МАТЕМАТИ
В ШКОЛЕ
СОДЕРЖАНИЕ

Фридрих

За прочные и глубокие знания учащихся
Энгельс о философских проблемах математики

МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В помощь учителям

Индивидуальнъrй

подход

к

классов

12
16

18
21
25

тетрадях

41

при решении текстовых задач на составление уравнений?

45

Оформление

Нужна ли •Проверка»

IV-V

по математике для IV-V классов средней школы
К работе по новому учебни:ку в IV классе
учащимся
IV класса при обучении по новой
программе
Учебное пособие по математике для V класса
Глава
IV. Геометрические построения

Программа

2
4

записей

в

Нз писем и заметок
О

доказательстве

свойств десятичных логарифмов
Об ортогональной проекции угла

О вступитеnьных экзаменах в высшие и средние
специаnьные учебные заведения в 1970 r.
Итоги

Факультет

приемных экзаменов по математике
Естественнъrе факуJ1ьтеты МГУ
вычислительной математики и кибернетики МГУ
Бирский педагогический институт
Средние специальные учебные заведения

Из опыта проведения факуnьтативных занятий

О факультативных занятиях

в

восьмилетней школе (обзор статей)
Прямая на клетчатой бу:иаге
Множества и операции над ними
«Комбинатори�<а» в vп-vrп· классах
Основы
кораблевождения

Внекnассная работа
Новый

прием

в

ЗМШ

Четыре года работы группы «коллективный ученик» ЗМШ
Изучение
осевой и центральной симметрий на внеклассных занятиях
Внеклассная работа по математике в сельскрй школе
АJ!rоритмическая система Э.
Поста и обучение программированию в средней
школе

Задачи
математический каnендарь на 1970/71 учебный rод
ПЕДАrОrН-МАТЕМАтнкн

Василий
Иван

Антонович

Голубев

Константинович

Борис Павлович

Парно

Бычков

ХРОНИКА
Всероссийское

научно-практическое

совещание

Heкponor
Николай Андреевич

Чайковский

46
41

49
50
55

в. в. Г-недепко

э. г. Якуба

л. с. Булычева
с. И. Шварцбурд

Н. Я. Ви.11викип,
К. И. Не'шков,

с. И. Шварцбурд,

А. д. Семуши-н,
А. с. Чеспоков
Т. Н. Полякова

А. И. Иоффе
д. Ф. Изаак

58
59

И. с. Петранов
Б. В. Г-недепко
Ш. А. Алимов, в. П.
де-нов
Н. П. Раззадорип
л. п. Муравьев

60
66
63
70
72

Ш. х. михелович
з. И. Турланова
И . с. Беляева
в. Ф. Хрусталевскиil.

73

74
75
79

80
81

90
91

93

94

95
96

Мо­

Н. в. Васильев, Е. г. Гла•
голева, в. л. Гутепмахер
д. И. Байпов
г. и. capanцefl
в. м. Терехи-н
в. Н. касаткип

А. И. Бородип

В. Н. Середи-нский,
Б. А. Кордемский
В. д. Белоусов, Я. И. Н11.гу
Я. И. Н11.гу
в.

н. Рудепко,
колова

А. В. Со­

А. Г. Копфорович,

н. и. Вороди-н

За про чные и rnубокие знания учащихся

Советская школа успешно решает задачи,
поставленные перед ней Коммунистической
партией. Объем знаний, получаемых совре­
менными школьниками, гораздо больше, чем
полученный их сверстниками в прошлых де­
сятилетиях.
Постоянно
совершенствуется
многосторонняя воспитательская работа шко­
лы. Однако требования, предъявляемые к
школе, непрерывно возрастают. «Нам нужно
идти дальше, всесторонне улучшать всю си­
стему образования. Пройдет не так уж мно­
го лет и те, кто сегодня сидит за партой или
на студенческой скамье, придут на производ­
ство, в науку, культуру. От того, чему и как мы
их научим сейчас, во многом будет зависеть
прогресс нашего общества .в будущем.»,- в
этих словах Л. И. Брежнева, сказанных на
торжественном заседании ЦК КПСС, Вер­
ховного Совета СССР и Верховного Совета
РСФСР 21 апреля 1970 г., посвященном 100летию со дня рождения В. И. Ленина, выраже­
на большая забота нашей партии о школе.
Огромную роль в дальнейшем развитии на­
родного образования призван сыграть Устав
средней· школы. Дать всем учащимся общее
среднее образование, отвечающее высоким
современным требованиям, добиваться полу­
чения учащимися прочных знаний основ на­
ук и умения самостоятельно пополнять свой
зс:.пас знаний - такова одна из главных задач,
поставленных перед средней школой ее Ус­
тавом.
В наше время каждый окончивший сред­
нюю школу должен стремиться к постоянно­
му углублению и пополнению своих знаний.
Это требование приобретает особое значе­
ние в период бурного научно-технического
прогресса, свидетелями которого мы являем­
ся. Школа должна не только дать учащимся
определенную сумму знаний, но и воору­
жить их умением самостоятельно работать,
привить им интерес к знаниям, познакомить
учащихся на их собст:,енном опыте с ра­
достью открытий, удовлетворенностью, кото­
рую испытывает человек при решении слож­
ной и первоначально кажущейся недоступ­
ной задачи.
Но каждому ясно, что для того, чтобы са­
мостоятельно углублять и пополнять полу­
ченные в ,школе математические знания, не­
обходимо, прежде всего, прочно, сознателъ2

но усвоить объем знаний, предусмотренный
школьной программой.
Советской школой накоплен ценный опыт
в решении этой задачи. Опыт последних лет
показал, что в достижении прочных и созна­
тельно усвоенных знаний особую значимость
приобретает работа по развитию учащихся.
Одной из важных мер способствующих
математическому развитию учащихся, явля­
ется активное претворение в жизнь методиче­
ских идей, заложенных в новой программе.
Эти методические идеи направлены на вос­
питание у учащихся уменИя самостоятельно
наблюдать, делать выводы, предположения,
заключения и обобщения, умения применять
теоретические знания при
решении задач,
применять их творчески, иными словами на­
правлены на обучение мыслить, самостоя­
тельно искать ответы на возникшие вопросы.
Новое содержание образования, изменение
методического подхода к изложению тради­
ционного материала, раннее введение по срав­
нению с привычными сроками многих важ­
(уравнение,
математики
понятий
нейших
неравенства, функция), наконец, введение и
систематическое использование и расшире­
ние новых понятий (теоретико-множествен­
ных, логических и др.) - все это требует от
учителя внимательного изучения как собст­
венно математической, так и новейшей мето­
внимание
Особое
литературы.
дической
здесь необходимо уделить овладению мате­
матическим языком, на котором должно вес­
тись обучение, уяснению его роли в усвое­
нии учащимися знаний. Новые подходы к
изучению математики, предполагаемые вво­
призваны обеспечить
программой,
димой
основного
школьниками
усвоение
лучшее
учебного материала.
Овладение новым матерт1алом, ознакомле­
ние с новыми .методическими идеями и их
реализацией в пробных учебниках, повыше­
ние внимания к развитию учащихся уже сей­
час позволит значительно обогатить содер­
жание традиционного преподавания.
Одной из важных задач, стоящих перед
учителями
математики,
является глубокое
изучение новой программы и опыта первого
года работы по новой программе в IV классе.
Особенно это важно для тех, кто в 1971/72
учебном году начнет работать в V классе.

Только зttая систему изложения материала
в малдших классах, можно будет эффектив­
но работать по новой программе в последую­
щих классах.
Большую роль в подготовке перехода на
новую Программу играют факультативные
занятия, которые в какой-то мере должны
стать «лабораторией» учителя,- проводя фа­
культативные занятия, учитель может прове­
рить, насколько удачно он излагает новый
для него материал, отработать систему уп­
ражнений и пр.
Важным фактором в достижении прочных
и глубоких знаний учащихся является рацио­
нальная организация учебно-воспитательной
работы школы. Этой проблеме новый Устав
школы уделяет специальное внимание. В Ус­
таве подчеркивается, что основной формой
учебной работы является урок. Большое вни­
мание уделяется регламентации нагрузки уча­
щихся в школе, предупреждению перегрузки
учащихся. В Уставе четко определено макси­
мально возможное число обязательных уро­
ков в неделю, время на выполнение домаш­
них заданий, время, до которого учащиеся
могут быть заняты на внеклассных и вне­
школьных мероприятиях. Заметим, что в не­
которых союзных республиках не разреша­
ется давать задания на выходной день. В Ус­
таве это не оговорено, но из него совершен­
но ясно следует, что при любой организации
работы школьники не должны работать над
домашними заданиями больше времени, оп­
ределенного Уставом.
Такое внимание к организации труда уча­
щихся вполне естественно. При перегрузке
школьника домашними заданиями он не мо­
жет достаточно хорошо подготовиться к каж­
дому уроку, вместо основательного и глубо­
кого усвоения материала он поверхностно
«знакомится» с заданным, у ученика возника-

/

1•

ет неудовлетворенность, неверие в свои силы
и возможности, наконец, теряется интерес к
занятиям, к учению. Таким образом, в борь­
бе за прочные и глубокие знания необходи­
мо самое серьезное внимание уделить систе­
ме домашней работы школьников. При пла­
нировании домашних заданий следует учи­
особенности уча­
тывать индивидуальные
щихся, их подготовку, возраст, посильность
задания.
Вопросы

организации
учебной
работы
школьника с учетом самых разнообразных
факторов должны стать предметом серьезно­
го обсуждения на методических объединени­
ях, педагогических советах школы.
Значительное место в пропаганде Устава
среди родителей должно занять разъяснение
значения режима для школьников с учетом
реальных условий, в которых находится каж­
дый школьник.
В Уставе подчеркивается общественно-по­
литическая значимость труда учителя, вся
важность выполняемой им почетной и ответ­
ственной государственной задачи обучения и
коммунистического воспитания молодого по­
коления, подчеркивается, что одна из самых
главных и важных обязанностей учителя вооружение учащихся прочными и глубокими
знаниями основ наук, развитие познаватель­
ных интересов и способностей школьников,
формирование у них коммунистического ми­
ровоззрения.
Школа вступила во второе полугодие учеб­
ного года. Учителя математики вместе со
всем народом готовятся достойно встретить
XXIV съезд Коммунистической партии. Упор­
ная борьба за прочные и глубокие знания
учащихся, коммунистическое воспитание под­
растающего поколения - конкретные задачи,
которые призвана решать школа и каждый
учитель ·в подготовке к съезду.

S. В.

fНЕДЕИКО (Моекао)

Фридрих Энrельс
о философских п роблемах математики

С то пятьдесят лет назад, 28 ноябDя 1 820 r.,
в небоJiьшом промышJiенном городе Барме н е
родился один из основоположников научного
коммунизма и философии диалектического
материализма Фридрих Энгельс.
-Ф. Энгельс следил за развитием естество­
знания и математики, философски осмысли­
вая их успехи и анализируя их с позиций
диалектического и исторического материализ­
ма. На склоне ж изни ( в 1 885 г.) он писал,
что «дJ1Я диалектического и вместе с тем ма­
териа.1истического понимания природы н еоб­
ходимо знакомство с математикой и естество­
знанием. Маркс был основательным знатоком
математики, но естественными науками мы
могли заниматься тоJ1ько нер е гуля рно, урыв­
ками, спорадически. Поэтому, когда я, поки­
hУВ коммерческое дело и переселившись в
Лондон, приобрел необходимый для этого
досуг, то, н асколько это б ыл о возможно, под­
верг себя в области математики и естество­
знания проце ссу- полного «линяния», как вы­
ражается Либих, и в течение восьми лет за ­
тратил
н а это большую часть
своего
времени» 1
Вопросы теоретического естествознания за­
нимают значительное место в известном про­
изведении Энгельса «Анти-Дюринr». Множе­
ство заме чаний по этим вопросам р азбросаны
и в других его произведениях, н о наибол ее
полно его взгляды изложены в незавершен­
ном произведении «диале ктика природы»,
увидевшем впервые свет лишь в 1925 г.
Изучая совр еменное ему естествознание и
знакомясь. с математикой, Ф. Энгел ьс не упу­
скал основной цели этих занятий. Об этом он
писал с полной опр еделенностью: «Само со­
бой р азумеется, что при этом моем подыто­
живании достижений математики и естествен­
ных наук дело шло о том, чтобы и на частно­
стях убедиться в той истине, которая в общем
не вызывала у меня
никаких
сомне ний,
а именно, что в природе сквозь хаос бесчис­
ленных изме нений прокладывают себе путь
те же диалектические законы движе ния, ко•.

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринr, Изд. политич:еской ли­
тературы, 1 966, стр. 6.
4

торые и в истории господствуют над кажу­
щейся случайностью событl-'-й ... » 2•
Заслуживает упоминания то, что Энгельс
придавал очень большое значение теоретиче ­
ским исследованиям, которые с неизбежно­
стью должны приводить к диалектическим
взглядам на природу. Приведем подлинные
слова Энгельса, относящи еся к затронутому
вопросу. «Но может статься, что прогр есс
теор етического естествознания сделает мой
труд, в большей его части или целиком, из­
лишним, так как революция, к которой теоре­
тическое естествознание вынужда ется про­
стой н еобходимостью систематизировать мас­
эмпирических
чисто
су накопляющихся
открытий, должна даже самого упрямого эм­
пирика все более и более подводить к осозна­
нию диалектического характера процессов при­
р оды» 3•
З а семьдесят пять лет, прошедших со дня
смерти Фридриха Энгельса, математика и
естествознание сделали огромный буквально
кач ественный скачок в своем развитии. За
это вр емя человечество проникло в т айны
микромира и сдел ал о первые шаги в покоре­
нии космического пространства. Математика
превратилась в одно из основных орудий ис­
следования природы, а также управления
технологич ескими и экономическими процес­
сами. Ч еловеч ество на б азе достигнутого про­
гресса выдвигает перед собой новы е, еще бо­
л ее грандиозные задачи. Но в этом движении
диалектический метод получил дополнитель­
ную проверку и подтверждения. Он уве ренно
пробивает себе путь ко всеобщему при­
знанию .
В настоящей статье я коснусь лишь не­
скольких вопросов, по которым Ф. Энгельс
дал разв ернутое изложе ние своих взглядов.
Более подробная трактовка всех высказыва­
ний Энгельса по поводу матем а гики потребо­
вала бы н есравненно большего объема, чем
тот, который занимает пр едла гаемая работа.
Естествознание и философия. Любая наука,
будь то математика, физика, биология, химия
2 Т а м ж е, стр. 7.
а Т а м ж е, стр. 9.

или астрономия, не может остана вливаться в
своем развитии только н а стадии н акопления
-фактов. Она создает общие концепции , поня ­
тия 11 теории, которые позволяют улож ить
накопленные сведения в систему и предска ­
зывать новые факты, еще неизвестные. При
этом неизбежно возникают вопросы: что и ра­
ди чего изучает наука, познаваемы ли явле­
ния окруж ающего нас мира, дают ли паши
знания верное предста вление о них? Все эти
вопросы прннадлежа т не только той или иной
ветви науки, они касаются всего нашего зна ­
ния и его отношения к окружающему нас м и ­
ру. Иными слова ми, они являются вопросами
философии. Так, оказывается, что научное по­
знание неизбежно приводит к постановке
многочисленных вопросов философского ха­
рактера. Энгельс настойчиво указывал на это
и говорил о том , что, как бы естествоиспыта­
тели ни пыта.'1ись отойти от философских про­
блем, они ходом самих исследований принуж­
дены разрешать их. Но при этом никак нель­
зя упускать с.'Jедующего его замечания : « Ес­
тествоиспытатели воображают, что они осво­
божда ются от философии, когда игнорируют
или бранят ее. Но так как они без мышления
не могут двинуться ни на шаг, для мышления
же необходимы логические категории, а эти
к а тегории они некритически заимствуют либо
из обыденного общего сознания так называе­
мых образованных людей, над которыми гос­
подствуют остатки давно умерших философ­
ских систем, либо из крох прослушанных в
обязательном порядке университетских кур­
сов по философии (которые представляют со­
бой не только отрывочные взгляды, но и ме­
шанину из воззрений людей, принадлежащих
к самым различным и по большей части к са­
мым скверным школа м) , либо из некритиче­
ского и несистематического чтения всякого
рода философских произведений,- то в итоге
они все-таки оказываются в подчинении у
философии, но, к сожалению, по большей ча­
сти самой скверной, и те, кто больше всех
ругают философию, я вляются рабами как раз
паихудших вульгаризованных остатков наи­
худших философских учений».
*

*

*

Какую бы позу ни принимали естествоис­
пытатели, над ними властвует философия .
Вопрос лишь в том, желают ли они, чтобы
над ними властвовала какая-нибудь скверная
модная философия, или же они желают руко­
водствоваться такой формой теоретического
мышления, которая основывается на знаком-

стве с историей мышления и ее достижени­
я ми» 4•
Само собой разумеется, что сказанное от­
носится не только к естественным наука м, во
и к математике. Только в математике многие
вопросы осложняются тем , что ее отношения
с реальными явлениями сложнее и дедуктив·
ное мышление приобретает центральное зна ­
чение. Но это обстоятельство должно озн а ­
чать только одно: философское образование
математика должно быть особенно тщатель­
н ы м и критически обостренным.
В связи с м атематизацией науки и практи­
ческих знаний исключительно важно выяс­
нить природу математического подхода к по­
знанию конкретных я влений. На основании
н аблюдений и специально организованных
экспериментов формулируются общие кон­
цепции о протекании явления. Эти.. первичные
предпосылки тщательно перечисJiяются, и на
их базе строится математическая теория яв­
ления. Но поскольку исходные предпосылки
лишь приближенно передают истинную приро­
ду вещей, то ни одна математическая теория
не способна дать абсолютного знания. Рано
или поздно будут наблюдаться отклоненин
результатов теории от реального течения яв­
ления. В этот м омент возникает необходи·
масть тщательного пересмотра исходных по­
ложений, з а мены тех из них, которые недо­
статочно точно отображают природу вещей,
на новые бол· е е совершенные. Естественно,
что при этом, как правило, приходится изме­
нять и м атематические средства исследова ­
ния. В результате появляется новое прибли­
жение теоретической мысли к реальности,
от которого мы должны требовать не только
объяснения всех тех фактов, которые была
способна объяснить старая теория, но и вы·
явления. еще неизвестных фактов. Совершен­
но ясно, что если мы желаем исследовать
сами явления во всей их сложности, то при
их математическом моделировании мы обяза­
ны искать те математические средства, кото­
рые максимально соответствуют природе ве­
щей. В классической гидродинамике исходи­
ли из гипотезы, что жидкость является
сплошной средой. Эта предпосылка в первом
приближ ении позволяет описывать я вления
течения жидкостей. Однако во многих случа­
ях наблюдались и существенные расхожде­
ния результатов теории с практихой. При­
шлось отказываться от первичных представ­
лений и переходить к концеш:щи м олекулярно­
го строения жидкости. Но этот переход П'РИ4 Ф. Э н гель с, Диалектика природы, Изд. полити­
ческой литературы, 1965, стр. 179.

Еодил к необходимости изменения не только
физических представлений, но и используемо­
го математического аппарата исследования,
а именно по необходимости стал п ривлекать­
ся весь аппарат теории вероятностных про­
цессов.
Сейчас уместно привести важную цитату,
о содержании которой неявно было только
что сказано. «Формой развития естествозна ния, поскольку оно мыслит, является гипоте­
за. Наблюдение открывает какой-нибудь но­
вый факт, делающий невозможным прежний
способ объяснения фактов, относящихся к
той же самой группе. С этого момента возни­
кает потребность в новых способах объясне­
ния, опирающегося сперва только на ограни­
ченное количество фактов и наблюдений.
Дальнейший опытн ый материал приводит к
очищению этих гипотез, устраняет одни из
них , исправляет другие, пока, наконец, не бу­
дет установлен в чистом виде закон. Если бы
мы захотели ждать, пока материал будет го­
тов в чистом виде для закона, то это значило
бы приостановить до тех пор мыслящее ис­
следование, и уже по одному этому мы ни­
когда не получили бы закона» 5•
Роль гипотезы в развитии естествознания
неоспорима. Но не меньшее значение она
имеет и в развитии м атематики. И ·это отно­
сится не только к ее п риложениям, но и ю
прогрессу всех теоретических ее разделов.
В- развитии математики гипотеза нужна как
при формулировке общих результатов, так и
при выборе направлений исследований. Хоро­
шо известно, что нередко математический ре­
зультат первоначально формулируется на ос­
новании наблюдений за частны ми случая ми. Сделанная гипотеза направляет мысль иссле­
дователя, помогает ему искать математиче­
скую закономерность в определенном направ­
лении. Конечно, не всегда сделанная гипотеза
оправдывается и нередко полезны поиски ее
опровержения.
О происхождении математических понятий.
Во времена Энгельса б ыл о еще значительно
влияние идей Э. Канта об а приорном, вне­
о пытном, п роисхождении ряда понятий. С ре­
ди этих понятий большую р оль играло п оня­
тие пространства. И менно оно, по мнению
Канта, вложено в наше сознание заранее, и
на его фор мирование опыт не оказывает ни­
какого влияния. Это утверждение вызывало
резкую оппозицию ряда крупнейших пред ­
ставителей математики. Последовательны ми
противниками взглядов Канта были Н. И.
Лобачевский и К. Ф. Гаусс. Тем не менее эта

5 Ф. Энгел ь с, Диалектика природы, Изд. полити­
ческой литературь�, 1965, стр. 207.

6

п озиция Канта нашла nоддержку и с реди ма­
тематиков, пусть даже не в точности в том
плане, на котором настаивал Кант. Широкое
распространение получили представления о
внеопытном, чисто логическом происхожде­
нии математических понятий. Эта точка зре­
ния вызвала обоснованную критику Ф. Эн­
гельса. В частности, критикуg, Дюринга, Эн­
гельс писал: « Подобно основным фактам
бытия г. Дюринг считает также возможным
вывести всю чистую математику непосредст­
венно из головы, априорно, т. е. не п рибегая
к опыту, который мы получаем из внешнего
мира. В чистой математике - утверждает г-н
Дюринг - разум и меет дело с «продуктами
своего собственного свободного творчества и
воображения»; понятия числа и фигуры
представляют « достаточный для нее и созда­
ваемый ею самой объект», и потому она име­
ет «значение независимое от особого опыта и
от реальноr о содержания мира>>..
« ... Но совершенно неверно, будто в чистой
математике р азум имеет дело только с про­
дуктами собственного творчества и воображе­
ния. Понятия числа и фигуры взяты не отку­
да-нибудь, а только из действительного мира.
Десять пальцев, н а которых люди учились
считать, т. е. п роизводить первую арифмети­
ческую операцию, предста вляют собой все,
что угодно, только не продукт свободного
творчества р азума. Чтобы считать, надо иметь
не только п редметы, подлежащие счету, но
обладать уже способностью отвлекаться при
рассматривании этих предметов от всех про­
чих их свойств кроме числа, а эта способность
есть результат долгого, опирающегося на
опыт, исторического развития. Как понятие
числа, так и понятие фигуры заимствованы
искл·ючительно из внешнего мира, а не воз­
никли в голове из чистого мышления. Должны
были с уществовать вещи, имеющие определе�.1ную форму, и эти формы должны были под­
вергаться сравнению. прежде чем можно бы­
ло прийти к. понятию фигуры» 6•
За тысячелетия своего существования ма­
тематика многократно изменяла свое содер­
жание, пополняла свои понятия и методы ис­
следования. В значительной мере первичные
связи ее понятий с вещами окружающего нас
мира уже утерялись, и они н ачали выступать
к ак первичные образования. Чтобы в�стано­
вить истину, нужно обращаться к истории,
к исследованию памятников материальной
культуры, к свидетельству живых и мертвых
языков, сохранивших в своем составе намеки
б Ф. Э н гель с,

тературь1,

1966,

Анти-Дюринг, Изд. подитической ли­
стр. 32-33.

н а опытное происхождение
математических
понятий. Но современная математика состоит
не только из тех своих частей, которые обра­
зовались в да в ние времена. На наших глазах
возникают новые ее ветви и в них образуются
новые понятия, зач астую такого общего ха­
рактера, что оказыва ют влияние на всю м ате­
матику. Таковы понятия функ ц ионального
пространства, информации, алгоритма, слу­
ч айного процесса и т. д. Эти понятия возник­
ли на базе не такой примити вной операции,
как с чет предметов посредством камешков.
Теперь, как правило, новые понятия образу­
ются путем широкого обобщения. старых по­
нятий. Однако это совсем не означ ает, что но­
вые понятия образуются лишь из ч истой мыс­
ли. Такие понятия возникают не путем непо­
средственного а бстрагирования от предметов
реального мира, а в ка ч естве абстракций над
абстракциями. Однако в конечном счете их
происхождение, пусть и очень сложное, при­
водит к окружающему нас миру и его я вле­
ниям. Если же еще прибавить к сказанному
то, что ни один исследов атель не отделен от
общественных зада ч непреодолимой стеной
и до него доходят волнующие проблемы жи­
тейской практики и других наук, то это влия­
ние практики на образование нов ых понятий
станов ится еще более прозрач ным.
В связи со сказанным полезно привести
подлинные слов а Энгельса: «Как .и все дру­
гие науки, м атематика возникла из практиче­
ских потребностей л юдей: из измерения пло­
щадей земельных уч астков и в местимости со­
судов, из счисления времени и из механики.
Но, как и во всех других областях м ышления,
законы, абстрагиров анные из реального мира,
на известной ступени р азв ития отрыв а ются от
реального мира, противопоставляются ему
как нечто самостоятельное, как я в ившиеся
извне законы, с которыми мир должен сооб­
разов аться» 7•
Развитие науки многое меняет в ее поняти­
ях, вдохновляющих ее идеях, в направлениях
исследов аний. В этом непрерывном прогрессе
велика опасност�::. забыть первона ч ально су­
ществовавшие связи науки с п рактикой, прий­
ти к искаженным предста вл ениям как о про­
исхождении науки, так и об образо в ании ее
понятий. Вот поч ему Ф. Энгельс так настаи­
в ал на историческом подходе в исследовании
природы и общественных процессов, особенно
при выработке методологических взглядов.
«Необходимо изучить п оследовательное раз­
витие отдельных отраслей естествознания.­
Спер в а астрономия, которая уже из-за времен
1 Ф. Э н г е л ь с,
Анти-Дюринг,
литер атуры, 1966, стр. 33-34.

Изд.

политической

года а бсолютно необходима для пастушеских
и земледельческих народов. Астрономия мо­
жет р азв ив аться только при помощи матема­
тики. Следовательно , п риходилось заниматься
и последней.- Далее, на известной ступени
р азвития земледелия и в известных странах
(поднимание воды для орошения в Египте) ,
а в особенности в м есте с возникновением го­
родов , крупны х построек и р азв итием ремес­
ла развилась и м еханика. Вскоре она стано­
вится необходимой также для судоходства и
военного дела. Она тоже нуждается в помо­
щи м атематики и таким образом способству­
ет ее развитию. Итак, уже с самого нач ала
возникновение и развитие наук обусловлено
производством» 8•
Само собой р азумеется, что общая карти­
на, изображенная' в этом фрагменте, дает
лишь общий набросок р азвития науки в за в и­
симости от п рактич еских нужд л юдей. По м е­
ре совершенствования науки эти непосредст­
в енные связи углубляются, станов ятся р азно­
образнее; к тому же, помимо нужд других об­
л астей знания, м атематика должна занимать­
ся своей внутренней структурой. Без построе­
ния теории математика прев р атится в сбор­
ник рецептов и отдельных решенных зада ч и
тем самым перестанет играть свою положи­
тельную роль как метода исследования. Иде­
альное разв итие м атематики заключ ается в
том, чтобы наряду с полно ц енным обслужи в а­
нием математическими методам и потребно­
стей практики разв ив ать саму м атематику на
базе возникающих прикладных проблем и ак­
туальных. задач самой математики, в первую
очередь содействующих сов ершенствов анию
ее как строгой системы знаний. В обоих ука­
занных направлениях сов етская м атематика
добилась серьезных успехов . Несомненно , что
в этих успехах велика заслуга нашей школы,
поскольку п р актич ески все предста в ители со­
временной советской м атематики я вл яются
воспитанниками советской школы.
О пределение математики. Но ч то изуч ает
математика? Этот вопрос неизбежно возника­
ет у каждого, кто на ч инает знакомиться с ее
содержанием. В средней школе уч ащиеся уз­
нают, что в соста в м атематики входят ариф­
метика, алгебра, геометрия и тригонометрия.
Теперь на факультати вных занятиях круг
предметов , входящих в м атематику, сущест­
венно р асширяется и уч ащиеся могут познако­
миться с теорией множеств, элементам и мате­
м атич еского анализа, элементами м атемати­
ч еской логики, основ ами теории вероятностей
и т. д. Одно переч исление м атематич еских ди�
8 Ф. Э н г е л ь с, Диалектика природы, Изд. политиче­
ской литературы, 1965; стр. 157.

1

сциплин, ·входящих в качестве ее частей в
математику; с пособно занять порядочное вре­
мя. Но спрашивается: чем вызвано, что все
они объединены в одну науку? Что их объеди­
няет? Какие их свойства позволяют считать
их частями одной науки и не объединять их с
другими областям и знания, широко использу­
ющими математические р ассуждения, матема­
тические знаки и м атематические методы?
Ответ на эти вопросы не так прост , как
можно было бы об этом думать. За это гово­
рит хотя бы то, что попытки дать определе­
ние предмета математики, принадлежащее
многим в ыдающимся ученым, оказались ма­
лоудовлетворительными , а в своем большин­
стве даже просто неудовлетворительными.
Может случиться, что такого определения да­
же нельзя дать, а можно .11ишь описать содер­
жание м атематики. По такому пути обычно и
идут в современной математической литера­
туре. И лишь время от времени появляются
попытки дать читатедю необходимое· общее
п редставление.
В недавней книге группы французских ма­
тематиков, выступающих под псевдонимом
Никола Бурбаки, говорится, что «единствен­
ными математическими объектам и становятся,
собственно говоря, математические структу­
ры» 9• Тем самым математику можно опреде­
лить как науку о математических структурах.
Но эта фраза ничего н е дает читателю, по­
скольку предварительно следует определить
понятие математической структуры. К тому
же, если ничем не огра ничить образование
м атематических структур , неизбежно появле­
ние таких структур, которые не имеют науч­
ной ценности. Об этом красочно сказано в
только что упомянутой книге. «Мы были сви­
детелями также, особенно в то время, когда
аксиоматический метод. только что· начал раз­
виваться, р асцвета уродливых ·структур, пол­
ностью лишенных п риложений, единственное
достоинство которых з аключается в том, что,
изучая их, можно бьшо дать точную оценку
значимости каждой аксиомы, выясняя, что
п роисходит , когда эту аксиому удаляют или
видоизменяют» 10•
В прекрасной брошюре академика А . Н.
Крылова ( 1 863-1 945) имеются такие слова:
«Говоря о м атематике, н адо п режде всего
дать определение, что такое математика, ка­
ково ее назначение и каковы ее задачи.
9 Н. Б у р ба к и, Очерки п о и стории математики, М.,
Изд. иностр анной литер атуры, 1963, стр . 251 (пр и меч а­
ние).
10 Т а м же стр. 257 (примечание).
,

8

Gбычное самое общее определение: матема­
тика есть наука о величинах, точно измеря�­
:мых.
Измерить какую-либо величину,- значит
сравнить ее с величиною с нею однородною .
принятою за единицу, и выразить полученное
отношение числом. Отсюда более частное оп­
ределение: математика есть наука о числах
вообще.
Надо помнить, что есть множество «вели­
чин», т. е. того, к чему применимы понятия
«больше» и «Меньше», но величин точно не­
измеряемых, напр.: ум и глупость, красота и
безобразие, храбрость и трусость, находчи­
вость и тупость и т. д. Для измерения этих
величин нет единиц, эти величины не могут
быть выражены числами - они не составляют
п редмета м атематики» 11.
Как ни изящен в литературном отношении
приведенный отрывок, данное в нем опреде­
ление страдает существенным недостатком:
он о не дает предста вления о всей математике.
Ряд ее важных разделов - топология , мате­
матическая логика, проективная геометрия,
теория множеств и т. д.- выпадает полно. стыо или частично из определения А. Н. Кры­
лова.
Глубокое и всеобъемлющее представление
о предмете математики и ее назначении дает
следующее определение Энгельса: «Чистая
математика имеет своим объектом простран­
ственные формы и количественные отношения
действительного мира . . » 12.
Как каждое общее определение, определе-·
ние Энгельса отвлекается от ряда характер­
ных особенностей отдельных ветвей матема­
тики, а тем более частных задач и методов их
решения. Оно стремится лишь выявить пред­
мет математики в целом и одновременно ус­
тановить ее место в содружестве наук.
Математика не стоит на м есте , а непрерыв­
но совершенствуется и р асширяет круг изу­
чаемых ею вопросов. Это неизбежно приво­
дит к необходимости расширять, а тем самым
и изменять само представление о количест·
венных отношениях и простр анственных фор·
мах действительного мира. Эта идея разви­
тия заложена в самих принципах диалектиче­
ского м атериал изма, и это обстоятельство по­
зволяет определению сохранять ценность во
времени.
Очень важно заметить, что после приведен­
ного определ.ения Энгельс обращает внима­
ние на необходимость и.:пользования абстра.

11 А. Н К р ы л о в, Прикладная м атематика и ее зна·
.
чение для техники, М.-Л., 1 93 1 , стр �12 Ф. Эн г ельс, Анти·Дюринr, Изд.
11олитической

лит ературы, 1966, стр. ЗЗ.

ги рования. «Но чтобы быть в состоянии ис­
следовать эти формы и отношения в чистом
виде, необходимо совершенно отделить их от
их с одержания , оставить это последн ее в сто­
р оне как нечто безразличное; таким путем мы
получаем точки, лиш е нные измерений, линии,
.пиш енные толщины и ширины ... » 13. И в дру­
гом месте: « . вся так называемая чи стая ма­
тематика занимается абс тракциями, .. . все ее
величины с уть, строго говоря, вооб р ажаемые
величины ... » 14• Позднее о важности для по­
знанйя абстр акций и абстрактно го мышления
п рекрасно сказал В. И. Ленин: «Математика,
посте п е нно удаляяс ь от пространств, доступ­
ных чувственному восп р иятию, и возвышаясь
до п р остранства геометрического, не удаляет­
ся, однако, от р еального пространс тва, т. е.
от истинных отноше ний м е жду ве щами, он �
_
скорее приближается к ним» 15• И в дру гом
месте: « ... научные ( правильные, серьезные,
не вздорные) абстр акции отражают при р оду
глубж е , ве рн ее , полн ее» 16•
То, что понятия мате матики не 1 ва р ятся
произвольно, а являются результатом обосно­
ванного абстрагирования от отношений меж­
ду реальными предм етами или ж е абстраги­
рования, произведенно го над имеющимися аб­
стракциями, явля ется основой, дающей воз­
можность математическим понятиям и резуль­
татам широко применяться для изуч е ния про­
цессов реа.т1ьного мира. Как сказал об этом
Энгельс, «чистая математика применяется впо­
следствии к миру, хотя она заимствована из
этого само го мира и только выражает часть
присущих е му форм связей,- и как раз толь­
ко поэтому и может вообще прим еняться» 17.
Развитие математики открывает новы е воз·
можности для точного изучения пр.ироды, для
открытия и формулировки· ее законов. Осо­
бую роль Ф. Эн гельс отводил математическо­
му анализу, поскольку именно он открывает
возможности изуч е ния движения математи­
ческими м етодами. «Поворотным пунктом в
математике была Декартова переменная ве­
личина. Бла годаря этому в мате матику во­
шли движение и диалектика и благодаря это­
му же стало немедленно гtеобходuмым диффе­
ренциальное и интегральное исчисление, ко­
торое тотчас и возникает и которое в общем
и целом заверш е но, а н е изобр е те но, Ньюто..

13
14

1s

Там же.
Там же, стр. 396.

В. И. Л
482.

е ни в,

Полное собрание сочинений, т. 29,
по
ли
ти
че
16 Та м же, стр. 1 52.
ск
11 Ф
. Э н r ель с, Анти-Дюринг, Изд.
ой
литературы, 1966, стр. 34.

стр.

ном и Лейбницем» 18. Дальше Э нгельс вновь
возвраща ется к этой мыс ли и пиш ет, что
«лишь дифф е р енциальное исчис.nение дает
естествознанию возможность изображать ма­
тематически не только состояния, но и про­
цессы: .движение» 19.
Несмотря на то что за годы , прошед шие с
момента ф ормулировки Энгельсом приведен­
ного определения математики (а это было
сделано в 1 873 г. ) , математика коренным об­
р азом изм е нила свое лицо и приобрела мно­
го новых глав , которых вообще не существо­
вало в те времена, пока нет необходи�юсти
его изменять. При соответствующем понима­
нии понятия количественных отношений и
пространстве нных форм определение Энгель­
са охватывает всю современную математику,
все ее части.
Случайность и необходимость . В о времена
Энгельса математическая наука о случайных
событиях находилась еще на п ервых ступе ­
ня х своего развития. В ф изических науках
только начинали понимать знач ение случай­
ного для объяснения изучаемых в них процес­
сов. В биологии ни математические методы,
ни тем бо,п ее методы те ории в ероятностей
еще не нашли должного применения. Мате­
матической статистики е ще не существовало.
Математические науки о случайном - теория
в ероятностей и математическая статистика превратилис ь в стройны е научные дисципли­
ны и получили широко е поле применений бук­
вально во все х областях знания и практиче­
ской д еятельности .11ишь в нашем веке. Имен­
но это и было причиной того, что Энгельс
о понятии случайно го писал лишь с философ­
ских позиций.
Т езис о причинной обусловл е нности явле­
ний мира явился источником высказанных ря­
дом философо в категорических утверждений,
что все ·явл ения необходимы, т. е. с неизбеж- .
ностью вытекают из внутр енних или внешних
причин, обусловливающих протекание этих
явлений. С их точки зр ения, объективной с лу­
чайности не существует, она явля ется лишь
субъективным понятие м, посредством которо­
го мы ж елаем выразить то , что нам неизвесг�
ны причины, движущи е явлением. Энгельс
подве р г резкой критике эту точку зрения.
Приведем несколько цитат из фрагмента
«Случайность и необходимость».
«Другая противоположность, в которой за·
путывается метафизика,- это противополож­
ность случайности и необходимости. Есть ли
что-нибуД ь более противоречащее друг другу,
1s

Ф. Э н г е J1 ь с

,

Диадек тнка

ческой литературы, 1 965,
19 Т а м же, стр. 237.

стр. 224.

п

ри роды

,

Изд. полити­

g

чем

эти две логические категории? Как воз­
можно, что обе они тождественны, что слу­
чайное необходимо, а необходимое точно так­
же случайно? Обычный здравый человеческий
смысл, а с ним и большинство естествоиспы­
тателей, р ассматривает необходимость и слу­
чайность как определения, раз навсегда иск­
лючающие друг друга. Какая-нибудь вещь,
какое-нибудь отношение, какой-нибудь п ро­
цесс либо случайны, либо необходимы, но не
могут быть и тем и другим . Таким образом,
то и другое существует в природе бок о бок;
природа содержит в себе всякого рода пред­
меты и процессы, из которых одни случайны,
другие необходимы, причем все дело только
в том, чтобы не смешивать между собою эти
два сорта... А затем объявляют необходимое
единственно достойным научного интереса,
а случайное - безразличным для науки. Это
означает следующее: то, что можно подвести
под законы, что, следовательно, знают, то ин­
тересно, а то, чего нельзя подвести под зако­
ны, чего, следовательно, не знают , то безраз­
лично, тем м ожно п ренебречь. Но при такой
точке зрения прекращается всякая наука, ибо
наука должна исследовать как раз то, чего
мы не знаем» 20•
В наше время наука подтвердила только
что приведенную точку зрения Энгельса: слу­
чайное и необходимое являются тесно свя­
занными понятиями, и при определенных ус­
ловиях случайные причины могут вызывать
необходимые ( предсказуемые) следств ия; в
р яде же случаев множество необходимых
причин может приводить к случайному раз­
бросу результатов. Но закономерности слу­
чайных явлений не беспричинны,- они также
имеют свои причины.
«Противоположную позицию занимает де­
терминизм, перешедший в естествознание из
французского м атериализма и пытающийся
покончить со случайностью тем, что он вооб­
ще ее отрицает. Согласно этому воззрению в
природе господствует лишь п р остая, непо­
Что в это�1
средственная необходимость.
стручке пять горошин, а не четыре или шесть,
что хвост этой собаки длиною в пять дюймов.
а не длиннее или короче на одну линию, что
этот цветок клевер а был оплодотворен в этом
году пчелой, а тот - не был, и притом этой
определенной пчелой и в это определенное
время, что это определенное семя одуванчика
взошло, а другое - не взошло, что в прошлую
ночь меня укусила блоха в 4 часа утра, а не в
20 Ф. Эн гель с, Диалектика природы, Изд.
ческой литературы, 1965, стр. 1 87.

10

полити­

3 или в 5, и притом в правое плечо, а не в
левую икру,- все это факты, вызванные не
подлежащим изменению сцеплением причин
и следствий, незыблемой необходимостью, и
п ритом так, что уже газовый шар, из которо­
го произошла солнечная система, был устроен
таким образом, что эти событи я должны бы­
ли случиться именно так, а не иначе. С необ­
ходимостью этого рода м ы тоже не выходим
за п ределы теологического взгляда на приро­
ду ... Так называемая необходимость остается
пустой фразой, а вместе с этим и случай ос­
тается тем , чем он был . ... такая наука, кото­
р а я взялась бы проследить случай с этим от­
дельным стручком в его каузальном сцепле­
нии со все более отдаленными причинами,
была бы уже не наукой, а простой игрой; ибо
этот стручок имеет еще бесчиLленные другие
индивидуальные свойства, являющиеся слу­
чайными: оттенок цвета, толщину и твердость
оболочки, величину горошин, не говоря уже
об индивидуальных особенностях, доступных
только микроскопу. Таким образом с одним
эти м стручком нам пришлось бы проследить
уже больше каузальных связей, чем сколько
их могли бы изучить все ботаники на свете»21•

В современном естествознании закономер­
ности случайных событий играют выдающую­
ся роль. При этом мы не отказываемся от
концепций детерминизма, но только расширя ­
ем представления о нем. Более того, современ·
ная наука считает, что того категорического
детерминизма, о котором говорил француз­
ский материализм и который господствовал в
естествознании XIX и начала ХХ столетия.
попросту не существует. В связи с этим осо­
бую роль в современной науке начали играть
математические науки о случайных явлениях
и процессах - теория вероятностей и матема­
тическая статистика.
Заключение. Настояща · я статья преследует
скромную цель - показать лишь отдельными
мазками значение работ Энгельса для мето­
дологии математики. Многое, что было ска­
зано Энгельсом, сохр аняет свое значение и в
наше время. Некоторые .,же его высказывания
были п рочно связаны с состоянием науки его
времени, они, естественно, нуждаются в кор­
рективах. В качестве примера такого рода
приведем следующее его утвер ждение: «При·
менение математики: в механике твердых тел
абсолютное, в механике газов приблизитель­
ное, в механике жидкостей уже труднее; g
физике больше в виде попыток и относитель21

Там же, стр.

1 87- 188.

но; в химии п р остейшие у р а вн ения п е р вой
степ ени; в биологии =0» 22•
З а 75 лет, п р ошедших со дня смерти Эн ­
гельс а, математические методы в механике
ж идкостей, механике газов , в физике дали
п о р азительные успехи. В р я де случ аев и мен­
но матем атический метод п озволил отк р ыть
новые физические и механические явления, а
такж е п р огнозировать течен ие слож нейших
п р оцессов. Недаром совр еменные физики ут­
верждают , что матем атика для физика явля ­
ется н е п р осто инс трум ентом р асчетов, она
п р евр атилась в непоср едственное орудие фи­
зического исследования. Если же гово р ить о
биологии , то с каж дым годом она все больше
22 Ф. Э н ге л ь с, Диалектика природы, Изд. полити­
ческой литературы, 1965, стр. 237.

УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
Если вы принимаете участие в решении или составле­
нии публикуемых в журнале задач, то, вероятно, обра­
тили внимание на изменения в структуре отдела задач
и � самом содержании задач.
Главные изменения в структуре - его «омоложение»,
введение особого раздела «Задачи для IV-V классов».
В настоящее время, после перехода на новые програм­
мы в шко.ле, нет необходимости говорить о том, что
учащиеся этого возраста могут приобщаться к «настоя­
щей» математике. Предлагаемые в этом разделе задачи
не должны требовать, конечно, знания какой-либо тео­
рии, для их решения д'1статочно п ростейшего умения до­
гадыва�ься, рассуждать, перебирать возможные вариан­
ты, выполнять несложные «правила игры»; другими сло­
вами, заниматься в миниатюре «Настоящей» м атемати­
кой. Таких задач мы и ждем от читателей.
Разделы «Задачи для VI-V I I I классов» и «Задачи
для IX-X классов» пока остались практически без из­
менений. Подчеркнем только, что в этих разделах мы
считаем нужным предлагать и такие задачи, которые
заставляют работать с новыми, только что данными
определениями, и не требуют предварительных знаний.
Эти задачи являются, на наш взгляд, хорошими упраж­
нениями, проверяющими потенциальные возможности
учащихся к усвоению новых разделов курса математи­
ки и подготавливающих к этому.
Нако"нец, последний раздел «Избранные задачи» со­
ставляется из задач на темы, не входящие в школьную
программу, но могущие служить основой дJIЯ факульта ­
тивных ку�ков. Более того, они м огут СJiужить «Трени­
ровкой» и для самих учителей.
В заключение еще раз сформулируем требования, ко­
торые мы предъявляем к оформлению решений. Невы-

нуж дается в матема т ике как м етод е исследо­
ва н ия, а в ряде ее разделов и менно матема­
тика явилась п р ич иной крупнейших ее успе ­
хов.
С а мо собой разумеется , ч то в разных нау­
ках р оль математического метода р азлич на.
В таких дисциплинах, как небесная м еханика
или квантовая элект р одина мика , мате матиче ­
ские методы, основанные на небольшом числе
гипотез о п р и р оде связей , поз воляют п олу­
чить с о гр омной точ ностью вы воды о ходе р е­
альных я влени й. В таких ж е науках, как а р ­
хеоло гия или медицина, знач ение математиче­
ских ме тодов пока е ще огр ани ченно. Со вр е­
м е н е м , когда в математике будут созданы со­
ответствующие п онятия и методы , р оль мате­
мати I<и и в этих дисциплинах будет большей.

полнение этих требований создает дополнительные труд­
ности в обработке поступающего материала, и с этого
года мы решительно намерены проявлять твердость и
не рассматривать решения, не оформленные надлежа­
щим образом.
1. Решения следует присылать не позже, чем через
2 месяца после выхода номера, в котором помещены
задачи.
2. Решения задач присылаются отдельно от всякой
другой корреспонденции. П росим не присылать писем,
сложенных в трубочку.
3. Решение каждой ·задачи дается на отдельном листе
и подписьц1ается автором.
4. К решениям прилагается на отдельном листе спи­
сок решенных задач в возрастающем порядке (без со­
кращений с помощью тире) , а также точный адрес (и
желательно сообщить профессию автора) .
5. Решения должны быть полными, написаны четко и
разборчиво, номер каждой из задач должен быть круп­
но выделен.
Минимум задач, дающий право на помещение фами­
лии решающего в сводку решений, определяется по
каждому номеру редакцией. Решения, присланные чита­
телями, хранятся в течение месяца после опубликования
решений в очередном номере журнала, после чего унич­
тожаются.
Читатели, присылающие задачи, должны соблюдать
следующие требования.
1. Задачи должны присылаться с полными решения­
м и. Каждая задача представляется на отдельном листе.
Редакция сохраняет за собой право изменять формули­
ровки зздач.
2. Если задача заимствована, должен быть указан
источник.
3. По задачам, не принятым к напечатанию, переписка
с авторами н.е ведется и тексты задач не возвращаются.

МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В ПОМОЩЬ УЧИТ ЕЛЯМ·
IV -У КЛАССОВ
Проrрамма по математике
дnя IV - V классов
средней w коnы
I . ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
IV-V к л а с с ы
Предполагается. что в первых трех клас ­
с-ах учащиеся получили навыки в выполнении
четырех арифметических дейс твий с нату­
ральными числами, кроме н аиболее трудных
случаев, таких как деление на трехзначное
чис.10 и др., научились решать несложные за­
дачи на применение всех действий. Предпола ­
га ется также, что учащиес я знакомы с поня­
тиями «фигура», «ПЛОСКОСТЬ», «прямая», с
основными понятиями, с вязанным и с окруж­
ностью.
В IV-V классах изучаются а рифметика и
начала алгебры и основные геометрические
понятия и построения. Изучение геометриче­
с ко го материала в этих класс ах проводится
в течение всего учебного года.
При изучении арифметики и начал а;f!геб­
ры проводится повторение и систематизаци я
l2

ранее полученных учащимисп сведений о на­
туральных числах. Основой систематизации
с лужит осмысление понятип ,�,шсло» и опера­
ций над числ а ми с привлечением понятий
« множество», «элемент множества», «принад­
лежность». Содержание перечисленных поня­
тий разъясняется на конкретных примерах
множеств и усваивается учащимися в процес ­
се выполнения упражнений.
Техника выполнения а рифметич·еских дей­
ствий к концу курса должна быть доведена
до полной отчетливости (безошибочности ре­
зультата ) . Школьники должны приобрести
уверенность в способности спра виться с вы­
числения м и со сколь угодно большими числа­
ми. Однако , как правило, достаточно прочные
навыки должны быть выработаны при выпол­
нении вычислений с 3-, 4-, 5-значными числа­
ми (выходить за эти пределы следует лишь в
отдельных упражнениях) .
Составление и решение уравнений занимают
большое место в учебном процессе IV-V
классов. В IV классе уравнения решаются на
основе зависимостей между компонентами и
результатами действий. В V классе в теме
« П оложительные и отрицательные числа»
формул ируются некоторые правила действий
с рациональными числами, включая правила
nеремены знака при перенес ении члена из од­
ной ча сти уравнения в другую. Учащиеся
должны уметь достаточно свободно решать
л инейные уравнения вида :

О '5х

-

7

1
2

-

=

О , Зх - 15,

Раннее введение уравнений позволяет по­
новому организовать обучение решению тек­
стовых задач. Учащимся раскрываются пре­
имущества алгебраического способа перед
арифметически м , а в дальнейшем им самим
предоставляется право выбора метода реше­
ния задачи.
С первых уроков в IV классе формируются
навыки тождественных преобразований. Важ­
ную роль при этом играет понятие «выраже­
ние». Тождественные преобразования выра­
жений основываются на законах арифметиче­
ских действий.
Введение понятия «выражение, содержащее
переменную», открывает возможность форми­
рования функциональных представлений.
В с вязи со сравнением чисел и вы ражений
большое внимание уделяется упражнениям,
содержащим неравенства или приводящим к
ним.

В IV-V классах изучение геометрии носит
преимущественно индуктивный характер. На­
выки дедуктивного мышления формируются
в процессе применения изученного материала
при решении задач.
С первыми примерами доказательств уч а­
ш иеся встречаются при изучении содержа­
тельных и интересных фактов (ра венство вер­
тикальных углов, сумма внутренних углов
треугольника ) .

Пояснения к отдельны м т ем а м
АРИФМЕТИКА и НАЧАЛА АЯrЕ&РЫ

Тема l . «Многозначные числа». Эта тема
в кур.се IV класса временная. На ее изучение
выделено дополнительно 35 часов. Когда в
IV класс п ридут учащиеся, прошедшие курс
обучения в I - I I I классах по новой п рограм­
ме, она будет снята, и н а изучение математи­
ки будет отведено в соответствии с типовым
учебным планом 6 недельных часов. В ней
р ассматриваются те вопросы новой програм­
мы I -I I I классов , которые не содержались
в старой программе этих же классов. Особое
внимание уделяется более трудным случаям
умножения и деJ1ения многозначных, чисел в
пределах миллиа рда, порядку выполнения
действий, понятию о площади и единицах ее
измерения.
В этой же теме учащиеся знакомятся с ок­
ружностью и кругом, их центром, р адиусом,
диа метром. При изучении этого материала
основное внимание обращается на практиче­
ское использование изученных понятий: уче­
ник должен уметь вычерчивать окружность,
проводить в ней р адиус и диаметр.
Тема 2. «Натуральные числа». В этой теме
наряду с повторением и систематизацией све­
дений о натуральных числах начинают фор­
мироваться понятия «Выражение», «уравне­
ние», «неравенство». П р и этом широко ис­
пользуются графические иллюстрации, осно­
ванные на изображении н а турального ряда
чисел последовательностью точек на луче.
Изучение а рифметических действий позво­
ляет развивать и закреплять вычислительные
навыки учащихся. Особое внимание уделяет­
ся трудным случаям умножения и деления,
действиям с нулем и единицей.
Повторение коммутативного и ассоциатив­
ного законов умножения связывается с вычис­
лением площади пря моугольника и объем а
прямоугольного параллелепипеда (последний
воп рос - новый для учащихс я ) . Законы ариф­
метических действий применяются к обосно­
ванию действий с многозначными числами,
используются для преобразований выраже-

ний. Более глубокому пониманию порядка вы­
полнения действий способствуют упражнени я
в составлении выражений.
Тема 3. «десятичные дроби». Работа над
темой начинается с формирования понятия
обыкновенной дроби как результата деления
и как результата измерения. При этом рас­
сматривается выполнение ( по соображению )
действий с обыкновенны ми дробями в п ростейших случаях.
Десятичные дроби вводятся как способ за ­
писи дробей со знаменателем вида � оп, где
п натуральное число, и далее внимание со­
средоточивается н а · выработке проч11ых навы­
ков сложения, вычитания , умножения и де­
ления десятичных дробей. В итоге учащиеся
должны легко и быстро справляться с вычис­
лениями типа:
28,6 - 0,27 . 8 + 1 0,4 - 1 7,6 : 2,5.
Умножени е числа на десятичную дробь ор­
ганически связано с задачей вычисления пло­
щади прямоугол ьника.
Те.ма 4. «Положитель ные и отрицательны е
числа». При введении действий с положитель­
ными и отрицательн ыми числами выясняется
справедливость уже известных для случая
полож ительных чисел законов действий. Сло·
жение и вычитание положительн ых и отрица­
тельных чисел выполняется с помощью чис­
ловой п р ямой. (Модуль числа определяется
как расстояние точки, изобр ажающей число,
до начальной точки. ) При изучении данной
темы форму.'Iируютс я п равила р аскрытия ско­
бок и приведения подобных членов. Уровень
сложности тождественны х п реобразовани й,
предлагаемых учащимся, не должен быть nы­
ше трудностей преобразован ий вида:
·

-

3 · (2,5х + 2,8) - 4 · ( 1 ,2х + 1 ,5)

=

2,7х + 2,4.

В свяги с координатной плоскостью рас·
сматриваются примеры графиков· (движения ,
температуры , стоимости и др.) , что поможет
изучению физики в VI классе.
· Тема 5. «Обыкновенные дроби. Действия с
обыкновенными и десятичными дробями». При
доказательстве п ризнаков делимости н а 2,5 и
3 используется делимость суммы и п роизве­
дения. Рассматриваются лиш ь достаточные
условия делимости. П ризнак делимости на 9
дается в задачах повышенной трудности и не
я вляется обязательным для изучения.
Изучение обыкновенных дробей должно
подготавливать учащихся к изучению алгеб­
раических дробей.
Основное внимание в начале темы сосредо­
точивается на выработке навыков действий с
п оложительны ми обыкновенными дробями,
затем постепенно включаются и отрицатель·

13

ные дроби. В результате уча щиеся должны
уверенно выполнять вычисления вида:

45,09 : 1,5 - (2 +·4 -} - 2,5 . 2 +) : 5-}.

В этой теме р ассматриваются десятичные
приближения обыкновенных дробей, дается
первое п редставление о бесконечной десятич­
ной дроби.
П ри изучении умножения и деления на
дробь вновь возвращаются к задачам на на­
хождение дроби числа и числа по его дроби.
Для записи зависимости между величина­
ми в процессе изучения тем и применяют­
ся формулы:
s

4 5

1

= vt; А = 100 · Р; S = т аh ;
N

С=

2'1tГ;

S

= 'lt�

И

др.

