Оглавление
Предисловие
ГЛАВА ПЕРВАЯ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
2. Определение иррационального числа
3. Упорядочение множества вещественных чисел
4. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью
5. Непрерывность множества вещественных чисел
6. Границы числовых множеств
§ 2. Арифметические действия над вещественными числами
8. Симметричные числа. Абсолютная величина
9. Определение и свойства произведения вещественных чисел
§ 3. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
11. Степень с любым вещественным показателем
12. Логарифмы
13. Измерение отрезков
ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
15. Область изменения переменной величины
16. Функциональная зависимость между переменными. Примеры
17. Определение понятия функции
18. Аналитический способ задания функции
19. График функции
20. Функции натурального аргумента
21. Исторические замечания
§ 2. Важнейшие классы функций
23. Понятие обратной функции
24. Обратные тригонометрические функции
25. Суперпозиция функций. Заключительные замечания
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
27. Числовая последовательность
28. Определение предела последовательности
29. Бесконечно малые величины
30. Примеры
31. Бесконечно большие величины
32. Определение предела функции
33. Другое определение предела функции
34. Примеры
35. Односторонние пределы
§ 2. Теоремы о пределах
37. Распространение на случай функции от произвольной, переменной
38. Предельный переход в равенстве и неравенстве
39. Леммы о бесконечно малых
40. Арифметические операции над переменными
41. Неопределенные выражения
42. Распространение на случай функции от произвольной переменной
43. Примеры
§ 3. Монотонная функция
45. Примеры
46. Лемма о вложенных промежутках
47. Предел монотонной функции в общем случае
§ 4. Число е
49. Приближенное вычисление числа е
50. Основная формула для числа е. Натуральные логарифмы
§ 5. Принцип сходимости
52. Условие существования конечного предела для функции от натурального аргумента
53. Условие существования конечного предела для функции любого аргумента
§ 6. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
55. Шкала бесконечно малых
56. Эквивалентные бесконечно малые
57. Выделение главной части
58. Задачи
59. Классификация бесконечно больших
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
60. Определение непрерывности функции в точке
61. Условие непрерывности монотонной функции
62. Арифметические операции над непрерывными функциями
63. Непрерывность элементарных функций
64. Суперпозиция непрерывных функций
65. Вычисление некоторых пределов
66. Степенно-показательные выражения
67. Классификация разрывов. Примеры
§ 2. Свойства непрерывных функций
69. Применение к решению уравнений
70. Теорема о промежуточном значении
71. Существование обратной функции
72. Теорема об ограниченности функции
73. Наибольшее и наименьшее значения функции
74. Понятие равномерной непрерывности
75. Теорема о равномерной непрерывности
ГЛАВА ПЯТАЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
77. Задача о проведении касательной к кривой
78. Определение производной
79. Примеры вычисления производных
80. Производная обратной функции
81. Сводка формул для производных
82. Формула для приращения функции
83. Простейшие правила вычисления производных
84. Производная сложной функции
85. Примеры
86. Односторонние производные
87. Бесконечные производные
88. Дальнейшие примеры особых случаев
§ 2. Дифференциал
90. Связь между дифференцируемостью и существованием производной
91. Основные формулы и правила дифференцирования
92. Инвариантность формы дифференциала
93. Дифференциалы как источник приближенных формул
94. Применение дифференциалов при оценке погрешностей
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
96. Общие формулы для производных любого порядка
97. Формула Лейбница
98. Дифференциалы высших порядков
99. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
101. Теорема Ролля
102. Теорема о конечных приращениях
103. Предел производной
104. Обобщенная теорема о конечных приращениях
§ 2. Формула Тейлора
106. Разложение произвольной функции
107. Другая форма дополнительного члена
108. Приложение полученных формул к элементарным функциям
109. Приближенные формулы. Примеры
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
111. Условие монотонности функции
112. Максимумы и минимумы; необходимые условия
113. Первое правило
114. Второе правило
115. Построение графика функции
116. Примеры
117. Использование высших производных
§ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции
119. Задачи
§ 3. Раскрытие неопределенностей
121. Неопределенности вида
122. Другие виды неопределенностей
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
124. Функции двух переменных и области их определения
125. Арифметическое m-мерное пространство
126. Примеры областей в m-мерном пространстве
127. Общее определение открытой и замкнутой областей
128. Функции m переменных
129. Предел функции нескольких переменных
130. Примеры
131. Повторные пределы
§ 2. Непрерывные функции
133. Операции над непрерывными функциями
134. Теорема об обращении функции в нуль
135. Лемма Больцано - Вейерштрасса
136. Теорема об ограниченности функции
137. Равномерная непрерывность
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
139. Полное приращение функции
140. Производные от сложных функций
141. Примеры
142. Полный дифференциал
144. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
145. Однородные функции
§ 2. Производные и дифференциалы высших порядков
147. Теоремы о смешанных производных
148. Дифференциалы высших порядков
149. Дифференциалы сложных функций
150. Формула Тейлора
§ 3. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
153. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры
154. Задачи
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
156. Интеграл и задача об определении площади
157. Таблица основных интегралов
158. Простейшие правила интегрирования
159. Примеры
160. Интегрирование путем замены переменной
161. Примеры
162. Интегрирование по частям
163. Примеры
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
165. Простые дроби и их интегрирование
166. Интегрирование правильных дробей
167. Метод Остроградского для выделения рациональной части интеграла
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
169. Интегрирование биномиальных дифференциалов
170. Интегрирование выражений вида. Подстановки Эйлера
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции
172. Обзор других случаев
§ 5. Эллиптические интегралы
174. Приведение к канонической форме
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
176. Определение
177. Суммы Дарбу
178. Условие существования интеграла
179. Классы интегрируемых функций
§ 2. Свойства определенных интегралов
181. Свойства, выражаемые равенствами
182. Свойства, выражаемые неравенствами
183. Определенный интеграл как функция верхнего предела
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
185. Основная формула интегрального исчисления
186. Формула замены  переменной в определенном интеграле
187. Интегрирование  по частям в определенном интеграле
188. Формула  Валлиса
§ 4. Приближенное вычисление интегралов
190. Параболическая формула
191. Дополнительные члены приближенных формул
192. Пример
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
194. Аддитивность площади
195. Площадь как предел
196. Выражение площади интегралом
197. Определение понятия объема, его свойства
198. Выражение объема интегралом
§ 2. Длина дуги
200. Леммы
201. Выражение длины дуги интегралом
202. Переменная дуга, ее дифференциал
203. Длина дуги пространственной кривой
§ 3. Вычисление механических и физических величин
205. Площадь поверхности вращения
206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой
207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
208. Механическая работа
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
210. Касательная к плоской кривой
211. Положительное направление касательной
212. Случай пространственной кривой
213. Касательная плоскость к поверхности
§ 2. Кривизна плоской кривой
215. Понятие кривизны
216. Круг кривизны и радиус кривизны
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
218. Метод неделимых
219. Дальнейшее развитие учения о неделимых
220. Нахождение наибольших и наименьших, проведение касательных
221. Проведение касательных с помощью кинематических соображений
222. Взаимная обратность задач проведения касательной и квадратуры
223. Обзор предыдущего
224. Исчисление флюксий
225. Исчисление, обратное исчислению флюксий; квадратуры
226. Ньютоновы «Начала» и зарождение теории пределов
227. Вопросы обоснования у Ньютона
228. Начальные шаги в создании нового исчисления
229. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению
230. Первая печатная работа по интегральному исчислению
231. Дальнейшие работы Лейбница. Создание школы
232. Вопросы обоснования у Лейбница
233. Послесловие
Алфавитный указатель
Текст
                    Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ
основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ I
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ. СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для механико-математических факультетов
государственных университетов и учебного пособия
для физико-математических факультетов
педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 6 8


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 11 ГЛАВА ПЕРВАЯ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА § 1. Множество вещественных чисел и его упорядочение 1. Предварительные замечания 15 2. Определение иррационального числа 16 3. Упорядочение множества вещественных чисел 19 4. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 20 5. Непрерывность множества вещественных чисел 23 6. Границы числовых множеств 24 § 2. Арифметические действия над вещественными числами 7. Определение и свойства суммы вещественных чисел 27 8. Симметричные числа. Абсолютная величина 28 9. Определение и свойства произведения вещественных чисел ... 29 § 3. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 10. Существование корня. Степень с рациональным показателем . . 31 11. Степень с любым вещественным показателем 32 12. Логарифмы 34 13. Измерение отрезков 35 ГЛАВА ВТОРАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Понятие функции 14. Переменная величина 37 15. Область изменения переменной величины 38 16. Функциональная зависимость между переменными. Примеры ... 39 17. Определение понятия функции 40 18. Аналитический способ задания функции 42 19. График функции 44 20. Функции натурального аргумента 46 21. Исторические замечания 48 § 2. Важнейшие классы функций 22. Элементарные функции 49 23. Понятие обратной функции 52 24. Обратные тригонометрические функции 54 25. Суперпозиция функций. Заключительные замечания 57 1*
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. Предел функции 26. Исторические замечания 59 27. Числовая последовательность 59 28. Определение предела последовательности 61 29. Бесконечно малые величины 62 30. Примеры 63 31. Бесконечно большие величины 66 32. Определение предела функции 68 33. Другое определение предела функции 69 34. Примеры 71 35. Односторонние пределы 76 § 2. Теоремы о пределах 36. Свойства функции от натурального аргумента, имеющей конеч¬ ный предел 78 37. Распространение на случай функции от произвольной, пере¬ менной 80 38. Предельный переход в равенстве и неравенстве 81 39. Леммы о бесконечно малых 82 40. Арифметические операции над переменными . . . 84 41. Неопределенные выражения 85 42. Распространение на случай функции от произвольной пере¬ менной 88 43. Примеры 89 § 3. Монотонная функция 44. Предел монотонной функции от натурального аргумента 92 45. Примеры 94 46. Лемма о вложенных промежутках 96 47. Предел монотонной функции в общем случае 97 § 4. Число е 48. Число е как предел последовательности 98 49. Приближенное вычисление числа е 100 50. Основная формула для числа е. Натуральные логарифмы 102 § 5. Принцип сходимости 51. Частичные последовательности 104 52. Условие существования конечного предела для функции от на¬ турального аргумента 106 53. Условие существования конечного предела для функции любого аргумента 108 § 6. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 54. Сравнение бесконечно малых 110 55. Шкала бесконечно малых 111 56. Эквивалентные бесконечно малые 112 57. Выделение главной части 114 58. Задачи Ц4 59. Классификация бесконечно больших 116
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Непрерывность (и разрывы) функции 60. Определение непрерывности функции в точке 117 61. Условие непрерывности монотонной функции 119 62. Арифметические операции над непрерывными функциями .... 120 63. Непрерывность элементарных функций 121 64. Суперпозиция непрерывных функций 123 65. Вычисление некоторых пределов 123 66. Степенно-показательные выражения 125 67. Классификация разрывов. Примеры 126 § 2. Свойства непрерывных функций 68. Теорема об обращении функции в нуль 128 69. Применение к решению уравнений 130 70. Теорема о промежуточном значении 130 71. Существование обратной функции 132 72. Теорема об ограниченности функции 133 73. Наибольшее и наименьшее значения функции 134 74. Понятие равномерной непрерывности 136 75. Теорема о равномерной непрерывности 138 ГЛАВА ПЯТАЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Производная и ее вычисление 76. Задача о вычислении скорости движущейся точки 140 77. Задача о проведении касательной к кривой 142 78. Определение производной 143 79. Примеры вычисления производных 147 80. Производная обратной функции 149 81. Сводка формул для производных 151 82. Формула для приращения функции 152 83. Простейшие правила вычисления производных 153 84. Производная сложной функции 155 85. Примеры 156 86. Односторонние производные 158 87. Бесконечные производные 159 88. Дальнейшие примеры особых случаев 160 § 2. Дифференциал 89. Определение дифференциала 161 90. Связь между дифференцируемостью и существованием произ¬ водной 162 91. Основные формулы и правила дифференцирования 164 92. Инвариантность формы дифференциала 165 93. Дифференциалы как источник приближенных формул 166 94. Применение дифференциалов при оценке погрешностей 167 § 3. Производные и дифференциалы высших порядков 95. Определение производных высших порядков 168 96. Общие формулы для производных любого порядка 170
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 97. Формула Лейбница 172 98. Дифференциалы высших порядков 174 99. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков 175 ГЛАВА ШЕСТАЯ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Теоремы о средних значениях 100. Теорема Ферма 177 101. Теорема Ролля 178 102. Теорема о конечных приращениях 180 103. Предел производной 182 104. Обобщенная теорема о конечных приращениях 182 § 2. Формула Тейлора 105. Формула Тейлора для многочлена 183 106. Разложение произвольной функции 185 107. Другая форма дополнительного члена 188 108. Приложение полученных формул к элементарным функциям . . 190 109. Приближенные формулы. Примеры 192 ГЛАВА СЕДЬМАЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. Изучение хода изменения функции 110. Условие постоянства функции 195 111. Условие монотонности функции 196 112. Максимумы и минимумы; необходимые условия 197 113. Первое правило 199 114. Второе правило 201 115. Построение графика функции 202 116. Примеры 203 117. Использование высших производных 206 § 2. Наибольшее и наименьшее значения функции 118. Разыскание наибольших и наименьших значений 207 119. Задачи 208 § 3. Раскрытие неопределенностей 120. Неопределенности вида 210 121. Неопределенности вида — 212 оо 122. Другие виды неопределенностей 214 ГЛАВА ВОСЬМАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Основные понятия 123. Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . 217 124. Функции двух переменных и области их определения 218 125. Арифметическое m-мерное пространство 220
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 126. Примеры областей в m-мерном пространстве 223 127. Общее определение открытой и замкнутой областей 225 128. Функции т переменных 227 129. Предел функции нескольких переменных 228 130. Примеры 231 131. Повторные пределы 232 § 2. Непрерывные функции 132. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных . . 234 133. Операции над непрерывными функциями 236 134. Теорема об обращении функции в нуль 237 135. Лемма Больцано — Вейерштрасса 239 136. Теорема об ограниченности функции 240 137. Равномерная непрерывность 240 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Производные и дифференциалы функций нескольких пере¬ менных 138. Частные производные 243 139. Полное приращение функции 245 140. Производные от сложных функций 248 141. Примеры 249 142. Полный дифференциал 251 143. Инвариантность формы (первого) дифференциала 253 144. Применение полного дифференциала в приближенных вычисле¬ ниях 255 145. Однородные функции 256 § 2. Производные и дифференциалы высших порядков 146. Производные высших порядков 259 147. Теоремы о смешанных производных 260 148. Дифференциалы высших порядков 263 149. Дифференциалы сложных функций 265 150. Формула Тейлора 266 § 3. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 151. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия 268 152. Исследование стационарных точек (случай двух переменных). . 270 153. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры 274 154. Задачи 276 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычи¬ сления 155. Понятие первообразной функции (и неопределенного инте¬ грала) 279 156. Интеграл и задача об определении- площади 282
8 ОГЛАВЛЕНИЕ 157. Таблица основных интегралов 284 158. Простейшие правила интегрирования 28§ 159. Примеры 287 160. Интегрирование путем замены переменной 289 161. Примеры 291 162. Интегрирование по частям 293 163. Примеры 294 § 2. Интегрирование рациональных выражений 164. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 296 165. Простые дроби и их интегрирование 297 166. Интегрирование правильных дробей 299 167. Метод Остроградского для выделения рациональной части интеграла 301 § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих ради¬ калы 168. Интегрирование выражений вида Щ)** 304 169. Интегрирование биномиальных дифференциалов 306 170. Интегрирование выражений вида /?(*, У ах2 Ьх -\- с). Под¬ становки Эйлера 308 § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометриче¬ ские и показательную функции 171. Интегрирование дифференциалов /? (sin л:, cos л:) 312 172. Обзор других случаев 315 § 5. Эллиптические интегралы 173. Определения 316 174. Приведение к канонической форме 317 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного инте¬ грала 175. Другой подход к задаче о площади 320 176. Определение . 322 177. Суммы Дарбу 323 178. Условие существования интеграла 326 179. Классы интегрируемых функций - 327 § 2. Свойства определенных интегралов 180. Интеграл по ориентированному промежутку 329 181. Свойства, выражаемые равенствами 331 182. Свойства, выражаемые неравенствами 332 183. Определенный интеграл как функция верхнего предела 336 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 184. Вычисление с помощью интегральных сумм 338 185. Основная формула интегрального исчисления 340
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 186. Формула замены переменной в определенном интеграле 341 187. Интегрирование по частям в определенном интеграле 343 188. Формула Валлиса 344 § 4. Приближенное вычисление интегралов 189. Формула трапеций 345 190. Параболическая формула 347 191. Дополнительные члены приближенных формул 349 192. Пример 352 ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Площади и объемы 193. Определение понятия площади. Квадрируемые области 354 194. Аддитивность площади 356 195. Площадь как предел 357 196. Выражение площади интегралом 357 197. Определение понятия объема, его свойства 361 198. Выражение объема интегралом 363 § 2. Длина дуги 199. Определение понятия длины дуги 370 200. Леммы 372 201. Выражение длины дуги интегралом 372 202. Переменная дуга, ее дифференциал 376 203. Длина дуги пространственной кривой 378 § 3. Вычисление механических и физических величин 204. Схема применения определенного интеграла 379 205. Площадь поверхности вращения 382 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. . 384 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры 386 208. Механическая работа 389 ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Касательная и касательная плоскость 209. Аналитическое представление кривых на плоскости 391 210. Касательная к плоской кривой 393 211. Положительное направление касательной. 397 212. Случай пространственной кривой 399 213. Касательная плоскость к поверхности 401 § 2. Кривизна плоской кривой 214. Направление вогнутости, точки перегиба 403 215. Понятие кривизны 405 216. Круг кривизны и радиус кривизны 408
10 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 1. Предыстория дифференциального и интегрального исчи¬ сления 217. XVII век и анализ бесконечно малых 218. Метод неделимых 219. Дальнейшее развитие учения о неделимых 220. Нахождение наибольших и наименьших, проведение каса¬ тельных 221. Проведение касательных с помощью кинематических сообра¬ жений 222. Взаимная обратность задач проведения касательной и квадра¬ туры 223. Обзор предыдущего § 2. Исаак Ньютон (1642—1727) 224. Исчисление флюксий 225. Исчисление, обратное исчислению флюксий; квадратуры 226. Ньютоновы «Начала» и зарождение теории пределов 227. Вопросы обоснования у Ньютона § 3. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) 228. Начальные шаги в создании нового исчисления 229. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению . . 230. Первая печатная работа по интегральному исчислению 231. Дальнейшие работы Лейбница. Создание школы 232. Вопросы обоснования у Лейбница 233. Послесловие Алфавитный указатель 411 411 414 416 418 419 420 421 423 426 427 427 428 430 431 432 433 434
ПРЕДИСЛОВИЕ «Основы математического анализа» задуманы как учебник ана¬ лиза для студентов первого и второго курсов математических отде¬ лений университетов; в соответствии с этим и книга делится на два тома. При составлении ее был широко использован мой трехтомный «Курс дифференциального и интегрального исчисления», но содержа¬ щийся в нем материал подвергся сокращению и переработке в целях приближения книги к официальной программе по математическому анализу и к фактическим возможностям лекционного курса. Мои установки и задачи, которые я перед собой ставил, харак¬ теризуются следующим. 1. Главную свою задачу я видел в систематическом и — по возможности — строгом изложении основ математического анализа. Я считаю изложение материала в логической последовательности обязательным для учебника, для того чтобы перед глазами учащихся знания располагались в определенной системе. Такое построение учебника, впрочем, не исключает возможности для лектора в отдельных случаях — по соображениям педагогическим — отступать от строгой систематичности (а, может быть, даже облегчает ему эту возможность). Я сам, например, в лекционном курсе обычно несколько отодвигаю такие трудные для начинающего вещи, как теория вещественных чисел, принцип сходимости или свойства непре¬ рывных функций. 2. Вместе с тем курс математического анализа не должен пред¬ ставляться учащемуся лишь длинной цепью «определений» и «теорем», но должен служить руководством к действию. Студентов нужно научить применять эти теоремы на практике, помочь им овладеть вычислительным аппаратом анализа. Хотя эта задача в большей мере падает на упражнения по анализу, но и изложение теоретического ма¬ териала я сопровождаю примерами, по необходимости — в небольшом
12 ПРЕДИСЛОВИЕ числе, но подобранными так, чтобы подготовить учащихся к созна¬ тельной работе над упражнениями. 3. Известно, какие замечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как в самой математике, так и в смеж¬ ных областях знания; с этим студенты много раз будут сталкиваться впоследствии. Но самая мысль о связи математического анализа с другими математическими дисциплинами и с потребностями прак¬ тики должна быть усвоена учащимися уже при изучении основ ана¬ лиза. Вот почему везде, где это представляется возможным, я привожу примеры применения анализа не только в геометрии, но и в механике» физике и технике. 4. Вопрос о доведении аналитических выкладок до числа имеет в равной мере принципиальное и прикладное значение. Так как «точное» или «в конечном виде» решение задач анализа возможно лишь в простейших случаях, то приобретает важность ознакомление учащихся с использованием приближенных методов и с составлением приближенных формул. Этому в книге также уделено внимание. 5. Хотелось бы сделать немногие пояснения относительно самого изложения. Прежде всего коснусь понятия предела, которое занимает центральное место среди основных понятий анализа и проходит буквально через весь курс, появляясь притом в различных формах. Последнее обстоятельство выдвигает задачу — установить единство всех разновидностей предела. Это не только принципиально важно, но и практически необходимо, дабы не строить всякий раз наново теории пределов. Для достижения этой цели есть два пути: либо сразу дать самое общее определение предела «направленной пере¬ менной» (например, следуя Шатуновскому и Муру — Смиту), либо же сводить всякий предел к простейшему случаю — пределу перемен¬ ной, пробегающей занумерованную последовательность значений. Первая точка зрения недоступна начинающему, поэтому я остано¬ вился на второй: определение каждого нового вида предела дается, прежде всего, с помощью предела последовательности и лишь затем — «на языке е-8». 6. Отмечу еще одну деталь изложения: во втором томе, говоря о криволинейных и поверхностных интегралах, я провожу различие между криволинейными и поверхностными «интегралами первого типа» (точные аналоги обыкновенного и двойного интегралов по неориенти¬
ПРЕДИСЛОВИЕ 13 рованным областям) и такими же «интегралами второго типа» (где аналогия уже частично исчезает). На опыте я многократно убеждался в том, что такое различение способствует лучшему усвоению и удобно для приложений. 7. В виде небольшого дополнения к программе я включил в книгу краткое ознакомление с эллиптическими интегралами (так часто встречающимися на практике) и в нескольких случаях даю задачи, приводящие именно к эллиптическим интегралам. Пусть этим будет разрушена вредная иллюзия, воспитываемая решением одних лишь простых задач, будто результаты аналитических выкладок непре¬ менно должны быть «элементарными»! 8. В разных местах книги читатель найдет замечания историко¬ математического характера. Кроме того, первый том завершается «Историческим очерком возникновения основных идей математиче¬ ского анализа», а в конце второго тома помещен «Очерк дальней¬ шего развития математического анализа». Конечно, все это вовсе не призвано подменить историю математического анализа, с которой учащиеся ознакомятся впоследствии в общем курсе «истории мате¬ матики». Если в первом из упомянутых очерков затрагивается самый генезис понятий, то исторические замечания имеют целью создать у читателей хотя бы общую ориентацию в хронологии важнейших событий из истории анализа. В тесной связи с только что сказанным, я обращаюсь теперь с предупреждением непосредственно к читателю — учащемуся. Дело в том, что порядок изложения в книге связан с современ¬ ными требованиями к математической строгости, созревавшими в течение длительного времени, и поэтому, естественно, отклоняется от того пути, по которому исторически математический анализ раз¬ вивался. Как говорит Маркс: «.. .историческое развитие всех наук только через множество перекрещивающихся и окольных путей при¬ водит к их действительной исходной точке. В отличие от других архитекторов, наука... возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем она заложила его фундамент» *). С подобным положением вещей читатель столкнется при изу¬ чении анализа с самого же начала: первая глава книги посвящена *) К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения (изд. 1935 г.), т. XII, ч. 1г стр. 44.
14 ПРЕДИСЛОВИЕ «вещественным числам», третья — «теории пределов», и лишь с пятой главы начинается систематическое изложение дифференциального и интегрального исчисления. Исторически же порядок был как раз обратным: дифференциальное и интегральное исчисление зародилось в XVII веке и развивалось в XVIII веке, находя себе многочисленные и важные приложения; теория пределов стала фундаментом для мате¬ матического анализа в начале XIX века, а лишь во второй его поло¬ вине была создана отчетливая концепция вещественного числа, обо¬ сновывающая наиболее тонкие положения самой теории пределов. Эта книга подытоживает мой многолетний опыт преподавания математического анализа в Ленинградском университете. Да будет она полезна советской молодежи! Г. М. Фихтенгольц
ГЛАВА ПЕРВАЯ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА § 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 1. Предварительные замечания. Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же время уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональ¬ ных чисел не существует зачастую корней даже из целых положи¬ тельных (натуральных) чисел, например У~ 2, т. е. нет такой рацио¬ нальной дроби —, где р и q — натуральные числа, квадрат кото- Я рой был бы равен 2. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует кратимой, т. е. р и q лишенными общих множителей. Так как p2 = 2q*, то р есть число четное: р = 2г (г — целое) и, следовательно, q — нечетное. Подставляя вместо р его выражение, найдем <уа = 2г2, откуда следует, что q — четное число. Полученное противоречие дока¬ зывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не может иметь рациональной длины —, ибо в противном случае по теореме Пифагора Я квадрат этой длины был бы равен 2, что, как мы видели, невозможно. В настоящей главе мы ставим себе задачей расширить область рациональных чисел, присоединив к ним числа новой природы — иррациональные. В математической практике иррациональные числа фактически начинают появляться — под видом выражений, содержащих радикалы, — еще в средние века, но настоящими числами их не считали. В XVII веке метод коор¬ динат, созданный Декартом *), с новой силой поднял вопрос о численном *) Рене Декарт (1596—1650) —знаменитый французский философ и ученый. такая дробь Мы вправе считать эту дробь несо-
16 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 12 выражении геометрических величин. Под влиянием этого постепенно стала созревать идея о равноправии иррациональных и рациональных чисел; она нашла себе окончательную формулировку в определении (положительного) числа, которое дал Ньютон*) в своей «Всеобщей арифметике» (1707)**): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвле¬ ченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». При этом целые и дробные числа выражают величины, соизмеримые с единицей, а иррациональные — несоизмеримые с единицей. Математический анализ, зародившийся в XVII веке и бурно развивавшийся в течение всего XVIII века, долго довольствовался этим определением, не¬ смотря на то, что оно было чуждо арифметике и оставляло в тени важней¬ шее свойство расширенной числовой области — ее непрерывность (см. ниже п° 5). Критическое направление в математике, которое возникло в конце XVIII и в начале XIX века, выдвинуло требование точного определения основных понятий анализа и строгого доказательства его основных положе¬ ний. Это, в свою очередь, скоро сделало необходимым построение логически безупречной теории иррациональных чисел на основе чисто арифметического их определения. В семидесятых годах прошлого столетия было создано не¬ сколько таких теорий, различных по форме, но по существу равносильных. Все они определяют иррациональное число, ставя его в связь с тем или другим бесконечным множеством рациональных чисел. 2. Определение иррационального числа. Мы изложим теорию иррациональных чисел, следуя Дедекинду ***). В основе этой тео¬ рии лежит понятие о сечении в области рациональных чисел. Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых (т. е. действительно содержащих хоть по одному числу) множества Ау Аг\ иными словами, мы предполагаем, что: 1°. Каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно из множеств А или А'. Мы будем называть такое разбиение сечением, если выпол¬ няется еще условие: 2°. Каждое число а множества А меньше каждого числа d множества А\ Множество А называется нижним классом сечения, множе¬ ство АТ — верхним классом. Сечение будем обозначать А | А\ Из определения сечения следует, что всякое рациональное число, меньшее числа а нижнего класса, также принадлежит нижнему классу. Аналогично всякое рациональное число, большее числа d верхнего класса, и само принадлежит верхнему классу. Примеры. 1) Определим А как множество всех рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству а<^ 1, а к множеству Л'отне¬ сем все числа а', для которых d^ 1. *) Исаак Ньютон (1642—1727) — величайший английский физик и математик. **) Имеется русский перевод: «Всеобщая арифметика или книга об ариф¬ метических синтезе и анализе» (АН СССР, 1948); см. стр. 8. ***) Рихард Дедекинд (1831—1916) — немецкий математик.
2) § 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 17 Легко проверить, что таким образом мы действительно получим сечение. Число единица принадлежит классу Аг и является, очевидно, в нем наименьшим числом. С другой стороны, нет наибольшего числа в классе А, так как, какое бы число а из А мы ни взяли, всегда можно указать рациональное число а1у лежащее между ним и еди¬ ницей, следовательно, ббльшее а и тоже принадлежащее классу Л. 2) К нижнему классу А отнесем все рациональные числа а, мень¬ шие или равные единице: 1; к верхнему — рациональные числа а', большие единицы: а'^> 1. Это также будет сечение, причем здесь в верхнем классе нет наименьшего числа, а в нижнем есть наибольшее (именно, единица). 3) Отнесем к классу А все положительные рациональные числа а, для которых аг<^2, число нуль и все отрицательные рациональные числа, а к классу Ат — все положительные рациональные числа а\ для которых а'2 2. Как легко убедиться, мы опять получили сечение. Здесь ни в классе А нет наибольшего числа, ни в классе Af — наименьшего. Докажем, например, первое из этих утверждений (второе доказы¬ вается аналогично). Пусть а — любое положительное число класса А, тогда 2. Покажем, что можно подобрать такое целое положи¬ тельное пу что (а+^) <2> так что и число я + будет принадлежать классу Л. Это неравенство равносильно таким: в»+ 2®-{--^<2, I п 1 п2 ^ * “ + т<2 — а\ п 1 п2 ^ Последнее неравенство и подавно будет выполнено, если п удо- “I"* 1 о влетворит неравенству —^— <[2 — аа, для чего достаточно взять П'>2—а2' Итак, каково бы ни было положительное число а из класса Л, в этом же классе А найдется большее его число; так как для чисел а^О это утверждение непосредственно очевидно, то никакое число класса А не является в нем наибольшим. Легко понять, что не может существовать сечение, для кото- рого одновременно в нижнем классе нашлось бы наибольшее число а0, а в верхнем классе — наименьшее а\. Пусть, в самом деле, такое сечение существует. Возьмем тогда любое рациональное число с,
18 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [2 заключающееся между а0 и а', а0<^с<^а'0. Число с не может принадлежать классу А, ибо иначе а0 не было бы наименьшим числом в этом классе, и по аналогичной причине с не может принадлежать классу А', а это противоречит свойству 1° сечения, входящему в определение этого понятия. Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстри¬ руемых как раз примерами 1), 2), 3): 1) либо в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе А' есть наименьшее число г; 2) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г, а в верх¬ нем классе Ат нет наименьшего; 3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе — наименьшего. В первых двух случаях мы говорим, что сечение произво¬ дится рациональным числом г (которое является пограничным между классами А и А') или что сечение определяет рациональное число г. В примерах 1), 2) таким числом г была единица. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. Введем теперь новые объекты — иррациональные числа, условившись говорить, что всякое сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное кисло а. Это число а заменяет недостающее пограничное число, мы как бы вставляем его между всеми числами а класса Л и всеми числами а' класса А'. В примере 3) это вновь созданное число, как легко дога¬ даться, и будет У2. Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обо¬ значений *), мы неизменно будем связывать иррациональное число а с тем сечением А | А' в области рациональных чисел, которбе его определяет. Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу г. Но для каждого числа г суще¬ ствуют два определяющих его сечения: в обоих случаях числа а<^г относятся к нижнему классу, числа же а!^>г — к верхнему, но само число г можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда г там будет наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число г, включать это число в верх¬ ний класс. Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных (или действительных) чисел. Понятие веще¬ *) Речь идет о конечных обозначениях; со своего рода бесконеч¬ ными обозначениями иррациональных чисел читатель познакомится в п° 4. Чаще всего индивидуально заданные иррациональные числа обозначают в за¬ висимости от их происхождения и роли: Y 2, log 5, sin 10° и т. п.
3] § 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 19 ственного числа является одним из основных понятий математического анализа, как и всей математики вообще. 3. Упорядочение множества вещественных чисел. Два ирра¬ циональных числа а и р, определяемых, соответственно, сече¬ ниями А\ А! и В\В>, считаются равными в том и только в том случае, если эти сечения тождественны; впрочем, достаточно потребовать совпадения нижних классов А и В, ибо верхние классы А' и ВТ тогда совпадут сами собой. Это определение можно сохранить и в случае, когда числа аир рациональны. Иными словами, если два рациональных числа а и р равны, то определяющие их сече¬ ния совпадают, и, обратно, из совпадения сечений вытекает равенство чисел аир. При этом, разумеется, следует учесть усло¬ вие, заключенное выше насчет рациональных чисел. Перейдем теперь к установлению понятия «больше» по отношению к вещественным числам. Для рациональных чисел это понятие уже известно из школьного курса. Для рационального числа г и иррационального числа а понятие «больше» было, собственно, установлено в п° 2: именно, если а определяется сечением А | А\ мы считаем, что а больше всех рациональных чисел, входящих в класс А, и в то же время все числа класса Аг больше а. Пусть теперь имеем два иррациональных числа аир, при¬ чем а определяется сечением А\А\ а р — сечением В \ В\ Мы будем считать то число ббльшим, у которого нижний класс больше. Точнее говоря, мы будем считать а^>р, если класс А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним. (Это условие, оче¬ видно, равносильно тому, что класс В целиком содержит в себе класс Л', не совпадая с ним). Легко проверить, что это определение может быть сохранено и для случаев, когда одно из чисел а, р или даже оба — рациональны. Понятие «меньше» вводится уже как производное. Именно, гово¬ рят, чтоа<^р в том и только в том случае, если р]>а. Из наших определений можно вывести, что для каждой пары вещественных чисел а и р имеет место одно и только одно из соотношений а = р, а>р, а<р. Далее, из а^>р, Р^>7 следует, что а^>^ Очевидно также, что из а<^р, р<л следует, что а <^7. Установим, наконец, два вспомогательных утверждения, которые не раз будут нам полезны в последующем изложении. Лемма /. Каковы бы ни были два вещественных числа акр, причем а}>р, всегда найдется такое вещественное — и даже, в частности, рациональное — число г, которое содержится
20 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [4 между ними: а]>г>р (а следовательно, и бесчисленное множе¬ ство таких рациональных чисел). Так как а]>Р, то нижний класс А сечения, определяющего число а, целиком содержит в себе нижний класс В для числа р, не совпадая с В. Поэтому в А найдется такое рациональное число г, которое не содержится в В и, следовательно, принадлежит В'; для него а >г^р (равенство могло бы иметь место, лишь если р было рационально), Но так как в А нет наибольшего числа, то, в случае надобности увеличив г, можно равенство исключить. Лемма 2. Пусть даны два вещественных числа а и р. Если, какое бы ни взять рациональное число е^>0, числа а и р могут быть заключены между одними и теми же рациональными гра¬ ницами: s' ^ (х ^ sf s' ^ р ^ s9 разность которых меньше е: s' — s е, то числа а и р необходимо равны. Доказательство будем вести от противного. Пусть, напри¬ мер, а^>р. По лемме 1, между аир можно вставить два рацио¬ нальных числа г и /^>г: а >/>г>р. Тогда для любых двух чисел 5 и s', между которыми содержатся а и р, будут, очевидно, выполняться неравенства /]> откуда s'— 5^>г' — г^>0, так что разность s' — s, вопреки условию леммы, не может быть сделана, например, меньшей числа е = /—г. Это противоречие доказывает лемму. 4. Представление вещественного числа бесконечной десятич¬ ной дробью. Мы имеем в виду такое представление, при котором дробная часть (мантисса) положительна, в то время как целая часть может оказаться как положительной, так и отрицательной или нулем. Предположим сначала, что рассматриваемое вещественное число а не является ни целым числом, ни какой-либо конечной десятичной дробью. Станем искать его десятичные приближения. Если оно опре¬ деляется сечением А | А', то прежде всего легко убедиться, что в классе А найдется целое число Ж, а в классе А' — целое же число N^>M. Прибавляя к Ж по единице, необходимо придем к таким двум последовательным целым числам С и С-{-1, что С<а<С+1.
4] § 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 21 При этом число С может оказаться положительным, отрицательным или нулем. Далее, если разделить промежуток между С и C-f-1 на десять равных частей числами С,1; С,2; С,9, то а попадет в один (и только в один) из частичных промежутков, и мы придем к двум числам, разнящимся на^; С,сх и + для которых С,q <Са<С С>с1 “Ь'П)- Продолжая этот процесс дальше, после определения п — 1 цифр С\, ..., сл_!, мы п-ю цифру сп определим неравенствами СуС\Съ ... сп а CjC^Cq ... Cn~\~yyi' О) Таким образом, в процессе нахождения десятичных приближений числа а мы построили целое число С и бесконечный ряд цифр Си с* • • • > сп> • • • Составленную из них бесконечную десятичную дробь, пг. е. символ СУС\С<1 ... сп ..., можно рассматривать как представление вещественного числа а. В исключенном случае, когда а само является целым числом или, вообще, конечной десятичной дробью, можно подобным же образом последовательно определить число С и цифры clf с2, ..., сп, ..., но лишь исходя из более общих чем (1) соотношений C,cjca ... cn^a.^C,ctct ... + (la) Дело в том, что в некий момент число а совпадет с одним из кон¬ цов промежутка, в который мы его заключаем, с левым или с пра¬ вым — по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно слева или справа в (1а) уже постоянно будет иметь место равенство. Смотря по тому, какая из этих возможностей осуществляется, по¬ следующие цифры окажутся все нулями или все девятками. Таким образом, на этот раз число а имеет двоякое представление: одно — с нулем в периоде, а другое — с девяткой в периоде, например, 2,718 = 2,718000 ... =2,717999 ... , —2,718 = 3,282 = 3,282000 ... =3,281999 ...
22 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [4 Разность между десятичными приближениями Gc^i ... с„ и GcjCj ... + по избытку и по недостатку, равная с возрастанием п может быть сделана меньшей любого рационального числа е^>0. Действи¬ тельно, так как натуральных чисел, не превосходящих числа существует лишь конечное число, то неравенство 10я ^ — , или 1 * равносильное ему j^^e, может выполняться лишь для конеч¬ ного числа значений п; для всех же остальных будет Это замечание, ввиду леммы 2, позволяет заключить, что число (3, отличное от а, не может удовлетворять всем тем же неравенствам (1) или (1а), что и а, и, следовательно, имеет представление в виде бесконечной десятичной дроби, отличное от представления числа а. Отсюда, в частности, явствует, что представление числа, не рав¬ ного никакой конечной десятичной дроби, не имеет ни нуля, ни де¬ вятки в периоде, поскольку каждая дробь с нулем или девяткой в периоде явно выражает конечную десятичную дробь. Можно доказать, что если взять по произволу бесконечную дробь (2), то существует вещественное число а, для которого именно дробь (2) служит представлением. Очевидно, достаточно построить число а так, чтобы выполнялись все неравенства (1а). С этой целью, вводя для краткости обозначения Cn = C,ctc2 ... с„ и Cn = C,CiCt ... + заметим, что каждая дробь Сп меньше каждой дроби С'т (не только при т = п, но и при т^п). Произведем теперь сечение в области рациональных чисел: к верхнему классу А' отнесем такие рациональ¬ ные числа аГу которые больше всех Сп (например, все числа Cm), а к нижнему А — все остальные (например, сами числа Ся). Легко проверить, что это действительно сечение; оно определяет веществен¬ ное число а, которое и будет искомым. Действительно, так как а является пограничным числом между двумя классами, то, в частности, сл^а<с;. Отныне читатель может представлять себе вещественные числа как бесконечные десятичные дроби. Из школьного курса известно, что периодическая бесконечная дробь изображает рациональное число
5] § 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 23 и, обратно, каждое рациональное число разлагается именно в перио¬ дическую дробь. Таким образом, изображениями вновь введенных нами иррациональных чисел служат непериодические бесконечные дроби. Это представление также может быть отправной точкой для построения теории иррациональных чисел. Замечание. В последующем нам придется пользоваться при¬ ближенными рациональными значениями а и а' к вещественному числу а: а а а, разность которых меньше произвольно малого рационального числа е^>0. Для рационального а существование чисел а и а' очевидно; для иррационального же а в качестве а и а' можно было бы, напри¬ мер, использовать десятичные приближения Сп и Сп при достаточно большом п. б. Непрерывность множества вещественных чисел. Обратимся теперь к рассмотрению одного весьма важного свойства множества всех вещественных чисел, которое его существенно отличает от мно¬ жества чисел рациональных. Рассматривая сечения в множестве рацио¬ нальных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения в этом множестве не находилось пограничного числа, про которое можно было бы сказать, что оно производит сечение. Именно эта непол¬ нота множества рациональных чисел, наличие в ней этих пробе¬ лов и послужили основанием для введения новых чисел — иррацио¬ нальных. Станем теперь рассматривать сечения в множестве всех вещественных чисел. Под таким сечением мы понимаем разбиение этого множества на два непустых множества А, А', при котором: 1°. Каждое вещественное число попадает в одно и только одно из множеств А, А' и, сверх того: 2°. Каждое число а множества А меньше каждого числа а' множества А\ Возникает вопрос: всегда ли для такого сечения найдется — в мно¬ жестве вещественных чисел — пограничное число, производящее это сечение, или и в этом множестве существуют пробелы (которые могли бы послужить основанием для введения еще новых чисел)? Оказывается, что на деле таких пробелов уже нет. Основная теорема (Дедекинда). Для всякого сечения А | А' в множестве вещественных чисел существует вещественное число которое производит это сечение. Это число р будет: 1) либо наи¬ большим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем классе А'. Это свойство, множества вещественных чисел называют его пол¬ нотой, а также — непрерывностью или сплошностью. Доказательство. Обозначим через А множество всех рацио¬ нальных чисел, принадлежащих Ау а через Л' — множество всех
24 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [6 рациональных чисел, принадлежащих Л'. Легко убедиться, что множества А и Аг образуют сечение в множестве всех рациональ¬ ных чисел. Это сечение А | Л' определяет некоторое вещественное число р. Оно должно попасть в один из классов Л, Л'; предположим, что р попадает, например, в нижний класс Л, и докажем, что тогда осу¬ ществляется случай 1), а именно, р является в классе Л наибольшим. В самом деле, если бы это было не так, то нашлось бы другое число а0 этого класса, ббльшее р. Вставим (опираясь на лемму 1) между а0 и р рациональное число г: г принадлежит классу Л, а следовательно, также и классу Л. Мы пришли к противоречию: рациональное число г, принадлежащее ниж¬ нему классу сечения, определяющего число р, больше этого числа! Этим доказано наше утверждение. Аналогичное рассуждение показывает, что если р попадает в верх¬ ний класс Л', то осуществится случай 2). Замечание. Одновременное существование в классе Л наи¬ большего числа и в классе Л' наименьшего — невозможно; это уста¬ навливается так же, как и для сечений в области рациональных чисел (с помощью леммы 1). 6. Границы числовых множеств. Мы используем основную тео¬ рему [б], чтобы здесь же установить некоторые понятия, играющие важную роль в современном анализе. Они понадобятся нам уже при рассмотрении арифметических действий над вещественными числами. Представим себе произвольное бесконечное множество*) вещественных чисел; оно может быть задано любым образом. Такими множествами являются, например, множество натуральных чисел, мно¬ жество всех правильных дробей, множество всех вещественных чисел между числами 0 и 1, множество корней уравнения sinjc = y и т. п. Любое из чисел множества обозначим через х, так что х есть типовое обозначение чисел множества; само же множество чисел х будем обозначать через SC = {х}. Если для рассматриваемого множества {х} существует такое число М} что все х^М, то будем говорить, что наше множество ограничено сверху (числом Ж); само число М в этом случае есть верхняя граница множества {лг}. Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом единица или любым числом, большим единицы; натуральный ряд сверху не ограничен. Аналогично этому: если найдется такое число ту что все х^т, то говорят, что множество {х} ограничено снизу (числом т\ *) Все сказанное ниже сохраняет силу и для конечных множеств, но этот случай не представляет интереса.
6) § 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 25 а само число т называют нижней границей множества {лг}. Например, натуральный ряд ограничен снизу числом 1 или любым числом, меньшим его; множество правильных дробей ограничено снизу числом 0 или любым отрицательным числом. Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом ограничено и снизу (сверху) или нет. Так, множество правильных дробей ограничено и сверху и снизу, а натуральный ряд ограничен снизу, но не ограничен сверху. Если множество сверху (снизу) не ограничено, то за его верхнюю (нижнюю) границу принимают «несобственное число» -|- со (— оо). Знаки -(-оо и —оо читаются так: «плюс бесконечность» и «минус бесконечность». Относительно этих «несобственных» или «бесконеч¬ ных» чисел мы считаем, что — оо<^-|-оо и — оо а <^ -[- оо, каково бы ни было вещественное («конечное») число а. Если множество ограничено сверху, т. е. имеет конечную верхнюю границу М, то одновременно оно имеет и бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое число, большее М, оче¬ видно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ осо¬ бый интерес представляет наименьшая, которую мы будем назы¬ вать точной верхней границей. Аналогично, если множество ограничено снизу, то наибольшую из всех нижних границ будем называть точной нижней границей. Так, для множества всех пра¬ вильных дробей точными границами будут соответственно числа О и 1. Возникает вопрос: всегда ли для ограниченного сверху (снизу) мно¬ жества существует точная верхняя (нижняя) граница? Действи¬ тельно, так как верхних (нижних) границ в этом случае бесконечное множество, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наименьшее или наибольшее *), то самое существование такого наи¬ меньшего (наибольшего) числа из всех верхних (нижних) границ рас¬ сматриваемого множества требует доказательства. Теорема. Если множество SV = {х} ограничено сверху (снизу), то оно имеет и точную верхнюю (нижнюю) границу**). Доказательство. Проведем рассуждение по отношению к верхней границе. Рассмотрим два случая: 1°. Предположим сначала, что среди чисел х множества найдется наибольшее X. Тогда все числа множества будут удовлетворять неравенству x^Jdy т. е. X будет верхней границей *) Как их нет, например, среди всех правильных дробей. **) Эту теорему—лишь в других терминах—впервые в 1817 г. выска¬ зал чешский философ и математик Бернгард Больцано (1781—1848). Строгое доказательство ее стало возможным лишь после уточнения поня¬ тия вещественного числа.
