высшая школа», 1968.
«Математика в школе», 1968 (см.: Колмогоров А. Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику, № 2; Гнеденко Б. В., Жур- бенко И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика, № 2—3; Пичурин J1. Ф. Из опыта преподавания теории вероятностей и математической статистики, № 5).
Успенский В. Л.* Треугольник Паскаля.М., «Наука», 1967.
К темам 4 и 5
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. Стратилатов П. В. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1974.
Детская энциклопедия, т. 2 изд. 3. М., «Педагогика», 1972 (см.: Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Интеграл и производная).
Парно И. К. Интеграл в X классе средней школы. М., «Просвещение», 1970.
«Квант», 1972 (см.: Ионин Ю. И. Интеграл, № 6; Ионин Ю. И. Интеграл в геометрии и физике, № 10).
Маркушевич А. И. * Интегрирование. «Математика в школе», 1968, № 4.
«Математика. Факультативный курс. X класс». Сост. Скопец 3. А. М., «Просвещение», 1970.
«Сборник задач по математике», под ред.
3. Л. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971.
К теме 6
Вейц Б. £., Демидов И. Т. Алгебра и начала анализа, 9. Пробный учебник, под ред. Л. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1969;
1973.
«Сборник задач по математике», под ред.
3. Л. Скопеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971.
К теме 7
Яглом И. М. Геометрические преобразования, т. II. М., «Наука», 1966.
58
Каган В. Ф., Рыбкин Г. Ф. Лобачевский. БСЭ, т. 25.
Александров А. Д. Геометрия Лобачевского. БСЭ, т. 25.
Розенфельд Б. А.ч Халамайзер А. Я. Творец новой геометрии. «Квант», 1972, № 12.
Фетисов А. И. * Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. М., «Просвещение»,
1965.
Энциклопедия элементарной математики, т. IV. М., Физматгиз, 1963 (см.: Розен-
Внеклассная работа
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ
(Москва)
VIII ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Заключительный тур Всесоюзной олимпиады проходил в этом году в г. Ереване. 11 апреля в здании Ереванского государственного университета состоялось торжественное открытие олимпиады, на котором собравшихся приветствовал председатель жюри член-корр. АН СССР С. Я. Мергелян. Накануне, после обсуждений под руководством заместителей председателя жюри докторов физико-математических наук Р. А. Александряна и М. И. Башмакова, были окончательно сформулированы задачи олимпиады. Два дня — .12 и 14 апреля — проходили соревнования. Для 599 участников олимпиады особенно напряженным днем было 13 апреля: большая экскурсия по Армении, затем разбор задач и беседа с членами жюри по поводу работ первого дня (как обычно, участникам олимпиады были сообщены оценки: +, ± =F, 0, — и каждый имел возможность обсудить свою работу), встречи со школьниками Еревана. Для членов жюри самым тяжелым днем было 15 апреля: после проверки работ, разбора задач второго дня и окончательной корректировки оценок поздно вечером закончилось подведение итогов и были распределены награды победителям. На следующий день после утренних лекций и экскурсий в вычислительный центр и на предприятия, где разрабатываются вычислительные машины, состоялось торжественное закрытие олимпиады.
Математические впечатления участвовавших в олимпиаде не исчерпывались решениями предложенных задач. Нужно отметить инициативу группы москвичей — членов жюри, которые прочли целый ряд небольших математических лекций для участников олимпиады, рассказали десятиклассникам о различных вузах и приемных экзаменах, а для восьмиклассников провели несколько занятий импровизированного «математиче- ского кружка». Одна из бесед со школьниками называлась «Встреча с редколлегией журнала «Квант».
Обзорные лекции о современных достижениях топологии (задача о числе овалов) и алгебры (/(-теория) прочли в Ереванском университете победители прошлых олимпиад, а теперь известные математики и члены жюри
В. М. Харламов (Ленинград) Р Л. Я. Васерштейн (Моск-
фельд Б. А. * Сферическая тригонометрия).
К теме 8
Пулькин П. С. Вычислительная математика. М., «Просвещение», 1972.
Г утер Р. С., Резниковский П. Т., Резник С. М. Программирование и вычислительная математика. Вып. 1. М., «Наука», 1971 (гл. I и II).
К теме 9
«Математика. Факультативный курс. X класс». Сост. Скопец 3. А. М., «Просвещение», 1970.
ва). Как обычно, в программе олимпиады были предусмотрены совещания учителей — руководителей команд, лекции о новых программах, о B3MLLL В слаженной работе жюри кроме москвичей, ленинградцев и новосибирцев, составлявших его основной костяк, принимали участие математики из Еревана, Ярославля, Свердловска, Киева, Тбилиси. Олимпиаде были посвящены передача по армянскому телевидению и специальное приложение к газете работников просвещения «Советикан дпроц».
В табл. 1 и 2 отражены «технические результаты» олимпиады. В списках жюри каждый пункт* условия задач (а), б)) оценивался отдельно; иногда «минус с маленьким плюсом» ставился в тех случаях, когда был правильно угадан ответ, даже если не было высказано идей, достаточных для решения. Надо сказать, что жюри определенно предпочитает сравнивать результаты участников, имея перед глазами строчки из плюсов и минусов, а не сумму баллов (как на международных соревнованиях, где у членов жюри нет общего языка). В сомнительных случаях каждая работа обсуждается отдельно.
Разумеется, при определении победителей учитывалось не только количество решенных задач, но и их трудность.
Министерство просвещения СССР, Министерство просвещения Армении, газеты, журналы, общественные
Таблица 1
Класс
VIII
IX
X
Всего учеников
167
212
220
Награждено
100
97
105
В том числе:
I премией
7
0
4
II премией
12
10
15
III премией
15
14
18
похв. грамотой I степени
42
27
24
похв. грамотой II степени
34
46
44
Решили из общего чис¬
ла задач
11
7
8
9
5
0
0
8
3
0
1
7
1
0
3
6
11
0
И
5
10
9
14
4
12
15
13
3
32
27
36
2
34
41
27
1
33
64
48
0
26
56
67
59
Таблица 2
Количество учеников, решивших каждую задачу1
VIII класс
IX класс
X класс
N
+
±
Т
+
±
=F
+
±
1а)
96
47
0
49
32
9
40
7
11
16)
11
2
0
1в)
7
1
0(21)
2
32
16
17
41
11
10
135
4
7
За)
3
0
0
2
1
1(30)
35
0
12
36)
1
0
3
4
23
15
23
1
0
3
2
0
1
5а)
70
2
3
92
34
21
92
6
3
56)
46
7
0
6а)
45
17
36
23
2
3
7
1
1(131)
66)
10
0
2
7
15
4
И
24
7
7
38
0
3
1 В скобках указано количество учеников, нашедших только правильный ответ — в тех случаях, где он нетривиален.
и комсомольские организации Армении, Ереванский университет учредили специальные призы.
Призы за оригинальные решения задачи получили восьмиклассник Евгений Глейзер (г. Львов) и девятиклассники Борис Спокойный (г. Новокузнецк Кемеровской обл,) и Сергей Белоглазое (ст. Кишерть Пермской обл.). Сразу несколько призов получил победитель олимпиады по X классу, удачно выступавший на олимпиадах и в прошлом, Дмитрий Тюкавкин (г. Иркутск); он был единственным из участников, кому удалось правильно решить все задачи. Приз за лучший результат среди девушек получила восьмиклассница Татьяна Хованова (Москва), самым молодым среди победителей оказался двенадцатилетний Дима Литвиненко (г. Севастополь). Министерство просвещения СССР решило отметить призами по одному победителю в каждой из союзных республик; приз Министерства просвещения Армении учителю, ученики которого неоднократно бывали призерами Всесоюзной олимпиады и в прошлые годы, был вручен А. В. Столину (школа № 27 г. Харькова).
В этом году «география победителей» была достаточно широкой даже в старшем классе, где обычно больше сказывается преимущество школьников, живущих в крупных городах или принятых в специализированные школы-интернаты. Отчасти это, возможно, объясняется тем, что список задач хотя и был достаточно разнообразным, но не включал задач, при решении которых существенную помощь могли бы оказать дополнительные знания, знакомство с высшей математикой. Кроме довольно стандартной геометрической задачи (№ 5 для VIII класса, № 2 для IX и X классов) и общей для всех классов задачи № 7 о расстановке чисел — типично «олимпиадной» (удачная идея почти сразу приводит к решению),— почти все задачи требовали изобретательности в логических рассуждениях, критического анализа различных возможных вариантов. Содержательной в математическом отношении была общая для IX и X классов задача № 4 — наиболее трудная задача олимпиады.
Пожалуй, в этом году не было совершенно новых, оригинальных идей ни в решениях, известных жюри, ни в работах участников, но в общем результаты олимпиады вполне удовлетворительны, особенно в старшем классе. Ни одна задача не осталась нерешенной, и, что более важно, сравнительно мало участников допускали грубые ошибки, проявляли явное непонимание постановки задачи. Значительное большинство получили если
не грамоту, то по крайней мере один «плюс» в карточке с результатами. Правда, ничуть не лучше, чем раньше, было с оформлением работ, четкостью изложения решений.
По результатам Всесоюзной олимпиады с учетом «олимпийской биографии» учеников, как обычно, сформирована команда из восьми десятиклассников на Международную олимпиаду (в ГДР).
Победители олимпиады2
VHI класс
Дипломы I степени: Буров Юрий (№ 2, Москва, Фо- тиева 3. М.); Гончаров Александр (№ 13, г. Никополь Днепропетровской обл., Шупта М. И.); Литвиненко Дмитрий (№ 1, г. Севастополь, Купалова 3. А.); Оку- нев Олег (№ 122, г. Казань, Середа Г. М.); Соломяк Борис (ФМШ, Ленинград, Ионин Ю. И.); Финашин Сергей (ФМШ, Ленинград, Ионин Ю. И.); Хованова Татьяна (№ 444, Москва, Левина И. В.).
Дипломы II степени: Глейзер Евгений (№ 14, г. Львов, Гончарова 3. И.); Гусейнов Вилаят (№ 3, г. Нахичевань, Торосяи К. О.); Дегтярев Александр (№ 8, г. Камышин, Паринова В. А.); Хазанов Семен (№ 41, г. Куйбышев, Куров В. А.); Кленцын Алексей (№ 25, г. Ульяновск, Кутинов С. В.); Кормильченко Игорь (№ 2, г. Орджоникидзе, Иванова Н. Н.); Лукьяненко Сергей (ФМШ, Москва, Шершевский А. А.); Малышев Александр (№ 1, г. Курагин Красноярского края, Парамонова М. Т.); Мельник Алексей (№ 127, г. Новосибирск, Яруткин Ф. С., Теплякова Н. Е.); Панин Иван (ФМШ, Ленинград, Ионин Ю. И.); Пасс Юрий (№ 121, Ленинград, ИЬнова Н. В.); Федоров Вячеслав (ФМШ, Москва, Шершевский А. А.).
Дипломы III степени: Белов Евгений (№ 12, Оренбург, Макарова А. К.); Белошапко Александр (ср. шк. пос. Вышков Брянской обл., Козлова Е. В.); Беркалиев Заур (№ 1, г. Караганда, Коваленко В. В.); Даян Рубен (№ 42, г. Ереван, Петросян П. П.); Иванов Дмитрий (№ 6, г. Калинин, Иванова Л. Н.); Кашапова Аниса (№ 55, г. Уфа, Васильева Г. П., Перфило- ва М. В.); Кондаков Дмитрий (№ 22, г. Новосибирск, Клевакина М. А.); Ландман Евгений (№ 531, Ленинград, Князюк О. Н ); Леднев Вадим (№ 30, г. Ижевск, Анисимова Е. М.); Лейдерман Аркадий (№ 5, г. Моги- лев-Подольский Винницкой обл., Кроповницкая Г. В.); Морозов Игорь (№ 184, г. Горький, Елков Н.И.);Муха- меджанов Мурат (№ 110, г. Ташкент, Дорфман И. А.); Тимашин Сергей (№ 13, Кировоград, Рембецкая Н. И.); Щербич Юрий (№ 3, г. Могилев, Прохорова Т. Н.); Яцало Борис (№ 1, г. Морочно Ровенской обл., Бурячев- ская М. Н.).
IX класс
, Диплом I степени не присужден никому.
Дипломы II степени: Гейзель Владимир (№ 40, г. Новороссийск, Артемьева А. Д.); Гробдрук Константин (№ 26, Ворошиловград, Цейтлин В. А.); Карабегов Александр (ФМШ, г. Ереван, Степанян А. А.); Корнюшкин Александр (ФМШ, Москва, Дубровский В. Н., Лукашенко Т. Г., Пахомов В. Ф.); Музыкантов Алексей (№> 130, г. Новосибирск, Матизен В. Э.); Резников Александр (№ 145, г. Киев, Розенберг В. М.); Розен- штейн Борис (№ 8, г. Каменец-Подольский Хмельницкой обл., Хохлова Н. П.); Рыбасов Константин (ФМШ, г. Киев, Кованько И. Л.); Спокойный Борис (№ П, г. Новокузнецк, Хомяков Д. Н.); Шмелев Георгий '(№ 20, г. Ярославль, Молодкина А. М.).
Дипломы III степени: Байсалов Ержан (ФМШ, г. Алма-Ата, Толымбеков К. Е.); Бахмутский Илья (№ 52,
2 После фамилий учеников указаны номера школ и фамилии учителей.
60
г. Львов, Орач Б. Г.); Белоглазов Сергей (ср. шк.
ст. Усть-Кишерть Пермской обл., Калашников А. И.); Блох Александр (№ 27, г. Харьков, Столин А. В.); Бот- вич Дмитрий (№ 1, г. Обоянь Курской обл., Шаповалова Г. В.); Генкин Леонид (№ 40, Горький, Векслер В. Я.); Ефремов Олег (№ 10, г. Ангарск, Васильева В. А.); Кац Михаил (ФМШ, Москва, Дубровский В. Н., Лукашенко Т. Г., Пахомов В. Ф.); Кремзер Федор (ФМШ, г. Новосибирск, Новоселова Г. Т.); Осипов Андрей (№ 91, Москва, Горелик Е. М.); Продниекс Валдис (ср. шк. пос. Лиелварде ЛатвССР, Гавейка С. Я.)'» Романовский Евгений (№ 145, г. Киев, Розенберг В. М.); Черебатов Александр (№ 80, г. Омск, Марьина Н. Г.); Черкун Александр (№ 61, г. Тула, Гольцова Т. В.).
X класс
Дипломы I степени: Ананьевский Игорь (ФМШ, Ленинград, Ионин Ю. И.); Сивицкий Игорь (ФМШ, Ленинград, Ионин Ю. И.); Тюкавкин Дмитрий (№ 11, г. Иркутск, Зеленковская В. С.); Чернов Николай (№ 95, г. Кривой Рог, Сыч Л. П.).
Дипломы II степени: Бойко Виктор (ФМШ, г. Киев, Криволапое В. Ф.); Браилов Андрей (№ 2, Москва, Чувохина Г. А.); Владиславский Александр (№ 7, г. Красногорск Московской обл., Элисон Э. Д.); Вятчин Андрей (№ 1, г. Павлово Горьковской обл., Первич- ко Т. И.); Григорян Александр (№ 211, г. Баку, Абрамян Ф. С.); Гром-Мазничевский Платон (№ 145, г. Киев, Левтерова Н. П.); Гусаров Михаил (№ 30, Ленинград, Курсиш Т. И.); Данилов Леонид (ФМШ, Москва, Ивлев Б. М.); Козырев Виктор (ФМШ, Ленинград, Беккер Б. М., Ионин Ю. И., Харламов В. М.); Корнилов Петр (ФМШ, Москва, Рождественский В. В.); Лукьянец Николай (№ 116, г. Одесса, Перец Е. Е.); Перцель Владимир (ФМШ, Москва, Ивлев Б. М., Нестеренко Ю. В., Марков В. Т.); Поносов Аркадий (№ 9, г. Пермь, Царева Г. С.); Шустин Евгений (ФМШ, Ленинград, Куляндчик Л. Д.); Фомин Сергей (ФМШ, Ленинград, Ионин Ю. И.).
Дипломы III степени: Баум Михаил (ФМШ, Москва, Трушанина Т. Н., Комбаров А. Ф., Филиппов В. В.); Белоголов Игорь (№ 4, г. Канев Черкасской обл., Ярошенко В. В.); Берлин Александр (№ 3, г. Бобруйск БССР, Бененсон М. М.); Буяновский Александр (№ 28, г. Гомель, Шалупаева Л. А.); Данилов Василий (№ 3, г. Петушки Владимирской обл., Фатеева А. И.); Дубиц- кий Владимир (№ 239, Ленинград, Родионова Н. Ф.); Елисеев Сергей (№ 179, Москва, Нечаева Е. И.); Заславский Александр (№ 20, г. Калинин, Бурмистрова А. С,); Карапетян Ваагн (ФМШ, г. Ереван, Григорян Е. А.); Колдоба Александр (№ 20, Ворошиловград, Шутви- на Е. С.); Кристаль Александр (№ 30, Ленинград, Курсиш Т. И.); Макаричев Александр (№ 14, г. Львов, Гончарова 3. В.); Панченко Михаил (№ 5, г. Бровары Киевской обл., Извекова О. Е.); Паньков Виктор (№ 93, г. Минск, Морозова А. И.); Рейтсакас Александр (№19, г. Таллин, Петрова А. М.); Скляр Григорий (№ 27, г. Харьков, Столин А. В.); Старобинец Игорь (№ 82, г. Горький, Генералова А. И.); Щербина Николай (№ 80, г. Днепропетровск, Нузман Д. М.).
Условия задач
VIII класс
1. На карточках написаны числа, каждое из которых равно +1 или —1. Разрешается, указав три карточки, спросить: «Чему равно произведение чисел на этих карточках?» (сами числа нам не сообщают). Какое наименьшее число таких вопросов надо задать, чтобы узнать произведение чисел на всех карточках, если число карточек равно: а) 30; б) 31; в) 32? В каждом случае докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Ю. И. Ионин)
2. Среди чисел вида 36* — 5г, где k и I — натуральные числа, найдите наименьшее по абсолютной величи- . не. Докажите, что найденное число действительно наименьшее.
‘^Ф. Г. Ш л е й ф е р)
3.а) Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?
б) В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины диагоналей AD, BE и CF больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины больше 1?
(Н. X. А г а х а н о в)
4. Найдите все натуральные числа п и k, такие, что пп имеет k цифр, a kh имеет п цифр.
(Г. А. Гальперин)
5. На катетах СА и СВ равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны соответственно точки D и Е так, что |С£>| = |С£|. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D и С на прямую АЕУ пересекают гипотенузу АВ соответственно в точках К и L. Докажите, что \KL\-\LB\.
(Е. В. С а л л и н е н)
. 6. На шахматной доске 8X8 двое играют в игру «кошки-мышки». У первого одна фишка — мышка, у второго — несколько фишек — кошек. Все фишки ходят одинаково: вправо, влево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски; если кошка и мышка попадают на одну клетку, то кошка съедает мышку.
Играющие ходят по очереди, причем второй передвигает своим ходом всех своих кошек сразу (разных кошек можно при этом сдвигать в разных направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки стараются до этого ее съесть.
а) Пусть кошек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?
б) Пусть кошек три, но зато мышка имеет лишний ход: в первый раз она делает два хода подряд. Докажите, что мышка сможет убежать от кошек, каково бы ни было начальное расположение фишек.
(М. Л. Г е р в е р)
7. Можно ли расставить числа 1, 2, 3, ..., 100 в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
(А. И. П л о т к и н),
IX класс
1. Найдите наименьшее число вида 136fe — 5*1, где k и / — натуральные числа.
(Ф. Г. Ш л е й ф е р)
2. Даны две окружности радиусов R и г, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны.
(Е. В. С а л л и н е н)
3. По окружности написано 50 чисел, каждое из которых равно +1 или —1. Требуется узнать произведение всех этих чисел. За один вопрос можно узнать произведение трех стоящих подряд чисел. Какое наименьшее число вопросов необходимо задать?
(Ю. И. Ионин)
4. На плоскости даны п векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех п векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно зануме¬
61
ровать так, чтобы при всех & = !, 2, ..п выполнялось
следующее условие: сумма первых k векторов имеет длину не более 2.
(М. Л. Г е р в е р)
5. Найдите все трехзначные числа Л, обладающие следующим свойством: среднее арифметическое всех чисел, получающихся из числа А различными перестановками его цифр, равно А.
(Б. М. Ивлев)
6. Дан выпуклый многоугольник, в который нельзя поместить никакой треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно поместить в треугольник площади 4.
(М. Л. Г е р в е р)
7. Задача № 7 для VIII класса.
X класс
1. При каких действительных а, Ъу с равенство
\ах by + cz\ + \bx + су + az\ + |с* + ш/+ 6z| =
= \х\ + \у\ + М
верно для всех действительных *, у, г?
(А. И. Плоткин)
2. Дан квадрат ABCD. Точки Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причем |£P| = |£Q|. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ —
прямой.
(Н. Б. Васильев)
3. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовем точку особой, если более половины из соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
(А. М. Штейнберг)
4. Задача № 4 для IX класса.
5. На отрезке O^jc^I задана функция f. Известно, что эта функция неотрицательна и f (1) = 1. Кроме того, для любых двух чисел хх и х2 таких, что *1^0, *2^0 и Х\ +*2^1, выполнено неравенство
f(Xi +x2)^f(Xi) +f(x2).
а) Докажите, что какова бы ни была функция /» удовлетворяющая перечисленным условиям, для всех х будет выполнено неравенство f(x) ^ 2х.
б) Верно ли, что для всех х
f(x)s£ 1,9*?
(В. А. П о п о в)
6. Дан треугольник ABC площади 1. Пусть Аь Вх и Ci — середины сторон ВСУ АС и АВ соответственно. Какую минимальную площадь может иметь общая часть треугольников АХВ\СХ и KLM, если точки КУ L и М лежат соответственно на отрезках АВХу САХ и ВС{>
(Б. М. Ивлев)
7. Задача JSfe 7 для VIII класса.
Решения задач
VIII класс
1. Ответ: а) 10, б) 11, в) 12. Для того чтобы найти произведение, используя указанное количество вопросов, достаточно: а) разбить 30 чисел на 10 троек;
б) произведение первых семи чисел найти, перемножив aia2a3t а{аАа5 и ахаф1у а остальные 24 числа а8у ..., аъх разбить на 8 троек; в) произведение первых пяти чисел найти, перемножив а^аз, Я1Я2Я4 и a^as, а остальные 27 чисел разбить на 9 троек. Докажем, что, задав меньшее число вопросов* найти произведение нельзя.
62
В доказательстве, собственно, нуждается только случай
в), поскольку ясно, что каждое из чисел должно входить в одну из опрашиваемых троек — без этого произведение не узнать. Остается рассмотреть такой случай: про 32 числа задано 11 вопросов, причем одно из чисел ai входит в две тройки (из 11), скажем, ах^а$ и ахараЯу а каждое из остальных — одну тройку. Для двух наборов, отличающихся только знаками чисел ах, и аРу мы получим одинаковые ответы на все 11 вопросов, так что и в этом случае определить произведение за 11 вопросов нельзя.
2. См. задачу 1 для IX класса.
3. а) Ответ: не всегда. Построив на каждой стороне равностороннего треугольника со стороной 2 равнобедренный треугольник с основанием 2 и высотой 0,1, получим пример выпуклого шестиугольника, у которого все стороны больше 1, а диагонали не больше 2. Удивительно, что эту «качественную» задачу по геометрии решило так мало учеников!
3. б) О т в е т: всегда. Можно считать, что величина а угла между (AD) и (BE) не меньше 60°. (Действительно, если провести через одну точку прямые, параллельные (AD), (BE) и (CF), то величина одного из углов между соседними из трех проведенных прямых не меньше 60°.) Достроим треугольник BED до параллелограмма BEDK. Поскольку \DK\ — \BE\ =
= \AD\ =2 и ADK=а^60®, то \АК\^2У откуда \АВ\ + \ED\ = \АВ\ + \ВК\ > 2, т. е. \АВ\ > 1 или \DE\ ^ 1. Задачу правильно решил только Е. Глейзер.
4. Ответ: п и k одинаковы и равны 1, 8 или 9. Число N имеет т цифр, если выполняются неравенства Ю™-1 ^ N < 10т. Докажем, что ни ппу ни kh не могут иметь более 9 цифр. Если п ^ k и п ^ 10, то пп ^ 10n ^ 10* и пп имеет более k цифр. Осталось проверить, что 22 < 101, З3 < 102, 44 < 103, 55 < 104, 66 < 105, 77 < 10е, 107 < 88 < 108, 108 < 99 < 109.
