Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ
основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ I
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ. СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для механико-математических факультетов
государственных университетов и учебного пособия
для физико-математических факультетов
педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 6 8

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		11
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Множество вещественных чисел и его упорядочение
1.	Предварительные замечания		15
2.	Определение иррационального числа		16
3.	Упорядочение множества вещественных чисел		19
4.	Представление вещественного числа бесконечной десятичной
дробью		20
5.	Непрерывность множества вещественных чисел		23
6.	Границы числовых множеств		24
§ 2. Арифметические действия над вещественными числами
7.	Определение и свойства суммы вещественных чисел		27
8.	Симметричные числа. Абсолютная величина		28
9.	Определение и свойства произведения вещественных чисел ...	29
§ 3. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
10.	Существование корня. Степень с рациональным	показателем . .	31
11.	Степень с любым вещественным показателем		32
12.	Логарифмы		34
13.	Измерение отрезков		35
ГЛАВА ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции
14.	Переменная величина		37
15.	Область изменения переменной величины		38
16.	Функциональная зависимость между переменными.	Примеры ...	39
17.	Определение понятия функции		40
18.	Аналитический способ задания функции		42
19.	График функции		44
20.	Функции натурального аргумента		46
21.	Исторические замечания		48
§ 2. Важнейшие классы функций
22.	Элементарные функции		49
23.	Понятие обратной функции		52
24.	Обратные тригонометрические функции		54
25.	Суперпозиция функций. Заключительные замечания		57
1*

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Предел функции
26.	Исторические замечания		59
27.	Числовая последовательность		59
28.	Определение предела последовательности 		61
29.	Бесконечно малые величины		62
30.	Примеры		63
31.	Бесконечно большие величины		66
32.	Определение предела функции		68
33.	Другое определение предела функции		69
34.	Примеры				71
35.	Односторонние пределы 		76
§ 2. Теоремы о пределах
36.	Свойства функции от натурального аргумента, имеющей конеч¬
ный предел		78
37.	Распространение на случай функции от произвольной, пере¬
менной 		80
38.	Предельный переход в равенстве и неравенстве		81
39.	Леммы о бесконечно малых		82
40.	Арифметические операции над переменными . . . 			84
41.	Неопределенные выражения		85
42.	Распространение на случай функции от произвольной пере¬
менной 		88
43.	Примеры		89
§ 3. Монотонная функция
44.	Предел монотонной функции от натурального аргумента		92
45.	Примеры		94
46.	Лемма о вложенных промежутках		96
47.	Предел монотонной функции в общем случае		97
§ 4. Число е
48.	Число е как предел последовательности		98
49.	Приближенное вычисление числа е	100
50.	Основная формула для числа е. Натуральные логарифмы	102
§ 5. Принцип сходимости
51.	Частичные последовательности			104
52.	Условие существования конечного предела для функции от на¬
турального аргумента	106
53.	Условие существования конечного предела для функции любого
аргумента	108
§ 6. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших
величин
54.	Сравнение бесконечно малых	110
55.	Шкала бесконечно малых	111
56.	Эквивалентные бесконечно малые	112
57.	Выделение главной части	114
58.	Задачи	Ц4
59.	Классификация бесконечно больших	116

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Непрерывность (и разрывы) функции
60.	Определение непрерывности функции в точке	117
61.	Условие непрерывности монотонной функции	119
62.	Арифметические операции над непрерывными функциями .... 120
63.	Непрерывность элементарных функций	121
64.	Суперпозиция непрерывных функций	123
65.	Вычисление некоторых пределов	123
66.	Степенно-показательные выражения	125
67.	Классификация разрывов. Примеры	126
§ 2. Свойства непрерывных функций
68.	Теорема об обращении функции в нуль	128
69.	Применение к решению уравнений	130
70.	Теорема о промежуточном значении	130
71.	Существование обратной функции	132
72.	Теорема об ограниченности функции	133
73.	Наибольшее и наименьшее значения функции	134
74.	Понятие равномерной непрерывности		136
75.	Теорема о равномерной непрерывности	138
ГЛАВА ПЯТАЯ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная и ее вычисление
76.	Задача о вычислении скорости движущейся точки	140
77.	Задача о проведении касательной к кривой	142
78.	Определение производной	143
79.	Примеры вычисления производных	147
80.	Производная обратной функции	149
81.	Сводка формул для производных	151
82.	Формула для приращения функции	152
83.	Простейшие правила вычисления производных	153
84.	Производная сложной функции		155
85.	Примеры	156
86.	Односторонние производные	158
87.	Бесконечные производные	159
88.	Дальнейшие примеры особых случаев	160
§ 2. Дифференциал
89.	Определение дифференциала 	161
90.	Связь между дифференцируемостью и существованием произ¬
водной 		162
91.	Основные формулы и правила дифференцирования	164
92.	Инвариантность формы дифференциала	165
93.	Дифференциалы как источник приближенных формул	166
94.	Применение дифференциалов при оценке погрешностей	167
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
95.	Определение производных высших порядков	168
96.	Общие формулы для производных любого порядка	170

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
97.	Формула Лейбница	 172
98.	Дифференциалы высших	порядков	174
99.	Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших
порядков	175
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Теоремы о средних значениях
100.	Теорема Ферма	177
101.	Теорема Ролля	178
102.	Теорема о конечных приращениях	180
103.	Предел производной	182
104.	Обобщенная теорема о конечных приращениях	182
§ 2. Формула Тейлора
105.	Формула Тейлора для многочлена 	183
106.	Разложение произвольной функции	185
107.	Другая форма дополнительного члена	188
108.	Приложение полученных формул к элементарным функциям . . 190
109.	Приближенные формулы. Примеры	192
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Изучение хода изменения функции
110.	Условие постоянства функции	 195
111.	Условие монотонности функции	 196
112.	Максимумы и минимумы; необходимые условия	197
113.	Первое правило	199
114.	Второе правило	201
115.	Построение графика функции	202
116.	Примеры 	203
117.	Использование высших производных	206
§ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции
118.	Разыскание наибольших и наименьших значений	207
119.	Задачи	208
§ 3. Раскрытие неопределенностей
120.	Неопределенности вида 	210
121.	Неопределенности вида —	212
оо
122.	Другие виды неопределенностей	214
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
123.	Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . 217
124.	Функции двух переменных и области их определения	218
125.	Арифметическое m-мерное пространство	220

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
126.	Примеры областей в m-мерном пространстве	223
127.	Общее определение открытой и замкнутой областей	225
128.	Функции т переменных	227
129.	Предел функции нескольких переменных	228
130.	Примеры	231
131.	Повторные пределы	232
§ 2. Непрерывные функции
132.	Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных . . 234
133.	Операции над непрерывными функциями	236
134.	Теорема об обращении функции в нуль	237
135.	Лемма Больцано — Вейерштрасса	239
136.	Теорема об ограниченности функции	240
137.	Равномерная непрерывность	240
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Производные и дифференциалы функций нескольких пере¬
менных
138.	Частные производные			243
139.	Полное приращение функции	245
140.	Производные от сложных функций	248
141.	Примеры 	249
142.	Полный дифференциал	251
143.	Инвариантность формы (первого) дифференциала	253
144.	Применение полного дифференциала в приближенных вычисле¬
ниях 	255
145.	Однородные функции	256
§ 2. Производные и дифференциалы высших порядков
146.	Производные высших порядков	259
147.	Теоремы о смешанных производных	260
148.	Дифференциалы высших порядков	263
149.	Дифференциалы сложных функций	265
150.	Формула Тейлора	266
§ 3. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
151.	Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые
условия	268
152.	Исследование стационарных точек (случай двух переменных). . 270
153.	Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры	274
154.	Задачи	276
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычи¬
сления
155.	Понятие первообразной функции (и неопределенного инте¬
грала) 	279
156.	Интеграл и задача об определении- площади	282

8	ОГЛАВЛЕНИЕ
157.	Таблица основных интегралов	284
158.	Простейшие правила интегрирования	28§
159.	Примеры 	287
160.	Интегрирование путем замены переменной	289
161.	Примеры 	291
162.	Интегрирование по частям	293
163.	Примеры 	294
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
164.	Постановка задачи интегрирования в конечном виде	296
165.	Простые дроби и их интегрирование	297
166.	Интегрирование правильных дробей	299
167.	Метод Остроградского для выделения рациональной части
интеграла	301
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих ради¬
калы
168.	Интегрирование выражений вида	Щ)**	304
169.	Интегрирование биномиальных дифференциалов	306
170.	Интегрирование выражений вида /?(*, У ах2 Ьх -\- с). Под¬
становки Эйлера	308
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометриче¬
ские и показательную функции
171.	Интегрирование дифференциалов /? (sin л:, cos л:)		312
172.	Обзор других случаев	315
§ 5. Эллиптические интегралы
173.	Определения	316
174.	Приведение к канонической форме	317
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного инте¬
грала
175.	Другой подход к задаче о площади	320
176.	Определение	. 322
177.	Суммы Дарбу	323
178.	Условие существования интеграла	326
179.	Классы интегрируемых функций	-	327
§ 2. Свойства определенных интегралов
180.	Интеграл по ориентированному промежутку	329
181.	Свойства, выражаемые равенствами	331
182.	Свойства, выражаемые неравенствами	332
183.	Определенный интеграл как функция верхнего предела	336
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
184.	Вычисление с помощью интегральных сумм	338
185.	Основная формула интегрального исчисления	340

ОГЛАВЛЕНИЕ
9
186.	Формула замены	переменной в определенном интеграле	341
187.	Интегрирование	по частям в определенном интеграле	343
188.	Формула	Валлиса	344
§ 4. Приближенное вычисление интегралов
189.	Формула	трапеций 	345
190.	Параболическая	формула	347
191.	Дополнительные	члены приближенных формул	349
192.	Пример			352
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Площади и объемы
193.	Определение понятия площади. Квадрируемые области	354
194.	Аддитивность площади	356
195.	Площадь как предел	357
196.	Выражение площади интегралом	357
197.	Определение понятия объема, его свойства	361
198.	Выражение объема интегралом	363
§ 2. Длина дуги
199.	Определение понятия длины дуги	370
200.	Леммы	372
201.	Выражение длины дуги интегралом	372
202.	Переменная дуга, ее дифференциал	376
203.	Длина дуги пространственной кривой	378
§ 3. Вычисление механических и физических величин
204.	Схема применения определенного интеграла	379
205.	Площадь поверхности вращения	382
206.	Нахождение	статических	моментов	и	центра тяжести кривой.	.	384
207.	Нахождение	статических	моментов	и	центра тяжести	плоской
фигуры 	386
208.	Механическая работа	389
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Касательная и касательная плоскость
209.	Аналитическое представление кривых на плоскости	391
210.	Касательная к плоской кривой	393
211.	Положительное направление касательной. 		397
212.	Случай пространственной	кривой	399
213.	Касательная	плоскость к	поверхности	401
§ 2. Кривизна плоской кривой
214.	Направление вогнутости, точки перегиба	403
215.	Понятие кривизны	405
216.	Круг кривизны и радиус кривизны	408

10	ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ВОЗНИКНОВЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ИДЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Предыстория дифференциального и интегрального исчи¬
сления
217.	XVII век и анализ бесконечно малых
218.	Метод неделимых
219.	Дальнейшее развитие учения о неделимых
220.	Нахождение наибольших и наименьших, проведение каса¬
тельных
221.	Проведение касательных с помощью кинематических сообра¬
жений
222.	Взаимная обратность задач проведения касательной и квадра¬
туры
223.	Обзор предыдущего
§ 2. Исаак Ньютон (1642—1727)
224.	Исчисление флюксий
225.	Исчисление, обратное исчислению флюксий; квадратуры
226.	Ньютоновы «Начала» и зарождение теории пределов
227.	Вопросы обоснования у Ньютона
§ 3. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)
228.	Начальные шаги в создании нового исчисления
229. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению . .
230. Первая печатная работа по интегральному исчислению
231.	Дальнейшие работы Лейбница. Создание школы
232.	Вопросы обоснования у Лейбница
233.	Послесловие
Алфавитный указатель
411
411
414
416
418
419
420
421
423
426
427
427
428
430
431
432
433
434

ПРЕДИСЛОВИЕ
«Основы математического анализа» задуманы как учебник ана¬
лиза для студентов первого и второго курсов математических отде¬
лений университетов; в соответствии с этим и книга делится на два
тома. При составлении ее был широко использован мой трехтомный
«Курс дифференциального и интегрального исчисления», но содержа¬
щийся в нем материал подвергся сокращению и переработке в целях
приближения книги к официальной программе по математическому
анализу и к фактическим возможностям лекционного курса.
Мои установки и задачи, которые я перед собой ставил, харак¬
теризуются следующим.
1.	Главную свою задачу я видел в систематическом и — по
возможности — строгом изложении основ математического анализа.
Я считаю изложение материала в логической последовательности
обязательным для учебника, для того чтобы перед глазами учащихся
знания располагались в определенной системе.
Такое построение учебника, впрочем, не исключает возможности
для лектора в отдельных случаях — по соображениям педагогическим —
отступать от строгой систематичности (а, может быть, даже облегчает
ему эту возможность). Я сам, например, в лекционном курсе обычно
несколько отодвигаю такие трудные для начинающего вещи, как
теория вещественных чисел, принцип сходимости или свойства непре¬
рывных функций.
2.	Вместе с тем курс математического анализа не должен пред¬
ставляться учащемуся лишь длинной цепью «определений» и «теорем»,
но должен служить руководством к действию. Студентов нужно
научить применять эти теоремы на практике, помочь им овладеть
вычислительным аппаратом анализа. Хотя эта задача в большей мере
падает на упражнения по анализу, но и изложение теоретического ма¬
териала я сопровождаю примерами, по необходимости — в небольшом

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
числе, но подобранными так, чтобы подготовить учащихся к созна¬
тельной работе над упражнениями.
3.	Известно, какие замечательные и разнообразные приложения
имеет математический анализ как в самой математике, так и в смеж¬
ных областях знания; с этим студенты много раз будут сталкиваться
впоследствии. Но самая мысль о связи математического анализа
с другими математическими дисциплинами и с потребностями прак¬
тики должна быть усвоена учащимися уже при изучении основ ана¬
лиза. Вот почему везде, где это представляется возможным, я привожу
примеры применения анализа не только в геометрии, но и в механике»
физике и технике.
4.	Вопрос о доведении аналитических выкладок до числа имеет
в равной мере принципиальное и прикладное значение. Так как
«точное» или «в конечном виде» решение задач анализа возможно
лишь в простейших случаях, то приобретает важность ознакомление
учащихся с использованием приближенных методов и с составлением
приближенных формул. Этому в книге также уделено внимание.
5.	Хотелось бы сделать немногие пояснения относительно самого
изложения. Прежде всего коснусь понятия предела, которое занимает
центральное место среди основных понятий анализа и проходит
буквально через весь курс, появляясь притом в различных формах.
Последнее обстоятельство выдвигает задачу — установить единство
всех разновидностей предела. Это не только принципиально важно,
но и практически необходимо, дабы не строить всякий раз наново
теории пределов. Для достижения этой цели есть два пути: либо
сразу дать самое общее определение предела «направленной пере¬
менной» (например, следуя Шатуновскому и Муру — Смиту), либо
же сводить всякий предел к простейшему случаю — пределу перемен¬
ной, пробегающей занумерованную последовательность значений.
Первая точка зрения недоступна начинающему, поэтому я остано¬
вился на второй: определение каждого нового вида предела дается,
прежде всего, с помощью предела последовательности и лишь затем —
«на языке е-8».
6.	Отмечу еще одну деталь изложения: во втором томе, говоря
о	криволинейных и поверхностных интегралах, я провожу различие
между криволинейными и поверхностными «интегралами первого типа»
(точные аналоги обыкновенного и двойного интегралов по неориенти¬

ПРЕДИСЛОВИЕ
13
рованным областям) и такими же «интегралами второго типа» (где
аналогия уже частично исчезает). На опыте я многократно убеждался
в том, что такое различение способствует лучшему усвоению и удобно
для приложений.
7.	В виде небольшого дополнения к программе я включил в книгу
краткое ознакомление с эллиптическими интегралами (так часто
встречающимися на практике) и в нескольких случаях даю задачи,
приводящие именно к эллиптическим интегралам. Пусть этим будет
разрушена вредная иллюзия, воспитываемая решением одних лишь
простых задач, будто результаты аналитических выкладок непре¬
менно должны быть «элементарными»!
8.	В разных местах книги читатель найдет замечания историко¬
математического характера. Кроме того, первый том завершается
«Историческим очерком возникновения основных идей математиче¬
ского анализа», а в конце второго тома помещен «Очерк дальней¬
шего развития математического анализа». Конечно, все это вовсе не
призвано подменить историю математического анализа, с которой
учащиеся ознакомятся впоследствии в общем курсе «истории мате¬
матики». Если в первом из упомянутых очерков затрагивается самый
генезис понятий, то исторические замечания имеют целью создать
у читателей хотя бы общую ориентацию в хронологии
важнейших событий из истории анализа.
В тесной связи с только что сказанным, я обращаюсь теперь
с предупреждением непосредственно к читателю — учащемуся.
Дело в том, что порядок изложения в книге связан с современ¬
ными требованиями к математической строгости, созревавшими
в течение длительного времени, и поэтому, естественно, отклоняется
от того пути, по которому исторически математический анализ раз¬
вивался. Как говорит Маркс: «.. .историческое развитие всех наук
только через множество перекрещивающихся и окольных путей при¬
водит к их действительной исходной точке. В отличие от других
архитекторов, наука... возводит отдельные жилые этажи здания,
прежде чем она заложила его фундамент» *).
С подобным положением вещей читатель столкнется при изу¬
чении анализа с самого же начала: первая глава книги посвящена
*) К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения (изд. 1935 г.), т. XII, ч. 1г
стр. 44.

14
ПРЕДИСЛОВИЕ
«вещественным числам», третья — «теории пределов», и лишь с пятой
главы начинается систематическое изложение дифференциального
и интегрального исчисления. Исторически же порядок был как раз
обратным: дифференциальное и интегральное исчисление зародилось
в XVII веке и развивалось в XVIII веке, находя себе многочисленные
и важные приложения; теория пределов стала фундаментом для мате¬
матического анализа в начале XIX века, а лишь во второй его поло¬
вине была создана отчетливая концепция вещественного числа, обо¬
сновывающая наиболее тонкие положения самой теории пределов.
Эта книга подытоживает мой многолетний опыт преподавания
математического анализа в Ленинградском университете. Да будет
она полезна советской молодежи!
Г. М. Фихтенгольц

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ
1.	Предварительные замечания. Из школьного курса читателю
хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же время
уже потребности элементарной математики приводят к необходимости
расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональ¬
ных чисел не существует зачастую корней даже из целых положи¬
тельных (натуральных) чисел, например У~ 2, т. е. нет такой рацио¬
нальной дроби —, где р и q — натуральные числа, квадрат кото-
Я
рой был бы равен 2.
Для доказательства этого допустим противное: пусть существует
кратимой, т. е. р и q лишенными общих множителей. Так как
p2 = 2q*, то р есть число четное: р = 2г (г — целое) и, следовательно,
q — нечетное. Подставляя вместо р его выражение, найдем <уа = 2г2,
откуда следует, что q — четное число. Полученное противоречие дока¬
зывает наше утверждение.
Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних
лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки
могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат
со стороной, равной единице длины. Его диагональ не может иметь
рациональной длины —, ибо в противном случае по теореме Пифагора
Я
квадрат этой длины был бы равен 2, что, как мы видели, невозможно.
В настоящей главе мы ставим себе задачей расширить область
рациональных чисел, присоединив к ним числа новой природы —
иррациональные.
В математической практике иррациональные числа фактически начинают
появляться — под видом выражений, содержащих радикалы, — еще в средние
века, но настоящими числами их не считали. В XVII веке метод коор¬
динат, созданный Декартом *), с новой силой поднял вопрос о численном
*) Рене Декарт (1596—1650) —знаменитый французский философ и
ученый.
такая дробь
Мы вправе считать эту дробь несо-

16
ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
12
выражении геометрических величин. Под влиянием этого постепенно стала
созревать идея о равноправии иррациональных и рациональных чисел; она
нашла себе окончательную формулировку в определении (положительного)
числа, которое дал Ньютон*) в своей «Всеобщей арифметике» (1707)**):
«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвле¬
ченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода,
принятой нами за единицу».
При этом целые и дробные числа выражают величины, соизмеримые
с единицей, а иррациональные — несоизмеримые с единицей.
Математический анализ, зародившийся в XVII веке и бурно развивавшийся
в течение всего XVIII века, долго довольствовался этим определением, не¬
смотря на то, что оно было чуждо арифметике и оставляло в тени важней¬
шее свойство расширенной числовой области — ее непрерывность (см.
ниже п° 5). Критическое направление в математике, которое возникло в конце
XVIII и в начале XIX века, выдвинуло требование точного определения
основных понятий анализа и строгого доказательства его основных положе¬
ний. Это, в свою очередь, скоро сделало необходимым построение логически
безупречной теории иррациональных чисел на основе чисто арифметического
их определения. В семидесятых годах прошлого столетия было создано не¬
сколько таких теорий, различных по форме, но по существу равносильных.
Все они определяют иррациональное число, ставя его в связь с тем или
другим бесконечным множеством рациональных чисел.
2.	Определение иррационального числа. Мы изложим теорию
иррациональных чисел, следуя Дедекинду ***). В основе этой тео¬
рии лежит понятие о сечении в области рациональных чисел.
Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два
непустых (т. е. действительно содержащих хоть по одному числу)
множества Ау Аг\ иными словами, мы предполагаем, что:
1°. Каждое рациональное число попадает в одно, и только
в одно из множеств А или А'.
Мы будем называть такое разбиение сечением, если выпол¬
няется еще условие:
2°. Каждое число а множества А меньше каждого числа d
множества А\
Множество А называется нижним классом сечения, множе¬
ство АТ — верхним классом. Сечение будем обозначать А | А\
Из определения сечения следует, что всякое рациональное число,
меньшее числа а нижнего класса, также принадлежит нижнему классу.
Аналогично всякое рациональное число, большее числа d верхнего
класса, и само принадлежит верхнему классу.
Примеры. 1) Определим А как множество всех рациональных
чисел а, удовлетворяющих неравенству а<^ 1, а к множеству Л'отне¬
сем все числа а', для которых d^ 1.
*) Исаак Ньютон (1642—1727) — величайший английский физик и
математик.
**) Имеется русский перевод: «Всеобщая арифметика или книга об ариф¬
метических синтезе и анализе» (АН СССР, 1948); см. стр. 8.
***) Рихард Дедекинд (1831—1916) — немецкий математик.

2)
§ 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ
17
Легко проверить, что таким образом мы действительно получим
сечение. Число единица принадлежит классу Аг и является, очевидно,
в нем наименьшим числом. С другой стороны, нет наибольшего числа
в классе А, так как, какое бы число а из А мы ни взяли, всегда
можно указать рациональное число а1у лежащее между ним и еди¬
ницей, следовательно, ббльшее а и тоже принадлежащее классу Л.
2)	К нижнему классу А отнесем все рациональные числа а, мень¬
шие или равные единице:	1;	к верхнему — рациональные числа а',
большие единицы: а'^> 1.
Это также будет сечение, причем здесь в верхнем классе нет
наименьшего числа, а в нижнем есть наибольшее (именно, единица).
3)	Отнесем к классу А все положительные рациональные числа а,
для которых аг<^2, число нуль и все отрицательные рациональные
числа, а к классу Ат — все положительные рациональные числа а\
для которых а'2	2.
Как легко убедиться, мы опять получили сечение. Здесь ни
в классе А нет наибольшего числа, ни в классе Af — наименьшего.
Докажем, например, первое из этих утверждений (второе доказы¬
вается аналогично). Пусть а — любое положительное число класса А,
тогда	2.	Покажем,	что можно подобрать такое целое положи¬
тельное пу что
(а+^) <2>
так что и число я + будет принадлежать классу Л.
Это неравенство равносильно таким:
в»+ 2®-{--^<2,
I п 1 п2 ^ *
“ + т<2 — а\
п 1 п2 ^
Последнее неравенство и подавно будет выполнено, если п удо-
“I"* 1	о
влетворит неравенству —^— <[2 — аа, для чего достаточно взять
П'>2—а2'
Итак, каково бы ни было положительное число а из класса Л, в этом
же классе А найдется большее его число; так как для чисел а^О
это утверждение непосредственно очевидно, то никакое число класса А
не является в нем наибольшим.
Легко понять, что не может существовать сечение, для кото-
рого одновременно в нижнем классе нашлось бы наибольшее число а0,
а в верхнем классе — наименьшее а\. Пусть, в самом деле, такое
сечение существует. Возьмем тогда любое рациональное число с,

18
ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[2
заключающееся между а0 и а', а0<^с<^а'0. Число с не может
принадлежать классу А, ибо иначе а0 не было бы наименьшим числом
в этом классе, и по аналогичной причине с не может принадлежать
классу А', а это противоречит свойству 1° сечения, входящему
в определение этого понятия.
Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстри¬
руемых как раз примерами 1), 2), 3):
1)	либо в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем
классе А' есть наименьшее число г;
2)	либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г, а в верх¬
нем классе Ат нет наименьшего;
3)	либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего числа,
ни в верхнем классе — наименьшего.
В первых двух случаях мы говорим, что сечение произво¬
дится рациональным числом г (которое является пограничным
между классами А и А') или что сечение определяет рациональное
число г. В примерах 1), 2) таким числом г была единица. В третьем
случае пограничного числа не существует, сечение не определяет
никакого рационального числа. Введем теперь новые объекты —
иррациональные числа, условившись говорить, что всякое
сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное кисло а.
Это число а заменяет недостающее пограничное число, мы как бы
вставляем его между всеми числами а класса Л и всеми числами а'
класса А'. В примере 3) это вновь созданное число, как легко дога¬
даться, и будет У2.
Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обо¬
значений *), мы неизменно будем связывать иррациональное число а
с тем сечением А | А' в области рациональных чисел, которбе его
определяет.
Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по
отношению к рациональному числу г. Но для каждого числа г суще¬
ствуют два определяющих его сечения: в обоих случаях числа а<^г
относятся к нижнему классу, числа же а!^>г — к верхнему, но само
число г можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда г
там будет наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим).
Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении,
определяющем рациональное число г, включать это число в верх¬
ний класс.
Числа рациональные и иррациональные получили общее название
вещественных (или действительных) чисел. Понятие веще¬
*) Речь идет о конечных обозначениях; со своего рода бесконеч¬
ными обозначениями иррациональных чисел читатель познакомится в п° 4.
Чаще всего индивидуально заданные иррациональные числа обозначают в за¬
висимости от их происхождения и роли: Y 2, log 5, sin 10° и т. п.

3]	§ 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ	19
ственного числа является одним из основных понятий математического
анализа, как и всей математики вообще.
3.	Упорядочение множества вещественных чисел. Два ирра¬
циональных числа а и р, определяемых, соответственно, сече¬
ниями А\ А! и В\В>, считаются равными в том и только в том
случае, если эти сечения тождественны; впрочем, достаточно
потребовать совпадения нижних классов А и В, ибо верхние классы А'
и ВТ тогда совпадут сами собой. Это определение можно сохранить
и в случае, когда числа аир рациональны. Иными словами, если
два рациональных числа а и р равны, то определяющие их сече¬
ния совпадают, и, обратно, из совпадения сечений вытекает
равенство чисел аир. При этом, разумеется, следует учесть усло¬
вие, заключенное выше насчет рациональных чисел.
Перейдем теперь к установлению понятия «больше» по отношению
к вещественным числам. Для рациональных чисел это понятие
уже известно из школьного курса. Для рационального числа г
и иррационального числа а понятие «больше» было, собственно,
установлено в п° 2: именно, если а определяется сечением А | А\ мы
считаем, что а больше всех рациональных чисел, входящих в класс А,
и в то же время все числа класса Аг больше а.
Пусть теперь имеем два иррациональных числа аир, при¬
чем а определяется сечением А\А\ а р — сечением В \ В\ Мы будем
считать то число ббльшим, у которого нижний класс больше.
Точнее говоря, мы будем считать а^>р, если класс А целиком
содержит в себе класс В, не совпадая с ним. (Это условие, оче¬
видно, равносильно тому, что класс В целиком содержит в себе класс Л',
не совпадая с ним). Легко проверить, что это определение может
быть сохранено и для случаев, когда одно из чисел а, р или даже
оба — рациональны.
Понятие «меньше» вводится уже как производное. Именно, гово¬
рят, чтоа<^р в том и только в том случае, если р]>а.
Из наших определений можно вывести, что
для каждой пары вещественных чисел а и р имеет место одно
и только одно из соотношений
а = р,	а>р, а<р.
Далее,
из а^>р, Р^>7 следует, что а^>^
Очевидно также, что
из а<^р, р<л следует, что а <^7.
Установим, наконец, два вспомогательных утверждения, которые
не раз будут нам полезны в последующем изложении.
Лемма /. Каковы бы ни были два вещественных числа акр,
причем а}>р, всегда найдется такое вещественное — и даже,
в частности, рациональное — число г, которое содержится

20
ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[4
между ними: а]>г>р (а следовательно, и бесчисленное множе¬
ство таких рациональных чисел).
Так как а]>Р, то нижний класс А сечения, определяющего число а,
целиком содержит в себе нижний класс В для числа р, не совпадая
с В. Поэтому в А найдется такое рациональное число г, которое не
содержится в В и, следовательно, принадлежит В'; для него
а >г^р
(равенство могло бы иметь место, лишь если р было рационально),
Но так как в А нет наибольшего числа, то, в случае надобности
увеличив г, можно равенство исключить.
Лемма 2. Пусть даны два вещественных числа а и р. Если,
какое бы ни взять рациональное число е^>0, числа а и р могут
быть заключены между одними и теми же рациональными гра¬
ницами:
s' ^ (х ^ sf s' ^ р ^ s9
разность которых меньше е:
s' — s е,
то числа а и р необходимо равны.
Доказательство будем вести от противного. Пусть, напри¬
мер, а^>р. По лемме 1, между аир можно вставить два рацио¬
нальных числа г и /^>г:
а >/>г>р.
Тогда для любых двух чисел 5 и s', между которыми содержатся а
и р, будут, очевидно, выполняться неравенства
/]>	откуда	s'— 5^>г' — г^>0,
так что разность s' — s, вопреки условию леммы, не может быть
сделана, например, меньшей числа е = /—г. Это противоречие
доказывает лемму.
4.	Представление вещественного числа бесконечной десятич¬
ной дробью. Мы имеем в виду такое представление, при котором
дробная часть (мантисса) положительна, в то время как целая часть
может оказаться как положительной, так и отрицательной или нулем.
Предположим сначала, что рассматриваемое вещественное число а
не является ни целым числом, ни какой-либо конечной десятичной
дробью. Станем искать его десятичные приближения. Если оно опре¬
деляется сечением А | А', то прежде всего легко убедиться, что
в классе А найдется целое число Ж, а в классе А' — целое же число
N^>M. Прибавляя к Ж по единице, необходимо придем к таким
двум последовательным целым числам С и С-{-1, что
С<а<С+1.

4]	§	1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ	21
При этом число С может оказаться положительным, отрицательным
или нулем.
Далее, если разделить промежуток между С и C-f-1 на десять
равных частей числами
С,1; С,2;	С,9,
то	а попадет	в один	(и только в один) из частичных	промежутков,
и мы придем	к двум	числам, разнящимся на^; С,сх и
+	для которых
С,q <Са<С С>с1 “Ь'П)-
Продолжая этот процесс дальше, после определения п — 1 цифр
С\,	..., сл_!, мы п-ю цифру сп определим неравенствами
СуС\Съ	... сп а CjC^Cq ... Cn~\~yyi'	О)
Таким образом, в	процессе нахождения десятичных	приближений
числа	а	мы построили целое число С	и бесконечный ряд	цифр
Си	с*	•	• • > сп> • • • Составленную из них	бесконечную десятичную
дробь, пг. е. символ
СУС\С<1 ... сп ...,
можно рассматривать как представление вещественного числа а.
В исключенном случае, когда а само является целым числом или,
вообще, конечной десятичной дробью, можно подобным же образом
последовательно определить число С и цифры clf с2, ..., сп, ..., но
лишь исходя из более общих чем (1) соотношений
C,cjca ... cn^a.^C,ctct	...	+	(la)
Дело в том, что в некий момент число а совпадет с одним из кон¬
цов промежутка, в который мы его заключаем, с левым или с пра¬
вым — по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно
слева или справа в (1а) уже постоянно будет иметь место равенство.
Смотря по тому, какая из этих возможностей осуществляется, по¬
следующие цифры окажутся все нулями или все девятками. Таким
образом, на этот раз число а имеет двоякое представление: одно —
с нулем в периоде, а другое — с девяткой в периоде, например,
2,718 = 2,718000 ... =2,717999 ... ,
—2,718 = 3,282 = 3,282000 ... =3,281999 ...

22
ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[4
Разность между десятичными приближениями
Gc^i ... с„ и GcjCj ...	+
по избытку и по недостатку, равная с возрастанием п может
быть сделана меньшей любого рационального числа е^>0. Действи¬
тельно, так как натуральных чисел, не превосходящих числа
существует лишь конечное число, то неравенство 10я ^ — , или
1	*
равносильное ему j^^e, может выполняться лишь для конеч¬
ного числа значений п; для всех же остальных будет
Это замечание, ввиду леммы 2, позволяет заключить, что число (3,
отличное от а, не может удовлетворять всем тем же неравенствам (1)
или (1а), что и а, и, следовательно, имеет представление в виде
бесконечной десятичной дроби, отличное от представления числа а.
Отсюда, в частности, явствует, что представление числа, не рав¬
ного никакой конечной десятичной дроби, не имеет ни нуля, ни де¬
вятки в периоде, поскольку каждая дробь с нулем или девяткой
в периоде явно выражает конечную десятичную дробь.
Можно доказать, что если взять по произволу бесконечную
дробь (2), то существует вещественное число а, для которого именно
дробь (2) служит представлением. Очевидно, достаточно построить
число а так, чтобы выполнялись все неравенства (1а). С этой целью,
вводя для краткости обозначения
Cn = C,ctc2 ... с„ и Cn = C,CiCt ...	+
заметим, что каждая дробь Сп меньше каждой дроби С'т (не только
при т = п, но и при т^п). Произведем теперь сечение в области
рациональных чисел: к верхнему классу А' отнесем такие рациональ¬
ные числа аГу которые больше всех Сп (например, все числа Cm),
а к нижнему А — все остальные (например, сами числа Ся). Легко
проверить, что это действительно сечение; оно определяет веществен¬
ное число а, которое и будет искомым.
Действительно, так как а является пограничным числом между
двумя классами, то, в частности,
сл^а<с;.
Отныне читатель может представлять себе вещественные числа
как бесконечные десятичные дроби. Из школьного курса известно,
что периодическая бесконечная дробь изображает рациональное число

5]	§ 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ	23
и, обратно, каждое рациональное число разлагается именно в перио¬
дическую дробь. Таким образом, изображениями вновь введенных
нами иррациональных чисел служат непериодические
бесконечные дроби. Это представление также может быть
отправной точкой для построения теории иррациональных чисел.
Замечание. В последующем нам придется пользоваться при¬
ближенными рациональными значениями а и а' к вещественному
числу а:
а а а,
разность которых меньше произвольно малого рационального числа
е^>0. Для рационального а существование чисел а и а' очевидно;
для иррационального же а в качестве а и а' можно было бы, напри¬
мер, использовать десятичные приближения Сп и Сп при достаточно
большом п.
б. Непрерывность множества вещественных чисел. Обратимся
теперь к рассмотрению одного весьма важного свойства множества
всех вещественных чисел, которое его существенно отличает от мно¬
жества чисел рациональных. Рассматривая сечения в множестве рацио¬
нальных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения в этом
множестве не находилось пограничного числа, про которое можно
было бы сказать, что оно производит сечение. Именно эта непол¬
нота множества рациональных чисел, наличие в ней этих пробе¬
лов и послужили основанием для введения новых чисел — иррацио¬
нальных. Станем теперь рассматривать сечения в множестве всех
вещественных чисел. Под таким сечением мы понимаем разбиение
этого множества на два непустых множества А, А', при котором:
1°. Каждое вещественное число попадает в одно и только одно
из множеств А, А' и, сверх того:
2°. Каждое число а множества А меньше каждого числа а'
множества А\
Возникает вопрос: всегда ли для такого сечения найдется — в мно¬
жестве вещественных чисел — пограничное число, производящее это
сечение, или и в этом множестве существуют пробелы (которые
могли бы послужить основанием для введения еще новых чисел)?
Оказывается, что на деле таких пробелов уже нет.
Основная теорема (Дедекинда). Для всякого сечения А | А'
в множестве вещественных чисел существует вещественное число
которое производит это сечение. Это число р будет: 1) либо наи¬
большим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем
классе А'.
Это свойство, множества вещественных чисел называют его пол¬
нотой, а также — непрерывностью или сплошностью.
Доказательство. Обозначим через А множество всех рацио¬
нальных чисел, принадлежащих Ау а через Л' — множество всех

24
ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[6
рациональных чисел, принадлежащих Л'. Легко убедиться, что
множества А и Аг образуют сечение в множестве всех рациональ¬
ных чисел.
Это сечение А | Л' определяет некоторое вещественное число р.
Оно должно попасть в один из классов Л, Л'; предположим, что
р попадает, например, в нижний класс Л, и докажем, что тогда осу¬
ществляется случай 1), а именно, р является в классе Л наибольшим.
В самом деле, если бы это было не так, то нашлось бы другое
число а0 этого класса, ббльшее р. Вставим (опираясь на лемму 1)
между а0 и р рациональное число г:
г принадлежит классу Л, а следовательно, также и классу Л. Мы
пришли к противоречию: рациональное число г, принадлежащее ниж¬
нему классу сечения, определяющего число р, больше этого числа!
Этим доказано наше утверждение.
Аналогичное рассуждение показывает, что если р попадает в верх¬
ний класс Л', то осуществится случай 2).
Замечание. Одновременное существование в классе Л наи¬
большего числа и в классе Л' наименьшего — невозможно; это уста¬
навливается так же, как и для сечений в области рациональных чисел
(с помощью леммы 1).
6.	Границы числовых множеств. Мы используем основную тео¬
рему [б], чтобы здесь же установить некоторые понятия, играющие
важную роль в современном анализе. Они понадобятся нам уже при
рассмотрении арифметических действий над вещественными числами.
Представим себе произвольное бесконечное множество*)
вещественных чисел; оно может быть задано любым образом. Такими
множествами являются, например, множество натуральных чисел, мно¬
жество всех правильных дробей, множество всех вещественных чисел
между числами 0 и 1, множество корней уравнения sinjc = y и т. п.
Любое из чисел множества обозначим через х, так что х есть
типовое обозначение чисел множества; само же множество чисел х
будем обозначать через SC = {х}.
Если для рассматриваемого множества {х} существует такое
число М} что все х^М, то будем говорить, что наше множество
ограничено сверху (числом Ж); само число М в этом случае
есть верхняя граница множества {лг}. Например, множество
правильных дробей ограничено сверху числом единица или любым
числом, большим единицы; натуральный ряд сверху не ограничен.
Аналогично этому: если найдется такое число ту что все х^т,
то говорят, что множество {х} ограничено снизу (числом т\
*) Все сказанное ниже сохраняет силу и для конечных множеств,
но этот случай не представляет интереса.

6)	§ 1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ	25
а само число т называют нижней границей множества {лг}.
Например, натуральный ряд ограничен снизу числом 1 или любым
числом, меньшим его; множество правильных дробей ограничено снизу
числом 0 или любым отрицательным числом.
Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом
ограничено и снизу (сверху) или нет. Так, множество правильных
дробей ограничено и сверху и снизу, а натуральный ряд ограничен
снизу, но не ограничен сверху.
Если множество сверху (снизу) не ограничено, то за его верхнюю
(нижнюю) границу принимают «несобственное число» -|- со (— оо).
Знаки -(-оо и —оо читаются так: «плюс бесконечность» и «минус
бесконечность». Относительно этих «несобственных» или «бесконеч¬
ных» чисел мы считаем, что
—	оо<^-|-оо и — оо а <^ -[- оо,
каково бы ни было вещественное («конечное») число а.
Если множество ограничено сверху, т. е. имеет конечную верхнюю
границу М, то одновременно оно имеет и бесконечное множество
верхних границ (так как, например, любое число, большее М, оче¬
видно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ осо¬
бый интерес представляет наименьшая, которую мы будем назы¬
вать точной верхней границей. Аналогично, если множество
ограничено снизу, то наибольшую из всех нижних границ будем
называть точной нижней границей. Так, для множества всех пра¬
вильных дробей точными границами будут соответственно числа
О и 1.
Возникает вопрос: всегда ли для ограниченного сверху (снизу) мно¬
жества существует точная верхняя (нижняя) граница? Действи¬
тельно, так как верхних (нижних) границ в этом случае бесконечное
множество, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется
наименьшее или наибольшее *), то самое существование такого наи¬
меньшего (наибольшего) числа из всех верхних (нижних) границ рас¬
сматриваемого множества требует доказательства.
Теорема. Если множество SV = {х} ограничено сверху (снизу),
то оно имеет и точную верхнюю (нижнюю) границу**).
Доказательство. Проведем рассуждение по отношению
к верхней границе. Рассмотрим два случая:
1°. Предположим сначала, что среди чисел х множества
найдется наибольшее X. Тогда все числа множества будут
удовлетворять неравенству x^Jdy т. е. X будет верхней границей
*) Как их нет, например, среди всех правильных дробей.
**) Эту теорему—лишь в других терминах—впервые в 1817 г. выска¬
зал чешский философ и математик Бернгард Больцано (1781—1848).
Строгое доказательство ее стало возможным лишь после уточнения поня¬
тия вещественного числа.

26
ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[6
для ЗС. С другой стороны, х принадлежит ЗС\ следовательно, для
любой верхней границы М выполняется неравенство х^М. Отсюда
заключаем, что х есть точная верхняя граница множества ЗС,
2°. Пусть теперь среди чисел х множества ЗС нет наи¬
большего. Произведем сечение в области всех вещественных
чисел следующим образом. К верхнему классу А' отнесем все верх¬
ние границы о! множества ЗС, а к нижнему классу А — все осталь¬
ные вещественные числа а. При этом разбиении все числа х мно¬
жества ЗС попадут в класс А, ибо ни одно из них — по допущению —
не будет наибольшим. Таким образом, оба класса А, Аг непусты.
Это разбиение действительно является сечением, так как все веще¬
ственные числа распределены по классам, и каждое число из класса Аг
больше любого числа из класса А. По основной теореме Дедекинда [б],
должно существовать вещественное число р, производящее сечение.
Все числа ху как принадлежащие классу А, не превосходят этого
«пограничного» числа р, т. е. р служит верхней границей для х,
следовательно, само принадлежит классу Аг и является там наимень¬
шим. Таким образом, р, как наименьшая из всех верхних границ, и
есть искомая точная верхняя граница множества ЗС = {л;}.
Совершенно так же доказывается и вторая половина теоремы
(относящаяся к существованию точной нижней границы).
Если М * есть точная верхняя граница числового множества
ЗС = {х}у то для всех х будет
х^М*.
Возьмем теперь произвольное число а, меньшее М*. Так как М* —
наименьшая из верхних границ, то число а наверное не будет верх¬
ней границей для множества ЗСУ т. е. найдется такое число хг из ЗС%
что
^>а.
Этими двумя неравенствами вполне характеризуется точная верхняя
граница М* множества ЗС.
Аналогично, точная нижняя граница т* множества ЗС характери¬
зуется тем, что для всех х
х^т*,
и,	каково бы ни было число р, ббльшее //г*, найдется число х" из
SC такое, что
*"<р-
Для обозначения точной верхней границы М* и точной нижней
границы т* множества чисел SV употребляют символы
М* = sup ЗС = sup {х}у т* = inf SC = inf {х}
(по латыни: supremum — наивысшее, infimum — наинизшее).

7)	§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 27
Отметим одно очевидное умозаключение, которое часто будет
встречаться в дальнейшем:
если все числа х некоторого множества удовлетворяют нера¬
венству х^Му то и sup {х} ^ М.
Действительно, число М оказывается одной из верхних границ
множества, а потому наименьшая из всех верхних границ его не
превосходит.
Аналогично, из неравенства х^т следует, что и mi{x}^m.
Условимся, наконец, если множество SC = {х} не ограничено
сверху, говорить, что его точная верхняя граница есть -f-oo:
sup {х} = -f- оо. Аналогично, если множество ZV = {л;} не ограни¬
чено снизу, то говорят, что его точная нижняя граница есть ;— оо:
inf {х} = — оо.
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ
ЧИСЛАМИ
7.	Определение и свойства суммы вещественных чисел. Пусть
имеем два вещественных числа а и р. Станем рассматривать рациональные
числа а, а' и Ъ, Ь\ удовлетворяющие неравенствам
Ж а < я',	(1)
Суммой а + Р чисел аир назовем такое вещественное число 7,
которое содержится между всеми суммами вида а + b, с одной стороны,
и всеми суммами вида а' + Ь' — с другой:
а + b с 7 < а1 + Ъ\	(2)
Удостоверимся, прежде всего, что такое число 7 существует для любой
пары вещественных чисел а, (3.
Рассмотрим множество всевозможных сумм а + Ь. Это множество огра¬
ничено сверху, например, любой суммой вида а' + Ь\ Положим же [6]
7 = sup {а + Ь).
Тогда а -f- b ^ 7 и, в то же время, 7 ^ а' -|- Ь\
Так как, каковы бы ни были рациональные числа а, Ь> а\ Ь\ удовлетво¬
ряющие условиям (1), всегда можно числа ау Ь увеличить, а числа а\ Ь’
уменьшить с сохранением этих условий, то в полученных только что
неравенствах, соединенных с равенствами, на деле ни в одном случае равенства
быть не может. Таким образом, число 7 удовлетворяет определению суммы.
Возникает, однако, вопрос, однозначно ли сумма 7 —а + р определяется
неравенствами (2). Для того чтобы убедиться в единственности суммы,
подберем (по замечанию в п°4) рациональные числа а, а\ b, V так, чтобы
было
а' — асе и b' — b < е,
где е—произвольно малое рациональное положительное число. Отсюда
(а' + Ь') — (а+ Ь) = (а’ — а) + (р — Ъ) < 2е,
т. е. и эта разность может быть сделана сколь угодно малой *). А тогда,
*) Число 2е становится меньше любого числа ег > 0, если взять е < ^.

28	ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	[8
по лемме 2, существует только одно число, содержащееся между
суммами a -f b и а' + Ъ\
Наконец, заметим, что если числа аир оба рациональны, то их
обычная сумма *у = а + Р» очевидно, удовлетворяет неравенствам (2).
Таким образом, данное выше общее определение суммы двух вещест¬
венных чисел не противоречит старому определению суммы двух рацио¬
нальных чисел.
Для вещественных чисел сохраняются все основные свойства слежения:
1)а + р = р + а, 2) (a + P) + T = a + ((J + 7)> 3)a + 0 = a
и,	наконец,
4) из а > р следует <* + К > Р + 7-
Их нетрудно доказать, опираясь на определение суммы, данное выше, и,
разумеется, на известные свойства рациональных чисел; останавливаться на
этом не будем. С помощью последнего свойства оправдывается почленное
складывание двух неравенств.
8.	Симметричные числа. Абсолютная величина. Докажем теперь, что
для каждого вещественного числа а существует (симметричное ему)
число — а, удовлетворяющее условию a + (— a) = 0.
При этом достаточно ограничиться случаем иррационального
числа а.
Предполагая, что число а определяется сечением Л | Л', мы определим
число — а следующим образом. К нижнему классу А числа — а мы отнесем
все рациональные числа — а\ где а' — любое число класса Л', а к верхнему
классу Л' этого числа отнесем все числа — а, где а — любое число класса Л.
Нетрудно видеть, что построенное разбиение есть сечение и, действительно,
определяет вещественное (в данном случае — иррациональное) число; это
число обозначим — а.
Установим теперь, что оно удовлетворяет указанному выше условию.
Пользуясь самим определением числа — а, видим, что сумма а + ( — а) есть
вещественное число, заключенное между числами вида а — а' и а' — а} где
а и а' рациональны и а < a < а\ Но, очевидно,
а — а' < 0 < а' — а,
так что и число 0 заключено между только что упомянутыми числами.
Ввиду единственности числа, обладающего этим свойством, имеем
« + (—®)=о,
что и требовалось доказать.
Добавим к этому, что число, симметричное данному числу, единственно
и обладает свойствами
-(_«) = .,	_(a	+	p)	=	(_a)	+ (-p).
С помощью понятия симметричного числа исчерпывается вопрос о вы¬
читан и и вещественных чисел, как о действии, обратном сложению. Назо¬
вем разностью а и р (и будем обозначать через a — р) число 7, удовлетво¬
ряющее условию
Т + Р = “ (или Р + Т = “)-
Опираясь на свойства сложения, легко показать, что таким числом будет
7 = а-)-( — р); действительно,
т + Р = 1«+ (-{*)]+ Р=° +[(-р) + р]=« +1Р + (-Р)] = “ + °=“-
Так же устанавливается и единственность разности.

&]	§	2.	АРИФМЕТИЧЕСКИЕ	ДЕЙСТВИЯ	НАД	ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 29
Свойство 4) из п° 7 позволяет теперь сделать полезное замечание
о	равносильности неравенств
а > р и а — Р>0,
а это дает возможность установить, что а>р влечет за собой — а< — р.
Наконец, с понятием симметричного числа связано и понятие абсо¬
лютной величины числа. Из самого построения симметричного числа
явствует, что при а > 0 необходимо будет — а < О, а из а < О следует
— а>0. Иными словами, если только аф 0, то из двух чисел а и —а одно
(и только одно) будет больше нуля; его именно и называют абсолютной
величиной как числа а, так и числа — а, и обозначают символом
|а| = |-а|.
Абсолютную величину числа нуль полагают равной нулю: |0|=0.
Сделаем в интересах дальнейшего еще два замечания об абсолютных
величинах.
Прежде всего, установим, что неравенство | а | < р (где, конечно, р > 0)
равносильно двойному неравенству: — р < а < р.
Действительно, из | а | < р следует, что одновременно а<р и —<* < Р,
т. е. а> —р. Обратно, если дано, что а<р и а> — р, то имеем одновре¬
менно: а < р и — а < (3; но одно из этих чисел а, — а и есть | а |, так что
наверное | а | < р.
Аналогично оказываются равносильными и неравенства
!«!<р И — р а (3.
Докажем, далее, полезное неравенство
1« + р|<|«| + |р|.
Складывая почленно очевидные неравенства
— |а|<а<|о| И — |р|<р*£|р|,
получим
_(|a| + ipix« + p<|e| + |p|,
откуда, в силу сделанного выше замечания, и вытекает требуемое неравен¬
ство.
Доказанное неравенство с помощью математической индукции распро¬
страняется на случай любого числа слагаемых. Кроме того, из него легко
получается
1* + Р1^1«1-1Р1,
а также
М-1Р1^1«-РК1«1 + 1Р1.
Так как одновременно и
IfJI-MsSla-pl,
то, очевидно,
||«|-|p||<|«-p|.
Все эти неравенства не раз будут полезны впоследствии.
9.	Определение и свойства произведения вещественных чисел.
Перейдем к умножению вещественных чисел, ограничиваясь сначала
положительными числами. Пусть даны два таких числа аир.
Мы здесь также станем рассматривать всевозможные рациональные числа,
удовлетворяющие неравенствам (1), ной эти числа предположим положи¬
тельными.

30	гл. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	[9
Произведением сф двух положительных вещественных чисел а и р
назовем такое вещественное число которое содержится между всеми
произведениями вида ab, с одной стороны, и всеми произведениями вида
а’Ь' — с другой:
ab < 7 < а'Ь\	(3)
Для доказательства существования такого числа 7 возьмем множество
всевозможных произведений ab; оно ограничено сверху любым из произ¬
ведений вида а'о\ Если положить
7 = sup {ab},
то, конечно, аЬ^ч, но одновременно и
Возможность увеличить числа а, b и уменьшить числа а\ V
(как и в случае суммы) позволяет исключить здесь знак равенства, так что
число 7 удовлетворяет определению произведения.
Единственность произведения вытекает из следующих соображе¬
ний. Подберем рациональные числа а, а' и b, Ь' так, чтобы было (см. п° 4,
замечание)
а' — асе и Ьг — Ъ < е,
где е — произвольно малое рациональное положительное число. При этом
можно считать, что числа а и b положительны, а числа а' и Ь' не превосходят
соответственно некоторых наперед фиксированных чисел а[ и bТогда
разность
a'b' — ab = a' (b' — b) -f- b (а! — а) < (aj + b'Q) е,
т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *), а этого, по лемме 2,
достаточно для утверждения, что неравенствам (3) может удовлетворять
только одно число 7.
Если положительные числа аир оба рациональны, то их о б ы ч-
н о е произведение ар удовлетворяет, очевидно, неравенствам (3), т. е. полу¬
чается таким же и по общему определению произведения двух веществен¬
ных чисел — противоречия нет.
Наконец, для того чтобы определить произведение произвольной пары
вещественных чисел (не обязательно положительных), заключим следующие
соглашения.
Прежде всего условимся, что
а • 0 = 0 • а = 0
каково бы ни было а.
Если же оба множителя отличны от нуля, то положим в основу обычное
«правило знаков»:
а . р = | а |. | р |, если аир одного знака,
а • р = — (| а | • | р |), если аир разных знаков
(что означает произведение положительных чисел | а | и | р | — мы уже
знаем).
*) Заметим, что (а'0 -f- b’Q) е становится меньшим любого числа е' > 0,
_ е'
если взять е<—
<*0 + *0

10]	§	3.	ДАЛЬНЕЙШИЕ	СВОЙСТВА	И	ПРИЛОЖЕНИЯ	ВЕЩЕСТВЕННЫХ	ЧИСЕЛ	31
Как и в случае рациональных чисел, для любых вещественных чисел
сохраняются свойства
1)о.р = р.в,	2) (оеР).7 = а-(Р--[),	3) а • 1 = а,
4)	(« + Р) • 7 = “ * Т + Э * Т.
а также
5) уз а > р и -у > 0 следует а • 7 > р • 7.
С помощью последнего свойства оправдывается почленное умножение
двух неравенств с положительными членами.
Если определить частное -|Ц- чисел а и р как такое число у, которое
удовлетворяет условию
ТР==а (илир-7 = а),
то можно установить существование и единственность част¬
ного, лишь бы только делитель р был отличен от нуля.
Заканчивая этим обзор арифметических действий над вещественными
числами, мы еще раз подчеркнем, что все основные свойства рациональных
чисел, на которых строится элементарная алгебра, имеют место и для веще¬
ственных чисел. Следовательно, для вещественных чисел сохраняют силу
все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к со¬
четанию равенств и неравенств.
§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
10.	Существование корня. Степень с рациональным показателем.
Определение умножения (и деления) вещественных чисел непосредственно
приводит, как и обычно, к определению степени с целым положительным
(и отрицательным) показателем. Переходя к степени с вообще рациональным
показателем, остановимся прежде всего на вопросе о существовании
корня.
Как мы помним, отсутствие в области рациональных чисел простейших
корней послужило одним из поводов к расширению этой области; прове¬
рим же, в какой мере произведенное расширение заполнило старые пробелы
(не создав при этом новых).
Пусть а — любое вещественное число, п — натуральное число.
Как известно, корнем я-й степени из числа а называют такое веществен¬
ное число 6, что
е» = а.
Мы ограничимся случаем, когда а положительно, и будем искать поло¬
жительное же £, удовлетворяющее этому соотношению, т. е. так называемое
арифметическое значение корня. Мы докажем, что такое число £
всегда существует, и притом только одно.
Последнее утверждение относительно единственности числа 6, впрочем,
сразу следует из того, что разным положительным числам соответствуют и
разные степени их: если 0<£<£', то 6Я<6'Я.
Если существует такое положительное рациональное число г,
п-я степень которого равна а, то оно и будет искомым числом £. Поэтому
впредь достаточно ограничиться предположением, что такого рациональ¬
ного числа нет.
Построим теперь сечение Х\ X в области всех рациональных чисел сле¬
дующим образом. К классу X отнесем все отрицательные рациональные числа
и нуль, а также те из положительных рациональных чисел х, для которых

32
ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
хп < а. К классу X отнесем положительные рациональные числа х для
которых х'п > а.
Легко видеть, что классы эти не пустые и что X содержит и поло ки
тельные числа. Если взять, например, натуральное число т так, чг» Сы
1	1	1
было — <а<т, то и подавно—^<а<тл, так что число — входит в А,
т	тп	т
а число т — в X.
Прочие требования, предъявляемые к сечению, проверяются непосрел
ственно.
Пусть теперь £ будет число, определяемое сечением Х\ X; докажем, что
= а, т. е. что 6 =* 'J/a.
Рассматривая как произведение п сомножителей, равных 6, на осно¬
вании определения произведения положительных вещественных чисел заклю¬
чаем, что, если х и х’ суть рациональные числа, для которых
О < * < е <
то
хп<Р< х,п.
Так как, очевидно, х принадлежит классу X, а х% — классу Х\ то, по опре¬
делению этих классов, одновременно и
хп < а с х'п.
Но разность х' — х может быть сделана меньшей любого числа £>0 (п° 4,
замечание), причем ничто не мешает считать х' меньшим некоторого на¬
перед фиксированного числа х'0. В таком случае разность
х’п — хп ==■ (х’ — х) (х,п~1 -f- х • х'п~2 + ... 4* лгл“1) < е • пх*~~х,
т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *). Отсюда, по лемме 2,
и следует равенство чисел и а.
После того как доказано существование корня, обычным путем уста¬
навливается понятие степени с любым рациональным показателем г и
проверяется, что для таких степеней справедливы обычные правила, выво¬
димые в курсе элементарной алгебры:
аг • аг = аг+г\ аГ : ап = а'-'7,
(aTf = аг*г\ (сфу=а''.(3'*,
/а \г аГ
(t)=f идр-
Подчеркнем еще, что при а> 1 степень аг возрастает с возраста¬
нием рационального показателя г.
11.	Степень с любым вещественным показателем. Обратимся к опре¬
делению степени любого вещественного (положительного)
числа а с любым вещественным показателем р.
Введем в рассмотрение степени числа а
аь и аь'
с рациональными показателями b и Ь\ удовлетворяющими неравенствам
*) Заметим, что число е • пх* 1 становится меньшим любого числа ё > 0,
ё
если взять ес	.
пх0

Ill $ 8. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 33
Степенью числа а > 1 *) с показателем {3 называют (и обозначают
символом ар) вещественное число содержащееся между степенями
а* и а6':
а6<Т<а6'.	(1)
Легко убедиться в том, что такое число всегда существует. Действительно,
множество степеней { аь } ограничено сверху, например, любой степенью
аь\ Возьмем тогда [6]
7 = sup { аь }.
Для этого числа будем иметь
На деле же знак равенства здесь не нужен, ввиду возможности увели¬
чить b и уменьшить так что построенное число 7 удовлетворяет
условиям (1).
Обратимся теперь к доказательству единственности числа, определяе¬
мого этими условиями.
Для этого, прежде всего, заметим, что лемма 2 п° 3 сохраняет свою
силу и в том случае, если опустить требование, чтобы числа s, s' и е были
непременно рациональными; доказательство остается то же.
Затем установим одно весьма простое, но часто полезное неравенство:
если п — натуральное число, большее единицы, и ^>1, то
К" > 1 + п (Т — 1).	(2)
Действительно, положив к —1+Х, гДе ^>0, по формуле бинома Ньютона
будем иметь
(1 + X)»=1 + /iX + ...;
так как ненаписанные члены положительны, то
(1+Х)">1 + п\,
что равносильно неравенству (2).
Положив в этом неравенстве *]( = ал (а ;> 1), получим неравенство
•	(3)
которым мы сейчас и воспользуемся.
Мы знаем (п° 4, замечание), что числа b и Ъ’ можно выбрать так, чтобы
разность Ъ' — Ь была меньше — при любом наперед заданном натураль¬
ном п; тогда, по неравенству (3),
_1_
а6' — аь = аь (а6’ ~ 6— 1) < а"(ап — 1) <; а” ■ °~1;
окончательно, если через Ь'0 обозначить какое-либо из чисел Ь\
аЬ — а? <С а
п
*) Этим случаем можно ограничиться: при а < 1 полагаем, например,
•Ч1Г
2 Г. М< Фихтенгольц, т. I

34	ГЛ.	I.	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ	ЧИСЛА	[12
Последнее выражение за счет п может быть сделано меньшим произвольно
малого положительного числа е: для этого достаточно взять
a*0 (a— 1)
п >				 .
е
В таком случае, по обобщенной выше лемме 2, между границами аь и а?
не может быть двух различных чисел 7.
Если р рационально, то данное выше определение возвращает нас к обыч¬
ному пониманию символа с^.
Легко проверить, что для степени с любым вещественным показателем
выполняются все обычные для степени правила, а также, что при а > 1 сте¬
пень а? возрастает с возрастанием вещественного показателя р.
12.	Логарифмы. Пользуясь данным определением степени с любым ве¬
щественным показателем, теперь легко установить существование логарифма
для любого положительного вещественного числа 7 при положительном осно¬
вании а, отличном от единицы (мы будем, например, считать а>1).
Если существует такое рациональное число г, что
*Г = 7,
то г и есть искомый логарифм. Предположим же, что такого рационального
числа г нет.
Тогда можно произвести сечение В | В' в области всех рациональных
чисел по следующему правилу. К классу В отнесем рациональные числа Ь,
для которых аь < 7, а к классу Вг — рациональные числа для которых
аь' > 7.
Покажем, что классы В и В' — не пустые. В силу неравенства (2)
ап > 1 -f- п (а — 1) > п (а — 1),
и достаточно взять
чтобы было «я>7; такое натуральное число п относится к классу В\ В то
же время имеем:
e-»=_L<	!
ап п(а— 1)*
и достаточно взять
1
п >		ГТ-,
7 (а— 1)
чтобы было огл<7 и число —п попало в класс В.
Остальные требования, предъявляемые к сечению, здесь также вы¬
полнены.
Построенное сечение В\ВГ определяет вещественное число р, которое
является «пограничным» между числами обоих классов. По определению сте¬
пени имеем
а6 <	<	а*'	(Ь	<	р	<	*').
причем о? есть единственное число, удовлетворяющее всем подобным
неравенствам. Но для числа 7 имеем (по самому построению сечения)
аь < 7 < «*'•
Следовательно,
“ —7 “ Р — 1оЁа 7»
существование логарифма доказано.

13]	§ 8. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 35
13.	Измерение отрезков. Невозможность снабдить, оставаясь в мно¬
жестве рациональных чисел, все отрезки длинами также была важнейшим
поводом к введению иррациональных чисел. Покажем теперь, что произве¬
денного расширения понятия числа достаточно для решения задачи из¬
мерения отрезков.
Прежде всего сформулируем самую задачу.
Требуется с каждым прямолинейным отрезком А связать некото¬
рое положительное вещественное число 1(A), которое будем называть
кдлиной отрезка А>, так, чтобы
1)	некоторый наперед выбранный отрезок Б (оталон длины*) имел
длину единица: /(£)= 1;
2)	равные отрезки имели одну и ту же длину;
3)	при сложении отрезков длина суммы всегда была равна сумме
длин складываемых отрезков:
ЦА + В) = 1(А) + 1(В)
(«свойство аддитивности»).
Поставленные условия приводят к однозначному решению задачи.
Из 2) и 3) следует, что q-я часть эталона должна иметь длину —;
если же эта часть повторена слагаемым р раз, то полученный отрезок,
в силу 3), должен иметь длину —. Таким образом, если отрезок А соиз¬
мерим с эталоном длины и общая мера отрезков А и Е укладывается
в них соответственно р и q раз, то необходимо
1(A)-L.
Легко видеть, что это число не зависит от взятой общей меры и что,
если отрезкам, соизмеримым с эталоном, приписать рациональные длины по
этому правилу, то (для этих отрезков) задача измерения будет полностью
решена.
Обращаясь к общему случаю, заметим, что если отрезок А больше
отрезка В, так что А = В + С, где С есть также некоторый отрезок, то,
в силу 3), должно быть
/(Л) = /(Я) + /(С),
и так как / (С) > 0, то / (Л) > / (В). Итак, неравные отрезки должны
иметь неравные длины, а именно, больший отрезок — ббльшую длину.
Так как каждое положительное рациональное число 2- является длиной
некоторого отрезка, соизмеримого с эталоном длины Е, то из сказанного,
между прочим, ясно, что ни один отрезок, несоизмеримый с эталоном, не
может иметь рациональную длину.
Пусть же 2! будет такой отрезок, несоизмеримый с Е. Найдется
бесчисленное множество отрезков 5 и S', соизмеримых с Е и соответственно
меньших или ббльших 2. Если положить I (5) = з, / (S') = s', то искомая
длина I (£) должна удовлетворять неравенствам
K/(S)<«' *).
Если распределить все рациональные числа на два класса S и S', отнеся
к нижнему классу S числа s (и кроме них — все отрицательные числа и нуль),
*) Разумеется, и для длины отрезка S, соизмеримого с Е, также
выполняются эти неравенства.
2*

36
ГЛ. Г. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
[13
а к верхнему классу S' — числа s', то получится сечение в множестве рацио¬
нальных чисел. Так как в нижнем классе, очевидно, нет наибольшего числа,
а в верхнем — наименьшего, то этим сечением определяется иррацио¬
нальное число а, которое и будет единственным вещественным числом,
удовлетворяющим неравенствам s<o<s'. Именно этому числу необхо¬
димо положить равной длину I (£).
Предположим теперь, что всем отрезкам, как соизмеримым с £, так и
несоизмеримым, приписаны длины в согласии с указанными правилами. Вы¬
полнение условий 1), 2) очевидно.
Рассмотрим два отрезка Р, 2 с длинами
и их сумму Т = Р + Е, длину которой обозначим через т = /(Т). Взяв любые
положительные рациональные числа г, г', s, s' такие, что
построим отрезки R, /?', S, S', для которых именно эти числа соответ¬
ственно служат длинами. Отрезок + 5 (длины r + s) будет меньше Т,
а отрезок /?' + S' (длины г' + 5') — больше Т. Поэтому
Но [7] единственным вещественным числом, содержащимся между числами
вида г + s *) и числами г' + s', является сумма р + Следовательно, т = р + о,
что и требовалось доказать.
Распространение «свойства аддитивности» на случай любого конечного
числа слагаемых производится по методу математической индукции.
Если на оси (направленной прямой) (рис. 1) выбрать начальную
точку О и эталон длины Е, то каждой точке X этой прямой отвечает
некоторое вещественное число — ее абсцисса х> равная длине отрезка ОХ,
если X лежит в положительном направлении от О, или этой длине со знаком
минус—в противном случае.
Естественно встает вопрос, будет ли верно и обратное: каждое ли ве¬
щественное число х отвечает при этом некоторой точке прямой?
Вопрос этот в геометрии решается в утвердительном смысле, именно с по¬
мощью аксиомы о непрерывности прямой, устанавливающей для прямой, как
множества точек, свойство, аналогичное свойству непрерывности множества
вещественных чисел [п° 5].
Таким образом, между всеми вещественными числами и точками направ¬
ленной прямой (оси) можно установить взаимно однозначное соответствие.
Вещественные числа можно изображать точками на оси, которую в связи
с этим называют числовой осью. Подобным изображением мы впредь посто¬
янно будем пользоваться.
р=цр), «=/(1)
Г < р < Г', S < а < s',
г + s < х < г' 4" s'-
О	/?
Ж^7~2Г' Вт
U	г
	X
Рис, 1.
*) Ограничение положительными числами г и s, конечно,
несущественно.

ГЛАВА ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
14.	Переменная величина. При исследовании явлений природы
и в своей практической деятельности человек сталкивается с множе¬
ством различных физических величин; сюда относятся время, длина,
объем, скорость, масса, сила, и т. п. Каждая из них, в зависимости
от условий вопроса, в котором она рассматривается, принимает либо
различные значения, либо лишь одно. В первом случае мы имеем
дело с переменной величиной, а во втором — с постоянной.
Если выбрать определенную единицу измерения (как мы это де¬
лали, например, в п° 13, говоря о длине), каждое значение величины
можно выразить числом. Математика обычно отвлекается от физиче¬
ского смысла рассматриваемых величин, интересуясь лишь именно их
численными значениями. Вот что говорит об этом закономерном про¬
цессе отвлечения Ф. Энгельс*). Констатируя, что «математика имеет
своим объектом пространственные формы и количественные отноше¬
ния действительного мира», Энгельс продолжает далее:
«Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения
в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содер¬
жания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное;
таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишен¬
ные толщины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и пере¬
менные величины...»
Введение в математику переменной величины — его обычно связы¬
вают с именем Декарта — было событием огромной важности. Мате¬
матика получила возможность не только устанавливать количествен¬
ные соотношения между постоянными величинами, но и изучать
протекающие в природе процессы, в которых участвуют и переменные
величины. Ф. Энгельс **) подчеркивает это в следующих словах:
«Поворотным пунктом в математике была декартова переменная
величина. Благодаря этому в математику вошли движение и
*) Ф. Энгельс, «Анти-Дюринг>, изд. 1952 г., стр. 37.
**) Ф. Энгельс, «Диалектика природы», изд. 1952 г., стр. 206.