ГЕОМЕТРИЯ

Тема 1 . «Основные геометрические поня­
тия». В IV классе изучаются основные· геомет­
рические понятия примерно в том же объеме,
что и в курсе VI класса по публикуемой для
этого класса программе. Однако методика
изложения этого матер и ала в IV классе су­
щественно отличается от методики изучения
этого же материала в VI классе. При изуче­
ню1 геометрии в IV классе должно преобла­
дать н а глядное рассмотрение и опытное обос­
нование фактов. Значительное число выводов
делается учащимися как обобщение измере­
ний и построений, выполняемых с помощью
чертежных инструментов. Как средство убеж­
дения учащихся в правильности высказывае­
мых положений ш ироко используются по­
строения на листе бумаги, моделирование. Из­
вестную роль при изучении геометрии играет
и обобщение жизненного опыта учащихся.
Изложение материала в IV классе ведется
без использования понятий «определение»,
«теорема», «доказательство». Однако система
изложения всего материала строится так,
чтобы содействовать развитию логического
мышления учащихся. В конце IV класса уча­
щимся фактически дается дедуктивное обос­
нование свойства вертикальнух угJюв.
Измерение длин и вычисление площади
прямоугольника, построение прямого угла на­
ходят свое приложение в измерительных ра­
ботах н а местности.
Тема
« Геометрические построени Я>>. Со­
,
средоточ<::н ие внимания н а геометрических
по­
строениях в V классе имеет це:Лью:
а ) подготовить к изучению систематическо­
го курса планиметрии;
б ) сформировать рациональные приемы ос­
новных геометрических построений и этим

2.

подготовить учащихся к изучению курса чер­
чения, который в соответствии с новым учеб­
ным планом будет начинаться с VI класса.
П ри выполнении построений учащиеся поль­
зуются следующими инструмента ми : линей­
кой, циркулем, чертежным угольником, транс­
портиром ( желательно - чертежной доской
и рейсшиной ) .
В V классе учащиеся знакомятся с тремя
видами движения плоских фигур - учатся
строить фигуры, повернутые на некоторый
угол, перенесенные па раллельно на некото­
рое расстояние, фигуры, симметричные дан­
ной относительно оси.
В ыбор задач на построение и число решен­
ных задач должны обеспечить создание ус­
тойчивых навыков в выполнении простейших
построений. При обосновании правильности
тех или иных построений ( «деление отрезка
пополам», «проведение через данную точку
перпендикуляра к данной прямой», «деление
угла пополам») естественно использовать со­
ображения симметрии.
Формированию навыков построений су­
щественно поможет построение треугольни­
ков, изучение осевой симметрии, па раллель­
ного переноса и поворота.
В связи с изучением приемов построения
треугольников у учащихся вырабатывается на
интуитивной основе представление о равенст­
ве треугольников по трем заданным элемен­
там как следствие однозначности соответст­
вующих построений.
I I . ПРОГРАММА
IV к л а с е

245

дРНФМЕТИКд И НдЧдЛд АЛГЕБРЫ

ч,
(7 ч в неделю, всего
из них 30 ч на геометрию)

Т е м а t . Многозначные числа (35 ч )

Нумерация многозначных чисел до милли­
а рда. Умножение и деление многозначных чи­
сел на двузначные и трехзначные. Порядок
выполнения действий.
Площадь прямоугольника. Формула для
вычисления площади пря моугольника.
Окружность и круг. Центр, радиус и диа­
метр.
Тем

а

2. Натуральные числа ( 1 05 ч)

Чтение и запись многозначных чисел.
И зображение чисел точками на луче. Срав­
нение чисел. Неравенство.
З аконы арифметических действий: коммута­
тивный, ассоциативный и дистрибутивный.

жителя за скобки, приведение подобных ела·
гаемых.
Координаты точек на прямой. Координат·
ная плоскость. Координаты точек на плоско­
сти. Примеры графиков движения, темпера­
туры, стоимости и др.

Сложение, вычитание, у множение и деление
многозначных чисел.
Числовые выражения. Выражения, содер­
жащие переменные. Числовое значение выра­
жения. Преобразование выражений н а осно­
ве законов арифметических действий.
Применение уравнений к решению задач.
3 а м е ч а н и е. В связи с р ассмотрением за­
конов действий изучается объем прямоуголь­
ного параллелепипеда и вводится формула
для вычисления его объема.
Т е м а 3 . Десятичные дроб и

(75

ч)

Измерения величин. Десятичная система
мер. Обыкновенная дробь.
Основное свойство обыкновенной дроби.
Десятичная дробь. Сравнение десятичных
дробей.
Сложение, вычитание, у множение и деление
десятичных дробей. Округление чисел. С ред­
нее арифметическое. Понятие процента.
ГЕ ОМЕТРИЯ

(30 ч распределены в течение года)
Тема

1.

Основные геометрические понятия

Геометрическая фигура. Прямая линия.
Луч. Отрезок. Ломаная линия. Сравнение
длины ломаной с длиной отрезка, соединяю­
щего ее концы. Соотношение между сторона­
ми треугольника. .
Угол. Сравнение углов. Биссектриса угла.
Развернутый у!"ол. Прямой угол и его построе­
ние при помощи чертежного угольника. Гра­
дусное измерение углов. Транспортир. С меж­
ные и вертикальные углы.
Перпендикуляр к прямой и его построение
при помощи чертежного угольника. Расстоя­
ние-оо- точки до пр.nмой.
V кл а сс
(6 ч в неделю, всего 2 1 0 ч.
из н их 35 ч на геометрию)
АРИФМЕТИКА И Н АЧАЛА АЛГЕ&РЫ
Тема

(70

ч)

4.

Положительные

и

Т е м а 5. Обыкновенные дроби. Действия с обыкно•
венными и десятичными дробями ( 1 05 ч )

отрицательные

числа

Вычисления по формулам. Формула пути.
формула процентов. Положительные и отри­
цательные числа.
Изображение чисел точками на п рямой
(числовая прямая) . П р отивоположные числа.
Модуль числа. Сравнение чисел.
Сложение. Вычитание. Умножение. Коэф­
фициент. Возведение в степень. Деление.
выражений:
раскрытие
П реобразование
скобок, заключение в скобки, в ынесение мно-

·

Дели мость н атуральных чисел. Делители
числа. Общие делители чисел. Н аибольший
общий делитель. Взаимно п ростые числа.
Кратное. Общее кратное чисел. Н аи меньшее
общее кратное. П ризнаки делимости на 2,
на 5, на 3. П ростые и составные числа.
Разложение чисел на простые множители.
Н ахождение наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного с помощью
разложения чисел на простые множители.
Обыкновенная дробь. Изобр ажение дроб­
ных чисел точками на числовой п рямой. Со­
кращение дробей. П риведение дробей к об­
щему зна менателю. Сравнение дробей.
Сложение, вычитание, у множение и деле­
ние обыкновенных дробей.
Действия с обыкновенны м и и десятичными
дробями. Десятичные п риближения обыкно­
венной дроби.
Ф ормула площади щ:�моугольного тре­
угольника. Формулы длины окружности и
площади круга.
ГЕОМЕТРИЯ

(35 ч р аспределены в течение года)
Т е м а 2.

Геометрические построения

Построения с помощью циркуля, линейки,
угольника и транспортира.
Взаимное расположение прямой и окруж­
ности .
П а раллельные прямые. Построение парал­
лельных прямых с помощью линейки и уголь­
ника. Построение фигур, перенесенных по за­
данному направлению н а данное расстояние.
П остроение фигур, симметричных относи�
тельно прямой. Деление отрезка на две рав­
ные части. Построение перпендикуляра к пря­
мой. Деление угла на две р авные ч асти.
Построение фигур, повернутых на заданный
угол.
Равнобедренные и равносторонние тре­
угольники. Сумма углов треугольника. П о­
строение треугольни ков по трем сторонам. По­
строение треугольников по двум сторон а м и
углу между ними. Построение треугольников
по стороне и двум прилежащим углам.

Э. Г. SIHYSд (r. Ростов-на-Дону)

К

работе по новому учебн и ку в IV к.пассе

Научить школьников учиться, уметь поль­ было предложено по очереди вслух читать
зоваться учебной книгой, приучить са мостоя­ текст на стр. 37 до cJioв: «В ыражения называ­
тельно работать, делать выводы, обобще­ ются ... » При этом были заданы вопросы:
ния - это, как известно, важнейшие задачи
а) когда получаются записи, которые назы­
педагогического процесса.
ва ются выражениями? б) какие выражения
Опыт ра боты по м атематике в четвертых можно получить при решении задач? в) как
классах некоторых школ Ростова-на-Дону в получили ответ на вопрос задачи?
1 969/70 г., в порядке опережающего обуче­
Затем каждому было предложено про себя
ния, по 2-му изданию учебника коллектива прочитать следующие пять строк, придумать
а второв под редакцией А. И. Маркушевича, свои примеры на составление выражений, ко­
а в 1970/7 1 учебном году - по 3-му изданию торые надо назвать суммой, разностью.
того же учебника, введенного уже во всех
После этого учащиеся прочитали до конца
ш колах, дает нам возможность осветить неко­ обобщающую часть п. 1 5 на стр. 38 до уп­
торые стороны этой ра боты, ответить на во­
ражнения 1 56 и предложили несколько своих
п рос, как п омогал учителю новый учебник в п ри меров. Учитель при этом обращал внима­
решении сформулированных выше задач пе­ ние на правильное чтение не только выраже­
дагогического п роцесса.
ний, но и числительных, входящих в выраже­
ния.
Так как тираж 2-го издания был неболь­
шой, а 3-е издание и меется у всех учителей
Затем учащиеся выполняли упражнения
математики, в дальнейшем все ссылки и при­
1 56 - устно и 1 57 письменно (са мостоя­
меры даются по 3-му изданию.
тельно ) . Учитель предлагал найти значения
Остановим ся внаЧале на р аботе с учебни­ некоторых выражений и путем опроса и про­
ко м на уроках. Н авык самостоятельной ра­ смотра работ отдельных учащихся проверял,
боты с учебником мы считаем одни м из важ­ как выполнены упражнения на составление
нейших навыков учебного труда.
. выражений, как они прочитаны, как расстав­
лены при этом скобки.
К систематическому обучению учащихся са­
Объяснительный текст в учебнике для
мостоятельной работе с учебником учитель,
IV класса написан, как правило, языком, до­
п риступает после того, как достаточн о хоро­
ступным для понимания учеников; для каж­
шо познакомится с классом.
После изучения новых понятий под руко­ дого пункта текст краток, поэтому очень удо­
водством учителя соответствующий матери­ бен для проведения самостоятельной работы
ал в учебнике прочитывается вслух мелкими с учебником, а расходуемое па этот вид ра­
порциями; от учащихся требуется заметить боты время окупается тем , что уча щиеся при­
особенности текста, повторить смысл прочи­ обретают на вык систематически пользовать­
танного, п р идумать пример, аналогичны,й ся учебником, что имеет большое значение
данному в учебнике, и т. п. Иногда р азучива­ для закрепления знаний учащихся в услови­
ние нового, повторение проводятся непосред­ я х усиления внимания к теоретическим зна­
ниям учащихся.
ственно по тексту учебника, при этом учитель
Самостоятельным работа м учащихся на
предJ1агает учащимся вопросы, которые ори­
ентируют их на усвоение сущности изучаемо­ уроках автор ы учебника уделяют большое
внимание. В предисловии к «дидактическим
го 111 атериала. Условия задач, примеров в
учебниr(е учащиеся читают сами. Если внача­ материалам» даются некоторые рекоменда­
ции о методике их проведения.
ле не все учащиеся сразу реаги руют на при­
С целью развития познавательной активно­
глашение учителя открыть ту или иную стра ­
н ицу учебника, т о через несколько недель од­ сти и самостоятельности учащихся учителя ми
ного ука3ания достаточно для подавляющего систематически п роводятся различные само­
большинства учащихся , чтобы они включи­ стоятельные работы: при подготовке учащих­
ся к восприятию нового, в процессе изучения
лись в работу с книгой.
П р имер. П р и изучении вопроса о составле­ нового, при формировании понятий, при за­
нии числовых выражений (п. 1 5 ) учащимся креплении. При этом учащи мся предлагается
-

16

выполнять Н<lблюдения, сравнения, делать
самостоятельные выводы и обобщения, обос­
новывать выполняемые преобразования, вы­
числения, построения. По степени п роявления
са мостоятельности учениками применяются
самостоятельные работы трех основных ви­
дов : полусамостоятельные, тренировочные и
контролирующие. С а мостоятельное решение
задач и различных упражнений вкрапливает­
ся малыми дозами во ф ронтальную работу на
многих уроках.
При планировании и п роведении са мостоя­
тельных работ особенно приходится заботить­
ся о том, чтобы освободить ученика от непро­
изводительных затрат времени, с одной сто­
роны, и, с другой стороны, обеспечить выя вле­
ние результатов работы прежде всего непос­
редственно па уроке, исправить ошибки уча­
щихся, прививая им при этом навыки са мо­
контроля.
В практике ряда ростовских школ при про­
ведении самостоятельных работ два-три уче­
ника выполняют их на переносных досках;
учитель следит за р аботой этих учеников.
Когда они закончат, результаты показывают­
ся всем учащимся. Они сверяют решения со
своими и исправляют обнаруженные ошибки.
Результаты самостоятельных работ оценива­
ются учителем в большинстве случаев выбо­
рочно. Уча щиеся охотно выполняют са мостоя­
тельные работы, приступают к ним, не теряя
времени, в этом большую роль играет свое­
времеuный учет результатов, поощрение со
стороны учите.пя . Периодически проводятся
самостоятельные работы для проверки резуль­
татов домашних заданий, для повышения от­
ветственности учащихся за их выполнение.
Такие работы помогают учителю выяснить,
что плохо усвоили ученики. Проверяются они.
как правило, после уроков и обязательно оце­
ниваютс я.
В книге для учите.11я математики в IV клас­
се авторы правильно рекомендуют �<отказать­
ся от п ривычки решать задачи только ариф­
метическим методом» и считают, что надо
«усвоить метод решения задач с помощью
уравнений». Такие рекомендации явно следу­
ют из новой п рограммы. В 1 969/70 учебном
году еще не было у нас книги для учителя,
но уже тогда мы предлагали много упраж­
нений, целью которых было подготовить уча·
шихся к составлению уравнений по усJювию
задач.
Эта подготовка была длительной, распре­
деленной по многим урокам, п роводилась она
в виде письменных и устных упраж.uений в
следующих направле ниях:

а) повторены а риф метические зависимости
между на иболее · часто встречающимися в за­
дачах величинами, а также зависимости меж­
ду результатам и действий и да нными;
б) решение задач на соста вление выраже­
ний - числовых и с переменными - как про­
стых, так и составных. Этих упражнений было
выполнено значительно больше, чем предла­
гает учебник;
в) упражнения в сра внении выражений при
различных значениях входящих в них пере­
менных. При п роведении этих упражнений
фиксировалось особое внимание на тех слу­
чаях, когда при определенных значениях пе­
ременных сравниваемые выражения оказыва­
лись равны; учащиеся соста вляли уравнения;
г) упражнения в соста влении равенств из
выражений на основе указаний об их сравни­
тельной величине. Например, записать в ви­
де ра венства предложения: 13 больше 7 н а 6;
7 меньше 13 на 6; х больше 7 на 54; выраже­
ние 5 - х больше выражения З · х на 48 и т. п.
Обычно при выполнении таких упражнений
требовалось составить все возможные равен­
ства. Например, если х1 больше 7 на 54" то
х - 7 = 54, х - 54 = 7, х = 7 + 54, реже: 7 =
= х - 54, х - 54 - 7 = 0 ;
д) решение более сложных задач н а со­
ставление выражений, содержащих перемен­
ную, и нахождение тех ее значений, при кото­
рых полученное выражение будет иметь за·
данную величину. Например, задача 570:
«Каждый день на элеватор привозят 1 00 т
пшеницы. Сейчас на элеваторе 5000 т. Сколько
тонн пшеницы будет на элеваторе через 2 дня;
через 8 дней, через t дней?» После записи вы­
ражения (5000 + 1 00 t) т учащимся предлага­
ется найти, через сколько дней (при каком
зна чении t) на элеваторе будет 6000 т пше­
.
ницы ;
е ) решение простых задач на составление
уравнений. Этих упражнений было рассмотре­
но больше, чем в учебнике, и при этом обра­
щалось особое внима ние на то, чтобы у уча­
щихся выработать умение объяснять, какую
величину они принимают за переменную (не­
известное) ;
ж ) решение составных задач при помощи
уравнений, в которых прямо указывается ве­
личина, которая должна быть принята за
переменную (неизвестное) . Например, «если
неизвестное число умножить на 2 и к полу­
ченному результату прибавить 76, то п олучит­
ся 1 00; чему равно неизвестное число?»;
з) решение некоторых составных задач
арифметическим способом и с помощью урав­
нений, сравнение способов решений;
17

и) решение - задач составлением уравнений
на р азличные завис имости между в ели­
чинами.
Практика показала, что указанные выше·
упражнения должны составлять значитель­
ную часть среди устных упражн ений как в
период, п редшествующий решению задач на
составление уравнений, так и в п роцессе их решения. П а раллельно с упражнениям-и, раз­
вивающими умение составлять уравнение по
условию задачи, п роводилось много уnраж­
нениV., развив ающих умение р ешать уравне­
ния, п роизводить преобразования, необходи­
мые при их р еш ении.
Все же нам представляется, что обучение
решению текстовых задач недостаточно раз­
работано как в учебнике, так и в книге для
учителя. Авторы в этих пособиях не показали
учителю, как надо работать, чтобы выполнить
их рекомендацию, по существу п р а вильную:
«При решении задач ... В классе - надо Е\СЯЧеСКИ
поощрять поиски учащимися новых, нетрафа­
ретных методов решения задач» ( стр. 23 кни­
ги в помощь учителю) .
Говоря об итогах года опережающего обу­
чения в четвертых классах, н адо отметить сле­
дующие недостатки учащихся:

1 . Неумение достаточно полно аргументи­
ровать свои выводы, умозаключения, ссобен­
но п ри обосновании зависимостей между дан­
н ы ми и результата ми арифметических дейст­
вий, затруднения в формулировках законов
действий, а также недостаточное усвоение
геометрического м атериала.
2. Недостаточный уровень вычислительных
н авыков в действиях не только с целыми чис­
лами, но и с десятичными дробя ми; затруд­
нения уча щихся в упр ажнениях, которые тре­
буют п ри менения рациональнqrх приемов вы­
числений.
Но нельзя не отметить и положительные
результаты проведенной работы:
1 . Подавляющее большинство учащихся ак­
тивно работали на протяжении всего года на
уроках математики, проя вляя большой инте­
рес к предмету. Не было случае•в, когда бы
ученик, даже слабый, проявлял безразличное
отношение к учению.
2. У учащихся развились некоторые навы­
ки самостоятельной ра_боты с учебником, вы­
работалась привычка обращаться к учебнику.
3. Научно-теоретический уровень знаний
учащихся з аметно отличался от знаний свер­
стников, обучавшихся по старой п рогра мме,
как по объему, так и по характеру знаний.

Л. С. 6УЛЫЧЕВд (г. Ростов-на-Д�)

Индивидуальный подход к учащимся IV класса
п ри обучении по новой проrрамме
Большое значение для повышения качества
обучения, для п редупреждения неуспеваемо­
сти и меет учет индив идуальных особенностей
уча щихся, изучение состояния знаний каждо­
го из них, особенно это относится к слабым
учащимся.
С п ервых дней работы в IV классе было
обращено внимание на изучение учащихся с
точки зрения соответствия уровня их знаний,
у мений и навыков требованиям новой п ро­
грам мы IV класса. С этой целью были ис­
пользованы специальные диагностирующие
1 Д оклад, прочитанный
на В сероссийском научно­
пра><:тическом совещании в октябре 1970 r. (публикуется
в сокращенном виде).

1

самостоятельные работы по выявлению про­
белов в знаниях и навыках учащихся по
программе н ачальной ш колы ( разработаны
заведующей кабинетом математики институ­
та усовершенствования учителей Э. Г. Я к у­
б а ).
Сначала были проведены работы для выяв­
ления пробелов в вычислительных навыках,
затем в развитии логического мышления. Так,
для выявления недостатков в вычислитель­
ных навыках были п редложены такие само­
стоятельные работы.
П е р в о е з а д а н и е.
а) За пиши цифр ами год своего рождения.
б ) Сколько чисел записано на этой стро<еке:

51, 2, 356?

Назови цифры последнего числа слова,ни.
Слова запиши.
в) Запиши цифрами числа: три тысячи де­
вятьсот восемьдесят семь, се.мь тысяч пять­
сот, пять тысяч двадцать три, четыре тыся­
чи шесть.
г) Сколько десятков в трех сотнях, в двух
тысячах?
При помощи второго задания проверялось
знание таблиц умножения и деления.
Третьим заданием проверялись навыки и
знания приемов внетабличного умножения и
деления в пределах 1 00.
14·8
15-3
13·4

12-5
18·5
41-2

29 . 3
72 : 4
44: 2

72 : 2-t
87 : 29
81 : 2 7
66 : 22

В этом задании после решения примеров
предлагалось объяснить решения некоторых
из них. Всего было проведено 6 таких работ.
Все работы проводились по карточкам во
внеурочное время, за исключением р абот, ко­
торые давались всем учащимся - это реше­
ние задач в одно-два действия для выявления
понимания зависимостей между величинами,
причем особое внимание в этих заданиях уде­
лялось задачам в косвенной форме. Вот при­
мер одного задания, которое ставило целью
проверку умения решать простые задачи на
умножение и деление в косвенной форме.
1 . На машине турист проехал 37 к.и, что
в 6 раз меньше того расстояния, которое он
прошел пешком. Сколько километров прошел
турист пешком?
.
2. Сталь тяжелее алюминия в 3 раза.
Стальная деталь весит 3 кг 330 г. Сколько
весила бы такая же деталь из алюминия?
В результате анализа этих работ, а также
всей текущей работы были обнаружены сле­
дующие недостатки в знаниях и навыках сла ­
бых учащихся.
1 ) Плохое знание та блицы умножения, сла­
бые навыки внетабличного умножения и де­
ления и др.
2) Неумение правильно выб11рать и объяс­
нять выбор действия при решении задач.
3 ) Отсутствие умения устанавливать связи
между величина ми, особенно, если задача
предложена в косвенной фор ме.
4) Неумение переключаться с одного вида
работы на другой. (В задании, где чередуют­
ся примеры на деление и умножение, не все
учащиеся следуют условию заданий.)
5) З амедленный темп работы.
Диагностирующие работы ускорили знаком­
ство с состоянием уровня знаний учащихся.
В дальнейшем ра бота со слабыми учащимися
проводилась в следующих направлениях:

1 ) устранение выявленных пробелов; 2) пре­
дупреждение образования новых пробелов;
3) привитие навыков учебного труда ; 4) фор­
м и рование положительного : отношения к уче­
нию.
Для преодоления выявленных пробелов в
устные упражнения систематически включа­
лись примеры на применение табличных и
внетабличных приемов вычислений, на дей­
ствия с круглыми десятками, при закрепле­
нии несложных вопросов программы подби­
рались такие приемы вычислений, в которых
учащиеся испытывали затруднения. Кроме
такой общеклассной работы приходилось про­
водить и индивидуальные дополнительные за­
нятия по содержанию программы I - I I I классов.
С целью предупреждения образования у
учащихся новых пробелов особое внимание
обращалось на подготовку учащихся к вос­
приятию нового не только на классных заня­
тиях, но и в процессе дополнительной рабо­
ты. При закреплении новых знаний слабые
ученики максимально освобождались от не­
производительных затрат труда, им давались
указания по раб()те с книгой, по выполнению
домашнего задания с помощью специальных
карточек, в которых имелся элемент подсказ­
ки или решение упражнения, аналогичного
домашнему, или указание о новом или забы­
том понятии, наводящий вопрос и т. п.
П р и м е р ы.
I. Для развития у мения слабых учащихся
составлять уравнение им в порядке индиви­
дуальных заданий чаще, чем сильным учени­
кам, предлагалось решить простую задачу на
составление выражения, или позже составить
уравнение по условию такой задачи, где явно
указывалось на то, какую величину следует
принять за х. Вот, например, одно из таких
заданий.
Реши с помощью уравнения ·задачи:
1 . Если к неизвестному числу прибавить 83,
то получится 1 25. Найти число.
2. Если от неизвестного числа отнять 56, то
получится 76. Найти число.
3. Если из 85 вычесть неизвестное число, то
получится 70. Найти число.
I I . На уроке должна быть решена задача :·
Расстояние между двумя городами 1 8 км.
Между ними ходит автобус со скоростью
60 км в час. Успеет ли автобус проехать 5 раз
туда и обратно за 3 часа?
Слабым ученикам для устного решения
даю н а дом карточку с таким заданием:
между . двумя городами
1 ) Расстояние
1 3 км. Автобус прошел из одного города в
.

·

19

другой и обратно. Какое расстояние прошел
автобус?
· 2) Какое расстояние пройдет автобус, если
он туда и обратно пройдет 5 раз (используй
условие первой задачи) .
3 ) Машина прошла 300 км. В час она про­
ходила 50 км. Сколько часов была в пути ма­
шина?
З а пиши в тетрадь только вычисления.
Аналогичные задачи были предложены
r<лассу на следующий день в виде устных уп­
ражнений. Услыш а в в задачах, предложен­
ных классу, знакомые вопросы, сл.абые уч а­
щиеся активно включались в общую работу.
Они н ачинали верить в свои силы.
Учитывая трудности формирования абст­
рактных п редставлений у слабых учащихся
при изучении геометрии, я п роводила п ракти ­
ческие работы не только п ри изучении нового,
но и при повторении.
С целью развития у слабых учащихся уме­
ния работать по аналогии нередко им п ред­
лагались карточки-консультации для помощи
при решении упражнений. Н а п ример, к до­
машней задаче : «девочка имела 25 коп. Она
купила l карандаш за 6 коп. и k тетрадей по
2 коп. Сколько тетрадей могла купить девоч­
ка?» была п редложена карточr<а, в которой
давалось решение а налогичной задачи.
Значительная часть учащихся нередко ис­
пытывала трудности в правильном оформле­
ни и упражнений, и в связи с этим также при­
ходилось давать карточки-инструкц ии . Такая
карточка помогала восстановить в памяти
классную р аботу, стиль изложения решения
некоторых упражнений, закрепить его, преду­
преждала бессистемность в оформлении ра­
боты. Учащиеся всегда с удовольствием бра­
ли эти карточки, зная, что они помогут и м в
работе. Может быть такие карточки избавл � ­
ли до некоторой степени учащихся от бес­
плодных конфликтов с родителями. Попытки
родителей помочь детям нередко отверга.'!ись,
так как объяснения родителей отл ич ались от
об"t>яснений учителя. П р ичины этого понятны.
Иногда в таких карточках давалось разъяс­
нение какого-либо слова, понятия, напомина­
ние о необходимости повторить какой-либо
пункт учебника.
Может возникнуть воп рос: не слишком л и
мы помогаем учащимся в их домашней рабо­
те? Не затормаживаем ли мы тем самым про­
цесс развития мышления учащихся? Считаю,
что нет. Без помощи товарищей или родите­
лей слабый ученик все р а вно не справился бы
с заданием полностью.
Эта помощь подчас
выражается в п ростом переписывании до­
машнего задания. А при таком методе рабо·

20

ты у учащихся появляется вера в свои силы,
интерес к домашнему заданию, а затем и ин­
терес к матем атике.
Нередко при выполнении самостоятельных
работ учащимся давались ка рточки, которые
освобождали их от непроизводительных за­
трат времени. Эти карточки в своем тексте
и мели п ропуски (окошки) , куда ученик до.'!­
жен был вписать только ответ, не выписывая
условия .
В основу всей организации индивидуальной
работы было положено тщательное изучение
работы каждого ученика на основе система­
тического и своевременного выявления уров­
ня усвоения каждого раздела программы,
большого или маленького, чтобы предупре­
дить образование новых пробелов. С этой
целью часто п р едлагались самостоятельные
письменные р аботы по изученному на уроке,
по закреплению изученного на предыдущих
уроках или по домашнему заданию (как пра­
вило на 7- 1 0 мин.) . Эти задания всегда оuе­
нивались.
П р ивитие учащимся навыков учебного тру­
да проводилось по нескольким направления м :
а ) развитие умения р аботать с учебником;
б) развитие умения организовать свою рабо­
ту; в) ускорение темпа работы.
На что обращалось внимание при проведе­
нии работы с учебником?
После объяснения, проведенного в форме
беседы, ч итали соответствующий текст учеб­
ника по предложениям (или по абзаuам, ес­
ли текст не очень труден) , затем выясняли,
о чем говорится в прочитанном п редложении.
Сначала это было трудно. Дети не могли вы­
делить гла вное, уловить с мысл прочитанного.
Но если проводить такую р аботу системати­
чески, ребята п риобретают навыки работы с
книгой, они внимательнее читают учебник и
слушают ответы товарищей.
Много внимания в первые недели обраща­
лось на развитие умения учащихся организо­
вать свое рабочее место, так как появились
новые учебные принадлежности, дидактиче­
ские карточки, пособия для индивидуальных
практических и самостоятельных работ . Все
дидактическое оборудование обычно заготав­
ливалось до н ачала у рока, необходимые по­
собия и инструменты готовили дежурные (ос­
новные инструменты по геометрии хранятся
в специальном классе-кабинете, где проводят­
ся у роки математики четвертых классов) .
Я ста ралась подготовить к уроку заб.чаговре ­
менно все необходимое, чтобы с первых ми­
нут урока всех учеников держать в поде
зрения.

Иногда при закреплении пройденного мате­
риала, особенно при изучении сложных пра­
вил, составляли коллективно план р аботы по
этому пра вилу, и на первых порах я требова­
ла, чтобы ученики соотносили свою работу с
этим планом.
С целью формирования положительного от­
ношения уча щихся к предмету я стремилась
преодолеть их боязнь ошибиться, неуверен­
нссть в своих силах, вызвать интерес к рабо­
те в классе, поощряла их при удачных отве­
тах. При изучении трудных теоретических во­
просов, правил я не спешила вызывать сла ­
бых учеников, давая возможность им лучше
усвоить изучаемый вопрос, слушая ответы то­
варищей. Старалась часто вызывать их к до­
ске, предлагая посильное задание для ответа
по домашней работе, причем всегда вместе с
вопроса ми по домашнему заданию ставила и
вопросы по текущему м атериалу. Чтобы уче­
ник лучше усвоил свое задание у доски,
я вручала ему карточку с указанием номеров

упражнения и з домашней р{lботы ·И дополни­
тельным вопросом, давала время обдумать
свой 0твет ( проводя в это -время какую-либо
работу с други ми учениками ) . Иногда вызы­
вала учащихся к доске и предла гала им та­
кую дидактическую ка рточку-задание:
1. Прочти на стр. ... правило.
2. Разбери решение примера на стр.
3. Реши прилtер № ... .
Ф ормированию положительного отношения
к учени� способствовали и разнообразные
дидактические игры, которые применялись· ·на
уроке: виктор ины, лото, соревнования и т . п . .
Хорошо помогают слабо успевающим учени­
ка м .1 сами дети. Почти каждый сильный уче­
ник имеет своего подшефного. Слабый по ус­
певаемости ученик не чувствует себя лишним
в классе, на уроке.
Описанная работа требует больших усилий
от учителя, но она приносит положительные
результаты.

С . И. ШВАРЦ6УРД (Москвг)

Учебное , пособие по математике для V класса
В июле 1 970 г. Коллегия Министерства про­
свещения СССР утвердила рукопись авторов
К. И. Н е ш к о в а,
Н. Я. В и л е н к и н а,
С. И. Ш в а р ц б у р д а, А. Д. С е м у ш и н а
и А. С. Ч е с н о к о в а
под
редакцией
А. И. М а р к у ш е в и ч а в качестве учебно­
го пособия по м атем атике для учащихся
V класса. В 1971 г. это пособие выйдет в
издательстве «Просвещение», и в 1 9 7 1 /72 учеб­
ном году учащиеся пятых классов будут поль­
зоваться им как учебником. Этому изданию
предшествовало пробное издание учебника,
который прошел экспериментальную проверку
во многих школах. Так, им пользовались все
учащиеся школ Суздальского района Влади­
мирской области, Тосненского района Ленин­
градской области, Белоярского района С верд­
ловской области, а также учащиеся ряда
школ Москвы, Севастополя и других городов.
В процессе подготовки рукописи учебного
пособия авторы изучили итоги эксперимен­
тальной работы по пробному учебнику, рас­
смотрели отзывы учителей, методистов, уче­
ных; ознакомились с решением Учебно-мето­
дического совета Министерства просвещения

СССР, замечаниями Министерства просвеще­
ния РСФСР и приняли участие в обсуждениях
рукописи в Комиссии по определению содер­
жания обучения матем атике, возглавляеl\fОЙ
академиком А. Н. К о л м о г о р о в ы м.
На основании критических замечаний авто­
ры несколько раз перерабатывали рукопись.
Изменения в тексте учебного пособия по
сравнению с пробным учебником были вызва­
ны многими причинами, .в том числе тем, что
учебное пособие для V класса . надо бЫло
стабильным
согл асовать
со
учебником
I V класса, который, в свою очередь, сильно
отличается как от первого, так и от второtо
издания пробного учебника IV класса тех
же авторов.
Согл.асование учебного пособия V класса
со стабильным учебником IV класса, который
был издан в 1 970 г., потребовало внести в
текст пробного учебника V класса большие
изменения. Внесены изменения, например,
из-за того, что такие пункты учебника, как
«Пра вильные и неправильные дроби» и «Рав­
ные дроби», планировавшиеся в V классе и
изложенные в пробном учебнике V класса.
·

21

перенесены . (разумеется, с изменениями) в
стабильный учебник IV класса. В связи с уси­
.
лением в IV классе пропедевтического изло­
жения темы «Обыкновенные дроби» в IV класс
перешел ряд упражнений, ранее планировав­
шихся в V классе и помещенных в п робном
учебнике V класса. Это также потребовало
соответствующих изменений текста рукописи
учебного пособия для V класса. В первых
его гла вах даются повторительные упражне­
ния на обыкновенные дроби, что создает
условия для более форсированного изложения
материала в главе «Обыкновенные дроби».
Можно привести много примеров и обосно­
ваний предпринятого а вторами уменьшения
объема учебного пособия по сравнению с
пробным учебником. Так, из текста пробного
учебника удален § 1 0, посвященный изложе­
нию действий над множествами. Материал
этого параграфа дан в учебном пособии в
значительно сокращенном виде и во взаимо­
связи с изложением других вопросов.. Полно­
стью удален пункт «Расписывание формулы»
из § 1 5. Удален § 16 «Рациональные числа и
действия над ними». З начительная часть уп­
ражнений этого параграфа нашла свое отра­
жение в разных местах курса. Это также при­
вело к разгрузке учебного пособия. Удалены
пункты «Сумма вместо разности», «Противо­
положные выражения», а вместо пункта «Рас­
стояние между двумя точками на числовой
прямой» дано несколько упражнений (с пояс­
нениями) , в которых определяется расстояние
между двумя точкам и на числовой оси с
помощью их координат.
Сильно сокращен м атериал о координатах
и графиках. Часть его помещена в разных
местах текста нового пособия. Сокращено и
изменено изложение главы о делимости Ч'Исел.
Для всех признаков делимости чисел форми­
руется и доказывается только их достаточ­
ность. Признак делимости на 9 необязателен
и дан в виде упражнения в пункте задач по­
вышенной трудности.
Упрощен и геометрический материал. Е го
изложение значительно изменено, удален
пункт о взаимном р асположении двух окруж­
ностей, но в отдельных задачах встречаются
разные случаи взаимного р асположения двух
окружностей. Удалены доказательства п р и­
знаков равенства треугольников.
В текст учебного пособия включены и неко­
торые вопросы, которые новы по отношению
к пробному изданию учебника. Так, например,
включены пункты «Коэффициент», «Краткие
исторические сведения», в начале пособия дан
параграф «Формулы», имеющий целью изло­
жить вопросы, перенесенные из IV в V класс,

22

и организовать повторение материала IV
класса.
В V классе на один урок приходится в
среднем около 5,4 упражнения (вместе с до­
машними заданиями) . Это меньше, чем в
IV !)лассе, где в среднем п риходится около 6,5
упражнения на урок. Такое положение естест­
венно, так как в V классе упражнений, требу­
ющих для решения значительной затраты учеб­
ного времени, стало больше, чем в IV классе.
Вместе с тем в V классе, как а в IV классе,
имеется достаточное число упражнений дидак­
тических и развивающих, решение которых не
занимает много времени.
В результате переработки учебное пособие
по сравнению с п робным изданием уменьши­
лось в объеме, число упражнений уменьши­
лось на 355. П р и этом не учитываются з а д а ч и
повышенной трудности, содержание которых
также подверглось значительным изменениям
и которые в основном предназначены для вне­
классных занятий и самостоятельной работы
отдельных учащихся.
Структура учебного пособия изменена по
сравнению с пробным учебником, изданным в
1 969 г.; изменен также ряд параграфов и
пунктов предварительных вариантов пробного
учебника, которые публиковались в нашем
журнале. Структура пособия приведена в со­
ответствие со структурой учебника математики
IV класса. Главы делятся на параграфы, а
параграфы - на пункты. Пункт учебного посо­
бия - это небольшая порци я учебного матери­
ала, выражающая законченную мысль и тре­
бующая в среднем затр аты 2-3 учебных ч а ­
сов. Это не означает, конечно, что нет таких
пунктов, на изучение которых требуется всего
один урок, или пунктов, которые изучаются
4-5 уроков.
Как и в учебнике IV класса, почти все
пункты пособия V класса начинаются с объяс­
нительного текста, далее даны упражнения
д.тrя классной и затем для домашней работы.
Исключение составляют пункты § 1 9. Так,
если пункт 87 «Из истории арифметики и ал­
гебры» содержит лишь текст для чтения или
обсуждения в классе и не содержит упражне­
ний, то пункт 88 «Задачи повышенной трудно­
сти» не содержит объяснительного текста, в
нем н е изучается какая-либо новая тема.
Многие задачи этого пункта связаны с основ­
ными идеям и прогр а м м ы по математике IV
и V классов, позволяют совершенствовать
главным образом навыки решения задач.
С реди задач встречаются и такие, которые
мало связаны с известными учащимся факта­
ми и идеями и потому требуют определенного
напряжения мысли, самостоятельности подхо-

да. Такие задачи лучше всего решать на за­ мости на З. § 1 0. Разложение чисел н а простые
нятиях математического кружка или давать множители. 4 1 . Простые и составные числа .
в виде отдельных заданий наиболее сильным 42. К а к разложить число на простые множи­
и интересующимся математикой учащимся. тели. 43. Нахождение наибольшего общего
Лишь при условии, что большая часть уча­ делителя с помощью - разложения на простые
щихся класса легко усваивает обязательную множители. 44. Нахождение наименьшего
программу, проявляет интерес к м атематике, общего кратного с помощью разл ожения на
отдельные задачи, в виде исключения, могут простые множители.
быть разобраны в классе. Но и в этом случае
Г л а в а III . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ.
неумение решать задачи повышенной трудно­
ДЕЙСТВИЯ
НАД О БЫКНОВЕННЫМИ И
сти не может служить основанием для сни­
ДЕСЯТИЧНЫМИ
ДРОБЯМИ. § 1 1 . Сложение
жения оценки учащемуся. Вместе с тем, на
наш взгляд, учитель должен поощрять уча­ и вычитание дробей с одинаковыми знамена­
'
щихся, ум'еющих решать такие задачи. В ыпол­ телями. 45. Изображение дробей. 46. Сравне­
нение упражнений данного пункта будет ние дробей с одинаковыми знаменателями.
способствовать более глубокому пониманию 47. Сложение и вычитание дробей. 48. Сложе­
программного м атериала, повышению интереса ние и вычитание смешанных чисел. § 1 2. Сло­
к математике, развитию м атематических спо­ жение и вычитание дробей с разными знаме­
собностей, выявлению учащихся, имеющих нателями. 49. Сокращение дробей. 50. Приве­
дение дробей к новому знаменателю. 5 1 . При­
математические наклонности.
ведение дробей к общему знаменате.11ю.
Ниже приводится о г л а в л е н и е учебного 52. Сложение и вычитание дробей. 53. Сложе­
пособия.
ние и вычитание смеш анных чисел. 54. З а мена
Г л а в а 1 . П ОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТ­ единицы дробью при вычитании. § 1 3. Умно­
РИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 1. Формул ы. жение и деление. 55. Умножение дроби на
1. Формул а пути. 2. Формула процентов. дробь. 56. Запись смешанного числа в виде
§ 2. Н аправления и числа. 3. Вправо или вле­ неправильной дроби. Умножение смешанных
во, вверх или вниз? 4. Числовая прямая. 5. Ко­ чисел. 57. Взаимно обр атные числа. 58. Деле­
ординаты точек на прямой. 6. Противополож­ ние дробей. 59. Умножение смешанного ч исла
ные числа. 7. Подмножество. 8. Модуль чис­ на натуральное. 60. Нахождение дроби чuсла
ла. 9. Сравнение чисел. 1 0. Координатная и числа по его дроби. 6 1 . Решение з адач.
плоскость. § 3. Сложение. 1 1 . Как изменяются § 14. Действия н а д обыкновенными и десятич­
величины. 1 2. Сложение с помощью числовой ными дробям и. 62. З ап ись обыкновенной дро­
прямой. 1 3. Сложение отрицательных чисел. би в виде десятичной. 63. Бесконечные деся­
1 4. Сложение чисел с разными знаками. тичные дроби. 64. Сложение и вычитание.
1 5. Законы сложения. § 4. Вычитание. 1 6. Пра­ 65. Умножение и деление. 66. Выражение,
вило вычитания. 1 7. Раскрытие скобок и за­ записанное в виде дроби. § 1 5. Дл ина окруж­
ключение в скобки. 1 8. Решение уравнений. ности.
Площади
треугольника
и
круга.
§ 5. Умножение. 1 9. Правила умножения. 67. Площадь треугольника. 68. Длина окруж­
20. Переместительный и сочетательный законы ности. 69. Площадь круга.
умножения. 2 1 . Коэффициент. 22. Рас предели­
Гл а в а
IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОтельный закон умножения. 23. В ынесение СТРОЕНИЯ. § 1 6. П араллельность. 70. Ин­
множителя за скобки. 24. Приведение подоб­ струменты для геометрических построений.
ных слагаемых. 25. Возведение в степень. 7 1 . Взаимное р асположение прямой и окруж­
§ 6. Деление. 26. Правила деления. 27. Реше­ ности. 72. Построение равных фигур. 73. Сум­
ние уравнений. 28. Решение з адач с помощью м а углов треугольника. 74. Параллельные
уравнений. § 7. Диаграммы и графики. прямые. 75. Параллельный перенос фигуры.
29. Столбчатые диаграммы. 30. Графики.
§ 1 7. Сим метрия. 76. Ф игуры, симметричные
Г л а в а 1 1 . ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ относительно прямой. 77. П остроение оси сим­
ЧИСЕЛ . § 8. Делители и кратные. 3 1 . Дели­ метрии двух точек. 78. Деление отрезка на
тель. 32. Общие делители. Пересечение и две равные части. 79. Построение перпендику­
объединение множеств. 33. Наибольший общий ляра к прямой. 80. Деление угл а на две р авные
делитель. Взаимно простые числ а . 34. Кратное. части. 8 1 . Фигуры, имеющие ось симметрии.
35. Формула числа, кратного данному. 36. Об� 82. Равнобедренные и равносторонние треу�
щее кратное. Наименьшее общее кратное. гольники. § 1 8. Построение треугол ьников.
§ 9. Признаки делимости. 37. Делимость сум­ 83. Построение треугольника по трем сторо­
мы. 38 Делимость произведения. 39. Призна­ нам. 84. Построение треугольника по стороне
ки делимости на 2 и на 5. 40. Признак дели- и двум прилежащим углам. 85. Построение
23

треугольника по двум сторонам и уrлу между
н ими. 86. П оворот фигуры около точки.
§ 1 9. ДопоJнiи'tельные вопросы. 87. Из истории
арифметики и алгебры. 88. Задачи повышен­
ной трудности. Приложение. Таблица п ростых
ч исел.
Учебное пособие для учащихся V класса
можно использовать лишь при условии, что в
IV классе обучение проходило по новой про­
грамме и по новому учебнику.
В отличие от I V класса в пособии · V клас­
са геометрический м атериал изложен в от­
дельной главе. Однако его изучение предпол а ­
гается проводить р аспределенно между раз­
личными темами арифметико-алгебраического
м атериала. В процессе преп одавания каждый
пункт геометрического м атериала, как прави­
ло, не разрывается на части, а изучается п од­
ряд. Примерное р аспределение геометрическо­
го м атериала помещено в ориентировочном
тематическом плане готовящегося пособия
для учителя.
Многие пункты п о геометрии из учебника
IV класса по содержанию вполне согласовыва­
лись с другим учебным материалом. Учитывая
пожелания многих - учителей и р ецензентов,
авторы стар ались так распределить геометри­
ческий м атериал, чтобы его положение в учеб­
нике соответствовало порядку изучения м ате­
рИаJ1а в классе.
· В V классе этого сделать не удалось. Со­
держание геометрического и арифметико-ал­
гебраическогQ м атериала V класса в боль­
шинстве . случаев не допускает Qрганического
объединения, как это часто п олучалось в
IV классе, хотя и там наблюдалась несогла­
сованность ряда идущих подряд в учебнике
пунктов. Н апример, несогласованы между со­
бой по содержанию расположенные один за
другим пункты: «Неравные десятичные дроби»
(66) и «Смежные углы» (67) .
В ыделение геометрического материала в
учебном---пособии V класса в отдельную главу
имеет с13ои бесспорные достоинства. Оно при­
дает учебному пособию систематичность и ло­
гичность _в ра<;положен,Ии м атериала.
Не касаясь в . данной статье методических
особенностей учебного пособия для V класса,
заметим, что в нем в основном продолжаются
начатые в учебнике IV класса идеи. Как и в
учебнике IV класса, м атематические факты в
основном добываются из р ассмотренных при­
м еров и лишь потом формулируются в общем
виде. Ч11сло формулировок в учебнике, пред­
назнач-енных для запоминания, невелико. Вы­
числительным навыкам уделяется постоянное
внимание. Изложение многих вопросов сопро.

вождается наглядными иллюстрациями. Зна­
чительное внимание уделяется повторению
ранее пройденного. Если в IV классе повто­
р ительные
упражнеtшя главным образом
предназначались для дом ашней работы, то в
пособии для V класса уже в самом начале
курса помещен целый повторительный пара­
граф «Формулы».
Помещение в этом параграфе пунктов «Фор­
мула пути» и «Формула процентов» имеет
своей целью организовать на более высоком
уровне концентрированное повторение и при­
ведение в систему изученного в IV классе
материал а . Повторение не завершается в
названных двух пунктах, а продолжается и
дальше при изучении нового м атериала учеб­
ника.
Осветим несколько подробнее этот вопрос.
Со случаями применения формул для записи
зависимости между вел ичинами учащиеся уже
встречались в IV классе. В стречались они и с
задачами на движение и в связи с этим с конк­
ретными случаями зависимо<;,ти пути от ско­
рости и времени движения. Встречались уча­
щиеся и с задачами на проценты, правда,
лишь с наиболее легкими из них. Не является
новым для учащихся и подстановка числовых
данных в формулу и последующие вычисления.
Все это уже встречалось, нс материал здесь
так оформлен и взаимосвязан, что учащиеся
его воспринимают как новый. И это сущест­
венно, так как повторение старого точно в та­
ком виде, как это 'было изучено р-анее, не вы­
зывает интереса, усыпляет внимание значи­
тельной части учащихся.
Таким образом, повторение в начале учеб­
ного года подано в пособии незаметно для
учащихся и имеет целью значительно продви­
нуть вперед их знания и н авыки, привести в
систему р анее изученное, требует от учащихся
известного напряжения. Изучение формуJiы
процентов несет здесь большую учебную на­
грузку. Все виды задач на проценты здесь
вытекают нз одной формулы, при изучении
устанавливается связь между различными
задачами на проценты. Учащиеся получают в
руки средство - формулу, которая помогает
увидеть и понять всю совокупность задач на
п роценты и получить каждый из типов таких
задач из общего источника. Запоминают уча­
щиеся одну формулу, а могут ею иользовать­
ся при решении различных задач на про­
центы.
В дальнейшем упражнения на формулу пути
и формулу процентов встречаются в повтори­
тельных упражнщшях для домашней р аботы.

Н. Я. ВИЛЕНКИИ, К. И. HEWKOB, С. И. WВАРЦ6УРД.
А. Д. СЕМУWИН. А. С. Ч ЕСНОКОВ (Москаа)

Глава IV. Геометрические nостроения
§ '16

.. Пд.РдЛЛЕЛЬНОСТЬ

70. Инструменты
дnя rеометрнческнх nостроеннн

1

м о у r о л ь н и к а ) . Обозначьте бук.в.ой О точ·
ку пересечения диагоналей. Начертите окружность с центром в точке О и р адиусом, р а в­
ным отрезку ОА. Убедитесь построением, что
.эта окружность проходит через точки В, С, .
и D.
_

С выполнением некоторых геометрических
построений мы уже познакомились в IV клас­
се. В геометрии построения выполняют с по­
мощью линейки, циркуля, угольника и транс­
портира.
С помощью л инейки можно провести пря­
мую через две заданные точки ( р ис. 93) 2•
С помощью циркуля можно провести окруж­
ность, если заданы ее центр и р адиус ( р ис.
94) . С помощью угольника можно провести
перпендикуляр через данную точку к данной
прямой (рис. 95) . С помощью транспортира
строят углы (рис. 96) .
С помощью линейки, циркуля, угольника и
транспортира можно выполнять и другие по­
строения. Например, циркуль применяют для
того, чтобы отложить на прямой от точки С
отрезок, р авный данному отрезку АВ. Для
этого уста навливают р а створ циркуля так,
чтобы его конuы оказались в точках А и В,
а потом ОДИН из КОНЦОВ ставят в точку с и
проводят окружность. Она пересекает прямую
в двух точках D и Е ( р ис. 97.) . Отрезки CD и
и СЕ равны отрезку АВ.
895. Проведите луч ОМ и отложите на нем
один за другим отрезки ОА, А В, ВС и CD,
равные отрезкам, изображенным н а р исун­
ке 98.
896. Отметьте в тетради 5 точек, как на р и­
сунке 99, и соедините их последовательно от­
резками А В, ВС, CD, DE, ЕА. Измерьте углы
АВС и CDE пятиугольника A BCDE.
897. Постройте прямоугольник ABCD и про­
ведите отрезки А С и BD (д и а г о н а л и п р я1 Эта глава учебника публикуется для обяегчения экс­
периментальной работы по пробному учебнику в 1970/71
учебном году, а также для ознакомления учителей
м атематики с новым содержанием материала по г о.
метрии.
В р аботе над ноt!ым вариантом геометрического ма·
териала были использованы некоторые формулировки и
упражнения из рукописи статьи, подготовленной А. Н.
С.
К о л м о г о р о в ы м, А. Ф. С е м е н о в и ч е м, Р.
Ч е р к а с о в ы м («Математика · в школе", 1970, No 5) .
В связи с этим авторы выражают им свою благодар·
ность за предоставленный материал.
2 В статье несколько сокращено число рисунков по
сравнению с числом иллюстраций, помещенных в учеб·
uом nосо�ии, нумерация же рисункоI< сохранена .

,

А

о-

А
в

с

с

D

8

?нс.

98

898. Начертите прямую А В и возьмите точ-­
ку С, не лежащую на этой прямой. С помо- ·
щью угольника проведите через точку С пря·
мую, перпендикулярну ю прямой А В. Обо·
значьте точку пересечения прямых буквой К.
Возьм ите на прямой АВ еще две точки D и Е
и измер ьте отрезки СК, CD и СЕ. Сделайте
вывод о длинах отрезков CD, СЕ и СК.
899. Начертите прямую А В и возьмите точ­
ку С, не лежащую на - этой п р я мой. НайД:Ит�
"

Рис. 99

А

G

1-

D

н а прямой А В точку, расположенную ближе
всего к точке С.
900. Перечертите в тетрадь рисунок 1 00.
Проведите перпендикуляры к отрезку АВ че•
р ез точку М.
90 1 . Р азделите с помощью транспортира ок­
ружность на 5 равных частей и постройте пя­
тиконечную звезду.
25

Упражнения для домашней работы
902. Начертите в тетради отрезок и перпен­
дикуляр к нему так . чтобы они пересекались:
а ) в какой-то внутренней точке отрезка;
б) в одном из концов отрезка.
903. Постройте квадр ат A BCD, сторона ко­
торого равна 2 см. Приняв по очереди верши­
ны А и С за центр , проведите 2 окружности,
радиусы которых равны 2 см.
904. Постройте квадрат ABCD, сторона ко­
торого 4 см. Приняв по очереди каждую вер­
шину за центр , проведите 4 окружности с р а ­
диусами, р авными 2 с.м.

.11
�...

... )

1'\о

....

N
...

l,1

�

1,о1
д

l,1

в

l/'1
�

в

А

Рис. 1 00

905. Постройте квадрат ABCD, сторона ко­
торого 4 см. Постройте 4 окружности, диамет­
рами которых служат отрезки АВ, ВС, CD и
DA.
906. Постройте окружность радиуса 4 см.
С помощью транспортира разделите ее на 6
р авных частей. Соедините отрезками по по­
р ядку все точки деления.
71. Взаимное распоnожение прямой
и окружности

На рисунке 1 0 1 изображена прямая АВ и
точка М, не лежащая на этой прямой. Прове-

Рис. 1 01

дем из точки М луч, перпендикулярный поя­
мой АВ. Он пересечет данную прямую в т�ч­
ке Н.
Длина отрезка МН - расстояние от точки
М до прямой АВ. Поэтому окружность с цент26

ром в точке М, проходящая через точку Н
(см. р ис. 1 0 1 ) , не имеет с прямой АВ других
общих точек, кроме точки Н. Прямая АВ на­
зывается касательной к окружности. Она ка­
сается окружности в точке Н.
Отметим на луче МН еще точки К и Р. Ок­
ружность с центром в точке М и радиусом
МК не пересекается с прямой АВ, потому что
отрезок МК короче отрезка МН. А окружность
с центром в точке М, проходящая через точку
Р, пересекает прямую АВ в двух точках С и D.
Р асстояние от точки М до точек С и D равно
дли не отрезка МР.
907. Возьм ите прямую АВ и точку С, нахо­
дящуюся от нее на расстоянии 3 см. Найдите
на прямой АВ точки, удаленные от точки С
на 5 см. Измерьте расстояние найденных то­
чек от основания перпендикуляра, опущенного
из точки С на прямую АВ.
908. Постройте прямую АВ и точку С, уда­
ленную от прямой на 3 см. Найдите на пря­
мой точку, удаленную от точки С на 3 см.
909. Точка С находится на расстоянии 6 см
от прямой АВ. Есть ли на прямой АВ точки,
удаленные от точки С на 4 см, на 5 с.и, на
6 см, на 8 см?
9 1 0. Точка С находится от прямой АВ на
р а сстоянии 12 см. Будет ли окружность с
центром в точке С и радиусом, равным а см,
пересекать прямую АВ, если: а ) а = 1 с.и;
б ) а = 4 см; в ) а = 1 7 см; г) а = 200 см?
9 1 1 . Постройте угол А В С, меньший развер­
нутого, возьмите внутри угла точку М и про­
ведите окружность с центром в точке М так,
чтобы она пересекала обе стороны угла. Вы­
берите точку Р так, чтобы можно было по­
строить окружность с центром в точке Р, пе­
ресекающую одну сторону угла и не пересе­
кающую другую его сторону.
9 1 2. Н ачертите окружность, возьмите точку
А, лежащую на окружности, и точку В вне ок­
р ужности. Проведите через точки А и В каса­
тельные к окружности. Можно Ли провести ка ­
сательную к окружности через точку С, лежа­
щую в нутри окружности?
9 13. Начертите две непересекающиеся ок­
р ужности. Проведите касательную к обеим ок­
р ужностям . Сколько касательных можно про­
вести к двум непересекающимся окружностям ?
9 1 4. Начертите квадрат ABCD с о стороной
4 см. Проведите в нем диагонали АС и BD,
точку их пересечения о бозначьте буквой О.
П остройте на сторонах квадрата точки, уда­
ленные от точки О на р асстояние, равное
2,5 см.
9 15. Постройте квадрат со стороной 4 см и
проведите окружность, касающуюся всех его
сторон.