5. Повернем треугольник ABC вокруг вершины С на 90° так, чтобы точка А перешла в В. Тогда Е перейдет в такую точку F £ (АС)У что [F£] || [CL] || [D/С] и [FC] £* [CD], поэтому [BL] ^ [L/C].
6. а) Ответ: можно. Поместим кошек так, чтобы мышка находилась на отрезке между ними, параллельном одной из диагоналей доски, и после каждого хода мышки передвигаем кошек так, чтобы по-прежнему мышка была на отрезке между кошками того же направления, а количество клеток между кошками сокращалось на единицу. Ясно, что эта стратегия — выигрышная для кошек: если мышка попадает на край доски, она тут же съедается одной из кошек, но даже если мышка не попадает на край, все равно ее съедят не более чем через d ходов, где d — количество клеток между кошками в начальный момент.
6. б) Проведем через мышку две прямые, параллельные диагоналям, и исключим клетки, стоящие на этих прямых. В одной из 4 оставшихся частей доски (верхней, правой, нижней или левой) нет ни одной кошки. Допустим, что кошек нет в верхней части (рис. 1). Тог-
И
ш
ш
1!
Я
ь
р
’ЯШ
НК
ж
да мышка может спокойно идти вверх: после каждого хода ни в верхней (относительно нового положения мышки) части доски, ни в примыкающих к этой части (по стороне) клетках не будет кошек.
Наши решения задач 6. а) и 6. б) годятся для досок пХ т любого размера (тип больше 2).
В этих задачах — так же как в задаче 1 — большую трудность представляло сформулировать и записать не просто правдоподобное рассуждение, а точное доказательство, охватывающее все возможные ситуации.
IX класс
1. Ответ: 11. Число Л = 136ft — 5г| оканчивается
цифрой 1 (если 36* > 5г) или 9 (если 51 > 36й). При k = 1, / — 2 число А — 11. Нужно доказать, что А Ф 1 и А ф 9.
Если 36* —5* = 1, то (6* + l)(6fe — 1) = 5*, но 6ft + I оканчивается цифрой 7 и не делится на 5. Если 5* — 36* = 9, то 36* 4* 9 = 5*; левая часть делится на 9 и не может быть степенью 5.
2. Пусть Oi и 02 — центры окружностей, Т — точка их касания, (К\К2)— одна из общих внешних касательных (| КхОх | - Я | К2021 — г), Р — ее точка пересечения с общей внутренней касательной (РТ) (тогда | КАр | = | TP I — | РКг I)- Рассмотрим пару точек А € [РКг) и At£[PK2), Для которых касательные (А#,) и (А2Вг) к окружностям Ог и 02, отличные от (КгК*), параллельны (JВ, и В2— точки их пересечения со второй общей внешней касательной к окружностям, рис. 2). Прямоугольные треугольники с одинаковыми острыми углами подобны:
ДО./^Р CSD Д РКгОг =ф I КгР м РКг I - Rr. (1) A AiKtOx А 0%К%А% | А1К11 • | КгА21 = Rr. (2^
Из (1) следует равенство | К\Р | — I РКг I = VRr, из (2) —- неравенство | АХК\ | + I К2А21 > 2 ifRr. Таким образом, длина отрезка AtA2, составленного из четырех отрезков АхКи КгР, РКг, К2А2, не меньше, чем 4 Rr» причем равенство достигается, если | ахК\ | — | K2A21 e /Rr- (Таким образом, ни одно из приходящих сразу в голову предположений, что | АХА21 минимально при (i4tBt) ± (OiO*) или при MjB,) X 1 (КгК2), неверно.)
Тонкость, которую не заметил никто из участников,
заключается в том, что при /?>3г величина YRr
— 2 г
оказывается больше | Кг^ Iе YRr ___ r ** Ч» гДе £ — точка пересечения общих внешних касательных, и «трапеция» АхА2В2Вх с | А\А21 = YRr получается само- пересекающейся; для настоящей трапеции (которая получается, если А% € IVCa^D» длина стороны А\А% в этом
случае больше 2 ■/Rr + q + — — yrRr 2r~(R — г) '
Таким образом, множество значений | A,AS | для трапеции AtA,B,Bt, удовлетворяющей условиям задачи:
„ ,— (Я + г)2
[4 у' Rr; оо [при 1/3 < Rlr < 3,] / Rr 2r _ .у ;
(/^ ry
оо [при fl/r>3 и ]■/Rr <2g<yzГЩ; °° 1ПРИ Rlr < 1 A-
3. Ответ: 50 вопросов. Чтобы узнать произведение всех чисел, нужно узнать произведения во всех 50 тройках стоящих подряд чисел и их перемножить (каждое число войдет в три тройки). Докажем, что если задано меньше 50 вопросов, то узнать знак произведения нельзя. Пусть знак хотя бы одной тройки вцадаз неизвестен. Сравним два набора чисел» в которых числа Яь Яз, «б, Д9, .. <*48 одинаковые, а остальные — различ¬
ные (рис. 3). Знак любой тройки чисел, кроме
один и тот же в обоих наборах, т. е. ответы на все заданные вопросы одинаковы. В то же время знак произведения всех 50 чисел в том и другом наборе различен, поскольку они отличаются в 33 местах.
Трудность этой задачи, по-видимому, для многих бш» ла в необходимости построить отрицание утверждешш с несколькими кванторами: «существуют 49 вопрс^ сов, такие, что для любого набора из 50 чисед +1 и —1 по 49 произведениям троек однозначно оореде» ляется знак произведения всех 50 чисел».
5. Пусть х, у, z — цифры искомого числа 100* + + 10у + z. Условие задачи приводит к уравнению, ко» торое после упрощений сводится к такому: 37 (х + у + + г) = 100* + Юг/ + z, или Тх = Зу + 4г. Остающий° ся перебор можно сильно сократить за счет соображе- ний делимости (так поступили примерно треть решивших задачу), например, переписав уравнение в виде 7(х — у) = 4(г — у), откуда или x = y = z = 0, нж z — у = 7, х — у = 4, или г — у — —7, х — у =—4 (разности между числами х, у, z по модулю не превосходят 9). Ответ: 15 решений (111, 222, ..., 999, 407, 518, 629, 370, 481, 592).
6. Из всех треугольников с вершинами, принадлежащими нашему многоугольнику, выберем треугольник ABC наибольшей площади. Любая точка нашего многоугольника принадлежит множеству точек М, для которых Sambc^Saabc—полосе с осью симметрии (ВС), граница которой проходит через точку Л, — а так« же двум другим аналогичным полосам (рис. 4)й
63
{М|5 д mac ^ 5л две} и {М|Sд мав ^ 5д л в с) Пересечение этих трех полос — треугольник, площадь которого равна 4Sa Лвс• Идея «выбрать треугольник наибольшей площади» содержалась во всех предложенных правильных решениях.
X класс
1. Ответ: два из чисел а, Ь, с, равны 0, третье ±1 (всего 6 решений).
Пусть равенство верно при всех х, у, г.
При х = у — z = 1 получим
\a + b + c\ = 1. (1)
При x=l,y = z = 0 получим
М + 1*1 + И = 1. (2)
При х = 1, у = —1, z = 0 получим
|а — Ь \ \Ь — с | + | с — а\ —2. (3)
Теперь заметим, что в (справедливом при любых а, Ь, с) неравенстве
\а + Ь + с\ < |а| + |6| + |с| (4)
равенство может достигаться, если числа ау Ь и с одного знака, точнее, если одновременно ab ^ 0, Ьс ^ О и ас ^0. В неравенстве
\а-Ь\ + \Ь-с\ + 1с —а! <2|а| +2\Ь\ +2\с\ (5)
равенство может достигаться, если ab ^ 0, Ьс ^ 0, ас 0.
Из (1), (2) и (3) следует, что в (4) и (5) достигаются равенства. Поэтому ab = Ьс = са = 0. Это может быть только в том случае, если два из чисел а, Ъу с равны нулю. Третье, как видно из (1) или (2), должно по модулю равняться единице. Проверка, что любой из указанных в ответе наборов действительно обращает указанное в условии равенство в тождество, очевидна.
Задача проверяет умение обращаться с неравенствами, содержащими несколько переменных, и требует ясного понимания «общего» утверждения с переменными как множества «частных». Большинство предложенных решений включало перебор ряда вариантов и поэтому требовало большой логической аккуратности. Ответ без обоснования не учитывался.
2. Пусть (ВН) пересекает |[AD] в точке F. Поскольку А РВС ^ A FAB (по катету и острому углу), [AF] ^ [РВ] ^ [BQ] и [DF] ^ [CQ], т. е. DFQC— прямоугольник. [ZDQ] и [FC] —диаметры окружности, описанной около этого прямоугольника, и так как /\
FHC = 90°, точка Н лежит на этой окружности, еле- /\
довательно, DHQ = 90°.
Задача имеет множество других геометрических и вычислительных решений. (Одно из них основано на том, что Q является образом D при подобном преобразовании, переводящем Ну Ву С соответственно в Я, Р, В.) Многие из предложенных решений были весьма нерациональны.
3. Назовем отрезки, соединяющие точки разного цвета, плохими. При перекрашивании особой точки число плохих отрезков уменьшается не менее чем на 1. Поэтому, как бы ни выбирались перекрашиваемые особые точки, перекрашивание удастся произвести лишь конечное число раз (не превосходящее первоначального количества плохих отрезков), после чего не останется ни одной особой точки.
По существу, все решения этой задачи основываются на той же идее: указывается числовая характеристика графа с красными и синими вершинами, которая при перекрашивании монотонно убывает.
4. Докажем, что если уже выбраны k первых век-
—>•
торов с суммой s, |s|<l, то из множества R оставшихся п — k векторов шожно выбрать либо один век-
-> -V '
тор а, либо два вектора b п с так, что прибавление
их к вектору 5 приводит к вектору длины не больше 1. Отсюда, очевидно, вытекает утверждение задачи.
Если в R имеется вектор, составляющий с 5 угол не *
меньше 120°, то его можно выбрать в роли а (по-
скольку | а | = 1, то | s + а | < 1).
-*■
Если же такого вектора нет, то в качестве Ь можно выбрать вектор из Rt составляющий с s = OS наибольший угол, а в качестве с — вектор ОС, располо-
женный с b = ОВ по разные стороны от прямой OS
—>
и из таких векторов составляющий с OS наибольший угол (рис. 5). Ясно, что все векторы из R не могут
,
лежать в одной полуплоскости вместе с s, поскольку по условию сумма всех п векторов равна 0. Поэтому
Рис. 5
нужные вектора b и с существуют, не лежат в одной полуплоскости с s, угол между Ь и s—тупой, а угол
—V —►
между b и с — больше 120°. Отсюда легко вывести (рассматривая крайние возможные положения b и с по
—v -V
и против часовой стрелки), что | s + Ъ | < >^2, а сум-
—v •> ^
ма Ъ + с составляет угол больше 120° с вектором s
(и, поскольку | b -f с | < 1, то | s + Ь -f с | < 1).
Из нашего решения видно, что константу 2 в условии можно заменить меньшей: 2. Более тщательное
исследование показывает, что наилучшей константой является ^5/2. Задачу решали разными способами, причем большинство неудач было связано с попыткой доказательства по индукции (ни одна из них не увенчалась успехом). Правильные решения задачи нашли трое учеников: Б. Спокойный, Д. Тюкавкин, Н. Чернов.
5. а) Из условия вытекает, что f(x) f(y) при х ^ у и 2f(x) ^/(2х). Пользуясь этим, последовательно получаем:
при X £ J-J-; l] / (х) < /(1) = 1 < 2х; эбще,
при /W<y/(2-v)<-^-<2jr
при и, вообще,
(k = 0, 1, 2,...).
Осталось заметить, что /(0) = 0. Таким образом, /(л:)< 2* при всех х £ [0; 1].
64
б) Ответ: вообще говоря, нет. Пример:
| 0, если 0
1, если < х < 1.
Эта функция удовлетворяет всем условиям, но / (0,51) > >1,9*0,51.
Задача проверяет прежде всего понимание общего понятия функции и обозначения / (;с) в применении к произвольной функции /.,
6. Обозначим точки пересечения [АХВХ] с [£К] и [LM] через I, и 12, [В,С,] с [КМ] и [KL] через Кг и Кг, [СХАJ с [ML] и [Af/CJ через Мх и М2 (рис. 6)
В
1 С, М21 \АК 1 \АВЛ\
| Af.Af, | ^ |/СС| ^ \ВХСХ\ “ и то I СгМ2 | < | МгМх | и
SA СХМ*КХ < SA MtM.Kt • Аналогично доказывается, что верны неравенства Ахимх ^ LiLlMs
SA BtK, £, < ЛГ.ЛГ.С, *
Обозначим нужную нам площадь пересечения треугольников АхВхСг и К^М через 5. Складывая почленно (1), (2), (3) и
°<SA KiLxMs
получим
SA AiBlClm~' S>
откуда 25 >SA Ai д Ci «= 1/4, т. e. S >1/8. Равенство 5 = 1/8 достигается, когда один из отрезков KL, LM и МК совпадает с медианой треугольника ABC.
Эта задача трудна тем, что напрашивающийся путь: двигать вершины /С, L, М так, чтобы площадь уменьшалась, — не приводит к цели, а вычислительное решение чрезвычайно громоздко (и не было доведено ни одним участником до конца).
7. Основные идеи решения: 1) собрать все четные числа в одну половину строки, все нечетные — в другую (тогда полусумма чисел из разных половин не целая, и заведомо не содержится между нцми); 2) повторить аналогичную процедуру в каждой половине (роль четных и нечетных чисел будут играть числа с разными остатками при делении на 4) и т. д. Точное доказательство можно оформить, например, с помощью индукции.
Докажем, что 2П чисел от 1 до 271 = N можно расставить требуемым, образом. Для п = 2 это очевидно: 1, 3, 2, 4 (можно начать и с п — 1: 1, 2). Предположим, что 1, ..., N — 2п расставлены как требуется:
Яь а2> • •Ялг-
Тогда 2n+I чисел от 1 до 2N можно расставить так (см. идею 1):
2аи.2а2, ..2aNt 2ai — 1, 2а2 — 1, ..., 2aN — 1.
О) Автор приносит глубокую благодарность членам жюри В. Л. Гутенмахеру, Ю. П. Лысову, Л. Г. Макар-Ли- манову и Ж. М. Рабботу, которые помогли написать короткие решения задач.
Г. А. ГАЛЬПЕРИН
(Москва)
ЗАДАЧИ XXXVII МОСКОВСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ
В феврале — марте 1974 г. проходила XXXVII Московская математическая олимпиада школьников. Количество участников олимпиады превосходило 6000, что значительно превышает цифры предыдущих лет и говорит о все большей популярности Московской олимпиады.
Оргкомитет Московской математической олимпиады под председательством профессора МГУ В. И. Арнольда провел огромную работу по отбору задач, проверке работ участников и разбору этих работ с самими участниками олимпиады.
В этом году I тур олимпиады был проведен только среди учащихся IX—X классов, а II—среди школьников VII—X классов. Заметим, что большинство задач оказалось посильным для участников. После II тура примерно треть участников была награждена похвальными отзывами, грамотами и специальными призами.
Ниже приведены условия задач (в скобках указаны их авторы) и краткие решения. Часть этих задач будет опубликована в журнале «Квант», поэтому к ним даны лишь указания.
3 Математик* в шоде Jft 6
I ТУР IX класс
1. Доказать, что число N = 100 ... 001, в записи которого 21974 -f 21000 —I нулей, является составным.
(Г. А. Гальперин)
Решение. Обозначим число Ю2*000 через а% а 2974 + 1 — через п. Тогда N можно записать в виде:
N - \02'*и+ 21000 + 1 - io2,000<2m+D + 1 - а" + 1.
Заметим, что л — нечетное число, а поэтому справедливо равенство:
ап -f Ьп = (а + Ь) (ап~г — ап~~2Ь + ап"~ъЬ2—... + Ьп~г),
откуда следует делимость а* + Ьп на а -j- Ь Следовательно, N = ап -Ь 1 делится на а + 1 = ю21иои \t а поэтому является составным.
2. Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.
(А. В. КлимпМ
Од
Решение. Докажем, что если площадь треугольника больше 1, а он расположен в круге радиуса 1, то центр круга находится строго внутри треугольника. Действительно, все высоты треугольника строго больше 1, поскольку каждая сторона не больше 2 — диаметра круга, а площадь треугольника больше 1. Следовательно, данный треугольник является пересечением трех полос (рис. 1), ширина каждой из которых строго больше 1, а поэтому содержит внутри себя центр круга.
Рис. 1
Если же в круг радиуса 1 помещены два треугольника, площадь каждого из которых больше 1, то оба они содержат внутри себя центр круга и, следовательно, накладываются друг на друга.
3. Две одинаковые шестеренки имеют по п2 — п + 2 зубцов. Их совместили, и спилили одновременно п пар зубьев (п = 6). Доказать, что одну шестеренку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубьев одной шестеренки окажутся целые зибья второй шестеренки.
(А. В. Климов)
Решение. Всего существует п2 — п -f* 1 таких поворотов верхней шестеренки относительно нижней, при которых все зубцы обеих шестеренок оказываются совмещенными. Назовем «дыркой» то место шестеренки, где отсутствует зубец. Рассмотрим произвольную «дырку» нижней шестеренки. Ровно при п — 1 положении верхней шестеренки (кроме исходного) над этой «дыркой» оказывается «дырка» верхней шестеренки. Но «дырок» на нгжней шестеренке п, поэтому из п2 — п -+• 1 поворотов верхней шестеренки только при п(п—1) из них наблюдаются совпадения «дырок» обеих шестеренок. Поскольку (п2 — п+ 1)—п(п—1) = 1, найдется такой поворот верхней шестеренки, когда совпадения «дырок» не будет. Этот поворот — искомый.
4. Из отрезков, длины которых равны а, b и с, можно построить треугольник. Доказать, что из
отрезков с длинами Т+с9 ТГ+Ъ тоже мож¬
но построить треугольник.
(С. В. Конягин)
Решение. Числа а, Ъ и с удовлетворяют неравенствам a -f £ > с, 6 + с>а, с + а>Ъ. Поскольку
1 1 . 1
а + с ^ (а + Ь) + (а + Ь) ’ b + с > + (а +Ь)'
1
то, складывая эти неравенства, получаем +
1 1
b + с ^ a -J- Ь*
Аналогично доказываются и неравенства
1 _1 1 1 1 1
а с ^a-{-b^b-{-c' а + b ^ Не + c ’
Это и означает, что треугольник со сторонами д -_р— >
1 1 с * можно построить.
5. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходномупричем соответственные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в многоугольник можно вписать окружность.
(А. Л. Тоом)
Решение. Разобьем полоску ширины 1 вокруг многоугольника на прямоугольники, построенные на его сторонах, и «уголки» около вершин (рис. 2). Из «уголков» составим многоугольник, подобный данному: его
Рис. 2
стороны равны разностям сторон первоначального и полученного многоугольников, а углы конгруэнтны соответственным углам исходного многоугольника. Но в последний многоугольник, очевидно, можно вписать окружность радиуса 1. Значит, и исходный многоугольник является описанным.
X класс
1. Доказать, что для любого 13-угольника найдется прямая, содержащая только одну его сторону, однако при любом п > 13 существует п-угольник, для которого это неверно.
(С. В. Конягин)
Решение. Рассмотрим все прямые, на которых лежат стороны 13-угольника. Предположим, что на каждой из них лежит не менее двух сторон 13-угольника, тогда количество этих прямых не больше 6. Каждая из прямых пересекается поэтому не более чем с пятью другими, и, следовательно, на каждой прямой лежит не более 5 вершин 13-угольника. Но стороны, лежащие на произвольной прямой, не пересекаются и не имеют общих вершин, и, значит, их не более двух на этой прямой. Стало быть, всего сторон не более 12, а их, по условию, 13. Поэтому исходное предположение противоречиво, а значит, хотя бы на одной из прямых расположена только одна сторона 13-угольника.
65
Построение четноугольников с требуемым свойством просто (см. рис. 3, а) построение нечетноугольников можно начать с 15-угольника (рис. 3,6), а затем отрезать четное число углов так, как это показано на рис. 3, о.
Четноугольник
<2)
Пятнайцатицгольник Семнадцати угольник
Рис. 3
2. См. IX класс, задача 3 (в формулировке для X класса указывалось, что п — 10).
3. См. IX класс, задача 4.
4. См. IX класс, задача 5.
5. На кубе отмечены его вершины и центры всех граней, проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?
(Г. А. Гальперин)
Решение. Заметим, что, двигаясь по отрезкам диагоналей, мы попадаем всякий раз из вершины в центр грани и наоборот, т. е. вершины и центры граней чередуются. Если бы искомый обход куба существовал, то число вершин отличалось бы от числа граней не более чем на 1, но 8—6 = 2, 2 > 1. Следовательно, ответ на вопрос задачи отрицательный.
II ТУР VII класс
1 Точка внутри правильного шестиугольника со стороной 1 соединена со всеми его вершинами. Доказать, что среди треугольников, на которые разбивается шестиугольник, найдутся два таких, что все их стороны будут не меньше 1.
(А. В. Климов)
Указание Центр шестиугольника принадлежит одному из шести имеющихся треугольников, и у этого треугольника все стороны не меньше 1, так как каждый его угол при основании, длина которого равна 1, не меньше 60°. Очень просто показать, что один из двух треугольников, имеющих общую сторону с рассмотренным треугольником, также имеет стороны, не меньше 1.
2. На прямой расположено 100 точек. Найти наименьшее число середин всевозможных отрезков с концами в этих точках.
(В. Н. Печковский)
См. решение задачи 3 из VIII класса.
3. Сколько сторон может быть у выпуклого многоугольника, все диагонали которого имеют равную длину?
(Г. А. Гальперин)
Решение. В правильном четырехугольнике и пятиугольнике длины всех диагоналей равны. Покажем, что ни в каком многоугольнике с числом сторон не меньшим 6 все диагонали не могут быть конгруэнтны.
Предположим, нашелся я-угольник (п ^ 6), у которого диагонали конгруэнтны. Рассмотрим его сторону АВ и две, не являющиеся соседними, вершины С и D такие, что ofpe3KH AD и ВС — диагонали четырехугольника ABDC. Тогда (используя неравенство треугольника) получаем, что \AD\ + \ВС\ > \АС\ + \BD\, хотя было предположено выполнение равенств: \АС\ = = |СВ| = \BD\ = |£М|. Тем самым утверждение доказано. Ответ: данный многоугольник может иметь 4 или 5 сторон.
4. В каждой из трех кучек находится несколько стек- лянных шариков. Мальчик, располагающий неограниченным запасом шариков, может за один ход взять по одному шарику из ^каждой кучки или же добавить из своего запаса в одну из кучек столько шариков, сколько в ней уже есть. Доказать, что за несколько ходов мальчик может добиться того, что в каждой кучке не останется ни одного шарика.
(С. В. Конягин)
Решение этой задачи мы здесь не приводим, так как она аналогична задаче 1 из VIII класса,
VIII класс
1. В клетках прямоугольной таблицы, имеющей 8 строк и 5 столбцов, расставлены натуральные числа. За один ход разрешается удвоить все числа одной строки или же вычесть 1 из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, что все числа таблицы станут равными нулю.1
(С. В. Конягин)
Решение. Рассмотрим сначала один столбец. Несколькими вычитаниями 1 из всех чисел этого столбца добьемся того, чтобы наименьшее число в нем оказалось равным 1. Теперь все строки, содержащие 1, удвоим, а затем вычтем из всех чисел нашего столбца по 1. Тем самым мы смогли единицы столбца не изменить, а все большие числа уменьшить на 1. Действуя таким образом и далее, мы вскоре сумеем сделать все числа столбца равными 1, а потом вычитанием единицы получить 0 в каждой его клетке. Аналогичную процедуру проделаем и со всеми остальными столбцами.
2. См. VII класс, задача 3.
3. На плоскости расположено п точек. Найти наименьшее число середин всевозможных отрезков с концами в этих точках.
(В. Н. Печковский)
Решение. Обозначим через А л' В точки, расстояние между которыми наибольшее из всех возможных расстояний между данными точками. Соединим точку А со всеми точками, кроме точки В. Середины полученных п — 2 отрезков не совпадают (иначе совпадали бы вторые концы отрезков) и лежат в круге радиуса 1/2* |Л5| с центром в точке А. Аналогичное рассуждение, проведенное для точки В, дает еще п — 2 середины, лежащие в круге радиуса \/2-\АВ\ с центром в точке В (поэтому они не совпадают с серединами первых п — 2 отрезков с концом в точке А). Построенные
1 Сходство задачи 4 (VII класс) с задачей 1 (VIII класс) станет заметнее, если в формулировке первой из них указать таблицу, содержащую одну стрс ку и три столбца.
