фихтенгольц Г.М.ФИХТЕНГОЛЫД
КУРС
ДИФФЕРЕН
ЦИАЛЬНОГО
и
ИНТЕГРАЛЬ
НОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
том
I
огиз гостехиздат
1947

Γ. Μ. ФИХТЕНГОЛЬЦ
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ТОМ I
Допущено Министерством высшего
образования СССР в качестве учебного пособия
для студентов математических отделений
университетов и аспирантов »
О Г И 3
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1947 ЛЕНИНГРАй

Редактор Д. А. Райков Техн. редактор М. С. Бондарев
Подписано к печати 10/Ѵ 1947 г. 431/, печ. л. 42,°5 уч.-изд. л. 39 500 тип. зн,
в печ. л. А02211. Тираж 25 00Э. Цена кшги 15 руб. Переплет 1 руб.
Заказ. № 6877.
1-я Образцовая тип. треста «Полиграфкнита» Огиза прн Совете Министров СССР,
Москва, Валовая, 28,

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. Область рациональных чисел.
I. Предварительные замечания 11
2.· Упорядочение области рациональных чисел 12 ·
3. Сложение и вычитание рациональных чисел 13
4. Умножение и деление рациональных чисел . . · 15
5. Аксиома Архимеда 18
§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области
вещественных чисел.
6. Определение иррационального числа 18
7. Упорядочение области вещественных чисел 22
8. Представление вещественного числа бесконечной
десятичной дробью 24
9. Непрерывность области вещественных чисел 26
10. Границы числовых множеств 28
§ 3. Арифметические действия над вещественными
числами.
II. Вспомогательные предложения 31
12. Определение суммы вещественных чисел 32
13. Свойства сложения 33
14. Определение произведения вещественных чисел 35
15. Свойства умножения 37
16. Заключение 39
17. Абсолютные величины 39
§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных
чисел.
18. Сушествование корня. Степень с рациональным
показателем 40
19. Степень с любым вещественным показателем 42
20. Логарифмы f
21. Измерение отрезков . · 46
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.
§ 1. Варианта и её предел.
22. Переменная величина, варианта 50
23. Предел варианты 53
24. Бесконечно малые величины 55
25. Примеры 57
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел .... 61
27. Бесконечно большие величины 63
§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов.
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве 65
29. Леммы о бесконечно малых 67
30. Арифметические операции над переменными 69
31. Особые случаи. Неопределённые выражения 71
32. Примеры на-нахождение пределов 75
33. Теорема Штольца и её применения 81
§ 3. Монотонная варианта.
34. Предел монотонной варианты 85
35. Примеры ■- 87
36. Число е 93
37. Приближённое вычисление числа е 95
38. Лемма о вложенных промежутках 98
§4. Принцип сходимости. Частичные пределы.
39. Принцип сходимости 100
40. Частичные последовательности и частичные пределы . . 102
41. Теорема Больцано-Вейерштрасса 104
42. Наибольший и наименьший пределы 107
ГЛАВА ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§ 1. Понятие функции.
.43. Переменная и область её изменения 111
44. Функциональная зависимость между переменными.
Примеры 112
45. Определение понятия функции 114
46. Аналитический способ задания функции 117
47. График функции 120
48. Важнейшие классы функций 123
49. Понятие обратной функции 129
50. Обратные тригонометрические функции 131
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания ... 136

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 2. Предел функции.
52. Определение предела функции 138
53. Сведение к случаю варианты 140
54. Примеры 143
55. Распространение теории пределов 153
56. Примеры ...... 156
57. Предел монотонной функции 159
58.· Общий признак Больцано-Коши 160
59. Наибольший и наименьший пределы функции 162
§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших
величин.
60. Сравнение бесконечно малых -. . . 163
61. Шкала бесконечно малых 164
62. Эквивалентные бесконечно малые 167
63. Выделение главной части 169
64. Задачи 171
65. Классификации бесконечно больших 173
§ 4. Непрерывность (и разрывы) функции.
66. Определение непрерывности функции в точке 174
67. Арифметические.операции над непрерывными функциями 176
68. Примеры непрерывных функций 177
69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 179
70. Примеры разрывных функций 180
71. Непрерывность и разрывы монотонной, функции 184
72. Непрерывность элементарных функций 185
73. Суперпозиция непрерывных функций 186
74. Решение одного функционального уравнения ІЬ7
75. Функциональная характеристика некоторых элементарных
функций 189
76. Использование непрерывности функций для вычисления
пределов 192
77. Степенно-показательные выражения 195
78. Примеры 196
§-5. Свойства непрерывных функций.
79. Теорема об обращении функции в нуль 198
80. Применение к решению уравнений 201
81. Теорема о промежуточном значении 202
82. Существование обратной функции 204
83. Теорема об ограниченности функции 206
84. Наибольшее и наименьшее значения функции 207
85. Понятие равномерной непрерывности 210
86. Теорема Кантора 212'
87. Лемма Бореля 213
88; Новые доказатедьсдца основных теорем .,..,.,.. 216

б
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
§ 1. Производная и её вычисление.
89. Задача о вычислении скорости движущейся точки .... 220
90. Задача о проведении касательной к кривой 221
91. Определение производной 224
92. Поимеоы вычисления производных 228
93. Производная обратной функции 232
94. Сводка формул для производных 234
95. Формула для приращения функции 235
96. Простейшие правила вычисления производных 236
97. Производная сложной функции 239
98. Примеры 240
99. Односторонние производные 247
100. Бесконечные производные 248
101. Дальнейшие примеры особых случаев 250
§ 2. Дифференциал.
102. Определение дифференциала 251
103. Связь между дифференцируемостью и существованием
производной 253
104. Основные формулы и правила дифференцирования . . . 255
105. Инвариантность формы дифференциала 257
106. Дифференциалы как источник приближённых формул . . 259
107. Применение дифференциалов при оценке погрешностей . 262
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков.
108. Определение производных высших порядков 265
109. Общие фоомулы для производных любого порядка . . . 367
ПО. Формула Лейбница 271
111. Примеры 273
112. Дифференциалы высших порядков 276
ИЗ. Наоушение инвариантности формы для дифференциалов
высших порядков 278
114. Параметрическое дифференцирование 279
§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
115. Теорема Ферма 280
116. Теорема Дарбу 283
117. Теорема Ролля 283
118. Формула Лагранжа 285
119. Предел производной . . . . · 288
120. Формула Коши 288
§ 5. Формула Тэйлора.
121. Формула Тэйлора для полинома 290
122. Раіложение произвольной функции; дополнительный член
в форме Пеаяо 292
123. Примеры 296
124. Діугие формы дополнительного члена 300
125. Приближённые формулы 303

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ.
§ 1. Изучение хода изменения функции.
126. Условие постоянства функции 309
127. Условие монотонности функции 311
128. Максимумы и минимумы; необходимые условия ..... 316
129. Достаточные условия. Первое правило 318
130. Примеры 320
131. Второе правило . 325
132. Использование высших производных 328
133. Разыскание наибольших и наименьших значений 330
134. Задачи 332
§ 2. Построение графиков функций.
135. Постановки задачи 337
136. Направление вогнутости, точки перегиба 338
J37. Схема построения графика. Примеры 341
138. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток.
Асимптоты 344
139. Примеры 347
§ 3. Раскрытие неопределённостей.
140. Неопределённость вида -^ 351
00
141. Неопределённость вида — . . 357
оо
142. Другие виды неопределённостей 360
§ 4. Приближённое решение уравнений
143. Вводные замечания 363
144. Правило пропорциональных частей (метод хорд) · . . . 364
145. Правило Ньютона (метод касательных) 369
146. Примеры и упражнения .371
147. Комбинированный метод . . . 377
143. Примеры и упражнения . 377
ГЛАВА ПЯТАЯ,
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§ 1. Основные понятия.
149. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 3S3
150. Функции двух перемегных и области их определения . . 383
151. Арифметическое л-мерное пространство 38S
152. Примеры областей в я-меряом пространстве ....... 391
153. Общее определение открытой и заткнутой области . . , . 394
154. Функции η переменных ■ . , 397
155. Предел функции нескольких перекеиных 399

δ
ОГЛАВЛЕНИЕ
156. Сведение к случаю варианты 401
157. Примеры ·' · · 403
158. Повторные пределы 406
§ 2. Непрерывные функции.
159. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 409
160. Операции над непрерывными функциями 411
161. Функции, непрерывные в области. Теоремы Коши ..... 412
162. Теорема Больцано-Вейерштрасса 414
163. Теоремы Вейерштрасса 417
164. Равномерная непрерывность 418
165. Лемма Борелч 420
166. Новые доказательства основных теорем 422
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких
переменных.
167. Частные производные и частные дифференциалы 424
. 168. Полное приращение функции 428
169. Полный дифференциал 431
170. Геометрическая интерпретация для случая функции двух
переменных 434
171. Производные от сложных функций 437
172. Примеры 439
173. Формула конечных приращений 442
174. Производная по заданному направлению 444
175. Инвариантность формы (первого) дифференциала .... 447
176. Применение полного дифференциала в приближённых
вычислениях 449
177. Однородные функции '. . 452
178. Формула Эйлера 454
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.
179. Производные высших порядков 455
180. Теорема о смешанных производных 458
181. Обобщение 462
182. Производные высших порядков от сложной функции . . 454
183. Дифференциалы высших порядков 465
184. Дифференциалы сложных функций 470
185. Формула Тэйлора 471
§-5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения.
186. Экстремумы функции нескольких переменных.
Необходимые условия 474
187. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 476
188. Достаточные условия (общий случай) 480
189. Условия отсутствия экстремума 484
190. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры. 486
191. Задачи :··..,,,...·.. 490

ОГЛАВЛЕНИЕ
S
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.
§ 1. Формальные свойства функциональных определителей,
192. Определение функциональных определителей (якобианов). 501
193. Умножение якобианов 502
194. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) . . , 504
§ 2. Неявные функции.
195. Понятие неявной функции от одной переменной .... 508
196. Существование неявной функции 510
197. Дифференцируемость неявной функции 513
198. Неявные функции от нескольких переменных 515
199. Вычисление производных неявных функций 523
200. Примеры 528
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций.
201. Относительные экстремумы . . . . · » . . 533
202. Метод неопределённых множителей Лагранжа 536
203. Достаточные для относительного экстремума условия . . 538
204. Примеры и задачи 539
205. Понятие независимости функций 544
206. Ранг матрицы Якоби 546
§ 4. Замена переменных.
207. Функции одной переменной 550
208. Примеры . 553
209. Функции нескольких переменных. Замена независимых
переменных 556
210. Метод вычисления дифференциалов 558
211. Общий случай замены переменных 560
212. Примеры 563
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей.
213- Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах). 574
214. Примеры ' 577
215. Кривые механического происхождения 531
216. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры 584
217. Поверхности н кривые в пространстве 589
218. Параметрическое представление 592
219. Примеры , ■ ■ . 594

10
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Касательная и касательная плоскость.
220. Касательная к плоской кривой в прямоугольных
координатах 598
221. Примеры 600
222. Касательная в полярных координатах 603
223. Примеры 604
224. Касательная к пространственной кривой. Касательная
плоскость к поверхности 605
225. Примеры . 611
226. Особые точки плоских кривых 612
227. Случай параметрического задания кривой 618
§ 3. Касание кривых между собой.
228. Огибающая семейства кривых 620
229. Примеры 624
230. Характеристические точки 628
231. Порядок касания двух кривых 630
232. Случай неявного задания одной из кривых 632
233. Соприкасающаяся кривая 634
234. Другой подход к соприкасающимся кривым 635
§ 4. Кривизна.
235. Понятие длины дуги 638
236. Переменная дуга 639
237. Дуга в роли параметра. Положительное направление
касательной 641
238. Понятие кривизны . . . 644
239. Круг кривизны и радиус кривизны 647
240. Примеры 650
241. Координаты центра кривизны 654
242. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты. 656
243. Свойства*'эволют и эвольвент 659
244. Разыскание эвольвент 663
ДОПОЛНЕНИЕ.
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ.
245. Случай функции одной переменной 666
246. Постановка задачи для двумерного случая 658
247. Вспомогательные предложения 670
248. Основная теорема о распространении 674
249. Обобщение 676
250. Заключительные замечания 678
Алфавитный указатель 682

ВВЕДЕНИЕ.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. Область рациональных чисел.
1. Предварительные замечания. Из школьного курса
читателю хорошо знакомы рациональные числа и их
свойства. В то нее время, уже потребности элементарной
математики приводят к необходимости расширения этой числовой
области. Действительно, среди рациональных чисел не существует
зачастую корней даже из целых положительных (натуральных)
чисел, например, j/2, т. е. нет такой рациональной
дробимое ρ и q— 'натуральные числа), квадрат которой был бы
равен 2.
Для доказательства этого допустим противное: пусть
существует такая дробь —, что (—) =2. Мы вправе
считать зту дробь несократимой, т. е. ρ и q лишёнными общих
множителей. Так как pi = 2q2, то ρ есть число чётное:
р=.2г (г—целое) и, следовательно, q — нечётное.
Подставляя вместо ρ его выражение, найдём: q* = 2r2, откуда
следует, что q — чётное число. Полученное противоречие
доказывает наше утверждение.
Одновременно с этим, если бы мы оставались в области
одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все
отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле,
рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его
диагональ не может иметь рациональной длины —, ибо,
в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой
длины был бы равен 2, что, как мы видели, невозможно.
В настоящем введении мы ставим себе задачей расширить
область рациональных чисел, присоединив к ним числа новой
природы — иррациональные. Вместе с тем мы покажем,

12 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [й
что в расширенной области останутся справедливыми все
привычные свойства рациональных чисел, относящиеся к
арифметическим действиям над ними и к сочетанию их с помощью знаков
равенства и неравенства. Для того чтобы сделать реально
возможной проверку упомянутых свойств для расширенной
числовой области, очень важно выделить наименьшее количество
основных свойств, из которых все остальные вытекали
бы уже как формально-логические следствия: тогда
проверке будут подлежать лишь эти основные
свойства.
В связи с этим мы приводим ниже перечень основных
свойств области рациональных чисел. Попутно мы на ряде
примеров показываем, как другие известные их свойства
выводятся из основных совершенно формально. Говоря о
«числах», мы здесь всегда имеем в виду рациональные числа:
буквы а, Ь, с именно их обозначают.
2. Упорядочение области рациональных чисел.
Условимся с самого начала, что равные числа мы будем
рассматривать, как одно и то же число в разных
формах. Иными словами, для нас понятие «равно» ( = )
означает «тождественно». Поэтому мы не перечисляем свойств
равных чисел.
Упорядочение области рациональных чисел достигается
с помощью понятия «больше» О), с которыми связана
первая группа свойств:
I 1° для каждой пары чисел а и Ъ имеет место одно,
и только одно, из соотношений
а = Ь, а>£, 6>α;
I 2° из α> Ь и £■> с следует а>с
{транзитивное свойство знака ]>);
I 3° если а~^>Ь, то найдётся также такое число с,
что
а~^>с и с~^>Ь *
(свойство плотности).
* В этих условиях говорят также, что число с лежит между
числами а и Ь; очевидно, таких чисел будет бесчисленное
множество,

3] § 1. ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 13
Понятие «меньше» (<0 вводится уже как производное.
Именно, говорят, что а<^Ь в том, и только в том, случае,
если Ь^>а. Легко видеть, что из а<^Ь и Ь<^с следует,
что а<_с (транзитивное свойство знака <[). Действительно,
неравенства а<^Ь и b <^c равносильны, по условию,
неравенствам Ь^>а и с^>Ь; отсюда следует с^>а (I 2=) или,
что то же, а<^с.
Дальнейшие свойства понятия «больше», связанные с
арифметическими действиями над рациональными числами, будут
указаны ниже.
3. Сложение и вычитание рациональных чисел.
Вторая группа свойств связана со сложением, т. е. с
операцией нахождения суммы двух чисел. Для каждой пары
чисел а и b существует (единственное) число, называемое
суммой а и Ъ (его обозначают а-\-Ь). Это понятие
обладает свойствами:
II \°a-\-b—b-\-a (перемест и тельное свойство
сложения);
II 2° (a-j-*)~bc —а-г-(^-Ьс) (сочетательное
свойство сложения).
Особая роль нуля характеризуется свойством:
II 3° а-[-0~а;
кроме того,
II 4° для каждого числа а существует число —а
(симметричное ему), такое, что а-\-( — а) = 0.
На основе этих свойств, прежде всего, исчерпывается
вопрос о вычитании, как действии, обратном сложению.
Если разностью чисел а и Ь, как обычно, называть такое
число с, для которого с -\~ Ь = а*, то встаёт вопрос о
существовании такого числа и о его единственности.
Положив с = а + ( — Ь), получим [II 2°, 1°, 4°, 3°]:
с + Ь = [а+(-Ь)]-\-Ь = а + [(-Ь) + Ь] =
= в+[й4-(.-- Ь)] = а + 0 = а,
так что это число с удовлетворяет определению
разности.
* Ввиду II 1°, это равенство, определяющее разность, можно
написать и так: 6 -{- с = а.

14
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[3
Пусть, обратно, с' есть разность чисел а и Ь, так что
с'-\-Ь — а. Прибавив к обеим частям этого равенства по
(— Ь) и преобразуя левую часть [II 2°, 4°, 3°]:
заключим, что с'.= а-\-{ — Ь)=с.
Таким образом, доказаны существование и о д-
нозначлость разности чисел а и Ь; обозначают
её а — Ъ.
Из однозначности разности вытекает ряд следствий.
Прежде всего, из II 3° следует 0 = а — а, и мы заключаем, что,
кроме числа 0, не существует числа, которое обладало бы
свойством, аналогичным II 3°. Далее, отсюда же вытекает
единственность числа, симметричного даннрму: —а = 0—а.
Наконец, так как из а-|-( — а) = 0 следует ( — а)-}-а = 0
[II 1°], то оказывается, что а= — (—а), т. е. числа α и—а
являются взаимно симметричными.
Установим ещё такое свойство симметричных чисел:
_(α+*) = (-β)+ (_*);
для этого достаточно доказать, что
(а + й) + [(-в) + (-*)] = 0,
а это вытекает из II 1°, 2°, 4°, 3°.
Наконец, приведём ещё одно свойство, связывающее
знак ^> со знаком суммы:
II 5° из а^>і следует а-\-с>Ъ-f-с.
Оно устанавливает право к обеим частям неравенства
прибавлять поровну; с его помощью доказывается
равносильность неравенств
а"^>Ь и a— by>0.
Далее, из а ^> b следует — а <^ — Ъ. Действительно, а ]> Ь
влечёт за собой а — b ^> 0; но
a-b = a + (-b) = (-b) + a = (-b) + [-(-a)} =
= (_ft)_(_e),
так что неравенство это можно переписать так: (—·£)—
— (—а)^>0, откуда —Ь~~^> — α или —а<^—Ь.
В частности, из а^>0 следует — а<0, и из а<^0
следует— а^>0. Если а Ф 0, то из двух взаимно симметричных

4] § I. ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 15
чисел а, — а одно (и только одно) будет больше 0; его именно
и называют абсолютной величиной как числа с, так
и числа —я, и обозначают символом
\а\ = \ — а\.
Абсолютную величину числа 0 полагают равной 0: [0| = 0·
На свойстве И 5° основывается возможность почленного
складывания неравенств: из а^>Ь и c~^>d следует а-{-с~^>
~^>b-\-d. В самом деле, из а^> b следует а-\-с~^> b-\-ct
в свою очередь, из c^>d следует с-\- b~^>d-\~ b или [II 1°]
b-\-c~^> b-\-d, а тогда, в силу I 2°, окончательно получаем
а -J- с ^> b -\- d.
4. Умножение и деление рациональных чисел.
Третья группа свойств связана с умножением, т. е.
с операцией нахождения произведения двух чисел. Для
каждой лары чисел а и b существует (единственное) число,
называемое произведением а и b (его обозначают α·b
или просто ab). Это понятие обладает свойствами:
Ш 1° ab = ba (переместительное свойство
умножения);
III 2° (ab) с =za(bc) (сочетательное свойство
умножения).
Особая роль единицы характеризуется свойством:
III 3° а-\=а;
кроме того,
III 4° для каждого числа а, отличного от 0,
существует число — (обратное ему), такое, что о·—=1.
Вопрос о делении, как о действии, обратном
умножению, решается на основе свойств умножения так же, как
выше был решён вопрос о вычитании на основе свойств
сложения. Обратное число здесь будет играть ту же роль,
какую там играло симметричное число.
Назовём частным чисел а и Ь (где делитель b всегда
предполагается отличным от 0) такое число с, что
с>Ь = а*.
* Ввиду III 1°, это равенство, определяющее частное, можно
написать и так: Ь-с~а.

16 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [4
Этому определению можно удовлетворить, положив
1_
6'
c = a-j, так как [III 2°,. 1°, 4°, 3°]
Обратно, если число с' удовлетворяет определению
частного чисел а и Ь, так что с'-Ь = а, то, умножив обе
части этого равенства на -г- и преобразуя левую часть [III 2°,
4°, 3°]:
(СЬ).\ = с''(ь.\)=с'А = с\
получим, что с' = а--г = с.
Таким образом, док аза н ы существование и
однозначность частного чисел а и Ь (при
условии, что Ь^фО); обозначают его а:Ь или -г.
Из однозначности частного выводим, что, кроме числа 1,
нет числа, которое обладало бы свойством, аналогичным III 3°.
Затем отсюда, как и выше, вытекает единственность
обратного числа (как частного 1 и а); кроме того, легко устанав-
1
ливается, что числа а и — являются взаимно
обратными.
Следующее свойство связывает оба основных
арифметических действия — умножение и сложение:
III 5° (а -\- Ь) · с = а · с -f- Ь ■ с (распределительное
свойство умножения относительно суммы).
Отсюда легко вывести и распределительное
свойство умножения относительно разности:
(а — Ь)-с = а-с — b -с.
По определению разности, .это прямо следует из того,
что
(о — Ь)-с-\- Ь-с — [(а — Ь) -\-Ь]-с — а-с.
Применим ещё свойство III 5° к доказательству того,
что
Ь- 0 = 0-6 = 0.

4] § 1. область рациональных чисел 17
В самом деле [II 3°]
а-\-0 = а, ■(a-\-0)-b = a-b + 0-b = a-b,
откуда и следует 0-£ = 0, а также [III 1°] Ь- 0=0.
Обратно, если а-Ь = 0 и Ь=£0, то необходимо а=0.
Действительно, α=η-, но одновременно и 0 = -г (так как
6-0 = 0), а частное единственно.·
Наконец, укажем свойство, связывающее знак ^> со знаком
произведения:
III 6° из а^> b и с^>0 следует а-с~^>Ь-с.
На этом основывается почленное перемножение
неравенств с положительными членами. Отсюда же получается,
что при д^>0 и Ь^>0 также и а-Ь~^>0.
Заметим, что (— а\-Ь =— (а-Ь); это следует из тог ,
что
a-b-+-(—a)-b=[a + ( — a)]-b = 0-b = 0.
Теперь нетрудно видеть, что, если й<^0, Ь~^>0, так что
а = — j а |, b = | b |, то
в-* = (-|я|)-|А| = -(|А|-|*|)<0;
то же будет при а]>0, Ь<^0. Если же а<^0, b <^0, то
a.b = (-\a\).(-\b\) = -l\a\.(-\b\)] =
= -[-(Ι«Ι·Ι*Ι)] = Μ·Μ><>·
Таким образом, мы полностью восстановили известное
правило знаков при умножении, которое является
логическим следствием перечисленных свойств рациональных
чисел. Иными словами, правило знаков принудительно
навязывается нам, если мы хотим соблюдения
упомянутых свойств. То же можно сказать (как это выяснено
выше) и относительно правила умножения на 0.
Имея в своём распоряжении свойства сложения и
умножения, мы теперь могли бы доказать то свойство
плотности области рациональных чисел, которое мы
сформулировали выше в· числе основных свойств. [I 3 J Именно, с
помощью их можно показать, например» что аз а~^> b сле-
>а-\~Ь ^ ,
2 Г; М, Фихтенгольц

18
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[5
5. Аксиома Архимеда. Заключим наш перечень основных
свойств рациональных чисел следующим простым и важным
утверждением, которое не вытекает из перечисленных
свойств:
IV 1° каково бы ни было число с^>0, существует
натуральное число п, которое больше с («аксиома
Архимеда»).
В действительности Архимедом было высказано
геометрическое предложение, которое и известно под именем
«аксиомы Архимеда»:
если на прямой даны любые два отрезка А и В, то
можно А повторить слагаемым столько раз, чтобы
сумма была больше В:
А-^А-у.-.-^А^А-ггуВ.
η раз
Если перефразировать это утверждение для
положительных чисел а и Ь, то оно сведётся к существованию такого
натурального числа п, что
а-\-а-\-.. .-\-а = а-пу> Ь.
л раз
Это неравенство, если использовать уже изученные свойства
^ Ь
рациональных чисел, оказывается равносильным такому: η J> - ;
обозначив частное — через с, мы и получим ту
формулировку, которая дана выше.
§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение
области вещественных чисел.
6. Определение иррационального числа. Множество
рациональных чисел, со всеми их свойствами,
перечисленными в § 1, считается данным.
Мы изложим теорию иррациональных чисел,
следуя Дедекинду (R.Dedekind). В основе этой теории
лежит понятие о сечении в области рациональных чисел.
Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел
на два не пустые (т. е. действительно содержащие хоть т>

б] § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 19
одному числу) множества А, А'. Мы будем называть такое
разбиение сечением, если выполняются условия:
1° каждое рациональное число попадает водно, и
только в одно *, из множеств А или А1;
2° каждое число а множества А меньше каждого
числа а' множества А'.
Множество А называется нижним классом сечения,
множество А' — верхним классом. Сечение будем
обозначать А\А'.
Из определения сечения следует, что всякое
рациональное число, меньшее числа а нижнего класса, также
принадлежит нижнему классу. Аналогично, всякое рациональное
число, большее числа а' верхнего класса, и само
принадлежит верхнему классу.
Пример 1. Определим А как множество всех
рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству а<^\, а к
множеству А' причислим все числа а', для которых а'^1.
Легко проверить, что таким образом мы действительно·
получим сечение. Число 1 принадлежит классу А' и
является, очевидно, в нём наименьшим числом. С другой стороны,,
нет наибольшего числа в классе А, так как, какое бы число а
из А мы ни взяли, всегда можно указать рациональное
число аѵ лежащее между ним и единицей, следовательно,
большее а и тоже принадлежащее классу А.
Пример 2. К нижнему классу А отнесём все рациональ··
ные числа а, меньшие или равные 1: а^I; к верхнему —
рациональные числа а1, большие 1: а'^>1.
Это также будет сечение, причём здесь в верхнем
классе нет наименьшего числа, а в нижнем есть наибольшее
^именно, 1).
Пример 3. Отнесём к классу А все положительные
рациональные числа а, для которых а2<^2, число 0 и все
отрицательные рациональные числа, а к классу А' — все
положительные рациональные числа а', для которых а'2^>2.
Как легко убедиться, мы опять получили сечение. Здесь ни
в классе А нет наибольшего числа, ни в классе А' —
наименьшего. Докажем, например, первое из этих утверждений
* То обстоятельство, что каждое рациональное число
попадает только в один из классов, вытекает, впрочем, из
требования 2°.
2*

"20 ВВЕДЕНИЕ. ВКЩЕСТВ'-ННЫЕ ЧИСЛА [б
•{второе доказывается аналогично). Пусть а — любое
положительное число класса А, тогда а2 < 2. Покажем, что можно
подобрать такое целое положительное п, что
(« + і)'<2·
так что и число а-\— будет принадлежать классу А.
Это неравенство равносильно таким:
в«4-^+-.<2, -а + Л,<2-а*.
1 η ' я- ^ л ' л- ^~
Последнее неравенство и подавно будет выполнено, если га
удовлетворит неравенству —І- <^ 2 — а2, для чего достаточно
взять
а это всегда возможно [по «аксиоме Архимеда», IV 1°].
Итак, каково бы ни быдо положительное число а из
класса А, в этом же классе Л найдётся большее его число; так
как для чисел а^О это утверждение непосредственно
очевидно, то никакое число класса А не является в нём наи-.
большим.
Легко понять, что не может существовать сечение,
для которого одновременно в нижнем классе нашлось бы
наибольшее число а0, а в верхнем классе — наименьшее a'Q.
Пусть, в самом деле, такое сечение существует. Возьмём
тогда, пользуясь плотностью области рациональных чисел [1 3°],
любое рациональное число с, заключающееся между а9 и
а'0: а0<^с<^а'0- Число с не может принадлежать классу А,
ибо иначе ай не было бы наибольшим числом в этом классе,
и по аналогичной причине с не может принадлежать классу A't
а это противоречит свойству 1° сечения, входящему в
определение этого понятия.
Таким образом, сечения могут быть только трёх видов,
иллюстрируемых как раз примерами 1, 2, 3:
1) либо в нижнем классе А нет наибольшего числа,
а в верхнем классе А' есть наименьшее число г;

6] § 2. введение иррациональных чисел 2L
2) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число гг
а в верхнем классе А' нет наименьшего;
3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего
числа, ни в верхнем классе — наименьшего.
В первых двух случаях мы говорим, что сечение
производится рациональным числом г (которое является
пограничным между классами А и А) или что сечение
определяет рациональног число г. В примерах 1,2 таким
числом г была 1. В третьем случае пограничного числа не
существует, сечение не определяет никакого рационального
числа. Введём теперь новые объекты —
иррациональные числа, условившись говорить, что всякое сечение
вида 3) определяет некоторое иррациональное
число а. Это число а заменяет недостающее пограничное
число, мы как бы вставляем его между всеми числами а
класса А и всеми числами а' класса А'. В примере 3 это
вновь созданное число, как легко догадаться, и будет у/2.
Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных,
обозначений*, мы неизменно будем связывать иррациональное
число а с тем сечением А\А' в области рациональных
чисел, которое его определяет.
Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать
и по отношению к рациональному числу г. Но для каждого
числа г существует два определяющих его сечения: в обоих
случаях числа а<^г относятся к нижнему классу, числа же
а'^г—:К верхнему, но само число г можно по произволу
включить либо в нижний класс (тогда г.там будет
наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим). Для
определённости мы условимся раз навсегда, говоря о сечении,
определяющем рациональное число г, включать это число в.
верхний класс.
Числа рациональные и иррациональные получили общее
название вещественных (или действительных)
чисел. Понятие вещественного числа -является одним и*
основных понятий математического анализа.
* Речь идёт о конечных обозначениях; со своего рода
бесконечными обозначениями иррациональных чисел
читатель познакомится в 8. Чаще всего индивидуально заданные-
иррациональные числа обозначают в зависимости от их
происхождения и роли: У 2, log 5, sin 10° и т. п.

22 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [7
7. Упорядочение области вещественных чисел. Два
иррациональных числа а и §, определяемых,
соответственно, сечениями А\А' и В\В', считаются
равными в том и только в том случае, если эти сечения
тождественны; впрочем, достаточно потребовать совпадения
нижних классов А и В, ибо верхние классы А' и В' тогда
совпадут сами собой. Это определение можно сохранить и в
случае, когда числа α и β рациональны. Иными словами,
■если два рациональных числа ΐ α р равны, то
определяющие их сечения совпадают, и, обратно, — из
совпадения сечений вытекает равенство чисел а и $. При
этом, разумеется, следует учесть условие, заключённое выше
насчёт рациональных чисел*.
Перейдём теперь к установлению понятия «больше: по
отношению к вещественным числам. Для рациональных
-чисел это понятие уже установлено. Для рационального
числа г и иррационального числа α понятие «большее
было, собственно, установлено в 6: именно, если α
определяется сечением А\А', мы считаем, что а больше всех
рациональных чисел, входящих в класс А, и в то же время все
числа класса А' больше а.
Пусть теперь имеем два иррациональных числа аир,
лричём а определяется сечением А\А', a β — сечением В\В'.
Мы будем считать то число большим, у которого нижний
«ласе больше. Точнее говоря, мы будем считать α^>β,
■если класс А целиком содержит β себе класс В, не
совпадая с ним. (Это условие, очевидно, равносильно тому, что
класс В' целиком содержит в себе класс А', не совпадая
с ним.) Легко проверить, что это определение может быть
сохранено и для случаев, когда одно из чисел а, ,3 или даже
оба — рацио.нал ьны.
Покажем, что для вещественных чисел выполняются
свойства 1 1° и 2°.
I 1° Для каждой пары (вещественных) чисел а и $
имеет место одно, и только одно, из соотношений:
* Без этого условия, например, сечения, рассмотренные в
примерах 1 и 2 [6], оба определяли бы одно и то же число 1 не
будучи тождественными.

7 } § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 23
Если сечение А\А', определяющее ^исло α, совпадает
с сечением В\В\ определяющим число β, то α=β. Если
эти сечения не совпадают, то либо А целиком содержит
в себе В, и тогда α ^> β, либо этого нет. В последнем
случае существует элемент Ьп класса В, попадающий в класс А'.
Тогда для любого элемента а класса А имеем а<^Ьп. Поэтому
класс В содержит класс А, не совпадая с ним, и мы имеем
β>α.
I 2° Из α^>β, β>γ следует, что α>γ.
Пусть числа α, β, γ {среди которых могут быть и
рациональные) определяются сечениями А\А', В\В', С\С. Еслиа^>р,
то по определению понятия «больше» класс А содержит
в себе класс В, не совпадая с ним. В свою очередь, раз
β^>γ, класс В содержит в себе класс С, не совпадая с ним.
Следовательно, класс А целиком содержит в себе класс С, не
совпадая с ним, т. е. α]>γ.
Понятие «меньше» устанавливается теперь, как и в 2:
мы говорим, что α<1βι если β^><*. Точно так же знак <^
обладает транзитивным свойством, подобно знаку ^>.
Установим теперь свойство плотности области всех
вещественных чисел (ср. I 3°); точнее, мы докажем, что:
каковы бы ни была два вещественных числа α α β,
причем α^>β, всегда найдётся рациональное число г,
заключённое между ними: α^>/·^>β (а следовательно —
бесчисленное множество таких рациональных чисел).
Так как а^>{5, то нижний класс А сечения, определяющего
число а, целиком содержит в себе нижний класс В для числа β,
не совпадая с В. Поэтому в А найдётся такое рациональное
число г, которое не содержится в β и, следовательно,
принадлежит В'; для него
(равенство могло бы иметь место, лишь если β рационально).
Но так как в А нет наибольшего числа, то, в случае
надобности, увеличив г, можно исключить равенство.
Замечание. Установив, что между вещественными
числами аир (если α^>β) необходимо содержится
рациональное (а не только вещественное) число, мы фактически
доказали более сильное свойство области вещественных чисел,
чем плотность. В дальнейшем нам придётся пользоваться
этой усиленной плотностью.

24 ВВЕДЕНИИ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [8
8. Представление вещественного числа бесконечной
десятичной дробью. Рассмотрим произвольное вещественное
число а, определяемое сечением А\А', и станем искать его
десятичные приближения.
Прежде всего, с помощью «аксиомы Архимеда» легко
убедиться, что в классе А найдётся целое число Z, а в классе
А1—целое же число Z'~^>Z. Прибавляя к Ζ по единице,
необходимо придём к таким двум последовательным
целым числам С„ и С0-|-1, что
С0<а<С0 + 1.
Далее, разделив промежуток между С0 и С0-(— 1 на десять
равных частей и перебирая точки деления, придём к двум
числам (разнящимся на ^) Сй,сл и С$,сл -f- .-^, для которых
<Vi*Sff<C0,c,-|--JQ-
Продолжая этот процесс дальше, вообще после определения
цифр сѵ с2, ... , с._ѵ мы я-ю цифру сп определим
неравенствами:
С0,сгсі...ся*£а<С0,е1сі...ея + —. (1)
Таким образом, в процессе нахождения десятичных
приближений числа а мы построили целое число Сй и
бесконечную последовательность цифр: сѵ с„, ... , сп,... Составленную
из них бесконечную десятичную дробь, т. е. символ
<ѴіС2.--сл··· (2)
можно рассматривать к-.и: десятичное обозначение
вещественного числа а.
Легко видеть, что «отрезки» этой дроби
с*=сѴі<Ѵ--с,.> (3)
служащие приближёнными значениями α «по недостатку»,
с возрастанием η не убывают:
причём знак равенства имеет место лишь есл.и с +1 = 0.
Наоборот, приближённые значения «по избытку»
C„=C0,eict...cn + ± (4)

8] § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 25
с возрастанием η не возрастают:
причём на этот раз знак равенства встречается, если е„+1 = 9..
Поскольку мы в соотношениях (1) равенство допускаем
(если оно вообще возможно) лишь слева, то в дроби (2) не
может быть девятки в периоде.
Действительно, в противном случае С, начиная с
некоторого значения я, перестало бы меняться и было 6w
равно некоторому рациональному числу С. Вставляя тогда
между α и С' рациональное число г (см. предыдущий п0),.
имели бы, при всех п,
так что рациональное положительное число s — C — г
было бы меньше любой дроби вида —-, откуда
Ю- <I (л= 1,2,3, ...).
А это невозможно, ибо вообще натуральных чисел, меньших
—, может быть лишь конечное число («аксиома Архи-
м еда»).
[Если бы в (1) допускали равенство с π ρ а в а, то в дроби (2)
не могло бы быть нуля в периоде.]
Пусть теперь, обратно, по произволу взята бесконечная
дробь (2), но без девятки в периоде. Легко построить
вещественное число а, для которого она именно служит
десятичным обозначением.
Сохраняя обозначения (3) и (4), мы следующим образом
произведём сечение в области рациональных чисел: к верхнему
классу А' отнесём такие рациональные числа а', которые
больше всех Ся (например, все числа С'п), а к нижнему А—
все остальные (например, сами числа CJ. Легко проверить,
что это — сечение; оно определяет вещественное число а,.
которое и будет искомым.
Действительно, так как а является пограничным числом
между двумя классами, то, в частности,

26
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[9
Но, по допущению, девятки в периоде не может быть, поэтому
числа Сп не перестают уменьшаться, и равенства с права
на деле быть не может. Таким образом, целая часть С0
и цифры с1; с*, ... , сп,.. . взятой дроби по отношению к числу а
удовлетворяют неравенствам вида (1). Этим и доказано, что
взятая по произволу дробь (2) является десятичным
обозначением найденного числа.
Можно было бы говорить и об обозначениях
вещественного числа с девяткой в периоде; к ним мы могли бы притти,
если бы в соотношениях (1) знак равенства (если он вообще
возможен) допускали справа.
Легко дать себе отчёт в том, что лишь числа, изобра-
зимые конечной десятичной дробью, могут допускать
равенство со своими десятичными приближениями. Все прочие
вещественные числа имеют единственное обозначение в виде
десятичной дроби. Числа же указанного выше типа имеют
их два — одно с нулём в периоде, другое — с девяткой в
периоде. Например,
2,364 = 2,364000... и 2,364 = 2,363999...
Отныне можно вещественное число представлять себе как
бесконечную десятичную дробь. Читатель знает, что
периодическая такая дробь изображает рациональное число
м, обратно, каждое рациональное число представляется
.именно в виде периодической дроби. Отсюда ясно, что
иррациональные числа, и только они, изображаются
непериодическими бесконечными дробями.
9. Непрерывность области вещественных чисел.
Обратимся теперь к рассмотрению одного весьма важного свойства
области всех вещественных чисел, которое её существенно
.отличает от области чисел рациональных. Рассматривая сечения
в области рациональных чисел, мы видели, что иной раз для
такого сечения в этой области не находилось
пограничного числа, про которое можно было бы сказать, что оно
производит сечение. Именно эта неполнота области
рациональных чисел, наличие в ней этих пробелов и
послужили основанием для введения новых чисел —
иррациональных. Станем теперь рассматривать сечения в области всех
вещественных чисел. Под таким сечением мы понимаем
разбиение этой области на два непустых множества А, Л',
лри котором:

9 ] § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 27
1° каждое вещественное число попадает водно, и только
одно *, из множеств А, А';
2° каждое число α множества А меньше каждого
числа а' множества А'·
Возникает вопрос: всегда ли для такого сечения А\А'
найдётся—в области вещественных чисел—пограничное число,
производящее это сечение, или в этой области существуют
пробелы (которые могли бы послужить основанием для
введения ещё новых чисел)?
Оказывается, что на деле таких пробелов нет:
Основная теорема (Д е д е к и н д а). Для всякого сечения
А\А' в области вещественных чисел существует,
вещественное число 8, которое производит это сечение. Это число
β будет 1) либо наибольшим в нижнем классе А (и тогда
в верхнем классе А' нет наименьшего), 2) либо наименьшим
в верхнем классе А' (тогда в нижнем классе А нет
наибольшего).
Это свойство области вещественных чисел называют её
полнотой, а также—непрерывностью (или
сплошностью).
Доказательство. Обозначим через А множество всех
рациональных чисел, принадлежащих к Л, а через А' —
множество всех рациональных чисел, принадлежащих
к А. Легко убедиться, что множества А и А' образуют
сечение в области всех рациональных чисел.
Это сечение А\А' определяет некоторое вещественное
число 8. Оно должно попасть в один из классов Л, А';
предположим, что 8 попадает, например, в нижний класс Л,
и докажем, что тогда осуществляется случай 1), а именно,
?і является в классе А наибольшим. В самом деле,
если бы это было не так, то нашлось бы другое число а0
этого класса, большее 8. Вставим (опираясь на усиленную
плотность области вещественных чисел) между а0 и β ρа-
циональное число г:
α0>/·>Β.
τ также принадлежит классу А и, следовательно, принадлежит
классу А, как части А. Мы пришли к противоречию:
рациональное число г, принадлежащее нижнему классу сечения,
* Ср. сноску на стр. 19.

28
ВВЕДЕНИЕ. ВЫЦЕСТВІННЫК ЧИСЛА
[«О
определяющего число β, больше этого числа! Этим доказано
наше утверждение. Невозможность одновременного
существования в классе А наименьшего числа устанавливается
(опираясь на плотность области вещественных чисел)
так же, как для области рациональных чисел.
Аналогичное рассуждение показывает, что если β попадает
в верхний класс А'., то осуществится случай 2).
10. Границы числовых множеств. Мы используем основную
теорему [9], чтобы здесь же установить некоторые понятия,
играющие важную роль в современном анализе. (Они
понадобятся нам уже при рассмотрении арифметических действий
над вещественными числами.)
Представим себе произвольное бесконечное
множество чисел; оно может быть задано любым образом. Такими
множествами являются, например, множество натуральных чисел,
множество всех правильных дробей, множество всех
вещественных чисел между 0 и 1, множество корней уравне-
1
ПИЯ SltlX—-7Г, И Т. П.
Любое из чисел множества обозначим через х, так что χ
есть типовое обозначение чисел множества; само же
множество чисел χ будем обозначать через £С={х\.
Если для рассматриваемого множества {л:} существует
такое конечное число Λί, что все χ ^ М, то будем говорить,
что наше множество ограничено сверху (числом М);
само число Μ в этом случае есть верхняя граница
множества {х}. Например, множество правильных дробей
ограничено сверху числом 1 или любым числом ^>1;
натуральный ряд сверху не ограничен.
Аналогично этому: если найдётся такое конечное число т,
что все х^т, то говорят, что множество {х}
ограничено снизу (числом т), а само число т называют и и ж н е и
границей множества {*}■ Например, натуральный р;ід
ограничен снизу числом 1 или любым числом <^ 1; множество
правильных дробей ограничено снизу числом 0 или любым
числом<^0,
Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при
этом ограничено и снизу (сверху) или нет. Так, множество
правильных дробей ограничено и сверху, и снизу, а
натуральный ряд ограничен снизу, но не ограничен сверху.

JO] § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 29
Если множество сверху (снизу) не ограничено, то за его
верхнюю (нижнюю) границу принимают «несобственное число»
-j- оо (—оо). Относительно этих «несобственных чисел» мы
считаем, что
— оо<^-{-оо и —oo<^a<^-j-oo,
каково бы ни было вещественное число а.
Если множество ограничено сверху, т. е. имеет конечную
верхнюю границу М, то одновременно оно имеет и
бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое
число ^>М, очевидно, также будет верхней границей). Из
всех верхних границ особый интерес представляет
наименьшая, которую мы будем называть точно й верхней
границей. Аналогично, если множество ограничено снизу, то
наибольшую из всех нижних границ будем называгь
точной нижней границей. Так, для множества всех
правильных дробей точными границами будут, соответственно,
О и 1.
Является вопрос: всегда ли для ограниченного сверху
(снизу) множества существует точная верхняя (нижняя)
граница? Действительно, так как верхних (нижних) границ
в этом случае бесконечное множество, а среди бесконечного
множества чисел не всегда найдётся наименьшее или
наибольшее*, то самое существование такого наименьшего
(наибольшего) числа из всех верхних (нижних) границ
рассматриваемого множества требует доказательства.
Теорема. Если множество 3? = {х\ ограничено сверху
(снизу), то оно имеет а точную верхнюю (нижнюю)
границу.
Доказательство. Проведём рассуждение по
отношению к верхней границе. Рассмотрим два случая:
1° Среди чисел лг множества SC найдётся
наибольшее х. Тогда все числа множества будут
удовлетворять неравенству х^х, т. е. χ будет верхней границей
для SC. С другой стороны, χ принадлежит SC; следовательно,
для любой верхней границы Μ выполняется неравенство
χ < М. Отсюда заключаем, что χ есть точная верхняя
граница множества 5С.
* Как их нет, например, среди всех правильных дробей.

30 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫ! ЧИСЛА. [|(J
2° Среди чисел χ множества SC нет
наибольшего. Произведём сечение в области всех вещественных
чисел следующим образом. К верхнему классу А' отнесём
все верхние границы а' множества &, а к нижнему классу
А—все остальные вещественные числа а. При этом
разбиении все числа χ множества SC попадут в класс А, ибо ни
одно из них — по допущению —не будет наибольшим. Таким
образом, оба класса А, А' непусты. Эго разбиение
действительно является сечением, так как все вещественные числа
распределены по классам и каждое число из класса А'
больше любого числа из класса А. По основной теореме Деде-
кинда [9], должно существовать вещественное число р>,
производящее сечение. Все числа х, как принадлежащие
классу А, не превосходят этого «пограничного» числа JJ,
т. е. β служит верхней границей для х, следовательно, само
принадлежит классу А' и является там наименьшим. Таким
образом, β как наименьшая из всех верхних границ и есть
искомая точная верхняя граница множества SC = {х\-
Совершенно так же доказывается и вторая половина
теоремы (относящаяся к существованию точной нижней
границы).
Если М* есть точная верхняя граница числового
множества 3?={х), то для всех jc будет
*=s£ Λί*.
Возьмём теперь произвольно малое положительное число ε.
Так как Λί* — наименьшая из верхних границ, то число
Λί*— ε, меньшее Λί*, наверное не будет верхней границей
для множества SC', т. е. найдётся такое число х' из .£*, что
х'>М* — і.
Этими двумя неравенствами вполне характеризуется точная
верхняя граница Λί* множества 5С.
Аналогично, точная нижняя граница т* множества 2£
характеризуется тем, что для всех х:
χ :зг т*
и, каково бы ни было ε^>0, найдётся число х' из X такое,
что
л:''0*-|-£.

Il] § 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ &1
Для обозначения точной верхней границы М* и точной-
нижней границы т* множества чисел & употребляют символы
М* — sup % = sup {χ }, m* = inf SC — inf {χ}
(по-латыни: зцргетит=наивысшее, іпПтит=наинизшее).
Отметим одно очевидное умозаключение, которое часто-
будет встречаться в дальнейшем:
если все числа χ некоторого множества удовлетворяют
неравенству х^М, то a sup {л;} ^М.
Действительно, число Μ оказывается одной из верхних
границ множества, а потому наименьшая из всех верхних
границ его не превосходит.
Аналогично, из неравенства χ ^ т следует, что и
іпі{х) ^т.
Условимся, наконец, если множество 3?={х) не
ограничено сверху, говорить, что его точная верхняя граница есть
-і-эо: sup{*} = -f- оо. Аналогично, если множество SC—
= {х} не ограничено снизу, то говорят, что его точная
нижняя граница есть —оо: inf{x}= — оо.
§ 3. Арифметические действия над вещественными
числами.
11. Вспомогательные предложения. В дальнейшем нам
не раз будут полезны следующие две леммы.
Лемма 1. Пусть дано произвольное
вещественное число а. Тогда, каково бы ни было рациональное
число ε ^> 0, найдутся два рациональных числа а и а'г
таких, что
а<^а<^а', а' — α<[ε.
При доказательстве достаточно ограничиться
предположением, что число а иррационально. Заключим его между двумя
рациональными числами ай и a'Q: aQ<^a<^a'0 и возьмём ка-
кое-нибудь положительное рациональное число ε'<^ε.
Рассмотрим арифметическую прогрессию с рациональными
членами
я0. ао + г'> ао + 2г', ···, aQ-\-ns', ...

32
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[•2
При достаточно большом η число ай-\-пг' будет больше a'Q
ι
&Q ilQ
{именно, при /г^>—;,—), значит, и больше а. Пусть а0-\-
■-\-n-js' — первое из чисел в этом ряду, большее а. Если
положить а—а0-\-(па—1)ε', α' = α0-|-«0ε', то
α<^α<^α', а'—α = ε'<[ε,
что и требовалось.
Лемма 2. Если два вещественных числа а и β могут
быть оба заключены между двумя рациональными
числами а и а', разность которых меньше любого наперёд
заданного рационального числ.і ε ^> 0, то числа а и $ равны.
Доказательство будем нести от противного. Пусть, например,
α^>β. Вставим между а и β два рациональных числа л, и г.,:
«>Ί >'»>?■
Тогда для любых рациональных чисел а и а1, между
которыми содержатся а и β:
«'>α>β>α,
будут, очевидно, выполняться неравенства
а' > гі > гч > а> а'— а>гі — '2>0>
так что разность а' — а не может быть сделана
произвольно малой, вопреки условию леммы.
Обратимся теперь к установлению понятия о действиях
над вещественными числами. Греческие буквы α, β, γ в
последующем означают именно вещественные числа, как
рациональные, так и иррациональные.
12. Определение суммы вещественных чисел. Пусть
имеем два вещественных числа α и β. Станем рассматривать
рациональные числа а, а' и b, b', удовлетворяющие
неравенствам:
а<а<а' и £<β<6'. (1)
Суммой а-|-β чисел а и $ назовём такое
вещественное число γ, которое содержится между всеми
суммами вида а-\-Ь, с одной стороны, и всеми суммами
вида а'-{-Ь' — с другой:
«-Μ<γΟ' + *'. (2)

13] § 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НЛД ЧИСЛАМИ 33
Удостоверимся, прежде всего, что такое число γ
существует для любой пары вещественных чисел a, ji.
Рассмотрим множество всевозможных сумм а-\-Ь. Это
множество ограничено сверху, например, любой суммоГі вида
а'-\-Ь'. Положим же [10]
γ = sup {a -f- b}.
Тогда α-)-ί<γ и, в то же время, γ =g; a'-f-£>'.
Так как, каковы бы ни были рациональные числа a, bt
а', Ь', удовлетворяющие условиям (1), всегда можно числа
a, b увеличить, а числа а', Ь' уменьшить с
сохранением этих условий, то в полученных только что неравенствах,
соединённых с равенствами, равенства на деле ни
в одном случае быть не может. Таким образом,
число γ удовлетворяет определению суммы.
Возникает, однако, вопрос, однозначно ли сумма
γ = α —{— β определяется неравенствами (2). Для того, чтобы
убедиться в единственности суммы, подберём, по
лемме 1, рациональные числа a, a', b, b' так, чтобы было
а' — а <^ ε и Ь' — Ь<^ ε,
где s — произвольно малое рациональное положительное число.
Отсюда
(α' + ί') — (β + *) = (α' — β) +(*' —*)<2е,
т. е. и эта разность может быть сделана сколь угодно малой*.
А тогда, по лемме 2, существует только одно число,
содержащееся между суммами а-\-b к а'-\-Ь'.
Наконец, заметим, что если числа α и ρ оба рациональны,
то их обычная сумма γ = а -\- β, очевидно, удовлетворяет
неравенствам (2). Таким образом, данное выше общее
определение суммы двух вещественных чисел не противоречит
старому определению суммы двух рациональных чисел.
13. Свойства сложения. Легко удостовериться, что для
вещественных чисел сохраняются свойства:
II 1° a + {J = ? + a; II 2Э (α + ρ) + γ = α + (β+γ):
II 3° α + 0 = α.
* Число 2ε становится меньшим любого числа е' > 0, если
ВЗЯТЬ ε < 7f .
3 Г, Μ. Фихтенгольц

34 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [|$
Докажем, например, последнее. Если рациональные числа
a, a', b, b' таковы, что
а<а<я', *<0<*',
то, очевидно,
β4Γί<α<α<α'<α' + &'.
Таким образом, а есть вещественное число, заключённое
между числами вида а -\- Ь и а' -\- Ь', между которыми
заключена, по определению, и сумма α 4-0. Но такое число может
быть только одно; поэтому а 4-0 = а, что и требовалось
доказать.
Обратимся к свойству II 4° и докажем, что для каждого
вещественного числа а существует (с имметр ичное
ему) число — а, удовлетворяющее условию а -\- (— а) = 0.
При этом достаточно ограничиться случаем
иррационального числа а.
Предполагая, что число α определяется сечением АI А',
мы определим число —а следующим образом. К нижнему
классу А числа — а мы отнесём все рациональные числа — а',
где а' — любое число класса А', а к верхнему классу А' этого,
числа отнесём все числа —а, где а — любое число класса Α..
Нетрудно видеть, что построенное разбиение есть сечение
и, действительно, определяет вещественное (в данном случае —
иррациональное) число; это число обозначим —а.
Докажем теперь, что оно удовлетворяет указанному
выше условию. Пользуясь самим определением числа —а, видим,
что сумма а-\-(—а) есть единственное вещественное число,
заключённое между числами вида а — а' и а' — а, где а на'
рациональны и а<^а<^а'. Но, очевидно,
а — а' <^ 0 <^ а' — а,
так что и число 0 заключено между только-что упомянутыми
числами. Ввиду единственности числа, обладающего этим
свойством, имеем
α-Η—α) = 0,
что и требовалось доказать.
Наконец, установим свойство:
II 5° из at>p следует a + T>P+Y·

14] § 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ 35
Если α^>β, то между ними можно вставить два
рациональных числа /-j и г2: α>/Ί>Γ8> β. По лемме 1,
существуют такие два рациональных числа с и с', что
с<у<с' и. с' — с О,— гъ.
Сопоставляя все эти неравенства, мы и приходим к
требуемому заключению.
Таким образом, по отношению к сложению область-
вещественных чисел обладает всеми основными свойствами
II 1°—5°, которые в 3 были первоначально сформулированы
для рациональных чисел. Следовательно, на вещественные
числа автоматически переносятся и все формально логические
следствия из этих свойств. В частности, для вещественных,
чисел может быть буквально повторено всё, сказанное
в 3 непосредственно после изложения II группы свойств,,
т. е. могут быть доказаны существование и
однозначность разности α — β чисел а и β, установлен»
понятие абсолютной величины числа α (дли которой,
мы сохраняем обозначение \л\) и т. д.
14. Определение произведения вещественных чисел.
Перейдём к умножению вещественных чисел,
ограничиваясь сначала положительными числами. Пусть же
даны два таких числа α и β. Мы здесь также станем
рассматривать всевозможные рациональные числа,
удовлетворяющие неравенствам (1), но и эти числа предположим
положительными.
Π ρ о из ее д е ни е м αβ двух положительных
вещественных чисел а и β назовём такое вещественное
число γ, которое содержится между всеми произведениями
вида ab, с одной стороны, и всеми произведениями вида
а'Ь', —с другой:
α£< γ <>'&'. (3)
Для доказательства существования такого числа γ
возьмём множество всевозможных произведений ab; оно
ограничено сверху любым из произведений вида а'Ь'. Если
положить
y=sup {ab},
то, конечно, ab^i, но одновременно и γ<α'ί>'.
3*

36
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[14
Возможность увеличить числа а, Ь и уменьшить
числа а\ Ь' (как и в случае суммы) позволяет исключить
здесь знак равенства, так что число γ удовлетворяет
определению произведения.
Единственность произведения вытекает из
следующих соображений. Подберём, по лемме 1, рациональные
числа а, а' и Ь, Ь' так, чтобы было
а' — α<^ε и V — b<ds,
где ε — произвольно малое рациональное положительное
число. При этом можно считать, что числа α и δ
положительны, а числа а' и Ь' не превосходят, соответственно,
некоторых наперёд фиксированных чисел a'Q и b'Q. Тогда
разность
а'Ь' — аЬ — α' (Ь1 — b) + b {a' — α)< (a'Q -f b'Q) · ε,
т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *, а этого,
по лемме 2, достаточно для утверждения, что неравенствам (3)
может удовлетворять только одно число γ.
Если положительные числа аир оба
рациональны, то их обычное произведение γ = αβ удовлетворяет,
очевидно, неравенствам (3), т. е. получается таким же и по
общему определению произведения двух вещественных
чисел— противоречия нет.
Наконец, для того чтобы определить произведение
произвольной пары вещественных чисел (не обязательно
положительных), заключим следующие соглашения.
Прежде всего, условимся, что
каково бы ни было а.
Если же оба множителя отличны от 0, то положим в
основу обычное «правило знаков»:
α·β = |α|·|β|, если α а р одного знака,
α·β= — (|α|·|ρ|), если а и β разных знаков
* Заметим, что (ag-j-ig) ε становится меньшим любого числа
ε'
•»'>0, если взять ι < —5 ~.
a0 + b0

15] § 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ 3-7
(что означает произведение по л о ж ите льн ы.х чисел |а[
■и | [51 — мы уже знаем).
Эти соглашения, как мы видели в 4, в некотором смысле
обязательны для нас, если мы хотим, чтобы действия над
вещественными числами обладали всеми основными
свойствами действий над рациональными числами.
15. Свойства умножения. Как и в случае рациональных
чисел, для любых вещественных чисел сохраняются свойства·:
III 1° а.$ = $-а;
111 2= (α·β)·γ=;α.(Η);
Ill З3 ο·1 = ο.
Для примера докажем второе из них, начав со случая,
когда все три числа — α, β, γ — положительны. Пусть а, а',
Ь, Ь\ с, с'—произвольные рациональные числа,
удовлетворяющие неравенствам
0<α<α<β', 0<&<β<£', 0<c<Y<c'.
Тогда, по самому определению произведения двух
вещественных чисел, имеем
α*<αβ<β'*' и йс<^<А'с'.
Пользуясь ещё раз тем же определением, получим
(α*)β<(ο?)γ<(α'*')β' и a(ftc)<a(fr)<a'(*'c').
Так как для рациональных чисел доказываемое свойство·
уже известно, то вещественные числа (οβ)γ и ο((ϊγ)
оказываются заключёнными между одними и теми же границами:
(ab)c = a{bc) и (а'Ь')с' =а' (Ь'с').
Но легко показать, что за счёт сближения множителей а и а',
Ь и Ь', с и с' между собой и разность произведений а'Ь'с'—
— аЬс может быть сделана сколь угодно малой (при этом можно
использовать подобное же утверждение в 14 относительно·
произведений двух множителей). Отсюда, по лемме 2, и
получится заключение о равенстве чисел (αβ)γ и α (βγ).
Переход к случаю чисел произвольных знаков
производится непосредственно, если учесть лишь «правило знаков».
Если же хоть одно, из чисел а, β, γ равно 0, то оба
произведения обращаются в 0.

38 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [15
Обратимся к свойству:
HI 4J для каждого вещественного кисла а, отличного
от нуля, существует {обратное ему) число —,
удовлетворяющее условию: .
а
Достаточно ограничиться случаем иррационального
числа а. Пусть сначала а]>0.
Если а определяется сечением А | А', то мы следующим
образом построим сечение для числа —. К нижнему классу
его А мы отнесём все отрицательные рациональные числа
и нуль, а также все числа вида —, где а' — любое число
класса А'; в верхний же класс А' поместим все числа вида
—, где а — любое положительное число класса А.
Легко убедиться, что мы таким образом, действительно,
иолучаем сечение, которое определит положительное
вещественное (в данном случае — иррациональное) число; это число
■обозначим —.
α
Покажем, что оно удовлетворяет требуемому условию.
Если учесть определение обратного числа, то, по самому
определению произведения, число а— есть
единственное вещественное число, заключённое между числами вида
а а' ,
— и —, где а я а —положительные рациональные числа,
удовлетворяющие неравенствам а<^а<^а'. Но и число 1
заключено между упомянутыми числами:
α' ^- ^ а '
следовательно, оно и является искомым произведением.
Если а <^ 0, то полагаем
_1__ 1_ .
α ~~ |а| '
тогда по «правилу знаков»

16] § 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ 39
После того как мы убедились, что и по отношению к
умножению область вещественных чисел обладает всеми
основными свойствами III 1°—4°, ясно, что для этой области
сохраняет силу всё сказанное в 4 о существовании
и единственности частного у чисел α и β (при
условии, что β =т^0) и т. д.
Распределительное свойство:
Ш 5° («+Ρ)·Τ=α·Υ+Ρ·Υ
также имеет место для любых вещественных чисел, что легко
доказывается для случая положительных чисел (как и
свойство III 2°). К этому случаю приводятся все остальные —
путём изменения знаков обеих частей равенства или путём
переноса членов из одной части в другую. Исключение,
впрочем, представляет случай, когда одно из чисел α, β, γ,
a-j-β равно нулю; но для этого случая равенство
непосредственно очевидно.
Наконец, свойство:
Ш 6° из α^>β и γ^>0 следует α-γ>[1·γ
проверяется без труда. Неравенство α^>β равносильно
а—β^>0; тогда по «правилу знаков» и (а—β)·γ^>0. Но
умножение имеет распределительное свойство и относительно
разности, так что α·γ—β·γ^>0, а отсюда α - γ ^> β - γ.
16. Заключение. Остаётся упомянуть ещё об «аксиоме
Архимеда»:
IV 1° каково бы ни было вещественное число γ,
существует натуральное кисло п, которое больше γ.
Проверка её легка: ведь в верхнем классе сечения
С\С, определяющего число γ, найдётся большее его
рациональное число с', а для рациональных чисел этот принцип
имеет место.
Теперь можно, наконец, считать установленным, что в
области всех вещественных чисел полностью
сохраняются правила, элементарной алгебры,
относящиеся к четырём арифметическим действиям и к
сочетанию равенств и неравенств.
17. Абсолютные величины. В интересах дальнейшего,
присовокупим ещё несколько замечаний об абсолютных
величинах.

40 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [|8
Прежде всего, установим, что неравенство: |α|<1β (где,
конечно, β ^> 0) равносильно двойному неравенству:
-β<α<β.
Действительно, из |а]<Ср следует, что одновременно
а<3 и —а<СР» т. е. а~^> — β. Обратно, если дано, что
α<^β и а^>—β, то имеем одновременно: а<^$ и —β<^β;
но одно из этих чисел а, — а и есть | а |, так что наверное
Ι«ΚΡ·
Аналогично, оказываются равносильными и неравенства:
|α|<β и — β=£:α«ϊβ.
Докажем, далее, полезное неравенство:
|β+β|<|β|+|·β|.
Складывая почленно очевидные неравенства
— |о|<о<|а| и -|РI<Р<IРI.
получим
-(|а| + Ш)<а + Р«I«I + IМ.
откуда, в силу сделанного выше замечания, и вытекает
требуемое неравенство.
С помощью математической индукции оно распространяется
на случай любого числа слагаемых:
Ια+ρ+··· + γΙ<Ι«Ι + ΐΡ.Ι+-.·+Ιγ|.
Если заменить в доказанном неравенстве β на — β, то
получим
|a-p|*S|a|-H§|.
Так как ct = (a + β) — β, то \а\ <| a-J-β | + 1 β |, или
|в-ні>I«I-IРI.
Аналогично и
la-Pl^lal-IPI.
Все эти неравенства будут полезны в теории пределов.
§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных
чисел.
18. Существование корня. Степень с рациональным
показателем. Определение умножения (и деления)
вещественных чисел непосредственно приводит, как и обычно,
к определению степени с целым положительным (и отрица-

18] § 4. СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 41
тельным) показателем. Переходя к степени с вообще
рациональным показателем, остановимся прежде всего на вопросе
о существовании корня.
Как мы помним, отсутствие в области рациональных
чисел простейших корней послужило одним из поводов к
расширению этой области; проверим же, в какой мере
произведённое расширение заполнило старые пробелы (не создав
при этом новых).
Пусть а — любое вещественное число, я — натуральное
число.
Как известно, корнем л-й степени из числа α называют
такое вещественное число £, что
Мы ограничимся случаем, когда а положительно, и буде»
искать положительное же S, удовлетворяющее этому
соотношению, т.е. так называемое арифметическое
значение корня. Мы докажем, что такое число I всегда
существует, и притом только одно.
Последнее утверждение относительно единственное іи
числа £, впрочем, сразу следует из того, что разным
положительным числам соответствуют и разные степени их: если
0<ξ<?, то &»<?".
Если существует такое рациональное число г, п-я
степень которого равна а, то оно и будет искомым числом £.
Поэтому впредь достаточно ограничиться предположением,
что такого рационального числа нет.
Построим теперь сечение Х\Х' в области всех
рациональных чисел следующим образом. К классу X отнесём все
отрицательные рациональные числа и нуль, а также те из
положительных рациональных чисел к, для которых хп<^а.
К классу X' отнесём положительные рациональные числа х',
для которых х'п^>а.
Легко видеть, что классы эти не пустые и что X
содержит и положительные числа. Если взять, например,
натуральное число т так, чтобы было — <^а<^т, то и подавно
ι 1
— <^ а <Г га1, так что число - входит в X, а число т —
в X'.
Прочие требования, предъявляемые к сечению,
проверяются непосредственно.

42
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[19
Пусть теперь £ будет число, определяемое сечением
Л\Х'; докажем, что £д = а, т.е. что S = y/a.
Рассматривая £л как произведение л сомножителей,
равных ξ, на основании определения произведения
положительных вещественных чисел [14] заключаем, что
χη < 5я < *'*'
если χ а х' суть положительные рациональные числа, для
которых
о<*<£<*'.
Так как, очевидно, х принадлежит классу X, а х' ■—
классу X', то, по определению этих классов, одновременно и
*"<аО'л.
Но разность х' — χ может быть сделана меньшей любого
числа ε^>0 (лемма 1), причём ничто не мешает считать х'
меньшим некоторого наперёд фиксированного числа х'0. В
таком случае разность
*'" —*" = (*' — х) (х"1-1 -J-*-*'"-2-]-.. . + хп-1)<Сг-пхI~1,
т. е. также кожет быть сделана сколь угодно малой*.
Отсюда, по лемме 2, и следует равенство чисел ζ." и а.
После того как доказано существование корня, обычным
путём устанавливается понятие степени с любым
рациональным показателем г и проверяется, что для таких
степеней справедливы обычные правила, выводимые в курсе
элементарной алгебры:
аг-аГ = аг+г', аг:аГ' = аг-г',
(т)=ѵ идр·
Подчеркнём ещё, что при а^> 1 степень аг
возрастает с возрастанием рационального показателя г.
19. Степень с любым вещественным показателем.
Обратимся к определению степени любого вещест-
* Заметим, что число е-пхJ 1 становится меньшим любого чи-
е'
ела ε' > 0, если взять ε < —:
пхп0 1ш

19] § 4. СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 43
венного (положительного) числа α с любым
вещественным показателем β.
Введём в рассмотрение степени числа α
α* и α4'
с рациональными показателями b и Ь', удовлетворяющими
неравенствам
Степенью числа я^>1* с показателем β называют
(и обозначают символом а?) вещественное число γ,
содержащееся между степенями аь и аь:
α*<γ<α»'. (1)
Легко убедиться в том, что такое число всегда
существует. Действительно, множество степеней {а?} ограничено
сверху, например, любой степенью а*. Возьмём тогда [10]
Y = sup \аь).
*<р
Для этого числа будем иметь
На деле же знак равенства здесь не нужен, ввиду
возможности увеличить b и уменьшить Ь\ так что
построенное число γ удовлетворяет условиям (1).
Обратимся теперь к доказательству единственности числа,
определяемого этими условиями.
Для этого, прежде всего, заметим, что лемма 2 п° 11
сохраняет свою силу и в том случае, если опустить
требование, чтобы числа α, α' и ε были непременно рацион аль-
н ы м и; доказательство остаётся то же.
Ьатем, установим одно весьма простое, но часто
полезное неравенство, которое иногда связывают с именем Як.
Бернулли (Jac. Bernoulli): если η — натуральное число,
большее единицы, и с^>1, то
£*>1+я(с—П. (2)
* Этим случаем можно ограничиться: при а < 1 полагаем,
например,

44
ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[•9
Действительно, положив с = 1 —j— λ, где λ^>0, по формуле
бинома Ньютона будем иметь
так. как ненаписанные члены положительны, то
что равносильно неравенству (2).
Положив здесь с—%/а (а^>1), получим неравенство
»/5-і<і=і, (3)
которым мы сейчас и воспользуемся.
По лемме 1 [11], числа b и Ь' можно выбрать так, чтобы
разность Ь'—b была меньше — при любом наперёд заданном
натуральном п; тогда, по неравенству (3).,
α6' —α* = α* (α4'-* — !)< α4 (α «— 1)<α*^ρί.
Так как Ь меньше любого (но фиксированного) Ь'0, то
достаточно взять
л>—Ϊ—·
где е — произвольно малое положительное число, чтобы было
аь'— α*<ε.
В таком случае, по обобщённой выше лемме 2, между
границами аь и аь не может содержаться двух различных
чисел γ.
Если β рационально, то данное выше определение
возвращает нас к обычному пониманию символа а?.
Легко проверить, что для степени с любым вещественным
показателем выполняются все обычные для степени правила.
Остановимся для примера на доказательстве правила
сложения показателей при умножении:

20] § 4. свойства и приложения вещественных чисел 45
Пусть Ь, Ь', с, с' — любые рациональные числа, для
которых
Ь<$<Ь\ с<у<е';
по определению суммы [12]
а по определению степени
α*<αΡ<α*', ис<Са.1<^ас' и а*+<г <а?+-г<а»'+г'.
Перемножив почленно первые два двойные неравенства
(с учётом того, что для рациональных показателей
доказываемое правило уже известно), получим
α*+ί<αί3-αϊ<α*'+ί'.
Таким образом, два числа c^+f и αΡ·α1 оказываются
заключёнными между границами а*+с, а*+с, которые, как легко
показать, могут быть сделаны сколь угодно близкими. Отсюда
(по обобщённой лемме 2) и вытекает равенство этих чисел.
Проверим ещё, что при а^> 1 степень аэ возрастает
с возрастанием вещественного показателя β. Если $<^р,то,
вставив рациональное число г между ними: Р<С/'<СР> "°
самому определению степени с вещественным показателем
будем иметь
αρ<αΓ и аг<^а?, откуда α?<^αβ.
20. Логарифмы. Пользуясь данным определением степени
с любым вещественным показателем, теперь легко установить
существование логарифма для любого
положительного вещественного числа χ при положительном основании а,
отличном от 1 (мы будем, например, считать а^> 1).
Если существует такое рациональное число г, что
а.г = х,
то г и есть искомый логарифм. Предположим же, что таког»
рационального числа г нет.
Тогда можно произвести сечение В\В в области всех
рациональных чисел по следующему правилу. К классу В
отнесём рациональные числа Ь, для которых а"<^х, а к
классу В' — рациональные числа Ь', для которых аь~^>х.

46 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [21
Покажем, что классы В и В' — не пустые. В силу
неравенства (2)
о»>1+я(я—1)>«(а—1),
и достаточно взять
^ α —
чтобы было ап^>х; такое натуральное число я относится
к классу В'. В то же время имеем:
α" ^-/ι(α — 1)'
и достаточно взять
»>ί(^ΓΓ)·
чтобы было а_л«^х и число —я попало в класс β.
Остальные требования, предъявляемые к сечению, здесь
также выполнены.
Построенное сечение В\В' определяет вещественное
число $; которое является «пограничным» между числами
обоих классов. По определению степени, имеем
α»<αΡ<α·' (*<£<*')>
причём а? есть единственное число, удовлетворяющее
всем подобным неравенствам. Но для числа χ имеем (по
самому построению сечения)
Следовательно,
а? = х и (J = loge*;
существование логарифма доказано.
21. Измерение отрезков. Невозможность снабдить,
оставаясь в области рациональных чисел, все отрезки
длинами— также была важнейшим поводом к введению
иррациональных чисел. Покажем теперь, что произведённого
расширения числовой области достаточно для решения з а-
дачи измерения отрезков.
Прежде всего сформулируем самую задачу*:
* Мы пользуемся здесь школьными сведениями по геометрии
и не формулируем относящихся сюда аксиом.

21] § 4. СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИССЛ 47
Требуется с каждым прямолинейным отрезком А
связать некоторое положительное вещественное число 1(A),
которое будем называть ^длиной отрезка А>, так, чтобы
1) некоторый наперёд выбранный отрезок Ε («эталон
длиньп) имел длину 1:1(E)—\;
2) равные отрезки имели одну и ту же длину;
3) при сложении отрезков длина суммы всегда былл
равна сумме длин складываемых отрезков:
l(A + B) = l(A)-\-l(B)
(«свойство аддитивности-»).
Поставленные условия приводят к однозначному решению
задачи.
Из 2) и 3) следует, что q-я часть эталона должна иметь-
длину —; если же эта часть повторена слагаемым ρ раз, то
полученный отрезок, в силу 3), должен иметь длину —.
Таким образом, если отрезок А соизмерим с эталоном
длины, и общая мера отрезков А я Ε укладывается в них,
соответственно, ρ и q раз, то необходимо
l(A)=t.
Легко видеть, что это число не зависит от взятой общей
меры и что, если отрезкам, соизмеримым с эталоном,
приписать рациональные длины по этому правилу, то — для этих
отрезков — задача измерения будет полностью решена.
Если отрезок А больше отрезка В, так что А = В-\-С,
где С есть также некоторый отрезок, то, в силу 3), должно
быть:
l(A)=I{B) + l(Q
и, так как /(С)^>0, то 1(А)~^>1(В). Итак, неравные отрезки
должны иметь неравные длины, а именно, больший отрезок —
большую длину.
Так как каждое положительное рациональное число £-
ч
является длиной некоторого отрезка, соизмеримого с
эталоном длины Е, то из сказанного, между прочим, ясно, что ни
один отрезок, несоизмеримый с эталоном, не может иметь
рациональную длину.

48 ВВЕДЕНИЕ, ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [21
Пусть же Σ будет такой отрезок, несоизмеримый
с Е. Найдётся бесчисленное множество отрезков S и S',
-соизмеримых с Ε и, соответственно, меньших или больших Σ*.
Если обозначить их длины через s и s': l(S) = s, l(S') = s',
то искомая длина /(Σ) должна удовлетворять неравенствам
*</(2)<в"*.
Если распределить все рациональные числа на два класса 5
и S', отнеся к нижнему классу 5 числа s (и кроме них —
все отрицательные числа и 0), а к верхнему классу S' —
числа s', то получится сечение в области рациональных
чисел. Так как в нижнем классе, очевидно, нет наибольшего
числа, а в верхнем — наименьшего, то этим сечением
определяется иррациональное число σ, которое и будет
•единственным вещественным числом, удовлетворяющим
неравенствам s<^a<^s'. Именно этому числу необходимо
положить равной длину ί(Σ).
Предположим теперь, что всем отрезкам, как
соизмеримым с Е, так и несоизмеримым, приписаны длины в согласии
с указанными правилами. Выполнение условий 1), 2) очевидно.
Рассмотрим два отрезка Ρ, Σ с длинами
р = /(Р), β=/(Σ)
и их сумму Т = Р-)-2, длину которой обозначим через т =
= /(Т). Взяв любые положительные рациональные числа г, /,
-s, ί' такие, что
/•<р<У, i<o<s',
построим отрезки /?, /?', S, 8, для которых именно эти
числа, соответственно, служат длинами. Отрезок R-{-S
(длины r-\-s) будет меньше Т, а отрезок /?'-{-«У (длины
r'-\-s') — больше Т. Поэтому
г-{-*<т<У + 5'.
Но [12] единственным вещественным числом, содержащимся
между числами вида r-j-s*** и числами г1 -\-s't является
сумма р-\-о. Следовательно, τ = ρ-|-σ, ч. и тр. д.
* Это легко доказать, исходя из геометрической «аксиомы
Архимеда», о которой уже была речь в 5.
** Разумеется, и для длины отрезка Σ, соизмеримого
с Е, также выполняются эти неравенства.
*** Ограничение положительными числами г и s,
конечно, несущественно.

21] § 4. Свойства и приложения вещественных чисел 49
Распространение «свойства аддитивности» на случай
любого конечного числа слагаемых производится по методу
математической индукции.
Если на оси (направленной прямой) (черт. 1) выбрать
начальную точку О и эталон длины ОЕ, то каждой точке X
этой прямой отвечает некоторое вещественное число—ее
•is π Л 9
— 4ξΞ5Γ~ΖΖ?—°—""
Черт. 1.
абсцисса х, равная длине отрезка ОХ, если X лежит в
положительном направлении от О, или этой длине со
знаком минус — в противном случае.
Естественно встаёт вопрос, будет ли верно и обратное:
каждое ли вещественное число χ отвечает при этом
некоторой точке прямой? Вопрос этот решается в
утвердительном смысле с помощью аксиомы о непрерывности
прямой, устанавливающей для прямой, как множества точек,
свойство, аналогичное свойству непрерывности области
вещественных чисел [9].
Таким образом, между всеми вещественными числами
и точками направленной прямой (оси) можно установить
взаимно однозначное соответствие. Вещественные числа
можно изображать точками на оси, которую в связи, с этим
называют числовой осью. Подобным изображением мы
впредь постоянно будем пользоваться.
4 Г. М. Фихіенголыі

ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.
§ I. Варианта и её предел.
22. Переменная величина, варианта. В физике и в
других пауках о природе читателю встречалось множество
различных величин: время, длина, объем, вес и т. п. Любая
из них, смотря по обстоятельствам, то принимала различные
значения, то лишь одно. В нервом случае мы имели дело
с переменной величиной, а во втором — с постоянной.
В математике, однако, мы отвлекаемся от физического
смысла рассматриваемой величины, интересуясь лишь числом,
которым она выражается; физический смысл величины снова
приобретает важность, лишь когда занимаются приложениями
математики. Таким образом, для нас переменная величина
(или короче — переменная) это просто символ (буква,
например, х), которому приписываются числовые значения.
Переменная считается заданной, если указано
множество &={х\ значений, которые она может принять.
Постоянную величину (короче — постоянную) удобно
рассматривать как частный случай переменной; он отвечает
предположению, что множество &={х\ состоит из одного
элемента.
При установлении понятия предела переменной χ
недостаточно знать лишь, из какого числового множества Ж
получает значения эта переменная; необходимо ещё знать,
какие именно значения (среди которых могут быть и
повторяющиеся) и в каком порядке она принимает. Откладывая
изложение вопроса об упорядоченной переменной и ее"
пределе, в общей постановке, до конца следующего тома *
(когда у читателя накопится достаточный опыт в этой обла-
* См. там Дополнение: «Общая точка зрения на предел».

22]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
51
сти), мы посвятим настоящую главу изучению одного, самого
простого и вместе с тем важного, частного типа такой
переменной величины.
Начнём с установления понятия числовой
последовательности. Представим себе натуральный ряд:
1, 2, 3, ..., п, ..., п\ ..., (1)
в котором числа расположены в порядке возрастания, так
что большее число я' следует за меньшим числом η (или
меньшее число η предшествует большему числу п1).
Если теперь заменить в ряде (1), по какому-нибудь закону
каждое натуральное число η некоторым вещественным
числом хп, то и получится числовая последовательность:
Хі, Хш^ Х^, · · · , X/ti ·. . , Χη't · · · t \£)
члены или элементы которой хП занумерованы всеми
натуральными числами и расположены в порядке
возрастания номеров. При п'^>п, член хГіі следует за
членом хп (хп предшествует х„і), независимо от того,
будет ли само число х„і больше, меньше или даже равно
числу хп*.
Переменную х, принимающую некоторую
последовательность (2) значений, мы — следуя Мерэ (Ch.
Moray) — будем называть вариантой. Это и есть тот
тип переменной, рассмотрением которого мы здесь
ограничиваемся.
В школьном курсе математики читателю встречались
переменные именно типа варианты. Ему знакома, например,
последовательность вида
a, a-\-d, a-\-2d, ..., a-j-(«— l)d, ...
12 3 η
(арифметическая прогрессия) или вида
а, ад, ад2 ад"'1, ···
12 3 я
(геометрическая прогрессия); переменный член той и другой
прогрессии есть варианта.
* Аналогично определяется понятие
последовательности точек на прямой или объектов какой-либо другой природы.
4*

52
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[22
В связи с определением длины окружности обычно
рассматривается переменный периметр правильного вписанного
в окружность многоугольника, получаемого из
шестиугольника последовательным удвоением числа сторон; таким
образом, эта варианта принимает последовательность
значений:
р6=6Д, Ра=щУ2 — ѴЪ,
p2i = MRVr2-V'2 + V% pw ...
it 4
Упомянем ещб о десятичном приближении (скажем, по
недостатку) к Ϋ2, со всё возрастающей точностью; оно
принимает последовательность значений:
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...
1 2 Л 4
и также представляет собой варианту.
Переменную х, пробегающую последовательность (2), часто
обозначают через хп, отождествляя её с переменным («общим»)
членом этой последовательности.
Иногда варианіа χ задаётся тем, что указывается
непосредственно выражение для хп; так, в случае
арифметической или геометрической прогрессии имеем,
соответственно, хп = а-\-\п — \)d или xH-=aqn~l. Пользуясь этим
выражением, можно сразу вычислять любое значение
варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих
значений.
Для периметра правильного вписанного многоугольника
такое общее выражение возможно лишь, если ввести число тг;
вообще периметр рт правильного вписанного яі-угольника
даётся формулой
рт = 2mR sin — .
В других случаях нам может быть неизвестно выражение
для общего члена хп последовательности (2). Тем не менее,
последовательность (2), а с нею и отвечающая ей
варианта, считается заданной, если мы всё же владеем
правилом, по которому может быть вычислено любое
значение варианты, лишь только известен его номер.

23]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
53
Поэтому-то, зная правило для приближённого вычисления
корней, мы можем считать заданной всю последовательность
десятичных приближении к У 2, хотя выражения для его
общего члена мы не знаем.
Если варианта — в указанном сміѵсле— задана, то этим
не только охарактеризовано всё множество принимаемых ею
значений в целом, ко и определён порядок, в котором эти
значения принимаются; каждому номеру отвечает своё
значение варианты, и из двух значений то считается следующим,
номер которого больше.
Ещё раз подчеркнём, что значения варианты не должны
быть обязательно различными. Например, если задать
варианту одной из формул:
*«=і; *я=(-і)"+I; хя=*Щ=£,
то соответствующие последовательности будут:
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1 2 3 ·1 Γι «
1, —1, 1, —1, 1, -1, ...
1 2 3 4 5 й
о, ι, о, -1, о, 1,...
1 2 3 4 5 Η
В первом случае мы имеем просто постоянную величину, всё
«множество» принимаемых ею значений сводится к одному.
Во втором — это множество состоит из двух значений, 1 и
— 1, принимаемых поочерёдно. Наконец, в третьем случае
множество значений переменной бесконечно, но это не
мешает значениям переменной через одно равняться 0; и мы
считаем, что значение 0 на пятом месте следует не только
за значением 1 на втором ьесте, но и за значением 0 на
первом месте.
23. Предел варианты. Читатель из школьного курса
также знаком уже с этим понятием. Вот точное его
определен не:
Постоянное число а называется пределом варианты
х = х , если для каждого положительного числа г, сколь
оы мало оно ни оыло, существует питой номер Ν, что

54
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[23
все значения хп, у которых номер n~^>N, удовлетворяют
неравенству
К-«IО (3)
Тот факт, что а является пределом варианты, записывают
так:
1ітл:п = а или limx = a
(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего
«предел»). Говорят также, что переменная стремится к а,
и пишут
хп—-а или χ—>а.
Иной раз число а называют пределом
последовательности (2), и говорят, что эта последовательность
сходится к а.
То же определение коротко может быть сформулировано
так:
Число а есть предел варианты х = хп, если её
значения отличаются от а сколь угодно мало, начиная с
некоторого места.
Неравенство (3), где ε произвольно, и есть точная запись
утверждения, что хп от а «отличается сколь угодно мало»,
а номер N как раз и указывает то «место, начиная с
которого» зто обстоятельство осуществляется.
Важно дать себе отчёт в том, что номер Ν, вообще го*
воря, не может быть указан раз навсегда: он зависит от
выбора числа ε. Для того чтобы подчеркнуть это, мы
иной раз вместо N будем писать Nt. При уменьшении
числа ε соответствующий номер M=Nt, вообще говоря,
увеличивается: чем большей близости значений
варианты хп к α мы требуем, тем более далёкие значения её —
в ряду (2) — приходится рассматривать.
Исключение представляет тот случай, когда все значения
варианты хп равны постоянному числу а. Очевидно, что тогда
а = lira χп, но на этот раз неравенство (3) будет
выполняться для любого s ^> О одновременно при всех
значениях х;1 *.
* Аналогичное обстоятельство имеет место для варианты хп,
значения которой становятся равными а начиная с
некоторого места.

24]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
55
Неравенство (3), как мы знаем [17], равносильно
следующим:
— ε<*„ — а<е
или
a — s<x„<a-fs; (4)
этим мы часто будем пользоваться впоследствии.
Если изобразить числа α, α + ε и значения хп нашей
варианты точками на числовой оси [21] (черт. 2), то
получится наглядное геометрическое истолкование предела ва-
а-г а*с
О I О-О О [ "О О ■ »-
Хг » Х„., Хп I Х3 Xf
Черт. 2.
рианты. Какой бы малый отрезок (длины 2ε) с центром в
точке а ни взять, все точки хп, начиная с некоторой из них,
должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его
может остаться разве лишь конечное число этих точек). Точка,
изображающая предел а, является как бы средоточием
сгустка точек, изображающих значения варианты.
24. Бесконечно малые величины. Случай, когда
варианта стремится к нулю: хп—>-0, представляет особый интерес.
Варианта хп, имеющая своим пределом нуль,
называется бесконечно малой величиной, или просто
бесконечно малой.
Если в определении предела варианты [23] положить
а—0, то неравенство (3) примет вид
I*«-°I=КI<е <дляя>л/,).
Таким образом, данное выше определение бесконечно малой
можно подробнее сформулировать без упоминания термина
«предел»:
Варианта хп называется бесконечно малой, если
она по абсолютной величине становится и остаётся
меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа ε]>0,
начиная с некоторого места.
Не вполне удачный (исторически сложившийся) термин
«бесконечно малая» величина не должен вводить читателя
в заблуждение: ни одно в отдельности взятое значение этой

56
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[24
величины, если оно не нуль, не может квалифицироваться,
как «малое». Суть дела в том, что это—переменная
величина*, которая лишь в процессе своего
изменения способна сделаться меньшей произвольно взятого
числа ε.
Ес;:и вернуться к общему случаю варианты хп, имеющей
предел а, то разность
аежду переменной и её пределом, очевидно, будет бесконечно
малой: ведь, в силу (3),
*η\ = \χα — α\<.* (дляя>/Ѵ,).
Обратно, если ап есть бесконечно малая, то хп—►а. Это
приводит нас к следующему утверждению:
Для того чтобы варианта хп имела своим пределом
постоянное число а, необходимо а достаточно,
чтобы разность между ними аа — хп — о была бесконечно
малой.
В связи с этим можно было бы дать и для понятия
«предел» другое определение (равносильное старому):
Постоянное число а называется пределом
варианты хя, если разность между ними есть бесконечно малая
величина.
Разумеется, если исходить из этого определения предела,
то для бесконечно малой нужно использовать второе из
приведённых выше определений. Иначе получился бы порочный
круг: предел определялся бы через бесконечно малую, а
бесконечно малая — через предел!
Итак, если варианта хп—>■ а, то она может быть
представлена в виде
■*,. = « + ««·
где л„ есть бесконечно малая, и обратно, если варианта χ
допускает такое представление, то она имеет пределом а.
Этим часто пользуются на практике для установления
предела переменной.
* Исключая неинтересный случай, когда она тождественно
равна пулю.

25]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
57
25. Примеры. 1) Рассмотрим варианты
_ 1 _ 1 _(-!)'
х"~ п' *"—~7Г' х" л
Л+1
им отвечают такие последовательности значении:
ι I і 1
2 ' 3 ' 4
-ι _Ι _Λ _1
2 ' 3 ' 4 ' ·■·'■
1 _Ι І _1
2 ' 3 ' 4 ' ···
Все три переменные представляют собой бесконечно малые-
т. е. имеют пределом 0. Действительно, для них
лишь только η > —. Таким образом, в качестве Ν, можно,
например, взять наибольшее целое число, содержащееся в — , т. е
Е'1
ш··
Отметим, что первая переменная всё время больше своего
предела 0, вторая — всё время меньше его, третья же —
попеременно становится то больше, то меньше его.
2) Если положить
_2-Н-1)"
то переменная пробегает такую последовательность значений:
3 1 3^2
'· 2 * 3 ' 4' 5 ' 6 ' "·
И в этом случае хп—>-0, так как
для л> —, так что за Nt можно принять Ε (—)·
Мы сталкиваемся здесь с любопытной особенностью:
переменная поочерёдно то приближается к своему пределу 0, то
удаляется от него.
* Вообще, через Е(р) обозначается наибольшее целое число,
не преросходяіцее ρ, или, короче, целая часть числа р\ Ε есть
начальная буква французского слова Entier, означающего «целый»»

58
ГЛ. I ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[25
3) Пусть теперь
1+(-!)"
х„ —
с этой вариантой мы уже имели дело в конце п° 22. Здесь также
хп —»■ 0, ибо
I χη ι < τ < ε·
•-«(■f)·
лишь только n>N,
Отметим, что для всех нечётных значений η переменная
оказывается равной своему пределу.
Эти простые примеры интересны тем, что они характеризуют
многообразие тех возможностей, которые охватываются данным
выше определением предела варианты. Несущественно, лежат ли
значения переменной с одной стороны от предела или нет;
несущественно, приближается ли переменная с каждым шагом
к своему пределу; несущественно, наконец, достигает ли
переменная своего предела, т. е. принимает ли значения, равные
пределу. Существенно лишь то, о чём говорится в определении:
переменная должна отличаться от предела сколь угодно мало
в конце концов, т. е. для достаточно далёких своих значений.
4) Возьмём более сложный пример варианты:
хп — з.<і2_|_2« — 4:
1
докажем, что ее пределом будет число -_-.
о
С этой целью рассмотрим разность
1 _5я4-Ю
Хп — - —
3 3(Зи2 + 2/г —4)
ц оценим её абсолютную величину; для я > 2 имеем:
Г" 3 | —3(3/12 + 2/1-4)^ 3(ЗлЗ-4) <3-2л2<7Г'
так что это выражение меньше ε, если п>Nt — E (—). Этим и
1
доказано, что хп—► ·=-.
5) Определим варианту формулой
_і_ _
χα = α"=Ί/α (β>1),
и докажем, что хп—<■ 1.

25]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
59
Если воспользоваться неравенством (3) в 19, то можно
написать:
іх„~ 1 1 = ^/?_1<!Ζ_<Ε, лишь только л>;Ѵ, = £і/І~-ІѴ
Можно, однако, рассуждать и иначе. Неравенство
ι
]ха-1\ = а""' -1<ε
ρ авносильно такому:
— <'oge(l + e) или п>-
η " ьаѵ ' ' "logfl(l-H)'
так что оно выполняется при л> N.=E [·. ττ—,—s )·
„ Vloge(l+t)y
В соответствии с выбранным способом рассуждения мы пришли
к различным выражениям для N.. Например, при а=10,
9
г—0,01 получаем А/о>01 = щ — 900 по первому способу и
Α'ο,οι= £ ( η 00432—) =231 —по второму. По второму способу
мы получили наименьшее из возможных значений для ЛГЦіщ,
ибо уже 10231 = 1,010017... отличается от 1 больше, чем на е ==0,01.
То же будет и в общем случае, ибо, как легко видеть, при
л^і г?—-,—г необходимо а" — Iгзге.
loga (1 +О
Заметим по этому поводу, что мы вовсе не заинтересованы
именно в наименьшем возможном значении Nt, если речь
идёт только об установлении факта стремления к пределу. Должно
быть гарантировано выполнение неравенства (3), начиная хоть
с какого-нибудь места, далёкого или близкого — безразлично.
6) Важный пример бесконечно малой даёт варианта
«n = q», где |?I<1.
Для доказательства того, что ап—*0, рассмотрим неравенство
КI=ШЯ<«;
оно равносильно таким:
i-logiolil<logi0s или п> °ёі°е *
logio I ЯI
* Следует иметь в виду, что | q |< 1 и log101 q \ < 0; поэтому
при делении обеих частей неравенства на это число знак
неравенства должен быть изменён на обратный.

60
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[2S
Таким образом, если положить (считая г< 1)
то при л > Nt упомянутое неравенство наверное выполнится.
Аналогично, легко убедиться в том, что и варианта
где іюпр-ежнему |#[<1, а А — постоянное число, также есть
бесконечно малая.
7) Рассмотрим, далее, бесконечную убывающую
геометрическую прогрессию
~ a, aq, αφ aq" -l, ... ( | q | < 1)
и поставим вопрос об определении ее' суммы.
Под суммой бесконечной прогрессии, как известно, разумеется
предел, к которому стремится сумма s„ её η членов при
безграничной возрастании п. Но
а — па" а а
а
так что варианта sn разнится от постоянного числа . ■ на ве-
а
личину «., = — •0я, которая, как мы только что видели,
яаляется бесконечно малой. Следовательно, по второму
определению предела, искомая сумма прогрессии
і· = mn s„
\-q-
8) Пусть даны два числа а и Ь. Положим х,) = а, Хі = Ь, а
последующие значения варианты хп определим равенством.
хп = 2 (" ^ 2)·
Этим варианта ха, действительно, задана, так как, полагая
вдесь я = 2, 3, 4, ,.., можно последовательно найти все
её значения, до любого включительно. Однако для вычисления
предела удобнее было бы исходить из непосредственного
выражения хп через п; постараемся его найти.
Если из обеих частей написанного равенства вычесть по хП—и
то получим
■с« - -г«-і = - "2 (-г«-і - Xn-J <л = 2' 3· 4- ■ · · )·
Таким образом, в ряду разностей
xi — xt — b-a, χ*-χι, ..., χη_χ - дг„_2, *„-*„_!
каждая (начиная со второй) получается из предыдущей умноже-

26]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
61
1
нием на — - ■ иными словами, мы имеем здесь геометрическую
прогрессию со знаменателем —^. Суммируя её, найаем:
(Хі - xq) + (х« - Χι) -Ь . .-f (xn - *„_,) = хп-л =
(*-«>-(---)"(*-я)
= '-(-I) ■
откупа
Мы выразили нашу варианту формулой.
Так как второе слагаемое правой части есть бесконечно малая
величина [см. 6)], то непосредственно ясно, что
Iim хп~—т— .
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел.
Пусть варианта хп имеет предел а. При любом р<^« (или
q^>a) легко подобрать число ε^>0 так, чтобы было
а — ε~^>ρ (или a-\-s<^q);
для этого достаточно взять ε меньшим разности а — ρ (или
q — α). Но, по определению предела [23], найдётся такой
номер Λ/, что для л^> N будет выполняться неравенство
[см. (4)]
а следовательно — и подавно неравенство
хп>Р <или хп<Я)·
1° Если варианта хп стремится к пределу а, и а~^р
{a<^q), то и все значения переменной, начиная с
некоторого, тоже будут ^>ρ (<^q)·
Это простое предложение имеет ряд полезных следствий.
2° Если варианта хп стремится к пределу я^>0 (<^0),
то и сама переменная хп^>0 (<С0). начиная с
некоторого места.
Для доказательства достаточно применить предыдущее
утверждение, взяв р = 0(0 = 0).

62
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[26
Можно установить и более точный результат:
3° Если варианта ха стремится к пределу а,
отличному от нуля, то, по крайней мере, достаточно
далёкие значения χ η по абсолютной величине превзойдут
некоторое положительное число г.
|*J>r> О (для я> АО-
Действительно, при а^>0(<[0) можно взять
ООО (а<9<0)
и положить г=р (r = \q\).
4° С другой стороны, если варианта хп имеет предел а,
то она является ограниченной, в том смысле, что все
её значения по абсолютной величине не превосходят
некоторой конечной границы:
\ха\<*М (Λί = const.; /1=1,2,3,...).
Возьмём число Λί'^>|α|, так что —М' <^а<^М', и
положим ρ = — Μ', a q — M'. Найдётся такой номер N, что
для я ^> N будет
— /И'Оя<М' или |*„|<Λί'.
Это неравенство наверное выполняется при η = ΛΛ-j-1,
Λ/-)- 2, .. ., так что ему могут и е удовлетворять лишь
первые N значений нашей варианты (или некоторые из них).
Поэтому, если положить Μ равным наибольшему из чисел
I*і|. КI. ···' \χΝ\< м'<
то уже для всех значений ха будем иметь: | хп | ^ М, ч. и
тр. д.
Замечания. I. Можно дать определение ограниченности
переменной хп в равносильной форме, потребовав выполнения
неравенств
k^x^g (л = 1, 2, 3, ...),
где k и g— два конечных числа. Действительно, из этих
неравенств, если положить Μ равным наибольшему из чисел
\k\, \g\, следует |лгп[^уИ; обратно, если имеет место
последнее неравенство, то оно может быть написано в форме
— Μ sS хн ^ М, так что — Μ играет роль k, а М — роль g.

27]
§ 1. ВАРИАНТА И ЕЁ ПРЕДЕЛ
63
II. Утверждение 4° не может быть обращено: не всякая
ограниченная варианта имеет предел. Если положить,
например, х„=(—1)п+1, то эта варианта, конечно, ограничена:
|л:я|^1, но предела она не имеет, всё время колеблясь
от -}-1 к — 1.
В заключение, опираясь на предложение 1°, докажем
единственность предела:
5° Варианта хп не может одновременно стремиться
к двум различным пределам.
Действительно, допустим противное: пусть одновременно
хп—-а и хп~-Ь, причём а<^Ь. Возьмём любое число г
между а и Ь:
а<г<£.
Поскольку хп—<-а и а<^г, найдётся такой номер Λ/', что
для η^> Λ/ будет выполняться неравенство: хп<^г. С другой
стороны, раз хп—*-Ь и о*^>г, найдётся и такой номер Ν",
что для я^>Л/" окажется: хп~^>г· Если взять номер η
большим и /V, и ЛГ, то соответствующее значение переменной хп
будет одновременно и <Ѵ, и ^> г, что невозможно.
Это противоречие доказывает наше утверждение.
27. Бесконечно большие величины. Бесконечно малым
величинам, в некотором смысле, противоставляются
бесконечно большие величины (или просто бесконечно
большие).
Варианта хп называется бесконечно большой,
если она по абсолютной величине становится и остаётся
большей сколь угодно большого наперёд заданного числа
Е]>0, начиная с некоторого места:
|.*Л|>Е (для л>ЛЬ).
Как и в случае бесконечно малых, здесь также следует
подчеркнуть, что ни одно в отдельности взятое значение
бесконечно большой величины не может быть
квалифицировано, как «большое»; мы имеем здесь дело с переменной
величиной, которая лишь в процессе своего
изменения способна сделаться большей произвольно взятого
числа Е.
Примерами бесконечно больших могут служить варианты
*»=л; xn = ~n> *„=(-і)л+Ч

64
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[27
которые пробегают натуральный ряд чисел, но первая со знаком
плюс, вторая со знаком минус, третья же — с чередующимися
знаками.
Вот ещё один пример бесконечно большой величины:
xn = Qn, при |<?|>1.
Действительно, каково бы ни было Ε > 0, неравенство
|*Я: = |<?|»>В
выполняется, лишь только
"•loglolQl>log10E или п> Jgj^Q, *■
так что за NE можно взять число
/_jlogioh_\
V lOigwlOl /'
Если варианта хп является бесконечно большой, то
говорят также, что она имеет предел со или
стремится к со, и пишут
1ітд;л=оо, хп—► оо.
Особенно важны те частные случаи, когда бесконечно
большая величина хп (по крайней мере, для достаточно
больших п) сохраняет определённый знак (-}- или —); тогда,
в соответствии со знаком, говорят, что варианта хп имеет
предел -|- со или — со, и пишут:
\ихіхп = -\-оо, хп—<--j-oo или 1ітл:л = — со, хп—►—со.
Можно было бы дать для этих случаев и независимое
определение, Заменив неравенство |л:л|^>Е, смотря по
случаю, неравенством
*„>Е или *„<— Е,
откуда уже вытекает, соответственно, что хп~^>0 илцл:я<^0.
Очевидна равносильность утверждений:
■ +
оо.
Из приведённых выше примеров бесконечно больших величин,
очевидно, варианта хп = п стремится к 4-°°. варианта хп = — η
стремится к — оо. Что же касается третьей варианты: χ =(—1)ч+1я,
то она, как и все бесконечно большие величины, стремится к оо,
но про неё нельзя сказать ни что она стремится к -(-», ни что
о;іа стремится к — со.
* Гак как |(?|>1, то log10|Q|>0.

28]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
С5
Наконец, относительно варианты xn = Q", при <?>1, мож:ю
сказать, что она стремится к + оо, а при Q < — 1, — лишь что она
стремится к оо.
(К «несобственным числам» ±<х, с которыми мы уже
сталкивались в п° 10, мы здесь присоединили ещё се, без
:інака; следует помнить, что их применение имеет совершенно
условный смысл, и остерегаться производить над этими
«числами:) арифметические операции.)
Введение бесконечных пределов не нарушает теоремы о
единственности предела, установленной в
предыдущем п° (см. 5°); действительно, как указано было там же (4°),
варианта, имеющая конечный предел а, является ограниченной
н, следовательно, никак не может одновременно стремиться
к бесконечному пределу.
В заключен»·· упомянем о простой связи, которая
существует между бескоіечно большими и бесконечно малыми
величинами:
Если варианта хп является бесконечно большой, то её
обратная величина ан = — будет бесконечно малой.
Возьмём любое число ε^>0. Так как хп~> эо, то для
числа Е = -- найдётся такой номер Ν, что
|хп! ^> — , лишь только п^> N.
Тогда для тех же значений п, очевидно, будет
КЮ,
что и доказывает наше утверждение.
Аналогично можно доказать и обратное утверждение:
Если варианта ап (не обращающаяся в 0) является
бесконечно малой, то обратная для неё величина χ == —
будет бесконечно большой.
§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение
пределов.
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве.
Соединяя две варианты ха и уп знаками равенства или
неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идёт о соот-
5 Г: М. Фихіенгольц

66
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[28
ветствующих значениях их, т. е. о значениях с одним
и тем же номером.
1° Если две варианты хп, уп при всех их изменениях
равны: хп=уп, причём каждая из них имеет конечный
предел:
\imxn = a, \imyn = b,
то равны и эти пределы: а = Ь.
Непосредственно следует из единственности предела [26, 5°].
Этой теоремой пользуются обычно в форме
предельного перехода в равенстве: из хп — уп заключают,
что iimxn —lim_yK.
2° Если для двух вариант хп, уп всегда выполняется
неравенство х„^у„, причём каждая из них имеет конечный
предел:
limxn = a, lim yn — b,
то и а^ Ь.
Допустим противное: пусть а<^Ь. Рассуждая так же, как
и в 26, 5°, возьмём число г между а и Ь, так что a<^r<^b.
Тогда, с одной стороны, найдётся такой номер N', что для
н^> N' будет хп<^г, с другой же — найдётся и такой
номер N", что для η ^> Ν" окажется уп ^> г. Если N больше
обоих чисел ΛΓ, Ν", то для номеров я^> N будут
одновременно выполняться оба неравенства
хп<г< Уп>г> ОТКУАа хп<Уп>
что противоречит предположению. Теорема доказана.
Эта теорема устанавливает допустимость предельного
перехода в неравенстве (соединённом с
равенством): из ха^уп можно заключить,что 1іпи:п^1іт_уя.
Конечно, знак ^> всюду может быть заменён знаком <^.
Мы обращаем внимание читателя на то, что из
строгого неравенства х„~^>Уп> вообще говоря, не вытекает
строгое же неравенство Игалгя^>1іт_ул, а только, попреж-
нему: 1ітл;п^1іт_уп. Так, напр., —^> при всех я, и тем
не менее
lim!=lim('— -Wo.
η \ η J
При установлении существования и величины предела
варианты иногда бывает полезна теорема:

29] § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 67
3° Если для вариант хп, уп, zn всегда выполняются
неравенства
причём варианты хп и zn стремятся к общему пределу а:
l\mxn = \\mzn = a,
то и варианта уп имеет тот же предел:
Iітуп—а.
Зададимся произвольным ε ^> 0. По этому ε, прежде всего,
найдётся такой номер Ν', что при я"]> Ν'
β —8<χ„<α + β.
Затем, найдётся такой номер №, что при η^>Ν*
Пусть N будет больше обоих чисел ЛГ u N"; тогда,
при /г^> N, выполняются оба предшествующих двойных
неравенства, и потому
Окончательно, при п^> N
α — 2<Λ<α + ε или \Уп — аIО
Таким образом, действительно, limj'„ = a.
Из этой теоремы, в частности, следует: если при всех η
и известно, что ζη—>α, то и уп—*а. Впрочем, это очень
легко доказать и непосредственно.
Теоремы 1°, 2° и 3° легко распространяются и на
случай бесконечных пределов (из них теорема β° — лишь в
предположении, что речь идёт о бесконечности определённого
знака).
29. Леммы о бесконечно малых. В дальнейших
теоремах нам придётся рассматривать одновременно две варианты
(или больше), сочетая их между собой знаками
арифметических действий. При этом, как и выше, мы относим эти знаки
к соответствующим значениям вариант. Например,
5*

68
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[29
говоря о сумме двух вариант хп и уп, пробегающих порознь
последовательности значений
Л'і, Xg, Ag, . . . , XIt, . . .
yv v2, уѣ,..., ytt>...,
мы имеем в виду варианту хп-\~у,, принимающую последо-
ьательность значений
*і+Уѵ Хі + Уг, *8+Λ.···» *Л+Л····
При доказательстве теорем, относящихся к результатам
арифметических операций над переменными, важную роль
будут играть следующие две леммы о бесконечно малых.
Лемма 1. Сумма любого конечного числи бесконечно
малых есть также величина бесконечно малая.
Проведём доказательство для случая двух бесконечно
малых а„ и Ря (общий случай исчерпывается аналогично).
Зададимся произвольным числом ε^>0. Согласно
определению бесконечно малой, по числу ε для бесконечно малой
a/t найдётся такой номер N', что при и^> N' будет
!*„!<!·
Точно так же и для бесконечно малой $п найдётся такой
номер N", что при л^> ΛΓ" будет
IІУ <Т·
Если взять натуральное число N большим обоих чисел
N' и N", то при и^> N одновременно выполняются оба эти
неравенства, так что
К + РяI<|ав!+IРя|<£+-5- = е.
Итак, величина яп-\-$п, действительно, является
бесконечно малой.
Лемма 2. Произведение ограниченной переменной χ на
бесконечно малую о.п есть величина бесконечно малая.
Пусть, для всех значений я,
1*„1<м.

30] § 2. ТЕОРЕМЫ 0 ПРЕДЕЛАХ 69
Если задано произвольное число г ^> 0, то по числу ^ для
беск-онечно малой ап найдётся такой номер N, что для η ^> Ν
будет
Тогда для тех же значений п, очевидно,
I*«-ая| = і*я|-|ая!<ЛI.^=8.
Отсюда и следует, что χη·ο.η есть бесконечно малая.
30. Арифметические операции над переменными.
Следующие теоремы важны в том отношении, что с их помощью
во многих случаях делается ненужным восхождение всякий
раз к определению понятия «предел», с разысканием
по заданному s соответствующего N, и т. д. Этим
вычисление пределов значительно облегчается.
1° Если варианты хп и уп имеют конечные предела:
Iішлг„ = д, \\myn—b,
то и сумма (разность) их также имеет конечный предел,
причём
Кт{хп±Уп) = а±.ь·
Из условия теоремы следует, что
где ап и Ря — бесконечно малые. Тогда
Здесь алгЬРя есть бесконечно малая по лемме 1;
следовательно, пользуясь вторым определением предела, можно
утверждать, что варианта хп±уп имеет предел, равный а 4;/;,
что и требовалось доказать.
Эта теорема и её доказательство переносятся на случай
любого конечного числа слагаемых.
2° Если варианты хп и уп имеют конечные пределы:
\\тхп~а, \ітуп — Ь,
то и произведение их также имеет конечный предел, и
\\тхпуп = аЬ.

70
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[30
Исходя из тех же равенств (1), имеем на этот раз
"кУп = аЬ-\-(а$п-)-Ьал + аI#я).
Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина
бесконечно малая. Отсюда и следует, что варианта х,у„,
действительно, имеет пределом ab.
Эта теорема может быть распространена на случай
любого конечного числа сомножителей (например, методом
математической индукции).
3° Если варианты хпи уп имеют конечные пределы:
\\ѵахп = а, \\myn — b,
причём Ь отлично от 0, то и отношение их также имеет
конечный предел, а именно,
,. х„ а
Jim-5 =-r-.
Уп b
Поскольку ЬфО, согласно утверждению в 26,3°, начиная
с некоторого места, не только уп=£0, но даже
IлI>О>0..
где г — постоянное число. Ограничимся теми значениями но-
х~
мера и, для которых это выполняется; тогда отношение -з за-
У η
ведомо имеет смысл.
Исходя, попрежнему, из равенств (1), имеем
У η "Τ- F+L - Τ - ъ^ <Κ - αΜ-
Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина
бесконечно малая. Множитель же при нём, на основании
сказанного вначале, будет ограниченной переменной:
' <,
ьу„
\Ь\г
Следовательно, но лемме 2, всё" произведение справа
будет бесконечно малым, а оно представляет разность между
вариантой —в и числом ѵ-. Итак, предел -п есть -£ , что и
требовалось доказать.

31]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
71
31. Особые случаи. Неопределённые выражения. В
предыдущем п° мы рассматривали выражения
*„±Л. *лЛ> т (2)
и, в предположении, что варианты хп и уп стремятся к
конечным пределам (из которых, в случае частного, предел уп. не
должен был. равняться нулю), устанавливали пределы
каждого из этих выражений.
Остановимся теперь на случаях, оставленных там без
рассмотрения, когда пределы вариант хп и уп будут (один
или оба) бесконечными или—если речь идёт о
частном— когда предел знаменателя будет нулём.
Начнём с рассмотрения именно частного:
1° Если хп имеет конечный предел, а уп стремится
к со, то — стремится к нулю.
Уп
В самом деле,
хя 1
—it γ· . ·
Уп У а
так как второй множитель есть бесконечно малая (как
величина, обратная бесконечно большой, 27), то, по теореме 2°,
30, всё выражение стремится к нулю.
2° Если хп имеет предел, конечный или нет, но не
* х„
равный нулю, а уп стремится к нулю , то -■"- cm.pt-
У η
мится к ос.
Имеем:
ii = JL
У η Уп.'
К отношению — применима теорема 3°, 30—оно стремится
Я
к нулю. Следовательно [27], обратная величина имеет
пределом ос.
3° Если хп стремится к оо, а уп имеет конечный
X
предел, то -- также стремится к оо.
У η
* Не обращаясь при этом в нуль (иначе — нельзя было бы
делить на уп).

72
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[31
Так как обратное отношение -я , в силу 1°, стремится к
хп
нулю, то [27] данное отношение стремится к оо.
4° Теперь мы переходим к случаю, когда обе
варианты хп и уп одновременно стремятся к нулю.
Здесь мы впервые сталкиваемся с совсем особым
обстоятельством: хотя нам известны пределы хп и уп, но о пределе
их отношения — не зная самих этих в.ариант —
никакого общего утверждения мы сделать не можем. Этот
предел, в зависимости от частного закона изменения
обеих переменных, может иметь различные значения или
даже вовсе не существовать. Следующие простые примеры
поясняют это.
Пусть, скажем, хп = — и уп = — ; оое варианты стремятся
χ 1
к нулю. Их отношение —s = — также стремится к нулю.
Уа " ι ι
Если же, наоборот, положить хп = —, уп = — ) то, хотя они
попрежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение
s =п стремится к оо! Взяв же любое отличное от нуля
Уа а 1
число а и построив две бесконечно малые хп = — иуп = — ,
видим, что отношение их имеет пределом α (так как
тождественно равно а).
Наконец, если х„ — - , _уя= — (обе имеют
пределом нуль), го отношение —- = (— 1)'ч+1 оказывается
вовсе не имеющим предела.
Таким образом, одно знание пределов вариант хп и ѵ„
в данном случае не позволяет ещё судить о поведении
их отношения: необходимо знать сами варианты, т. е. закон
их изменения, и непосредственно исследовать отноше-
х
ііііе —- . Для того, чтобы характеризовать эту особенность
У η
случая, когда хн —* О и уп—+ 0, говорят, что выражение
"--"- представляет неопределённость вида -^.
Уп О
5° 8 случае, когда одновременно хп —->- оо и уп —- ее■,
имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих

31]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
73
вариант, общего утверждения о поведении их отношения
сделать нельзя. Этот факт иллюстрируется примерами, вполне
аналогичными приведённым в 4°:
х„ — п —>· со, у„ = п"- —* со , — — >- 0;
X „ = К"—>-СС, Ѵ„ — П—*-00, -Ь. = П—»■ СО
ft · г It \ί
■У П
χη = αη—>-со (dy^O), y„=n —*■ зо, ——а—>-α;
Уп
χ — (—1)Λ+1 η —юо, Ѵ„ = л, ^2- = (—1) +1 вовсе не
•У/1
имеет предела.
И в этом случае говорят, что выражение —&
представляет неопредел ённность — вида —.
Обратимся к рассмотрению произведения хпуп.
6° Если хЛ имеет предел, конечный или нет, но не
равный нулю, а уп стремится к со, то х„уа также
стремится к оо.
В самом деле, обратная величина
1 __1_ _1_
ХаУп~хи Уп
есть бесконечно малая (так как первый множитель имеет
конечный предел, а второй стремится к нулю); отсюда и
вытекает требуемое заключение.
7° Если хп стремится к нулю, в то время как уп
стремится к оо, то, исследуя поведение произведения х„уп,
мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в
пунктах 4° и 5°. Об этом свидетельствуют примеры:
*„ = 7?Г-*0. Л=я —°°. хпУп=~-^0'
*„=!-* О, ун = п*-+се, хяУя=п-+<х;
хп = ^-*0 [афО), уп = п-+со, х.„уп=а-~+а;
хп = 1~1£1 —0, уп = п-+<х, хпуп=(—\)"+і вовсе
не имеет предела.

74
ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[31
В связи с этим, при хп—* 0 и уп—>-оо, говорят, что
выражение х„уп представляет неопределённость вида
0·οο.
Рассмотрим, наконец, алгебраическую сумму xn-^zyn.
8° Если χ стремится к ос, а уп имеет конечный
предел, то и xnzhyn также стремится к оо.
В силу 26, 4°, переменная уп ограничена:
\уя\*£М (я=1, 2, 3,...).
Так как хп—► со, то, задавшись произвольным числом Е^>0,
по числу Ё —|— yli найдём такой номер N, что
КI>Е + И* для я>/Ѵ.
Тогда, для тех же значений п,
\ха±ун\5*\хя\-\уЙ\>(Е + М)-ЛI = Е,
т. е., действительно, хп±уп—► ее.
(Если х'п—<--4-ос или — оо, то, очевидно, такой же
предел имеет и сумма хп±уп.)
9° Если хп и уп обе стремятся к -\- оо (или обе к — оо),
то к тому же пределу стремится и сумма хп-\-уп-
При любом Е^>0, начиная с некоторого места,
-\ к \ к -
тогда хп -г-_уя>Е, и т. д.
10° Случай же, когда хп н уа стремятся к
бесконечности разных знаков, снова оказывается особым:
υ сумме х„-\-уп ничего определённого сказать нельзя, не
зная самих варианту и уп. Различные возможности,
представляющиеся здесь, иллюстрируются примерами:
ха=2п^ + оо» Уп=— я—— ее, х,,+уп = п-*-\-оо;
х„ = п-+-\-оо,уа= — 2п-+ — оо, хп-\-Уп= — п-+ — оо;
хп = п-\-а-+ + ос, уп = — п-+ — оо, хп-{-уп~а-+а;
*„ = « + (-1)" + ,-+ + оо, _у„ = —л —ос, х„+у„ =
= (—1)'і+1 вовсе не имеет предела.
Ввиду этого, при хп—+-]-со и уп—+ — со, говорят, что
выражение хп-\-уп представляет неопределённость вида
оо — оо.

32]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
75
Таким образом, поставив себе задачей — определить
пределы арифметических выражений (2) по пределам вариант
хп и Уп> из к0т0рых они составлены, мы нашли четыре
случая, когда этого сделать нельзя: неопределённости
вида
w, —, О-оо, ос-оо*.
В этих случаях приходится, учитывая закон изменения
вариант хп и уп, непосредственно исследовать
интересующее нас выражение. Подобное исследование получило
название раскрытие неопределённости. Далеко не
всегда оно так просто, как в приведённых выше
схематических примерах. Ниже мы укажем несколько более
интересных примеров этого рода. (Впрочем, общие методы для
раскрытия неопределённостей будут даны лишь в § 3 главы IV.)
32. Примеры на нахождение пределов. 1) Пусть р(п)
будет полином, целый относительно п, с постоянными
коэффициентами:
,- (и) г= о0/і* Л. я,л*-і -f ... + ак_хп -4- ак.
Поставим вопрос о пределе его. Если бы все коэффициенты
этого полинома были положительны (отрицательны), то сразу ясно, что
пределом ρ (л) будет -f-со (— оо); это следует из 31,9°. Но в
случае коэффициентов разных знаков одни члены стремятся к -f-oo,
другие к — оо, н налицо неопределённость вида се — со.
Для раскрытия Зтой неопределённости представим ρ (л) в виде:
'(«>=*('.+?+-+83+3)·
Так как все слагаемые в скобках, начиная со второго, при
возрастании л будут бесконечно малыми, то выражение в скобках
имеет пределом в0; первый же множитель стремится к -j- со.
Следовательно [31,6°], всё выражение стремится к -)- оо или к — оо,
в зависимости от знака й„.
Уничтожение «неопределённости» путём преобразования
данного выражения (чем мы здесь воспользовались) часто
применяется для раскрытия неопределённости.
2) Если д(п) есть такой же полином:
д(п) = Ьапі + Μ'"1 + ■ · · + *i-i«-t-h,
* Конечно, символы эти лишены всякого числового
смысла. Каждый из них является лишь краткой условной
характеристикой для выражений одного из четырёх исключительных
типов.

76
гл. і. т,:о?ия пределов
[32
то частное ^-т-4 при возрастании я представит неопределённость
00
вида —.
00
Преобразуя и здесь каждый из полиномов так, как это было
сделано в 1), получим:
'я*
Ьі
3+;τ+···+7Γ<
Второй множитель здесь имеет конечный предел ■—. пели
степени обоих полиномов равны: & = /, таков же будет и предел
отношения *. При &>/ первый множитель стремится к -(-ос,
так что рассматриваемое отношение стремится к zt оо (знак — в
зависимости от знака —). Наконец, при £</, первый
множило
тель, а с ним и всё выражение, стремится к· нулю.
3) Найти объём V треугольной пирамиды SA4C (черт. 3).
Разделив высоту Я пирамиды на η равных частей, проведём
через точки деления плоскости, параллельные плоскости
основания. В сечении получатся треугольники, подобные основанию.
Построим на них систему входящих и выходящих призм; из пер-
* Так можно было бы получить предел -х- в примере 4) п° 25.

32]
§ 2. Ті-ОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
77
вых составится тело с объёмом Ѵп, а из вторых — тело с объёмом
V , причём, очевидно,
V < V s V'.
Но разность Ѵп — Ѵп есть не что иное, как объём нижней выхо-
дящей призмы с основанием (} — пл.£,АВС и высотой —; итак,
ра.шость
V1 -Ѵи= ϊ^ — 0
при возрастании п, а тогда — тем более—стремятся к нулю и
разности V— Ѵп и Vп— V, т. е.
К = Iі.п Ѵи = Игл Vn-
Найдём теперь выражение для Ѵп. Мы имеем здесь тело,
составленное из ряда выходящих призм; по свойству сечений пира-
міілы, их основания, соответственно, будут равны:
^О, JLO...., £(?..... ±Q=Q,
в то время как высота у всех одна и та же: —. Поэтому
у' - Я. (12+02+ 4- *) Л-Ш. M"+l)t2"+l) * ._
_Qtf (я+1)(2я+1)
~ 6 " из
так что
ѵ=іі.дѵ;=^.
4) Найти площадь Q фигуры ОРМ, образованной частью ОМ
параболы у = ах* (а > 0), отрезком ОР оси χ и отрезком РМ
{черт. 4).
Разобьём отрезок ОР на η равных частей и построим на них
ряд входящих и выходящих прямоугольников. Площади Qn и Q'n
составленных из них ступенчатых фигур разнятся площадью —у
наибольшего прямоугольника. Отсюда, как и в 3), разность
0'„ — Q„ —► 0 и, так как
<?„ <Q<Q'n,
* Здесь мы используем известную формулу для суммы
квадратов первых л натуральных чисел.

78
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[32
очевидно,
£? = lim<?n = litn(?^
Так как высоты отдельных прямоугольникоз суть ординаты
точек параболы, с абсциссами
12 Ι η
— χ, — χ,..., — χ, ..., — χ = χ,
η η η η
и — в согласии с уравнением кривой — величина их равна,
соответственно,
то для Qn получаем выражение
o:-^("+^+-+^)-^f-(/?+1^-H)·
Отсюда
_ ,. „/ ах* х-ах''- ху
<?==Iі.-п<?ж=-в-=—g— = -3--
Опираясь на это, легко получить, что площадь параболиче-
4
ского сегмента М'ОМ равна і?ху, т. е. — двум третям площади
описанного прямоугольника (этот результат был известен ещё
Архимеду)*.
5) Доказать, что, при 0<&< 1,
Шп[(л-|-1)*—л*] = 0.
Мы имеем здесь неопределённость вида оо — оо. Преобразуем,
вынося пк за скобку:
О <(«+!)*— л* — л*
'+ΐ)4<-[('+ίΗ
V-*"
Так как -j-^—► 0, то и подавно [п-\-\)к — л*—► 0, ч. и тр. д.
6) Найти предел варианты
представляющей (согласно предыдущему примеру)
неопределённость вида оо -0.
* Общее определение площади криволинейной фигуры
будет дано лишь в главе X (второй том); там же применённый здесь
метод вычисления площади будет обобщён на другие
криволинейные фигуры.

32]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
79
Умножая и деля на сумму корней Υ η-\-\-\-Y п, преобразуем
со
данное выражение к неопределенности вида — :
со
наконец, делим числитель и знаменатель на Υη·.
— 1
Хп — _
Очевидно,
так как выражение справа стремится к 1, то это же справедливо
и относительно корня. Окончательно,
1
Шха=-2.
7) Найти пределы вариант:
η
У η--\-π У п*-\-\
и, наконец,
ΐ ι 1 , , 1
„ ..00
Варианты хп и уп представляют неопределенность вида —
(так как оба корня > л, то они стремятся к со). Преобразуем,
деля числитель и знаменатель на п:
— 1 _ 1
х"'~ г—г ' Уп~ / Г"
Так как оба корня в знаменателе имеют пределом 1 (ср.
предыдущий пример), то хп -*■ 1 и уп -+■ 1.
Выражение для га имеет своеобразную форму: каждое
слагаемое этой суммы зависит от л, но и число их растёт
вместе ел*. Так как каждое слагаемое меньше первого и
больше последнего, то
<*„<-7===, т.е. хп<гп<уп.
YWfH л^Угі»+і
* Эту же особенность, впрочем, имели и выражения для ѵа
и Q'n в 4) и 5).

80
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[32
Но (согласно уже найденному) варианты хп и yit стремятся к
общему пределу 1; следовательно, —по теореме 3°, 28, — к тому же
пределу'стремится и варианта zn.
8) Пусть дано т. положительных чисел
av ait ... ,ат.
Обозначая через /{наибольшее из них, доказать, что
lim £/> + «£ + ... + <, = А.
Заключение это следует из очевидных неравенств
А:
"fa'' + al + ... + а''^А.ут
}
1см. 25,5).
9) Мы видели в 27, что при й> 1 степень я"-►-|-оо (с
возрастанием п). Исследуем теперь поведение отношения
£1
п"'
00
(при й>0), представляющего неопределённость вида — .
Установим одно вспомогательное неравенство [ср. неравенство
Бернулли в 19). Положив a = l-f-X, так ч*о λ>0, имеем по
формуле бинома Ньютона:
Так как для η > 2, очевидно, η — 1 > — , то окончательно
(3)
При й = 1, получаем сразу
а» (а-1)2
lim — =4- оо.
Гак как этот результат верен при любом я>1, то, взяв
k > I, можем написать (по крайней мере, для достаточно больших л)
■ і η ft
(a k γ
η
>
1_
η

33]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
81
откуда
ап
,ігая*=+°° (α>])·
Доказанный, таким образом, для к^ 1, этот результат тем
более будет верен и для k < I.
10) Тем же неравенством (3) можно воспользоваться, чтобы
установить, что
lim {/л = 1.
Именно, полагая в нём а= pfn, получим
откуда
0<j/£"-l <τβ*.
У я
что и приводит к требуемому результату.
И) Теперь мы можем установить и другой интересный предел:
,imi2I«ZL=o (й>1).
00
(Здесь мы снова имеем неопределённость вида —, ибо, как легко
00
установить, logon-»--}-00·)
Действительно, если взять произвольное число ε > 0, то,
поскольку д« > 1, для достаточно больших η будет [26, 1°]
Уп< а'.
Логарифмируя по основанию а, получим
л
откуда и следует высказанное утверждение.
33. Теорема Штольца и её применения. Для определения преде-
лов неопределенных выражении —£ типа — часто бывает полезна
следующая теорема, принадлежащая Штольцу (G. Stolz) *.
Пусть варианта уп -*--\~ оо, причём — хотя бы начиная с
некоторого места — с возрастанием η и уп возрастает: уп+і ~>уп.
Тогда
lim^s= Km *"-"*"-*■ ,
У η Уп—Уп-і
* При частном предположении уп~п мы находим эту
теорему ещё у К оши (A. L. Cauchy).
Г. М. Фихтенгольц

82
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[33
если только существует предел справа (конечный или даже
бесконечный, но определённого знака).
Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу I:
lim:
tn-l.
-.1.
Уп-Уп-і
Тогда по любому заданному ε > 0 найдётся такой номер Ν, что
для я > ΛΓ будет
хп — хп-1
или
У η -Уп-і
■I
<
I-
2 -
^<'-т~Ь
■хп-х
Значит, какое бы η > N ни взять, все дроби
*ΛΓ+1 — ΧΝ χΝ+2 — χΝ+\ χη-\ — хп-і ι
Ук+ι — У if ' yN+2—Уп+і Уп-і—Уп-г' Уп~—у„-і
лежат между этими границами. Так как знаменатели .их, ввиду
возрастания уп вместе с номером п, положительны, то между
теми же границами содержится и дробь
хп —χΝ
У η—Ум
числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше
дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при п> N
χη~χΝ
Уп-Уи
<
Напишем теперь тождество (которое легко непосредственно
проверить):
откуда
Уп
η г_ ΧΝ—^Ν ι Λ _У_К\ ίχη — χΝ Λ
Уп \ Уп) \Уп —Ум J '
У п-У N
лп ^
Уп
χΝ~^Ν
Уп
+
Iлг
-Уы
— /
Второе слагаемое справа, как мы видели, при л > jV стано-
s
вится <-«■; первое же слагаемое, ввиду того, что Уп-<--\- оо,
также будет < -у, скажем, для η > Ν'. Если при этом взять Ν' > Ν,
то для я > Ν', очевидно,
у η Ι
что и доказывает наше утверждение.

33]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
83
Случай бесконечного предела приводится к рассмотренному.
Пусть, например,
lim
хп — хп-1.
Уп-Уп-і
Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших п)
*п-хп-і>Уп-Уп-і·
следовательно, вместе с уп и хп-+-\-<х>, причём варианта х„
возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную
теорему можно применить к обратному отношению —:
хп
хп хп~хп-1
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что
lim —2 = -f- оо, ч. и тр. д.
Уп
Обратимся снова к примерам.
12) Мы видели уже в 9), что при а> 1
г а" ι
am — = 4- со.
η '
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
lira — = lim (α·> — α"-1) = lim a" (l --Λ =+οο.
To же относится и к примеру 11).
13) Применим теорему Штольца к доказательству
следующего интересного предложения (Коши):
Если варианта ап имеет предел (конечный или бесконечный,
но определённого знака), то тот же предел имеет и варианта
_ а1 + а2 + ... + Дв
п~ η
(«среднее арифметическое» первых η значений варианты ап).
Действительно, полагая в теореме Штольца
*„ = «i4-<*j+···+«,.. Уп = п>
имеем:
lim Ьп = lim ^ = lim -η~^""1 = lim an.
У η Уп-Уп-г
Например, если мы знаем [10)], что %/'η -+ 1, то и
1+/2-+^/·3+···+"/^ ,
η
6*

84 ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [33
14) Рассмотрим теперь варианту (считая к — натуральным)
00
которая представляет неопределенность вида —.
Полагая в теореме Штольца
*„=1* + 2»+...4-п*. .У„ = я*+1.
будем иметь
Но
так что
и [см. 2)]
limz„ = lim л>+1 _ (/г_ 1]АМ ·
(П _ і)*+і = л*+і — (k -+1) /z*-f ... ,
„*+і_(л_ ΐ)Α+ι = (A-f !)«*+.. .
Iітг„ = lim ·
(А + 1) л* -4- ... ~ A -f 1 "
15) В заключение определим предел варианты
_ ( 1 \ _ l*4-2*-f ...-f/i* л
представляющей в первой форме неопределённость вида оо-О, а во
второй — вида оо — а>. Произведя вычитание дробей, получим на
оо
этот раз неопределенное выражение вида — :
__(* + 1)(1* + 2*+··· -f я*) —я*+і
Пл~ (A-f-l)n*
Полагая хп равным числителю этой дроби, а уп — знаменателю,
применим ещё раз ту же теорему. Получим
lim υ„ = lim-i— ., , ..,s—;— ,.., '-.
n (£-f1) [nb — (n — 1)*]
Ho
(k -f 1) ЛА - [и*+і _ (я - l)*+i].= ii±il* /z*-i + ... ,
a ^
л* — (re — l)* = ftn*-i-f-
так что [см. 2)], окончательно,
limu„ = lim (fej1)fe^.1+fj =j.

34] § 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА 85
§ 3. Монотонная варианта.
34. Предел монотонной варианты. Теоремы о
существовании пределов переменных, которые приводились до сих
пор, имели такой характер: в предположении, что для одних
вариант пределы существуют, устанавливалось существование
пределов для других вариант, так или иначе связанных с
первыми. Вопрос о признаках существования конечного предела
для заданной варианты, безотносительно к другим
переменным, не ставился. Оставляя решение этого вопроса в
общем виіе до § 4, 39—42, мы рассмотрим здесь один простой и
важный частный класс переменных, для которых он решается
легко.
Варианта хп называется возрастающей, если
*іОг<---<*«<-Ѵп<··-.
т.е. если из п'~^>п следует х,.і~^>хи. Её называют
неубываю щ е й, если
т. е. если из /г' ^> я следует лишь хпі З^ хп. Можно и в
последнем случае называть переменную возрастающей, если
придать этому термину более широкий смысл.
Аналогично устанавливается понятие об убывающей —
в узком или широком смысле слова — варианте: так
называется варианта, для которой, соответственно,
или
Хх 3= х2 5г . . . Зэ хп =г= х„ .., Ss . . . ,
так что из п'^> η следует (смотря по случаю) χ„ι <^ хп или
лишь хиі ^ хп.
Переменные всех этих типов, изменяющиеся в одном
направлении, объединяются под общим названием
монотонных. Обычно о варианте говорят, что она «монотонно
возрастает» или «монотонно убывает».
По отношению к монотонным вариантам имеет место
следующая — фундаментальной важности —
Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая варианта
хп- Если она ограничена сверху:
xns^M {M = const.; л = 1, 2, 3,...),

86
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[34
то необходимо имеет конечный предел, в противном же
случае—она стремится к -|-оо.
Точно так же, всегда имеет предел и монотонно
убывающая варианта хп. Её предел конечен, если она
ограничена снизу:
xn&zm (w = const.; я=1, 2, 3,...),
в противном же случае её пределом служит — оо.
Доказательство. Ограничимся случаем
возрастающей, хотя бы в широком смысле, варианты хп
(случай убывающей варианты исчерпывается аналогично).
Допустим сначала, что эта переменная ограничена сверху.
Тогда, по теореме п° 10, для множества {хп} её значений
должна существовать и (конечная) точная верхняя граница:
a=sap{xn};
как мы покажем, именно это число а и будет
пределом варианты хЛ.
Вспомним, действительно, характерные свойства точной
верхней границы [10]. Во-первых, для всех значений η будет
Во-вторых, какое бы ни взять число ε^>0, найдётся такой
номер Ν, что
χΝ>α — ε.
Так как, ввиду монотонности нашей варианты (здесь мы
впервые на это опираемся), при я^>Л/ будет χη^χΝ, τ. е.
и подавно хп~^>а — ε, то для этих значений номера л
выполняются неравенства:
0<а—-#„<£ или \хп — а|<е,
откуда и следует, что 1ітл:л = а.
Пусть теперь варианта хп не ограничена сверху. Тогда,
сколь велико ни было бы число Ε > 0, найдётся хоть одно
значение нашей переменной, которое больше Е; пусть это
будет χΝ: χΝ^> Ε. Ввиду монотонности варианты χ для
я ^> N и подавно
а это и означает, что \ітхп—-{~(х>.

35] § 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА 87
Легко понять, что все заключения остаются в силе и для
переменной, которая, лишь начиная с некоторого места,
становится монотонной (ибо — без влияния на предел
переменной— любое число первых её значений можно отбросить).
Обратимся к примерам применения теоремы.
35. Примеры. 1) Рассмотрим варианту (считая с>0)
— £2
Ха~~п\ '
где л! = 1 -2-3 ... л. (Она при с > 1 представляет неопределённость
вида —.)
00
Так как
с
то, лишь только л>с — 1, переменная становится убывающей;
в то же время снизу она ограничена, например, нулём.
Следовательно, варианта хп— по теореме — имеет конечный предел,
который мы обозначим через а.
Для того чтобы найти его, перейдём к пределу в написанном
выше равенстве; так как лгя+1 пробегает ту же последовательность
значений, что и х„ (с точностью до первого члена) и имеет тот же
предел а, то мы получим
в = д-0,
отсюда а=0 и, окончательно,
1ІШІ;=0.
л!
2) Считая снова с > О, определим теперь варианту хи так:
Xl=Yl, Xi=Vc + VT, x9=Vc + Vc + V~c,...
и вообще
хл = У^_±Ус+-^_±^-
η корней
Таким образом, дт„+1 получается из хп по формуле
Ясно, что варианта х„ монотонно возрастает. В то же время
она ограничена сверху, например, числом Ѵс-\-1. Действительно,
х1==у~с меньше этого числа; если допустить теперь, что какое-

88
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[35
либо значение хп<Ѵ с-\-1, то и для следующего значения
получаем
ха*і<Ѵс-\-Ѵ с + 1 <Vc + 2fc-{- \=Vc+\.
Таким образом, наше утверждение оправдывается по методу
математической индукции.
По основной теореме, варианта хп имеет некий конечный
предел а. Для определения его перейдём к пределу в равенстве
.2
χ
л-И
=« + ·«,;
мы получим, таким образом, что а удовлетворяет квадратному
уравнению
а*=с-\-а.
Уравнение это имеет корни разных знаков; но интересующий нас
предел а не может быть отрицательным, следовагельно, равен
именно положительному корню:
а— 2
3) Пусть даны два положительных числа а и Ь (а > Ь).
Составим их среднее арифметическое и среднее геометрическое:
ах = --"]) ■ . Ь1=ѴаЬ.
Известно, что первое среднее больше второго*; в то же время
оба они содержатся между исходными числами:
а > вг > b1 > Ь.
Для чисел аг и Ьх снова составим их оба средних:
причби
а\ > а2 > Ьг > *і,
и т. д. Если числа ап и &,г уже определены, то ап+1 и 2>л+1
определяются по формулам
и, как и выше,
a«>fln + l>*n + l> V
* Это сразу следует из неравенства
^--^=1(й-2^+6)=(1^!)!>0(прий^)

35]
§ 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА.
89
Таким образом составляются две варианты ап и 6„, из которых
первая оказывается убывающей, а вторая —
возрастающей (навстречу одна другой). В то же время
а>ап>Ьп>Ь,
так что обе варианты ограничены и, следовательно, обе стремятся
к конечным пределам:
а = lim ап и β = litn bn.
Если в равенстве
„ ._ ап + Ьп
"я + 1 — 2
перейти к пределу, то получим
α -ί- S
а = —тр-, откуда а = β.
Таким образом, обе последовательности — и средних
арифметических ап, и средних геометрических ί_ —стремятся к общему
пределу μ = μ(β, b); следуя Гауссу (С. F. Gauss), его называют
средним арифметико-геометрическим исходных
чисел а и Ь. Выражение числа μ (а, 6) через эти последние покуда
нам недоступно — для него требуется так называемый
эллиптический интеграл [см. 303 (второй том)].
4) Отправляясь снова от двух положительных чисел а и b
(а > Ь), на этот раз станем последовательно составлять средние,
арифметические и средние гармонические *:
а-\-Ь , ЪаЪ
α2 = —ό— > bi — -.
' «ι + bi'
получаем:
Из известного уже нам неравенства а)~ > ΥаЪ (при а Ф by
ί—Ε— J >ai и, наконец, —ір- >^Т
g-f 6 ^ 2ab
b
* Число ί называется средним гармоническим двух
положительных чисел а и ί, если обратное ему число — явля-
1 1
ется средним арифметическим для обратных чисел — и т-:
1 1 / 1 , 1 \ 2ab
Ί=2\τ + τ)· откуда ί==ϊ+*·

90
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[35
так что среднее арифметическое больше среднего гармонического;
к тому же оба средних содержатся между исходными числами.
Применяя это к ап и Ьп, найдём:
вп>вп + 1>*я + 1>Ѵ
Совершенно аналогично тому, как это было сделано в
предыдущем примере, убедимся в том, что обе варианты аа и Ьп
стремятся к общему пределу с, который можно было бы назвать
средним арифметико-гармоническим чисел а и Ъ.
Однако, здесь предел с имеет простое выражение через а и Ь.
Именно, видим, что aibi = ab; так как, аналогично, и an+ibn+l =
= anbn, то заключаем, что при всех значениях η
апЪа=--аЪ.
Переходя здесь к пределу, получаем
c = Vab,
т.е. среднее арифметико-гармоническое двух
чисел попросту есть их среднее геометрическое.
5) Наконец, приведём более сложный пример.
Исходя из некоторого вещественного числа с, положим Χχ== —, а
последующие значения варианты хп определим индуктивно
формулой
х2
хп+і~ ~2 ~у ~2~ ■ О
Исследуем вопрос о пределе этой варианты при двух различных
предположениях относительно с.
Заметим, что, если бы мы наперед знали, что существует
конечный предел
a = hmxn, (2)
то найти его не составило бы труда. Стоит лишь перейти к
пределу в равенстве (1), определяющем нашу варианту, чтобы
получить
с д'
а = -х-\-— или а* — 2а-\-с = 0.
Из этого квадратного уравнения находим
а = 1 — У 1— с. (3)
(+)
Отсюда сразу ясно, что варианта хп заведомо не может иметь
конечного предела при с> 1.
(а) Предположим сначала, что 0<ί^1. Тогда ясно, что
а:л>0. Вычитая из (1) почленно аналогичное равенство:
г2
Х» ~" 2 + 2 '
найдём, что
хп+і ~ хп —
х2 — х2
хп хп—\

35]
§ 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА
91
Очевидно, х2 > Χι = — ; а из предыдущего равенства следует,
что, лишь толькод:п>д;я_1, тотчас же и хп+\>хп. Таким
образом, по методу математической индукции устанавливается факт
монотонного возрастания варианты хп.
Аналогично доказывается ограниченность (сверху) нашей
варианты:
хп<\.
Это неравенство очевидно для я = ]; если же оно соблюдается при
каком-нибудь значении л, то будет верно и для л-f-l —в силу (1).
Значит, предел (2), действительно, существует, а тогда он
выражается формулой (3), и именно со знаком минус при корне, так
как предел этот не может быть больше единицы.
(б) Пусть теперь — 3^с<0. Очевидно, для всех п:
Покажем, что в этом случае хп < 0. Это верно при л = 1; если
же допустить справедливость этого утверждения для какого-либо
значения п, то
I-^I^IГ. *«<Цг<М (так как 1|і < 1),
и хп+і будет иметь знак ■=-, т. е. будет отрицательным, ч. и тр. д.
На этот раз варианта хп не будет монотонной. Однако,
если положить в (1) л=2£ и 2k — 2, а затем n = 2ft-f-I и 2k — I,
и в обоих случаях почленно вычесть, то получим:
ха+г — xik '-
Х2Ь ~ X2k~2 I
x> -x2 Ь (4)
x2k+l x2k—1 I
Отсюда можно индуктивно заключить, что всегда
хл+і > хч-і и Λϊ4+3 < χη·
Действительно, х$ > Χι = γ; тогда \хь\<\х\\, х\ < х\, и по
второй из формул (4) (при /6=1) будет *<<л:2. Следовательно,
\Хі\>\х3\> х\>х\> и по первой из формул (4) (при k = 2)
получится дг5 > *з· и т· Д·
Таким образом, в рассматриваемом случае, монотонными
будут порознь взятые варианты χ%^-\ их%$ (k = 1, 2, 3,...)>*так

92
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[3S
как они содержатся между конечными границами т- и 0, то обе
имеют конечные пределы
а' = lim x-zk-i, a" = lim xik.
Остаётся показать, что а' — а". С этой целью устремим
значок η в (1) к бесконечности, сначала через чётные значения, а
затем—через нечётные. Мы получим в пределе два соотношения:
с ι а"% ν с ι а'2 ,ъ
а = 2+-т> α=τ+τ· (5)
Вычитая, исключим с:
(а' - а") (а' + a" -f 2) = 0.
Как мы установим сейчас, если £>— 3, вторые скобки
обратиться в 0 не могут, так что необходимо а' — а". Действительно,
в противном случае, подставляя а" = — а' — 2 во второе из
соотношений (5), мы получили бы для а' квадратное уравнение
β'2-f 2«' + (4 + ί) = 0,
которое, именно при с > — 3, вещественных корней иметь не
может.
Наконец, если с = — 3, вторые скобки обращаются в 0
одновременно с первыми, ибо в этом случае и в' = —1 и в" = —1.
Итак, во всех случаях а' = а". Обозначив общее значение этих
пределов через а, имеем для а выражение (3), очевидно, снова со
знаком минус при корне, ибо предел отрицательной варианты хп
не может быть положительным.
Изложенные примеры дают повод к следующему
замечанию. Доказанная теорема является типичной «теоремой
существования»: в ней устанавливается факт существования предела, но
не даётся никакого приёма для его вычисления. Тем не менее она
имеет очень важное значение. С одной стороны, в теоретических
вопросах часто только существование предела представляется
нужным. С другой же стороны, во многих случаях возможность
предварительно удостовериться в существовании предела важна тем,
что открывает пути для его фактического вычисления. Так, в
примерах 1), 2), 4), 5) именно знание факта существования предела
позволило, с помощью перехода к пределу β некоторых
равенствах, установить точное значение предела.
В этом отношении особенно поучителен пример 5) (б). Ведь
при е< — 3 выражение (3) сохраняет смысл, но это вовсе не
означает, что оно продолжает давать предел варианты хп; напротив,
он здесь не существует: например, как нетрудно проверить, при
с = — 4 наша варианта пробегает последовательность значений:
- 2, 0, - 2, 0, - 2, 0,...
и никакого предела не имеет.
В примере 3) мы выражения для предела не имеем, но, зная
что он существует, легко можем вычислить его с любой степенью

36]
§ 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА
93
точности, ибо он содержится между вариантами ап и Ьп, которые
к нему стремятся с обеих сторон.
В следующем п° мы познакомимся с ещё одним важным
примером приложения теоремы о монотонной варианте.
36. Число е. Мы используем здесь предельный переход
для определения нового, до сих пор не встречавшегося нам
числа.
Рассмотрим варианту
:-ЫУ
и попытаемся применить к ней теорему п° 34.
Так как с возрастанием показателя η основание
степени здесь убывает, то «монотонный» характер варианты
непосредственно не усматривается. Для того чтобы убедиться
в нём, прибегнем к разложению по формуле бинома:
„(л_1)(Я-2) _1_, я(я —1)...(я-й+Ц J_ ,
~г 1-2-3 '/is""1-·'-1- 1.2...А 'я* "*"'■·
I я(я—1)...(я —в + 1) \__
'••"г 1-2... η 'w
- + '+ІО-т)+і('-Ж-*)+-
-+ί(·-τ)-(·-ίτ1)+-
-+гО-т)-(·-^)- <6>
Если от хп перейти теперь к хп+ѵ т. е. увеличить η на
единицу, то, прежде всего, добавится новый, (л4"2)-й
(положительный) член, каждый же из написанных л-f-l
членов увеличится, ибо любой множитель в скобках вида
1 - заменится большим множителем 1 — _ , ,. Отсюда
η я-f-i
и следует, что
т. е. варианта ха оказывается возрастающей.
Теперь покажем, что она к тому же ограничена
сверху. Опустив в выражении (6) все множители в скоб-

94
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
its
ках, мы этим увеличим его, так что
*»<24-^+ΐτ + ·.· + 4ϊ=Λ·
Заменив, далее, каждый множитель в знаменателях
дробей (начиная с 3) числом 2, мы ещё увеличим
полученное выражение, так что, в свою очередь,
Λ<2 + γ + ^· + ··· + -2^Γ·
Но прогрессия (начинающаяся членом -^) имеет сумму <М,
поэтому у„<^3, а значит и подавно хп<^3.
Отсюда уже следует, по теореме п° 34, что варианта хп
имеет конечный предел. По примеру Эйлера (L. Euler),
его обозначают всегда буквой е. Это число
._Um(l + l)*
имеет исключительную важность как для самого анализа,
так и для его приложений. Вот первые 15 знаков его
разложения в десятичную дробь:
е = 2,71828 18284 59045...
В следующем п° мы покажем удобный приём для
приближённого вычисления числа е, а также попутно установим,
что е есть число иррациональное.
Некоторые свойства числа е, которые мы установим
впоследствии [54, (13)], делают особенно выгодным выбор
именно этого числа в качестве основания для системы
логарифмов. Логарифмы по основанию е называются
натуральными и обозначаются знаком log без указания основания;
в теоретических исследованиях пользуются исключительно
натуральными логарифмами *.
* Эти логарифмы иногда ошибочно называют Неперовыми
по имени шотландского математика Ηеπ ер a (J. Napier, XVI —
XVII в.) — изобретателя логарифмов. Сам Не π е ρ не имел
понятия об основании системы логарифмов (ибо строил их своеобразно,
на другом принципе), но его логарифмы соответствуют
логарифмам по основанию, близкому к —. Близкое к е основание имеют
логарифмы его современника Бюрги (J. Burgi).