Упражнения для домашнеf!, работы

9 16. Начертите окружность р адиуса 3 см и
отметьте точку М, лежащую вне окружности.
Проведите через точку М: а) прямую МН, пе­
ресекающую окружность; б) прямую МК, не
пересекающую окружность; в) прямую МР,
касающуюся окружности.
9 1 7. Начертите окружность и выберите точ­
ки А и В вне этой окружности так, чтобы пря­
мая АВ пересекала окружность.
9 1 8.· Постройте пр ямоугольник со сторонами
6 см и 8 см и проведите окружность, прохо­
дящую через все вершины прямоугольника.
Измерьте радиус этой окружности.
9 1 9. Постройте окружность радиуса 4 см и
проведите через ее центр две взаимно перпен­
дикулярные прямые АВ и CD. Они пересека­
ют окружность в точках А, С, В и D. Срав­
ните длины отрезков А С, СВ, BD и DA.

лист бумаги и обведите. Как проще построить
окружность, р а в ную д анной?
924. На отдельном листе бумаги постройте
пятиконечную звезду. Постройте в тетради
равную ей звезду.
73. Сумма yrnoв треуrоnьннка

Треугольник, имеющий один прямой угол,
называют п р я м о у г о л ь н ы м т р е у г о л ь­
н и к о м. Стороны, о бр азующие прямой угол,
называют к а т е т а м и, а сторону, лежащую
против прямого угла, г и п о т е н у з о й ( р ис.
1 03) .
Сумм а углов прямоугольника A B CD ( р ис.
1 04 ) равна 90° · 4 = 3G0°. Диагональ АС разбив

72. Построение равных фиrур

Часто бывает нужно построить фигуру, рав­
ную данной. Например, на швейной фабрике
сначала для каждой части платья или костю­
ма делают выкройки, а потом накладывают
эти выкройки на материал и вырез а ют из него
куски, равные выкройке ( рис. 1 02 ) . Из этих
кусков потом шьют платья или костюмы.
Чтобы перенести узор с одного листа бума­
ги на другой лист или на кусок материи, мож ­
но пользоваться копировальной бумагой. На
чистый лист бумаги
кладут л ист копироваль­
·
ной бумаги, а на него лист бумаги с узором.
Потом карандашом обводят узор и на чистом
листе получается его изображение.
Если узор состоит из отрезков, достаточно
перенести концы отрезков, а потом соединить
их с помощью линейки. Концы отрезков мож­
но перенести и без копировальной бумаги,
прокалывая лист иглой, булавкой или острием
циркуля. Если в узор входит окружность, то
достаточно перенести ее центр и провести
окружность данного р адиуса с центром в полу­
ченной точке.
920. На отдельном листе бумаги начертите
квадрат. Вырежьте этот квадрат, наложите
его на лист бумаги и обведите.
92 1 . На отдельном листе бумаги начертите
четырехугольник. С помощь ю копировальной
бумаги переведите этот р исунок в тетрадь.
922. На отдельном листе бумаги начертите
треугольник. С помощью острия циркуля и
линейки постройте в тетради равный ему тре­
угольник.
Упражнения для· домашней работы
923. На отдельном листе бумаги начертите
окружность. Вырежьте круг, наложите его на

Рис. 1 04

Рис. 1 05

с

вает его на два р авных прямоугольных тре-­
угольника АВС и ADC. Значит, сумма � глов
каждого из этих треугольников р авна 360 : 2 =
= 1 80°. Сумма углов прямоугольного треуголь­
ника равна 1 80°.
Л юбой треугольник АВС ( рис. 1 05) можно
р азбить на два прямоугольных треугольника
ADB и CDB. Сумма всех углов этих прямо­
угольных треугольников равна 1 80° 2 = 360°.
Сумма прямых углов ADB и CDB равна
90° · 2 = 1 80°. Значит, на сумму углов данного
треугольника остается 360°- 1 80° = 1 80°.
·

Сумма углов треугольника равна 180°
925. На р исунке 1 06 изображены треуголь­
н ики. Какие из них являются прямоугольны­
ми? Назовите для каждого пр ямоугольного
треугольника катеты и гипотенузу.
926. Н айдите третий угол треугольника, ес­
ли один его угол равен 35°, а другой 1 05°.
927. Существует ли треугольник с углами:
а ) 80°, 55° и 55°; б ) 1 10°, 30° и 40°; в ) 63°, 27°
и 70°?
928. Может ли в треугольнике быть: а) два
тупых угл а ; б) один прямой и один тупой угол;
в) один тупой и один острый?
929. В треугольнике все углы равны между
собой. Чему равен каждый из этих углов?
930. Докаж ите, что сумма острых углов
пр ямоугольного треугольника р авна 90°.
27

93 1 . Один из у�;лов прямоугольного тре­
угольника р авен 32°. Чему равен второй ост­
рый у�:-ол этого треугольника?
932. Один из углов треугольника больше
другого на 42°, третий угол равен 1 8°. Чему
р а вны два первых угла треугольника?
933. В треугольнике АВС угол А больше уг­
ла В в 2 р аза, а угол С больше угла В на 40°.
Чему равны углы треугольника АВС?
_

_

_

Упражнения для домашней работы
934 . Найдите угол В треугольника АВС, ес­
ли LA = 75° и L С = 45°.
935. В прямоугольном треугольнике оди н из
острых углов больше другого в 2 р аза. Чему
р авны эти углы?

Рис. ·106

тивный снаряд, изображенный на рисунке 1 10,
называ ют параллельным и брусьями.
В л юбом прямоугольнике противоположные
стороны параллельны друг другу.
Параллельные прямые строят с помощью
л инейки и . чертежного угольника. Для этого

Рис. 1 1 1

Рис. 1 1 3

936. В треугольнике АВС угол А боль ше уг­
ла В на 40°, а угол С больше угла А на 1 0°.
Н айдите углы этого треугольника .
937. Сумма двух углов треугольника равна
третьему углу. Докажите, что этот треуголь­
ник прямоугольный .
74. Параnnеnьные прямые

Если на плоскости проведены две различ­
ные прямые, то они могут или пересекаться в
одной точке (рис. 1 07) , или не пересекаться
(рис. 1 08) .
Две прямые, которые лежат в одной плос­
кости и не имеют общих точек (не пересека­
ются), называются параллельными прямыми.

Рис. 1'07

Рис. 1 08

Рис. 1 09

На рисунке 1 08 прямая АВ параллельна
прямой CD. Это записывают так: A B /! CD.
Отрезки, лежащие на параллельных пря­
мых, называются п а р а л л е л ь н ы м и о т­
р е з к а м и (рис. 1 09 ) . Параллельные отрезки
часть встречаются в жизни. Например, спор28

проводят прямую А В и к ней прикладывают
чертежный угольник. К другой стороне уголь­
ника прикладывают линейку. Треугольник
сдвигают вдоль линейки и чертят прямые, па­
раллельные прямой АВ (рис. 1 1 1 ) . Для по­
строения параллельных прямых применяют и
другие инструменты, например рейсшину (рис.
1 12, 1 1 3) .
Через каждую точку на плоскости можно
провести только одну прямую, параллельную
заданной прямой (рис. 1 1 4) .
Отрезки А В и CD на рисунке 1 1 5 парал­
лельны между собой. Стрелки на н их направ-

лены в одну и ту же сторону. Говорят, что эти
отрезки имеют одно и то же направление.
А отрезки АВ и ЕК на том же р исунке парал­
лельны, но стрелки на них направлены в про­
тивоположные стороны. Говорят, что эти от­
резки имеют противоположное направление.

Р ис.

J

/

'р
)!--------

/

117

Рис. 1 1 8

к

Р и с.

119

Если задано направление отрезка, то первой
пишут его начальную точку, а второй - ко­
нечную. На рисунке 1 1 6 изображены н а п р а в­
л е н н ы е о т р е з к и АВ, CD, ЕК, ТН.
938. Приведите примеры параллельных от­
резков из окружающей обстановки ( в классе,
на железной дороге и т. д. ) .
939. Проведите пять параллельных между
собой прямых.
940. Начертите в тетради прямую АВ и точ­
ки С и D по р азные стороны от прямой АВ.
Проведите через точки С и D прямые, парал­
лельные прямой АВ.
94 1 . Постройте прямоугольник A B CD. Про­
ведите через вершины В и /) п р ямые, парал­
лельные прямой А С.

942. Найдите с помощью уголь ника и л иней­
ки все пары параллельных прямых, изобра­
женных на рисунке J 1 7.
943. Н а р исунке 1 1 8 изображен прямоуголь­
ный пар аллелепипед. Какие из его р ебер па­
р аллельны р ебру РК? П ар аллельны ли ребра
AD и ВР? Как попасть из точки М в точку С,
п ройдя лишь три ребра? Пар аллельны ли
между собой какие-нибудь дв а участка этого
пути?
944. Перечертите р исунок 1 19 в тетрадь.
Проведите через точку А прямые, параллель­
ные прямым CD, КР, MN.
945. Отметьте в тетради точки А , В, С и D.
Проведите через эти точки прямые, парал­
лельные прямой АВ.
946. Постройте направленный отрезок А В
длиной 3 Cht и возьмите точку С в н е этого от­
р езка. Постройте отрезок CD, р авный по дли­
не отрезку АВ и одинаково напра вленный с
этим отрезком, а также отрезок СЕ, р ав ный
п о длине отрезку АВ, но направленный в про­
тивоположную сторону.
947. Постройте треугольник А В С. Укажите
направленные отрезки АВ, ВС и СА. Проведи­
те через точку С отрезок CD, р ав ный по дли­
не отрезку АВ и одинаково направленный с
этим отрезком.
Упражнения для домашней работы
948. Н ачертите треугольник А В С и прове­
дите через каждую вершину прямую, парал­
лельную противоположной стороне треуголь­
ника.
949. П остройте квадрат A B CD, сторона ко­
торого равна 2 см. Через вершины А и С про­
ведите прямые, параллельные диагонали BD.
Через вершины В и D п р оведите прямые,
параллельные диагонали А С.
950. Н ачертите две параллельные прямые
АВ и РТ, . р асстояние между которыми р авно
2 см, и возьмите между эти м и прямыми точку
К. Постройте на прямых АВ и РТ точки, кото­
рые удалены от точки К на р асстояние 2 см.
Сколько р ешений имеет эта задача?
95 1 . Н ачертите угол АВС, равный 50°. Н а
стороне ВС отметьте точки М , N и К . П рове­
дите через эти точки прямые, параллельные
стороне АВ.
952. Постройте квадрат A B CD. Проведите
через точку В отрезок ВЕ, р авный по длине
отрезку А С и одинаково напр авленный с ним.
75. ПapannenьныJ:i перенос фиrуры

П риложим угольник к л инейке и обведем
его ( р ис. 120 ) . Потом сдвинем угольник вдоль
л инейки и снова обведем его. Получатся два
р авных треугольника АВС и DEK. При сдвиге
точка А перешла в точку D, точка В
в
-

29

точку Е и точка С - в точку К. Отрезки AD.
ВЕ и СК имеют- оди наковую длину и направ­
лены в одну и ту же сторону. Если взять лю­
бую точку Н треугольника АВС и точку Т, в
iюторую перешла точка Н при сдвиге, то ока­
жется, что отрезки НТ и AD имеют р авную
длину и одинаково направлены. Поэтому го­
ворят, что треугольник DEK получился из
треугольника А В С путем параллельного пере­
носа на отрезок AD.
Вообще, пусть н & плоскости изображены
какая-то фигура F и отрезок AD ( рис. 1 2 1 ) .

Рис. 1 21

Рис. 1 20

D

117 �
�

Jj'

к

/

Б

i"ис. 1 22

.,// '//1V//1V//1 1///. V/J, '//1 111..

� (//, (// '(11!VI!. (///'(///. '/// 1/11'
,А 1///,'///, '//l!V///,V/J '(//;�/// 'иIA � 1111 !///'(/// '!!Ш//1Vl/1 '///,Vil
� (///(///1(//J fj//,V//JV//J 1Р
�Vl//J'///, 1//Ш// rjJI
1"«'fjj/ l//,'(JI'
� '11'
D

Рис. 1 23
Рис. 1 25

с

v
/o
МО
н
с

в

дDn

к

Рис. 1 24

Сдвинем фигуру F на отрезок AD. Это значит,
что кажда я точка Н фигуры F переходит в та­
кую точку Т фигуры Р, что отрезки НТ и AD
имеют одинаковую длину и одинаково направ­
лены. В результате сдвига получится новая
фигура Р, р а вная фигуре F. Говорят, что фи­
гура Р получена из фигуры F параллельным
переносом на отрезок AD.
Параллельный перенос - это · перемещение,
при которо м все точки фигуры перемещаются
30

fh�

D

1 11
1.,(, "'-

1.А VIJ. '///) )\.._
,,, Vl/1(/// '11/J 1/11 �

вдоль п а раллельных прямых на одно и то же
р асстояние и в одну и ту же сторону.
При параллельном переносе каждая прямая
переходит в параллельную ей прямую или са­
м а в себя ( р ис. 122) .
П р и параллельном переносе каждая фигу­
р а• переходит в р авную ей фигуру: отрезок в р авный ему отрезок, окружность - в равную
ей окружность и т. д.
3 а д а ч а. Начертите отрезки АВ и CD. Пе­
ренесите отрезок CD н а отрезок АВ.
Для решения отложим от точек С и D от­
резки СЕ и DK, равные по длине отрезку АВ
и одинаково направленные с этим отрезком
( рис. 1 23 ) . Соединим точки Е и К отрезком
ЕК. Этот отрезок получен из отрезка CD па­
р аллельным переносом на отрезок АВ.
953. Н ачертите квадрат ABCD со стороной
3 см и отрезок ЕК. Выпол ните параллельный
перенос квадрата на отрезок ЕК. Чему равны
стороны получившегося квадрата?
954. На рисунке 1 24 изображены прямо­
угольник A BCD и точка К. Выполните парал­
лельный перенос этого прямоугольника, при
котором точка А попадет в точку К. Выполни-

в

Рис. 1 26

Р

к

/�
YG
�q
\.:::J

lo F 1 1 Jiol
·

1'1< ,..

...., 'l >)о .., (:; "...-: :/, � .....
"\ :;;:�
: � ���

\;�� �/
'д

с
1

те параллельный перенос того же прямоуголь­
ника, при котором в точку К попадет точка С.
955. Какие из фигур , изображенных на ри­
сунке 1 25, получены друг из друга параллель­
ным переносом?

956. На р исунке 1 26 изображен треугольник
АВС. Начертите такой ж е треугольник у себя
в тетради и перенесите его на 7 клеток вниз.
Получившийся треугольник перенесите на 4
клетки вправо.
957. В треугольнике АВС ( рис. 1 27) сторо­
ны АВ и ВС продолжены за точку В. После

гур ы равны, так как при перегибании по оси
сим метрии они совпадают. Значит, отрезку
симметричен равный ему отрезок, квадрату равный ему квадрат, окружности - равная ей
окружность и т. д.
Поставим чернилами точку А на бумаге и
перегнем лист бумаги по прямой l. Н а другой

А•

'1
Рис. 1 29

l

•б

А

D
с

в

Рис. 1 30

Рис. 1 27

этого угол ВАС перенесен на отрезок АВ,
угол ВСА
на отрезок СВ. Н азовите рав­
ные углы, отмеченные н а рисунке 1 27. Как с
помощью этого р исунка доказать, что сумма
углов треугольника равна 180°?

а

-

Рис. 1 31

Упражнения для домашней работы
958. Начертите квадрат A B CD со стороной
2 см. В ыполните параллельный перенос этого
квадрата в направJ1ении от точки В к точке D
на отрезок, равный iюловин е отрезка BD.
959. Начертите треугольник АВС с вершина­
ми А (- 1 ; 4 ) , В (3; 8 ) и С (6; О) . Перенеси­
те этот треугольник так, чтобы точка В пере­
шла в точку К (О; 5) . В какие точки перейдут
при этом точки А и С?
960. Начертите окружность с центром в точ­
ке М (-3; -3) и р адиусом, равным 4. В ыпол­
ните параллельный перенос этой окружности
на 5 единиц в направлении оси Оу, а потом
на 3 единицы в направлении оси Ох.
§ 17. СИММЕТРИЯ
76. Фиrуры,
симметричные относитеnьно прямоli

Равные фигуры можно строить и с помощью
перегибания л и ста бумаги. Если капнуть на
бумагу чернила, а потом перегнуть лист бу­
маги по прямой l, то по обе стороны от этой
пря мой получатся кляксы ( рис. 1 28) . Эти
кляксы совпадают друг с другом при переги­
бании листа бумаги по прямой l. Говорят, что
они симметричны относительно прямой l.
Вообще, фигуры М и Р называют симмет­
ричными относительно прямой l, если они со­
впадают при перегибании листа бумаги по
этой прямой. Прямую l называют о с ь ю с и м­
м е т р и и фигур М и Р. Симметричные фи-

половине л иста получим точку В. Она симмет­
рична точке А
относительно
прямой l
( р ис. 1 29 ) . Соединим точку А и В отрезком А В
( рис. 1 30 ) . Этот отрезок пересекает ось сим­
метрии l в точке С. П р и перегибании листа
бумаги по оси отрезок АС совместился с от­
р езком ВС. Значит, эти отрезки равны между
собой. Угол DCA п р и перегибании совмещает­
ся с углом D CB; эти углы р авны. Оба эти
угла вместе составляют р азвернутый yгoJI
АСЕ. Значит, каждый из них р авен половине
р азвернутого угла, т . е. углы DCA и DCB пря­
мые. Ось симметрии двух точек делит 'попо­
лам соеданяющий их отрезок и перпендику­
лярна этому отрезку.
Если точка А лежит на прямой !, то она
симметрична самой себе относительно этой
прямой.
З а д а ч а 1. Постройте точку В, симмет­
ричную точке А относительно прямой l.
Для р ешения задачи п роведем через точ­
ку А перпендикуляр к прямой l (см. рис. 1 30)
и отложим на нем отрезок СВ, равный отрез­
ку СА. Точка В будет точкой, · симметричной
точке А относите.11ьно прямой l.
З а д а ч а 2. Постройте треугольник МКР,
с и мметричный треугольнику АВС относитель­
но прямой l.
Для решения задачи построим точку М,
симметричную точке А, точку К, симметрич­
ную точке В, и точку Р, симметричную точ31

ке С ( р ис. 1 3 1 ) . Соединив отрезками точки М,
К и Р, получим треугольник МКР, с имметриЧ"
ный треугольнику АВС относите.пьно прямой f;
Таким же образом строят любой многоуголь­
ник , симметричный да нному относительно дан­
ной оси.
96 1 . На листе бумаги постройте прямую АВ
и какую-нибудь фигуру Р. Сложите этот лист
вдвое, перегнув его по прямой А В. П роколите
острие�1 цирку.11я бумагу t3 нескольких точках
фигуры Р. Развернув л ист бумаги, найдите
пары сим метричных точек и обозначьте их.
962. Начертите прямую п и отрезок А В . По­
стройте отрезок CD, симметричный отрезку АВ
· относительно прямой п.
963. П еречертите в тетрадь рисунок 1 32. По­
стройте фигуру, симметричную данной относи­
тельно оси т.
964. Начертите прямоугольник A BCD. По­
стройте прямоугольник , симметричный данно­
му относительно прямой А В.
965. Отметьте точку А (2; 7) . Постройте
точку В, симметричную точке А относительно
оси Ох. Постр::эйте точку С, симметричную
точке А, относительно оси Оу. Какие коорди­
наты у точек В и С?
966. Постройте отрезок АВ с концам и
А ( 1 ; 6) и В ( 4 ; 3) . Постройте отрезок, симмет­
ричный отрезку АВ относительно: а ) оси Ох:
б) оси Оу.
967. Начертите в тетради фигуру, изобра­
женную на рисунке 1 33. Постройте фигуру,
сим метричную данной относительно оси т.
968. Вырежьте ножницами какую-либо фи­
гуру из сложенного вдвое листа бумаги. Раз-

шj,ш
u
·
\
o
,О
D
00

_ _

т

/А/, У.

/,1%�
/,1% ;/,
-Yu �и�
�.,,, 'l�V,.
Y.r%V,.
�/,t%
�/,1%
,
"/,v,

Рис.

1 32

т

в

"'

'

!-.:
[',.

�

,

�

D

Рис.

"
"'"
,

1 33

верните .11ист и покажите фигуры, симметрич­
ные относительно линии перегиба.
969. Какие из фигур, изображенных на ри­
сунке 1 34, симметричны относительно данных
осей?
Упражнения для домашней работы
970. Скопируйте рисунок 1 35 в тетрадь. По­
стройте треугольник, симметричный треуголь­
нику А В С относительно прямой п.
32

т

s

Рис.

1 34

"п
,.._.,...-.

А

Рис.

1 35

' 11'
,

--

......

J

'
'"
в

'

'

'

1"

,... -' с

'
'

'
"

"

"

"

971 . Концы отрезка А В имеют координаты
А (2; 4) и В (-3; 1 ) . Постройте отрезок,
симметричный отрезку АВ относительно:
а) оси Ох; б) оси Оу.
972. Начертите окружность Р и прямую l,
не пересекающую эту окружность. Постройте
окружность К, симметричную окружности Р
относительно оси l.
77. Построение осн симметрнн
дв ух точек

Пусть точки А и В симметричны относи­
тельно прямой l ( рис. 1 36 ) . Выберем на этой
прямой любую точку С. Отрезки А С и СВ
симметричны друг другу, значит, они равн ы.
Все точки оси симметрии одшtа1сово удале­
ны от двух точек А и В, симметричных отно­
сительно этой оси.
Эти м свойством обладают только точки
оси симметрии, т. е. если точка одинаково
удалена от двух данных точек А и В, то она
лежит на оси симметрии этих точек.
3 а д а ч а. Постройте ось симметрии точек
А и В.
Строим точки С и D (рис. 1 37) , одинаково
удаленные от точек А и В. Для этого право-

·+
·

R

М0
Рж:. 1 36

Рис. 1 37

Е

,р

К

8

R

•f

Т

.

Рис. 1 38

дим две пересекающиеся окружности одного
и того же радиуса с центр а ми в т9чках А � В.
Через точки С и D пересечения этих окруж­
ностей проводим прямую. Так как А С = В С и
A D = BD, то прямая CD является осью сим­
метрии точек А и В.
973. Проведите прямую. Примите ее за осг
симметрии и постройте точки М и Н, симмет­
ричные относительно этой оси. В озьмите точ­
ку Р, не принадлежащую оси симметрии, и
сравните расстояния точки Р до точек М и Н.
Постройте точку О, одинаково удаленную от
точек М и Н, и скажите, где р асположена
точка О.
974. На рисунке 1 38 проведена ось сим мет­
рии l точек А и В. Н азовите множество ТО·
чек, обозначенных на этом рисунке, которые:
от точек А и В;
а) одинаково удалены
б ) принадлежат оси симметрии; в ) неодина­
ково удалены от точек А и В; г) не п ринад­
лежат оси симметрии:
975. Постройте три точки; каждая из кото­
рых одинаково удалена от двух данных точек.
Будут .11и эти точки лежать на одной пря­
мой?
976. Сколько точек, одинаково удаленных от
двух данных точек, надо построить, чтобы оп­
ределить положение оси симметрии этих то­
чек?
977. Отметьте точки Р и N, постройте с по­
мощью циркуля и линейки их ось симметрии.
978. Начертите
ось симметрии точек:
а) А ( 1 ; 3) и В (-1 ; -3) ; б) С (-2 ; -4) и
D (-4 ; -2) .
979. Начертите треугольник АВС. Построй­
те оси симметрии: а) точек А и В; б) точек А
и С; в) точек В и С. Какое свойство этих
осей вы заметили?
980. На рисунке 1 39 дан отрезок А В и точ­
ки М и N. Перечертите этот рисунок в тетРис. 1 40

Рис. 1 39

2

.Ма�пматиха

в ш.ко11е

Ю 1

радь и н айдите н а отрезке А В точку К, кото­
рая одина ково удалена от точек М и N.
Упражпения для домашней работы
98 1 . Н ачертите квадрат ABCD и постройте
с помощью циркуля и линейки ось с и ммет­
рии: а) точек А и В; б) точек А и С; в) точек
А и D.
982. Начертите ось симметрии точек А
( -2; -3) и В (4; 3 ) . Н а йдите координаты
точек пересечения построенной оси симметрии
с осями координат.
983. Перечертите рисунок 1 40 в тетрадь и
найдите н а окружности точки, один а ково уда­
ленные от точек А и В.
78. Деnение отрезка
на две равные части

Отрезок А В можно разделить пополам, из­
мерив его длину и разделив ее н а два. Отре·
зок АВ можно разделить пополам, перегнув
лист бумаги так, чтобы при перегибании кон­
цы отрезка совпали. Линия перегиба разде­
лит отрезок п ополам. Так как при перегиба­
нии точки А и В совпадают, то линия переги­
ба я вляется осью симметрии точек А и В. По­
этому вместо перегибания л иста бум а ги мож­
но построить ось симметрии точек А и В.
Чтобы р азделить отрезок АВ ( рис. 1 4 1 ) по­
полам, н адо провести ось симметрии точек
А и В. Точка пересечения оси сим метрии с
отрезком А В р азделит его попол а м.
984. П роведите н а листе бумаги отрезок
АВ и разделите его пополам с п омощью мас­
штабной линейки. Проверьте правильность
результата с помощью перегибания листа бу­
маги.
985. Начертите отрезок А В и разде�ите
его пополам с помощью циркуля и линеики.
986. Н ачертите ломаную из двух звеньев.
Ра:::д елите каждый отрезок ломаной на две
равные части.
987. Н ачертите треугольник А В С и разде­
лите каждую из его сторон на две равные ча­
сти.
988. Н ачертите окружность и хорду в ней.
Разделите хорду пополам. П роходит ли ось
симметрии этой хорды через центр данной
окружности?
Упражнения для домашпей работы .
989. Разделите отрезок н а четыре р авные
части с помощью циркуля и линейки.
990. Начертите ломаную из трех звеньев.
Разделите каждый отрезок на две равные ча ­
сти. Соедините точки деления отрезками.
33

"'-'· ПостроениЕ"
nерnенднкуnяра к прямой

Для п роведения перпендикуляра к прямой
мы использовали угольник. Но перпендику­
ляр к прямой можно п роводить с помощью
циркуля и линейки.
3 а д а ч а 1. П роведите перпендикуляр к
прямой l через точку К, лежащую на пря­
мой l.
На прямой l от точки К циркулем откла­
дываем р ав ные отрезки КА и КВ. Строим ось
симметрии точек А и В ( рис. 1 42) . Ось сим­
метрии п роходит через точку К и перпенди­
кулярна п ря мой l.
3 а д а ч а 2. П роведите перпендикуляр к
прямой l через точку К, не лежащую на пря­
мой l.
П роводим окружность с центром в точке К
( рис. 1 43 ) , пересекающую прямую l в точках
А и В. Строим ось симметрии точек А и В.
Ось симметрии КР проходит через точку К и
перпендикулярна прямой l.
р
А

8

к

8

м
Рис. 1 42

Рис. 1 43

••

Рис. 1 44

Рис. 1 45

Рис. 1 46

991 . Начертите две пересекающиеся пря­
мые и точку Р, н е принадлежащую этим пря­
мым. П роведите перпендикуляры через точ­
ку Р к каждой из этих п ря мых.
992. Начертите окружность и ее диаметр
АВ. Постройте в этой окружности диа­
м етр CD, перпендикулярный диаметру АВ.
993. Начертите квадрат A B CD и проведите
в нем диагональ А С. Проведите перпендику­
ляр к отрезку А С через его середину.
34

Упражнения для домашней раuоты
994. Н ачертите п ря мую НК и точку М на
ней. Проведите через точку М перпендикуляр
к прямой НК.
995. Н ачертите две параллельные прямые
и точку вне этих прямых. Проведите через
эту точку перпендикуляр к каждой из пря­
мых.
80. Деnенне yrna на две равные частн
Чтобы р азделить угол А ОВ на две равные
части, можно измерить его транспортиром,
полученное число градусов разделить на два

о

Рис. 1 48

Рис.

1 49

и построить угол А ОС, р авный половине уг­
ла А ОВ ( рис. 1 44 ) . При отсутствии транспор­
тир а можно разделить угол путем перегиба­
ния листа бумаги: надо перегнуть лист бума·
ги так, чтобы луч ОВ пошел по лучу ОА
( р ис. 1 45 ) . Тогда линия перегиба и будет де­
лить угол А ОВ пополам.
Так как при перегибании по прямой ОС
угол А ОС накладывается на угол ВОС (рис.
1 46) , то лучи ОА и ОВ симметричны относи­
тельно прямой ОС. Значит, биссектриса . ОС
угла А ОВ лежит на оси симметрии лучей
ОА и ОВ.
Выберем на стороне ОА точку М, а на сто­
роне ОВ точку Р так, чтобы ОМ = ОР. При
перегибании листа бумаги по биссектрисе уг­
ла А ОВ эти точки совпадут друг с другом,
значит, они симметричны относительно бис­
сектрисы угла А ОВ.
3 а д а ч а. Разделите угол А ОВ ( рис. 147)
н а две р а вные части с помощью циркуля и
линейки.
Отложим на сторонах угла А ОВ равные
отрезки ОМ и ОР ( рис. 1 48 ) . Точки М и Р
симметричны относительно биссектрисы уг­
л а А ОВ. Поэтому ось симметрии точек М и Р
и является биссектрисой угла А ОВ.
Чтобы построить эту ось симметрии, прове·
дем окружности с центрами в точках М и Р
и радиусами, равными отрезку ОМ. Эти ок­
ружности п р ойдут через точку О и пересекут­
ся еще в одной точке К. Луч ОК является
осью симметрии точек М и Р и биссектрисой
угла А ОВ.

В черчении часто углы делят н а любое
равное число частей приближенно. Это дела­
ют путем нескольких п р об (прикидок) с по­
мощью циркуля.
Разделим угол МОК ( рис. 1 49 ) на 3 рав­
ные части. П роведем для этого дугу произ­
вольного радиуса с центро м в вершине О, пе­
ресекающую стороны угла в точках А и В.
Установим на глаз такой раствор циркуля,

[

Рис. 1 52

которым дуга АВ приближенно делится на
три равные части. Построим этим раствором
циркуля дуги А С, CD и DE. На рисунке 1 49
видно, что при первом построении точка Е
оказалась внутри дуги А В. Значит, раствор
циркуля нужно увеличить. П родолжая при­
кидку получают достаточно точное деление
угла на три равные части ( рис. 1 50) .
996. Постройте угол А ОВ. В озьмите на сто­
р оне ОА точки К, М и Р. Постройте на сто­
роне ОВ точки, симметричные точкам К, М и
Р относ;ительно биссектрисы угла А ОВ.
997. Начертите тупой угол и р а зделите его
пополам.
998. Постройте биссектрису развернутого
угла РТК.
999. Постройте треугольник А В С и прове­
дите биссектрисы всех его углов.
1 000. Н ачертите прямоугольник A B CD и
проведите биссектрисы всех его углов.
1 00 1 . Докажите, что каждая точка биссек­
трисьт ОС угла А ОВ одинаково удалена от
сторон ОА и ОВ.
1 002. Постройте треугольник А В С. Н айди­
те точку, одинаково удаленную от всех сто­
рон этого треугольника.
Упражнения для домашней работы
1 003. П остройте биссектрису прямого угла.
1 004. Начертите квадрат A B CD и проведи­
те биссектрисы его углов.
1 005. Н ачертите смежные углы и постройте
И?' биссектрисы. Чему равен угол между бис­
сектрисами?
2*

81. Фиrуры, имеющ�е ось симметрии

Н а рисунке 1 5 1 изображены ворота Летне­
го сада в Ленинграде. Они состоят из двух
половин, которые симметричны друг друI'у
относительно п ря мой l. Говорят, что фигура
симметрична относительно прямой /, если эта
прямая делит ее на две части, симметричные
друг другу. Прямую l в этом случае называ­
ют о с ь ю с и м м е т р и и д а н н о й ф и г у­
р ы. Фигуры, и меющие ось симметрии, часто
встречаются в природе и технике.
Некоторые фигуры и меют несколько осей
симметрии (рис. 1 52) . С а мой симметричной
фигурой я вляется окружность: любая п ря­
мая, п р оходящая через центр окружности,
делит ее
на две симметричные части
(рис. 1 53 ) .
Н а рисунке 1 54 изображены две пересека­
ющиеся окружности с центрами в точках

в
Рис.

1 54

А и В. Проведем прямую А В. Она делит обе
окружности на две симметр ичные полуокруж­
ности. При перегибании листа бумаги по
прямой А В нижние полуокружности совпадут
с верхними. Значит, точка D
точка п ересе­
чения нижних полуокружностей совместится
с точкой С точкой пересечения верхних по­
луокружностей. Мы показали,
что точки
С и D симметричны относительно пря мой АВ.
Точки пересечения двух окружностей сим­
метричны относительно прямой, проходящей
через центры этих окружностей.
1 006. На рисунке 1 55 и зображены фигуры.
Какие из них и м еют одну ось симметрии, две
оси симметрии, более двух осей симметрии?
-

-

Рис.

1 55

1 007. На р исунке 1 56 изобр ажены две ок­
ружности. Какая прямая служит их общей
осью симметрии?
1 008. На рисунке 1 57 изображены два тре­
угольника А В С и A BD, такие, что A C=AD и
B C = BD. Докажите, что эти треугольники

35

Рис. 1 56

Рис. 1 57

1 0 1 3. Докажите, что углы при основании
равнобедренного треугольника р авны между
собой.
1 0 1 4. В равнобедренном треугольнике угол
при вершине р а вен 40°. Чему равны углы при
основании треугольника?

сим метричны относительно прямой АВ. Рав­
ны ли эти треугольники?
Упражнения для домашней работы
1 009. Какие из нарисованных букв ( рис.
1 58) и м еют вертикальную ось симметрии, ка­
кие и меют горизонтальную ось симметрии, ка­
кие и меют и вертикальную и горизонтальную
оси симметрии? Какие из н а рисованных букв
не и меют осей симметрии?
1 0 1 0. Начертите треугольник АВС. По­
стройте треугольник, симметричный треуголь­
нику А В С относительно стороны АВ.
82. Равнобедренные н равносторонние треуrоnьннки

Треугольник, у которого две стороны рав­
ны между собой, н азывается р а в н о б е д­
р е н н ы м. Равные стороны называются бо­
ковыми сторонами равнобедренного треуголь­
ника, а третья сторона - его основ анием. Н а
рисунке 1 59 отрезки А В и А С боковые сто­
роны, а отрезок В С основание р авнобедрен­
ного треугольника А В С. Точку А называют
вершиной равнобедренного треугольника.
Для построения р авнобедренного треуголь­
ника начертим окружность с центро м О, вы­
берем на ней две точки А и В и соединим их
друг с другом и с точкой О ( рис. 1 60) . Полу­
чится р а внобедренный треугольник А ОВ с
вершиной О и боковыми сторонами ОА и ОВ.
Его основанием я вляется отрезок АВ.
Треугольни к А В С, все стороны которого
равны между собой, т. е. А В = А С = В С, на­
зывают р а в н о с т о р о н н и м. Равносторон­
ний треугольник можно построить так: начер­
тить окружность с центром О ( рис. 1 6 1 ) и
взять на ней точки А и В, расстояние между
которыми равно р адиусу. Треугольник А ОВ
равносто ронний.
1 0 1 1 . П рямая BD ( рис. 1 62 ) п р оходит че­
рез вершину В р авнобедренного треугольника
АВС и середину D основания А С. Докажите,
что прямая BD является о с ь ю с и м м е т­
р и и т р е у г о л ь н и к а.
1 0 1 2. Докажите, что прямая, п р оходящая
через вершину ра внобедренного треугольни­
ка и середину его основания, перпендикуляр­
н а основанию и делит п ополам угол при вер­
ш ине.
-

-

36

Рис. 1 61

1 0 1 5. В равнобедренном треугольнике угол
п р и основании на 30° больше угла при верши­
не. Чему равны углы этого треугольника?
1 0 1 6. Чему р а вны углы равностороннего
треугольника?
1 0 1 7. Н а ри.сунке 161 изображен равносто­
ронний треугольник. Какую часть окружности
составляет дуга АВ?
1 0 1 8. Как разделить окружность на 6 рав­
ных частей?
Упражнен ия для домашней работы
1 0 1 9. В треугольнике А В С перпендикуляр,
проведенный через вершину А к стороне ВС,
делит эту сторону пополам. Докажите, что
треугольник А В С равнобедренньi й.
1 020. Угол при вершине равнобедренного
треугольника в 2 раза больше каждого и'з уг­
лов п р и основании. Чему равны углы этого
треугольника?
1 02 1 . Угол при вершине равнобедренного
треугольника в 2 раза меньше одного из уг­
лов п р и основании. Чему р а вны углы этого
треугольника?
1 022. Разделите окружность на три ра вные
части и соедините точки деления отрезками.
§ 1 8. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
83. Построение треуrояьника
по трем. сторонам.

3 а д а ч а. Постройте треугольник со сто­
р он а ми А В = 6 см, В С = 5 см и А С = 4 см.
Сначала п роведем прямую l и отложим на
ней отрезок А В = 6 см ( рис. 1 63) . Точка С
удалена от точки А на 4 см, от точки В
н а 5 см. Чтобы найти положение точки С,
проведем две окружности: одну с центром А
-

и радиусом 4 см, а другую с центро м В и ра­
диусом 5 см. Эти окружности пересекутся в
двух точках С и D ( рис. 1 63) . Соединив точ­
ку С с точками А и В, получим треугольник
АВС со сторонами А В = 6 см, В С = 5 см и
А С = 4 см. Если соединим точку D с точка­
ми А и В, то получи м второй треугольник
ABD со сторонами А В = 6 см, BD = 5 сл� и

в

А

Рис.

l

1 63

AD = 4 · см. Треугольники А В С и ABD р авны
между собой; если перегнуть рисунок 1 63 по
пря мой АВ, то точки С и D совпадут, а тогда
совпадут и треугольники А В С и A BD.
Вообще, если три стороны одного треуголь­
ника соответственно равны трем сторонам
другого треугольника, то треугольники равны.
Если из трех стержней изготовить тре­
угольник, то, не растягивая, не сжимая и не
изгибая стержни, нельзя изменить форму тре­
уго.1ьника, да же если они скреплены в вер­
шинах шарнирами (рис. 1 64 ) , Говорят, что
'треугольник есть жесткая фигура. Этим свой­
ством треугольника пользуются на практике
( рис. 1 65, 1 66 ) .
Четырехугольник - нежесткая фигура. На
рисунке 1 67 изображено два неравных четы­
рехугольника, у которых соответственные сто­
роны равны.
Длины отрезков, по которым строится тре­
угольник, нельзя зада вать произвольно. Тре­
угольник можно построить, если длина боль­
шего отрезка меньше суммы двух других.
Напри мер, нельзя построить треугольник из
отрезков, дJIИНЫ которых равны а) 5 см, 3 с.м,
1

см;

О) 5

С.М,

3

С.М,

2

CJit.

1 023. Отметьте точки А и В, расстояние
между которыми 5 см. Н айдите точку С, уда­
ленную:
а) от точки А н а 3 см, а от точки В на 4 см;
б) от точки А на 5 см и от точки В на 5 c,iz;
в ) от точки А н а 2 см, а от точки В н а 3 см;
г) от точки А на 7 см, а от точки В на 1 см;
д) от точки А на 1 сж., а от точки В на 3 см.
1 024. П остройте треугольник А В С, если:
а) А В = 4 см, В С = 3 см, А С = 2 см;
б ) А В = 8 см, В С = 3 см, А С = 5 с,и.;
в ) А В = 3 см, А С= 1 1 см, В С = 5 см;
г) А В = 3 см, В С = 5 см, А С= 4 см.
1 025. Постройте р авнобедренный треуголь­
ник А В С с основанием А С = 6 с.м и боковой
стороной А В = 5 с.м.
l 026. П остройте р авносторонний треуголь­
ник со стороной 4 см.
1 027. На рисунке 1 68 изображен треуголь­
ник. Постройте в тетради р а вный ему тре­
угольник.
1 028. На р исунке 1 69 изображен четырех­
угольник. Постройте в тетради равный ему
( Указание: отрезок А С
четырехугольник.
разбивает четырехугольник A B CD н а два
треугольника.)
1 029. Расстояние между телевизионными
станциями 1 00 км. Передачи станции А при­
нимаются в круге радиуса 50 км, а станции
В - в круге радиуса 75 км. Отметьте на пла­
не станции А и В в масштабе 1 : 2 500 ООО.
Покажите область, в которой п ринимаются
передачи обеих станций; область, в которой
принимаются только передачи станции А; об­
ласть, где принимаются только передачи стан­
ции В; область, где не принимаются передачи
н и одной из этих станций.
Упражнения для домаtшtей работы
1 030. Постройте на листе бумаги два тре­
угольника. Стороны одного-3 см, 4 см, 6 см. Сто роны другого - 4 см, 6 см, 3 CJrt. Равны
ли эти треугольники? Вырежьте эти треуголь­
ники и с помощью наложения убедитесь в
правильности вашего ответа.
1 03 1 . Расстояние между точками М и К
равно 4 см. Найдите точки, удаленные:
а) от точек М и К н а расстояние 2,5 см;
б ) от точки М на р асстояние 5 см, а от
точки К на расстояние 1 см.
1 032. Постройте треугольник А В С со сторона м и :
а ) А В = ВС = 4 см, А С = 8 см;
б ) А В = 4 см, В С = 5 см, А С= 3 см;
в ) A B = BC = A C =t= 3 см.
1 033. Постройте пря моугольник, равный
прямоугольнику A B CD (рис. 1 70) .
37

s.:. Построение треуrольннка

3 адача

по стороне
н двум nрнпежа щнм yrnaм

1 . Постройте треугольник А В С,
А В = 5 см,
котором
L СА В = 56° и
L СВА = 44°.
Для построения треугольника на прямой l
отложи м отрезок А В длиной 5 см. Отложи м
от луча А В угол КАВ, р а вный 56°, а о т луча
ВА по ту же сторону от прямой-угол МВА,
р а вный 44° (рис. 1 71 ) . Лучи АК и ВМ пере­
секаются в точке С. Треугольник АВС и бу-

в

В ообще, если сторона и два прилежащих
к ней угла одного треугольника соответствен­
но равны стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника, то треугольни··
ки равны.
З а д а ч а 2. Определите расстояние меж­
ду деревьями А и В, если они растут на раз­
ных берегах реки ( рис. 1 72) .

Рис. 1 74

в

А

А

Рис. 1 75

Рис. 1 72

дет искомым. Если откладывать углы по дру­
гую сторону от п ря мой /, то получится тре­
угольник A BD ( р ис. 1 71 ) , у которого одна
сторона равна 5 CJVt, а п рилежащие к ней уг­
лы равны 56° и 44°. При перегибании по пря­
мой АВ треугольники АВС и ABD наложатся
друг на друга. Значит, треугольники А В С и
A BD симметричны и р а вны.
38

Отметим н а берегу реки, где растет дерево
А, еще одну точку С и измерим расстояние
А С. Потом измерим углы САВ и А СВ. Зада­
(например,
масштаб
дим какой-нибудь
1 : 1 000) и построим на бумаге треугольник
NTК, в котором отрезок NT в 1 ООО раз мень­
ше отрезка А С, угол NTK равен углу САВ и
угол TNK р авен углу А СВ ( рис. 1 73) . Рас­
стояние между деревьям и А и В мы получим,
если измерим отрезок ТК и увеличим его в
1 000 раз.
1 034. Постройте треугольник А В С, если:
а ) А В = 5, 1 см, L A = 24°, L B = 1 20°;
б) А С = 3,8 см, L A = L C = 45°;
в ) А С = 7 см, L A = 90°, L C =32°;
г) АВ = 3 СМ, L A = 56°, L B = 73°.
1 035. Н а рисунке 1 74 изображено дерево В,
р а стущее на другом берегу р еки. Измерили
отрезок А С = 600 м, L BA C = 60°, L BCA = 45°.
Чему р авны р асстоя ния АВ и СВ? Чтобы уз­
нать это, начертите в тетради план в масшта­
бе 1 : 1 0 ООО.
Упражнения для домашней работы
1 036. Постройте треугольник АВС, если:
а) A B = 6, I см, L A = 34", L B = 80°;

б) В С = 4 с.м, L B = 60°, L C = 35°.
1 037. Два наблюдателя находятся в точках
А и С. Расстоя ние между ними 1 200 .м. Они
засекли направления на неприятельскую ба­
тарею: L BA C = 65° и L BCA = 45° ( р ис. 1 75) .
Определите положение батареи, начертив
план в масштабе 1 :20 ООО.
no

85. Построение треуrольннка
дв ум сторонам н уrлу между ннмн

3 а д а ч а 1 . Постройте треугольник АВС,
если АВ = 6 с.м , А С = 4 с.м и L BA C = 30°.
Сначала строим угол МА К, р авный 30°. На
стороне АМ откладываем отрезок А В = 6 см,
а на стороне А К - отрезок А С = 4 с.м ( р ис.
1 76) . Соединяем точки В и С и получаем ис­
комый треугольник А ВС. Сколько бы мы ни
построили треугольников по этим данным, все
они будут равны между собой.
Вообще, если две стороны и угол .между
ними одного треугольника соответственно рав-

углу А СВ, а стороны ТН и Т!( соответственно
в 1 000 р а з меньше отрезков СА и СВ. Расстоя­
ние между деревьями А и В получим, если из­
мерим дли ну стороны Н К и увеличим ее в
1 000 раз.
1 038. Постройте треугольни к А ВС, если :
А В = 5 с м , А С = 4 см, L BA C = 60°.
1 039. В четырехугольнике A B CD проведены
диагонали А С и BD. В р езультате измерения
получилось, что ВА =3 CAt, BD =5 см, в с =
= 2 см и
L A B C = 40°. П остройте этот четы­
р ехугольник, если диагональ BD делит диаго­
наль А С на две ра вные части.
1 040. В четырехугольнике ABCD в резуль­
тате измерения получилось, что A B =AD =
= 3 см, CB = CD = 5 см и L A B C = 70°. По­
стройте этот четырехугольник.
1 04 1 . Можно ли построить треугоJ1ьник
АВС, если:
а ) А С = 7 см, L BA C = 90°, L BCA = 90°;
б) А В = 5 дА-t, L CA B = l 20°, L CBA = 90°;
в) В С = З см ; L A B C = 1 50°, L A CB = 60°.

Рис. 1 78

"Эana.ii'

Рис. 1 77

G

восrок•

ны

двум сторонам и углу .между ни.ми другого
треугольника, то треугольники равны.
3 а д а ч а 2. Определите расстояние между
деревьями А и В, если между ними находится
дом ( р ис. 1 77) .
Для того чтобы определить р асстояние меж­
ду деревьями А и В на местности выбир ают
такую точку С, из которой видны оба дерева.
После этого на местности измеря ют р асстоя­
ния СА, СВ и угол А СВ. По этим-.., данным
(например, в масштабе 1 : 1 000) строят тре­
угольник НТК, в котором угол НТК р а вен

Рис. 1 79

1 042. Между деревьями А и В "(рис. 1 78)
находится болото. Чтобы определить р асстоя­
ние между ними, измерили отр езки A C = 600 .tt
и В С = 400 м и угол А СВ, равный 62°. Н а йди­
те расстояние м ежду деревьями А и В, начер­
тив план в масштабе 1 : 1 0 ООО.
39

Упражнения для домашней работы
1 043. Постройте треугольник МАК, если
МА = А К = 5 см и L MA K = 45°.
·
1 044. Штурм а н кор а бля заметил маяк, на­
ходившийся н а северо-востоке. Когда корабль
проплыл 1 0 юл на север, маяк оказался на
' юго-востоке ( рис. 1 79) . Н ачертите план в
масштабе 1 : 1 00 ООО и найдите расстояние от
кор а бля до маяка в начале и в конце пути.
Каким было наименьшее расстояние от ко­
рабJ1Я до маяка?
l 045. От древка флага падает тень в 1 1 м
в то время, как солнечные лучи наклонены к
горизонту под углом 24° ( рис. 1 80) . Чему рав­
на в ысота древка?

ОА - в луч ОВ. Угол А ОВ называется угло,u.
поворота. Он будет одним и тем же для всех
точек фигуры М.
При повороте кажда я фигура переходит в
равную ей фигуру: прямая - в прямую, луч -

к
Рис. 1 88

Рис. 1 89

86. Поворот фнrуры окоnо точки

В жизни м ы часто встречаемся с вращени­
ем.
Шофер вращает руль
автомашины
( рис. 1 8 1 ) , рулевой на корабле - штурвал
( рис. 1 82) . В р ащается деталь, обрабатываемая
на токарном станке ( рис. 1 83) , зем;Ля вокруг
своей оси ( рис. 1 84 ) и т. д. В этом пункте м ы
рассмотрим вращение фигур в плоскости.
В ырежем из бумаги фигуру М и проткнем
ее булавкой в точке О ( р ис. 1 85) . Если повер­
нуть фигуру М вокруг точки О, она займет
положение Р. Говорят, что фигура Р получи­
лась из фигуры М поворотом вокруг точки О.
Ф игуру М можно и не вырезать из л иста бу­
м аги, а просто начертить ее на этом листе.
Тогда лист бумаги м ожно проткнуть була вкой

Рис. 1 85

Рис. 1 86

в любой точке О, даже не принадлежащей
фигуре М. В ращая лист бумаги, мы будем по­
ворачивать вокруг точки О и фигуру М
( рис. 1 86) .
П р и повороте ф игуры вокруг точки О рас­
стояние каждой точки этой ф игуры от точки О
не изменяется. Поэтому все точки фигуры М
описыва ют при вращении окружности с цент­
ром в точке О. Точку О называют центром по­
ворота.
Возьмем какую-нибудь точку А на фигу­
ре М и проведем луч ОА ( рис. 1 86) . После
поворота точка А перейдет в точку В, а луч
40

Рис. 1 90

в луч, отрезок - в равный ему отрезок, ок­
ружность - в р авную ей окружность и т. д.
3 а д а ч а 1 . Поверните точку А вокруг О
на 60° по часовой стрелке.
При вращении точка А описывает окруж­
ность с центром в точке О. Проведем эту
окружность ( р ис. 1 87) . Точка А перейдет в
такую точку В окружности, что угол А ОВ
р а вен 60°. Поэтому проведем луч ОА и отло­
жим от него угол А ОК, р а вный 60°. Этот угол
можно отложить в двух направлениях. По ус­
ловию его надо откладывать по часовой стрел­
ке ( рис. 1 88) . Точка В лежит на пересечении
луча О К и окружности.
3 а д а ч а 2. Поверните квадрат ABCD во·
круг вершины А на 1 35° по часовой стрелке.
При повороте вершина А остается на мес­
те ( р ис. 1 89) . Повернем сначала вершину D
на 1 35° по часовой стрелке, как было показа­
но в задаче 1 . Мы получим точку К. После
этого таким же образом повернем на 1 35°
вершины С и В. Мы получим точки А, К. Т и
L - вершины нового квадрата, в который
переходит квадрат A BCD при повороте. Квад­
р аты A B CD и ALTK равны.
1 046. На какой угол повернется часовая
стрелка за 2 часа?

1047. Н а какой уrол повернется м инутная
стрелка· за 15 м инут?
1 048. Начертите окружность радиуса 3 см
и возьмите на ней точку А. Поверните окруж­
ность на 45° по часовой стрелке около точ­
ки А .
1 049. Начертите квадрат A BCD с о сторо­
ной 4 см и проведите диагонали АС и BD.
Поверните квадрат на 90° по часовой стрелке
около точки пересечения этих диагоналей.
В какие точки перейдет каждая вершина квад­
рата при этом повороте?
1 050. Начертите треугольник ОАВ с вер­
шинами О (О; О) , А (3; О) , В (О; 5) . Поверни­
те этот треугольник на 90° п ротив часовой
стрелки вокруг точки О.

1 05 1 . Какие из фигур. изображенных на ри­
сунке 1 90, получены поворотом около данного
центра?
Упражнения для домашней работы
1 052. Отметьте точки А , В и С. Поверните
точки А и В вокруг точки С на 45° по часо­
вой стрелке.
1 053. Н ачертите прямоугольник A B CD со
сторонами 6 см и 2 см. Поверните этот пря­
моугольник на 90° по часовой стрелке в округ
вершины А .
1 054. В озьмите отрезок АВ и точку О в н е
отрезка. Выполните поворот отрезка А В око­
ло точки О н а угол 1 20° по ч асовой стрелке.

К. И . НЕШКОВ,

д. Д. СЕМУШИ Н, С. И . ШВАРЦ&УРД
(Моск ва)

Оформnение записей в тетрадях
Одним из важных звеньев постановки пре­
подавания м атематики является обучение уча­
щихся ведению записей в тетрадях.
Форма ведения учащимися записей в тетра­
дях зависит как от класса, в котором учится
школьник, так и от целей самих з аписей.
В одном случае они _могут быть более подроб­
ными, в другом - менее подробными.
Введение в новую прогр а м м у по м атемати­
ке IV и V классов разделов, выходящих за
пределы давно сложившегося курса арифме­
тики этих классов, изменение подходов и ме­
тодов изложения вопросов самой арифметики
меняют знакомую учителю ситуацию, требуют
от учителя новых подходов и в требованиях к
записям учащихся. , При решении этой пробле­
мы необходимо учитывать общие цели обуче­
ния и воспи'fания, задачи развития письмен­
ной и устной речи учащихся.
В этой связи очень важно, чтобы учащиеся
знали что и как писать в тетрадях при выпол­
нении классных и домашних работ. А перед
учителем встает вопрос, как этому научить
учащихся.
1 . Прежде всего необходимо приучать уча­
щихся выполш1ть общие требования к культу­
ре ведения записей. Перечислим важнейшие
из них.
Учащиеся должны иметь представление об
абзацах. Всякую новую мысль следует начи­
нать с красной строки.
Важные формулы, равен�тва, неравенства
следует выделять в отдельные строки, чтобы
их СдеЛать более обозримыми.
При описании

решения задач краткая запись условия отде­
л яется от решения. В конце решения непре­
менно выделяется ответ.
Серьезное внимание следует уделять пра­
в ильному написанию сокращенных обозначе­
ний единиц измерения. В соответствии с но­
вым ГОСТом следует применять обозначения:
секунда
с;
неделя
нед;
м инута
A-tuн;
м есяц мес; ·
час
ч;
год год;
сутки сут;
век век.
При этом изменяются обозначения единиn
скорости. Навые обозначения приведены в
учебнике.
Ученики должны приучаться правильно
употреблять м атематические символы. Такие
знаки, как «< = », « < », « > », «_l_», можно при­
м енять лишь в символических записях и нель­
зя употреблять в о бычном тексте. Например,
недопустим а запись: «Если одна прямая _L
другой , то ... ». Здесь в место знака «_l_» надо
писать слово «перпендикулярна». Недопусти­
ма и такая, к сожалению ш и роко р аспростра­
ненная, запись, как « 7 > 2 н а 5». Эту мысль
можно выразить так: «7 больше 2 н а 5».
Следует обращать внимание также н а пра·
вильное расположение математических знаков
в строке. Так, перенос формулы или выраже­
ния с одной строки на другую разрешается
производить только на знаках сложения, вы­
читания и умножения. При переносе знаки
« + » и «-» повторяются, знак умножения за­
меняется косым крестом « Х », который также
повторяется. Много ошибок учащихся связа-

-

-

-

-

-

-

-

41

но с неправильным расположением черты дро­
би и знака равенства. Необходимо также по­
стоянно обращать внимание учащихся на пра­
вильное р асположение знака равенства, когда
этот знак пишется после степени.
2. П риведенные общие рекомендации нахо­
дят преломление в записях решений задач и
других упра жнений.
При р ешении задач арифметическим спосо­
бом получили р аспространение следующие ви­
ды записей: составление выражения, по во­
просам, с пояснениями. Все эти виды оформле­
ния записей известны учащимся с I - I I I клас­
сов.
Следует предостеречь учителя от увлечения
такой формой записи , как составление выра­
жений при решении задач, хотя она привле­
кает м ногих учащихся своей краткостью. Од­
нако при этом уча щиеся решают задачу поч­
ти механически, мало думают.
Н а м кажется, что в V классе наиболее час­
то должна применяться вопросо-ответная фор­
м а решения. П р ичем в классе следует писать
вопросы лишь в исключительных случаях, ког­
да рассматривается новый вид задач или ког­
да формулировка вопроса затрудняет уча­
щихся. В домашней работе следует ч аще тре­
бовать записи вопросов. Запись решения за­
дач с пояснениями м ало по существу отлича­
ется от вопросо-ответной формы, но, как по­
казывают набл юдения, на этом уровне обуче­
ния она выполняется учащимися совершенно
неудовлетворительно с точки зрения перечис­
ленных выше общих требований. П оэтому мы
полагаем, что ею часто пользоваться не сле­
дует.
Учителям хорошо известны все три формы
записи, поэтому м ы ограничимся примером
записи решения по вопросам для задачи 7671 :
Пшеницу пересыпали из ларя в три мешка.
В первый .мешок вошло 5/18 всей пшеницы, во
второй - 1/3 всей тиеницы, а в третий - на
1 0 кг больше, чем во второй. Сколько кило­
грш.1.мов пшеницы было в ларе? (См. далее. )
Гораздо м енее распространена запись реш�­
ния задачи в виде текстового описания реше­
ния. Это довольно трудоемкая, но весьма по­
лезная работа. Н а м кажется, что в V классе
таким образом м ожно б ыло описать решения
4-5 задач за год.
Дадим текстовое описание решения той же
задачи.
II всей пшеницы, в I I I 767. I н а 1 О кг больше, чем во I I .