26 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [6 для ЗС. С другой стороны, х принадлежит ЗС\ следовательно, для любой верхней границы М выполняется неравенство х^М. Отсюда заключаем, что х есть точная верхняя граница множества ЗС, 2°. Пусть теперь среди чисел х множества ЗС нет наи¬ большего. Произведем сечение в области всех вещественных чисел следующим образом. К верхнему классу А' отнесем все верх¬ ние границы о! множества ЗС, а к нижнему классу А — все осталь¬ ные вещественные числа а. При этом разбиении все числа х мно¬ жества ЗС попадут в класс А, ибо ни одно из них — по допущению — не будет наибольшим. Таким образом, оба класса А, Аг непусты. Это разбиение действительно является сечением, так как все веще¬ ственные числа распределены по классам, и каждое число из класса Аг больше любого числа из класса А. По основной теореме Дедекинда [б], должно существовать вещественное число р, производящее сечение. Все числа ху как принадлежащие классу А, не превосходят этого «пограничного» числа р, т. е. р служит верхней границей для х, следовательно, само принадлежит классу Аг и является там наимень¬ шим. Таким образом, р, как наименьшая из всех верхних границ, и есть искомая точная верхняя граница множества ЗС = {л;}. Совершенно так же доказывается и вторая половина теоремы (относящаяся к существованию точной нижней границы). Если М * есть точная верхняя граница числового множества ЗС = {х}у то для всех х будет х^М*. Возьмем теперь произвольное число а, меньшее М*. Так как М* — наименьшая из верхних границ, то число а наверное не будет верх¬ ней границей для множества ЗСУ т. е. найдется такое число хг из ЗС% что ^>а. Этими двумя неравенствами вполне характеризуется точная верхняя граница М* множества ЗС. Аналогично, точная нижняя граница т* множества ЗС характери¬ зуется тем, что для всех х х^т*, и, каково бы ни было число р, ббльшее //г*, найдется число х" из SC такое, что *"<р- Для обозначения точной верхней границы М* и точной нижней границы т* множества чисел SV употребляют символы М* = sup ЗС = sup {х}у т* = inf SC = inf {х} (по латыни: supremum — наивысшее, infimum — наинизшее).
7) § 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 27 Отметим одно очевидное умозаключение, которое часто будет встречаться в дальнейшем: если все числа х некоторого множества удовлетворяют нера¬ венству х^Му то и sup {х} ^ М. Действительно, число М оказывается одной из верхних границ множества, а потому наименьшая из всех верхних границ его не превосходит. Аналогично, из неравенства х^т следует, что и mi{x}^m. Условимся, наконец, если множество SC = {х} не ограничено сверху, говорить, что его точная верхняя граница есть -f-oo: sup {х} = -f- оо. Аналогично, если множество ZV = {л;} не ограни¬ чено снизу, то говорят, что его точная нижняя граница есть ;— оо: inf {х} = — оо. § 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 7. Определение и свойства суммы вещественных чисел. Пусть имеем два вещественных числа а и р. Станем рассматривать рациональные числа а, а' и Ъ, Ь\ удовлетворяющие неравенствам Ж а < я', (1) Суммой а + Р чисел аир назовем такое вещественное число 7, которое содержится между всеми суммами вида а + b, с одной стороны, и всеми суммами вида а' + Ь' — с другой: а + b с 7 < а1 + Ъ\ (2) Удостоверимся, прежде всего, что такое число 7 существует для любой пары вещественных чисел а, (3. Рассмотрим множество всевозможных сумм а + Ь. Это множество огра¬ ничено сверху, например, любой суммой вида а' + Ь\ Положим же [6] 7 = sup {а + Ь). Тогда а -f- b ^ 7 и, в то же время, 7 ^ а' -|- Ь\ Так как, каковы бы ни были рациональные числа а, Ь> а\ Ь\ удовлетво¬ ряющие условиям (1), всегда можно числа ау Ь увеличить, а числа а\ Ь’ уменьшить с сохранением этих условий, то в полученных только что неравенствах, соединенных с равенствами, на деле ни в одном случае равенства быть не может. Таким образом, число 7 удовлетворяет определению суммы. Возникает, однако, вопрос, однозначно ли сумма 7 —а + р определяется неравенствами (2). Для того чтобы убедиться в единственности суммы, подберем (по замечанию в п°4) рациональные числа а, а\ b, V так, чтобы было а' — асе и b' — b < е, где е—произвольно малое рациональное положительное число. Отсюда (а' + Ь') — (а+ Ь) = (а’ — а) + (р — Ъ) < 2е, т. е. и эта разность может быть сделана сколь угодно малой *). А тогда, *) Число 2е становится меньше любого числа ег > 0, если взять е < ^.
28 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [8 по лемме 2, существует только одно число, содержащееся между суммами a -f b и а' + Ъ\ Наконец, заметим, что если числа аир оба рациональны, то их обычная сумма *у = а + Р» очевидно, удовлетворяет неравенствам (2). Таким образом, данное выше общее определение суммы двух вещест¬ венных чисел не противоречит старому определению суммы двух рацио¬ нальных чисел. Для вещественных чисел сохраняются все основные свойства слежения: 1)а + р = р + а, 2) (a + P) + T = a + ((J + 7)> 3)a + 0 = a и, наконец, 4) из а > р следует <* + К > Р + 7- Их нетрудно доказать, опираясь на определение суммы, данное выше, и, разумеется, на известные свойства рациональных чисел; останавливаться на этом не будем. С помощью последнего свойства оправдывается почленное складывание двух неравенств. 8. Симметричные числа. Абсолютная величина. Докажем теперь, что для каждого вещественного числа а существует (симметричное ему) число — а, удовлетворяющее условию a + (— a) = 0. При этом достаточно ограничиться случаем иррационального числа а. Предполагая, что число а определяется сечением Л | Л', мы определим число — а следующим образом. К нижнему классу А числа — а мы отнесем все рациональные числа — а\ где а' — любое число класса Л', а к верхнему классу Л' этого числа отнесем все числа — а, где а — любое число класса Л. Нетрудно видеть, что построенное разбиение есть сечение и, действительно, определяет вещественное (в данном случае — иррациональное) число; это число обозначим — а. Установим теперь, что оно удовлетворяет указанному выше условию. Пользуясь самим определением числа — а, видим, что сумма а + ( — а) есть вещественное число, заключенное между числами вида а — а' и а' — а} где а и а' рациональны и а < a < а\ Но, очевидно, а — а' < 0 < а' — а, так что и число 0 заключено между только что упомянутыми числами. Ввиду единственности числа, обладающего этим свойством, имеем « + (—®)=о, что и требовалось доказать. Добавим к этому, что число, симметричное данному числу, единственно и обладает свойствами -(_«) = ., _(a + p) = (_a) + (-p). С помощью понятия симметричного числа исчерпывается вопрос о вы¬ читан и и вещественных чисел, как о действии, обратном сложению. Назо¬ вем разностью а и р (и будем обозначать через a — р) число 7, удовлетво¬ ряющее условию Т + Р = “ (или Р + Т = “)- Опираясь на свойства сложения, легко показать, что таким числом будет 7 = а-)-( — р); действительно, т + Р = 1«+ (-{*)]+ Р=° +[(-р) + р]=« +1Р + (-Р)] = “ + °=“- Так же устанавливается и единственность разности.
&] § 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 29 Свойство 4) из п° 7 позволяет теперь сделать полезное замечание о равносильности неравенств а > р и а — Р>0, а это дает возможность установить, что а>р влечет за собой — а< — р. Наконец, с понятием симметричного числа связано и понятие абсо¬ лютной величины числа. Из самого построения симметричного числа явствует, что при а > 0 необходимо будет — а < О, а из а < О следует — а>0. Иными словами, если только аф 0, то из двух чисел а и —а одно (и только одно) будет больше нуля; его именно и называют абсолютной величиной как числа а, так и числа — а, и обозначают символом |а| = |-а|. Абсолютную величину числа нуль полагают равной нулю: |0|=0. Сделаем в интересах дальнейшего еще два замечания об абсолютных величинах. Прежде всего, установим, что неравенство | а | < р (где, конечно, р > 0) равносильно двойному неравенству: — р < а < р. Действительно, из | а | < р следует, что одновременно а<р и —<* < Р, т. е. а> —р. Обратно, если дано, что а<р и а> — р, то имеем одновре¬ менно: а < р и — а < (3; но одно из этих чисел а, — а и есть | а |, так что наверное | а | < р. Аналогично оказываются равносильными и неравенства !«!<р И — р а (3. Докажем, далее, полезное неравенство 1« + р|<|«| + |р|. Складывая почленно очевидные неравенства — |а|<а<|о| И — |р|<р*£|р|, получим _(|a| + ipix« + p<|e| + |p|, откуда, в силу сделанного выше замечания, и вытекает требуемое неравен¬ ство. Доказанное неравенство с помощью математической индукции распро¬ страняется на случай любого числа слагаемых. Кроме того, из него легко получается 1* + Р1^1«1-1Р1, а также М-1Р1^1«-РК1«1 + 1Р1. Так как одновременно и IfJI-MsSla-pl, то, очевидно, ||«|-|p||<|«-p|. Все эти неравенства не раз будут полезны впоследствии. 9. Определение и свойства произведения вещественных чисел. Перейдем к умножению вещественных чисел, ограничиваясь сначала положительными числами. Пусть даны два таких числа аир. Мы здесь также станем рассматривать всевозможные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (1), ной эти числа предположим положи¬ тельными.
30 гл. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [9 Произведением сф двух положительных вещественных чисел а и р назовем такое вещественное число которое содержится между всеми произведениями вида ab, с одной стороны, и всеми произведениями вида а’Ь' — с другой: ab < 7 < а'Ь\ (3) Для доказательства существования такого числа 7 возьмем множество всевозможных произведений ab; оно ограничено сверху любым из произ¬ ведений вида а'о\ Если положить 7 = sup {ab}, то, конечно, аЬ^ч, но одновременно и Возможность увеличить числа а, b и уменьшить числа а\ V (как и в случае суммы) позволяет исключить здесь знак равенства, так что число 7 удовлетворяет определению произведения. Единственность произведения вытекает из следующих соображе¬ ний. Подберем рациональные числа а, а' и b, Ь' так, чтобы было (см. п° 4, замечание) а' — асе и Ьг — Ъ < е, где е — произвольно малое рациональное положительное число. При этом можно считать, что числа а и b положительны, а числа а' и Ь' не превосходят соответственно некоторых наперед фиксированных чисел а[ и bТогда разность a'b' — ab = a' (b' — b) -f- b (а! — а) < (aj + b'Q) е, т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *), а этого, по лемме 2, достаточно для утверждения, что неравенствам (3) может удовлетворять только одно число 7. Если положительные числа аир оба рациональны, то их о б ы ч- н о е произведение ар удовлетворяет, очевидно, неравенствам (3), т. е. полу¬ чается таким же и по общему определению произведения двух веществен¬ ных чисел — противоречия нет. Наконец, для того чтобы определить произведение произвольной пары вещественных чисел (не обязательно положительных), заключим следующие соглашения. Прежде всего условимся, что а • 0 = 0 • а = 0 каково бы ни было а. Если же оба множителя отличны от нуля, то положим в основу обычное «правило знаков»: а . р = | а |. | р |, если аир одного знака, а • р = — (| а | • | р |), если аир разных знаков (что означает произведение положительных чисел | а | и | р | — мы уже знаем). *) Заметим, что (а'0 -f- b’Q) е становится меньшим любого числа е' > 0, _ е' если взять е<— <*0 + *0
10] § 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 31 Как и в случае рациональных чисел, для любых вещественных чисел сохраняются свойства 1)о.р = р.в, 2) (оеР).7 = а-(Р--[), 3) а • 1 = а, 4) (« + Р) • 7 = “ * Т + Э * Т. а также 5) уз а > р и -у > 0 следует а • 7 > р • 7. С помощью последнего свойства оправдывается почленное умножение двух неравенств с положительными членами. Если определить частное -|Ц- чисел а и р как такое число у, которое удовлетворяет условию ТР==а (илир-7 = а), то можно установить существование и единственность част¬ ного, лишь бы только делитель р был отличен от нуля. Заканчивая этим обзор арифметических действий над вещественными числами, мы еще раз подчеркнем, что все основные свойства рациональных чисел, на которых строится элементарная алгебра, имеют место и для веще¬ ственных чисел. Следовательно, для вещественных чисел сохраняют силу все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к со¬ четанию равенств и неравенств. § 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 10. Существование корня. Степень с рациональным показателем. Определение умножения (и деления) вещественных чисел непосредственно приводит, как и обычно, к определению степени с целым положительным (и отрицательным) показателем. Переходя к степени с вообще рациональным показателем, остановимся прежде всего на вопросе о существовании корня. Как мы помним, отсутствие в области рациональных чисел простейших корней послужило одним из поводов к расширению этой области; прове¬ рим же, в какой мере произведенное расширение заполнило старые пробелы (не создав при этом новых). Пусть а — любое вещественное число, п — натуральное число. Как известно, корнем я-й степени из числа а называют такое веществен¬ ное число 6, что е» = а. Мы ограничимся случаем, когда а положительно, и будем искать поло¬ жительное же £, удовлетворяющее этому соотношению, т. е. так называемое арифметическое значение корня. Мы докажем, что такое число £ всегда существует, и притом только одно. Последнее утверждение относительно единственности числа 6, впрочем, сразу следует из того, что разным положительным числам соответствуют и разные степени их: если 0<£<£', то 6Я<6'Я. Если существует такое положительное рациональное число г, п-я степень которого равна а, то оно и будет искомым числом £. Поэтому впредь достаточно ограничиться предположением, что такого рациональ¬ ного числа нет. Построим теперь сечение Х\ X в области всех рациональных чисел сле¬ дующим образом. К классу X отнесем все отрицательные рациональные числа и нуль, а также те из положительных рациональных чисел х, для которых
32 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА хп < а. К классу X отнесем положительные рациональные числа х для которых х'п > а. Легко видеть, что классы эти не пустые и что X содержит и поло ки тельные числа. Если взять, например, натуральное число т так, чг» Сы 1 1 1 было — <а<т, то и подавно—^<а<тл, так что число — входит в А, т тп т а число т — в X. Прочие требования, предъявляемые к сечению, проверяются непосрел ственно. Пусть теперь £ будет число, определяемое сечением Х\ X; докажем, что = а, т. е. что 6 =* 'J/a. Рассматривая как произведение п сомножителей, равных 6, на осно¬ вании определения произведения положительных вещественных чисел заклю¬ чаем, что, если х и х’ суть рациональные числа, для которых О < * < е < то хп<Р< х,п. Так как, очевидно, х принадлежит классу X, а х% — классу Х\ то, по опре¬ делению этих классов, одновременно и хп < а с х'п. Но разность х' — х может быть сделана меньшей любого числа £>0 (п° 4, замечание), причем ничто не мешает считать х' меньшим некоторого на¬ перед фиксированного числа х'0. В таком случае разность х’п — хп ==■ (х’ — х) (х,п~1 -f- х • х'п~2 + ... 4* лгл“1) < е • пх*~~х, т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *). Отсюда, по лемме 2, и следует равенство чисел и а. После того как доказано существование корня, обычным путем уста¬ навливается понятие степени с любым рациональным показателем г и проверяется, что для таких степеней справедливы обычные правила, выво¬ димые в курсе элементарной алгебры: аг • аг = аг+г\ аГ : ап = а'-'7, (aTf = аг*г\ (сфу=а''.(3'*, /а \г аГ (t)=f идр- Подчеркнем еще, что при а> 1 степень аг возрастает с возраста¬ нием рационального показателя г. 11. Степень с любым вещественным показателем. Обратимся к опре¬ делению степени любого вещественного (положительного) числа а с любым вещественным показателем р. Введем в рассмотрение степени числа а аь и аь' с рациональными показателями b и Ь\ удовлетворяющими неравенствам *) Заметим, что число е • пх* 1 становится меньшим любого числа ё > 0, ё если взять ес . пх0
Ill $ 8. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 33 Степенью числа а > 1 *) с показателем {3 называют (и обозначают символом ар) вещественное число содержащееся между степенями а* и а6': а6<Т<а6'. (1) Легко убедиться в том, что такое число всегда существует. Действительно, множество степеней { аь } ограничено сверху, например, любой степенью аь\ Возьмем тогда [6] 7 = sup { аь }. Для этого числа будем иметь На деле же знак равенства здесь не нужен, ввиду возможности увели¬ чить b и уменьшить так что построенное число 7 удовлетворяет условиям (1). Обратимся теперь к доказательству единственности числа, определяе¬ мого этими условиями. Для этого, прежде всего, заметим, что лемма 2 п° 3 сохраняет свою силу и в том случае, если опустить требование, чтобы числа s, s' и е были непременно рациональными; доказательство остается то же. Затем установим одно весьма простое, но часто полезное неравенство: если п — натуральное число, большее единицы, и ^>1, то К" > 1 + п (Т — 1). (2) Действительно, положив к —1+Х, гДе ^>0, по формуле бинома Ньютона будем иметь (1 + X)»=1 + /iX + ...; так как ненаписанные члены положительны, то (1+Х)">1 + п\, что равносильно неравенству (2). Положив в этом неравенстве *]( = ал (а ;> 1), получим неравенство • (3) которым мы сейчас и воспользуемся. Мы знаем (п° 4, замечание), что числа b и Ъ’ можно выбрать так, чтобы разность Ъ' — Ь была меньше — при любом наперед заданном натураль¬ ном п; тогда, по неравенству (3), _1_ а6' — аь = аь (а6’ ~ 6— 1) < а"(ап — 1) <; а” ■ °~1; окончательно, если через Ь'0 обозначить какое-либо из чисел Ь\ аЬ — а? <С а п *) Этим случаем можно ограничиться: при а < 1 полагаем, например, •Ч1Г 2 Г. М< Фихтенгольц, т. I
34 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [12 Последнее выражение за счет п может быть сделано меньшим произвольно малого положительного числа е: для этого достаточно взять a*0 (a— 1) п > . е В таком случае, по обобщенной выше лемме 2, между границами аь и а? не может быть двух различных чисел 7. Если р рационально, то данное выше определение возвращает нас к обыч¬ ному пониманию символа с^. Легко проверить, что для степени с любым вещественным показателем выполняются все обычные для степени правила, а также, что при а > 1 сте¬ пень а? возрастает с возрастанием вещественного показателя р. 12. Логарифмы. Пользуясь данным определением степени с любым ве¬ щественным показателем, теперь легко установить существование логарифма для любого положительного вещественного числа 7 при положительном осно¬ вании а, отличном от единицы (мы будем, например, считать а>1). Если существует такое рациональное число г, что *Г = 7, то г и есть искомый логарифм. Предположим же, что такого рационального числа г нет. Тогда можно произвести сечение В | В' в области всех рациональных чисел по следующему правилу. К классу В отнесем рациональные числа Ь, для которых аь < 7, а к классу Вг — рациональные числа для которых аь' > 7. Покажем, что классы В и В' — не пустые. В силу неравенства (2) ап > 1 -f- п (а — 1) > п (а — 1), и достаточно взять чтобы было «я>7; такое натуральное число п относится к классу В\ В то же время имеем: e-»=_L< ! ап п(а— 1)* и достаточно взять 1 п > ГТ-, 7 (а— 1) чтобы было огл<7 и число —п попало в класс В. Остальные требования, предъявляемые к сечению, здесь также вы¬ полнены. Построенное сечение В\ВГ определяет вещественное число р, которое является «пограничным» между числами обоих классов. По определению сте¬ пени имеем а6 < < а*' (Ь < р < *'). причем о? есть единственное число, удовлетворяющее всем подобным неравенствам. Но для числа 7 имеем (по самому построению сечения) аь < 7 < «*'• Следовательно, “ —7 “ Р — 1оЁа 7» существование логарифма доказано.
13] § 8. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 35 13. Измерение отрезков. Невозможность снабдить, оставаясь в мно¬ жестве рациональных чисел, все отрезки длинами также была важнейшим поводом к введению иррациональных чисел. Покажем теперь, что произве¬ денного расширения понятия числа достаточно для решения задачи из¬ мерения отрезков. Прежде всего сформулируем самую задачу. Требуется с каждым прямолинейным отрезком А связать некото¬ рое положительное вещественное число 1(A), которое будем называть кдлиной отрезка А>, так, чтобы 1) некоторый наперед выбранный отрезок Б (оталон длины*) имел длину единица: /(£)= 1; 2) равные отрезки имели одну и ту же длину; 3) при сложении отрезков длина суммы всегда была равна сумме длин складываемых отрезков: ЦА + В) = 1(А) + 1(В) («свойство аддитивности»). Поставленные условия приводят к однозначному решению задачи. Из 2) и 3) следует, что q-я часть эталона должна иметь длину —; если же эта часть повторена слагаемым р раз, то полученный отрезок, в силу 3), должен иметь длину —. Таким образом, если отрезок А соиз¬ мерим с эталоном длины и общая мера отрезков А и Е укладывается в них соответственно р и q раз, то необходимо 1(A)-L. Легко видеть, что это число не зависит от взятой общей меры и что, если отрезкам, соизмеримым с эталоном, приписать рациональные длины по этому правилу, то (для этих отрезков) задача измерения будет полностью решена. Обращаясь к общему случаю, заметим, что если отрезок А больше отрезка В, так что А = В + С, где С есть также некоторый отрезок, то, в силу 3), должно быть /(Л) = /(Я) + /(С), и так как / (С) > 0, то / (Л) > / (В). Итак, неравные отрезки должны иметь неравные длины, а именно, больший отрезок — ббльшую длину. Так как каждое положительное рациональное число 2- является длиной некоторого отрезка, соизмеримого с эталоном длины Е, то из сказанного, между прочим, ясно, что ни один отрезок, несоизмеримый с эталоном, не может иметь рациональную длину. Пусть же 2! будет такой отрезок, несоизмеримый с Е. Найдется бесчисленное множество отрезков 5 и S', соизмеримых с Е и соответственно меньших или ббльших 2. Если положить I (5) = з, / (S') = s', то искомая длина I (£) должна удовлетворять неравенствам K/(S)<«' *). Если распределить все рациональные числа на два класса S и S', отнеся к нижнему классу S числа s (и кроме них — все отрицательные числа и нуль), *) Разумеется, и для длины отрезка S, соизмеримого с Е, также выполняются эти неравенства. 2*
36 ГЛ. Г. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [13 а к верхнему классу S' — числа s', то получится сечение в множестве рацио¬ нальных чисел. Так как в нижнем классе, очевидно, нет наибольшего числа, а в верхнем — наименьшего, то этим сечением определяется иррацио¬ нальное число а, которое и будет единственным вещественным числом, удовлетворяющим неравенствам s<o<s'. Именно этому числу необхо¬ димо положить равной длину I (£). Предположим теперь, что всем отрезкам, как соизмеримым с £, так и несоизмеримым, приписаны длины в согласии с указанными правилами. Вы¬ полнение условий 1), 2) очевидно. Рассмотрим два отрезка Р, 2 с длинами и их сумму Т = Р + Е, длину которой обозначим через т = /(Т). Взяв любые положительные рациональные числа г, г', s, s' такие, что построим отрезки R, /?', S, S', для которых именно эти числа соответ¬ ственно служат длинами. Отрезок + 5 (длины r + s) будет меньше Т, а отрезок /?' + S' (длины г' + 5') — больше Т. Поэтому Но [7] единственным вещественным числом, содержащимся между числами вида г + s *) и числами г' + s', является сумма р + Следовательно, т = р + о, что и требовалось доказать. Распространение «свойства аддитивности» на случай любого конечного числа слагаемых производится по методу математической индукции. Если на оси (направленной прямой) (рис. 1) выбрать начальную точку О и эталон длины Е, то каждой точке X этой прямой отвечает некоторое вещественное число — ее абсцисса х> равная длине отрезка ОХ, если X лежит в положительном направлении от О, или этой длине со знаком минус—в противном случае. Естественно встает вопрос, будет ли верно и обратное: каждое ли ве¬ щественное число х отвечает при этом некоторой точке прямой? Вопрос этот в геометрии решается в утвердительном смысле, именно с по¬ мощью аксиомы о непрерывности прямой, устанавливающей для прямой, как множества точек, свойство, аналогичное свойству непрерывности множества вещественных чисел [п° 5]. Таким образом, между всеми вещественными числами и точками направ¬ ленной прямой (оси) можно установить взаимно однозначное соответствие. Вещественные числа можно изображать точками на оси, которую в связи с этим называют числовой осью. Подобным изображением мы впредь посто¬ янно будем пользоваться. р=цр), «=/(1) Г < р < Г', S < а < s', г + s < х < г' 4" s'- О /? Ж^7~2Г' Вт U г X Рис, 1. *) Ограничение положительными числами г и s, конечно, несущественно.
ГЛАВА ВТОРАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 14. Переменная величина. При исследовании явлений природы и в своей практической деятельности человек сталкивается с множе¬ ством различных физических величин; сюда относятся время, длина, объем, скорость, масса, сила, и т. п. Каждая из них, в зависимости от условий вопроса, в котором она рассматривается, принимает либо различные значения, либо лишь одно. В первом случае мы имеем дело с переменной величиной, а во втором — с постоянной. Если выбрать определенную единицу измерения (как мы это де¬ лали, например, в п° 13, говоря о длине), каждое значение величины можно выразить числом. Математика обычно отвлекается от физиче¬ ского смысла рассматриваемых величин, интересуясь лишь именно их численными значениями. Вот что говорит об этом закономерном про¬ цессе отвлечения Ф. Энгельс*). Констатируя, что «математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отноше¬ ния действительного мира», Энгельс продолжает далее: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содер¬ жания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишен¬ ные толщины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и пере¬ менные величины...» Введение в математику переменной величины — его обычно связы¬ вают с именем Декарта — было событием огромной важности. Мате¬ матика получила возможность не только устанавливать количествен¬ ные соотношения между постоянными величинами, но и изучать протекающие в природе процессы, в которых участвуют и переменные величины. Ф. Энгельс **) подчеркивает это в следующих словах: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и *) Ф. Энгельс, «Анти-Дюринг>, изд. 1952 г., стр. 37. **) Ф. Энгельс, «Диалектика природы», изд. 1952 г., стр. 206.
38 ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [15 диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...» 15. Область изменения переменной величины. В математическом анализе — если только речь не идет об его приложениях — пол пере¬ менной величиной (или короче — переменной) разумеется отвле¬ ченная или числовая переменная. Ее обозначают каким-либо символом (буквой, например х), которому приписываются число¬ вые значения. Переменная х считается заданной, если указано мно¬ жество SV — {х} значений, которые она может принимать. Это мно¬ жество и называется областью изменения переменной х. Вообще, областью изменения переменной может служить любое числовое мно¬ жество. Постоянную величину (короче — постоянную) удобно рассматри¬ вать как частный случай переменной: он отвечает предположению, что множество 3? = {х) состоит из одного элемента. Мы видели в п° 13, что числа геометрически истолковываются как точки на оси. Область изменения переменной х на этой оси изображается в виде некоторого множества точек. В связи с этим обычно сами числовые значения переменной называют точками. Часто приходится иметь дело с переменной п, принимающей все¬ возможные натуральные значения 1, 2, 3, ..., 100, 101, ...; область изменения этой переменной, т. е. множество {п} всех нату¬ ральных чисел, мы будем всегда обозначать через off. Однако обычно в анализе изучаются переменные, изменяющиеся, как говорят, непрерывным или сплошным образом: их прообразом являются физические величины — время, путь, проходимый движущейся точкой, и т. п. Областью изменения подобной переменной служит числовой промежуток. Чаще всего это будет конечный про¬ межуток, ограниченный двумя вещественными числами а иЬ (а<^Ь) — его концами, которые сами могут быть включены в его состав или йет. В зависимости от этого мы будем различать замкнутый промежуток [а> b]: а^х^Ь (оба конца включены); ( (а, Ь\. а<^х^.Ь (лишь один ко- полуоткрытые промежутки | ^ ^ а<х<ь 'нец включен); открытый промежуток (а, Ь): а<^х<^Ь (ни один конец не включен). Длиной промежутка во всех случаях называется число Ъ — а. Геометрическим аналогом числового промежутка является, как легко понять, отрезок числовой оси, причем — в зависимости от типа промежутка — и к отрезку концы его приключаются или нет. Приходится рассматривать и бесконечные промежутки, у кото¬ рых одним из концов или обоими служат «несобственные» числа — оо,
161 § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 39 + оо. Обозначения их аналогичны приведенным выше. Например, (—оо, -j-oo) есть множество всех вещественных чисел; (а, +оо) означает множество чисел ху удовлетворяющих неравенству х^>а; промежуток (—оо, Ь] определяется неравенством х^Ь. Геометрически бесконечные промежутки изображаются в виде бесконечной в обе стороны прямой или луча. 16. Функциональная зависимость между переменными. При¬ меры. Предметом изучения в математическом анализе является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Здесь мы ограничимся простейшим случаем двух пере¬ менных. В различных областях науки и жизни — в самой математике, в физике, в технике — читатель не раз встречал такие совместно изменяющиеся переменные. Они не могут одновременно прини¬ мать любые значения (из своих областей изменения): если одной из них (независимой переменной) придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой (зависимой пере¬ менной, или. функции). Приведем несколько примеров. 1) Площадь Q круга есть функция от его радиуса R; ее значе¬ ние может быть вычислено по заданному значению радиуса с помощью известной формулы Q = *R\ 2) В случае свободного падения тяжелой материальной точки — при отсутствии сопротивления — время Цсек), отсчитываемое от начала движения, и пройденный за это время путь 5 (м) связаны уравнением где £=9,81 м/сек9 есть ускорение силы тяжести. Отсюда и опре¬ деляется значение st соответствующее взятому моменту t: путь s является функцией от протекшего времени t. 3) Рассмотрим некоторую массу (идеального) газа, содержащуюся под поршнем цилиндра. В предположении, что температура сохра¬ няется неизменной, объем V(/i) и давление р(атм) этой массы газа подчиняются закону Бойля — Мариотта: р V = с = const. Если произвольно изменять V\ то р как функция от V будет всякий раз однозначно определяться по формуле Заметим тут же, что самый выбор независимой переменной из числа двух рассматриваемых иногда бывает безразличен или связан
40 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [17 с соображениями простого удобства. В большинстве же случаев он диктуется целенаправленностью производимого исследования. Так, в последнем примере мы могли бы быть заинтересованы в зависимо¬ сти объема V от переменного внешнего давления р на поршень (пере¬ дающегося газу); тогда ее естественно было бы написать в виде считая р независимой переменной, а V—функцией от р. Функциональная зависимость в иных случаях характеризует про¬ цесс, реально протекающий во времени, — особенно, если, как в при¬ мере 2), само время является независимой переменной. Однако было бы ошибкой думать, что всегда изменение переменных связано с тече¬ нием времени. В примере 1), изучая зависимость площади круга от его радиуса, мы не имели перед собой никакого временнбго процесса. 17. Определение понятия функции. Отвлечемся теперь, как обычно, от физического смысла рассматриваемых величин и дадим точное общее определение понятия функции — одного из основных понятий математического анализа. Пусть даны две переменные х и у с областями изменения Э? и Предположим, что по условиям вопроса переменной х может быть приписано произвольное значение из области без каких-либо огра¬ ничений. Тогда переменная у называется функцией от пере¬ менной х в области ее изменения SV, если по некоторому пра¬ вилу или закону каждому значению х из SV ставится в соответ¬ ствие одно определенное значение у (из У). Независимая переменная х называется также аргументом функции. В этом определении существенны два момента: во-первых, ука¬ зание области изменения аргумента х (ее называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями х и у. (Область У изменения функции у обычно не указывается, поскольку самый закон соответ¬ ствия уже определяет множество принимаемых функцией значений.) Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению х из SV отвечало не одно, а несколько значений у (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отли¬ чие от однозначной функции, определенной выше. Впрочем, в курсе анализа, стоящем на точке зрения вещественной переменной, избегают многозначных функций, и впредь, говоря о функции, если не оговорено противное, мы будем разуметь однозначную функцию. Для указания того факта, что у есть функция от х, пишут: У =/(*)> У = ?(х), у = F(x) и т. п.*) *) Произносится эта запись следующим образом: «игрек равно эф от икс», «игрек равно фи от икс» и т. д.
171 § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 41 Буквы /, <р, F, ... характеризуют именно то правило, по которому получается значение у, отвечающее заданному х. Поэтому, если одно¬ временно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента х, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой. Хотя именно буква «эф» (в различных алфавитах) связана со словом «функция», но для обозначения функциональной зависимости, разумеется, может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют ту же букву у: у=у(х). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например ух. Если, рассматривая функцию, скажем, y=f(х), мы хотим от¬ метить ее частное значение, которое отвечает выбранному частному значению х, равному х$, то для обозначения его употребляют символ f(x0). Например, если /И=ттт*’ *(9=-т» h(u)=VT=l?, то /(1) означает численное значение функции f{x) при х—\у т. е. попросту число у, аналогично, g*(5) означает число 2, h ^— 4 ЧИСЛО т и т. п. О Обратимся теперь к самому правилу, или закону соответ¬ ствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости. Правило это может быть весьма разнообразной природы, поскольку оно ничем не было ограничено. Наиболее просто и естественно осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде ана¬ литического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа (мы еще вернемся к нему в следующем номере). С ним читатель всего лучше знаком из школьного курса математики; наконец, именно аналитическим способом мы пользовались в приведенных в п°16 примерах. Однако было бы ошибочным думать, что это — единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция Е{х) — «целая часть числа х» *). Легко сообразить, что £(1)=1, Е(2,5) = 2, £(|/‘13) = 3, Я(—1г)= —4ит. д„ хотя никакой формулы, выражающей Е(х), у нас нет. *) Или точнее — наибольшее целое число, не шэевосходящее х (Е есть начальная буква от французского слова entier, обозначающего <целый>).
42 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [18 В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально или путем наблюдений. На¬ пример, если подвергнуть воду произвольно выбранному давлению р(атм\ то на опыте можно определить соответствующую ему тем¬ пературу 0° С кипения воды: б есть функция от р. Однако эта функциональная зависимость задается не какой-либо формулой, а лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опыта данные. Примеры табличного способа задания функции легко найти в любом техническом справочнике. Неудобство его заключается в том, что он дает значения функции лишь для некоторых значений аргу¬ мента. Наконец, упомянем еще, что в некоторых случаях — при помощи самопишущих приборов — функциональная зависимость между физи¬ ческими величинами задается непосредственно графиком. Например, «индикаторная диаграмма», снимаемая при помощи индикатора, дает зависимость между объемом V и давлением р пара в цилиндре работающей паровой машины; «барограмма», доставляемая барогра¬ фом, представляет суточный ход атмосферного давления и т. п. Разумеется, такой способ задания позволяет определять значения функции лишь приближенно. Мы не входим в подробности относительно табличного и графи¬ ческого способов задания функциональной зависимости, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться. 18. Аналитический способ задания функции» Сделаем ряд разъяснительных замечаний в связи со способом задания функции аналитическим выражением или формулой, который играет в математическом анализе исключительно важную роль. 1°. Прежде всего, какие аналитические операции или действия могут входить в эти формулы? На первом месте здесь разумеются все изученные в элементарной алгебре и тригонометрии операции: арифметические действия, возвышение в степень (и извле¬ чение корня), логарифмирование, переход от углов к их триго¬ нометрическим величинам и обратно (см. ниже § 2). Однако, и это важно подчеркнуть, к их числу по мере развития наших сведений по анализу будут присоединяться и другие операции, в пер¬ вую голову — предельный переход, которому посвящена глава III. Таким образом, полное содержание термина «аналитическое вы¬ ражение» или «формула» будет раскрываться лишь постепенно. 2°. Второе замечание относится к области определения функции аналитическим выражением или формулой. Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент х, имеет, так сказать, естественную область применения: это множество всех тех значений х, для которых оно сохраняет смысл, т. е. имеет вполне определенное, конечное, вещественное значение. Разъясним это на простейших примерах.
181 § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 43 Так, для выражения . -Л-у такой областью будет все множество 1 ~г х вещественных чисел. Для выражения У~I — лга эта область сведется к замкнутому промежутку [ — 1, 1 ], за пределами которого значение его перестает быть вещественным. Напротив, выражению у ^ - у придется в качестве естественной области применения от¬ нести открытый промежуток (—1, 1), ибо на концах его знамена¬ тель обращается в нуль. Иногда область значений, для которых вы¬ ражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков: для У х* — 1 это будут промежутки (— оо, —1] и [1,-f-oo), для X» к'Г ~ промежутки ( —оо, —1), (—1, 1) и (1, -j-оо) и т. д.*). В последующем изложении нам придется рассматривать как более сложные, так и более общие аналитические выражения, и мы не раз будем заниматься исследованием свойств функций, задаваемых подоб¬ ным выражением во всей области, где оно сохраняет смысл, т. е. изучением самого аналитического аппарата. Однако возможно и другое положение вещей, на что мы считаем нужным заранее обратить внимание читателя. Представим себе, что какой-либо конкретный вопрос, в котором переменная х по су¬ ществу дела ограничена областью изменения привел к рас¬ смотрению функции f(x)y допускающей аналитическое выражение. Хотя может случиться, что это выражение имеет смысл и вне обла¬ сти 2С> выходить за ее пределы, разумеется, все же нельзя. Здесь аналитическое выражение играет подчиненную, вспомогательную роль. Например, если, исследуя свободное падение тяжелой точки с вы¬ соты А над поверхностью Земли, мы прибегнем к формуле [16,2)], то нелепо было бы рассматривать отрицательные значения t или значения tt ббльшие, чем Г= ибо, как легко видеть, при t=T точка уже упадет на Землю. И это несмотря на то, что 1 само выражение сохраняет смысл для всех вещественных t 3°. Может случиться, что функция определяется не одной и той же формулой для всех значений аргумента, но для одних — одной формулой, а для других — другой. Примером такой функции в *) Для нас, разумеется, не представляют интереса такие выражения, которые ни при одном значении х вообще не имеют смысла.
44 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 119 промежутке (— оо, +оо) может служить функция, определяемая следующими тремя формулами: /(*)== 1, если | лг |^> 1 (т. е. если х^>1 или х<^—1), /(х)=—1, если \х\<^1 (т. е. если — и, наконец, f{x) = 0, если х = ± 1. Впрочем, не следует думать, что есть принципиальная раз¬ ница между функцией, задаваемой одной формулой для всех значений Ху и функцией, определение которой использует несколько формул. Обычно функция, задаваемая несколькими формулами (правда, ценой некоторого усложнения выражения), может быть задана и одной. В частности, это справедливо относительно приведенной выше функ¬ ции [см. п°43,5)]. В последующем мы не раз будем встречать при¬ меры того же рода. 19. График функции. Хотя в математическом анализе функции графически не задают, но к графической иллюстрации функции прибегают всегда. Легкая обозримость и наглядность графи¬ ка делают его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции. Пусть в некотором промежутке £С задана функция y=f(x). Представим себе на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат — ось х и ось у. Рассмотрим пару соответству¬ ющих значений х и у, где х взято из промежутка Э£у а yz=f(x); образом этой пары на плоскости служит точка М (Ху у) с абсциссой х и орди¬ натой у. Совокупность всех таких точек, получающихся при изменении х в пределах своего промежутка, составляет гра¬ фик функции, который и яв¬ ляется ее геометрическим обра¬ зом. Обыкновенно график пред¬ ставляет собой кривую вроде кривой Л В на рис. 2. В этих условиях само уравнение y=f(x) на¬ зывают уравнением кривой А В. Например, на рис. 3 и 4 изображены графики функций y = ±V 1—Xs (W«si) I 1 | ! X 1 х 1 / 1 1 1 1 1 1 1 я / 1 7 1 Г 1 1 I I 1 1 1 1 1 !> —м ■ . <! 1 1—, О абсциссах г Рис. 2. и у = ±Улг9 — 1; (1*1^1)
19] 8 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 45 читатель узнает в них окружность и равнобочную гиперболу. Много других примеров графического изображения функций читатель най¬ дет в ближайших номерах. Строится график обычно по точкам. Берут в промежутке SC ряд близких между собой значений х, вычисляют по формуле y=f(x) соответствующие значения у: X=xt\x%\...\xn У=Ух 1л|...1л и наносят на чертеж точки (*i. У0> С** -У*)» .... С*я» Уп)-
46 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [20 Через эти точки от руки или с помощью лекала проводят кривую, которая (конечно, лишь с некоторым приближением) и дает искомый график. Чем плавнее ход графика и чем гуще взяты точки на нем, тем точнее начерченная кривая воспроизводит этот график. Следует заметить, что хотя геометрический образ функции всегда можно себе «представить», но не всегда этот образ будет кривой в обычном, интуитивном смысле. Построим, например, график функции у = Е(х). Так как в про¬ межутках ..., [ — 2, —1), [ — 1, 0), [0, 1), [1, 2), [2, 3), ... функция сохраняет постоянные значения ..., — 2,— 1, 0, 1, 2,..., то график будет состоять из ряда отдельных горизонтальных отрезков, лишенных своих правых концов (рис. 5)*). 20, Функции натурального аргумента. До сих пор мы рассма¬ тривали исключительно примеры функций непрерывно изменяющегося аргумента, значения которого заполняли сплошной промежуток. Остановимся теперь на принципиально более простом (но не менее важном) случае функции /(я) аргумента п, пробегающего лишь ряд ©1ST натуральных значений. Функции натурального аргу¬ мента будут играть в дальнейшем особую роль. В обозначении такой функции часто отступают от обычного функ¬ ционального обозначения и вместо f(n) пишут какую-нибудь букву с указателем п внизу, например хп. Если заменить этот ука¬ затель (который — напомним это — является здесь независимой переменной) конкретным натуральным числом, например 1, 23, 518 ..., то xlt х23, л;в18, ... будут соответствующими числовыми значениями функции хп — наподобие того, как /(1), /(23), /(518), ... означали числовые значения функции /(я). *) Это обстоятельство символизируется стрелками, которые своими остриями указывают на точки, не принадлежащие графику.
201 s 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 47 В согласии с общим определением, функция хп считается за¬ данной, если мы владеем правилом, по которому может быть вычислено любое ее значение, лишь только указано значение п. Обычный случай — это тот, когда функция хп задается форму¬ лой, устанавливающей, какие аналитические операции надлежит про¬ извести над переменным натуральным числом п (и над постоянными), чтобы получить соответствующее значение функции. Примеры: п2 — п + 2 п , *» = 3F+2^=4’ ап = Ч > А = log л ит. п. Но, разумеется, и в рассматриваемом здесь случае функция может быть задана любым другим правилом. В виде примера упо¬ мянем о «факториале числа я»: п\ = 1 • 2 • 3 • ... • л, а также о функции т (л), представляющей число делителей числа л, или о функции <р(л), указывающей, сколько в ряду 1, 2, 3, ..., п имеется чисел, взаимно простых с п. Несмотря на своеобразный характер правил, которыми задаются эти функции, они позволяют вычислять значения функций с такой же определенностью, как и формулы: х (10) = 4, т(12) = 6, т (16) = 5, ... Т(10)= 4, 9(12) = 4, 9(16) = 8, ... Еще пример: представим себе десятичные приближения (скажем, по недостатку) для У 2 со все возрастающей точностью: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... Зная правило для приближенного вычисления корней, мы вправе считать вполне определенной функцию, равную приближенному значению упомянутого корня с точностью до хотя общего выражения для этого приближения мы не имеем. В школьном курсе математики читателю не раз приходилось встречаться с функциями натурального указателя. Если задана бес¬ конечная геометрическая прогрессия 4га, aq, aq\ ..., то функцией указателя п является и общий член этой прогрессии an = e?n_1 и сумма п членов прогрессии
48 ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПВРЕМЕННОЙ [21 В связи с определением длины окружности и площади круга, обычно рассматриваются правильные вписанные в окружность много¬ угольники, получаемые из вписанного шестиугольника последователь¬ ным удвоением числа сторон. Сторона такого многоугольника, его апофема, периметр и площадь — все являются функциями натураль¬ ного указателя п, если за п принять попросту число повторений процесса удвоения. 21. Исторические замечания. Самый термин «функция» появился в одной работе Лейбница*) в 1692 г., а затем применялся братьями Якобом и Иоганном Бернулли *•) для характеристики различных отрезков, так или иначе связанных с точками некоторой кривой. В 1718 г. Иоганн Бернулли впервые дает определение функции, свободное от геометрических представ¬ лений. Его ученик Эйлер ***) в своем учебнике «Введение в анализ беско¬ нечно малых» (1748), по которому учились целые поколения математиков, воспроизводит определение Бернулли, несколько его уточняя: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, со¬ ставленное каким-либо образом из этого переменного количества и из чисел или постоянных количеств» ****). Как видим, в этом определении функция попросту отождествляется с тем аналитическим выражением, которым она задается. Наряду с «явными» функциями, Эйлер рассматривал и «неявные», опре¬ деляемые неразрешенными уравнениями. В то же время — в связи с знаме¬ нитой задачей о колебании струны (о которой подробно будет рассказано во втором томе) — Эйлер считал возможным допустить в анализ не только «смешанные» функции, которые в разных частях промежутка за¬ даются различными аналитическими выражениями [ср. п° 18, 3е], но даже функции, определяемые произвольно начерченными графиками. В предисло¬ вии к его «Дифференциальному исчислению» (1755 г.) мы находим еще более общую, хотя и менее определенную формулировку: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые на¬ зываются функциями вторых» **♦**). В течение ряда десятилетий существенного прогресса в определении понятия функции не было. Обычно приписывают Дирихле ******) заслугу выдвижения на первый план идеи соответствия, которая единственно и лежит в основе этого понятия. *) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — знаменитый не¬ мецкий философ и математик. Он разделяет с Ньютоном заслугу создания дифференциального и интегрального исчисления (см. исторический очерк в главе XIV). **) Якоб Бернулли (1654—1705) и Иоганн Бернулли (1667— 1748) принадлежали знаменитой в истории математики семье голландского происхождения; оба были сподвижниками Лейбница и много способствовали (особенно младший из них) распространению нового исчисления. ***) Леонард Эйлер (1707—1783) — выдающийся математик; швей¬ царец по происхождению, он большую часть своей сознательной жизни про¬ вел в России и состоял членом Петербургской Академии наук. #***) Имеется русский перевод тома I упомянутого сочинения (в ори¬ гинале написанного по-латыни), 1936 г.; см. стр. 30. *****) см> русский перевод «Дифференциального исчисления», 1949 г., стр. 38. ******) Петер Густав Л е ж е н-Д и р и х л е (1805—1859) — выдающийся немецкий математик.