38
ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[15
диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым
дифференциальное и интегральное исчисление...»
15.	Область изменения переменной величины. В математическом
анализе — если только речь не идет об его приложениях — пол пере¬
менной величиной (или короче — переменной) разумеется отвле¬
ченная или числовая переменная. Ее обозначают каким-либо
символом (буквой, например х), которому приписываются число¬
вые значения. Переменная х считается заданной, если указано мно¬
жество SV — {х} значений, которые она может принимать. Это мно¬
жество и называется областью изменения переменной х. Вообще,
областью изменения переменной может служить любое числовое мно¬
жество.
Постоянную величину (короче — постоянную) удобно рассматри¬
вать как частный случай переменной: он отвечает предположению,
что множество 3? = {х) состоит из одного элемента.
Мы видели в п° 13, что числа геометрически истолковываются
как точки на оси. Область изменения переменной х на этой оси
изображается в виде некоторого множества точек. В связи с этим
обычно сами числовые значения переменной называют точками.
Часто приходится иметь дело с переменной п, принимающей все¬
возможные натуральные значения
1, 2, 3, ..., 100, 101, ...;
область изменения этой переменной, т. е. множество {п} всех нату¬
ральных чисел, мы будем всегда обозначать через off.
Однако обычно в анализе изучаются переменные, изменяющиеся, как
говорят, непрерывным или сплошным образом: их прообразом
являются физические величины — время, путь, проходимый движущейся
точкой, и т. п. Областью изменения подобной переменной служит
числовой промежуток. Чаще всего это будет конечный про¬
межуток, ограниченный двумя вещественными числами а иЬ (а<^Ь) —
его концами, которые сами могут быть включены в его состав или
йет. В зависимости от этого мы будем различать
замкнутый промежуток [а> b]: а^х^Ь (оба конца включены);
( (а, Ь\. а<^х^.Ь (лишь один ко-
полуоткрытые промежутки | ^ ^ а<х<ь 'нец включен);
открытый промежуток (а, Ь): а<^х<^Ь (ни один конец не
включен).
Длиной промежутка во всех случаях называется число Ъ — а.
Геометрическим аналогом числового промежутка является, как
легко понять, отрезок числовой оси, причем — в зависимости от типа
промежутка — и к отрезку концы его приключаются или нет.
Приходится рассматривать и бесконечные промежутки, у кото¬
рых одним из концов или обоими служат «несобственные» числа — оо,

161	§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ	39
+ оо. Обозначения их аналогичны приведенным выше. Например,
(—оо, -j-oo) есть множество всех вещественных чисел; (а, +оо)
означает множество чисел ху удовлетворяющих неравенству х^>а;
промежуток (—оо, Ь] определяется неравенством х^Ь. Геометрически
бесконечные промежутки изображаются в виде бесконечной в обе
стороны прямой или луча.
16.	Функциональная зависимость между переменными. При¬
меры. Предметом изучения в математическом анализе является, однако,
не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость
между двумя или несколькими переменными при их совместном
изменении. Здесь мы ограничимся простейшим случаем двух пере¬
менных.
В различных областях науки и жизни — в самой математике,
в физике, в технике — читатель не раз встречал такие совместно
изменяющиеся переменные. Они не могут одновременно прини¬
мать любые значения (из своих областей изменения): если одной из
них (независимой переменной) придано конкретное значение,
то этим уже определяется и значение другой (зависимой пере¬
менной, или. функции). Приведем несколько примеров.
1)	Площадь Q круга есть функция от его радиуса R; ее значе¬
ние может быть вычислено по заданному значению радиуса с помощью
известной формулы
Q = *R\
2)	В случае свободного падения тяжелой материальной точки — при
отсутствии сопротивления — время Цсек), отсчитываемое от начала
движения, и пройденный за это время путь 5 (м) связаны уравнением
где £=9,81 м/сек9 есть ускорение силы тяжести. Отсюда и опре¬
деляется значение st соответствующее взятому моменту t: путь s
является функцией от протекшего времени t.
3)	Рассмотрим некоторую массу (идеального) газа, содержащуюся
под поршнем цилиндра. В предположении, что температура сохра¬
няется неизменной, объем V(/i) и давление р(атм) этой массы газа
подчиняются закону Бойля — Мариотта:
р V = с = const.
Если произвольно изменять V\ то р как функция от V будет всякий
раз однозначно определяться по формуле
Заметим тут же, что самый выбор независимой переменной из
числа двух рассматриваемых иногда бывает безразличен или связан

40
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[17
с соображениями простого удобства. В большинстве же случаев он
диктуется целенаправленностью производимого исследования. Так,
в последнем примере мы могли бы быть заинтересованы в зависимо¬
сти объема V от переменного внешнего давления р на поршень (пере¬
дающегося газу); тогда ее естественно было бы написать в виде
считая р независимой переменной, а V—функцией от р.
Функциональная зависимость в иных случаях характеризует про¬
цесс, реально протекающий во времени, — особенно, если, как в при¬
мере 2), само время является независимой переменной. Однако было
бы ошибкой думать, что всегда изменение переменных связано с тече¬
нием времени. В примере 1), изучая зависимость площади круга от
его радиуса, мы не имели перед собой никакого временнбго процесса.
17.	Определение понятия функции. Отвлечемся теперь, как
обычно, от физического смысла рассматриваемых величин и дадим
точное общее определение понятия функции — одного из основных
понятий математического анализа.
Пусть даны две переменные х и у с областями изменения Э? и
Предположим, что по условиям вопроса переменной х может быть
приписано произвольное значение из области без каких-либо огра¬
ничений. Тогда переменная у называется функцией от пере¬
менной х в области ее изменения SV, если по некоторому пра¬
вилу или закону каждому значению х из SV ставится в соответ¬
ствие одно определенное значение у (из У).
Независимая переменная х называется также аргументом функции.
В этом определении существенны два момента: во-первых, ука¬
зание области изменения аргумента х (ее называют также областью
определения функции) и, во-вторых, установление правила или
закона соответствия между значениями х и у. (Область У изменения
функции у обычно не указывается, поскольку самый закон соответ¬
ствия уже определяет множество принимаемых функцией значений.)
Можно в определении понятия функции стать на более общую
точку зрения, допуская, чтобы каждому значению х из SV отвечало
не одно, а несколько значений у (и даже бесконечное множество их).
В подобных случаях функцию называют многозначной, в отли¬
чие от однозначной функции, определенной выше. Впрочем,
в курсе анализа, стоящем на точке зрения вещественной переменной,
избегают многозначных функций, и впредь, говоря о функции, если
не оговорено противное, мы будем разуметь однозначную функцию.
Для указания того факта, что у есть функция от х, пишут:
	У =/(*)> У = ?(х), у = F(x) и т. п.*)
*) Произносится эта запись следующим образом: «игрек равно эф от
икс», «игрек равно фи от икс» и т. д.

171
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
41
Буквы /, <р, F, ... характеризуют именно то правило, по которому
получается значение у, отвечающее заданному х. Поэтому, если одно¬
временно рассматриваются различные функции от одного и
того же аргумента х, связанные с различными законами
соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.
Хотя именно буква «эф» (в различных алфавитах) связана со
словом «функция», но для обозначения функциональной зависимости,
разумеется, может применяться и любая другая буква; иногда даже
повторяют ту же букву у: у=у(х). В некоторых случаях пишут
аргумент и в виде значка при функции, например ух.
Если, рассматривая функцию, скажем, y=f(х), мы хотим от¬
метить ее частное значение, которое отвечает выбранному частному
значению х, равному х$, то для обозначения его употребляют символ
f(x0). Например, если
/И=ттт*’ *(9=-т» h(u)=VT=l?,
то /(1) означает численное значение функции f{x) при х—\у т. е.
попросту число у, аналогично, g*(5) означает число 2, h ^—
4
ЧИСЛО т и т. п.
О
Обратимся теперь к самому правилу, или закону соответ¬
ствия между значениями переменных, которое составляет сущность
понятия функциональной зависимости. Правило это может быть весьма
разнообразной природы, поскольку оно ничем не было ограничено.
Наиболее просто и естественно осуществление этого правила
с помощью формулы, которая представляет функцию в виде ана¬
литического выражения, указывающего те аналитические операции
или действия над постоянными числами и над значением х, которые
надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у. Этот
аналитический способ задания функции является наиболее
важным для математического анализа (мы еще вернемся к нему
в следующем номере). С ним читатель всего лучше знаком из
школьного курса математики; наконец, именно аналитическим способом
мы пользовались в приведенных в п°16 примерах.
Однако было бы ошибочным думать, что это — единственный
способ, которым может быть задана функция. В самой математике
нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы.
Такова, например, функция Е{х) — «целая часть числа х» *). Легко
сообразить, что
£(1)=1, Е(2,5) = 2, £(|/‘13) = 3,	Я(—1г)= —4ит. д„
хотя никакой формулы, выражающей Е(х), у нас нет.
*) Или точнее — наибольшее целое число, не шэевосходящее х (Е есть
начальная буква от французского слова entier, обозначающего <целый>).

42
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[18
В естественных науках и в технике зависимость между величинами
часто устанавливается экспериментально или путем наблюдений. На¬
пример, если подвергнуть воду произвольно выбранному давлению
р(атм\ то на опыте можно определить соответствующую ему тем¬
пературу 0° С кипения воды: б есть функция от р. Однако эта
функциональная зависимость задается не какой-либо формулой,
а лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опыта
данные. Примеры табличного способа задания функции легко найти
в любом техническом справочнике. Неудобство его заключается в том,
что он дает значения функции лишь для некоторых значений аргу¬
мента.
Наконец, упомянем еще, что в некоторых случаях — при помощи
самопишущих приборов — функциональная зависимость между физи¬
ческими величинами задается непосредственно графиком. Например,
«индикаторная диаграмма», снимаемая при помощи индикатора, дает
зависимость между объемом V и давлением р пара в цилиндре
работающей паровой машины; «барограмма», доставляемая барогра¬
фом, представляет суточный ход атмосферного давления и т. п.
Разумеется, такой способ задания позволяет определять значения
функции лишь приближенно.
Мы не входим в подробности относительно табличного и графи¬
ческого способов задания функциональной зависимости, так как ими
в математическом анализе не приходится пользоваться.
18.	Аналитический способ задания функции» Сделаем ряд
разъяснительных замечаний в связи со способом задания функции
аналитическим выражением или формулой, который
играет в математическом анализе исключительно важную роль.
1°. Прежде всего, какие аналитические операции или
действия могут входить в эти формулы? На первом месте здесь
разумеются все изученные в элементарной алгебре и тригонометрии
операции: арифметические действия, возвышение в степень (и извле¬
чение корня), логарифмирование, переход от углов к их триго¬
нометрическим величинам и обратно (см. ниже § 2). Однако, и
это важно подчеркнуть, к их числу по мере развития наших
сведений по анализу будут присоединяться и другие операции, в пер¬
вую голову — предельный переход, которому посвящена глава III.
Таким образом, полное содержание термина «аналитическое вы¬
ражение» или «формула» будет раскрываться лишь постепенно.
2°. Второе замечание относится к области определения
функции аналитическим выражением или формулой.
Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент х, имеет,
так сказать, естественную область применения: это множество
всех тех значений х, для которых оно сохраняет смысл, т. е.
имеет вполне определенное, конечное, вещественное значение.
Разъясним это на простейших примерах.

181
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
43
Так, для выражения . -Л-у такой областью будет все множество
1	~г х
вещественных чисел. Для выражения У~I — лга эта область сведется
к замкнутому промежутку [ — 1,	1 ], за пределами которого
значение его перестает быть вещественным. Напротив, выражению
у ^ - у придется в качестве естественной области применения от¬
нести открытый промежуток (—1, 1), ибо на концах его знамена¬
тель обращается в нуль. Иногда область значений, для которых вы¬
ражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков:
для У х* — 1 это будут промежутки (— оо, —1] и [1,-f-oo), для
X» к'Г ~ промежутки ( —оо, —1), (—1, 1) и (1, -j-оо) и т. д.*).
В последующем изложении нам придется рассматривать как более
сложные, так и более общие аналитические выражения, и мы не раз
будем заниматься исследованием свойств функций, задаваемых подоб¬
ным выражением во всей области, где оно сохраняет смысл, т. е.
изучением самого аналитического аппарата.
Однако возможно и другое положение вещей, на что мы считаем
нужным заранее обратить внимание читателя. Представим себе, что
какой-либо конкретный вопрос, в котором переменная х по су¬
ществу дела ограничена областью изменения привел к рас¬
смотрению функции f(x)y допускающей аналитическое выражение.
Хотя может случиться, что это выражение имеет смысл и вне обла¬
сти 2С> выходить за ее пределы, разумеется, все же нельзя. Здесь
аналитическое выражение играет подчиненную, вспомогательную
роль.
Например, если, исследуя свободное падение тяжелой точки с вы¬
соты А над поверхностью Земли, мы прибегнем к формуле
[16,2)], то нелепо было бы рассматривать отрицательные значения t
или значения tt ббльшие, чем Г=	ибо, как легко видеть,
при t=T точка уже упадет на Землю. И это несмотря на то, что
1
само выражение сохраняет смысл для всех вещественных t
3°. Может случиться, что функция определяется не одной и той
же формулой для всех значений аргумента, но для одних — одной
формулой, а для других — другой. Примером такой функции в
*) Для нас, разумеется, не представляют интереса такие выражения,
которые ни при одном значении х вообще не имеют смысла.

44
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
119
промежутке (— оо, +оо) может служить функция, определяемая
следующими тремя формулами:
/(*)== 1, если | лг |^> 1 (т. е. если х^>1 или х<^—1),
/(х)=—1, если \х\<^1 (т. е. если —
и,	наконец,
f{x) = 0, если х = ± 1.
Впрочем, не следует думать, что есть принципиальная раз¬
ница между функцией, задаваемой одной формулой для всех значений
Ху и функцией, определение которой использует несколько формул.
Обычно функция, задаваемая несколькими формулами (правда, ценой
некоторого усложнения выражения), может быть задана и одной.
В частности, это справедливо относительно приведенной выше функ¬
ции [см. п°43,5)]. В последующем мы не раз будем встречать при¬
меры того же рода.
19.	График функции. Хотя в математическом анализе функции
графически не задают, но к графической иллюстрации
функции прибегают всегда. Легкая обозримость и наглядность графи¬
ка делают его незаменимым вспомогательным средством исследования
свойств функции.
Пусть в некотором промежутке £С задана функция y=f(x).
Представим себе на плоскости две взаимно перпендикулярные оси
координат — ось х и ось у.
Рассмотрим пару соответству¬
ющих значений х и у, где х
взято из промежутка Э£у а
yz=f(x); образом этой пары
на плоскости служит точка
М (Ху у) с абсциссой х и орди¬
натой у. Совокупность всех
таких точек, получающихся при
изменении х в пределах своего
промежутка, составляет гра¬
фик функции, который и яв¬
ляется ее геометрическим обра¬
зом. Обыкновенно график пред¬
ставляет собой кривую вроде
кривой Л В на рис. 2. В этих условиях само уравнение y=f(x) на¬
зывают уравнением кривой А В.
Например, на рис. 3 и 4 изображены графики функций
y = ±V 1—Xs
(W«si)
I
1
| !
X 1
х 1
/ 1
1
1
1
1
1
1
я
/ 1
7 1
Г 1
1
I
I
1
1
1
1
1
!>	—м ■ . <!
1
	1—,
О абсциссах
г
Рис. 2.
и	у = ±Улг9 — 1;
(1*1^1)

19]
8 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
45
читатель узнает в них окружность и равнобочную гиперболу. Много
других примеров графического изображения функций читатель най¬
дет в ближайших номерах.
Строится график обычно по точкам. Берут в промежутке SC ряд
близких между собой значений х, вычисляют по формуле y=f(x)
соответствующие значения у:
X=xt\x%\...\xn
У=Ух 1л|...1л
и наносят на чертеж точки
(*i. У0>	С**	-У*)» .... С*я» Уп)-

46
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[20
Через эти точки от руки или с помощью лекала проводят кривую,
которая (конечно, лишь с некоторым приближением) и дает искомый
график. Чем плавнее ход графика и чем гуще взяты точки на нем,
тем точнее начерченная кривая воспроизводит этот график.
Следует заметить, что хотя геометрический образ функции всегда
можно себе «представить», но не всегда этот образ будет кривой в
обычном, интуитивном смысле.
Построим, например, график функции у = Е(х). Так как в про¬
межутках ..., [ — 2,	—1),	[ — 1, 0),	[0,	1),	[1, 2),	[2, 3), ...
функция сохраняет постоянные значения ..., — 2,— 1, 0, 1, 2,..., то
график будет состоять из ряда отдельных горизонтальных отрезков,
лишенных своих правых концов (рис. 5)*).
20,	Функции натурального аргумента. До сих пор мы рассма¬
тривали исключительно примеры функций непрерывно изменяющегося
аргумента, значения которого заполняли сплошной промежуток.
Остановимся теперь на принципиально более простом (но не менее
важном) случае функции /(я) аргумента п, пробегающего лишь ряд
©1ST натуральных значений. Функции натурального аргу¬
мента будут играть в дальнейшем особую роль.
В обозначении такой функции часто отступают от обычного функ¬
ционального обозначения и вместо f(n) пишут какую-нибудь букву
с указателем п внизу, например хп. Если заменить этот ука¬
затель (который — напомним это — является здесь независимой
переменной) конкретным натуральным числом, например 1, 23,
518 ..., то xlt х23, л;в18, ... будут соответствующими числовыми
значениями функции хп — наподобие того, как /(1), /(23), /(518), ...
означали числовые значения функции /(я).
*) Это обстоятельство символизируется стрелками, которые своими
остриями указывают на точки, не принадлежащие графику.

201
s 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
47
В согласии с общим определением, функция хп считается за¬
данной, если мы владеем правилом, по которому может быть
вычислено любое ее значение, лишь только указано значение п.
Обычный случай — это тот, когда функция хп задается форму¬
лой, устанавливающей, какие аналитические операции надлежит про¬
извести над переменным натуральным числом п (и над постоянными),
чтобы получить соответствующее значение функции. Примеры:
п2 — п + 2	п	,
*» = 3F+2^=4’ ап = Ч > А = log л ит. п.
Но, разумеется, и в рассматриваемом здесь случае функция
может быть задана любым другим правилом. В виде примера упо¬
мянем о «факториале числа я»:
п\ = 1 • 2 • 3 • ... • л,
а также о функции т (л), представляющей число делителей числа л,
или о функции <р(л), указывающей, сколько в ряду 1, 2, 3, ..., п
имеется чисел, взаимно простых с п. Несмотря на своеобразный
характер правил, которыми задаются эти функции, они позволяют
вычислять значения функций с такой же определенностью, как и
формулы:
х (10) = 4,	т(12) = 6,	т (16) = 5, ...
Т(10)= 4,	9(12) = 4,	9(16) = 8, ...
Еще пример: представим себе десятичные приближения (скажем,
по недостатку) для У 2 со все возрастающей точностью:
1,4;	1,41;	1,414;	1,4142; ...
Зная правило для приближенного вычисления корней, мы вправе считать
вполне определенной функцию, равную приближенному значению
упомянутого корня с точностью до хотя общего выражения для
этого приближения мы не имеем.
В школьном курсе математики читателю не раз приходилось
встречаться с функциями натурального указателя. Если задана бес¬
конечная геометрическая прогрессия
4га, aq, aq\ ...,
то функцией указателя п является и общий член этой прогрессии
an = e?n_1
и сумма п членов прогрессии

48	ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПВРЕМЕННОЙ	[21
В связи с определением длины окружности и площади круга,
обычно рассматриваются правильные вписанные в окружность много¬
угольники, получаемые из вписанного шестиугольника последователь¬
ным удвоением числа сторон. Сторона такого многоугольника, его
апофема, периметр и площадь — все являются функциями натураль¬
ного указателя п, если за п принять попросту число повторений
процесса удвоения.
21.	Исторические замечания. Самый термин «функция» появился
в одной работе Лейбница*) в 1692 г., а затем применялся братьями Якобом
и Иоганном Бернулли *•) для характеристики различных отрезков, так или
иначе связанных с точками некоторой кривой. В 1718 г. Иоганн Бернулли
впервые дает определение функции, свободное от геометрических представ¬
лений. Его ученик Эйлер ***) в своем учебнике «Введение в анализ беско¬
нечно малых» (1748), по которому учились целые поколения математиков,
воспроизводит определение Бернулли, несколько его уточняя:
«Функция переменного количества есть аналитическое выражение, со¬
ставленное каким-либо образом из этого переменного количества и из чисел
или постоянных количеств» ****).
Как видим, в этом определении функция попросту отождествляется
с тем аналитическим выражением, которым она задается.
Наряду с «явными» функциями, Эйлер рассматривал и «неявные», опре¬
деляемые неразрешенными уравнениями. В то же время — в связи с знаме¬
нитой задачей о колебании струны (о которой подробно будет рассказано
во втором томе) — Эйлер считал возможным допустить в анализ не
только «смешанные» функции, которые в разных частях промежутка за¬
даются различными аналитическими выражениями [ср. п° 18, 3е], но даже
функции, определяемые произвольно начерченными графиками. В предисло¬
вии к его «Дифференциальному исчислению» (1755 г.) мы находим еще более
общую, хотя и менее определенную формулировку:
«Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при
изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые на¬
зываются функциями вторых» **♦**).
В течение ряда десятилетий существенного прогресса в определении
понятия функции не было. Обычно приписывают Дирихле ******) заслугу
выдвижения на первый план идеи соответствия, которая единственно
и лежит в основе этого понятия.
*) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — знаменитый не¬
мецкий философ и математик. Он разделяет с Ньютоном заслугу создания
дифференциального и интегрального исчисления (см. исторический очерк
в главе XIV).
**) Якоб Бернулли (1654—1705) и Иоганн Бернулли (1667—
1748) принадлежали знаменитой в истории математики семье голландского
происхождения; оба были сподвижниками Лейбница и много способствовали
(особенно младший из них) распространению нового исчисления.
***) Леонард Эйлер (1707—1783) — выдающийся математик; швей¬
царец по происхождению, он большую часть своей сознательной жизни про¬
вел в России и состоял членом Петербургской Академии наук.
#***) Имеется русский перевод тома I упомянутого сочинения (в ори¬
гинале написанного по-латыни), 1936 г.; см. стр. 30.
*****) см> русский перевод «Дифференциального исчисления», 1949 г.,
стр. 38.
******) Петер Густав Л е ж е н-Д и р и х л е (1805—1859) — выдающийся
немецкий математик.

22]
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
49
В 1837 г. он дал такое определение функции у от переменной х
(в предположении, что последняя принимает все значения в некотором про¬
межутке):
«Если каждому х отвечает единственное конечное у ..., то у назы¬
вается ,.. функцией от х для этого промежутка. При этом вовсе нет необ¬
ходимости, чтобы у во всем этом промежутке зависело от х по одному и
тому же закону, и даже не обязательно представлять себе зависимость,
выряжаемую с помощью математических операций».
Это определение (несмотря на умаляющие его общность оговорки
автора) сыграло важную роль в истории математического анализа.
Долгое время оставалось незамеченным, что Лобачевский *) высказал
эту идею не только раньше, но и в безупречной форме. Примыкая пона¬
чалу к точке зрения Эйлера, Лобачевский постепенно отходит от нее и
в своей работе «Об исчезании тригонометрических строк» (1834 г.) уже
определенно говорит:
«Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое
дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функ¬
ции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, кото¬
рое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или,
наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной» **).
Заметим в заключение, что привычное для нас обозначение функции —
/ (л;) — принадлежит Эйлеру.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
22.	Элементарные функции. Перечислим здесь некоторые классы
функций, получивших название элементарныхг.
1°. Целая и дробная рациональные функции. Функция, пред¬
ставляемая целым относительно буквы х многочленом
у = а^сп-)--}- ... CLn_xxап
(а0, alt аь ... — постоянные), называется целой рациональной
функцией.
Отношение двух таких многочленов
  аохП ~Ь	• ♦ * + ап-\х ап
У	box'* + blXm-1 + ... + bm_tX + bm
представляет дробную рациональную функцию. Она опре¬
делена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знамена¬
тель в нуль.
Для примера на рис. 6 даны графики функции у = ах* (пара¬
болы) при различных значениях коэффициента а, а на рис. 7 — гра¬
фики функции У = ~ (равнобочные гиперболы) также при
различных значениях а.
*) Николай Иванович Лобачевский (1793—1856) — великий рус¬
ский математик, прославившийся созданием неэвклидовой геометрии.
**) Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений, т. V (1951),
стр. 43.

60
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
122
2°. Степенная функция. Так называется функция вида
где р. — любое постоянное вещественное число. При целом р полу¬
чается рациональная функция. При jx дробном мы имеем здесь ра¬
дикал. Например, пусть т — на¬
туральное число и
\_
У=хт = т/х.
Эта функция определена для всех
значений х, если т — нечетное,
и лишь для неотрицательных зна¬
чений — при т четном (в этом
Рис. 6.
Рис. 7.
случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала). Наконец,
если [х — иррациональное число, мы будем предполагать л;^>0
(jt = 0 допускается лишь при |х^>0).
На рис. 8 и 9 даны графики степенной функции при различных
значениях [х.
3°. Показательная функция, т. е. функция вида
У = а*,
где а — положительное число, отличное от единицы; х принимает
любое вещественное значение.
Графики показательной функции при различных значениях а даны
на рис. 10.

22J	§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ	Oi
4°. Логарифмическая функция, т. е. функция вида
y = l0gax*)>
где а, как и выше, — положительное число (отличное от единицы);
х принимает лишь положительные значения.
На рис. 11 даны графики этой функции при различных значе¬
ниях а.
*) Обозначение log* мы сохраняем для десятичных логарифмов:
log х = log10 х%

52	ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	123
5°. Тригонометрические функции:
У	==z sin Ху у = cos х, y = tgx, y = dgx,
у = sec ху у = csc х.
Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы тригоно¬
метрических функций, если их рассматривать как мери углов,
всегда выражают эти углы в радианах (поскольку не оговоре¬
но противное). Для tgx и secjc исключаются значения вида (2А —(— 1)
а для с tgx и csc х — значения вида kiи (k — целое).
Графики функций у= sin х (cos х) и y = tgx (ctgjc) даны на
рис. 12 и 13. График синуса обычно называют синусоидой.
23.	Понятие обратной функции. Прежде чем перейти к обрат¬
ным тригонометрическим функциям, сделаем пояснение относительно
обратных функций вообще.

23]
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
53
Предположим, что функция у = f{x) задана в некоторой области
и пусть У будет множество всех значений, которые эта функция
принимает, когда х изменяется в пределах области 3?. В нашей прак¬
тике как 5V, так и обычно будут представлять собою промежутки.
Выберем какое-нибудь значение у=уь из области 3^; тогда
в области 3? необходимо найдется такое значение х — х0у при кото¬
ром наша функция принимает именно значение у0, так что
/(лго)=_у„;
подобных значений х0 может оказаться и несколько. Таким образом,
каждому значению у из 2^ ставится в соответствие одно или несколько
значений х; этим определяется в области У однозначная или
многозначная функция x = g(y\ которая и называется обратной
для функции y=f(x).
Рассмотрим примеры.
1.	Пусть у = ах(а^> 1), где х изменяется в промежутке
X = (— оо, + оо). Значения у заполняют промежуток У = (0, оо),
причем каждому у из этого промежутка отвечает, как мы знаем [12],
в 3? одно определенное x = logay. В этом случае обратная функ¬
ция оказывается однозначной.
2.	Наоборот, для функции у=хг2, если х изменять в промежутке
SC — (—оо, °°)> обратная функция будет двузначной: каждому
значению у из промежутка = [0, -|- оо) отвечают два значения
х=±Уу из Ж. Вместо этой двузначной функции обычно рас¬
сматривают раздельно две однозначные функции х — -\-У~у и
х = — Vy («ветви» двузначной функции). Их можно порознь также
считать обратными для функции у = х\ в предположении лишь, что
область изменения х ограничена соответственно промежутком [0, -j- оо)
или промежутком (—оо, 0].
Заметим, что по графику функции y=f(x) легко сообразить,
будет ли обратная для нее функция x = g(y) однозначной или нет.
Первый случай представится, если любая прямая, параллельная оси х,
пересекает этот график разве лишь в одной точке. Наоборот, если
некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках,
обратная функция будет многозначной. В этом случае по графику же
легко разбить промежуток изменения х на части так, чтобы каждой
части уже отвечала однозначная «ветвь» этой функции. Например,
по одному взгляду на параболу рис. 14, которая служит графиком
функции у = х\ ясно, что обратная ей функция двузначна и что для
получения однозначных «ветвей» достаточно раздельно рассматривать
правую и левую части этой параболы, т. е. положительные и отри¬
цательные значения х *).
*) Ниже [71] мы вернемся еще к вопросу о существовании и однознач¬
ности обратной функции.

54
ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[24
Если функция x = g(y) является обратной для функции y=f(x)y
то, очевидно, графики обеих функций совпадают. Можно, однако,
потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался
буквой ху т. е. вместо функции x = g(y) рассматривать y = g(x).
Тогда лишь придется горизонтальную ось назвать осью у, а верти¬
кальную— осью х; график все еще останется прежним. Если же
пожелать, чтобы (новая) ось х была бы, как привычно, горизонталь¬
ной, а (новая) ось у — вертикальной, то эти оси нужно будет пере¬
ставить одну на место другой, что уже изменит и график. Для осу¬
ществления этого проще всего по¬
вернуть плоскость чертежа хОу
на 180° вокруг биссектрисы пер¬
вого координатного угла (рис. 15).
Таким образом, окончательно, график y — g(x) получается как
зеркальное отражение графика y=f (x) относительно этой биссек¬
трисы. По рис. 10 и 11, например, сразу видно, что они именно
так получены один из другого. Точно так же, исходя из высказан¬
ных соображений, легко объяснить симметричность (относительно
биссектрисы) каждого из рис. 8 и 9.
24.	Обратные тригонометрические функции. В дополнение
к тем классам элементарных функций, которые были упомянуты
в п°22, рассмотрим теперь
6°. Обратные тригонометрические функции:
j/ = arcsinje, jj = arccos.*r, у = arctg at,
у = arcctg х (у = arcsc х, у = arccsc л;).
Остановимся сначала на первой из них. Функция у = sin х опре¬
делена в промежутке SV = ( — оо, +°°)> причем ее значения запол¬
няют сплошь промежуток 5^ = [ — 1, 1]. Параллель оси х пересекает
синусоиду, т. е. график функции у = sinх (рис. 12), в бесконеч¬
ном множестве точек; иначе говоря, каждому значению у из

241
$ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
55
промежутка!—1, 1] отвечает бесконечное множество значе¬
ний лг. Поэтому обратная функция, которую обозначают так:
х = Arcsin у*),
будет (бесконечно-) многозначной.
Обычно рассматривают лишь одну «ветвь»
этой функции, отвечающую изменению х
между—у и у. Каждому у из [—1, 1]
в этих пределах отвечает одно значение х\
его обозначают через
jc = arcsin у
и называют главным значением аркси¬
нуса.
Поворачивая синусоиду около биссек¬
трисы первого координатного угла, получаем
график (рис. 16) многозначной функ¬
ции у = Arcsin х; жирно выделен график
главной ветви ее у = arcsinх, которая
однозначно определена в промежутке
[—1, 1] значений л; и притом удовлетворяет
неравенству
TZ
2"
—	-гг arcsin х^-гг
которое характеризует ее среди других
ветвей.
Вспоминая из элементарной тригономет¬
рии, как выражаются все значения угла,
имеющего данный синус, через одно из этих
значений, легко написать формулы, дающие
все значения арксинуса:
Arcsin х = arcsin х -f- 2 k%
или (2£-j-l)rc — arcsin x
(A = 0, ± 1, ±2, ...)•
Подобные же рассуждения применимы к функции у:
(—оо<^х <^-\-оо). И здесь обратная функция
у = Arccosх (—1 ^х^ 1)
*) Мы уже подчеркивали в свое время [22, 5е], что аргумент х триго¬
нометрической функции выражает угол в радианах; разумеется, и здесь
значения обратных тригонометрических функций — если их рассматривать
как меры углов — все выражены в радианах.
Рис. 16.
cos х

56
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[24
оказывается (бесконечно-) многозначной (см. рис. 12). Для выделения
однозначной ветви ее подчиняют условию
О ^ arccos х^щ
это есть главная ветвь арккосинуса.
Функция arccos х связана с arcsin х очевидным соотношением
arccos х = у — arcsin jc;
действительно, не только
косинус угла ~ — arcsinjc
равен sin (arcsin х) = х,
но и сам угол содержится
именно между 0 и тс. Ос¬
тальные значения Arccos х
выражаются через глав¬
ное значение по формуле
Arccos x=2kK± arccos х
(А = 0, ±1, ±2, ...).
Функция у = tgx
определена для всех зна¬
чений х, кроме значений
* = (2А+1)|
(k = 0, ±1, ±2, ...).
Значения у заполняют
здесь промежуток (—оо,
-f- оо), причем каждому у
снова соответствует	бес¬
конечное множество	зна¬
чений х (см. рис. 13).
Поэтому обратная функция x = ATctgy, заданная в промежутке
(—оо,	-|-оо),	будет	(бесконечно-)	многозначной. На рис. 17	изо¬
бражен	график	функции	y = kxoigx,	полученный поворотом на	180°
вокруг биссектрисы первого координатного угла графика функции
y = tgx. За главное значение арктангенса, arctgjc, принимают
то из значений этой многозначной функции, которое удовлетворяет
неравенствам
—	-J<arctg*<|-.
У
\
\
N
\
>-*
—ч
>—
\
\
\
2пг
\
\
\
г-
7t
п
Z
/far.
ctgx
3
1
1
Z
1 у
О
/
Z
1
_
тс
Рис. 17.

25]
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
57
Таким путем определяется однозначная функция — главная
ветвь арктангенса, заданная для всех значений х. Остальные значе¬
ния арктангенса, как легко показать, получаются так:
Arctgх = arctgx-^-kn (& = 0, ±1, ±2,...).
Нетрудно установить прямую связь между функциями arctg х
и arcsinjr.
arctg х = arcsin - 		или arcsin х = arctg -
<-co<*<+co)	V'+X*	(_!<*<+!)
Например, если положить а = arctg х, так что tga = x, то sina =
= —7====. = —.. -*	 причем корень берется со знаком плюс,
/1+tg2* Vl+x*’ р	Р	н
потому что —отсюда и вытекает, что a = arcsin^p==r.
Упомянем еще о функции Arcctg	(—сю<^лг<^-|-оо); ее глав¬
ное значение определяется неравенствами
О	<[ arcctg х тс
и связано с arctg х соотношением
arcctg x=y — arctg х.
Остальные значения арккотангенса имеют вид
Arcctg х = arcctg х -f- kv (k = 0, ± 1, dt 2, ...).
На функциях arcsc*(——1 и 1 ^x -f- °°) и arccsc x
(те же промежутки изменения) останавливаться не будем, предостав¬
ляя читателю самому в них разобраться.
25.	Суперпозиция функций. Заключительные замечания.
Познакомимся с понятием суперпозиции (или наложения)
функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функ¬
ции подставляется другая функция (от другого аргумента). Напри¬
мер, суперпозиция функций у = sin х и z = logj/ дает функцию
z = log sin х; аналогично получаются и функции
У1	— х*, arctg — и т. п.
В общем виде предположим, что функция z = <p(y) определена
в некоторой области 2f = {y}, а функция y=f(x) определена для х
в области 3?={х), причем значения ее все содержатся
в области ЗЛ Тогда переменная z, как говорят, через посред¬
ство у и сама является функцией от х:
* = <Р (/(■*))•

58
ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
По заданному х из SC сначала находят соответствующее ему (по
правилу, характеризуемому знаком /) значение у из 3^, а затем уста¬
навливают соответствующее этому значению у (по правилу, харак¬
теризуемому знаком (р) значение г; его и считают соответствующим
выбранному х. Полученная функция от функции, или сложная
функция, и есть результат суперпозиции функций f (x) и ср (у).
Предположение, что значения функции f(x) не выходят за пре¬
делы той области 3^, в которой определена функция <р (у), весьма
существенно: если его опустить, то может получиться и неле¬
пость. Например, полагая z=logy, a y = sinxt мы можем рассма¬
тривать лишь такие значения х, для которых sinje^>0, ибо иначе
выражение log sin х не имело бы смысла.
Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика
функции, как сложной, связана не с природой функциональной
зависимости z от х, а лишь со способом задания этой зависи¬
мости. Например, пусть z = У1—у* для у в [— 1, 1], a y = s\nx
Здесь функция cosх оказалась заданной в виде сложной функции.
Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции, мы
можем точно охарактеризовать простейший из тех классов функ¬
ций, которые изучаются в анализе: это, прежде всего, перечисленные
выше элементарные функции 1°—6°, а затем — все те, которые
из них получаются с помощью четырех арифметических действий
и суперпозиций, последовательно примененных конечное число раз.
Про них говорят, что они выражаются через элементарные
в конечном виде; иногда их все также называют элементар¬
ными.
Впоследствии, овладев более сложным аналитическим аппаратом
(бесконечные ряды, интегралы), мы познакомимся и с другими функ¬
циями, также играющими важную роль в анализе, но уже выходя¬
щими за пределы класса элементарных функций.
Тогда
z = Y' 1 — sin2jc = cos х.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
26.	Исторические замечания. Понятие предела ныне пронизывает весь
математический анализ, да и в других областях математики также играет
важную роль. Однако (как читатель увидит в главе XIV) это понятие вовсе
не лежало в основе дифференциального и интегрального исчисления при его
возникновении. Впервые определение понятия предела появляется (по суще¬
ству в той же форме, как это будет изложено ниже в п° 28) у Валлиса *)
в «Арифметике бесконечных величин» (1655). Ньютон в знаменитых «Мате¬
матических началах натуральной философии» (1686—1687) опубликовал свой
метод первых и последних отношений (или сумм), в котором можно усмо¬
треть зачатки теории пределов. Однако никому из великих математиков
XVIII века не приходило в голову обосновать новое исчисление на
понятии предела и тем ответить на справедливые нападки, которым оно
подвергалось *♦). В этом смысле характерна позиция Эйлера, который в пре¬
дисловии к трактату по «Дифференциальному исчислению» (1755) отчетливо
говорит о пределе, но нигде во всей книге этим понятием не пользуется.
Перелом в указанном вопросе был создан «Алгебраическим анализом»
Коши ***) (1821) и дальнейшими его публикациями, где впервые развита была
теория пределов, послужившая в руках Коши действенным орудием для
строгого построения всего математического анализа. Позиция Коши, раз¬
веявшая мистический туман, которым до него были покрыты начала анализа,
получила всеобщее признание.
Впрочем, заслугу Коши разделяют и другие ученые, среди которых особое
место занимает Больцано, в ряде случаев своими работами предупредивший
не только Коши, но и позднейших математиков. Эти работы не получили
распространения, и о них вспомнили лишь спустя много десятилетий.
27.	Числовая последовательность. Установление основного в ана¬
лизе понятия предел мы начнем с простейшего частного случая
(известного даже из курса средней школы), именно — с предела
функции хп от натурального аргумента. Как увидим,
к этому случаю принципиально сводятся и все более сложные случаи.
Аргумент п принимает все значения из натурального ряда
1, 2, 3, п, .... п',	(1)
*) Джон Валлис (1616—1703) — английский математик.
**) Подробнее об этом см. в главе XIV.
♦**) Огюстен Луи Коши (1789—1857) —знаменитый французский аналист.

60
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[27
члены которого мы представляем себе упорядоченными по возраста¬
нию, так что большее число ri следует за меньшим числом я,
меньшее число п предшествует большему числу п\
Если задана функция хю то ее аргумент, или указатель я, можно
рассматривать как номер соответствующего значения переменной.
Таким образом, Х\ есть первое ее значение, лг2 — второе, дг3 — третье
и т. д. Мы всегда будем представлять себе это множество зна¬
чений {хп\ упорядоченным, наподобие натурального
ряда (1), по возрастанию номеров, т. е. в виде числовой
последовательности
Х\у Х%> *3, . .., Хю ..., Xп', ... *).	(2)
При пг^>п значение хп> следует за хп (хп предшествует хП')
независимо от того, будет ли само число хп> больше, меньше или
даже равно хп.
Например, если задать функцию хп одной из формул
= 1, *„=(- i)n+1,	=1+biZ!,
то соответствующие последовательности будут:
1,
1,
1,
1,
1,
1, ...
1
2
3
4
б
6
1,
-1,
1,
— 1,
1,
-1, ...
1
2
3
4
5
6
0,
1,
0,
1
2 »
о,
1
3 , ...
1
2
3
4
б
6
В первом случае мы имеем просто постоянную величину: все
«множество» принимаемых ею значений сводится к одному; во вто¬
ром — это множество состоит из двух значений, принимаемых по¬
очередно. Наконец, в третьем случае множество различных значений,
принимаемых функцией хп> бесконечно, но это не мешает значениям
этой функции через одно равняться нулю. Таким образом, область
изменения SV функции хт как переменной величины, и последова¬
тельность (2) существенно отличаются одна от другой. Первое от¬
личие в том, что в множестве SV каждый элемент встречается по
разу, а в последовательности (2) один и тот же элемент может
повторяться несколько (и даже бесконечное множество) раз. Второе
же — и самое существенное — отличие заключается в том, что мно¬
жество X «аморфно», лишено порядка, а для элементов последо¬
вательности (2) установлен определенный порядок.
*) Аналогично можно было бы говорить и о последовательности точек
прямой или каких-нибудь других объектов, занумерованных натуральными
указателями.

28]
§ I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
61
Привычный способ записи последовательности [см. (2)] как бы
предполагает пространственное расположение элементов после¬
довательности. Но такая запись применяется лишь для удобства и
с существом дела не связана. Если мы будем говорить, что пере¬
менная «пробегает» такую-то последовательность значений, то у чита¬
теля может возникнуть представление о прохождении переменной
своих значений в последовательные моменты времени, но на деле
и время тут не при чем. Лишь для образности языка употребляют
иной раз и выражения: «далекие» значения переменной, начиная
с некоторого «места» или с некоторого «момента» изменения, и т. п.
28.	Определение предела последовательности. Упорядочение
значений переменной хп по возрастанию их номеров, приведшее
к рассмотрению последовательности (2) этих значений, облегчает
понимание самого «процесса» приближения переменной хп — при без¬
граничном возрастании п — к ее пределу а.
Число а называется пределом переменной хп, если последняя
отличается от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места,
т. е. для всех достаточно больших номеров п.
Этим суть дела выражена ярко, но что значит «сколь угодно
мало» и «достаточно большие» — еще подлежит уточнению. Приведем
теперь более длинное, но уже исчерпывающе строгое определение
предела:
Число а называется пределом переменной хт если для
каждого положительного числа е, сколько бы мало оно ни было,
существует такой номер N, что все значения хПУ у которых
номер n^>N, удовлетворяют неравенству
\хп а I <е*	(3)
Тот факт, что а является пределом переменной хю записывают так:
lim хп = а
(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего «предел»).
Говорят еще, что переменная стремится к а, и пишут
—а.
Наконец, число а называют также пределом последов а-
тельности (2), и говорят, что эта последовательность
сходится к а.
Неравенство (3), где г произвольно, и есть точная запись утвер¬
ждения, что хп от а «отличается сколь угодно мало», а номер N
как раз и указывает то «место», начиная с которого это обстоя¬
тельство осуществляется, так что «достаточно большими» будут все
номера n^>N.
Важно дать себе отчет в том, что номер N, вообще говоря, не
может быть указан раз навсегда; он зависит от выбора числа е.

62
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[29
Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо N будем
писать ЛГв. При уменьшении числа в соответствующий номер
Af=Ne, вообще говоря, увеличивается: чем большей близости
значений переменной хп к а мы требуем, тем «более далекие» зна¬
чения ее в ряду (2) приходится рассматривать.
Исключение представляет тот случай, когда все значения
переменной хп равны постоянному числу а. Очевидно, что тогда
а — \\тхПУ но на этот раз неравенство (3) будет выполняться для
любого е^>0 одновременно при всех значениях хп *).
Неравенство (3), как мы знаем [8], равносильно следующим:
—	*Оп — Я<9
или
а — *<*п<а + г;	(4)
этим мы часто будем пользоваться впоследствии.
Открытый промежуток (а — е, а-{-е), с центром в точке а,
принято называть окрестностью этой точки. Таким образом,
какую бы малую окрестность точки а ни взять, все значе¬
ния хт начиная с некоторого из них, должны попасть в эту
окрестность (так что вне ее может остаться разве лишь конечное
а-е	а+ь
			{		о	о
Рис. 18.
число этих значений). Если изобразить число а и значения перемен¬
ной хп точками на числовой оси [п°13] (рис. 18), то точка, изобра¬
жающая число а, окажется как бы средоточием сгустка точек,
изображающих значения хп.
29.	Бесконечно малые величины. Случай, когда переменная
стремится к нулю: хп—►О, представляет особый интерес.
Переменная хп, имеющая своим пределом нуль, называется
бесконечно малой величиной, или просто бесконечно
малой.
Если в определении предела переменной хп [28] положить а = О,
то неравенство (3) примет вид
\*н — 01 = 1*/>!О (для и>4)-
Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно
подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»:
*) Аналогичное обстоятельство имеет место для переменной хт значе¬
ния которой становятся равными в, начиная с некоторого места.

30]
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
63
Переменная хп называется бесконечно малой, если она
для достаточно больших номеров становится и остается по
абсолютной величине меньшей сколь угодно малого наперед за¬
данного числа г^>0.
Не вполне удачный (исторически сложившийся) термин «беско¬
нечно малая» величина не должен вводить читателя в заблуждение:
ни одно в отдельности взятое значение этой величины, если оно не
нуль, не может квалифицироваться как «малое». Суть дела в том,
что это — переменная величина *), которая лишь в процессе
своего изменения способна в конце концов сделаться меньшей
произвольно взятого числа е.
Если вернуться к общему случаю переменной хл> имеющей пре¬
дел а, то разность
*п = Хп — а
между переменной и ее пределом, очевидно, будет бесконечно малой:
ведь, в силу (3),
KI = K — <*10 (для Л>М.).
Обратно, если ап есть бесконечно малая, то хп—*а. Это при¬
водит нас к следующему утверждению:
Для того чтобы переменная хп имела своим пределом по¬
стоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы раз¬
ность между ними а.п = хп — а была бесконечно малой.
В связи с этим можно было бы дать и для понятия «предел»
другое определение (равносильное старому):
Постоянное число а называется пределом переменной хш
если разность между ними есть бесконечно малая величина.
Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для
бесконечно малой нужно использовать второе из приведенных выше
определений. Иначе получился бы порочный круг: предел определялся
бы через бесконечно малую, а бесконечно малая — через предел!
Итак, если переменная х„—►а, то она может быть представлена
в виде
хп = a -j-
где ап есть бесконечно малая, и обратно, если переменная допускает
такое представление, то она имеет пределом а. Этим часто пользуются
на практике для установления предела переменной.
30.	Примеры. 1) Рассмотрим переменные
*_=±	х.=-±	,. = L-l)nlLt
*) Исключая неинтересный случай, когда она тождественно равна нулю.

64	ГЛ.	III.	ТЕОРИЯ	ПРЕДЕЛОВ	I30
им отвечают такие последовательности значений:
— 1,
1
1
1
2 ’
3 ’
4
1
1
1
2 *
3 •
4
1
1
1
2 1
3 ’
4
Все три переменные представляют собой бесконечно малые, т. е. имеют
пределом нуль. Действительно, для них
, I 1
лишь только п >“*. Таким образом, в качестве N6 можно, например, взять
наибольшее целое число, содержащееся в т. е. Е \
Отметим, что первая переменная все время больше своего предела нуль,
вторая — все время меньше его, третья же — попеременно становится то
больше, то меньше его.
2)	Если положить
_2 + (-1)"
л“"	п
то переменная пробегает такую последовательность значений:
1 А	1 А	1 А
9	2'	3»	4»	5’	б1**'
И в этом случае хп—*0, так как
для	так что за N, можно принять Е .
Мы	сталкиваемся	здесь с любопытной особенностью:	переменная	пооче¬
редно	то	приближается	к своему	пределу нуль,	то	удаляется
от него.
3)	Пусть теперь
1+(-!>*.
,1—	п
с этой переменной мы уже имели дело в п° 27. Здесь также хп—*0, ибо
лишь только п> Ne = E .
Отметим, что для всех нечетных значений п переменная оказывается
равной своему пределу.
*) См. стр. 41.

30]	§	1.	ПРЕДЕЛ	ФУНКЦИИ	65
Эти простые примеры интересны тем, что они характеризуют много¬
образие тех возможностей, которые охватываются данным выше определе¬
нием предела. Несущественно, лежат ли значения переменной с одной
стороны от предела или нет; несущественно, приближается ли
переменная с каждым шагом к своему пределу; несущественно, наконец,
достигает ли переменная своего предела, т. е. принимает ли значения,
равные пределу. Существенно лишь то, о чем говорится в определении:
переменная должна отличаться от предела сколь угодно мало в конце кон*
цов, т. е. для достаточно далеких своих значений.
4)	Определим переменную формулой
± -
хп = ап =Va (а> 1)
и докажем, что агл —► 1.
Если воспользоваться неравенством (3) в пв И, то можно написать:
\хп — 1 | = }/~а — 1 < ——- < е, лишь только п > N6 = E	j	•
Можно, однако, рассуждать иначе. Неравенство
Jl^
1-^л — 1| = ал — 1<е
равносильно такому:
ТГ < 1о2а О + е) или п > •	1
я	loge(l	+	«)’
так что оно выполняется при п > N. = Е (	:	Л *
\10ge(l+*)r
В соответствии с выбранным способом рассуждения мы пришли к раз¬
личным выражениям для N.. Например, при а = 10, е = 0,01 получаем
9	/	1	\
Na,n = oof = 900 по первому способу и N0,0l—El 0,004327")= 231 ~ П°
второму. По второму способу мы получили наименьшее из возможных
значений для N0t0i, ибо уже 10231 = 1,010017... отличается от числа 1 больше
чем на е = 0,01. То же будет и в общем случае.
Заметим по этому поводу, что мы вовсе не заинтересованы именно
в наименьшем возможном значении Net если речь идет только об уста¬
новлении факта стремления к пределу» Должно быть гарантировано выпол¬
нение неравенства (3), начиная хоть с какого-нибудь места, далекого или
близкого — безразлично.
5)	Важный пример бесконечно малой дает переменная
ап = Яп, где |?|<1.
Для доказательства того, что ап —*0, рассмотрим неравенство
I “я I = I я Iя <
оно равносильно таким:
log $
« - log I д I < log e или n > |Q- 8	■
*) Следует иметь в виду, что | q | < 1 и log | q | < 0; поэтому при деле¬
нии обеих частей неравенства на это число знак неравенства должен быть
изменен на обратный.
3	Г. М, Фнхтенгольц, т. I

66
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[31
Таким образом, если положить (считая е < 1)
jVt = £(rl0f Е ■),
Vlog \ q\ Г
то при л> Атв упомянутое неравенство наверное выполнится.
Аналогично легко убедиться в том, что и переменная
где по-прежнему	а	А — постоянное число, также есть бесконечно
малая.
6)	Рассмотрим, далее, бесконечную убывающую геометрическую про¬
грессию
-H-e, aq, адг, ..., aq"-1, ...	(	|?|	<	1)
и поставим вопрос об определении ее суммы.
Под суммой бесконечной прогрессии, как известно, разумеется предел,
к которому стремится сумма sn ее п членов при безграничном возраста¬
нии я. Но
а— аап	а	а
с 		2_ 	 		 	 . пП
1 — q "* \ — q \—qq'
а
так что переменная sn разнится от постоянного числа -j	— на величину
ап =	' ^П> К0Т0Рая* как мы только что видели, является бесконечно
малой. Следовательно, по второму определению предела искомая сумма
прогрессии
s = lim 5Я= jzzj.
31.	Бесконечно большие величины. Бесконечно малым величи¬
нам, в некотором смысле, противопоставляются бесконечно боль¬
шие величины (или просто бесконечно большие).
Переменная хп называется бесконечно большой, если
она для достаточно больших значений п становится и остается
по абсолютной величине б 6 лъ ш е й сколь угодно большого напе¬
ред заданного числа Е^>0:
|^Я|]>Е {для я>ЛГЕ).
Как и в случае бесконечно малых, здесь также следует подчерк¬
нуть, что ни одно в отдельности взятое значение бесконечно боль¬
шой величины не может быть квалифицировано как «большое»; мы
имеем здесь дело с переменной величиной, которая лишь
г. процессе своего изменения способна в конце концов сде¬
латься большей произвольно взятого числа Е.
Примерами бесконечно больших могут служить переменные
хп = п, хп = пу = (— 1 )n+1nt
которые пробегают натуральный ряд чисел, но первая со знаком плюс, вто¬
рая со знаком минус, третья же — с чередующимися знаками.

31]
§ !. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
67
Вот еще один пример бесконечно большой величины:
xn = Qn при |0|>1.
Действительно, каково бы ни было Е > 0, неравенство
I	i=IQ Iя > е
выполняется, лишь только
log Е *)
л • log | О I > logЕ или п >	,
так что за NE можно взять число
Особенно важны те случаи, когда бесконечно большая величина хп
(по крайней мере, для достаточно больших п) сохраняет определен¬
ный знак (-[- или —); тогда, в соответствии со знаком, говорят,
что переменная хп имеет предел -|-оо или —оо, а также что
она стремится кг °° или —оо; при этом пишут
lim хп "=■ —|— оо, л:л—>-[“°° или Нписл = — оо, хп—+ — оо.
Можно было бы дать для этих случаев и независимое определе¬
ние, заменив неравенство |дгл|]>Е, смотря по случаю, неравенством
лгя>Е или jc„< —Е,
откуда уже вытекает, соответственно, что хп^>0 или хп<^0.
Очевидно, что бесконечно большая величина хп в общем
случае характеризуется соотношением | хЛ | —► -f-со*
Из приведенных выше примеров бесконечно больших величин, очевидно,
переменная хп = п стремится к +оо, переменная хп = — п стремится
к —оо. Что же касается третьей переменной: агл = (—1 )Л+1 я, то про нее
нельзя сказать ни что она стремится к +оо, ни что она стремится к —оо.
Наконец, относительно переменной xn = Qn лишь при Q>1 можно
сказать, что она стремится к 4*°°; при Q < — 1 у нее предела нет.
С «несобственными числами» ±оо мы уже сталкивались в п°6;
следует помнить, что их применение имеет совершенно условный
смысл, и остерегаться производить над этими числами арифметиче¬
ские операции. Вместо -\-оо часто пишут просто оо.
В заключение упомянем о простой связи, которая существует
между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
Если переменная хп является бесконечно большой, то ее об¬
ратная величина аЛ = — будет бесконечно малой.
Хп V
Возьмем любое число ер>0. По определению бесконечно боль¬
шой, для числа Е = ~ найдется такой номер N, что
I Хп I ~» лишь только п Л/.
*) Так как | Q | > 1, то log | Q | > 0.
3*

68
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[32
Тогда для тех же значений л, очевидно, будет
Iя» к®.
что и доказывает наше утверждение.
Аналогично можно доказать и обратное утверждение:
Если переменная ал (не обращающаяся в нуль) является беско¬
нечно малой, то обратная для нее величина хп = — будет беско¬
нечно большой.
32.	Определение предела функции. Рассмотрим числовое множе¬
ство ЗС = {х). Точка а называется точкой сгущения этого
множества, если в любой окрестности (а — 8, я + 8) [п° 28] этой
точки содержатся значения х из ЗС, отличные от а. Сама точка
сгущения при этом может принадлежать ЗС или нет. Например, если
ЗС = [а, Ь] или ЗС = (а, Ь], то а в обоих случаях является точкой
сгущения для ЗС, но в первом случае она сама содержится в ЗС,
а во втором — нет.
В предположении, что а есть точка сгущения для ЗС, можно
извлечь из ЗС — и притом бесчисленным множеством способов —
такую последовательность
хъ ХЪ х3, .... хп, ...	(2)
значений х, отличных от а, которая имела бы своим пределом а.
Действительно, задавшись последовательностью положительных чи¬
сел 8Л, сходящейся к нулю, в каждой окрестности (<а — 8Л, а -(- 8Л)
точки а (при п = 1, 2, 3, ...) найдем по точке х = хп из отлич¬
ной от а; так как 8Л-*0 и \хп — а|<^8л, то хп^а.
Пусть теперь в области ЗС, для которой а является точкой сгу¬
щения, задана некоторая функция f(x). Представляет интерес пове¬
дение этой функции при приближении х к а. Говорят, что функция
f(x) имеет предел А, конечный или нет, при с тре млении х к
а (или, короче, — в точке а), если, к а к у ю бы последователь¬
ность (2) с пределом а, извлеченную из ЗС, ни пробегала незави¬
симая переменная х, соответствующая последовательность зна¬
чений функции
/C*i), /(*а). /(*3). ..., /(хп), ...	(5)
всегда имеет предел А. Обозначают этот факт так:
Km f(x) = А	(6)
х -*а
или
/(*)-► А при х->а.	(7)
Предположим теперь, что множество ЗС = {аг} содержит сколь
угодно большие положительные значения х; тогда говорят, что -|-оо
является точкой сгущения этого множества. Если под окрест¬

33]
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
69
ностью точки -{-со разуметь промежуток (Д, +оо), то можно
высказанное предположение представить и в такой форме: в каждой
окрестности точки 4“00 должны содержаться числа из множе¬
ства SC.
Если это предположение выполнено, то можно из SV выделить
последовательность (2), имеющую пределом -f- со. Действительно,
взяв любую положительную переменную Дя, стремящуюся к -\-оо,
для каждого Дл {п= 1, 2, 3, ...) найдем в 3? значение хп^>кп;
очевидно, хп -v -[- сю.
В предположении, что 4~°° является точкой сгущения для 3?,
рассмотрим определенную в этой области функцию f(x). Для нее
можно установить понятие предела при х -|- оо:
lirn f(x) = A
.V—*—J-oo
совершенно так же, как и выше, заменив лишь а на -f-оо.
Аналогично устанавливается и понятие предела функции f(x) при
х->— оо:
Jim f(x)= А.
Х-+ —со
Здесь нужно лишь заранее предположить, что —оо есть точка
сгущения множества 3? — смысл этого ясен сам собой.
Скажем в заключение о переносе на рассматриваемый общий слу¬
чай предела функции терминологии, установленной в п° 29 и 31
для функции от натурального аргумента. Пусть при определен¬
ном предельном переходе по х функция f(x) стремится
к нулю; тогда эту функцию называют бесконечно малой вели¬
чиной. Если функция f{x) стремится к конечному пределу Л, то
разность f(x) — А будет бесконечно малой, и наоборот. При стрем¬
лении |/(л01 к -[-оо функцию называют бесконечно большой
величиной *). Наконец, легко перенести на рассматриваемый общий
случай и теоремы в конце п° 31, устанавливающие связь между бес¬
конечно малыми и бесконечно большими.
33.	Другое определение предела функции. Понятие предела
функции f(x) при стремлении х к а мы построили на ранее изучен¬
ном и более элементарном понятии предела последовательности.
Можно, однако, дать другое определение предела функции, вовсе не
использующее предела последовательности.
Ограничимся сначала случаем, когда оба числа а и Л конечны.
Тогда — в предположении, что а является точкой сгущения области 3£у
где задана функция /(*), — новое определение предела можно дать
в такой форме:
*) Если это обстоятельство имеет место при х-+а, где а — конечно, то
говорят также, что в точке а функция обращается в бесконеч¬
ность.

70
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
(33
Функция f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а,
если для каждого числа е^>0 найдется такое число 8^>0, что
\f(x) — А |<е, лишь.только \х — я|<С&	($)
(где х взято из и отлично от а) *).
Это определение совершенно равносильно данному выше в п° 32.
Для доказательства предположим сначала, что выполнено только что
сформулированное условие, и по произвольно взятому е^>0 найдено
соответствующее ему в указанном смысле число 8^>0. Извлечем из
££ произвольную последовательность (2), сходящуюся к а (причем
все хп отличны от а). По определению предела последовательности,
числу 8^>0 отвечает такой номер N, что при n^>N будет выпол¬
няться неравенство \хп — я|<\8, а следовательно [см. (8)], и
\f(xn) — Л|<[е. Этим и доказана сходимость последовательности (5)
к А. Таким образом, выполнено условие, которое содержится в преж¬
нем определении.
Предположим теперь, что предел функции существует в согласии
с прежним определением. Для доказательства того, что одновременно
выполняется и условие, содержащееся в новом определении, допустим
противное. Тогда для некоторого числа е^>0 уже не существо¬
вало бы соответствующего 8, т. е. какое бы малое 8 ни взять, всегда
найдется хоть одно значение переменной х = хг (отличное от а), для
которого
\х* — а|<^8, но тем не менее \f{xf)—А |^е.
Возьмем последовательность положительных чисел 8Л, сходящуюся
к нулю. На основании только что сказанного для каждого числа
8 = 8Л найдется такое значение xf = xn> что
\хп — а |	8Л, но тем не менее \f{xn) — А | ^ е.
Из этих значений, таким образом, составляется некоторая после¬
довательность
^ v	• • • > ЭСп, ...,
для которой
\х'а — я|<А (я=1, 2, 3,
так как	то	х'п-*-а.
По предположению, соответствующая последовательность значений
функции
/С*0> /Ю> /• ••> fix'n), ...
■*) Именно из того, что а есть точка сгущения для явствует, что
такие значения х в окрестности (а—5, д + В) точки а наверное существуют.

341
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
71
должна сходиться к Л, а это невозможно ввиду того, что при всех
/г=1, 2, 3, ... имеем |f(x'n)— А |^е. Полученное противоречие и
доказывает наше утверждение.
Легко указать новую форму определения предела и для тех слу¬
чаев, когда одно из чисел а, А или оба они равны -{- оо или — оо.
Приведем для примера в развернутом виде определение, относящееся
к случаю а = -|-оо и А конечного (или тоже равного +°°):
Функция f{x) при стремлении х к -|-оо имеет пределом конеч¬
ное число А (или +оо), если для каждого числа е^>0 (Е]>0)
найдется такое число А^>0, что
\f(x) — А |<е (/(лг)]>Е), лишь только лг^>А	(х из X).
Доказательство равносильности этого определения с определением
«на языке последовательностей» проводится так же, как и выше.
Если применить это определение к переменной хп, как функции
от независимой переменной п> при я-*-}-00» то мы вернемся к ис¬
ходному определению предела такой функции, или — что то же — пре¬
дела последовательности, данному в п° 28 и 31 (роль числа А там
играет N). Таким образом, в то время как прежнее определение пре¬
дела функции сводило это понятие к пределу последовательности, в свою
очередь определение предела последовательности оказывается по¬
просту частным случаем определения предела функции вообще —
в его новой форме. Тот предел, который мы раньше обозначили через
Ит лгл,
по-новому должен был бы быть записан в виде
lim хп.
Впрочем, на деле указание л->-{- оо всегда может быть опущено
без опасности недоразумения, ибо никакого другого предельного пере¬
хода здесь не может подразумеваться: область c/f изменения нату¬
рального указателя п имеет единственную точку сгущения -|-оо.
Несмотря на различие в определениях предела функции (в новой
форме) применительно к различным предположениям относительно а
и А, сущность их одна и та же: функция должна содержаться
в произвольной «окрестности» своего предела Л, лишь только
независимая переменная содержится в надлежаще выбранной
«окрестности» своего предела а.
Итак, для важного в анализе понятия предела функции мы имеем
два равносильных определения; в зависимости от удобства мы будем
пользоваться то тем, то другим из них.
34. Примеры. 1) Аналогично доказанному в п° 30, 5) предельному соот¬
ношению
J_
lim ап = 1	(я>1)

72	гл.	III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	(34
можно получить более общее:
lim ах=. 1 (а > 1).
*-►0
Требуется для заданного е>0*) найти такое &>0, что
| ах— 1 | < е, лишь только | х | < Ь.
Но первое из этих неравенств или равносильные ему неравенства
1 — е < ах < 1 + е
выполнятся, если
l0ga (1 — е) < ДГ< l0go (1 + О-
Так как
loga(l—e) + loga(l+e) = loga(l — е2)<0 и loga (1 — е) <— log* (1 + е),
то упомянутые неравенства и подавно выполнятся, если
— loga 0 + е) < х < logo (1 + е) или | лг | < logo 0 + «)•
Итак, стоит лишь положить 5 = loga(l + e), чтобы при |л;]<;й было
| ах — 1 | < е. Этим завершается доказательство.
2)	Докажем, что
lim a* =	00	(при	д>1).
Х-* -f* со
При любом Е>0 достаточно взять A = logaE, чтобы
х > А влекло за собой ах > Е,
что и доказывает наше утверждение ♦*).
Аналогично доказывается, что
lim ах = 0	(при а>1).
Х-* — 00
Именно, каково бы ни было е > О (е < 1), если взять
A = 1°ga-]- = —1с2а Е.
то при х <— А необходимо ах < е.
Если же 0 с а с 1, то с помощью преобразования
чг
легко установить результаты
ахг
lim я* = 0,	lim ах = -\-со (при 0 < a < 1).
Jf-Н-ОО	Х-+—СО
3)	Установим, что при д>1 и л:>0
lim loga * = + оо, limloga^ = —оо.
Х— + СО	х-*0
*) Причем ничто не мешает нам считать е < 1.
**) С более частным результатом
lim ап = + оо
мы уже имели дело в п° 31.

34]	§ I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ	73
При любом заданном Е > 0, лишь только х > дЕ, будем иметь: loga х > Е
и, аналогично, лишь только 0<лг<а”Е, выполняется неравенство logaA:< —Е.
Этим и доказаны оба соотношения.
4)	Имеем, далее,
lim arctg л: =	lim	arctg	лг	=	—
x	СО	*	X-+	—	ОО	*•
Остановимся для примера на первом пределе. При любом 0, доста¬
точно взять х > tg	чтобы было: arctg —е, так что
0< у—arctg х<г.
5)	Теперь мы установим следующий (важный и для даль¬
нейшего) результат:	п
fib
lim— = 1.	(9)
jc —► О х
Предварительно, однако, нам придется дока¬
зать некоторые полезные неравенства:
sin jc jc tg а: при 0<[лг<[у. (10)
С этой целью в круге радиуса R рас¬
смотрим острый угол АОВу хорду АВ
и касательную АС к окружности в точке А
(рис. 19). Тогда имеем: площадь Д А ОВ <^пло-	Рис. 19.
щади сектора АОВ<^ площади Д Л ОС *).
Если через х обозначить радианную меру угла АОВ9
так что длина дуги АВ выразится произведением Rx, то эти нера¬
венства перепишутся так:
Y R2 • sin * < -i- R* • х < y R* • tg лг.
Отсюда — по	сокращении на	~ R2 — и приходим	к неравенствам (10).
В предположении, что 0 <^x<^-j, разделим	sin jc	на	каждый	из
членов неравенств (10). Мы получим
1 v sin х
1 > -у- > cos лг,
откуда
п ^ .	sin х ^ л
О	< 1	— < 1 — cos х.
*) При этом мы пользуемся теми сведениями о площадях элементарных
фигур, которые излагаются в школьном курсе.

74	ГЛ.	III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[34
Но
1	— cos jf=2sina-|-<C 2sin
[в силу (10)], так что
л ^ sin JC v
0<1	т-О-
Отсюда вытекает неравенство
I	sin х
— 1
<м
которое, очевидно, сохранится и при изменении знака х, т. е. будет
справедливо для всех лг^О, лишь только
Полученное неравенство и решает вопрос. Действительно, если
по произволу задано число е]>0, то за 8 достаточно выбрать
наименьшее чисел е, ~: при |jc|S, прежде всего, при-
м е н и м о это неравенство ^ведь 8 ^ ~j, и именно в силу него (так
как 8=~^е)
sin л:	i	I ^
	1 \<С е.
Г	\
6)	Интересен, наконец, и пример, когда предел функции не суще¬
ствует: функция sin л: при стремлении х к +оо (—оо) вовсе не
имеет предела.
В отсутствии предела всего проще убедиться, стоя на «точке зрения
последовательностей». Достаточно заметить, что двум последовательностям
{^гМи (п=2> з>
значений лг, имеющим пределом + оо, отвечают последовательности значений
функции, стремящиеся к различным пределам:
. 2п—1 л ,	.	2л+ 1	1	,
sin—^к = —1 -+—1, sin —~—те == 1 —► 1.
Если вспомнить «колебательный» характер синусоиды, то отсутствие
предела в рассматриваемом случае станет наглядным.
Аналогично, и функция sin — при стремлении а к нулю (как при а > 0,
так и при а < 0) предела не имеет. Это, в сущности, лишь другая форма
приведенного выше примера: стоит лишь в функции sin х заменить х на
Очевидно, если а пробегает последовательность положительных (отрицатель¬
ных) значений, приближающихся к нулю, то х = — стремится к +°°(—°°)>
OL
и обратно.
Напишем снова в выражении sin ~ вместо буквы а букву х (чтобы вер¬
нуться к привычному обозначению абсциссы) и рассмотрим поучитель¬

34]
ный график функции
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
75
2	( 2 \
ограничиваясь значениями х от 0 до -- (и от —— до 0J.
Отметим последовательно убывающие до 0 значения х:
А 1 А 1	1	1	2	2	1	2
2	к9 5п9 Зп>
Зя’
7 п9
им отвечают растущие до + оо значения — :
(2л — \)к> пъ' (2л +
1
о 7*
3”- -2’
(2га — 1) я _	(2л+1) я
Г)	>	Л7С»	О	у
В промежутках между указанными значениями (при убывании х) наша
функция попеременно убывает от 1 до 0 и от 0 до — 1, затем возрастает
от — 1 до 0 и от 0 до 1 и т. д. Таким образом, функция sin — производит
бесконечное множество колебаний, подобно функции sin х% но, в то время
как для последней эти колебания распределяются на бесконечный проме¬
жуток, здесь они все умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к нулю.
График изображен на рис. 20 (разумеется, не полностью—бесконечное
множество колебаний воспроизвести невозможно!). Так как при изменении
знака х и sin — меняется знак, то левая половина графика симметрична
с правой относительно начала.
7)	Если для хфО рассмотреть функцию х>	которая отличается
множителем х от только что изученной функции 8*п“> то на этот раз пре¬
дел при х-+0 существует:
lim х • sin — = 0,

76	ГЛ.	III.	ТЕОРИЯ	ПРЕДЕЛОВ	[35
что сразу ясно из неравенства
I х • sin ~ I < | х I.
I	х |	1	1
При приближении х к нулю, наша функция по-прежнему производит
бесконечное множество колебаний, но их амплитуда (благодаря множителю л:)
убывает, стремясь к нулю, чем и обеспечивается существование предела.
График функции
. 1
у = х • sm —
*	х
изображен на рис. 21; он умещается между двумя биссектрисами у=>х и
у = — х координатных углов *).
Замечание. Мы имели пределы
lim —«■ = 1 lim л; • sin — = О,
jf —► о *	jp -*• о	*
объединенные одной особенностью: ни одна из рассматриваемых здесь функ¬
ций не определена при х = 0. Но это нисколько не мешает говорить
об их пределах при х—*0, ибо, согласно точному смыслу данного выше
определения, как раз значение х = 0 при этом не рассматривается.
Аналогично, то обстоятельство, что функция sin — не имеет смысла
при * = 0, не мешает ставить вопрос об ее пределе при jc —► 0; но на
этот раз предел оказывается несуществующим.
36. Односторонние пределы. Если область SC такова, что в любой
близости от а, но спр а в а от а, найдутся значения х из «Ж\ то
можно специализировать данное в п° 32 и 33 определение предела
функции, ограничившись лишь значениями х^>а. В этом случае предел
функции, если он существует, называется пределом функции f(x)
при стремлении х к а с права (или короче — в точке а с права)
и обозначается символом
lim f(x) или f{a -f- 0).
*-► а + 0
*) Ha рис. 20 и 21 для ясности пришлось по оси х взять больший
масштаб, что создает искажение.