�8 ,

+

1 Эта задача и последующие взяты и з учебного посо­
бия по математике для V к а
под редакцией
А. И. М а р к у ш е в и ч а.

л сса

42

Р е ш е н и е.

,

Если сложим Тв и 3
5

то узнаем, какая

часть всей пшеницы вошла в первый и вто­
рой мешки:

тs- + з = Тs ·
5

11

1

"

остальные 18 всеи пшеницы вошли в третии
7

"

мешок. В третий мешок вошло на 10 кг
больше, чем во второй. Значит, 1 0 кг со-

ставляют 18 всеи пшеницы, так как разность
1

"

между 18 и 3 равна 18 .
7

1

1

Если восемнадца-

тая часть всей пшеницы весила 1 0 кг, то,
следовательно, в ларе было 1 80 кг пшеницы.
О т в е т: 1 80 кг.

� h ".,_
;

7:.L '� -};
'!

.., fI
•

'/

1

J

t---t---

/

,_

-z'.�

-� г.7"'

'

�,

.....

"

1 -"
1
1
1

:7J:у..7. J

:1

,..

r

,,

/" ''IJ. I�.

,

,

"7

11

1

�

r

1

1

"
" .,.. �/А/. r /
1"
- "

�

"

J

щ.

� и. ·

li' 1 jL
," г r
1
-

1

и ;

о
-�
1 ""Гf/I/.
.

,

1

�

1
1А J •1 •/ L
IY i!:7 -..=

1

""�}

'

1

?

1

-�

->-

1

�-

- '

�

'

,
'•

-�J
_;:::;:
��,
, �l<�? f-t-"->----

1 1.А

г:
1

=

'"

1

r-/+A о/-�!2.)
1

t/I

•

1

, /

(, 7'

=�7f'j л
,

//,

•

yJ ,"

�� ",

т
1 1'1
f•f;,"Ь:Й
l / l f'P- г= 1-�8

�

�
л
,., f7 "/

'А

/.

и

у

/.
J1 "//

�

·�

��
п

;?

·п·1,

� { =- i
8/

l · -i

,.., UP
1

1

(

r

"

f-f--

7
.'1

1

1

1

1

Учителю также знакомы различные формы
записи решения задач с помощью уравнения.
Н а м кажется, наиболее полезно давать крат·
кое описание введения переменной и получе­
ние других выражений, которые используются
для составления уравнения. Объяснение же
составления самого уравнения описывать не
надо, его следует уметь проводить устно. В ка-

честве примера такой записи решения задачи
рассмотрим задачу 398:
Сын.у 1 4 лет. Он моложе своего отца н.а
33 года. Через сколько лет отец будет старше
сын.а в 4 раза? Объясните полученный ответ.
Р е ш е н и е.
Пусть отец будет в 4 раза старше сына че­
рез х лет, тогда сыну будет 1 4 + х лет, а отцу
4 · ( 14 + х) лет:
4 · ( 14 +х) - ( 1 4 + х) = 33;
56 + 4х- 1 4-х = 33;
3х+ 42 = 33;
3х = -9;
Х = -3.
О т в е т: Через -3 года. Это значит, что
отец был в 4 р аза старше сына 3 года назад.
В учебнике V класса довольно много таких
задач, при решении котор.Qlх сочетаются а риф­
метический и алгебр аический способы реше­
ния. Приведем прим ер з аписи р ешения зада­
чи 770:
За день было продан.о 75% всего завезен.но­
га картофеля. Картофель, продан.н.ый до обе­
ден.наго перерыва, составляет 5/7 картофеля,
проданного после обеден.наго перерыва. Сколь­
ко картофеля продано до перерыва и после
перерыва в отдельности, если было завезено
3 1 /5 т картофеля?

.
1
5
770. 3 5 т , 75% всего картофеля, т·
Р е ш е н и е.
1 ) Сколько картофеля продано за день?
1

16

12

3

3 5 ·4 = 5 · 4 = 5 (т) .
3

2) Пусть после обеда продали у т карто5
феля, тог да до обеда продали Т у т:
12

5

У + 7 У = 5;
12

12

7У=5;
12

2

7

у = -5- · lТ ;
5

5

7

y = l 5 ; 7 У = 7 · 5 =т l .

О т в е т: 1

т,

2

15

т.

Остановимся отдельно на записях учащихся
по геометрическому материалу.
При оформлении решений геометрических
задач в IV и V классах особо следует остере­
гаться механического переноса традиционно
сложившейся в старших классах практики за­
писи решений. Не следует, в частности, вво­
дить запись по схеме «дано», «Требуется

найти»; нет смысла требовать от учащихс�
словесных записей, занимающих м ного места,
и особенно записи доказательств. Рассужде­
ния и доказательства учащиеся должны
учиться излагать устно.
В тетради ученик ставит номер задачи, вы­
полняет чертеж, соответствующий задаче, вы­
полняет необходимые дополнительные постро­
ения и делает по возможности л аконичные
записи.
Например, при р ешении задачи 9532 в тет­
р ади ученик чертит направленный отрезок ЕК,
квадрат A B CD, выполняет параллелыrый пе­
ренос квадрата на отрезок ЕК и о бозначает
вновь построенный квадрат буквами МРКТ.
Рядом с чертежом де"1ается запись: МРКТ ­
квадрат, МР=РК = КТ = ТМ = 3 см.
Положение квадрата и направленного отрез­
ка в тетради при р ешении этой задачи ученик
выбирает самостоятельно.
Учеников полезно неторопливо п риучать к
тому, чтобы все построения выполнялись
сплошными линиями ( а не штриховыми) , но
р азличной толщины. Все вспомогательные ли­
нии выполняются самыми тонкими линиями.
Фигуры, заданные условием задачи, чертятся
линиями средней толщины. Чертеж, представ­
ляющи й ответ на вопрос задачи, обводится
жирными линиями.
В ряде случаев фигуры в условиях задач
даются на клетчатом фоне. В этих с"1учаях
размеры и взаимное р асположение фигур пере­
носятся в тетрадь по клеточкам.
В соответствии с условием задачи 944 уче­
никам н адо скопиров ать рисунок 1 1 9 и через
точку А провести прям ые, параллельные пря­
мым КР, DC, MN. Положение точки А в тет­
р ади может быть выбрано · произвольно. З а­
тем в тетрадь переносится прямая MN: одна
ее точка расположена на 2 клетки ниже и на
2 it.Jieтки левее точки А ; вторая точка прямой
. расположена на 1 клетку выше первой и на
9 клеток п равее. Аналогично переносятся ос­
тальные прям ые этого чертежа. Рядом с чер­
тежом ученик записывает: B O l l KP, HEllDC,
MNll TR.
Ученпков надо приучать к тому , чтобы они
сами обозначали буквами начерченные фигу­
ры (в данном случае это прям ые ВО, НЕ, TR)
и символически з аписывали результат реше­
ния.
В тех случаях, когда решение полностью вы­
полняется по чертежу учебника, в тетради за­
писывается только номер задачи и ответ. Так,
решение задачи 942 в тетради запишется так:
942. A B l\EF, CDll KM, YXll NP.
2 См. статью «Глава IV. Геометрические построения»,
публикуемую в этом номере журнала.

43

Запись решения задач, которые приводят к
составлению и решению уравнений, оформля­
ется так же, как и решение соответствующих
алгебраических з адач.
3. В ысказанные соображения о форме запи­
сей носят ориентировочный характер. Их при­
менение в _ п рактике работы должно быть
т&орческим. Обязательными следует считать
лишь общие требования. Чрезмерная р егла­
ментация учителем записей учащихся неце­
лесообразна. Ч а.сто она приводит к серьезным
недор азумениям. Так, в одной из контрольных
р абот учащимся было п редложено найти зна­
чение выражения (86 344 : 43 + 9 1 5 · 67 ) · О,. Все
учащиеся без искл ючения сначала перенуме­
ровали действия, затем все их добросовестно
выполнили и в результате получили О. Из бе­
седы с учащимися в ыяснилось, что м ногие из
них заранее видели результат. Однако дума­
ли, что надо записать все подробно, как учи­
тель всегда этого требовал.
Чрезмерная регл аментация и однообразие в
записях иногда сковывают м ысль ученика.
Не этим ли объясняются такие заявления уча­
щихся, как: «Решил, н о н е знаю, как записать».
Ученик сам должен думать не только над хо­
дом решения задачи, но и над оформлением
этого решения. З а пись р ешения задачи долж­
на отражать ход м ысли ученика.
Учителю надо исходить из того, что всегда
найдутся учащиеся, которые будут придумы­
вать свою форму записи. Учитель ни в коем
случае не должен ее б ездумно отвергать. Он
должен суметь оценить ее с общих позиций и
показать ее недостатки, если они и меются с
его точки зрения. Так, например, при вычита­
нии смешаных чисел в место записи

которая м ногими учителя м и требуется безого­
ворочно, хорошие ученики предлагают дру­
гую запись , свидетельствующую о другом, бо­
лее рациональном способе решения:

1

1

1

1

5

8 3 - 2 -у = Б з + т = Б т.
Такие «отступления» от установленной фор­
м ы должны всемерно поощряться, но не
должны навязываться всем учащимся. Учени­
ки бывают р азные. Одни из них любят делать
все по трафарету: так им легче, при этом они
меньше ошибаются; другие при такой работе
быстро устают, становятся невнимательными
и в каждом простом задании ищут какой-ни­
будь необычный способ р ешения.

При подготовке к каждому уроку учител?
должен тщательно продумывать вопрос о за­
писях на доске и в тетрадях учеников. Он
должен постоянно помнить, что в процессе
'обучения многие записи должны изменяться в
сторону упрощения.
Б ольшинство записей учащегося в тетради
и меют обучающее значение. Часть этих за­
писей не является такой, какой она будет в
дальнейшем, так сказать, не окончательна,
а другие записи окончательны. Н апример, за­
пись при разложении довольно больших нату­
р альных чисел на простые множители с по­
мощью вертикальной черты не меняется, а за­
пись умножения обыкновенны х дробей в про­
цессе обучения должна значительно изме­
ниться. Если же учитель будет требовать всег­
да одинаковой формы записи . то эта форма
во многих случаях будет становиться серьез­
н ы м тор мозом в р аботе. В начале обучения
умножению обыкновенных дробей применяет­
ся следующая запись,
соответствующая р ас­
суждениям ученика на этом этапе:

3

2

3-2

т · 15 = т.тs- =

l·l

2.s

1

= ю·

После некоторой тренировки такая запись
уже не приносит пользы, она только мешает
ученику, т а к как его рассуждения будут зна­
чительно короче. В соответствии с более ко­
роткими рассуждениями запись должна при­
нять такой вид:

3

2

1

т · к = ю·

Переход от более подробной записи на
краткую запись иногда может осуществлять­
�я не одновременно всеми учащимися, а по­
степенно. П р и этом надо приуч ить их в слу­
чае возникновения затруднений возвращаться
к более подробной записи.
Говоря о способах решения задач или о
формах их записи, важно не приучать уча­
щихся лишь к одним из них, полностью отри­
цая другие. Так, совершенно недопустимо
после введ�ния буквенной символики и мето­
да уравнений решать задачи только а рифме­
тическим способом. В м есте с тем искусствен­
но вводить переменные и уравнения при ре­
шении тех задач, в которых р ационально и
естественно применить арифметический спо­
соб, также вредно. Одновременно следует
поощрять и сочетание обоих способов, когда
это вполне естественно (см. изложенный выше
пример решения задачи 770) .
В приведенных выше примерах записи ре­
шений были даны и крапше записи условий

задач. Крап\ая запись условия задачи преж­
де всего полезна, когда учащиеся класса сле­
дят за рассуждениями и дей'Ствиями , происхо­
дящими у доски. Это поJ1езно потому, что в
нужный момент оказываются «под рукой» не­
обходимые числовые данные, какой-то «скелет
условия» , то, чем не следует загружать па­
мять в п роцессе поиска решения. В месте с тем
следует учитывать, что запись условия в ежа-

том виде в некоторых задачах сложно делать
и требует от ученика напряжения и затраты
времени , поэтому ею вряд ли имеет смысл по­
стоянно пользоваться. Так, п р и выполнении
упражнения самостоятельно в классе и в до­
машних условиях, когда учебник перед глаза­
м и ученика, короткая зап ись условия задачи
в тетрадь мало что дает и от нее можно от­
каз аться.

Т. Н. ПОЛЯКОВд (Мос�сва)

Нужна nи «Проверка>> nри реwении
текстовых задач на составпен ие уравнений?
Усовершенствование
п роцесса
обучения
должно идти в двух направлениях: 1 ) по воз­
можности включать, п ра вильно освещать и
изучать те вопросы, знания которых требует
наше время; 2) исключать , отбрасы вать то,
что не нужно.
При решенип текстовых задач на составле­
ние уравнений от учащихся требуют так назы­
ваемую проверку. Нередко даже высказывают­
ся суждения, что задачу нельзя считать ре­
шенной, если не сделана «проверка».
В чем заключается эта «проверка»? П ровер­
ка сводится к составлению повой задачи, в ко­
торой некоторое данное исходной задачи счи­
тается неизвестным, а прежнее неизвестное
считается известным, и к решению этой новой
задачи.
Для иллюстрации сказанного приведу одну
простую задачу на составление уравнений.
3 а д а ч а. Артель лесорубов должна по
плану ежедневно заготовлять 1 00 кубометров
дров. Лесорубы, перевыполняя план, заготов­
ляли ежедневно сверх нормы 10 кубометров
дров, а потому окончиди заготовку на 5 дней
раньше н амеченного планом срока. Сколько
кубометров дров заготовили лесорубы?
Р е ш е н и е.

по плану
фактически

!

Число к у бометров дров,
за гото вля е м ых
в 1 день

Число I<убометров д:рон, за rотовЛЕ"ННЬП:
лесору,бами

100

х

1 10

х

Число
дней
рабо ты

х

IOO
х

1 10

получаем у равнение:

х

100

-

х

110

=

5.

Откуда х = 5500.
О т в е т. 5500 кубометров.
П р оизведем «проверку» , т. е. составим и ре­
шим такую з а д а ч у: Артель лесорубов заго­
товила всего 5500 кубометров дров. Перевы­
полняя план, лесорубы заготовляли ежеднев­
но сверх нормы 1 0 кубш1етров дров, а потому
окончиди заготовку па 5 дней раньше наме­
ченного планом срока. С колько кубом етров
ежедневно по плану должна была заготовлять
артель лесорубов? Обозначив неизвестное этой
задачи через у, после р ассуждений, аналогич­
ных предыдущим, получим уравнение:
55СО
У

_

5500
F;
у + ю - "·
_

Легко заметить, что «проверка», т. е. реше­
ние новой задачи, сводится к решению квад­
ратного уравнения (а не линейного уравнени я ,
как в первоначальной задаче ) , причем один из
его корней (у = - 1 1 О) не удовлетворяет зада­
че, составленной в «проверке».
Можно ли считать задачу решенной, если не
проведена такая «Проверка», но п равильн о
проведены все рассуждени я, верно составлено
и решено уравнение и исследованы получен­
ные решения уравнения (т. е. отброшены те его
решения, которые не являются р ешениями дан­
ной задачи) ? Уверена, что можно и даже
должно считать данную задачу решенной, ибо
нет причин считать данную задачу решен­
ной только после того, как п олностью решена
данная задача и, кроме rого, состав,лена новая
задач а и тоже решена.
45

Не слишком ли тяжелый и ненужный гру3
привешивается к данной задаче? Не лучше л и
более внимательно р'ешать данную задачу, н е
отвлекая внимания учащихся н а составление
другой задачи и решение ее? Ведь те ученики,
которые правильно решили данную задачу,
вынуждены тратить в два-три раза больше
времени на «проверку», не чувствуя необходи­
мости в такой «проверке». Тем же ученикам,
которые не смогли решить данную задачу из­
за ошибок логического характера , никакая
«проверка» не поможет вскрыть ошибку: они
и в «проверке» опять допустят логическую
ошибку.
Какой же напрашивается вывод?
1 . Не требовать при решении текстовых за-

дач на составление уравнений «проверкю� как
обязательного м омента р ешения задаЧи; t-а к
как нет необходимости в такой «проверке» по
каким-либо соображениям принцИпиа.Льного
характера. И значит, следует избавить учите­
лей и учеников от ничем не обоснованного, не­
целесообразного требовани я : считать задачу
решенной только тогда, когда произведена
«проверка».
2. Желательно изредка ставить перед уча­
щи мися такой вопрос: не смогли бы они сами
придумать и сформулировать новую задачу,
используя уже р ешенную данную задачу (счи­
тая одно · из известных данной задачи неиз­
вестным, а вместо неизвестного в ней беря
полученное в ответе число) .

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
д. И. ИОФФЕ

(Лен ннr рад)

О доказательстве свойств
десяти чных лоrарифмо в
Характеристика и м а нтисса десятичного ло­
гарифма я вляются соответственно целой и
дробной частям и этого логарифма. Поэтому
целесообразно п еред изучением десятичных
логарифмов рассмотреть не только определе­
ние целой и дробной частей числа (как это
сделано в учебном пособии Кочетковых ) , но
и их свойства, п ростые по содержанию и по
доказательству, и использовать их для дока­
зательства свойств десятичных логарифмов.
Если к тому же ввести понятие порядка по­
ложительного ч исла, то свойства десятичных
логарифмов можно дать в очень простой фор­
мулировке.
З аметим здесь попутно, что понятие поряд­
ка положительного числа эффективно исполь­
зуется при в ычислениях с помощью логар иф­
м ической линейки.
1. Целая часть числа. О п р е д е л е н и е: це­
лой частью числа а называется и через [а/
обозначается наибольшее целое число, не
п ревосходящее а; следовательно, [а]
есть
такое целое число, что f a] ::;:;; а ::;:;; [а] + 1 .
46

П р и м е р ы :· [ 1 24, 1 5]
1 24, так как 124 ::;:;;;
::;:;;; 1 24, 1 5 < 1 25; [-3,2 1 ] = -4, так как
4 :::::;
::;:;;; -3,2 1 < -З.
Прибавив ко всем членам щзойного нера­
венства [а] ::;:;;; а < [а] + l целое число k, име­
е м : [а] + k ::;;;;; a + k < [а) + k + 1 . k и [а]
целые числа, следовательно, [а] + k целое
число, которое в силу последнего неравенства
и я вляется [а + kJ .
Таким образом доказано свойство [а] : если
к числу прибавить целое число k, то и к це­
лой части этого числа также прибавляется
число k, т. е. [а + kl = [а] + k, где k - це­
лое число.
На чертеже l изображен график функции
у = [х] .
=

-

-

-

!:/

г-�
1
Г-1
11
1
1

-2

-1

о

2

J

х

Черт. 1

I I. Дробная часть числа. О п р е д е л е н и е:
дробной частью чис.л а называется и через {а}
обозначается разность между числом а и его
целой частью, т. е. {а} = а - [а] .

П р и м е р ы: {6,201 } = 0,201 ; {-5,81 } = 0, 1 9 ;
{- 1 8} = О. Из определения {а} следует, что
а = [а] + {а}.
Свойства {а}: 1 ) Из всех: членов двойного
неравенства [а] :::о;;; а < [а] + 1 вычтем [а], тог­
да О :::о;;; а - [a] < l , т. е. O:::o;;; {a} < l . Следова­
тельно, {а} есть неотрицательное число, мень­
шее 1. 2) Пусть k - целое число, вычислим
{а + k} = а + k - [a + k] = а + k - [а] - k =
= а - [а) = {а}, т. е. {а + k} = {а}, где k - це­
лое число.
Таким образом, от п рибавления целого чис­
ла к данному числу его дробная часть не
изменяется.
Это означает, что функция у = {х} являет­
ся периодической, периодом которой являет­
ся любое целое число, отличное от О.
На чертеже 2 изображен график функции
У = {х}.
•

:zWvvт_
-2

·1

о

1

Че рт.

2

J

но, (а) - 1 также целое число, которое не превы­
шает lga, но следующее целое число за (а ) - 1 ,
т. е . ( а ) уже превышает l g а, поэтому [lg а] =
= (а) - 1 . Теорема доказана.
П р и м е ч а н и е. Пусть а = 1 0 k , где k - це­
лое число, т. е . а = 1 00 . . . О или а = О, 00 . . . 0 1 ,
----k нулей
k нулей
следовательно, десятичные логарифмы таких
чисел являются целыми числами, равными
характеристикам этих логарифмов.
Т е о р е м а 2. При умножении положитель­
ного числа на l Ok, где k - целое число, к ха­
рактеристике десятичного логарифма этого
числа прибавляется k, а мантисса остается
без изменения.
Д о к а з а т е л ь с т во. Так как k-целое чис­
ло, то по свойствам целой н дробной частей чис­
ла имеем : [lg ( a · 1 0" ) ] = [lg а] + k и {lg (a Х
Х l Ok ) } = {lg a}. Теорема доказана.
С л е д с т в и е. !lg а) зависит только от по­
ложения запятой в изображении а; {lg а} не
зависит от положения запятой в изображе­
нии а.

х.

Д . Ф. Н Здд К
(r. Орск)

2

I II. Порядок положительного числа. О п р е­
д е л е н и е: порядком положительного числа а
называется и через (а) обозначается целы й по­
казатель наименьшей степени числа 10, превы­
шающей число а, т. е. (а) - такое целое число,
что 1 0(a)-1 =::::; a< l O<a>, где а > О. П р имеры:
(28, 1 05) = 2, так как 1 0 ::::;;;; 28, 1 05< 1 02; (О,�3) =
= 0, так как l 0 - 1 ::::;;;; 0 ,23 < 1 0°; (0,00060 1 ) = -3,
так как l 0-4::::;;;; 0,000601 < 1 0-3•
Из этого определения следуют простые
правила для нахождения (а) числа а по его
записи.
1) Порядок числа а ;:::: 1 есть натуральное
число, равное количеству цифр до запятой в
изображении а.
2 ) Порядок числа О < а < 1 есть целое непо­
ложительное число, абсолютная величина ко­
торого равна количеству нулей после запятой
до первой отличной от О цифры в изображе­
нии а.
IV. Десятичные логарифмы. Т е о р е м а 1 .
Характеристика десятичного логарифма по­
ложительного числа равна порядку этого чис­
ла минус 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а >О, тогда
( а) есть такое целое число, что 1 о<ан :::о;;; а < 1 о<а>;
отсюда lg I O<a>-1 :::o;;; 1 g a<Ig I O<a>, т. е. (а) -1 :::o;;; lg а < (а) · (а) -целое число, следователь-

Об о рто го нал ьно й
п роек ци и у гла
Учащиеся обычно замечают, что если вер­
шина В угла АВ С , обозначаемого далее че­
рез ер, лежит вне плоскости т. а стор оны его
пересекают ее в точках А и С так, что
АВ = СВ, то угол ер меньше своей ортогов

Черт.

1

нальной проекции на плоскость т - угла АОС·
обозначаемого нами через ср 1 : ер < ср 1 (на чер­
теже 1 ВО ..L т). Это легко устанавливается
из сравнения значений
. <р
АС
АС
'!'
и Slll 1
SШ 2 = 2АВ
-2 = 2АО .
•

47

Отсюда учащиеся иногда делают непра­
вш1ьный вывод о том, что угол , стороны ко­
торого
пересекают
некоторую
плоскость,
всегда меньше своей ортогональной проекции
н а эту плоскость. Стараясь разубедить уча­
щихся в этом, мы нашли зависимость между
углами <р и q:>1 при любом соотношении на­
клонных, т. е . как при АВ =1= СВ, так и при
АВ = СВ . Введем обозначения: L_ BAO = (1)1
·

и L_ BCO = (1)2•

Пр и <р < tf>o имеем

Тог да из ,6, АВС и ,6, АОС имеем:

АС 2 = АВ2 + СВ2 -- 2AB - CB · COS <p ,
АС 2 = А 0 2 + СО 2 - 2АО . со . cos tf>1,

и далее:

2АВ · СВ cos '!' = АВ2 - AQ 2 + св2 - С 0 2 + 2АО - СО COS <f' 1 ·
Так как А В 2 - А О 2 = СВ 2 - С 0 2 = В 0 2 и
ВО = АВ sin (1)1 = СВ sin (1)2, А О = АВ cos w 1 ,
С О = СВ cos (1)2 , то получаем:
cos <f' = sin (1)1 sin (1)2 + cos (1)1 · COS (1)2 · COS '!'1 ·
•

С помощью этого соотношения можно до­
к а зать , что если w1 =1= 002 , то найдется такое
значение q:> = <р0 , при котором <р = <р1 = '<р0, а
именно если

COS 'f' =

1

sin

-

ro1

sln "'2

COS "'1 COS W3

'

то q:> = '!' 1 = '!'о ·

в

С

�
·

Черт. З

о

А

6 АВС и 6 АВО совпадают и А С = СО - АО . Тогда q:> = 00 1 - w2 > <р 1 (черт . 2) .
Будем
теперь
вращать ,6, АВО вокруг
ВО . Тогда оба угла <р и <р 1 будут возрастать,
приче м когда <р1 = 1 80°, тогда '!' = 1 80° - (w 1 + ro2) < 9 1 (черт . 3) , т . е . вна ч але <р > <р1,

а потом угол <р становится меньше угла <р 1 •
Т а к к а к углы <р и <р1 изменяются непрерывно,
то существует такое значение '!'о угла 9, при
котором <р = '!' 1 = '!'о ·

Итак, углы q:> и <р1 изменяются следующим
образом:
если <р1 возрастает от О до <р0, то <р воз­
растает от ( (1)1 - 00 ) до <р0 , оставаясь больше
2
уг.'!а <р1 ;
если <р 1 возрастает от '!'о до 1 80°, то угол
(ro 1 + Ф2), оста­
<р возрастает от '!'о до 1 80°
ваясь меньше угла <р 1 •
Соответствующую модель для иллюстрации
зависимости между углами <р и <р1 нетрудно
изготовить.

ОТ РЕДАКЦИИ

48

при <р > <р 0 и ме ем

Но представить себе э т и с оотношения между
углами <р и <р 1 трудно . П оэтому мы обрати ­
лись к следующей наглядной иллюстрации
зависимости между уг.шми '!' и 'f'r ·
Будем углы 001 и 002 с читать фиксирова н­
ными и w 1 > 002• Пусть q:> 1 = О, т. е . плоскости

8

Черт. 2

ер > <р1,

'f' < 'f1 ·

Так как в 1 9'70/7 1 учебном году програм м ы по мате­
матике для V-X классов средней школы остаются без
изменения, учителя могут пользоваться ранее опубликn­
ванными в журнале планами работы ( 1 969, № 6 и 1 970,
№ З) и , текстами примерных контрольных работ ( 1 967,
№ 4, 6; 1968, No 4, 5, 6; 1969. № 4, 6 и 1 970, No 4) .
Планы работы по математике в IV классе по новой
программе помещеиы в книге коллектива авторов под
редакцией А. И. М а р к у ш е в и ч а «Математика
в IV классе. В помощь учителю», а тексты контрольных
работ - в «дидактических материалах по математике
для IV класса» («Просвещение», 1 970) .

-

О ВСТУПИТЕJI ЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ В В Ы СШИЕ
И СРЕДНИЕ СПЕЦИАЛ ЬНЫ Е У ЧЕБН Ы Е ЗАВЕДЕНИЯ
В 1970 r.
итоги
ПРИЕМНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ

Коллегия Министерства просвещения СССР рассмот·
рела итоги приема в педагогические учебные заведения
в 1 970 г. и вопрос о подготовке абитуриентов, поступа­
вших в высшие и средние специальные учебные заве·
дения страны.
В данном номере публикуются итоги приемных экза­
менов по математике.
Анализ отчетов о результатах приемных экзаменов
во многие учебные заведения страны, представленных
в Управление учебных заведений Министерства просве­
щения СССР, непосредственные наблюдения за ходом,
содержанием экзаменов и ответами . абитуриентов, а
также обмен мнениями с руководителями ряда учебных
заведений, выступавшими по этому вопросу на Колле·
гии Министерства просвещения СССР, позволяют сде­
.�ать определенные выводы о качестве знаний абитури·
ентов высших и средних специальных учебных заведений.
Хотя и весьма медленно, но требования к поступа­
ющим в большинстве вузов страны на экзаменах по
математике повышаются. При этом конкурс, как прави­
.10, за последние годы не только не возрастает, но да­
же снижается. Одновременно отмечается, что качество
знаний абитуриентов, поступающих в эти учебные заве­
дения, стало несколько лучше. Только отдельные, весьма
редкие вузы жалуются на низкое качество знаний аqи­
туриентов по математике. Некоторые высшие и средние
специальные учебные заведения отмечают снижение ка­
чества знаний по сравнению с предшествующими годами.
Весьма существенным являетси то, что лучшие ре­
зультаты имеют абитуриенты в тех учебных заведени­
ях, которые проводят большую подготовительную работу
с выпускниками средних школ в течение всего года:
дают консультации, выезжают в р айоны, а иногда и
в отдаленные школы с лекциями, знакомят будущих
абитуриентов с требованиями к псступ ающим в их вуз,
выпускают брошюры, сборники подготовительных задач,
организуют конкурсы, олимпиады, физико-математиче­
ские вечерние школы при своих институтах.
В числе таких вузов на Коллегии отмечались Ростов­
ский государственный университет, Бурятский педагоги­
ческий институт, АрхангN1ьский педагогический инсти·
тут, Черниговский педагогический институт, Иркутский
педагогический институт и др.
Мноrие институты отмечают, что абитуриенты лучше,
чеi11 в прошлые годы, знают теоретическую часть многих
разделов курса математики. В частности, значительно
лучше стали доказывать геометрические теоремы, делать
вывод алгебраических формул, лучше строить графики
функций, решать задачи на составление уравнений пер·
вой и второй степени.
Однако в знаниях выпускников средних школ по­
прежнему наблюдаются серьезные недочеты. Одним из
характерных недочетов является разрыв между теоре­
тическими .знаниями и умением применять их к реше­
нию задач и выполнению других упражнений. Вероятно

при работе над соответствующими разделами курса
математики в школах уделяется недостаточное внимание
воспитанию самостоятельности мышления учащихся и
осмысливанию изучаемого материала.
Весьма значитеден процент абитуриентов, получивших
неудовлетворительные оценки. Это говорит о недоброка­
чественной подготовке выпускников средних школ, а
зачастую и о либерализме в оценке их знаний. Наблю·
дается значите.1ьное р асхождение в оценках на вступи·
тельных экзаменах по математике и в аттестатах о
среднем образовании. Оценки н а вступительных экзаме­
нах часто ниже тех, которые проставлены в аттестатах.
Наиболее серьезные недочеты отмечаются по таким
разделам математики, как решение тригонометрических
уравнений, исследование уравнений первой и второй
степени с одним неизвестным и исследование системы
двух JJинейных уравнений · с двумя неизвестными. На­
блюдают�я недочеты и ошибки в решении показатель·
ных и логарифмических уравнений.
В большинстве отчетов говорится о серьезных пробе·
лах по теме «Функции и их графики». Если графики тех
функций, которые изучаются в школе, большинство
абитуриентов строит вполне удовлетворительно, то во­
просы исследования функций и даже р ассмотрение
свойств функций по графикам вызывают затруднения.
Как правило, на письменном экзамене абитуриент,
решив пример или задачу, не анализирует ответ, не про·
изводит проверку полученного результата, что говорит
о формализме в знаниях этих учащихся.
Отмечаются слабые знания вопросов, связанных с по·
нятием предела и применением теорем о пределах.
Отсюда многие не умеют четко и правильно доказы­
вать теоремы о длине окружности, площади круга, об
объеме треугольной пирамиды, поверхности и объеме
шара, выводить формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Многие абитуриенты допускают серьезные ошибки в
решении задач по геометрии с применением тrиrоно­
метрии и задач на комбинации тел. Эти ошибки яв.11я­
ются в первую очередь следствием слабых пространст­
венных Представлений-, неумения правильно выполнять
построения в пространстве и на плоскости (построение
угла прямой с плоскостью, линейного угла двугранного
угла, построение перпендикуляра из точки на плоскость
и др.) . Многие не умеют давать краткое, четкое и пра·
вильное обоснование чертежа, что также говорит о
формализме в знаниях.
В о всех отчетах говорится о том, что выпускникII
сельских школ имеют более слабые знания
по мате·
матике, чем выпускники городских школ. Но вместе с
тем выпускники сельских школ обладают, как правило,
лучшим прилежанием и в процессе учебы в институте
часто показывают хорошие результаты. Они более
серьезно относятся к выбору профессии, чем многие вы­
пускники городских школ. Необходимо изучить причины
более низкого качества знаний выпускников сельских
школ, р азработать и осуществить мероприятия, которые
позволят поднять качество математической подготовки
учащихся сельских школ. Изучение рядом высших учеб­
ных заведений качества знаний абитуриентов из сель ­
ских школ, их поведения на экзаменах показало, что на
49

р езультаты вступительных экзаменов многих из них
отрицательно ВJlияет своеобразие городскоi'I обстановки,
обстановки на экзаменах, к которой они, обучаясь в
условиях се.%ской школы, не привыкли. Они часто те­
ряются nри ответах. Учитывая этот фактор, многие
высшие учебные заведения организуют в июле месяч­
ные курсы для выпускников сельских школ, поступаю­
щих в данный институт. На этих курсах, кроме ликви­
дации пробелов по некоторым р азделам прогр аммы,
абитуриенты знакомятся с преподавателями института,
привыкают к обстановке в институте, к экзаменацион­
ной аудитории. Это дает по,1ожительные результаты.
Абитуриенты, прошедшие такие курсы, чувствуют себя
увереннее на экзаменах, отвечают более свободно и в
результате итоги экзаменов оказываются значительно
лучше. Некоторые институты отмечают, что многие
школы, а иногда и целые районы, из года в год выпу:
екают основную массу учащихся с хорошей подготовкои
по м атематике, другие школы или р айоны, наоборот,
дают слабые выпуски. Так, Ростовский университет от­
мечает хорошую матем атическую подготовку выпускни­
ков школ № 5 и № 20 г. Ростова, школы № 1 О г. Шах­
ты; Самаркандский университет отмечает слабые знания
выпускников многих школ Кашкадарьинской, Сурхан­
дарьинской, Наманганской и Сырдарьинской областей.
В отчетах об итогах вступительных экзаменов в
педагогические училища и техникумы Российской Феде­
р ации, Украпны, Белоруссии и ряда других республик
страны отмечается, что качество знаний абитуриентов,
поступавших в средние специальные учебные заведения
этих республик после окончания V I I I класса, в 1 970 г.
не ниже, а в некоторых случаях выше, чем в 1 969 г.
В большинстве случаев оценки на вступительных экза­
менах соответствуют оценкам, полученным в школе.
Вместе с тем даже в тех учебных заведениях, в кото­
рых получены лучшие р езультаты на вступительных
экзаменах, примерно 30% абитуриентов получили не­
удовлетворительные оценки. Такие итоги нельзя счи­
тать удовлетворительными, а оценки - полностью соот­
ветствующими тем, которые получены на выпускных
экзаменах в школе. Многие республики, например сред­
неазиатские и прибалтийские, отмечают низкое качество
знаний абитуриентов. В этих республиках процент не­
удовлетворитеJ1ьных оценок на вступительных экзаменах
зачастую превосходит 50% , а абитуриенты, имеющие в
свидетельствах оценки «4» и «5», в основной своей массе
на вступительных экзаменах получили оценки «3», при­
чем требования к поступающим в средние специальные
учебные заведения, как правило, соответствуют про-

5. В. fНЕДЕНКО

(Мсс юза )

ЕСТЕСТВЕННЫЕ
ФАКУЛЬТЕТЫ МГУ
О б щ и е з а м е ч а н и я. Для коллектива Москов­
ского университета период приемных экзаменов напол­
нен не только множеством забот, связанных с их прове­
дением. но и множеством серьезных волнений иного
характера. Как отобрать действительно увлеченных на­
учным познанием юношей и девушек, которые дали бы
талантливое пополнение
как нашей
науке,
так и
соответствующим областям практической деятельности
и культуры? Как отобрать тех, кто привык к система­
Ч"ическбй р аботе, к точному и строгому мышлению, спо­
собен к самостоятельному и нетрафаретному мышлению?
Ведь те, кто сегодня будет принят в университет, через

50

гр аммным. Следовательно, имеет место либерализм в
оценке знаний выпускников восьмых классов школ.
В отчетах средних специальных учебных заведений и
республиканских министерств просвещения (народного
образования) отмечается, что качество ответов по мате­
матике абитуриентов из сельских школ значительно
ниже, чем абитуриентов из городских школ.
Основным недочетом в знаниях а битуриентов, окон­
чивших восемь классов общеобразовательных школ, яв­
ляется формализм в знаниях по математике. Многие
абитуриенты заучили формуJIЫ, но применять их не
умеют, знают формулировки теорем, но доказывают
фор мально, теряются при просьбе экзаменатора пояс­
нить, почему имеет место то или иное утверждение, не
могут применить доказанную теорему или утверждение
к решению задач. Абитуриенты часто не умеют пра­
вильно выполнять чертежи, решать задачи на построение
и доказательство по курсу геометрии VI--V I I I классов.
До сих пор отмечаются серьезные недочеты при ре­
шении примеров на р азложение многочленов на мно­
жители и при приведении алгебраических дробей к об­
щему знаменателю. Большие затруднения вызывают во­
просы построения графиков функций, предусмотренных
программой по математике восьмилетней школы. Многие
плохо знают формулы сокр ащенного умножения и де­
ления; не вполне уверенно выполняют действия на д
десятичными дробями.
Большинство абитуриентов не применяют р ациональ­
ных приемов вычислений, что часто приводит к громозд­
ким вычислениям и является причиной значительного
числа ошибок. Вычислительные навыки этих а битуриен­
тов слабые.
Следует согласиться с теми учебными заведениями,
которые предлагают, начиная от облоно и кончая шко­
лой, широко обсуждать итоги вступительных экзаменов
по математике в высшие и средние специальные учеб­
ные заведения, расположенные на территории данной
области. Учитывая результаты этих обсуждений, прини­
мать меры к устранению недочетов в знаниях по мате­
и средних школ.
матике выпускников восьмилетних
Вместе с тем высшим и средним специальным учебным
заведениям следует установить более тесный контакт
со школами. Надо не только пропагандировать ту или
иную профессию, но и помогать школам и будущим
абитуриентам этих учебных заведений.
Ин с пектор-ме тод ист Упр а вле ния учеб н ых з а веде ний
М инистерств а просв еще ния СССР
И. С. ПЕТРдКОВ

несколько лет возьмут в свои руки р азвитие научных
направлений, внесут свой вклад в преподавание. Как
отделить тех, кто посредством многолетней тренировки
с репетитором достиг хороших знаний программного
материала, от тех, кто обладает природным талантом
и только условия обучения не позволили ему или ей
полностью проявить свои способности и увлечения?
К сожалению, до сих пор еще не существует точного
метода для решения этих вопросов. До сих пор мы
вынуждены использовать далеко несовершенную форму
вступительных экзаменов, которая не позволяет выявить
все 'разнообразие проявлений способностей и знаний.
При этом огромную роль играют и психологическая
выдержка поступающего, и педагогический такт педа­
гога, принимающего экзамены. Бог почему ректорат уни·
верситета и коллектив мехмата начали подготовительную
работу задолго до экзаменов.

!( началу июня были подrотоl!лены !!а р ианты задач
для письменного экзамена, которые р ассматривались
специальной комиссией.
На письменных экзаменах по математике на механи­
ко-математическом, биологическом, химическом, геогра­
фическом и геологическом факультетах были даны пять
задач, причем среди них две-три достаточно привычного
для школьников, типа.
Экзамены по математике на физическом факультете
н на вновь организованном факультеге вычислительной
математики и кибернетики проводили особые экзамена­
ционные комиссии.
Максимальный наплыв поступающих приходился как
р аз на новый факультет. На остальные факультеты, в
том числе и на механико-математический, заявлений
было подано несколько меньше, чем обычно. Однако в
среднем на одно место естественных факультетов прихо­
дилось приблизительно пять заявлений.
3 а д а ч и д л я п и с ь м е н н ы х э к з а м е н о в. Для
каждого из названных пяти факультетов были состав­
лены по четыре основных варианта и одному запасному.
Запасной предназначался для тех, кто либо не успел
приехать к началу экзаменов, либо был болен в день
письменного экзамена.
Приведем по два варианта заданий для каждого факультета.
rеоrрафнческмй факультет
·

Вариант

I

1 . В железнодорожной будке на р а сстоянии 1 м от
окна, ширина которого l м, сидит обходчик. На расстоя­
нии 299 м от окна и параллельно плоскости окна прохо­
дит горизонтальный железнодорожный путь. Обходчик
видит целиком поезд длиной 1 00 м, идущий по этому
пути с постоянной скоростью, в течение 10 секунд. Опре­
делить скорость поезда. (Шириной поезда и расстоя­
нием между глазами обходчика пренебречь.)
:::. Решить уравнение

2
log8 (4х•-1 - 1 ) + З

=

log8 (2х2+ 2 - 7).

3. Около круга описана трапеция с углами при осно­

вании а и (3. Найти отношение площади трапеции к пло­
щади круга.
4. При каких значениях параметра а система уравне­
ний
{ ах - 4у = а + 1 ,

2х + (а + 6) у = а + 3
не имеет решений.
5. Решить неравенство
2 sin2 2х + 3 cos 2х < О.
Вариант ll
1 . По прямым параллельным путям, р а сстояние между
которыми р авно 60 м, р авномерно движутся два поезда
в противоположных направлениях. Длина каждого поез­
да равна 1 00 м. Стрелочник находится на расстоянии
40 м от ближайшего к нему пути. Первый поезд заго­
раживает от стрелочника часть второго поезда в те­
чение 5 сек. Скорость первого поезда ;>авна 16 м/сек.
Определить скорость второго поезда. (Шириной поез­
дов пренебречь.)
2. Решить уравнение
J g (4 X-l

_

9 ) - J g5

=

J g ( 2 ·t'"- 1 +

3)

+ J g2.

3. Даны концентрические окружности. Касате.Льная
к меньшей окружности делит длину дуги большей
окружности в отношении 1 : 5. Найти отношение пло­
щадей кругов, ограниченных этими окружностями.
4. Какими должны быть параметры р и q, чтобы
уравнение х2 + рх + q
О имело своими корнями
числа
'
р и q, и только их.
=

!'\. "Решить нер авенство

10
tg2x + ctg2 х < З·

(
\

rеолоrмческмй факультет
Вариант 1
! . Упростить выражение
)

1

1

1

)

(

5

1

1

1

ьб а- 6 + ь3 аз 2 + ьб а- 6 - ь3 аз
(}а-• - i'ь -1 ) (}а2 + }ь2 + }аь)
4а2ь
2а +
-

а

-

)2

·

2 Решить у р а в н ение
6 (О , 75 )2- 2х-х• -(О , 75)хЧ 2х-2
.

=

8
25Iog,.5

_

З.

3. Найти все значения х , удовлетворяющие неравенствам

sin 5х + sin х > О, О < х < 2л:.
4. В колхозе два поля засеяJJи пшеницей. С первого
поля собрали 1 080 центнеров зерна, а со второго поля
750 центнеров. Площадь первого поля на десять гек­

-

таров больше площади второго.
Если бы с одного гектара первого поля собрали столь­
ко же пшеницы, сколько собрали с однJrо гектара вто­
рого поля, а с одного гектара второго поля собрали
бы столько же, сколько собрали с одного гектара
первого поля, то с обоих полей собрали бы одинаковое
количество зерна. Определить, сколько центнеров зерна
собрали с одного гектара каждого поля.
5. В трапеции A B CD известны основания AD
39 см
и ВС
26 см и боковые стороны АВ
5 см и CD =
= 1 2 см. Найти р адиус окружности, которая проходит ,
через точки А и В и касается стороны DC или ее про­
должения.
В а риант I l
=

=

=

1 . Упростить выражение

3
3
( vа
-3 ----'-У'ь
3--)3-+ У'ь)
---( У'а
-3
3
3
-а +-'-Ь'--+ у а2Ь + уаЬ2 а - Ь - уа2Ь + vг3 аЬ2
1

+

2. Решить уравнени е

(+ Iog0 27 ) log2
=

(3 - х) 2

l og 49 1 6

log2 (4х + 9) =

2.

3 . Найти все значения х, удовлетворяющие неравен•
ств а м
4. Два

ctg х - t g 3х

> О,

студента одновременно начали готовиться
к экзамену, назначенному для обоих на одпн и тот же
день. Первый студент должен прочитать 240 страниц,
а второй - 420. Каждый читает ежедневно одно и то
же целое число страниц, причем первый прочитывает н а
12 страниц меньше второго. После того как они все
прочли по одному р азу, у них осталось время на по­
вторение: у первого - семь дней, у второго - пять дней_
Определить, какое целое число страниц в день надо
было бы читать каждому студенту, чтобы на повто·
рение им осталось по три дня.
5. Дана трапеция ABCD, боковая сторона АВ кото·
рой перпендикулярна основаниям. В трапецию вписана
окружность с центром в точке О. Через точки А, В, С
проведена окружность с центром в точке 01• Н айти диа­
1 см. а меньшее основание
гональ А С, если 001.
вс
1 0 см.
=

=

�1

6ноnоrически�11 факуnьтет

1.

Вариант
Решить уравнение
2 sin 3x - si n х + (3

2 . Решить нер авенство
log 1 (х2 - б)

-,12

3

-

1) cos 2х

=

3.

+ l og 9 x2 :;;;.. o .

1,

де АВ. При этом AD
2, BD
DC
-,/2. Найти
площадь треугольника АВС.
5. Дана прямая треугольная при з ма АВСА 1 В 1 С 1 ( АА 1,
88 1 , СС1 - боковые ребр а ) , у которой АС=б, а АА 1 = 8.
Через вершину А проведена плоскость, пересекающая
ребра ВВ1 и СС 1 соответственно в точках М и N. Найти,
в каком отношении делит эта плоскость объем призмы,
если известно, что ВМ
МВ1, а A N являетrя биссектри­
сой угла САС1 .
=

I

=

=

=

В ари ант 1 1

3. Даны две арифметические прогрессии а1, а2, аз и
Ь r, Ь2, Ьз. Известно, что а1 + а2 + аз = Ь 1 + Ь2 + Ь3,
а числа а1 + Ь r, а2 + Ь2, аз + Ьз образуют геометриче­
скую прогрессию. Доказать" чго о1 = Ьз , а2 = Ь2, аз = Ь 1 .
4. Дана трапеция ABCD, причем ВС = а, AD = Ь .
Параллельно основаниям трапеции ВС и AD проведена
прямая, пересекающая сторону АВ в точке Р, диагональ
АС - в точке L, диагональ B D - в точке R и сторону
CD - в точке Q. Известно, что PL = LR. Найти PQ.
5. Числа а и Ь таковы, что система
,
а 2х - а у = 1 -- а
Ьх + (3
2Ь) у = + а
имеет единственное решение х = 1 , у = 1. Найти числа
а и Ь.
Вариант I I

1 . Две трубы, р аботая вместе, подают в бак 100 лит­
ров жидкости в минуту. Имеются два р аствора кис­
лоты - сильный и слабый. Если смешать по 10 литров
каждого р аствора и 20 литро� воды, то получится
40 литров 20-процентного р аствора. Известно также, что
если в течение часа подаnать в пер1юначалыю пустой
бак по первой трубе слабый р аствор, а по второй сильный, то получится 30-процентный раствор кислоты.
Какой концентрации (в процентах) получится кислота,
если в течение часа подавать в пустой первоначаль­
но бак по первой трубе сильный раствор, а по вто­
рой - слабый? (Считается, что при смешивании воды
и кислоты объем не меняется.)
2. Решить уравнение

COS X + 3 si n Х = 1 + 2 COS т · СОS 2•

3. Найти все значения х, лежащие в промежутке
-2 < х < 3 и удовлетворяющие неравенству

_

{

�

-

l . Решить уравнение

2. Решить неравенство
3 . 4v'2-x + 3

3х

х

< 1 0 · 2V2-x

log
•

3. Да ны две геометрические прогрессии о 1 , а2, аз и
Ь r , Ь2 , Ьз. Известно, что числа 01 + Ь 1, а2 + Ь2, аз + Ь3
снова образуют геометрическую прогрессию.
Доказать, что а 1 Ь з = оз Ь r.
4. На сторонах выпуклого четырехугольника A B CD,
площадь которого р авна единице, взяты точки: К на
АВ, L н а ВС, М н а CD и N на AD. При этом
АК
BL
1
СМ
DN
1
= 2•
,
= l,
=
=т
LC
з
MD
NA
K i:3
•

·

Найти площадь шестиугольника AKLCMN.
5. Пр11 каких значениях а ·И Ь система
2 - Ьу � а 2 _- Ь ,
а х
Ьх -- Ь2у = 2 + 4 Ь
имеет бесконечно много решений?

{

Вари ант

I

А в пункт В выехал автомобиль, и одно­
временно из пункта В в пункт А выехал велосипедист.

После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль,
доехав до пункта В, тотчас повернул назад и догнал
велосипедиста через два часа после момента первой
uстречи. Сколько времени после первой встречи ехал
велосипедист до пункта А, е�ли известно, что к момен­
ту второй встречи он проехал 2/5 всего пути от В до А?
(Скорости автомобиля и велосипедиста постоянны.)
2. Решить уравнение

+ 2 = g . 2vзx•-zx .
все значения х, лежащие в промежутке
-1 < х < 4 и удовлетворяющие неравенству
log0,75 sin х > log 9 0 , 75 .
4vзх•-2х + 1

3. Найти

16
4. Хорда АВ стягивает дугу окружности, р авную 1 20°.

Точка С лежит на этой дуге, а точка

52

D

4

cos х:>- log

3

4

9

2·
3

4 . Дан параллелогр амм A BCD со сторонами АВ
2
и ВС = 3. Найти площадь этого п ар аллелограмма,
если известно, ч т о диагональ АС перпендикуляр н а
от резку В Е , соединяющему в е р ш и н у В с с е рединой Е
сто�оны AD.
5 . Плоскость п е ресекает боковые ребра SA, SB
и SC т реугольной пири миды SABC в точках К, L
и М соответственно. В каком отr: ошенпи делит эта
плоскость объем п ир а м иды, если известно, ч т о
SL
SK
,
= 2, а медиана S N т реугольника SBC де=
LB
КА
.штся этой плоскостью пополам ?
=

Механико-математический факультет

В а р и ант I

1 . Решить н е р авенство
sin х.
log 2 ( 1 + cos 4х) < 1 + l ogy
-2

Хнмическн�11 факультет
1 . Из пункта

32хЧ6х-9 + 4 . 1 5хЧЗх-5 = 3 . 5 ?х'+6х-9 .

лежит на хор-

{

2 . Найти все действительные р ешения системы
l xy - 2 ! = 6 - х2 ,

2 + 3у2 = 2ху.

3 . Три г он щика (А, п отом В и затем С) стартуют
с и н т е рвалом в 1 м инуту из одно й точки кольцевого
шоссе и двигаются в одном н а п р а влении с п остоян­
ными скор остями. Каждый гонщик затрачивает н а
к р у г б олее 2 м и н ут. Сделав т р и к р уга, гонщик А
в первый раз догоняет В у точк и старта, а еще ч е­
рез 3 м инуты он вторично обгоняет С. Гонщик В
в п ервые догнал С также у т оч к и старта, закончив
4 к руга. Сколько м инут тратит н а круг гонщик А?
4. В выпуклом -четырехугольнике ABCD зз ключе н ы
д в е окружности одинакового р адиуса r , касающиеся
друг д р уг а внешним образом. Цен т р п ервой окруж­
ности н аходится н а отрезке, соединяющем вершину А
с серединой F стор о н ы С D, а центр второй окруж-

ностн н а ход и тся на отрезке, соединяющем вершину r:::

с серединой Е стороны АВ. Первая окружность ка­
сается сторон АВ, AD и С D; вторая окружность ка­
сается сторон АВ, ВС и CD. Найти АС.
5 . Длина к аждого
ребра треугольной пира ми­
ды SABC равна 1. BD - высота треугольника АВС.
Равносторон н и й треугольник BDE лежит в плоско­
сти, образующей угол ер с ребром АС, прич е м точ ­
ки S и Е лежат по одну сторону от плоскости АВС.
Найти расстояние между точками S и Е.

вому студенту следовало бы читать :!О страниц
а второму - 35; 5) у244 с.м.
Бпологич,е ский факульте т

Вариант П

(+

- l og ...!.. ( 1 + c os 3х) < 2 + log
2

{

-

)

c os x .

движутся с постоянными скоростями в одном направ­
лении по кольцевому шоссе. В момент старта гон ­
щик В находится перед гонщиком А на расстоя­
нии 1 /1 дл.ины шоссе, а гонщик С перед гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые до­
гнал В в тот момент, когда В закончил свой первый
круг, а еще через 10 минут А впервые догн ал гон­
щика С. Гонщик В тратит на круг на 2 , 5 м инуты
меньше, чем С. Сколько времени тратит на круг
гонщ ик А?
4 . На диагонали АС выпуклого четырехугольни­
ка ABCD находится центр окружности радиуса r,
касающейся сторон АВ, AD и ВС. На диагонали BD
находится центр окружности такого же радиуса r,
касающейся сторон ВС, CD и AD. Н а й ти площадь
четырехугольника ABCD, зная, что указанные окруж­
ности к асаются друг друга внешним образом.
5 . Ша р радиуса r касается плоскости Р в точr<е А.
Прямая l образует с плоскостью Р угол ер. п ересекает
эту плоскость в точке С и касается шара в точке В.
Найти длину отрезка АВ, если АС = 2r.
Отв е т ы
Г еографич,еский фшс ультет

S тр

1)

sln

2

3) Sко = 7
.
21t
+ k1t < х < 3

5)

3
S1
"S; = 4 ;

20

sin

+ k1t,

В а р и а н т Il.

3)

а

1)

+

а

slп

sin �

k

�

а

4)

= о, ±

30

x1, 2 = ± 1"'- l og 2 3 ;

2)

.м/сек;

1,

= -4; 5) 3 +
1t

± 2'
2)

.м/ сеlС;

• . •

•

x = l + l og2 13;

= О; Р2 = 1 , qa = -2;
1t
1t
1t
1t
т + k · 2 < х < 3 -l- k · 2 , k = O, ± l , ±2, ... .
4)

Р1 = О ,

qi

Геологич,ес1Сий фа1Сультет

Б а р и а н т I. 1) 2 (а + Ь) ; 2 )

1t

3) О < х < 4 .
41t
< х < 3.
В а р и а нт

1t

,

Х1 2

21t

3 < х < 3,

= - 1 ± Y3 + Iog0,75 2;
3

51t

4 1t < X < 1t , т<

711:
3 < х < 4 ; 4) 1 8 ц, 1 5 ц; 5)
51t

II. 1)

2; 2)

= - 1.

-0, 5;
511:

3)

12, 5

см .

1t

О < х <в ·
711:

П. 1 ) х

т

•...

;

3аЬ

4)

2а + ь ; 5) а =

1t
= (-J)k · т + k1t, k = O, ±1, ±2, ...;

1;;

2) 2 - log� 3 < x < 2; 4)
5) а1 = 1 , Ь = -1 ; а2 =
1
1, Ь2 = -2; а8 = - 1 , Ь3 = -1, а4 = - 1 , Ь4 = -2.
-=

2. Найти все де йствительные решения системы
y2 - l xy j + 2 = 0,
8 - х2 = (х + 2у)2 •
3 . Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно,

В а р и а н т l.

ь

1,

Вариа н

1 . Решить неравенство
2

-3 < х < - {"6 ' уб < х < 3;

=

день '

1t
X = ± g + k1t, k = O , ± 1 . ±2

В а р и а н т I. 1)

2)

н

6 < х < 8; 4) пер-

Хи.мич,ес1Сий фак;;льтет

В а р и а н т 1.

1t

3) О < х < 3.