22] § 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 49 В 1837 г. он дал такое определение функции у от переменной х (в предположении, что последняя принимает все значения в некотором про¬ межутке): «Если каждому х отвечает единственное конечное у ..., то у назы¬ вается ,.. функцией от х для этого промежутка. При этом вовсе нет необ¬ ходимости, чтобы у во всем этом промежутке зависело от х по одному и тому же закону, и даже не обязательно представлять себе зависимость, выряжаемую с помощью математических операций». Это определение (несмотря на умаляющие его общность оговорки автора) сыграло важную роль в истории математического анализа. Долгое время оставалось незамеченным, что Лобачевский *) высказал эту идею не только раньше, но и в безупречной форме. Примыкая пона¬ чалу к точке зрения Эйлера, Лобачевский постепенно отходит от нее и в своей работе «Об исчезании тригонометрических строк» (1834 г.) уже определенно говорит: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функ¬ ции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, кото¬ рое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной» **). Заметим в заключение, что привычное для нас обозначение функции — / (л;) — принадлежит Эйлеру. § 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 22. Элементарные функции. Перечислим здесь некоторые классы функций, получивших название элементарныхг. 1°. Целая и дробная рациональные функции. Функция, пред¬ ставляемая целым относительно буквы х многочленом у = а^сп-)--}- ... CLn_xxап (а0, alt аь ... — постоянные), называется целой рациональной функцией. Отношение двух таких многочленов аохП ~Ь • ♦ * + ап-\х ап У box'* + blXm-1 + ... + bm_tX + bm представляет дробную рациональную функцию. Она опре¬ делена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знамена¬ тель в нуль. Для примера на рис. 6 даны графики функции у = ах* (пара¬ болы) при различных значениях коэффициента а, а на рис. 7 — гра¬ фики функции У = ~ (равнобочные гиперболы) также при различных значениях а. *) Николай Иванович Лобачевский (1793—1856) — великий рус¬ ский математик, прославившийся созданием неэвклидовой геометрии. **) Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений, т. V (1951), стр. 43.
60 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 122 2°. Степенная функция. Так называется функция вида где р. — любое постоянное вещественное число. При целом р полу¬ чается рациональная функция. При jx дробном мы имеем здесь ра¬ дикал. Например, пусть т — на¬ туральное число и \_ У=хт = т/х. Эта функция определена для всех значений х, если т — нечетное, и лишь для неотрицательных зна¬ чений — при т четном (в этом Рис. 6. Рис. 7. случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала). Наконец, если [х — иррациональное число, мы будем предполагать л;^>0 (jt = 0 допускается лишь при |х^>0). На рис. 8 и 9 даны графики степенной функции при различных значениях [х. 3°. Показательная функция, т. е. функция вида У = а*, где а — положительное число, отличное от единицы; х принимает любое вещественное значение. Графики показательной функции при различных значениях а даны на рис. 10.
22J § 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Oi 4°. Логарифмическая функция, т. е. функция вида y = l0gax*)> где а, как и выше, — положительное число (отличное от единицы); х принимает лишь положительные значения. На рис. 11 даны графики этой функции при различных значе¬ ниях а. *) Обозначение log* мы сохраняем для десятичных логарифмов: log х = log10 х%
52 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 123 5°. Тригонометрические функции: У ==z sin Ху у = cos х, y = tgx, y = dgx, у = sec ху у = csc х. Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы тригоно¬ метрических функций, если их рассматривать как мери углов, всегда выражают эти углы в радианах (поскольку не оговоре¬ но противное). Для tgx и secjc исключаются значения вида (2А —(— 1) а для с tgx и csc х — значения вида kiи (k — целое). Графики функций у= sin х (cos х) и y = tgx (ctgjc) даны на рис. 12 и 13. График синуса обычно называют синусоидой. 23. Понятие обратной функции. Прежде чем перейти к обрат¬ ным тригонометрическим функциям, сделаем пояснение относительно обратных функций вообще.
23] § 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 53 Предположим, что функция у = f{x) задана в некоторой области и пусть У будет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области 3?. В нашей прак¬ тике как 5V, так и обычно будут представлять собою промежутки. Выберем какое-нибудь значение у=уь из области 3^; тогда в области 3? необходимо найдется такое значение х — х0у при кото¬ ром наша функция принимает именно значение у0, так что /(лго)=_у„; подобных значений х0 может оказаться и несколько. Таким образом, каждому значению у из 2^ ставится в соответствие одно или несколько значений х; этим определяется в области У однозначная или многозначная функция x = g(y\ которая и называется обратной для функции y=f(x). Рассмотрим примеры. 1. Пусть у = ах(а^> 1), где х изменяется в промежутке X = (— оо, + оо). Значения у заполняют промежуток У = (0, оо), причем каждому у из этого промежутка отвечает, как мы знаем [12], в 3? одно определенное x = logay. В этом случае обратная функ¬ ция оказывается однозначной. 2. Наоборот, для функции у=хг2, если х изменять в промежутке SC — (—оо, °°)> обратная функция будет двузначной: каждому значению у из промежутка = [0, -|- оо) отвечают два значения х=±Уу из Ж. Вместо этой двузначной функции обычно рас¬ сматривают раздельно две однозначные функции х — -\-У~у и х = — Vy («ветви» двузначной функции). Их можно порознь также считать обратными для функции у = х\ в предположении лишь, что область изменения х ограничена соответственно промежутком [0, -j- оо) или промежутком (—оо, 0]. Заметим, что по графику функции y=f(x) легко сообразить, будет ли обратная для нее функция x = g(y) однозначной или нет. Первый случай представится, если любая прямая, параллельная оси х, пересекает этот график разве лишь в одной точке. Наоборот, если некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках, обратная функция будет многозначной. В этом случае по графику же легко разбить промежуток изменения х на части так, чтобы каждой части уже отвечала однозначная «ветвь» этой функции. Например, по одному взгляду на параболу рис. 14, которая служит графиком функции у = х\ ясно, что обратная ей функция двузначна и что для получения однозначных «ветвей» достаточно раздельно рассматривать правую и левую части этой параболы, т. е. положительные и отри¬ цательные значения х *). *) Ниже [71] мы вернемся еще к вопросу о существовании и однознач¬ ности обратной функции.
54 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [24 Если функция x = g(y) является обратной для функции y=f(x)y то, очевидно, графики обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой ху т. е. вместо функции x = g(y) рассматривать y = g(x). Тогда лишь придется горизонтальную ось назвать осью у, а верти¬ кальную— осью х; график все еще останется прежним. Если же пожелать, чтобы (новая) ось х была бы, как привычно, горизонталь¬ ной, а (новая) ось у — вертикальной, то эти оси нужно будет пере¬ ставить одну на место другой, что уже изменит и график. Для осу¬ ществления этого проще всего по¬ вернуть плоскость чертежа хОу на 180° вокруг биссектрисы пер¬ вого координатного угла (рис. 15). Таким образом, окончательно, график y — g(x) получается как зеркальное отражение графика y=f (x) относительно этой биссек¬ трисы. По рис. 10 и 11, например, сразу видно, что они именно так получены один из другого. Точно так же, исходя из высказан¬ ных соображений, легко объяснить симметричность (относительно биссектрисы) каждого из рис. 8 и 9. 24. Обратные тригонометрические функции. В дополнение к тем классам элементарных функций, которые были упомянуты в п°22, рассмотрим теперь 6°. Обратные тригонометрические функции: j/ = arcsinje, jj = arccos.*r, у = arctg at, у = arcctg х (у = arcsc х, у = arccsc л;). Остановимся сначала на первой из них. Функция у = sin х опре¬ делена в промежутке SV = ( — оо, +°°)> причем ее значения запол¬ няют сплошь промежуток 5^ = [ — 1, 1]. Параллель оси х пересекает синусоиду, т. е. график функции у = sinх (рис. 12), в бесконеч¬ ном множестве точек; иначе говоря, каждому значению у из
241 $ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 55 промежутка!—1, 1] отвечает бесконечное множество значе¬ ний лг. Поэтому обратная функция, которую обозначают так: х = Arcsin у*), будет (бесконечно-) многозначной. Обычно рассматривают лишь одну «ветвь» этой функции, отвечающую изменению х между—у и у. Каждому у из [—1, 1] в этих пределах отвечает одно значение х\ его обозначают через jc = arcsin у и называют главным значением аркси¬ нуса. Поворачивая синусоиду около биссек¬ трисы первого координатного угла, получаем график (рис. 16) многозначной функ¬ ции у = Arcsin х; жирно выделен график главной ветви ее у = arcsinх, которая однозначно определена в промежутке [—1, 1] значений л; и притом удовлетворяет неравенству TZ 2" — -гг arcsin х^-гг которое характеризует ее среди других ветвей. Вспоминая из элементарной тригономет¬ рии, как выражаются все значения угла, имеющего данный синус, через одно из этих значений, легко написать формулы, дающие все значения арксинуса: Arcsin х = arcsin х -f- 2 k% или (2£-j-l)rc — arcsin x (A = 0, ± 1, ±2, ...)• Подобные же рассуждения применимы к функции у: (—оо<^х <^-\-оо). И здесь обратная функция у = Arccosх (—1 ^х^ 1) *) Мы уже подчеркивали в свое время [22, 5е], что аргумент х триго¬ нометрической функции выражает угол в радианах; разумеется, и здесь значения обратных тригонометрических функций — если их рассматривать как меры углов — все выражены в радианах. Рис. 16. cos х
56 ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [24 оказывается (бесконечно-) многозначной (см. рис. 12). Для выделения однозначной ветви ее подчиняют условию О ^ arccos х^щ это есть главная ветвь арккосинуса. Функция arccos х связана с arcsin х очевидным соотношением arccos х = у — arcsin jc; действительно, не только косинус угла ~ — arcsinjc равен sin (arcsin х) = х, но и сам угол содержится именно между 0 и тс. Ос¬ тальные значения Arccos х выражаются через глав¬ ное значение по формуле Arccos x=2kK± arccos х (А = 0, ±1, ±2, ...). Функция у = tgx определена для всех зна¬ чений х, кроме значений * = (2А+1)| (k = 0, ±1, ±2, ...). Значения у заполняют здесь промежуток (—оо, -f- оо), причем каждому у снова соответствует бес¬ конечное множество зна¬ чений х (см. рис. 13). Поэтому обратная функция x = ATctgy, заданная в промежутке (—оо, -|-оо), будет (бесконечно-) многозначной. На рис. 17 изо¬ бражен график функции y = kxoigx, полученный поворотом на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла графика функции y = tgx. За главное значение арктангенса, arctgjc, принимают то из значений этой многозначной функции, которое удовлетворяет неравенствам — -J<arctg*<|-. У \ \ N \ >-* —ч >— \ \ \ 2пг \ \ \ г- 7t п Z /far. ctgx 3 1 1 Z 1 у О / Z 1 _ тс Рис. 17.
25] § 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 57 Таким путем определяется однозначная функция — главная ветвь арктангенса, заданная для всех значений х. Остальные значе¬ ния арктангенса, как легко показать, получаются так: Arctgх = arctgx-^-kn (& = 0, ±1, ±2,...). Нетрудно установить прямую связь между функциями arctg х и arcsinjr. arctg х = arcsin - или arcsin х = arctg - <-co<*<+co) V'+X* (_!<*<+!) Например, если положить а = arctg х, так что tga = x, то sina = = —7====. = —.. -* причем корень берется со знаком плюс, /1+tg2* Vl+x*’ р Р н потому что —отсюда и вытекает, что a = arcsin^p==r. Упомянем еще о функции Arcctg (—сю<^лг<^-|-оо); ее глав¬ ное значение определяется неравенствами О <[ arcctg х тс и связано с arctg х соотношением arcctg x=y — arctg х. Остальные значения арккотангенса имеют вид Arcctg х = arcctg х -f- kv (k = 0, ± 1, dt 2, ...). На функциях arcsc*(——1 и 1 ^x -f- °°) и arccsc x (те же промежутки изменения) останавливаться не будем, предостав¬ ляя читателю самому в них разобраться. 25. Суперпозиция функций. Заключительные замечания. Познакомимся с понятием суперпозиции (или наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функ¬ ции подставляется другая функция (от другого аргумента). Напри¬ мер, суперпозиция функций у = sin х и z = logj/ дает функцию z = log sin х; аналогично получаются и функции У1 — х*, arctg — и т. п. В общем виде предположим, что функция z = <p(y) определена в некоторой области 2f = {y}, а функция y=f(x) определена для х в области 3?={х), причем значения ее все содержатся в области ЗЛ Тогда переменная z, как говорят, через посред¬ ство у и сама является функцией от х: * = <Р (/(■*))•
58 ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ По заданному х из SC сначала находят соответствующее ему (по правилу, характеризуемому знаком /) значение у из 3^, а затем уста¬ навливают соответствующее этому значению у (по правилу, харак¬ теризуемому знаком (р) значение г; его и считают соответствующим выбранному х. Полученная функция от функции, или сложная функция, и есть результат суперпозиции функций f (x) и ср (у). Предположение, что значения функции f(x) не выходят за пре¬ делы той области 3^, в которой определена функция <р (у), весьма существенно: если его опустить, то может получиться и неле¬ пость. Например, полагая z=logy, a y = sinxt мы можем рассма¬ тривать лишь такие значения х, для которых sinje^>0, ибо иначе выражение log sin х не имело бы смысла. Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика функции, как сложной, связана не с природой функциональной зависимости z от х, а лишь со способом задания этой зависи¬ мости. Например, пусть z = У1—у* для у в [— 1, 1], a y = s\nx Здесь функция cosх оказалась заданной в виде сложной функции. Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции, мы можем точно охарактеризовать простейший из тех классов функ¬ ций, которые изучаются в анализе: это, прежде всего, перечисленные выше элементарные функции 1°—6°, а затем — все те, которые из них получаются с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, последовательно примененных конечное число раз. Про них говорят, что они выражаются через элементарные в конечном виде; иногда их все также называют элементар¬ ными. Впоследствии, овладев более сложным аналитическим аппаратом (бесконечные ряды, интегралы), мы познакомимся и с другими функ¬ циями, также играющими важную роль в анализе, но уже выходя¬ щими за пределы класса элементарных функций. Тогда z = Y' 1 — sin2jc = cos х.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 26. Исторические замечания. Понятие предела ныне пронизывает весь математический анализ, да и в других областях математики также играет важную роль. Однако (как читатель увидит в главе XIV) это понятие вовсе не лежало в основе дифференциального и интегрального исчисления при его возникновении. Впервые определение понятия предела появляется (по суще¬ ству в той же форме, как это будет изложено ниже в п° 28) у Валлиса *) в «Арифметике бесконечных величин» (1655). Ньютон в знаменитых «Мате¬ матических началах натуральной философии» (1686—1687) опубликовал свой метод первых и последних отношений (или сумм), в котором можно усмо¬ треть зачатки теории пределов. Однако никому из великих математиков XVIII века не приходило в голову обосновать новое исчисление на понятии предела и тем ответить на справедливые нападки, которым оно подвергалось *♦). В этом смысле характерна позиция Эйлера, который в пре¬ дисловии к трактату по «Дифференциальному исчислению» (1755) отчетливо говорит о пределе, но нигде во всей книге этим понятием не пользуется. Перелом в указанном вопросе был создан «Алгебраическим анализом» Коши ***) (1821) и дальнейшими его публикациями, где впервые развита была теория пределов, послужившая в руках Коши действенным орудием для строгого построения всего математического анализа. Позиция Коши, раз¬ веявшая мистический туман, которым до него были покрыты начала анализа, получила всеобщее признание. Впрочем, заслугу Коши разделяют и другие ученые, среди которых особое место занимает Больцано, в ряде случаев своими работами предупредивший не только Коши, но и позднейших математиков. Эти работы не получили распространения, и о них вспомнили лишь спустя много десятилетий. 27. Числовая последовательность. Установление основного в ана¬ лизе понятия предел мы начнем с простейшего частного случая (известного даже из курса средней школы), именно — с предела функции хп от натурального аргумента. Как увидим, к этому случаю принципиально сводятся и все более сложные случаи. Аргумент п принимает все значения из натурального ряда 1, 2, 3, п, .... п', (1) *) Джон Валлис (1616—1703) — английский математик. **) Подробнее об этом см. в главе XIV. ♦**) Огюстен Луи Коши (1789—1857) —знаменитый французский аналист.
60 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [27 члены которого мы представляем себе упорядоченными по возраста¬ нию, так что большее число ri следует за меньшим числом я, меньшее число п предшествует большему числу п\ Если задана функция хю то ее аргумент, или указатель я, можно рассматривать как номер соответствующего значения переменной. Таким образом, Х\ есть первое ее значение, лг2 — второе, дг3 — третье и т. д. Мы всегда будем представлять себе это множество зна¬ чений {хп\ упорядоченным, наподобие натурального ряда (1), по возрастанию номеров, т. е. в виде числовой последовательности Х\у Х%> *3, . .., Хю ..., Xп', ... *). (2) При пг^>п значение хп> следует за хп (хп предшествует хП') независимо от того, будет ли само число хп> больше, меньше или даже равно хп. Например, если задать функцию хп одной из формул = 1, *„=(- i)n+1, =1+biZ!, то соответствующие последовательности будут: 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... 1 2 3 4 б 6 1, -1, 1, — 1, 1, -1, ... 1 2 3 4 5 6 0, 1, 0, 1 2 » о, 1 3 , ... 1 2 3 4 б 6 В первом случае мы имеем просто постоянную величину: все «множество» принимаемых ею значений сводится к одному; во вто¬ ром — это множество состоит из двух значений, принимаемых по¬ очередно. Наконец, в третьем случае множество различных значений, принимаемых функцией хп> бесконечно, но это не мешает значениям этой функции через одно равняться нулю. Таким образом, область изменения SV функции хт как переменной величины, и последова¬ тельность (2) существенно отличаются одна от другой. Первое от¬ личие в том, что в множестве SV каждый элемент встречается по разу, а в последовательности (2) один и тот же элемент может повторяться несколько (и даже бесконечное множество) раз. Второе же — и самое существенное — отличие заключается в том, что мно¬ жество X «аморфно», лишено порядка, а для элементов последо¬ вательности (2) установлен определенный порядок. *) Аналогично можно было бы говорить и о последовательности точек прямой или каких-нибудь других объектов, занумерованных натуральными указателями.
28] § I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 61 Привычный способ записи последовательности [см. (2)] как бы предполагает пространственное расположение элементов после¬ довательности. Но такая запись применяется лишь для удобства и с существом дела не связана. Если мы будем говорить, что пере¬ менная «пробегает» такую-то последовательность значений, то у чита¬ теля может возникнуть представление о прохождении переменной своих значений в последовательные моменты времени, но на деле и время тут не при чем. Лишь для образности языка употребляют иной раз и выражения: «далекие» значения переменной, начиная с некоторого «места» или с некоторого «момента» изменения, и т. п. 28. Определение предела последовательности. Упорядочение значений переменной хп по возрастанию их номеров, приведшее к рассмотрению последовательности (2) этих значений, облегчает понимание самого «процесса» приближения переменной хп — при без¬ граничном возрастании п — к ее пределу а. Число а называется пределом переменной хп, если последняя отличается от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места, т. е. для всех достаточно больших номеров п. Этим суть дела выражена ярко, но что значит «сколь угодно мало» и «достаточно большие» — еще подлежит уточнению. Приведем теперь более длинное, но уже исчерпывающе строгое определение предела: Число а называется пределом переменной хт если для каждого положительного числа е, сколько бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все значения хПУ у которых номер n^>N, удовлетворяют неравенству \хп а I <е* (3) Тот факт, что а является пределом переменной хю записывают так: lim хп = а (lim есть сокращение латинского слова limes, означающего «предел»). Говорят еще, что переменная стремится к а, и пишут —а. Наконец, число а называют также пределом последов а- тельности (2), и говорят, что эта последовательность сходится к а. Неравенство (3), где г произвольно, и есть точная запись утвер¬ ждения, что хп от а «отличается сколь угодно мало», а номер N как раз и указывает то «место», начиная с которого это обстоя¬ тельство осуществляется, так что «достаточно большими» будут все номера n^>N. Важно дать себе отчет в том, что номер N, вообще говоря, не может быть указан раз навсегда; он зависит от выбора числа е.
62 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [29 Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо N будем писать ЛГв. При уменьшении числа в соответствующий номер Af=Ne, вообще говоря, увеличивается: чем большей близости значений переменной хп к а мы требуем, тем «более далекие» зна¬ чения ее в ряду (2) приходится рассматривать. Исключение представляет тот случай, когда все значения переменной хп равны постоянному числу а. Очевидно, что тогда а — \\тхПУ но на этот раз неравенство (3) будет выполняться для любого е^>0 одновременно при всех значениях хп *). Неравенство (3), как мы знаем [8], равносильно следующим: — *Оп — Я<9 или а — *<*п<а + г; (4) этим мы часто будем пользоваться впоследствии. Открытый промежуток (а — е, а-{-е), с центром в точке а, принято называть окрестностью этой точки. Таким образом, какую бы малую окрестность точки а ни взять, все значе¬ ния хт начиная с некоторого из них, должны попасть в эту окрестность (так что вне ее может остаться разве лишь конечное а-е а+ь { о о Рис. 18. число этих значений). Если изобразить число а и значения перемен¬ ной хп точками на числовой оси [п°13] (рис. 18), то точка, изобра¬ жающая число а, окажется как бы средоточием сгустка точек, изображающих значения хп. 29. Бесконечно малые величины. Случай, когда переменная стремится к нулю: хп—►О, представляет особый интерес. Переменная хп, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной, или просто бесконечно малой. Если в определении предела переменной хп [28] положить а = О, то неравенство (3) примет вид \*н — 01 = 1*/>!О (для и>4)- Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»: *) Аналогичное обстоятельство имеет место для переменной хт значе¬ ния которой становятся равными в, начиная с некоторого места.
30] § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 63 Переменная хп называется бесконечно малой, если она для достаточно больших номеров становится и остается по абсолютной величине меньшей сколь угодно малого наперед за¬ данного числа г^>0. Не вполне удачный (исторически сложившийся) термин «беско¬ нечно малая» величина не должен вводить читателя в заблуждение: ни одно в отдельности взятое значение этой величины, если оно не нуль, не может квалифицироваться как «малое». Суть дела в том, что это — переменная величина *), которая лишь в процессе своего изменения способна в конце концов сделаться меньшей произвольно взятого числа е. Если вернуться к общему случаю переменной хл> имеющей пре¬ дел а, то разность *п = Хп — а между переменной и ее пределом, очевидно, будет бесконечно малой: ведь, в силу (3), KI = K — <*10 (для Л>М.). Обратно, если ап есть бесконечно малая, то хп—*а. Это при¬ водит нас к следующему утверждению: Для того чтобы переменная хп имела своим пределом по¬ стоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы раз¬ ность между ними а.п = хп — а была бесконечно малой. В связи с этим можно было бы дать и для понятия «предел» другое определение (равносильное старому): Постоянное число а называется пределом переменной хш если разность между ними есть бесконечно малая величина. Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для бесконечно малой нужно использовать второе из приведенных выше определений. Иначе получился бы порочный круг: предел определялся бы через бесконечно малую, а бесконечно малая — через предел! Итак, если переменная х„—►а, то она может быть представлена в виде хп = a -j- где ап есть бесконечно малая, и обратно, если переменная допускает такое представление, то она имеет пределом а. Этим часто пользуются на практике для установления предела переменной. 30. Примеры. 1) Рассмотрим переменные *_=± х.=-± ,. = L-l)nlLt *) Исключая неинтересный случай, когда она тождественно равна нулю.
64 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ I30 им отвечают такие последовательности значений: — 1, 1 1 1 2 ’ 3 ’ 4 1 1 1 2 * 3 • 4 1 1 1 2 1 3 ’ 4 Все три переменные представляют собой бесконечно малые, т. е. имеют пределом нуль. Действительно, для них , I 1 лишь только п >“*. Таким образом, в качестве N6 можно, например, взять наибольшее целое число, содержащееся в т. е. Е \ Отметим, что первая переменная все время больше своего предела нуль, вторая — все время меньше его, третья же — попеременно становится то больше, то меньше его. 2) Если положить _2 + (-1)" л“" п то переменная пробегает такую последовательность значений: 1 А 1 А 1 А 9 2' 3» 4» 5’ б1**' И в этом случае хп—*0, так как для так что за N, можно принять Е . Мы сталкиваемся здесь с любопытной особенностью: переменная пооче¬ редно то приближается к своему пределу нуль, то удаляется от него. 3) Пусть теперь 1+(-!>*. ,1— п с этой переменной мы уже имели дело в п° 27. Здесь также хп—*0, ибо лишь только п> Ne = E . Отметим, что для всех нечетных значений п переменная оказывается равной своему пределу. *) См. стр. 41.
30] § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 65 Эти простые примеры интересны тем, что они характеризуют много¬ образие тех возможностей, которые охватываются данным выше определе¬ нием предела. Несущественно, лежат ли значения переменной с одной стороны от предела или нет; несущественно, приближается ли переменная с каждым шагом к своему пределу; несущественно, наконец, достигает ли переменная своего предела, т. е. принимает ли значения, равные пределу. Существенно лишь то, о чем говорится в определении: переменная должна отличаться от предела сколь угодно мало в конце кон* цов, т. е. для достаточно далеких своих значений. 4) Определим переменную формулой ± - хп = ап =Va (а> 1) и докажем, что агл —► 1. Если воспользоваться неравенством (3) в пв И, то можно написать: \хп — 1 | = }/~а — 1 < ——- < е, лишь только п > N6 = E j • Можно, однако, рассуждать иначе. Неравенство Jl^ 1-^л — 1| = ал — 1<е равносильно такому: ТГ < 1о2а О + е) или п > • 1 я loge(l + «)’ так что оно выполняется при п > N. = Е ( : Л * \10ge(l+*)r В соответствии с выбранным способом рассуждения мы пришли к раз¬ личным выражениям для N.. Например, при а = 10, е = 0,01 получаем 9 / 1 \ Na,n = oof = 900 по первому способу и N0,0l—El 0,004327")= 231 ~ П° второму. По второму способу мы получили наименьшее из возможных значений для N0t0i, ибо уже 10231 = 1,010017... отличается от числа 1 больше чем на е = 0,01. То же будет и в общем случае. Заметим по этому поводу, что мы вовсе не заинтересованы именно в наименьшем возможном значении Net если речь идет только об уста¬ новлении факта стремления к пределу» Должно быть гарантировано выпол¬ нение неравенства (3), начиная хоть с какого-нибудь места, далекого или близкого — безразлично. 5) Важный пример бесконечно малой дает переменная ап = Яп, где |?|<1. Для доказательства того, что ап —*0, рассмотрим неравенство I “я I = I я Iя < оно равносильно таким: log $ « - log I д I < log e или n > |Q- 8 ■ *) Следует иметь в виду, что | q | < 1 и log | q | < 0; поэтому при деле¬ нии обеих частей неравенства на это число знак неравенства должен быть изменен на обратный. 3 Г. М, Фнхтенгольц, т. I
66 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [31 Таким образом, если положить (считая е < 1) jVt = £(rl0f Е ■), Vlog \ q\ Г то при л> Атв упомянутое неравенство наверное выполнится. Аналогично легко убедиться в том, что и переменная где по-прежнему а А — постоянное число, также есть бесконечно малая. 6) Рассмотрим, далее, бесконечную убывающую геометрическую про¬ грессию -H-e, aq, адг, ..., aq"-1, ... ( |?| < 1) и поставим вопрос об определении ее суммы. Под суммой бесконечной прогрессии, как известно, разумеется предел, к которому стремится сумма sn ее п членов при безграничном возраста¬ нии я. Но а— аап а а с 2_ . пП 1 — q "* \ — q \—qq' а так что переменная sn разнится от постоянного числа -j — на величину ап = ' ^П> К0Т0Рая* как мы только что видели, является бесконечно малой. Следовательно, по второму определению предела искомая сумма прогрессии s = lim 5Я= jzzj. 31. Бесконечно большие величины. Бесконечно малым величи¬ нам, в некотором смысле, противопоставляются бесконечно боль¬ шие величины (или просто бесконечно большие). Переменная хп называется бесконечно большой, если она для достаточно больших значений п становится и остается по абсолютной величине б 6 лъ ш е й сколь угодно большого напе¬ ред заданного числа Е^>0: |^Я|]>Е {для я>ЛГЕ). Как и в случае бесконечно малых, здесь также следует подчерк¬ нуть, что ни одно в отдельности взятое значение бесконечно боль¬ шой величины не может быть квалифицировано как «большое»; мы имеем здесь дело с переменной величиной, которая лишь г. процессе своего изменения способна в конце концов сде¬ латься большей произвольно взятого числа Е. Примерами бесконечно больших могут служить переменные хп = п, хп = пу = (— 1 )n+1nt которые пробегают натуральный ряд чисел, но первая со знаком плюс, вто¬ рая со знаком минус, третья же — с чередующимися знаками.
31] § !. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 67 Вот еще один пример бесконечно большой величины: xn = Qn при |0|>1. Действительно, каково бы ни было Е > 0, неравенство I i=IQ Iя > е выполняется, лишь только log Е *) л • log | О I > logЕ или п > , так что за NE можно взять число Особенно важны те случаи, когда бесконечно большая величина хп (по крайней мере, для достаточно больших п) сохраняет определен¬ ный знак (-[- или —); тогда, в соответствии со знаком, говорят, что переменная хп имеет предел -|-оо или —оо, а также что она стремится кг °° или —оо; при этом пишут lim хп "=■ —|— оо, л:л—>-[“°° или Нписл = — оо, хп—+ — оо. Можно было бы дать для этих случаев и независимое определе¬ ние, заменив неравенство |дгл|]>Е, смотря по случаю, неравенством лгя>Е или jc„< —Е, откуда уже вытекает, соответственно, что хп^>0 или хп<^0. Очевидно, что бесконечно большая величина хп в общем случае характеризуется соотношением | хЛ | —► -f-со* Из приведенных выше примеров бесконечно больших величин, очевидно, переменная хп = п стремится к +оо, переменная хп = — п стремится к —оо. Что же касается третьей переменной: агл = (—1 )Л+1 я, то про нее нельзя сказать ни что она стремится к +оо, ни что она стремится к —оо. Наконец, относительно переменной xn = Qn лишь при Q>1 можно сказать, что она стремится к 4*°°; при Q < — 1 у нее предела нет. С «несобственными числами» ±оо мы уже сталкивались в п°6; следует помнить, что их применение имеет совершенно условный смысл, и остерегаться производить над этими числами арифметиче¬ ские операции. Вместо -\-оо часто пишут просто оо. В заключение упомянем о простой связи, которая существует между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Если переменная хп является бесконечно большой, то ее об¬ ратная величина аЛ = — будет бесконечно малой. Хп V Возьмем любое число ер>0. По определению бесконечно боль¬ шой, для числа Е = ~ найдется такой номер N, что I Хп I ~» лишь только п Л/. *) Так как | Q | > 1, то log | Q | > 0. 3*
68 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [32 Тогда для тех же значений л, очевидно, будет Iя» к®. что и доказывает наше утверждение. Аналогично можно доказать и обратное утверждение: Если переменная ал (не обращающаяся в нуль) является беско¬ нечно малой, то обратная для нее величина хп = — будет беско¬ нечно большой. 32. Определение предела функции. Рассмотрим числовое множе¬ ство ЗС = {х). Точка а называется точкой сгущения этого множества, если в любой окрестности (а — 8, я + 8) [п° 28] этой точки содержатся значения х из ЗС, отличные от а. Сама точка сгущения при этом может принадлежать ЗС или нет. Например, если ЗС = [а, Ь] или ЗС = (а, Ь], то а в обоих случаях является точкой сгущения для ЗС, но в первом случае она сама содержится в ЗС, а во втором — нет. В предположении, что а есть точка сгущения для ЗС, можно извлечь из ЗС — и притом бесчисленным множеством способов — такую последовательность хъ ХЪ х3, .... хп, ... (2) значений х, отличных от а, которая имела бы своим пределом а. Действительно, задавшись последовательностью положительных чи¬ сел 8Л, сходящейся к нулю, в каждой окрестности (<а — 8Л, а -(- 8Л) точки а (при п = 1, 2, 3, ...) найдем по точке х = хп из отлич¬ ной от а; так как 8Л-*0 и \хп — а|<^8л, то хп^а. Пусть теперь в области ЗС, для которой а является точкой сгу¬ щения, задана некоторая функция f(x). Представляет интерес пове¬ дение этой функции при приближении х к а. Говорят, что функция f(x) имеет предел А, конечный или нет, при с тре млении х к а (или, короче, — в точке а), если, к а к у ю бы последователь¬ ность (2) с пределом а, извлеченную из ЗС, ни пробегала незави¬ симая переменная х, соответствующая последовательность зна¬ чений функции /C*i), /(*а). /(*3). ..., /(хп), ... (5) всегда имеет предел А. Обозначают этот факт так: Km f(x) = А (6) х -*а или /(*)-► А при х->а. (7) Предположим теперь, что множество ЗС = {аг} содержит сколь угодно большие положительные значения х; тогда говорят, что -|-оо является точкой сгущения этого множества. Если под окрест¬
33] § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 69 ностью точки -{-со разуметь промежуток (Д, +оо), то можно высказанное предположение представить и в такой форме: в каждой окрестности точки 4“00 должны содержаться числа из множе¬ ства SC. Если это предположение выполнено, то можно из SV выделить последовательность (2), имеющую пределом -f- со. Действительно, взяв любую положительную переменную Дя, стремящуюся к -\-оо, для каждого Дл {п= 1, 2, 3, ...) найдем в 3? значение хп^>кп; очевидно, хп -v -[- сю. В предположении, что 4~°° является точкой сгущения для 3?, рассмотрим определенную в этой области функцию f(x). Для нее можно установить понятие предела при х -|- оо: lirn f(x) = A .V—*—J-oo совершенно так же, как и выше, заменив лишь а на -f-оо. Аналогично устанавливается и понятие предела функции f(x) при х->— оо: Jim f(x)= А. Х-+ —со Здесь нужно лишь заранее предположить, что —оо есть точка сгущения множества 3? — смысл этого ясен сам собой. Скажем в заключение о переносе на рассматриваемый общий слу¬ чай предела функции терминологии, установленной в п° 29 и 31 для функции от натурального аргумента. Пусть при определен¬ ном предельном переходе по х функция f(x) стремится к нулю; тогда эту функцию называют бесконечно малой вели¬ чиной. Если функция f{x) стремится к конечному пределу Л, то разность f(x) — А будет бесконечно малой, и наоборот. При стрем¬ лении |/(л01 к -[-оо функцию называют бесконечно большой величиной *). Наконец, легко перенести на рассматриваемый общий случай и теоремы в конце п° 31, устанавливающие связь между бес¬ конечно малыми и бесконечно большими. 33. Другое определение предела функции. Понятие предела функции f(x) при стремлении х к а мы построили на ранее изучен¬ ном и более элементарном понятии предела последовательности. Можно, однако, дать другое определение предела функции, вовсе не использующее предела последовательности. Ограничимся сначала случаем, когда оба числа а и Л конечны. Тогда — в предположении, что а является точкой сгущения области 3£у где задана функция /(*), — новое определение предела можно дать в такой форме: *) Если это обстоятельство имеет место при х-+а, где а — конечно, то говорят также, что в точке а функция обращается в бесконеч¬ ность.
70 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (33 Функция f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е^>0 найдется такое число 8^>0, что \f(x) — А |<е, лишь.только \х — я|<С& ($) (где х взято из и отлично от а) *). Это определение совершенно равносильно данному выше в п° 32. Для доказательства предположим сначала, что выполнено только что сформулированное условие, и по произвольно взятому е^>0 найдено соответствующее ему в указанном смысле число 8^>0. Извлечем из ££ произвольную последовательность (2), сходящуюся к а (причем все хп отличны от а). По определению предела последовательности, числу 8^>0 отвечает такой номер N, что при n^>N будет выпол¬ няться неравенство \хп — я|<\8, а следовательно [см. (8)], и \f(xn) — Л|<[е. Этим и доказана сходимость последовательности (5) к А. Таким образом, выполнено условие, которое содержится в преж¬ нем определении. Предположим теперь, что предел функции существует в согласии с прежним определением. Для доказательства того, что одновременно выполняется и условие, содержащееся в новом определении, допустим противное. Тогда для некоторого числа е^>0 уже не существо¬ вало бы соответствующего 8, т. е. какое бы малое 8 ни взять, всегда найдется хоть одно значение переменной х = хг (отличное от а), для которого \х* — а|<^8, но тем не менее \f{xf)—А |^е. Возьмем последовательность положительных чисел 8Л, сходящуюся к нулю. На основании только что сказанного для каждого числа 8 = 8Л найдется такое значение xf = xn> что \хп — а | 8Л, но тем не менее \f{xn) — А | ^ е. Из этих значений, таким образом, составляется некоторая после¬ довательность ^ v • • • > ЭСп, ..., для которой \х'а — я|<А (я=1, 2, 3, так как то х'п-*-а. По предположению, соответствующая последовательность значений функции /С*0> /Ю> /• ••> fix'n), ... ■*) Именно из того, что а есть точка сгущения для явствует, что такие значения х в окрестности (а—5, д + В) точки а наверное существуют.
341 § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 71 должна сходиться к Л, а это невозможно ввиду того, что при всех /г=1, 2, 3, ... имеем |f(x'n)— А |^е. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Легко указать новую форму определения предела и для тех слу¬ чаев, когда одно из чисел а, А или оба они равны -{- оо или — оо. Приведем для примера в развернутом виде определение, относящееся к случаю а = -|-оо и А конечного (или тоже равного +°°): Функция f{x) при стремлении х к -|-оо имеет пределом конеч¬ ное число А (или +оо), если для каждого числа е^>0 (Е]>0) найдется такое число А^>0, что \f(x) — А |<е (/(лг)]>Е), лишь только лг^>А (х из X). Доказательство равносильности этого определения с определением «на языке последовательностей» проводится так же, как и выше. Если применить это определение к переменной хп, как функции от независимой переменной п> при я-*-}-00» то мы вернемся к ис¬ ходному определению предела такой функции, или — что то же — пре¬ дела последовательности, данному в п° 28 и 31 (роль числа А там играет N). Таким образом, в то время как прежнее определение пре¬ дела функции сводило это понятие к пределу последовательности, в свою очередь определение предела последовательности оказывается по¬ просту частным случаем определения предела функции вообще — в его новой форме. Тот предел, который мы раньше обозначили через Ит лгл, по-новому должен был бы быть записан в виде lim хп. Впрочем, на деле указание л->-{- оо всегда может быть опущено без опасности недоразумения, ибо никакого другого предельного пере¬ хода здесь не может подразумеваться: область c/f изменения нату¬ рального указателя п имеет единственную точку сгущения -|-оо. Несмотря на различие в определениях предела функции (в новой форме) применительно к различным предположениям относительно а и А, сущность их одна и та же: функция должна содержаться в произвольной «окрестности» своего предела Л, лишь только независимая переменная содержится в надлежаще выбранной «окрестности» своего предела а. Итак, для важного в анализе понятия предела функции мы имеем два равносильных определения; в зависимости от удобства мы будем пользоваться то тем, то другим из них. 34. Примеры. 1) Аналогично доказанному в п° 30, 5) предельному соот¬ ношению J_ lim ап = 1 (я>1)
72 гл. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (34 можно получить более общее: lim ах=. 1 (а > 1). *-►0 Требуется для заданного е>0*) найти такое &>0, что | ах— 1 | < е, лишь только | х | < Ь. Но первое из этих неравенств или равносильные ему неравенства 1 — е < ах < 1 + е выполнятся, если l0ga (1 — е) < ДГ< l0go (1 + О- Так как loga(l—e) + loga(l+e) = loga(l — е2)<0 и loga (1 — е) <— log* (1 + е), то упомянутые неравенства и подавно выполнятся, если — loga 0 + е) < х < logo (1 + е) или | лг | < logo 0 + «)• Итак, стоит лишь положить 5 = loga(l + e), чтобы при |л;]<;й было | ах — 1 | < е. Этим завершается доказательство. 2) Докажем, что lim a* = 00 (при д>1). Х-* -f* со При любом Е>0 достаточно взять A = logaE, чтобы х > А влекло за собой ах > Е, что и доказывает наше утверждение ♦*). Аналогично доказывается, что lim ах = 0 (при а>1). Х-* — 00 Именно, каково бы ни было е > О (е < 1), если взять A = 1°ga-]- = —1с2а Е. то при х <— А необходимо ах < е. Если же 0 с а с 1, то с помощью преобразования чг легко установить результаты ахг lim я* = 0, lim ах = -\-со (при 0 < a < 1). Jf-Н-ОО Х-+—СО 3) Установим, что при д>1 и л:>0 lim loga * = + оо, limloga^ = —оо. Х— + СО х-*0 *) Причем ничто не мешает нам считать е < 1. **) С более частным результатом lim ап = + оо мы уже имели дело в п° 31.
34] § I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 73 При любом заданном Е > 0, лишь только х > дЕ, будем иметь: loga х > Е и, аналогично, лишь только 0<лг<а”Е, выполняется неравенство logaA:< —Е. Этим и доказаны оба соотношения. 4) Имеем, далее, lim arctg л: = lim arctg лг = — x СО * X-+ — ОО *• Остановимся для примера на первом пределе. При любом 0, доста¬ точно взять х > tg чтобы было: arctg —е, так что 0< у—arctg х<г. 5) Теперь мы установим следующий (важный и для даль¬ нейшего) результат: п fib lim— = 1. (9) jc —► О х Предварительно, однако, нам придется дока¬ зать некоторые полезные неравенства: sin jc jc tg а: при 0<[лг<[у. (10) С этой целью в круге радиуса R рас¬ смотрим острый угол АОВу хорду АВ и касательную АС к окружности в точке А (рис. 19). Тогда имеем: площадь Д А ОВ <^пло- Рис. 19. щади сектора АОВ<^ площади Д Л ОС *). Если через х обозначить радианную меру угла АОВ9 так что длина дуги АВ выразится произведением Rx, то эти нера¬ венства перепишутся так: Y R2 • sin * < -i- R* • х < y R* • tg лг. Отсюда — по сокращении на ~ R2 — и приходим к неравенствам (10). В предположении, что 0 <^x<^-j, разделим sin jc на каждый из членов неравенств (10). Мы получим 1 v sin х 1 > -у- > cos лг, откуда п ^ . sin х ^ л О < 1 — < 1 — cos х. *) При этом мы пользуемся теми сведениями о площадях элементарных фигур, которые излагаются в школьном курсе.
74 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [34 Но 1 — cos jf=2sina-|-<C 2sin [в силу (10)], так что л ^ sin JC v 0<1 т-О- Отсюда вытекает неравенство I sin х — 1 <м которое, очевидно, сохранится и при изменении знака х, т. е. будет справедливо для всех лг^О, лишь только Полученное неравенство и решает вопрос. Действительно, если по произволу задано число е]>0, то за 8 достаточно выбрать наименьшее чисел е, ~: при |jc|S, прежде всего, при- м е н и м о это неравенство ^ведь 8 ^ ~j, и именно в силу него (так как 8=~^е) sin л: i I ^ 1 \<С е. Г \ 6) Интересен, наконец, и пример, когда предел функции не суще¬ ствует: функция sin л: при стремлении х к +оо (—оо) вовсе не имеет предела. В отсутствии предела всего проще убедиться, стоя на «точке зрения последовательностей». Достаточно заметить, что двум последовательностям {^гМи (п=2> з> значений лг, имеющим пределом + оо, отвечают последовательности значений функции, стремящиеся к различным пределам: . 2п—1 л , . 2л+ 1 1 , sin—^к = —1 -+—1, sin —~—те == 1 —► 1. Если вспомнить «колебательный» характер синусоиды, то отсутствие предела в рассматриваемом случае станет наглядным. Аналогично, и функция sin — при стремлении а к нулю (как при а > 0, так и при а < 0) предела не имеет. Это, в сущности, лишь другая форма приведенного выше примера: стоит лишь в функции sin х заменить х на Очевидно, если а пробегает последовательность положительных (отрицатель¬ ных) значений, приближающихся к нулю, то х = — стремится к +°°(—°°)> OL и обратно. Напишем снова в выражении sin ~ вместо буквы а букву х (чтобы вер¬ нуться к привычному обозначению абсциссы) и рассмотрим поучитель¬
34] ный график функции § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 75 2 ( 2 \ ограничиваясь значениями х от 0 до -- (и от —— до 0J. Отметим последовательно убывающие до 0 значения х: А 1 А 1 1 1 2 2 1 2 2 к9 5п9 Зп> Зя’ 7 п9 им отвечают растущие до + оо значения — : (2л — \)к> пъ' (2л + 1 о 7* 3”- -2’ (2га — 1) я _ (2л+1) я Г) > Л7С» О у В промежутках между указанными значениями (при убывании х) наша функция попеременно убывает от 1 до 0 и от 0 до — 1, затем возрастает от — 1 до 0 и от 0 до 1 и т. д. Таким образом, функция sin — производит бесконечное множество колебаний, подобно функции sin х% но, в то время как для последней эти колебания распределяются на бесконечный проме¬ жуток, здесь они все умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к нулю. График изображен на рис. 20 (разумеется, не полностью—бесконечное множество колебаний воспроизвести невозможно!). Так как при изменении знака х и sin — меняется знак, то левая половина графика симметрична с правой относительно начала. 7) Если для хфО рассмотреть функцию х> которая отличается множителем х от только что изученной функции 8*п“> то на этот раз пре¬ дел при х-+0 существует: lim х • sin — = 0,
76 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [35 что сразу ясно из неравенства I х • sin ~ I < | х I. I х | 1 1 При приближении х к нулю, наша функция по-прежнему производит бесконечное множество колебаний, но их амплитуда (благодаря множителю л:) убывает, стремясь к нулю, чем и обеспечивается существование предела. График функции . 1 у = х • sm — * х изображен на рис. 21; он умещается между двумя биссектрисами у=>х и у = — х координатных углов *). Замечание. Мы имели пределы lim —«■ = 1 lim л; • sin — = О, jf —► о * jp -*• о * объединенные одной особенностью: ни одна из рассматриваемых здесь функ¬ ций не определена при х = 0. Но это нисколько не мешает говорить об их пределах при х—*0, ибо, согласно точному смыслу данного выше определения, как раз значение х = 0 при этом не рассматривается. Аналогично, то обстоятельство, что функция sin — не имеет смысла при * = 0, не мешает ставить вопрос об ее пределе при jc —► 0; но на этот раз предел оказывается несуществующим. 36. Односторонние пределы. Если область SC такова, что в любой близости от а, но спр а в а от а, найдутся значения х из «Ж\ то можно специализировать данное в п° 32 и 33 определение предела функции, ограничившись лишь значениями х^>а. В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции f(x) при стремлении х к а с права (или короче — в точке а с права) и обозначается символом lim f(x) или f{a -f- 0). *-► а + 0 *) Ha рис. 20 и 21 для ясности пришлось по оси х взять больший масштаб, что создает искажение.
35] § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 77 Аналогично определяется понятие предела функции при стрем¬ лении х к а (в точке а) слева lim f(x) или /(а — 0) *). х а — 0 Оба эти предела называются односторонними. Если область & допускает безграничное приближение к а и справа и слева, то можно рассматривать и тот и другой пределы. Легко установить, что для существования обыкновенного («двустороннего») предела (6) необходимо и достаточно существование порознь и равенство обоих пределов справа и слева: lim f(x)= lim f(x) = A. x-+a-\- 0 x a — 0 Отметим, что эти пределы могут оба существовать, но не быть равными. Примеры тому легко построить, исходя из уже рассмотрен¬ ных в п° 34 примеров 1) и 4). *) Если само а = 0, то вместо 0 + 0 (0—0) пишут просто +0 (— 0).
78 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ J36 Примеры. Определим две функции для х ф О равенствами 2 /i(x) = a* (а > 1), f>(x) = arctg Для,первой из них имеем 2 /i(+^)— Km qX ~ Km аг = -\- оо, х О г 4“ оо I (— 0) — lim ах — lim az = 0. х — 0 г — оо Для второй же Л(+0)= lim arctg -L = lim arctg 2= ^ л: —+ 0 ■* ^ —► ~j~ oo 1 h (— 0) = lim arctg -- = lim arctg z= — ^ . jc —*• — 0 x z —► — со ^ Графики этих функций даны на рис. 22 и 23. § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 36. Свойства функции от натурального аргумента, имеющей конечный предел. Так как формулировка и доказательство теорем, относящихся к функции от натурального аргумента, выглядят проще, чем в случае функции общего вида, то мы всегда сначала будем формулировать и доказывать теоремы для отмеченного частного слу¬ чая, а затем лишь сделаем указания относительно переноса их на общий случай. 1) Если переменная хп стремится к пределу а, и а^>р (а<^q), то и все значения переменной, начиная с некоторого, тоже будут больше р (меньше q). Выбрав положительное число е<^я—р (q — а), будем иметь а — е>/> (а-}-е<q). Но, по определению предела переменной хп [п°28], для этого е най¬ дется такое N, что при n^>N будет а — е<дгл<;а + е. Для тех же значений и подавно: хп^>р (xn<^q). Это простое предложение имеет ряд полезных следствий. 2) Если переменная хп стремится к пределу а^>0 «0), то и сама переменная хп0 (<^0), начиная с некоторого места. Для доказательства достаточно применить предыдущее утвержде¬ ние, взяв р = 0 (q = 0).
361 § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 79 3) Если переменная хп стремится к пределу а, причем всегда Хп (S3?). то и О?). Доказывается от противного, со ссылкой на 1). Опираясь на предложение 1), докажем теперь единственность предела. 4) Переменная хп не может одновременно стремиться к двум различным (конечным) пределам. Действительно, допустим противное: пусть одновременно хп-+а и хп-+Ь, причем а<^Ь. Возьмем любое число г между а и Ь\ а <^г<^Ь. Поскольку хп-+а и а<^гу найдется такой номер N', что для n^>Nr будет выполняться неравенство: хп<^г. С другой стороны, раз хп->Ь и Ь^>г, найдется и такой номер 7V", что для n^>N" окажется хп^>г. Если взять номер п ббльщим и N' и N", то соот¬ ветствующее значение переменной хп будет одновременно и меньшим г, и ббльшим г, что невозможно. Это противоречие доказывает наше утверждение. 5) Если переменная хп имеет конечный предел, то она является ограниченной в том смысле, что все ее значения содержатся между двухмя конечными границами: т^хп^М (п— 1, 2, 3,...). (1) Прежде всего, непосредственно из определения предела ясно, что; какое бы ни взять е^>0, найдется такое N, что для n^>N будет а — е<!*яО + е- Таким образом, для n = N-\-1, Af+2,... значения хп уже заклю¬ чены между границами а — е и a-j-e. Вне этих границ могут лежать лишь некоторые из первых N значений хх, xN. Так как таких исключительных значений всего конечное число, то можно раздвинуть указанные границы так, чтобы между новыми границами т и М содержались уже все значения хп. Например, можно за т взять наименьшее из чисел a s, х^у Ху .. • у Xjyy а за М — наибольшее из чисел а —j— в, х^у х<р ...» *^дг* Замечание. Отсюда ясно, в частности, что переменная, имею¬ щая конечный предел, не может одновременно стремиться ни к -j- ос,
80 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [37 ни к —оо. В этом состоит некоторое дополнение к теореме 4) об единственности предела. 37. Распространение на случай функции от произвольной переменной. Легко перефразировать содержание п° 36 на общий случай функции /(лг), заданной в некоторой области X с точкой сгущения а *). 1) Если при стремлении х к а функция /(лг) имеет конечный предел А, и A^>p(A<^q), то для достаточно близких к а значений х (отличных от а) и сама функция удовлетворяет неравенству /(*)>/» (/(*)<?). (2) Выбрав положительное число е А — р (q — А), будем иметь А-е>Р (А + е<?). Но, по второму определению предела функции [п° 33], для этого е найдется такое 8, что, лишь только \х — я|<[8 (где х взято из 3? и отлично от а), тотчас же А-е</(лг)<А + е. Для тех же значений х и подавно будет выполняться (2). Читатель видит, что никаких новых идей для доказательства при¬ влекать не пришлось. Отсюда непосредственно могут быть оправданы и утверждения, аналогичные 2), 3) и 4) из п° 36. Например, полагая в 1) р = 0 (q = 0), получим: 2) Если при х -+а функция f(x) имеет конечный положи¬ тельный (отрицательный) предел, то и сама функция положи¬ тельна (отрицательна), по крайней мере для значений х, доста¬ точно близких к а, но отличных от а. Справедливо и утверждение, аналогичное 5), но в более слабой форме: 3) Если при стремлении х к а функция f(x) имеет конечный предел А, то для значений х, достаточно близких к at функция будет ограниченной в том смысле, что ее значения содержатся между двумя конечными границами: т ^ f{x) ^ М лишь для 0<^|лг — я К 8. Действительно, по определению предела, задавшись числом е^>0, найдем такое 8^>0, что А — если 0<^\х — я|<^8. Напомним, что аналогичный результат мы первоначально получили и для переменной хп: неравенства а — е<лг„<а4-е *) Число а может быть +оо или —оо; но мы для определенности ограничимся случаем конечного а.
38] § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 81 выполнялись только для n^>N. Но в прежнем случае вне этик границ могло оказаться лишь конечное число значений, и легко было найти новые границы, между которыми содержались бы уже все значения без исключения. Здесь же этого, вообще говоря, уже сделать нельзя, ибо значений х, для которых \х — а | ^Ъ, может оказаться и бесконечное множество. Например, функция /(х) = ~ (для лг^>0) при х 1 стремится к единице; очевидно, О <^/С*0 <С 2, если \х—однако для всех рассматриваемых значений функ¬ ция f{x) вовсе не будет ограниченной: при лг->4~0 она стремится К 4-00. 38. Предельный переход в равенстве и неравенстве. Соединяя две переменные хп и уп знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о соответствующих зна¬ чениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером. 1) Если две переменные хп, уп при всех их изменениях равны: хп = уп, причем каждая из них имеет конечный предел: lim хп = а> lim yn = b9 то равны и эти пределы: а = Ь. Непосредственно следует из единственности предела [36, 4)]. Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равенстве: из хп=уп заключают, что Птлгл = = lim>v 2) Если для двух переменных хп, уп всегда выполняется нера¬ венство хп^уп, причем каждая из них имеет конечный предел: lim хп — а, lim уп — Ь, то и а^Ь. Допустим противное: пусть а<^Ь. Рассуждая так же, как и в п°36, 4), возьмем число г между а и Ь, так что a<^r<^b. Тогда, с одной стороны, найдется такой номер АГ, что для п^>№ будет хп<^гу с другой же — найдется и такой номер АТ', что для n^>Nf окажется уп^>г. Если N больше обоих чисел N, АТ', то для номеров n^>N будут одновременно выполняться оба неравенства хп<г, _у„>г, откуда *„<>„, что противоречит предположению. Теорема доказана. Эта теорема устанавливает допустимость предельного пере¬ хода в неравенстве (соединенном с равенством): из хп^уп можно заключить, что \imxn^\\myn. Конечно, знак всюду может быть заменен знаком <\ Мы обращаем внимание читателя на то, что из строгого нера¬ венства хп^>уп, вообще говоря, не вытекает строгое же
82 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (Э9 неравенство \\mxn^>\\mynf а только, по-прежнему: Umxn^Umyn. Гак, например, при всех п, и тем не менее lim — = lim f = 0. п \ п] Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утвер¬ ждение 3) п°3б. При установлении существования и величины предела часто бы¬ вает полезна теорема: 3) Если для переменных хю уп> zn всегда выполняются нера¬ венства причем переменные хп и zn стремятся к общему пределу а: lim хп = lim zn = а, то и переменная уп имеет тот же предел: Umyn = a. Зададимся произвольным е^>0. По этому е, прежде всего, най¬ дется такой номер АТ, что при /*^>ЛГ a —s<jc„<e-f е. Затем найдется такой номер N", что при n^>N” а — s zn а —|— s. Пусть N будет больше обоих чисел АТ и АТ; тогда, при n^>N, выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому a — + Окончательно при n^>N а е<-Уя<a~Ье или \уп — а|<е. Таким образом, действительно, limуп = а. Из этой теоремы, в частности, следует: если при всех п и известно, что zn-+a, то и уп-+а. Впрочем, это очень легко доказать и непосредственно. Теоремы 1), 2) и 3) легко распространяются и на случай беско¬ нечных пределов. 39. Леммы о бесконечно малых. В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две переменные (или больше), сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом, как и выше, мы относим эти знаки к соответствующим значе-
39J § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 83 ииям переменных. Например, говоря о сумме двух переменных хп и уПУ пробегающих порознь последовательности значений Х\, Х%у ХЪу ... , Xni ... и Уь У2» У* ... • Уп, мы имеем в виду переменную хп-\-упУ принимающую последователь¬ ность значений х\-\~Уь хъ-\-Уь Хг~\-Уз Хп~\~Уп> ••• При доказательстве теорем, относящихся к результатам арифме¬ тических операций над переменными, будут полезны следующие две леммы о бесконечно малых: Лемма /. Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая. Проведем доказательство для случая двух бесконечно малых ап и (общий случай исчерпывается аналогично). Зададимся произвольным числом е^>0. Согласно определению бесконечно малой, по числу у для бесконечно малой ап найдется такой номер АГ, что при я]>ЛГ будет кк|. Точно так же и для бесконечно малой фп найдется такой номер ЛГ, что при л^>ЛГ будет 1М<у. Если взять натуральное число N ббльшим обоих чисел Nr и ЛГ, то при n^>N одновременно выполняются оба эти неравенства, так что I “Ь" Рл I ^ I ал I +1 Рл I <С "2—Ь* -2"== е * Итак, величина аЛ —рл действительно является бесконечно малой. Лемма 2. Произведение ограниченной переменной хп на беско¬ нечно малую ап есть величина бесконечно малая. Пусть для всех значений п т^Хп^М. Обозначив через L наибольшую из абсолютных величин \т\, \М\, будем иметь — L^m^xn^M^L или |хп | С L Если задано произвольное число е^>0, то по числу ~ для беско¬ нечно малой аЛ найдется такой номер N, что для n^>N будет кк-Ь
84 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ {40 Тогда для тех же значений п, очевидно, I -’V «п I = I М ая I < *• • х=*• Отсюда и следует, что хп*ап есть бесконечно малая. 40. Арифметические операции над переменными. Следующие теоремы важны в том отношении, что с их помощью во многих слу¬ чаях делается ненужным восхождение всякий раз к определению понятия предела — с разысканием по заданному е соответствующего N и т. д. Этим вычисление пределов значительно облегчается. 1) Если переменные хп и уп имеют конечные пределы: lim хп = я, lim уп = Ьу то и сумма {разность) их также имеет конечный предел, при- чем lim (xn±yn) = a±b. Из условия теоремы следует, что -*„ = « + «»> Уп = Ь-\-$п, (3) где ал и рл — бесконечно малые. Тогда х„ ±Уп = (а±Ь) + (а„ ± р„). Здесь ап ± ря есть бесконечно малая по лемме 1 п° 39; следо¬ вательно, можно утверждать, что переменная хп±уп имеет предел, равный а±Ь, что и требовалось доказать. Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых. 2) Если переменные хп и уп имеют конечные пределы: \\тхЛ = а, lim yn = b, то и произведение их также имеет конечный предел, и lim хпуп = ab. Исходя из тех же равенств (3), имеем на этот раз х„Уп = ab-\- (аря + Ьа.п + а„р„). Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая. Отсюда и следует, что переменная хпуп действительно имеет пределом ab. Эта теорема может быть распространена на случай любого ко¬ нечного числа сомножителей (например, методом математической ин¬ дукции). 3) Если переменные хп и уп имеют конечные пределы: lim хп = a, lim уп = Ь,
41] § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 85 приче м b отлично от ну ля, то и отношение их также имеет конечный предел, а именно, Пусть, например, Ь^> 0; вставим между нулем и b число г. Тогда, согласно утверждению п° 36, 1), начиная с некоторого места Уа>Г>0, так что во всяком случае упФ 0. Ограничимся теми значе¬ ниями номера пу для которых это выполняется; тогда х отношение — заведомо имеет смысл. Уп Исходя, по-прежнему, из равенств (3), имеем £ Д + ая Q 1 (hn _„о\ Уп Ь * + Ь Ьуп (Ь * ^ Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина беско¬ нечно малая. Множитель же при нем, на основании сказанного вна¬ чале, будет ограниченной переменной: *<£<£• Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет беско- X нечно малым, а оно представляет разность между переменной — и Уп числом у. Итак, предел есть что и требовалось доказать. 41. Неопределенные выражения. В предыдущем номере мы рас¬ сматривали выражения х„±Уп> хпУп> (4) и, в предположении, что переменные хп и уп стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, предел уп не должен был равняться нулю), устанавливали пределы каждого из этих выражений. Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы пере¬ менных хп и уп (один или оба) бесконечны или — если речь идет о частном — когда предел знаменателя нуль. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырех, представляющих некоторую важ¬ ную и интересную особенность. 1°. Рассмотрим сначала частное — и предположим, что обе пе- Уп ременные хп и уп одновременно стремятся кнулю. Здесь мы впервые сталкиваемся с совсем особым обстоятельством: хотя нам известны пределы хп и ую но о пределе их отношения — не зная самих этих функций от п — никакого общего утверждения мы сде¬ лать не можем. Этот предел, в зависимости от частного закона
86 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [41 изменения обеих переменных, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Следующие простые примеры поясняют это. Пусть, скажем, хя = -^-2 и уп = ---<) обе переменные стремятся х 1 к нулю. Их отношение — = — также стремится к нулю. Если Уп” J же, наоборот, положить хп = —, уп = —2, то, хотя они стремятся к нулю, на этот раз их отношение — =п стремится к со! Уп Взяв же любое отличное от нуля число а и построив две бесконечно а 1 малые хп = ~~ и уп = —у видим, что отношение их имеет пре¬ делом а (так как тождественно равно а). ( ПЛ+1 \ Наконец, если хп = - -— , уп = — (обе имеют пределом нуль), х п п то отношение — = (— 1 )rt+1 оказывается вовсе не имеющим Уп к ’ предела. Таким образом, одно знание пределов переменных хп и уп в дан¬ ном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения: необходимо знать сами функции, т. е. закон их изменения вместе х сп, и непосредственно исследовать отношение —. Для того Уп чтобы характеризовать эту особенность, говорят, что, когда хп -> О X и уп0, выражение — представляет неопределенность о Уп вида 2°. В случае, когда одновременно хп dt оо и уп ± оо, имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих функций, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Этот факт иллюстрируется примерами, вполне аналогичными приведенным в 1°: а хп \ ^ хп = п-+ оо, уп = пг-+ оо, — = * 0: п » sn Уп п хп = п2 -> оо, уп = п -> оо, — = п -> оо; Уп хп = ап^± со (а ^ 0), уп = п-+ оо, ^ = а-*а; Уп х„ = [2 —}— (— l)n+1]п-*-оо, уп — п~*со, ^ = 2-f-(— l)n+1 вовсе Уп не имеет предела. И в этом случае говорят, что выражение представляет не¬ определенность, на этот раз — вида —. Обратимся к рассмотрению произведения хпуп.
41] § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 87 3°. Если хп стремится к нулю, в то время как уп стре¬ мится к ± оо, то, исследуя поведение произведения хпуп, мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1° и 2°, Об этом свидетельствуют примеры: *п = ^->0, уп = п-+ со, х„уп = 1^0; хп = ^->0, уп = п*-> со, хпуп = п-*со; хп = ~^0 (а ^ 0), уп = п~* со, хлуп = а-+а\ / | ЛЯ+1 хп = -—^ ► 0, уп = п -► оо, хпуп — (— l)n+1 вовсе не имеет предела. В связи с этим, при лгя-*0 и уп->оо, говорят, что выражение хпуп представляет неопределенность вида 0*оо. Рассмотрим, наконец, сумму хп-\-уп. 4°. Здесь оказывается особым случай, когда хп и уп стремятся к бесконечности разных знаков: именно в этом случае о сумме хп-{-уп ничего определенного сказать нельзя, не зная самих функций хпи уп. Различные возможности, представляющиеся здесь, иллюстрируются примерами: хп = 2/1со, Уп = — П-+ — со, хп -\-уп = п -f сю; хп = п-± +оо, Уп — — 2я-> — ОО, x„-j-yn = — «-> — оо; х„ = п-)-а-+- |-оо, уп-—п-* — со, х„-\-уп — а^»а; х„ = п + (- 1)л+1 -v-J- оо, уп = — п-+ — со, хп —j— уп = ( - 1)',+1 вовсе не имеет предела. Ввиду этого, при хп оо и уп — оо, говорят, что выра¬ жение хп-[-уп представляет неопределенность вида оо —оо. Таким образом, определить пределы арифметических выражений (4) по пределам переменных хп и уп, из которых они составлены, не всегда возможно. Мы нашли четыре случая, когда этого заведомо сделать нельзя: неопределенности вида О оо л 7^-, —, 0 • со, оо — оо *). О 1 оо’ 1 ' В этих случаях приходится, учитывая закон изменения хп и упУ непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытия неопре¬ деленности. Далеко не всегда оно так просто, как в приведенных выше схематических примерах. *) Конечно, символы эти лишены всякого числового смысла. Каждый из них является лишь краткой условной характеристикой для выражений одного из четырех типов неопределенности.
88 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [42 42. Распространение на случай функции от произвольной переменной. Сделаем снова замечание относительно общего случая. Так как здесь мы имеем в виду теоремы, в которых переменные связываются знаками равенства, неравенства или арифметических дей¬ ствий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя две или несколько функций /(*), g(х), ... (определенных в одной и той же области SC) такими знаками, мы всегда подразумеваем, что их зна¬ чения отвечают одному и тому же значению х. Все эти теоремы можно было бы доказать аналогичным образом наново, как мы это сделали в п° 37, но — и это важно подчерк¬ нуть — на деле вовсе нет необходимости их передоказывать. Если, говоря о пределе функции, стоять на «точке зрения последователь¬ ностей», то, поскольку для переменных, зависящих от указателя п, теоремы доказаны, они верны и для функций в общем случае. Для примера остановимся на теоремах 1), 2), 3) из п° 40. Пусть в области SV (с точкой сгущения а) заданы две функ¬ ции f(x) и g(x)t и при стремлении х к а обе имеют конечные пределы lim f(x) = A, lim ^(лг) = В. Тогда и функции f(x)±g(x), f(x).g(x), да (5) также имеют конечные пределы (в случае частного — в предпо¬ ложении, что В Ф 0), именно А±В, A-В, На «языке последовательностей» данные соотношения расшифро¬ вываются так: если \хп) есть любая последовательность (отличных от а) значений х из Sfr, имеющая пределом а, то /(*„)-* Л, g(xn)^B. Если к этим двум функциям уже от натурального аргумента п при¬ менить доказанные теоремы, то получаем сразу: lim [/(х„) ± £(лгя)] — А± В, lim f(xn) -g(xn) = A- В, lim tS^ = A sW В' а это (на «языке последовательностей») и выражает именно то, что нужно было доказать *). *) В случае частного можно было бы заметить [аналогично тому, как мы это сделали для уп в п° 40, 3)], что для х> достаточно близких к а, зна- f(X) менатель g(x)z£ 0, так что дробь : имеет смысл по крайней мере для g W этих значений х.
43] § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 89 Таким же образом на общий случай, рассматриваемый нами те¬ перь, переносится и сказанное в п° 41 относительно «неопределенных выражений», условно характеризуемых символами О оо п т-, —, 0 • оо, оо — со. О 9 оо9 9 Как и в простейшем случае, когда мы имели дело с функциями на¬ турального аргумента, здесь для «раскрытия неопределенности» уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и £(*), а нужно учесть и самый закон их изменения. Примеры раскрытия неопреде¬ ленностей читатель найдет в следующем номере. Мы вернемся к этому вопросу в § 3 главы VII, где будут даны общие методы раскрытия неопределенностей уже с применением дифференциального исчисления. 43, Примеры. 1) Пусть р (л:) будет многочлен, целый относительно х, с постоянными коэффициентами: р (*) = а0хк + а,**'1 + ... + ak_tx + ак (а„ ф 0). Поставим вопрос о пределе его при х + °°- Если ]бы все коэффициенты этого многочлена были положительны (отрицательны), то сразу ясно, что пределом р (х) будет +оо (—оо). Но в случае коэффициентов разных зна¬ ков одни члены стремятся к +оо, другие к —оо, и налицо неопределенность вида оо — оо. Для раскрытия этой неопределенности представим р (л:) в виде р(х) = х*[а,+Ь+...+%& + %). Так как все слагаемые в скобках, начиная со второго, при безграничном возра¬ стании х будут бесконечно малыми, то выражение в скобках имеет пределом а0^ЬО; первый же множитель стремится к +°° - В таком случае все выра¬ жение стремится к +00 или —оо, в зависимости от знака а0. Такой же результат, в частности, получится, если вместо непрерывно изменяющейся переменной х подставить натуральное число п. Предоставляем читателю установить Ишр(д^) при л:——оо (учитывая на этот раз четность или нечетность показателя k). Во всех случаях предел многочлена р (х) совпадает с пределом его старшего члена a0xk. Уничтожение «неопределенности» путем преобразования данного выра¬ жения, чем мы здесь и воспользовались, часто применяется для раскрытия неопределенности. 2) Если q (*) есть такой же многочлен q(x) = b0xl + btxl-l+ ... + b,^x + bt (Ь„ ф 0), P (х) I оо то частное { при лг—* + о° представит неопределенность вида —. Q \Х) оо Преобразуя каждый из многочленов так, как это было сделано в при¬ мере 1), получим: I ci I I ak
90 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 143 Второй множитель здесь имеет конечный предел ~-ф0. Если степени обоих полиномов равны: Л?=/, таков же будет и предел отношения ^ . При k>l первый множитель при * — + 00 тоже стремится к + оо, так что рассматриваемое отношение стремится к ± оо^с учетом знака Нако¬ нец, при k СI пределом будет нуль. Здесь также вместо х можно подста¬ вить натуральное число я. Легко установить и предел ПРИ *—°°* Во всех случаях предел отношения многочленов совпадает с пределом отношения их старших членов. 3) Найти площадь Q фигуры ОРМ, образованной частью ОМ параболы у = ах2 (а > 0), отрезком ОР оси # й отрезком РМ (рис. 24). Разобьем отрезок ОР на п равных частей и построим на них ряд вхо¬ дящих и выходящих прямоугольников. Площади Qn и Qn составленных из них ступенчатых фигур разнятся площадью X — • у наибольшего прямоугольника. Отсюда разность Q'п—(при л-^оо) и, так как очевидно, <?„<<?< Qn, Q = lim Qn = lim Q'n. Так как высоты отдельных прямоуголь- ников суть ординаты точек параболы с абсциссами — лг, п * -Х = х, и — в согласии с уравнением кривой—величины их равны, соответственно, 1 ... _ 22 ... _ я- <х • —5 х , а • —я- х\ п2 п2 1 то для Q’n получаем выражение *) Q’n = -fl(12 + 22+ ... +я!). - = ^ • (" + 1)(2п + 1) п п2 ' 1 1 1 7 п б п2 Отсюда, если использовать пример 2, л ах3 ху 0 = lim Qn =-^-= -f. Опираясь на это, легко получить, что площадь параболического сег- 4 мента М'ОМ равна ху, т. е. двум третям площади описанного прямоуголь¬ ника (этот результат был известен еще Архимеду) **). *) Здесь мы используем известную формулу для суммы квадратов пер¬ вых п натуральных чисел. **) Архимед—величайший из математиков древности (III в. до на¬ шей эры).
43] § 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 91 Замечание. Общее определение площади криволинейной фигуры будет дано лишь в главе XII; там же примененный здесь метод вычисле¬ ния площади будет обобщен на другие криволинейные фигуры [п° 196]. 4) Найти пределы переменных: п п хп — '* zn — У я- -j- п и, наконец, 1,1. 3>/1 /я2+ 1 /л2 + 2 /под¬ выражения хл и zn представляют неопределенность вида — (так как оба корня больше л, то они стремятся к бесконечности). Преобразуем, деля числитель и знаменатель на п: 1 1 Так как оба корня в знаменателе имеют пределом единицу *), то хп —► 1 Выражение для уп имеет своеобразную форму: каждое слагаемое этой суммы зависит от щ но и число их растет вместе с п. Так как каждое слагаемое меньше первого и больше последнего, то <Уп<~7==Г> т* е‘ хп<Уп<*п- У na + n V 1 Но (согласно уже найденному) переменные хп и zn стремятся к общему пределу — единице; следовательно, — по теореме 3) пв38—к тому же пре¬ делу стремится и переменная уп. 5) Вернемся к функции /(*)» рассмотренной в п° 18, 3° и определенной там тремя различными формулами—для разных х. Положим теперь сразу' для всех х\ 1 /(*)= lim ;йгтл- П-* 00 л Т" 1 Если | лег | > 1, то имеем здесь неопределенность вида —, которая легко раскрывается путем деления числителя и знаменателя на х2п; мы получаем f(x)= 1. При j л: j С 1, очевидно, лг2Л — 0 и /(*) = — 1. Наконец, если х = ±1, то числитель дроби постоянно равен нулю, а с ним и /(х) = 0. Это—-в точности та же функция, но задана она на этот раз одной фор¬ мулой. г. УТ+7—1 1 6) hm 1 = -s-. Х^О х * Действительно, УТ+7-1_ 1 /1+дг+Г *) Это, например, для первого корня следует из неравенств l<j/"l + 7<l+^ [п‘38,3],
92 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [44 но 1-|*|</Г+^<1 + |.П так что lim + ■*= If х-+о откуда и следует требуемый результат. 7) Предел [34, 5)] sin х t lim = 1 лг-0 х часто используется для нахождения других пределов. , ч 1-1 —cos х 1 / 0\ (Э) to)* Очевидно, о • а х / • х \2 . 2 sin2 1 / sin -к- \ l —cos * 2 1 I 2_ \ так как выражение в скобках стремится к единице, то общий предел и будет у. 1- tg* — sin х 1 /0\ (б) = Т Ы* И здесь преобразование легко приводит к уже изученным пределам: tg а: — sin л: 1 sin х 1 —cos х х3 cos х 9 х х2 Заметим, что cos х -* 1 при х 0, как это вытекает, например, из предыду¬ щего результата (а). § 3. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ 44. Предел монотонной функции от натурального аргумента. Теоремы о существовании пределов функций, которые приводились до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних функций пределы существуют, устанавливалось существование преде¬ лов для других функций, так или иначе связанных с первыми. Вопрос о признаках существования конечного предела для заданной функции, безотносительно к другим функциям, не ставился. Оставляя решение этого вопроса в общем виде до § 4, мы рассмотрим здесь один простой и важный частный класс функций, для которых он решается легко, причем, как всегда, начнем с простейшего случая — функ¬ ции хп от натурального аргумента. Переменная хп называется возрастающей, если
44] § з. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ 93 т. е. если из п'^>п следует хп*хп. Ее называют неубывающей, если Xl Х% • • • ^==: Хп XnJ[_\ • • • > т. е. если из п'^>п следует лишь хп^^хп. Можно и в последнем случае называть переменную возрастающей, если придать этому термину более широкий смысл. Аналогично устанавливается понятие об убывающей — в узком или широком смысле слова — функции от п\ так называется перемен¬ ная хп> для которой соответственно *i>*«>... >*„> •^я+1 ^ • • • пли х^х^ ... ^хп5?хп+15* так что из п'^>п следует (смотря по случаю) хпг<^хп или лишь Хпг ^ Хп. Переменные всех этих типов, изменяющиеся при возрастании п в одном направлении, объединяются под общим названием монотон¬ ных. Обычно о переменной этого типа говорят, что она «монотонно возрастает» или «монотонно убывает». Одновременно с переменной хПУ зависящей от натурального указателя, и последовательность > Хп> • • • . принимаемых ею значений — в соответствующих случаях — также на¬ зывается возрастающей или убывающей. По отношению к монотонным переменным имеет место следующая Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая переменная хп. Если она ограничена сверху: хп^М (М = const; п= 1, 2, 3, *..), то необходимо имеет конечный предел, в противном же слу¬ чае она стремится к Точно так же всегда имеет предел и монотонно убывающая переменная хп. Ее предел конечен, если она ограничена снизу, в противном же случае ее пределом служит — оо *). Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей, хотя бы в широком смысле, переменной хп (случай убывающей пере¬ менной исчерпывается аналогично). •) Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной, которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо — без влияния на предел переменной—любое число первых ее значений можно отбросить). В тексте теоремы, вместо монотонной переменной хП1 можно было бы говорить о монотонной последовательности.
94 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [45 Допустим сначала, что эта переменная ограничена сверху. Тогда, по теореме п° 6, для множества {хп} ее значений должна существовать и (конечная) точная верхняя граница: a = sup{*„}; как мы покажем, именно это число и будет пределом пере¬ менной хп. Действительно, вспомним характерные свойства точной верхней границы [в]. Во-первых, для всех значений п будет Во-вторых, какое бы ни взять число е^>0, найдется такое значение, скажем, xN нашей переменной, которое превзойдет а — е: xlv>a — S. Так как, ввиду монотонности переменной хп (здесь мы впервые на это опираемся), при n^>N будет хп^х^ т* е* и подавно хп^>а — е> т0 Для этих значений номера п выполняются неравенства О^а — хп<^г> так что \хп — а |<3 откуда и следует, что hmxn = a. Пусть теперь переменная хп не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни было бы число Е^>0, найдется хоть одно значение пере¬ менной, которое больше Е; пусть это будет xN\ лг^^Е. Ввиду монотонности переменной хп для n^>N 1л подавно *Л>Е> а это и означает, что Нтлгя = -[-со- Замечание. Наличие конечного предела у ограниченной монотонной переменной в первой половине прошлого века считалось чем-то само собою разумеющимся. Потребность в строгом доказательстве этого — фунда¬ ментальной важности—утверждения была фактически одним из поводов к созданию арифметической теории иррациональных чисел. Добавим, что упомянутое утверждение вполне эквивалентно свойству непрерывности множества вещественных чисел [п“5]. Обратимся к примерам применения теоремы. 45. Примеры. 1) Рассмотрим выражение (считая с>0) ся Хп~~п\ ’ где п\ = 1 • 2 •... • л. ^Оно при с > 1 представляет неопределенность вида Так как с xn+t — 7Г+Т Хп’ то, лишь только л>с—1, переменная становится убывающей; в тоже время снизу она ограничена, например, нулем. Следовательно, переменная
451 § 3. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ 95 хп —по теореме— имеет конечный предел, который мы обозначим через а. Для того чтобы найти его, перейдем к пределу в написанном выше равенстве; так как xn+i пробегает ту же последовательность значений, что и хп (с точностью до первого члена), и имеет тот же предел я, то мы получим а = а • О, отсюда а = 0 и, окончательно, 2) Считая снова с > 0, определим теперь хп так: Xi—'/c+Y'c, xt = V°+Vc+Vc.- и вообще хп = У с + /с+ ... + у~с. п корней Таким образом, хп+1 получается из хп по формуле *и+1 = У С+ хп. Ясно, что переменная хп монотонно возрастает. В то же время она ограничена сверху, например, числом ]/" с +1. Действительно, xt=-Yс меньше _этого числа; если допустить теперь, что какое-либо значение хп < Y с + 1» то и Для следующего значения получаем *л+1< /с+ у7 +.1< V7+2уТ+Т=у7 + 1. Таким образом, наше утверждение оправдывается по методу математической индукции. По основной теореме переменная хп имеет некий конечный предел а. Для определения его перейдем к пределу в равенстве К+i=c+*„; мы получим, таким образом, что а удовлетворяет квадратному уравнению а2 = с + с. Уравнение это имеет корни разных знаков; но интересующий нас предел а не может быть отрицательным, следовательно, равен именно положи¬ тельному корню: д= /4FTT+1 % Оба примера дают повод к следующему замечанию. Доказан¬ ная теорема является типичной «теоремой существования»: в ней *) Этот интересный пример по существу принадлежит Якобу Бернулли, который рассматривал его под видом вычисления выражения у с + Vс + Y° + и"т* д* до бесконечности.
96 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (46 устанавливается факт существования предела, но не дается никакого приема для его вычисления. Тем не менее, она имеет очень важное значение. С одной стороны, в теоретических вопросах часто только существование предела представляется нужным. С другой же стороны, во многих случаях возможность предварительно удостовериться в суще¬ ствовании предела важна тем, что открывает пути для его факти¬ ческого вычисления. Так, в приведенных примерах именно знание факта существования предела позволило, с помощью перехода к пре¬ делу в некоторых равенствах, установить точное значение предела. 46. Лемма о вложенных промежутках. Остановимся теперь на сопоставлении двух монотонных переменных, изменяющихся «на¬ встречу» одна другой. Пусть даны монотонно возрастающая переменная хп и моно¬ тонно убывающая переменная уп, причем всегда *п<Уп• (!) Если их разность уп — хп стремится к нулю> то обе перемен¬ ные имеют общий конечный предел: с = \\тхп = \\туп. Действительно, при всех значениях п имеем: уп<^у\, а значит, ввиду (1), и хп<^у\ (п= 1, 2, 3, Возрастающая переменная хя оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел c = \imxn. Аналогично, для убывающей переменной уп будем иметь Уп>Хп^Х „ так что и она стремится к конечному пределу с* = \\т у Но, по теореме 1) п° 40, разность обоих пределов с' — с = Мт(уп — хп\ т. е. по условию равна нулю, так что сг = с; это и требовалось доказать. Доказанному утверждению можно придать другую форму, в кото¬ рой оно чаще применяется. Условимся говорить, что промежуток [а\ Ьг\ содержится в про¬ межутке [а, Ь] или вложен в него, если все точки первого про¬ межутка принадлежат второму или, что то же самое, если Геометрический смысл этого ясен.
47J § 3. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ 97 Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой промежутков [#1> • • • > [^/г> bn]t . .. , так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к нулю с возрастанием п: lim (bn — ап) = 0. Тогда концы ап и Ьп промежутков (с разных сторон) стремятся к общему пределу с = lim ап = lim bn. Это есть лишь перефразировка доказанной выше теоремы: согласно условию, ап ^ ап+1 < bn+1 ^ Ьт так что левый конец ап и правый конец Ъп п-го промежутка играют здесь роль монотонных переменных хп и уп. Впоследствии нам не раз придется опираться на это предложение, которое будем называть «леммой о вложенных промежутках». 47. Предел монотонной функции в общем случае. Перейдем теперь снова к рассмотрению функции /(лг) от произвольной пере¬ менной. И здесь вопрос о самом существовании предела функции lim f(x) х -* а особенно просто решается для функций частного типа, представляю¬ щих обобщение понятия монотонной переменной хп [44]. Пусть функция /(лг) определена в некоторой области SV = {лг}. Функция называется возрастающей (убывающей) в этой области, если для любой пары принадлежащих ей значений х и х* из У>дг следует /<У)>/(*) [/(V) </(■*)]• Если же из х'^>х следует лишь f(xf)^f(x) [/(*')^/(лг)], то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастаю¬ щей (убывающей) — но в широком смысле. Функции всех этих типов носят общее название монотонных. Для монотонной функции имеет место теорема, вполне аналогичная той теореме о монотонной переменной лгЛ, зависящей от п, которая была установлена в п° 44. Теорема. Пусть функция f(x) монотонно возрастает, хотя бы в широком смысле, в области имеющей точкой сгущения число а, бд ль шее всех значений х (оно может быть конеч¬ ным или равным 4“ оо). Если при этом функция ограничена сверху: f(x)^M (для всех х из X), 4 Г. М. Фихтенгольц, т. I
98 ГЛ. Ш. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ то при х—>а функция имеет конечный предел; в противном случае она стремится к -{-оо. Доказательство. Допустим сначала, что функция f(x) огра¬ ничена сверху, т. е. ограничено сверху множество {/(х)} значений Функции, отвечающих изменению х в области 2С. Тогда для этого множества существует [п°6] конечная точная верхняя граница Л. Докажем, что это число Л и будет искомым пределом. Прежде всего, для всех значений х Далее, задавшись произвольным числом е^>0, по свойству точной верхней границы найдем такое значение х'<^а, что f(xf)^>A — е. Ввиду монотонности функции, для хи подавно будет:/(лг) Л — е, так что для упомянутых значений х выполнится неравенство Это и доказывает наше утверждение, стоит лишь при а конечном взять Ь = а — У (так что неравенство х^>х' может быть написано в виде х^>а — 8), а при а = ~\-оо взять А = х'. Если функция /(х) сверху не ограничена, то каково бы ни было число Е, найдется такое У, что /(У)]>Е; тогда для х^>х? и подавно f(x)^> Е, и т. д. Предоставляем читателю преобразовать эту теорему для случая, когда предельное значение а меньше всех значений х, равно как и для случая монотонно убывающей функции. Ясно, что теорема о монотонной переменной хп в п° 44 есть просто частный случай этой теоремы. Независимой переменной там был указатель п, областью изменения которого служил натуральный ряд оДГ = {/г}, с точкой сгущения -|-оо. В последующем нам чаще придется в качестве области в которой рассматривается функция /(л;), встречать сплошной промежу¬ ток [а\ а), где а'<^а и а — конечное число или -{- со, либо же — промежуток (а, а'], где а'^>а и а — конечное число или —оо. 48. Число е как предел последовательности. Мы используем здесь предельный переход для определения нового, до сих пор не встречавшегося нам числа, которое имеет исключительную важность как для самого анализа, так и для его приложений. Рассмотрим переменную и попытаемся применить к ней теорему п° 44. Так как с возрастанием показателя п основание степени здесь убывает, то «монотонный» характер переменной непосредственно /С*)<А 1/С*)-А | о § 4. число е
48] § 4. число е £9 не усматривается. Для того чтобы убедиться в нем, прибегнем к раз¬ ложению по формуле бинома: у. ( 1 I 1 \п 1 I 1 I n(tl 1) 1 I х* — [1 + п) -l+"-«Н ГТ--Й5 + , я(л —1)(я—2) 1 , , Я (я — I)... (л—л + 1) 1 , 1*2*3 ’ я» 1 "г 1 -2 - ... -к я^ 1 . п(п — 1)(я—я + 1) J__ Если от д;я перейти теперь к хп+ь т. е. увеличить п на единицу, то прежде всего добавится новый (/г —2)-й (положительный) член, каждый же из написанных п-\- 1 членов увеличится, ибо любой $ множитель в скобках вида 1 заменится большим множи- п £ т е л е м 1 . Отсюда и следует, что Я -J- 1 •*71+1 т. е. переменная хп оказывается возрастающей. Теперь покажем, что она к тому же ограничена сверху. Опустив в выражении (1) все множители в скобках, мы этим увели¬ чим его, так что лгп<24-2Г+^-+ ••• +^=Уп- Заменив, далее, каждый множитель в знаменателях дробей (начиная с третьей) числом 2, мы еще увеличим полученное выражение, так что, в свою очередь, + - + 2^=1 • Но прогрессия ^начинающаяся членом ~j имеет сумму, меньшую единицы, поэтому уп3, а значит и подавно хп<^3. Отсюда уже следует, по теореме п° 44, что переменная хп имеет конечный предел. По примеру Эйлера его обозначают всегда буквой е. Это число е = Пт[1+±.)П 4*
100 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [49 мы и имели в виду. Вот первые 15 знаков его разложения в деся¬ тичную дробь: е = 2,71828 18284 59045 Хотя последовательность *1 = + у] =2; ^1 “Ь y] —2,25; *3 = (l-|-i-)3 = 2,3703 ДГю» = (l + щУ°° = 2,7048 ... и сходится к числу еу но медленно, и ею пользоваться для при¬ ближенного вычисления числа е — невыгодно. В следующем номере мы изложим удобный прием для этого вычисления, а также попутно докажем, что е есть число иррациональное. 49. Приближенное вычисление числа е. Вернемся к равенству (1). Если фиксировать k и, считая п > ку отбросить все члены последней части, следующие за (£-|-1)-м, то получим неравенство "+Й(‘-4М'-*-^)- Увеличивая здесь п до бесконечности, перейдем к пределу; так как все скобки имеют пределом единицу, то найдем: е^2 + Т\+Ж + - + Ж=Ук' Это неравенство имеет место при любом натуральном к. Таким образом, имеем хп <Уп < е, откуда ясно [в силу теоремы 3) п° 38], что и Jim уп = е. Переменная уп для приближенного вычисления числа е гораздо удобнее, чем хп. Оценим степень близости уп к е. С этой целью рассмотрим сначала разность между любым значением уп+т (т = 1, 2, 3, ...), следующим за уп, и самим уп,. Имеём 1 . 1 , . 1 Уп+m Уп — I 1 \i “Г /„I оч| "Г (я + 1)1 (л + 2)! (я + w)! (п -(- 1)! { п 2 (п -|- 2) (п 3) (п 4“ 2) (п -f- 3)... (п т)}' Если в скобках заменить все множители в знаменателях дробей через п + 2, то получим неравенство Уп+т —Уп < i)j I1 + J+2“*■ (л + 2)а + •" + (n -f- }»
49] § 4. число е 101 которое лишь усилится, если заменить скобки суммой бесконечной про¬ грессии: 1 л + 2 Уп+т -Ул < (га _j_ i)J 'п+Г Сохраняя здесь п неизменным, станем увеличивать т до бесконечности; переменная уп+т (занумерованная значком т) принимает последователь¬ ность значений Уп+и Уп+ь ••чУп+гт •••» очевидно сходящуюся к е. Поэтому получаем в пределе _ 1 п + 2 е 1)! * п+ 1 или, наконец, 0 < е —уп < 4- *). п\п Если через 0 обозначить отношение разности е—уп к числу ^|-^(оно, очевидно, содержится между нулем и единицей), то можно написать также 6 *-*eSTir Заменяя здесь уп его развернутым выражением, мы и придем к важной формуле: e = 1 + IT + i + r + - + ^r + r^’ которая послужит отправной точкой для вычисления е. Отбрасывая послед¬ ний, «дополнительный», член и заменяя каждый из остав¬ ленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е, 2,00000 Поставим себе задачей с помощью формулы (2) вы- 1 еЛллл | "пГ — UjOUUUu числить е, скажем, с точностью до Прежде всего ^ нужно установить, каким взять число п (которое нахо- = 0,16667— дится в нашем распоряжении), чтобы осуществить эту точность. -L = о 04167 — Вычисляя последовательно числа, обратные факто- 41 * риалам (см. приведенную табличку), мы видим, что при \ п = 7 «дополнительный» член формулы (2) будет уже gp = 0,00833 -|- йТя= 7Т7< 0’00003- -gf = 0,00139 - так что, отбрасывая его, мы делаем погрешность, зна- 1 ппппоп чительно меньшую поставленной границы. Остановимся — же на этом значении п. Каждый из остальных членов 9Т18#Г~" обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) » на пятом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на пятом месте, т. е. меньше ~ • уд-5. Мы свели результаты вычислений в табличку. Рядом с приближенным числом ti 1 2 1 *) Так как (это легко проверить) ■ ^ ,
102 ГЛ. IIT. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [50 поставлен знак (+ или —), указывающий на знак поправки, которую необходимо было бы прибавить, для восстановления точного числа. Итак, как мы видели, поправка на отбрасывание дополнительного длена меньше Учитывая теперь еще и поправки на округление (с их знаками), легко сообразить, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между Отметим, что та же формула (2) может служить и для доказательства иррациональности числа е. Рассуждая от противного, попробуем допустить, что е равно рациональ¬ ной дроби —; тогда, если именно для этого п написать формулу (2), будем иметь Умножив обе части этого равенства на п\} по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число, а справа—целое число с дробью—, что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что требовалось. 50. Основная формула для числа е. Натуральные логарифмы. Число е в п° 48 первоначально было определено как предел перемен¬ ной, зависящей от натурального указателя: Для этого [35] достаточно доказать, что имеют место порознь соотношения Воспользуемся на этот раз определением предела «на языке после¬ довательностей» [32]. — То5 и +1о*- Отсюда само число е содержится между дробями 2,71824 и 2,718295, так что можно положить е — 2,7182 -J- 0,0001# (3) Теперь же мы установим более общий результат е= lim (1 +at) v (4) Jim (1-\-х)х=е и lim (1 -j-Jc)* =e. (4a)
50J § 4. число е ЮЗ Кстати, если и предел (3), рассматривая его как предел функции от Пу истолковать «на языке последовательностей», то придем к равенству ,1ш ® (l+dn)' какова бы ни была последовательность {%} натуральных чисел, ра¬ стущих вместе с номером А до бесконечности. Пусть теперь х пробегает какую-нибудь последовательность {хк} положительных значений, стремящихся к нулю; можно считать, что все xk<^\. Положим nk = E так что и пи-+ + оо. Так как при этом 1 ^ 1 «л+ 1 <^Xk^~nk' то 1 1^*+1 пк! Два крайних выражения могут быть преобразованы так: Л_, 1_Г*+1 (i I 1 v**_l +**+w V1 ' пи + lj — 1 1+я*-|-1 (ч-^г-е+й'ч+а- причем, в силу (5), (1+irA~*e’ а также(1+й7ТтГ+1~'е> в то время как, очевидно, 1+- — 1, 14—U-i. 'пк ~Пк+ 1 Таким образом, оба упомянутых выражения стремятся к общему пределу еу а тогда [по теореме 3), 38] и заключенное между ними выражение также стремится к е\ lim {1 -\-хк)хь = е. Этим и завершается доказательство первого из соотношений (4а) «на языке последовательностей».