3*
о/
круги с центрами в точках А и В имеют ровно одну общую точку — середину отрезка АВ. Итак, мы явно указали (п — 2) + (п — 2) + 1 =2п — 3 середин отрезков; если же точки располагаются на прямой на равных расстояниях друг от друга, то число середин всевозможных отрезков опять-таки равно 2п — 3. Значит, наименьшее число середин всевозможных отрезков 2п— 3.
4. Дан выпуклый пятиугольник, все внутренние углы которого тупые. Доказать, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на этих диагоналях, как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
(Н. X. Агаханов)
Решение. В пятиугольнике ABCDE зафиксируем вершину А, проведем диагонали АС и AD и построим на них как на диаметрах круги с центрами в точках 01 и 02. Эти круги покрывают треугольники ABC и AED, поскольку углы ABC и AED тупуе. Если один из углов ACD или ADC тупой, то один из кругов с центром в точке Oi или 02 покрывает треугольник ACD. Если углы ACD и ADC не тупые, то круг с центром Oi покрывает треугольник ЛЯС, а круг с центром 02 — треугольник AHD, где Я — основание высоты АН в треугольнике ACD (точка Я лежит на отрезке CD). Тем самым круги с центрами Оi и 02 полностью покрывают весь пятиугольник.
Замечание. Утверждение задачи справедливо для произвольного пятиугольника, а не только такого, у которого все углы тупые. Однако доказательство существенно усложняется, а произвольное фиксирование вершины А уже не годится.
5. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Доказать, что из них можно выбрать несколько, сумма которых равна 100.
(Г. А. Гальперин)
Решение. Если все числа равны друг другу, то каждое из них — 2, а пятьдесят таких чисел в сумме составляют 100.
Пусть теперь среди данных 100 чисел аи a2i ..., ai0о имеются хотя бы два различных: ах и а2. Рассмотрим сто следующих чисел: аи а2, а\ + а2, ах + а2 + аз, •.
ах + а2 + • • • + Докажем, что одно из них (или разность двух) делится ня 100; поскольку это число строго больше 0 и строго меньше 200, оно в точности равно 100. Для доказательства делимости на 100 рассмотрим последние две цифры чисел последовательности. Среди получившихся двузначных чисел (к однозначным чисаам припишем слева 0 и будем считать их двузначными) либо встретится 00 — и тогда делимость доказана, либо найдется пара одинаковых двузначных чисел. Во втором случае эта пара не (аь а2), поскольку fli Ф а2, и каждое из них не больше 100. Но тогда разность чисел этой пары является суммой вида аь+1 + Яа+2 + • •. + ап, которая кратна 100, а по сделанному выше замечанию она равна 100.
IX класс
1. Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число 1,2,3,... можно единственным способом представить в виде разности чисел этой последовательности?
(С. В. Конягин)
Указание. Такая последовательность существует. Покажем лишь, как ее строить, а то, что она удовлетворяет всем требованиям задачи, проверять не будем: этс^ делается несложной индукцией.
Числа в последовательности будут располагаться парами. Первая пара: ах = 1, а2 — 2. Пусть мы смогли построить k пар чисел с выполнением всех условий; построим k + 1 -ю пару следующим способом^ Рассмотрим
всевозможные разности, реализуемые среди имеющихся k пар чисел, и обозначим через d наименьшую разность, которая еще не реализовалась. Положив теперь я2*+1 = 2a2h + 1, a2k+ 2 = a2k+1 + d, получаем требуемую последовательность.
2. Доказать, что в произвольном выпуклом 2п-уголь- нике найдется диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
(С. В. Конягин)
Решение. Число диагоналей у выпуклого 2л-уголь- ника равно-—* 2п(2п — 3) = п(2п — 3). Сколько диагоналей могут быть параллельны фиксированной стороне 2л-угольника? Сторона соединяет две вершины многоугольника, а из оставшихся (2п — 2) вершин хотя бы одна не принадлежит какой-то диагонали. Но количество вершин, являющихся концами диагоналей,— четно (у отрезка два конца), поэтому диагонали соединяют не более (2п — 4) вершин. Значит, диагоналей, параллельных одной стороне, не более-^.(2п — 4). Общее же количество диагоналей, каждая из которых параллельна хотя бы одной стороне, не более 2п • -i- (2л — 4) =
= п(2п — 4). Следовательно, найдется не менее п(2п — 3)—п(2п — 4) = п диагоналей, не параллельных ни одной из сторон.
3. Дано несколько гирь, вес каждой из которых выражается натуральным числом. Известно, что их можно разбить на К равных по весу групп. Доказать, что не менее чем К способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на К равных по весу групп.
(С. В. Конягин)
Решение. Назовем гирю существенной, если, убрав ее, мы не сможем разбить оставшиеся гири на К равных по весу групп. Все прочие гири будем называть несущественными.
Предположим, что утверждение задачи неверно, т е. что существенных гирь меньше К. На основе этого предположения ниже будет получен абсурдный результат: при всех натуральных п вес любой несущественной гири кратен Кп, т. е. делится на сколь угодно большое число. (Такая ситуация возможна, если только вес гири равен 0, но по условию это не так.)
Этот результат докажем по индукции.
Для п — 1 он верен. В самом деле, вес всех гирь делится на К, убрав какую-то несущественную гирю, можно оставшиеся гири разбить на К равных по весу групп (по определению несущественной гири). Следовательно, вес убранной гири делится на К1.
Пусть результат верен для п = m (вес любой несущественной гири делится на К™). Докажем его для п = т + 1.
По предположению, существенных гирь меньше К, следовательно, существует группа, все гири в которой — несущественные. (Если бы не было такой группы, то в каждой из К групп имелась бы существенная гиря, что противоречило бы предположению.) Вес группы из несущественных гирь кратен Кту всего групп /С, а вес любых двух групп одинаков. В силу этого вес всех гирь кратен К-Кт = Кт+\ что выполняется и до того, как убрана несущественная гиря, и после. Значит, вес несущественной гири делится на Km+l. Таким образом, результат доказан, а из его противоречивости следует, что исходное предположение неверно. Тем самым доказана справедливость утверждения задачи.
4. [Л£>] и [££] — биссектриса треугольника ABC. Известно, что \АС\ > 1БС1. Доказать, что \АЕ\ > > |£>£| > \BD\.
(Г. А. Гальперин)
66
Указание Воспользоваться теоремой о том, что биссектриса делиг сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилегающим к ним сторонам. Провести среднюю линию, параллельную АВ, и рассмотреть нескЪлько треугольников; воспользоваться тем, что против большей .стороны в треугольнике лежит больший угол.
X класс
1. Доказать, что в десятичной записи чисел 1974” + 2п и 1974п содержится одинаковое количество цифр.
(С. В. Конягин)
Решение. Количество цифр десятичной записи числа 1974п не менее 3п (п — натуральное, 1974n^ 10371). Пусть десятичная запись числа 1974п содержит k цифр, тогда 10*-1 < 1974п ^ 10*. Предположим, что в числе 1974" + 2П больше цифр, чем в числе 1974п, тогда 1974п + 2П ^ 10*. Легко видеть, что 197471 = = 987П*2П, т. е. 1974” -f 2п = 2п (987n + 1) и ^ Зп > п\ поскольку 10* делится на 2П, имеем 987п < 2*~п-5* ^ 987n + 1. Следовательно,
« 987» + 1, (1)
k — п^2п. Если п ^ 2, то 2*_п-5* делится на 8, но 987n + 1 не кратно 8 (дает в остатке 2, 4 или 6). Поэтому равенство (1) не выполняется. Не выполняется оно и при п=1. Утверждение доказано.
2. См. IX класс, задача 1.
3. Шарообразная планета окружена 37 точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдется точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов.
(А. В. Климов)
Решение. Проведем через центр планеты и любую пару астероидов плоскость я (будем считать ее экваториальной). Проведем ось планеты, перпендикулярную экваториальной плоскости. Она пересекает поверхность планеты в «полюсах» iV в S. Проведем через точки N и 5 касательные плоскости, параллельные экваториальной. Из точки iV видны только астероиды, находящиеся выше верхней касательной плоскости, а из точки S видны только астероиды, находящиеся ниже проведенной через S плоскости (рис 4) Если из каждого полюса видно более 17, т. е. по крайней'мере 18 астероидов, то всего астероидов должно быть не меньше 2-18 + 2 = = 38, что противоречит условию.
4 .На конгресс собрались ученые, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющих на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдется ученый, который имеет ровно одного друга.
(С. В. Конягин)
Решение. Пусть на конгреесе присутствуют п ученых. Рассмотрим ученого с максимальным числом друзей (если таких нисколько, рассмотрим одного из них). Все его друзья имеют различное число друзей, больше нуля, но не больше п. Таких возможностей п:
1, 2, 3, я, следовательно, все они реализуются. Поэтому существует, в частности, ученый, имеющий ровно одного друга, что и требовалось доказать.
5. Прямоугольный лист бумаги размером А^В разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел А или В целое.
(А. В. Климов)
Одно из возможных решений заключается в доказательстве утверждения по индукции.
Указание. Индукция ведется .по сумме целых частей чисел А и В: [А] -f- [В]2.
Для [А] +[^] =1 все очевидно, поскольку исходный прямоугольник вырождается в отрезок длины 1.
Предположение индукции: утверждение задачи справедливо для [А] + [В] = п, т. е. если [А] + [£] = пу то одно из чисел А или В обязательно целое. Используя предположение индукции, можно доказать утверждение задачи для [А] + [В] = п + 1.
Доказательство этого факта разбиваем на два случая. Сначала считаем, что к нижней стороне исходного листа бумаги все прямоугольники примыкают своими неединичными сторонами. Второй, более сложный, случай заключается в том, что мы предполагаем существование прямоугольника, примыкающего к нижней стороне листа своей единичной стороной.
2 Целая часть числа А, [Л], это такое наибольшее целое число, которое не превосходит А.
С. С. ГАМИДОВ
(г. Баку)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА»
Натуральные числа обладают разнообразными и интересными свойствами, которые находят применение в устных вычислениях. Изучение учащимися IV—V клас¬
сов свойств натуральных чисел играет важную роль в развитии логического мышления школьников.
Еше в начальных классах учащиеся знакомятся с различными последовательностями, составленными из натуральных чисел.
В IV классе (как на уроках, так и на занятиях кружка) можно предлагать упражнения на нахождение суммы членов последовательности натуральных чисел. В пособии для учителей «Сборник упражнений
69
по математике»1 имеются такие упражнения (№ 108, 366, 1559 и т. д.), но там не указано, каким способом надо их выполнить. В связи с этим в предлагаемом материале (разделенном по занятиям) мы указываем способы решения таких упражнений и кратко описываем методику работы над ними.
I занятие
Сумма первых п натуральных чисел
Сначала предлагаем учащимся следующую задачу.
1. Имеется 9 ящиков с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число предметов в каждом ящике равно его номеру. Сколько всего предметов во всех ящиках?
Учащиеся записывают сумму: 1 +2+3+4+5+
+ 6 + 7 + 8+ 9 и путем последовательного сложения находят ответ.
Теперь усложняем задание.
Допустим, что таких ящиков 50, сколько всего предметов в этих ящиках?
Учащиеся попытаются найти сумму 1 + 2 + ... +
+ 49 +50, так же, как и в первом случае, и замечают, что такой способ вычисления нерационален. Способ быстрого вычисления искомой суммы можно разъяснить на первой задаче.
Напишем данные числа подряд, а под ними те же числа в обратном порядке (см. табл. 1).
Таблица 1
1|2|3|4|.5|6|7|8|9
9 I 8 I 7 I Ч 5 I 4 I 3 I 2 I 1
Складываем числа в каждом столбце. Учащиеся убеждаются, что сумма чисел каждого столбца равна 10 и, поскольку 10 повторяется 9 раз, сумма всех чисел из таблицы 1 равна 10-9 = 90. Но так как в таблице 1 каждое число взято дважды, выражение (1 +9) *9 является удвоенной суммой чисел от 1 до 9. Следовательно: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= (1+9) *9:2 = = 10-9:2 = 45.
Указываем, что здесь 10 есть (Гумма первого и последнего слагаемых, а 9 — число слагаемых.
Закрепление можно провести на аналогичном упражнение
2. Найти сумму первых п натуральных чисел, если:
а) п = 20; б) п = 40; в) п — 103.
3. Найти сумму первых п натуральных чисел:
1 + 2 + 3 + ... + (я — 3) + (я — 2) + (я — 1) + я*
Для решения составляем таблицу 2 и, рассуждая так же, как и в первом случае, находим п сумм, каждая из которых равна п + 1.
Таблица 2
• 1
12 1
13
4 i
|...|
м
[ л—2
п—1
п
л
п— 1
л—2
л—3
• • *
4
3
2
1
п+1
1 п1
л+1
л+1 |
••■1
/2+1
Л+1
л+1
Л+1
Итак: 1 + 2 + 3+’...+ я — (я + 1) -я: 2.
Чтобы найти сумму п последовательных натуральных чисел, достаточно сумму первого и последнего слагаемых умножить на количество слагаемых и полученное произведение разделить на 2.
1 С. А. Пономарев и др. Сборник упражнений по математике для 4—5 классов. ЛЦ «Просвещение», 1971,
II занятие
Сумма натуральных чисел в данном промежутке
1. Найти сумму целых чисел от 20 до 29 (включительно).
Приведем под буквами а — в три способа решения этого упражнения.
а) В данном промежутке натурального ряда десять чисел. Каждое из них можно представить в виде 20 + я, где п = 0, 1, 2,..., 9. Поскольку 1+2 + ... + 8 + 9 = = 45, имеем: 20 + 21 + 22 + ... + 29 = 20-10 + 45 =
= 245.
б) Найдем суммы: 1+2 + 3 + ... + 29 и 1+2 + + 3 + ... + 19, из первой суммы вычтем вторую
(1 + 29) *29 : 2 — (1 + 19) -19 : 2 = 245.
в) Воспользуемся способом, разобранным на первом занятии:
20 + 21 + ... + 29 = (20 + 29) 10:2 = 245.
2. Найти сумму: а) всех двузначных чисел; б) всех трехзначных чисел; в) всех чисел oi 50 до 100; г) чисел второй сотни; д) чисел первой тысячи.
III занятие
Сумма первых п четных чисел
Прежде всего учитель показывает учащимся, что всякое четное число можно написать в виде 2я, где /г 6 N.
Изложение темы целесообразно начать с конкретного примера.
1. Найти сумму первых девяти четных чисел.
Напишем подряд все целые числа от 1 до 9, а под ними — первые девять четных чисел (см. табл. 3).
Таблица 3
1
1 2
1 3
1 4
1 5
6
1 7 1
8
9
2
1 4
1 6
1 8
1 10
12
1 14 1
16
18
Сумма чисел первой строки в таблице 3 равна (1+9) *9:2, а каждое из чисел второй строки вдвое больше стоящего над ним числа первой строки. Значит, 2 + 4 + 6 + 8 + 10+12+ 14+16 + 18 =
9 слагаемых
= (1 + 9)* 9:2-2 = (1 +9).9.
2. Найти сумму первых шести четных чисел. Решение. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (6 + 1 )*6.
6 слагаемых
После этого предлагаем учащимся решить эту задачу в общем виде.
3. Найти сумму первых п четных чисел.
Рассуждая так же, как и в случае I, учащиеся нахо¬
дят ответ:
2 + 4 + 6+ ... +2л = п(п + 1). (1)
п слагаемых
Для вычисления суммы первых п четных чисел достаточно число слагаемых умножить на непосредственно
следующее за ним натуральное число.
IV занятие
Сумма первых п нечетных чисел
Разъяснив учащимся способ записи нечетного числа
в общем виде: 2п — lt где п £ N, переходим к упраж-
кшиш.
70
I. Вычислить сумму первых пяти нечетных чисел. Выполнить это упражнение помогает таблица 4.
Таблица 4
1
3
5
7
1 9
2
4
6
8
1 10
Сравнивая числа в каждом столбце, видим, что нечетное число на 1 меньше соответствующего четного числа.
Так как 2 + 4 + 6 + 8+10 = 5-(5+1), то 1+3+- + 5-f 7 + 9 = 5*(5+- 1) — 5 = 5*5 + 5 — 5 = 52.
2. Найти общую формулу для вычисления суммы п первых нечетных чисел.
Решение очевидно из таблицы 5 и формулы (1),
Таблица 8
-1
1 3
• 1
1 7
. . . | 2л — 1
2
1 4
6
1 8
...| 2я
Следовательно,
1+3 + 5+ ... + 2л — 1 = л*(л + 1) — /г = /га.
п слагаемых
Упражнения
Найти суммы:
а) 2 + 4 + 6-+... +- 50; б) 2 +- 4 + 6 + ...'+ 120;
в) 1 + 3 + 5 + ... +- 131; г) 1 +- 3 +- 5 + ... +• 129;
д) 11 +- 13 + 15 + 17 + 19; е) 10 + 12 + 14 + 16 ■+ 18. Найти сумму: а) всех двузначных нечетных чисел;
б) всех трехзначных нечетных чисел; в) всех четырехзначных четных чисел.
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1431. Восстановить запись примера
о
Л. П Мочалов (Кировская обл., пос. Октябрьский)
1432. Из трехзначного числа вычли число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, а полученную разность снова «гперевернули» и прибавили к разности. Найти получившуюся сумму.
К. М. А р у с т а м я н (АрмССР, г. Кафан)
1433. Из четырех неравных 0' цифр составили наибольшее и наименьшее число. Сумма этих чисел оказалась равной 11220. Чему равна сумма данных цифр?
В. В. Ушаков (Белгородская обл., с. Алексеевка)
1434. Найти все трехзначные числа, каждая цифра которых является их простым делителем.
В. В. Ушаков
1435 Бумажный треугольник с основанием 6 см и высотой 2 см разрезать на части не более чем тремя разрезами таким образом, чтобы можно было оклеить куб с ребром 1 см.
В. П Ч и ч и н (Хабаровский край, с. Новые Омми)
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1436. Сколько цифр содержит наименьшее число вида 111 ... 1, делящееся на число 999 ... 9, состоящее из 1974 цифр?
С. Р. Сефибеков (ДагАССР, с. Кашкент)
1437. При каких а и Ъ уравнение
(х — а)3—(х — Ь)3 — Ь3— а3 имеет единственное решение?
И Д. Черепинский, И. В. Клевейский
(г. Черкассы)
1438. Диагонали трапеции с основаниями а и Ь взаимно перпендикулярны. Какие значения может принимать высота трапеции?
Э. Г. Готман (г. Арзамас)
1439. В данный четырехугольник вписать параллелограмм при условии, что две вершины параллелограмма принадлежат: 1) противоположным сторонам,
2) смежным сторонам четырехугольника.
Э. Г. Готман
1440. В плоскости даны угол, окружность с центром О и две не принадлежащие ей точки А и В. Построить такую хорду АХВХ окружности, чтобы прямые ААХ и ВВХ были параллельны, а угол АхОВ\ был конгруэнтен данному.
Р. Г. Носик (Оренбург)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1441. Найти наименьший возможный член геометрической прогрессии (ап), у которой первые п членов — натуральные числа, а ап+1 — не целое число.
1442. (ап)—арифметическая прогрессия и sinan=a при всех п. Найти разность прогрессии.
1443. Доказать, что если а, < а2 < аг и Ьх < Ь2 < < Ь3> то ахЬ2 + а2Ьг + аф\ < ахЬх + а2Ъг + агЬг.
Математический кружок 173-й школы Киева (рук. Р. П. Шейнцвит)
1444. Решить уравнение
4 sin12* + 4 (sin6 х + 1) cos® х + 3 sin2 2х == 4.
А. М. Падун (Черниговская обл., с. Любеч)
1445. При каких а и Ъ уравнение
з з з з
/ (ах+Ь)2 + /(ах—Ь)г + yf агхг— Ьг = /Ь
имеет единственное решение?
И. Д. Черепинский, И. В. Клевенский
1446. Доказать, что если сумма двух острых углов постоянна, то произведение их котангенсов принимает наименьшее значение при равенстве этих углов.
Я. Н. С у к о н н и к (Киев)
П
1447 Сумма длин двух сторон треугольника равна т. При каком значении угла между этими сторонами радиус вписанного в треугольник круга принимает наибольшее значение?
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
1448. В данный треугольник АБС вписать треугольник АХВХСХ (Ах £ (ВС), Вх £ (СА), Сх £ (АВ)) так, чтобы его стороны были параллельны соответствующим сторонам другого данного треугольника. Сформулировать условия, при которых задача не имеет решения.
J1. И. Кузнецова (г. Горький)
1449. По одну сторону от плоскости а даны две точки А и В. Построить на плоскости а такие две точки С и D, чтобы расстояние \CD\ было заданным и чтобы длина ломаной АСОВ была наименьшей.
Л. И. Кузнецова
1450. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины принадлежат боковым ребрам пирамиды, а остальные четыре — плос-
4
кости ее основания. Доказать, что Vx <! V, где Vi —
объем куба, V — объем пирамиды. При каком условии имеет место равенство?
Э. Г. Г о т м а н
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Поля вычетов
1451. Разложить многочлен Xе—1 на линейные множители с коэффициентами из поля вычетов по модулю 7.
Применение скалярного произведения векторов
1452. Доказать истинность неравенства
1 (X + у) (1 — ху) ^ 1
“ 2 < (1 + х>) (1 + у2) ^ 2 '
Т. М. К о р и к о в а (г. Ярославль)
Применение комплексных чисел
1453. Дан разносторонний треугольник АхАгАг и его центроид М. Построены равносторонние треугольники МАХРХ и MAXQX, середины Sx и Тх отрезков А2РХ и A2Qi и прямая I, содержащая биссектрису угла SXMTt. Доказать, что если
S[ и Т[—середины отрезков АгРх и AsQXf то прямая I содержит• также биссектрису угла S1MT1. Убедиться в том, что, проведя аналогичные построения, начиная с вершины А2 или получим ту же прямую I.
Г. Г. Казакова (г. Хабаровск)
Применение геометрических преобразований
1454. В плоскости даны прямая I и три не принадлежащие ей точки А, В и С. Провести через А и В две параллельные прямые так, чтобы отрезок А{Ви высекаемый ими на прямой /, был виден из точки С под прямым углом.
3. А. С к о п е ц (г. Ярославль)
1455. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены подобные прямоугольники ACMN и BCPQ. Доказать, что прямые NB и QA пересекаются на высоте треугольника, проведенной из вершины С.
М. X. П р и е д е (г. Даугавпилс)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1974 г.
• 1331. Складывая пять чисел, не делящихся на Ъ, ученик каждое слагаемое округлял до числа, кратного 5. В результате сумма оказалась найдена верно. Какова была бы ошибка, если бы он округлял все числи по недостатку?
Решение. Так как при округлении числа по недостатку до числа, кратного 5, отбрасывается остаток от его деления на 5, то искомая ошибка равна сумме остатков от деления исходных чисел на 5. После округления сумма не изменилась, поэтому сумма исходных чисел, а следовательно, и искомая сумма остатков делится на 5.
Сумма остатков не может равняться 0, так как исходные числа не кратны 5. Кроме того, сумма остатков не может равняться 5. Действительно, в этом случае все остатки равнялись бы 1 и при округлении ученик каждое число уменьшил бы на 1, от чего сумма уменьшилась бы на 5. Точно так же можно показать, что сумма остатков не может равняться 20. Значения суммы остатков 10 и 15 возможны. Например, наборы чисел {1, 2, 3, 6, 8} и {1, 2, 4, 9, 14} с суммами 20 и 30 округляются по недостатку до наборов {0, 0, 0, 5, 5} и {0, 0, 0, 5, 10} с суммами 10 и 15.
1332. Сколько зеркал надо разместить на стенах комнаты прямоугольной формы, чтобы человек, стоящий a ее центре, мог видеть собственное отражение?
Решение. Достаточно повесить одно зеркало в середине любой из стен.
1333. Доказать равенство
_1_ _L 1 J__ J_
2 + 3 ~ 4 + + 199 200 “
_L _L
“ 101 + 102 + • • • + 200-
Решение. Имеем
_L _L _L _1_ J_
1 — 2 ■*" а — 4 1УУ 200
1 1 1 J_ J_
“1+ 2 + з + 4 + -- - + 199 + 200~
„Z' 1 1 1 >
— 2С 2 + 4 + ••• + 200/ ”
= (1 + Т + Т + ... + Too) +
+ (loT + I02+ ••• +20о)~ О +”F + “з"
_1_\ J_ J_
••• + 100 У = 101 + 102+ ••• + 2и0'
что и требовалось доказать.
1334. Множества А, В, С — непустые и таковы, что А __ подмножество В\)С, В — подмножество А[)С и С — подмножество A U В. Можно ли утверждать, что Л=£ = С?
Решение. Нет, нельзя. Так, например, для множеств А — {1, 2}, В — {1}, С = {2} выполняются все условия, но все множества А, В, С различны.