35]
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
77
Аналогично определяется понятие предела функции при стрем¬
лении х к а (в точке а) слева
lim f(x) или /(а — 0) *).
х а — 0
Оба эти предела называются односторонними.
Если область & допускает безграничное приближение к а и справа
и слева, то можно рассматривать и тот и другой пределы. Легко
установить, что для существования обыкновенного («двустороннего»)
предела (6) необходимо и достаточно существование порознь и
равенство обоих пределов справа и слева:
lim f(x)= lim f(x) = A.
x-+a-\- 0	x	a — 0
Отметим, что эти пределы могут оба существовать, но не быть
равными. Примеры тому легко построить, исходя из уже рассмотрен¬
ных в п° 34 примеров 1) и 4).
*) Если само а = 0, то вместо 0 + 0 (0—0) пишут просто +0 (— 0).

78	ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	J36
Примеры. Определим две функции для х ф О равенствами
2
/i(x) = a* (а > 1), f>(x) = arctg
Для,первой из них имеем
2
/i(+^)— Km qX ~ Km аг = -\- оо,
х	О	г 4“ оо
I
(— 0) — lim ах — lim az = 0.
х — 0	г — оо
Для второй же
Л(+0)= lim arctg -L = lim arctg 2= ^
л: —+ 0	■*	^ —► ~j~ oo	1
h (— 0) = lim arctg -- = lim arctg z= — ^ .
jc —*• — 0	x	z —► — со	^
Графики этих функций даны на рис. 22 и 23.
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
36.	Свойства функции от натурального аргумента, имеющей
конечный предел. Так как формулировка и доказательство теорем,
относящихся к функции от натурального аргумента, выглядят проще,
чем в случае функции общего вида, то мы всегда сначала будем
формулировать и доказывать теоремы для отмеченного частного слу¬
чая, а затем лишь сделаем указания относительно переноса их на
общий случай.
1)	Если переменная хп стремится к пределу а, и а^>р (а<^q),
то и все значения переменной, начиная с некоторого,
тоже будут больше р (меньше q).
Выбрав положительное число е<^я—р (q — а), будем иметь
а — е>/> (а-}-е<q).
Но, по определению предела переменной хп [п°28], для этого е най¬
дется такое N, что при n^>N будет
а — е<дгл<;а + е.
Для тех же значений и подавно: хп^>р (xn<^q).
Это простое предложение имеет ряд полезных следствий.
2)	Если переменная хп стремится к пределу а^>0 «0), то
и сама переменная хп0 (<^0), начиная с некоторого
места.
Для доказательства достаточно применить предыдущее утвержде¬
ние, взяв р = 0 (q = 0).

361	§	2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ	79
3)	Если переменная хп стремится к пределу а, причем всегда
Хп (S3?).
то и
О?).
Доказывается от противного, со ссылкой на 1).
Опираясь на предложение 1), докажем теперь единственность
предела.
4)	Переменная хп не может одновременно стремиться к двум
различным (конечным) пределам.
Действительно, допустим противное: пусть одновременно хп-+а
и хп-+Ь, причем а<^Ь. Возьмем любое число г между а и Ь\
а <^г<^Ь.
Поскольку хп-+а и а<^гу найдется такой номер N', что для
n^>Nr будет выполняться неравенство: хп<^г. С другой стороны,
раз хп->Ь и Ь^>г, найдется и такой номер 7V", что для n^>N"
окажется хп^>г. Если взять номер п ббльщим и N' и N", то соот¬
ветствующее значение переменной хп будет одновременно и меньшим г,
и ббльшим г, что невозможно.
Это противоречие доказывает наше утверждение.
5)	Если переменная хп имеет конечный предел, то она является
ограниченной в том смысле, что все ее значения содержатся
между двухмя конечными границами:
т^хп^М (п— 1, 2, 3,...).	(1)
Прежде всего, непосредственно из определения предела ясно, что;
какое бы ни взять е^>0, найдется такое N, что для n^>N будет
а — е<!*яО + е-
Таким образом, для n = N-\-1, Af+2,... значения хп уже заклю¬
чены между границами а — е и a-j-e. Вне этих границ могут
лежать лишь некоторые из первых N значений
хх,	xN.
Так как таких исключительных значений всего конечное число,
то можно раздвинуть указанные границы так, чтобы между новыми
границами т и М содержались уже все значения хп. Например,
можно за т взять наименьшее из чисел
a s, х^у Ху .. • у Xjyy
а за М — наибольшее из чисел
а —j— в, х^у х<р ...» *^дг*
Замечание. Отсюда ясно, в частности, что переменная, имею¬
щая конечный предел, не может одновременно стремиться ни к -j- ос,

80
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[37
ни к —оо. В этом состоит некоторое дополнение к теореме 4)
об единственности предела.
37.	Распространение на случай функции от произвольной
переменной. Легко перефразировать содержание п° 36 на общий случай
функции /(лг), заданной в некоторой области X с точкой сгущения а *).
1)	Если при стремлении х к а функция /(лг) имеет конечный
предел А, и A^>p(A<^q), то для достаточно близких
к а значений х (отличных от а) и сама функция удовлетворяет
неравенству
/(*)>/» (/(*)<?). (2)
Выбрав положительное число е	А — р (q — А), будем иметь
А-е>Р (А + е<?).
Но, по второму определению предела функции [п° 33], для этого е
найдется такое 8, что, лишь только \х — я|<[8 (где х взято из 3?
и отлично от а), тотчас же
А-е</(лг)<А + е.
Для тех же значений х и подавно будет выполняться (2).
Читатель видит, что никаких новых идей для доказательства при¬
влекать не пришлось.
Отсюда непосредственно могут быть оправданы и утверждения,
аналогичные 2), 3) и 4) из п° 36. Например, полагая в 1) р = 0
(q = 0), получим:
2)	Если при х -+а функция f(x) имеет конечный положи¬
тельный (отрицательный) предел, то и сама функция положи¬
тельна (отрицательна), по крайней мере для значений х, доста¬
точно близких к а, но отличных от а.
Справедливо и утверждение, аналогичное 5), но в более слабой форме:
3)	Если при стремлении х к а функция f(x) имеет конечный
предел А, то для значений х, достаточно близких
к at функция будет ограниченной в том смысле, что ее значения
содержатся между двумя конечными границами:
т ^ f{x) ^ М лишь для 0<^|лг — я К 8.
Действительно, по определению предела, задавшись числом е^>0,
найдем такое 8^>0, что
А —	если	0<^\х	—	я|<^8.
Напомним, что аналогичный результат мы первоначально получили
и для переменной хп: неравенства
		а	—	е<лг„<а4-е
*) Число а может быть +оо или —оо; но мы для определенности
ограничимся случаем конечного а.

38]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
81
выполнялись только для n^>N. Но в прежнем случае вне этик
границ могло оказаться лишь конечное число значений, и легко было
найти новые границы, между которыми содержались бы уже все
значения без исключения. Здесь же этого, вообще говоря, уже сделать
нельзя, ибо значений х, для которых \х — а | ^Ъ, может оказаться
и бесконечное множество. Например, функция /(х) = ~ (для лг^>0)
при х 1 стремится к единице; очевидно, О <^/С*0 <С 2, если
\х—однако для всех рассматриваемых значений функ¬
ция f{x) вовсе не будет ограниченной: при лг->4~0 она стремится
К 4-00.
38.	Предельный переход в равенстве и неравенстве. Соединяя
две переменные хп и уп знаками равенства или неравенства, мы
всегда подразумеваем, что речь идет о соответствующих зна¬
чениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.
1)	Если две переменные хп, уп при всех их изменениях равны:
хп = уп, причем каждая из них имеет конечный предел:
lim хп = а> lim yn = b9
то равны и эти пределы: а = Ь.
Непосредственно следует из единственности предела [36, 4)].
Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного
перехода в равенстве: из хп=уп заключают, что Птлгл =
= lim>v
2)	Если для двух переменных хп, уп всегда выполняется нера¬
венство хп^уп, причем каждая из них имеет конечный предел:
lim хп — а, lim уп — Ь,
то и а^Ь.
Допустим противное: пусть а<^Ь. Рассуждая так же, как и
в п°36, 4), возьмем число г между а и Ь, так что a<^r<^b.
Тогда, с одной стороны, найдется такой номер АГ, что для п^>№
будет хп<^гу с другой же — найдется и такой номер АТ', что для
n^>Nf окажется уп^>г. Если N больше обоих чисел N, АТ', то
для номеров n^>N будут одновременно выполняться оба неравенства
хп<г, _у„>г, откуда *„<>„,
что противоречит предположению. Теорема доказана.
Эта теорема устанавливает допустимость предельного пере¬
хода в неравенстве (соединенном с равенством):
из хп^уп можно заключить, что \imxn^\\myn.
Конечно, знак всюду может быть заменен знаком <\
Мы обращаем внимание читателя на то, что из строгого нера¬
венства хп^>уп, вообще говоря, не вытекает строгое же

82	ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	(Э9
неравенство \\mxn^>\\mynf а только, по-прежнему: Umxn^Umyn.
Гак, например,	при всех п, и тем не менее
lim — = lim f	= 0.
п	\ п]
Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утвер¬
ждение 3) п°3б.
При установлении существования и величины предела часто бы¬
вает полезна теорема:
3)	Если для переменных хю уп> zn всегда выполняются нера¬
венства
причем переменные хп и zn стремятся к общему пределу а:
lim хп = lim zn = а,
то и переменная уп имеет тот же предел:
Umyn = a.
Зададимся произвольным е^>0. По этому е, прежде всего, най¬
дется такой номер АТ, что при /*^>ЛГ
a —s<jc„<e-f е.
Затем найдется такой номер N", что при n^>N”
а — s zn а —|— s.
Пусть N будет больше обоих чисел АТ и АТ; тогда, при n^>N,
выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому
a —	+
Окончательно при n^>N
а е<-Уя<a~Ье или \уп — а|<е.
Таким образом, действительно, limуп = а.
Из этой теоремы, в частности, следует: если при всех п
и известно, что zn-+a, то и уп-+а. Впрочем, это очень легко
доказать и непосредственно.
Теоремы 1), 2) и 3) легко распространяются и на случай беско¬
нечных пределов.
39.	Леммы о бесконечно малых. В дальнейших теоремах нам
придется рассматривать одновременно две переменные (или больше),
сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом,
как и выше, мы относим эти знаки к соответствующим значе-

39J	§	2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ	83
ииям переменных. Например, говоря о сумме двух переменных хп
и уПУ пробегающих порознь последовательности значений
Х\, Х%у ХЪу ... , Xni ...
и
Уь У2» У* ... • Уп,
мы имеем в виду переменную хп-\-упУ принимающую последователь¬
ность значений
х\-\~Уь хъ-\-Уь Хг~\-Уз Хп~\~Уп> •••
При доказательстве теорем, относящихся к результатам арифме¬
тических операций над переменными, будут полезны следующие две
леммы о бесконечно малых:
Лемма /. Сумма любого конечного числа бесконечно малых
есть также величина бесконечно малая.
Проведем доказательство для случая двух бесконечно малых ап
и (общий случай исчерпывается аналогично).
Зададимся произвольным числом е^>0. Согласно определению
бесконечно малой, по числу у для бесконечно малой ап найдется
такой номер АГ, что при я]>ЛГ будет
кк|.
Точно так же и для бесконечно малой фп найдется такой номер ЛГ,
что при л^>ЛГ будет
1М<у.
Если взять натуральное число N ббльшим обоих чисел Nr и ЛГ,
то при n^>N одновременно выполняются оба эти неравенства, так что
I “Ь" Рл I ^ I ал I +1 Рл I <С "2—Ь* -2"== е *
Итак, величина аЛ —рл действительно является бесконечно малой.
Лемма 2. Произведение ограниченной переменной хп на беско¬
нечно малую ап есть величина бесконечно малая.
Пусть для всех значений п
т^Хп^М.
Обозначив через L наибольшую из абсолютных величин \т\, \М\,
будем иметь
—	L^m^xn^M^L или |хп | С L
Если задано произвольное число е^>0, то по числу ~ для беско¬
нечно малой аЛ найдется такой номер N, что для n^>N будет
кк-Ь

84
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
{40
Тогда для тех же значений п, очевидно,
I -’V «п I = I	М ая I < *• • х=*•
Отсюда и следует, что хп*ап есть бесконечно малая.
40.	Арифметические операции над переменными. Следующие
теоремы важны в том отношении, что с их помощью во многих слу¬
чаях делается ненужным восхождение всякий раз к определению
понятия предела — с разысканием по заданному е соответствующего N
и т. д. Этим вычисление пределов значительно облегчается.
1)	Если переменные хп и уп имеют конечные пределы:
lim хп = я, lim уп = Ьу
то и сумма {разность) их также имеет конечный предел, при-
чем
lim (xn±yn) = a±b.
Из условия теоремы следует, что
-*„ = « + «»> Уп = Ь-\-$п,	(3)
где ал и рл — бесконечно малые. Тогда
х„ ±Уп = (а±Ь) + (а„ ± р„).
Здесь ап ± ря есть бесконечно малая по лемме 1 п° 39; следо¬
вательно, можно утверждать, что переменная хп±уп имеет предел,
равный а±Ь, что и требовалось доказать.
Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого
конечного числа слагаемых.
2)	Если переменные хп и уп имеют конечные пределы:
\\тхЛ = а, lim yn = b,
то и произведение их также имеет конечный предел, и
lim хпуп = ab.
Исходя из тех же равенств (3), имеем на этот раз
х„Уп = ab-\- (аря + Ьа.п + а„р„).
Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно
малая. Отсюда и следует, что переменная хпуп действительно имеет
пределом ab.
Эта теорема может быть распространена на случай любого ко¬
нечного числа сомножителей (например, методом математической ин¬
дукции).
3)	Если переменные хп и уп имеют конечные пределы:
lim хп = a, lim уп = Ь,

41]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
85
приче м b отлично от ну ля, то и отношение их также
имеет конечный предел, а именно,
Пусть, например, Ь^> 0; вставим между нулем и b число г. Тогда,
согласно утверждению п° 36, 1), начиная с некоторого места
Уа>Г>0,
так что во всяком случае упФ 0. Ограничимся теми значе¬
ниями номера пу для которых это выполняется; тогда
х
отношение — заведомо имеет смысл.
Уп
Исходя, по-прежнему, из равенств (3), имеем
£	Д + ая Q 		1 (hn _„о\
Уп Ь * + Ь Ьуп (Ь *	^
Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина беско¬
нечно малая. Множитель же при нем, на основании сказанного вна¬
чале, будет ограниченной переменной:
*<£<£•
Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет беско-
X
нечно малым, а оно представляет разность между переменной — и
Уп
числом у. Итак, предел есть что и требовалось доказать.
41.	Неопределенные выражения. В предыдущем номере мы рас¬
сматривали выражения
х„±Уп> хпУп>	(4)
и, в предположении, что переменные хп и уп стремятся к конечным
пределам (из которых, в случае частного, предел уп не должен был
равняться нулю), устанавливали пределы каждого из этих выражений.
Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы пере¬
менных хп и уп (один или оба) бесконечны или — если речь идет
о	частном — когда предел знаменателя нуль. Из этих случаев мы
здесь остановимся лишь на четырех, представляющих некоторую важ¬
ную и интересную особенность.
1°. Рассмотрим сначала частное — и предположим, что обе пе-
Уп
ременные хп и уп одновременно стремятся кнулю. Здесь
мы впервые сталкиваемся с совсем особым обстоятельством: хотя нам
известны пределы хп и ую но о пределе их отношения — не зная
самих этих функций от п — никакого общего утверждения мы сде¬
лать не можем. Этот предел, в зависимости от частного закона

86	ГЛ.	III.	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[41
изменения обеих переменных, может иметь различные значения
или даже вовсе не существовать. Следующие простые примеры
поясняют это.
Пусть, скажем, хя = -^-2 и уп = ---<) обе переменные стремятся
х 1
к нулю. Их отношение — = — также стремится к нулю. Если
Уп”	J
же, наоборот, положить хп = —, уп = —2, то, хотя они стремятся
к нулю, на этот раз их отношение — =п стремится к со!
Уп
Взяв же любое отличное от нуля число а и построив две бесконечно
а	1
малые хп = ~~ и уп = —у видим, что отношение их имеет пре¬
делом а (так как тождественно равно а).
(	 ПЛ+1	\
Наконец, если хп = -	-— , уп = — (обе имеют пределом нуль),
х	п	п
то отношение — = (— 1 )rt+1 оказывается вовсе не имеющим
Уп к ’
предела.
Таким образом, одно знание пределов переменных хп и уп в дан¬
ном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения:
необходимо знать сами функции, т. е. закон их изменения вместе
х
сп, и непосредственно исследовать отношение —. Для того
Уп
чтобы характеризовать эту особенность, говорят, что, когда хп -> О
X
и уп0, выражение — представляет неопределенность
о	Уп
вида
2°. В случае, когда одновременно хп dt оо и уп ± оо, имеет
место подобное же обстоятельство. Не зная самих функций,
общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Этот
факт иллюстрируется примерами, вполне аналогичными приведенным в 1°:
а	хп	\	^
хп = п-+ оо,	уп = пг-+ оо,	—	=	* 0:
п	»	sn	Уп	п
хп = п2 -> оо,	уп = п -> оо,	—	=	п -> оо;
Уп
хп = ап^± со (а ^ 0), уп = п-+ оо, ^ = а-*а;
Уп
х„ = [2 —}— (— l)n+1]п-*-оо, уп — п~*со, ^ = 2-f-(— l)n+1 вовсе
Уп
не имеет предела.
И в этом случае говорят, что выражение представляет не¬
определенность, на этот раз — вида —.
Обратимся к рассмотрению произведения хпуп.

41]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
87
3°. Если хп стремится к нулю, в то время как уп стре¬
мится к ± оо, то, исследуя поведение произведения хпуп, мы
сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1° и 2°,
Об этом свидетельствуют примеры:
*п = ^->0, уп = п-+ со, х„уп = 1^0;
хп = ^->0, уп = п*-> со, хпуп = п-*со;
хп = ~^0 (а ^ 0), уп = п~* со, хлуп = а-+а\
/	 | ЛЯ+1
хп = -—^	► 0, уп = п -► оо, хпуп — (— l)n+1 вовсе не имеет
предела.
В связи с этим, при лгя-*0 и уп->оо, говорят, что выражение
хпуп представляет неопределенность вида 0*оо.
Рассмотрим, наконец, сумму хп-\-уп.
4°. Здесь оказывается особым случай, когда хп и уп стремятся
к бесконечности разных знаков: именно в этом случае о сумме
хп-{-уп ничего определенного сказать нельзя, не зная самих
функций хпи уп. Различные возможности, представляющиеся здесь,
иллюстрируются примерами:
хп = 2/1со, Уп = — П-+ — со, хп -\-уп = п -f сю;
хп = п-± +оо,	Уп — — 2я-> — ОО, x„-j-yn = — «-> — оо;
х„ = п-)-а-+- |-оо, уп-—п-* — со, х„-\-уп — а^»а;
х„ = п + (- 1)л+1 -v-J- оо, уп = — п-+ — со, хп —j— уп = ( - 1)',+1
вовсе не имеет предела.
Ввиду этого, при хп оо и уп — оо, говорят, что выра¬
жение хп-[-уп представляет неопределенность вида оо —оо.
Таким образом, определить пределы арифметических выражений
(4) по пределам переменных хп и уп, из которых они составлены,
не всегда возможно. Мы нашли четыре случая, когда этого заведомо
сделать нельзя: неопределенности вида
О оо л
7^-, —, 0 • со, оо — оо *).
О 1 оо’	1	'
В этих случаях приходится, учитывая закон изменения хп и упУ
непосредственно исследовать интересующее нас выражение.
Подобное исследование получило название раскрытия неопре¬
деленности. Далеко не всегда оно так просто, как в приведенных
выше схематических примерах.
*) Конечно, символы эти лишены всякого числового смысла.
Каждый из них является лишь краткой условной характеристикой для
выражений одного из четырех типов неопределенности.

88
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[42
42.	Распространение на случай функции от произвольной
переменной. Сделаем снова замечание относительно общего случая.
Так как здесь мы имеем в виду теоремы, в которых переменные
связываются знаками равенства, неравенства или арифметических дей¬
ствий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя две или
несколько функций /(*), g(х), ... (определенных в одной и той же
области SC) такими знаками, мы всегда подразумеваем, что их зна¬
чения отвечают одному и тому же значению х.
Все эти теоремы можно было бы доказать аналогичным образом
наново, как мы это сделали в п° 37, но — и это важно подчерк¬
нуть — на деле вовсе нет необходимости их передоказывать. Если,
говоря о пределе функции, стоять на «точке зрения последователь¬
ностей», то, поскольку для переменных, зависящих от указателя п,
теоремы доказаны, они верны и для функций в общем случае.
Для примера остановимся на теоремах 1), 2), 3) из п° 40.
Пусть в области SV (с точкой сгущения а) заданы две функ¬
ции f(x) и g(x)t и при стремлении х к а обе имеют конечные
пределы
lim f(x) = A, lim ^(лг) = В.
Тогда и функции
f(x)±g(x), f(x).g(x), да	(5)
также имеют конечные пределы (в случае частного — в предпо¬
ложении, что В Ф 0), именно
А±В, A-В,
На «языке последовательностей» данные соотношения расшифро¬
вываются так: если \хп) есть любая последовательность (отличных
от а) значений х из Sfr, имеющая пределом а, то
/(*„)-* Л, g(xn)^B.
Если к этим двум функциям уже от натурального аргумента п при¬
менить доказанные теоремы, то получаем сразу:
lim [/(х„) ± £(лгя)] — А± В, lim f(xn) -g(xn) = A- В,
lim tS^ = A
sW В'
а это (на «языке последовательностей») и выражает именно то, что
нужно было доказать *).
*) В случае частного можно было бы заметить [аналогично тому, как
мы это сделали для уп в п° 40, 3)], что для х> достаточно близких к а, зна-
f(X)
менатель g(x)z£ 0, так что дробь : имеет смысл по крайней мере для
g W
этих значений х.

43]
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
89
Таким же образом на общий случай, рассматриваемый нами те¬
перь, переносится и сказанное в п° 41 относительно «неопределенных
выражений», условно характеризуемых символами
О	оо	п
т-,	—,	0 • оо,	оо — со.
О	9	оо9	9
Как и в простейшем случае, когда мы имели дело с функциями на¬
турального аргумента, здесь для «раскрытия неопределенности» уже
недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и £(*), а нужно
учесть и самый закон их изменения. Примеры раскрытия неопреде¬
ленностей читатель найдет в следующем номере.
Мы вернемся к этому вопросу в § 3 главы VII, где будут даны
общие методы раскрытия неопределенностей уже с применением
дифференциального исчисления.
43, Примеры. 1) Пусть р (л:) будет многочлен, целый относительно х,
с постоянными коэффициентами:
р (*) = а0хк + а,**'1 + ... + ak_tx + ак (а„ ф 0).
Поставим вопрос о пределе его при х + °°- Если ]бы все коэффициенты
этого многочлена были положительны (отрицательны), то сразу ясно, что
пределом р (х) будет +оо (—оо). Но в случае коэффициентов разных зна¬
ков одни члены стремятся к +оо, другие к —оо, и налицо неопределенность
вида оо — оо.
Для раскрытия этой неопределенности представим р (л:) в виде
р(х) = х*[а,+Ь+...+%& + %).
Так как все слагаемые в скобках, начиная со второго, при безграничном возра¬
стании х будут бесконечно малыми, то выражение в скобках имеет пределом
а0^ЬО; первый же множитель стремится к +°° - В таком случае все выра¬
жение стремится к +00 или —оо, в зависимости от знака а0.
Такой же результат, в частности, получится, если вместо непрерывно
изменяющейся переменной х подставить натуральное число п.
Предоставляем читателю установить Ишр(д^) при л:——оо (учитывая
на этот раз четность или нечетность показателя k). Во всех случаях предел
многочлена р (х) совпадает с пределом его старшего члена a0xk.
Уничтожение «неопределенности» путем преобразования данного выра¬
жения, чем мы здесь и воспользовались, часто применяется для раскрытия
неопределенности.
2) Если q (*) есть такой же многочлен
q(x) = b0xl + btxl-l+ ... + b,^x + bt (Ь„ ф 0),
P	(х)	I	оо
то частное	{	при	лг—* + о°	представит неопределенность вида	—.
Q	\Х)	оо
Преобразуя каждый из многочленов так, как это было сделано в при¬
мере 1), получим:
I ci I	I	ak

90
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
143
Второй множитель здесь имеет конечный предел ~-ф0. Если степени обоих
полиномов равны: Л?=/, таков же будет и предел отношения ^	. При
k>l первый множитель при * — + 00 тоже стремится к + оо, так что
рассматриваемое отношение стремится к ± оо^с учетом знака Нако¬
нец, при k СI пределом будет нуль. Здесь также вместо х можно подста¬
вить натуральное число я.
Легко установить и предел ПРИ	*—°°* Во всех случаях предел
отношения многочленов совпадает с пределом отношения их старших членов.
3) Найти площадь Q фигуры ОРМ, образованной частью ОМ параболы
у = ах2 (а > 0), отрезком ОР оси # й отрезком РМ (рис. 24).
Разобьем отрезок ОР на п равных частей и построим на них ряд вхо¬
дящих и выходящих прямоугольников. Площади Qn и Qn составленных из
них ступенчатых фигур разнятся площадью
X
— • у наибольшего прямоугольника. Отсюда
разность Q'п—(при л-^оо) и,
так как
очевидно,
<?„<<?< Qn,
Q = lim Qn = lim Q'n.
Так как высоты отдельных прямоуголь-
ников суть ординаты точек параболы
с абсциссами
— лг,
п *
-Х = х,
и — в согласии с уравнением кривой—величины их равны, соответственно,
1 ...	_	22	...	_	я-
<х • —5 х , а • —я- х\
п2	п2	1
то для Q’n получаем выражение *)
Q’n = -fl(12 + 22+ ... +я!). - = ^ • (" + 1)(2п + 1)
п п2 '	1	1	1	7	п б	п2
Отсюда, если использовать пример 2,
л	ах3	ху
0 = lim Qn =-^-= -f.
Опираясь на это, легко получить, что площадь параболического сег-
4
мента М'ОМ равна	ху, т. е. двум третям площади описанного прямоуголь¬
ника (этот результат был известен еще Архимеду) **).
*) Здесь мы используем известную формулу для суммы квадратов пер¬
вых п натуральных чисел.
**) Архимед—величайший из математиков древности (III в. до на¬
шей эры).

43]	§	2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ	91
Замечание. Общее определение площади криволинейной фигуры
будет дано лишь в главе XII; там же примененный здесь метод вычисле¬
ния площади будет обобщен на другие криволинейные фигуры [п° 196].
4)	Найти пределы переменных:
п	п
хп —	'* zn —
У я- -j- п
и, наконец,
1,1.
3>/1
/я2+ 1	/л2	+	2	/под¬
выражения хл и zn представляют неопределенность вида — (так как
оба корня больше л, то они стремятся к бесконечности). Преобразуем, деля
числитель и знаменатель на п:
1	1
Так как оба корня в знаменателе имеют пределом единицу *), то хп —► 1
Выражение для уп имеет своеобразную форму: каждое слагаемое этой
суммы зависит от щ но и число их растет вместе с п. Так как
каждое слагаемое меньше первого и больше последнего, то
<Уп<~7==Г> т* е‘ хп<Уп<*п-
У na + n	V 1
Но (согласно уже найденному) переменные хп и zn стремятся к общему
пределу — единице; следовательно, — по теореме 3) пв38—к тому же пре¬
делу стремится и переменная уп.
5)	Вернемся к функции /(*)» рассмотренной в п° 18, 3° и определенной
там тремя различными формулами—для разных х. Положим теперь
сразу' для всех х\
	 1
/(*)= lim ;йгтл-
П-* 00 л Т" 1
Если | лег | > 1, то имеем здесь неопределенность вида —, которая легко
раскрывается путем деления числителя и знаменателя на х2п; мы получаем
f(x)= 1. При j л: j С 1, очевидно, лг2Л — 0 и /(*) = — 1. Наконец, если
х = ±1, то числитель дроби постоянно равен нулю, а с ним и /(х) = 0.
Это—-в точности та же функция, но задана она на этот раз одной фор¬
мулой.
г. УТ+7—1	1
6)	hm 		1	= -s-.
Х^О х	*
Действительно,
УТ+7-1_	1
/1+дг+Г
*) Это, например, для первого корня следует из неравенств
l<j/"l + 7<l+^	[п‘38,3],

92
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[44
но
1-|*|</Г+^<1 + |.П
так что
lim + ■*= If
х-+о
откуда и следует требуемый результат.
7)	Предел [34, 5)]
sin х t
lim 	= 1
лг-0 х
часто используется для нахождения других пределов.
, ч	1-1 —cos х	1	/ 0\
(Э)	to)*
Очевидно,
о • а х	/ • х \2
.	2 sin2	1 / sin -к- \
l	—cos *	2	1 I 	2_ \
так как выражение в скобках стремится к единице, то общий предел и
будет у.
1-	tg* — sin х	1	/0\
(б)		= Т	Ы*
И здесь преобразование легко приводит к уже изученным пределам:
tg а: — sin л:  	1	sin	х 1 —cos х
х3	cos х 9 х	х2
Заметим, что cos х -* 1 при х 0, как это вытекает, например, из предыду¬
щего результата (а).
§ 3. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ
44. Предел монотонной функции от натурального аргумента.
Теоремы о существовании пределов функций, которые приводились
до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних
функций пределы существуют, устанавливалось существование преде¬
лов для других функций, так или иначе связанных с первыми. Вопрос
о	признаках существования конечного предела для заданной функции,
безотносительно к другим функциям, не ставился. Оставляя решение
этого вопроса в общем виде до § 4, мы рассмотрим здесь один
простой и важный частный класс функций, для которых он решается
легко, причем, как всегда, начнем с простейшего случая — функ¬
ции хп от натурального аргумента.
Переменная хп называется возрастающей, если

44]	§ з. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ	93
т. е. если из п'^>п следует хп*хп. Ее называют неубывающей,
если
Xl Х%	• • • ^==: Хп XnJ[_\ • • • >
т. е. если из п'^>п следует лишь хп^^хп. Можно и в последнем
случае называть переменную возрастающей, если придать этому
термину более широкий смысл.
Аналогично устанавливается понятие об убывающей — в узком
или широком смысле слова — функции от п\ так называется перемен¬
ная хп> для которой соответственно
*i>*«>... >*„> •^я+1 ^ • • •
пли
х^х^ ... ^хп5?хп+15*
так что из п'^>п следует (смотря по случаю) хпг<^хп или лишь
Хпг ^ Хп.
Переменные всех этих типов, изменяющиеся при возрастании п
в одном направлении, объединяются под общим названием монотон¬
ных. Обычно о переменной этого типа говорят, что она «монотонно
возрастает» или «монотонно убывает».
Одновременно с переменной хПУ зависящей от натурального
указателя, и последовательность
> Хп> • • • .
принимаемых ею значений — в соответствующих случаях — также на¬
зывается возрастающей или убывающей.
По отношению к монотонным переменным имеет место следующая
Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая переменная хп.
Если она ограничена сверху:
хп^М	(М = const; п= 1, 2, 3, *..),
то необходимо имеет конечный предел, в противном же слу¬
чае она стремится к
Точно так же всегда имеет предел и монотонно убывающая
переменная хп. Ее предел конечен, если она ограничена снизу,
в противном же случае ее пределом служит — оо *).
Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей,
хотя бы в широком смысле, переменной хп (случай убывающей пере¬
менной исчерпывается аналогично).
•) Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной,
которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо —
без влияния на предел переменной—любое число первых ее значений можно
отбросить).
В тексте теоремы, вместо монотонной переменной хП1 можно было бы
говорить о монотонной последовательности.

94	ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[45
Допустим сначала, что эта переменная ограничена сверху. Тогда,
по теореме п° 6, для множества {хп} ее значений должна существовать
и (конечная) точная верхняя граница:
a = sup{*„};
как мы покажем, именно это число и будет пределом пере¬
менной хп.
Действительно, вспомним характерные свойства точной верхней
границы [в]. Во-первых, для всех значений п будет
Во-вторых, какое бы ни взять число е^>0, найдется такое значение,
скажем, xN нашей переменной, которое превзойдет а — е:
xlv>a — S.
Так как, ввиду монотонности переменной хп (здесь мы впервые
на это опираемся), при n^>N будет хп^х^ т* е* и подавно
хп^>а — е> т0 Для этих значений номера п выполняются неравенства
О^а — хп<^г> так что \хп — а |<3
откуда и следует, что hmxn = a.
Пусть теперь переменная хп не ограничена сверху. Тогда, сколь
велико ни было бы число Е^>0, найдется хоть одно значение пере¬
менной, которое больше Е; пусть это будет xN\ лг^^Е. Ввиду
монотонности переменной хп для n^>N 1л подавно
*Л>Е>
а это и означает, что Нтлгя = -[-со-
Замечание. Наличие конечного предела у ограниченной монотонной
переменной в первой половине прошлого века считалось чем-то само собою
разумеющимся. Потребность в строгом доказательстве этого — фунда¬
ментальной важности—утверждения была фактически одним из
поводов к созданию арифметической теории иррациональных чисел. Добавим,
что упомянутое утверждение вполне эквивалентно свойству непрерывности
множества вещественных чисел [п“5].
Обратимся к примерам применения теоремы.
45. Примеры. 1) Рассмотрим выражение (считая с>0)
ся
Хп~~п\ ’
где п\ = 1 • 2 •... • л. ^Оно при с > 1 представляет неопределенность вида
Так как
с
xn+t — 7Г+Т Хп’
то, лишь только л>с—1, переменная становится убывающей; в тоже
время снизу она ограничена, например, нулем. Следовательно, переменная

451	§	3.	МОНОТОННАЯ	ФУНКЦИЯ	95
хп —по теореме— имеет конечный предел, который мы обозначим
через а.
Для того чтобы найти его, перейдем к пределу в написанном выше
равенстве; так как xn+i пробегает ту же последовательность значений, что
и хп (с точностью до первого члена), и имеет тот же предел я, то мы получим
а = а • О,
отсюда а = 0 и, окончательно,
2)	Считая снова с > 0, определим теперь хп так:
Xi—'/c+Y'c, xt = V°+Vc+Vc.-
и вообще
хп = У с + /с+ ... + у~с.
п корней
Таким образом, хп+1 получается из хп по формуле
*и+1 = У С+ хп.
Ясно, что переменная хп монотонно возрастает. В то же время она
ограничена сверху, например, числом ]/" с +1. Действительно, xt=-Yс
меньше _этого числа; если допустить теперь, что какое-либо значение
хп < Y с + 1» то и Для следующего значения получаем
*л+1< /с+ у7 +.1< V7+2уТ+Т=у7 + 1.
Таким образом, наше утверждение оправдывается по методу математической
индукции.
По основной теореме переменная хп имеет некий конечный предел а.
Для определения его перейдем к пределу в равенстве
К+i=c+*„;
мы получим, таким образом, что а удовлетворяет квадратному уравнению
а2 = с + с.
Уравнение это имеет корни разных знаков; но интересующий нас предел а
не может быть отрицательным, следовательно, равен именно положи¬
тельному корню:
д= /4FTT+1 %
Оба примера дают повод к следующему замечанию. Доказан¬
ная теорема является типичной «теоремой существования»: в ней
*) Этот интересный пример по существу принадлежит Якобу Бернулли,
который рассматривал его под видом вычисления выражения
у с + Vс + Y° + и"т* д* до бесконечности.

96
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
(46
устанавливается факт существования предела, но не дается никакого
приема для его вычисления. Тем не менее, она имеет очень важное
значение. С одной стороны, в теоретических вопросах часто только
существование предела представляется нужным. С другой же стороны,
во многих случаях возможность предварительно удостовериться в суще¬
ствовании предела важна тем, что открывает пути для его факти¬
ческого вычисления. Так, в приведенных примерах именно знание
факта существования предела позволило, с помощью перехода к пре¬
делу в некоторых равенствах, установить точное значение предела.
46.	Лемма о вложенных промежутках. Остановимся теперь на
сопоставлении двух монотонных переменных, изменяющихся «на¬
встречу» одна другой.
Пусть даны монотонно возрастающая переменная хп и моно¬
тонно убывающая переменная уп, причем всегда
*п<Уп•	(!)
Если их разность уп — хп стремится к нулю> то обе перемен¬
ные имеют общий конечный предел:
с = \\тхп = \\туп.
Действительно, при всех значениях п имеем: уп<^у\, а значит,
ввиду (1), и хп<^у\ (п= 1, 2, 3, Возрастающая переменная хя
оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный
предел
c = \imxn.
Аналогично, для убывающей переменной уп будем иметь
Уп>Хп^Х „
так что и она стремится к конечному пределу
с* = \\т у
Но, по теореме 1) п° 40, разность обоих пределов
с' — с = Мт(уп — хп\
т. е. по условию равна нулю, так что сг = с; это и требовалось
доказать.
Доказанному утверждению можно придать другую форму, в кото¬
рой оно чаще применяется.
Условимся говорить, что промежуток [а\ Ьг\ содержится в про¬
межутке [а, Ь] или вложен в него, если все точки первого про¬
межутка принадлежат второму или, что то же самое, если
Геометрический смысл этого ясен.

47J	§ 3. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ	97
Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных
один в другой промежутков
[#1>	• • • > [^/г> bn]t . .. ,
так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем
длины этих промежутков стремятся к нулю с возрастанием п:
lim (bn — ап) = 0.
Тогда концы ап и Ьп промежутков (с разных сторон) стремятся
к общему пределу
с = lim ап = lim bn.
Это есть лишь перефразировка доказанной выше теоремы: согласно
условию,
ап ^ ап+1 < bn+1 ^ Ьт
так что левый конец ап и правый конец Ъп п-го промежутка играют
здесь роль монотонных переменных хп и уп.
Впоследствии нам не раз придется опираться на это предложение,
которое будем называть «леммой о вложенных промежутках».
47.	Предел монотонной функции в общем случае. Перейдем
теперь снова к рассмотрению функции /(лг) от произвольной пере¬
менной. И здесь вопрос о самом существовании предела функции
lim f(x)
х -* а
особенно просто решается для функций частного типа, представляю¬
щих обобщение понятия монотонной переменной хп [44].
Пусть функция /(лг) определена в некоторой области SV = {лг}.
Функция называется возрастающей (убывающей) в этой
области, если для любой пары принадлежащих ей значений х и х*
из У>дг следует /<У)>/(*) [/(V) </(■*)]•
Если же
из х'^>х следует лишь f(xf)^f(x) [/(*')^/(лг)],
то функцию называют неубывающей (невозрастающей).
Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастаю¬
щей (убывающей) — но в широком смысле.
Функции всех этих типов носят общее название монотонных.
Для монотонной функции имеет место теорема, вполне аналогичная
той теореме о монотонной переменной лгЛ, зависящей от п, которая
была установлена в п° 44.
Теорема. Пусть функция f(x) монотонно возрастает, хотя бы
в широком смысле, в области имеющей точкой сгущения
число а, бд ль шее всех значений х (оно может быть конеч¬
ным или равным 4“ оо). Если при этом функция ограничена сверху:
f(x)^M (для всех х из X),
4	Г. М. Фихтенгольц, т. I

98
ГЛ. Ш. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
то при х—>а функция имеет конечный предел; в противном
случае она стремится к -{-оо.
Доказательство. Допустим сначала, что функция f(x) огра¬
ничена сверху, т. е. ограничено сверху множество {/(х)} значений
Функции, отвечающих изменению х в области 2С. Тогда для этого
множества существует [п°6] конечная точная верхняя граница Л.
Докажем, что это число Л и будет искомым пределом.
Прежде всего, для всех значений х
Далее, задавшись произвольным числом е^>0, по свойству точной
верхней границы найдем такое значение х'<^а, что f(xf)^>A — е.
Ввиду монотонности функции, для хи подавно будет:/(лг) Л — е,
так что для упомянутых значений х выполнится неравенство
Это и доказывает наше утверждение, стоит лишь при а конечном
взять Ь = а — У (так что неравенство х^>х' может быть написано
в виде х^>а — 8), а при а = ~\-оо взять А = х'.
Если функция /(х) сверху не ограничена, то каково бы ни было
число Е, найдется такое У, что /(У)]>Е; тогда для х^>х? и
подавно f(x)^> Е, и т. д.
Предоставляем читателю преобразовать эту теорему для случая,
когда предельное значение а меньше всех значений х, равно как
и для случая монотонно убывающей функции.
Ясно, что теорема о монотонной переменной хп в п° 44 есть
просто частный случай этой теоремы. Независимой переменной там
был указатель п, областью изменения которого служил натуральный
ряд оДГ = {/г}, с точкой сгущения -|-оо.
В последующем нам чаще придется в качестве области в которой
рассматривается функция /(л;), встречать сплошной промежу¬
ток [а\ а), где а'<^а и а — конечное число или -{- со, либо же —
промежуток (а, а'], где а'^>а и а — конечное число или —оо.
48.	Число е как предел последовательности. Мы используем
здесь предельный переход для определения нового, до сих пор не
встречавшегося нам числа, которое имеет исключительную важность
как для самого анализа, так и для его приложений.
Рассмотрим переменную
и попытаемся применить к ней теорему п° 44.
Так как с возрастанием показателя п основание степени здесь
убывает, то «монотонный» характер переменной непосредственно
/С*)<А
1/С*)-А | о
§ 4. число е

48]	§ 4. число е	£9
не усматривается. Для того чтобы убедиться в нем, прибегнем к раз¬
ложению по формуле бинома:
у. 	( 1 I 1 \п  1 I	1	I n(tl 1)	1	I
х* — [1 + п) -l+"-«Н	ГТ--Й5 +
, я(л —1)(я—2)	1	,	,	Я	(я	—	I)... (л—л + 1)	1	,
1*2*3	’	я»	1	"г	1	-2	-	...	-к	я^ 1
. п(п — 1)(я—я + 1)	J__
Если от д;я перейти теперь к хп+ь т. е. увеличить п на единицу,
то прежде всего добавится новый (/г —2)-й (положительный) член,
каждый же из написанных п-\- 1 членов увеличится, ибо любой
$
множитель в скобках вида 1	заменится большим множи-
п
£
т е л е м 1	. Отсюда и следует, что
Я -J- 1
•*71+1
т. е. переменная хп оказывается возрастающей.
Теперь покажем, что она к тому же ограничена сверху.
Опустив в выражении (1) все множители в скобках, мы этим увели¬
чим его, так что
лгп<24-2Г+^-+ ••• +^=Уп-
Заменив, далее, каждый множитель в знаменателях дробей (начиная
с третьей) числом 2, мы еще увеличим полученное выражение, так
что, в свою очередь,
+ - + 2^=1 •
Но прогрессия ^начинающаяся членом ~j имеет сумму, меньшую
единицы, поэтому уп3, а значит и подавно хп<^3.
Отсюда уже следует, по теореме п° 44, что переменная хп имеет
конечный предел. По примеру Эйлера его обозначают всегда буквой е.
Это число
е = Пт[1+±.)П
4*

100	ГЛ.	III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[49
мы и имели в виду. Вот первые 15 знаков его разложения в деся¬
тичную дробь:
е = 2,71828 18284 59045
Хотя последовательность
*1 =	+	у]	=2;	^1	“Ь	y] —2,25;
*3 = (l-|-i-)3 = 2,3703	ДГю»	=	(l	+	щУ°°	=	2,7048	...
и сходится к числу еу но медленно, и ею пользоваться для при¬
ближенного вычисления числа е — невыгодно. В следующем номере
мы изложим удобный прием для этого вычисления, а также попутно
докажем, что е есть число иррациональное.
49.	Приближенное вычисление числа е. Вернемся к равенству (1).
Если фиксировать k и, считая п > ку отбросить все члены последней
части, следующие за (£-|-1)-м, то получим неравенство
"+Й(‘-4М'-*-^)-
Увеличивая здесь п до бесконечности, перейдем к пределу; так как все
скобки имеют пределом единицу, то найдем:
е^2 + Т\+Ж + - + Ж=Ук'
Это неравенство имеет место при любом натуральном к. Таким образом,
имеем
хп <Уп < е,
откуда ясно [в силу теоремы 3) п° 38], что и
Jim уп = е.
Переменная уп для приближенного вычисления числа е гораздо удобнее,
чем хп. Оценим степень близости уп к е. С этой целью рассмотрим сначала
разность между любым значением уп+т (т = 1, 2, 3, ...), следующим
за уп, и самим уп,. Имеём
1 . 1 , . 1
Уп+m Уп — I 1 \i “Г /„I оч| "Г
(я + 1)1 (л + 2)! (я + w)!
(п -(- 1)! { п 2 (п -|- 2) (п 3)	(п	4“	2)	(п	-f-	3)... (п т)}'
Если в скобках заменить все множители в знаменателях дробей через
п + 2, то получим неравенство
Уп+т —Уп < i)j I1 + J+2“*■ (л + 2)а + •" + (n -f-	}»

49]	§ 4. число е	101
которое лишь усилится, если заменить скобки суммой бесконечной про¬
грессии:
1 л + 2
Уп+т -Ул < (га _j_ i)J 'п+Г
Сохраняя здесь п неизменным, станем увеличивать т до бесконечности;
переменная уп+т (занумерованная значком т) принимает последователь¬
ность значений
Уп+и Уп+ь ••чУп+гт •••»
очевидно сходящуюся к е. Поэтому получаем в пределе
_	1 п + 2
е 1)! * п+ 1
или, наконец,
0	< е —уп < 4- *).
п\п
Если через 0 обозначить отношение разности е—уп к числу ^|-^(оно,
очевидно, содержится между нулем и единицей), то можно написать также
6
*-*eSTir
Заменяя здесь уп его развернутым выражением, мы и придем к важной
формуле:
e = 1 + IT + i + r + - + ^r + r^’
которая послужит отправной точкой для вычисления е. Отбрасывая послед¬
ний, «дополнительный», член и заменяя каждый из остав¬
ленных членов его десятичным приближением, мы и
получим приближенное значение для е,	2,00000
Поставим себе задачей с помощью формулы (2) вы-	1 еЛллл
|	"пГ — UjOUUUu
числить е, скажем, с точностью до Прежде всего	^
нужно установить, каким взять число п (которое нахо-	= 0,16667—
дится в нашем распоряжении), чтобы осуществить эту
точность.	-L = о 04167 —
Вычисляя последовательно числа, обратные факто-	41	*
риалам (см. приведенную табличку), мы видим, что при	\
п = 7 «дополнительный» член формулы (2) будет	уже	gp = 0,00833 -|-
йТя= 7Т7< 0’00003-	-gf = 0,00139 -
так что, отбрасывая его, мы делаем погрешность,	зна-	1 	ппппоп
чительно меньшую поставленной границы. Остановимся	—
же на этом значении п. Каждый из остальных членов 	9Т18#Г~"
обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности)	»
на пятом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной
величине была меньше половины единицы на пятом месте, т. е. меньше ~ • уд-5.
Мы свели результаты вычислений в табличку. Рядом с приближенным числом
ti 1 2	1
*) Так как (это легко проверить) ■	^	,

102
ГЛ. IIT. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[50
поставлен знак (+ или —), указывающий на знак поправки, которую
необходимо было бы прибавить, для восстановления точного числа.
Итак, как мы видели, поправка на отбрасывание дополнительного длена
меньше Учитывая теперь еще и поправки на округление (с их знаками),
легко сообразить, что суммарная поправка к полученному приближенному
значению числа е лежит между
Отметим, что та же формула (2) может служить и для доказательства
иррациональности числа е.
Рассуждая от противного, попробуем допустить, что е равно рациональ¬
ной дроби —; тогда, если именно для этого п написать формулу (2),
будем иметь
Умножив обе части этого равенства на п\} по сокращении знаменателей
всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число,
а справа—целое число с дробью—, что невозможно. Полученное
противоречие и доказывает то, что требовалось.
50.	Основная формула для числа е. Натуральные логарифмы.
Число е в п° 48 первоначально было определено как предел перемен¬
ной, зависящей от натурального указателя:
Для этого [35] достаточно доказать, что имеют место порознь
соотношения
Воспользуемся на этот раз определением предела «на языке после¬
довательностей» [32].
— То5 и +1о*-
Отсюда само число е содержится между дробями
2,71824 и 2,718295,
так что можно положить
е — 2,7182 -J- 0,0001#
(3)
Теперь же мы установим более общий результат
е= lim (1 +at) v
(4)
Jim (1-\-х)х=е и lim (1 -j-Jc)* =e.
(4a)

50J	§	4.	число е	ЮЗ
Кстати,	если	и предел	(3),	рассматривая	его	как	предел функции
от	Пу	истолковать «на	языке	последовательностей»,	то	придем
к равенству
,1ш	®
(l+dn)'
какова бы ни была последовательность {%} натуральных чисел, ра¬
стущих вместе с номером А до бесконечности.
Пусть теперь х пробегает какую-нибудь последовательность {хк}
положительных значений, стремящихся к нулю; можно считать,
что все xk<^\. Положим nk = E	так что
и пи-+ + оо.
Так как при этом
1	^ 1
«л+ 1 <^Xk^~nk'
то
1 1^*+1
пк!
Два крайних выражения могут быть преобразованы так:
Л_,	1_Г*+1
(i I 1 v**_l +**+w
V1	' пи + lj —	1
1+я*-|-1
(ч-^г-е+й'ч+а-
причем, в силу (5),
(1+irA~*e’ а также(1+й7ТтГ+1~'е>
в то время как, очевидно,
1+- — 1, 14—U-i.
'пк	~Пк+	1
Таким образом, оба упомянутых выражения стремятся к общему
пределу еу а тогда [по теореме 3), 38] и заключенное между ними
выражение также стремится к е\
lim {1 -\-хк)хь = е.
Этим и завершается доказательство первого из соотношений (4а)
«на языке последовательностей».

104	ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[51
Для доказательства же второго из них предположим теперь, что
последовательность {xk} состоит из отрицательных значений,
стремящихся к нулю; будем считать xk^>—1. Если положить
Хк — —У»то
1>Л>0, Ук-+ 0-
Очевидно,
1	1	I
(1 += 0 ~Ун) Ук = {у~1к=
1-
Уь
= ('+>
Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения
стремится к е, второй же очевидно имеет пределом единицу, то и
выражение слева также стремится к е. Формула (4) оправдана полностью.
Это замечательное свойство числа е лежит в основе всех его
приложений. Именно оно делает особенно выгодным выбор этого
числа в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по
основанию е называются натуральными и обозначаются знаком In
(logarithmus naturalis); в теоретических исследованиях пользуются
исключительно натуральными логарифмами *).
Упомянем, что обычные, десятичные, логарифмы связаны с нату¬
ральными известной формулой:
log х = In х • My
где М есть модуль перехода и равен
м=logе = йПо = 0,434 294
это легко получить, если прологарифмировать по основанию 10 то¬
ждество
* = г,п*.
§ 5. ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ
51.	Частичные последовательности. Пусть дана некоторая по¬
следовательность
Xif Х%у Х%, • • • | Хп, ... | Хп, , *. t	(1)
*) Эти логарифмы иногда ошибочно называют неперовыми по имени
шотландского математика Н е п е р а (1550—1617) — изобретателя логарифмов.
Сам Непер не имел понятия об основании системы логарифмов, ибо строил
их своеобразно, совсем на другом принципе, но его логарифмы соответ¬
ствуют логарифмам по основанию, близкому к Близкое к е основание
имеют логарифмы его современника швейцарского математика Б ю р г и
(1552—1632).

511
§ б. ПРИНЦИП сходимости
105
Рассмотрим, наряду с нею, какую-либо извлеченную из нее частич¬
ную последовательность
...» Xnk7 .. •	(2)
где \nk} есть некоторая последовательность возрастающих на¬
туральных чисел:
»1<«9<«3< ... OfeO*+l< ...	(3)
Здесь роль номера, принимающего подряд все натуральные зна¬
чения, играет уже не п, a k\ nk же представляет собой функцию
от ky принимающую натуральные значения и, очевидно, стремящуюся
к бесконечности при возрастании k.
Если последовательность (1) имеет определенный предел а
(iконечный или нет), то тот же предел имеет и частичная
последовательность (2). Если же для последовательности (1) нет
определенного предела, то это не исключает возможности существо¬
вания предела для какой-либо частичной последовательности.
Пусть, например, хп = {—1)Л+1; предела эта переменная не
имеет; Если же заставить п пробегать лишь одни нечетные или одни
четные значения, то частичные последовательности
Х\  1 >	*3	 Ь • • • у		 Ь • • •
И
*2 = — Ь *4=— Ь ..о Хы = ~ 1’ “•
будут иметь пределом, соответственно, число 1 или —1.
В случае неограниченной последовательности (1) иной раз
оказывается невозможным выделение частичной последовательности (2),
имеющей конечный предел [так будет, если сама последователь¬
ность (1) стремится к ±со]. Наоборот,для ограниченной после¬
довательности имеет место следующее утверждение, принадлежащее
Больцано и Вейерштрассу *):
Лемма Больцано — Вейерштрасса, Из любой ограничен¬
ной последовательности (1) всегда можно извлечь такую частич¬
ную последовательность (2), которая сходилась бы к конечному
пределу.
(Эта формулировка не исключает возможности и равных чисел
в составе данной последовательности, что удобно в приложениях).
Доказательство. Пусть все числа хп заключены между гра¬
ницами а к Ь. Разделим этот промежуток [а, Ь\ пополам, тогда хоть
в одной половине будет содержаться бесконечное множество элемен¬
тов данной последовательности, ибо, в противном случае, и во всем
промежутке [аг Ь\ этих элементов содержалось бы конечное число,
что невозможно. Итак, пусть [av bx\ будет та из половин, которая
*) Карл Вейерштрасс (1815—1897) — выдающийся немецкий мате¬
матик.

106
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
152
содержит бесконечное множество чисел хп (или, если обе половины
таковы, то — любая из них).
Аналогично, из промежутка [аХУ bx\ выделим его половину [а2, &2] —
под условием, чтобы в ней содержалось бесконечное множество
чисел хп, и т. д. Продолжая этот процесс, на £-й стадии его вы¬
делим промежуток [aky Ьк]у также содержащий бесконечное множество
чисел хп; и так далее до бесконечности.
Каждый из построенных промежутков (начиная со второго) содер¬
жится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того, длина
А-го промежутка, равная
,		Ь — а
°k — ak — 2fe !
стремится к нулю с возрастанием k. Применяя сюда лемму о вло¬
женных промежутках [п°46], заключаем, что ак и /устремятся к об¬
щему пределу с.
Теперь построение частичной последовательности {хПк\ произве¬
дем индуктивно следующим образом. В качестве хП1 возьмем любой
(например, первый) из элементов хп нашей последовательности, со¬
держащихся в [а1у Ьх]. В качестве хП2 возьмем любой (например,
первый) т элементов хпУ следующих за хП1 и содержащихся
в [аь Ьъ]> и т. д. Вообще, в качестве хПк возьмем любой (например,
первый) из элементов хпУ следующих за ранее выделен¬
ными хП1, хпг ..., *пк_х и содержащихся в [ak, bk]. Возможность
такого выбора, производимого последовательно, обусловливается именно
тем, что каждый из промежутков [акУ bk\ содержит бесконечное
множество чисел хПУ т. е. содержит элементы хп со сколь угодно
большими номерами.
Далее, так как
ak^xnk	и	limak	=	\imbk	= c,
то по теореме 3) п° 38 и lim xnjt = с, что и требовалось доказать.
Метод, примененный при доказательстве этого утверждения и
состоящий в последовательном делении пополам рассматриваемых
промежутков, часто будет нам полезен и в других случаях.
Лемма Больцано — Вейерштрасса значительно облегчает доказа¬
тельство многих трудных теорем, как бы вбирая в себя основную
трудность рассуждения. Мы воспользуемся ею в ближайшем же номере.
52.	Условие существования конечного предела для функции
от натурального аргумента. Пусть дана переменная хПУ пробегаю¬
щая последовательность значений (1); займемся, наконец, вопросом
сб общем признаке существования конечного пре¬
дела для этой переменной (или для последовательности что то же).
Само определение предела для этой цели служить не может,

52|
§ б. ПРИНЦИП сходимости
107
ибо в нем фигурирует уже тот предел, о существовании которого
идет речь. Мы нуждаемся в признаке, который использовал бы лишь
то, что нам дано, а именно — последовательность (1) значений пере¬
менной.
Поставленную задачу решает следующая замечательная теорема,
принадлежащая Больцано (1817) и Коши (1821); ее называют часто
принципом сходимости.
Теорема. Для того чтобы переменная хп имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа е О
существовал такой номер N, чтобы неравенство
1^-^'К6	(4)
выполнялось, лишь только n^>N и nr^>N.
Как видит читатель, суть дела здесь в том, чтобы значения пере¬
менной между собой безгранично сближались по мере возрастания
их номеров. Обратимся к доказательству.
Необходимость. Пусть переменная хп имеет определенный
конечный предел, скажем а. По самому определению предела [п°28|,
каково бы ни было число е^>0, по числу — найдется такой но¬
мер N, что для n^>N всегда имеет место неравенство
\х*—a\<i-
Возьмем теперь любые два номера n^>N и n'^>N; для них
одновременно будет
\*П — «!<-§• и 1« —
откуда
\Хя — Х*\ = \(Хп — <*) + (<* — ■*„.)!«£
I хп — а 1 + I а — хп>\ <С 4Т ~
Этим необходимость условия доказана. Значительно труднее дока¬
зать его
Достаточность. Здесь именно мы и применим лемму преды¬
дущего номера.
Итак, пусть условие выполнено, и по заданному	найден
такой номер N, что для n^>N и n,4^>N имеет место неравенство (4).
Если Н при этом фиксировать, то, переписав (4) так:
— £<*„<*,..-И,
видим, что переменная хю во всяком случае, будет ограниченной:
ее значения для n^>N содержатся между числами хп, — е и
и нетрудно эти границы раздвинуть так, чтобы охватить и пер¬
вые N значений: xlt хь .xNu

103
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
(53
Тогда, по лемме Больцано — Вейерштрасса, можно выделить частич¬
ную последовательность {хПк}, сходящуюся к конечному пределу с:
Покажем, что к этому пределу стремится вообще и переменная хп.
Можно выбрать k настолько большим, чтобы было
I	Хп k с I 6
и, одновременно, nk^>N. Следовательно, в (4) можно взять nr = nk:
I-*»» — Xnk\<*
и, сопоставляя оба эти неравенства, окончательно находим
\хя — с I <; 2в (для n^>N),
что и доказывает наше утверждение *).
Замечание. Хотя и Больцано и Коши утверждали доста¬
точность высказанного ими условия существования конечного пре¬
дела, но без строгой теории вещественных чисел, разумеется, до¬
казать этого не могли.
53.	Условие существования конечного предела для функции
любого аргумента. Перейдем теперь к рассмотрению общего слу¬
чая— функции /(аг), заданной в области 3' = {х}, для которой а
служит точкой сгущения. Для существования конечного предела
этой функции при стремлении х к а может быть установлен такой же
признак, как и в случае функции от натурального аргумента. Форму¬
лировку его мы дадим параллельно для случая конечного а и для
случая а — оо.
Теорема. Для того чтобы функция f (x) при стремлении
х к а имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого числа существовало такое число 8^>0(Д^>0),
чтобы неравенство
1/С*)— /(-*010
выполнялось, лишь только
\х — а|<^8 и |У — я|<С& (*^>Д и л/>Д).
Доказательство проведем в предположении, что а — конеч¬
ное число.
Необходимости. Пусть существует конечный предел
lim f(x) = A.
х-+а
*) Число 2е в такой же мере «произвольно малое» число, как и е. Если
угодно, можно было сначала взять не е, а у, тогда мы здесь получили бы е.
Подобные вещи впредь мы будем предоставлять читателю.

53]	§	б.	ПРИНЦИП сходимости	109
Тогда по заданному е^>0 найдется такое 8]>0, что
если только | х — а |	8.	Пусть и | х' — а |	8, так что и
Отсюда получаем
I/С*0—/(•*') I о
в предположении, что одновременно
\х— а\<^Ъ и \х? — а К8.
Достаточность может быть установлена, например, путем
сведения вопроса к уже рассмотренному случаю. Путь для этого нам
открывает само определение понятия предела функции «на языке
последовательностей» [п° 32].
Итак, пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено,
и по произвольно взятому е^>0 установлено соответствующее 80.
Если {дгл} есть любая последовательность значений из
сходящаяся к а, то, по определению предела последовательности,
найдется такой номер N, что для n^>N будет: \хп — а|<[8. Возь¬
мем, наряду с л, и другой номер n'^>N, так что одновременно
\хп — а]<8 и \хл> — а|<8.
Тогда, в силу самого выбора числа 8,
I/W-/WK»-
Это неравенство выполняется при единственном требовании, чтобы
оба номера пил' были больше N. Это означает, что для функ¬
ции f(xn) от натурального аргумента п выполняется усло¬
вие п°52 и, таким образом, последовательность
f (хi), f (x%)i • • • у f (Xfi)> • • •
имеет конечный предел, скажем А.
Остается еще установить, что этот предел А не зависит
от выбора последовательности
Пусть же {х'п} будет другая последовательность, извлеченная
из № и также сходящаяся к а. Соответствующая ей последователь¬
ность значений функции {/(лТд)}, по доказанному, имеет некоторый
конечный предел А\ Для доказательства того, что А' = А, допустим
противное. Составим тогда новую последовательность
•	г	г
Х\) Х±} Xfy X%t •»• | Xjp Xfit ,i|

110
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
(5)
значений х, явно сходящуюся к а. Ей отвечает последовательность
значений функции
/(•*0. /(•*!), /(* а), fix'll..., /(*„), f{x’n),
вовсе не имеющая предела, так как частичные последовательности ее
членов, стоящих на нечетных или четных местах, стремятся к раз¬
личным пределам [п° 51]. А это противоречит доказанному. Итак, при
х-*а функция f(x) действительно стремится к конечному пределу А.
§ 6, КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО
БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН
54.	Сравнение бесконечно малых. Предположим, что в каком-
либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно
малых величин
а, Р, If,...,
которые, вообще говоря, будут функциями от одной и той же пере¬
менной, скажем х, стремящейся к конечному или бесконечному пре¬
делу а.
Во многих случаях представляет интерес сравнение названных
бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю.
В основу сравнения двух бесконечно малых аир кладется поведение
их отношения *). На этот счет установим два соглашения:
I.	Если отношение (а с ним и имеет конечный и
отличный от нуля предел, то бесконечно малые а к р счи*
таются величинами одного порядка.
II.	Если же отношение — само оказывается бесконечно малым
а
отношение — бесконечно большимj, то бесконечно малая р
считается величиной высшего порядка, чем бесконечно ма¬
лая а, и одновременно бесконечно малая а будет низшего по¬
рядка, чем бесконечно малая р.
Например, если а = дг-^0, то по сравнению с этой бес¬
конечно малой одного порядка с нею будут бесконечно малые
sin л:, igXy	—1,
ибо, как мы знаем [п° 34, 5); п° 43, 6)],
Hmijn* Нт ГГ+7г-1_1
Х-.0 X	х	— 2 •
*) Мы будем считать, что переменная, на которую мы делим, не обра¬
щается в нуль, по крайней мере, для значений х% достаточно близких к а.

55|	§ 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ	111
Наоборот, бесконечно малые
1	— cos л;, tgx—sin лг	(1)
будут, очевидно, высшего порядка, чем х [п°43, 7), (а) и (б)].
Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых
не стремится ни к какому пределу, не будучи и бесконечно боль¬
шим; например, если взять [см. 34, 6) и 7)]
о	•	1
а = х, р = х sm —,
то	их	отношение, равное sin --, при х 0 предела не имеет.	В	та¬
ком случае говорят, что две бесконечно малые несравнимы между
собой.
Заметим, что если	бесконечно малая р оказывается высшего	по¬
рядка,	чем бесконечно	малая а, то этот факт записывают так:
Р = о(а).
Например, можно писать:
1	— cos х = о (х), tgx — sin х = о (х) и т. п.
Таким образом, символ о (а) служит общим обозначением для бес¬
конечно малой высшего порядка, чем а. Этим удобным обозначением
мы впредь будем пользоваться.
55.	Шкала бесконечно малых. Иной раз встречается надобность
в более точной сравнительной характеристике поведения бесконечно
малых, в выражении порядков их числами. В этом случае,
прежде всего, в качестве своего рода «эталона» выбирают одну из
фигурирующих в данном исследовании бесконечно малых (скажем а);
ее называют основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой
в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех.
Если рассматриваемые величины, как мы предположили, являются
функциями от ^ и становятся бесконечно малыми при стремлении х
к а, то в зависимости от того, будет ли а нулем, конечным и отлич¬
ным от нуля числом или бесконечностью, естественно за основную
бесконечно малую взять соответственно
l*l> l*~el’I7r
Далее, из степеней основной бесконечно малой а (мы будем счи¬
тать а^>0) с различными положительными показателями, а* соста¬
вляют как бы шкалу для оценки бесконечно малых более сложной
природы *).
*) Легко видеть, что при k>0 величина <хк будет бесконечно малой
одновременно с а.

112	ГЛ.	III.	ТЕОРИЯ	ПРЕДЕЛОВ	[56
III Уславливаются считать бесконечно малую Р величиной
k-го порядка (относительно основной бесконечно ма¬
лой а), если р и а* (£]>0) будут величинами одного порядка,
В
т. е. если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел.
Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением, что
бесконечно малые (1) (при х—>-0) будут величинами высшего порядка,
чем а = х, сказать точно, что одна из них есть бесконечно малая
второго порядка, а другая — третьего порядка относительно а = х,
ибо [43, 7), (а) и (б)]
,.	1 — cos л:	1	,. tg х — sin л:	1
lim 	о	= тг» hm —	я	= -сг*
*а	2’ jc —► о	*3	2
56.	Эквивалентные бесконечно малые. Остановимся теперь на
одном особенно важном частном случае бесконечно малых одного
порядка.
IV. Будем называть бесконечно малые а и р эквивалент¬
ными (в знаках: а ~ Р), если их разность j = р — а оказывается
величиной высшего порядка, чем каждая из бесконечно малых
а и р:
Т = о(а) и 1 = оф).
Впрочем, достаточно потребовать, чтобы у была высшего порядка,
чем одна из этих бесконечно малых, потому что, если, например,
высшего порядка чем а, то она будет также высшего порядка чем р.
Действительно, из того, что Нт—-=0, следует, что и
Л
lim 1 = lim —у— = lim —-— = 0.
Р а + ?	1+1
а
Рассмотрим две эквивалентные бесконечно малые аир, так что
Р = а Т» где Т = 0 (а)- Если приближенно положить р = а *),
то — по мере уменьшения обеих величин — стремится к нулю не только
абсолютная погрешность от этой замены, представляемая ве¬
личиной |y|, но и относительная погрешность, равная |-1
Иными словами, при достаточно малых значениях акр можно
со сколь угодно большой относительной точностью поло¬
жить р = а. На этом основана, при приближенных выкладках, за¬
мена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми.
Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно
малых, который в сущности дает второе определение этого
понятия, равносильное ранее данному:
*) Знак == означает приближенное равенство.