1) 8 ч, 45 .мин;

2)

21t

3 у2

1t

=

1, х2

=

1)

3) - 5 < х < 5 ;
1t

50 % ;
4)

_/у
35;

2)

5)

Х1

п

В а р и а н т i. 1 ) 6

1t

5�

+ 2k1t < х < б

+ 2k1t,

31t

уб
_,rу 6 ' У1 - --- ;
3

5)

.м:�н ;

+ УБ - 2

1

;

8 : 37 .

=/= 4 + 2k11:, x =f= 4 + 2k1t, k=O, ± 1 , ± 2,

3

3

= 1,

Ме хани1Со-.мате.матич,ес1Сий фа1С ультет

3)

-

3 < x < 1t; 4) -- ; 5) 7 : 17.
4

П.

Вариант

х1

4)

Х:

=

АС = 2

-

_,rу 6 '

y5r

У2

=

х =/=

... ; 2) х1 =
-

уб

--- ;
3

(прямоу гольник );

yб sin ер .

Реш ение задач, 1 1 варианта

3а да ч а

1. Область допустимых значений опреде­
ляется неравенствами

cos Зx =f= -1 ,

1
cos x < Т·

Для значений а ргумента, п ринадлежащих области
допустимых значений, предложенное н еравенство
равносильно к аждому из следующих неравенств:
1 + cos 3х < 1 - 4 cos х ,

cos 3х + 4 cos х -<: О ,
cos x (4 cos2 х - 3) + 4 cos х < О,
cos x (4 cos2 x + I) < O,
cos x <: О.

Последнее неравенство при учете области допу·
стимых значений и п риводит к ответу:
1t
311:
y + 2k11: < x < 2 + 2k1t ,

х =/= 2k1t + 11:,

k - целое.

З а д а ч а 2. Умножим первое уравнение на 4 и из
того, что получилось, вычтем второе. В результате
п олуч и м
4y2 - 4 j xy ! + x2 = - (х + 2у)2,
или

(2 \ y l - l x l)2 - -· (х + 2у)2•

Поскольку в п олученном р а в е н стве левая ч асть не­
о т р ицательна, а п р а вая неположительна, то обе о н и
должны быть нулями. Отсюда

=

4 s
s
= vв '
З vд

(34 vдs + 51 ) (vд - vc) = 32 s .
1

s

s

vc - vв = 24·

Введем н овые н еизвестные п о формулам

tA = ­
VA

.

s

s

tв = ­
vв '

•

.

каждая из которых обозначает время, затрачиваемое
на один круг гонщиками А, В и С. В э ти х неизве­
стных уравнения п ринимают такой вид:
4

tв = 3 tA,
4
2
1 ) (тд1 - tС1 ) = з,
(3
tA + 6
1

tc

=

t в + 2.1

•

Из первого и т ре ть его уравнений н аходим, ч то
1
4
tc = 3 tA + 24·

При учете этого равенства второе у равнение п р ин и­
мает вид
4
2
24

( 3 tA + 6) (тд1 - 32tA + ) = з•
1

или

64t

Отсюда

tA =

1

1 - I 2tд - 1 = 0 .

6 + 10

54

.

Таким обр азом,

tA = 4 часа.
1

З а д а ч а 4. Докажем, что ч етырехугольник явля­
ется р авноб оч н о й трапеци е й с углами п р и основании ,
ВС 11 AD,
равными 45°. С этой целью заметим, что
как каса тельны е к двум равны м окружностям, ка­
сающимся внешним образом; 2) ..с:. ВСА = ..c:. CAD,
как н а к рестлежащ и е углы при параллельных прямых;
АС - биссектриса
п оскольку
L. ВАС = .с:. CAD,
L BAD. Таким образом , т реугольник АВС - равно­
бедр е н н ы й и АВ = ВС; 3) точно так же доказываем,
что ВС = CD; 4) таким образом, ч етырехугольник
А ВС D либо р а вн обедренная т рапеция, либо парал­
лелограмм. Последнее н евозможно, поскольку центры
о к ружносте й лежат в с е рединах диагоналей и в па­
р аллелограм м е о н и совпадут. Это невозможно по
условию задачи; 5) через точки В и О (центр ок­
р у ж н ости н а АС) проведем п р ямые, перпендикуляр­
н ы е AD и ВС ( В1 и F - соответстве н н о их точки
п ересечения с AD и ВС). Пусть BF = х. тогда
ВС = 2х + 2r; обозначая точки каса:: ия окружности

1)

Таким образом, доказано, что треугольник АВВ1 равнобедренный; следовательно, L А = 45°. Теперь
п ривычными путями н а х одим, ч т о
З а д а ч а 5 . Опустим и з точ ки В перпендикуляр
BD на плоскость Р. Тогда L BDC = L BDA = 90°,
L ВС D = ер. Следовательно, BD = ВС sin ер. Но С В =
= СА = 2r, как касательные к шару, проведенные из
одн о й точки. Отсюда BD = 2r sin ер.
П р ов е де м ч е р ез точку О (центр шара) прямую, па·
раллельную AD, до пересече н и я с BD в точке Е·
Так как ED 11 ОА, то ОЕ = AD. Поскольку .<::::: ВЕО =
= ..с:: BDA = 90° , и м е е м

AD2 = ОЕ2 = r2 - ВЕ2 = r2 - (BD - r)2 =
= 2r BD - BD 2 = 4r2 sln ер - 4r2 sin2 ер.

s

tc = ­
vc

-

= АО BF =
= АО - х = 2r = ВВ1•

А В 1 = АО - В 1О

Х = - 2у .
Т е п е р ь и з второго уравнения систем ы находим, ч т о
х2 = 8 , о rкуда х = ± 2 у:Т и т е м с а м ы м у = + у2.
Подстановкой в урав1!ения п редложенной системы
убеждае мся, ч т о обе пары х и у действительно явля­
ются р е ш е ниями.
З а д а ч а 3. Обоз н ач и м длину шоссе через s и ско­
рости гонщиков А, В, С соответственно ч ер е з v А • v в.
vc. У слов и я за дачи п р и этом з а п и сываются в виде
следующих уравнений:

-

AD и АВ соответственно О и Е, получи м АО =
= АЕ А В - х = ВС х = х + 2r. Следовательно,

с

Теперь

АВ = у BD2 + AD2 = у 4r 2 sin ер = 2r уsin ер.
З а к л ю ч и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Еще до про­
ведения письменных экзаменов было решено, что по­
ложительные оценки будут выставляться лишь при на­
личии полностью и безукоризненно решенных задач.
Несколько, но с огрехами решенных задач не давали
права на положительную оценку. По всем факультетам
пра.во на отличную оценку давало решение всех пяти
задач. При этом допускалась одна несущественная опи­
ска типа арифметичес1шй. За четыре полностью решен­
ных задачи ставилась оценка хорошо.
Все письменные р а боты экзаменационная комиссия
получала в зашифрованном виде. Проверка проводи­
лась так: сначала проверял каждую работу аспирант
и отмечал все замеченные им ошибки и описки. Затем
вслед за ним каждую работу проверял старший по
тройке (старшим по тройке был доцент или ассистент) .
Далее все работы, претендующие н а оценки 2, 4 и 5,
проверялись старшим по варианту (профессором или
доцентом) . Все р аботы, претендующие на оценки 2 и 5,
проверялись старшим экзаменатором по факультету. Все
р а боты, претендующие на оценку 5, подписывались пред­
седателем экзаменационной комиссии или его замести­
телями.
После того как проверка р абот была завершена и
оценки на каждую р а боту выставлены, работы сдавались
в приемную комиссию, где п роводилась дешифровка,
составлялись списки сдавших экзамен и тем, кто полу­
чил неудовлетворительную оценку, сообщалось, что он
и меет право на апелляцию. В день, когда поступавшие
узнавали оценки, организовывались показы допущенных
в р аботах ошибок и самих р а бот. После показа в на­
значенные часы принимались апелляции председателем
экзаменационной комиссии и его заместителями, стар­
шим экзаменатором по факультету и старшими по ва­
риантам.
Как всегда, во время апелляций выявились отдельные
просмотры, допущецные экзаменаторами. Их было не­
много. Если экзаменовавшийся с полным пониманием
дела показывал разбросанные ц ряде листов работы и
порой даже зачеркнутые им недостающие места реше­
ния, то ему исправлялась оценка.
Итоги экзаменов сведем в таблицу:

Число
сдававших

Факульте ты

21671
14866
4
711
1570

Механико-матема т.
Биологический
Географический
Геологический
Химический

Оценки
5

27
57
39
37
35

!

4

18

3

1

1468
19
110148
162

l

721
454
313
237
573

2

1273
732
3978
32
800

Для тех, кто в день проведения письменного экзаме­
на был болен или же не успел приехать, были орга­
низованы дополнительные экзамены.
Лица, получившие отличные оценки за письмен­
ную р а боту по математике на механико-математическом
факультете, удачно сдали и остальные экз<j.мены и все
приняты в университет. Интересно географическое р ас­
пределение тех, кто написал письменную по математи­
ке на 5. Такую статистику я собрал только для меха­
нико-математического факультета. Оказалось, что среди
них
москвичей, закончивших московские школы;
12 человек закончили не московские школы (школы
№ 125 г. Челябинска, № 25 г. Новомосковска Тульской
обл., № 23 г. Черновиц, № 12 г. Куйбышева, № г. Чир­
чика, № 1 г. Новосеверска Черниговской обл., школа
дер. Ново-К:утово Башкирской АССР. № 5 г. Алма­
Аты, № 1
г. Баку, № 25 г. Мелекесса Ульяновской
обл., №
г. Горького, школа пос. Буртыш Галичского
р айона Ивано-Франковской обл. ) . Это очень отрадно,
поскольку показывает, что способные математики могут
быть воспитаны в любой школе, лишь бы учитель су-

6

8

6

4 75

W. А. АЛИМОВ, В. П. МОДЕНОВ (Мос ква)

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МГУ

1970

1

1

1 . Определить все действительные значения
каждом из которых уравнение
+ 3) = О
2) cos2
cos4
имеет решения, и найти все эти решения.
2. Решить уравнение

х -(а +

х-(а

1 l-log :/I + 2 = 1 3 - logfxl.
__

4)

прежней скоростью. Определить все те значения v, при
кd!-орых автомобиль возвращается в А позже, чем авто­
бус приходит в В.
В треугольнике АВС сторона ВС служит основа­
нием полукруга, площадь которого равна площади тре­
угольника АВС. Угол А равен а. Найти углы В и С,
считая, что В ;;:,, С. Исследовать, при каких значениях
угла а задача имеет решение.
5. В прямом круговом конусе с вершиной S угол
между образующими SA и SB р авен а, а угол между
их проекциями на плоскость основания р авен �· Вы­
числить. угол между биссектрисами углов OSA и OSB,
где точка О является центром круга, служащего осно­
ванием конуса.
Вариант 2

4.

В
г. в Московском государственном университете
имени М. В. Ломоносова впервые были проведены всту­
пительные экзамены на новый факультет - вычислитель­
ной математики и кибернетики.
Поступаюшие на этот факультет вначале сдавали экза­
мены по математике (письменно и устно). Задание пись­
менного экзамена состояло из 5 задач, для решения
которых 11битуриентам предоставлялось 4 астрономиче­
ских часа.
Ниже приведены два варианта письменных экзаменов
по математике, рассмотрено решение задач варианта
и даны ответы к варианту 2.
Вариант

мел привить интерес к предмету. Остальные 9 закон­
чили школу-интернат №
при Nlосковском универси­
тете. Ребята приехали в школу-интернат из городов
Ростова-на-Дону, Тулы, Острова Псковской обл., Вла­
димира, села Гришино Канашского р айона Чувашской
АССР, городов Астрахани, Казани, Иваново, Люберец
Московской обл.
Трудно перечислить все ошибки, которые были допу­
щены в письменных р аботах. Основные из них таковы:
1 ) в ответах на тригонометрические нер авенства указы­
вали область, но забывали выкинуть из нее точки, ко­
торые не удовлетворяют условию задачи; 2) исследовали
не все возможные случаи (например, р ассматривали
случаи больше нуля, меньше нуля, но забывали иссле­
довать случай р авенства нулю; 3) решения основывали
на недоказанных предпосылках, не содержавшихся в
условиях задач;
затруднялись при составлении урав­
нений в алгебраической задаче; 5) испытывали затруд­
нения в пространственных представлениях.
Хотелось бы подчеркнуть, что среди тех, кому не уда­
лось поступить в университет, имеется большое число
способных и увлеченных людей. Им либо недоставало
знаний, либо же они оказались неспособны выдержать
то огромное нервное напряжение, которое сопутствует
вступительным экзаменам.
Нам нужно непрерывно совершенствовать методы при­
общения нашей школьной молодежи, особенно из сель­
ской местности и из р абочих поселков, к математиче­
ским интересам. Этому может и должно содействовать
осуществление ряда мер, и среди них р аспространение
деятельности Заочной математической школы при МГУ
на сельские р а йоны; популяризация журнала «Квант»;
статьи в журналах общего профиля («Наука и жизнь»,
«Знание - сила» и п р . ) , выезды квалифицированных лек­
торов в сельские р а йоны с лекциями для школьников.

а,

при

(!)

(2)

3. Из города А в город В, находящийся на расстоя­
нии 1 05 км от А , с постоянной скоростью v км/ч выхо­
дит автобус. Через 30 мин. вслед за ним из А со ско­
ростью 40 км/ч выходит автомобиль, который, догнав
в пути автобус, поворачивает обратно и движется с

1 . Определить все действительные значения
к:. :::дом из которых уравнение
sin4 x
sin2 x - З (a - l ) = О
имеет решения, и найти все эти решения.
2. Решить уравнение
+
+
х

а,

при

+ (а - 4)

1 4 + log+х 1

=

2 12

logТ j·

3. От пристани А к пристани В, находящеисн от А
на расстоянии 12 км, вниз по течению отходит мотор­
ная лодка, скорость которой в стоячей воде р авна
6 км/ч. Одновременно с ней из В' в А выходит катер,
скорость которого в стоячей воде р авна 10 км/ч. После
встречи они р азворачиваются и возвращаются в свои
пристани. Определить все возможные значения скоро­
сти течения реки v, при которых лодка приходит в А
не р аньше, чем через 1 час после возвращения катера
в в.

55

­

4. В треугольнике АВС из вершины угла А пр оведе
на медиана, длина которой равна половине среднего
геометрического длин сторон АВ и А С. Угол А р авен а.
Найти углы А1 и А 2, на которые медиана делиТ, угол А,
считая, что А1 � А2. Исследовать, при каких значениях
угла а. задача имеет решение.
5. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD
с вершиной S является ромб, а высота пирамиды SO
проходит через точку пересечения диагоналей ромба.
Высота SO образует с ребром SA угол а, а с ребром
SB - угол {3. Вычислить угол между боковой гранью
SAB и основанием пирамиды.

Решение задач вариа.чта 1 .

l . С помощью подстановки
cos2 х = t
(О � � 1 )
р ассматриваемое уравнение ( 1 ) приводится к
ной системе
t 2 - (а + t
(а + 3) О,

{

t

O<t <

1,

2) -

=

которая имеет решение t = а + 3 п р и
3 �
Воспользовавшись подстановкой, получим :
а + 3 , - 3 � а � -2,
cos2 х
отк уда
-

смешан­

а � -2.

·

=

х = + arccos уа + 3 + k1t,

Отве т:

-3< а <

(k

= О, + 1, + 2, )
• . .

.

- 2, х = + arccos ·J;а + 3 + k1t,
)

(k = O, :+ 1 , + 2 . . . . .
2. Область определения данного уравнения (2) х > О.
С помощью подстановки
log 1 х = t
6

оно приводится к алгебраическому уравнению
(3)
! 1 -t 1 +
1 3 - t 1.
Для решения полученного уравнения применим метод
промежутков. Числовую ось t разобьем точками t = l
и t = 3 (при этих значениях t выражения, стоящие под
знаком абсолютной величины, обращаются в нуль) на
три области:
t � l , l < t � 3, 3 < t < + 00
- 00
и р ассмотрим уравнение (3) в каждой из областей .
В первой области (-оо < t � l ) это уравнение обра­
щается в тождество
( 1 - t) + 2
3 - t.
Следовательно, все значенпя t из рассматриваемой об­
ласти удовлетворяют уравнению (3) .
Во второй области ( ! < t � 3) уравнение (3) при·
нимает вид
(t - l ) + 2 3 t
и в этой области корней не 'имеет.
В третьей области (3 < t < + оо) уравнение (3) так­
же корней не имеет.
Следовательно, исходное уравнение (2) эквивалентно
нер авенству
log 1 х � l ,

2

=

Уравнения движения автомобиля и автобуса,
ные для момента встречи, имеют вид:

j s = 40·t,
ls = v - (t + +) .

Откуда

= 2 (40v- v) '
20v
40 - v '
Из равенства (6) и неравенств (4)
щую систему
0v
J 4� v < 105,
l 0 < v < 40,
решая которую. находим:
O < v < 33,6.
t

6

решениями которого являются все значения х, удовле·
1

творяющие условию х � 6·

1
О т в е т : х > т·

t чс

( а ) время движения автомо·
3. Обозначим через
биля до встречи с автобусом, через s (км)-:- расстоя­
ние от города А до места встречи. По условию задачи
автомобиль догнал автобус в пути к городу В, с.ледо·
вательно
< l 05, о < v <
(4)

s

56

40.

•

(6)
получим следую­

(7)

Время движения автомобиля до встречи с автобу­
сом и возвращения в г ород А равно t, а время дви­
жения автобуса от города А до города В равно

2

105

v. Та1< как автомобиль выезжает из города А чер �з

з ,

полчаса после автобуса и возвращается в А по же
чем автобус приходит в В, то

105

v
40- v

1

> -v - 2 ·

яv
0 v<

Решениями получе н н ого неравенства, удовлетворяю­
заклю·
щими условию (7), явл ются все значения
ченные в интервале 30 < < 33,6.
Отв е т: 3 <
33,6.
4. Обозначим стороны треугольника АВС, противо­
лежащие углам А, В и С, через а, Ь и
соответст­
венно. Из условия равенства площадей треугольника
и полукруга имеем

v,

с

7ta 2

1

2 bc sin cx

По теореме синусов

Ь

=

-

(5)

S =

<

=

записан·

=

а

а'

sin В
siп

с=а
(8)

Следовательно, уравнение
sin

а

и сокращения на

8- .
= -

�2)

(

cos (В

sin

после умножения на

примет вид
а

- С) - cos ( В + С) = 21t sin

Учитывая, что А + В + С =
ме уравнений

!

а·

sin C

1t
sin B · sin C = 4 sin

ИЛИ

(8)

cos (B - C) =
B + C = 1t - a

\ в + С = 11:- а,
=

;

сх.

мы приходим к систе­

sin cx - cos cx ,

< 7t, то
arccos ( ; sin а - cos а),

или, так как О < В - С

J В -- С

7t,

откуда находим
1
1t - a
В=
a rccos
2- + 2
-С=

1t - a

( 1t
( 1t

-�г sin а

- cos а) ,

-2- - y arccos 2 sin а - cos a
1

)

Определим АВ2 по теореме косинусов из треуголь­
ника ASB и нз треугольника АОВ, а затем прирав­
няем полученные выражения. Находим
(9)

·

Таким образом, для всех значений а, при которых
существует треугольник АВС, удовлетворяющий
всем условиям задачи, величины углов В и С вычис­
ляются по формулам (9).
Исследуем , при каких значениях а задача имеет
решение.
Допустимыми являются все значения угла а из ин­
тервала О < а < 1t, удовлетворяющие условию
т.

1;

е.

s!n а - cos

а

1

( 1 0)

1t

С=
где

it - a

2- +
� --

1t - a

-2-

2 arccos
1

( 1t

2 sin а - cos а

О < а <;: 2 arctg --;-

2

)

,

•

Предоставляем читателю дать геометрическую ин­
терпретацию исследования решения задачи и указать
способ построения треугольника, удовлетворяющего
всем ее условиям.
5. Пусть х искомый угол между биссектрисами
SAi и SB1, а 1 - угол между образующей и осью
данного конуса (см. рис.).

5

В

э

2 · AO · BO . cos р = 2 · AS · BS - cos а - (AS2 - АО2) - (BS2 - вО2),

2 · AO · BO · c os [:i = 2 · AS · BS · cos a - 2o s 2.
то равенст во п одставим
АО = ВО = OS - tg 1,

Получим

_2У_
c os 1 "

(после сокращен ня на 2os2)
tg2 1 . cos [:!

=

cos а
--- - 1
cos 2 1

•

откуда

cos � =

cos а - cos2 1
sin2 1

Аналогично из треугольников

c os � =

( 1 1)

•

A1SB1 и А,081 имеем

1
c os x - cos2 2
sin2

1t s!n а - cos а ,
- 21 arccos (2
)

-

т. е.

+

AS = BS =

При найденных значениях а величины В и С, оп­
ределяемые по формулам (9), положительны и в сумме
(для доказательства этого достаточ но
с а равны
проверить условие С > О).
Для треугольника с этими углами А, В и С в силу
формулы (9) справедливо р авенство (8) и выполняется
условие В :> С .
Таким образом, при всех а из интервала (10) суще­
ствует треугольник, удовлетворяющий всем условиям
задачи.

В

Отсюда

B02 - 2 · AO · BO - cos p.

<;: 1,

2
О < а <;: 2 arctg 7 .

О т в е т:

AS2 + BS2 - 2AS BS · cos а =

= АО2

•

1

( 12)

-f

Из системы уравнений ( 1 1 ) и (12) определяем cos х.
Для этого, например, из уравнения ( 1 1) находим

т.

е.

cos а = cos2 1 + (l - cos2 1) cos [:!
- 1 - sin2 1 + sin2 1 cos [:!,
sln2 1 ( 1

откуда

s!n 1 -

- cos р) = 1 - cos

=

а,

а
sin т
sin

�

1 Формулы ( 1 1 ) и (12) выражают зависимость меж­
ду внутренним двугранным углом и плоскими углами
при вершине трехгранного угла.
в н утренние дву­
В общем случае, есшr А, В и С
гранные углы, прот иволежащие соответственно пло­
ским углам а, р и 1 трехгранного угла, имеют место
следующие формулы:

-

cos А ==
cos в

cos

а

-

cos � cos 1
sin � sin 1

-------­

cos р - cos а cos 1
sin a sin 1

�
'------,-- --'

cos с =

COS

1 - cos а COS р
sin а sin р

-------­

Они о казываютс я достаточно эффектив ными при ре­
шении многих задач стереометрии.
Доказательство этих формул можно провести
так же, как и формул (1 1) и (12).

57

и

cos 1 =

у1

-v

О т в е т:

s n2

- sin2 -2-

�

·а

i 2
- sin2 1 = -----c�,----­

arccos

sin 2

-

-

1
"J / cos а
cos �
2
- . -о�с- r
sш у

Ответы
1)

c os х = cos2

t

+

s

i n2

�
.
= cos 2 2 + sш

�

2

ш 2

v cos а

2

cos �

&ИРСКИй
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

О т в е т: 1 О км/ч; 3 к.м/ч.
2. В куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра а ед. вписан
прямой круговой цилиндр, так что его осью является
диагональ BD', а окружности оснований касаются тех
диагоналей граней куба, которые не имеют общих точек
с диагональю BD'. Найти объем цилиндра.
те -,/3 1
--- а
18
.

Отв

е

sin3 х + cos3 х
те
т: х1 = 2kте, х2 = 2 + 2k1t,
уравнения

k = О, ± 1, ± 2,
58

. . •

x = +: arcsln y l - a + k1t,

)

•

(k = O,

а

А2 = 2
arc

arccos (2 sin2 а + cos a)
2

--

tg

21t
3 <:: а < 1t:

11rt g2 (J + t g 2 �
tg а tg �

-- ·-·

4. Н айдутся ли такие значения k, при которых не­
р авенство ( 4k + l ) x2 - 5kx - k + 5 < О выполняется при
любых значениях х?
О т в е т: Нет.

На дневном отделении физико-математического фа­
культета широкого профиля на письменных экзаменах
было предложено четыре варианта заданий. В каждое
задание была включена алгебраическая задача на со­
ставление и решение уравнения или системы уравне­
ний, алгебраическое нер авенство; тригонометрическое
уравнение и геометрическая задача.
Содержание письменного и устного экзаменов не вы­
ходило за пределы школьной программы по математике.
Приводим один из вариантов.
1. Студенты взяли на лодочной станции напрокат
моторную лодку. Сначала они спустились на 20 км по
течению реки, затем повернули обратно и вернулись на
станцию, затратив на всю прогулку 7 часов. На обрат­
ном пути на р асстоянии 12 к.и от станции они встретили
плот, проплывавший мимо станции в тот момент, когда
они отправились на прогулку. Определить скорость лод­
ки по течению и скорость течения реки.

3. Найти все решения

O <;: a <;: l,

2

2

arccos (2 s i n 2 а + cos а)
а
4) А1 =
2
2+

5)

•

Н. П . Рд ЗЗАДОРИН (г. Би р ск)

О т в е т:

варианту

у

3) 2 <;: v < 6;

-- v cos а ;- cos �=
+ . -�
.
s

� -. f cos а - cos �

• . .

1 - cos �
1 + cos �
cos "(.
2
+
2

Следовательно,

к

-�

cos2 2 + sin 2

+ 1, + 2,
);
2) 0 < х <;: 49;

•

Из у равн е н ия ( 1 2) и м е е м
cos x =

(

•

=

].

Из 204 а битуриентов, державшl'х письменный экзамен
по м атематике, получили «4» - 28. «3» - 95, «2» - 8 1 .
Большинство писавших работу сравнительно легко
справились с алгебраической задачей. Основными ошиб­
ками и недочетами были неумение провести анализ усло­
вия задачи и обоснованно составить уравнение или си­
стему уравнений, неумение выбрать рациональный путь
решения уравнения или системы уравнений, недостаточ­
но обоснованный выбор корней уравнения, пригодных
для ответа на вопрос задачи.
Непрочно усвоены вопросы, связанные с . исследова­
нием квадратного трехчлена и решением неравенств
второй степени. Выпускникам средних школ известны
основные случаи исследования квадратного трехчлена,
но применить эти теоретические положения к конкрет­
ному случаю многие затрудняются. Так, 4-й пример при­
веденного варианта пра-вильно решили только 16% пи­
савших.
При решении тригонометрического уравнения многие
абитуриенты допустили большое количество разнообраз­
ных ошибок. свидетельствующих о слабом знании тео­
рии р авносильности уравнений, свойств тригонометриче­
ских функций, основных формул, связывающих эти
функции, формул записи общего вида углов по полу­
ченному в ходе р ешения уравнения значению тригоно­
метрической функции.
Письменный экзамен показал, что выпускники школ
имеют слабое простраоственное предст авление. Многие
крайне небрежно выполнили чертеж к геометрической
задаче, часто допускали при этом грубые ошибки, от­
сюда - беспомощность при решении задачи. Только око­
ло 7% писавших приведенный варпант справились с гео­
метрической задачей.
Устный экзамен прошел с лучшими результатами, чем
письменный. Из 1 23 экзаменов2 вшихс>1 «5» полvчили 9,
«4» - 46, «3» - 48, «2» - 1 8, двое не явились н а экза­
мен .

Итоги устного экзамена показывают, что абитуриен­
ты в основной своей массе усвоили программу школь­
ного курса математики удовлетворительно. Но и на
устных экзаменах в знаниях многих обнаружены круп­
ные пробелы. Недостаточно усвоены приемы исследова­
ния элементарных функций, особенно тригонометриче­
ских и логарифмической, некоторые вопросы темы
«Комплексные числа». Многие абитуриенты имеют сла­
бые представления о геометрических величинах и их

измерении - об измерении угла, п.пощади плоских фи­
гур, объема геометрических тел, не умеют решать про­
стейuше задачи на построение циркулем и линейкой,
например на построение отрезков, заданных формулами

СРЕДНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ
УЧЕ&НЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ

нений. Имеют слабые представления о равносильности
уравнений, об области допустимых значений неизвест­
ной величины, при решении уравнения, содержащего не­
известное в знаменателе, не исключают из ответа по­
сторонний корень.
Выпускники средних школ, поступавшие в средние
специальные учебные заведения, часто показывали фор­
мальные знания основных понятий, определений, фор­
мул, теорем. Зная, например, формулировку теоремы
Виета, не могут ее применить; зная формулы сокращен­
ного умножения и деления, не умеют их применить для
возведения двучленов в куб, для р азложения суммы
или р азности кубов на множители.
Много ошибок допускали абитури�нты при решении
показательных и логарифмических уравнений. Недоста­
точны навыки выпускников в вычислениях при помощи
таблиц и логарифмической линейки.
Многие абитуриенты имеют неудовлетворительные зна­
ния по тригонометрии: не могут сформулировать опре­
деления тригонометрических функций любого аргумен­
та. плохо знают их свойства, допускают ошибки в тож­
дественных преобразованиях с тригонометрическими
функциями, слабо знают формулы п риведения, переход
от радианной меры дуги к градусной и обратно. Плохо
решают задачи по геометрии с применением тригоно­
метрии. При решении задач не обосновывают производи­
мые преобразования.
Многие выпускники вечерних школ не могли дока­
зать геометрические теоремы: о подобии треугольников,
о площади параллелограмма, трапеции, треугольника,
об объеме и поверхности многогранников.
Таким образом, этот небольшой анализ р езультатов
вступительных экзаменов в средние специальные учеб­
ные заведения говорит о том, что общеобразовательная
школа должна больше уделять внимания повышению
математических знаний.

Главное управление средних специальных учебных
заведений Министерства высшего и среднего специаль­
ного образования РСФСР провело некоторый анализ
результатов вступительных экзаменов по математике в
техникумы и училища Российской Федерации в 1970 г.
Данная работа была проведена по материалам, пред­
ст11вленным р ядом министерств и ведомств Российской
Федерации и средних специальных учебных заведений
Москвы.
Вступительные экзамены в средние специальные учеб­
ные заведения свидетельствуют о том, что знания по
математике поступающих в техникумы все еще остаются
невысокими. Знания значительной части абитуриентов
оценивались в основном как удовлетворительные.
Следует отметить, что лица, систематически посещав­
шие подготовительные курсы при средних специальных
учебных заведениях, показали на экзаменах лучшие
знания, чем те, кто готовился самостоятельно.
В данной статье приведены те темы школьной про­
граммы, в которых абитуриенты чаще всего допускали
ошибки на вступительных экзаменах.
Поступающие в техникумы не имеют прочных знаний
и навыков по арифметике: многие из них делают ошиб­
ки при сложении смешанных чисел, при дедении чисел
на десятичную дробь, затрудняются при нахождении не­
известного члена пропорции. Некоторы е учащиеся не
умеют делать простейшие процентные вычисления, осо­
бенно много ошибок наблюдается при нахождении про­
центного отношения двух чисел. Большинство абиту­
риентов не владеет навыками устного счета, навыками
рациональных вычислений.
Немало ошибок допускают в действиях со степенями,
при разложении многочленов на множители, при сокра­
щении алгебраических дробей, при приведении алгеб­
р аических дробей к общему знаменателю, при решении
уравнений 1 -й степени с буквенными коэффициентами,
особенно, если неизвестное стоит в знаменателе, плохо
знают формулу решения квадратного уравнения, слабо
владеют графическим способом решения систем урав-

_;-.х = v аЬ , .х =

аЬ

с- .

-

Многими абитуриентами забыты простейшие сведения
из арифметики, изучавшиеся в V-VI классах.

Зам. начальника учебно-инсnекторскоrо отдела
Министерства высшего и среднеrо
сnециальноrо образования РСФСР
Л. П. МУРАВЬЕВ

ИЗ О П Ы ТА ПРО В ЕД ЕНИЯ ФАКУЛ ЬТАТИВ Н ЫХ ЗАНJI Т Н Й
О факультати вн 1ых занятиях
в вос ьми летней wкone
1
(обзор статей)
Опыт последних лет убедительно свидетель­
ствует о том, что успешное проведение в ш ко­
лах факультативных курсов по выбору не
только вносит много н ового в учебно-воспита­
тельную р аботу с учащимися, но и оказы вает
действенную помощь учителю м атем атики
в подготовке к переходу на н овое содержание
обучения.
С вои первые факультативные курсы учителя
разрабаты вали в основном самостоятельно ,
лишь частично используя при этом немного­
численные публикации, появившиеся в перио­
дической печати, и отдеJ1ьные дополнительные
разделы из школьных учебных пособий.
В настоящее время рядом республиканских
и местных издательств выпущены в свет спе­
циальные учебные пособия по факультативным
курса м. Так, издательством «Просвещение»
большим тиражом изданы пособия для седь­
мых-восьмых, девятых и десятых классов. Из­
данные пособия окажут существенную по­
мощь учителям в их дальнейшей р аботе.
Однако уже накопленный школами опыт р а ­
боты н а д ф а культативными . курсами содержит
много интересного и позволяет. сделать неко­
торые полезные обобщения.
В редакцию журнала «Матем атика в ш ко­
ле» поступает большое число статей, в кото­
рых а вторы делятся своим первым опытом
проведения факультативных занятий в школе.
Они высказывают ряд ценных предложений
по вопросам организации занятий, соображе­
ния по поводу методики проведения занятий
по той ил и иной теме.
Наибольшее внимание в полученных статьях
уделяется вопросам раскрытия конкретного
содержан ия факультативных курсов в Vll и
V I I I кл а ссах.. В дальнейшем мы остановим ся
н а обзоре статей о факультативных занятиях
в восьмилетней ш коле.
Как известно, примерные прогр а м мы фа­
культат ивных занятий в Vl l-VI I I .классах
1 Обзор
полученных
И. Б. Ю д и и (,} й.

60

редакцией

схатей

СQставлев

предлагают изучение следующих тем («Про­
граммы факультативных курсов», М., «Про­
свещение», 1 969, стр. 54-56 ) :
V I I класс (35 час.)
1. Дополнительные вопросы арифметики целых чисел.
2. Метод координат.
3. Симметрия.
4. Решение задач по общему курсу.
VI I I класс ( 70 час. )
1 . Множества и операции н ад ними.
2. Бесконечные множества.
3. Арифметические устройства вычислительных машин.
4. Дополнительные вопросы арифметики.
5. Функции и граф ики.
6. Номограммы.
7. Геометрические преобразования.
8. Решение задач по общему курсу.
Следует отметить, что многие а вторы присылают разработки тех курсов, соответствую­
щие материалы по которым уже опубликованы
в новых учебных пособиях. В таких случаях
дополнительная публикация часто весьм а
сходных вариантов изложения одних и тех же
факультативных курсов, без выяснения и со­
поста вления специфических особенностей этих
курсов, не была бы целесообразной. Но пред­
ставлял бы несомненный интерес обмен опы­
том работы по проведению факультативных
курсов как по са мостоятельно разработанным,
так и по и меющимся пособиям. В редакцион­
ной почте статей такого содержания пока нет,
так как пособия были изданы после того, как
авторы начали проводить свою работу.
Большинство а второв в своих статьях изла­
гают лишь фактический материал , пройденный
на факультативных занятиях. Для первых
двух лет проведения факультативных курсов
это естественно, но желательно (и для учителя
это более интересно) видеть в статьях подоб­
н ого рода р аскрытие вопросов методики изу­
чения той или иной темы, разработку методи­
чески обоснованной системы соответствующих
упражнений и т. п.
В некоторых статьях а вторы гла вное внима­
ние уделяют вопроса м общей методики прове­
дения и организации факультативных занятий
в школе. Но пока без должного внимания
остаются вопросы вза имосвязи факультатив­
ных 3анятий с различными вида ми внекл ассной

работы и прежде всего с работой математиче­
ских кружков. Как внеклассная работа в ш ко­
ле помогает в организации факультативных
занятий? Каким образом факультативные за­
нятия влияют на развитие в школе внекласс­
ной работы, на вовлечение в эту работу боль­
шего числа учащихся, на поднятие ее на более
высокую ступень? Эти вопросы требуют особо­
го внимания и, по-видимому, более глубокого
изучения для своего дальнейшего обсуждения.
Мы остановимся на обзоре содержания р яда
статей. Основное содержание отдельных ста­
тей в сокращенном виде приводится в конце
обзора.
Одной из сторон организационного вопроса
в проведении факультативных занятий касает­
ся учитель м атематики А. Г. В а й н е р
( г. Глазов, средняя школа No 6) . Он пишет:
«В печати поднимался вопрос о том, что фа­
культативные занятия нельзя подменять круж­
ковой работой. Против этого возражать не
приходится. Но в каком соотношении должны
находиться факультатив и кружок? На наш
взгляд, не следует их противопоставлять.
Мы предприняли попытку в последние два
года в VI I -VI I I кл ассах объединить ф акуль­
тативные занятия с практикумом по решению
задач повышенной трудности, иными слова ­
ми - сочетать факультативные и кружковые
формы р аботы . .
Остановимся подробнее на методике органи­
зации занятий. Каждое з анятие делится н а две
части. Первая часть - изучение нового мате­
риала, самостоятельная работа с теоретиче­
ским материалом, упражнения по его закреп­
лению. Изложение н ового в VI l-VI I 1 классах
ведем, в основном, методом активной беседы,
теоретические положения часто. сопровождаем
упражнениями как предлагаемыми учителем,
так и составленными самими учащимися.
Уделяем внимание и другим формам изуче­
ния нового: самостоятельное изучение теории
по пособию «Факультативный курс. Математи­
ка в 7-8 классах» ( составитель К. П. С и­
к о р с к и й) , по книгам И. М. Я г л о м а «Не­
обыкновенная алгебра», Н . Я. В и л е н к и н а
«Рассказы о множествах» и др.
Ряд вопросоз представляется возможным
учить с помощью диафильмов. В V I I 1 классе
«Геометрические преобразования» были рас­
смотрены, используя диафильмы «Централь­
ная симметрия», «Параллельный перенос»,
«Вращение» и др.
В конце первой части занятия учащимся
предлагается домашнее задание, состоящее из
изучения теоретического материала и упраж­
нений. В конце темы проводится письменная

зачетная р абота, по которой оцениваются зна­
ния учащихся.
Вторая часть каждого занятия состоит из
решения задач повышенной трудности по об­
щему курсу. К каждому занятию ученики по­
лучают для домашнего решения три задачи.
Решение каждой из них они оформляют н а от­
дельных листках и сдают учителю на следую­
щем занятии. После их проверки проводится
р азбор. П редпочтение отдается наиболее ори­
гинальным решениям, а также решению одной
и той же задачи несколькими способам и. Ори­
гинальным решениям присваивается имя его
а втора. За решение задачи ставятся б алль1.
В завис'1мости от числа набранных б аллов
ставится отметка за полугодие и за год по
практикуму. Раз в полугодие проводим «ма­
лую олимпиаду» факультатива: в течение двух
часов ученики решают 4-5 задач повышенной
трудности».
А. И. Ш и н я е в а ( г. Мелекесс) в своей
статье «Из опыта подготовки учащихся к фа­
культативным занятиям» кратко рассказывает
об опыте р аботы с учащимися Vl класса. На
занятиях м атематического кружка они знако1\шлись с некоторыми дополнительными вопро­
сами арифметики , более глубокое изучение ко­
торых включено в программу факультативных
занятий VI I -Vl l l классов.
«В ходе эксперимента выяснилось, что ше­
стиклассникам при соответствующей методике
изложения доступны и интересны такие вопро­
сы, как н ахождение НQД двух 'ЧИСеЛ С ПО­
МОЩЬЮ алгоритма
Евклида, представление
обыкновенных дробей непрерывными дробями,
сравнимость чисел по данному делителю ( мо­
дулю) , основные свойства сравнений, п римене­
ние их к выводу признаков делимости на 9,
10 и к проверке результатов арифметических
действий и т. д.
Все вопросы рассматривались на числовых
примерах, обобщения и выводы делались ин­
дуктивным путем, окончательные формулиров­
ки записывались на языке алгебры в общем
виде. В процессе работы н еоднократно подчер­
кивалось, что более глубоко данные вопросы
будут рассматриваться на факультативных за­
нятиях в следующих классах».
В статье отмечается, что «начиная со второ­
го полугодия VI класса (по новой прогр амме
с н ачала учебного года) , когда учащиеся за­
канчивают изучение арифметики и приступают
к систематическому курсу алгебры, такая ра­
бота, в сочетании с решением задач повышен­
ной трудности и рассмотрением занимательно­
го материала, на занятиях м атематического
кружка с будущими члена ми факультативов
особенно пqлезна. Знакомство с указанными
61

вопросами нс только вызывает со стороны уча­
щихся интерес к факультативным занятиям, но
и позволяет руководителю факультатива изу­
чать эти вопросы более глубоко, привлекая
учеников к самостоятельным обобщениям и
вывода м».
Авторы нескольких статей делятся своим и
соображениями по поводу изучения с учащи­
мися V I I -VI II классов дополнительных во­
п росов арифметики. Освещаются некоторые во­
п р осы методики изучения данной темы с уча­
щимися. Рассказы вается о теоретическом ма­
териале, изучение которого, с ТО';IКИ зрения ав­
торов, целесообразно для учащихся. Отметим
некоторые из этих статей.
А. Д. М е д в е д е н к о ( г. Н иколаев) рас­
сказывает об одном из элементарных приемов
решения сравнений вида ах = b (mod т) , где
О < а < т, (а, т) = 1 , основанном на преобра­
зовании коэффициентов.
Л. А. С а т (г. Кызыл) в статье «Дополни­
тельные вопросы арифметики» и Л. М. М у­
х и н а ( г. П сков) в статье «Из опыта прове­
дения м атематического практикума по теме
«дополнительные вопросы арифметики» дают
разработку темы «дополнительные вопросы
арифметики» для факультативных занятий.
Первая из них п редназначена для учеников
V I I класса, вторая - для учеников VI I I класса.
Л. А . Сат предлагает тему «дополнительные
вопросы а рифметики» излагать по следующе­
му плану : «Сравнения, их основные свой­
ства - 2 ч. Решение примеров н а сравнения 1 ч. Вычеты - 1 ч. П р изнаки делимости - 1 ч.
Решение примеров (самостоятельная р а бота
на 20-30 мин. ) - 2 ч. Неопределенные урав­
нения - 2 ч. З ачет - 1 ч.».
Несомненный интерес представляют собой
предложенные а втором упражнения, например
следующие:
« 1 . Показать, что если п нечетное число,
то п2 - 1 делится на 8.
2. Если 3п = - 1 ( mod 1 0 ) , то · 3 n + 4 =
== - 1 (mod 1 0) .
3. П роверить, что 314 = - 1 (mod 29) .
4. Н а йти остаток от деления 1 5325- 1 на 9.
5. Среди чисел 1 35, 226, 1 06, 1 8 1 , 225, 1 67,
452 найти все пары чисел, сравн и мых между
собой по модулю 1 5.
6. Среди чисел 1 46, 1 20 1 , 1 82, 24 1 н айти все
п а ры чисел, сравнимых между собой по моду­
лю 1 2.
7. Даны три числа 1 37, 343, 633. Какие из
данных чисел сравнимы с числом 13 п о моду­
лю 3 1 ?
8. Даны три числа 234, 634, 1 04. Какие из
этих чисел сравнимы с числом 9 п о моду­
J!Ю 25?
-

62

9. Показать, что 1 1 1 + 2 1 1 + 31 1 + 41 1 дсл�пся
на 5.
1 0. П оказать, что 1 1 3 + 3 1 3 + 5 1 3 + 7 1з ==
= O (mod 8) ».
Л. М. Мухина предлагает следующую про­
гр амму занятий, каждое из них полуторача­
совое:
«3 а н я т и е I. Определение числового срав­
нения. П ризнак сравнимости двух чисел. Тео­
рема о сравнимости целого числа а по любому
модулю т с остатком r, полученным при деле­
нии а на т. Свойства числовых сравнений:
1 ) почленное сложение, вычитание, умножение
числовых сравнений по одному и тому же мо­
дулю; 2) деление обеих частей сравнения на
число.
3 а н я т и е I I. Упражнения на применение
свойств числовых сра внений.
3 а н я т и е I I I. П ри менение теории сравне­
ний для вывода признаков делимости чисел.
Распределение целых чисел на классы по мо­
дулю т.
3 а н я т и е IV. П онятие о сравнении первой
степени с одн и м неизвестным. Решение срав­
нений первой степени с одним неизвестным.
Число решений сравнений.
3 а н я т и е V. П онятие о неопределенном
уравнении первой степени с двумя неизвест­
ными. Решение . неопределенных ура внений
в целых числах».
Автор считает, что следует решать соответ­
ствующие упражнения и при подведении уча­
щихся к тому или иному теоретическому выво­
ду и после изучения теории того или иного во­
проса.
Об изучени и с учащимися V I I -VI I I классов
сельской школы темы «Геометрические преоб­
р азованию> р ассказывает В. А. С л о б о д е н ю к
( Краснодарский край) . Учебный материал
( поурочно) п р едлагается р аспределить сле­
дующим образом: «Осевая сим метрия ; опреде­
ление. Свойства осевой симметрии; теоремы
о симметричности. Центральная симметрия;
определение. С войства центральной симмет­
рии. П а раллельный перенос. Свойства парал­
лельного п ереноса. Вращение; вращение - гео­
метрическое п реобразование. Свойства враще­
ния. Решение задач при помощи движения
(2 ч.) . Понятие о подобии. Гомотетия I рода
как геометрическое п реобразование. Свойства
гомотетии I рода. Гомотетия I I рода; свойства
гомотетии I I рода. Решение задач с использо­
ванием с войств гомотетичных фигур. Сжатие
к прямой. Эллипс и его уравнение. Решение
задач по теме. Разбор вопросов (3 ч.) ».
Представляется интересным опыт примене­
ния диафильмов для успешного овладения
учащимися изучаемого с ними материала. Так,

на первых двух уроках демонстрируется диа­
фильм «Осевая симметрия», при этом учащим­
ся задаются вопросы, которые углубляют уже
полученные ими сведения о свойствах осевой
симметрии и способствуют активному восприя­
тию и лучшему усвоению изучаемого ими ма­
териала. На 3-4 уроках демонстрируется диа­
фильм «Центральная симметрия», после это­
перенос»,
го - диафильмы «Парал.пельны й
«Вращение», «Гомотетия». На некоторых уро­
ках демонстрируется не весь диафильм, а толь­
ко его часть.
На всех занятиях учитель широко пользует­
ся графическими иллюстрациями.
С учащимися седьмых классов р аботала и
А. С. С е р г е е в а ( г. Калинин) . В статье «Из
опыта изучения основ векторной алгебры с уча-'
щимися седьмых классов» она пишет, что
«осуществляемая программа и мела вид: Ска­
лярные величины. Векторные величины. Векто­
ры. Равные векторы. П р отивоположные векто­
ры. Сумм а двух векторов. Нуль-вектор. Сумм а
нескольких векторов. В ычитание векторов.
Умножение вектора на число. Условие колли­
неарности двух векторов.
На изучение этих вопросов было затрачено
9 часов. Один час отводился на контрольную
работу».
Авторы нескольких статей сообщают об
опыте изучения элементов теории множеств
с учащимися разного возраста.
Так, О. Б. Е п и ш е в а (г. Тобольск) дает
подробный обзор литературы по этой теме,
проводит исследование места теории множеств
в преподавании математики, методики изуче­
ния элементов теории м ножеств автора ми раз­
личных книг, пособий и статей, применения
этого аппарата к изучению р азличных тем
школьного курса математики, при этом в спи­
ске изученной и использованной для данной
статьи литературы содержится 62 названия.
Автор считает, что:
«а) Элементы теории множеств я вляются те­
перь составной частью среднего м атематиче­
ского образования; это положение, поддержи­
ваемое математической общественностью, за­
креплено новой програ ммой по м атематике
для средней школы и соответствующими ей
учебника ми.
б) Разработана и проверена эксперимен­
тально методика ознакомления учащихся с на­
чальными понятиями теории множеств.
в) В значительной степени решена проблема
использования теоретико-множественных по­
нятий при изложении первых тем курса («На­
туральные числа», первоначальные геометри­
ческие понятия ) .

г) Liастично исследованы и в некоторой сте­
пени отражены в учебниках вопросы дальней­
шего развития теоретико-множественных пtшя­
тий в рамках новой п рогра м м ы при изучении
таких тем, как делимость чисел, функция,
уравнения , неравенства, системы уравнений и
неравенств, н ачальные понятия стереометрии».
М. М. Х м е л и н с к а я (г. Белая Церковь)
говор ит о введении теоретико-множественных
понятий в курсе м атем атики восьмилетней шко­
лы: «С учащимися были изучены следующие
вопросы : Множество. Элемент множества. От­
ношение принадлежности о бъекта множеству
и его отрицание. Способы задания множества.
Отношение включения и его отрицание. П од­
множество. Равенство множеств. П ересечение
м ножеств. Объединение м ножеств». Представ­
ляет интерес включение автором в систему за­
дач некоторых примеров решения уравнений и
неравенств с применением я зыка теории мно­
жеств и м атематической логики. П риведем от­
дельные примеры.
« 1 . Н айти пересечение и объединение мно­
жеств:
Р

= { x j x <;: 3} , М = { х / х > 5}.
а) Р n М = К, К = 0 (пустое множество).
б) P U M = L , L = { x j x <;: 3 или х > 5}.
2. Записать множество решений неравен­
ства j x - I \ > 2.
{ х 1 /х - 1 ! > 2 } = { х 1 х > 3 } U { х 1 х < 1 } .

-

3 . Найти множество р ешений неравенства

2
-< 4.
х1

{ х \ х \ < 4} = { x ! x < l } U {х ! х > +} .

4. Найти множество решений уравнения
х2 - 2х - 3 = 0.
{x j x2 - 2x - 3 = 0} = { - l ,3}.
О работе с учащимися восьмилетней школы
по изучению с ними элементов теории мно­
жеств пишет М. Г. Г а р у н о в (ст. Малаховка
Московской обл. ) в статье «Повторение, обоб­
щение и р азвитие м атематических понятий н а
факультативных занятиях в V I I I классе»:
«Целью данной статьи является ознакомить
читателя с опытом использования системы по­
вторения , обобщения и развития математиче­
ских понятий основного курса школьной про­
граммы на факультативных занятиях в VI I I
классе».
Автор показывает, «как использовать поня­
тие пересечения м ножеств для повторения,
обобщения и развития некоторых понятий,
изучаемых учащимися V I I I класса в предыду­
щих классах».
63

В качестве первого примера рассматривает­
ся тем а «делимость чисел:�-.
«Ознакомив учащихс5t с понятием пересече­
ния множеств, были повторены п онятия : дели­
тель и общий делитель, кратное, общее крат­
ное и наименьшее общее кратное чисел ; про­
стые и составные числа. При этом, внимание
учащихся было обра щено на некоторые важ­
ные положения арифметики. Множество крат­
ных числа бесконечно , а множество делителей
числа конечно. Множество общих кратных чи­
сел бесконечно а множество общих делителей
ожество об iцих делителей со­
конечно. Если
стоит из одного элемента , то эти числа взаим­
н о просты. Множество п ростых чисел беско­
нечно.
Некоторые из этих положений мы строго
доказали.
А чтобы добиться окончательного достиже­
ния цели факультативных занятий по этой те­
ме, был дан общий метод нахождения НОД и
НОК двух или нескольких чисел : множество
о бщих делителей двух или нескольких чисел
я вл яется пересечением множеств делителей
этих чисел; н аибольший элемент этого множе­
ства я вляется наибольшим общим делителем
чисел.
Второй темой была тем а : «Системы двух
уравнений первой степени с двумя неизвест­
ными».
Допустим надо решить систему

;.ш

{

М (х, у) = О,
Е (х, у) = О.

Пусть уравнению М (х, у) = О соответствует
множество А таких п а р чисел (а, Ь ) , что
М (а, Ь) О, а уравнению Е (х, у) соответ­
ствует множество В таких п а р чисел (с, d) ,
О. Н а м же н адо найти пары чи­
что Е (с, d )
сел, удовлетворяющих обоим уравнениям, т. е.
пересечение множеств А и В».
В статье приводятся примеры использования
понятия пересечения множеств для повторе­
ния, обобщения и р асширения понятия «гео­
метрические места точек».
Упражнения по теме «Множества. Операции
над множествами» п рислала в редакцию
А. Н. Л и т в и н о в а (Москва) . Эти упражне­
ния , как сообщает а втор, «Помогают закрепить
определения операций пересечения, объедине­
ния, разности, п ознакомиться с их свойствами
(ассоциативностью и дистрибутивностью ) , луч­
ше усвоить такие понятия, как пустое множе­
ство, включение, помогают приучить учащихся
к логическому мышлению и н аучить их пользо­
ваться математической сим воликой и диаграм­
мой Венна».

=

64

=

ИЗ многих приведенных в статье упражне­
ний отметим некоторые.
« 1 . Даны множества А и В, причем А с: В.
Что можно сказать о множествах AUB и
А ПВ ?
2. Дано множество Е = {а , Ь , с , d , е , /}
и два его п одмножества А = {а , Ь, с, d} и
B = { c, d , e}.
а) Образуйте множества А' = С Е А и В ' =
= СЕВ.
б) Образуйте множества Н = А n В и Н' =
= СЕН.
П роверьте равенство Н' = А' U В'.
в) Образуйте подмножества К = А U В и
К' = СЕК.
П р оверьте равенств о К' = А' n В'.
В следующих упражнениях А, В, С обозна­
чают подмножества одного и того же множе­
ства Е.
3. У становить эквивалентность :

а) А U В = А < - > В с А .
Асс
б)
{=) (A U B) c C .
Вес
4. Что можно сказать о множествах А и В,
если :

}

а) A U B = 0

6) A n

В = Е.

5. Доказать эквивалентность :
A c B {= > ( CEA) U B = E.
А с B{=> A n ( C EB) = 0 -

(Для доказательства можно испо.1ьзовать диа­
грамму Венна или привести р ассуждение. )
6. Пользуясь диаграммой Венна, п роверить
равенства:
cE ( A n B) = (C EA) u (СЕВ) и с Е ( А u В) =
= (С Е А > n ( С ЕВ) » .
Следует отметить, что сейчас, когда изуче­
ние начал теории множеств предусматривает­
ся ·согл асно новой п р огра м ме в младших
классах, факультативные занятия в более
старших классах по своему содержанию бу­
дут существенно измен яться.
«Об изучении произведени я множеств и о
решении задач на комбинаторику» пишет
Х. Ш. Ш и х а л и е в ( г. Махачкала) : « Поня­
тие п роизведения множеств рассматривалось
на факультативных занятиях в V I I-VI I I
классах одновременно с темой «Элементы
теории множеств».
Учащимся дается понятие о произведении
множеств
на примере
!\1НОЖеств
двух
{ а , Ь, с, k} и { т , k, с}, о произведЕ:нии трех
множеств на примере множеств { а , Ь, с , k}

{ т , k, с } . · {е, п } . Решаются простые задачи

на нахождение произведения множеств. На­
пример: «В рабочем поселке телефонные но­
мера состоят из трех знаков (цифр ) . Сколько
всего таких номеров может оказаться в по­
селке?
Определить число все1юзможных телефон­
ных номеров в Москве, если каждый номер
состоит из семи цифр».
Учащимся предлагались также некоторые
задачи, не требующие для своего решения
изучения комбинаторики.
Об изучении с учащимися V I I классов темы
«Арифметическое устройство вычислительных
машин» пишет В . М. С а м о й л о в ( г. Мур ­
манск) :
«Занятия проводились по программе:
а) Элементы арифметических основ цифро­
вой м ашины - 6 часов.
История развития и применения в ычисли­
тельной техники. Позиционные и непозицион­
ные системы счисления. Десятичная система
счисления. Восьмеричная и двоичная системы
счисления. Перевод целых и дробных чисел
из одной системы счисления в другую. Пере­
вод из восьмеричной системы в двоичную и
обратный перевод, с учетом связи их основа­
ний. Двоичная система счисления - арифме­
тическая основа электронных в ычислительных
машин. П редставление чисел в м а шине. Блок­
схема м ашины и назначение основных узлов.
б) Элементы логических основ цифровой
машины - 12 ч.
Обычная алгебра и ее законы. Понятие вы­
сказывания. Операции над высказывания ­
ми: конъюнкция (логическое умножение ) ,
дизъюнкция (логическое сложение) и от,р ица­
ние. Сложные высказывания. Формула алгеб­
ры логики (высказываний) и ее значение ис­
тинности. Таблица истинности формул алгеб­
ры логики. Понятие логической функции.
Функция и ф ормула, ее представляющая.
Равносильные формулы алгебры логики. П ре­
образования ф ормул. Анализ и синтез про­
стейших контактных схем. Построение функ­
циональной схемы одноразрядного двоичного
сумматора на два входа. Экскурсия в вычис­
лительный центр.
Изучение контактных схем проводили по
схеме: первоначальные сведения об электри­
ческом токе, цепи, электрической схеме. Кон­
такт, его обозначение, состояние и значение.