37] § 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА 95
Упомянем, что обычные, десятичные, логарифмы
связаны с натуральными известной формулой:
log10x = logx.ykf,
где Μ есть модуль перехода и равен
Μ = log10 e = щ^ = 0,434 294...;
это легко получить, если прологарифмировать по
основанию 10 тождество
x — el°zx.
37. Приближённое вычисление числа е. Вернёмся к
равенству (6). Если фиксировать k и, считая я^>k,
отбросить все члены последней части, следующие за (>fe -f- 1)-м, то
получим неравенство
'.>»+і('-9+і('-і)0-£)+-
-+±('-Й-(·-^)-
Увеличивая здесь я до бесконечности, перейдём к пределу;
так как все скобки имеют пределом 1, то найдём:
^* + ъ+Т\ + - + Тх=у*
Это неравенство имеет место при любом натуральном k.
Таким образом, имеем
откуда ясно [в силу теоремы 3°, 28], что и
\\туп — е.
Варианта у для приближённого вычисления числа е
гораздо удобнее, чем хп. Оценим степень близости уп к е. С
этой целью рассмотрим сначала разность между любым
значением уп+т (т = \, 2, 3, . . ), следующим за уп, и
самим у,. Имеем
1__, 1__, , 1
Л+га Л— (я-f-l)!"' (и-г-2)!~Т~ ' ' (л-т-и)!
1 (л ι 1 . 1 I
— (я+ 1)4 "*" " + 2 I („4-2)(я + 3) Τ"··
1 |
•••+(л + 2)(л+3)...(л+от) ; '

96 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [37
Если в скобках { } заменить все множители в знаменателях
дробей через п-\~2, то получим неравенство
которое лишь усилится, если заменить скобки суммой
бесконечной прогрессии:
Сохраняя здесь я неизменным, станем увеличивать т до
бесконечности; варианта уп+т (занумерованная значком т)
принимает последовательность значений
Уп + Ѵ Уі: + 2' Уп + і> ··· ι Уп + т> ·'· '
очевидно, сходящуюся к е. Поэтому получаем, в пределе,
е У η ^ (л 4-1)! 'л+I
или, наконец,
\ -'/J ^~ л! Л
Если через 6 обозначить отношение разности е — уП
к числу -j— (оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то
можно написать также
β
Заменяя здесь уп его развёрнутым выражением, мы и придём
к важной формуле:
« = 1 + ¥ + ^ + ¥ + -- + 4г + 5ПГ· <7>
которая послужит отправной точкой для вычисления е.
Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый
из оставленных членов его десятичным приближением, мы и
получим приближённое значение для е.
Поставим себе задачей с помощью формулы (7)
вычислить е, скажем, с точностью до j~. Прежде всего, нужно
η —ί- 9 1
* Так как (это легко проверить) -—, ,.. < —
г (л-)-1)2 η

37]
§ 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА
97
установить, каким взять число η (которое находится в нашем
распоряжении), чтобы осуществить эту точность.
Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам
(см. прилагаемую табличку), мы видим, что при η =10
«дополнительный» член формулы (7) будет уже
І^юіЖ<0'00000003·
так что, отбрасывая его, мы делаем погрешность, значительно
меньшую поставленной границы. Остановимся же на этом
значении п. Каждый из остальных членов обратим в
десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так,
чтобы погрешность по абсолютной величине была1 меньше
половины единицы на восьмом месте, т. е. меньше — —. Мы
свели результаты вычислений в
табличку. Рядом с приближённым числом 2, 000 ООи 00
поставлен знак (-\- или —),
указывающий на знак поправки, ~ =■. 0 500 01)0 00
которую необходимо было бы при- -^ ' ,
бавить для восстановления точного ι
числа. ' ^ = 0,16666667-
Итак, как мы видим, поправка
на отбрасывание дополнительного -^ = 0,041666 67 —
члена меньше -jjrj. Учитывая теперь ,
ш , -Ег =0,008 333 33 +
еще и поправки на округление (с их .5! '
знаками), легко сообразить, что сум- ■
марная поправка к полученному — = 0,001 388 89 —
приближённому значению числа е
лежит между -1 — о, 000 198 41 +
__ з ι А
Юч и "Г 108- J_
7!
= 0,000 024 80 +
8!
Отсюда само число е содержится
между дробями -^- = 0,000 002 76-
2,718 281 78 и 2, 718 281 86,
9!
I- = 0,000 000 28-
так что можно положить _
е= 2, 718 281 8*о,ооооооі. 2,718 281 81
7 Γ. Μ. Φ тхтенгольц

98 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [38
Отметим попутно, что та же формула (7) может служить
и для доказательства иррациональности числа е.
Рассуждая от противного, попробуем допустить, что е
равно рациональной дроби —; тогда, если именно для
этого я написать формулу (7), будем иметь
ΐ = 1 + π + ιτ+··· + π+^ (°<β<ι>.
Умножив обе части этого равенства на п\, по сокращении
знаменателей всех дробей, кроме последней, мы
получим слева целое число, а справа — целое число
с дробью —, что невозможно. Полученное противоречие и
доказывает то, что требовалось.
38. Лемма о вложенных промежутках. В заключение
этого параграфа, посвященного монотонной варианте,
остановимся на сопоставлении двух таких вариант, изменяющихся
«навстречу» одна другой:
Пусть даны монотонно возрастающая варианта хп и
монотонно убывающая варианта уп, причём всегда
*п<Ук- (8)
Если их разность уп — хп стремится к О, то обе
варианты имеют общий конечный предел:
с = lim хп = lira уЛ.
Действительно, при всех значениях η имеем: Уп^Уѵ а
значит, ввиду (8), и *п<.у, (л=1,2, 3,...).
Возрастающая переменная хп оказывается ограниченной сверху,
следовательно, она имеет конечный предел
с=1ітд: .
Λ
Аналогично, для убывающей переменной уп будем иметь
Уп>*п2**ѵ
так что и она стремится к конечному пределу
с'==\ітуп.
Но, по теореме 1°, 30, разность обоих пределов
с' — с = \іт(уп~хп),

38]
§ 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА
99
т. е. но условию равна 0, так что с'~с; это и
требовалось доказать.
Доказанному утверждению можно придать другую форму,
в которой оно чаще применяется.
Назовём промежутком [а, Ь] (где а<^Ь) множество
всех чисел (или, как говорят, с<точек>) х, удовлетворяющих
неравенствам
а^лг^ b.
Числа («точки») а к b называются, соответственно, левым
и правым концами промежутка, а их разность b — а —
длиной промежутка. Нетрудно видеть, что на числовой оси
промежутку отвечает отрезок (той же длины).
Условимся говорить, что промежуток [а\ Ь'] содержится
в промежутке [а, Ь] или вложен в него, если все точки
первого промежутка принадлежат второму или, что то же
самое, если
а^а' <^b' <fr.
Геометрический смысл этого ясен.
Пусть имеется бесконечная последовательность
вложенных один в другой промежутков
\av ftj], [α2, b.2], ..., [α„, bn], ,..,
так что каждый последующий содержится в предыдущем,
причём длины этих промежутков стремятся к 0 с
возрастанием п:
\іт(Ьп~ап) = 0.
Тогда концы ап и Ьп промежутков (с разных сторон)
стремятся к общему пределу
с = liman = lim bn,
который представляет единственную точку, общую всем
промежуткам.
Это есть лишь перефразировка доказанной выше теоремы:
согласно условию,
так что левый конец ап и правый конец Ьп я-го
промежутка играют здесь роль монотонных вариант хп и уп.
7*

100
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[39
Так как ап стремится к с возрастая, а і, — убывая, то
<г„<с<г>„ (л=1,2, 3,...),
т. е. точка с, действительно, принадлежит всем нашим
промежуткам. В то же время другой, отличной от с, точки с'
.с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы
*я-вя>|е'-с|>0
и длина л-го промежутка не могла бы стремиться к 0.
Впоследствии нам не раз придётся опираться на это
предложение, которое будем называть «леммой о вложенных
промежутках».
§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы.
39. Принцип сходимости. Пусть задана варианта хп,
пробегающая последовательность значений
ДГр Х%, . . . , Хи, . . . , ХцГ, · · · \ *)
Займёмся, наконец, вопросом об общем признаке
существования конечного предела для этой варианты.
Само определение предела для этой цели служить не может,
ибо в нём фигурирует уже тот предел, о существовании
которого идёт речь. Мы нуждаемся в признаке, который
использовал бы лишь то, что нам дано, а именно — последовательность
О) значений варианты.
Поставленную задачу решает следующая замечательная
теорема, принадлежащая чешскому математику Больцано
(В. Bolzano) и французскому математику К о ши (A. L. Cauchy);
её называют часто принципом сходимости.
Теорема Больцано-Коши. Для того чтобы варианта хп
вообще имела конечный предел; необходимо и
достаточно, чтобы для каждого числа ε ^> 0 существовал такой
номер Ν, чтобы неравенство
| *„-*,., |< е (2)
выполнялось, лишь только п~^> N и η'~^>Ν.
Как видит читатель, суть дела здесь в том, чтобы
значения переменной между собой безгранично сближались
по мере возрастания их номеров. Обратимся к
доказательству.

39] § 4. принцип сходимости, частичные пределы 101
Необходимость. Пусть варианта хп имеет
определённый конечный предел, скажем, а. По самому определению
предела [23], каково бы ни было число ε^>0, по числу ^-
найдётся такой номер Ν, что для я ^> N всегда имеет место
неравенство
K-a|<f
Возьмём теперь любые два номера я^>N и n'~^>N; для
них одновременно будет
\*п — а\<ъ и \а—·*«'!<■§■·
откуда
I хп — х« Ί = I (х„ — а) 4- (л — хг.і) і *s
< Ι χη- a! 4-1a — *«> К14-1 = ε.
Этим необходимость условия доказана. Значительно труднее
доказать его
'Достаточность. Пусть условие теоремы выполнено;
требуется установить, что тогда для варианты хп существует
определённый конечный предел.
С этой целью произведём в области всех вещественных
чисел сечение по следующему правилу. В нижний класс А
отнесём каждое такое вещественное число а, для которого,
начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
хп>а-
В верхний же класс А' отнесём все остальные (т. е. не
попавшие в А) вещественные числа а!.
Прежде всего, убедимся в непустоте этих классов,
используя для этого условие теоремы. Задавшись произвольным
числом s^>0, возьмём соответствующий ему (в указанном там
смысле) номер N Если л^> N и л'^>/Ѵ, то выполняется (2),
откуда
χη' — 3<χ„<χ„, + ε. (3)
Теперь мы видим, что каждое число хпі — г (где п' ^> Ν) в
отдельности относится к классу Л, ибо для достаточно больших «-
(именно, для я^> Ν) хп его превосходит. С другой стороны,

102
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[*0
так как (для тех же п) хп оказывается меньшим, чем любое
из чисел вида χηι-\-ε (при η'~^>Ν), то ни одно такое число
заведомо не может принадлежать А и, следовательно,
относится к классу А'.
Правило, определяющее классы А и А', так
сформулировано, что из него непосредственно ясно, что каждое
вещественное число попадает в один и только один из этих
классов. Вместе с тем, каждое число а (из А) меньше каждого
числа а' (из А'); ведь, при α^>α', варианта хп, начиная
с некоторого места, превзошла бы и а', вопреки определению
чисел а'. Таким образом, произведённое разбиение области
вещественных чисел на классы есть, действительно, сечение.
По основной теореме Дедекннда [9], существует такое
вещественное число а*, которое является пограничным между
числами обоих классов:
Но, как мы отметили, при любом п'~^> N число хпі — ε есть
одно из а, а число хпі -}- ε — одно из я'. Поэтому, в частности,
xrj — е <;а^ χ,.ι-J-ε или \а — χηι| = \χηι — а| ^s
для любого п' ^> N. По определению же предела [23], это
и значит, что
а = lim xn.
Теорема доказана.
Применения этого признака мы будем не раз встречать
в дальнейшем изложении.
40. Частичные последовательности и частичные
пределы. Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью (1),
какую-либо извлечённую из неё частичную
последовательность (или подпоследовательность)
*Л,> ■*/!,' ХП,< ···' ХПIС ···> (4)
где {пк} есть некоторая последовательность
возрастающих натуральных чисел:
«і</*2<я3 <■ ■·<«*<«*+!<··· (5)
Здесь роль номера, принимающего последовательно все
натуральные значения, играет уже не n, a k; nk же пред-
* В указанной теореме оно было обозначено через β.

40] § 4. ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 103
ставляет собой варианту, принимающую натуральные значения
и, очевидно, стремящуюся к оо при возрастании k.
Если последовательность (1) имеет определенный
предел а (конечный или нет), то тот же предел имеет а
частичная последовательность (4).
Остановимся для примера на случае конечного а. Пусть
для заданного ε^>0 нашлось такое Ν, что при п~^> N уже
выполняется неравенство:
К-зIО·
Ввиду того что nk—<-оо, существует и такое К, что при
k^>K будет nk"^> N. Тогда, при тех же значениях k, будет
выполняться неравенство
!*-* — αΙΟ>
что и доказывает наше утверждение.
[Заметим попутно, что в этом рассуждении мы не
опирались на неравенства (5), т. е. не пользовались монотонностью
варианты nk. Значит, наше утверждение сохраняет силу, по
какому бы закону ни стремилась к -\- оо целочисленная
варианта пк.]
Если для варианты хп или, что то же, для
последовательности (1) нет определённого предела, то это не исключает
возможности существования предела для какой-либо
частичной последовательности (4) или для соответствующей ей
варианты xk = x„h. Такой предел называют час тичным
пределом для варианты хп или последовательности (1)*.
Пусть, например, хя = (— 1)п+1; предела эта варианта не имеет.
Если же заставить η пробегать лишь одни нечётные или одни
четные значения, то частичные последовательности
дга=1, лг8=1 -*3*-ι=Ί ···
и
Х% = — 1, Х^ = — 1, · · ., ATgjfc —· *» · · »
будут иметь пределом, соответственно, I или — I. Эти числа и
являются частичными пределами варианты хп. Аналогично,
варианта хп = (— 1л+1л имеет частичные пределы -f оо и — оо,
а варианта хп = п(~1)п+1 — частичные пределы -j-eo и 0.
* Говоря здесь (и в ближайших п°и°) о пределе варианты или
последовательности, мы имеем в виду либо конечный предел, либо
же — бесконечный, но определённого знака.

104
ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[4«
Легко построить примеры варианты, для которой существует
бесконечное множество различных частичных пределов; вот один
из них. Зададим варианту х„ следующим правилом: если номер л
написан по десятичной системе: ар...ν (где я, β, ..., ѵ —цифры),
то полагаем
хп = 0,*$...ѵ.
Например, .ѵ13 = 0,13, дг4озг> = 0,4035 и т. д. При этом каждая
конечная десятичная дробь, между 0,1 и 1, встречается в ряду
значений нашей варианты бесконечное множество раз: например,
0,217 — на 217-м месте, а также на 2170-м, 21700-м и т.д.
Отсюда сразу следует, что каждая конечная десятичная
дробь между 0,1 и 1 будет служить частичным пределом для
нашей варианты. Но если взять и любое другое вещественное
число а в этих границах, то стоит лишь представить его в виде
бесконечной десятичной дроби [8]:
α ■..-_0,i1ia...iA... faisl),
чтобы стало ясно, что частичная последовательность
xrt .= 0,/·,, хм,-~0,сіс2, .... xcic,-..ck = 0,ciet...c)c, ...
имеет именно это число а своим пределом. Таким образом, в
рассматриваемом случае частичными пределами последовательности
заполняется весь промежуток [0,1; 1].
Всегда ли для варианты хп существуют ч астич ные
пределы? На этот вопрос легко ответить утвердительно в случае,
когда множество {хп} не ограничено. Пусть, например, оно
не ограничено сверху; тогда для каждого натурального k
найцётся в ряду (1) член х„к, больший, чем k:
xnk>k (£ = 1,2,3,...)
(причём легко озаботиться и тем, чтобы номера nk возрастали
вместе с k). Частичная последовательность
Хп,> хп,> хаг> · ■ -> *'*> ■ · ·'
очевидно, будет иметь пределом-j-oo; это и есть частичный
предел для нашей варианты. ,_
Утвердительный ответ можно дать и в случае ограниченной
варианты; но это требует более тонких соображений, которые
мы приведём в следующем п°.
41. Теорема Больцано-Вейерштрасса (В. Bolzano-C. Wei-
erstrass). Из любой ограниченной
последовательности (1) всегда можно извлечь такую частичную
последовательность (4), которая сходилась бы к конечному пределу.

41] § 4. принцип сходимости, частичные пределы 105·
(Эта формулировка не исключает возможности и равных
чисел в составе данной последовательности, что удобно в
приложениях.)
Доказательство. Пусть все числа хп заключены между
границами а и Ь. Разделим этот промежуток [а, Ь] пополам,
тогда хоть в одной половине будет содержаться
бесконечное множество элементов данной последовательности,
ибо, в противном случае, и во всём промежутке [а, Ь] этих
элементов содержалось бы конечное число, что невозможно.
Итак, пусть [аѵ bx] будет та из половин, которая содержит
бесконечное множество чисел хп (или, если обе половины таковы,,
то — любая из них).
Аналогично, из промежутка [av bx] выделим его полозину
[а2, Ьг] —ι под условием, чтобы в ней содержалось
бесконечное множество чисел хп, и т. д. Продолжая этот процесс
до бесконечности, на k-Ά стадии его выделим промежуток
[ак, bk], также содержащий бесконечное множество
чисел хп.
Каждый из построенных промежутков (начиная со второго)
содержится в предыдущем, составляя его половину. Кроме
того, длина &-го промежутка, равная
. b — а
стремится к нулю с возрастанием k. Применяя сюда лемму
о вложенных промежутках [38], заключаем, что ak и Ьк
стремятся к общему пределу с.
Теперь построение частичной последовательности {хп \
произведём индуктивно — следующим образом. В качестве хПі
возьмём любой (например, первый) из элементов хп нашей,
последовательности, содержащихся в [я„ Ьг\ В качестве хп
возьмём любой (например, первый) из элементов хп, следу ю-
щих за хПі и содержащихся в [а2,Ь2], и т. д. Вообще,,
в качестве хк„к возьмём любой (например, первый) из элементов
хп, следующих за ранее выделенными хп,хп%, ...
..., хп и содержащихся в [ак, bk]. Возможность такого
выбора, производимого последовательно, обусловливается
именно тем, что каждый из промежутков [ak, b^\ содержит
бесконечное множество чисел xtL, т. е. содержит
элементы хп со сколь угодно большими номерами.

106
ГЛ. Ь ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[41
Далее, так как
то, по теореме 3°, 28, и Iітхпк = с, ч. и тр. д.
Метод, применённый при доказательстве этой теоремы и
■состоящий в последовательном делении пополам
рассматриваемых промежутков, известен под именем метода Больцано;
он часто будет нам полезен и в других случаях.
Теорема Б о льцан о-Вейерштрасса значительно
облегчает доказательство многих трудных теорем, как бы вбирая
и себя основную трудность рассуждения. Для примера
докажем снова с её помощью принцип сходимости; мы имеем
в виду достаточность содержащегося в нём условия,
которая потребовала от нас в п5 39 значительных усилий.
Итак, пусть условие выполнено, и по заданному ε ^> 0
найден такой номер Ν, что для и ^> N и и' ^> Λ/ вмеют место
неравенства (2) или (3). Если п' при этом фиксировать, то из
(3) ясно, что варианта хп, во всяком случае, будет
ограниченной: её значения для л ^> N содержатся между числами х„і — е
и лслі-fre, и нетрудно эти границы раздвинуть так, чтобы
охватить и первые N значений: хѵ хг> , χΝ.
Тогда, по только что доказанной теореме, можно выделить
частичную последовательность {хг,ц}, сходящуюся к конечному
пределу с:
lim хпк — с.
Покажем, что к этому пределу стремится вообще и варианта
хіГ Можно выбрать k настолько большим, чтобы было
и, одновременно, nk~^>N. Следовательно, в (2) можно взять
іі = пк:
\ха~хпк\<£,
и, сопоставляя оба эти неравенства, окончательно находим
\хп — с|<2s -(Для л>ЛГ),
что и доказывает наше утверждение *.
* Число 2е в такой же мере «произвольно малое» число, как и
t. Если угодно, можно было сначала взять не г, a -r- , тогда мы
здесь получили бы ε. Подѳбные вещи впредь мы будем
предоставлять читателю.

42] § 4. принцип сходимости, частичные пределы 107
42. Наибольший и наименьший пределы. Итак, для
любой варианты хп, будь она ограничена или нет, существуют
частичные пределы. Мы покажем сейчас, что среди этих
частичных пределов необходимо найдутся наибольший и
наименьший; они называются наибольшим и наименьшим
пределами самой варианты хп и обозначаются, соответственно, через
Ijm хп и lim хп .
Теорема. Наибольший и наименьший пределы для варианты
хп всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое
и достаточное для существования предела варианты (в обычном
смысле) *.
Доказательство. Начнём с рассмотрения вопроса о
наибольшем пределе. Мы уже видели выше [40], что если варианта х.
не ограничена сверху, то из последовательности (1) е€ значений
можно выделить такую частичную последовательность {хпЛ, что
lim xnk — + °°·
Таким образом, в этом случае + оо является одним из частичных
пределов варианты и, очевидно, наибольшим из всех возможных,
так что
lim хп = + »·
Предположим же теперь, что варианта хп ограничена сверху:
хя^М (л = 1,2,3...).
Рассмотрим точную верхнюю границу значений хп для л>£:
Mk = sup {jfn}=sup {xk+b **+a>· · ·} *S M.
При возрастании ft значение Mk может разве лишь
уменьшаться, следовательно, по теореме о монотонной варианте [34],
во всяком случае существует предел (при возрастании k до
бесконечности)
конечный или равный —оо.
Случай, когда этот предел есть — оо, также исчерпывается
просто. Для любого Е>0 найдётся такой номер * = W, что
Мц<-Ъ
но для /i>jV, очевидно, xn^MN, так что при указанных
значениях η и подавно
*»<-В.
* Эта теорема, доказательство которой не использует теоремы
Б о л ь ц а н о-В ейерштрасса, перекрывает последнюю.

10S
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[42
А это означает, что существует предел (в обычном смысле)
lim лгя"= — »,
который одновременно будет и наибольшим и наименьшим*.
Остаётся рассмотреть самый важный случай, когда существует
конечный предел:
Iіт Мк~М*;
мы покажем, что это число М* и будет искомым наибольшим
пределом для варианты хп.
С этой целью установим два характерных свойства
числа Λί*.
Если произвольно взять число з > 0, то найдёгся такое k = N1,
что ΜΝι < Λί* -J- ε; так как, при η > Ν', χη*ζΜΑ,„ то и подавно
хп < М* 4- 5. Итак, вот
I свойство числа ЛѴ':: каково бы ни было ε > 0,
существует такой номер Ν', что для всех η > Ы' будет
ха<М* + *.
С другой стороны, при произвольном е > О и любом k будет
jMASsAi*>iW* — г.
Но тогда, по свойству точной верхней границы [10], среди
значений хп с номерами n~k-\-\, k-\-2, k-\~S, ... найдётся такое
значение хп,, что и дг,4, > Λί!: — =. Заменяя произвольно
взятое к на Ν, сформулируем
II свойство числа Λί*: каковы бы ни были ε > 0 и
номер Ν, найдётся значение хп, с номером п' > N такое, что
хя1 > Μ* - s.
(Подчеркнём разницу в формулировках обоих свойств. В
первом случае неравенство выполняется для всех значений хп
сплошь, начиная С некоторого. Во втором же случае
неравенству удовлетворяют лишь отдельные значения хп, среди
которых-, однако, имеются значения со сколь угодно
большими номерами.)
Прежде всего, опираясь на эти свойства, докажем, что число
Ж* служит частичным пределом для варианты хЛ.
Для этого нужно выделить частичную последовательность {-*■„.},
сходящуюся к М*.
Возьмём последовательность положительных чисел б;->-0.
Положив Лі = 1, допустим, что номера
пх — 1 < ла < л3 <...< л(_!
уже выбраны, и покажем, как выбрать /г,-. По I свойству для ε=ε(·
найдём соответствующий номер Ν' = Ν/, такой, что для всех
* При наличии обычного предела варианты все частичные
пределы, с ним совпадают [40].

42] § 4. ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 109
■n>Nj будет лгл<М*4-Е,·. Теперь обратимся ко II свойству,
полагая попрежнему ε = ε,-, а за JV взяв наибольший из номеров
л,·-! и Ν,; этому выбору чисел ζ и N и отвечает номер л'= /?,·.
Для него, с одной стороны,
*я,>Л**—г,,
с другой же, так как nt > N/, одновременно будет и
х«і<М* + ш,.
Отметим, кроме того, что щ >«,-_!.
Для элементов хп построенной таким путём — индуктивно —
последовательности будем иметь
!■»«,—М*|<«/ (' =2. 3,4,...),
так что, действительно, хп.-*-М*.
Наконец, установим, что ни один частичный предел
не может превзойти М*. В самом деле, пусть для
некоторой частичной последовательности іх„Л имеем хп.-+а, так что
а есть один из частичных пределов. По I свойству для достаточно
далёких номеров (уже больших, чем N') будет
*„,<«* + ..
Переходя здесь к пределу, получим β^ΛΙ*-|-ε и, ввиду
произвольности ε, окончательно,
а =£ϊ М*.
Таким образом, М* действительно будет наибольшим из всех
частичных пределов, т. е.
М* — Iіт хп.
Аналогично устанавливается существование наименьшего
иредела. Не повторяя всех рассуждений, отметим следующие два
обстоятельства.
Если этот наименьший предел есть -f- oo, то существует
предел в обычном смысле
Iітп дгя = -}- со.
F-сли же наименьший предел есть конечное число М%,
М* — Нт хи,
то оно обладает свойствами, аналогичными указанным выше для Ж*:
I свойство числа М%: каково бы на было ι > 0,
существует такой номер Ν", что для η > Ν'' будет
II свойство числа M.t: каковы бы на были t > 0 и
номер N, найдётся значение хп„ с номером п" > Ы, такое, что

по
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[42
Обратимся к доказательству заключительного утверждения
теоремы. Если существует предел в обычном смысле слова
!ітл:л
(конечный или бесконечный, но определённого знака), то все
мыслимые частичные пределы с ним сливаются [40], так что
необходимость высказанного условия очевидна.
Предположим теперь, что
lim хп = Iігп хп.
Если их общее значение есть + оо или —. оо, то, как мы видели,
существует предел варианты в обычном смысле и имеет то же
значение.
Пусть, наконец, оба предела конечны:
М* == /И* = а.
Тогда, сопоставляя I свойства чисел АI* и ALS, найдем по наперёд
заданному ε > 0 такой номер УѴ, что для л > N будет
а — t<xn<a-\-s, т. е. \хп — β |< β,
А это и значит, что а есть предел варианты хп в обычном смысле.
Теорема доказана.
Заметим; что с помощью этой теоремы совсем уж просто
доказывается достаточность условия Больцано-Коши
[39]. Именно (если сохранить прежние обозначения), из неравенств
хпі — £ < хп < х„і 4-s (Ддя п и «' > Λ0
непосредственно усматриваем, что наибольший и наименьший
пределы варианты хп конечны и разнятся не более, чем на 2ε,
следовательно, ввиду произвольности ε, совпадают. Отсюда и
вытекает существование конечного предела в обычном смысле.

ГЛАВА ВТОРАЯ.
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§ 1. Понятие функции.
43. Переменная и область её изменения. В п° 22 уже
было дано общее понятие о переменной. Переменная зс
задаётся множеством £Р—{х) тех значений, которые она
способна принять (в рассматриваемом вопросе). Это
множество &, в котором каждое значение χ встречается по разу,
называется областью изменения переменной х. Вообще,
областью изменения переменной может служить любое
числовое множество.
Мы уже упоминали о том, что числа геометрически
истолковываются как точки на (числовой) оси. Область ЗГ
изменения переменной χ на этой оси изображается в виде
некоторого множества точек. В связи с этим обычно сами
числовые значения переменной называют точками.
Часто приходится иметь дело с переменной п, для которой
областью изменения является множество <jJ\P всех натуральных
чисел. Для варианты хп = ~*~ *"~ областью изменения
будет множество дробей вида ~— (при /н=1, 2, 3, ...) с
присоединением числа 0; для постоянной величины вся область
изменения сведётся к одному числу.
Однако в анализе обычно изучаются переменные,
изменяющиеся, как говорят, непрерывным или сплошным
образом: их прообразом являются физические величины —время,
путь, проходимый движущейся точкой, и т. п. Областью
изменения подобной переменной служит числовой промежуток.
Чаще всего это будет конечный промежуток, ограниченный
двумя вещественными числами о и Ь (а<^Ь) — его концами,
которые сами могут быть включены в его состав или нет.

112 гл. и. функции одной переменной [44
В зависимости от этого мы будем различать
замкнутый промежуток [а, Ь]: а^х ^Ь
(оба конца включены);
і (а,Ь\. а<Сх^Ь
полуоткрытые промежутки < > .1 ji ~? .
(лишь один конец включён);
открытый промежуток (а, Ь): а<^х<^Ь
(ни один конец не включён).
.Длиной промежутка во всех случаях называется число b — а.
Геометрическим аналогом числового промежутка является,
как легко понять, отрезок числовой оси, причём — в
зависимости от типа промежутка — и к отрезку концы его
приключаются или нет.
Приходится рассматривать и бесконечные промежутки,
у которых одним из концов или обоими служат
«несобственные числа» — оо, -f-oo. Обозначения их аналогичны
приведённым выше. Например, (—οο,-f-oo) есть множество всех
вещественных чисел; (а, -}- оо) означает множество чисел х,
удовлетворяющих неравенству х~^>а; промежуток (—оо, Ь]
определяется неравенством χ ^ Ь. Геометрически бесконечные
промежутки изображаются в виде бесконечной в обе стороны
прямой или луча.
44. Функциональная зависимость между
переменными. Примеры. Главным предметом изучения в математическом
анализе является, однако, не изменение одной переменной
самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими
переменными при их совместном изменении. Здесь мы
ограничимся простейшим случаем двух переменных.
В различных областях науки и жизни — в самой
математике, в физике, в технике — читатель не раз встречал такие
совместно изменяющиеся переменные. Они не могут
зараз принимать любую пару значений (из своих областей
изменения): если одной из них (независимой
переменной) придано конкретное значение, то этим уже
определяется и значение другой (зависимой переменной
или функции). Приведём несколько примеров.
1) Площадь Q круга есть функция от его радиуса R; её
значение может быть вычислено по заданному значению
радиуса с помощью известной формулы:
Q=tiRs.

44]
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
113
2) В случае свободного падения тяжёлой материальной
точки—при отсутствии сопротивления — время t (сек.),
отсчитываемое от начала движения, и пройденный за это
время путь s (м) связаны уравнением:
S 2 '
где #=9,81-^— есть ускорение силы тяжести. Отсюда и
определяется значение s, соответствующее взятому моменту к
путь s является функцией от протекшего времени /.
3) Рассмотрим некоторую массу (идеального) газа,
содержащуюся под поршнем цилиндра. В предположении, что
температура сохраняется неизменной, объём ν (л) и давление
ρ (атм) этой массы газа подчиняются закону Бойля-Ма-
р и о тта:
pv = c = const.
Если произвольно изменять ѵ, то ρ как функция от ν будет
всякий раз однозначно определиться по формуле
с
4) Наконец, остановимся ещё на зависимости давления
воздуха ρ (атм) от высоты места h (м) над уровнем моря.
В физике выводится барометрическая формула:
ρ =Рйе-кН,
где р0 — давление на уровне моря, a k — некоторая
постоянная. По этой формуле значение р, как функции от А,
и определяется, лишь только задано значение А.
Заметим тут же, что самый выбор независимой
переменной из числа двух рассматриваемых иногда бывает
безразличен или связан с соображениями простого удобства. В
большинстве же случаев он диктуется целенаправлен ню стью
производимого исследования.
Например, если — в последнем примере — связь между
давлением ρ и высотой h используется для того, чтобы дать
возможность лётчику по наблюдаемому давлению судить
о достигнутой высоте, то естественно обменять роли
переменных и барометрическую формулу представить в виде
*-і*5-
8 Г. М. Фихтенгольц

114 гл. п. функции одной переменной [45
45. Определение понятия функции. Отвлечёмся теперь,
как обычно, от физического смысла рассматриваемых величин
и дадим точное общее определение понятия функции —
одного из основных понятий математического анализа.
Пусть даны две переменные χ ay с областями изменения
J и 2/, Предположим, что по условиям вопроса переменной χ
может быть приписано произвольное значение из области SC
без каких-либо ограничений. Тогда переменная у
называется функцией от переменной χ в области её изменения
.У, если по некоторому правилу или закону каждому
значению χ из SC ставится β соответствие одно
определённое значение у {из &).
Независимая переменная χ называется также аргументом
функции.
В этом определении существенны два момента: во-первых,
указание области 5£ изменения аргумента χ (её называют
областью определения функции) и, во-вторых, установление
правила или закона соответствия между значениями χ и у,
(Область 2/ изменения функции у обычно не указывается,
поскольку самый закон соответствия уже определяет
множество принимаемых функцией значений.)
Можно в определении понятия функции стать на более
общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению χ
из SC отвечало не одно, а несколько значений у (и даже
бесконечное множество их). В подобных случаях функцию
называют многозначной, в отличие от однозначной
функции, определённой выше. Впрочем, в курсе анализа,
стоящем на точке зрения вещественной переменной, избегают
многозначных функций, и впредь, говоря о функции, если
не оговорено противное, мы будем разуметь однозначную
функцию.
Для указания того факта, что у есть функция от х,
пишут:
y=f{x), У=у(х), y = F(x) и т. п.*.
Буквы /, φ, Ρ,.,, характеризуют именно то правило, по
которому получается значение у, отвечающее заданному х.
Поэтому, если одновременно рассматриваются различные
функции от одного и того же аргумента л:, связанные с
* Произносится эта запись следующим образом: «игрек равно
эф от икс», «игрек равно фи от икс», и т. д.

45]
§ 1. понятии функции
По
различными законами соответствия, их не следует
обозначать одной и той же буквой.
Хотя именно буква «эф» (в различных алфавитах) связана
со словом «функция», но для обозначения функциональной
зависимости, разумеется, может применяться и любая другая
буква; иногда даже повторяют ту же букву у: у—у (χ)
В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при
функции, например, ух. Под этот" тин подходит привычное
нам обозначение варианты хп, которая является (как мы
теперь можем сказать) функцией от «независимой переменной»
п, пробегающей ряд натуральных чисел Jf = {η }. Аналогично
и обозначение /V, для номера N (фигурирующего в
определении предела варианты, 23), подчёркивающее его
зависимость от ε, и т. д.
Если, рассматривая функцию, скажем, у -~f(x), мы хотим
отметить её частное значение, которое отвечает выбранному
частному значению х, равному χϋ, то для обозначения его
употребляют символ: f(x0). Например, если
/ (*)=трзгг· е№=γ. h (") = ѴТ=Т\...,
то /(1) означает численное значение функции f(x) при χ = I,
т. е. попросту число -χ, аналогично, g(δ) означает число 2,
h Ι -ξ- \ — число -=·, и т. п.
Обратимся теперь к самому правилу или закону
соответствия между значениями переменных, которое
составляет сущность понятия функциональной зависимости.
Правило это может быть весьма разнообразной природы,
поскольку оно ничем не было ограничено.
Наиболее простым и естественным представляется
осуществление этого правила в виде аналитического
выражения или формулы, содержащих указание на те операции
или действия над постоянными числами и над значением х,
которые надо произвести, чтобы получить соответствующее
значение у. Этот аналитический способ задания
функции является наиболее важным для математического анализа
(мы ещё вернёмся к нему в следующем п°). С ним читатель
всего лучше знаком из школьного курса математики; наконец,
8*

116 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [45
именно аналитическим способом мы пользовались в
приведённых в п° 44 примерах.
Однако было бы ошибочным думать, что это —
единственный способ, которым может быть задана функция. В самой
математике нередки случаи, когда функция определяется без
помощи формулы. Такова, например, функция Е(х) — «целая
часть числа лг» *. Легко сообразить, что
£(1)=1, £(2,5) ==2, Е(іЛ"3) = 3, £( — тг)=^ — 4 и т. д.,
хотя никакой формулы, выражающей Е{х), у нас нет.
Таковы также и многочисленные «арифметические
функции», т. е. функции от натурального аргумента,
принимающие лишь натуральные же значения. В виде примера
упомянем о «факториале числа я»:
л! = 1 -2-3... п,
а также о функции τ (и), представляющей число
делителей числа л, или о функции φ (я), указывающей, сколько
в ряду 1, 2, 3,...,/і имеется чисел, взаимно
простых с п. Несмотря на своеобразный характер правил,
которыми задаются эти функции, они позволяют вычислять
значения функций с такой же определённостью, как и
формулы. Например, имеем:
т(10) = 4, τ (12) = 6, τ(16) = 5,...
φ(10) = 4, φ(12) = 4, φ(16) = 8, ...
В естественных науках и в технике зависимость между
величинами часто устанавливается экспериментально или путём
наблюдений. Например, если подвергнуть воду произвольно
выбранному давлению ρ (атм), то на опыте можно определить
соотаетствующую ему температуру 0 (° С) кипения воды: 6 есть
функция от р. Однако эта функциональная зависимость
задаётся не какой-либо формулой, а лишь таблицей, где просто
сопоставлены полученные из опыта данные. Примеры
табличного способа задания функции легко найти в любом
техническом справочнике.
Наконец, упомянем ещё, что в некоторых случаях — при
помощи самопишущих приборов — функциональная
зависимость между физическими величинами задаётся непосредственно
* См. сноску на стр. 57.

46]
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
117
графиком. Например, «индикаторная диаграмма», снимаемая
при помощи индикатора, даёт зависимость между объёмом ν
и давлением ρ пара в цилиндре работающей паровой машины;
«барограмма», доставляемая барографом, представляет
суточный ход атмосферного давления, и т. п.
Мы не входим в подробности относительно табличного
и графического слособов задания функциональной
зависимости, так как ими в математическом анализе не приходится
пользоваться.
46. Аналитический способ задания функции. Сделаем
ряд разъяснительных замечаний по поводу задания функции
аналитическим выражением или формулой, которые
играют в математическом анализе исключительно важную
роль.
1° Прежде всего, какие аналитические операции
или действия могут входить в эти формулы? На первом
месте здесь разумеются все изученные в элементарной алгебре
и тригонометрии операции: арифметические действия,
возвышение в степень (и извлечение корня), логарифмирование,
переход от углов к их тригонометрическим величинам и об--
ратно [см. ниже 48 — 51]. Однако, и это важно подчеркнуть,
к их числу по мере развития наших сведений по анализу
будут присоединяться и другие операции, в первую голову —
предельный переход, с которым читатель уже знаком из
главы I.
Таким образом, полное содержание термина
«аналитическое выражение» или «формула» будет раскрываться лишь
постепенно.
2° Второе замечание относится к области
определения функции аналитическим выражением или формулой.
Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент х,
имеет, так сказать, естественную область применения:
это множество всех тех значений х, для которых оно
сохраняет смысл, т. е. имеет вполне определённое, конечное,
вещественное значение. Разъясним это на простейших
примерах.
Так, для выражения .—т-—, такой областью будет всё
множество вещественных чисел. Для выражения \г\—х2 эта область
сведётся к замкнутому промежутку [— 1,1], за пределами

118 гл. и. функции одной переменной [46
которого значение его перестаёт быть вещественным. Напротив,
выражению , придётся в качестве естественной области
У\ — χ-ζ
применения отнести открытый промежуток (—1, 1), ибо на
концах его знаменатель обращается в 0. Иногда область значений,
для которых выражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных
промежутков: для Υχ*—\ это будут промежутки (—оо,—1] и
1.1, -f оо), для ^ΖΓ] —промежутки (—ос,— 1), {—1, I) и (Ι,-f со);
и т. д. *.
В качестве последнего примера рассмотрим сумму бесконечной
геометрической прогрессии
1 + дг-f х2 + . ■. +хп~1+ ... = lira (1 -f * + *2 + ... + хп~\
Если |*|<1, то, как мы знаем [25, 7)1, этот предел существует
и имеет значение г—— При |*|> 1 сумма я слагаемых
С возрастанием я будет стремиться к оо [27J; то же будет и при
х= 1. Наконец, если χ = —1, то сумма л слагаемых 1 — 1 —}— 1 — ...
,..-}-(—I)"-1, поочерёдно равная то 1, то 0, ни к какому
пределу не стремится. Таким образом, для приведённого аналитического
выражения естественной областью применения будет открытый
промежуток (— 1,1).
В последующем изложении нам придётся рассматривать
как более сложные, так и более общие аналитические
выражения; и мы не раз будем заниматься исследованием свойств
функций, задаваемых подобным выражением во всей области,
где оно сохраняет смысл, т. е. изучением самого
аналитического аппарата.
Однако возможно и другое положение вещей, на что мы
считаем нужным заранее обратить внимание читателя.
Представим себе, что какой-либо конкретный вопрос, в котором
переменная χ по существу дела ограничена областью
изменения ЗГ, привёл к рассмотрению функции f(x),
допускающей аналитическое выражение. Хотя может случиться, что
это выражение имеет смысл и в н е области £Р, выходить за
* Для нас, разумеется, не представляют интереса такие
выражения, которые ни при одном значении χ вообще не имеют
Смысла.

46] § 1. понятие функции· 119
её пределы, разумеется, всё же нельзя. Здесь аналитическое
выражение играет подчинённую, вспомогательную роль.
Например, если, исследуя свободное падение тяжёлой точки
с высоты h над поверхностью земли, мы прибегнем к формуле
S~~ 2
[44, 2)], то нелепо было бы рассматривать отрицательные значения ί
/2Л
—, ибо, как легко видеть,
при г — Т точка уже упадет на землю. И это несмотря на то, что
само выражение -ψ сохраняет смысл для всех вещественных t.
3° Может случиться, что функция определяется не одной и
той же формулой для всех значений аргумента, но для одних —
одной формулой, а для других—другой. Примером такой функции
в промежутке (—οο,-j-oo) может служить функция, определяемая
следующими тремя формулами:
/(*) = !, если|лг|>1 (г. е. если дг> I или χ < — 1),
/ (*) = — 1, если 1 χ ι < 1 (т. е. если — 1 < χ <і 1),
и, наконец, / (х) = 0, если л: = а: 1.
Упомянем ещё о функции Дирихле (Р. О. Lejeune-Dirichlet),
которая определяется так:
χ(Λ:) = 1, если χ рационально,
χ {χ) = 0, если χ иррационально.
Наконец, вместе с Кронекером (L Kronecker) рассмотрим
функцию, которую он назвал «сигнум х» * и обозначил через sgn χ:
sgn;e = l. если jc>0;
sgnA: = —], если лг<0;
sgn 0 = 0.
Впрочем, не следует думать, что есть принципиальная
разница между функцией, задаваемой одной формулой для всех
значений х, и функцией, определение которой использует несколько
формул. Обычно функция, задаваемая несколькими формулами
(правда, ценой некоторого усложнения выражения), может быть
задана и одной.
Например) если привлечь операцию предельного перехода, то
первая из приведённых выше функций, / (х), может быть задана
одной формулой (для в с е х χ зараз):
χΐη 1
* По латыни signura = 3Han.

120 гл. п. функции одной переменной [47
Действительно, при | χ | > 1 степень х-п -* -j- <», а обратное ей.
выражение стремится к 0 [27], так что
χ;1η 1
lim '——.—, ~ Jim
Х2П
л-2" 4-
= 1.
+
χΖη
При |jc|< 1 степень χ*" -* 0 [25, 6)], и в этом случае
*-'* — 1
lim :
1.
х*п +1
Наконец, при χ = ;£ 1 будет, очевидно, лг3** = 1, откуда
и в пределе получается 0. Все это полностью согласуется с
прежним определением.
47, График функции. Хотя в математическом анализе
функции графически не задают, но к графической
иллюстрации функции прибегают всегда. Лёгкая обозри-
δ—— χ
Черт. 5.
мость и наглядность графика делают его незаменимым
вспомогательным средством исследования свойств функции^
Пусть в некотором промежутке & задана функция у=/ (х)..
Представим себе на плоскости две взаимно перпендикулярные
оси координат — ось χ и ось у. Рассмотрим пару
соответствующих значений хну, где χ взято из
промежутка &, a y^=f[x); образом этой пары на плоскости
служит точка М(х,у), с абсциссой χ и ординатой у. Когда
переменная χ изменяется в пределах своего промежутка, эта
точка описывает некоторую кривую АВ (черт. 5), которая

47]
§ 1. понятна функции
121
и является геометрическим образом нашей функции и
называется её графиком. В этих условиях само уравнение
y—f{x) называют уравнением кривой АВ,
Например, на черт. 6 и 7 изображены графики функций
У-
■■±У\ —х2
(1*1 SD
и у
±Ѵ х% — і;
(і-П ϊ= 1)
читатель узнает в них окружность и равнобочную
гиперболу; Много других примеров графического
изображения функций читатель найдёт в ближайліих номерах.
Черт. 6.
Строится график обычно по точкам. Берут в
промежутке SC ряд близких между собой значений х, вычисляют
по формуле y=f(x) соответствующие значения у:
х-і | х* I
Уг
х\
У\
У:\
I
Л?»
Уп
и наносят на чертёж точки
(ХиУг), (*2>Л)> (х*Уз),
. (хп>У)-
Через эти точки от руки или с помощью лекала проводят
кривую, которая (конечно, лишь с некоторым приближением)
и даёт искомый график. Чем плавнее ход графика и чем
гуще взяты точки на нём, тем точнее начерченная кривая
воспроизводит этот график.

122 гл. п. функции одной переменной [47
Следует заметить, что хотя геометрический образ функции
всегда можно себе «представить», но не всегда этот образ
будет кривой в обычном, интуитивном смысле.
*~х
Черт. 7.
Построим, например, график функции у = Е(х). Так как в
промежутках ..., [—2,-1), (—1,0), [0,1), [1,2), [2,3),... функция
сохраняет постоянные значения ..., —2, —1, О, I, 2,..., то график
f£tx)
ι—г
Черт. 8.
будет состоять из ряда отдельных горизонтальных отрезков,
лишённых своих правых концов (черт. 8) *. Для функции χ (χ) Д и ρ и х л е
* Это обстоятельство символизируется стрелками, которые
своими остриями указывают на точки, не принадлежащие графику.

48]
§ 1. ПОНЯТИИ ФУНКЦИИ
123
график состоит из множества точек с иррациональными
абсциссами на оси χ и множества точек с рациональными
абсциссами на прямой у=1; его и изобразить невозможно.
48. Важнейшие классы функций. Перечислим здесь
некоторые классы функций, получивших название элементарных.
Черт. 9.
1° Целая а дробная рациональные функции.
Функция, представляемая целым относительно буквы χ
полиномом:
у = а0х'' -f ахх '-1 -f... + ап_гх -f an
(ай, аѵ аѵ ... — постоянные), называется целой
рациональной функцией.
Отношение двух таких полиномов;
и — Зр*" + gl*" ~Х + · ■ · + Я«-1* + вц ,
' " *0ДГ'Я -f i^m-l + ... -f &m_і-ϊ + Sm

124 гл. п. функции одной переменной [48
называется дробной рациональной функцией. Она
определена для всех значений х, кроме тех, которые
обращают знаменатель в нуль.
Для примера на черт. 9 даны графики функции у —ах3
(параболы) при различных значениях коэффициента а, а
Черт. 10.
на черт. 10 — графики функции „ѵ = — (равнобочные
гиперболы), также при различных значениях а.
2Э Степенная функция.
Так называется функция вида
y-—x'L,
где μ— любое постоянное вещественное число. При целом μ
получается рациональная функция. При μ дробном мы имеем
здесь радикал. Например, пусть т — натуральное число и
_і_ _
у = х* =Ух;
эта функция определена для всех значений х, если т —
нечётное, и лишь для неотрицательных значений — при т чётном
(в этом случае мы имеем в виду арифметическое
значение радикала). Наконец, если μ — иррациональное число,

48]
§ 1. ПОНЯТИЕ. ФУНКЦИИ
125
мы будем предполагать х^>0 (х = 0 допускается лишь при
μ>0).
Черт. 11.
На черт. 11 и 12 даны графики степенной функции при
различных значениях μ.
^f 7 7 -/ -2-3-Ю ι/-χμ;μ<0
Черт. 12.
3° Показательная функция, т. е. функция вида
У — «х,

126 гл. п. функции одной переменной [48
где а — положительное число (отличное от единицы); χ
принимает любое вещественное значение.
Черт. 13.
Графики показательной функции при различных
значениях а даны на черт. 13.
4° Логарифмическая функция, т. е. функция вида
y=logax,
где а, как и выше, —
положительное число
(отличное от единицы); χ
принимает лишь положительные
значения.
На черт. 14 даны
графики этой функции при
различных значениях а.
5° Тригонометрические
функции:
j/ = sinx, _y = cosx,
y = tsx,
у — ctg χ, у = sec x,
у = esc x.
Черт. 14.
Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы
тригонометрических функций, если их рассматривать как

48]
§ 1. понятич функции
127
мери углов, всегда выражают эта углы о рад а а нал
(поскольку не оговорено противное). Для tg χ и sec χ исклю-
Черг. Ιό.
чаются значения вида (2k -J- Ц·^ . а для ctg* и esc χ —
значения вида Απ (k — целое).
Черт. 16.
Графики функций у—sinx (cosjc) и y = tgx (ctg^)
даны на черт. 15 и 16. Грцфик синуса обычно называют
синусоидой.

128 гл. іі. функции одной перкменной [48
Иной раз, особенно в технических вопросах, представляют
интерес:
6° Гиперболические функции. Так называются функции:
іЬх —
ej — £-дг
ч\\х ех — е.~*
:І1 X ■■
е*-\-е-
ch χ
е* -\-с-
сЬх е*А-е-х
cth χ = ~г- = —
sh χ ех— е-*
(гиперболические синус, косинус, тангенс,
котангенс,...); они определены для всех значений х, исключая
cth χ, который теряет смысл
при jc = 0. Эти функции
проявляют замечательную
аналогию с тригонометрическими
функциями.
¥
Г*
In
Ζ
/
У
/
ι
I
1/
/
ϋ
ι
ψ
\ί
г
4
-ι
^Ν
У,
W
ϊ
4
0
—
\.%
5
<
-""
1
=2=
2
іерт. Ι/.
Черт. 1.8.
Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки!)
с'] (■*■ гЬУ) — СІ1 х · с^.ѵ rb sh χ · sh у,
sh {χ ζξ: у) = sh χ · chy -Ь ch х- sh у,
из которых ιψιι у = х, в частности, следует:
ch-.ν — sh2x—\, ch 2x = ch2*-j- sh2л',
sh 2x = 2 sh χ · ch at.

49] § 1. понятие функции 129
Например, первая из этих формул сводится к легко
проверяемому тождеству:
е*+у -\-e-x-y е*-\-е-х еу-\-е~У , е* — <?-* еУ — е-у
2 2 2 ' 2 2 *
Так же проверяются и остальные.
Графики гиперболических функций изображены на черт. 17
и 18.
49. Понятие обратной функции. Прежде чем перейти
к обратным тригонометрическим функциям, сделаем пояснение
относительно обратных функций вообще.
Предположим, что функция y=f(x) задана в некоторой
области Ж, и пусть & будет множество всех значений,
которые эта функция принимает, когда χ изменяется в пределах
области Ж'. (В нашей практике как Ж, так и 2/ обычно будут
представлять собою промежутки.)
Выберем какое-нибудь значение У—у0 из области ty;
тогда в области Ж необходимо найдётся такое значение
х = х0, при котором наша функция принимает именно
значение _уи, так что
подобных значений х0 может оказаться и несколько. Таким
образом, каждому значению у из & ставится в соответствие
одно или несколько значений х; этим определяется в
области £У однозначная или многозначная функция
x = g(у), которая и называется обратной для функции
y = f(x).
Рассмотрим примеры:
1) Пусть у = ах (а^> 1), где χ изменяется в промежутке
Ж = (—σο,-^-со). Значения у заполняют промежуток Й/ =
= (0-|-сю), причём каждому у из этого промежутка
отвечает, как мы знаем [20], в Ж одно определённое x = \ogay.
8 этом случае обратная функция оказывается однозначной.
2) Наоборот, для функции у=хг, если χ изменять в
промежутке Ж —(—ж, -\-оа), обратная функция будет
двузначной: каждому значению у из промежутка Й/ = [0, -\- со)
отвечают два значения x~±z]/y из SC. Вместо этой
двузначной функции обычно рассматривают раздельно две одно-
9 Г. М. Фихтенгольц

130 гл. и. функции одной переменной [49
значные функции x = -j-j/y и х = — у у («ветви>
двузначной функции). Их можно порознь также считать
обратными для функции у = х2, в предположении лишь, что
область изменения χ ограничена, соответственно,
промежутком [0, -\- оо) или промежутком (— оо, 0].
3) Аналогично, если взять у = ch x, где областью
изменения χ снова является промежуток SC' = (—оо, -j- оо), то,
решая уравнение
ех + е-х _у или ei,_2y.e*_|_i_0
относительно ех, найдём (при у~3*\) два значения
ех=у±:Ѵуі—1 ,
откуда
x = log{y±Vy*—l).
Снова — двузначная функция, которая распадается на две
однозначные ветви, отвечающие порознь изменению χ
от 0 до -j- оо и от — оо до 0.
4) Если же y = shx, то — при любом у — из уравнения
—^ =у или егх — 2у ■ ех — 1=0
найдём лишь одно значение для ех:
так как второе значение — с минусом при корне, как
отрицательное, невозможно и должно быть отброшено. Отсюда
x=\og{y+Vfip\),
так что здесь обратная функция однозначна.
Заметим, что по графику функции y=f (x) легко
сообразить, будет ли обратная для неё функция x = g(y) однозначной
или нет. Первый случай представится, если любая прямая,
параллельная оси х, пересекает этот график разве лишь
в одной точке. Наоборот, если некоторые из таких прямых
пересекают график внескольких точках, обратная функция
будет многозначной. В этом случае по графику же легко
разбить промежуток изменения χ на части так, чтобы каждой
части уже отвечала однозначная «ветвь» этой функции. На-

50]
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
131
пример, по одному взгляду на параболу черт. 4, которая
служит графиком функции у = х2, ясно, что обратная ей
функция двузначна и что для получения однозначных «ветвей»
достаточно раздельно рассматривать правую и левую части
этой параболы, т. е. положительные и отрицательные
значения х*.
Если функция x = g{y) является обратной для функции
y=f(x), то, очевидно, графики обеих функций совпадают.
Можно, однако, потребовать,
чтобы и аргумент обратной
функции обозначался буквой х,
т. е. вместо функции x = g{y)
рассматривать y — g(x). Если
при этом попрежнему
значения χ откладывать по
горизонтальной оси, а значения у —по
вертикальной, то график
придётся преобразовать. Так как
дело сводится к изменению
ролей оси χ и оси у, то всего Черт. 19.
проще для осуществления этого
повернуть плоскость чертежа хОу на 180° вокруг
биссектрисы первого координатного угла (черт. 19).
Таким образом, график y = g(x) получается как
зеркальное отражение графика y=f(x) относительно
этой биссектрисы. По черт. 13 и 14, например, сразу видно,
что они именно так получены один из другого. Точно так же,
исходя из высказанных соображений, легко объяснить
симметричность (относительно биссектрисы) каждого из черт. 11
и 12.
50. Обратные тригонометрические функции. В
дополнение к тем классам элементарных функций, которые были
упомянуты в п° 48, рассмотрим теперь
7° Обратные тригонометрические функции:
_y = arcsin;c, j>=arccosj:, _y=arcigAr,
^ = arcctg*, (y = arcscx, y = arzzscx).
* Ниже [82] мы вернёмся ещё к вопросу о существования и
однозначности обратной функции.
9*

132 гл. п. функции одной переменной [50
Черт. 20.
Остановимся сначала на первой из
них. Функция у = sin χ определена в
промежутке & — {—оо,-)-00)» причём
её значения заполняют сплошь
промежуток 2/ = [—1,1]. Параллель оси χ
пересекает синусоиду, т. е. график
функции _y=sinχ (черт. 15) в
бесконечном множестве точек; иначе
говоря, каждому значению у из
промежутка [— 1,1 ] отвечает
бесконечное множество значений х.
Поэтому обратная функция, которую
обозначают так:
x=Arcsin_y*,
будет (бесконечно-)многозначной.
Обычно рассматривают лишь одну
«ветвь» этой функции, отвечающую
к π
изменению χ между — "Т и Τ ; каж"
дому у из [—1,1] в этих пределах
отвечает одно значение х; его
обозначают через
xi=arcsin_y
и называют главным значением
арксинуса.
Поворачивая синусоиду около
биссектрисы первого координатного угла
(<:ерт. 20), получаем график
многозначной функции у = Arcsinx;
жирно выделен график главной
ветви её у = arcsinx, которая
однозначно определена в промежутке
[—1,1] значений χ и притом
удовлетворяет неравенству
π ^. ■ ^ я
— -^ ig arcsinxsgy ,
которое характеризует её среди других ветвей.
* Мы уже подчёркивали в своё время [48,5°], что аргумент χ
тригонометрической функции выражает угол в радиана.х; ра-

50]
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
133
Вспоминая из элементарной тригонометрии, как
выражаются все значения угла, имеющего данный синус, через
одно из этих значений, легко написать формулы, дающие
все значения арксинуса:
Агсбіплг = arcsin x-\- 2kn
{k = 0,±\,±T,...).
или (2k-\-\)rx — arcsin*.
Исходя из теоремы сложения для синуса
sin(a-f-j5) —sina-cos |5-(-cosa-sin β,
можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно,
положим здесь а — arcsin χ, ^ = arcsin_y (где χ и у лежат
между —1 и -j-I); тогда
sina = x, sinji=_y; cosa = V\—*2, cosj5=Kl—_у2,
причём корни берутся со знаком плюс, так как углы α и β,
по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат
между —-я- и -к, так что косинусы их положительны. Итак,
sin {а-\-$) = хѴ\ —уг-\-уѴ\ —х2, откуда
a-j- p = arcsin χ-{- arcsin y =
= Arcsin {xYx—y^yYx —χή.
Формула может быть написана проще:
arcsinx-f- arcsin у = arcsin(jc]/l —y2-{-yV^ —х")
лишь втом случае, если и a-j-β не выходит из про-
[« 1С
— Ϊ' "2
Это условие автоматически
выполняется, если аргументы χ и у (а с ними α н β) имеют
разные знаки. В случае же одинаковых знаков высказанное
условие, как легко видеть, равносильно такому:
Подобные же рассуждения применимы к функции у= cos.v
(—сю <І*<С~Ь °°)· И здесь обратная функция
_y = Arccos.* (—l^xsgl)
зумеется и здесь значения обратных тригонометрических функций
все выражены в радианах.

134 гл. п. функции одной переменной [50
оказывается (бесконечно-)многозначной (см. черт. 15). Для
выделения однозначной ветви, её подчиняют условию:
О tg: arccos χ <: тс;
это есть главная ветвь арккосинуса.
Функция arccos χ связана с arcsin x очевидным
соотношением
arccos χ = тг — arcsin χ;
действительно, не только косинус угла -ц — arcsin x равен
sin (arcsin χ) — χ, но и сам угол содержится именно между О
и π. Остальные значения Arccos x выражаются через главное
его значение по формуле
Arccos χ = 2Атс±arccos x (k=0, -4-1, 4-2,...).
Функция y = tgx определена для всех значений х, кроме
значений χ = (2k -\- 1) -^ (к = 0, + 1, + 2,...). Значения у
заполняют здесь промежуток (—οο,-j-cc), причём каждому у
снова соответствует бесконечное множество значений χ
(см. черт. 16). Поэтому обратная функция x = Arctgy,
заданная в промежутке (—с»,-)-ее), будет
(бесконечно-многозначной. На черт. 21 изображён график функции y = Kxcigx,
полученный поворотом на 180° вокруг биссектрисы первого
координатного угла графика функции y — igx. За главное
значение арктангенса, arctg-c, принимают то из значений
этой многозначной функции, которое удовлетворяет
неравенствам
— 2-<arctg^r<-5·.
Таким путём определяется однозначная функция —
главная ветвь арктангенса, заданная для всех значений х.
Остальные значения арктангенса, как легко показать,
получаются так:
Arctg* = arctgJC-j-&Tt (k— 0,+ 1,±2,. ,.)·
Теорема сложения для тангенса:
*<«+»-г*Й&.

§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
135
если положить a=arctg;e, β = arctg_y, даёт (при хуф\)
так что
1 ~ху
α + β = arctg * -f- arctg j/=Arctgy^b^-
+~x
Черт. 21.
И в данном случае равенство приводится к простому виду
arctgjc + arcig^ = arctg *_L ,
лишь если —-£<α-}-β<·|-, т. е. если *у<1.

136 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [51
Нетрудно установить прямую связь между функциями
arctg ;с и arcsin-с:
arctgx = arcsin -j*z или arcsinχ = arctg — .
s Vl+x* ьуі —л»
(-со < X < Η-ос) (-1<*<+1)
Например, если положить а = arctg лг, так что iga=x, то
sin α = -—^" = —-==, причём корень берётся со знаком
У l+tg>« Vl-1-дг»
плюс, потому что — т *С α *С Τ · 0ТСЮІ*а и вытекает, что
л:
α = arcsin , .
Vl+χ*
Упомянем ещё о функции Arcctgx (—оо<^л:<^-|-оо); её
главное значение определяется неравенствами,
0<^arcctgx <^тт
и связано с arctgx соотношением
arcctg χ = ~ — arctg χ.
Остальные значения арккотангенса имеют вид
Arcctg л; = arcctg л:-f-βπ (6 = 0, ± 1, ±2,...).
На функциях arcscjc (—<х><^х s^—1 и 1^лг<^-[-оо)
и arccscx (те же промежутки изменения) останавливаться
не будем, предоставляя читателю самому в них разобраться.
51. Суперпозиция функций. Заключительные
замечания. Познакомимся с понятием суперпозиции (или
наложения) функций, которая состоит в том, что вместо
аргумента данной функции подставляется другая функция
(от другого аргумента). Например, суперпозиция функций sin χ
и log .у даёт функцию log sin x; аналогично получаются и
функции
j/l —Xs, arctg
и т.
В общем виде, предположим, что функция y=f(x)
определена для χ в области №={х}, причём значения её
все содержатся в области у={у). Пусть, далее,
функция ζ = φ (_у) определена именно в области <&. Тогда

511
§ t. ПОНЯТИ?. ФУНКЦИИ
137
переменная ζ, как говорят, через посредство у, и.
сама является функцией от х:
По заданному χ из SC сначала находят соответствующее ему
(по правилу, характеризуемому знаком /) значение у из г1',,
а затем устанавливают соответствующее этому значению у
(по правилу, характеризуемому знаком φ) значение г; его·
и считают соответствующим выбранному х. Полученная
функция от функции или сложная функция и есть результат
суперпозиции функций f (х) и φ (у).
Предположение, что значения функции f{x) не выходят за
пределы той области ЧУ, в которой определена функция φ (у),
весьма существенно: если его опустить, то может
получиться и нелепость. Положим, например, z = arcsln_y,
а у = Х'-\-2; тогда выражение
z = arcsin(x2-f 2)
лишено смысла, так как аргумент арксинуса может
изменяться лишь в промежутке [—Ι,-j-l], в то время κ·ικ
значения функции х2-\-2 все больше единицы!
Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что
характеристика функции, как сложной, связана не с природой
функциональной зависимости ζ от х, а лишь со способом
задания этой зависимости. Например, пусть z = \'rl—-у"*
для у в [—1,1], a ^ = sinx для χ в — ·£, у . Тогда
ζ = J/"l — sin2 χ = cos χ.
Здесь функция cosx оказалась заданной в виде сложной
функции.
Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции
функций, мы можем точно охарактеризовать простейший
из тех классов функций, которые изучаются в анализе: это,
прежде всего, перечисленные выше элементарные
функции 1°—7°, а затем — все те, которые из них получаются
с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций,
последовательно применённых конечное число раз. Про них
говорят, что они выражаются через элементарные в
конечном виде; иногда их все также называют
элементарными.

138 гл. и. функции одной переменной [52
Впоследствии, овладев более сложным аналитическим
аппаратом (бесконечные ряды, интегралы), мы познакомимся
и с другими функциями, также играющими важную роль
в анализе, но уже выходящими за пределы класса
элементарных функций.
§ 2. Предел функции.
52. Определение предела функции. Рассмотрим
числовое множество 3? = {χ}. Тонка а называется точкой
сгущения этого множества, если в любой близости
от а содержатся значения χ из £Р, отличные от а.
Чтобы выразить это определение в более точных терминах,
введём понятие окрестности точки а: так называется
любой открытый промежуток (а — δ, а -\- Ь) с центром в
точке а. Теперь можно сказать, что точка а будет т о ч к о й
сгущения множества 9С-, если в каждой её окрестности
содержатся отличные от а значения χ из SC.
Сама точка сгущения при этом может принадлежать SC
или нет.
Пусть в области SC', для которой а является точкой
сгущения, задана некоторая функция f(x}. Представляет интерес
поведение этой функции при приближении χ к а. Говорят,
что функция /(х) имеет пределом число А при
стремлении χ к а (или в точке а), если для каждого числа
£^>0 найдётся такое число Ь^>0, что
\f(x) — Α\<^ε, лишь только \х — а|<С& (1)
{где χ взято из £С и о τ лично от а) *. Обозначают этот
факт так:
lira f{x) —А. (2)
Если область 9С такова, что в любой близости от а, но
справа от а, найдутся отличные от а значения χ из £С
(в этом случае точку а называют правой точкой сгущения
для X), то можно специализировать только-что данное
определение предела функции, ограничившись лишь значениями
х~^>а. В этом случае предел функции, если он существует,
* Именно из того, что а есть точка сгущения для X, явствует,
что такие значения χ в окрестности (а — 8, a-{-S) точки а
наверное существуют.

S2] § 2. предел функции 139
называется пределом функции f(x) при стремлении
χ к а справа или, короче, пределом {в точке а) справа
и обозначается символом
lim f(x) или /(а-1-0)*.
х-ю±0
Аналогично устанавливается понятие о левой точке
сгущения и о пределе функции при стремлении χ к а
слева или о пределе (в точке а) слева:
lim f{x) или /(α_0)*.
х-Ю—0
Если точка а является одновременно точкой сгущения
для &, и правой, и левой, то, как легко установить, для
существования предела (2) необходимо и достаточно
существование порознь и равенство пределов справа и слева:
lim f{x)= lim f(x) = A.
x~*a-\~0 x~*a—0
При стремлении х к конечному пределу а, функция может
иметь и бесконечный предел (без знака или определённого
знака). Именно, функция f(x) имеет пределом оо при
стремлении χ к а (в точке а), если для каждого
числа Е^>0 найдётся такое число δ^>0, что
|/(*)|^>Е, лишь только \х — я|<С^ (3)
(где, как и всегда, χ взято из X и отлично от а).
Если при этом функция f (х) для достаточно близких к а
значений χ сохраняет положительный (отрицательный) знак,
так что первое из неравенств (3) может быть заменено более
узким:
/<*)>Е (/(*)<-Е),
то говорят о пределе 4 °° (— °°')·
Запись этих фактов аналогична (2):
1іяі/(лг) = оо (4°°> —°°)·
х-ю
Для рассматриваемого случая могут быть повторены
сделанные выше замечания относительно односторонних пределов
справа и слева.
* Если само в=0, то вместо O-j-О (О — О) пишут просто
40 (-0).

140 гл. п. функции одной переменной [53
Если множество .#"={*} содержит сколь угодно
большие [по абсолютной величине) значения х, то говорят,
что оо является /почкой сгущения для ОС.
В этом предположении: функция /(х) при
стремлении χ к оо имеет предел А, если, каково бы ни было
число з^>0, для него существует такое число Δ^>0, что
\f(x) — /4|<^ε, лишь только |λ;|^>Δ (4)
(где χ берётся из 5€). При этом пишут:
lim/(*) = /!. (5)
Л--ЮО
Если рассматриваются лишь положительные (или лишь
отрицательные) значения х, то говорят о пределе функции
при стремлении χ к -f- оо (или к — оо).
Наконец, легко перефразировать всё сказанное на случай
А = оо, -[-оо или —оо.
Сущность всех этих определений одна и та же: функция
f(x) должна быть сколь угодно «близка» к своему пределу А,
лишь только независимая переменная χ достаточно «близка»
к своему пределу а. Но переменная «близка» к своему
конечному пределу, если разность между ними (по
абсолютной величине) мала, а к бесконечному, если она
сама (но абсолютной величине) велика и притом, когда речь
идёт о бесконечности определённого знака, сохраняет знак
предела.
Ясно, что числа δ (А) во всех случаях зависят от ε (Ε).
Заметим в заключение, что при стремлении функции f(x)
к 0 её называют бесконечно малой; её называют
бесконечно большой, если f(х) стремится к оо. Если
последнее обстоятельство имеет место при χ—>а, то говорят
также, что в точке а функция обращается в
бесконечность.
53. Сведение к случаю варианты. Если рассматривать,
варианту, как функцию от независимой переменной п,
изменяющейся в пределах натурального ряда, то предел этой
функции при п—*оо (или, если угодно, при η—>--(-оо), как
он определён в 52, очевидно, совпадает с пределом варианты,
определённым в 23 и 27 (роль Δ там играет Ν). Таким
образом, предел варианты есть частный случай предела
функции.

53]
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
141
Однако и, обратно, в некотором смысле предел
функции может быть сведён к пределу варианты.
Пусть множество $?-={х) имеет точку сгущения а (здесь
й может быть как конечным числом, так и бесконечностью).
Тогда из X (бесчисленным множеством способов) можно
извлечь такую последовательность
Х\і Х°1 ХЦ> · · · I ХП1 · · . (6)
значений χ (отличных от а), которая имела бы своим
преде л о м а.
Действительно, если а конечно, то, задавшись вариантой
ί., стремящейся к нулю, в каждой окрестности (а — З^, а-\-$и)
(я = 1, 2, 3,...) точки а найдём по точке χ—'χη из 5Р,
отличной от а; так как \хп — а | <^ Ьи, то хп—>■ а. При
бесконечном д зададимся вариантой Δη—>--{-ооидля каждого Дя
найдём значение х = хп из 2£, для которого |jf |^>Δ ;
очевидно, xt,—>-оо, и т. д.
Последовательности (6) значений аргумента отвечает
последовательность значений функции
/(*і), /(*ϊ). /(*з).··.. /W,·.· (7)
Легко усмотреть, что при наличии равенства (2) эта
последовательность всегда будет сходиться к А.
Остановимся для примера на случае конечных а и А.
Если задано произвольное число ε^>0, то сначала
возьмём то число δ^>0, которое ему соответствует в силу
определения предела (2). По числу о, ввиду сходимости
последовательности (6) к а, найдётся j 23] такой номер N, что
для n^>N будет выполняться неравенство \хп — а\ <^Ь,
а следовательно [см. (1)], и \f{xn)—А\<С£· Этим и доказана
сходимость последовательности (7) к А,
Оказывается, что справедливо и обратное утверждение:
Допустим теперь, что какую бы
последовательность (6) (из 3?) с пределом а ни пробегала независимая
переменная х, соответствующая последовательность (7)
значений функции всегда имеет предел А. Тогда это число
А будет пределом функции f(x) — в согласии с
определением в 52.
Ограничимся и здесь случаем конечных а и А. Рассуждая
от противного, предположим, что А не будет пределом
функции в упомянутом смысле. Тогда для некоторого числа

142 гл. п. функции одной переменной [53
s^>0 уже не существовало бы соответствующего δ; τ. е.,
какое бы малое Ь ни взять, всегда найдётся хоть одно
значение переменной х = х' (отличное от а), для которого
\х'—а\<^Ь, но тем не менее \f(x')—Α\^ε.
Возьмём последовательность положительных чисел {£л},
стремящихся к нулю. На основании только что сказанного,
для каждого числа Ь = Ьп найдётся такое значение х' = хп,
что
\х'п — α|<^δΛ, но тем не менее \f{xn)—А\~^г.
Из этих значений, таким образом, составляется некоторая
последов ательность
III I
Х\\ %Ίι Хз> ■ · · > X/it · · · >
для которой
\х'п — а\<К (я=1, 2, 3,...);
так как Ьп—*-0, то х„—>-а.
По допущению теоремы, соответствующая
последовательность значений функции
J(x[), /(*ί), /{х'г),..., f(x'n),...
должна стремиться к А, а это невозможно ввиду того, что
при всех я=1,2,3,... имеем \f{xn) — А\~^г. Полученное
противоречие и доказывает наше утверждение.
Таким образом, мы в сущности приходим ко второму
определению понятия предела функции, которое
в 52 было выражено, так сказать, «на языке ε-δ». Теперь же мы
можем выразить его «на языке последовательностей»,
понимая равенство (2) в том смысле, что для любой
последовательности (6), имеющей предел а, соответствующая
последовательность (7) имеет предел А.
В заключение отметим, что достаточно предположить
одно лишь существование предела для каждой
последовательности (7), отвечающей любой сходящейся к а
последовательности (6), чтобы отсюда уже вытекало
совпадение всех этих пределов. Действительно, допустим,
что для двух последовательностей:
It I пи tl
Χι> x<ty · ■ · ι Χ/ι> · · · и Xi> -^2i · · · ι Xn> · · ·»

541
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
143
стремящихся к а, имели бы
f(x'„Y-+A> и f(x"n)-+A",
где А'=^=А". Тогда, перемежая члены обеих
последовательностей, составим новую последовательность:
I If I И I II
х\, х\, х%, Χι-,..., хп, хп,...;
она, очевидно, стремится к а, поскольку для достаточно·
больших η и хп, и х'п отличаются от а произвольно мало.
В то же время соответствующая последовательность значений
функции:
/(*!), /(*!')> /(*i)> fix'i), .·-, f(x'n), f{Xn),
вопреки предположению, не имеет вовсе предела, так как
частичные последовательности из е2 членов, стоящих на
чётных или нечётных местах, стремятся к различным
пределам [40]. Полученное противоречие и доказывает, что
последовательности вида (7) на деле стремятся все к одному и
тому же пределу.
54. Примеры. 1) Докажем, что
Iіт ах=-\-<х> (прий>1).
«-►-foe
При любом Е>0, достаточно взять A = logaE, чтобы
χ > Λ влекло за собой ах > Е,
что и доказывает наше утверждение *.
Аналогично доказывается, что
lim α* = 0 (при й> 1).
Х-*— 00
Именно, каково бы ни было s >0 (ε<1), если взять Δ =
= '08βγ = — !°gas· т0
при χ < — А необходимо а" < ε.
Если же 0< д< 1, то с помощью преобразования
«■-(тГ
* С более частным результатом
Iішая = -т-оо (α>1)
мы уже имели дело в 27.

Н4 гл. н. функции одной переменной [54
легко установить результаты
lim β*=0, lim ах = -(- оо (при0<я<1).
дс-»+оо х-*—со
2) Установим, что при а > 1
lim logo* = -f- оо, lim loga^r = —оо.
Jf-*-)-Oo *->-j-0
При любом заданном Ε > 0, лишь только ;г>йе, будем иметь:
loga*>E, и аналогично, лишь только 0 < χ < а—е, выполняются
неравенства: 1од0л: < — Е. Этим и доказаны оба соотношения.
3) Имеем, далее,
lim arctg лг =-£-, lim arctg-*-= — JL.
Jt-»-)00 ■* JT-+—CO 2
Остановимся для примера на первом пределе. При любом
■s>0, достаточно взять Jr>tg(— — ε), чтобы было: arctg^>
π
>— — ε, так что
О < γ — arctg x < е.
4) Более тонким является соотношение:
X
lim —= —J- оо (прия>1).
4C-»-f°° Х
Вспомним, что частный случай его мы уже имели:
lim — =-[-оо
Л-fr-f-OO П
\Ъ2, 9)]; очевидно, одновременно будет и
lim —гт = +00.
л-Н-°°"+1
Следовательно, по заданному Ε > 0 найдётся такое
натуральное число jV, что при η > N выполнится неравенство
_л
■>Е.
л+1
Пусть теперь χ>Ν-\-\; если положить п = Е{х), то
я > Ν и /2<дг<л-(-1,
так что
а* а"
что и доказывает наше утверждение.

541
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
145
Отсюда, как и в 32, 9), легко получить
ах
JC-H" СС ■
5) Аналогично, опираясь на прежний результат [32, II)]
"m_ ^s=+» (*>!. *>0)·
Ит %_" = 0 (в>1),
л-»-)-оо "
можно установить, что вообще
lira !<!§£ = о («>!).
где .г принимает любые положительные вещественные значения.
Заменяя здесь χ на дг* (£>0), легко показать, что и
lim ^%? = 0 («>I, А>0).
х-Н-со ■**
Действительно, если, задавшись произвольным з> 0, взять Λ
так, чтобы при г > А выполнялось неравенство
X
1
то при χ > А! г= А* б}'дет xk > А и
Jt-A
<·.
1
Если заменить здесь .г на—, то полученный результат
перепишется в виде
lim хк\щ„х = О (а > 1, k > 0).
jt-H-o
6) Из доказанного в 25, 5) предельного соотношения
ι
lim β* = 1
можно получить более общее
1ігалгг=1.
Заметим, что, очевидно, и
lim а " = lim -у- = 1.
л-*+со л-t-feo —
а"
10 Г. М. Фихтенгольц

146
ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
154
Поэтому, каково бы ни было е > 0, можно найти такое
натуральное число л0, что (если, скажем, я>1)
_і- -L
1 — ε < а п° < а п° < 1 -+- ε.
Если теперь
I*1<— или — -Г<Х<7Г'
л0 па л„
то
_j_ ι
а "° < ах < я~°,
откуда
I — ε<Λ*< l+ε или | а* — 1 [< ε,
что и доказывает высказанное утверждение.
7) Теперь мы установим следующий (важный и для
дальнейшего) результат:
llm*££=l.
*-»·ο -*1
(8)
Предварительно, однако, нам
придётся доказать некоторые полезные
неравенства:
sin*<x<tg* (0 <*<y). (9)
С этой целью в круге радиуса R
рассмотрим острый угол 2£ АОВ,
хорду АВ и касательную АС к
окружности в точке А (черт. 22). Тогда
имеем:
площадь Д АОВ <^ площади
сектора АОВ <^ площади Д А ОС *.
Если через χ обозначить радианную меру угла
^С АОВ, так что длина дуги АВ выразится произведением Rx,
то эти неравенства перепишутся так:
j/?«.sin*<.jfl»-*<-j/?«-tgje.
Отсюда — по сокращении на -j/?2 — и приходим к
неравенствам (9).
Черт. 22.
* При этом мы пользуемся теми сведениями о площадях
элементарных фигур, которые излагаются в школьном курсе.

5*1 § 2. предел функции 147
В предположении, что 0<^лг<^-|·, разделим sin л: на
каждый из членов неравенств (9). Мы получим:
1 > -J- > cos x,
откуда
0<l-~<l-cos*.
Но
Χ Χ
• cos χ = 2 sin2 -g- <^ 2 sin j <dx
[в силу (9)], так что
o<i_£l££<*.
Отсюда вытекает неравенство
которое, очевидно, сохранится и при изменении знака х, т. е.
будет справедливо для всех х^О, лишь только |-*[<^-^.
Полученное неравенство и решает вопрос. Действительно,
если по произволу задано число ε^>0, то за δ достаточно
выбрать наименьшее из чисел ε и -^: при |χ|<^δ, прежде
всего, применимо это неравенство (ведь δ^·^), и
именно в силу него (так как δ «ξ; ε)
sin λ: , ι ^,
-—-1 <ε.
По определению предела функции [52], это и означает,
что функция при стремлении л; к 0 имеет предел 1,
так что соотношение (8) оправдано.
7а) Предельное соотношение (8) может быть, в согласии с 53,
понимаемо и так, что, лишь только χ пробегает сходящуюся к
sin χ
нулю последовательность {х„\, варианта 2- будет всякий ра^
стремиться к 1.
10*

148 гл. и. функции одной переменной І5*
Приложим это замечание к разысканию предела варианты
lim cos -7Г · cos -i-... cos-!-,
л-юо 2 2s 2"
где φ — любое отличное от 0 число.
Очевидно,
sin φ = 2 cos -j-sin-! =22cos |"cos^-sin^2 = -';:
... = 2"cos-|·-cos-^ • ••cos-^-sin -^,
так что интересующее нас выражение представится в виде
sin в sin α 2"
2".sin£ · sin-ί-
2" 2я
о
Так как х„ = — ->-О, то по сказанному выше
. »
sin —
2"
lira = I,
1
2"
sin φ
и предел нашей варианты оказывается равным числу —-.
8) Сейчас мы изучим также очень важный предел.
Именно, в 36 было определено число е как предел варианты
е=\\т h+j)\ (Ю)
Теперь же мы установим более общий результат:
*= lim (l+j)*. (И)
|ля этого, как легко сообразить, достаточно показать,
рознь имеют место соотношения:
lim
X-*-f- 00
О+!■)*=· и Ji 0+£)'=«· ("«
Воспользуемся на этот раз вторым определением
предела, «на языке последовательностей» [53].

54] § 2. предел функции 1431
Прежде всего, напомним, что наряду с (10) имеет места
и равенство
l.m(l+iy*=,, (12)
если {пк} есть произвольная последовательность
натуральных чисел, растущих вместе с номером k до
бесконечности [40].
Пусть теперь χ пробегает какую-нибудь
последовательность {хк} значений, стремящихся к-f-oo; можно считать
даже, что все хку>]. Положим пк — Е(хк), так что
**<**<«*+* и пк-^ + оо.
Так как при этом
то пк+1 хк пк
(■+5W'<(«+£)*'<(>+£}·'*'.
Два крайних выражения могут быть преобразованы так;
(\ 4-—L_r*+1
(\ 4- —L_\"'a_V ^Ч+іі
V ^rtk+\) — 1 , 1_ '
причём, в силу (12),
О+іГ-^·а также О+^)"**1-^
в то время как, очевидно,
1+1—1, i+_L__i;
таким образом, оба упомянутых выражения стремятся к общему
пределу е, а тогда и заключённое между ними выражмне
также стремится к е [по теореме 3°, 28]:
Этим и завершается доказательство первого из соотношений
(11а) «на языке последовательностей».

150 гл. п. функции одной переменной [54
Для доказательства же второго из них предположим теперь,
что последовательность {хк\ имеет пределом —со (причём
можно считать все xk<^_ — 1). Если положить xk= — уя,
тогда yk—>--(-оо (и все yk*^>\)- Очевидно,
(>+£)"-('-sP-G^t)*-
-Ι'+^'ΐΗώ)
Так как, по доказанному, первый множитель последнего
выражения стремится к е, второй же, очевидно, имеет пределом
1, то и выражение слева также стремится к е. Формула
(11) оправдана полностью.
Заменим теперь в выражении ( 1 -) 1 переменную х на
—; если придать α последовательность значений,
стремящихся к 0 (но не равных 0), то х = — будет стремиться
к оо. Поэтому формулу (11) можно переписать в виде
e = lim(l+a)«. (13)
Этот замечательный результат лежит в основе всех
приложений числа е.
9) Интересен, наконец, и пример, когда предел функции не
существует: функция sin.*: при стремлении χ к + °° (—оо)
вовсе не имеет предела.
В отсутствии предела всего проще убедиться, стоя на «точке
зрения последовательностей». Достаточно заметить, что двум
последовательностям
{{2η~τ)%} и {(2л+т)*} о»=і. 2, з,...)
Ί χ, имеющим пределом -f- оо, отвечают последова
ений функции, стремящиеся к различным преде
(2л--ІЛя = —1—>-—1, sin(2n + y)it=l-*l.
но выразить и иначе: если :
значений χ, имеющим пределом -f- оо, отвечают
последовательности значений функции, стремящиеся к различным пределам:
sin
[То же можно выразить и иначе: если взять
последовательность

54]
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
151
значений х, имеющую пределом -{-оо, то ей отвечает
последовательность значений функции:
sin(n+y)it=(-l)« (л = 1, 2, 3, ...),
вовсе не имеющая предела.]
Если вспомнить «колебательный» характер синусоиды, то
отсутствие предела в рассматриваемом случае станет наглядным.
Аналогично, и функция sin— при стремлении α к 0 (справа
или слева) предела не имеет. Это, в сущности, лишь другая
форма приведённого выше примера: стоит лишь в функции sin χ
заменить χ на — . Очевидно, если α пробегает последовательность
значений, приближающихся к 0 справа (слева), то х =
—стремится к -f-oo(— оо), и обратно.
Напишем снова в выражении sin — вместо буквы α букву χ
(чтобы вернуться к привычному обозначению абсциссы) и
рассмотрим поучительный график функции
j; = sini- (хфО),
2 2
ограничиваясь значениями χ от 0 до — (и от до 01.
к π
Отметим последовательно убывающие до 0 значения х:
2. ! — λ 1. λ. — 2 J_ 2__
π' π* 3π' 2π' 5π' 3κ' 7π ' " *" (2л — 1) π' лк' (2л + 1)«' '"'
, 1
им отвечают растущие до +оо значения —:
π. 3π . 5π , 7гс (2л—1)π (2л4-1)*
у, it, у, 2іг, у, 3π, - ^ , да, - , ...
В промежутках между указанными значениями (при убывании х)
наша функция попеременно убывает от 1 до 0 и от 0 до — 1,
затем возрастает от — 1 до 0 и от 0 до 1, и т. д. Таким образом,
функция sin — производит бесконечное множество колебаний,
подобно функции sin*, но, в то время как для последней эти
колебания распределяются на бесконечный промежуток, здесь они
все умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к 0.
График изображён на черт. 23 (разумеется, не
полностью—бесконечное множество колебаний воспроизвести невозможно!). Так
. 1
как при изменении знака χ и sm — меняет знак, то левая половина
графика симметрична с правой относительно начала.

152 гл. п. функции одной переменной [54
10) Если (для χ φ 0) рассмотреть функцию лг-sin —, которая
отличается множителем χ от только что изученной функции
sin —, то на этот раз предел при χ—»-0 существует:
• 1
Iim^r-sm —
х-*о х
= 0,
что сразу ясно из неравенства
лг-sin — hSI-vl
χ ·
При приближении χ к 0 наша функция попрежнему
производит бесконечное множество колебаний, но их амплитуда (благо-
Черт. 23.
даря множителю х) убывает, стремясь к 0, чем и обеспечивается
существование предела.
График функции
у = х-sin —
J χ
изображён на черт. 24; он умещается между двумя биссектрисами
у = х и у = — χ координатных углов*.
Замечание. Мы имели ряд пределов
ІІШ
х-*0
sin χ
1,
lim(l -\-x)x = e, Iітлгвіп—= 0,
x-*Q
x-+0
* На черт. 23 и 24 для ясности пришлось по оси χ взять
больший масштаб, что создаёт искажение.

5 51
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
153
объединённых одной особенностью: ни одна из рассматриваемых
здесь функций не определена при *=0. Но это нисколько
не мешает говорить об их пределах при χ·-»-0, ибо, согласно
точному смыслу данного в 52 определения, как раз значение
χ = 0 при этом не рассматривается.
Аналогично, то обстоятельство, что функция sin— не имеет
смысла при х = 0, не мешает ставить вопрос об её пределе
при х->-0; но на этот раз предел оказывается несуществующим.
Черт. 24.
55. Распространение теории пределов. Естественно
встаёт вопрос о распространении теории пределов,
развитой в главе I (§§ 1 и 2) применительно к случаю варианты,
на рассматриваемый здесь общий случай произвольной функции.
Для этого существуют два пути.
I. Прежде всего, можно перефразировать здесь
изложенные там рассуждения. Мы для примера
фактически выполним это по отношению к предложению 1°
в 26.
Рассмотрим функцию /(#), заданную в некоторой
области SC, с точкой сгущения а*.
1° Если при стремлении χ к а функция f(x) имеет
конечный предел А, и А~^>р [A<^q), то для достаточно
близких к а значений χ (отличных от а) и сама функция
удовлетворяет неравенству
/<■*)>/> (/(*)<?)· 04>
Выбрав положительное число е<^А — ρ (q—А), будем
иметь
Α-ε>ρ μ + ε<<7)·
* Число а может быть и бесконечностью; но мы для
определённости ограничимся случаем конечного а.

154 гл. и. функции одной переменной [55
Но, по определению предела, для этого ε найдётся такое δ,
что, лишь только |лг — а|<С5 (где χ взято из ЗС и отлично
от а), тотчас же
A-e<f{x)<A + t.
Для тех же значений χ и подавно будет выполняться (14).
Читатель видит, что никаких новых идей для
доказательства привлекать не пришлось.
Отсюда непосредственно могут быть оправданы и
утверждения 2°, 3° и 5° из 26. Например, полагая в 1° /7 = 0 (q = 0),
получим:
2° Если при χ—>-а функция f (x) имеет конечный
положительный (отрицательный) предел, то и сама
функция положительна (отрицательна), по крайней мере, для
значений х, достаточно близких к а, но отличных
от а.
Справедливо и утверждение, аналогичное 4°, но в более
узкой форме:
4° Если при стремлении χ к а функция f(x) имеет
конечный предел А, то для значений х,
достаточно близких к а, функция будет ограниченной:
|/(*)|<УИ' (/kf' = const., \х — α|<δ).
Напомним, что первоначально и для варианты хп,
имеющей конечный предел, неравенство |^я|^уИ' было получено
только для п~^> Ν; но, так как лишь конечное число
значений варианты может не удовлетворять этому неравенству,
то нетрудно было, увеличив в случае надобности М\ добиться
выполнения неравенства для всех хп. Здесь же этого,
вообще говоря, сделать нельзя, ибо значений х, для которых
\f(x)\~^>M\ может оказаться и бесконечное множество.
Например, функция /(*) = — (для д:^>0) при χ—.-1 стремится
к единице; очевидно, f(x)<C 2, если \х—1 К у , однако для
всех рассматриваемых значений χ функция f(x) вовсе не
будет ограниченной.
II. Переходя к другим теоремам, в которых переменные
связываются знаками равенства, неравенства или арифметических
действий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя
две или несколько функций f(x), g(x), ... (определённых

55]
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
155
в одной и той же области X) такими знаками, мы всегда
подразумеваем, что их значения отвечают одному и тому же
значению х.
Все эти теоремы можно было бы доказать аналогичным
образом наново, но — и это важно подчеркнуть—на деле
нет необходимости их передоказывать. Если, говоря о
пределе функции, стоять на «точке зрения последовательностей»,
то, поскольку для последовательностей теоремы доказаны,
они верны и для функций.
Для примера остановимся на теоремах 1°, 2°, 3° из 30:
Пусть в области X (с точкой, сгущения а) заданы две
функции f (х) и g{x), и при стремлении χ к а обе имеіст
конечные пределы
1ігп/(д:) = Л, \img(x)=B.
Тогда и функции
f<x)±g(x), /(*)·*(*). ^§ Μ 5)
также имеют конечные пределы (в случае частного —
β предположении, что В-фО), именно
А±В, А-В, ~.
На «языке последовательностей» данные соотношения
расшифровываются так: если {хп} есть любая
последовательность значений χ из Ά', имеющая пределом а, то
/(*„) —Л, g{xn)-*B.
Если к этим двум вариантам применить уже доказанные
теоремы, то получаем сразу:
Um[f(xn)±g{xn)] = A±B, limf(xn)g(xn) = A.B,
а это (на «языке последовательностей») и выражает именно
то, что нужно было доказать*.
* В случае частного можно было бы заметить (аналогично
тому, как мы это сделали для варианты), что для х, достаточно
fix)
близких к а, знаменатель g(x) Φ 0, так что дробь ^—■■ имеет
смысл, по крайней мере, для этих значений х.

156 гл. п. функции одной переменной [58
Таким же образом на общий случай, рассматриваемый
нами теперь, автоматически переносятся и утверждения,
доказанные в 31 относительно особых случаев. Если
известны пределы функций f (х) и g(x) (конечные или нет),
то на основании этого можно уже судить о пределах выражений
(15) во всех случаях, кроме четырёх, условно
характеризуемых символами
О оо Л
о' й> °·°°' °°-00·
В этих же случаях упомянутые выражения представляют
неопределённость, для раскрытия которой уже
недостаточно знать лишь пределы функций / (х) и g{x), а нужно
учесть и самый закон изменения этих функций.
Читатель легко проверит, что в примерах 4), 5)
предыдущего п° мы имели дело с неопределённостью вида —-
и О-оо, а в примере 7) — с неопределённостью вида -* .
В следующем п° мы приведём дальнейшие примеры, уже с
применением простейших теорем теории пределов.
56. Примеры. I) Обобщая примеры I) и 2), 32, исследуем
поведение полинома
Ρ {х) = α0χ* + агхЬ-1 -f · · · + °k-ix + ak<
а затем — и частного двух таких полиномов
ρ (χ) __ α0χ* -f- fli**-1 + · · · + gfe -ι* + <4t
q(x) Ь0д?' + Ь1х'-і+...4-6/_1дс + 6,
при χ—-άζαο.
Путём преобразования
p(*) = **(*6-t-i[H-...+§)
легко установить, что
Jim ρ (χ) = ± оо (оо - оо),
Х-* =ЬО0
причём знак предела при к чётном определяется лишь знаком в0,
а при k нечётном — зависит ещё и от знака х,
2) Аналогично находим, что
в зависимости от того, будет ли £>/, Л = / или £</. Знак
предела (в первом случае) устанавливается по знакам «о и bo, а также
(при k — / нечётном) —по знаку х.

56]
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
157
3) Докажем для любого положительного рационального
показателя г формулу
Начнём с простейшего случая, когда показатель есть
натуральное число: г = п. По биному Ньютона
X X
. η {η— Ι)
=n+"тг■*■ +■··■+хл~;
так как при лг-* 0 все члены в последней сумме, кроме первого,
стремятся к 0, то, действительно, имеем
hm ^—!— =п.
х-*о х
1 ,
Пусть теперь г=— (где т — натуральное), и рассмотрим
выражение
χ
Положим
у\-\-х—\—у, откуда х=(\-\-у)т— \.
Так как (считая |дг|<1)
1-\х\<Ѵі+х<1+\х\, то limVl-f■*·=!-
так что, вместе с х, и > -+ 0. А тогда, по предыдущему случаю,
lim - ! = hm ..· . \·—r=~.
x->o x y-+o (1+J')m —1 m
Наконец, общий случай г = — исчерпывается введением той
же вспомогательной переменной у:
π
(1-fjc)""— 1 . (1+.УУ-1 __ (Ι+,ν)"-1
(1+j0«-1 ~~ > " (1-+у)«-1 '
* Ниже [76, 5) (в)] она будет обобщена на случай любого
вещественного показателя.

158 гл. и. функции одной переменной І56
откуда
4) Найти предел
х-*о х т
hm —% .
С помощью той же подстановки j/1 -\-х — 1 =у преобразуем
рассматриваемое выражение к виду
1 «. /я — Ι-» т — 1.
[(1 -тѴ)т - 1Ρ " mty 4- - - «»+...
m—1
откуда сразу ясно, что искомый предел равен ^——.
5) Предел [54 (8)]
,. sin χ .
hm = 1
Xr+O ·*■
часто используется для нахождения других пределов.
(а) Hm !-«»* 1 (Ч
Очевидно,
1 — cos x 2
\ Ύ
так как выражение в скобках стремится к 1, то общий предел и
будет —.
.. tg χ — sin л: 1 / η \
<б> ^ χ* = Ί> (Ι)·
И здесь преобразование легко приводит к уже изученным
пределам:
tg χ — sin χ 1 sin .у 1 — cos χ
хь ~cos.*· ' χ χ2

571
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
159
Заметим, что cos*-*l при х-»0, как это вытекает, например*
из предыдущего результата (а).
(в) lim (sec.*·—tgjr) = 0 (со —оо).
Здесь удобнее перейти к переменной я = ——л:; очевидно а->-0
при χ -*■ -χ. Имеем
. , 1 — cos а
sec χ — tg χ = esc а — cte а = —; =
s 6 sin a
1 — cos о а л
= . —— · а —>· 0.
α* sin a
57. Предел монотонной функции. Вопрос о самом
существовании предела функции
lim/(*)
х-*а
особенно просто решается для функций частного типа,
представляющих обобщение понятия монотонной варианты [34].
Пусть функция f(x) определена в некоторой области
.£"={*}. Функция называется возрастающей
(убывающей) в этой области, если для любой пары
принадлежащих ей значений
из х>х следует /(*')>/(*) L/(*')</(*)]·
Если же
из х'~^>х следует лишь f(x')^f(x) [/(*') *£/(*)],
то функцию называют неубывающей (невозрастаю-
щей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию
возрастающей (убывающей) — но в широком смысле.
Функции всех этих типов носят общее название
монотонных. Для монотонной функции имеет место теорема,
вполне аналогичная той теореме о монотонной варианте,
которая была установлена в 34.
Теорема. Пусть функция f(x) монотонно возрастает,
хотя бы в широком смысле, в области SC, имеющей
точкой сгущения число а, большее всех значений χ (оно
может быть конечным или равным -\-<х>)· Если при этом
функция ограничена сверху:
/ (*) s£ /И (для всех χ из &),

160 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [58
то при χ —>- а функция имеет конечный предел; в
противном случае — она стремится к -|-оо.
Доказательство. Допустим сначала, что функция
f{x) ограничена сверху, т. е. ограничено сверху множество
{/(х)} значений функции, отвечающих изменению χ в
области SC. Тогда для этого множества существует [10]
конечная точная верхняя граница А. Докажем, что это число А
и будет искомым пределом.
Задавшись произвольным числом ε^>0, по свойству
точной верхней границы, найдём такое значение х'<^а, что
/(лг')^>Л — е. Ввиду монотонности функции, для х~^>х' и
подавно будет: f(x)~^>A — ε. Так как, с другой стороны,
всегда /(х) ^А <^ А -\- ε, то для упомянутых значений χ
выполнится неравенство
|/(*)-Л|<е.
Это и доказывает наше утверждение, стоит лишь при а
конечном положить х' = а — δ (т. е. Ь = а — х'), а при
д = -4-оо взять Δ = α-'.
Если функция f(x) сверху не ограничена, то, каково бы
«и было число Е, найдётся такое х', что f(x')~^>E; тогда
для х^>х' и подавно /(*)^>Е, и т. д.
Предоставляем читателю преобразовать эту теорему длі
случая, когда предельное значение а меньше всех
значений х, равно как и для случая монотонно
убывающей функции.
Легко усмотреть, что теорема о монотонной варианте в 34
«сть просто частный случай этой теоремы. Независимой
переменной там был значок п, областью изменения которого
служил натуральный ряд Jf={n}, с точкой сгущения -\- оо.
В последующем нам чаще придётся в качестве области X,
в которой рассматривается функция f(x), встречать
сплошной промежуток [а1, а), где а'<^а и а — конечное
число или -f-°°> либо же — промежуток (а, а'], где а'~^>а
ч а — конечное число или — с».
58. Общий признак Больцано-Коши. Перейдём теперь
к рассмотрению общего случая — функции f(x), заданной
в области &—{х\, для которой а служит точкой
сгущения. Для существования конечного предела этой
функции при стремлении χ к а может быть установлен такой же

58]
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
161
признак, как и в случае варианты [39]. Формулировку его
мы дадим параллельно для случая конечного а и для случая
а = -\-оо.
Теорема Больцано-Коши. Для того чтобы функция
f(x) при стремлении χ к а вообще имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа
ε^>0 существовало такое число δ^>0 (Δ]>0), чтобы
неравенство
I/W-/<*')!<«
выполнялось, лишь только
\х— α|<δ а \х'~а[<5 (л:>Д и лг'>Д).
Доказательство проведём в предположении, что а —
конечное число.
Необходимость. Пусть существует конечный предел
limf(x) = A.
х-*а
Тогда по заданному ε^>0 найдётся такое δ^>0, что
если только |л: — α|<^δ. Пусть и \х' — αj<^δ, так что и
Отсюда получаем
\j(x)-f(x>)\ = \[f(x)-A] + [A-f(x')]\^
<l/W-^l+M-/HI<e,
в предположении, что одновременно
μ_α|<δ и \х' — β|<ϊ.
Достаточность может быть установлена с помощью
рассуждений, вполне аналогичных тем, которые были
применены в случае варианты [39]. Проще, однако, не повторяя
этих рассуждений, попросту свести вопрос к уже
рассмотренному случаю. Путь для этого нам открывает второе
определение понятия предела функции «на языке
последовательностей» [53].
Итак, пусть условие, сформулированное в теореме,
выполнено, и по произвольно взятому б^>0 установлено
соответствующее δ ^> 0.
11 Г. М. Фихтенгольц

162 гл. и. функции одной переменной [59
Если {хп} есть любая последовательность значений χ
из X, сходящаяся к а, то, по определению предела
последовательности, найдётся такой номер Ν, что для л ^> N
будет: \хп—а.<^Ь. Возьмём, наряду с л, и другой номер
η'^>Λζ так что одновременно
\хп~а\<ь и \хш — а|<*.
Тогда, в силу самого выбора числа Ь,
!/(*„)—/(*»*)! О
Это неравенство, таким образом, выполняется при
единственном требовании, чтобы оба номера η и га' были ^> N. Это
означает, что для варианты/(хп) (я= 1, 2, 3, . . .) выполняется
условие 39 и, следовательно, последовательность
/(*,). }{хг), ... , f(xn), ...
имеет конечный предел.
Мы видели в 53 (см. замечание в конце), что этого уже
достаточно, чтобы последний предел был одним и тем же,
как бы ни выбирать последовательность {хп}, сходящуюся
к а; этот предел и будет пределом функции, существование
которого надлежало доказать.
[Легко вывести достаточность высказанного условия и из
теоремы Больцано-Вейерштрасса — наподобие того,
как это сделано для варианты в конце 41.]
39. Наибольший и наименьший пределы функции. Даже при
отсутствии определённого предела функции f(x) при стремлении
χ к а, для отдельных последовательностей значений ха~>-а
предел
Iim /(*„)
всё же может существовать; его называют частичным
пределом функции.
Например, для функции sin* при x-+3zoo (или для sin —
при дг-»-0)9ти частичные пределы заполняют весь промежуток
от —1 до -f-I.
Среди частичных пределов функции всегда найдётся как
наибольший, так и наименьший; их обозначают так:
lira / {χ) и Iim / (χ).

60] § 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 163
Равенство наибольшего и наименьшего пределов есть условие,
необходимое а достаточное для существования определенного
предела функции, в обычном смысле слова.
Мы ограничимся формулировкой этой теоремы, не приводя
доказательства. Оно может быть выполнено в том же порядке
идей, что и в 42.
§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно
больших величин.
60. Сравнение бесконечно малых. Предположим, что
в каком-либо исследовании одновременно рассматривается
ряд бесконечно малых величин:
а, β. γ
которые, вообще говоря, будут функциями от одной и той
же переменной, скажем, х, стремящейся к конечному или
бесконечному пределу а.
Во многих случаях представляет интерес сравнение
названных бесконечно малых между собой по характеру их·
приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно
малых аир кладётся поведение их отношения*. На этот
счёт установим два соглашения:
I. Если отношение —(ас ним и -»■ ) имеет конеч-
α ν ρ '
ный и отличный от нуля предел, то бесконечно
малые а и В считаются величинами одного порядка.
о
II. Если же отношение -С- стремится к нулю (а
отношение -г —■ * °о), то бесконечно малая 3 считается ве~
Ρ
личиной высшего порядка, чем бесконечно малая а,
и одновременно бесконечно малая а будет низшего
порядка, чем бесконечно малая 8.
Например, если <х = х-*0, то по сравнению с этой
бесконечно малой одного порядка с нею будут бесконечно
малые
sinJf, igx, |/l+Jf— I,
* Мы будем считать, что переменная, на которую мы делим,
не обращается в 0, по крайней мере, для значений х, достаточно
близких к о.
11*

164 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [61
ибо, как мы знаем [54, 7); 56, 3)],
,· sin* . ,._ ι/ 1 +лг — 1 1
hm =1, «πι . '■ = —.
х^о х х-*о х т
Наоборот, бесконечно малые
yi-j-x —1 , 1— созлг, tgx — sin x (1)
«будут, очевидно, высшего порядка, чем χ [56, 4); 5), (а) и (б)].
Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно
малых не стремится ни к какому пределу; например, если взять
{см. 54, 9) и 10)]
о = χ и В = χ sin — ,
χ
то их отношение, равное sin —, при χ -* 0 предела не имеет.
В таком случае говорят, что две бесконечно малые не сравнимы
между собой.
Заметим, что если бесконечно малая β оказывается
высшего порядка, чем бесконечно малая а, то этот факт
записывают так:
р = о(а).
Например, можно писать:
1 — cosx=o{x), tgx —sin χ = о (χ) и т. п.
Таким образом, символ о (а) служит общи м обозначением
для бесконечно малой высшего порядка, чем а. Этим
удобным обозначением мы впредь будем пользоваться.
61. Шкала бесконечно малых. Иной раз встречается
надобность в более точной сравнительной характеристике
поведения бесконечно малых, в выражении порядков их —
числами. В этом случае, прежде всего, в качестве своего
рода «эталона» выбирают одну из фигурирующих в данном
исследовании бесконечно малых (скажем, а); её называют
основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой
в известной мере произволен, но обычно берут простейшую
из всех. Если рассматриваемые величины, как мы
предположили, являются функциями от ϊ и становятся бесконечно
малыми при стремлении χ κ α, то в зависимости от того,
будет ли а нулём, конечным и отличным от нуля числом или

61] § 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 165
бесконечностью, естественно за основную бесконечно малую
взять, соответственно,
1
х, х — а, — ,
' χ
Далее, из степеней основной бесконечно малой а (мы
будем считать α>0) с различными положительными
показателями, а*, составляют как бы шкалу для оценки
бесконечно малых более сложной природы*.
III. Уславливаются считать бесконечно малую β
величиной k-го порядка (относительно основной
бесконечно малой а), если β и а* (k~^>0) будут
величинами одного порядка, т. е. если отношение ~ имеет конечный
и отличный от нуля предел.
Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением,
что бесконечно малые (1) (при χ—>-0) будут величинами высшего-
порядка, чем л—х, сказать точно, что первые две из них суть
бесконечно малые второго порядка, а последняя — третьего
порядка относительно а = дг, ибо [56, 4); 5), (а) и (б)]
Ъ'\+х- 1 --.г
,· к т т — \ ,· — cos χ
Hm — = „ „ , Urn
»0 X' 2/ич *_0 χΐ 2'
,. tg χ — sin д; 1
hm -s = _ .
х-ю хъ 2
Чтобы взять более сложный пример, рассмотрим выражение
? = Ух+А + Ѵх^Л -2 Ѵх;
при х-»--|-оо оно будет бесконечно малым, что становится ясным,
если представить его в виде
ρ = (\fx~+l - Ух) - (Ух _ Yx~=~\) =
I 1
Ух-\-\-\-Ух Ух + Ух — \'
Продолжая это преобразование, найдём:
В= Ух~^\ — Ух~\Л _
(V χ~+Ί+ Ух) (Ух + У Т=Г\)
2
~~^х^ + Ух)(Ух+Ѵх^^\)(Ух~=Г[+Ѵх~^Т)'
* Легко видеть, что при А>0 величина і* будет бесконечно
малой одновременно с а.

166 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [61
Полагая α == — , теперь уже нетрудно сообразить, что
Ига -^ =
lim
-2 (Υχ)3
<-++«> (Ѵх + 1 -f V χ) (Ух + Υχ~=ϊ) {Υχ - 1 -f Υ χ + 1)"
— 2
nm -; г—τ ч V
з
Таким образом, здесь порядок выражается числом ^-.
Не следует думать, конечно, что для всякой бесконечно
малой [1 (даже сравнимой со всеми степенями а*) может быть
установлен определённый порядок.
Любопытные примеры, относящиеся сюда, можно получить из
■формул, установленных в 54, 4) и 5) (при а > 1 и k > 0):
lim %■ = +*>, 'Шп %£ = 0. (2)
Прежде всего, отсюда
χ* . .. д:*
hm — = 0, lim
Заменив теперь здесь χ на — и положив ещё в первом из этих
соотношений а = — , 0<с<1, мы получим:
lim Ц=0, lim i^ = oo.
Таким образом, бесконечно малая сх (0<с<1) будет
высшего порядка, чем все степени xk (k>0), в то время как
* Повсюду здесь мы пользуемся тем, что lim Yl-\-z=l; это
ζ-»-0
было доказано в 56,3) (для корня любой степени ш).

62] § 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 167
бесконечно малая - (а > 1) оказывается низшего поряд-
к а, чем все эти степени.
62. Эквивалентные бесконечно малые. Остановимся
теперь на одном особенно важном частном случае бесконечно
малых одного порядка.
Будем называть бесконечно малые а и β
эквивалентными {в знаках: а^Р), если их разность γ =
==β — а оказывается величиной высшего порядка, чем
каждая из бесконечно малых а и β:
γ = ο(α) и γ = ο(β).
Впрочем, достаточно потребовать, чтобы γ была высшего
порядка, чем одна из этих бесконечно малых, потому
что, если, например, γ высшего порядка, чем а, то она будет
также высшего порядка, чем β. Действительно, из того, что
lim—=0, следует, что и
lim 4- = Ига —τ— = lim
ι + -
Рассмотрим две эквивалентные бесконечно малые аир,
так что β = а -\- γ, где γ = о (а). Если приближённо
положить β = α*, то — по мере уменьшения обеих величин —
стремится к нулю не только абсолютная погрешность от
этой замены, представляемая величиной |γ|, но и
относительная погрешность, равная — . Иными словами, при
достаточно малых значениях а и β можно со сколь угодно
большой относите ль ной точностью положить β=α.
На этом основана, при приближённых выкладках, замена
сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми.
Установим полезный критерий эквивалентности двух
бесконечно малых, который в сущности даёт второе
определение этого понятия, равносильное ранее данному:
Для того чтобы две бесконечно малые α а β были
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было
1іпД = 1.
a
* Знак = означает приближённое равенство.

168 гл. іг. функции одной переменной [62
Пусть сперва выполняется это соотношение, так что
5 = 1-1— О,
α
Тогда
γ = β —α = $·α
будет величиной высшего порядка, чем а, ибо
lira l = limZ = 0.
а
Обратно, пусть теперь а и $ эквивалентны, т. е. γ = β — а
есть бесконечно малая высшего порядка, чем а. Вследствие
этого имеем
— — 1 = — —>- О, откуда »■ 1,
Ч. И Тр. Д.
С помощью этого критерия, например, сразу видно, что при
ЛГ-+0 бесконечно малые siax viigx эквивалентны χ, а "у\ -J—дг — 1
эквивалентно — х. Отсюда — приближённые формулы:
sin χ == χ, tg x = χ,
"Ι 14-х — 1 == — х, в частности, Уі 4-χ—l — ^r-x.
v m 2.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых
приводит к использованию их при раскрытии неопределённости
вида ητ, т. е. при разыскании предела отношения двух бесконечно
малых —. Каждая из них при этом может быть заменена,
а
без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно
малой.
Действительно, если о -ν, α и β -ν. β, τ. е.
Iігп — = 1 и lim — = 1,
Ρ
το

631 § 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 16Э
Если удастся выбрать я и β достаточно простыми, то это
может сразу значительно упростить задачу; например,
hm τ . \ = hm = _-.
х-ю sm2x Λ_>ο 2-х 4
Из доказанного вытекает также, что две бесконечно
малые, эквивалентные третьей, эквивалентны между
собой.
63. Выделение главной части. Если выбрана основная
бесконечно малая а, то простейшими бесконечно малыми
естественно считать величины вида с-а*, где с — постоянный
коэффициент и £^>0. Пусть бесконечно малая jj будет £-іі>
порядка относительно а, т. е.
ι- Ρ
где с — конечное и- отличное от нуля число. Тогда
lim-jL = l,
и бесконечно малые β и са" оказываются эквивалентными:
Ρ ~ cak. Эта простейшая бесконечно малая сак,
эквивалентная данной бесконечно малой р, называется ее
главной частью {или главным членом).
Пользуясь установленными выше результатами, кроме уже
указанных'простых примеров, легко выделить главные части
выражений:
\ —cosx -^ -f хг, tg χ — sin χ -χ. — χ\
Здесь χ -+0, и именно о=лг является основной бесконечно малой.
Наконец, если х-+-\-<х> и за основную принята бесконечно
1
малая а = — , то имеем также
χ
γτ+ι+ут=т _2Ѵх - - 4 (j)*■
Все эти результаты снова приводят к приближённым
формулам.
Пусть g~ca*, т.е. $ = ca*-\-t, где γ = ο(α*). Можиэ
представить себе, что из бесконечно малой ί снова выделен главный
член: γ=ί'Β*'_(-ίι где #>*, а ί = ο(α#), и т. д.

170 гл. п. функции одной переменной 63]
Например, если положить (считая х->-0):
то, как мы уже имели [56,4)),
так что главная часть γ есть ^-у х*. Отсюда
В частности,
ѴТ+х - 1 = jχ - I лг2 + о (*>).
Этот процесс последовательного выделения из бесконечно
малой простейших бесконечно малых всё возрастающих порядков
можно продолжать и дальше.
Мы ограничиваемся в настоящем параграфе установлением
•общих понятий, иллюстрируя их лишь немногими примерами.
В последующем мы укажем систематический приём
как для построения главной части данной бесконечно малой
величины, так и для дальнейшего выделения из неё
простейших бесконечно малых, о котором только что шла речь [см.
103, 122].
В заключение, остановимся ещё на таком вопросе: если
для двух бесконечно малых Ρ и γ известны их главные чле-
«ы сак и с'а*', что можно сказать о главном члене их суммы
Ρ+Υ?
При k^=k главным членом её, очевидно, будет тот из
членов са* и с'а*, в котором показатель меньше. Пусть
теперь k = k; тогда главной частью для β-J-y явится
сумма (с-)-с') а*— в предположении, однако, что c-j-
-\-c'=^=Q. В случае же, когда оба главных члена взаимно
уничтожаются, сумма β-f-Y оказывается бесконечно малой
высшего порядка, чем каждое из слагаемых.
Так будет, например, при χ -*■ 0 для бесконечно малых
Если выделить в них ещё следующие члены:

64] § 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 171
то ясно, что
P4-T=yTf*+yrT^*_2==-lJfi + o(jf»),
так что р + γ будет бесконечно малой второго порядка, а её
главный член равен —тхі·
64. Задачи. Для иллюстрации изложенных соображений
приведём несколько задач, в которых они используются.
1) Пусть прямолинейное расстояние на местности измеряется
с помощью мерной рейки длины / м. Так как фактически рейка
прикладывается не точно вдоль измеряемой прямой, то результат
измерения оказывается несколько больше истинной длины. Сделаем
самое невыгодное предположение, именно, что рейка при-
Черт. 25.
кладывается зигзагом, так что её концы отстоят от прямой
поочерёдно то в одну, то в другую сторону на расстояние \ м
(черт. 25). Требуется оценить погрешность.
При однократном прикладывании рейки абсолютная
погрешность равна разности между длиной / рейки и её проекцией на
измеряемую прямую; проекция же эта будет:
2/(т)3-Х2=/^
Воспользовавшись приближённой формулой
1
4)? ,
при х = —jr (что оправдано, ввиду малости величины \
относительно /), заменим выражение для проекции следующим:
2λ*\ , 21J
(>-¥)-'-¥·
2\i
В таком случае, упомянутая погрешность есть -j-, а относи-
2λ'
тельная погрешность, очевидно, будет -^. Та же
относительная погрешность сохранится и при многократном прикладывании
рейки.

172
ГЛ. [Г. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[64
Если для этой погрешности установлена граница 3, т. е. должна
быть -р<%, то отсюда λ</ΐ/-~.
Например, при измерении двухметровой рейкой (/ = 2), для
достижения относительной точности в 0,001 нужно, чтобы
уклонение λ не превосходило 2 Ѵ"0 0005 = 0.045 м = 4.5 см.
Черт. 26.
2) Найти формулу для длины / открытого ремня, надетого на
данную пару шкивов радиусов R и г, с расстоянием d между
центрами (черт. 26).
Из чертежа имеем
-j — АС-\-Сс-\-с~а.
Но ЛС =/? (4-+ а J > са=г (γ—aj, тяе через α обозначены
равные углы ■QBOC и -Qboc; а из ^ODo
Cc = Do=z Vd''—(R~r)1.
Таким образом,
/ = *(/? + /-) + 2а(/?-г) + 2У^-(/?-л)3.
Для упрощения этой формулы вспомним, что
OD
Оо
d
— в предположении, что R— г мало относительно d. В том же
предположении

65] § 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 173
После подстановки этих значений и преобразований, получим
окончательную формулу:
3) При разбивке дуг окружностей на местности имеет
значение следующая задача: найти отношение стрелы f = DB дуги
ABC окружности к стреле fa = D\Bi
половины ΑΒχΒ этой дуги (черт. 27).
Если положить радиус окружности
равным г, <$! ЛОВ = ?, то -^С ΑΟΒχ ■= ^
и / = DB = r (1- cos у),
>-f.
/ι
(l-cos|).
Таким образом, искомое отношение
равно
/ _ 1 — cos у
/і 1 _ cos і-
Черт. 27.
Выражение это слишком сложно, чтобы им удобно было
пользоваться на практике. Найдём его предел при <р->-0 (ибо для
достаточно малых <р это выражение можно приближённо заменить
его пределом). С этой целью заменяем числитель и знаменатель
их главными частями и сразу находим:
1
lim ~ = lim
/ι
2
?"
г =4.
τ (τ О
Итак, для дуг, соответствующих небольшому центральному
углу, приближённо можно считать, что стрела полудуги
вчетверо меньше стрелы- дуги. Это позволяет последовательно строить
промежуточные точки дуги, для которой даны концы и середина.
65. Классификация бесконечно больших. Заметим, что
для бесконечно больших величин может быть развита
подобная же классификация. Как и в 60, будем считать
рассматриваемые бесконечно большие величины функциями от одной
и той же переменной х, которые стремятся к оо, когда χ
стремится к а.
I. Две бесконечно большие у и ζ считаются величинами
ζ ν
одного порядка, если их отношение — (ас ним и —) име-
у г
ет конечный и отличный от нуля предел.

174 гл. н. функции одной переменной [66
II. Если же отношение — стремится к оо (а обратное
отношение — —к нулю), то ζ считается бесконечно
большой величиной высшего пор яд к а, чем у, и,
одновременно, у будет бесконечно большой низшего порядка,
чем ζ.
В случае, когда отношение — ни к какому пределу не
стремится, бесконечно большие у и ζ будут несравнимы.
При одновременном рассматривании ряда бесконечно
больших величин, одну из них (скажем, у) выбирают в качестве
основной и с её степенями сравнивают остальные
бесконечно большие. Например, если (как мы предположили выше)
все они суть функции от χ и стремятся к оо при χ—+ а,
то в качестве основной бесконечно большой обыкновенно
берут само х, если а=оо, и —— при а конечном.
III. Бесконечно большая ζ называется величиной k-го
порядка (относительно основной бесконечно
большой у), если ζ и у* будут одного порядка, т. е. если
отношение -j имеет конечный и отличный от нуля предел.
Мы не станем приводить здесь примеров, ибо их легко
получить, заменив рассмотренные выше бесконечно малые величины
обратными им. Упомянем только о том, что бесконечно большая а*
(а > 1) при χ ->·+οο будет высшего порядка, а бесконечно
большая logaχ(д> 1) —низшего порядка, чем любая
степень ж* (с положительным показателем k); это следует из
формул (2) п° 61.
§ 4. Непрерывность (и разрывы) функции.
66. Определение непрерывности функции в точке. С
понятием предела функции тесно связано другое важное
понятие математического анализа — понятие непрерывности
функции.
Рассмотрим функцию / (х), определённую в некоторой
области 5С=\х\, для которой х0 является точкой сгущения;
при этом пусть сама точка х0 принадлежит области
определения функции, так что в этой точке функция
имеет определённое значение / (лг0).

66] § 4. непрерывность (и разрывы) функции 175
Когда устанавливалось понятие о пределе функции при
стремлении χ к х0 [52, 53]
lim/(jc),
Х-+Хо
неоднократно подчёркивалось, что значения х0 переменная χ
не принимает; это значение могло даже не принадлежать
области определения функции, а если и принадлежало, то
значение / (х0) при образовании упомянутого предела не
учитывалось.
Однако особую важность имеет именно случай, когда
lim/(*)=/(*„). (1).
х-*Хо
Говорят, что функция /(х) непрерывна при значении
х = хй (или в точке лг = л:0), если выполняется это
соотношение; если же оно нарушено, то говорят, что при
этом значении (или в этой точке) функция имеет
разрыв*.
В случае непрерывности функции f (х) в точке хп
(и, очевидно, только в этом случае), при вычислении предела
функции / (х) при χ —*х0 становится безразличным,
будет ли χ в своём стремления к х0 принимать, в
частности, и значение х0, или нет.
Определение непрерывности функции можно
сформулировать в других терминах. Переход от значения х0 к
другому значению χ можно себе представить так, что значению
хй придано приращение Δχΰ = χ — #0**. Новое значение
функции y—f(x)=f(x0-{-\x0) разнится от старого у0 =
=/(х0) на приращение
•Ъ'о = /(*)—/ (*о) = / (*о + Δ*ο) — / (*о)·
Для того чтобы функция /(х) была непрерывна в точке х0г
необходимо и достаточно, чтобы её приращение Ау0 в этой
* Эта терминология связана с интуитивным
представлением о непрерывности и разрывах кривой: функция непрерывна,
если непрерывен её график, точки разрыва функции отвечают
точкам разрыва графика. На деле, однако, понятие непрерывности
для кривой само требует обоснования, и простейший путь
к нему лежит как раз через непрерывность функции!
**"В анализе принято приращения величин х, у, t, ...
обозначать через Ддг, Ду, Δί, ... Эти обозначения надлежит
рассматривать как цельные символы, не отделяя Δ от х, и т. п.

І76 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [67
точке стремилось к 0 вместе с приращением Δχ0
независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция
характеризуется тем, что бесконечно малому
приращению аргумента отвечает бесконечно малое же
приращение функции.
Возвращаясь к основному определению (1), раскроем
его содержание «на языке ε-δ» [52]. Смысл непрерывности
функции f(x) в точке лг0 сводится к следующему: каково
бы ни было число е]>0, для него найдётся такое число
£^>0, что неравенство
\х — *0|<^δ влечёт за собой \f(x)—/(*ο)Ι<^ε·
Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться
в достаточно малой окрестности (х0 — $, лг0 —|— δ)
точки ха.
Наконец, «на языке последовательностей» непрерывность
выразится так: какую бы последовательность значений χ из SC;
сходящуюся к xQ, ни взять, соответствующая
последовательность значений функции
}{хх), f(xi)> ···./(*J. ···
сходится к f(x0).
Обычно мы будем в дальнейшем рассматривать функции,
определённые в промежутке SC; все его точки являются
его точками сгущения, так что по отношению к любой из
них можно ставить вопрос о непрерывности. Для упрощения
речи, уславливаются говорить, что функция непрерывна
в промежутке SC, если она непрерывна в каждой
точке промежутка в отдельности.
67. Арифметические операция над непрерывными
функциями. Прежде чем перейти к примерам
непрерывных функций, установим следующее простое предложение,
которое позволит легко расширить их число.
Теорема. Если две функции f(x) a g(x) определены
в одном и том же промежутке 2Р и обе непрерывны в
точке х0, то в той же точке будут непрерывны и функции
f{*)±g(x), /(*)·*(*), fjg-y
последняя при условии, что g{xQ)^0.

68] § 4. непрерывность (и разрывы) функции 177
Это непосредственно вытекает из теорем о пределе
суммы, разности, произведения и частного двух функций,
имеющих порознь пределы [55].
Остановимся для примера на частном двух функций.
Предположение о непрерывности функций / (х) и g{x) в
точке х0 равносильно наличию равенств
Ит/(*)=/(*„), Ит g(x)=g(x0).
X-*Xs Х-^Хц
Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел
знаменателя не нуль), имеем:
lira /(£U/_(£o)
f(x)
а это равенство и означает, что функция J~ ■ '■ непрерывна
68. Примеры непрерывных функций. 1° Целая и
дробная рациональные функции. Функция/(х) = х,
очевидно, непрерывна во всём промежутке (— оо, -j-00)'· еслц
хп—»-л:0, то f(xn)=xn—>-*0=/(x0). Точно так же
непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной.
Отсюда, на основании теоремы предыдущего п°, вытекает
уже непрерывность любого одночленного выражения
т раз
ахт = α·χ·χ.. .χ
как произведения непрерывных функций, а затем —
и полинома (целой рациональной функции)
а^ + а^х"-1 + ... + ап_хх -\-аа
как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых
случаях непрерывность имеет место во всём промежутке
(—оо, +оо).
Очевидно, наконец, что и частное двух полиномов
(дробная рациональная функция):
α0χη-\-αιχη-'ί+ ... 4-дя_)Дг+ап
^+М"-^ · · · + ьп-іх+ьт
также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех,
которые обращают знаменатель в нуль.
12 Г. М. Фихтенгольц

178 гл. п. функции одной переменной [68
2° Показательная функция. Докажем
непрерывность показательной функции ах при любом значении χ = х0,
иными словами, установим, что
lim ах = аХо.
Χ-*Χί,
(При этом достаточно ограничиться предположением: а~^> 1.)
Мы видели в 54, 6), что
lim а* =\.
х^О
Так как 1 есть как раз значение а0 нашей функции, то это
равенство и выражает непрерывность показательной функции
в точке х=0. Отсюда уже легко перейти к любой точке;
действительно,
ах — ах" = ах° (ах ~х° — 1),
но при χ—<-χ0, очевидно, χ — х0—<· О, так что — по
доказанному —
ах — ха —,. \ и ах —,. ахс>
Ч. И Тр. Д.
3° Гиперболические функции. Их непрерывность,
по уже упоминавшейся теореме, непосредственно вытекает из
доказанной непрерывности показательной функции, ибо все
они рационально выражаются через функцию ех.
4° Тригонометрические функции. Остановимся
сначала на функции sinx. Она также непрерывна при любом
значении χ = х0, т. е. имеет место равенство
lim sin дг = sinx0.
Х-*Хц
Для доказательства заметим, что из неравенства
sinx<^x,
установленного в 54, (9) для 0<^х<^·^-, легко вывести, что
неравенство
| sinx| s^'xj
справедливо уже для всех значений χ (для |х| ^= -~ ^>1 это
следует из того, что |sinx|==£l). Далее, имеем:
sin χ — sin x0 = 2 sin ί-=^° · cos ^Ц^.

69] § 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 179-
так что
| sin χ — sin х0 [ — 2 · sin ^~-—
cos —l_j> <=ς
и, окончательно,
j sin χ — sin x01 < | χ — x0 \, (2)
каковы бы ни были значения χ и х0.
Если зада:ю любое ε^>0, то положим § = е; при
\х—-^οΙΌ и будет
| SmX Sin Χϋ\<^Β,
что и доказывает непрерывность sin x. Аналогично
устанавливается и непрерывность функции cosx, также при любом
значении х.
Отсюда, по теореме предыдущего п°, вытекает уже
непрерывность функций
sin χ 1 , cos* 1
tgx = , sec λ: — , ctgx = ——, cscx = .
s cosx' cos χ' & siiur' .sin·*
Исключенне представляют для первых двух — значения вида
(2k ~\- 1) -£■, обращающие cos χ в 0, а для последних двух —
значения вида £тг, обращающие sin χ в 0.
69. Односторонняя непрерывность. Классификация
разрывов. Выше с помощью разенства (1) мы определили
понятие непрерывности функции f(x) в точке х0. При этом,
вычисляя предел (1), мы могли приближать χ к х0 и справа,
и слева. Установим теперь понятие об односторонней
непрерывности или одностороннем разрыве функции
в данной точке.
Говорят, что функция f (χ) непрерывна в точке х^
справа (слева), если выполняется предельное
соотношение:
/(jf0-fO)= lim f{x)=f{xa) )
х-+хо+0 I
илн/(*о-0)= lim /(*)=/(*„)]. W
x-+xu—0 J
12s

180 гл. іі. функции одной переменной {70
Если же то или другое из этих соотношений не
осуществляется, то функция f{x) имеет в точке х0 разрыв,
соответственно, справа или слева.
По отношению к левому (правому) концу промежутка 1С*,
в котором функция определена, может иттн речь, очевидно,
только о непрерывности или разрыве справа (слева).
Если же ха есть в и у τ ρ е н и я я точка промежутка &, т. е.
не совпадает ни с одним из его концов, то для того, чтобы
выполнялось равенство (1), выражающее непрерывность
функции в точке л-п в обычном смысле, необходимо и достаточно,
чтобы имели место зараз оба равенства (3) [52]. Иными
словами, непрерывность функции в точке ,ѵ0 равносильна
её непрерывности в этой точке одновременно справа
и слева.
Остановимся подробнее на вопросе о непрерывности
л разрыве функции/(х) в точке лг0, скажем, справа. Пред·-
іюлагая, что функция / (х) в некотором промежутке
[х0, х0-\-А] (/г^>0) спраза от этой точки определена,
видим,, что для непрерывности необходимо и достаточно: во-
ііерзыхг чтобы сущестзовал конечный предел / (*0-{-0)
функции f(x) при стремлении χ к х0 справа,.и, во-вторых, чтобы
атот предел был равен значению / (х0) функции в точке х0.
Поэтому легко дать себе отчёт в том, при каких
обстоятельствах для функции f (х) в точке х0 справа
появляется разрыв. Может случиться, что хотя конечный
предел /(xn-j-0) и существует, но он н е равен значению / (х0);
такой разрыв называют обыкновенным или разрывом
первого рода**. Но может быть и так, что предел
j (лг„ -\- 0) бесконечен, или его вовсе нет; тогда говорят
о разрыве второго рода.
В следующем п° мы приведём примеры этих разрызоз.
70. Примеры разрывных функций. 1) Рассмотрим фѵнкцшо
■у-=Е(.х) (график её представлен на черт. 8). Если дг0 — не" целое
число и E(Xfj) = m, т.е. т < хъ < т -f- 1, то и для всех
значений χ в окрестности (м, т-\-Х) точки х0 будет Е(х) = т, так
что непрерывность функции в этой точке непосредственно ясна.
Иначе обстоит дело, если х0 равно целому числу т. Справа
в этой точке будет иметь место непрерывность, ибо правее х = т,
* Предполагая, что этот конец есть число конечное.
** В этом случае говорят также, что функция f (х) в точке хЛ
справа производит скачок, по величине равный /(xq-j-Q) —

70j § 4. непрерывность (и рлз?ывы) функции 181
именно для значений χ в (т, т-χ-λ), будет Е(х) = т, так что
и £'(m-f-0) = т = Е(т). Наобор'ог, левее х — т, для значений χ
в (т—\,т), очевидно, Е(х)--т— J; отсюда, и Е{т — 0) = от — 1Р
что не равно значению Е(т), и слепа в точке д: = /?і функция
имеет обыкновенный разрыв или производит скачок!
2) Возьмём функцию, рассмотренную в 46:
*2л — 1
y = f(x) = liai — ί
и-» ос X" -f- 1
(её график дай на черт. 28). Она имеет обыкновенные разрывы.
-/
У
о 3
-/
"
Черт. 28.
η точках χ =г ± 1 и справа, и слева, ибо:
/(±1) = 0, /(_1-0) = /(1+0)=1,
/(-1+0)=/(1-0) = -1.
3) Для функции, определяемой равенствами
I ^(ДГ)=^ При ^0'
I /(0) = 0,
точка лг=0 есть точка разрыва второго рода (с обеих сторон);
именно, в ней функция и справа, и слева обращается в оо:
/( + 0)= lirn I^+оо, /(-0)= 1IтЛ = -*.
х-*-\-йх х-* — 0л
4) Если дополнить определение функция
/(jr)=sin— (для χ φ 0),
рассмотренной в 54, 9), положив /(0) равным любому числу, то,
каково бы это число ни было, полученная функция в точке і: —0
имеет разрыв второго рода (с обеих сторон), так как не
существует вовсе предела этой функции при стремлении χ к 0 ни
справа, ни слева.

182 гл. п. функции одной переменной [70
Замечание. Если при стремлении χ к хп для функции f(x)
не существует определённого и конечного предела, то даже
в том случае, когда в самой точке х—Х(, функция не
определена, всё же говорят, что в этой точке функция терпит разрыв
(она будет иметь здесь разрыв, какое бы значение дополнительно
ни приписать функции в точке х=хй). Поэтому в примерах 3)
и 4) налицо был бы разрыв, даже если оставить функцию не
определённой при х = 0.
5) Наоборот, если взять функцию [54, 10)]
f(x) = x-sin— (для χ φ 0),
то от того, как мы дополним её определение в точке х = 0,
зависит её непрерывность в этой точке. Дело в том, что, как мы
видели, су ществуе τ яр-едел
lim f(x) = Q.
Если мы положим и /(0) = 0 — налицо непрерывность, при
любом другом выборе значения /(0) функция в точке дг=--0 будет
иметь обыкновенные разрывы и справа, и слева.
6) Определим две функции равенствами:
fl(x) = ex, /г (χ) = arctg —
для χ Φ 0 и сверх того положим /Ί (0)=/·. (0) = 0.
Для первой из них имеем:
Д(-)-0)= lira ех = lim е« :.=-j-°°>
х-*-$-0 ζ->-|-κ
1_
/і( — 0)= lim ех = lim **=0,
.¥-» — ϋ Ζ-* — ОС
так что в точке х=0 справа — разрыв второго рода, а слева —
непрерывность. Для второй же —
/з( + 0)= Urn arctg—— lira arctg ζ = -£,
Я-+4-0 ·* z->+oc *
/,(-0)=—J.
и в точке х = 0 — с обеих сторон скачкп. Графики этих функций
даны на черт. 29 и 30.
7) Вспомним ещё о функции Дирихле [46]:
χ(*) = 1, если χ рационально,
X (■*) = 0, если χ иррационально.
Так как в любой близости от рациональной точки найдѵтся
точки иррациональные, и наоборот, то, каково бы ни было х0

70І § 4. непрерывность (и разрывы) функции 183
в промежутке (—со, -ft»), предела χ(*) при χ -> Xfj не
существует, так что в каждой точке налицо разрыв второго рода
(с обеих сторон).
Черт. 29.
8) Определим, наконец, в промежутке [0, 1] функцию f(x)
так: если χ рационально и выражается несократимой
дробью —, то f(x) = —; для л: иррационального поло-
ч ч
жіш / {х) — 0 *. Мы утверждаем, что в каждой рациональной
Черт. 30.
точке функция имеет обыкновенные разрывы, в то время как в
каждой иррациональной точке она непрерывна.
Действительно, пусть х0 будет любая точка в
рассматриваемом промежутке. Если задаться произвольным числом ε > 0, то
существует лишь конечное число натуральных чисел q, не
превосходящих —, а значит в промежутке найдётся лишь
конечное число рациональных точек — , для которых / f —J =— &!.
ч \ ч * у
* Эту функцию рассматривал Ρ и м а н (В. Niemann).

184 гл. и. функции одной переменной [71
Точку дг0 можно окружить такой окрестностью (Хц— S, л-0 + °)>
чтобы в неё не попала ни одна из этих точек (кроме, быть
может, самой точки хй). Тогда, лишь только \х— дг01 < 5 {х Φ ·*Ό),
будет ли χ рационально или нет, во всяком случае |/(дг)|<£.
Значит, для любой точки х0 существуют
/(лг0 + 0) = /(лг0-0)-0.
Если хй есть иррациональная точка, то и f(xo) = 0, т.е.
в этой точке функция непрерывна; если же х0 рационально, то
f (Хц) отлично от 0, и налицо разрыв (обыкновенный), с обеих
сторон.
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции.
Рассмотрим функцию f(x), которая — при изменении χ
в промежутке & * — монотонно возрастает (убывает), хотя
бы в широком смысле [57]. По отношению к таким
функциям имеет место следующая теорема:
1° Монотонно возрастающая (убывающая) функция
f (χ) может иметь в X разве лишь разрывы первого рода,
т. е. скачка.
Возьмём любую точку хй промежутка SC, и пусть она и е
является левым концом этого промежутка. Рассматривая ту
часть промежутка, которая лежит влево от лг0, применим
к ней теорему из 57 о пределе монотонной функции;
поскольку для х<^хй, очевидно, /(*)<I/(*о)> то существует
конечный предел
х-*Хп—0
Если он совпадает со значением / (х0), то слева в точке х0
функция непрерывна; в противном случае — налицо скачок.
Аналогично убеждаемся в том, что в каждой точке хп
промежутка SC (не служащей правым его концом) справа
тоже либо имеет место непрерывность, либо .скачок.
С помощью доказанной теоремы легко установить
критерий непрерывности монотонной функции, удобный на
практике:
2° Если значения монотонно возрастающей
(убывающей) в промежутке X функции f (χ) содержатся в
промежутке й/ и с плошь заполняют его (так что
* Этот промежуток может быть как конечным, так и
бесконечным, замкнутым или открытым (с одного или с обоих концов).

72] § 4. непрерывность (и разрывы) функции 185
каждое значение у из У принимается функцией хоть
раз), то эта функция непрерывна в SC*.
Попробуем допустить, что в какой-нибудь точке лг0 из SC
функция f(x) имеет разрыв, например, слева; как мы
видели, этот разрыз может быть только скачком. В этом
случае существует предел f(x0 — 0), но он меньше значения
f(x0). Так. как для х<^Ха будет f(x) <;/(х0 — 0), а дл»
х^> х0, очевидно, /(x)^f (x0), то функция не может
принимать значений у, лежащих между числами f(x0 — 0)
и / (х0), принадлежащими промежутку ЙЛ Это противоречит
условию теоремы; значит, на деле функция / (л;) разрывов
не имеет.
В следующем п° читатель найдёт ряд примеров
приложения этой полезной теоремы.
72. Непрерывность элементарных функций. Для ряда
элементарных функций непрерывность была доказана под
видом примеров в 68. Пользуясь теоремой 2° предыдущего
номера, легко, прежде всего, наново устанозить
непрерывность функции ах или sin.v.
Функция у = ах («^>1) монотонно возрастает при
изменении х в промежутке #" = ( — оо, -j-αο). Её значения
положительны и заполняют весь промежуток й/ = (0, ~[-эо),
что видно из существования логарифма x — \ogay для
любого „ѵ^>0 [20]. Следовательно, показательная функциа
непрерывна при любом значении х.
Аналогично, непрерывность функции y = sinx, скажем, при.
изменении χ в промежутке ^*= — ί, у , вытекает. из
её монотонности в этом промежутке, да ещё из того факта
(устанавливаемого геометрически), что при этом она
принимает каждое значение между —1 и -f-1. To же относится
и к любому промежутку вида
[kn—j, Ait + γ] (А = 0, ±1, ±2, ...).
Однако более интересны для нас новые результаты,
которые так же легко могут быть получены применением
* Условие, чтобы значения f(x) заполняли сплошной
промежуток 3/, высказано здесь, как достаточное для
непрерывности монотонной функции; впоследствии [81] мы убедимся, что-
оно является и необходи мы м.