56]	§ 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ	113
Для того чтобы две бесконечно малые а и [3 были эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы было
lim-^- = 1.
а
Положив р — а = у, будем иметь
а	а
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если
-|--*1, то	т. е. 7 есть бесконечно малая высшего порядка
чем а, и В^а, Обратно, если дано, что З^а, то — ->-0, а тогда
1	1	ос
1—1.
а
С помощью этого критерия, например, видно, что при л;->0
бесконечно малая sin х эквивалентна дг, а ]/1 -\-х — 1 эквива¬
лентно ^х. Отсюда — приближенные формулы:
sinx^zx, Y^^rX—1 = — дг.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит
0
к использованию их при раскрытии неопределенности вида , т. е.
В
при разыскании предела отношения двух бесконечно малых
Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на пре¬
дел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.
Действительно, если а^а и	т.	е.
lim —=1 и lim —= 1,
Р
то отношение
JL=JL.
а р а а
Р
отличающееся от отношения ~ множителями, стремящимися к единице,
а
имеет предел одновременно с ним (и притом тот же).
Если удается выбрать аир достаточно простыми, то это может
сразу значительно упростить задачу; например,
Y	\ 4- х х2 1	~2^х^	х2)	1
lim у1 + х + х	—= lim -—.	= i-.
д-^q	sm	2x	х_^0 2x	4
Из доказанного вытекает также, что две бесконечно малые, экви¬
валентные третьей, эквивалентны между собой.

114
171. III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[57
57.	Выделение главной части. Если выбрана основная бесконечно
малая а, то простейшими бесконечно малыми естественно счи¬
тать величины вида с- а*, где с — постоянный коэффициент и k^>0.
Пусть бесконечно малая р будет &-го порядка относительно а, т. е.
lim Л = с,
а* 1
где с—конечное и отличное от нуля число. Тогда
и бесконечно малые (3 и сак оказываются эквивалентными: {3 ~ соЛ
Эта простейшая бесконечно малая c<xk, эквивалентная данной
бесконечно малой р, называется ее главной частью (или
главным членом).
Пользуясь установленными выше результатами, кроме уже указан¬
ных простых примеров, легко выделить главные части выражений:
1	— cos х ~ у х*\ tgx — sin х~ дг3.
Здесь д;->0, и именно а=х является основной бесконечно малой.
Пусть	т.	е.	р	=	саЛ-[“Т»	г^е	Т = о(чк). Можно пред¬
ставить себе, что из бесконечно малой 7 снова выделен главный
член: -у = с'аЛ' -f- Ъ, где 8 = о(аЛ')(&']> k) и т. д.
Этот процесс последовательного выделения из бесконечно малой
простейших бесконечно малых все возрастающих порядков можно
продолжать и дальше.
Мы ограничиваемся в настоящем параграфе установлением общих
понятий, иллюстрируя их лишь немногими примерами. В последующем
мы укажем систематический прием как для построения главной части
данной бесконечно малой величины, так и для дальнейшего выделения
из нее простейших бесконечно малых, о котором только что шла речь.
58. Задачи. Для иллюстрации изложенных соображений приведем две
задачи, в которых они используются,
1) Пусть прямолинейное расстояние на местности измеряется с помощью
мерной рейки длиной / метров. Так как фактически рейка прикладывается не
точно вдоль измеряемой прямой, то результат измерения оказывается
г
Рис. 25.
несколько больше истинной длины. Сделаем самое невыгодное предположение,
именно, что рейка прикладывается зигзагом, так что ее концы отстоят от
прямой поочередно то в одну, то в другую сторону на расстояние К м
(рис. 25). Требуется оценить погрешность.

58J
§ 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
115
При однократном прикладывании рейки абсолютная погрешность равна
разности между длиной / рейки и ее проекцией на измеряемую прямую;
проекция же эта будет:
Воспользовавшись приближенной формулой
4Х2
при лг =	-р (что оправдано, ввиду малости величины X относительно /),
заменим выражение для проекции следующими:
2Х2\	.	2Х2
n	2Х2
В таком случае упомянутая погрешность есть "у»а относительная
2Х2
погрешность, очевидно, будет -р. Та же относительная погрешность сохра¬
нится и при многократном прикладывании рейки.
Если для этой погрешности установлена граница Ь, т. е. должно быть
2Х2	/
jr<b> то отсюда Х< / 1/ у.
Например, при измерении двухметровой рейкой (1 = 2) для достижения
относительной точности в 0,001, нужно, чтобы уклонение X не превосходило
2	У 0,0005 == 0,045 м или 4,5 см.
2)	При разбивке дуг окружностей на местности имеет значение следующая
задача: найти отношение стрелы f^=DB дуги ABC окружности к стреле
половины АВ*В этой дуги
(рис. 26).
Если положить радиус окружности
равным г,
< АОВ = <р, то С AOBt = —■ и
/= DB = г (1 — cos <р), fi = r
(l-COS-j).
Таким образом, искомое отношение
равно
/	 1 — cos ср
1 — cos
Выражение это слишком сложно, чтобы им удобно было пользоваться на
практике. Найдем его предел при <р—*0 (ибо для достаточно малых <р это
выражение можно приближенно заменить его пределом). С этой целью
заменяем числитель и знаменатель их главными частями и сразу находим:
1 о

116	гл.	Ш.	ТЕОРИЯ	ПРЕДЕЛОВ	[59
Итак, для дуг, соответствующих небольшому центральному углу, прибли¬
женно можно считать, что стрела полудуга вчетверо меньше стрелы дуги.
Это позволяет последовательно строить промежуточные точки дуги, для
которой даны концы и середина.
69.	Классификация бесконечно больших. Заметим, что для
бесконечно больших величин может быть развита подобная же класси¬
фикация. Как и в п° 54, будем считать рассматриваемые величины
функциями от одной и той же переменной х, которые становятся
бесконечно большими, когда х стремится к а.
I.	Две бесконечно большие у и z считаются величинами одного
порядка, если их отношение -у [а с ним и имеет конеч¬
ный и о т личный от ну ля предел.
II.	Если же отношение — само оказывается бесконечно боль¬
шим (а обратное отношение — — бесконечно малым), то z счи-
таете я бесконечно большой величиной высшего порядка
чем у, и, одновременно, у будет бесконечно большой низшего
порядка чем z.
В случае, когда отношение у ни к какому конечному пределу
не стремится и в то же время не будет бесконечно большим, бес¬
конечно большие у и z — несравнимы.
При одновременном рассматривании ряда бесконечно больших
величин, одну из них (скажем, у) выбирают в качестве основной,
и с ее степенями сравнивают	остальные бесконечно	большие. На¬
пример, если (как мы предположили выше)	все	они	суть функции
от х и становятся бесконечно большими при х->а, то в качестве
основной бесконечно большой обыкновенно берут | х |, если а = ± со,
1
и 1	г при а конечном.
\х — а\ F
III.	Бесконечно большая z называется величиной k-го порядка
(относительно основной бесконечно большой у),
если z и yk будут одного	порядка, т.	е.,	если	отношение у*-
имеет конечный и отличный от	нуля предел.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ
60.	Определение непрерывности функции в точке. С понятием
предела функции тесно связано другое важное понятие математиче¬
ского анализа — понятие непрерывности функции. Установление этого
понятия в точной форме принадлежит Больцано и Коши, имена
которых уже упоминались.
Рассмотрим функцию /(*), определенную в некотором проме¬
жутке ^ и пусть х0 будет точка этого промежутка, так что
в ней функция имеет определенное значение f(x0).
Когда устанавливалось понятие предела функции при стремлении х
к х0 [п°п° 32, 33]
lim /(х),
Х-*Х0
неоднократно подчеркивалось, что значения х0 переменная х не
принимает; это значение могло даже не принадлежать области опре¬
деления функции, а если и принадлежало, то значение f(x0) при
образовании упомянутого предела не учитывалось.
Однако особый интерес представляет именно случай, когда
lim / (jc) =f(xt).	(1)
X-+Xq
Говорят, что функция f(x) непрерывна при значении х = х0
(или в точке х—х0), если выполняется это соотношение; если
же оно нарушено, то говорят, что при этом значении (или в этой
точке) функция имеет разрыв*).
В случае непрерывности функции f{x) в точке х0 (и, очевидно,
только в этом случае), при вычислении предела функции f(x) при
*) Эта терминология связана с интуитивным представлением
о	непрерывности и разрывах кривой: функция непрерывна, если непрерывен
ее график, точки разрыва функции отвечают точкам разрыва графика. На
деле, однако, понятие непрерывности для кривой само требует обо¬
снования, и простейший путь к нему лежит как раз через непрерыв¬
ность функции!

118
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[60
х —»Xq становится безразличным, будет ли х в своем стрем¬
лении к х0 принимать, в частности, и значение х0 или нет.
Определение непрерывности функции можно сформулировать в дру¬
гих терминах. Переход от значения лг0 к другому значению х можно
себе представить так, что значению х0 придано приращение Ах =
=х — лг0*)- Новое значение функции y=f(x)=f (x0-\- Ах) раз¬
нится от старого у0 = /(лг0) на приращение
Для того чтобы функция f(x) была непрерывна в точке лг0, необ¬
ходимо и достаточно, чтобы ее приращение Ау в этой точке стремилось
к нулю вместе с приращением Длг независимой переменной. Иными
словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бес¬
конечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно
малое же приращение функции.
Возвращаясь к основному определению (1), раскроем его содер¬
жание «на языке последовательностей» [32]. Смысл непрерывности
функции f(x) в точке х0 сводится к следующему: какую бы после¬
довательность значений х из
сходящуюся к х0, ни взять, соответствующая последователь¬
ность значений функции
сходится к /(лг0).
Наконец, «на языке е-8» [п°33] непрерывность выразится так:
каково бы ни было число е^>0, для него найдется такое число
8^>0, что неравенство
|х — дг0|<8 влечет за собой |f(x) — f(x0)|е.
Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в доста¬
точно малой окрестности (лг0 — 8, *0 + &) точки лг0.
Отметим, что, вычисляя предел (1), мы могли приближать х к дг0
и справа и слева, лишь бы х не выходило за пределы промежутка SF.
Установим теперь понятие об односторонней непрерывности
или одностороннем разрыве функции в данной точке.
Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке л*0 справа
(слева), если выполняется предельное соотношение:
Лу =/(•*) —/С*о) =/(*о + Ьх) — /(*<,)•
хь хь
ь • • • >
/С*,), /(**)
/С*о + 0)= lim /(х)=/(л:„)
[или /(*« — 0)= lim f(x)=f(x„)].
(2)
X —+Xq — 0
*) В анализе принято приращение величин х, у> t ... обозначать через
Аху Ду, Му ... Эти обозначения надлежит рассматривать как цельные
символы, не отделяя Д от.*, и т. н.

611
§ \. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ
119
Если же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то
функция f(x) имеет в точке х0 разрыв соответственно справа
или слева.
По отношению к левому (правому) концу промежутка SC *),
в котором функция определена, может идти речь, очевидно, только
о	непрерывности или разрыве справа (слева). Если же лг0 есть
внутренняя точка промежутка ЗСУ т. е. не совпадает ни с одним
из его концов, то для того, чтобы выполнялось равенство (1),
выражающее непрерывность функции в точке х0 в обычном смысле,
необходимо и достаточно, чтобы имели место одновременно оба ра¬
венства (2) [35]. Иными словами, непрерывность функции в точке х0
равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно справа
и слева.
Условимся говорить, для упрощения речи, что функция непрерывна
в промежутке если она непрерывна в каждой точке проме¬
жутка в отдельности.
61.	Условие непрерывности монотонной функции. Рассмотрим
функцию f(x)> монотонно возрастающую (убывающую)**) в про¬
межутке SV [п°47]. Этот промежуток может быть как конечным, так
и бесконечным, замкнутым, полуоткрытым или открытым. Мы уста¬
новим сейчас простой признак, с помощью которого для функций
подобного типа сразу может быть обнаружена ее непрерывность во
всем промежутке SV.
Теорема. Если множество значений монотонно возрастающей
(убывающей) функции f(x), которые она принимает, когда х
изменяется в промежутке SV> содержится в некотором проме¬
жутке У и заполняет его сплошь, то функция f(x)
в промежутке X непрерывна ***).
Возьмем любую точку х0 из Я? и, предполагая, что она не яв¬
ляется правым концом этого промежутка, докажем непрерывность
функции f(x) в точке х0 справа; аналогично может быть доказана
и непрерывность функции в точке х0 слева, если лг0 не есть левый
конец рассматриваемого промежутка, а отсюда по совокупности и
следует заключение теоремы.
Точка y0=f(x0) принадлежит промежутку Уу не являясь его
правым концом (ведь в 3? есть значения х^>х^ а им отвечают в У
значения y—f(x)^>y^). Пусть е будет произвольно малое положи¬
тельное число; впрочем, мы предположим его вдобавок настолько
*) Предполагая, что этот конец есть число конечное.
**) Для отчетливости мы будем предполагать функцию монотонно
возрастающей в строгом смысле (хотя теорема верна и для монотон¬
ных функций в широком смысле).
***) Впоследствии [70] мы покажем, что то условие, которое здесь сфор¬
мулировано как достаточное для непрерывности монотонной функции,
является и необходимым.

120	ГЛ.	IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[62
малым, чтобы и значение	тоже принадлежало проме¬
жутку У. Так как по предположению 2/ = {f(x)}, то в J найдется
такое значение xif что будет
/(х1)=у1,
причем, очевидно, х^хо (ибо, при х^х0 и f(x)^y0). Положим
8 = ^ — х0, так что Xi х$ —J— 8. Если теперь
0<^х — дг0<^8, т. е. х0<^х<^хи
то
Л</М01=Л + « или 0 </(*) — /(*,)<е.
Это и значит, что
lim f{x)=f(x:*),
т. е. функция f(x) действительно непрерывна в точке х0 справа,
Рис. 27.
что и требовалось доказать. Рис. 27 служит иллюстрацией прове¬
денного рассуждения.
62.	Арифметические операции над непрерывными функциями.
Прежде чем перейти к примерам непрерывных функций, устано¬
вим следующее простое предложение, которое позволит легко расши¬
рить их число.
Теорема. Если две функции f{X) и g(x) определены в одном
и том же промежутке SC и обе непрерывны в точке х$, то в той
же точке будут непрерывны и функции
f{x)±g{x),	f(x)-g(x),
(последняя — при условии, что g(x0) Ф 0).

63]
§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ
121
Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы, раз¬
ности, произведения и частного двух функций, имеющих порознь пре¬
делы [п° 42].
Остановимся для примера на частном двух функций. Предполо¬
жение о непрерывности функций f(x) и £(лг) в точке х0 равносильно
наличию равенств
lim /(*) =/(*„), lim g(x) = g(xa).
Х-*Х0	Х-+Хо
Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаме¬
нателя не нуль), имеем:
цш Ш.=
а это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х0.
&	\Х)
63.	Непрерывность элементарных функций. 1°. Целая и
дробная р а ц и о н а л ь н ы е фу н кци и. Непрерывность функций от xt
сводящихся к постоянной или к самому Ху непосредственно ясна.
Отсюда, на основании теоремы предыдущего номера, вытекает уже
непрерывность любого одночленного выражения
т раз
ахт = а • х • х ... х
как произведения непрерывных функций, а затем — и многочлена
(целой рациональной функции)
аоХп + ахх*~у +... + ап_ 1* + ап
как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях
непрерывность имеет место во всем промежутке (— со, -f- со).
Очевидно, наконец, что и частное двух многочленов (дробная
рациональная функция):
аоХп + а1хп-1 + ... + ап_1х + ап
ЬоХт + Kxmr~ 1 + ... + Ьт_,Х + Ьт
также будет непрерывно при каждом значении ху кроме тех, кото¬
рые обращают знаменатель в нуль.
Непрерывность остальных элементарных функций мы установим,
опираясь на теорему п° 61.
2°. Показательная функция у = ах(а^>1) монотонно
возрастает при изменении х в промежутке ^ = ( — оо, +оо). Ее
значения положительны и заполняют весь промежуток У = (0, оо);
это видно из существования логарифма лг = 1оgay для любого
у^>0 [п°12]. Следовательно, показательная функция непрерывна при
любом значении х.
3°. Логарифмическая функция у — loga х {а 0, а ф 1).
Ограничиваясь случаем а^> 1, видим, что эта функция возрастает

122	гл.	IV.	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	(63
при изменении	х	в промежутке SV = (0, оо).	К тому же она, оче¬
видно, принимает любое значение у из промежутка У = (— оо, -р оо),
именно, для х = ау. Отсюда — ее непрерывность.
4°. Степенная функция ^=^(^^0) при возрастании х
от нуля до -f-оо возрастает, если ц.^>0, и убывает, если [*<^0.
При этом она принимает любое положительное значение у (для
х=у^)у следовательно, и она непрерывна*).
5°. Тригонометрические функции:
у =	sin ху у = cos Ху y = tgxу	y = ctg Xy
у = sec х, у = csc лт.
Остановимся сначала на функции у = sin лг. Ее непрерывность, ска¬
жем, при изменении х в промежутке ££ = |^—yj, вытекает из
ее монотонности в этом промежутке, да еще из того факта (устанав¬
ливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое
значение между — 1 и 1. То же относится и к любому промежутку
вида
[**-£,	+	(Л = 0, ±1, ±2, ...).
Окончательно видим, что функция j/=sinje непрерывна для всех
значений jc. Аналогично устанавливается и непрерывность функции
у = cos Ху также при любом значении х.
Отсюда, по теореме предыдущего номера, вытекает уже непре¬
рывность функций
,	sin х	1	,	cos х
tg х =	, secx =	, ctgx= —	,
& cos x *	cos	x	9	b sm x 9
Исключение представляют для первых двух—значения вида (2k -}- 1) ~ 9
обращающие cos х в нуль, а для последних двух — значения вида kizy
обращающие sin х в нуль.
Наконец, упомянем
6°. Обратные тригонометрические функции:
j/ = arcsine, j/ = arccosA:,	у = arctg х,	y = arcctgx.
Первые две непрерывны в промежутке [ — 1, 1], а последние — в про¬
межутке (— оо, -f~ °°)* Доказательство предоставляем читателю.
*) Если {1 >0, то значение нуль включается как в промежуток из¬
менения Ху так и в промежуток изменения у\ при {д. < 0 значение нуль н е
включается. Далее, если ц — целое число ±п или дробное ± —■ с не¬
четным знаменателем, то степень х^ можно рассматривать и для х < 0;
непрерывность ее для этих значений устанавливается аналогично.

641
§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ
123
Резюмируя, можно сказать, таким образом, что основные элемен¬
тарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они
имеют смысл, т. е. в соответствующих естественных областях
их определения.
64.	Суперпозиция непрерывных функций. Обширные классы
непрерывных функций могут быть построены с помощью суперпози¬
ции функций, непрерывность которых уже известна. В основе этого
лежит следующая
Теорема. Пусть функция cp(j/) определена в промежутке У,
а функция f(x) — в промежутке 2С, причем значения последней
функции не выходят за пределы У, когда х изменяется в SC.
Если / (je) непрерывна в точке xQ из а <р{у) непрерывна в соот¬
ветствующей точке у0 = /*(дг0) из У, то и сложная функ¬
ция ср(/(дг)) будет непрерывна в точке лг0.
Доказательство. Зададимся произвольным числом е^>0.
Так как ср (у) непрерывна при y=y0f то по е найдется такое <з]>0,
что
из \у—Уо\<С° следует |<р(у) — <р(Уо)10
С другой стороны, ввиду непрерывности f(x) при x = x0i по о
найдется такое 8]>0, что
из |-хг — лг0|<8 следует \f(x)— f(x^)\ — \f{x)—
По самому выбору числа о отсюда следует, далее,
I ?№))-? ЫI = I ? (f (X) у- ср (fixо)) | О
Этим «на языке е-8» и доказана непрерывность функции ср(/(дг))
в точке лг0.
Например, если степенную функцию х* (х ]> 0) представить в виде
функции
х* = е*1п*
которая получается от суперпозиции логарифмической и показатель¬
ной функций, то из непрерывности последних двух функций уже
будет вытекать непрерывность степенной функции.
66. Вычисление некоторых пределов. Непрерывность функций
многообразно может быть использована при вычислении пределов *).
*) Фактически мы иной раз это делали и раньше; так, в примере 6) п° 43
мы попутно установили непрерывность функции Ух при а*=1 и использо¬
вали ее, а в примере 7) (б) так же поступили по отношению к функции cos;c
при * = 0.

124	ГЛ.	IV.	НЕПРЕРЫВНЫЕ	ФУНКЦИИ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	[65
Здесь мы, опираясь на непрерывность элементарных функций, уста¬
новим ряд важных пределов, которые понадобятся нам в сле¬
дующей главе:
„ lim Ч.С+-)	=,oS.e	(»),
а-+0	а	\и/
2)	№•
(Я-
*0
Имеем
.?og»o+«) =log (1+a)4.
ft 1
так как выражение, стоящее справа под знаком логарифма, при
а0 стремится к е [п°50, (4)], то (по непрерывности лога¬
рифмической функции) его логарифм стремится к loga е, что
и требовалось доказать.
Отметим частный случай доказанной формулы, когда речь идет
о	натуральном логарифме (а = е):
lim1n(1+a)=l.
а—►О	а
В простоте этого результата и коренятся, по существу, те преиму¬
щества, которые представляет натуральная система логарифмов.
Обращаясь к формуле 2), положим ал — 1 = Р; тогда при a -> 0
(по непрерывности показательной функции) и [3	0.
Имеем, далее, a = loga(l -f- (3), так что, если воспользоваться уже
доказанным результатом:
1. аа— 1	р	1
lim	= lim-^	;	■ = -	= lna,
а—►О a	MO	logaU+P)	l°ga£>
что и требовалось доказать.
Если, в частности, взять а = -“ (я=1> % 3, ...), то получится
интересная формула:
lim п (>ЛГ— 1) = In а	(оо	•	0).
п—► оо
Наконец, для доказательства формулы 3), положим (1 -(- а)№ — 1 = [3;
при а 0 (по непрерывности степенной функции) будет
и ^->0. Логарифмируя равенство (1 -f-a)ll = 1 -J-fJ, получим, что
р • In (1 -j- a) = In (1	?)•

661
§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ
125
С помощью этого соотношения преобразуем данное нам выражение
так:
(1+«)|‘-1_р_	Р	и 1п(1+а)
а — а In (1 -|- р) * ** ' а
По доказанному оба отношения
Р	In (1 + а)
1п(1+Р)
стремятся к единице, так что всё произведение имеет пределом ц,
что и требовалось доказать.
Предел, рассмотренный в п°43, 6), получается отсюда, как част¬
ный случай, при Ц =
66.	Степенно-показательные выражения. Рассмотрим теперь
степенно-показательное выражение и0, где и и v являются
функциями от одной и той же переменной х, с областью изменения
jr, имеющей точку сгущения х0; в частности, это могут быть две
функции ип и vn от натурального аргумента.
Пусть существуют конечные пределы:
lim и = а и lim v = b,
Х-*Хо	Х-+Хо
причем а^>0. Требуется найти предел выражения и°щ
Представим его в виде
uv*=ev*ntt;
функции v и In и имеют пределы
lim v = by lim 1пн = 1па
Х-*Хо	JC—►ДСо
(здесь использована непрерывность логарифмической
функции), так что
lim и*In и = £*1п а.
х-+х0
Отсюда — по непрерывности показательной функции —
окончательно
lim и0 = еЬЛп а = аь,
X-*Xq
Предел выражения uv можно установить и в других случаях,
когда известен предел с произведения ti*In и — конеч¬
ный или бесконечный. При конечном с искомый предел будет, оче¬
видно, ес; если же с — — оо или -f- оо, то этот предел, соответ¬
ственно, будет 0 или -f- оо [п° 34, 2)].
Самое же определение предела с = lim {г> • In гг} — лишь по задан¬
ным пределам а и Ь — возможно всегда, кроме случаев, когда это
произведение при x-*Xq представляет неопределенность

126
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
167
вида 0-оо. Легко сообразить, что исключительные случаи отвечают
таким комбинациям значений а и Ь:
В этих случаях говорят, что выражение иv представляет не¬
определенность вида 1°°, 0°, оо° *) (смотря по случаю). Для реше¬
ния вопроса о пределе выражения uv здесь мало знать лишь пределы
функций и и v, а нужно непосредственно учесть закон, по которому
они стремятся к своим пределам.
ВыражениеЛ,	при	я-*оо, или более общее выражение
(1-}-а)а при а->0, имеющее пределом е, дает пример неопре¬
деленности вида 1°°.
Как уже указывалось, общие методы раскрытия неопределенностей
всех видов будут даны в § 3 главы VII.
67.	Классификация разрывов. Примеры. Остановимся подробнее
на вопросе о непрерывности и разрыве функций в точке х0, скажем, справа.
Предполагая, что функция f(x) в некотором промежутке [*0, аг0 + Л] (Л>0)
справа от этой точки определена, видим, что для непрерывности необ¬
ходимо и достаточно: во-первых, чтобы существовал конечный предел
/(jro + 0) функции f(x) при стремлении х к х0 справа и, во-вторых,
чтобы этот предел был равен значению f(x0) функции в точке х0.
Поэтому легко дать себе отчет в том, при каких обстоятельствах для
функции f(x) в точке х0 справа появляется разрыв. Может случиться,
что хотя конечный предел /Cv0 + 0) и существует, но он не равен значе¬
нию f(x0)\ такой разрыв называют обыкновенным или разрывом первого
рода **). Но может быть и так, что предел /(л:0 + 0) бесконечен, или его
вовсе нет; тогда говорят о разрыве второго рода.
Если функция f(x) определена только в промежутке (л:0, лг0 + Л], но
существует конечный предел
то стоит лишь дополнительно определить функцию в точке х09
положив f(xо) равным именно этому пределу, чтобы функция оказалась
непрерывной в точке х0 справа. Это обычно мы и будем впредь
подразумевать. Впрочем, если функция определена и слева от х0 —
в промежутке [л:0 — Л, лг0), и существует конечный предел
то восстановить непрерывность функции в точке х0 можно лишь при усло¬
вии совпадения обоих пределов.
*) Относительно самих этих символов можно было бы повторить ска¬
занное в сноске на стр. 87.
**) В этом случае говорят также, что функция f(x) в точке х0 справа
имеет скачок, по величине равный / (х0 + 0) — / (.r0).
а= 1,	Ь = ± оо;
а = 0,	Ь = 0;
а= -}- оо,	Ь — 0.
/(*о + 0)= Ит /(*),
f(x0— 0)= lim f(x),
x-+x0 — 0

67|	§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ	127
Наконец, если для функции/(*), определенной в промежутке (дг0,	-|- Л]э
конечного предела в точке х0 справа не существует, то говорят, что функ¬
ция имеет в точке х0 справа разрыв второго рода, несмотря на то, что она
в этой точке вовсе не определена: в этом случае, как бы дополнительно ни
определить функцию при лг = лг0, она неизбежно будет здесь иметь разрыв!
Примеры. 1) Рассмотрим функцию у = Е (х) (график ее представлен
на рис. 5). Если х0 не целое число и Е(х0) = т, т. е. т < х0 < т + 1, то
и для всех значений х в промежутке (m, т + 1) будет £(лг) = ш, так что
непрерывность функции в точке лг0 непосредственно ясна.
Иначе обстоит дело, если х0 равно целому числу т. Справа в этой
точке будет иметь место непрерывность, ибо правее х0 = т, именно для
значений х в (т, т + 1) будет Е(х) = ту так что и Е (т + 0) = т = Е (т).
Наоборот, левее х0 = ш, для значений х в (ш — 1, ш), очевидно, Е(х) = т — 1;
отсюда и Е(т—0) = m—1, что не равно значению Е (т), и слева в точке
xQ = т функция имеет обыкновенный разрыв или скачок!
2)	Для функции
/(■*) = js (при хфО)
точка х = 0 есть точка разрыва второго рода с обеих сторон; именно, в ней
функция и справа и слева обращается в бесконечность:
/(+0)= lint i= + 0D,	/(-0)=	lim	i	=	-oo.
*-►+0 X	х-*	—	0л
3)	Функция
/ (л:) = sin —	(при х ф 0),
рассмотренная в п°34, 6), в точке х = 0 имеет разрыв второго рода с обеих
сторЪн, так как не существует вовсе предела этой функции в названной
точке ни справа, ни слева.
4)	Наоборот, если взять функцию [п°34, 7)]
f(x) = x • sin ~	(при л:^0)
для которой, как мы видели, существует предел
lim /(л:) = 0,
JC-+0
то, положив /(0) = 0, мы восстановим непрерывность и при *=^=0.
5)	Определим, наконец, две функции равенствами
/,(*) = в * (в > 1),	/*(*) = arctg —
при х^6 0 и дополнительным условием
/1(0)=/2(0) = 0.
Как мы видели в п°35,
/!(+0) = + оо,	/1(_0) = 0,
Л(+0)=|,	/*(-0) = -|.

128
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[68
Таким образом, в точке *=0 для первой функции справа—разрыв второго
рода, а слева—непрерывность; для второй функции — с обеих сторон
скачки. [Ср. рис. 22 и 23.]
Остановимся в заключение на важном классе обычно рассматриваемых
функций — монотонных или кусочно-монотонных *)—и покажем, что для
них могут иметь место разве лишь обыкновенные раз¬
рывы. Это следует из того, что дня такой функции f(x) в каждой точке х0,
принадлежащей промежутку SV, где функция определена, всегда суще¬
ствуют конечные пределы /(*o+J2) и f{xQ — 0) (или—один из них, если
х0 яьляется концом промежутка £о)- Пусть, например, функция f(x) моно¬
тонно возрастает, и х0 не будет левым концом промежутка тогда для
х С х0 значения f(x) ограничены сверху числом /(лг0) и по теореме п°47
действительно существует конечный предел
/(•*о—0)= lim f(x).
x-+x0 — 0
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
68.	Теорема об обращении функции в нуль. Займемся теперь
изучением основных свойств функции, непрерывной в некотором про¬
межутке. Интересные и сами по себе, эти свойства в дальнейшем
изложении часто будут служить основой для различных умозаключений.
Первым на путь строгого обоснования их стал Больцано (1817),
а вслед за ним—Коши (1821). Им и принадлежит приводимая ниже
важная теорема.
Первая теорема Больцано — Коши. Пусть функция f(x)
определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, b] и на
концах этого промежутка принимает значения разных зна¬
ков. Тогда между а и b необходимо найдется точка с, в ко¬
торой функция обращается в нуль:
/(0 = 0	(а<><*).
Теорема имеет очень простой геометрический смысл: если непре¬
рывная кривая переходит с одной стороны оси х на другую, то она
пересекает эту ось (черт. 28).
Доказательство мы проведем по методу деления проме¬
жутка [п°51]. Для определенности положим, что f{a)<^0, a f(b)^>0.
Разделим промежуток [а, Ь] пополам точкой . Может случиться,
что функция f(x)	обратится в нуль в этой точке,	тогда теорема
й -4- Ь гт	X ( & Н- Ь \ _г	г»
доказана:	можно	положить	с= —. Пусть же	/1—^—j Ф	0;
Г а + Ь 1 [а + Ь	Л
тогда на	концах	одного из	промежутков а, —^^—,	Ь\
*) Функция называется кусочно-монотонной, если промежуток
ее определения может быть разложен на конечное число частичных проме¬
жутков, в каждом из которых в отдельности функция монотонна.

68]
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
129
функция будет принимать значения разных знаков (и притом
отрицательное значение на левом конце и положительное — на пра¬
вом). Обозначив этот промежуток через [аи Ьх]у имеем
/Ы< О,	Л*|)>0.
Разделим пополам промежуток [аъ Ь^\ и снова отбросим тот слу¬
чай, когда f(x) обращается в нуль в середине	этого	проме¬
жутка, ибо тогда теорема доказана. Обозначим через [а2, £а] ту из
половин промежутка, для которой
/Ы< 0,	/(**)>	0.
Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом
либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки
деления на точку, где функция обращается в нуль, — и доказатель¬
ство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последо¬
вательность вложенных один в другой промежутков. Остановимся на
этом последнем случае. Тогда для я-го промежутка [ап, Ьп]
(п= 1, 2, 3, ...) будем иметь
/(ая) < о, /(&„)> о,	(1)
причем длина его, очевидно, равна
Ьп-ап=^г-.	(2)
Построенная последовательность промежутков удовлетворяет усло¬
виям леммы о вложенных промежутках [п°46], ибо, ввиду (2),
lim {bn — ап) = 0; поэтому обе переменные ап и Ьп стремятся к общему
пределу
lim ап = lim Ъп = с,
который, очевидно, принадлежит [а, Ь\ [36, 3)]. Покажем, что именно
эта точка с удовлетворяет требованию теоремы.
5 Г, М, Фихтенгольц, т. I

130	гл.	TV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	f70
Переходя к пределу в неравенствах (1) и используя при этом
непрерывность функции (в частности, в точке х = с\ получим,
что одновременно
/(с) = Нт/(ая)<0 и /(с) = Нт/(6я)5з=0,
так что действительно f(c) = 0. Теорема доказана.
Заметим, что требование непрерывности функции f(x)
в замкнутом промежутке [а, Ъ] — существенно: функция, имеющая
разрыв хоть в одной точке, может перейти от отрицательного зна¬
чения к положительному и не обращаясь в нуль. Так будет, напри¬
мер, с функцией f(x) = E(x) — у, которая нигде не принимает зна¬
чения нуль, хотя /(0) = — у, a /(l) = -i- (скачок при лг=1).
§ 69. Применение к решению уравнений. Доказанная теорема имеет
применение при решении уравнений.
Рассмотрим, например, алгебраическое уравнение нечетной степени
(с вещественными коэффициентами)
/(аг) ее а0х2п+г -f atx*n +... + а2пх + а2п+1 = 0.
При достаточно больших по абсолютной величине значениях х многочлен
имеет знак старшего члена, т. е. при положительном х—знак а0, а при
отрицательном х — обратный знак. Так как многочлен есть непрерывная
функция, то, меняя знак, он в промежуточной точке необходимо обращается
в нуль. Отсюда: всякое алгебраическое уравнение нечетной степени (с ве¬
щественными коэффициентами) имеет по крайней мере один веществен¬
ный корень.
Теоремой Больцано—Коши можно пользоваться не только для установ¬
ления существования корня, но и для приближенного его вычисления. (Это и
было отправной точкой зрения для Коши при доказательстве теоремы, по¬
мещенной им в разделе «О численном решении уравнений»). Поясним ска¬
занное примером. Пусть /(лг) = л;4—х — 1. Так как /(1) = —1, /(2) = 13,
то многочлен имеет корень между 1 и 2. Разцелйм этот промежуток [1, 2|
ка 10 равных частей точками 1,1; 1,2; 1,3;.... и станем последовательно вы¬
числять:
/(1,1) = —0,63...; /(1,2) = — 0,12...; /(1,3) = +0,55;...
Видим, что корень содержится между 1,2 и 1,3. Разделив и этот промежу¬
ток на 10 частей, найдем:
/(1,21) = — 0,06...; /(1,22) = —0,04...; /(1,23) = +0,058
Теперь ясно, что корень лежит между 1,22 и 1,23; таким образом, мы
уже знаем значение корня с точностью до 0,01 и т. д. *).
70.	Теорема о промежуточном значении. Доказанная в п°69
теорема непосредственно обобщается следующим образом:
*) Впрочем, практически этот путь невыгоден из-за большого количе¬
ства вычислений; существуют приемы, гораздо быстрее ведущие к цели (они
указываются в дифференциальном исчислении).

701
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
131
Вторая теорема Больцано—Коши. Пусть функция f{x)
определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь\ и на
концах этого промежутка принимает неравные значения
f{a) = A и т = В.
Тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В,
найдется такая точка с между а и Ь, что
/(с) = С.*)
Доказательство. Будем считать, например,
А<^В, так что А<^С<^В.
Рассмотрим в промежутке [а, b] вспомогательную функцию ср(^) =
=f{x) — С. Эта функция непрерывна в промежутке и на концах
его имеет разные знаки:
<р (a)=f(a) — С=А — С<0, ср {b) = f(b) — С=В — С> 0.
Тогда, по первой теореме, между а и b найдется точка с> для ко¬
торой ср(б?) = 0, т. е.
f{c)—С = 0 или f(c) = C,
что и требовалось доказать.
Мы установили, таким образом, важное свойство функции f(x),
непрерывной в промежутке: переходя от одного своего значения
к другому, функция хоть раз принимает в качестве значения
каждое промежуточное число.
Это свойство, на первый взгляд, кажется вскрывающим самую
сущность непрерывности функции. Однако легко построить заведомо
разрывные функции, которые все же этим свойством обладают. На¬
пример, функция [п°67, 3)]
/(*) = sin ^ {хф 0), /(0) = 0
в любом промежутке, содержащем точку разрыва л: = 0, принимает
все вообще возможные для нее значения — от —1 до —[— 1 **).
Из доказанного свойства непрерывной функции вытекает такое
(по существу равносильное ему)
Следствие. Если функция f(x) определена и непрерывна в ка¬
ком-либо промежутке {замкнутом или нет, конечном или
*) Очевидно, что первая теорема Больцано—Коши есть частный случай
этой: если А и В — разных знаков, то в качестве С можно взять и нуль.
**) Недаром еще Больцано подчеркивал, что указанное свойство
есть следствие непрерывности, но его нельзя класть в основу опре¬
деления непрерывности.
5*

132	ГЛ.	IV.	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[71
бесконечном), то принимаемые ею значения сами также запол¬
няют сплошь некоторый промежуток.
Обозначим множество значений функции {/(лг)} через У. Пусть
т = ЫУ, М = sup 2^*)
и I есть произвольное число между т и М:
т<^1<^М.
Необходимо найдутся значения функции f(xt) и /*(л:2) (xt и
лга взяты из промежутка такие, что
т </(*i) < I </(-*Га) < М\
это вытекает из самого определения точных границ числового мно¬
жества. Но тогда, по доказанной теореме, существует между хх и xq
такое значение х = х0 (очевидно, также принадлежащее что /С*0)
в точности равно I; следовательно, это число входит в множество У.
Таким образом, У представляет собой промежуток с концами
т и М (которые сами могут ему принадлежать или нет — смотря по
случаю; ср. п°73).
Мы видели в п°61, что в случае монотонной функции только
что сформулированное свойство функции влечет за собой ее непре¬
рывность. Что так будет не всегда, показывает приведенный выше
пример.
Замечание. Для того частного случая, когда рассматриваемая функ¬
ция представляет собой целый многочлен, обе теоремы высказывались
задолго до строгого их доказательства в общем виде. Например, у Эйлера
в его «Введении в анализ» мы находим—для указанного случая—полную
формулировку теоремы настоящего номера, но без убедительного обоснова¬
ния; эта теорема затем применяется к вопросу о существовании веществен¬
ных корней алгебраических уравнений [ср. n°69] **). Эйлер—подобно другим
авторам — иной раз пользуется и геометрическими соображениями. Наконец,
упомянем, что Лагранж ***) прямо начинает свой «Трактат о решении числен¬
ных уравнений всех степеней» с аналитического доказательства (для много¬
члена!) теоремы п°68, основанного на разложении на множители.
71.	Существование обратной функции. Применим изученные
в предыдущем номере свойства непрерывной функции к установле¬
нию, при некоторых предположениях, существования -однозначной
обратной функции и ее непрерывности [ср. п°23].
Теорема. Пусть функция y=f(x) определена, монотонно воз¬
растает (убывает)****) и непрерывна в некотором промежут¬
ке SV. Тогда в соответствующем промежутке У значений этой
*) Напоминаем читателю, что если множество У не ограничено сверху
(снизу), то мы условились в п°6 полагать sup2^ = + oo (inf 2^ = —оо).
**) Стр. 44—46 русского перевода (см. сноску на стр. 48).
***) Жозеф-Луи Лагранж (1736—1813)—знаменитый французский
математик и механик.
**♦*) в строгом смысле слова (это здесь существенно).

721
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
133
функции существует однозначная обратная функция x=g(y),
также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей функ¬
ции. Мы видели выше [см. следствие], что значения непрерывной
функции f(x) заполняют сплошь некоторый промежуток так что
для каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть
одно такое значение лг0 (из ^), что
/С*о)=.Уо-
Но, ввиду монотонности этой функции, такое значение может найтись
только одно: если х больше или меньше дг0, то соответственно
и f{x) больше или меньше у0.
Сопоставляя именно это значение jc0 произвольно взятому у0 из %
мы получим однозначную функцию
x = g(y),
обратную для функции y=f(x).
Легко видеть, что эта функция g(y), подобно f(x), также моно¬
тонно возрастает. Пусть
У О' и x'-g(y'), x’=g(y');
тогда, по самому определению функции g*(.y), одновременно
У=/(У) и у=/(л;'),
Если бы было *'>*', то, в силу возрастания функции /(х), было
бы и />у, что противоречит условию. Не может быть и хг—х\
ибо тогда было бы и у'=у*> что также противоречит условию.
Итак, возможно только неравенство хг<^х1Г, так что g(y) действи¬
тельно возрастает.
Наконец, чтобы доказать непрерывность функции x — g(y) доста¬
точно сослаться на теорему в п°61, условия которой выполнены:
названная функция монотонна и ее значения, очевидно, заполняют
сплошь промежуток SV*).
С помощью доказанной теоремы можно наново установить ряд
уже известных нам результатов.
Например, если применить ее к функции хп (п — натуральное
число) в промежутке 3? = [0, -(- оо), то придем к существованию и
непрерывности (арифметического) корня
ТЬ / 1 ■1
х = у у для у в 3^ = [0, -j- оо).
72.	Теорема об ограниченности функции. Если функция f(x)
определена (следовательно, принимает конечные значения) для всех
*) Какое бы х из 2С ни взять, стоит лишь положить _y=/(jc), чтобы
для этого у функция g(y) имела своим значением именно взятое х.

134
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[73
значений х в некотором конечном промежутке, то это не влечет за
собой с необходимостью ограниченности функции, т. е. огра¬
ниченности множества {/(*)} принимаемых ею значений. Например,
пусть f(x) определена так:
f(x)=~f если 0<^х^1 и /(0) = 0;
функция эта принимает только конечные значения, но она не ограни¬
чена, ибо при приближении х к нулю может принимать сколь угодно
большие значения. Заметим попутно, что в полуоткрытом промежут¬
ке (0, 1] она непрерывна, но в точке х=0 имеет разрыв.
Иначе обстоит дело с функциями, непрерывными в замкну¬
том промежутке.
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) опреде¬
лена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ъ\, то она
ограничена и снизу и сверху, т. е. существуют такие постоян¬
ные и конечные числа т и М, что
т ^ f{x) ^ М при а^х^Ь.
Доказательство поведем от противного: допустим, что функ¬
ция f(x) при изменении х в промежутке [а, Ь\ оказывается неогра¬
ниченной, скажем, сверху.
В таком случае для каждого натурального числа п найдется в
промежутке [а, Ь\ такое значение х — хпУ что
Пх^п.	(3)
По лемме Больцано—Вейерштрасса [п°51], из последовательности {хп\
можно извлечь частичную последовательность {хп^, сходящуюся
к конечному пределу:
о (ПРИ £-* + оо).
причем, очевидно, а^х0^Ь. Вследствие непрерывности функции
в точке х0, тогда должно быть и
/(*»*) “►/(■*•),
а это невозможно, так как из (3) следует, что
/(*«*)-►+<»•
Полученное противоречие и доказывает теорему.
73.	Наибольшее и наименьшее значения функции. Мы знаем,
что бесконечное числовое множество, даже ограниченное, может
не иметь в своем составе наибольшего (наименьшего) элемента.
Если функция f(x) определена и даже ограничена в некотором про¬
межутке изменения х, то в составе множества ее значений {f(x)\
может не оказаться наибольшего (наименьшего). В этом случае точная

73J
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
135
Z 3
Рис. 29.
верхняя (нижняя) граница значений функции f{x) не достигается
в названном промежутке. Так будет обстоять дело, например, с функ¬
цией
f{x) = x — Е(х)
(график ее представлен на рис. 29). При изменении х в любом про¬
межутке [О, b] (b^ 1) точной верхней границей значений функции
будет единица, но она не дости¬
гается, так что наибольшего значе¬
ния функция не имеет.
Читателю, вероятно, ясна связь
этого обстоятельства с наличием
у рассматриваемой функции разры¬
вов при натуральных значениях лг.
Действительно, для непрерыв¬
ных в замкнутом проме¬
жутке функций имеет место
Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) опре¬
делена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь], то она
достигает в этом промежутке своих точных верхней и ниж¬
ней границ.
Иными словами, в промежутке [а, b] найдутся такие точки
х0 и хь что значения /(лг0) и f{x^) будут, соответственно, наи¬
большим и наименьшим из всех значений функции f(x).
Доказательство. Положим
М = sup {/(*)};
по предыдущей теореме, это — число конечное. Предположим (вопреки
тому, что нужно доказать), что всегда f(x)<^M, т. е., что граница М
не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную
функцию
?(•*) —А!—/(*)•
Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается,
то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей
теореме), ограничена: /(х)^\х (р.	0). Но отсюда легко получить,
что тогда
г
т. е. число М — меньшее чем М, оказывается верхней грани¬
цей для значений функции f(x), чего быть не может, ибо М есть
точная верхняя граница этих значений. Полученное противоречие
доказывает теорему: в промежутке [а, b] найдется такое значение х&
что f(x0) = M будет наибольшим из всех значений f(x).

136	гл.	IV.	НЕПРЕРЫВНЫЕ	ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕдМЕННОЙ	[74
Аналогично может быть доказано утверждение и относительно
наименьшего значения.
Отметим, что приведенное доказательство есть чистое «доказа¬
тельство существования». Средств для вычисления, например, значе¬
ния х = х0 никаких не дано. Впоследствии [в главе VII, § 1], правда,
при более тяжелых предположениях относительно функции, мы на¬
учимся фактически находить значения независимой переменной, доста¬
вляющие функции наибольшее или наименьшее значения.
Если функция f{x) при изменении х в каком-либо промежутке SV
ограничена, то ее колебанием в этом промежутке называется
разность
а) = М — т
между ее точными верхней и нижней границами. Иначе можно опре¬
делить колебание о> как точную верхнюю границу абсолютных вели¬
чин разностей /(лг")—/(jc'), где jc' и / принимают независимо одно
от другого произвольные значения в промежутке
ш= sup {|/(jf")— /(У)I}.
Х\ X"
Когда речь идет о непрерывной функции /(х) в замкну¬
том конечном промежутке SC = [а, Ь], то, как следует из дока¬
занной теоремы, колебанием будет попросту разность между наи¬
большим и наименьшим значениями функции в этом промежутке.
В этом случае промежуток У значений функции есть замкну¬
тый промежуток [ту М], и колебание дает его длину.
74.	Понятие равномерной непрерывности. Если функция f(x)
определена в некотором промежутке Я? (замкнутом или нет, конечном
или бесконечном) и непрерывна в точке xQ этого промежутка, то
lim f(x)=f(x0)
X-+XQ
или («на языке е-8», п°60): для каждого числа е^>0 найдется
такое число 8^>0, что
\х — *о|<& влечет за собой |f(x)—/С*0)|<^е.
Предположим теперь, что функция f(x) непрерывна во всем про¬
межутке SVy т. е. непрерывна в каждой точке х0 этого промежутка.
Тогда для каждой точки х0 из J2? в отдельности по заданному в
найдется 8, соответствующее ему в упомянутом выше смысле. При
изменении х0 в пределах SV, даже если е неизменно, число 8, вообще
говоря, будет меняться. Одного взгляда на рис. 30 достаточно,
чтобы убедиться в том, что число 8, пригодное на участке, где функ¬
ция изменяется медленно (график представляет пологую кривую),
может оказаться слишком большим для участка быстрого изменения

74]
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
137
функции (где график круто поднимается или опускается). Иными
словами, число 8 вообще зависит не только от е, но и от лг0.
Если бы речь шла о конечном числе значений х0 (при неиз¬
менном е), то из конечного числа соответствующих им чисел 8 можно
было бы выбрать наименьшее, и это последнее годилось бы, оче¬
видно, и для всех рассматриваемых точек х0 одновременно.
Но по отношению к бесконечному множеству значений xQf содер¬
жащихся в промежутке ЗС, так уже рассуждать нельзя: им (при по¬
стоянном в) соответствует бесконечное множество чисел 8, среди
которых могут найтись и
сколь угодно малые. Таким
образом, по отношению к
функции f(x\ непрерывной
в промежутке SCy встает
вопрос: существует ли, при
заданном е, такое 8, кото¬
рое годилось бы для всех
точек х0 из этого про¬
межутка?
Если для каждого числа
е^>0 найдется такое чи¬
сло 8^>0, что
\х — Хъ\<^Ъ
влечет за собой
|/(*)-/(*0)|<в,
где бы в пределах рассматриваемого промежутка ни лежали
точки х0 и ху то функцию f(x) называют равномерно непре¬
рывной в промежутке SP.
В этом случае число 8 оказывается зависящим только от е и может
быть указано до выбора точки дг0: 8 годится для всех xQ одновре¬
менно.
Равномерная непрерывность означает, что во всех частях проме¬
жутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргу¬
мента, что0ы добиться заданной степени близости соответствующих
значений функции.
Можно показать на примере, что непрерывность функции во всех
точках промежутка не влечет необходимо за собой ее равномер¬
ной непрерывности в этом промежутке. Пусть, например,
1	2
/(л;) = sin — для ху содержащихся между 0 и ~, исключая 0.
В этом случае область изменения х есть незамкнутый промежу¬
ток ^0,и в каждой его точке функция непрерывна. Положим

138	ГЛ.	IV.	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	1?5
2	1	*
теперь х0 = -тк—, 1ч , х ——, где п — любое натуральное число;
\Ltl -f- I j тс	tin
тогда
/* /</• Ч ■ eiti fOn 	1	 1 Ч __
fixо) = sin (2я	О т = — 1» / (*0 = sin	= О»
так что
\f(x)-f(xJl = l,
несмотря на то, что \х — л:01 = —п \ .. ■ с возрастанием п может
ТЬ yAft —J“ 1) я
быть сделано сколь угодно малым. Здесь при е = 1 нельзя найти 8,
которое годилось бы одновременно для всех точек дг0 в ^0, -^|,хотя
для каждого отдельного значения х, ввиду непрерывности функции,
такое 8 существует!
75.	Теорема о равномерной непрерывности. Весьма замечательно,
что в замкнутом промежутке [а, Ь] аналогичного положения вещей
быть уже не может, как явствует из следующей теоремы.
Теорема Кантора *). Если функция f(x) определена и непре¬
рывна в замкнутом промежутке [а, Ь], то она и равно¬
мерно непрерывна в этом промежутке.
Доказательство поведем от противного. Пусть для некото¬
рого определенного числа е^>0 не существует такого числа
8	0,	о котором идет речь в определении равномерной непрерывно¬
сти. В таком случае, какое бы число 8^>0 ни взять, найдутся в про¬
межутке [а, b] такие два значения х и У, что
| аг — аг' |	8	и	тем	не	менее \f(x)—fix') |^е.
Возьмем теперь последовательность {Ьп} положительных чисел так,
что Ьп 0. В силу сказанного, для каждого Ьп найдутся в [а, Ь\ зна¬
чения хп и хп (они играют роль х и х') такие, что (при п= 1,2,3,...)
IХп — ХпКК и тем не менее \f(xn)— f(x'n) |^е.
По лемме Больцано — Вейерштрасса [п°51], из ограниченной после¬
довательности {хп} можно извлечь частичную последовательность,схо¬
дящуюся к некоторой точке лг0 промежутка [а, Ь]. Для того чтобы
не осложнять обозначений, будем считать, что уже сама последова¬
тельность {лгл} сходится к х0.
Так как хп — х'п^0 (ибо | агл — х'п\<^К> а 8п-*0), то одно¬
временно и последовательность {хп} сходится к х0. Тогда, ввиду
непрерывности функции в точке х0, должно быть
/(*я) “►/(*<») И f{xn) -yf(x0),
*) Георг Кантор (1845—1918) — известный немецкий математик, осно¬
ватель современной теории множеств.

75]
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
139
так что
f{xn) —/(-О -► О,
а это противоречит тому, что при всех значениях п
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает такое следствие,
которое ниже будет нам полезно:
Следствие. Пусть функция f(x) определена и непрерывна
в замкнутом промежутке [а, b]. Тогда по заданному е^>0 най¬
дется такое 8^>0, что если промежуток произвольно разбить
на частичные промежутки с длинами, меньшими 8, то в каждом
из них колебание функции / (х) будет меньше е.
Действительно, если, по заданному е^>0, в качестве 8 взять
число, о котором говорится в определении равномерной непрерывно¬
сти, то в частичном промежутке с длиной, меньшей 8, разность между
любыми двумя значениями функции будет по абсолютной величине
меньше е. В частности, это справедливо и относительно наибольшего
и наименьшего из этих значений, разность которых и дает колебание
функции в упомянутом частичном промежутке [п°73].
Так, на протяжении полустолетия, одно за другим доказывались
основные свойства непрерывных функций, начиная от более «очевидных» и
кончая тонким свойством равномерной непрерывности, установленным в по¬
следней теореме. Еще раз подчеркнем, что надлежащую строгость эти дока¬
зательства получили лишь на основе развитых во второй половине прошлого
века арифметических теорий вещественных чисел.

ГЛАВА ПЯТАЯ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
76.	Задача о вычислении скорости движущейся точки. Пере¬
ходя к изложению основ дифференциального и интегрального исчис¬
ления, мы обращаем внимание читателя на то, что идеи этого исчисления
зародились еще в XVII веке, т. е. задолго до тех тонких теорий,
которые мы изучали в предшествующих главах. Лишь в заключи¬
тельной главе этого тома мы будем иметь возможность коснуться
важнейших моментов предыстории математического анализа и охарак¬
теризовать заслуги двух великих математиков—Ньютона и Лейбница,
завершивших работы своих предшественников созданием действительно
нового исчисления. В нашем изложении мы будем руководствоваться
уже современными требованиями к строгости, а не историей вопроса.
Впрочем, в качестве введения в дифференциальное исчисление, мы
рассмотрим в настоящем номере задачу о скорости, а в ближайшем
номере — задачу о касательной; обе задачи исторически
ftO оказались связанными с формированием основного понятия
дифференциального исчисления, впоследствии получившего
название производной.
Начнем с частного примера, именно, рассмотрим сво¬
бодное падение (в пустоте — чтобы не учитывать сопро-
тивления воздуха) тяжелой материальной точки.
щ	Если	время t (сек.) отсчитывается от начала падения,
то пройденный за это время путь s (ж), по известной фор¬
муле, выразится так:
*=£.	«о
где g*=9,81. Исходя отсюда, требуется определить
Рис. 31. скорость v движения тонки в данный момент t, когда
точка находится в положении М (рис. 31).
Придадим переменной t некоторое приращение М и рассмотрим
момент t -(- Д£, когда точка будет в положении Mlt Приращение MMt
пути за промежуток времени М обозначим через A s.

76]
| 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
141
Подставляя в (1)	вместо	t, получим для нового значения
пути выражение
Разделив As на Му мы получим среднюю скорость падения
точки на участке ММ±
Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением М, тем
лучше характеризуя состояние падающей точки в момент t9 чем
меньше промежуток М, протекший после этого момента.
Скоростью v точки в момент времени t называют предел,
к которому стремится средняя скорость т>ср за промежуток М,
когда Дt стремится к нулю.
В нашем случае, очевидно,
Аналогично вычисляется скорость v и в общем случае, скажем,
прямолинейного движения точки. Положение точки определяется ее
расстоянием s, отсчитываемым от некоторой начальной точки О; это
расстояние и называется пройденным путем. Время t отсчиты¬
вается от некоторого начального момента, причем не обязательно,
чтобы в этот момент точка находилась в О. Движение считается
вполне заданным, когда известно уравнение движения: s—f (t),
из которого положение точки определяется для любого момента вре¬
мени; в рассмотренном примере такую роль играло уравнение (1).
Для определения скорости v в данный момент t пришлось бы,
как и выше, придать t приращение М; этому отвечает увеличение
пути ^ на A s. Отношение
выразит среднюю скорость vcp за промежуток At Мгновенная же
скорость v в момент t получится отсюда предельным переходом:
откуда
5-1-д5=|(<-|-дОа,
As = .|(2f.A* + M*).
As
U
v= lim т>ср = Нт-дт*
Как увидим, другая важная задача, которую мы рассмотрим ниже,
приводит к подобной же предельной операции.

142 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	|77
77.	Задача о проведении касательной к кривой. Пусть дана
кривая (К)	(рис.	32)	и	на	ней	точка М; обратимся	к установлению
самого понятия	касательной	к	кривой в ее	точке Ж
В школьном курсе касательную к окружности опреде¬
ляют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку».
Но это определение имеет част¬
ный характер, не вскрывая су¬
щества дела. Если попытаться при¬
менить его, например, к параболе
у = ах* (рис. 33, а), то в начале
координат О обе координатные
оси подошли бы	под это определе¬
ние; между тем	— как, вероятно,
непосредственно ясно и читате-
рис. 32.	лю,	— на деле лишь ось х служит
касательной к параболе в точке 01
Мы дадим сейчас общее определение касательной. Возьмем на кри¬
вой (К) (рис. 32), кроме точки Ж, еще точку AU и проведем секу¬
щую ММХ. Когда точка Мх вдоль по кривой будет перемещаться,
эта секущая будет вращаться вокруг точки Ж
Касательной к кривой (К) в точке М называется пре¬
дельное положение МТ секущей MMlf когда точка Мх вдоль
по кривой стремится к совпадению с М. Смысл этого определения
состоит в том, что угол М\МТ стремится к нулю, лишь только
к нулю стремится хорда MMV
Применим для примера это определение к параболе у —ах*
в произвольной ее точке М (х,у). Так как касательная проходит через эту
точку, то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой

78]
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
143
коэффициент. Мы и поставим себе задачей найти угловой коэффи¬
циент tga касательной в точке М.
Придав абсциссе х приращение Дл:, от точки М кривой перейдем
к точке Mi с абсциссой х-{-Ьх и ординатой
у Ду = а (х -(- Д-*0а
(рис. 33, а). Угловой коэффициент tgcp секущей MMt "определится
из прямоугольного треугольника MNMX. В нем катет MN равен
приращению абсциссы Lx, а катет NMb очевидно, есть соответству¬
ющее приращение ординаты
Ly — a (2х • Дат Ддг2),
так что
tgtf,==f*==2a*+aAjf-
Для получения углового коэффициента касательной, как легко
понять, нужно перейти здесь к пределу при Дл; 0, ибо это и равно¬
сильно тому, что хорда ММ^^О. При этом ср-*<х и (по непрерыв¬
ности функции tgcp) tgcp-^tga.
Мы приходим, таким образом, к результату:
tg a = lim (2ах -|- аДлг) = 2ах *).
Дл:—о
В случае любой кривой с уравнением
y=f(x)
угловой коэффициент касательной устанавливается подобным же обра¬
зом. Приращению Дл: абсциссы отвечает приращение Ау ординаты,
и отношение
Ау
Дл:
выражает угловой коэффициент секущей, tgcp. Угловой же коэф¬
фициент касательной получается отсюда путем перехода к пре¬
делу при Длг-*0:
tga= lim tg ср = lim
Ддс-»0	Длг-*0	Х
78.	Определение производной. Сопоставляя операции, которые
мы осуществляли при решении рассмотренных выше фундаментальных
задач, легко усмотреть, что в обоих случаях — если отвлечься от
.*) Заметим попутно, что отсюда вытекает удобный прием для фактиче¬
ского построения касательной к параболе. Именно, из Д МРТ(рис. 33,0), отрезок
TP—-JL-—££l — £
tg а	2ах	2 *
так что Г есть середина отрезка ОР. Итак, для того чтобы по¬
лучить касательную к параболе в ее точке М, достаточно разделить пополам
отрезок ОР и середину его соединить с точкой М.

144	гл.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	J78
различия в истолковании переменных — по существу делалось одно и
то же: приращение функции делилось на приращение независимой пере¬
менной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путем мы и
приходим к основному понятию дифференциального исчисления —
к понятию производной.
Пусть функция y=f(x) определена в промежутке Исходя
из некоторого значения х = х0 независимой переменной, придадим ему
приращение Алег^О, не выводящее его из промежутка £€> так что
и новое значение xQ -f- Дат принадлежит этому промежутку. Тогда зна¬
чение уо = f (лг0) функции заменится новым значением j/0-j-Ay =
=/(*о + д-*0> т* е* получит приращение
Ду = Д/(*„)=/(.*о + д*) — /(•*<>)•
Если существует предел отношения приращения функции Ау
к вызвавшему его приращению независимой переменной Длг, при
стремлении Ад: к нулю, т. е.
Иш ^=lim
Длг-*0 Ь* Д*-0
то он называется производной*) функции у =f(x) по неза¬
висимой переменной х при данном ее значении (или в данной
точке) х=х0.
Таким образом, производная при данном значении х = х0—
если существует — есть определенное число**); если, же производная
существует во всем промежутке SV, т. е. при каждом значении х
в этом промежутке, то она является функцией от х.
Пользуясь только что введенным понятием, сказанное в п° 76
о	скорости движущейся точки можно резюмировать так:
Скорость v есть производная от пройденного пути s по
времени t.
Если слово «скорость» понимать в более общем смысле, то можно
было бы производную всегда трактовать, как некую «скорость».
Именно, имея функцию у от независимой переменной ху можно поста¬
вить вопрос о скорости изменения переменной у по
сравнению с переменной х (при данном значении последней).
Если приращение Алг, приданное х, влечет за собой приращение
Ау для у, то, по аналогии сп°76, средней скоростью изменения
у по сравнению с х при изменении х на величину Адг можно считать
отношение
V = —
v*p Алг*
*) Термин «производная» был введен Лагранжем уже на рубеже XVIII
и XIX веков.
**) Пока мы ограничиваемся случаем, когда упомянутый выше предел
конечен [см. пв 87].

78]
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
145
Скоростью же изменения у при данном значении х естественно
назвать предел этого отношения при стремлении Ах к нулю:
V= lim Vcv= lim ^
т. e. как раз — производную от у по х.
В п° 77 мы рассматривали кривую, заданную уравнением y=f (.*0,
и решили вопрос о проведении касательной к ней в заданной
точке. Теперь мы можем сформулировать полученный нами результат так:
Угловой коэффициент tga касательной есть производная от
ординаты у по абсциссе х.
Это геометрическое истолкование производной часто
бывает полезным.
Приведем в дополнение к рассмотренным выше еще несколько
примеров, выявляющих роль понятия производной.
Если скорость движения v не постоянна и сама изменяется с тече¬
нием времени: v=f(t)y то рассматривают «скорость изменения ско¬
рости», называя ее ускорением.
Именно, если приращению времени Дt отвечает приращение ско¬
рости Av, то отношение
	Да
аср	дt
выразит среднее ускорение за промежуток времени Дt, а предел
его даст ускорение движения в данный момент времени:
а= lim асо= lim
At -* О СР «-0А*
Таким образом, ускорение есть производная от скорости по времени.
Рассмотрим теперь «линейное» распределение массы непрерывным
образом вдоль некоторого прямолинейного отрезка (т. е., собственно,
вдоль стержня, шириной и толщиной которого мы пренебрегаем!).
Пусть положение точки на этом отрезке определяется абсциссой х,
отсчитываемой (например, в сантиметрах) от начала отрезка. Масса т,
распределенная вдоль по отрезку [0, х], будет зависеть от х: т = fix).
Приращение Ддг абсциссы конца отрезка вызовет приращение Ат массы:
иными словами, Дт есть масса, связанная с отрезком [х, х-\-Ах],
примыкающим к точке х. Тогда средняя плотность распреде¬
ления массы на указанном отрезке выразится отношением
	Д/71
рсР Длг-
Предел этой средней плотности при стягивании отрезка в точку,
т. е. при Ддг-^-0:

146	ГЛ.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	Г7®
называется (линейной) плотностью в точке х: эта плотность
есть производная от массы по абсциссе.
Обратимся к учению о теплоте и с помощью производной уста¬
новим понятие теплоемкости тела при данной темпера¬
туре.
Обозначим входящие в вопрос физические величины следующим
образом: 0 — температура (в градусах С), W — количество тепла,
которое нужно сообщить телу при нагревании его от 0° до 0° (в кало¬
риях). Ясно, что W есть функция от 0: W=f(b). Придадим 0 неко¬
торое приращение Д0, тогда W также получит приращение AW.
Средняя теплоемкость при нагревании от 0° до (0 -)- А0)° будет
	AW
°ср А0 *
Но так как, вообще говоря, при изменении Д0 эта средняя тепло¬
емкость меняется, мы не можем принять ее за теплоемкость
при данной температуре 0. Для получения последней нужно
перейти к пределу:
г	г
с— lim сс — Ьт^гд-.
де-о р де-оА0
Итак, можно сказать, что теплоемкость тела есть производная
от количества тепла по температуре.
Все эти применения производной (число которых легко было бы
увеличить) с достаточной яркостью обнаруживают тот факт, что
производная существенным образом связана с основными поня¬
тиями из различных областей знания, способствуя самому установлению
этих понятий.
Вычисление производных, изучение и использование их свойств
и составляет главный предмет дифференциального исчисления.
Для обозначения производной употребляют различные символы:
или	*) (Лейбниц),
У или f(xг0)	(Лагранж);
Dy или D/(at0)	(Коши).
Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначе¬
ниями Лагранжа. Если применяют функциональное обозначение (см. вто¬
рой столбец), то буква лг0 в скобках указывает то именно значение не¬
зависимой переменной, при котором вычисляется производная. Наконец,
заметим, что в случаях, когда может возникнуть сомнение относи¬
*) Пока мы рассматриваем обозначения Лейбница как цельные символы;
ниже мы увидим, что их можно рассматривать и как дроби. Мы не будем
пользоваться обозначением Ньютона предполагающим, что роль незави¬
симой переменной играет время (см. по этому поводу п° 224).

791	§ у ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	147
тельно переменной, по которой взята производная (по сравнению
с которой устанавливается «скорость изменения функции»); эта пере¬
менная указывается в виде значка внизу:
У Ху fX (*о)> Dxyt Dxf (XQ),
причем значок х не связан с тем частным значением х0 независимой
переменной, при котором вычисляется производная.
(В некотором смысле, можно сказать, что цельные символы
|£, f или fx, Df или Dxf
играют роль функциональных обозначений для производ¬
ной функции).
Запишем теперь, пользуясь введенными для обозначения произ¬
водных символами, некоторые из полученных выше результатов.
Для скорости движения имеем
ds	t
V	— ИЛИ V = St,
а для ускорения
dv
a = — или a = vt.
Аналогично, угловойкоэффициент касательной к кривой y=f(x)
напишется так:
tga~% или *£а==У*
и т. П.
79.	Примеры вычисления производных. В качестве примеров
вычислим производные для ряда элементарных функций.
1°. Отметим, прежде всего, очевидные результаты: если у = с =
= const, то Дд/ = 0, каково бы ни было Ах, так что У = 0; если же
у — х, то Ау = Ах и у=1.
2°. Степенная функция: у — х* (где — любое веществен¬
ное число). Область изменения х зависит от р.; она была указана
в п°22, 2°. Имеем (при х^ЬО)
Ay	(л: + Ах)* —х*	 №-1 У -у /
Ал:	Ал:	Ал:
х
Если воспользоваться пределом, вычисленным в п°6б, 3), то получим
/= lim ^ =	*).
Д* — 0 ДЛГ
*) Если (х>0, то при лг = 0 легко непосредственно получить значение
производной: у = 0.

148	ГЛ.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	р9
В частности,
если у
если у = угх = х2, то У = ±х 2 =—
z	2	ух
3°. Показательная функция:	у	=	ах	(а^>0,	—оо<^
<^х<^-\-оо). Здесь
АX+LX „X	АХ	«
Ду	а — а 	 х а — 1
Дл:	Ьх	а	Дл:	"
Воспользовавшись пределом, вычисленным в п°65, 2), найдем:
У= lim ~^ = ах Лх\ а.
В частности,
Длг-*0А*"
если у = ех, то у' = ех.
Итак, скорость возрастания показательной функции (при я]>1)
пропорциональна значению самой функции: чем большего значения
функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растет. Это
дает точную характеристику роста показательной функции.
4°. Логарифмическая функция: y = \ogax (0<^аф\,
0<^дг<[4'00)* ® этом случае
4У _ lQgа (х + А*) —'1°gg х _ 1 # loga(1
Дл:	Дл:	х	*	Ах
х
Воспользуемся пределом, вычисленным в п°6б, 1):
/= пш
Д* _► О Х Х
В частности для натурального логарифма получается исклю¬
чительно простой результат:
при у = 1пх имеем у = -^-#
Это дает (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочте¬
ния, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретиче¬
ских исследованиях.
То обстоятельство, что скорость возрастания логарифмической
функции (при а^> 1) обратно пропорциональна значению аргумента
и, оставаясь положительной, стремится к нулю при безграничном
возрастании аргумента, хорошо характеризует рост логарифмической
функции.