3

Ма 1-ематика

в шкоде

Ni 1

Операции над контактам и и простейшие кон·
тактные схемы. Алгебра высказываний и
алгебра контактов. Л огическая функция ( пе­
реключательная ) контактов. Значение функ­
ции и проводимость схемы. Анализ и син­
тез п ростейших контактных схем. Преобразо­
ватели («не», «И», «или») . П остроение схемы
одноразрядного двоичного сум матора на
2 входа.
Перед построением схемы сумматора ре­
ш аем задачи подготовительного характера,
например:
1 ) Система сигнализации имеет два кон­
такта и устроена так, что контрольная лампа
загорается тогда и только тогда, когда замк­
нуты оба контакта. Начертить контактную
схемv
· системы.
2) В доме нужно сделать электрическую
сеть. В ней должно быть два переКJ1ючателя:
переключатель на нижнем этаже и переклю­
чг.тель на верхнем этаже. Они соединены с
электрической лампой в вестибюле. Когда по­
вор ачивают любой из этих двух переключа­
телей, лампа до.11жна загораться, если она не
горела, и гаснуть, если она горела».
Автор сообщает, что ф акультативные заня­
тия в V I I классе по этой п рограмме проходят
успешно.
Обзор помещенных статей показывает, что
авторы статей затрагивают многие п роблемы,
связанные с проведением факультативных за­
нятий в школе.
Однако не все тем ы програ м м ы ф а культа­
тивных занятий нашли при этом свое отра ­
жение. Так, например, р аздел «Решение за­
дач» входит в программу факУльтативных
занятий каждого года обучения, но в редак­
ционной почте нет статей, посвященных мето­
дике решения задач на факультативных за­
нятиях. Освещение этой п роблем ы было бы
весьма своевременным.
Кроме этого, было бы интересным и полез­
ным узнать о положительном опыте в разви­
тии внеклассной работы параллельно с про­
ведением факультативных занятий, о новом
во внеклассной работе в IV-VI классах, что
появилось в связи с введением факультатив­
ных курсов по в ыбору в последующих клас­
сах.
Очевидно, что обсуждение проблем, связан­
ных с проведением в школе факультативных
занятий, в дальнейшем будет продолжено.

Ш. Х. МИХЕЛОВИЧ (r. Даугавпилс)

Прямая на клетчатой бумаге 2
Наше внимание привлекают вершины кле­
ток, т. е. узловые точки на плоскости. Если из
линий на клетчатой бумаге выделим две
перпендикулярные прямые и превратим их в
координатные оси, то тогда координ атами
узловых точек будут целые числа, и м ы будем
о них говорить просто как о целочисленных
или целых точках плоской решетки или сетки.
На миллиметровой бумаге м ожно, кроме
целых точек, хорошо разгл ядеть также м ного
точек с дробнь1ми координатами. Вместе с
це.11ыми точками они образуют сетку рацио­
н альных точек. П оследние м огут быть так
близки друг к другу, что и н а м иллиметровой
бумаге воспроизвести их будет невозможно.
При всем этом между рациональными точка­
ми еще тьм а иррациональных точек, т. е. та­
ких, у котор ых по крайней мере одна коорди­
ната - число иррациональное.
Н ачнем с вопроса: можно ли провести пря­
мую хотя бы через одну целую точку? В этом
никакого сомнения нет: приложим линейку к
л юбой точке, и прямая пройдет через нее.

уже ясно, поскольку построение возможно
повторить неограниченное число раз, что пря·
м а я пройдет через бесконечное множество це­
лых точек.
Итак, прямая только через две целые точки
проходить не может.
Заметим, что прямая, проходящая через
две целые точки, имеет рациональный углаВерно и обратное:
вой коэффициент k
=

��:.

если прямая, проходящая через целую точку,
имеет рациональный угловой коэффициент,
то эта прямая проходит и через другие це­
лые точки.
Пусть прямая а проходит через целые точ­
ки А и В. Как узнать, не лежат ли между А
и В другие целые точки?
Если между целыми точками А и В лежит
промежуточная целая точка D , то тогда
А
Поскольку числи(см. рис. 1 ) DD 1 = В 1
ADi
лл.
тели и знаменатели целые числа, а DD 1<BA1,
то равенство у казанных дробей означает, что
.

ВА1

AA

i

-

сократимая дроб ь.

Легко понять, что если ( ВА 1, АА 1 ) = d, то
d - 1 указывает количество цел ых точек меж­
ду А и В.
Для точек А (х1, у 1 ) и В (х2, У2) ко:личество
промежуточных целых точек равно d - 1 , где

d = (X2 - X1, Y2 - gi) .

а

А

Вернемся теперь к вопросу, поставленному
раньше: можно ли провести прямую через
единственную цеJ1ую точку А ?

о,

Рис.

1

А можно л и прямую провести так, чтобы
она прошла через единс;гвенную целую точку?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим
прежде более простой вопрос. Можно ли до­
биться того, чтобы прямая, проходящая через
це.11у ю точку А, задела на своем пути лишь
еще только одну целую точку В? Д ругими
сдовами, м ожет л и прямая избрать свой путь
так, чтобы она прошла только через две це­
лые точки А и В?
По-видимому, нет. Если построить дВВ1С=
= дАА 1В (рис. 1 ) , то при точке В получится
развернутый угол, так что точка С также
должна принадлежать прямой а. Но тогда
2 Статьи Ш. Х. М и х е л о в и ч а,
3. И. Т у р л а к о­
в о й и И. С. Б е л я е в о й приводятся в сокращенном
виде.

66

��:

После проведенных рассуждений ясно, что
для такой прямой
(рис. 2) не может

А,

х

Рис.

2

Рис.

3

быть рациональным числом, другими словами ,

��

1
ее угловой коэффициент k = tg а =
1
должен быть иррациональным числом. Это
v­
ВА
и достаточно: если, например, лл = 2,

то соответствующая прямая

через

:

другие

целые точки, кроме А, пройти не может (если
бы прямая прошла через вторую целую точку, то угловой коэффициент оказался бы ра­
циональным, что противо речило бы условию) .
Через начало координат О, как и через дру­
гие целые точки, можно п ровести п рямые, ми­
нующие остальные целые точки. Пусть ОМ
(рис. 3) одна из таких прямых. Если через це­
лую точку А провести прямую АК параллель­
но ОМ, то каким числом представится длина
отрезка OD, отсекаемого этой прямой на оси
Оу?
Это число не может быть целым, потому
что иначе прямая, проходящая через целую
точку и имеющая иррациональный угловой
коэффициент, проходила бы через вторую це­
лую точку, что невозм ожно.
А м ожет ли точка D быть хотя бы рацио­
нальной? Это сказать несколько труднее. На­
до вообще подумать, может ли прямая, про­
ходящая через единственную целую точку,
пройти через какую-н И:будь другую рацио­
нальную точку.
Конечно нет, потому что, е сли бы прямая
А !( , где А целая точка, прошла через неко­
торую рациональную точку R (рис. 4), то
оказалось бы, что tg а: =

��:

у

Рис.

4

о

х

Рис .

5

точками всегда опять существует р а циональ­
ная точка ) . Но это факт.
Теперь естественно возникает вопрос: м о­
жет ли прямая так избрать свой путь, чтобы
вообще не проходить через целые точки?
Две системы таких прямых очень легко най­
ти - это прямые, параллельные осям Ох и
Оу и пересекающие стороны клеток (рис. 5) .
зе

Существуют ли прямые, отличные от ука­
занных параллелей, которые не проходят ни
через одну целую точку? Чтобы ответить на
этот воп рос, будем так р ассуждать. Через це­
лую точку можно п ровести прямые двух ви­
дов : такие, у которых угловой коэффициент
число р а циональное (они проходят через
бесконечное количество целых точек) и такие,
у которых угловой коэффициент число ирра­
циональное (эти не п роходят через другие ра­
циональные точки ) .
Указанными двум я видами направлений ис­
черпываются всевозможные направления пря­
мых. Мы можем поэтому говорить о п рямых
в рациональных и иррациональных направле­
ниях и быть уверенными в том, что прямых
в других направлениях не существует. Ясно,
что если существуют п рямые, не п роходящие
ни через одну целую точку, то это могут лишь
быть п рямые, параллельные одному из ука­
занных направ.11ений.

число рацио­

нальное, что противоречит условию.
Итак, если прямая п роходит через един­
ственную целую точку, то эта цела я точка яв­
ляется также единственной р а циональной
точкой, через которую проходит эта прямая.
Это довольно удивительно, если учесть, что
рациональные точки р асположены н а коорди­
натных осях, а в месте с тем и в плоскости,
плотно (т. е. между двум я р а циональными

А, R,

·

Рис.

х
6

Возьмем сначала прямую, проходящую че­
рез две целые точки А и В; она, как известно,
имеет рациональное направление.
Если мы через целые точки А и В проведем
прямые в вертикальном направлении, то в
примыка ющих к АВ областях между вертика­
лями найдутся ближайшие целые точки как с
одной, так и с другой стороны от п рямой.
Пусть это будут точки К и L ( рис. 6) . Тогда
прям ые, п роведенные параллельно АВ между
К и L, н и через одну целую точку внутри
параллелограмма UVPQ не пройдут. Они во­
обще не пройдут через целые точки, потому
что в соседних аналогичных областях как со
стороны А. так и со стороны В картина бу­
дет такая же.
Если п а раллельное смещение прямой АВ
вверх и вниз меньше соответственно AQ и A V,
67

то о на

переводится в прямые, не проходящие
через целые точки.
Интересно определить значения A Q и А И.
Пусть, например, прямая АВ имеет угловой
5
коэффициент k = ,7" где ( 5 , 7) = 1 , и пусть

А и В соседние целые точки на прямой АВ
так, что АА 1 = 7, а ВА 1 = 5 . Примем А за на­
чало координат и прямую АА 1 за ось абсцисс
(рис. 7) . -

Рис. 7

Когда абсцисса переменной точки М на
АВ пробегает зна чения 1 , 2, . . . , 7, ее соот­
ветствующие ординаты принимают зна чения :
5
5
5
l · 7 , 2 · 7 , . . . , 7 7 • а раССТОЯНИЯ ДО ближайшей целой точки N снизу - значения
седьмых д о лей полной системы вычетов по
модулю
7, составленных из наименьших
т. е. зна ч ения
положительных
вычетов,
7
2
1
·

т· т·

· ·· ·

т {если на порядок следования этих

чисел не будем обращать вниман и я) . О чевид­
но, что расстояния от переменной точки М
до ближайших целых точек сверху принима­
ют такие же значения.
Итак, ответ на поставленный вопрос най­
Наименьшее
параллельное
с мещение
ден.
( вниз или вверх), переводящее прямую АВ
с

5

k = 7 в другую, проходящую через целые
1

точки,

равно

т·

Последующие

смещения

вертикальном
направлении,
приводящие
в
к аналогичным результатам, от первого не
отличаются: через каждую седьмую долю
единицы
получаем
прямую,
проходящую
через бесчисленное множество целых точек.
Заметим, что величина указанного смеще-

ния

в

общем

случае,

когда

k=

�,

где

(а , Ь) = 1 , равна Т и зависит лишь от знаменателя углового коэфф и циен т а_
1

68

Возь м ем теперь прямую. котор ая прохолит
через единственную целую точку А и имеет,
следовательно, иррациональное направление.
Не теря я общности, можно сказать, что А
совпадает с началом координат.
Сместим указанную прямую параллельно в
вертикальном направлении так, чтобы она
прошла через дробно-рациональную точку,

например, через точку

(О, � ).

Смещенная

прямая ни через одну целую точку не прой­
дет, потому что прямая в иррациональном на­
правлении, проходяща я через целую точку,
через другую рациональную точку пройти не
может. Таким образом, в любых иррациональ­
ных направлениях существуют прямые, не
проходящие ни через одну целую точку.
Возникает вопрос: на сколько надо самое
меньшее параллельно сместить прямую а,
проходящую через целую точку А в иррацио­
нальном направлении, вдоль оси Оу, чтобы
она снова прошла через целую точку? Оказы­
вается, что такое смещение может быть сколь
угодно малым. Другими словами, в любой
близости от данной прямой а имеются целые
точки. Этот интересный факт вытекает, напри­
мер, из теории бесконечных цепных дробей.
Подводя итог, можно сказать, что в любом
направл ении имеются прямые, не проходящие
ни через одну целую точку. При этом оказы­
вается, что в рациональных направлениях
расстояние м ежду параллельными прямыми
через целые точки имеет для каждого направ­
ления свое минимальное зна чение, между тем
как в ирра циональных направлениях расстоя­
ние между параллельными прямыми через
целые точки может для каждого направления
стать сколь угодно малым.
3. И. ТУРЛдКОВд (г. Тирасполь)

М ножест ва и о пера ц ии
над н и м и
На факультативных занятиях по этой теме
рассматривались следующие вопросы: поня­
тие о множестве, равенство МНQЖеств, под­
множество, операции над м ножествами ( объ­
единение множеств, пересечение множеств,
разность двух множеств, дополнение множе­
ства ) , принцип двойственности.
На занятиях часто использовался наглядно­
индуктивный метод для установления тех или
иных гипотез.
Приводим некоторые упражнения, которые
выполнялись учащимися при изучении темы.

! . Обознnчпм че р ез :
N _:___ множество натуральных чисе.1, вклю­
чая и нуль.
С - множество целых чисел.
С+ - множество целых положительных чи­
сел.
с- - множество целых отрицательных чи­
сел.
R - множество рациональных чисел.
R+ - множество положительных р ациональ­
ных чисел.
R- - множество отрицательных рациональ­
ных чисел.
Выберите верные записи:
1 -

3 E N ; 5 ER;2 E N ; О, ( З) Е R; О , (31 ) Е R;
0,2 ( 1 6) Е С ;
3,27 Е С ;
0 ,2 ( 1 6) Е R;
О Е R;
- 12 Е С - .
2. Среди перечисленных ниже множеств

7 . Выразите множество С решений системы

{/ (х) > О,

rp (x) > O
через множества А и В решений неравенств
f (x) > O и rp (x) > O .
8 . Докажите:

1 . A n (A U B) = А.
2 . А U (А П В) = А .
9 . Иайдите А u в, A n B ,

если
а)
б)
в)
г)

4) Множество учеников класса.

5) Множество ко р ней неравенства:
а ) х2 - 9х + 20 � О,
б ) х2 - 3х + 2 > 0.
6) Множество теорем, доказанных в учебнике по геометрии.
7 ) Множество точек прямой.
8) Множество целых делителей числ а 144.
9) Множество целых чисел, делящихся на 3.
1 0) Множество всех точек плоскости.
3. Прочтите следующие записи:
1 . E {x E R \ x > 5}.
2. Е { хЕ С / - 8 <;: х <;: 9}.
3. E { x E R \ l:l< x < b} .
4 . Е { х Е N \ х делитель 1 44}.
5. Е {х Е N 1 х делится на 5}.
4 . Обозначим через D k множество целых
де.штелей числа k (k Е С). Проверьте записи ,
установите , какие из них верны, какие оши­
бочны.
D 18c D54 с D 162c С ; D3 c D27 с D75 с N.
произвольное множество.
5 . Пусть А
Вычислите: а) (А U А) U А .
б) ( A n A) n [A n (A n A ) ].
в) A u g .
г) g n A .
6 . Выразите множество С решений уравне­
ния f (x, y ) · rp (x, y) = O через множества А
уравнен ий
f (х, у) = О и
и В решений
rp (x , у) = О, если f (.x, у) и rp (.x, у) являются
многочленами от .х и у .

-

В = [ 2 ; 4 ].
В = [ 2 ; 4).
В = (2 ; 4].
В = (2; 4).

U Хп и n хп,
OQ

10. Найдите

укажите конечны е и бесконечные.
l ) Множество всех четных ч исел.
2) Множество всех простых чисел. Попро ­
буйте обосновать свой ответ.
3 ) Множество кор ней уравнения

l x+ 2 1 + l x-2 1 =4

А = [3; 5] ,
А = [ 3 ; 5],
А = [ 3 ; 5],
А = [3; 5],

а)

Х

п

б) х

п

=
=

А '\_ В, В '\_ А,

OQ

n=I

n=I

если

[ - _1 . ]
(-· _1 • _1) .
п

п

'

'

1
_
п

'

п

1 1 . Докажите , что А U (В". А ) = А U В.
12. Постройте множества (( х , у) - точка

в некоторой прямоугольной системе коорди­
нат):
а) {(х; y) / x > 2} n {( x ; y) j x <;: 7} .
б ) {(х; у) / х · у > 1 }.
в) {<х; у) \ у = +}·
г ) { ( х; y)j х >- 2 } n {(х; у) 1 у > 5} .
д ) {(х; y ) jx > О } n {(х; y)jx <;: 1 } n { (х ; у)!у >

> - 1 }.
t (x ; у) 1 х2 + yz = 1 } .
{(х; у) 1 у - (.х2 - 7х + 1 2) = О } .
{ (x ; y) j .x · y = O}.
{(х; у) / (xz + yz - 1 )2 + (ху)2 = О}.
к) {(х; y ) j х - у = 0}.
.
л) (х; у)
=о

е)
ж)
з)
и)

{

\ Х:�У1

}
\
м) {<х; у) :У-=.� = о}.

1 хх2 у = о}.
о) { <х; y)j у = ;;=�� } ·
п ) { <х; у) 1 у = 1; 2�}·
н)

<х; у)
{

р) { (х; у) 1 (х - у) (.х - З) (х - 1) = О}.

с) { (х; у) 1 (ху - 2 ) (х3 - у) = О}.
т) (х; у) ! у = : .х2 - бх + Щ}.

у) {(х ; y) j y (x 2) ! x + 5 j }
ф) {x; y ) j y = x2 - 6 lx/ + 5 }.
13. А = {(х; y ) l - 1 <: у <: 3}; В= {(х ; у )/ х ­
- у = 0}.
Найдите А П В и A U B.
1 4. А = {(х ; у) \ х2 + у 2 - 1 <: 0 } ,
В = {( х ; y) l x · y = 0 }.
=

-

.

Найдите A n B и A U B.

1 5 . А = {(х ; у ) 1 х + у <: О} ,
В = {(Х; у)! 2 < х <4} .

Найдите A n B и л u в.
1 6. Обозначим через М п множество всех
натуральных чисел, делящихся на натураль­
ное число п. Найдите:
а ) UМп (Объединение по всем натураль-

п

ным п).
б) П Мп (Пересечение по всем натураль-

п

ным п).
в) U МР (Объединение по всем простым р).
р

И. С. &ЕЛЯЕВА (г. Орел)

Из опыта проведения
факупьтати вноrо курса
с:с:Комби наторика>>
в Vll - V l l l классах
П режде чем переходить к методике изло­
жения факультативного курса, дадим пере­
чень рассматриваемых в опросов. Цифры ря­
дом с соответствующими вопросами означают
число .отводимых для него занятий. Каждое
занятие (сдвоенный урок) проходило один раз
в неделю.
1. Основные понятия теории множеств. По­
нятия множества, подмножества ( 1 ) . П рямое
произведение двух множеств, соответствие
между двумя множествами и его виды, мощ­
ность множества (2) . Прямое произведение
нескольких множеств, степень множества ( 1 ) .
1 1. Элементарные способы решения комби­
Itаторных задач. Перестановки и сочетания с
повторениями ( l ) . Перестановки и сочетания
без повторений ( 1 ) . ПравИло произведения ( 1 ) .
,___,
Подсчет числа Р(п, r) r-перестановок с
повторениями и Р (n, r) r-перестановок без по70

вторений, взятых на п-множестве ( 1 ) . Под­
счет числа С (n, r) r-сочетаний без повторе­
ний, ВЗ!:,ЫХ н а п-множестве ( 1 ) . П одсчет числ а С (п, r) r-сочетаний с повторениями, взя·
тых на п-множестве ( 1 ) .
I I I . Метод рекуррентных соотношений в
комбинаторике (2) .
IV. Графы и их применение. Линейные гра­
фы (2 ) . Точечные графы (2) .
V. Комбинаторны е таблицы (2) .
Изложение вводной части началось с уточ­
нения понятий конечных и бесконечных мно­
жеств: выяснили способы задания множеств,
р ассмотрели пустые и равные множества,
установили смысл принадлежности подмно­
жества данному множеству.
Из операций над множествами изучалась
только одна - нахождение прямого произве­
дения двух м ножеств.
Следующее понятие «соответствия между
множествами» усваивалось на основе большо­
го количества примеров, геометрически изоб­
ражаемых графами. Был сделан вывод: соот­
ветствие задано, если заданы три множества,
его определяющие, - область отправления со­
ответствия, область прибытия соответствия и
множество выделенных пар.
П рямое произведение нескольких множеств
и степень множества вводились путем обоб­
щения понятия прямого произведения.
В конце раздела проводилась контрольная
работа. Приводим один из ее вариантов.
1 . Дано множество: кит, лев, а кула , обезья­
на, тигр, слон, дельфин. В ыделить из множе­
ства перечисленных животных какое-либо подмножество и описать его.
2. Даны множеств а : множество машин в го­
роде; множество м ашин р азличных окрасок
в городе; множество номеров машин. Сопо­
ставим с каждой машиной: а) ее номер,
б) цвет ее окраски. Каким будет первое со­
ответствие и каким второе?
3. А - множество домов на улице, В - мно­
жество семей, проживающих на этой улице.
Каждая семья может проживать только в од­
ном доме. В одном доме может проживать
одна или несколько семей. В каком случае
соответств ие между множествами А и В бу·
дет а ) однозначным; б) взаимно однознач­
ным?
4. Найти прямое произведение множеств
{ I, а, Ь} и В = {2, 3, а}.
5. Можно ли сказать, что множество точек
отрезка длиной 9 см имеет мощность, рав­
ную 9?
Во втором разделе курса в непосредствен­
ной связи с предыдущим м атериалом, т. е.

·

н а теоретико-множественной основе, излага­
лись вопросы, имеющие прямое отношение к
комбинаторике. В связи с этим применялись
термины, соответствующие теоретико-множе­
ственному изложению материала и рекомен­
дуемые научно-методической литературой 3,
а именно: r-выборка упорядоченная и неупо­
рядоченная, с повторением и без повторений.
К этому следует добавить, что упорядоченная
r-выборка называлась еще r-перестановкой,
неупорядоченная r-выборка - r-сочетанием.
Преимущество такой терминологии в ее
простоте. И действительно, понятие выборки
означает в комбинаторной математике под­
множества данного множества, чис"10 r ука­
зывает на его мощность, термины упорядочен­
ная и неупорядоченная говорят о важности
учета порядка элементов в в ыборке, а добав­
ления с повторением и без повторений свиде­
тельствуют о возможности наличия одинако­
вых элементов.
Центральным пунктом второго раздела яв­
ляется правило произведения: если один вы­
бор может быть сделан т различны.ми спосо­
бами, а другой, независимый от п ервого вы­
бор п различными способами, то общее число
способов, которыми может быть сделана по­
следовательность двух выборов, будет равна
тп . Занятие, на котором выводилось эти пра­
вило, было организовано так, что учащиеся
пришли к этому выводу сами, путем обобще­
ния рассуждений на основе конкретных задач,
связанных с подсчетом числа упорядоченных
2 выборок. Например, если в столовой изго­
товлено 3 первых блюда и 5 вторых, то из
них можно составить 3 · 5 = 15 обедов.
Уяснению этого правила в значительной ·
степени соответствовало и то, что решение
каждой задачи сопровождалось построением
графа.
Все дальнейшие выводы устанавливались
на основе правила произведения. Исключение
составляло лишь правило для подсчета числа
,._,
С ( п , r) , которое в ыводилось установлением
взаимно однозначного соответствия между
множеством решений неравенств, допускаю­
щих повторения в решении, и множеством ре­
шений неравенств, каждое из которых повто­
рений не содержит. Решения отыскивались на
множестве целых неотрицательных чисел.
Второй раздел, как и первый, завершался
контрольной работой, анализ которой показал,
3

К. А. Р ы б н и к о в, О комбинаторных методах

временной математики, «Математика

№ 4.

в школе�>,

со­
1966,

что материал учащимся доступен и хорошо
ими усвоен.
Наиболее сложным для учащихся оказался
третий раздел курса «Метод р екуррентных со­
отношений в комбинаторике», поэтому часть
раздела, предполагаемого для изучения при­
менения данного метода в решении задач,
связанных с разбиением числа на части с уче­
том и без учета порядка слагаемых, в процес­
се работы нами б ыла оставлена. В связи с
этим основное внимание уделялось понятиям,
усвоенным ранее во второй части, но ре­
шение задач, им соответствующих, осуще­
ствлялось уже методом рекуррентных соотно­
шений. Так, здесь были в ыведены соотноше­
ния:

C (n , r) = С (п, n -r) P (nJ) =
= n', C (n , r ) = С (п - 1 , r - 1 ) + C (n .- 1 , r).
Последнее из них было использовано для по­
строения схемы, называемой треугольником
Паскаля.
Наибольший интерес для учащихся пред­
ставил раздел «Графы и их применение. Ли­
нейные графы. Точечные граф ы». Это объяс­
няется тем, что здесь большая содержатель­
ность материала подкрепляется геометриче­
ской наглядностью. В этом разделе особое
внимание уделялось з адачам практического
направления.
В последнем разделе «Комбинаторные таб­
лицы» учащиеся познакомились с (0, 1 ) матри­
цами, статистическими таблицами, а также с
таблицами, служащими не только для снятия
числовых характеристик, но и для нахожде­
ния наилучшего практического пути решения
какого-либо вопроса.
Как обычно, наибольший интерес предста­
вили примеры, демонстрирующие использова­
ние изложенной теории в практике.
Итак, основным моментом методики препо­
давания ф а культативного курса «Комбинато­
рика», в отличие от его изложения в старших
классах по старой программе, был конкретно­
индуктивный способ объяснения материала на
базе
основных
теоретико-множественных
представлений.
Опыт проведения такого курса убедил нас
в возможности его усвоения учащимися VI I­
V I I I классов. Он nоказал, что у школьников
экспериментальных классов повысился инте­
рес к изучению математическИх предметов. Ре­
шение задач по комбинаторике различными
методами способствовало развитию логиче­
ского мышления учащихся, повышению их ма­
тематической культуры, ·
71

8. Ф. ХРУСТАЛЕВСКИА (г. В11ади1.1ос:ток)

Основы корабnево:жден и я

Известно, что кораблевождение - одна из
старейших областей приложения математики.
П реподавание этого предмета в нашей стране
ведется уже бo.rree 250 л ет. Старая, во многих
р азделах уже сложившаяся и принявшая
классическую законченность наука за послед­
ние десятилетия испытала как бы второе
рождение благодар я ш ирокому использова­
нию р адиотехнических средств, гироскопиче­
ских приборов, автоматики, цифровых и ана­
логовых счетно-решающих устройств, новых
средств для астрономических наблюдений,
гидроакустических средств,
искусственных
спутников Земли, благодаря точному учету
метеорологических и океанографических фак­
торов. Наряду с традиционным математиче­
ским аппаратом кораблевождения (элементар ­
н а я математика, вкл ючая сюда геометрию и
тригонометрию н а сфере; математический ана­
лиз; анал итическая и диффер енциальная гео­
метрия; номография; математическая обработ­
ка результатов наблюдений; приближенные
вычисл ения) все шире и шире внедряются и
новые отрасли математики ( м атематическая
статистика; теория игр с задачами на мини­
мум и максимум ; теория оптимальных реше­
н ий; л инейная алгебра, включая матричное
исчисление; программирование) . Кроме того,
для умелого владения техническими средства­
ми кораблевождения, для создания и кон­
струирования новых требуется знать такие
фундаменталньые теоретические дисциплины,
как теория гироскопа, теория распростране­
ния звуковых волн в морской воде, теория
распространения р адиоволн, дифференциаль­
ные уравнения ( ьбыкновенные и в частных
производных) , теория упругости, теория ин­
формации и др. Разумеется, есть целый ряд
м атематических дисциплин, которые еще ждут
своего приложения к кораблевождению: это
может быть осуществлено только совместными
усилиями математиков и навигаторов.
Лозунг - выявлять потенциальных ученых
как можно раньше - относится и к корабле­
вождению. В школе № 23 г. Владивостока
(школа с м атематической специализацией) ,
котора я стоит на берегу Амурского залива,
где значительн а я часть учащихся растет в
семьях, так или иначе· связанных с морем, на­
р яду с другими ф а культативными курсами
72

был введен курс «Основы кораблевождения с
элемента ми сферической геометрии и сфери­
ческой тригонометрии».
В первые дни второго полугодия 1 969/70
учебного года во всех девятых и десятых
классах со всеми учащимися были проведены
краткие беседы о назначении и содержании
факультативного курса. При этом мы под­
черкивали, что не ставим своей целью подго­
товить каких-то скороспелых штурманов, а
хотим показать в первую очередь связь ко­
раблевождения с математикой, хотим заинте­
ресовать будущих математиков методами и
проблемами кораблевождения, ибо в универ­
ситете им вряд ли будут об этом говорить, а
вести научно-исследовательскую работу в
этой обла сти некоторым бесспорно придется.
Тем, кто решил стать профессиональным
моряком (военным, торговым, промыслови­
ком, исследователем моря ) , наш факультатив­
ный курс даст общее представление о кораб­
левождении, привьет важнейшие практические
навыки, а летняя морская практика позволит
еще р аз проверить свой выбор в жизненной,
реальной обстановке, увидеть и высокую ро­
мантику моря, и его суровые . будни.
На курс было в ыделено 60 часов (на два
учебных года) . Это предъявило к планирова­
нию учебного процесса очень жесткие требо­
вания. П римерно в таком объеме корабле­
вождение читается на курсах судоводителей
маломерных судов, и в этом случае предмет
прев ращается в собрание азов и неизвестно
откуда появившихся рецептов. Такой путь нам
не подходил. Другой путь - излагать теорети­
ческие вопросы, «перескакивая» через основ­
ные понятия и без практических упражне­
ний - мог бы только скомпрометировать наш
замысел. Полноценное и оптимальное реше­
ние в этом случае может п рийти только в про­
цессе самого преподавания. Поэтому вместо
даже предварительного варианта программы
м ы для н ачала ограничились составлением
лишь перечня тем, да и то только на первый
( 1 969/70) учебный год. Насколько такой
тематический план оказался удачным - су­
дить пока р а но. Приводим эти темы: «Пред­
мет, задачи и методы кораблевождения»
(2 ч) ; «Важнейшие понятия навигации и мо-

реходной астрономии, в частноств земньlе и
небесные координаты» ( 6 ч ) ; «Картографиче­
ские проекции и морские ка рты» (4 ч) ; «Счис­
ление пути корабля» (4 ч) ; «Основы сфериче­
ской геометрии и сферической тригонометрии»
(6 ч) ; «Линии положения и определение ме­
ста корабля» (4 ч) ; «Задачи и прог рамма лет­
ней морской п рактики» (2 ч) . Всего 28 часов
::>а второе полугодие. Следующее полугодие
предполагается в основном отвести на море­
ходную астрономию, использование р адиотех­
нических средств, учет дрейфа и течения, а
также уделить внима ние погрешностям мето­
дов кораблевождения.
При подготовке к занятиям нами использо­
вались следующие фундаментальные учебные

-

На облож�у тетради наклейте лист клетчатой бумаги,
разграфив и заполнив его по следующему
образцу
(иначе ваша работа проверяться не будет! ) :

В НЕКЛАССНАЯ РАБОТА
н. &. ВдСИЛЬЕВ, Е. r. rлдrОЛЕВд, в. л. fYTEHMAXEP
( М ос ква)

НОВЫЙ ПРИЕМ В ЗМШ

пособия: Курс кораблевождения ( многотом­
ное издание Гидрографического управления
ВМФ ) , а именно: т. I - Г. П . П о п е к о и
Е . П. С о л о м а т и н, Навигация, Л., 1 9 6 1 ;
т . I I - П. П. С к о р о д у м о в, Мореходная
астрономия, Л., 1 963; т. IV
Е. Г. Г л и н­
к о в , Навигационные пособия, Л., 1 960. При
изучении сферической геометрии и сфериче­
ской тригонометрии мы использовали соответ­
ствующие главы ЭЭМ, кн. 4 ( под ред.
П. С. А л е к с а н д р о в а и др.) , известные
курсы Ж. А д а м а р а. Д. И. П е р е n е л к и н а
и С . И. Н о в о с е л о в а , а также пособие
Н. Н. С т е п а н о в а «Сферическая тригоно­
метрия» ( 1 949) и С. Н. Б л а ж к о «Курс сфе­
рической астрономии» (М., 1 954) .

t

В Заочную математическую школу (ЗМШ) принима­
ются только ученики восм�ых классов. Шко.1ьники, про­
живающие в Москве, Ленинграде и их · пригородах, в
ЗМШ не принимаются. Занятия в школе начнутся с
1 сентября.
В ЗМШ два курса. Обучение в школе бесплатное.
Ниже опубликованы задачи, которые служат вступи­
тельной контрольной работой. Те, кто хочет поступить
в ЗМШ, должны выслать решения этих задач не позд­
нее 10 марта 1971 г. После проверки работы (пример­
но в июле 1 971 г.) будут сообщены результаты.
Хотя некоторые из вступительных задач по внешнему
виду отличаются от обычных школьных, для их реше­
ния не требуется никаких дополнительных знаний по
математике.
. Для того чтобы быть принятым в школу, не обяза тельно решить все задачи без исключения. При оценке
работы будет учитываться не только количество ре­
шенных задач, но и качество решения. Решение каж­
дой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких
объяснений не засчитывается. Если в задаче возможно
несколько разных ответов, то надо указать их все.
Работы должны быть выполнены на русском языке
в ученической тетради в КJiетку. Вступительные р аботы
обратно не высылаются.
Просим при пересылке не сворачивать тетради в труб­
ку. В конверт вместе с тетрадью иужно вложить листок
бумаги размером 1 4 Х 6 см с написанным на нем вашим
почтовым адресом (мы нак.�еим его на конверт, когда
будем посылать ответ ) .
1 С м . : «Математика в школе», 1 964, № 5 , стр. 5964; 1 970, № 3, стр. 64-66.

Вологодская
Иванов Петр,

Область
Фамилия, и м я , год рождения
Школа (полное наавание)
Кл асс
Фамилия, имя, отчество
уч ителя математики
Место работы и долж­
н ость роди телей

Школа
VIII

№ 2

1956

г.

г. Тать.мы

класс «Б»
Н11колай
Никаноров
Алексеевич
Отец - шофер автобазы
№ 3, мать - домашняя
хозяйка
г. Тоть.ма, ул. Ленина,
до.м 3, кв. 8

Полный ПОЧ ТОЕЫ Й адрес

Резул ь т а т ы п ро в е р к и
(заполняется проверяющим)

No

\ 1 / / 41 I 61 1 1 l l / f
1 1 ·\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1

2

з

s

1

s

9

10

11

12

1з

Школьники, проживающие в Архангельской, Калинин­
градской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской,
Псковской, Вологодской областях, Коми и Карельской
АССР, Белорусской, Латвийской, Литовской и Эстонской
ССР, должны присылать работы по адресу: Ленинград,
П-228, ул. Савушкина, 6 1 , Специнтернат при ЛГУ. За­
очная .11атематическая школа. На конкурс.
Школьники, проживающие в остальных областях и
республиках СССР, должны высылать работы по адре­
су: Москва, В-234, МГУ, мехмат, ЗМШ. На конкурс.
Задачи
вступительной работы в ЗМШ
1 . В полукруг диаметра 2 вписаны две окружности,
которые касаются между собой. Каждая из них касает­
ся диаметра и дуги полукруга. Найти диаметр одной из
них, если диаметр другой р авен 1 .
2 . Найти н аибольший общий делитель чисел
987 654 321 и 1 23 456 789.
3. Основания трапеции A BCD равны: АВ = а, CD
Ь, О
точк.а пересечения диагоналей. Опре.целить от=

=

-

13

ношение площади треугольника
пеции.

ОАБ

к площади тра­

4. Известн о что х + -х - целое число. Докажите,
1

,

1

что тогда число х8 + 7 - тоже целое.

5. О треугольнике АБС сделаны следующие 4 утверждения:
l ) Треугольник АБС прямоугольный;
2) LA = 30°;

4)

3) А Б = 2ВС;
А С = 2ВС.

Известно, что два из этих утверждений верны, а два
других неверны. Найти периметр треугольника АВС,
если BC = l .
б. Известно, что а+ь+с<О и что уравнение ах2+
+ Ьх + с
О не имеет действительных корней. Опреде­
лить, какой знак имеет число с.
7. Про точки А, В н С известно следующее: для лю­
бой точки М на плоскости отрезок АМ меньше хотя бы
одного из отрезков ВМ и СМ. Докажите, что точка А
лежит на отрезке ВС.
8. Сколько делителей имеет число 1971 1971? (т. е.
сколько существует различных целых положительных
чисел, на которые это число делится?)
9. Можно ли завернуть кубик с ребром 1 в квадрат­
ный кусок бумаги со стороной 3?
10. Можно ли выписать девять чисел 1, 2, 3, ... , 9 по
кругу в таком порядке, чтобы сумма никаких двух со­
седних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?
1 1 . Жители города Правдина всегда говорят правду,
а ж ители города Лгунов всегда лгут.
В одном иэ этих городов между командами этих го­
родов состоялся футбольный матч. После матча рядом
со стадионом, на котором он проводился, произошел
следующий разговор.
=

Д. И. 6дЯНОВ (г. Набережные Челны, Тат. АССР)

ЧЕТЫРЕ rодд Рд&ОТЫ ГРУППЫ
«КОЛЛЕКТИВНЫЙ УЧЕНИК)) ЗМШ
Желание совершенствовать внеклассную работу по
математике, дать н аиболее способным учащимся более
глубокие и прочные знания, привить им любовь к ма­
тематике привело нас к необходимости начать по-ново·
му серьезные систематические занятия.
Самой удобной и интересной формой работы оказа­
лась группа «коллективный ученик» Заочной математи­
ческой школы при МГУ.
В такую группу мы отобрали 25 человек из восьмых
классов нашей школы, и по нашему заявлению они бы­
ли приняты на I курс ЗМШ в качестве «коллективного
ученика». Ребята, зачисленные в эту группу, одновре­
менно с учебой в IX и Х классах заочно обучались в
двухгодичной математической школе при МГУ под ру­
ководством своего школьного учителя математики руководителя кружка. Через два года вместе со сви­
детельством о среднем образовании ребята получили
удостоверение об окончании ЗМШ в группе «коллектив­
ный ученик». В 1 968 г. была отобрана из новых вось­
мых классов вторая такая же группа, которая окончила
ЗМШ в 1970 г. Таким образом, за четыре года нами
было сделано два выпуска, и всего окончили ЗМШ 40
че,1овек.
74

А (обращаясь к Б и В) : Я не был на матче. Скажите, кто выиграл?
Б: Г сказал мне, что их команда проиграла.
В: Наша команда выиграла.
г (садясь в а втобус, идущий в другой город и об­
ращаясь к А) : Поедем вместе, А, ведь мы из одного
города.
А: Вы ошибаетесь, Г. Я живу здесь. Это В из вашего
города.
Определить, кто из какого города, где происходил
матч и какая команда выиграла.
12. По шоссе в одном направлении с постоянной ско­
ростью через равные интервалы времени идут без ос­
тановок а втобусы. Один человек прошел по шоссе 4 км,
и за это время его обогнали 6 а втобусов. В другой раз
он прошел 7 к:ч, и за это время его обогнали 8 авто­
бусов. В третий раз он прошел 17 км. Сколько автобу­
сов при этом его обогнали? ( Все три раза человек шел
с одной и той же скоростью.)
13. На основании АВ равнобедренного треугольника
АВС взята точка Е, и в треугольники А СЕ и ВСЕ
вписаны окружности, которые касаются отрезка СЕ
в точках К и Н. Найти длину отрезка КН, если АЕ = а,

ВЕ = Ь.

П р и м е ч а н и е. Вступительная контрольная работа
предназначена для тех учащихся, которые хотят зани­
маться в ЗМШ индивидуально. Математические кружки
принимаются в школу в качестве «коллективных уче­
ников» ЗМШ без выполнения контрольной работы толь­
ко по заявлению учителя - руководителя кружка - с
приложением списка членов кружка - учащихся VIII
класса. Заявление, заверенное директором школы, нуж­
но прислать по указанному выше адресу ЗМШ
до
1 сентября 1971 г. Занятия начнутся также с 1 сентяб­
ря 1971 г.

Следует отметить, что вначале происходил небольшой
отсев учащихся: у некоторых эти занятия вызвали
перегрузку, а некоторые просто легкомысленно отнес­
лись к ним и плохо их посещали. Тогда руководитель
кружка включил в состав группы других учащихся, ко­
торые вначале не были включены в список. но хотели
заниматься и постоянно посещали занятия кружка. Все
такие учащиеся хорошо занимались и успешно закончи­
ли ЗМШ.
Как проходили наши занятия?
Во время обучения на 1 и 11 курсах кружок система­
тически получал литературу из ЗМlП (из расчета одна
брошюра на 5 человек) . Брошюры сразу же выдавались
на руки учащимся для изучения, чтобы они могли рас­
сказать на занятии о каком-нибудь разделе книги и
разобрать решения некоторых задач. На очередном за­
нятии кружка (2 часа в неделю ) мы заслушивали вы­
ступления учащихся, обсуждали их, уточняли основные
понятия. Определения и правила учащиеся записывали
в тетрадях. Затем переходили к решению задач. При
этом мы старались решать все задачи из брошюры, а
не только те, которые были указаны в качестве конт­
рольных. К сожалению, из-за нехватки времени это не
всегда удавалось.
Контрольные задачи (в контрольной работе по теме
бывает от 15 до 20 задач) учащиеся решали дома, по­
лучая индивидуальные указания учителя.
Из всех реш�ний, сделанных участниками группы, от­
бирались н аиболее рациональные и красивые. В резуль­
тате получалась одна коллективная работа
нащего
кружка, которую мы отправляли на проверку в ЗМШ.

Опыт четырех лет работы показал, что такая форма
работы очень полезна, она привлекает тех ребят, кото­
рые хотят изучать математику на более высоком уров­
не, более глубоко, чем на уроках, заглянуть в матема­
тику, которая находится «За страницами
учебника».
Очень ценным бьию то, что учащиеся получали воз­
можность систематически работать со специальной ма­
тематической литературой, написанной профессорами и
преподавателями МГУ. В пособиях содержится большое
число задач, из которых многие глубоки по содержа­
нию. Некоторая часть теоретического материала излага­
ется в брошюрах в виде задач. Очень помогает оформ­
.11ение б�юшюр: например, изложение теории сопровож­
дается «дорожными знаками», указывающими, где нуж­
но остановиться при изучении книги и хорошенько по­
нять соответствующее место, где следует «крутой по­
ворот» - переход к более трудному материалу и т. д.
В конце книги есть краткие решения некоторых задач,
указания и ответы. Все это способствует глубокому и
сознательному изучению брошюры и лучшему выпол­
нению контрольных р аоот.
За четыре года работы в ЗМШ у н ас в школе нако­
пилась большая математическая библиотека с ценными
книгами и брошюрами, которые мы получили из МГУ
для учащихся ЗМШ. Назову некоторые из них: ·
И. М. Г е л ь ф а н д, Е. Г. Г л а г о л е в а, А. А. К и­
р и л л о в, Метод координат; И. М. Г е л ь ф а н д,
Е. Г. Г л а г о л е в а, Э. Э. Ш н о л ь, Функции и графи­
ки;
Л. М е с т е ц к и й,
Ф. С у р к о в,
П ределы;
Л. Е. Е в т у ш и к, Задание по стереометрии; И . С. С о­
м и н с к и й,
Метод
математической
индукции;
М. И. Б а ш м а к о в, Уравнения и неравенства; Задачи
вступительных экзаменов по математике и физике ( изд.
МГУ) ; Ж. М. Р а б б о т, Тригонометрия; В. А. Г о д­
з и к о в с к и й, Сборник подготовительных задач по фи­
зике и др.
В процессе занятий руководителю кружка приходит­
ся немало работать самому. Чтобы з анятия кружка
проходили интересно и живо, я предварительно решаю
задачи сам, после чего мне становится ясно, как вести

r. И. САРАНЦЕВ (n. Сос.н овоборск Пензенской

обл.)

ИЗУЧЕНИЕ ОСЕВОЙ
И ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЯ
НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ
В предлагаемой статье освещается опыт изучения осе­
вой и центральной симметрий на внеклассных занятиях
с учащимися шестых классов.
Задачи, решаемые при изучении осевой и центральной
симметрий, мы делим на две группы: 1) задачи, форми­
рующие идеи и методы изучаемых геометрических пре­
образований, и 2) задачи, решаемые методами преоб­
разований.
При решении задач первой группы основное внимание
направляется на прочное усвоение свойств осевой и
центральной симметрий, на выработку умений и навы­
ков в практическом использовании изученных свойств
симметрий. В процессе решения задач этой группы осу­
ществляется и формирование общей идеи геометрическо­
го преобразования.
В процессе решения задач второй группы учащиеся
применяют метод симметрии в конкретных ситуациях,

каждое занятие, какие трудности встретят учащиеся.
Задачи по физике, присланные из ЗМШ, я предварителъ.·
но решаю вместе с преподавателем физики нашей шко­
лы Л. Г. И в а н о в ы м - большим энтузиастом своего
дела. При р аботе с группой «коллективный ученик» учи­
телю приходится иногда знакомиться с новыми для не­
го темами, вспоминать вопросы, изученные ранее, при­
менять эти знания к решению задач. Такая самостоя­
тельная работа расширяет кругозор учителя, углубляет
его знания, дает возможность повысить качество препо­
давания и на занятиях со всем классом. Так что веде­
ние группы «коллективный ученик ЗМШ» - это хоро­
шая систематическая гимнастика ума для самого учи­
теля.
О результатах нашей работы можно судить по таким
данным: по большинству оценок за контрольные работы
школьники нашего кружка получили удостоверение об
окончании ЗМШ с оценкой «хорошо». Бывшие члены
кружка успешней, чем остальные учащиеся, сдавали
приемные экзамены в вузы (конечно, в этом заслуга не
только руководителя кружка, но и всего коллектива
математиков школы, особенно - заслуженного учителя
школы Тат. АССР М. Т. К у т у з о в а) .
Н о нужно сказать, что мы, учителя школы, н е рас­
сматриваем ЗМШ как подготовительные курсы. Наша
цель (так же как и цель ЗМШ) гораздо шире.
Работа ЗМШ интересует многих учащихся и многие
школы нашей республики. Наш опыт быстро распрост­
раняется среди сельских школ и школ малых городов.
В заключение хочу выразить некоторые пожелания.
1. Полностью поддерживаю планы ЗМШ (см. «Ма­
тематика в школе», 1 970, № 3, «Пять лет
работы
ЗМШ») вести р аботу с самого начала восьмого класса.
2. Хотелось бы, чтобы программа ЗМШ была еще
больше связана с программой факультативных курсов
в средней школе. Это ликвидирует многие трудности,
которые испытывают учителя, и даст возможность про­
водить такие занятия на более высоком уровне.
Учителя нашей школы благодарят коллектив ЗМШ з а
его большую творческую р аботу.

получают новые свойства фигур. Задачи второй группы
являются естественным продолжением и обобщением
задач первой группы.
,
1. Изучение осевой симметрии мы начали с рассмот­
рения конкретных симметричных фигур. Сопоставляя
различные симметричные и несимметричные фигуры,
учащиеся сделали вывод, что каждую симметричную
фигуру можно сложить, сгибая лист бумаги, на кото­
ром она вычерчена, по оси симметрии так, что обе
половины сольются в одну.
После этого учащимся предлагались следующие за·
дачи:
1. Нарисуйте прямоугольник. Проверьте, будет ли
диагональ прямоугольника являться его осью симметрии.
2. Постройте квадрат. Установите, сколько осей сим­
метрии имеет эта фигура.
3. Начертите отрезок. Установите, сколько .осей сим­
метрии имеет фигура.
4. Сколько осей симметрии имеет окружность?
5. Имеет ли оси си.иметрии прямая? Если имеет, то
сколько?
6. Постройте прямоугольник и проведите его оси сим­
метрии. Какие линии можно убрать в прямоугольнике,
чтобы получить фигуру с двумя указанными осями сим­
метрии?
75

7. Симметричны ли фигуры, изображенные на черте­
же 1 2. Постройте их оси симметрии.
8. Достройте фигуру, изображенную на чертеже l a,
так, чтобы она имела 1, 2, 4 оси симметрии.
9. Достройте фигуру, изображенную на чертеже 2
так, чтобы прямая s была ее осью симJ.1етрии.

й)

г)

*

о/

5}

8}

•

7.

.

~

' •�

в

Черт. 4

* "* ~

а;

D
D
/
$�
Черт. 2

s

8)

s

л v 1t

76

BJ

1

�+

г} s

0

с
/)

А

Черт. 7

Черт. 6

oJ

s

г)
s

а

Черт. 8

о)

0
s

Черт. 3

После выполнения нескольких упражнений на достра­
ивание фигур до симметричных учащимся сообщалось,
что две части симметричной фигуры, расположенные
по р азные стороны от оси симметрии s, можно рассмат­
ривать как две фигуры, симметричные
относительно
прямой s. Симметричные относительно прямой фигуры
р авны, "I;ак как они совмещаются при перегибании пло­
скости чертежа по прямой s.
1 0. СимJ.tетричны ли фигуры, изображенные на черте­
же 3, относительно прямой s?
Живой интерес вызывает у учащихся построение фи­
гур, симметричных данным относительно данной пря­
мой: а) проколом. б) с помощью копировальной бума­
ги, в) путем отражения от стеклянной пластинки.
Следующая серия задач предназначена для установ­
ления учащимися некоторых свойств осевой симметрии.
1 1 . Начертите на листе бу'Jrtаги произвольную прямую
s и точку А. Постройте одн.им uз известных вам спосо­
бов точку, симметричную точке А относительно прямой
s. Где расположена полученная точка? Могут ли точки,
симметричные точкам оси s, располагаться вне этой
прямой?
1 2. Точка А симметрична сама себе. Как расположена
эта точка относительно оси симметрu;J?
1 3. LABD
LDBC (черт. 4 ) . ОпределитР. перегиба­
нием плоскости чертежа, симметричны ли лучи ВА и ВС
относительн.о прямой BD. Чем является луч BD. для
угла АВС?
14. Имеет ли угол ось симметрии?
1 5. Начертите произвольный угол и перегибанием лис­
та бумаги постройте его биссектрису.
1 6. Перегибанием листа бумаги постройте ось симмет­
рии двух точек. Сколько осей симметрии вы 'Можете
построить?
=

;s

Черт. 5

-ra

Черт.

5)

17 . .Пучи ОА и ОС силtметричны относительно пряJ.юй
ОВ (черт. 5 ) . Что вы можете сказать об углах АОВ
и ВОС?
1 8. Постройте два луча ОА и ОА'. Возьмите на луче
ОА произвольную точку К. Постройте перегибанием
ось симметрии s лучей ОА и ОА' и точку К', cttJ.tмeт-

Черт. 9
ричную точке К относительно s. Где будет находnться
точка К'? Равны ли отрезки ОК и ОК'?
1 9. Проведите прямую s и отметьте точку А, не при­
надлежащую прямой s. Постройте перегибанием листа
бумаги точку А', симметричную TO'iKe А относительно
прямой s. Соедините точку А с точкой А' и докажите,
что sj_AA' и делит отрезок АА' пополам.
20. Постройте перегибанием листа бумаги прямой
угол.
2 1 . АА' не перпендикулярна s, А О = ОА' (черт. 6 ) .
Симметричны л и точки А и А' относительно прямой s?
Как нужно изменить условие, чтобы из него следовала
симметричность точек А и А'?
Пользуясь полученным свойством симметричных то­
чек, переходим к построению фигур, симметричных дан­
ным относительно прямой. П р и этом от учащихся тре­
бовали наименьшего числа возможных построений.
22. Постройте точки, симметричные данным точкам
относительно прямой s (черт. 7) .
23. Постройте прямые, симметричные данным пря­
мым относительно прямой s. Где будет расположена
точка пересечения двух прямых, взаимно симметричных
относительно оси (черт. 8) ?
24. Постройте отрезки, симметричные данным отно­
сительно пряАюй s (черт. 9).
25. Постройте углы, симметричные данным относи­
тельно прямой s (черт. 1 0 ) .
П р и построении углов, симметричных данным относи­
·тельно прямой, внимание учащихся обращалось на ори­
ентацию углов: симметричные относительно оси углы
противоположно ориентированы. Это справедливо для
всех фигур, симметричных относительно оси.

Чтобы учащиеся уяснили это свойство симметричных
фигур, им предлагались такие задачи.
26. а) Луч В'С' симметричен лучу ВС относительно
прямой s (черт. 1 1 ). Постройте угол, симметричный уг­
лу АВС с помощью транспортира.
б) Углы А ВС, DB'E и FB'E равны между собой. Луч
В'Е симметричен лучу ВС относительн,о прямой s

а)

s

о;

�

�s

/

бое внимание уделялось усвоению следующего свойства
осевой симметрии: если точка А принадлежит некоторо­
му геометрическому образу, то симметричная ей точка
А' относительно прямой принадлежит образу, симмет­
ричному данному относительно той же прямой.
32 Точка А' си.лtметрична точке А о тносительно пр;�,�tой
l (черт. 18) . Постройте прямую, симметричпую прямой
а ' относительно l.

о,

L

к

н

/

v

/ ""

�

/-А

l,

l, V

/

v
v м

/

6.

с

D

Чер т . 1 0

·
c
t:
�
�

в

А

а

�"'

"....

"

l

1'-

'

г)

1,

i'\

в

А
'

F I'..

'\ J]

"

1"-

с
,·

�

' [,

1'\.

"а
h :/ "!'... [,
l/
р

Черт. 1 3

в

Черт.

11

Черт. 1 2

(черт. 12) . Какой и з углов DB'E и FB'E симметричен
углу АВС относительно прямой s?
в) Если точка Р перемещается по кругу по часовой
стрелке, то какую фигуру опишет точка Р', симметрич­
ная точке Р относительно прямой s? Сравните ориента­
цию этих окружностей.
При построении симметричных относительно прямой
фигур мы пользовались и клетчатой бумагой.
27.Постройте фигуры, симметричные данным относи·
тельно прямой 11 (черт. 1 3 ) , как можно проще.
Можно ли так просто построить точки, симметричные
данrtЫ.Аt относительно оси 12 (черт. 13 б ) ?
28. Отразите фигуры, изображенные на чертеже ' 1 4 ,
от оси 1 1 • Нарисуйте фигуры, являющиеся объединени­
ем данной фигуры и симметричной ей относительно оси
11 (черт. 1 4 ) .
29. Отразите фигуры, изображенные н а чертеже 1 5,
от оси 11• Затем фигуру, являющуюся
объединением
данной фигуры и ей симметричной относительно 11, от­
разите от оси 12• Нарисуйте фигуру, являющуюся ре­
зультатом отражения.
Следующая группа задач предназначена для форми­
рования у учащихся понимания осевой симметрии как
точечного преобразования, в результате которого уста­
навливается соответствие между точка ми данной и пре­
образованной фигур. При решении этих задач форми­
руется умение учащихся строить симметричные точки
на симметричных образах, что является необходимым
для овладения методом осевой симметрии.
30. Отрезки АВ и А'В' симметричны относительно
прямой s. (черт. 16) . Постройте тr;чки, симметричные
точкам К и L· относительно прямой s.
3 1 . Окружности О и О' симметричны отпосительно
прямой s (черт. 1 7 ) . Постройте точки, симметричпые
точкам А и В отпосительно прямой s.
При решении следующих задач учащиеся использvю1
изученные св ойства осевой симметрии. При этом осо-

Черт. 1 4.
33. Известно, что точка А ' симметрична точке А от­
посительно прямой s. Постройте точку, симметричную
некоторой точке В, не принадлежащей s, с помощью
одпой линейки.
34. L: A OC
L. COiЗ. ОМ '= OL (черт. 19) . ДокажU1е,
что точки М и /.J сим;11етр11чн.ы относитедыю t:рямой ОС.
Решение этой задачи позволяет сделать в ы в о д: пря­
мая, н а к·о торой лежит биссектриса угла, есть ось сим­
метрии точек, лежащих н а сторонах этого угла и рав­
ноудаленных от его вершины.
35. Постр01/те биссектрису угла с помощью одной масш­
табной линейки.
36. Постройте треугольники, симметричные данным
относительно прямой s (черт. 20) .
В результате решения задачи 36 учащиеся знакомятся
с построением разности, суммы двух сторон треугольни­
ка, разности двух его углов с помощью осевой сим­
метрии.
При изучении осевой симметрии важно сформировать
у учащихся правильное представление об оси симмет­
рии. С этой целью решаются следующие задачи.
37. Две окружности пересекаются в точках А и В.
Докажите, что прямая, проходящая через центры дан­
ных окружностей, является осью симметрии точек А и В.
38. Докажите, что пря.мая, на котпрой лежит медиан.а,
проведенная к основанию равнобедренного треугольни­
тса, является его осью симметрии. Какие свойства равно­
бедренного треугольника следуют из существования у
него оси симметрии?
39. Постройте точку, равноудаленную от точек А и В.
Принадлежит ли эта точка оси симметрии точек А и В?
=

11

40. Постройте произволыtый угол О и на его сторо­
нах возьмите две произвольные точки А и В. Постройте
равнобедренный треугольник АВС так, чтобы все его
вершины принадлежали сторона.А� угла О.
а

'
!'-

,,
l:

-

-о; ·-

,

. .