186 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [73
названной теоремы. Продолжим перечисление основных
элементарных функций, начатое в 68.
5° Логарифмическая функция: у — logaA; (а ^> О,
a~J=\). Ограничиваясь случаем я^>1, видим, что эта
функция возрастает при изменении χ в промежутке ^" = (0, -f-oo).
К тому же она, очевидно, принимает любое значение у из
промежутка 2/ = (—оо, -|-оо), именно, для х=.аУ..
Отсюда — её непрерывность.
6° Степе нн£я функция: у — х* (μ3£θ), при
возрастании χ от 0 до -|- оо возрастает, если μ.^>0, и убывает,
если μ<^0· При этом она принимает любое положитель-
j_
мое значение у (для х=_уі*), следовательно, и она
непрерывна*.
Наконец, упомянем
7° Обратные тригонометрические функции:
_v=arcsinx, _y = arccosAr, y = arctgx, _y = arcctgjc.
Первые две непрерывны в промежутке [—1, -\-1], а
последние— в промежутке (— оо, -|-оо). Доказательство
предоставляем читателю.
Резюмируя, можно сказать, таким образом, что основные
элементарные функции оказываются непрерывными во всех
точках, где они имеют смысл (т. е. в соответствующих
естественных областях их определения).
73. Суперпозиция непрерывных функций. Обширные
классы непрерывных функций могут быть построены с
помощью суперпозиции [51] функций, непрерывность которых уже
известна. В основе этого лежит следующая
Теорема. Пусть функция ψ {у) определена в
промежутке 2/, а функция f(x) — в промежутке &, причём
значения последней функции не выходят за пределы 2/,
когда χ изменяется в SC'. Если f (х) непрерывна в
точке х0 из SC, α ψ (у) непрерывна в соответствующей
* Если μ > 0, то значение 0 включается как в
промежуток изменения х, так и в промежуток изменения у; при μ < 0
значение 0 не включается. Далее, если μ—целое число ±л
или дробное ± — с нечётным знаменателем, то степень χι
Я
можно рассматривать и ллядг<0; непрерыізиость её для этих
значений устанавливается аналогична.

74] § 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 187
точке ya—f(x0) мз &, то и сложная функция φ (/(.г))
будет непрерывна в точке х0.
Доказательство. Зададимся произвольным числом
s^>0. Так как φ (у) непрерывна при у — у0, то по ε
найдётся такое σ^>0, что
из !;-ЛІ<» следует | a (j>) - φ (;'0) |< е.
С другой стороны, ввиду непрерывности f (х) при
х = х0, по а найдётся такое Ь ^> 0, что
из ; χ — *01< δ следует | / (*) —/ (*0) | = | / (х) — ,v01 < а.
По самому выбору числа σ отсюда следует, далее,
!?(/(*))-? ϋΌ)Ι=|φ (/(*))-? (/(*о))I<в.'
Этим «на языке ε-δ» и доказана непрерывность функции
φ (/ (χ)) в точке ха.
Например, если степенную функцию .х'-1- (х ^> 0)
представить в виде сложной функции:
которая получается от суперпозиции логарифмической и
показательной функций, то из непрерывности последних двух
функций уже будет вытекать непрерывность степенной
функции.
74. Решение одного функционального уравнения. Для
облегчения изложения в ближайшем п°, займёмся сейчас следующей
задачей (которая представляет и самостоятельный интерес):
Найти все непрерывные в промежутке (—оо, -j-oo)
функции f (x), удовлетворяющие условию
f(x+y)=f(x)->rf(y), (А)
каковы бы ни были значения χ и у.
Уравнение (А) является простейшим примером таге
называемых функциональных уравнений, формулирующих
некое свойство искомой функции, по которому она и должна быть
найдена. Наша задача состоит в разыскании всех
непрерывных решений уравнения (А).
Легко видеть, что линейные однородные функции, вида
f(x)=cx {с = const.), (a)
удовлетворяют этому уравнению:
с(х+У) = сх-{-су.
Но весь вопрос именно в том, будут ли они единственными
непрерывными функциями, имеющими свойство (А).

188 гл. п. функции одной переменной [74
Для того чтобы установить, что это действительно так,
предположим, что некоторая непрерывная функция f {х)
уравнению (А) удовлетворяет, и покажем, что тогда она необходимо
имеет вид (а).
Прежде всего, с помощью метода математической индукции
легко обобщить соотношение (А) на случай любого числа ( = п)
слагаемых:
η
/(£+Зн^Т7+І)=/<*)+/оо+■··+/<*)· <<)
Действительно, если допустить верность его для какого-нибудь
числа Λ3ϊ2 слагаемых, то оно окажется верным и для п-\-\
слагаемых:
Цх+У+ ...+*+«)«?*/ (лг+^+...+*)+/(«) =
= [/(*)+. ··+/ (*)Н-/ И·
Полагая в (4) х—у =..,= г, найдём:
f{nx) = n.f{x). (5)
Заменив здесь χ на —дг, мы получим
'(НЧ·/^
а затем, если подставить /л* (т — натуральное) вместо jr и
использовать предыдущее равенство, придём к соотношению
Положим теперь в основном уравнении (А) дг=_у = 0;
получим
/(0)=в2/(0), так что /-(0) = 0. (7)
Если же взять у~ — х, то, с учётом (7), найдем:
/<-*) = _/(*),
гак что функция / (х) меняет знак при изменении знака дг. А тогда
из (5) и (6) легко вывести:
f(-nx)~~ f(nx)~ — n.f{x) (8)
и, аналогично, вообще
/(-5*)—5/w. m
Полученные соотношения (5) —(9) могут быть объединены
в равенстве
f(rx) = r-f(x),
справедливом для любого вещественного значения д-, каково бы
ни было рациональное число г.

75] § 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (и РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 189
Если взять здесь х=\ и обозначить /(1) через с, то
получим
/(') = «·■
Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид
функции /, но пока лишь для рациональных значений аргумента.
При этом мы использовали только тот факт, что функция
удовлетворяет условию (А), и не опирались на её непрерывность."
Пусть теперь ρ будет любое иррациональное значение
аргумента. Легко построить стремящуюся к нему
последовательность рациональных чисел
гь л,, ..., ги, ..
(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечно:'!
десятичной дроби). Мы только что видели, что
f{r„) = er„ (л=1, 2, 3, ...).
Перейдём здесь к пределу при л-<--{-о»; справа мы получим ср,
слева же, именно ввиду предположенной непрерывности
функции /, получится
Iіт/(г„)=/М
так что, окончательно,
/(р) = ср·
Таким образом, действительно, наша функция при всех
вещественных значениях аргумента выражается формулой (а).'Эта
формула даёт самое общее решение уравнения (А) в
непрерывных функциях.
75. Функциональная характеристика некоторых
элементарных функций. Мы имеем в виду дать такую характеристику для
показательной, логарифмической и степенной
функции-
1° Fc-лн
f(x) = a* (я>0), (б)
то, каковы бы ни были два вещественных числа χ и у, всегда
имеет место равенство
f(x+y)=f (.*)·/(У), (Б)
выражающее общеизвестное правило умножения степеней:
ах+У=ах.аУ.
Оказывается, что функциональным свойством (Б), вместе со
свойством непрерывности, показательная функция
определяется вполне. Точнее говоря:
единственной функцией, определённой и непрерывной
во всём промежутке (— оо, —j— оо) и удовлетворяющей в нём
условию (Б), является показательная функция (если ие считать
функции, тождественно равной 0).
Иными словами, формула (б) — за указанным исключением —
даёт самое общее решение функционального у ρ а в н е-
н и я (Б) в непрерывных функциях.

190 гл. п. функции одной переменной [75
Для доказательства этого рассмотрим произвольную
функцию f(x), определённую и непрерывную при всех χ и
удовлетворяющую условию (Б). Исключается тривиальный
случай, когда f(x) = 0.
Итак, при некотором значении х = Х(, эта функция отлична
от 0. Полагая в (Б) у — ха — х, получим
/(*)·/(*ο-*)=/(*ϋ) 5*0;
отсюда ясно, что f{х) отлична от 0 при всяком х.
χ
Больше того, заменяя и (Б) хну через -у", найдём:
/о-[/(f)]'.
так что / {х) всегда строго положительна.
Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (Б), например,
по натуральному основанию е:
logf(x+y) = logf(x) + logf(y).
Если положить
e(x) = logf(x),
то в лице φ (χ) мы будем иметь функцию, непрерывную (как ре-
ьультат суперпозиции непрерывных функций, 73) и
удовлетворяющую условию:
Τ U+У) = ?(■«) +Τ (У),
аналогичному (А). В таком случае, как мы установили,
необходимо
о (дг) = log / (χ) = ex (с = const.),
откуда, наконец,
/ (χ) — есх = αχ
(если положить а = ес), ч. и тр. д.
2° Если
f{x) — \ogax (a>0,a^l), (в)
то при любых положительных значениях χ и у будет
f(xy)=f(x)+f(y). (В)
Это есть запись правила логарифмирования произведения:
Ioge ^ = loga^r +log,, jr.
И здесь — это равенство, совместно с непрерывностью,
вполне характеризует именно логарифмическую функцию:
единственной функцией, определённой и непрерывной в
промежутке (0, -f- оо) η удовлетворяющей в нём условию (В),
является логарифмическая функция (за тем же исключением), так
что формула (в) даёт самое общее решение
функционального уравнения (В) в непрерывных функциях.
Для доказательства возьмём произвольную функцию / (х),
непрерывную для лг>0 и удовлетворяющую этому уравнению. Введём

75] § 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (и РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 191
новую переменную 5, изменяющуюся в промежутке (—оо, -4-ю)
и положим *
х = е\ Т(=)=/(Д
откуда
ξ = log χ, f (χ) = φ (log χ).
Непрерывная (в силу 73) функция φ (?) удовлетворяет условию·
[см. (B)J
?(; + τ1)=:/(β'£+1')=/(^.(.4)=/(β6Η-/(β4) = τ(ί) + τ(η)
типа (А). Значит,
<?(;)= с; и f{x) — c-logx.
Если исключить случай с = 0 (тогда /(лг)гзО), то полученный
результат может быть написан и в виде
/ (х) = log0 -«··,
гдеа = £с. Этим всё доказано.
3° Наконец, обратимся к функции
/(*)=*". (г)
которая, очевидно, удовлетворяет функциональному
уравнению
■/(*У) =/(*)■/( J0 (Г)
(при любых положительных χ и _ѵ), ибо
(лао^^.у1.
Уравнение это, в соединении с непрерывностью, в данном
случае также характеризует степенную функцию в том смысле,,
что
единственной функцией, определённой и непрерывной а
промежутке (О, -J- оо) и удовлетворяющей в нём условию (Г),
является степенная функция {за обычным исключением).
В самом деле, если дана непрерывная для х>0 функция f(x),
удовлетворяющая условию (Г), то прибегнем к той же
подстановке, что и в 2°. Тогда функция у (?) будет удовлетворять
условию [см. (Г)]
?(5-τ-ΐ)=/(ίξ+τ·)=/{Η.*ι):=/(ί6)./(ί4) = τ(ξ).ϊ(η)
типа (Б). Мы уже знаем, что тогда (если исключить тривиальный
случай)
φ (ξ) = α? (α > 0).
Отсюда
f(x) = al0*x = x*
(если положить |i=loga), ч. и тр. д.
Функциональные уравнения (А), (Б), (В), (Г) впервые-
были рассмотрены К о ш и. Ему же принадлежит функциональна»

192 гл. и. функции одной переменной [76
характеристика и основных тригонометрических и гиперболических
функций, на чём мы уже останавливаться не будем.
76. Использование непрерывности функций для вычисления
пределов. Непрерывность функций многообразно может быть
использована при вычислении пределов*. Примерам этого рода
мы посвящаем настоящий номер.
1) Имеем, при любом вещественном х,
('+*)"■
lim
л-»·-)-»
Действительно, рассматриваемое выражение (считая .с^О) можно
представить в виде
[c+ifr-
Так как — -»■ 0, то варианта в квадратных скобках стремится
к е [54 (13)], а тогда—ввиду непрерывности степенной функ-
дии (здесь X — const.) — всё выражение имеет пределом ех.
2) Найти предел
lim {\/{х-\-аі)(х->га.і)...(х-\-ак)—х} (ос-ос),
где а\, а· ак суть данные постоянные числа.
Воспользуемся тождеством
V* — Zk
луда подставим
У— у/(х+Оу)...(х-^ак) и ζ~χ.
Тогда рассматриваемое выражение представится последовательно
в виде
(х+Ді)-"(* + а»)-**
(KF?T - ('+3)Γ+·..+ι
При х-+-\-ао подкоренное выражение етремнтся к 1,
следовательно, сам корень имеет пределом у 1 = 1 — ввиду непрерыв-
* Фактически мы иной раз это делали и раньше; так, в
примере 3) 56 мы попутно установили непрерывность у х.при х=\
и использовали её, а в примере 5) (б) так же поступили по
отношению к cos# при лг —0.

76І § 4. непрерывность (и разрывы) функции 193
ности корня, как частного случая степенной функции. Так как
полином (А — 1)-й степени (от корня), стоящий "в знаменателе,
также есть непрерывная функция, то знаменатель стремится
к k, а предел всей дроби будет
£і +_£3_~г · · ·_+^*
к
3) Вернёмся к предложению в 33, 13). Пусть ап > 0 и ап -*■ а\
ограничимся пока допущением, что 0< в<-(-оо. Применим
упомянутое предложение к последовательности {log«„}.
Так как log а„ -*■ log а (в силу непрерывности
логарифмической функции), то
Urn log V^ZTn = limІ£8_Й-Ці±І2в£- =■_,ogЛ
В таком случае — по непрерыпности показательной функции —
Vа1...аа = #'°е У*-··*» -*'<*я = Л.
С помощью пределов 1) и 2), 54, этот результат распространяется
и на случай а = 0 и а=-|-оо.
Таким образом, мы получаем следующее преобразование
упомянутого предложения:
Если положительная варианта ап имеет предел {конечный
или нет), то тот же предел имеет и варианта
ьп~ V ах-аг...аЛ.
4) Применив это предложение к последовательности
а £?, £? . ; ап дя+'
Ь V аі' '" ' «п-Г аа
придём к интересному следствию:
" «„
в предположении лишь, что существует второй из этих
пределов.
Найдём для примера предел
,. Ѵ~п~\
lira .
η
л1
Полагая а„— —, будем иметь
<Wi (я+?)! . я?.
'(я-|-і)л+1' л" " л . ' V
Ι Ι ι ''
Значит, и искомый предел есть — .
13 Г. М. Фихтенгольц

194 гл. п. функции одной переменной [76
5) Установим ряд важных пределов, которые
понадобятся нам в следующей главе:
(а) 1іші2В4±І = ^·. (Ι)·
(б) lim^ = loga (}.),
(в) Iіпіі^ =μ (ο)·
Имеем
Ю&.(1 + «) =l0gg(1+a)7;
так как выражение, стоящее справа под знаком логарифма,
при a—>0 стремится к е [54, (13)], то (по непрерывности
логарифмической функции) его логарифм стремится
к log0£, ч. и тр. д.
Отметим частный случай доказанной формулы, когда речь
идёт о натуральном логарифме (а = е):
,. Tog (1-I-а) ',
lim —s-i——-=1.
В простоте этого результата и коренятся, по существу, те
преимущества, которые представляет натуральная система
логарифмов.
Обращаясь к формуле (б), положим а*—1 = β; тогда
при a—»-0 (по непрерывности показательной функции)
и β—>-0. Имеем, далее, a = loga(l -f- β), так что, если
воспользоваться уже доказанным результатом:
lim = lim , .. . ■ =, =loga, ч. и тр. д.
Если, в частности, взять а = — (я = 1, 2, 3, ...), то
получится интересная формула:
lim п{]/а—1) —loga <<χ·0).
Наконец, для доказательства формулы (в), положим
(1 -f- af — 1 = 3; при я —-> 0 (по непрерывности степенной

77] § 4. непрерывность (и разрывы) функции 195
функции) будет и β —>-0. Логарифмируя равенство (1 -^af —
= 1-)-β, получим, что
μ· log (1 + а) = log (1 + β).
С помощью этого соотношения преобразуем данное нам
выражение так:
(l + a)i_l_ji_ ρ log(l + q)
а ~« -~log(I + W"^' α
По доказанному, оба отношения
Ρ .. log (! + «)'
log(l-fp) «
стремятся к 1, так что всё произведение имеет пределом μ,
ч. и тр. д.
Предел, рассмотренный в 56, 3), получается отсюда, как
частный случай, при μ = Γ.
77. Степенно-показательные выражения. Рассмотрим
теперь степенно-показательное выражение иѵ, где и
и ν являются функциями от одной и той же переменной х,
с областью изменения SC', имеющей точку сгущения хй\
в частности, это могут быть две варианты ип и vlt.
Пусть существуют конечные пределы:
lira и =а и limu=i>,
х-*Хе х-УХо
причём д^>0. Требуется найти предел выражения иУ.
Представим его в виде
цѴ ___ ev-loga
Функции v.tt log а имеют пределы
limv=b, Jim loga = loga
x-*xa x-*xa
(здесь использована непрерывность логарифмической
функции), так что
lim v log и = b logo.
Χ-+Χα
Отсюда — по непрерывности показательной функции —
окончательно:
lima* —г*-1"? а=аь.
х-*ха
13*

196 гл. п. функции одной переменной [78
Предел выражения иѵ можно установить и в других
случаях, когда известен предел с произведения
ν log и — конечный или бесконечный, но определённого знака.
При конечном с искомый предел будет, очевидно, ес; если
же f = — ос или -)-оо, то этот предел, соответственно,
будет 0 или -j-°° [54, 1)]·
Самое же определение предела с = lim {vlogu) — лишь по
заданным пределам а и b — возможно всегда, кроме случаев,
когда это произведение (при л;—*х0) представляет
неопределённость видаоо-0. Легко сообразить, что исключительные
случаи отвечают таким комбинациям значений а и Ь:
а = 1, b = оо;
а = 0, Ь = 0;
д = -f ос, Ь = 0.
В этих случаях говорят, что выражение и? представляет
неопределённость вида 1°°, 0°, оо°* (смотря по случаю). Для
решения вопроса о пределе выражения иѵ здесь мало знать
лишь пределы функций и к ѵ, г нужно непосредственно
учесть закон, по которому они стремятся к своим
пределам.
Варианта Π-| ) , при л-»-», или более общее выраже-
j_
пне (1-(-а)«, при а-»-0, имеющие пределом е, дают пример
неопределённости вида I00. Выше, в 76, 3), мы рассматривали вари-
і_
ί/яГ ( п\\п
анту 1/ —==[~] ' представляющую неопределенность вида 0°.
Наконец, в 32, 10), выражение £/ η тоже было неопределённым
— вида оо°.
Приведём ещё несколько примеров на раскрытие
неопределённостей новых видов.
і_
78. Примеры. 1) Найти lim (log.*)·* (ос")·
Обозначая данное выражение через у, имеем [см. 54, 2) и 5)]
! „ = log (log л;) ^ log (log л:) Jog* /«л
&у χ log* χ ѵ°°''
так что j> ->-«(·= 1.
* Относительно самих этих символов можно было бы
повторить сказанное в сноске на стр. 75.

78] § 4. непрерывность (и разрывы) функции 197
2) Найти 1ігпдг51пѵ
Здесь [54, 7) и 5)]
(0П).
'ogj'— sinjc-logjr = jclogAT-t-O,
следовательно, опять у ->■ 1.
3) Пример 1), 76, легко теперь следующим образом
обобщить: если варианта хп-*х (где дг —конечное число), то
(1»).
Для доказательства достаточно иредстав.іть предложенное
выражение в виде
основание степени стремится здесь к е, показатель же — к х.
4) К этому можно привести и пример:
/ X , . . X \я . ) ѵ
^cos -- -f/.sm — J :.=_*· (ι»).
кение в скобках ρ,
с„ -- «· cos— — 1 -t-'A'Sin — —
Полагая выражение в скобках равным 1-f-—', имеем
sin — 1 — cos —
η η
— IX Χ ■ *■ IX,
χ
η
χ
η
и т. д.
5) Аналогично исчерпывается пример (я, 6>0)
hm -i x~ — Jab (ι»).
л-V-foo \ - I T
Здесь
x„ = η ■
~Уа+2ѴЬ -]=ъПу-'-1Н*№-Ъ
так что, на основании одного частного следствия из формулы
5) (б), 76,
хп -ч- у (log a -f log b) — log У ~ab,

198 гл. и. функции одной переменной [79
log Ѵ°Ь
и искомый предел, действительно, оказывается равным е =
= ѴаЬ.
6) Наконец, рассмотрим предел
1 r 2sina-f"i 2cos»-i·
1і:п (cos*)sina * = Iim f I _ 2 sifl> ~\ =
X-+0 x-*0 l\ - / J
1
2 1
— e =τρ= (i00)·
\e
Читатель видит, что в случае неопределённости вида Xх
удобно приводить дело непосредственно к е.
Как уже указывалось, общие методы раскрытия
неопределённостей всех видов будут даны в главе IV (§ 3).
§ 5. Свойства непрерывных функции.
79. Теорема об обращении функции в нуль. Займёмся
теперь изучением основных свойств функции, непрерывной
в некотором промежутке. Интересные и сами по себе, эти
свойства в дальнейшем изложении часто будут служить
основой для различных умозаключений.
Начнем со следующей простой теоремы, принадлежащей
Кош и (A. L. Cauchy).
Первая теорема Коши. Пусть функция f (х)
определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь] и на
концах этого промежутка принимает значения разных
знаков. Тогда между а и b необходимо найдётся точка с,
в которой функция обращается β нуль:
/<с)=*0 (в<с<*).
Теорема имеет очень простой геометрический смысл: если
непрерывная кривая переходит с одной стороны оси χ на
другую, то она пересекает эту ось (черт. 31).
1-е доказательство мы проведём по методу Боль-
ц а н о [41J — последовательным делением промежутка. Для
определённости положим, что /(я)<Сб, a f (Ь)^>0. Разделим
промежуток [а, Ь] пополам точкой ~~-, Может случиться, что
функция f(x) обратится в нуль в этой точке, тогда теорема
доказана: можно положить с = а"т". ., Пусть же/ f 2j±L_ j^cq;

79]
§ 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
199
Г a-\-b~\ [a-hb ,1
тогда на концах одного из промежутков а, —^— , —і—, b
функция будет принимать значения разных знаков (и
притом отрицательное значение на левом конце и
положительное— на правом). Обозначив этот промежуток через [a,, &J,
имеем
/(«,)< 0, /(*,)> О.
Разделим пополам промежуток [д,, Ьг] и снова отбросим
тот случай, когда f (х) обращается в нуль в середине ^Цр-і
Черт. 31.
этого промежутка, ибо тогда теорема доказана. Обозначим
через [«·.„ Ьг] ту из половин промежутка, для которой
./(«,)< О, f{bs)>0.
Продолжим этот процесс построения промежутков. При
этом либо мы после конечного числа шагов наткнёмся в
качестве точки деления на точку, где функция обращается
в НуЛЬ) — и доказательство теоремы завершится, — либо
получим бесконечную последовательность вложенных один в
другой промежутков. Остановимся на этом последнем случае.
Тогда для л-го промежутка [«,, Ьп] (я= 1, 2, 3,. ..) будем
иметь
/К)<°> /(*я)>°> 0)
причём длина его, очевидно, равна

200 гл. и. функции одной переменной [79
Построенная последовательность промежутков
удовлетворяет условиям леммы о вложенных промежутках
І38], ибо, ввиду (2), \'іт{Ьп — ап)=0; поэтому существует
точка с из промежутка [а, Ь], для которой
1італ = 1іт Ъп = с.
Покажем, что именно эта точка удовлетворяет требованию
теоремы.
Переходя к пределу в неравенствах (1) и используя при
этом непрерывность функции (в частности, в точке
χ --= с), получим, что одновременно
/(ί) = 11πι/(α„χθ „ /(с) = 1іт/(*я)>0,
так что, действительно, f(c) = 0. Теорема доказана.
Мы дадим ниже второе доказательство теоремы Кош и,
построенное на другой идее. Предпошлём ему следующее
очевидное предложение:
Лемма. Если функция f (х) непрерывна в точке x — xlt
и значение f(x0) отлично от 0, то для всех
достаточно близких к х0 значений χ функция f(x) сохраняет
тот же знак, какой она имеет в точке х0.
Это вытекает из утверждения 2° в 55, I, причём в
данном случае роль предела А функции (именно ввиду
непрерывности) играет / (х0).
II-е доказательство. Рассмотрим все те точки х — х
промежутка [а, Ь], для которых /(л:)<^0. К их числу,
например, относятся точка α и (в силу леммы) близлежащие к ней
точки. Множество {х\ ограничено сверху числом Ь.
Положим теперь c = sup {χ) [10]; мы утверждаем, что /(с) = 0.
Действительно, допустим противное; тогда либо /(с)<^0,
либо f{c)^>0. Если бы было /(с)<^0 (тогда заведомо с<^Ь,
ибо нам дано, что / (Ь) ^> 0), то — по лемме — и правее с
нашлись бы значения х, для которых/(.ѵ)<^0, а это
противоречило бы определению с, как верхней границы для {х}.
Если же было бы/(с)^>0, то — снова на основании леммы —
имели бы/(*)]>0 и вблизи с слева, именно — в
некотором достаточно малом промежутке (с — δ, с], а тогда там
вовсе не было бы значений х, что также невозможно, ибо с,
по определению, есть точная верхняя граница для {х}.

80] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 201
Теорема доказана.
Заметим, что требование непрерывности функции f[x\
в замкнутом промежутке [а, Ь] существенно: функция,
имеющая разрыв хоть в одной точке, может перейти от
отрицательного значения к положительному и не обращаясь в 0.
Так будет, например, с функцией f(x) = Ε (χ) — -^ ,
которая нигде не принимает значения 0, хотя /(0) = — -^-, а
/(l)=-7j- (скачок при лг = 1).
80. Применение к решению уравнений. Доказанная теорема·
имеет применение при решении уравнений.
Прежде всего, с её помощью устанавливается
существование корней. Например, для всех очевиден корень лг = 4
уравнения
2* = 4х,
но труднее заметить существование ещё одного корня. А между
тем, функция / (х) = 2х — Ах при л; = 0 принимает значение /(0) =
= 1 >0, а при х — -^ — значение / f -g- J = У~2 — 2 < 0,
следовательно (так как она непрерывна), обращается в 0 в некоторой
точке между 0 и -г·.
Другой пример: рассмотрим, вообще, алгебраическое
уравнение нечётной степени (с вещественными коэффициентами)
/ (*) = ύ^/ί+ι -f αιχ*» ·+... + а2пх -f a2n+x = 0.
При достаточно больших по абсолютной величине значениях χ
полином имеет знак старшего члена, т. е. при положительном х —
знак До> а ПРИ отрицательном х— обратный знак. Так как полином
есть непрерывная функция, то, меняя знак, он в промежуточной,
точке необходимо обращается в 0. Отсюда: всякое
алгебраическое уравнение нечётной степени {с вещественными
коэффициентами) имеет по крайней мере один вещественный корень.
Теоремой К о ш и можно пользоваться не только для
установления существования корня, но и для приближённого его вычис»
ления. Поясним это примером. Пусть f(x) = xi — x—\. Так как
у(1) = — 1, /(2) = 13, то полином имеет корень между 1 и 2.
Разделим этот промежуток [1, 2] на 10 равных частей точками 1,1;
1,2; 1,3;... и станем последовательно вычислять:
/(1.1)^-0,63... ; /(1,2) = —0,12...; /(1,3) =-f-0,55...; ...
Видим, что корень содержится между 1,2 и 1,3. Разделив и этот
промежуток на 10 частей, найдём:
/(1,21) = —0,06... ; /(1,22) = —0,004...; /(1,23) = + 0,058...; ...

:202 гл. п. функции одной переменной [81
Теперь ясно, что корень лежит между 1,22 и 1,23; таким образом,
мы уже знаем значение корня с точностью до 0,01, и т. д. *.
В свете .этих замечаний интересно сопоставить изложенные
выше два доказательства одной и той же теоремы. Второе из них
-является только «доказательством существования» корня
уравнения / (х) = 0, ничего не говоря о том, как корень найти. Первое
же намечает определённый путь к реальному вычислению корня:
путём последовательного деления промежутка пополам (чем мы
для простоты ограничились) можно в действительности заключить
искомый корень в промежуток произвольно малой длины, т. е.
вычислить этот корень с произвольной степенью точности..
81. Теоремі о промежуточном значении. Доказанная
в n"J 79 теорема непосредственно обобщается следующим
образом:
Вторая теоремі Коши. Пусть функция f(x) определена
и непрерывна в некотором промежутке £С (замкнутом или
нет, конечном или же бесконечном). Если в двух точках
х=а и х = Ь (я<^6) этого промежутка функция
принимает неравные значения
f[a) = A и f(b) = B,
то, каково бы ни было число С, лежащее между А и В,
найдётся такая точка х — с между а и Ь, что
f(c)=C**.
Доказательство. Будем считать, например,
і4<Б, так что Л<С<В.
Рассмотрим в промежутке [а, Ь] вспомогательную функцию
ψ(χ)=ζ/(χ) — С. Эта функция непрерывна в промежутке
[а, 6] и на концах его имеет разные знаки:
φ (β) =/(α) — С = А — С< 0, φ (b) =f(b) — С = Я — С> 0.
Тогда, по первой теореме Коши, между а и Ь найдется
точка х = с, для которой φ (с) = 0, т. е.
/(c) —С = 0 или /(c) = С,
ч. и тр. д.
* Впрочем, практически этот путь нег.ыгоден. В главе IV (§ 4)
будут указаны гораздо более эффективные приёмы
** Очевидно, что первая теорема Коши есть частный случай
этой: если А и В— разпых знаков, то в качестве С можно взять ц0.

81] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 203
Мы установили, таким образом, важное свойство
функции /(х), непрерывной в промежутке; переходя от одного
своего значения к другому, функция хоть раз проходит
через каждое промежуточное значение.
Иными словами это свойство можно выразить и так:
значения, принимаемые непрерывной функцией f{x), когдл χ
изменяется в каком-либо промежутке X, сама также
заполняют сплошь некоторый промежуток &.
Действительно, пусть
т = ті {/(*)}, M = sup {/(x) }*
и _у0 есть произвольное число между т и М:
Необходимо найдутся значения функции yl==f(x)
и y2=f(x2) (χι и х2 взятьі из промежутка &■), такие, что
это вытекает из самого определения точных границ
числового множества. Но тогда, по доказанной теореме,
существует между хх и хг такое значение χ =ха (очевидно,
также принадлежащее SC), что f{xQ) в точности равно _у0;
следовательно, это число входит в множество &.
Таким образом, У представляет собой π ρ о м е ж у τ о к
с концами т и Μ (которые сами могут ему принадлежать или
нет — смотря по- случаю; ср. 83).
Мы видели в 71,2°, что в случае монотонной функции
упомянутое свойство, обратно, влечёт за собой
непрерывность. Однако не следует думать, что так будет всегда; легко
построить заведомо разрывные функции, которые всё же этим
свойством обладают. Например, значения функции [70, 4)]:
/(*) = гіпі {хфО), /(0) = 0,
когда χ изменяется в каком-либо промежутке, содержащем
точку разрыва .ѵ = 0, заполняют сплошь промежуток
* Напоминаем читателю, что если множество \f(x)} не
ограничено сверху (снизу), то мы условились в 10 полагать Λί = -(-οβ
ι т = — оо).

204 гл. іі. функции одной переменной [82
82. Существование обратной функции. Применим
изученные в предыдущем п° свойства непрерывной функции
к установлению, при некоторых предположениях,
существования однозначной обратной функции и её н е и ρ е ρ ы в-
рости [ср. 49].
Теорема. Пусть функция у=/(х) определена,
монотонно возрастает (убывает) * и непрерывна в некотором
промежутке 2С. Тогда в соответствующем промежутке &
значений этой функции существует однозначная
обратная функция x=g(y), также монотонно
возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Доказательство. Ограничимся случаем
возрастающей функции. Мы видели выше, что значения непрерывной
функции f(x) заполняют сплошь некоторый промежуток сУ,
так что для каждого значения у0 из этого промежутка
найдётся хоть одно такое значение х0 (из 3?), что
/(*о)=Л·
Но ввиду монотонности этой функции такое значение
может найтись только одно: если а:, ^> или <^*о> то>
соответственно, и /(xt)^> или <1/(*о)·
Сопоставляя именно это значение х0 произвольно
взятому уй из 2/, мы и получим однозначную функцию
x=g(y),
обратную для функции у—/(*).
Легко видеть, что эта функция g(y), подобно f(x),
также монотонно возрастает. Пусть
/<у и *' = £(/), *·=#(/);
тогда, по самому определению функции g(y), одновременно
Если бы были х'^>х', то, в силу возрастания функции / (х)к
было бы и у'"^>у", что противоречит условию. Не может
быть и х' = х", ибо тогда было бы и у'=у, что также
противоречит условию. Итак, возможно только неравенство
х'<^_х'', так что g(y), действительно, возрастает.
Наконец, чтобы доказать непрерывность функции χ = g(y),
достаточно сослаться на теорему в 71,2°, условия которой
* В строгом смысле слова (это здесь существенно).

82] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 205
выполнены: названная функция монотонна, и её значения,
очевидно, заполняют сплошь промежуток ■#"*.
Все утверждения теоремы геометрически очевидны, их легко
«прочитать» по черт. 32.
С помощью доказанной теоремы можно наново установить
ряд уже известных нам результатов.
11-/(Х)
И
Черт. 32.
Если применить ее' к функции хя (п — натуральное чиста)
в промежутке SC = [0, -f- се), то придём к существованию и
непрерывности (арифметического) корня * = j/ у для ν
в «/ = [0, -f-oo). Исходя из функции у = ах в промежутке
.#■ = (—со, -j-oo), докажем существование и непрерывность
логарифма x=hgay в промежутке 2/ = (0,-(-оо).
Наконец, рассматривая функции y = sinx и y=tgx, первую—
в промежутке .#", = — у , γ > а вторую — в открытом
промежутке &2<=( — ^, £) , убедимся в существовании и
непрерывности обратных им функций * = arcsin;y и x = arctgy,
соответственно, в промежутках «/, = [.—Ί, -\-\) и &2 =
= (— оо, 4-»)·
[При этом предполагается, что предварительно уже
доказана непрерывность функций хп, ах, sin^tgjc — без ссылки на
* Какое бы χ из ЭС ни взять, стоит лишь положить y—f{x),
чтобы для э τ о г о у функция g(y) имела своим значением именно
взятое х.

206 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [8S
существование обратных им функций (иначе получился
бы порочный круг). Такие доказательства и были даны в 68;
соображения же п° 72, очевидно, здесь непригодны.]
Рассмотрим ещё такой пример. Пусть для χ в 2С = (— оо, -f- оо)
у = х — s-siax, где 0<ε<1. (3)
Легко показать, что эта функция будет монотонно возрастающей
(в узком смысле). Именно, если лг>.*' и у', -у" —
соответствующие значения у, то
у" —у' — (χ" — Х')—г (sin χ" — sin х1).
Но [см. (2), 681
[ sin χ" — sin χ' I sS χ" — χ',
откуда и следует, что у*—у' > 0, т. е. у" ~> у'.
Применив'к этому случаю теорему, убеждаемся в том, что
и χ является однозн ачной функцией от у, и т. д.
Приведённый пример представляет интерес тем, что
соприкасается с одной задачей теоретической астрономии. Уравнение
E = M-{-t-sinE (За)
есть знаменитое уравнение Кеплера, которое связывает
среднюю аномалию Μ планеты с её эксцентрической аномалией Ε
(ε есть эксцентриситет планетной орбиты). Мы доказали, таким
образом, что, каково бы ни было значение средней аномалии,
уравнение Кеплера, действительно, однозначно определяет значение
эксцентрической аномалии.
83. Теорема об ограниченности функции. Если
функция f{x) определена (следовательно, принимает конечные
значения) для всех значений χ в некотором конечном
промежутке, то это не влечёт за собой с необходимостью
ограниченности функции, т. е. ограниченности множества
\/{х)\ принимаемых ею значений. Например, пусть
функция f(x) определена так:
f(x) = -j, если 0<*<1, и /(0) = 0.
Функция эта принимает только конечные значения, но она
не ограничена, ибо при приближении χ к 0 может
принимать сколь угодно большие значения. Заметим попутно, что
в полуоткрытом промежутке (0, 1] она непрерывна, но в
точке χ = 0 имеет разрыв.
Иначе обстоит дело с функциями, непрерывными
в замкнутом промежутке.

84] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 207
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x)-
определена и непрерывна в замкнутом промежутке
[а, Ь], то она ограничена, т. е. существуют такие
постоянные и конечные числа т и М, что
m^,f(x)^M при а^х^Ь.
Доказательство поведём" от противного: допустим,
что функция f(x) при изменении χ в промежутке [а, Ь]
оказывается неограниченной.
В таком случае для каждого натурального числа л
найдётся в промежутке [а, Ь~\ такое значение х = х что
I/(*«)|>". (4>
По теореме Бо льцано·-Вейер штр а ее а [41], из
последовательности {х„} можно извлечь частичную
последовательность {хп }, сходящуюся к конечному пределу:
причём, очевидно, а^х0^.Ь. Вследствие непрерывности
функции в точке х0, тогда должно быть и
/(*„*)—/<*о).
а это невозможно, так как из (4) следует, что
Я*»») — 00·
Полученное противоречие и доказывает теорему,
84. Наибольшее и наименьшее значения функции. Мы
знаем, что бесконечное числовое множество, даже
ограниченное, может не иметь в своём составе наибольшего·
(наименьшего) элемента. Если функция /(х) определена
и даже ограничена в некотором промежутке изменения х, то
в составе множества её значений { f(x)} может не ока-,
заться наибольшего (наименьшего). В этом случае
точная верхняя (нижняя) граница значений функции f(x) не
достигается в названном промежутке. Так будет обстоять-
дело, например, с функцией
f(x) = x-E[x)
(график её представлен на черт. 33). При изменении χ в
любом промежутке [0,'Ь] (6;з=1), точной верхней границей зна-

208 гл. п. функции одной переменной [84
чений функции будет 1, но она не достигается, так что
наибольшего значения функция не имеет.
Читателю, вероятно, ясна связь этого обстоятельства
с наличием у рассматриваемой функции разрывов при
натуральных значениях х. Действительно, для непрерывных
в замкнутом
промежутке функций имеет
место:
Вторая теорема Вей-
ерштрасса. Если функ-
ъ ция f(x) определена и
непрерывна в
замкнутом промежутке [а, Ь],
то она достигает
точных верхней и нижней
S.
0
/
0
Л
1
<%>
2
\
3
Л
V '
33.
своих
промежутке [а, Ь] найдутся такие
ρ что значения f(x0) и /(*,) будут,
и наименьшим из
в этом промежутке
границ.
Иными словами, в
точки х = х0 и х=х
соответственно, наибольшим
.есех значений функции f(x).
1-е доказательство. Положим
Л!= sup {/(*)};
по предыдущей теореме, это число — конечное. Предположим
<вопреки тому, что нужно доказать), что всегда f(x)<^M,
т. е., что граница Μ не достигается. В таком случае, можно
рассмотреть вспомогательную функцию
Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не
обращается, то эта функция будет непрерывна, а
следовательно (по предыдущей теореме) ограничена: φ (χ) ^ μ (μ^> 0).
Но отсюда легко получить, что тогда
f{x)*zM-L,
т. е. число Μ ■
ней границей для
жет, ибо Μ есть
1
—, меньшее,
μ
чем М, оказывается верх-
значений функции /(х), чего быть не мо-
т очная верхняя граница этих значений.
Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке

84] § 5. свойства непркрывных функций 209
[а, Ь] найдётся такое значение х0, что f(x0) = M будет н а и-
большим из всех значений/(л:).
Аналогично может быть доказано утверждение и
относительно наименьшего значения.
II-е доказательство. Можно и здесь исходить из
теоремы Больцано-Вейерштрасса [41]. Ограничимся
утверждением о наибольшем значении. Если, как и только что,
Ai = sup {/<*)},
то, по свойству точной верхней границы [10], для
любого η найдётся такое х = хл в \а, Ь], что
Тогда из последовательности {хп} может быть извлечена
частичная последовательность {хп\, сходящаяся к некоторому
значению лг0 из [а, Ь]: хг —►.*„, так что, ввиду
непрерывности функции, и
/(*«*)—·■/(■*<>)■
В то же время из (5) имеем
/(•Ч)>М —— и, в пределе, /(х0)>/И.
Но f (х0) не может быть больше верхней границы Μ
значений функции и, следовательно,
/(*„) = Л*,
что и требовалось доказать.
Отметим, что оба приведённых доказательства суть
чистые «доказательства существования». Средств для
вычисления, например, значения х = х0 никаких не дано.
Впоследствии [в главе IV, § 1], правда, при более тяжелых
предположениях относительно функции, мы научимся фактически
находить значения независимой переменной, доставляющие
функции наибольшее или наименьшее значения.
Если функция f(x), при изменении χ в каком-либо
промежутке &, ограничена, то её колебанием в этом
промежутке называется разность
ω = Μ — т
между её точными верхней и нижней границами. Иначе можно
14 г. М. Фихтенгольц

210 гл. н. функции одной переменной [85
определить колебание ω как точную верхнюю границу
разностей f (х")—f(x'), где х' и х' принимают независимо
одно от другого произвольные значения в промежутке ■£*:
ω= sup {/(*")-/(*')}·
χ', х' из 9С
Когда речь идёт о непрерывной функции /(х) в
замкнутом конечном промежутке $С = \а,Ь\ то, как
следует из доказанной теоремы, колебанием будет попросту
разность между наибольшим и наименьшим
значениями функции в этом промежутке.
В этом случае промежуток 2/ значений функции есть
зам к н у τ ы й промежуток [т, М], и колебание даёт его длину.
85. Понятие равномерной непрерывности. Если
функция f (х) определена в некотором промежутке Э£
(замкнутом или нет, конечном или бесконечном) и непрерывна в
точке х.0 этого промежутка, то
lim /(х)=/(х0)
или [«на языке ε-δ;>, 66]: для каждого, числа ε^>0
найдётся такое число δ^>0, что
\х — хи|<С^ влечёт за собой \f(x)—/(*0)!<^ε·
Предположим теперь, что функция / (х) непрерывна во
всём промежутке Ж, т. е. непрерывна в каждой точке хи
этого промежутка. Тогда для каждой точки х0 из St в
отдельности по заданному ε найдётся δ, соответствующее
ему в упомянутом выше смысле. При изменении хй в
пределах Ж, даже если з неизменно, число δ, вообще говоря,
будет меняться. Одного взгляда на черт. 34 достаточно, чтобы
убедиться в том, что число δ, пригодное на участке, где
функция изменяется медленно (график представляет пол о-
гую кривую), может оказаться слишком большим для
участка быстрого изменения функции (где график круто
поднимается или опускается). Иными словами, число Ь вообще
зависит не только от ε, но и от х0.
Если бы речь шла о конечном числе значений х0
(при неизменном ε), то из конечного числа соответствующих
им чисел δ можно было бы выбрать наи.ѵеньшее, и это
последнее годилось бы, очевидно, и для всех рассматриваемых
точек хй одновременно.

85] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 211
Но по отношению к бесконечному множеству
значений хп, содержащихся в промежутке SC', так уже рассуждать
им (при постоянном ε) соответствует бесконечное
•О'
нельзя:
множество чисел 5, среди которых могут найтись и сколь
угодно малые. Таким образом, по отношению к функции f(x),
непрерывной в промежутке Ж, встаёт вопрос: существует ли,
при заданном г, такое о, которое годилось бы для всех
точек .ѵ0 из этого промежутка?
χ0-δ %о Хц+$
Черт. 34.
Если для каждого числа ε^>0 найдётся такое число
Ь ^> 0, что
\х — *0|<1^ влечёт за собой \f(x)~~f(x0)\ <^ε,
где бы в пределах рассматриваемого промежутка SC ни
лежали точки х0 и х, то функцию f (х) называют
равномерно непрерывной в промежутке X.
В этом случае число δ оказывается зависящим только
от г и может быть указано до выбора точки х0: ё годится
для всех х0 одновременно.
Равномерная непрерывность означает, что во всех частях
промежутка достаточна одна и та же степень близости двух
значений аргумента, чтобы добиться заданной степени
близости соответствующих значений функции.
Можно показать на примере, что непрерывность функции
во всех точках промежутка не влечёт необходимо за собой
14*

212 гл. іі. функции одной переменной [86
её равномерной непрерывности в этом промежутке. Пусть,
1 2
например, /(x) = sin— для х, содержащихся между Ой-,
исключая 0. В этом случае область изменения χ есть не·
/ 2 1
замкнутый промежуток (0,— , и в каждой его точке
функция непрерывна. Положим теперь х0 — .-, , .. , х = —
(где η — любое натуральное число); тогда
/ (*„)== sin(2«-{- 1)- = zh I, f {x) = sin/ζπ = 0,
так что
I/И-/(*о)і=1.
несмотря на то, что \х — г0 = , с возрастанием к
может быть сделано сколь угодно малым. Здесь при ε=1
нельзя найти δ, которое годилось бы одновременно для всех
іочек х0 в (0, ^
хотя для каждого отдельного значения лг0,
ввиду непрерывности функции, такое δ существует!
Весьма замечательно, что в замкнутом промежутке
[а, Ь] аналогичного положения вещей быть уже не может,
как явствует из следующей теоремы, принадлежащей
Кантору (G. Cantor).
86. Теорема Кантора. Если функция f(x) определена
и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь], то она
и равномерно непрерывна в этом промежутке.
Доказательство поведём от противного. Пусть для
некоторого определённого числа ε^>0 не существует
такого числа δ^>0, о котором идёт речь в определении
равномерной непрерывности. В таком случае, какое бы число
δ>>0 ни взять, найдутся в промежутке [а,І>] такие два
значения -Ѵ'о и x't ЧТО
.х'— jco|<C^> и тем не менее \f(x')—}{хй)\^г.
Возьмём теперь последовательность {5п} положительных
чисел так, что Ьп—► 0. В силу сказанного, для каждого δ
найдутся в [а, Ь] значения х^ и xW (они играют роль
.ѵ0 и х'), такие, что (при «=1,2, 3,...)
\хЫ — Хо"]\<Ъп, и тем не менее |/(*<">) — f{x[K)) \S* ε.

87] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 213
По теореме Б о л ь ц а н о-В ейерштрасса [41] из
ограниченной последовательности {х^} можно извлечь
частичную последовательность, сходящуюся к некоторой точке х(1
промежутка [а, Ь]. Для того чтобы не осложнять
обозначений, будем считать, что уже сама последовательность {χ(Όΐ
сходится к х0.
Так как χ("> — х[г,) -* 0 (ибо | х<"> — х{ап) | < Ьн, а 5Д— 0),
то одновременно и последовательность {хо } сходится к х0.
Тогда, ввиду непрерывности функции в точке хй, должно
быть
/(х<■■')) —/(дг0) и /(х£л))—/(*„),
так что
/(х^)-/(хГ)-0,
а это противоречит тому, что при всех значениях η
I/(*(/,))-/(4л))!^г.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает такое
следствие, которое ниже будет нам полезно:
Следствие. Пусть функция f(x) определена и
непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь]. Тогда по
заданному s^>0 найдётся такое δ]>0, что если промежуток
произвольно разбить на частичные промежутки с
длинами, меньшими δ, то в каждом из них колебание
функции f (х) будет меньше ε.
Действительно, если, по заданному е, в качестве Ь взять
число, о котором говорится в определении равномерной
непрерывности, то в частичном промежутке с длиной, меньшей $,
разность между любыми двумя значениями функции будет
по абсолютной величине меньше s. В частности, это
справедливо и относительно наибольшего и наименьшего
из этих значений, разность которых и даёт колебание
функции в упомянутом частичном промежутке [84].
87. Лемма Бореля. Мы докажем сейчас одно
интересное вспомогательное утверждение, которое — подобно
теореме Больцано-Вейерштрасс а — может быть полезно
при проведении многих тонких рассуждений; оно
принадлежит современному нам французскому математику Б о ре л ю
(Е. Вогеі).

214 гл. п. функции одной переменной [87
Рассмотрим, наряду с промежутком [а, Ь], ещё некоторую
систему Σ открытых промежутков σ, которая может быть
как конечной, так и бесконечной. Условимся говорить, что
система Σ покрывает промежуток [а, Ь] (или что
этот промежуток покрывается системой Σ, и т. п.), если для
каждой точки χ промежутка [а, Ь] найдётся в Σ промежуток з,
содержащий её. Этот способ речи облегчит нам
формулировку и доказательство упомянутого утверждения.
Лемма Бореля. Если замкнутый промежуток [а, Ь]
покрывается бесконечной системой Σ={σ}
открытых промежутков, то из неё всегда можно выделить
конечную подсистему
которая также покрывает весь промежуток [а, Ь\
1-е доказательство поведём от противного, применив
метод Больцано [41]. Допустим же, что промежуток [а, Ь]
не может быть покрыт конечным числом промежутков а из Σ.
Разделим промежуток [а, Ь] пополам. Тогда хоть одна из
половин его тоже не может быть покрыта конечным
числом σ; действительно, если бы одна из них могла быть
покрыта промежутками. Cj, σ2,.... , іт (из Σ), а
другая-—промежутками σΜ+1, 5,я+2,..., β„ (из. Σ), то из всех этих
промежутков составилась бы конечная система Σ*,
покрывающая уже весь промежуток [а, Ь], вопреки допущению..
Обозначим через [аѵ Ьг] ту половину промежутка, которая
не покрывается конечным числом а (если же обе таковы, то —
любую из них). Этот промежуток снова разделим пополам
и обозначим через [д2, Ь2] ту из его половин, которую нельзя
покрыть конечным числом а, и т. д.
Продолжая этот процесс неопределённо, мы получим
бесконечную последовательность вложенных промежутков [at, b ]
{п= 1, 2, 3,...), каждый из которых составляет половину
предшествующего. Промежутки эти все выбираются
так, что ни один из них не покрывается
конечным числом а. По лемме о вложенных промежутках Г381,
существует общая им всем. точка с, к которой стремятся
концы αΛ, bn.
Эта точка с, как и всякая точка промежутка [а, Ь\
лежит в одном из промежутков σ, скажем в з0 = (я, jj), так
что а<^с<^|3. Но варианты ап и Ьп, стремящиеся к с, на-

87] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 215
чиная с некоторого номера будут сами содержаться между
а и β Г26, 1°], так что определяемый ими промежуток [а Ь ]
окажется покрытым всего лишь одним промежутком σ0,'
вопреки самому выбору этих промежутков [ап, Ьп]. Полученное
противоречие и доказывает лемму.
Приведём ещё одно доказательство, построенное на
новой итее; она принадлежит другому французскому
математику— Лебегу (Н. Lebesgue).
II-е доказательство. Рассмотрим точки х*
промежутка Fa, b], обладающие тем свойством, что промежуток [а, х*]
покрывается конечным числом а. Такие точки х*, вообще,
найдутся: так как, например, точка а лежит в одном из σ,
то и все близлежащие к ней точки содержатся в этом j и,
следовательно, оказываются точками х*.
Нашей задачей является установить, что и точка Ь
принадлежит к числу точек х*.
Так как все х* sg Ъ, то существует [10] и
sup {χ*} =с ^ Ь.
Как и всякая точка промежутка [а, Ь], с принадлежит
некоторому σ0 = (α, β), a<^c<^p. Но, по свойству точной
верхней границы, найдётся x'Q, такое, что сК^'Ц^г.
Промежуток [α, χζ\ покрывается конечным числом σ (по самому
определению точек х*); если к этим промежуткам
присоединить ещё лишь один промежуток σ0, то покроется и весь
промежуток [а, с], так что с есть одна из точек х~*.
Вместе с тем, ясно, что с не может быть <С.Ь, ибо иначе
между сир нашлись бы ещё точки х*, вопреки
определению числа с как верхней границы всех х*. Таким образом,
необходимо Ь — с; значит, b есть одно из х*, т. е.
промежуток [а, Ь] покрывается конечным числом промежутков σ, ч.
и тр. д.
Заметим, что для справедливости заключения леммы в
равной мере существенно как предположение о замкнутости
основного промежутка [а, Ь], так и предположение о том,
что промежутки · σ, составляющие, систему 2, — открытые.
Например, система открытых промежутков
(L 1) (1 1) (L 1) (і- 1)
{ 2 ' 2/' І4 ' А )' U ' 8/' ' \2"> 2")' ' .
покрывает промежуток (0, 1], но из них нельзя выделить

216 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [88
конечной подсистемы с тем же свойством. Аналогично,
система замкнутых промежутков
"
1
"3
4 '
71
8
и
, ... ,
[1. 2]
покрывает промежуток [0, 2], но и здесь выделение
конечной подсистемы невозможно.
88. Новые доказательства основных теорем. Покажем
теперь, как лемма Б орел я может быть использована для
доказательства основных теорем о непрерывных функциях —
Кош и, Вейерш трасса и Кантора.
1° 1-я теорема Коша [79]. На этот раз доказывать её
будем от противного. Допустим же, что г—при соблюдении
предположения теоремы — всё" же ни в одной точке
функция f(x) не обращается в нуль. Тогда, по лемме п°79,
каждую точку х' промежутка [а, Ь] можно окружить такой
окрестностью в' = {х' — δ', χ' -(- δ'), что в её пределах * / (л:)
сохраняет определённый знак.
Бесконечная система Σ—{з} этих окрестностей
покрывает, таким образом, весь данный промежуток [а, Ь]. Тогда,
по лемме Бор ел я, для этого оказывается достаточно уже
конечного числа упомянутых окрестностей, образующих
систему Σ*.
Черт. 35.
Левый конец а нашего промежутка принадлежит одной из
окрестностей этой системы Σ*, скажем, окрестности з, =
= (хі —δ,, аг,-)-^,). Её правый конец χχ -j-31( в свою очередь,
принадлежит окрестности σ2 = (х2 — δ2, χ2-|-δ2) из Σ*, точка
л:2-(-52 содержится в окрестности а3 = (лг3— δ.,, xs-\-$3)
из Σ*, и т. д. (черт. 35). После конечного числа шагов,
передвигаясь направо, мы придём к окрестности з„ =
— (хл — δΛ,χη-\-δ„) из 2*· заключающей в себе уже правый
* Т. е. в общей чаеги этой окрестности и промежутка [л, Ь],
в котором χ только и может изменяться.

88] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 217
конец b данного промежутка. Если бы Σ* содержала ещё
какие-либо другие промежутки, кроме
а1, з.,, з3, . .. , ση, (6)
то их, очевидно, можно было бы просто опустить.
В окрестности ах функция f(x) сохраняет определённый
знак, именно, знак /(а). Но и в -т2 функция имеет
определённый знак, который должен тоже совпадать со знаком /(а),,
поскольку σ, и а2 взаимно налегают. Так же
убеждаемся в том, что тот же знак функция сохраняет и в
следующей по порядку окрестности σ3, налегающей на σ,,.
и т. д. В конце концов, придём к заключению, что и в
последней окрестности ап функция имеет знак / (а), так что и
f(b) совпадает по знаку с f(a), а это уж противоречит
предположению. Теорема доказана.
2° 1-я теорема Be й ерштрас с а [83]. Ввиду
непрерывности функции f (х), какую бы точку х' промежутка
[а, Ь] ни взять, задавшись числом ε^>0, можно окружить
эту точку столь малой окрестностью а' = (х'—§', х'-\-і'),
чтобы для всех принадлежащих ей значений χ выполнялись
неравенства
1/(*)-/(*')1<в
ИЛИ
Я*')-е</(*)</(*') +е-
Таким образом, в пределах каждой такой окрестности
функция / (я) заведомо ограничена: снизу — числом f(x'} — г,,
а сверху — числом f(x') -f-s.
Читателю ясно, что и здесь к бесконечной системе Σ.
окрестностей, обладающих указанным свойством, надлежит
применить лемму Б о ρ е л я. Из неё следует, что найдётся в Σ
конечное число окрестностей (6), также в совокупности
покрывающих весь промежуток [а, Ь]. Если
«ι</Μ<Λίι β'ρ т2</(лг)<Ж2 в σ2, ...,
mn^f{x)^Mn в σβ,
то, взяв в качестве т наименьшее из чисел т,,иг2,... , т„,
а в качестве Μ — наибольшее из чисел Мх, М2, ..., Мп„
очевидно, будем иметь
т s£/ (χ) < Μ
во всём промежутке [а, Ь], ч. и тр. д.

218 гл. п. функции одной переменной [88
3° Теорема Кантора [86]. Зададимся произвольным
числом ε^>0. На этот раз каждую точку х' промежутка [а, Ь]
окружим такой окрестностью σ' = (χ' — 5, х'-\-Ь), чтобы
в её пределах выполнялось неравенство
Если х0 также есть точка этой окрестности, то
одновременно и
I/(*')-Я*о)I<т·
Таким образом, для любых точек χ и х0 из з' будем
иметь
\f(x)-f(xL) <ε.
Стянем каждую окрестность з' вдвое, сохраняя её центр,
т. е. вместо σ' рассмотрим окрестность
(х' Ѵ *> ' *-\
[х — 2' х ^~Ί)
Из этих окрестностей также составится система Σ,
покрывающая промежуток [а, Ь], и именно к ней мы применим лемму
Боре л я. Промежуток [а, Ь] покроется конечным
числом промежутков из 2:
<*/=(*/ — γ- Хі + ~І) (*=1. 2, .·., я).
Пусть теперь о будет наименьшим из всех чисел -у, и χ,,
л: — любые две точки нашего промежутка, удовлетворяющие
условию:
|*-A'il<3. (7)
Точка лг0 должна принадлежать одной из выделенных
окрестностей, например, окрестности
г — ( — ^ Ι Μ
о/п
так что | х0 — λ-,ο | < γ . Так как δ<τ°, то, ввиду (7),
|.с — χ0Κτ> откуда \х — х/(|<5., т. е. точка я- (а по-

83] § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 21Э
давно — и точка х0) принадлежит той первоначально
взятой окрестности
стягиванием которой получена окрестность аі. В таком
случае, по свойству всех первоначально взятых окрестностей,
I/(*)-/(*»)!< *
Поскольку о было выбрано вне зависимости от
положения точки χ,,, равномерная непрерывность функции f (х)
доказана.
Как видно из приведённых рассуждений, лемма Боре л я
с успехом прилагается в тех случаях, когда «локальное»
свойство, связанное с окрестностью отдельной точки,
подлежит распространению на весь рассматриваемый промежуток.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
§ 1. Производная и её вычисление.
89. Задача о вычислении скорости движущейся точки.
Начнём с частного примера, именно, рассмотрим свободное
падение (в пустоте — чтобы не учитывать сопротивления
воздуха) тяжёлой материальной точки.
Если время t (сек.) отсчитывается от начала падения, то
пройденный за это время путь s (м), по известной формуле,
выразится так:
*=|-Л 0)
где £=9,81. Исходя отсюда, требуется определить
скорость ν движения точки в данный момент t,
у когда точка находится в положении Μ (черт. 36).
Придадим переменной t некоторое
приращение Δ^ и рассмотрим момент t-\-ht, когда
точка будет в положении Мѵ Приращение /W/Wj
пути за промежуток времени Δί обозначим че-
•М рез Δε.
,/if Подставляя в (1) t-\-At вместо /, получим для
нового значения пути выражение
s + bs = f(t + M)*,
I откуда
Черт. 06. г
Разделив Δ$ на Δ/, мы получим среднюю скорость
падения точки на участке ММХ:
£s

90] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 221
Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением Δ.',
тем лучше характеризуя состояние падающей точки в момент ?,
чем меньше промежуток Δ^, протекший после этого момента.
Скоростью ν точки в момент времени t называют
предел, к которому стремится средняя скорость νср-
за промежуток М, когда Δ/ стремится к 0.
В нашем случае, очевидно,
і/ -*(Λ J ■'
Аналогично вычисляется скорость ν и в общем случае
прямолинейного движения точки. Положение точки
определяется её расстоянием s, отсчитываемым от некоторой
начальной точки О; это расстояние и называется
пройденным путём. Время t отсчитывается от некоторого
начального момента, причём не обязательно, чтобы в этот момент
точка находилась в О. Движение считается вполне
заданным, когда . известно уравнение движения: s = f{t),
из которого положение точки определяется для любого
момента времени; в рассмотренном примере такую роль играло
уравнение (1).
Для определения скорости υ в данный момент t пришлось
бы, как и выше, придать t приращение Δί; этому отвечает
увеличение пути s на Δδ. Отношение
Δτ
St
выразит среднюю скорость ѵір за промежуток Δί.
Истинная же скорость ν в момент і получится отсюда
предельным переходом:
ν = lim ν,. = lira ' - .
δ; -* о у' к-kO -"
Мы рассмотрим ниже другую важную задачу, приводящую
к подобной же предельной операции.
90. Задача о проведении касательной к кривой. Пусть
дана кривая (К) (черт. 37) и на ней точка ΛΪ; обратимся
к установлению самого понятия касательной к кривой
в её точке М.

222 гл. ш. производные и дифференциалы [90
В школьном курсе касательную к окружности
определяют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну
общую точку». Но это определение имеет частный характер,
не вскрывая существа дела. Если попытаться применить его,
например, к параболе у=.ах? (черт. 38а), то в начале
координат О обе координатные .оси подошли бы под это
определение; между тем, — как, вероятно, непосредственно ясно и
читателю, — на деле лишь
3£j ось χ служит касатель-
/ У ной к параболе в точ-
и/У^ ке 0!
Jr\^\^^ Мы дадим сейчас об-
/jr^^'^ щее определение каса-
^ ~-*~7* тельной. Возьмём па кри-
-^_^ M^gZ-—— вой (ΐζ) (черт. 37), кроме
—" точки М, ещё точку My
Черт. 37. и проведём секущую
ММ у. Когда точка My
вдоль но кривой будет перемещаться, эта секущая будет
вращаться вокруг точки М.
Касательной к кривой (К) в точке Μ называется
предельное положение МТ секущей ΜΜλ, когда
точка My вдоль по кривой стремится к совпадению с М.
(Смысл этого определения состоит в том, что угол <£ МуМТ
становится сколь угодно малым, лишь только достаточно мала
хорда ММѴ)
Применим для примера это определение к параболе у = ах"1,
в любой её точке ЛГ(лг, у). Так как касательная проходит
через эту точку, то для уточнения её положения достаточно
знать ещё её угловой коэффициент. Мы и поставим себе
задачей найти угловой коэффициент tga касательной в
точке М.
Придав абсциссе χ приращение Ах, от точки Μ кривой
перейдём к точке М^ с абсциссой χ-\-Δχ и ординатой
у-\-\у — а.{х-\- L·)2
(черт. 38а). Угловой коэффициент tgtp секущей МА1Х
определится из прямоугольного /\MNMy. В нём катет Μ Ν
равен приращению абсциссы Дат, а катет NMV очевидно, есть
соответствующее приращение ординаты
Ь.у = а{2х-^х^Г\хп-),

90] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 223
так что
tg а> = ^ == 2ах -\-α·Δχ.
Для получения углового коэффициента касательной, как
легко понять, нужно перейти здесь к пределу при Δλ·—>-U.
Черт. 3S.
Мы приходим таким образом к результату:
tg α = lim (2ах 4- а · Δχ) = 2ах.
Ух -> О
[Заметим попутно, что отсюда вытекает удобный приём
для фактического построения касательной к параболе.
Именно, из 1\МРТ (черт. 386), отрезок
ТР=
у ах1
' tg ι 2ах"
χ
Ύ
так что Г есть середина отрезка ОР. Итак, для того
чтобы получить касательную к параболе в её точке М,
достаточно разделить пополам отрезок ОР и середину его
соединить с точкой М.]
В случае любой кривой, с уравнением
у=/(х),
угловой коэффициент касательной устанавливается подобным
же образом. Приращению кх абсциссы отвечает прираще-

224 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [9|
ние Д_у ординаты, и отношение
\х
выражает угловой коэффициент секущей, tg ср. Угловой
же коэффициент касательной получается отсюда путём
перехода к пределу при Δχ—<-0:
tgo=limtg»= lim ѵ^.
а*-»о ьх->о лх
91. Определение производной. Сопоставляя операции,
которые мы осуществляли при решении рассмотренных выше
фундаментальных задач, легко усмотреть, что в обоих
случаях— если отвлечься от различия в истолковании
переменных— по существу делалось одно и то же: приращение
функции делилось на приращение независимой переменной
и затем вычислялся предел их отношения. Таким путём мы
и приходим к основному понятию дифференциального
исчисления— к понятию производной.
Пусть функция y=f(x) определена в промежутке SC,
Исходя из некоторого значения х = х0 независимой
переменной, придадим ему приращение ΔχΞξΟ, не выводящее его
из промежутка SC', так что и новое значение хй-\-Ьх
принадлежит этому промежутку. Тогда значение y=f(x0)
функции заменится новым значением y-{-by=f(x0-{-kx), т. е.
.получит приращение
Ду = Δ/ (*0) = / (х0 + і.х) - / (*0).
Если существует предел отношения приращения
функции Ау к вызвавшему его приралцению независимой
переменной Их, при стремлении Δλ: к О, т. е.
lira ^·==Ιιιπ ' " '—~—i-UL^
то он называется производной функции y—f(x) no
независимой переменной х, при данном её значении (или
в данной точке) х = х0.
Таким образом, производная при данном значении
x—xQ — если существует — есть определённое число*;
* Пока мы ограничиваемся случаем, когда упомянутый выше
предел конечен [см. 1001.

Si] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 225
если же производная существует во всём промежутке Ж, т. е.
при каждом значении χ в этом промежутке, то она является
функцией от χ
Пользуясь только что введённым понятием, сказанное
в 89 о скорости движущейся точки можно резюмировать так:
Скорость ν есть производная от пройденного пути
s по времени t.
Если слово «скорость» понимать в более общем смысле,
то можно было бы производную всегда трактовать, как
некую «скорость». Именно, имея функцию у от независимой
переменной х, можно поставить вопрос о скорости
изменения переменной у по сравнению с
переменной χ (при данном значении последней).
Если приращение Δ*, приданное х, влечёт за собой
приращение Ду для у, то, по аналогии с 89, средней
скоростью изменения у по сравнению с х, при изменении χ
на величину Δχ, можно считать отношение
ѵ -&
ср.—Д.г-
Скоростью же изменения у при данном значении χ
естественно назвать предел этого отношения при
стремлении Ь.х к 0:
Δ* -»· 0 Δί-Ю1"
т. е. как раз — производную от у по х.
В 90 мы рассматривали кривую, заданную уравнением
y = f(x)y и решили вопрос о проведении
касательной к ней в заданной точке. Теперь мы можем
сформулировать полученный нами результат так:
Угловой коэффициент tga касательной есть
производная от ординаты у по абсциссе х.
Это геометрическое истолкование
производной часто бывает полезным.
Приведём в дополнение к рассмотренным выше еще
несколько примеров, выявляющих роль понятия производной.
Если скорость движения ν не постоянна и сама
изменяется с течением времени t: v = f(t), то рассматривают
«скорость изменения скорости»—под именем ускорения.
15 г. М. Фкхтенгольц

226 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [91
Именно, если приращению времени Δί отвечает
приращение скорости Δΐ', то отношение
выразит среднее ускорение за промежуток времени &*,
а предел его даст ускорение движения в данный Момент
времени:
e=llraa =lim '-Л.
Δί -> 0 і.' -» 0 "'
Таким образом, ускорение есть производная от скорости
по времени.
Обратимся к учению о теплоте — и с помощью
производной установим понятие теплоёмкости тела при
данной температуре.
Обозначим входящие в вопрос физические величины
следующим образом: 0 — температура (в градусах С), W —
количество тепла, которое нужно сообщить телу при нагревании
его от 0° до 0° (в калориях). Ясно, что W есть функция
от 0: U7=/(fJ). Придадим 0 некоторое приращение Δ0,
тогда W также получит приращение ΔΨ. Средняя тепло-
\_ - -
I
до ·
ёмкость при нагревании от 0° до (0-j-Δ0)° будет
Но так как, вообще говоря, при изменении Δ0 эта средняя
теплоёмкость меняется, мы не можем принять её за
теплоёмкость при данной температуре 0. Для
получения последней нужно перейти к пределу:
с— Urn сср = шп -ту-.
Итак, можно сказать, что теплоёмкость тела есть
производная от количества тепла по температуре.
Наконец, возьмём пример из учения об электричестве:
установим понятие о силе переменного тока в дан-
н ый момент.
Обозначим через t время (в секундах), отсчитываемое
от некоторого начального момента, а через Q—количество
электричества {в кулонах), протекшего за это время через

91] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 227
поперечное сечение цепи. Очевидно, что Q есть функция от ti
Q=f{t)· Повторив предыдущие рассуждения, получим, что-
средняя сила тока за промежуток времени Δί будет
_\Q
ср. St '
а сила тока в данный момент выразится пределом
/=lim/ =lim -β,
т. е. сила тока есть производная от количества
протекшего электричества по времени.
Все эти применения производной (число которых легко
было бы увеличить) с достаточной яркостью обнаруживают
тот факт, что понятие производной существенным
образом связано с основными понятиями из различных
областей знания.
Вычисление производных, изучение н использование их
свойств и составляет главный предмет дифференциального
исчисления.
Для обозначения производной употребляют различные
символы:
ά4- или -Ц?-9)-* Лейбниц (G.W. Leibniz)r
dx dx v "
/ или f'(x0) Лагранж (J. L. Lagrange);
Dy или Df[x0) Коши (A. L. Cauchy).
Мы будем пользоваться преимущественно простыми
обозначениями Лагранж а. Если применяют функциональное
обозначение (см. второй столбец), то буква лг0 в скобках
указывает то именно значение независимой переменной, при
котором берётся производная. Наконец, заметим, что в
случаях, когда может возникнуть сомнение относительно
переменной, по которой взята производная (по сравнению с
которой устанавливается «скорость изменения функции»), эта
переменная указывается в виде значка внизу:
'■'* Пока мы рассматриваем обозначения Лейбница как
цельные символы; ниже [103] мы увидим, что их можно рассматривать,
и как дроби.
15*

228 гл. ш. производные и дифференциалы [92
причём значок χ не связан с тем частным значением ха
независимой переменной, при котором берётся производная.
[В некотором смысле, можно сказать, что цельные
символы .,
g, /' или/;., D/ пли DJ
играют роль функциональных обозначений для
производной функции.]
Запишем теперь, пользуясь введёнными для обозначения
производных символами, некоторые из полученных выше
результатов. Для скорости движения имеем:
ds ,
ν = -χ или v = st,
at '
а для ускорения
dv ,
а —-п или а = ѵ .
at t
Аналогично, угловой коэффициент касательной к
кривой y = f(x) напишется так:
tga==n или *§α—л->
и т. п.
92. Примеры вычисления производных. В качестве
примеров вычислим производные для ряда элементарных
функций:
1° Отметим, прежде всего, очевидные результаты: если
^v = c=const.,ToAy=0, каково бы ни было Ах, так что_у' = 0;
если же у — х, то Ау = Ах и у'=\.
2° Пусть теперь у = хп, где η — натуральное число.
Придадим χ приращение Ах *; тогда новое значение у
будет
у -f- Ay — (х + Ах)" = хп -f пх"- -> · Ах 4-
+ Щ^)хп-*.Ах>+...,
так что
Ау = іиС-і ■ Ах + Я[пх~1) х"-- ■ Ах* +...,
:і: Если производная вычисляется при любом значении
аргумента, то обыкновенно его обозначают той же буквой, что и
■аргумент, без каких-либо значков при нём.

92] § 1. производная и её вычисление 229
£ = пх^ + Щ^х*->.Ьх + ...
Так как при Длг—*0 все слагаемые, кроме первого,
стремятся к нулю, то
У = lim -^- — nx"-1.
3° Если ѵ = -, то у-\-Ьу = х , д так что
Ду.
Ι — Δ*
Отсюда
x-f-Ax χ χ {χ -f- Ддг)'
Ау= ι
У=1іт -^ = —-.
При этом предполагается, конечно, х=£0.
4° Рассмотрим функцию у = У χ (при х^>0). Имеем:
у -j- Д_у = ]/* -|- Δ*,
Δ_ν = ]■'' -ν -f- Δχ — V χ:
Ajc
^ У'х + Ах+Ух'
наконец, пользуясь непрерывностью корня, получим
y = hm7^ = ;
Все эти результаты содержатся как частные случаи в
следующем.
5° Степенная функция: у — х* (где μ — любое-
вещественное число). Область изменения χ зависит от μ;
она была указана в 48, 2°. Имеем (при χ Φ 0)
*)*-** =х*-г (1 +
АУ _ (х+Ьхр-х* _^_, Ѵ^ xj
^Г-і
Ах йх ' Αχ

230 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [92
Если воспользоваться пределом, вычисленным в 76 [5) (в)1,
то получим
У = lim Q — μχν-ι *.
В частности,
если у = — = х~1, то у =(—1).д;-2 = —-j,'
если ѵ= к λ- = λ'-, то у= — л· - ———.
^ 2 _ 2 l'.t
.- 6° Показательная функция: у = а* (а]>0,
— оо^х^-г0*)· Здесь
дѵ ах~*х — ах , я
^ - : О* -
Ал·
А.с Sx Ал:
Воспользовавшись пределом, вычисленным в 76 [5) (б)1,
найдём:
У = lim -.- = α* «log α.
В частности,
если у = ех, то и у' = ех.
Итак, скорость возрастания показательной функции (при
ii^l) пропорциональна значению самой функции: чем
большего значения функция уже достигла, тем быстрее в этот
момент она растёт. Это даёт точную характеристику роста
показательной функции, о котором мы имели уже случай
говорить [ср. 65].
7° Логарифмическая функция: _y=log л-
(1)<^а=т>М, 0<д:<^-|-ос·). В этом случае
&у_1о£„1х + ±х)-1оЕах_ 1 'ogu(1+TJ
&Х -І.Г Χ λχ
χ
Воспользуемся пределом, вычисленным в 76 [5) (а)]:
у = ііm ■.;== ■ sa .
* Если μ>1, то при .г —ϋ легки непосредственно полѵчить
.значение производной: у' --0.

92] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 231
В частности, для натурального логарифма получается
исключительно простой результат:
при у = log χ имеем у = —.
Это даёт (хотя, по существу, и не новое) основание для
предпочтения, которое оказывается натуральным логарифмам
при теоретических исследованиях.
То обстоятельство, что скорость возрастания
логарифмической функции (при а]>1) обратно пропорциональна
значению аргумента и, оставаясь положительной, стремится к нулю
при безграничном возрастании аргумента, хорошо согласуется
со сказанным по этому поводу раньше [65].
V 8° Тригонометрические функции. Пусть
у = sin χ, тогда
. Δχ
Ду sin [χ -4- ^х) — sin χ 2 f , Δχ
. <- —- i L_ - 1 COS Ι ν _Ι
Δχ ' Δχ Δχ
I , Δχ
Пользуясь непрерывностью функции sin л; и известным [54, (8)]
пределом hm =1, получим
о-*0 α
у = Jim ·τ=- = cos χ .
і.ѵ -+ а лх
Аналогично найдём:
если у = cos χ, то У = — sin χ.
В случае y = tgx имеем
sin {χ -\~ Δχ) sin x
Δy tg [x -\- Δχ) — tg χ cos (χ 4- Δχ)
Δχ Δχ Δχ
sin (χ-\-Δχ) ■ cos л;—cos {χ-\-Δχ) · sin χ sin Δχ 1
Δ*-cos λ:-cos (л: 4- Δχ) Δχ cos-e-cosi-Jr-f Δχ) ·
* Отметим, что эта формула обязана своей простотой тому,
что угол измеряется в радианах. Если бы мы стали измерятьх,
например, в градусах, предел отношения синуса к углу был бы
равен не единице, а, как легко видеть, -щ, и тогда мы имели бы

232 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [93
Отсюда, как и выше,
y = hm т- = —г—= sec-а:.
Аналогично,
если y = ctgx, то У = г-«—=—csc2x.
■^ & ' •r sin2 χ
93. Производная обратной функции. Прежде чем
заняться вычислением производных от обратных
тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему,
Теорема. Пусть 1) функция y = f(x) в точке χ — лг()
имеет конечную и отличную от нуля производную /' (х0),
2) для неё существует однозначная обратная функция
x = g(y), непрерывная в соответствующей точке
у = у0, где yn — f(xa). Тогда производная ^' (,ѵ0) также
существует и равна -р-.—-.
Доказательство. Придадим значению у=у0
произвольное приращение Д_у, тогда соответственное
приращение Δλγ получит и функция x = g(y). Заметим, что при
Ду^О, ввиду однозначности самой функции y = f(x), и
Δ.ν=?^0. Имеем
Аг_ 1
\у— 4у .
1х
Если теперь Ly —► 0 по любому закону, то — в силу
предположенной непрерывности функции x = g(y)— и
приращение Δχ —-»· 0. Но тогда знаменатель правой части написанного
равенства стремится к пределу f(x0)^:0, следовательно,
существует предел для левой части, равный обратной вели-
чине tu ^ \ ■' он " представляет собой производную g'(y„)-
f (х0>
Итак, имеем простую формулу:
Jχ
Легко выяснить её геометрический смысл. Мы
знаем, что производная у' есть тангенс угла я,
образованного касательной к графику функции y=f(x) с осью х.
Но обратная функция x = g(y) имеет тот же график, лишь
независимая переменная для неё откладывается по оси ѵ.

93] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 233
Поэтому производная х' равна тангенсу угла β,
составленного той же касательной с осью у (черт. 39). Таким
образом, выведенная формула сводится к известному соотношению
tg? =
'tgct'
■ ах. Обратной для нее' функ-
связывающему тангенсы двух углов а и 8, сумма которых
π
равна 9- .
Положим для примера у.
цией будет x = \ogay.
Так как (см. 6°) у'=
= a*-logа, то, по
нашей формуле,
1
у у1
1
V
*-х
Черт. 39.
ах · log a
в согласии с 7°.
Переходя теперь к
вычислению
производных от обратных тригонометрических функций, мы для
удобства обменяем ролями неременные χ а у, переписав
доказанную формулу в виде
1
9° Обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим функцию _y = arcsinx (—1<^*<0), причём
— *-<^у <С -if · Она является обратной для функции x=siny,
имеющей для указанных значений у положительную
производную х' =cosy. В таком случае существует также
производная у' и равна, по нашей формуле,
II 1 1
cos .У
У l-sin3>
ΥΓ
корень мы берём со знаком плюс, так как cos.y^>0.

234 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [94
Мы исключили значения х — ^zl, ибо для
соответствующих значений j/ = ;£:-«>" производная x'—cosy — Q.
Функция _у —arctgjt (—αο<^Λ'<^-}- οο) служит обратной
для функции x=ztgy. По нашей формуле
' ___L__L_ ___'_.'
Ух — х'у ~~ sec*.у 1 -f igy ~~ 1 + х~'
Аналогично можно получить:
для у = arccos χ у' = (— I <[ χ <^ 1),
для y—aicztgx У = —-j-qrjs (~ °°Ό'<! + °°)·
94. Сводка формул для производных. Сделаем сводку
і.есех выведенных нами формул:
1. у = с
2. у = х
3. у = х*
1
У=7
у — Ѵ"х
4. jrssa*
у — ех
5. j; = IogaJc
3» = logA:
6. .у = sin λ:
7. _y = COSAT
8. _μ= tg^r
9. y = ctgx
10. _y = arcsin.£
11. y = arccos χ
y=o
y = i
"•"m
y' =ax -logα
y' — ex
y>=!2h±
■* X
y=l
' X
У = cos χ
У = — sin λ:
y = sec2je = —'.,
■^ cos-дг
y = _csc2Ar = — . ',—
■* sin- j:
У~У7^х~і
у- ' .
1 1

95] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 235
12. у=хлгсіёх у = г-1_,
13. y = arcctgx у' = —j-j-
1_
х*
95. Формула для приращения функции. Докажем здесь
два простых утверждения, имеющих приложения в дальнейшем.
Пусть функция y—f(x) определена в промежутке SC.
Исходя из определённого значения х = х0 из этого
промежутка, обозначим через Δχ^Ο произвольное приращение х,
подчинённое лишь тому ограничению, чтобы точка х0-\~Ах
не вышла за пределы X. Тогда соответствующим
приращением функции будет
4У = Δ/ (хо) =/ (*о + *χ) ~~ / (*о)·
1° Если функция y=f(x) в точке xQ имеет {конечную)
производную y'x~f (х0), то приращение функции может
быть представлено в виде
Д/(*о)=/(*и)-^ + я-Д« (2)
или, короче,
Ьу=у'х-±х-{-сі-\х, (2а)
где а есть величина, зависящая от Ах и вместе с ним
стремящаяся к нулю.
Так как, по самому определению производной, при Δλ: —>-0
то, полагая
Λλ-'
видим, что и а—»-0. Определяя отсюда Δ_ν, придём к
формуле (2а).
Так как величина α·1χ (при Δχ—^О) будет бесконечно
малой высшего порядка, чем Δχ, то, употребляя введённое в 60
обозначение, можно наши формулы переписать в виде
Δ/(χ0)=/'(χ„)·Δλ- + ο(Δλ-) (3)
или
&у=у' ·±χ-\-ο(Δχ). (За)

236 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [96
Замечание. До сих пор мы считали Δχ Ξ=* 0; величина а
и не определена была при Дх = 0. Когда мы говорили, что
а—►о при Δχ—>-0, то (как обычно) предполагали, что Δχ
стремится к 0 по любому закону, но не принимая иу-
левого значения. Положим теперь а = 0 при Δχ=ϋ;
тогда, разумеется, формула (2) сохранится и при Δχ = ϋ.
Кроме того, соотношение а—>-0 при Δχ—► 0 можно понимать
и в более широком смысле, чем раньше, не исключая для Δχ
возможности стремиться к 0, принимая в числе прочих и
нулевые значения.
Из доказанных формул непосредственно вытекает:
2° Если функция у =f{x) в точке х0 имеет (конечную)
производную, то в этой точке функция необходимо
непрерывна.
Действительно, из (2а) ясно, что соотношение Δχ—^О
влечёт за собою Ду —>■ 0.
96. Простейшие правила вычисления производных.
В предыдущих пп° мы вычислили производные для
элементарных функций. Здесь и в следующем п° мы установим ряд
простых правил, с помощью которых станет возможным
вычисление производной для любой функции, составленной из
элементарных при посредстве конечного числа
арифметических действий и суперпозиций [51].
1. Пусть функция и = φ (χ) имеет (в определённой
точке х) производную и1. Докажем, что и функция у = си
(с = const.) также имеет производную (в той же точке),
и вычислим её.
Если независимая переменная χ получит приращение λχ,
то функция и получит приращение Δϋ, перейдя от исходного
значения и к значению и-)-Да. Новое значение функции у
будет у -j- Ду — с (и -\- Да). Отсюда &у = с · 1и и
lim —- —c-hm τ—= £·«'.
Итак, производная существует и равна
у = (с-и)'— с-и'.
Эта формула выражает такое правило: постоянный
множитель может быть вынесен за знак
производной.

Отсюда
96] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ 237
II. Пусть функции и = ψ (χ), ν = φ (χ) имеют {в
определённой точке) производные и', ѵ'. Докажем, что функция
у — и^ѵ также имеет производную (в той же точке),
и вычислим её.
Придадим χ приращение Δ*; тогда и, ν к у получат,
соответственно, приращения Аи, Аѵ и by. Их новые
значения и-\-Аи, ѵ-\-Аѵ и у-\-Ау связаны тем же соотношением:
у -\- Ау = (и -f- Δ#) ± (v -f" Ьѵ).
Av — Au-\-Av, -^ = -^4-^
И
,. Δν .. Δ/г Δ» , , ,
hm ^= hm д-± lim г- = я ±<
Длг->0ЛДГ Δ*-»0ад: Ьх->0 х
так что производная у' существует и равна
/ = (и ± «)' = и' ± f'·
Этот результат легко может быть распространён на любое
число слагаемых (и притом — тем же методом).
III. При тех же предположениях относительно
функций и, ν докажем, что функция у = и-ѵ также имеет
производную, и найдём её.
Приращению Δ* отвечают, как и выше, приращения Аи,
Δι> и Ay; при этом у-\-Ау==(и-\-Аи) (ѵ-\-Аѵ), так что
Ау = Аи · ν -\- и · Аѵ -(- Au · Αν
и
Δν Δ« , Δί/ , Δκ .
Так как при Ах—<-0, в силу 95, 2°, иАгі->-0, то
Δν ,. Δ« , ,. Δσ , . ,
hm д^= hm ^-v + u-hm ϊ-=β'-o-f β-t»,
Δ*-»0 ад: Δλγ-Ю ідг ідг-*0 "*
т. е. существует производная у' и равна
у = (и · ѵ)' = и' · ν -\- и · ѵ\
Если y — uvw, причём и', v', w' существуют, то
y==[(uv)-w}' = (αν)'■w-]~(uv)-wl = u'vw -]-uv'w~j-uvw'.

238 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [96
Легко сообразить, что для случая η сомножителей будем
иметь аналогично:
я
[uvw.. . s]' = u'vw.. .s -\- uv'-w. . .s -\- uvw'.. .s -f-...
.. .-\-uvw.. .s'. (4)
Для того чтобы доказать это,, воспользуемся методом
математической индукции. Предположим, что формула (4) верна
для некоторого числа я сомножителей, и установим её
верность для я —}— 1 сомножителей:
в + 1 η
[uvw. .. si]'= [(uvw ... s)-t]' — (uvw... s)' · t ~[-(uvw. .. s)-f;
если производную (uvw... s)' развернуть по формуле (4), то
придём к формуле
[uvw ... si]' = u'vw... st-i- uv'w... st -j- ...
... 4- uvw... s't -j- uvw... si',
совершенно аналогичной (4). Так как в верности формулы (4)
при η = 2 и 3 мы убедились непосредственно, то эта формула
верна при любом п.
IV. Наконец, если и, ν удовлетворяют прежним
предположениям и, кроме того, ν отлично от нуля, то мы
докажем, что функция — также имеет производную, и
найдём её.
При тех же обозначениях, что и выше, имеем
, t и 4- Δη
Л" ^ = 5+3*·
так что
. ΛίΓ · Ό — И · ^Ѵ
Δν = —;—, , , ■ .
ѵ(ѵ-\-лѵ)
и
.ν— ц.
Δ_ν ±Χ <λχ
λχ ν-(ν-^Λν) '
Устремляя здесь Δ* к нулю (причём одновременно и Δ»—>-0),
убеждаемся в существовании производной
, fj±\' u'-v — u-v'
ν I ν*

37] § 1. производная и её вычисление 239
97. Производная сложной функции. Теперь мы можем
установить весьма важное при практическом нахождении
производных правило, позволяющее вычислить производную
сложной функции, если известны производные составляющих
функции.
V. Пусть 1) функция и = а (х) имеет в некоторой
точке χ производную и'х = ъ' (х), 2) функцияy=f (и) имеет
в соответствующей точке и производную у' ==/' (к). Тогда
сложная функция y=f{'f(x)) в упомянутой точке χ
также будет иметь производную, равную произведению
производных функций f(u) и φ(χ):
[ί(φ(χ))}'=/'α{*(χ)).γ'(χ)*,
или, короче,
sx -уа χ
Для доказательства придадим χ произвольное приращение
Дх; пусть Ди — соответствующее приращение функции ϋ = φ(χ)
и, наконец, ку — приращение функции y=f(u), вызванное
приращением Ди. Воспользуемся соотношением (2а), которое,,
заменяя χ на и, перепишем в виде
^y :=у'а ■ Да -f- α · Да
(а зависит от Д« и вместе с ним стремится к нулю).
Разделив его почленно на Дх, получим
Если Дх устремить к нулю, то будет стремиться к нулю-,
и Дй [95, 2°], а тогда, как мы знаем, будет также стремиться
к нулю зависящая от Дм величина а. Следовательно,
существует предел
который и представляет собою искомую производную у'х.
Замечание. Здесь сказывается полезность замечания
в 95 относительно величины а при Дх = 0: покуда Дх есть
* Подчеркнём, что символ /„ (?(■*)) означает производную,
функции /(и) по её аргументу и(а пепо χ), при значении.
и = о (х) этого аргумента.

.240 ГЛ. ΠΙ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [98
приращение независимой переменной, мы могли
предполагать его отличным от нуля, но когда Δλ- заменено
приращением функции α = φ(χ), то даже при Δα*=^0 мы
уже не вправе считать, что ки ^= 0.
98. Примеры*. Сначала приведём несколько примеров
приложения правил I — IV.
1) Рассмотрим полином:
y = aux>'-\-a1xn-'i-\-...-\-an-%x*-\-an-1x-±aa.
По правилу И, а затем I, будем иметь
у = (a^O'-t-(виг*-!)'+ · -· + К_с-*2)'+ («я_і*)' + («„)' =
= 0О (*«)' + βχ ί*""1)' +.. - + «»-»(*2)' + «л_і (■*)' + (ββ)'·
Использовав же формулы 1, 2, 3 [94], окончательно получим
у = лд0хл-і_)_(« — I) дхдг''-з-f .. . + 2arl_,x-j-n„_l.
2) у = {2х2 — 5х+1)-ех. По правилу III
у'= (2j&— 5λγ-Η)'·<?*+(2*2— 5а+1) ·{**)'·
Опираясь на предыдущий пример и формулу 4 [94], найдём:
у'=:(4х — 5)-ех+(2х1 — 5х-{-\)-ех = С2х1—х — 4)-ех
У = -х2?1 · По пРавилУ IѴ>
(ах+Ь)'(х->+1)-(ах+Ъ)(х*+1)'_
У~~ (*2+1)2
а(л:3-|-1) — (ax-j-b)-2x_ — ах? — 2Ъх-\-а
4) Вычислим снова производную функции _y = tg.r, исходя из
мулы
получим
формулы у-= . Пользуясь правилом IV (и формулами 6,7, 94)
.,.__ (sin A-)f-cos a- — sin .у- (cos χ)' cos2a-f- sin'3.*· I
COS2A' COS2* COS2A"
<cp. 8, 94).
A-Sin A"-I-COS A* _
5) у = ■—:— . Здесь
. :ь приходится пользоваться сначала
X COS X — Sin A" r
* Буквами χ, у, и, ѵ ниже обозначены переменные, а
другими буквами — постоянные величины.

S8] § 1. производная и её вычисление 241
правилом IV, а затем правилами II и III (и формулами 6,7, 94):
, (;trsi!u;-|-cosA:)'(;«:os.:t— sin*)—(jcsinJ:-!-cosj:)(A-cosx—sin.*:)'
(xcosx — sin*)3
χ cos χ ■ (x cos χ — sin λ:) — (*sin χ -\- cos x) ■ ( — χ sin χ)
{X COS X — Sin X)' ~~
ΛΓ3
(λ- cos χ — sin x)2'
Вычисление производных числителя и знаменателя мы
произвели, не расчленяя его на отдельные шаги. Путём упражнения
необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные
сразу.
Примеры на вычисление производных сложных функций:
6) Пусть у = log sin χ, иначе говоря, y — \ogu, где и = sin χ.
По правилу V, у'х = у'а ■ и'х. Производная у'а — (Jog и)'а = —
(формула 5) должна быть взята при ii=:sin*·. Таким образом,
ι \ cos χ
у*= Έϊχ-^χ)'=ΈΓχ = ^χ (ф°РмУла 6)-
7) у = Ѵі-{~х3, т. е. y — Yu, где ц= I-f--»:2; но правилу V,
у'х = оч/Т-г=^1~1-х3)'=~-,/-А—ΐ (Формула 3; пример 1).
8) у = ех°, т. е. у = еи, где й = х2;
у'х = ех:,-(х*у = 2х.ех' (Ѵ;4иЗ).
Конечно, в отдельном выписывании составляющих функций на
деле нет надобности.
9) _y = sina.*:; yx —cos ax (ax)'— a-cos ax (V; 7, 1,2).
10) у = (х* +*-+-1)'^ = «(χ2+λγ+1)'<-4·*2 + *+1)' —
= η(2χ+ϊ){Χ' + Χ+ψ-1 (V; 3, пример 1).
11) y = 2'inx;y'x = 25ІI"Чоя2· (sin χ)'= Iog2-cosjc-2sin* (Ѵ;4,6).
12) у = arctg —
1_. , __ 1 /1\'_ -v3 /'„l^
1 +ДГ3
(V;12,3).
Случай сложной функции, полученной в результате нескольких
суперпозиций, исчерпывается последовательным
применением правила V:
Щу= j/tgy*;
16 Г. М. Фихтенгольц

242
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [98
тогда
*'* = /-г- ·(*!*)> (Ѵ;3)
1 , 1 /Ί
sec^ -prx
£ \ - / χ
}/bj*
sec- -κ-λ:
(W> (V;8>
. ι"
sin- -
14) y—e x ; в этом случае
sin3 - ί 1 \ '
Ух = е *-1йп,гЛ= (Ѵ;4)
sin:'
■v.2sini-. (sin-M = (V;3)
X \ x J χ
-e л -ism — · cos —
χ χ
1 2 "n3-
— i-sin — ■ e x (V; 3).
χ- χ
Дадим ещё несколько примеров на применение всех правил:
ех — е~х
15) у= sh χ-
1 ι ι px-\-e~x
у = 2 [(«*>; - (*-*>; ] = у = л χ.
Наоборот, если у = ch.tr, то y' = shx. Наконец, как и в 4), легко
получить:
sh χ
если і/ — th х~ -г^— , то у'
СПЛ"
если же у = cth χ, то j/'
ch χ ' ch-3 χ '
1
sh-злг
ΐ6) ν=log (.v+>vs+1),· .v; = ' .{*+>v+i);
.r-f-V·*'3-}-!
jr + l .v-2 + 1 V V лг3-т-1У У'л-з-i-l
1

98]
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ВЫЧИСЛЕНИЕ
243
Тот же результат можно получить и из других соображений..
Мы видели в 49, 4), что функция у = log (χ-\-Υχ3-+-1) является,
обратной для функции χ— shy; поэтому [93; пример 15; 48, 6°]
ху Ch-V Vsh'^+1 Ѵх^+Л
ьКдгЗ + аЗ-дг· . х ,
17) у = —^^ ; у, = і . £**+ «2
(yjEqie»)"
ι
"(л-г+аг)3/а
1 9г
У=4
1
-.·2
1-(1—^)_^.(_2дг)_ 1
(!-*«)«
W)y = -r
2 '+(г^)'__
Уо-У + Ь — /б — ас
"l-j-лгз"
1
log:
У b —ас' " У ах -f- ft + V * — яс
(мы предполагаем: & — ас>0);
а
У =
1
К ft —ас
1
2Кйх+*
2Ѵалг + &
Уа*-|-і — У* — ас Vax~\-b-\-Vb—ac
~{х + с) Vax-Yb'
Ж)У~:
■ arclg
V—
V ас —
' Vac — ft
(здесь предположено: ас — ft>0);
1
1
1
У' =
Ѵас — ь\\ ах+ь ' Vac —ь'2 γ ах + ft (x+c)Vax+b"
~*~ac—b
„,. 1 . a sin * +ft ,,, . . π τ.
21) у =— arr.sin—=—;—J— (\b\<a; ?г<л<-т);
у дз_ ρ a -f- ft sin л: ' ' 2 2 ''
1
1
Υ a"-—b1 /"" /asin.r-f-fr\
К la-f-ftsin*/
■Χ
a cos χ· (a 4- ft sin лг) — (g sin χ -f ft) · b cos л: 1
X (α-f-ft sin лг)3 ~a-\-b sinx'
16*

'244 гл, ш. производные и дифференциалы [98
пп. 1 , b4-asmx—У Ь1—д-'-cos χ .. . ... ,
22) ν = . be —! г-τ—- (\α < * Κ
yj3_a3 s a-\-bsmx м ι^ι ;>
— ' [ Q cos дг -(- ^ ^' — a% s'n ■* fccosjf
уг,;_й2 [b-{-a sin χ—Vrb-—a^ cos χ a-\~bsinx
1
a-}-b sin*'
23) В виде упражнения, исследуем ещё вопрос о производной
•степенно-показательного выражения у — пѵ (а > 0), где
а и ν суть функции от х, имеющие в данной точке производные
и', ѵ'.
Прологарифмировав равенство у = и«, получим
logy ~v-logu. (5)
Таким образом, выражение для у можно переписать в виде
у-~еѵ іо««, откуда уже ясно, что производная у' существует.
Самое же вычисление её проще осуществить, приравнивая
производные по χ от обеих частей равенства (5). При этом мы
используем правила V и III (помня о том, что и, ν и у суть функция
от х). Мы получим
— .y = v'-logu+v---n',
откуда
, fVU' 1/1 \
У'=У{ — + »' log"],
или, подставляя вместо у его выражение,
У' = иѴ (~--T-Wlogn). (6)
Эта формула впервые была установлена И. Б е ρ н ν л л и (Johann
Bernoulli).
Например,
если у = х,1ПХ, то у'х =zximx{^^--{-zosx-\ogx\.
24) Предполагая, что функция f (х) имеет производную /' (х),
написать выражения производных для функций
(a) sinf(x), (б) е**\ (в) log/»
по х, и для функций
(.·) /(sinг), (д)/(*'), (е) /(log/)
ло ί.
Ответ: (a) cos/U)-/'(.r); (б) efM-f(x); (в) ί^ ;
(г)/'(sin ί)· cost; (д) f'(et).e> (е) /'(log/)■ j

98] § 1. производная и её вычисление 245
По поводу последних трёх примеров (г), (д), (е) обращаем
внимание читателя на то, что символ /'(...) означает произзозную по
аргументу х, от которого зависит функция /(лг),но при
значении этого аргумента, соответственно, * = sin<, e*, logi, уже
зависящем от і. Ср. сноску на стр. 239.
25) Функция / (лг), определённая в симметричном относительно
О промежутке, называется чётной, если/ {— х) =/ (лг), и нечётной,
если /(— дг) = — / (лг). [Примерами
чётных функций могут служить
чётные степени л-3, х*,..., а также
cos χ, ch лг; примеры нечётных
функций: нечётные степени х, лг3,...;
sin-г, sh.*r.)
Доказать, что производная
чётной функции (если существует)
сама является нечётной
функцией, а производная нечётной
функции сама будет чётной.
26) Вычислить производную для
функции у = log | χ | при χ ^ 0.
При лг>0, очевидно, У' — -
покажем, что та
при л: < 0. Действительно, вычисляя
у— log ! дг |= log (— χ),
сложной функции, будем иметь
сохраняется и
для функции
как
же формула
производную·
у =
1
— χ
и в этом случае.
27) Рассмотрим кривую
у = ахт
Угдовой коэффициент
(х,у) будет [90—91]:
(-1) =
1
(т > 0).
касательной к ней в
некоторой её точке
По черт. 40 видно,
тельная») равен
tg α = у = max
что отрезок ТР (так называемая «подкаса-
ТР-.
У _.
tga
max
m-l'
Это обстоятельство делает лёгким самое построение касательной.
[Обобщение результата п° 90.]
28) Для кривой («цепная линия»)
подобным же образом,
у = а · ch —
(в>0),
tg а =У
:sh"

246 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [98
На этот раз определим (считая χ > 0)
_ 1 1 _ 1 а_
так что jNCosa=:u. Если из основания Ρ ординаты у = РМ
(черт. 41) опустить перпендикуляр AS на касательную МТ, то
отрезок PS окажется равным а. Отсюда снова вытекает простой
способ построения касательной к рассматриваемой кривой: на
ординате РМ, как на диаметре, строят полуокружность и из точки Ρ
делают засечку S радиусом а: иря-
il мая MS и будет касательной.
29) Пусть материальная точка
колеблется по оси около
некоторого среднего положения по закону
s = A-sm (ω/ -f а) (Λ,ω>0).
Такое колебание носит название
гармонического; А— его амплитуда,
ω—частота, α-г-начальная фаза.
х Взяв производную от пути s но
времени t, найдём скорость
движения:
Черт. 41. o=r^.cos(wi-fa).
Наибольшей величины ±Лш скорость достигает в моменты, когда
•s = 0, т. е. точка проходит через среднее положение. Наоборот,
когда точка находится в наибольшем удалении от этого среднего
положения (s= + A), скорость ν = 0.
Производная от ν по ί:
« = — /4u)3-sin (ωί-f- а)
ласт нам ускорение, с которым движется точка; очевидно,
а = — ω·· λ
Отсюда, если ввести массу т движущейся точки, то, по закону
Ньютона, сила F, под действием которой происходит
гармоническое колебание, выразится так:
/="= — mufi-s.
Как видим, она всегда направлена к среднему положению (ибо
имеет знак, обратный знаку s) и пропорциональна удалению точки
•от него.
30) Движение, происходящее по закону
s—Ae~kts\n<At (A, *,»>()),
лазывается затухающим колебанием, ибо наличие множителя

99l § 1. производная и её вычисление 247
е~кі заставляет точку, хоть н колеблясь около среднего положения,
всё же стремиться к совпадению с ним:
lira ί = 0.
/-+ + 00
В этом случае
О = S( = Λβ-*·'·(<!>· COS ωί — ft-Sin (Of)
a = v( = ~ Ae-k- (i>>i-sin<i>i^\-'2ak-costot — ft--sin(oi).
Вводя в скобках ещё члены rtA2-sin<i>i, после очевидных
преобразований получим
а = — Ае-Ы [(ω2 + ft2) sin <οί-f- 2ft (w·cos ωί — ft-sin *>ί)] .-=
= _((02_J.ft2).s_-2ft.t,.
Сила, под действием которой происходят подобное движение,
равна
/=·= — (ω2 -f- ft-) т ■ s — 2km ■ ν.
Мы видим, что она слагается из двух сил: 1) из силы,
пропорциональной расстоянию точки от среднего положения и направленной
к этому среднему положению (кач и в случае гармонического
колебания), и 2) из тормозящей движение силы,
пропорциональной скоростн и направленной обратно скорости.
99. Односторонние производные. Обратимся, в
заключение, к обзору ряда особых случаев, которые могут
представиться в отношении
производных. Начнём с
установления понятия об
односторонних производных.
Если рассматриваемое
значение χ является одним из
концов того промежутка SC, в
котором определена функция
y=f(x), то при вычислении
предела отношения ~-
приходится ограничиться приближением Аг к нулю лишь справа
(когда речь идёт о левом конце промежутка) или слева
(для правого конца). В этом случае говорят об
односторонней производной, справа или слева. В соответствующих
точках график функции имеет одностороннюю
касательную.
Может случиться, что и для внутренней точки χ суще-
ствуют лишь односторонние пределы отношения ^
Черт.. 42.

248 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [(ОО
(при Δ*—*--}-О или ^х—*— 0), не равные между собой; их
также называют односторонними производными. Для
графика функции в соответствующей точке будут
существовать лишь односторонние касательные, составляющие
угол; точка будет угловой (черт. 42).
В качестве примера рассмотрим функцию y=f(x) = \x].
Исходя из значения х = 0, будем иметь
Ду = / (0 + Μ - / (0) = / (А») = I А*!·
Если Ьх > 0, то
\у
\у = Алг,
Iі.ті —■ -
I.
Если же Δλγ < 0, то
*ѵ-
\х, 1
-1.
Начало координат является угловой точкой для графика этой
функции, состоящей из биссектрис первого и второго
координатных углов.
100. Бесконечные производные. Если отношение прира-
4ѵ „„„ Δχ_ο
щений
это
Ах "РИ
несобственное
к оо
(-foo, —ос),
то
стремится
число также называют производной (и
обозначают как
обычно). Аналогично
устанавливается понятие
об
односторонней бесконечной
производной.
Геометрическое истолкование
производной как углового
коэффициента
касательной
распространяется и на этот
случай; но здесь — касательная оказывается параллельной оси у
(черт. 43 а, б, в, г).
Отметим, что для непрерывной функции y=f(x)
односторонняя производная может быть бесконечностью лишь
определённого знака (т. е. может равняться либо -{-оо,
либо — оо). Действительно, пусть, например, речь идёт о
производной справа в точке х = ха, т. е. о пределе отношения
/(*)-/(*о)
χ -.*■„
Черт. 43.

100} § 1. производная и её вычисление 249
при χ—>-ха-\-0*. При х^>х0 это отношение представляет
непрерывную функцию от χ и, меняя знак, необходимо
обращалось бы в 0 [по теореме Коши, 79]. Поэтому-то, если
при χ—>-х0-|-0 оно имеет пределом оо, то вблизи ха не
может менять знака.
Таким образом, если непрерывная функция в какой-
либо точке имеет бесконечную производную, то для неё
представляются лишь четыре возможности, изображённые на.
черт. 43. В случаях (а) и (б) эта производная равна,
соответственно, 4-00 и —°° (°бе односторонние производные
совпадают по знаку); в случаях же (в) и (г) бесконечная
производная не имеет определённого знака (односторонние-
производные разнятся знаками).
х_
Пусть, например, f\(x) = хл; при хфО формула 3, 94, даёт
но она не приложима при дг = 0. В этой точке вычислим
производную, исходя непосредственно из её определения; составив
отношение
/і(0 + Длг)-/і(0)_Р*)3_ 1 .
Их ~ &χ ~ I'
Ьх3
видим, что его пределом при іх-—>-0 будет +оо. То же
справедливо и для функции /2 (х) =д-2 = У χ при х = 0, но в этом
случае необходимо Δχ>0, и речь может итти лишь об
односторонней производной справа. Аналогично убеждаемся, что для функции.·
fs(x)—xA при х = 0 производная слева равна —-зо, а справа -(-оо..
Пользуясь расширением понятия производной, можно
дополнить теорему п° 93 о производной обратной функции
указанием, что и в тех случаях, когда f'(x0) равна 0 или оо,.
производная обратной функции g' (y0) существует и равна,
соответственно, оо или 0. Например, так как функция sin г
* Здесь роль приращения для значения х0 играет разность.
Δχ=χ — χ0. Требование χ—*-x0 + 0. очевидно, равносильно
требованию Δα- —► -|- 0.

250 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [101
при х = ±ту имеет производную cos (it-5-) =0, т0 Д-'15·
обратной функции arcs in у при ^ = +1 существует
бесконечная производная (именно, -j- 00).
101. Дальнейшие примеры особых случаев. 1° Примеры
несуществования производной. Уже функция у=\х\ в точке
д: = 0 [см. 99] не имеет обычной, двусторонней,
производной. Но интереснее пример функции
f(x) — x-sin— (при χ ~0), /(0) = 0,
непрерывной и при х = 0 [70, 5)], но не имеющей в этой точке
даже односторонних производных. Действительно, отношение
/(0+d*)-/(0)=/(.br) 1
Дх Лх Аа-
не стремится ни к какому пределу при 1х—>-±0.
По графику этой функции (черт. 24) легко усмотреть, что
секущая ОМь исходящая из начальной точки О, не "имеет
предельного положения при стремлении Μχ к О, так что касательной
к кривой в начальной точке нет (даже односторонней).
Впоследствии [416, второй том] мы познакомимся с
замечательным примером функции, непрерывной при всех значениях
аргумента, но ни при одном из них не имеющей производной.
2° Примеры разрывов производной. Если для данной функции
y = f(x) существует конечная производная y'—f'(x) в каждой
точке некоторого промежутка X, то эта производная, в свою
очередь, представляет собой в ЭС функцию от х. В
многочисленных примерах, которые нам до сих пор встречались, эта функция
сама оказывалась непрерывной. Однако, это может'быть и не так.
Рассмотрим, например, функцию
/(ЛГ) = ЛГ2.5ІП — (npiIJT^O), /(0j = 0.
Если χ φ 0, то ее' производная вычисляется обычными
методами:
/' (х) = 2;tr-sin ■ cos — ,
у χ χ
но полученный результат неприложим при х=0. Обращаясь
в этом случае непосредственно к самому определению понятия
производной, будем иметь
/.«» = «» £i£+^bZii> = Hmix.stalL = o.
Д.*-*0 '** Δλ;-)·0 -і-*г
Вместе с тем ясно, что f (х) при χ—>-0 не стремится ни к какому
пределу, так что при дг = 0 функция /'(-*') имеет разрыв.

102]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
251
То же справедливо и для любой функции
f{x) = x«-sin — (прих^О), /(0) = 0,
если только л > 1.
В этих примерах разрывы производной оказываются
второго рода. Это —не случайность: ниже [H9J мы увидим, что
разрывов первого рода, т. е. скачков, производная иметь не
может.
§ 2. Дифференциал.
102. Определение дифференциала. Пусть имеем
функцию y=f(x), определённую в некотором промежутке X и
непрерывную в рассматриваемой точке х0. Тогда
приращению Δχ аргумента отвечает приращение
^y=Lf^xli)=f{x0+ьχ)-f^x0),
бесконечно малое вместе с Δχ. Большую важность имеет
вопрос: существует ли для Ау такая линейная
относительно Ах бесконечно малая А-Ах (А = const.), что их
разность оказывается, по сравнению с Δχ, бесконечно
малой высшего порядка:
Ау — А-Ах-\-о(Ах). (1)
При А^фО наличие равенства (1) показывает, что
бесконечно малая Л-Δχ эквивалентна бесконечно малой Ау и,
значит, служит для последней её главной частью, если
за основную бесконечно малую взята Δχ [62, 63].
Очевидно, что равенство (1) может иметь место (если
вообще имеет место) лишь при одном значении постоянной А;
действительно, если оно выполняется при А = А1 и А = Л2,
то необходимо
(Л)—■Α2)·Αχ = ο(Αχ),
что возможно лишь при условии Аг = Аѵ
Если равенство (1) выполняется, то функция y = f(x)
называется диффер енциру емо й {при данном
значении х = хй), само же выражение А·Ах называется
дифференциалом функции и обозначается символом dy
или df (х0).

252 гл. ш. производные и дифференциалы |і02
[В последнем случае, в скобках указывается исходное
значение х*.]
Ешё раз повторяем, что дифференциал функции
характеризуется двумя свойствами: (а) он представляет линейную
(однородную) функцию от приращения Δ* аргумента и (б)
разнится от приращения функции на величину, которая при
Δ*—>-0 является бесконечно малой порядка высшего, чем &х.
Рассмотрим примеры.
1) Площадь Q круга радиуса г задаётся формулой
Q = w2. Если радиус г увеличить на Δγ, то соответствующее
приращение AQ величины Q будет площадью кругового·
кольца, содержащегося между концентрическими
окружностями радиусов г и r-f-Ar. Из выражения
Δζ) = π (г -[- Δ/")2 — π'2 = 2пг ■ Δγ-f π (Δλ)2
сразу усматриваем, что главной частью AQ при Δγ—>-0 будет
2ττγ·Δγ; это и есть дифференциал, dQ. Геометрически он
выражает площадь прямоугольника (полученного как бы
«выпрямлением» кольца) с основанием, равным длине
окружности 2тгг, и высотой Δγ.
4
2) Аналогично, для объёма V— -=· пг3 шара радиуса г,
при увеличении радиуса на Δ/", получается приращение
Δν = -|-π(Λ + Δ,·)8— jTxr3 =
— 4тггг · Δγ -f 4яг · (A/·)* + f тг (Δτ)3,
главной частью которого при Δγ—>-0, очевидно, будет dV—
= 4τγγ2·Δλ Это — объём плоского слоя с основанием,
равным поверхности шара 4тгг2, и с высотой Δγ; в подобный слой
как бы «распластывается» слой, содержащийся между двумя
концентрическими шаровыми поверхностями радиусов г и
r-f-ΔΓ.
3) Наконец, рассмотрим свободное падение материальной
точки, по закону 5 = ^-. За промежуток времени Δ', от b
до t-\-tdt движущаяся точка пройдёт путь
* Здесь df как едины й символ играет роль функционального
обозначения.

103]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
253
При Δ/—>■ 0 его главной частью будет ds = gf-Af. Вспомнив,
что скорость в момент t будет v — gt [89], видим, что
дифференциал пути (приближённо заменяющий приращение пути)
вычисляется как путь, пройденный точкой, которая в
течение всего промежутка времени Δ* двигалась бы именно
с этой скоростью.
103. Связь между дифференцируемостью и
существованием производной. Легко установить теперь
справедливость следующего утверждения:
Для того чтобы функция y~f(x) в точке х0 была
дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы для
неё в этой точке существовала конечная производная
y'=f'(x0). При выполнении этого условия равенство (1)
имеет место при значении постоянной А, равном именно
этой производной:
Ь.у=у'хЬх-\-о(\х). (la)
Необходимость. Если выполняется (1), то отсюда
так что, устремляя Δχ к 0, действительно, получаем
я 1· ^Ѵ I
A = hmiz.=y,x.
Достаточность сразу вытекает из 95, 1° [см. там
(За)].
Итак, дифференциал функции y=f(x) всегда равен
dy=y'x-bx*. (2)
Подчеркнём здесь же, что под Δλ; в этом выражении мы
разумеем произвольное приращение независимой
переменной, т. е. произвольное число (которое часто удобно
бывает считать не зависящим от х). При этом вовсе не
обязательно предполагать Δλ; бесконечно малой; но если
Δλ:—>-0, то дифференциал dy также будет бесконечно ма-
* Легко проверить, что именно так и составлялся
дифференциал во всех случаях, рассмотренных в предыдущем п°.
Например, в случае 1), имеем:
Q = «r\ Q'r = 2rr, d<? = 2vV,
и т. д.

254 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [103
лой, и именно (при y'x=j=0)— главной частью бесконечно
малого приращения функции Ау. Это и даёт основание
приближённо полагать
Ау = dy,
(3)
+-х
с тем большей точностью, чем меньше Ах. Мы вернёмся
к рассмотрению приближённого равенства (3) в п° 106.
Чтобы истолковать геометрически дифференциал
dy и его связь с приращением Ау функции y=f(x),
рассмотрим график этой
У\ M'J функции (черт. 44).
Значением χ аргумента
и у функции
определится точка Μ на
кривой. Проведём в этой
точке кривой
касательную МТ; как мы
уже видели [9V, её
угловой коэффициент,
tg а, равен
производной у'х. Если абсциссе
χ придать приращение
Ах, то ордината кривой у получит приращение Ay = NMv
В то же время ордината касательной получит приращение
NK. Вычисляя NK как катет прямоугольного треугольника
MNK, найдём:
m=MN-tga = y'x-Ax = dy.
Итак, в то время как Ау есть приращение ординаты
кривой, dy является соответственным приращением ординаты
касательной.
В заключение остановимся на самой независимой
переменной х: её дифференциалом называют именно
приращение Ах, т. е. условно полагают
Черт
dx = Ах.
(-0
Если отождествить дифференциал независимой
переменной χ с дифференциалом функции у = х (в этом —
тоже своего рода соглашение!), то формулу (4) можно и
доказать, ссылаясь на (2): dx = x'.-Ax=\-Ax = Ax.

104]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
255
Учитывая соглашение (4), можно теперь переписать
формулу (2), дающую определение дифференциала, в виде
dy—y'x-dx (5)
— так её обычно и пишут.
Отсюда получается
У.-Ѣ- го
так что выражение, которое мы раньше рассматривали как-
цельный символ, теперь можно трактовать как дробь..
То обстоятельство, что слева здесь стоит вполне
определённое число, в то время как справа мы имеем отношение двух
неопределённых чисел dy и dx (ведь dx = H:< произвольно),,
не должно смущать читателя: числа dx и dy изменяются
пропорционально, причём производная у' как раз
является коэффициентом пропорциональности.
Понятие дифференциала и самый термин «дифференциал» *''
принадлежат Лейбницу, который не дал, однако, точного
определения этого понятия. Наряду с дифференциалами,
Лейбниц рассматривал и «дифференциальные частные»,,
т. е. частные двух дифференциалов, что равносильно нашим;
производным; однако именно дифференциал был для
Лейбница первоначальным понятием. Со времени Кош и,
который своей теорией пределов создал фундамент для всего*
анализа и впервые отчётливо определил производную как
предел, стало обычным отправляться именно от производной,
а понятие дифференциала строить уже на основе
производной.
104. Основные формулы и правила
дифференцирования. Вычисление дифференциалов функций носит название
дифференцирования**. Так как дифференциал dy
лишь множителем dx отличается от производной у'х, то по
* От латинского слова differentia, означающего «разность».
** Впрочем, тем же термином обычно обозначают и
вычисление производных, для которого на русском языке нет особого
термина. В большинстве иностранных языков для обозначения
этих операций существуют два различных термина; например, по-
французски различают «derivation» и «differentiation».

256 ГЛ. III. ПГОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [104
таблице производных для элементарных функций [94] легко
составить таблицу дифференциалов для них:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
у = с
У*=Х»
1
У=7
у = Ѵх
у = ах
у = ех
y — logox
y=lOgX
у = sin χ
у = cos χ
y=tgx
ysscigx
у = aresin χ
у = arccos x
dy = 0
dy = \ixv-l-dx
. dx
. dx
У~° 2У"х
dyzs=ax· log a · dx
dy = ex· dx
dv—logaedx
ay χ
. dx
dy = -
dy = cosX'dx
dy = — sinx-dx
dy = sec2x-dx=—»—
·* sina χ
d dx
. dx
Y\—x*
11. >i = arctgx rfj,==_^-3
12. )> = arcctgje dy= — ■■ ,? ,
Правила дифференцирования* выглядят так:
ί. d{cu) = c-du,
II. d {и 4; ν) = du zb dv,
111. d(uv)=u-dv^-v-du,
IV d\—\ v-dtt—u-dv
* Есл:і речь идёт именно о вычислении дифференциалов.

105]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
257
Все они легко получаются из соответствующих правил
для производных. Докажем, например, два последних:
d (и · ѵ) = (и · ѵ)' · dx = {и1 ■ ν -f- и · v') dx =
= v-(u' · dx) -j- и ■ (ν' ■ dx) = v-du-\-u- dv,
dl!L\=,(,L\' .dK=u'v-"v'-dx=,v-(u'-dx)--l^m=,
\V J \V J V- t/3
v-clu — u-dv
■ v·
105. Инвариантность формы дифференциала. Правило
дифференцирования сложной функции приведёт нас к одному
замечательному и важному свойству дифференциала.
Пусть функции y=f(x) и * = φ(ί) таковы, что из них
может быть составлена сложная функция: y=f(y(t)). Если
существуют производные у'х и х'(, то—по правилу V [97] —
существует и произзодная
y't=y'x-*'r (7)
Дифференциал dy, если χ считать независимой
переменной, выразится по формуле (5). Перейдём теперь к
независимой переменной (; в этом предположении имеем другое
выражение для дифференциала:
dy=y't.dt.
Заменяя, однако, производную y't её выражением (7). и
замечая, что x't-dt есть дифференциал χ как функции от /,
окончательно получим:
dy = у'х · х\ dt =y'x · dx,
т. е. вернёмся к прежней форме дифференциала!
Таким образом, мы видим, что форма
дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если
прежняя независимая переменная заменена новой. Мы
всегда имеем право писать дифференциал у в форме (5),
будет ли χ независимой переменной или нет; разница лишь
в том, что, если за независимую переменную выбрано t, то
dx означает не произвольное приращение Ах, а
дифференциал χ как функции от t. Это свойство и называют и н-
вариантностью формы дифференциала.
1' Г, !Л. Фихтенгольц

258 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [105
Так как из формулы (5) непосредственно получается
формула (6), выражающая производную у'х через
дифференциалы dx и dy, то и последняя формула сохраняет силу,
по какой бы независимой переменной (конечно,
одной и той же в каждом случае) ни были вычислены
названные дифференциалы.
Пусть, например, у =Ѵ\ —х" {—1<^*<^1), так что
/ =
s χ
V 1 - A"*
Полэжим теперь x = sint (—-j<C^<C7)· Тогда ѵ =
= ]/!—sin" i = cos ί, и мы будем иметь: dx = cost-df,
dy = —sini-dL Легко проверить, что формула
, — sin t-dt sin t
"χ cos t-dt cos t
даёт лишь другое выражение для вычисленной выше
производной.
Этим обстоятельством особенно удобно пользоваться
в случаях, когда зависимость у от χ не задана
непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных
χ и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной
(называемой параметром):
* = <Р(0. .У = Ф(0. (8)
Предполагая, что обе эти функции имеют производные и что
для первой из них существует обратная функция t=b{x),
имеющая производную [82, 93], легко видеть, что тогда и у
оказывается функцией от х:
_Ѵ = ψ (6 (*))=/(*), (9)
для которой также существует производная. Вычисление
этой производной может быть выполнено по указанному выше
правилу:
, _dy_y'rdt_yt_V(t)
л_лс—*;.л.~~*;~У(о' (10>
не восстанавливая непосредственной
зависимости у от х.

106]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
259
Например, если x = sinf, y = cost (— -£ <^<С γ), το
производную у' можно определить, как это сделано выше,
не пользуясь вовсе зависимостью у = у\ —х-.
Если рассматривать χ и у как прямоугольные координаты
точки на плоскости, то уравнения (8) каждому значению
параметра t ставят в соответствие некоторую точку, которая
с изменением t описывает кривую на плоскости. Уравнения
(8) называются параметрическими уравнениями
этой кривой.
В случае параметрического задания кривой, формула (10)
позволяет непосредственно, по уравнениям (8) установить
угловой коэффициент касательной; не переходя к заданию
кривой уравнением (9); именно,
tga=^. (И)
xt
Замечание. Возможность выражать производную через
дифференциалы, взятые по любой переменной, в частности,
приводит к тому, что формулы
dy 1 rfy dy du
dx ~dx ' dx du'dxy
dy
выражающие в лейбницевых обозначениях правила
дифференцирования обратной функции и сложной функции,
становятся простыми алгебраическими тождествами (поскольку все
дифференциалы здесь могут быть взяты по одной и той же.
переменной). Не следует думать, впрочем, что этим дан
новый вывод названных формул: прежде всего, здесь не
доказывалось существование производных слева, главное
же — мы существенно пользовались инвариантностью формы
дифференциала, которая сама есть следствие правила V.
106. Дифференциалы как источник приближённых
формул. Мы видели, что при Ах—*0 дифференциал dy
функции у (если только у'хфО) представляет собой главную
часть бесконечно малого приращения функции \у. Таким;
образом \у -*~ dy, так что
Δ ν = dy (3)
17*

260 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [105
или, подробнее,
Δ/К) =/(*о + Δχ) -/(*«) =/ (*о)· *х (За)
— с точностью до бесконечно малой высшего порядка, чем Ах.
Это значит [62], что относительная погрешность этого
равенства становится сколь угодно малой при достаточно
малом Ах.
Рассмотрим простой пример: пусть y = xs. Тогда
Ау = (*0 -{- Лг)« - *§ = Здс* · Л* + Зх0 · ах- + Дг»,
и линейной частью Ау (как мы это выше установили в
общем виде), действительно, является дифференциал dy =
= ЗлСо'Лг=у.-Лѵ. Положим конкретно дг0 = 2,3; если
взять Δ* = 0,1, то будем иметь Δ.ν = 2,4:|— 2,33= 1,657 и
с?ѵ = 3· 2,32-0,1 = 1,587, так что погрешность от замены
первого числа вторым будет 0,070, а относительная
погрешность превысит 4°/0. При Δ* = 0,01 получим Δ_ν =
= 0,159391 и dy = 0,1587, что даёт относительную
погрешность, уже меньшую 0,5°;о; при Ах =
0,001-—относительная погрешность меньше 0,05°/0 и т. д.
Подобное же обстоятельство может быть и
непосредственно усмотрено из черт. 44, дающего геометрическое
истолкование дифференциала. На графике видно, что при
уменьшении Ах мы, действительно, всё с большей
относительной точностью можем заменять приращение
ординаты кривой приращением ординаты касательной.
Выгода замены приращения функции Ау её
дифференциалом dy состоит, как ясно читателю, в том, что dy
зависит от Ах линейно, в то время как Ау представляет
собою обыкновенно более сложную функцию от Ах.
Если положить Ах = х— х0 и х0-\-Ах — х, то
равенство (За) примет вид
f (*)-/(*«) =/'(*о) ■(*-*«>)
или
/W =/(*„)+/(*„)·(*-*„)·
По этой формуле, для значений х, близких к хи, функция
f(x) приближённо заменяется линейной функцией.
Геометрически это соответствует замене участка кривой ν =

106]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
261
= /(х), примыкающего к точке (х0, f(xu)), отрезком
касательной к кривой в этой точке:
.У =/(*и)+Я*о) ■(*-*<>)*
(ср. черт. 44). Взяв для простоты лг0 = 0 и ограничиваясь
малыми значениями х, будем иметь приближённую формулу:
/М=/(0)+/'(0)·*.
Отсюда, подставляя вместо f{x) различные элементарные
функции, легко получить ряд формул:
(l-j-xf— 1 -j-μχ, в частности, γΊ-^-χ~ I -(-— дг,
е* == 1 4"х' Og (1+■*■)==■*■. sin * = .*■, tgjr==jct и т. п.
(из которых многие нам уже известны).
Приведём примеры, приближённых формул другого типа,
также имеющих своим
источником равенство (3). , {
1) Если длину тяжелой ни- ας- *· --^
ти (провода, каната, ремня), ^\_^_^ / ^^^
подвешенной за оба конца, J__—■—
обозначить через 2s, пролёт—
через 21, а стрелу провеса — Черт. 45.
через / (черт. 45), то для
вычисления 5 часто пользуются (приближённой) формулой
Величину / здесь будем считать независимой переменной, a s —
функцией от /. Требуется установить связь между изменением Лз
длины s и изменением -і/ стрелы провеса /.
Заменяя As на ds, получим
. - 4 / . . . , . 3 / ,
-Vs = yi--A/> откуда A/ = -|-~ii.
Если, например, учесть изменение длины провода от изменения
температуры или нагрузки, то отсюда можно предусмотреть и
изменение стрелы провеса.
* Действительно, уравнение прямой с угловым
коэффициентом k, проходящей через точку {xq, yd), будет
У =Уо+ *(-* — *о);
в случае касательной здесь следует положить ѵо = /(-*о)і * —
= /'(*о).

262 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [107
2) Известно, что круговой ток (черт. 46) действует на единицу
магнитной массы, помещённую на его оси на расстоянии χ от
центра О, с силой
k
где k — постоянный коэффициент,
а — радиус. Найти выражение для
Черт. 46. силы, с "какой круговой ток будет
действовать на магнит NS длины Δχ,
расположенный по оси тока. При этом будем считать, что в
полюсе N сосредоточена положительная магнитная масса т. а в
полюсе S — равная ей отрицательная масса —т-
Общая сила F действия тока на магнит выразится так:
F:
km
km
(α? + χ·
■km-Δ
\„*+{x+lx)*
I
(π- + *Ψ
Заменяя приращение функции (в предположении, что Δχ мало) её
дифференциалом, получим
F±-km-d\
Аач + х?)3
,=Μ·μ$χ·
(e'-t-x*)
107. Применение дифференциалов при оценке погрешностей.
Особенно удобно и естественно использовать понятие
дифференциала в приближённых вычислениях при оценке погрешностей.
Пусть, например, величину х мы измеряем или вычисляем н е-
посредственно, а зависящую от неё величину у определяем
по формуле: y=f(x). При измерении величины χ
обыкновенно вкрадывается погрешность, Δχ, которая влечёт за собою
погрешность Δy для величины у. Ввиду малой величины этих
погрешностей, полагают
А.ѵ — у'х · Δχ,
т. е. заменяют приращение дифференциалом. Пусть Iх будет
максимальной абсолютной погрешностью " величины х;
\Δχ\ζζεχ (в обычных условиях подобная граница
погрешности при измерении известна). Тогда, очевидно, за
максима льну ю абсолютную погрешность (границу погрешности) для у
можно принять
Іѵ = \у'х\-іх. (12)
1) Пусть, например, для определения объёма шара сначала
(с помощью штангенциркуля, толщемера, микрометра ц т. п.) не-

107]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
263
посредственно измеряют диаметр D шара, а затем объём V
вычисляют по формуле
6
Так как VD = -^ D-, то в этом случае, в силу (12),
W = ^D-i-lD.
Разделив это равенство на предыдущее, получим
ЬѴ__ Ю
V ~ό D '
так что (максимальная) относительная погрешность вычисленного
значения объёма оказывается втрое большей, чем (максимальная)
относительная погрешность измеренного значения диаметра.
2) Если число х, для которого вычисляется его десятичный
логарифм _У = log1();e·, получено с некоторой погрешностью, то это
отразится на логарифме, создавая и в нём погрешность.
Здесь ух = — {М = 0,4343), так что, по формуле (12),
Iу = 0,4343-—.
χ
Таким образом, (максимальная) абсолютная погрешность
логарифма просто определяется по (максимальной)
относительной погрешности самого числа, и обратно.
Этот результат имеет многообразные применения. Например,
с его помощью можно составить себе представление о точности
обыкновенной логарифмической линейки, со шкалой в 2Ъ см =
= 250 мм. При отсчёте или установке визира можно ошибиться,
примерно, на 0,1 мм в ту., или" другую сторону, что отвечает
погрешности в логарифме
5у = ^ = 0,0004.
250 ■
: 0,00092... = 0,001.
Отсюда, по нашей формуле,
о£ _ 0,0004
х~ 0,4343 :
Относительная точность отсчётов во всех частях шкалы
одна и та же!
3) При вычислении угла φ по логарифмо-тригонометрическим
таблицам встаёт вопрос, какими таблицами выгоднее
пользоваться— таблицами синусов или тангенсов. Положим
У\ — logio sin ? и Уі — log:o tg ?
и будем считать максимальные погрешности Ьу^ и Ьу., равными
(скажем, половине последнего знака мантиссы). Если обозначить

264 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ (107
соответствующие максимальные погрешности в угле φ через с,*
и о.>», то, как и выше, получим:
Μ , . Μ , «
ovi = COS <e -ο,φ, 6у> = ι seC'e-Oj»,
•^1 sin» ' IT' -■ tg?
так что
β,» = J,» -cos3 » < З^.
Таким образом оказывается, что при одинаковых ошибках
в логарифме таблица тангенсов даСт меньшую погрешность в угле,
чем таблица синусов, и, стало-быть,
является более выгодной*.
4) В качестве последнего
примера рассмотрим вопрос о точности
измерения неизвестного
сопротивления у с помощью мостика У и т-
стока (черт. 47). При этом
подвижной контакт D передвигается
по градуированной линейке АС до
тех пор, пока гальванометр С не
покажет отсутствие тока.
Сопротивление у определяется по формѵле
Черт. 47.
где а —АС, x = AD, R— известное сопротивление ветви ВС.
По формуле (12) получается:
, / Rx У , aR
Jv — ·οχ= TV0·*
\a — xjx {a —x)*
если разделить почленно это равенство на равенство (13), то
получим выражение (максимальной) относительной погрешности
для у:
Iу а· ах
у х(а — х)'
Так как знаменатель χ {а—х) достигает своего наибольшего
а ...... ,
значения при ·* = — "':'> а погрешность Ъх при измерении длины
* При этих выкладках мы предполагали углы выраженными
в радианах, но результаты, очевидно, справедливы безотносительно
к тому, какой единицей измеряются углы.
** Из очевидного неравенства
х!-ах + £=(х-±)2^0
непосредственно полѵчаем
х(а — .г
4 '
что и доказывает наше утверждение.

I08І § 3. производные высших порядков 265
можно считать независящей от .г, то наименьшее значение-
для относительной погрешности достигается именно при χ=ί.
Поэтому обыкновенно для получения возможно точного
результата сопротивление R (с помощью магазина сопротивлений)
устанавливается с таким расчётом, чтобы ток исчезал при положении;
контакта D, возможно более близком к середине линейки АС.
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков.
108. Определение производных высших порядков.
Если функция y=f(x) имеет конечную производную-
У =f(x) в некотором промежутке Ж, так что эта
последняя сама представляет новую функцию от х, то может
случиться, что эта функция в некоторой точке х0 из SC', в-
свою очередь, имеет производную, конечную или нет. Εί
называют производной второго порядка или
второй производной функции y=f(x) в упомянутой,
точке, и обозначают одним из символов
Так, например, мы видели в 91, что скорость ν
движения точки равна производной от пройденного точкой пути 5
, ds
по времени t: v = -j}, ускорение же а есть производная от
do о
скорости ν по времени: я = —-. Значит, ускорение является
второй производной от пути по времени: а-—~т-
Аналогично, если функция y=f(x) имеет конечную
вторую производную в целом промежутке SC (т. е. в каждой
точке этого промежутка), то её производная, конечная или
нет, в какой-либо точке х0 из SC называется
производной третьего порядка или третьей
производной функции y=f(x) в этой точке, и обозначается так:
g, У", ^ѵ; Sga. /"<*·>. 07 С)·
Подобным же образом от третьей производной
переходим к четвёртой и т. д. Если предположить, что понятие-

266 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [108
(п—1)-й производной уже определено и что {п—1)-я
производная существует и конечна в промежутке 5£, то её
производная в некоторой точке х0 этого промежутка называется
производной п-г о порядка или и - й π ρ о и з в о д-
ной от исходной функции y=zzf(x); для обозначения её
применяются символы:
g. У", Я'У· ^. /WW, Wo)·
Иной раз—при пользовании обозначениями Лагранжа
или Кош и — может возникнуть надобность в указании
переменной, по которой берётся производная; тогда её пишут
в виде значка внизу:
У1« Dl>y> f®i*o). "т.п.,
причём χ2, xs, .. . есть условная сокращённая запись
вместо хх, ххх,... Например, можно написать: а ==$".,.
(Читателю ясно, что и здесь цельные символы
%, /(,і) или f% D»f или D«J
можно рассматривать как функциональные обозначения.)
Таким образом, мы определили понятие /г-ой производной,
как говорят, индуктивно, переходя по порядку от
первой производной к последующим. Соотношение,
определяющее л-ю производную:
называют также рекуррентным (или «возвратным»),
поскольку оно «возвращает» нас от я-й к (п—1)-й производной.
Самое вычисление производных /2-го порядка, при
численно заданном л, производится по известным уже
читателю правилам и формулам. Например, если
2. . 1 , . „ „ . 4 1
2
у = т*-т *Ч-2*8+-о-*--,
j/'= 2*3-Ijf*+ 4*4-4. У = 6**-* "Μ,
yK' — Ylx-l, Уѵ=12,

lOSj § 3. производные высших порядков 267
так что все последующие производные равны тождественно 0.
Или пусть
ν = log {л- + >''лг2 Ч- 1);
тогда
1 „ χ ... 2*2— 1
Заметим, что по отношению к производным высших
порядков так же, индуктивно, можно установить понятие
односторонней производной [ср. 99 j. Если функция
y — f(x) определена лишь в некотором промежутке JP, то,
говоря о производной любого порядка на конце его,
всегда имеют в виду именно одностороннюю производную.
109. Общие формулы для производных любого
порядка. Итак, для того, чтобы вычислить л-ю производную
от какой-либо функции, вообще говоря, нужно
предварительно вычислить производные всех, предшествующих
порядков. Однако в ряде случаев удаётся установить такое
общее выражение для /г-й производной, которое зависит
непосредственно от « и не содержит более обозначений
предшествующих производных.
При выводе таких общих выражений иногда бывают
полезны формулы:
(ί·ίΐ)(Ό = с ■ и'"\ (в rb v)W — Μ(Ό -4- Ό',"),
обобщающие на случай высших производных известные
читателю правила I и II п° 96. Их легко получить
последовательным применением этих правил.
1) Рассмотрим сначала степенную функцию у = х*, где
μ — любое вещественное число. Имеем последовательно:
У=^-і, / = μ (μ —1) *!*-=,
/"=μ(μ — 1)(μ — 2) **-»,...
Легко усмотреть отсюда и общий закон:
yW = μ (μ — 1) . .. (μ — η + 1) **-»,
но, строго говоря, он ещё подлежит доказательству. Для
этого воспользуемся методом математической индукции.
Допустив, что для некоторого значения η эта формула верна,
продифференцируем её ещё раз. Мы придём к результату;
^(")]'==/"+0==μ(μ_ 1) ... (μ_,ζ-fl)|>-"]' =
= μ (μ— 1).... (μ - я + 1) (μ - η) д^-С-Ю,

268 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [109
так что наша формула оказывается верной для (п-\- 1)-й
производной, если была верна для «-й. Отсюда и следует
её справедливость при всех натуральных значениях п.
Если, например, взять μ = —1, то получим
(1)(β, = <-ΐ)(- 2). ..(-«)*—=Ы&-.,
I
а при μ = — —
_ (-1)я(2я- 1)1! й
(2.г)« |Λν
и т. и.
Когда само μ есть натуральное число т, то «г-я
производная от хп будет уже постоянным числом /и!, а все
следующие — нулями. Отсюда ясно, что и для целого
полинома степени т имеет место аналогичное обстоятельство.
2) Для несколько более общего выражения
y=z(u-\-b.<Y (а, Ь= const.)
столь же легко найдём:
^") = ·ι(μ— 1) ... (μ — η-j- \)-b" ■{a + bxf-'1.
В частности, получается, как и выше,
\a-\-bx) (a -f bx)n+1'
/ 1 \ і") (— 1)я(2я— \)\\Ь"
{ У"а + Ьх ) ~~ 2л (а -\- Ьх)" Ѵа + Ьх '
3) Пусть теперь у== log x. Прежде всего, имеем
y=(logjc)'=l.
* Символом л!! обозначают произведение натуральных чисел,
не превосходящих η и одной с ним чётности, так что,
например,
7!! = 1.3-5-7, 10!! = 2-4-6.8-10.

109] § 3. производные высших порядков 269
Возьмём отсюда производную («— 1)-го порядка по
соответствующей формуле из 1), заменив в ней η на « — 1;
мы и получим тогда
ν'"'-(ν')"'-|1-ίΐν"'"-ί~"'"'|,ί~!)!
4) Если у —ах, то
У = a*, log a, y = a*.(loga)2, ...
Общая формула
у«) —a*.(logay*
легко доказывается по методу математической индукции.
В частности, очевидно,
(е*)<"> = <?\
5) Положим ji' = sin*; тогда
v'=cosjc, у" = — sin дг, у" = — cos.r,
Уѵ = sin χ, у = cos a-, ...
На этом пути найти требуемое общее выражение для л-й
производной трудно. Но дело сразу упрощается, если
переписать формулу для первой производной в виде
у = sin (χ-\-γ)> становится ясным, что при каждом
дифференцировании к аргументу будет прибавляться -^, так что
(sіηлг)f"J = sin {x-{- n'~k)·
Аналогично помучается и формула
(cos jt)("> = cos f x-\-η·γ).
6) Рассмотрим функцию у = — -. Представив её в виде
_W_J 1_\
у 2а\х — а х-і-а)'
4-
мы получаем возможность использовать пример 2) (и общие
правила, указанные вначале). Окончательно,

270 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [IОЭ
7) В случае функции у =е°х sin bx мы употребим более
искусственный приём. Именно, имеем
у' = аеах sin bx -|- beax cos bx;
если ввести вспомогательный угол φ, определяемый условиями
Ь а
Sill 'f :
Vcfl + Ы
COS β :
Ѵв2 + Ь2'
то выражение для первой производной можно переписать в виде:
у1 ^zYai-j-b't-eax-isinbx-ccs :c-\-cosbx-sm y) =
= VaZ-\-b'i-eax-sin{bx-\- β).
Повторяя дифференцирование, легко установить общий закон
».«\ 2
у<") = (д2 _j_ js) ·* .еодг. sin (*дг + л*)
и обосновать его по методу математической индукции.
8) Остановимся ещё на функции y = arctgx'. Поставим себе
сначала задачей выразить у.") через у. Так как x = tgy, то
1+х1
—:, = cos2 у = cos у · sin I у -j- ~ J.
■У =
Дифференцируя вторично по д: (и помня, что у есть функция
от х), получим
У" = [-siny-sin ^-fyj-r- cos.y-cos(.y-f-ϊ-J .у =
=rcos2j/-cos (2y-)--|-J =cos2y.sin2 Г_y-f -£-).
Следующее дифференцирование даёт
j/'"= -2sinj>-cosj/-sin2 (_y-j--LJ -f-2cos2j/.cos2fy-f-^-J
= 2 cosSj» -cos (by -f- 2--Ϊ- ] =2 cos'j/-sin 3(> -f- -^-).
Общая формула:
уя) = (л— 1)! cos"j;·sin лТу-)--^-)
оправдывается· по методу математической индукции.
Если (при χ > 0) ввести угол
, 1 π
2 = arctg — = -г- — у,
° χ 2 ■*■'
то эта формула может быть переписана так:
У я) = (я — 1)! . sin я(я - г)
(1 4 *«)»

НО] § 3. производные высших порядков 271
или, наконец,
j/(nj=r(— 1)л-і(л_ J)! Л·sin л arctg — .
(1+лѴ
9) Установим в заключение, в виде упражнения формулу
ι
0«(j?»-ie*) = (_ 1)л-—j (я=1, 2, 3,...).
Справедливость её при я=1 и я = 2 проверяется
непосредственно. Допустим теперь, .что она верна для всех значений,
л вплоть до некоторого л S*2, и докажем, что тогда она
сохранит верность и при замене л на я-f-l *. С этой целью
рассмотрим выражение
£>« + 1(ЛГЛв*) — Од ρ (**«·*)]=:
= £»* [лдгл-і *■*— дг« -2 ** 1 =
— і
= n-Dn(xn-iex)— D[D"-i(xn-2ex)].
Пользуясь нашим допущением, можно переписать это выражение-
так:
-L. х Г χ
/> + і {хпех) = п.(- \)п ^\~D [(- I)"-1 е—
ι
ех
— (- 1)" + 1^ГТ2' ч· и ТР· д"
Итак, формула верна для всех натуральных значений,я.
ПО. Формула Лейбница. Как мы заметили в начале
предыдущего п°, правила I и II, 96, непосредственно
переносятся и на случай производных любого порядка. Сложнее
обстоит дело с правилом III, относящимся к
дифференцированию произведения.
Предположим, что функции и, τ; от а: имеют каждая в
отдельности производные до «-го порядка включительно;
докажем, что тогда их произведение у = иѵ также имеет л-ю
производную, и найдём её выражение.
* Обращаем внимание читателя на эту своеобразную форму
применения метода математической индукции; в действительности:
(см. текст ниже) мы используем справедливость нашей формулы,
для η и для л — I.