80]	§	1.	ПРОИЗВОДНАЯ	И	ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	149
5°. Тригонометрические функции. Пусть у — sinху
тогда
sin —
Ay_sin(*-M*)-sin_.r_	2_.cos^ + ^.
Дл:	Дл:	Дл:
Пользуясь непрерывностью функции cos х и известным [п°34, 5)]
пределом lim -^-^=1, получим
а-0 а
У— lim = cos х *).
Аналогично найдем:
если у = cos лг, то У = — sin лг.
В случае	у = tg х	имеем
sin	(л: 4~ A*)	sin лг
Ay	tg (л: +	Длг) — tg х	cos	(л + Але)	cos л:
Ал:	Ал:	Ах
	 sin (л: + Дл:) cos х — cos (л: + Ах) sin х	 sin Дл:	1
Дл; • cos х • cos (л + Дл)	Дл cos х • cos (л + Дл)"
Отсюда, как и выше,
y = di™o£==^ = SeC*X'
Аналогично,
если у = ctg лг, то V —	Д— = — csc2 лг.
J 6 '	sin3 X
80.	Производная обратной функции. Прежде чем заняться вы¬
числением производных от обратных тригонометрических функций,
докажем следующую общую теорему.
Теорема. Пусть: 1) функция /(лг) удовлетворяет условиям
теоремы п°71 о существовании обратной функции, 2) в точке
х = х0 имеет конечную и отличную от нуля произ¬
водную /'(*<))• Тогда для обратной функции x = g(y) в соответ¬
ствующей точке <Уо=/(*^о) также существует производная,
равная гЬ-
*) Отметим, что эта формула обязана своей простотой тому, что угол
измеряется в радианах. Если бы мы стали измерять л, например,
в градусах, предел отношения синуса к углу был бы равен не единице,
а, как легко видеть, и тогда мы имели бы
180
/ С1П V-V
180

150	ГЛ.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	[80
Доказательство. Придадим значению у =_у0 произвольное
приращение Ау, тогда соответственное приращение Длг получит и
функция x = g(y). Заметим, что при Ау ф 0, ввиду однозначности
самой функции y—f(x\ и Ах ф 0. Имеем
Ax_J_
A3;	Ау •
Ад:
Если теперь Aj/->0 по любому закону, то — в силу непрерывности
функции x = g(y)— и приращение Алг-^0. Но тогда знаменатель
правой части написанного равенства стремится к пределу /' (jc0) ф 0,
следовательно, существует предел для левой части, равный обратной
величине угц-j; он и представляет собой производную gr (у0).
Итак, имеем простую формулу:
Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем,
что производная ух есть тангенс угла а, образованного касательной
к графику функции y=f{x) с осью х. Но обратная функция
x = g(y) имеет тот же график, лишь независимая переменная для
нее откладывается по оси у. Поэтому производная ху равна тангенсу
угла р, составленного той же
касательной с осью у (рис. 34).
Таким образом, выведенная
формула сводится к известному
соотношению
связывающему тангенсы двух
углов а и р, сумма которых
равна
Положим для примера у = ах. Обратной для нее функцией будет
x = \ogay. Так как (см. 3°) у'х = ах-Inа, то по нашей формуле
хв —	— l£Sk£
у Ух а* *1п а у у
в согласии с 4°.
Переходя теперь к вычислению производных от обратных три¬
гонометрических функций, мы для удобства поменяем ролями пере¬
менные х и у, переписав доказанную формулу в виде
1

81J
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
151
6°. Обратные тригонометрические функции. Рас¬
смотрим функцию j/ = arcsin jc (—1<^х<4), причем —
Она является обратной для функции jc=sin у, имеющей для указан¬
ных значений у положительную производную ху = cos у. В таком
случае существует также производная у'х, равная, по нашей формуле,
Ху COS^y Y 1 — sin2_y У 1 —Xs *
корень мы берем со знаком плюс, так как cosj>^>0.
Мы исключаем значения х = ±1, ибо для соответствующих зна¬
чений у — ±~ производная ху = cos_y= 0.
Функция y = aictgx (—оо<^х<^-\-оо) служит обратной для
функции x = tgy. По нашей формуле
11	1 1
у* Ху sec2 у	1 + tg2 у 1+лга>
Аналогично можно получить:
для j/=arccosJt
у = — Т7г==г	(—1<^<1).
для у = arcctg х
У I — *2
/=—Т-Ip (— оо<><+оо).
81.	Сводка формул для производных. Сделаем сводку всех
выведенных нами формул:
1.	у = с
2.	у = х
3 .'у = х?
1
У=х
у=Ух
4.	у — а*
У = е*
5.	J» = l0geA?
у= In дг
6.	у = sin X	У = COS X
7.	y = cosx	У= — sinjc
8.	y = tgx	y'=sec3x = ^rj

152	гл. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	182
9. y = ctgx	'	—1
10.	у = arcsin лг
11.	^ = 3^08^
12.	у = arctg х
13.	у = arcctg л;	1+х,
82.	Формула для приращения функции. Докажем здесь два
простых утверждения, имеющих приложения в дальнейшем.
Пусть функция у = f (х) определена в промежутке SP. Исходя
из определенного значения дг = дг0 в этом промежутке, обозначим
через Ддг^О произвольное приращение х, подчиненное лишь тому
ограничению, чтобы точка *0*-(-Даг не вышла за пределы SC. Тогда
соответствующим приращением функции будет
Ду = Д/ (лг0) =f(xQ + Длг) —f(x о).
1°. Если функция у—f{x) в точке х0 имеет (конечную) про¬
изводную yx=f(xг0), то приращение функции может быть пред¬
ставлено в виде
Д/(*0) =/' (*о) • Д* + а • Д*	(2)
или, короче,
Ау =у'х • Дат + а *	(2а)
где а есть величина, зависящая от Ддг и вместе с ним стремя¬
щаяся к нулю.
Так как, по самому определению производной, при Ддг->0
Ау
то, полагая
Ау
видим, что и а-vO. Определяя отсюда Ду, придем к формуле (2а).
Так как величина а-Ддг (при Дл;->0) будет бесконечно малой
высшего порядка, чем Ддг, то, употребляя введенное в п°Б4 обозна¬
чение, можно наши формулы переписать в виде
Л/С*о) =/' (*о) • Дат + о (Длг)	(3)
или
Ау =угх • Ддг -J- о (Дд;).	(За)
Замечание. До	сих пор мы считали Ajt^gO;	величина	а	и не
была определена при	Д* = 0. Когда мы говорили,	что	а->0	при

83]
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
153
Длг-*0, то (как обычно) предполагали, что Дл: стремится к нулю по
любому закону, но не принимая нулевого значения. Положим теперь
а = 0 при Дл;=0; тогда, разумеется, формула (2) сохранится и при
Дл; = 0. Кроме того, соотношение
а-* 0 при Ах-+0
можно понимать и в более широком смысле, чем раньше, не исклю¬
чая для Ах возможности стремиться к нулю, принимая в числе про¬
чих и нулевые значения.
Из доказанных формул непосредственно вытекает:
2°. Если функция y=f(x) в точке х0 имеет (конечную) про¬
изводную, то в этой точке функция необходимо непрерывна.
Действительно, из (2а) ясно, что соотношение Длг-*0 влечет за
собою
83.	Простейшие правила вычисления производных. В преды¬
дущих номерах мы вычислили производные для элементарных функ¬
ций. Здесь и в следующем номере мы установим ряд простых пра¬
вил, с помощью которых станет возможным вычисление производной
для любой функции, составленной из элементарных при посредстве
конечного числа арифметических действий и суперпозиций [п°2б].
I.	Пусть функция и — <р(х) имеет (в определенной точке х)
производную и\ Докажем, что и функция у = си (с = const)
также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее.
Если независимая переменная х получит приращение Длг, то функ¬
ция и получит приращение Дм, перейдя от исходного значения и
к значению н + Ди. Новое значение функции у будет у-\-Ау =
= с(и-\-Аи). Отсюда Ау = с-Аи и
Ду	А и	,
lim т~ = Сл lim -г— = с * и,
Дат 0	Дх -+ О
Итак, производная существует и равна
У = (с • u)f = с • и'.
Эта формула выражает такое правило: постоянный множи¬
тель может быть вынесен за знак производной.
II.	Пусть функции и — <р(лг), г> = ф(лг) имеют {в определенной
точке) производные и', v\ Докажем, что функция y = u±v
также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее.
Придадим х приращение Ах; тогда и, v и у получат, соответ¬
ственно, приращения Аиу Av и Ау. Их новые значения и-\-Аи,
v + Av, у Ду связаны тем же соотношением:
у -}- Ду = (и -|- Дм) ± (v -f- Дт>).
Отсюда
Ау = Аи± Av, ^	^ ± ^
7	9	Ах	Дл; Ах

154 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[83
1.	Av	Аа	.	Av	,	.	,
hm й= hm hm дг=и ±v>
Д*-*0ЛЛГ
так что производная у существует и равна
У = (м ± v)r = u' ± v\
Этот результат легко может быть распространен на любое число
слагаемых (и притом — тем же методом).
III.	При тех же предположениях относительно функций и, v
докажем, что функция y = u>v также имеет производную, и
найдем ее.
Приращению Ах отвечают, как и выше, приращения Дм, Av и Ду;
при этом у -j- Ау = (м -f- Дм) (v -)- Av), так что
Ау — Дм • v -f- и • Av -{- Дм • Av
и
Ay А«	.	Дг/	.	Аа	А
-Г- = Т— •V+M--7	Ц-Г— -Дх/.
Ал:	Ал:	1	Ад:	1	Ал:
Так как при Длт->0, в силу	п°82,	2°,	и	Дг>->0,	то
lim	lim	^-v4-u*	lim ^ = d-vA-u*v',
Ax-*-о x	1	д*_*0д*	1
т. е. производная у существует и равна
у = (и • v)r = м' • v -f- и • v\
Если y = uvw, причем и', v\ w' существуют, то
у = [(uv) • w]r = (uv)' • w -}- (uv) • wf = vCvw -f - uvfw -f- uvw\
Легко сообразить, что для случая п сомножителей будем иметь
аналогично:
п
[uvw ... s]r = it'vw... s -f- uv’w... S 4“ uvw'... s -}- ... + uvw... 5'.
Для того чтобы доказать это, можно воспользоваться методом мате¬
матической индукции.
IV.	Наконец, если и, v удовлетворяют прежним предположе¬
ниям и, кроме того, v отлично от нуля, то мы докажем, что
функция у = ~ также имеет производную, и найдем ее.
При тех же обозначениях, что и выше, имеем
. . и + Ды
у-\- Ду — —-р—,
так что
А и 	 Av
д	Au-v—и»Av	Ау А* ’	’ Ал:
У v (v + Av) И Ал:	v	(v	+	Av)

841
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
155
Устремляя здесь Длг к нулю (причем одновременно и Дг>->0), убе¬
ждаемся в существовании производной
и' • v—и • v’
84.	Производная сложной функции. Теперь мы можем устано¬
вить весьма важное при практическом нахождении производных пра¬
вило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если
известны производные составляющих функций.
V.	Пусть\ 1) функция м = <р(лт) имеет в некоторой точке х0
производную и'х — у'(хт0), 2) функция у—/(и) имеет в соответ¬
ствующей точке щ = <р (лг0) производную уи = f (м0). Тогда сложная
функция y=f(y(x)) в упомянутой точке х^ также будет иметь
производную, равную произведению производных функций f(ii)
и <р(х):
[/(?(*))]'=/«(?(*o))V(*o)*)
или, короче,
Ух == У а *
Для доказательства придадим х произвольное приращение Ал*;
пусть Дм— соответствующее приращение функции и = <р(лг) и, нако¬
нец, Ду— приращение функции y—f{it\ вызванное приращением Дм.
Воспользуемся соотношением (2а), которое, заменяя х на м, пере¬
пишем в виде
Д^=уи. Дм -|- а • Дм
(а зависит от Дм и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его
почленно на Длг, получим
Ду	 , Ди	, Ди
Ах	Уи ’ Дл:	*	а ’ Дл:	*
Если Ах устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и Дм [88, 2°],
а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая
от Дм величина а. Следовательно, существует предел
Ду	,	Д и	,
lim т~ ==Уи • 1*т	г- —уи • и*,
Д*-*0ад:	Ах^0ах
который и представляет собою искомую производную у’х.
Замечание. Здесь сказывается полезность замечания в п°82
относительно величины а при Длг = 0: покуда Длг есть прираще¬
ние независимой переменной, мы могли предполагать его
*) Подчеркнем, что символ fu (<р (л:0)) означает производную функцию f(u)
по ее аргументу а (а не по лг), вычисленную при значении и0 = у (х0)
этого аргумента.

156	ГЛ.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[85
отличным	от нуля, но	когда Адг заменено приращением	функции
и = <р (jc),	то даже при	Ах ф О мы уже не вправе считать,	что	Дн	Ф 0.
85.	Примеры *). Сначала приведем несколько примеров приложения пра¬
вил 1—IV.
1)	Рассмотрим многочлен:
у = а0хп + aLxn~l + ... + ап_ ах* + ап_ух + ап.
По правилу II, а затем I, будем иметь:
У = (а0хпу + (а.х"-1)' + ...+ ifin-sX*)' + (а^х)' + (ап)' =
= «о (*“)' + а1 (хп~1)' + • • • + л„_1 (л:8)' +	(л:)' + (а„)'.
Использовав же формулы	1, 2, 3 [п° 81], окончательно получим
у' = naaxn~l + (п — 1) а,*"-2 +... + 2ап_2х + вл_х.
2)	у = (2х3 — Ьх+\)-е*.
По правилу III
у' = (2а:2 —5л: + 1)' . ех + (2л:2 — 5л: + 1) .(е*у.
Опираясь на	предыдущий пример и формулу 4 [п° 81], найдем
у = (4л: — 5) • е* + (2л:2 —5л: + 1) • е* = (2л:2 —л: — 4) Л
х sin х + cos х
3)	V =	-L	=	•
1	J л: cos л:— sinjc
Здесь приходится пользоваться сначала правилом IV, а затем правилами
II	и III (и формулами 6, 7, п°81):
,	(л: sin х + cos х)' (л: cos х — sin л:) —(л: sin х + cos л:) (л: cos х — sin х)’
У	(л: cos л: — sin л:)2
х	cos х (л: cos х — sin л:) — (л: sin х 4- cos л:) (— х sin	х)
(л: cos х — sin х)2
_	л:2
(л: cos л: — sin х)2 *
Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не рас¬
членяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того,
чтобы вообще иисать производные сразу.
Примеры на вычисление производных сложных функций:
4)	Пусть у = In sin xf иначе говоря, у = In и, где и = sin л:. По правилу V,
у*х=у'а* и'х, Производная у'и == (Inи)'а = (формула 5) должна быть взята
при и = sin х. Таким образом,
у' =	—	(sin л:)' = CQS — = ctg х (формула 6).
sm* 4	1	sin	л:	&	r	J	'
5)	yz=ех\ т. e. y = euy где u = x*;
yx = ex2 • (л:2)' = 2л:• ex2	(V; 4 и 3).
*) Буквами xt yy a, v ниже обозначены переменные, а другими
буквами — постоянные величины.

85]	$	1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	157
Конечно, в отдельном выписывании составляющих функций на деле нет
надобности.
6)	у = sin ах\ y'x = cos ах • (ах)' = а • cos ах	(V;	7,	I,	2).
Ч*=.г«г1;
1 +х2
(V; 12, 3).
Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпо¬
зиций, исчерпывается последовательным применением правила V:
8 )у
= yrxg~x;
тогда
у*=-
2
Г7Ч=-(«т*)>	№3>
у Чг*
(V;8)
2 1
sec2 -pr-
aY4tx
Дадим еще несколько примеров на применение всех правил:
9) д» = 1п(* + У*=+7);	=	__]_= . (х+ V&+i)x=*
1	(н— х )=■——
\	Vx*4-cl Vx* -
х+Ух^+с \	Ух* + с/	Ух*+с
1 • У ЛГа 4" С — X •
ю) у=	х		!—
cYx* + c с	(yV + c)3	(лга+с)3/а
11)	В виде упражнения исследуем еще вопрос о производной степенно¬
показательного выражения y = uv (и >0), где и и v суть функции от х,
имеющие в данной точке производные и\ v\
Прологарифмировав равенство у = и?, получим
1п.у = г> Лпа.	(4)
Таким образом, выражение для у можно переписать в виде y=zev'}nu, от¬
куда уже ясно, что производная у существует. Самое же вычисление
ее проще осуществить, приравнивая производные по х от обеих частей

158 гл. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	|86
равенства (4), При этом мы используем правила V и III (помня о том, что и,
v и у суть функции от л:). Мы получим
1	г	,,	,	1	,
—y' = v' Anu-V-v	и\
у J	1	и
откуда
У —У + »' In и)
или, подставляя вместо у его выражение,
y' = uv{^r+v' 1пи^.	(5)
Эта формула впервые была установлена Лейбницем и И. Бернулли.
Например,
если y = xsmx, то у'х = xsin х [~~~ + cos х • In .
86.	Односторонние производные. Обратимся в заключение к об¬
зору ряда особых случаев, которые могут представиться в от¬
ношении производных. Начнем с установления понятия об односто¬
ронних производных. Если рассматриваемое значениех является
одним из концов того промежутка SF, в котором определена функ¬
ция y=f(x), то при вычислении предела ~ приходится ограни¬
читься приближением Длг к нулю лишь справа (когда речь идет
о левом конце промежутка) или слева (для правого конца). В этом
случае говорят об односторонней производной, справа или слева.
В соответствующих точках гра¬
фик функции имеет односто¬
роннюю касательную.
Может случиться, что и для
внутренней точки х существуют
лишь односторонние пределы от¬
ношения ^ (при кх ->»-[- 0 или
кх-> — 0), не равные между со¬
бой; их также называют одно¬
сторонними производными.
Для графика функции в соответ¬
ствующей точке будут существовать лишь односторонние ка¬
сательные, составляющие угол: точка будет угловой (рис. 35).
В качестве примера рассмотрим функцию у =/(л:) = | х |. Исходя из зна¬
чения * = 0, будем иметь
4У =/ (0 + Л*) -/ (0) =/ (Ах) = j Д* |.
Если Д*>0, то
Ду
Д V = Дат, lim -~ = \t
’ Ах->+0Ьх

87)
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
159
Если же Дл: < 0, то
Ду
Ду = —Дл:, lira т— =—1.
*	Длг—оДл:
Начало координат является угловой точкой для графика этой функции, со¬
стоящей из биссектрис первого и второго координатных углов.
87.	Бесконечные производные. Если отношение приращений ^
при Дл: ->► О стремится к -{- °° или к — оо, то это несобственное
число также называют производной и обозначают как обычно.
Геометрическое истолкование производной как углового коэффи¬
циента касательной распространяется и на этот случай; но здесь —
касательная оказывается параллельной оси у (рис. 36, а, б).
Аналогично устанавливается понятие об односторонней бес¬
конечной производной. Впрочем, на этот раз даже наличие различных
по знаку односторонних бесконечных производных (рис. 36, в, г)
тоже влечет за собой существование единственной вертикальной
касательной. Особенностью этого случая является наличие острия,
направленного вверх или вниз.
\_
Пусть, например, ft (х) = л:3; при хфО формула 3 п° 81 дает
3
Зл:
но она не приложима при л: = 0. В этой точке вычислим производную, исходя
непосредственно из ее определения; составив отношение
_1_
/, (О + Ал:)-/, (0)	(Ал:)3	_	1
Ьх	Ь.х	2»
(Дл;)3

160	ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[88
видим, что его пределом при Ах -+ 0 будет + °°» Аналогично убеждаемся,
что для функции f2(x)-=xb при лг = 0 производная слева равна —со, а
справа -1- оо.
Пользуясь расширением понятия производной, можно было бы
дополнить теорему п°80 о производной обратной функции указанием,
что и в тех случаях, когда f (лг0) равна нулю или ± оо, производная
обратной функции g'(у0) существует и равна, соответственно, ±оо
или нулю. Например, так как функция sin л: при х — ±~ имеет
производную cos^zhyj =0, то для обратной функции arcsin^y при
у — ± 1 существует бесконечная производная (именно, -f- °°)*
88.	Дальнейшие примеры особых случаев. 1°. Пример несущество¬
вания производной. Уже функция у = \х\ в точке х = 0 [см. п°86] не имеет
обычной, двусторонней, производной. Но интереснее пример функции
f(x) = x- sini- (при хфО), /(0)=0,
непрерывной и при л; = 0 [п°67, 4)], но не имеющей в этой точке даже одно¬
сторонних производных. Действительно, отношение
/(0 + Д*)—/(0)	/(Д*)_^ 1
Ах	—	Sm	Тх
не стремится ни к какому пределу при Дл: -> ± 0.
По графику этой функции (рис. 21) легко усмотреть, что секущая OMlt
исходящая из начальной точки О, не имеет предельного положения при стрем¬
лении Mt к О, так что касательной к кривой в начальной точке нет (даже
односторонней).
Впоследствии мы познакомимся с замечательным примером функции, не¬
прерывной при всех значениях аргумента, но ни при одном из них не имею¬
щей производной.
2°. Пример разрыва производной. Если для данной функции у =/(*)
существует конечная производная у =f (х) в каждой точке некоторого про¬
межутка SC* то эта производная, в свою очередь, представляет собой в SC
функцию от х. В многочисленных примерах, которые нам до сих пор встре¬
чались, эта функция сама оказывалась непрерывной. Однако это может быть
не так. Рассмотрим, например, функцию
/ (*) = sin у (при л: ф 0), / (0) = 0.
Если хфО, то ее производная вычисляется обычными методами:
f (х)=2х * sin — cos ~f
но полученный результат неприложим при л: = 0. Обращаясь в этом случае
непосредственно к самому определению понятия производной, будем иметь
/'(0)= lim /(° + Алг>~/(0>— пт д*. sin ^-=0.
Длг-*0	АХ	Д*-»0	АХ

89]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
161
Вместе с тем ясно, что f (л;) при х -* 0 не стремится ни к какому пределу,
так что при х = 0 функция f{x) имеет разрыв.
В этом примере разрыв производной оказывается второго рода. Это—не
случайность: ниже мы увидим, что разрывов первого рода, т. е. скачков, про¬
изводная иметь не может [п° 103].
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
89.	Определение дифференциала. Пусть имеем функцию y=f(x),
определенную в некотором промежутке 3? и непрерывную в рассма¬
триваемой точке Xq. Тогда приращению Длг аргумента отвечает при¬
ращение
Д.У = Д/С*о) =/(•*<> + Д-v) —fixо),
бесконечно малое вместе с Длг. Большую важность имеет вопрос,
существует ли для Ау такая линейная относительно Длг беско¬
нечно малая А* Ах (А = const), что их разность оказывается, по
сравнению с Ах, бесконечно малой высшего порядка:
Ау = А • Длг-[-о (Длг).	(1)
При АфО наличие равенства (1) показывает, что бесконечно
малая А • Длг эквивалентна бесконечно малой Ау и, значит, служит
для последней ее главной частью, если за основную бесконечно
малую взята Длг [п°п°56, 57].
Если равенство (1) выполняется, то функция y=f{x) назы¬
вается дифференцируемой {при данном значении х=лг0),
само же выражение А • Дл; называется дифференциалом
функции и обозначается символом dy или df(xг0).
[В последнем случае в скобках указывается исходное значение лг*)].
Еще раз повторяем, что дифференциал функции характеризуется
двумя свойствами: (а) он представляет линейную однородную функ¬
цию от приращения Длг аргумента и (б) разнится от приращения
функции на величину, которая при Дл;-*0 является бесконечно малой,
порядка высшего, чем Длг.
Рассмотрим примеры.
1)	Площадь Q круга радиуса г задается формулой ф = яг2. Если радиус г
увеличить на Аг, то соответствующее приращение AQ величины Q будет пло¬
щадью кругового кольца, содержащегося между концентрическими окружно¬
стями радиуса г и г + Аг. Из выражения
AQ = те (г -|- Аг)2 —пг2 = 2тег ■ Аг -{- п (Аг)2
сразу усматриваем, что главной частью AQ при Аг-*0 будет 2яг*Аг; это и
есть дифференциал dQ. Геометрически он выражает площадь прямоуголь¬
ника (полученного как бы «выпрямлением» кольца) с основанием, равным
длине окружности 2пг, и высотой Аг.
*) Здесь df как единый символ играет роль функционального
обозначения.
6 Г, М. Фихтенгольц, т, I

162 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	(90
gt2
2)	Рассмотрим свободное падение материальной точки по закону s = y.
За промежуток времени Дt, от t до t + At, движущаяся точка пройдет путь
As=g-(* + A0‘ -Щ- =gt ■ U + f (40s-
При- At-+0 его главной частью будет ds=gt-At. Вспомнив, что скорость
в момент t будет v=gt [п°76], видим, что дифференциал пути (приближенно
заменяющий приращение пути) вычисляется как путь, пройденный точкой,
которая в течение всего промежутка времени At двигалась бы именно с этой
скоростью.
90.	Связь между дифференцируемостью и существованием
производной. Легко установить теперь справедливость следующего
утверждения:
Для того чтобы функция у =/(лг) в точке х0 была дифферен¬
цируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке
существовала конечная производная у=/'(лс0). При выполнении
этого условия равенство (1) имеет место при значении постоян¬
ной А, равном именно этой производной:
Ау =Ух • Ах	о (Ах).	(1 а)
Необходимость. Если выполняется (1), то отсюда
аУ — а 1 °(Ах)
Ах ^ Ах 1
так что, устремляя Ал: к нулю, действительно получаем
А = lim =Ух-
Ах —► 0
Достаточность сразу вытекает из п°82, 1° [см. там (За)].
Итак, дифференциал функции y=f(x) всегда равен
dy=yx-Ax*).	(2)
Подчеркнем здесь же, что под Ах в этом выражении мы разумеем
произвольное приращение независимой переменной, т. е. произ¬
вольное число (которое часто удобно бывает считать не зависящим
от х).	При	этом	вовсе	не обязательно	предполагать	Ах	беско¬
нечно	малой;	но	если	Длг-*0, то дифференциал	dy	также	будет
бесконечно малой, и именно (при ух ф 0) — главной частью бесконечно
малого приращения функции Ау. Это и дает основание приближенно
полагать.
byz±=dy	(3)
*) Легко проверить, что именно так и составлялся дифференциал в при¬
мерах, рассмотренных в предыдущем номере. Например, в случае 1) имеем:
Q = тсг2, Q'r = 27ir, dQ = 2nr • Дг.

90]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
163
с тем большей точностью, чем меньше Ах. Мы вернемся к рассмо¬
трению приближенного равенства (3) в п°93.
Чтобы истолковать геометрически дифференциал dy и его
связь с приращением Ау функции y=f(x\ рассмотрим график этой
функции (рис. 37). Значением х аргумента и у функции определится
точка М на кривой. Проведем в этой точке кривой касательную М Т;
как мы уже видели в п° 78, ее угловой коэффициент, tg а, равен про¬
изводной ух. Если абсциссе х придать приращение Ах, то ордината
кривой у получит приращение
Ay = NMx. В то же время ор¬
дината касательной получит
приращение NK. Вычисляя NK
как катет прямоугольного тре¬
угольника MNK, найдем:
NK= MN-tga =ух • Ах = dy.
Итак, в то время как Ау
есть приращение ординаты
кривой, dy является соответ¬
ственным приращением орди¬
наты касательной.
В заключение остановимся на самой независимой перемен¬
ной х\ ее дифференциалом называют именно приращение Ах, т. е.
условно полагают
dx = Ах.	(4)
Если	отождествить дифференциал независимой	переменной х
с	дифференциалом	ф у н	к*ц и и у=х (в	этом —	тоже	своего	рода
соглашение!), то формулу (4) можно и доказать, ссылаясь на (2):
dx=xx- Ах = 1 • Алг = Ах.
Учитывая соглашение (4), можно теперь переписать формулу (2),
дающую определение дифференциала, в виде
dy =Ух • dx\	(5)
так ее обычно и пишут.
Отсюда получается
' dy
У*=Гх>
(6)
так что выражение, которое мы раньше рассматривали как цель¬
ный символ, теперь можно трактовать как дробь. То обстоятель¬
ство, что слева здесь стоит вполне определенное число, в то время
как справа мы имеем отношение двух неопределенных чисел dy и dx
(ведь dx=Ax произвольно), не должно смущать читателя: числа dx
и dy изменяются пропорционально, причем производная ух как
раз является коэффициентом пропорциональности.
6*

164 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[91
Понятие дифференциала и самый термин «дифференциал»*) принадлежат
Лейбницу, который, однако, точного определения этого понятия не дал.
Наряду с дифференциалами, Лейбниц рассматривал и дифференциальные
частные, т. е. частные двух дифференциалов, что равносильно нашим произ¬
водным; однако именно дифференциал был для Лейбница первоначальным
понятием. Со времен Коши, который своей теорией пределов создал фун¬
дамент для всего анализа и впервые отчетливо определил производную как
предел, стало обычным отправляться именно от производной, а понятие
дифференциала строить уже на основе производной.
91.	Основные формулы и правила дифференцирования. Вычи¬
сление дифференциалов функций носит название дифференцирова¬
ния**). Так как дифференциал dy лишь множителем dx отличается
от производной ух, то по таблице производных для элементарных
функций [81] легко составить таблицу дифференциалов для них:
*) От латинского слова differentia, означающего «разность».
**) Впрочем, тем же термином обычно обозначают и вычисление произ¬
водных, для которого на русском языке нет особого термина.
2. у = Х*
1. у = с
dy = О
dy = \лх^ dx
y = Vx
3. у = а*
I
у = е*
4. y = iogax
dy = a*lnadx
dy = ex dx
y = inx
5.	j» = sinjc
6.	у = cos x
7.	=
8.	у = ctg x
dy — cos 'x dx
dy = — sin x dx
11.	у = arctg x
12.	_y = arcctgjf
10. y = arccos x
9. у = arcsin x

92]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
165
Правила дифференцирования*) выглядят так:
I.	d(cu) = c -du,
II.	d(u±v) = du±dv,
III.	d (uv) = v du -f- и dv,
1V> d M= v du— udV '
\ V J	V2
Все они легко получаются из соответствующих правил для про¬
изводных. Докажем, например, два последних:
d(uv) = (и v)' • dx = (u'v -|- и v’) • dx =
= v (и! • dx) -}-u(tf • dx) = vdu-\-u dv>
‘к)-®-**-*?*-**-
v(u^dx)—u(v'-dx)  v du—udv
v*	^	•
92.	Инвариантность формы дифференциала. Правило диффе¬
ренцирования сложной функции приведет нас к одному замечатель¬
ному и важному свойству дифференциала.
Пусть функции y=f(x) и x = y(t) таковы, что из них может
быть составлена сложная функция: _у=/(ср(£)). Если существуют
производные у'х и х\> то — по правилу V [п°84] — существует и
производная
У1=УАгх'ь	(7)
Дифференциал dy, если х считать независимой переменной, выра¬
зится по формуле (5). Перейдем теперь к независимой переменной t\
в этом предположении имеем другое выражение для дифференциала:
dy =y’t • dt.
Заменяя, однако, производную у\ ее выражением (7) и замечая,
что x'fdt есть дифференциал х как функции от t, окончательно
получим
dy —у'х • Х( dt =ух dxy
т. е. вернемся к прежней форме дифференциала!
Таким образом, мы видим, что форма дифференциала
может быть сохранена даже в том случае, если прежняя неза¬
висимая переменная заменена новой. Мы всегда имеем право писать
дифференциал у в форме (5), будет ли х независимой переменной
или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную
выбрано t, то dx означает не произвольное приращение Длг, а диф¬
ференциал х как функции от t. Это свойство и называют инва¬
риантностью формы дифференциала.
*) Если речь идет именно о вычислении дифференциалов.

166
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[93
Так как из формулы (5) непосредственно получается формула (6),
выражающая производную ух через дифференциалы dx и dy, то и
последняя формула сохраняет силу, по какой бы независимой
переменной (конечно, одной и той же в каждом случае) ни были
вычислены названные дифференциалы.
Пусть, например, y—Y 1 —■** (— 1 < лг < 1), так что
,		х
Ух~ *•
Положим теперь х= sin<^—^огда У= У 1— sin21 = cost,и
мы будем иметь: dx=- cost'dt, dy =— sin t-dt. Легко проверить, что фор¬
мула (6) дает лишь другое выражение для вычисленной выше производной.
Замечание.	Возможность	выражать	производную	через	диф¬
ференциалы,	взятые	по	любой	переменной, в	частности,	приводит
к тому, что формулы
dy	^1_	dy	dy	da_
dx	dx9	dx da '	dx*
dy
выражающие в лейбницевых обозначениях правила дифференцирова¬
ния обратной функции и сложной функции, становятся простыми
алгебраическими тождествами (поскольку все дифференциалы здесь
могут быть взяты по одной и той же переменной). Не следует думать,
впрочем, что этим дан новый вывод названных формул: прежде всего,
здесь не доказывалось существование производных слева, глав¬
ное же — мы существенно пользовались инвариантностью формы диф¬
ференциала, которая сама есть следствие правила V.
93.	Дифференциалы как источник приближенных формул. Мы ви¬
дели, что при Ал:-►О дифференциал dy функции у (если только у'хф0)
представляет собой главную часть бесконечно малого приращения функции А у.
Таким образом, Ay ~ dy' так что
Дy = dy,	(3)
или, подробнее,
Щхо) =/(•*« + д*)—/ (*о) — /' Оо) - Дат	(За)
с точностью до бесконечно малой высшего порядка чем А*. Это значит
[п°56], что относительная погрешность этого равенства становится
сколь угодно малой при достаточно малом Дл:.
Это обстоятельство может быть и непосредственно усмотрено из рис. 37,
дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно,
что при уменьшении Дл: мы действительно все с ббльшей относитель¬
ной точностью можем заменять приращение ординаты кривой приращением
ординаты касательной.
Выгода замены приращения функции Ау ее дифференциалом dy состоит,
как ясно читателю, в том, что dy зависит от Ах л и н е й н о, в то время
как Ду представляет собою обыкновенно более сложную функцию от Дл:.

94)	§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ	167
Если положить Ьх = х—х0 и *0 + &х = х, то равенство (За)
примет вид
f(x)—f(x9)=f(x0)(x—x0)
или
fix) =f(x0) +f (х0) (х—х0).
По этой формуле, для значений х, близких к х0У функция f(x) приближенно
заменяется линейной функцией. Геометрически это соответствует замене
участка кривой y=f(x), примыкающего к точке (*0, f(x0))> отрезком
касательной к кривой в этой точке:
У =/(*о) +/' (*о) (*— *о) *)
(ср. рис. 37). Взяв для простоты лг0 = 0 и ограничиваясь малыми значе¬
ниями ху будем иметь приближенную формулу:
/ (•**) ===/ (0) +/' (0) • л\
Отсюда, подставляя вместо f(x) различные элементарные функции,
легко получить ряд формул:
(1 + х)^ == 1 + [ixt в частности, Y 1 + х —1 + у х*
£*==14“*, 1п (1 4* х) =^= X, SinAT=^, Xgx^x и т‘. п.,
из которых многие нам уже известны.
94.	Применение дифференциалов при оценке погрешностей. Осо¬
бенно удобно и естественно использовать понятие дифференциала в прибли¬
женных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, величину х
мы измеряем или вычисляем непосредственно, а зависящую от нее
величину у определяем по формуле =/(*). При измерении величины х
обыкновенно вкрадывается погрешность Дл;, которая влечет за собою по¬
грешность Ду для величины у. Ввиду малой величины этих погрешностей,
полагают
Д_у =у'х-Ьх,
т. е. заменяют приращение дифференциалом. Пусть Ьх будет максималь¬
ной абсолютной погрешностью величины х: |Дл:|^5х (в обычных условиях
подобная граница погрешности при измерении известна). Тогда,
очевидно, за максимальную абсолютную погрешность (границу погрешности)
для у можно принять
8у = |у;|.»лг.	(8)
1)	Пусть, например, для определения объема шара сначала (с помощью
штангенциркуля, толщемера, микрометра и т. п.) непосредственно изме¬
ряют диаметр D шара, а затем объем V вычисляют по формуле
v=iDK
Так как IrB = — D2, то в этом случае, в силу (8),
bV = ~D2-bD.
*) Действительно уравнение прямой с угловым коэффициентом k> про¬
ходящей через точку (лг0, у0), будет
У=Уо + Ь(х—х0);
в случае касательной здесь следует положить .Уо^/^о)» k=f(x0).

168	ГЛ.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	195
Разделив это равенство на предыдущее, получим
bV QID
V	D f
так что (максимальная) относительная погрешность вычисленного значения
объема оказывается втрое ббльшей, чем (максимальная) относительная
погрешность измеренного значения диаметра.
2)	Если число х, для которого вычисляется его десятичный лога¬
рифм у = log х, получено с некоторой погрешностью, то это отразится на
логарифме, создавая и в нем погрешность.
М
Здесь у^=— (М = 0,4343), так что, по формуле (8),
Ьу = 0,4343^.
Таким образом, (максимальная) абсолютная погрешность логарифма
просто определяется по (максимальной) относительной погрешности
самого числа, и обратно.
Этот результат имеет многообразные применения. Например, с его
помощью можно составить себе представление о точности обыкновенной
логарифмической линейки со шкалой в 25 сж = 250 мм. При отсчете или
установке визира можно ошибиться примерно, на 0,1 мм в ту или другую
сторону, что отвечает погрешности в логарифме
., = §± = 0,0004.
Отсюда, по нашей формуле,
Ьх 0,0004 .
0,4343
0,001.
Относительная точность отсчетов во всех частях шкалы одна
и та же!
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
95.	Определение производных высших порядков. Если функция
y=f(x) имеет конечную производную у' =/(х) в некотором про¬
межутке SV, так что эта последняя сама представляет новую функ¬
цию от ху то может случиться, что эта функция в некоторой точке х0
из SVy в свою очередь, имеет производную, конечную или нет. Ее
называют производной второго порядка, или второй
производной функции y=f[x) в упомянутой точке, и обозна¬
чают одним из символов
%, /', &у,	/"(-*-»),	Я»Л*о).
Так, например, мы видели в п°78, что скорость v движения
точки равна производной от пройденного точкой пути 5 по времени t:
ds
v=j^y ускорение же а есть производная от скорости v по времени:

85J	§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	169
а —	. Значит, ускорение является второй производной от
d2s
пути по времени: а =
Аналогично, если функция у = f(x) имеет конечную вторую про¬
изводную во всем промежутке 2V, т. е. в каждой точке этого про¬
межутка, то ее производная, конечная или нет, в какой-либо точке х0
из ££ называется производной третьего порядка, или тре¬
тьей производной функции y=f(x) в этой точке, и обозна¬
чается так:
8>/"> Dy,	/"'(•*о), EPf(x0).
Подобным же образом от третьей производной переходим к чет¬
вертой и т. д. Если предположить, что понятие (п— 1)-й производной
уже определено и что (п—1)-я производная существует и конечна
в промежутке SV, то ее производная в некоторой точке jc0 этого
промежутка называется производной п-го порядка, или л-й
производной от исходной функции у = f(x)\ для обозначения
ее применяются символы:
0.	Ул)> пгу;	f{n)(xо), D7(*o).
Иной раз — при пользовании обозначениями Лагранжа или Коши—
может возникнуть надобность в указании переменной, по которой
берется производная; тогда ее пишут в виде значка внизу:
У*2,	££з/(*)>	/$(*о)	и	т. п,
причем лг9, хъ, ... есть условная сокращенная запись вместо хх,
ххх, ... Например, можно писать: а = 5Д.
(Читателю ясно, что и здесь цельные символы
/М или /W £У/ или DnxJ
можно рассматривать как функциональные обозначения.)
Таким образом, мы определили понятие п-й производной, как
говорят, индуктивно, переходя по порядку от первой производной
к последующим. Соотношение, определяющее п-ю производную
УП> = [УЛ-^]',
называют также рекуррентным (или «возвратным»), поскольку оно
«возвращает» нас от п-й производной к (я — 1)-й.
Самое вычисление производных п-го порядка, при численно
заданном п, производится по известным уже читателю правилам
и формулам.

170
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[96
Например, если
то
у = 2л:3 — у X2 + 4х +	,	у" = 6х3—х-\-4,
у'" =.\2х— 1, у”" = 12,
так что все последующие производные равны тождественно нулю. Или пусть
Заметим, что по отношению к производным высших порядков
так же, индуктивно, можно установить понятие односторонней
производной [ср. п°86]. Если функция y=f(x) определена лишь
в некотором промежутке SV, то, говоря о производной любого по¬
рядка на конце его, всегда имеют в виду именно одностороннюю
производную,
96» Общие формулы для производных любого порядка. Итак,
для того, чтобы вычислить п-ю производную от какой-либо функции,
вообще говоря, нужно предварительно вычислить производные всех
предшествующих порядков. Однако в ряде случаев удается устано¬
вить такое общее выражение для п-й производной, которое зависит
непосредственно от п и не содержит более обозначений предше¬
ствующих производных.
При выводе таких общих выражений иногда бывают полезны
формулы:
обобщающие на случай высших производных известные читателю
правила I и II п°83. Их легко получить последовательным приме¬
нением этих правил.
1)	Рассмотрим сначала степенную функцию у=х^, где ц — любое
вещественное число. Имеем последовательно:
y = ln(*+ yV+1);
тогда
(сн)(л) = с • и^п\ (и ±	=	м(")	dr	v(n\
У = р.х^\ /'=!>■( 1х — 1) лт^а,
/" = (10* — 1)^-2)^*,...
Легко усмотреть отсюда и общий закон:
У'■> = (1 ((1 - 1)... G* - п +1)
который доказывается по методу математической индукции.
Если, например, взять [х = — 1, то получим

96]	§	3.	ПРОИЗВОДНЫЕ	И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	171
Когда само [х есть натуральное число т, то т-я произ¬
водная от хт будет уже постоянным числом т\9 а все следующие—•
нулями. Отсюда ясно, что и для целого многочлена степени т имеет
место аналогичное обстоятельство.
2)	Пусть теперь у = \пх. Прежде всего, имеем
У = (1п х)' = ~.
Возьмем отсюда производную (п—1)-го порядка по соответ¬
ствующей формуле из 1), заменив в ней п на п—1; мы и получим
тогда
y,,=w,^,=(iy->=fciqfcd)!.
3)	Если у = ах9 то
У = а* • In а, У' = а* • (In а)3,...
Общая формула
Ул) = а*.(1п а)п
легко доказывается по методу математической индукции.
В частности, очевидно,
(**)<»>=**.
4)	Положим у — sin дг; тогда
У = cos х, у” = — sin xt У" = — cos х,
У'" = sin ху Уй) = cos х, ...
На этом пути найти требуемое общее выражение для п-й произ¬
водной трудно. Но дело сразу упрощается, если переписать фор¬
мулу для первой производной в виде y=sin [х -f- yj; становится
ясным, что при каждом дифференцировании к аргументу будет при¬
бавляться у, так что
(sin х){п) = sin + п • ~j.
Аналогично получается и формула
(cos х){п) = cos (х -J- п • yj .

172	ГЛ.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	[97
5)	Остановимся еще на функции у = arctgx. Поставим себе зада¬
чей выразить Уп) через у. Так как x = tgyy то
y=j^p=cosV=cosjf. sln^+y).
Дифференцируя вторично по х (и помня, что у есть функция от х),
получим
/' = [—sin j/ • sin (у + у) + cos у • cos [у 4- у)] •/ =
= cosa_y • cos (2у + yj = cos2_y ■ sin2 [у -f- у j.
Следующее дифференцирование дает:
/"=[—2 sin у - cosy- sin 2 ^у -f -{-2cos*y- cos2 (у +y)J *У =
= 2cos3ey • cos [Sy -|- 2 *~^ = 2cos3y • sin 3 [y + y).
Общая формула
Уn) = (n — 1)! cos'1 у • sin n ^y -j- y]
оправдывается по методу математической индукции.
97.	Формула Лейбница. Как мы заметили в начале предыдущего
номера, правила I и II п°83 непосредственно переносятся и на слу¬
чай производных любого порядка. Сложнее обстоит дело с прави¬
лом III, относящимся к дифференцированию произведения.
Предположим, что функции w, v от х имеют каждая в отдель¬
ности производные до л-го порядка включительно; докажем, что тогда
их произведение y — uv также имеет п-ю производную, и найдем ее
выражение.
Станем, применяя правило III, последовательно дифференцировать
это произведение; мы найдем:
у = u'v -[- uvу” = u'fv -J- 2 hV 4* иг/',
у’" = umv -{- 3 кV -|- 3 wV' + uv'”> • • •
Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы:
правые части их напоминают разложение степеней бинома: и тг,
(и -f- (и + v)3, ..., лишь вместо степеней и, v стоят производ¬
ные соответствующих порядков. Сходство станет более полным, если

97]
§ 8. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
173
в полученных формулах вместо и, v писать «(о), Распространяя
этот закон на случай любого п, придем к общей формуле*):
= (uv)(n) = 2 С*и(я-,‘)г//) =
i = 0
= uwv+V + ч*”"1*	+
••■+	“г'+|)	»,-|)»(,)+-+»»(д|- о»
Для доказательства ее справедливости прибегнем снова к методу
математической индукции. Допустим, что при некотором значении п
она верна. Если для функций и, v существуют и (л+1)-е произ¬
водные, то можно (1) еще раз продифференцировать по х\ мы
получим:
у »+i)=2 ап	rt]'=2 cin	*>+chi(n-l)v( i+i\
i=0	i = О	i = О П
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие
одинаковые произведения производных функций и и v (сумма поряд¬
ков производных в таком произведении, как легко видеть, равна
всегда п-|-1). Произведение н(л+1Мо; входит только в первую сумму
(при 1=0); коэффициент его в этой сумме есть С£= 1. Точно так же
w(o)v(»+i) входит только во вторую сумму (в слагаемое с номером 1 = п\
с коэффициентом С£= 1. Все остальные произведения, входящие
в эти суммы, имеют вид и(л+1"*МА), причем 1	Каждое
такое произведение встретится как в первой сумме (слагаемое с номе¬
ром i = k), так и во второй сумме (слагаемое с номером i = k—1).
Сумма соответствующих коэффициентов будет + Но, как
известно,
Ck | лЫ 	 лЛ
а	.
*) Символ ^ означает сумму однотипных слагаемых. Когда сла¬
гаемые зависят от одного значка, меняющегося в определенных границах,
то эти границы и указываются (снизу и сверху). Например,
п
•••
i=0
т
2т=1+т+т+-+¥ ит-д-
А = 1

174	ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	[98
Таким образом, окончательно находим:
п
у”+!> — uSa*г»(0) 4- 2	v{k> 4- и'0' vin+l> =
к= 1
/1+1
= 2 ся+1мКл+1нА^(Л),
к==0
так как
e+i=4lt!=>-
Мы получили для yn+1) выражение, вполне аналогичное выраже¬
нию (1) (только п заменилось числом я-}- 1); этим и доказана спра¬
ведливость формулы (1) для всех натуральных значений п.
Установленная формула носит название формулы Лейбница. Она
часто бывает полезна при выводе общих выражений для л-й произ¬
водной.
Заметим, что такую же формулу можно было бы установить и для
п-й производной произведения нескольких сомножителей у —
=ш ... t\ она имеет сходство с разложением степени многочлена
(н + г>+...-И)п.
Пример. Найдем общее выражение для л-й производной функции
у = еах • sin bx.
По формуле Лейбница получим:
yin) __ еах. ап . sjn ъх пеах. an-i ь . cos — п (п ~ — еах • ап~2 b2 • sin bx —
—	п (п	^х . ап~*Ь* • cos bx + ...
1	• Z • и
или
у(п> __ еах | sjn bx |д/1 —^ 1). ап~2Ь2 + ...J +
-|- cos bx £пап~х b — я у у ^ ~~ ап~* Ьг + •••]}•
98.	Дифференциалы высших порядков. Обратимся теперь к диф¬
ференциалам высших порядков; они также определяются индуктивно.
Дифференциалом второго порядка, или вторым диф¬
ференциалом, функции у=f(x) в некоторой точке назызается
дифференциал в этой точке от ее (первого) дифференциала; в обо¬
значениях:
сt*y = d (dy).
Дифференциалом третьего порядка, или третьим диф¬
ференциалом, называется дифференциал от второго дифферен¬
циала:
йъу = d (dly)<

99]
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
175
Вообще, дифференциалом л-го порядка или л-м диффе¬
ренциалом функции у = f(x) называется дифференциал ее (л—1)-го
дифференциала:
dny = d(d^y).
Если пользоваться функциональным обозначением, то последова¬
тельные дифференциалы могут быть обозначены так:
da/C*o), d3f(x*),	dnf{Xb)
причем получается возможность указать то частное значение х=х&
при котором дифференциалы берутся.
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно
помнить, что dx есть произвольное и независящее от х число,
которое при дифференцировании по х надлежит рассматривать как
постоянный множитель. В таком случае будем иметь (все
время предполагая существование соответствующих производных):
d?y = d (dy) — d(yf' dx) = dyf • dx = (yfr • dx) • dx —yffdx
d?y = d (d2y) = d(yfr • dx*) = dyfT • dx* — (ym • dx) • dx2 —ym dx*t *)
и т. д. Легко угадываемый общий закон
dny=yin)dxn	(2)
доказывается методом математической индукции. Из него следует, что
так что отныне этот символ можно рассматривать как дробь.
Воспользовавшись равенством (2), легко теперь преобразовать
формулу Лейбница к дифференциалам. Достаточно умножить обе части
ее на dxл, чтобы получить
п
dn (uv) = 2 С* dP^ii • d'v	(id°u = н, d°v = v).
i=о
Сам Лейбниц нашел свою формулу именно в этом виде.
99.	Нарушение инвариантности формы для дифференциалов
высших порядков. Вспоминая, что первый дифференциал функции
обладает свойством инвариантности формы, естественно поставить
вопрос, обладают ли подобным свойством дифференциалы высших
порядков. Покажем, например, что уже второй дифференциал этим
свойством не обладает.
Итак, пусть y=f(x) и x = y(t\ так что у можно рассмат¬
ривать как сложную функцию от t\ y=f{y{t)). Ее (первый)
*) Под dx*t dx8 ... и т. п. всегда разумеются степени дифферен¬
циала: (dx)*, (dx)3, ... Дифференциал от степени будет обозначаться так:
d(x*), d(x*)t ...

176	гл.	V.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	ФУНКЦИЙ	ОДНОЙ	ПЕРЕМЕННОЙ	(99
дифференциал по t можно написать в форме:	dy =у'х• dx* где
dx = x'fdt есть функция от t. Вычисляем второй дифферен¬
циал по t:
Дифференциал dyx можно, снова пользуясь инвариантностью формы
(первого) дифференциала, взять в форме: dy'x—yx2-dx, так что
окончательно
в то время как при независимой переменной х второй дифференциал
имел вид d^y—y'xi'dx1. Конечно, выражение (3) для d*y является
более общим: если, в частности, х есть независимая переменная,
то d*x = 0 — и остается один лишь первый член.
Возьмем пример. Пусть у = х2, так что, покуда х — независимая
переменная:
Новое выражение для dy может быть получено и из старого, если
туда подставить x = t2, dx=2tdt. Иначе обстоит дело с d?y:
сделав такую же подстановку, мы получим 8£2<#2 вместо I2t*dt*l
Формула (3) в этом случае имеет вид:
Подставив сюда x = t\ dx = 2tdt, d?x=2dt\ получим уже пра¬
вильный результат: I2t*dt\
Итак, если х перестает быть независимой переменной, то диф¬
ференциал второго порядка d?y выражается через дифференциалы х
двучленной формулой (3). Для дифференциалов третьего и даль¬
нейших порядков число добавочных (при переходе к новой незави¬
симой переменной) членов еще возрастает. В соответствии с этим,
в выражениях высших производных ух*,	... через дифферен¬
циалы
d*y=d (ух • dx) = dy'x • dx -\-ух • d (dx).
d?y =Ух 2 • dx2 -\-y'x • d*x,
(3)
dy = 2x* dx,	d*y — 2dx\
Положим теперь x = t2; тогда y = t\ и
dy = At*dt,	d*y=\2t*dt\
d}y = 2 dx* -f* 2x d*x.
(4)
уже нельзя дифференциалы брать по любой переменной, но лишь
по переменной х.

ГЛАВА ШЕСТАЯ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ
100.	Теорема Ферма. Знание производной (или ряда производ¬
ных) некоторой функции позволяет делать заключения о поведении
самой функции. В основе различных приложений понятия производ¬
ной (см. главы VII и XIII) лежат некоторые простые, но важные
теоремы и формулы, которым и посвящена настоящая глава.
Начнем с одного вспомогательного предложения, которое спра¬
ведливо было бы назвать именем Ферма*). Разумеется, в приводимой
ниже форме этого предложения у него нет (Ферма еще не располагал
понятием производной), но оно все же воспроизводит сущность
того приема, который применял Ферма для разыскания наибольших
и наименьших значений функции (см. главу XIV).
Теорема Ферма. Пусть функция f{x) определена в некотором
промежутке 37 и во внутренней точке с этого промежутка
принимает наибольшее {наименьшее) значение. Если в этой точке
существует конечная производная f {с), то необходимо fr{c) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности f{x) принимает
в точке с наибольшее значение, так что для всех х из 37
/(*Х/(0.
По определению производной:
/'(с)=нш f(x)xZfc(c).
х-*с
причем предел этот не зависит от того, будет ли х приближаться
к с справа или слева. Но при х^>с выражение
/<*)-/(■»< Q,
х—с	'
*) Пьер Ферма (1601—1665) — выдающийся французский математик,
творчество которого тесно связано с предысторией анализа бесконеч¬
но малых (см. главу XIV).

178 ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (101
так что и в пределе, при х->с-\-0, получится:
/* (*)«).	о)
Если же х<^с, то
/(*)-/(«) ^0(
X — С
и, переходя здесь к пределу при х->с — 0, найдем:
(2)
Сопоставляя соотношения (1) и (2), приходим к требуемому
заключению:
Г(с)=о.
Замечание. Проведенное рассуждение, в сущности, доказы¬
вает, что в упомянутой точке с не может существовать и (двухсто¬
ронней) бесконечной производной. Таким образом, заключение теоремы
сохранится, если предположить в этой точке существование (двух¬
сторонней) производной, не делая наперед оговорки, что она конечна.
Вспомним [пп°77, 78] геометрическое истолкование производной
y'=f(x) как углового коэффициента касательной к кривой y=f(x).
Обращение в нуль производной f (с)
геометрически означает, что в соот¬
ветствующей точке этой кривой ка¬
сательная параллельна оси х. Рису¬
нок 38 делает это обстоятельство
совершенно наглядным.
В доказательстве существе н-
н о было использовано предполо-
х жение, что с является внутрен¬
ней точкой промежутка, так как
нам пришлось	рассматривать и
точки х справа от	с, и точки х слева
от с.	Без	этого	предположения	теорема перестала	бы быть верной:
если	функция f(x)	определена	в замкнутом промежутке и достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения на одном из концов этого
промежутка, то производная f (х) на этом конце (если существует)
может и не быть нулем. Предоставляем читателю подыскать соот¬
ветствующий пример.
101.	Теорема Ролля. В основе многих теорем и формул диф¬
ференциального исчисления и его приложений лежит следующая
простая, но важная теорема, связываемая с именем Ролля *).
Теорема Ролля. Пусть: 1) функция f(x) определена и непре¬
рывна в замкнутом промежутке [а, Ь]; 2) существует конечная
*) Мишель Р о л л ь (1652—1719) —французский математик, который долгое
время был противником нового исчисления и примкнул к нему уже на склоне
лет. Приводимая в тексте теорема была высказана им лишь для многочленов.
т *
с
Рис. 38.

101]
§ 1. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ
179
производная f (лг), по крайней мере, в открытом промежутке (а, Ь) *);
3)	на концах промежутка функция принимает равные значения:
т=т.
Тогда между а и Ь найдется такая точка с (а<^с<^ Ь), что
Г(с) = 0.
Доказательство. f{x) непрерывна в замкнутом проме¬
жутке [а, Ь\ и потому по второй теореме Вейерштрасса [п°73] прини¬
мает в этом промежутке как свое наибольшее значение М, так и
свое наименьшее значение т.
Рассмотрим два случая:
1.	М = т. Тогда f(x) в промежутке [а, Ь] сохраняет постоянное
значение: в самом деле, неравенство m^f(x)^M в этом случае
дает f(x) = M при всех х; поэтому f'(x) = 0 во всем промежутке,
так что в качестве с можно взять любую точку из (а, Ъ\
2.	М^>т. Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются,
но, так как f(a)=f(b), то они не могут оба достигаться на концах
промежутка, и хоть одно из них
достигается в некоторой точке с
между а и Ь. В таком случае из
теоремы Ферма следует, что про¬
изводная /' (с) в этой точке обра¬
щается в нуль. Теорема доказана.
На геометрическом языке тео¬
рема Ролля означает следующее: если
крайние ординаты кривой y=f(x) jj
равны, то на кривой найдется точка,
где касательная параллельна оси х	Рис. 39.
(рис. 39).
Обращаем внимание на то, что непрерывность функции f(x) в замкну¬
том промежутке [а, Ь] и наличие производной во всем открытом проме¬
жутке (я, Ь) существенны для справедливости заключения теоремы.
Функция f(x) = x— Е(х) удовлетворяет в промежутке [0, 1] всем условиям
теоремы, за исключением того, что имеет разрыв при *=1, а производная
/'(*) = 1 везде в (0, 1). Функция, определяемая равенствами f(x)=:x при
0^л:^-^-и/(х) = 1 —х при -^-^х^. 1, также удовлетворяет всем условиям
в том же промежутке, исключая лишь то обстоятельство, что при х = -~-
i:e существует (двухсторонней) производной; в то же время производная
/' (а:) = + 1 в левой половине промежутка и /' (л:) = — 1 — в правой.
Точно так же существенно и условие 3) теоремы: функция f(x) = x
в промежутке [0, 1] удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме условия 3),
а ее производная /' (х) = 1 повсюду.
Чертежи предоставляем читателю.
*) Конечно, непрерывность функции f(x) в (с, Ь) уже следует из 2), но
мы ни здесь, ни в последующем не ставим себе целью расчленять условие
теоремы на взаимно независимые предположения.

180 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [102
102.	Теорема о конечных приращениях. Обратимся к непосред¬
ственным следствиям теоремы Ролля. Первым из них является сле¬
дующая теорема о конечных приращениях, принадлежа¬
щая Лагранжу.
Теорема Лагранжа. Пустъ\ 1) f(x) определена и непрерывна
в замкнутом промежутке [а, Ь\ 2) существует конечная произ¬
водная f'(x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, Ь).
Тогда между а и b найдется такая точка с (а<^с<^Ь), что для
нее выполняется равенство
/(*)-/(«) _
Ь —а
■-/'(с).
(3)
Доказательство. Введем вспомогательную функцию, опре¬
делив ее в промежутке [а, Ь] равенством:
ftp) -f(a)
F(*) =/(*)-/(«)-
b — a
ix — a).
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом
деле, она непрерывна в [а, Ь\ так как представляет собой разность
между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В проме¬
жутке (а, Ь) она имеет определенную конечную производную, равную
Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что
F(a) — F(b) = 0, т. е. F(x) принимает равные значения на концах
промежутка.
Следовательно, к функции F (х) можно применить теорему Ролля
и утверждать существование в (а, Ь) такой точки с, что F'(c) = 0,
Таким образом,
/'(с) —	=	°>	откуда
что и требовалось доказать.
Теорема Ролля является частным
случаем теоремы Лагранжа; заме¬
чания относительно условий 1) и
2)	теоремы, сделанные выше, сохра¬
няют свою силу и здесь.
Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа
(рис. 40), заметим, что отношение
f Ф)—/ (fl) _ СВ
b —а — АС

102]	§	I.	ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ	181
есть угловой коэффициент секущей АВ, a f (с) есть угловой коэф¬
фициент касательной к кривой y—f{x) в точке с абсциссой х = с.
Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следую¬
щему: на дуге АВ всегда найдется, по крайней мере, одна точка М,
в которой касательная параллельна хорде АВ.
Доказанная формула
f(blzfa(a) =/'(0 или f(b)—f(a)=f'{c)-(b — a)
носит название формулы Лагранжа или формулы конеч¬
ных приращений. Она, очевидно, сохраняет силу для случая
а>Ь.
Возьмем любое значение х0 в промежутке [а, b] и придадим ему
приращение ДлгЗ^О, не выводящее его за пределы промежутка.
Применим формулу Лагранжа к промежутку [jc0, х0-\-Ах] при Длг]>0
или к промежутку [j^0 —j— Алг, лг0] при Адг<^0. .Тогда формула
Лагранжа примет вид:
. /(*0-+^) —/(*о).	ф
или
Д/(*0) =/(*» + Ад:) — /(дг0) =f(c) Длг.	(4)
Число с, заключенное в этом случае между х0 и jc0 —|— Ajc, можно
представить так:
с = х0-\-Ь-Ах, где О<0< 1 *).
Это равенство, дающее точное выражение для приращения функции
при любом конечном приращении Дл; аргумента, естественно, про¬
тивопоставляется приближенному равенству [п° 93, (За)]
Д/(*о) =/(*о + Д*) -/(*о) =/' (*о) • Ах,
относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при
бесконечно малом Дл;. Отсюда и упоминание о «конечных при¬
ращениях» в названии формулы (и теоремы).
К невыгоде формулы Лагранжа — в ней фигурирует неизвестное
нам число с (или 0) **). Это не мешает, однако, многообразным при¬
менениям этой формулы в анализе.
*) Иногда говорят, что 0 есть «правильная дробь>; не следует только
думать, что речь идет о рациональной дроби,— число 0 может оказаться и
иррациональным.
**) Лишь в немногих случаях мы можем его установить; например, для
квадратичной функции / (х) = ах2 + Ьх + с, как легко проверить, имеем
всегда 0 = у.

182 ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (104
103.	Предел производной. Полезный пример такого применения дает
следующее замечание. Предположим, что функция f(x) непрерывна в про¬
межутке [лт0, х0 + Н] (Я>0) и имеет конечную производную f'(x) для
*>лг0. Если существует (конечный или нет) предел
lim f’(x)=K>
Х-+Х0~№
то такова же будет и производная в точке х0 справа.
Действительно, при 0<Дх^Н имеем равенство (За). Так как аргумент с
производной содержится между ^fl и х0 + Ах, то при Дл:	0 он стремится
к х0, так что правая часть равенства, а с нею и левая стремится к пределу /С,
что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение устанавливается и для
левоеторонней окрестности точки х0.
Рассмотрим в качестве примера функцию
/ (х) = х • arcsin х + У1 — х2
в промежутке [—1, 1]. Если —1<д:<1, то по обычным правилам диффе¬
ренциального исчисления легко найти:
/' (л:) = arcsin х.
При*-*1—0 (х-+—1 + 0) эта производная, очевидно, стремится к пре¬
делу ^; значит и при д: = ± 1 существуют (односторонние) произ¬
водные: /' (± 1) = ± у.	2
Если вернуться к функциям fi(x)=^xz , f2(x) = xs , которые мы рас¬
сматривали в п° 87, то для них (при х^О) имеем:
/;	ж*)=-Ир
Зх3	Зх3
Так как первое из этих выражений при ^->0 стремится к + °°, а второе
при л:-►it 0 имеет, соответственно, пределы zt оо, то заключаем сразу,
что fi(x) в точке * = 0 имеет двустороннюю производную +оо, в то время
как для /2 (х) в этой точке существуют лишь односторонние' производные:
-)-оо справа и —оо слева.
Из сказанного вытекает также, что, если конечная производная f (х)
существует в некотором промежутке, то она представляет собой функцию,
которая не может иметь обыкновенных разрывов или скачков: в каждой
точке она либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода [ср. 88, 2°].
104.	Обобщенная теорема о конечных приращениях. Коши
следующим образом обобщил доказанную в предыдущем номере тео¬
рему о конечных приращениях.
Теорема Коши. Пустъ\ 1) функции f{x) и g(x) непрерывны
в замкнутом промежутке [а, Ъ]; 2) существуют конечные произ¬
водные f (х) и gf (х:), по крайней мере, в открытом промежутке
(а, b); 3) g (х) Ф 0 в промежутке (а, Ь).
Тогда между а и Ъ найдется такая точка с, что
/ (Ь)—f (a)	/'(*)
g(b) — g(a)	g’(c)'
Эта формула носит название формулы Коши.

105|
S 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
183
Доказательство. Установим сперва, что знаменатель левой
части нашего равенства не равен нулю, так как в противном случае
выражение это не имело бы смысла. Если бы было g(b) = g(a), то,
по теореме Ролля, производная g'(x) в некоторой промежуточной точке
была бы равна нулю, что противоречит условию 3); значит, g(b) z£g(a).
Рассмотрим теперь вспомогательную функцию
F(x)=f(x) -/(в) -
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом
деле, F(лег) непрерывна в [ау Ь], так как непрерывны f(x) и ^(лг);
производная F'(х) существует в (а, Ъ)> именно, она равна
Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что F(a) = F (Ь) = 0.
Применяя названную теорему, заключаем о существовании между а
и b такой точки с, что F'(c) = 0. Иначе говоря,
f (с) —	.	а'(с) = о
1 {)	g(b)-g.(a) g (С) U’
или
Г (с) =	. gr (с)
g Ф)— g{a) g '
Разделив на g'(c) (это возможно, так как gF(c)^0), получаем
требуемое равенство.
Ясно, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы
Коши. Для получения формулы конечных приращений из формулы
Коши следует положить g(x)=x.
В теоремах пп° 101, 102, 104 фигурирует, под знаком производ¬
ной, некое среднее значение независимой переменной, которое —
как указывалось — вообще нам неизвестно. Оно и производной до¬
ставляет, в некотором смысле, среднее значение. В связи с этим
все эти теоремы называют «теоремами о средних значениях».
§ 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
105.	Формула Тейлора для многочлена. Если р(х) есть целый
многочлен степени п:
Р (х) = #о а\х а%х* -{- а$х*	0)
то, последовательно дифференцируя его п раз:
р' С*) = ai + 2 * я** + 3 ‘ аъх* +... + п: апхП~1>
f/r (х) = 1 • 2 •	2*3*	dgX —|—... —[— (п — 1) п • dfiX^^y
?’{х)=\.2-Ъ-аг + ... + (п — 2).{п—\)п-аяхГ*9
рЫ{х) = \-2-Ъ.....п-ая

184 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ flOS
и полагая во всех этих формулах лг=0, найдем выражения
коэффициентов многочлена через значения самого
многочлена и его производных при * = 0:
«0=/>(0).	а1=^ТГ>	a*=^W'*
°)	„	_Р(л,(0)
3	3!	’	п	п\	*
Подставим эти значения коэффициентов в (1):
Р (*)=Р (0) + нг *+£-^-)	+ • • •+'*"• (2>
Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов.
Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно
было бы взять его разложение по степеням х — лг0, где лг0 есть не¬
которое постоянное частное значение х:
Р 0*0 =	Ах (х — лг0) -|- (лг — лг0)3 -(- (лг — лт0)3
+	+	—	х0)а.	(3)
Полагая х — лг0 = 5, р(х)=р(Хь-\-%) = Р($), для коэффициентов
многочлена
р (|) = А0 -j- А£	А 2^-)- А£г Н” • • • “Ь
имеем, по доказанному, выражения:
Л,=Р(0),	=	Ла	= ^2Г,
Р- (0)	Р'"’(0)
Лз—	31	'	п	я!	•
Но
так что
P(S)=P(*o + S), Р'(5)=/С*, + й
Р(Р)=р(х&	0)=/(*0), Р"(0) =/>"(■*«>),
А.=рЫ	Л*=^,
я _Р"' (*о)	Л	— Р(я1 (*о)
3	31	1	п	п\	9
(4)
т. е. коэффициенты разложения (3) оказались выра¬
женными через значения самого многочлена и его
производных при X = Xq.

106]
§ 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
185
Подставим в (3) выражения (4):
р(х)=р с*о) 4-Яг1	<* - *<>)*+
{х _ х„)3 + _.+^^£-) (х - *»)".	(5)
Формула (5), так же как и ее частный (прилг0 = 0) случай (2), назы¬
вается формулой Тейлора. Впрочем, формулу (2) обычно назы¬
вают формулой Маклорена*). Известно, какие важные при¬
менения формула Тейлора имеет в алгебре.
Сделаем (полезное для дальнейшего) очевидное замечание, что
если многочлен р(х) представлен в виде
р (*) = с0	(х — *•) Н—2Г (^ — *«>*+
ж —лг°)3 и	—х^п*
то необходимо
р(х0) = Со, р'(лг0) = Си р"(*<>) — СЬ ... , р(п) (х„) = сп.
106.	Разложение произвольной функции. Обратимся теперь
к рассмотрению произвольной функции /(х), вообще не являю¬
щейся целым многочленом, но определенной в некотором проме¬
жутке Предположим, что для нее в точке xQ (из 3?) существуют
производные всех порядков до я-го включительно. Это значит, точнее
говоря, что функция имеет производные всех порядков до (п — 1)-го
включительно:
fix), f"(x), f"'{x)	 /(п-» (X)
в некоторой окрестности точки дг0, и, кроме того, имеет производ¬
ную п-го порядка (jc0) в самой точке лг0 **). Тогда, по образцу (5),
и для функции f(x) может быть составлен многочлен
Рп (*) =/(•*о) +Яг	+	(х - х^+
+ + + (6)
*) Брук Тейлор (1685—1731) и Колин Маклорен (1698—1746) —
английские математики, последователи Ньютона.
**) Если точка х0 является одним из концов промежутка SCy то, говоря
о	производных в этой точке, мы имеем в виду односторонние произ¬
водные; точно так же и под окрестностью точки в этом случае подра¬
зумевается односторонняя окрестность.