,

д

"

�
/

[,
l:

'

!,

[,

Черт. 1 5
8

�
::;:.-zА

Черт. 1 6

AG
G

в

/

s

Черт. 1 7

--:--_а
А
Черт. 1 8

А�

s

8'

А'

А

·О

Черт. 2.J
А

QQ

А

.
м

В

Nn

в а·

Черт. 25

L

А'

Черт. 23

Черт. 22

а.

�
о

в

А

L:--,rr--:::7

с

0

Черт. 26

S

�
t

8

Черт. 19

Черт. 20

41. На сторонах угла на разных расстояниях от его
вершины даны два равных отрезка. Постройте две оси,
последовательно отражая от которых один из отрезков
можно получить второй отрезок.
42. С помощью одного циркуля постройте несколько
точек, принадлежащих одной прямой.
Цель следующих задач заключается в том, чтобы
сформировать у учащихся понимание осевой симметрии
как точечного преобразования, в результате которого
устанавливается соответствие между точками всей плос­
кости, а не только между точками фигур.
43. Отрезки АВ и А'В' симметричны относительно не­
которой прямой (черт. 2 1 ) . Постройте точку !(', сим­
метричную точке К о тносительно этой прямой. Выпол­
ните построение с помощью одного циркуля.
44. Окружности О и 0' симметричны относительно
прямой s (черт. 22) . Постройте точку, симметричную
точке М относительно s. Выполните построение несколь­
кими способами.
При решении приведенных задач учащиеся использу­
ют тот факт, что осевая симметрия изменяет ориента­
цию фигуры.
Следующим этапом в формировании идеи и метода
симметрии является решение задач на построение сим­
метричных точек на произвольных образах.
45. Даны отрезки АВ, CD и пря.��ая 1. Постройте на
этих отрезках точки, симметричные относительно пря­
мой [.
46. На сторонах данного треугольника и прямой по­
стройте точки, симметричные относительно данной пря­
'мой l. Сколько решений имеет данная задача? Найдите
такое расположение треугольника и прямой, чтобы за­
дача имела единственное решение.
78

в

.к

Черт. 21

А

о

Изучение осевой симметрии з акончили решением за­
дач методом симметрии.
47. Дан угол АОВ и прямая s. Постройте квадрат
так, чтобы две его вершины лежали на сторонах угла
и две - на прямой s.

Черт. 27

Черт. 28

48. Даны две окружности и пря.мая s. Постройте рав­
носторонний треугольник так, чтобы две его вершины
лежали на данпых окружностях, а одна из высот - на
прямой s.
49. Постройте треугольник по разности двух сторон
и углам, противолежащим им.
50. Постройте прямоугольный треугольник по сумме
гипотенузы и катета и углу между ними.
5 1 . Докажите, что треугольники равны, если сторо­
на, прилежащий к ней угол и разность двух других
сторон одного треугольника соответственно равны сто­
роне, прилежаще.Аtу к ней углу и разности двух других
сторон другого треугольника.
52. Начертите четырехугольник, который имеет толь­
ко одну ось симметрии, отличную от диагонали.
53. АС, BD и некоторая прямая т являются осями
симметрии четырехугольника ABCD. Какое взаишюе
расположение прямой т и пар сторон четырехугольни­
ка? Какой вид четырехугольника? Имеет ли он другие
оси симметрии?
Значительный интерес вызвало у учащихся решение
задач на максимум и минимум.
54. Найдите на прямой s точку Х, чтобы сумлtа рас­
стояний от данных точек А и В до искомой точки Х
была бы наименьшей.
У к а з а н и е: сначала рассмотрите случай, когда точ­
ки А и В лежат по разные стороны от прямой s, а за­
тем - когда по одну.
55. Впишите в данный угол О треугольник наи.мень­
шего периметра, чтобы две его вершины были на сто­
ронах угла, а третья - в данной точке Р.
56. Три города А, В и С, расположенные между же­
лезнодорожными линиями 11 и 12, должны быть соеди-

нены замкнутой дорогой кратчайшей длины с выходом
ее на железнодорожные линии 11 и 12• Начертите эту
дорогу.
I I. Изучение центральной симметрии мы начали с оп­
ределения точек, симметричных относительно некоторой
точки О, и фигуры, сиыметричнuй данной относительно
точки. Пользуясь данными определениями, учащиеся
строят фигуры, симметричные данным фигура м с криво­
линейными контурами относительно точки О.
Для получения свойств центральной симметрии мы
доказали т е о р е м у «Если точки центрально симмет­
ричны друг другу относительно точки О, то их можно
получить одну из другой последовательным отражением
одной из них от двух взаимно перпендикулярных осей,
проходящих через центр симметрии».
Из этой теоремы следует, что две центрально симмет­
ричные фигуры равны и одинаково ориентированы.
Затем учащиеся выполняли построение отрезков, лу­
чей, углов и других фигур, симметричных данным от­
носительно точки О.
Следующая группа задач служила для формирова­
ния у учащихся умения строить соответственные эле­
менты на соответственных образах. При решении эт1;1х
задач у учащихся вырабатывается представление
о
центральной симметрии как точечном преобразовании, в
результате которого устанавливается соответствие меж­
ду точками данной фигуры и преобразованной.
1 . Отрезки АВ и В'А' симметричны относительно точ­
ки О (черт. 23 ) . Постройте точки, симметричные точкадt
К и L относительно точки О.
2. Прямые а и а' симметричпы относительно точки О.
(черт. 24). Постройте точки, симметричпые точкам А и
В относительно точки О.
После решения этой задачи перед учащимися был по­
ставлен вопрос: как прямые а и а' расположены отно­
сительно друг друга? Учащиеся высказали предположе­
н ие, что эти прямые параллельны. Затем это предпо­
ложение было доказано.
Этим свойством центральной симметрии
учащиеся
пользовались в дальнейшем при решении задач.
3. Найдите множество центров симметрии двух па­
раллельных прямых.
4. Будет ли фигура, состоящая из трех прямых, из
которых две параллельны, а третья их пересекает, иметь
центр симметрии?
5. Фигура ABCD образована пергсечен1,�ем двух пар
параллельных прямых (черт. 25 ) . Докажите, что сере­
дина отрезка BD являетсн ее центром симметрии. Яв­
ляется ли точка О серединой отрезка АС?.

8. М. ТЕРЕХИН (Боровский район Калужской области)

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИКЕ
В СЕЛЬСКОЯ ШКОЛЕ
В нашей школе учителя математики и учителя на­
чальных классов ведут факультативные занятия или
кружки во всех классах начиная с первого. Программы
кружков составляются самими учителями. Так, напри­
мер, в VII классе в 1969/70 учебном году изучались
такие вопросы: метод координат, уравнение окружно­
сти, решение задач на окружность методом координат,
множества и операции над ними, ряд задач учащиеся
решали с использованием диаграмм Венна и кругов
Эйлера .

6. Фигура ABCD имеет центр симметрии О (Черт. 26).
Какие линии в четырехугольнике 'Можно убрать, чтобьс
получить фигуру с центром симметрии в точке О?
Последующие задачи дают учащимся представление
о центральной симметрии как соответствии между точ­
ками всей плоскости. При решении задач этой группы
учащимися используется свойство центрально симмет­
ричных фигур быть одинаково ориентированными.
7. Отрезки АВ и В'А' симметричны относительно О
(черт. 27) . Постройте точку, симметричную точке К от­
носительно точки О. Выполните построение с помощью
одного циркуля.
8. Окружности О и О' симметричны относительно точ­
ки Р (черт. 28) . Постройте точки, симметричные точкам
К и h отосительно точки Р. Выполните построение с
помощью одной линейки.
Следующая группа задач предназначена для форми­
рования у учащихся умения строить соответственные
элементы на произвольных образах. Эти задачи явля­
ются непосредственным продолжением и обобщением
предыдущих задач. При решении задач этого вида по­
лучает дальнейшее развитие идея соответствия и при­
надлежности, совершенствуются умения и навыки, при­
обретенные учащимися при решении предыдущих задач.
9. Даны прямая, окружность и точка О. Найдите на
окружности и прямой точки, взаимно симметрич:ные от­
носительно точки О.
1 0. На данных окружности и треугольнике найдите
точки, взаимно симметричные относительно точки О. Ка··
кое максимальное число решений может иметь . данная
задача? Расположите фигуры так, чтобы задача имела
единственное решение.
Далее учащимся предлагались различные задачи, ре­
шаемые методом симметрии.
1 1. Две окружности пересекаются в точках А и В.
Проведите через точку А прямую l так, чтобы обе ок­
ружности высекали на l равные хорды.
1 2. Даны угол и точка А внутри его. Пересеките дап­
ный угол прямой, проходящей через точки А так, что­
бы отрезок этой прямой делился в точке А пополам.
1 3. Даны окружности 01 и 02 и точка Р. Постройте
параллелограмм так, чтобы его вершины были на дан­
ных окружностях, а диагонали пересекались в точке Р.
14. Отрезки медиан, прилежащие к вершинам .6.ABG,
точками М, L и К делятся пополам. Докажите, что
прямые, проведенные через эти точки параллельно со­
ответствующим сторонам, образуют треугольник, равный
данному.
·

Знания, полученные на внеклассных занятиях, помо­
гают учащимся глубже усвоить программный материал,
р асширяют их кругозор, причем ценно то, что эти зна­
ния они могут применять на уроках при устных отве­
тах и при выполнении письменных р абот.
Особый интерес представляют м атематические экс­
I\урсии, На которых ПРОВОДИЛИСЬ практические расчеты
и вычисления. В поле измеряли участки земли р азличной
конфигурации, в лесу находили диаметр деревьев, пло­
щадь среза.
Старшеклассники провели экскурсию в деревню Ново­
Михайловскую, где во время Отечественной войны пио­
нер Ваня Андрианов совершил подвиг. О героическом
поступке Вани знают все учащиеся, так как рассказ об
этом напечатан в «Родной речи». Подойдя к дому, на
крыше которого была амбразура фашистов, учащиеся
внимательно осматривали местность.- А как измерить,
на какой высоте фашисты установили свои пулеметы?
19

Слушаем предложения ребят: при помощи тени, ис­
по,1ьзовать подобие треугольников, при помощи вех, при
помощи транспортира (применяя тригонометрию) и т. п.
Ставится вопрос: «А как далеко видно с этой высоты
(поверхность будем считать ровной) ?»
После проведения всех вычислений учащимся р асска­
зывается о значении подвига Вани Андрианова, сумев­
шего показать дорогу нашим солдатам для обхода де­
ревни и окружения фашистов. 250 фашистов нашли
смерть в этой деревне. Подробные материалы о по­
двиге земляка-пионера хранятся в нашей школьной
комнате «Боевой славы».
Большое внимание уделяется в школе проведению
математических вечеров. Были проведены вечера , по­
священные советским математикам, великому р усскому
математику - нашему земляку П. Л. Ч е б ы ш е в у, ве­
чер, посвященный С. В. К о в а л е в с к о й. Зал, в кото­
ром проводился вечер, специально оформлялся. Напри­
мер, к вечеру, посвященному советским математикам, на
стенах зала вывесили плакаты с высказываниями о м а­
тематике и м атематиках, выпустили газету «Математи­
ческая мысль», в которой были статьи: «0 значении
м атематики», «Об успехах советских математиков».
«В чем смысл 1 0-й проблемы Гильберта? Успехи 20-лет­
него советского математика Юрия Матиясевича», под
рубрикой «Подумай» помещены зада<Iи, причем к каж­
дой из них дан красиво выполненный рисунок, были
р азделы «Прочти эти книги», «Купи эти пособия». К ве­
черу подготовили выставку, посвященную советским
ученым-математикам и педагогам. Для этого перефото­
графировали из книг и журналов портреты ученых, на­
писали тушью основные факты из их жизни и научной
биографии.
В программу вечера входило и проведение виктори­
ны (отдельно для каждой параллели ) . Победители на­
граждались подарками (набором математических книг
и различными чертежными принадлежностям и ) .

В . Н . КдСдТКИН
(r. Снм.ферополь )

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА Э. ПОСТА
И 06УЧЕНИЕ ПРОГРАММИРОВАНИЮ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Машина Поста, как и ее близ·
кий
родственник - м ашина
Тьюринга,
представляет
со­
бой мысленную конструкцию,
существующую лишь в нашем
вообр<1жении (хотя ее в прин­
ципе можно было бы изгото­
вить «В металле») 1•
Алгоритмически полную систему операций Поста для
преобразования информации, заданной в двоичном
алфавите, можно из методических соображений интер­
претировать как набор операций некоторой а бстракт­
ной вычислительной машины. Впервые на это обратил
внимание В. А. Успенский в серна статей, опублико­
ванных в журнале «Математика в школе» [IJ, предло1 В. А. У с п е н с к и й, Как работает машина Поста,
«Математика в школе:.>, 1967, № 1, стр. 32,

80

Несколько слов о вечере, посвященном великому рус­
скому математику П. Л. Чебышеву. Наша шко:Ла рас­
положена в 5 км от села Спас-Прогнанье, где нахо­
дится склеп-музей Пафнутия Львовича Чебышева. Уче­
ники Х класса - члены кружка посетили музей, сфото­
графировали его экспонаты и представили эти материа­
лы на вечере. Ребята были очень заинтересованы. Каж­
дый класс, начиная с IV, решил провести туристский
поход к склепу-музею до 1 6 мая 1 971 г. (до дня, когда
исполнится 1 50 лет со дня рождения великого ученого ) .
Отдельные классы у ж е побывали там.
Внеклассная работа способствует развитию матема­
тического мышления учащихся, у них появляется стрем­
ление заняться самообразованием по этому предмету.
Вот почему на районных олимпиадгх учащиеся нашей
школы в течение последних пяти лет занимают почти
все призовые места.
Полагаю, что если час времени. отведенный на фа­
культативы, будет использован для углубления про­
граммного материала, то от этого выиграют в первую
очередь учащиеся. Например, в Х классе требуют углуб­
ления такие вопросы, как решение тригонометрических
и трансцендентных неравенств и уравнений, решение
задач на комбинации геометрических теJ! (с использо­
ванием методов введения вспомогательных отрезков и
углов) и др. Это не призыв к так называемому «На­
таскиванию», это призыв к организованному поднятию
качества знаний.
Мы считаем, что надо привлекать внимание общест­
венности к повышению качестна знаний учащихся. Так,
например, по инициативе исполкома БалабановскоrJ
Совета депутатов трудящихся Боровского района Ка­
лужской области была организована выставка техни­
ческого творчества учащихся. Учащиеся, сделавшие
лучшие модели по геометрии, были нагр·аждены грамо­
тами и ценными подарками.
Внимание к математическому . образованию должно
быть всеобщим.

жив методику первоначального ознакомления учащихся
средней школы с элементами теории алгоритмов и про­
граммирования, использующую построения Поста.
Идеи В. А. Успенского были успешно использованы
в течение двух с половиной лет на занятиях с учаши­
мися VI-IX классов, обучающихся в эксперименталь­
ной школе юных кибернетиков «Малой Академии наук»
школьников Крыма «Искатель».
«Программирование для машины Поста» ныне от­
крывает первый раздел курса «Элементы теорий алго­
ритмов и программирования», излагаемого юным кибер­
нетикам. Ранее курс начинался ознакомлением уча­
щихся с машиной Тьюринга .
Ознакомление с программированием для машины
Поста позволяет р ассмотреть с учащимися такие прин­
ципиальные вопросы, как кодирование исходной ин­
формации в форме слов двоичного алфавита, разра­
ботка идей решения задачи средствами машины в виде
алгоритма, составление
проекта
предварительного
программы для машины как заключительный этап в
оформлении алгоритма решения задачи.
Рассмотрение этих вопросов может осуществляться
без привлечения действующей модели. Однако уже н а
первых занятиях со школьниками была обнаружена
потребность в действующей модели. Для младших
школьников был изготовлен макет машины Поста в
виде плоской рейки, р азделенной на секции, в каждую
из которых можно поместить кубик (метку) , вдо.�ь
рейки ( информационной ленты) по проволочке можно
передвигать каретку. Макет вызывает некоторый инте­
рес учащихся, однако ненадолго . Ибо передв11жение
каретки

11

кубиков осуществляется. сот руки».

Б 1 959170 учебном году была создана действующая
модель 2 , в которой движение каретки, помещение меток
и их стирание производились на в·веденной в запоми­
нающ<'е устройство программе без_ вмешательства чело­
века .
Конструкция модели максимально соответствует опи­
санию машины Поста, данному В . А. Успенским. Ин­
формационная лента представляет собой 40-разрядный
регистр. Если секция (один разряд) «отмечена», то в
ней лампочка горит, если «НЕ" отмечена», то не горит.
Вдоль информацианной ленты движется каретка, вы­
rтолненная в виде горящей лампочки. Запоминающее
устройство может хранить программу длиной не более
чем в 1 00 команд.
Несмотря на такие конструктивные ограничения из­
готовленного образца, на действующей модели можно
решать большой круг задач; использование модели на
занятиях резко повысйло их эффективность.
Дейс:твующая модель пазволила подробно рассмот­
реть и продемонстрировать общую схему задачи с при­
влечением ЦВМ с программным управлением. В част­
ности, и такие вопросы, как отладка программы и
«счет» контрольных вариантов.
Так как данная модель является учебно-демонстра­
ционным устройством, то она снабжена некоторыми
удобными для преподавателя режимами работы. Так,
например, выполнение программы, помещенной в ее
памяти, можно осуществлять по желанию преподава­
теля с любого номера команды. Машина может рабо­
тать автоматически с различными скоростями, а также
и в режиме одиночных тактов, когда сигнал на выпол­
нен11е каманды дается оператором с пульта управле­
ния. В любой момент работы машины выполнение
программы можно приостановить и затем продолжить.
Для наблюдения за ходом выполнения программы имеет­
ся специальный
указатель
номера
выполняемой
команды. Предусмотрен регистр, на котором высвечи­
вается начальное состояние ленты; по окончании вы­
полнения программы можно сравнить исходное и ко­
нечное состояние ленты.
Программирование для действующей модели маши­
ны Поста является хорошей иллюстрацией к рассмот­
рению · схемы решения задач с привлечением цифровых
машин с программным управлением. Получив задачу,
учащийся решает проблему коднрования, отвечает на
вопрос, каким образом, разместить исходные данные
по информационной ленте машины. Затем учащийся
идею
решения задачи, составляет
разрабатывает
проект алгоритма. Часто проектов возникает несколько
и приходится осуществлять выбор лучшей идеи. Далее

2 Модель разработана и изготовлена в вычи,слитель­
ном центре Крымского педагогического института. Ав­
торы: В. К а с а т к и н, И. П е р е х о д, И. Х р и с т и н,
В. Л и т в и н е н к о, А. З д о р о в ц е в.

ЗАДАЧИ
ЗАДАЧИ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ IV-V КЛАССОВ
1

856. Для окраски кубика с ребром 2 Cht т�ебуется
г краски
Сколъко краски пОТJ'i/буатся для кубика

с ребром б с.м.?
.

составляется программа ;з символах,
принятых для
написа!-!ия программ. Следующая задача состоит в
том, чтобы составленную программу переписать в
истинных кодах операций и адресах. Затем учащийся
вводит программу в запоминающее устройство маши·
ны, заполняет информационную ленту, устанавливает
каретку и, включив машину, наблюдает за ее работой.
После остановки машины учащийся оценивает итоги,
произведя декодирование И!-!формационной ленты.
То обстоятельство, что данное устройство является
общелогическим преобразователем информации, а не
специальным устройством для быстрого
выполнения
арифметических операций, позволяет подчеркнуть прин­
цип универсальности ЦВМ с программным управле·
нием. У школьников формируется . правильное пред­
ставление о возможностях машин и о требованиях к
постановке задач для решения на ЦВМ.
Естественно, что многие детали техники профессио­
нального программирования не могут иллюстрировать­
ся на данной модели, но это и не требуется при озна­
комлении с общими идеями автоматического преоб­
разования информации.
К данной модели в составе ее математико-педагоги­
ческого обеспечения прилагается специальный сборник
задач, содержащий 65 :>адач по разделам:
1 . Чтение и анализ программ для машины Поста.
2. Задачи на преобразование массивов.
3. Вычислительные задачи.
4. Моделирование функций однотактных автоматов.
5. Реализация игровых стратегий на машине Поста.
Задачи сборника можно решать и при отсутствии
действующей модели.
Если учесть, что конструкция действующей модели
при изготовJ1ении на релейной основе сравнительно
проста (изготовление действующей модели под силу
кружку юных техник::Jв) , надежна, безопасна, исполь­
зование машины не требует дополнительного персона­
ла, то данное устройство, нам кажется, можно реко­
мендовать в качестве образца учебно-демонстрацион­
ного оборудования, рекомендуемого средним школам с
увеличенным
объемом
математической
подготовки
школьников, станциям юных техников и педагогическим
институтам, в которых осуществляется подготовка учи­
телей математики и программирования.
Л итература

1 . В А. У с п е н с к и й, Машина Поста, «Математи­
ка в школе», 1 967, J\i"o 1-4 ( цикл статей) .
2. В. М. Г л у ш к о в, Введение в кибернетику, Киев,
1 964.
3. В. Н. К а с а т к и н, И. А. П е р е х о д, В. Н. Г у­
л я к е в и ч, Элементь1 кибернетики для школьника,
Киев, 1969.
·

857. Имеются 4 палочки длиной в 1 с.м, 4 палочки
длиliой в 2 см, 7 палочек длшюй в 3 см, 5 палочек
длиной в 4 см. Можно ли из всех палочек этого набора
сложить пря.иоугольник?
858. Сложить наибольший квадрат, используя палоч­
ки из задачи 857.
859. Пусть каждая буква обозliачает некоторую цифру. Какие цифры обозначены буквами х, у, z, если
а ) произведение числа ху на х равно zzz,
6) произведение числа ху на ху равгю xzz.
860. Длина дороги от А до F, изображенной на рисун­
ке, равна 53 км. Расстояние от .4 до В больше, чем от В
до С, расстояние от В до С болыие, чем от С до D
и т. д., т. е. каждый предыдущий участок больше по­
следующего. Найти длины пяти участков дороги если
,

Sl

869. Доказать неравенство
а2п + ь2п +

с

+

п

> (а Ь)2п- 1 + (аЬ)2п- 2 +

. .

. + а ь + а + ь,

где а и Ь действительные цисла.

Доказать, что если (a - I) (b - 1) :> 0, то
( а Ь) 2п +1 + 2п ::;;,. 2п- 1 (а + Ь) + 1 .

870.

871 . Известно, что ctg а = 2 + 1la + уЬ + ус
и ctg 2 а
2 + ..,Г а, где а, Ь и с положительные
целые числа, не делящиеся на 4, уа и у Ьс - ир­
рациональные числа. Найти угол а.
=

известно, что каждый из них содержит целое цисло
километров и расстояние от А до В в два раза боль­
ше расстояния от Е до F.
Я. Н. Суконник (г. Киев)

А. С. Левин (г. Таллин)

872. Решить в целых числа х уравнение
3

у 2х - 1 + у2у

ЗАДАЧИ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ Vl-Vlll КЛАССОВ
861 . Найти все такие треугольники, которые можно
разрезать на два подобных между собой треугольника.
А. Ю. Сойфер (Москва )
862. Найти все такие треугольники, которые можно
разрезать на три равных J.tежду собой треугольника.

И.

х2 + у2 + z2 - ху - yz - zx

=

3,5 а�

не имеет решений в рациональных цислах, если а целое число.
Ю. И. Герасимов (Бурятская АССР)

864. В окружность вписан правильный девятиуголь­
ник А 1А 2 • • .А9• Доказать, что последовательное выпол­
нение центральных симметрий относительно вершин
А 1 , А 2, • • • .49 можно заJ.t снить одной симметрией,
центр которой совпадает с точкой пересечения каса­
тельных к окружности в точках А 1 и А9• Обобщить за­
дачу для правильного (2п+ 1 ) -угГJльника.
,

3. А. Скопец (г. Ярослав"1ь)

4

+ у 4z

2

.х

sin А + у sin В + z sin С

б) х cos .А

u.Atr>ют

х

=

у

=

в

z

целых цuслах

=

п

=

=

+ y-cos В 1 z cos С
о.

=

10.

равны

у2,

О,

=

О

единственное

реш ение

А. Ю. Сойфер (Москва)

874. Доказать,
где а

3

Стороны треугольника АВС
Доказать, что уравнения

873.

а)

-

Д. Черспинский и О. Д. Черепинский
(r. Черкассы'

-.13, у4.

А. Ю. Сойфер (Москва)

863. Доказать, что уравнение

-

что

V 1 + У2 + . .

последовательность

{ ап} ,

+ у п , и.меет предел.
Л. Коганов и Н. Проханов (Москва)
.

875. Пусть А - график (определения см. в зада­
чах 850 и 865). График, состоящий из таких пар

(х, у), что пара (у, х) входит в А, называеп;с я
инверсией графика А и обозначается ч ерез А- 1•
Дотсазать, что для любых графuков А и В
В - 1 0 А -1 .
(А о В) -1
=

865. Множество С, определенное по правилу, указан­
ному в задаче 8 1 5, обозначается через А о В. Составить
множество В А для множеств А и В задачи 815 и
сравнить множества А о В и В о А.

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ IX-X КЛАССОВ

876. Пусть для обозначения порядка действий
в выражении
2 : 2 : 2 : . . . :2

866. Из всех четырехугольников с данны11tи сторона11т а, Ь, с, d наибольшую площадь имеет вписанный.
Доказать.
867. На плоскости дана прямая и точка, не лежащая
на ней. Найти множество третьих вершин правильных
треугольников, одна вeputUlta которых находится в дан­
ной точке, а другая - на данной пря.мой.

скобка .моЖно расставить числом способов Рп­
С оставить рекуррентное соотнош ение для последовате.ttЬности { рп } (считая Р1 = Р2 = 1).

о

Л. М. Коганов (Москва)
868. На плоскос1·и дана прямая и точтса, не лежащая
на ней. Найти ,11ножество центров правильных треуголь­
ников, одна вершина которых находится в данной точ­
ке, а другая - на данной прямой.
Л. М . Коганов (Москва)

Комбинаторика

п

раз

Применение комплексных чисеn

877. На сторонах АВ, CD и EF центрально
са.м.метричного шестиугольника построены�одино­
ково ориент11рованньш треугольники АВР, CDQ
и EFR. Доказать, что т реугольник PRQ равно­
сторонтщй (в частно-сти, он .может выродиться·
в т очку).
3. А. Скопец (г. Ярославль)

Применение векторов
878. Вычислить отношение. в котором перпен­
дикуляр, опущенный из ортоцентра Н треуголь­
ника АВС на его медиану СС1, делит сто­
рону АВ.
3. А . Скопец (г. Я рославль)
Поrическая символика
879. Какие последовательности { х1 } обладают
следующим свойством:
3 а 3 Ьу с > Оуп3l3} (l > п&J > п& 1 Xt - а 1 < с & 1 хJ - Ь 1 < с),

где а, Ь, с - действительные числа, п, l, J - н,;и1�
ральные числа.
rрафики
880. Доказать или опровергнуть утве рждение:
для любых трех графиков А, В, С справедлщ�о
равенс тво
(А n В)оС

=

(АоС) n (ВоС)

(определения см. в задаче 825).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В НО 3 Зд 1970

r.

'
756. В классе 4 1 ученик написал по три контрольные
работы. В результате учитель не поставил ни одной не­
удовлетворительной от11tетки, каждый ученик получил
все остальные отметки. Узнав об этом, один. ученик за­
метил, что 1ю крайней 111ере 7 человек получили одина­
ковые отлtетки тю всем трем контрольным, а другой,
подумав, сказал, что таких учеников с одинаковыми
отметками, наверно, будет 8. Кто из них прав?
Р е ш е н и е. Разобьем класс на группы в соответ­
ствии со всевозможными наборами отметок: 3, 4, 5;
3, 5, 4; 4, 3, 5; 4, 5, 3; 5, 3, 4; 5, 4, 3 (всего 6 групп) .
Если в каждой из этих групп н е больше 6 человек, то
всего в классе не больше 36 человек, что противоречит
условию. Следовательно, по меньшей мере в одной из
этих групп не меньше 7 человек. В то же время может
случиться, что в каждой группе не больше 7 человек
(например, в одной группе 6, а в остальных - по 7 че­
ловек) , и, следовательно, утверждение второго ученика
может быть неверным. Итак, в общем случае прав
только первый ученик.
757. В пункте А расположена поликлиника. На ма­
шине неотложной помощи врач должен по;;етить боль·
ных, находящихся в пунктах В, С и D. На некоторых
улицах· города одностороннее движение, и поэтому, на­
пример, из А в В он 11южет проехать двумя, а обрат­
но - тремя способами, остальн�tе возможности указаны
на рисунке (направление движения указано стрелкой,
а количество возможных способов - uифрой; 1 970, No 3,
стр. 77) . Сколькими различны.ии способами врач мо­
жет выполнить свою задачу, если ни в одном пункте,
кроме А и С, он не должен быть больше одного раза?
Р е ш е н и е. Отметим, прежде всего, что большинство
приславших решения не обратили внимания на то, что
условие задачи, если его понимать буквально - а имен­
но так и следует понимать условие задачи,- н е исклю­
чает сколь угодно длинных путей типа
ABCDCACAC. . .АСА.
Таким образом, врач может выполнить свою
строго говоря, бесконечным числом способ. •в.

задачу,

Возможна, однако, и другая точка зрения, согласно
которой реальное содержание задачи накладывает до­
полнительные условия, и в данной задаче следует учи­
тывать тодько разумные способы, связанные с быстрей·
шим выподнением задания. Поэтому бессмысленное кур­
сирование м ежду А и С не надо рассматривать. Прак­
тически все читатели и решади задачу в этом пред­
подожении, но, к сожалению, не оговаривая этого спе­
циально.
Подчеркнем особо, что правомерность такого пред­
положения - непростая методическая пробдема. Дело в
том, что если пойти еще дальше по пути «естественных
предподожений», то в этой задаче число способов све­
дется к 1 , так как «В реальной ситуации» существует,
как правидо, самый дучший по времени иди р асстоянию
способ; его и доджен выбрать врач. Такого предпо­
ложения, впрочем, не сдедал никто и з решавших задачу.
В нашем решении мы делаем единственное естествен­
ное запрещение - врач не должен совершать «прогулок»
между А и С. На строгом языке это означает, что его
маршрут не доджен содержать частей А СА и САС. Ддя
того чтобы не запутаться при переборе маршрутов и,
в частности, н е потерять ни одного из них, что допу­
стиди многие читатели, удобно р исовать так называемое дерево маршрутов.
1
Для удобства мы рисуем отдельно деревья маршру­
тов, начинающихся с АВ и с А С. Первое дерево пред­
ставдено на рис. 1, а. Два пути пз С в А зачеркнуты,
так как они неизбежно привод<�т к «прогудке» САС; п о
этим ж е соображениям пути заканчиваются после того,
как врач посети.'! всех бодьных и возвратился в А (и не
совершает после этого «прогулок» АСА ) . Н а дереве
видно, что с АВ начинается ровно два маршрута:
ABCDCA и ABACDCA. Первый из них может быть
пройден двумя способами, второй 2 3 2
1 2 спосо­
бами. Всего в этом сдучае 1 4 способов.
·

А

С

"

1

2
А'
в з
z

14

А
с

с

А

1

2

3
А

2
в в

ш !т

а)

1

с

•

с
1

1

З

=

о

А

@

А

ш

А

1

2

с 2
о

1
с
А

о)

1

1

в

з

с

с

А

А

2
с

1

D

ю !Е]

Рис. 1

Построение второго дерева (рис. 1, б) более длинно,
но проводится анадогично (способы, приводящие к «про·
гудкам», на нем мы не отмечаем совсем ) ; в этом слу·
60 способов.
чае имеем 4 + 12 + 4 + 12 + 4 + 24
Общее число способов - 74.
758. На складе имелось 40 ящиков гвоздей по 30 кг·
и 33 ящика по 25 кг. Приезжавшие за гвоздями брали
каждый 1 00 или 200 кг. При этом кладовщик сумел
удовлетворить все заявки, кроме пщледней, не вскрывая
ни одного ящика. А последнюю заявку он не смог бы
выполнить, даже если бы и вскрыл оставшиеся ящики.
Сколько человек брали по 1 00 кг гвоздей?
Р е ш е н и е. Заметим, прежде всего, что заявку в
1 00 кг можно выподнить, не вскрывая ящиков, только
одним способом - выдать 4 ящ;�ка по 23 кг, а заявку
в 200 кг двумя способами - 5 ящиков по 30 кг и 2 ящи­
ка по 25 кг иди 8 ящиков по 25 кг. Отсюда ясно, что
ящики по 30 кг шли только на заявки в 200 кг, при­
чем только пятерками; из условия задачи сдедует, что
перед посдедней заявкой на скдаде оставадось меньше
=

83

200 кг гвоздей и, следовательно, ящиков по 30 кг либо
не было совсем, либо бьто 5.
Рассмотрим сначала случай, когда таких ящиков не
осталось. Тогда с их помощью первым способом было
обеспечено 8 заявок по 200 кг, на которые ушло до­
полнительно 1 6 ящиков по 25 кг. Оставшиеся 1 7 ящи­
ков по 25 кг могли быть р аспределены следующими спо­
собами: 1 6 -- на заявки в 200 кг ( 1 остался) ; 8 - на
заявку в 200 кг, 4 - на 1 заявку в 1 00 кг (5 осталось,
и последняя заявка была на 200 кг) ; 8 - на заявку в
200 кг, 8 - на 2 заявки в 1 00 кг ( 1 остался) ; 1 2 - на
3 заявки в 1 00 кг (5 осталось) ; 1 6 - на 4 заявки по
1 00 кг ( 1 остался) . Таким образом, в рассматриваемом
случае число заявок в 1 00 кг может быть р авно О, 1 ,
2, 3 и 4.
Аналогично р ассматривается второй случай; он не
дает новых возможностей. Окончательно имеем, что
число заявок в 1 00 кг могло быть любым от О до 4.
759. Скольки.л�и способами .люжfю расставить скобки
в выражениях 3 : 3 : 3 : 3 и 2 : 2 : 2 : 2 : 2? Сколько при
этом можно получить различных чисел?
Р е ш е н и е. Попытки решить эту задачу были сдела­
ны почти всеми ч11тателями, но пр авильное решение дали
только 1 рое читателей: Е. А. Г о л о в а ч е в ( Белгород­
ская обл.) , Н г у е н К о н г К в и'а (Ханой, ДРВ) и
М. Ш. Г о т л е р (г. Вильнюс) .
Ошибки в решениях э:rой задачи связаны . с недоста­
точно ясным пониманием сущности р асстановки скобок
и соглашений об опущении их в некоторых случаях.
Как известно, деление - операция бинарная, в ней
участвуют всегда два и только два числа, и поэтому,
в частности, выражение типа а : Ь : с · d н е и м е е т
с м ы с л а до .тех пор, пока не принято специального
соглашения. В арифметике широко р аспространено по­
нимание этого выражения как [ (a : b) : c] : d; такое со­
глашение не является с нашей точки зрения удачным,
поскольку оно противоречит традициям, принятым в
дальнейшей математике, где подобных соглашений для
неассоциативных операций, каковой является и деление,
не делается. Это соглашение оказало плохую услугу
и в решениях задачи: в большинстве писем расстановки
скобок типа

3) [2 : 2 : 2] : (2 : 2) (2 способа) ,

4) [2 : 2 : 2 : 2] : 2 (5 способов) .

Следовательно, в выражении 2 : 2 : 2 : 2 : 2 скобки мож­
но расставить 5 + 2 + 2 + 5 = 1 4 способами. При этом мы
1
1
можем получить четыре различных числа: s· 2· 2. 8.
(См. также задачу 876 в этом номере журнала.)
760. Даны три различных не равных нулю

циф­
ры. Из них составляются все воз.можные трех­
значные числа. Доказать, что сумма этих чисел
обязательно делится на 6 и на 3: 7,
Р е ш е н и е. Пусть а, Ь, с
различные цифры, от­
--

личные от нуля. Составляем из этих цифр все возможные трехзнач ные числа : Gьс . асЬ, Ьас , Ьса , саЬ,
сЬа (аЬс число с цифрами а, Ь, с в указанном по­
рядке).
Тогда аЬс
IOOa + !( Ь + с, асЬ
IOOa +
+ !Се + Ь и т. д. Сумма всех этих чисел равна
-

=

=

100 (а + а + Ь + Ь + с + с) t- IO (b + c + a + c + a + Ь) +
+ (с + Ь + с + а + Ь + а) = 200 (а + Ь + с) +
+ 20 (а + Ь -+ с) + 2 (а + Ь + с) = 222 ( а + Ь + с) =
= 5 . 37 (а + Ь + с).
761 . Верны ли неравенства
637 < 161 2, 329 < 1 813?

Р е ш е н и е. Данные н еравенства верны. Действи­
тельн о,
637 < 647 = 4 2 1 < 4 24 = 1 6 '2,

329

=

24s < 2s2 = 1 51 з < 1 s1з.

762. Окружность с указанным центром разде­
лить на 12 равных частей с по.мощью одного ци р­
куля.
Р е ш е н и е. На данной окружности (рис. 2) выбе­
рем произвольную точ ку А и построим вершины пра­
вильного шестиугольника АВС D ЕР. Далее строим
{ м
•

(3 : 3) : 3 : 3, (3 : 3 : 3) : 3, 3 : 3 : 3 : 3
считались различными, хотя на самом деле они либо
бессмысленны (без соглашения ) , либо представляют со­
бой одно и то же.
Отметим также, что некоторые читатели при расста­
новке скобок интересовались не порядком действий, а
видом скобок - круглые они, квадратные или фигур­
ные. Однако конфигурация скобок не и меет никакого
математического смысла и имеет лишь эстетическое
значение.
В выражении 3 : 3 : 3 скобки можно расставить двумя
способами: (3 : 3) : 3 и 3 : ( 3 : 3) . Рассмотрим выраже­
ние 3, : 3 : 3 : 3. В зависимости от того, какой знак деле­
ния соответствует последнему действию, возможны три
случая:
!) 3 : [3 : 3 : 3] (2 способа) ,
2) (3 : 3) : (3 : 3 ) ( 1 спосо б ) ,
3) [3 : 3 : 3] : 3 (2 способа ) .
Следовательно, в выражен;ш 3 : 3 : 3 : 3 скобки можно
р асставить 2 + 1 + 2 = 5 способами. При этом мы можем
1
получить три р азличных числа: 9-. 1, 9 .
Аналогично в выражении 2 : 2 : 2 скобки можно рас­
ставить двумя способами, а в выражении 2 : 2 : 2 : 2 пятью. Рассмотрим выражение 2 : 2 : 2 : 2 : 2. В :;ависи­
мости от того, какой знак деления соотв<>тствует послед­
нему действию, возможны четыре случая :
1) 2 : [2 : 2 : 2 : 2] (5 способов) ,
2 ) (2 : 2 ) : [2 : 2 : 2] (2 способа) ,
84

•

N

D

А

Рис. 2

(АМ = DM = AD) точку N(AN = DN МО)
К (АК = DK NO). Имеем
.У лм2 - Ао2 = RrЗ. No = vA№ - Ao 2 =
= уАМ2 - 2АО2 Ry2.

точку М
и точку

мо

=

Е

=

,

�

=

Следовательно , АК
R v2 есть сторона квадрата.
Отсюда vBK
vKC, а это означает, ч то точ ки В ,
К . С есть верщины правильного двенадцатиуголь­
н ика. Даль н ейшее построен ие очевидно.
=

=

763. Середины М и N сторон АВ и CD выпук­
лого четырехугольника ABCD соединены с вер­
ши на.ми С, D и А, В. Прямые AN и DM пе ресе­
К.1юn. с я в тr.очке К, а прямые BN и СМ в rr.очке
-

L.

Доказать,

что

площадь

четырехугольника

KMLN равна cy.м.ite площадей треугольников AKD
11 BCL.
Р е ш е н и е . Из точек С, D и N проведем перпен­
дикуляры h 1, h 2 и Ji3 к стороне АВ (рис.
тогда
'2h3

�"

h1

3),

+ h2•

])

Таким образом, система имеет
шение х 1
х2
. . . = Х8 = О.
=

единств е н н ое

ре­

=

766. Найти все целые tiоложительные числа х,
у которых произведение цифр равно х2 - 1 2х - 10 .

Р е ш е н и е. Очевидно, ч т о целое положительное
ч исло всегда не меньше произведения своих цифр,
х, откуда получаем: во-пер­
т. е.
х2
вых, х >
и, во-вторых, х < 14. Отсюда х =
Проверка, которая после проведенного рассуждения
обязательна, показывает, ч то 13 удовлетворяет тре ·
буемому условию.

О -< 12- 12х - 10 -<

13.

767. Доказать не равенство

1
loglc a

+

1
log�i

где а > 1 , Ь > 1, с >

Так

Р е ш е н и е.

+

1
log�ь c

>3·2п,

1 , п - натуральное число.
как

а>

Ь > 1,

1,

с>

1,

то

logaьc > О, logьc а > О, logacb > О, и , применяя дважд ы
неравенство между средним арифметическим
ним геометрическим, получаем:

+ h 2) АМ

равенство площадей : S .6ABN
S .6AMD +
отсюда
площадь
ч етырехугольника
KMLN равна сумме площадей треугольников AKD
и BCL , что и требовалось доказать.

следует

S .6 ВМС•

=,

764. Доказать, что отнош ение произведени я
биссектрис острых углов прялюугольного тре­
угольника к произведению радиусов вписанной и
описанной окружностей есть число
иррацио­
нальное.

Р е ш е н и е. Пусть а , Ь, с
стороны прямоуголь­
ного треугольника АВС с прямым углом С; R. и r
радиусы описанной и вписанной окружностей, lд и
l 8 биссектрисы острых углов. Легко вывести сле­
дующие формулы :

-

-

-

с

R = 2· Г =
Тогда

(

2 (с2 + аЬ --- Ьс - ас) = 32.
-

-ГГ = 4 V2 - - ч исло

иррациональное.

765. Решить систему у равн е ний

Х1 =

vХ� - Х1,
Х1

+

Х2 = v·x� - X2 ,

= V х� - Х1,
Xi +

Ха

п

п

а

п

log Т с +

log-2-а log 2 Ь) >
с

с

=

Требуемое неравенство доказано. Легко просле­
дить, что равенство достигается только при а = Ь = с.
п•
�

Хз =

=У
> О,

Х8

Х

v

�

xi - xs.

,

- · Х3,

+ . . . + х8

. • •

-

О.

> О.

�

k=I

- l)n
(- l)k [yk] = (2- n +

Решен
п•
�

и

е. Преобразуем левую часть

�

(- l)k [yk] = - l..___,
+ l - 1 + 2-2 + 2 - 2 + 2 3
5
k=l
- 3 + -3 + +
. • •

• • • ,

(- l)n - 1
4

где [ а ] - целая часть числа а.

7

р е ш е н и е. Легко в идеть, что - все решения СИ·
В озве­
стемы таковы, что х1
х2
х8
дем обе части каждого уравнения в квадрат и сло­
жим получ енные уравнения:

> О,

п

п
п
п
п
п
> 3.2п (IogT Ь logТ с log Та log Т с log Тах
1
п
Х IogТ Ь)3
3 . 2п.

2

)

!Аlв

п

п

:;;,. 2п (logТ Ь log Т с + IogT

768. Доказать формулу

а + Ь-с

2_ l A lв 2
------:---6
ь_
"""4_а
� ­
�2_
=
(а + Ь - с)2 ( а + с ) (Ь + с )
rR
6 4 (с2 - Ь2) (с 2 - а 2)
64(с -Ь) (с - а )
(а + Ь - с ) 2 (а + с) (Ь + с)
( а + Ь - с) 2
2
64 (с + аЬ - Ьс - ас)

Отсюда

оg пь са + 1og aпc ь + 1оgапьс
= log�bc + loggac + log�ab = (loga Ь + loga с)п +
+ (logь а + logь с)п + (Iogc а + logc Ь) п >
l

ТаУ. как АМ = МВ, то из равенства

+

сред­

1

Рис. 3

2h3 ·АМ = (h 1

и

. . •

+ (- l)n-1 (п - 1) + .' . . + (- l)n2 -1 (п - 1) +(- l)n'n.
2n +l

Если п четно,
п•

п

= 2т, то

� (- I)k [ Y/l] = (- J + 2) (- 3 4)
k=l
+ (- 5 + б) + . . . + [-(2m - l) + :lmj = т.
+

+

+

85

Если же
п•

1:

k=1

п

нечетно,

(- I)k

п = 2т +

1, то

771 . Окружность, вписанн а я в треугольник АВС
касается его сторон. ВС, С А и АВ соответствен.но
в точках К. М и N. Дока зать, что
ctg L. АКС + ctg L. ВМА + ctg L. CNB = О.
Р е ш е н и е. Пусть а, Ь, с - стороны треугольника
АВС, 2р -- его периметр, S - площадь, АН - высота,

[ y/iJ = (- 1 + 2) + (-3 + 4) +

+ (- 5 + б) + . . . + [- (2т - 1) + 2rn] ­
- (2m + 1) = .:_ (т + 1 ).

8

Легко проверить, что и правая часть доказываемой
формулы при п = 2rn и п = 2т + 1 принимает значе­
ния т и - (т + 1) соответственно.
769. Доказать неравенства:
а)

а1 + а� +

• . •

+ а� <. па 1а 2

а 1 :> а 2 >
> ап > 1
а 1 + а � + . . . + а � > па1а 2
при О <. а 1 < а 2 <;: . . . < ап < 1 .
при

. • .

• • •

ап

,

б)

• • •

ап

Р е ш" е н и е. а ) Предположим , что
> ап> I . тог да при 1 <;:i<;:n, a <;: a 1 a 2

а1 > а2 > . . . >
. ai <;: a ,a 2 a n,
следо5атель�;о, а , + а � + . . . + а� < па,а 2 • • • ап. Ра ­
венство достигается только при а, = а 2 = . . . = а п =
б) Пусть теперь О <. а , < а < . . . < ап < 1 , тогда
2
при 1 <;: i <;: п, a 1 > a1a 2 . " a t ?- a 1a 2 ·. a n,
·следова­
тельно, а 1 + а � + . . . + а � > n a 1 a 2
Равенство
а .
п
достигается при а 1 = а 2 = . .
а п = 1 и при а 1 = а 2 =
= . . . = ап = О.
770. Решить уравнение
[х]2)п .
(хп - [х] п)2 = (х2

�

• •

• • •

1.

• •

• • •

.

=

_

Р е ш е н и е. Заметим, прежде всего, что при любом
п любое целое число является решением этого урав­
н ения, а при п = 2 решением является любое дей­
ствительное число. Далее будем искать только н е ц е­
л ы е
решения.

А

с
Рис. 4

П роведенная из вершины А (рис.
равенств
2AN

+ 2ВК + 2КС = 2р

получа ем, прежде всего, что
КС

чала случаи" х > 0; тогда О <:: х < 1 , и, разделив обе

fx ]

части

данн ого у р авнения на
( 1 - yn) 2

=

x 2n, получим уравнение

( 1 - у2)п , где

[х]
у = х·

(1)

У э того уравнения мы должны некать корни, нахо·
дящиеся в промежутке О <:: у < I; заметив, ч то О - ко·
рень этого уравнения, будем предполагать, что
как О < 1 - уп < 1 и п > 2, то
О < у < 1 . Так
( 1 - y n) n < ( 1 - yn) 2; с другой сто р оны, 1 - у2 < 1 - уп
п
и поэтому (1 - у2) < ( 1 - уп) п . Из полученных н ера­
венств следует, ч то уравнение (1) в промежутке
О < у < 1 корней не и меет.
Таким образом, у = О, т. ,е. О < х < 1 .
Рассма тривая случай х < О, следует разделить обе
части у р а в н ения не на x 2n, а на fxp n; в этом случае
новых решени й не получается.
Итак, при п = 2 решением является любое действи­
тельное ч исло, при п =1= 2 решения - все целые ч исла,
а также ч ис.11а из и нтервала О < х < 1.
86

(р - с) -

а 2 + ь2 - с2
2а

АН

а (а + Ь - с) - а2 - Ь2 + с а
2а ·АН
а (Ь - с) - (Ь - с) (Ь + с)
4S
(с - Ь) (Ь + с - а)
4S

[xJ = х + [xJ, [xj = О,

а последнее уравнение и меет решения О < х < 1
(в рассматриваемом множестве значений х).
Далее будем считать, что п > 2. Рассмотрим сна-

+ ВК = с

= р - с.

КС - НС
сЩ L. А К С =
АН

п = 1 уравнение принимает вид
(х - [х]) 2 = x2 - fxJ2,
·откуда, учитывая, что x - [ xJ =f= O (х - н ецелое), по.
х-

ц AN

Далее заметим, что н езависимо от того, острый ли
угол АКС или тупой,

При

лучаем

4). Из очевидных

Аналогич �ю,

ctg � ВМА =

(а -- с) (а+ с - Ь)
,
4S
(Ь - а) (а + Ь - с)
ctg L. CN В =
4S

•

Из полученных трех равенств легко следует доказы­
ваемое равенство.
772. В дан.н.ую окружность вписать трапецию
с данным острым углом, имеющую наибольшую
площадь.

Р е ш е н и е.
Пу;сть
R - радиус
окружности,
L. BAD = а и L. BDA = х (рис. 5), тогда диагональ
d = 2R sin а, высота h d sin х, средняя линия тра·
=

d2
d cos х. Площадь тралеции S = 2 sin 2х.
Так как х < а, то для а < 45° функц·ия S достигает

пеции равна

максИмума при х = а. Но в этом случае искомая тра­
пеция вырождается в треугольник . и, строго говоря,
трапеции с наибольшей площадью не существует.
Для х > 45° наибольшее значение площади при
х = 45°; построение очевидно.

Ре

е

m

н и е.

неii данной
равен

Пусть

S1,

пирамиды;

S2 , S8,

S4 - площади гра­
ее утроенный объем

тогда

H1S1 = H2 S2 = H3S3 = H4S4 =
= h1S1 + h2S2 + h3S8 + k4S4,

и, следовательно,

н4 + Н24 + Н34 + Н44 =
1

4

Ри с.

5

773. На основании АВ трапеции АВС D дана
точка М. Построить на стороне CD такую
точку N, чтобы площадь четырехугольника, по­
лученного при пересгчении прямых AN, BN, СМ
и DM. была наибольшей.

Р е ш е н и е. Продолжим боковые стороны трапеции
до пересечения в точке О (рис. б). Точ ка N пере­
сечения ОМ и CD - искомая, т. е.

SMENF < SME,N,F, tN1 =/= N).
D

(84I + 84 +
1

1

2

1

1

X(h1S1 + !i2S2 + kaSa + k4S4)4 >

:>.4J/ (S1S2�3s4)4

=

)

4 + 84

s3

(

4

. 4 ;'"k1k2 hз h 4S1S2 S3 S4
1024k1k2k3h4,

у

Х

=

что и требовалось доказать.

775. Пусть дана система уравнений

{ ах + Ьу + cz

d,
px + qy + rz s
и (х 1 , у 1, z1) и (х2 , У2• Z2) - два ее решения. Дока­
зать, что если k + l = 1, то набор чисел
(1)
х = kx1 + lx2, у = ky. + ly2. z = kz1 + lz2
является решением системы.
Доказать, что и обратно: е сли коэффициенты
при неизвестных в уравнениях системы непро­
порциональны и данные два решения различн ы ,
то для всякого решения (х, у , z) существуют
числа k, l такие, что k + l = 1 и выполняются
равенства (1).
Р е ш е н и е. 1. Очевидно,
а (kx1 + lx2) + Ь (ky1 + ly2) + с (kz1 + lz 2) =
= k (ах1 + Ьу1 + cz1) + l (ax2 + Ьу2 + cz�) =
= kd + ld = (k + l) d = d.
=

=

Аналогично убеждаемся, что

(kx1 + lx2 , ky1 + ly2 , kz1 + lz2)

-

удовлетворяет второму уравнению данной систе м ы .
2 . Предположим , что (х, у, z) произвольное ре­
шение, а (х 1 Yi· z 1), (х2 , у2, z 2) - различные решения
дан ной системы, причем коэффициенты при н еизвест­
ных в уравнениях системы непропорциональны . Это
значит, что один из определителей

,

Рис.

6

Докажем это. Очевидно. DN : AM = NC: MB, следо­
вательно, коэффициент подобия треугольников DEN
и А Е М равен коэффициенту подобия треугольни­
ков NFC и MFB. Отсюда NE: EA = NF: FB, т. е .
EF П АВ. Далее,
АЕ
BF
EL = NN 1 AN = NN 1 BN = FK,
и, следовательно, S N N ,LE = S N N ,кр· Очевидно,

sNQE,E > sNQLE

отк уда

= s N,QFк > s N,QFF ,•

S мE,N,F, > SмENF·

774 . Расстояния от точки, лежащей внутри
треугольной пирамиды. до ее граней равны h 1• h2 ,
h3, h4; высоты пирамиды равны Н1. Н2. Н3, f-14 .
Доказать, что

Нi + н� + н: + нJ > I024h1h2hah4.

д� =

1; ; 1 · д 2 = 1: � 1· дз = 1 : r 1
z1 z •
z2,
{ах + Ьу = - cz1,
c

отличен от нуля. Будем считать для определенности ,
ч то тогда
ч то
=!= 2 В самом
д 1 ::j:: О. Докажем,
то система уравнений
дел е , если z 1 =
d

рх + qy = S - ГZ 1
имеет определител ь
д 1 ::j:: О и два различн ых реше­
ния (х1 у1) и (х2, у2) , чего не может быть.
То гда число k можно найти из уравне н ия z = kz1+
z z2
+ (1 k) z2 , k = Z1 - Z2 после чего положим l =
- 1 -k. Пользуясь теперь тем, ч то z - kz1 - lz 2 = О ,

-

,

- ,

имеем далее:

а [x-(kx1-f-lx2)] + Ь [y-(kyi+ ly2) ] = (ах + Ьу + cz) - k (ах1 + Ьу, + cz1) - l(ax2 + Ьу2 + cz 2)
= d - kd - ld = O.
=

87

Векторы а , Ь, ё образую2 , о�евидно, базис про·
с тр а нства, так ч то векторы т и и могут быть пред·
ставл е н ы в виде

Аналогично

р [ х - (kx, + lx2)] + q [ у - (ky, + l y2)] = О.

{

Но система уравн е н и й

т = аа +

аи + bv = О,

x - (kx, + lx2) = О,
у
(ky, + Zy2 ) = О,

-

Мы привели довольно длинное вычислительное до­
утверждение
данное
тем
м е жду
казательство;
почти очеви д н о с г е о м е т рической точки зрен и я .
В с а м о м деле, каждое и з уравнений да н н ой системы
является уравнением плоскости в трехме рном про­
коэффициентов
с т ранстве, а н епропорциональность
при н еизвес тных обеспеч ивает н а м , ч то эти плоскости
н е параллельны и не совпадают, т. е. пересе каются
по н е к оторой прямой.
Если точки (х,, у , , z i) и (х2 у 2 , z 2 л е ж а т н а этой
прямой, то в е к т о р с координатами (х, - х2 , у, - у2 ,
z, - z 2 ) является е е направляющим вектором и вся­
кая точка (х, у, z ) э той прямой представляется в виде

z) = (х2 , У2· Z2) + k (x, - · x2, y, - У2• z , - z2 ),

откуда и следует доказываемое утверждение.
Заметим еще, ч то если числа k и Z н еотрицатель н ы ,
то точ ки (х, у, z) заполняют отрезок прямой м е ж ду
точ к а м и (х,, у,, z,) и (х2 , у2, z2 ) .