272 гл. ш. производные и дифференциалы [НО
Станем, применяя правило III, последовательно
дифференцировать это произведение; мы найдём:
у' = и!υ -f иѵ', у" = u"v -j- 2a'v' -f uv\
/" = u'"v -f 3«V -f da'v' + jto"', ...
Легко подметить закон, по которому построены все эти
формулы: правые части их напоминают разложение
степеней бинома: и-\-ѵ, (и-j-t/)2, (ιι-\-ν)ζ, ... , лишь вместо
степеней н, ν стоят производные соответствующих порядков.
Сходство станет более полным, если в полученных формулах
вместо и, ν писать а<0), ѵ^°К Распространяя этот закон на
случай любого п, придём к общей формуле *:
η
= «(*) ν + яи<1·-1) ѵ' + П{'\~21) и<"-Ѵ ν" 4- ...
... ι «5LzJbjJilz±fcl) «(«-о „со 4-... _}_ «*<<». (ι)
1 1-2 ... ί l ' v '
Для доказательства её справедливости прибегнем снова
к методу математической индукции. Допустим, что при
некотором значении η она верна. Если для функций и, ν
существуют и (/г-|-1)_е производные, то можно ещё раз
продифференцировать по χ; мы получим:
π
і-й
η η
- Σ cU(/!~i+I)^(0 4-Σс£в<я-« wf+o.
* Символ 2 означает сумму однотипных слагаемых.
Когда слагаемые эти зависят от одного значка, меняющегося в
определённых границах, то эти границы и указываются (сніиу и
•сверлу). Например,
η
Σ аі — "Ό + αι ■+-...+ аш
Στ = ]+Τ + Τ + ···+^',ίΤ· *

Iff] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 273
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм,
содержащие одинаковые произведения производных функций
и и ν (сумма порядков производных в таком произведении,
как легко видеть, равна всегда я-{-1). Произведение
H(«+i),j,(0) вх0дИТ только в первую сумму (при / = 0);
коэффициент его в этой сумме есть Сп = 1. Точно так же
н<оі.р(п + і) входит только во вторую сумму (в слагаемое с
номером і=п), с коэффициентом С"=1. Все остальные
произведения, входящие в эти суммы, имеют вид н<п+1-*М*>,
причём 1<&«е:я. Каждое такое произведение встретится
как в первой сумме (слагаемое с номером і = А), так и во
второй сумме (слагаемое с номером i = k—I). Сумма
соответствующих коэффициентов будет C*-j-C*-1. Но, как
известно,
С Α ι /->£—1 /чА
Таким образом, окончательно находим:
л
^(л+1)=_и(л+і)г,(0)_[_^С*+іЫІ("' + 1Ь*] .yW-l-aW.j^ + i) _
A=l
л+г
. /-.О /-п + 1 _ ι
так как С„+г = Ся+і=і.
Мы получили для _y("+J> выражение, вполне аналогичное
выражению (1) (только л заменилось числом л-(-1); этим и
доказана справедливость формулы (1) для всех натуральных
значений п.
Установленная формула носит название формулы
Лейбница. Она часто бывает полезна при выводе общих
выражений для л-й производной.
Заметим, что такую же формулу можно было бы
установить и для л-й производной произведения нескольких
сомножителей у=иѵ.. .t; она имеет сходство с
разложением степени полинома (и -j- v -j- ... -\- t)n.
111. Примеры. 1) Найдём при помощи формулы
Лейбница (1) производнѵю
(.r'-'-cosa.v)^').
18 г. М. Фи\те '.гольц

274 гл. ш. производные и дифференциалы !ш
Положим ѵ— дг», « = cosa^r. Тогда
u(*) = a*-cos ( ад: 4-*·-5" )>
ѵ' —2х, ѵ" — 2, ι/'" = ΌΙν=...=ζΟ.
Таким образом, в формуле (1) все слагаемые, кроме трёх первых,
равны нулю, и мы получаем:
uv)W) = x*-aP>-cos («лг+50· І-) -f- j ·2χ.α**·ζο& (αχ-±49· -|) -f
50-49
^•2-e<8.cos (алг+48. ^-) =
1 Ь
-.= а<« [(2450 — а3х*) cos tf* — 100 ax-sin ax].
2) Возиращаясь к примеру 7) п° 109, теперь мы можем полу-
чнть общее выражение для л-й производной функции
y = £<«.sin Ъх
непосредственно по формуле Лейбница:
у(») =z eax\ sinЬх (а" - "("~!) a*-Vfi +---J +
+ cos Ьх ( nan-ib - Я(/I~.^.(з~2)«""S*S +■·■)]·
3) Предложим себе найти выражение для {п-^-1)-й
производной функции у = arcsin дг.
Имеем, прежде всего,
Ѵі-х* Ѵ\ + х у ι-χ
так что, по формуле Лейбница,
(«) / 1 \(я)
~ ι
U-1+-*· > ϊ-χ] [Уі+xJ yf-x
^ 1.2.3 ІѴГТ^У \КГ=Г>/ +""
Если теперь к вычислению последовательных производных от
.·■"■ и ,/г- применить формулы, полѵченные в 109,2), то
>■ 1 +х У 1-х

ill] § 3. производный высших порядков 275
придам к результату
^ + 4 = ^((2п-1)П_д .(2/»-3)Hl!l
2пу\—х*\ (1-МУ (1+лг)п^і(1 —х)
п(п- 1) (2я — 5)!! 3!! 1
"і Г2 (1-|-^)л-3(1—^)2 ■"■"'/'
4) Требуется найти значения всех последовательных
производных функции y=arctgx при jc = 0.
Так как у'~ т—г—;. то у'(\ —f—лс*) = 1. Возьмём я-ю произ-
водную от обеих частей этого равенства (пользуясь формулой
Лейбница):
(1 +х*)у(п+Ѵ-\-2пх-у(п)-)-пI,п — 1)-у(п-\) — 0.
Положим здесь х = 0; если значения производных при дг = 0
отмечать значками 0 внизу, то получим:
^+г>==_Я(«-і)-4"-1).
2х и
При х = 0 производная у" — — гт-т-—^обращается в0:у!у=0.
Из найденного соотношения ясно, что всегда ^ ' = 0. Что же
касается производных нечётного порядка, то имеем для них ρ е -
куррентную формулу:
j,flb« + i>__ {2/« _ I).2/«.j/f-Ч
Принимая во внимание, что уй=\, получаем отсюда:
/02/я+г> = (- l)«(2/n)L
Тот же результат можно было бы получить и из общей
формулы примера 8), 109.
5) То же — для функции у = arcsin χ.
Указание. Формулу Лейбница применить к
соотношению:
(1 ~х-)-у" — х-у' = 0.
Ответ. у$т) = 0, уЧт~х) = I2-3* ... (2т - 1)»=.[(2ях- I)!!}».
Этот результат из общих выражений в 3) получается не столь
просто.
6) Рассмотрим полином л-й степени (л = 1, 2, 3, ...),
определяемый равенством
^пК > dx"
и установим его значения при дг==-{-1 и * = — 1.
18*

276 ГЛ, ПК ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [||2
По формуле Лейбница, рассматривая степень (лг2—1)" как
произведение (х-\-\)" на (х — 1)», можно написать:
ρ (χ] - (х г п. d"(x~l)n λ d(x+l)n dn-Цх- Χ)" ,
•••^ rf*« <* ''·
Так как все слагаемые, начиная со второго, содержат множитель
х—1 и, следовательно, обращаются в 0 при х—\, то очевидно:
/>в(I) = 2».я!.
Аналогично получаем: Рп(— I)=(— 1)ге-2"·/:!.
Если к полиному Ра{х) присоединить множитель сп= ——- ,
то полѵчится полином
Хп(х)~сп-Рп(х),
который при лг=:;±1 принимает, соответственно, значения 1
и {—I)"· Этот полином называется л-м полиномом Л еоканд ρ а
(А. М. Legendre) [см. ниже 117, а также 308 во втором томе].
7) С помощью формулы Лейбница легко установить
далее, что полиномы Л е ж а и д ρ а Хп (х) удовлетворяют
следующему соотношению:
{χ*~1)Χ'ή + 2χ.χ'η~η(η+])Χ„=,0,
которое играет важную роль в теории этих полиномов.
В самвм деле, полагая у = (хЪ — ])", имеем
у' =2ηχ·(χ*~- I)"-1, так что {хг — 1)-у'~2пх-у.
Возьмйм теперь (и -J- 1)-е производные от обеих частей
последнего равенства; по формуле Лейбница,
(лг*-1)Уя+*)4-(я-{-]).2X.y(n+\)Jrn(n+' ?>.2-y» —
— 2пх -ул+') -f (п + I) · 2л -уМ.
Отсюда
(**—1)Уч+*> + 2лтуи+і>—л(я-г-I)У"> = 0,
1
и по умножении пася — ——- получается доказываемое
соотношение.
112. Дифференциалы высших порядков. Обратимся
теперь к дифференциалам высших порядков; они также
определяются индуктивно. Дифференциалом второго
порядка или вторым дифференциалом функции
у=/(х) в некоторой точке называется дифференциал в
этой точке от её (первого) дифференциала; в обозначениях:
d-y = d{dy).

112] § 3. производные высших порядков 277
Дифференциалом третьего порядка или
третьим дифференциалом называется дифференциал от
второго дифференциала:
d3y — d {d-y).
Вообще, дифференциалом я-го порядка или я-м
дифференциалом функции y=f(x) называется
дифференциал от её (п — 1 )-го дифференциала:
dy = d(d't-1y).
Если пользоваться функциональным обозначением, то
последовательные дифференциалы могут быть обозначены
так:
^/(*о)> */(*<,), -.·, d"f(*o), ·»·>
причём получается возможность указать то частное значение
х = х0і при котором дифференциалы берутся.
При вычислении дифференциалов высших порядков очень
важно помнить, что dx есть произвольное и
независящее от χ число, которое при дифференцировании по χ
надлежит рассматривать, как постоянный множитель.
В таком случае, будем иметь (всё время — предполагая
существование соответствующих производных):
dly = d {dy) — d{y' ■ dx) = dy1 ■ dx = (/' -dx)-dx =
=y"-dx\
d*y = а{а*у) = а (у* ■ dx2) = dy" · dx'1 — (/" · dx) ■ dx2 =
=zy'"-dxs *,
и т. д. Легко угадываемый общий закон
dny=yW.dx" (2)
доказывается методом математической индукции. Из него
следует, что
yl*=P,
J dx'>'
* Под dx*, dx3, ... и т. п. всегда разумеются степени от
дифференциала: (dx)-, (dx)*, ... Дифференциал от степени будет
обозначаться так: d (дг2), Л (х3).,....

278 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФБРЕНЩШIЫ [ИЗ
так что отныне этот символ можно рассматривать как
дробь.
Воспользовавшись равенством (2), легко теперь
преобразовать формулу Лейбница к дифференциалам. Достаточно
умножить обе части её на dxn, чтобы получить
η
d (uv) = y£Cind''-t<t-div (d°u—u, d°v = v).
/=o
Сам Лейбниц установил свою формулу именно для
дифференциалов.
ИЗ. Нарушение инвариантности формы для
дифференциалов высших порядков. Вспоминая, что (первый)
дифференциал функции обладает свойством
инвариантности формы, естественно поставить вопрос, обладают ли
подобным свойством дифференциалы высших порядков.
Покажем, например, что уже второй дифференциал этим
свойством не обладает.
Итак, пусть y=f(x) и χ = ψ(ή, так что у можно
рассматривать как сложную функцию от t: ,ν = /(φ(ίί)). Её
(первый) дифференциал по t можно написать в форме: dy =
=y'x'dx, где dx = x't-dt^ecTb функция от t. Вычисляем
второй дифференциал по t: d2y — d(y'x-dx) = dy'x'dx-\-y'x-d(dx).
Дифференциал dy'x можно, снова пользуясь инвариантностью
формы (первого) дифференциала, взять в форме: dy'=
~y'xl-dx, так что окончательно
/Ру=у^<і**-\-Ух.<Рх, (Ά)
в то время как при независимой переменной χ второй
дифференциал имел вид d2y=yxl'dx2. Конечно, выражение (3)
для d2y является более общим: если, в частности, χ есть
независимая переменная, то &х=0—и остаётся один лишь
первый член.
Возьмём пример. Пусть у~х3, так что, покѵда х~
независимая переменная:
dy = 2xdx, P-y — ldx*.
Положим теперь лг = #; тогда y=t*, и
dy = 4fi dt, dly = 12ί · Λ*.
Новое выражение для dy может быть получено и из старого,
если туда подставить x = f-, dx^=2tdt. Иначе обстоит дело с <%;

•1*1 § 3. производные высших порядков 279
сделав такую же подстановку, мы получим №df* вместо \2Pdt*.
Если же продифференцировать равенство dy = 2xdx no t, считая
х функцией от t, то, наподобие (3), придём к формуле
d*y = 2dx*+2xd*x.
Подставив сюда x = t\ dx = 2tdt, d'!x — 2dt\ получим уже
правильный результат: 12ί3<ίί2.
Итак, если χ перестаёт быть независимой переменной, то
дифференциал второго порядка d2y выражается через
дифференциалы χ двучленной формулой (3). Для
дифференциалов третьего и дальнейших порядков число добавочных
(при переходе к новой независимой переменной) членов ещё
возрастает. В соответствии с этим в выражениях высших
производных у"х„ у'£,... через дифференциалы
У& ах» У*' — dx3''·' W
уже нельзя дифференциалы брать по любой переменной,
но лишь по переменной х.
114. Параметрическое дифференцирование. Можно,
впрочем, написать выражения производных по χ и через
дифференциалы, взятые по любой переменной t, но они
будут гораздо сложнее. Именно, считая все ниже
написанные дифференциалы взятыми по t, имеем
последовательно
dx-dty —dtx-dy
d\i ,. f /ί ιΛ' "\rfj-/
-V
т. е.
затем,
-* *8 V dxt Ιχ dx
dx* (dxd*y — d*x dy) — Zdx4- d*x (dx d"~y — d?x dy)
dx*
dx
и окончательно:
'» — dx ^dx dSy ~ dSxdy) — M*x {dx diy — cPx dy) „.
Ух,— dxb > W

280 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [115
и т. д. Формулы (5), (6),... являются наиболее общи-
м и; если в них считать χ независимой переменной, то dlx,
d3x,... обратятся в нуль—и мы вернёмся к формулам (4).
Полученные нами формулы для производных у по χ
осуществляют так называемое параметрическое
дифференцирование. Если χ и у заданы в функции от
параметра t:
* = »(*), y = b(t),
то, как мы видели в п° 105, при известных условиях этим
определяется и у как функция от х: y=f(x). При наличии
последовательных производных от χ и у по t существуют
соответствующие производные от у по χ и выражаются
выведенными выше формулами.
Иногда удобнее иметь выражения производных у по χ
через производные же (а не дифференциалы) от χ и у no t.
Их легко получить из дифференциальных выражений, разделив
числитель и знаменатель, соответственно, на dt, dP, dt*,.. .
Таким путём придём к формулам:
Ух
У*
аналогично:
ѵ'" —
Ух'
dy
_ dt -
dx
dt
dx
dt '
r
— ι
xt
d>-y
' df-
1
d?x
(§)'
χ, (xtyt* ~ xa yt)
dy
dt
-Zx't
_/..
1 V
xtyc>-
{x
, ι "
» I
- хрУс
■γ >
-xPyt)
(xf
и т. д.
§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
115. Теорема Ферма. Знание производной /' (х)
некоторой функции fix) часто позволяет делать заключение и о
поведении самой функции f(x). Вопросам этого рода и будут,
в сущности, посвящены настоящий параграф и следующие
за ним.

115]
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
281
Предварительно докажем простую лемму:
Лемма. Пусть функция f (х) имеет конечную
производную в точке х0. Если эта производная /'(*0)^>О
ί/' (хо) <С 0]> то для значений, х, достаточно близких к х^
справа, будет f(x)^>f(x0) [f (x)</(дг0)], а для значений
х, достаточно близких к х0 слева, будет f(x)<Cf(xu)
Иными словами этот факт выражают так: функция f (х)
в точке ха возрастает (убывает). Если имеется в виду
односторонняя производная, например, справа, то сохраняет
силу лишь утверждение о значениях х, лежащих справа от ха.
Доказательство. По определению производной,
Г(х0) = \іт'1х)-/М.
Если /' (х0) ^> 0 (ограничимся этим случаем), то, в силу 55,2°,
найдётся такая окрестность (д;0 — δ, х0 -j- δ) точки х0, в
которой (при Χ ηβζ Х0)
х — хй -^
Пусть сначала х0 <^ χ <^ х0 -\~ δ, так что χ — х0 ^> 0; из
предыдущего неравенства следует тогда, что/(х) —/(*0) ^>0,
т. е. /(*)*>/(*о)· Если же ха — Ъ<СХ<СХ» * х — *о<С°>
то, очевидно, и f (х) — f(x0)<^0, т. е. /(·*)<С/(·*0). Лемма
доказана.
Теорема Ферма. (P. Fermat). Пусть функция f(x)
определена в некотором промежутке SC и во внутренней
точке с этого промежутка принимает наибольшее
{наименьшее) значение. Если существует конечная
производная f (с) в этой точке, то необходимо f (с) = 0 *.
Доказательство. Пусть для определённости /(х)
принимает наибольшее значение в точке с.
Предположение, что /'(с)9^0, приводит к противоречию: либо /'(с)^>0,-.
и тогда (по лемме) f(x)^>f(c), если х^>с и достаточно
близко к с, либо /'(с)<!0> и тогда f(x)^>f{c), еслил:<4-
и достаточно близко к с. В обоих случаях /(с) не может
* Это утверждение, разумеется, воспроизводит лишь сущность
того приёма, который применял Ферма для разыскания
наибольших и наименьших значений функции (Ферма не располагал
понятием производной).

282 ГЛ. ИТ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [115
о
с
Черт. 48.
■быть наибольшим значением функции / {х) в промежутке SC.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Вспомним [90,91] геометрическое истолкование произ-
вотной y'=f(x) как углового коэффициента касательной
к кривой y — f(x).
Обращение в нуль
производной /' (с) геометрически
означает, что в
соответствующей точке этой
кривой касательная
параллельна оси х. Черт. 48
делает это обстоятельство
——х
совершенно наглядным.
В доказательстве
существе нно было
использовано предположение, что с является внутренней
точкой промежутка, так как нам пришлось рассматривать и
точки χ справа от с, и точки χ слева от с. Без этого
предположения теорема перестала бы быть верной: если
функция f(x) определена в замкнутом промежутке и достигает
своего наибольшего
(наименьшего) значения на У
одном из концов этого
промежутка, то
производная f (x) на этом конце
(если существует) может
и не быть нулём.
Предоставляем читателю
подыскать соответствующий
пример; геометрически
этот факт
иллюстрируется чертежом 49.
В дополнение к теореме Ферма сделаем следующее
замечание: если в упомянутой там точке с существует
бесконечная производная, то она не может быть определённого
знака. Можно даже сказать точнее, что (если /(с)—
наибольшее значение) производная в точке с слева будет
равна -}- се, а справа — со. Доказательство предоставляем
читателю.
В качестве приложения теоремы Ферма докажем одну
любопытную теорему о производной непрерывной функции.
*-Х
Черт. 49.

ml
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
283
116. Теорема Дарбу (G. Darboux). Если функция
/ (х) имеет конечную производную в промежутке [а, Ь] *,
то функция f(x) принимает хоть раз каждое
промежуточное значение между f'(a) и f'{b).
Доказательство. Сперва предположим, что f(a)
л /(b) имеют разные знаки, например, что /'(а)^>0,
а /'(&)<[0, и докажем существование точки с между а и Ь,
и которой производная обращается в нуль. В самом деле,
ил существования конечной производной f (х) следует
непрерывность функции f(x) [95, 2°], а тогда, по 2-й теореме
Вейерштрасса [84], /(х) принимает в некоторой точке с
своё наибольшее значение. Эта точка с не может совпадать
ни с а, ни с Ь, так как, согласно лемме, f(x) больше f(a)
вблизи точки а (справа) и больше /(Ь) вблизи точки b
(слева). Итак, а<^с<^Ь. Тогда, по теореме Ферма,
получаем /' (с) = 0.
Переходя к общему случаю, возьмём любое число С,
заключённое между f'(a) и f(b); пусть, для определённости,
f(a)~^>C~^>f'(b). Рассмотрим вспомогательную функцию
φ (χ) =/(jc) — Сх; она непрерывна и имеет производную
φ'(Λτ) =/' (χ) — С в промежутке [а, Ь]. Так как φ' [а) =
=/(а)-С>0, a(p'(ft)=/'(*)-C<0, то, по доказанному,
существует такая точка с {а<^с<^Ь), в которой
f'(c)=f{c)-C=Ot т.е. f(c) = C.
Доказанная теорема имеет большое сходство со 2-й
теоремой Коши [81], согласно которой всякая непрерывная
функция переходит от одного значения к другому, лишь
проходя через все промежуточные значения. Однако, теорема
Дарбу отнюдь не является следствием теоремы Коши, так
как производная f(x) непрерывной функции сама может
и не быть непрерывной функцией.
117. Теорема Ролля. В основе многих теорем и формул
дифференциального исчисления и его приложений лежит
следующая простая, но важная теорема, связываемая с
именем Ролля (М. Rolle)**.
* При этом мы считаем, что в точке а существует производная
справа, а в точке Ь — производная слева. Они в дальнейшем
обозначаются просто /' (а) и /' (і).
** В действительности Ρ о л л ь высказал это утверждение лишь
для полиномов.

284 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [ЦТ
Теорема Ролля. Пусть 1) функция f(x) определена
и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь]; 2)
существует конечная производная f'{x)> no крайней мере,
в открытом промежутке (а, Ь)*; 3) на концах
промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b).
Тогда между а и Ь найдётся такая точка с (а<^с <^Ь)Т
что /'(с) -= 0.
Доказательство. f(x) непрерывна в замкнутом
промежутке [а, Ь] и потому, по 2-й теореме Вейерштрасса
[84], принимает в этом
промежутке как своё
наибольшее значение М, так н своё
наименьшее значение т.
Рассмотрим два случая:
1. М==т. Тогда f(x)
в промежутке [а, Ь]
сохраняет постоянное значение: it
самом деле, неравенство
т^/(х)^М в этом
случае даёт f(x) — M при
всех х; поэтому f(x) = 0
так что в качестве с можно взять лю-
*-х
Черт. 50.
во всем промежутке;
бую точку из (а, Ь).
2. М~^>т. Мы знаем, что оба эти значения функцией
достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них
достигается в некоторой точке с между а и Ь. В таком
случае из теоремы Ферма следует, что производная f(c)
в этой точке обращается в нуль. Теорема доказана.
На геометрическом языке теорема Ролля означает
следующее: если крайние ординаты кривой y=f(x) равны, то
на кривой найдётся точка, где касательная параллельна оси χ
(черт. 50).
Обращаем внимание на то, что непрерывность функции
f(x) в замкнутом промежутке [а, Ь] и существование
производной во всём открытом промежутке (а, Ь)
существенны для верности заключения теоремы. Функция f(x) =
= х— Е(х) удовлетворяет в промежутке [0, 1] всем условиям
* Конечно, непрерывность функции f(x) в (а, Ь) уже следует
из 2), но мы ни здесь, ни в последующем не ставим себе целью
расчленять условие теоремы на взаимно независимые
предположения.

118]
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
285
теоремы, за исключением того, что имеет разрыв при лг=1,
а производная /' (х) = 1 везде в (0, 1). Функция, определяемая
равенствами f(x)t=x при Οζζχζζ-^- и f(x)=\~x при
-ητ *S х ^ 1, также удовлетворяет всем условиям в том же
промежутке, исключая лишь то обстоятельство, что при
х = -% "6 существует (двухсторонней) производной; в то же
время производная /' (х) равна -j-1 в левой половине
промежутка и —1 в правой.
Точно так же существенно и условие 3) теоремы:
функция f(x) = x в промежутке [0, 1] удовлетворяет всем условиям
теоремы, кроме условия 3), а её производная /' (х) = 1
повсюду.
Чертежи предоставляем читателю.
В последующем нам часто придётся встречаться с
приложениями теоремы Ролл я. Сейчас мы ограничимся примером
применения её к вопросу о корнях полинома Л ежандра [см. 111, 6)]:
Λη\Λ>—2«·π\ ' dx"
Мы докажем, что этот полином имеет η различных вещественных
корней, которые все содержатся между — 1 и -)-1.
Легко видеть, что функция (х*—~ I)" = (х — l)"(jr'-f-l)« и её
л—·1 последовательных производных обращаются в нуль при
.г = ± 1. Тогда первая её производная, по теореме Ролл я, будет
иметь корень и между — 1 и -f-1; по той же теореме, вторая
производная будет иметь два корня между —1 и +1, и т. д. вплоть
до (л — 1)-й производной, которая, помимо корней —1 и -f-1, будет
между ними иметь ещё л— 1 корней. Применив к ней ещё раз
теорему Рол л я, придём к требуемому заключению.
118. Формула Лагранжа. Обратимся к непосредственным
следствиям теоремы Ρ о л л я.
Теорема Лагранжа. Пусть 1) f(x) определена и
непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь], 2) существует
конечная производная f (χ), по крайней мере, в открытом
промежутке (а, Ь). Тогда между а и b найдётся такая
точка с (а<С.с<^Ь), что для неё выполняется равенство
Щ=Ж=Г{С). О)

286 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [118
Доказательство. Введём вспомогательную функцию,
определив её в промежутке [а, Ь] равенством:
Р(х)=№ ~f(a)-f(blZfa{a)(x~a).
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролл я.
В самом деле, она непрерывна в [а, Ь], так как представляет
собой разность между непрерывной функцией f(x) и
линейной функцией. В промежутке {а, Ь) она имеет определённую
конечную производную, равную
Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том,
что Ρ(а) = Ρ(b) = 0, т. е. Р(х) принимает равные значения
на концах промежутка.
Следовательно, к функции Ρ (χ) можно применить теорему
Ролля и утверждать существование в (а, Ь) такой точки с,
что F(c)=zO. Таким образом,
/.^-Щ^т^О, откуда ПО^-Ц^-,
ч. и тр. д.
Доказанную
теорему называют также
среднем
теоремой υ
значении (в
дифференциальном
исчислении).
Теорема Ролля
является частным случаем теоремы
Л а г ρ а н ж а; замечания
относительно условий 1) и 2)
теоремы, сделанные выше,
сохраняют свою силу и
здесь.
Обращаясь к
геометрическому истолкованию
теоремы Лагранжа (черт. 51), заметим, что отношение
/(»)-/(«) _СД
Ь — а ~АС
есть угловой коэффициент секущей АВ, а /' (с) есть угловой
коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с
абсциссой х — с. Таким образом, утверждение теоремы Л а-
S
и
>
д<
ι
£*£■
1
I
1
1
ζ с
^?
ι
в
s
Черт. 51.

118] § 4. основные теоремы 287
г ρ а н ж а равносильно следующему: на дуге АВ всегда
найдётся, по крайней мере, одна точка М, в которой
касательная параллельна хорде АВ.
Доказанная формула
Ш=£Ф=/(С) „ли ДЬ)-Да)=/(сПЬ-а)
носит название формулы Лагранжа или формулы
конечных приращений. Она, очевидно, сохраняет
силу и для случая а~^>Ь.
Возьмём любое значение х0 в промежутке [а, Ь] и
придадим ему приращение Δχ^Ο, не выводящее его за пределы
промежутка. Применим формулу Лагранжа к промежутку
[*о> ха + Δλγ] при Δ* > 0 или к промежутку [х0 -f- Δχ, хй]
при Δαγ<^0. Число с, заключённое в этом случае между χα,
и χ0-\-Δχ, можно представить так:
с = х0-{-Ь-Ах, где 0<6<1\
Тогда формула Лагранжа примет вид:
/<*. + %)-/(«,)д/1(;Св + Ш) {1а).
или
Δ/ (х0) =/ (*о + Δ*) —/ (хй) =
=/'(*0 + 6Δ*)·Δ* (0<θ<1). (2),
Это равенство, дающее точное выражение для
приращения функции при любом конечном приращении Δχ
аргумента, естественно противоставляется приближённому
равенству [106, (За)]:
Δ/ (*„) =/ (*о + Μ —/ (*о) =/' (*о) · Δ*.
относительная погрешность которого стремится к нулю лишь
при бесконечно малом Δχ. Отсюда проистекает и самое
название «формула конечных приращений».
К невыгоде формулы Лагранжа — в ней фигурирует
неизвестное нам число в** (или с). Это не мешает, однако,
многообразным применениям этой формулы в анализе.
* Иногда говорят, что β есть «правильная дробь»; не следует;
только думать, что речь идёт о рациональной дроби — число 8
может оказаться и иррациональным.
** Лишь в немногих случаях мы можем его установить;
например, для квадратичной функции / {х) = ах3 -(- Ьх -f- с, как легко-
проверить, имеем 8=-^-.

288 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ (119
119. Предел производной. Полезный пример такого
применения даёт следующее замечание. Предположим, что
функция /(х) непрерывна в промежутке [х0, х0-\-Н] (Н~^>0)
и имеет конечную производную f'(x) для *^>*0. Если
существует (конечный или нет) предел
lim f(x) = K,
χ-*χ„+0
то такова- же будет и производная в точке х0
справа. Действительно, при 0 <^ Δ* <; Я имеем (1а). Если
Ах—>-0, то — в виду ограниченности величины 6—аргумент
производной jCfl-j-OA-r стремится к хиг так что правая часть
равенства, а с нею и левая стремится к пределу К, ч. и тр. д.
Аналогичное утверждение устанавливается и для
левосторонней окрестности точки х0.
Рассмотрим в качестве примера функцию
/ (х) — χ arcsin χ -f-)·' 1 — х-
в промежутке [— 1,1]. Если — 1 < χ < 1, то по обычным правилам
дифференциального исчисления легко найти:
X X
f {χ) = arcsin χ -|— γ==. = arcsin .v.
\ 1 — χ'· V 1 — χ-
flpn χ-*- 1 — 0 (χ -* — 1+0) эта производная, очевидно,
стремится к пределу -— (— ~); значит и при д- —± I существуют
(односторонние) производные: /'(± l) = rt ■—-,
Наиболее часто сделанное замечание применяется при
следующих обстоятельствах: из того факта, что найденное
для производной выражение стремится к
бесконечности при χ—*х0, делается заключение, что сама
производная /' (ха) равна бесконечности [ср. примеры
в 100].
Из сказанного вытекает также, что, если конечная
производная /' {х) существует в некотором промежутке, то она
нредставляет собою функцию, которая не может иметь
обыкновенных разрывов или скачков: в каждой точке она либо
непрерывна, либо имеет разрыв 2-го рода [ср. 101, 2°1.
120. Формула Коши. Формула конечных приращений
обобщается следующим образом:

120] § 4. основные теоремы 289
Теорема Коши. Пусть 1) функции f(x) и g(x)
непрерывны в замкнутом промежутке [а, Ь]; 2) существуют
конечные производные f(x) и g'{х), по крайней мере,
в открытом промежутке (а, Ь); 3) g' [χ] =£ О в промежутке
{а, Ь),
Тогда меж ду а и Ъ найдётся такая точка с (а<^с<^Ь),
что
/(»)-/(«)_/'(g) ,ч,
*(*) — «<«) g'W [>
Эта формула носит название формулы Коши.
Доказательство. Установим сперва, что
знаменатель левой части нашего равенства не равен нулю, так как
в противном случае выражение это не имело бы смысла.
Если бы было g\b)=g(a), то, по теореме Рол л я,
производная g"(x) в некоторой промежуточной точке была бы
равна нулю, что противоречит условию 3); значит, g(b)=^g(a).
Рассмотрим теперь вспомогательную функцию
F(х) =f (x)-f(a) - y(g Z'Jfy [S(x) -£{a)}.
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролл я.
В самом деле, F(x) непрерывна в [а, Ь], так как
непрерывны f(x) и g(x); производная F (х) 'существует в [а, Ь),
именно, ома равна
г (х)=/' (х) - /!й~/!а1 · g (χ).
\ ι J \ > g(b) — g(a) b v '
Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что F(a) =
= F(b) = Q. Вследствие этого в промежутке (а, Ь) существует
такая точка с, что F (с) = 0. Иначе говоря,
f(c] /(»)-/(a) ~/(rwo
1 (С) g[b)-g(a) g(C) U
или
Разделив на g1 (с) (это возможно, так как g'(c)^O),
получаем требуемое равенство.
Ясно, что теорема Лагранжа является частным
случаем теоремы Коши. Для получения формулы конечных
приращений из формулы Коши следует положить g(x)=.v.
19 Г. М. Фихтенгольц

290 гл. тп. производные и дифференциалы [121
Теорему К о ш и называют обобщённой теоремой
о среднем значе н и и (в дифференциальном исчислении).
Геометрическая иллюстрация теоремы Коши — та же,
что и для теоремы Лагранжа. Чтобы читателю легче
было это усмотреть, перейдём к другим обозначениям: χ
заменим на /, а функции обозначим через φ (/) и ·!> (/). Ноли t
изменяется в промежутке [a, pi, то формула Коши
напишется так:
Рассмотрим теперь кривую, заданную
параметрическими у ρ а в н е и и я м и
*=?{'), У = ЪѴ). (α·^ί<?). (5)
Тогда лгвая часть формулы и здесь выражает угловой
коэффициент хорды, соединяющей концы дуги этой кривой, а
правая — угловой коэффициент касательной в некоторой
внутренней точке дуги, отвечающей і = у [105, (И)].
Замечание. Эти соображения подсказывают мысль
о возможности вывести формулу Коши из формулы
Лагранжа. Суть этого вывода в том, что вместо
параметрической зависимости (5) устанавливают непосредственную
зависимость: ѵ—/(*), и тогда формула (4) оказывается рав-
нозначущей с (1).
§ 5. Формула Тэйлора.
121. Формула Тэйлора для полинома. Если р(х) есть
целый полином степени л:
Ρ {*) = Ч -f- ахх -\- а2х2 -)- а3х3+...-]- V'', (1)
то, последовательно дифференцируя его я раз:
р' (дг) = л, -!г2·а.,х-{-3·а3х2-{- ... -{-п-а/хп-1,
р"(х) = 1.2·а.,-С2·3·α,.ν-f ... -j- (л — 1 )"л ·а„х':~-,
/)'" (χ) = 1.2.3·*, -f-... -f (л — 2} (л — 1) η-α,χ'"··,
р'"Цх) = \-2-3... п-а^
и полагая во всех этих формулах χ = 0, найдём
выражения коэффициентов полинома через значения

121] § 5. формула тэйлора 291
самого полинома и его производных при χ= О
;0), α^ψ, а2=^
р'" (0) _ рМ (0)
/л\ Р' (°) Р" (0)
«з— з! · ··* > "η~ ~~~7г! *
Подставим эти значения коэффициентов в (1):
/ N ,Л, I Р' (0) I Р" (0) ., ,
Ρ (*) = Ρ (°) +-Ц * "*~ 2! ^ +
-τ- 3! * "Τ · · · "Ι" „ι χ · \-
Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов.
Вместо того чтобы разлагать полином по степеням хг
можно было бы взять его разложение по степеням χ — хйУ
где х0 есть некоторое постоянное частное значение х:
ρ (χ) = А0 -\- л, (х - а-0) + Α, (χ - х0)г 4-
_|_ ая (Х _ *о)> 4- ... + Ав (х - χ»)". (а)
Полагай χ — хи = I, р (х) —р (х0-\~ £) = Ρ (ζ), для
коэффициентов полинома
Ρ® = Α9 + Αι* + Α.·Γ + Α«>+...+Αι*
имеем, по доказанному, выражения:
__ Ρ'" (0) ' __ PW(Q)
·4.·ι 3! ' ' ' ' ' " л!
Но
f(3) =/>(*„+ 9, Р(5)=Р'(*оЧ-£),
/>» (5) = P*(*0-f $),■■·.
так что
и
/>(0) =/>(*„), /*(0) =/»'(*,), Я"(0)=Р"К),
A—d(x\ А-Р-^& Α — £ί£2) )
Α.
.Ρ'" (xa) л _ ΡΜ (*ο)
• Л"~" я! "* J
(+І
3 — 3! '
т. е. коэффициенты разложения (3) оказались
выражений ми через значения самого
полинома и его производных и ρ и χ = хи.
19*

292 гл. ш. производные и дифференциалы (122
Подставим в (3) выражения (4):
+^(х-х0У+.,.+*^(х-^. (5)
Формула (5), так же как и её частный (при х0 = 0)
случай (2), называется формулой Тэйлора (В. Taylor)*.
Известно, какие важные применения она имеет в алгебре.
Сделаем (полезное для дальнейшего) очевидное
замечание, что если полином ρ (х) представлен в виде
Ρ (*)=?<, -г {у (* - ·*<>) +57 С* - *и)а +
+1 (х - xu)s + ... -f Jj (χ - Х<1)\
то необходимо
р(х.0) = С0, р,(хь) = сѵ ρ" (*„) = ί,, . .. , ρΜ (Χο) = ся.
122. Разложение произвольной функции;
дополнительный член в форме Пеано. Обратимся теперь к
рассмотрению произвольной функции f(x), вообще не
являющейся целым полиномом. Предположим, что для неё в
некоторой точке х0 существуют производные всех порядков до к-го
включительно. Это значит, точнее говоря, что функция
определена и имеет производные всех порядков до (п — 1)-го
включительно:
в некотором промежутке [а, Ь], содержащем точку х0, и, кроме
того, имеет производную я-го порядка /'■"'> (х0) в самой
точке х„**. Тогда, по образцу (5), и для функции / (х) может
быть составлен полином
Ρ (χ) =/(*„) + £%й(х- χ») + А^ (* ~χοϊ2 +· ·.
* Впрочем, формулу (2) без всяких к тому оснований часто
называют формулой Маклорэна (С. Maclaurin).
** Если точка х0 является одним из концов промежутка [а, Ь],
то, говоря о производных в этой точке, мы имеем в видѵ
односторонние производные.

122]
§ δ. формула тэйлора
293
Согласно предшествующему замечанию, этот и о л и н о .м
и его производные (до л-й включительно) в точке х^
имеют те же значения, что и функция f(x) и её
производные.
Но на этот раз, если только f (х) не есть целый
полином «-й степени, уже нельзя утверждать равенства f(x) =
=р (х). Полином ρ (χ) даёт лишь некоторое приближение
к функции f{x). Поэтому особый интерес приобретает
изучение разности
r(x)=f(x)-p{x). (7).
Установим, прежде всего, что при х—+х0 эта разность
представляет собой бесконечно малую порядка выше п-гс
(по сравнению с χ — ха):
гС*) = о ((*-*„)*). (8)
По свойству полинома ρ (χ), для функции г(х), очевидно,
будут иметь место равенства
г (х0) = г' (ха) = г" (х0) = ... = г<"> (*0) = 0. (9>
Они и влекут за собою (8), что мы покажем по методу
математической индукции.
При «= 1 имеем
г (*„) = /■'(.«„) = <),
так что
г (х) ,· г (х) —/·(*!,) , , , А
lim ' = hm—і—і -^ = / (хй) = 0,
Г (JC) = О (.1С — X0),
и наше утверждение оправдано.
Допустим теперь, что это утверждение верно для какого-
либо значения я^ 1, и докажем, что оно останется верным
и при замене я на п-\-1. Действительно, тогда производная
/ (х) будет удовлетворять условиям
г< (х0) = /' (х0) = а'" (х0) = ... = И»+'> (*0) = О
типа (9) н, по допущению,
г'(лг) = о((х —х0) ).
Но, по формуле конечных приращений [118],
г{х) = г (х) - г (ху) = г' (с) · (х - хй),

294 гл. ш. производные и дифференциалы [122
где- с содержится между х0 и х; так как \с — хй \ <С! χ — а'0 ',
то
г' (с) = о({с — *,))') = о ((х- — х0)'')
и, окончательно, получаем
г(х) = 0({х — Х||)'1 + 1), Ч. Н Тр. Д.
Учитывая (6), (7). и (8), мы приходим к формуле
/ (*) =/ (*о) + Яг {Х - Х«] + Φ {Χ -Χ°)Ζ + · · ·
..■^-^Г^Іх-ХоГ-^оЦх-хХ), (10)
которая от формулы (5) для полинома разнится наличием
дополнительного члена (8). В указанной форме
дополнительный член был дан Пеано (G. Реапо). Формула (10)
и называется формулой Τэй лор а с дополнительным
членом в форме Пеано.
Доказанная формула является естественным обобщением
формулы (3) п° 95, которую можно написать так:
/ (*)=/ (*о) +/' {*о) (* — *о) + ° (* — *о);
она отвечает я = 1. Там функция f(x), с точностью до
бесконечно малой порядка выше первого, представлялась в виде
линейной функции, здесь же мы представляем её
полиномом л-й степени, но уже с точностью до
бесконечно малой порядка выше я-го.
Легко показать, что такое представление функции f(x)
единственно, т. е. что, если имеем одновременно, вблизи х0,
/(х) = Л„4-і41(*-*о)4-^(*-*о)8+···
...+*„(*.-*„)« +©((*-*„)«)
f(x)=A'a+Al1(x-x0) + A'2(x-xQ)*+...
■■■+А'П(х-х0Г + о((х-х0У),
то необходимо
А0=А'0! А, = А[, ..., Ап=А'п.
Действительно, из тождества
А> + ААХ~ хо) + \ (* - *о)2 + · · · -f Ая (х - х0)" =
^Л'0+Л[(х-х0) + А'2(х-х0)2 + ...
■■■+А'п(х-Хо)П + о{(х-хйУ)

122]
§ 5. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРЛ
295
при х—*х0 сразу получаем Ай = А'й. Сокращая эти члены
и деля их на χ — xQ, получим:
.4, 4- А, (х -xQ)+...+Aa(x- *„)«-« =
= А[ + А\ (х - xQ) +...+A'n {х-х^-іЛ-о ((*-*„)»-'),
откуда, аналогично, А1=А'Ѵ и т. д.
Иногда удобно формулу (10) применять в другой форме.
Дополнительный член г(х) можно представить так:
т Μ = Ji (* — хй)\
где а зависит от χ и стремится к 0 вместе с χ — х0.
Подставляя это выражение, получим
/(*) =/ (*„) +fl^(x- хй) + £ψ {χ - х0г- 4-. ·.
■ ,„ + ^ya(,.tfi (10а)
Далее, перенося в формуле (10) f(x0) налево и полагая
χ — х0 — Δλγ, можно переписать её в виде
Δ/<*о) =/' (*о)■ Δ* + У"W·Δχ2 + . ..
•••+^г/(п)(*о)-Л*я + о(Д*л). (Юб)
В этой форме она ещё ближе к формуле (3) п° 95:
Δ/(*0)=/·(*0)-Δτ + ο(Δ*).
Последняя выделяет лишь один главный член из бесконечно
малого приращения функции Δ/(χ0) — считая, как всегда, Δχ
за основную бесконечно малую, в то время как в формуле (106)
выписаны члены всех порядков до я-го включительно, причём
все они являются простейшими бесконечно малыми в
смысле п° 63.
С точностью до дополнительного члена, таким образом,
приращение функции разложено по степеням
приращения независимой переменной.
Наконец, вспоминая, что
/' (х0) -Lx = df (ж0), г (*0>· ь*=άη (*,),...
..., f^{xQ).\x> = d>f{xu),

296 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [123
мы можем переписать (106) в такой форме:
Отсюда видим, что (при Δ.ν—>-0) последовательные
дифференциалы представляют собой, с точностью до факториалов
в знаменателе, именно простейшие бесконечно малые члены
соответственных порядков в разложении бесконечно малого
приращения функции.
123. Примеры. Всего проще выглядит формула Тэйлора,
если А'и = 0*:
К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв
χ— хй за новую независимую переменную.
Рассмотрим в виде примера некоторые конкретные
разложения по этой формуле для элементарных функций.
1) Пусть / (х)-= ех; тогда /W(x)=ex при любом k =
= 1, 2, 3, ... Так как в этом случае/(0)=1, /№(0) = 1,
то, по формуле (11),
»'=1+п- + 5?+..'.- + 5+о(*«).
2) Если f{x)=sinx, то fW(x)=sin (лг-f £-£-), так что
/(0) = 0, /i2*)(0)=sfn»in = 0,
/(^-')(0)=sin(»m-4)=(-l)'e-1 (m = \, 2, 3,...).
Поэтому, положив в формуле (11) п = 2т, имеем
*И эту .фррмулу связывают с именем Маклорэиа (см.
сноску на стр. 292).

123]
§ 5. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
297
3) Аналогично, при f (x) = cosx:
/W(*)=cos(*4-A.y); /(0) = 1, /(-"0(0)=,(_l)^
/(s«-O(0)=0 (/« = 1, 2, 3, ...).
Таким образом (если взять л= 2т-\- 1):
cosjc=1 ——4- — — -Μ — 'IVя -ί^--!-οίχ2«+ΐ\
4) Рассмотрим теперь степенную функцию хт, где т — не
натуральное число и не нуль. В этом случае при χ—► 0 либо
сама функция (если /л<^0), либо её производные (начиная
с некоторого, порядка, при п~^>т) бесконечно
возрастают. Следовательно, здесь уже нельзя брать *0 = 0.
Возьмём д:0=1, т. е. станем разлагать хт по степеням?
χ—1. Впрочем, как уже упоминалось, можно ввести в
качестве новой переменной χ—1; мы её попрежнему будем
обозначать через х, и станем разлагать функцию (\~\-х)т по-
степеням х.
Как мы знаем ; 109, 2)1,
/(*) (χ) = т (т — 1) ... (т — к + 1) (1 + х)т~\
так что
/(0)=1, fW(0)=m{m- 1)...(«-^-*+1).
Разложение имеет вид
(i+^r=i+«*+w(7.T'1)*M-··
. . . + т{Я'-1І2^я~Я + 1) * + О (*').
В частности, например, при я = 2 н /« = —1, -j, — —
будем иметь
Гт^ = \-х + х* + о(х%
ѴТ+И = ι +1 χ - !**+о (х\
, 1 = 1 — - * 4- - *2 + о (х*-).
Первое из этих разложений очень легко получается
элементарно— дополнительный член здесь просто равен . ", .

.298 гл. in. производные и дифференциалы (123
Второе же и третье потребовали бы более длинных выкладок
[ср. 63J.
5) Если перейти к логарифмической функции log л:,
которая стремится к — оо при х—*-\-0, то, как и в предыдущем
.примере, мы предпочтём рассматривать функцию /(*) —
— log(l-j-;e) и разлагать её по степеням х.
Тогда [109, 3)1
/ Ух>— (l-f*)*
/(0) = 0, /W (0) = (— 1 )*-і (А- 1 )!.
Отсюда
\og(\ -{- х) = х ~~~\--j- ... 4- (~ Ц"-^' Л- о (х).
6) Пусть теперь /(*) = arctgjr. Мы имели в III, 4)
значения eg производных при х = 0:
/(«»») (0) = 0, /(а»-і) (0).= (— I)'»-' (2т — 2)',
так что её разложение представится в виде
7) Для функции f(x) = tgx закон образования
коэффициентов ά формуле Тэйлора сложен. Тем не менее,
несколько первых членов её написать нетрудно. Так как,
например,
/'(*)=' f(x)==2^£, /"(*) = 2 IІ^,
J v ' cos3.* ' J v ' cos 'λ: j v ' cos"1.!; '
рУ(х) = 85тх^-Гі
το
./(0)=0, /'(0)=1, /'(0)=0, /"'(Ο) = 2, /JV(0)=0,
так что
tg χ = л- + j + ο (χ4).
Пользуясь известными разложениями, можно, уже не вычисляя
производных, непосредственно писать разложения и для более
сложных функций. Например, предыдущая формула могла бы быть
получена из разложений для sin л: и cos л·. Приведём новые
примеры; при этом все степени х, до назначенной включительно, мы
Под 0! мы, как всегда, разумеем 1.

123]
§ 5. формула тэйло;>л
299
будем точно учитывать, а более высокие степени (не выписывая
их) будем сразу включать в дополнительный член.
8) Написать разложение функции <?sin* до х:і. В силу 1),
fia jc = 1 -j_ sin χ -f -:- sin-Jtr -ρ -r siiv'x -ρ о (х'л)*;
но, но 2),
Sin Х = Х -г Xs -р О (-V4),
О
так что
е«пх- 1 4- (jf _ I^ ) +i *» + l^i-f o(.v«).
Член с Jrs исчезает и, окончательно,
*«Iп * = 1 -J- χ -(- і. дгЗ -f о (.ν·1).
Аналогично,
еЧχ = 1 -f д? + у *3 + τ *"' -Ь ° С-^)·
9) Написать разложение функции log cos.ν до члена с Xй.
Согласно 5),
log cos χ = log [1 4-(cos χ— ')') = (cos л- — 1) — γ (cos л-— 1)'г~р
-f -- (cos*-1)3-1-о (.*«)**.
При этом, ввиду 3),
ros.r_l.__-_^4-2^-^ + o(^
отсюда
,OgCOS^,= (-lx*4.^^-ig^).-l(l^--i^) +
или — после приведения —
log cos χ = - -j *· - j5 -v4 - 45 Λ"" + о (-г6)·
Аналогично,
log (ж+ VT+"J5) = * - -g- Jf' + й*8 "г о (*5)
* Следовало бы написать о (sin8*), но, ввиду эквивалентности
бесконечно малых χ и sin*, это всё равно, что о{х3).
** Так как l—cos* одного порядка с х? [611, то о ((cos χ — 1):!)
в то же время есть о {х6).

300 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [124
II
Все эти разложения, полученные без непосредственного
использования формулы Тэйлора, могли бы, конечно, быть получены
и по этой формуле, и притом — в точности с теми же
коэффициентами, ввиду установленной выше единственности подобного
разложения функции.
Замечание. Так как рассмотренные здесь функции
имели в окрестности точки х = 0 производные всех
порядков, то мы ничем не были стеснены в выборе числа н в
формуле (П), т. е. могли продолжать разложения этих функций
вплоть до любой степени х.
124. Другие формы дополнительного члена. Формула
Тэйлора с дополнительным членом в форме Пеано имеет
многообразные приложения (см. следующую главу); но все
они, так сказать, «локального» характера, т. е. относятся
к самой точке л:0. Если в них иной раз и идёт речь о
других значениях х, то эти значения предполагаются
«достаточно близкими» к х9 и наперёд не могут быть взяты по
произволу.
Между тем естественно попытаться использовать полином
ρ (χ) как приближение к функции / (х), с помощыо
которого она и может быть вычислена с нужной степенью
точности. Для того чтобы полином р (х) был пригоден для
этой роли, необходимо иметь возможность оценивать
разность (7) для данного х. В этом случае форма Пеано,
характеризующая лишь стремление г(х) к 0 при χ -->-0,
служить не может. Она не позволяат устанавливать, для каких
значений χ полином ρ (χ) воспроизводит функцию / (х) с
наперёд указанной степенью точности; ничего не говорит она
также о том, как можно было бы — при данном
χ—воздействовать на величину дополнительного члена г(х) =гп(х) за
счёт увеличения я *, и т. д.
Поэтому мы обратимся к выводу других форм
дополнительного члена гп (х). Для определённости будем
рассматривать промежуток [,ѵ0, х0 4- Н] (Я^> 0) вправо от точки χύ
* Нужно помнить, что дополнительный член г(х) зависит,
вообще говоря, от п\ для подчёркивания этого обстоятельства мы
и будем впредь обозначать его через гп{х).

124]
§ 5. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
301
и будем считать функцию f (х) определенной в этом
промежутке; случай, когда функция задана в промежутке
[хй— Н, х0], исчерпывается аналогично.
На этот раз сделаем более тяжёлые предположения,
именно, допустим, что во всём промежутке [х0, хй-\-Н'\
существуют и непрерывны первые η производных:
и кроме того, по крайней мере, в открытом промежутке
(лг„, хй-\-Н) существует и конечна (я-{-1)-я производная
/<«-:■ 1) (*).
Отметим, что, ввиду (6) и (7),
гя(*) = /(*)-/(*о)-£тГ(х-*в)-
'■''*%-χΰ)«.-...-ί^{χ-ΧοΥ, (12)
2'
п.
Фиксируем теперь любое значение χ из промежутка
[х0, хй~\-Щ, и по образцу правой части формулы (12),
заменяя постоянное число χυ на переменную ζ, составим
новую, вспомогательную, функцию:
*{z)=f(x)—f{z)
fH'l
1!
(*·
■г)-ψ [х-
т
(х-г)«.
причём независимую переменную ζ считаем изменяющейся в
промежутке [х0, х]. В этом промежутке функция φ (ζ)
непрерывна и принимает на концах его значения [см. (12)]:
Кроме того, в промежутке (хй, х) существует
производная
φ'U) = -/'(«) ■
'(*-ζ)2
(*■
2!Λ~ "' I!
YlV (z) . n /'" (г) .
Z-gjJ (x — zf — t-^r2 (x -
л!
■C-^-i^C-')-1]

302 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [124
или, после упрощения,
Возьмём теперь произвольную функцию ψ (ζ), непрерывную
в промежутке [х0, х] и имеющую не обращающуюся в нуль
производную ψ'(ζ), но крайней мере, в открытом
промежутке (χύ, χ).
К функциям φ (ζ) и d> (2) применим формулу Кош и ^120j:
у (х) - ? (лг0) _ у' (с)
Φ U) - Ψ (*о) ~~ Ψ' (') '
где
лг0<с<х или с = л-0-|-6(дг — лг0) (0<6<Г).
Так как
φ (*) = <), ?(*0) = Г„(*), у'(С) = -/("^)(С)^-С)«,
то
г ЛЛ - Ή*)-Ψ(*ο) /(я+1)<с),,. .„
М*> — ψ/ (ί) щ ν- — с> ·
Теперь, если подставлять вместо ф(г) любые
удовлетворяющие поставленным условиям функции, мы получим
различные формы дополнительного члена г„(х).
Пусть Φ {ζ) = (χ — z)f, где ρ ^> 0: Имеем:
ф»(*) = —/> .(*-*)'-» (*оОО)·
Очевидно, эта функция удовлетворяет поставленным
требованиям. Поэтому
Так как с = л*0-}- 0 (л- — лг0), то χ — с = χ — xQ — 6 (χ — xl))=
= (1—G) (χ — x0), и окончательно:
(0<Ѳ<1).
Это выражение называется дополнительным членом
в форме Шлёмильха и Роша (О. Schjorailch-Roche).

125]
§ 5. ФОРМУЛА ТЭЙЛО.'А
зол
Из него, придавая ρ конкретные значения, можно
получать более частные формы дополнительного члена. Положив
ρ = η-j- 1, получим дополнительный член в форме-
Л агр а н ж а:
<« + !)!
W = Ί—ϊπ (χ - *.)) '■' (*о ^ с ^ *>.
который выглядит особенно просто. Он напоминает
следующий очередной член формулы Τ з й л о ρ а, лишь вместо того,
чтобы вычислять (п -j-1 )-ю производную в точке аг0, эту
производную берут для некоторого среднего (между хй и х)
значения с.
Формула Тэйлора с дополнительным членом в форме·
Л а г ρ а н ж а, таким образом, имеет вид
Если перенести в ней член f (х0) налево, то легко усмотреть
в ней прямое обобщение формулы конечных приращений [1181,
которую можно написать так:
f(x)=f(x0)+f'(c)-(x-x0).
Хотя охотнее всего пользуются дополнительным членом
именно в форме Лаг ран ж а, ввиду её простоты, всё же-
в отдельных случаях эта форма оказывается непригодной для
оценки дополнительного члена, и приходится прибегать к
другим формам, менее простым. Из них упомянем здесь о
дополнительном члене в форме Кош и, который
получается из общей формы Шлёмильха и Роша при.
125. Приближённые формулы. Положим, для простоты,
в формуле (13) *0 = 0, а вместо с станем писать Ьх; где-

304 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ (125
Если отбросить здесь дополнительный член, то получится
приближённая формула:
заменяющая функцию сложной природы — полиномом. Но
на этот раз мы в состоянии оценить погрешность
этой формулы, ибо она как раз и равна (по
абсолютной величине) отброшенному члену. Например, если (п-\-\)-я
■производная (по крайней мере, при изменении аргумента
между 0 и х) ограничена по абсолютной величине числом М,
то
;М*>!<7М-"Ж·
Для примеров обратимся к элементарным функциям. Нам
нет надобности повторять выкладки п° 123, лишь
дополнительный член мы будем писать в новой форме.
1) Положим / (х) = ех. Приближённая формула:
так как дополнительный член здесь
г (χ\ — - л-Ч+1
r«W (/z+1)! '
то, например, при jr^>0 погрешность оценивается так:
lr«W!<e*"i^+T)r·
В частности, если х=\,
1 ι 1 , ,1 ,_ „4, ^ 3
■1)!
β=*+τ&τι + -··+*> Ι'.ωΐ<(ϊτι
Подобной формулой мы уже пользовались в 37 для
приближённого вычисления числа е, но оценка дополнительного
члена, полученная другим путём, там была более точной.
2) Взяв f(x) = s'mx, получим
•г3 I хЪ ι / и« ι Χ2πι~λ

125]
§ 5. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА.
305
В этом случае дополнительный член:
sln(e* + (2m + l)JL)
'*- <*> = (2...-1-1)! ~ х2т+Х =
= (— 1 )"* cos Ѳлг -
(2/и-г-I)! ·
и погрешность оценивается легко:
В частности, если мы довольствуемся одним членом и
полагаем
sin χ == χ,
то для того, чтобы погрешность была меньше, скажем, чем
0,001, достаточно взять (считая х~^>0)
^<0,001 или *<0,1817,
что примерно равно 10°. При пользовании двучленной
формулой
sin χ = χ —g-,
для достижения той же точности уже достаточно взять
щ< 0,001 или χ < 0,6544 (==37°,5);
если же ограничиться углами х<^ 0,4129 (=23°,5), то
погрешность будет даже < 0,0001, и т. д.
Мы видим, что с увеличением числа членов полинома
Тэйлора, он с всё большей точностью и на большем
протяжении воспроизводит исходную функцию. Этот факт
наглядно иллюстрируется черт. 52а, где наряду с графиком
функции _у=Біпл: представлены графики полиномов
У — х, У = х — £, У = х-^ + Ш' и т· д·
3) Аналогично, для /(jc) = cos;c имеем
20 г. М. Фихтенгольц

306
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [|23
причём
^+,(*)-(-^+1со5 0*.(-£^,
S
f
as
•
,
П-
ι
,s
\ \
ι \ > Λ\ ι I 1 1
\ ѴЧ /9
Ѵ^- \ ^""-—y=slnx
так что
Например, для формулы
Черт. 52.
1 ^*1 Wl^(2OT + 2)!'
cosjc= 1 — —

I2S]
§ 5. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
307
погрешность
IМ*)I<я
и наверное будет, скажем, < 0,0001 для х<^ 0,2213 ( = 13°),
и т. п. На черт. 526 представлены для сравнения графики
функции у = cos χ и графики последовательных полиномов
у=\, y=\—~t у=\
х* , х*
N
Мы обращаем внимание читателя на существенное
продвижение вперёд по сравнению с формулами п°п° 62, 63, 106:
теперь мы умеем устанавливать границы погрешности и
располагаем формулами, любой точности.
Укажем ещё, что формула Τ э й л о ρ а является источником
для построения приближённых формул совершенно иного типа.
4) В качестве примера остановимся на формуле Гюйгенса
(Ch. Huygens) для приближённого
спрямления дуги окружности, малой
по сравнению с радиусом.
Пусть s — длина дуги, d —
соответствующая ей хорда, а & — хорда,
соответствующая половине дуги (черт. 53).
Поставим себе задачей представить s
возможно точнее приближённой
формулой вида
s~Ad + ВЪ,
где А, В — коэффициенты, подлежащие Черт. 53.
определению.
Если г —радиус окружности, а 2л: —центральный угол,
соответствующий дуге s, то имеем
d = 2r-slnx = 2r(x—jx*+^x*) (0<6'<1)
χ
и, аналогично, заменяя χ на -^-,
Отсюда
\
\
\
\
\
\
\
\
\
Λ
Ϊ
i /v
t
/
/
/
f
1
Аа + В&=2г[(А-\-1в).х-(±А + ±в).х* +
1 V120 ^3840
В
И·
20*

308 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [125
в то время как s = 2rx. Естественно выбрать А а В так, чтобы
было
λ+\β-\, -іл+4I8я=о,
ибо тогда разница между левой и правой частями рассматриваемой
формулы будет лишь в членах, содержащих х&. Для коэффициентов
1 Я
А я В получаем значения А — — -? , В = -£· и формула принимает
вид
8а-d ... 28-d
^_T_=2S+_I-.
Её' погрешность Д, как легко видеть, оценивается так:
№<"№
«
Например, при центральном угле в 30°, т. е. χ — —, имеем,
согласно этой оценке, |Д|<г·0,000007; в действительности s —
— г-0,523599..., а по формуле Гюйгенса получается s=s
— г-0,523593..., так что расхождение не превосходит
установленной границы.
5) Для той же цели П. Л. Чебышев дал следующее
правило: дуга приближённо равна сумме равных сторон
равнобедренного треугольника, построенного на хорде и имеющего
высотой λ/ -к стрелки.
Предлагается читателю уяснить себе, чем мотивируется
коэффициент Τ/ -τ·
Мы вернёмся к формуле Тзйлора с дополнительным
членом в главе XI (второй том), посвященной бесконечным
рядам, где эта формула будет играть весьма важную роль.
Там же будут приведены многочисленные примеры
приложения рядов к приближённым вычислениям, которые зачастую,
по существу, являются применениями формулы Τ эй лор а.

ГЛАВАЧЕТВЁРТАЯ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНЫХ.
§ 1. Изучение хода изменения функции.
126. Условие постоянства функции. При изучении хода
изменения функции на первом месте появляется вопрос
об условиях, при которых функция сохраняет в данном
промежутке постоянное значение или изменяется в нём
монотонно [57].
Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и
непрерывна в замкнутом промежутке \а, Ь] и имеет конечную
производную /' (х), по крайней мере, в открытом
промежутке (а, Ь). Для того чтобы /(х) была в [а, Ь]
постоянной, необходимо а достаточно условие
f {χ) = 0 для χ в (а, Ь).
Необходимость условия очевидна: из f(x) = const,
следует /' (χ) = 0.
Докажем теперь обратное.
Достаточность. Предположим, что/'(х) = 0 в (а, Ь).
Взяв любое х, а<^х^Ь, рассмотрим промежуток [а, х]; в нём
для f(x) выполняются все условия теоремы Л а гран ж а [118],.
следовательно, можем написать:
f(x)~f(a)=f(c)-(x-a) (a<c<*).
Но, по предположению, /' (с) = 0; значит при всех χ
f(x) =f(a) = const.,
и наше утверждение доказано.

310
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[126
В интегральном исчислении важное приложение найдёт
вытекающее отсюда простое
Следствие. Если две функции /(*), g(x) определены
и непрерывны в промежутке [а, Ь] и имеют конечные
производные f (χ), g1 (χ) β промежутке (а, Ь), причём
f{x) = g(x) {a<x<b),
то эти функции во всём промежутке [а, Ь] разнятся лишь
на постоянную:
f(x) = g{x) + C (С = const.).
Для доказательства достаточно применить теорему к
разности f(x) — g(x): так как её производная /' (х)—g(х) в
{а, Ь) сводится к 0, то сама разность будет постоянной.
Особенности пользования этой теоремой выясним на приме·
ρ ах:
1) Рассмотрим две функции
arctg.*· и arcsin —τ -■ (— co<x<-foo).
Так как производная второй из них
х*
D arcsin
»ΤΤ3»-ΠΤΪΓ
VTTx~* ,/: w i+*2 1+*2
/~i
+ x*
совпадает с производной первой функции, то эти функции в любом
конечном промежутке, а значит, и во всём промежутке от — оо
до +00, разнятся на постоянную:
arctg χ = arcsin Ч-Г-
Для определения значения этой постоянной можно, например,
положить здесь х — 0; так как при этом и арктангенс и арксинус оба
обратятся в 0, то и С должно быть нулём. Итак, мы доказали
тождество
. χ
arctg л: = arcs: n —;-== (— сю * < + м),
У 1 -(--г2
которое, впрочем, в 50 было выведено из элементарных
соображений.
2) Предлагается, аналогично, доказать, что
arcsinх=:arctg ,_f^=- (-і<*<і).
V \ — х-

127] § 1. изучение хода изменения функции 311
3) Рассмотрим теперь функции
1 2х
arctg χ и j arctg ^_χ^
Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках х,
исключая дг = ± 1 (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому
тождество
1 2дг
Τ arct8 i—X2 = arct2 ■*■ + С
оказывается установленным лишь для каждого из промежутков
(-1.+ 1), (-00,-1), (4-1.+ 00)
в отдельности. Любопытно, что и значения постоянной С
для этих промежутков будут различными. Для первого из них С=0
(в чйм убеждаемся, полагая * = 0), а для двух других имеем,
соответственно, С=-^- или С=—·=- (что легко усмотреть, если,
например, устремить χ к — оо или 4~ °°)«
Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно.
Замечание. Значение теоремы 1 проявляется в
теоретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда
функция задана так, что из её определения непосредственно
не вытекает, что она сохраняет постоянное значение.
Подобные случаи нам не раз встретятся в дальнейшем.
127. Условие монотонности функции. Выясним теперь,
как по производной функции можно судить о возрастании
(убывании) самой функции в данном промежутке. Остановимся
сначала на случае функции, монотонно возрастающей в
широком смысле, т. е. не убывающей (или монотонно
убывающей в широком смысле, т. е. не возрастающей) [57].
Теорема 2. Пусть функция f (х) определена и
непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь] и имеет конечную
производную, по крайней мере, в открытом промежутке
{а, Ь). Для того чтобы f(x) была в [а, Ь] монотонно
возрастающей (убывающей) в широком смысле, необходимо
и достаточно условие
/'(jc)SsO (ϊ=ςΟ) для χ в {а,Ь)*.
* Хотя формулируем теоремы мы параллельно и для
возрастающих и для убывающих функций, но при доказательстве
ограничиваемся лишь случаем возрастания.

312 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [127
Необходимость. Если f(х) монотонно возрастает,
хотя бы в широком смысле, то, взяв χ между а и b и
придав ему приращение Δλ;^>0, будем иметь:
и в пределе, при кх —*0, получим f(x)^0.
Достаточность. Пусть теперь, обратно, дано, что
f(x)^zO в (а, Ь). Возьмём два значения х' и х" (х <^х")
из промежутка [а, Ь] и к функции f(x) в промежутке [х',х"]
применим формулу Лагранжа:
f(x")-f(x')=f(c).(x-x') (*'<«<*')·
Так как /' (с) 5= О, то
ЯЛ >/(*'),
и функция f(x) будет возрастающей, по крайней мере, в
широком смысле.
До сих пор для функции f (х) не была исключена
возможность сохранять в некоторых промежутках и постоянные
значения, а для её производной — обращаться в этих
промежутках тождественно в 0. Если мы эту возможность исключим,
то придём к случаю возрастания (или убывания) в строгом
смысле.
Теорема 3. При сохранении тех оке предположений
относительно непрерывности функции f(x) и
существования её производной f {x), для того чтобы f{x) была
монотонно возрастающей (убывающей), необходимы и
достаточны условия:
\)/'{х)^0 «0) для χ в (а,Ь),
2) / (х) не обращается тождественно в 0 ни в каком
промежутке, составляющем часть (а, Ь).
Необходимость. Если f (х) возрастает в промежутке
[а, Ь\, то по теореме 2 имеем /'(лг)ЗгО, так что условие
1) выполняется. Выполняется и условие 2), так как, если бы
производная обращалась в 0 в некотором промежутке сплошь,
то по теореме 1 в нём /(х) была бы постоянной, что
противоречило бы предположению.
Достаточность. Пусть выполняются условия 1), 2)
теоремы. Тогда, з силу теоремы 2, функция /(х) является,

1271 § 1. изучение хода изменения функции 313
во всяком случае, неубывающей. Если взять в [а, Ь] два
значения х' а х" (х'<^х"), то будем иметь не только
но и
f(x')^f(x"),
(1)
(2)
Докажем, что знак равенства в (1) на деле осуществиться.
не может. Если бы было f(x')=f(x"), то, ввиду (2),
получили бы
f(x')=f(x)=f(x") для χ в [х',х"1
т. е. функция f(x) была бы постоянной в промежутке [х1, х*],
и мы имели бы /' (х)=0 в этом промежутке сплошь, вопреки
условию 2). Итак,
/(*')</(*") при *'<*",
т. е. функция / (х), в строгом смысле, возрастает. Этим теорема,
доказана.
*4
■ U<
(і)
ч
Черт. 54.
Установленная связь между знаком производной и н а-
правлением изменения функции геометрически
совершенно очевидна, если вспомнить [90, 91], что производная,
представляет собой угловой коэффициент касательной к
графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает,
наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею—идёт
ли вверх или вниз и сама кривая (черт. 54).
Однако в отдельных точках касательная при этом может
оказаться и горизонтальной, т.е. производная — даже в
строгом смысле — возрастающей (убывающей) функции может для.
отдельных значений χ обращаться в 0.

314 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [127
Примеры. 1) Простейший пример последнего
обстоятельства доставляет функция / (х) — х3: она возрастает, и тем не менее
производная её /'(*) = 3.v2 при д: = 0 обращается в 0.
2) Аналогично, возрастающей будет и функция
f(x)=zx — sinx,
ибо её производная
/' (лг) = 1 — cos*
не отрицательна, обращаясь в 0 для значений x = 2kn (А = 0,
:£ 1. :fc 2, ...).
3) Наконец, чтобы показать, что для возрастающей функции
производная может даже в конечном промежутке обращаться
в 0 бесконечное множество раз, рассмотрим функцию
sin
/ f(x) = e х х для *>0,
\ /<0) = 0.
Очевидно,
lim /(jr) = 0,
*-»·+ο
так что наша функция непрерывна и при дг = 0. Имеем, для *>0;
sin / ι \ ι
/·<*> = ' * '.(l-cos-ij.i^O,
=прячём эта производная обращается в 0 при х= ^т- (А = 1,2,3,...).
Заметим, что
0sS/'(*)<2e··—--ѵ0 при *-»--f-0,
е*
отсюда (119] и /'(0) = 0.
Можно построить примеры возрастающих (убывающих)
функций, для которых точки, где производная обращается
в 0, распределены ещё более сложным образом. Однако,
подобные случаи встречаются редко, и для практических целей
обычно пользуются таким достаточным признаком:
если производная f'(x)^> 0 «Ό) повсюду, исключая разве
лишь конечное число значений х, то функция f{x) будет
возрастающей (убывающей).
Отсюда вытекает полезное
Следствие. Пусть две функции f (x), g(x) определены
и непрерывны в промежутке \а, Ь\ и имеют конечные про-
.изводные f (х), g'(x) в промежутке (а,Ь). Если
f(a) = g(a) и А*) >*'(*) « (β, δ),

I27j § t. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 315
то будет и
f(x)>g(x) в [а, Ь].
Функция f(x) — g(x) имеет положительную производную
в (а, Ь), следовательно, возрастает и, в частности, для х~^>а,
f{x) — 8(x)>f{a) — g(a) = 0, ч. и тр. д.
Применим это к доказательству некоторых неравенств.
Примеры. 4) Так как функции f(x) = cos χ и g(x)=zl— -*-хг
при х=0 обе обращаются в 1, а для их производных, при дг>0,
справедливо неравенство
/' (х) = — sin χ > g1 {χ) = — χ (ибо sin x < χ),
то при х > 0 имеем также
cos*> 1 — у**.
Отсюда, аналогично,
sin χ > χ — -=· л:8,
о
и т. д.
5) Доказать, что при 0<*<-^- будет
tgx>x + -^x3.
Для этого достаточно установить, что
(tg дг)' = sec2 χ > 1 -f x*
или
sec»* — \ = tgzx>x\ tg*>*.
а последнее неравенство хорошо известно [54, (9)].
6) Пусть f(x) — x* — ах для х^гО (где 0<а<1). Так как
производная
« / ч / τ ,. / > 0 при 0<лг<1,
' к ' ѵ \ <0 при х> 1,
то функция f(x) возрастает, покуда χ изменяется в
промежутке [0, 1], и убывает в промежутке [1, -f- оо). Отсюда ясно,
что /|1)=1 — α будет наибольшим значением функции, так что
для χ > О
х* — ах ^ 1 — а.
Этому неравенству можно придать другую форму, более
удобную в применениях. Положим а= —, где р>\, так что
1 — α =— , где и а = ——. > 1; очевидно, —\— = 1. Наконец,
q Ί ρ—1 ρ q

316
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[S28
вместо χ подставим —, разумея под а и Ь произвольные поло-
Ьч
ікительные числа. Тогда получим
г
(-
ЬЧ Ρ Ъя Q
или, наконец, по умножении на Ь
» + *
:Ы\
об < - а? А Ы
Ρ Я
(а>0, *>0, р>0, д>0, І + І=I).
(3)
Из этого неравенства мы впоследствии (во втором томе)
выведем ещё ряд других полезных неравенств.
128. Максимумы и минимумы; необходимые условия.
Если функция f(x), определённая и непрерывная в
промежутке [а, Ь\, не является в нём монотонной, то найдутся
*-.г
такие части [а, β] промежутка [а, Ь], в которых наибольшее
или наименьшее значение достигается функцией во
внутренней точке, т. е. между α и β. На графике функции
(черт. 55) таким промежуткам соответствуют характерные
горбы или впадины.
Говорят, что функция f{x) имеет в точке х0 максимум
[или минимум) *, если эту точку можно окружить
такой окрестностью (х0 — δ, jc0 —j— δ), содержащейся в про-
* По-латыни слова maximum и minimum означают
«наибольшее» и «наименьшее» (значение).

f28j § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 317
межутке, где задгяа функция, что для всех её точек χ
выполняется неравенство
/(*)</<*„) {или f(x)^f(x0)).
Иными словами, точка ха доставляет функции /(я)
максимум (минимум), если значение f(x0) оказывается
наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией
в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки.
Отметим, что самое определение максимума (минимума)
предполагает, что функция задана по обе стороны от точки х0.
Если существует такая окрестность, в пределах которой
(при х=£х0) выполняется строгое неравенство
/(■*)</(*о) (или /(*)>/(*„)),
то говорят, что функция имеет в точке х0
собственный максимум (минимум), в противном случае —
несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках х0 и хѵ то,
применяя к промежутку \х0, л:, j 2-ю теорему В е й е р-
штрасса [84], видим, что наименьшего своего значения
в этом промежутке функция достигает в некоторой точке хг
между лг0 и л:, и имеет там минимум. Аналогично, между
двумя минимумами непременно найдётся максимум. В том
простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функция
имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов,
они попросту чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума
существует и объединяющий их термин — экстремум*.
Поставим задачу о розыскании всех значений аргумента,
доставляющих функции экстремум. При решении её основную
роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для функции f(x) в
промежутке (а, Ь) существует конечная производная. Если в точке
х0 функция имеет экстремум, то применяя к промежутку
(х0— Ь, *0 + δ), о котором была речь выше, теорему Ферма
[115], заключаем, что /'(*0) = 0: в этом состоит
необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать
только в тех точках, где производная равна нулю; такие
точки будем называть стационарными**.
* Латинское extremum, что означает «крайнее» (значение).
** В них изменение функции как бы «приостанавливается»:
скорость этого изменения [91J обращается в нуль.

31 a
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[129
Не следует думать, однако, что каждая стационарная
точка доставляет функции экстремум: указанное только что
необходимое условие не является достаточным. Мы видели,
например, в 127, 1), что для функции х3 производная Злг2
обращается в нуль при лг = 0, но в этой точке функция не
имеет экстремума: она всё время возрастает.
Если расширить класс рассматриваемых функций f(x) и
допустить, что в отдельных точках производная равна
бесконечности или вовсе не существует, то не исключена
возможность того, что экстремум придётся на какую-либо из таких-
точек (ведь теорема Ферма утверждает равенство /' (х) = О
лишь в предположении, что существует конечная произ-
водная). Например, функция χ3, очевидно, имеет минимум
при х = 0, в то время как производная её в этой точке
равна оо [100]; точно так же в точке х = 0 имеет минимум
функция | χ|, хотя производной для неб в этой точке вовсе
нет [99]. Следовательно, и точки, в которых производная
бесконечна или не существует, также могут доставлять
функции экстремум. Но, разумеется, и в этом случае также —
одно лишь отсутствие производной или обращение её в
бесконечность не гарантирует наличия экстремума. Примерами могут
служить функции у==хл и у = χ -sin— (с дополнительным
условием: у = 0 при*=0). Первая из них имеет бесконечную
производную в точке лг = 0 [100], вторая же вовсе не имеет
производной в этой точке [101, 1°], но точка х = 0 не
доставляет экстремума ни той, ни другой функции (ибо в
любой её окрестности обе функции принимают и положительные
и отрицательные значения).
129. Достаточные условия. Первое правило. Итак, если
точка х0 есть стационарная точка для функции f(x) или
если в этой точке не существует для неё конечной
производной, то точка х0 представляется, так сказать лишь
«подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему
испытанию. Это испытание состоит в проверке достаточных
условий для существования экстремума, которые мы сейчас
установим.
Предположим, что в некоторой окрестности (лг0 — д, дг0 -(- $)
точки х0 (по крайней мере, для хфх0) существует конечная

129] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 319
производная /' (х) и как слева от х0, так и справа от х^
(в отдельности) сохраняет определённый знак.
Тогда возможны следующие три случая:
!· /'(*)!>О ПРИ х<Схо и f (ХХ.® ПРИ *>*о> τ· е.
производная /'(χ) при переходе через точку х0 меняет
знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х0 — δ, х0]
функция/(лг) возрастает, а в промежутке [χϋ, лс0-|-8]
убывает [127], так что значение f(x0) будет наибольшим в
промежутке [х0 — δ, χ0-\- δ], т. е. в точке х0 функция имеет
максимум.
И· /(*)<С° ПРИ х<Схо и /'(*)>° ПРИ *>*о> т· е-
произвздная f (χ) при переходе через точку х0 меняет
знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся,
что в точке х0 функция имеет минимум.
III. /' (л:) у> О как при χ <^ х0, так и при х~^> х0, либо же
/(*)<[0 и слева и справа от ха, т. е., при переходе через
х0, /' (х) не меняет знака. Тогда функция либо всё время
возрастает, либо всё время убывает; в любой близости от хй
с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<Cf(xo)>
а с другой — точки х, в которых f(x)~^f(xa), так что в
точке х0 никакого экстремума нет.
Графическая иллюстрация простейших возможностей дана
на черт. 56 а, б, в.
Итак, мы получаем первое правило для испытания
«подозрительного» значения х0: подставляя в производную
f (х) сначала χ<^_х0, а затем х^>х0, устанавливаем знак
производной поблизости от точки х0 слева и справа от
неё; если при этом производная f {x) меняет знак плюс
на минус, то налицо максимум, если меняет знак минус
на плюс, то — минимум; если же знака не меняет, то
экстремума вовсе нет.
Это правило полностью решает вопрос в том случае,
когда в промежутке (а, Ь), как это обычно бывает, всего
лишь конечное число стационарных точек или точек, где
отсутствует конечная производная:
Именно, тогда, прежде всего, в любом промежутке
(а, ж,), (хѵ лг2), ..., (xk, хА+1), ... (хп, Ь)
существует конечная производная /' (х) и, кроме того, в к а ж-

320
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[ІЗО
дом таком промежутке f (х) сохраняет
постоянный знак. Действительно, если бы / (х) меняла знак,
например, в промежутке (xkl xk+1), то, по теореме Дарбу [116],
она обращалась бы в нуль в некоторой точке между xh и
все корни производной
jcft+1, что невозможно, поскольку
уже содержатся в ряду точек (4).
V
га/
. Лхцро
макс.
Is
-*~x
Mllll
I
макс.
I
у
о
f'(x„)He сущ.
...ж
Υ
J7/i
-*-X
мин.
λ-
макс
/к
^f
κϋη
Xa
-*-я
Черт. 56.
Последнее замечание бывает полезно в некоторых случаях
на практике: знак производной /' (х) во всём промежутке
'{хь> хь+і) определится, если вычислить значение (или даже
только установить знак) её в одной какой-либо его точке.
130. Примеры. 1) Найти экстремумы функции /(дг) =
= <* +2)3 (*_!)«.
Её производная всегда существует и конечна:
/' (лг) = 2 (* -f 2) (χ _ 1 )β 4- з (χ + 2)2 (χ - 1 )2 =
= (* + 2)(*-1)»(5* + 4).
Корнями производной (стационарными точками) будут:
xL=—2,
-fa — — "g"— — 0>8,
*, = 1.

ISO] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 321
Этими значениями весь промежуток (— оо, + оо) разбивается на
следующие части:
(-оо, -2), (-2, -0,8), (-0,8, 1), (1, +оо).
Для определения знака производной в этих промежутках
можно, воспользовавшись сделанным выше замечанием,
установить его для конкретных значений, например, для —3, —1, 0 и 2.
Определяя знаки отдельных множителей, для всей производной
получаем следующие знаки:
в промежутке (—оо, —2)
(-2, -0,8)
(-0,8, 1)
> (1, +оо)
(-)(+)(-) = +
(+)(-)(-) = -
(+)(-)(+)= +
(+)(+)(+)=+
Отсюда ясно, что при х =— 2 функция /(х) имеет максимум, при
х =—0,8 она имеет минимум, а при х=1 экстремума вовсе нет.
Однако, обычно поступают иначе, не подставляя в
производную конкретных значений. Начнём с ■*=—2. Произведение двух
последних множителей производной (х —1)г
и 5* + 4 при * = — 2 имеет знак минус,
следовательно (по непрерывности)
сохраняет тот же знак и вблизи этой точки (как
слева, так и справа). Множитель же лг + 2,
когда х, возрастая, проходит через
значение — 2, меняет знак минус на плюс,
так что производная меняет знак плюс
на минус, и функция имеет максимум. При
4
*==— _ (и вблизи этого значения) первые
5
два множителя производной имеют знак
плюс; последний же множитель 5лг + 4
(а с ним и вся производная) при
прохождении через это значение меняет знак
минус на плюс; функция здесь имеет
минимум. Наконец, при переходе через
значение дг=1, не только первый и третий
множитель сохраняют знак, но и второй
множитель также, ибо квадрат всегда
положителен; экстремума здесь нет.
Зная точки х, доставляющие
нашей функции экстремальные значения,
легко вычислить теперь и сами эти значения:
и минимум / (— 0,8) == — 8,40.
На черт. 57 дан график, иллюстрирующий изменение этой
функции *.
--
-.
д-(х*2
г о
\—'
—-г
-3
ч
# 1
frx-i/i
/J
*--
r
2 3
Черт. 57.
макс
имум
/(-
2) =
= 0
* Здесь и в следующих примерах изменение функции мы
иллюстрируем графиками, но самый вопрос о построении графиков
будет подробно рассмотрен лишь в следующем параграфе. См.,
в частности, 139, 3).
21 Г. М. Фихтенгольц

822
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[130
2) Найти экстремумы функции / (х) = sin3 л" -f- cos3 χ.
Ввиду того что функция имеет период 2π, достаточно
ограничиться теми значениями х, которые содержатся в промежутке
[0,2π]. Производная этой функции существует везде:
/' (х) = 3 sin* лг· cos χ — 3 coss х-sin χ = 3 sin jt>cos χ· (sin χ — cos x).
Корни производной (стационарные точки) в этом случае будут:
л « я 5« 3π .„ .
°· Τ' 2"' "' ΐ' "2 ( **
При переходе через jt=0 множитель sin* меняет знак минус на
плюс, а вся производная меняет знак плюс на минус, ибо
последние два множителя сохраняют вблизи д: = 0 знак минус; налицо
максимум. Множитель sin.t — cos*, обращающийся в нуль при
х= -г, при переходе через эту точку меняет знак минус на
плюс. То же будет и с производной, так как первые два
множителя положительны; следовательно, здесь будет минимум. Анало-
Черт. 58.
гично исследуются и остальные стационарные точки: все они
поочерёдно доставляют функции максимумы и минимумы.
Подставляя их, получим сами максимальные и минимальные
вначения:
максимумы: f (0) =/ (2іс) = 1, / (£) = 1, / (**) = _ ΧΣ α
= -0,71,
минимумы: f (|) =Χ~ = 0,71, /(«)*=-l, / (ψ) ~- 1.
График функции представлен на черт. 58 [ср. 137, 1)1.
2 ι
-(*» — 1)'
3) Найти экстремумы функции f(x)=sx3
На этот раз конечная шюизводная
(д*-1)3 — х3
і λ
χ"* .(.гЗ—I)»
существует везде, исключая точки дг=г0 и х=± 1.
/*(*)=!* з_|и,_1}-
•2.r^ j

130] § !■ изучение хода изменения функции 823
При приближении χ к этим значениям, производная стремится
к оо, значит, в этих точках она равна оо [119].
Для определения корней производной, приравниваем нулю её
числитель: мы найдём: х=.±—г=. Итак, «подозрительными» по
V 2
вкстремуму будут точки:
При д: = 0 (и вблизи этой точки) числитель и второй
множитель знаменателя имеют знак плюс. Множитель же х3
знаменателя меняет знак минус на плюс, производная—тоже: минимум. При
х = -4= (и вблизи) знаменатель сохраняет знак плюс. Числитель
К ^
же, имея в виду значения х, близкие к -77=. перепишем так:
(1-
2)3— X
V2
он обращается в нуль при х = -^=, с уменьше
■X*) — χ , ии ии^ащасі\.п о пуло иуч ■*· , ,
х увеличивается, а с увеличением—уменьшается, так что
нием
меняет знак плюс на минус
и налицо максимум. То же
и при χ = — -f= · При
переходе через х = 1
множитель (*2 —l)d в

знаменателе, который обращается
в этой точке в нуль, не
меняет знака; это же
справедливо и для производной,
-<
'.
•
1
1
д-χί-
1
гхЧіі
г А
Черт. 59.
так что при дг=1 экстремума Нет. То же и при х = —1.
Итак, максимумы / ( + -γζ= ) = ]/ 4 = 1,59, а минимум /(0) = 1»
График на черт. 59 [ср. 139, 4)].
4) Затухающие колебания. Пусть движение точки
происходит по следующему закону:
s = Ae-kis\qv>t,
где s — пройденный путь (отсчитываемый от начального
положения), a t — время (отсчитываемое от начального момента). Будем
считать все постоянные A, k, ω, а также переменную t —
положительными. Выясним вид графика этой зависимости; его интересно
сопоставить с уже знакомой нам синусоидой s = Asin<at. Так как
е-*'>0, то, очевидно, оба графика пересекают ось χ в одних
: 1, 2, 3,,..). Заметим, что функция
и тех же точках
21-
t = n— (Л:
ω

324 гл. іѵ. исследование функции [130
$= Л sin ωί имеет попеременно максимумы и минимумы в точках
t= (n-V- —)—, где обращается в нуль её производная s'=
V 2 /ω „
= A<s> costor. Составим производную для заданной функции [ср.
98, 30)J:
s' = Ае->>'(ΐύ· cos <лі — ft-sin ωί) =
= α ■ У<й2Л-&е-ы [ , ., Ѣ ■ cosat - ->-■ ,■■■■:■ sin at ) .
Вводя вспомогательный угол <р под условиями:
ω k
, l==COS», ,, , ■ ■ = Sin у,
W-f#2 ΐΛο' + Α»
перепишем выражение производной в виде
s,=A-Vv>'*-j-№e-ktcos{«>t-$-f).
Она обращается в нуль в точках
и так как косинус, проходя через нуль, меняет знак, то легко
сообразить, что при этих значениях наша функция, действительно,
имеет максимумы при η чётных и минимумы при η нечётных. По
сравнению с синусоидой, произошло смещение экстремальных
?
точек влево на —.
Нетрудно проверить, что все максимумы будут положительны,
а минимумы отрицательны. Если величину л-го экстремума
обозначить через Ап, то
так что размахи убывают в геометрической прогрессии.
График (для простого частного случая) представлен на
черт. 60. Движение подобного типа носит название з а т у χ а ю-
щего колебания.
Замечание. В большинстве представляющихся на практике
случаев изложенного в предыдущем п° правила оказывается вполне
достаточно для исследования «подозрительных» значений. Однако
следует дать себе отчёт в том, что могут быть случаи, где оно
неприложимо: это будет тогда, когда в любой близости от
испытуемой точки содержится бесконечное множество других
подобных же точек, и производная не сохраняет
определённого знака с той или с другой стороны от этой точки.

131] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 325
Рассмотрим для примера функцию, определяемую равенствами::
f{x) = x-*.sin— (при лг ;έ0) и /(0)=0.
Мы уже знаем, что она при х = 0 имеет производную /'(0)=0
[101, 2°]. Однако в любой близости от стационарной точки х = 0
как слева, так и справа производная
f'(x)=2x-sia cos —
1 ч ' X X
бесконечное множество раз меняет знак. Здесь в точке лг = 0,
нет экстремума. Если же определить функцию так:
/(*)=*»(і-і-й|1) при хфЪ, /(0) = 0,
то она обнаруживает такую же особенность, но на этот раз при
х = 0, очевидно, будет минимум. Правило в обоих случаях
неприложимо.
131. Второе правило. При разыскании экстремумов
исследование знака производной вблизи испытуемой точки
можно заменить исследованием знака второй производной
в самой этой точке; покажем это.
Итак, пусть функция f(x) не только имеет производную
/' (х) в окрестности точки х0, но и вторую производную в
самой точке xQ: f"(x0). Точка хй— стационарная, т. е.
/'(х0) = 0. Если f(x0)^>0, то, по лемме п° 115, — функция
f'(x) в точке χ = х0 возрастает, т.е. вблизи точки xQ
слева /' (х) </' (лг0) = 0, а справа /' (х) >/' (х0) = 0. Таким
образом, производная f'(x) меняет знак минус на плюс и,

326
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[131
следовательно, f(x) имеет в точке х — х0 минимум. Если
f(x0)<^Q, то f(x) в точке х = х0 убывает, меняя
знак плюс на минус, так что налицо максимум.
Таким образом, можно сформулировать второе
правило для испытания «подозрительного» значения х0:
подставляем х0 во вторую производную /"{х); если f (хй)^> О,
то функция имеет минимум, если же /"(хй)<С.О, то —
максимум.
Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг
применения; оно, например, явно неприложимо к тем
точкам, где не существует конечной первой производной (ибо
там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда
вторая производная обращается в нуль, правило также ничего
не даёт. Решение вопроса зависит тогда от поведения
высших производных [см. следующий п°].
Если пожелать приложить это правило к примеру 2), то нужно
вычислить вторую производную:
/'' (дг) = 6 Sin X COS X (COS Χ + Sin Χ)—3 (Sin3 X -\- COS3 Χ).
При дг = 0 (2π), -γ, π, -^ первое слагаемое обращается в нуль
и знак /"(*) противоположен знаку /(.r) = sin3JC-}-coss.r; это
будет минус для * = 0(2π), — (здесь максимумы) и плюс для
х = % и -к (здесь минимумы). Для х = -т и -у, ввиду равенства
sin χ = cos x, f" {x) сведётся к 6 sin3 x, так что в первой из этих
точек знак второй производной будет плюс (минимум), а во
второй минус (максимум).
Вот новый пример: найти экстремумы функции /"(.*·) =·
х?—5х-}-6
β хз-f-l '
_^2 2х — 1
Производная f (x) = 5 . , <>3 обращается в нуль вместе
с числителем; ее корни будут ^=1— Ѵ~2 = — 0,41 и дг,= 1-|-
+ Ѵ 2 = 2,41. Дифференцируем производную снова как
произведение:
/''W~(-^hj-a(2*-2)-b...
причём точками заменён член, содержащий множителем х*— 2х— 1
и. нам не нужный, ибо для тех значений х, которые мы
собираемся подставлять, он заведомо нуль.

ІЗі] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 327
Легко видеть, что /" (х{) < 0, а /" {хг) > 0, следовательно,
значение f (х{)== 7,04 есть максимум, а / (л:2) ==—0,03—минимум.
График функции дан на черт. 61 [см. 139, 5)].
Черт. 61.
Наконец, рассмотрим ещё такую задачу геометрического
содержания: найти экстремальные значения для расстояния г от
данной (на плоскости) точки Ρ (ξ, η) до точек М(х,у) кривой (К),
заданной своим уравнением:
y-^Ux) (черт. 62).
Вместо функции г
можно рассмотреть функцию
[(ΛΓ-ξ)4-τ- Су-η)2].
где y — f{x). Приравнивая
нулю производную:
и'х = Х—і + {у — п)'у'х,
видим, что для того, чтобы
точка М(х,у) на кривой
(к) доставляла экстремум
расстоянию г, необходимо
выполнение условия: Черт. 62.
Z-x+y'x(n-y) = 0.
Иными словами, точка Ρ (ξ, η) должна лежать на прямой
X-x+y'x(Y-y)=0,
проведённой через точку М(х,у) кривой перпендикулярно к
касательной *; её называют нормалью к кривой.
1
* Её угловой коэффициент г ооратен по величине и по
,Ух
знаку угловому коэффициенту у'х касательной.

328
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[132
Допустим же, что точка Ρ (ζ, г,) действительно лежит на
нормали к кривой (К) в точке М{х,у); будет ли расстояние РМ
экстремум? Решение этого вопроса зависит от знака второй
производной:
Это выражение обращается в нуль (предполагая у'х, -р 0) лишь в
точке С с координатами:
% — х—у j—, η=^-| — ι
У* У*
для неё вопрос остаётся открытым. Точка С отделяет на нормали
те точки Р, для которых и" < 0, и расстояние РМ будет
максимум, от тех точек Р, для которых и" > 0, и это расстояние
есть минимум.
Впоследствии (233, 241] мы увидим, что эта пограничная
точка С на нормали замечательна во многих отношениях.
132. Использование высших производных. Мы видели,
что, если /' (ха) = 0 и /" (х0) > 0, то функция / (х)
достигает в точке х0 минимума; если же /'(л;0) = О и f"{x0)<^0,
то функция имеет в этой точке максимум. Случай, когда и
/' (χ0) = 0 и f"(xQ) = Q, был оставлен нама неисследованным.
Предположим теперь, что функция f{x) имеет в точке
х = х0 η последовательных производных, причём все они,
вплоть до (п — 1)-й, в этой точке обращаются в нуль:
Л*о) = П*о) = - . - =/("-:)(-«о) = 0>
между тем как /(») (х0) φ 0. Разложим приращение f(x) —
—f(xo) функции f(x) по степеням разности χ — хй по
формуле Тэйлора с дополнительным членом в форме Пеан о
[122, (Юа)]. Так как все производные порядков меньших,
чем п, равны в точке ха нулю, то
/(*)-/ (*„) = /W(^0,) + a {х ~ *0)я.
Вследствие того, что а —>■ 0 при χ —>■ х0, при достаточной
близости χ к х0 знак суммы в числителе будет совпадать со
знаком /(л)(*о) как для *О0, так и для л:>лг0.
Рассмотрим два случая.
1° η есть нечётное число: n—2k-\-\. При
переходе от значений х, меньших, чем хй, к значениям,
большим, чем х0, выражение [x — xQ)n изменит знак на обратный,

132] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 329
а так как знак первого множителя при этом не меняется, то
и знак разности f(x)—f(xQ) изменится. Таким образом,
в точке л:0 функция f(x) не может иметь экстремума, ибо
вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и
большие, чем /(л:0).
2° я есть чётное число: n = 2k. В этом случае
разность f(x)—/(*о) не меняет знака при переходе от χ
меньших, чем х0, к большим, так как (х — ^ο)"^>0 при
всех х. Очевидно, вблизи х0 как слева, так и справа знак
разности f(x)—/(*о) совпадает со знаком числа /(л) (лг0).
Значит, если /С") (д:0)~^>0, то f(x)^>f(xQ) вблизи точки ха,
и в точке х0 функция f(x) имеет минимум; если же
/(я) (*о) <С О, то функция имеет максимум.
Отсюда получаем такое правило:
Если первая из производных, не обращающихся в точке
х0 в нуль, есть производная нечётного порядка, функция
не имеет в точке хй ни максимума, ни минимума. Если
такой производной является производная чётного порядка,
функция в точке х0 имеет максимум или минимум,
смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна
или положительна.
Например, для функции f{x) =е*-\-е-*-\-2соъх точка д: = 0
является стационарной, так как в этой точке обращается в нуль
производная
/' (х) = ех—е~х—2 sin χ.
Далее:
/'' (лг) == е*+ *-*—2 cos x, f» (0) = 0;
/'» (χ) = e*—e-x-\- 2 sin χ, /'" (0) = 0;
/IV (λ;) = ex + е-*+2cos χ, /ιν(0) = 4.
Так как в нуль не обратилась первой производная чётного
порядка, то налицо экстремум, а именно минимум, ибо /іѵ (0) > 0.
Замечание. Хотя выведенный выше критерий решает
вопрос об экстремуме в весьма широком классе случаев, но,
теоретически говоря, он всё же не является всеобъемлющим: функция,
не будучи тождественно постоянной, может иметь в окрестности
испытуемой точки производные всех порядков, которые, однако, в
этой точке все зараз обращаются в нуль.
В качестве примера рассмотрим следующую функцию, которая
и сама по себе представляет интерес:
_ 2
{{х) = е *' (придг^О), /(0)=0.

330
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(133
При χ φ 0 она имеет производные всех порядков:
1
/'м=4зе х*'
и, вообще,
/<«)(*) =ЯЯ|
№{-*+■*) ·'*
1
1і)'е~* <л=1>2- 3· ···:
). (5)
где Ра(г) есть целый полином (степени Зя). В общности этого
яакона легко убедиться по методу математической индукции.
Установим теперь, что и в точке .г = 0 для нашей функции
существуют производные всех порядков,
причём все равны нулю. Действительно, прежде всего,
1
χ 1
так что /'(0) = 0. Допустим, что доказываемое утверждение верно
для всех производных до л-го порядка включительно. Тогда
1см. (5)1
f(nHx)-fin){,)==X «U^ ^
у· 1
поскольку числитель представляет собой сумму членов вида
—. Значит, и /(л+1)(0) = 0. По методу математической индукции
утверждение оправдано полностью.
Хотя непосредственно ясно, что данная функция при
х = 0 имеет минимум, но установить этот факт с помощью
рассмотрения её последовательных производных в этой точке —не
удалось бы.
133. Разыскание наибольших и наименьших значений.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна в конечном
замкнутом промежутке [а, Ь]. До сих пор мы интересовались
* Напомним, что ег при г -»--{- оо будет бесконечно большой
высшего порядка, чем любая степень г*, т. е.
г* л
lira -f = 0
165]. Здесь роль г играет —г (при л: -*- 0)

іза]
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
331
лишь её максимумами и минимумами, теперь же поставим
вопрос о разыскании наибольшего и наименьшего
из всех значений, которые она принимает в этом
промежутке*; по 2-й теореме Вейерштрасса [84], такие
наибольшие и наименьшие значения существуют. Остановимся
для определённости на наибольшем значении.
Если оно достигается в некоторой точке между а и Ь,
то это одновременно будет одним из максимумов (очевидно,
наибольшим); но наибольшее
значение может достигаться и
на [одном из концов
промежутка, а или * (черт. 63 а).
Таким образом, нужно сравнить
между собой все максимумы
функции /(х) и е&
граничные значения /(а) и/(£); ) |
наибольшее из этих чисел и #і
будет наибольшим из всех
значений функции f(x) в [а, Ь].
Аналогично разыскивается и
наименьшее значение функции.
Пусть, например,
разыскиваются наибольшее и
наименьшее значения функции f(x) =
= sin8* -f- cos'* в промежутке
Г_ JL 2? J; два максимума,
равных 1, больше граничных значе-
ний/(--!-) =/(|)= 0,
следовательно, 1 и будет наибольшим значением функции в
указанном промежутке. Минимум, равный 0,7..., больше граничных
значений, так что наименьшим значением будет 0. Для
промежутка Г—, —1 в качестве наибольшего значения пришлось бы
взять больший из двух максимумов 1 и -0,7..., достигаемых
Черт
* Таким образом, мы сохраняем за термином максимум
его слокалышй» смысл (наибольшее значение в
непосредственной окрестности соответствующей точки) и
отличаем его-от наибольшего значения функции во всем
рассматриваемом промежутке.
То же относится к минимуму и наименьшему
значению функции.

332
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[134
при х =
5я
4 '
ибо на концах принимаются значения
f(-£-] =0,7... и /(у) = — 1, меньшие, чем 1. Наименьшее
значение достигается на правом конце, в то же время, при χ = ιζ,
совпадая с минимумом.
Если желают избежать исследования на максимум или
минимум, то можно поступить иначе. Нужно лишь вычислить значения
функции во всех «подозрительных» по экстремуму точках и
сравнить их с граничными значениями /(а) и /(b); наибольшее и
наименьшее из этих чисел, очевидно, и будут наибольшим и
наименьшим из всех значений функции.
Г « ЗЛ
Например, для промежутка — -τ-1 -т сравниваем значения
/(0) = 1, /(-|)=0,7..., /(yj = l страничными/(-J)=:
=/(?)=»·
а для
промежутка
5π>
[τ·!]
сравниваем числа
значенн-
f(|] = l, /(tc) = -l,/( j\ =-0,7... с граничными
ями/(-|)=0,7... и /(!)=-!.
Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается
простой случай, когда между а и Ь оказывается лишь одна
«подозрительная» точка х0. Если в этой точке функция имеет
максимум (минимум), то без сравнения с
граничными значениями ясно, что это и будет
наибольшее (наименьшее) значение функции
в промежутке (см. черт. 636). Часто в
подобных случаях оказывается более простым
произвести исследование на максимум и
минимум, чем вычислять и сравнивать частные
значения функции (особенно, если в состав
её выражения входят буквенные постоянные).
Важно подчеркнуть, что сказанное при-
ложимо в полной мере и к открытому
промежутку (а, Ь), а также к
бесконечному промежутку.
134. Задачи. Изложим теперь, в виде примеров, ряд задач из
разных областей, решение которых приводится именно к
разысканию наибольшего или наименьшего значения функции. Впрочем,
чаще всего интерес представляют не столько сами эти значения,
сколько те точки (те значения аргумента), которые доставляют
их функции.
1) Из квадратного листа жести со стороною д, вырезая по
углам равные квадраты и сгибая края (черт. 64), составляют
прямоугольную открытую коробку. Как получить коробку
наибольшей вместимости?
ί
ш
ш
—а-2х~—
Ш
т
Черт. 64.

134] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 333
Если сторону вырезаемого квадрата обозначить через х, то
объем у коробки выразится так: у = χ {а — 2х)\ причём χ
изменяется в промежутке 0, -я- . Вопрос лривёлся к нахождению
наибольшего значения функции у в этом промежутке.
Так как производная У = (а — 2х) {а — 6х) между Он |
а
имеет единственный корень х = ~г-> то убедившись в том, что это
значение доставляет функции максимум, одновременно получаем
и искомое наибольшее значение. Или иначе: при * = ·4- имеем
у = -^г, в то время как граничные значения .у равны 0;
следовательно, при χ ■■
а
6
действительно, получается наибольшее
значение для у.
2) Дано бревно с круглым сечением диаметра d. Требуется
обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным
сечением наибольшей прочности.
Указание. В сопротивлении материалов устанавливается,
что прочность прямоугольной балки пропорциональна
произведению bh% где Ь —
основание прямоугольника в
сечении балки, а Λ — его
высота.
Таккакй*=*Р —Ьэ,
то речь идёт о
наибольшем значении для
выражения у=Ыг*=Ь(сР—Ь*),
причём «независимая
переменная» Ь
изменяется в промежутке
(0, Λ.
Производная у =
= аг — ЗЬ2 обращается
в нуль лишь однажды
Л „
внутри зтого промежутка, в точке * = -т==. Вторая производ-
V о
пая у" = —66 < 0, следовательно, в названной точке достигается
минимум, а с ним и наибольшее значение.
Черт. 65.
Черт. 66,
При b = -j=. будет
V 3
h = d ]/■§. так что d:h:b — Y3:^2:1.
Из черт. 65 видно, как построить требуемый прямоугольник
(диаметр разделён на три равные части, в точках деления
восставлены перпендикуляры). Наше «урочное положение» предписывает
отношение ft:i = 7:5; это и есть приближённое значение Ѵ2«=
«=1,4...

334 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [134
3) Вокруг полушара радиуса г описать прямой круговой конуз
наименьшего объём а; при этом предполагается, что
основания полушара и конуса лежат в одной плоскости и концентричны
(черт. 66).
Здесь нужно ещё рационально выбрать независимую
переменную; пусть ею будет угол f при вершине конуса. При
обозначениях чертежа будем иметь R= , h = —— , так что объем
r J cos <р' sin ?
1 ,
v=^r.l?-h = —^—г—.
3 COS3 φ-Sin у
Для того чтобы объём ν имел наименьшее значение,
очевидно, нужно, чтобы выражение у = cos2 <р sin у, стоящее в
знаменателе, получило своё наибольшее значение, при изменении β
в промежутке
О,
імеем
У? = — 2 COS ?-Sin-φ + COS3? = 2cOS3ep f __tg2<pj ;
между О и -^- производная обращается в нуль лишь при tg<p =
= -j=, ρ = arctg -7= (что отвечает 35°15'52''), меняя при этой
знак плюс на минус. Этот угол и доставляет выражению у
наибольшее значение, а объёму ѵ — наименьшее.
4) Груз веса G, лежащий на горизонтальной плоскости, должен
быть сдвинут приложенной к нему силой (черт. 67). Под каким
углом к горизонту—при наличии трения—
надлежит приложить эту силу, чтобы в е-
личина её F была наименьшей?
Коэффициент трения μ дан.
Указание. Трение считается
пропорциональным силе, прижимающей тело
к плоскости (закон Кулона), и
направлено против движения. Множитель
пропорциональности ,μ и есть
«коэффициент трения».
Определим силу F, которая
соответствует данному углу 9. Разлагая её по
горизонтальному и вертикальному направлениям, получим для
составляющих величины F-cos6 и /'•sine. Сила, прижимающая
тело к плоскости, будет G—F-s\nb, так что, по закону Кулона,
трение /?= μ(<3—F-sin 8); горизонтальная составляющая F-cosO
тянущей силы F как раз и должна уравновешивать это трение;
F-zobbz=^.(G~/■'■sin 9),
откуда
F—
μσ
COS 9 + μ Sin 9 '

134] § 1 · изучение хода изменения функции 335
Речь идёт о разыскании наименьшего значения этой
функции — или наибольшего значения функции у = cos 9 -j~
-f-μ sin 8 —при изменении 9 в промежутке 0, — . Производная
У) = μ cos β—sin 9 обращается в нуль, если tg β= μ или θ = arctg μ;
этот угол 9 называется «углом трения». Так как у'^ = — μ sinO—.
— cos 9 < 0, то прилагать силу под углом трения оказывается
наиболее выгодно. Например, если нужно сдвинуть камень по
деревянному настилу, то μ = 0,4 и 9 = 22°.
5) Известно, что стоимость
плавания судна в течение часа
выражается в рублях
эмпирической формулой a-{-bvs,
где а и Ъ—постоянные, которые
должны быть установлены
отдельно для каждого судна, a v —
скорость судна в узлах (узел =
= 1,85 км/час) *. При какой
скорости («экономической») судно
покроет любое расстояние с Черт. 68.
наименьшими затратами?
На покрытие 1 км потребуется , часа, соответствующие
ватраты выразятся формулой
Приравнивая нулю производную выражения y=zbvi-\ .получим
y'O = 2bO~ = 0, откуда ѵ = у ^ . Так как у'^ = 26 + Щ > 0,
то при найденном значении ν затраты действительно достигают
наименьшей величины.
Численный пример: а ж 40,6 =0,01, »= j/2000 == 12,6 (узлов).
6) Пусть электрическая лампочка может передвигаться
(например, на блоке) по вертикальной прямой ОВ (черт. 68). На
каком расстоянии от горизонтальной плоскости ОА её следует
поместить, чтобы в точке А этой плоскости получить
наибольшую освещённость?
Указание. Освещённость /пропорциональна sin? и обратно,
пропорциональна квадрату расстояния г = АВ, т. е.
J —с га ,
где с зависит от силы света лампочки.
* В этой формуле постоянная часть расхода а относится к
амортизации и к содержанию команды, а второй член б»3 — к стон*
мости топлива.

336 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [134
«η,-f, r-Vw+rf и У=,.__^ (0<ft<+oe).
Если за независимую переменную выбрать h = OB, то
ft -1/-U-, , -о .. I 1
(ft2 + «3);
Далее, производная
,_ д2—2ft2
обращается в нуль при А = -7= = 0,7а, меняя знак при переходе
через это значение с плюса на минус. Это и есть наивыгоднейшее
расстояние.
Можно выбрать за независимую переменную угол ір; тогда
г= , ./=-5-cos*у sin f,
COS? Я3 т
и дело сводится к разысканию наибольшего значения для функции
j, = cos2 φ sin <р в промежутке (0, -^) .Шо мы уже знаем [см.
задачу 3)1, что это наибольшее значение достигается при угле ?0,
для которого tg то = -γ=·. Для расстояния Λ получаем прежнее
V *
ι α
значение etg<p0 = -T=.
7) Из точки А, находящейся на железнодорожной магистрали
АВ (черт. 69), грузовой поток направляется в точку С, отстоящую
на расстояние CB=sl от
.£ линии железной дороги.
Стоимость провоза
весовой единицы на единицу
расстояния есть о—по
железной дороге и β — при
гужевой транспортировке. К
какой точке Μ следует
провести шоссе МС, чтобы
-^ . провоз груза из А в С (по
я Μ "x"ff линии АМС) был возможно
Черт 69 дешевле?
При обозначениях
чертежа стоимость провоза
весовой единицы груза — при произвольном положении точки Μ —■
оказывается равной
y = *{d~x)-\-$V&+lS (0sS*==Srf).
Имеем

135] § 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 337
Если АэП (аЭ=Р), то это выражение сохраняет знак минус,
не обращаясь вовсе в нуль. Функция у убывает с
возрастанием χ от 0 до d и, очевидно, достигает своего наименьшего
значения при x = d. В этом случае всего выгоднее начинать шоссе
непосредственно у точки А.
То же справедливо и при &<1, если только одновременно
Действительно, при k < 1 выражение
]Л:3-Нг
имеет единственный корень
Ы
Но при сделанном предположении этот корень оказывается
лежащим вне допустимого для χ промежутка изменения (или на конце
его), так что внутри промежутка производная у'х оказывается
отрицательной.
Лишь в том случае, если упомянутый корень будет < d, это
значение χ определяет положение точки Μ между А я В, при
котором расходы по перевозке будут наименьшими.
Замечание. Пользуемся случаем обратить внимание
читателя на следующее обстоятельство. При разыскании наибольшего
или наименьшего значения функции для определённого проме.-
жутка изменения аргумента легко может оказаться, что внутри
этого промежутка вовсе нет корней производной (или других
«подозрительных» значений). Это свидетельствует о том, что в
рассматриваемом промежутке функция оказывается монотонно
возрастающей или убывающей и, следовательно, достигает как
наибольшего, так и наименьшего своего значения на концах
промежутка.
В последней задаче при определённых соотношениях между
входящими в неё величинами как, раз и осуществляется подобное
положение.
§ 2. Построение графиков функций.
135. Постановка задачи. Во всеоружии методов
дифференциального исчисления, вернёмся к вопросу о
построении графиков функций [ср. 47]. Пусть сначала
требуется построить график непрерывной в конечном промежутке
[а, Ь] функции у =/ (х). При этом сейчас основной целью
для нас является возможно точная характеристика самого
22 Г. М. Фихтвнголыі

338 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ (|36
хода изменения функции; точность отдельных ординат
интересует нас в меньшей степени.
Обычно применяемый приём построения «по точкам» [47],
взятым более или менее густо, но случайно и без
отношения к (неизвестным наперед) особенностям графика, —
непригоден. Он, прежде всего, требует вычисления большого
числа координат, что практически неудобно. Но
главное в другом: он непригоден принципиально, потому
что — именно ввиду случайности вычисляемых ординат — он
всё же не обеспечивает достижения поставленной цели.
Предположим теперь* что функция у=/(х), вообще,
имеет конечную производную у' =/' (х); исключение может
представиться лишь в отдельных точках, где производная
оказывается бесконечной. Тогда методы дифференциального
исчисления дают возможность установить некоторое число
«опорных» точек, характерных именно для данного
графика, по которым график строится уже с достаточной
точностью.
Прежде всего, мы имеем здесь в виду поворотные
точки графика, т. е. вершины его горбов и впадин,
отвечающие экстремальным значениям функции [128—132].
Впрочем, к ним следует -присоединить все вообще точки, где
касательная горизонтальна или вертикальна, даже если они
не отвечают экстремумам функции. Разумеется, должны быть
отмечены и концы графика.
Когда упомянутые только что точки нанесены на чертёж
(а число их обычно невелико), этого, собственно, уже
достаточно для построения графика.
Построенный подобным образом график уже довольно
полно отображает ход изменения функции, точно отмечая
промежутки её возрастания и убывания, а также точки, где
скорость изменения функции падает до нуля (у' = 0) или
возрастает до бесконечности (у = оо).
Можно достигнуть дальнейшего уточнения графика, если
учесть напр а в ление в о г н у то сти его и положение
точек перегиба; этим понятиям посвящен
следующий п°.
136. Направление вогнутости, точки перегиба. Если
функция y=f(x) при х = хй {а<^х0<^Ь) имеет конечную
или бесконечную производную /' (х0), то соответствующая ей

136] § 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 339
кривая — график функции — в точке M(x0,f(x0)) имеет
касательную.
Говорят, что в точке Ж кривая направлена
вогнутостью в определённую сторону от к а с а-
в до-
тельной, если
статочно малой
ности точки Μ
всеми точками
именно с этой
окрест-
кривая
лежит
стороны
касательной (черт. 70).
Точку Μ называют
точкой перегиба, если—
снова в достаточно малой
окрестности её — точки
кривой с абсциссами
лг<^лг0 лежат по одну
сторону касательной, а точки
другую, т. е. если в точке Μ
Черт
Черт. 70.
с абсциссами х~^>хй— по
кривая переходит с одной
стороны касательной на
другую или, короче,
пересекает касательную
(черт. 71).
Ограничимся случаем,
когда производная /' (х0)
конечна, так что
касательная не вертикальна.
Уравнение касательной в
точке Μ будет таково:
+ /''(*ο)·(*-*ο)*.
Для решения вопроса о
или о наличии перегиба нужно изу-
направлении вогнутости
чить знак разности
у - /=/(*) -/(*0) -/'(*о) ·(*-*„)
в окрестности точки ха. Предположим существование в этой
окрестности второй производной /" (я).
* Мы умышленно -обозначили текущую ординату точки
касательной через У, чтобы отличить её от ординаты y=f(x)
точки кривой с тою же абсциссой х.
22*

340 Гл. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [|3б
Пусть сначала /" (хй) φ 0. Прибегнув к формуле Τ э й л о ρ а
с дополнительным членом в форме Пеан о [122, (10а)] при
η = 2, получим:
y-Y=f°{x$ + a(x-xa)*,
где а—►О при χ—<-#0. Для значений х, достаточно
близких к х0, эта разность сохраняет знак числа f"(x0),
следовательно, при f" (х0) ]> 0 кривая в точке Μ вогнутостью
направлена вверх, а при /" (х0) <^ 0 — вниз.
Если /" (х0) = 0, то впереди остаётся лишь член ■*-,
который ничего не говорит о знаке разности у—К. В этом
случае возьмём дополнительный член в форме Лагранжа
[124, (13)], также при η = 2:
где либо х<С^<Схо' ли^° χ0<^£<^χ· Если вблизи
значения х0. вторая производная f" (χ) сохраняет {как слева, так
и справа) знак плюс или ■ минус, то тот же знак
сохраняет и разность у — Υ, и вогнутость в точке Μ
направлена, соответственно, вверх или вниз.
Наоборот, если f"{x) меняет знак при переходе через
точку ха, то меняет знак и разность у — Υ и и в точке Μ
налицо перегиб. В этом случае точка перегиба Μ (если
ограничиться достаточно малой её окрестностью) как бы
отделяет те точки, где вогнутость кривой направлена вверх,
от точек с направлением вогнутости вниз*.
Для примера рассмотрим синусоиду: y — sinx; здесь у" =
= — sin .*·:=— у. Следовательно, в промежутках, где sin x
сохраняет знак плюс (минус), синусоида вогнутостью направлена вниз
(вверх). Для значений вида x — kr. (k — целое) у" обращается в 0,
меняя при этом знак; им отвечают точки перегиба синусоиды.
Наоборот, для функции у — х* имеем у" =\2хЪ, и хотя при х=:0
вторая производная обращается в 0, но при других значениях χ
она сохраняет знак плюс, и кривая везде направлена вогнутостью
вверх.
* Иногда именно это свойство кладут в основу определения
точек перегиба. Такое определение не вполне равносильно
определению, данному в тексте. Например, в случае·кривых, изображённых
на черт. 43, по нашему определению для всех налицо перегиб, а по
только что упомянутому — лишь для двух кривых слева.

137] § 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 341
Для наличия перегиба (если предположить
существование второ'й производной) условие у' = 0 является
необходимым, но не достаточным.
В этом легко усматривается аналогия с теорией экстре-'
мумов [ср. 128 и след.].
Заметим в заключение, что, вместо исследования знака
второй производной f"(x) вблизи точки х0, здесь также можно
рассматривать последовательные производные f"(x),flv(x),..,
в самой точке х0. Так 'как относящиеся сюда соображения
вполне аналогичны проведённым в п° 132, то предоставляем
их читателю.
137. Схема построения графика. Примеры. Итак, пусть
функция y=f(x) в рассматриваемом промежутке [а, Ь]
дважды дифференцируема, исключая отдельные точки, в
которых производная у1 ==/' (х) имеет бесконечное
значение.
Тогда для построения графика функции y=f(x)
надлежит выполнить следующее:
1) определить значения х, для которых производная у' =
=/' (*) равна нулю или бесконечности, и подвергнуть их
исследованию на экстремум;
2) определить значения х, для которых вторая
производная y"=f (х) равна нулю, и подвергнуть их исследованию
иа перегиб;
3) вычислить значения самой функции y=f(x),
отвечающие всем этим значениям х, а также концам а и b
рассматриваемого промежутка.
Результаты удобно расположить в виде таблицы [см. ниже
примеры], с непременным указанием особенности
вычисленной точки графика: максимум, минимум, у' = 0, у' = оо,
перегиб. Иногда к названным точкам графика при. желании
присоединяют ещё и некоторые другие, например, точки
пересечения графика с осями.
После нанесения на чертёж всех вычисленных точек через
них проводят самый график, учитывая при этом все
упомянутые их особенности.
Мы имеем в виду, конечно, обычный в практике
построения графиков случай, когда первая производная обращается
в 0 (или в оо) или вторая производная обращается в 0 —
лишь в конечном числе точек, Тогда в промежутках между

342 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [137
ними график идёт всё время вверх или всё время вниз, а также
и вогнутость направлена в определённую сторону.
Вычисления и- проведение кривой упрощаются, если
функция не изменяет своего значения при изменении знака χ
(чётная функция), так что график симметричен
относительно вертикальной оси. Аналогичную
услугу может оказать и симметрия относительно
начала координат, которая аналитически выражается
в том, что функция при изменении знака χ также лишь
меняет знак (нечётная функция).
Примеры. 1) В п° 130, 2) мы уже исследовали поведение
Функции jf=sln»x + cos>jc;
с помощью её производной мы установили значения х,
доставляющие функции экстремумы, а также вычислили и сами
экстремальные значения функции. При этом, ввиду периодичности функции,
мы ограничились промежутком [0, 2π] изменения х. График
функции также достаточно построить для этого промежутка.
Теперь нам нужно найти корни второй производной. Если
представить её в виде
у" = -s- (sin χ -f- cos λ:) ( sin 2χ — -ν ) ,
то легко видеть, что первый множитель в скобках обращается в 0 при
*= ^ = 2,36 и ^=5,50, а второй — при д:=0,36 (21°), 1,21 (69°),
3,51 (201°) и 4,35 (249°);
налицо перегиб.
Составляем таблицу:
во всех случаях знак у меняется, так что
х = 0
У = 1
у' = 0
макс.
0,36
0,86
перег.
0,78
0,71
у' = о\
мин.
1,21
0,86

перегиб
1,57
1
у' = 0
макс.
2,36
0

перегиб
3,14
— 1
у' = 0
мин.
3,51
- 0,86

перегиб
3,94
— 0,71
уі~0
макс.
4,35
— 0,86

перегиб
X = 4,71
у = -1
у' = о
мин.
5,50
0
перегиб
6,28
1
у' = о
макс.
По этой таблице и построен
график, изображённый на черт. 58.
Замечание. Читатель
должен иметь в виду, что
приводимые в книге чертежи, ввиду
малого масштаба, не полностью
используют те точные данные,
которые получены вычислением.
Рекомендуется повторить эти
чертежи в большем масштабе.

137] § 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 343
2) Рассмотрим функцию
у = sin χ 4- sin 2x.
Она не только периодична, но и на четна. Это позволяет
сократить ещё промежуток изменения х, сведя его к [0, я].
В этом промежутке производная
у' = cos χ -f- 2 cos 2x = 4 cos2 лг -f cos л; — 2
·, т. е. при л: = 0,94 (54°)
8
обращается в 0, если cosjt =
и 2,57 (147°). Так как вторая производная
у" = — sin χ — 4 sin 2х = — sin д: (1 -f- 8 cos дг)
при первом из этих значений, очевидно, отрицательна, то оно
доставляет функции максимум; аналогично, при втором значении
имеем минимум.
Сама вторая производная обращается в 0 вместе с sin x при
х = 0 или дг=ігг=3,14, а также вместе с множителем в скобках
при дг=1,70 (97°) — во всех случаях меняя знак (перегиб).
Таблица:
х = 0
у = 0
перегиб
0,94
1,76
у' = 0
макс.
1,70
0,74
перегиб
2,09
0
2,57
—0,37
мин.
3,14
■ 0
перегиб
К указанным выше значениям χ мы присоединили здесь ещё
2
значение х= -*-π = 2,09 (120°), при котором у=0 (график пере-
я
-π/
Л
s*
?
г
\
У
sim
•г
*slr
2х
Г
У
9
о
I
ι
\
N
,
у
ч
|>
У
Черт. 72.
секает ось х). График, построенный по этим точкам, изображён
на черт. 72; для промежутка [—π,0]θΗ получается двойным
перекладыванием: вокруг оси у, а затем — вокруг оси х.

344
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[138
138. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток.
Асимптоты. Полезно расширить класс рассматриваемых
функций в двух направлениях. Во-первых, мы допустим теперь для
функции y=f(x) возможность обращаться в
бесконечность для отдельных значений х. Это значит, — если х0
есть одно из таких значений, — что lim /(л:) = оо. Во-вто-
Х-*Хо
рых, нас может интересовать поведение функции и в
бесконечном промежутке.
Так как размеры чертежа, разумеется, конечны, то в
обоих этих случаях приходится довольствоваться частью
всего графика. За
пределами чертежа
стараются оставить такие
части графика, о виде
которых легко
наперёд составить себе
представление, исходя
из того, что начерчено.
Остановимся на
случае бесконечного
разрыва функции, скат
жем, при χ=ζχ0.
Отметим, что при
приближении χ к л;0 с одной
стороны функция
необходимо стремится к
бесконечности
определённого знака*. Таким
образом, график
будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к в е р-
тикальной прямой х:=х0, в верхней или в нижней его
части, смотря по знаку бесконечного предела. Эта прямая
позволяет отчётливо представить себе вид
Черт. 73.
* Это следует [в силу теоремы К о ш и, 79] уже из
непрерывности функции y—f (χ) вблизи точки х = х0. Больше того, если —
по крайней мере, в конечной части промежутка — производная
y'=f'(x) лишь конечное число раз меняет знак, то в
непосредственной близости к х0 как с одной, так и с другой стороны
функция будет изменяться монотонно. Отметим, что с разных
сторон от д-0 {если х0 не есть конец промежутка) функция может
иметь бесконечные пределы и разных знаков.

138] § 2. построение графиков функций 345
графика и за пределами чертежа (черт. 73).
Примерами могут служить и уже известные нам графики
функций )> = £■ при лг = 0 (черт. 10), y = tgx при * = (2*-|-1) —
(черт. 16), y = logax при х — 0 (черт. 14).
В случае бесконечного (в одну сторону или в обе)
промежутка, подобную же услугу иногда оказывает
горизонтальная или наклонная прямая, к которой график
приближается безгранично. В связи с этим, дадим следующее
общее определение.
Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином
направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние $ от
точки кривой до некоторой определённой прямой по мере
удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то
эта прямая называется асимптотой кривой.
У
Черт. 74.
Только что мы имели дело с вертикальными
асимптотами; теперь займёмся асимптотами горизонтальными
и наклонными — всё время для кривой, заданной
уравнением y=:f(x).
Примеры горизонтальных асимптот нам уже
встречались: для кривой у = — — прямая у = 0 при χ —->- Чг оо
(черт. 10), для кривой_y = arctgjc — прямыеу=^ау=^=—-jL (
соответственно, при ж—*--|-оо и х—>■— оо (черт. 21), для
кривой у = ах — прямая у = 0 при х—»- — со, еслиа^>1, и
при ж—^ + со. если а<^\ (черт. 13).
Для того чтобы, например, при х—> + °°> прямая Y=b
служила асимптотой для кривой у =/ (х), очевидно (черт. 74),

346
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[138
необходимо и достаточно, чтобы было
lim δ = lim \у— ί>| = 0 или lim у = lim f(x) = b.
Таким образом, вопрос о горизонтальной асимптоте
сводится попросту к вопросу об этом пределе.
Отдельно нужно искать подобный предел и при χ—>■— оо;
при этом (.как, например, в случае кривой у = arctg x) может
получиться и другая асимптота.
Черт. 75.
Переходя к наклонным асимптотам, упомянем, что
примерами их могут служить известные читателю из
аналитической геометрии асимптоты _у = ± —х гиперболы
§-§=\ или у = ±±ѴІР=# (1)
(см. также черт. 7).
Предположим теперь, что кривая y=f(x) имеет
наклонную асимптоту
Y=ax-\-b (2)
(черт. 75), скажем, со стороны положительной части оси х.
Так как разность ординат \у—Y\ лишь постоянным
множителем (равным косинусу угла между асимптотой и осью л;)
разнится от расстояния δ, то при χ—*--j-cx> одновременно
с δ должна стремиться к нулю и эта разность:
lim (у — ах — Ь) ~ 0. (3)
*-Ч-Оо

139] § 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 347
Разделив на х, получим отсюда:
lim -£ = α; (4)·
кроме того, равенство (3) непосредственно даёт
lim [у ~ ах) = Ъ. (5)
jr-t-foo
Итак, для того чтобы прямая (2) была асимптотой для
данной кривой, необходимо выполнение условий (4) и (5).
Обратное рассуждение легко покажет и их
достаточность. Вопрос здесь свёлся к последовательному
разысканию пределов (4) и (5), которыми уже и определятся
коэффициенты уравнения прямой (2).
Разумеется, для χ—*■—се нужно повторить всё
исследование.
Например, в случае гиперболы (1), считая χ—*-(-οθι
имеем
χ ~~ — а х -~— а У ' χ2~*3=α·
затем,
'-Те — α ѵг ' ^ χ + γχΐ-cfi
, Ъ
и мы приходим к известным уже нам асимптотам: у = ±— *·
Возвращаясь к задаче о проведении графика функции,
теперь мы добавим к сказанному в предыдущем п° в пунктах
1), 2), 3), что следует ещё:
4) определить значения х, обращающие функцию y—f(x)
в бесконечность, с учётом знака, и построить
соответствующие вертикальные асимптоты;
5) найти горизонтальную или наклонную асимптоту
графика (и притом отдельно при χ—*--|~°° и ПРИ х—*■ — °°і
если промежуток бесконечен в обе стороны).
Обратимся снова к примерам.
139. Примеры. 3) Вернёмся к функции
у = (* + 2)» (*-!)».
для которой мы уже искали экстремумы в 130, 1). Эта функция
сохраняет непрерывность при — оо < л: <-f со. При χ ->■ ± оо не
у
только ^, ко и — стремится к со, так что асимптот нет.

348 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [(39
Рассмотрим дополнительно вторую производную
у = 2 (*■- 1) (10*2+ 16дг+1).
Она обращается в 0 при х=\; —0,07; —1,53, меняя при этом
знак (перегиб).
Составляем таблицу:
х= — 2
у = 0
у' = 0
макс.
— 1,53
-3,58
перег.
-0,8
-8,40
у>=0
мин.
— 0,07
-4,56
перег.
0
-4
1
0
уі — 0
перег.
График мы уже имели на черт. 57.
4) Пусть
J. I
.,у=лг3-(дг2-1)3
[см. 130, 3)]. Функция сохраняет непрерывность в промежутке
(— со, -(- оо). Представив её в виде
1
хъ -f-*3 (*'- Ι)3 -4-(λγϊ-1) 3
легко установить, что .у->-0 при д:->±ов; так что график нашей
функции имеет асимптотой ось χ (и направо и налево). Вторая
производная у" не имеет корней; перегибы будут лишь в точках,
где производная уі = со. Ввиду чётности функции — симметрия
относительно оси у.
Таблица:
Х = — ОС
у = 0
— 1
1
у' = + са
— 0,71
1,59
уі = 0
макс.
0
1
у' = оо
ман.
0,71.
1,59
.у' = 0
макс.
1
1
У'= — оо
+ ~
0

139]
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
349
График — на черт. 59.
с\ χ1~ 5*4-6 . .„„,
5> У=—Х2+[ tCM- Μ]·
Непрерывна в (— оо, -f-oo). При лг-*-±оо, очевидно, lim j/ = 1:
горизонтальная асимптота. Вторая производная
„» — 10 (*+1)(*2-4λ: + 1)
у - етр*
обращается в нуль при х = — 1, 2-{-Ѵъ = 2М и 2 — ^3 = 0,27,
меняя знак (перегиб). Таблица:
* = — оо
^=1
-10
1,55
— Ε
2,15
— 1
6

перегиб
-0,41
7,04
у' = 0
макс.
0
6
0,27
4,40
перег.
2
0
'2,41 3 3,73
— 0,03
у' = 0
мин.
0
0,08
перег.
5
10
0,23 .0,55
+00
1
График на черт. 61. Небольшой масштаб здесь мешает
отчётливости чертежа, особенно в промежутке изменения χ от 2 до 5;
эта часть графика представлена в увеличенном масштабе.
Дадим теперь ряд новых примеров.
Функция обращается в бесконечность ( — оо) при χ = — I. Так
как при χ -»- і оо имеем
— 5лгЗ + 2лг- 1
Τ"*1' >-χ- (^+Iр
то кривая имеет асимптоту: Υ = χ — 5.
Вычислим производные:
У =
(*- !)»(* +5)
У =
-5,
24(*- 1)
(дг+1)3 - * - (лг+1)* ·
Первая обращается в нуль при jc=1 (перегиб) и при лг= — 5
(максимум); других точек перегиба нет. По таблице:
х = —10
у=~ 16,4
— 5
— 13,5
,у'=0
макс.
— 3
— 16
— 1
— 00
0
-1
1
0
у' = 0
перег.
5
1,78
10
6,05
і

350
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(139
строим график, с учётом асимптоты (черт. 76).
7> >=ΐ/ϊ?7 (β>0)·
По этой формуле функция получает вещественные значения, лишь
если χ=ζΟ или χ У-а; при х = а
функция обращается в
бесконечность.
Считая χ > а, имеем при
X ->·-(-00
У — х
χ V х — а
Ух —а
Черт. 76.
Ух+Ух-а 2
так что, со стороны
положительных х, кривая приближается
к асимптоте Υ=.χ-\- —.
Аналогично получается со стороны
отрицательных χ другая асимптота Υ = — χ~—,
Производная
. ι *{х~Та) , _
(х-а)*
-(*-!·)/
(х - а)*
обращается в нуль при х = -^а, меняя знак с минуса на плюс
(минимум). Она обращается в
нуль и при χ = 0, но это —
конец промежутка (— оо, 0],
в котором мы функцию
рассматриваем, и об экстремуме
здесь не может быть и речи.
Вторая производная:
У =
1
\а.*х
4
у (х-а)»
Черт. 77.
она>0 и при х<0, и при
дг>а, так что кривая обращена вогнутостью всегда вверх.
3
Вычислив ещё ординату у=2,60а, отвечающую дг = -^ а, мы

1*0] § 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ 351
имеем уже достаточно данных для построения графика (черт. 77).
8) у
= /*-Хѣ
Ъх
(а > 0).
Переменная χ может
изменяться лишь в промежутке (0, а); при
л:=0 функция обращается в
бесконечность.
Производная
,__ α* + 2χ3_
У ~ &х*у ~
— 2 [у + х)
всегда отрицательна, так что
функция убывает. При х = а
производная у' = — со. Вторая производная
У" = -j (У ~ *У')
обращается в нуль,
лишь при у = х =
( *» у*)
меняя знак,
= 0,63а (пе-
^4
Черт. 78.
региб); при этом, очевидно, у' = — 1. График представлен на
черт. 78.
§ 3. Раскрытие неопределённостей.
140. Неопределённости вида -д . Мы применим теперь
понятие производной и доказанные в §§ 4, 5 предшествующей
главы теоремы для раскрытия неопределённостей.
Последующие теоремы 1—4 в основном принадлежат Л о
пита л ю (G. F. de I'Hospitale) и Бернулли (Joh. Bernoulli).
Высказанное в них правило обычно называют правилом Лопи-
т а л я. Сначала мы займёмся основным случаем неопределённо.
О
сти вида -jr , т. е. исследуем вопрос о пределе отношения двух
функций f{x) и g{x), стремящихся к нулю (при
определённом предельном переходе χ—>-α).
Начнём с простой теоремы, непосредственно использующей
самое понятие производной.

352 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [140
Теорема 1. Пусть: 1) функции f{x) и g(x) определены
в промежутке [а, Ь], 2) Iілі/(.*:) = О, lim g(х) == 0, 3) суще-
х -*-а χ-*а
ствуют конечные производные f (а) и g1 (а), причём g' [а)фО.
Тогда
Доказательство. Существование конечных
производных /' (а) и g' (а)' обеспечивает непрерывность функций / (х)
и g(x) в точке я. В силу 2) имеем: /(а) = 1іт/(л:) = 0
х-ю
и g(a) = limg(x) = 0. Ввиду того, что g'(a)=£0, по лемме
х-*а
п° 115, g(x)^0 для значений х, достаточно близких к а;
f(x)
ими мы и ограничимся, так что отношение J-~— имеет смысл.
&\х)
Теперь это отношение можно переписать в виде
Я*)-/(я)
£■(·*) g{-x) — Ofl) g(x) — g(a) '
χ — a
Переходя здесь к пределу при χ—у а, и получим требуемый
результат.
Дополним доказанную теорему следующим замечанием.
Предположим, что g(a) = 0, но /' (а) отлично от 0. Тогда
теорема приложима к обратному отношению ——{, которое
стремится к нулю. Следовательно [если только g(x) — для
значений х, достаточно близких к а, — не обращается* в нуль],
отношение *А-{ стремится к оо. Таким образом, лишь при одно-
временном обращении в нуль производных /'(а) и g'(a)
fix)
вопрос о пределе отношения J-j-{ оставался бы открытым.
Примеры. 1) Найти предел
Г еХ ~ е~х
xl-+olog(e — x)-\-x-\'
По теореме он равен вычисленному при х = 0 отношению
производных
g*4-g-
_ 2 _ 2е
х — о е

140] § 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 353
2) Найти предел
Ѵ2х -х*~ }/х
Iііп.
*■
► і 1-^*»
Он равен
1-
Ϋ2χ
Ίχ*
-х*> 3
3
4*/х
1
у*
16
"9'
х = 1
В том случае, когда одновременно /'(а) = 0, g'(a) = 0,
можно воспользоваться следующим обобщением теоремы 1,
привлекающим к рассмотрению производные высших
порядков:
Теорема 2. Пусть: 1) функции f(x) и g{x) определены
в промежутке [а, Ь], 2) 1іт/(лг) = 0, limg(x) = Q, 3) в про-
х-*а х-*а
межутке {а, Ь] существуют конечные производные всех
порядков до (п — \)-го включительно /' (х), f{x), ...
.... f-'Hx), έ(χ), β"(*) g^'-'Hx). 4) при х = а
они все обращаются в 0, 5) существуют конечные
производные /<")(д) и gi")(a), причём ^ (а) ф 0. Тогда
*Z six) g(">(«) '
Доказательство. Приложим к каждой из функций
/(·*)> ё(х) в промежутке [а, х] (а<^х ^Ь) формулу Тэй-
лора с дополнительным членом в форме Пеан о [см. 122,
(10а)]. Ввиду 2) и 4), получим
f{x)=f^±l{x-aY, ,(*, = «Ш±!(,-а)·,
где о и β —>· 0 при χ —► а.
Второе из этих равенств, вследствие условия gM(a) φ О,
прежде всего показывает, что g(x) отлично от нуля, по
крайней мере, для значений х, достаточно близких к а. Если
этими значениями ограничиться, то отношение -ττή. имеет
смысл.
23 Г. М. Фихтенгольц

354 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [140
Тогда из написанных равенств непосредственно и
получается требуемый результат:
В случае, если gW(a) = 0, но /(") (α) т^ 0, вопрос
приводится, как и выше, к рассмотрению обратного отноше-
НИЯ §-7-( .
Пример 3) Найти предел
,. е*—е-* — 2х
lim : .
х->о х —siax
Здесь имеем:
f{x) = ex — e-x — 2x, /(0) = 0; g (χ) = дг - sin л;, §(0) = 0;
f'(x)=:ex-\-e-x — 2, /'(0)=0; / (χ) = 1 - cos лг, g' (0) = 0;
Г(х) = е* — е-*, /"(0)=0; £"(*) = sin дг, £"(0) = 0;
Г'(х) = е* + е-*, f'"{0)=2; g"'(x)—cosx, g"'(0) = l.
Следовательно, искомый предел равен 2.
Хотя в большинстве случаев для раскрытия неопределён-
0
ности вида -г- уже достаточно доказанных теорем, но на
практике обычно удобнее следующая
Теорема 3. Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены
в промежутке (а, Ь], 2) lim/(jc) =0, limg(x) = 0, 3) суще-
х-ю х-*а
ствуют в промежутке (а, Ь] конечные производные f'{x)
и g"(χ), причем £(χ)φ.Ο, и наконец, 4) существует
(конечный или нет) предел
Тогда и
\ітЩ = К.
X·*
а 8(Х)
Доказательство. Дополним определение функций
f(x) и g(x), положив их при х=а равными нулю: /(а) =
= g(a) = 0*. Тогда эти функции окажутся непрерывными
* Конечно, можно было бы просто предположить заранее
функции определёнными и непрерывными при х = а; но в
приложениях иной раз удобнее формулировка условий теоремы, данная
в тексте (см., например, теорему 3*).

140] § 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ 355
во всём замкнутом промежутке [а, Ь]: их значения в точке α
совпадают с пределами при χ —*а [ввиду 2)], а в прочих
точках непрерывность вытекает из существования конечных
производных [см. 3)]. Применяя теорему Кош и [120J,
получим
/(*)_/(*)-/(а) = Г (с)
g(x) g(x)-g(a) g'(e) '
где а<^с<С^х. То обстоятельство, что ^(j^^O, т. е.
g(x)¥=g{a)> есть следствие предположения: g' (χ)^Ο, как
это было установлено при выводе формулы К о ш и.
Когда х—*а, очевидно, ис—*а, так что, в силу 4),
нш/(*) —linn /'(') _*-
ч. и тр. д.
Таким образом, доказанная теорема сводит предел
отношения функций к пределу отношения производных, если
последний существует. Часто оказывается, что
нахождение предела отношения производных проще и может быть
осуществлено элементарными приёмами.
Пример 4) Найти предел
lim **-* .
X^Q χ — sin;e
Отношение производных последовательно упрощается:
1
1 1 — cos2χ __ \\-\-casx-
cos^ χ 1 — cos χ cos'3 χ '
при Х-+0 оно, очевидно, стремится к 2. Таков же будет, согласно
теореме, и искомый предел.
Теорема 1 в этом случае была бы неітриложима, ибо при х = 0
производные числителя и знаменателя обе равны 0. Что же касается
теоремы 2, то, хотя с её помощью задача могла бы быть
разрешена, но для этого потребовалось бы (в чём легко убедиться)
вычислить три последовательных производных от заданных
функций.
Обращаем внимание читателя на то, что здесь и отношение
О
производных снова представило неопределённость вида ■*-, но
раскрыть эту неопределённость оказалось возможным путём элемен-'
тарных преобразований. В других случаях может понадобиться
применить теорему повторно. Важно подчеркнуть, что при
этом допустимы всякие упро щ-е ни я получаемых
23*
COS'3
1-
j
X
создг

356 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [140
выражений, сокращение общих множителей,
использование уже известных пределов и т. п.
(Всего этого делать нельзя, если применяется теорема 2!) В
следующем примере теорема 3 применяется последовательно три
раза; после первого мы сокращаем на е*, а после втооого —
отбрасываем множитель ех в знаменателе (ибо он стремится к 1).
Этим выкладки упрощаются.
Примеры. 5)
.. хеъ 4- хех — 2<?з* -f 2**
ДПо (^1)3 =
. 2хе"-х + *** + хе* + еХ — №-*+2g* _
~ϊΖ ъ{ех-\у..ех -
_.. 2хех — Зе* + 3 + -У_ 1 ι, 2хе* + 2ех — Зех + 1
х™о ЗТІ^^IР ~3,Τβ 2(ех-\)е* ~
1 -.ехЛ-2хех-\-\ 1 ..2хе*+е* 1
ι· (1-М*-*
6) litni—!—^ =
~;x-(\+x)\o%Q+x)
Так как первый множитель справа стремится к е, то
достаточно заняться вторым множителем. С помощью двукратного
применения теоремы 3 найдём, что предел его равен —=г ·
Ответ: —я-.
Теорема 3 легко распространяется на случай, когда
аргумент χ стремится к бесконечному пределу: о = + °° (этого,
разумеется, нельзя сделать в отношении теорем I и 2).
Именно, имеет место, например,
Теорема 3*. Пусть 1) функции /{х) и g(x) определены
в промежутке [с, -f-оо), 2) lim /(*)== 0, lim g(x) = 0,
3) существуют в промежутке [с, -j- oo) конечные
производные f (χ) и g' (χ), причём §'(х)фО, и, наконец, 4)
существует (конечный или нет) предел
Вт 4Щ =*.