186 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТВОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [106
Согласно предшествующему замечанию, этот многочлен и его
производные (до п-й включительно) в точке д:0 имеют те же
значения, что и функция f(x) и ее производные.
Но на этот раз, если только сама функция f(x) не есть целый
многочлен п-й степени, уже нельзя утверждать равенства f(x)=pn(x).
Многочлен рп (л;) дает лишь некоторое приближение к функции / (д:),
с помощью которого она и может быть вычислена с некоторой сте¬
пенью точности. В этой связи приобретает интерес оценка разности
для данного х из и данного п.
Написанное выражение гп(х) для этой цели служить не может.
Чтобы представить его в более удобной для исследования форме,
нам придется наложить на функцию f(x) более тяжелые условия,
чем те, которые непосредственно нужны для составления самого
многочлена рп{х). Именно, мы будем предполагать впредь, что для
функции f(x) существуют в 9? все производные до (/t	1	)-го	по¬
рядка включительно:
Фиксируем теперь любое значение х из промежутка SV, и
по образцу правой части формулы (7), заменяя постоянное число
х0 на переменную z, составим новую, вспомогательную, функцию:
причем независимую переменную z считаем изменяющейся в проме¬
жутке [дг0, х] *). В этом промежутке функция ср(г) непрерывна и
принимает на концах его значения [см. (7)]:
rn(x)==f(x)—p„(x),
или
Гп (х) =/(■*) — /С*о) —Щг (* — ■*») —... —С* — *о)п (7)
fix), fix)	 /">(*), /<л+1) (X).
9 (z) =f (*) —/ (*) —Чг— ~f~W (x ~z)S ~
?W=r»(4	<p(x)=o.
Кроме того, в промежутке (х0, х) существует производная
(8)
?' (г) = -Г (*) - (х - г) -f (2)] -
*) Мы—для определенности—будем считать

1061	§ % ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА	187
или, после упрощения,
4 (*)=- fnZ(Z)-(х -	(9)
Если взять еще какую-нибудь функцию <[> (z), непрерывную в про¬
межутке [дг®, лг] и имеющую в открытом промежутке (лг0, х) произ¬
водную, не обращающуюся в нуль, то к паре функций <f (z), ф (z)
можно будет применить формулу Коши [п° 104]:
У (хв) — Т (■*)  у' (с)
<И*0)-ф(.*)	ф'(с)'
где с лежит между х0 и лг, т. е. с = х*-|-9(лг — ^«)(0<С®<СО-
Учитывая (8) и (9), найдем отсюда
r.w—	<«»
Выберем сначала функцию ф(г) так:
ф (*) = (* — *)*«;
сформулированные выше условия для нее выполнены. Имеем
4» (*о) = С* — *о)я+1, t (х) = о, ф' (с) = — (я + 1) (лг — с)п.
Подставляя это в (10), окончательно получим:
Гп (х)	=^гщ (X — хг».	(11)
Теперь, учитывая (7) и (11), функцию f(x) можно представить
формулой
/(•*)=/С*о)	(X — *о) +^^-) (X — JC0)* +
+	(12)
которая от формулы Тейлора для многочлена отличается именно
наличием дополнительного члена (11).
Форма (11) дополнительного члена принадлежит Лагранжу; в этой
форме дополнительный член напоминает следующий очередной член
формулы Тейлора,	лишь	вместо	того,	чтобы вычислять (я-|-1)-ю
производную в точке лг0, эту производную берут для некоторого
среднего — между xQ и х — значения с.
Формулу (12) называют формулой Тейлора с дополни¬
тельным членом в форме Лагранжа. Если перенести в ней
/ (х0) налево и положить х—х0 = кх, то она перепишется так:
А/(ж.) =/(■*• + Ах) ~/(Хо)=Ц^ Ах+^^Ах3 +
-Ь • • +/J1T Ах" +	Ах”+1-	02а)

188 ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	f 107
В этом виде она является прямым обобщением формулы конеч¬
ных приращений [п° 102, (4)]
Д/(*0) =/(*„ + АХ) -f{x,) =/' (с) • Д*,
которая отвечает п = 0.
Хотя дополнительный член в форме Лагранжа, в смысле простоты,
не оставляет желать лучшего, но все же в отдельных случаях эта
форма оказывается непригодной для оценки дополнительного члена,
и приходится прибегать к другим формам, менее простым. Из них
упомянем здесь о дополнительном члене в форме Коши. Он полу¬
чается из (10), если положить на этот раз ty(z) = x— z. При этом
ф(л:о) = л: — хл, (]>(лг) = 0, <]/(с) = — 1
и, так как
(л: — с)п = [х — х о —- 0 (* — дг0)Г = (1 — 6)" (х — хй)п,
то приходим к такому окончательному выражению:
г„ W=/""" <*' + "	*•» (1 - «Г (* - *„)"■■	(13)
Несмотря на потерю (сравнительно с формой Лагранжа) множителя
п -|- 1 в знаменателе, эта форма иной раз бывает выгоднее именно
благодаря наличию в ней множителя (1—0)л.
Формула Тейлора с дополнительным членом в той или другой из
указанных форм является, как видим, разновидностью теорем о сред¬
них значениях: здесь также фигурируют с и 0!
107.	Другая форма дополнительного члена. Формы дополни¬
тельного члена в формуле Тейлора, выведенные выше, применяются
в случаях, когда — при тех или иных фиксированных значениях х
(отличных от х0) — мы желаем заменить приближенно функцию f(x)
многочленом рп (л:) и численно оценить проистекающую отсюда
погрешность. Но бывают случаи, когда мы не заинтересованы в опре¬
деленных значениях х, и нам важно лишь поведение дополни¬
тельного члена при стремлении х к дг0, точнее говоря,
важен порядок его малости. Этот порядок может быть уста¬
новлен даже при несколько более легких условиях, чем выше. Именно,
предположим существование лишь п последовательных производных
/»,/"(•*). ...,fn)(x)
в окрестности (двусторонней или односторонней) точки jt0 и непре¬
рывность последней из них в точке лг0*)* Тогда, заменяя
*) На деле, достаточно предположить лишь существование производ¬
ной /{п) (л-0) в одной точке лг = ^0. Мы наложили более тяжелые условия,
чтобы упростить вывод.

107J	§	2.	ФОРМУЛА	ТЕЙЛОРА	189
в формуле (12) п на п—1, можем написать:
7(*)=/(*о)+<х ~(х~хо)3 +
где с содержится между х0 и х. Положим в последнем члене
+,(,);	(14)
так как при дг->дг0, очевидно, и с->х0, так что (по непрерывности)
/(п) (с)-*-/(п) (хо), то а (х) —0 и а (х) • (х — лг0)я = о ((х — лг0)л).
Окончательно получим:
/(х) —f (х0) -|- —j-,— (х — лг0) +. • • +
-\-Гп\Хо) (х ~ хо)П + ° ((* ~ хо)ПУ> (15)
таким образом, на этот раз
г„ (лг) = о ((х — х0)я),	(16)
т. е. о дополнительном члене мы здесь знаем лишь, что при постоян¬
ном п и хх<> он будет бесконечно малой порядка выше
я-го по сравнению с х — х0, хотя — это важно подчеркнуть — мы
и ничего не знаем об его величине ни при одном фиксирован¬
ном х. Форма (16) дополнительного члена была указана Пеано *).
Мы видим, что формула (15) действительно имеет определенно
«локальный» характер, характеризуя лишь поведение функции при
стремлении х к х0.
Если в (15) снова перенести f(x0) налево и положить х — xQ = &x,
то придем к разложению
А/(*о) =/'(■*о) Д*+-^ Ьх* +.. .+£^- Д*" + о (ДУ),	(15а)
которое служит обобщением формулы (3) п° 82:
д/ (х«) =/' (*о) Ах-\-о (Ах),
получающейся отсюда при п= 1.
Иной раз удобнее вместо (14) взять попросту
/«(с)=/<")(*0) + а(х);
*) Джузеппе Пеано (1858—1932)—итальянский математик.

190 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [108
здесь также а (л:)-►О при х-+х0, а формула Тейлора с дополни¬
тельным членом в форме Пеано напишется так:
/(*) ^/(*о)	(х-Х„) + .	+	-	+
+ -—^±а1--(^--Уо)в.	(17)
В заключение сделаем еще следующее замечание. Если заме¬
нить в формулах (12а) и (15а) Ах на dx и вспомнить, что
f(xb)dx = df(x6),	f'{xb)dx* = d*f{xa), ..., f{n) (x0)dxn = dnf(x<l)
и
f(n+1)(c)dxn+l = dn+if(c),
то, подставляя, представим эти разложения в виде
Д/ (х0) = df (х0) +1 d*f(x о) +... •+1 <Г/Ы +	rfB+‘/(c)
(с = дго4-0Ддг, 0<9<1)	(126)
или
А/(•*<>) = df(xо) +	</*/(^о) + • • • + аУ(хо) + о(**")• (156)
Таким образом, если предположить Ах-+0, то по этим формулам
из бесконечно малого приращения функции Af(x0) выделяется не
только его главный член — первый дифференциал,—но и члены более
высоких порядков малости, которые — с точностью до факториалов
в знаменателях — совпадают с последовательными высшими диффе¬
ренциалами
<№о), ... , dnf(xо).
108.	Приложение полученных формул к элементарным функ¬
циям. Всего проще выглядит формула Тейлора, если дг0 = 0*):
f(x) =/(0)	*•+...	хп + гп (х).	(18)
К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв х — х0
за новую независимую переменную.
Рассмотрим некоторые конкретные разложения по этой формуле
для элементарных функций.
*) И эту формулу связывают с именем Маклорена.

108]	§ 2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА	191
1)	Пусть f(x) = ex; тогда fik) (х) = ех при любом k=\, 2,3,...
[96, 3)]. Так как в этом случае/(0)= 1, /(А)(0)=1, то, по фор¬
муле (18),
V	V* 2	уЛ
е'=1+^ + Й- + - + ^!+Г»^)-
2)	Если /(*) = sin х, то f[h) (jc) = sin (*-{• k • yj [n°96, 4)], так
что
/(0) = 0,	/(9Ш) (0) = sin тт. = 0,
yism-i) (0) _ sln ^	^	l)m-‘ (m = 1,	2,	3, ...).
Поэтому, положив в формуле (18) п = 2т, имеем
i»5	1
sinx = AT 3j 5i ••• + ( О (2m — 1)1	r<tm
3)	Аналогично, при f(x) = cos x [n° 96, 4)]
/<*>(*) = cos (* +A--J); /(0)=1, /(am)(0)==(— l)m,
/<*”»-»> (0) = 0 (от= 1, 2, 3, ...).
Таким образом (если взять п = 2т -f-1):
COS X = 1	^	(~ щ ... —|— (	1)тЩ)\-\-г*т+и
4)	Рассмотрим теперь степенную функцию хт9 где т — не нату¬
ральное число и не нуль. В этом случае при х 0 либо сама функ¬
ция (если т<^ 0), либо ее производные (начиная с некоторого по¬
рядка, при п^>т) бесконечно возрастают. Следовательно,
здесь уже нельзя брать jc0 = 0.
Возьмем jeo=l, т. е. станем разлагать хт по степеням х—1.
Впрочем, как уже упоминалось, можно ввести в качестве новой пере¬
менной х—1; мы ее попрежнему будем обозначать через х, и ста¬
нем разлагать функцию (1-|-лг)от по степеням х.
Как мы знаем [п° 96, 1)],
/<*){х) = т(т—1).9Я{т — к+ 1)(\+х)т~\
так что
/ (0) = 1,	/'*>	(0)	=	/в(«	—1)...(« —А+1).
Разложение имеет вид
, т (т — 1)...(т — п + \) л »	/ ч
"1		1-2 ...к		^	+	Гп (X).

192 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [109
5)	Если перейти к логарифмической функции In х, которая стре¬
мится к —оо при х 0, то, как и в предыдущем примере, мы
будем рассматривать функцию /(лг) = 1п (1-f-*) и разлагать ее по
степеням х.
Тогда [п° 96, 2)]
j W— (1+лг)*
/(0) = 0, /(*> (0) = (— l)*-1 (k — 1)!
Отсюда
ш(1+Х)=ДР_^ + ^_...+(_1Г1^+Г)|М.
6)	Пусть теперь / (х) — arctg х. Из п°96, 5) легко получить
значения ее производных при х = 0:
f № (0) = 0,	(0)	=	(— 1)т-1 (2 т — 2)1
так что ее разложение представится в виде
arctg ^^	^l)m-i ^-1 + r9m (л).
109. Приближенные формулы. Примеры. Если в формуле (18) отбро¬
сить дополнительный член, то получится приближенная формула
заменяющая функцию сложной природы многочленом. Качество этой фор¬
мулы оценивается двояко: либо указывают границу погрешности гп (*),
обычно пользуясь лагранжевой формой дополнительного члена:
г»<*>=^£тж)дгЯ+1 (0<е<1)’
либо довольствуются, следуя Пеано, указанием порядка малости этой по¬
грешности при х -> 0:
Гп (•*) = О (Хп).
Для примеров обратимся к рассмотренным выше разложениям эле¬
ментарных функций.
1)	Положим f(x) = ex. Приближенная формула
„ . , , X . X2 .	,	хп
в +1Г + 2Г + — +лГ;
так как дополнительный член здесь
eijc
Гп ^ = (и + 1)!хП+1>
*) Мы подразумеваем, как всегда, что 0! = 1.

1091	82.	ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА	193
то, например, при *>0 погрешность оценивается так:
v-n+1
0<гге(*)<^.(7ГТТГ1.
В частности, если х=\,
^=1 + 1г + 2Г + -- + йГ» °<гя (1) < (п_|_ j)|*
Подобной формулой мы уже пользовались в пв 49 для приближенного вы¬
числения числа е, но оценка дополнительного члена, полученная другим
путем, там была более точной.
2)	Взяв f (x)— sin х, получим
у8 **5	v*2/n~'1
sm * — *~зГ + 5Г —•" + (— l)m 1 (2m—1)1 *
В этом случае дополнительный член:
sin + (2т +1)
sm■ ■
гш (*) =			 х*тп = (- »)"«* 9х'
2/71+1
(2т + 1)! л — V V — — (2т + 1)1 >
и погрешность оценивается легко:
1	X \2т+1
В частности, если мы довольствуемся одним членом и полагаем
sin х =~ ху
то для того, чтобы погрешность была меньше, скажем, чем 0,001, достаточно
взять (считая лг>0)
^-< 0,001, или -V < 0,1817,
что примерно равно 10е. При пользовании двучленной формулой
X3
sin X == X	2Г
0
для достижения той же точности уже достаточно взять
^<0,001, или лг< 0,6544	(=37,5*);
если же ограничиться углами х < 0,4129 (= 23,5°), то погрешность будет
даже <0,0001, и т. д.
3)	Аналогично, для / (л:) = cos х имеем
Г2	г2т
со8*=Ы-я- + я1 Гт,
причем
г2 /71+2
Г2т+! (*) = (— l)m+1 cos Ьх фи* 2)1’
так что
I л:
12/71+2
I	Г’т+,(*> 1^(2»» +2)7 •
7 Г. М< Фихтенгольц т. I

194 гл. VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [109
Например, для формулы
и наверное будет, скажем, < 0,0001 для х < 0,2213 (= 13°), и т. п.
Мы обращаем внимание читателя на существенное продвижение вперед
по сравнению с формулами пп° 56, 57, 93: теперь мы умеем устанавливать
границы погрешности и располагаем формулами
Если половину центрального угла обозначить через х, а радиус дуги —
через г, то s = 2rx. С другой стороны,
именно в том, чтобы под корнем уничтожился член с х4. В окончательном
счете, полученное приближенное значение дуги отличается от самой дуги
величиной выше четвертого порядка малости.
Мы вернемся к формуле Тейлора с дополнительным членом
в главе XV (второй том), посвященной бесконечным рядам, где эта
формула будет играть весьма важную роль. Там же будут приведены
примеры приложения рядов к приближенным вычислениям, которые
зачастую, по существу, являются применениями формулы Тейлора.
*) Академик Пафнутий Львович Чебышёв (1821—1894)—великий
русский математик, основатель петербургской математической школы.
х2
cos х = 1 —g-
погрешность
любой точности.
4) Для приближенного спрямления дуги окруж¬
ности, малой по сравнению с радиусом (рис. 41),
Чебышёв *) дал следующее правило: дуга s при¬
ближенно равна сумме равных сторон равно¬
бедренного треугольника, построенного на хорде
Наконец, приведем пример приближенной фор¬
мулы совсем иного типа, но все же использующей
формулу ТейлОра.
Рис. 41.
j/~ ~-/= j/" г (1 cos х) = *|/~ -ir |у*а + о (*»)},
так что упомянутая сумма сторон, по теореме Пифагора, равна
2	у (Р)‘ + Л‘=2гУх> + 0 (х*) = 2гх У1 + 0 (х3) = 2гх + о (*4).
Читателю ясно, что назначение множителя	формуле	Чебышёва

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
110.	Условие постоянства функции. При изучении хода изме¬
нения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при
которых функция сохраняет в данном промежутке постоянное зна¬
чение или изменяется в нем монотонно [n°47J.
Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке SC *)
и имеет внутри него конечную производную f(x), а на концах
(если они принадлежат SV) сохраняет непрерывность. Для того
чтобы f(x) была в SC постоянной, достаточно условие
f (х) = 0 внутри Зу.
Доказательство. Пусть это условие выполнено. Фиксируем
некоторую точку х0 из промежутка & и возьмем любую другую
его точку х. Для промежутка [лг0, х] или [х> х0] удовлетворены
все условия теоремы Лагранжа [п° 102]. Следовательно, можем .написать
/С*) —/(■*«) =/'(с) (х—хщ),
где с содержится между лг0 и х, а значит, заведомо лежит
внутри X. Но, по предположению, f (с) = 0, так что для всех х из 3?
f(x)=f(x о) = const,
и наше утверждение доказано.
Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необхо¬
димым для постоянства функции.
В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее
отсюда простое
Следствие. Пусть две функции f(x) и g(x) определены в про¬
межутке Э£ и внутри него имеют конечные производные f(x)
и gr(x), а на концах {если они принадлежат 3?) сохраняют
непрерывность. Если при этом
f (х) = gr (jc) внутри SC,
*) Который может быть замкнутым или нет, конечным или бесконечным.
7*

196 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ 1111
то во всем промежутке 3? эти функции разнятся лишь на по-
стоянную\
f{x) — g (■*) + С (С = const).
Для доказательства достаточно применить теорему к разности
f(x)— g(x); так как ее производная f(x)— ^(дг) внутри ЗС сводится
к нулю, то сама разность в SV будет постоянной.
Рассмотрим в виде примера функции
1	2х
arctg х и —arctgj—
Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках х, исключая
х = ± 1 (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому тождество
1	. 2х	. ~
2	arctS \	=	arctg	х	+	С
оказывается установленным лишь для каждого из промежутков
*i = (-l, О,	Х2 = (—со, — 1), Хв = (1, +со)
в отдельности.	Любопытно,	что и значения	постоянной С для	этих	проме¬
жутков	будут	различными.	Для первого из	них С = 0 (в чем	убеждаемся,
полагая ^ = 0), а для двух других имеем, соответственно, С = -j или С =—-j
(что легко усмотреть, если, например, устремить л; к —оо или + оо).
Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно.
Замечание. Значение доказанной теоремы проявляется в тео¬
ретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция за¬
дана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что
она сохраняет постоянное значение. Подобные случаи нам не раз встре¬
тятся в дальнейшем.
111» Условие монотонности функции. Выясним теперь, как по
производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой
функции в данном промежутке.
Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке 3?
и имеет внутри него конечную производную f(x)> а на концах
(если они принадлежат 3?) сохраняет непрерывность. Для того
чтобы f(x) была в 3? монотонно возрастающей (убывающей)
в узком смысле, достаточно условие:
f(x)^>0 (<0) внутри 3?.
Доказательство проведем для случая возрастания. Пусть же
указанное для этого случая условие выполнено. Возьмем два значе¬
ния х! и х* (лт'<лгяг) из J, и к функции f{x) в промежутке [х?, х*\
применим формулу Лагранжа:
/(-О-/(-О =/'(*)(*'--О	(х'Сс^х').

112]
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
197
Так как f'(c)^>09 то
/СО>/(*Ъ
и функция /(лг) будет строго возрастающей.
На этот раз высказанное условие уже не является в полной мере
необходимым. Утверждение теоремы сохраняет силу, например, и
в том случае, если производная f (х) обращается в нуль в конечном
числе точек, лежащих внутри промежутка SC. В этом легко убедиться,
если применить теорему в отдельности к каждой из частей, на ко¬
торые основной промежуток разбивается упомянутыми точками.
Установленная связь между знаком производной и направле¬
нием изменения функции геометрически совершенно очевидна,
если вспомнить [пп°77, 78], что производная представляет собой угло¬
вой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового
коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз,
а с нею — идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис. 42). В от¬
дельных точках касательная при этом может оказаться и горизон¬
тальной, что отвечает обращению производной в нуль.
Примеры. 1) Простейший пример последнего обстоятельства доставляет
функцияf(x) = x3: она возрастает, и тем не менее производная ее/' (лг) = Злга
при х=~0 обращается в нуль.
2) Аналогично, возрастающей будет и функция
/ (л;) = х — sin xt
ибо ее производная
/' (лг)=1 —cos х
не отрицательна, обращаясь в нуль для значений х = 2kn (k = 0t±. 1, ± 2,...).
112.	Максимумы и минимумы; необходимые условия. Если
функция f(x)t определенная и непрерывная в промежутке [а, Ь\, не
является в нем монотонной, то найдутся такие части [а, (3] проме¬
жутка [а, Ъ]у в которых наибольшее или наименьшее значение дости¬
гается функцией во внутренней точке, т. е. между аир. На

19В гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ [112
графике функции (рис. 43) таким промежуткам соответствуют ха¬
рактерные горбы или впадины.
Говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 максимум (или
минимум) *), если эту точку можно окружить такой окрест¬
ностью (лг0 — 8, дг0 +
содержащейся в проме¬
жутке, где задана функ¬
ция, что для всех ее то¬
чек х выполняется нера¬
венство
/(■*)</(* о)
(или f(x)^f(xо)).
Иными словами, точка х0
доставляет функции f(x)
максимум (минимум), если
значение f(xQ) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений,
принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности
этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума)
предполагает, что функция задана по обе стороны от точки дг0.
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при хфх$)
выполняется строгое неравенство
/{X) < f(xо) (или f(x) >/(*<,))>
то говорят, что функция имеет в точке х0 собственный максимум
(минимум), в противном случае — несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках х0 и хи то, применяя
к промежутку [jc0, Xi] вторую теорему Вейерштрасса [73], видим,
что наименьшего своего значения в этом промежутке функция дости¬
гает в некоторой точке х% между х0 и хх и имеет там минимум.
Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум.
В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функ¬
ция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов,
они попросту чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует
и объединяющий их термин — экстремум**).
Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доста¬
вляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет
играть производная.
Предположим сначала, что для функции f(x) в промежутке (а, Ь)
существует конечная производная. Если в точке лг0 функция имеет
экстремум, то, применяя к промежутку (х0 — 8, JC0-f~8), о котором
*) По-латыни слова maximum и minimum означают «наибольшее» и «наи¬
меньшее» (значение).
**) Латинское extremum, что означает «крайнее» (значение).

113]
л l! ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
199
была речь выше, теорему Ферма [п°100], заключаем, что /'(дг0) = 0:
в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум
следует искать только в тех точках, где производная равна нулю;
такие точки будем называть стационарными*).
Не следует думать, однако, что каждая стационарная точка доста¬
вляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие
не является достаточным. Мы видели, например, в n° 111,1), что
для функции хг производная Зл:2 обращается в нуль при х = 0, но
в этой точке функция не имеет экстремума: она все время возрастает.
Таким образом, стационарная точка для функции/ (х) представляется,
так сказать, лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит
дальнейшему испытанию.
Если расширить класс рассматриваемых функций, допуская, что
в отдельных точках нет конечной производной, то не исключена
возможность того, что экстремум придется на одну из таких точек.
Поэтому их также нужно отнести к числу «подозрительных» по
экстремуму и подвергнуть испытанию.
113.	Первое правило. Итак, пусть точка х0 является «подозри¬
тельной» по экстремуму для функции fix).
Предположим, что в некоторой окрестности (дг0 — 8, xQ -{- 8) этой
точки (по крайней мере, для х ф лт0) существует конечная производ¬
ная fix) и как слева от х0, так и справа от дг0 (в отдельности)
сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие
три случая:
I.	Г(х)^> 0 при х<^х0 и /' (х)<^0 при х^>х0, т. е. производная
fix) при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус.
В этом случае, в промежутке [х0 — 8, xQ\ функция f{x) возрастает,
а в промежутке [jc0,	+ убывает, так что значение f(x0) будет
наибольшим в промежутке [хй — 8, лг0-|-8], т. е. в точке х0 функ¬
ция имеет максимум.
И. fix)<^0 при x<dx0 и Г(х)^> 0 при х^>х0, т. е. производная
f (х) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс.
В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет
минимум.
III.	fr{x)^>0 как при лг<[а:0, так и при х^>х^ либо же fix)<^0
и слева и справа от лг0, т. е., при переходе через х0, f (х) не ме¬
няет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все
время убывает; в любой близости х0 с одной стороны найдутся точки х,
в которых f(x)<^f{xо), а с другой — точки xf в которых /(лг) ^>f (лг0),
так что в точке х0 никакого экстремума нет.
Итак, мы получаем первое правило для испытания «подозри¬
тельного» значения х0: подставляя в производную fix) сначала
*) В них изменение функции как бы «приостанавливается»: скорость этого
изменения [п°78] обращается в нуль.

200 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ (113
х<С,х0, а затем х^>х0, устанавливаем знак производной побли¬
зости от точки лг0 слева и справа от нее: если при этом произ¬
водная Г (х) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум,
если меняет знак минус на плюс, то — минимум; если же знака
не меняет,, то экстремума вовсе нет.
Охарактеризуем теперь тот класс функций, к которому мы будем
применять это правило. Функция f(x) предполагается непрерывной
в промежутке [а, Ь] и имеющей в нем непрерывную же производную
/'(л;), за исключением разве лишь конечного числа точек. В этих
точках производная f'(x) как слева, так и справа стремится к бес¬
конечным пределам, совпадающим по знаку или нет: в первом случае
существует двусторонняя бесконечная производная, а во втором —
разнящиеся знаками односторонние производные *). Наконец, допустим
еще, что обращается в нуль производная тоже лишь в конечном
числе точек. Графическая иллюстрация различных возможностей для
«подозрительных» по экстремуму точек дана на рис. 44.
*) Различение этих случаев как раз и осуществляется с помощью того
исследования знака производной, о котором только что была речь.

114]
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
201
Отметим, что в случаях б, в9 г кривая пересекает касательную,
переходя с одной ее стороны на другую; в этих случаях, как гово¬
рят, кривая имеет перегиб.
Для функций рассматриваемого класса приведенное правило пол¬
ностью решает интересующий нас вопрос. Дело в том,
что для такой функции в промежутке (а, Ь) — всего лишь конечное
число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная про¬
изводная:
a <*i<*2<...<6,	(1)
и в любом промежутке
(а, хх\ (хи	(*k> xk+\)>	(хп-ъ Ь)	(2)
производная fr(x) сохраняет постоянный знак. Действительно, если бы
/'(лг) меняла знак, например, в промежутке (xk> JeA+i), то, ввиду
предположенной непрерывности /' (л:) — по теореме Больцано — Коши
[68] — она обращалась бы в нуль в некоторой точке между xk и
Xk+ь что невозможно, поскольку все корни производной содержатся
в ряду точек (1).
По теореме п°111, в каждом из промежутков (2) функция изме¬
няется строго монотонно.
Замечание. Хотя указанный класс функций охватывает все практи¬
чески интересные случаи, но все же полезно дать себе отчет в том, что
могут быть случаи, где наше правило исследования «подозрительных> зна¬
чений неприложимо. Если, например, рассмотреть функцию, определяемую
равенствами
f(x) = x2 sin •— при х^О и/(0) = 0,
то, как мы знаем [п°88, 2е], при л: = 0 она имеет производную /' (0) = 0. Одна¬
ко в любой близости от этой стационарной точки как слева, так и справа
производная
f (х) = 2х sin 		cos —
v f	X	X
бесконечное множество раз обращается в нуль, меняя при этом знак: пра¬
вило неприложимо (хотя и без него непосредственно ясно, что экстре¬
мума нет).
114.	Второе правило. Если точка л;0 — стационарная:
/' (*<>) = о
и функция f{x) имеет не только первую производную f (х) в окрест¬
ности этой точки, но и вторую производную /"(лго) в самой точке х0>
то все испытание может быть сведено к рассмотрению знака этой
последней производной, в предположении, что она отлична
от нуля.

202 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ Р15
Действительно, по определению производной — с учетом (3) — имеем
Г(*.)= lim £Sx)-fS*A = Hm JTVL
# V и/	У		г—
X -+ Xq	Х	Х°	Х-*Х0	Х	Х°
Но, по теореме 2) п°37, функция
fix)
(4)
л: — х0
приобретает знак своего предела fff(x0), лишь только х (будучи от¬
личным от х0) достаточно близко к х0 (| х — х01	8).
Пусть же, скажем, У'' (jc0)	0;	тогда дробь (4) положительна для
всех упомянутых значений х. Но для х<^х0 знаменатель х — *0<^О,
следовательно, числитель f (х) необходимо тоже меньше нуля; наобо¬
рот, при х^>х0 будем иметь х —	так	что	и	f'(x)^>0.
Иными словами, получается, что производная f (х) меняет знак ми¬
нус на плюс, а тогда — уже по первому правилу — в точке х0 будет
минимум. Аналогично устанавливается, что, если /"(х)<^0, в точке лг0
налицо максимум.
Таким образом, можно сформулировать второе правило для
испытания «подозрительного» значения х0: подставляем х0 во вто¬
рую производную f"(x)\ если f№(x0)^>0, то функция имеет ми¬
нимум, если же /У(^0)<^0, то — максимум.
Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения;
оно, например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует
конечной первой производной (ибо там и речи быть не может о второй).
В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило
также ничего не дает. Решение вопроса зависит тогда от поведения
высших производных [см. п°117].
115.	Построение графика функции. Умение находить значе¬
ния ху доставляющие функции _у=/(лт) экстремальные значения, может
быть использовано для построения графика функции, точно характе¬
ризующего ход ее изменения при возрастании х в промежутке
1а, Ь].
Раньше [п°19] мы строили график по точкам, взятым более или
менее густо, но случайно и без учета особенностей графика (наперед
ке известных). Теперь же мы в состоянии с помощью указанных
выше методов установить некоторое число «опорных» точек, харак¬
терных именнодля данного графика. Мы имеем здесь в виду,
прежде всего, «поворотные точки» графика, т. е. вершины его горбов
и впадин, отвечающие экстремальным значениям функции. Впрочем,
к ним надлежит присоединить все вообще точки, где касательная
горизонтальна или вертикальна, даже если они не отвечают экстре¬
мумам функции.
Мы ограничимся рассмотрением функций y—f (х), принадлежащих
к указанному в п°113 классу. Тогда для построения графика такой
функции y=f(x) надлежит выполнить следующее:

116]
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
203
1)	определить значения х, для которых производная y'=f(x)
равна нулю или бесконечности (или, по крайней мере, существуют
бесконечные односторонние производные), и подвергнуть их исследо¬
ванию на экстремум;
2)	вычислить значения самой функции y—f{x\ отвечающие всем
этим значениям х, а также концам а, b рассматриваемого промежутка.
Результаты удобно расположить в виде таблицы (см. ниже при¬
меры) с непременным указанием особенности вычисленной точки гра¬
фика: максимум, минимум, перегиб, у9 = 0, у' = —оо, У = — оо
и, наконец, У = dz оо илиу = :роо (так мы условно обозначаем
случай, когда существуют бесконечные односторонние производные
разных знаков). К названным точкам графика при желании присоединяют
еще некоторые другие, например точки пересечения графика с осями.
После нанесения на чертеж всех найденных точек (число которых
обычно невелико), через них проводят самый график, учитывая при
этом все упомянутые их особенности. Следует помнить, что в
промежутках между ними, как разъяснено в пс113, производная со¬
храняет знак, и график идет все время вверх или все время вниз.
Вычисления и проведение кривой упрощаются, если функция не
изменяет своего значения при изменении знака х (четная функция),
так что график симметричен относительно вертикаль¬
ной оси. Аналогичную услугу может оказать и симметрия
относительно начала координат, которая аналитически вы¬
ражается в том, что функция при изменении знака х также лишь
меняет знак (нечетная функция).
Построенный подобным образом график — не претендуя на точность
отдельных ординат — уже довольно полно отображает ход изме¬
нения	функции	(что	и было	нашей целью),	точно	отмечая	проме¬
жутки ее	возрастания	и	убывания,	а также точки,	где	скорость	изме¬
нения функции падает до нуля или возрастает до бесконечности.
116. Примеры. 1) Найти экстремумы функции
/(л:) = sin3 х + cos3 х
и построить ее график.
Ввиду того что функция имеет период 2тс, достаточно ограничиться про¬
межутком [0, 2я] изменения х. Производная
f (х) = 3 sin2 х • cos х — 3 sinx • cos2 x = 3 sin x • cos x • (sin x— cos x).
Корни производной (стационарные точки) в этом случае будут:
те п	5тс Зтс
’	"4 ' Т >	Т ’ т * ■
При переходе через л; = 0 множитель sin х меняет знак минус на плюс, а вся
производная меняет знак плюс на минус, ибо последние два множителя
сохраняют вблизи * = 0 знак минус; налицо максимум. Множитель
sin*—cos xt обращающийся в нуль при х = при переходе через эту

204 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ [116
точку меняет знак минус на плюс. То же будет и с производной, так как
первые два множителя положительны; следовательно, здесь будет мини¬
мум. Аналогично исследуются и остальные стационарные точки: все они
поочередно доставляют функции максимумы и минимумы.
Вместо исследования перемены знака первой производной можно было
бы вычислить вторую производную
fm (х) = 3 (sin х + cos х) (3 sin х cos л: — 1)
и в нее попросту подставить испытуемые значения х. Например, при * = 0
получим /'(0) = — 3, что отвечает максимуму, при х = ^ имеем
f* = Y значит— минимум, и т. д.
Определим еще абсциссы точек пересечения графика с осью х, т. е.
решим уравнение sin3 х + cos8 х = 0, откуда cosx = — sin л:, так что
Зя	7 п
X = —г* ИЛИ -7*.
4	4
Вычислим теперь значения функции, отвечающие найденным значе¬
ниям х, и составим таблицу:
0
(2it= 6,28)
оо
о
II
| = 1,57
34 = 2,36
4
СО
II
И
1
1
0
-1
II
о
\\
о
У =: 0
О
и
V*
макс.
мин.
макс.
мин.
*£ = 3.94
4
V2
г-0,71
У = 0
макс.
Т-."
— 1
у-о
мин.
74=5.50
По этой таблице и построен график, изображенный на рис. 45.
2)	Найти экстремумы и построить график функции
1	Л
f(x) = x3 —(лга — I)3.
На этот раз конечная производная
2	4
2
Г(х)=^х	3-^(х*-1)	3	.2x=^(-^j-у—£
х'3(х* — I)3
существует везде, исключая точки х = 0 и л: = ±1. При приближении
к ним как слева, так и справа производная имеет бесконечные пределы,
значит, в этих точках обе односторонние производные бесконечны [103].

116]
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
205
Для определения корней производной приравниваем нулю ее числитель;
мы найдем: х = ± “~т=« Итак, «подозрительными» по экстремуму будут
у 2
точки:
~1, ~ут’0, уТ' h
Впрочем, ввиду четности функции (и, следовательно, симметрии ее графика
относительно оси у), достаточно ограничиться правой полуплоскостью, т. е.
значениями х^О.
При * = 0 (и вблизи этой точки) числитель и второй множитель знамена¬
теля имеют знак плюс. Множитель же х 3 знаменателя меняет знак минус на
плюс, производная — тоже: минимум. При х = (и вблизи) знаменатель
1
сохраняет знак плюс. Числитель же, имея в виду значения jt, близкие к ,
1 1
перепишем так: (1 — х2)ъ—х3; он обращается в нуль при * = —
с уменьшением х — увеличивается, а с увеличением — уменьшается, так что
меняет знак плюс на минус, и налицо
максимум. При переходе через
_2
*=1 множитель (х* — I)3 в знаме¬
нателе, который обращается в этой
точке в нуль, не меняет знака; это же
справедливо и для производной, так
что при х=\ экстремума нет.
Хотя рассматриваемая функция
определена и непрерывна во всем
промежутке (—оо, -|-оо), но построе¬
ние графика, разумеется, может быть
осуществлено лишь в конечном про¬
межутке. Впрочем, можно охарактеризовать и поведение функции «на бес¬
конечности», переписав ее так:
/(*) =	4	5	1
'X4)J
■ г
Рис. 46.
1	А
3	1	/„а	1\3
видим, что f(x) > 0 и стремится к нулю при х ± оо. Таким образом, график
функции расположен над осью jc, но по мере удаления в бесконечность как
налево, так и направо, приближается к совпадению с этой осью.
Таблица:
.v=
— 00
-1
УТ
-НГ	°’71
0
УТ
V-0-71
1
0
1
уПГ = 1,59
1
1.59
1
У—+со
у = 0
У = + 00
у = 0
у=—ОО
макс.
мин.
макс.
График изображен на рис. 46.
4-00
о

206 ГЛ. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [117
117.	Использование высших производных* Мы видели, что если
/'(лг0) = 0 и /"(*о)>0. то Функция /(лг) достигает в точке х0 ми¬
нимума; если же /'(лг0) = 0 и /*(лг0)<^0, то функция имеет в этой
точке максимум. Случай, когда и /'(лг0) = 0 и /"(лг0) = О, был оста¬
влен нами неисследованным.
Предположим теперь, что в окрестности точки х = х0 функция f(x)
имеет п последовательных производных, и п-я производная в точке
х = х0 непрерывна. Пусть все они, вплоть до (п— 1)-й, в этой точке
обращаются в нуль:
Г (Х0) =/" С*0) =... =/<-« (*,) = о,
между тем как /(л) (лг0) Ф 0. Разложим приращение /(лг) — /(лг0) функ¬
ции /(лг) по степеням разности х — лг0 по формуле Тейлора с допол¬
нительным членом в форме Пеано [п° 107, (17)]. Так как все произ¬
водные порядков, меньших чем п, равны в точке лг0 нулю, то
fix) —/(д?о)= —"--д,— (Х) {х — Х0)п.
Вследствие того, что а-*0 при лг-*лг0, при достаточной близо¬
сти х к х0 знак суммы в числителе будет совпадать со знаком /(л) (лг0)
как для х<^х0, так и для х^>х0. Рассмотрим два случая.
1°. п есть нечетное число: п = 2A-f-l. При переходе от
значений х, меньших чем лг0, к значениям, ббльшим чем лг0, выраже¬
ние (лг — лг0)ал+1 изменит знак на обратный, а так как знак первого
множителя при этом не меняется, то и знак разности f(x)—/(jc0)
изменится. Таким образом, в точке лг0 функция f(x) не может иметь
экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие,
так и ббльшие, чем f(x0).
2°. п есть четное число: n = 2k. В этом случае раз¬
ность /(лг)— /(лг0) не меняет знака при переходе от х, меньших чем лг0
к большим, так как (х —	при всех лг. Очевидно, вблизи лг0
как слева, так и справа, знак разности/(лг)—/(лг0) совпадает со зна¬
ком числа /(л) (лг0). Значит, если /(л) (лг0)]>0, то /(лг)^>/(лг0) вблизи
точки лт0, и в точке лт0 функция /(лг) имеет минимум; если же
f{n)(xо)<^0, то функция имеет максимум.
Отсюда получаем такое правило:
Если из производных, не обращающихся в точке х0 в нуль,
первой оказывается производная нечетного порядка, то функция
не имеет в точке х0 ни максимума, ни минимума. Если такой
производной является производная четного порядка, функция
в точке лг0 имеет максимум или минимум, смотря по тому,
будет ли эта производная отрицательна или положительна *).
*) Это правило в 1742 г. указал Колин Маклорен в своем «Трак¬
тате о флюксиях».

118]
§ 2. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
207
Например, для функции f(x) = ex + е~х + 2 cos л: точка х = 0 является
стационарной, так как в этой точке обращается в нуль производная
/' (л;) = ех— е~х — 2 sin х.
Далее:
/" (х) = ех + е~х—2 cos х,	f" (0) = 0;
/"' (л:) = е* — tr* + 2 sin jc,	f" (0) = 0;
/"" (л:) = e* + er* + 2 cos л:,	/"" (0) = 4.
Так как первой в нуль не обратилась производная четного порядка,
то налицо экстремум, а именно минимум, ибо /"" (0) > 0.
§ 2. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
118.	Разыскание наибольших и наименьших значений. Пусть
функция f(x) определена и непрерывна в конечном замкнутом про¬
межутке [<а, Ъ\ До сих пор мы интересовались лишь ее максимумами
и минимумами, теперь же поставим вопрос о разыскании наиболь¬
шего и наименьшего из всех значений, которые она принимает
в этом промежутке*); по известному свойству непрерывных функ¬
ций [73], такие наибольшее и наименьшее значения существуют.
Остановимся для определенности на наибольшем значении.
Если оно достигается в некоторой точке между а и й, то это
одновременно будет одним из максимумов (очевидно, наибольшим);
но наибольшее значение может
и
достигаться и на одном из концов *
промежутка, а или Ъ (рис. 47).
Таким образом, нужно сравнить
между собой все максимумы функ¬
ции/^) и ее граничные зна¬
чения f{a) и f(b)\ наибольшее
из этих чисел и будет наибольшим
из всех значений функции f{x) в
[а, Ь\. Аналогично разыскивается _
и наименьшее значение функции. О
Если желают избежать иссле-	Рис. 47.
дрвания на максимум или минимум,
то можно поступить иначе. Нужно лишь вычислить значения функции
во всех «подозрительных» по экстремуму точках и сравнить их с гра¬
ничными значениями /(а) и f(b)\ наибольшее и наименьшее из этих
чисел, очевидно, и будут наибольшим и наименьшим из всех значе¬
ний функции.
*) Таким образом, мы сохраняем за термином «максимум» его «локаль¬
ный» смысл (наибольшее значение в непосредственной окрестности соот¬
ветствующей точки) и отличаем его от наибольшего значения
функции во всем рассматриваемом промежутке.
То же относится к минимуму и наименьшему значению
функции.

208
ГЛ. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ
[119
Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается про¬
стой случай, когда между а и & оказывается лишь одна «подозри¬
тельная» точка х0. Если в этой точке функция имеет максимум (ми¬
нимум), то без сравнения с гранич¬
ными значениями ясно, что это и
будет наибольшее (наименьшее)
значение функции в промежутке
(рис. 48). Часто в подобных слу¬
чаях оказывается более простым
произвести исследование на макси¬
мум и минимум, чем вычислять и
сравнивать частные значения функ¬
ции (особенно, если в состав ее
выражения входят буквенные по¬
стоянные).
Важно подчеркнуть, что ска¬
занное приложимо в полной мере и
к открытому промежутку (а, Ъ\ а также к бесконечному
промежутку.
И].
119.	Задачи. Изложим теперь несколько задач из разных областей, ре¬
шение которых приводится именно к разысканию наибольшего Или наимень¬
шего значения функции. Впрочем, чаще всего интерес представляют не
столько сами эти значения, сколько те точки (те значения аргумента), кото¬
рые доставляют их функции.
1)	Из квадратного листа жести со стороною а, вырезая по углам равные
квадраты и сгибая края (рис. 49), составляют прямоугольную открытую ко¬
робку. Как получить коробку наибольшей
вместимости?
Если сторону вырезаемого квадрата обозначить
через х, то объем у коробки выразится так:
у = х(а—2х)а, причем х изменяется в промежутке
Вопрос привелся к нахождению наибольшего
значения функции у в этом промежутке.
Так как производная у' = (а—2 х)(а—бд:)
_ а	а
между 0 и у имеет единственный корень x = -^-t
то, убедившись в том, что это значение доставляет
функции максимум, одновременно получаем и иско¬
мое наибольшее значение. Или иначе:	при
а	2 а8
х =-^ имеем
о
X
а
||р
-—а-2х—-
1
III
ш
Рис. 49.
_у = -27"» в то вРемя как граничные значения^ равны нулю; сле¬
довательно, при х = -g-, действительно получается наибольшее значение
для у.
2)	Дано бревно с круглым сечением диаметра d. Требуется обтесать его
так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением наибольшей
прочности.

119]
§ 2. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
209
так что
Указание. В теории сопротивления материалов устанавливается, что
прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению bh2, где
основание прямоугольника в сечении балки, a h—его высота.
Так как h2 = d2—b2, то речь идет о наибольшем значении для выраже¬
ния у = bh2 = b (d2—b2), причем «независимая переменная» b изменяется в
промежутке (0, d).
Производная у = с?2—3Ь2 обращается в нуль
лишь однажды внутри этого промежутка, в точке
Ь = -ф= . Вторая производная у" =— 6£<0, сле¬
довательно, в названной точке достигается макси¬
мум, а с ним и наибольшее значение.
при b=yf будет /г=^угт>
d\h\b=Y 3 : У"2 :1. Из рис. 50 видно, как по¬
строить требуемый прямоугольник (диаметр разделен
на три равные части, в точках деления восставлены
перпендикуляры).
3)	Пусть электрическая лампочка может передвигаться (например, на
блоке) по вертикальной прямой ОВ (рис. 51). На каком расстоянии от гори¬
зонтальной плоскости ОА ее следует поместить, чтобы в точке А этой
плоскости получить наибольшую освещенность?
Указание. Освещенность J пропорциональна sin <р и обратно пропор¬
циональна квадрату расстояния г = Л£, т. е.
J 	С Г2 >
где с зависит от силы света лампочки.
Если за независимую переменную
выбрать h = OB, то
sin <р =	9	г	= Y № + а*
и 7= с- ,	„,8/„	(0<Л<-)-ср).
В.
\
Рис. 51.
■' (Л2 -fa2)3/3
Далее, производная
J’h=c
а8—2йа
(А2 + о2)5/а
обращается в нуль при Л = —= = 0,7д, меняя знак при переходе через это
У 2
значение с плюса на минус., Это и есть наивыгоднейшее расстояние.
Замечание. Пользуемся случаем обратить внимание читателя
на следующее обстоятельство. При разыскании наибольшего или наи¬
меньшего значения функции для определенного промежутка измене¬
ния аргумента легко может оказаться, что внутри этого промежутка
вовсе нет корней производной или других «подозрительных» значений.
Это свидетельствует о том, что в рассматриваемом промежутке функ¬
ция оказывается монотонно возрастающей или убывающей и, следо¬
вательно, достигает как наибольшего, так и наименьшего своего зна¬
чения на концах промежутка.

210 гл. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С помощью производных 1120
§ 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
120.	Неопределенности вида Используем теперь понятие про¬
изводной для раскрытия неопределенностей всех типов. Сначала мы
0
займемся основным случаем — неопределенностью типа , т. е. иссле¬
дуем вопрос о пределе отношения двух функций f(x) и £(дг), стре¬
мящихся к нулю (например, при х->а). Приводимая ниже теорема
в основном принадлежит Иоганну Бернулли. Содержащееся в ней
правило, однако, обычно называют «правилом Лопиталя», так как оно
впервые (хотя и не совсем в таком виде) было опубликовано именно
в книге Лопиталя *) «Анализ бесконечно малых», вышедшей в свет
в 1696 г.
Теорема 1. Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены в про¬
межутке (а, Ь\у 2) lim/(jt) = 0, limg‘(jc) = 0, 3) существуют
лс-к*	х-+а
в промежутке (а, b] конечные производные f(x) и g'(хг), причем
gr (х:) ^ 0, и, наконец, 4) существует (конечный или нет) предел
lim 4т4=^
х->аёЧ*)
Тогда и
Н тЦ^-=К.
Х~а8(х)
Доказательство. Дополним определение функций f(x) и
g(x)t положив их при х — а равными нулю: f(a) = g(a) = 0 **).
Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом про¬
межутке [а, Ь]: их значения в точке а совпадают с пределами при
х-+а [ввиду 2)], а в прочих точках непрерывность вытекает из суще¬
ствования конечных производных [см. 3)]. Применяя теорему Коши
[п° 104], получим
f{x) = f(x)-f(a) __f (с)
g (х) g (х) —g (a) gf (с) »
где a<^c<^x. To обстоятельство, что g(x)^ 0, т. e. g{x) Ф g(a\
есть следствие предположения: gr (дг) ф 0, как это было установлено
при выводе формулы Коши.
*) Гильом Франсуа де Лопиталь (1661—1704) — французский мате¬
матик. Упомянутая в тексте книга является первым печатным курсом диф¬
ференциального исчисления.
**) Коне-чно, можно было бы просто предположить заранее функции
определенными и непрерывными при лг = а; но в приложениях иной раз удоб¬
нее формулировка условий теоремы, данная в тексте (см., например, тео¬
рему 1*).

120J	§	3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ	211
Когда х-+а, очевидно, и с-*а, так что, в силу 4),
lim ^гГ= Нт £гп =
х-*а & ( )	*-..*	(«)
что и требовалось доказать.
Таким образом, доказанная теорема сводит предел отношения функ¬
ций к пределу отношения производных, если последний существует.
Часто оказывается; что нахождение предела отношения производных
проще и может быть осуществлено элементарными приемами.
Заметим, что мы лишь для определенности рассмотрели случай,
когда а является левым концом промежутка, и переменная х стре¬
мится к а справа. Можно было бы считать, что а служит правым
концом, и х стремится к нему слева. Наконец, допустим и двухсто¬
ронний предельный переход.
Примеры. 1) Найти предел
л/2аъх — х4 — а л/~а2х
lim ±	—=f	•).
х-*а	а	—	у	ахъ
По правилу Лопиталя, он равен пределу
а8—2лг3	а2
|/2 а3х—х4	3-У ах2	16
Д" 	Е	= Т «•
4	аь
Окончательный результат здесь получается из отношения производных про¬
стой подстановкой х = а ввиду непрерывности этого отношения в указанной
точке.
2)	Найти предел
lim _*I£jZl£.
X — sin*
Отношение производных последовательно упрощается:
_J	1
COS2*	1	1 — COS2 X 1 -f- COS X
	 —			 • 	 =	!	•
1 — COS X COS2 X 1 — COS X	COS2 X 1
при л:-*0, оно, очевидно, стремится к двум. Таков же будет, согласно тео¬
реме, и искомый предел.
Обращаем внимание читателя на то, что здесь и отношение производных
0
снова представило неопределенность вида-g-, но раскрыть эту неопределен¬
ность оказалось возможным путем элементарных преобразований. В других
случаях может понадобиться применить теорему повторно. Важно подчеркнуть,
что при этом допустимы всякие упрощения получаемых выражений, сокра¬
щение общих множителей, использование уже известных пределов и т. п.
*) Это и есть первый пример на раскрытие неопределенностей,
приведенный в книге Лопиталя.

212 ГЛ. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ с помощью ПРОИЗВОДНЫХ [121
Теорема 1 легко распространяется на случай, когда аргумент х
стремится к бесконечному пределу: а = ±оо. Именно, имеет место,
например,
Теорема 1*. Пусть: 1) функции /(л:) и g(x) определены в про¬
межутке [с, —|— со), 2) lim /(л;) = 0, lim ^-(лг) = 0, 3) суще-
JT-^ + OQ	*-*> + 00
ствуют в промежутке [с, + оо) конечные производные Г (х) и
gF (х), причем g' (х) фО, и, наконец, 4) существует (конечный или
нет) предел
i:m f (х) 	 IS
J+cog’ (X) ~ K'
Тогда и
lim
*-»>-j-Oo£ (■*)
Доказательство. Преобразуем переменную х по формуле
х — ~> * =	• Тогда, если х->-{-оо, то	и обратно. Вви¬
ду 2), имеем
lim f (т) = °* Ит 8 (т) = °»
t-+ -f-О \с /	+о	/
а в силу 4),
'(т)
lim	—
"Мт)
К функциям /(у] и S'(у) от новой переменной t можно приме¬
нить теорему 1, что даст нам
а тогда и
что и требовалось доказать.
121.	Неопределенности вида 22. Обратимся к рассмотрению
оо
оо
неопределенных выражений вида —, т. е. исследуем вопрос о пре¬
деле отношения двух функций f(x) и g(x), стремящихся к беско¬
*) Функции /^у), £ [у) мы Дифференцируем по t как сложные
функции.

121]
§ 3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
213
нечности (при х—>а). Покажем, что в этом случае применимо то же
правило Лопиталя; следующая теорема есть простая перефра¬
зировка теоремы 1.
Теорема 2. Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены в про-
межутке (а} Ь], 2) lim f(x) = со, lim g(x) = оо, 3) существуют
в промежутке (а, Ь\ конечные производные f (х) и gr (х), причем
g'(х:)ф0, и, наконец, 4) существует (конечный или нет) предел
Доказательство. Ввиду 2), можно считать, что f(x0^>О
и	Для	всех	значений х.
Рассмотрим сначала случай конечного К. Если задаться произ¬
вольным числом е^>0, то, в силу условия 4), найдется такое т]^>0
(т]^& — а), что при a<^x<^a-\-vi будет
Положим для краткости a-\-ri = xо и возьмем х между а и ;е0.
К промежутку [л;, лг0] применим формулу Коши *):
Напишем теперь тождество (которое проверяется непосредственно):
Так как ^(лг)-^оо при х->а, то найдется такое 8^>0 (можно
считать 8=^7]), что для	будет одновременно
*) В этом — существенное отличие от доказательства теоремы 1: здесь
нельзя применить формулу Коши к промежутку [а, лг], ибо, как бы ни опре¬
делять функции f(x) и g (х) в точке а} ввиду 2) из них не получить функ¬
ций, непрерывных в этой точке.
Тогда и
f(x) —f(x0) __f (с)
g (х) —g (х0) g' (с) •
где x<^c<^xQ> следовательно,
1 f(x) f(xо) уш > е
\g(x)-g(xо)	А ^ 2-
(1)
/(*)	v f(Xo)—Kg(x0)
g(x)	Л“ g(x)
/(■*„) — KgjXb)
g(x)
<T

214 ГЛ. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ. (122
При указанных значениях х будем иметь тогда [см. (1)]
/(*) к
g(x) К
^ г . е
<т+т—е>
что и доказывает требуемое утверждение.
Пусть теперь К= оо (случай К= — оо при предположениях 2)
невозможен); тогда /' (лг) ф 0, по крайней мере, для значений ху
достаточно близких к я. Обменяв ролями функции / и g, будем
иметь
так что, по доказанному,
Лш.тёИ
откуда, наконец, в связи со сделанными вначале замечаниями,
1- /(*)
В тексте теоремы 2 можно было бы считать и а — — оо без
существенных изменений в доказательстве. Если бы а было правым
концом рассматриваемого промежутка, то, в частности, можно
было бы считать a = -J-oo. Таким образом, случай a = dhoo охва¬
чен по существу уже теоремой 2.
Примеры.
_1_
3)	lim	lim —^-г= lim -1—= 0 (если f*>0),
X —► -j-OO «V*1 ДГ-^-j-OO	1	*-* + 00
4)	lim	lim ^ *■	(a>l, (t>0).
f со a* x—►-{-oo a* ■ In a	v	r ’
_	oo
Если {х>1, то справа снова имеем неопределенность того же типа —;
но, продолжая этот процесс и повторно применяя теорему 2, в конце кон¬
цов получим в числителе степень с отрицательным (или нулевым) показате¬
лем. Поэтому, во всяком случае
lim ^ = 0.
*—►+00 а
122.	Другие виды неопределенностей. Предыдущие теоремы
О со
относились к неопределенностям вида	и—.
Если имеем неопределенность вида 0 • оо, то ее можно привести
к виду или ~ и тогда воспользоваться правилом Лопиталя. Пусть
lim / (лг) = 0,	lim g (х) = оо,

1221	§3. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ	215
причем f(x) не меняет знака. Тогда имеем
g(x) f(x)
Второе из этих выражений представляет при х->а неопределенность
О	оо
вида третье — неопределенность вида —.
Пример 5)
lim . In *) = lim 1lim 				 = lim —- —О
jc —►-j-O	+ 0 X V- лг— + 0 —fur*1'1	* —+ 0 —[А
(мы считаем ц > 0).
К виду -jj- или ~ всегда можно привести и неопределенности
вида оо — оо. Пусть имеем выражение f(x) — причем
lim / (jc) = —]— оо, lim g(x) — -f- oo.
x-*a	x-+a
Тогда можно произвести, например, следующее преобразование, сво-
0
дящее это выражение к неопределенности вида :
/(*)-,(*)=-!	j-=^~7w
/(•*) Six) f{x) ' g(x)
Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще.
Пример 6)
lim (ctg2*	\r \ = lim	й	. a —
лг—►о \	X2 I х-+о	X2 • sm2*
но
х2 • cos2 х— sin2 х
х2 • cos2 * — sin2 x __ x • cos x + sin* x • cos* — sin *
x2 • sin2*	x	x• sin2* ’
предел первого множителя находится элементарно:
х • cos* + sin*
X -
а ко второму применяем теорему 1:
*• cos*+ sin*	/	.	sin*	\
lim 	'	= lim cos*H—:	 =2.
x-+o	x	*	—o\	*	/
lim x * cos x ~~ sm x  lim	—* • sm*
x-+o x • sin2 *	x	—	о	sin2	*	-f-	2*	-	sin	*	•	cos	*
„ lim			».
x —*■ o sm* , 0		3
-	2 cos *
Таким образом, искомый предел равен—

216 ГЛ. VII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [122
В случае неопределенных выражений вида I00, 0°, оо°, рекомен¬
дуется эти выражения предварительно прологарифмировать.
Пусть j/ = [/(.xO]	; тогда \ny = g(x)- 1п/(лг). Предел In у
представляет собой неопределенность уже изученного типа 0 • оо.
Допустим, что одним из указанных выше приемов удается найти
liming, который оказывается равным конечному числу к, -|-оо или
х-*а
—	со. Тогда \\туу соответственно, будет е\ -)-оо или 0.
х-+а
Пример 7) Пусть
[ sin*\
;=ЬН
1 — COS X
Требуется найти lim.y при л:-►О (неопределенность вида I00).
Если считать х > 0 (этим предположением, ввиду четности функции у,
можно ограничиться), то
, In sin х — 1п а:
In у-
1 — COS АГ
Воспользуемся теоремой 1:
cos аг 1
lim ln^ = lim!a^ZZ= lim *'
X
♦0 x-*Q sin АГ *-*0 x • sin2 X
Но мы только что видели, что этот предел равен —Таким образом,
__1^
\imy = e 3 = —
Замечание. Неопределенные выражения вида 5?, 0*оо и оо—оо
встречаются у Эйлера; показательные же виды неопределенностей ввел в
рассмотрение Коши. Однако ни тот, ни другой не дали строгого доказатель-
оо,
ства для случая —!
оо

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
123.	Функциональная зависимость между переменными. При¬
меры. До сих пор мы изучали совместное изменение двух перемен¬
ных, из которых одна зависела от другой: значением незави¬
симой переменной уже вполне определялось значение зависи¬
мой переменной, или функции. Нередки, однако, случаи, когда
независимых переменных оказывается несколько, и для
определения значения функции необходимо предварительно устано¬
вить значения, совместно принимаемые всеми этими независимыми
переменными.
1)	Так, например, объем V кругового цилиндра есть функция от ра¬
диуса R его основания и от высоты И; зависимость между этими перемен¬
ными выражается формулой
V	= nR*H,
которая дает возможность, зная значения независимых переменных
R и Ну установить соответствующее значение V.
2)	Пусть температура массы газа, находящегося под поршнем цилиндра,
не постоянна; тогда объем V и давление р этой массы газа связаны с ее
(абсолютной) температурой Т так называемой формулой Клапейрона:
pV=RT (R = const).
Отсюда, считая, например, V и Т независимыми переменными, функ¬
цию р можно выразить через них так:
3)	Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, часто приходится
наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Таковы: плотность, тем¬
пература, электрический потенциал и т. п. Все эти величины суть «функции
точки» или, если угодно, функции от координат х, у, z точки. Если физи¬
ческое состояние тела меняется во времени, то к этим независимым пере¬
менным присоединяется еще и время t. В этом случае мы имеем дело с
функциями от четырех независимых переменных.
Число подобных примеров читатель и сам может произвольно увеличить.
Уточнение понятия функции в случае нескольких независимых пе¬
ременных начнем с простейшего случая, когда этих переменных две.

218
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(124
124.	Функции двух переменных и области их определения.
Говоря об изменении двух независимых переменных х и уу мы должны
всякий раз указывать, какие пары значений (ху у) они мо¬
гут принимать совместно; множество этих пар и будет
областью изменения переменных х, у.
Самое определение понятия функции дается в тех же выражениях,
что и для случая одной независимой переменной:
Переменная z(c областью изменения %) называется функ¬
цией независимых переменных xt у в множестве если каж¬
дой паре (Ху у) их значений из — по некоторому правилу или
закону — ставится в соответствие одно определенное значение
z (из %).
Здесь имеется в виду однозначная функция; легко распро¬
странить это определение и на случай многозначной функции.
Множество о котором выше шла речь, и есть область
определения функции. Сами переменные ху у — по отношению
к их функции 2 — называются ее аргументами. Функциональная
зависимость между z и х, у обозначается, аналогично случаю одной
независимой переменной, так:
z=f(x, у), z = f(x, у), z = z(x, у) и т. п.
Если пара (дг0, j/0) взята из <^, то f(x0f j/0) означает то частное
(числовое) значение функции f(xf y)t которое она принимает, ког¬
да х=х0у у=у0.
Приведем несколько примеров функций, заданных аналитически —
формулами, с указанием их областей определения. Формула
1) z = x2+y2
определяет функцию для всех пар (л:, у) без исключения. Формулы
2)	*= V1 —хг—у1,	3)
у 1 — х2 —у2
годятся (если мы хотим иметь дело с конечными вещественными значе¬
ниями г) лишь для тех пар (.ху у)} которые удовлетворяют, соответственно,
неравенству
х2-\-у2^ 1 ИЛИ Х2-{-у2<:1.
Формулой
4)	z = arcsin—+ arcsin ~
'	а	1	b
функция определена для тех значений х и уу которые порознь удовлетво¬
ряют неравенствам
—	a^x^ciy —b^y^b.
Во всех этих случаях мы указали наиболее широкую — естествен¬
ную [п° 18, 2°] — область применения формулы.
Рассмотрим теперь такой пример.
5)	Пусть стороны треугольника произвольно изменяются, с тем лишь
ограничением, что периметр его сохраняет постоянную величину 2р. Если

124]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
219
две стороны его обозначить через х и у, то третья сторона будет 2р — х—у,
так что треугольник вполне определяется сторонами х и у. Как зависит от
них площадь z треугольника?
По известной формуле эта площадь выразится так:
г=Ур(р — х)(р —у) (*	— р).
Что же касается области определения *М этой функции, то она
обусловливается, на этот раз, тем конкретным вопросом, который привел к
рассмотрению функции. Так как длина каждой стороны треугольника есть
положительное число, меньшее полупериметра, то должны выполняться не¬
равенства
О <х<р, 0 <у<р, х+у>р;
они характеризуют область несмотря на то, что полученное аналитиче¬
ское выражение само по себе сохраняет смысл и в более широкой области,
например для х>р и у>р.
Таким образом, в то время как для функции одной переменной
стандартной областью изменения аргумента являлся (конечный или
бесконечный) промежуток, в случае функции двух переменных
мы уже сталкиваемся с большим разнообразием и сложностью воз¬
можных (и естественных) областей изменения аргументов.
Рассмотрение этих областей значительно облегчается их геометри¬
ческой интерпретацией. Если взять на плоскости две взаимно перпен¬
дикулярные оси и обычным образом откладывать на них значения х
и у, то, как известно, каждой парой (jc, у) однозначно определяется
точка на плоскости, имеющая эти значения своими координатами, и
обратно.
Тогда для характеристики тех пар (х, у), для которых опреде¬
лена функция, проще всего указать, какая фигура на плоскости ху
заполняется соответствующими точками.
Так, говорят, что функция 1) определена во всей плоскости, функции 2)
и 3) — в круге, соответственно, замкнутом (т. е. включающем окружность)
или открытом (без окружности; рис. 52); функция 4) определена в прямо¬
угольнике (рис. 53); наконец, функция 5) рассматривается в открытом тре¬
угольнике (рис. 54).
Эта геометрическая интерпретация настолько удобна, что обычно самые
пары чисел (х, у) называют сточками», а множество таких «точек»,

220
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[125
отвечающее тем или иным геометрическим образам, называют по имени этих
образов. Так, множество «точек», или пар (х> у), для которых выполняются
неравенства
a^x^b} c^y^dy
есть «прямоугольнику измерения которого равны Ъ — а и d — с; его мы будем
обозначать символом [а, Ъ\ с, </], сходным с обозначением промежутка. Мно¬
жество «точек», или пар (х, у), удовлетворяющих неравенству
(Х-ау + (у-$)*^г\
есть «круг» радиуса г с центром в «точке» (а, Р), и т. п.
Наподобие того, как функция y=f(x) геометрически иллюстри¬
ровалась своим графиком [п° 19], можно геометрически истолко¬
вать и уравнение z=f(xy у). Возьмем в пространстве прямоуголь¬
ную систему координатных осей ху у, z; изобразим на плоскости ху
область изменения переменных х и у, наконец в каждой точке
М (ху у) этой области восставим перпендикуляр к плоскости ху и
отдожим на нем значение z=f(x, у). Геометрическое место полу¬
ченных таким образом точек и явится своего рода пространст¬
венным графиком нашей функции. Это будет, вообще говоря,
некоторая поверхность; в свою очередь, равенство z=f{xy у) назы¬
вается уравнением поверхности.
Для примера на рис. 55 и 56 изображены геометрические образы функций:
z = x2-}-ya и z = Y 1—х%—У2-
Первый из них представляет собой
параболоид вращения, а второй — полу¬
сферу.
125.	Арифметическое m-мерное пространство. Переходя к функ¬
циям от т независимых переменных (при 3), мы сначала оста¬
новимся на системах совместных значений этих переменных.
В случае т = 3 такая система из трех чисел (х, у, z)y как ясно
читателю, еще может быть геометрически истолкована как точка
пространства, а множество таких троек — как часть пространства

125]
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
221
или геометрическое тело. Но при т^>3 возможности непосред¬
ственной геометрической интерпретации уже нет.
Тем не менее, желая распространить геометрические методы (ока¬
завшиеся плодотворными для функций двух и трех переменных) и на
теорию функций большего числа переменных, в анализе вводят по¬
нятие /я-мерного «пространства» и при т^>3.
Назовем т-мерной «точкой» систему из т вещественных чисел:
М(хъ хь *т)*); сами числа хи ха, ..., хт являются коорди¬
натами этой «точки» М. Множество всех мыслимых /я-мерных
«точек» составляет /гс-мерное «пространство», которое иногда
называют арифметическим.
Самые понятия «w-мерной точки» и «w-мерного (арифметического)
пространства» восходят к Риману **), но терминология принадлежит
Кантору.
Целесообразно ввести понятие «расстояния» ММ между двумя
т-мерными «точками»:
М {ХЪ хч> • • • > хт) ^ ^ (*^1> ХсЬ • • • > хш)л
Подражая известной из аналитической геометрии формуле, полагают
т
Sc**—xi)i=
1=1
= У(Х\ — -^l)2 + 0*2 — ~Ь • • • + (хт — xmf\ (О
при т = 2 или 3 это «расстояние» совпадает с обычным расстоя¬
нием между двумя соответственными геометрическими точками.
Если взять еще одну течку
М"(х[\ х'ъ, ..., Хт),
то, как можно доказать, для «расстояний» ММ, ММ' и ММ" вы¬
полняется неравенство
ШГ^ММ + ММ”,	(2)
напоминающее известную теорему геометрии: «сторона треугольника
не превосходит суммы двух других сторон».
*) Имея дело с неопределенным числом переменных, представляется
удобным обозначать их не различными буквами, но одной и той же буквой
лишь с различными номерами. Таким образом, Xi означает (вразрез с преж¬
ней практикой) не е-е значение некоей переменной, а самое Uю переменную,
которая сама по себе принимает различные значения.
**) Бернгард Риман (1826—1866)—выдающийся немецкий математик.
мм=мм=у

222	гл.	VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	|125
Действительно, для любого набора вещественных чисел аь аь ...
... , и 	 имеет место неравенство
/~т	~т	/ т
2>?+j/ 2 b‘ *)•
Если положить здесь
at = х\ — xv bt = х{—x'i, так что аь -f- bt = х{ — xif
то получим
/~т	f	т	/	т
2 (*1 — < у 2 (*< — xif+у 2 (х* ~
что равносильно (2). Таким образом, это существенное свойство рас¬
стояния оказывается налицо и в нашем «пространстве».
В /я-мерном «пространстве» можно рассматривать и «прямые».
Читатель вспомнит, что на плоскости ххх^ прямая определялась урав¬
нением f.1-TT.^.= x*7:h9 а в пространстве ххх^хд — уравнениями
^ — (коэффициенты а здесь не могут обра¬
щаться одновременно в нуль). По аналогии с этим, назовем «прямой»
в /я-мерном «пространстве» множество «точек» (xlt лг2, ... , хт),
удовлетворяющих системе уравнений
х\ Pi 	х2 %			хт $т
«1	*2	‘	'	ат
*) Если возвести обе части его в квадрат и опустить в обеих частях рав¬
ные члены, то это неравенство сведется к известному неравенству
Коши:
т	/	т	m
i= 1 f t=1 f 1
Покажем, попутно, как это последнее может быть установлено элемен¬
тарно. Квадратный трехчлен
т	т	т	т
S	(а,х + hf =	•	2	а\	+ 2*	•	£	а,Ь, +	£ Ь\
i= 1 i= [	i = 1	i = l
не принимает отрицательных значений. В таком случае он не может иметь
различных вещественных корней, и его дискриминант неотрицателен:
т т	(	т
S	ai • 2	bi — {	2 aibi } ^°>
1	= 1	* = 1	v	i = 1	)
что равносильно неравенству Коши.