1335. Даны три множества Ах, А2, Аг и для каждого п ;> 4 определяется множество Ап =■ — Ап_ 1П(Лл__2и Ап_г). Найти множество Ахо.
Решение. Из равенств
А\ — -.4а П (*42 U ^i) и Л5 = Л4П(Л8и .-1а)
72
получаем
А$ ** [ At П(Л2и А)] П (А9 U А2) =*
■“ AtП(А2UА\)П(А3и Л2) = ЛП(ЛЦЛ), так как AtC\(At\jA2) = Av Следовательно Аъ = А*. Но тогда
А% - Лп(АиЛ) = АП(ЛиЛ) = а4
и
Л 7 =* А в n(^jU ^4) = Л4 (Л4 \J Л4) — Л*.
Теперь ясно, что
А\о = Л4 = (U Л2) П А$.
1336. Показать, что при любых целых m и п (5m 4- Зп -f- I)5 - (3т + п + 4)4 делится на 16.
Решение. Если числа тип имеют одинаковую четность, то 3т + п + 4 — четное число и, следовательно, число (Зяг + я + 4)4 делится на 16. Если тип имеют разную четность, то 5т + Зп + 1 — четное число и, следовательно, число (5т + Зя.+ 1)4 делится н? 16.
Итак, данйое выражение при любых целых т и п делится на 16.
1337. Решить уравнение
t xyztu = Хь -Ь ХА + Z* + t2 + и.
Решение. Так как х, у, г, t, и — цифры, причем х > 0, то
хъ<ЮАх, у4<Ю*у, 2гв<10*гг, < 10 t
и поэтому правая часть уравнения меньше числа
Рис. 1
1339. Построить квадрат ABCD по вершине А и по точкам М и N, принадлежащим сторонам СВ a CD.
Решение 1. Пусть ABCD — искомый квадрат, М £ [СВ\, N £ [CD]. Вершина С квадрата ABCD при - надлежит окружности, построенной на [Л4ЛГ| как на диаметре (рис. 2). Так как [АС]—диагональ квадрата, /\ /\
то MCA = ACD, а значит, ME ~ NE, где Е =*
*= [ЛС]П^ MEN.
Построение. Строим окружность, диаметр которой [AIjV]. Построим середину Е полуокружности, лежащей с данной верши¬
ной А по одну сторону от диаметра (AfjV). Прямая
АЁ пересекается с окружностью в точке С, [АС] — диагональ искомого квад¬
рата. Построим далее диагональ BD\ ABCD — искомый квадрат. Доказательство очевидно*
Рис. 2
Ю4л: + Ю*у + Ю2г 4- 10 t 4- и = xyztu.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
1338. Построить квадрат по вершине и середине стороны.
Решение. 1) Пусть дана вершина А квадрата и середина М стороны АВ. Нетрудно построить отрезок АВ, а затем искомый квадрат ABCD. В этом случае задача имеет два решения. Квадрат, симметричный квадрату ABCD относительно оси АВ, также является искомым.
2) Пусть дана вершина А квадрата и середина М стороны ВС (рис. 1). Тогда в прямоугольном треугольнике АВМ имеем | МВ \ = -^-\АВ\. Если (MiV)-L (AM) и (AB)C\(MN) = N, то Д АВМ ^ д AMN и | MN\ =
1
— ~2-\АМ\. Отсюда следует п о с т р о е н и е: через |
В
А
м
1
Рис. 3 С
N
L h
D,
",
D=B,
Сг
Решение 2. Рассмотрим поворот R™ (рис. 3): ABCDADCXDX, М -> Мх, N Nx.
Очевидно, что [AD] _L [ЛШг].
Построение. Построим точку
Через точку А проведем прямую I но [ЛШ,], [ЛШЛП / = D. Отрезок AD мого квадрата. Строим квадрат ABCD по стороне AD. Задача имеет единственное решение, если перпендикуляр I к прямой NMX пересекает отрезок NМх и если NMt | < 2 | AD |.
Решение 3. Для построения воспользуемся тем, что два взаимно перпендикулярных отрезка, конечные точки каждого из которых принадлежат противоположным сторонам квадрата, конгруэнтны.
Построение. Через точку N проведем прямую а перпендикулярно [AM]
(рис. 4). На прямой а отложим \NE\ = \AM\1 причем [ME] П [AM] Ф 0. Луч АЕ определяет положение стороны квадрата. Через
точку М проведем прямую Ь, перпендикулярную (АЕ) П Ь — В; [АВ] —сторона квадрата.
1340. Даны две параллельные прямые а и b и прямой угол с вершиной в центре симметрии О данных прямых. Доказать, что если одна сторона угла пересекает прямую а в точке М, а другая сторона прямую b в точ-
м, - д2Г<ло.
перпендикуляр- — сторона иско-
точку М проведем прямую* перпендикулярную [АМ]. Отложим на этой прямой | MN | = — I АМ |. В треугольнике AMN проведем высоту MB, тогда [АВ] — сторона искомого квадрата. Задача имеет два решения.
Рис. 4
(АЕ),
73
ке N, то расстояние от точки О до прямой MN постоянно.
Решение. Пусть а и Ь — данные параллельные
прямые, О — центр симметрии прямых а и b, MON = *=90°, М£а, N£b (рис. 5). Построим точки Мх = = S0(M) и Nx = Se(-V). Так как b = 50(л), то МХ£Ь, Nx£a и \ОМ\ = \ОМх\, \ON\ = 10ЛЧ, [ММ,] А. ± [NNX].
Рис. 5
Отсюда MNMyNx — ромб. Проведем [ККХ] 1 [MN], [АВ] _L [jVM,], тогда \КК\ \ = | АВ| и, следовательно,
\ АВ\ — const (\ АВ\ — ширина полосы, определяемой прямыми а и Ь).
Итак, \ ОК\ = 4" \АВ\.
1341. Найти простое число р, если число р3 +р2 + + 11 р + 2 простое.
Решение. В зависимости от остатка от деления числа р на 3 возможны три случая.
1) р = 3, тогда рг + р2 + 11/7 + 2 = 71 — число простое;
2) /7 == 3/2 — 1, тогда рг + р* + И/? + 2 = (3п— I)3 + + (3/1 — 1 )2 + 11 (3/г — 1) + 2 = 9 (3/2* - 2л2 + 4/2 — 1) — число составное;
3) р = 3п + 1, тогда /7* + /72 + 11/7 + 2 = (3/2 + 1)* + + (3/2 + I)2 + И (3/2 + 1) + 2 = 3(9/24 12/22 + 16/2+5) — число составное.
Итак, задача имеет единственное решение /7 = 3.
1342. Доказать, что среди чисел п, п + 1, п + 2,... ..пг + п2 + п + 2 при любом натуральном п найдется четвертая степень натурального числа.
Решение. Если п = яг4, то утверждение верно. Пусть m4 < п < (т + I)4, тогда п > m4 + 1 и /23 + л2+ + л + 2 — (т + I)4 > (m4 + I)3 + (/я4 + I)2 + (/я4+ 1) + + 2 — (/я + I)4 ;> 0, так как при т = 1 достигается равенство, а при т >2 уже (m4 + 1)2>(/я + I)4, в чем легко убедиться, поэтому п < (/я + I)4 < /23+ л2+ п +2, что и требовалось доказать.
Заметим, что, как следует из приведенного доказательства, при п 16 последовательность, данную в задаче, можно «укоротить»: именно, среди чисел я, п + 1, ..., п2— 1 всегда найдется четвертая степень натурального числа.
Действительно, если в этом случае /я4<л< (т + I)4, то (т + 1)4< (т4 + 1)2^я2.
1343. Доказать неравенство
(sin ах + sin аг + ... + sin ап)2 + (cos ах + cos аг + ... ... + cos ал)2</12.
Решение. Из неравенства Коши — Буняковского следует
(sin ах + sin аг + ... + sin ап)г <
< п (sin2 otj + sin2 аа + ... + sin2 ап)
И
(cos «i + cos а2 + ... + cos а„)2 <
< п (cos2 а, + cos2 а* + в.. + cos2 а*)*
откуда после сложения и следует данное неравенство.
1344. Решить систему уравнений
Xs у = 9, Зх + у = 6.
Решение. Очевидно, что решения системы удовлетворяют условиям х > 0 и у > 0. Тогда в силу неравенства Коши
4/--i— „ 3* + у У х3у < ^ .
а тогда из данной системы уравнений следует, что 4 Ч
/9<+.
Однако это неравенство, как легко проверить, неверно. Следовательно, данная система не имеет (действительных) решений.
1345. Разложить на четыре множителя
а(Ь + с) (b2 + с2 — а2) (а + b — с) —
— с (а + 6) (а2 + Ь2 — с2) (Ь + с — а).
Решение. Данный многочлен обращается в 0 при b — 0 и с — а, поэтому он делится на Ь(с — а). Раскрыв скобки и расположив данный многочлен по степеням с, разделим его «в столбик» на b (с — а). В частном получим многочлен
+ с2 (а + Ь) + с (а2 — Ь2) + (а2 — Ь2) (а + Ь) =
= с2 (с + а + Ь) + (а2 — Ь2) (с + а + Ь) =
= (а + b. + с) (а2 — Ь2 + с2).
Таким образом, данный многочлен равен
b (с — а) (а + b + с) (а2 — Ь2 + с2).
1346. Пусть о, р — соответственно корни уравнений
2 sin х = log 5 х, 2 cos х — log 5 x.
T T
Доказать, что а > р.
Решение. Начертив графики функций y = 2sinjt, у = 2cosjc и у = log 5 х, обнаруживаем, что справед- Т
ливы неравенства
Р<ТГ<а-
Остается лишь доказать их строго.
тс
Для доказательства неравенств р < -g- достаточно установить соответственно, что
тс
а ">
log 5 -g- <2cos
и 1о2 5-(Г> 2sin TP
Другими словами, требуется доказать, что
1 < log_6_ -g- <
8
ИЛИ
5 тс /5 >/з
х>т>(т) •
Первое неравенство сводится к виду 4п < 15, т. е. верно; для доказательства второго заметим, что верно
^ ( 5 ЛТ (
неравенство -g- > I) I оно сводится к неравен-
74
125 94 * v/5y
ству те > l2g~ ) И, следовательно, -g- > (-g- ) >
> (тГ- '
1347. При1 каких A, <о, ср функция f (x) = *= Л sin (шл -f <p) при всех x удовлетворяет неравен-
min(sin;c, cos л:)< /(л;)< max (sin x, cos*)? (1)
Решение. Пусть функция / (x) = A sin (*>x -+ <p) удовлетворяет условию задачи. Мы рассмотрим случай <0 > 0.
Из неравенств (1) сразу же следует, что во всех точ- те
ках “j-+ 2kn(k£Z) f (х) принимает значение /2
2—, т. е. при любом k £ Z
■/2
Sin (<оа* + <Р) = ■ 2А ""
Числа р* = v>ak + <р(£ € N) образуют, как легко видеть, арифметическую прогрессию с разностью 2теа>.
Нетрудно показать, однако, что если sin* принимает одно и то же ненулевое значение на арифметической прогрессии, то разность этой прогрессии является целым кратным 2л (геометрически это утверждение вполне очевидно, а формальное доказательство мы предоставляем читателям). Таким образом, 2лсо = 2/гя, где k £ Z, и, следовательно, о> — натуральное число.
пп — <р
Рассмотрим теперь точки 7Л = — (п £ Z), в ко¬
торых / (х) обращается в 0, и покажем, что при <о>2 одна из них попадает в интервал вида ^2/яте, 2тп +
7Z \
-f- ~2~J, где т £ Z. В самом деле, неравенство
те
2/яте < 7Л < 2тте + “2“ после необходимых преобразований приводится к виду 2то> +- < п < 2ти> + -у- + (2)
Разность между правой и левой частями этого нера-
(О
венства равна -тр, т. е. больше 1 при о> > 2. Следовательно, неравенство (2) при > 2 имеет целое решение п0, а тогда соответствующая ему точка 7Ло лежит
в интервале ^2/яте, 2тп + 2 Однако в этом интервале sin х > 0, cos х > 0, так что и / (л:) > 0, что противоречит равенству sin 7Ло = 0.
Рассмотрим <о = 2, тогда неравенство (2) не имеет целых решений только в случае, когда обе его части—
ср
целые числа, т. е. — £ Z. Делая естественное допущение, что 0<<р<2те, получаем, что <р равно 0 или те. Если <р = О, то f (х) = A sin 2х и из равенства
Л ^2
получаем Л = ~~2~> а тогда при а = имеем
/2
в то время как sin а и cos а отрицательны. Аналогично приводится к противоречию случай ? «*» те.,
Из всех приведенных рассуждений мы получаем, таким образом, что в = 1, и в дальнейшем мы будем рассматривать функцию f(x) = A sin (х + ср). При
те уГ 2
X = имеем /(*) = —т. е.
Л sincp -f- Л coscp = 1. (3)
На множестве х таких, что sin х < cos* неравенства (1) принимают вид
• sin х < A sin <р cos х + A cos <р sin д: <cos х и в силу (3) могут быть записаны в виде A sin <р (cos х — sin х) > О,
A cos <р (sin х — cos х) < О, откуда следует, что
A sin <р > О, Л cos 9 > 0. (4)
Обратно, если выполнены условия (3) и (4), то, как легко проверить, выполняются и неравенства (1).
Таким образом, функция Л sin (х + <р) удовлетворяет неравенствам (1) тогда и только тогда, когда выполняются .условия (3) и (4). Тем самым задача решена для соХ). Мы предоставляем читателям рассмотреть случай соСО.
1348. Найти расстояние от прямой х — у= 1 до параболы у—х2.
Решение. Касательная к параболе, параллельная данной прямой, имеет уравнение х — у —т. Для нахождения т потребуем, чтобы система уравнений
У = *2,
у = х — т
имела два одинаковых решения. Тогда дискриминант уравнения хг—х + т = 0 равен нулю, т. е. т — Остается вычислить расстояние между параллельными прямыми у = 1 и у = х — — (рис. 6). Длина
отрезка оси Оу, заключенного между этими параллель-
3
ными, равнаа расстояние й между ними равно
3 ^ _ 3/2
Добавим, что прямая х—у — 1 параболу не пересекает, поэтому d > 0.
1349. Доказать неравенство
gR
\ о
та 4- ть + тс ^ ’
где R— радиус описанной около т реугольника окружности, mfl, т^, тс — медианы, этого треугольника.
Решение. Известно, что
j- (2а* + 2с2 — b2),
2
1
К-
.4 (
2
1
ть =
4
2
1
тс-
4
Отсюда
т1 + т1 + т1 = “(й2 + ь'- + с8)-
Учитывая, что a2 -f b2 4- c2^9R2, получаем
9 2 О 27 ■
+ тс <~R•
С другой стороны, среднее арифметическое не превосходит среднего квадратичного, поэтому
81
(та f mb f mcf < 3 (rrra + m2b + mfj < RK Следовательно,
9
ma ± ть + mc < ~2~ R и
9 R
>2.
ma 4- mb 4-
13c0. Построить треугольник ABC no стороне a и его у лам А и В при условии, что
cos
А В sin -тр sin ~2~
k,
где к — данное рациональное число. .
Решение. В любом треугольнике ABC имеет место равенство '
/ А В \
с = Г ^ Ctg 4- Ctg J - -
COS
A В sin -2“ sin -cjr
гдс с — сторона треугольника, г—радиус вписанной окружности. Отсюда данное в задаче условие
cos
, А 8 sin-2“ sin ~~2
можно записать так: -у- = k.
Таким образом, для построения треугольника ABC - с
имеем; а, А и отношение -jr, равное
76
Построим угол -4Ь конгруэнтный Л, и впишем в него
окружность произвольного радиуса гх (рис. 7). На одной из сторон угла А\ отложим отрезок А\В\Ч такой, что \AiBi\~krlt Из точки В\ проведем касательную к окружности радиуса г,, которая пересечет вторую сторону угла в точке С. Получим треугольник A\BiCt подобный искомому.
Рис. 7
Для построения треугбльника ABC от точки С отложим |С£|=а и через точку В проведем прямую /, параллельную 04i#i). Пусть /П (САХ)=А, тогда треугольник ABC искомый.
Если | А1В1 | sin А < 2rv т. е. k sin А < 2, то касательная ВХС не пересечет второй стороны угла Ах.
2
Следовательно, задача имеет решение, если &> — .
sin А
Примечание. В условии задачи следовало бьг задать а, Л и £. Задание В является избыточным.
1351. На плоскости комплексных чисел даны две точки А (а) и В(Ь). Построить такую точку С(с)у чтоб ы
а2 4- ab 4- b2 « Зс (а 4 b — с).
Решение. Данное уравнение перепишем так:
Зс2 — 3 (а 4- Ь) с 4- л2 4- Ь2 4- ab — 0.
Решив его относительно с, получим
а + b , I а —b
с1,2
2 * /3 ' 2 '
Если М — середина отрезка АВ, то т -
a 4- Ь
(рис. 8). Вектору МА соответствует комплексное число а 4- b а — b
а — —gравное —т,— •
Подобие с центром М, углом поворота 4- 90° и коэффициентом подобия отображает точку А в ис¬
комую точку Си так как а + Ь
+ут
Нетрудно заметить, что С, и С2 — центры окружностей, описанных около равносторонних треугольников АВР и ABQ 1352. Доказать, что для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно выполнение условия
1 1
”1” ( гу» _1_ m «1« 42 I"
(та + ть - + '
тсу
1
(та + тс— ть)2 9 R2 4S2 Г
(ть + тс — та)2
где та, ть, тс—медианы треугольника, R — радиус описанной около него окружности, S — его площадь.
Как изменится зависимость, если треугольник не равносторонний?
Решение. Необходимость.
Известно, что в равностороннем треугольнике
та
ть = тс
4*
поэтому
(та + ть — тсу + (та + тс- 1 3
+ ■
ть)2
4
3 R2'
(mb + тс — та)2
С другой стороны, для равностороннего треугольника справедливо следующее равенство:
9 R2 9 R2 4
4S2 ~
3 R2
Отсюда следует истинность указанного в условии задачи равенства для равностороннего треугольника.
Достаточность. Пусть для треугольника выполняется равенство
1 1
/ т _1_ ГУ1 т . \2 ~1~
(та Н- ть
+
■ *пс)2
(та + тс — ть)2
<?Я2
(mb 4- тс — та)2
4S2
Согласно зависимости между средним арифметическим и средним геометрическим, имеем:
1 1
(та + ть — тс)2
+ ’
(та -f тс — ть)2
' +
1
+ (ть + тс — та)2 ^ 3
(та 4- ть—тсу
1
+ («*4-тс — та)2
(та 4-тс — ть)2
v
а b с
Нр
Ymambfoc<
у±
4- Ь2 4- с2
так как
Значит,
2
а* 4- Ь2 4-*2<9Я2.
У <-j- #г-
3 4
Таким образом, —
V
„,2
таЬтс
Равенство имеет место лишь в том случае, если тЛ = ть тс, т. е. если данный треугольник равно-
4 9 R2
стсЦюнний. А тогда *= “45*"* ли тРеУГ0ЛЬНИК неравносторонний, то
1 1
+ (т _±_ т . \2 +
(та 4- гпь +
• mcf (та + rnc — mbf 1 4
(mb 4-тс — та)2
->
3 R2
1353. Стороны С А и СВ треугольника ABC разделены точками Р и Q в отношениях X и ц соответственно. Доказать, что если [СМ] — медиана треугольника, то отрезок PQ делит отрезок СМ
1 1/1 1 \ в отношении с, таком, что = -тр 4- ”jT/e
Решение 1. Введем систему координат, как показано на рис. 9. Тогда С(0, 0), В( 1, 0), А(0, 1),
4“). р(°’ *). Лр-. °)-
/ («а + /Я* — mcf (та + тс — ть)\ть + тс — таУ Но для всякого треугольника имеет место неравенство (а + Ь — с) (а + с — Ь) (Ь 4- с — а) < abc.
Поскольку медианы треугольника можно рассматривать как стороны некоторого другого треугольника, то (та 4- ть — тс) (ть 4- тс — та) (та 4- 4- тс — ть) < татьтс.
Следовательно,
1 1
/ #*» _1_ т т, \2 *"f”
х у — X
Имеем: = —-у и у *= х — соответственно урав¬
нения прямых PQ и СМ. Отсюда
X-
U = у
Значит,
УИ
* ” *м ” >и
=$XN = Улг =
fJlX
fX 4“ X
2(хХ
Х + |д.
”► ”► ' ► 1 -f ► -V
Решение 2. Пусть СР *= а, РА = — а, СО = Ь,
•— ■> 1 —>• ->■ — >■ 1 ->
QB — — • Ь, СЛГ «■ с, JVAf ** —• с (рис. 9). Так как
г ®
[СМ] — медиана, то
—► 1 —> —► / 1
СМ - — (СА + СВ) =Ф ^1 + —) с =
-т-0+х)»+40+т)‘-
С другой стороны, с = ka -f- (1 — k) b. Отсюда
(i+-r)*«+(1+-r)<1-*)-*“
--г(1 + -г)« + 4-(1+.т)*’
значит,
Г ^ 1 \ 1 х + 1
, \ 0 ^ 2 X ft(X-f-l)
/ IN 1 p. 4- 1 ^ 4- X + (1 ’
Следовательно,
1 + ~ i i i/i n
+ х + = 2 \ k + |. ]■
1354. В тетраэдре ABCD из двух его вершин к противолежащим граням проведены перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Показать, что перпендикуляры к плоскостям двух других граней, проведенные через точку О, пересекают их в ортоцентрах.
Решение. Пусть ABCD — данный тетраэдр (рис. 10), [АЕ] 1 (CDВ), [CF] _l (ADB) и [АЕ] П [CF] = О.
D
В
Рис. Ю
Через точку О проведем перпендикуляры к граням ABC и ADC:
[ОН,] ± (ABC), НХ£(АВС)\ [ОН2] ± (ADC), H&ADC).
Так как [АЕ] 1 (CDB), [ОН,] ± (ABC), то АО СВ - 0
и ОНхСВ*=* 0. Отсюда АО СВ 4- ОНх СВ = 0 =£
=Ф АНг СВ = 0 =Ф АНХ ± СВ. Аналогично СО АВ = 0,
ОН1~АВ = 0 =ФСЯ,• ~АВ = 0 СЯ, ± ЛВ
Итак, Л/Zj X СВ и СЯ, ± Л£. Это означает, что точка Я, является ортоцентром треугольника ABC.
Доказательство того, что Яа— ортоцентр треугольника ADC, аналогично.
С
1355. Три плоскости а, р, 7 имеют общую точку О* Доказать, что произведение симметрий относительно плоскостей а, $ и 7 имеет неподвижную плоскость. Построить эту плоскость.
Решение. Рассмотрим три случая.
1) Три плоскости а, р и 7 взаимно перпендикулярны. Тогда композиция 7ор0а есть центральная симметрия Sq и любая плоскость, проходящая через центр симметрии О, является двойной.
2) Если а 1 р и 7 1 р, то плоскость р — двойная плоскость преобразования 7ороа. *
3) Пусть р не перпендикулярна к 7, тогда плоскости аир заменяем двумя другими плоскостями а' и р\ такими, что р'оа' = р0а и р' ± 7. Таким образом, 7ороо = 7ор/оа', причем р'_]_ 7. Заменим композицию 7ор' композицией 7'оР" так, чтобы 7ор' — 7'°р" и р" ± а'. Тогда 7<>роа = 7/ор,/оа\ причем Р" _1_ 7', Р"± а'
Итак, получен случай 2): плоскость р" — двойная в данной композиции. Нетрудно заметить, что эта плоскость проходит через проекции прямых а = РП7 и с = а П Р соответственно на плоскости а и 7.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1974 Г.
Алиев Э. И. (УзССР, г. Чиназ) — 1333, 1334, 1336—
1340, 1343, 1348, 1349. Амирбаев К- (Каракалпакская АССР, Чимбайский р-н) — 1333, 1337, 1339, 1341, 1343— 1346, 1348, 1349. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гад- рут) —1333, 1336—1339, 1341, 1343, 1349. Баламетов Г. (АзССР, г. Кусары) — 1331—1334. Баламетов И. Г. (АзССР, г. Кусары) — 1331—1341, 1343, 1348—1350. Бон- цевич Т. П. (г. Брест) — 1333—1336, 1338—1340, 1343— 1346, 1348, 1351. Ветров К. В. (г. Братск) — 1331—1343, 1345, 1347—1350. Владимиров А. С. (г. Асбест) — 1331—1349, 1351, 1353. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) — 1331, 1333—1338, 1340—1349, 1351, 1353. Зайцев Г. Ю. (Калининская обл., г. Кимры) — 1334—1336, 1338, 1342—1344, 1348, 1351, 1354. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1331—1334, 1336—1341, 1343—1346, 1348,
1349. Иванов К. А. (г. Днепропетровск) — 1331—1349. Каминский К. П. (Киевская обл.) — 1333, 1336—1339,
1341, 1343—1346, 1348, 1349. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 1331—1346. Мамедов Э. О. (АзССР, с. Азизбе- ков) — 1333, 1336, 1337, 1343, 1345. Меликов А. 3.