141] § 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 357
Тогда и
x-t+ooS W
Доказательство. Преобразуем переменную χ по
формуле χ=η-,ί = —. Тогда, если х—*--j-oo, то t—*·0,
и обратно. Ввиду 2), имеем
Iіт/Ш=0, lim ^(4) =0,
а в силу 4),
К функциям/ (-j ) и g (yj от новой переменной t можно
применить теорему 3, что даст нам
а тогда и
,!%»$& =к'4· **>■*·
141. Неопределённость вида —. Обратимся к
рассмотрению неопределённых выражений вида —, т. е.
исследуем вопрос о пределе отношения двух функций / (х) n-g(x),
стремящихся к бесконечности (при χ—*а). Покажем, что
в этом случае применимо то же правило Лопата ля:
следующая теорема есть простая перефразировка теоремы 3.
Теорема 4. Пусть: 1) функции- f{x) и g{x) определены
в промежутке (а, Ь], 2) lim/(*) = oo, Urn g{x) = oo,
* функции /(-г) и g-(-r) мы дифференцируем по t каі{
сложные функции.

358 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [141
3) существуют в промежутке (а, Ь] конечные производные
f{x) и g'{x), причём g' (x) =£0, и, наконец, 4) существует
(конечный или нет) предел
Тогда а
'(х)
ШпЩ- = *.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай
конечна о К. Задавшись произвольным числом г^>0, в силу
условия 4), найдём такое η>0, что при а < χ < а -)- η будет
ного
4), найдём такое
\Г(х)
\ §'(■«)
или
■κ\<τ
Возьмём два значения х0 и χ так, что α <^ jc <^jc0 <^ α -|- η,
и к промежутку [лг, л:0] применим формулу Коши*:
f(x)-f(x0)_f'(c)
g(x)-g(Xo) g'(c)'
где х<С,с <^х0, следовательно, и подавно a<^c<^a-\-rh
а потому
K-l<g(x)-g(x0)<K+-2- W
Фиксируем х0, оставляя χ переменным.
f (ν)
Сравним теперь интересующую нас дробь J-~ с только
что рассмотренной; их отношение
ι gW
/(*)./(*)-/(*о) _ gW
£·(*)" #(*) - g-(*o) , _ f(x0)
fix)
* В этом — существенное отличие от доказательства теоремы 3:
здесь нельзя применить формулу К о ш и к промежутку [а, х], ибо,
как бы ни определять функции f (х) и g(x) в точке а, ввиду 2),
из них яге получить функций, непрерывных в этой точке.

141] § 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ 359
при х—+а стремится к 1, так как f(x0), g(x0) —
постоянные числа, a f (х) и g(x) стремятся к ее, ввиду 2).
Следовательно, это отношение можно представить в виде 1 -)- а,
где а—>-0 при χ—>-α. Умножив все части двойного
неравенства (1) на l-f-α, получим
Последние слагаемые в крайних частях этого неравенства
стремятся к нулю при χ—>а; при х, достаточно близком
к а, абсолютные величины их могут быть сделаны меньшими,
чем -^ . Поэтому можно выбрать δ^>0 (δ<^η) такое, что
при а<^х<^а-\-Ь будет уже
или
f(x)
g(x)
■К
<е,
что и доказывает требуемое соотношение.
В том случае, когда К=оо*, имеем
1іт|г7^т = 0, так что и 1ітѵт^г = 0,
откуда, наконец,
x-^aS(x)
Подобно теореме 3, и эту теорему легко распространить
на случай, бесконечного предела аргумента:
Теорема 4*. Пусть: 1) функции f (х) и g(x) определены
в промежутке [с, +оо), 2) lim f(x) = oo, Iim g(x) — oo,
3) существуют в промежутке [с, -f-oo) производные f'(x)
и £{х), причём g,(x)=^0, и, наконец, 4) существует
{конечный или нет) предел
При этом, очевидно, /' (л:) φ 0, по крайней мере, вблизи а.

360
ГЛ. IV ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(142
Тогда а
lim Щ = К.
Док азательство предоставляем читателю.
В виде примера легко получить уже известные нам пределы:
_1_
7) Ига —-—= Iігп ,= lim = 0(еслиц>0).
*-* + оо XV *->+оо fJ^-1 *-».+оо Ѵ*Г-
Далее имеем:
8) lim ~= lim Ι**'1 (β > 1, μ>0>.
*->+w β* *-»+οο «*-loga ^ r^
Если μ>1, то справа снова имеем неопределённость того же
се
типа — ; но, продолжая этот процесс и повторно применяя тео-
СО
рему 4, в конце концов получим в числителе степень с
отрицательным (или нулевым) показателем. Поэтому, во всяком случае,
■ѵ-
lim ^- = 0.
.Г-++О0 а
Сделаем общее замечание относительно теорем 3 и 4
(3* и 4*). В них устанавливается предел отношения функций
в предположении, что существует предел отношения
производных. Но обращение этих теорем недопустимо, и
первый предел может существовать при отсутствии второго.
Например, существует предел
hm _ZL· — lim (1+-— 1=1,
хотя отношение производных, равное 1 -f- cos x, предела
при χ —у -J- cc не имеет.
142. Другие виды неопределённостей. Предыдущие
0 оо
теоремы относились к неопределённостям вида -^ и —.
Если имеем неопределённость вида 0·οο, то её можно
О оо
привести к виду -х- или —· и тогда воспользоваться правилом
Лопиталя. Пусть
lim /(*)=: 0, lim £·(*) = оо.
х-ю χ -*а

142] § 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ 36 F
Тогда имеем
е(х) /(■*)
Второе из этих выражений представляет при χ—т неопре-
0 „оо
делённость вида тгі третье — неопределённость вида —.
и оо
Пример 9)
lira (*>MogJc)= lira 1^SS= lim·- ,=
ХЧ- + 0 X-++Q X~* x-*+Q — JUT-!1-1
X*
— Hm ^— = 0
x-*+Q — V-
(мы считаем μ > 0).
К виду -jr или — всегда можно привести и
неопределённости вида ею — оо. Пусть имеем выражение f{x) — g(x),
причём
Hm f(x)=-\-oo, lim. g(x)=-\-oo.
x-+a x~*a
Тогда можно произвести, например, следующее преобразова-
0
ние, сводящее это выражение к неопределенности вида -д·:
/С*) six) f(x)'g(x)
Часто, впрочем, того же удаётся достигнуть проще.
Пример 10)
,. / 1 . , \ ,. sitfiχ ~ х*-со&χ
х-*о \х* ) х-*о x—sm'Xj
но
sin*.* — x3-cos2 χ sin x -f- χ ■ cos χ siiijc —^•cos.y ,
Χ*·5ίΤΡχ ЭІПАГ ' A-J-SinJT '
предел первого множителя находится элементарно:
'.- = lim 1 + - cos χ) =2r
пах Λ.->ο \ ' sm.ν /
lim '.-
x-*o sin.

362
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[142
а ко второму применяем теорему 3:
,. sin χ — χ·<χ%χ .. х-ѣ\пх
lim ϊ—: = hm
о 2x · sin χ -f- x1· cos χ
= lira = -x .
*^o2 + _x_.CQSX ά
' sin χ
2
Таким образом, искомый предел равен -ѵ.
В случае неопределённых выражений вида 1°°, 0°, ос0
рекомендуется эти выражения предварительно
прологарифмировать.
Пусть у = [/(х)]8(*); тогда logy = g(x)-logf {х). Предел
log.y представляет собой неопределённость уже изученного
типа 0·οο. Допустим, что одним из указанных выше приёмов
удаётся найти Hralog_y, который оказывается равным конеч-
х-*'р
ному числу k, -\- оо или —оо. Тогда \шу, соответственно,
х-*а
будет £*, -f- оо или 0.
Пример 11) Пусть
(%0
1—cos χ
Требуется найти \ту при χ ->■ О (неопределённость вида: 1°°).
Если считать χ > 0 (этим предположением, ввиду чётности
функции у, можно ограничиться), то
6-^ 1 —cos*
Воспользуемся последовательно дважды теоремой 3:
cos.*· 1
limlogJ/=lim Ап* ~* = lira x'cosx ~ sin *
Λ-+0 *->0 SltlJT д.^.О X.S№Jf
откуда
x-busWx-{-Zx-smx-zosχ x ,nsin.r . .
*^u b2cosJC
\_
lim.y — e 3 =—L_

143] § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 363
Пример 12)
1
/К t \,02*
У=\-2~ afctg^J
При χ -*· 4- °° это выражение представляет неопределённость
вида 0° . Имеем
log(|-atctg*)
iog,=—4^— (=)·
По правилу ЛЪ π и τ а л я:
1 1
lira logj/ = lim
ж-»-Н-оо x-*-f-oo
g-— arctg* '
τ
χ
Ι-χ»
1-г-·*3 ,· (1+*2)2 ,, I-·*2
= lira ■ -— lira ——С—£- = Urn , , αΛ-
ζ ига — чт :—= nm γ-τ-—= =
j:-*-|-oo ,.-ία „ π Jf-»-f <* ' jf-> + °° Τ"*
rcg 2 1+^г
так что lim у = — .
§ 4. Приближённое решение уравнении.
143. Вводные замечания. Займёмся теперь задачей о
нахождении корней данной функции / (х), т. е. корней уравнения
f(x) = 0. (1)
Впрочем, решать эту задачу мы будем в предположении, что
интересующий нас корень ί изолирован, т. е. что найден
содержащий его промежуток [а, Ь\:
в котором других корней нет.
Если, сверх того, на концах промежутка функция / (х) имеет
значения f{a) и /(ft) разных знаков, то, как это было разъяснено
в п° 80, в связи с применением 1-й теоремы К о ш и,
последовательно деля на части промежуток, содержащий корень, и
определяя знак функции f (х) в точках деления, можно произвольно
сужать этот промежуток и тем осуществлять приближённое
вычисление корня. Однако, этот приём, несмотря на его
принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным,
ибо требует слишком большого количества вычислений. В
настоящем параграфе читатель познакомится с простейшими приёмами

364 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [144
приближённого вычисления (изолированного) корня уравнения (1),
которые более систематически и более быстро ведут к цели. При
этом мы снова будем иметь случай использовать основные
понятия и методы дифференциального исчисления.
Мы будем всегда "предполагать выполнение следующих
условий:
1) Функция J (х) в промежутке [а, Ь] непрерывна вместе со
своими производными f (χ) и f" (x);
2) значения f(a) и /(*) функции на концах промежутка
имеют разные знаки: f (а) ·/ (Ь) < 0.
3) обе производные /' {х) и /" (х) сохраняют каждая
определённый знак во всём промежутке [а, Ь].
Из непрерывности функции / (х) и условия 2) следует, что
между а и Ь содержится корень ξ уравнения (1) [79J. Так как
производная /'(х) сохраняет знак [3)], то f (х) в промежутке
[а, Ь] возрастает или убывает и, следовательно, обращается в О
лишь однажды: корень ξ изолирован.
Условие 3) геометрически означает, что кривая y=f(x) не
только идёт в одном направлении, — всё время вверх или всё
время вниз, — но и вогнутостью обращена всегда в одну сторону
[136J. На черт. 79 изображены четыре возможных случая,
отвечающих различным комбинациям знаков /' (х) и /" (л:).
В алгебре устанавливается, что при вычислении
(вещественных) корней алгебраических уравнений" всегда может быть
создано такое положение вещей, при котором выполняются
условия 1), 2), 3), так что' эти условия принципиально не
ограничивают приложимости излагаемых ниже приёмов. Этого нельзя
сказать по отношению к трансцендентным (т.е.
неалгебраическим) уравнениям. Однако на практике поставленные
ограничения мало стеснительны, так как в подавляющем
большинстве случаев высказанные условия выполняются.
144. Правило пропорциональных частей (метод хорд). Если
промежуток [а, Ь) достаточно мал, то с известным приближением
можно считать, что — при изменении χ в его пределах —
приращение функции f{x) пропорционально приращению
аргумента. Обозначая через ξ корень функции, имеем, в частности,
/(·)-/(а) . %-а
f(b)-f(a)~b-a'
откуда, с учётом того, что /(;) = 0,
5 = а
(b-a).f(a)
/(*)-/(«) '
Таким образом, за приближённое значение корня здесь
принимается число
{b-a)-f(a)

I44І
§ 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
365
Это выражение, очевидно, можно представить и в такой форме:
Х\
(b-a).f(b)
-° f(b)-f(a) '
(2*)
Изложенное правило получения приближённого значения
корня и называется правилом пропорциональных частей*. Оно
Черт. 79.
допускает простое геометрическое истолкование. Заменим дугу
ММ' кривой (черт. 79)—хордой ММ'. Уравнение последней
может быть написано, например, в виде
■/<«) =
f(b)-f{a)
' Ь — а
(х — а).
(3)
Наше правило, по существу, сводится к тому, что вместо точки А
пересечения кривой с осью χ определяется точка D пересече-
* В старину его называли «правилом ложного положения»
(regula falsi), ибо оно основано на предположении, которое, строго
говоря, не отвечает действительности.

366
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[14*
ния с осью χ этой хорды. Действительно, полагая в (3) _у = 0,
для абсциссы Χχ точки D получаем именно выражение (2).
В связи с этим правило пропорциональных частей называют
также методом хорд.
Обратимся теперь к исследованию вопроса о положении
точки Χχ по отношению к корню ζ. Непосредственно ясно, что
точка Χχ лежит между а и Ъ. При сделанных предположениях,
сверх того, можно утверждать следующее: точка Χι лежит
с той стороны от корня ζ, где функция f(x) имеет знак,
противоположный знаку /"(■*■). Значит, в случаях I и IV, Χχ лежит
между а и 5, в случаях же II и III — между ξ и Ь.
При доказательстве мы ограничимся случаем I (и IV).
Рассмотрим отношение
Т(„=Ш=/І£) («<*<»). (4)
Его производная равна
т {Х) (лт-а)з '
Если использовать формулу Тэйлора с дополнительным членом
в форме Лагранжа [124, (13)]:
/ (а) =/(*)+/'(*)·(«-*)+ -5"/"(Φ(β-*)»* (в<с<дг),
то окажется, что
Следовательно, <р' (х) сохраняет тот же знак, что и f (x), так что
[127J функция у (χ) возрастает (убывает) в промежутке (а, 6].
В частности, при любом х<Ь будем иметь
f(x)-f(a) <f(b)-f(a)
χ — α ί->\ Ь — a
или
f{x)<f{a)+0*l-№(x-a).
О) 6-а
Геометрически это попросту означает, что хорда ММ' всеми
своими точками лежит над (под) дугой ММ' кривой [см. (3)
и черт. 79J. Полагая в предшествующем неравенстве x = xlt
непосредственно получаем
/ (*і) < О,
О)
* Здесь л=1, χ играет роль χϋ, а в —роль х.

144] § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 36?
так что f (х\), действительно, имеет знак, противоположный
знаку /"(·*)> ч. и тр. д.
Ограничиваясь и впредь случаями I или IV, применим снова
наше правило, на этот раз к промежутку^ [χι, ft]; заменяя в (2)
а на Χχ, получим новое приближённое значение корня ξ:
Г -Х (»-*і) ·/(*!)
содержащееся, по доказанному, между хг и ξ. Этот процесс
можно продолжать неопределённо и построить
последовательность всё возрастающих приближённых значений
а < Хі < Хц <.. ·< х„ < Х„+і<...< 5.
При этом любые два последовательных значения хп и ха+і
связаны формулой, аналогичной (2),
»я + 1-
(5>
= 0,
Покажем, что, с возрастанием п, x.n-+t. В самом деле,
монотонно возрастающая, но ограниченная (например, числом 5),
переменная хп должна
стремиться к некоторому
конечному пределу о ^Е. Если
перейти к пределу в равенстве
(5), используя при этом
непрерывность функции / (х), то
получим, что
откуда /(о) = 0. Так как
других корней уравнения (1),
кроме ξ, в промежутке [а, Ь] нет,
то α —Ε*.
Черт. 80 иллюстрирует
постепенное приближение точек Dit D2,... пересечения
последовательных хорд с осью χ к искомой точке А.
Легко понять, что в случаях II или III повторное применение-
правила приведёт к последовательности у бы вающих
приближённых значений
Ь >xL>хг>...>ха > х„+!>...> \,
стремящихся к корню ξ справа.
Таким образом, во всех случаях, применив достаточное число-
раз указанное выше правило, можно вычислить корень ζ с любой
Черт. 80.
* Сходимость процесса можно установить и без
предположения, относящегося ко второй производной, но тогда не
исключена возможность того, что точки хп переходят с одной стороны
от корня на другую.

■368 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ [144
степенью точности. При этом, впрочем, остаётся
открытым вопрос, как оценить точность уже
вычисленного приближённого значения хп.
Для решения его применим к разности f (хп) — / (;) формулу
конечных приращений |118J:
/(*„)=/(*„)-/(ξ) =-(*,,-ζ) ·/'(') (?§*§*„).
Отсюда
■ /'(')'
если обозначить через от наименьшее значение \f'(x)\ в
рассматриваемом промежутке (которое можно раз навсегда
вычислить наперёд), то получим оценку:
\ха-^-Щ^· (6)
Так по самой величине f(xn) оказывается возможным судить
о близости хл к корню!
Рассмотрим пример. Уравнение
х"> — 2х2_4лг— 7 = 0
имеет корень между 3 и 4, ибо, если через f{x) обозначить
левую его часть,
/(3) = -10<0, /(4) = 9>0.
Поставим себе задачей вычислить этот корень с точностью
до 0,01. В промежутке [3, 4] обе производные
/'(*) = 3*2-4*-4 и f*(x)=5x — 4
сохраняют знак плюс (случай I); наименьшее значение первой из
них будет « = 11.
Имеем:
^ = 3-^^ = 3 + ^=3 + 0,52...;
округляя, положим ^ = 3,52. Так как /(3,52) =— 2,246592, то, по
неравенству (6), требуемой точности ещё нет. Продолжаем:
0,48·/ (3,52) _ogo , 1,07836416 ,„.ηηο
х3 _ 3,52 - / (4)-/ (352) _ 3,52 -4- j, (246592 - 3,52 + 0,09...
иди, округляя, λ·2=3,61. Вычислив /(3,61) =і- —0,458319 и
пользуясь неравенством (6), снова видим, что цель ещё не достигнута.
Наконец,
._», 0,39·/(3,61) 0,17874441 ,Л1.ПП1ЙЯ
*і- 3'61 * /(4)-/(3,61) =3'61 + 9,458319 =3,61-^-0,0188...
Округляя, положим .*з·—3,63. Так как мы округлили «в сторону
корня», то могли и перескочить через него; что этого не про-

I4Б] § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 369
изошло, видно по знаку числа /(3,63) =—0,041653. На этот раз,
по неравенству (6),
! х3 -= | = ξ -χ3 < *Ш^ < 0,004.
Таким образом,
3,630 < ξ <3,G34,
т. с. Ε = 3,63+ 0-004.
Этим примером мы ограничимся, так как в изложенной форме
метод хорд ещё мало эффективен; обычно он комбинируется
с методом касательных, к которому мы и переходим
[см. ниже пп° 147 и 148].
145. Правило Ньютона (метод касательных). Вернёмся
к прежним предположениям относительно функции / (х) [143];
искомый корень ξ этой функции изолирован в промежутке [а, Ъ\:
<z<£<S. Отправляясь от какого-нибудь из концов этого
промежутка, например, от Ь, напишем формулу Тэйлора с
дополнительным членом в форме Лагранжа:
0=/<ε)=/(δ) + /'(*)·(:-*) + ^/"(Φ(:-*)2 (:<с<*).(7)
Отбрасывая.дополнительный член, приближённо можно положить
/(»)+/' (ЬП--Ь)-О,
откуда
Таким путём мы приходим к приближённому значению корня \:
х'-Ь-^ (31
1 f (ЬУ {)
Получение этого значения можно наглядно истолковать и
геометрически. Рассмотрим касательную к кривой y=f(x)
в точке М', с абсциссой Ь. Её уравнение имеет вид
У -/■(*)=/'(*)·(■*- 6)·
Полагая здесь j/ = 0, найдём абсциссу точки Τ пересечения
касательной с осью х; она в точности совпадает с (8). Значит, суть
дела в приближённой замене дуги кривой ММ'—к а с а те л ь н о й
к ней в одном из её концов (см. черт. 79).
Это правило, носящее имя Ньютона, называется также
методом касательных.
Встаёт, однако, вопрос, где лежит значение хѵ получаемое
по формуле (8). Ведь тот же черт. 79 показывает, что точка
пересечения касательной с осью χ может лежать даже вне
рассматриваемого промежутка! Мы докажем, что, если
значение f (Ь) — одного знака с /" (.ν) (т. е. в случаях I и IV), х\ лежит
между ζ а Ь.
24 Г. М. Фихтенгольц

. 370 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ||45
Действительно, так как f(b) и /'(*) —одною знака, то из (8)
непосредственно ясно, что χχ < Ь. С другой стороны, из (7) и (8)
следует:
Но /"(·*) в рассматриваемых случаях имеет одинаковы» знак
с/'(дг), следовательно, S<^t. Окончательно: ξ <*'t< Ь..
Аналогично, если исходить из точки а, и касательную к
кривой провести в конце Μ (с абсциссой в), то, взамен (8), получим
приближённое значение
У — η - /(а> /й*ѵ
1 7W· ( >
Относительно вычисленного по этой формуле значения можно
установить, как и выше: если значение f (а) — одного знака
с /"(-*■) (т. е. в случаях II и III), дг, лежит между а и ζ.
Таким образом, для каждого из четырёх возможных случаев
указано, с какого конца гарантирована успешность приближения
к корню по правилу Ньютона. Повторное применение его
даёт в случаях I и IV последовательность убывающих
значений:
Ь > х\ > х'2 > ... > х'п > х'п+!>...> 5,
а в случаях II и Ш—последовательность возрастающих
значений:
а < х\<*2<·· ·< х'„<х'п+і <■ · ■ < ξ·
причём вычисление последующего значения по предыдущему
всегда производится по формуле
. /(■*„>
ѵп+1 — ■
(Ю)
И здесь легко доказать, что хп—>■ £. Монотонная и
ограниченная переменная хп имеет конечный предел β; переходя же
к пределу в (10), с учётом непрерывности обеих функций / (х)
и Ρ (х), найдём:
/' Ш"
:0, откуда /(Р)=0 и р=с.
Черт. 81 иллюстрирует приближение к точке /1 со стороны
точек 7Ί, 7"2,... пересечения последовательных касательных
с осью х.
Таким образом, и правило Ньютона, повторно применённое,
позволяет вычислить корень ί с любой степенью точ-

I4S] § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 371
н о с т и. При этом точность уже вычисленного приближён-
«ого значения оценивается, как и выше, по формуле (6).
Чтобы охарактеризовать скорость убывания разностей хп — ξ,
вернёмся к формуле (9); заменим в ней Ь через х'а, а \х\ — че
-я+Г
' Г (с)
2 Г(х'„)
к - =)3·
Обозначая ч^рез Μ наибольшее значение \f"(x)\ в заданном
промежутке [а, Ь\ (и сохраняя за от его прежнее значение), отсюда
легко получить теперь:
Μ
*+г-И<ѣ\4-і
(Н>
Черт. 81.
Поскольку справа стоит квадрат, этим обеспечено весьма
быстрое приближение хп к ξ (π© крайней мере, начиная с
некоторого места), что и делает
метод касательных одним из „
самых эффективных методов
приближённого вычисления
корня.
Неравенство (11)
выполняет ещё одну функцию. Если
точность вычисленного
значения х'п уже оценена,
например, с помощью
неравенства (6), то неравенство (11)
позволяет наперёд оценить
точность ещё не вы
численного значения хп , j.
Это может оказаться полезным
при решении вопроса о том, на каком знаке целесообразно его
округлить.
Обратимся к примерам. Их решение, разумеется,
предполагает использование всех вспомогательных средств вычисления,,
какие имеются под рукой, как-то: таблиц степеней и корней,
таблиц умножения, арифмометра, логарифмических и логарифмо-
тригонометрических таблиц, натуральных таблиц
тригонометрических величин, таблиц для перевода градусной меры углов &
радианную, и т. п.
146. Примеры и упражнения. В этом п° мы будем
пользоваться исключительно методом касательных.
1) Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения
хз—іхч—іх—7 = 0,
зная, что он содержится в промежутке (3, 4) [ср. 144].
24*

372
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[146
Имеем:
{{х) = хЗ-2л?-4х-7, /(3) = —10 < 0, /(4)=-j-9>0,
/'(.г) = 3д:2—4лг—4 > 0, /*(дг) = 6дг—4>0 (при 3s£.v =s: 4)
(случай I); наименьшее значение |/'(^:)I есть яі=П.
Отправляемся от того из концов заданного промежутка Ь = 4,
для которого знак функции f (х) совпадает со знаком fix)- По
формуле (8)
'-а_.Ш. ■ 9
Ч—' /'(4)~4 28"
= 4-0,32...;
ич'ругляя, положим .ri = 4—0,3 = 3,7. Так как / (д-j) =/(3,7) =
I 474
— 1,473, то, по неравенству (6), х\ — \ < -^γ- < 0,14, т.е.
достигнутая точность недостаточна. Далее,
/(3,7) , „ 1,473
11
:3,7-
:3,7
: 3,7 —0,065...;
■*2 —"·' /'(3,7)~"" 22,27'
положим х'2 = 3,7 — 0,066 = 3,634. На этот раз /(лг^) =/(3,634) =
= 0,042..., так что, в силу (6), х\ — с, <ήτρ < 0,004. Поэтому
3,630 < Ε < 3,634 н ξ = 3,63 с требуемой точностью.
(Получение этого же результата в 144 по методу хорд
потребовало трёх шагов.)
2) Для второго примера предтожим себе решить уравнение
j:-log10x=l.
Воспользуемся этим случаем, чтобы пояснить читателю, как
графическое изображение- функций может служить для
предварительной ориентировки в
расположении корней уравнения.
Значение х, удовлетворяющее уравнению
»
V
{' /
■і
I
β
г
>ι?,*χ
3 V
Черт. 82.
очевидно, представляет абсциссу точки
пересечения кривых
1
.v=log10A· и у — -.
Даже грубое их изображение (черт. 82) сразу показывает, что
искомый корень лежит между 2 и 3. Это легко теперь проверить
и вычислением, ибо, полагая j (х) = .v-log10 -ν — 1, имеем
/ (2) = -0,39793... < 0, / (3) = 0,43136... > 0.
Вычислим упомянутый корень с точностью до 0,0001.

146] § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 373
Очевидно, при 2^лг^3,
/' (х) = log10 χ + log10 e > 0, /'" (х) = i^Sioi > о
(случай I); можно положить «г = 0,7.
Так как именно /(3) имеет тот же знак, что н /'' (х), то,
формуле (8),
'_·, '/<3)__„ 0,43136.
"і ■
/'(3)"
!,У1141.
= ■3— 0,473-..:
ПОЛОЖИМ Х-,
! — 3 — 0,47 = 2,53. Имеем / (xj
, , _ 0,0199
так что jCj-·- ;«
:/(2,53) =0,019894.
О,?
< 0,03. Далее,
,_ /(2,53) _ ,С
с2-2'53~7^5зу-2'53-і
0,019894...
0,83741...
= 2,53 — 0,02375.
возьмём х2~2,53 — 0,0237 = 2,5063. Оценим,
по неравенству (6), погрешность:
/(2,5063) = 0,000096....,
.4-ί< 2=2°°^< 0,0002.
т. е. 2,5061 < ι < 2,5063. В таком случае имеем,
с уже требуемой точностью,
ί = 2,5062 ± ο,ΐϋοι.
[На деле 2,5062 является избыточным
приближённым значением для ί, ибо/ (2,5062)> 0.]
3) Вернёмся к уравнению
2* = 4.г,
о котором уже была речь в 80. Мы видели
там, что между 0 и 0,5 заключён корень этого Черт 83
уравнения. Это обстоятельство также легко
было .бы заметить с помощью графиков функц-ий у =2* и
_ѵ=1г; на чёрт. 83 ясно видно, что эти кривые, кроме точки
с абсциссой 4, пересекаются ещё в некоторой точке с абсциссой ;
между 0 и 0,5. Предложим себе вычислить этот корень с
точностью до 0,00001.
Имеем, для 0^.tr^0,5,
f(x) = 2x — 4x, /'(*) = 2*· log 2 —4 < 0, f" (дг)==>.Iо£2 2.> О
(случай И). Здесь т = 4 — V"2 log 2 > 3, Λί= K""2log22 < 0,7,
Μ
τ—< 0,12. Так как /(0) = 1 имеет одинаковый знак ζ f" (χ), то
начинаем с й=0. В силу (6), погрешность этого приближённого

374
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[146
значения <-^-, а тогда, в силу (11), можно наперед оценить по-
о
грешность:
?-лгі<0,12. і<0,014.
Поэтому вычисленное по формуле (8*) значение
Хг= ~log2-4 = 3,306852...=0'30-··
округляем на втором знаке: хг =0,30. Пользуясь значением
/ (0,30) = 0,031144..., по неравенству (6), точнее оцениваем
погрешность:
, , ,0,031144... ,п~.,
5 — хг< - J < 0,011,
а тогда, по (11),
і-х'2< 0,12-0,000121 < 0,000015,
так что мы приближаемся к требуемой точности. Следующее
приближение:
» пчп 0,031144... ΛΟΛ | 0,031144;.. n ,nQftQ,
*ί= °'3°-0,8533643...-4 = °'30 +37І46635б777 = °'309897-' ·
округляем на пятом знаке «в сторону корня»: дг^ = 0,30990. Так
пак/(0,30990) = 0,000021...> 0, то это значение всё же меньше
корня. Погрешность же его, в силу (6), на деле оказывается
е ι . 0,000022 ^ Λ ηηΛΛ1
с — х2 < 5 < 0,00001,
так что, окончательно,
5 = 0,309904 0,0(5001.
4) Уравнение
имеет бесчисленное множество корней. Это можно сразу
усмотреть из черт. 84 —по бесчисленному множеству точек
пересечения графика тангенса у = tg χ с прямой у = х. Предложим себе
вычислить наименьший положительный корень этого
уравнения, который содержится между — и ~.
Так как придг = -^ тангенс обращается в бесконечность, то
предложенное уравнение удобнее представить в виде
/ (х) = sin χ—χ ■ cos χ = 0.

f46) § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 375
Имеем:
f (x)-x-slnx <0, т > 2,7; /» (х) — sin дг + * ·cos ·* < °
(случай IV).
Начинаем с ί =
Зя
ι Зк
3π
:4,7123889...; получим
= 4,7123889... - 0,2122066·...
Здесь мы сталкиваемся со следующим обстоятельством: в
таблицах тригонометрических величин (и их логарифмов) углы
указываются в градусах, минутах и секундах; поэтому округление
поправки 0,2122066... нам
удобнее делать именно в этих
единицах. Мы возьмбм 12°10', что
отвечает несколько большему
числу 0,21223484... (округление
«в сторону корня»), так что
х\ = 4,5000406... (257°50').
. Далее,
/(х'і) = — cos 12° 10' +
+ 4,5000406...· sin 12ο10' =
== — 0,0291274...,
f{x[)~~ 4,398962...;
4-ξ<^<0,0.2. Черт84
Продолжаем:
χ'2= 4,5000406... — -4°з98962" =4'5000406· · · ~ 0,0066214.
округляем поправку до 0,0066177... (22'45") и берем
: 4,4934229... (257°27'15").
Так как / (лг2) =
Таким образом
-0,000059..., то
0,00006
*,~ξ<·
2,7
< 0,0000223.
4,4934006... < ξ < 4,4934229
и можно положить
: 4,4934+о.ооэоз.

376
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(148
5) Сила метода Ньютона особенно проявляется, когда
промежуток, содержащий корень, достаточно сужен. Вычислим в
заключение с большой точностью, скажем, до ■—g , корень
уравнения х3 — 2.г — 5 = 0, исходя из промежутка (2; 2,1), в котором
он содержится.
Здесь:
f{x) = x* — '>x — 5, /(2) —_1<0, / (2,1) = 0,061 > О,
/' (х) = Зх- — 2 > 0, f"(x) = (x>0 (при 2 г£* «Ξ 2,1)
(случай I). Легко подсчитать, что т = 10, М< 12,6, так что
£-<0,63.
Начинаем с * = 2,1. По формуле (6): Ь— ;·< ~- =0,0-0<51.
Теперь, пользуясь неравенством (11), мы заранее подсчитаем, какой
точности можно ж д а τ ь от хг:
х[— ; < 0,63·0,00612 < 0,0000J4.
Поэтому число
х\ - о ι _ П?Л = о 1 _ °!°Ё1 - ,і_о 00543
■*1 ,ι /'(2,1) 11,23 лииичо...
округляем «в сторону корня» на пятом знаке: хг =2,1 — 0,00514 =
= 2j09456. Так как }[x\) — f (2,09456) = 0,000095078690816, то
теперь, по формуле (6), можно точнее оценить погрешность:
,;-;<°ag^< 0,00001.
Переходя к х., и снова прибегнув к (II), подсчитаем пане 2д:
х'.2 — I < 0,63 · 0,000012 = 0,000000000063.
Поэтому число
^=2,09456-0^Sgg16 = 2,09456 - 0,0000085,8416....
округлённое на одиннадцатом знаке: х'2 = 2,09456- Ο,Ο00ΰΟ8Ή8Η =
= 2,09455148159, всё же отличается от искомого корня меньше, чем
на 0,00000000007. Итак,
2,09455148152 < ς < 2,094551481.59,
т.е. ξ = 2,0945514815 f щ,.

148] § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 377
147. Комбинированный метод. Этот метод состоит в
одновременном использовании как метода касательных, так и
метода хорд.
Для определённости предположим, что мы имеем дело со
случаем I. Приближённые значения х± и хх вычисляем, как. и выше,
пользуясь формулами (2) и (8):
= а- (*-а)-/(Д) ,-' -и /(b).
тогда, по доказанному,
Xl~a flb)-f(a) ' Х^-1 f'(b)·
a<x1<i<x1<b.
При следующем же шаге мы попросту заменяем в этих
формулах а и Ъ через хх и хх:
_ (*ί—*0 ·/(■*!) ,_ , f{*'i)
X-2 — Χι — —γ" , Хп — Χ л — : »
f(x[)-f(*i) Γ(*[)
Этот процесс может быть продолжен неопределённо; имея два·
приближённых значения хп и х'п, между которыми содержится
корень ζ, мы переходим к следующей паре приближённых
значений по формулам:
(*'η-χη)-ί(χη) J _ . , __ / (χ'η)
/(*„)-/(·*,.) -1"' " f'(xa)
Вторая из них тождественна с (10); первая же существенно
отлича_ется от (5) тем, что точка b заменяется здесь
точкой хп, всё более и более близкой к ξ. Из доказанного в 14І
непосредственно -вытекает, что это обстоятельство способствует
лишь более быстрому, приближению хп к искомому корню!
Таким образом, "при комбинированном методе мы получаем
одновременно недостаточные и избыточные приближённые
значения корня, которые стремятся к нему с разных сторон. В
случаях I и IV хп стремится к ξ слева, а хп—справа; в случаях же 1!
и III, очевидно, будет наоборот. Величина | хп—хп \
непосредственно позволяет судить'о качестве достигнутого
приближения — в этом удобство комбинированного метода.
Применение его осветим примерами.
148. Примеры и упражнения. Здесь предполагается
пользование лишь комбинированным методом.
I) Начти три вещественных корня уравнения
/ (.г) — 2х"· - л-2 - 7х 4- 5 = 0
с точностью до 0,001.

378
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(148
Грубый график функции y=.f(x) помогает найти нромежутки,
в которых содержатся эти корни:
-2<5і<-1, 0<Ц<1, 1<5з<2;
проверить это легко по изменению знака функции.
(а) В промежутке [—2, —1]
/'(*) = fa? _ 2л: - 7 > 0, /" (х) = 12* - 2 < О
(случай III). Так как /(— 2) = —1<0, /(—1) = 9>0, то правило
Ньютона надлежит применять к левым концам промежутков.
Имеем: /'(—2) = 21 и
*і = -2—=р = -1,952..., д^-1-g-i-f^ -1,9.
Округляя значение χλ в сторону уменьшения, получим ч«сло
—1,96 < £j. Если же округлить его в сторону увеличения, т.е.
в сторону корня, то получим число —1,95; но /(—1,95) =
= 0,01775 > 0, т.е. в этом случае мы перескочили через корень.
Это обстоятельство выгодно для нас, ибо даёт возможность
сузить промежуток, содержащий корень, и, отбросив прежнее
значение Хц ПОЛОЖИТЬ
лг( = _1,96, *i = -l,95.
Далее, имеем:
/ (-1,96) = -0,180672, /' (- 1,96) = 19,9696,
х2= —1,96 + ^^^11= -1,96+0,00904.. .= -1,95095...,
- I05 0.01-0,01775 _ _
*а-1,95 0,01775 + 0,180672 - ~ ].^-0,00089
= -1,95089...
Поскольку ?! должно быть заключено между этими границами, то
ясно, что
?! = —1,9509 ±о,оооі
(так что требуемая точность превзойдена!).
(б) В промежутке [0, 1] первая производная /' (х) сохраняет
знак минус, но вторая производная f (х) меняет знак, обращаясь
в нуль в точке χ = γ-^ Это обстоятельство заставляет
предварительно ещё сузить промежуток. Испытывая значение л: = 0,5,
получаем: /(0,5) = 1,5> 0; так как /(1) = — 1 < 0, то Е2
содержится внутри промежутка [0,5, 1], где f"(x) сохраняет знак плюс
(случай II). И здесь правило Ньютона применяем клевым
концам. Имеем:
х[ = 0,5 +1'~ = 0,7307 = 0,74, χ, -^ 1 -?-'? — 0,1
0,5 2,о
80.

148) § 4. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 379
Округление х1 в сторону корня не привело к
перескакиванию через корень, ибо / (0,74) = 0,082848 > 0. Наконец,
, „_. , 0,082848 л„„
^ = °>74 + -5Д94Т=0·755····
^=°-80-ода=0·756···'
так что 0,755. ..< ?2< 0,756..., и можно положить
ξ2 = 0,756 ±о.осп.
(в) В промежутке [1, 2] вторая производная сохраняет знак
плюс, но первая производная меняет знак, обращаясь в 0 при
6
Испытываем 1,5: /(1,5) = —1, в то время как /(2) = 3, так
что 1,5<?з<2; /' (лт) в этом промежутке имеет знак плюс
(случай I), Имеем:
!,5+1-1,6, д.'=2-4 = 1.7;
8 ' ' ~і —- 13-
через корень и здесь не перескочили, ибо/(1,7) = 0,036. Наконец,
*,= l,6+^gJ=l,6 + 0,094...= 1,694...,
х'2= 1,7 —^ = 1,7-0,005... = 1,694...,
так что и $3=1,694+0,001.
Замечание. Так как сумма корней, по известной теореме
алгебры, должна равняться 0,5, то этим можно воспользоваться
для проверки.
2) Уравнение
/ (χ) = χ* — Зл:2 + 75* - 10000 = 0
имеет два вещественных корня: один между —11 и —10, а
другой—между 9 и 10. Вычислить их с точностью до 0,00001.
(а) В промежутке [—11, —10]
/' (х) = 4*3 — 6х+75 < 0, /" (*) = 12*2 _ б > 0
(случай II). Получаем:
х[ = -И + gr! = -10,33... = -10,3,
Xl= -10 -^ = -10,23. ..= -10,2;

380
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[148
в первом случае мы округлили в сторону корня, но через него
не перескочили! Далее,
4 = -1М + 5!^ = -Н>,262.
: —10,2 ■
4234,108"
25,27984
:-10,262,
:-10,260...= -10,260
417,1165"
(то же замечание). Наконец,
' ιλο™ ι 4,334569118736 .„..„ , п пп.м- ,.
■г3-= - Ю.ЗД2Ч- 4186>1372189I2 = -10,262-h0,00103o4..
jc3 = — 10,260
0,00807038048
' 8,369759358736
:—Г0.260Э645...,
j = —10,260 — 0,0009642... —
: —10,2609642.
так что
<! —-10,260954-
υ,οοοοη
jfS/nx
Черт. 85.
*ί== 9,87 +1J89658878
(даже с большей
точностью, чем требовалось),
(б) В промежутке
[9,10] /'<*)> 0 и/"(л-)>
> 0 (случай 1).
Здесь:
о , 3007 п
^ = 9+34Г7==9 +
-{-0,869... =9,87 (в
сторону корня!),
ѵ' —10 —— — 1(1
-Vl-U 4оТВ~10~
-0,112... =9,89;
77,4689008
J-пчо 15.52060641 _
х2 — *·'- 3885,106676"
так что, очевидно,
= 9,87-f0,0I599..
9,89-0,003993..
. = 9,88599...,
= 9,886006...,
;3 = 9,88600* 0..С0301.
3) Рассмотрим уравнение
/ (.*■) = χ · sin χ — 0,5 = 0.
Построив графики функций у-—гтх и у-
0,5
(черт. 85),
видим, что они пересекаются в бесчисленном множестве точек, так
что наше уравнение имеет бесчисленное. множество корне"). По
графику видно также, что наименьший положительный корень с

148] § 4. приближённое решение уравнений 381
близок к 0,7; поставим себе задачей вычислить его с точностью
до 0,000001. [Здесь следует иметь в виду замечание об
округлении в долях градуса, которое было сделано по поводу задачи 4)
в п° 146.]
Подставляя в функцию / {х) значения
а = 0,6Э8I317... (40°) н Ъ = 0J3539S2... (45°),
получаем в первом случае отрицательный результат, а во
втором—положительный, значит, а<Е<6. Обе производные {'(х),
f" (χ) в этом промежутке имеют знак плюс (случай 1).
Схема вычислений:
хх = 0,6981317.. .+0,0419512...,
х[ = 0,7853982...— 0,0438510...;
первую поправку «округляем» до 0,0418879... (2°24'), а вторую —
до 0,0439231... (2°31'), так что окончательно
дгі = 0,7400196... (42°24'), х[ =0,7414741... (42°29').
Далее,
дг2 = 0,7400196... + 0,0008211... = 0,7408407...,
х'2 — 0,7414741... — 0,0006329... = 0,7498412...,
откуда и получаем с требуемой точностью:
ζ = 0,740841="= O.OTOD005.
4) В заключение вернёмся к уравнению
/ (х) — х* — χ — 1 = 0.
Мы видели в 80, что оно имеет корень ζ между а = 1,22 и Ь = 1,23.
Установить, какую точность в определении этого корня даёт всего
лишь двукратное применение комбинированного метода.
Схема вычислений (случай I):
г _і у» - 0.0000466544 -=-109(17
*і-1,22+ 0 06353115 -1·220'3 I'2207'
х! = 1,23-ШЖ = 1,22086...= 1,2209;
Ь,44о4о5
χ - 1 22П7 | 0,00000005533760598398 _
xt - 1,2207 + 0)001255538012096 -1—υ'4«"···.
_ 0,0009788499821761
ІМ0Э 6І7947858ІЗІ6^ '
ξ = 1,2207441=- о,ооэээоі.
χ2— 1,2209 6,279478581316
Таким образом,

ГЛАВА ПЯТАЯ.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§ 1. Основные понятия.
149. Функциональная зависимость между
переменными. Примеры. До сих пор мы изучали совместное изменение
двух переменных, из которых одна зависела от другой:
значением независимой переменной уже вполне
определялось значение з а в и с и м о й переменной или функции.
β науке и в жизни нередки, однако, случаи, когда
независимых переменных оказывается несколько, и для
определения значения функции необходимо предварительно
установить значения, совместно принимаемые всеми этими
независимыми переменными.
1) Так, например, объём V кругового цилиндра есть
функция от радиуса R его основания и от высоты Я;
зависимость между этими переменными выражается формулой
V=nR2H,
которая даёт возможность, зная значения независимых
переменных R и Н, установить соответствующее
значение V.
Объём V усечённого конуса, очевидно, является функцией
от трёх независимых переменных—радиусов R и г обоих
его оснований и высоты Н, по формуле
V=~(R* + Rr + n).
2) По закону Ома, напряжение V в цепи электрического
тока связано с сопротивлением R цепи и с силой тока /
зависимостью V=R/. Если V и R считать данными, то отсюда
определится / как функция от V и R:

I5ѲІ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
383
3) Пусть температура массы газа, находящегося под
поршнем цилиндра, не постоянна; тогда объём ν и
давление ρ этой массы газа связаны с ее" (абсолютной)
температурой Т, так называемой, формулой Клапейрона:
pv = RT (# = const.).
Отсюда, считая, например, ν и Τ независимыми
переменными, функцию ρ можно выразить через них так:
4) Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, часто
приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке.
Таковы: плотность, температура, электрический потенциал и
т. и. Все эти величины суть «функции точки» или, если
угодно, функции от координат х, у, ζ точки. Если
физическое состояние тела меняется во времени, то к этим
независимым переменным присоединяется ещё и время, t. В этом
случае мы имеем дело с функциями от четырёх
независимых переменных.
Число подобных примеров читатель и сам может
произвольно .увеличить.
Уточнение понятия функции в случае нескольких
независимых переменных начнём с простейшего случая, когда этих
переменных две.
150. Функции двух переменных и области их
определения. Говоря об изменении двух независимых переменных
χ и у, мы должны всякий раз указывать, какие пары
значений (х, у) они могут принимать совместно;
множество о41 этих пар и будет областью изменения
переменных х, у.
Самое определение понятия функции даётся в тех же
выражениях, что и для случая одной независимой переменной:
Переменная ζ (с областью изменения %) называется
функцией независимых переменных х, у в
множестве о/Я, если каждой паре (х, у) их значений из <Л —
по некоторому правилу или закону — ставится в
соответствие одно определённое значение ζ (из Л).
Здесь имеется в виду однозначная функция; легко
распространить это определение и на случай
многозначной функции.

38-1- гл. ѵ. функции нескольких переменных (150
Множество (Ж, о котором выше шла речь, и есть
область определения функции. Сами переменные х,у —
по отношению к их функции ζ—называются её
аргументам и. Функциональная зависимость между ζ и х, у
обозначается, аналогично, случаю одной независимой переменной,
так:
■*=/(*, У), ζ=γ(χ, у), ζ = ζ{χ, у) и т. п.
Если пара (ле0, у0) взята из оЛ, то f(x0, ya) означает то
частное (числовое) значение функции f(x, у), которое
она принимает, когда х = х0, у=у0.
Приведём несколько примеров функций, заданных
аналитически—формулами, с указанием их областей определения.
Фоомѵлы:
1) z = xy и 2) гс=^4Я
определяют функции для всех пар (х, у) без исключения.
Формулы:
3) z = f 1-х*-у», 4) z = —= 1
Ѵ'1 -х*-У*
годятся (если мы хотим иметь дело с конечными вещественными
значениями ζ) лишь для тех пар (х, у), которые удовлетворяют,
соответственно, неравенству
дг2-(-Я^I или *5 4-.у2<1.
Формулой:
5) 2 —arcsin- r-arcsinl-
функция определена для тех значений χ и у, которые порознь
удовлетворяют неравенствам
— а ^ χ ^ а, — Ъ ^у s^b.
Во всех этих случаях мы указывали наиболее широкую —
естественную [46, 2°] — обла'сть применения формулы.
Рассмотрим теперь такой пример.
6) Пусть стороны треугольника произвольно изменяются, с тем;
лишь ограничением, что периметр его сохраняет постоянную
величину 2р. Если две стороны его обозначить через χ и у, то
третья сторона будет 2р — х— у, так что треугольник вполне
•определяется сторонами χ и у. Как зависит от них площадь ζ
треугольника?
По формуле Гер о на эта площадь выразится так:
Ζ = Υ ρ (p — x)(p-y)(x-Jry — ρ) .
Что же касается области определения^ этой функции,
то она обусловливается, на этот раз, тем конкретным вопросом,

150]
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
385
который привёл к рассмотрению функции. Так как длина каждой
стороны треугольника есть положительное число, меньшее
полупериметра, то должны выполняться неравенства
0<л-<л 0<У<р, х-\-у>р;
они и характеризуют область а# *.
Таким образом, в то время как для функции одной
переменной стандартной 'областью изменения аргумента являлся
(конечный или бесконечный) промежуток, в случае
функции двух переменных мы уже сталкиваемся с большим
разнообразием и сложностью возможных (и естественных)
областей изменения аргументов.
Черт. 86. Черт. 87. Черт. 88.
Рассмотрение этих областей значительно облегчается их
геометрической интерпретацией. Если взять на плоскости две
взаимно перпендикулярные оси и обычным образом
откладывать на них значения хну, то, как известно, каждой
парой (х, у) однозначно определяется точка на плоскости,
имеющая эти значения своими координатами, и обратно.
Тогда для характеристики тех пар (х, у), для которых
определена функция, проще всего указать, какая фигура на
плоскости ху заполняется соответствующими точками.
Так, говорят, что функции I) и 2) определены во всей
плоскости, функции 3) и 4) — в круге, соответственно,
замкнутом (т. е. включающем окружность) или открытом (без
окружности) (черт. 8.6); функция 5) определена в прямоугольнике
(черт. 87); наконец, функция 6) рассматривается в открытом
треугольнике (черт. 8S).
Эта геометрическая интерпретация настолько удобна, что
обычно самые пары чисел (х, у) называют «точками», а мно-
* Несмотря на то, что полученная формула сама по себе
сохраняет смысл и в более широкой области, например, для х~>р
π У > Р-
25 Г. М. Фихтекгольц

386 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ {150
жество таких «точек»,, отвечающее тем или иным
геометрическим образам, называют по имени этих образов. Так,
множество «точек» или пар (х, у), для которых выполняются
неравенства
a^xz^b, c^-y^d,
есть «прямоугольник», измерения которого равны b — а и
d—с; его будем обозначать символом [а, Ь; с, d\, сходным
Черт. 89.
с обозначением промежутка. Множество «точек» или пар
(х, у), удовлетворяющих неравенству
есть «круг» радиуса г, с центром в «точке» (а, $), и т. п.
Наподобие того, как функция y=f(x) геометрически
иллюстрировалась своим графиком [47], можно
геометрически истолковать и уравнение z=f(x, у). Возьмём в
пространстве прямоугольную систему координатных осей х, у, ζ;
изобразим на плоскости ху область α/Ά изменения
переменных χ и у, наконец, в каждой точке М(х, у) этой области
восставим перпендикуляр к плоскости ху и отложим на
нём значение z—f(x, у). Геометрическое место полученных

ISO]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
3β7
таким образом точек и явится своего рода
пространственным графиκ·ομ нашей функции. Это будет,
вообще говоря, некоторая поверхность; в свою очередь,
равенство z—f(x, у) называется г.,
уравнением
поверхности.
Для примера на черт. 89,
90 и 91 изображены
геометрические образы
функций:
z=YT
■f
■у\
Первый из них представляет
собой
гиперболический параболоид, вто- ерт'
рой — параболоидвращения, а третий— полусферу.
В заключение упомянем, что иногда приходится
рассматривать переменную хпип, значения которой занумерованы дву-
м я натуральными значками т и η (каждый из которых,
независимо от другого,
Ч
пробегает натуральный
ряд чисел). Такая
переменная представляет
собой, в некотором
смысле, обобщение в а-
р и а н τ ы хр. Можно
положить, например,
{т + пУ.
хм, η т\ ηι ''
1
Черт. 91.
x.„
' tn'< -f-ni T
(m-\- !)·«
zm.{n-\-'\)
и т. п.
По сути дела, значки т и η следует рассматривать
как
независимые переменные, а переменную хт п — как функцию
от них. Область изменения независимых переменных в данном
случае геометрически иллюстрируется своеобразной точечной
квадратной сеткой в первом координатном угле.
25*

388 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [|5|
151. Арифметическое n-мерное пространство. Переходя
к функциям от я независимых переменных (при я ^ 3), мы
сначала остановимся на системах совместных значений
этих переменных.
В случае я = 3 такая система из трёх чисел (х, у, ζ),
как ясно читателю, ещё может быть геометрически
истолкована как точка пространства, а множество таких
троек — как часть пространства или геометрическое тело.
Но пріі «/>3 возможности непосредственной геометрической
интерпретации уже нет, ввиду отсутствия у нас интуиции
пространства с числом измерений, большим трёх.
Тем не менее, желая распространить геометрические
методы (оказавшиеся плодотворными для функций двух и трёх
переменных) и на теорию функций большего числа
переменных, в анализе вводят понятие я-мерного «пространства» и
при я ^> 3.
Назовём (я-мерной) «точкой» систему из л
вещественных чисел: М{х1, х2, ..., хп) *; сами числа х,, хг, ..., хп
являются координатами этой «точки» М. Множество
всех мыслимых я-мерных «точек» составляет я-мерное
«пространство» (которое иногда называют
арифметическим).
Целесообразно ввести понятие «расстояния» ММ' между
двумя (я-мерными) «точками»
М(хѵ хг, ..., хп) и М'(х[, х'2, ...., х'п).
Подражая известной из аналитической геометрии формуле
полагают
Ш1'=ЛГМ== у 2 (х'е — х^ =
= ]/>; - х,Г + (х'2 - *2)2 +...+(<- *„)*; (1)
при я = 2 или 3 это «расстояние» совпадает с обычным
расстоянием между двумя соответственными геометрическими
точками.
* Имея дело с неопределённым числом переменных,
представляется удобным обозначать их не различными буквами, но
одной и той же буквой лишь с различными номерами. Таким
образом, Χι означает (вразрез с прежней практикой) не г-е значение
некоей переменной, а самоё г'-ю переменную, которая сама по себе
принимает различные значения.

151]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
389
Если взять ещё одну «точку»
М"{х'[, х'ѵ ..., х'л),
то, как можно доказать, для «расстояний» ММ', ΛΙ'Μ" н
ММ" выполняется неравенство
МЛГ й£ Ж/И' -j- MVM", {2\
напоминающее известную теорему геометрии: «сторона
треугольника не превосходит суммы двух других сторон».
Действительно, для любого набора вещественных чисел
в[, а.,, ..., ап и bv b.,, ,.., bn имеет, место неравенство
Если положить здесь
аі = х'.— х[, bi = x".~x'., так что аі-\-Ьі = х-. — х.
U = 1,2 я),
то получим
-[/J· (л-; - Хі)* ^ |/;| (*;. - Χιγ + -j/^ (л-;: - ^,
что равносильно (2). Таким образом, это существенное
свойство расстояния оказывается налицо и в нашем
«пространстве».
* Если возвести обе части его в квадрат и опустить в обеих,
частях равные члены, то это неравенство сведётся к нзвестно.иу
неравенству Шварца:
,1, ·*«/!/?· /J,*'-
Покажем попутно, как это последнее может быть установлено·
элементарно. Квадратный трёхчлен
л η η η
2 (αΓ*-τΛ·)3= Σ β?·**-!-2 2 йЛ-x-f- 2J *?
<" = 1 ;' = 1 ί = 1 ί=1
не принимает отрицательных значений. В таком случае он не
может иметь различных вещественных корней, и его дискриминант,
неотрицателен:
/ = 1 'ί = 1 >i=rl '
что равносильно неравенству Шварца.

Э9в ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [151
В л-мерном «пространстве» можно рассматривать и
непрерывные «кривые». Известно [105], что уравнения
*=<р(<), ..у=ф(<),
где <f{t) и ψ(ί) суть функции от параметра ί,
непрерывные в некотором промежутке [/', f], — выражают на
плоскости непрерывную кривую. Аналогично, но лишь с помощью
трёх непрерывных функций:
выражается непрерывная кривая в (обыкновенном)
пространстве. Подражая этому, рассмотрим теперь я непрерывных
функций от t
*,==¥,(0, *2=<р2(/), ..·, *«=»„(') (*'<*«·).
Тогда множество «точек»
(«PiW, <р,Ю, ..., φ„(0),
получаемых при различных значениях параметра і, и
составляет непрерывную «кривую» в л-мерном «пространстве?.
Положив
x\=^(f), .... <=9,;Ю; <=<р,Ю, .... *; = *.,(·■■"),
можно сказать, что эта «кривая» соединяет «точки»
М'{х[, .... <) и Af(*J, ..., х"п).
В том случае, когда все функции φπ ..., φ.,
оказываются линейными, «кривая» переходит в «прямую*:
*і = аі* + Рі ** = «*< +fo
здесь коэффициенты а,, ..., а,( предполагаются
необращающимися зараз в 0, a it изменяется от — оо до -\- оо. Будем
считать «точки» её следующими одна за другой в порядке
возрастания параметра; если ?<^t<^f, то из
соответствующих сточек» /И', М, М" именно «точка» Μ лежит между
двумя другими, так как следует за М' и предшествует М".
При этих условиях, как легко показать, расстояния между
ними удовлетворяют соотношению:
мм"=Шёл -}- мм',

152]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
391
что является характерным для прямой в обычном пространстве.
Уравнения «прямой», проходящей через две заданные
«точки»
Λί'(*;, ..., *'„) и М".(х'[, ..., х"п),
очевипно, могут быть написаны в виде:
(-СО <*<+«>),
причём сами «точки» /И' и М" получаются отсюда при ί = 0
и 1. Если же изменять t от 0 до 1, то получится
«прямолинейный отрезок», соединяющий эти «точки».
«Кривая», состоящая из конечного числа «прямолинейных
отрезков», называется «ломаной».
152. Примеры областей в «-мерном -пространстве.
Обратимся теперь к рассмотрению некоторых примеров стел»
или «областей» в я-мермом «пространстве».
1) Множество «точек» М{хх, х%, ..., х..}, координаты
которых независимо одна от другой удовлетворяют
неравенствам
at =s£ хг *£= £>!, q2 ^ λ"2 ^ ί>„, .. ., α., =si хи sg Ьп,
называется (я-мгрным) «прямоугольным параллелепипедом» и
обозначается так:
[а., й,; о,, Ь2; ...; ая, *„].
При /г = 2 отсюда, в частности, получается тот
«прямоугольник», о котором уже была речь в п° 150; трёхмерному
«параллелепипеду» отзечает в пространстве обыкновенный
прямоугольный параллелепипед.
Если в написанных соотношениях исключить равенство:
βι<*ι<Α> a202<A> ··■- an<xn<bm
то этим определится открытый «прямоугольный
параллелепипед»:
(а,, Ьх; а2, Ь^ ...; ая, Ьг),
в отличие от которого рассмотренный выше называется

392
ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[152
замкнутым*. Разности &, — аг, Ь^ — а„, ..., Ьп—аа
называют измерениями обоих параллелепипедов, а точку
ι 2 ' 2 ' '''' 2 J
— их ц ε н τ ρ ο μ.
Окрестностью «точки» Μ° {χ\, χ%, ..., χηπ)
называется любой открытый «параллелепипед»:
(χ?-*,, *°-К; х\-Ъ, *°2+за; ···; 4-г«. χ0η+*η) (3.)
(ір δ,., ..., 5Я^>0) с центром в точке Λί°; чаще всего это
будет «куб»:
(х>-о, 4-И; х\~Ь, *°+* ...; χ'ί-ϊ, *°-f δ)
(δ^>0), все измерения которого равны (='25).
2) Рассмотрим множество «точек» Λί(χι, х„, ..., х.п)
координаты которых удовлетворяют неравенствам
х^О, *3Ξ3*0, .... хп^0, jfj+Xg+.-.+^^A (А>0).
При η = 2 соответствующим этому множеству
геометрическим образом будет равнобедренный прямоугольный
треугольник, а при я = 3— тетраэдр (черт. 92). В общем случае его
.называют симплексом** (именно — замкнутым, в
отличие от о τ κ ρ ыто го, который получится, если в
написанных соотношениях исключить· равенство).
3) Наконец, множестзо «точек» М(хх, .ѵ2, ..., хп),
определяемое неравенством
(*1_*0)s + <.r3_j$«+-.... + (*/j_.*0)3</a (или </-'-·),
где А!0(х^, х%, ..., хап) есть постоянная «точка», а г —
постоянное положительное число, образует замкнутую (или
от крытую) л-мерную «сферу» радиуса г, с центром в «точ-
* Можно рассматривать также и бесконечный
«параллелепипед», для которого определяющие его промежутки (или
некоторые из них) оказываются бесконечными.
Говоря об л-мерном «параллелепипеде», если не сделано
оговорок, мы всегда будем иметь в виду конечный
«параллелепипед».
** По-латыни simplex означает «простой»: симплекс
представляет собой, действительно, простейшее многогранное «тело»,
снаименьшим возможным для данного пространства числом граней.

152]
§ -1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
393
ке» М0. Иными словами «сфера» есть множество «точек» Лі,
«расстояние» которых от некоторой постоянной «точки» ,'И,
не превосходит (или меньше) г. Само собой ясно, что это:·'!
«сфере» при η =2 отвечает круг [ср. 150], а при « = 3-
обыкновенная сфера.
Открытую «сферу» любого радиуса г^>0 с центром
в точке Ма(х°, .... , хап) можно также рассматривать как.
Черт. 92.
окрестность этой точки; в-отличие от той (.< параллеле-
пипедальной») окрестности, которую мы ввели раньше, эту
окрестность будем называть «сферической».
Полезно раз навсегда дать себе отчёт в том, что если
«точка» М0 окружена окрестностью одного из указанных
двух типов, то её можно окружить и окрестностью второго
типа так, чтобы.эта окрестность содержалась в первой.
Пусть сначала задан «параллелепипед» (3) с центром
в «точке» Λί0. Достаточно взять открытую «сферу» с тем
же центром и радиусом г, меньшим всех δ;· (і = 1, 2, ..., и),.
чтобы эта сфера уже содержалась в названном
«параллелепипеде». Действительно, для любой «точки» Μ(χν χ.,,
этой «сферы» будем иметь (при каждом /=1, 2,
п):
■Xй.
■Ѵк
(**
■*°)2 = ΛΙΛί0 </·<«,
*?-а,0/<*?+*/,
так что эта точка принадлежит заданному «параллелепипеду».

394 гл. ѵ. функции нескольких переменных [153
Обратно, если задана «сфера» радиуса г с центром в Λί0,
то «параллелепипед» (3) в ней содержится, например, при
3, =&,= ... =δ_ = -4=. Это следует из того, что любая
У η
«точка» М(хѵх2, ...,xit) этого «параллелепипеда» отстоит
от «точки» /И0 на «расстояние*
щ. = ι/ д (** - *$"- < і/ Д °і=г
и, следовательно, принадлежит заданной «сфере».
153. Общее определение открытой и замкнутой
области. Назовём «точку» ЛѴ (х'ѵ х'2, ..., χ')
внутренней «точкой» множества о$ (в я-мерном «пространстве»),
если ада принадлежит множеству ο/Ιί вместе с некоторой
достаточно малой её" окрестностью. Из утверждения,
доказанного в конце предыдущего п°, следует с очевидностью, что
безразлично, какого типа окрестности здесь иметь
в виду — «параллелепипедальные» или «сферические·».
Для открытого «прямоугольного параллелепипеда
{аѵ Ь{, ...; .ап, *„) (4)
каждая его «точка» является внутренней. Действительно, если
то легко найти такое δ]>0, чтобы было
«.Οί-δ<*і + 3<»,. ···■ β„«-δ<-< + δ<''...
Аналогично, в случае открытой «сферы;; радиуса г
с центром в «точке» Лі0, каждая принадлежащая ей «точка» АѴ
также является для неё внутренней. Если взять ρ так, что
0<р<>-Ш*й,
и описать вокруг /И' «сферу» этим радиусом р, то она
целиком будет содержаться в исходной «сфере?: лишь только
ММ' <р, тотчас же [151, (2)]
іШ^<М/И' + /И7И0<р4-ЛЩ,<>,
так что «точка» Μ принадлежит исходной «сфере».

I5S] § 1. основные понятия 395
Такое же заключение можно сделать и об открытом
симплексе:
*1>°. ···. хп>°> *ι + ··. + *«<Α (Α>0). (5)
Подобного рода множество, целиком состоящее из
внутренних «точек», будем называть открытой
«областью».
Таким образом, открытый «прямоугольный
параллелепипед», открытая «сфера», открытый симплекс — служат
примерами открытых «областей».
Обобщим теперь понятие точки сгущения [52] на случай
множества <Ж в я-мерном «пространстве». «Точка» Λί„
называется «точкой сгущения·» множества аМ, если
в каждой её окрестности (и снова — безразлично, какого
типа) содержится хоть одна * точка* множества с$,
отличная от Ма.
«Точки сгущения» для открытой «области», не
принадлежащие ей, называются погр аничными «точками» этой
«области». Пограничные «точки» в их совокупности образуют
«границу области». От/срытая «область» вместе с
«границей-» её называется замкнутой «областью·*.
Нетрудно видеть, что для открытого «параллелепипеда» (4)
повраничными будут «точки» Μ{χλ, ..., х„), для которых
причём хоть в одном случае имеет место именно равенство.
Точно так же, для рассмотренной ныше открытой
«сферы» пограничными будут «точки» М, для которых в точности
Щ = Л
Наконец, для открытого симплекса (5) пограничными
являются «точки» М(хг, ..., хп), удовлетворяющие
соотношениям:
j^SsO, ..., x„SsO, хг-\- ...-\-xn^h,
причём хоть однажды осуществляется равенство.
Таким образом, замкнутый «прямоугольный
параллелепипед», замкнутая «сфера» и замкнутый симплекс дают
призеры замкнутых «областей».
Впредь, говоря об «области», открытой или замкнутой,
мы всегда будем иметь а виду «область» в указанном здесь
специальном смысле.

396 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [I5S
Установим теперь, что замкнутой «области»
принадлежат уже все е'і ч.точкил> сгущения.
Пусть даны замкнутая, «рбласть» И) и «точка* М0 вне
её. Докажем, что тогда Мй не будет «точкой» сгущения
для Ш>.
Замкнутая «область» <&> получается из некоторой
открытой «области» ей путім присоединения к ней её «границы» β.
Очевидно, Ж0 не является «точкой» сгущения для 3);
следовательно, М" можно
окружить такой
открытой «сферой», чтобы
в ней вовсе не
содержалось «точек» из £ΰ.
Но тогда в ней не
может быть и «точек» из
£: ведь,. если бы
какая-нибудь «точка» М'
из $ в н£ё попала, то
в ней содержалась бы
целиком и некоторая
окрестность «точки»
/И', и в этой окреьт-
ности не было бы ни
Черт. 93. одной точки из 3),
вопреки определению
«границы». Итак, в упомянутой «сфере» нет «точек» из 3),
что и доказывает наше утверждение.
Вообще «точечное» множество а$, содержащее все свои
«точки» сгущения, называют замкнутым. Таким образом,
замкнутая «область» есть частный случай замкнутого
множества.
Введём ещё ряд терминов. Множество «точек.» а$
называется ограниченным, если оно целиком содержится
в некотором «прямоугольном, параллелепипеде».
«Область» называется связной, если любые её две
«точки» можно соединить «ломаной», лежащей всеми своими
«точками» в «области». На черт. 93 представлено для
иллюстрации несколько связных областей на плоскости.
Ограниченная и связная «область» в л-мерноы
«пространстве» (открытая или замкнутая) есть, в некотором смысле,

154]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
397
аналог конечного промежутка (соответственно, открытого
или замкнутого). Читатель видит, однако, насколько
усложняется картина при переходе к я-мерным (при η 5з 2)
образам. Простым и однотипным промежуткам, границей которых
служат всего лишь две точки, здесь противопоставляется
огромное многообразие «областей» со сложными
«границами».
Всё изложенное в последних пп° можно рассматривать
как установление лишь некоего геометрического
языка; с этим не связано (при я^>3) никаких реальных
геометрических представлений. Однако полезно подчеркнуть,
что на деле «-мерное (арифметическое) пространство является
лишь первым шагом к тем в высшей степени плодотворным
о б о б щ е ни я м понятия пространства, которые лежат в
основе многих более высоких частей современного анализа*.
154. Функции я переменных. Пусть имеем я
переменных хѵ хѵ ..., хЛ, совместные значения которых могут
выбираться произвольно из некоторого'множества aS точек
«-мерного пространства: эти переменные называются кезавн-
с и м ы м и. Определение функции и всё сказанное по поводу
него для" случая двух независимых переменных [150]
непосредственно переносится и на рассматриваемый случай, так
что нет надобности на этом останавливаться.
Если точку {хѵ хѵ ..., хп) обозначить через М, то
функцию u—f(xv xv ...,xn) от этих переменных иногда
называют функцией точки Μ и обозначают тем же знаком:
и=/{М).
Предположим теперь, чхо в некотором множестве 5s точек
/«-мерного пространства (где т не связано с п) заданы я
функций от т переменных tx, tv ..., tm:
λΊ = Ψι (*1. 'ϊ. ■ · ·. *«)> · · · · Χη = 'Λ: .&· *2. · · · > U (5)
или, короче,
χ1 = ψι(Ρ), ..., *β = φβ.(Ρ), (5а)
где Ρ означает точку (tv t2, ..., tm) /«-мерного пространства.
Допустим, сверх того, что, когда точка P{tv t2, ..., tm) нзме-
* Мы помещали в кавычках все геометрические термины,
которые употреблялись в смысле, отличном от обычного: «точка»,
«расстояние», «область», и т. п. Впредь мы этого делать уже не
будем.

398 гл. ѵ. функции нескольких переменных {154
няется в пределах множества 53, соответствующая ей л-ыер-
ная точка М, с координатами (5) [или (5а)], не выходит
за пределы /г-мерного множества <Ж, где определена функция
а=/(*р хѵ ...,x„)=f(M).
Тогда переменную и можно рассматривать как
сложную функцию от независимых переменных tit i2l ..., tm
(в множестве Ρ) — "через посредство переменных хѵ. . .
..., ха.
a —f (φι {tv t2, . .., tm), .. ., ψη {tu Іг, . . ., tm));
и является функцией от функций fu ..., «ft, [Ср. 51.]
Самый процесс определения сложной функции по
функциям <pj, ..., φ„ и функции / называется (как в простейшем
случае функций одной переменной) — суперпозицией.
Класс функций нескольких переменных, с которыми
непосредственно приходится иметь дело на первых порах, очень
невелик. По существу, он строится, с шжощыо
суперпозиций, на элементарных функциях одной переменной [48, 50]
и на следующих функциях двух переменных:
ζ = χΑζγ, г = ху, г — — и г = .ѵ-ѵ,
— т. е. на четырёх арифметически?: операциях и на, так
называемой, степенно-показательной функции.
Арифметические операции, повторно применённые, исходя
из независимых переменных хи х2, ..., хп и постоянных,
приводят прежде всего к целым полиномам:
Р(хь х,, ...,*„) = 2 с,іЛ ν.*ϊ'*?· · ·*?*
(целая рациональная функция) и к частным двух
таких полиномов:
у μ,, wj, .. ., ж J —= —,
(дробная рациональная функция).
* Мы знаем, что знак 2 означает сумму однотипных слагаемых.
Здесь мы имеем более сложный случай, когда слагаемые зависят
от нескольких значков.

|5Sl § 1. основные понятия 399
Привлечение элементарных функций одной переменной
приводит к таким, например, функциям:
φ (л:, уу ζ, t) = s,inxy-\-sin yz-\-sin zt-\-s\ti'tx,
и т. п.
Те замечания, которые были сделаны в п° 46 по поводу
аналитического задания функций одной переменной, могут
быть повторены и здесь.
155. Предел функции нескольких переменных.
Предположим, что функция f(xu ..., хп) определена в некотором
точечном множестве е$, допускающем точку сгущения
М0{аѵ а2, ...,а,).
Аналогично определению предела функции от одной
переменной, говорят, что функция f (χγ, ..., χ.) имеет
пределом число А при стремлении переменных хIЛ...
..., хп, соответственно, к а1 а, если для
каждого числа ε ^> 0 найдётся такое число о ^> 0, что
|/(Х„ ...,*„)—Л |< 8,
лишь только
l-Kj—βιΚ*. ·.·. |λ';; —с„|<ё.
При этом точка (хѵ .... хп) предполагается взятой из <М
и отличной от (£j, ...,an). Итак, неравенство для функции
должно выполняться во всех точках множества <Л, лежащих
в достаточно малой окрестности
<аг — δ, ах-\-Ь\ ...; ап—-δ, α„ + δ)
точки Λί0, но исключая саму эту точку (если она
принадлежит aS).
Обозначают предел функции так:
A=\im f(xv ..., xj. (6)
ХП-+СІП
В геометрических терминах, вводя для точек {хѵ ..., хп)
и (аѵ ...,ап) обозначения Μ и Мй, можно было бы
перефразировать приведённое определение так: число А
называется пределом функции / (М) при стремлена и

400 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [155
точки Μ к Ма (или—в точке Ма), если для каждого
числа £^>0 существует такое число г~^>0, что
|/(Μ)-Λ|<ε,
лишь только расстояние МйМ <^ г.
Как и выше, точка Μ предполагается взятой из оЛ, но
отличной от Λί0. Таким образом, неравенство для функции
должно выполняться во всех точках множества s#, лежащих
в достаточно малой сферической окрестности точки Лі0,
за исключением самой этой точки.
Обозначение предела функции также можно приспособить
к этому определению:
А = lim / (Μ). (6*)
м-*ма
Из замечания п° 152 об окрестностях разных типов
непосредственно ясна равносильность обоих приведённых
определений.
Аналогично устанавливается понятие о бесконечном
пределе функции. В случае А = оо, -|-ос или —ос,
неравенство
|/(*, *в)_Л|<е
лишь заменяется, соответственно, неравенством вида
|/(*і. ···.*„) |>Е, /(«ρ ...,дсп)>Е
или
/(•*і> ···.*„)< —Е,
где Ε есть произвольное наперёд взятое положительное
число.
Упомянем в заключение о случае, когда некоторые из
независимых переменных хѵ ..., χ стремятся к
бесконечным пределам.
Можно было бы распространить понятие точки
сгущения М0(аѵ ...,ап) области а$ и на тот случай, когда все
координаты этой точки (или некоторые из них) бесконечны*.
Например, точка (-(-со, ...,-j-oc) является для о$
точкой сгущения, если в этой области найдутся точки со
сколь угодно большими (положительными) координатами.
* В этом случае точка MQ называется несобственной.

156] § 1. основные понятия 401
В этом предположении, говорят, что функцияf{xv ..., хл)
имеет пределом число А при стремлении всех
переменных хѵ х2, .. ., хп к —j-°°> если для каждого числа ε^>0
существует такое число Δ^>0, что
У{хѵ х2, ..., χ,) — Λ]<ε>
лишь только
Xj>A, χ2>Δ, ..., *;!>Δ.
В обозначениях:
А= lim f(xv ...,xa).
■*n-H-°=
В частности, возвращаясь к переменной хт<п, о которой
была речь в конце п° 150, говорят, что эта переменная
при безграничном возрастании обоих номеров тип имеет
пределом А, если для каждого s^>0 найдётся такой
номер N, что
\хт,п — Д|<Се пРи т>М п^> N.
Записывают это так;
А= lira хт,п или просто А = 1ітл:т, п.
т-*-\-оо
п->4-°°
Легко понять, как трактуется случай, когда А — оо
(-foo, —оо).
156. Сведение к случаю варианты. Рассмотрим в
«-мерном пространстве последовательность точек
{Mk{x[*\ ...,**>)} (А=1,2, ...).
Мы будем говорить, что эта последовательность сходится к
предельной точке М0 (аѵ ..., ап), если, при k —>■ -f- со;
расстояние
ЛуЙА —-О. (7)
Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы
координаты точки Mk порознь стремились к соответствующим
координатам точки Ма, т. е. чтобы было
ХЮ _^ a(*)j ..., *Ю — aW. (8)
26 Г. М. Фихтенгольц

402 гл. ѵ. функции нескольких переменных [156
Равносильность обоих определений, собственно, вытекает
из доказанного в 152 утверждения об окрестностях двух
типов. Действительно, условие (7) означает, что, каково бы
ни было число г "у-0, точка Mk при достаточно большом k
удовлетворяет неравенству
т. е. попадает в (открытую) сферу радиуса г с центром
в точке М0; требование же (8) имеет тот смысл, что, каково
бы ни было число δ^>0, названная точка — снова при
достаточно большом k — удовлетворяет неравенствам
kw-^Κδ Κ*>-α,Κδ,
т. е. содержится в (открытом) параллелепипеде
(о, —і, at-f δ; ...; аа — δ, <ζ„ + δ)
с центром в той же точке.
Пусть теперь точка Мй(аѵ ...,аа) является точкой
сгущения некоторого множества <Ж в я-мерном
пространстве. Тогда из <& всегда можно извлечь такую
последовательность отличных от М0 точек: {Mk), которая сходилась
бы к М0, как к предельной точке.
Для доказательства зададимся положительной вариантой
гк—ѵО. По определению точки сгущения [153], в каждой
сферической окрестности.точки Λί0, радиуса rk, найдётся
(отличная от Λί0) точка Мк множества а$.
Последовательность {Мк}, очевидно, и будет искомой.
Теперь можно сформулировать такое условие,
необходимое и достаточное для существования предельного
равенства (6) [или (6*)]: если извлечь из а$
последовательность {Мк} отличных от М0 точек., сходящуюся к М0,
то числовая последовательность {/ (Mk)}, состоящая из
соответствующих значений функции, всегда сходится к А.
Необходимость. Пусть имеет место (6*), и по
заданному ε]>0 найдено соответствующее ему г^>0, в
согласии с определением предыдущего п°. Если последовательность
точек {Mk\ сходится к М0, то—для достаточно больших
k — будет
МйМк<г,

!57|
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
403
а это влечёт за собой неравенство
|/(ΛίΑ)-Λ|<β,
которое и показывает, что f(Mk)—*A.
Достаточность. Предположим теперь, что
выполняется высказанное выше условие. Для того чтобы доказать
наличие равенства (6*) в соответствии с определением
предыдущего п°, допустим противное тому, что содержится
в этом определении. Тогда для. н е котор о го числа s^>0
уже не существует соответствующего г, т. е., какое бы
число л^>0 ни взять, всегда в aS найдётся такая (отличная
от Мц) точка М', что одновременно
Λί0Λί'Ο, но |/(М') — Д|>2.
Взяв положительную варианту rk—>-0, станем за г
поочерёдно брать числа rk; для каждого rk найдётся, по
сказанному, своя (отличная от Αί0) точка Мк, для которой
ЩЙ*<г» но |/(Λί4)-Λ>8.
Построенная таким образом последовательность точек {Λί,,}
сходится к Λί0, и в то же время числовая
последовательность {/(Л/д,)} не может иметь пределом А, вопреки
условию. Это противоречие и доказывает наше утверждение.
Читателю ясно, что высказанное условие даёт другую
форму (на «языке последовательностей») определения
предела функции.
Таким образом, и для функции нескольких переменных
удаётся вопрос о пределе функции свести к вопросу о
пределе варианты [ср. 53]. Этот результат легко распространить
и на случай, когда числа А, «,, .... ап, или некоторые из
них, бесконечны.
Указанное обстоятельство позволяет распространить на
новый тип предела все основные понятия и предложения
развитой в главе I теории пределов — наподобие того, как
это было сделано в 55 для предела функции от одной
независимой переменной.
157. Примеры. 1) Пользуясь теоремой о пределе
произведения, прежде всего, легко показать, что
1 i m С*''' ...*·'» = СсЦ... αΊη\
26*

404 гл. ѵ. функции нескольких переменных [157
где С, аѵ ..., ап — любые вещественные, аѵ,, ...,
ѵ„—неотрицательные целые числа. Отсюда, если через Р(хѵ ... , хп)
обозначить целую рациональную функцию [154J:
р(хѵ ...,*.) = 2 с- -*?··■*;"·
чі мл
по теореме о сумме, получается также
lim Р(хѵ ...,хи) = Р(аѵ ..., αη).
Аналогично для дробной рациональной функции
[154]
j/_j " ^. ίρ v«l**'/i
Q (^х' · · · > * J== vw" : тр~ згп >
Ζι°μ·ι μ,,-м •••-cn
по теореме о пределе частного,
lim Q(xv .. ., xn)=Q(av ..., ап),
конечно, лишь при условии, что знаменатель в точке
{аѵ ,.., ап) в 0 не обращается.
2) Рассмотрим степенно-показательную функцию ху при
лс^>0 и произвольном у. Тогда, если а^>0 и b — любое
вещественное число, будем иметь
lim хУ -— а*.
х-*а
Действительно, если взять любые варианты хп—>-а и уп —* Ь,
то [ср. 77]
а это — на «языке последовательностей» — и устанавливает
требуемый результат.
3) Пусть о вариантах хп и уп известно, что они имеют
пределы, соответственно, а и Ь, и ставится вопрос о
пределе составленного из них выражения
*Я±Л. Хп-Уп> f или 4".
•У η
Мы знаем [31, 77], что вообще этот предел существует и

1573
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
405
однозначно определяется значениями а и Ь, за исключением
случая так называемых неопределённых выражений, условно
характеризуемых символами:
со-оо, Coo, J.J, Iх, О", «Д
В этом.же случае предел может вовсе не существовать, а
если существует, то может — при тех же а и b — иметь
различные значения, в зависимости от частного закона
изменения вариант хп и уп.
Если вспомнить определение предела функции двух
независимых переменных на «языке последовательностей», то
станет ясно,, что упомянутые типы «неопределённостей»
связаны с фактом несуществования следующих пределов:
lim {χ—у), lim χ-у, lim — , lim —,
x-*-\-co χ-+0 χ-*0 " х-*са У
y-*-\-za. у-юо y-*Q y-*tx
lim хУ, lim xy, lim x?.
χ-*\ і-»0 л->оо
ν -+60 у-+й у-* О
4) Поставим вопрос о пределе:
І1П1 V2_L»r
у-*0
(Функция здесь определена на всей плоскости за исключением
именно точки х = 0, у = 0.)
Если взять две частные последовательности точек
{«β. і)} » {<(-§. і)).
очевидно, сходящиеся к точке (0, 0), то окажется, что при всех k
/w=/(4-.j)=y. а/(4)=/(4-т)=!·
Отсюда уже следует, что упомянутого предела не существует.
Предлагается аналогично убедиться в том, что не существует
предела ^ _
lim —j—;—:,.
х^оХг+У2
у-*0
5) Наоборот, существует предел
lta-#£-,= 0.
у-*0

406 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПьРКМЕННЫХ [158
Это сразу вытекает из неравенства
х*Ѵ I 1
je-2_f_j/2| —■ о ' '·
Точно так же доказывается, что и
h:n , . = 0.
л_.о Λ'2-l-У2
158. Повторные пределы. Кроме рассмотренного выше
предела функции /(хѵ х2, ■ ■ ■, хп) при одновременном
стремлении всех аргументов к их пределам, приходится иметь
дело и с пределами другого рода, получаемыми в результате
ряда последовательных предельных переходов по
каждому аргументу в отдельности, в том или ином порядке.
Первый предел называется и-к ратным (или двойным,
тройным и т. д. — ири /2 = 2, 3, ...), а последний —
повторным.
Ограничимся для простоты случаем функции двух
переменных / (х, у). Допустим к тому же, что область І£
изменения переменных х, у такова, что ^(независимо от у)
может принимать любое значение в некотором множестве SC',
для которого а служит точкой сгущения, но ему не
принадлежит, и аналогично у (независимо от х) изменяется
в множестве & с не принадлежащей ему точкой сгущения Ь.
Такую область aS можно было бы символически обозначить,
как X X 2/. Например,
(в, а+Н; b,b+K) = (a,a + H)X(b,b + K).
Если при любом фиксированном у из &
существует для функции f(x,y) (которая оказывается функцией
лишь от х) предел при χ —*- а, то этот предел, вообще
говоря, будет зависеть от наперёд фиксированного у.
\imf(x,y) = y(y).
х-*а
Затем можно поставить вопрос о пределе функции ψ (у) при
у-+ Ь:
\imy(y) = \\m \\vnf(x, у)
у-»* у->-Ьх-*а
— это и будет один из двух повторных пределов. Другой
получится, если предельные переходы произвести в обратном
порядке:
lira lim/(x, у).
х-*ау-*й

158]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
407
Не следует думать, что повторные пределы эти необходимо
равны. Если, например, в области <Л (0, -\- оо; 0, -j- оо) положить
и
в
ъ
ВЗЯТЬ й = 6^= 0,
*ы=
:Iim /(л:,.
то время как
*(*)
= 1ігп / (дг
j>-*0
/I
το
У) =
>.v)
;■*> ^) = ^—
получим:
--y-h
= x+l,
lira T (j/) =
.y-»-o
lim φ (дг)
+ J,2
= liai lira f(x,y) =
у-* 0л->0
= lim lim / (дг, у) =
х->0.у-»0
1
Может случиться также, что один из повторных пределов
существует, а другой — нет. Так будет, например, для функций:
. I .
χ sin —\~у
2) f{x, у)— х*у или 3) f(x,y) = x-sin —;
в обоих случаях здесь существует повторный предел lira lira/, но
лет повторного предела lira lira / (а в последнем примере — нет
*->0.у->0
даже простого предела lim/).
у .о
Эти простые примеры показывают, насколько осторожным
нужно быть при перестановке двух предельных
переходов по разным переменным: не раз
ошибочные умозаключения проистекали именно от такой
незаконной перестановки. В то же время многие важные вопросы
анализа связаны именно с перестановкой предельных
переходов, но, разумеется, всякий раз дозволительность
перестановки должна быть особо обоснована.
Один из путей к такому обоснованию открывает
следующая важная теорема, которая в то же время устанавливает
связь между двойными и повторными .пределами:
Теорема. Если 1) существует (конечный ала нет)
двойной предел
A=hmf(x,y)
Jt-HJ
y-*b
а 2) при любом у из 2/ существует (конечный) простой
предел по χ
w(y) — \\mf(x,y),

408 гл. ѵ. функции нескольких переменных [IS8
то существует повторный предел
lim φ (_у) —lim lim/(χ, у)
y-*b y%b x-*a
и равен двойному.
Докажем это для случая конечных А, а и Ь. Согласно
определению п° 153, по заданному £^>0 найдётся такое
\f(*,y)-A\<e, (9)
лишь только \х— а\<С_Ь и \у — Ь\<^$ (причём χ берётся
из SC, а у из 2/. Фиксируем теперь у так, чтобы
выполнялось неравенство \у — Ъ\<^_Ь, и перейдём в (9) к пределу,
устремив χ к а. Так как, ввиду 2), f{x,y) при этом
стремится к пределу ψ (у), то получим
Ι φ СУ) — А | < з.
Вспоминая, что у здесь есть любое число из 2/,
подчинённое лишь условию \у — Ь\<^Ь, приходим к заключению,
что
A = \imy (_y) = lim lim f(x, у),
у-*Ь у-*Ь *-*Q
ч. и тр. д.
Если, наряду с условиями 1) и 2), при любом χ из 1
существует (конечный) простой предел по у
6 (*)= lim/(*,>·),
у-*ь
то, как следует из уже доказанного, если χ и у обменять
ролями, — существует также и второй повторный предел
lim ф (х) = lim lim/(x, у)
х->а х-*а у-*Ь
и равен тому же числу А: в этом случае оба
повторных предела равны.
Из доказанной теоремы сразу ясно, что в примерах 1)
и 2) двойной предел не существует (почему?). В этом легко
убедиться и непосредственно.
В примере 3), наоборот, двойной предел существует: из
нераванства
<[*|

159]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
409
усматриваем, что он равен 0. Этот пример показывает, что
условие 1) теоремы не влечёт за собой условия 2).
Не следует думать, однако, что существование двойного
предела необходимо для равенства повторных: в
примере 4) предыдущего п° оба повторных предела существуют
и равны 0, хотя двойного предела нет.
§ 2. Непрерывные функции.
159. Непрерывность и разрывы функций нескольких
переменных. Пусть функция /(хѵ ...,х„) определена в
некотором множестве <Л> точек л-мерного пространства, и
М'(х'ѵ ...,х'п) есть точка сгущения этого множества,
принадлежащая самому множеству.
Говорят, что функция f(xv...,xtl) непрерывна
в точке М' (х'ѵ ..., х'п), если имеет место равенство
Y\mJ{xv ...,хг)=/(х[, ...,*'„); (П.
-Ѵі-»ЛГі
хп~*Хп
в противном же случае — функция терпит разрыв в
точке М'.
На «языке ε-δ» непрерывность функции в точке М'
выразится так [155]: по любому заданному ε^>0 должно
найтись такое δ^>0, что
\f(xv ...,xn)-f(x[ <)|<β, (2)
лишь только
\Хі-х[\<:ь, ...,μ,-^Κί; (3)
или иначе: по ε^>0 должно найтись такое г^>0, что
|/(ЛГ)—/(ЛГ')1<е,
лишь только расстояние
ММ'<Сг.
При этом точка М(хѵ ...,хп) предполагается
принадлежащей множеству Μ, в частности же, может совпасть и
с М'. Именно ввиду того, что предел функции в точке М'
тождествен со значением функции в этой точке, обычное

410 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [159
требование, чтобы Μ была отлична от Ж', здесь становится
ненужным.
Рассматривая разности хх— х\, ..., хк— х'п как
приращения Δχ'ν ..., Δχ' независимых переменных, а
разность
f(xv ...,xn) — f(x'v ···,<)
— как приращение функции, можно сказать (как в случае
функций одной переменной), что функция непрерывна,
если бесконечно малым приращениям независимых
переменных отвечает бесконечно малое же приращение
функции.
Определённая выше непрерывность функции в точке М'
есть, так сказать, непрерывность по всей
совокупности переменных хѵ ...,х1Г Если она имеет место, то
одновременно и
lim f(xv х'2> ..., х'п) ==/{х'ѵ х'2, ..., х'я),
lim_/{xv x2< 4, ···.<)=/(х'ѵ х'2, 4· ·■■' X'J>
f
и т. п., ибо здесь мы осуществляем лишь частные законы
приближения Μ к М'. Иными словами, функция оказывается
непрерывной в отдельности π о к аж дой переменной л:,·,
по каждой паре переменных *,·, ^, и т. д.
С примерами непрерывных функций мы уже сталкивались.
Так, в 157, 1) была установлена непрерывность целой и
дробной рациональной функций от η аргументов во
всех точках л-мерного пространства (для дробной функции —
за исключением тех точек, которые обращают её знаменатель
в 0). Там же, в 2), была доказана непрерывность
степенно-показательной функции л:·'' для всех точек правой
полуплоскости (х ^> 0).
Если вновь рассмотреть функцию
/ <*· -ѵ> = ^ЩгуI <для Х~+У2 > °>·
определённую этой формулой во всей плоскости, кроме начальной
точки, н положить дополнительно: /(0, 0) =0, то получим пример

160]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
411
разрыва. Он имеет место именно в начальной точке, так как
[157, 4)] при χ -*■ 0, у -*■ О для функции предела не существует.
Здесь мы сталкиваемся с таким интересным обстоятельством.
Рассмотренная функция f (х, у), хотя и не является непрерывной
в точке (0, 0) по обеим переменным зараз, тем не менее будет
непрерывна в этой точке как полг, так и по у вотдель-
ности; это следует из того, что /(х, 0) =/ (0,у) = 0. Впрочем,
сказанное перестаёт быть удивительным, если сообразить, что,
говоря о непрерывности no x и по у в отдельности, мы
учитываем лишь приближение к точке (0, 0) вдоль по оси χ или по
оси ѵ, оставляя в стороне бесчисленное множество других
законов приближения.
Если для функции f(M) при стремлении Μ κ Μ вовсе
не существует определённого конечного предела
Urn f(M),
М-+М'
то говорят, что в точке М! функция имеет разрыв, даже
в том случае, когда в самой точке М' функция не
определена [ср. замечание в 70].
Точки разрыва функции могут не только быть
изолированными, как в предыдущем примере, но и заполнять собою линии,
поверхности и т. п. Так, функции двух переменных
х*+уі 1
*2 — уі' XS-\-yi — 1
имеют разрывы: первая — вдоль прямых у = ± х, а вторая — вдоль
окружности х*-{-у*=\. Для функций трёх переменных
х+У + г 1
xy — z ' хі-\-у*—г*
разрывы заполняют в первом случае гиперболический параболоид
z — xy, а во втором —конус гг = х2-\-у*.
160. Операции над непрерывными функциями. Легко
сформулировать и доказать теорему о непрерывности суммы,
разности, произведения, частного двух непрерывных функций
[ср. 67]; предоставляем это читателю.
Мы остановимся лишь на теореме о суперпозиции
непрерывных функций. Как и в п° 154, мы предположим, что
кроме функции и =/ (хѵ ..., хп), заданной в множестве а£
/2-мерных точек Μ (хѵ . .., хн), нам даны ещё я функций
в некотором множестве З3 /я-мерных точек P(tv ...,/,„),

412 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ }|61
причём точка Μ с координатами (4) не выходит за пределы
упомянутого множества а£.
Теорема. Если функции ψ{{Ρ) (і = 1, ...,«) все
непрерывны в точке Р' {t[, ..., ?т) из 9>, а функция / (Λ1)
непрерывна в соответствующей точке М'{х'ѵ . .., х'п)
с координатами
4=М4,...,С)·····^» = ?Ж. ···>'»).
то и сложная функция
и =/ CiPx (<і, · · ·, *«). ···.?„ (*і. · · ·, tj) =
=/(?1(Я),. ...,φΛ(Ρ))
будет непрерывна в точке Р'.
Действительно, сначала по е^>0 определится число δ^>0,
такое, что из (3) следует (2) (ввиду непрерывности
функции /). Затем по числу δ (ввиду непрерывности функций
<Ри ···. <?,;) найдётся число η^>0 такое, что неравенства
I'1-<ІI<і..--.Кя-СI<ч <5>
влекут за собой неравенства
Κ-^ΙΗ-ΜΊ, ···.<„)-?»(<і. •••■01<δ·
Но тогда, при наличии (5), будет также
\f(xv...,xn)-f(x'v »..,<)! =
что и доказывает наше утверждение.
161. Функции, непрерывные в области. Теоремы Коши.
Мы будем говорить, что функция f (хѵ ..., хп) непрерывна
в некотором множестве <з$ точек n-мерного пространства,
если она непрерывна в каждой точке этого множества,
которая является для него точкой сгущения. Впредь, как
правило, мы ограничимся случаем, когда множество <М
представляет собой открытую или замкнутую область [1531,
наподобие того, как непрерывные функции одной переменной
мы рассматривали в промежутке.

161]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
413
Обращаемся теперь к изучению свойств функции
нескольких переменных, непрерывной в некоторой области
/г-мерного пространства. Они вполне аналогичны свойствам
функции одной переменной, непрерывной в промежутке
(гл. II, § 5).
При изложении мы лишь для краткости ограничимся
случаем двух независимых переменных. Перенесение на
общий случай производится непосредственно и не
представляет труда. Впрочем,
некоторые замечания по
этому поводу будут сде-
паны попутно.
Сформулируем теперь
теорему, аналогичную
1-й теореме Кош и для
функции одной
переменной [79].
Теорема. Пусть
функция f(χ, у) определена
и непрерывна в неко- Черт. 94.
торой связной
области &). Если в двух точках М0(х0,у0) и Мг(хѵу1) этой
области функция принимает значения разных знаков:
/(%Л)<0, /(*і,Л)>°.
то в этой области найдётся и точка М! (х\ у'), в
которой функция обращается в нуль: f(x',y') = 0.
Доказательство мы построим на сведении к случаю
функции одной независимой переменной.
Ввиду связности области 0й, точки Мй и Мх можно
соединить непрерывной кривой (именно — ломаной), всеми
точками лежащей в ίΰ (черт. 94). Пусть уравнения кривой
будут x = <o(t), _y = d)(i)*, где і изменяется в некотором
промежутке [t0, ij], причём
*о = <Р(*о). Л = Ф(*о) и *і=<Р('і). Λ=№·
* Легко показать, что вся ломаная целиком может быть
представлена такого рода уравнениями, с непрерывными «риф. Но,
если угодно, можно свести дело к случаю, когда Λί0 и М\ будут
соседними вершинами ломаной, так что » и ψ могут быть взяты
попросту л и н е й и ы м и»

414 гл. ѵ. функции нескольких переменных [162
Если точка М{х,у) передвигается вдоль кривой χ = φ (t)t
y=z&(t), то наша первоначальная функция f(x,y)
превращается в сложную функцию одной переменной t:
F(t)=f(V W, Φ it)) (we t0 < t < tt),
очевидно, непрерывную (по теореме предшествующего п°),
так как непрерывны функции /, φ и ψ. Но для F(t) имеем:
FСо) =f (V(Ό). ΨVo)) =f (*o.Уо)<0,
^(Λ) =/(?(*,). Ψ (<i))=/(Wt>>0·
Применяя к функции F(i) одной переменной уже
доказанную в 79 теорему, заключаем, что F(i') = 0 при некотором
значении ? между t0 и tv Вспоминая определение функции F(t),
имеем, таким образом, /(φ (ί'), ψ (^)) = 0. Точка М'(х',у'),
где х'=у(і'), y='b(t'), и является искомой.
Отсюда вытекает, как и в 81, 2-я теорема Кош и,
которая, впрочем, могла бы быть получена и сразу.
Читатель видит, что переход к пространству я измерений
(при «^>2) не создаёт никаких затруднений, ибо в я-мерной
связной области точки также могут быть соединены
«непрерывной кривой», вдоль которой функция будет зависеть от
одного параметра, и т. д.
162. Теорема Больцано-Вейерштрагса. Для дальнейшего
изложения нам понадобится обобщение теоремы Больцано-
Вейерштрасса [41] на случай последовательности точек
в пространстве любого числа измерений, как всегда, мы
ограничимся «плоским» случаем.
Теорема. Из любой ограниченной
последовательности точек
ΛΜ*ρΛ). мА*г,Уг) Мн(*»Уп)' ···
всегда можно извлечь такую частичную
последовательность
МЯі (хЯі, УпХ М„, (x„t, уя;),..., M„k (x
111' Упъ)і · ■ ·
(η, < η, < . . . < лі < ..., я/, -»· -)- со),
которая сходилась бы к предельной точке.
1-е доказательство мы проведём, перенеся на
рассматриваемый случай рассуждение, которым мы пользовались в
«линейном» случае [41].
Ввиду ограниченности данной последовательности
точек, найдётся такой (конечный) прямоугольник [а, Ь; с, d].

162]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
415
в котором
ток [а, Ь]
пополам:
она целиком содержится. Разделим как промежу-
значений х, так и промежуток [c,d] значений .у
Комбинируя каждую из половин первого промежутка с
каждой из половин второго, мы получим четыре прямоугольника:
(И)
(IV)
~а-\-Ь
Ь; с,
с-К
Ь;
. c+d
иа которые разлагается основной прямоугольник [д, Ь; с, d]
(черт. 95).
Хоть в одной из этих частей будет содержаться
бесконечное множество точек данной последовательности,
ибо, в противном случае, и во
всём прямоугольнике их
содержалось бы лишь конечное
число, что невозможно. Пусть
\аѵ Ьл; с,, dx] будет тот из
прямоугольников (I), (II) (III), (IV),
в котором содержится
бесконечное множество точек
нашей последовательности (или
один из таких
прямоугольников, если их несколько).
Полученный прямоугольник снова разложим на четыре-
меньших прямоугольника и возьмём тот из них, в котором
содержится бесконечное множество точек данной
последовательности; обозначим его через [а2, b2; с2, аг\
Этот процесс последовательного дробления
прямоугольников мы представляем себе продолжающимся до бесконечности.
На k-й стадии его мы выберем прямоугольник [ал, #А; сА, dk]
под условием, что в нём содержится бесконечное
множество точек Мп. Измерения этого прямоугольника
і
0
....
ш
а
в
1
а.
Черт
*ь
95.
і
ь-а
**—ѵ
d-c
' 2*
стремятся к 0 при k—>·-|-οο.

416 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [162
Применим теперь в отдельности к последовательности
промежутков { [ак> bk] } значений χ и к последовательности
промежутков \[ck, dk]} значений у лемму о вложенных
промежутках [38]. Из неё- следует, что концы промежутков ак и
Ьк, а также ск и dk, стремятся, соответственно, к общим
пределам:
limeA = lim bk = x и \\mck — \\mdk—y. (6)
Можно сказать, что последовательность _прямоугольников
{[а*> **! ck> a/tl\ «стягивается» в точку Μ (χ, у).
Теперь, взяв в качестве МЯі любую точку нашей
последовательности, попадающую в прямоугольник [аІУЬ1; сх,а^\,
мы станем затем поочерёдно выделять точки Мп„, МПі,. ..,
выбирая — в общем случае — в качестве М„к (хЛк, уПк)
любую точку последовательности, следующую за ранее
•выбранными и содержащуюся в ft-м прямоугольнике
[ак, Ьк\ ck, dk]. Это сделать можно именно потому, что
каждый из прямоугольников содержит бесконечное
множество точек Мп.
Так как
αΛ<*„%<δ4 и ck^y„k^dk,
то, ввиду (6), _
Iіш хПк=х, Игл уПк=у,
так что выделенная частичная последовательность {М„к}
сходится к точке М{х, у), как к предельной [156].
Н-е доказательство. Проще, однако, поступить иначе,
использовав теорему, уже доказанную в п° 41 для случая
линейной последовательности. Если точки нашей
последовательности содержатся в конечном прямоугольнике [а, Ь; с, d], то
я <*„<*, c^yn^d (для п = 1, 2, 3,. ..).
Применив теорему п° 41 сначала к последовательности
\хп\, выделим частичную последовательность {хПк},
сходящуюся к некоторому пределу х. Таким образом, для
частичной последовательности точек
(*Яі1 ;ч)> {χη„уПі), ..., {хПк,у„к),...
первые координаты уже имеют предел. Вторично применим
упомянутую теорему к последовательности вторых координат

163]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
417
ІУпк) и выделим такую частичную последовательность \уП)! \,
которая тоже стремится к некоторому пределу у. Тогда,
очевидно, частичная последовательность точек
\Х"к^ Уік), (xni,t, Упк^у · · · ) {х"кт> У"Ь„)<
будет стремиться к предельной точке (х, у).
Заметим и здесь, что оба рассуждения легко переносятся
на случай пространства л^>2 измерений. В первом из них,
например, изменяется только число частей, на которые
распадается заданная прямоугольная область, если разделить
пополам каждый из определяющих её промежутков; в общем
случае этих промежутков будет п, а частей — всего 2".
163. Теоремы Вейерштрасса. С помощью доказанной
георемы прежде всего может быть установлена для функций двух
переменных 1-я теорема Вейерштрасса:
Теорема. Если функция f(x, у) определена а
непрерывна в ограниченной замкнутой области 3) *,
то она ограничена, т. е. все её значения содержатся
между двумя конечными границами:
m^f(x,y)sZM.
Доказательство (от противного) вполне аналогично
рассуждению п° 83. Пусть функция f{x,y) при изменении (х,у)
в S) оказывается неограниченной. Тогда для любого
я найдётся в £ΰ такая точка Мл (лсЛ,_у„), что
I/(*„.Л)I>л· (7>
По теореме п° 162, из ограниченной последовательности {Мл\
можно извлечь частичную последовательность {Mnh},
сходящуюся к предельной точке М(х, у).
Отметим, что эта точка Μ необходимо принадлежит
области 3). Действительно, в противном случае точки Мпн все
были бы от неё отличны, и точка Μ была бы точкой
сгущения области &D, ей не принадлежащей, что невозможно
ввиду замкнутости области &£> [см. 153].
* Которая, на этот раз, может быть и несвязной,
27 Г. М. Фихтенгольц

418 гл. ѵ. функции нескольких переменных [|64
Вследствие непрерывности функций в точке Μ должно
быть
/ (М„к) = f (хПк, упк) —/ (Μ). =/ [х, у),
а это находится в противоречии с (7).
2-я теорема Вейерштрасса формулируется и
доказывается (с ссылкой на предыдущую теорему) совершенно так
же, как и в п° 84.
Заметим, что — без существенных изменений в
рассуждениях— обе теоремы Вейерштрасса переносятся и на
случай, когда функция непрерывна в любом
ограниченном замкнутом множестве o/fl/ (хотя бы и не
представляющем собою области).
Как и в случае функции одной переменной, для функции
f(x,y)t определённой и ограниченной в множестве <Л,
разность между точными верхней и нижней границами
значений функции в о/И называется её колебанием в этом
множестве. Если <Л ограничено и замкнуто (в частности,
если α/Ά есть ограниченная замкнутая область), и функция /
в нём непрерывна, то колебание есть попросту разность между
наибольшим и наименьшим ее' значениями.
164. Равномерная непрерывность. Мы знаем, что
непрерывность функции f{х,у) в определённой
точке \х0,у0) множества а$, где функция задана, на «языке ε-δ»
выражается так: по любому ε^>0 должно найтись такое δ^>0,
что неравенство
\f{x,y)— /(*ο.Λ)Ι<*
выполняется для всякой точки (х,у) из s#, лишь только
I*-*оК*. I.V-JOIO·
Пусть теперь функция/(л:,^) непрерывна во всём
множестве <S; тогда возникает вопрос, можно ли по данному
ε^>0 найти такое δ^>0, которое годилось бы—в
указанном смысле — для всех точек (л:0, у0) из oS
одновременно. Если это возможно (при любом ε), то говорят, что
функция в a/fi равномерно непрерывна.
Теорема Кантора. Если функция f(x,y) непрерывна
в ограниченной замкну то й области ξΰ, то она
будет и равномерно непрерывна в ©.

164]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
419
Доказательство поведём от противного. Допустим,
что для некоторого числа е^>0 не существует числа
δ>0, которое годилось бы одновременно для всех точек
{х0,уй) области iD.
Возьмём последовательность стремящихся к 0
положительных чисел
*i>»s>...>«„>·.->0, *„-+ 0.
Так как ни одно из чисел 5Я не может годиться — в
указанном смысле —одновременно для всех точек (х0, у0) области
©, то для каждого Ьп найдётся в @) такая конкретная
точка (хп,у„), для которой Ьп не годится. Это значит, что
существует в £ΰ точка (х'п,у'а), для которой
К-*п\<*п> |У.-л|<*..
и тем не менее
1/К--0 — /(*п.Л)|>8. (8)
Из ограниченной последовательности точек {(хп,у,)}, по
теореме Больцано-Вейерштрасса, извлечём такую
частичную последовательность {(х„к, у„к)}, что х„к—- х,
уПк—*у, причём предельная точка (х, у) необходимо
принадлежит области &> (ввиду её замкнутости).
Так как, далее,
I х'пк—*«* l <δ"*- I Упы ~ у»к I <δ«*
и, при возрастании k, nk—>·-{-οο и ЬП!і—»-0, то
χ'η-χη-*ο, у'ак-уа,с-+о,
так что и
х' —► х, у' —>■ ѵ.
/lit ' 'nit J"
Ввиду непрерывности функции /(х, у) в точке (х, у),
принадлежащей области Ш), мы должны иметь как
так и __
откуда
/(*Ч, >«»)—/(*«. ^«)—°,
27*

420 гл. ѵ. функции нескольких переменных [IS5
что оказывается в противоречии с неравенством (8). Теорема
доказана.
Для формулировки вытекающего отсюда следствия нам
понадобится понятие диаметра точечного множества: так
называется точная верхняя граница расстояний между любыми
двумя точками множества.
Следствие. Если функция f(x,y) непрерывна в
ограниченной замкнутой области S), то по данному ε^>0
найдётся такое δ^>0, что, на какие бы частичные
замкнутые же области і2>,, .. ., S>„ с диаметрами, меньшими о,
ни разбить эту область *, колебание функции β каждой
части β отдельности будет меньше ε.
Достаточно за δ взять то число, о котором говорится в
определении равномерной непрерывности. Если диаметр
частичной области ф. меньше δ, то расстояние любых двух её
точек (х,у) и {х0,у0) меньше δ: Ѵ(х — х0)2 -f (у —>'0)2 <δ.
Отсюда и подавно \х—^оі^^ и \У—JVO 1 <Щ S, так что
\f(x,y)—/(хо>Уо) Ι<^£· Если эти точки выбрать так, чтобы
f{x,y) и f(x0, y0) были, соответственно, наибольшим и
наименьшим из значений функции в области &;, то и получим
требуемое утверждение.
Легко видеть, что доказанная теорема без изменений
переносится (подобно теоремам Вейерштрасса) на случай
функции, непрерывной в любом ограниченном
замкнутом множестве о/К/.
165. Лемма Бореля. Полезное предложение, доказанное
в 87, может быть обобщено на многомерный случай.
Пусть имеем систему Σ открытых областей α на
плоскости; если каждая точка множества а41 содержится хоть
в одной из этих областей а, то будем говорить, что система
2 покрывает множество aS.
Лемма Бореля. Если ограниченное замкнутее
множество аМ точек плоскости покрывается бесконечной
системой 2= {а} открытых областей, то из неё всегда
можно выделить конечную подсистему
которая также покрывает всё множество оМ.
* Эти частичные области могут иметь общими лишь
пограничные точки.

185]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
421
До к аз ат ель с τ во (от противного). Допустим, что
множество а£ не может быть покрыто конечным числом
областей а из Σ.
Ввиду ограниченности множества о$, оно содержится в
некотором прямоугольнике [а, Ь; с, d]. Разделив каждый из
двух промежутков [а, Ь) и [с, d] пополам, мы разложим этот
прямоугольник, как и при доказательстве теоремы Больцано-
Вейерштрасса [162], на четыре прямоугольника. Вместе
с тем и множество ο/Ά разлэжится на части, содержащиеся
соответственно в этих частичных прямоугольниках; частей,
впрочем, может оказаться и меньше четырёх, если какой-
либо прямоугольник не содержит вовсе точек множества <Ж.
Хоть одна из этих частей (скажем, aS^), в свою очередь,
не может быть покрыта конечным числом областей в
(ибо в противном случае всё множество tJC, вопреки
предположению, было бы покрыто конечным числом
областей а). Тот из частичных прямоугольников, который
содержит именно часть о£1 множества еМ, обозначим через
[av bL; cvd1].
Этот прямоугольник снова разложим на четыре
прямоугольника. Хотя бы один из них — обозначим его через
[а2, Ь2\ с2, d2] — содержит часть <Л.г множества <Л, которая
не может быть покрыта конечным числом областей σ.
Продолжая этот процесс до бесконечности, на &-й стадии
его мы придём к прямоугольнику [ak, bk\ ck, dk], содержащему
такую часть <Лк множества <Ж, которая не может быть
покрыта конечным числом областей а.
Как и в п° 162, мы заключим отсюда, что прямоугольники
[ак, Ьк, ск, dk] «стягиваются» в точку (х, у), так что
Міиак=IітЬк = χ, Iітск = Пт dk=y.
Эта точка Μ (χ, у) принадлежит множеству <S. Дейстзи-
тельно, какую бы окрестность (х—Ь, х-\-Ь; у — Ь, у-\-Ь)
точки Μ ни взять, для достаточно больших k будет
*-*<«*<^<* + 5. J— й < fiA < <i*< J+ 8.
так что в упомянутую окрестность попадает часть а€к
множества о/И/ (по самому выбору её, наверное содержащая
бесконечное множество точек). Следовательно, точка Λί

422 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [166
является точкой сгущения для множества o/ft и должна
ему принадлежать, ввиду его замкнутости.
В таком случае, точка Μ содержится в одной из
областей σ, скажем, в σ0. Так как σ0 есть открытая область,
то в неё входит и некоторая окрестность
(Зё — δ, χ + δ-,3» — δ> y-\-Z)
этой точки. Как и только что, легко показать, что в эту
окрестность целиком попадёт, при достаточно большом k,
прямоугольник [ak, bk; ck, dk], а с ним — и содержащаяся в нём
часть оЛк множества <rft. Таким образом, всё множество еЗк
покрывается одной областью σ0, между тем как выбирали
его мы так, чтобы оно не могло быть покрыто никаким
конечным числом областей σ. Полученное противоречие и
доказывает лемму.
В тех применениях леммы Бор ел я, которые читатель
найді-т в следующем п° и в других частях курса, в качестве
множества <S будет фигурировать обыкновенно замкнутая
область. Но иной раз придётся применять её и к другим
замкнутым множествам, например, к непрерывной
кривой.
166. Новые доказательства основных теорем. 1° 1-я
теорема Вейерштрасса. Функция f{x,y)
предположена непрерывной в ограниченной замкнутой области ϋ5.
Следовательно, каждую точку (х', у') этой области можчо
окружить такой окрестностью σ', что в её пределах (если
через ε обозначено наперёд взятое число)
I/(*..у)-/(*'.У)I<в
или
Я*1. У)-в </(*,.у)</(*', У И-е.
Таким образом, в области d функция оказывается
ограниченной.
Применяя лемму Боре ля к системе Σ={σ'} этих
окрестностей, можно выделить из Σ конечное число
окрестностей στ, σ2, ..., ση, которые в совокупности
покрывают всю область £>. Если
mi^f(xty)^Ml в σ, [і = 1, 2,.. ., я),

166]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
423
то, взяв в качестве т наименьшее из тіг а в качестве Μ —
наибольшее из М{, будем иметь в §ΰ
m^f(x, y)s^M,
ч. и тр. д.
2° Теорема Кантора. Задавшись произвольным
числом ε ^> О, каждую точку (*', у') окружим такой
окрестностью
О" = (*» — &', х' -f §'; У—δ', У+δ'),
что для любой принадлежащей ей точки {х, у) (из &)) будет
l/(*.j')-/(*,.y)l<j.
Если (#01 уй) есть другая подобная же точка, так что и
I/(*\ У)-/(*„. л)!<£*
то в результате
|/(*,>)-/(*о.Л)1<е· (S)
Заменим каждый прямоугольник о' вчетверо меньшим
прямоугольником, с тем же центром,
0 = (* - ί·^+2-;У-2'-Н-т)·
Система Σ = {σ'} этих открытых прямоугольников покрывает
область S), По лемме Б орел я, из неё выделяем конеч-
н у ю систему прямоугольников
с тем же свойством. Наконец, обозначим через δ наимень-
шее из всех чисел 4.
Пусть (х,у) и (х0,уа) — любые две точки области &),
для которых .
|*-*оI<*. I^-ЛІ<*. (Ю)
Точка {х0, у0) принадлежит одной из окрестностей cJt
например, окрестности
°<о— (хь —<f . */. + ~<f' Уь—Τ ' Уь ' "I2У'

424 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ί67
так что
Ι*ο-^Ι<τγ· \Уо-)%\<-т-
о, о ■
Из (10), так как Ь^~-, следуем что \х — *οΙ<^ -γ li
\У— ЛІ<7· Отсюда
и точки (х, у), (х0, у0) обе оказываются лежащими в одной
из первоначально определённых окрестностей
(-4 — h. χια+δ/ο; л — δ/0. >ν0+δ/.),
а тогда, по доказанному, для них выполняется (9).
Итак, удалось по ε ^> 0 выбрать Ь ^> 0 независимо
от положения точки (х0,у0), чем и доказано, что функция
f (х,у) равномерно непрерывна.
§ 3. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
167. Частные производные и частные
дифференциалы. Для упрощения записи и изложения мы ограничимся
случаем функций от трёх переменных; всё дальнейшее, однако,
справедливо и для функций любого числа переменных.
Итак, пусть в некоторой (открытой) области 3) имеем
функцию u=f (χ,у, ζ); возьмём точку М0(х0, у0, ζ0) в этой
области. Если мы припишем у и ζ постоянные значения у0 и
ζ0 и будем изменять х, то и а будет функцией от одной
переменной χ (в окрестности х0); можно поставить вопрос
о вычислении её производной в точке х = х0. Придадим
этому значению х0 приращение Δ*, тогда функция получит
приращение
Δ*ϋ = Δ*/ К. JO. го) =/(*о + д*>.Уо. zo) — / (*о. Уо> го),
которое можно было бы назвать её частным
приращением (по х), поскольку оно вызвано изменением значения
лишь одной переменной. По самому определению
производной, она представляет собою предел
jim ^хЦ— ііга /.(*о + Δχ,уп, ζ„)-/ (дг0,уQ, z0)
Δλ->0 ^х Ьх-*0 ^х

167] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ П£Р'2МЕННЫХ 425
Эта производная называется частной производной функции
f(x,y,z) по χ в точке (х0,у0,г0).
Как видим, в этом' определении не все координаты
равноправны, так как,у0 и г0 фиксированы, а х меняется, стремясь
к х0.
Частную производную обозначают одним из символов:
ди df(x0,yo,z0)x. , „
д^> дх ' и*> ■M-Wo.'Zo); Dx", DJ{xQ,y0,zu).
Заметим, что буква χ внизу в этих обозначениях лишь
указывает, по какой из переменных берётся производная, и
не связана с тем, в какой точке (х0,у0, ζ0) мы производную
вычисляем **.
Аналогично, считая χ и ζ постоянными, а у переменным*
можно рассматривать предел
lim дѵи z=.\\mf(·*0'Уо +Лу'го) ~ f(дг"' У*· г°)
Предел этот называется частной производной функции'
f(x, у, г) по у β точке (х0, уй, г0) и обозначается символами,
аналогичными предыдущим:
д_и_ д{{х0,уй,гй) , f D
Зу> ду ' у' Jy\x0'S0> Z0I> иуиі иуЗ 1*о>.Уо> Zu>-
Точно так же определяется и частная производная
функции f(x, у, г) по ζ в точке (х0, у0, г0).
Самое вычисление частной производной по существу не
представляет ничего нового по сравнению с вычислением
обыкновенной производной.
Примеры. 1) Пусть и = ху (лг>0); частные производные
этой функции будут:
ди ѵ-і ди у , _
дх=УхУ ' Ту=хУЛ^Х·
* Я к о б и (С. G. J. Jacobi) предложил пользоваться круглым д
(вместо прямого d) в обозначении именно частной производной.
** И здесь цельные символы
можно рассматривать как функциональные обозначенияг
для частной производной по х. Подобных примечаний впредь мы.
повторять уже не станем.

426 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [167
Первая из них вычисляется как производная степенной
функции от χ (при у = const.), а вторая —как производная
показательной функции от у (при χ = const.).
2) Если H = arctg— , то
да у да χ
дх~х!+у*' ду~~ х°--\-у3'
3) ДДЯ a=jfl + y\+0 ИМееМ
^" _ Ѵ2+z"· ~ х' дЦ — — 2лгу <?и —2хг
<Ьс~(х*+у*+**)*' ду~(х^-\-уп- + г^ дг~(*3-f-Va+*3)3'
4) Пусть 2=j/-/(.v2— у2), где /(h) — произвольная
функция (имеющая производную). Показать, что для * всегда
выполняется соотношение:
1 дг . J_ дг г
χ ' ~дх'у~ ' ду~ J/*'
какова бы ни была функция /.
По правилу дифференцирования сложной функции (означая
штрихом производную по и) имеем
gj=j>./'(*«- ѵ*)-2х = 2ху/'(хг-у2),
и отсюда
?* =/ (*»->«) - 2^·/' (*2- Я.
χ дх ' у ду
= 2у ·/' (х* - jri) + j ·/ (*» - У*) - 2ѵ./' (л* - у*) = J.
5) Сторона й треугольника определяется по двум другим
сторонам Ь, с и заключенному между ними углу α так:
а = У Ь2-\-сг — 2bc-cosa,
Тогда
да Ь — g-cosq Ъ — c-cos а да be·sin α
o~b~Vbi-\-C' — 2bc-cosa ~ а ' да а '
6) Известная из физики формула Клапейрона pv = RT
(где /? = const.) выражает связь между объёмом ѵ, давлением ρ
и абсолютной температурой Τ некоторой массы идеального газа
н определяет одну из величин ρ, ν, Τ, как функцию двух других.

167) § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 427
Пели р, ѵ— независимые переменные, а 7—функция от них:
~ рѵ
T--R ' Т0
дТ ν
dp — R '
дТ ρ
dv — R ·
Если роль независимых играют переменные ρ и 7", а ν — функция
RT
от них: ν = — , то
Ρ
eta RT dv__R
др~ ρ*' дТ~р
Пусть, наконец, ν и Τ — независимые переменные, р — функция
RT
от них: ρ = — ; тогда
др_ RT dp _R_
дѵ — 'υ"· ' дТ~ ν '
Отсюда, между прочим, получается важное в термодинамике
соотношение
дт> ^дѵ дТ _ /?Г
дѵ дТ др ѵ*
_ Я # ν RT
' ρ ' R ~~ рѵ
■ —\.
Заметим, что обозначения Як оби частных производных
<с круглыми д) следует рассматривать только как цельные
символы, а не как частные или дроби. Полученное только что
соотношение с особенной ясностью подчёркивает это существенное
различие в характере обозначений обыкновенных и частных
производных: если бы выписанные в левой части производные были
обыкновенными, то можно было бы их рассматривать как частные
одних и тех же дифференциалов, и по сокращении мы получили
бы 1, вместо — 1; здесь же, как видим, этого делать нельзя.
Произведение частной производной -з-, на произвольное
приращение Δ* называется частным дифференциалом по χ
функции и; его обозначают символом
^ ^а а
d u = -t-'ujc.
χ дх
Если и здесь под дифференциалом dx независимой
переменной χ разуметь приращение Ах, то предыдущая
формула напишется так:
d* = Txdx·

428 гл. ѵ. функции нескольких переменных [I6S
Аналогично,
dya=Ty-dy, djx = Tidz.
Таким образом, мы видим, что можно было бы и
частные производные представить в виде дробей
йхи dya dzu
~dx ' ~dy~' d~z'
но при непременном условии указывать, по какой
переменной дифференциал берётся.
168. Полное приращение функции. Если, исходя из
значений χ — χΰ, у=Уо, z — zu независимых переменных,
придать всем трём некоторые приращения Δ.ϊ, Ду, Аг, та
функция и=/(х,у,г) получит приращение
= Δ/(^ο.Λ.^ο)=/Κ4-Δχ.Λ+4)'. *0-{-Δζ) —/(*ο>Λ.,4ό)>
которое называется полным приращением функции.
В случае функции y=f(x) от одной переменной, в
предположении существования в точке лг0 (конечной)
производной /' (#u), для приращения функции имеет место формула
[95 (2)]
Ь.у = Δ/ (х0) =/ (дг0) · Δ* + а· Δα;,
где α зависит от Δ* и α—>-0 при &х—>-0.
Мы имеем в виду установить аналогичную формулу для
приращения функции и=;/(лг, у, ζ):
bu = bf{xu,yu,zu) =
=fx (*о. Л. zo) ■ Ьх Л-1'у (х0, Уо, г0) ·Ay +/І (*о. Л> zo) ■іг 4-
+ а.А* + р.Ду + ѵ.Дг, (1)
где α, β, γ зависят от Δ*, А_у, Δζ и вместе с ними стремятся
к нулю. Однако, на этот раз придётся наложить на функцию
более тяжёлые ограничения.
Теорема. Если частные производные f'x{x,y, z), fix, у, ζ),
fz(x,y,z) существуют не только в точке (х0, у0, z0), но
и в некоторой её окрестности, и кроме того непрерывны
(как функции от х, у, ζ) в этой точке, то имеет месте
формула (1).

168] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 429
Для доказательства представим полное приращение
функции Аи в виде:
Δα = Г/ (ха-\-Ах, j>0-f Ay, zu+Az) —f(x0, у0+ Ау, ζ0+Δζ)] +
+ [/ (*о. JO + Δ^. *о + Аг) — / К. JO- го + Δζ)] +
+ Г/ (*о.>о. го + Д*) — /(*о.Л. *<>)]■
Каждая из этих разностей представляет частное
приращение функции лишь по одной переменной. Так как мы
предположили существование частных производных в
окрестности точки {х0,у0,г0), то — при достаточной малости Ах,
Ау, Δζ — к этим разностям по отдельности можно применить
формулу конечных приращений [118]*; мы получим
Да = fx (х0 -{- 6 Алг, уй + Ay, z0 -f Δζ) ■ Δ*-f
+/J (*o> J»o4-0i ΔΛ 2ο+Δ*)·Ду+Д (*0,Λ, ζ0 + 02 Δζ)·L·.
Если положить здесь:
/* (*о + ° Δ*, JO + А^, г0 + Δζ) =fx (ха, у0, г0) + а,
f'y (*о. Λ + °ιΔ^, г0 + Δζ) =fy (дс0, Λ, ζ0) + β,
/', (*ο. Λ» 2ο + 6s Δζ) =Д (*0, Λ, г0) + Υ,
то придём к выражению (1) для Δα. При Αχ—► 0, Ay—-+Q,
Δζ—-0 аргументы производных в левых частях этих равенств
стремятся к х^,уй,г0 (ибо 0, 0,, 02 — правильные дроби),
следовательно, сами производные, ввиду предположенной
непрерывности их для этих значений пере-:
менных, стремятся к производным в правых частях, а
величины α, β, γ — к нулю. Этим и завершается доказательство.
Доказанная теорема даёт возможность, между прочим,
установить, что из существования и непрерывности в данной
точке частных производных вытекает непрерывность в
этой точке самой функции; действительно, если Ах—"О,
Ау—>■ 0, Δζ—>-0, то, очевидно, и Δα—>-0.
* Если взять, например, первую разность, то её можно
рассматривать как приращение функции f (х,уй-\-\у, гй-\-Аг) от
одной переменной х, отвечающее переходу отл: = .г0 к χ — χϋ-\-λχ.
Производная по χ от этой функции, т. е. }х(х,Уо-\-^y,2<j-\-^z),
по предположению, существует для всех значений дг в
промежутке [хй, хй-\-\х], так что формула конечных приращений
применима, и т. д.

430 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [168
Для того чтобы формулу (1) можно было написать в
более компактной форме, введём в рассмотрение выражение:
9=УАх2-\-Ауг-\-Аг2
— расстояние между точками
(*о..Уо>го) и (*o-r-A*. Уо-\~Ьу, z0-{-Az).
Пользуясь им, можем написать:
Обозначив выражение, стоящее в скобках, через е,
будем иметь
<ζ·Δλγ-|-β ·Δ_ν + γ·Δ3·=ε· р,
где g зависит от Δ*, Ау, Δζ и стремится к нулю, если Ах -->■ О,
Ду—>■ 0, Δζ —>-0 или, короче, если ρ—► 0. Итак, формулу (1)
можно теперь переписать в виде:
Δα = Δ/ (*0> у0, z0) = fx(x0, y0, z0) · Αχ + f'y (x0, уй, z0) · Ay -f-
+ /',(*о..Уо.*о>'Д* + в.р, (2)
где s—>-0 при ρ—«-О. Величина е-ρ, очевидно, может быть
записана, как о (р) (если распространить введённое в 60
обозначение и на случай функций нескольких переменных).
Заметим, что в нашем рассуждении не был формально
исключен случай, когда приращения Ах, Ау, Δζ порознь или
даже все зараз равны 0. Таким образом, говоря о
предельных соотношениях
а—-0, β—0, γ—-0, s-*0
при Ах—>-0, Ау—>■ 0, Δζ—* 0, мы понимаем их в широком
смысле и не исключаем для этих приращений возможности в
процессе их изменения обращаться в нуль. (Ср. аналогичное
замечание в п° 95.)
При доказательстве предыдущей теоремы мы потребовали от
функции нескольких переменных больше, чем в случае функции
одной переменной. Для того чтобы показать, что без соблюдения
этих требований формула (1) или (2) здесь могла бы оказаться
и неприложимой, рассмотрим, в заключение, следующий пример
(где для простоты мы имеем дело всего лишь с двумя
независимыми переменными).

I6S] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 431
Определим функцию f(x,y) равенствами:
/(*'^ = FZpj2 (если дг2+уЗ>0), /(0,0) = 0.
Эта функция непрерывна на всей плоскости; для точки (0, 0)
это следует из 157,(5). Далее, существуют частные производные по
χ и по у также на всей плоскости. При *2-f-у3 > 0, очевидно,
В начальной же точке имеем: /,(0, 0)=f'y(Q, 0) = 0; это
непосредственно вытекает, по самому определению частных
производных, из того, что f(x, 0)=/(0,j/) = 0. Легко показать, что
в точке (0, 0) непрерывность производных нарушается (для первой
из них достаточно, например, положить у = х~ >-0).
Формула вида (1) или (2) для нашей функции в точке (0, 0)
не имеет места. В самом деле, если допустить противное, то
было бы
где е -* 0 при Δχ->-0 и Ду -»■ 0. Положив, в частности, Ду = Дл?> 0,
имели бы
— Д.е = s.\r2-b.x, откуда а = —~,
2 2^2
и е не стремилось бы к нулю при Αχ -*■ 0, что противоречит
допущению.
Аналогичную особенность в точке (0, 0) проявляет и функция
f(x, y)=V\xy\.
Предоставляем читателю разобраться в этом.
169. Полный дифференциал. В случае функции y—f(x)
одной переменной, мы рассматривали в 102 вопрос о
представимости её приращения Ау=А/(ха) =f(x0-\-Ax) — f(x0)
в виде
А/(хй) = А-Ах-{-о(Ах) (А = const.). (3)
Оказалось [103], что для возможности такого представления
необходимо и достаточно, чтобы существовала
в точке х = х0 конечная производная /' (х0), причём
написанное равенство осуществляется именно при Л=/'(л:0).
Линейную часть
Α·Αχ=/' (х0)·Ах =_у''Ах
приращения функции мы и назвали её дифференциалом, dy.

432 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [|£9
Переходя к функции нескольких, например, трёх
переменных: f(x, у, ζ), определённой в некоторой (скажем, открытой)
области S), естественно поставить аналогичный вопрос о
представимости приращения
Δ«·=Δ/(*0>Λ, *„) =
=/ (*0 + Δ*. у0 + Ay, z0 -f Δ«) — / (*0, yQ, zQ)
в виде
&У{х9,уа,г0)=*А.&х + В.&у + СЬг + о(9), (4)
где А, В и С—постоянные, а ρ = Ѵкх2 -j- Ay2 -f- Δζ2,
Как и в 102, легко показать, что такое представление,
если вообще оно возможно, осуществляется единственным
образом. Можно установить и более точный результат [ср. 103]:
если имеет место разложение (4), то в точке (х0, у0, га)
существуют частные производные по каждой из переменных,
причём
/*(■*<» ЗѴ *o) = A fy(x0>y<»zo) = B> f'z КОѴ2»)
недействительно, например, полагая в (4) Δ_ν = Δ2 = 0 и
кхфО, получим
f(xa + &x,yo,Zu)—f{xo,yo,za)_A ι 0(Пд-і\
откуда и следует, что существует
Таким образом, соотношение (4) всегда осуществляется только
в виде
4/(-Ѵо.го>=/І (·*ο. Λ.^-Δ*+
+ f'y (хо>Уо,2о)-Ьу+/'г(хй,у0,г0)-& + о(р) (5)
или — в более короткой записи —
Аи = и'х-Ах-{-иу-Ау-\-и'г.Ьг-{-о(р). (5*)
Однако, в то время как в случае функции одной
переменной существования производной у' =/'(ха) в
рассматриваемой точке было уже и достаточно для наличия
соотношения (3), в нашем случае существование частных производных

169] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 433
ещё не обеспечивает разложения (4). Для случая функции двух
переменных мы это видели на примере в предыдущем п°. Там же,
в теореме, были указаны достаточные условия для
выполнения соотношения (4): это — существование частных
производных в окрестности точки {х0,у0, z0) и их
непрерывность в этой точке. Впрочем, легко показать, что эти
условия отнюдь не необходимы для формулы (5) или (5*).
Это, собственно говоря, следует уже из того, что для
функции одной переменной (которую, если угодно, можно
рассматривать и как функцию от любого числа переменных)
подобные условия не необходимы.
При наличии формулы (5) функция f (χ, у, 2) называется
дифференцируемой в точке (ха,у0, гй) и (только
в этом случае!) выражение
и'х-Ах-\-и'у-Ау-{-и'г-Аг =
т. е. линейная часть приращения функции, называется еЗ
(полным) дифференциалом и обозначается символом du или
В случае функции нескольких переменных утверждение:
«функция дифференцируема» в данной точке, как видим,
уже не равнозначуще с утверждением: «функция имеет
частные производные по всем переменным» в этой точке, но
означает нечто большее. Впрочем, мы обычно будем
предполагать существование и непрерывность частных
производных, а это уже перекрывает дифференцируемость.
Под дифференциалами независимых переменных dx, dy, dz
уславливаются разуметь произвольные приращения Ах,
Ay, Az*; поэтому можно написать:
df{xa,yu, z0) —
=/*(*ο.,υο> «ο>,Λί + /,'(*ο»Λ. zo)-dy+f'z (хо>Уо> zo)-dz
или
du = и'л · dx -j- u'y · dy -j- u'z- dz.
* Если отождествить дифференциал независимой
переменной χ с дифференциалом х, как функции от
независимых х, у, ζ, то, по общей формуле, можно написать
dx = x'x-Ax + xy-Ay+xz-bz = \-bx + Q-Ay-{-b-Az = bx·,
тогда равенство dx = Ддг оказывается доказанным.
28 Г. М. Фихтенгольц

434 гл. ѵ. функции нескольких переменных [170
Полный дифференциал оказывается равным сумме час т-
ных дифференциалов [167],
170. Геометрическая интерпретация для случая
функции двух переменных. Желая дать геометрическое
истолкование сказанному выше, аналогичное геометрическому
истолкованию производной и дифференциала функции одной
переменной [90, 103], вернёмся к
понятию касательной к кривой
Э? в данной на ней точке Ма,
Мы определили касательную
М0Т (черт. 96) как предельное
положение секущей М0М при
стремлении М0М к нулю [90].
Очевидно, можно дать и такое,
равносильное этому,
определение:
Черт. 96. Прямая МаТ называется
касательно й к кривой <Э£
в точке М0 на ней, если расстояние MP переменной
точки Μ кривой ЗС от прямой М0Т, при стремлении
расстояния М0М к нулю, является бесконечно малой высшего
порядка, чем МйМ (т. е. если отношение МР/М0М при
этом стремится к нулю*).
Рассмотрим теперь некоторую поверхность J" и на ней
точку Λί0 (черт. 97). Аналогично определению касательной
прямой, дадим определение касательной плоскости:
Плоскость М0К называется касательной
плоскостью к поверхности <У в точке Ма на ней, если
расстояние MP переменной точки Μ поверхности а? от
этой плоскости, при стремлении расстояния М0М к нулю,
является бесконечно малой в ыс иге го порядка, чем МйМ
(т. е. если отношение МР/М0М при этом стремится
к нулю).
Пусть [150] поверхность задана уравнением z=f(x,y)
в прямоугольных координатах. Возьмём на ней точку
М0{х0, у0, z0) [где za =/(х0,у0)] и исследуем, при каких усло-
* А это значит, что стремится к нулю sin f, ас ним и угол <р
между секущей МйМ и прямой МцТ (см. чертёж).

170] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 435
виях плоскость $>, проходящая через точку М0 и имеющая
уравнение
Z-z0 = A{X-x0) + B{Y- v0), (6)
удовлетворяет этому определению.
Проведём ML параллельно оси ζ (см. чертёж) и из Λί0.
опустим на ML перпендикуляр М0М. Так как отрезок МК
отличается от MP (не равным нулю) постоянным множителем,
то вместо отношения МР/ММ0 можно рассматривать
отношение MKJMMU. Покажем теперь, что, не меняя по существу
Черт. 97.
определения касательной плоскости, можно, наконец, zrme-
нить здесь расстояние г — ММй отрезком. p = MaN.
Если при Μ—ѵЖ0 стремится к нулю отношение MKjp,
то это тем более верно для отношения МК\г, ибо г ^> р.
Предположим теперь, что МК\г стремится
к нулю, и установим, что тогда стремится
к нулю и МК\$. Для этого достаточно доказать, что при
Μ—+М0 отношение — остаётся ограниченным.
28*

436 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [170
Отрезок MR, с точностью до знака, равен выражению
ζ — Ζ = ζ — ζ0 — Α (χ — х0) — В (у — уа)
или, если ввести обозначения
х — хй — Ах, у — Уо = Ьу, г — ζ0 = Δζ = Δ/(λγ0, у0),
— выражению
Δζ — [А Ах-\-В Ay).
Ввиду сделанного предположения, по крайней мере для
точек М, достаточно близких к М0, будем иметь
і Δζ — (А Ах 4- В Αѵ) | < у г = ^ѴIхЩ^^К?,
так что
яли (усиливая неравенство)
,^-,<mi+isi+K1 + tj).
Отсюда
!^<2(М|+|В|)+1,
а следовательно,
7= ΐ/1 + (1^-ψ<2(Μ!+|βΗ-ΐ),
что и требовалось доказать.
Таким образом, плоскость (6) будет касательной к
поверхности в том и только в том случае, если отношение
Дг — (ЛАлг-f В\у)
Ρ
стремится к нулю вместе с р, т. е. если имеет место
разложение
Αζ = Α/(χ0,ν0) = Α·Αχ-\-Β·Αν-{-ο{ρ)
Iср. (4)1.
Мы приходим к окончательному заключению: для того,
чтобы поверхность z=f(x,y) в точке M0(xl), y0, z0), где
z0=f (х0, у0), имел? касательную плоскость*, необходимо
и достаточно, чтобы при х = х0, у=у0 функция f (х, у)
была дифференцируема.
* Имеется в виду плоскость, не параллельная оси ζ.

171) § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 437
Так как при выполнении этого условия коэффициенты Л
и В необходимо равны частным производным f (х0, у0) и
/' (*0, у0), то касательная плоскость выразится уравнением
Ζ — ζ0 = f'x (Ό. Λ) * (χ — *ο) + f'y (*ο. Λ) · (Υ — У α)·
Обычно значков при х, у, ζ не пишут; тогда уравнение
касательной плоскости принимает вид
Ζ - z=fx(x, у)-(Х -х) -{- fy (х, y)-(Y -у). (7)
Нетрудно видеть, что если пересечь поверхность и
касательную к ней плоскость любой плоскостью, параллельной
оси ζ и проходящей через
точку М0, то в сечении
с первой получается
некоторая кривая, а в
сечении со второй —
касательная к ней прямая*.
В частности, в
сечении поверхности
плоскостями К = _у0 и X = xQ
получатся кривые,
угловые коэффициенты
которых** соответственно
равны:
На черт. 98 отрезки У
КХМѴ КгМъ и КМ
представляют частные и
полное приращения функции, а отрезки KXNV KtNt и
KN—частные и полный её дифференциалы [ср. п° 103 и черт. 44].
171. Производные от сложных функций. Пусть имеем,
функцию
"=/(*. .У. *).
определённую в области <%>, причём каждая из переменных
Ζ
"г-l^EL
Ί
Ь
.*г*яй2
•
•
р_.
0,
І
-0Шк
'ЯІлі
Wiu
iWwffffi
ішЩ(IIш
Ч
ίΓ
/
8^
f'
Ν,
шгл^
/
Черт. 98.
* Ниже [224J будет рассмотрен более общий вопрос о
касательных к любым кривым, проведённым по поверхности череа
данную точку.
** Легко сообразить, по отношению к каким координатный
системам вычисляются эти угловые коэффициенты,

438 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [171
х, у, ζ, в свою очередь, является функцией от переменной t
в некотором промежутке:
* = ?(*).' .У = Ф(<), *=XW.
Пусть, кроме того, при изменении t точки (х, у, г) не
выходят за пределы области 3).
Подставив значения х, у и ζ в функцию /, получим
сложную функцию:
«=/<¥('), ψ С), ХЮ).
Предположим, что и имеет по х, у и ζ непрерывные
частные производные их, иу, иг * и что л:,, _у, и г,
существуют. Тогда можно доказать существование производной
сложной функции и вместе с тем вычислить её.
Действительно, придадим переменной t некоторое
приращение М, тогда х, у и ζ получат соответственные
приращения Δχ, Ay и Дг, функция же и получит приращение ки.
Представив приращение функции и в форме (1) (это мы
сделать можем, так как предположили существование
непрерывных частных производных их, иу, иг), получим
Ди = и'х · Δχ -\- а'у · Ay -j- uz ■ Δζ -j- a · Δχ -f β · Ay -j- Υ · Δζ,
где α, β, γ—>-0 при Δλγ, Ау, Дг—>-0. Разделив обе части
равенства на At, будем иметь
Дм ' Δ* ι ' Δν ι ' Дг , Дд- , 0 Ду , Дг
д7=^-^ + а^ДТ+н^^ + а-ДТ + ?-ДТ + ^Гг
Устремим теперь приращение At к нулю; тогда Δχ, Ay, Δζ
будут стремиться к нулю, так как функции х, у и г от t
непрерывны (мы предположили существование производных
хи уг и г.), а потому α, β и γ также будут стремиться к нулю.
В пределе получим:
а \ ="и'х -х\-\-йу у с -\-uz-z't. (8)
Видим, что при сделанных предположениях производная
сложной функции действительно существует. Если
воспользоваться дифференциальным обозначением, то формулу (8) можно
записать так:
du ди^ rf£ . ди dy_ , да d£ ._.
dt ~~ дх ' dt "Т" ду ' dt ~> dz ' dt' ^ '
* Собственно говоря, достаточно предположить днфференци-
руемость функции u=f(x,y, z).

172] § 3. производные функций нескольких переменных 439
Теперь рассмотрим тот случай, когда х, у и ζ зависят
не от одной переменной t, а от нескольких переменных,-
например,
x = <t(t,v), y = b(t,v), ζ~χ(ί,ν).
Кроме существования и непрерывности частных
производных функции / (х, у, ζ) *, мы предполагаем здесь
существование производных от функций х, у, ζ по t и ѵ.
После подстановки функций φ, φ и χ в функцию / мы
будем иметь некоторую функцию от двух переменных t и ѵ,
и возникает вопрос о существовании и вычислении частных
производных u't и и'ѵ. Но этот случай не отличается
существенно от уже изученного, ибо при вычислении частной
производной функции от двух переменных мы одну из
переменных фиксируем, и у нас остаётся функция только от одной
переменной. Следовательно, для этого случая формула (8)
остается без изменения, а формулу (9) нужно переписать
в виде:
ди ди дх , да ду , ди dz .QS.
dt~dx ' дТ~т~ Έγ"Έ ~1~дТ"д7· *■ '
172. Примеры. 1) Рассмотрим степенно-показательную
функцию
и=ху.
Положив xz=e(t), y=zty(t) и продифференцировав по только
что выведенному правилу дифференцирования сложной функции,
получим известную уже нам формулу И. Бернулли:
u't—y-xy~l-xt-\- xy\ogx-y't.
Раньше мы установили её (в других обозначениях) с помощью
искусственного приёма [98, 23)].
2) Пусть u—f{x,y,z) имеет непрерывные частные
производные, и вместо х, у и ζ подставлено:
х = п — ζ, ν = С — £, ζ = ζ — η.
Тогда
ди ди.ди^ ди ди_ ди_ ди ди ди
дІ.~ ду~~т~дй' д^~дх~дг' Ж~~Ъ1с+ дущ
3) Если (при тех же предположениях относительно функции /),
сохраняя χ независимой переменной, положить
у=у{х) и г=.г{х),
См. сноску на предыдущей странице.