776 . Доказать, ч.то с v.м.ма зн ач.е ний второй
производной кубич.е ского' ..многочлена в корнях
первой производной равна н улю. Дать гео.мРтри­
ч.ескую интерпретацию.
Р е ш е н и е. Пусть у = ах" + Ьх2 + сх + d , у'
= Зах2 + 2Ьх + с . Обозначю1 к о рни первой произ вол=

"

=

=

6ах +

2Ь,

а

и �. тогда

2Ь

а + � = - За·

Далее, у" =
(6а а -+ 2Ь) + (ба� + 2Ь) =

(- ;: )

с л е довательно,

6а (а + �) +

4 Ь = 6а

бовалось доказать.

+

4Ь = О,

что и

т р е­

Можно дать следующую гео м е трическую и н т е р ­
п р е тацию. Кривизна k графи к а фу нкции у опреде­
л я е тс я по формуле

k =

1 у" \

--'------'--=---

3

(1 + у ' 2) 2

с л едова тельно
точ ках х , = а и х 2 = � у' = О,
k = 1 у " /. Та ким образом, в точках максимума и ми�

В

имеет

м ногочл е н

кубич еский
нимума
к ривизну.

одинаковую

777. Доказать, ч.то если плоские углы при вер­
шине треугольной пирамиды прямые, то точ.ка
п е р е с е ч.е ни я .м е диан основания лежит на пр я.мой
с о е ди н яющей верш ин у пирамиды с центром опа:
санного ш ара.
Р е ш е н и е . П р и м е м вершину S пирамиды за на­

ч а ло

евклидова

пространства

и

обозначим

ч ерез

а, ь, ё. т, и в екторы, соответству ющие вершинам
А, В, С основания пирамиды, точке М пересеч е н ия
м е ди а н

основания

Мы должны
н е а рны.

88

и

цен тру

доказать, ч то

О

описанного

векторы

т

и

и.

ш а ра .

колли-

теперь,

З а м е ти м

точ ка

М лежит на

ляется

линейной

+

-с ) .

Из

ч то

ВС,

с е р едине с тороны

1
2 (-Ь

ч то и требовалось доказать.

нои ч е р е з

+

jc,

(1)

U. = ра + аь + -сё.

ри + q v = О

1 1 м ее т единственное решение, т а к к а к е е определи­
тель, по предположе н и ю О ТЛ'ичен от нуля; следова­
тельно,

(х , у ,

�ь

( 2)
соответствующий

вектор,

-

1
2 (-Ь + с) ,

равен

ВС,

медиане

вектор т яв-

а

век торов

комбинацией

однозначности

то

и поскольку

и

выражени� любого

вектора ч е рез базис следует, ч то в формуле (1)
� = 1· Рассматривая сторону АВ, можно показать
ан алогично,

+ ь + с), т.

(

более

что

а =

ч то
е.

а = �-

Таким

вектор

деталь н ы м и

+) .

т

образом,

m= а (а

коллин е а р е н

вычисдениями

+

а+ ь+ё

м ожно показать ,

с другой стороны, равен ство S0 2 = А0 2 может
2
2, о ткуда сдедует
.
быть запи с а н о в виде и = (и - а)
равенс тво (и - 2а, а) = О. Подставдяя сюда выраже­
н и е (2)
. и пользуясь тем, что (Ь, а) = (с, а) = О, полу-.
чаем, что
а

1
р = 2·

1
= -с = 2·

Точно так

Та ким образом,

и колди н е а р е н а+ ь + ё ,

же

показывается, что

1 - - и = 2( а + Ь + с)

-

,

т . е.

откуда и следует доказы­·
в а е м о е утверждение.
Отметим, ч т о многие читатеди решили э т у · задачу
м етодами э л е м е н т а р но й геом е т рии. Мы считаем нуж­
н ы м напомнить, ч то задачи, им еющие подзаголовок ,
следует р е ш а т ь т р е бу е м ы м м е тодом.

778 . Пу сть

Е = { а, Ь, с, d } - н екоторое .множе­

ство, F - поле выч.етов по .модулю 2. На .множе­
стве V всех под.множеств .множества Е опреде­
лим операцию д, положив А л В = <A"- B) U (B"- A)
для любых А, В с Е. К роме того, для любого
.множества А с Е п оложим 1 А = А, ОА = 0·
Доказать, что V - векторное пространств о ,
и найти е г о раз.мерность.
Р е ш е н и е. Проверим, п р е ж де всего, первые ч е­
пространства (аксиомы
векторного
тыре аксиомы
коммутативной группы). Равен ство Ад В = ВЛА оче­
Равенство
видно.
(Ад В) де = Ад (ВЛС) может
быть доказано обычными теоретико-множественными
р ассуждениями, но м ы огранич и м ся лишь геометри­
ч еск·ой иллюстрацией этого утверждения с помощью
диа г р а м м ы Венна. Она приведена на первой стра­
нице обложки н а шего журнала: если А, В, С - изо­
б р а ж е нные н а ней фигуры, то левая и п равая части
рассматрива емого равенства состоят ка к раз из «клет­
ч атой» части и чисто ч е рной части.
Нулевым эле м ентом в м н о жестве V является, оче­
любого А .
видно, пустое множество : Ад 0= А ддя
Противоположным э л е м е нтом любого подмножества А
буд е т с а м о А : Ад А = 0·

Остал ь н ы е аксиомы векторного пространства про­
в е ряются е щ е проще. Напри м е р, равенство (Л + р.)А=
= ЛА !::!. р.А ддя любых Л, р. Е F, А Е V доказывается
«прямым» перебором всех возможных случаев: 1) Л =

= р.=0, 2) Л = 1 , р. = О, 3) Л = О, р. = 1, 4) Л = р. = 1 .
4) обе ч асти равны 0. в случаях 2)
А.

В случаях 1) и
и 3) о н и равны

Легко

ЖtСТВ

nроверитъ.

наконец.

что

систем а

nодмно-

{ а } . { Ь}. {с}, {d }

является базисом V. В самом деле, эта система ли­
нейно независима: в противоположном случае одно
из этих множеств, скажем { d }. линейно выражалось
бы через остальные, и мы и м е л и бы равенство

{d } = а { а } д � { Ь } д i { с } .

однако ни одно из множеств { а } , { Ь } , { с } не содер­
жит d, так что и правая часть после,., него равенства
не содержит d, и мы пришли к противореч ию. С дру­
гой стороны, всякое множество А с Е является ли­
нейной комбинацией указа н н ы х множеств; например

{ а, с , d } = { а } 6 { с } Л { d }·

Следовательно, размерность пространства V равна 4 .
779. На .множестве Р пар (а, Ь) комплексных

<tисел определим операции сложения и умножения
по формулам
(а, Ь) + (с, d) = (а + с, Ь t d ),
(а, Ь)· (с, d) = (ас - bd, ad + Ьс).

Является ли .множество Р кольцом или полем
относительно введенных операций?

Р е ш е н и е . К ом·мутативность и ассоциативность
операции сложения следует из одноименных свойств
комплексных чисел. Очевидно,

(а, Ь) + (О, О) = (а, Ь),
(а, Ь) + ( - а, - Ь) (О, О).
=

Итак, относительно операции сложения
Р - абелева группа.
Дале е

множество

(а ,Ь) (с, d) = (ас - bd, ad + Ьс) = (с, d) (а, Ь),
(а, Ь) [(с, d) (е, f)J [(а, Ь) (с, d)J (е, /),
,

=

так как оба эти произведения равны

(асе - bde - adf - bcf, ас/ + ade + Ьсе - bdf) .

Аналогично проверяется закон ди с трибутивности .

. И'fак, множество Р с введенными операциями есть
кольцо, и п ритом коммутативное. Однако полем
кольцо Р не является.
Действительно, как легко проверить,

(О, О),
т. е. произведе н и е двух ненулевых элементов коль­
ца Р равно нулю, ч его в поле не может быть.
В больши нстве читательских п исем, однако, ут­
верждается, что Р - поле. Мы р екомендуе м чита­
телям найти ошибку в своих рассуждениях, «доказы­
вающих» это неверн ое утверждение.
Верно на поставленный вопрос ответили только
трое читателей: Е. А . Г о л о в а ч е в, М. Ш. Г о т л е р
и Ю. В. К а л и н и ч е н к о, хотя в решении послед·
неrо имеется н е который пробел.
780. Найти .множество действительных <tU·
( 1 , l ) (i, 1)

Сt!Л

=

М, не обладающее следующим свойством:
ухуу (х Е М& у Е М&х < у -+ 3 z (z Е М&х <

1

(х, у ,

z

< z < у) & 3 z (z EM&x<z <у))
- действительные ч.исла).

Р е ш е н и е. Условие зад ач и означает сле дvющее:
найти множество М действительн ых ч ис ед , � м е жд у

двумя любыми разли ч н ы м и элеме н та м и которого л е­
жат по кра й н е й мере два элемен та, один из кото­
рых принадлежит М, а д р уго й не принадлежит М .
Этим свойством обладает, например, м ножество
рациональных чисел.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗдДдЧ
ПО No 3 Зд 1970 Г.
Акопян 3. М. (пос. Гадрут Аз. ССР) - 756, 758, 760762. Аляев А. В. (г. Пачелма Пензенской обл.) - 756,
760-765. Багдасарян С. С. (пос. Гадрут Аз. ССР) 756, 760-763, 766-769, 772, 774. 777. Букобаев Н. ( Во­
сточно-Казахстанская обл.) - 760-763, 769. Ветров К. В.
(г. Бр атск) - 756, 757, 761 -769, 771, 773, 774, 776. 777.
Владимиров А. С. (г. Асбест Свердловской обл.) - 756,
760-769, 771-774, 776, 777, 780. Воронович Л. М.
(Львовская обл.) - 760, 762, 764. Гамолич В. Я.
(г. Одесса) - 767, 768, 771 , 773, 774, 776-779. Го,1ова­
чев Е. А. ( Белгородская обл.) - 756, 759-769, 771-777,
779. Готлер М. Ш. (r. Вильнюс) - 756-780. Давыдов
У. С. (г. Гомель) - 760, 761 , 763-770, 773, 774, 776, 777.
Джемакулов М. М. (Карачаево-Черкесская А. О.) - 756,
760, 76 1 , 763, 765, 766, 772, 776. Зубилин Н. И. !Орлов­
ская обл.) - 760-762, 765, 772. · Калиниченко Ю. В.
(г. Запорожье) - 756-758, 760-774, 776-780. Камин­
ский К. П. (Киевская обл.) - 760-767, 774, 776, 777.
Карнаухов А. Ф. (пос. Покровск Як. АССР) - 756, 758,
760-769, 772, 773, 775, 776. Кутепов А. К. (г. Кадиевка
Ворошиловгр адской обл.) - 756-758, 760-770, 772, 774,
776, 777. Манукьян М. О. (г. Петропавловск Северо-Ка­
захстанской обл.) - 764, 767, 768, 771 , 772, 774-777.
Матросова Е. А. (Чувашская АССР) - 756, 760-763,
765, 766, 769, 775, 776. Менщиков Л. Е. (г. Южно­
уральск Челябинской обл.) - 760-763, 765, 767, 769.
Нгуен Конг Кви (Ханой, ДРВ) - 758-769, 771 -777.
Нерсесян П. Н. (пос. Гадрут Аз. ССР) - 760, 76 1 , 763,
767, 768, 772, 774. Никитин В. В . . (Рязанская обл.) .756, 758, 760-767, 771, 772, 774-776. Панченко Я. Е.
(г. Невинномысск Ставропольского края) - 760-768,
77 1 , 773, 774, 776, 777. Пекач Л. В. (г. Староконстанти­
нов Хмельницкой обл.) - 760-763, 765, 767, 769, 772.
774. Рашидов Х. Р. (г. Ош) - 756, 758. 760-768, 770,
772, 774. Савин Б. В. (г. Слободской Кировской обл.) 756-758, 760-767, 769, 774, 776, 779. Саргсян Г. А.
(г. Иджеван Арм. ССР) - 760, 76 1 , 766, 767, 769. Симе­
онов А. А . .(г. Бов, Болгария) - 766-774, 776, 777, 780.
Суконник Я. Н. (г. Киев) ·-' 756, 760-769, 771-774, 776,
777. Сысуев Г. Я. (прииск Херпучи, Хабаровский кр ай)76 1 , 765, 768. 775, 776. Федчук В. П.
(Хмельницкая
обл.) - 76 1 -765, 772, 777. Хребет Н. Ф. (г. Днепропет­
ровск) - 756, 760, 76 1, 763, 765, 767-769, 771 , 774, 776,
777. Цхай Т. Т. (г. Андижан) - 761 -763, 765-769, 771 ,
773-778, 780. Чепкасов Г . С . (г. Краснодар) - 760-763,
765, 766, 768-770, 774, 776, 777. Шнейдерман Я.
(г. Горький ) - 756, 758-77 1 , 773-777. Эрмамбетов Р.
(г. Астрахань) - 760, 761 , 763-767, 769, 772, 773, 775.
Юдаков В. А. (пос. Армянск Крымской обл.) - 756760, 763-774, 776, 777, 779.
Математические кружки: 1 7-й средней школы г. Киева
(рук. Вайнман Б. Ш.) - 760, 76 1 , 765, 766, 768, 769; 53-й1
средней школы г. Краснодара (рук. Ким Г. И.) - 756,
758, 760-765; 1 73-й средней школы г. Киева (рук. Шейн­
цвит Р. П.) - 756, 758, 760, 761, 763, 765-769, 774, 776,
777�

89

МАТ ЕМАТ ИЧЕС К И Й КАЛЕНДА Р Ь НА 1970 171 УЧЕБН Ы Й ГОД
Март

м а р т а - 60 лет со дня рождения советского математика, доктора
физико-математических наук ( 1 953 ) ,
профессора ( 1 955) , академика АН
Казахской ССР ( 1958)
Мстислава
Вячеславовича
П е н т к о в с к о г о.
Он родился в Ленинграде, окончил
Московский университет в 1934 г.
В 1 937-1940 гг. работал в Каза хском
( Алма-Ата) педагогическом институте, в 1 940-1 956 гг.- в высших вое н ных учебных заведениях, с 1 957 г. работает в АН Казахской ССР. Научные р аботы Пентковского относятся
к номографии (см. «Математика в
СССР за 40 лет», т. 1-2, М" 1 959) .
.
4 м а р т а - 100 лет со дня рождения советского инженера и ученого
в области теории упругости, академика Бориса Григорьевича Г а л е р к и 11 а
( 1 87 1- 1945 ) . Б. Г. Галеркин был
также действительным членом Акаде­
мии архитектуры СССР, инженер­
заслуженным
генерал-лейтенантом,
деятелем науки и техники РСФСР,
лауреатом Государственной премии
( 1942) . В математике Галеркину при­
надлежит заслуга разработки эффек­
тивных методов точного и прибли­
женного интегрирования уравнений
теории упругости, метода приближен­
ного решения краевых задач, полу­
чившего известность во всем мире (см.
БСЭ, 2-е изд" т. 10) .
6 м а р т а - 70 лет со дня рожде­
ния советского математика, члена­
корреспондента АН УССР Наума
Ильича А х и е з е р а. Наум Ильич
родился в г. Чирикове БССР, окон­
чил Киевский институт высшего обра­
зования ( 1 924) . Работал в различных
вузах Киева, Алма-Аты, Москвы,
а с 1 947 г. работает в Харьковском
университете. Лхиезер р азвивает идеи
П. Л . Чебышева и С. Н. Бернштейна
в теории наилучших п риближений.
Значительная часть научных дости­
жений Лхиезера собрана в моногра­
фии «Лекции по теории аппроксима­
ции» ( 1947) , за которую в 1948 г.
АН СССР п рисудила ему премию
имени П. Л. Чебышева. Известны его

книги ' «Элементы теории эллиптиче­
ских функций» (М.-Л., 1948) , «Лекции по вариационному исчислению»
(М., 1 955) и др. (см. «Успехи мате­
матических наук», т. VI, вып. ,3,
1951 и т. XVI, вып. 4, 1 96 1 ; «Из­
вестия АН СССР», серия матем" т. 14,
No 1, 1 950; «История отечественной
математики», т. 3 , Киев, 1968; т. 4,
Киев, 1970 ) .
1 5 м а р т а - 150 лет со дня рож­
дения немецкого математика Генриха
Эдуарда Г е й н е ( 1821 - 1 881 ) . Гейне
родился в Берлине, учился в Берлине
и Гёттингеце, затем работал в уни­
верситетах в Бонне и Галле. Его ос­
новные работы относятся к математи­
ческой физике и теории функций, в
частности он развил теорию функций
Л аме, гамма функций и цилиндриче­
ских функций (см. «Историко-мате­
матические исследования», вып. 5, М"
1952; вып. 6, М., 1953 ) .
17 м а р т а - 50 лет со дня смерти
знаменитого русского ученого, осно­
воположника современной гидро- и
аэромеханики, «отца русской авиа­
ции» Николая Егоровича Ж у к о в­
с к о г о (см. «Математика в школе»,
1962, No 1 ) .
1 8 м а р т а - 1 75 лет со дня
рождения швейцарского математика,
члена Берлинской АН Якоба Ш т е й ­
н е р а (см. «Математика в школе»,
1 963, No 2) .
25 м а р т а - 60 лет со дня рожде­
ния советского математика Владими­
ра Сергеевича П у г а ч е в а. Он ро­
дился в г. Рязани. В 1 93 1 г. окончил
Военно-воздушную инженерную ака­
демию и с 1934 г. р аботает в этой
академии. В. С. Пугачев - доктор
технических наук, профессор ( 1 939)
заслуженный деятель науки и техни­
ки РСФСР ( 1958) , член-корреспон­
дент АН СССР ( 1 966) . Работы Пуга­
чева относятся к теории вероятностей
и математической статистике и их
применению в автоматическом управ­
лении (см. «Математика в СССР за
40 лет», т. 1 -2, М" 1 959; «Матема­
тика в СССР, 1 958- 1967», т. 1-2, М"
1 969)..

25 м а р т а - 60 лет со дня рожде­
ния советского историка, математика,
АН
УССР
члена-корреспондента
Алексея Николаевича Б о г о л ю б о­
в а . Он родился в г. Нежине Черни­
говской губ., окончил Харьковский
университет ( 1 936) . А. Н. Боголю­
наук
бов - кандидат технических
( 1 962) , доктор технических наук
( 1 965) . Известна его книга «Матема­
тическая жизнь в СССР, 1 9 1 7- 1966»
(Киев, 1966) . Им написаны многие
главы четырехтомной «Истории оте­
чественной математики», где он был
одним из заместителей главного ре­
дактора.
29 м а р т а - 80 лет со дня рож­
дения советского математика; педаго­
га Александра Николаевича Б а р с у.
к о в а - бессменного редактора жур­
нала «Математика в школе» в 1 9341 958 гг. (см. «Математика в школе»,
1957, No 1 ; 1 958, № 3 ) .
3 1 м а р т а - 375 лет со дня рож­
дения великого французского филосо­
фа, математика, физика и физиолога
Рене Д е к а р т а (см. «Математика
в школе», 1965, No 1 ) .
Апрель

1 1 а п р е л я - 70 лет со дня рож­
дения советского физика и математи­
ка, академика Александра Александ­
ровича А н д р о н о в а ( 1 90 1 - 1 952) .
А. А. Андронов родился в Москве,
окончил Московский университет, с
1931 г. преподавал в Горьковском
университете. Был депутатом Верхов­
ного Совета СССР 2-3-го созывов.
Его труды посвящены теории колеба­
ний и теории автоматического регули­
рования. А. А. Андронов впервые дал
математическое обоснование теории
автоколебаний, создал математиче­
ский аппарат, необходимый для ее
становления и развития, и решил ряд
важных задач теоретической радио­
техники, теории хода часов и т. п.
(см. БСЭ, 2-е изд" т. 2; «Памяти
А. А. Андронова (сборник статей) » М"
1955; «История отечественной мате­
матики», т. 3,' Киев, 1968; т. 4, Киев,
1970) .
д. И. 60РОДИН (г. Донецк)

ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ВАСИЛИЙ АНТОНОВИЧ rолУ&ЕВ

(К 80-л етию с о д н я рождени я)

Поздравляя с восьмидесятилетием Василия Антонови­
ча Г о л у б е в а, учителя средней школы г. Кувшинова
Калининской области, неутомимого труженика, энтузи­
аста-исследователя простых и соверше!-!ных чисел, хо­
чется хотя бы немного рассказать о нем и его творче­
стве.
Василий Антонович родился 28 марта 1891 г. в кре­
стьянской семье в деревне Фомино Калининской обла­
сти и на всю жизнь сохранил верность родной области,
в частности г. Кувшинову, в школах которого он учи­
тельствовал 30 лет, до ухода на пенсию в 1956 г.
Учиться Василий Антонович начал с 1 0 лет; в 20
лет окончил учительскую семинарию в г. Новоторжске
Калининской области. Дальнейшее образование Васи­
лий Антонович получил лишь после Великой Октябрь­
ской социалистической революции: в 1935 г. заочно окон­
чил математическое отделение Смоленского педагогиче­
ского института и почти одновременно - в 1936 г.­
Московский институт иностр анных языков.

·Так более- чем на 40 лет с перерывом в 4 года, когда
в 1914 г. Василий Антонович был призван в армию,
определилась его профессия учителя.
В 1953 г. трудовая деятельность В. А. Голубева была
отмечена орденом Трудового Красного Знамени.
1. Творческое увлечение элементарной теорией чисел
началось у В. А. Голубева в 1932 г. с разработки ори­
гинального приема составления таблиц простых чисел.
Некогда Гаусс мечтал о создании и издании таблиц
простых чисел хотя бы до 9-го миллиона, для чего при­
влек выдающегося по тому времени вычислителя Дазе.
Лишь много позже мечта Гаусса претворилась в реаль­
ность. В США были изданы таблицы Лемера (D. N. Le­
mer, 1867-1938), содержащие все про�:тые
числа в
промежутке до 10 миллионов.
Вот в эту титаническую работу по выявлению после·
довательностей простых чисел, превышающих 1 07, н
включился В. А. Голубев. К 1940 r. через свое «решето
простых чисе,1» он просеял все числа из промежутка
10-15 миллионQв. Свои таблицы простых чисел для ин·
тервала 10-15 миллионов В. А. Голубев выполнил на
типоrр11фских бланках, что делает их удобными в
пр актическом применении. Качеспо вычислений очен!>
высокое, поэтому таблицы Голубева обрели широкое
доверие у математиков всего мира.
В письме от 10 мая 1938 г. Д. Н. Лемер написал Ва­
силию Антоновичу: «Меня очень интсре<;ует сравнение
моей таблицы с Вашей - в особенности 10-й миллион... »
После смерти Д. Н. Лемера его сын Д. Х. Лемер 11
жена сына Е. Лемер - тоже математики - продолжают
переписку с В. А. Голубевым.
О работе В. А. Голубева по составлению таблиц про­
стых чисел упоминает И. Я. Депман 11 книге «История
арифметики» (Учпедгиз, 1959) : «Им составлены табли­
цы простых чисел одинн адцатого и двенадцатого мил­
лионов, представленные в Математический институт
Академии наук; им же указаны ошибки в напечатанных
за последние годы таблицах прсстых чисел одиннадца·
того миллиона математика Подетти (Италия)».
2. Войдя в стихию простых чисел, В. А. Голубеп.
естественно, не прошел мимо интригующих проблем су­
ществования чисел-«близнецов» (пар простых чисел с
разностью, равной числу 2), «троею�. «Четверок», «пяте­
рок» и т. д" т. е. сгущений простых чисел с возможно
малой разностью между ними.
Вопрос о бесконечности количества «близнецов»,
«троек» и других сгущений до сих пор остается без
ответа.
А. И. Бородип в «Теории чисел» («Радянська школа»,
1965) отмечает: «Таблицы простых чисел (доведенные
Голубевым до 15 с лишним миллионов) показывают, что
есть очень большие числа-близнецы (например, 1 01 6 957
и 1 0 16 959) , однако это не дает доказательства беско­
нечности их количества».
В. А. Голубев является одним из пионеров углублен­
ного изучения распределения «близнецов:& по промежут­
кам натурального ряда. В 1958 г. он опубликовал под ·
считанное им количество пар «близнецов» в предел а х
до 8 миллионов; и х оказалось 48 619. В 1959 г. Д. Х .
Лемер при помощи вычислительной машины провел вы ·
числения пар «близнецов» в пределах до 37 миллионоо.
Интересно заметить, что по подсчетам Лемера количе·
ство пар «близнецов» в пределах до 8 миллионов рав­
но 48 618. Это еще одно из многих подтверждений
точности вычислений В. А. Голубева, проводимых без
помощи машин.
А. А. Бухштаб в «Теории чисел» («Просвещение»,
1 966) отмечает: «Фрютль подсчитал, чт<> среди перrюго
миллиона натуральных чисел имеется 165 четверок про·
стых чисел вида р, р'=р+2. р"= р+6, р"'=р+8, а в
пределах до двух миллионов имеется 295 таких четве­
рок. Эти подсчеты были продолжены В. А. Голубевы��».
91

В. Серпинский в книге «Что мы знаем и чего не
знаем о простых числах» ( Физм а пиз, 1 963) дополняет:
«В первых десяти миллионах, как подсчитал В. А. Го­
лубев в 1 959 г" имеется 899 четверок, в первых же пят­
н адцати миллионах - 1 209».
С Серпинским, выдающимся польским математиком,
вице-президентом Польской Академии наук, В. А. Го­
лубев поддерживал многолетнюю переписку, в которой
ясно проступала общность многих интересов этих двух
математиков.
В. А. Голубев перевел с польского книгу В. Серпин­
ского «Сто простых, но одновременно и трудных во­
просов арифметики» (Учпедгиз, 1 96 1 ) и снабдил ее
предисловием и примечаниями. В свою очередь, В. Сер­
пинский в письмах к Василию Антоновичу одобритель­
но отзывался о его р аботах. Например, в письме от 9
декабря 1 969 г. В. Серпинский пишет: «Благодарю Вас".
за указание ошибок в таблице р азностей последователь­
ных простых чисел, а также за присланные мне Ваши
таблицы». Каждое письмо Серпинского (написанное лич­
но им на русском языке) проникнуто уважением к тру­
дам В. А. Голубева. Оба математика регулярно обмени­
вались статьями по мере их выхода из печат!f.
3. В. А. Голубев имеет обыкновение сообщать дру­
гим мат�.матикам еще не опубликованные свои резуль­
таты, 11 .:вою очередь получая подобнь1t:� сведения и от
них. Например, Д. Х. Лемер и Е. Лемер в письме от
20 января 1 960 г. говорят: «Вы, конечно, можете поль­
зоваться нашими результатами, которые еще не отпе­
чатаны. Мы будем очень рады, если они Вам помогут
в Ваших исследованиях».

4. Для чисел Мерсенна М п = 2 п - 1 , где п
натураль­
ное число, математики до сих пор продолжают давно
начатые поиски всех простых значений n = p, при кото­
рых числа М р = 2 Р - 1 являются проСТЫ\IИ, или всех
делителей, когда эти числа Мр составные. К 1961 г. бы­
ли табулированы все известные делители чисел этого
вида до р= 1 1 93. А. И. Бородин в «Теории чисел» отме­
чает: « ... делитель 27 409 числа Ms?r и делитель 6089 для
М1б1 дал еще в 1 956 г. В. А. Голубев».
В 1 937-1 938 гг. В. А. Голубев показал представления
простых чисел, меньших 30 ООО, формой х2+27 у2 и
простых чисел, меньших 24 ООО, формой х2 + 64у2•
К 1 963 г. инженером В. Н. Серединским (Москва) и
математиками из США Е. Карстом (Е. Karst) и С. Кра­
вицем (S. Kravitz) были опубликованы дальнейшие
представления простых чисел формой х2+27 у2 для чи­
сел, меньших 1 90 ООО, и формой х2+64 у2 для чисел,
меньших 1 20 ООО.
-

5. Проблема наиболее длинных арифметических про­
грессий, составленных только из простых чисел, доволь­
но давняя. Она живо интересует как любителей мате­
матики, так и специалистов. В. Серпинский пишет в
книге «Что мы знаем и чего не знаем о простых чис­
дах»: «Напрашивается вопрос, существует ли арифме­
тическая прогрессия, состоящая из любого числа р аз­
личных простых чисел. Среди известных нам наиболь­
шую длину имеет прогрессия, состоящая из 12 членов.
Эта прогрессия была найдена В. А. Голубевым, ее
первый член 23 1 43, а р азность 30 030».
В. А. Голубев является не только первым открывате­
лем двенадцатичленной прогрессии, а также и автором
бодьшого количества достаточно длинных прогрессий,
состоящих из нераз.1южимых членов. За последнее де­
сятилетие В. А. Голубев н ашел 49 десятичленных про­
грессий, 18 одиннадцатнчленных, 3 двенадцатичленных и
одну тринадцатичленную. Двенадцатичленные прогрес­
сии, кроме уже упомянутой, следующие: первый член
67 709, р азность 25 4 1 0 ; первый член 1 79 35 1 , разность
69 300. Тринадцатичленная прогрессия имеет первый член
2 9 1 2 971 и р азность 5 1 0 510.
92

В дальнейшей разработке этой те;,щ прин яли участие
В. Н . Серединский, а также математики Карст и Рут
( Е. Karst, S. С. Root, США) . Этими авторами
к
1 969 г. было найдено 35 прогрессий с количеством чле­
нов не менее 1 0. Интересно, что среди них только две
тринадцатичленных, одна четырнадцатичленная с первым
членом 55 1 1 7, разностью 60 060 и одна шестнадцати­
членная с первым членом 2 236 1 33 941 и разностью
223 092 870.

Накопление совокупностей последовательностей про­
стых чисел, начиная с двучj]енных, имеет еще и · тот
смысл, что дает возможность сделать выводы о зако­
нах их распределения в ряду простых или натуральных
чисел.

6. В недавнее время В. А. Голубев увлекся разра­
боткой большой таблицы факторизации чисел, образуе­
мых многочленами р2± р + 1 в пределах до простого р,
не превышающего 1 0 ООО. Соответствующая таблица
опубликована в «Известиях Австрийской Академии
наук».
Составленные В. А. Голубевым таблицы факториза­
ции р азличных многочленов дают богатую россыпь
фактов, из которых исследователи смогут извлечь обоб­
щающие р езультаты.
К этой области относится преобладающее количество
(более
1 00)
оригинальных опубликованных работ
В. А. Голубева. Наиболее обширные таблицы факториза­
ции численных значений многочлена составлены им для
формы х2 + 1 в пре,целах до х = 1 90 ООО. Разложением
(до х = 1500) на простые делители чисел этой формы
занимался еще Эйлер. Математик Д. Шэнкс (D. Shanks,
США) при помощи вычислительной машины проверил
опубликованные результаты В. А. Голубева и внес лишь
единичные уточнения в J1.азложение численных значений
х2 + 1 на простые множит�ли. В настоящее время на­
коплено большое количество простых чисел в пределах
до 1 00 миллионов, а в отдельных случаях · и до 40 мил­
лиардов. Большой вклад в это накопление внесен труда­
ми В. А. Голубева.
.

7. В 1 772 г. Эйлер. нашел, что многочлен х2 + х + 4 1
п р и х = О, 1 , 2 , :" . , 3 9 дает подряд 4 0 р азличных про­
стых чисел. В каждом учебнике теории чисел обычно
упоминается только этот многочлен. У читателей может
сложиться впечатление единственности формулы такого
рода. Теперь этот психологический барьер преодолен.
В 1 967 г. В. А. Голубев нашел многочлен 9х2 - 23 1 х +
+ 1 523, также дающий подряд 40 простых чисел, и еще
один многоч,1ен 8х2 - 326х + 2659, который при значе­
ниях х от О до 39 принимает подряд 40 различных не­
р азложимых значений (в том числе и отрицательных) .
К этой р аботе незамедли.�и присоединиться и другие
математики. 25 марта 1968 г. Д. Х. Лемер в письме
к В. А. Голубеву сообщил, что Ф. Т. Шурц (F. Т. Schurtz)
нашел полином 36х2 - 8 1 0х + 2753, которы й имеет про­
стые значения для х = О, 1, 2, . . . , 44. Соответствую­
щий ряд состоит из 45 различных неразложимых (в том
числе и отрицательных) чисел; ряд начинается простым
числом 2753 и кончается простым числом 36 809.
8. Многое сделал В. А. Голубев для популяризации
р абот других математиков. Дважды публиковал в жур­
нале «Математика в школе» обзорные статьи о новин­
ках в теории чисел; составил более десятка рецензий
на зарубежные математические книги для сборника
«Новые книги за рубежом»; в течение 10 лет выполнял
заказы реферативного журнала «Математика», в сред­
нем по 50 рефератов в год. Интересно, что он обычно
полностью переводил статьи на русский и лишь затем
составлял рефераты.
9. В. А. Голубев, проводя огромную вычислительную
р аботу, терпеливо накапливает многочисленные разно­
образные теоретико-числовые факты, приводящие его

.

интересным обобщениям. Так аозними его пуб.пи·
кации: «Обобщение теоремы Дирихл" о простых чис­
,1 ах» ( Болгарская Академия наук. «Известия математи­
<1еского института», т. I I I , кн. 1, 1958), «Точные фор­
:'1улы числа близнецов и других обобщений функции
л (х) » (Прага, 1962) , «0 группах просrых чисел» ( «�'че­
ные записки Калининского государственного педагогиче·

к

ИВАН КОНСТ АНТИНОВИЧ ПАРНО

(К 75-летию со дн я рожде н и я)

Иван Константинович
Парно родился 23 февраля
г. в г. Бельцы в семье бедного музыканта. По
окончан ии матем атического отделения Новороссийского
университета в Одессе в 1918 г. Иван Константинович
преподавал матем атику в кишиневских средних школах
вплоть до освобождения Бессарабии в 1940 г. и обра­
зования Молдавской ССР.
Полное применение своих знаний, богатого опыта и
своей неиссякаемой энергии Иван Константинович н а ·
шел только в советских учебных заведениях Молдавии.
В 1940 г. И. К. Парно назначается преподавателем мол­
давского педагогического училища.
В годы эвакуации, во время Великой Отечественной
войны, И. К. Парно не порывал связи с педагогической
р аботой.
После войны И. К. Парно непрерывно работает в Ки­
шиневском пединституте, а с 1960 г.- в связи со слия­
нием института с университетом
в Кишиневском го­
сударственном
университете
имени
В. И . Ленина.
В 1950 г. И . К. Парно защищает кандидатскую дис·
сертацию по методике препадавания математики и ста·
новится первым кандидатом наук Советской Молдавии
по этой специальности. В настоящее время Иван Кон·
алгебры
и
геометрии
сrантинович - доцент кафедры
КПr' имени В. И. Ленина. Человек большой эрудиции,
с бо г аты м опытом, он не только дает своим воспитан-

1896

-

11 н сти ту та:.
т. XXVI, ! 958) , «ЧИС.710 групп
про­
стых чисел и простых чисел степенных форм» («Маге·
матика», 1962, № 6, издание Казанского гос. ун-та),
о функция х <p (n ) . µ2 (п) , �(s) » (совместно с О. М. Ф о­
м е н к о; «Апп а \ еs poloпici Mathematici», X I , 196 1 ) .

ского

,

В. Н . СЕРЕДИНСКИЯ, &. А. КОРДЕМСКИЯ (Москва)

инкам - будущим учителям м атематики - знания, но и
воспитывает в них любовь к педагогической р а боте,
к творчеству.
Научно-методические интересы И . К. Парно лежат
как в области обобщения передового опыта и улучше­
ния преподавания математики по действующим прогр а м ­
м а м и учебникам, так и в области модернизации школь­
ной м атематики, создания новых прогр а м м, учебников
и учебно-методических пособий.
В 1 955 г. И. К. Парно в содружестве с Г. И. Глейзе­
ром и А. Ф. Штернталем издал «Русско-молдавский тер­
минологический словарь по мате\lатике для молдавских
средних и высших учебных заведений», который в боль­
шой степени унифицирова п мо.1давскую математическую
терминологию и тем самым
принес большую пользу
учителям средних школ, а также преподавателям выс­
ших учебных заведений, ведущим свои курсы н а мол­
давском языке.
В свете новых задач, вь1двинутых Законом о шко­
ле, в Молдавии были созданы новь•е оригинальные про­
граммы по арифметике для V-VI классов. Непосредст­
венное участие в этом ответственном деле принимал
и И. К. Парно. Так, в 1960
r. Иван
Константинович
совместно с И. Ф. Волковым подготовил пособие для
учителей и студентов пединститутов «0 преподавании
десятичных дробей в V классе восьмилетней и средней
школы», а в 1962 г. в содружестве с И. Ф. Волковым
и Н. Х. Спатару - брошюру «0 преподавании обыкно­
венных дробей после десятичных в V классе восьмилет­
ней школы». И . К. Парно является одним и з авторов
действующих учебников по арифметике для V-VI клас­
сов, которые были изданы в 1962-1963 гг. в соответ·
ствии с новой программой.
Особое внимание уделяет Иван Константинович под·
готовке научных р аботников в области методики мате­
матики. Иван Константинович Парно выполнял и вы­
полняет большую общественную работу. Он является
членом УМСа
Министерства
народноrо
образования
МССР, членом правления Математического
общества
Молдавской
ССР.
Активное
участие
принимает
И. К. Парно в р а боте общества «Знание», а также в
издании Советс1<ой Молдавской Энциклопедии, где и м
написано более 20 статей по вопросам матем атики и
астрономии.
Хар актеристика многолетней деятельности Ивана Кон­
стантиновича будет неполной, если не отметить его ра­
боту с учителями математи1<и школ Молдавии в целом
по вопросам улучшения преподава1-1ия м атематики в
школе.
Партия и п р авительство по · достоинству оценили труд
И. К. Парно: он нагр ажден орденами Трудового Крас­
ного Знамени и «Знак почета», ему присвоено высокое
звание заслуженного учителя школы Молдавской ССР.
Пожелаем юбиляру доброго здоровья и успехов в
труде на благо Родины.

В. Д. &ЕЛОУСОВ, Я. И. НЯГУ (r. Кишине в)

&ОРИС ПдВЛОВИЧ 6ЫЧКОВ
(К 60-nетню со дня рождения)

Имя кандидата педагогических наук, доцента Киши­
невского университета имени В. И. Ленина, коммуниста
Бориса Павловича Б ы ч к о в а хорошо знакомо каждо­
му учителю математики Молдавии. Знают его и читате­
ли журнала «Математика в школе», на страницах кото­
рого Борис Павлович опубликовал н�мало статей.
Родился Б. П. Бычков 17 января 191 1 г. в бендерском
предместье Старые Липканы (Бессарабия ) . Жизнь Бори­
са Павловича, как и многих его товарищей, связана
с подпольной комсомольской организацией, членом кото­
рой он состоял с 1928 г., а с 1932 г. и до освобождения
Бессарабии ( 1940 г.)- с Коммунистической партией Ру­
мынии, которая боролась против фашистских организа-

ций «Железная гвардия», сЛига Архангела Михаила»,
«Кузисты» и др.
После окончания Бендерской мужской гщшазин Бо·
рис Павлович поступил на математический факультет
Ясского университета. Вскоре, однако (в 1933 г.) , за ре­
волюционную деятельность среди студентов и препода­
вателей университета он был арестован и до конца
1934 г. находился в заключении в Ясской тюрьме.
В 1939 г. Борис Павлович окончил университет, но полу­
чить работу по специальности не смог и поэтому был
вынужден давать частные уроки, как и в годы учебы
в уницерситете.
Школьный инспектор Бендерского УОНО, ст. препо­
даватель кафедры математики Кишиневского, Тюмен­
ского, Бельцского пединститутов, декан физмата и зам.
директора по учебной и научной работе Бельцского пед­
института, зав. кафедрой общей математики Кишинев­
ского государственного университета, руководитель пер­
вого :э Молдавии научно-методического семинара по ма­
тематике, непременный участник всех совещаний, конфе­
ренций и комиссий по вопросам преподавания матема·
тики в школах Молдавской ССР, бессменный лектор се­
минаров и курсов учителей математики - это неполный
Перечень вех трудового пути Бориса Павловича за
1940-1971 гг.
За время своей трудовой деятельности Борис Павло­
вич написал и опубликовал ряд научно-методических ра­
бот, из них около 30 статей в журнале «Математика
в школе».
Перу Б. П. Бычкова принадлежат интересные статьи
информационного характера о работе методических се­
минаров по математике в Молдавии, о республиканских
олимпиадах школьников, о конференциях по политехни­
ческому обучению, о новых программах для школ Ру­
мынской Народной Республики и Франции, а также
статьи по обзору румынских и болгарских математиче·
ских журналов.
Пожелаем Борису Павловичу крепкого здоровья и но­
вых творческих успехов в его плодотворной научно­
педагогической деятельности.
Я. И. НЯГУ (г. Кишине в)

КНИrИ ИЗДдТЕЛЬСТВд ссПЕДдrОrИКд», ВЫПУСКАЕМЫЕ В 1 ПОЛУrОДИИ 1971
1 . Комплекс учебного оборудования по математике.
Под ред. В. Г. Б о л т я н с к о г о. 20 л.
В книге рассматрив аются проблемы оснащения каби­
нетов математики в средней шко.-1е, анализируется, какое
оборудование должен обязательно иметь кабинет.
Книга адресована учителям и методистам математики.

ции человеческой деятельности? В какой степени элект­
ронные машины воссоздают психические процессы, про­
исходящие в мозгу человека и животных? На эти и мно­
гие другие вопросы ответит книга читателям, интересую­
щимся проблемами кибернетического моделирования.
Книга адресована психологам, математикам, инжене­
рам, физиологам и учителям средних школ.
Перечисленные издания можно заказать в местном
Книготорге. Издательство «Педагогика» и наш журнал
продажей и высылкой книг не занимаются.

2. П у ш к и н В. Н. Психология и кибернетика. 12 л.
Какова роль психологической науки в создании кибернетических устройств, моделирующих высшие функ-

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ В Jl6 6 ЖУРНАЛА ЗА 1 970
На стр. 49

вмес о
т

1 ! <х

+ t.x) t.x

следует

На стр. 71 задачу 838
стые, то число Sp+l делитс11

на б.

! (х) j

.;;.с дх

"'

читать так:

r.

след ует

Доказать,

т т
чи а ь

r.

1 (х дх) - !

что если

!

+

числа

х
( ) -/1(х) .;;.с лх

j

"'

'

р (р > З) и lOp +

1

про­

t.x

ХРОНИКА
В. Н. РУДЕНКО, д. В. СО К ОЛОВ д (Москва)

ВСЕРОССИЙСКОЕ
НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ СОВЕЩАНИЕ
15-16 октября 1970 г. в г. Ростове-на-Дону состоя­
лось В сероссийское научно-практическое · совещание, со­
званно!' Министерством просвещения РСФСР и его
Научно-исследовательским институтом школ и посвя·
щенное совершенствованию учебного процесса в школе
в связи с переходом Ра новые программы.
Совещание открыл министо просвещения РСФСР
А. И. д а н и л о ь.
В своем вступительном слове министр рассказал об
основных задачах, стоящих сейчас перед школой.
На пленарном заседании были заслушаны доклады
зав. Ростовским облоно Н. Д. А с т а л ь ц е в а «Опыт
работы школ Дона по повышению уровня обучения уча­
щихся в условиях перехода на новые учебные програм·
мы», зав. лабораторией НИИ школ МП РСФСР при
Ростовском пединституте Ю. К. Б а б а н с к о г о «Пе·
дагогические основы достижения глубоких и прочных
знаний учащихся при обучении по новым программам»,
директора НИИ содержания и методов обучения АПН

СССР М. П. К а ш и н а «3на·1енис о� ьсктивного изучевин уровня знаний учащихся в учебной работе школы».
Секция математики под председательством старшего
н аучного сотрудника НИИ школ МП РСФСР К. С. М у­
р а в и н а рассмотрела особенности работы учителей ма­
тематики в условиях перехода на новые программы.
На секционном заседании было заслушано 8 до­
кладов.
Докла д методиста МП РСФСР А. В. С о к о л о в о й
был посвящен некоторым итогам проверки знаний, уме­
ний и навыков учащихся IV-V классов, обучающихся
по новой программе.
Об 'опыте работы учителей математики школы № 1
г. Ростова-на-Дону по предупреждению неуспеваемости
рассказал учитель этой школы Э. А. М а з и н.
Учительница Ростовской школы № 92 Л. С. Б у л ы­
ч е в а рассказала об индивидуальном подходе к уча­
щимся IV класса как средстве предупреждения неуспе­
ваемости при обучении по новой программе.
А. У. М е ж е р и ц 1-: и и (школа № 52, г. Ростов)
обобщил опыт работы учителей своей школы по ис­
пользованию технических средств обучения на уроках
математики.
Учительница школы № 5 г. Ростова Н. А. Г о л у б о­
в а в своем докладе рассмотрела развитие познаватель­
ной активности учащихся в процессе обучения мате­
матике.
В докладе зав. кабинетом математики Ростовского
ИУУ Э. Г . .Я к у б а обобщен первый опыт работы по
новым программам в IV классе.
А. .Я. Д у д а р о в а посвятила свой доклад формам и
методам организации внеклассной работы по повыше­
н ию качества знаний учащихся (воскресные школы,
кружки, вечера, олимпиады, недели математики) .
Выступление методиста кабинета математики Москов­
ского областного ИУУ В. Н. Р у д е н к о было посвя­
щено вопросу соотношения теории с практикой при обу­
чении математике в IV 1шассе.
На заседании секции выступил заведующий редакцией
м атематики издательства «Просвещение» С. В. П а­
з е л ь с к и й, познакомивший присутствующих с планом
издательства на ближайшие годы.
Участники совещания посетили школы Ростова, Ново­
черкасска, Шахты, Таганрога и несколько сельских
школ, где беседовали с руководителями школ, присут­
ствовали на уроках, познакомились с техническими сред­
ствами и их исrюльзованием во время учебного про­
цесса.
На заключительном пленарном заседании участниками
единодушно были приняты рекомендации учителям, ру­
ководителям школ и органам народного образования.

УВАЖА Е М Ы Е Ч ИТАТ ЕЛ И !
В С ВЯ З И С П ОД ГОТО В К О Й Т ЕМАТ И Ч ЕС К О ГО ПЛА­
НА ЖУР НАЛ А НА . 1 97 1 /72 УЧ Е Б Н Ы Й ГОД Р t;:ДАК Ц И Я
ОБРАЩА ЕТСЯ К ВАМ С П РОСЬБО Й ДАТЬ С В О И ЗА­
М Е ЧА Н И Я И П Р ЕДЛ О Ж Е Н И Я. П О Т ЕМАТ И КЕ СТАТЕЙ
НАУЧ Н О- П О П УЛ Я Р Н О ГО, М ЕТОД И Ч ЕСКОГО И Д Р У­
Г И Х РАЗДЕЛО В НАШ Е ГО ЖУР НАЛА.

·

1

Н ЕКРОЛОГ
НИКОЛдй АНДРЕЕВИЧ ЧдйКОВСКИй

(1 887-1 970 гг..)
7 октября 1970 г. на 84-м году жизни после тяжелой
болезни скончался известный математик, педагог и мето­
дист, профессор кафедры высшей математики и геомет­
рии Львовского ордена Ленина государственного уни­
верситета имени Ивана Ф ранко Николай Андреевич
Ч а й к о в с к и й.
Человек большой культуры и разносторонних знаний,
неутомимый труженик просвещения, Н. А. Чайковский
всего себя отдал делу развития м атематического обра­
зования ·в украинской школе, в частности воспитанию
педагогических кадров для средней и высшей школы.
Испытав еще учеником гимназии р адость открытия ма­
тематики, глубоко веря в могущество научного прогрес­
са, Н. А. Чайковский отдал много сил популяризации
научных, прежде всего математических, знаний.
С появлением первых публикаций по математике на
украинском языке во всей сложности встал вопрос
о создании украинской математической терминологии.
Одним из зачинателей этой важной работы был
Н. А. Чайковский. Особенно активное участие в разра­
ботке нормативной украинской терминологии по матема­
тике принимает он в советское время, являясь соавто­
ром известного «Русско-украинского математического
словаря» (изд. АН УССР, 1 960) .
Н. А. Чайковский - автор многих кнпг по математи­
ке, статей, методических разработок на украинском и
русском языках. Его перу принадлежат 1 0 книг и более
150 статей. Только в «Украiнськiй радянськiй енцикло­
пе.µJI» напечатано 50 его статей и заметок. Ценные и
интересные материалы по истории развития математиче­
ской культуры на Украине предоставил Николай Анд­
реевич в распоряжение редакции четырехтомной «Исто­
рии отечественной математики», являясь одновременно
членом ее редакционной коллегии. Труду Николая Анд­
реевича украинские читатели обязаны знакомством с ре­
ферированными на украинском языке многими работами
зарубежных математиков (Д. Гильберта, К. Ф. Гаусса,
Г. Фробениуса, Т. Левн-Чивита и др.) .
Поиски лучших м етодов обучения математике, воспи­
тание у молодежи интереса к математике всегда были
предметом его особенного внимания. Поэтому главную и
самую большую по объему часть его печатных работ со­
ставляют учебники и учебные пособия. Отдельными из­
даниями вышли: «Четырехзначные таблицы логарифмов

и тригонометрических функций» (изд. 1 9 1 7, 1 920. 1 923.
1931 гг.) , «Тригонометрия» ( 192 1 ) , «ИнтеrраJJьное исчис­
ление» ( 1923) , «Высшая алгебра» ( 1 930) , «Квадратные
уравнения» ( изд. 1959, 1 970 гг.) , «Лекuии по высшей ал­
гебре» (кн. 1, 1962; кн. 1 1 , 1963 ) .
�бладая б,?льшой эрудицией, высокой общей культу·
рои, Николаи Андреевич щедро делился мыслями, ак­
тивно помогал молодым научным работникам и искрен­
не радовался их успехам. Он был активным участником
украинского республиканского научно-методического се­
минара при кафедре элементарной математики и мето­
дики математики Киевского государственного педагоги­
ческого института имени А. М. Горького, а также се­
минара по истории математики при АН УССР.
Перу Н. А. Чайковского принадлежат многие статьи
атеистического содержания. В них автор раскрыл драма­
тические страниuы борьбы науки и религии, показал, как
наука, раскрывая тайны природы, опровергает религиоз­
ные представления о строении мира и законах, управ­
ляющих им.
На запуск первого советского искусственного спутни­
ка Земли ученый откликнулся статьей «Наука побеж­
дает религию». Статья вызвала отклики не только со­
ветских, но и зарубежных читателей. Ответ ученого сво­
им зарубежным оппонентам - спокойная беседа с людь­
ми, пребывающими в плену религиозной и антисовет­
ской пропаганды,- был напечатан во львовской област­
ной газете «Вiльна УкраТна» и п рогрессивной канадской
газете «УкраТнське життя». Это выступление положило
начало ряду публикаций ученого в прогрессивной
украинской канадской прессе. В своих публицистических
статьях Н. А. Чайковский рассказал далеким землякам
правду об успехах культурного и хозяйственного строи­
тельства в Советской Украине, с большим патриотиче­
ским пафосом опровергал антисоветские измышления
буржуазной пропаганды.
Будучи тяжело больным, Николай Андреевич до по­
следних дней своей жизни не прерывал общения с мо­
лодежью. 18 сентября в газете «Молодь Украiни» была
опубликована его заметка, призывающая молодежь
искать, находить и создавать прекрасное в м атематике
глубоко изучать ее. Умирая, он сожалел лишь о том :
что не может больше живым словом и делом быть по­
лезен народу, счастье которого связывал только с Со­
ветской властью.
С большой скорбью в душе и болью в сердце прово­
дили Николая Андр �евича в последний путь его много­
численны� ученики, коллеги, друзья, студенты вузов
Львовском области, в которых он работал. Для вс·ех
нас он всегда будет в памяти примером глубокой пре:
данности делу народного образования и социалистиче­
ской культуры в нашей стране.

Р е д ак ц и о н н а я

д. Г. J(ОНФОРОВ ИЧ, Н. Н. 60РОДН Н (г . Киев)

к о л л е г и я:

Зам. главного редактора с. А. Пономарев
Анdронов , в. г. Бол.тянскиu, н.
И.
R.
Ф.
вл.асик
А.
Н. Rол.люzоров · г
г
В. В. Г-неденко, Н. А. Ермолаева, А. с. Ил.ъин
Маслова''
О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушu-н, R. П. Сикорски , 3
скопец
0
А. В. Соколов , П. В. Стратил.атов, З. С. Сухотина, И. Ф. Тесл.енко, Н. Ф. Четверухи
лавный редактор Р С. Черкасов
�Iлены
редакционнои
коллегии:
.•

Зав.

::

редакциеи

З.

й

В. Шепел.ева

Технический редактор

Художественный

Н. И. васил.ъева

в.

редактор

. .А
в.

Ф.

Корректор л. А. Голубева

Адрес издательства: Москва, Г-117, Погодинская ул..,
телефон редакции 247-03�74
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР
и Комитета по печати при Совете министров СССР
Сдано в производство 22/ХП 1970 г.
Подп. к печати 'Л/I 1971 г.
Тираж 382

;,,

Рябов

Учетно-изд. л. 11,68.
цена 45 коп.
зак. 573
-по печат
т
Московская типография No 13 Главполиграфпро а К о и
uри Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.

930

Объем 6 (10,08) п. л.
экз.
Бумага 84 х 1081/16

-­

;

.;- -:;,� �

�

КНИГИ, ВЫШЕДШИЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ ((ПРОСВЕЩЕНИЕ» В 1 970
А т а н а с я н Л. С. и др. Сборник задач по элемен­
тарной геометрии. Пособие для педагогических инсти­
тутов. Цена 1 7 коп.
Сборник содержит около 800 задач на вычисление,
доkазательство и построение, причем к некоторым
задачам приведены решения различными 'Методами:
аналитическим, методом геометрических мест, мето­
дом геометрических преобразований. Учителя средней
школы также найдут в этой книге много полезных
задач.
«Дополнительные главы по курсу математики IX класса
для
факультативных
занятий».
Составитель
П.
В.
С т р а т и л а т о в., Пособие для
учащихся . .
·Цена 1 7 коп.
Дополнительн ые главы по курсу математики Х клас­
са для факультативных занятий. Составитель 3. А. С к о­
п е ц. Пособие для учащихся. Цена 31 коп.
К о р н е в Ф. В. Эмпирически е формулы в школе.
Пособие для учителей. Цена 22 коп .
К У д р е в а т о в Г. А. Сборник задач по теории
чисел. Пособие для студентов педагогических институ­
. тов. Цена 1 7 коп.
«Математика и естествозн ание». Серия «Проблемы
математич еской школы». Составитель С. И. Ш в а р ц­
б у р д. Цена 93 коп.
Н и к и т и н В. В. Сборник логическ их упражне ний.
Пособие для учителей. Цена 13 коп.

r.

П а р н о И. К. Интегралы в Х классе средней
школы. Пособие для учителей. Цена 14 коп.
Т у м а н о в С. И. Элементарная алгебра. Пособие
для самообразования. Изд. 3. Цен·а 1 руб. 28 коп.
Книга написана для лиц, желающих самостоятельно
изучать элементарную алгебру или систематизировать
свои· знания по этому предмету. Для читателей, же­
лающих расширить свой математический кругозор и
подготовить себя к работе в вузе, в книгу включены
некоторые разделы, выходящие за пределы ныне
действующей программы средней школы. Книга напи­
сана доступным для понимания языком, легко чи­
тается.
Х у д о б и н А. И., Х у д о б и н Н. И. и Ш у р w а­
л о в М. Ф. Сборник задач по алгебре и элементар­
ным функциям. Пособие . для учителей. Изд. 2. Цена
86 коп.
Ч е к м а р е в Я. Ф. Методика устных вычислений.
Пособие для учителей. Цена 32 коп.
Книга яв:Пяется объединением двух ранее изданных
книг' Я. Ф. Чекмарева: «Сборник арифметических за­
дач и упражнений для устного счета с методическими
указаниями для начальной школы» и «Сборник ариф­
метических задач и упражнений по устному счету
с методическими указаниями для средней школы».
При переработке этих книг и их объединении автор
внес необходимые изменения (сокращения И дополне­
ния), учитывая основные положения новой программw
по математике. Книга состоит из двух частей: в пер­
вой части излагается методика занятий по устному
счету и дается теоретическое обоснование разноо6разных приемов устных вычислений, во второй части систематИзиро ванный сборник упражнений по устному
счету. Книга окажет несомненную помощь учителя�
I V-V классов в их работе.

Книги высылаются наложен ным платежом (без за­
датка) по адресу: Москва, К-9, Пушкинск ая ул., 7/5.
Магазин № 46 «Педагог ическая книга».