104 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [51 Для доказательства же второго из них предположим теперь, что последовательность {xk} состоит из отрицательных значений, стремящихся к нулю; будем считать xk^>—1. Если положить Хк — —У»то 1>Л>0, Ук-+ 0- Очевидно, 1 1 I (1 += 0 ~Ун) Ук = {у~1к= 1- Уь = ('+> Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к е, второй же очевидно имеет пределом единицу, то и выражение слева также стремится к е. Формула (4) оправдана полностью. Это замечательное свойство числа е лежит в основе всех его приложений. Именно оно делает особенно выгодным выбор этого числа в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначаются знаком In (logarithmus naturalis); в теоретических исследованиях пользуются исключительно натуральными логарифмами *). Упомянем, что обычные, десятичные, логарифмы связаны с нату¬ ральными известной формулой: log х = In х • My где М есть модуль перехода и равен м=logе = йПо = 0,434 294 это легко получить, если прологарифмировать по основанию 10 то¬ ждество * = г,п*. § 5. ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ 51. Частичные последовательности. Пусть дана некоторая по¬ следовательность Xif Х%у Х%, • • • | Хп, ... | Хп, , *. t (1) *) Эти логарифмы иногда ошибочно называют неперовыми по имени шотландского математика Н е п е р а (1550—1617) — изобретателя логарифмов. Сам Непер не имел понятия об основании системы логарифмов, ибо строил их своеобразно, совсем на другом принципе, но его логарифмы соответ¬ ствуют логарифмам по основанию, близкому к Близкое к е основание имеют логарифмы его современника швейцарского математика Б ю р г и (1552—1632).
511 § б. ПРИНЦИП сходимости 105 Рассмотрим, наряду с нею, какую-либо извлеченную из нее частич¬ ную последовательность ...» Xnk7 .. • (2) где \nk} есть некоторая последовательность возрастающих на¬ туральных чисел: »1<«9<«3< ... OfeO*+l< ... (3) Здесь роль номера, принимающего подряд все натуральные зна¬ чения, играет уже не п, a k\ nk же представляет собой функцию от ky принимающую натуральные значения и, очевидно, стремящуюся к бесконечности при возрастании k. Если последовательность (1) имеет определенный предел а (iконечный или нет), то тот же предел имеет и частичная последовательность (2). Если же для последовательности (1) нет определенного предела, то это не исключает возможности существо¬ вания предела для какой-либо частичной последовательности. Пусть, например, хп = {—1)Л+1; предела эта переменная не имеет; Если же заставить п пробегать лишь одни нечетные или одни четные значения, то частичные последовательности Х\ 1 > *3 Ь • • • у Ь • • • И *2 = — Ь *4=— Ь ..о Хы = ~ 1’ “• будут иметь пределом, соответственно, число 1 или —1. В случае неограниченной последовательности (1) иной раз оказывается невозможным выделение частичной последовательности (2), имеющей конечный предел [так будет, если сама последователь¬ ность (1) стремится к ±со]. Наоборот,для ограниченной после¬ довательности имеет место следующее утверждение, принадлежащее Больцано и Вейерштрассу *): Лемма Больцано — Вейерштрасса, Из любой ограничен¬ ной последовательности (1) всегда можно извлечь такую частич¬ ную последовательность (2), которая сходилась бы к конечному пределу. (Эта формулировка не исключает возможности и равных чисел в составе данной последовательности, что удобно в приложениях). Доказательство. Пусть все числа хп заключены между гра¬ ницами а к Ь. Разделим этот промежуток [а, Ь\ пополам, тогда хоть в одной половине будет содержаться бесконечное множество элемен¬ тов данной последовательности, ибо, в противном случае, и во всем промежутке [аг Ь\ этих элементов содержалось бы конечное число, что невозможно. Итак, пусть [av bx\ будет та из половин, которая *) Карл Вейерштрасс (1815—1897) — выдающийся немецкий мате¬ матик.
106 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 152 содержит бесконечное множество чисел хп (или, если обе половины таковы, то — любая из них). Аналогично, из промежутка [аХУ bx\ выделим его половину [а2, &2] — под условием, чтобы в ней содержалось бесконечное множество чисел хп, и т. д. Продолжая этот процесс, на £-й стадии его вы¬ делим промежуток [aky Ьк]у также содержащий бесконечное множество чисел хп; и так далее до бесконечности. Каждый из построенных промежутков (начиная со второго) содер¬ жится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того, длина А-го промежутка, равная , Ь — а °k — ak — 2fe ! стремится к нулю с возрастанием k. Применяя сюда лемму о вло¬ женных промежутках [п°46], заключаем, что ак и /устремятся к об¬ щему пределу с. Теперь построение частичной последовательности {хПк\ произве¬ дем индуктивно следующим образом. В качестве хП1 возьмем любой (например, первый) из элементов хп нашей последовательности, со¬ держащихся в [а1у Ьх]. В качестве хП2 возьмем любой (например, первый) т элементов хпУ следующих за хП1 и содержащихся в [аь Ьъ]> и т. д. Вообще, в качестве хПк возьмем любой (например, первый) из элементов хпУ следующих за ранее выделен¬ ными хП1, хпг ..., *пк_х и содержащихся в [ak, bk]. Возможность такого выбора, производимого последовательно, обусловливается именно тем, что каждый из промежутков [акУ bk\ содержит бесконечное множество чисел хПУ т. е. содержит элементы хп со сколь угодно большими номерами. Далее, так как ak^xnk и limak = \imbk = c, то по теореме 3) п° 38 и lim xnjt = с, что и требовалось доказать. Метод, примененный при доказательстве этого утверждения и состоящий в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, часто будет нам полезен и в других случаях. Лемма Больцано — Вейерштрасса значительно облегчает доказа¬ тельство многих трудных теорем, как бы вбирая в себя основную трудность рассуждения. Мы воспользуемся ею в ближайшем же номере. 52. Условие существования конечного предела для функции от натурального аргумента. Пусть дана переменная хПУ пробегаю¬ щая последовательность значений (1); займемся, наконец, вопросом сб общем признаке существования конечного пре¬ дела для этой переменной (или для последовательности что то же). Само определение предела для этой цели служить не может,
52| § б. ПРИНЦИП сходимости 107 ибо в нем фигурирует уже тот предел, о существовании которого идет речь. Мы нуждаемся в признаке, который использовал бы лишь то, что нам дано, а именно — последовательность (1) значений пере¬ менной. Поставленную задачу решает следующая замечательная теорема, принадлежащая Больцано (1817) и Коши (1821); ее называют часто принципом сходимости. Теорема. Для того чтобы переменная хп имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа е О существовал такой номер N, чтобы неравенство 1^-^'К6 (4) выполнялось, лишь только n^>N и nr^>N. Как видит читатель, суть дела здесь в том, чтобы значения пере¬ менной между собой безгранично сближались по мере возрастания их номеров. Обратимся к доказательству. Необходимость. Пусть переменная хп имеет определенный конечный предел, скажем а. По самому определению предела [п°28|, каково бы ни было число е^>0, по числу — найдется такой но¬ мер N, что для n^>N всегда имеет место неравенство \х*—a\<i- Возьмем теперь любые два номера n^>N и n'^>N; для них одновременно будет \*П — «!<-§• и 1« — откуда \Хя — Х*\ = \(Хп — <*) + (<* — ■*„.)!«£ I хп — а 1 + I а — хп>\ <С 4Т ~ Этим необходимость условия доказана. Значительно труднее дока¬ зать его Достаточность. Здесь именно мы и применим лемму преды¬ дущего номера. Итак, пусть условие выполнено, и по заданному найден такой номер N, что для n^>N и n,4^>N имеет место неравенство (4). Если Н при этом фиксировать, то, переписав (4) так: — £<*„<*,..-И, видим, что переменная хю во всяком случае, будет ограниченной: ее значения для n^>N содержатся между числами хп, — е и и нетрудно эти границы раздвинуть так, чтобы охватить и пер¬ вые N значений: xlt хь .xNu
103 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (53 Тогда, по лемме Больцано — Вейерштрасса, можно выделить частич¬ ную последовательность {хПк}, сходящуюся к конечному пределу с: Покажем, что к этому пределу стремится вообще и переменная хп. Можно выбрать k настолько большим, чтобы было I Хп k с I 6 и, одновременно, nk^>N. Следовательно, в (4) можно взять nr = nk: I-*»» — Xnk\<* и, сопоставляя оба эти неравенства, окончательно находим \хя — с I <; 2в (для n^>N), что и доказывает наше утверждение *). Замечание. Хотя и Больцано и Коши утверждали доста¬ точность высказанного ими условия существования конечного пре¬ дела, но без строгой теории вещественных чисел, разумеется, до¬ казать этого не могли. 53. Условие существования конечного предела для функции любого аргумента. Перейдем теперь к рассмотрению общего слу¬ чая— функции /(аг), заданной в области 3' = {х}, для которой а служит точкой сгущения. Для существования конечного предела этой функции при стремлении х к а может быть установлен такой же признак, как и в случае функции от натурального аргумента. Форму¬ лировку его мы дадим параллельно для случая конечного а и для случая а — оо. Теорема. Для того чтобы функция f (x) при стремлении х к а имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовало такое число 8^>0(Д^>0), чтобы неравенство 1/С*)— /(-*010 выполнялось, лишь только \х — а|<^8 и |У — я|<С& (*^>Д и л/>Д). Доказательство проведем в предположении, что а — конеч¬ ное число. Необходимости. Пусть существует конечный предел lim f(x) = A. х-+а *) Число 2е в такой же мере «произвольно малое» число, как и е. Если угодно, можно было сначала взять не е, а у, тогда мы здесь получили бы е. Подобные вещи впредь мы будем предоставлять читателю.
53] § б. ПРИНЦИП сходимости 109 Тогда по заданному е^>0 найдется такое 8]>0, что если только | х — а | 8. Пусть и | х' — а | 8, так что и Отсюда получаем I/С*0—/(•*') I о в предположении, что одновременно \х— а\<^Ъ и \х? — а К8. Достаточность может быть установлена, например, путем сведения вопроса к уже рассмотренному случаю. Путь для этого нам открывает само определение понятия предела функции «на языке последовательностей» [п° 32]. Итак, пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено, и по произвольно взятому е^>0 установлено соответствующее 80. Если {дгл} есть любая последовательность значений из сходящаяся к а, то, по определению предела последовательности, найдется такой номер N, что для n^>N будет: \хп — а|<[8. Возь¬ мем, наряду с л, и другой номер n'^>N, так что одновременно \хп — а]<8 и \хл> — а|<8. Тогда, в силу самого выбора числа 8, I/W-/WK»- Это неравенство выполняется при единственном требовании, чтобы оба номера пил' были больше N. Это означает, что для функ¬ ции f(xn) от натурального аргумента п выполняется усло¬ вие п°52 и, таким образом, последовательность f (хi), f (x%)i • • • у f (Xfi)> • • • имеет конечный предел, скажем А. Остается еще установить, что этот предел А не зависит от выбора последовательности Пусть же {х'п} будет другая последовательность, извлеченная из № и также сходящаяся к а. Соответствующая ей последователь¬ ность значений функции {/(лТд)}, по доказанному, имеет некоторый конечный предел А\ Для доказательства того, что А' = А, допустим противное. Составим тогда новую последовательность • г г Х\) Х±} Xfy X%t •»• | Xjp Xfit ,i|
110 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (5) значений х, явно сходящуюся к а. Ей отвечает последовательность значений функции /(•*0. /(•*!), /(* а), fix'll..., /(*„), f{x’n), вовсе не имеющая предела, так как частичные последовательности ее членов, стоящих на нечетных или четных местах, стремятся к раз¬ личным пределам [п° 51]. А это противоречит доказанному. Итак, при х-*а функция f(x) действительно стремится к конечному пределу А. § 6, КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН 54. Сравнение бесконечно малых. Предположим, что в каком- либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно малых величин а, Р, If,..., которые, вообще говоря, будут функциями от одной и той же пере¬ менной, скажем х, стремящейся к конечному или бесконечному пре¬ делу а. Во многих случаях представляет интерес сравнение названных бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно малых аир кладется поведение их отношения *). На этот счет установим два соглашения: I. Если отношение (а с ним и имеет конечный и отличный от нуля предел, то бесконечно малые а к р счи* таются величинами одного порядка. II. Если же отношение — само оказывается бесконечно малым а отношение — бесконечно большимj, то бесконечно малая р считается величиной высшего порядка, чем бесконечно ма¬ лая а, и одновременно бесконечно малая а будет низшего по¬ рядка, чем бесконечно малая р. Например, если а = дг-^0, то по сравнению с этой бес¬ конечно малой одного порядка с нею будут бесконечно малые sin л:, igXy —1, ибо, как мы знаем [п° 34, 5); п° 43, 6)], Hmijn* Нт ГГ+7г-1_1 Х-.0 X х — 2 • *) Мы будем считать, что переменная, на которую мы делим, не обра¬ щается в нуль, по крайней мере, для значений х% достаточно близких к а.
55| § 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 111 Наоборот, бесконечно малые 1 — cos л;, tgx—sin лг (1) будут, очевидно, высшего порядка, чем х [п°43, 7), (а) и (б)]. Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых не стремится ни к какому пределу, не будучи и бесконечно боль¬ шим; например, если взять [см. 34, 6) и 7)] о • 1 а = х, р = х sm —, то их отношение, равное sin --, при х 0 предела не имеет. В та¬ ком случае говорят, что две бесконечно малые несравнимы между собой. Заметим, что если бесконечно малая р оказывается высшего по¬ рядка, чем бесконечно малая а, то этот факт записывают так: Р = о(а). Например, можно писать: 1 — cos х = о (х), tgx — sin х = о (х) и т. п. Таким образом, символ о (а) служит общим обозначением для бес¬ конечно малой высшего порядка, чем а. Этим удобным обозначением мы впредь будем пользоваться. 55. Шкала бесконечно малых. Иной раз встречается надобность в более точной сравнительной характеристике поведения бесконечно малых, в выражении порядков их числами. В этом случае, прежде всего, в качестве своего рода «эталона» выбирают одну из фигурирующих в данном исследовании бесконечно малых (скажем а); ее называют основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех. Если рассматриваемые величины, как мы предположили, являются функциями от ^ и становятся бесконечно малыми при стремлении х к а, то в зависимости от того, будет ли а нулем, конечным и отлич¬ ным от нуля числом или бесконечностью, естественно за основную бесконечно малую взять соответственно l*l> l*~el’I7r Далее, из степеней основной бесконечно малой а (мы будем счи¬ тать а^>0) с различными положительными показателями, а* соста¬ вляют как бы шкалу для оценки бесконечно малых более сложной природы *). *) Легко видеть, что при k>0 величина <хк будет бесконечно малой одновременно с а.
112 ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [56 III Уславливаются считать бесконечно малую Р величиной k-го порядка (относительно основной бесконечно ма¬ лой а), если р и а* (£]>0) будут величинами одного порядка, В т. е. если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел. Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением, что бесконечно малые (1) (при х—>-0) будут величинами высшего порядка, чем а = х, сказать точно, что одна из них есть бесконечно малая второго порядка, а другая — третьего порядка относительно а = х, ибо [43, 7), (а) и (б)] ,. 1 — cos л: 1 ,. tg х — sin л: 1 lim о = тг» hm — я = -сг* *а 2’ jc —► о *3 2 56. Эквивалентные бесконечно малые. Остановимся теперь на одном особенно важном частном случае бесконечно малых одного порядка. IV. Будем называть бесконечно малые а и р эквивалент¬ ными (в знаках: а ~ Р), если их разность j = р — а оказывается величиной высшего порядка, чем каждая из бесконечно малых а и р: Т = о(а) и 1 = оф). Впрочем, достаточно потребовать, чтобы у была высшего порядка, чем одна из этих бесконечно малых, потому что, если, например, высшего порядка чем а, то она будет также высшего порядка чем р. Действительно, из того, что Нт—-=0, следует, что и Л lim 1 = lim —у— = lim —-— = 0. Р а + ? 1+1 а Рассмотрим две эквивалентные бесконечно малые аир, так что Р = а Т» где Т = 0 (а)- Если приближенно положить р = а *), то — по мере уменьшения обеих величин — стремится к нулю не только абсолютная погрешность от этой замены, представляемая ве¬ личиной |y|, но и относительная погрешность, равная |-1 Иными словами, при достаточно малых значениях акр можно со сколь угодно большой относительной точностью поло¬ жить р = а. На этом основана, при приближенных выкладках, за¬ мена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми. Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно малых, который в сущности дает второе определение этого понятия, равносильное ранее данному: *) Знак == означает приближенное равенство.
56] § 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 113 Для того чтобы две бесконечно малые а и [3 были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было lim-^- = 1. а Положив р — а = у, будем иметь а а Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если -|--*1, то т. е. 7 есть бесконечно малая высшего порядка чем а, и В^а, Обратно, если дано, что З^а, то — ->-0, а тогда 1 1 ос 1—1. а С помощью этого критерия, например, видно, что при л;->0 бесконечно малая sin х эквивалентна дг, а ]/1 -\-х — 1 эквива¬ лентно ^х. Отсюда — приближенные формулы: sinx^zx, Y^^rX—1 = — дг. Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит 0 к использованию их при раскрытии неопределенности вида , т. е. В при разыскании предела отношения двух бесконечно малых Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на пре¬ дел, любой эквивалентной ей бесконечно малой. Действительно, если а^а и т. е. lim —=1 и lim —= 1, Р то отношение JL=JL. а р а а Р отличающееся от отношения ~ множителями, стремящимися к единице, а имеет предел одновременно с ним (и притом тот же). Если удается выбрать аир достаточно простыми, то это может сразу значительно упростить задачу; например, Y \ 4- х х2 1 ~2^х^ х2) 1 lim у1 + х + х —= lim -—. = i-. д-^q sm 2x х_^0 2x 4 Из доказанного вытекает также, что две бесконечно малые, экви¬ валентные третьей, эквивалентны между собой.
114 171. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [57 57. Выделение главной части. Если выбрана основная бесконечно малая а, то простейшими бесконечно малыми естественно счи¬ тать величины вида с- а*, где с — постоянный коэффициент и k^>0. Пусть бесконечно малая р будет &-го порядка относительно а, т. е. lim Л = с, а* 1 где с—конечное и отличное от нуля число. Тогда и бесконечно малые (3 и сак оказываются эквивалентными: {3 ~ соЛ Эта простейшая бесконечно малая c<xk, эквивалентная данной бесконечно малой р, называется ее главной частью (или главным членом). Пользуясь установленными выше результатами, кроме уже указан¬ ных простых примеров, легко выделить главные части выражений: 1 — cos х ~ у х*\ tgx — sin х~ дг3. Здесь д;->0, и именно а=х является основной бесконечно малой. Пусть т. е. р = саЛ-[“Т» г^е Т = о(чк). Можно пред¬ ставить себе, что из бесконечно малой 7 снова выделен главный член: -у = с'аЛ' -f- Ъ, где 8 = о(аЛ')(&']> k) и т. д. Этот процесс последовательного выделения из бесконечно малой простейших бесконечно малых все возрастающих порядков можно продолжать и дальше. Мы ограничиваемся в настоящем параграфе установлением общих понятий, иллюстрируя их лишь немногими примерами. В последующем мы укажем систематический прием как для построения главной части данной бесконечно малой величины, так и для дальнейшего выделения из нее простейших бесконечно малых, о котором только что шла речь. 58. Задачи. Для иллюстрации изложенных соображений приведем две задачи, в которых они используются, 1) Пусть прямолинейное расстояние на местности измеряется с помощью мерной рейки длиной / метров. Так как фактически рейка прикладывается не точно вдоль измеряемой прямой, то результат измерения оказывается г Рис. 25. несколько больше истинной длины. Сделаем самое невыгодное предположение, именно, что рейка прикладывается зигзагом, так что ее концы отстоят от прямой поочередно то в одну, то в другую сторону на расстояние К м (рис. 25). Требуется оценить погрешность.
58J § 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 115 При однократном прикладывании рейки абсолютная погрешность равна разности между длиной / рейки и ее проекцией на измеряемую прямую; проекция же эта будет: Воспользовавшись приближенной формулой 4Х2 при лг = -р (что оправдано, ввиду малости величины X относительно /), заменим выражение для проекции следующими: 2Х2\ . 2Х2 n 2Х2 В таком случае упомянутая погрешность есть "у»а относительная 2Х2 погрешность, очевидно, будет -р. Та же относительная погрешность сохра¬ нится и при многократном прикладывании рейки. Если для этой погрешности установлена граница Ь, т. е. должно быть 2Х2 / jr<b> то отсюда Х< / 1/ у. Например, при измерении двухметровой рейкой (1 = 2) для достижения относительной точности в 0,001, нужно, чтобы уклонение X не превосходило 2 У 0,0005 == 0,045 м или 4,5 см. 2) При разбивке дуг окружностей на местности имеет значение следующая задача: найти отношение стрелы f^=DB дуги ABC окружности к стреле половины АВ*В этой дуги (рис. 26). Если положить радиус окружности равным г, < АОВ = <р, то С AOBt = —■ и /= DB = г (1 — cos <р), fi = r (l-COS-j). Таким образом, искомое отношение равно / 1 — cos ср 1 — cos Выражение это слишком сложно, чтобы им удобно было пользоваться на практике. Найдем его предел при <р—*0 (ибо для достаточно малых <р это выражение можно приближенно заменить его пределом). С этой целью заменяем числитель и знаменатель их главными частями и сразу находим: 1 о
116 гл. Ш. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [59 Итак, для дуг, соответствующих небольшому центральному углу, прибли¬ женно можно считать, что стрела полудуга вчетверо меньше стрелы дуги. Это позволяет последовательно строить промежуточные точки дуги, для которой даны концы и середина. 69. Классификация бесконечно больших. Заметим, что для бесконечно больших величин может быть развита подобная же класси¬ фикация. Как и в п° 54, будем считать рассматриваемые величины функциями от одной и той же переменной х, которые становятся бесконечно большими, когда х стремится к а. I. Две бесконечно большие у и z считаются величинами одного порядка, если их отношение -у [а с ним и имеет конеч¬ ный и о т личный от ну ля предел. II. Если же отношение — само оказывается бесконечно боль¬ шим (а обратное отношение — — бесконечно малым), то z счи- таете я бесконечно большой величиной высшего порядка чем у, и, одновременно, у будет бесконечно большой низшего порядка чем z. В случае, когда отношение у ни к какому конечному пределу не стремится и в то же время не будет бесконечно большим, бес¬ конечно большие у и z — несравнимы. При одновременном рассматривании ряда бесконечно больших величин, одну из них (скажем, у) выбирают в качестве основной, и с ее степенями сравнивают остальные бесконечно большие. На¬ пример, если (как мы предположили выше) все они суть функции от х и становятся бесконечно большими при х->а, то в качестве основной бесконечно большой обыкновенно берут | х |, если а = ± со, 1 и 1 г при а конечном. \х — а\ F III. Бесконечно большая z называется величиной k-го порядка (относительно основной бесконечно большой у), если z и yk будут одного порядка, т. е., если отношение у*- имеет конечный и отличный от нуля предел.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 60. Определение непрерывности функции в точке. С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие математиче¬ ского анализа — понятие непрерывности функции. Установление этого понятия в точной форме принадлежит Больцано и Коши, имена которых уже упоминались. Рассмотрим функцию /(*), определенную в некотором проме¬ жутке ^ и пусть х0 будет точка этого промежутка, так что в ней функция имеет определенное значение f(x0). Когда устанавливалось понятие предела функции при стремлении х к х0 [п°п° 32, 33] lim /(х), Х-*Х0 неоднократно подчеркивалось, что значения х0 переменная х не принимает; это значение могло даже не принадлежать области опре¬ деления функции, а если и принадлежало, то значение f(x0) при образовании упомянутого предела не учитывалось. Однако особый интерес представляет именно случай, когда lim / (jc) =f(xt). (1) X-+Xq Говорят, что функция f(x) непрерывна при значении х = х0 (или в точке х—х0), если выполняется это соотношение; если же оно нарушено, то говорят, что при этом значении (или в этой точке) функция имеет разрыв*). В случае непрерывности функции f{x) в точке х0 (и, очевидно, только в этом случае), при вычислении предела функции f(x) при *) Эта терминология связана с интуитивным представлением о непрерывности и разрывах кривой: функция непрерывна, если непрерывен ее график, точки разрыва функции отвечают точкам разрыва графика. На деле, однако, понятие непрерывности для кривой само требует обо¬ снования, и простейший путь к нему лежит как раз через непрерыв¬ ность функции!
118 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [60 х —»Xq становится безразличным, будет ли х в своем стрем¬ лении к х0 принимать, в частности, и значение х0 или нет. Определение непрерывности функции можно сформулировать в дру¬ гих терминах. Переход от значения лг0 к другому значению х можно себе представить так, что значению х0 придано приращение Ах = =х — лг0*)- Новое значение функции y=f(x)=f (x0-\- Ах) раз¬ нится от старого у0 = /(лг0) на приращение Для того чтобы функция f(x) была непрерывна в точке лг0, необ¬ ходимо и достаточно, чтобы ее приращение Ау в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением Длг независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бес¬ конечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции. Возвращаясь к основному определению (1), раскроем его содер¬ жание «на языке последовательностей» [32]. Смысл непрерывности функции f(x) в точке х0 сводится к следующему: какую бы после¬ довательность значений х из сходящуюся к х0, ни взять, соответствующая последователь¬ ность значений функции сходится к /(лг0). Наконец, «на языке е-8» [п°33] непрерывность выразится так: каково бы ни было число е^>0, для него найдется такое число 8^>0, что неравенство |х — дг0|<8 влечет за собой |f(x) — f(x0)|е. Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в доста¬ точно малой окрестности (лг0 — 8, *0 + &) точки лг0. Отметим, что, вычисляя предел (1), мы могли приближать х к дг0 и справа и слева, лишь бы х не выходило за пределы промежутка SF. Установим теперь понятие об односторонней непрерывности или одностороннем разрыве функции в данной точке. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке л*0 справа (слева), если выполняется предельное соотношение: Лу =/(•*) —/С*о) =/(*о + Ьх) — /(*<,)• хь хь ь • • • > /С*,), /(**) /С*о + 0)= lim /(х)=/(л:„) [или /(*« — 0)= lim f(x)=f(x„)]. (2) X —+Xq — 0 *) В анализе принято приращение величин х, у> t ... обозначать через Аху Ду, Му ... Эти обозначения надлежит рассматривать как цельные символы, не отделяя Д от.*, и т. н.
611 § \. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 119 Если же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв соответственно справа или слева. По отношению к левому (правому) концу промежутка SC *), в котором функция определена, может идти речь, очевидно, только о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же лг0 есть внутренняя точка промежутка ЗСУ т. е. не совпадает ни с одним из его концов, то для того, чтобы выполнялось равенство (1), выражающее непрерывность функции в точке х0 в обычном смысле, необходимо и достаточно, чтобы имели место одновременно оба ра¬ венства (2) [35]. Иными словами, непрерывность функции в точке х0 равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно справа и слева. Условимся говорить, для упрощения речи, что функция непрерывна в промежутке если она непрерывна в каждой точке проме¬ жутка в отдельности. 61. Условие непрерывности монотонной функции. Рассмотрим функцию f(x)> монотонно возрастающую (убывающую)**) в про¬ межутке SV [п°47]. Этот промежуток может быть как конечным, так и бесконечным, замкнутым, полуоткрытым или открытым. Мы уста¬ новим сейчас простой признак, с помощью которого для функций подобного типа сразу может быть обнаружена ее непрерывность во всем промежутке SV. Теорема. Если множество значений монотонно возрастающей (убывающей) функции f(x), которые она принимает, когда х изменяется в промежутке SV> содержится в некотором проме¬ жутке У и заполняет его сплошь, то функция f(x) в промежутке X непрерывна ***). Возьмем любую точку х0 из Я? и, предполагая, что она не яв¬ ляется правым концом этого промежутка, докажем непрерывность функции f(x) в точке х0 справа; аналогично может быть доказана и непрерывность функции в точке х0 слева, если лг0 не есть левый конец рассматриваемого промежутка, а отсюда по совокупности и следует заключение теоремы. Точка y0=f(x0) принадлежит промежутку Уу не являясь его правым концом (ведь в 3? есть значения х^>х^ а им отвечают в У значения y—f(x)^>y^). Пусть е будет произвольно малое положи¬ тельное число; впрочем, мы предположим его вдобавок настолько *) Предполагая, что этот конец есть число конечное. **) Для отчетливости мы будем предполагать функцию монотонно возрастающей в строгом смысле (хотя теорема верна и для монотон¬ ных функций в широком смысле). ***) Впоследствии [70] мы покажем, что то условие, которое здесь сфор¬ мулировано как достаточное для непрерывности монотонной функции, является и необходимым.
120 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [62 малым, чтобы и значение тоже принадлежало проме¬ жутку У. Так как по предположению 2/ = {f(x)}, то в J найдется такое значение xif что будет /(х1)=у1, причем, очевидно, х^хо (ибо, при х^х0 и f(x)^y0). Положим 8 = ^ — х0, так что Xi х$ —J— 8. Если теперь 0<^х — дг0<^8, т. е. х0<^х<^хи то Л</М01=Л + « или 0 </(*) — /(*,)<е. Это и значит, что lim f{x)=f(x:*), т. е. функция f(x) действительно непрерывна в точке х0 справа, Рис. 27. что и требовалось доказать. Рис. 27 служит иллюстрацией прове¬ денного рассуждения. 62. Арифметические операции над непрерывными функциями. Прежде чем перейти к примерам непрерывных функций, устано¬ вим следующее простое предложение, которое позволит легко расши¬ рить их число. Теорема. Если две функции f{X) и g(x) определены в одном и том же промежутке SC и обе непрерывны в точке х$, то в той же точке будут непрерывны и функции f{x)±g{x), f(x)-g(x), (последняя — при условии, что g(x0) Ф 0).
63] § 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 121 Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы, раз¬ ности, произведения и частного двух функций, имеющих порознь пре¬ делы [п° 42]. Остановимся для примера на частном двух функций. Предполо¬ жение о непрерывности функций f(x) и £(лг) в точке х0 равносильно наличию равенств lim /(*) =/(*„), lim g(x) = g(xa). Х-*Х0 Х-+Хо Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаме¬ нателя не нуль), имеем: цш Ш.= а это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х0. & \Х) 63. Непрерывность элементарных функций. 1°. Целая и дробная р а ц и о н а л ь н ы е фу н кци и. Непрерывность функций от xt сводящихся к постоянной или к самому Ху непосредственно ясна. Отсюда, на основании теоремы предыдущего номера, вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения т раз ахт = а • х • х ... х как произведения непрерывных функций, а затем — и многочлена (целой рациональной функции) аоХп + ахх*~у +... + ап_ 1* + ап как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке (— со, -f- со). Очевидно, наконец, что и частное двух многочленов (дробная рациональная функция): аоХп + а1хп-1 + ... + ап_1х + ап ЬоХт + Kxmr~ 1 + ... + Ьт_,Х + Ьт также будет непрерывно при каждом значении ху кроме тех, кото¬ рые обращают знаменатель в нуль. Непрерывность остальных элементарных функций мы установим, опираясь на теорему п° 61. 2°. Показательная функция у = ах(а^>1) монотонно возрастает при изменении х в промежутке ^ = ( — оо, +оо). Ее значения положительны и заполняют весь промежуток У = (0, оо); это видно из существования логарифма лг = 1оgay для любого у^>0 [п°12]. Следовательно, показательная функция непрерывна при любом значении х. 3°. Логарифмическая функция у — loga х {а 0, а ф 1). Ограничиваясь случаем а^> 1, видим, что эта функция возрастает
122 гл. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (63 при изменении х в промежутке SV = (0, оо). К тому же она, оче¬ видно, принимает любое значение у из промежутка У = (— оо, -р оо), именно, для х = ау. Отсюда — ее непрерывность. 4°. Степенная функция ^=^(^^0) при возрастании х от нуля до -f-оо возрастает, если ц.^>0, и убывает, если [*<^0. При этом она принимает любое положительное значение у (для х=у^)у следовательно, и она непрерывна*). 5°. Тригонометрические функции: у = sin ху у = cos Ху y = tgxу y = ctg Xy у = sec х, у = csc лт. Остановимся сначала на функции у = sin лг. Ее непрерывность, ска¬ жем, при изменении х в промежутке ££ = |^—yj, вытекает из ее монотонности в этом промежутке, да еще из того факта (устанав¬ ливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое значение между — 1 и 1. То же относится и к любому промежутку вида [**-£, + (Л = 0, ±1, ±2, ...). Окончательно видим, что функция j/=sinje непрерывна для всех значений jc. Аналогично устанавливается и непрерывность функции у = cos Ху также при любом значении х. Отсюда, по теореме предыдущего номера, вытекает уже непре¬ рывность функций , sin х 1 , cos х tg х = , secx = , ctgx= — , & cos x * cos x 9 b sm x 9 Исключение представляют для первых двух—значения вида (2k -}- 1) ~ 9 обращающие cos х в нуль, а для последних двух — значения вида kizy обращающие sin х в нуль. Наконец, упомянем 6°. Обратные тригонометрические функции: j/ = arcsine, j/ = arccosA:, у = arctg х, y = arcctgx. Первые две непрерывны в промежутке [ — 1, 1], а последние — в про¬ межутке (— оо, -f~ °°)* Доказательство предоставляем читателю. *) Если {1 >0, то значение нуль включается как в промежуток из¬ менения Ху так и в промежуток изменения у\ при {д. < 0 значение нуль н е включается. Далее, если ц — целое число ±п или дробное ± —■ с не¬ четным знаменателем, то степень х^ можно рассматривать и для х < 0; непрерывность ее для этих значений устанавливается аналогично.
641 § 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 123 Резюмируя, можно сказать, таким образом, что основные элемен¬ тарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они имеют смысл, т. е. в соответствующих естественных областях их определения. 64. Суперпозиция непрерывных функций. Обширные классы непрерывных функций могут быть построены с помощью суперпози¬ ции функций, непрерывность которых уже известна. В основе этого лежит следующая Теорема. Пусть функция cp(j/) определена в промежутке У, а функция f(x) — в промежутке 2С, причем значения последней функции не выходят за пределы У, когда х изменяется в SC. Если / (je) непрерывна в точке xQ из а <р{у) непрерывна в соот¬ ветствующей точке у0 = /*(дг0) из У, то и сложная функ¬ ция ср(/(дг)) будет непрерывна в точке лг0. Доказательство. Зададимся произвольным числом е^>0. Так как ср (у) непрерывна при y=y0f то по е найдется такое <з]>0, что из \у—Уо\<С° следует |<р(у) — <р(Уо)10 С другой стороны, ввиду непрерывности f(x) при x = x0i по о найдется такое 8]>0, что из |-хг — лг0|<8 следует \f(x)— f(x^)\ — \f{x)— По самому выбору числа о отсюда следует, далее, I ?№))-? ЫI = I ? (f (X) у- ср (fixо)) | О Этим «на языке е-8» и доказана непрерывность функции ср(/(дг)) в точке лг0. Например, если степенную функцию х* (х ]> 0) представить в виде функции х* = е*1п* которая получается от суперпозиции логарифмической и показатель¬ ной функций, то из непрерывности последних двух функций уже будет вытекать непрерывность степенной функции. 66. Вычисление некоторых пределов. Непрерывность функций многообразно может быть использована при вычислении пределов *). *) Фактически мы иной раз это делали и раньше; так, в примере 6) п° 43 мы попутно установили непрерывность функции Ух при а*=1 и использо¬ вали ее, а в примере 7) (б) так же поступили по отношению к функции cos;c при * = 0.
124 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [65 Здесь мы, опираясь на непрерывность элементарных функций, уста¬ новим ряд важных пределов, которые понадобятся нам в сле¬ дующей главе: „ lim Ч.С+-) =,oS.e (»), а-+0 а \и/ 2) №• (Я- *0 Имеем .?og»o+«) =log (1+a)4. ft 1 так как выражение, стоящее справа под знаком логарифма, при а0 стремится к е [п°50, (4)], то (по непрерывности лога¬ рифмической функции) его логарифм стремится к loga е, что и требовалось доказать. Отметим частный случай доказанной формулы, когда речь идет о натуральном логарифме (а = е): lim1n(1+a)=l. а—►О а В простоте этого результата и коренятся, по существу, те преиму¬ щества, которые представляет натуральная система логарифмов. Обращаясь к формуле 2), положим ал — 1 = Р; тогда при a -> 0 (по непрерывности показательной функции) и [3 0. Имеем, далее, a = loga(l -f- (3), так что, если воспользоваться уже доказанным результатом: 1. аа— 1 р 1 lim = lim-^ ; ■ = - = lna, а—►О a MO logaU+P) l°ga£> что и требовалось доказать. Если, в частности, взять а = -“ (я=1> % 3, ...), то получится интересная формула: lim п (>ЛГ— 1) = In а (оо • 0). п—► оо Наконец, для доказательства формулы 3), положим (1 -(- а)№ — 1 = [3; при а 0 (по непрерывности степенной функции) будет и ^->0. Логарифмируя равенство (1 -f-a)ll = 1 -J-fJ, получим, что р • In (1 -j- a) = In (1 ?)•
661 § 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 125 С помощью этого соотношения преобразуем данное нам выражение так: (1+«)|‘-1_р_ Р и 1п(1+а) а — а In (1 -|- р) * ** ' а По доказанному оба отношения Р In (1 + а) 1п(1+Р) стремятся к единице, так что всё произведение имеет пределом ц, что и требовалось доказать. Предел, рассмотренный в п°43, 6), получается отсюда, как част¬ ный случай, при Ц = 66. Степенно-показательные выражения. Рассмотрим теперь степенно-показательное выражение и0, где и и v являются функциями от одной и той же переменной х, с областью изменения jr, имеющей точку сгущения х0; в частности, это могут быть две функции ип и vn от натурального аргумента. Пусть существуют конечные пределы: lim и = а и lim v = b, Х-*Хо Х-+Хо причем а^>0. Требуется найти предел выражения и°щ Представим его в виде uv*=ev*ntt; функции v и In и имеют пределы lim v = by lim 1пн = 1па Х-*Хо JC—►ДСо (здесь использована непрерывность логарифмической функции), так что lim и*In и = £*1п а. х-+х0 Отсюда — по непрерывности показательной функции — окончательно lim и0 = еЬЛп а = аь, X-*Xq Предел выражения uv можно установить и в других случаях, когда известен предел с произведения ti*In и — конеч¬ ный или бесконечный. При конечном с искомый предел будет, оче¬ видно, ес; если же с — — оо или -f- оо, то этот предел, соответ¬ ственно, будет 0 или -f- оо [п° 34, 2)]. Самое же определение предела с = lim {г> • In гг} — лишь по задан¬ ным пределам а и Ь — возможно всегда, кроме случаев, когда это произведение при x-*Xq представляет неопределенность
126 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 167 вида 0-оо. Легко сообразить, что исключительные случаи отвечают таким комбинациям значений а и Ь: В этих случаях говорят, что выражение иv представляет не¬ определенность вида 1°°, 0°, оо° *) (смотря по случаю). Для реше¬ ния вопроса о пределе выражения uv здесь мало знать лишь пределы функций и и v, а нужно непосредственно учесть закон, по которому они стремятся к своим пределам. ВыражениеЛ, при я-*оо, или более общее выражение (1-}-а)а при а->0, имеющее пределом е, дает пример неопре¬ деленности вида 1°°. Как уже указывалось, общие методы раскрытия неопределенностей всех видов будут даны в § 3 главы VII. 67. Классификация разрывов. Примеры. Остановимся подробнее на вопросе о непрерывности и разрыве функций в точке х0, скажем, справа. Предполагая, что функция f(x) в некотором промежутке [*0, аг0 + Л] (Л>0) справа от этой точки определена, видим, что для непрерывности необ¬ ходимо и достаточно: во-первых, чтобы существовал конечный предел /(jro + 0) функции f(x) при стремлении х к х0 справа и, во-вторых, чтобы этот предел был равен значению f(x0) функции в точке х0. Поэтому легко дать себе отчет в том, при каких обстоятельствах для функции f(x) в точке х0 справа появляется разрыв. Может случиться, что хотя конечный предел /Cv0 + 0) и существует, но он не равен значе¬ нию f(x0)\ такой разрыв называют обыкновенным или разрывом первого рода **). Но может быть и так, что предел /(л:0 + 0) бесконечен, или его вовсе нет; тогда говорят о разрыве второго рода. Если функция f(x) определена только в промежутке (л:0, лг0 + Л], но существует конечный предел то стоит лишь дополнительно определить функцию в точке х09 положив f(xо) равным именно этому пределу, чтобы функция оказалась непрерывной в точке х0 справа. Это обычно мы и будем впредь подразумевать. Впрочем, если функция определена и слева от х0 — в промежутке [л:0 — Л, лг0), и существует конечный предел то восстановить непрерывность функции в точке х0 можно лишь при усло¬ вии совпадения обоих пределов. *) Относительно самих этих символов можно было бы повторить ска¬ занное в сноске на стр. 87. **) В этом случае говорят также, что функция f(x) в точке х0 справа имеет скачок, по величине равный / (х0 + 0) — / (.r0). а= 1, Ь = ± оо; а = 0, Ь = 0; а= -}- оо, Ь — 0. /(*о + 0)= Ит /(*), f(x0— 0)= lim f(x), x-+x0 — 0
67| § 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ 127 Наконец, если для функции/(*), определенной в промежутке (дг0, -|- Л]э конечного предела в точке х0 справа не существует, то говорят, что функ¬ ция имеет в точке х0 справа разрыв второго рода, несмотря на то, что она в этой точке вовсе не определена: в этом случае, как бы дополнительно ни определить функцию при лг = лг0, она неизбежно будет здесь иметь разрыв! Примеры. 1) Рассмотрим функцию у = Е (х) (график ее представлен на рис. 5). Если х0 не целое число и Е(х0) = т, т. е. т < х0 < т + 1, то и для всех значений х в промежутке (m, т + 1) будет £(лг) = ш, так что непрерывность функции в точке лг0 непосредственно ясна. Иначе обстоит дело, если х0 равно целому числу т. Справа в этой точке будет иметь место непрерывность, ибо правее х0 = т, именно для значений х в (т, т + 1) будет Е(х) = ту так что и Е (т + 0) = т = Е (т). Наоборот, левее х0 = ш, для значений х в (ш — 1, ш), очевидно, Е(х) = т — 1; отсюда и Е(т—0) = m—1, что не равно значению Е (т), и слева в точке xQ = т функция имеет обыкновенный разрыв или скачок! 2) Для функции /(■*) = js (при хфО) точка х = 0 есть точка разрыва второго рода с обеих сторон; именно, в ней функция и справа и слева обращается в бесконечность: /(+0)= lint i= + 0D, /(-0)= lim i = -oo. *-►+0 X х-* — 0л 3) Функция / (л:) = sin — (при х ф 0), рассмотренная в п°34, 6), в точке х = 0 имеет разрыв второго рода с обеих сторЪн, так как не существует вовсе предела этой функции в названной точке ни справа, ни слева. 4) Наоборот, если взять функцию [п°34, 7)] f(x) = x • sin ~ (при л:^0) для которой, как мы видели, существует предел lim /(л:) = 0, JC-+0 то, положив /(0) = 0, мы восстановим непрерывность и при *=^=0. 5) Определим, наконец, две функции равенствами /,(*) = в * (в > 1), /*(*) = arctg — при х^6 0 и дополнительным условием /1(0)=/2(0) = 0. Как мы видели в п°35, /!(+0) = + оо, /1(_0) = 0, Л(+0)=|, /*(-0) = -|.