440 гл. ѵ. функции нескольких гщрнменных [172
где функции у (х), г (х) дифференцируемы по х, то и, как
сложная функция от х, будет иметь производную:
da да , да dy ,ди_ dz
~dx~~дх~^~д~у' dx ' dz ' dx
или
+ f'z(x,y{x),z{x)).z'(x).
Здесь само .*: играет роль переменной ί в формуле (8).
4) Если же обе переменные х, у оставить независимыми, а
вместо ζ подставить функцию
z = z(x,y),
имеющую производные по χ -и по у, то для сложной функции
u = f(x,у, z(x,y)) будем иметь:
£с =f'x (·*» У> г (Х'У)) +f'z (-*> У> г (*· У))-*'х (*>У)>
~=f'y{x,y,z(x,y)) +f'x {x,y,z(x,y))-z'y(x,y).
5) В качестве дальнейшего примера применения формулы (9}
рассмотрим вопрос о дифференцировании определителя
ап а1г ... а1п
аЪI ^22··· αΐη
ал1 ап2··' апп
в предположении, что элементы его alk (I, k = 1, 2, ..., η) суть
функции от некоторого параметра t, для которых существуют произ-
j. da it,
водные по t: —~r.
at
Вспоминая разложение определителя по элементам А-го
столбца:
b- — Alk-alk-\- А2к-агк +...-f Atk-atk +...-f Ank-ank,
где миноры Alk, ..., Ank элемента aik не содержат, приходим
к заключению, что
ді
да
Ik
Uk·

172] § 3. производные функций нескольких переменных 441
В таком случае, по формуле (9),
ля ....
d± V* V σΛ daik V V л Лаъ
ал ^ч гч ал а.аік <с-ч ^ <*αϊ^
dt~ L· L· Ш7и ' ~df~ i-i 2*Л">' If
л
Заметим, что сумма \\ ^ш ' ~jjt Даёт разложение опреде-
лителя, отличающегося от данного лишь тем, что элементы его
А-го столбца заменены их производными по t. Отсюда правило:
производная определителя Δ равна сумме η определителей*
получающихся из л заменой, поочерёдно, элементов его 1-го, 2-го,
..., п-го столбца их производными.
Формула (8) сходна с формулой: «, = 11^·.*^ для случая
функции и от одной переменной х. Подчеркнём, однако, снова
разницу в условиях, при которых были выведены эти формулы.
Если и зависит от одной переменной, то достаточно было
предположить существование производной их; в случае же нескольких
переменных — мы вынуждены были предположить ещё и
непрерывность производных их, а , ... Следующие примеры показывают,
что одного существования этих производных для
действительности формулы (8) вообще недостаточно.
6) Определим функцию u=f(x,y), полагая:
ί(χ^)=^ψ^ (при**+.уг>(», /(0,0) = 0.
Эта функция, как мы видели, имеет частные производные во всех,
точках, не исключая и начальной (0, 0), причём
/>, 0) = 0, /у (0, 0)=0;
заметим, что именно в этой точке производные терпят разрыв.
Если ввести новую переменную t, положив х — t и y = t. то-
получим сложную функцию от t. По формуле (8) производная этой.
функции при г = 0 была бы равна
' 11,11 -
Но, с другой стороны, если на деле подставить значения
χ и у в данную функцию ы=/(дг, у), получим
и —*э4-гз—2 "
Продифференцировав теперь непосредственно по t, будем-
иметь ui=-^- при любом значении t, значит и при ( = 0.
Оказывается, что формула (8) в данном случае неприменима»

442 гл. ѵ. функции нескольких переменных [173
7) Поведение функции а=/(дг, у), определяемой равенствами
5_
О
/(-г>У) = ^Рру2 (при*2+^>0), /(0,0) = 0,
в точке (0, 0) вполне аналогично. Взяв здесь ;e=j> —f, получим
сложную функцию a=-r-i , которая при ί = 0 имеет
бесконечную производную. Если же положить: x = t, a
4
Τ 1
y = t sin-τ- при t Φ 0 и _у = 0 при f=:0,
то сложная функция, определяемая равенствами:
i-sin-т-
и = 2 ПРИ ^ 7й 0> и = 0 при ί = 0,
при ί=0 никакой производной иметь не будет.
173. Формула конечных приращений. Пусть функция
J(x, у, ζ) определена и непрерывна в замкнутой
области <& и имеет непрерывные частные производные f'x, /', f
внутри этой области (т.е. во всякой внутренней её
точке). Рассмотрим две точки из <3>
М0(х0, Уо, г0) и М1 {х0 -\- Ах, у0 + Ь.у, z0-f Lz\
которые можно соединить прямолинейным отрезком М0М.,
целиком лежащим в области 3).
Тогда имеет место формула:
■Δ/ (*о. Λ. го) =/ (*о + Δχ- Уо + 4У. го + Δ*) — / (-«о. Λ» ζο) =
=/ί (*о + δ Δ*, Λ + 0 Д.у, ζ0 + θ Δζ) ·Δχ +
+/;(·· Ο-Δ^+Λί·.·)·^ (10)
(0<β<1),
вполне аналогичная известной формуле конечных
приращений для функции одной переменной [118, (2)].
Для доказательства её, положим в функции f(x, у, ζ)
χ—χΰ-{-έ·Αχ, y — y0-\-i.Ay, ζ = ζν-\-ί·Αζ (11)

I7S1 § 3. производные функций нескольких переменных 443
(при OsiisSil), т. е. рассмотрим нашу функцию именно в
точках прямолинейного отрезка МйМѵ Сложная функция от t
F(t)=f{x0 + t.bx, yu-\-t-by, zu + t-bz)
непрерывна во всём промежутке [0, 1], [160], а внутри него
имеет производную, которая, по формуле (8), равна
F(t)=;f'x(x0 + t-bx, уъ + t^y, ζ0 + '·Δ*)·Δ* +
+ /;(··. )·Δ),+/;(...)·Δζ,
ибо, из (11),
dx . dy . dz .
Έ = Αχ, ш=Ьу, Tt=Az.
Применим к функции F (έ) в промежутке [0, 1] формулу (2)
п° 118:
F(l)-F(0) = F(b) (0<6<1).
Если заметить, что, по определению функции F (t),
/Ч1)—Р(0) =/(*„ +Δ*, у9 + Ьу, «0 + Δ*)-/(*ο.Λ.*υ).
и подставить, вместо производной F1 (0), только что
найденное выражение (при ί = 0), то и придём к формуле (10).
В качестве простого примера приложения доказанной
формулы упомянем следующее предложение:
Если функция f{x, у, г), непрерывная в замкнутой
и связной области ЗУ, внутри области имеет частные
производные, равные 0:
то эта функция во всей области 3) сводится к постоянной:
f = const.
Пусть М0(х0, уа, г0) и М(х, у, г) будут любые две точки
области SD. Ввиду предположенной связности £5, эти точки
можно соединить ломаной, не выходящей за пределы S). Если
М1 (хѵ уѵ ζ,) есть следующая за М0 вершина ломаной, то,
положив в (11) χ0-\-Δχ = χν у0-{-Ау=у1, zQ-\-bz = zlt
сразу получим

444 гл. ѵ. функции нескольких переменных [174
переходя так, последовательно, от вершины к вершине,
окончательно найдём:
ч. и тр. д. f{X> У" z)==f{x*> Λ' *«)·
174. Производная по заданному направлению. Частные
производные функции / (Λί) =/(х, у, ζ) по х, по у, по ζ
выражают «скорость изменения» функции по направлению
координатных осей. Например, f'x есть «скорость изменения»
функции по х: точка предполагается перемещающейся лишь
по параллели оси х.
Между тем, во многих
физических вопросах
может представить
интерес также
«скорость изменения»
функции f{M) и по другим
направлениям. Так
будет, например, в
случае, если дано поле
температуры, т. е.
если задана
температура / (М) в
каждой точке Μ
рассматриваемого тела. Законы
распределения и перемещения тепла существенно зависят от
скорости падения (или роста) температуры по всем
направлениям. Уточним понятие «скорости изменения» или
производной функции по любому заданному направлению.
Здесь мы также будем иметь случай применить формулу (9).
Пусть функция / (М) определена в некоторой (открытой)
области. Рассмотрим любую точку М0(ха, у0, г0) этой
области и любую направленную прямую (ось) /, проходящую через
эту точку (черт. 99). Пусть Μ (χ, у, ζ) — какая-нибудь
другая точка этой оси, М0М — длина отрезка между Мй и М,
взятая с надлежащим знаком, именно со знаком плюс, если
направление МйМ совпадает с направлением оси /, и со знаком
минус — в противном случае.
Пусть Μ неограниченно приближается к Ж0. Если суще-
стеует предел ^ ПМ)-,т
Черт. 99.

174] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 445
то этот предел и называется производной от
функции f (Μ) по направлению I (или вдоль оси /) и
обозначается следующим образом:
ді ~- ді
Эта производная и характеризует «скорость изменения»
функции в точке М0 по направлению /.
В частности, как упоминалось, и обычные частные про-
df df df
изводные -J-, -4-, -г- тоже можно рассматривать как
производные «по направлению».
Предположим теперь, что функция f(x, у, г) имеет в
рассматриваемой области непрерывные частные
производные*. Пусть ось / образует с осями координат углы α, β, γ.
Докажем, что при сделанных предположениях производная по
направлению / существует и выражается формулой
Для доказательства заметим, что если положить Λί0Λί = /,
то будем иметь
х — x0 = t-cosa, у — ya = t-cos$, z — Zj = t-cos"{.
Таким образом, вдоль оси / координаты х, у, ζ можно
рассматривать, как функции г:
xz=x0-\-t-cosa, y = y0-\~t-cos$, z = z0-\-t cosy, (13)
а функцию f{M)=f(x, у, ζ),— как сложную функцию φ(ί)
от t. При этом точке М0 соответствует значение і, равное
нулю.
Таким образом, имеем:
*IЖ= и™ /W-/w=1im^ri№=f(0)i
если только существует производная φ' (Ο). Но производная
φ' (t) при сделанных предположениях существует и выражается,
по формуле (9), следующим образом:
ч+\^д± *£л-У- *1л_д1 d±
V "> — дх' dt^dy' dt^dy ' df
* См. сноску на стр. 438.

446 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [174
Используя формулы (13), получаем
Y'w=§£-*osa+f£-cosP+3i,cosY'
откуда и следует наше утверждение.
Зададимся теперь вопросом: по какому направлению
функция в данной точке будет всего быстрее возрастать?
Конечно, этот вопрос имеет смысл лишь в том случае, если
производные
df(x0, у0, z0) .__df{x0,y0, z0) df (x0, y0, ц) ,^.
дх ' ду ' dz v '
не равны зараз нулю (ибо иначе — производная по любому
направлению была бы нулём).
В этом предположении, прибегнем к преобразованию
выражения (12):
a-cosa-f- b-cos β -|-c-cosy =
_ |/^rqr^p72· (ψ=-· cos a + -Д= ·cos β + -4= · cos γ^
Дроби в скобках можно рассматривать, как направляющие
косинусы некоторого направления g:
а ., Ь с
-7==;cosX, -^ — tosy., -7= = cosv,
и тогда мы получим
У а? -\- Ь2 -j- cz■ (cosλ· cos a -j- cos f*·cos Ρ ~Ь cos v ·cos Y)·
Если, наконец, через (g, l) обозначить угол между
направлениями g и /, то по известной формуле аналитической
геометрии получим:
^ = Va»-t-i*+c».coste;/), (15)
Теперь ясно, что, если I отождествляется с g, эта
производная достигнет наибольшего значения:
§t=v*+w+T'= /(£)■+ф'+(2)'.
Вектор g, имеющий проекции (14) на оси координат,
указывает направление наиболее быстрого возрастания функции,
а его длина \g\ даёт величину соответствующей произвол-

175] § 3. производные функций нескольких переменных 447
ной. Этот вектор называют градиентом функции
f(M)=f(x, у, г).
Переписав формулу (15) в виде
легко усмотреть, что вектор, который получится, если на
направлении / отложить отрезок -4-., представляет собой
попросту проекцию градиента на это направление.
175. Инвариантность формы (первого) дифференциала.
Пусть функция u=f(x, у, ζ) имеет непрерывные частные
производные и' и' и', причём х, у, ζ, в свою очередь,.
χ у ζ
являются функциями от новых переменных t и ѵ:
x = <f(t, ν), y = ty(t, ν), z = x(t, ν),
-также имеющими непрерывные же частные производные x't, χ' г
y'f Уѵ' ζ'ί> ζ'ν· Тогда [171] не только существуют
производные от сложной функции и по t и ѵ, но эти производные
также непрерывны по t и ѵ, как это легко усмотреть из (8).
Если бы х, у и ζ были независимыми переменными, тоѵ
как мы знаем, полный дифференциал функции и был бы
равен
du = u'x· dx -\-u' ■ dy -\- u'z · dz.
В Данном же случае и зависит — через посредство х, у, ζ —
от переменных t и ѵ. Следовательно, по отношению к эти»
переменным, дифференциал напишется так:
du = u't 'di-\-u'0· dv.
Но, в силу (8),
■«·,=«;-*і+*;·.?;+«Х
и, аналогично,
и' =;и' -х' + а'-у' 4-и'-г'
Подставив эти значения в выражение для аи} будем иметЫ
і«=(«;.*;+«;.у,+«Х).л+

44R ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ {175
Перегруппируем члены следующим образом:
+ ti,z.(z\-dt + z,O.dv).
Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках,
суть не что иное, как дифференциалы функций х, у, ζ
•(от и и г;),· так что мы можем написать:
du = и'х · dx -j- a' · dy -f- u'z · dz.
Мы пришли к той же самой форме дифференциала,
что и в случае, когда х, у, ζ были независимыми переменными
(но смысл символов dx, dy, dz здесь, конечно, уже другой).
Итак, для функций нескольких переменных имеет
место инв ар иантно сть формы (первого)
дифференциала, как и для функций одной переменной*.
Может случиться, что х, у и ζ будут зависеть от
различных переменных, например,
x = v[t), y = ty(t, w), z — i(v, w).
В таком случае мы всегда можем считать, что
ΛΓ = φ,(ί, ν, w), у = &г(і, ν, w), 2 = χ1(/, ν, w),
и все предыдущие рассуждения будут применимы и к этому
случаю.
Следствия. Для случая, когда χ и у были функциями
одной переменной, мы имели следующие формулы:
d(cx)~c-dx, d{x+:y) = dx±dy, d{xy)=y-dx-{-x-dy,
d ( —) == Уах~х-аУ
\ у ! yi
Эти формулы рерны и в том случае, когда
х и у являются функциями любого числа
переменных, т, е. когда
х = <9(*> ν, ...), y = ty(t, v, ...).
* Отметим, что то же заключение справедливо и при одном
предположении дифференцируемости всех
рассматриваемых функций. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что
результатом суперпозиции дифференцируемых функций будет
также дифференцируемая функция.

176] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 449
Докажем, например, последнюю формулу.
Для этого примем сначала χ и у за независимые
переменные; тогда
Видим, что при этом предположении дифференциал имеет
тот же вид, что и для функций одной переменной. На
основании же инвариантности формы дифференциала можно
утверждать, что эта формула справедлива и в том случае, когда
χ а у являются функциями любого числа переменных.
Доказанное свойство полного дифференциала и следствия из
него позволяют упрощать вычисление дифференциалов, например:
,. . , χ 1 .(х\ ydx — x-dy
1) d arctg — = ;—r-z-d I — ) =*- =-,—^-,
У 14-f—) У х*+У%
*> а хъ+уі + г*— (хз+уі + ζψ —
(У2 + & — -г3) dx — 2xy-dy — 2xz-dz
~ {x*-\-y*-\-z*y
Так как коэффициентами при дифференциалах независимых
переменных являются соответствующие частные
производные, то отсюда сразу же получаются и значения этих последних.
Например, для и = arctg — имеем непосредственно
[ср. 2) и
ди
дх
X
~Хг+-У* + г*
ди у* +
дх — (х*+.
3) 167].
У
** + />'
получим
гг-ха
уі + гф1
да
дг~
ди
ду-
сразу
да
' ду~
2xz
(х*+У* +
X
х* + у*'
2ху
(^+я-Н2)5
ζψ
176. Применение полного дифференциала в приближённых
вычислениях. Аналогично дифференциалу функции от одной
переменной [107] и полный дифференциал функции от нескольких
переменных с успехом применяется в приближённых вычислениях при
оценке погрешностей. Пусть, например, мы имеем функцию и =
= /(·*.У)< причём, определяя значения χ и у, мы допускаем
погрешности, скажем, &х и Ьу. Тогда и значение а, вычисленное по
29 Г. М. Фихтенгольц

450 гл. ѵ. функции нескольких переменных (176
неточным значениям аргументов, также получится с погрешностью
Ди=/(лг-(-Ддг, у-\-Ьу)—f(x, у). Речь идёт об оценке этой
погрешности, если известны оценки погрешностей Δχ и Ду.
Заменяя (приближённо) приращение функции её
дифференциалом (что оправдано лишь при достаточно малых значениях Да- и Ду),
получим
бх
Здесь и погрешности Да-, Ду, и коэффициенты при них могут быть
как положительными, так и отрицательными; заменяя те и другие
их абсолютными величинами, придём к неравенству
|uB|<|g|-|4*l + |g|-lAy|.
Если через 8и, &х, by обозначить максимальные абсолютные
погрешности (или границы для абсолютных погрешностей), то
можно, очевидно, принять
ди\
дх\
Ьи-.
ίχ +
Щ.іу.
ау\ γ
(17)
Приведём примеры.
1) Прежде всего, с помощью выведенных формул легко
установить обычные в практике приближенных вычислений правила.
Пусть и = ху (где л:>0, у>Щ, так что du=y dx-{-xdy\
заменяя дифференциалы приращениями, получим Да =у.\х-\-х·\у
[см, (16)] или, переходя к границам погрешностей [см. (17)]:
Ьи=у-Ьх-\-х-Ъу.
Деля обе части этого равенства на и — ху, придём к
окончательной формуле:
* = *+&. (18)
и χ ' у '
выражающей тачое правило: {максимальная) относительная
погрешность произведения равна сумме {максимальных)
относительных погрешностей сомножителей.
Можно было б;л поступить проще — сначала
прологарифмировать формулу и=х-у, а затем продифференцировать:
ι , it dn dx . dy*
log и = log .r-(-log у, — = —-f-£ и т. д.
* Обращаем внимание читателя на то, что дифференциал log и
мы вычисляем так, как если бы и была независимой
переменной, хотя на деле она является функцией от χ и у [175]. Это
замечание следует иметь в виду и ниже.

176] § 3. пролзводныі·: функций нескольких переменных 451
Если и = — , то по этому методу найдем
, , da dx
log a = log* — \ogy, — = —■
*У-
' У'
переходя к аосолютным величинам и к максимальным
погрешностям, мы получим снова формулу (18). Таким образом (максималь
нпч) относительная погрешность частного
равна сумме (максимальных) относительных
погрешностей делимого и делителя.
2) Чзстое применение находит исчисление
погрешностей в топографии, главным образом
при вычислении не измеренных непосредственно
элементов треугольника — по измеренным его
элементам. Приведём примеры из этой области.
Пусть в прямоугольном треугольнике /^АВС
(черт. 100) катет АС—Ь и прилежащий угол -QBAC
второй же катет а вычисляется но формуле: а
Черт. 100
=а измерены;
b -bgo.. Как
отражаются на значении о погрешности при измерении Ь и ч~)
Логарифмируя и дифференцируя, получим
da
а
Μ da_
Ь sin α · с
— , откуда da = tg t-db -f-
cos- я
так что и
la — tg о · bb -\-
COS^
• ία.
Пусть, например, намерения привели к результатам:
6 = 121.56 м ±0,05 ж,
<а = 25°21'40'± 12',
так что
а — 57,62 м.
Определяя по наше"! формуле
Ьа, положим в ней &Ь = 0,05, а
12'
Sa = „ . ^.у- (ведь δα нужно
выразить в радианах, а один радиан ра-
60'·60·360 „„„„.
вен именно ^ =205265 ).
Черт. 101.
Мы получим
ta «.«"=0,0237, -Λ-δ« =0,0087,
5 COS!a
так что, округляя, можно считать 3я=0,0}. Итак, а =57,62 м+z
± 0,04 м.
3) Найдём погрешность при определении стороны а
косоугольного треугольника ABC (черт. 101) по формуле
а = Vb' -4- с2 — 2Ьс-СО& а.
29*

452 гл. ѵ. функции нескольких переменных [177
Пользуясь результатами примера 5) п° 167, можно по формуле (17)
сразу написать:
« Ъ — c-cosa », . с — й-ccsa , . bc-s'ma .
οα= bo -4 ос -4 οι.
a 'a 'a
Из чертежа же имеем непосредственно:
6 — c-cosa = a-ccsY, с— b-cos a = a-cos ^, bc-siaa = a-ha,
где ha есть высота треугольника, опущенная из вершины А. Таким
образом, оказывается, что
la = cos7-<5£-j-cos $-lc-\-ha-la\
по этой формуле легко судить о влиянии на la отдельных
погрешностей lb, lc, la.
177. Однородные функции. Как известно, однородными
полиномами называются полиномы, состоящие из членов
одного и того же измерения. Например, выражение
3-е2 — 2ху -f 5у
есть однородный полином второй степени. Если умножить
здесь χ и у на некоторый множитель /, то весь многочлен
приобретёт множитель t во второй степени. Подобное
обстоятельство имеет место для любого однородного полинома.
Однако и функции более сложной природы могут
обладать таким же свойством; если взять, например, выражение
Х—у &у»
то и оно приобретает множитель t2 при умножении обоих
аргументов χ и у на t, уподобляясь в этом отношении
однородному полиному второй степени. Подобную функцию
естественно также назвать однородно^ функцией второй
степени.
Дадим общее определение:
Функция f(xv . . ., хп) от я аргументов, определённая
в области £ΰ, называется однородной функцией
т-й степени, если при умножении всех её аргументов на
множитель t функция приобретает этот же множитель
в т-й степени, т. е. если тождественно выполняется
равенство
f{txu ..., /jfj=^./(rp ..., χ J. (19)

177] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 453
Для простоты мы ограничимся предположением, что
хѵ . . ., хн и t здесь принимают лишь положительные
значения. Область ££>, в которой мы рассматриваем функцию /,
вместе с любой своей точкой М(хх, . . ., хи) предполагается
содержащей и все точки вида Mt{txv ..., txn) при ί^>0,
т. е. весь луч, исходящей из начальной точки и проходящий
через точку М.
Степень однородности т может быть любым
вещественным числом; так, например, функция
У χ
х" -sin г- У· cos —
χ < ' у
является однородной функцией степени π от аргументов
хну.
Постараемся теперь получить общее выражение
однородной функции степени т.
Пусть сперва /(л:,, ..., хп) есть однородная функция
нулевой степени; тогда
/(if.*:,, tx.it ..., txH)=f(xv x2, ..., xj.
Положив t=^—, получим
/(*,, χ,, ..., *j=/(i,~;, ■..., \
Если ввести функцию от я—1 аргументов:
φ К, .··, ип_л)=/(\, ии ..., ап_х),
то окажется, что
/(*,, Хі, ..., *„)=φ(^;, -··, I).
Итак, всякая однородная функция нулевой степени
представляется в виде функции отношений аргументов между собой.
Обратное, очевидно, также верно, так что предшествующее
равенство даёт общее выражение однородной
функции нулевой степени.
Если /(*і, хг, ·.., хп) есть однородная функция т-&
степени (и только в этом случае), отношение её к х™ будет
однородной функцией нулевой степени, так что
J(-*Ί> χν ·· ·. χα) (х% хп\
з =?U· —tJ·

454 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (178
Таким образом, мы получаем общий вид
однородной функции степени т:
/<хр х„, ..., *„) = *, -φ^-, ..., --).
Пример:
χ — ν "ν ν ° χ '
178. Формула Эйлера. Предположим теперь, что
однородная (степени т) функция f(x, у, ζ)* имеет в (открытой)
■области §D непрерывные частные производные, по всем
аргументам. Фиксируя по произволу точку (х0, _у0, 2{}) из <2),
в силу основного тождества (19), будем иметь для любого
/>0:
/С*о> *Уо> tz0) = trn-f(x<» -Vo. *o)·
Продифференцируем теперь это равенство по і: левую
часть равенства — по правилу дифференцирования сложной
функции*'7', правую — просто как степенную функцию.
Получим
fxV*o, *Уо. <*о)-*о+<£(**о. (Уо. teo)OO +
47і('*о. *Уо, ^ο)·*ο = «ί",_,7(*ο. Го, 20).
Если положить здесь ί=1, то придём к следующей
формуле:
/і(*о. Λ. *ο)·*ο-τ-#(*ο. Λ. ^-Λ+Λ^ο. Λ. *ο)'*ο =
= m-f(xa, у0, г0).
Таким образом, для любой точки (х, _у, г) имеет место
равенство
fx (х, у, ζ) ■ χ +/; (*, >·, г) -у+Гг(х, ѵ, г) ■ ζ =
= m-f(x, у, ζ). (20)
Это равенство носит название формулы Эйлера (L. Euler).
* Лишь для упрощения письма мы ограничиваемся здесь
случаем трёх переменных.
** Именно для того, чтобы иметь право применить это
правило, мы и предположили непрерывность частных производных
[171J.

179] § 4. производные и дифференциалы высших порядков 455
Мы видели, что этому равенству удовлетворяет любая
однородная функция степени т, имеющая непрерывные
частные производные. Покажем теперь, что и обратно — каждая
функция, непрерывная вместе со своими частными
производными и удовлетворяющая равенству Эйлера (20),
необходимо является однородной функцией степени т.
Действительно, пусть / (х, у, ζ) будет такой функцией.
Фиксируя по произволу значения хй, у0, zQ, рассмотрим
следующую функцию от t (при ^^>0):
.,, / (*·*ο. *.Ѵо. tz0)
тЧ') = ts ·
Она определена и непрерывна при всех і~^>0. Вычислив её
производную ψ' (έ) по правилу дифференцирования дроби,
получим также дробь, числитель которой равен
[f'x (ίχο, 0Ό>teoYx<r\-fy ((χο> 0Ό. izo)'Уо-\-/'г (t*o>*Уо, tenYzol'l~
— m-f(txu,tyu, tz0).
Заменив в формуле Эйлера (20) χ, у, ζ на ixQ, ty0, tz0l
видим, что этот числитель обращается в нуль, так что φ' (ί) = 0
и φ (i) = c = const. (при ty>0). Чтобы определить
постоянную с, положим t—\ в равенстве, определяющем φ (t).
Получим, что
с=/(х0, у0, гй).
Итак,
,,. f (tx* *П> **ъ) ,. ,
ψ{έ) = & =/(*о. Λ. *о)
или
/(^о. 0Ό> ^0) = im-f{x0, y0, z0),
ч. и тр. д.
Можно сказать, что формула Эйлера в такой же мере
характеризует однородную функцию степени т, как и
основное равенство (19).
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.
179. Производные высших порядкоз. Если функция
и=/(х, у, ζ)* имеет в некоторой (открытой) области £Э
* Мы и здесь для простоты письма ограничиваемся случаем
функции от трёх переменных.

456 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [J79
частную производную по одной из переменных, то названная
производная, сама являясь функцией от лг, у, ζ, может в
свою очередь в некоторой точке (лг0, _у0, г0) иметь частные
производные по той же или по любой другой переменной.
Для исходной функции u=f(x, у, ζ) эти последние
производные будут частными производными второго порядка
(или вторыми частными производными).
Если первая производная была взята, например, по х,
то её производные по х, у, ζ обозначаются так:
дЬі __ d°-f (х0, у0, г0) &и __ d*f (х0, У0, г0)
дх* дх*~ ' дхду дхду '
_4!ϋ_ = dif (л"°' -ѵ'"г")
дх дг дх дг
или
β*=/*(·*ο> 3Ό. го). β^ = /^(*ο. Λ· «Ό).
«;,=/;, к. л. *„)'*■
Аналогичным образом определяются производные 3-го,
4-го и т. д. порядков (третьи, четвёртые, ...
производные). Общее определение частной производной я-го
порядка может Сыть дано индуктивно.
Заметим, что частная производная высшего порядка,
взятая по различным переменным, например,
dxW' ду дх' дхдудг*' '"'
называется смешанной частной производной.
Примеры. 1) Пусть и = х*у3г* тогда:
их = Ах3у*г\
иѵ = Zx*y*z\
u'z = 2x*y*z,
u':vz = 2Ax^z,
и';'хх = Жх*уЧ\
ηζχ)ι=24χψζ.
uxy~ \2x3y"-z\
ι£,= 12*»yS*»,
n"zx~ 8xsy3z,
UiV = 72jf2v2r
"хѵгх — it* у ζ,
ui;xxz = 72xy-z,
ulzx„x = 72xWz.
* Разумеется, дифференциальные обозначения следует
рассматривать как цельные символы. Квадрат дх1 в знаменателе
заменяет условно дхдх и указывает на дифференцирование
дважды по х; точно так же значок х* внизу заменяет хх. Это
нужно иметь в виду и дальше.

173] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 457
2) Мы имели уже [167J частные производные для функции
и = arctg — :
ди _ у ди__ χ
дх~ x^Jf-yi' ду ЗёЦІу}'
вычислим теперь дальнейшие производные:
дги д ( ν \ 2агѵ
( У \= 2
оа:2 олг\^+У/ (*4+.У2)г'
д'Зц _ д ι у \ __ х^—уі
дхду ~ ду \ х*-\-у·) ~ (дт3+У-)2'
д\і _j)_ f χ \ _ χ"—у"-
дудх~дх\ х^+у0- ) ~ {х*·Л-У-)'''
d*tt __ д f χ \ _ 2xy
ду"· ~ду\ x's-\-y* I ~ (х^Ц-у^'
д3а _ j) I _ Iху \ _ 6лт.ѵ2—2х3
дх"- ду~ду\ (χϊ -\-у*)*- J — (^ЦГуі)з
д*и д ( λγ2—ν2 \ ЬхуЪ—Ъх*
( Лг2-у2 \
дуд*2 од:\(л-2-1-Я)2/ (x't+y-Y '
и т. д.
_ і_
3) Для функции и = - г =(лг2_|_^'!_і-^) 2 имеем
последовательно:
аналогичные выражения получим и для -^, г— Сложив их,
убедимся, что функция и удовлетворяет уравнению
дх^ dy*~*dz*~
4) Пусть y = f (x-\-at)-{-if{x — at), где а = const., а /(и),
^(h) — две произвольные функции, имеющие первую и вто-
рую производные. Показать, что у удовлетворяет уравнению -щ =
д"'Ѵ
= a'!-5^j', каковы бы ни были функции / и <р.

458 гл. ѵ. функции нескольких переменных [180
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
находим*:
g=f (χ + at) -f i (x~at), %=*Г (x + at) + ?" (jc - «rf).
^=f (x-\-at).a-\-Y(x-atH-a),
^f=/"(-v + ^)-a24-<p"U-^)-(-a)J = fl3._Z2> 4. „ Tp. д.
5) Доказать, что выражение
—·'(*)+♦(*)·
где ір и ψ означают произвольные функции (имеющие
первую и вторую производные), удовлетворяет уравнению
•^•з-^+Злгу· τ—3-4-J'2--5-5 = 0.
Имеем:
B-'(*)-f'(*)-*'(*)·
(9.
die
ддгдѵ
_^(i)_ji.f(i)-4.#.(.;),
дѵг хч\х)^х*ѵ\х)'
умножая последние три производные, соответственно, на х\ 2ху,
j/2 и складывая, действительно получаем 0.
180. Теорема о смешанных производных. При
рассмотрении примероз 1) и 2) бросается в глаза совпадение
смешанных производных, взятых по одним и тем же переменным,
но в разном порядке.
Нужно сразу же отметить, что это вовсе н е вытекает
с неоэходимостыо из определения смешанных
производных, так что существуют случаи, когда упомянутого
совпадения нет.
* Штрихи в обозначениях /, ?', .. . означают производные
по аргументу и функций /(и), φ (и).

I80J § 4. производные и дифференциалы высших порядков 459
Для примера, рассмотрим функцию
/ (х, у) = ху ί^£ (при jfl+y* > 0), / (0, 0) = 0.
Имеем:
Г rS «3 iviu'i Ί
(при х3+у->0),
ί'χ (0, С) = 0.
+У3 + (.^+У2)2.
Придав χ частное значение, равное нулю, будем иметь при любому
(в том числе и при у = 0): /х(0, у) = — у. Продифференцировав
эту функцию по у, получим f'xy(0, у) =—1. Отсюда следует, а
частности, что и в точке (0, 0) будем иметь
4(0, 0) = -I.
Вычислив таким же образом /' в точке (0, 0), получим
/£,(0. 0) = 1.
Итак, для рассматриваемой функции f"xy(fi, 0) ^/" (0, 0).
Тем не менее, подмеченное на примерах совпадение
смешанных производных, отличающихся лишь порядком
дифференцирований, не случайно: оно имеет место в широком
классе случаев — при соблюдении определённых условий.
Начнём со следующей простой теоремы.
Теорема. Предположим, что \) функция /'{χ, у)
определена в (открытой) области SD, 2) в этой области
существуют перзые производные fx и /', а также вторые
смешанные производные f" и f' и, наконец, 3) эти
последние производные /*у и /' , как функции χ и у,
непрерывны в некоторой точке (х0, у0) области £й. Тогда в этой
точке
гху (*о. л)=/;,(*<>. л)· (υ
Доказательство. Рассмотрим выражение:
w — Я-со + *.-Уо + *)— /(*ο-τ-Λ»>ο)—Л*о..Уо + *) + /(-*о.Уо)
w — Ш '
где Λ, k отличны от нуля, например, положительны, и
притом настолько малы, что в S) содержится весь прямоугольник
[х0, xe-\-h; уй, уй-\-к\, такими мы их фиксируем до конца
рассуждения.

460 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (180
Введём теперь вспомогательную функцию от х:
ψ \л) — k '
которая в промежутке [*0, x0-\-h], в силу 2), имеет
производную
, , > f'x(x, Уо +*)—/'* (*>Уо)
t (*) = k
и, следовательно, непрерывна. С помощью этой функции
выражение W, которое равно
г-4 [■
1 Г/ (*о ■+ h> Го +·k) - / (*ο + А, ур)
к
f(Xjb УЪ + k) — f (Хр, Ус)
]> <2>
можно переписать в виде:
Так как для функции φ (χ) в промежутке [л:0, x0-\-'h]
выполняются все условия теоремы Лагранжа [118], то
мы можем, по формуле конечных приращений, преобразовать
выражение W так:
хѵ ч~ і_йм fx (х° +Ѣ> y° + k)~f'x (*о + ѣ> JO)
W = φ' (*0 -f- S/z) = ^
(0 < e < i).
Пользуясь существованием второй производной /" (χ, y)t
сяова применим формулу конечных приращений, на этот раз —
к функции от у: /х{хй-\-Ъ!г, у) в промежутке [y0,y0-{-k].
Окончательно, получим
w=fxyК + 0А, Λ + Μ) (0<θ, β,<1). (3)
Но выражение W содержит χ и у, с одной стороны, и
А и А, с другой, одинаковым образом. Поэтому можно
отменять их роли и, введя вспомогательную функцию
,і, (ѵ.) _ / (*о Н-ft, >) — / (-ур, j/)

180] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 4G1
путём аналогичных рассуждений получить результат:
^=^(*о + в«А. JO + M) (О<02, Ѳ3<1). (4)
Из сопоставления (3) и (4), находим:
/:, к+о*, л · ь м>=/;х (*о+Μι л+м).
Устремив теперь А и А к нулю, перейдём в этом равенстве
к пределу. Ввиду ограниченности множителей % 9^ θ2, 03,
аргументы и справа и слева стремятся, соответственно, к х"0,
уй. А тогда, в силу 3), окончательно и получим:
/'ху(Х0' Уо)=/ух(Х0' Уо)> Ч· И ТР- Д-
Таким образом, непрерывные смешанные
производные f"xy и fyx всегда равны.
В приведённом выше примере эти производные
/„-/5.-IЙ·· {'+(*&,} <"+">01
не имеют вовсе предела при дг-^О, у -* 0 и, следовательчо, η
точке (0, 0) терпят разрыв: к этому случаю наша теорема
естественно неприложима.
Интересно поставить в связь вопрос о равенстве (1) с
вопросом о повторных пределах, рассмотренным в п° 158.
Если предположить существование первых производных, то,
написав выражение W в виде (2), легко усмотреть, что
., ._. /Л^о + й. Уо)-/у(*о. Уо) ,,
WmW—- - (A=eonst.) (5)
k-t-O ™
и, аналогично,
,. ™ /*(-го· Уо+ *)-/'*(-*·<>. .Ѵо) .. 2, ,_„ч
11П1 Р7= - (k = const.). (5*)
Тогда, по самому определению производной,
/yje<*o> .JO) = llm- J, ■ =llmhm W, (fi
Г (Хо, л) = Ц„^^^ + *)~^^==1іт1,тУ. (6*)
y *-*0 л *-й)*-»-0

462 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [181
Таким образом, вопрос о существовании и равенстве
смешанных производных тождественен с вопросом о
существовании и равенстве повторных пределов для
выражения W (зависящего от h и k).
Это замечание позволяет следующим образом усилить
доказанную теорему.
Предположим, помимо существования первых
производных, существование лишь одной из смешанных
производных, например, f (х, у) β окрестности точки (хй, уй)
(исключая даже само? эту точку). Пусть, далее,
существует конечный предел
11,11 /Iѵ<*· У) = А-
У~*У;
Отсюда уже вытекает существование в точке (хй, у0)
обеих смешанных производных и равенство (1)*.
Действительно, исходя из сделанных предположений, можно,
как и выше, притти к равенству (3), а затем, пользуясь
существованием предела функции f"xv(x, У) в точке (лг0, _j'0)t
установить существование двойного предела при
одновременном стремлении Л и А к нулю:
lim W= A.
h-t-0
fc-t-0
Но простые пределы (5) и (5*), по предположению,
существуют; тогда, по теореме п° 158, существуют также
повторные пределы (6) и (6*) и разны двойному. А это и
значит, что существуют и равны между собой производные
£ѵ ('о· Л) и ζ*(χο> У о)·
181. Обобщение. Обратимся, наконец, к доказательству
общей теоремы о смешанных производные:
Теорема, Пусть функция u=f(xv х2, ..., хп) от η
переменных определена в (открытое) n-мерной области £ΰ
и имеет в этой обліст/ι всевозможные частные
производные до (k — \)-го порядка включительно и смешанные
производные k-го порядка, причём все эти производные
непрерывны в &>.
* Это предложение принадлежит Шварцу (Н. A. Schwarz).

181] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 463
При этих условиях значение любой k-й смешанной,
производной не зависит от того порядка, в котором
производятся последовательные дифференцирования.
Доказательство. Для k—2 теорема уже доказана,
так что, например,
<?-'ы д'-а
дх,- dxj dxj дх;'
Действительно, чтобы свести этот случай к первой теореме,
достаточно заметить, что при вычислении этих производных
можно всем прочим переменным (кроме х( и х.) приписать
постоянные значения, причем названные производные,
непрерывные по всей совокупности переменных, будут непрерывны
и по переменным х{ и Xj, при фиксировании остальных. Пусть
теперь /е^>2.
Докажем сначала нашу теорему для того случая, когда
при вычислении производной k-vo порядка произведена
перестановка только между двумя последовательными
дифференцированиями, т. е. докажем справедливость равенства
<J*w
дхі:дхіг..дх,Л $x,h+i ... ox,k ~~
= ^Ξ (7)
θχ1χ dxK...dx,A+ldx,h...dx,k · ν '
(Здесь ι,, /.;, ..., /ή, ίΛ+1, ..., іЛ есть некоторое
размещение из it значков 1, 2, ..., η по k, с возможными
повторениями.)
Произведя последовательно необходимые для вычисления
этих производных дифференцирования, видим, что
производные (А—1)-го порядка в обоих случаях одинаковы.
Применив к ним уже доказанную для k = 2 теорему, получим, что
и производные (/?'-(-1)-го порядка равны. Дальше же, в
обоих случаях нужно производить одинаковые операции,
которые и приведут к одинаковым результатам.
Итак, равенство (7), действительно, справедливо, и
теорема для этого случая доказана. Но так как всякая
перестановка элементов может быть достигнута рядом
перестановок двух последовательных элементов, то теорема
доказана и в общем случае: при условии непрерывности соответ-

464 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [182
ствующих производных, всегда можно переставлять между
собою дифференцирования по различным переменным.
Непрерывность производных мы впредь всегда будем
предполагать, так что для нас порядок последовательных
дифференцирований будет безразличен. Это даёт нам право
впредь при обозначении смешанной производной собирать
вместе дифференцирования по одной и той же переменной.
Если и есть функция от хѵ х2, ..., хп, то мы будем писать
такую производную в виде
дх\1дх%... дх^п '
где (Zj -j~ а2 -\~ · · · Η- ап — *·' если же и есть Функция от х,
ѵ,'..., ζ, то — в виде
д*а
дх* ду$... οζί '
где а -\- Ρ -\- ... -f Y== *· Отдельные «показатели» о,, аъ ...
..., ап или α, β, ..., γ могут быть и нулями: наличие
дифференциала с «показателем» 0 означает отсутствие на
деле дифференцирования по соответствующей переменной.
182. Производные высших порядков от сложной
функции. Пусть имеем функцию
где xv хъ ..., χη, в свою очередь, суть функции от
неременных /„ ί„ ..., tm:
χι = ψΛ*ι> к, ··.·. U (*'=1, 2, ..., я).
Относительно функций f и ш{ предположим, что они
имеют непрерывные частные производные по всем
переменным до k-го порядка включительно. Рассматривая и, как
сложную функцию от переменных іѵ ί2, ..., tm:
u = F{tv tz, ..., ij =/·(φυ ?2, ···, <P„),
покажем, что сложная функция имеет также все
производные до k-го порядка включительно, и притом
непрерывные.
Точнее говоря, мы будем доказывать следующее
предложение: каждая производная k-το порядка функ-

(83] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 465
цни F существует и составляется из
производных функций / (по её аргументам хѵ х2, ..., хп) и
функций φ, (по их аргументам ^, t2, ..., tjj, порядка
не выше ft-ro, путём умножений и сложений.
Доказательство будем вести по методу математической
индукции. Для k=\ это утверждение справедливо; оно
следует из выведенной ранее формулы для производной сложной
функции [171].
Предположим, что теорема верна для производных всех
порядков, низших, чем k; докажем, что она верна и для
производных k-то порядка. Каждая k-я производная
получается из некоторой (k — 1)-й посредством
дифференцирования по одному из t.. Представим себе производную (k—1)-го
порядка. Она, по предположению, получается из производных
функций / и 'ύι по переменным χ и t, порядков не выше
k—1, путём умножений и сложений, т. е. представляет
собой сумму произведений упомянутых производных.
Дифференцируя по t, любое из этих произведений, мы должны по
очереди дифференцировать каждый из множителей. Если
этот множитель есть производная, порядка не выше k—1,
от одной из функций φ, то в результате дифференцирования
его мы получим πpqизвoднyю той же функции, порядка не
выше k. Если же это будет производная, порядка не выше
k—1, функции /, то, рассматривая эту производную как
сложную функцию от переменных t и дифференцируя её
по tp мы заменим её известной суммой произведений*.
В результате, для рассматриваемой производной k-το
порядка получится, очевидно, выражение как раз указанного
вида, что и доказывает наше утверждение.
Непрерывность производных сложной функции F вытекает
из самого способа составления их из производных / и <pit
поскольку последние предположены непрерывными.
183. Дифференциалы высших порядков. Пусть в
области S) задана некоторая функция u — f(xv х2, ..., хп),
имеющая непрерывные частные производные первого порядка.
* Именно предположение о непрерывности всех
производных функции / и обеспечивает право пользоваться известным
нам правилом для вычисления производных от сложной функции
[171].
30 Г. М. Фихтенгольц

466 ГЛ. V. ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [|83
Тогда, как мы знаем, (полным) дифференциалом du
называется следующее выражение:
да . . ди , , , ди .
где dxv ..., dxn—произвольные приращения независимых
переменных хѵ ..., хп.
Мы видим, что du также является некоторой функцией
от хѵ х2, ..., хп. Если предположить существование
непрерывных частных производных второго порядка для я, то du.
будет иметь непрерывные частные производные первого
порядка, и можно говорить о (полном) дифференциале от этого
дифференциала du, d(du), который называется
дифференциалом второго порядка (или вторым
дифференциалом) от и; он обозначается символом d2u.
Важно подчеркнуть, что приращения dxv dxv ..., dxn
при этом рассматриваются как постоянные и остаются
одними и теми же при переходе от одного дифференциала к
следующему.
Таким образом, если воспользоваться правилами
дифференцирования из п°175, будем иметь
d*u = d(du) = d ( p-dx,4- Р- dx, -{-... + ~ dx) ==
v ' \δχγ ' ' дх2 - ' ' οχη "Ι
= '(%)■<* + <{%)■«.+ :■+<(£>■*·.
или, раскрывая,
dU=\~^dXi + d^SX->+'--+l)xT^dxn)-dxi +
+ ІАМіі^ + лГ^+··· +дх^дГ/-Ч -dx^
+ (dx^1dx^dx^/X^---+-S72dxn)-dxn==
дх\й^ ' ox', 2^'-'+дх}^Х" +
+ 2dx^/XidX* + 2Jx%-3dxidxsJr
^2ox^/^dx^---+^M~^d^-idxl,

183] § 4. производные и дифференциалы высших порядков 467
Аналогично определяется дифференциал третьего
порядка, d3u, и т. д. Вообще, если дифференциал {к — 1 )-го
порядка, dk~lu, уже определён, то дифференциал ft-ro
порядка, dku, определяется как (полный) дифференциал
от дифференциала (ft — 1)-го порядка:
dku = d(d*-lu)*.
Если для функции и существуют непрерывные частные
производные всех порядков до ft-ro порядка включительно,
то существование этого ft-ro дифференциала обеспечено. Но
развёрнутые выражения последовательных дифференциалов
становятся всё более и более сложными. В целях упрощения
их записи прибегают к следующему приёму.
Прежде всего, в выражении первого дифференциала
условно «вынесем букву и за скобки»; тогда его
символически можно будет записать следующим образом:
Теперь замечаем, что если в выражении для второго
дифференциала также «вынести и за скобки», то остающееся
в скобках выражение формально представляет в
раскрытом виде квадрат выражения
т- dx, 4- з— dx« -4- ... -J- -з— dx„;
дхі l ' дх2 дхп п
поэтому второй дифференциал символически можно
записать так:
Аналогично можно записать третий дифференциал и т, д.
Это правило — общее: при всяком ft будем иметь
символическое равенство
Λ*β=(έι^+έΛ:·+··· + 4Λί·)*·β· (8)
которое надлежит понимать так: сначала полином, стоящий
в скобках, формально возводится по правилам алгебры
* Легко установить понятие и о частных дифференциалах
любого порядка; на этом останавливаться не будем.
30*

468 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [183
в степень, затем все полученные члены «умножаются» на и
(которое дописывается в числителях при дк), и только после
этого всем символам возвращается их значение как
производных и дифференциалов.
Мы видели, что это правило верно при А=1, 2; поэтому
достаточно показать, что "еслн оно верно для dku, то оно
будет также верно и для dk*lu.
Допустив, что этот закон для d'"a выполняется, будем
иметь в развёрнутом виде:
Лк» — Ус 2Л /fv-si dx* dx**
au-Zt c,lp ,2 ^ ^ _ ^ _ dx^ axx ax2 ...axn,
где суммирование распространяется на всевозможные группы
неотрицательных целых чисел аѵ α2, ..., α,(,
удовлетворяющих условию aj -j- C£2 -f- ... -f- o.n = k, a
С kl
«„«,,...,*„ — αιια2!..>νι
суть «полиномиальные» коэффициенты.
В предположении, что существуют непрерывные
производные (к-^-\)-го порядка, продифференцируем
предыдущую формулу; мы получим
d + '« = ѴС„ *2 „ · / ,,д"+!а dx%+*dx»... сГ:С»4·
*^ " 2 " \дх^+1дх^...дх^ х 2 "^
π d*?' ЙГХУ+1 ... dx°<* -f- ...
<j*+i/i
1 όχ\' dxf/ .. . dxj+x l 2
Очевидно, то же самое мы могли бы получить, φ о ρ м а л ь-
н о перемножив символические выражения:
и потом приписав и. Но это «произзедение» есть не что

183] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 469
иное, как
х (έ/χι + έ/-ϊ2+ ■ ■ · + έ-/*«) =
( д , , д . ι ι <? . \*+J
= (^^1 + ЙГ/**+ · · · + Λ?"/*») ·
так что
ч. и тр. д.
Из предыдущих рассуждений видим, что k-й
дифференциал является однородным целым полиномом
степени k, или, как говорят, является формой k-jb
степени относительно дифференциалов независимых переменных,
коэффициентами при которых служат частные производные
k-то порядка, умноженные на целочисленные постоянные
(«полиномиальные» коэффициенты).
Например, если и=/(х, у), то
<Bu^J-^-Jr2-SITydxdy\1-idy\
dH = Ѣ dxS + 3 ШГу dx"' аУ +
d4l = ^dxi^^ydx,dy^^dx,df+
и т. д. Положив конкретно a = arctg—, будем иметь
ydx-xdy ., 2лгу (rfys-.^) +2 (^-.v2) ^ 4.У
tf«— χΐ+j,! ' U'U— (*» + >*)»
(6х»у—2уД) ^лг3 + (18ДГУ2—6jc3) ^з rfy
du — — (χ*+γψ '
, (6y3-18xfy) dx dy* + (2*3—6.ry2) rfy з
"*" (*3+j^3
и т. д.

470 гл. ѵ. функции нескольких переменных [184
Сложность выражения для дифференциала возрастает с
увеличением числа переменных. Если ц=/(х, у, г), то,
скажем, третий дифференциал d*u в развёрнутом виде таков:
+ 3^у^2+6ш$тгах<1?аг-
184. Дифференциалы сложных функций. Пусть мы теперь
имеем сложную функцию:
где, в свою очередь,
В этом случае первый дифференциал может быть
сохранён в прежнем виде:
, да , , да , , , дп ,
du = dJFldxi + dT2dx*Jr-'-+oiadxn
[на основании инвариантности формы первого дифференциала,
175]. Но здесь уже dxv ..., dxn являются
дифференциалами не независимых переменных, а функций и,
следовательно, сами будут функциями, и могут не быть
постоянными, как в предыдущем случае.
Вычислив теперь второй дифференциал нашей функции,
будем иметь [если воспользоваться правилами
дифференцирования п° 175]:
= (έ/;ίι+4^2+···+^/Λ:'ι)2·κ+
+ дхг a *^dxt й x* ^ ·'' ' όΊΓη α **·
Мы видим, что для дифференциала порядка выше
первого инвариантность формы вообще не имеет места.

I85J § 4. ПгОизводные и дифференциалы высших порядков 471
Рассмотрим теперь частный случьй, когда хь х.0 ..., хп
являются линейными функциями от tb t2, . ..,'/„, т.е.
когда
(і = 1, 2,..., я),
где <χψ и β;— постоянные.
В этом случае будем иметь
dxt = αγ^+ ... + af4tm = а?Щ + ... + αί"<> Ας = Δ*,.
Мы видим, что все первые дифференциалы функций
хг, х2, ..., хп в этом случае постоянны, не зависят от
ij, t2) ..., г(т; следовательно, применимы без изменений
выкладки п° 183. Отсюда вытекает, что, в случае замены
независимых переменных хѵ хг хп линейными
функциями от новых переменных tv tv ..., tm, могут
быть сохранены прежние выражения даже для
дифференциалов высших порядков. В них дифференциалы dxv
dx2, ..., dxn совпадают с приращениями Д*г, Δ.ν2, . ..,Δχ,,,
но эти приращения не произвольны, а обусловливаются
приращениями Mv \t2, ..., №т.
Это простое и важное замечание мы используем
непосредственно в следующем п°.
185. Формула Тэйлора. Мы уже знаем [124 (13)], что
функция F{t), при условии существования её п-\-\ первых
производных, может быть следующим образом разложена по
формуле Тэйлора:
+(7гфту!/7;я+I)^-I-ѳ^-^))-(^-дл+1 (0<β<ΐ)
(дополнительный член взят в форме Лагранжа). Эту
формулу, положив
ί — /0 = Δΐ = dt, F(t)-F(tu) = \F(*„),
можно переписать так:
+ ^rjy.d^F{t0 + b·^) (0<β<1).

472 гл. ѵ. функции нескольких переменных [185
При этом важно подчеркнуть, что величина dt, входящая в
различных степенях в выражения дифференциалов справа, в
точности равна тому приращению М, которое фигурирует
в приращении функции слева.
Именно в последней форме формула Τ э й л о ρ а
распространяется и на случай функции от нескольких переменных.
Для упрощения письма ограничимся функцией f{x, у)
двух переменных.
Предположим, что в окрестности некоторой определённой
точки (χΰ, у0) эта функция имеет непрерывные производные
всех порядков до (я-|-1)-го включительно. Придадим х0 и у0
некоторые приращения Δλ: и Ду так, чтобы прямолинейный
отрезок, соединяющий точки (х0, у0) и (χ0-\-λχ, у0-\-ку),
не вышел з'а пределы рассматриваемой окрестности точки
С*о. JO)·
Требуется доказать, что при сделанных предположениях
относительно функции f(x, у) справедливо следующее
равенство:
= й}{хй, ya)-jr-2ldif(x0, y0)-\-...+-fi&f{x0, Уо) +
+ ЩГ[у*1+Ч(Хо + ЪЬх.Уо + Му) (9)
(0<6<1),
причём фигурирующие "справа в различных степенях
дифференциалы dx и dy равны именно тем приращениям Δ* и Ь.у
независимых переменных, которые породили приращение
функции слева.
Для доказательства [как и в п° 173] введём в
рассмотрение новую независимую переменную t, положив
χ = χϋ-\-ί·Δχ, y=yu-\-t-ky (Osgi<l). (10)
Подставив эти значения χ и у в функцию f(x, у), получим
сложную функцию от одной переменной t:
F{t)=f{xu + t-bc, y0 + t'iy).
Мы уже знаем, что введённые нами в рассмотрение формулы
(10) геометрически выражают прямолинейный отрезок,
соединяющий точки M0(xQ, у0) и Μ1(χ0-1ΓΔχ, _у0 -J- Ду).

185] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 473
Теперь мы видим, что вместо приращения
Δ/(*ο> Уо)=/(*о-{-Ьх, у0 + Ьу)—/(х0, Уо),
мы можем рассматривать приращение вспомогательной
функции:
bF[0)=F{l)-F{0),
так как оба приращения равны. Но F(t) является функцией
от одной переменной и имеет [182] /2 —|— 1 непрерывных
производных; следовательно, применив к ней уже выведенную
ранее формулу Τ э й л о ρ а, получим
LF[0)=FV) — F{0) = dF{0)+±[d*F{0) + ...
... + ^^(0)+(^рТ)Г^+^(б) <О<0<1); (И)
при этом дифференциал dt, входящий в различных степенях
справа, равен Λί = 1—0 = 1.
Теперь, пользуясь тем, что при линейной замене
переменных форма даже высших дифференциалов не меняется,
можем написать, что
dF (0) = fx (х0, уа). dx -\-fy (*„, у0) -dy=df (х0, у0),
d*F (0) == /;а (ха, у0). dx* 4- 2fxy (x0, yQ) -dxdy +
+ /;Д*о.Л)-«Уа'=*/(*о..Уо).
и т. д. Наконец, для (л -{— 1)-го дифференциала будем иметь
</«+if (Ѳ) = ύΡ+' /(х0 + θ Δ*, уо + Θ Ду).
Важно отметить, что здесь дифференциалы dx и dy
ничем не отличаются от ранее взятых приращений Δ* и Ау.
Действительно,
dx — Δ# · dt = Δ*, dy = &y-dt, = \y.
Подставив всё это в разложение (11), мы и придём к
требуемому разложению (9)'.
Читатель должен дать себе отчёт в том, что, хотя в
дифференциальной форме формула Τ э й л о ρ а для случая
функции нескольких переменных имеет такой же простой вид, как
и для случая функции одной переменной, — но в развёрнутом

474 гл. ѵ. функции нескольких переменных [186
виде она гораздо сложнее. Вот как выглядят первые три её
члена даже для функции лишь двух переменных:
/ (*0 -f ах, у0 + Ау) — / («о. У о) —
+ If [ ^ (χ*> JO) *Δχ2 + 24 (*ο. Уо) · Δ* ^ +
+/;(*ο.Λ)·Δ/] +
+"зг L/£ (*o> уо)-^х3 -Η3/^ (*<>> ;ό)·δ*2 Ау~Ь
-1- з/^. (χ0. λ) ·Δ* Αν2+/у" (*ο. у ο) · Αν3] 4- · · ·
Формула (9) имеет место и при /г = 0; этот частный
случай мы уже рассматривали в 173.
§ 5, Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения.
186. Экстремумы функции нескольких переменных.
Необходимые условия. Пусть функция
И =/(*!> *в> ···. *»)
определена в области @) и (#°, х°, .. . , лф будет
внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция / (хѵ хг, ..., xtl) в точке
(х°, х°2, ..., х^) имеет максимум {минимум), если eg
можно окружить такой окрестностью
(*0_г,д.0+>; л0_3іЖ0 + г. ...; jfO — a, ^0_|_δ),
чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось
неравенство
J (Χχ, Χν, . . . , Χ,) =£Ξ/ (JCj, Xji · · · ι ■*„)·
Если эту окрестность можно взять настолько малой,
чтобы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой точке
ее\ кроме самой точки (х°ѵ х°2, ..., х°), выполнялось
строгое неравенство
I (ХѴ Хіі · · · > хп) ^/(·*ι» χ2> · · · ι xn)t
О)

18G] § 5. экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 475
то говорят, что в точке (х°, х°2,..., лг°) имеет место
собственный максимум (минимум); в противном случае,
максимум (минимум) называется несобственным.
Для обозначения максимума и минимума употребляется и
общий термин — экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке
(х°, х®,..., х°п) имеет экстремум.
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные)
частные производные:
£.(*?.···. *ί)...-./,.(4·.·.*5).
то все эти частные производные равны нулю, так что
обращение в нуль частных производных первого порядка
является необходимым условием существования
экстремума.
С этой целью положим д;2 = лг°,..., хп = х°л, сохраняя хх
переменным; тогда у нас получится функция от одной
переменной Ху.
«=/(*„4·.·. 4>
Так как мы предположили, что в точке {хѵ х\,,.., х°)
существует экстремум (для определённости — пусть это будет
максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой
окрестности (х® — Ь,х°-\-Ь) точки х1 = х® необходимо
должно выполняться неравенство
П*ѵ4 *ί)</(4 4 ···· xr)>
так что упомянутая выше функция одной переменной
в точке хЛ = х° будет иметь максимум, а отсюда по теореме
Ферма [115] следует, что
4(44 ■••>4,)=0·
Таким же образом можно показать, что в точке (х[, х\, ..., *°)
и остальные частные производные также равны нулю.
Итак, «подозрительными» по экстремуму являются те
точки, в которых частные производные первого порядка все

476 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [137
обращаются в нуль; их .координаты можно найти, решив
систему уравнений
fxS*v *«» ···' *«) = °>
fx,(XV Х2> •••Iхл) = ^> . /1\
f*SXVXb '··> *л) = 0*· ^
Как и в случае функции одной переменной, подобные
точки называют стационарными.
Замечания. I. Необходимое условие существования
экстремума кратко можно записать ещё так:
df{xv х2, ..., ·*„) = 0,
так как, если /' =/', =... =/' = 0, то, каковы бы ни
были dxv dx2, ..., dxn, всегда
d/ (xv x2, ..., xn) = д · dxx+/;t.</*,+ ... +/;n ■ dx„=o.
И обратно: если в данной точке тождественно выполняется это
условие, то ввиду произвольности dxv dx2, ..., dxn
производные fx, /^,..., f'x- порознь равны нулю.
И. Обычно, рассматриваемая функция f (хѵ х2, ..., хп)
имеет (конечные) частные производные во всей области, и
тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует
искать лишь среди стационарных точек. Однако
встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные
производные имеют бесконечные значения или вовсе не
существуют (в то время как остальные равны 0). Подобные
точки, собственно, тоже следует причислить к
«подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными Точками
[см. ниже: 191, 6)1.
187. Достаточные условия (случай функции двух
переменных). Как и в случае функции одной переменной,
* Для случая функции двух переменных: ζ = f(x, у) — в
предположении её диффёренцируемости — условия
f'x(x,y) = 0, f'y(x,y)=0.
допускают простое геометрическое толкование: касательная
плоскость [см. 170 (6)] к поверхности z=f(x,y) в точке её,
отвечающей экстремуму, должна быть параллельна
плоскости, ху.

187]. § 5, ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 477
в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие
экстремума. Если для примера взять простую функцию г~ху, το
для неё zxx=iy и г' =х обращаются зараз в 0 в
единственной— начальной точке (0, 0), в которой 2 = 0. В то же
время непосредственно ясно, что в любой окрестности этой
точки функция принимает как положительные, так и
отрицательные значения, и экстремума нет. На черт. 89
изображена поверхность (гиперболический параболоид), выражаемая
уравнением z = xy; вблизи начальной точки она имеет
седлообразную форму, изгибаясь в одной вертикальной
плоскости вверх, а в другой — вниз.
Таким образом, встаёт вопрос об условиях,
достаточных для существования (или отсутствия) экстремума, о том
исследовании, которому должна быть дополнительно
подвергнута стационарная точка.
Мы рассмотрим сначала случай функции двух
переменных f(x, у). Предположим, что эта функция определена,
непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого
и второго порядков в окрестности некоторой точки (лг0)_у„),
которая является стационарной, т. е. удовлетворяет
условиям
/;(*о.Л)=°. />"o>.V'o) = 0. (la)
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет
в точке (лг0, у0) экстремум или нет, естественно обратиться
к рассмотрению разности
Δ=/(λγ, ѵ)—/(-Wo)·
Разложим её по формуле Тэйлора [185], ограничиваясь
двумя членами. Впрочем, так как точка (х0, у0)
предположена стационарной, то первый член исчезает, и мы будем
иметь просто
Δ = ^{/>Δ** + 2/;/Δ*Δ.ν+/;·Δν2}. (2)
При этом роль приращений Δλγ, \у играют разности χ—ха,
у—у0, и производные все вычислены в некоторой точке
(*0 +ѲД*. y0 + Uy) (Ο<0<1).
Введём в рассмотрение значения этих производных в
самой испытуемой точке:
«п=.£.(*о..Ѵо)· ві8=/£у(*о.М α22=/^(χο,;'υ) (3)

478 гл. ѵ. функции нескольких переменных [187
и положим
/*.(*ο + 6Δ*. Λ + βΜ = *ιι + «ιι.
£,(.·. ) = «ι« + *ΐ2. /;Л.-.)=й22 + а2о,
так что, ввиду непрерывности вторых производных,
все а—>-0 при Δχ—>-0, А.у—»-0. (4)
Разность Δ напишется в виде:
Δ = J { аи Δ*2 + 2ίΖι2 Δχ 4У + α22 Δ^2 +
-f- αη Δχ2 -f- 2α12 Δχ Δ^ -f- α22 Ду2 }.
Как мы установим, поведение разности Δ существенно
зависит от.знака выражения апа22—а\2·
Для облегчения рассуждений положим теперь Δχ = ρ cos a,
Д_у = ρ sin φ, где ρ— ]/Δχ2-^-ку2 есть расстояние между
точками (х0, у0) и (х, у). Тогда, окончательно,
Δ = 4- { a11cos2cp-j-2#i2c°s:?sincp-[-u:2?sin2:P +
-|- αη cos2 φ -j- 2αι2 cos φ sin φ -J- <z„2 sin2 φ}.
1° Пусть, сначала, а%\а<&—ef2>0.
В этом случае απα22^>0, так что ап^гО, и первый
трёхчлен в скобках {...} может быть представлен так:
—-[(^cosa-f-a12siriiii)2 + («ц«22 — ai2)'sin2(P]· (5)
Отсюда ясно, что выражение в скобках [..."] всегда
положительно, так что упомянутый трёхчлен при всех
значениях φ, не обращаясь в нуль, сохраняет
знак коэффициента аи. Его абсолютная величина, как
непрерывная в промежутке [0, 2тг] функция от φ, имеет
(очевидно, положительное) наименьшее значение т:
| аи cos2 ψ -{- 2fl12 cos φ sin a -j- c22 sin2 ш | ^ m ^> 0.
С другой стороны, если обратиться ко второму трёхчлену
в скобках {...}, то, ввиду (4),
| аи cos2 φ -f- 2al2 cos cs sin φ -f- a22 sin2 φ | sg
<iau| + 2|a12| + |a2,|<m
зараз для всех φ, если только р (а с ним и Δι, Ay)
достаточно мало. Но тогда всё выражение в скобках {...}, а зна-

187] § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 479
чит и разность Δ, будет сохранять тот же знак, что и
первый из трёхчленов, т. е. знак аи.
Итак, если αη^>0, то и Δ^>0, τ. е. функция в
рассматриваемой точке (х0, у0) имеет минимум, а при йп<^0
будет и Δ<^0, τ. е. налицо максимум.
2° Предположим теперь, что апйгг — Л^2<0.
Остановимся на случае, когда апфО, тогда можно и
здесь использовать преобразование (5). При у=у1 = 0
выражение в скобках [...] будет положительно, ибо
сведется к α2Γ Наоборот, если определить со = ср2 из условия
ап cos φ2-(- aj2sin φ2 = 0 (siny27^0),
то это выражение сведётся к {апагг— /zj2)sin2y2 и будет
отрицательно. При достаточно малом ρ второй
трёхчлен в скобках {...} как при ш = <ри так и при φ = φ
будет сколь угодно мал, и знак Δ определится знаком
первого трёхчлена. Таким образом, в любой близости от
рассматриваемой точки (Xq, у0)—на лучах, определяемых углами
φ=φ1 и !ο = φ2, разность Δ будет иметь значения
противоположных знаков. Следовательно, в этой точке экстремума
быть не может.
Если вп = 0, и первый трёхчлен в скобках {...}
сведётся к
2al2 cos ψ sin φ -f- д22 sin2 у = sin a· (2д12 cos φ -f- a22 sin a),
то, пользуясь тем, что наверное α12^0, можно определить
угол '•р17^0 так, что
f ^22! | sin ¥>! К 21 л12 [ · J cos ^>L J.
Тогда при φ = φ1 и io = w2 =— φ, упомянутый трёхчлен
будет иметь противоположные знаки, и рассуждение завер-
шается, как и выше.
Итак, если апап — а22^>0, то в испытуемой
стационарной точке (х0, у0) функция f (x, у) имеет экстре*
мум, именно, максимум при ап<^0 и минимум при
ап^>0. Если же аиа22— ^"^C^, то экстремума нет.
В случае же аиа22 — а22 = 0 для решения вопроса
приходится привлекать высшие производные; этот
«сомнительный» случай мы оставим в стороне.

480 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [188
Пример ы. 1) Исследуем на максимум и минимум функцию
г=£+тд е>°-«>°>·
Вычислим частные производные:
Ζχ~~ ρ ' Zy~ ρ '
Отсюда сразу видим, что единственной стационарной точкой
является начало координат (0, 0).
Вычислив йц, а13 и а.», получим
1 η 1
ρ " q
отсюда апап — a\2 > 0. Следовательно, в точке (0,0) функция г
имеет минимум; впрочем, это ясно и непосредственно.
Геометрическим образом нашей функции будет э л л и π τ и ч е-
ский параболоиде вершиной в начальной точке (ср. черт. 90).
2> * = $-£ 0»М>0);
I Χ ι У
* ρ У q
И здесь видим, что стационарной точкой является (0,"0),
Вычисляем
1 η ] .
ρ ι. . - q
отсюда Яцвзз ~■ Λΐ2 < 0. Следовательно, экстремума нет.
Геометрически мы здесь имеем дело с гиперболическим
параболоидом, вершина которого — в начале координат.
3) г=у* + х* или г=у*-|-.*-3;
в обоих случаях стационарной является точка (0, 0) и в ней
аиаіі — «12 = 0.
Наш критерий не даёт ответа; при этом, в первом случае,
как непосредственно видно, налицо м и н и м у м, а во втором —
экстремума вовсе нет.
Замечание. Результаты настоящего п° впоследствии
[226] окажутся тесно связанными с геометрическим вопросом
о поведении кривой вблизи её «особой» точки.
188. Достаточные условия (общий случай). Обратимся
теперь к рассмотрению общего случая. Пусть функция
/(■*„ х2,..., дг;.) определена, непрерывна и имеет непрерывные
производные первого и второго порядков в окрестности не-

188] § 5. экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 481
которой стационарной точки (х°, х°2, ... , лг°). Разлагая
разность
A = f(xv xv..., xn)-f(x°v χ\,..., χ°η)
по формуле Τ э й л о р а, получим, как и выше,
+ 2/;,а · ^ ^2 + 2/;Λ · Δ*, Δ*β +...
где Ахі = хі — xf, производные все вычислены в некоторой
точке
(JtJ + βΔ*,, *°2+ΘΔ*2,..., x°a+bbcj (Ο<0<1).
Введём и здесь значения
fx,xk К 4 · · · - О = aik (/, А=1, 2 я), (6)
так что
Η
aift—i-0 при AXj—+ 0,..., Δλ^—>·0. (7)
Теперь интересующее нас выражение Δ можно написать
в виде
л л
Δ = 4·{ Σ α« Δ*ί Δ** + Σ «ι» Δ*ι Δ**} ■ (8)
На первом месте в скобках здесь стоит второй
дифференциал функции / в рассматриваемой точке; он
представляет собой однородный полином второй степени или, как
говорят, квадратичную форму от переменных Δχν ..., Δχ„**.
* Ясно, что a{k = aki (и aik = akl).
** Вторая сумма имеет сходный вид, но в ней и коэффициенты
сами суть функции от тех же переменных,
31 Г. М. Фихтенгольц

482 гл. ѵ. функции нескольких переменных [188
Отсвойствэтой квадратичной формы, как мы
увидим, и зависит решение интересующего нас
вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
» ЪМУк (β» = β«) (9)
от переменных уѵ. . ., уп называют определённой
положительной (отрицательной), если она имеет
положительные (отрицательные) значения при всех значениях
аргументов, не равных зараз нулю. Так, например, форма
6у 2 _|_ Ьу\ + 14 у* -f 4УіУ2 — ЯУіУ* ■
■ЬіУі
будет определённой положительной. Это становится ясным,
если представить её в виде
(2у\ - Зу2? + 2 (Уі +Λ +ys)* + 3 (у-г -у,?.
Мы не имеем возможности вдаваться здесь по этому
поводу в подробности. Ограничимся упоминанием о
принадлежащем Сильвестру (J. J. Sylvester) необходимом и
достаточном условии для того, чтобы форма (9) была определённой
и положительной. Оно выражается цепью неравенств:
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
>0,...
*11 "12 ■
^21 «22 ■
"in
«2л
>о*.
Так как определённая отрицательная форма с изменением
знака всех её членов переходит в определённую
положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику
* Обращаем внимание на то, что член с у{ук {і φ k)
встречается в сумме (9) дважды, так что aik = aki есть половина
коэффициента при уіук. Для нашего примера условие легко
проверяется, если учесть, что
ап = 6, я22 = 5, а33 =14,
а1І — #21 = 2, Я]3 — «31 = — 4, Й23 — я32 = — J ·

188] § 5. экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 483
отрицательной формы: она даётся цепью неравенств, которая
получается из написанной выше изменением смысла
неравенств через одно (начиная с первого).
Пользуясь этими понятиями, сформулируем достаточные для
существования экстремума условия:
Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма
Σ β/* **/Δ** (Ю)
— со значениями (6) коэффициентов — оказывается
определённой положительной (отрицательной)
формой, то в испытуемой точке (х°,. .., х°) будет
минимум {максимум).
Для доказательства, введём расстояние
Р=/д*» + .-- + Д*Г
между точками (х°,..., х°п) и (хѵ ..., хп). Вынося в (8) за
скобку р2 и полагая
перепишем выражение для Δ в виде
η η
Δ = £{ Σ««^*+Σ α„ξΛ). (Π)
Числа ξ, зараз не обращаются в нуль, поэтому, если
форма (10) — положительная, первая сумма в скобках
в формуле (11) имеет всегда положительный знак. Больше
того, так как
Σ 3=і. (12)'
то найдётся такое постоянное положительное число т,.
что при всех возможных значениях ξ; будет
Действительно, эта сумма представляет непрерывную функцию·
от аргументов ξ, во всём пространстве, в частности же— и
в множестве Л тех точек (ср ..., £„■), которые удовлетво-
31*

484 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (183
ряют соотношению (12) («сферическая поверхность»). Но
множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все
свои точки сгущения; а тогда, по теореме Вейерштрас-
са [163, см. замечание после её доказательства], названная
сумма будет иметь Bel и наименьшее значение т,
необходимо положительное (как и все её значения в aS).
С другой стороны, ввиду (7), вторая сумма в (И) для
достаточно малых р, очевидно, будет по абсолютной величине
уже меньше т, так что вся скобка окажется имеющей π о-
ложительный знак. Итак, в достаточно малой сфере,
с центром в точке (х^,..., х°), разность Δ будет
положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция
f{xv ..., хп) имеет минимум.
Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (10)
'будет определённой, но отрицательной.
189. Условия отсутствия экстремума. Квадратичная фор*
ма (9) называется неопределённой, если она способна при·
нимать значения противоположных знаков. Такова,
например, форма
6УІ +УІ+УІ + 8УіУ2 — ЬіУъ — ЬгУ*·
Действительно, например, её значение равно -j-б при у1 = 1,
Уъ=Уа = 0 и — 1 ПРН Уі — 1, Уг = — '1< У&=°-
Теперь мы можем дополнить доказанное в предыдущем п°
предложение следующим образом:
Если квадратичная форма (10) будет
неопределённой, то в испытуемой точке (х®,..., х°) заведомо нет
экстремума.
Пусть при Lxl-=hi (/=1,2,..., η) форма (10)
принимает положительное значение:
± й„АА>0, (13)
а при Δλ:/= ht (ζ = 1, 2,..., /ζ) — отрицательное:
i,k=l
Положим сначала
^x. = hlt при t^=Q (/=1,2,..., η),

ίβΒ] § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 485
что отвечает передвижению вдоль по прямо й, соединяющей
точки (*о, ..., *0) и (Jco+Ap..·, xl + hn). Тогда, вынося
в (8) за скобки іг, получаем для этого случая
л я
Δ= Τ { Σβ/Α**+ Σ «/Λ**} -
Первая сумма в скобках есть определённое
положительное число, ввиду (13). Что же касается второй суммы,
то её коэффициенты стремятся к 0 при έ~+0, ибо при этом,
очевидно, и все Δχ.—»0. Значит, при достаточно малом t,
выражение в фигурных скобках (а с ним и вся разность Δ)
становится положительным, т. е. в точках упомянутой
выше прямой, достаточно близких к (х°ѵ ..., х°), будет
f(xv..., *„)>/(4···' О-
С другой же стороны, если взять
Дя,= Λ,.ί при іфО {і — 1, 2,. . ., я),
τ. е. передвигаться вдоль другой прямой, соединяющей
точку (х° .. ., х°п) с точкой (х°-\-Нл,..., *£ + *„), то в её
точках, достаточно близких к (х®,..., х°п) (т. е. отвечающих.
достаточно малому t), окажется
/(*„..., х„Х/К *°).
Этим и доказано, что в испытуемой точке не может быть-
ни максимума, ни минимума.
Может случиться, что форма (9), не будучи способна
принимать значения разных знаков, всё же не является
определённой, ибо обращается в 0 не только при нулевых
значениях аргументов: в этом случае форму называют
полуопределённой. Это относится, например, к форме:
А +-А+Л+2№+2м*+2у*у*=Οί+Уг +^зГ:
отрицательных значений она не принимает, но в 0
обращается всякий раз, когда
1 ,
скажем, при у^=Уг = -тт и .Уз ——ι·

486 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ {190
Случай, когда форма (10) оказывается
полуопределённой, есть «сомнительный» случай. В зависимости от
поведения высших производных, в этом случае может быть
экстремум, может его и не быть. В частности, высшие
производные должны быть привлечены и тогда, когда все
производные второго порядка в испытуемой точке
обращаются в 0.
Исследованием «сомнительного» случая мы заниматься не
будем.
Замечание. Для функции f (х) одной переменной
форма (10) сводится к одному члену
/"(*ο)·Δ*2,
где хй— испытуемая точка. Эта «форма», очевидно, является
определённой — положительной при /" (лг0) ^> 0 и
отрицательной при f"(x0)<C.O. Таким образом, признак п° 131 есть
частный случай изложенного в п° 188.
Переход» к случаю функции / (х, у) двух переменных,
заметим, что и результат п° 187 также содержится в том,
что было установлено в пп° 188 и 189. Легко усмотреть,
что попутно в п° 187 было доказано, что форма
ап Ахг -\- 2αΐ2 Δ* АѴ Н~ агг ^У2
в случае, если аиа2г — а^^О. будет определённой
(положительной при^аи^>0 и отрицательной при аи<^0),
в случае же, если аиа22 — а^2 <^ О, — неопределённой.
190. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Примеры. Пусть функция a=/(jCj, х2,..., хп)
определена и непрерывна в некоторой ограниченной
замкнутой области S) и, за исключением, быть может, отдельных
точек, имеет в этой области конечные частные производные.
По теореме Вейерштрасса [163], в этой области
найдётся точка {х\, х\,..., х%), в которой функция получает
наибольшее (наименьшее) из всех значений. Если
точка (х®, х°,..., х°п) лежит внутри области S), то в ней
функция, очевидно, имеет максимум (минимум), так что в этом
случае интересующая нас точка наверное содержится среди
«подозрительных» по экстремуму точек. Однако своего
наибольшего (наименьшего) значения функция и может достигать

190] § 5. экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 487
и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти
наибольшее [наименьшее) значение функции u—f[xv ...,х)
в области Ш), нужно найти все внутренние точки,
«подозрительные·» по экстремуму, вычислить значения
функции в них и сравнить.со значениями функции в
пограничных точках области: наибольшее (наименьшее) из этих
значений и будет наибольшим [наименьшим) значением
функции во всей области.
Поясним сказанное примерами.
1) Пусть требуется найти наибольшее значение функции
M = sin-t:-fsin.y — sin (χ-{-у)
в треугольнике, ограниченном осью х, осью у и прямою χ -\-у = 2π
(черт. 102). Имеем
их = cos χ — cos (χ -\-у), и'у = cos .у — cos (χ -+■ у).
Внутри области производные обращаются в нуль в единственной
/2« 2я\ ЗКЗ _.
точке I -^-, -^-1, в которой и = —^— . Так как на границе области,
т. е. на прямых х — 0, у = 0 и х-\-у = 2π, наша
функция равна 0, то, очевидно, найденная выше
точка (-5-. -о") и доставляет функции
наибольшее значение.
Вообще, в случае функции двух
переменных u=f(x, у), область обычно оказывается
ограниченной кривою (или несколькими
кривыми). Вдоль этой кривой (или каждой из
кривых, если их несколько) переменные х, у либо
зависят одна от другой, либо обе зависят от
одного параметра, так что на границе наша функция
u=f(x,y) оказывается зависящей от одной переменной, и её
наибольшее (наименьшее) значение находится уже методами п° 133.
Если, скажем, кривая задана параметрическими уравнениями:
x = <f{t), y = Ht).
где f изменяется в промежутке [Ц, Т\, то на этой кривой наша
функция будет (сложной) функцией от t:
« = /(f(0. *(<))>
для которой наибольшее (наименьшее) значение найти мы умеем.
2) Найти наибольшее значение для произведения
u=xyzt
неотрицательных чисел л·, у, г, t, при условии, что сумма их
сохраняет постоянную величину:
χ-f у -j- г +1=4c.

488 гл. ѵ. функции нескольких переменных [190
Покажем, что наибольшее для и значение получится, когда
множители все равны: x=y = z=;t = c *.
Определив t из данного условия: f = 4c — χ — у — ζ,
подставим в и это выражение:
a = xyz{4c — х— у ~ ζ).
Мы имеем здесь функцию от трёх независимых переменных
х, у, ζ, в трёхмерной области, определяемой условиями
*ё*0, у^зО, г^О, х-\~у -f-2s£4e.
Геометрически эта область представляется в виде тетраедра,
ограниченного плоскостями дг = 0, у~0, г = 0, x-\-y-\-z=z4c.
Вычисляем производные и приравниваем их нулю:
-^=yz(4c-2x-y-z)^0, %L = zx(4c-x-2y~z) = 0,
~=xy(4c-x-y-2z)=0.
Внутри области уравнения эти удовлетворяются лишь в точке
x—y = z=c, в которой и = е4. Так как на границе области и = 0,
то в найденной точке, действительно, достигается для функции
наибольшее значение.
Утверждение наше доказано (ибо при x—y = z=zc также
и i = c)**.
Вообще, в случае функции трёх переменных и=/ {х, у, ζ)
область ограничивается поверхностью (или рядом поверхностей).
Вдоль такой поверхности переменные х, у, ζ зависят уже от двух
параметров (ими могут служить и две из этих переменных, как,
например, только что: z = 4c — x— у). Тогда и функция и будет
зависеть только от двух параметров, так что определение
наибольшего (наименьшего) значения её на границе является уже
более простой задачей, о которой шла речь выше. И т. д.
Если функция a — f(x\, лг2 хп) задана лишь в
открытой (или неограниченной) области £5, то уже нельзя
заранее утверждать, что она достигает в области своего наибольшего
(наименьшего) значения. Тем не менее такое значение в отдельных
* Мы лишь для определённости взяли число сомножителей
разным четырём; результат будет тот же для любого числа
сомножителей.
** Из сказанного следует, что произведение положительных
чисел xyzt, сумма которых равна 4с, не превосходит с1, так что
У 1уЯ<с= *+> + « + ' ,
т. е. среднее геометрическое не превосходит
среднего арифметического. Это справедливо для любого
количества чисел.

190] § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 489
случаях может и существовать; мы поясним на примере, как.
в этом можно удостовериться.
3) Найти наименьшее значение для суммы
U = X-\~y -f-2-bf
положительных чисел х, у, z, t, при условии, что произведение их.
сохраняет постоянную величину
xyzt — с*.
Покажем, что наименьшее значение для и получится, когда,
слагаемые все равны: х—у =.z — t = c*.
с*
Определим t: t = , подставим это выражение в а:
xyz г
u = x4-y-\~z-\ ,
. ' ' xyz
Нам нужно отыскать наименьшее значение для этой функции трёх,
переменных х, у, ζ, в области, определяемой неравенствами лг> 0Г
У > 0, ζ > 0, т. е. в первом координатном октанте, открытом и
безграничном.
Попробуем применить прежний метод: если в области есть
точка, где наша функция достигает наименьшего значения, то эта
точка, как и прежде, должна быть в числе стационарных. Имеем
' — 1 — с* —0 ' — 1 — £І —η
11 χ хіуг ~ ' иУ'~ xy"-z ~ '
отсюда x=y=z = c, чему отвечает г = с; при этом и = 4с.
Как теперь проверить, что это значение, действительно, будет
наименьшим?
Ясно, что при приближении к пограничным плоскостям х=0,.
у =0, 2 = 0, равно как и при удалении в бесконечность, наша
функция и бесконечно возрастает. Найденную точку можно
окружить кубом [s, Ε; г, Ε; ε, EJ, взяв Е>0 настолько большим, а ε > О'
настолько малым, чтобы вне этого куба и на его
поверхности было м>4е. Но в кубе, как в замкнутой и ограниченной
области, функция и должна иметь наименьшее значение; теперь
уже ясно, что это значение достигается именно в найденной выше
точке и что оно будет наименьшим и для всей первоначальной
области, ч. и тр. д.
Замечание. Во всех этих примерах внутри рассматриваемой
области существовала одна лишь «подозрительная» точка. Можно
было бы удостовериться, что в ней налицо максимум (или
минимум). Однако,— в отличие от того, что было отмечено для
случая функции одной переменной [см. замечание в п° 133]— здесь из-
этого одного нельзя было бы сделать заключение, что мы имеем
* Здесь можно повторить то же замечание, что и выше-
(см. сноску* на предыдущей странице).

490 гл. ѵ, функции нескольких переменных [191
дело с наибольшим {наименьшим) значением функции
в области.
Следующий простой пример показывает, что подобное
заключение в действительности может привести к неверному
результату. Рассмотрим в прямоугольнике [—5,5; —1,1] функцию
и = дг3 — 4дг2 -f 2ху — уі.
Её производные
^ = 3*2 — 8х + 2у, иу = 2х-2у
в пределах области обращаются в нуль лишь в точке (0, 0). Как
легко убедиться с помощью критерия п° 187, в ней функция имеет
максимум (равный 0). Однако, значение это не будет
наибольшим в области, ибо, например, в точке (5, 0) функция и = 25.
Вследствие этого, в случае функции нескольких переменных, —
при разыскании наибольшего или наименьшего значения функции
•в области — исследование на максимум и минимум оказывается
практически ненужным.
191. Задачи. Многие задачи — как из области математики, так
и из других областей науки и техники — приводят к вопросу о
нахождении наибольшего или наименьшего
значения некоторой функции.
Решение задач 1) —4) связано с уже
рассмотренными в предыдущем п° примерами.
1) Среди всех вписанных в данный круг
радиуса R треугольников найти тот, площадь
которого наибольшая (черт. 103).
Если через х, у, ζ обозначить
центральные углы, опирающиеся на стороны треуголь-
Черт. 103. ника, то они связаны зависимостью х-{-у-\~
-\-z-2r., откуда ζ = 2π— χ—у. Площадь
-треугольника Ρ через них выражается так:
Р = -к tf-sin-v-f-^-#2.Sjnj, _(__#>.Sjn2_
= 7? ^2"fsin-^"ЬsinУ — sin (х-\-У)\·
■Область изменения переменных χ и у здесь определяется
условиями: х^0, у^зО, х-^-у^2к. Нужно найти те значения
переменных, которые сообщают выражению в скобках наибольшую
величину.
Мы уже знаем [190, пример 1)], что это будут х=у = :г-, так
о
2к
что и ζ = -g-: получается равносторонний треугольник.
2) Среди всех треугольников данного периметра 2р найти тот,
площадь которого Ρ наибольшая.

191] § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 491
Пусть л:, у, г означают стороны треугольника; тогда по
формуле Г е ρ о н а
P = Vp(p-x)(p-y)(p-z).
Можно было бы, подставив сюда ζ = 2ρ — χ—j>, преобразовать Ρ
к виду
Р — Ур(р-Х)(р-у)(Х-!гу-р)
и искать наибольшее значение этой функции в треугольной
области, о которой уже была речь в п° 150, 6).
Мы поступим иначе: задача сводится к нахождению
наибольшего значения для произведения положительных чисел
и= (р — х) (р —у) (ρ — ζ)
— при условии, что их сумма постоянна:
(p-x) + (p-y) + (p-z) = 3p-2p = p.
А мы уже знаем [190, пример 2)], что для этого все множители
должны быть равны, так что лг=.у =z = -|-. Снова получается
равносторонний треугольник.
3) Среди вписанных в данный эллипсоид
.£! + £ + - = !
а2 ^ 62 ^ С2
прямоугольных параллелепипедов (с рёбрами, параллельными осям
его) найти тот, который имеет наибольший объём.
Если через х, у, ζ обозначить координаты той из вершин,
которая лежит в первом координатном трёхгранном угле, то объём
v = 8xyz. Вместо а можно рассмотреть величину
о"- х* ν2 г2
64а262с2 а? δ2 с1 '
ибо они, очевидно, достигают своих наибольших значений при
одних и тех же х, у, г. По отношению же к и вопрос снова
приводится к примеру 2) предыдущего п°.
Ответ:
хг yt гч ι а Ь с
4) Предположим, что какой-нибудь газ (например, воздух)
сжимается в поршневом компрессоре от атмосферного
давления р0 до давления ρ >/>0· Работа, затрачиваемая при этом на
сжатие 1 кг газа, выразится так:

492 гл. ѵ. функции нескольких переменных («31
здесь R есть «газовая постоянная», Ть—абсолютная температура
газа до сжатия, а γ есть некоторое число (> 1), зависящее от
конструкции компрессора. Работа А, очевидно, тем меньше, чем
меньше начальная температура Г0. При больших степенях сжатия,
когда экономия в затрачиваемой работе представляет важность,
разбивают весь процесс сжатия на несколько ступеней, в
промежутках подвергая сжатый (и нагревающийся вместе с тем) газ —
охлаждению.
Пусть, например, мы имеем трёхступенчатый
компрессор с двумя промежуточными холодильниками, в которых
температура доводится снова до Г0. Если обозначить через рх и р->
давления в конце первой и второй ступеней, то общая работа
сжатия теперь будет
Тогда возникает вопрос, как при заданных рй, ρ, Τΰ выбрать
промежуточные давления рх и р-2 с таким расчётом, чтобы величина
затрачиваемой работы была наименьшей.
Если отбросить постоянный множитель и постоянные
слагаемые, которые не влияют на искомые величины рх и рІУ то дело
сведётся к исследованию выражения
Так как произведение
τ — ι , ι — ι 1—1 .1—1
W \Рі> \Рі> \Рй!
сохраняет постоянную величину, то, воспользовавшись примером 3),
190,' сразу видим, что сумма и достигает своего наименьшего
значения тогда, когда все слагаемые равны:
(Й)^=(Й)^=(^·
или
Ро Pi Pi
так что последовательные давления составляют геометрическую
прогрессию. Отсюда
Р\—ѴГІР> Fi — ѴРй-Р2·

f Si] § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 493
5) На плоскости дан треугольник со сторонами а, Ь, с
104); на нём можно построить
бесчисленное множество пирамид
с данной высотой h. Требуется из
них найти ту, которая имеет
наименьшую боковую поверхность S.
Вопрос сводится к
нахождению проекции Μ вершины
пирамиды. Положение её
определяется величинами трёх
перпендикуляров х, у, г, опущенных,
соответственно, на стороны а, Ь, с.
Каждому перпендикуляру мы
приписываем знак плюс, если точка
лежит с той же стороны, что и
сам треугольник, и знак минус в
противном случае. Величины х,у.
(черт.
Черт. 104.
ζ связаны соотношением (Р означает площадь треугольника)
,li on 2Р—ах — Ъу
ах-\-by -\-cz = 2Р, откуда ζ = -.
Интересующая нас боковая поверхность S выразится теперь
так: ·
S= γ/χ^ΤΚ + j/y^T'k* +!/** + №.
где г должно быть заменено найденным выражением; областью
изменения независимых переменных х, у является вся
плоскость ху. Имеем
25'
by cz
или
F*2-f/i2 у_у2 4-/г"2 ν>_)-Αϊ
откуда дт—_у = г.
Соответствующая точка Μ есть центр вписанного в треугольник
круга.
Что этим значениям χ и у отвечает наименьшее значение
для S, легко показать, как в примере 3) предыдущего п°, опираясь
на то, что — при безграничном возрастании χ или у — и S растёт
до бесконечности.
6) Пусть даны на плоскости три точки М1(а1,Ь1), Λί2 (й2, ί»2),
Мг (<73, Ьг), не лежащие на одной прямой. Требуется найти в этой
плоскости такую точку, чтобы сумма её расстояний до данных
точек была наименьшей.

494 гл. ѵ. функции нескольких переменных [191
Взяв любую точку М(х,у), положим
?,=Ѵ[х-ар + {у-Ьр (/=1, 2, 3).
Тогда исследованию подлежит функция
Для неб существуют — везде, кроме данных точек, —
частные производные
где 9/ означает угол прямой Λί,·Λί с осью дг.
«Подозрительными» по экстремуму точками являются, таким
образом, прежде всего точки Afj, Λί2 и Λί3, в которых
производных нет, а затем та точка Λίο (мы увидим, что она не всегда
существует), в которой производные зараз обращаются в 0. Так
как при бесконечном возрастаний χ или у наша функция и,
очевидно, также бесконечно растёт, то наименьшего значения она
достигает в одной из упомянутых точек.
Чтобы разыскать стационарную точку Λίο, приравняем нулю
обе частные производные; это даст нам условия:
cos flj -j- cos Ѳа -f- cos 63 = 0, si π Ь1 -f- sin 92 -f- sin 9г = 0.
Умножим первое на sin β2, а второе на cos 8,, и вычтем; мы
получим
sin (бх — θ2) = sin{Θ2— β8), откуда Ь1—ЬІ = ЪІ—6І.
Аналогично найдём, что
«а — 9j = δ, — θχ.
Таким образом, углы между прямыми Λ^Λίο, Λί2Λί0> Λί3Λί0, взятыми
попарно, все должны быть равны -ψ, и точка Λίο получается в
пересечении дуг, построенных на сторонах треугоіьника MiM2Ms
и вмещающих угол —\
О
Если в этом треугольнике нет угла, больше-
го или равного ^г > то названные дуги, действительно,
пересекаются внутри треугольника и определяют точку Λί0> из которой
стороны его видны под углами, равными -^- (черт. 105). В этом
случае надлежит сравнить значения, которые а получает в
названных четырёх точках. Мы докажем, что значение и в стацио-

I9IJ § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 495
парной точке Мй будет меньше других (а, значит, и вообще
наименьшим). Действительно, по «теореме косинусов»
MjM22 = М(,Му* -f мйм? -f- м0мі· ЩЩ> [щЩ-+ ^луй]N 2
так что
Аналогично
МхМъ > Λί0Λί2 -f- j Λί0Λία.
1
ΛίιΑί3 > /Μ0Λί3 -f — ΛίοΛΓ! .
Складывая, получим
s»
МгМъ -І- ΛίιΜ, > ЛIоЛІ! 4- ΛίοΛί3 + Λί0Λί3,
т. е.
Η(Λί1)>«(Λί0).
Очевидно, точка Мх здесь может быть заменена точкой Λί2 илиМ.
что и завершает доказательство.
Иначе обстоит дело, если
один из углов
треугольника МіМгМз равен или б о л ь-
2π _,
me -~-· Тогда стационарной точки
вовсе не существует, и
наименьшее значение функции и
доставляется одной из данных точек
Мь Μν Λί3 — именно той, которая Черт. 105.
служит вершиной тупого угла.
Любопытной особенностью этой задачи является именно то,,
что в ней приходится, кроме стационарной точки, считаться и с
точками, в которых производных не существует [ср. 186,
замечание II].
7) Обобщим задачу 1): станем искать вписанный в данный
круг (радиуса R) (п~\- 1)-угольник с наибольшей площадью Р.
Обозначим через хьх2,..., х„,хп+іцентральные углы,
которые опираются на стороны многоугольника; тогда
откуда
х„ +1 = 2* — (*і + χι + ■ ■ ■ + *п)· ■
Площадь Ρ равна
Р= ~ ^2.Sin хх 4 γ/^-βϊη дг34· · ·
. · · 4 Tj/P-sin Хя 4 2 ^-sin *η+ϊ',
если подставить вместо дгп+1 его выражение, то вопрос сведётся
к разысканию наибольшего значения для функции
и = sin хг4 sin хг4 · · · 4 sin хп Ч"sin Ι2π — (*ι + х?+ · · · +*n)l·

496 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [191
причем область б$ изменения независимых переменных хь х-ъ..., хп
определяется неравенствами
дг^О, х-^'О, .... хп^0, Хі~\-Хз-\- ... -^-хп^2к,
т. е. представляет собою л-мерный симплекс [152].
По общему правилу вычисляем производные и приравниваем
их нулю:
COS ДГі —COS (#!-(-*2 4" ... -\-Χη)=.0,
cos xa — cos (xx -\-xt -J- ... 4- xr) = 0;
•единственной внутренней точкой области, в которой выполня-
.ются эти условия, будет точка
х1=х3=...=хп = -ф[ (тогда и хп+і~£цг{>'>
О—
ей отвечает и = (л -[- 1) sin —т—г ·
Для того чтобы доказать, что это, действительно, будет
наибольшим значением и, воспользуемся методом математической
индукции. При я = 2 наше утверждение уже установлено в примере 1)
предыдущего п°. Допустим, что оно верно для случая η
слагаемых синусов (так что для их суммы наибольшим значением будет
н-sin —), и докажем верность его и для нашей суммы л-f-l
синусов.
Согласно общим указаниям, сделанным выше, надлежит срав-
2π
нить значение (/г —{- 1)-sin ■ . со значениями, которые функция
принимает на границе области «2). Возьмём, например, «грань
симплекса» ха = 0; на ней а будет функцией лишь от л—1
переменных:
U = Sin Χι -\- Sin *2+· ■ ·+ sin Xn-1 +Sin Ι2π — !(*1+ *2 + · · ."f -*7!-l)]
и, по допущению, наибольшим значением здесь будет л-sin—. То
же можно установить и для других «граней». Но так как
л-sin — < (я-f l)-sm —г—; *
л ^ ѵ ' л-f-1
то наше утверждение доказано. Наибольшую площадь будет иметь
правильный многоугольник.
8) Рассмотрим электрическую питательную сеть
с параллельным включением. На черт. 106 представлена схема
* Это обстоятельство следует из того, что функция
ζ
монотонно убывает при возрастании г от 0 до it, как нетрудно
убедиться методами дифференциального исчисления.

191] § 5. экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 497
О
сети, причём А и В — борны источника тока HPhP2,..., Рп —
приёмники тока, потребляющие, соответственно, токи llt і2,..., іп.
Требуется, при наперёд заданном допустимом общем падении
потенциала в цепи 2е, определить сечения проводов так, чтобы
на всю магистраль пошло наименьшее количество меди.
Очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением одного из
проводов, скажем ААп, так как другой провод находится в
совершенно аналогичных
условиях. Обозначим че- Г\ Г7\ ГЛ
рез /j, /,,...., / длины 4ΰ АЧ£Й W й . ι
частей ΑΑχ, ΑχΑ2 <f<S χ f— \ , <\ j^-
An-iAn (B ·*)> чеРез Яь
<1ь ■ ■ ·> In ~ площади их
поперечных сечений (в р1^™*"
мм*). Тогда выражение
« = 'ій-Иій+."-Ка, ЧеРт· 106·
как раз и представит объём всей затраченной меди (в см3); для
него нам нужно добиться наименьшей величины, принимая во
внимание, что общее падение потенциала в проводе ААа. должно
равняться е.
Легко подсчитать, какие токи J\, J& ...,Ja будут протекать
в отрезках AAlt ΑιΑ2, ...,Ап-іАи цепи:
. Λ == Ί "Ь 'ί "Ь · * * "Г" 'я» ·ίΐ = *2 "Т" · · · 4" 'ш · · · ι Jn — 1Л'
Если обозначить через ρ сопротивление медной проволоки длиной
в 1 л и с сечением в 1 мм3, то сопротивления этих отрезков
будут
ri_—, „_-, .... r„_-,
так что соответствующие падения потенциала в этих отрезках,
согласно закону Ома, выразятся так:
, „, /_PW ρ — rj— *Ыі с —г / — ?l"J"
el — rlJl~'~~Z~> βϊ—r*J2 ~» *··> ea — rnJn « ·
41 ЧЪ Чп
Чтобы избежать сложных выкладок, мы, вместо переменных
ди qit ..., д„, введём именно эти величины еъ eit ■•■,еп, связанные
простым условием
«ι4-*2+···4-*η-ι4-*η = *· откуда *„ = * —<?і —«2—... —*„_і.
Тогда, в свою очередь,
= —, Яі-— U- вп. -е-еі-е2-...-

498 гл. ѵ. функции нескольких переменных [191
причём область изменения независимых переменных еу,ег, ...
..., ел-\ определяется неравенствами
*і>0, *2>0 *„-i>0, ex + e2+...+«„_!<*
(открытый симплекс).
Приравнивая нулю производные и по всем переменным,
получим систему уравнений
Ѵі , lnJn
е\ (ί_β1_... _«„_,)!
V* , 'πΛι
«2 (* — *! — ... — «„-l)'
ln-lJn-l . Ѵл
е„-і (*-«ι—·■· —*л-і)'
ва вводя г„)
Ѵі Ѵі Ѵп
е1 е2 еп
— 0
. . и,
— Π
— Π
Удобно обозначить общую величину всех этих отношений
через ~ (λ>0). Тогда
ех — ЩѴIу, ег = ЩУгТі, ..., еп = МпУТп,
причём λ легко определяется из условия ^-j- e2-f-... -f- ел = е;
1_ _ g
ii^i + 'iVJi + .-. + './V
Так как при приближении точки (е1; «2, ..., е„_і) к границе
области и растёт до бесконечности, то найденные значения
еѵ е2 ел_і (е„) действительно доставляют функции и
наименьшее значение.
Наконец, возвращаясь к нашим основным переменным
Яь 9ѵ ·... Чп< находим
Чі = {Ѵ?ѵ Чі~{УХ .... дп = {Ѵ7п,
Так что наивыгоднейшие сечения проводов оказываются
пропорциональными корням квадратным из соответствующих сил тока.
9) Метод наименьших квадратов. Так называется
очень распространённый метод обработки наблюдений, суть
которого заключается в следующем.
Пусть требуется определить значения трёх* величин х, у, г,
* Мы ограничиваемся тремя величинами лишь для простоты
письма.

I9|] § 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 499
если для них установлено л>3 линейных уравнений
"Iх + Ъя -|-ctz — di (/=1,2 я),
причём некоторые из коэффициентов ait bit с,·, dt получены
опытным путём и известны лишь по приближению. При этом мы
предположим, что хоть какие-нибудь три из этих уравнений имеют
определитель, отличный от нуля; например, пусть
«і *і сх
а2 Ьг сг
"з *з сі
ϊ 0. (Η)
Однако вычисленные из первых трёх уравнений значения х,
у, г, вообще говоря, не будут точно удовлетворять остальным
(либо ввиду неизбежных погрешностей в коэффициентах
уравнений, либо вследствие того, что сами равенства оказываются лишь
приближёнными). Не имея оснований предпочесть одни
уравнения другим и считаясь с неизбежностью погрешностей
ti = alx + biy + clz — dl,
какие бы ни брать значения х, у, ζ, стараются достичь лишь
того, чтобы сумма квадратов этих погрешностей
ИГ = 2 «» = 2 (ар + Ь,у + ctz - d,)*
/=1 ί=1
была наименьшей (отсюда и название метода). Иными
словами, наилучше согласующимися с результатами опыта считаются
те значения х, у, г, которые доставляют наименьшую величину
функции W=W(x, у, ζ).
По общему правилу, чтобы найти эти значения, приравняем
нулю производные от W по х, у и ζ:
л
2 2 β/ Pi* + *іУ + сtz - d() = 0,
ι=1
2 2 b{(alx + bly + ciz-di)=0,
i=l
η
2 2 е' (*<* + ЬіУ + °іг ~ άύ — °·
/=1
Гаусс (С. F. Gauss) ввёл другие обозначения сумм
однотипных слагаемых, разнящихся лишь указателями; именно, он пишет
я л
[act] вместо 2βί· ία*ί вместо 2а'&'> и т· п*
/=1 1 = 1
32*

500 ГЛ. V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [191
В обозначениях Гаусса полученные для определения
значений х, у, г уравнения перепишутся так:
[аа] χ + [аЬ] у + [ас] г = [ad],
[Ьа] χ + [ЬЪ] у + [be] г = [bd],
[са] χ 4- [cb] у -J- [м] г = [cd]\
их называют нормальными уравнениями.
Для того чтобы быть уверенными, что этими уравнениями
однозначно определяются значения х, у, г, нужно установить, что
определитель системы отличен от нуля. Но, по известной теореме
алгебры, квадрат этого определителя представляется в виде
[аа] [ab] [ас] « сц bt г, |«
[Ьа] [ЬЬ] [be] = £ а, Ъ, сА,.
[са] [сЬ] [сс\ (i,j,k) ак Ък ск\
причём суммирование распространяется на всевозможные
сочетания (/, у, k) из л значков 1, 2, ..., л по три. Так как из всех
определителей справа, по нашему нредположению, хоть один
отличен от нуля, то отсюда и следует, что определитель слева
также не нуль.
Остаётся ещё убедиться в том, что определяемые из нормальных
уравнений значения переменных действительно доставляют
функции W наименьшее значение. Для этого достаточно, например,
установить, что вне сферы достаточно большого радиуса W"
будет сколь угодно велико.
С этой целью рассмотрим значения первых трёх скобок в
выражении W
ахх + Ьіу-\-Сіг~ d1 = M1, aix + b2y-\-ciz — di = ui,
чх -Ь Ну 4- <ѵ — di = «а-
Ввиду (14) через эти значения, в свою очередь, линейно
выражаются, с вполне определёнными постоянными коэффициентами,
и х, у, г, так что, пока все три величины иь аь и3 остаются
ограниченными, ограниченными необходимо будут сами х, у, г.
Отсюда уже ясно, что при бесконечном возрастании г3 = х2-£■ у24-*г
также растёт до бесконечности и «i"bK2~r"KI (a> следовательно,
и W).

ГЛАВА ШЕСТАЯ.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ;
ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.
§ 1. Формальные свойства функциональных
определителей.
192. Определение функциональных определителей
(якобианов). В настоящей главе (равно как и в других
частях курса) важным формальным орудием исследования для
нас [явятся особого рода опр еде л ите.ли, составленные
из частных производных. Изучим предварительно основные
их свойства.
Пусть даны я функций от η переменных
У\ ==/і \хѵ х2> ' · ·' хп)>
Уп — Jп(хѵ хі> ··■» ХпУ>
которые определены в некоторой «-мерной области ей и
имеют в ней непрерывные частные производные по всем
переменным. Составим из этих производных
определитель
дУі дуі дуі
дх1 дх% '" дхп
дУъ ду2 ду2
дхі дх% ''' дхп
д_Уп ?Уп ^Уп
δχχ дхг ''' дхп
0)

502 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [|93
Этот определитель называется обычно функциональным
определителем Якоб и, или якобианом системы (1) — по
имени немецкого математика Якоб и (С. G. J. Jacobi),
впервые введшего их в науку. Обозначают его для краткости
символом
Р(УьУг> ■■■,Уп)
D {хъ хг хп)у
сходным с обозначением производной. Якобиан имеет ряд
свойств, подобных свойствам обыкновенной производной.
193. Умножение якобианов. Кроме системы функций (1),
возьмём систему функций
определённых и имеющих непрерывные частные производные
в области S*. Пусть при изменении точки (tv tv ..., tn)
в 5* соответствующая точка (лг,, хѵ ..,, хп) не выходит
из области jg>, так что уѵ уІУ ..., уп можно
рассматривать как сложные функции * от іѵ ігі w., tn через
посредство xv х2) .,, , хп. .Умножим теперь якобиан
системы (1) на якобиан системы (2). Для этого прежде всего
заметим, что
дхх
dty
дх^
dh
дхп
dtx
дхі
dt2
дхг
oh
дхп
dtt
дХі
·'· μ.
дхг
·'· «„
дхп
'" Л.
дхі
όΧχ
dt2
дхх
дх%
~Sh
дх«
dt2
дх2
дхп
дхп
'" dtt
Далее, из теории определителей нам известна теорема об умно-

•93] § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 503
жении определителей, выражающаяся формулой
«11
«21
««1
«12
«22
«Л2
т
•
• ·
• ·
«1Я
«2*
а
пп
»п
*21
*«Х
*12
*S2
*Л2
... й1я
• · · *2л
··· »«„
СИ
С21
С«1
С12
С 22
С«2
... с1п
... с2я
■ · · спл
где общий элемент последнего определителя таков;
сік—anbkl -f ааЬю +... + «/Ал
(i,k = \, 2, ..., л)
(умножение по правилу «строка на строку»). Применяя эту
формулу к функциональным определителям, получим
дуі дуі
дхі дх^
άχχ дх2
дхі дх2
ду1
·" дх
дуг
'·' дхп
дУп
'" дха
.
дхі
δχχ
дх±
дх2
дхг
дхг
дхп
Ѣ
дхп
dt3
•Ι-
дх„
дхі dti, "τ" * * · ~г дХп dtl · · · дХі dtn
дуі ίΞ± _і- ι дУ\ дхп
К "Г· · · Ι" дхл dtn
дуі{ дхх , , дУі дх^ ду^ дх± ι ■ ду2 дхп
όχι dti
дх„ дЬ
дхі. dt„
дх„ dt„
дуп дхх , , дуп dXj,
ЭхГ 'дй~1г'"'Г дхп at! ·" дх1 dt„
"Г··· I /9i- /it
дх„ dt„
Замечая, что, по формуле для производной сложной
функции, общий элемент этого определителя есть
^Σΐ^ΞίΛ. ι дУі дхп—УдУі
дхх дік-Т~"--Т~дхп dtk — dt„
(/, А=в1, 2,.,.,/г),

504 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [194
мы можем последний определитель переписать в виде
дуі
дк
дуг
oh
• «
дУп
дк
дуг
dt2
дУг
dt2
• ·
дУп
dt2
дУі
'" dtn
дУъ
·- dt„
« · ·
дУп
'" dtn
Доказанное только что первое свойство якобиана
в кратких обозначениях можно переписать так:
Д ІУі, У-2 Уп) D (*і> х2, .... хп) _D {у ι, уг Уп)
D (хи х2 хп)' D (к, іг tn) D (th t2 tn)
. (3)
Если бы имели одну функцию у от х, где χ есть
функция от t, то получили бы известную формулу для
производной сложной функции: ■£■- ~ΐϊ~η[ί'> таким образом,
выведенное свойство якобианов является обобщением формулы
для производной сложной функции.
Отметим особо тот случай, когда переменные iv t2, ..., tn
тождественны с уѵ у2, ..., уп, так что система функций (2)
есть результат обращения системы (1)*. Тогда
полученное соотношение сведётся к следующему:
D ІУъУг Уп) D (*і. *2. · · - ■ *я) _ !
или
D (хъ х2 хп) D (уь у2 уп)
Р(Уі. У2і ·... Уп) 1
Е> (хі, Хг< ·. · ι хп)
D (хь х2, ..., хп) '
Д (Уі. У2 Уп)
(4)
В этом виде оно напоминает формулу для производной
обратной функции.
194. Умножение функциональных матриц (матриц
Якоби). Пусть имеется т. функций уѵ у2, ..., у от
* Самую возможность такого обращения мы здесь
допускаем. См. следующий параграф.

194] § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 505
η (п~^>т) переменных хѵ х2, ..., хп:
J У\ ==/l ("^іі Х2> · · · ι ХпI>
I У2==:І2\Хѵ Х2> ···' Хп)і
ι '.у.::::'.'.:
\ Ут—fm\xV х2' '··> Хп)'
причём, в свою очередь, переменные хѵ хъ .
функциями от т переменных tv іг, ..., tm:
*ι = Ϋι(*ι. *s <J.
, хп являются
\
. Xn = tnVv ** ···» О·
Предполагая в обоих случаях существование непрерывных
частных производных, постараемся найти выражение для
якобиана уѵ у2, .... ут как функций от tv tv ,.., tm.
В теории определителей устанавливается общая теорема
об умножении матриц (для которой использованная
выше теорема об умножении определителей является частным
случаем). Рассмотрим две м а т.р и ц ы (таблицы)
*ц "12
221 а22
*2п
атI апА · · ■ атп
Ъ\\ ЬѴ2.
J2n
Ьт\ ЪтЧ
(я>т).
Их произведением называется определитель
ь11 *Ί2
С2\ С22
-2т
'"ягі ^ті · · · ^тт
элементы которого вычисляются по формуле
cik = ап hi + ai2 *» + ·.· + ainbkn (/, ft = 1, 2, ..., m).

506
ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[194
Это произведение равно сумме
Σ
(^н lit · · ·» ^ffl)
a-ih a2i,
a2lm
&тіі &ml^ · · · tlmim
bu, Ы ... hi„
bit, hu .. · Ыі
Утіі "ml,
..b,
mi,r,
распространяющейся на всевозможные сочетания
(іѵ г2. .... іт) из п значков 1, 2, ..., η по т.
Применив этот результат к «функциональным матрицам»
(или «матрицам Я к о б и»)
дуг ду± ду±
δχχ дх3 "· дхя
ду2 ду^ ду_£
дхі дх2 * *" дхп
дут дуп
дУ„
дхг дхг ''' дхп
дх-у
dh
дх^
dt2
дхо
dh
dx2
дь
дх„
'·' dh
dxn
·■* dt2
дхі дх3 дхп
dim dtm "· dtm
мы получим
^І£і_Ь I дУі дхп
dxx dh ~T'"'rdxn dh '"
І^»І£и_ .ι д**дх*
άχχ dh 1"•••"Γ~3χ~η dh '"
J^i^_l_ ι dyidxn
dx1dt„-r'---rdxndtm
^Уіахі_. ■ dy2 dxn
ЭхіМт-Г----ГЭхпдіт
£^E£i_L. | дУт дхп
dxx dh ~Γ·'·~τ~ dxn dh
дУі дУі
dxti дхи
dy2 dy2
dx, dx,
dXidtm^-"^dx„dt,
(A, U,
lm)
дУі
dx,
dj/2
dx,
дУт дуп
dxu дхи
dyj,
dx,
dx, dx,
I,
dh
dx, dx.
dt.
dh
dt2
m
dx,
fi
dt,
dx,
h
dU
dx, dx,
dtm dtm

194] § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 507
Если снова вспомнить формулу для производной сложной
функции, то определитель в левой части этого равенства
перепишется так:
dy,
dt,
tyi
dt,
дУт
dt,
dy,
dt3
dy3
dt2
дУт
dt2
Jy,
dtm
dy2
dtm
dym
В коротких обозначениях полученный результат имеет
вид
= Σ
D (Уъ Уі, · · ·. Ут) _
D(h, h t„)
D (>Ί, у-2, ...,ym) D (xlt, x,
■ · */„)
{!» h,
n)D(xh,xtt,...,xim) D(t„ tv ...,tm)
, (5)
где сумма распространяется на всевозможные сочетания
из я значков 1, 2, ..., η по т.
При т=1 доказанная формула переходит в известную
формулу для дифференцирования сложной функции
ау^ ѵч dy_
dt A* dx.
dXj
~dT
и, таким образом, является её обобщением.
Отметим ещё один частный случай нашей формулы,
который получается при я = 3 и т. = 2:
Р(Уъ Уг) __Р(Уь -Уз) О {ху х-2) ι D (Уі, Уз) D (х3, *з) ι
D (t,, ί2;
~D(x„x2) D(t,ytJ ' D(x2, xj) D(thti)
D (Уи У г) £> (*з. *ι)
D (x3, χ,) ' D (t„ t2) ·
(6)
Эта формула находит себе особенно частое применение.
Мы установили ряд формальных свойств якобианов,
аналогичных свойствам обыкновенных производных; к ним

508 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [195
примыкает и формула, которую мы выведем в одном из
ближайших п° [200, 8)]. Но более глубокая аналогия между
производными и якобианами обнаруживается по той роли,
которую они играют в теории неявных функций.
§ 2. Неявные функции
195. Понятие неявной функции от одной переменной.
Предположим, что значения двух переменных χ и у связаны
между собой уравнением, которое, если все члены его
перенести налево, в общем случае имеет вид
F(x,y) = 0. (1)
Здесь F(x, у) есть функция двух переменных, заданная
в какой-либо области. Если для каждого значения χ —
в некотором промежутке — существует одно или несколько
значений у, которые совместно с χ удовлетворяют
уравнению (1), то этим определяется, однозначная или
многозначная, функция y=f(x), для которой равенство
F(x,f(x)) = 0 (2)
имеет место уже тождественно относительно х.
Возьмём, например, уравнение
g+S-l = 0; (la)
оно, очевидно, определяет у как двузначную
функцию от χ в промежутке [ — а, а], именно
y = ±-jVa2 — χ*.
И, если вместо у подставить в уравнение (1а) эту функцию,
то получится тождество.
Здесь удалось найти для у очень простое
аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях.
Так обстоит дело далеко не всегда. Если взять уравнение
y — x — ssiny=0 (0<ε<1),
которое нам уже встречалось [при других лишь
обозначениях переменных, 82], то мы знаем, что этим уравнением
у определяется как однозначная функция от х, хотя в ко-

195]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
509
нечном виде она через элементарные функции и не
выражается.
Функция y=f(x) называется неявной, если она задана
при посредстве неразрешённого (относительно у)
уравнения (1); она становится явной, если рассматривается
непосредственная зависимость у от х. Читателю ясно,
что эти термины характеризуют лишь способ задания
функции y=f(x) и не имеют отношения к её природе. [Строго
говоря, противопоставление неявного и явного
задания функции с полной чёткостью возможно лишь, если под
явным заданием разуметь явное аналитическое задание;
если же, в качестве явного, допускать задание с помощью
любого правила [45], то задание функции у от χ с
помощью уравнения (1) ничем не хуже всякого другого.]
В простейшем случае, когда уравнение (1) —
алгебраическое, т. е. когда функция F(x, у) есть целый относительно χ
и у полином, определяемая им неявная функция у от χ
(вообще многозначная) называется алгебраической.
Если степень уравнения (относительно у) не выше четырёх,
то алгебраическая функция допускает явное выражение в
радикалах, при степени выше четырёх такое выражение
возможно лишь в виде исключения.
Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о
существовании и однозначности «неявной·* функции
(равно как и о других её свойствах), независимо от
возможности представить её в «явном» виде аналитической
формулой. Впрочем, в этой постановке вопрос для нас
не нов; с частным случаем его мы имели дело, когда речь
шла о существовании и о свойствах обратной функции, и
уравнением ,, . .
y—f(x)=0
переменная χ определялась как «неявная» функция от у.
Поучительна геометрическая трактовка указанного
вопроса. Уравнение (1), при известных условиях, выражает
кривую на плоскости [например, уравнение (1а), как известно,
выражает эллипс (черт. 107)]; в этом случае оно называется
неявным уравнением кривой. Вопрос заключается
в том, может ли кривая (1) (или её часть) быть выражена
обычным уравнением вида y=f (x), с однозначной
функцией справа; геометрически это означает, что кривая (или её
часть) параллелью оси у пересекается лишь в одной точке.

510 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [|96
я(
а
ΰ
I
Если мы желаем иметь однозначную функцию, то, как-
видно на примере того же эллипса, нужно ограничить не
только область изменения х, но и область изменения у.
Мы будем говорить, для краткости, что в
прямоугольнике (а, Ь; с, d) уравнение (1) опр еде ляет у как
однозначную функцию от х, если при каждом
значении χ в промежутке (а, Ь) уравнение (1) имеет один,
и только один, корень у в промежутке (с, d).
Обычно нас будет интересовать определённая точка (л:0, уй),
удовлетворяющая уравнению (1) (лежащая на кривой), и в
роли упомянутого прямоугольника
будет фигурировать
окрестность этой точки. Так,
например, в случае эллипса (черт. 107),
очевидно, можно утверждать, что
уравнение (1а) определяет
ординату у как однозначную функцию
Черт. 107. от абсциссы χ в достаточно
малой окрестности любой точки
эллипса, кроме вершин его А, А' на большой оси.
196. Существование неявной функции. Теперь
установим условия, обеспечивающие существование однозначной
и непрерывной неявной функции.
Теорема I. Предположим, что 1) функция F(x,y)
определена и непрерывна в некотором прямоугольнике
® = [*о — A,*0 + A;j>0 — Δ', Λ + Δ']
с центром в точке {х0, у0);
2) F(x, у) в этой точке обращается в нуль:
^(■«о.л)=0;
3) при постоянном χ функция F(x,y) монотонно
возрастает (или монотонно убывает) с возрастанием у.
Тогда
а) в некоторой окрестности точки (х0, у0)
уравнение (1) определяет у как однозначную функцию от х:
y=f{x);
б) при х = х0 эта функция принимает значение уй:
f(x0)=yu; наконец,
в) функция f (х) непрерывна.
Доказательство. Станем передвигаться вдоль
вертикали, проходящей через точку М0 (хй, у0) (черт. 108),

195]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
511
т. е. фиксируем х = х0; тогда рассматриваемая функция
F(x, у) сведётся к функции F(x0, у) от одной
переменной у. В силу 2), она при у=у0 обращается в 0. В то же
время по условию 3) функция F(x0, у) возрастает вместе
с у, так что для у<^у0 её значения меньше нуля, а для
у^> у0 — больше нуля. В частности, следовательно, она будет
Η
Хд-й х„\ χ х0 х0*80 χβ+Δ Х
Черт. 108.
иметь значения разных знаков в точках А0(х0, у0—Δ') и
Яо(*о. Λ + Δ')· именно
/=-(А0) = Н*о..Уо-А')<0. Р{В0) = Г(хо,Уо + Ь')>0.
Перейдём теперь к горизонтальным прямым,
проходящим через эти точки А0 и В0, т. е. фиксируем на этот
раз у=Уо — Δ' или У=Уо-{-к'. Получатся две функции от
одной переменной х: F(x,y0·—Δ') и F(x, y0-{-&'),
которые, как мы видели, при х = х0 имеют: первая —
отрицательное значение, а вторая — положительное. Но по
условию 1) эти функции непрерывны*, а потому найдётся,
некоторая окрестность (х0 — δ0, л:0 —j— δ0) точки х0 (0<^δ0^Δ),
в которой обе функции сохраняют свой знак [79, лемма],
так что при х0 — δ0 <^ χ <^ х0 -\- δ0
F(x,y0-b')<0, />,Λ + Δ')>0.
* Мы предположили непрерывность функции F(x, у) по
совокупности переменных х, у; но в таком случае она будет
непрерывна и по каждой переменной в отдельности.

512 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [196
Иными словами, на нижнем и верхнем основаниях исходного
прямоугольника вдоль отрезков АхАг и ΒχΒ2 длины 2δ0 с
центрами в точках А0 и В0 заданная функция F(x, у) имеет
отрицательные значения на первом и положительные — на
втором.
Фиксируем в промежутке {хй — δ0, χ0 -J- δ0) любое
значение х = х и рассмотрим вертикальный отрезок,
соединяющий точки А(х,уц — Δ') и В (х, у0 -\- Д'). Вдоль него
наша функция снова сведётся к функции F(x, у) от одной
переменной у. Так как она, в силу 1), непрерывна* и, как
сказано, на концах промежутка [уц'-Д', Уо~і~&'] имеет
значения разных знаков:
/*Й) = />(*. JO" *-')<<>, F(B) = F(x,y0-{-A')yo,
то, по теореме Коши [79], при некотором значении у—у,
содержащемся между yQ — Δ' и у0-\-к', эта функция F(x, у)
обращается в нуль:
F(x,y) = 0.
И здесь из условия 3) следует, что при у^.у будем иметь,
•соответственно, F(х,у)sg0, так что у есть
единственное значение у в промежутке {у0— Δ', у0-\-к'), которое
совместно с х=х удовлетворяет уравнению (1). На каждом
вертикальном отрезке АВ найдётся только одна точка
Μ (χ, у), обращающая левую часть уравнения в нуль.
Таким образом, в окрестности
(*о—Α» *ο + δο>' Уй~Δ', Λ + Δ')
точки (х0, у0) уравнение (1), действительно,
определяет у как однозначную функцию от х:
В то же время предыдущее рассуждение, ввиду 2),
показывает также, что f(x0}=y0. Именно, из того, что F(x0, _у0)=0,
усматриваем, что уй и есть то единственное значение у
в промежутке (у0 — Δ', _у0 —(— Δ'), которое совместно с х = х0
удовлетворяет уравнению (1).
* См. сноску на предыдущей странице.

197]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
513
Остаётся лишь установить непрерывность функции y=f(x)
в промежутке (х0 — д0, х0-\-дй). Для точки х = х0 это
получается непосредственно из предыдущего рассуждения,
которое приложимо и к любому меньшему прямоугольнику
с центром, в точке М0(х0, уй). Заменив число Δ' любым
числом ε<^Δ', мы нашли бы, как и выше, такое δ^δ0,
чтобы для любого χ из промежутка {ха — δ, х0-\-Ь)
соответствующее ему единственное значение у, которое
совместно с χ удовлетворяет уравнению (1), оказалось именно
между у0 — s и y0-\-s. Таким образом, при [х— jc0 j <^_ δ
имели бы
I/(*)-лI = IЯ*)-/(*о)'I<«.
что и доказывает непрерывность функции f(x) в точке
х = хй. _ :
Доказательство для любой точки χ — χ аналогично
доказательству для х = х0. Точка Μ (χ, у), где y=f(x),
удовлетворяет таким же условиям, как и точка М0(х0, уа),
ибо F(x, y) = 0. Поэтому, как и выше, в окрестности точки
Μ (χ, у) уравнением (1) переменная у определяется как
однозначная функция от х, непрерывная в точке х — х .
Но, именно ввиду однозначности, эта функция совпадает
с f(x), и тем устанавливается непрерывность / {х) при х = х .
Мы доказали теорему существования неявной
функции, не задаваясь вопросом о вычислении её
значений или об её аналитическом представлении;
этим мы займёмся в главе XII [см. 414 и 423].
Доказанная теорема, очевидно, является обобщением
георемы riJ 82.
197. Дифференцируемость неявной функции. Теперь
мы усилим предположения относительно функции t(x,y)
и тогда получим возможность установить и существование
производной для функции y = f{x).
Теорема II. Предположим, что
1) функция F(x, у) определена и непрерывна в
прямоугольнике
S> = [*0 —Д, *0 + Δ; yQ — Δ', ya-\-A']
с центром в точке (xQ, у0);
33 Г. М, Фихтеніольц

514
ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
(197
2) частные производные Ρχ и F1 существуют и
непрерывны в £&;
3) F(x, у) в точке (х0, у0) обращается в нуль:
F(xa, Уо) = 0; наконец,
4) производная F' (ха, у0) отлична от нуля.
Тогда выполняются заключения а), б), в) теоремы I и,
кроме того,
г) функция f(x) имеет непрерывную производную.
0<>
Черт. 109.
Доказательство (черт. 109). Пусть, например,
F' (х0, у0)^>0; так как производная F'y(x, у), в силу 2),
непрерывна, то можно построить такой квадрат:
[*„-.*', х0 + Ѵ; Уо-*\ уй+Ѵ] (δ'<Δ и η
чтобы для всех его точек было: F' (х, у)^> 0 *. Тогда для
этого квадрата выполнены все условия· теоремы I:
монотонность функции F(x, у) по у, при χ = const., вытекает
именно из того, что F' ]>0 [127]. Следовательно,
заключения а), б), в) можно считать оправданными.
Переходя к доказательству утверждения г), будем под у
разуметь именно ту неявную функцию y=f(x), которая
определяется уравнением (1) и тождественно ему
удовлетворяет. Придадим χ приращение Ах; наращённому значе-
* Ибо и для функции нескольких переменных справедливо
утверждение, аналогичное1 лемме' п° 79 для функций одной
переменной.

198] § 2. неявные функции 515
нию х-]-Ах будет соответствовать значение у-\-Ау=±
=/(*-{-Δχ), вместе с ним удовлетворяющее уравнению (1):
F(x-\-Ax, у-\-Ау) = 0. Очевидно, и приращение
AF(x, у) = F(х + άχ, у + Ajy) — F (χ, у) = 0.
Представив ΔΡ по формуле (1) п° 168, получим
0 = AF(x,y) = F'x(x,y).Ax-{-F,y(x, у) ■ Ay-\-а Ах + $ Ay,
где аир зависят от Δ*, Ау и стремятся к нулю, когда Δλγ
к Ay одновременно стремятся к нулю. Отсюда
Ау __ F'Ax,y) + *
Ь*~ Fy{x,y) + $'
Устремим к нулю Δ*; в силу установленной уже
непрерывности функции y=f(x) [см. в)], при этом Ау также
стремится к нулю, а потому и α—»· 0, β—>·0. Так как F' ф0+
то существует предел правой части, а, следовательно,
существует и производная у по х:
Г(х)=у'х= Иш ^ = _^ІЦ. (3)
δ*-*ο ьх Fy {x, у)
Подставляя f{x) вместо у, будем иметь
К (χ, ί (χ))
Г (χ)-.
Ki*.f(x)) '
так как в числителе и в знаменателе имеем непрерывные
функции от непрерывных же функций, и знаменатель не
обращается в нуль, то отсюда ясно, что f'(x) — также не^
прерывная функция. Теорема доказана.
Замечательно, что по свойствам функции F(x,y), которая
нам дана непосредственно, мы можем судить о свойствах
функции y=f(x), для которой непосредственного задания
мы не имеем.
198. Неявные функции от нескольких переменных.
Аналогично уравнению (1) можно рассматривать и уравнение
с большим числом переменных
F(xvXi,...,xn,y) = 0. №
33*

S16 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [|98
При известных условиях этим уравнением у определяется как
«неявная» функция от л переменных хѵ хг хп:
y=f(xvx2,...,xn),
которая, вообще говоря, будет многозначной. Если
подставить её вместо у, то будем иметь
F{xv хг,..., хи, f{xv хг, .... хп)) = О
уже тождественно относительно хѵ хѵ .. .,.*„.
Мы будем говорить, что в (п-\- \)-мерном
параллелепипеде
К, Ь{, д2, Ьй; ...; ati, bn; с, d)
уравнение (4) определяет у как однозначную функцию
пт хѵ х2, . .., х„, если для любой точки (xlt х2, ..., хп),
содержащейся в n-мерном параллелепипеде
{alt bt; аг, Ьй; . . . ; аа, Ьп),
уравнение (4) имеет один, и только один, корень у в
промежутке (с, d).
В роли такого параллелепипеда обычно будет фигурировать
окрестность интересующей нас точки [х°, зе°, , х°).
Сформулируем теперь относящуюся к уравнению (4)
теорему.
Теорема III. Предположим, что
\) функция F(хѵ ..., хп, у) определена и непрерывна
в [п -\-1 )-мерном параллелепипеде
®=К - δχ, Α+Δΰ...; *° - Д,, Л+Д.; л -а'. уй+Δ']
с центром в точке (х°ѵ ..., х°п, у0);
2) частные производные Ρχ,..., F'x , F' существуют и
непрерывны в ёЬ\
3) функция F в точке (х°ѵ ...,*£, у0) обращается
в нуль; и, наконец,
4) производная F' в этой точке не равна нулю.
Тогда
а) в некоторой окрестности точки {х°ѵ ..., х°, у0)
уравнение (4) определяет у как однозначную функцию
<>т хі *»: .У =Ж>·.·,*„);

198]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
517
б) при хг = х°ѵ ..., хп = х°п эта функция принимает
аначение уй: f (х\, ...,х°„)=уй\
в) функция f(xv ..., хп) непрерывна по совокупности
своих аргументов и
г) имеет непрерывные же частные производные
Γχ,' · · ·' /*„'
На доказательстве мы останавливаться не будем, так как
оно совершенно аналогично доказательству теорем I и II.
Наконец, в самом общем случае может быть дана
система из т уравнений с п-\-т переменными
Ft (хѵ ..., хп; уѵ ...,ук) = 0,
F»i*v ..·,*.; Ух yj = 0>
(5)
Здесь речь идёт об определении этой системой т
переменных уѵ ..., ут как «неявных» функций от η переменных
·*!> х2> '· ' · > Хи·
Ух = <?1 (Xl «*.). · · · ' Ут= ?„(^,. · · · . *я).
так что при подстановке в (5) получаются тождества
F, (х,, ..., хп; φ, (хѵ ..., хп), ..., φ„ (χν ..., *,.)) = 0,
F2 {χν ...... χη; φ, (*χ, .. ., xj, . . ., φ,Λ (*,, . . . , xj) = 0,
/=■„ (*„ .. . , *„; φ, (*„ ..., *Jlt;. , φβ(*„ ... , *„)> = 0.
Говорят, что б (л -j- т)-мерном параллелепипеде
(av ft,; ... ; α,, *л; с1э ^; ...; сл, dj
система (5) о пр еде л я em уѵ-.-,уткак
однозначные функции от хѵ , хп, если для каждой точки
{хѵ ..., χ ) в n-мерном параллелепипеде
(аѵ Ь,: ...; α,., bri)
система уравнений (5) имеет одну, и только одну,
систему решений уѵ ..., ут, принадлежащую т-мерному
параллелепипеду
(с,, d,: ^ . ; с , d ).

SI 8 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [198
Мы видели, что в вопросе о существовании однозначной
неявной функции, определяемой одним уравнением (1) или
^4), решающую роль играло требование, чтобы в
рассматриваемой точке, удовлетворяющей уравнению, не обращалась
в нуль производная F—именно по той переменной,
которая подлежит определению как неявная функция. В вопросе
же о существовании однозначных неявных функцийуѵ ..., ут,
определяемых системой уравнений (5), к которому мы сейчас
переходим, аналогичную роль будет играть якобиан от
функций, стоящих в левых частях, по переменным уѵ ... , ут:
J--
D{yb ---'Ут)
ду1
dF2
дуі
dFx
дуг "
OF,
* дУт-1
OF,
' дУт-1
дРі
дУт
dF.j
дУт
dFm-
дуі,
dFjn
дух
1^и-1
дуі
dFm
дУі ■·
^«-1
' дУт-1
' ^Ут.-\
дГт-1
дут
дУт.
(6)
Теорема IV. Предположим, что
1) все функции Fv ..., Fm определены и непрерывны
в (я -f- т)-мерном прямоугольном параллелепипеде
λ-
■К,А+ь'ѵ
у°т+ь'а)
с центром в точке (х°ѵ ..., x°u, _yj, ..., yfy
2) существуют и непрерывны в S> частные
производные от этих функций по всем аргументам;
3) точка (х°ѵ ...,у°т) удовлетворяет системе (5);
4) якобиан J [см. (6)] в этой точке отличен от нуля.
Тогда
а) в некоторой окрестности точки {х°х,. . .., у0 )
система уравнений (5) определяет уѵ ...., ут как
однозначные функции от хѵ ..., хп:
-Уі==/і(*I> · · ·ι χη)ι · ··>.)'«-1 = Ля-1 (Xl> · · · > Ό»

198] § 2. неявные функции 519
б) при х1—х<>, ..., χη = χΰη эти функции принимают,
соответственно, значения у°ѵ .. -,у°т_ѵ у°т:
/г (*»,..., *°)=уО, ...,/„,_, (*°,..·.*°.)=>2,-ι.
в) функции /ц ;. · ι /т непрерывны и
г) имеют непрерывные же частные производные по
всем аргументам.
Доказательство поведём по методу математической
индукции. При т=\, когда система сводится к одному
уравнению, теорема верна (это — теорема III). Допустим
теперь, что теорема верна для случая, когда система состоит
из т—1 уравнений и речь идёт об определении т — 1
неявных функций, и докажем её для системы из т
уравнений.
Поскольку якобиан J в точке {х\, ...,у°т) отличен от
нуля, в последнем столбце его хоть один элемент в этой
точке также не равен нулю; пусть, например,
dFm(x°v...,y°m)
дУт ^
В таком случае, по теореме III, последнее уравнение
системы (5) — в некоторой окрестности &)* точ-
к и (х°ѵ , j>°m) — определяет ут как однозначную функцию
от остальных аргументов,
.У* = Ϋ(*ι. ···>*«; Уѵ ..-.At-i)» <7)
так что тождественно (относительно этих аргументов) имеем
Fm(xv ...,*„; уѵ ...,ут_ѵ <?(хѵ...,Ут-1)) = 0. (8)
Эта функция φ непрерывна и имеет непрерывные частные
производные; кроме того
Важно подчеркнуть, что, поскольку мы
ограничиваемся впредь упомянутой окрестностью ИЗ*,
уравнение
Fm(XV...,Xn> УѵчУт) = °
равносильно уравнению (7): в пределах έΰ* им удо-

520 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [IS8
влетворяют одни и те же системы значений переменных
ХѴ · · · · Хп> УΊ» · · · »Ут·
Заменяя последнее из уравнений (5) этим уравнением (7)
и подставляя функцию φ вместо ут в остальные уравнения
системы (5), мы получим новую систему уже из т — 1
уравнений с п-\-т—1 переменными
Φι(*р...,*„;у, л,-і) = °. )
®Ахѵ ···.*«:Λ. ••■.^«-ι) = °·
(Ю)
Φ«_ι (*ι, · · -. *„; У ι Ут-г) = 0, )
где для сокращения положено (при _/== 1, 2, ..., т—1)
Ф,(*„...,*„; ѵ, ^«-і) =
= F/i*i *«: Λ.····^«-ι. ?(*i. ••••J'»-!)). (И)
Если не выходить за пределы
окрестности !%)*, то система (5) оказывается равносильной
системе (10) с добавлением уравнения (7). Поэтому, если нам
удастся доказать, что системой (10)' в достаточно малой
окрестности d* точки (х\, ..., у°т_і) т — 1 переменных
Уі> · ■ · · Ут-і определяются как однозначные функции от
Х1> · · · ι Хп·
Λ=Λ(*Ι. .··,*„)...., ym-l = fm-l(*l' ■ « т*я), (12)
то в силу (7) и переменная ут определится как такая одно-
вначная функция:
= φ(*ι хп> А (■* *J /«-ι (*n · · ·. *«)). П2а)
и заключение а) будет полностью оправдано*.
Обратимся же к системе (10) и покажем, что в
окрестности точки (х^, ..,, y^t_l) для неё выполняются условия,
♦Поясним, что (п-\-т — 1)-мерный (открытый)
параллелепипед d* предполагается настолько малым, чтобы опрелеляющие его
промежутки содержались в соответствующих промежутках,
определяющих (/г-г-«)-мерный параллелепипед .25*. Та окрестность
точки (х\,...,у°п), о которой упоминается в заключении а), и
определится всеми промежутками, связанными с d*, с присоедяне-
•нием к ним последнего из промежутков, связанных с 3>\

198]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
521
аналогичные 1), 2), 3), 4). Справедливость первых двух
непосредственно вытекает из свойств функций Ff и φ, ввиду (11).
Точно так же условие 3), в связи с (11) и (9), даёт нам
(для /=1, ..., яг —1)
Ф/К Л-і>= W · ■ ·»У°т-ѵ Ψ К - · · - Л-,» =
=W>--->y°m-vy°m)=0-
Остаётся лишь рассмотреть я ко б и ан (аналогичный J)
J*:
__β(Φι.
D Ον
...Φ«-ι) ._
··> J'ct-i)
<ЭФ!
<?ф,
дФ1 йФі
Ф'г *"* ^Ут-і
дФг дФ,
dy} — дут.г
W«-i
дФт_л <?Фт_!
дуі
ду2
ду,
т-\
и убедиться в том, что он отличен от нуля в точке
(х°ѵ ..., у°т_х)- С этой целью преобразуем определитель J,
прибавляя к элементам первых еіч> т — 1 столбцов элгменты
от-го столбца, умноженные соответственно на-*—, .... -, ? ■ :
' дуі дУт-і
J=
dfi , df\ df_
dyi "τ" дут дух
дУі ' дУт дУі
df
дУт-1
дЕ,
ЭУт-I^ОУт дУт-\
ЭУт <>Ут-\
dF„
дух
dF„
Ч
дРя^ df dFm_x . дРт.х df
дуі
дух
Of
ОУт Wl
dy,
dFm
ОУт-
dF„
дут дут_х
dF„
df
ay
m.-l
дут ду.
m~\
dfx
ОУт
дУт
dF
m —1
дУт
дУт
Если считать здесь ут = у(хѵ ..., ут_і), то все элементы,
кроме находящихся в последней строке и в последнем столбце,
будут представлять собой частные производные от
функций Фу (по уѵ ...,ут_х)· Именно, ввиду (11), дифференци-

522
ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[198
руя Фу как сложную функцию по уѵ ...,ут_х [пользуясь
правилом п° 171], получим для /'= 1, ..., т— 1
дФ,
дР,
dFj df
дФ
Ί
дР:
dFi ду
дУі
дух~ дут ду^ '"' дут^ дут.х ι дут дут^
С другой стороны, если продифференцировать по уѵ ... ,у„
тождество (8)*, то окажется, что
дР„
дУі
дутдуі
О
dF„
' * *'' ду
Mj* df —. p.
іи-1
дут ду.,
т-\
Таким образом, элементы в последней строке (кроме
последнего) все равны нулю. Окончательно
J=
<?фі
дул
дФг
дуг
дФг
"' дУт-I
дФ^
'" дут-і
dF,
дУт
dF2
дУт
ЗФ«-і
дуг
0
*»*-!
"· дУт-1
~~ о
dFM-\
дУт
дРт
ду„
Разложив этот определитель по элементам последней
строки, придём к результату
J--
. Г* д^к
дут'
■Λ,-Γ
тогда
Положим, наконец, здесь хх = х\, ..
Ут = У(хѵ ■••■>Ут-\)> в СИЛУ (9)> обратится в у°т. Так как
в этом случае, по условию 4), J отлично от нуля, то не
может быть нулём и J*, ч. и тр. д.
Для системы (10), содержащей т—1 уравнений, наша
теорема предположена верной. Следовательно, система эта
в окрестности точки (х°, ..-,у°т_1) определяет однозначные
функции (12), непрерывные и имеющие непрерывные произ,-
* Ведь если (сложная) функция, стоящая в (8) слева,
тождественно равна нулю, то и производные её по любому аргументу —
-также нули.

195}
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
523
водные; кроме того, эти функции удовлетворяют и
требованию б):
Л(4 ...,*;)=/, ...,/„.,(4 ••;К)=у°т-ѵ <13>
Отсюда следует, что т-я функция (12а) также непрерывна
и имеет непрерывные производные, и, наконец, принимая во
внимание (13) и (9):
Теорема доказана.
Замечание. Мы обращаем внимание читателя на
локальный характер всех теорем существования неявных
функций: речь идёт всё время лишь о некоторой окрестности
рассматриваемой точки. Но и в таком виде эти теоремы
полезны; например, как читатель увидит в главе VII, для
изучения свойств геометрического образа в данной
его точке совершенно достаточно ограничиться
непосредственной её окрестностью.
199. Вычисление производных неявных функций. Ход
рассуждений, с помощью которых устанавливались теоремы
существования неявных функций, в общем случае не давал
представления о самом способе вычисления
производных (первого порядка) от неявных функций. О производных
высшего порядка и вовсе не было речи. Теперь на этих
важных вопросах мы остановимся специально.
Начнём с простейшего случая, когда дано уравнение (1).
Будем считать выполненными, в окрестности рассматриваемой
точки, условия теоремы II; существенную роль в дальнейшем
будет, играть требование F* ^=0.
Покажем простой приём для вычисления
производной у1 (если существование её наперёд известно). Мы
знаем, что если неявную функцию y=f{x) подставить
в уравнение (1), то оно обратится в тождество [см. (2), 195].
Итак, если под у разуметь именно эту функцию от х, то
левая часть равенства (1), F(x, у), представит собой
сложную функцию от х, которая тождественно равна нулю.
Тогда и производная её по χ также есть нуль. Если

524 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [I9Э
продифференцировать эту функцию по правилу п° 171, то
получим
F'x(x,y) + F'y{x,y)-y'x = 0*, (14)
откуда (так как F' фЩ
К(Х>У)
мы пришли к уже известной нам формуле [ср. (3), 196].
Теперь можем пойти дальше. Если функция F (х, у)
имеет непрерывные производные второго порядка, то
выражение, стоящее в формуле (15) справа, может быть
продифференцировано по х, следовательно, существует и
производная от у'х, т. е. вторая производная ух, от неявней
функции у. Выполняя дифференцирование и подставляя всякий
раз вместо у'х её выражение (15), найдём:
Ух' рП
У
if' -f'-p" — f'2.f" —f'2.f"
ίΓχ гу г ху гу гх* гх гу,
— уі
У
отсюда же видим, что вторая производная будет непрерывной
функцией от х.
Если функция F(x,y) имеет непрерывные производные
третьего порядка, то, очевидно, существует и третья
производная от неявной функции: у'^; её выражение снова
может быть получено непосредственным дифференцированием
выражения для у" и т. д. С помощью математической
индукции легко доказать, что существование непрерывных
производных функции F (х, у) до k-го порядка (k ^> 1)
включительно обеспечивает и существование (непрерывной)
производной k-го порядка от неявной функции.
После того как, таким образом, самый факт
существования последовательных производных от неявной функции
установлен, вычисление их проще производить путем njBTopHoro
дифференцирования тождества (14), с учетом того, что у
* Собственно, такого же типа рассуждение мы уже проводили
выше. Ср. сноску на стр. 522.