(АзССР, г. Сиазань) — 1333, 1334, 1336, 1337, 1341,
1343, 1344, 1348. Молибога И. Н. (г. Лисичанск) — 1331 — 1343, 1345—1349. Мосян М. А. (г. Краснодар) — 1331, 1333, 1336—1341, 1343, 1345, 1348, 1349. Муми- нов Г. М. (УзССР, Андижанская обл.) — 1333, 1334,
1336, 1337, 1341, 1343—1345, 1349. Мун В. К- (УзССР, г. Чиназ) — 1331 —1353, 1355. Невзоров А. Л. (г. Кременчуг) — 1333—1340, 1343—1345, 1348. Повелий В. И. (Ровенская обл.) — 1331—1337, 1340—1346, 1348, 1349,
1353. Полховский Н. Н. (г. Фергана) — 1333, 1337, 1338, 1343, 1345, 1348. Ручкин Д. Д. (Марийская АССР, Мор- кинский р-н) — 1331, 1333, 1334, 1336—1340, 1345, 1348. Симеонов А. А. (Болгария, г. Бов) — 1351—1355. Уте- мов В. А. (г. Красноуфимск) — 1331—1349, 1351 — 1353. Цхай Т. Т. (УзССР, г. Андижан) — 1331—1346, 1348—
1350, 1353, 1354. Чабанюк И. М. (Орловская обл.) — 1331, 1333—1337, 1339—1343, 1345, 1347—1349, 1351, 1353. Шнипор Б. Н. (Винницкая обл., г. Литин) — 1336—1338, 1340—1345. Шуренко Ф. А. (Черкасская обл.) — 1331— 1333, 1336—1341, 1343.
Математические кружки: 2-й шк. с. Кузоватово
Ульяновской обл. (рук. Н. К. Ермолаев) — 1331—1341, 1343, 1344, 1346—1349, 1353; 118-й шк. г. Уфы (рук. Р. М. Лукманов) — 1336—1338, 1344—1346, 1348, 1352; 2-й шк. г. Рогачева (рук. С. Л. Нахамчик) — 1331 —1338, 1340—1346, 1348, 1349; 173-й шк. г. Киева (рук.
Р. П. Шейнцвит) — 1331—1345, 1347—1349, 1351, 1353,
1354.
К 50-летию образования союзных республик
^
Т. АБДУКАРИМОВ
(г. Фрунзе)
ПОЛВЕКА РАЗВИТИЯ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В КИРГИЗИИ
В октябре 1974 г. исполнилось 50 лет со дня образования Киргизской ССР.
За прошедшие полвека Советский Киргизстан совершил колоссальный скачок в культурном, социальном и экономическом развитии и из отсталой колониальной окраины царской России превратился в цветущую социалистическую республику. Большие успехи, достигнутые в развитии математической культуры, школьного математического образования, являются ярким проявлением торжества ленинской национальной политики.
Ниже мы даем краткое описание основных этапов истории развития школьного математического образования в Киргизии.
До 1924 г. учащиеся киргизских школ занимались по учебникам и задачникам на узбекском, казахском, татарском языках. Научно-математический и идейнополитический уровень этих учебников не отвечал необходимым требованиям. Однако и эта учебная литература имелась в очень небольшом количестве, зачастую только у учителей.
Большим событием в культурно-политической жизни киргизского народа явилось принятие письменности в 1924 г. В этом же году была опубликована первая школьная программа на родном языке. В 1925 г. издается первая книга по математике на киргизском языке— учебник арифметики для III класса С. Зенченко и Э. Эменова (перевод с русского), отпечатанная арабским шрифтом в Московской типографии народов СССР.
Ввиду трудностей начального периода, связанных с отсутствием достаточно подготовленных кадров переводчиков, недостаточностью терминологической базы, работа по созданию учебной литературы по математике для школ в последующем ориентируется на перевод учебников и задачников в основном с казахского языка, как с языка, относительно более близкого к киргизскому.
В 1925 г. в Москве издается работа казахского автора К. Жаленова «Обучение арифметике в начальной школе» в переводе на киргизский Э. Арабаева, которую можно назвать первым методическим пособием для учителей национальных школ на родном языке. В первой части пособия дана программа по арифметике для школ I ступени с четырехлетним обучением. Во второй части, содержащей методические указания для учителей, автор критикует схоластические методы, еще встречающиеся в ряде школ, рекомендует увязывать обучение с жизнью, применять наглядность. Далее указывается, что основной целью обучения арифметике является ознакомление детей с законами, правилами арифметических действий на основе доступных, связанных с окружающей действительностью примеров и задач. В качестве приложения дается русско-киргизский словарь, содержащий 40 терминов и являющийся, по существу, первым математическим словарем на
киргизском языке. Несмотря на наличие определенных недостатков как в содержании программы, так и в методических рекомендациях, появление данной работы оказало существенную помощь учителям в улучшении обучения математике.
С созданием полиграфической базы — организацией Киргизского государственного издательства — расширяются возможности обеспечения школ необходимой учебной математической литературой. В 1927 г. в переводе с казахского арабским шрифтом издаются учебник арифметики для начальной школы С. Ходжанова, учебник арифметики для 1-го года обучения школ
I ступени М. Дуулатова. В том же году переводится на киргизский язык «Наглядная геометрия» М. Астря- ба — первое учебное пособие по геометрии для национальных школ. Словарь-приложение к книге содержал 134 математических термина.
Несмотря на то что введение письменности на основе арабского алфавита было прогрессивным явлением, практика показала, что этот алфавит не отвечал особенностям киргизского языка, отличался трудностью как для изучения, так и для практического использования. Сложности, присущие арабскому алфавиту, тормозили повышение качества обучения в школах республики. Отсутствие заглавных букв, многих знаков препинания, наличие так называемых кыбачы — особого знака для обозначения отсутствующих букв алфавита, разная запись и чтение одних и тех же букв в зависимости от занимаемого места в слове препятствовали беглому чтению, затрудняя тем самым понимание смысла текста. Большое число типографских знаков (примерно в три раза больше,'- чем в латинском алфавите) отрицательно сказывалось на обеспечении школ учебной литературой.
Переход в 1928 г. на латинизированный алфавит создал широкие возможности для интенсивного развития культурной революции в Киргизии. Реформа алфавита благотворно отразилась также и на развитии школьного математического образования, на создании как переводной, так и оригинальной учебно-методиче- ской литературы на родном языке. В 1928 г. в переводе с казахского издаются учебник арифметики для
II класса М. Дуулатова, методическое руководство для учителей К. Жаленова, в переводе с русского — сборник задач и упражнений по арифметике для II класса И. Грацианского и И. Кавуна.
В последующие годы начальные школы получают переводной учебник арифметики для I и II классов Д. И. Волковского.
Накопленный в процессе создания переводной учеб- но-методической литературы определенный опыт, недостатки переводных изданий привели к созданию силами местных авторов оригинальных работ, отвечающих необходимым требованиям и особенностям национальных школ республики. К этой категории учебной литературы относится учебник арифметики для I класса Б. Даниярова и А. Шабданова, изданный в 1928 г. Киргизским государственным издательством. В том же году публикуется пособие «Метрические меры» Б. Даниярова.
В 1932 г. издается целая серия оригинальных работ: учебник арифметики для II класса Б. Даниярова и
А. Шабданова, для III класса — А. Медетова, для IV класса — Ы. Жаркымбаева. Из методических пособий публикуется «Методика решения примеров и з#-
79
деч, дроби» впоследствии видного киргизского прозаика и драматурга К. Жантошева.
Оригинальная учебно-методическая литература хотя и не отличалась высокими научно-методическими качествами, однако имела ряд определенных преимуществ перед переводными работами казахских авторов. В ча- стности( в содержании текстовых задач большее внимание уделялось идейно-воспитательной направленности, учитывались местные особенности, связанные с бытом, культурой. Подбор упражнений и задач, система их расположения в большей мере соответствовали дидактическим требованиям. Имелись определенные отличия также и в терминологических вопросах, в доступности изложения программного материала.
Методическое пособие К. Жантошева, рассчитанное на учащихся старших классов и учителей сельских школ, имело практическую направленность в изучении действий с обыкновенными и десятичными дробями, ;в проведении операций, связанных с процентными вычислениями. Несмотря на узость освещаемых вопросов, наличие определенных недостатков, указанная работа была единственным методическим руководством для учителей на родном языке и оказала значительное влияние на улучшение преподавания математики в национальных школах.
С начала 30-х годов работа по созданию учебной литературы по математике для общеобразовательных школ в основном ориентируется на перевод учебников и задачников русских авторов, которые в большей степени соответствовали требованиям школьных программ, отличались более высоким научно-методиче- ским и идейно-политическим уровнем. Изданием в 1930 г. учебника алгебры (ч. .1) А. П. Киселева было заложено начало созданию переводной учебной литературы для старших классов национальных школ. Трижды переиздававшиеся учебники арифметики для I и II классов Д. И. Волковского в 1932 г. заменяются соответствующими учебниками Н. С. Поповой.
В 1933 г. издаются и переиздаются 9 наименований задачников и учебников^ для начальных и семилетних школ (в основном в переводе с русского). Впервые издаются «Сборник арифметических задач и упражнений» Е. С. Березанской, «Начальные сведения по геометрии» Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса.
Историческое постановление ЦК ВКП(б) об учебниках для начальных и средних школ положило конец разнобою используемой учебной литературы в школах, выпуску работ местных авторов с низким научно-методическим и идейно-теоретическим уровнем. Начиная, с 1934 г. национальные школы Киргизии, как и школы других союзных республик, переходят к переводным стабильным учебникам и задачникам.
В последующие годы помимо стабильных учебников для начальных классов издаются: «Сборник задач по геометрии» (ч. 1) Н. А., Рыбкина (1934), «Сборник алгебраических задач и упражнений» (ч. 1) Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова (1937), «Сборник геометрических задач» (ч. 2) Н. А. Рыбкина (1938), «Сборник задач по тригонометрии» Н. А. Рыбкина (1939), «Геометрия» (ч. 1, 2), «Алгебра» (ч. 2) А. П. Киселева, «Прямолинейная тригонометрия» Н. А. Рыбкина (1940).
В республике создается также соответствующая переводная и оригинальная учебно-методическая литература по математике и для существовавшей в тот период широкой сети школ грамоты и малограмотных: учебник арифметики для школ малограмотных М. Жамы- баева (1932), учебник арифметики для школ грамоты М. М. Циммермана (1934), сборник арифметических задач и упражнений (1934), методическое пособие для учителей по арифметике для школ грамоты Н. М. Богданова (1936) и др.
В довоенные годы в Киргизии по математике было издано около 40 наименований оригинальной и пере¬
водной учебно-методической литературы для начальных, семилетних и средних школ, школ грамоты и малограмотных.
В связи с трудностями военного времени число издаваемой учебной литературы по математике значительно сокращается; в основном в этот период переиздаются стабильные учебники и задачники для начальных классов.
Интенсивно ведется работа по созданию переводной математической литературы в период послевоенного развития национальной общеобразовательной школы Киргизии. Общее число ежегодно издаваемой учебной литературы по математике составляет в среднем 8— 10 наименований. Вместе с резким возрастанием тиража неуклонно улучшается качество . перевода стабильных учебников и задачников. Оперативно, с разрывом не более одного года с момента выхода оригинала, производится издание на родном языке новых учебников, пришедших на смену устаревшим.
В республике проводится определенная работа и по обеспечению учителей методическими пособиями, по созданию переводной математической литературы для высших и средних специальных учебных заведений. В довоенный период из методических работ русских авторов была издана единственная книга — «Методика математики» для педагогических училищ К. А. Костина (1929). В начале 60-х годов издаются: «Методика преподавания арифметики в начальной школе» А. С. Пчел- ко, «Арифметика» для педагогических училищ Б. А. Туликова и Я. Ф. Чекмарева, учебник геометрии и тригонометрии для учительских институтов А. Д. Перепел- киной и С. И. Новоселова. Уделяется внимание и вопросам обеспечения школ литературой по организации внеклассной работы по математике.
В связи с принятием Закона об укреплении связи обучения с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР в республике силами местных авторов создаются оригинальные методические пособия, направленные на политехнизацию обучения на уроках математики, привитие учащимся практических навыков, осуществление тесной связи ©бучения с жизнью. Характерными в этом плане являются работы: «Арифметические задачи с производственным содержанием» (1959), «Алгебраические задачи с производственным содержанием» (1961), «Задачи с практическим содержанием как средство раскрытия содержательно-прикладного значения математики в восьмилетней школе» (1967) И. Бекбоева, «Развитие навыков самостоятельной работы на уроках математики» (1963), «Внеклассная работа по математике» (1967), «Рациональные приемы изучения геометрии в старших классах» (1970) И. Бекбоева и А. И. Тимофеева, «Способы решения задач элементарной математики» (1968) И. Бекбоева и Р. Усубакунова, «Способы решения арифметических задач» (1965) Р. Усубакунова и др.
За истекшие полвека в республике в общей сложности издано около 100 наименований оригинальной и переводной учебно-методической, научно-популярной математической литературы для общеобразовательных школ, высших и средних специальных учебных заведений.
Значительные успехи достигнуты в республике и в области создания и развития киргизской математической терминологии, без которой немыслимо было бы осуществить издание .разнообразной математической литературы, отражающей современный уровень научнопедагогической математической науки. Создание первого проекта русско-киргизского словаря математических терминов относится к 1939 г. Его автор, один из опытных переводчиков математической литературы,—
А. Стамбеков собрал и систематизировал около тысячи терминов, охватывающих в основном курс математики начальной, семилетней и частично средней школы.
80
Опубликованный в 1949 г. второй проект словаря математических терминов, составленный А. Исхаковым, был намного содержательнее и полнее предыдущего. Словарь содержал свыше 2,5 тыс. терминов программы математики общеобразовательной средней школы и значительную часть вузовского курса высшей математики.
Интенсивное развитие математической науки, среднего и высшего математического образования, значительный рост изданий математической литературы на родном языке, а также вопросы дальнейшего усовершенствования математической терминологии вызвали необходимость в новом словаре. Изданный в 1967 г. ныне действующий словарь, составленный с учетом современных научно-методических требований Р. Усубаку- новым и Ч. Жаныбековым, охватывает свыше 6 тыс. математических терминов курса математики средней и высшей школы.
Большие успехи, достигнутые в школьном математическом образовании, были бы невозможны без успешного решения одной из важных и острых проблем — проблемы подготовки научно-педагогических кадров.
Со времени открытия первого высшего учебного заведения в республике — Киргизского государственного педагогического института — в 1932 г. прошло немногим более 40 лет. Первый прием на физико-математический, исторический, биологический и литературный факультеты института составил всего 73 человека. В настоящее время подготовка учителей математики осуществляется в Киргизском государственном университете имени 50-летия СССР, в трех педагогических вузах в г. Фрунзе, Ош, Пржевальск, ежегодный выпуск которых составляет свыше 350 человек. На 13 математических кафедрах указанных вузов ведут научно-педа- гогическую работу 140 научных работников, из котбрых 31 имеет ученую степень кандидата педагогических наук, киргизов среди них соответственно 101 и 23.
Открытие в 1951 г. Киргизского государственного университета, создание сети педагогических вузов позволили в кратчайшие исторические сроки в основном удовлетворить потребность общеобразовательных школ в квалифицированных учителях математики. Только за последние 10 лет указанными вузами подготовлено 2,7 тыс. учителей математики. Если в довоенный пе- .риод учителей с высшим педагогическим образованием насчитывалось буквально единицы, то в настоящее время в восьмилетии* и средних школах 90% учителей математики имеют вузовскую подготовку.
Начало первых методико-математических исследований в Киргизии относится к последним предвоенным годам. Его зачинателями были члены математических кафедр Киргизского государственного педагогического института. Научно-исследовательские работы в области совершенствования методики преподавания математики получают интенсивное развитие в годы послевоенных пятилеток.
Открытие в республике в 1951 г. Киргизского научно- исследовательского института педагогики и отдела аспирантуры при нем в 1960 г. создало широкие возможности для организации исследований проблем совершенствования математической подготовки учащихся общеобразовательных школ, а также подготовки национальных научных кадров в области методики математики.
Ныне в Киргизском научно-исследовательском институте педагогики, республиканском институте усовершенствования учителей успешно сочетают работу по подготовке педагогических кадров, повышению квалификации учителей с научно-исследовательской работой 8 кандидатов педагогических наук.
Основными направлениями исследований в настоящее время являются актуальные проблемы дальнейшего совершенствования учебно-воспитательного процесса при обучении математике в соответствии с задачами, поставленными XXIV съездом КПСС, улучшение и развитие киргизской математической терминологии, повышение эффективности внеклассных занятий.
Математическое просвещение и школьное математическое образование в Киргизии формировались и развивались не обособленно, а в самой тесной связи с общим ходом их развития во всех братских союзных республиках. Становление и развитие методической мысли в области методики преподавания математики, создание обширного фонда оригинальной и переводной учебно-методической, научно-популярной математической литературы происходили под непосредственным влиянием и воздействием передовой русской математической мысли.
Русская педагогическая наука, практика, имеющая богатый опыт, располагающая высококвалифицированными специалистами в области теории и методики математики, оказали решающее влияние на колоссальные успехи и достижения в становлении и развитии в Киргизии общей математической культуры, и в частности школьного математического образования.
Р. Н. КОТЕЛЬНИКОВА, Д. Ill А РИФОВ, Б. ЮНУСОВА
(г. Душанбе)
РАЗВИТИЕ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ В ТАДЖИКИСТАНЕ
Вторая половина XIX в. в истории развития Таджикистана характеризуется как период застоя и упадка. Раздробленность территории, борьба феодалов за власть, засилье религиозной идеологии ислама привели к тому, что страна древней культуры превратилась в страну сплошной неграмотности. На территории Средней Азии и Казахстана существовали низшие школы — мактабы, которые преследовали единственную цель: обучение и заучивание изречений из Корана; обще¬
образовательные предметы в них не преподавались, и за 6—-8 лет обучения молодежь могла научиться лишь читать и не всегда писать. Изучение же математики в дореволюционных школах Таджикистана носило эпизодический характер. Те мударисы (преподаватели) высших школ — медресе, которые были знакомы с рукописями каких-либо математиков или астрономов, обучали по этим рукописям своих учеников, при этом обращалось внимание но обучение отдельным арифметическим действиям, измерению площади земельных участков, делению наследства и имущества.
Присоединение Средней Азии и Казахстана к России в начале XX в. не изменило картину просвещения таджикского народа, хотя стали создаваться новометод- ные и русско-туземные школы. В новометодных школах было введено преподавание родного языка, арифметики, географии, естествознания, но ввиду немногочисленности этих школ они не смогли оказать влияния
81
иа просвещение в целом. Примером тому является следующая статистика: в 1911 г. на территории Таджикистана существовало всего 10—12 школ.
Победа Великой Октябрьской революции создала неограниченные возможности для развития культуры, просвещения всех национальностей. Необходимо отметить, что Советская власть на территории современного Таджикистана установилась неодновременно. Так, в северной части Таджикистана, куда входили более развитые города KaiK Ходжент, Ура-Тюбе, Канибадам, Исфара, Пенджикент, она установилась в на-чале 1918 г., а в южной и на всей территории Бухарского эмирата — в марте 1921 г.
В 1924 г. была образована Автономная Таджикская Советская Социалистическая Республика. Естественно, что одной из первоочередных задач просвещения республики явилось преодоление сплошной неграмотности.
В 1929 г. создается самостоятельная Таджикская ССР. правительство и ЦК которой принимают решение о превращении Таджикистана в республику сплошной грамотности. Постановление о введении всеобщего начального образования, широко развернувшаяся работа по ликвидации неграмотности среди взрослого населения выдвинули, в свою очередь, еще одну немаловажную проблему — обеспечение школ учителями. На этом этапе подготовка кадров осуществлялась через широкую сеть организованных в республике педагогических курсов. Эти курсы в основном давали слушателям необходимые элементарные навыки письма, чтения и счета. Дальнейшее образование учителя получали в педагогических училищах.
В 1925 г. было открыто первое педагогическое учебное заведение — Институт просвещения в г. Ташкенте. В октябре 1926 г. в Душанбе был открыт первый педагогический техникум, а к 1932 г. их уже насчитывалось 6, в том числе два женских. В 1931/32 учебном году был открыт Душанбинский государственный педагогический институт, а к концу 1932 г. был открыт пединститут и в городе Ленинабаде. Необходимо отметить, что введение -всеобщего начального образования встретило на своем пути большие трудности; необходимо было обезвредить сопротивление контрреволюционных элементов и влияние духовенства, которое энергично сопротивлялось всем нововведениям. Наиболее трудной проблемой являлась проблема совместного обучения девочек и мальчиков как в школе, так и в специальных педагогических заведениях. Некоторое время приходилось идти на компромисс, открывая отдельно мужские и отдельно женские педагогические заведения. Несмотря на сравнительно быстрый рост заведений, готовящих педагогические кадры, квалифицированных кадров было еще недостаточно, и в 1935 г. Совнарком Таджикской ССР учредил Институт повышения квалификации кадров народного образования, в обязанность которого входят организация педагогических курсов, изучение опыта работы отдельных школ, отдельных учителей, распространение передового педагогического опыта, разработка изданий методических пособий по отдельным предметам. Вскоре он был реорганизован в Институт усовершенствования учителей. Параллельно с ним был учрежден Научно-исследовательский институт педагогики. Серьезную методическую помощь в деле подготовки учителей оказывал и оказывает по настоящее время издаваемый с 19Я6 г. ежемесячный педагогический журнал Министерства народного образования Таджикской ССР «Рохбари Дониш» («Путь к знанию»), переименованный впоследствии в «Мактаби Совети» («Советская школа»), в котором значительное место занимают статьи в помощь учителям математики.
В годы Великой Отечественной войны некоторые педагогические учебные заведения и школы были вре¬
менно закрыты и восстановлены лишь в 1945—1947 гг.
В 1948 г. открывается Таджикский государственный университет. Закон о пятилетнем плане восстановления и развития народного хозяйства Таджикской ССР, принятый Верховным Советом Таджикской ССР в августе 1947 г., ставит новые серьезные задачи по подъему народного образования.
50-е годы XX в. в стране характеризуются тем, что уделяется особое внимание математико-астрономическим исследованиям. Большую ценность при этом представляют переводы сочинений Омара Хайяма, Ибн Сино, Ал-Хорезми, Ал-Беруни и других, подготовленные А. П. Юшкевичем, Б. А. Розенфельдом. Естественны интерес и большая заинтересованность в проводимых исследованиях и ученых Советского Таджикистана. С целью привлечения ученых к историко-науч- ным проблемам в 1966 г. решением Президиума АН Таджикистана был. создан Таджикский национальный комитет историков естествознания и техники, что оживило исследовательскую работу. Появились работы, посвященные математическим и астрономическим трудам ученых Средней Азии. Эти исследования проходят в тесном сотрудничестве с учеными научных центров страны. Из выполненных работ следует особо отметить исследования Сабирова Г. С. по истории математики народов Средней Азии. Большой интерес представляет также работа Кадырова А. К. по истории математического образования.
Реформа по перестройке школьного курса математики нашла горячий отклик среди учителей республики. Под руководством Министерства народного образования начались экспериментальные работы в школах по введению в условиях Таджикистана новых идей в курс математики. Перестройка преподавания математики в школе вызвала необходимость повышения квалификации учителя. В Таджикистане этим вопросом много занимаются Республиканский институт усовершенствования учителей (г. Душанбе), а также Кулябский областной институт усовершенствования учителей, Ленина- бадский областной институт усовершенствования и ряд зональных институтов. Так, к 1974 г. через курсы повышения квалификации в этих институтах прошло более 3,5 тыс. учителей математики Таджикистана. Вопросами повышения квалификации учителей занимается и Республиканский учебно-методический кабинет Министерства народного образования. Он обобщает передовой опыт лучших учителей республики, систематически распространяя его в школы республики, обеспечивает школы программами, методическими указаниями, набором дидактических материалов, что имеет немаловажное значение для школ сельской местности Таджикистана.
Появляются работы ведущих методистов-математиков республики (Асимов К. У., Асадов X., Ахмедова Д., Гу- ломов И., Кельман Э. И., Мухаммадиев X., Маликов Ф. М. и др.).