128 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [68 Таким образом, в точке *=0 для первой функции справа—разрыв второго рода, а слева—непрерывность; для второй функции — с обеих сторон скачки. [Ср. рис. 22 и 23.] Остановимся в заключение на важном классе обычно рассматриваемых функций — монотонных или кусочно-монотонных *)—и покажем, что для них могут иметь место разве лишь обыкновенные раз¬ рывы. Это следует из того, что дня такой функции f(x) в каждой точке х0, принадлежащей промежутку SV, где функция определена, всегда суще¬ ствуют конечные пределы /(*o+J2) и f{xQ — 0) (или—один из них, если х0 яьляется концом промежутка £о)- Пусть, например, функция f(x) моно¬ тонно возрастает, и х0 не будет левым концом промежутка тогда для х С х0 значения f(x) ограничены сверху числом /(лг0) и по теореме п°47 действительно существует конечный предел /(•*о—0)= lim f(x). x-+x0 — 0 § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 68. Теорема об обращении функции в нуль. Займемся теперь изучением основных свойств функции, непрерывной в некотором про¬ межутке. Интересные и сами по себе, эти свойства в дальнейшем изложении часто будут служить основой для различных умозаключений. Первым на путь строгого обоснования их стал Больцано (1817), а вслед за ним—Коши (1821). Им и принадлежит приводимая ниже важная теорема. Первая теорема Больцано — Коши. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, b] и на концах этого промежутка принимает значения разных зна¬ ков. Тогда между а и b необходимо найдется точка с, в ко¬ торой функция обращается в нуль: /(0 = 0 (а<><*). Теорема имеет очень простой геометрический смысл: если непре¬ рывная кривая переходит с одной стороны оси х на другую, то она пересекает эту ось (черт. 28). Доказательство мы проведем по методу деления проме¬ жутка [п°51]. Для определенности положим, что f{a)<^0, a f(b)^>0. Разделим промежуток [а, Ь] пополам точкой . Может случиться, что функция f(x) обратится в нуль в этой точке, тогда теорема й -4- Ь гт X ( & Н- Ь \ _г г» доказана: можно положить с= —. Пусть же /1—^—j Ф 0; Г а + Ь 1 [а + Ь Л тогда на концах одного из промежутков а, —^^—, Ь\ *) Функция называется кусочно-монотонной, если промежуток ее определения может быть разложен на конечное число частичных проме¬ жутков, в каждом из которых в отдельности функция монотонна.
68] § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 129 функция будет принимать значения разных знаков (и притом отрицательное значение на левом конце и положительное — на пра¬ вом). Обозначив этот промежуток через [аи Ьх]у имеем /Ы< О, Л*|)>0. Разделим пополам промежуток [аъ Ь^\ и снова отбросим тот слу¬ чай, когда f(x) обращается в нуль в середине этого проме¬ жутка, ибо тогда теорема доказана. Обозначим через [а2, £а] ту из половин промежутка, для которой /Ы< 0, /(**)> 0. Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, где функция обращается в нуль, — и доказатель¬ ство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последо¬ вательность вложенных один в другой промежутков. Остановимся на этом последнем случае. Тогда для я-го промежутка [ап, Ьп] (п= 1, 2, 3, ...) будем иметь /(ая) < о, /(&„)> о, (1) причем длина его, очевидно, равна Ьп-ап=^г-. (2) Построенная последовательность промежутков удовлетворяет усло¬ виям леммы о вложенных промежутках [п°46], ибо, ввиду (2), lim {bn — ап) = 0; поэтому обе переменные ап и Ьп стремятся к общему пределу lim ап = lim Ъп = с, который, очевидно, принадлежит [а, Ь\ [36, 3)]. Покажем, что именно эта точка с удовлетворяет требованию теоремы. 5 Г, М, Фихтенгольц, т. I
130 гл. TV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ f70 Переходя к пределу в неравенствах (1) и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке х = с\ получим, что одновременно /(с) = Нт/(ая)<0 и /(с) = Нт/(6я)5з=0, так что действительно f(c) = 0. Теорема доказана. Заметим, что требование непрерывности функции f(x) в замкнутом промежутке [а, Ъ] — существенно: функция, имеющая разрыв хоть в одной точке, может перейти от отрицательного зна¬ чения к положительному и не обращаясь в нуль. Так будет, напри¬ мер, с функцией f(x) = E(x) — у, которая нигде не принимает зна¬ чения нуль, хотя /(0) = — у, a /(l) = -i- (скачок при лг=1). § 69. Применение к решению уравнений. Доказанная теорема имеет применение при решении уравнений. Рассмотрим, например, алгебраическое уравнение нечетной степени (с вещественными коэффициентами) /(аг) ее а0х2п+г -f atx*n +... + а2пх + а2п+1 = 0. При достаточно больших по абсолютной величине значениях х многочлен имеет знак старшего члена, т. е. при положительном х—знак а0, а при отрицательном х — обратный знак. Так как многочлен есть непрерывная функция, то, меняя знак, он в промежуточной точке необходимо обращается в нуль. Отсюда: всякое алгебраическое уравнение нечетной степени (с ве¬ щественными коэффициентами) имеет по крайней мере один веществен¬ ный корень. Теоремой Больцано—Коши можно пользоваться не только для установ¬ ления существования корня, но и для приближенного его вычисления. (Это и было отправной точкой зрения для Коши при доказательстве теоремы, по¬ мещенной им в разделе «О численном решении уравнений»). Поясним ска¬ занное примером. Пусть /(лг) = л;4—х — 1. Так как /(1) = —1, /(2) = 13, то многочлен имеет корень между 1 и 2. Разцелйм этот промежуток [1, 2| ка 10 равных частей точками 1,1; 1,2; 1,3;.... и станем последовательно вы¬ числять: /(1,1) = —0,63...; /(1,2) = — 0,12...; /(1,3) = +0,55;... Видим, что корень содержится между 1,2 и 1,3. Разделив и этот промежу¬ ток на 10 частей, найдем: /(1,21) = — 0,06...; /(1,22) = —0,04...; /(1,23) = +0,058 Теперь ясно, что корень лежит между 1,22 и 1,23; таким образом, мы уже знаем значение корня с точностью до 0,01 и т. д. *). 70. Теорема о промежуточном значении. Доказанная в п°69 теорема непосредственно обобщается следующим образом: *) Впрочем, практически этот путь невыгоден из-за большого количе¬ ства вычислений; существуют приемы, гораздо быстрее ведущие к цели (они указываются в дифференциальном исчислении).
701 § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 131 Вторая теорема Больцано—Коши. Пусть функция f{x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь\ и на концах этого промежутка принимает неравные значения f{a) = A и т = В. Тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка с между а и Ь, что /(с) = С.*) Доказательство. Будем считать, например, А<^В, так что А<^С<^В. Рассмотрим в промежутке [а, b] вспомогательную функцию ср(^) = =f{x) — С. Эта функция непрерывна в промежутке и на концах его имеет разные знаки: <р (a)=f(a) — С=А — С<0, ср {b) = f(b) — С=В — С> 0. Тогда, по первой теореме, между а и b найдется точка с> для ко¬ торой ср(б?) = 0, т. е. f{c)—С = 0 или f(c) = C, что и требовалось доказать. Мы установили, таким образом, важное свойство функции f(x), непрерывной в промежутке: переходя от одного своего значения к другому, функция хоть раз принимает в качестве значения каждое промежуточное число. Это свойство, на первый взгляд, кажется вскрывающим самую сущность непрерывности функции. Однако легко построить заведомо разрывные функции, которые все же этим свойством обладают. На¬ пример, функция [п°67, 3)] /(*) = sin ^ {хф 0), /(0) = 0 в любом промежутке, содержащем точку разрыва л: = 0, принимает все вообще возможные для нее значения — от —1 до —[— 1 **). Из доказанного свойства непрерывной функции вытекает такое (по существу равносильное ему) Следствие. Если функция f(x) определена и непрерывна в ка¬ ком-либо промежутке {замкнутом или нет, конечном или *) Очевидно, что первая теорема Больцано—Коши есть частный случай этой: если А и В — разных знаков, то в качестве С можно взять и нуль. **) Недаром еще Больцано подчеркивал, что указанное свойство есть следствие непрерывности, но его нельзя класть в основу опре¬ деления непрерывности. 5*
132 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [71 бесконечном), то принимаемые ею значения сами также запол¬ няют сплошь некоторый промежуток. Обозначим множество значений функции {/(лг)} через У. Пусть т = ЫУ, М = sup 2^*) и I есть произвольное число между т и М: т<^1<^М. Необходимо найдутся значения функции f(xt) и /*(л:2) (xt и лга взяты из промежутка такие, что т </(*i) < I </(-*Га) < М\ это вытекает из самого определения точных границ числового мно¬ жества. Но тогда, по доказанной теореме, существует между хх и xq такое значение х = х0 (очевидно, также принадлежащее что /С*0) в точности равно I; следовательно, это число входит в множество У. Таким образом, У представляет собой промежуток с концами т и М (которые сами могут ему принадлежать или нет — смотря по случаю; ср. п°73). Мы видели в п°61, что в случае монотонной функции только что сформулированное свойство функции влечет за собой ее непре¬ рывность. Что так будет не всегда, показывает приведенный выше пример. Замечание. Для того частного случая, когда рассматриваемая функ¬ ция представляет собой целый многочлен, обе теоремы высказывались задолго до строгого их доказательства в общем виде. Например, у Эйлера в его «Введении в анализ» мы находим—для указанного случая—полную формулировку теоремы настоящего номера, но без убедительного обоснова¬ ния; эта теорема затем применяется к вопросу о существовании веществен¬ ных корней алгебраических уравнений [ср. n°69] **). Эйлер—подобно другим авторам — иной раз пользуется и геометрическими соображениями. Наконец, упомянем, что Лагранж ***) прямо начинает свой «Трактат о решении числен¬ ных уравнений всех степеней» с аналитического доказательства (для много¬ члена!) теоремы п°68, основанного на разложении на множители. 71. Существование обратной функции. Применим изученные в предыдущем номере свойства непрерывной функции к установле¬ нию, при некоторых предположениях, существования -однозначной обратной функции и ее непрерывности [ср. п°23]. Теорема. Пусть функция y=f(x) определена, монотонно воз¬ растает (убывает)****) и непрерывна в некотором промежут¬ ке SV. Тогда в соответствующем промежутке У значений этой *) Напоминаем читателю, что если множество У не ограничено сверху (снизу), то мы условились в п°6 полагать sup2^ = + oo (inf 2^ = —оо). **) Стр. 44—46 русского перевода (см. сноску на стр. 48). ***) Жозеф-Луи Лагранж (1736—1813)—знаменитый французский математик и механик. **♦*) в строгом смысле слова (это здесь существенно).
721 § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 133 функции существует однозначная обратная функция x=g(y), также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная. Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей функ¬ ции. Мы видели выше [см. следствие], что значения непрерывной функции f(x) заполняют сплошь некоторый промежуток так что для каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое значение лг0 (из ^), что /С*о)=.Уо- Но, ввиду монотонности этой функции, такое значение может найтись только одно: если х больше или меньше дг0, то соответственно и f{x) больше или меньше у0. Сопоставляя именно это значение jc0 произвольно взятому у0 из % мы получим однозначную функцию x = g(y), обратную для функции y=f(x). Легко видеть, что эта функция g(y), подобно f(x), также моно¬ тонно возрастает. Пусть У О' и x'-g(y'), x’=g(y'); тогда, по самому определению функции g*(.y), одновременно У=/(У) и у=/(л;'), Если бы было *'>*', то, в силу возрастания функции /(х), было бы и />у, что противоречит условию. Не может быть и хг—х\ ибо тогда было бы и у'=у*> что также противоречит условию. Итак, возможно только неравенство хг<^х1Г, так что g(y) действи¬ тельно возрастает. Наконец, чтобы доказать непрерывность функции x — g(y) доста¬ точно сослаться на теорему в п°61, условия которой выполнены: названная функция монотонна и ее значения, очевидно, заполняют сплошь промежуток SV*). С помощью доказанной теоремы можно наново установить ряд уже известных нам результатов. Например, если применить ее к функции хп (п — натуральное число) в промежутке 3? = [0, -(- оо), то придем к существованию и непрерывности (арифметического) корня ТЬ / 1 ■1 х = у у для у в 3^ = [0, -j- оо). 72. Теорема об ограниченности функции. Если функция f(x) определена (следовательно, принимает конечные значения) для всех *) Какое бы х из 2С ни взять, стоит лишь положить _y=/(jc), чтобы для этого у функция g(y) имела своим значением именно взятое х.
134 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [73 значений х в некотором конечном промежутке, то это не влечет за собой с необходимостью ограниченности функции, т. е. огра¬ ниченности множества {/(*)} принимаемых ею значений. Например, пусть f(x) определена так: f(x)=~f если 0<^х^1 и /(0) = 0; функция эта принимает только конечные значения, но она не ограни¬ чена, ибо при приближении х к нулю может принимать сколь угодно большие значения. Заметим попутно, что в полуоткрытом промежут¬ ке (0, 1] она непрерывна, но в точке х=0 имеет разрыв. Иначе обстоит дело с функциями, непрерывными в замкну¬ том промежутке. Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) опреде¬ лена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ъ\, то она ограничена и снизу и сверху, т. е. существуют такие постоян¬ ные и конечные числа т и М, что т ^ f{x) ^ М при а^х^Ь. Доказательство поведем от противного: допустим, что функ¬ ция f(x) при изменении х в промежутке [а, Ь\ оказывается неогра¬ ниченной, скажем, сверху. В таком случае для каждого натурального числа п найдется в промежутке [а, Ь\ такое значение х — хпУ что Пх^п. (3) По лемме Больцано—Вейерштрасса [п°51], из последовательности {хп\ можно извлечь частичную последовательность {хп^, сходящуюся к конечному пределу: о (ПРИ £-* + оо). причем, очевидно, а^х0^Ь. Вследствие непрерывности функции в точке х0, тогда должно быть и /(*»*) “►/(■*•), а это невозможно, так как из (3) следует, что /(*«*)-►+<»• Полученное противоречие и доказывает теорему. 73. Наибольшее и наименьшее значения функции. Мы знаем, что бесконечное числовое множество, даже ограниченное, может не иметь в своем составе наибольшего (наименьшего) элемента. Если функция f(x) определена и даже ограничена в некотором про¬ межутке изменения х, то в составе множества ее значений {f(x)\ может не оказаться наибольшего (наименьшего). В этом случае точная
73J § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 135 Z 3 Рис. 29. верхняя (нижняя) граница значений функции f{x) не достигается в названном промежутке. Так будет обстоять дело, например, с функ¬ цией f{x) = x — Е(х) (график ее представлен на рис. 29). При изменении х в любом про¬ межутке [О, b] (b^ 1) точной верхней границей значений функции будет единица, но она не дости¬ гается, так что наибольшего значе¬ ния функция не имеет. Читателю, вероятно, ясна связь этого обстоятельства с наличием у рассматриваемой функции разры¬ вов при натуральных значениях лг. Действительно, для непрерыв¬ ных в замкнутом проме¬ жутке функций имеет место Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) опре¬ делена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и ниж¬ ней границ. Иными словами, в промежутке [а, b] найдутся такие точки х0 и хь что значения /(лг0) и f{x^) будут, соответственно, наи¬ большим и наименьшим из всех значений функции f(x). Доказательство. Положим М = sup {/(*)}; по предыдущей теореме, это — число конечное. Предположим (вопреки тому, что нужно доказать), что всегда f(x)<^M, т. е., что граница М не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию ?(•*) —А!—/(*)• Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается, то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей теореме), ограничена: /(х)^\х (р. 0). Но отсюда легко получить, что тогда г т. е. число М — меньшее чем М, оказывается верхней грани¬ цей для значений функции f(x), чего быть не может, ибо М есть точная верхняя граница этих значений. Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке [а, b] найдется такое значение х& что f(x0) = M будет наибольшим из всех значений f(x).
136 гл. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕдМЕННОЙ [74 Аналогично может быть доказано утверждение и относительно наименьшего значения. Отметим, что приведенное доказательство есть чистое «доказа¬ тельство существования». Средств для вычисления, например, значе¬ ния х = х0 никаких не дано. Впоследствии [в главе VII, § 1], правда, при более тяжелых предположениях относительно функции, мы на¬ учимся фактически находить значения независимой переменной, доста¬ вляющие функции наибольшее или наименьшее значения. Если функция f{x) при изменении х в каком-либо промежутке SV ограничена, то ее колебанием в этом промежутке называется разность а) = М — т между ее точными верхней и нижней границами. Иначе можно опре¬ делить колебание о> как точную верхнюю границу абсолютных вели¬ чин разностей /(лг")—/(jc'), где jc' и / принимают независимо одно от другого произвольные значения в промежутке ш= sup {|/(jf")— /(У)I}. Х\ X" Когда речь идет о непрерывной функции /(х) в замкну¬ том конечном промежутке SC = [а, Ь], то, как следует из дока¬ занной теоремы, колебанием будет попросту разность между наи¬ большим и наименьшим значениями функции в этом промежутке. В этом случае промежуток У значений функции есть замкну¬ тый промежуток [ту М], и колебание дает его длину. 74. Понятие равномерной непрерывности. Если функция f(x) определена в некотором промежутке Я? (замкнутом или нет, конечном или бесконечном) и непрерывна в точке xQ этого промежутка, то lim f(x)=f(x0) X-+XQ или («на языке е-8», п°60): для каждого числа е^>0 найдется такое число 8^>0, что \х — *о|<& влечет за собой |f(x)—/С*0)|<^е. Предположим теперь, что функция f(x) непрерывна во всем про¬ межутке SVy т. е. непрерывна в каждой точке х0 этого промежутка. Тогда для каждой точки х0 из J2? в отдельности по заданному в найдется 8, соответствующее ему в упомянутом выше смысле. При изменении х0 в пределах SV, даже если е неизменно, число 8, вообще говоря, будет меняться. Одного взгляда на рис. 30 достаточно, чтобы убедиться в том, что число 8, пригодное на участке, где функ¬ ция изменяется медленно (график представляет пологую кривую), может оказаться слишком большим для участка быстрого изменения
74] § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 137 функции (где график круто поднимается или опускается). Иными словами, число 8 вообще зависит не только от е, но и от лг0. Если бы речь шла о конечном числе значений х0 (при неиз¬ менном е), то из конечного числа соответствующих им чисел 8 можно было бы выбрать наименьшее, и это последнее годилось бы, оче¬ видно, и для всех рассматриваемых точек х0 одновременно. Но по отношению к бесконечному множеству значений xQf содер¬ жащихся в промежутке ЗС, так уже рассуждать нельзя: им (при по¬ стоянном в) соответствует бесконечное множество чисел 8, среди которых могут найтись и сколь угодно малые. Таким образом, по отношению к функции f(x\ непрерывной в промежутке SCy встает вопрос: существует ли, при заданном е, такое 8, кото¬ рое годилось бы для всех точек х0 из этого про¬ межутка? Если для каждого числа е^>0 найдется такое чи¬ сло 8^>0, что \х — Хъ\<^Ъ влечет за собой |/(*)-/(*0)|<в, где бы в пределах рассматриваемого промежутка ни лежали точки х0 и ху то функцию f(x) называют равномерно непре¬ рывной в промежутке SP. В этом случае число 8 оказывается зависящим только от е и может быть указано до выбора точки дг0: 8 годится для всех xQ одновре¬ менно. Равномерная непрерывность означает, что во всех частях проме¬ жутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргу¬ мента, что0ы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции. Можно показать на примере, что непрерывность функции во всех точках промежутка не влечет необходимо за собой ее равномер¬ ной непрерывности в этом промежутке. Пусть, например, 1 2 /(л;) = sin — для ху содержащихся между 0 и ~, исключая 0. В этом случае область изменения х есть незамкнутый промежу¬ ток ^0,и в каждой его точке функция непрерывна. Положим
138 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1?5 2 1 * теперь х0 = -тк—, 1ч , х ——, где п — любое натуральное число; \Ltl -f- I j тс tin тогда /* /</• Ч ■ eiti fOn 1 1 Ч __ fixо) = sin (2я О т = — 1» / (*0 = sin = О» так что \f(x)-f(xJl = l, несмотря на то, что \х — л:01 = —п \ .. ■ с возрастанием п может ТЬ yAft —J“ 1) я быть сделано сколь угодно малым. Здесь при е = 1 нельзя найти 8, которое годилось бы одновременно для всех точек дг0 в ^0, -^|,хотя для каждого отдельного значения х, ввиду непрерывности функции, такое 8 существует! 75. Теорема о равномерной непрерывности. Весьма замечательно, что в замкнутом промежутке [а, Ь] аналогичного положения вещей быть уже не может, как явствует из следующей теоремы. Теорема Кантора *). Если функция f(x) определена и непре¬ рывна в замкнутом промежутке [а, Ь], то она и равно¬ мерно непрерывна в этом промежутке. Доказательство поведем от противного. Пусть для некото¬ рого определенного числа е^>0 не существует такого числа 8 0, о котором идет речь в определении равномерной непрерывно¬ сти. В таком случае, какое бы число 8^>0 ни взять, найдутся в про¬ межутке [а, b] такие два значения х и У, что | аг — аг' | 8 и тем не менее \f(x)—fix') |^е. Возьмем теперь последовательность {Ьп} положительных чисел так, что Ьп 0. В силу сказанного, для каждого Ьп найдутся в [а, Ь\ зна¬ чения хп и хп (они играют роль х и х') такие, что (при п= 1,2,3,...) IХп — ХпКК и тем не менее \f(xn)— f(x'n) |^е. По лемме Больцано — Вейерштрасса [п°51], из ограниченной после¬ довательности {хп} можно извлечь частичную последовательность,схо¬ дящуюся к некоторой точке лг0 промежутка [а, Ь]. Для того чтобы не осложнять обозначений, будем считать, что уже сама последова¬ тельность {лгл} сходится к х0. Так как хп — х'п^0 (ибо | агл — х'п\<^К> а 8п-*0), то одно¬ временно и последовательность {хп} сходится к х0. Тогда, ввиду непрерывности функции в точке х0, должно быть /(*я) “►/(*<») И f{xn) -yf(x0), *) Георг Кантор (1845—1918) — известный немецкий математик, осно¬ ватель современной теории множеств.
75] § 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 139 так что f{xn) —/(-О -► О, а это противоречит тому, что при всех значениях п Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает такое следствие, которое ниже будет нам полезно: Следствие. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, b]. Тогда по заданному е^>0 най¬ дется такое 8^>0, что если промежуток произвольно разбить на частичные промежутки с длинами, меньшими 8, то в каждом из них колебание функции / (х) будет меньше е. Действительно, если, по заданному е^>0, в качестве 8 взять число, о котором говорится в определении равномерной непрерывно¬ сти, то в частичном промежутке с длиной, меньшей 8, разность между любыми двумя значениями функции будет по абсолютной величине меньше е. В частности, это справедливо и относительно наибольшего и наименьшего из этих значений, разность которых и дает колебание функции в упомянутом частичном промежутке [п°73]. Так, на протяжении полустолетия, одно за другим доказывались основные свойства непрерывных функций, начиная от более «очевидных» и кончая тонким свойством равномерной непрерывности, установленным в по¬ следней теореме. Еще раз подчеркнем, что надлежащую строгость эти дока¬ зательства получили лишь на основе развитых во второй половине прошлого века арифметических теорий вещественных чисел.
ГЛАВА ПЯТАЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 76. Задача о вычислении скорости движущейся точки. Пере¬ ходя к изложению основ дифференциального и интегрального исчис¬ ления, мы обращаем внимание читателя на то, что идеи этого исчисления зародились еще в XVII веке, т. е. задолго до тех тонких теорий, которые мы изучали в предшествующих главах. Лишь в заключи¬ тельной главе этого тома мы будем иметь возможность коснуться важнейших моментов предыстории математического анализа и охарак¬ теризовать заслуги двух великих математиков—Ньютона и Лейбница, завершивших работы своих предшественников созданием действительно нового исчисления. В нашем изложении мы будем руководствоваться уже современными требованиями к строгости, а не историей вопроса. Впрочем, в качестве введения в дифференциальное исчисление, мы рассмотрим в настоящем номере задачу о скорости, а в ближайшем номере — задачу о касательной; обе задачи исторически ftO оказались связанными с формированием основного понятия дифференциального исчисления, впоследствии получившего название производной. Начнем с частного примера, именно, рассмотрим сво¬ бодное падение (в пустоте — чтобы не учитывать сопро- тивления воздуха) тяжелой материальной точки. щ Если время t (сек.) отсчитывается от начала падения, то пройденный за это время путь s (ж), по известной фор¬ муле, выразится так: *=£. «о где g*=9,81. Исходя отсюда, требуется определить Рис. 31. скорость v движения тонки в данный момент t, когда точка находится в положении М (рис. 31). Придадим переменной t некоторое приращение М и рассмотрим момент t -(- Д£, когда точка будет в положении Mlt Приращение MMt пути за промежуток времени М обозначим через A s.
76] | 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 141 Подставляя в (1) вместо t, получим для нового значения пути выражение Разделив As на Му мы получим среднюю скорость падения точки на участке ММ± Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением М, тем лучше характеризуя состояние падающей точки в момент t9 чем меньше промежуток М, протекший после этого момента. Скоростью v точки в момент времени t называют предел, к которому стремится средняя скорость т>ср за промежуток М, когда Дt стремится к нулю. В нашем случае, очевидно, Аналогично вычисляется скорость v и в общем случае, скажем, прямолинейного движения точки. Положение точки определяется ее расстоянием s, отсчитываемым от некоторой начальной точки О; это расстояние и называется пройденным путем. Время t отсчиты¬ вается от некоторого начального момента, причем не обязательно, чтобы в этот момент точка находилась в О. Движение считается вполне заданным, когда известно уравнение движения: s—f (t), из которого положение точки определяется для любого момента вре¬ мени; в рассмотренном примере такую роль играло уравнение (1). Для определения скорости v в данный момент t пришлось бы, как и выше, придать t приращение М; этому отвечает увеличение пути ^ на A s. Отношение выразит среднюю скорость vcp за промежуток At Мгновенная же скорость v в момент t получится отсюда предельным переходом: откуда 5-1-д5=|(<-|-дОа, As = .|(2f.A* + M*). As U v= lim т>ср = Нт-дт* Как увидим, другая важная задача, которую мы рассмотрим ниже, приводит к подобной же предельной операции.
142 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |77 77. Задача о проведении касательной к кривой. Пусть дана кривая (К) (рис. 32) и на ней точка М; обратимся к установлению самого понятия касательной к кривой в ее точке Ж В школьном курсе касательную к окружности опреде¬ ляют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку». Но это определение имеет част¬ ный характер, не вскрывая су¬ щества дела. Если попытаться при¬ менить его, например, к параболе у = ах* (рис. 33, а), то в начале координат О обе координатные оси подошли бы под это определе¬ ние; между тем — как, вероятно, непосредственно ясно и читате- рис. 32. лю, — на деле лишь ось х служит касательной к параболе в точке 01 Мы дадим сейчас общее определение касательной. Возьмем на кри¬ вой (К) (рис. 32), кроме точки Ж, еще точку AU и проведем секу¬ щую ММХ. Когда точка Мх вдоль по кривой будет перемещаться, эта секущая будет вращаться вокруг точки Ж Касательной к кривой (К) в точке М называется пре¬ дельное положение МТ секущей MMlf когда точка Мх вдоль по кривой стремится к совпадению с М. Смысл этого определения состоит в том, что угол М\МТ стремится к нулю, лишь только к нулю стремится хорда MMV Применим для примера это определение к параболе у —ах* в произвольной ее точке М (х,у). Так как касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой
78] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 143 коэффициент. Мы и поставим себе задачей найти угловой коэффи¬ циент tga касательной в точке М. Придав абсциссе х приращение Дл:, от точки М кривой перейдем к точке Mi с абсциссой х-{-Ьх и ординатой у Ду = а (х -(- Д-*0а (рис. 33, а). Угловой коэффициент tgcp секущей MMt "определится из прямоугольного треугольника MNMX. В нем катет MN равен приращению абсциссы Lx, а катет NMb очевидно, есть соответству¬ ющее приращение ординаты Ly — a (2х • Дат Ддг2), так что tgtf,==f*==2a*+aAjf- Для получения углового коэффициента касательной, как легко понять, нужно перейти здесь к пределу при Дл; 0, ибо это и равно¬ сильно тому, что хорда ММ^^О. При этом ср-*<х и (по непрерыв¬ ности функции tgcp) tgcp-^tga. Мы приходим, таким образом, к результату: tg a = lim (2ах -|- аДлг) = 2ах *). Дл:—о В случае любой кривой с уравнением y=f(x) угловой коэффициент касательной устанавливается подобным же обра¬ зом. Приращению Дл: абсциссы отвечает приращение Ау ординаты, и отношение Ау Дл: выражает угловой коэффициент секущей, tgcp. Угловой же коэф¬ фициент касательной получается отсюда путем перехода к пре¬ делу при Длг-*0: tga= lim tg ср = lim Ддс-»0 Длг-*0 Х 78. Определение производной. Сопоставляя операции, которые мы осуществляли при решении рассмотренных выше фундаментальных задач, легко усмотреть, что в обоих случаях — если отвлечься от .*) Заметим попутно, что отсюда вытекает удобный прием для фактиче¬ ского построения касательной к параболе. Именно, из Д МРТ(рис. 33,0), отрезок TP—-JL-—££l — £ tg а 2ах 2 * так что Г есть середина отрезка ОР. Итак, для того чтобы по¬ лучить касательную к параболе в ее точке М, достаточно разделить пополам отрезок ОР и середину его соединить с точкой М.
144 гл. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ J78 различия в истолковании переменных — по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой пере¬ менной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путем мы и приходим к основному понятию дифференциального исчисления — к понятию производной. Пусть функция y=f(x) определена в промежутке Исходя из некоторого значения х = х0 независимой переменной, придадим ему приращение Алег^О, не выводящее его из промежутка £€> так что и новое значение xQ -f- Дат принадлежит этому промежутку. Тогда зна¬ чение уо = f (лг0) функции заменится новым значением j/0-j-Ay = =/(*о + д-*0> т* е* получит приращение Ду = Д/(*„)=/(.*о + д*) — /(•*<>)• Если существует предел отношения приращения функции Ау к вызвавшему его приращению независимой переменной Длг, при стремлении Ад: к нулю, т. е. Иш ^=lim Длг-*0 Ь* Д*-0 то он называется производной*) функции у =f(x) по неза¬ висимой переменной х при данном ее значении (или в данной точке) х=х0. Таким образом, производная при данном значении х = х0— если существует — есть определенное число**); если, же производная существует во всем промежутке SV, т. е. при каждом значении х в этом промежутке, то она является функцией от х. Пользуясь только что введенным понятием, сказанное в п° 76 о скорости движущейся точки можно резюмировать так: Скорость v есть производная от пройденного пути s по времени t. Если слово «скорость» понимать в более общем смысле, то можно было бы производную всегда трактовать, как некую «скорость». Именно, имея функцию у от независимой переменной ху можно поста¬ вить вопрос о скорости изменения переменной у по сравнению с переменной х (при данном значении последней). Если приращение Алг, приданное х, влечет за собой приращение Ау для у, то, по аналогии сп°76, средней скоростью изменения у по сравнению с х при изменении х на величину Адг можно считать отношение V = — v*p Алг* *) Термин «производная» был введен Лагранжем уже на рубеже XVIII и XIX веков. **) Пока мы ограничиваемся случаем, когда упомянутый выше предел конечен [см. пв 87].
78] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 145 Скоростью же изменения у при данном значении х естественно назвать предел этого отношения при стремлении Ах к нулю: V= lim Vcv= lim ^ т. e. как раз — производную от у по х. В п° 77 мы рассматривали кривую, заданную уравнением y=f (.*0, и решили вопрос о проведении касательной к ней в заданной точке. Теперь мы можем сформулировать полученный нами результат так: Угловой коэффициент tga касательной есть производная от ординаты у по абсциссе х. Это геометрическое истолкование производной часто бывает полезным. Приведем в дополнение к рассмотренным выше еще несколько примеров, выявляющих роль понятия производной. Если скорость движения v не постоянна и сама изменяется с тече¬ нием времени: v=f(t)y то рассматривают «скорость изменения ско¬ рости», называя ее ускорением. Именно, если приращению времени Дt отвечает приращение ско¬ рости Av, то отношение Да аср дt выразит среднее ускорение за промежуток времени Дt, а предел его даст ускорение движения в данный момент времени: а= lim асо= lim At -* О СР «-0А* Таким образом, ускорение есть производная от скорости по времени. Рассмотрим теперь «линейное» распределение массы непрерывным образом вдоль некоторого прямолинейного отрезка (т. е., собственно, вдоль стержня, шириной и толщиной которого мы пренебрегаем!). Пусть положение точки на этом отрезке определяется абсциссой х, отсчитываемой (например, в сантиметрах) от начала отрезка. Масса т, распределенная вдоль по отрезку [0, х], будет зависеть от х: т = fix). Приращение Ддг абсциссы конца отрезка вызовет приращение Ат массы: иными словами, Дт есть масса, связанная с отрезком [х, х-\-Ах], примыкающим к точке х. Тогда средняя плотность распреде¬ ления массы на указанном отрезке выразится отношением Д/71 рсР Длг- Предел этой средней плотности при стягивании отрезка в точку, т. е. при Ддг-^-0:
146 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Г7® называется (линейной) плотностью в точке х: эта плотность есть производная от массы по абсциссе. Обратимся к учению о теплоте и с помощью производной уста¬ новим понятие теплоемкости тела при данной темпера¬ туре. Обозначим входящие в вопрос физические величины следующим образом: 0 — температура (в градусах С), W — количество тепла, которое нужно сообщить телу при нагревании его от 0° до 0° (в кало¬ риях). Ясно, что W есть функция от 0: W=f(b). Придадим 0 неко¬ торое приращение Д0, тогда W также получит приращение AW. Средняя теплоемкость при нагревании от 0° до (0 -)- А0)° будет AW °ср А0 * Но так как, вообще говоря, при изменении Д0 эта средняя тепло¬ емкость меняется, мы не можем принять ее за теплоемкость при данной температуре 0. Для получения последней нужно перейти к пределу: г г с— lim сс — Ьт^гд-. де-о р де-оА0 Итак, можно сказать, что теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре. Все эти применения производной (число которых легко было бы увеличить) с достаточной яркостью обнаруживают тот факт, что производная существенным образом связана с основными поня¬ тиями из различных областей знания, способствуя самому установлению этих понятий. Вычисление производных, изучение и использование их свойств и составляет главный предмет дифференциального исчисления. Для обозначения производной употребляют различные символы: или *) (Лейбниц), У или f(xг0) (Лагранж); Dy или D/(at0) (Коши). Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначе¬ ниями Лагранжа. Если применяют функциональное обозначение (см. вто¬ рой столбец), то буква лг0 в скобках указывает то именно значение не¬ зависимой переменной, при котором вычисляется производная. Наконец, заметим, что в случаях, когда может возникнуть сомнение относи¬ *) Пока мы рассматриваем обозначения Лейбница как цельные символы; ниже мы увидим, что их можно рассматривать и как дроби. Мы не будем пользоваться обозначением Ньютона предполагающим, что роль незави¬ симой переменной играет время (см. по этому поводу п° 224).
791 § у ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 147 тельно переменной, по которой взята производная (по сравнению с которой устанавливается «скорость изменения функции»); эта пере¬ менная указывается в виде значка внизу: У Ху fX (*о)> Dxyt Dxf (XQ), причем значок х не связан с тем частным значением х0 независимой переменной, при котором вычисляется производная. (В некотором смысле, можно сказать, что цельные символы |£, f или fx, Df или Dxf играют роль функциональных обозначений для производ¬ ной функции). Запишем теперь, пользуясь введенными для обозначения произ¬ водных символами, некоторые из полученных выше результатов. Для скорости движения имеем ds t V — ИЛИ V = St, а для ускорения dv a = — или a = vt. Аналогично, угловойкоэффициент касательной к кривой y=f(x) напишется так: tga~% или *£а==У* и т. П. 79. Примеры вычисления производных. В качестве примеров вычислим производные для ряда элементарных функций. 1°. Отметим, прежде всего, очевидные результаты: если у = с = = const, то Дд/ = 0, каково бы ни было Ах, так что У = 0; если же у — х, то Ау = Ах и у=1. 2°. Степенная функция: у — х* (где — любое веществен¬ ное число). Область изменения х зависит от р.; она была указана в п°22, 2°. Имеем (при х^ЬО) Ay (л: + Ах)* —х* №-1 У -у / Ал: Ал: Ал: х Если воспользоваться пределом, вычисленным в п°6б, 3), то получим /= lim ^ = *). Д* — 0 ДЛГ *) Если (х>0, то при лг = 0 легко непосредственно получить значение производной: у = 0.
148 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ р9 В частности, если у если у = угх = х2, то У = ±х 2 =— z 2 ух 3°. Показательная функция: у = ах (а^>0, —оо<^ <^х<^-\-оо). Здесь АX+LX „X АХ « Ду а — а х а — 1 Дл: Ьх а Дл: " Воспользовавшись пределом, вычисленным в п°65, 2), найдем: У= lim ~^ = ах Лх\ а. В частности, Длг-*0А*" если у = ех, то у' = ех. Итак, скорость возрастания показательной функции (при я]>1) пропорциональна значению самой функции: чем большего значения функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растет. Это дает точную характеристику роста показательной функции. 4°. Логарифмическая функция: y = \ogax (0<^аф\, 0<^дг<[4'00)* ® этом случае 4У _ lQgа (х + А*) —'1°gg х _ 1 # loga(1 Дл: Дл: х * Ах х Воспользуемся пределом, вычисленным в п°6б, 1): /= пш Д* _► О Х Х В частности для натурального логарифма получается исклю¬ чительно простой результат: при у = 1пх имеем у = -^-# Это дает (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочте¬ ния, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретиче¬ ских исследованиях. То обстоятельство, что скорость возрастания логарифмической функции (при а^> 1) обратно пропорциональна значению аргумента и, оставаясь положительной, стремится к нулю при безграничном возрастании аргумента, хорошо характеризует рост логарифмической функции.
80] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 149 5°. Тригонометрические функции. Пусть у — sinху тогда sin — Ay_sin(*-M*)-sin_.r_ 2_.cos^ + ^. Дл: Дл: Дл: Пользуясь непрерывностью функции cos х и известным [п°34, 5)] пределом lim -^-^=1, получим а-0 а У— lim = cos х *). Аналогично найдем: если у = cos лг, то У = — sin лг. В случае у = tg х имеем sin (л: 4~ A*) sin лг Ay tg (л: + Длг) — tg х cos (л + Але) cos л: Ал: Ал: Ах sin (л: + Дл:) cos х — cos (л: + Ах) sin х sin Дл: 1 Дл; • cos х • cos (л + Дл) Дл cos х • cos (л + Дл)" Отсюда, как и выше, y = di™o£==^ = SeC*X' Аналогично, если у = ctg лг, то V — Д— = — csc2 лг. J 6 ' sin3 X 80. Производная обратной функции. Прежде чем заняться вы¬ числением производных от обратных тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему. Теорема. Пусть: 1) функция /(лг) удовлетворяет условиям теоремы п°71 о существовании обратной функции, 2) в точке х = х0 имеет конечную и отличную от нуля произ¬ водную /'(*<))• Тогда для обратной функции x = g(y) в соответ¬ ствующей точке <Уо=/(*^о) также существует производная, равная гЬ- *) Отметим, что эта формула обязана своей простотой тому, что угол измеряется в радианах. Если бы мы стали измерять л, например, в градусах, предел отношения синуса к углу был бы равен не единице, а, как легко видеть, и тогда мы имели бы 180 / С1П V-V 180
150 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [80 Доказательство. Придадим значению у =_у0 произвольное приращение Ау, тогда соответственное приращение Длг получит и функция x = g(y). Заметим, что при Ау ф 0, ввиду однозначности самой функции y—f(x\ и Ах ф 0. Имеем Ax_J_ A3; Ау • Ад: Если теперь Aj/->0 по любому закону, то — в силу непрерывности функции x = g(y)— и приращение Алг-^0. Но тогда знаменатель правой части написанного равенства стремится к пределу /' (jc0) ф 0, следовательно, существует предел для левой части, равный обратной величине угц-j; он и представляет собой производную gr (у0). Итак, имеем простую формулу: Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная ух есть тангенс угла а, образованного касательной к графику функции y=f{x) с осью х. Но обратная функция x = g(y) имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси у. Поэтому производная ху равна тангенсу угла р, составленного той же касательной с осью у (рис. 34). Таким образом, выведенная формула сводится к известному соотношению связывающему тангенсы двух углов а и р, сумма которых равна Положим для примера у = ах. Обратной для нее функцией будет x = \ogay. Так как (см. 3°) у'х = ах-Inа, то по нашей формуле хв — — l£Sk£ у Ух а* *1п а у у в согласии с 4°. Переходя теперь к вычислению производных от обратных три¬ гонометрических функций, мы для удобства поменяем ролями пере¬ менные х и у, переписав доказанную формулу в виде 1
81J § 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 151 6°. Обратные тригонометрические функции. Рас¬ смотрим функцию j/ = arcsin jc (—1<^х<4), причем — Она является обратной для функции jc=sin у, имеющей для указан¬ ных значений у положительную производную ху = cos у. В таком случае существует также производная у'х, равная, по нашей формуле, Ху COS^y Y 1 — sin2_y У 1 —Xs * корень мы берем со знаком плюс, так как cosj>^>0. Мы исключаем значения х = ±1, ибо для соответствующих зна¬ чений у — ±~ производная ху = cos_y= 0. Функция y = aictgx (—оо<^х<^-\-оо) служит обратной для функции x = tgy. По нашей формуле 11 1 1 у* Ху sec2 у 1 + tg2 у 1+лга> Аналогично можно получить: для j/=arccosJt у = — Т7г==г (—1<^<1). для у = arcctg х У I — *2 /=—Т-Ip (— оо<><+оо). 81. Сводка формул для производных. Сделаем сводку всех выведенных нами формул: 1. у = с 2. у = х 3 .'у = х? 1 У=х у=Ух 4. у — а* У = е* 5. J» = l0geA? у= In дг 6. у = sin X У = COS X 7. y = cosx У= — sinjc 8. y = tgx y'=sec3x = ^rj
152 гл. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 182 9. y = ctgx ' —1 10. у = arcsin лг 11. ^ = 3^08^ 12. у = arctg х 13. у = arcctg л; 1+х, 82. Формула для приращения функции. Докажем здесь два простых утверждения, имеющих приложения в дальнейшем. Пусть функция у = f (х) определена в промежутке SP. Исходя из определенного значения дг = дг0 в этом промежутке, обозначим через Ддг^О произвольное приращение х, подчиненное лишь тому ограничению, чтобы точка *0*-(-Даг не вышла за пределы SC. Тогда соответствующим приращением функции будет Ду = Д/ (лг0) =f(xQ + Длг) —f(x о). 1°. Если функция у—f{x) в точке х0 имеет (конечную) про¬ изводную yx=f(xг0), то приращение функции может быть пред¬ ставлено в виде Д/(*0) =/' (*о) • Д* + а • Д* (2) или, короче, Ау =у'х • Дат + а * (2а) где а есть величина, зависящая от Ддг и вместе с ним стремя¬ щаяся к нулю. Так как, по самому определению производной, при Ддг->0 Ау то, полагая Ау видим, что и а-vO. Определяя отсюда Ду, придем к формуле (2а). Так как величина а-Ддг (при Дл;->0) будет бесконечно малой высшего порядка, чем Ддг, то, употребляя введенное в п°Б4 обозна¬ чение, можно наши формулы переписать в виде Л/С*о) =/' (*о) • Дат + о (Длг) (3) или Ау =угх • Ддг -J- о (Дд;). (За) Замечание. До сих пор мы считали Ajt^gO; величина а и не была определена при Д* = 0. Когда мы говорили, что а->0 при
83] § 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 153 Длг-*0, то (как обычно) предполагали, что Дл: стремится к нулю по любому закону, но не принимая нулевого значения. Положим теперь а = 0 при Дл;=0; тогда, разумеется, формула (2) сохранится и при Дл; = 0. Кроме того, соотношение а-* 0 при Ах-+0 можно понимать и в более широком смысле, чем раньше, не исклю¬ чая для Ах возможности стремиться к нулю, принимая в числе про¬ чих и нулевые значения. Из доказанных формул непосредственно вытекает: 2°. Если функция y=f(x) в точке х0 имеет (конечную) про¬ изводную, то в этой точке функция необходимо непрерывна. Действительно, из (2а) ясно, что соотношение Длг-*0 влечет за собою 83. Простейшие правила вычисления производных. В преды¬ дущих номерах мы вычислили производные для элементарных функ¬ ций. Здесь и в следующем номере мы установим ряд простых пра¬ вил, с помощью которых станет возможным вычисление производной для любой функции, составленной из элементарных при посредстве конечного числа арифметических действий и суперпозиций [п°2б]. I. Пусть функция и — <р(х) имеет (в определенной точке х) производную и\ Докажем, что и функция у = си (с = const) также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее. Если независимая переменная х получит приращение Длг, то функ¬ ция и получит приращение Дм, перейдя от исходного значения и к значению н + Ди. Новое значение функции у будет у-\-Ау = = с(и-\-Аи). Отсюда Ау = с-Аи и Ду А и , lim т~ = Сл lim -г— = с * и, Дат 0 Дх -+ О Итак, производная существует и равна У = (с • u)f = с • и'. Эта формула выражает такое правило: постоянный множи¬ тель может быть вынесен за знак производной. II. Пусть функции и — <р(лг), г> = ф(лг) имеют {в определенной точке) производные и', v\ Докажем, что функция y = u±v также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее. Придадим х приращение Ах; тогда и, v и у получат, соответ¬ ственно, приращения Аиу Av и Ау. Их новые значения и-\-Аи, v + Av, у Ду связаны тем же соотношением: у -}- Ду = (и -|- Дм) ± (v -f- Дт>). Отсюда Ау = Аи± Av, ^ ^ ± ^ 7 9 Ах Дл; Ах
154 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [83 1. Av Аа . Av , . , hm й= hm hm дг=и ±v> Д*-*0ЛЛГ так что производная у существует и равна У = (м ± v)r = u' ± v\ Этот результат легко может быть распространен на любое число слагаемых (и притом — тем же методом). III. При тех же предположениях относительно функций и, v докажем, что функция y = u>v также имеет производную, и найдем ее. Приращению Ах отвечают, как и выше, приращения Дм, Av и Ду; при этом у -j- Ау = (м -f- Дм) (v -)- Av), так что Ау — Дм • v -f- и • Av -{- Дм • Av и Ay А« . Дг/ . Аа А -Г- = Т— •V+M--7 Ц-Г— -Дх/. Ал: Ал: 1 Ад: 1 Ал: Так как при Длт->0, в силу п°82, 2°, и Дг>->0, то lim lim ^-v4-u* lim ^ = d-vA-u*v', Ax-*-о x 1 д*_*0д* 1 т. е. производная у существует и равна у = (и • v)r = м' • v -f- и • v\ Если y = uvw, причем и', v\ w' существуют, то у = [(uv) • w]r = (uv)' • w -}- (uv) • wf = vCvw -f - uvfw -f- uvw\ Легко сообразить, что для случая п сомножителей будем иметь аналогично: п [uvw ... s]r = it'vw... s -f- uv’w... S 4“ uvw'... s -}- ... + uvw... 5'. Для того чтобы доказать это, можно воспользоваться методом мате¬ матической индукции. IV. Наконец, если и, v удовлетворяют прежним предположе¬ ниям и, кроме того, v отлично от нуля, то мы докажем, что функция у = ~ также имеет производную, и найдем ее. При тех же обозначениях, что и выше, имеем . . и + Ды у-\- Ду — —-р—, так что А и Av д Au-v—и»Av Ау А* ’ ’ Ал: У v (v + Av) И Ал: v (v + Av)
841 § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 155 Устремляя здесь Длг к нулю (причем одновременно и Дг>->0), убе¬ ждаемся в существовании производной и' • v—и • v’ 84. Производная сложной функции. Теперь мы можем устано¬ вить весьма важное при практическом нахождении производных пра¬ вило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций. V. Пусть\ 1) функция м = <р(лт) имеет в некоторой точке х0 производную и'х — у'(хт0), 2) функция у—/(и) имеет в соответ¬ ствующей точке щ = <р (лг0) производную уи = f (м0). Тогда сложная функция y=f(y(x)) в упомянутой точке х^ также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(ii) и <р(х): [/(?(*))]'=/«(?(*o))V(*o)*) или, короче, Ух == У а * Для доказательства придадим х произвольное приращение Ал*; пусть Дм— соответствующее приращение функции и = <р(лг) и, нако¬ нец, Ду— приращение функции y—f{it\ вызванное приращением Дм. Воспользуемся соотношением (2а), которое, заменяя х на м, пере¬ пишем в виде Д^=уи. Дм -|- а • Дм (а зависит от Дм и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на Длг, получим Ду , Ди , Ди Ах Уи ’ Дл: * а ’ Дл: * Если Ах устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и Дм [88, 2°], а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от Дм величина а. Следовательно, существует предел Ду , Д и , lim т~ ==Уи • 1*т г- —уи • и*, Д*-*0ад: Ах^0ах который и представляет собою искомую производную у’х. Замечание. Здесь сказывается полезность замечания в п°82 относительно величины а при Длг = 0: покуда Длг есть прираще¬ ние независимой переменной, мы могли предполагать его *) Подчеркнем, что символ fu (<р (л:0)) означает производную функцию f(u) по ее аргументу а (а не по лг), вычисленную при значении и0 = у (х0) этого аргумента.