ISS]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
525
есть функция от х. Например, первое же
дифференцирование этого тождества даст нам
^+^-y,+(fi+^-y,)-y,+^-Ji.=o, (іб)
откуда (ведь F'=fcQ\)
η Ρχ* 4-2 ?хѵ 'Ух Н~ Fy Ух .
Ух> о'
гу
подставив вместо у'х его выражение (15), вернёмся к уже
найденному выражению для у"х,; и т. д.
Аналогично обстоит дело и в случае уравнения (4)
с большим числом переменных. Здесь предполагаем
выполненными условия теоремы III. Если под у разуметь неявную
функцию, определяемую уравнением (4), то (4) превращается
в тождество. Фиксируя значения х2, ..., хп и
рассматривая у .как функцию лишь от хѵ продифференцируем это
^. + ^'УЛ1 = 0. откуда yx=-Pf:
у
точно так же получим
рх . рх
У Г У
Если нужны все производные первого, второго, ...
порядка, то проще сразу вычислять dy, d'-y, ...
Продифференцируем же наше тождество полным образом, т. е.
приравняем нулю полный дифференциал от его левой части
[используя при этом инвариантность формы первого
дифференциала, 175]:
•г— dx, -4- -—- dx2 4- ... -4- ς— dx„ -4- -r- dу = 0.
дх1 ι ' Ох% 1 ' ' дхп п ' ay J '
так что
dF dF
дхх дх„
dy=—-tn-dxi---'—j^dxa·
ду ду

526 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [199
В то же время
dy=§F1dxi+---+&;ldx»·
Ввиду произвольности dxv ..., dxn, отсюда ясно*, что
ду
ду_
дхх~
ΟΧχ
IF
ду
дх„
d_F_
дхп
dF
ду
как мы и получили выше.
Дифференцируя ешД раз, получим
g^i+...+
d*F .
dx„-
дХідхп п
дФ
дххду
dy
dxY -\~..
+ |^=о
и определим d2y, что приведёт нас к выражениям для
д}у д*у д"-у
дх\ ' дххдхг' дх\'
и т. д. Мы видим, что во всех этих выкладках основную
роль играет условие, что
у ду~
Перейдём теперь к рассмотрению системы уравнений (5).
Будем предполагать, что в окрестности взятой точки
выполняются условия теоремы IV. Снова обращаем внимание на
роль, которую будет играть требование У=^=0.
Мы знаем, что неявные функции уѵ ...,ут имеют
частные производные по хѵ...,хп. Самое вычисление их
производится дифференцированием тождеств, которые
получатся из (5), если под уѵ ...,ут разуметь именно
упомянутые неявные функции. Дифференцирование по хѵ например,
* Равенство ALdxx + ... + Andxn = В^хі -|- ... -j- Bndxn при
произвольных значениях dxx\ ..., dxn может иметь место
лишь тогда, когда А1=;В1 Ап = Вп,

199]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
527
даёт
( dFi | ^і . дуі
дхі ' дуі дхі
1 ' дут dxx
дЛт\дЛт,
δχχ ' дуі
дУі ι
дх, ι-··
= 0.
Это — система линейных уравнений относительно
неизвестных
телем
Отсюда
дуі
дх^
дх,
■ezr, с отличным от нуля определи-
J —
D(Fi Fm
D(yi, -.-гУт)
дуі
дхі'
D(PU..
D (хъ ..
D (/>,,..
■>Fm)
•<Ут)
• >Fm)
D(yu
дУт
дхг
D(FX,..
D(yb..
D(FU,.
■ >Fm)
.,xi)
.,Fm)
,Ут)
D(yh...,ym)
Аналогичные выражения получаются и для производных от
Уѵ
-,У„ "О *2.
Если функции Fv ...,Fm имеют непрерывные частные
производные второго порядка, то правые части всех
полученных формул имеют (непрерывные) производные по всем
аргументам, следовательно, существуют (непрерывные)
вторые производные от неявных функций. Вообще (как это
легко доказать индуктивно) существование для функций
Fv ...,Fm непрерывных производных до k-го порядка
включительно влечёт за собой существование и
непрерывность всех производных k-го порядка и для неявных
функций.
Вычисление производных от неявных функций и в-
общем случае также производится либо дифференцированием
тождеств (5) по тем или другим переменным, либо
дифференцированием их полным образом. Получаемая для
определения производных или дифференциалов система
линейных уравнений своим определителем всегда имеет
отличный от, нуля, якобиан J. Эти замечания станут более
ясными на примерах.

S28 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (200
200. Примеры. 1) Пусть у связано с χ уравнением
logV"jr*+y» = arctg^-.
Дифференцируя „ последовательно ло χ {прилйм у считаем
функцией от х), получим
—. ,=—4-і—ί· или х+-уу' = ху' ~у,
х*-\-у* JC+J'*
затем
1+уп+уу*=хУ; ...
Из первого уравнения находим
У =—-^- .
J χ—у
из второго (если подставить найденное значение у')
х—у (■*—»*'
и т. д.
2) Дано уравнение
F (л:, у) = хз -f; j/' — За jry = 0.
Требуется найти экстремумы определяемой им неявной
функции у от х.
Имеем здесь
Fx = 3(x*-ay), F^ = 3{y*-ax).
Ввиду (15), для того чтобы было ух = 0, должно выполняться
равенство р'х = 0. Решая совместно уравнения F—0 и Fx = 0,
найдем две пары соответственных значений χ и у:
χζ=0, у = 0 и х = ау2, у~а\/~\.
Но в первой точке обращается в нуль и Fy, так что мы не
можем утверждать, что в её окрестности наше уравнение
определяет у как однозначную функцию от х; поэтому точку (0, 0)
оставляем в стороне.
Во второй -точке F'y = За3 yf2 > 0, и к ней приложима
теорема II. Чтобы убедиться в наличии экстремума, вычислим ух,
при х = а^2; проще всего исходить из (16), полагая там
Ух = Ь
Fy
* Это — не общее выражение для_у^,; оно годится лишь в
интересующей нас точке (а ?/~2, а Ц/4),

200]
§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
529
так
Имеем последовательно
что
xdx
а*
\ УаУ \ ■
1 Ь-2 1
дг
дх
zdz
= -—
-о,
<1г = -
<?z
' ду~
1.
с2у
Так как Fx, = 6л:>0 при х = а &2 , то уХ1<0, и налицо
максимум.
3) Пусть неявная функция г от х, у определяется уравнением
сгУ j
Затем
откуда (если воспользоваться известным уже выражением для dz)
., <* \ (χ* . ζ*Αάχΐ . 2хѵ . . , (V2 , г*\ауЦ
что даёт нам
дх*~ а^\а^~сУ' дх ду~ cflbW
д'-г £І /^3 ι гМ
дуі~ bW\b*~T~ct) И Т" Д<
4) Пусть г определяется, как функция От χ и у, из уравнения
г = лт4-у ·φ(ζ).
Предполагая 1 — y-f'\z) φ 0, доказать, что
dz ,_л dz
Имеем
ду--ѵ{г)-дх-
dz 1 dz _ у (г)
dx~~\—y.f (ζ)' dy~\—y-f'(z)'
откуда и вытекает требуемое.
5) Пусть из уравнения
У = *?(«) + Ψ (·*)
неременная г определяется как неявная функция от χ и у.
Предполагая x-tf' (ζ)-{-$' (ζ) φ О, установить, что эта функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению
дЧ (д£у_9дг_ dz_ d*z . дЧ (дг\*_0
дхі\ду) дх' ду 'дхду^ду*' \дх) "
34 г. М. Фихтенгольц

530 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [200
или
r-tp — 2pq-s-\-t-p* — Q,
где для краткости положено
дг _ дг__ д*г_ д*г _ дЪ
dy~q' дх>
дх=р'
■г,
— t.
дхду~°' ду"·
Последовательно дифференцируя по χ и по у, получим
<p(«)-H*y(*) + ф'(*)]·/> = 0, [*У(*) + ф'(*)]■*=!
и, далее,
2f'(*)^+[*-f,'(*)-hΦ* (*)]·^ + Γ*·?'(*) + Φ'(*)]·»■ = 0,
»'(*)·ϊ+[*·<(*) + Φ'(*)Ι·Μ-τ-[*·»'(*) + +'(*)]·* = 0,
?3
-Ям
/>2
Сложив последние три равенства, предварительно умноженные
на φ, — 2pq, р\ и придём к требуемому соотношению.
6) Пусть дана система
х+У + г+и = а, x?+jft-\-z*+ui=b\ ■*8+^+г,-г-иэ=Л
определяющая у, ζ, и как функции от л:. Имеем
1+У +*' + «' = 0, ΛΓ+>ΰ/' + ·22'4-ίί«' = 0,
лв_|_уѴ' -f гѴ _j_ «V = 0.
Предполагая определитель
II XI
у г и
|у2г3ц2
= (г~у)(и-у)(и-г)
неравным нулю, имеем отсюда
, {г — х) (п — х)
У= — , гт Г и т. д.
(2-У) [и-у)
7) Пусть переменные х, у, ζ связаны с переменными г, 9, у
соотношениями
o: = r-cosflcosf, у = г -sin 9 cos φ, 2 = /--slny,
где 0<r<-foo, "<β<* *<?<JI Якоб
D {х, У, г)
• D{r, β,,)
cos 9 cos φ — г sin 9 cos <ρ — r cos 9 sin φ
sin 9 cos φ г cas 9 cos <p — r sin 9 sin «p
sin у 0 r cos <p
= г'г cos f > 0.

200] § 2. неявные функции 531
Упомянутые соотношения определяют г, 9, у как функции
от х, у, г. Для вычисления производных этих функций
продифференцируем эти соотношения полным образом:
cos 9 cos <p dr — r-sin β cos φ db — r ·cos β sin <fdf = dx,
sin 9 cosip d7--f-r-cos9cos <p dO — r-sin 9 sin <f df=dy,
sinydr -j-r-cosfdy =dz.
Отсюда определим dr, db и rf<p:
. r2-cos9cos8» . , r'-sin9cos8ip . r!-sin<pcos ψ .
dr=z j Idx-i -j J-dy-\ j I<fe,
.. r-sinO r-cos9
d = J~ dx~\ 7~ dy·
. r-cos6sin ecos» . r-sin8sin «cos? . . r-cos'»
dT== _r ldx jl Itfy-f j У
dz.
Этим, собственно, уже и найдены интересующие нас производные
(если учесть указанное выше значение J):
дг „ дг . . дг
££ = cos9cosip, ^=sm9cos?, ^ = sin<p,
<?Ѳ sin 9 db cos β <?θ
дх r-cosip' ду /■•cos<p* дг'
df cos 9 sin φ df sin 6 sin <p dip cos φ
___ _ f -fiy— r * d~z r '
Предложенные уравнения легко решить относительно г, 9, <р:
г = Ѵх^-\-у- + г\ 9 = arctg Σ., φ = arctg -
Это дайт возможность вычислить все эти производные и тем
проверить найденные результаты.
8) В качестве заключительного примера на
дифференцирование неявных функций выведем ещё одну формулу, снова
подчёркивающую аналогию между якобианом системы
функций и производной одной функции.
Пусть дана система η уравнений с 2и переменными:
F,{xv xv ...,хяіуѵУш, •••»Л) = ° (/==1·2> ···.«)·
Предполагая якобиан
Р(Рі.Рі Рп).
ПІУъУі У η)
отличным от нуля, рассмотрим уѵ уъ · · · > Уп как ФУНКИИИ
от хѵ х2, ..., хп, определяемые этой системой уравнений и,
34*

532 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [200
следовательно, обращающие их в тождества. Дифференцируя
эти тождества по каждому Xj, результаты можем представить
в виде
dFi_dFidy1 , дГ{дУіL , ι dF,dya
vrj vrj t/yi ι dFt дуъ ι ι <■" ι
dxj dy! dxf^ dy2dxj* ''' "Γ dv.
дуп dxj
(і, у=1, 2, ..., п).
Определитель, составленный из левых частей этих равенств,
есть
nnD(FltF, Fn).
К ' D(xltxt хяУ
определитель же, составленный из правых частей, очевидно,
представляет собой произведение определителей
D(FbF3, ...,Fn) D{yltyv ...,yn)
D(Л.Уз, ■■■>Уп) D{xi,xv..., xn)
[см. 193 (3)]. Отсюда получается формула
D(Fi Fn)
η ι ν
D[yb ■■•>Уп)—I_ \\η °(χι χη)
D(xb ...,xa)
Di.Pi Ρη) '
D (Λ Уп)
являющаяся аналогом формулы (15).
Если уравнения даны в виде, разрешённом относительно
хі = Уі(УѵУѵ -">Уп) (/=1. 2, .... я),
то под рассмотренный случай это подойдёт, если положить
in
Так как здесь з-* = — 1 или 0, смотря по
дх
тому, будет ли i=j или i=£j, то числитель сведётся к
— 1 0 ... О
О — 1 ... О
О ..
и формула примет вид
РАУъ ■■■'Уп)
= (-!)"
Ι ι
й(х\ х„) Р(хі χη) ·
0(Уі,...,уп)
Этот результат нам уже знаком [193 (4)J.

ZQI ] § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 533
§ 3: Некоторые приложения теории неявных функций.
201. Относительные экстремумы. Рассмотрим вопрос
об экстремуме функции f (хх ■*„+«) от п-\-т
переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т
уравнениям связи
Ф/(*і.
('=1,2,
0 = 0
(1)
, т).
Мы уточним понятие о таком относительном
экстремуме и укажем приёмы для его разыскания.
Говорят, что в точке М0 (х\, ...,х°п+т),
удовлетворяющей уравнениям связи, функция f (хѵ .. ·,χα+„)
имеет относительный
неравенство
максимум (минимум), если
f(*
ν
(»
п-\-т
выполняется в некоторой окрестности точки Ма для всех
ее точек (хѵ ..., ха+т), удовлетворяющих
уравнениям связи.
Мы будем предполагать, что как функция /, так и
функции Ф, имеют в окрестности рассматриваемой точки
непрерывные частные производные по всем аргументам. Пусть,
далее, в точке М0 отличен от нуля хоть один из
определителей /я-го порядка, составленных из матрицы
частных производных*
дх\
дФ2
дх^
дхп+і
дФ,
дФА
дхп
дФ-і
дхп дхп+1 '" дхп + т
дФх
дхп+т
<?Ф,
<9Ф
дХ\
дФ^
дх„
дФ.
дФ„
дх,
п+1
·' дх
п+т
(2)
* В этом случае говорят, что матрица {2) имеет (в точке М0)
ранг т.

534 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [201
например, определитель
Р(Ф1( .... Ф„)
" ( хп +1 Х η + ""
Тогда, если ограничиться достаточно малой окрестностью
точки М0, по теореме IV система (1) равносильна
системе вида
*«+ι = Ϋι(*ι. ···> ·*«)> ···· *«+*= <fmlxi *„), (4)
где φχ, ..., ѵ>т суть неявные функции, определяемые
системой (1). Иными словами, требование, чтобы значения
переменных jct, ..., хп, хп+х, ..., хп+т удовлетворяли
уравнениям связи (1), можно заменить предположением, что
переменные x„+t, .... хп+т представляют собой функции (4)
от *υ ..., хп. Таким образом, вопрос об
относительном экстремуме для функции f(xu ..., х„+т) от п-\-т
переменных в точке MQ\x\, ...,х°п, хап+х, ..., х°„л.т)
сводится к вопросу об обыкновенном (абсолютном)
экстремуме для сложной функции от л переменных
/:(*і χα· *ι(*ι· ···· хп)> ··■» ?я(*и ···. *»)) (5)
в точке P0(*Jr ..., д£).
Эти соображения указывают и на реальный путь для
нахождения точки, доставляющий относительный экстремум
функции f{xit ..., *n+m): если мы умеем фактически
разрешить уравнения связи, например, относительно переменных
ха+1, ..., хя+т> и найти явные выражения для функций (4),
то дело сводится к нахождению абсолютного экстремума для
сложной функции (5). Собственно говоря, мы так именно и
поступали в ряде ранее решбнных задач [190, 191], например,
когда мы искали наименьшее значение для суммы х-\-у-\-
-f-z-J-/ при условии xyzt=c*, и т. п.
Укажем теперь другой путь для нахождения точки
Мй{х\, ..., х°п+т), не предполагая, что мы имеем явные
выражения для (неявных) функций (4), хотя существованием
этих функций мы будем пользоваться и здесь.
дФі
дФ%
дФі
" дхп+т
дФъ
" дхя+т
дФт
дФп
(3)
&*я+і "' &х!
«4- т

801] § 3, приложения теории неявных функций 535
Итак, пусть в точке Λί0 функция f(xx, ..., хп+т) имеет
относительный экстремум или — что то же — сложная
функция (5) в точке Р0 имеет экстремум абсолютный.
Тогда, по замечанию I п° 186, в этой точке должен
обращаться в нуль её дифференциал и притом — тождественно
относительно дифференциалов независимых переменных
dxx, ..., dxn. По инвариантности формы первого
дифференциала [175], это условие можно записать так:
ЕД <**,·=о, (6)
где под dxn+1, ..., dxn+m разумеются дифференциалы
функций (4) в точке Р0, в то время как частные
производные вычислены в точке М0, ибо (как явствует из теоремы IV)
«М> ■■■.*£) = *2+,. ■■·, «р„(*г, •...*°я)=*2+*-<7)
Из (6) нельзя, конечно, заключить о равенстве нулю
коэффициентов при дифференциалах, так как не все эти
дифференциалы произвольны. Для того чтобы свести дело
к произвольно выбираемым дифференциалам, т. е. к
дифференциалам dxx, ..., dxn независимых переменных, мы
постараемся исключить отсюда дифференциалы dxn+l, ...,
dxn+m переменных зависимых. Это легко сделать, если
продифференцировать полным образом уравнения
связи (1), разумея под *п+1, ..., *n+m функции (4)*:
ΣχΓ^>=0 (t'=l,2, ..., /η). (8)
j=\ ι
Здесь, как и выше, ввиду (7), частные производные
вычислены в точке М0. Так как, по предположению,
определитель (3) в этой точке— не нуль, то dxn+1, .. ., dxn+m могут
быть отсюда линейно выражены через dxx, ..., dxn. Если
эти выражения подставить в (6), то получится равенство
вида
Axdxx + ..,-}-Andxn=0,
* Точнее говоря, мы дифференцируем те тождества, которые
получаются из уравнений (1), если вместо хп+ь ..., х„+т в них
подставить неявные функции (4), Подобный способ речи мы будем
применять и впредь. - ......

536 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [202
где Ах, ..., Ап означают η выражений, рациональных
относительно частных производных функций Ф, и здесь взятых
в точке М0. Так как в этом равенстве фигурируют только
дифференциалы dxlt ... , dxn независимых переменных,
то в точке Мй имеем
Л1 = 0, ..., Ал = 0.
Вместе с уравнениями связи это даёт п-\-т уравнений для
определения неизвестных хх, ..., хп+т.
Конечно, мы установили лишь необходимые условия
для экстремальной точки Л10(х°, ..., х°п,п). Но и в таком
виде условия могут быть полезны даже для разыскания
наибольшего (или наименьшего) значения функции / при
условиях (1), если по характеру вопроса наперёд ясно, что внутри
рассматриваемой области должна существовать точка, где
это наибольшее (наименьшее) значение достигается, или если
такое допущение сделано в порядке наведения, с тем чтобы
найденную точку апробировать другими соображениями.
Примеры приведены ниже, в п° 204.
202. Метод неопределённых множителей Лагранжа.
В изложенном выше способе нарушается симметрия в
отношении переменных: часть из них трактуются как независимые,
часть — как зависимые, одни дифференциалы исключаются,
другие сохраняются. Иногда это влечёт за собой усложнение
выкладок. Лагранж предложил метод, при котором все
переменные сохраняют одинаковую роль.
Умножим равенства (8), соответственно, на произвольные
пока («неопределённые») множители X,- (г=1, 2, ..., т) и
результаты почленно сложим с (6). Мы получим равенство
!Д + >.!!+.-+^Ь = 0, (9)
где попрежнему <&:я+1, ..., dxnJrm означают дифференциалы
неявных функций (4) (в рассуждении мы пока сохраняем
неравноправие переменных); производные вычислены в
точке М0.
Выберем теперь значения множителей \t = λ? (i = 1, ..., m)
так, чтобы обращались в нуль именно коэффициенты при

202} § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Т£ОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 537
зависимых дифференциалах dx.n+x, ...., dxi
/ί + /Ώ·
І£_I_Ѵ>.?Фі_|_ \\0 .д®т— η MOV
(/*=«4-i, ..., «-(-/π).
Это сделать можно, поскольку определитель (3) системы
линейных уравнений, получающейся для определения \lt λ2,.,.
..., \т, отличен от нуля. При выбранных значениях
множителей равенство (9) примет вид
г
Здесь мы снова имеем дело лишь с дифференциалами
независимых переменных, поэтому коэффициенты при них
должны быть нулями, т. е. наряду с (10) имеем и
|/+λο.|Φ_ι+_+λο.^ = 0 (10*)..
OXj ' 1 dXj ' I m. dXj v '
(/=1, 2 η).
Итак, для определения п-\-т неизвестных χλ, ...,хп+т,
да ещё т множителей λρ ..., Iт, имеем столько же
уравнений, именно т уравнений связи и η -\-т уравнений
dxj ' λι Щ + ■ · · + А<* dxj —
(У=1, 2, ..., я + т)
[см. (10) и (10*)].
Для того чтобы облегчить выписывание этих уравнений,
обыкновенно вводят вспомогательную функцию
/?=/+λ1Φ1 + ... + λΛΦβ;
тогда упомянутые уравнения могут быть записаны в виде
g.=0 (/=1, 2, .... я + m). (И)
Они выглядят так же, как и условия обыкновенного
экстремума для функции F. Это следует рассматривать лишь как
указание, облегчающее запоминание.
И метод Лагранжа приводит к необходимым
условиям. В остальном здесь может быть повторено то, что было
сказано в конце предыдущего номера.

538 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [203
Замечание. В изложенной теории существенную роль
играло предположение о ранге матрицы (2),
которым мы воспользовались трижды. При решении задач одним
из указанных методов — для уверенности в том, что не
пропущена ни одна точка, доставляющая функции относительный
экстремум, — следовало бы предварительно установить, что
упомянутое предположение выполняется на деле во всех
точках рассматриваемой области, удовлетворяющих уравнения**
связи. В простых случаях мы будем предоставлять это
читателю.
203. Достаточные для относительного экстремума
условия. По этому поводу мы ограничимся немногими
замечаниями. Предположим существование и непрерывность
вторых производных для функций / и Ф^ (/=1,2, ..., т).
Пусть теперь точка Λί0 (х°, ... , ■*£.), совместно с
множителями λ°, ..., λ^, удовлетворяет установленным выше н е-
обходимым условиям.
Вопрос о наличии в этой точке (относительного)
экстремума зависит, как и в 188, от знака разности
А=/(*р ..., xn+m)—f(x°v ..·, х°п+т),
с той лишь существенной оговоркой, что и точка (хѵ ..., лгл+ )
удовлетворяет уравнениям связи (1) или—что то же — (4).
Легко понять, что для таких точек приращение
функции / может быть заменено приращением функции F (где
все множители \ мы считаем равными λ°):
b = F{xlt ..., x„+m)-F(x°, ..., xo+J.
Ввиду того, что в точке М0 выполняются условия (11),—
в этом-то и состоит выгода перехода к функции F,—это
приращение, по формуле Тэйлора, может быть записано
так [ср. 188, (8)]:
где
1. * = 1 /, к — 1 ·*
(J, *=1, 2, ..., л-f т)
bj = xj-*,, AAk = rVklxPt xO+j

204) § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 539
и (Xj<M—>·0, если A*j—»·0 Длгл—>·0 (остальные
приращения Δλγ„+1, ..., Длгл+т при этом сами собой будут
бесконечно малыми по непрерывности функций (4)).
Если заменить здесь все приращения Δχ,
соответствующими дифференциалами dxp то по отношению к
независимым переменным это вообще ничего не изменит; что же
касается зависимых переменных, то произведённая замена
вызовет лишь необходимость подставить вместо
коэффициентов aj k другие бесконечно малые $Jk:
Δ=γ{ Σ Aj,kdxjdxk+ Σ h,kdxjdxk\'
Переход к дифференциалам выгоден потому, что
дифференциалы зависимых и независимых переменных связаны системой
линейных соотношений (8). Так как определитель (3)
в точке Λί0, по предположению, — не нуль, то отсюда
зависимые дифференциалы выразятся линейно через независимые.
Подставив их выражения в Δ, мы, вместо первой суммы,
получим квадратичную форму относительно
дифференциалов dxx, ..., dxn.
А теперь, так же как и в 188 и 189, можно показать,
что: если эта форма будет определённой и притом
положительной (от ρ и цате ль но й), то в
испытуемой точке будет относительный минимум (максимум):
если же форма оказывается неопределённой, то
относительного экстремума нет.
Впрочем практическое значение этого критерия невелико
(ср. замечание в п° 190).
Перейдём к примерам и задачам.
204. Примеры и задачи. I) Пусть требуется найти экстремум
функции f = х -\-y-\-z-\-t при условии Φ — xyzt — с* = 0; область
изменения переменных определяется неравенствами χ > 0, у > 0,
ζ > 0, t > 0. Мы уже решали эту задачу в п° 190, 3), фактически
выражая t из последнего условия. Теперь, дифференцируя это ра>
венство полным образом, найдём
dx , dy , dz , dt n .. , Idx , dy , dz\
- + f + T+T = 0, откуда dt = -t(- + f + iy
Исключая dt из равенства df = dx-j-dy-\-dz-j-dt = Q, придгм
к результату

540 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (204
который, ввиду произвольности dx, dy и dz, распадается на три;
і-1 = о, 1-1=0. і-1=о,
так что x = y = z=t = c.
Применяя к той же задаче метод Лагранжа, введём
вспомогательную функцию
F=x+y±z-{-t+lxyzt*
и составим условия:
F'x=l + \yzt = Q F't=\+\xyz = 0,
откуда
yzt=xzt = xyt — xyz, так что х—у =z = t = c.
Для того чтобы воспользоваться результатом предыдущего п°
вычислим: λ = —— и рассмотрим функцию
F= х±У+ * -+* — -^-
xyzt
Её второй дифференциал (в точке x = y = z — t^c) будет
о
d*F= — — (dx dy -\-dxdz-{- dx dt -j- dy dz -f dy dt + dz dt).
Дифференцируя уразнение связи (всё в той же точке), получим
dx-\-dy + dz + dt = 0.
Если определить отсюда dt и подставить в предыдущее
выражение, то окончательно найдём
— — [dx dy + dxdz + dy dz — (dx -\-dy-\- dz)i\ =
= — [(dx -+- dy + dzY + dxt + dy* + d&\.
Так как эта форма, очевидно, определённая и положительная, то
в найденной точке будет относительный минимум.
[Отсюда, однако, нельзя сделать заключение, что этот минимум
будет и наименьшим значением функции f = x-\-y-\-z-Y-t
при указанной связи между значениями её аргументов; ср. 190,3).]
2) Вернёмся к задаче о наивыгоднейших сечениях проводов
в электрической сети с параллельным включением [191,8)].
Сохраняя принятые там обозначения, будем искать экстремум функции
fill, is, ···, Чп)=1іЯ\. + 1-і<1г+ ■■■Jrln4n
* Если вспомнить роль этой функции, то станет ясно, *то
постоянное слагаемое в составе Φ здесь может быть опущено без
вреда.

204І § 3. приложения теории неявных функций 541
при условии, что
Φ (ft, 9-1, • ••><7,і) = ——h^-+"
при этом мы не станем даже вводить, взамен qlt q2 дп,
другие переменные, как сделали это выше, ибо нашими новыми
методами задача и так решается просто.
Итак, дифференцируя полным образом уравнение Φ = О,
получим затем следующее выражение для дифференциала dqa:
<?п \hh. , , lr.-\l,-\ \
lnJn Ui Г„-і }
Подставляя его в равенство d/ = 'id?i + ... -}-in^1dqn^.x-\-iadgn~ 0,
придём к результату:
/l-- j- rfft+... + (/„-!-- J №-1=0.
Так как d^, ..., аГ^-і уже произвольны, то коэффициенты при
них порознь нули, откуда
ASSA = - g'~* = 9"=),*
и
Множитель пропорциональности λ легко определить из
уравнения связи:
л
етод Л а г ρ а н ж
ЛИЮ *
' " АЛ АЛ\
Если применить метод Л а г ρ а н ж а, го нужно построить
вспомогательную функцию *
и приравнять нулю её производные:
dP _ WiJi_n dP_ _ . _ λ^Λ
3ft-1 W "'*ι»~η чі
η
откуда снова получаем (12), и т. д.
3) В качестве более сложного примера рассмотрим такую за-
■^2 у2 ζ"ί
дачу: трёхосный эллипсоид -2+"12 + -j — 1 (а>*>^) пересечён
* «Неопределённый множитель» мы для удобства берём в
форме λ2 и включаем в него постоянную р.

5'42 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [204
плоскостью Iх-j-ту-\-пг = О, проходящей через его центр;
требуется определить полуоси получающегося в сечении эллипса.
Иными словами, нужно найти экстремальные значения функции
г2 = х2А-у2-{-г2, если переменные подчинены указанным выше
двум уравнениям связи.
Метод исключения зависимых дифференциалов п°201 здесь
приводит к сложным ■ выкладкам; поэтому мы сразу прибегнем
к методу Лагранжа.
Для того чтобы убедиться, что ранг матрицы
χ у г
а* Ь2 с2
I т η
равен 2 во всех точках пересечения эллипсоида с плоскостью *,
допустим противное. Из обращения в 0 всех определителей
второго порядка следует пропорциональность элементов верхней и
нижней строк; но тогда равенство Ix-f-ту-\-пг — 0 влечёт за
х2 ѵ3 ζ2
собой -г+т5+'-=-=0, что невозможно.
Составив вспомогательную функцию
Р{.х, У, г) = #+У* + * + \(%+£ + £)+2?{Iх + ту + пг),
приравняем нулю её производные:
■* + Ь^ + р' = 0, y + hfr2 + № = 0, ζ + \.ί + μη = 0. (13)
Умножая эти уравнения, соответственно, на х, у, ζ и складывая,
получим (с учётом уравнений связи), что Х= — г2.
Если предположить, для определённости, что ни одно из
чисел /, т, η не равно нулю, то из (13) можно усмотреть, что г не
равно ни а, ни Ь, ни с. Тогда уравнения (13) перепишутся в виде:
la2 mb2 nc2
Отсюда легко найти μ, а с ним и х, у, ζ; но, минуя это, можно,
сложив эти равенства, предварительно умноженные на /, т, п,
получить уравнение
Ра2 . т"-Ъ"- . пЧ2
а2 — г2~^ Ь2 ~ г2' с2 — Г2 — °»
откуда непосредственно и определяются интересующие нас два
экстремальные значения г2.
Так как существование этих экстремальных значений наперёд
известно, то здесь, таким образом, получается полное решение
вопроса.
* См. замечание в 202.

804] § 3. приложения теории неявных функций 543
4) Наконец, предложим себе найти наименьшее и наибольшее
вначения квадратичной формы
л
/(*!, Хг, ...,*„) «3 2 «/Л** (*ik = *kl)
i,k = \
при условии
*(*і, *і е„)в*? + «|+...+^ = 1. (14)
Прежде всего, легко убедиться в том, что среди точек
(#!, дгз, ..., х„), удовлетворяющих условию (14), действитеіьнв,
есть такие, в которых функция / принимает, соответственно,
наименьшее и наибольшее из своих значений. Если одну из
переменных, например хп, выразить из (14) через остальные, то дело
сведётся к рассмотрению двух непрерывных функций
/fa,*,, .... ±ν^-χχ-χ\--··-χΙ-\)
в замкнутой (я — I)-мерной сфере
*?+*S+...+**_,< 1,
к которым и применим теорему Вейерштрасса [163] *.
Составим функцию Л а г ρ а н ж а
Р(Х\< х-г xn)=f(xu *г хп) - λ С*і-+-*! + · ·· +*я )*
Исключая xit x3, ..., хп из условий
1 Я R
"2" "ЭЗГ — (tf" ~ ν·χι + αΐϊ·χ-2+ · · ■ +а1п.ха==0, )
-jjT "^ = *Й · *1+ (<»«-λ) ·*2 + \-а2п-ХП = й> I
2" 5Γ~β»ι··*ι + β«ί··«ι+··· +(<*„„-*)·*, = °, J
(15)
придём к уравнению л-й степени
апI
'пЯ
= 0
(16)
* Впрочем можно было бы применить теорему
Вейерштрасса и непосредственно к функции / в множестве точек,
удовлетворяющем уравнению (14) («сферическая поверхность»)»
пользуясь замкнутостью этого множества-

544 ГЛ, VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (203
относительно λ. Если λ есть один из его корней, то системе (15)
линейных уравнений можно удовлетворить значениями хи х2, ...,
хп, не сплошь равными нулю; умножив их на надлежащий
множитель, можно добиться и выполнения условия (14). Однако
определение этих значений не представляет для нас интереса, ибо, как
увидим, вопрос о наименьшем и наибольшем значениях функции /
решается и без них.
Действительно, умножая равенства (15), соответственно, на
xlt х2 хп и почленно складывая, придём к равенству
/(■*і, *t χη)-1(χΙ + χΙ+··'+χΙ) = ®
или, в силу (14),
/(■*іі *з хп) — ^·
Таким образом, если λ удовлетворяет уравнению (16), то значение
функции / в соответствующей точке (хи хі; ..., хп) и равно
самому λ.
Мы приходим к изящному результату: искомые наименьшее и
наибольшее значения функции /, при соблюдении условия (14),
совпадают с наименьшим и наибольшим из (вещественных)
корней * уравнения (16).
205. Пояятие независимости функций. Рассмотрим
систему функций
Уі /l 0*1» Хі> «··» χ/ι)>
Уг ==/2 (*ιι хгі · · · > χπ)'
Ут—Jm\Xi' X2> ···> Xn>> ,
(17)
определённых и непрерывных, вместе со своими частными
производными, в некоторой /г-мерной открытой области 3),
Может случиться, что одна из них, например у ·, является
функцией от остальных:
^=<Р(^і, ···. У;-і, yJ+i, ..., Ут)**, (18)
где φ также предполагается непрерывной функцией от всех
аргументов (в соответствующей области), с непрерывными
же частными производными. При этом мы подразумеваем,
что равенство (18) выполняется тождественно относи-
* Впрочем, можно доказать, что все корни этого уравнения
будут вещественными.
** Существенно, что функция tp в числе своих
непосредственных аргументов не содержит лг-ов.

205) § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 545
тельно Jfj, х2, ..., хп в области <2>. Тогда говорят, что
в этой области функция^ зависит от оста л ь-
ных. В частности, так будет, если у} сводится к
постоянной: в этом случае можно положить и φ = const.
Функции _yt, у„, ..., ут называют вообще
зависимыми в области 3), если одна из них (всё равно какая)
зависит от остальных.
Примеры. I) Если положить
'Л = -*і-т-*а-т-···+■**»
λ=--*Ϊ+*!+...+χ
Уз = xlxi + ΧχΧ-і + xixz + .♦.+*„_ !-*·„,
то нетрудно проверить, что во всём я-мерном пространстве будет
выполняться тождество
2) Аналогично, для функций
" у1 = хіЖі — x.it
yi = xlxzJrx,,
Уз = (xl + ]) (*І + х\) - (х\ - 1) *Л - -гі (*2 - хг)"'
имеем тождественно (в трёхмерном пространстве)
Уг = у\-УіУгЛ-УІ·
Всё это — зависимые функции.
Если ни в области 3), ни в какой-либо частичной, в ней
содержащейся, области не имеет место тождество вида (18),
то функции ук, у2, ..., ут называют независимыми в
области ій.
Ответ на вопрос о независимости функций даёт
рассмотрение так называемой матрицы Якоби, составленной
из частных производных этих функций по всем независимым
переменным:
(19)
дУ\ дУх
дх\ дх2
ду, ду2
дхі дхг
дуі
• дхп
дУ£
" дхп
дУтд1м
дхі дх% "
дут
■ дхп
35 Г. М. Фихтенгольц

546 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (206
Предполагая и 5= т, прежде всего имеем такую теорему:
Теорема I. Если хоть один определитель т-го порядка,
составленный из элементов матрицы (19), отличен от
нуля в области S>, то в этой области функции уг,
• · · > Ут независимы.
Доказательство. Пусть
д.Ѵі дуі
дх^ дхг
дУ\
дхт
дУт <Ь>т <?У»
дхі дх2 '' ' дх„
ФО.
(20)
Если бы неравным нулю был не этот, а какой-нибудь
другой определитель, то, изменив нумерацию переменных,
можно было бы свести вопрос к случаю (20).
Доказательство теоремы будем вести от противного.
Предположим, что одна из функций, например ут, выражается
через остальные, так что
Ут = Ч(Уп Λ» ♦··> Λι-ι)
(21)
хотя бы в некоторой части ξΰ0 области £D.
Продифференцировав это тождество по каждой из
переменных х{ (/ = 1, ..., т), мы получим ряд тождеств (в <2>0)
вида
dXj '
.дУт Й.I ^я дуг, ,
• /9«. дхі ~г ду2 ' дхі "Г · · · "т"
дУі
дУт ,
дУт-\
<>У
т-\
дх,
(/=1, 2,
., т).
Мы видим, что элементы последней строки
определителя (20) получаются путём сложения соответственных
элементов первых т — 1 строк, умноженных предварительно на
множители -/*?, ..., , Ут . Такой определитель, как извест-
°У\ "Ут-1
но, равен нулю. Это противоречит условию теоремы.
Полученное противоречие доказывает невозможность
равенства (21).
206. Ранг матрицы Якоби. Переходя к общему случаю,
введём следующее определение. Назовём рангом матрицы

206] § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 547
Якоби (19) (в области &>) наивысший из порядков
определителей, образованных из элементов этой матрицы и не
обращающихся в нуль тождественно в §ΰ. Если ранг
матрицы (19) есть μ^Ι, то существует хотя бы один
определитель μ-го порядка, составленный из элементов матрицы
(это, конечно, предполагает т ^ μ и я ^ μ) и не равный
в S) тождественно нулю, в то время как все определители
порядка выше μ (если таковые имеются) тождественно равны
нулю. Может, конечно, случиться, что все элементы
матрицы (19) тождественно обращаются в нуль; тогда говорят,
что ранг матрицы есть 0; но этот случай не представляет
интереса, ибо здесь попросту все функции ѵх, у„, ..., ут
сводятся к постоянным [173].
Теорема II. Пусть ранг матрицы Якоба в области @>
есть μ ^ 1. Тогда, в некоторой части £DU этой облгсти
μ функций, из числі наших т, будут независимыми,
а остальные от них зависят. [При этом независимыми
будут именно те функции, производные которых служат
элементами определителя μ-го порядка, не равного тождественно
нулю.]
Доказательство. Без умаления общности можно
предположить, что в некоторой точке области ξΰ отличен от
нуля именно определитель
D(yi, ..., jv)
D(xx, .... х^)
дуі ду^
όχχ дх2
ду2 дуг
дхх дх± '
<>Уі
• дх^
дУъ
" дх^
дх\_ дхг '
* дх^
dJ±dJ\
дхі дхг'
дхх дхг'
"ох?.
dh
' 'дХу,
дхк дхг' '
■ δχψ
■ (22)
Ввиду непрерывности частных производных, то же будет
и в некоторой окрестности упомянутой точки, и,
следовательно, по теореме I, функции ух, _у2, ..., у^ будут в этой
окрестности независимы.
С другой стороны, на основании теоремы IѴп°193, если
соответственным образом ограничить изменения всех перемен-
35*

548 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [206
ных, первые μ из уравнений (17)
·.·*„)-л=°. 1
/μ.(*Ρ '··' ■"'μ.' ·*·μ + 1> ···>■*«) Ур ''
(23)
определяют xlt x2,
остальных переменных yx
рующих в этих уравнениях:
*2 = Ъ(Уі>
, χ,, как однозначные функции от
Г"
^(іі ■*>+!'
•«ft. фигури-
(24)
*μ=<Ρ^(Λ»
3Ίι> Λ·|ΐ, + 1>
··. *,.)·
J
При этом системы уравнений (23) и (24) оказываются вполне
равносильными; заметим, в частности, что если в (24) под
Уи Уч., ···. У?, разуметь функции /t, Д, ..., /μ, то
получатся тождества (относительно х-ов).
Возьмём теперь (если ?η^>μ) любую из остальных
функций (17), например з^+р и докажем, что она зависит
от первых μ функций ух, у%, ,.., у± Если в равенство
Л-и—Д-м^р •••'J0 вместо .ν,, ..., х^ подставить
функции (24),' то Ур+1 представится в виде (сложной) функции
от _ур
Λ>
>-i-P
•к·-
JV * ι =Λ+,ι (УіІУі' · · ■' -V хѵ + и · .· · j **). · · ·
• · · ι Ϋμ(^Ί> · · · ) ^μ! Χμ + Ι ι · · · > *Λ)ί ·*μ+Ι>
~ *> + 1 \3Ί> · · · > ->V ^μ+Ρ ·
. Χη>
и обратно: если здесь под уѵ ..., у подразумевать
соответствующие функции (17), то—на основании сделанного
выше замечания — получим тождество относительно лг-ов.
Остаётся ещё (конечно, если только «>μ) установить,
что функция F^+1 фактически от аргументов х„ + 1, ...,
хп не зависит, т. е. при произвольном их изменении, но при

206] § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 549
фиксированных^, ..., ѵ, своего значения не меняет.
С этой целью достаточно показать, что тождественно
[173]. Остановимся для примера на первом равенстве;
остальные доказываются аналогично.
Фиксируем значения переменных jc +2, ..., хп (если
η>μ+1). Станем рассматривать у^ ..., у^, у^+1 как
сложные функции от уг, ..., _νμ, ·*>+ι> которые получаются,
если в первые μ-j-* функций (17) вместо хЛ1 ..., χ поя-
ставить функции (24). По одному из свойств якобианов
[193 (3)] имеем
ρθΊ jy. У|л+і)__Д(^ь ■■■■^.уі) Д(^і, ...,ΛΓμ, ^+I)
β (Λ. · · ·. ду, ^+і) ~D{*\ Χμ, χμ+ι)' D (Λ> ..., Уѵ_, χψ+1) ·
Но первый множитель справа есть некоторый определитель
(μ4"^)"Γ0 порядка матрицы (20) и, по предположению,
тождественно равен нулю. Следовательно, равен нулю и
определитель слева, который, как легко видеть, сводится именно
к производной -г-5-—.
ΟΧμ + 1
Итак, в функции /7μ+1 аргументы ΛΓμ+1, ..., хп могут
быть опущены: yfi^1 зависит лишь от ух, ..., у ч. и тр. д.
В примере 1), 205, матрица Якоби имеет вид
1 1 ... I [
2Χχ 2х2 ... 2хп
Χ2 + χϊ-\~···+χη χι + χ3+·'·+χη···*ι + *»+···+*η-ι Ι
Если к элементам третьей строки прибавить, соответственно,
элементы второй, умноженные на γ, то получится строка,
состоящая (подобно первой) из равных элементов. Отсюда ясно уже,
что все определители третьего порядка — нули. Ранг матрицы
равен д-вум, и действительно — д в е функции из трёх независимы,
а третья зависит от этих двух.
Аналогично сказанное применяется и к примеру 2), 205.
В заключение заметим, что возможны случаи, когда в одной
части рассматриваемой области имеет место одна зависимость
между функциями, а в другой осуществляется другая зависимость,
или же функции оказываются независимыми, и т. п.

550 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [207
3) Пусть, например, функции уг и уг от двух независимых
переменных xlt х3 определяются на плоскости ΧχΧ2 следующими
равенствами:
[ х\х%, если .«іЗзО, { х\х\, если .г23г0,
Уі=< " ■ ·ν-=ϊ
\ 0, если хх < 0, (, 0, если дг3 < 0.
Легко проверить, что эти функции непрерывны вместе со своими
производными на всей плоскости.
В данном случае ранг матрицы Я к о б и равен двум для
первого координатного угла, единице —для второго и
четвёртого углов и, наконец, нулю —для третьего. Лишь в первом
координатном угле функции независимы.
§ 4. Замена переменных.
207. -Функции одной переменной. Цель этого параграфа —
освоить читателя с формальным процессом замены
переменных. Поэтому мы не будем здесь отвлекать его внимание
выяснением всех условий, при которых производимые манипуляции
законны (что к тому же и не представляет никаких
трудностей).
Значительная часть содержания настоящего параграфа могла
бы быть изложена и раньше; однако нам казалось
целесообразным сосредоточить весь материал, связанный с заменой
переменных, в одном месте.
Пусть дано некоторое выражение
W=F(x, у, у'х, у'хі,...),
содержащее независимую переменную х, функцию от неё ν и ряд
производных от· у по χ до некоторого порядка. Иной р'аз
требуется перейти в подобном выражении к новым
переменным—независимой t и функции от неё н, с которыми старые
переменные χ и у связаны определёнными соотношениями
(носящими название формул преобразования). Точнее говоря,
требуется представить W в функции от f, а и производных от а по t.
Такая замена переменных обычно мотивируется либо
особым интересом, который представляют в рассматриваемом
вопросе переменные t и и, либо тем упрощением, которое эта
замена вносит в само выражение W.
Остановимся сначала на случае, когда заменяется лишь
независимая переменная и дана формула преобразования,
непосредственно связывающая χ с новой независимой переменной г.
Предположим, что эта формула преобразования разрешена
относительно х:
·* = ?(*). (1)
Если у есть функция от х, то через посредство χ она является
и функцией от г. Мы имели уже в п° 114 формулы, выражающие

207|
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
551
производные от у по χ через производные от χ и у по t:
1 in ι/ ι
ι У( " хьУѵ~ хрУ(
У-Х ~ ι' Ух* — ' 13 ·
xt xt
I.I II/ I" 1. Ъ " / 1 " " '\
xt {xtyL, - x^yL) - Здг(1 (xtyti ~ xt,yc)
Ух'~ - '5
λ
1
\
I
J
(2)
Так как х\, х"2, x"tL ■ · ■ можно считать известными функциями
от t [они получаются из (1) дифференцированием], то остаётся
лишь подставить в W вместо ух, у"х„ ... эти выражения их через
t, yt, yl2, ...
Если формула преобразования дана в неразрешённом
относительно χ виде:
Ф(х,і) = 0, (3)
то задача по существу решается так же, лишь производные
х, xt„ ... вычисляются по правилам дифференцирования неявных
функций *.
Переходя к общему случаю, когда заменяются обе
переменные, предположим, что формулы преобразования разрешены
относительно старых переменных:
x = V(t,u), y = Ht,u). (4)
Если у связано функциональной зависимостью с х, то отсюда и
будет связано зависимостью с ί, а тогда в силу (4) χ и у
окажутся сложными функциями от ί. По правилу дифференцирования
сложных функций будем иметь
' ' ι ' ' ' ι' с і' '
xt=b + futtf У1 = Ь + Киі>
it tt . - rr I , tr г'2 , Г η ft t" ι it'"
xl» = 4l* + 2'ttuttt+'tifiat -H«V Λ» = Ψί» + ··· + *«",»' ···
Обращаем внимание читателя на то, что через xt, yt и т. п. мы
обозначаем «полные» производные от χ и у по t, т. е. — с учётом
и зависимости а от t; наоборот, γ(, fyt, ... означают производные
по t лишь постольку, поскольку t входит в функции f, ψ, ... в
качестве одного из двух аргументов.
Подставив эти выражения в формулы (2), найдём выражения
производных от у по χ через ί, а и производные от α по ί, и т. д.
Если формулы преобразования не разрешены относительно χ
И У' Φ (χ, у, t, и) = О, Ψ (j-, у, t, и) = 0, (5)
* Впрочем, при этом может оказаться, что в окончательном
выражении W ещё останется х\ его придётся исключать при
помощи (3),

552 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [207
то произзодиые xt, yv xt„ yt„ ... вычисляются отсюда по
правилам дифференцирования неявных функций. Например,
дифференцируя (5) по ί (причём не только χ а у, по и и считается
функцией от ί), получим уравнения
из которых найдутся xv yt, и т. д.
В том частном случае, когда формулы преобразования
разрешены относительно новых переменных:
t = a(x,y), п=$(х,у), (6)
можно, прежде всего, пользоваться изложенным только что общим
методом. Например, дифференцируя формулы (6) по t (причём х,
у, и считаем функциями от t), получим
, 11,11 I .1 Ι ι «I I
откуда
π, наконец,
„(
xry ~yrx ~xfy ~у?х
а'х$'ѵ — ауР- " аЛ" — а·
' ' о'
' ._ axat-h
Ух— „г ι ι {
Yy-ayut
Проще, однако, в этом случае поступить так, как если бы
проделывали обратный переход от переменных t, и к
переменным х, у. Продифференцировав формулы (6) по χ (считая у
функцией от х), получим
*х = ах + ауУх> И* = Р* + М*·
так что
& + №
; + %Ух
(7)
откуда для ух получается то же выражение, что и выше.
И здесь мы различаем производные t'x, ч'х и ах, $'х. первые
означают «полные» производные по х, с учётом и зависимости
у от х, а вторые считаются с χ лишь как с одним из двух
аргументов функций а, р.
Заметим, что переход от переменных х, у к переменным t, й
по формулам (6) может быть истолкован геометрически как
некоторое точечное преобразование плоскости (или ее
части): если х,у рассматривать как координаты некоторой точки Μ
плоскости, a t, н—как координаты некоторой точки \Р, то
преобразование переводит точку Μ в точку Р. Возьмём затем какую^

208]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
553
либо кривую % на плоскости, с уравнением y=f(x); этой
функциональной зависимости между χ «у отвечает некоторая зависимость
между ί и и: u = g{t), которая также определяет на плоскости
некоторую кривую J6. Итак, в рассматриваемом преобразозании
кривая Э^ переходит в кривую же X, Если в точке Μ первой
кривой провести касательную с угловым коэффициентом ух, то
в соответствующей точке Ρ вторая кривая будет иметь
касательную с угловым коэффициентом ut, который определяется по
формуле (7). Таким образом, по координатам точки Μ на кривой^
и угловому коэффициенту касательной в.ЛI однозначно
определяются как координаты соответствующей точки Ρ на
преобразованной кривой Je, так и угловой коэффициент касательной в Р.
Поэтому, если через точку Μ провести две кривые, касающиеся
в этой точке, то преобразованные кривые будут также касаться
в соответствующей точке Р. Рассматриваемое точечное
преобразование плоскости сохраняет касание [ср. ниже пример 5)].
208. Примеры. 1) Пусть дано уравнение х2у"х%-\г-хух-{-У = 0;.
преобразовать его, полагая х = е*.
По формулам (2) имеем
yx = e-t.yt, yxi = e~U-(yt,-yt),
и уравнение примет более простой вид: ус»-\-у = 0.
2) Преобразовать выражение
О +У>
полагая x = t— у.
Под общую схему это преобразование подойдёт, если написать
л- = ί — и, у ~ и. По формулам (2)
I » "I I , I , I.«
С другой стороны, формула преобразования даёт х(=\ —у;
подставляя, найдём окончательно W=ycl — yt.
3) Перестановка ролей переменных. Предположим,
что независимая переменная χ и функция от неё у обмениваются
ролями; под общую схему это преобразование подойдёт, если·
положить .ѵ = к, y=:t. Поставим себе задачей выразить
производные от у по χ через производные от χ по у.
Снова прибегаем к формулам (2), заменяя < через у. Если
учесть, что у'у=1 (и jy=_y^'= ... =0), то сразу получим

554 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ' [208
Например, выражение W=y'xy"x\ — Ъу"хі\ если применить
к нему это преобразование, получит вид W= ■
У
4) Переход к полярным координатам. Если х, у
рассматривать как прямоугольные координаты точки, то уравнение
y=f(x) выразит кривую. Часто
бывает полезно перейти к
полярным координатам г, О,
выражая кривую её полярным
уравнением г = g(i). Тогда,
естественно, представляется необ-,
ходимость, исходя из выражений
различных геометрических
элементов кривой через х, у, ух, у'х·, ... ,
^х получить соответствующие
выражения их через 8, г, г\, г"^, ...
Черт. ПО. Формулы преобразования в этом
случае, как известно, имеют вид
x = rcosQ, _ѵ = г sin 0. Дифференцируя их по β (причём учитываем,
что г есть функция от в), получим
д;'в = r\ cos в — г sin 8, у\ = r\ sin 8 -}- г cos 6;
jr'g, = r'fl2cosfl — 2r8sin 8 — г ccs Q,yp = r^sin 0-{-2гьcosQ — г sin 8,...,
Отсюда, по формулам (2), найдём (подставляя 8 вместо t);
гв sin 8 -\- г cos 8 „ л3 —f- 2г03 — rr$.
Ух =
r6 cos 8 — л sin θ
Ух'--
(r'e cos θ — r sin 8)3
Таким образом, например, угловой коэффициент касательной
-будет
, r$ sin 8 -f- r cos О
(g а =у = —, —- ;
г0 cos 8 — г sin 8
тангенс угла ω, образованного касательной с продолженным
радиусом-вектором (черт. НО),
tg» = tg(0 — 8):
tg а — tg 8 хух —У
I+tga-tgO х-\-уу
теперь выразится простой формулой
, г
tg ω -.= — ,
/ >
χ

208]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
555
в связи с чем при полярном задании кривой положение
касательной предпочитают определять именно углом ω. Рассмотрим ещё
выражение
« = -, »
У*
представляющее, как увидим ниже [в п° 239], важный
геометрический элемент кривой («радиус кривизны»). Если подставить сюда
найденные выше выражения для у'х и y"x,t то после упрощений
получим
-_ (^ + ^)'
5)Преобразование Лежандра. Поставленную в
предыдущем п° задачу замены переменных можно обобщить,
допустив присутствие производных уже в формулах
преобразования. Мы ограничимся одним примером этого рода:
t=y'x, ѵ=х-у'х-у;
это преобразование называется преобразованием Лежандра.
Продифференцируем вторую формулу преобразования по х,
рассматривая слева и как функцию от χ через посредство ί
(зависимость ί от * даётся первой формулой):
"сУх' ^Ух + ХшУх' -Ух=х-У*>·
Отсюда (в предположении, что ухі Φ 0) at = x. Таким образом,
если учесть и обе формулы преобразования, имеем
х = и[, y = t-ut — u,
чем выявляется взаимность преобразования: t, и, ut
выражаются через л:, у, у'х совершенно так же, как эти последние
величины выражаются через первые.
Дифференцируя подобным же образом по χ формулу и( = х,
получим
II 1 , II 1
ut,-yx, = \, откуда ^, = -7,
(J
Дальнейшее дифференцирование даёт
III »9 , II III η "' '*
«ѵ-ѵЛ-ѵ·**'-0· так что у#=--?г·
и т. д.

556 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [209
Заметим, что если преобразование Лежандра истолковать
геометрически как преобразование плоскости, то оно отнюдь не
будет точечным преобразованием. Для определения
координат t, и точки Ρ недостаточно знать координаты х, у точки М, но
нужен и угловой коэффициент ух касательной в этой точке к
рассматриваемой кривой y~f(x). Тем не менее кривая
преобразуется здесь снова в кривую, и касание сохраняется*.
209. Функции нескольких переменных. Замена независимых
переменных. Перейдём теперь к задаче о преобразовании выражения
т— ρ ( dz dz dKz d*z \
W~t \х'у' ··" 2' дх' ду""'дх*' дхду ' ···/'
содержащего, кроме независимых переменных х, у, ... и функции
от них г, также частные производные г по её аргументам, до
определённого порядка. По тем же мотивам, что и в простейшем
случае, рассмотренном выше, и здесь может понадобиться перейти
к новым переменным, которые со старыми связаны с
помощью формул преобразования. Если обозначить новые независимые
переменные через t, «,..., а функцию от них— через ѵ, то задача
состоит в том, чтобы выразить W через ί, и ν и через
производные от ν по её аргументам. Очевидно, достаточно научиться
dz dz
делать это по отношению к старым производным -j—, -3—,<;<
..., -^—j , -з—-г-, · ■. Для простоты письма мы будем предполагать,
что независимых переменных всего две: старые χ и у, а новые t и и.
Начнём и здесь с того случая, когда заменяются лишь
независимые переменные, и формулы преобразования непосредственно
связывают старые переменные х, у с новыми і, н.
Предположим, что формулы преобразования разрешены
относительно старых переменных:
x=t{t, и), y=l/{t,tt). (8)
Рассматривая ζ как сложную функцию от ί и и через посредство
χ и у, по правилу дифференцирования сложных функций получим:
dz dx^d^.dydz dz_ дх дг . ду dz
dl~dldx + Ttdy' Ш~д7ід^+д1йду' (9)
Таким образом, для определения старых производных у- и ~
* Подобные преобразования, сохраняющие касание, играют
важную роль в различных областях геометрии и анализа. Они
носят название касательных преобразований, или
преобразований прикосновения. Точечные преобразования
и преобразования Лежандра являются лишь частными
примерами их.

209]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
557
мы имеем систему линейных уравнений; отсюда старые
производные линейно выразятся через новые:
дг дг . дг дг дг . dz .
дх dt ' да ду dt ' ди '
При этом важно отметить, что коэффициенты А, В, С, D
составляются из производных функций φ, ψ, фигурирующих в формулах
(8), но вовсе не зависят от г.
Это замечание позволяет применить формулы (10) к производ-
дг дг . , „ „ дЧ
ным -г-, -τ- (вместо ζ). Таким путём, например, для -5—j
получится выражение
д2± — A. fJ?±\~ л д (dz\-LRjLf<>L\-
дх*~ дх \дх) ~л dt [дх / ""■" ди [ дх ) ~
л( л д2г ι т> &г , дАдг , дВдг\ ,
==А{ЛЖ + ВдШ + ^Ж + діт) +
,R( л д'г ι η&ζ .дАдг . дВдг\
"+"а \Л dtdu ' а Ш^ ди dt "+" ди да) '■
Применяя (10) к производным второго порядка (вместо ζ), можно
получить выражения для производных третьего порядка, и т. д.
Если формулы преобразования разрешены относительно новых
переменных: t=a{xty), а = Их, У),
то удобнее прибегнуть к обратному методу, т. е.
рассматривать ζ как сложную функцию от х, у через посргдство t, а, и
дифференцировать ег по старым переменным. Это сразу приведёт
нас к формулам типа (10):
дг dt дг .дидг dz dtdz.dudz ...
Ъх^ЪIсЖ^дIсIй' д~у~дуЖ~т~ду дй' ( '
На этот раз коэффициенты
А = £, В = р, С=* D = p
дх дх ду ду
будут функциями от х, у, но также не зависят от ζ.
Применяя повторно формулы (11), можно и здесь получить
выражения дальнейших производных. Например,
дхі ~ дх
_дА дг дВдг . д I дг \ . д / дг
~ дх dt + дх ди + дх \ dt ) + дх \ да
дАдг дВдг , ι d*z р д*г \ ,
+<№+*£)'
* Здесь уместно сделать замечание, аналогичное замечанию
на стр. 551. Так как выражения старых производных через новые со-

558 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [210
Наконец, в общем случае,
образования
Ф(х,у, t, и) = 0,
можно пользоваться
как
при
ψ
прямым
вычисляя частные производные
дх] дх
~Ы' да'
ду
df
ду
ди
или
произвольных
(х, у, t, и) — 0,
, так
dt
дх'
и
dt
ду
форм;
обратным
ди
' дх
ди
• ду
улах
пре-·
(12)
методом,
по правилам дифференцирования неявных функций.
210. Метод вычисления дифференциалов. Укажем теперь
и другой метод для выражения старых производных через новые,
особенно удобный, если в W входят не отдельные производные,
но все производные данного порядка. Это — метод
вычисления полных дифференциалов. Он также может быть
представлен в двух формах, в зависимости от того, считаются ли
t и и или χ и у независимыми переменными.
Пусть сначала независимыми будут t и и, все дифференциалы
берутся именно по этим переменным (прямой метод).
Дифференцируя полным образом формулы преобразования (12), можно
выразить dx и dy линейно через dt и du:
dx = adt-{-§du, dy = fdt + idtt; (13)
затем, дифференцируя эти формулы, представим d^x я агу в виде
однородных полиномов второй степени относительно dt и du:
dix = idfi-\-ldtdu + i\du\ d*y = bdt*-\-idtdu-ir*dtt\ (14)
и т. д. Коэффициенты α, β, ..., ι, χ суть известные функции от х,
у, t и а.
Представим теперь dz двояко (пользуясь инвариантностью
формы дифференциала):
. дг . . дг . дг ., дг , ....
dz = dxdx+oydy = Jidt + dT1du· lI5>
Если вместо dx и dy подставить их выражения (13) и приравнять
коэффициенты при dt и du в обеих частях равенства *, то
получатся линейные уравнения
дг . дг дг . дг . , дг дг
adJc+'<d^-dt и *ді+ъщ = -дй'
дг дг
из которых определятся производные -з— и -?-.
держат х, у, то после подстановки этих выражений в W может
оказаться необходимым ещё исключать дг, у с помощью формул
преобразования..Читатель легко заметит и в дальнейшем случаи,
сходные с этим.
* Равенство A dt-j-B du = A' dt-^-H du может иметь место для
произвольных dt и du лишь в том случае, если Л—-Л' и
В = В'.

210]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
559
Аналогично, можно представить двояко d*z (помня о том, что
независимыми переменными являются не χ и у, a t и и):
= й'*'+2йг'"'а'+ё<""· (1δ>
Подставив вместо dx, dy, d-x и tP-y их выражения (13) и (14),
приравняем коэффициенты при df-, dtdu и du'* в обеих частях
равенства *. Это даёт нам систему трёх линейных уравнений для
д*г "ά-ζ д*г . dz dz
определения производных -^, j^, j^ (так как ^· ^ Уже
известны); и т. д.
Более простым в осуществлении является обратный
метод, при котором независимыми переменными считаются χ и у,
так что все дифференциалы берутся на этот раз по этим
переменным. .
Последовательным дифференцированием из формул
преобразования (12) мы получаем здесь
dt = a dx -j- Ь dy, du = с dx -j- d dy; (17)
ePt = edx*+fdxdy-{-gdy*, d-u = h dx* + / dx dy + j dy* (18)
и т. д. И здесь коэффициенты а, Ь,..., i, j суть известные
функции от х. у, t и а.
Если в (15) вместо dt и du подставить их выражения (17)
и приравнять коэффициенты при dx и dy в обеих частях
равенства, то непосредственно получим
dz dz . dz dz , dz , ^ dz
дх dt ' да' dy dt ' du
Взамен (16) в настоящем случае будем иметь
d^-dx^dx-^2a4Tydxd^oJ^' =
= дЪ t ^ dt d аЪ dz dz
dt1 . ' dtdu ' du2 ' dt ' du
Подстановка выражений (17), (13) и приравнивание коэффициентов
при dx* dx dy и dy* в обеих частях равенства непосредст-
н d*z d*z d*z
венно приведут к вычислзнию производных^,, ^ ^ , -^ ;
и т. д.
* Равенство Adt*+Bdtdu-\-C du* =.А' dt* + B' dt du -f С du*
может иметь место для произвольных dt и du лишь при
А = А', В = В', С— С.

560 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [211
211. Общий случай замены переменных. Обратимся, наконец,
к общему случаю, когда заменяются и независимые переменные,
и функция. Пусть формулы преобразования разрешены
относительно старых переменных:
дг = ср (ί, и, ѵ), у = ψ (ί, α, ν), z — i{t,u,v). (19)
Если ζ есть функция от χ и у: z = f(x, у), то, подставляя сюда
вместо дг, у и ζ их выражения через t, и, υ, получим зависимость
между последними переменными, так что ν будет функцией
от ί и а.
Считая независимыми переменными t и и (прямой метод),
а г — функцией от них через посредство дг и .у, как и выше,
получим равенства (9), а из них (10). Но здесь под -^т, ..., -г-
разумеются «полные» частные производные от дг, у, ζ по ί или и,
получаемые из (19) с учётом того обстоятельства, что ν сама
зависит от ί и а:
дх d<f , df дѵ дг όχ ■ д-ц дѵ_
Tt~"dT'dv dl дп~дй^"дѵди'
Коэффициенты А, В, С, D содержат не только t, и, ѵ, но и про-
дѵ дѵ ,
язводные -5г, -у- ; последние входят рациональным
образом. Последовательное применение формул (10) и здесь приведёт
к выражениям для вторых производных, и т. д.
Если формулы преобразования разрешены относительно
новых переменных:
t=a(x, у, ζ), и=4(дг,_у, ζ), ѵ — т(х, у, ζ), (20)
то обычно прибегают к обратному методу, т. е. считают
независимыми переменными дг и у. Имеем
дѵ дѵ dt_ , дѵ^ ди до дѵ dt . дѵ ди
дх~ ЪТ дх~*~д~йдх' ду~дТ'ду'''дй'ду'
dt дѵ
Вместо ££, ..., j~ сюда нужно подставить их выражения,
получаемые дифференцированием по дг и по у формул (20), с учётом
того, что ζ есть функция от χ и у:
о^_^а ,^α^ζ дѵ d-f дч дг
дх~дх ' дг дх ''"' д~у Ify'lzdy'
Таким путём получаются линейные относительно -^- и — ѵоавне-
<7ДГ ду J
ння, из которых эти производные легко выражак^я через дг, у
дѵ дѵ

211] § 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 561
Вычисление дальнейших производных проще всего выполнить
так: дифференцируем полученное для -г— (или -ς-) выражение
. дѵ дѵ
снова по χ (по у), рассматривая производные -тт- и ^- как
функции от χ и j/ через посредство ί и ы, и т. д.
В случае формул преобразования общего вида
А(х, у, г, t, и, ѵ) = О, Ъ(х, у, г, t, и, ѵ)=0, \
Г(х,у, г, t, и, ѵ) = 0 I к~ >
можно пользоваться любым из этих методов с применением
правил дифференцирования неявных функций.
Для решения рассматриваемой общей задачи замены
переменных применим и метод вычисления полных
дифференциалов. Мы ограничимся изложением той его формы,
которая связана с предположением, что независимыми являются
старые переменные χ и у (обратный метод), так что по этим
переменным и берутся все дифференциалы.
Последовательным дифференцированием, исходя из формул (21),
можно найти выражения
dt = aydx-f-a3dy-]-a%dz, du = bxdx-\-b-2dy-\-bsdz, \
dv — Cidx -\- c3dy -j- c$dz\ j
dH = d^x* -f d3dx dy -f d3 dy* + d4dχ d2 -f-
-+- dbdy d2 -(- dedz^-\- asd^z,
d*u = exdxi-f- ...-+■ еф* + bBd'-z,
d*v=jxdx"' + ... + hdz* + сз/Рг; ... )
Если в равенство
дѵ ., , dv .
dv = —- dt -4- 3- da
dt ' du
(22)
[ (23)
подставить вместо dt, du и dv их выражения (22), то получим
dv
dt
ddx + c^dy + c3dz = -^ (axdx -f a2dy + a3dz) -f-
откуда
dv
+ -^ (M*+ btdy -f bsdz),
dz = Adx-\-Bdy, (24)
где А, В рациональным образом содержат производные
-^- и -^-. Сопоставляя это с формулой
dt да
дг . . dz
d2 = Txdx+Tydy,
36 Г. М. Фихтенголыд

562 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [2||
видим, что
£ = и, £ = а
дх ду
Возьмём теперь равенство (ί и а не являются
независимыми переменными)
и подставим сюда вместо dt, du, d4, d^u, d*o их выражения (22)
и (23), а затем и dz заменим его выражением (24). Из
полученного равенства определится d-z:
d'-z=C dx"- -\-1Ddxdy^-E dy\
где С, D, £ рациональным образом содержат производ-
дѵ да дЪ дЪ д3ѵ _ .
ные Έ' Та ' д& ' ЖоЧ> Ш?· Сопоставляя с Формой
приходим к результату
дЧ
и т. д.
Задаче преобразования переменных и здесь можно придать
геометрический смысл. Если переменные (х, у, ζ) и (ί, и,, ѵ)
рассматривать как координаты точек Μ и Ρ пространства, то
формулы преобразования, например, в форме (20), относят каждой
точке Μ некоторую точку ' Р, т.е. характеризуют точечное
преобразование пространства (или его части).
Зависимости между х, у и ζ отвечает зависимость между г, и и у, так
что каждая поверхность tf преобразуется при этом в некоторую
поверхность Jf\
,, dz dz
Мы видели, что значениями х, у, ζ, -τ- и -ς- однозначно
■" дх ду
дѵ дѵ _
определяются значения /, и, υ, ^- и -^-. Вспоминая уравнение
касательной плоскости [170 (6)]:
отсюда легко заключить, что двум касающимся в точке Μ
поверхностям <!fi и fl>% отвечают в рассматриваемом преобразовании
две поверхности $~χ и £Гъ, также касающиеся в точке Р..
Точечное преобразованае пространства сохраняет касание [ср. ниже
пример 7)].

212]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
563
212. Примеры. 1) Переход к полярным
координата и, Пусть г есть функция точки на плоскости z=f(M).
Обыкновенно положение точки определяется её прямоугольными
координатами (х, у), так что г является функцией от переменных
χ и у. Часто, однако, оказывается более удобным характеризовать
положение точки полярными координатами г, 9, и тогда возникает
необходимость преобразования к новым переменным. Проделаем
этот переход различными методами.
Прямой метод: независимыми переменными считаются г, 1.
Исходя из формул преобразования
jr;=.rcos9, j/ = r sin β,
по образцу формул (10) имеем
дг я дг . . А дг дг . . дг . ьдг
-3- = COS 9 s г- Sin β -τ- ι ТГ = — f Sin » з V-Г COS β τ-,
дг дх ' ду дв дх ' d(y *
откуда
da л<?г sin 9 дг дг . .дг , cos 9 дг ,,_ч
3- = cos63 з»·. •3- = sir'9^-4 3n . (2ί»>
дх дг г дЬ ду дг ' г дѵ ' ѵ '
о sin θ . . cos 9
так что выражения cos 8, , sm ϋ, играют здесь роль.
коэффициентов А, В, С, D. Затем,
д*-г „ д I лдг sin β дг \
—ι = cos 9 -г— I cos 9 — 1
дх' дг \ дг г дЬ )
si« 9 д ( „ дг sin 0 <?г '
cos О
г <?9 V™ дг г дЬ) ~
— *Ъ^г 2sin9cos8 d'z ι sin'8<??2 2 sin 9 cos 9 дг . sin^ Q <?лг
-ccs <?/·2— r dr<?9 ' г« 093' гз ό9"~ι"Τ~ό/·*
Аналогично находим
дгг _ ,*д*г . 2 sin 9 cos 9 д*г ■ cos3 9 <Эгг
дуі—sin <Э/-3 + г drotf ' г» ·£β»
2 sin 9 cos 9 дг , cos8 9 дг
гЗ <?9 ' г дг
и т. д.
Обратный метод: независимыми переменными считаются
дг, ѵ. Для того чтобы воспользоваться формулами (11), нужно
дг дЬ дг <?9 ..
знать производные -у-, -3-, j-, -3-. Их можно найти,
разрешив предварительно уравнения, связывающие старые переменные
с новыми, относительно последних. Но можно воспользоваться
методами дифференцирования неявных функций, не разрешая
уравнений. Если продифференцировать формулы преобразования
36*

564 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [212
по χ и по у, считая г и 9 функциями οτ χ и у, то получим
0 = cos 9 ^ г sin 9 3- ,
ду ду'
Отсюда
дг „ <?Ѳ sin 9
дх ' дх г
■ Я «^ г Α ^9
1 = sin 9 — -f- r cos θ —-.
ду ду
дг . л дЬ cos 9
, -3- = sm 9, —- =
' ду ду г
и — по формулам (11) — мы возвращаемся к выражениям (25), и т. д.
Метод вычисления дифференциалов. Пусть, как
и только что, независимыми переменными будут х, у.
Дифференцируем полным образом формулы
преобразования
dx = cos6dr — г sin 9 d9, dy = sin 9 dr-ί-r cos 9 dO;
отсюда
„ . , . с . ,„ — sin θ rfjf -f- cos θ dy
dr = cos 9 dx -f sin β <*y, ^9 = ■ — ·
так что
дг . , дг .. / „ дг sin 9 дг \ . .
d2 = d7dr + diid* = {cosbTr ГдТ)ах+
. / .дг . cos 9 <52 \ .
+ ^9^- + --^^.
что снова привадит к выражениям (25).
Вторичное дифференцирование формул для dr и db даёт:
dh = — sin 9 db dx -\- cos 9 rf9 rfy =
_ sinz 9 dx"- - 2 sin 9 cos 9 d* dy -f cos^ 9 dy
~" г
. — г (cos 9 d-r 4- sin 9 d,v) d9 — (cos 9 dy — sin 8 dx) dr
r'1
_ 2 sin 9 cos 9 dx"- — 2 (cos' 8 — sin'2 9) d* dy — 2 sin 9 cos 9 d^
~ /-3
"Тогда для d.4 будем иметь:
дЧ 2 sin 9 cos 8 дЧ , sin3 9 дЧ , sin3 θ аг ,
= cosa 1
дг* г дгд9~ г* оѲз^ г дг
, 2 sin 9 cos 9 <5.г\ ,
Ч 75 дѳ) <^ + 2(...)Л*^ + і···)^·

212]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
565
дЧ
откуда для вторых производных -г-2,... получатся те же
выражения, что и выше.
Рассмотрим, для примера, выражения
*-(£)·+(£)·· -1-S+S·
С помощью найденных формул они преобразуются так:
w -!дгУл- 1 (дг)2 w -дчх.1 д*2л-1 дг
2) Переход кс.ферическим координатам. В
пространстве роль, аналогичную полярным координатам на плоскости,
играют так называемые сферические координаты ρ, φ, β, с котог
рыми прямоугольные координаты х, у, ζ связаны с помощыо
формул
χ = ρ sin у cos 9, y = psmf sin 9, г = ρ cos φ.
Пусть требуется преобразовать к переменным р, <р, 9 выражения,
где и есть некоторая функция точки в пространстве.
Если преобразование произвести в два приёма, полагая
сначала Ar=rcos9, y = rsin9 (и оставляя ζ неизменным), а затем
2 = pcos<p, г = ρ sin <p (оставляя 9 неизменным), то можно будег
воспользоваться результатами примера I).
Например, для второго выражения имеем
дЪ _. д*и _ д*и , 1 д^и , _1_ ди
дх*~т~ду*~дг* ' г* дЫ^" г дг '
то — (М*і_дЩ ι ! д2и, 1 ди
Выражение в скобках, на основании того же примера 1),
перепишется так:
дЬг_. 1 д*а ■ 1 ди.
др"-~^"р^ <??* ρ dp'
наконец,
ди да , cos <р да
-з- = sin » χ- Ч -τ-.
дг т др ' ρ о?
Подставляя всё это, окончательно найдём
2 ~ dp* "τ" pa <ψ "τ" ρ"! sin'- ? <?Ѳз ι" ρ dp "τ" ρ« df "

566 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (212
Аналогично,
m ..-(даУ ι I (0«Ѵ , » ^»Ѵ
1_\<?рУ """ρϊβϊπΤφ \<?ѲУ ^рИ^У·
3) Показать, что выражения Wj и W2 сохраняют свою φ о р-
w у при любом преобразовании прямоугольных координат в
прямоугольные же
х' = щх-\-Ь-1у + Сіг, у = аіх-{-Ьгу + е1г, г' = а3х + b3y-\~ c3z,
где коэффициенты а, Ь, с удовлетворяют известным соотношениям
aiaj+btbJ+clCj= {lliy=j. (26)
Метод вычисления дифференциалов. Считая х, у, г
независимыми переменными, имеем
dx' = axdx -\- bidy -f- C\dz, dW = 0,
d/ = a2dx -(- b.2dy -f- c*dz, d-y' = 0,
dz' = a3dx -(- &3<5i>' 4- c3dz, d2z' = 0.
Тогда
de = о? (fll<lr ~^~ bxdy "*" СіІг) "*" eV(a%dx ~^~bidj ~^ Cidz>i ^
+ §7 (*s** + М.У + c3dz),
откуда
ди ди . да . ди да , да . . да . . да
^ = β157+%φ7 + β35?, fy = h Ш + h Ту + b3 gy,
ди ди . ди . ди
сіі — Сі д~х' + Сг ~д/ + С* Ъ~£ '·
возводя в квадрат и складывая, в силу (26), получим
Затем,
Выражение W^ есть сумма коэффициентов при dx\ dy* и dz''-;
с помощью (26) нетрудно установить, что
w — J2L.L д%а л. дЬг
2 ~ дх1* ~Т~ду'і ~т"дгИ'

212]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
567
4) Преобразовать уравнение
d"-w . «5% ,<?%., <?2да . <?% . <ЗѴ
"IF +-"2 Ί? +г' ~Ш+уг %ГТг+2Х*Ш+хуШГу = 0
к новым переменным t, и, ν по формулам xz=uv, y = vt, z = tu.
Прямой метод. Считая независимыми переменными i, a,
ѵ, будем иметь
dw dw . dw dw dw , dw , dw dw , dw
(3i ^ ' дг ди dx ' дг да дх 1 ду
Отсюда
dw 1 dw , 1 (Зда , 1 <3ω
хдх ΪΈ+ϊ^Τ+ϊ^'
(Зш I dw 1 (Зги , 1 dw
ydy'-Yt'dt~JudlI'i"2Vdi'
dw 1 dw , 1 <3до 1 . dw
zfa~^cTt+~2udu"~~2V~dv'
Далее,
, <32ffi; d ( dw \
д Ι 1 . dw , 1 (Зга , 1 (Зи; \
_ 1 , <3% ι , d«m , 1 , (ЗЗгг) . Ι <33ге>
~~ 4 f' <3f"2 +Τ н' (Зыз "Γ 4 ""ai^"1" 2 иоЫГЫ,~
1 (?2щ, 1 (32ш . 3 , dw 1 do> 1 dw
~JdΊΓдΎ~TWσΊi+~4tΉ~~ϊudй~~4vdv,
d*w d I dw\ d ( 1 , dw 1 dw . 1 <ЗггЛ
y2dJTz = zdl[y^ay)==zdl{^^-Ta-dT+-2vdl!) =
___£,, (32o> 1 ; <32a> I , d--w . 1 <?»гэ ,
4 dP 4 <?«« 4 <?ί»2 г 2 ~дадѵ~
и т. д. Сложив все подобные выражения (и отбросив числовой
множитель},, получим преобразованное уравнение в виде
., d*w , ,дЬа, , d*w n
До сих пор заменялись лишь независимые переменные;
приведём примеры, где замене подвергается и функция.

568 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [212
5) Преобразовать уравнение х2-^—\-у2 -=- =22, полагая
_ t __ t
х~и У~Т+Ы' г~ \~\-tv-
Прямой метод. Независимые переменные: t, и.
Дифференцируем третью из формул преобразования по ί и по и,
рассматривая переменные г я ν как функции от t, и (первую — через
посредство х, у):
дѵ
dz_.dz_ 1 _l ~t2dT дг — t* _ , И дѵ
дх~т"ду" {l+tuf~ (l + tv)·*' dy'(\+tu)*~ (l-^tv)*du'
Отсюда
дг 1 /. ,.дѵ дѵ\ дг (14-Wde
П dt да)' ду~(
дх (l + tv)»A dt да)' ду (\+Щ*да'
Преобразованное уравнение после сокращения будет иметь вид:
£=»·
Решим ту же задачу иначе.
Обратный метод. Выразим из формул преобразования
новые переменные через старые:
і~х,
и будем считать независимыми переменными х, у. Дифференцируя
третью формулу по χ и по у {ѵ зависит от них через посредство
t, и), найдём:
1 дг , 1 дѵ . дѵ I I dz δν Ι
~ #д~х^"хъ~ дТ^~д~их*' ~¥-д~у~~Жі~у^
1 1
и — — — —
у χ
1
ν=
ζ
1
χ
дг 3 ( 1 дѵ Ι дѵ\ dz. гг до
d^~z\xi~~di~x~zdTi)' д~у~уідй
6) Выражение
д?г „ д*г , д*~г
W--
' дх* дхду ^дуі
преобразовать к переменным t — x-\-y, и = —, ν = —.
Метод вычисления дифференциалов. Независимые
переменные: х, у. Дифференцируем формулы преобразования:
dt~dx-{-dy, dtt = ~-~dx+—dy, dv = — —Λάχ-\- — άζ,

212] § 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 569
Если ν рассматривать как функцию от х, у через посредство t, и,
то дифференциал dv напишется так:
Сопоставляя два выражения для dv, находим
dz=-^dx-\-x~(dx-j-dy)+-£i ( — £ dx+dyy
Составим теперь вторые дифференциалы от новых переменных::
d4 = 0, Фи=Щах* — —гахау,
α4ι= — ^άχάζ + ~3άχ* + -^ d?z.
idxdz + ~.dxi + -
х* ' χ3 χ
С другой стороны,
+5(-**·+Η'+π(5'"-*'<"')·
Приравнивая оба выражения для d*v и заменяя dz полученным
выше его выражением, придём к равенству, из которого
определится d2z:
^^x + x^dx + dy^{-Ldx^dy)Y%d^.
+ x^{dx + dy)^2^-a(dx+dy)(^-^dx+ldy)i-
d**z дгг дЪ
Отсюда можно определить производные-г-а, -г—j-, -3-5 как
коэффициенты при dx3, 2dxdy, dy2. Но нужный нам результат
можно получить проще, заметив, что* dlz переходит в W, если
взять dx=l, dy = —l. Таким путём находим:
л* "онз- ί 'да*'
7) Преобразование Лежандра. Наподобие 5) η° £08
мы и здесь приведём преобразование Лежандра как пример

570 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [212
более общего преобразования, когда уже формулы, связывающие
старые и новые переменные, содержат производные. Положим
, дг дг дг . дг
дх ду дх ' ·* ду
Разумея под ζ некоторую определённую функцию от χ и у:
z=f(x,y), будем предполагать её такой, что
Р(і,и)_дЧд*г ( дЧ \2
J~ D(x,y)~dx*dy* \ дхду J *α (г'}
Дифференцируя третью из формул преобразования по χ и по у
(причём ν рассматриваем как функцию от х, у через посредство
Л, и), по'лучим
дѵ дЧ , дѵ дЧ д*г . дЧ
dt дх* г ди дхду dx*TJ дхду '
дѵ дЧ . дѵ дЧ _ дЧ . дЧ
Ж дх ду + Ш ду'· ~ Х дх ду+У ду*"
откуда
дѵ дѵ .дѵ , дѵ „_,
х=д1'у=Ш· так чтои z = td7+ttd7i-v· (28>
т. е. преобразование имеет взаимный характер.
Дифференцируя первые две из полученных формул (28) сначала
тіо х, а затем по у, придём к уравнениям
, _ д*ѵдЧ , д'-ѵ дЧ д*ѵ дЧ , ду-ѵ дЧ
dt* dx*~dtdudxdy' dt ди дх'- Г ди* дх ду
д*ѵ дЧ , д*ѵ дЧ , д*ѵ дЧ , д*ѵ дЧ
dt* дхду~ dtdudy*' dtdudxdy~ ди* ду
Так как [193 (4)]
. __ дЧі д*ѵ / d*v \ ъ_ D (х,у) I^
dt* да* \dtdu)~D(t,u)~J*"'
то из этих уравнений
д*ѵ д*ѵ д*ѵ
дЧ ди* дЧ . ЪТдй дЧ Ш
дх* I ' дхду I ' ду*~ I '
Если х, у, ζ и t, a, v трактовать как координаты некоторых
точек пространства, то преобразование Лежандра можно
рассматривать как преобразование пространства (но не точечное).
Поверхность, характеризуемая зависимостью между ζ и· х, у,
переходит при этом в поверхность, определяемую зависимостью между

£12]
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
571
. ~ . дѵ дѵ
ν и t, и. Так как t, и, ν, тт-, τ- зависят только от х, у, г,
dt ди ' '
dz дг
-s-, -j-, то преобразование Лежандра сохраняет
касание*.
8) Легко обобщить преобразование Лежандра на случай
пространства любого числа измерений. Пусть, скажем, ζ есть
функция от Χχ, хъ ..., хп. Положим
я
dz ,· ι о ч угу дг
здесь ν есть новая функция от новых переменных ti, tlt..., tn.
Будем предполагать и здесь определитель
d*z дЪ . д*г.
дх\ дхгдх2 * ' * дх1дхп
дЧ дЪ д*г
J—
дх3дХі дх\ "'дх.2дхл
д*г
д*г
дЪ.
дхпдхх дхпдх3'" дх*
отличным от нуля.
Продифференцируем формулу, определяющую ѵ, по хк
(рассматривая при этом ν как функцию от хъ..., х„ через посредство
Σδυ дЧ _ ѵч дЧ . . .
/=і dt, dxtdxk - £j *' дх,дхк {* - 1· · · ·' П)
Ввиду J ?έ 0, отсюда следует
до
dt.
— Χι (/ = !,...,«)·
Таким образом, и
Σ, дѵ
bat.-*'
ι=\
так что в общем случае преобразование также имеет взаимный
характер.
* Сюда также относятся сноска на стр. 556.

572 ГЛ. VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [212
9) Наконец, рассмотрим ещё один пример преобразования,
представляющий некоторое своеобразие. Пусть
Т("і ап< .«і,.... ■*„)
будет функция от 2л переменных, однородная 2-й степени
относительно переме-нных *і,...,хѵ Предполагая
определитель
н=
отличным от нуля,
дх\
дх^ δχχ
дхх дхг'
дх\ ·
' дХідхп
' дх2дхп
дЦ
дх„дх1
положим
дхпдх2"
д?<?
• дхі
и введём t\,...,'tn в· качестве новых независимых переменных
вместо Х\,..., хп. Тогда функция γ преобразуется в некоторую
функцию
ψ(«!,..., к„; ti,...,tn).
Доказать, что
<«)& = *,, (6)^==-.* (/ = !,.
диі~
dui
.,*).
Дифференцируем <ρ = ψ по xk, рассматривая ψ как функцию от
хх,..., ха через посредство іъ ..., tn:
Sx~k ~f~ St ι dxidxk
(A = l n).
С другой стороны, производная -^- будет однородной
функцией первой степени относительно переменных
хь ,.., ха. Тогда по формуле Эйлера [178J
*£. = £*»*, (* = і,...,я).
Сопоставляя полученные два разложения для ■—- , ввиду Η φ О,
заключаем о справедливости соотношений (а).

£12] § 4. замена переменных 573
Дифференцируя же по ut, получим
я
Но —, очевидно, однородная функция второй
степени относительно хь..., хп. Снова применяя формулу
Эйлера, видим, что последняя сумма даёт нам
£^дхк \dui) * dat
Отсюда и следуют соотношения (б).

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Аналитическое представление кривых
и поверхностей.
213, Кривые наплоскости(впрямоугольныхкоординатах).
В настоящей главе мы остановимся на некоторых приложениях
изученных понятий, фактов и методов дифференциального
исчисления к геометрии. [С немногими из них мы сталкивались
уже в tin0 136 и 138 при построении графиков функций.]
Мы считаем полезным предварительно напомнить читателю
различные способы аналитического представления кривых и
поверхностей; этому посвя.щён § 1. Оговорим наперёд, что
функции, о которых будет итти речь в этой главе, как
правило, предполагаются непрерывными и имеющими
непрерывные же производные по своим
аргументам; в случае надобности, мы будем требовать
существования и непрерывности и дальнейших производных.
Начнём с плоских кривых, причём в основу
положим некоторую прямоугольную систему координат Оху.
Выше мы не раз рассматривали уравнение вида
y=f(x) или x = g(y) (1)
и изучали соответствующую ему кривую [47, 90, 135 и след.].
Такого рода задание кривой, когда одна из текущих
координат её точки представляется в виде (однозначной) явной
функции от другой координаты, мы будем называть явным
заданием (или представлением) кривой. Оно обладает
простотой и наглядностью; как увидим, всякое другое задание—
в некотором смысле — может быть сведено к этому.
В связи с теорией неявных функций нам приходилось
также говорить о неявном задании кривой, т. е. о пред-

212] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 575
ставлении кривой уравнением вида
F(x,y) = 0, (2).
нер'азрешённым ни относительно х, ни относительно у [195-
и след.]. Такое уравнение носит название неявного
уравнения кривой.
Из теорем о существовании неявной функции [195,186]
следует, что если в точке (xQ, yQ) кривой выполнено условие
F'x (*о. Уо) Φ ° или F'y (χο> Уо) Φ °.
то, по крайней мере, в некоторой окрестности этой точки
кривая может быть представлена явным уравнением (1) того
или другого вида (причём фигурирующая в нём функция /
или g непрерывна вместе со своей производной).
Таким образом, только точки (xQ, у0) кривой, для
которых выполняются зараз оба условия
^(*ο.Λ) = °. ^(^ο.Λ) = 0. (3)
могут иметь ту особенность, что в их окрестности
кривая не представима явным уравнением (ни того, ни другого
вида). Точки кривой, удовлетворяющие уравнениям (3), и
называют особыми*.
Ниже [226] мы займёмся вопросом о поведении кривой
(2) вблизи особой точки. Но, как правило, особые точки
будут исключаться из рассмотрения, и мы будем изучать
кривую лишь в окрестности её обыкновенной (т. е.
неособой) точки.
Наконец, в предыдущем изложении не раз упоминалось,
о том, что уравнения вида
* = <Р(*), * = ψ(<), (4)
устанавливающие зависимость текущих координат точки от
некоторого параметра t, также определяют кривую на
* Правда, точнее было бы назвать их «подозрительными по-
особенности», ибо не в каждой такой точке на деле осуществляется
«особенность». Если, например, уравнение прямой у—χ написать-
в виде (у— дг)3 = 0, то все её точки искусственно станут
«особыми», не будучи таковыми в действительности. Иными словами,
«особенность» может быть связана лишь с выбранным представлением:
кривой, а не с самой кривой. Однако, простоты ради, мы будем
держаться обычной терминологии, тем более, что на Практике;
никаких затруднений отсюда не проистечёт.

■576 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [213
плоскости [см., например, 105]. Подобные уравнения
называют параметрическими; они дают
параметрическое представление кривой.
Рассмотрим точку (х0, у0), определяемую значением f = t0
параметра, и предположим, что при t = t0 будет ψ'(ί0)ζ£0.
Тогда и вблизи этого значения і производная x't = f'(t)—
по непрерывности — будет сохранять тот же знак; функция
ΛΓ = φ(ί) оказывается монотонной [127]. При этих
условиях, в силу 82 и 93, можно t рассматривать как
однозначную функцию от х: t = b (x), непрерывную и имеющую
непрерывную же производную. Подставив эту функцию вместо
t в выражение для у, установим непосредственную
зависимость у от χ
y = i(b(x))=f(x),
где — снова — функция / непрерывна вместе со своею
производной; таким образом, мы выразим явным уравнением, по
крайней мере, участок кривой, примыкающий к -взятой точке.
Аналогичное заключение можно сделать, если даже <р'(г;о) = 0,
но ψ' (^о) ^ 0| с той единственной разницей, что получится
явное уравнение другого вида: x = g(y).
Лишь в том случае, когда одновременно
*ί=φ'('ο)=θΗ.ν;=ψ'(*ο) = ο, (5)
кривая в окрестности рассматриваемой точки может
оказаться не представимой явным уравнением; такую точку
будем называть особой*.
В 227 мы остановимся вкратце на виде кривой (4) вблизи
особой точки, но, как правило, и здесь мы будем изучать
лишь обыкновенные точки.
Важно теперь оговориться, что всё сказанное выше об
обыкновенной точке (х0, _у0), т. е. такой, для которой не
выполняются условия (5), предполагает ещё, что эта точка
получается только при одном значении параметра
* И здесь можно было бы повторить сказанное в сноске на
предыдущей странице. Если, например, в известных
параметрических уравнениях окружности
χ = a cos 9, у = a sin θ (0 ίξ θ ^ 2я)
полярный угол β заменить на ί3 (О^і^Уаі), то при ί = 0
получим «особую» точку, которой не было раньше.

214] §1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 577
t—t0 (т. е., как говорят, является простой точкой). Если
бы, наоборот, точка (л:0,у0) была кратной и отвечала,
например, двум различным значениям параметра t = tQ и t— tv
то в ней, вообще говоря, пересекались бы два участка
кривой: один, определяемый значениями і, близкими к t0, а
другой— значениями t, близкими к tv В этом случае всю
кривую в окрестности данной точки опять-таки нельзя было бы
представить явным уравнением. Таким образом, кратные
точки также по существу следует откосить к особы м *.
Подведём итоги сказанному. Мы не пытались дать
геометрическую характеристику понятия кривой: для нас кривая
есть геометрическое место точек, удовлетворяющих
аналитическому соотношению вида (1), (2) или (4),—
в предположении непрерывности встречающихся в них
функций и их производных. Правда, геометрические образы,
определяемые этими различными способами, в целом могут
значительно разниться по своему облику, но в малом, в
окрестности обыкновенной (а в случае параметрического
задания — и простой) точки, все они уподобляются тем
простейшим образам, которые задаются уравнениями вида (1).
214. Примеры. Сделаем обзор наичаще встречающихся кризых
(многие из них, впрочем, уже знакомы читателю из аналитическо:'!
геометрии).
1) Цепная линия (черт. 41). Её уравнение
ί .ν
j,= !■(*«+*""») = ach-J.
По такой линии устанавливается в равновесии гибкая и
нерастяжимая тяжёлая нить (цепь, провод и т. п.), подвешенная за оба
конца.
Форма кривой вблизи вершины А (см. чертёж) напоминает
параболу, но при удалении от вершины кривая круче устремляется
в бесконечность. Отрезок ОА= а определяет точнее её форму—
чем а меньше, тем кривая круче. То расположение кривой,
которое изображено на чертеже, вовсе необязательно, но. оно
позволяет придать уравнению кривой наиболее простой вид.
* Есть, впрочем, один случай, когда точку, получающуюся
дважды, всё же не считают кратной: это будет тогда, когда точка
отвечает двум крайним значениям параметра и в ней кривая
замыкается. [В примере окружности--точка, определяемая
значениями 0 = 0 и 0 = 2π.]
37 г. М. Фихтемгольц

578 гл. ѵіі. приложения к геометрии {214
2) Эллипс, отнесённый к осям симметрии, имеет уравнение
Поскольку сумма квадратов величин — и —■ должна
равняться единице, естественно принять их, соответственно, за косинус и
синус некоторого угла t. Это приводит к обычному
параметрическому представлению эллипса
χ = a cos t, у=Ъ sin t;
при изменении t от 0 до.2и эллипс
описывается против часовой стрелки, начиная от
конца А (а, 0) большой оси.
Можно было бы, разумеется,
использовать и какие-либо другие выражения, сумма
квадратов которых равна единице, и
положить, например,
I - «2 . 2и
X=za ,—| ; , V = О =—| , ,
l-j-ці' s I —{—М*
где и изменяется от — оо до -f- oo. Так как·
при и -+· оо имеем χ ->— а, у -* 0, то можно
считать условно, что точка А'(—β,Ο)
получается при а = оо.
Аналогично для случая гиперболы
а'- 6* '
вспоминая известное соотношение,
связывающее гиперболические косинус и
Черт. 111. синус, можно положить
x = acht, y = bsht (—οο<ί< + οο).
Другое представление той же кривой:
_ 1+ггЗ , 2и
1 - и2 ·
у = Ь-
(—оо <и< + оо; и ^±1).
Читателю рекомендуется во всех случаях дать себе отчёт в
передвижении точки по кривой при изменении параметра.
3) Полукубическая парабола (черт. 111)
уъ — схі= О (ί>0).
Здесь особой точкой служит начало (0,0). Если решить
уравнение относительно у, то получим явные уравнения двух
симметричных ветвей кривой
у— ±.Vex3 =z + Vc χ-

214] § 1 · АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 57.9
Так как у' = 0 при х — 0 для обеих ветвей, то в начале они обе
касаются оси х, и налицо остриё [точка возврата, см. 226].
4) Астроида (черт. 112)
х*-\-ул =а" (д>0).
Это уравнение, собственно говоря, не подходит под тот тип,
которым мы условились ограничиться: в каждой из точек (±а, 0).
и (0, rt а) одна из частных производных
левой части уравнения обращается в оо.
Впрочем нетрудно, освободив уравнение
кривой от иррациональностей, представить
его в виде
(х*+у* — αψ -ρ- 27а.гг*уз= 0.
При этом представлении указанные точки
как раз и будут особыми.
Из уравнения кривой видно, что
кривая лежит в круге x*-\-yt=al· и сим- Черт II9
метрична относительно обеих осей; огра- ·
инчимся поэтому первым квадрантом. Разрешая уравнение
относительно у:
— ? !
у = (а* -дГ3)2
и дифференцируя:
2_ 2 I _1
у>=~{а*- х3)'2-х 3,
видим, что при λ· = 0 касательная вертикальна, а при х = а —
горизонтальна. Отсюда следует, что во всех четырёх особых
точках будут острия (точ'ки возврата).
Желая получить параметрическое представление астроиды,,
используем то, что—в силу уравнения кривой —сумма -квадратов.
і_ 2
„ ί Χ\Ά (у\ 3 „
выражении 1—1 и I — ) должна равняться единице. Положив:
их равными cos* и sin ί, придём к таким параметрическим
уравнениям:
jr=acos3i, y[=asin>t (0=^ii£2!r).
Так как производные
xt = — Ъа cos? t sin t, y't = За sin21 cos t
обе обращаются в 0 при ί
параметра отвечают особые точки
37*
0 (2π), -~ , π, ψ, то этим значениям
• те же, что и выше.

580 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [214
5) Декартов лист (черт, 113)
хз^.у!> — 3аху=0*
(в>0).
Особой точкой служит начало координат (0, 0): в нём
кривая сама, себя пересекает. Кривая имеет асимптоту х-\-у-\-а=^0
как при jt -*--f-°°> так и ПРИ х -»■—».
Чтобы убедиться в этом, разделим уравнение почленно на х*:
Ш'
.3.-І.І-1.
Отсюда, прежде всего, можно заключить, что, скажем, при
остаётся ограни-
\х
чеинын.
пр.ч х -і
>*· '£
а тогда уже ясно, что
χ
оо отношение >■ — 1.
.У
С другой стороны, уравнение
даёт нам
у + х:
Ъахч
Xs — ху -\- У'·
За
У
у-{-х-
Этим наше утвер-
Черт. 113.
так что при χ -*■ rt оо будет
ждение и оправдано [138].
ν
Вводя в качестве параметра отношение t= — и подставляя в
уравнение кривой у = іх, легко получить параметрическое
представление:
Sat 3at)
:i3_j_i 'У — /3_μ 1
(-oe<f <-f-w, M- !)·
При ί->· οο обе координаты стремятся к 0; можно считать, что
начальная точка (0,0) получается дважды—при ί = 0 и при
/ = оо. При изменении ί от — оо до —1, точка (х,у), исходя из
начала, вдоль правой ветви удаляется в бесконечность. При
изменении t от — 1 до 0 наша точка из бесконечности вдоль левой
ветви возвращается к началу. Наконец, при возрастании t от О
до -f- оо точка описывает (против часовой стрелки) петлю.
* См. пример 2), 200. Точка А (а у 2, а\/ 4), отвечающая
максимуму _у как функции от х, отмечена на чертеже.

215] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 581
215. Кривые механического происхождения. Продолжая
перечень примеров, рассмотрим ещё некоторые кривые механического
происхождения, полученные путём качения одних кривых
по другим.
6) Циклоида. Вообразим, что по прямой Ох (черт. 114}
слева направо катится без скольжения круг радиуса я с
центром в А. Кризая, описываемая при этом любой точкой,окруж-
носта, и называется циклоидой. Проследим, например, путь
точки О за время
одного оборота круга. у f н
Рассмотрим
катящийся круг в новом
положении. Точкой
касания служит уже другая
точка, N; таким обра-·
зом, по прямой точка
касания переместилась
на расстояние ON. В
то же время точка О
переместилась в поло- ч
жение М, пройдя по окружности круга путь NM. Так как каче
іше происходит без скольжения, то эти пути равны:
Черт. 114.
NM = ON.
Если выбрать теперь в качестве параметра, определяющего
положение точки, угол t=-QNDM, на который успел повернуться
радиус, имевший в начале качения вертикальное положение АО,
то координаты χ и у точки Μ выразятся следующим образом:
X — OF=ON -FN = NM- MG = at -a sint,
y = FM = NG = ND — GD = a — acost.
Итак, параметрические уравнения циклоиды имеют вид
x = a(t — sinf), _y = a(l — ccsi) (Os£f =^2π).
При изменении t от — оо до + °° получится кривая, состоящая и»
бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на
черт. 114.
Так как производные
x't=a([ —cost), _jr^ = asini
одновременно обращаются в 0 при t=2kz (fc = 0, ±1, ±2,...),
то этим значениям отвечают особые точки кривой. Но (105,(10)]
ι
ι Уі Sill t , t
^=7; = 1^77 = ^2-·
так что, например, при t -»- 0 (или при χ -* 0) производная ух
будет стремнться к со; ясно, что в начальной точке (равно как и

582 гл. ѵіг. приложения к геометрии [215
в других особых точках) касательная вертикальна: здесь налицо
•остриё [точка в озвра τ а, 227].
7) Эпи- и гипоциклоида. Если один круг без
скольжения катится извне по другому кругу, то кривая, описываемая
произвольной точкой окружности подвижного круга, называется
эпициклоидой. В случае же качения изнутри мы имеем
дело с гипоциклоидой. Остановимся на выводе уравнений
первой из этих кривых.
Возьмём начало координат в центре О неподвижного круга, а
'Ось χ проведём через то положение А интересующей нас точки,
в котором она является точкой касания
обоих кругов (черт. 115). Когда
подвижный круг перейдёт в новое
положение, указанное на чертеже, точка А
перейдёт в М. Геометрическое место
точек Μ нам и надлежит определить.
Обозначим через а радиус
неподвижного круга, а через та — радиус
катящегося круга. Выберем за
параметр здесь угол t = -QMCB между
радиусом СМ, соединяющим центр
катящегося круга с интересующей нас
точкой на его окружности, и
радиусом СВ, проведённым в точку касания.
В начале движения пусть этот угол
равен 0.
Прежде всего, посмотрим, в чём здесь проявляется
отсутствие скольжения. Дуга АВ, пройденная точкой касания по
неподвижной окружности, должна равняться дуге MB, пройденной
точкой касания по катящейся окружности:
a<-q.AOB = ma-'$MCB==mat, откуда -QAOB^mt.
Выразим теперь координаты χ и у точки Μ через t. Имеем
но
х = ОО = ОЕ+ РМ = (й -f та) cos mt -f- та sin < РСМ\
<$FCM = <$BCM~<$OCE и <$OC£-=y-mi,
и sin <$FCM= — cos (1-f-m)f.
■ m cos (1 -\-m)t].
так что
<$.FCM = (l-\-m)t-
Окончательно
χ = a [(1 -)- m) cos mt ■
Подобным же образом найдём
у = a [(I -f- m) sin mt — т sin (l -f m)t].
Эти уравнения дают параметрическое представление
эпициклоиды.
Когда катящийся круг снова придёт в соприкосновение с
неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале движ«-

215] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 583
ния (т.^е. при ί = 2π), точка Μ закончит одну ветвь кривой. При
дальнейшем качении она будет описывать следующую ветвь, по-
.добную первой, и т. д.
Производные
xt= — т (да + 1) β [sin mt — sin (1 -f- m)t],
y\= m (m-{-1) a [cos mt — cos (1 -\-m)t\
■обращаются зараз в 0 при ί = 2&π (где *=:0, ±1, ±'2,...), т. е.
всякий раз, когда рассматриваемая на подвижном круге точка
становится точкой касания. Соответствующие точки кривой будут
•особыми (точки возврата).
Черт. 116.
В случае гипоциклоиды подобным же образом получаются
такие параметрические уравнения:
х = а [(1 — т) cos mt-\-m cos (1 — m)t],
у = a [— (1 — m) sin mt -f- m sin (1 — /n)fJ.
Здесь /л также означает отношение радиуса катящегося круга
к радиусу неподвижного. Легко заметить, что эти уравнения
получаются из уравнений эпициклоиды заменой т на — т.
На черт. 116 изображены эпициклоиды, соответствующие т =
— I, 2, -о-, и гипоциклоиды, соответствующие т = -^ и -уч В
последней читатель узнает астроиду*.
1
* Если в уравнениях гипоциклоиды положить т = -г и
заменить t на — it, то и получатся уравнения, приведённые в 4).

584· ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ (2IS
8) Эвольвента круга. Представим себе, что на круг,
описанный из центра О радиусом а, навёрнута по часовой стрелке нить;
пусть конец нити приходится в
точке А. Станем нить
развёртывать (против часовой стрелки),
сматывая с круга и всё время
натягивая её за конец. Кривая,
описываемая при этом концом
нити, называется
эвольвентой круга [ср. ниже 242, 244J.
Возьмём начало координат в
центре О (черт. 117) и проведём
ось jr через точку А. Когда будет
смотана часть АВ нити, она
займёт положение ВМ, располагаясь
по касательной к кругу, а точка
А перейдёт в М. Итак, АВ = ВМ.
В качестве параметра введём угол
ί = <$ΛΟβ между радиусами О А
и ОБ. Координаты х, у точки Μ
Черт. 117.
выразятся следующим образом:
x = DC-DO = BF- DO =
ВМ sin < ВМС— OS cos <$ DOB;
no BM= AB = att а углы -Ц.ВМС и -^.DOB равны π — t, так что
χ = at sin (г. — ί) — a cos (π — ί) = α (ί sin ί -f- cos ί).
Далее,
у = CM — CF -\-FM=DB-\-FM=OB sin <$ DOB -f BM cos <$ BMC—
= a (sin t — t cos t).
Таким образом, наша кривая представляется следующими
параметрическими уравнениями:
х = a (i sin t -\- cos ί), y = a (sin t — t cos t).
Единственная особая точка отвечает значению f = 0, при
котором обращаются в 0 обе производные
xt = at cos t, yt = at sin t.
Предлагаем читателю убедиться в том, что та же кривая
получится, если катить прямую (без скольжения) по кругу и
рассмотреть траекторию какой-либо точки прямой.
216. Кривые на плоскости (з полярных координатах).
Примеры. Во многих случаях оказывается проще
представлять кривые их полярными уравнениями,
устанавливающими зависимость между текущими полярными
координатами г, 0 точек кривой. Полярный угол 0 мы отсчитываем
от полярной оси, считая его положительным против часовой

216] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 585
стрелки. Полярный радиус-вектор г мы будем брать как
положительным, так и отрицательным; в первом случае его
откладывают в направлении, определяемом углом 0, а во
втором — в противоположном направлении.
Как в случае прямоугольных координат, и здесь
зависимость между гиб может быть задана в явной, неявной или
параметрической форме. Мы ограничимся, преимущественно,
простейшим случаем, когда кривая представляется явным
уравнением вида /-=/(9).
Если перейти к прямоугольным координатам, взяв, как-
обычно, полюс за начало, а полярную ось — за ось х, то
уравнения
x — rcosb=ftf)cosb, у = rsiab =/(')) sin Ь
дадут параметрическое представление нашей кривой,
причём роль параметра
здесь будет играть
полярный угол 6.
[Полученные здесь функции от
Ѳ, вместе с /, непрерывны
и имеют непрерывные
производные.]
Формулы
ATj = /-jCOS 6 Г Stn 6,
у'ь—г'в sin04-/"cos G
показывают, что особая
точка (в смысле п° 213)
может встретиться лишь в том случае, если г= r^ = 0.
Обратимся к примерам.
1) Архимедова спираль: г = аЬ (черт. 118).
Кривую можно рассматривать как траекторию точки,
равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время
как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.
Для построения ряда точек A, B,C,D,... кривой отложим по
вертикали ОЛ = д--у, а затем возьмём ОВ — 20А, ОС = ЮА,
UD — 40A и т. д., ибо им отвечают углы 2·-^-, 3·-^-, 4~ и т. д.
Изменяя угол 8 от 0 до оо, получим бесконечное множество
витков кривой OABCD, DEFGH,..,; расстояния соседних витков,
считая по лучу, равны 2га.
Черт. 118.

586 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [216
Можно углу 0 придавать и отрицательные значения, от 0 до
— оо. Тогда получится вторая часть кривой OAB'CD'...,
намеченная пунктиром; она симметрична с первой.
Заметим, что уравнение г=^аЪ-\-Ь также выражает
архимедову спираль: если повернуть полярную ось на угол а —
= , то это уравнение приведётся к виду г = ав.
2) Гиперболическая спираль: :=т (черт. 119).
При возрастании угла 8 до бесконечности радиус-вектор
стремится к нулю, а точка кривой стремится к совпадению с полюсом
Черт. 11Э.
(никогда его не достигая); в этих условиях полюс называется
асимптотической точкой кривой. Кривая бесчисленное
множество раз заворачивается вокруг полюса.
Если на луче о = -т отложить отрезок О А = —- и взять
ОС = ±-ОВ, OD = jOC,.
., то точки А, В, C,D,..
OB = jOA,
очевидно, лежат на кривой.
Угол 0 может принимать и отрицательные значения. При
изменении б от 0 до — оо, как и в случае архимедовой спирали,
получается вторая часть кривой A'BCD'..., симметричная с
первой; она и здесь намечена пунктиром.
Для уточнения формы кривой в бесконечности рассмотрим
вертикальное расстояние точки кривой до полярной оси y = rsinb =
sin о
= а —т—. При r-i-rtoo или — Что то же — при β-»-;+; 0 имеем
limy = а. Таким образом, прямая, проведённая параллельно
полярной оси на расстоянии а от неб, служит для кривой
асимптотой.
3) Логарифмическая спираль: г- ае"® (черт. 120).
Если угол β возрастает (или убывает) в арифметической
прогрессии, то г возрастает (убывает) в геометрической прогрессии.

216] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 587
Отложим на полярной оси отрезок ОА = а, а на вертикали к ней —
отрезок ОВ = ае , обе точки А, В принадлежат нашей кривой.
Если построить теперь прямоугольную ломаную ABCDE..., то из
подобия треугольников нетрудно заключить, что отрезки ОА, ОБ,
ОС, OD, ОЕ,... образуют геометрическую прогрессию со знаме-
π
нателем е г ; так как соответствующие углы суть 0,-гр 2 ·— , 3·-^-
и т. д., то, очевидно, все точки С, D, Е,... также лежат на
рассматриваемой спирали.
Когда угол б растет от >0 до -f-oo, точка делает бесчисленное
множество оборотов вокруг полюса, б ы с т-р о удаляясь от него
в бесконечность; расстояния
между витками уже неравны.
Угол β может принимать и
отрицательные значения; когда
6 стремится к — оо, то радиус-
вектор г стремится к 0.
Кривая бесконечное множество
раз заворачивается вокруг
полюса, безгракично к нему
приближаясь (но никогда не
достигая, см. часть AB'C'D'E'...
на черт. 120); полюс является
асимптотической
точкой кривой.
Отметим, наконец, что,
поворачивая полярную ось вокруг
полюса, можно добиться уничтожения множителя а и привести
уравнение логарифмической спирали к простейшему виду: г—е"л.
4) Улитки: r = acasO-{-b (черт. 121).
Происхождение этих кривых можно себе представить так.
Возьмём окружность диаметра а. Если выбрать полюс О лежащим
на самой окружности, а полярную ось провести через центр С, то
для любой точки Μ окружности, очевидно, будет г = a cos β. Это
и есть полярное уравнение окружности. Если изменять здесь угол 9
от 0 до 2іг, то переменная точка дважды опишет окружность
(против часовой стрелки).
Если удлинить теперь все радиусы-векторы ОМ окружности
на постоянный отрезок М'М = Ь (Ь >0), то из построенных таким
путём точек Μ составится новая кривая, которая и носит общее
название улитки. Её полярное уравнение, очевидно, будет
г = a cos β 4- b.
Проще всего обстоит дело, если Ь > а, ибо тогда
радиус-вектор всегда положителен и кривая окружает полюс со всех сторон
(черт. 121а) При Ь < а кривая проходит через полюс и, сама себя
пересекая, образует внутреннюю петлю, как на черт. 1216. Для
определения углов в, при которых переменная^точка проходит
через полюс, полагаем л = 0 в уравнении кривой. Мы получаеи

588 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [216
уравнение cos 6 = , которое имеет решение именно потому,
что b < а.
Особенно интересен промежуточный тип кривой, отвечающий
случаю, когда Ъ = а. Здесь полюс лежит на кривой (β = π), но
петли нет; кривая изображена на черт. 121в. Сразу бросается
в глаза тождество ^той кривой и кардиоиды, рассмотренной
выше, как частный случаи эпициклоиды (черт. 116).
Предоставляем читателю убедиться в этом.
HW'to* ΜΉ-Ьч
Черт. 121.
5) Лемниската Б е ρ н у л л и: г* = 2а'· cos 28 (черт. 122).
Эту кривую можно определить как геометрическое место
точек М, для которых произведение их расстояний p = FM и p'=FM
до двух данных точек Р'ъ /", отстоящих одна от другой на
расстояние 2а, есть постоянная величина а2*.
* При указанном соотношении между расстоянием FP' и
постоянной величиной произведения рр', очевидно, середина О
отрезка FF1 принадлежит кривой (р = р'= а). Иначе обстоит дело, если
вр' = 6г, где b£a\ тогда получаются так называемые овалы
К а с с и н и·.

217] § 1. АНА.1ИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 589
При обозначениях чертежа из треугольников OMF и ОМР
имеем
рі — гі-\-аі + Чат cos θ, Р'з=fi -f a"- ~~ 2ar cos 9,
так что, по определению,
рУ*= (/-з-f а»)* — 4aV2 cos2 9 = а*,
откуда после элементарных преобразований получим
r3=:2a'cos28.
Это и есть полярное уравнение лемнискаты.
41
Черт. 122.
Так как левая, а с ней и правая часть этого уравнечия не
может принимать отрицательных значений, то угол 8 может
изменяться лишь в таких промежутках, для которых ccs29^0. Это
будут промежутки
Вся кривая расположится в двух вертикальных углах между
прямыми SS и ТТ, проведёнными под углами -j- и -у- к полярной
оси (см. чертёж). Она сама себя пересекает в полюсе, которому
, ι Зі 5и 7і
отвечают в = -у, -j-, --, -^-.
Если обычным образом перейти к прямоугольным
координатам, то легко получить такое (неявное) уравнение лемнискаты:
217. Поверхности и кривые в пространстве. Мы не
предполагаем здесь углубляться в приложения
дифференциального исчисления к геометрии в пространстве, оставляя
эти вопросы для специального курса дифференциальной
геометрии. Поэтому в отношении пространственных образов мы

590 fJl. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [2П
ограничимся лишь тем, что необходимо для дальнейших
частей самого курса анализа.
Как и выше (напомним это ещё раз), все рассматриваемые
функции будем предполагать непрерывными и
имеющими непрерывные производные по своим
аргументам.
Будем исходить из прямоугольной системы координатных
осей Oxyz. Нам приходилось уже говорить о том, что
поверхность в пространстве может быть выражена уравнением
между текущими координатами вида
ζ = f{x, у) (6)
[см., например, 1501. Такое уравнение, равно как и
аналогичные ему x. — g(y, ζ) и y = h(z, x), мы будем называть
явным уравнением поверхности.
К этому простейшему случаю, в известном смысле,
сводятся и другие способы, задания поверхности.
Часто случается, что поверхность выражается уравнением
вида
F[x,y, 2θ = 0, (7)
не разрешённым относительно той или иной координаты (н е-
явное задание). Если в точке (х0, у0, г0), ему
удовлетворяющей, хоть одна из частных производных F' (х0, у0, ζ0),
F'y (*о> 3Ό> ζο)> 1"г(хогУо'го) отлична от 0, то в окрестности
этой точки поверхность представима я в ны м уравнением того
или иного типа. Действительно, если, напр., Fz(x0, у&, гй)ф0,
то по теореме III п° 198, по крайней мере в
окрестности рассматриваемой точки, уравнение определяет ζ, как
однозначную функцию от хну: z = f(x,y) (и притом —
непрерывную вместе со своими производными по обоим
аргументам).
Таким образом, исключение может представиться лишь
в. особой точке поверхности, удовлетворяющей зараз трём
условиям:
/=', = 0, F'y = 0, F,z = 0*.
Уравнение
F (■*, У) = 0, (8)
* Здесь (и в последующем) следует иметь в виду сноски,
сделанные по поводу определения «особых» точек на стр. 575 и 57б!

2I7J § ΐ. лналитич. представление кривых и поверхностей 591
не содержащее вовсе одной из координат, также может быть
истолковано как уравнение поверхности. Именно, на
плоскости ху оно выражает кривую; если на ней, как на
направляющей, построить цилиндрическую поверхность
с образующими, параллельными оси ζ, то все точки этой
поверхности, и только они, будут удовлетворять
рассматриваемому уравнению (поскольку г в него не входит и ничем не
стеснено)..
Аналогично истолковываются уравнения вида G (у, г) = 0
или Η (ζ, χ) = 0.
Обратимся теперь к кривым в пространстве.
Простейшим способом задания кривой в пространстве являетса
тот, когда две текущие координаты, например, у и г,
задаются в виде функций от третьей, х:
y=f(x), z=-g(x). (9)
Подобный способ есть естественный аналог явного задания,
кривой на плоскости. И здесь уравнения указанного типа,
можно было бы назвать явными уравнениями кривой.
Как и в случае плоской кривой, к явному заданию,.
в основном, сводятся и другие аналитические
представления пространственной кривой.
Каждое из уравнений (9) может быть истолковано либо-
как уравнение проекции нашей кривой на координатную·
плоскость, соответственно, ху или xz, либо как уравнение-
проектирующего цилиндра [см. (8)] с образующими,
параллельными, соответственно, оси ζ или оси у.
Более общий способ задания пространственной кривой
состоит в том, чтобы рассматривать её как пересечение двух,
поверхностей вообще. Если эти поверхности выражаются
каждая одним из нижеследующих уравнений
F(x,y,z) = 0, O(x,y,z)=0, (10)-
то совокупность обоих уравнений даёт аналитическое
представление кривой пересечения. Уравнения (10) называют н е-
явными уравнениями кривой.
Составим матрицу из частных производных от
функций F и О

592 гл. ѵіі. приложения к геометрии [218
Пусть какой-нибудь из определителей этой матрицы,
например,
Оу вг
•отличен от 0 в рассматриваемой точке. Тогда на основании
теоремы IV п° 198 в окрестности этой точки уравнения (10)
могут быть заменены уравнениями типа (9) (причём
фигурирующие в этих уравнениях функции снова оказываются
непрерывными вместе со своими производными).
Таким образом, возможность сведения к простейшему
■способу задания перестаёт быть обеспеченной лишь в
окрестности такой точки кривой (её называют особой), где все
три определителя матрицы (11) зараз обращаются в нуль.
218. Параметрическое представление. Перейдём,
наконец, к параметрическому заданию поверхностей и кривых
в пространстве, причём на этот раз начнём с кривых.
Подобно тому как мы это делали на плоскости,
координаты переменной точки пространственной кривой
можно задать в функции от некоторой вспомогательной
переменной — параметра — t:
* = φ('), ;у=$(0, *=xV), (12)
с тем чтобы при изменении параметра t точка, координаты
которой даются этими уравнениями, .описывала
рассматриваемую кривую (в случае явного задания (9) роль параметра
играло само х).
Если для взятой точки кривой хоть одна из
производных х[, y't, z't отлична от 0, то — как и в случае плоской
кривой — легко в окрестности этой точки перейти от
параметрического к явному заданию. Лишь в окрестности
особой точки, где все эти производные — нули, нельзя
гарантировать такую возможность.
Как и в случае плоской кривой, к числу особых следует
отнести и так называемые кратные точки, т. е. точки,
получаемые при двух или большем числе значений параметра*.
Обратимся к параметрическому представлению
поверхностей.
См. сноску на стр. 577.

218] § 1. аналитич. представление кривых и поверхностей 593
На этот раз определение положения точки на
поверхности потребует двух параметров (в случае явного задания
(6) роль этих параметров играли две из координат: χ и у).
Пусть имеем уравнения
* = <р(«, ѵ), .у = ф(«, ѵ), г = х(и, ѵ), (13)
где (и, ѵ) изменяется в замкнутой области Δ. Составим
матрицу
«>' сЬ' у'
ф' <ь' у'
(14)
и предположим, что для а = и0 и ѵ = ѵ0 отличен от 0 хоть
один из определителей этой матрицы; например, пусть
фо.
Іѵ ψ*
Тогда, переписав первые два из уравнений (13) в виде
φ («, ν)—χ = 0, ψ(д, υ)—у —0,
на основании теоремы IV п° 198 можем утверждать, что этой
системой двух уравнений с четырьмя переменными и, ν, χ, у
(если ограничиться значениями их, близкими к
интересующим нас) переменные и, ν определяются, как однозначныг
функции от х, у:
u=g(x, У)> v=h(x, у),
непрерывные со своими производными. Наконец, подставляя
эти выражения и α ν в третье из уравнений (13), придём
к обычному представлению поверхности явным уравнением
z = t(g{x, У), h{x, y))=f(x, у),
где и функция / непрерывна и имеет непрерывные
производные.
Лишь в том случае, если все три определителя матрицы (14)
зараз обращаются в 0 (соответствующая точка поверхности
будет особой), такое представление может оказаться
недостижимым.
Читателю ясно, что в связи с параметрическим
представлением поверхности так же может быть установлено понятие
38 Г. М. Фихтенгольц

.594 гл. ѵіі. приложения к геометрии [gj3
о простой и кратной точках поверхности: первая
получается лишь при одной системе значений {и, ѵ) параметров,
а вторая, по меньшей мере, — при двух*.
Возвращаясь к параметрическим уравнениям (13)
поверхности, фиксируем в них значение одного из параметров,
например, положим и — иа. Тогда получатся, очевидно,
уравнения некоторой кривой
* = <РК. ѵ)> У = 'Нио> ѵ)> г = ХК. ѵ)>
всеми точками лежащей на поверхности. Изменяя значение а0,
получим целое семейство таких «кривых (и)».
Аналогично, фиксируя значение ѵ = ѵ0, получим также кривую
на нашей поверхности
χ = φ (и, ѵ0), y = ty(u,v0), ζ = χ (α, υϋ);
из таких «кривых (υ)» также составляется целое семейство.
Так как значения и я ν можно рассматривать как к о-
ординаты точек на поверхности, то эти линии называют
координатными линиями поверхности. Если точка
поверхности простая, т. е. получается лишь при одной системе
значений (и, ѵ) параметров, то через неё проходит по одной
координатной линии из каждого семейства.
Обозревая различные способы аналитического
представления поверхностей [см. (6), (7) и (13)J и пространственных
кривых [(9), (10) и (12)], мы могли бы повторить
сказанное в конце п°213. В окрестности обыкновенной
(и простой) точки дело сводится к простейшему случаю
явного задания.
219. Примеры. I) Кривая Вив и а ни. Так называется
кривая пересечения сферы с прямым цилиндром, для которого
направляющей служит окружность, построенная на радиусе сферы, как
на диаметре (черт. 123). Пусть радиус сферы есть /?; если
расположить оси, как указано на чертеже, то уравнения сферы и
цилиндра, соответственно, будут
хЪ+уч- + г* = Д\ Xi + y*=Rx.
Совокупность их и определяет нашу кривую.
* Здесь должна быть сделана та же оговорка, что и в сноске
на стр. 577: лишь вместо замкнутой кривой придётся говорить
о замкнутой поверхности.

2IЭ] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 595
Кривая имеет вид изогнутой восьмёрки; в точке (/?, О, 0) она
сама себя пересекает, так что эта точка — наверное особая.
Это подтверждается и вычислением. Матрице
2х 2у 2г
2х — R 2у 0
имеет определители
|2у 2г|
\2у 0
= — 4уг,
2г 2х
0 2л- - /?
= 4xz-2Rz,
2х 2у\
2x — R2y\
=2Ryt
которые все зараз обращаются в 0 именно в этой точке.
Кривую Вивиани можно представить и параметрически-,
например, так:
x = Rsia1t, у = R sin I cos t, z=Rcost.
Действительно, нетрудно проверить, что эти выражения
тождественно удовлетворяют неявным уравнениям кривой и что при
изменении параметра t, скажем, от 0 до 2π, полностью оп.чсывается
вся кривая. Точка {R, 0, 0) получает-
г . $z
ся дважды — при ί=-Ηί = —,т.е.
является кратной, как и
следовало ожидать.
Черт. 123.
Черт. 124.
2) Есть случаи, когда параметрическое представление
естественно вытекает из самого происхождения кривой. Рассмотрим,
в виде примера, винтовую линию. Происхождение ей можно
себе представить следующим образом. Пусть некоторая точка М,
находившаяся первоначально в А (черт. 124), вращается
равномерно вокруг оси ζ (скажем, по часовой стрелке) и одновременно
участвует в равномерном же поступательном движении параллельно
этой оси (скажем, в положительном направлении). Траектория
точки Μ и называется винтовой линией. За параметр,
определяющий положение точки М, можно принять угол г,
составляемый с осью χ проекцией ОР отрезка ОМ. Координаты χ и у
точки Μ будут те же, что и у точки Р, так что A'=racosf и.
38*

596 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [219
y = asint, где а есть радиус описываемой точкой Ρ окружности.
Что же касается вертикального перемещения г, то оно растёт
лропорционально углу поворота t (ибо поступательное и
вращательное движения оба происходят равномерно), т. е. z=:ct.
Окончательно параметрические уравнения винтовой линии будут
x=acost, y = asint, z^=ct. (15)
Полученная винтовая линия называется левой; при правой
системе координатных осей мы имели бы правую винтовую линию.
Легко исключить из уравнений (15) параметр t и перейти
к явному заданию; например, найдя t из последнего уравнения
и подставив его выражение в
первые два, получим
ζ ζ
x = acos — , v = «sin—.
с ·* с
3) Рассмотрим сферу
радиуса R с центром в начале
(черт. 125). Её неявное уравнение
будет, как известно,
Желая получить её обычное
параметрическое
представление, проведём «экваториальное» сечение АКЛ', а через
«полюсы» Р, Р' и рассматриваемую точку М— «меридиан» РМКР'.
Положение точки Μ на сфере может быть определено углами
y = -QPOM и в = <ЗСАОК- Имеем z = NM = Rcosf. Затем ON =
= #sin<p, а через ON координаты х и у (те же для М, что и для N)
выразятся так: x~ONcosb, у —ON sin б. Собирая все эти
результаты, окончательно параметрические уравнения сферы получим
в виде:
χ = R sin <р cos θ, у = R sin φ sin 8, z = Rcosy,
причём угол φ достаточно изменять от 0 до π, а угол β — от О
до 2π.
Если φ заменить углом λ = ——у, изменяющимся от ^- до
у, а в менять между — к и π, то мы придём к обычным
географическим координатам: широте и долготе.
Для матрицы частных производных
R cos φ cos 8 R cos φ sin 8 — R sin <p
— R sin » sin 8 R sin <f cos 8 0
все определители
Ri1 sin3 f cos 8, R* sin5 f sin 8, Risin <f cos φ
обращаются зараз в нуль при ір=0 и f = it. Однако очевидно, что

219] § 1. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 597
оба «полюса» представляют особенность только применительно
к этому аналитическому представлению сферы.
Легко видеть, что одно семейство координатных линий на
сфере составится из меридианов (0 = const), а другое —из
параллельных кругов (tp = const.).
4) Можно обобщить предыдущий пример следующим образом.
Пусть в плоскости хг задана кривая (образующая) своими
параметрическими уравнениями
x=j(n). * = ф(я), (16)
причём <р(г*);э=0. Станем вращать её, как твёрдое тело, вокруг
оси г (черт. 126). Если через ν обозначить угол поворота, то
уравнения получаемой
поверхности вращения
напишутся в виде
x=<((u)cosv, у = φ (к) sin ν,
2 = ψ (и) (0sSusS2ii).
Если в плоскости хг взять
полуокружность
x=Rsiiiu, z = Rzosu
и её вращать вокруг оси г,
то параметрическое
представление образуемой таким путём
сферы мы получим (с
точностью до обозначений) в
прежнем виде.
Предоставляем читателю
убедиться в том, что особыми
точками для поверхности
вращения могут быть лишь точ- Черт. 126.
ки на оси вращения, либо же
точки, полученные при вращении из особых точек образующей.
Координатными линиями и здесь служат различные положения
образующей (меридианы) и параллельные круги.
5) Если к вращательному движению кривой (16)
присоединить ещё поступательное — параллельно оси вращения,,
то (предполагая оба движения происходящими равномерно)
получим общую винтовую поверхность
χ = φ (a) cos ν, y — <f (я) sin ν, г = ψ (a) -f- cv.
Возьмём, в частности, в качестве образующей положительную
часть оси х:
х = и, г —0 (игзО).
Подвергнув её винтовому движению, придём к обыкновенной
винтовой' поверхности
х = и cos ν, у = и siq ν, г = сѵ.

598 гл. ѵп. приложения к геометрии [220
Для общей винтовой поверхности одно семейство
координатных линий состоит из различных положений образующей
(ѵ = const.), а другое — из винтовых линий (и = const.).
§ 2. Касательная и касательная плоскость.
220. Касательная к плоской кривой в прямоугольных
координатах. Понятие касательной нам уже
встречалось не раз [см., например, 90]. Кривая, заданная явным
уравнением
y=f(*),
где / — непрерывная функция с непрерывной производной,
в каждой своей точке (х, у) имеет касательную, угловой
коэффициент которой tgct
выражается формулой
tgOL = y'x=f(x).
Таким образом,
уравнение касательной имеет вид
■Ѵ—у=Ух(х—х). 0)
Здесь (как и ниже) Χ, Υ
означают текущие
координаты, а х,
у—координаты точки касания.
Легко получить и
уравнение нормали, т, е.
прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно
к касательной:
У— у — г(Х — х) или X — Х-^у'л(У— у) — 0. (2)
Ух
В связи с касательной и нормалью рассматривают
некоторые отрезки — именно отрезки ТМ и ΜΝ и их проекции
ТР и ΡΝ на ось χ (черт. 127). Последние называются,
соответственно, подкасательной и поднормалью и
обозначаются через sbi (subtangens) sbn (subnormal).
Полагая в уравнениях (1) и (2) Y=Q, легко вычислить, что
sbt—TP=^j, sbn = PN—vv\
(3)

220] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 599
Тогда из треугольников МРТ и MPN определятся и длины
отрезков касательной и нормали
t = ТМ =
•'.χ 1 1
(4)
В случае неявного задания кривой
F(x, ѵ) = 0,
в окрестности её обыкновенной точки М(х, у) можно
представить себе кривую выраженной явным уравнением.
Если в точке М, например, F' (х, у) =^= О, то кривая
выразится уравнением вида y—f(x), где функция / непрерывна
и имеет непрерывную производную. Отсюда ясно, что для
кривой существует в точке Μ касательная, и её" уравнение
может быть представлено в форме (1). Но мы знаем [199 (15)],
что в этом случае
, _ К (*. у).
Ух Fy (х, У) '
подставляя, после простых преобразований получим вполне
симметричное относительно χ и у уравнение касательной
F'x{x, y)(X-x) + F'y(x, y)(Y-y)=0. (5)
К тому же результату придём и в случае, если Р1 =0
в точке М, но F'x ψ= 0. Лишь в особой точке это
уравнение теряет смысл, и относительно касательной, без
дополнительного исследования [226], здесь ничего сказать нельзя.
Уравнение нормали для рассматриваемого случая,
очевидно, будет таково:
F'y (χ, у) {X- *) - F'x (χ, y)(Y-y) = 0.
Наконец, предположим, что кривая задана параметрически:
* = φ(ί), j/ = <Mf).
Мы видели, что если φ'(έ)=£0, касательная к кривой
существует и имеет угловой коэффициент
ι
tga = ~ (6)
xt

600 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [221
[105 (11)]. Уравнение касательной может быть написано так:
Х~х У-ѵ
У-у-
4 (χ-
х,
■ х) или
В последней форме уравнение годится и для случая,
когда л",= 0, но y't=£Q*. Лишь в особой точке, где
и х'=0 и y't=0, уравнение теряет смысл, и вопрос о
касательной остаётся открытым [227].
Иногда удобно, умножив оба знаменателя на
множитель dt, писать уравнение касательной в виде
Χ—χ_Y —у
dx
dy
(7)
221. Примеры. 1) Парабола: у* = 2рх. Дифференцируя это
равенство (считая .у функцией от х), получим уу'х=р. Таким
образом [см. (3)], поднормаль параболы есть
постоянная величина. Отсюда
вытекает простой способ
построения нормали (а с ней и
касательной) к параболе.
По формуле (4), для
отрезка нормали к параболе имеем
выражение
п=Ууі+рі.
оч Ώ χΐ г У"' ι
2) Эллипс: -5- + г7 = 1
(черт. 128).
По формуле (5) имеем
такое уравнение касательной:
£{Х-Х)+£(У-у)=:0.
У
/ ,'
1 0
чх
ч
s>
' ι ρ j f ■
.і^
4
/
Черт. 128.
Учитывая само уравнение эллипса, можно последнее уравнение
переписать в более простом виде:
* При этом, как всегда уславливаются в аналитической
геометрии, если в пропорции
X-x__Y-y
один из последующих членов есть 0, то это означает просто, что
равен 0 и соответствующий предыдущий член.

221] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 601
Полагая здесь К —0, найдём Х=:—. Таким образом, точка Г
пересечения касательной с осью χ не зависит ни от у, ни от Ь.
Касательные к различным эллипсам, отвечающим различным
значениям Ь, в их точках, имеющих абсциссу х, все проходят
через одну и ту же точку Τ на оси х. Так как при 6= а
получается окружность, для которой касательная строится просто, то
точка Г сразу определяется, и это приводит к простому способу
построения касательной к эллипсу, ясному из чертежа*.
Легко определить длину отрезка нормали для эллипса:
-ѵщ
Ь*х* + а*у*
Такое же выражение получается и в случае гиперболы
α» b*~ ·
2 11
3) Астроида: je 3-(-J/3 = β3 (черт. 112).
Уравнение касательной
_і_ _ ι
X 3{Х-х)+у 3"(К-_у)=:0
с помощью самого уравнения кривой может, быть преобразовано
к виду
Χ , Υ J X . Υ
— Η Г=а ИЛИ 2 \ -і 2 Г — 1'
х3 У'3 я3 хг аъ у'
Последнее уравнение есть «уравнение в отрезках». Следова-
2_ 1_ 2_ 1_
тельно, касательная отсекает на осях отрезки а3*3 и a3y3 .
Отсюда легко получить одно интересное свойство астроиды.
Обозначив через τ длину отрезка касательной между осями, имеем
і. 1 і. L
τ2 — α3 хѣ -\-аъуг =д2 и τ = л = const.
Таким образом, оси симметрии астроиды на всех
касательных отсекают равные отрезки.
4) Циклоида: х = а (ί — sin i), y = a{\ -^cost) (черт. 114).
* Это свойство касательных к эллипсу непосредственно
связано с тем фактом, что эллипс может быть рассматриваем как
ортогональная проекция описанного круга, если плоскость
последнего повернуть вокруг оси χ на надлежащий угол.

602 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [221
Мы имели уже [в 215, 6)] равенство yx = ctg —, т. е.
tga = ctgl=tg(|-i-),
π t
и можно принять a =-н —.
Вспомним (черт. 114), что t = <£MDN, так что <$Λί£Ν = — .
Если продолжить прямую ЕМ до пересечения в Τ с осью х, то
π t
•QETx = -к — = а. Следовательно, прямая ME, соединяющая
точку циклоиды с высшей точкой катящегося круга (в
соответствующем положении), и будет касательной. Отсюда ясно, что
прямая MN будет нормалью.
Впоследствии нам полезно будет выражение для отрезка η
нормали, которое легко получить из прямоугольного
треугольника £±ΜΕΝ. Именно,
t
n = MN = 2asin-x-,
5) Эпициклоида:
х = а [(1 -f- m) cos mt — mcos(l -\-m)t],
y=.a [(1 -f- m) sin mt — m sin (1 -f- m)t)
(черт. 115).
Написав выражения для производных xt и у\ в виде
х'[=2ат(1 + т) sin тг-cos ( «+— К
_Ѵ^=2аи(1 -f «) sin-j sin (/n-f--^-Jf,
найдём, что
tg«=-ji = tg ( m+-j)t.
Отсюда α= ( m-j-—jt
Если соединить (черт. 115) точку D с Λί, то эта прямая
составит с осью χ как раз такой угол:
< λγΓΖ) = «$ DOT 4- <$ ОЛГ = mt -\4?.
Следовательно, DT есть касательная в точке М, a MB будет
нормалью.
6) Эвольвента круга:
х = а (i sin ί +cosf). y = a (sin ί — ί cosi)
(черт. 117).

222) § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 603
Здесь
tg α = —j = tg t, откуда а :
■ t.
Таким образом, касательная МТ параллельна радиусу ОВ, и ВМ
есть нормаль к нашей кривой.
Замечание. Результаты примеров 4), 5), 6) можно было бы
получить без всяких выкладок, исходя из кинематических
соображений. При качении одной кривой по другой точка касания
служит всякий раз мгновенным центром для движущейся фигуры,
так что нормаль к траектории любой ей точки проходит через
эту точку касания.
222. Касательная в полярных координатах. Если
кривая задана полярным уравнением г=/(0), то, переходя
обычным образом к прямоугольным
координатам, получаем
параметрическое представление
кривой в виде
х — г cos θ =/ (θ) cos 0,
y = rsin О =/ (0) sin О,
причем роль параметра здесь
играет Ь.
В таком случае, по общей
формуле (6),
го sin 6 -|- г cos 0
tga =
Уй
Гп cos О
■г sin с
Однако, если кривая
исследуется в полярных
координатах, обычно положение каса- Черт. 129.
тельной определяют не углом a
с полярной осью, а углом ω с продолженным радиусом«век-
тором (черт. 110 и 129). Мы имели уже [208, 4)] простую
формулу
tge> = nr· (8)
Точно так же вместо отрезков i, nx sbt, sbn, о которых
была речь в п° 220, здесь рассматривают другие отрезки.
Проведя через полюс О ось, перпендикулярную к радиусу-
вектору (эта ось .вращается при перемещении точки), про-

604 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [223
должают касательную и нормаль до пересечения с ней,
соответственно, в точках Τ и N. Тогда отрезки ТА1 и ΜΝ
называются полярными отрезками касательной и нормали,
а их проекции ТО и ON па. упомянутую ось — полярными
подкасательной и поднормалью. Обозначать их будем, как
н прежде, но помещая внизу в виде значка букву р. Легко
получить, используя формулу (8):
sbtp = TO=rtga> = 4·, sbnp — ON=rctgto = rl,
а отсюда уже
np=MN=Vr2-\-^.
223. Примеры. 1) Архимедова спираль: г = а9
(черт. 118).
Так как гв = й, то sbnp = a = const. Это позволяет сразу
устанавливать положение точки N, а с ней — нормали и касательной.
Заметим, что tg(o = 8, так
ЧТО При 0—<- С» И tgd)-)-00,
т. е. угол ω стремится к
прямому.
2) Гиперболическая
спираль: г = γ (черт. 119).
На этот раз г9 = — ρ- ,
sbtp = — a = const., что также
облегчает очевидным образом
построение касательной.
3)
Логарифмическая спираль: r = aem^
(черт. 130).
Имеем гѳ = maem!>, так что
tg ω = — = const., и сам угол
Черт. 130. а = const. Таким образом,
логарифмическая спираль
обладает тем замечательным свойством, что угол между радиусом-
вектором и касательной сохраняет постоянную величину. Иными
словами, логарифмическая спираль пересекает
все свои радиусы-векторы под постоянным
углом. Этим свойством она напоминает окружность, которая
также пересекает радиусы-векторы, исходящие из центра, под
постоянным (именно под прямым) углом. [Впрочем и окружность
можно рассматривать как частный случай логарифмической
спирали, отвечающий т = 0.]
tp = TM =

224] § 2. касательная и касательная плоскость 605
4) Улитки: r = acos8-f-& (черт. 131).
Отметим, что sbnp = ni = —я sin θ оказывается не зависящей
от Ь. Таким образом, если взять лежащие на одном луче (из
полюса) точки различных улиток, отвечающих различным
значениям Ь, то для всех этих точек полярная поднормаль будет общая,
т. е. точка Ν— одна и та же. Но при * = 0 получается
окружность, для которой построение нормали
очевидно; тогда легко построить
нормаль и для любой из улиток (черт.
131). Из треугольника ΔΜΟΝ
вычисляется полярная нормаль:
пр — Vcfi-\- 2α& cos θ-j-fcs.
Особенно просто выражение полярной
нормали для кардиоиды* (Ь = а):
8
np = 2acos -j.
5) Лемниската: г2 = 2α2 cos 29
(черт. 122).
Дифференцируем это равенство,
считая г функцией от 6; · получим
' „ - ™ ЧеРт· 131.
гг0 = —2а2 sin 26. ^
Разделив почленно эти два равенства, ввиду (S), найдём
tg ω = -^ =r - ctg 28,
откуда ω=τ2β-|- —. Обозначая через аир углы наклона
касательной и нормали, имеем
Р = а-І, α = β + ί = 3β + ·|-,
следовательно, ρ = 39: угол наклона нормали к
лемнискате равен утроенному полярному углу точки
касания. Это даёт простой приём построения нормали.
224. Касательная к пространственной кривой.
Касательная плоскость к поверхности. 1° В случае
пространственной кривой, определение касательной остаётся
буквально то же, что и для плоской кривой [90]. Ограничимся
здесь предположением, что кривая задана
параметрически:
* = <р(*), y = $(t), z = x(t).
* Именно этот частный случай и изображён на черт. 131.