Что касается научно-исследовательской работы по проблемам методики обучения в школе, то ведущее место в методических исследованиях занимает Душанбинский государственный пединститут. Результаты научно-методических исследований в республике периодически отражаются в сборниках: «Таълими математика дар мактаб» («Обучение математике в школе»). Выпущенный Айзенбергом А. К. тематический указатель статей журнала «Математика в школе» (третье издание, исправленное и дополненное до 1966 г., вышло вщ соавторстве с Асимовым К. У.).
Важную роль в научно-исследовательской работе по проблемам школы играет Научно-исследовательский институт педагогических наук. Сектор естествознания и математики (руководитель Асадов X.) ведет математическую пропаганду идей новой программы, изуча¬
82
ет и внедряет в практику преподавания передовой опыт, занимается исследованием познавательной деятельности учащихся на уроках математики и роли самостоятельной работы учащихся при обучении математике.
При Министерстве народного образования организован Совет по координации научных исследований в>об- ласти педагогических наук. Совет координирует деятельность научных учреждений и кафедр вузов республики по проблемам методики математики.
Трибуной распространения передового опыта учителей, результатов экспериментальных исследований являются республиканские педагогические чтения. В 1970 г. на педагогических чтениях было заслушано 17 сообщений по различным вопросам методики обучения математике в школе; из них 2 сообщения были рекомендованы и заслушивались на Всесоюзных педагогических чтениях. Не менее важное значение имеют для республики межвузовские конференции преподавателей математики. Проведенная в 1968 г. в Душанбинском госпединституте межвузовская конференция
преподавателей математики и физики собрала большое число участников из всех вузов республики.
Кузницей педагогических кадров республики является и Таджикский государственный университет, который за годы своего существования подготовил более 13 тыс. специалистов для нужд народного хозяйства. Один из крупнейших факультетов его — механико-математический, имеющий 7 кафедр. При университете организована проблемная лаборатория программированного обучения.
Невиданный в истории скачок сделала Таджикская республика за 50 лет — от сплошной неграмотности к всеобщему обучению. В настоящее время на каждые 10 тыс. населения приходится 147 студентов, в республике более 6000 научных работников, из которых 1800 с учеными степенями.
Университет, педагогические вузы республики, науч- но-исследовательские учреждения успешно решают поставленные партией и правительством задачи в деле подготовки высококвалифицированных кадров учителей, в деле совершенствования образования и воспитания будущих строителей коммунизма.
Математический календарь на 1974/75 учебный год
Январь
8 января — 60 лет со дня рождения академика Юрия Владимировича Линника (1915—1972). Линник родился в г. Белая Церковь, ныне Киевской области, в семье учителя физики, позже профессора физики, академика В. П. Линника. В 1938 г. Ю. В. Линник окончил Ленинградский университет. Там же в 1940 г. окончил аспирантуру и сразу защитил докторскую диссертацию. С 1940 г. Ю. В. Линник работал в Ленинградском отделении Математического института имени В. А. Стек- лова АН СССР, а с 1944 г.— одновременно в Ленинградском университете. Ю. В. Линник—профессор (1944), академик АН СССР (1964, член-корреспондент с 1953 г.), лауреат Государственной премии (1947), Президент Ленинградского математического общества (1959—1965), действительный член Международного статистического института (1962), член Математического статистического института США (1962).
Основные работы Ю. В. Линника относятся к теории чисел, теории вероятностей и математической статистике.
Он показал, что метод И. М. Виноградова (в аналитической теории чисел) приложим к решению труднейших проблем теории . вероятностей, привел ряд оценок тригономет¬
рических сумм методом Виноградова, дал элементарное доказательство проблемы Варинга, доказал, что всякое достаточно большое натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел, дал оценку, близкую к окончательной, наименьшего простого числа в арифметической прогрессии с большой разностью, дал новое доказательство теоремы Гольдбаха — Виноградова и многое другое. В 1947 г. Ю. В. Линник был удостоен Государственной премии за исследования в теории простых чисел, опубликованные им в 1945 и 1946 гг.
В 1969 г. за большие заслуги в развитии теории чисел, теории вероятностей и математической статистики Ю. В. Линник был удостоен звания Героя Социалистического Труда.
В 1970 г. Ю. В. Линнику, вместе с И. А. Ибрагимовым, Ю. В. Прохоровым и Ю. А. Розановым, была присуждена Ленинская премия за цикл работ по предельным теоремам теории вероятностей (см.: «Успехи математических наук», 1965, 20, в. 2; 1973, 28, № 2; «Вестник АН СССР», 1972, 27, № 5; «Вестник Ленинградского университета», 1972, № 13).
10 января —100 лет со дня рождения немецкого математика, члена Берлинской (Прусской) АН, члена-корреспондента других Академий, в частности АН СССР, Иссаи Шура (1875—1941). Шур работал
в Боннском и Берлинском университетах. Основные исследования Шура относятся к теории функции, линейной алгебре и теории групп. Он является одним из создателей теории линейных представлений, в которой с его именем связан ряд фундаментальных открытий. Ему принадлежат также важные работы по теории чисел, теории Галуа, теории конечных групп и матриц, теории ортогональных систем функций и гармоническому анализу. В 1973 г. вышло его три тома сочинений (см.: Биографический словарь деятелей естествознания и техники, т. 2. М., 1959; Реферативный журнал «Математика», 1974, № 2).
15 января — 70 лет со дня рождения советского математика, члена- корреспондента АН СССР Льва Генриховича Шнирельмана (см.: «Математика в школе», 1963, № 5).
15 января — 125 лет со дня рождения русского математика, а также писателя и публициста, члена-корреспондента Петербургской АН Софьи Васильевны Ковалевской (см.: «Математика в школе», 1949, № 1; 1953, № 2; 1965, № 1).
16 января — 70 лет со дня рождения советского математика и механика, академика АН УССР Анатолия Дмитриевича Коваленко. Он родился в Киеве, окончил Киевский политехнический институт (1929), док-* тор технических наук (1938), член-
83
корреспондент АН УССР (1951), академик АН УССР (1961), заслуженный деятель науки и техники УССР (1964). С 1935 г. работает в Институте механики АН УССР, а с 1949 г.— также в Киевском университете. Основные работы А. Д. Коваленко относятся к математическим методам в механике, теории пластин и оболочек (см.: «История отечественной математики», т. 4. Киев, 1970).
17 января — 200 лет со дня смерти итальянского математика Винченцо Риккати (1770—1775). В. Риккати родился и умер в г. Тревизо (Северная Италия). Его основные работы относятся к аналитической геометрии. Он совместно с Дж. Саладини издал большой двухтомник «Основания анализа» (Болонья, 1765 и 1767); в частности, во втором томе приводился геометрический вывод формулы радиуса кривизны, если кривые отнесены к некоторому «фокусу». В. Риккати принадлежит определение и обозначение гиперболического синуса (sh) и гиперболического косинуса (ch) (см.: Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966).
22 января — 200 лет со дня рождения выдающегося французского физика и математика, одного из основоположников современной
электродинамики, члена Парижской АН Андре Мари Ампера (1775— 1836). Ампер родился в Лионе. Еще в раннем детстве обнаружил удивительные способности к математике, в 14 лет Ампер с большим увлечением прочитал все 20 томов «Энциклопедии» Дидро и Даламбера, затем начал читать груды Бернулли и Эйлера.
В 1802 г. вышел его труд «Соображения о математической теории игры», посвященный теории вероятностей, затем им публикуются наиболее значительные работы по при-’ ложениям вариационного исчисления и задачам механики, доказательству принципа возможных перемещений, исследованиям в области математического анализа, геометрии (преобразования Ампера) и др. Известны дифференциальные уравнения Мон- жа—Ампера. В 1805 г. Ампер получает место репетитора по математике в Политехнической школе в Париже, а с 1824 г. он — профессор Нормальной школы в Париже.
Работы Ампера в области физики поставили его в ряд выдающихся ученых.
Талант Ампера был разносторонним, он интересовался вопросами химии, философии, психологии, лингвистики, сравнительной зоологии (см.: БСЭ, 3-е изд.; Л. Д. Белькинд.
А. М. Ампер. 1775—1836. М* 1968).
Февраль
3 февраля—110 лет со дня рождения русского педагога-матема- тика Всеволода Константиновича Беллюстина (1865—1925). Он родился в г. Зубцове бывшей Тверской губернии в семье священника. Окончил Московский университет (1886) и работал в различных уездных училищах и педагогических заведениях. Он был одним из крупнейших организаторов преподавания математики в начальной школе. Ему принадлежат многочисленные статьи по методическим и общепедагогическим вопросам, а также «Методика арифметики», «Арифметические задачники» для I—V классов, «Очерки методики геометрии в пределах начального курса». Большое внимание Беллю- стин уделял решению задач как средству развития сообразительности математического мышления. До сих пор пользуется известностью его книга «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики». М., 1940 (см.: М. И. Савин. Педагог-математик; В. К. Беллюстин. Ученые записки Горьковского педагогического института, 1967, вып. 72).
8 февраля — 275 лет со дня рождения выдающегося физика и математика, почетного члена Петербургской АН, Даниила Бернулли (см.: «Математика в школе», 1969, № 6).
9 февраля — 200 лет со дня рождения венгерского математика и поэта Фаркаша (Вольфанга) Б о л ь я и или Бойяи, отца выдающегося математика Яноша Больяи (см.: «Математика в школе», 1961, № 6).
9 февраля — 80 лет со дня рождения советского математика Петра Алексеевича Широкова (1895—1944). Широков родился в семье учителя Казанского реального училища, окончил Казанский университет (1918), профессор (1930), доктор физико-математических наук (1936). С 1923 г. работал в Казанском университете, с 1931 г. заведовал кафедрой математики, а затем кафедрой геометрии. Его научная деятельность началась еще на третьем курсе университета, когда он за работу «Интерпретация и метрика квадратичных геометрий» был награжден золотой медалью. Затем он занимался неевклидовой геометрией и механикой (теория винтов). Большинство его дальнейших работ посвящено тензорному анализу и тензорной дифференциальной геометрии римановых пространств. П. А. Широков является автором фундаментального руководства по тензорному анализу (см.: «Биографический словарь деятелей естествознания и техники», ъ 2. М., 1959;
«История отечественной математики», т. 3, 4).
11 февраля — 325 лет со дня смерти великого французского философа, математика, физика и физиолога Рене Декарта (см.: «Математика в школе», 1965, № 1).
А. И. БОРОДИН
(г. Донецк)
НИКОЛАЙ МИХАЙЛОВИЧ БЕСКИН
18 сентября 1974 г. исполнилось 70 лет известному деятелю в области математического образования, доктору физико-математических наук, профессору Николаю Михайловичу Бескину.
Н. М. Бескин — выпускник математического отделения Московского государственного университета, ученик крупного геометра Н. А. Глаголева. Он принадлежит к замечательной русской школе педагогов- математиков, сочетающих научные исследования в специальной области математики с большой педагогической деятельностью.
В 1933 г. вышел из печати его «Курс аналитической геометрии» для втузов (второе издание появилось в 1948 г.), в 1947 г. вышла «Методика геометрии», в 1950 г.— «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», в 1959 г.— «Задачник-практикум по тригонометрии» для заочных отделеиий пединститутов (второе до¬
полненное издание его вышло в 1962 г.).
Николай Михайлович — непреклонный борец против формализма и верхоглядства в обучении. Истинное знание—это результат деятельности мозга, а не только памяти; борьба с ложной «ясностью», за глубоко осмысленное знание должна быть одним из принципов методики — таково мнение автора «Методики геометрии».
Николая Михайловича постоянно волнуют вопросы школьного образования, повышения математической культуры в развитии кругозора учащихся. В этом плане он публикует в серии «Популярные лекции по математике» в 1971 г. брошюру «Изображения пространственных фигур», а в 1973 г.— брошюру «Деление отрезка в данном отношении», а также две статьи о цепных дробях в журнале «Квант».
Математические интересы Н. М. Бескина в основном лежат в области проективной геометрии. В частности, его исследования по основным теоремам аксонометрии являются основополагающими. Н. М. Бескин четко сформулировал основные проблемы как параллельной, так и центральной аксонометрии и доказал ряд важнейших теорем многомерной центральной аксонометрии для пространств Клейна. Им были получены новые обобщения на многомерное пространство теорем Дезарга, Чезы и Менелая, опубликованы несколько обзорных статей по методам изображений, одна из них помещена в четвертом томе «Энциклопедии элементарной математики». Его труды служат фундаментом для многих работ других авторов.
Круг интересов Николая Михайловича не замыкается геометрией, диапазон читаемых им курсов достаточно широк: теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, математическое программирование, линейная алгебра и т. д. Он находит также время для решения задач прикладного характера, имеющих народнохозяйственное значение.
Нельзя не сказать о большой общественно-педагогической работе, проводимой Н. М. Бескиным. Он много лет сотрудничает в редакции журнала «Математика в школе», активно работает в секции средней школы Московского математического общества, выступает с лекциями перед учителями и школьниками. Любое начатое дело выполняет с полной отдачей сил, будь то лекция для аспирантов по математике или выступление перед студентами с воспоминаниями о студенчестве двадцатых годов.
В 1968 г Николай Михайлович защитил диссертацию на степень
ры того же института, а в мае 1941 г. защищает кандидатскую диссертацию на тему «К теории абелевых групп произвольной мощности». Эта работа сразу же получила очень высокую оценку математической общественности.
Окончив аспирантуру, Леонид Яковлевич начинает работать преподавателем кафедры алгебры МГПИ имени В. И. Ленина и с 1942 г.— доцентом кафедры высшей математики Ивановского текстильного института.
С 1946 по 1949 г. Леонид Яковлевич проходит докторантуру при Ленинградском отделении математического института имени В. А. Стек- лова АН СССР и одновременно работает в должности доцента кафедры алгебры ЛГПИ имени А. И. Герцена.
В марте 1951 г. на заседании Совета математико-механического факультета ЛГУ имени А. А. Жданова Л. Я. Кулйков защищает докторскую диссертацию на тему: «Обобщенные примарные группы». •
В декабре 1954 г. известный специалист в области абелевых групп Т. Селе (Tiboi Szele) пишет: «Сегодня уже всякому очевидно, что самый ценный вклад в теорию бесконечных абелевых групп внесен именно Л. Я. Куликовым и что Куликов Л. Я., также и в мировом масштабе, является самым крупным ученым в этой области».
С 1950 по 1955 г. Леонид Яковлевич работает в должности заведующего кафедрой высшей математики Ленинградского института авиационного приборостроения, а с 1955 г. становится старшим научйым сотрудником математического института имени В. А. Стеклова АН СССР в Москве. В 1962 г. Л. Я. Куликов занимает должность профессора кафедры алгебры МГПИ имени
В. И. Ленина, а с 1963 г. и по настоящее время является заведующим этой кафедры.
Характеризуя научно-педагогическую деятельность Л. Я. Куликова, академик А. И. Мальцев писал в 1964 г.: «Л. Я. Куликов — один из выдающихся современных алгебраистов, один из главных создателей современной теории коммутативных групп. Заслуги его в этой области нельзя переоценить. Чтобы убедиться в этом, достаточно перелистать главы по теории коммутативных групп в монографии А. Г. Куроша «Теория групп» или посмотреть фундаментальное руководство на английском языке «Абелевы группы» J1. Фукса («Abelian lyroups» L. Fuchs). Почти в каждом параграфе их мы находим имя Л. Я. Куликова. Большинство фундаментальных теорем или принадлежат Л. Я. Куликову, или же Л. Я. Куликову принадлежит их современная формули¬
доктора физико-математических наук, ныне он — профессор Московского электротехнического института связи.
Н. М. Бескин — образец многогранного человека ■ высокой культуры, человека принципиального, образец прекрасного лектора, а для его учеников он — учитель в высоком смысле этого слова.
Желаем дорогому юбиляру здоровья и многих лет плодотворной деятельности.
В. А. КУЗНЕЦОВА, 3. А. СКОПЕЦ
(г. Ярославль),
А. Я. МАРГУЛИС
(Москва).
ЛЕОНИД ЯКОВЛЕВИЧ КУЛИКОВ
Исполнилось 60 лет известному советскому математику-алгебраисту, доктору физико-математических наук, профессору Куликову Леониду Яковлевичу, заведующему кафедрой алгебры Московского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института имени В. И. Ленина.
Леонид Яковлевич родился 2 ноября 1914 г. в семье железнодорожного служащего г. Никитовки Донецкой области. После окончания химического техникума в 1934 г. он поступает на физико-математический факультет МГПИ имени В. И, Ленина.
В 1938 г. Леонид Яковлевич становится аспирантом кафедры алгеб¬
85
ровка». Позже, в 1971 г., в своей статье «К истории алгебры в СССР за первые 25 лет», опубликованной в журнале «Алгебра и логика» Сибирского отделения АН СССР (т. 10, № 1), А. И. Мальцев еще раз подчеркивает, что «особенно значительный вклад в теорию коммутативных групп внес Л. Я. Куликов, работы которого во многом определяют ее сегодняшнее лицо». Леонид Яковлевич много работает с аспирантами, ведет интенсивную педагогическую и общественную работу. В течение многих лет Л. Я. Куликов является председателем Совета по присуждению ученых степеней математическо¬
го факультета МГПИ имени
В. И. Ленина.
Профессор Л. Я. Куликов неоднократно представлял Советский Союз на международных конференциях по теории групп.
В последние годы, в связи с переходом средней школы на новый учебный план и новые программы, Л. Я. Куликов особенно много внимания уделяет вопросам подготовки учителей математики. Являясь председателем научно-методического совета по математике ГУВУЗа Министерства просвещения СССР, Леонид Яковлевич Куликов организовал работу по созданию нового учебного
плана и новых программ для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов СССР.
Л. Я. Куликов уделяет много внимания подготовке научно-педагогических кадров. На кафедре алгебры МГПИ имени В. И. Ленина, которой он руководит, работает много талантливой молодежи.
Пожелаем Леониду Яковлевичу хорошего здоровья и новых достижений в его большой и плодотворной работе.
В. Г. ЛЕМЛЕЙН
(Москва)
Н. И. ШУШАНСКИЙ
(Москва)
НОВЫЕ КНИГИ ГЛАВНОЙ РЕДАКЦИИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА»
В 1975 г. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» предполагает выпустить ряд новых книг по математике для преподавателей средних школ и студентов пединститутов.
С важнейшим разделом элементарной геометрии знакомит книга видного французского математика А. До- неддю «Евклидова планиметрия». Особый интерес для советского читателя представит тот ее раздел, в котором на многочисленных примерах рассматривается система основных понятий современного школьного курса математики.
К 150-летию со времени первого сообщения Н. И. Лобачевского о неевклидовой геометрии предполагается выпустить обстоятельно комментированное собрание первоисточников (статей, документов, фрагментов рукописей, писем), не вошедших в собрание сочинений великого русского математика. Этот сборник будет называться «Научно-педагогическое наследие (Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма)».
Основы современной математической логики и теории алгоритмов изложены в книге известного американского ученого Д. Шенфильда, имеющей два приложения: одно посвящено проблеме тождества слов в группах, другое — изложению результатов, связанных с исследованиями в аксиоматической теории множеств гипотезы континуума.
Студентам и преподавателям пединститутов будет весьма полезна книга выдающегося голландского математика Б. Л. ван дер Вардена «Алгебра», переведенная с седьмого немецкого издания. В этом издании сохранен предельно ясный стиль изложения, а материал значительно пополнен и модернизирован.
В книгу Н. А. Лебедева «Принцип площадей в теории однолистных функций» включены все основные результаты, которые наиболее просто получаются именно с помощью данного метода. Монография составлена на основе конспекта лекций, которые автор читал в Ленинградском университете. Добавлены лишь новые результаты. Книга может быть использована студентами и аспирантами пединститутов в спецкурсах по геометрической теории функций комплексного переменного.
Полезным справочником для студентов и преподавателей явится работа В. А. Залгаллера «Теория огибающих». В ней значительно подробнее, чем в учебных курсах, изложена эта теория. Уточнены исходные понятия, рассмотрены семейства кривых и поверхностей при разных способах задания. Кроме традиционных необходимых признаков даны достаточные признаки для выделения огибающих и их особенностей.
Несколько слов о выпуске научно-популярной литературы.
С важнейшими свойствами целых функций познакомит студентов пединститутов и преподавателей математики книжка А. И. Маркушевича «Целые функции (элементарный очерк)», выходящая вторым изданием.
К широкому читателю обращены «Пятьдесят занимательных вероятностных задач» Ф. Мостеллера. Большинство этих задач несложно. Лишь совсем немногие из них требуют знания математического анализа.
Незаменимым пособием для преподавателей математики явится книга известного математика и замечательного педагога Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения». Знакомясь с этой книгой, читатель узнает, какими путями «добываются» в математике новые факты, с какой степенью доверия следует относиться к той или иной математической гипотезе,— словом, перед ним раскрывается подлинный процесс математического творчества.
На элементарном материале вводит в круг важных идей классической алгебры и анализа книжка М. М. Постникова «Устойчивые многочлены». В ее последней главе, более тоудной по содержанию, изложены основные результаты, касающиеся устойчивости целых функций и, в частности, квазимногочленов (теория Л. С. Понтрягина).
Учащимся средней школы, учителям математики и руководителям математических кружков будет весьма полезна брошюра И. Л. Бабинской «Задачи математиче-^ ских олимпиад». Она содержит задачи по арифметике, алгебре и геометрии, рекомендованные для областных и республиканских олимпиад учащихся IV—X классов, а также задачи всесоюзных олимпиад. Книжка входит в серию «Библиотека математического кружка».
И, наконец, в соответствии с пожеланиями читателей в 1975 г. будут переизданы четыре выпуска из серии «Популярные лекции по математике»: Н. Н. Воробьев «Признаки делимости», А. Г. Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней», А. И. Маркушевич «Возвратные последовательности» и С. В. Фомин «Системы счисления*.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
А. И. МОСТОВОЙ, Ш. М. ИЛЬЯСОВ
(г. Чимкент), М. Н. НАКОНЕЧНЫЙ
(г. Гурьев)
ПОЛЕЗНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ IY—V КЛАССОВ
Сейчас, когда общеобразовательная школа перешла на новое содержание обучения, учителя математики IV—V классов осваивают новые учебники и особенно вспомогательную литературу (методические руководства к учебникам и дидактический материал). Работая по этим книгам, многие учителя не только учат детей, но и учатся сами. Однако, после того как новые учебные пособия и методика преподавания в новых условиях будут освоены, у учителей появится потребность и в дополнительных пособиях. Этим запросам в значительной степени может удовлетворить рецензируемое пособие1.
Характерной особенностью рассматриваемой книги, отличающей ее от книг с аналогичным названием, является то, что в ней учитель найдет не только достаточный набор задач (в сборнике под 2583 номерами объединено более 4000 задач и вопросов разнообразного содержания), но и методические рекомендации, а в отдельных случаях и образцы решения задач. В ней большое внимание обращено на вопросы, которые при изучении обычно вызывают у учащихся затруднения: действия с-нулем и единицей, вычисления с многозначными числами, рациональные приемы вычислений, функциональная пропедевтика, элементарные геометрические построения. Особое внимание уделяется привитию учащимся практических умений и навыков в процессе решения целесообразно подобранных задач и упражнений.
1 С. А. Пономарев, П. В. Стратилатов, Н. И. Сырнев. Сборник упражнений по математике для 4—5 классов. Пособие для учителей. Изд. 2, перераб. М., «Просвещение», 1973.
В сборнике большое количество з&ддо врактичеошх,
заимствованных нз окружающей школьника жизни, исторических задач, примеров на сообразительность. Много упражнений, способствующих привитию учащимся умений самостоятельно составлять задачи, немало однотипных упражнений, рассчитанных на организацию учителем индивидуальной самостоятельной работы.
Обращают на себя внимание структурные особенности пособия. Задачи в нем расположены в определенной системе и разбиты по темам и разделам, содержание которых соответствует новой программе и учебникам. Это облегчает учителю подбор дополнительно к каждому уроку по ходу изучения программного материала упражнений для всего класса или отдельных учащихся, а наличие в конце каждой главы отделов для повторения и закрепления изучаемого материала позволяет разнообразить самостоятельную работу учащихся.
В качестве приложения в конце книги помещены таблицы справочного характера. Помещение этих таблиц в сборнике рассчитано на оказание помощи учителю в организации такой важной учебно-познавательной деятельности, как обучение учащихся умению самостоятельно составлять задачи. Подобный справочный материал полезен учителям.
Одна из особенностей обучения математике младших школьников заключается в систематическом возвращении к ранее изученному (организованное повторение). Но в учебниках для этой цели примеров недостаточно. Авторы пособия не только стремятся решать проблему подготовки учакцихся к активному восприятию новых знаний, но и постоянно возвращаются в задачах к ранее изученному материалу. Так, например, с понятиями равнобедренного, равностороннего, прямоугольного треугольников учащиеся познакомились еще во II и III классах, а в учебнике для IV класса об этом не упоминается ни разу. Естественно, учащиеся за год забудут соответствующий материал. Чтобы этого не произошло, авторы сборника предлагают отдельные задачи, в которых рассматриваются названные выше треугольники (задачи 131, 132, 306 и др.). Рецеязяруе- мое пособие содержит много и дополнительных упражнений, соответствующих индивидуальным запросам учащихся.