156 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [85 отличным от нуля, но когда Адг заменено приращением функции и = <р (jc), то даже при Ах ф О мы уже не вправе считать, что Дн Ф 0. 85. Примеры *). Сначала приведем несколько примеров приложения пра¬ вил 1—IV. 1) Рассмотрим многочлен: у = а0хп + aLxn~l + ... + ап_ ах* + ап_ух + ап. По правилу II, а затем I, будем иметь: У = (а0хпу + (а.х"-1)' + ...+ ifin-sX*)' + (а^х)' + (ап)' = = «о (*“)' + а1 (хп~1)' + • • • + л„_1 (л:8)' + (л:)' + (а„)'. Использовав же формулы 1, 2, 3 [п° 81], окончательно получим у' = naaxn~l + (п — 1) а,*"-2 +... + 2ап_2х + вл_х. 2) у = (2х3 — Ьх+\)-е*. По правилу III у' = (2а:2 —5л: + 1)' . ех + (2л:2 — 5л: + 1) .(е*у. Опираясь на предыдущий пример и формулу 4 [п° 81], найдем у = (4л: — 5) • е* + (2л:2 —5л: + 1) • е* = (2л:2 —л: — 4) Л х sin х + cos х 3) V = -L = • 1 J л: cos л:— sinjc Здесь приходится пользоваться сначала правилом IV, а затем правилами II и III (и формулами 6, 7, п°81): , (л: sin х + cos х)' (л: cos х — sin л:) —(л: sin х + cos л:) (л: cos х — sin х)’ У (л: cos л: — sin л:)2 х cos х (л: cos х — sin л:) — (л: sin х 4- cos л:) (— х sin х) (л: cos х — sin х)2 _ л:2 (л: cos л: — sin х)2 * Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не рас¬ членяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще иисать производные сразу. Примеры на вычисление производных сложных функций: 4) Пусть у = In sin xf иначе говоря, у = In и, где и = sin л:. По правилу V, у*х=у'а* и'х, Производная у'и == (Inи)'а = (формула 5) должна быть взята при и = sin х. Таким образом, у' = — (sin л:)' = CQS — = ctg х (формула 6). sm* 4 1 sin л: & r J ' 5) yz=ех\ т. e. y = euy где u = x*; yx = ex2 • (л:2)' = 2л:• ex2 (V; 4 и 3). *) Буквами xt yy a, v ниже обозначены переменные, а другими буквами — постоянные величины.
85] $ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 157 Конечно, в отдельном выписывании составляющих функций на деле нет надобности. 6) у = sin ах\ y'x = cos ах • (ах)' = а • cos ах (V; 7, I, 2). Ч*=.г«г1; 1 +х2 (V; 12, 3). Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпо¬ зиций, исчерпывается последовательным применением правила V: 8 )у = yrxg~x; тогда у*=- 2 Г7Ч=-(«т*)> №3> у Чг* (V;8) 2 1 sec2 -pr- aY4tx Дадим еще несколько примеров на применение всех правил: 9) д» = 1п(* + У*=+7); = __]_= . (х+ V&+i)x=* 1 (н— х )=■—— \ Vx*4-cl Vx* - х+Ух^+с \ Ух* + с/ Ух*+с 1 • У ЛГа 4" С — X • ю) у= х !— cYx* + c с (yV + c)3 (лга+с)3/а 11) В виде упражнения исследуем еще вопрос о производной степенно¬ показательного выражения y = uv (и >0), где и и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные и\ v\ Прологарифмировав равенство у = и?, получим 1п.у = г> Лпа. (4) Таким образом, выражение для у можно переписать в виде y=zev'}nu, от¬ куда уже ясно, что производная у существует. Самое же вычисление ее проще осуществить, приравнивая производные по х от обеих частей
158 гл. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |86 равенства (4), При этом мы используем правила V и III (помня о том, что и, v и у суть функции от л:). Мы получим 1 г ,, , 1 , —y' = v' Anu-V-v и\ у J 1 и откуда У —У + »' In и) или, подставляя вместо у его выражение, y' = uv{^r+v' 1пи^. (5) Эта формула впервые была установлена Лейбницем и И. Бернулли. Например, если y = xsmx, то у'х = xsin х [~~~ + cos х • In . 86. Односторонние производные. Обратимся в заключение к об¬ зору ряда особых случаев, которые могут представиться в от¬ ношении производных. Начнем с установления понятия об односто¬ ронних производных. Если рассматриваемое значениех является одним из концов того промежутка SF, в котором определена функ¬ ция y=f(x), то при вычислении предела ~ приходится ограни¬ читься приближением Длг к нулю лишь справа (когда речь идет о левом конце промежутка) или слева (для правого конца). В этом случае говорят об односторонней производной, справа или слева. В соответствующих точках гра¬ фик функции имеет односто¬ роннюю касательную. Может случиться, что и для внутренней точки х существуют лишь односторонние пределы от¬ ношения ^ (при кх ->»-[- 0 или кх-> — 0), не равные между со¬ бой; их также называют одно¬ сторонними производными. Для графика функции в соответ¬ ствующей точке будут существовать лишь односторонние ка¬ сательные, составляющие угол: точка будет угловой (рис. 35). В качестве примера рассмотрим функцию у =/(л:) = | х |. Исходя из зна¬ чения * = 0, будем иметь 4У =/ (0 + Л*) -/ (0) =/ (Ах) = j Д* |. Если Д*>0, то Ду Д V = Дат, lim -~ = \t ’ Ах->+0Ьх
87) § 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 159 Если же Дл: < 0, то Ду Ду = —Дл:, lira т— =—1. * Длг—оДл: Начало координат является угловой точкой для графика этой функции, со¬ стоящей из биссектрис первого и второго координатных углов. 87. Бесконечные производные. Если отношение приращений ^ при Дл: ->► О стремится к -{- °° или к — оо, то это несобственное число также называют производной и обозначают как обычно. Геометрическое истолкование производной как углового коэффи¬ циента касательной распространяется и на этот случай; но здесь — касательная оказывается параллельной оси у (рис. 36, а, б). Аналогично устанавливается понятие об односторонней бес¬ конечной производной. Впрочем, на этот раз даже наличие различных по знаку односторонних бесконечных производных (рис. 36, в, г) тоже влечет за собой существование единственной вертикальной касательной. Особенностью этого случая является наличие острия, направленного вверх или вниз. \_ Пусть, например, ft (х) = л:3; при хфО формула 3 п° 81 дает 3 Зл: но она не приложима при л: = 0. В этой точке вычислим производную, исходя непосредственно из ее определения; составив отношение _1_ /, (О + Ал:)-/, (0) (Ал:)3 _ 1 Ьх Ь.х 2» (Дл;)3
160 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [88 видим, что его пределом при Ах -+ 0 будет + °°» Аналогично убеждаемся, что для функции f2(x)-=xb при лг = 0 производная слева равна —со, а справа -1- оо. Пользуясь расширением понятия производной, можно было бы дополнить теорему п°80 о производной обратной функции указанием, что и в тех случаях, когда f (лг0) равна нулю или ± оо, производная обратной функции g'(у0) существует и равна, соответственно, ±оо или нулю. Например, так как функция sin л: при х — ±~ имеет производную cos^zhyj =0, то для обратной функции arcsin^y при у — ± 1 существует бесконечная производная (именно, -f- °°)* 88. Дальнейшие примеры особых случаев. 1°. Пример несущество¬ вания производной. Уже функция у = \х\ в точке х = 0 [см. п°86] не имеет обычной, двусторонней, производной. Но интереснее пример функции f(x) = x- sini- (при хфО), /(0)=0, непрерывной и при л; = 0 [п°67, 4)], но не имеющей в этой точке даже одно¬ сторонних производных. Действительно, отношение /(0 + Д*)—/(0) /(Д*)_^ 1 Ах — Sm Тх не стремится ни к какому пределу при Дл: -> ± 0. По графику этой функции (рис. 21) легко усмотреть, что секущая OMlt исходящая из начальной точки О, не имеет предельного положения при стрем¬ лении Mt к О, так что касательной к кривой в начальной точке нет (даже односторонней). Впоследствии мы познакомимся с замечательным примером функции, не¬ прерывной при всех значениях аргумента, но ни при одном из них не имею¬ щей производной. 2°. Пример разрыва производной. Если для данной функции у =/(*) существует конечная производная у =f (х) в каждой точке некоторого про¬ межутка SC* то эта производная, в свою очередь, представляет собой в SC функцию от х. В многочисленных примерах, которые нам до сих пор встре¬ чались, эта функция сама оказывалась непрерывной. Однако это может быть не так. Рассмотрим, например, функцию / (*) = sin у (при л: ф 0), / (0) = 0. Если хфО, то ее производная вычисляется обычными методами: f (х)=2х * sin — cos ~f но полученный результат неприложим при л: = 0. Обращаясь в этом случае непосредственно к самому определению понятия производной, будем иметь /'(0)= lim /(° + Алг>~/(0>— пт д*. sin ^-=0. Длг-*0 АХ Д*-»0 АХ
89] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 161 Вместе с тем ясно, что f (л;) при х -* 0 не стремится ни к какому пределу, так что при х = 0 функция f{x) имеет разрыв. В этом примере разрыв производной оказывается второго рода. Это—не случайность: ниже мы увидим, что разрывов первого рода, т. е. скачков, про¬ изводная иметь не может [п° 103]. § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 89. Определение дифференциала. Пусть имеем функцию y=f(x), определенную в некотором промежутке 3? и непрерывную в рассма¬ триваемой точке Xq. Тогда приращению Длг аргумента отвечает при¬ ращение Д.У = Д/С*о) =/(•*<> + Д-v) —fixо), бесконечно малое вместе с Длг. Большую важность имеет вопрос, существует ли для Ау такая линейная относительно Длг беско¬ нечно малая А* Ах (А = const), что их разность оказывается, по сравнению с Ах, бесконечно малой высшего порядка: Ау = А • Длг-[-о (Длг). (1) При АфО наличие равенства (1) показывает, что бесконечно малая А • Длг эквивалентна бесконечно малой Ау и, значит, служит для последней ее главной частью, если за основную бесконечно малую взята Длг [п°п°56, 57]. Если равенство (1) выполняется, то функция y=f{x) назы¬ вается дифференцируемой {при данном значении х=лг0), само же выражение А • Дл; называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df(xг0). [В последнем случае в скобках указывается исходное значение лг*)]. Еще раз повторяем, что дифференциал функции характеризуется двумя свойствами: (а) он представляет линейную однородную функ¬ цию от приращения Длг аргумента и (б) разнится от приращения функции на величину, которая при Дл;-*0 является бесконечно малой, порядка высшего, чем Длг. Рассмотрим примеры. 1) Площадь Q круга радиуса г задается формулой ф = яг2. Если радиус г увеличить на Аг, то соответствующее приращение AQ величины Q будет пло¬ щадью кругового кольца, содержащегося между концентрическими окружно¬ стями радиуса г и г + Аг. Из выражения AQ = те (г -|- Аг)2 —пг2 = 2тег ■ Аг -{- п (Аг)2 сразу усматриваем, что главной частью AQ при Аг-*0 будет 2яг*Аг; это и есть дифференциал dQ. Геометрически он выражает площадь прямоуголь¬ ника (полученного как бы «выпрямлением» кольца) с основанием, равным длине окружности 2пг, и высотой Аг. *) Здесь df как единый символ играет роль функционального обозначения. 6 Г, М. Фихтенгольц, т, I
162 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (90 gt2 2) Рассмотрим свободное падение материальной точки по закону s = y. За промежуток времени Дt, от t до t + At, движущаяся точка пройдет путь As=g-(* + A0‘ -Щ- =gt ■ U + f (40s- При- At-+0 его главной частью будет ds=gt-At. Вспомнив, что скорость в момент t будет v=gt [п°76], видим, что дифференциал пути (приближенно заменяющий приращение пути) вычисляется как путь, пройденный точкой, которая в течение всего промежутка времени At двигалась бы именно с этой скоростью. 90. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Легко установить теперь справедливость следующего утверждения: Для того чтобы функция у =/(лг) в точке х0 была дифферен¬ цируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке существовала конечная производная у=/'(лс0). При выполнении этого условия равенство (1) имеет место при значении постоян¬ ной А, равном именно этой производной: Ау =Ух • Ах о (Ах). (1 а) Необходимость. Если выполняется (1), то отсюда аУ — а 1 °(Ах) Ах ^ Ах 1 так что, устремляя Ал: к нулю, действительно получаем А = lim =Ух- Ах —► 0 Достаточность сразу вытекает из п°82, 1° [см. там (За)]. Итак, дифференциал функции y=f(x) всегда равен dy=yx-Ax*). (2) Подчеркнем здесь же, что под Ах в этом выражении мы разумеем произвольное приращение независимой переменной, т. е. произ¬ вольное число (которое часто удобно бывает считать не зависящим от х). При этом вовсе не обязательно предполагать Ах беско¬ нечно малой; но если Длг-*0, то дифференциал dy также будет бесконечно малой, и именно (при ух ф 0) — главной частью бесконечно малого приращения функции Ау. Это и дает основание приближенно полагать. byz±=dy (3) *) Легко проверить, что именно так и составлялся дифференциал в при¬ мерах, рассмотренных в предыдущем номере. Например, в случае 1) имеем: Q = тсг2, Q'r = 27ir, dQ = 2nr • Дг.
90] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 163 с тем большей точностью, чем меньше Ах. Мы вернемся к рассмо¬ трению приближенного равенства (3) в п°93. Чтобы истолковать геометрически дифференциал dy и его связь с приращением Ау функции y=f(x\ рассмотрим график этой функции (рис. 37). Значением х аргумента и у функции определится точка М на кривой. Проведем в этой точке кривой касательную М Т; как мы уже видели в п° 78, ее угловой коэффициент, tg а, равен про¬ изводной ух. Если абсциссе х придать приращение Ах, то ордината кривой у получит приращение Ay = NMx. В то же время ор¬ дината касательной получит приращение NK. Вычисляя NK как катет прямоугольного тре¬ угольника MNK, найдем: NK= MN-tga =ух • Ах = dy. Итак, в то время как Ау есть приращение ординаты кривой, dy является соответ¬ ственным приращением орди¬ наты касательной. В заключение остановимся на самой независимой перемен¬ ной х\ ее дифференциалом называют именно приращение Ах, т. е. условно полагают dx = Ах. (4) Если отождествить дифференциал независимой переменной х с дифференциалом ф у н к*ц и и у=х (в этом — тоже своего рода соглашение!), то формулу (4) можно и доказать, ссылаясь на (2): dx=xx- Ах = 1 • Алг = Ах. Учитывая соглашение (4), можно теперь переписать формулу (2), дающую определение дифференциала, в виде dy =Ух • dx\ (5) так ее обычно и пишут. Отсюда получается ' dy У*=Гх> (6) так что выражение, которое мы раньше рассматривали как цель¬ ный символ, теперь можно трактовать как дробь. То обстоятель¬ ство, что слева здесь стоит вполне определенное число, в то время как справа мы имеем отношение двух неопределенных чисел dy и dx (ведь dx=Ax произвольно), не должно смущать читателя: числа dx и dy изменяются пропорционально, причем производная ух как раз является коэффициентом пропорциональности. 6*
164 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [91 Понятие дифференциала и самый термин «дифференциал»*) принадлежат Лейбницу, который, однако, точного определения этого понятия не дал. Наряду с дифференциалами, Лейбниц рассматривал и дифференциальные частные, т. е. частные двух дифференциалов, что равносильно нашим произ¬ водным; однако именно дифференциал был для Лейбница первоначальным понятием. Со времен Коши, который своей теорией пределов создал фун¬ дамент для всего анализа и впервые отчетливо определил производную как предел, стало обычным отправляться именно от производной, а понятие дифференциала строить уже на основе производной. 91. Основные формулы и правила дифференцирования. Вычи¬ сление дифференциалов функций носит название дифференцирова¬ ния**). Так как дифференциал dy лишь множителем dx отличается от производной ух, то по таблице производных для элементарных функций [81] легко составить таблицу дифференциалов для них: *) От латинского слова differentia, означающего «разность». **) Впрочем, тем же термином обычно обозначают и вычисление произ¬ водных, для которого на русском языке нет особого термина. 2. у = Х* 1. у = с dy = О dy = \лх^ dx y = Vx 3. у = а* I у = е* 4. y = iogax dy = a*lnadx dy = ex dx y = inx 5. j» = sinjc 6. у = cos x 7. = 8. у = ctg x dy — cos 'x dx dy = — sin x dx 11. у = arctg x 12. _y = arcctgjf 10. y = arccos x 9. у = arcsin x
92] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 165 Правила дифференцирования*) выглядят так: I. d(cu) = c -du, II. d(u±v) = du±dv, III. d (uv) = v du -f- и dv, 1V> d M= v du— udV ' \ V J V2 Все они легко получаются из соответствующих правил для про¬ изводных. Докажем, например, два последних: d(uv) = (и v)' • dx = (u'v -|- и v’) • dx = = v (и! • dx) -}-u(tf • dx) = vdu-\-u dv> ‘к)-®-**-*?*-**- v(u^dx)—u(v'-dx) v du—udv v* ^ • 92. Инвариантность формы дифференциала. Правило диффе¬ ренцирования сложной функции приведет нас к одному замечатель¬ ному и важному свойству дифференциала. Пусть функции y=f(x) и x = y(t) таковы, что из них может быть составлена сложная функция: _у=/(ср(£)). Если существуют производные у'х и х\> то — по правилу V [п°84] — существует и производная У1=УАгх'ь (7) Дифференциал dy, если х считать независимой переменной, выра¬ зится по формуле (5). Перейдем теперь к независимой переменной t\ в этом предположении имеем другое выражение для дифференциала: dy =y’t • dt. Заменяя, однако, производную у\ ее выражением (7) и замечая, что x'fdt есть дифференциал х как функции от t, окончательно получим dy —у'х • Х( dt =ух dxy т. е. вернемся к прежней форме дифференциала! Таким образом, мы видим, что форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя неза¬ висимая переменная заменена новой. Мы всегда имеем право писать дифференциал у в форме (5), будет ли х независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение Длг, а диф¬ ференциал х как функции от t. Это свойство и называют инва¬ риантностью формы дифференциала. *) Если речь идет именно о вычислении дифференциалов.
166 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [93 Так как из формулы (5) непосредственно получается формула (6), выражающая производную ух через дифференциалы dx и dy, то и последняя формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной (конечно, одной и той же в каждом случае) ни были вычислены названные дифференциалы. Пусть, например, y—Y 1 —■** (— 1 < лг < 1), так что , х Ух~ *• Положим теперь х= sin<^—^огда У= У 1— sin21 = cost,и мы будем иметь: dx=- cost'dt, dy =— sin t-dt. Легко проверить, что фор¬ мула (6) дает лишь другое выражение для вычисленной выше производной. Замечание. Возможность выражать производную через диф¬ ференциалы, взятые по любой переменной, в частности, приводит к тому, что формулы dy ^1_ dy dy da_ dx dx9 dx da ' dx* dy выражающие в лейбницевых обозначениях правила дифференцирова¬ ния обратной функции и сложной функции, становятся простыми алгебраическими тождествами (поскольку все дифференциалы здесь могут быть взяты по одной и той же переменной). Не следует думать, впрочем, что этим дан новый вывод названных формул: прежде всего, здесь не доказывалось существование производных слева, глав¬ ное же — мы существенно пользовались инвариантностью формы диф¬ ференциала, которая сама есть следствие правила V. 93. Дифференциалы как источник приближенных формул. Мы ви¬ дели, что при Ал:-►О дифференциал dy функции у (если только у'хф0) представляет собой главную часть бесконечно малого приращения функции А у. Таким образом, Ay ~ dy' так что Дy = dy, (3) или, подробнее, Щхо) =/(•*« + д*)—/ (*о) — /' Оо) - Дат (За) с точностью до бесконечно малой высшего порядка чем А*. Это значит [п°56], что относительная погрешность этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом Дл:. Это обстоятельство может быть и непосредственно усмотрено из рис. 37, дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно, что при уменьшении Дл: мы действительно все с ббльшей относитель¬ ной точностью можем заменять приращение ординаты кривой приращением ординаты касательной. Выгода замены приращения функции Ау ее дифференциалом dy состоит, как ясно читателю, в том, что dy зависит от Ах л и н е й н о, в то время как Ду представляет собою обыкновенно более сложную функцию от Дл:.
94) § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 167 Если положить Ьх = х—х0 и *0 + &х = х, то равенство (За) примет вид f(x)—f(x9)=f(x0)(x—x0) или fix) =f(x0) +f (х0) (х—х0). По этой формуле, для значений х, близких к х0У функция f(x) приближенно заменяется линейной функцией. Геометрически это соответствует замене участка кривой y=f(x), примыкающего к точке (*0, f(x0))> отрезком касательной к кривой в этой точке: У =/(*о) +/' (*о) (*— *о) *) (ср. рис. 37). Взяв для простоты лг0 = 0 и ограничиваясь малыми значе¬ ниями ху будем иметь приближенную формулу: / (•**) ===/ (0) +/' (0) • л\ Отсюда, подставляя вместо f(x) различные элементарные функции, легко получить ряд формул: (1 + х)^ == 1 + [ixt в частности, Y 1 + х —1 + у х* £*==14“*, 1п (1 4* х) =^= X, SinAT=^, Xgx^x и т‘. п., из которых многие нам уже известны. 94. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. Осо¬ бенно удобно и естественно использовать понятие дифференциала в прибли¬ женных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, величину х мы измеряем или вычисляем непосредственно, а зависящую от нее величину у определяем по формуле =/(*). При измерении величины х обыкновенно вкрадывается погрешность Дл;, которая влечет за собою по¬ грешность Ду для величины у. Ввиду малой величины этих погрешностей, полагают Д_у =у'х-Ьх, т. е. заменяют приращение дифференциалом. Пусть Ьх будет максималь¬ ной абсолютной погрешностью величины х: |Дл:|^5х (в обычных условиях подобная граница погрешности при измерении известна). Тогда, очевидно, за максимальную абсолютную погрешность (границу погрешности) для у можно принять 8у = |у;|.»лг. (8) 1) Пусть, например, для определения объема шара сначала (с помощью штангенциркуля, толщемера, микрометра и т. п.) непосредственно изме¬ ряют диаметр D шара, а затем объем V вычисляют по формуле v=iDK Так как IrB = — D2, то в этом случае, в силу (8), bV = ~D2-bD. *) Действительно уравнение прямой с угловым коэффициентом k> про¬ ходящей через точку (лг0, у0), будет У=Уо + Ь(х—х0); в случае касательной здесь следует положить .Уо^/^о)» k=f(x0).
168 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 195 Разделив это равенство на предыдущее, получим bV QID V D f так что (максимальная) относительная погрешность вычисленного значения объема оказывается втрое ббльшей, чем (максимальная) относительная погрешность измеренного значения диаметра. 2) Если число х, для которого вычисляется его десятичный лога¬ рифм у = log х, получено с некоторой погрешностью, то это отразится на логарифме, создавая и в нем погрешность. М Здесь у^=— (М = 0,4343), так что, по формуле (8), Ьу = 0,4343^. Таким образом, (максимальная) абсолютная погрешность логарифма просто определяется по (максимальной) относительной погрешности самого числа, и обратно. Этот результат имеет многообразные применения. Например, с его помощью можно составить себе представление о точности обыкновенной логарифмической линейки со шкалой в 25 сж = 250 мм. При отсчете или установке визира можно ошибиться примерно, на 0,1 мм в ту или другую сторону, что отвечает погрешности в логарифме ., = §± = 0,0004. Отсюда, по нашей формуле, Ьх 0,0004 . 0,4343 0,001. Относительная точность отсчетов во всех частях шкалы одна и та же! § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 95. Определение производных высших порядков. Если функция y=f(x) имеет конечную производную у' =/(х) в некотором про¬ межутке SV, так что эта последняя сама представляет новую функ¬ цию от ху то может случиться, что эта функция в некоторой точке х0 из SVy в свою очередь, имеет производную, конечную или нет. Ее называют производной второго порядка, или второй производной функции y=f[x) в упомянутой точке, и обозна¬ чают одним из символов %, /', &у, /"(-*-»), Я»Л*о). Так, например, мы видели в п°78, что скорость v движения точки равна производной от пройденного точкой пути 5 по времени t: ds v=j^y ускорение же а есть производная от скорости v по времени:
85J § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 169 а — . Значит, ускорение является второй производной от d2s пути по времени: а = Аналогично, если функция у = f(x) имеет конечную вторую про¬ изводную во всем промежутке 2V, т. е. в каждой точке этого про¬ межутка, то ее производная, конечная или нет, в какой-либо точке х0 из ££ называется производной третьего порядка, или тре¬ тьей производной функции y=f(x) в этой точке, и обозна¬ чается так: 8>/"> Dy, /"'(•*о), EPf(x0). Подобным же образом от третьей производной переходим к чет¬ вертой и т. д. Если предположить, что понятие (п— 1)-й производной уже определено и что (п—1)-я производная существует и конечна в промежутке SV, то ее производная в некоторой точке jc0 этого промежутка называется производной п-го порядка, или л-й производной от исходной функции у = f(x)\ для обозначения ее применяются символы: 0. Ул)> пгу; f{n)(xо), D7(*o). Иной раз — при пользовании обозначениями Лагранжа или Коши— может возникнуть надобность в указании переменной, по которой берется производная; тогда ее пишут в виде значка внизу: У*2, ££з/(*)> /$(*о) и т. п, причем лг9, хъ, ... есть условная сокращенная запись вместо хх, ххх, ... Например, можно писать: а = 5Д. (Читателю ясно, что и здесь цельные символы /М или /W £У/ или DnxJ можно рассматривать как функциональные обозначения.) Таким образом, мы определили понятие п-й производной, как говорят, индуктивно, переходя по порядку от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее п-ю производную УП> = [УЛ-^]', называют также рекуррентным (или «возвратным»), поскольку оно «возвращает» нас от п-й производной к (я — 1)-й. Самое вычисление производных п-го порядка, при численно заданном п, производится по известным уже читателю правилам и формулам.
170 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [96 Например, если то у = 2л:3 — у X2 + 4х + , у" = 6х3—х-\-4, у'" =.\2х— 1, у”" = 12, так что все последующие производные равны тождественно нулю. Или пусть Заметим, что по отношению к производным высших порядков так же, индуктивно, можно установить понятие односторонней производной [ср. п°86]. Если функция y=f(x) определена лишь в некотором промежутке SV, то, говоря о производной любого по¬ рядка на конце его, всегда имеют в виду именно одностороннюю производную, 96» Общие формулы для производных любого порядка. Итак, для того, чтобы вычислить п-ю производную от какой-либо функции, вообще говоря, нужно предварительно вычислить производные всех предшествующих порядков. Однако в ряде случаев удается устано¬ вить такое общее выражение для п-й производной, которое зависит непосредственно от п и не содержит более обозначений предше¬ ствующих производных. При выводе таких общих выражений иногда бывают полезны формулы: обобщающие на случай высших производных известные читателю правила I и II п°83. Их легко получить последовательным приме¬ нением этих правил. 1) Рассмотрим сначала степенную функцию у=х^, где ц — любое вещественное число. Имеем последовательно: y = ln(*+ yV+1); тогда (сн)(л) = с • и^п\ (и ± = м(") dr v(n\ У = р.х^\ /'=!>■( 1х — 1) лт^а, /" = (10* — 1)^-2)^*,... Легко усмотреть отсюда и общий закон: У'■> = (1 ((1 - 1)... G* - п +1) который доказывается по методу математической индукции. Если, например, взять [х = — 1, то получим
96] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 171 Когда само [х есть натуральное число т, то т-я произ¬ водная от хт будет уже постоянным числом т\9 а все следующие—• нулями. Отсюда ясно, что и для целого многочлена степени т имеет место аналогичное обстоятельство. 2) Пусть теперь у = \пх. Прежде всего, имеем У = (1п х)' = ~. Возьмем отсюда производную (п—1)-го порядка по соответ¬ ствующей формуле из 1), заменив в ней п на п—1; мы и получим тогда y,,=w,^,=(iy->=fciqfcd)!. 3) Если у = ах9 то У = а* • In а, У' = а* • (In а)3,... Общая формула Ул) = а*.(1п а)п легко доказывается по методу математической индукции. В частности, очевидно, (**)<»>=**. 4) Положим у — sin дг; тогда У = cos х, у” = — sin xt У" = — cos х, У'" = sin ху Уй) = cos х, ... На этом пути найти требуемое общее выражение для п-й произ¬ водной трудно. Но дело сразу упрощается, если переписать фор¬ мулу для первой производной в виде y=sin [х -f- yj; становится ясным, что при каждом дифференцировании к аргументу будет при¬ бавляться у, так что (sin х){п) = sin + п • ~j. Аналогично получается и формула (cos х){п) = cos (х -J- п • yj .
172 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [97 5) Остановимся еще на функции у = arctgx. Поставим себе зада¬ чей выразить Уп) через у. Так как x = tgyy то y=j^p=cosV=cosjf. sln^+y). Дифференцируя вторично по х (и помня, что у есть функция от х), получим /' = [—sin j/ • sin (у + у) + cos у • cos [у 4- у)] •/ = = cosa_y • cos (2у + yj = cos2_y ■ sin2 [у -f- у j. Следующее дифференцирование дает: /"=[—2 sin у - cosy- sin 2 ^у -f -{-2cos*y- cos2 (у +y)J *У = = 2cos3ey • cos [Sy -|- 2 *~^ = 2cos3y • sin 3 [y + y). Общая формула Уn) = (n — 1)! cos'1 у • sin n ^y -j- y] оправдывается по методу математической индукции. 97. Формула Лейбница. Как мы заметили в начале предыдущего номера, правила I и II п°83 непосредственно переносятся и на слу¬ чай производных любого порядка. Сложнее обстоит дело с прави¬ лом III, относящимся к дифференцированию произведения. Предположим, что функции w, v от х имеют каждая в отдель¬ ности производные до л-го порядка включительно; докажем, что тогда их произведение y — uv также имеет п-ю производную, и найдем ее выражение. Станем, применяя правило III, последовательно дифференцировать это произведение; мы найдем: у = u'v -[- uvу” = u'fv -J- 2 hV 4* иг/', у’" = umv -{- 3 кV -|- 3 wV' + uv'”> • • • Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома: и тг, (и -f- (и + v)3, ..., лишь вместо степеней и, v стоят производ¬ ные соответствующих порядков. Сходство станет более полным, если
97] § 8. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 173 в полученных формулах вместо и, v писать «(о), Распространяя этот закон на случай любого п, придем к общей формуле*): = (uv)(n) = 2 С*и(я-,‘)г//) = i = 0 = uwv+V + ч*”"1* + ••■+ “г'+|) »,-|)»(,)+-+»»(д|- о» Для доказательства ее справедливости прибегнем снова к методу математической индукции. Допустим, что при некотором значении п она верна. Если для функций и, v существуют и (л+1)-е произ¬ водные, то можно (1) еще раз продифференцировать по х\ мы получим: у »+i)=2 ап rt]'=2 cin *>+chi(n-l)v( i+i\ i=0 i = О i = О П Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций и и v (сумма поряд¬ ков производных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда п-|-1). Произведение н(л+1Мо; входит только в первую сумму (при 1=0); коэффициент его в этой сумме есть С£= 1. Точно так же w(o)v(»+i) входит только во вторую сумму (в слагаемое с номером 1 = п\ с коэффициентом С£= 1. Все остальные произведения, входящие в эти суммы, имеют вид и(л+1"*МА), причем 1 Каждое такое произведение встретится как в первой сумме (слагаемое с номе¬ ром i = k), так и во второй сумме (слагаемое с номером i = k—1). Сумма соответствующих коэффициентов будет + Но, как известно, Ck | лЫ лЛ а . *) Символ ^ означает сумму однотипных слагаемых. Когда сла¬ гаемые зависят от одного значка, меняющегося в определенных границах, то эти границы и указываются (снизу и сверху). Например, п ••• i=0 т 2т=1+т+т+-+¥ ит-д- А = 1
174 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [98 Таким образом, окончательно находим: п у”+!> — uSa*г»(0) 4- 2 v{k> 4- и'0' vin+l> = к= 1 /1+1 = 2 ся+1мКл+1нА^(Л), к==0 так как e+i=4lt!=>- Мы получили для yn+1) выражение, вполне аналогичное выраже¬ нию (1) (только п заменилось числом я-}- 1); этим и доказана спра¬ ведливость формулы (1) для всех натуральных значений п. Установленная формула носит название формулы Лейбница. Она часто бывает полезна при выводе общих выражений для л-й произ¬ водной. Заметим, что такую же формулу можно было бы установить и для п-й производной произведения нескольких сомножителей у — =ш ... t\ она имеет сходство с разложением степени многочлена (н + г>+...-И)п. Пример. Найдем общее выражение для л-й производной функции у = еах • sin bx. По формуле Лейбница получим: yin) __ еах. ап . sjn ъх пеах. an-i ь . cos — п (п ~ — еах • ап~2 b2 • sin bx — — п (п ^х . ап~*Ь* • cos bx + ... 1 • Z • и или у(п> __ еах | sjn bx |д/1 —^ 1). ап~2Ь2 + ...J + -|- cos bx £пап~х b — я у у ^ ~~ ап~* Ьг + •••]}• 98. Дифференциалы высших порядков. Обратимся теперь к диф¬ ференциалам высших порядков; они также определяются индуктивно. Дифференциалом второго порядка, или вторым диф¬ ференциалом, функции у=f(x) в некоторой точке назызается дифференциал в этой точке от ее (первого) дифференциала; в обо¬ значениях: сt*y = d (dy). Дифференциалом третьего порядка, или третьим диф¬ ференциалом, называется дифференциал от второго дифферен¬ циала: йъу = d (dly)<
99] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 175 Вообще, дифференциалом л-го порядка или л-м диффе¬ ренциалом функции у = f(x) называется дифференциал ее (л—1)-го дифференциала: dny = d(d^y). Если пользоваться функциональным обозначением, то последова¬ тельные дифференциалы могут быть обозначены так: da/C*o), d3f(x*), dnf{Xb) причем получается возможность указать то частное значение х=х& при котором дифференциалы берутся. При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно помнить, что dx есть произвольное и независящее от х число, которое при дифференцировании по х надлежит рассматривать как постоянный множитель. В таком случае будем иметь (все время предполагая существование соответствующих производных): d?y = d (dy) — d(yf' dx) = dyf • dx = (yfr • dx) • dx —yffdx d?y = d (d2y) = d(yfr • dx*) = dyfT • dx* — (ym • dx) • dx2 —ym dx*t *) и т. д. Легко угадываемый общий закон dny=yin)dxn (2) доказывается методом математической индукции. Из него следует, что так что отныне этот символ можно рассматривать как дробь. Воспользовавшись равенством (2), легко теперь преобразовать формулу Лейбница к дифференциалам. Достаточно умножить обе части ее на dxл, чтобы получить п dn (uv) = 2 С* dP^ii • d'v (id°u = н, d°v = v). i=о Сам Лейбниц нашел свою формулу именно в этом виде. 99. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков. Вспоминая, что первый дифференциал функции обладает свойством инвариантности формы, естественно поставить вопрос, обладают ли подобным свойством дифференциалы высших порядков. Покажем, например, что уже второй дифференциал этим свойством не обладает. Итак, пусть y=f(x) и x = y(t\ так что у можно рассмат¬ ривать как сложную функцию от t\ y=f{y{t)). Ее (первый) *) Под dx*t dx8 ... и т. п. всегда разумеются степени дифферен¬ циала: (dx)*, (dx)3, ... Дифференциал от степени будет обозначаться так: d(x*), d(x*)t ...
176 гл. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (99 дифференциал по t можно написать в форме: dy =у'х• dx* где dx = x'fdt есть функция от t. Вычисляем второй дифферен¬ циал по t: Дифференциал dyx можно, снова пользуясь инвариантностью формы (первого) дифференциала, взять в форме: dy'x—yx2-dx, так что окончательно в то время как при независимой переменной х второй дифференциал имел вид d^y—y'xi'dx1. Конечно, выражение (3) для d*y является более общим: если, в частности, х есть независимая переменная, то d*x = 0 — и остается один лишь первый член. Возьмем пример. Пусть у = х2, так что, покуда х — независимая переменная: Новое выражение для dy может быть получено и из старого, если туда подставить x = t2, dx=2tdt. Иначе обстоит дело с d?y: сделав такую же подстановку, мы получим 8£2<#2 вместо I2t*dt*l Формула (3) в этом случае имеет вид: Подставив сюда x = t\ dx = 2tdt, d?x=2dt\ получим уже пра¬ вильный результат: I2t*dt\ Итак, если х перестает быть независимой переменной, то диф¬ ференциал второго порядка d?y выражается через дифференциалы х двучленной формулой (3). Для дифференциалов третьего и даль¬ нейших порядков число добавочных (при переходе к новой незави¬ симой переменной) членов еще возрастает. В соответствии с этим, в выражениях высших производных ух*, ... через дифферен¬ циалы d*y=d (ух • dx) = dy'x • dx -\-ух • d (dx). d?y =Ух 2 • dx2 -\-y'x • d*x, (3) dy = 2x* dx, d*y — 2dx\ Положим теперь x = t2; тогда y = t\ и dy = At*dt, d*y=\2t*dt\ d}y = 2 dx* -f* 2x d*x. (4) уже нельзя дифференциалы брать по любой переменной, но лишь по переменной х.
ГЛАВА ШЕСТАЯ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ 100. Теорема Ферма. Знание производной (или ряда производ¬ ных) некоторой функции позволяет делать заключения о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производ¬ ной (см. главы VII и XIII) лежат некоторые простые, но важные теоремы и формулы, которым и посвящена настоящая глава. Начнем с одного вспомогательного предложения, которое спра¬ ведливо было бы назвать именем Ферма*). Разумеется, в приводимой ниже форме этого предложения у него нет (Ферма еще не располагал понятием производной), но оно все же воспроизводит сущность того приема, который применял Ферма для разыскания наибольших и наименьших значений функции (см. главу XIV). Теорема Ферма. Пусть функция f{x) определена в некотором промежутке 37 и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее {наименьшее) значение. Если в этой точке существует конечная производная f {с), то необходимо fr{c) = 0. Доказательство. Пусть для определенности f{x) принимает в точке с наибольшее значение, так что для всех х из 37 /(*Х/(0. По определению производной: /'(с)=нш f(x)xZfc(c). х-*с причем предел этот не зависит от того, будет ли х приближаться к с справа или слева. Но при х^>с выражение /<*)-/(■»< Q, х—с ' *) Пьер Ферма (1601—1665) — выдающийся французский математик, творчество которого тесно связано с предысторией анализа бесконеч¬ но малых (см. главу XIV).
178 ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (101 так что и в пределе, при х->с-\-0, получится: /* (*)«). о) Если же х<^с, то /(*)-/(«) ^0( X — С и, переходя здесь к пределу при х->с — 0, найдем: (2) Сопоставляя соотношения (1) и (2), приходим к требуемому заключению: Г(с)=о. Замечание. Проведенное рассуждение, в сущности, доказы¬ вает, что в упомянутой точке с не может существовать и (двухсто¬ ронней) бесконечной производной. Таким образом, заключение теоремы сохранится, если предположить в этой точке существование (двух¬ сторонней) производной, не делая наперед оговорки, что она конечна. Вспомним [пп°77, 78] геометрическое истолкование производной y'=f(x) как углового коэффициента касательной к кривой y=f(x). Обращение в нуль производной f (с) геометрически означает, что в соот¬ ветствующей точке этой кривой ка¬ сательная параллельна оси х. Рису¬ нок 38 делает это обстоятельство совершенно наглядным. В доказательстве существе н- н о было использовано предполо- х жение, что с является внутрен¬ ней точкой промежутка, так как нам пришлось рассматривать и точки х справа от с, и точки х слева от с. Без этого предположения теорема перестала бы быть верной: если функция f(x) определена в замкнутом промежутке и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на одном из концов этого промежутка, то производная f (х) на этом конце (если существует) может и не быть нулем. Предоставляем читателю подыскать соот¬ ветствующий пример. 101. Теорема Ролля. В основе многих теорем и формул диф¬ ференциального исчисления и его приложений лежит следующая простая, но важная теорема, связываемая с именем Ролля *). Теорема Ролля. Пусть: 1) функция f(x) определена и непре¬ рывна в замкнутом промежутке [а, Ь]; 2) существует конечная *) Мишель Р о л л ь (1652—1719) —французский математик, который долгое время был противником нового исчисления и примкнул к нему уже на склоне лет. Приводимая в тексте теорема была высказана им лишь для многочленов. т * с Рис. 38.
101] § 1. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ 179 производная f (лг), по крайней мере, в открытом промежутке (а, Ь) *); 3) на концах промежутка функция принимает равные значения: т=т. Тогда между а и Ь найдется такая точка с (а<^с<^ Ь), что Г(с) = 0. Доказательство. f{x) непрерывна в замкнутом проме¬ жутке [а, Ь\ и потому по второй теореме Вейерштрасса [п°73] прини¬ мает в этом промежутке как свое наибольшее значение М, так и свое наименьшее значение т. Рассмотрим два случая: 1. М = т. Тогда f(x) в промежутке [а, Ь] сохраняет постоянное значение: в самом деле, неравенство m^f(x)^M в этом случае дает f(x) = M при всех х; поэтому f'(x) = 0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (а, Ъ\ 2. М^>т. Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то они не могут оба достигаться на концах промежутка, и хоть одно из них достигается в некоторой точке с между а и Ь. В таком случае из теоремы Ферма следует, что про¬ изводная /' (с) в этой точке обра¬ щается в нуль. Теорема доказана. На геометрическом языке тео¬ рема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой y=f(x) jj равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси х Рис. 39. (рис. 39). Обращаем внимание на то, что непрерывность функции f(x) в замкну¬ том промежутке [а, Ь] и наличие производной во всем открытом проме¬ жутке (я, Ь) существенны для справедливости заключения теоремы. Функция f(x) = x— Е(х) удовлетворяет в промежутке [0, 1] всем условиям теоремы, за исключением того, что имеет разрыв при *=1, а производная /'(*) = 1 везде в (0, 1). Функция, определяемая равенствами f(x)=:x при 0^л:^-^-и/(х) = 1 —х при -^-^х^. 1, также удовлетворяет всем условиям в том же промежутке, исключая лишь то обстоятельство, что при х = -~- i:e существует (двухсторонней) производной; в то же время производная /' (а:) = + 1 в левой половине промежутка и /' (л:) = — 1 — в правой. Точно так же существенно и условие 3) теоремы: функция f(x) = x в промежутке [0, 1] удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме условия 3), а ее производная /' (х) = 1 повсюду. Чертежи предоставляем читателю. *) Конечно, непрерывность функции f(x) в (с, Ь) уже следует из 2), но мы ни здесь, ни в последующем не ставим себе целью расчленять условие теоремы на взаимно независимые предположения.