606 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [224
Возьмём определённое значение t и, тем самым,
определённую точку М(х, у, ζ) на кривой; пусть это будет
обыкновенная и простая точка [213]. Придадим t
приращение At, тогда наращённому значению t-\-At параметра
будет отвечать другая точка Мх{х-\- Ах, у-{-Ay, г-\- Аг).
Уравнения секущей ММ' будут иметь вид
Х-х _У-у _Ζ — ζ
\х Ду Дг '
где Χ, Υ, Ζ— текущие координаты. Геометрический смысл
этих уравнений не изменится, если мы все знаменатели
разделим на At:
Χ — χ Y—y __Z—z
Ддг Ay Дг '
It δ7 Έ
Если эти уравнения в пределе, при At—► 0, сохраняют
определённый смысл, то этим будет установлено
существование преде'льного положения секущей, т.е.
касательной. Но в пределе мы получаем
X — х_У — у Ζ — ζ
*/ Уі Zt
Ѣ
и эти уравнения, действительно, выражают прямую, поскольку
не все знаменатели — нули. Таким образом, в каждой
обыкновенной точке кривой касательная существует и
выражается этими уравнениями. Для особой точки вопрос о
касательной остаётся открытым.
Замечание. Мы переходили к пределу в уравнениях
секущей при At —*■ 0; покажем, что это равносильно
предположению, что ММХ—>-0. Ввиду непрерывности
функций φ, ψ, χ, из At —► 0 следует, что и
ММ: = УАх'г-{-Ау2 + Аг*-+ 0.
Для доказательства обратного заключения зададимся
произвольным числом е^>0. Так как ММ1 есть непрерывная
функция от At, то при | At | ^ s эта функция имеет наименьшее
значение Ь, очевидно, положительное (так как взятая точка
предположена простой, т.е. не получается ни при каком
значении параметра, отличном от ί). В таком случае
при MMi<^b необходимо \Α'\<^ε, ч. и тр. д.

224І § 2. касательная и касательная плоскость 60Г
Иногда уравнения (9) удобно писать в виде
X—xY—y_Z-z
dx cly άζ '
который получается из (9) умножением всех знаменателей
на dl.
Если через а, р, γ обозначить углы, составленные
касательной с осями координат, то направляющие косинусы
cos a, cos β, cosy выразятся так:
I I
X, у.
cos а — г, cos 8 = г.. , =,
*Ѵх?+У? + г? ■ ±Ѵ*?+У? + *?
ι
zi
cos γ = —, .
Выбор определённого знака перед радикалом отвечает
выбору определённого направления касательной.
Вопрос о касательной к кривой, заданной неявными
уравнениями F (х, у, ζ) = 0 и 0(х, у, г)=0, мы рассмотрим
ниже, в 3°.
2° Пусть поверхность задана явным уравнением ζ =
=f(x,y). Мы в п° 170 дали определение касательной
плоскости и, в предположении дифференцируемости
функции f(x,у)*, нашли уравнение этой плоскости [170 (6)]:
Z-z=f'x(x,y)(X-x)+fy(x,y)(Y—у).
Обыкновенно обозначают
и пишут уравнение касательной плоскости так:
Z — z=p(X — x) + q(Y— у). (Ю)
Если cos λ, cos μ, cos ν суть направляющие косинусы
нормали к поверхности (так называют перпендикуляр к каса-
* Мы здесь предполагаем существование и непрерывность
частных производных, следовательно, дифференцируемость
налицо [169].

608 ГЛ. ѴIГ. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [224
тельной плоскости в точке касания), то для них имеем
выражения
cos λ = ' :, cos μ = —f. — ,
cos ν = —■/■■ . =; (11)
двойной знак перед радикалом отвечает двум
противоположным направлениям нормали.
Проведём теперь по поверхности через рассматриваемую
точку произвольную кривую
x = tf(t), y = &(t), ζ=χ(έ),
так что тождественно относительно t будет
χ С) =/(?(<), *('))·
Дифференцируем это тождество по t [171]:
χ'(*)=Ρ¥'(') + ?Ψ'«).
Возьмём касательную к кривой в рассматриваемой
неособой точке в форме (9). Если, наконец, в предыдущем
равенстве заменить производные φ', ψ', χ' пропорциональными
им, в силу (9), разностями X — χ, Υ—у, Ζ—г, то придём
к (10). Таким образом, касательная (9) всеми точками лежит
в касательной плоскости (10). Мы можем, следовательно,
теперь определить касательную плоскость к поверхности
в заданной на ней точке, как такую плоскость, в
которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым по
поверхности через эту точку*.
Если поверхность задана неявным уравнением
F(x, у, z) = 0, то, предполагая F'z^0 в рассматриваемой
точке, в окрестности её можно выразить поверхность и я в-
ным уравнением z=f(x, у), так что существование
касательной плоскости обеспечено. Так как в этом случае
с' с'
дг г χ дг V-
Р дх ~ТГ ' q~ Jy~ ~~ ρ7'
* Частично об этом уже была речь в п° 170.

224І § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 609
то, подставляя эти значения ρ и q в уравнение (10), легко
преобразуем его к виду
F'x (χ, у, г) (X — x)+F'y (χ, у, ζ) (Υ -у) +
+ F'z(x,y,z)(Z-z) = Q. (12)
Очевидно, в таком же виде представится уравнение
касательной плоскости и в случае, если F'z = 0, но какая-нибудь
из двух других производных F' F' отлична от 0. Лишь
X у
в особой точке это уравнение теряет смысл (и вопрос о
касательной плоскости остаётся открытым).
3° Теперь легко сообразить, как найти касательную
к кривой, заданной двумя неявными уравнениями:
F{x,y,z) = 0, Q(x,y,z) = 0,
т. е. представляющей пересечение двух соответствующих
поверхностей. Если рассматриваемая на кривой точка —
обыкновенная, то в её окрестности кривая может быть
выражена и явными уравнениями [217], так что существование
касательной обеспечено. Эта касательная, очевидно, лежит
в пересечении касательных плоскостей к упомянутым двум
поверхностям и, следовательно, выражается уравнениями
F[(X-x) + F'y(Y-y) + F's(Z-~z) = 0, χ
O,x{X-x)-\-Gy(Y-y) + GlJZ-z) = 0. ] {}ό)
[Так как в обыкновенной точке для матрицы коэффициентов
хоть один из определителей отличен от 0, то этими
уравнениями, действительно, определится прямая.]
4° Возвращаясь к поверхности, перейдём, наконец, к
случаю, когда она выражается параметрическими уравнениями:
x = tp(u,v), y — ty(u,v), ζ = χ(ιι,Ό).
Снова ограничиваемся обыкновенной (и простой)
точкой; так как [218] в её окрестности поверхность может быть
выражена и явным уравнением, то существование
касательной плоскости обеспечено. Уравнение её может быть
написано в виде
А(Х — x)-\-B(Y — y) + C(Z~z) = 0, (14)
где коэффициенты А, В, С ещё подлежат определению.
39 Г. М. Фихтенгольц

610 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [224
Если в уравнениях поверхности закрепить за ν значение,
отвечающее выбранной точке, то получатся уравнения·
координатной, линии («кривой (и)»), проходящей через эту
точку. Касательная к этой кривой в указанной точке
выразится уравнениями [см. (9)1
Χ — χ У —у Ζ — г
ι — ι — ι ·
хи Уи ги
Аналогично, фиксируя и, получим координатную линию
другого семейства, проходящую через данную точку («кривую
(и)?>) и имеющую в ней касательную
Х-х
Z-г
Уѵ
Так как обе эти касательные должны лежать в
касательной плоскости (14), то выполняются условия
В таком случае коэффициенты А, В, С должны быть
пропорциональны определителям матрицы
х' у' ζ1
и у и и
X' у' Ζ'
ν /ν ι
Обыкновенно полагают их равными этим определителям:
/4 =
У г'
•'и и
У' г'
в=
с=
х' у'
χ1 ν'
\: (15)
Теперь уравнение касательной плоскости проще всего
написать с помощью определителя:
Χ— χ
х'
и
х'
V
Υ — у Ζ — ζ
У *'
ν' ζ'
= 0;
(16)
в обыкновенной точке оно, действительно, выражает
плоскость;

225] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 611
Направляющие косинусы нормали будут
А В
cos λ = — - =, cos μ
с (17)
COS V :
225. Примеры. 1) Рассмотрим винтовую ли н и ю (черт. 124)
χ = a cos t, у = й sin /, г = rf.
В этом случае
xt= — a sin r, J'/= a cos r, zt = c,
и уравнения касательной имеют вид
Λ~ — jf У—j/ Ζ — г
— α sin t a cos ί £ '
Направляющие косинусы касательной
a sin ί , α cos t
cos α = γ==., cos ρ = ■, cos γ -
Отметим, что cos γ = const., следовательно, и «$γ = const. Если
прелстіішіть себе винтовую линию навёрнутой на прямой круглый
цилиндр, то можно сказать, что винтовая линия пересекает все
образующие этого цилиндра под постоянным углом *.
х% у 2 гг
2) Эллипсоид: -з-4-тт +-т = 1 ·
й- ' Ь3 ' с3
Касательная плоскость получается по формуле (12), с учётом
самого уравнения эллипсоида:"
хХ, уУ_ ι 2І_ .
а'З ' Ь'3 ■" с'·
χ-2 у} г1
3) Конус (второго порядка):—3 + -tj— -,3 = 0.
Касательная плоскость:
хХ , yY_ _ г2Г .
В вершине (0,0,0) конуса, которая является особой точкой,
это уравнение теряет смысл, и касательной плоскости нет.
4) Кривая Вивиани (черт. 123):
дг2 +у з + г"- = РГ-, χ"-+У"' = Я*·
* Если поверхность цилиндра разрезать по образующей и
развернуть, то винтовая линия превратится в прямую, которая все
вертикали, естественно, пересекает под одним и тем же углом.
Это соображение делает предыдущий результат совершенно
очевидным.
39*

612 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [226
Касательная выражается уравнениями [см. (13)]
xX+yY+zZ=R\ (2х - R) X+2yY = Rx.
Эти уравнения перестают выражать прямую ляшь в особой точке
(Я, 0, 0).
5) Винтовая поверхность:
χ = и cos ν, у = и sin ν, г = сѵ.
По формуле (16) уравнение касательной плоскости будет
Х-х Y-y Ζ—ζ
COS Ό Sill V 0 =0.
— и sin к a cos v с
С учётом уравнений поверхности это уравнение может быть
упрощено так:
sitiv-X — cos»·/-! Z-=^uv.
' с
226. Особые точки плоских кривых. В настоящем п°
мы остановимся подробнее на поведении кривой, заданной
неявным уравнением
F(x,y) = 0,
вблизи её особой точки (х0,у0). Не имея в виду исчерпать
этот вопрос, мы хотим лишь познакомить читателя с главными
типами особых точек. При этом функцию F мы предполагаем
непрерывной и имеющей непрерывные производные первых
двух порядков. Без умаления общности, можно считать jc0 = О,
_у0 = 0; это отвечает просто переносу начала координат
в испытуемую точку. Итак, имеем
F(0,0) = 0, F'J0,0) = O, f;(0,0)=0.
Введём обозначения
ап = F'x, (0, 0), e,s = F^ (О, 0), а,2 = /£ (0, 0).
Предполагая, что из чисел ап, а12, а22 хоть одно — не нуль,
мы станем классифицировать представляющиеся возможности
в зависимости от знака выражения ana22— af2.
Исследования настоящего ηύ теснейшим образо'м
примыкают к исследованиям п° 187.
1Э ana-η—а?2>0.
В этом случае, как мы знаем, функция F(x,y) имеет
в начальной точке экстремум. Значит, в достаточно малой
окрестности этой точки F>0 или F<0 (исключая самую

2261
§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТКЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
613
начальную точку, где функция обращается в 0). Иначе
говоря, в упомянутой окрестности нет ни одной
точки нашей кривой, кроме начальной; эта последняя,
оказывается изолированной точкой кривой.
Примеры, иллюстрирующие рассматриваемый случай:
jc3 + y* = ° или (*і+У'!)іх-\-У—'[) = 0·
Начальная точка принадлежит обеим кривым и для обеих
является изолированной. Но, в то время как первая
вся состоит из одной точки, вторая, кроме неё, содержит
ещё прямую jc-j-_y=l, не проходящую через начало.
2° аиагг — α?2<0.
Как и в ti° 187, в окрестности начальной точки можно
представить F(x, у) в следующем виде:
F (·*> У) = у {аих* + 2апхУ + а22У2 +
где
все α—»0 при χ—»-0, у—і-О,
или, если ввести полярные координаты ρ, <р:
F (χ. .ν) = -ту {αη cos2 φ -\- 2α12 cos φ sin φ -{- α22 sin2 φ -\-
-(- 2]ι cos2 φ -j- 2α12 cos φ sin φ -}- α22 sin- φ}.
В рассматриваемом случае, если предположить ещё·
α.,^ψ=0, трёхчлен ап -j- 2аЛЛ-f-a^t2 имеет различные
вещественные корни tv t2 (tx<C.t2) и разлагается на множители
σ.22(/—ίλ)(ί — έ2). Положим, (p, = arctg/1, φ2.= arctgii2, так
что ^j = tgcpj, ii2 = tgcp2. Теперь легко преобразовать первый
трёхчлен в скобках {.. . } к виду
ап cos2 φ -\- 2α,, cos φ sin ψ -\- a2t sin'2 φ =
— a2i cos2 φ <tg φ — tg ψ J (tg φ — tg φ2). (18)
Отсюда становится ясным, что прямые, проведённые через
начало под углами φ1 и <р2 к оси х, — будем для краткости
называть их прямыми .(φt) и (щ2) — делят плоскость на два
угловых пространства, в которых упомянутый трёхчлен со-

614 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [228
храняет в одном знак плюс, а в другом знак минус *
(черт. 132).
Заключим теперь прямые (φ;) и (»2) внутрь двух сколь
угодно узких угловых пространств — двух пар вертикальных
углов, содержащихся, соответственно, между прямыми (coj — ε)
и (<f>1+e)> или (φ2 — ε) и (φ2-)-ε) (эти УГЛЫ иа чеРт· ^2
заштрихованы). Взяв круг достаточно малого радиуса ге
вокруг начала, можно
утверждать, что — по
выделении упомянутых углов —
он разобьётся на два
угловых пространства, в
каждом из которых уже сама
^х функция F(x, у)
сохраняет определённый знак:
в одном плюс, а в другом
минус (см. чертёж).
Действительно, так как при
изменении угла вне
промежутков (φ, — ε, φ, -f- ε) и
(ψ2 — е, φ2 -\- ε) трёхчлен
(18) не обращается в О,
то он остаётся по абсолютной величине большим некоторого
положительного числа оте. С другой стороны, при достаточно
малом ρ выражение αη cos2 φ-(-2а12 cos φ sin φ-}-а22 sin2? no
абсолютной величине будет <^ть. Отсюда и следует наше
утверждение (ср. рассуждение на стр. 478).
Рассмотрим теперь два заштрихованных вертикально
расположенных сектора круга, например, те, которые
ограничены прямыми (φ,—г) и (»]-(-=)■ Так как на этих прямых
функция имеет противоположные знаки, то на каждой
в. е ρ τ и к а л и, пересекающей упомянутые
секторы, найдётся точка, в которой F(x,y)
обращается в 0, т.е. точка нашей кривой. Это следует из
известного свойства непрерывной функции [79], если
применить его к функции F(x, у) от у (при фиксированном х)**.
Черт. 132.
* Этим мы несколько углубляем сказанное в 187, 2°: там нам
достаточно было констатировать наличие двух прямых, на
которых трёхчлен имеет разные знаки.
** Ср. доказательство теоремы I п° 196 о существовании
неявной функи-ии.

226] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 615
Таким образом, внутри каждой пары заштрихованных
секторов расположена ветвь кривой, проходящая через начало,
в то время как вне их, в пределах круга, точек кривой
нет. Ввиду произвольности ε ясно, что в начале эти ветви
касаются, соответственно, прямых (φ^ и (φ2).
Правда, остался открытым ещё вопрос, единственна ли
та точка на упомянутой вертикали, в которой F(x, у) = 0.
Если бы их нашлось две, то, по теореме Ролля [117],
между ними на той же вертикали нашлась бы точка, в
которой было бы F1 (х, у) = 0. Итак, единственность будет
установлена, если мы докажем, что, по крайней мере, в
достаточной близости к началу такое равенство невозможно.
Допустим противное. Тогда будем иметь F' (хп, уп) — О
для некоторой последовательности точек {(хпіУп)}, гДе
хп—>-0 и ^а—<-tg^1 = i1. Применим к функции F'lx, у)
хп у
формулу конечных приращений [173 (9)]:
о=^;(*д,л)-^(о.о)=
=F"xy (0Λ. в„л) · *л+^; «U.. К у η) -Уп (о < К < ι)
или
Переходя здесь к пределу, получим окончательно я12-|-
-[■а,г^ = 0 или tx = -, что неверно: такое значение tx
могло бы иметь лишь в том случае, если бы корни
трёхчлена ап-\-2апі-{-а2гпг были равными.
Из сказанного попутно вытекает, что, в достаточной
близости к началу, ни одна точка упомянутых двух ветвей,
кроме самой начальной, уже не будет особой.
Аналогично исчерпывается и случай, когда д22=0, но
αη=τ^0 или ап=я22 = 0, но а12фО; отметим лишь, что в
последнем случае роль прямых (φ,) и (φ2) играют оси координат.
Итак, при сделанном предположении αη«22 — аі2<^^
точка (0, 0) оказывается двойной точкой кривой: в ней
пересекаются две ветви кривой, каждая из которых в этой
точке имеет свою касательную. Угловые коэффициенты этих
касательных определяются всегда из уравнения an-\-2a12t-\-
-j-a22z!3 = 0; лишь если а22=0, следует считать, что, кроме
конечного корня, оно имеет корнем и бесконечность.

616 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [226
Примерами могут служить уже знакомые нам кривые
(*3-{-^)*-{-2а2(у2— лга) = 0 [лемниската, черт. 122],
хъ_|_уі — Заху = 0 [декартов лист, черт. 113j,
для которых начало"и будет двойной точкой. В первом
случае имеем
βα = —4в«.
0> я22=4в!!» *і= !. к
1.
так что касательными в начале служат биссектрисы
координатных углов. Во втором: ап — а,
η
= 0.
а
12
= — За, /, = 0,
t2z=<x>, и касательными служат оси координат.
3° аиап — а]2=:0.
Допустим и здесь, что а22^0. Квадратный трёхчлен
all-\-2alit-\-a22ti в этом случае имеет двойной корень
fj= — —. Полагая, как и выше, tp1 = arctgf1, проведём
через начало прямую под этим углом <pt к оси х. Заключим
её в угловое пространство между прямыми (φ, — ε) и (φ, -j-2)
(на черт. 133 оно заштрихо-
,і\ вано). С помощью сообра-
(?і) жений, сходных с
применёнными выше, можно
установить, что вне
заштрихованного пространства, но в
достаточной близости к
началу, функция F{x,y)
сохраняет определённый
знак, один и тот же с обеих
сторон-, плюс или минус, в
зависимости от того, будет
ли й22 ^> 0 или а22 <^ 0.
Теперь на прямых (,fI+:e)
функция имеет
одинаковые знаки, и применять
теорему К о ш и нельзя.
Черт. 133. Мы не будем
углубляться в исследование этого
случая, требующего более сложных рассуждений, с
привлечением высших производных. Ограничимся указанием на
основные возможности, которые здесь представляются.
а) Вблизи начальной точки, кроме неё самой, нет точек
кривой: изолированная точка (как в случае 1°).
/
1
1
1
1
1
\
+ \
Л
<\в/
+
,<у
У+~
_ +
ύ
—''
V\ +
\
\
\
1
+ /
/
/
s
y +
* Ut

226] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 617
Примеры;
аг*-(-^2 = 0 или (х*+у*-)(х-\-у— 1) = 0.
Для обеих «кривых» начало является изолированной
точкой.
б) В обоих заштрихованных вертикальных углах (в
достаточной близости к началу) на каждой вертикали лежат
но две точки нашей кривой, через
начало проходят две ветви кривой,
имеющие в ней общую
касательную (φ,): двойнгя точка (как и в
случае 2°).
Пример: хі—у2 — О, т. е. у =ь=
= +:х2,—две параболы, в
начальной точке касающиеся оси х.
в) В одном из заштрихованных
углов вовсе нет точек кривой, а в
другом—две ветви, которые как бы
заканчиваются в начальной точке,
имея в ней общую касательную (φ,).
Здесь мы имеем дело с новым типом
особой точки — с точкой возврата
(или точкой заострения). В
зависимости от того, лежат ли обе
встречающиеся в ней ветви по разные
стороны от общей касательной или по
одну сторону, различают точки воз- Черт. 134.
врата первого и второго рода.
Примером кривой, имеющей в начале точку возврата
первого рода, может служить кривая
у* — хз = 0
(полукубическая парабола, черт. 111).
Более редкий случай точки возврата второго рода
проиллюстрируем таким примером:
Хь~(у — Х2)*=0 или γ=χ*±:χ2γ~χ (jtSaO).
Обе ветви в начальной точке касаются оси х, располагаясь
(по крайней мере, вблизи начала) над нею (черт. 134).
Если ал, = а12 = а22 = 0, то приходится рассматривать
производные высших порядков. В этом случае возможны

618 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ (227
и более сложные типы особых точек {тройные или, вообще,
п-кратные точки, и т. д.)
227. Случай параметрического задания кривой. Скажем
ещё несколько слов об особых точках плоских кривых,
заданных параметрическими уравнениями
х = ш(і), y = <b(t).
Пусть при t = t0 имеем
*£=φ'(Ό)=ο и χ=<!.'(*,) = о,
но из производных второго порядка xvQ и у"й пусть хоть одна,
например x'Q, отлична от нуля.
Проведём секущую через точки (лг0, у0) и (х, у) кривой,
отвечающие значениям t0 и t параметра. Её уравнение может
быть написано так:
Х—хд_.У — Уо
х~х0 У—Уо'
Но по формуле Тэйлора [с дополнительным членом в форме
Пеан о, 122 (10а)], так как x'Q=y'Q—0, имеем
*-*о=т(*0Ч-«)('-'оЛ
где а и β стремятся к 0 при t—+t0. Подставляя,
перепишем уравнение секущей, после сокращения обоих
знаменателей на -^-(t —10)-, в следующем виде:
Х~х0 = У-у„
х1+* У'0+Ϊ '
Здесь можно перейти к пределу при t—*t0*, и таким
путём получается уравнение касательной:
^р^У^з или к_л = 4(*-*о). (Щ
* См. замечание п° 224, которое приложимо и здесь, если
рассматриваемую точку считать простой.

227] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 61Э
Мы предположили х'й=^=0; пусть,
■функция χ=ψ(ί) при t = t0 имеет
х^> х0 при значениях t, близких к і0 (как
например, Хд^> 0. Тогда
минимум [131], т. е.
и при t~^>t0
две ветви кривой,
при
о. У о)
*<*0> так
смыкаются
они имеют
Таким образом, в точке (х,
отвечающие t<^t0 и t^> t0;
общую (наклонную или горизонтальную) касательную и обе
расположены вправо от
t<t,
вертикали χ
словами
Иными
налицо точка
возврата (черт. 135).
Это — основной случай
особой точки для кривой,
заданной параметрически.
Легко пойти несколь'
ко дальше в этом ис-
следовании; чтобы
установить, какого рода
будет эта точка возврата.
Ж
х„
С этой
производные, и приращения χ—χ,
1
χ х0 — -^ xQ \t -
У—Уо = -2У"о(*-
Λ)2 +
Черт. 135.
целью привлечём третьи
и у—· у0 напишем в виде
(x"' + 'a)(t-t0)\
■^Ч-т^Ч-РХ-'-^·.
где а и β снова стремятся к 0 при t—>-ί0.
Вычислим, пользуясь уравнением (19), ординату Υ точки
касательной с абсциссой х; мы получим
II
У— Уо = ^г(х— *о) =
ι/
= і У'о V - Ч? + 15- К" +~а)Ѵ- to)3-
Составим, наконец, разность ординат У и у, отвечающих
одной и той же абсциссе х:
, I III II и III \
где через γ обозначена снова некоторая бесконечно малая
при t —*-10.

620 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ {£28
Теперь, если только х'^'у"0— ^о"^0 (что обыкновенно
и выполняется), ясно, что разность Υ—у будет разных
знаков при t<^t0 и *!>Л> т· е· для тех ДВУХ ветвей
кривой, которые встречаются в точке (х0, у0) (в предположении,
конечно, что мы ограничиваемся значениями t, достаточно
близкими к t0). Ветви располагаются по разные стороны от
касательной, и мы устанавливаем точку возврата первого
рода.
Примеры подобных особенностей встречались нам уже не
раз: циклоида, эпи- или гипоциклоида, эвольвента круга —
все имеют такие точки возврата (черт. 114—117).
Может оказаться, в исключительном случае, что
x'd'yl—хІУо' = ®'> тогда разложение Υ—у по степеням.
t —t0 начнётся с четвёртой или более высокой степени этого
двучлена. Если степень эта чётная, то рассматриваемая
особая точка будет точкой возврата второго рода.
§ 3. Касание кривых между собой.
228. Огибающая семейства кривых. Если две кривые
имеют общую точку Ж0 и—в этой точке — общую
касательную, то говорят, что кривые касаются в точке /И0.
Настоящий параграф посвящен некоторым вопросам,
связанным с касанием плоских кривых.
Приступая к рассмотрению огибающей семейства
кривых, остановимся сначала на самом понятии
семейства кривых. Нам уже не раз приходилось встречаться
с уравнениями кривых, в которые, кроме текущих
координат хну переменной точки, входит ещё один или несколько
параметров. В случае одного параметра, скажем а,
уравнение имеет вид
F(x,y,a) = 0. (1)
Левая часть является функцией трёх переменных, из
которых переменную а мы иначе называем лишь потому, что она
играет особую роль: для получения конкретной кривой
значение параметра а должно быть фиксировано. При
изменении этого значения, обычно в пределах некоторого
промежутка, будут получаться, вообще говоря, различные (по
форме или расположению) кривые.

228] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 621
Совокупность всех этих кривых и называют
семейством кривых с одним параметром, а уравнение (1) —
уравнением семейства.
Иногда случается, что для подобного семейства кривых
существует кривая, которая касается каждой кривой
семейства в одной или нескольких точках и притом вся
состоит из этих точек касания (черт. 136). Такая кривая
Черт. 136.
носит название огибающей данного семейства. Мы покажем
сейчас, как установить, существует ли огибающая, и как
найти её в случае существования.
С этой целью допустим сначала, что огибающая
существует.
Для простоты предположим, что речь идёт об
огибающей (точнее — ветви огибающей), которая каждой кривой
семейства касается в одной точке. Тогда координаты этой
точки касания однозначно определяются указанием кривой
семейства, т. е. значением параметра а:
χ = ψ{α), у = <Ь{а). (2)
Поскольку огибающая вся состоит из точек касания, эти
уравнения и дают параметрическое представление
огибающей.
Мы предполагаем существование и
непрерывность частных производных функции F и производных
функций φ и ψ.
Точка (2) лежит на кривой (1), определяемой тем же
значением параметра а, так что имеет место такое
тождество относительно а:
/4φ(α), ф (β), α) = 0. (3)

622 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [228
Продифференцировав его полным образом по а, получим
[171, 1751*
F'xdx + Fydy+F'ada=:0, (4)
причём производные вычислены при указанных в (3)
значениях аргументов, a dx и dy означают дифференциалы
функций (2).
Теперь постараемся аналитически выразить тот факт, что
огибающая касается в точке (2) кривой (1). Касательная
к кривой (1) [см. 220 (5)]
F'JX-x) + Fy(Y~y) = 0 (5)
и к кривой (2) [220 (7)]
dx dy w
должны совпасть. Условие совпадения этих прямых можно
написать в виде
F'xdx + Fydy = 0. (7)
При этом, как и выше, под χ и у мы разумеем их
значения (2), а под dx и dy — дифференциалы функций (2).
Заметим, что уравнения (5) и (6) действительно
выражают касательные к кривым лишь в предположении, что
рассматриваемая точка не будет для них особой. Тем не
менее, равенство (7) имеет место даже в том
случае, если эта точка будет особой для той
или другой кривой.
Сопоставляя (7) с (4) и учитывая, что da —
произвольное число, найдём, что /^ = 0 или — в развёрнутом виде:
F'J?(a), φ (α), α) = 0. (8)
Тождества (3) и (8) показывают, что функции (2), нам
неизвестные, должны тождественно относительно а
удовлетворять системе уравнений
F(x,y,a) = 0, F'a(x,y,a) = 0. (9)
Итак, если огибающая существует, её параметрические
уравнения (2) получаются как решения относительно χ и у
системы (9).
* Здесь, между прочим, мы используем и непрерывность
частных производных функции /\

228] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 623
В том случае, когда эта система при переменном а
вообще не допускает решений в виде функций от а,
положение вещей ясно; огибающей вовсе нет.
Предположим же теперь,' что в результате решения системы (9)
получены уравнения (2), выражающие кривую без особых точек *.
Вудет ли эта кривая огибающей нашего семейства кривых?
Так как функции (2) удовлетворяют уравнениям (9), то
выполняются тождества (3) и (8). Дифференцируя первое из них,
получим (4), а сопоставляя это с (8), придём к равенству (7).
Если точка (2) (ни при одном а) не будет особой на
соответствующей кривой (1), так что уравнение (5) действительно
выражает касательную к названной кривой, то равенство (7)
обусловливает совпадение этой касательной с касательной (6)
к кривой (2). В этом случае к ρ ив а я (2) н а самом деле
будет огибающей семейства.
В частности, это можно гарантировать, если, например,
кривые данного семейства вовсе лишены особых точек.
Наоборот, если такие особые точки имеются и при
изменении а геометрическое место их образует кривую (2), то
соответствующие ей функции φ и ώ необходимо
удовлетворяют системе (9)**, хотя в этом случае кривая может
не быть огибающей.
Итак, при наличии особых точек кривая (2), полученная
в результате решения системы (9), подлежит ещё проверке:
она может быть огибающей, может быть геометрическим
местом особых точек на кривых семейства или, наконец,
частью — огибающей, частью же—таким геометрический
местом.
Обыкновенно при разыскании огибающей не
останавливаются на системе уравнений (9), но идут дальше —
исключают из них а. Иными словами, получают соотношение
вида
ф(*,.у) = 0, (Щ
уже не содержащее а и представляющее собой условие,
* При наличии отдельных особых точек ограничимся
промежутком изменения параметра, не содержащим критических его
значений.
** Для них выполняется (3), значит и (4). Затем, имеет место
(7), как выше упоминалось в тексте; сопоставляя с (4), приходим
к (8).

624 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ |229
необходимое и достаточное для того, чтобы для пары
значений х, у нашлось такое значение а, которое совместно
с ними удовлетворяло бы обоим уравнениям (9).
Все точки кривой (2), полученной решением системы (9),
должны удовлетворять уравнению (10). Поэтому, если это
последнее уравнение не выражает никакой кривой, то сразу
я:но, что огибающей нет. Если же уравнение (10) выражает
кривую (её называют дискримннантной кривой
семейства), то она, как и выше, подлежит проверке. В её
составе должна оказаться огибающая (если она существует),
но должно быть и геометрическое место особых точек (если
таковые налицо). Кроме того, здесь есть ещё одна
неприятная возможность, которую следует исключить проверкой:
именно, в состав дискримннантной кривой может попросту
входить одна или несколько частных кривых семейства. Так
будет в том случае, когда бесконечному множеству
точек дискримннантной
кривой отвечает одно и то
•г=г1 же значение а, совместно с
ними удовлетворяющее
уравнениям (9)*.
Всё сказанное всего
лучше выяснится на
примерах.
^.л 0**^0_іч6іч^Ом.О?
/ / / Α Λ Λ A ѴѴ2*^ У
I I '■ ί " Υ V 'У\ \ \
1 \ \ \ · ■> Κ * / · У '
Черт. 137.
229. Примеры. 1) Найти огибающую для семейства
окружностей ѵ. I О ·> / J. Ч
(х — а)? -f- у- = ή (г = const.)
(черт. 137).
Дифференцируем по а: — 2(х — а) = 0. Исключая а,
получим у- — г2 = 0 или у — ±г. две прямые, параллельные
оси х, которые, очевидно, составляют огибающую **.
* Если оперировать непосредственно уравнениями (9), то
такая возможность исключается, потому что уравнения пытаются
решить при заведомо переменном а.
** Если уравнение семейства взять в виде
χ — а ± Ѵг-—у* = 0,
то результат дифференцирования по а будет —1=0; из
невозможности этого равенства, казалось бы, вытекает заключение об
отсутствии огибающей. Такое заключение, однако, было бы
неверно, так как вся изложенная теория предполагает
существование и непрерывность частных производных от левой части
уравнения семейства, а здесь (именно при у — ±г) конечной
производной по у нет.

229]
§ 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ
625
2) Найти огибающую различных положений прямой,
скользящей двумя точками, находящимися друг от друга на постоянном
расстоянии я, по осям координат (черт. 138).
Взяв за параметр угол 9, составленный перпендикуляре*!
к движущейся прямой с осью х, уравнение прямой можно
написать в виде
_£__ι__ϋ „
Дифференцируем по 8
χ
sin2 9
cos 9
cos2 9
___У_
sin θ = О
sin3 9 cos3 θ'
Иначе это можно написать так:
х У _£ u
cos f
sin ι
sm ι
cos ι
sin2 β ~~ cos2 9 ~~ sin2 9 -f- cos2 9— *
откуда л: = л sin3 9, _y = ecos39. Читатель узнает в этих уравнениях
параметрическое представление астроиды [214,4): ί = -ί·—8],
которая в данном случае и
является огибающей.
G этим свойством
астроиды мы уже однажды
сталкивались [221, 3)J.
3) Во многих случаях
огибающая как бы огра-
Черт. 138.
Черт. 139.
ничивает («огибает») часть плоскости, занятую кривыми семейства.
Что это не всегда так, показывает пример: у — (х — а)3 (черт. 139).
Здесь огибающей служит ось х, пересекающая все кривые
семейства. Аналогичное обстоятельство проявляется и в
следующем, более сложном примере.
40 г. М. Фихтенгольц

626 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [229
4) Найти огибающую семейства у = а2 (х — а)2 (п а р а б о л ы).
Сопоставляя это уравнение с уравнением
2а {х — а)"- — 2а? (х — а)= 2а (х —а){х — 2а) = О,
получим либо х = а (у = 0), либо х = 2а (у = а*), так что дис-
криминантная кривая состоит из прямой у = 0 и кривой 16y = jc4.
Первая касается всех парабол в вершинах. Вторая имеет с каждой
параболой три общие точки: касается её при х = 2а и
пересекает при χ =
5) Рассмотрим
У
/7/ /
f * I /
Ж ' Ι 1
( '' {-"-(■
\ \ Vά№\
\\ѵ ν
,
b
^δ;
U ψ
£^
Ш"
■ 2а :£ 2а V 2.
Х2 у2
эллипс -^-4-4^=1. Станем искать огибаю-
αι ' о*
щую семейства окружностей,
построенных, как на диаметрах, на
хордах эллипса, параллельных оси
у (черт. 140).
Приняв за параметр абсциссу
ί центра окружности, напишем
уравнение этого семейства к
виде:
fix, У, і) = іх
Черт. 140.
-tr-+y"-
= 0.
причём ί изменяется в промежутке [— а, а]. Имеем
г 2*г - а-
Ft = ~2{x-t) + -^-t=0, откуда t= щ-^х.
Подставив это значение t в уравнение F—0, мы получим
уравнение огибающей в следующем виде:
\Х а?-\-ЬЧ ^У аЛ {а*+Ь*)Ѵ
или, после преобразований:
0
х*
,+£=>·
вЗ + *а
Мы пришли к эллипсу с теми же осями симметрии, что и данный.
Любопытно отметить, что этот эллипс касается не всех
окружностей семейства. Это обстоятельство легко усмотреть,
если не исключать t из уравнений F-
них χ я у через t:
■■ 0 и Ft = 0, а выразить нз
а1
•(a* + *2)f2·
Действительно, отсюда сразу видно, что выражение для у может
быть вещественным лишь при
Ѵа2-\-Ьі
Значит, только для части семейства окружностей,
соответствующей указанным значениям t, существует огибающая.

229] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 627
Этот поучительный пример показывает, что параметрическое
задание огибающей может оказаться более выгодным, потому что·
из него легче усмотреть, для какой части данного семейства оги?
бающая действительно существует.
6) Для семейства концентрических окружностей
xz^.yi=a (вз>0)
огибающей нет: дифференцирование по а сразу приводит к
невозможному равенству 0 = 1.
7) Рассмотрим два семейства
полукубических парабол
(а) (у — я)2 — *з_о
(б) >з_(Л-_д)з = о
(черт. 141). Дискриминантная кривая
бУдет (а)* = 0. (б)у = 0
и в обоих случаях является
носительницей особых точек. Но в
случае (б) она всё же одновременно
будет и огибающей; в случае (а)
огибающей нет.
8) Более сложный пример
такого же типа даёт другое
семейство полукубических парабол:
[y-af-ix-
(черт, 142), Здесь дискриминантная
4
прямые: у = х
ід-йр-Сх-йі'
И у-
χ—ψ.. Первая
Черт. 141.
о)3 = 0
кривая распадается на две-
является лишь геометриче-
особых точек, а вторая будет-
ским местом
огибающей.
9) Наконец, рассмотрим семейство
прямых
Если продифференцировать по t: 4x = 2ty-
и исключить t из обоих уравнений, то
получим, как результат исключения:
х{х+у)=*0.
Это уравнение представляет две прямые:
x = Q н у~ — х, которые входят в состав
данного пучка (при f = 0 я ί = — 2). Ни
одна из них не является ни огибающей, ни
носительницей особых точек. Огибающей в
этом случае нет.
Этот пример иллюстрирует указанную
нами ранее возможность того, что уравнение
(10) представит не огибающую, а одну или несколько кривых
семейства. Если бы мы, не исключая ί, попытались выразить χ и у через
t при переменном t, то это оказалось бы невозможным.
40*
Черт. 142.

628 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [230
230. Характеристические точки. С понятием
огибающей тесно связано другое интересное геометрическое
понятие— характеристических точек.
Возьмём одну из кривых семейства
F{x,y,a) — 0,
определяемую значением а параметра. Придадим а
некоторое приращение Δα; значению α-{-Δα параметра будет
отвечать другая кривая семейства
F(x,y, α-{-Δα) = 0,
«близкая» к первой.
Может случиться, что при достаточно малом Δα обе
кривые пересекаются в одной или в нескольких точках. При
10.)
Черт. 143.
стремлении Δα к нулю эти точки пересечения будут каким-
то образом перемещаться по первой кривой. Если при этом
какая-либо из точек пересечения стремится к
определённому предельному положению, то эту предельную точку
называют характеристической точкой на исходной
кривой (черт. 143). [Обращаем внимание читателя на то,
что характеристическая точка связана не только с той кри-

230] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 629
вой, на которой лежит, но и со всем семейством. Говорить
о характеристической точке для отдельно заданной кривой
было бы лишено смысла.]
Точка пересечения упомянутых выше кривых должна
удовлетворять системе уравнений
F(x, у, а) = 0, F(x, у, α-|-Δα) = 0
или равносильной ей системе
F(xty,a)=*0, ^(-r..V.*+a*)-F(*..v,*) = a (11)
Устремив здесь Δα к нулю, мы придём к уже знакомой нам.
системе (9):
F(x,y,a) = 0, F'a(x,y,a) = 0,
которой, таким образом, при заданном а, и должны
удовлетворять координаты характеристической точки.
Точнее говоря, если сохранить за χ к у значения
координат точки пересечения, то вместо (11) (применяя формулу
Лагранжа) можно написать:
F(x,y, a) = 0, /=;(*,;,, a + θ Δα) = О (0<Β<1).
Если при Δα—>-0 координаты х, у имеют соответственно
пределы х, у, то, переходя в написанных равенствах к
пределу, ввиду непрерывности функций F и F' , легко
убедиться в том, что координаты х, у характеристической
точки, действительно, удовлетворяют системе уравнений (9),
Допустим теперь, что характеристические точки
существуют на каждой кривой семейства. Тогда можно
поставить вопрос о геометрическом месте
характеристических точек. Если это место представляет собой
кривую вида (2), то функции φ (α), ώ(α), фигурирующие
в её уравнениях, должны удовлетворять системе (9), а
значит— получаться в числе решений этой системы
относительно х, у. Точно так же все точки упомянутого
геометрического места удовлетворяют и уравнению (10), т. е. это
место необходимо входит в состав дискриминант ной
кривой.
Из сказанного ясно, что геометрическое место
характеристических точек, если существует, представляет собой

630 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [231
(полностью или по частям) либо огибающую, либо
носительницу особых точек.
Легко убедиться в том, что в примерах 1), 2), 4), 5)
предыдущего п° геометрическое место характеристических
точек совпадает с огибающей. Это, в некотором смысле,—
общий случай. Но вот в примере 7) (а) это
геометрическое место служит лишь носительницей особых точек,
а в примерах 3) и 7) (б) вовсе нет пересечения между
кривыми (хотя огибающая существует).
231. Порядок касания двух кривых. Рассмотрим две
кривые, касающиеся в точке Мй.
Если кривые заданы явными уравнениями y=f(x) и
Y = g(x) и М0 имеет абсциссу х0, то совпадение ординат
и угловых
коэффициентов касательных может
быть записано так:
/(*о) = £(*о).
/'(*o) = £'W·
Для
характеристики близости
рассматриваемых кривых в
окрестности точки Мй
возьмём точки Μ и т
на этих кривых (черт.
—я
Черт
144) с абсциссой χ и установим порядок бесконечно малого
отрезка
тМ =Y-y=g (χ) —f(x) = <o(x)
относительно основной бесконечно малой χ — л*0.
Если этот порядок равен η -j- 1 (или больше, чем п-\-\),
то говорят, что кривые в точке Ма имеют порядок
касания η (или выше, чем п).
Мы видели, что при наличии касания всегда
<р(*о) = г(*о)—/(*о) = 0, <ί'(*о) = ^ (*о)-/'(*<,)= 0·
Пусть в точке х0 для функций f(x) и g(x) существуют
производные всех порядков до (η-\-\)-το включительно,
причём
Г Ы = s" (*„), .... /(л) (*„) = έη) (*„),

231] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 631
так что
<ρ·(*ο) = ί"(*ο)'-/"(*ο) = <>. ...
..., φ(")(χ0) = δ<")(*ο)-/(",(*ο) = 0·
G величине производных f(n+^{xu) и £<л+1)(.к0) пока никаких
предположений не делаем. Применяя к функции φ (χ)
формулу Тэйлора с дополнительным членом в форме Пеан о
[122 (10а)]:
rf = r-v=?W=[№l + !!fl + i](i_,r, (12)
видим, что
Iіш тМ — Ч(п+1) (χώ — g(,,+1) (*°) ~ /Ся+1) W
Таким образом, если /<n+1J (лг0) ^г^I"*1) (ji0), то кривые
имеют касание «-го порядка, если же и/('!+1>(л;о) = §-("+I)(Лг0))
то порядок касания будет выше я. Отсюда (в предположении
существования всех упоминаемых производных) следует:
Для того чтобы в точке с абсциссой х0 кривые у =
=f(x) и Y== g(x) имели касание п-го порядка, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия
f(*o) = g(*o),f (*«)=?(Хо), ..■,f{n4x0) = g{n)(Xo)' (13)
/("+1)(^о)^^л+1)^о)· (И)
[Если последнее неравенство не установлено, то можно лишь
утверждать, что порядок касания не ниже гг.]
Для случая, когда порядок касания точно равен я, из (12)
непосредственно вытекает, что при л чётном кривые,
касаясь в точке М0, взаимно пересекают одна
другую, при η же нечётном этого нет.
Замечание. В свете выведенных условий мы вернёмся
вновь к самому определению порядка касания. Это
определение кажущимся образом связано с выбором координатной
системы. На деле же порядок касания двух кривых от
этого выбора не зависит (лишь бы только ось у не была
параллельна общей касательной), так что установленное
понятие является действительно геометрическим.
Если повернуть координатную систему на произвольный
угол а, то новые координаты х, у выразятся через старые
х, у с помощью известных формул преобразования:
^ = jicosa-[-3,SI'ni!> y= — xsina-\-ycosa.

632 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [2S2
Пусть в старой системе координат дана кривая y=f(x);
если в предыдущих уравнениях под у разуметь именно эту
функцию, то они дадут параметрическое представление
кривой в новой системе, с а; в роли параметра. Очевидно,
производные
dx , dy . dy , dy
зараз в 0 обратиться не могут, так что в новом представле·
нии ни одна точка не будет особой, а тогда ясно, что
первая из этих производных — не 0 в интересующей нас
точке (ибо иначе касательная к кривой в этой точке была
бы параллельна оси у\). Следовательно, в её окрестности
кривая выразится и в новой системе явным уравнением
3^=7 й-
Теперь легко видеть, что [ср. 114]
, dy сРѵ
— Sin a + -τ- COS a „— -τ—,
dv dx d2y dx*
Αϊ , dv . ' Wj-2 / , dy . \3 '
ax cosa-j-—- sin α Λ I cos a -j- -f· sin a J
и вообще
dx~k~~ k \dx' dx*"·" dx*}'
где Rk есть знак рациональной функции. Отсюда ясно, что
как только для двух функций у от χ выполняются
равенства (13), то для двух соответствующих функций у
от χ выполняются аналогичные равенства. Точно так же — при
наличии (13) — из неравенства (14) вытекает такое же
неравенство для новых функций, ибо — в противном случае —
обратное преобразование привело бы нас, взамен
неравенства (14), тоже к равенству.
Этим и завершается доказательство высказанного
утверждения.
232. Случай неявного задания одной из кривых.
Рассмотрим теперь случай, когда вторая кривая задана
неявным уравнением
G(x,y) = 0. (15)

232] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 633
Пусть рассматриваемая точка М0 (х0, у0) не является для этой
кривой особой, а именно пусть G' {х0, у0)=£0. Тогда
в окрестности этой точки уравнение (15) определяет
однозначную функцию y=g{x), и для установления порядка
касания могут быть использованы уже известные условия (13)
[и (14)1.
Но так как явного выражения функции g(x) в этом
случае мы не имеем, то было бы удобнее выразить эти условия
в такой форме, которая использовала бы лишь данную
функцию G.
С этой целью вспоминаем, что значения функции g(x)
и её производных g' [x), g' (χ),. .., ^W (χ) последовательно
и притом однозначно определяются уравнением (15)
и теми уравнениями, которые получаются из него
дифференцированием по х, если под у разуметь g(x) [199]:
G(х, £(£)) = 0, G'x(x, g(x)) + G'v(x, g(x))g'(х) = 0,
ο"χ>+№χνε'(χ)±ο*Μ·(χ)?'+οιυζ4(χ) = ο,
°$ +·■·■+ G'vgW(x) = 0*.
Поэтому, если (при х = х0) в этих равенствах везде
вместо g(x0), g' {xa), . . ., g*·") (x0) подставить,
соответственно, f(x0), f'{xQ) '/(л) (-^оК то получатся условия
О(*о./(£о)) = 0. OL(*o./Uo))+G'v(*o./(*o))/,(*o) = 0>
ο^+·>·+ο;/(η)(ν=ο,
которые совершенно равносильны условиям (13).
Для того чтобы представить их в более обозримой
форме, введём обозначение
φ (*) = О (*,/(*)). (16)
* В каждом уравнении подчёркнута та именно величина,
которая из него однозначно определяется, если уже определены
предшествующие ей величины. Это относится и к приводимой
ниже системе уравнений.

634 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [23S
Тогда условия эти перепишутся так:
Ф(*0) = 0, Ф'(*о) = 0- ..., Ф<»>(*0) = 0. (17)
Итак, при соблюдении условий (17) [в точке с
абсциссой хй) кривая (15) будет иметь с кривой y=f(x)
касание порядка не ниже п. Нетрудно сообразить, что этот
порядок будет точно п, если сверх того
ф(»+«(ж0)^:0. (18)
233. Соприкасающаяся кривая. Предположим теперь,
что вместо кривой (15) нам дано семейство кривых
■с /г —[— 1 параметрами
G(x, у, аТь, .77Г/) = 0. (19)
Теперь естественно поставить вопрос, можно ли,
распоряжаясь значениями параметров, выбрать из этого семейства
такую кривую, которая с данной кривой y = f(x) в
определённой её точке М0 {х0, f (хй)) имела бы наивысший
«озможньф {дця даннргр семейства) порядок касания..
Подобная кривая и носит название сопри к а с а юще й-
ся к данной кривой в точке Мй. [Точнее было бы сказать:
соприкасающейся кривой из такого-то семей-
с.тва, ибо для отдельно взятой кривой (15) этот термин
не имеет смысла.]
Для разыскания соприкасающейся кривой введём
обозначение, аналогичное (16):
Ф(х, a, b,...,l)=G(x,f(x),a,b, ...,/),
и напишем ряд условий, вроде- (17):
Φ (xQ, а, Ь, ...,/) = О, Ф^ (х0, а, Ь, ...,1) = 0, ...
...,Ф($(х0,а,1>, ...,/)=0.
Мы имеем здесь систему из я —J— 1 уравнений с п-\-\
неизвестными а, Ь, ..., I. Обычно эта система
однозначно определяет систему значений параметров, и таким
путём находится соприкасающаяся кривая, имеющая
порядок касания не ниже п.
При этом обычно оказывается, что
Ф(дак.в. ъ,...,і)ф о,

233] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 635
так что порядок точно равен я. Такое положение вещей
(при «—|- 1 параметрах) считается нормальным.
В тех же исключительных точках, где дополнительно
выполняется и равенство
Ф(да(*о. «,*,..., О-0, (21)
говорят о пересоприкасании. Эти точки можно найти,
если равенства (20) и (21) вместе рассматривать как
систему из η-\-2 уравнений с п-\-2 неизвестными
а'0, a,t>,...,l.
Примеры. I) Соприкасающаяся прямая. Семейство прямых
выражается уравнением
у = ах-\-Ъ
с двумя параметрами. Поэтому наибольший порядок касания,
который удаётся установить в общем случае, будет пер-
в ы й.
Здесь имеем:
Φ {χ, a, b) =у — ах — Ь, Ф'х (х, а, Ь) =у — а,
если под у разуметь / (х). Отмечая нуликами значения у, у', у",
отвечающие выбранному значению х = хй, для определения
параметров α и ft получим уравнения
j/„ — ахй — Ь = 0, У0 — а = 0.
Отсюда а=у0 и Ь=уо — уох0. Подставляя эти значения в
уравнение прямой, придём к уравнению
У=Уо-\-у'о(х-хо)>
в котором читатель без труда узнает уравнение касательной.
Итак, сопри к а саю щейся прямой является
касательная.
Порядок касания, вообще говоря, как указывалось, будет
π е ρ в ы й. Он повышается в тех отдельных точках, где выполняется
дополнительное условие у\ = 0 (например, в точках перегиба).
2) Соприкасающийся круг*. Семейство окружностей
выражается уравнением
(*-S)»-fCy-l), = #
с тремя параметрами ?, ч и R. Наивысший порядок касания
вообще будет второй.
*В этом контексте слово круг привычным образом
употребляется в смысле окружность.

636 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [234
Так как здесь, если снова под у разуметь / (х),
Φ (Jf. ?, Ά, R) = {x - S)3 + (У - η)3 - Я2.
■І Φ', (χ, £, η, Я) = лг-5 + 0> -η)у,
|Ф>,5,1,Й) = I +Уг + (У - Ч)У.
то параметры определятся из уравнений
(*о-«)Ч-(Уо -ч)'= Я1» χο - 5 + (Уо-»і)Уо =°·
l+J'o+CVo-'iJj'^O.
Из двух последних (в предположении, что y"Q Φ 0) находим
координаты центра:
f = *o-^o ~> ъ=Уа-\ —. (22)
Уо Уй
а тогда из первого получится радиус
/? = Ѵ , V/ - С23)
По этим элементам и устанавливается соприкасающийся
круг.
По сказанному в п° 231, как правило, касательная не
пересекает кривой, а соприкасающийся круг, наоборот, пересекает её.
Исключение может представиться лишь в точках, где порядок
касания повышается против нормального.
234. Другой подход к соприкасающимся кривым. Пусть
даны кривая y=f(x) и семейство кривых (19) с п-\-\
параметрами. Возьмём на кривой произвольные л-j-l точек
с абсциссами хѵ х2,..., х„+ѵ Для того чтобы кривая
семейства через эти точки проходила, должны выполняться «-J-1
условий:
Ф(хѵ а, Ь, ...,/)= 0, Ф{х2,а, ί,..../)^=0,...
...,Φ(χ„+ν а, Ь, ..., /) = 0.
Обычно отсюда значения параметров определяются
однозначно; обозначим их через а, Ь, ...,/.
Предположим теперь, что когда взятые η -\-1 точек по
произвольному закону стремятся к некоторой определённой
точке кривой с абсциссой д:0, то и значения параметров

234] § 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 637
а, Ь, ..., 7 стремятся к определённым пределам а, Ь, ..., /.
Можно сказать, что проходящая через упомянутые точки
кривая семейства, перемещаясь или деформируясь, стремится
к предельной кривой.
Для того чтобы её найти, станем рассуждать так.
Функция от χ
Φ (ж, а, Ь, ...,Т)
обращается в 0 для п-\-\ значений*: xl<C*2<C· · ·<^χη ι·
Тогда, по теореме Ролля [117], первая производная
обратится в 0 для η значений х'г <[ х'2 <...< х', вторая — для
п—\ значений: χ'[<^χ"2<.··-<^х"п_ѵ . ■ ·, (и— 1)-я — для
двух значений: *("— 1)<^х<^-1'> и, наконец, я-я — для
некоторого значения xW-t при этом все упомянутые значения лежат
между х1 и *п+1.
Таким образом, имеет место п-{-\ равенств:
Ф^, а, Ь,, .., 7) = 0, Ф'х(х\, a, S,...,i) = Ot
ФахЛх'і,а, ί,...,ί) = 0,...
...,Щ(х<?\а, b, ...,/) = 0.
Если теперь одновременно хг—>-ха, х2—>-х0, ..., хп+х—+хй,
то а—*а, Ь—*b,...,l—► / и, очевидно, также х^ —>хй>
χ"χ —+■ хй, ..., χΜ —>- хй. Переходя к пределу в написанных
выше равенствах, мы вернёмся к уже знакомой нам системе
(20), определявшей соприкасающуюся кривую.
Итак, если существует предельное положение для
кривой семейства, проходящей через «—(— 1 точек данной
кривой, то эта предельная кривая и будет
соприкасающейся.
В связи с этим иногда говорят (не слишком строго, но
образно), что соприкасающаяся кривая — из семейства с п-\-1
параметрами — есть «кривая, проходящая через η -f- 1
бесконечно близких точек» данной кривой. В частности,
касательная проходит через две бесконечно близкие точки кривой,
а соприкасающийся круг — через три.

638 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [225
§ 4. Кривизна.
235. Понятие длины дуги. Это понятие относится,
собственно, уже к области интегрального
исчисления и будет подробно изучено в главе X [§ 1]. Однако мы
в нём нуждаемся уже сейчас, приступая к изучению
кривизны. Поэтому мы дадим здесь определение длины дуги
и укажем некоторые её
свойства, отсылая для
доказательства их к
упомянутой главе.
Рассмотрим некоторую
конечную дугу кривой АВ
(черт. 145а), заданную
параметрически:
Х = и(і), у = $(І), (1)
где і изменяется от /0
до Τ (Т~^>ій). Значению
t = i0 пусть отвечает
точка Л, а значению t = Τ —
точка В. Мы предполо-
н*им кривую свободной от
кратных точек (но она
может быть замкну-
т о й, т. е. точки А к В
могут совпадать). Таким
образом, каждая точка
кривой (за исключением,
быть может, точек А и Ву
если они тождественны) получается лишь при одном
значении параметра.
Если считать точки кривой расположенными, в
порядке возрастания параметра /(т. е. из двух
точек ту принимать за следующую, которая отвечает
большему значению параметра), то этим на кривой
создаётся направление. Возьмём теперь на кривой АВ ряд
точек
у.
У
s
О
м.
І "'
/ №
16)
V
Черт. 145.
А =М0, Мѵ Мл, ...,М{, ЛГ/+„ .... МЯ = В,

236]
§ 4. КРИВИЗНА
639
идущих одна за другой в указанном направлении; им
отвечает ряд возрастающих значений параметра
Ό<Ί<4<..·<',·+1<^<...<^ = γ.
Впишем в кривую АВ ломаную АМхМг. . .В и обозначим
через ρ её периметр.
Если при стремлении к нулю наибольшего из
диаметров* частичных дуг М;Л/;.+1 для этого периметра
существует конечный предел s, не зависящий от закона
вписывания ломаной, то этот предел будем называть
длиной дуги АВ:
s = AB = limp;
сама кривая АВ в этом случае называется спрямляемой.
Из определения непосредственно ясно, что длина дуги
АВ больше длины хорды АВ:
АВ~>АВ
(если только дуга не тождественна с хордой).
Отметим здесь же важное свойство длины дуги — её
аддитивн ость [ср. 21, условие 3)].
Если на дуге АВ взять ещё точку С, то
А~В=АС-\-СВ,
β предположении спрямляемости всех этих дуг **.
Самый вопрос о существовании длины дуги АВ,.
в согласии с приведённым определением, будет решён во
втором томе [320]. Здесь же мы примем без доказательства,
что эта длина наверное существует, если функции if и ί
в уравнениях (1) удовлетворяют обычным в настоящей главе·
требованиям — непрерывности и существования непрерывных,
производных.
236. Переменная дуга. Возьмём теперь на дуге АВ
точку М, отвечающую произвольному значению t параметра.
Тогда длина дуги AM
AM^=s = s(t)
* Понятие диаметра установлено было в 164. См. также второй
том, 316.
** На деле достаточно предположить спрямляемость одной
дуги АВ или порознь — дуг АС и СВ. См. второй том, 319.

€40 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [236
будет переменной: она оказывается (очевидно,
возрастающей) функцией от t. Можно доказать, что эта функция
будет не только непрерывной, но и имеет непрерывную же
производную по t, которая выражается формулой
s't=V^FrJf=VwW+WW2 (2)
{см. второй том, 321].
Если возвести это равенство в квадрат и умножить
почленно на dt2, то получим замечательную по простоте
формулу
ds3 = dxi-^-dyl, (3)
которая к тому же обладает геометрической наглядностью.
На черт. 1456 в (криволинейном) прямоугольном
треугольнике MNMX «катетами» служат приращения координат
точки Μ: ΜΝ=Δχ, NM1 = ky, а «гипотенузой» — дуга ММ1 =
= Δ$, которая является приращением дуги AM — s.
Оказывается, что если не для самых приращений, то для их
главных частей — дифференциалов — имеет место
своеобразная «теорема Пифагора».
Полезно отметить частные случаи важной формулы (2),
отвечающие различным частным типам задания кривой. Так,
если кривая задана явным уравнением в декартовых
координатах y=f(x), то в роли «параметра» оказывается х,
дуга s зависит от х: s = s(x), и формула (2) принимает вид
Если же кривая задана полярным уравнением r=g(b), то
это, как мы знаем, равносильно заданию её
параметрическими уравнениями
х = г cos6, _y = rsin6,
где параметром будет 6; дуга на этот раз будет функцией
от Ѳ: s = s((i). Так как, очевидно,
х\ = r\ cos 0 — г sin 0, у\ = г'в sin θ 4- г cos О,
и формула (2) преобразуется так:
s\=VF^n. (26)

227]
§ 4. КРИВИЗНА
641
Часто представляется удобным взять в качестве
начальной точки А для отсчёта дуг не один из концов
дуги, а какую-либо внутреннюю точку её. В этом случае
естественно дуги, откладываемые от неё в направлении
возрастания параметра, считать положительными, а в другом —
отрицательными и, соответственно этому, длину дуги в
первом случае снабжать знаком плюс, а во втором — знаком минус.
Вот эту величину s дуги со знаком мы для
краткости будем называть просто дугой. Формулы (2), (3), (2а),
(26) имеют место во всех случаях.
[Заметим, что если положительное направление для отсчёта
дуг выбирать не в сторону возрастания параметра, как это
делается обычно, а в сторону его убывания, то в формулах
(2), (2а), (26) пришлось бы перед радикалом поставить
знак минус]
237. Дуга в роли параметра. Положительное
направление касательной. Так как переменная дуга s — AM
является непрерывной монотонно возрастающей функцией от
параметра t, то и последний, в свою очередь, может быть
рассматриваем как однозначная и непрерывная функция от s:
t = <u(s), где s изменяется от 0 до длины S всей
рассматриваемой кривой [82]. Подставляя это выражение t в
уравнения (1), мы получим текущие координаты χ и у
выраженными в функции от s:
χ = φ (ω (5)) = Φ (s), у = ф (ω (s)) = Ψ (s).
Несомненно, дуга s = AM, играющая роль «криволинейной
абсциссы» точки М, является самым естественным параметром
для определения её положения.
Заметим, что начальная точка А для отсчёта дуг может
быть взята и не на одном из концов рассматриваемой дуги
кривой; тогда, как это разъяснено выше, дуга 5 может
принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть точка Μ кривой — в представлении (1) — будет
обыкновенной, так что [см. (2)]
тогда [93] для соответствующего значения s (и вблизи него)
41 Г. М. Фихтенгольц

642 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ {237
существует и непрерывная производная
1
*! = «>'(*) = ·
Ѵ*?+У?
а следовательно, существуют и непрерывные производные
х^=Ф'(з), ye=4f'{s).
Из основной формулы (3), считая, что все
дифференциалы взяты, например, по s, получим
(£)'+(#)·=·.. о
Таким образом, если точка Μ была обыкновенной в прежнем
представлении (1) кривой, то она наверное будет
обыкновенной и при переходе к параметру s. Формула (4), далее,
позволяет установить следующее простое утверждение:
Пусть Μ — обыкновенная точка кривой. Если
через /Vfj обозначить переменную точку той же кривой,
то при стремлении Мг к Μ отношение длины хорды ММ1
к длине дуги ММ1 будет стремиться к единице:
Jim ^ =ΐ. (5)
Примем дугу за параметр, и пусть точка Μ отвечает
значению s дуги, а точка Мг — значению s-j-As. Их
координаты пусть будут, соответственно, х, у и χ -{- Ах, у -j- Ay.
Тогда MM1 = ]As\, a ΛίΛί1=]/Δ.*2-}-Δ.)'2, так что
ΜΜι_ V \х* + Лу* __ f I \x γ , (&y\*
M~ ι^ι — V К**) -г\ь) *
Переходя справа к пределу при As—>-0, в силу (4) и
получаем требуемый результат.
До сих пор мы определяли положение касательной к
кривой в (обыкновенной) точке Μ — её угловым
коэффициентом tga, не различая двух противоположных
направлений на самой касательной: tga для обоих один и тот же. В
некоторых исследованиях, однако, представляется необходимым
фиксировать одно из этих направлений.
Представим себе, что на кривой выбраны начальная точка
и определённое направление для отсчёта дуг; возьмём имен-

237]
§ 4. КРИВИЗНА
643
но дугу за параметр, определяющий положение точки на
кривой.
Пусть точке М, о которой была речь, отвечает дуга s.
Если придать s положительное приращение hs, то дуга
s-f-As определит новую точку Мѵ лежащую от Μ в
сторону возрастания дуг. Секущую направим от Μ к Λί,,.
и угол, составленный именно этим направлением секущей
с положительным направлением оси х, обозначим через р.
Проектируя отрезок ММХ на оси координат (черт. 146), по
известной теореме из
теории проекций,получим
τιρ.χΜΜ j = Δλτ =
= MMj cos p,
npyW/Vi3 = A_y =
= MMt sin $,
откуда
cos Ρ =
sinS =
MM{
Αν
*~ί·
ΜΜχ'
Черт. 146.
Так как ΛΐΛί, = Δ.?, то эти равенства можно переписать так:
cos(& =
а*
Δδ
. г. Лѵ ΜΜχ
(6>
ΜΜχ
ΜΜχ'
Будем называть положи тельным то направление
касательной, которое идёт в сторону возрастания
дуг; точнее говоря, оно определяется как предельное
положение при Δί—"О для луча ΜΜχ, направленного так,
как это разъяснено выше. Если угол
положительного направления касательной с положительным направлением
оси χ обозначить через а, то из (6) получим в пределе,
с учётом (5),
cosa —
dx_
ds
dy
(7)
Эти формулы определяют угол а уже с точностью до
2ku (k — целое), следовательно, действительно фиксируют
41*

644 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [238
одно из двух возможных направлений касательной, именно —
положительное.
238. Понятие кривизны. После этих подготовительных
замечаний обратимся к основному предмету исследования
в настоящем параграфе — к понятию кривизны.
Рассмотрим дугу кривой без кратных и особых точек.
Если в каждой её точке провести касательную (скажем,
в положительном направлении), то вследствие
«искривлённости» кривой эта касательная с перемещением точки
касания будет вращаться;
этим кривая
существенно отличается от
прямой, для
которой касательная
(совпадающая с ней)
сохраняет одно и то же
направление для всех
точек.
Важным элементом,
характеризующим
течение кривой, является «степень искривлённости» или
«кривизна» её в различных точках; эту кривизну можно выразить числом.
Пусть ММХ (черт. 147) есть дуга кривой; рассмотрим
касательные МТ и МгТѵ проведённые (в положительном
направлении) в конечных точках этой дуги. Естественно
кривизну криво^й характеризовать углом поворота касательной,
рассчитанным на единицу длины дуги, т. е. отношением
—, где угол ω измеряется в радианах, а длина а — в
выбранных единицах длины. Это отношение называют
средней кривизной дуги кривой.
На различных участках кривой средняя кривизна её будет,
вообще говоря, различной. Существует впрочем
(единственная) кривая, для которой средняя кривизна везде одинакова:это
Черт. 147.
окружность1
148)
Действительно, для неё имеем (черт.
ω ω Ι
Τ R7o ~~R'
о какой бы дуге окружности ни шла речь.
* Не считая, разумеется, прямой, для которой кривизна
всегда нуль.

23S]
§ 4. КРИВИЗНА
645
От понятия средней кривизны дуги ММ1 перейдём
к понятию кривизнывточке.
Кривизной кривой в точке Μ называется предел,
к которому стремится средняя кривизна дуги ММ\, когда,
точка М1 вдоль по кривой
стремится к М.
Обозначив кривизну кривой в
данной точке буквой k, будем иметь
Iim —.
*=*
Для окружности, очевидно,
т. е. кривизна окружности есть
величина, обратная радиусу
окружности.
Замечание. Понятия средней
кривизны и кривизны в данной точке Черт. 148.
совершенно аналогичны понятиям
средней скорости и скорости в данный момент для движущейся
точки. Можно сказать, что средняя кривизна характеризует
среднюю скорость изменения направления касательной на
некоторой дуге, а кривизна в точке — истинную скорость
изменения этого направления, приуроченную к данной
точке.
Обратимся теперь к выводу аналитического выражения
для кривизны, по которому её можно было бы вычислять,
исходя из параметрического задания кривой.
Предположим сначала, что в роли параметра фигурирует
дуга. Возьмём на кривой обыкновенную точку М,
и пусть ей отвечает значение s дуги. Придав s произвольное
приращение Δε, получим другую точку M^s-}-^) (черт· 14-9).
Приращение Δα угла наклона касательной при переходе от
Μ к М1 даст угол ω между обеими касательными: ω = Δα.
Так как α = Δί, то средняя кривизна-будет равна -g·.
для кривизны кривой
Устремив ММХ = А$ к нулю,
в точке Μ получим выражение
i;m Δα — da
(8)

646 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [238
Важно отметить, впрочем, что эта формула верна лишь
с точностью до знака, так как кривизна, по нашему
определению, есть число неотрицательное, а справа может
получиться и отрицательный результат. Дело в том, что как
Δα, так и As могут быть отрицательными, так что, строго
говоря, следовало бы писать: ω = |Δα|, σ = |Δ$1 и, наконец,
к —1 — 1
Это замечание следует иметь в виду и впредь.
Для того чтобы придать формуле (8) вид, удобный для
непосредственного вычисления (а вместе с тем установить
Черт. 149.
самое существование кривизны), обратимся к произвольному
параметрическому заданию кривой (1), причём функции φ
и ψ на этот раз предположим имеющими непрерывные
производные первых двух порядков.
Пусть рассматриваемая точка M(t) будет обыкновенной
(и простой); без умаления общности, можно считать, что
именно x't = <f'(ήψ=0.
Перепишем теперь формулу (8) иначе:
*

239]
§ 4. КРИВИЗНА
647
Но s'^yfx'z+y* [236 (2)], остаётся лишь найти а\. Так
как [105 (11)]
tga = ~- и a = arctg^-,
то
ι ν 2
Подставив в (9) значения s't и а[, придём к окончательной
формуле:
I II It I
k=xtyf-^ytt (П)
Эта формула вполне пригодна для вычисления, ибо все
фигурирующие в ней производные легко вычисляются по
параметрическим уравнениям кривой.
Если кривая задана явным уравнением y=f(x), то эта
формула принимает вид
II
Ух*
(11а)
d + y'/f
Наконец, если дано полярное уравнение кривой: r=g{b),
то, как обычно, можно перейти к параметрическому
представлению в прямоугольных координатах, принимая за
параметр 0. Тогда с помощью (И) получим
Г2 + 2Г^-ГГІ
(116)
239. Круг кривизны я радиус кривизны. Во многих
исследованиях представляется удобным приближённо заменить
кривую вблизи рассматриваемой точки — окружностью,
имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке.

648 ГЛ. til. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ І23Э
Мы будем называть кругом* кривизны кривой
в данной на ней точке Μ — круг, который
1) касается кривой в точке М;
2) направлен вогнутостью в этой точке в ту же
сторону, что и кривая;
3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке Μ
(черт. 150).
Центр С круга кривизны называется просто центром
кривигзны, а радиус этого круга — радиусом кривиз-
н ы (кривой в данной точке).
Из определения круга
кривизны явствует, что центр
кривизны всегда лежит на
нормали к кривой в ·
рассматриваемой точке со стороны
вогнутости. Если кривизну кривой
в данной точке обозначить
через k, то, вспоминая [238],
что для окружности имели
формулу: k = -χ, теперь для
радиуса кривизны,
очевидно, будем иметь
R-1
Черт. 150. k '
Пользуясь различными выражениями, выведенными в пре-
о
дыдущем п" для кривизны, мы можем
ряд формул для радиуса кривизны:
з
R =
сразу же написать
(12)
R =
III II I >
(13)
R.
(i+y>)2
II
Ух'
(13a)
* Сюда также относится замечание, сделанное в сноске на
стр. 635.

239]
§ 4. КРИВИЗНА
649
R-r*+2rf-rrl' (13б>
которые и применяются в соответственных случаях.
Из всех этих формул радиус кривизны получается со
знаком, как и выше — кривизна. Однако здесь мы знака
не станем отбрасывать, а постараемся установить его
геометрический смысл.
С этой целью введём понятие о положительном
направлении нормали к кривой. Мы разъяснили уже в п° 237,
что на касательной положительным считается направление
в сторону возрастания
дуг. На нормали -же &
мы за положительное
выберем такое
направление, чтобы оно
относительно
(положительно направленной)
касательной было так
же ориентировано, как
ось у относительно
оси х. Например, при
обычном расположении 2/Т
этих осей нормаль Черт. 151.
должна составлять с
касательной угол -f--r против часовой стрелки.
Теперь, рассматривая радиус кривизны R = MC как
направленный отрезок, лежащий на нормали, естественно
приписывать ему знак плюс, если он откладывается по
нормали в положительном направлении, и знак минус в
противном случае. Так, на черт. 151 в случае кривой (I) радиус
кривизны будет иметь знак плюс, а в случае кривой (II)
знак минус.
Мы утверждаем, что знак радиуса кривизны, получаемый
по любой из выведенных выше формул, в точности
соответствует только что данному определению. При этом, однако,
важно подчеркнуть, что во всех случаях положительное
направление отсч'ёта дуг предполагается соответствующим
возрастанию параметра (t, χ или 0).

650 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [240
Убедиться в сказанном выше проще для случая явного
задания кривой: здесь (черт. 151) касательная направлена
направо, следовательно, нормаль — вверх. Если у"жі^>0,
то [136] вогнутость кривой также направлена вверх и радиус
кривизны R положителен; таким он и получается по
формуле (13а). Наоборот, при_у^а<^0 вогнутость направлена вниз,
радиус R отрицателен, что и в этом случае вполне
соответствует формуле (13а).
То же можно показать и для других формул.
χ
240. Примеры. 1) Цепная л и н и я: у = ach— (черт. 41).
В этом случае [ср. 98, 28)]
1 ^х а а '
с другой стороны,
а
" ~ — h х = у
У*' а а я1
Лоэтому [см. (13а)]
а
Так как то же выражение, как нетрудно видеть, имеет и
отрезок нормали n = MN, то приходим к такому способу построения
центра кривизны С: отрезок нормали MN (см. чертёж) нужно
отложить по нормали же, но в обратную (положительную) сторону.
2) Астроида: х3 +у3=а3 (черт. 112).
Производные ух и ух, можно найти, не разрешая уравнения,
по методу дифференцирования неявных функций:
— — _і 1 і I
г 3-L« 3„ί_η „„„ -.3,. ι ..3 _η „„..,,„, .1 (У\3 .
*+У 3У=0 или *3у4-_у3=0, откуда / = — Г^-Ѵ
затем:
L 1
тх 3У'+-ку 3у> + х*у"=о,
зх у^ъ-
откуда _2
Злгу3 Ъхъ у
з ,,з

240]
§ 4. КРИВИЗНА
651
Подставляя значения / и /' в формулу (13а), получим
Я = 3(ал:у)3.
3) Циклоида: x = a(t~sint), y = a{\—cost) (черт. 114).
Так как [221, 4)] « = |. — _, то da = — -і dt\ с другой же
стороны, как легко вычислить,
х[—а{1 — cost), y'^asint, x'f -f- у'* = 4а2sin'-^ ,
так что
s't = γχ'ζ+уП — 2аsin|-, т. е. di = 2esinydi.
В таком случае для вычисления Я можно воспользоваться
основной формулой (12):
dg 2a^dt ί
^аГ^ ρ—=-4asiny.
-2dt
Если вспомнить выведенное нами в 221, 4) выражение, для
отрезка нормали п, то окажется, что
#=-2/7.
Отсюда — построение центра кривизны С, ясное из чертежа.
4) Эвольвента круга:
* = a(cosi-f-£sini). ji = e(sini — icosi)
(черт. 117).
Здесь a = t [221, 6)], так что da = dt. С другой стороны,
jri = aicos£> yt=at sin t, x^-\-yt2 = a42;
отсюда
s\=at, ds = atdt.
Поэтому также получаем просто
R = ~ = at = MB.
di
Таким образом, точка касания В (точка схода нити с круга) и будет
центром кривизны для траектории конца Μ нити.
Геометрическим местом центров кривизны нашей кривой
оказывается исходный круг.
[Здесь мы сталкиваемся с частным осуществлением одного
факта, который в общем виде будет рассмотрен нами ниже,
в 243.]

652 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ |240
5) Логарифмическая спираль: г — ает* (черт. 130).
Имеем r\ = mr, r"# = m*r. Подставляя это в формулу (136),
найдём;
з_
Но /n = ctgo) [223, 3)], так что выражение для R можно написать
в виде
sin ω
а тогда непосредственно из чертежа ясно, что полярный отрезок
нормали Пр — NM. Следовательно, центром кривизны будет точка Ν;
это даёт лёгкий способ построения центра кривизны для
логарифмической спирали.
6) Кардиоида: r = a(l+c°s8) (черт. 131).
Здесь rj=— asiaO, r'g3 = — acos6. Легко подсчитать, что
/•«-fos=:4e2cos*4;
остаётся ещё вычислить
» 9
Гд2 _ гг^ = β2 (1 -f COS 0) — 2й2 C0S8 2 »
а тогда, по формуле (13а), сразу получаем
4 0
/? = -g-ecos-£-.
Вспоминая [223, 4)J выражение полярного отрезка нормали для
кардиоиды, видим, что
7) Лемниската: г"- — 2a*cos326 (черт. 122).
Мы видели в п° 223, 5), что в этом случае я = 36-\-~, так
что da = 3cie. Но тогда по формуле (12) сразу получаем
*=* = з *«=τν г+ Г9"= τηρ = "37 ·
Так как нормаль к лемнискате мы строить умеем, то отсюда
получается и способ построения центра кривизны.
8) Парабола: у2 = 2рх.
Пользуясь здесь методами дифференцирования неявных
функций, найдём последовательно
Уу'х=Р> УУ"х>+Ухг = Ъ> откуда у*у", = — р\

240]
§ 4. КРИВИЗНА
653
Теперь, по формуле (13а),
у"х> ~ *** ~~~=^~ (у> ѵ
Вспоминая [221, 1)], что отрезок нормали п~Ѵуі-)-р\
получаем J- I i- I J
* = -?·
х^ ѵ%
9) Эллипс и гипербола: ——+£— —ι
Дифференцируем это равенство дважды:
— ± — =0, откуда уУл = ^ — ;
далее,
УУх> = +7іУх, или У^ = -^(^^^)^-^.
Как и только что, отсюда
з
**if»' t»*.
Мы имели уже [221, 2)] для этого случая выражение отрезка
нормали:
так что
Известно, что как для эллипса, так и для гиперболы полупа-
раметр ρ выражается так: /> = —. Поэтому и здесь для /?
получается то же окончательное выражение, что и для параболы.
Для всех трёх конических сечений радиус
кривизны оказывается пропорционален кубу
отрезка нормали.
10) В заключение, скажем несколько слов об одном
практическом вопросе, в котором как раз и используется существенно
изменение кривизны вдоль кривой: речь идёт о так
называемых переходных кривых, применяемых при разбивке
железнодорожных закруглений.

654
ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
[241
Как устанавливается в механике, при движении материальной
точки по кривой развивается центробежная сила, величина
которой определяется формулой
R '
где т — масса точки, »— её скорость, a R — радиус кривизны
кривой в рассматриваемой её точке.
Если бы прямолинейная часть железнодорожного пути
непосредственно примыкала к закруглению, разбитому по дуге круга
(черт. 152а), то при переходе на это закругление центробежная
Черт. 152.
сила возникала бы мгновенно, создавая резкий и сильный толчок,
вредный для подвижного состава и для верхнего строения пути.
Для избежания этого прямолинейную часть пути сопрягают с
круговой с помощью некоей переходной кривой (черт. 1526).
Вдоль неб радиус кривизны постепенно убывает от
бесконечного значения — в точке стыка с прямолинейной частью — до
величины радиуса круга — в точке стыка с круговой дугой, и
соответственно этому постепенно нарастает центробежная сила.
В качестве переходной кривой чаще всего используется
кубическая парабола у=^г-, в этом случае, очевидно, имеем
ι χ1
q
так что для радиуса кривизны получается выражение
«-*('+$)*■

241] § 4. кривизна 655
При х = 0 имеем у' = 0 и Я=сю, и наша кривая в начале
координат касается оси χ я имеет нулевую кривизну *.
Иногда в роли переходной кривой применяется и лемниската.
241. Координаты центра кривизны. Выведем теперь
формулы для координат центра кривизны. Будем обозначать
координаты рассматриваемой точки Μ кривой через χ и ѵ,
а координаты отвечающего ей центра кривизны С—через
5 и η.
Радиус кривизны R — MC (черт. 152) лежит на оси —
именно на направленной нормали, которая с осью χ
составляет угол α-j-y. Проектируя отрезок МС поочерёдно на
ось χ и на ось у, по основной теореме теории проекций,
будем иметь
ζ—x — R cos/ a-f- γ) = —# sin a,
η—_y = jRsin ί α4- 4·)=/? cos a.
Отсюда для координат центра кривизны получаем:
ζ = χ—ftsina, irt=y-\-Rco^a. (14)
Используя выведенные нами раньше формулы [239 (12);
237 (7)]
л ds dx . _ dy
R = Ta, cosa = 57, sina = 5?,
только что полученные выражения можно переписать в виде:
s=x-J. ,-,+£. («ι
Если кривая задана параметрическими уравнениями (1),
то, вспомнив выражение (10) для a't, легко преобразовать
формулы (15) следующим образом:
%=х—*> +у>, у·, г1==^-#4г4 об>
ХіУг — ХрУі *(Ур-ХрУ(
Как видим, ς и η здесь выражены в функции от того же
параметра t, что и х, у.
* Методами дифференциального исчисления [128, 129] легко
установить, что выражение для R убывает лишь до x = 0,9i&Vqt
где оно имеет минимум 1,390 j/"?. Только эта часть кривой к
используется на практике.

€56 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [242
В случае кривой, заданной явным уравнением у==/(х),
формулы (16) принимают частный вид:
l-fj/2 1+У2
Z = x iJLy г, = у + —π*-. (16a)
У* Ух'
Формулы (16) можно применить и в том случае, если
кривая задана полярным уравнением r=g{ft), выбирая, как
обычно, за параметр угол 0.
Если сопоставить только что полученные формулы (16а)
с формулами для пограничной точки на нормали, найденными
при решении задачи п° 131 (черт. 62), то убедимся в том,
что упомянутая пограничная точка совпадает с центром
кривизны.
Ещё более важный результат получится, если
сопоставить формулы (16а) и (13а) с формулами (22) и (23) п° 233:
круг кривизны кривой в данной точке есть не что
иное, как соприкасающийся круг. Иными словами [2341,
круг кривизны представляет собой предельное положение
круга, проходящего через три точки кривой, которые
стремятся к совпадению с данной.
Этот результат, конечно, можно было предвидеть: в
случае касания второго порядка между данной кривой и
окружностью, ордината у и две её производные у'х и у'£
имеют в данной точке одни и те же значения для обеих
кривых, так что для них совпадают в этой точке
направления вогнутости и величины кривизны, зависящие
только от упомянутых производных.
242. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание
эволюты. Если точка М(х, у) перемещается вдоль данной
кривой, то соответствующий ей центр кривизны С (ζ, η),
вообще говоря, также описывает некоторую кривую. Гео-
метрическое место центров кривизны данной кривой
называется её эволютой. Обратно, исходная кривая по
отношению к своей эволюте называется её эво ль вен-
то й.
Формулы (16) или (16а) предыдущего п°, выражающие
координаты ζ, η центра кривизны С через параметр t (или л:),
можно рассматривать как уже готовые параметрические
уравнения эволюты. Иногда представляется выгодным

2421
§ 4. КРИВИЗНА
657
исключить из них параметр и выразить эволюту неявным
уравнением
Примеры: 1) Найти эволюту параболы у2 = 2рх.
Пользуясь полученными выше [240, 8)] результатами:
УУХ=Р> УгУх>=-Ръ>
по формулам (16а) находим координаты центра кривизны;
\ = Х-уух -j, = x+S-^-£-=$x+p=—+p,
УУл
Ρ*
Итак, -параметрические уравнения эволюты параболы (где у —
в роли параметра) будут
Исключая из этих уравнений у, получим
? = %$-р),
1/3 = — я!·
*%
откуда, наконец,
Мы видим, что эволютой параболы
является полукубическая парабола (черт.
153).
2) Найти эволюту эллипса х== a cos t,
у = Ь sin ί.
Имеем
лг^ =—β sin t, Xp=-~ a cost, yt = bcost.
Подставляя это в формулы (16), получим
5 = acosi i -ft-. L=—_ccs3i,
a2 - J2 . ..
η = τ— sm» i.
Таково параметрическое представление эволюты эллипса.
Исключив t, получим уравнение этой кривой в неявном виде:
2 2 4
(αί)8+(6η)3
42 Г. М. Фиоте.чгольц
(где сЗ=а*-*3).

658 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [242
Кривая напоминает собой астроиду и получается из неё путём
вытягивания по вертикальному направлению (черт. 154).
Аналогично, но лишь с помощью гиперболических функций
(вместо тригонометрических), и для гиперболы — — jj- = 1
получается эволюта
(βϊ)" -Ы*=с
(где с°' — а^-\- &).
2 2 2
3) Найти эволюту астроиды х' 4-,
ы имели уже в п° 240, 2):
'і —(і)
Подставив это в формулы (16а),
после упрощений получим
і !
ξ = Λ; + 3λ-3 у3 ,
Черт. 154.
n=zy + 3x* у1 .
Из этих уравнений, совместно с
уравнением самой астроиды,
следующим образом можно исключить χ и у:
Li. і 1
ξ + η = (^3 +у* )\ ξ-η = (ΛΓ3 -у3 )»,
■Л? +уа )».
— 1
(ξ + η)4(?-η)3:
2 (л:3 +у3 )=2а
Если повернуть оси координат на 45°, то новые координаты
ξ1( ηι выразятся через старые ζ, η по формулам
так что в новой координатной системе уравнение искомой
эволюты получит вид 2. ί 2
^+Iі3 ==(2a)J.
Мы узнаём в этом снова уравнение астроиды. Таким образом,
эволютой астроиды служит астроида же вдвое больших размеров,
с осями, повёрнутыми по сравнению с прежним на 45° (черт. 155).
4) Найти эволюту циклоиды χ = a (t — sin t), у = а (1 —cos t).
Так как мы знаем [221, 4)], что для циклоиды

243]
§ 4. КРИВИЗНА
659
то удобнее воспользоваться формулами (15). Подставив в них это
значение da, получим
? = a,(i-f-stai), η = — β(1 — cost).
Положив t = r — π, полученные параметрические уравнения
перепишем в виде
ξ = — ха + а{-.— suit), η = —2e-fa(l —cos-).
Отсюда ясно, что эволюта циклоиды е'сть циклоида, кон-
груентная с данной, но смещённая на отрезок ка влево
(параллельно оси х, в отрицательном направлении) и на отрезок 1а
вниз (параллельно оси у, тоже в отрицательном направлении).
Предоставляем читателю убедиться в
том, что эволюта эпи- или гипоциклоиды
также конгруентна с исходной кривой и
получается из неё простым поворотом.
5) Найти эволюту
логарифмической спирали г = д«'лѲ.
Геометрическое построение центра
кривизны, указанное в п° 240, 5),
позволяет с лёгкостью установить его полярные
координаты гг и 61# Именно (см. черт. 130),
гі = л. = г ctg ω = mr,
·+τ·
Черт. 155.
Исключая г и 0 из этих уравнений н уравнения самой спирали,
получим уравнение эволюты
г\ = тае
■ <·.-!)
■ αχέ
mil
Повернув полярную ось на надлежащий угол, можно
отождествить это уравнение с исходным; таким образом, эволюта
логарифмической спирали есть такая же спираль, получающаяся из
исходной поворотом вокруг полюса.
К построению эвольвент для заданной кривой мы
вернёмся после того, как изучим некоторые свойства эволют и
эвольвент.
243. Свойства эволют и эвольвент. Мы имели
параметрическое представление эвольвенты в виде
ζ = χ — Я sin a, vj =^-f-/? cos a, (14)
считая х, у, R, а функциями от параметра. Предположим
теперь существование (непрерывных) третьих производных
42*

660 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [243
от χ и у по параметру*; тогда выражение (14) можно
продифференцировать:
dl = dx — R cos a da — dR sin a,
β'η = dy — R sin a da -\- dR cos a.
Принимая во внимание, что
R cos ada--
R sin a da -
окончательно получим
ds=—sin a. dR, drt = cos a dR. (17)
Ограничимся теперь рассмотрением такого участка
кривой, на котором R не обращается ни в нуль, ни в
бесконечность и, кроме того, dR не обращается в нуль. Этим
исключена возможность особых точек как на данной кривой,
так и ,на её эволюте. Так как dR^=0, то радиус кривизны R
изменяется монотонно: либо возрастает, либо убывает.
Деля одну на другую формулы (17), найдём:
(іті , 11
-^-ctga^-— = -■^-,
dx
так что угловые коэффициенты касательных к эволюте и к
эвольвенте обратны по величине и по знаку, а сами
касательные — взаимно .перпендикулярны. Итак:
1° Нормаль к эвольвенте служит, (в центре кривизны)
касательной к эволюте.
Визьмём семейство нормалей к эвольвенте; оно зависит
от одного параметра (например, от того, которым
определяется положение точки на данной кривой). Из доказанного
ясно, что эволюта является огибающей для этого
семейства нормалей.
Для упражнения предлагаем читателю убедиться в этом
же другим путём: исходя из уравнения нормалей
(X—x)x'i + (Y—y)y't=0
* Напомним, что в R уже входят вторые производные.
dsdx
ά~ι ds
da = dx,
dsdv , ,
■jatsda = dy,

243]
§ 4. КРИВИЗНА
661
(где. параметр t содержится в х, у, x't, у'), методами п° 228
найти огибающую и установить её совпадение с эволютой
(16). Можно доказать также, что центр кривизны есть
характеристическая точка на нормали, т. е. предельное
положение точки пересечения данной нормали с бесконечно
близкой к ней.
Перейдём теперь к рассмотрению дуги σ на эволюте.
Возводя равенства (17) в квадрат и складывая, найдём —
с учётом формулы (3) п° 235 для дифференциала дуги —
d<fl = dP + drf = dR*,
откуда
d<s=±dR (18)
или (ведь dR^=0)
Так как это отношение есть непрерывная функция
от параметра, которая не может перескакивать от
значения — 1 к значению -j-1 (не проходя промежуточных
значений), то она на всём участке равна одному из
этих чисел. Иными словами, в правой части равенства (18)
на всём участке фигурирует один и тот же знак, плюс
или минус.
Знак этот зависит от выбора направления для отсчёта
дуг на эволюте. Если выбрать его так, чтобы дуга σ
возрастала вместе с радиусом кривизны R, το в формуле (18)
нужно взять плюс; если же дуга о возрастает в том
направлении, которому отвечает убывание R, то будет минус.
Сделаем первое из этих допущений; тогда
dR — da, откуда R — c = c = const., (19)
и мы получаем, что
2° радиус кривизны разнится от дуги эволюты на
величину постоянную.
Таким образом, разность радиусов кривизны в двух
точках эвольвенты равна дуге эволюты между
соответствующими центрами кривизны. Отсюда, между прочим, вытекает
любопытный способ спрямления дуги на эволюте.
Доказанное свойство эволюты допускает изящное
механическое истолкование. Для того чтобы облегчить его

662 гл. ѵп. приложения к геометрии [243
изложение, допустим, что радиус кривизны /?, который (не
обращаясь в 0) сохраняет на вс&м рассматриваемом участке
один и тот же знак, будет везде положительным; этого
можно добиться выбором надлежащего направления для
отсчёта дуг на эвольвенте. Далее, отсчитывая дугу на
эвольвенте от той точки Р, которой отвечает наименьший радиус
кривизны, будем иметь и σ^>0. В этих условиях и постоян-
.г ная с, фигурирующая в
"'__ J __ равенстве (19), также
положительна.
Представим себе
теперь, что на эволюту
навёрнута гибкая
нерастяжимая нить, от конца
Q (черт. 156) к
началу Р; она сходит с
эволюты в начальной точке
Ρ по касательной и
обрывается на расстоянии с от
Ρ в соответствующей
точке А эвольвенты. Станем
нить развёртывать,
сматывая с эволюты, но
сохраняя её в натянутом
состоянии. Пусть QNAi
будет произвольное её
положение; так как NM
больше РА— с как раз
на длину дуги ΡΝ=σ, то ΝΑ1 и есть радиус кривизны R,
т. е. точка Μ лежит на эвольвенте.
Итак: эвольвента может быть описана путём
разворачивания нити, предварительно навёрнутой на эволюту*.
Иначе можно сказать, что эвольвента есть траектория
точки А прямой АР, описываемая ею, когда прямая
катится по эволюте без скольжения.
В заключение, выведем ещё формулу для
кривизны ρ эволюты.
Черт
радиуса
* Отсюда, собственно, ведут своё происхождение и самые
термины эволюта и эвольвента, означающие «развёртка» и
«развёртывающая».

244]
§ 4. КРИВИЗНА
663
Обозначив через β угол, составленный касательной к
эволюте с ссью х, имеем, очевидно:
β = α±γ. так что йф = гіа. (20)
Поэтому [см. (19) и (20)]
Нужно помнить, что эта формула предполагает, что и
растёт вместе с R; в противном случае следовало бы в
правой части поставить минус. Если же считать, что а растёт
вместе с ί, то формулу можно написать в виде
dR
р = Я
ds
(22)
dR
объединяя, таким образом, случай -j->0 (/? возрастает вме-
dR
сте с s) и случай — <^0 (R убывает с возрастанием s).
244. Разыскание эвользеиг. Мы видели, что каждая
эвольвента может быть восстановлена по своей эволюте
с помощью разворачивания навёрнутой на эволюту нити
или—что по существу то же—путём качения прямой по
эволюте (без скольжения). Докажем теперь обратное
утверждение; если прямая катится (без скольжения) по данной
кривой, то траектория любой её точки служит для
данной кривой эвольвентой. [Таким образом, каждая кривая
имеет бесчисленное множество эвольвент.]
Пусть кривая PN (черт. 157) задана параметрически
уравнениями
ξ = φ(ί), η = φ(ί),
причём φπψ имеют непрерывные производные до второго
порядка; допустим также, что на рассматриваемом участке
кривой нет кратных и вообще особых точек, Дугу а кривой
будем отсчитывать от точки Р.
На касательной в точке Р, направленной в сторону
возрастания дуг, возьмём произвольную точку А, расстояние
которой от Ρ (с учётом знака) обозначим через с, и
проследим её траекторию при качении прямой РА (без скольжения)
по данной кривой. При новом положении прямой, когда точ-

664 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ [244
кой касания станет N, точка Ρ перейдёт в S, а А — в М;
очевидно,
SN—РМ= σ, так что ΝΜ = с — а.
Если координаты точек Ν α Μ обозначить, соответственно,
через (ϊ, η) и (χ, у), а угол между прямой SN и осью χ —
через В, то, проектируя отрезок ΝΜ на оси, нетрудно
получить:
х = £-\-(с — 3)cosB, у = ц-\-(с — o)sin3. (23)
Эти уравнения и дают параметрическое представление
искомой траектории.
Дифференцируя их, найдём
dx = d\ — cos 8 da — (с — a) sin В d},
dy = dr{ — sin °> da-\-(c — a) cos β tfS.
Так как [см. 237 (7)]
cos3=g, sin3=g, (24)

244]
§ 4. КРИВИЗНА
665
то эти результаты упрощаются:
dx = -- (с — a) sin }d$, dy = (c~s) cos β d$.
Исключим случаи, когда d$ = 0 или о = с *; тогда, разделив,
почленно эти формулы, получим
*«-g = -cW—£.
di
Отсюда уже ясно, что касательные к обеим кривым
взаимно перпендикулярны, так что данная кривая действительно
является огибающей для семейства нормалей к построенной
кривой, т. е. её эволютой. Значит, построенная кривая
служит для данной эвольвентой, ч. и тр. д.
Примером получения эвольвенты указанным путём
может служить уже рассмотренная выше эвольвента
круга [215,8); ср. 240, 4)1.
* Им отвечают особые точки на построенной кривой.

ДОПОЛНЕНИЕ.
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ.
245. Случай функции одной переменной. Рассмотрим
функцию f(x), определённую в некотором (конечном или
бесконечном) промежутке 3? или — более обще — в области SC,
состоящей из конечного числа отдельных таких промежутков.
Если функция f(x) непрерывна в £С и имеет в этой
области непрерывные же производные до п-го порядка
включительно (п ^ 1), то говорят, что она в области SC η ρ и-
надлежит классу %п.
Отметим при этом, что если конец какого-либо из
промежутков включён в его состав, то по отношению к этой
точке имеются в виду односторонние
производные *.
Пусть же функция /(х) в некоторой области ££', не
охватывающей всей числовой оси, принадлежит классу g"
(я = 1, 2, 3, . ..). Предположим, что в какой-либо области .#"*,
налегающей на £€, существует функция f'*(x), тоже
класса %п, которая в общей части областей 5£ и Ж*
совпадает с f(x); тогда эта функция /* осуществляет
распространение функции f на ЗС* с сохранением класса.
Всегда ли возможно такое распространение функции на
более широкую область? На этот вопрос отвечает следующая
Теорема. Любую функцию f (χ) класса 4g" (η = 1, 2,3, ...)
в замкнутой ** области X можно распространить на
всю числовую ось %"*=;( — со, -j- ос) с сохранением класса.
Покажем, что здесь распространение осуществляется
просто с помощью целых полиномов. С этой целью
сделаем предварительно следующие замечания.
* Или — что в данных условиях означает то же самое —
предельные значения для производных, при приближении к
названному концу со стороны самого промежутка.
** Т. е. состоящей из одного или нескольких замкнутых
промежутков вида [а, Ь], [а, +оо), ( — оо, 6J.

245] ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 667
Как мы видели в 121, полином η-Ά степени
Я(*) = с0+Й(*-а) + ||(*-а)*+··■ + £,<*--*)" U)
в точке х = а, вместе со своими я произво'дными,
принимает, соответственно, именно значения сй, с,, с2, ..., с .
Пусть, далее, требуется построить такой полином,
который, удовлетворяя попрежнему условиям, относящимся к
точке # = а, кроме того, принимал бы, вместе со своими
η производными, в некоторой другой точке л: = {і наперёд
заданные значения d0, dv d2 dn. Возьмём искомый
полином в виде
/>(*) + (*—«)e+1iW. (2)
где р{х) есть полином (1), а полином и-й степени q(x) ещё
подлежит определению. Как бы ни выбирать q (χ), полином (2)
в точке ϊ=α во всяком случае удовлетворяет поставленным
условиям. Продифференцируем полином (2) последовательно
η раз и подставим в этот полином и его производные * = β;
приравняв полученные выражения, соответственно, άϋ, d,,
d.2 ,..., dn, мы придём к системе линейных уравнений
относительно q($), q'($), 9" (β), ..., 9(η)(β)> из которых эти
значения последовательно и определятся. По ним же, пользуясь
формулой, аналогичной (1), уже нетрудно восстановить q(x).
Обратимся теперь к доказательству высказанного
утверждения. Пусть, в общем случае, область ЗС состоит из
замкнутых промежутков ЗСЧ (ft=l, 2, ..., т), перенумерованных
слева направо. Полагая в этих промежутках функцию /* =/,
дополним её определение следующим образом. Если левый
конец «j промежутка SCX есть конечное число, то для х<^ах
положим /* равной полиному вида (1), при
Аналогично распространяется функция / и направо от Хп1,
если только правый конец Ьт этого промежутка есть
конечное число. Наконец, для промежутка (bk, αΑ+1) (k=.\, 2, ...
..., τη — 1), отделяющего &k от Sk+1, отождествим /*
с таким полиномом, который вместе со своими π
производными в обеих точках x=bkn x = ak+l принимает те же
значения, что и функция / и её производные. Нетрудно
видеть, что определённая так функция /* и осуществляет
требуемое распространение на всю область X* = (—зо, -\- оо).

668
ДОП01НРНИЕ
|246
246. Постановка задачи для двумерного случая.
Положение вещей сразу усложняется при переходе к функциям
нескольких переменных. Мы ограничимся в дальнейшем
случаем функции двух переменных. Результаты, которые для
этого случая будут установлены, переносятся и на общий
случай любого числа переменных.
Мы будем рассматривать области Ж в двумерном
пространстве, разумея под этим либо открытую область,
либо же открытую с присоединением к ней части её
границы S? или же всей границы (в последнем случае область
будет замкнутой).
При распространении на рассматриваемый случай
определения функций класса %п (при η Э* 1) мы сталкиваемся с
своеобразным затруднением. Дело в том, что в точке, лежащей
на границе ££ области, может оказаться просто неприло-
жимым самое определение частной производной того или
иного типа. Например, если область e/fl есть замкнутый круг
χ2~\~У**^ 1' т0 в точках (0, ±1) нельзя говорить о частной
производной по х, ибо при y = zL·^ значению х = 0 нельзя
придать никакого приращения, чтобы сразу же не выйти за
пределы области, где задана функция; аналогично, в точках
(4^1, 0) не имеет смысла частная производная по у.
. Говоря о частной производной (определённого порядка
и типа), непрерывной в области <М, мы условимся в
граничной точке Ма области разуметь под этой производной *
лишь предельное значение, к которому стремится
одноимённая производная, вычисленная во внутренней
точке М, при стремлении Μ к М0 — независимо от того, будет
ли оно на деле играть роль производной или нет.
Из дальнейшего изложения впоследствии выяснится, что
упомянутое предельное значение-— в широком классе
случаев — будет вместе с тем и настоящей производной, если
только положение точки Мй относительно области позволяет
вообще говорить о производной рассматриваемого типа.
Впрочем, для простейшего случая прямоугольной области
мы этот факт установим уже сейчас.
Итак, пусть функция /(х, у) непрерывна вместе со всеми
своими производными, до л-го (п^\) порядка включительно,
в некотором прямоугольнике ο/Ά, и точка Мй(х0, у0) лежит
* Сохраняя при этом для неё обычное обозначение.

246]
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
669
на отрезке прямой у=у0, служащем границей этого
прямоугольника (черт. 158) и входящем в его состав.
Начнём с производной fy> для которой вопрос
исчерпывается просто. По формуле
Уо
Лагранжа [118] отноше
ние приращений
f(Xj>, УО + k) — f(Xg, уй)
k ~
= Λ'(*ο.Λ + βΑ)(ϋ<0<1),
и при k —>■ О стремится имен- ~$
но к предельному
значению fy (х0, уй), которое
таким образом оказывается
смысле [ср. 119].
Что же касается производной f , то соответствующее ей
отношение приращений само может быть рассмотрено как
предел
Черт. 158.
производной в собственном
f{x0-{-h,y0)-f(x0, уа)
h
:lim
А->0
Я*о + *». .Уо + *)—/(-ѵо. Уо+fe)
Но последнее выражение, снова по формуле Лагранжа,
преобразуется к виду
(0<Ѳ<1).
При h—>·0, k—>-0 оно стремится к предельному
значению /'х\хй, Уо)· По теореме же п° 15S, ввиду
существования простого предела при k —>-0, этот двойной
предел служит в то же время и повторным пределом:
/'(*о. >'o)=Um lim
/(■*ο + Λ. Уо+*) — /(-rQ' Уа + k)—.
Λ-сО к-*й "
f{x0+h, y0)—f{x0, у о)
ft
: lim !
л-*о
так что и здесь число f'x{xu, yQ\ определённое лишь как
предельное значение производной, является настоящей
производной.

670
ДОПОЛНЕНИЕ
І247
Сказанное последовательно переносится и на производные
высших порядков.
Итак, заключённое выше условие позволяет теперь
говорить о непрерывных производных в любой области &#, как
бы ни были расположены по отношению к этой области её
граничные точки (включённые в её состав). Функция f(x, у)
принадлежит клмсу 4&п (я 5*1) β двумерной области а/Л
если она в о/ft непрерывна и имеет, непрерывные
же производные всех типов и всех порядков до п-го
включительно. Пусть область Ж не охватывает всей плоскости;
если в какой-либо области <Jt*, налегающей на &#,
существует функция /*, тоже класса <ёп, которая в общей
части областей о# и <Ji* совпадает с /, то мы будем
говорить, что она даёт распространение функции f на α,/ί*,
с сохранением класса.
Естественно и здесь поставить вопрос: всегда ли возможно
такое распространение на более широкую область, в
частности, на всю плоскость? Как мы покажем, на этот вопрос
для замкнутой области оМ можно ответить утвердительно,
если только её контур удовлетворяет некоторым простым
условиям.
Результаты эти принадлежат американским математикам
Уитнею (Н. Whitney) и Хестинсу (М. R. Hestenes).
247. Вспомогательные предложения. Для облегчения
доказательства основной теоремы установим предварительно
некоторые леммы.
Лемма I. Пусть функция φ (и, ѵ) будет класса %п {п ~^ 1)
в области S*, определяемой неравенствами *
а<^и<^Ь, 0==£·ε/<Δ.
Тогда существует распространение φ* функции 'о, с
сохранением класса, на весь прямоугольник
9** = (а, Ь; — Δ, Δ).
Определим л-}-1 чисел \, λ2, ... ., λ„ + 1 из следующей
системы я -J- 1 линейных уравнений:
(-ιϊ^+(-ϊ)4+..· + (-ϊψϊ)\+Ι = ι О)
(ft = 0, 1, 2, ..., η).
* Открытый промежуток (а, Ь) может быть и бесконечным;
точно так же и положительное число Δ может равняться -f- оо.

2471 ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 671
Выполнить это можно, так как определителем системы является
так называемый определитель Вандермонда для неравных
между собою чисел — 1, — —, ..., ___ который, как
известно, отличен от 0.
Определим теперь в Э>* функцию φ* {α, ѵ), полагая
ψ* {и, ν)=ψ(α, ν) для и>0и
φ*(«, ν) = \<ρ(α, —ν)-\-\2γ (и, — -^ f)-j- ...
для*<0. •••+W<p(".-;Tfi*') <*>
Если а0 есть произвольное значение и из {а, Ь), то прежде
всего
1іт<р*(и, *).:=(λ14-λί4-...-Ηβ + 1)φΚ. °) = Ϋ(αο. °).
Ѵ-+ — 0
в силу первого из условий (3), отвечающего k = 0. Этим
установлена непрерывность функции φ* в тех точках
прямоугольника ^5*, которые лежат на прямой ѵ = 0;
непрерывность её в остальных точках 53* очевидна. Обратимся
теперь к вопросу о существовании и непрерывности
производных функции φ* в 5**; и здесь рассмотрения требуют
лишь точки прямой ѵ~0.
Для всех производных
*+*»*("■ »> (1 <£ + *<») (5)
мы установим предельное равенство
lim *+*?*("» р)_^+*Кяо. 0)^ (6)
С этой целью продифференцируем равенство (4) і раз по «,.
а затем k раз по г» (г»^>0):
ff+y (и, с), ^ #+*?(«. -ρ) ι
<}«»"ор* 1 йа'<?р*

672
ДОПОЛНЕНИЕ
(247
и перейдём к пределу при и—*-а0 и ν—>- — 0. В результате,
в силу равенства (3), мы и получим (6).
Таким образом, существование единого предельного
значения для любой производной (5) как со стороны ν ^> 0,
так и со стороны ν <^ 0 — обеспечено. Больше того, если за
значение производной (5) в точках прямой ©=0 принять это
её предельное значение, то получится непрерывная
ЕО всём ΖΡ* функция. Но точка (и0, 0) является для ^*
внутренней точкой, и здесь нам нужна была бы производная в
.собственном смысле. В этом отношении мы имеем возможность
сослаться на доказанное в предыдущем п°: упомянутое
предельное значение будет в то же время и настоящей
производной.
Функция φ* и осуществляет искомое распространение
функции φ на 5s*.
Лемма II. Пусть функция f(x, у) будет класса Ч$а в
некоторой открытой области ο/Ά, не охватывающей всей
плоскости $*. Если каждую точку границы S этой области
можно окружить окрестностью, в пределах которой
допустимо распространение функции f с сохранением кллсса,
то такое распространение возможно и на всю плоскость $.
Для любой точки Μ замкнутой области в£=е$ -\- J£
найдётся** либо окрестность, в которой функция/определена
и принадлежит классу g", либо же окрестность, на которую /
может быть распространена с сохранением класса. Эту
окрестность можно взять, например, в виде открытого круга
а = ЭС{М, Зг) с центром Μ и радиусом Зг. Таким образом,
вся замкнутая область а$ покрывается не только системой
2, состоящей из этих кругов σ, но и системой Σ, состоящей
из кругов а = 9С(М, г) с втрое меньшими радиусами.
Если область а$, а с нею и а£ ограничены, то к данному
случаю применима лемма Б о ре л я [165], я е£ покроется
конечной системой
* Мы не предполагаем этой области даже связной и — пока —
ничего не говорим о виде её границы.
** В зависимости от того, принадлежит ли Μ открытой
области а£ или её границе if.

247] ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 673
извлечённой из Σ. В противном же случае, описав вокруг
начала радиусами 1,2,3, ..., k, ... концентрические
окружности и применяя лемму Боре л я к частям области а£,
содержащимся между двумя соседними такими окружностями,
мы построим покрывающую всю область а£
последовательность кругов
Σ*={σ,, σ„ ..., σ„ ...}.
Здесь
ei = X(Mlt rt) (/ = 1,2,3,...);
одновременно будем рассматривать и круги
σ;=9ϋ(Λί„ Щ, cTt = X(Mlt Ъг{).
При этом, уменьшая в случае надобности радиусы
первоначально взятых кругов, можно добиться того, чтобы к а-
ждая точка плоскости <§, если она вообще пр.інадлежит
каким-либо из кругов а'г содержалась (даже вместе
с некоторой своей окрестностью) лишь в
конечном числе этих кругов о'..
Легко построить функцию ki{M) = hi(x, у), класса g"
в $, такую, что
ht{M) = 0 в с, и А,(Ж) = 1 в І — а1.
(/=1, 2, 3, ...).
Можно, например, определить — методами п°245 — функцию
h(t) класса ga во всём промежутке —оо <^ t <^ -\- со так,
чтобы было
h(t) = Q для ί<1 и h(i)=l для *>2,
а затем положить
hi{M) = h{-^}.
С помощью функций hl составим функции
//, = //, (Λί)=1—Α1,
M, = Hi(M)=h1ht...hl_x{l—hl) (і>1);
они также принадлежат классу g" в £. Очевидно,
#,= 0 в и, (для всех/>/), (7)
//, = 0 в «g — 0;, (8)
43 Г. Μ. Фнхтенгольц

674
ДОПОЛНЕНИЕ
1248
ибо в о; обращается в нуль множитель he, а в £ — з' —
множитель 1 — h(.B связи с подчёркнутым выше, из (8) явствует,
что в каждой точке ^ (вместе с её
непосредственной окрестностью) лишь конечное число
функций Ht может быть отлично от 0. Далее,
так как
/*, + /*,+ ...+Я/ = (1-ЙI) + Л1(1-А8) + ...
. ..+Α1Αϊ...Αί_1(1 — ht) = \ —hxht.. .Λ,,
то
/^ + //,+ ...+//,= 1 в σ„ (9)
потому что там обращается в нуль множитель ht.
Пусть теперь φ, в oj совпадает с функцией / или с её
распространением, о котором упоминалось выше, а вне о", пусть
<£,=/ в точках <sS и =0 в прочих точках. Функция ψ1Ηί
обращается в нуль в £— а^ [см. (8)] и, очевидно, во всей
плоскости £ принадлежит классу 4βΛ. Положим, наконец, во
всех точках £ ,„ .^ „
причём всякий раз сумма распространяется на те значения/,
при которых соответствующие слагаемые отличны от нуля.
Так как в каждой точке, даже вместе с некоторой её
окрестностью, лишь конечное число произведений вида у>Н.
может быть отлично от нуля, то этим равенством функция /*,
действительно, определяется во всей плоскости и притом
оказывается функцией класса %п.
Возьмём любую точку Μ из aS; она принадлежит
некоторому кругу аг. Так как все <fj(Μ) =/(Μ) и, кроме того,
в этой точке [ввиду (9) и (7)]
#, + #,,+ ...+Я,= 1, а Н/ = ° для J>1>
то f*(M)=f{M). Таким образом, функция /* и есть искомая.
248. Основная теорема о распространении. Теперь мы
в состоянии доказать и для случая функции двух переменных
теорему о распространении, но налагая ограничения на
контур области.
Условимся называть гладкой кривой класса <ё" (л^I)
кривую без кратных и особых точек, выражаемую уравне-

248І ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 675
ниями
* = <р(0, y=$(t), (Ю)
где t изменяется в некотором промежутке <£Г, в
предположении, что функции φ, tl> принадлежат в этом промежутке
классу %п. При этом мы не исключаем для кривой
возможности простираться в бесконечность; бесконечным может
Сыть и промежуток <§"'.
Теорема 1. Если функция f(x, у) принадлежит
классу <ёп (п ^ 1) в замкнутой области с£, контур которой 3?
состоит из одной или нескольких (непересекающихся)
гладких кривых, тоже класса #л, то эта функция может
быть распространена на всю плоскость $ с сохранением
класса.
Пусть Μ0(χϋ, у0) есть произвольная точка контура «£?;
для простоты будем считать х0=у0 = 0. Эта точка лежит
на одной из кривых, входящих в состав J^, и является
обыкновенной её точкой. В таком случае, без умаления
общности, можно допустить, что в окрестности точки /И0 кривая
выражается явным уравнением y = g(x), где g—также
класса %п, и что область <Ж лежит вверх от неё, т. е.
(вблизи М0) определяется неравенством у ^ g(x) (черт. 159а).
«а
т&
ЧШ«*
Л
у=дт
t&
'<2~-ΰ
Черт. 159.
Произведём преобразование переменных, полагая
х = и, y = g(u)-\-v<
Функция f(x, у) при этом перейдёт в функцию
φ {и, V) = f{u, £(й)-И).
которая оказывается класса %п вблизи точки а = і) = 0,
именно, для flSsO (черт. 1595). Тогда, по лемме 1, функ-
44 г. М. Фихтенгольц

676
ДОПОЛНЕНИЕ
[249
цию ψ можно распространить с сохранением класса и на
значения ѵ<^0 (всё время ограничивалась точками, достаточно
близкими к начальной). Если это распространение
осуществляется функцией φ* (α, ѵ), то, возвращаясь к старым
переменным, легко видеть, что функция
/*(*> y) = f*{x, У —Six))
даёт распространение функции / на некоторую окрестность
точки М0.
На основании леммы II мы можем заключить теперь, что
функция /, действительно, допускает распространение, с
сохранением класса, на всю плоскость β.
249. Обобщение. Однако, полученный результат для
практических надобностей всё же недостаточен, поскольку часто
приходится иметь дело с. областями, контуры которых имеют
«угловые точки». Условимся
кривую, состоящую из нескольких
гладких дуг, примыкающих одна к
другой под углами (не равными
ни 0, ни π), называть кусочно-
гладкой. Мы будем называть её
^кгГѵ.. кусочно-гладкой кривой класса
„ 160 <ёп, если каждая из составляющих
ер ' гладких дуг будет класса <&п.
Теорема 2. Заключение теоремы 1 сохраняется, если
контур J? области <S состоит из одной или нескольких
непересекающихся к у сочно-гладких к ρ и вы χ
класса <ёа.
Мы уже видели, что любую точку контура £?, не
являющуюся угловой, можно окружить окрестностью, в пределах
которой допустимо распространение функции / с сохранением
класса. Докажем теперь то Же относительно угловой точки
М0(х0, у0).
И здесь снова можно принять лг0=^0 = 0; можно, не
нарушая общности, предположить также, что смыкающиеся
в начале дуги имеют в этой точке касательные, из которых
одна совпадает с положительной частью оси х, а другая
идёт к ней под углом (черт. 160). В таком случае в
достаточной близости к началу эти дуги выражаются, соответ-

2*9j ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 677
ственно, уравнениями
y=g{x) и x = h(y),
причём g' (0) = 0; функции g и h принадлежат обе классу %*.
Прибегнем к замене переменных
x = u-\-h{v), y = g(a)-\-v.
Так как якобиан этих функций
1 h'(v)
11)
7 =
= 1— g'(u)k'(v)
в точке ц = © = 0 обращается в 1, то системами) в
окрестности нулевых значений всех аргументов допускает
однозначное обращение:
и = 1(х, у), ν = μ(χ, у), (Щ
причём функции )., μ также оказываются класса g" [199].
При ѵ = 0 и к^О из (11) получаем y = g(x) и лг^О,
так что положительной части оси и отвечает первая из
названных дуг;
аналогично убеждаемся в том,
что положительной
части оси ν отвечает
вторая из дуг.
Очевидно, при этом
преобразовании два
угловых пространства,
на которые этими
дугами делится
окрестность начальной точки
на плоскости ху, отвечают тем двум — «входящему» и-
«выходящему»—прямым углам, на которые положительными
частями осей а к ν делится на плоскости иѵ окрестность
начальной точки (черт. 161, а и б).
Подставляя в функцию / выражения (11), получим
преобразованную функцию
φ (α, о)=Я»4-*(«). £(«) + «).
определённую и принадлежащую классу %п в том или
другом — смотря по случаю — из упомянутых только что прямых
углов.
44*
Черт. 161.

578
ДОПОЛНЕНИЕ
(250
Если речь идёт о «выходящем» угле (черт. 161а), то, по
лемме I, сначала функцию φ распространяют на IѴ-Й
координатный угол, а затем полученную функцию (меняя роли
■и и ѵ) распространяют уже на II-й и Ш-й углы, т. е. на
полную окрестность начала.
Сложнее обстоит дело, если речь идёт о «входящем»
угле (черт. 1616). В этом случае поступают так. Прежде
всего, опираясь на лемму I (но меняя знак и),
распространяют функцию φ с левой полуплоскости на правую * и
получают, таким образом, функцию φ,—в полной
окрестности начала. Затем рассматривают функцию ф=а> — ψ1 в
нижней полуплоскости и, пользуясь указанным при
доказательстве леммы 1 методом^ распространяют её на
верхнюю полуплоскость, что даёт функцию ф,— уже в полной
окрестности начала. Но в Ш-м угле фг = Ф = φ — ιρ1 = 0,
а тогда, по самому характеру упомянутого метода, ясно,
что ψ1 = 0 и во 11-м угле. Если положить теперь в окрестности
начала φ* = ψ1-[-φ1, то во II-м и Ш-м углах d>j = 0 и tp, —φ,
так что и φ* = <ρ, а в IѴ-м угле cf», = с|> == ср — φ^ и опять-
таки φ* = (φ — <Рі)-|-<рі =?· Таким образом, построенная
функция ψ* даёт распространение φ на полную окрестность
начала.
С помощью обратного преобразования (12) к старым
переменным получается и распространение
/*(*, у)=ч*(\(х, у), μ(χ, у))
функции /.
Доказательство завершается, как и в теореме I, ссылкой
на лемму II.
250. Заключительные замечания. Доказанная теорема
о распространении функций имеет многообразные
приложения. Мы ограничимся здесь указанием на обобщение с её
помощью ряда локальн ых, т.е. связанных с окрестностью
определённой точки, формул и теорем анализа—на
случай, когда упомянутая точка лежит на границе
рассматриваемой области, а не внутри неё, как обычно
предполагается.
Пусть, например, в замкнутой области aft, ограниченной
контуром Л? (рассмотренного выше типа), определена функция
* Всё время имея в виду лишь точки, близлежащие к началу.

250) ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 679
*—/(*> У), непрерывная вместе со своими производными
fx^f'y ТогДа. если только точка (х0, уй) лежит
внутри а$, имеет место известная [168] формула для
полного приращения функции:
Δ*=/(*ο + Δ*. Л + ДУ) —/(*о. Л) =
= №о. Λ)Δ* + #(*ο. у0)Ьу + аЬ.х-\-$Ьу, (13)
где απβ стремятся к нулю вместе cit и ку.
Рассуждения, приведённые для доказательства этой формулы, вообще
неприложимы, когда точка (х0, у0) оказывается лежащей на
контуре. А между тем формула верна и для этого
случая, если только связать Δ* и А_у условием, чтобы
точка (χα-\-Δχ, у0-\-ку) не выходила за пределы^. В этом
легко убедиться, если написать сначала формулу для
функции /*, дающей распространение / на всю плоскость, а
затем — ограничиваясь, как указано, точками области е$, —
вернуться к исходной функции /.
Во всех случаях, когда в основе умозаключений лежала
формула (13), мы получаем теперь существенное дополнение
к прежним результатам.
Так, при сделанных относительно функции /
предположениях она оказывается дифференцируемой [169] не
только во внутренних точках области е$, но и в точках её
границы. Для поверхности, выражаемой уравнениемz—f(x, у),
мы получаем возможность говорить о касательной
плоскости [170] даже в точках её контура.
На рассмотренной формуле, как мы знаем, основано
также правило дифференцирования сложной
функции [171]. Если функции
χ = ψ(ί), у = Щ (/„<*<Г) (14)
имеют производные и точки (φ(ί), ψ(ί)) лежат все внутри
области а#, то для сложной функции 2τ = /(φ(ί), ψ (ι!)) мы
имели формулу
Теперь она распространяется и на случай, когда «кривая»
(14) подходит вплотную к контуру области а£. И т. д.,
и т. п.

680
ДОПОЛНЕНИЕ
[250
Не входя в подробности, укажем ещё один важный
пример*
Пусть имеем систему функций
x — f{a, ν), y = ty{u, v), (15)
непрерывных вместе со своими производными в некоторой
замкнутой области 51 на плоскости иѵ, с контуром 9ίΤ, и
пусть в некоторой точке (и0, ѵ0) этой области якобиан
/_-Р(т. ♦)
J~D(u,v)
отличен от 0. Если точка (и0, ѵй) лежит внутри S3,
то по теореме IV п° 198 система функций (15) допускает
обращение, так что в окрестности точки (х0, ,ѵ0), где
*о = ¥(«<>> Όο)> Λ = Ψ(κο> «Ό)>
переменные и, ν выражаются однозначными функциями от
переменных х, у:
и = \(х, у), ν = ]ί(χ, у), (15*)
непрерывными вместе со своими производными в упомянутой
окрестности. Таким образом, ограничиваясь значениями к, ѵ,
χ, у, достаточно близкими, соответственно, к ы0, ѵ0, х0, _у0,
можно сказать, что соотношения (15) и (15*) совершенно
равносильны.
Этим мы пользовались, например, при доказательстве
утверждения, что поверхность
лг=<р(а, ν), у=$(и, υ), ζ = χ{ιι, ν),
где (и, ѵ) изменяется в области д*, вблизи её
обыкновенной точки М0 (отвечающей и = и0, ѵ = ѵ0), может
быть выражена явным уравнением [218"|. Но к точкам
контура поверхности наши рассуждения были неприложимы, ибо,
в плоскости иѵ, точка (и0, ѵ0) не могла лежать на контуре 9£
области $*.
Теперь же, воспользовавшись распространениями <р* и ψ*
функций и и d>, мы можем обобщить результат, относящийся

250]
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
681
к обращению системы функций, и на случай, когда точка
(и0, ѵ0) лежит на контуре X. Примыкающей к точке (ий, ѵа)
части области 3* отвечает на плоскости ху некоторая
примыкающая к точке (лг0, уй) область, в пределах которой всё
же обращение допустимо.
Соответственным образом дополняется и упомянутый
геометрический результат.
Приведённых примеров достаточно для того, чтобы
читатель уяснил себе важность доказанных теорем как для
самого математического анализа, так и для его приложений.
Другие примеры применения теорем о распространении
функций читатель найдёт в последующих томах.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Цифры обозначают страницы)
Абсолютная величина 15, 35, 39
Абсолютный экстремум 534
Алгебраическая функция 509
Аналитический способ задания
функции 115, 117
Аналитическое выражение
функции 117
— представление кривых 574,
591
поверхностей 590
Аномалия (эксцентрическая)
планеты 206
Аргумент 114
Арифметическое значение корня
(радикал) 41, 124
— пространство 388
Арксинус, арккосинус и т. д.
131
Архимед 78
Архимеда аксиома 18, 25, 39
Архимедова спираль 585, 604
Асимптота 345
Асимптотическая точка 586, 587
Астроида 579, 583, 601, 625, 650,
658
Барометрическая формула ИЗ
Бернулли лемниската 588, 605,
652, 654
— неравенство 43
— формула 244, 439
Бесконечная десятичная дробь
23
— производная 248
Бесконечно большая величина
63
, классификация 173
, порядок 174
функция 140
Бесконечно малая величина 55
высшего порядка
[обозначение о (а)] 164
, классификация 163
, леммы 67
, порядок 163
, эквивалентность 167
Бесконечность (оо, -j-oo, —да)
29, 64 — 65
Бесконечный промежуток 112,344
— разрыв 344
Бойля-Мариотта закон 113
Больцано 100
— метод 106
Вейерштрасса теорема 104,
414
Коши признак 100, 160
— — теорема 100,161
Борель 213
Бореля лемма 214,420
Варианта 51, 387
— возрастающая
(неубывающая) 85
— , имеющая предел 61
— как функция значка 140
— монотонная 85
— ограниченная 62
— убывающая (невозрастаю-
щая) 85
Вейерштрасса теорема 1-я 207,
217, 417, 422
2-я 208, 418
Больцано теорема 104, 414
Вертикальная асимптота 345
Верхняя граница числового
множества 28
точная 29
Вещественные числа 21

АЛФЛВИТНЫ
Вещественные числа, вычитание
35
, деление 39
, десятичное
приближение 24
, плотность области 23
, равенство 22
, сложение 32
, упорядочение области 21
Вивиани кривая 594, 611
Винтовая линия 595, 611
— поверхность 597, 612
Вложенные промежутки, лемма
98, 100
Внутренняя точка множества
394
Вогнутость 338
Возврата точка 617, 619
Возрастающая варианта 85
— функция 159
Вращения поверхность 597
Высшего порядка бесконечно
малые [обозначение о (а)] 164
дифференциалы 276
функций нескольких
переменных 465
частные 467
производные 265
, общие формулы 267
частные 455
Гармоническое колебание 246
Гаусс 89, 499
Географические координаты 596
Геометрическое истолкование
дифференциала 254
полного дифференциала
434
производной 225
Гипербола 578, 661
— равнобочная 121, 124
Гиперболическая спираль 586,604
Гиперболические синус,
косинус и т. д. 127
— функции, непрерывность 178
обратные 130
, производные 242
Гипоциклоида 582
Главная ветвь (главное
значение) арксинуса, арккосинуса
и т. д. 132, 134
УКАЗАТЕЛЬ 683
Главная часть (главный член)
бесконечно малой 169
Гладкая кривая 674
Горизонтальная асимптота 345
Градиент функции 447
Граница области 395
— числового множества
(верхняя, нижняя) 28
точная 29
График функции 117, 121
, построение 337
пространственный 387
Гюйгенса формула 307
Дарбу теорема 283
Движения уравнение 221
Двойная точка кривой 617
Двойной предел функции 406
Двух переменных функция 383
Дедекинд 19
Дедекинда основная теорема·
27
Действительные числа, см.
Вещественные числа
Декартов лист 580
Десятичное приближение
вещественного числа 26
Десятичные логарифмы 95
Диаметр точечного множества
420
Дирихле функция 119, 122, 182
Дискриминантная кривая 624,
629
Дифференциал 251, 255
— 2-го, 3-го, п-го порядка 276,.
277
— , геометрическое
истолкование 254
— дуги 640
— -, инвариантность формы 257
— полный 433
2-го, 3-го, л-го порядка
455, 465, 466, 467
, геометрическое
истолкование 434
, инвариантность формы
448
, метод вычисления (при
замене переменных) 558
— , применение κ
приближенным вычислениям 259, 449

€84
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
.Дифференциал частный 427, 467
Дифференцирование 255
— параметрическое 280
— , правила 256, 448
Дифференцируемая функция 251,
433
Дифференцируемость неявной
функции 513
Длина дуги 638
Дополнительный член (в
формуле Тэйлора) 292, 300, 472
Дробная рациональная функция
124
, непрерывность 177
нескольких переменных
398
Дуга переменная 639
е (число) 93, 150
—, иррациональность 97
—, приближённое вычисление
95
Единица 15
Зависимые функции 545
Замена переменных 550
Замкнутая область 394
— сфера 392, 395
Замкнутое множество 396
Замкнутый параллелепипед 392,
395
— промежуток 112
— симплекс 392, 395
Заострения точка 617
Затухающее колебание 245, 323
Знаков правило (приумножении)
17, 36
Инвариантность формы
дифференциала 257, 448
Измерение отрезков 46
Изолированная особая точка
кривой 613, 61-6
Иррациональные числа 19, 21
Кантора теорема 212, 218, 418,
423
Кардиоида 583, 588, 605
Касание кривых 620
, порядок 630
Касательная 222, 248, 434, 598,
605, 609, 618
— односторонняя 247
— , отрезок 599
— , — полярный 603
— плоскость 434, 607
— , положительное направление
641, 643
Касательное преобразование 553,
556, 562, 571
Касательный метод
(приближенного решения уравнений)
319
Кассини овал 588
Квадратичная форма 481
— — , наибольшее и
наименьшее значения 543
неопределенная 484
определённая 484
полуопределённая -135
Кеплера уравнение 206
Клапейрона формула 383, 426
Класс гладкой кривой 674
Классификация бесконечно
больших 173
— — малых 163
Классы функций 123
Колебание гармоническое 246
— затухающее 246, 326
— функции 209, 418
Комбинированный метод
(приближённого решения
уравнений) 377
Компрессор 491, 492 ,
Конечных приращений' формула
287, 442 '
Конус 2-го порядка 611
Координатные линии
(поверхности) 594
Координаты л-мерной точки 388
Корень, существование 41
— уравнения, существование
201
Корни функции, нахождение
363
Косинус 126
— гиперболический 127
Косеканс 126
Котангенс 126
— гиперболический 127
Коши 81, 83, 100, 255, 257, 303

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
685
Коши теорема 1-я 198, 216, 412
2-я 202, 414
— форма дополнительного
члена ЗСЗ
— .формула 280
Больцано признак 100, 160
теорема 100, Ϊ61
Кратная точка кривой 577, 593
Кривые, см. соотв. название
— в пространстве 589, 591
— в я-мерном пространстве
390
— на плоскости 574
— переходные 653
Кривизна 644
— , круг 648
— , радиус 647
— средняя 644
— , центр 648, 654
Кронекер 119
Куб л-мерный 392
Кулона закон 334
Лагранж 227, 303, 536
Лагранжа теорема, формѵла 285,
287
— форма дополнительного
члена 303, 472
Лебег 215
Лежандра преобразование 555,
569 571
Лейбниц 227, 255, 278
Лейбница формула 273, 277
Лемниската Бернулли 588, 605,
652, 654
Логарифм, существование 45
Логарифм десятичный 95
— натуральный (или неперов)
94
, переход к десятичным
95
Логарифмическая спираль 586,
604, 659
— функция 126
, непрерывность 186, 205
, производная 230
> функциональная
характеристика 189
Ломаная (в я-мерном
пространстве) 390
Лопиталя правило 351, 357
Маклорена формула 292, 296
Максимум, см. Экстремум
Матрица функциональная (Яко-
би) 506, 545, 547
, ранг 533, 538, 547
Матрицы, умножение 505
Мерэ 51
Минимум, см. Экстремум
Многозначная функция 114, 129,
383, 508, 516
Множество точек замкнутое
396
ограниченное 396
— числовое, ограниченное
сверху, снизу 29
Множители неопределённые,
метод 536
Модуль перехода от
натуральных логарифмов к
десятичным 95
Монотонная варианта 85
—функция 159
, непрерывность, разрывы
184
, условие монотонности
311
η переменных функция 397
я-кратная точка 618
л-кратный предел 406
я-мерная сфера 392, 394
я-мерное пространство 388
л-мерный параллелепипед 391,
394
л-мерный симплекс 392, 395
Наибольшее значение функцян
207, 331
нескольких
переменных 486
Наибольший предел варианты
107
функции 162
Наименьшее значение функции
207, 331
нескольких
переменных 486
Наименьший предел варианты
107
функции 162
Наименьших квадратов метод
498

686
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Наклонная асимптота 346
Наложение функций 136, 398
Натуральный логарифм 94
Независимость функций 544
Независимые переменные 112,382
Неопределённость, раскрытие
75, 351
— вида -· 72, 351
— 73, 351
00
О — сх 74, 360
оо — оо 74, 361
1», 0», оэо, 196, 362
Неопределённые множители,
метод 536
Непер, неперовы логарифмы 94
Непрерывность области
вещественных чисел 27
— прямой 49
— функции в области 412
в промежутке 176
в точке 175, 409
, односторонняя 179
, равномерная 211, 418
Непрерывные функции,
операции над ними 176, 411
, свойства 198, 412—424
, суперпозиция 186, 411
Несобственные числа (точки)
29, 65, 400
Неявные функции 509, 516, 517
, вычисление производных
523
, существование и свойства
510, 513, 516
Нижняя граница числового
множества 28
точная 29
Нормаль к кривой 598
—, отрезок 599
, — полярный 603
поверхности 607, 611
Ньютона метод (приближённого
решения уравнение) 369
Область в я-мерном
пространстве 591
— изменения переменной
(переменных) 114, 383
Область замкнутая 395
— определения функции 114,
384
— открытая 395
— связная 396
Обратная функция 129
, производная 232
, существование 204
Обратные тригонометрические
функции 134
—, непрерывность 186, 205
, производные 233
Обыкновенная" точка (кривой
или поверхности) 575, 576, 594
Овал Кассини 588
Огибающая семейства кривых
621
Ограниченная варианта 62
Ограниченное множество,
точечное 396
—, сверху или снизу, числовое
множество 28
Ограниченность непрерывной
функции, теорема 206, 217,
417, 422
Однозначная функция 114, 383
Однородная функция 452
Односторонние непрерывность
или разрывы функции 179
Односторонняя :асательная-247
— производная 247
высшего порядка 267
Окрестность точки 138
— — л-мерная 392, 393
Определитель, производная 440
— функциональный 501
Особая точка (кривой или
поверхности) 575, 576, 590, 592,
593, 612, 618
изолированная 613
двойная 617
кратная 577, 593, 618
Открытая область 395
— сфера 392, 394
Открытый промежуток 112
— параллелепипед 391, 394
— симплекс 392, 395
Относительная погрешность 260,
450
Относительный экстремум 533,
538-

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
687
Отрезок, измерение 46
— касательной, нормали 599
полярный 603
Оценка погрешностей 262, 450
Парабола 77, 124, 600,- 625, 653,
657
Параболоид вращения 387
— гиперболический 387
Параллелепипед я-мерный 392
бесконечный, конечный 392
Параметр 258
Параметрическое
дифференцирование 280
— представление кривой 259,
576, 585
в пространстве 592
поверхности 592
Пеано форма дополнительного
члена 292
Перегиба точка 339
Переменная 55, 111
— независимая 112, 382, 397
Переменных замена 550
Переместительное свойство
сложения, умножения 13, 15, 33,
37
Перестановка
дифференцирований 459, 462 .
— предельных переходов 407,
461
Переходные кривые 653
Периодическая десятичная дробь
26
Поверхность 387, 589, 591
— вращения 597
Повторный предел функция
нескольких переменных 406
Подкасательная 245, 598
— полярная 603
Поднормаль 598
— полярная 603
Подпоследовательность 102
Пограничная точка 395
Погрешность абсолютная,
относительна 167, 260, 262, 450
Показательная функция 125
, непрерывность 178, 185
, производная 230
—- -1-. функциональная
характеристика 189
Полное приращение функции 428
Полный дифференциал 433, 447,
455, 465, 466, 467
, геометрическая
интерпретация 434
, инвариантность формы 448
, применения к
приближённым вычислениям 449
Полукубическая парабола 578,
627
Полуоткрытый промежуток 112
Полярная подкасательная,
поднормаль 603
Полярное уравнение кривой 585
Полярные координаты 554, 563
Полярный отрезок касательной,
нормали 603
Порядок бесконечно большой
величины 174
малой величины 163, 165,
— дифференциала 276
— касания кривых 630
— производной 265
Последовательность 51
Постоянство функции, условие
308
Правило, см. соотв. название
Предел варианты 53, 56
бесконечный 64
, единственность 63
монотонной 85
— — наибольший, наименьший
107
частичный 103
— отношения 70
— произведения 69
— производной 288
— разности 69
— суммы 69
— функции 138, 142
монотонной 159
наибольший, наименьший
162
— — нескольких переменных
399, 406
—. повторный 406
частичный 162
Предельный, переход в
равенстве, в неравенстве 66
Преобразование Лежандра 555,
569, 574

688
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Преобразование точечное
(плоскости, пространства) 562
Приближённое решение
уравнения 363
Приближённые вычисления,
применения дифференциала 259,
449
Приближённые формулы 168,
171, 259, 303
Приращение переменной 175
.— функции, формула 235
— — нескольких переменных
полное 428
частное 424
Приращений конечных формула
287, 442
Произведение вариант, предел
69, 73
— функций, предел 155, 156
, непрерывность 176, 411
— —, производная и
дифференциал 237, 256, 271, 278, 448
— чисел 15, 35
Производная 224, см. также
название функции
— бесконечная 248
— высшего порядка 265
—, геометрическое истолкование
225
—, несуществование 250
— односторонняя 247
— по заданному направлению
444
— правила вычисления 236
—, разрыв 250
— частная 425
высшего порядка 455
Промежуток 99
— замкнутый, полуоткрытый,
открытый, конечный,
бесконечный 112
Промежуточное значение,
теорема 202
Пропорциональных частей
правило 364, 365
Простая точка (кривой или
поверхности) 577, 593
Пространственный график
функции 387
Пространство и-мерное
(арифметическое) 388
Прямая в «-мерном
пространстве 391
Равномерная непрерывность
функции 211, 418
Радикал, арифметическое
значение 41, 124
Радиус кривизны 648
Разность чисел 13, 35
— вариант и т. д., см. сумма
Разрыв 180
— монотонной функции 185
— обыкновенный, 1-го рода,
2-го рода 180
— производной 250
— функции нескольких
переменных 409
Ранг матрицы 533, 538, 547
Раскрытие неопределённостей75,
351
Распределительное свойство
умножения 17, 39
Распространение функций 666
Расстояние между точками в
я-мерном пространстве 388
Рациональная функция 123
, непрерывность 177
— — нескольких переменных
398, 404, 410
Рациональные числа, вычитание
13
, деление 15
, область 11
, плотность 12
, сложение 13
— —, умножение 15
— —, упорядочение 12
Риман 183
Ролля теорема 283, 284
Роша и Шлёмильха форма
дополнительного члена 302
Связи уравнения 534
Связная область 396
Сгущения точка 138, 139, 140,
395
Секанс 126
Семейство кривых 620
Сечение в числовой области 19,
26

АЛФАВЛТН
Сигнум (функция) 119
Сила тока 226
Сильвестр 482
Симплекс л-мерный 392
Синус 126
— гиперболический 127
—, предел отношения к дуге
146
Синусоида 127
Скорость движения точки 220
— в данный момент 221, 225
— средняя 220
Сложная функция 137, 398
, непрерывность 186, 411
— —, производные и .
дифференциалы 239, 257, 278, 437,
447, 464, 470
Смешанные производные,
теорема 458
Соприкасающаяся кривая 654
— прямая 655
Соприкасающийся круг 655
Сочетательное свойство
сложения, умножения 13, 15, 33, 37
Среднее арифметико-гармониче-
ское 90
— арифметико-геометрическое
89
— гармоническое 89
— геометрическое 90
— значение, теорема 286
, обобщённая теорема 290
Средняя кривизна 645
— скорость 220
Стационарная точка 317, 476
Степенная функция 124
, непрерывность 186, 187
, производная 229
, функциональная
характеристика 191
Степенно-показательное
выражение, предел 195
, производная 244, 439
Степенно-показательная
функция (двух переменных) 398
, предел 404, 405
, непрерывность 410
, дифференцирование 425
Степень с вещественным
показателем 43
Сумма, вариант, предел 69, 74
"л указатель 689
Сумма функций, предел 155, 156·
, непрерывность 176, 411
— , производная и
дифференциал 237, 256, 267, 448
— чисел 13, 32
Суперпозиция функции 136, 398,
411
Сфера 387, 596
— л-мерная 392
Сферические координаты 565
Сходимости принцип 100, 106
Табличный способ задания
функции 116
Тангенс 126
— гиперболический 127
Тело геометрическое 388
Теплоёмкость 226
Точка, см. соотв. название
Точки функции 397
Точная граница (верхняя,
нижняя) 29
Тригонометрические функции 124.
— —, непрерывность 178
, производные 231
Тройная точка 618
Тройной предел 406
Тэйлора формула 290, 292, 471
Убывающая варианта 85
— функция 159
Угловая точка 248
Уитней 670
Улитка 587, 605
Уравнение кривой 121, 259, 574г
684, !594, 592
— поверхности 387, 590, 593
—, приближённое решение 201,
363
—, существование корней 201
Ускорение 225
Ферма теорема 281
Форма квадратичная 481
Формула 115, 117, см. также-
соотв. название
Функциональная зависимость.
112, 382
— матрица 506
Функциональные уравнения 187»
189

690
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-Функциональный определитель
501
Функция 114, см. также
название функции
—, исследование 309
— нескольких переменных 382,
397
— от функции (или от функций)
137, 398
Характеристическая точка на
кривой 628
Хестинс 670
Ход изменения функции 309
Хорд метод приближённого
решения уравнений 366
Целая рациональная функция 123
, непрерывность 177
нескольких переменных
398
— часть числа [Е(р)] 57
Центр кривизны 648, 654
Цепцая линия 245, 577, 650
Циклоида 581, 601, 651
Цилиндр проектирующий 591
Частичная последовательность
102
Частичный предел варианты 103
функции 162
Частная производная 425
Частное вариант, предел 70, 71
— значение функции 115
— приращение 424
Частное функций, предел 155,156
, непрерывность 177, 411
, производная и
дифференциал 238, 256, 448
— чисел 16, 39
Частный дифференциал 427
Чебышев 308
Числа, см. Рациональные,
Иррациональные, Вещественные
числа
Числовая ось 49
— последовательность 51
Шварц 462
Шварца неравенство 389
Шлёмильха и Роша форма
дополнительного члена 302
Штольца теорема 81
Эвольвента 656, 659, 663
— круга 584, 602, 651
Эволюта 656, 659, 663
Эйлер 94
Эйлера формула 454
Эквивалентные бесконечно
малые величины 167
Экстремум (максимум, минимум)
316, 317
—, правила отыскания 318, 325,
328
— собственный, несобственный
317
— функции нескольких
переменных 474, 475
абсолютный 534
относительный 533
Электрическая сеть 496
Элементарные функции 137
, непрерывность 185
, производные 228, 233, 267
Эллипс 578, 600, 626, 653, 657
Эллипсоид 611
Эпициклоида 582, 588, 602
Якоби 425
— матрица 506, 545
— определитель, якобиан 501

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
«ГОСТЕХИЗДАТ»
Москва, Орликов пер., 3
УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ВЫШЛИ В СВЕТ:
Курс математического анализа
для втузов, том I, изд. 3-е, 332 стр.,
цена 11 руб. 50 коп.
Курс математического анализа
для втузов, том II, изд. 3-е, 344 стр.,
цена 12 руб. 50 коп.
Сборник задач по курсу
математического анализа для
втузов, 404 стр., цена 11 руб.
ПЕЧАТАЕТСЯ:
Фихтенгольц Г. М. — Курс дифференциального и
интегрального исчисления, том П.
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
Фихтенгольц Г. М. — Курс дифференциального н
интегрального исчисления, том III.
Бермант А. Ф. —
Бермант А. Ф.—
Берман Г. Н. —

государственное издательство
технико-теоретической литературы
«ГОСТЕХИЗДАТ»
Москва, Орликов пер., 3
ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА ЖУРНАЛ
«УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК*
Ответственный редактор
академик А. Н. КОЛМОГОРОВ.
Журнал выходит 6 раз в год.
Подписная цена 90 руб. в год.
Подписка принимается во всех отделениях
«Союзпечати» и в местных почтовых отделениях.
Продажа производится во всех магазинах
КОГИЗа и нацкнижторгах.

Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциалы!, и интегральи. исчисления, том I
СПИСОК ОПЕЧАТОК
Стран.
219
278
315
335
478
636
Строка
3 св.
6 св.
16 св.
3 св.
2 св.
2 св.
Напечатано
h
d(uv)
Χ
"2
И
4
і
Следует читать
К
d" (uv)
It
Ν)
{χ-If
По чьей
вине
Корр.
Тип.
Кор.
Тип.
Корр.
Тип.