Полезным этот сборник будет и для организаторов внеклассных занятий. В нем выделена специальная глава, в которой подобрано более 250 задач для внеклассной работы.
Все сказанное свидетельствует о том, что «Сборник упражнений по математике для 4—5 классов» — ценное пособие для учителей.
Второе переработанное издание вышло в серии «Методическая библиотека школы» и рассылается под- писчикам-школам.
Само .по себе такое начало следует приветствовать. Это позволяет всем школьным библиотекам, особенно отдаленных сельских районов; приобрести необходимую методическую литературу. Вместе с тгм подписные издания исключают возможность продажи книг через обычные книжные магазины. А это в свою очередь не позволит учителю приобрести такие пособия. В связи с этим нам кажется, что аналогичные сборники и вообще литература из серии «Методическая библиотека школы» должны кроме подписки для школы поступать непосредственно и в руки учителей.
) Опечатка
В условии задачи 1406 («Математика в школе», 1974, JSfe 5) левую часть равенства следует читать так:
87
ЗА РУБЕЖОМ
А. Я. ХАЛАМАЙЗЕР
(Москва)
ЖУРНАЛ «МАТЕМАТИК ИН ДЭР ШУЛЕ»
1ГДР1
Журнал начал выходить с июля 1963 г.; до этого выходил журнал «Математик унд физик ин дэр шуле».
Журнал выходит ежемесячно (иногда два летних номера объединяются). Обычный объем журнала — 64 страницы; нумерация страниц — сквозная в течение года; например, № 7 содержит страницы 385—448.
Журнал освещает общественно-политические, научные, педагогические и методические проблемы, связанные с обучением математике в IV—X классах десятилетней политехнической общеобразовательной школы ГДР и отчасти в XI—XII классах «расширенной» школы *.
В журнале имеется ряд постоянных разделов.
Общий отдел публикует материалы по общим проблемам обучения 'математике, о подготовке к экзаменам и о результатах экзаменов, о целях и задачах обучения математике, о мировоззренческо-философских аспектах обучения математике. В этом разделе в № 8/9 помещена статья акад. С. JI. Соболева «Обучение математике в СССР», а в № 10 — обзор «Заметки по новой истории геометрии» (постулаты Евклида, идеи Валлиса, Плейфера, Саккери, а также Лобачевского, Клейма, Пуанкаре и др.). В настоящем обзоре мы остановимся на содержании двух статей из общего отдела.
1. «О результатах письменных экзаменов по математике за курс 10- и 12-летних школ в 1971/72 и о подготовке к экзаменам в связи с окончанием 1972/73 учебного года» (№ 2) 2.
1 Напомним, что в ГДР осуществлено всеобщее десятилетнее образование (начиная с шестилетнего возраста); «расширенная», или двенадцатилетняя, школа носит узкоцеленаправленный характер: готовит контингент для обучения в вузах. Прием в вузы ГДР производится без экзаменов на основе оценок и рекомендаций двенадцатилетних школ. В расширенных школах обучается около 25% молодежи соответствующего возраста (включая спецклассы производственных школ).
2 Объем требований по математике и тексты экзаменационных задач опубликованы в статье «Экзамены по математике в школах ГДР» («Квант», 1973, № 5). (Авторы: Г. Фаигхенель, Р. Лепертат, К. Вебер — институт математического, естественнонаучного и политехнического обучения АПН ГДР и А. Холфе — отдел математических и естественных наук Министерства просвещения ГДР).
В статье говорится о целях обучения и воспитания, сформулированных в новых учебных планах, о постепенном повышении уровня образования, о формировании социалистических убеждений и поведения у учащихся, о том, что экзамен — наиболее ответственный момент и для учителей, и для учащихся. В процессе экзаменов ученики должны показать, каков объем и каково качество их знаний, умений и навыков, как они могут применять эти знания и навыки в общественной жизни. Экзамены должны оказать максимальное влияние на дальнейшее развитие личности учащихся, на расширение их участия в жизни социалистического общества.
Результаты экзаменов в 1971/72 учебном году показали важный шаг вперед в деле выполнения учебных планов по математике, говорится в статье. Однако ясно, что между достижениями отдельных школ есть еще большие различия.
Экзаменационные задачи за десятилетнюю школу, как и в прошлые годы, призваны проверить основные знания и навыки школьников, прочное усвоение которых, как и уверенное владение ими, можно ожидать у каждого школьника.
Далее в статье отмечаются некоторые недочеты в знаниях, носящие массовый характер.
Аналогичный анализ проводится в статье по экзаменационным работам за двенадцатилетнюю школу. В заключение указываются некоторые недочеты массового характера и даются рекомендации по преодолению их при подготовке к экзаменам в 1972/73 учебном году.
2. «Психологические проблемы обучения математике» (ч. I — № 4, ч. II — № 5).
Все вопросы, связанные с обучением и воспитанием, являются в то же время вопросами психологии — основной тезис автора, д-ра Г. Пиппиг (секция педагогика психология, педагогический институт в Цвиккау).
Знания определяются как объект, усвоенный в процессе обучения. Учебная деятельность школьника направлена к усвоению накопленных человечеством знаний о данных конкретных вещах. Для выработки навыков и умений имеют значение в первую очередь фактические знания. Умственные способности вырабатываются путем усвоения знаний. Обучение навыкам происходит путем решения задач. В процессе решения задач навыки не только обнаруживаются, но и формируются вновь. Обучение решению задач автор разбивает на 3 этапа;
а) учитель формулирует задачу; ученики ищут путь решения;
б) учитель указывает проблему; ученики, сами формулируют задачу и решают ее;
в) ученик сам отыскивает задачу, формулирует ее и решает.
Например:
а) учитель формулирует теорему о сумме внутренних углов многоугольника и предлагает ученикам доказать ее;
б) учитель спрашивает, чему может равняться сумма внутренних углов многоугольника, предлагает рассмотреть различные многоугольники, выдвинуть гипотезу (формулу или теорему) и затем проверить ее (доказать теорему);
в) учитель предлагает: попробуйте сформулировать свойство внутренних углов многоугольника и т. д.
Автор останавливается также на «интуитивных» методах решения задачи. Если решение задачи не самоочевидно, то в процессе решения потребуется интенсивная умственная работа; решению сложной задачи может предшествовать рассмотрение вспомогательной задачи.
Автор отмечает также наметившиеся в последние годы попытки «алгоритмизации» решения задач, рассматривая при этом:
88
— переход к более общей или к более частной задаче;
— классификацию состояний (вариантов) задачи;
— обобщение с целью схематизации задачи;
— расчленение задачи на отдельные этапы;
— создание и проверку гипотез и т. д.3.
Многие задачи автор предлагает решать по следующей схеме:
а) распознавание проблемы;
б) анализ проблемы;
в) формулировка гипотезы и проверка ее.
В списке литературы, приведенной автором,— 30 названий, в том числе работы С. Л. Рубинштейна,
В. В. Давыдова, П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной, Л. Н. Ланда, Б. М. Кедрова и др.
Математический отдел публикует сообщения о достижениях в решении математических проблем, в той или иной мере связанных со школьным преподаванием. В 1973 г. опубликован ряд статей по функциональному анализу — в связи с некоторыми разделами школьного курса математики; о р-адических числах — в связи с некоторыми вопросами делимости чисел, о логико-стилистических упражнениях (В. Титц. «О логико-стилисти- .ческих упражнениях при обучении математике», № 10 и № 11), где обращается внимание на недочеты в речи учащихся на уроках математики, приводятся примеры нечетких, неточных, двусмысленных выражений, разъясняются понятия альтернативы, конъюнкции, импликации, эквивалентности, необходимости и достаточности и т. п.4. X. Пипер в статье (№ 2) о представлении чисел и многочленов в виде сумм квадратов исходит из предложения Лагранжа о возможности представить любое натуральное число в форме суммы не более чем четырех квадратов. Далее автор распространяет это предложение на множество всех рациональных чисел и на множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Затем ставится вопрос о возможности представления любого натурального числа в форме суммы кубов, биквадратов и т. д.— вообще в форме суммы к-тых степеней натуральных чисел. В статье упоминаются работы Э. Ландау, Л. Гильберта, а также Ферма, Варинга, Эйлера, Харди и Литтльвуда, Хинчина, Шнирсльмана, Гельфонда, Серпинского и др.
В разделе «Повышение квалификации учителей» — материалы, рекомендации, советы как по организации курсов, семинаров, консультаций для учителей математики, так и для самостоятельных занятий. Здесь же — информация о новом, переработанном издании книги проф. Л. Гёрке «Множества, соотношения, функции» (первое издание— 1965 г.), подробная рецензия на книгу и рекомендации для использования.
Методический отдел является важнейшим разделом в журнале; методике обучения, пособиям для учителя и обмену опытом посвящено больше половины всех статей (и всего объема журнала). Здесь же (№ 12) — статья об опыте дидактико-методического применения аппарата «Polylux» — настольного проектора (кодоскоп) для демонстрации изображений, заготовленных на прозрачной пленке. Аппарат легко переносится из класса в класс. Изображение на стене или на экране — весьма яркое и четкое даже при дневном освещении . класса (зала, кабинета).
Весьма интересной представляется статья видного методиста д-ра Г. Питча (Гумбольдт-университет, Берлин)
8 Некоторые высказывания автора почти совпадают с рекомендациями Д. Пойа («Как решать задачу». М., Учпедгиз, 1961).
4 Представление о логико-математических упражнениях в школе ГДР можно получить по переводу написанной для школьников научно-популярной статьи Л. Фладе «Маленькие слова с большим значением» (см. «Квант», 1973, № 8).
«Проблемы и возможности мотиваций в обучении математике» (№ 7), которая представляет собой изложение доклада, сделанного им на конференции Математического общества ГДР.
Успехи в обучении в значительной мере зависят от отношения ученика к учебе вообще, к данному предмету и в данных обстоятельствах в особенности, говорит автор. Активность ученика зависит от интереса к предмету, развивается в соответствии с удовлетворением потребности самого ученика. Автор говорит об объективной необходимости первичной мотивации в соответствии с субъективными возможностями и учителя, и ученика, а также о вторичной мотивации — достижении важной и благородной цели обучения, подготовке к той или иной профессии для выполнения обязанностей гражданина социалистического общества. Далее автор рассматривает две фазы мотиваций:
1) мотивацию необходимости заниматься той или иной проблемой (например, умножением дробных чисел);
2) мотивацию путей решения данной конкретной проблемы.
Автор рассматривает на примерах важнейшие аспекты математических мотиваций:
а) необходимость, целесообразность, упрощение;
б) полноту и систематизацию;
в) аналогию;
г) обобщение;
д) обращение проблемы и постановку вопроса;
е) отыскание взаимосвязей и зависимостей.
В заключение автор подчеркивает воспитательное значение мотиваций.
В этом же номере помещена статья Г. Питча «Рекомендации по планированию первого урока темы «Умножение дробных чисел» (некоторые примеры из нее используются в вышеназванной статье). Это — подробная методическая разработка урока (VI класс).
В статье приводятся «ожидаемые трудности» и «необходимые пособия»: линейка, цветные мелки (желтый и оранжевый), проектор «Polylux» и заготовленные к нему таблицы на пленке.
В школе ГДР находят самое широкое применение тетради с печатной основой — тетради, в которых типографским способом напечатаны задачи, упражнения, предложения для грамматического разбора и т. д.
«Применение рабочих листов при изложении и доказательстве теорем» рассматривают В. Штейнхофель и К. Рейхолъд из Карл-Маркс-штадта (№ 2).
Эти же авторы пишут «О применении рекомендаций при доказательстве теорем на уроках» (№ 3). Статья посвящена вопросу о выработке навыков доказательства теорем. В рекомендациях авторы ссылаются на ряд работ по психологии обучения математике, в том числе на работы Н. Ф. Талызиной, П. Я. Гальперина, Л. Л. Гуровой, А. А. Столяра, Е. Ф. Даниловой.
Упомянем еще некоторые статьи методического отдела:
«О применении функций, содержащих абсолютную величину» (№ 5).
«Возможности обучения логическому мышлению в IV классе» (JM® 1).
«Определения и доказательства в разделе «Дробные числа» (№ 7).
«Задачи с химическим содержанием» (№ 12).
«Задачи с физическим содержанием» (№ 8, 9).
«Некоторые возможности обогащения уроков математики упражнениями советской средней школы» (№ 5; авторы: харьковский учитель Ю. В. Ганделъ и стажирующийся в Харькове Дитер Хеч).
«Изложение понятия функции в общеобразовательной школе СССР» (№ 12) и др.
89
В каждом номере журнала публикуются выступления учителей и методистов по отдельным проблемам обучения (обмен опытом), а также большое количество статистических данных по народному хозяйству ГДР — для использования в упражнениях.
Статьи историко-биографического отдела встречаются не в каждом номере Журнала. Сюда относятся упомянутые уже. «Заметки по новой истории геометрии», «Краткая история числа я» (№ 8/9; автор — проф. Грейфс- вальдского университета Франц фон Крбек), статья об известной немецкой ученой, профессоре Гёттингенского университета Эмми Нётер; которая в 1928—1929 гг. читала лекции и в Московском университете (№ 3) и т. д.
В отделе факультативные занятия и внеклассная работа публикуются сообщения о республиканских и международных математических олимпиадах (в № 3 — большая статья о XIV Международной олимпиаде, где приведены все задачи с решениями, указано распределение мест и названы все 8 призеров команды ГДР), в № 1— статья о решении уравнения четвертой степени, в № 8/9 — о факультативном курсе сетевого планирования.
Преподаватель Дрезденского педагогического института д-р Альфред Гильберт рассказывает «О планировании внеклассной работы по математике» (№ 6), где обосновывает необходимость тщательно готовить кружковую работу студентов — будущих учителей математики. В статье приводятся планы различных кружковых и факультативных занятий, в том числе план темы «Комбинаторика», рассчитанной на 7 двухчасовых занятий, план темы «Теория множества» и т. д., а также
примерные планы некоторых отдельных занятий кружков в Дрезденском клубе юных математиков (КЮМ).
В отделе литература — информация систематически публикуются сообщения о новой научной и методической литературе для учителя, о выпуске новых наглядных пособий, отчеты о работе методической секции Математического общества ГДР, о содержании математических журналов для школьников «Alpha» и «Wurzel»5.
Преподаватель-методист из Гумбольдт-университета X. Зайбт дает (№ 2) подробный обзор советского журнала «Математика в школе» за целый год, в № 12 — обзор венгерского журнала «А matematika tanitasa» («Обучение математике») за 1972 г. В этом обзоре приводятся также все задачи письменного экзамена на аттестат зрелости в Венгрии за 1971 г. и нормы оценки; интересно отметить, что для получения оценки «достаточно» нужно набрать лишь 6 баллов (вся работа расценена в 40 баллов), на «хорошо» — 22 балла, на «отлично» — 33 балла.
Журнал оказывает существенную помощь учителям математики и методистам. Начинающий учитель находит в нем конкретные рекомендации по различным темам школьного курса, бол^е опытный — советы по проведению факультативных и кружковых занятий и др.
5 О журнале «Alpha» («Альфа») см. «Математика в школе», 1973, № 2. Журнал «Wurzel» («Корень») — ежемесячный — издается математическим отделением Фридрих-Шиллер-университета (Иена) для школьников, поступающих на математические специальности университетов и пединститутов.
Некролог
ВАСИЛИИ ДМИТРИЕВИЧ ЧИСТЯКОВ
29 августа 1974 г. после продолжительной тяжелой болезни скончался кандидат педагогических наук, доцент, член КПСС Чистяков Василий Дмитриевич.
В. Д. Чистяков родился в 1907 г. в Чувашской АССР в семье крестьянина. После окончания 2-го МГУ работал в Омском пединституте и Харьковском университете. С 1942 по 1946 г. служил в рядах Советской Армии, участник Великой Отечественной войны, сражался с врагом под Одессой и Сталинградом.
С 1947 г. и до ухода на пенсию в 1973 г. Василий Дмитриевич работал в Витебском педагогическом ин¬
ституте имени С. М. Кирова в должности заведующего кафедрой высшей математики. За это время им написаны 53 научные работы, в том числе 17 книг (пособия для студентов, учителей и учащихся). Его работы по методике математики и истории математики, такие, как «Математические вечера», «Три задачи древности», «Беседы о геометрии Лобачевского», «Исторические экскурсы на уроках математики» и другие, хорошо известны учителям и студентам. Многие статьи В. Д. Чистякова опубликованы в журнале «Математика в школе».
Василий Дмитриевич принимал активное участие в повышении квалификации учителей математики, часто выступал с лекциями перед учащимися, был страстным популяризатором математики. Он являлся высококвалифицированным преподавателем, был хорошим руководителем кафедры и пользовался заслуженным авторитетом у студентов, преподавателей института и учителей.
За боевые заслуги и трудовые успехи В. Д. Чистяков награжден орденом «Знак почета», медалью «За оборону Сталинграда» и другими наградами.
Память о Василии Дмитриевиче Чистякове будет долго жить в наших сердцах.
В. Н. ВИНОГРАДОВ
(г. Витебск)
90
ХРОНИКА
3. И. МОИСЕЕВА
.(Москва)
С КОЛЛЕГИИ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР
Коллегией Министерства просвещения СССР был рассмотрен вопрос «О ходе выполнения решений XXIV съезда партии и последующих постановлений ЦК КПСС и Совета Министров СССР о завершении перехода ко всеобщему среднему образованию в Армянской ССР».
Коллегия отметила большую организационно-педагогическую и методическую работу, которая проводится в республике под руководством партийных и советских органов по завершению введения всеобщего среднего образования молодежи.
Укреплена сеть школ, в результате чего 90% учащихся республики обучаются в средних школах* Успешно выполняются задания пятилетнего плана по выпуску учащихся из восьмых классов дневных и вечерних общеобразовательных школ и учебных заведений, дающих среднее образование.
Отмечалось, что Министерство просвещения Армении, органы народного образования и учителя республики ведут большую плодотворную работу по совершенствованию учебно-воспитательного процесса, повышению теоретического и идейно-политического уровня преподавания.
В соответствии с графиком перехода на современные учебные планы, программы и учебники, утвержденные Министерством просвещения Армянской ССР, новое содержание образования введено по всем предметам, за исключением родного языка в VIII классе и математики в VII—X классах.
На коллегии обсуждался вопрос о воспитании школьников на уроках и во внеурочное время, постановка трудового и эстетического обучения. Рассматривалась организация подготовки и переподготовки учительских кадров в республике, работа пединститутов и институтов усовершенствования учителей и другие вопросы.
Обсуждению этих вопросов на Коллегии предшествовала проверка состояния дела специальной бригадой. Проверке подверглись: состояние преподавания и качества знаний учащихся по математике, физике, русскому языку и литературе, истории и обществоведению, трудовому обучению, начальной военной подготовке в школах с родным и русским языками обучения в 14 городах и районах Армении.
Остановимся подробно ню состоянии преподавания и качестве знаний учащихся по математике.
В целом проверка показала удовлетворительное состояние преподавания и качество знаний учащихся по математике в школах Армянской ССР.
Результаты выполнения контрольных работ (в процентах) приведены в таблице.
Общая успеваемость по алгебре по контрольным работам составила 87,9%, по геометрии — 86,5%.
Анализ материалов проверки, наблюдения органов народного образования позволяют сделать вывод, что, несмотря на известные трудности, курс геометрии VI—VII классов учащиеся в основном усваивают.
Шестиклассники и семиклассники знают основные определения, формулировки аксиом и теорем, достаточно хорошо владеют навыками геометрических построений.
Однако велико число учащихся, допускающих ошибки при нахождении пересечения и объединения фигур, в использовании^ новой символики. Как уже отмечалось предыдущими проверками, причина не в трудности этого материала для учащихся, а в основном в том, что учителя не работают систематически над формированием этих понятий.
Теоретико-множественная концепция также проводится учителями недостаточно четко и последовательно. Темы «Отображение фигур», «Перемещения и их свойства» (VI кл.), «Гомотетия и подобие» (VII кл.) изучены в ряде случаев формально. Учащиеся почти не используют этот материал при доказательстве справедливости своих выводов при решении различного рода задач.
Шестиклассникам была предложена следующая контрольная работа *:
1. В треугольнике ABC через середину стороны ВС — точку D — проведена прямая DE, параллельная стороне АВ, £<= [АС].
Вычислить периметр треугольника DCE, если |£С| = 15 см, \АВ | = 12 см, \АС\=6 см.
2. Построить треугольник BCD, если |£С|=2,5 см, В = 75°, D = 60°.
Первую задачу верно и с полным обоснованием решили три четверти учащихся, 23,4% допустили ошибку, связанную с теоремой Фалеса, а 21,4% ошиблись при
1 Все контрольные работы давались на один урок.
Предмет
VI
VII
VIII
IX
X
Справились с работой
Получили .4*—.5*
Справились с работой
Получили .4*—.5*
Справились с работой
Получили .4*—,5*
Справились с работой
Получили ,4*—.5*
Справились с работой
Получили ,4‘—.5*
Алгебра . . „ Г еометрия .
84,6
36,9
89.1
91.2
45,1
43,6
84,8
23U
90 у 5
.
39*2
88,*
Э!
применении определения и свойства средней линии треугольника.
Верно построили треугольник по условию второй задачи — 54,5% учащихся, но каждый пятый шестиклассник допустил ошибку при построении угла заданной величины, много ошибок (14,9%) на свойство суммы углов треугольника (изучалось в V классе). 19,3% школьников неверно применили признак конгруэнтности треугольников, считая два треугольника конгруэнтными, если сторона и два угла одного треугольника конгруэнтны стороне и двум углам другого треугольника 2.
Приводим контрольную работу по геометрии для VII класса.
1. Rano: [DE] || [АС], |В£>|=7 сму |ЛС1=8 см,
\DE\ =4 см (рис. 1).
Вычислить \АВ\\ указать отображение плоскости на себя, при котором образом треугольника ABC будет треугольник DBE.
В
Рис. 2
2. а) Построить сумму векторов а и b (рис. 2); б) по-
-> ->
строить разность векторов а и Ь.
3. Верно ли высказывание: если G>i~ Ф, то Oi ss Ф?
Первую задачу с обоснованием решили 54% писавших, без обоснования или с неполным обоснованием — 39,6%. Наибольшее число ошибок (23,2%) связано с неумением указать требуемое отображение плоскости на себя.
Значительное число ошибок было допущено учащимися при нахождении суммы и разности векторов (соответственно 21 и 29,8%). Как показали устные беседы с учащимися и наблюдения урбков, многие ученики с трудом понимают приведенное в учебнике изложение материала по теме «Векторы», но, по-видимому, в основном это объясняется недостаточно четко проводимой учителями трактовкой вектора как параллельного переноса. С третьим заданием справились 73% семиклассников.
По алгебре учащиеся VII класса в целом усвоили понятие целого выражения и дроби, арифметического корня, неплохо справляются с решением задач с помощью составления уравнений, удовлетворительно решают линейные неравенства и системы линейных неравенств, но недостаточно твердо владеют тождествами сокращенного умножения, изученными в VI классе, слабо владеют навыками решения уравнений с переменной в знаменателе.
Следует отметить, что изучение раздела «Применение неравенств к приближенным вычислениям» проходило не ка должном уровне. Все уроки, посвященные этой теме, которые посетила комиссия, были слабыми как в методическом, так и в теоретическом отношении. Отчасти это можно объяснить тем, что в такой трак¬
2 Следует отметить, что в 1968/69 учебном году с задачей «Построить прямоугольный треугольник с катетом 6 см и прилежащим углом 55°. Определить измерением длину гипотенузы» справились лишь 45,1% учащихся, писавших эту работу.
товке и в таком объеме материал изучается в школе впервые, курсовую же подготовку прошли далеко не все учителя, работающие в VII классе.
При составлении текстов контрольной работы по алгебре для VII класса ставилась задача проверить у учащихся, обучающихся по новой программе, навыки решения задач методом составления уравнений и сравнить их • с аналогичными навыками у учащихся VIII классов, обучающихся по старой программе. Поэтому учащимся VII и VIII классов были предложены задачи аналогичного содержания.
Работа для VII класса (учащиеся обучались по новой программе):
1. Теплоход прошел 60 км вниз по течению реки и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 30 минут больше, чем на путь по течению реки. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч?
2. Решите неравенство
2 — Ъх Л
1 >0
Работа для VIII класса (учащиеся обучались по старой программе):
1. Моторная лодка прошла по течению реки 15 км и вернулась обратно. На путь по течению реки лодка затратила на 25 минут меньше, чем при возвращении. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость те- чения реки 3 км/ч.