180 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [102 102. Теорема о конечных приращениях. Обратимся к непосред¬ ственным следствиям теоремы Ролля. Первым из них является сле¬ дующая теорема о конечных приращениях, принадлежа¬ щая Лагранжу. Теорема Лагранжа. Пустъ\ 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь\ 2) существует конечная произ¬ водная f'(x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, Ь). Тогда между а и b найдется такая точка с (а<^с<^Ь), что для нее выполняется равенство /(*)-/(«) _ Ь —а ■-/'(с). (3) Доказательство. Введем вспомогательную функцию, опре¬ делив ее в промежутке [а, Ь] равенством: ftp) -f(a) F(*) =/(*)-/(«)- b — a ix — a). Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [а, Ь\ так как представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В проме¬ жутке (а, Ь) она имеет определенную конечную производную, равную Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что F(a) — F(b) = 0, т. е. F(x) принимает равные значения на концах промежутка. Следовательно, к функции F (х) можно применить теорему Ролля и утверждать существование в (а, Ь) такой точки с, что F'(c) = 0, Таким образом, /'(с) — = °> откуда что и требовалось доказать. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа; заме¬ чания относительно условий 1) и 2) теоремы, сделанные выше, сохра¬ няют свою силу и здесь. Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа (рис. 40), заметим, что отношение f Ф)—/ (fl) _ СВ b —а — АС
102] § I. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ 181 есть угловой коэффициент секущей АВ, a f (с) есть угловой коэф¬ фициент касательной к кривой y—f{x) в точке с абсциссой х = с. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следую¬ щему: на дуге АВ всегда найдется, по крайней мере, одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ. Доказанная формула f(blzfa(a) =/'(0 или f(b)—f(a)=f'{c)-(b — a) носит название формулы Лагранжа или формулы конеч¬ ных приращений. Она, очевидно, сохраняет силу для случая а>Ь. Возьмем любое значение х0 в промежутке [а, b] и придадим ему приращение ДлгЗ^О, не выводящее его за пределы промежутка. Применим формулу Лагранжа к промежутку [jc0, х0-\-Ах] при Длг]>0 или к промежутку [j^0 —j— Алг, лг0] при Адг<^0. .Тогда формула Лагранжа примет вид: . /(*0-+^) —/(*о). ф или Д/(*0) =/(*» + Ад:) — /(дг0) =f(c) Длг. (4) Число с, заключенное в этом случае между х0 и jc0 —|— Ajc, можно представить так: с = х0-\-Ь-Ах, где О<0< 1 *). Это равенство, дающее точное выражение для приращения функции при любом конечном приращении Дл; аргумента, естественно, про¬ тивопоставляется приближенному равенству [п° 93, (За)] Д/(*о) =/(*о + Д*) -/(*о) =/' (*о) • Ах, относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при бесконечно малом Дл;. Отсюда и упоминание о «конечных при¬ ращениях» в названии формулы (и теоремы). К невыгоде формулы Лагранжа — в ней фигурирует неизвестное нам число с (или 0) **). Это не мешает, однако, многообразным при¬ менениям этой формулы в анализе. *) Иногда говорят, что 0 есть «правильная дробь>; не следует только думать, что речь идет о рациональной дроби,— число 0 может оказаться и иррациональным. **) Лишь в немногих случаях мы можем его установить; например, для квадратичной функции / (х) = ах2 + Ьх + с, как легко проверить, имеем всегда 0 = у.
182 ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (104 103. Предел производной. Полезный пример такого применения дает следующее замечание. Предположим, что функция f(x) непрерывна в про¬ межутке [лт0, х0 + Н] (Я>0) и имеет конечную производную f'(x) для *>лг0. Если существует (конечный или нет) предел lim f’(x)=K> Х-+Х0~№ то такова же будет и производная в точке х0 справа. Действительно, при 0<Дх^Н имеем равенство (За). Так как аргумент с производной содержится между ^fl и х0 + Ах, то при Дл: 0 он стремится к х0, так что правая часть равенства, а с нею и левая стремится к пределу /С, что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение устанавливается и для левоеторонней окрестности точки х0. Рассмотрим в качестве примера функцию / (х) = х • arcsin х + У1 — х2 в промежутке [—1, 1]. Если —1<д:<1, то по обычным правилам диффе¬ ренциального исчисления легко найти: /' (л:) = arcsin х. При*-*1—0 (х-+—1 + 0) эта производная, очевидно, стремится к пре¬ делу ^; значит и при д: = ± 1 существуют (односторонние) произ¬ водные: /' (± 1) = ± у. 2 Если вернуться к функциям fi(x)=^xz , f2(x) = xs , которые мы рас¬ сматривали в п° 87, то для них (при х^О) имеем: /; ж*)=-Ир Зх3 Зх3 Так как первое из этих выражений при ^->0 стремится к + °°, а второе при л:-►it 0 имеет, соответственно, пределы zt оо, то заключаем сразу, что fi(x) в точке * = 0 имеет двустороннюю производную +оо, в то время как для /2 (х) в этой точке существуют лишь односторонние' производные: -)-оо справа и —оо слева. Из сказанного вытекает также, что, если конечная производная f (х) существует в некотором промежутке, то она представляет собой функцию, которая не может иметь обыкновенных разрывов или скачков: в каждой точке она либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода [ср. 88, 2°]. 104. Обобщенная теорема о конечных приращениях. Коши следующим образом обобщил доказанную в предыдущем номере тео¬ рему о конечных приращениях. Теорема Коши. Пустъ\ 1) функции f{x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [а, Ъ]; 2) существуют конечные произ¬ водные f (х) и gf (х:), по крайней мере, в открытом промежутке (а, b); 3) g (х) Ф 0 в промежутке (а, Ь). Тогда между а и Ъ найдется такая точка с, что / (Ь)—f (a) /'(*) g(b) — g(a) g’(c)' Эта формула носит название формулы Коши.
105| S 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 183 Доказательство. Установим сперва, что знаменатель левой части нашего равенства не равен нулю, так как в противном случае выражение это не имело бы смысла. Если бы было g(b) = g(a), то, по теореме Ролля, производная g'(x) в некоторой промежуточной точке была бы равна нулю, что противоречит условию 3); значит, g(b) z£g(a). Рассмотрим теперь вспомогательную функцию F(x)=f(x) -/(в) - Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, F(лег) непрерывна в [ау Ь], так как непрерывны f(x) и ^(лг); производная F'(х) существует в (а, Ъ)> именно, она равна Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что F(a) = F (Ь) = 0. Применяя названную теорему, заключаем о существовании между а и b такой точки с, что F'(c) = 0. Иначе говоря, f (с) — . а'(с) = о 1 {) g(b)-g.(a) g (С) U’ или Г (с) = . gr (с) g Ф)— g{a) g ' Разделив на g'(c) (это возможно, так как gF(c)^0), получаем требуемое равенство. Ясно, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует положить g(x)=x. В теоремах пп° 101, 102, 104 фигурирует, под знаком производ¬ ной, некое среднее значение независимой переменной, которое — как указывалось — вообще нам неизвестно. Оно и производной до¬ ставляет, в некотором смысле, среднее значение. В связи с этим все эти теоремы называют «теоремами о средних значениях». § 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 105. Формула Тейлора для многочлена. Если р(х) есть целый многочлен степени п: Р (х) = #о а\х а%х* -{- а$х* 0) то, последовательно дифференцируя его п раз: р' С*) = ai + 2 * я** + 3 ‘ аъх* +... + п: апхП~1> f/r (х) = 1 • 2 • 2*3* dgX —|—... —[— (п — 1) п • dfiX^^y ?’{х)=\.2-Ъ-аг + ... + (п — 2).{п—\)п-аяхГ*9 рЫ{х) = \-2-Ъ.....п-ая
184 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ flOS и полагая во всех этих формулах лг=0, найдем выражения коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных при * = 0: «0=/>(0). а1=^ТГ> a*=^W'* °) „ _Р(л,(0) 3 3! ’ п п\ * Подставим эти значения коэффициентов в (1): Р (*)=Р (0) + нг *+£-^-) + • • •+'*"• (2> Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов. Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно было бы взять его разложение по степеням х — лг0, где лг0 есть не¬ которое постоянное частное значение х: Р 0*0 = Ах (х — лг0) -|- (лг — лг0)3 -(- (лг — лт0)3 + + — х0)а. (3) Полагая х — лг0 = 5, р(х)=р(Хь-\-%) = Р($), для коэффициентов многочлена р (|) = А0 -j- А£ А 2^-)- А£г Н” • • • “Ь имеем, по доказанному, выражения: Л,=Р(0), = Ла = ^2Г, Р- (0) Р'"’(0) Лз— 31 ' п я! • Но так что P(S)=P(*o + S), Р'(5)=/С*, + й Р(Р)=р(х& 0)=/(*0), Р"(0) =/>"(■*«>), А.=рЫ Л*=^, я _Р"' (*о) Л — Р(я1 (*о) 3 31 1 п п\ 9 (4) т. е. коэффициенты разложения (3) оказались выра¬ женными через значения самого многочлена и его производных при X = Xq.
106] § 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 185 Подставим в (3) выражения (4): р(х)=р с*о) 4-Яг1 <* - *<>)*+ {х _ х„)3 + _.+^^£-) (х - *»)". (5) Формула (5), так же как и ее частный (прилг0 = 0) случай (2), назы¬ вается формулой Тейлора. Впрочем, формулу (2) обычно назы¬ вают формулой Маклорена*). Известно, какие важные при¬ менения формула Тейлора имеет в алгебре. Сделаем (полезное для дальнейшего) очевидное замечание, что если многочлен р(х) представлен в виде р (*) = с0 (х — *•) Н—2Г (^ — *«>*+ ж —лг°)3 и —х^п* то необходимо р(х0) = Со, р'(лг0) = Си р"(*<>) — СЬ ... , р(п) (х„) = сп. 106. Разложение произвольной функции. Обратимся теперь к рассмотрению произвольной функции /(х), вообще не являю¬ щейся целым многочленом, но определенной в некотором проме¬ жутке Предположим, что для нее в точке xQ (из 3?) существуют производные всех порядков до я-го включительно. Это значит, точнее говоря, что функция имеет производные всех порядков до (п — 1)-го включительно: fix), f"(x), f"'{x) /(п-» (X) в некоторой окрестности точки дг0, и, кроме того, имеет производ¬ ную п-го порядка (jc0) в самой точке лг0 **). Тогда, по образцу (5), и для функции f(x) может быть составлен многочлен Рп (*) =/(•*о) +Яг + (х - х^+ + + + (6) *) Брук Тейлор (1685—1731) и Колин Маклорен (1698—1746) — английские математики, последователи Ньютона. **) Если точка х0 является одним из концов промежутка SCy то, говоря о производных в этой точке, мы имеем в виду односторонние произ¬ водные; точно так же и под окрестностью точки в этом случае подра¬ зумевается односторонняя окрестность.
186 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТВОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [106 Согласно предшествующему замечанию, этот многочлен и его производные (до п-й включительно) в точке д:0 имеют те же значения, что и функция f(x) и ее производные. Но на этот раз, если только сама функция f(x) не есть целый многочлен п-й степени, уже нельзя утверждать равенства f(x)=pn(x). Многочлен рп (л;) дает лишь некоторое приближение к функции / (д:), с помощью которого она и может быть вычислена с некоторой сте¬ пенью точности. В этой связи приобретает интерес оценка разности для данного х из и данного п. Написанное выражение гп(х) для этой цели служить не может. Чтобы представить его в более удобной для исследования форме, нам придется наложить на функцию f(x) более тяжелые условия, чем те, которые непосредственно нужны для составления самого многочлена рп{х). Именно, мы будем предполагать впредь, что для функции f(x) существуют в 9? все производные до (/t 1 )-го по¬ рядка включительно: Фиксируем теперь любое значение х из промежутка SV, и по образцу правой части формулы (7), заменяя постоянное число х0 на переменную z, составим новую, вспомогательную, функцию: причем независимую переменную z считаем изменяющейся в проме¬ жутке [дг0, х] *). В этом промежутке функция ср(г) непрерывна и принимает на концах его значения [см. (7)]: rn(x)==f(x)—p„(x), или Гп (х) =/(■*) — /С*о) —Щг (* — ■*») —... —С* — *о)п (7) fix), fix) /">(*), /<л+1) (X). 9 (z) =f (*) —/ (*) —Чг— ~f~W (x ~z)S ~ ?W=r»(4 <p(x)=o. Кроме того, в промежутке (х0, х) существует производная (8) ?' (г) = -Г (*) - (х - г) -f (2)] - *) Мы—для определенности—будем считать
1061 § % ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 187 или, после упрощения, 4 (*)=- fnZ(Z)-(х - (9) Если взять еще какую-нибудь функцию <[> (z), непрерывную в про¬ межутке [дг®, лг] и имеющую в открытом промежутке (лг0, х) произ¬ водную, не обращающуюся в нуль, то к паре функций <f (z), ф (z) можно будет применить формулу Коши [п° 104]: У (хв) — Т (■*) у' (с) <И*0)-ф(.*) ф'(с)' где с лежит между х0 и лг, т. е. с = х*-|-9(лг — ^«)(0<С®<СО- Учитывая (8) и (9), найдем отсюда r.w— <«» Выберем сначала функцию ф(г) так: ф (*) = (* — *)*«; сформулированные выше условия для нее выполнены. Имеем 4» (*о) = С* — *о)я+1, t (х) = о, ф' (с) = — (я + 1) (лг — с)п. Подставляя это в (10), окончательно получим: Гп (х) =^гщ (X — хг». (11) Теперь, учитывая (7) и (11), функцию f(x) можно представить формулой /(•*)=/С*о) (X — *о) +^^-) (X — JC0)* + + (12) которая от формулы Тейлора для многочлена отличается именно наличием дополнительного члена (11). Форма (11) дополнительного члена принадлежит Лагранжу; в этой форме дополнительный член напоминает следующий очередной член формулы Тейлора, лишь вместо того, чтобы вычислять (я-|-1)-ю производную в точке лг0, эту производную берут для некоторого среднего — между xQ и х — значения с. Формулу (12) называют формулой Тейлора с дополни¬ тельным членом в форме Лагранжа. Если перенести в ней / (х0) налево и положить х—х0 = кх, то она перепишется так: А/(ж.) =/(■*• + Ах) ~/(Хо)=Ц^ Ах+^^Ах3 + -Ь • • +/J1T Ах" + Ах”+1- 02а)
188 ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ f 107 В этом виде она является прямым обобщением формулы конеч¬ ных приращений [п° 102, (4)] Д/(*0) =/(*„ + АХ) -f{x,) =/' (с) • Д*, которая отвечает п = 0. Хотя дополнительный член в форме Лагранжа, в смысле простоты, не оставляет желать лучшего, но все же в отдельных случаях эта форма оказывается непригодной для оценки дополнительного члена, и приходится прибегать к другим формам, менее простым. Из них упомянем здесь о дополнительном члене в форме Коши. Он полу¬ чается из (10), если положить на этот раз ty(z) = x— z. При этом ф(л:о) = л: — хл, (]>(лг) = 0, <]/(с) = — 1 и, так как (л: — с)п = [х — х о —- 0 (* — дг0)Г = (1 — 6)" (х — хй)п, то приходим к такому окончательному выражению: г„ W=/""" <*' + " *•» (1 - «Г (* - *„)"■■ (13) Несмотря на потерю (сравнительно с формой Лагранжа) множителя п -|- 1 в знаменателе, эта форма иной раз бывает выгоднее именно благодаря наличию в ней множителя (1—0)л. Формула Тейлора с дополнительным членом в той или другой из указанных форм является, как видим, разновидностью теорем о сред¬ них значениях: здесь также фигурируют с и 0! 107. Другая форма дополнительного члена. Формы дополни¬ тельного члена в формуле Тейлора, выведенные выше, применяются в случаях, когда — при тех или иных фиксированных значениях х (отличных от х0) — мы желаем заменить приближенно функцию f(x) многочленом рп (л:) и численно оценить проистекающую отсюда погрешность. Но бывают случаи, когда мы не заинтересованы в опре¬ деленных значениях х, и нам важно лишь поведение дополни¬ тельного члена при стремлении х к дг0, точнее говоря, важен порядок его малости. Этот порядок может быть уста¬ новлен даже при несколько более легких условиях, чем выше. Именно, предположим существование лишь п последовательных производных /»,/"(•*). ...,fn)(x) в окрестности (двусторонней или односторонней) точки jt0 и непре¬ рывность последней из них в точке лг0*)* Тогда, заменяя *) На деле, достаточно предположить лишь существование производ¬ ной /{п) (л-0) в одной точке лг = ^0. Мы наложили более тяжелые условия, чтобы упростить вывод.
107J § 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 189 в формуле (12) п на п—1, можем написать: 7(*)=/(*о)+<х ~(х~хо)3 + где с содержится между х0 и х. Положим в последнем члене +,(,); (14) так как при дг->дг0, очевидно, и с->х0, так что (по непрерывности) /(п) (с)-*-/(п) (хо), то а (х) —0 и а (х) • (х — лг0)я = о ((х — лг0)л). Окончательно получим: /(х) —f (х0) -|- —j-,— (х — лг0) +. • • + -\-Гп\Хо) (х ~ хо)П + ° ((* ~ хо)ПУ> (15) таким образом, на этот раз г„ (лг) = о ((х — х0)я), (16) т. е. о дополнительном члене мы здесь знаем лишь, что при постоян¬ ном п и хх<> он будет бесконечно малой порядка выше я-го по сравнению с х — х0, хотя — это важно подчеркнуть — мы и ничего не знаем об его величине ни при одном фиксирован¬ ном х. Форма (16) дополнительного члена была указана Пеано *). Мы видим, что формула (15) действительно имеет определенно «локальный» характер, характеризуя лишь поведение функции при стремлении х к х0. Если в (15) снова перенести f(x0) налево и положить х — xQ = &x, то придем к разложению А/(*о) =/'(■*о) Д*+-^ Ьх* +.. .+£^- Д*" + о (ДУ), (15а) которое служит обобщением формулы (3) п° 82: д/ (х«) =/' (*о) Ах-\-о (Ах), получающейся отсюда при п= 1. Иной раз удобнее вместо (14) взять попросту /«(с)=/<")(*0) + а(х); *) Джузеппе Пеано (1858—1932)—итальянский математик.
190 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [108 здесь также а (л:)-►О при х-+х0, а формула Тейлора с дополни¬ тельным членом в форме Пеано напишется так: /(*) ^/(*о) (х-Х„) + . + - + + -—^±а1--(^--Уо)в. (17) В заключение сделаем еще следующее замечание. Если заме¬ нить в формулах (12а) и (15а) Ах на dx и вспомнить, что f(xb)dx = df(x6), f'{xb)dx* = d*f{xa), ..., f{n) (x0)dxn = dnf(x<l) и f(n+1)(c)dxn+l = dn+if(c), то, подставляя, представим эти разложения в виде Д/ (х0) = df (х0) +1 d*f(x о) +... •+1 <Г/Ы + rfB+‘/(c) (с = дго4-0Ддг, 0<9<1) (126) или А/(•*<>) = df(xо) + </*/(^о) + • • • + аУ(хо) + о(**")• (156) Таким образом, если предположить Ах-+0, то по этим формулам из бесконечно малого приращения функции Af(x0) выделяется не только его главный член — первый дифференциал,—но и члены более высоких порядков малости, которые — с точностью до факториалов в знаменателях — совпадают с последовательными высшими диффе¬ ренциалами <№о), ... , dnf(xо). 108. Приложение полученных формул к элементарным функ¬ циям. Всего проще выглядит формула Тейлора, если дг0 = 0*): f(x) =/(0) *•+... хп + гп (х). (18) К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв х — х0 за новую независимую переменную. Рассмотрим некоторые конкретные разложения по этой формуле для элементарных функций. *) И эту формулу связывают с именем Маклорена.
108] § 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 191 1) Пусть f(x) = ex; тогда fik) (х) = ех при любом k=\, 2,3,... [96, 3)]. Так как в этом случае/(0)= 1, /(А)(0)=1, то, по фор¬ муле (18), V V* 2 уЛ е'=1+^ + Й- + - + ^!+Г»^)- 2) Если /(*) = sin х, то f[h) (jc) = sin (*-{• k • yj [n°96, 4)], так что /(0) = 0, /(9Ш) (0) = sin тт. = 0, yism-i) (0) _ sln ^ ^ l)m-‘ (m = 1, 2, 3, ...). Поэтому, положив в формуле (18) п = 2т, имеем i»5 1 sinx = AT 3j 5i ••• + ( О (2m — 1)1 r<tm 3) Аналогично, при f(x) = cos x [n° 96, 4)] /<*>(*) = cos (* +A--J); /(0)=1, /(am)(0)==(— l)m, /<*”»-»> (0) = 0 (от= 1, 2, 3, ...). Таким образом (если взять п = 2т -f-1): COS X = 1 ^ (~ щ ... —|— ( 1)тЩ)\-\-г*т+и 4) Рассмотрим теперь степенную функцию хт9 где т — не нату¬ ральное число и не нуль. В этом случае при х 0 либо сама функ¬ ция (если т<^ 0), либо ее производные (начиная с некоторого по¬ рядка, при п^>т) бесконечно возрастают. Следовательно, здесь уже нельзя брать jc0 = 0. Возьмем jeo=l, т. е. станем разлагать хт по степеням х—1. Впрочем, как уже упоминалось, можно ввести в качестве новой пере¬ менной х—1; мы ее попрежнему будем обозначать через х, и ста¬ нем разлагать функцию (1-|-лг)от по степеням х. Как мы знаем [п° 96, 1)], /<*){х) = т(т—1).9Я{т — к+ 1)(\+х)т~\ так что / (0) = 1, /'*> (0) = /в(« —1)...(« —А+1). Разложение имеет вид , т (т — 1)...(т — п + \) л » / ч "1 1-2 ...к ^ + Гп (X).
192 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [109 5) Если перейти к логарифмической функции In х, которая стре¬ мится к —оо при х 0, то, как и в предыдущем примере, мы будем рассматривать функцию /(лг) = 1п (1-f-*) и разлагать ее по степеням х. Тогда [п° 96, 2)] j W— (1+лг)* /(0) = 0, /(*> (0) = (— l)*-1 (k — 1)! Отсюда ш(1+Х)=ДР_^ + ^_...+(_1Г1^+Г)|М. 6) Пусть теперь / (х) — arctg х. Из п°96, 5) легко получить значения ее производных при х = 0: f № (0) = 0, (0) = (— 1)т-1 (2 т — 2)1 так что ее разложение представится в виде arctg ^^ ^l)m-i ^-1 + r9m (л). 109. Приближенные формулы. Примеры. Если в формуле (18) отбро¬ сить дополнительный член, то получится приближенная формула заменяющая функцию сложной природы многочленом. Качество этой фор¬ мулы оценивается двояко: либо указывают границу погрешности гп (*), обычно пользуясь лагранжевой формой дополнительного члена: г»<*>=^£тж)дгЯ+1 (0<е<1)’ либо довольствуются, следуя Пеано, указанием порядка малости этой по¬ грешности при х -> 0: Гп (•*) = О (Хп). Для примеров обратимся к рассмотренным выше разложениям эле¬ ментарных функций. 1) Положим f(x) = ex. Приближенная формула „ . , , X . X2 . , хп в +1Г + 2Г + — +лГ; так как дополнительный член здесь eijc Гп ^ = (и + 1)!хП+1> *) Мы подразумеваем, как всегда, что 0! = 1.
1091 82. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 193 то, например, при *>0 погрешность оценивается так: v-n+1 0<гге(*)<^.(7ГТТГ1. В частности, если х=\, ^=1 + 1г + 2Г + -- + йГ» °<гя (1) < (п_|_ j)|* Подобной формулой мы уже пользовались в пв 49 для приближенного вы¬ числения числа е, но оценка дополнительного члена, полученная другим путем, там была более точной. 2) Взяв f (x)— sin х, получим у8 **5 v*2/n~'1 sm * — *~зГ + 5Г —•" + (— l)m 1 (2m—1)1 * В этом случае дополнительный член: sin + (2т +1) sm■ ■ гш (*) = х*тп = (- »)"«* 9х' 2/71+1 (2т + 1)! л — V V — — (2т + 1)1 > и погрешность оценивается легко: 1 X \2т+1 В частности, если мы довольствуемся одним членом и полагаем sin х =~ ху то для того, чтобы погрешность была меньше, скажем, чем 0,001, достаточно взять (считая лг>0) ^-< 0,001, или -V < 0,1817, что примерно равно 10е. При пользовании двучленной формулой X3 sin X == X 2Г 0 для достижения той же точности уже достаточно взять ^<0,001, или лг< 0,6544 (=37,5*); если же ограничиться углами х < 0,4129 (= 23,5°), то погрешность будет даже <0,0001, и т. д. 3) Аналогично, для / (л:) = cos х имеем Г2 г2т со8*=Ы-я- + я1 Гт, причем г2 /71+2 Г2т+! (*) = (— l)m+1 cos Ьх фи* 2)1’ так что I л: 12/71+2 I Г’т+,(*> 1^(2»» +2)7 • 7 Г. М< Фихтенгольц т. I
194 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [109 Например, для формулы и наверное будет, скажем, < 0,0001 для х < 0,2213 (= 13°), и т. п. Мы обращаем внимание читателя на существенное продвижение вперед по сравнению с формулами пп° 56, 57, 93: теперь мы умеем устанавливать границы погрешности и располагаем формулами Если половину центрального угла обозначить через х, а радиус дуги — через г, то s = 2rx. С другой стороны, именно в том, чтобы под корнем уничтожился член с х4. В окончательном счете, полученное приближенное значение дуги отличается от самой дуги величиной выше четвертого порядка малости. Мы вернемся к формуле Тейлора с дополнительным членом в главе XV (второй том), посвященной бесконечным рядам, где эта формула будет играть весьма важную роль. Там же будут приведены примеры приложения рядов к приближенным вычислениям, которые зачастую, по существу, являются применениями формулы Тейлора. *) Академик Пафнутий Львович Чебышёв (1821—1894)—великий русский математик, основатель петербургской математической школы. х2 cos х = 1 —g- погрешность любой точности. 4) Для приближенного спрямления дуги окруж¬ ности, малой по сравнению с радиусом (рис. 41), Чебышёв *) дал следующее правило: дуга s при¬ ближенно равна сумме равных сторон равно¬ бедренного треугольника, построенного на хорде Наконец, приведем пример приближенной фор¬ мулы совсем иного типа, но все же использующей формулу ТейлОра. Рис. 41. j/~ ~-/= j/" г (1 cos х) = *|/~ -ir |у*а + о (*»)}, так что упомянутая сумма сторон, по теореме Пифагора, равна 2 у (Р)‘ + Л‘=2гУх> + 0 (х*) = 2гх У1 + 0 (х3) = 2гх + о (*4). Читателю ясно, что назначение множителя формуле Чебышёва
ГЛАВА СЕДЬМАЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 110. Условие постоянства функции. При изучении хода изме¬ нения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при которых функция сохраняет в данном промежутке постоянное зна¬ чение или изменяется в нем монотонно [n°47J. Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке SC *) и имеет внутри него конечную производную f(x), а на концах (если они принадлежат SV) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в SC постоянной, достаточно условие f (х) = 0 внутри Зу. Доказательство. Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку х0 из промежутка & и возьмем любую другую его точку х. Для промежутка [лг0, х] или [х> х0] удовлетворены все условия теоремы Лагранжа [п° 102]. Следовательно, можем .написать /С*) —/(■*«) =/'(с) (х—хщ), где с содержится между лг0 и х, а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположению, f (с) = 0, так что для всех х из 3? f(x)=f(x о) = const, и наше утверждение доказано. Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необхо¬ димым для постоянства функции. В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее отсюда простое Следствие. Пусть две функции f(x) и g(x) определены в про¬ межутке Э£ и внутри него имеют конечные производные f(x) и gr(x), а на концах {если они принадлежат 3?) сохраняют непрерывность. Если при этом f (х) = gr (jc) внутри SC, *) Который может быть замкнутым или нет, конечным или бесконечным. 7*
196 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ 1111 то во всем промежутке 3? эти функции разнятся лишь на по- стоянную\ f{x) — g (■*) + С (С = const). Для доказательства достаточно применить теорему к разности f(x)— g(x); так как ее производная f(x)— ^(дг) внутри ЗС сводится к нулю, то сама разность в SV будет постоянной. Рассмотрим в виде примера функции 1 2х arctg х и —arctgj— Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках х, исключая х = ± 1 (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому тождество 1 . 2х . ~ 2 arctS \ = arctg х + С оказывается установленным лишь для каждого из промежутков *i = (-l, О, Х2 = (—со, — 1), Хв = (1, +со) в отдельности. Любопытно, что и значения постоянной С для этих проме¬ жутков будут различными. Для первого из них С = 0 (в чем убеждаемся, полагая ^ = 0), а для двух других имеем, соответственно, С = -j или С =—-j (что легко усмотреть, если, например, устремить л; к —оо или + оо). Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно. Замечание. Значение доказанной теоремы проявляется в тео¬ ретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция за¬ дана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что она сохраняет постоянное значение. Подобные случаи нам не раз встре¬ тятся в дальнейшем. 111» Условие монотонности функции. Выясним теперь, как по производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции в данном промежутке. Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке 3? и имеет внутри него конечную производную f(x)> а на концах (если они принадлежат 3?) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в 3? монотонно возрастающей (убывающей) в узком смысле, достаточно условие: f(x)^>0 (<0) внутри 3?. Доказательство проведем для случая возрастания. Пусть же указанное для этого случая условие выполнено. Возьмем два значе¬ ния х! и х* (лт'<лгяг) из J, и к функции f{x) в промежутке [х?, х*\ применим формулу Лагранжа: /(-О-/(-О =/'(*)(*'--О (х'Сс^х').
112] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 197 Так как f'(c)^>09 то /СО>/(*Ъ и функция /(лг) будет строго возрастающей. На этот раз высказанное условие уже не является в полной мере необходимым. Утверждение теоремы сохраняет силу, например, и в том случае, если производная f (х) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка SC. В этом легко убедиться, если применить теорему в отдельности к каждой из частей, на ко¬ торые основной промежуток разбивается упомянутыми точками. Установленная связь между знаком производной и направле¬ нием изменения функции геометрически совершенно очевидна, если вспомнить [пп°77, 78], что производная представляет собой угло¬ вой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею — идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис. 42). В от¬ дельных точках касательная при этом может оказаться и горизон¬ тальной, что отвечает обращению производной в нуль. Примеры. 1) Простейший пример последнего обстоятельства доставляет функцияf(x) = x3: она возрастает, и тем не менее производная ее/' (лг) = Злга при х=~0 обращается в нуль. 2) Аналогично, возрастающей будет и функция / (л;) = х — sin xt ибо ее производная /' (лг)=1 —cos х не отрицательна, обращаясь в нуль для значений х = 2kn (k = 0t±. 1, ± 2,...). 112. Максимумы и минимумы; необходимые условия. Если функция f(x)t определенная и непрерывная в промежутке [а, Ь\, не является в нем монотонной, то найдутся такие части [а, (3] проме¬ жутка [а, Ъ]у в которых наибольшее или наименьшее значение дости¬ гается функцией во внутренней точке, т. е. между аир. На
19В гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ [112 графике функции (рис. 43) таким промежуткам соответствуют ха¬ рактерные горбы или впадины. Говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 максимум (или минимум) *), если эту точку можно окружить такой окрест¬ ностью (лг0 — 8, дг0 + содержащейся в проме¬ жутке, где задана функ¬ ция, что для всех ее то¬ чек х выполняется нера¬ венство /(■*)</(* о) (или f(x)^f(xо)). Иными словами, точка х0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(xQ) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки дг0. Если существует такая окрестность, в пределах которой (при хфх$) выполняется строгое неравенство /{X) < f(xо) (или f(x) >/(*<,))> то говорят, что функция имеет в точке х0 собственный максимум (минимум), в противном случае — несобственный. Если функция имеет максимумы в точках х0 и хи то, применяя к промежутку [jc0, Xi] вторую теорему Вейерштрасса [73], видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция дости¬ гает в некоторой точке х% между х0 и хх и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функ¬ ция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они попросту чередуются. Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум**). Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доста¬ вляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная. Предположим сначала, что для функции f(x) в промежутке (а, Ь) существует конечная производная. Если в точке лг0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х0 — 8, JC0-f~8), о котором *) По-латыни слова maximum и minimum означают «наибольшее» и «наи¬ меньшее» (значение). **) Латинское extremum, что означает «крайнее» (значение).
113] л l! ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 199 была речь выше, теорему Ферма [п°100], заключаем, что /'(дг0) = 0: в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными*). Не следует думать, однако, что каждая стационарная точка доста¬ вляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие не является достаточным. Мы видели, например, в n° 111,1), что для функции хг производная Зл:2 обращается в нуль при х = 0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она все время возрастает. Таким образом, стационарная точка для функции/ (х) представляется, так сказать, лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию. Если расширить класс рассматриваемых функций, допуская, что в отдельных точках нет конечной производной, то не исключена возможность того, что экстремум придется на одну из таких точек. Поэтому их также нужно отнести к числу «подозрительных» по экстремуму и подвергнуть испытанию. 113. Первое правило. Итак, пусть точка х0 является «подозри¬ тельной» по экстремуму для функции fix). Предположим, что в некоторой окрестности (дг0 — 8, xQ -{- 8) этой точки (по крайней мере, для х ф лт0) существует конечная производ¬ ная fix) и как слева от х0, так и справа от дг0 (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая: I. Г(х)^> 0 при х<^х0 и /' (х)<^0 при х^>х0, т. е. производная fix) при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х0 — 8, xQ\ функция f{x) возрастает, а в промежутке [jc0, + убывает, так что значение f(x0) будет наибольшим в промежутке [хй — 8, лг0-|-8], т. е. в точке х0 функ¬ ция имеет максимум. И. fix)<^0 при x<dx0 и Г(х)^> 0 при х^>х0, т. е. производная f (х) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет минимум. III. fr{x)^>0 как при лг<[а:0, так и при х^>х^ либо же fix)<^0 и слева и справа от лг0, т. е., при переходе через х0, f (х) не ме¬ няет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает; в любой близости х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<^f{xо), а с другой — точки xf в которых /(лг) ^>f (лг0), так что в точке х0 никакого экстремума нет. Итак, мы получаем первое правило для испытания «подозри¬ тельного» значения х0: подставляя в производную fix) сначала *) В них изменение функции как бы «приостанавливается»: скорость этого изменения [п°78] обращается в нуль.
200 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ (113 х<С,х0, а затем х^>х0, устанавливаем знак производной побли¬ зости от точки лг0 слева и справа от нее: если при этом произ¬ водная Г (х) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак минус на плюс, то — минимум; если же знака не меняет,, то экстремума вовсе нет. Охарактеризуем теперь тот класс функций, к которому мы будем применять это правило. Функция f(x) предполагается непрерывной в промежутке [а, Ь] и имеющей в нем непрерывную же производную /'(л;), за исключением разве лишь конечного числа точек. В этих точках производная f'(x) как слева, так и справа стремится к бес¬ конечным пределам, совпадающим по знаку или нет: в первом случае существует двусторонняя бесконечная производная, а во втором — разнящиеся знаками односторонние производные *). Наконец, допустим еще, что обращается в нуль производная тоже лишь в конечном числе точек. Графическая иллюстрация различных возможностей для «подозрительных» по экстремуму точек дана на рис. 44. *) Различение этих случаев как раз и осуществляется с помощью того исследования знака производной, о котором только что была речь.
114] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 201 Отметим, что в случаях б, в9 г кривая пересекает касательную, переходя с одной ее стороны на другую; в этих случаях, как гово¬ рят, кривая имеет перегиб. Для функций рассматриваемого класса приведенное правило пол¬ ностью решает интересующий нас вопрос. Дело в том, что для такой функции в промежутке (а, Ь) — всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная про¬ изводная: a <*i<*2<...<6, (1) и в любом промежутке (а, хх\ (хи (*k> xk+\)> (хп-ъ Ь) (2) производная fr(x) сохраняет постоянный знак. Действительно, если бы /'(лг) меняла знак, например, в промежутке (xk> JeA+i), то, ввиду предположенной непрерывности /' (л:) — по теореме Больцано — Коши [68] — она обращалась бы в нуль в некоторой точке между xk и Xk+ь что невозможно, поскольку все корни производной содержатся в ряду точек (1). По теореме п°111, в каждом из промежутков (2) функция изме¬ няется строго монотонно. Замечание. Хотя указанный класс функций охватывает все практи¬ чески интересные случаи, но все же полезно дать себе отчет в том, что могут быть случаи, где наше правило исследования «подозрительных> зна¬ чений неприложимо. Если, например, рассмотреть функцию, определяемую равенствами f(x) = x2 sin •— при х^О и/(0) = 0, то, как мы знаем [п°88, 2е], при л: = 0 она имеет производную /' (0) = 0. Одна¬ ко в любой близости от этой стационарной точки как слева, так и справа производная f (х) = 2х sin cos — v f X X бесконечное множество раз обращается в нуль, меняя при этом знак: пра¬ вило неприложимо (хотя и без него непосредственно ясно, что экстре¬ мума нет). 114. Второе правило. Если точка л;0 — стационарная: /' (*<>) = о и функция f{x) имеет не только первую производную f (х) в окрест¬ ности этой точки, но и вторую производную /"(лго) в самой точке х0> то все испытание может быть сведено к рассмотрению знака этой последней производной, в предположении, что она отлична от нуля.
202 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ Р15 Действительно, по определению производной — с учетом (3) — имеем Г(*.)= lim £Sx)-fS*A = Hm JTVL # V и/ У г— X -+ Xq Х Х° Х-*Х0 Х Х° Но, по теореме 2) п°37, функция fix) (4) л: — х0 приобретает знак своего предела fff(x0), лишь только х (будучи от¬ личным от х0) достаточно близко к х0 (| х — х01 8). Пусть же, скажем, У'' (jc0) 0; тогда дробь (4) положительна для всех упомянутых значений х. Но для х<^х0 знаменатель х — *0<^О, следовательно, числитель f (х) необходимо тоже меньше нуля; наобо¬ рот, при х^>х0 будем иметь х — так что и f'(x)^>0. Иными словами, получается, что производная f (х) меняет знак ми¬ нус на плюс, а тогда — уже по первому правилу — в точке х0 будет минимум. Аналогично устанавливается, что, если /"(х)<^0, в точке лг0 налицо максимум. Таким образом, можно сформулировать второе правило для испытания «подозрительного» значения х0: подставляем х0 во вто¬ рую производную f"(x)\ если f№(x0)^>0, то функция имеет ми¬ нимум, если же /У(^0)<^0, то — максимум. Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения; оно, например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной первой производной (ибо там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает. Решение вопроса зависит тогда от поведения высших производных [см. п°117]. 115. Построение графика функции. Умение находить значе¬ ния ху доставляющие функции _у=/(лт) экстремальные значения, может быть использовано для построения графика функции, точно характе¬ ризующего ход ее изменения при возрастании х в промежутке 1а, Ь]. Раньше [п°19] мы строили график по точкам, взятым более или менее густо, но случайно и без учета особенностей графика (наперед ке известных). Теперь же мы в состоянии с помощью указанных выше методов установить некоторое число «опорных» точек, харак¬ терных именнодля данного графика. Мы имеем здесь в виду, прежде всего, «поворотные точки» графика, т. е. вершины его горбов и впадин, отвечающие экстремальным значениям функции. Впрочем, к ним надлежит присоединить все вообще точки, где касательная горизонтальна или вертикальна, даже если они не отвечают экстре¬ мумам функции. Мы ограничимся рассмотрением функций y—f (х), принадлежащих к указанному в п°113 классу. Тогда для построения графика такой функции y=f(x) надлежит выполнить следующее:
116] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 203 1) определить значения х, для которых производная y'=f(x) равна нулю или бесконечности (или, по крайней мере, существуют бесконечные односторонние производные), и подвергнуть их исследо¬ ванию на экстремум; 2) вычислить значения самой функции y—f{x\ отвечающие всем этим значениям х, а также концам а, b рассматриваемого промежутка. Результаты удобно расположить в виде таблицы (см. ниже при¬ меры) с непременным указанием особенности вычисленной точки гра¬ фика: максимум, минимум, перегиб, у9 = 0, у' = —оо, У = — оо и, наконец, У = dz оо илиу = :роо (так мы условно обозначаем случай, когда существуют бесконечные односторонние производные разных знаков). К названным точкам графика при желании присоединяют еще некоторые другие, например точки пересечения графика с осями. После нанесения на чертеж всех найденных точек (число которых обычно невелико), через них проводят самый график, учитывая при этом все упомянутые их особенности. Следует помнить, что в промежутках между ними, как разъяснено в пс113, производная со¬ храняет знак, и график идет все время вверх или все время вниз. Вычисления и проведение кривой упрощаются, если функция не изменяет своего значения при изменении знака х (четная функция), так что график симметричен относительно вертикаль¬ ной оси. Аналогичную услугу может оказать и симметрия относительно начала координат, которая аналитически вы¬ ражается в том, что функция при изменении знака х также лишь меняет знак (нечетная функция). Построенный подобным образом график — не претендуя на точность отдельных ординат — уже довольно полно отображает ход изме¬ нения функции (что и было нашей целью), точно отмечая проме¬ жутки ее возрастания и убывания, а также точки, где скорость изме¬ нения функции падает до нуля или возрастает до бесконечности. 116. Примеры. 1) Найти экстремумы функции /(л:) = sin3 х + cos3 х и построить ее график. Ввиду того что функция имеет период 2тс, достаточно ограничиться про¬ межутком [0, 2я] изменения х. Производная f (х) = 3 sin2 х • cos х — 3 sinx • cos2 x = 3 sin x • cos x • (sin x— cos x). Корни производной (стационарные точки) в этом случае будут: те п 5тс Зтс ’ "4 ' Т > Т ’ т * ■ При переходе через л; = 0 множитель sin х меняет знак минус на плюс, а вся производная меняет знак плюс на минус, ибо последние два множителя сохраняют вблизи * = 0 знак минус; налицо максимум. Множитель sin*—cos xt обращающийся в нуль при х = при переходе через эту
204 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ [116 точку меняет знак минус на плюс. То же будет и с производной, так как первые два множителя положительны; следовательно, здесь будет мини¬ мум. Аналогично исследуются и остальные стационарные точки: все они поочередно доставляют функции максимумы и минимумы. Вместо исследования перемены знака первой производной можно было бы вычислить вторую производную fm (х) = 3 (sin х + cos х) (3 sin х cos л: — 1) и в нее попросту подставить испытуемые значения х. Например, при * = 0 получим /'(0) = — 3, что отвечает максимуму, при х = ^ имеем f* = Y значит— минимум, и т. д. Определим еще абсциссы точек пересечения графика с осью х, т. е. решим уравнение sin3 х + cos8 х = 0, откуда cosx = — sin л:, так что Зя 7 п X = —г* ИЛИ -7*. 4 4 Вычислим теперь значения функции, отвечающие найденным значе¬ ниям х, и составим таблицу: 0 (2it= 6,28) оо о II | = 1,57 34 = 2,36 4 СО II И 1 1 0 -1 II о \\ о У =: 0 О и V* макс. мин. макс. мин. *£ = 3.94 4 V2 г-0,71 У = 0 макс. Т-." — 1 у-о мин. 74=5.50 По этой таблице и построен график, изображенный на рис. 45. 2) Найти экстремумы и построить график функции 1 Л f(x) = x3 —(лга — I)3. На этот раз конечная производная 2 4 2 Г(х)=^х 3-^(х*-1) 3 .2x=^(-^j-у—£ х'3(х* — I)3 существует везде, исключая точки х = 0 и л: = ±1. При приближении к ним как слева, так и справа производная имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках обе односторонние производные бесконечны [103].
116] § 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 205 Для определения корней производной приравниваем нулю ее числитель; мы найдем: х = ± “~т=« Итак, «подозрительными» по экстремуму будут у 2 точки: ~1, ~ут’0, уТ' h Впрочем, ввиду четности функции (и, следовательно, симметрии ее графика относительно оси у), достаточно ограничиться правой полуплоскостью, т. е. значениями х^О. При * = 0 (и вблизи этой точки) числитель и второй множитель знамена¬ теля имеют знак плюс. Множитель же х 3 знаменателя меняет знак минус на плюс, производная — тоже: минимум. При х = (и вблизи) знаменатель 1 сохраняет знак плюс. Числитель же, имея в виду значения jt, близкие к , 1 1 перепишем так: (1 — х2)ъ—х3; он обращается в нуль при * = — с уменьшением х — увеличивается, а с увеличением — уменьшается, так что меняет знак плюс на минус, и налицо максимум. При переходе через _2 *=1 множитель (х* — I)3 в знаме¬ нателе, который обращается в этой точке в нуль, не меняет знака; это же справедливо и для производной, так что при х=\ экстремума нет. Хотя рассматриваемая функция определена и непрерывна во всем промежутке (—оо, -|-оо), но построе¬ ние графика, разумеется, может быть осуществлено лишь в конечном про¬ межутке. Впрочем, можно охарактеризовать и поведение функции «на бес¬ конечности», переписав ее так: /(*) = 4 5 1 'X4)J ■ г Рис. 46. 1 А 3 1 /„а 1\3 видим, что f(x) > 0 и стремится к нулю при х ± оо. Таким образом, график функции расположен над осью jc, но по мере удаления в бесконечность как налево, так и направо, приближается к совпадению с этой осью. Таблица: .v= — 00 -1 УТ -НГ °’71 0 УТ V-0-71 1 0 1 уПГ = 1,59 1 1.59 1 У—+со у = 0 У = + 00 у = 0 у=—ОО макс. мин. макс. График изображен на рис. 46. 4-00 о
206 ГЛ. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [117 117. Использование высших производных* Мы видели, что если /'(лг0) = 0 и /"(*о)>0. то Функция /(лг) достигает в точке х0 ми¬ нимума; если же /'(лг0) = 0 и /*(лг0)<^0, то функция имеет в этой точке максимум. Случай, когда и /'(лг0) = 0 и /"(лг0) = О, был оста¬ влен нами неисследованным. Предположим теперь, что в окрестности точки х = х0 функция f(x) имеет п последовательных производных, и п-я производная в точке х = х0 непрерывна. Пусть все они, вплоть до (п— 1)-й, в этой точке обращаются в нуль: Г (Х0) =/" С*0) =... =/<-« (*,) = о, между тем как /(л) (лг0) Ф 0. Разложим приращение /(лг) — /(лг0) функ¬ ции /(лг) по степеням разности х — лг0 по формуле Тейлора с допол¬ нительным членом в форме Пеано [п° 107, (17)]. Так как все произ¬ водные порядков, меньших чем п, равны в точке лг0 нулю, то fix) —/(д?о)= —"--д,— (Х) {х — Х0)п. Вследствие того, что а-*0 при лг-*лг0, при достаточной близо¬ сти х к х0 знак суммы в числителе будет совпадать со знаком /(л) (лг0) как для х<^х0, так и для х^>х0. Рассмотрим два случая. 1°. п есть нечетное число: п = 2A-f-l. При переходе от значений х, меньших чем лг0, к значениям, ббльшим чем лг0, выраже¬ ние (лг — лг0)ал+1 изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разности f(x)—/(jc0) изменится. Таким образом, в точке лг0 функция f(x) не может иметь экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и ббльшие, чем f(x0). 2°. п есть четное число: n = 2k. В этом случае раз¬ ность /(лг)— /(лг0) не меняет знака при переходе от х, меньших чем лг0 к бол