126]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
223
(при прежнем условии относительно а). Если обозначить общее зна¬
чение этих отношений через t, то можно определить «прямую» и
параметрическими уравнениями:
х1 =	=	...»	xm = a'mt “b
предполагая параметр t изменяющимся от —оо до -j~°°- Будем
считать «точки» ее следующими одна за другой в порядке воз¬
растания параметра; если	то из соответствующих «точек»
М', М, М" именно «точка» М лежит между двумя другими, так
как следует за М и предшествует М'\ При этих условиях, как
легко показать, расстояния между ними удовлетворяют соотношению
ММ* =Жм + ЛШ7',
что является характерным для прямой и в обычном пространстве.
Уравнения «прямой», проходящей через две заданные «точки»
М'(Х... , х’т) И М"(Х \	Х„),
очевидно, могут быть написаны в виде:
Xl = x[-\-t(Xi — х[)> ... , Xm = Xrm + t(Xm—X,m)
(— оо<*<+оо),
причем сами «точки» М и Ж"получаются отсюда при t = 0 и t’=l.
Если же изменять t от нуля до единицы, то получится «прямо¬
линейный отрезок» ММ\ соединяющий эти «точки».
Наконец, если имеется несколько примыкающих один к дру¬
гому «отрезков» MrMv МхМъ..., MkM\ то из них составится «ло¬
маная» в w-мерном «пространстве».
126.	Примеры областей в ш-мерном пространстве. Обратимся
теперь к рассмотрению простейших «тел» и «областей» в т-мер¬
ном «пространстве».
1)	Множество «точек» М(хи дг2, ... , хт), координаты которых
независимо одна от другой удовлетворяют неравенствам
<Zi<*i <blf	...,	am^xm^bmt
называется /«-мерным «прямоугольным параллелепипедом» и обозна¬
чается так:
[#i> Ь\у b<iy ...» dmi Ьт\.
При п — 2 отсюда, в частности, получается тот «прямоугольник»,
о	котором уже была речь в п° 124; трехмерному «параллелепипеду»
отвечает в пространстве обыкновенный прямоугольный параллелепипед.
Если в написанных соотношениях исключить равенство

224
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[126
то этим определится открытый «прямоугольный параллелепипед»:
(аи Ь\\ а2, &2; ...; атУ Ьт),
в отличие от которого рассмотренный выше называется замкнутым.
Разности Ьх — аъ Ь2 — а2, ... , Ьт — ат называют измерениями обоих
параллелепипедов, а точку
I fli +	а2 + ^2	ат	+ Ьт\
\	2	’	2	’ ••• ’	2 У
—	их центром.
Окрестностью «точки» М0(х\, х\, ...,*$*) называется любой
открытый «параллелепипед»:
(х\ — 8j, х\ -|~ 8j,; х°2 — 8а, х°2 -(- 82; .... ; х°т — 8т, х°т -{- 8Ш)	(3)
(8i, 82, ...,8т^>0) с центром в «точке» М0; чаще всего это бу¬
дет «куб»:
(х\ — 8, х\ 8; х\ — 8, х°2 -}- 8; ,..; х°т — 8, х°т -f- 8)
(8^>0), все измерения которого равны (=28).
2)	Рассмотрим множество «точек» М (х1г х2,.... , хт), удовлетво¬
ряющих неравенству
(*, — хУ + (*а — х°г)г +... ■+ (хт — х*ту < га (или < г2),
где Мъ(х\у х% ... , х°т) есть фиксированная «точка», а г— постоянное
положительное число. Это множество называется замкнутой (или
открытой) /^-мерной «сферой» радиуса г с центром в «точке» М0.
Иными словами, «сфера» есть множество точек М, «расстояние»
которых от некоторой фиксированной «точки» М0 не превосходит (или
меньше) г. Само собой ясно, что этой «сфере» при т = 2 отвечает
круг [ср. п° 124], а при т = Ъ — обыкновенная сфера.
Открытую «сферу» любого радиуса г^> О с центром в «точке»
MQ(x°v ... , х°т) можно также рассматривать как окрестность этой
точки; в отличие от той «параллелепипедальной» окрестности, кото¬
рую мы ввели раньше, эту окрестность будем называть «сфериче¬
ской».
Полезно раз навсегда дать себе отчет в том, что если «точка» М0
окружена окрестностью одного из указанных двух типов, то ее можно
окружить и окрестностью второго типа так, чтобы эта окрестность
содержалась в первой.
Пусть сначала задан «параллелепипед» (3) с центром в «точке» М0.
Достаточно взять открытую «сферу» с тем же центром и радиусом г,
меньшим всех 8/(/=1, 2, ... , т), чтобы эта сфера уже содержа¬
лась в названном «параллелепипеде». Действительно, для любой

127]	§	1.	основные	понятия	225
«точки» M(Xi, хь ., хт) этой «сферы» будем иметь (при каждом /):
т
2 (xk — дг*)9 = ЛШ0 < г < 8/
*=i
или
•*1 — 8«0i
так что эта точка принадлежит заданному «параллелепипеду».
Обратно,	если задана «сфера» радиуса г с центром в	Ж0,	то
«параллелепипед» (3) в ней содержится, например, при 81 = 8а = ...
e#. = 8m = ——г. Это следует из того, что любая «точка» М(х 19
у т
х2, ..., хт)	этого «параллелепипеда» отстоит от	«точки»	М0	на
«расстояние»
/~~т	/ т
k~\	г k=\
и, следовательно, принадлежит заданной «сфере».
127.	Общее определение открытой и замкнутой областей. На¬
зовем «точку» М (лг', л;', ..., хгт) внутренней «точкой» множе¬
ства с£ в /я-мерном «пространстве», если она принадлежит множе¬
ству вместе с некоторой достаточно малой ее окрестностью. Из
утверждения,	доказанного в конце предыдущего	номера	следует
с	очевидностью,	что	безразлично,	какого типа окрестности здесь
иметь в виду — «параллелепипедальные» или «сферические».
Для открытого «прямоугольного параллелепипеда»
(av h\	йщ, Ьт)	(4)
каждая его «точка» является внутренней. Действительно, если
а1<К<Ь1> •••• ат<Хт<Ьт,
то легко найти такое Ъ^>0, чтобы было
aiOi — &Oi + &Oi.	ат<х'т — 8<>m + 8<£m-
Аналогично, в случае открытой «сферы» радиуса г с центром
в «точке» М0, каждая принадлежащая ей точка М также является
для нее внутренней. Если взять р так, что
0<р<г — М'М0,
и	описать вокруг	М	«сферу» этим	радиусом	р, то она целиком бу¬
дет содержаться	в исходной «сфере»: лишь	только ММ'<^р, тот¬
час же [п° 126, (2)]
ЛШ»^ЛШ' +	р + М’М0 <г,
так что «точка» М принадлежит исходной «сфере».
8 Г. М. Фнхтенгольц, т, I

226
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[127
Подобного рода множество, целиком состоящее из внутренних
«точек», будем называть открытой «областью».
Таким образом, открытый «прямоугольный параллелепипед» и от¬
крытая «сфера» служат примерами открытых «областей».
Обобщим теперь понятие точки сгущения [п°32] на случай множе¬
ства в /я-мерном «пространстве». «Точка» называется «точ¬
кой сгущения» множества если в каждой ее окрестности
(и снова — безразлично, какого типа) содержится хоть одна «точка»
множества отличная от М0.
«Точки сгущения» для открытой «области», не принадлежащие
ей, называются пограничными «точками» этой «области». Погра¬
ничные «точки» в их совокупности образуют «границу области».
Открытая «область» вместе с «границей» ее называется зам¬
кнутой «областью».
Нетрудно видеть, что для открытого параллелепипеда (4) погра¬
ничными будут «точки» М(хи хт\ для которых
причем хоть в одном случае имеет место именно равенство.
Точно так же, для рассмотренной выше открытой «сферы» погра¬
ничными будут «точки» М, для которых в точности ММ0 = г.
Таким образом, замкнутый «прямоугольный параллелепипед» и
замкнутая «сфера» дают примеры замкнутых «областей».
Впредь, говоря об «области», открытой или замкнутой, мы всегда
будем иметь в виду «область» в указанном здесь специальном
смысле.
Установим теперь, что замкнутой «области» принадлежат уже
все ее «точки сгущения».
Пусть даны замкнутая «область» 0& и «точка» М0 вне ее. Дока¬
жем, что тогда М0 не будет «точкой сгущения» для 0$.
Замкнутая «область» @7 получается из некоторой открытой «об¬
ласти» & путем присоединения к ней ее «границы» <о. Очевидно,
Мо не является «точкой сгущения» для следовательно, М0 можно
окружить такой открытой «сферой», чтобы в ней вовсе не содержа¬
лось «точек» из Но тогда в ней не может быть и «точек» из :
ведь, если бы какая-нибудь «точка» Мг из & в нее попала, то в ней
содержалась бы целиком и некоторая окрестность «точки» М\ и в этой
окрестности не было бы ни одной точки из вопреки определению
«границы». Итак, в упомянутой «сфере» нет «точек» из что и
доказывает наше утверждение.
Вообще «точечное» множество eS, содержащее все свои «точки
сгущения», называют замкнутым. Таким образом, замкнутая «об¬
ласть» есть частный случай замкнутого множества.

128]
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
227
Все изложенное в последних номерах можно рассматривать как
установление лишь некоего геометрического языка*); с этим
не связано (при т^>3) никаких реальных геометрических пред¬
ставлений. Однако полезно подчеркнуть, что на деле /гс-мерное (ариф¬
метическое) «пространство» является лишь первым шагом к тем
в высшей степени плодотворным обобщениям понятия пространства,
которые лежат в основе многих более высоких частей современного
анализа.
128.	Функции т переменных. Пусть имеем т переменных xh
xif ... хт, совместные значения которых могут выбираться произ¬
вольно из некоторого множества точек /я-мерного пространства:
эти переменные называются независимыми. Определение функции
и все сказанное по этому поводу для случая двух независимых пере¬
менных [124] непосредственно переносится и на рассматриваемый слу¬
чай, так что нет надобности на этом останавливаться.
Если точку (хи X*	хт) обозначить через Ж, то функцию
и=/(л;1у х* хт) от этих переменных иногда называют функ¬
цией точки М и обозначают тем же знаком: u=f(M).
Предположим теперь, что в некотором множестве (Э5 точек ^-мер¬
ного пространства (где k не связано с т) заданы т функций от k
переменных tv t%> tk
Х\ = <pi (^l> ^2» • • • > tk)> • • • > Хт = <р/я	(^1>	• • • у	tk)>	(®)
или, короче,
*1 = Ъ (Р)>	*т = ?т (Р)>	(5а)
где Р означает точку (tlt t2f ..., tk) ^-мерного пространства. Допу¬
стим, сверх того, что, когда точка P(tif 12, ..., ^изменяется в пре¬
делах множества <^, соответствующая ей /я-мерная точка М, с коор¬
динатами (5) или (5а), не выходит за пределы /я-мерного множества eS,
где определена функция u=f'(xb лг2, ..., xm)=f(M).
Тогда переменную и можно рассматривать как сложную функ¬
цию от независимых переменных tu tb ...,	tk	(в	множестве $*) —
через посредство переменных xlf лг2,	хт:
М===./0Рl(fu	•••>	(^1> ^2» •••» ^й))>
и является функцией от функций ср1? .срт. [Ср. п° 25.]
Самый процесс определения сложной функции по функциям
Tif • • • > ?т и функции / называется (как в простейшем случае функ¬
ций одной переменной) суперпозицией.
*) Мы помещали в кавычках все геометрические термины, которые упо¬
треблялись в смысле, отличном от обычного: «точка», «расстояние», «область»,
и т. п. Впредь мы этого делать уже не будем.
8*

228	ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[129
Класс функций нескольких переменных, с которыми непосред¬
ственно приходится иметь дело на первых порах, очень невелик. По
существу, он строится, с помощью суперпозиций, на элементарных
функциях одной переменной [пп° 22, 24] и на следующих функциях
двух переменных:
z = x±yf z = xyf Z = J> z — xyy
т. e. на четырех арифметических операциях и на так называемой
степенио-показательной функции.
Арифметические операции, повторно примененные к независимым
переменным х1у дг2, хт и постоянным, приводят прежде всего
к целым многочленам:
Р(Х\, Xfy	хт)= 2 Cvlf v2	22 ••• 'Xfji* *)	(6)
vb *2	vm
(целая рациональная функция) и к частным двух таких мно¬
гочленов:
Q<*„ *		- Х-т (7)
71 С. „	,,	vfxm
(Ч» и*а* ••• ♦ l**m 1	••• m
(дробная рациональная функция).
Привлечение элементарных функций одной переменной приводит
к таким, например, функциям:
У х + у*-\-г2
<р (х, у, z, t) — sin ху	sin yz -f- sin zt -f- sin tx,
и T. n.
Те замечания, которые были сделаны в п° 18 по поводу аналити¬
ческого задания функций одной переменной, могут быть повторены
и здесь.
129.	Предел функции нескольких переменных. Рассмотрим
в /гс-мерном пространстве последовательность точек
{Мп(х*\ х£\	*<*))}	(„=	1,	2,	3,	...).	(8)
Мы будем говорить, что эта последовательность сходится к предель¬
ной точке М0(аи аа, ..., ат), если координаты точки Мп по¬
рознь стремятся к соответствующим координатам точки М0, т. е.
если при оо
МП) “*■а» •4Л) ~*а1> •••> ат-	(9)
*) Мы знаем, что знак	означает сумму однотипных слагаемых.
Здесь мы имеем более сложный случай, когда слагаемые зависят от не¬
скольких значков.

129]
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
229
Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы расстояние между
точками Мп и М0 стремилось к нулю:
ЛМ£-*0.	(Ю)
Равносильность обоих определений вытекает из доказанного в п°126
утверждения об окрестностях двух типов. Действительно, условие (9)
означает, что, каково бы ни было число Ъ^>0, точка Мп при доста¬
точно большом п удовлетворяет неравенствам
т. е. содержится в открытом параллелепипеде
(ах — 8, ах -f- 8; ...; ат — 8, ат-(- 8)
с центром в точке М0; требование же (10) имеет тот смысл, что,
каково бы ни было число г^> 0, точка Мп — снова при достаточно
большом п — удовлетворяет неравенству
М0МЯ<Г,
т. е. попадает в открытую сферу радиуса г с центром в той же
точке.
Пусть дано некоторое множество в /я-мерном пространстве,
и точка М0(а19 ..., ат) является его точкой сгущения. Тогда
из всегда можно извлечь такую последовательность (8) отличных
от М0 точек, которая сходилась бы к М0 как к предельной точке.
Предположим теперь, что в упомянутом множестве определена
функция f(xl9	Аналогично	случаю	функции	от	одной пере¬
менной, говорят, что
функция f{x 1, .хm)=f(M) имеет пределом число А при
стремлении переменных xh ...,хт, соответственно,
к ai9 ...>ат(или — короче — при стремлении точки М к точке М0/),
если, какую бы ни извлечь из последовательность (8) отлич¬
ных от М0(аи ат) точек, сходящуюся к М0, числовая после¬
довательность {/(лгМ, ..., x^)} = {f(M„)}9 состоящая из соот¬
ветствующих значений функции, всегда сходится к Л.
Обозначают этот факт так:
А= lim f(xb хт),
xi-*ai
хт~*ат
или, короче,
А = lim f(M).
М-*М0
Определение предела функции легко распространить и на случай,
когда некоторые из чисел A, а19 ат или все они — бесконечны.

230
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[129
Подчеркнем, что и для функции нескольких переменных понятие
предела функции приводится, таким образом, к понятию предела
последовательности.
Однако и здесь определение предела может быть дано «на языке
е-8», без упоминания о последовательностях. Вот как выглядит это
определение для случая конечности всех чисел А, аи ..., ат:
говорят, что функция f(x 1, ..., хт) имеет пределом кисло А
при с тре млении переменных xl9 ..., хт, соответ¬
ственно, к аь ..., ат, если для каждого числа е^>0 найдется
такое число 8^>0, что
•••> хт) А\<^&,
лишь только
1*1 — eil<8> •••. \*m— amlO
При этом точка (xit ..., хт) предполагается взятой из и от¬
личной от (alt ..., ат). Итак, неравенство для функции должно
выполняться во всех точках множества oS лежащих в достаточно
малой окрестности
(ах — 8, ах -f- 8; ...; ат — 8, ат-\- 8)
точки М0, но исключая саму эту точку (даже если она принадле¬
жит е^).
В геометрических терминах, вводя для точек (xlf ..., хт) и
(аи ат) обозначения М и Ж0, можно было бы перефразировать
сказанное так: число А называется пределом функции f(M) при
стремлении точки М к Ж0 (или в точке М0), если для
каждого числа е^>0 существует такое число г^> 0, что
|/(Ж)-Л|<е,
лишь только расстояние М0М <^г.
Как и выше, точка М предполагается взятой из eSt но отличной
от М0. Таким образом, неравенство для функции Должно выполняться
во всех точках множества dfC, лежащих в достаточно малой сфери¬
ческой окрестности точки М0> за исключением самой этой точки.
Из замечания п°126 об окрестностях разных типов непосредственно
ясна равносильность обеих форм нового определения предела функции.
Что же касается равносильности нового определения и ранее дан¬
ного — «на языке последовательностей», то она устанавливается так
же, как и в случае функций от одной переменной [п° 33].
Заметим в заключение, что вся теория пределов, развитая выше
(глава III), распространяется и на общий случай функций нескольких
переменных. В значительной части это распространение осуще¬
ствляется автоматически, поскольку и здесь веб может быть сведено
к последовательности [ср. п° 42].

1301	§	1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ	231
130. Примеры. 1) Пользуясь теоремой о пределе произведения, прежде
всего легко показать, что
lim Cxi1 ... х'т = Са\' ... avm,
m m
где С, ait	— любые вещественные, av1(	—	неотрицательные
целые числа. Отсюда, если через Р (хи ..., хт) обозначить целую рацио¬
нальную функцию (6), то по теореме о пределе суммы получается также
lim P(xt	xm) = P(at,	ат).
xt-*ai
хт~+ат
Аналогично для дробной рациональной функции (7) по теореме
о	пределе частного имеем
Нт (?(*,	xm) = Q(al	вт),
хт~*ат
кбнечно, лишь при условии, что знаменатель в точке (alt ..., ат) в нуль не
обращается.
2)	Рассмотрим степенно-показательную функцию хУ при jc>0 и про¬
извольном у. Тогда, если а > 0 и b — любое вещественное число, будем
иметь
lim хУ = аь.
х-+а
у-+Ь
Действительно, если взять любые зависящие от п переменные хп -► а и
уп -► Ъ, то [ср. п° 66]
хУп = еУп*1п *п-+еь'1па = аь,
а это — на «языке последовательностей»—и устанавливает требуемый ре¬
зультат.
3)	Поставим вопрос о пределе:
/“о	’
функция здесь определена на всей плоскости за исключением именно точки
л: = 0, у = 0.
Если взять две частичные последовательности точек
Ww)> ” М!-т)Ь
очевидно сходящиеся к точке (0, 0), то окажется, что при всех п
±)=|, ./(м;)-/(|,|)=4.
Отсюда уже следует, что упомянутого предела не существует.

232
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[131
Предлагается аналогично убедиться в том, что не существует предела
Пт *=£..
jc—о х2+у*
у-* О
4)	Наоборот, существует предел
lim *2-
х2-\-у2
у-> О
Это сразу вытекает из неравенства
л:2}'
х2 -\-у2
131.	Повторные пределы. Кроме рассмотренного выше предела
функции f(xh Хъ,..., хт) при одновременном стремлении всех
аргументов к их пределам, приходится иметь дело и с пределами
другого рода,получаемыми в результате ряда последовательных
предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том
или ином порядке. Первый предел называется т-к ратным (или
двойным, тройным и т. д. — при т = 2, 3,...), а послед¬
ний — повторным.
Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных
/ (лг, у). Допустим к тому же, что область eS изменения перемен¬
ных х, у такова, что х (независимо от j/) может принимать
любое значение в некотором множестве S9, для которого а служит
точкой сгущения, но ему не принадлежит, и аналогично у (неза¬
висимо от х) изменяется в множестве У с точкой сгущения Ъ, не
принадлежащей ему. Такую область можно было бы символи¬
чески обозначить, как ZV X • Например,
(а, а-\- Н; Ъ, Ь -|- К) = (я, л -}- Н) X (Р> Ь -*{- К).
Если при любом фиксированном у из У существует для
функции /(лг, у) (которая оказывается функцией лишь от лг) предел
при х^а, то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от на¬
перед фиксированного у:
lim/(*, y) = <f (у).
х-+ а
Затем можно поставить вопрос о пределе функции <р(у) при у -> Ь:
lim <p(y) = lim lim f(x, у);
y-*b	у-*Ь	x-+a
это и будет один из двух повторных пределов. Другой получится,
если предельные переходы произвести в обратном порядке:
lim lim /(лг, у).
х-*а у~*Ь

131)	§ I. ОСНОВНЫЕ понятия	233
Не следует думать, что повторные пределы эти необходимо
равны.
Если, например, в области еЛ/ (0, +оо; 0, +оо) положить:
i\	\	х—у + ^9+у8
*)	f(x,~y)=
и взять а = Ь = 0, то получим:
9(У) = lim /(лг, у) =у — 1, lim <p(y) = lim lira /(*, у)=— 1,
*-*0	y-+Q	jc->0
в то время как
ф (аг) = Нш f(x, у) = х-\- 1,	lim ф (л:) = Нт lim /(лг, у) = 1.
_у-*0	л;-*>0	дг—> О
Может случиться также, что один из повторных пределов существует
а другой—нет. Так будет, например, для функции:
• 1 ,
*sm — +у	j
2) f(x,y)=	— или 3) f(x, у) = х- stay;
в обоих случаях здесь существует повторный предел lim lim /, но нет по
у-*>0 дг-*-0
вторного предела lim lim/ (а в последнем примере—нет даже простого
предела lim/).
у^о
Эти простые примеры показывают, насколько осторожным нужно
быть при перестановке двух предельных переходов
по разным переменным: не раз ошибочные умозаключения
проистекали именно от такой незаконной перестановки. В то же время
многие важные вопросы анализа связаны именно с перестановкой
предельных переходов, но, разумеется, всякий раз дозволительность
перестановки должна быть особо обоснована.
Один из путей к такому обоснованию открывает следующая важ¬
ная теорема, которая в то же время устанавливает связь между
двойными и повторными пределами:
Теорема. Если 1) существует (конечный или нет) двой¬
ной предел
А = lim / (х, у)
х —* а
у-+Ъ
и 2) при любом у из У существует (конечный) простой пре¬
дел по х
<р 00 = lim f{x, у),
х-*а
то существует повторный предел
limcp(^)= lim lim f(xy у),
y-*b	y-*b	x-+a
равный двойному.

234	гл. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[132
Докажем это для случая конечных А, а и Ь. Согласно опреде¬
лению предела функции «на языке е-8» [129], по заданному е]]>0
найдется такое	8^>0, что
\fix, у)—А\<^г,	(11)
лишь только \х — 0|<С[8 и IУ —	(причем	х	берется	из	SCy	а
у из 30. Фиксируем теперь у так, чтобы выполнялось неравенство
IУ —	и	пеРейдем в (11) к пределу, устремив х	к	а.	Так	как,
ввиду 2),	f(xy	у) при этом стремится к пределу <р(у),	то	получим
| ср (у) — А I ^ е.
Вспоминая, что у здесь есть любое число из Уу подчиненное
лишь условию | у —	приходим	к	заключению, что
Л = Нт <рОО= lim lim /(«*> У)>
у-+Ь	у-+Ь	х-*а
что и требовалось доказать.
Если, наряду с условиями 1) и 2), при любом х из X суще¬
ствует (конечный) простой предел по у
<|>(д:) = lim fix, у),
у-+Ь
то, как следует из уже доказанного, если х и у поменять ролями,
существует также и второй повторный предел
lim ф(лг) = Нт lim f(xy у)у
х-*а	х-*а у-+Ь
равный тому же числу А: в этом случае оба повторных
предела равны.
Из доказанной теоремы сразу ясно, что в примерах 1) и 2) двойной
предел не существует. В этом легко убедиться и непосредственно.
В примере 3), наоборот, двойной предел существует: из неравенства
х • sin — I ^ I лг I
у I1 1
усматриваем, что он равен нулю. Этот пример показывает, что условие 1)
теоремы не влечет за собой условия 2).
Не следует думать, однако, что существование двойного предела не¬
обходимо для равенства повторных: в примере 3) предыдущего номера
оба повторных предела существуют и равны нулю, хотя двойного пре¬
дела нет.
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
132.	Непрерывность и разрывы функций нескольких пере¬
менных. Пусть функция f(xiy, хт) определена в некотором
множестве точек /и-мерного пространства, и М (лг^,..., х'т) есть
точка сгущения этого множества, принадлежащая самому
множеству.

132]	§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ	235
Говорят, что функция fixхт) непрерывна в точке
М (х[9..., х'т),	имеет место равенство
lim f (х 1,..., xm)=^(.xr 1,...,	(1)
жт~*Хт
в противном же случае функция терпит разрыв в точке М.
На «языке е-8» непрерывность функции в точке М выразится
так [129]: по любому заданному е]>0 должно найтись такое
8>0, что
|/С*1> • • • > *^т)	•	•	•	>	*^т) | <\ е>	(2)
только
\*1—х[\<8,..., |*т — *«|<а,	(3)
или иначе: яо е^>0 должно найтись такое г]>0, что
\f(M)-f(M')\<e,
лишь только расстояние
Ш?<г.
При этом точка Ж(ЛГ1,..., хт) предполагается принадлежащей
множеству е^, в частности же, может совпасть и с М\ Именно ввиду
того, что предел функции в точке М тождествен со значением
функции в этой точке, обычное требование, чтобы М была отлична
от Му здесь становится ненужным.
Рассматривая разности хх — х[>..., хт — хт как приращения
Ахи..., Ахт независимых переменных, а разность
f (Х\у ... у Xfn) / {Х±у . .., Хтп)
—	как приращение функции, можно сказать (как в случае функций
одной переменной), что функция непрерывна9 если бесконечно
малым приращениям независимых переменных отвечает беско¬
нечно малое же приращение функции.
Определенная выше непрерывность функции в точке М есть, так
сказать, непрерывность по всей совокупности переменных
*	• • > хт. Если она имеет место, то одновременно и
lim f (Х\у Хф ...» Хт) — fix 1, Х$у... у Xffi)y
lim f(xv xiy *3,..., xm)=f(x'Xy х'ъ	xm)

236
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[133
и т. п., ибо здесь мы осуществляем лишь частные законы прибли¬
жения М к М. Иными словами, функция оказывается непрерывной
в отдельности по каждой переменной по каждой паре
переменных xif ху, и т. д.
С примерами непрерывных функций мы уже сталкивались. Так, в п° 130,
1)	была установлена непрерывность целой и дробной рациональ¬
ных функций от т аргументов во всех точках /п-мерного пространства
(для дробной функции—за исключением тех точек, которые обращают ее
знаменатель в нуль). Там же, в 2), была доказана непрерывность степенно¬
показательной функции худля всех точек правой полуплоскости (*>0).
Если вновь рассмотреть функцию
/(х, У) =	(ддя	**+/“>	0),
определенную этой формулой во всей плоскости, кроме начальной точки,
и положить дополнительно /(0, 0) = 0, то получим пример разрыва. Он
имеет место именно в начальной точке, так как [п° 130, 3)] при лг-*0, ^-►О
для функции предела не существует.
Здесь мы сталкиваемся с таким интересным обстоятельством. Рассмо¬
тренная функция / (х, у), хотя и не является непрерывной в точке (0, 0) по
совокупности обеих переменных, тем не менее будет непрерывна в этой
точке как по х, так и по у в отдельности; это следует из того,
что f(x, 0) = /(0, у) = 0. Впрочем, сказанное перестает быть удивительным,
если сообразить, что, говоря о непрерывности по х и по у в отдельности,
мы учитываем лишь приближение к точке (0, 0) по оси х или по оси у,
оставляя в стороне бесчисленное множество других законов приближения.
Замечание. Коши в «Алгебраическом анализе» пытался доказать,
что функция от нескольких переменных, непрерывная по каждой из них
в отдельности, будет непрерывна и по их совокупности. Предыдущий пример
как раз и служит опровержением этого утверждения.
Если для функции f(M) при стремлении М к М вовсе не суще¬
ствует определенного конечного предела
lim / (М),
М-+М'
то говорят, что в точке М функция имеет разрыв даже в том слу¬
чае, когда в самой точке М функция не определена.
133.	Операции над непрерывными функциями. Легко сформу¬
лировать и	доказать теорему	о непрерывности	суммы,	разности,
произведения, частного двух непрерывных функций	[ср. п°	62]; предо¬
ставляем это читателю.
Мы остановимся лишь на теореме о суперпозиции непрерывных
функций. Как и в п° 128, мы предположим, что, кроме функции
u=f(x1>..., хт), заданной	в множестве	/гс-мерных точек
М (хи ..., хт), нам даны еще т функций
xl = cpj (tit...,	..., хт = <pm	, tk)	(4)
в некотором множестве^ ^-мерных точек P(tvtk), причем
точка М с координатами (4) не выходит за пределы упомянутого
множества eS.

134]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
237
Теорема. Если функции <р*(Р) (/=1,..., т) все непрерывны
в точке Р(t'v ..., t’k) из оР, а функция f (М) непрерывна в соот¬
ветствующей точке М (xj,хт) с координатами
Хх —	(t\f . .. , tk)i • • • > Хт —* 9т (^1> • • • >
то и сложная функция
и ==/Ч? 1 (^1> • • • > ^л)» • • * > 9 т (^1> • • • > ^л)) ==/(?1 (^)> • • • > 9т (^))
будет непрерывна в точке Р.
Действительно, сначала по е^>0 определится число 8}>0 такое,
что из	(3)	следует (2) (ввиду, непрерывности функции /).	Затем по
числу	8	(ввиду непрерывности функций cplf...,	<pm) найдется число
7]^>0 такое, что неравенства
1*1 —	\h	—	**|<Ч	(5)
влекут за собой неравенства
\*i — *il = l?i(*i>... >	—		<a)|<8....
\Хт — X'm\ = \<tm(h	tk) ~ 9m (K, ..., Q|<&.
Но тогда, при наличии (5), будет также:
\f • • • 9 Xт) f V • • • f Хт) | ==
= I/(Ь (*и ... , tk)> • • • . ?m (fl	**)) —
f (Ц 1 (*1> ...» *ft)> ...»	'P/n (*1> • • • >	**)) | <^C. 6’
что и доказывает наше утверждение.
134.	Теорема об обращении функции в нуль. Займемся теперь
изучением свойств функции нескольких переменных, непрерывных
в каждой точке некоторой области (или — короче — непрерывной
в области &) /^-мерного пространства*). Они вполне аналогичны
свойствам функции одной переменной, непрерывной в промежутке
(глава IV, § 2).
При изложении мы — лишь для краткости — ограничимся случаем
двух независимых переменных. Перенесение на общий случай про¬
изводится непосредственно и не представляет труда. Впрочем, неко¬
торые замечания по этому поводу будут сделаны попутно.
Для того чтобы сформулировать теорему, аналогичную первой
теореме Больцано — Коши [п°68], мы нуждаемся в понятии связ¬
ной области: так называется область, любые две точки кото¬
рой могут быть соединены ломаной [п° 125], лежащей в этой об¬
ласти всеми своими точками.
*) Понимая «область» в смысле п° 127.

238
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[134
Теорема. Пусть функция f(x> у) определена и непрерывна
в некоторой связной области 0&. Если в двух точках М(л/,У)
и М" (л/', У') этой области функция принимает значения разных
знаков:
fix', /к О, /(*",/')><>,
то в этой области найдется и точка М^{х^у^, в которой функ¬
ция обращается в нуль: f(x09 у0) = 0.
Доказательство мы построим на сведении к случаю функции одной
независимой переменной.
Ввиду связности области точки М' и Ж" можно соединить л о-
маной, лежащей в (рис. 57). Если в какой-либо из ее вершин
функция f{xy у) обращается в нуль, то утверждение теоремы оп¬
равдано. В противном случае, перебирая стороны ломаной одну за
другой, непременно придем к такому прямолинейному отрезку,
на концах которого функция при¬
нимает значения разных знаков.
Таким образом, можно было бы,
не умаляя общности, с самого на¬
чала считать, что именно прямо¬
линейный отрезок М'М", имеющий
уравнения
X — yf -(-1 (x,f — л/)>
у=У +t(*T — x')
всеми точками принадлежит обла¬
сти Если точка М (х, у) пере¬
двигается вдоль этого отрезка, то наша первоначальная функция
f(x, У) превратится в сложную функцию одной переменной t:
очевидно, непрерывную — по теореме предыдущего номера. Но для
F(t) имеем:
^(0)=/(У,У)<0 и />(1)=/(У', У')>0.
Применяя к функции F (t) уже доказанную в п° 68 теорему, заклю¬
чаем, что F(*0) = 0 при некотором значении t0 между нулем и еди¬
ницей. Вспоминая определение функции F(t), имеем, таким образом;
f(x0, _Уо) = о,
если положить
Хь = У? + *о(*''— ХГ), Уь=У + <«0»"—У).
Точка М0(х0, у0) и есть искомая.
Отсюда вытекает теорема, аналогичная второй теореме Больцано —
Коши (которая, впрочем, могла быть получена и сразу).

135]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
239
Читатель видит, что переход к пространству т измерений (при
т^> 2) не создает никаких затруднений, ибо в /«-мерной связной
области точки также могут быть соединены ломаной, и вопрос све¬
дется, как и только что, к рассмотрению сложной функции от одной
переменной.
135.	Лемма Больцано — Вейерштрасса. Для дальнейшего изложе¬
ния нам понадобится обобщение леммы п°51 на случай последова¬
тельности точек в пространстве любого числа измерений. Условимся
называть множество точек в этом пространстве ограниченным,
если это множество содержится в некотором параллелепипеде. Как
всегда, остановимся лишь на «плоском» случае.
Из любой ограниченной последовательности точек
^1 (х1* У\)у *^2 (*^2» Уз)» • •• у Мп Уп)* • • •
всегда можно извлечь такую частичную последовательность
Уп^> *^«2 (*^«2» Уп%)> • • • > fanp Уп• • •
(ni < йа < • • • < я* <..., яй-»- + оо),
которая сходилась бы к предельной точке.
Доказательство проще всего построить, если использовать
лемму, уже доказанную в п°51 для случая линейной последова¬
тельности.
Так как наша последовательность предположена ограниченной, то
все ее точки содержатся в некотором прямоугольнике [а, Ь\ с, dj,
так что
а^хп^Ь, с^уп^д (для п— 1, 2, 3,...).
Применив лемму п°61 сначала к последовательности {лгл}, вы¬
делим частичную последовательность {.хпJ, сходящуюся к некото¬
рому пределу Jc. Таким образом, для частичной последовательности
точек
С^Л1> Уп^}>	Уп%)>	•	•	•	У	Уп^У	•	•	•
первые координаты уже имеют предел. Вторично применим упомя¬
нутую теорему к последовательности вторых координат {упft} и
выделим такую частичную последовательность {упк}У которая тоже
стремится к некоторому пределу у. Тогда, очевидно, частичная после¬
довательность точек
Сxnkx> Уп,(хпц У*к)> •••> Упи)у • • •
будет стремиться к предельной точке (Ху у).
И здесь рассуждение легко переносится на случай пространства
т^> 2 измерений лишь выделение частичных последовательностей
в общем случае пришлось бы повторить не два раза, а т раз.

240
ГЛ. VUb ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[137
136.	Теорема об ограниченности функции. С помощью дока¬
занной теоремы легко может быть установлена для функций двух
переменных первая теорема Вейерштрасса.
Теорема. Если функция f(x> У) определена и непрерывна
в ограниченной замкнутой области & *), то она огра¬
ничена как снизу, так и сверху, т. е. все ее значения содержатся
между двумя конечными границами:
m^f (ху у)^М.
Доказательство (от противного) вполне аналогично рассу¬
ждению п°72. Пусть функция f(x, у) при изменении (xt у) в & ока¬
зывается неограниченной, скажем, сверху. Тогда для любого п
найдется в такая точка Мп (лгл, уп)у что
/(**. Уп)>П.	(6)
По лемме п° 135 из ограниченной последовательности {Мп} можно
извлечь частичную последовательность {Mnk\f сходящуюся к пре¬
дельной точке М (Ху .у).
Отметим, что эта точка М необходимо принадлежит области
Действительно, в противном случае точки Mnk все были бы от нее
отличны, и точка М была бы точкой сгущения области
ей не принадлежащей, что невозможно ввиду замкнутости области
[см. 127].	_
Вследствие непрерывности функции в точке М должно быть
/(Mnk) =/(*„*, ynk)	=/(*, У)’
а это находится в противоречии с (6).
Вторая теорема Вейерштрасса формулируется и доказывается
(со ссылкой на предыдущую теорему) совершенно так же, как и в п° 73.
Заметим, что — без существенных изменений в рассуждениях —
обе теоремы Вейерштрасса переносятся и на случай, когда функ¬
ция непрерывна в любом ограниченном замкнутом
множестве оЛ (хотя бы и не представляющем собою области).
Как и в случае функции одной переменной, для функции /(лг, у),
определенной и ограниченной в множестве <^, разность между точ¬
ными верхней и нижней границами значений функции в qS назы¬
вается ее колебанием в этом множестве. Если ограничено
и замкнуто (в частности, если есть ограниченная замкнутая об¬
ласть) и функция / в нем непрерывна, то колебание есть попросту
разность между наибольшим и наименьшим ее значениями.
137.	Равномерная непрерывность. Мы знаем, что непрерывность
функции /(дг, у) в определенной точке (jc0, у$) множества eSf
*) Которая на этот раз может быть и несвязной.

137]
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
241
где функция задана, на «языке е-8» выражается так: по любому
е^>0 должно найтись такое 8^>0, что неравенство
\f(x, y)—f(xb _у0) | < е
выполняется для всякой точки (х, у) ИЗ oSy лишь только
\х — ЛГ0|<8, \у — _у0|<8.
Пусть теперь функция /(лг, у) непрерывна во всем мно¬
жестве етогда возникает вопрос, можно ли по данному е О
найти такое 8	0, которое годилось бы — в указанном смысле —
для всех точек (х0, у0) из одновременно. Если это воз¬
можно (при любом е), то говорят, что функция в eS равномерно
непрерывна.
Теорема Кантора. Если функция f(x, у) непрерывна в огра¬
ниченной замкну той области & > то она будет и равно¬
мерно непрерывна в
Доказательство поведем от противного. Допустим, что для
некоторого числа	не существует числа 8^>0, которое годи¬
лось бы одновременно для всех точек (jc0, у$) области
Возьмем последовательность стремящихся к нулю положитель¬
ных чисел
81>8а>...>8„>...>0, 8„ + 0.
Так как ни одно из чисел 8Я не может годиться — в указанном
смысле — одновременно для всех точек (*0> Уо) области J?', то для
каждого 8Л найдется в такая конкретная точка (хп, уп), для кото¬
рой 8Я не годится. Это значит, что существует в точка (хт у'п),
для которой
\х'п —	\ук—уп\<К
и тем не менее
\f(x'n, Уп) —/(хп, уп) | е.	(7)
Из ограниченной последовательности точек {{хт уп)}> по лемме
Больцано — Вейерштрасса, извлечем такую частичную последователь¬
ность {(xnk> ynft)}, что xnk Ху ynk -+уу причем предельная точка
(Ху у) необходимо принадлежит области	(ввиду ее замкнутости).
Так как, далее,
I	Xnk x*k I ^ ^nk> I Ун У пи I
и, при возрастании k, nk^*-\-co и	т0
Хпк Хпк -*• 0, Упк-Упк-+0,
так что и
Упк ^ У*

242
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1137
Ввиду непрерывности функции /(лг, у) в точке (jF, j>), принад¬
лежащей области S’*, мы должны иметь как
/(•*»*> Упк) ->-/ (■*> Я.
так и
-У»*) -*•/(■*» у)>
откуда
/(*„*> v —/ (х'ч, у'пк) -► О,
что оказывается в противоречии с неравенством (7). Теорема до¬
казана.
Для формулировки вытекающего отсюда следствия нам понадо¬
бится понятие диаметра точечного множества: так называется
точная верхняя граница расстояний между любыми двумя точками
множества.
Следствие. Если функция /(лг, у) непрерывна в ограниченной
замкнутой области &, то по данному е]>0 найдется такое
О>0, что, на какие бы частичные замкнутые же области
... > с диаметрами, меньшими 8, ни разбить эту область *),
колебание функции в каждой части в отдельности будет меньше е.
Достаточно за 8 взять то число, о котором говорится в опре¬
делении равномерной непрерывности. Если диаметр частичной об¬
ласти Slfi меньше 8, то расстояние между любыми двумя ее точками
(ху у) и (лг0, у о) меньше b:Y (х~ хо)* + (у —Уо)* <С Отсюда и
подавно | лг — лг01 < 8 и |у —у0 | < 8, так что |/(лг,у) — /(лг* j/0) | <е.
Если эти точки выбрать так, чтобы f(x> у) и /(*<>, у&) были, соот¬
ветственно, наибольшим и наименьшим из значений функции в об¬
ласти ь то и получим требуемое утверждение.
Легко видеть, что доказанная теорема без изменений переносится
(подобно теоремам Вейерштрасса) на случай функции, непрерывной
в любом ограниченном замкнутом множестве еЛ.
*) Эти частичные области могут иметь общими лишь пограничные точки.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
138.	Частные производные. Для упрощения записи и изложения
мы ограничимся случаем функций от трех переменных; всё дальней¬
шее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Итак, пусть в некоторой (открытой) области & имеем функцию
u=f(x, у, z); возьмем точку М0(х0, у0> z0) в этой области. Если
мы припишем у и z постоянные значения у0 и z0 и будем изменять х,
то и и будет функцией от одной переменной х в окрестности х0;
можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке лг0.
Придадим этому значению х0 приращение Дл;, тогда функция получит
приращение
Ахи ==f (хо-)-Алг, yQ, Zq)	f(xQt у0, z0),
которое можно было бы назвать еечастным приращением (по х),
поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной.
По самому определению производной, она представляет собою предел
lim Ы= Нш /(*0 + Ал:, У о, *о)—/(*0, у о, г0)
Длг -► 0	Длг -► 0	Ьх
Эта производная называется частной производной функции
f(x> У, г) по х в точке (х0, у0, z0).
Как видим, в этом определении не все координаты равноправны,
так как у0 и z0 фиксированы, а х меняется, стремясь к лг0.
Частную производную обозначают одним из символов:
д/(х°'д^’ г>) *); *4 fx(xn, у¥ г0); Dji, Dxf(xt, у„, z0).
*) Обычно пользуются круглым д (вместо прямого d) в обозначении
именно частной производной.

244 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (138
Заметим, что буква х внизу в этих обозначениях лишь указывает,
по какой из переменных берется производная, и не связана с тем,
в какой точке (jc0, у0, z0) мы производную вычисляем *).
Аналогично, считая х и z постоянными, а у переменным, можно
рассматривать предел
Предел этот называется частной производной функции / (хуу, z)
по у в точке (jc0, у0, z0) и обозначается символами, аналогичными
предыдущим:
Точно так же определяется и частная производная функции
f(xy уу z) по z в точке (л;0, у0У z0).
Самое вычисление частной производной по существу не пред¬
ставляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной
производной.
Примеры. 1) Пусть и = хУ (х > 0); частные производные этой функции
будут:
Первая из них вычисляется как производная степенной функции от х
(при у = const), а вторая—как производная показательной функции от у
(при х = const).
f(xО, Уо + АУ. Zp)—/(*0. Уь, 20)
Ду
X
2) Если и = arctg —, то
ди	 у да __ х
дх х2-\-у29 ду ~	лг2+.у2#
имеем:
да  у2 + g2 —ха	ди
2	ху	 ди_ 		2хг
2хг
дх	(х2 + у2 + z2)2 * ду
*) И здесь цельные символы
можно рассматривать как функциональные обозначения для
частной производной по х. Подобных примечаний впредь мы повторять уже
не станем.

139)	§ 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	245
Заметим, что общепринятые обозначения частных производных
(с круглыми д) следует рассматривать только как цельные символы,
а не как частные или дроби.
139.	Полное приращение функции. Если, исходя из значений
jc=at0, у=уо, £ = независимых переменных, придать всем трем
некоторые приращения Дл;, Ду, Дz, то функция u=f(xyyy z) получит
приращение
Дн = Д/(*„ у0, z0) =/ (*0 + Длг, уй -1- Ду, г0 4- Д2) —/(х0) Уо, 20),
которое называется полним приращением функции.
В случае функции y=f(x) от одной переменной, в предполо¬
жении существования в	точке jc0 (конечной) производной	/'(jc0),	для
приращения функции имеет место формула [82,	(2)]:
Ду = д/(дг0) =/' (х0)-Ддг + а- Ах,
где а зависит от Дл; и	а ->0 при Дл^-^О.
Мы имеем в виду	установить аналогичную	формулу	для	прира¬
щения функции и = / (х, у у z):
Ди = Д/(*о- Уо> Zo) =
=fx C*r0, у0, z0) -Ax-j-fy (х0, у„, г») • Ду +/; (лт0, y0, г0) • Д2 -f
+ а.Ддг +	р.Ду-}-т.Дг, (1)
где оц р, т зависят от	Дл;,	Ду, Дz	и вместе	с ними стремятся
к нулю.	Однако на этот	раз	придется	наложить	на функцию более
тяжелые ограничения.
1°. Если частные производные fx (х, у, z)y fy (ху yf z)y f’z (x, yy z)
существуют не только в точке (jc0, y0t z0), но и в некоторой ее
окрестности, и, кроме того, непрерывны (как функции от х, уу z)
в этой точке, то имеет место формула (1).
Для доказательства представим полное приращение функции Ди
в виде
Ди = [/(.** +Длг, у$ —|— Ду> 20 + Дг)—/(х0, .у0 + АУ> + Аг)1 +
~Ы/С*о> у» Ау> zo ~~Ь Д-2)—f(xo> Уо< *«+Дг;)] +
+ 1/С*о> Уо> zo + Az) —/(•**. Уо> *•)]•
Каждая из этих разностей представляет частное приращение
функции	лишь по одной	переменной.	Так как	мы предположили
существование частных производных в окрестности точки (х0У у0У z0)y
то — при достаточной малости Ддг, Ду, Az — к этим разностям по

246 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [139
отдельности можно применить формулу конечных приращений [п° 102] *);
мы получим:
Ди=/И*о+0j'o + Ay, 20+A2)-A*+
fy	У о “Ъ Ау, z0 -f- A z) • Ау -\-fz (^о» у & to “Ь 0а Az) • Az.
Если положить здесь
fx С*г0 в Аху уо ^У> *о ~Ь =fx (x0f уо, zQ) -|- а,
/у(хо, Уо-^^iAy, Zq —|— Az)== fу (х0у yQf z0) -)- Р,
fz(xо, .Уо, 2о + М*)=/И*о> J'o» *о) + Т>
то придем к выражению (1) для А и. При Длг-*0, Aj/-*0, Д,г-*0
аргументы производных в левых частях этих равенств стремятся
к х0у уь z0 (ибо в, 6j, б2 — правильные дроби), следовательно, сами
производные, ввиду предположенной непрерывности их
для этих значений переменных, стремятся к производным
в правых частях, а величины о, (3, у — к нулю. Этим и завершается
доказательство.
Доказанная теорема дает возможность, между прочим, устано¬
вить, что
2°. Из существования и непрерывности в данной точке частных
производных вытекает непрерывность в этой точке самой функции.
Действительно, если Длг-^0, Ау->>0, Дг-^О, то, очевидно, и
Дн-*0.
Для того чтобы формулу (1) можно было написать в более ком¬
пактной форме, введем в рассмотрение выражение
р= /Ajt2 + A/+Az2
—	расстояние между точками (х0у yQi z0) и (*0-f-Ах, у0-{-Ау,
+ А-2)-
Пользуясь им, можем написать:
+ + + р.
Обозначив выражение, стоящее в скобках, через е, будем иметь
а Длг -|- р Ау -(- Т Az = ер,
*) Если взять, например, первую разность, то ее можно рассматривать
как приращение функции f(xt +	+	от	одной	переменной	х,
отвечающее переходу от х = х0 к х = х0 + Ах. Производная по х от этой
функции, т. е. fx(xt у0 + Ду, z0 + Az), по предположению, существует для
всех значений х в промежутке [лг0, л:0 + Дл:], так что формула конечных
приращений применима, и т. д.

139]	§ 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	247
где е зависит от Алг, Ау, Az и стремится к нулю, если Ajc->0,
Ау->-0, Аг-^0, или, короче, если р-*0. Итак, формулу (1) можно
теперь переписать в виде:
Ди = Д/С% Уо, z0) =fx (х0> у«, 2*) • ЬхЛ-f'y (-«‘о. Уо, z0) • Ay +
“Ь/z (•£<>> _Уо> ^о) • Дг -)- 6 • pi (2)
где e ->► 0 при р -> 0. Величина е • р, очевидно, может быть записана
как о(р) (если распространить введенное в п°54 обозначение и на
случай функций нескольких переменных).
Заметим, что в нашем рассуждении не был формально исключен
случай, когда приращения Дат, Ау, Az порознь или даже все сразу
равны нулю. Таким образом, говоря о предельных соотношениях
а-* 0, Р-*0, 7	0,	s	—> 0
при Ад:-►О, Ау->0, Аг-^0, мы понимаем их в широком смысле
и не исключаем для этих приращений возможности в процессе их
изменения обращаться в нуль. [Ср. аналогичное замечание в п° 82].
При доказательстве предыдущей теоремы мы потребовали от
функции нескольких переменных больше, чем в случае функции одной
переменной. Для того чтобы показать, что без соблюдения этих тре¬
бований формула (1) или (2) здесь могла бы оказаться и неприло¬
жимой, рассмотрим, в заключение, следующий пример (где для
простоты мы имеем дело всего лишь с двумя независимыми пере¬
менными).
Определим функцию /(лу) равенствами
/{X, у) = ~^ (если **+/>0), /(0, 0) = 0.
Эта функция непрерывна на всей плоскости; для точки (0, 0) это
следует из п° 130, 4). Далее, существуют частные производные
по х и по у также на всей плоскости. При х* -]-у2 0, очевидно,
s' /	\	2*У3	х' /	\	*2	(х2	—V2)
fx(x* У)	(лг2 4“ _у2)2 * fy(Xy У) (д-2 | у2у •
В начальной же точке имеем: /i(0, 0)=/^(0, 0) = 0; это непо¬
средственно вытекает, по самому определению частных производных,
из того, что f{x, 0)=/(0, jj) —0- Легко показать, что в точке (0, 0)
непрерывность производных нарушается (Для первой из них доста¬
точно, например, положить	=
Формула вида (1) или (2) для нашей функции в точке (0, 0) не
имеет места. В самом деле, если допустить противное, то было бы
ДД0, o)=^g,=«./д**+ду,

248 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (140
где е->0 при Ал;-►О и Ду-*0. Положив, в частности, Ду = Длг^>0,
имели бы
уД* = е /2-Дат, откуда е = ^~,
и е не стремилось бы к нулю при Дл;->0, что противоречит допу¬
щению.
140.	Производные от сложных функций. В виде приложения
полученной формулы (1), займемся вопросом о дифференцировании
сложных функций. Пусть имеем функцию
u=f(x, у, г),
определенную в области причем каждая из переменных х, у, z,
в свою очередь, является функцией от переменной t в некотором
промежутке:
•* = <р(0> У = ']>(*)> z = x(t).
Пусть, кроме того, при изменении t точки (лг, у, z) не выходят
за пределы области S2F.
Подставив значения лг, у и z в функцию и, получим сложную
функцию:
«=/(?(0. НО. х№
Предположим, что и имеет по лг, у и z непрерывные частные
производные иХу иу, иг и что х\> у\ и z\ существуют. Тогда можно
доказать существование производной сложной функции и вместе
с тем вычислить ее.
Действительно, придадим переменной t некоторое приращение Д£,
тогда х, у и z получат соответственные приращения А*, Ау и Az,
функция же и получит приращение А м.
Представив приращение функции и в форме (1) (это мы сделать
можем, так как предположили существование непрерывных
частных производных иХу иуу и2)у получим
Дм = их • Длг -f- иу • ky -f- иг • Аг -f- а • Ал: -f- р • ку -{- Т • А^»
где а, р, ^-^0 при Длг, Ду, Дг->0. Разделив обе части равенства
на At, будем иметь
Ди г Ах , г Ду | г Az , Дл: | о Ду I Az
it= •и*' it+it+'и*' и+'“ • it+ Р * и+1 • и•
Устремим теперь приращение М к нулю; тогда Длг, Ду, Дг будут
стремиться к нулю, так как функции лг, у и z от t непрерывны (мы
предположили существование производных лг/, у\ и z'i)y а потому а,
Р и 7 также будут стремиться к нулю. В пределе получим
ut — ux-x't-]-u'ry’t-\-ut- z't.
(3)

141]	§ 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	249
Видим, что при сделанных предположениях производная сложной
функции действительно существует. Если воспользоваться дифферен¬
циальным обозначением, то формулу	(3)	можно	записать так:
da	ди_ dx * да	dy	\ да ^	dz	...
dt дх ' dt * dy	dt	* dz *	dt*	'	'
Теперь рассмотрим тот случай, когда ху у и z зависят не от одной
переменной t, а от нескольких переменных; например,
x — f(t, v), y =	v),	z = x(t,	v).
Кроме существования и непрерывности частных производных
функции f(Xy уу z)y мы предполагаем здесь существование произ¬
водных ОТ фунКЦИЙ Ху уу z по t и V.
После подстановки функций <р, ф и х в функцию / мы будем
иметь некоторую функцию от двух переменных t и v, и возникает
вопрос о существовании и вычислении частных производных щ
и uv. Но этот случай не отличается существенно от уже изученного,
ибо при вычислении частной производной функции от двух перемен¬
ных мы одну из переменных фиксируем, и у нас остается функция
только от одной переменной. Следовательно, для этого случая фор¬
мула (3) остается без изменения, а формулу (4) нужно переписать
в виде:
да	^ д^,да_ ду^, да дг	...
dt ~дх ' дГ'ду 'дГ~Т~дги7г	^
141.	Примеры. 1) Рассмотрим степенно-показательную функцию
и = хУ.
Положив x = y(t)y ^ = <];(*) и продифференцировав по только что выве¬
денному правилу дифференцирования сложной функции, получим известную
уже нам формулу Лейбница и И. Бернулли:
а\1=1 у • хУ~х • x’t -f- хУ • In х • y\t
Раньше мы установили ее (в других обозначениях) с помощью искусствен¬
ного приема [п° 85, (5)].
Формула (3) сходна с формулой и\ = и'х'x’t для случая функции и от
одной переменной х. Подчеркнем, однако, снова разницу в условиях,
при которых были выведены эти формулы. Если и зависит от одной пере¬
менной, то достаточно было предположить существование производной и'х*у
в случае же нескольких переменных мы вынуждены были предположить еще
и непрерывность производных их, uyt	 Следующий пример пока¬
зывает, что одного существования этих производных для действитель¬
ности формулы (3) вообще недостаточно.
2)	Определим функцию u=f(Xy y)t полагая
f (х, у) = xfj^yi (при	+ У* > °). / (°. °) = °-

250 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ f 141
Эта функция, как мы видели, имеет частные производные во всех точках,
не исключая и начальной (0, 0), причем
/*(0, 0) = 0, /;(0,0) = 0;
заметим, что именно в этой точке производные терпят разрыв.
Если ввести новую переменную /, положив x=y = t, то получим слож¬
ную функцию от t. По формуле (3) производная этой функции при * = 0
была бы равна
u't = u'x.x't + u'y.y't = 0.
Но, с другой стороны, если на деле подставить значения х и у в данную
функцию и —/(х% у), получим при Ьф0
_ t*-t 1
U 2
Это верно и при £ = 0.
Продифференцировав теперь непосредственно по ty будем иметь
«^=“2* при любом значении t, значит и при * = 0.
Оказывается, что формула (3) в данном случае неприменима.
X2 V2
3)	Из уравнения -^+^ = 1 переменная у определяется как функция
от х:
у = ± — Y а%—х2 (— а<х<а),
имеющая' производную
,   Ь_	х  	Ъ2^	х
Ух	Н а уа2—х2	а2 * У '
Найти эту производную, не разрешая уравнения относи¬
тельно у.
Решение. Если представить себе, что упомянутая функция подставлена
вместо у в уравнение, то последнее удовлетворится тождественно.
Продифференцировав полученное тождество по х (с использованием правила
дифференцирования сложной функции), найдем
2х . 2у , п
jr + ^i-^=0.
откуда по-прежнему
Ь2 х
у'
4)	Пусть, в общем случае, имеем уравнение
F(x, 3')=°.
неразрешенное относительно у (F здесь непрерывна вместе со
своими производными). При известных условиях (см. главу XX второго тома)
можно утверждать, что этим уравнением переменная у определяется как
функция от ху к тому же имеющая производную (хотя аналитического выра¬
жения самой этой функции мы можем и не знать!). В подобном случае у
называется неявной функцией от х. Найти производную неявной функции.
Решение. Как и в частном примере, представим себе, что вместо у
подставлена именно эта неявная функция. Продифференцировав по х полу¬
ченное тождество, придем к результату:
Р'х (х, y) + Fy (х, у) -у-х=0,

1421	§	1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	251
откуда (конечно, если F'zjb 0)
Ух	Ру(х,у)'
142.	Полный дифференциал. В случае функции y=f(x) одной
переменной мы рассматривали в п°89 вопрос о представимости ее
приращения Ау = А/(*0) ==/(•*<> + Длг)—/(лг0) в виде:
А/С^о) = А • Алг -|- о (Алг) (А = const).	(5)
Оказалось [п° 90], что для возможности такого представления необ¬
ходимо и достаточно, чтобы в точке х = х0 существовала ко¬
нечная производная /'(лг0), причем написанное равенство осуществляется
именно при Л=/'(лг0). Линейную часть
А • Алг=/'(лг0) • Ах=ух • Алг
приращения функции мы и назвали ее дифференциалом dy.
Переходя к функции нескольких, например трех, переменных
/(лг, у, z), определенной в некоторой (скажем, открытой) области
естественно поставить аналогичный вопрос о представимости прира¬
щения
Дм = Д/(лг0, у», гй) =/(лг0 -)- Длг, у0 + Ду, z»-f Д,г) —/(лг0, у0, z„)
в виде
А/(**oi Уо> zo) — А • Ах -|- В • Ау -f- С- Az о (р),	(6)
где А, В vi С — постоянные, а р = \/ Длг* + Ау2 -f- Az*.
Как и в п° 90, легко показать, что, если имеет место разложе¬
ние (6), то в точке (лг0, yQ, zQ) существуют частные производные по
каждой из переменных, причем
fx (х0, Уо, Zb)=Af fy (лг0, уо, z0) = Bt /Илг0, у* z0) =	C.
Действительно, например, полагая в (6) Ау = Az = 0 и	Ах ф 0,
получим [ср. п° 90, (1а)]:
Axf С*т0, у», z0) =/(лг0 + АХу у0у z0) —f(x0, у0> zQ) = А • Длг + о (| Алг |),
откуда и следует, что существует
Л(*. л. *>- lim '<*. + **,»...)-/(*.,Л,*.) =
Лх о	ах
Таким образом, соотношение (6) может быть осуществлено только в виде
Af(x<»yo> *o)=/H*o> Уо> za) ■ Ьх +
-\-fy (*о> yv z0) ■ Ду +/; (х0, уо, г«) • Дz + o (р),	(7)

252 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [142
или — в более короткой записи —
А и = их • Ах —|— Uy • Ау —|— и2 • Az -J- о (р).	(7 а)
Однако, в то время как в случае функции одной переменной
существования производной yx=zf(x^ в рассматриваемой точке было
уже и достаточно для наличия соотношения (5), в нашем случае
существование частных производных
И* =/*(*<» Уо> 20), u'y=fy(x0, уй, г„), иг=/г(хй, у0, z„)
еще не обеспечивает разложения (6). Для случая функции двух пере¬
менных мы это видели на примере п° 139. Там же были указаны
достаточные условия для выполнения соотношения (б): это —
существование частных производных вокрестности точки (х^у0) z0)
и их непрерывность в этой точке.
При наличии формулы (7) функция f(x> уу z) называется
дифференцируемой в точке (х^ y0f z0) и (только в этом
случае!) выражение
их • Ал: -(- и'у • Ау + иг • Az =
=f'x (*о. Уо, z0) ■ Ax +fy (*0, y0, z0) • Ду +/; (x0) Уо, zt)-Az,
т. e. линейная часть приращения функции, называется ее (пол¬
ным) дифференциалом и обозначается символом du или df(x:0, у& z0).
В случае функции нескольких переменных утверждение: «функция
дифференцируема» в данной точке, как видим, уже не равнозначно
утверждению: «функция имеет частные производные по всем пере¬
менным» в этой точке, но означает нечто ббльшее. Впрочем, мы
обычно будем предполагать существование и непрерывность
частных производных, а это уже перекрывает дифференцируе¬
мость.
Под дифференциалами независимых переменных dx, dy, dz усла¬
вливаются разуметь произвольные приращения А*, Ау, Az*);
поэтому можно написать
dfix», Уо, Z0) =
=fx(xо, Уо, z0) -dx-\-fy (Хц, Уо, z^-dy+fziXo, уо, za)-dz,
или
du = ux-dx-\- иу -dy-\-u2- dz.
*) Если отождествить дифференциал независимой перемен¬
но й х с дифференциалом х} как функции от независимых переменных л*,
у, zt то, по общей формуле, можно написать
dx = х'х • А* + Ху • Ау + х'г • Аг = 1 • Алг + 0 • Ау + 0 • Az = Ал:;
тогда равенство dx = Ал; оказывается доказанным.

1431	§ 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	253
143.	Инвариантность формы (первого) дифференциала. Пусть
функция u—f{x, у, г) имеет непрерывные частные производные иХу
иу) и2 причем ху у, z, в свою очередь, являются функциями от
новых переменных t ии:
■X = <?(*, V), y = ty(t, v), z=x(t, v),
также имеющими непрерывные же частные производные х\у xv, у\,
Уъ z'v. Тогда [n° 140] не только существуют производные от слож¬
ной функции и по t и Vy но эти производные также непрерывны
по t и v, как это легко усмотреть из (3).
Если бы лсу у и z были независимыми переменными, то, как мы
знаем, полный дифференциал функции и был бы равен
du = u'xdx-\-uy dy-f иг dz.
В данном же случае и зависит — через посредство лг, уу z — от
переменных t и v. Следовательно, по отношению к этим переменным
дифференциал напишется так:
du = щ • dt -f- uv • dv.
Но, в силу (3),
Ut = Ux-Xt-\-Uyyt + llz-Zt
и, аналогично,
Uv = u'x • xv + iiy -y'v + иг • zv.
Подставив эти значения в выражение для du, будем иметь:
du = (u'x-x't-^Uy-yt-j- u'z>-zi) dt -)- (ux • x'v “|— uy -yv + u2 • zv) dv.
Перегруппируем члены следующим образом:
du = u'x • (xi 'dt-\-xv* dv) -\-uy-(y'fdt	• dv) -f-
+ uz • iz't •dt-\-zv• dv).
Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, суть не что
иное, как дифференциалы функций х, у, z (от t их;), так что
мы можем написать
du = их • dx -f- iiy • dy ug • dz.
Мы пришли к той же самой форме дифференциала, что и
в случае, когда х, у, z были независимыми переменными (но смысл
символов dx, dy} dz здесь, конечно, уже другой).

254 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [143
Итак, для функций нескольких переменных имеет место инва¬
риантность формы (первого) дифференциала, как и для
функций одной переменной *).
Может случиться, что х, у и z будут зависеть от различных
переменных, например
*	=	y = ty(t, v), z = yjv, w).
В таком случае мы всегда можем считать, что
x =	v> w\ У = ^1 (*>	z==Xi (?> v, w),
и все предыдущие рассуждения будут применимы и к этому случаю.
Следствия. Для случая, когда х и у были функциями одной
переменной, мы имели следующие формулы:
d (сх) = c-dx, d(x±y) — dx± dy, d (ху) —у -dx-^-x-dy,
d
(у)'
у • d х — х- dy
У*
Эти формулы верны и в том случае, когда х и у
являются функциями любого числа переменных, т. е.
когда
X = f(t, V, ...), y =	V, ...).
Докажем, например, последнюю формулу.
Для этого примем сначала х и у за независимые переменные;
тогда
у • dx—х - dy
Видим, что при этом предположении дифференциал имеет тот же
вид, что и для функций одной переменной. На основании же инва¬
риантности формы дифференциала можно утверждать, что эта фор¬
мула справедлива и в том случае, когда х и у являются функциями
любого числа переменных.
Доказанное свойство полного дифференциала и следствия из него позво¬
ляют упрощать вычисление дифференциалов, например
А х	1	.(х\ y»dx—x-dy
Так как коэффициентами при дифференциалах независимых переменных
являются соответствующие частные производные, то отсюда сразу же
*) Отметим, что то же заключение справедливо и при одном предполо¬
жении дифференцируемости всех рассматриваемых функций. Чтобы
убедиться в этом, достаточно показать, что результатом суперпозиции диффе¬
ренцируемых функций будет также дифференцируемая функция.

144]	§	1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	255
получаются и значения этих последних. Например, для u = arctg —
У
непосредственно
да  у	ди 	х
дх	х2 +Уа *	дУ ~~ х2+уа
[ср. п° 138, 2)].
144.	Применение полного дифференциала в приближенных вычи¬
слениях. Аналогично дифференциалу функции от одной переменной [п°94],
и полный дифференциал функции от нескольких переменных с успехом при¬
меняется в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть,
например, мы имеем функцию и =/(лг, у), причем, определяя значения х и у,
мы допускаем погрешности, скажем, Дл: и Ду. Тогда и значение и, вычислен¬
ное по неточным значениям аргументов, также получится с погрешностью
Аи =f(x + Дл:, у -|- Ду)—/(л:, у). Речь идет об оценке этой погрешности,
если известны оценки погрешностей Д* и Ду.
Заменяя (приближенно) приращение функции ее дифференциалом (что
оправдано лишь при достаточно малых значениях Дл: и Ду), получим
Дн = ^.Д* + |.Д*	(8)
Здесь и погрешности Дл:, Ду, и коэффициенты при них могут быть как поло¬
жительными, так и отрицательными; заменяя те и другие их абсолютными
величинами, придем к неравенству
|Аи|
ди
дх
\Ах\ +
ди\ I а .
дуГ1 •у|>
Если через Ьх, йу, Ьа обозначить максимальные абсолютные погреш¬
ности (или границы для абсолютных погрешностей), то можно, очевидно,
принять
да
Ьи =
ду
■ Ьу.	(9)
Приведем примеры.
1)	Прежде всего, с помощью выведенных формул легко установить
обычные в практике приближенных вычислений правила. Пусть и = ху
(где х > 0, у > 0), так что da =у dx + х dy; заменяя дифференциалы при¬
ращениями, получим Аи=у • Ах + х • Ду [см. (8)] или, переходя к границам
погрешностей [см. (9)]:
Ьи ==у • Ьх + х • Ьу.
Деля обе части этого равенства на и = ху9 придем к окончательной
формуле:
-=-+^,	<10)
и х у	' '
выражающей такое правило: (максимальная) относительная погрет-
ность произведения равна сумме (максимальных) относительных по-
грешностей сомножителей.

256 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ J145
Можно было бы поступить проще—сначала прологарифмировать фор¬
мулу и = ху, а затем продифференцировать:
1	1	.1	da	dx	.	dy
In а = In х 4- ln.y,	— =	h	— ) и	т. д.
‘	и	x * у '
x
Если и = — , то по этому методу найдем
,	,	,	da	dx	dy
In u = In лг—	In v,	—=	—;
^	и	x	у	’
переходя к абсолютным величинам и к максимальным погрешностям, мы
получим снова формулу (10). Таким образом, (максимальная) относитель¬
ная погрешность частного равна сум¬
ме (максимальных) относительных
погрешностей делимого и делителя.
2) Частое применение находит
исчисление погрешностей в топографии,
главным. образом при вычислении не
измеренных непосредственно элементов
треугольника — по измеренным его эле¬
ментам. Приведем пример из этой
области.
Пусть в прямоугольном треуголь¬
нике ABC (рис. 58) катет АС = Ь и
прилежащий угол ВАС = а измерены; второй же катет а вычисляется по
формуле: a = b- tga. Как отражаются на значении а погрешности при из¬
мерении b и а?
Дифференцируя, получим:
так что и
da = tg a db -1	s— da,
s 1 cos2 a f
ba = tg a • ЬЬ -I	5— fca.
s	'	COS2 a
145.	Однородные функции. Как известно, однородными много¬
членами называются многочлены, состоящие из членов одного и
того же измерения. Например, выражение
%х*^2ху + 5у*
есть однородный многочлен второй степени. Если умножить здесь
х и у на некоторый множитель t, то весь многочлен приобретет
множитель t во второй степени. Подобное обстоятельство имеет место
для любого однородного многочлена.
Однако и функции более сложной природы могут обладать
таким же свойством; если взять, например, выражение
V X* +У* 1 х
X.L	-LZ-. In —
х—у у ’
*) Обращаем внимание читателя на то, что дифференциал In и мы вы¬
числяем так, как если бы и была независимой переменной, хотя на деле она
является функцией от х и у. Это замечание следует иметь в виду и ниже.