2. Дана функция у — х2 — 3 х.
а) Построить график заданной функции;
б) определить, по графику, при каких значениях х у = 4;
в) определить по графику, при каких значениях у х—\.
Результаты контрольных работ позволяют сделать вывод о том, что новая программа обеспечивает формирование удовлетворительных навыков решения задач составлением уравнений.
Интересно, что учащиеся VII и VIII классов справились с решением задачи почти одинаково. Полностью решили задачу 58,1% семиклассников и 63% — восьмиклассников. При составлении уравнения ошиблись 11,3% учащихся VII класса и 10,8% — VIII класса. Но семиклассники хуже решили уравнение с переменной в знаменателе (24,5% работ с ошибками у семиклассников против 16,8% У восьмиклассников). Следует учесть, что в VIII классе (конец апреля) учителя систематически предлагают учащимся текстовые задачи, семиклассники же довольно длительный период времени не решали подобные задачи.
Со вторым заданием справились 69% учащихся VII класса и только 20,4%—VIII класса. Анализ выполнения второго задания семиклассниками дается в сравнении с выполнением соответствующего задания учащимися IX класса (см. результаты IX класса).
Контрольная работа показала, что учащиеся VIII класса плохо усвоили тему «Функции и их графики». Так, при построении графика квадратичной функции ошиблись 34,6% восьмиклассников, при нахождении значений аргумента (функции) по соответствующему значению функции (аргумента) допустили ошибки 58,7% учащихся, не приступили к выполнению второго задания 14,4% учащихся VIII класса.
Учащимся IX класса была предложена следующая контрольная работа:
1. Упростить
a) cos те -{- а^, б) sin2 (те -f- а)
2. Решить неравенство
5.V -
л -t *
<4.
92
3. Упростись
1 — sln(— х) 1 cos2 Jt + sin*-
4. Решить уравнение
a) sin 2x — 0;
6) cos 5x =
С работой справились 90,5%. Девятиклассники в основном усвоили формулы приведения и основные тригонометрические тождества, знают свойства четности и нечетности тригонометрических функций. Однако лишь 58,6% учащихся IX класса справились с решением предложенного неравенства, а 14% не приступили к его решению. Интересно отметить, что с аналогичным заданием семиклассники справились значительно успешнее. Верно решили неравенство 69% учащихся VII класса, а не приступили к выполнению 2,6% писавших.
При решении неравенства 16,4% девятиклассников составили только одну систему, среди семиклассников такую ошибку допустили только 2,3%.
Неверно составили систему неравенств 16,2% учащихся IX класса и 3,5%—семиклассников.
При решении систем ошиблись 18,3% девятиклассников и 17,6% учащихся VII класса.
Контрольная работа показала, что каждый четвертый девятиклассник допускает ошибки при решении простейших тригонометрических уравнений вида sin x — m и cos* = m, 12% ошиблись в приведении суммы алгебраических дробей к общему знаменателю.
Контрольная работа для учащихся X класса:
1. Решить уравнение
2. Найти область определения функции
(X— 2) lg(.r + 1)
У У 15 + 2х — хг ‘
3. Построить график функции
y=log3 (* + 3);
а) определить по графику, при каких значениях х у=0; у=—1;
б) определить по графику, при каких значениях у х~6.
С контрольной работой по алгебре справились 88,5% учащихся. Десятиклассники показали твердые навыки решения показательных уравнений, приводимых к квадратным, они умеют находить область определения сложных функций и т. д. Однако 24% учащихся X класса не приступили к построению графика логарифмической функции, а 18,7% допустили ошибки при его построении, 11,9% не смогли определить по графику значение аргумента, соответствующее данному значению функции. Вызывает тревогу, что 13% десятиклассников допусти¬
ли ошибку при решении квадратного неравенства, а 15% не смогли найти решение системы неравенств.
Итоги проверки позволяют сделать вывод о том, что с введением новых программ выросло математическое развитие учащихся, у них стали более осознанными навыки решения уравнений и неравенств, задач методом составления уравнений, улучшились функциональные представления, развились активность и самостоятельность, стала грамотнее и четче речь.
Проверка также показала, что введение новых программ в целом положительно сказалось на всей учебно-воспитательной работе школы. Вопросы преподавания математики стали чаще заслушиваться на педагогических советах, методических объединениях и производственных совещаниях школ республики.
Среди учителей Армении много истинных мастеров своего дела. Это директор средней школы села Нора- дуз А. П. Аветисян, учитель этой же школы Г. Б. Мар- кирян, учителя школы имени А. С. Пушкина г. Еревана И. П. Григорядис и К- О. Петросян и др. Наряду с этим многие директора и завучи школ, математики по образованию, не готовы к руководству учебным процессом по новым программам, так как своевременно не прошли переподготовку. Они, как правило, не ведут уроки в классах по новой программе. Отдельные учителя, работающие по новым программам, еще по-настоящему не перестроились в своей работе. При изучении некоторых «традиционных» тем новых курсов алгебры и геометрии излагают их в прежней трактовке, исполь-1 зуя при этом старую терминологию и методику изложения этого материала, не используют полностью развивающие возможности новых программ и учебников и большую часть времени на уроках отводят тренировке памяти учащихся, не развивают их творческой активности и инициативы.
На Коллегии было отмечено, что в целях устранения выявленных недостатков органам народного образования, институтам усовершенствования учителей, методическим объединениям необходимо:
1. Усилить пропаганду идей новых программ и учебников, оказывать всемерную помощь учителям в освоении нового содержания предмета, в овладении новой методикой посредством организации курсов, лекций- консультаций, семинаров-практикумов и т. п.
2. Не допускать, чтобы в классах, работающих по новым программам, преподавали учителя без соответствующей подготовки.
3. При планировании курсовых мероприятий главное внимание уделить теоретико-множественной' подготовке учителей, овладению ими новой символикой, умению правильно пользоваться ею. Узловые, наиболее трудные темы, такие, как «Отображение фигур», «Перемещение фигур и их свойства», «Гомотетия и подобие», «Векторы», «Неравенства и их применение к приближенным вычислениям», «Решение уравнений с переменной в знаменателе», должны стать основой курсовой подготовки учителей VI—VIII классов.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ ЗА 1974 г.
Передовые
Год памятных дат, год большого труда, № 1, с. 2. Гордость наша — Академия, № 2, с. 3.
Каждому школьнику — прочные и глубокие знания, № 3, с. 3.
Об усилении научно атеистического воспитания уча¬
щихся средней общеобразовательной школы, № 6, с. 3.
Твой долг, учитель! N? 4, с. 3.
Трудовое воспитание и профориентационная работа в школе, № 5, с. 3.
К 250-летию Академии наук СССР
Б. В. Гнеденко. Академия наук и развитие математики, № 1, с. 4. Академия наук и развитие математического просвещения в СССР, № 2, с. 7.
93
К 50-летию образования
союзных республик
Т. Абдукаримов. Полвека развития школьного математического образования в Киргизии, № 6, с. 79.
Р. Н. Котельникова, Д. Шарифов, Б. Юнусова. Развитие методики математики в Таджикистане, № 6, с. 81.
Научно-популярный отдел
С. Г. Гиндикин. Измерение углов, № 6, с. 10.
Методический отдел
А. П. Азия. О задачах с химическим содержанием, № 4, с. 54.
Г. Д. Балк. Об одном приеме проверки знаний, j\V3, с. 39.
Ф. М. Барчунова. Развитие познавательного интереса к геометрии у учащихся VI—VII классов, № 6, с. 25.
Ф. М. Барчунова, Ю. М. Колягин, Г1. Б. Ройтман. Первые уроки геометрии в VII классе, № 4, с. И.
Н. У. Бикбаева. Из опыта работы в IV классе, № 2, с. 34.
Г. Р. Бреслер. Об обучении доказательству в IV классе, № 5, с. 34. .
Е. В. Веретенникова Элементы комбинаторики, № 4, с. 40.
И. Г. Вишняцкая. Упражнения по геометрии в V классе, № 2, с. 35.
A. И. Власенко. Нужна ли каллиграфия на уроках математики? № 2, с. 49.
М. Б. Волович. К вопросу о закономерностях усвоения, № 3, с. 44.
Б. В. Гнеденко. Политехнические аспекты преподавания математики, № 6, с. 18.
Ю. Н. Голишев. Профориентация на занятиях по математике в средней школе Восточно-Сибирской железной дороги, № 3, с. 41.
Я. И. Груденов. О некоторых стереометрических задачах, № 1, с. 26.
111. X. Гущян. Об организации учебной работы в старших классах средней школы, № 5, с. 45.
Г. В. Дорофеев. Проверка решения текстовых задач, Ко 5, с. 37(
О. С. Ивашев-Мусатов. О площадях поверхностей, № 2, с. 41.
О. С. Ивашев-Мусатов. Об изложении темы «График линейной функции», № 4, с. 39.
К преподаванию математики в X классе в 1974/75 учебном году, № 3, с. 28; № 5, с. 20.
К составлению задач и упражнений по статистическим данным, № 1, с. 32.
Контрольные работы по геометрии для VI—VII классов на 1974/75 учебный год, № 4, с. 23.
Н. Т. Кутузова. Об изучении тождеств сокращенного умножения, № 6, с. 29.
Е. И. Лященко. Задачи с дидактическими функциями в IV—V классах, № 1, с. 12.
г Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравич,
С. Б. Суворова. «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры VIII класса, № 4, с. 5.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин,
С. Б. Суворова. О новом учебнике алгебры для VIII класса, № 2, с. 15.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин,
С. Б. Суворова. Степень с рациональным показателем в курсе алгебры VIII класса, № 5, с. 11.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин,
С. Б. Суворова. Уравнения и неравенства с двумя переменными в курсе алгебры VIII класса, № 3, с. 5.
Г. Г. Маслова, А. Ф. Семенович, Р. С. Черкасов. Геометрия в VIII классе, № 2, с. 23.
B. И. Мишин. К методике формирования понятия подобных фигур» № 2, с. 38»
3. И. Моисеева. Некоторые результаты работы седьмых классов по новой программе, № 2, с. 32.
3. И. Моисеева, Н А. Копытов, М. Р. Леонтьева. О некоторых итогах работы VI—VII классов в 1973/74 учебном году, № 5, с. 5.
И. И. Москвитина, Н. И. Пушкарева. О приближенном извлечении квадратного корня, 6, с. 30.
В. М. Монахов. О методике изучения темы «Приближенные вычисления» в VIII классе, № 3, с. 12.
А. И. Мостовой. К изучению темы «Вписанные и описанные многоугольники», № 4, с. 36.
A. И. Мостовой. К решению геометрических задач в VII классе, № 1, с. 18.
Об изучении первых разделов курса геометрии VIII класса, № 3, с. 18.
Об экзаменационных материалах за курс восьмилетпей школы, № 6, с. 42.
B. В. Пикан. Тригонометрические функции в VIII классе, № 5, с., 16.
В. П. Покровский. Формирование «геометрической зоркости» у учащихся IV—V классов, № 4, с. 30.
М. В. Потоцкий. Как помочь школьнику решать задачи? № 1, с. 29.
Примерное планирование по математике в IV—V классах и по геометрии в VI—VII классах на 1974/75 учебный год, N° 3, с. 24.
В. Л. Рабинович. Об изучении измерения объемов, № 4, с. 49.
A. И. Сагандуков. Один из способов построения точек параболы, № 6, с. 41.
B. Н. Соколов. Некоторые замечания по курсу математики IV—V классов, № 4, с. 34.
У. М. Халилов. Лабораторно-практические работы по математике в IV—V классах, № 1, с. 18.
Д. И. Хан. О решении геометрических задач с помощью векторов, № 1, с. 22.
Н. А. Хитрина. О применении контрпримеров, № 6, с. 34.
А. А. Ходова. Из опыта введения десятичных дробей в IV классе, № 4, с. 26.
Ю. И. Хохленко. Больше внимания наглядности, № 3, с. 40.
И. Д. Черепинский. Сельская школа переходит на кабинетную систему, №. 3, с. 38.
C. М. Чуканцов. Квадратные уравнения в курсе алгебры VII класса, № 6, с. 31.
А. М. Янченко. Геометрические отображения в V классе, № 1, с. 15.
Заметки с уроков
Л. К. Бохан, В. Г. Линевич. Построение корней уравнения acosx -f- bsinx — с, № 5, с. 49.
С. X. Головешко. О связи преподавания алгебры и геометрии в VI классе, № 5, с. 46.
Д. И. Хан. Об одном способе контроля при решении геометрических задач с параметрами, № 5, с. 48.
В помощь самообразованию учителей
A. М. Абрамов. Логические основы курса планиметрии, No 5, с. 51.
B. Г. Болтянский. Анализ — поиск решения задачи, No 1, с. 34.
М. С. (Глазная, И. Б. Юдина. О коммунистическом воспитании учащихся на уроках математики, Ns 2, с. G2.
Педагогические институты и сельская школа
3. А. Скопец, О. И. Шендеровская. Математические кафедры Ярославского педагогического института имени К. Д. Ушьнского — сельской школе, № 1, с. 75.
94
М. М. Чернецов. Ич опыта очно-заочной подготовки абитуриентов, № 1, с. 78.
В помощь учителям вечерних (сменных) школ и профтехучилищ
Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян. О преподавании математики в VIII классе вечерней (сменной) школы по новой программе, № 4, с. 57.
Е. С. Дубинчук. Молодой рабочей смене — полноценную математическую подготовку, № 1, с. 40.
Технические средства обучения.
Наглядные пособия
В. Г. Болтянский, М. Б. Волович, Э. Ю. Красс, Г. Г. Левитас. «Школьное оборудование-73», № 1, с. 45.
Ю. А. Глазков. Прибор «группа» и работа с ним, № 4, обложка.
М. И. Калинина. Телевизионная передача на уроках математики в IV—VI классах, № 1, с. 48.
Э. Ю. Красс. Универсальный держатель учебных пособий, № 5, обложка.
Э. Ю. Красс. Учебное оборудование для IV класса, Ко 3, с. 44.
Г. Г. Левитас. К определению понятия предела, № I, обложка.
Г. Г. Левитас. Прибор для установления соответствия между элементами двух данных множеств, № 1, обложка.
B. И. Лукавецкий. Дешифратор на прозрачной пленке, № 3, обложка.
Е. И. Паку лова. Кодоскоп на уроках математики, N® 5, с. 63.
Л. Д. Полянский. Самодельные диафильмы, № 5, с. 64.
О. В. Храмцов. Модель координатной плоскости, № 2, обложка.
Факультативные курсы
Е. В. Груданов, Э. Ф. Груданова. Телевизионный факультатив как средство дифференцированного подхода к учащимся, № 2, с. 50.
Ф. Ф. Нагибин. Скользящая симметрия, № 4, с. 66.
Программа факультативных занятий по математике, No. 6, с. 53.
Е. А. Шестакова. Разностные уравнения, № 2, с. 52.
Школы и классы с углубленным изучением математики
Н. А. Ермолаева, 3. И. Моисеева, В. В. Фирсов,
С. И. Шварцбурд. Нормативные документы для школ и классов с углубленным изучением отдельных учебных предметов, № 3, с. 47.
Программа школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением математики (IX—X классы), N° 4, с. 61.
Типовое положение о школах и классах с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, № 3, с. 49.
C. И. Шварцбурд, М. М. Мошкович. Логарифмическая и экспоненциальная функции, № 6, с. 46.
Эксперимент
И. Н. Антипов. Опыт обучения программированию с использованием системы «ДИАЛОГ-БЭСМ-6», № 3, с. 58.
Н. Б. Бальцюк. О подготовке учителей математики к преподаванию программирования, № 3, с. 51.
Т. В. Боброва, Р. В. Бутенко, Ю. А. Первин. Уроки программирования в V классе, № 3, с. 53.
И. А. Мешкова. Графовая модель поиска рационального решения задачи, m 1„ с 49,
B. И. Рыжик. Из опыта преподавания стереометрии н£ основе аксиоматики Вейля, № 4, с. 72.
Проблемы и суждения
И. Н. Антипов, Н. Б. Бальцюк, С. И. Шварцбурд,
В. В. Щенников. О включении элементов программирования в школьный курс математики, № 4, с. 77.
Г. П. Бевз. О методической подготовке будущих учителей математики, № 3, с. 62.
Н. М. Матвеев. К вопросу об экзаменах по математике в технические вузы, № 2, с. 68.
Ю. И. Соколовский. Онтодидайтический подход к проблемам преподавания математики, № 2, с. 65.
Л. И. Чашечникова. Еще раз о равенстве и конгруэнтности фигур, № 5, с. 64.
Внеклассная работа
М. И. Айзенберг, Л. И. Тульчинская. Из опыта работы математического кружка, № 1, с. 55.
И. И. Андрощук. Математические вечера в сельской школе, № 3, с. 72.
Ш. С. Ахметчин. Пятое число Ферма, № 3, с. 77.
М. Б. Балк, Н. А. Паравян. Неравенства Гюйгенса и их применение, № 2, с. 70; Письмо в редакцию, № 3, с. 87.
3. А. Борисова, П. И. Масарская, Г. Б. Юсина. ВЗМШ — учителям математики, № 1, с. 51.
Н. Б. Васильев. VIII Всесоюзная математическая олимпиада, № 6, с. 59.
И. Б. Вейцман. 250 000 000, № 1, с. 59.
И. Н. Викован. Математический вечер в сельской школе, Ns 1, с. 53.
Г. А. Гальперин. Задачи XXXVII Московской математической олимпиады, № 6, с. 65.
C. С. Гамидов. Дополнительные упражнения к теме «Натуральные числа», № 6, с. 69.
Б. Г. Зив. Решение стереометрических задач с применением векторов, № 3, с. 64.
В. И. Киреев. Еще раз о решении одного уравнения, No 1, с. 58.
Г. Б. Кузнецова. Алгебра точек параболы, № 2, с. 74.
А. Кушнир. Ортоцентрический треугольник и доказательство его минимального свойства, № 3, с. 67.
О. М. Лебедева. Задачи с астрономическим содержанием в V—VI классах, № 3, с. 75.
Ю. В. Ломакин. Летняя математическая школа в Вологодской области, № 1, с. 59.
М. П. Маланюк. Из опыта внеклассной работы с учащимися сельских школ, № 1, с. 55.
И. И. Михайлов. О представлении чисел суммами натуральных чисел, № 3, с. 71.
К. А. Нечипоренко. Дополнительные вопросы арифметики на кружковых занятиях в IV—VI классах, Ns 5, с. 70.
A. А. Окунев. Графическое решение уравнений с параметрами, Ns 3, с. 68.
Л. Ф. Пичурин. Из опыта внеклассных занятий в VIII классе, № 3, с. 74.
3. А. Скопец. Операция поворота вектора на 90°, Ns 5, с. 72.
Т. Л. Ширяева. Материалы по внеклассной работе. (К знаменательным датам), № 5, с. 66.
Э. А. Ясиновый. Задачи, составленные по аналогии с другими задачами, № 1, с. 56.
10 лет физико-математической школе при МГУ, № 2, с. 58.
Занимательная страница
№ 2, с. 76; Алгоритм или случай. Что сильнее? № 3, с. 78; No 5, с. 78.
B. П. Иващенко. Степенное свойство треугольника Паскаля, Ш К €>
95
3
Б. А. Кордемский. V"abed = д + b-\-c -f d—сколько решений? № 1, с. 61.
Задачи
№ 1, с. ( Э 62; № 2, с. 77, 87; № 3, с. 80; № 4, с. 79; № 5, с. 80; № 6, с. 71.
Ученые-математики. Педагоги-математики
Б. А. Агаев, С. М. Насибов. Алексей Митрофанович Аммосов, № 1, с. 83.
Б. Н. Белый. Август Августович Лёве, № 5, с. 89.
В. М. Брадис. Иван Козьмич Андронов, № 2, с. 84.
Б. В. Гнеденко. Александр Яковлевич Маргулис, № 1, с. 84.
В. К. Иванов, Е. М. Селезнева, А. Ф. Семенович. Василий Андреевич К>рбатов, № 3, с. 88.
В. А. Кузнецова, А. Я. Маргулис, 3. А. Скопец. Николай Михайлович Бескин, № 6, с. 84.
В. Г. Лемлейн. Леонид Яковлевич Куликов, № 6, с. 85.
В. Я. Мишин, С. А. Пономарев. Василий Григорьевич Прочухаев, № 2, с. 85.
Из истории математики
Р. А. Симонов. «Цифровые алфавиты» и состояние грамотности в древней Руси, JMV 1, с. 80.
Математический календарь
Математический календарь на 1973/74 учебный год, март — апрель, № 1, с. 82; май — июнь, № 2, с. 86; июль — август, № 3, с. 89; на 1974/75 учебный год, сентябрь— октябрь, № 4, с. 87; ноябрь — декабрь, № 5, с. 88; январь — февраль, № 6, с. 83.
К сорокалетию журнала «Математика в школе», № 4, с. 88.
И. К. Андронов. Константин Дмитриевич Ушинский, № 1, с. 84.
Критика и библиография
Г. В. Дорофеев. О книге «Начала математического анализа», № 2, с. 89.
К. В. Кострин. Через историю к математике. (О книге
Э. Александровой и В. Левшина «Искатели необычайных авторов или странствия, приключения и беседы двух филоматиков»), № 4, с. 91.
И. А. Лурье. Об учебнике «Геометрия» Э. Э. Моиза и Ф. Л. Даунса, № 5, с. 95.
В. Л. Минковский, В. В. Ветров. Специальное пособие для учителей по началам анализа, № 2, с. 88.
А. И. Мостовой, М. К. Наконечный, Ш. М. Ильясов. Полезное пособие для учителей VI—V классов, № 6, с. 87.
План выпуска литературы издательством «Педагогика» на 1974 г., № 2, обложка.
План выпуска литературы издательства «Педагогика» на 1975 г., № 4, с. 94.
Р. А. Хабиб. О новых книгах по математике издательства «Просвещение», № 4, с. 92.
Р. А. Хабиб. О перспективном плане издания литературы по математике издательством «Просвещение» на 1976—1980 гг., № 2, с. 91.
Н. И. Шушанский. Новые книги Главной редакции физико-математической литературы издательства «Наука», № 6, с. 86.
За рубежом
А. И. Верченко. Преобразование содержания курса математики в средних школах Франции, № 1, с. 88.
Вукович Велько. Математическое образование в средних школах Социалистической Федеративной Республики Югославии, № 2, с. 93.
Г. Н. Скобелев. Преподавание математики в средних школах Швеции, № 2, с. 94.
3. И. Турлакова. Обзор болгарского журнала «Математика и физика» за 1973 г., № 5, с. 90.
A. Я. Халамлйзер. Журнал «Математик ин дэр шуле» (ГДР), № 6, с. 88.
Хроника
Е. М. Белоногова. Семинар заведующих кафедрами математики педагогических институтов РСФСР, JSfe 1, с. 95.
B. А. Волков. Конференция математиков по работе со школьниками, № 4, с. 95.
Н. А. Ермолаева. В Министерстве просвещения СССР, № 3, с. 95.
A. Я. Маргулис. В секции средней школы Московского математического общества, № 5, с. 94.
Г. Г. Маслова. Московская городская научно-практическая конференция, № 3, с. 96.
3. И. Моисеева. С Коллегии Министерства просвещения СССР, № 6, с. 91.
B. Н. Молодший. К выходу в свет XVIII выпуска «Историко-математических исследований», № 1, с. 11.
В. Н. Молодший. Школа по истории математики и механики XIX—XX вв., № 1, с. 94.
Научно-практические семинары АПН СССР, № 5, с. 92.
В. Н. Сергеев. II Межвузовский научно-методический семинар, № 1, с. 96.
A. В. Штраус. Всесоюзный семинар препрдавател^й алгебры и теории чисел педагогических институтов, № 1, с. 94.
Некрологи
И. К. Андропов, С. А. Пономарев, П. В. Стратила- тов. Сергей Иосифович Новоселов, № 4, с. 96.
B. Н. Виноградов. Василий Дмитриевич Чистяков, № 6, с. 90.
А. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович. Анна Максимилиановна Фишер, № 2, с. 87.
А. Д. Семушцн. Николай Федорович Четверухин, № 3, с. 94.
Б. А. Трахтенорот. Алексей Андреевич Ляпунов, № 3, с. 90.
Сдано в набор 22/Х 1974 г. Подписано в печать 25/XI 1974 г. Объем 6 (10,08) п. л.
Учетно-изд. л. 12,06. Бумага типогр. № 2. 84X108Vie. Тираж 411580 экз. Цена 45 коп. Зак. 490
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8.
Телефон редакции 283-85-83 Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитёта Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Московская типография № 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и„ книжной торговли 107005* Москва, Б-5, Денисовский пер., д. 30
S3