145J	ft 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	257
то и оно приобретает множитель t* при умножении обоих аргумен¬
тов х и у на U уподобляясь в этом отношении однородному много¬
члену второй степени. Подобную функцию естественно также назвать
однородной функцией второй степени.
Дадим общее определение:
Функция /(хь ..., хт) от т аргументов, определенная в об¬
ласти называется однородной функцией k-й степени,
если при умножении всех ее аргументов на множитель t функ¬
ция приобретает этот же множитель в k-й степени, т. е. если
тождественно выполняется равенство
f(txb txm) = tk-f(xv хт).	(11)
Для простоты мы ограничимся предположением, что xh хт
и t здесь принимают лишь положительные значения. Область
в которой мы рассматриваем функцию /, вместе с любой своей точ¬
кой М(х%, ..., хт) предполагается содержащей и все точки вида
Mt(txi, ..., txm) при *>0, т. е. весь луч, исходящий из начальной
точки и проходящий через точку Ж.
Степень однородности k может быть любым вещественным чис¬
лом; так, например, функция
х* • sin ~ 4-у* • cos —
X	X
является однородной функцией степени тс от аргументов х и у.
Постараемся теперь получить общее выражение однород¬
ной функции степени k.
Пусть сперва f(xx, ..., хт) есть однородная функция нулевой
степени; тогда
f(txir txb	txm)=f(xu хъ хт).
Положив £==-^-, получим
/(X 1, X,	xm)=f[l, g, **).
Если ввести функцию от ^ — 1 аргументов:
?(И1» •••. "m-l)=/0> И„
то окажется, что
f(Xi, X*	Xm) = <f(^
Итак, всякая однородная функция нулевой степени представляется в виде
функции отношений всех аргументов к одному из них. Обратное, оче¬
видно, также верно, так что предшествующее равенство дает общее
выражение однородной функции нулевой степени.
9 Г. М< Фихтенгольц, т. I

258 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |М5
Если f(x 1, X* ..., хт) есть однородная функция k-ft степени,
то отношение ее к х\ будет однородной функцией нулевой степени,
так что, по доказанному,
/(*lf *2, хт)	(хш хт\
	ц	—Tlv irj
и
/(Хь Хъ	хт)=х\-<?^
Если, наоборот, для функции f(xb х* г.., хт) выполняется
подобное равенство, то она, как легко проверить, будет однородной
функцией степени k. Таким образом мы получили общий вид одно¬
родной функции степени k.
Пример:
/>+Ш‘
•|п-^ = дг*- У Ы
Х—У у	У__х	х
X
Предположим теперь, что однородная (степени k) функция
f(x, у, г)*) имеет в (открытой) области непрерывные частные
производные по всем аргументам. Фиксируя по произволу точку
(дг0, у о, *о) из в СИЛУ основного тождества (11) будем иметь для
любого *]>0:
f(txо, tyo, tz6) = tk'f(Xb Уь z6).
Продифференцируем теперь это равенство по t левую часть
равенства — по правилу дифференцирования сложной функции**),
правую — просто как степенную функцию. Получим:
fxtfXo, tyQ, tz9)-X0-{-fy(tX0, tyo, tz0) -y0 -f
-j-fz (tx0, tyo, tZo) • 20 = A • tk~l -/(хй, Уо, 2«).
Если положить здесь f=l, то придем к следующей формуле:
fx (Хо, Уо, ^о)--^о+Л(^о. Уо, «o)-Jo +
-\-f'z{xо, Уо, г*)-г* = А-/(^о, у0, z0).
Таким образом, для любой точки (л:, у, г) имеет место равенство
f'x(х,у, z)-x-\rfy(x,y, z)-у +/;(х, у, z)-z = k-f(x,y, Z).	(12)
Это равенство носит название формулы Эйлера.
*) Лишь для упрощения письма мы ограничиваемся здесь случаем
трех переменных.
**) Именно для того, чтобы иметь право применить это правило, мы и
предположили непрерывность частных производных [п° 140].

146]
% % ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
259
Мы видели, что этому равенству удовлетворяет любая однород¬
ная функция степени k, имеющая непрерывные частные производные.
Можно показать, что и обратно — каждая функция, непрерывная
вместе со своими частными производными и удовлетворяющая равен¬
ству Эйлера (12), необходимо является однородной функцией сте¬
пени k.
Замечание. Эйлер в «Дифференциальном исчислении» рассматривает
лишь частные типы однородных выражений — целые, дробные, радикальные
и их сочетания, и не дает общего определения. Но при выводе формулы,
носящей его имя, он исходит из представления однородной функции в виде
произведения степени одного из аргументов на функцию от отношений
к нему остальных.
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
146.	Производные высших порядков. Если функция и =
=/(■*. У у *)*) имеет в некоторой (открытой) области & частную
производную по одной из переменных, то названная производная,
сама являясь функцией от х, у> z, может, в свою очередь, в неко¬
торой точке (jc0, у& ^о) иметь частные производные по той же или
по любой другой переменной. Для исходной функции u=f(x, у, z)
эти последние производные будут частными производными второго
порядка (или вторыми частными производными).
Если первая производная была взята, например, по лг, то ее про¬
изводные по х, у, z обозначаются так:
	 d*f(x0i У о, г0)	д*и _ d2f{x 0> у0, z0)
дх2	дх2	9 дхду	дхду	9
д*а _ d*f(x0t y0z0)
дх dz	дх dz 9
или
Ux%—fxt{Xо, у0, Z0), Uxy = fxy(X0, Уо, Z0),
Uxz — fxz(Xo, Уо, zo) **)•
Аналогично определяются производные третьего, четвер¬
того и т. д. порядков (третьи, четвертые, ... производ¬
ные). Общее определение частной производной л-го порядка
может быть дано индуктивно.
*) Мы и здесь для простоты письма ограничиваемся случаем функции
от трех переменных.
**) Разумеется, дифференциальные обозначения следует рассматривать
как цельные символы. Квадрат дл:2 в знаменателе заменяет условно дх дх
и указывает на дифференцирование дважды по х; точно так же зна¬
чок х2 внизу заменяет хх. Это нужно иметь в виду и дальше.
9*

260 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |147
Заметим, что частная производная высшего порядка, взятая по
различным переменным, например
д2а	д2а	д*и
дхду9 дудх9 dxdydz29 г”*
называется смешанной частной производной.
Примеры. 1) Пусть а = хАу*г2, тогда:
и'х = 4 x*y*z2,	ti'xy = 12xay2z2,	ихуг = 24x3y2z,	и(£гх == 72 х*у*г,
и'у = Зх yZ\	и^х = \2xyz\	и"х = 36	и^ХХ2 = 12х*уН,
и; = 2 xyz,	а"гх = 8 x*y*z%	и”гху = 24л: *y2z,	и'£ух = 72л: 2у2 г.
х
2)	Мы имели уже [п° 138,2)] частные производные для функции а = arctg — :
ди __ у	да	х
дх~~х2+у29 дл:а+У»
вычислим теперь дальнейшие производные:
д2а	д ( у \	_	2ху
дх2 ~~ дх \х2 +у2)	““	(л:2 + У2)3 9
д2а __ д ( у \	__	х2—у2
дхду~~ду U2 + У2)	~ (х2 +У2)2 9
д2а __ д f	х	\ х2—у*
дудх~дх\ х2+у2]	~~{х2+у2)29
д2а д ( х	\	_	2ху
W~dy\ х* + у2)	-(х2+у2У
д3а __ д f	2ху \ __ 6л*у2 — 2х8
дх2 ду~ду \	(х2 +у2)2)	(л:* +у>)3 •
д*и д / л:2 — у2 \		Ьху2—2л:3
ду дх2 “ дх \(л:2 +У) /	(х*	+.У2)3
и т. д.
147.	Теоремы о смешанных	производных.	При рассмотрении
примеров 1) и 2) бросается в глаза совпадение смешанных производ¬
ных, взятых по одним и тем же переменным, но в разном порядке.
Нужно сразу же отметить, что это вовсе не вытекает с необходимостью
из определения смешанных производных, так как существуют случаи,
когда упомянутого совпадения нет.
Для примера рассмотрим функцию
/(*. У) — ху ^5^4 ("Ри *8+У > 0). /(0, 0) =0.
Имеем:
fx(х> У)—У' [irpfe + (лг»+У)а] (ПР" * +у3>0)’
/ХФ, 0)=0.
Если придать х частное значение равное нулю, то при любом у (в том
числе и при у = 0) будем иметь: /х (0, у) == — у. Продифференцировав эту
функцию по у, получим (0, у) = — 1. Отсюда следует, в частности, что

147]	§	2.	ПРОИЗВОДНЫЕ	И	ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ	ВЫСШИХ	ПОРЯДКОВ	261
Итак, для рассматриваемой функции f”y (0, 0) ф f^x (0, 0).
Тем не менее, подмеченное на примерах совпадение смешанных
производных, отличающихся лишь порядком дифференцирований, не
случайно: оно имеет место в широком классе случаев.
Теорема. Предположим, что: 1) функция f{x, у) определена
в {открытой) области , 2) в этой области существуют пер¬
вые производные fx и fyt а также вторые смешанные произ¬
водные fxy и fyX> и, наконец, 3) эти последние производные fxv
и fyx> как функции х и у, непрерывны в некоторой точке (лго, уо)
области Тогда в этой точке
Доказательство. Рассмотрим выражение
w/—f(xo + h, у о Ч- k) /(«Ур -Ь Л, у0)—f(x,y0 + b)+f(xQ,y0)
~ hk
где hr k отличны от нуля, например положительны, и притом на¬
столько малы, что в ^ содержится весь прямоугольник [jc0, х9 -\-h\
Уо> + такими мы их фиксируем до конца рассуждения.
Введем теперь вспомогательную функцию от х:
т /*л	 /С*» Уо + к) —fix, Уо)
TW—	k
которая в промежутке [х0, x0-\-h], в силу 2), имеет производную
Г( ч	fx ixt У о + Л) —fx ix, у о)
? \х) k
и, следовательно, непрерывна. С помощью этой функции выраже¬
ние Wy которое равно
1 Г/ (*о + hy у0 + k) —f (х0 + hy у0) _ f(x0, y0 + k) —f(xо, у0)1
h \	Ь	Ь	>
Так как для функции ср(лг) в промежутке [x0t х0-\-Щ выпол¬
няются все условия теоремы Лагранжа [п° 102], то мы можем, по
формуле конечных приращений, преобразовать выражение W так:
fxy {*о> У о)—fyxix о> Уо)-
О)
можно переписать в виде:
<?ixo + h)— у (лг0)
fx {Х0 + 8Л, Уо + k)—fx (х0 + ел, Уо)
k
(0<6<1).

262 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (147
Пользуясь существованием второй производной fxv(x, у), снова
применим формулу конечных приращений, на этот раз — к функции
от У- fx(x0-\-biif у) в промежутке [уо, yi>-\-k]. Окончательно
получим:
W=f'xy (х0 + Ш, у0 + бxk) (0 < б, 0! < 1).	(2)
Но выражение W содержит х и ft, с одной стороны, и у и k9
с другой, одинаковым образом. Поэтому можно поменять их роли и,
введя вспомогательную функцию
Ф Q.) _/(*0 + ft, 30 —/(-У0, 3^
путем аналогичных рассуждений получить результат:
W=fyx(Xо+ба/2, J/o + бз*)	(0<вь 03 < 1).	(3)
Из сопоставления (2) и (3) находим:
fxy С*о *4“ вй, j/0 “Ь 0i£) =fyx (Уо “Ь М, Уо “Ь 0з*).
Устремив теперь А и k к нулю, перейдем в этом равенстве к пре¬
делу. Ввиду ограниченности множителей 0, 0Ь б2, б3, аргументы и
справа и слева стремятся, соответственно, к х0, уо• А тогда, в силу 3),
окончательно и получим:
fxy С^о» yo)=fyx(-X<h У 0)9
что и требовалось доказать.
Таким образом, непрерывные смешанные производные fxy
и fyX всегда равны.
В приведенном выше примере эти производные
/г =/' =Х* у2 (l 1	8лг2-у8 1	(*8	+ v8>0)
Jxy —Jyx — Х2 _|_ у> t
не имеют вовсе предела при х -+ 0, у -► 0 и, следовательно, в точке (0, 0)
терпят разрыв: к этому случаю наша теорема, естественно, неприложима.
Замечание. Упоминание о равенстве смешанных производных и
попытки	доказать его находим еще	у	Эйлера и	Клеро*)	(1740).
Строгое	доказательство впервые	дал	Шварц**)	лишь в	1873	г.
*) Алексис Клод Клеро (1713—1765) — выдающийся французский ма¬
тематик.
**) Карл Герман Армандуа Ш в а р ц (1843—1921) — немецкий математик.

148]
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
263
Отметим связь вопроса о перестановке двух дифференцирований
с общим вопросом о перестановке двух предельных переходов, рас¬
смотренным в п°131.
Имеет место и общая теорема о смешанных производных:
Теорема. Пусть функция u=f(xh х* хт) от т пере¬
менных определена в открытой т-мерной области и имеет
в этой области всевозможные частные производные до (п—1 )-го
порядка включительно и смешанные производные п-го порядка,
причем все эти производные непрерывны в .
При этих условиях значение любой п-й смешанной производ¬
ной не зависит от того порядка, в котором производятся по¬
следовательные дифференцирования.
Мы не будем останавливаться на ее доказательстве, которое про¬
водится на основе предыдущей теоремы.
Так как непрерывность производных мы впредь всегда будем
предполагать, то для нас порядок последовательных дифференциро¬
ваний будет безразличен. При пользовании смешанной производной
мы обычно будем собирать вместе дифференцирования по одной и той
же переменной.
148.	Дифференциалы высших порядков. Пусть в области &
задана некоторая функция u=f(xlt хь ..., хт), имеющая непре¬
рывные частные производные первого. порядка. Тогда, как мы знаем,
(полным) дифференциалом du называется следующее выражение:
dU “ Ш,	+ Шг dX* +■ • •'+ §Гт dX* *
где dxb	dxm — произвольные приращения независимых перемен¬
ных xlt	хт.
Мы видим, что du также является некоторой функцией от
*i, ..., хт. Если предположить существование непрерывных частных
производных второго порядка для н, то du будет иметь непрерыв¬
ные частные производные первого порядка, и можно говорить о пол¬
ном дифференциале от этого дифференциала du, d(du\ который на¬
зывается дифференциалом второго порядка (или вто¬
рым дифференциалом) от н; он обозначается символом сРи.
Важно подчеркнуть, что приращения dxlt dxг* .dxm при
этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми
же при переходе от одного дифференциала к следующему (вторые
дифференциалы d2xt, сРх* d?xm будут нулями!).
Таким образом, если воспользоваться известными правилами диф¬
ференцирования п°143, будем иметь:

264 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (148
или, раскрывая:
+(ет?гdXi+й^а+---+dXm)•dx*+
+ {S*tdx'+^/Xi+---+^;dXm)'dXm=
H£^+S**+-»+S|*4+
+ 2 53^7	1	+	2 лЖ'^	•
■••+2№^^+-+2ет;^-'^
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка Лг,
и т. д. Вообще, если дифференциал (п—1)-го порядка dn~'u уже
определен, то дифференциал л-го порядка dnu определяется как
(полный) дифференциал от дифференциала (п—1)-го порядка:
dnu = d(dn-'u).
Если для функции и существуют непрерывные частные производные
всех порядков до я-го порядка включительно, то существование этого
я-го дифференциала обеспечено. Но развернутые выражения после¬
довательных дифференциалов становятся все более и более сложными.
В целях упрощения их записи прибегают к следующему приему.
Прежде всего, в выражении первого дифференциала условно
«вынесем букву и за скобки»; тогда его символически можно
будет записать следующим образом:
du
H&ldXi+3kdx'+”'+£.dx*YB'
Теперь замечаем, что если в выражении для второго дифферен¬
циала также «вынести и за скобки», то остающееся в скобках
выражение формально представляет в раскрытом виде квадрат
выражения
aJ;dXi+35 dXr+ •'+
поэтому второй дифференциал символически можно записать так:
*'*■=й**»'+ Si**'+■*■■■+ tdb1dx4"«•

149]
s % ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
265
Аналогично можно записать третий дифференциал и т. д. Это
правило — общее: при всяком п будем иметь символическое
равенство
dnu = [widXl^te»dXi^''’^d^dXm)	^
которое надлежит понимать так: сначала «многочлен», стоящий
в скобках, формально возводится по правилам алгебры в степень,
затем все полученные члены «умножаются» на и (которое дописы¬
вается в числителях при дп), и только после этого всем символам
возвращается их значение как производных и дифференциалов.
Доказательство правила (4) можно осуществить по методу мате¬
матической индукции.
Таким образом, п-й дифференциал является однородным це¬
лым многочленом степени п, или, как говорят, является
формой л-й степени относительно дифференциалов независимых
переменных, коэффициентами при которых служат частные произ¬
водные я-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные
(«полиномиальные» коэффициенты).
Например, если u==f(x, у), то
«2 д*и	0	д*а	,	д*а . 2
d u=W*dx + 2 dTd»dxdy + df dy >
d*u = g А* + 3	rf*. dy + S^d* *+ +
-ж**+	dx‘ a’ + *8sSp dx*dy*+
.	j ^	, d*u . .
X
и т. д. Положив конкретно и = arctg —, будем иметь
j,,	У dx х dy	__ 2xy (dy1 — dx2) + 2 (*»—/) rf* rfy
’	(Je'+У)*
,3  (6x*y — 2у3) </л:8 4- (18лгу2 — 6л:3) */л:2 rfy .
(лг2+У)3	+
I	(6y8 — 18лг2.у) dx dy2 + (2л:8 — блу2) rfy3
+ (*2+^)3
и т. д.
149.	Дифференциалы сложных функций. Пусть мы теперь
имеем сложную функцию:
и =/(■*!>	.... *т),
где, в свою очередь,
*« = ?<(*!> tb у (t=l, 2	от).

266 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (150
В этом случае первый дифференциал может быть сохранен в преж¬
нем виде:
du— ^ dx* +	dx-1+• • •'+ fitd*'«
(на основании инвариантности формы первого дифференциала, п°143).
Но здесь уже dxl9 dx2, dxm являются дифференциалами не
независимых переменных, а функций и, следовательно, сами будут
функциями и могут не быть постоянными, как в предыдущем
случае.
Вычислив теперь второй дифференциал нашей функции, будем
иметь (если воспользоваться правилами дифференцирования, п°143):
Лг=d (ё;) •dx'1+d © •dx*+• •+d (S ■■dxm+
+'d (dXi)+■d (dx*>+• • •'+ §rm'd (dx*> ~
={wtdXi+w/x*+--'+dhdXm)
Мы видим, что для дифференциала порядка выше первого инва¬
риантность формы вообще не имеет места.
Рассмотрим теперь частный случай, когда xlt х* ..., хт
являются линейными функциями от ti9 ..., tk, т. е. когда
xi	= (x<ivtl -f-..-f- ^{.тЧт-j-Р/ (I—U % ...» т)>
где оУр и р* — постоянные.
В этом случае будем иметь
dxt = dtx +... ■+ dtm =	+... + №Шт.
Мы видим, что все первые дифференциалы функций xlf х2, .хт
в этом случае постоянны, не зависят от tlt t2, ..., tk; следова¬
тельно, применимы без изменений выкладки п°148. Отсюда вытекает,
чю в случае замени независимих переменных xit х2, .хт
линейными функциями от новых переменных tu t* ..., tk>
могут быть сохранены прежние выражения даже для дифферен¬
циалов высших порядков. В них дифференциалы dxlt dx^ dxM
совпадают с приращениями Ахи Длсг2,..., Длгт, но эти приращения не
произвольны, а обусловливаются приращениями Д^,	..., Mk.
Это простое и важное замечание принадлежит Коши; мы исполь¬
зуем его непосредственно в следующем номере.
150.	Формула Тейлора. Мы уже знаем [п°107, (126)], что функция
F(t), при условии существования ее п-\-\ первых производных,

150J	§	2.	ПРОИЗВОДНЫЕ	И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	267
может быть следующим образом разложена по формуле Тейлора:
AF(*«) = dF(U) + ^3F(f0) + ... + ^ dnF{U) +
+ ^Tf)i ПЧ + ъ ДО	(0 < 9 < 1).
При этом важно подчеркнуть, что величина dt, входящая в раз¬
личных степенях в выражения дифференциалов справа, в точности
равна тому приращению At, которое фигурирует в приращении
функции слева:
AF(t0) = F(t0 + At)-F(t0).
Именно в последней форме формула Тейлора распространяется
и на случай функции от нескольких переменных (Коши).
Для упрощения письма ограничимся функцией f(xг, у) двух пере¬
менных.
Предположим, что в окрестности некоторой определенной точки
(JC0, j/0) эта функция имеет непрерывные производные всех порядков
до (л+1)"го включительно. Придадим xQny0 некоторые приращения
Дл: и Ау так, чтобы прямолинейный отрезок, соединяющий точки
(*о> j>0) и С*о + Д*, .Уо + Ду)> не вышел за пределы рассматриваемой
окрестности точки (хо, у0).
Требуется доказать, что при сделанных предположениях относи¬
тельно функции /(х, у) справедливо следующее равенство:
Д/(*0. Jo) = /(^o + A^. _Уо + Д)0 — /С*о> Уо) =
=df (jc0, ^о) + ^ d2/C*o> з/0) + . + dnf(x<), y0) -f
+ (n i)T rf*+1/(*o + 6 Д^> Уо + 6 АУ) (5)
(0<8<1),
причем фигурирующие справа в различных степенях дифференциалы dx
и dy равны именно тем приращениям Ах и Ау независимых пере¬
менных, которые породили приращение функции слева.
Для доказательства введем в рассмотрение новую независимую
переменную tf положив
x=x0-\-t-Ax,	y=y0-\-t-Ay.	(O^t^ 1).	(6)
Подставив эти значения х и у в функцию f(x, у), получим слож¬
ную функцию от одной переменной t:
р (0 =/(*0 +1 ■ Ах, Уо -Ь t. Ду).
Мы знаем, что введенные нами в рассмотрение формулы (6) геоме¬
трически выражают прямолинейный отрезок, соединяющий точки
Мо (*о. .Уо) И Ml (х0 + Дат, у0 + Ау).

268 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1151
Очевидно, вместо приращения
Д/(*0. ,Уо)=/(*о + Д*. .Уо+АУ)—/С*0. Уо)
мы можем рассматривать приращение вспомогательной функции:
AF(0) = F(1) —F(0),
так как оба приращения равны. Но P(t) является функцией от одной
переменной и имеет п-\-\ производных: следовательно, применив
к ней уже выведенную ранее формулу Тейлора, получим:
AF(0) = F(l)-F(0) = rfF(0) + lrfaF(0) + ...
...+ i^F(O) + 5rj-nrW(0) (0 < 9 < 1),	(7)
при этом дифференциал dt, входящий в различных степенях	справа,
равен At = 1 — 0 = 1.
Теперь, пользуясь тем, что при линейной замене переменных
свойство инвариантности формы имеет место и для высших диффе¬
ренциалов, получим
dF (0) =f'x (х0< у„) • dx-\~ fy (лг0, у9) • dy = df(xг0> у„),
d*F (0) =/;» (лг0, у9) • dxг* + 2f’xy (лг0> у0) -dxdy +
+/> С*о. Уо) •	= «Р/(*о> Уо),
и т. д. Наконец, для (я-{-1)-го дифференциала будем иметь:
d**F (0) = dn+if(xо + б Ал:, jy0 + 0 Ду).
Важно отметить, что здесь дифференциалы dx и dy ничем не
отличаются от ранее взятых приращений Дл: и Ау. Действи¬
тельно, так как dt= 1,
dx = Ах -dt — Ах у dy = Ay*dt — Ay.
Подставив все это в разложение (7), мы и придем к требуемому
разложению (5).
Читатель должен дать себе отчет в том, что, хотя в дифферен¬
циальной форме формула Тейлора для случая функции нескольких
переменных имеет такой же простой вид, как и для случая функции
одной переменной, но в развернутом виде она гораздо сложнее.
§ 3. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
151.	Экстремумы функции нескольких переменных. Необхо¬
димые условия. Пусть функция
И=/С*1. *9. .... Хт)
определена в области и (jcJ, Jfj, Хт) будет внутренней
точкой этой области.

1511	§ 3. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ	260
Говорят, что функция f(x\,х2у...,хт) в точке (х\> х\> • • • 9 Хщ)
имеет мак си му м (минимум), если ее можно окружить
такой окрестностью
(х^ — Bj, х\ Ьг; х\ — 82, xl -f- 82; ...; х% — 8т, х% -{- 8т),
чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравен¬
ство
f Х%, . • ., Xfj^) ^^f{xj, Xty . .., Xfn).
О)
Если эту окрестность можно взять настолько малой, чтобы знак
равенства был исключен, т. е. чтобы в каждой точке ее, кроме самой
точки (х\, х\, дгт)> выполнялось строгое неравенство
fix 1) Х%у ..., Хт) ^^f(X j, Х<%, •, ., Хт)>
О)
то говорят, что в точке (*®, х\> .х0т) имеет место собствен¬
ный максимум (минимум); в противном случае, максимум (минимум)
называется несобственным.
Для обозначения максимума и минимума употребляется и общий
термин — экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (atJ, x\f..., лг£,)
имеет экстремум.
Покажем, что если в этой точке существуют конечные частные
производные
f х 1 (-*ч> • • • > Хт), .,., f хт С^1> • • •» XJ|),
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение
в нуль частных производных первого порядка является необхо¬
димым условием существования экстремума.
С этой целью положим х^ = х\у ..., хт=хт> сохраняя ^пере¬
менным; тогда у нас получится функция от одной переменной х{.
U=f(xu х\,	х*т).
Так как мы предположили, что в точке (дг?, х\>	хт) суще¬
ствует экстремум (для определенности — пусть это будет максимум),
то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности
(х\ — 8Ь ArJ-j-Sj) точки хх = х\ необходимо должно выполняться
неравенство
/С*1, Х%	X°m)^f(xl,	Х%	Х°т),

270 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (152
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке
хл = х\ будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма [п° 100]
следует, что
ГхЛх1 *1 ...» х°т) = 0.
Таким же образом можно показать, что в точке (х\у ..., хпт)
и остальные частные производные также равны нулю.
Итак, «подозрительными» дю экстремуму являются те точки,
в которых частные производные первого порядка все обращаются
в нуль; их координаты можно найти, решив систему уравнений
fх 1 (*^i>	,	хт) = 0, |
fxAxb ХЬ ..., лгт) = 0. I
fxm(x 1, лг2, ..., хт) = 0. ]
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки на¬
зывают стационарными.
152.	Исследование стационарных точек (случай двух пере¬
менных). Как и в случае функции одной переменной, в стационар¬
ной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Если для примера
взять простую функцию z=xy, то для нее zx=y и z'y = x обра¬
щаются одновременно в нуль в единственной — начальной точке (0, 0),
в которой г = 0. В то же время непосредственно ясно, что в любой
окрестности этой точки функция принимает как положительные, так
и отрицательные значения, и экстремума нет. На рис. 59 изображена

152|	9 3. ЭКСТРЕМУМЫ. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ	271
поверхность (гиперболический параболоид), выражаемая уравнением
z = xy\	вблизи	начальной точки она имеет седлообразную	форму,
изгибаясь в одной вертикальной плоскости вверх, а в другой — вниз.
Таким образом, встает вопрос об условиях, достаточных для
существования (или отсутствия) экстремума, о том исследовании,
которому должна быть дополнительно подвергнута стационарная
точка.
Мы ограничимся случаем функции двух переменных f(xy у). Пред¬
положим, что эта функция определена, непрерывна и имеет непре¬
рывные частные производные первого и второго порядков в окре¬
стности некоторой точки (х<>, у0), которая является стационарной,
т. е. удовлетворяет условиям
f'x С*0> Уо) = 0. Ту С*#. У о) = 0.	(1а)
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке
(*о, уо) экстремум или нет, естественно обратиться к рассмотрению
разности
А =/(лг, У)—fix о, ^о)-
Разложим ее по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме
Лагранжа [п° 150, (5)], ограничиваясь двумя членами. Впрочем, так так
точка (лго, у0) предположена стационарной, то первый член исчезает,
и мы будем иметь просто
д = 1 { /*а • Длг* -}- 2/ху • ДлгДу -f- fyi • Ду*}.	(2)
При этом роль приращений Дл;, Ду играют разности х — лг0, у—у&
и производные все вычислены в некоторой точке
(*о ®Алг, j/0	9Ду).
Введем	в	рассмотрение значения этих производных	в	самой	испы¬
туемой точке:
an =/£» (*о, Уо)> ам=Гху(Хо, у9),	а22=/>(^о,	У	о)	(3)
и положим
fx2 (*о ®Алг, j/0 -f- 0Ду) = аи -)~ ап,
fxy (...) = а12 + а12» /Ja (...) = #22 +
так что, ввиду непрерывности вторых производных,
все а->0 при Длг->0,	Ду-*0.	(4)
Разность Д напишется в виде:
Д = 1 \ап Длг* -J"	Ал: Ду 4” а*& Ау9 -|“ аа Дл:3 -f- 2а1а Длг Ду -f - «22 Ay3}.

272 гл. п. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [152
Как мы установим, поведение разности А существенно зависит от
знака выражения ацЯ22— af2.
Для облегчения рассуждений положим теперь Ах = р cos <р, Ау =
= р sin ср, где р = |/Ал:2 -)- Ау2 есть расстояние между точками (лг0, Уо)
и (х> У)• Тогда, окончательно,
р2
А = —• { ап cos2 <р -}-•2ап cos 9 sin <р -j- а22 sin2q> -f-
+ аи cos2<p -j- ^а12 cos <p sin cp -f- a22 sin2 сp}.
1°. Пусть, сначала, alta22 — aj2^>0.
В этом случае aua22^>0, так что ап ф 0, и первый трехчлен
в скобках {...} может быть представлен так:
~ [(<*11 COS 9 -f аи sin ?)* (auaM — a*2) sin*cp].	(5)
“11
Отсюда ясно, что выражение в скобках [...] всегда положительно,
так что упомянутый трехчлен при всех значениях ср,
не обращаясь в нуль, сохраняет знак коэффициента
ап. Его абсолютная величина, как непрерывная в промежутке [0,2гс]
функция от <р, имеет (очевидно, положительное) наименьшее
значение т\
| ап cos2 <р -}- 2a12 cos cp sin <р -f- a22 sin2 <р | ^ т > 0.
С другой стороны, если обратиться ко второму трехчлену в скоб¬
ках {...}, то, ввиду (4),
I	аи cos2 <р -{- 2а12 cos cp sin cp a22 sin2 ср | С | аи | -}- 2 | а121 + | а221 т
сразу для всех <р, если только р (а с ним и Ах> Ay) достаточно
мало. Но тогда всё выражение в скобках {...}, а значит и раз¬
ность А, будет сохранять тот же знак, что и первый из трехчле¬
нов, т. е. знак ап.
Итак, если Дц]>0, то и А)>0, т. е. функция в рассматриваемой
точке (лг0, уо) имеет минимум, а при яи<^0 будет и А<0, т. е.
налицо максимум.
2°. Предположим теперь, что aua22 — aj2<^0.
Остановимся на случае, когда ап Ф 0; тогда можно и здесь
использовать преобразование (5). При ср = ср1 = 0 выражение в скоб¬
ках [...] будет положительным, ибо сведется к aft. Наоборот,
если определить <р = ср2 из условия
ап cos <р2 + a12 sin <р2 = 0 (sin <р2 ф 0),
то это выражение сведется к (апа^ — a12)2 sin2<p2 и будет отри¬
цательным. При достаточно малом р второй трехчлен в скоб-

1521	* з. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ	273
ках	как	при	<p	= <pi, так и при <р = <р2, будет сколь угодно
мал, и знак А определится знаком первого трехчлена. Таким
образом, в любой близости от рассматриваемой точки (дг0, Уо) на
лучах, определяемых углами <р = <р* и <р = ср2, разность А будет
иметь значения противоположных знаков. Следовательно, в этой
точке экстремума быть не может.
Если ап = 0, и первый трехчлен в скобках {...} сведется к
2а12 cos ср sin ср —|— д22 sin2cp = sin ср • (2а12 cos <р + <*22 sin ср),
то, пользуясь тем, что наверное ап Ф 0, можно определить угол
9! ф 0 так, что
|e«|| sin <pt 1 <2111 cos <pt |.
Тогда при cp = cp1 и <p = <p2 =— сpt упомянутый трехчлен будет
иметь противоположные знаки, и рассуждение завершается, как и
выше.
Итак, если апя22 ^>0у то в испытуемой стационар¬
ной точке (х01 уо) функция f(xf у) имеет экстремум, именно,
макси му м при ап 0 и мини му м при ап 0. Если же
аиаш —	м°	экстремума	нет.
В случае же anai2 — fl?2 = 0 для решения вопроса приходится
привлекать высшие производные; этот «сомнительный» случай мы
оставим в стороне.
Замечание. Эйлер первым отметил необходимость условий
f'x (х0> У а) = °- f'y (•*’0* У<) = 0
для того, чтобы функция f(xy у) в точке (Дг0, у0) имела экстремум. Однако
он ошибался, думая, что достаточным условием является наличие для
функции однотипного экстремума по каждой переменной в отдельности (что
будет иметь место, например, если производные /"2 и /*2 — одного знака).
Лагранж понял ошибку Эйлера и в качестве достаточного условия установил
неравенство
Он же указал, что обратное неравенство обусловливает отсутствие экстре¬
мума, но обосновал это неполностью.
Примеры. 1) Исследуем на максимум и минимум функцию
^>о' «>°>-
Вычислим частные производные:
Отсюда сразу видим, что единственной стационарной точкой является
начало координат (0, 0).

274 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (153
Вычислив ди, а19 и б28, получим
011 = — Ч а12 = О, Л22 = ~;
г	Ч
отсюда л,,в8в — л|8>0. Следовательно, в точке (0,0) функция г имеет
минимум: впрочем, это ясно и непосредственно.
Геометрическим образом нашей функции будет эллиптический
параболоид с вершиной в начальной точке (ср. чёрт. 55 на стр. 220).
отсюда апам — ef2<0. Следовательно, экстремума нет.
Геометрически мы здесь имеем дело с гиперболическим пара¬
болоидом, вершина которого — в начале координат.
в обоих случаях стационарной является точка (0, 0) и в ней апааз — а\2 = 0.
Наш критерий не дает ответа; при этом в первом случае, как непо¬
средственно видно, налицо минимум, а во втором — экстремума нет.
153.	Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры.
Пусть функция и =/ (хи хъ ..., хт) определена и непрерывна
в некоторой ограниченной замкнутой области JS и имеет
в этой области конечные частные производные. По теореме Вейер¬
штрасса [п°136], в этой области найдется точка (х\,	...,	х°т),
в которой функция получает наибольшее (наименьшее) из
всех значений. Если точка (х\9 х\> ..., х*т) лежит внутри области
2), то в ней функция, очевидно, имеет максимум (минимум),
так что в этом случае интересующая нас точка наверное содержится
среди «подозрительных» по экстремуму стационарных точек. Однако
своего наибольшего (наименьшего) значения функция и может дости¬
гать и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти наи¬
большее (наименьшее) значение функции u—f(xb..t) хт) в об¬
ласти 2), нужно найти все внутренние стационарные точки,
«подозрительные» по экстремуму, вычислить значения функции
в них и сравнить со значениями функции в пограничных точках
области: наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет
наибольшим (наименьшим) значением функции во всей обмети.
Поясним сказанное примерами.
1)	Пусть требуется найти наибольшее значение функции
и = sin х+ siny — sin (х -\-у)
имеем
И здесь видим, что стационарной точкой является (0, 0).
Вычисляем
С11 = “,	^12 = 0, 0223)
z~y*-\-x* или z=y*-\-x8;

153]
9 3. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
275
в треугольнике, ограниченном осью х, осью у и прямою х-\-у = 2%
(рис. 6*0). Имеем
a^ = cos cos (лг +у),	и'у ==cosу —cos (х +у).
Внутри области производные обращаются в нуль в единственной точке
12%	2я\	3	У"3	_
1-3,	"з)» в которой н =^—. Так как на границе области, т. е. на
прямых л;=0, ^ = 0 и х -\-у = 2п наша функция
равна нулю, то, очевидно, найденная выше точка
(iF’ т) И доставляет Функции наибольшее зна¬
чение.
2)	Найти наибольшее значение для произведения
и = xyzt
неотрицательных чисел лг, у, z, t при условии, что
сумма их сохраняет постоянную величину:
.к-Ь-У+ 2 + * = 4с*
Покажем, что наибольшее для и значение полу¬
чится, когда множители все равны: х ~у = z = t =с*).
Определив t из данного условия: * = 4с— х—у — г, подставим в и это
выражение:
и = хуг (4с — х —у — г).
Мы имеем здесь функцию от трех независимых переменных лг, у, г
в трехмерной области, определяемой условиями
*^0, у^=0, z 0, х -\-у z ^ 4с.
Геометрически эта область представляется в виде тетраэдра, ограничен¬
ного плоскостями * = 0,3; = 0, 2 = 0, х у z = 4с.
Вычисляем производные и приравниваем их нулю:
^ = уг (4с —2х — у — z) — 0,	^ = zx (4с — х — 2y — z) = 0Г
ду
да
—	ХУ (4с — х —у — 2z) = 0.
Внутри области уравнения эти удовлетворяются лишь в точке х=у=*
= z = с, в которой и = с4. Так как на границе области и = 0, то в найден¬
ной точке действительно достигается для функции наибольшее значение.
Утверждение наше доказано, ибо при х =у = z = c также и г = с**).
*) Мы лишь для определенности взяли число сомножителей равным
четырем; результат будет тот же для любого числа сомножителей.
**) Из сказанного следует, что произведение положительных чисел xyzt,
сумма которых равна 4с, не превосходит с4, так что
y*Pi^-^±l+l±L,
т. е. среднее геометрическое не превосходит среднего
арифметического. Это справедливо для любого количества чисел.

276 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [154
Замечание. В приведенных примерах внутри рассматриваемой
области существовала одна лишь стационарная точка. Можно было бы удо¬
стовериться, что в ней налицо максимум. Однако, в отличие от того, что
было отмечено для случая функции одной переменной (см. замечание в п°118),
здесь из этого одного нельзя было бы сделать заключение, что мы имеем
дело с наибольшим значением функции в области.
Следующий простой пример показывает, что подобное заключение в дей¬
ствительности может привести к неверному результату. Рассмотрим в пря¬
моугольнике [—5, 5; —1, 1] функцию
и = х3 — 4х2 4“ 2ху — у2.
Ее производные
и'х = Зл:2 — 8* + 2у$	Uy = 2x — 2у
в пределах области обращаются в нуль лишь в точке (0, 0). Как легко убе¬
диться с помощью признака п°152, в ней функция имеет максимум
(равный нулю). Однако значение это не будет наи¬
большим в области, ибо, например, в точке (5, 0)
значение функции равно 25.
Вследствие этого, в случае функции нескольких
переменных (при разыскании наибольшего или наи¬
меньшего значения функции в области) исследова¬
ние на максимум и минимум оказывается практи¬
чески ненужным.
154. Задачи, Многие задачи — как из области
математики, так и из других областей науки и тех¬
ники— приводят к вопросу о нахождении наиболь¬
шего или наименьшего значения некоторой функции.
Решение задач 1) и 2) связано с уже рассмо¬
тренными в предыдущем номере примерами.
1)	Среди всех вписанных в данный круг радиуса R треугольников найти
тот, площадь которого наибольшая (рис. 61).
Если через х, у, z обозначить центральные углы, опирающиеся на сто¬
роны треугольника, то они связаны зависимостью х + у + г = 2я, откуда
z = 2n— х—у. Площадь треугольника Р выражается через них так:
Р = R* • sin х + ~ Я2 • sin у + i R* • sin z =
= Y /?2 • [sin Ar + sin^ — sin (*+37)].
Область изменения переменных х и у здесь определяется условиями лг^О,
yZ>0, х-{-у^2п. Нужно найти те значения переменных, которые сообщают
выражению в скобках наибольшую величину.
Мы уже знаем [ne153, 1)], что это будут * = = —, так что и
2тг
z = -у: получается равносторонний треугольник.
2)	Среди всех треугольников данного периметра 2р найти тот, площадь
которого Р наибольшая.
Пусть х, у, z означают стороны треугольника; тогда по известной
формуле
р= Vp(p — x)(p—y)(p — z).
Можно было бы, подставив сюда г —2р — х—у, преобразовать Р к виду
Р— VP ip — X) (Р—У) i?p — X —у)

1541
§ 3. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
277
и искать наибольшее значение этой функции в треугольной области, о ко¬
торой уже была речь в п° 124, 5).
Мы поступим иначе: задача сводится к нахождению наибольшего значе¬
ния для произведения положительных чисел
и = (р—х)(р—у) (р — z)
—	при условии, что их сумма постоянна:
(р — х) + (/> — у) + (р — г) = Зр — 2р = р.
А мы уже знаем [п° 153, 2)], что для этого все множители должны быть
2р
равны, так что x—y = z = -~: снова получается равносторонний
о
треугольник.
3)	Рассмотрим электрическую питательную сеть с парал¬
лельным включением. На рис. 62 представлена схема сети, причем А и В —
* XL
да-
ВЪг
а
Рис. 62.
Рп — приемники тока, потребляющие,
соответственно, токи ilt i2,	, in. Требуется, при наперед заданном
допустимом общем падении потенциала в цепи 2е, опре¬
делить сечения проводов так, чтобы на всю магистраль пошло наименьшее
количество меди.
Очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением одного из проводов,
скажем ААЮ так как другой провод находится в совершенно аналогичных
условиях. Обозначим через /£, /2, 1п длины частей AAit АХА2}..., Ап_1Ап
(в метрах), через qi9 q2i	qn — площади их поперечных сечений (в кв.
миллиметрах). Тогда выражение
tt = ^i7i4"^a+ ... -\~lnQn
как раз и представит объем всей затраченной меди (в куб. сантиметрах); для
него нам нужно добиться наименьшей величины, принимая во внима¬
ние, что общее падение потенциала в проводе ААп д о л-
жно равняться е.
Легко подсчитать, какие токи Jl9 J2t ..., Jn будут протекать в отрезках
AAlt AtA2t ..., Ап^Ап цепи:
Л = h + *2 + ••• + Л = «2 + ... +	...	»	=
Если обозначить через р сопротивление медной проволоки длиной в 1 м и
с сечением в 1 мм% то сопротивления этих отрезков будут
г _ Pli г — Р/а	г — Р/л
1 —	»	2—	’ • • •» гл—п »
Я\	Я*	Яп
так что соответствующие падения потенциала в этих отрезках, согласно за¬
кону Ома, выразятся так:
п  г /   рЛЛ р  r j  Рр  r т  РIfiJn
*1 — гл-	I	——, ..., <?Л_гл/л- —.

278 ГЛ. IX. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (154
Чтобы избежать сложных выкладок, мы, вместо переменных ql9
введем именно эти величины ev е2, еш связанные простым условием
et + e2+ ••• +*« = *• откуда еп = е — ех— е%— ... —en_v Тогда, в свою
очередь,
	P^i-Л л _ Р^Л	_	_рlnJn _	РInJn
Ч\— р »	Ча—	» Чп — 0	r	г	-
*2	&П	*	^1	^2	•••	^П~\
И
Г1_ПР?Л , !У2 .	. lin-\Jn-l .	lnJn	1
Ч~+“^г+ - +-^Т"+	J’
причем область изменения независимых переменных ?а| еп_х
определяется неравенствами
> О, е% > 0,	|	>	0,	^	-j-	"Ь	~Ь	^п-i ^
Приравнивая нулю производные и по всем переменным, получим систему
уравнений
/?Л ,	lnJn	ft
\В 	и»
е\	(е — е,— ...
2	J
п п —о,
ал ,	1У,
«I (е — е1— ... — e„.,)s
«-Л-1 , V»
(« —«1 — ••• — «Л-i)3	°*
Я-»1
откуда (снова вводя i„)
/?Л	/§л
л2	л2	*•*	л2 •
Удобно обозначить общую величину всех этих отношений через ~ (X > 0).
Тогда	*
£i = X/j £а = Х/а VJi, • •• ,	= Х/д
причем X легко определяется из условия *!+*«+ ... + *Л^=«
Х=	—	-J-	—
h V7. + /, VJ* + - + inVJn
Наконец, возвращаясь к нашим основным переменным qit q2t qnt
находим
—	VJv	^3==X	•••	»	?я = у
так что наивыгоднейшие сечения проводов оказываются пропорциональными
корням квадратным из соответствующих сил тока.
Замечание. Так как в данном случае область изменения переменных
*1э *а, ...» en-i — открытая, то непосредственно вторая теорема Вейер-
штрасса [п° 136] неприложима. Учтем, однако, что граница области опреде¬
ляется соотношениями
ех 5* 0, *2^0,..., еп_х ^0,	^	+	е8+...+еяч^ е,
где хоть в одном случае имеет место равенство. Тогда, при приближе¬
нии точки (ех, е2,	к	границе,	величина а растет до бесконечности.
Отсюда уже можно заключить, что найденные значения еи е2,	еп„х дей¬
ствительно доставляют функции и наименьшее значение.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ПРОСТЕЙШИЕ
ПРИЕМЫ ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
155.	Понятие первообразной функции (и неопределенного инте¬
грала). Во многих вопросах науки и техники приходится восстана-
вливать функцию по известной ее производной.
В п°78, предполагая известным уравнение движения s=f(t),
т. е. закон изменения пути с течением времени, мы путем диффе-
ds
ренцирования нашли сначала скорость v = — , а затем и уско¬
рение а = ~. На деле, однако, часто приходится решать обратную
задачу: ускорение а задано в функции от времени t\
a = a(f), требуется определить скорость v и прой¬
денный путь s в зависимости от t Таким образом, здесь
оказывается нужным по функции a = a(t) восстановить ту функ¬
цию v = v(t), для которой а является производной, а затем, зная
функцию vy найти ту функцию s = s(t)y для которой производной
будет v.
Аналогично, зная массу т = т(х), непрерывно распределенную
вдоль прямолинейного отрезка [0, лг] оси х, в п°78 дифференциро¬
ванием мы нашли «линейную» плотность р = р(лг). Но естественно
возникает вопрос, как по заданному закону изменения
плотности р = р(лг) найти величину самой распреде¬
ленной массы, т. е. опять-таки по известной функции р(лг) найти
ту функцию т = т(х)у для которой р служит производной.
Функция F(лг) в данном промежутке SC называется перво-
образной фу нкцией*) для функции f(x) или интегралом
от /(лг), если во всем этом промежутке /(лг) является производной
*) И термин «первообразная» (или «примитивная») функция принадлежит
Лагранжу. (См. сноску на стр. 144.)

280 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) |155
для функции F(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x)
дифференциалом:
Fr (лг)=/ (х) или dF (х) = / (л:) dx *).
Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое
интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчи¬
сления; как видим, эта задача является обратной основной задаче
дифференциального исчисления.
Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном, замкну-
том или нет) промежутке 37 функция F (х) есть первообразная
для функции / (х\ то и функция F (х) -}- С, где С — любая постоян¬
ная, также будет первообразной. Обратно, каждая функция,
первообразная для f(x) в промежутке 37, может быть предста¬
влена в этой форме.
Доказательство. То обстоятельство, что, наряду с F(jc),
и F(je)-f-C является первообразной для f(x), вполне очевидно, ибо
[F(x) + C]' = F'(x)=f(x).
Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для /(лг) функ¬
ция, так что в промежутке 37
Ф '(x)=f(x).
Так как функции F(x) и Ф(лг) в рассматриваемом промежутке имеют
одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [п°110,
следствие]:
что и требовалось доказать.
Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции/(лг)
только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все перво¬
образные, так как они отличаются друг от друга только постоянными
слагаемыми.
В силу этого, выражение F (х) -f- С, где С — произвольная постоян¬
ная, представляет собой общий вид функции, которая имеет
производную f(x) или дифференциал f(x)dx. Это выражение назы¬
вается неопределенным интегралом f(x) и обозначается
символом
\f(x)dx,
в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная.
Произведение f(x)dx называется подынтегральным выраже¬
нием, а функция f(x) — подынтегральной функцией.
*) В этом случае говорят также, что функция F (х) является перво¬
образной (или интегралом) для дифференциального выражения / (дг) dx.

155J	$	1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	281
Пример. Пусть f(x) = х3; тогда, как нетрудно видеть, неопределенный
интеграл этой функции будет
^ </лг = у+ с.
Это легко проверить обратным действием—дифференцированием.
Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла» ^
пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не
производную (в нашем примере: хЫх> а не л;2). Такой спо¬
соб записи, как будет выяснено ниже [п° 176], создался исторически;
к тому же он представляет ряд преимуществ, и его сохранение вполне
целесообразно.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно выте¬
кают следующие свойства:
1.	d^f(x)dx=f(x)dx9
т. е. знаки d и когда первый помещен перед вторым, взаимно
сокращаются.
2. Так как F (х) есть первообразная функция для Ff (дг), то имеем
\F'(x)dx = F(x)+C,
что может быть переписано так:
Отсюда видим, что знаки d и ^, стоящие перед F (x)t сокращаются
и тогда, когда d стоит после но только к F(x) нужно приба¬
вить произвольную постоянную.
Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили
вначале, мы можем теперь написать, что
v = ^a(t)dt и 5 = J г> (f) dt.
Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноуско¬
ренным движением, например, под действием силы тяжести; тогда
a = g (если направление вертикали вниз считать положительным)
и — как нетрудно сообразить —
v = \gdt=gt-\- С.
Мы получили выражение для скорости v, в которое, кроме вре¬
мени t, входит еще и произвольная постоянная С. При различных

282 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) (158
значениях С мы будем получать и различные значения для скорости
в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас
данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить
вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину ско¬
рости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть нам
известно, что в момент t — t0 скорость v = v9; подставим эти зна¬
чения в полученное выражение для скорости
Щ = gtо + С, откуда С= v0 — gtо,
и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид:
v=g(t-t0)-\-vо.
Найдем, далее, выражение для пути 5. Имеем
s=^[g(t-U) + г»0] dt=-Lg(t- + va(t-19) + С
(дифференцированием легко проверить, что первообразная функция
может быть взята в такой форме). Неизвестную нам новую постоян¬
ную С' можно установить, если, например, дано, что путь s = s$
в момент t = t^ найдя, что С' = % перепишем решение в оконча¬
тельном виде
S = J g (t — t0f -f- v0 (t —1„) -f s«.
Значения t0, s0, v0 условно называются начальными значе¬
ниями величин t, s и v.
Точно так же можно написать:
т = ^ р (jc) dx.
И здесь при интегрировании появится постоянная С, которая на этот
раз легко определяется из того условия, что при х = 0 и масса т
должна обратиться в нуль.
156.	Интеграл и задача об
определении площади. Так как
исторически понятие первообраз¬
ной функции было теснейшим об¬
разом связано с задачей об опре¬
делении площади, то мы остано¬
вимся на этой задаче уже здесь
(пользуясь интуитивным представ¬
лением о площади плоской фигуры
и откладывая точную постановку
этого вопроса до главы XII).
Пусть дана в промежутке [а, Ъ) непрерывная функция y=f{xг),
принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рас¬
смотрим фигуру ABCD (рис. 63), ограниченную кривой y=f(x)9

156]
ft 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
283
двумя ординатами х — аих — Ьи отрезком оси х; подобную фигуру
будем называть криволинейной трапецией. Желая определить
величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади
переменной фигуры AKLD, заключенной между начальной ординатой
х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в проме¬
жутке [а, Ь] значению х. При изменении х эта последняя площадь
будет соответственно изменяться, причем каждому х отвечает вполне
определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапе¬
ции AKLD является некоторой функцией от х\ обозначим ее через Р(х).
Поставим себе сначала задачей найти производную этой
функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положи¬
тельное) приращение Длг, тогда площадь Р(х) получит прираще¬
ние А Р.
Обозначим через т и Му соответственно, наименьшее и наиболь¬
шее значения функции f(x) в промежутке [.х, х -f- Ал:] [п° 73] и сравним
площадь АР с площадями прямоугольников, построенных на основа¬
нии Ал: и имеющих высоты т и М. Очевидно,
т Алг < АЯ М Ал;,
откуда
»<и<м.
Если Ал; 0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться
к /(х), а тогда и
Р'(х) = lim ^=/(г).
Ах-+ОйХ
Таким образом, мы приходим к замечательной теореме, обычно
называемой теоремой Ньютона и Лейбница*): производная
от переменной площади Р (лг) по конечной абсциссе равна конечной
ординате y=f(x).
Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой
первообразную функцию для данной функции y=f(x).
В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому
признаку, что она обращается в нуль при х — а. Поэтому, если
известна какая-либо первообразная F(x) для функции f(x), и
по теореме предыдущего номера
P(x) = F(x)+Q
то постоянную С легко определить, положив здесь х = а:
0	= F(a)-{-C, так что С= — F(a).
Окончательно
		P(x)	= F(x)-F(a).
*) В действительности это предложение —хотя и в другой форме—
опубликовал еще Исаак Барроу (1630—1677), учитель Ньютона.

284 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) f!57
В частности, для получения площади Р всей криволинейной тра¬
пеции ABCD нужно взять х =Ь:
P=F(b) — F(a).
В виде примера найдем площадь Р (лг) фигуры, ограниченной пара¬
болой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х
(рис. 64); так как в начале координат парабола касается оси х, то началь¬
ное значение х здесь равно нулю. Для
функции f(x) = ax2 легко найти перво-
ах^
образную: F (х) = -g-. Эта функция как
раз и обращается в нуль при * = 0,
так что
Pix)=F(x)=a4=%
[ср. п° 43,3)].
Ввиду той связи, которая суще¬
ствует между вычислением интегралов
и нахождением площадей плоских фи¬
гур, т. е. квадратурой их, стало
обычным и самое вычисление интегра¬
лов называть квадратурой.
Для распространения всего сказан¬
ного выше на случай функции, прини¬
мающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать о т-
рицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х.
Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке
[а, Ъ] функция f(x), читатель всегда может представить себе перво¬
образную для нее функцию в виде переменной площади, ограничен¬
ной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую
иллюстрацию доказательством существования первообразной, ра¬
зумеется, нельзя, поскольку самое понятие плсщади еще не обо¬
сновано.
В следующей главе [п° 183] мы сможем дать строгое и притом
чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая
непрерывная в данном промежутке функция f(x) имеет в нем
первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас.
В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь
для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет
точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее
непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше утвер¬
ждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать
существование интегралов: рассматриваемые нами интег¬
ралы все существуют.
157.	Таблица основных интегралов. Каждая формула дифферен¬
циального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функции

157]	§	1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	285
F(x) производной будет f(x), непосредственно приводит к соответ¬
ствующей формуле интегрального исчисления
$/(.*0 dx = F(х) -f- С.
Перебрав формулы п°81, по которым вычислялись производные эле¬
ментарных функций, мы можем теперь составить следующую таб¬
лицу интегралов:
1.	$0 <to = c
2.	^ 1 - efjc= ^ rfJC = JC -)- С
3.	dx—~ру + С
(|* 9* — 1)
*• $ТТ7,1е=$т£>=1*гс'**+с
6.	{ ~-J=-dx= f —J*^ = arcsin*4-C
J Уl — x3	J	V\— x3	1
7.	^<fdx = ~+C, ^exdx = e*-\-C
8.	^sinjcrfjf= — cosд;-)-С
9> $ cos .*<?.*:= sin.*:-)-С
По поводу формулы 4 сделаем пояснение. Она приложима в любом
промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если этот проме¬
жуток лежит вправо от нуля, так что лг^>0, то из известной фор¬
мулы дифференцирования [ln*f=— непосредственно следует

286 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) |158
Если же промежуток лежит влево от нуля и х<^0, то дифферен¬
цированием легко убедиться в том, что [1п( — аг)]' = — „ откуда
J § = .„(-*) + С
Обе эти формулы и объединены в формуле 4.
Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при
помощи правил интегрирования.
168. Простейшие правила интегрирования. 1. Если а — посто¬
янная {а Ф 0), то
^a*f(x)dx = a • $/(•*) dx.
Действительно, дифференцируя выражение справа, мы получим [n°91,1]
d |а• $/(лг)dx\ = a*d [$/(*)dx\ = а• /(лг)dxy
так что это выражение является первообразной для дифференциаль¬
ного выражения a>f(x)dx, что и требовалось доказать.
Итак, постоянный множитель можно выносить из-под знака
интеграла.
II.	\ [/ (дг) ± g (л:)] dx—\f (х) dx ± § g (x) dx.
Дифференцируем выражение справа [п° 91, II]:
</[^/(х) dx±	=	dx±d § g(x)dx—
= [f(x)±g(x)]dx-,
таким образом, это выражение является первообразной функцией для
последнего дифференциального выражения, что и требовалось доказать.
Неопределенный интеграл от суммы (разности) дифферент
циалов равен сумме (разности) интегралов от каждого диффе¬
ренциала в отдельности.
Замечание. По поводу этих двух формул заметим следующее.
В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый про¬
извольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа понимаются
в том смысле, что разность между правой и левой частью его есть
постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но тогда
один из фигурирующих в них интегралов перестает быть произволь¬
ной первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора
постоянных в других интегралах. Это важное замечание следует
иметь в виду и впредь.
III.	Если
$/(0<ft = F(f)+C,
то
^ f {fix -f” Ь) dx = — • F (их -j- b) -J- Cf •

(59)
* 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
287
Действительно, данное соотношение равносильно следующему
функции f(ax-\-b).
Особенно часто встречаются случаи, когда а= 1 или Ь = 0:
^ f(x-\-b)dx=F(x-\-b)-\- Cj,	J / (ах) dx — ^F (ах) -f Са.
(На деле правило III есть очень частный случай правила замены
переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ниже,
в п° 160.)
159. Примеры. 1) ^ (блг® — Зл: + 5) dx.
Пользуясь правилами II и I (и формулами 3, 2), имеем:
^ (6*2 — 3* + 5) cfjc = ^ 6х2 dx — ^ Зх dx ^ 5 dx=
= 6 ^х2 dx — 3 ^х dx -\-5^dx =
= 2a:j —-|л:* + 5х + С.
Легко проинтегрировать многочлен и в общем виде.
±F(t) = F'(t)^f(t).
Но тогда
■~F(ax-}-b) = F' (ax-\-b)-a = a*f(ax-\-b),
так что
2)	$(1 +Ух)^х = \(1+4 Ух +бл: + 4л: /л: +x*)dx =
1	з
= ^^а:	4^л: 2 б/лг-f-6 ^ лг£/лг -f-4^ дг 2 dx -\-^х* dx =

288 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) J159
Дадим ряд примеров на применение правила ill:
4> <а>	J -з^- = 1п|лг-а| + С>	(III;	4)
(*>1)
-=TFI<*—Г^ + с— <t_i)(^_^FT+c. №3)
5)	(а)	J sin mxdx=— ~ cos тх -j- С,	(III;	8)
(тф 0)
(б)	J cos тх dx = ~ sin тх + С.	(III;	9)
(тфО)
6) (a) f	=—	С —г	= arc sin — + C, (Ш; 6)
J Уa3 — x* « J	a
(a > 0)
<6> f гтг-4' J^у=т“с,е7+с-	<"'•»
Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облегчается
разложением ее на сумму дробей с более простыми знаменателями. На¬
при Мер,
_1_=	!	 * (_!	L_V
х2 —а2	(х — а) (х +а) 2а \х —а	х + а )'
поэтому
74 С dx — * ГГ dx f ^	*	i	I*—а
} J х2—а*~~2а[) х — а J х + а2а \х + а
+ С.
Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элемен¬
тарных преобразований, интегрируются также при помощи простейших
приемов.
Очевидно, например,
0	l + cos2mAr . _	1—cos 2m*
cos2 тх = — 	^	> 8Ш =g	9
откуда
С	11
8) (a)	1	cos2	mx	dx	=	-к-	x	+	sin 2тх + C,
J	(тфО)
С	1	1
(б) \ sin2 mx dx = -g- x — ^ sin 2тх + C.

160]	§	1.	ПРОСТЕЙШИЕ	ПРИЕМЫ	ВЫЧИСЛЕНИЯ	289
160. Интегрирование путем замены переменной. Изложим один
из сильнейших приемов для интегрирования функций — метод замены
переменной, или подстановки. В основе его лежит следующее
простое замечание:
если известно, что
dt=0(0+с,
то тогда
\ £(<° С*)) «>' С*) dx = Q(u) (х)) -f- С.
[Все фигурирующие здесь функции g(t), о)(лг), «>'(•*) предпола¬
гаются непрерывными.]
Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной
функции [п°84]
О	(» {*)) = О' (»(х)) • «/ (х) = g(<o (х)) ■(х),
если учесть, что (У (t) = g(t). То же можно выразить и иначе, ска¬
зав, что соотношение
dQ(t) = g(t)dt
сохраняет силу и при замене независимой переменной t на функцию
a) (jc) [п° 92].
Пусть требуется вычислить интеграл
$/(*)«*.*;.
Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать
такую функцию от х: t = u>(x), чтобы подынтегральное выражение
представилось в виде
f(x) dx — g(о) (*)) • а/ (х) dx9	(1)
где	g(t) — более	удобная для интегрирования	функция,	чем	/(х).
Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл
$*(<) dt = 0(0+ С,
чтобы из него подстановкой ^ = о)(лг) получить искомый интеграл.
Обыкновенно пишут просто
\f{x)dx = \g{f)dt,	(2)
подразумевая уже, что в функции от t, которая представлена инте¬
гралом справа, произведена указанная замена.
Найдем, например, интеграл
$ sin3 л: cos xdx.
Так	как	d	sin х = cos х dxг, то, полагая t = sin	х>	преобразуем
подынтегральное выражение к виду
sin3Ar cos xdx= sin3 jcrf sin x = t*dt.
10 Г. М. Фихтенгольц, т. I

290 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [160
Интеграл от последнего выражения вычисляется легко
J	с
Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя sin х вместо t:
^ sin3 х cos х dx =	Q
Обращаем внимание на то, что при выборе подстановки t = <о(х),
упрощающей подынтегральное выражение, нужно помнить, что в его
составе должен найтись множитель (v'(x)dx, дающий дифференциал
новой переменной dt [см. (1)]. В предыдущем примере удача под¬
становки t = sin х обусловливались наличием множителя cos xdx — dt
В этой связи поучителен пример
^ sin8 х dx;
здесь подстановка t = sin х была бы непригодна именно ввиду отсутствия
упомянутого множителя. Если попробовать выделить из подынтегрального
выражения, в качестве дифференциала новой переменной, множитель sin х dx
или лучше — sin х dx, то это приведет к подстановке t=cos;c; так как
остающееся выражение
—	sin8 х = cos2 х — 1
этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем
^ sin8 х dx= ^ (t2 — 1 )dt = Y— * + £= —g——cos x -f- C.
Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от указан¬
ной. Именно, в подынтегральное выражение f(x)dx непосредственно
подставляют, вместо х, функцию х = <р(0 от новой переменной t
и получают в результате выражение
f(9(t))<?'(t)dt = g(t)dt.
Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку * = ц>(х)>
где (о (л:) — функция, обратная для ср(£), то вернемся к исходному
подынтегральному выражению f(x)dx. Поэтому, как и прежде, имеет
место равенство (2), где справа, после вычисления интеграла, сле¬
дует положить t = o) (лг).
Для примера найдем интеграл
^ У а2—х2 dx*

1611	S	1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	29t
Разность квадратов иод корнем (из которых первый постоянен) подсказы¬
вает нам тригонометрическую подстановку ;t = <*sin**). Имеем
У а* —х- = а cost, dx = a cost dt
и
^ Ya? — хш dx = a2 J cos21 dt.
Но мы уже знаем интеграл
а2 ^ cos2 tdt — a2 1 -f sin 2t j + С
x
(ne 159, 8)1. Для перехода к x подставляем f = arcsin —; преобразование вто¬
рого слагаемого облегчается тем, что
—	sin 2t = y a sin t • a cos t = x Ya* —x
Окончательно
^ У a* — x2 dx = ~x У a2 — x8 -f ~ arcsin ~ -f C.
Уменье разыскивать выгодные подстановки создается упражнением.
Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдельные частные
замечания, облегчающие это разыскивание, читатель	найдет	в	следующем
номере. В канонических случаях подстановки будут просто указаны	в	курсе.
161.	Примеры. 1) (а) ^ ex*-xdx, (б) ^
а)	Рвшвнив. Полагая t — x2t имеем dt = 2xdx,	так что
^ е*г -xdx = ^ £ etdt = ^e‘ + C = 7j-e*3+C.
б)	Указание. Та же подстановка. О т в е т. -i- arctg х* + С. В обоих
случаях интегралы имели вид
J g (*s)-xdx^-j ^ g (х‘) dx*,
где g — удобная для интегрирования функция; для таких интегралов есте¬
ственна подстановка t = x2.
_Чт“. «S&. « Jsfe.
*) Уместно указать, что х мы считаем изменяющимся между —а и а,
а -между —и у. Поэтому * = arcsin
10*

292 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) 1161
У Казание. Все эти интегралы имеют вид
J g (In X) J g (In x) d la x
и берутся подстановкой t-= Inx.
Ответ, (а) —• In2 x + С; (6) In In x + C\ (в) —+ C.
3)	Интегралы вида
$,<•«.*).«***	J*(cos*).sin*rf*, \ g (tg X) •
берутся соответственно подстановками
t = sin x, t= cos x,	t — tg x.
Например,
(а)	T^ir=>rctg^ + C-arctgsm^+C;
(б)	=
= — In | и | + С =— In | cosjc|4-C.
4)	<a) J ■ (6> J ctgxdx.
Решение, (а) Если положить t = x* + T0 числитель 2xdx дает
в точности dt; интеграл сведется к
J ^ =ln 111 + С=1п (** + 1) + С.
Заметим, что всегда, когда предложенный интеграл имеет вид
ГdfW
J f{x) ах-) f(x) ■
так что в подынтегральном выражении числитель представляет собой диф¬
ференциал знаменателя, подстановка t=f(x) сразу приводит к цели:
j Y" = In | < | -+- С = In | / (лг) | + С.
По этому образцу имеем
(6) ^ ctgxdx = Ц	=	In	|	sin	х	|	+	С	[ср.	3	(б)].
5)	$ W+W'
Подстановка: х = а ■ tg t *), dx =	.	х%	+	<**	=	,	так	что
| (лг* + а*)> = i J cos2 tdt==W>(t+ sin * cos l) + C	[CM-	n°	,59>	8>1-
*) Причем достаточно предположить t изменяющимся между —у и у*

162]	§	1.	ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	293
X
Перейдем теперь к переменной х% полагая £ = arctg — и выражая sin t
х
и cost через tg* = —* Окончательно
С dx	1 х ,1	х - г
J (л:а + я2)2	2а2 х2 -\-а2* 2а* arCtg а +
Положим |^л:2 + а = ^—х и примем * за новую переменную. При воз¬
ведении в квадрат х2 в обеих частях можно опустить, и в результате
t2 —а
X~~~2t~ ’
так что
-./““П—	*	**—а t2-\-a	t2 -\-а ..
Ух +а — t 2t	2t	'	~	212
Окончательно
162.	Интегрирование по частям. Пусть u=f(xг) и v = g(x)
будут две функции от х, имеющие непрерывные производные uf =f(x)
и г>' = £'(лг). Тогда, по правилу дифференцирования произведения,
d (uv) = udv-\-v du9 или udv = d (uv) — v diu Для выражения d (uv)
первообразной, очевидно, будет uv; поэтому имеет место формула
^udv — uv — ^v du.	(3)
Эта формула выражает правило интегрирования по
частям. Оно приводит интегрирование выражения udv = uv’dx
к интегрированию выражения vdu — vu dx.
Пусть, например, требуется найти интеграл ^ х cos х dx. Положим
и = х, dv= cos х dx, так что du — dxy v = sin x *)
и, по формуле (3),
^ x cos x dx = ^ x d sin x = x sin x— ^ sin x dx = x sin x + cos x -f- C. (4)
Таким образом, интегрирование по частям позволило заменить сложную
подынтегральную функцию х cos х на простую sin х. Попутно для получе¬
ния v пришлось проинтегрировать выражение cos х dx—отсюда и название:
интегрирование по частям.
*) Так как для наших целей достаточно представить cos х dx хоть одним
способом в виде dvt то нет надобности писать наиболее общее выражение
для v, содержащее произвольную постоянную. Это замечание следует иметь
в виду и впредь.

294 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) П^З
Применяя формулу (3) к вычислению предложенного интеграла,
приходится разбивать подынтегральное выражение на два множителя:
it и dv = v'dx, из которых первый дифференцируется, а второй
интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Нужно
стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло
трудностей и чтобы замена и т du и dv на v в совокупности
влекла за собой упрощение подынтегрального выражения. Так, в ра¬
зобранном примере было бы явно невыгодно взять, скажем, xdx за dv,
a cos х за м.
При некотором навыке нет надобности вводить обозначения и, v
и можно сразу применять формулу [ср. (4)].
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную
область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы
интегралов, например
^ хм 1пт х dx,	^ xk sin bx dx, ^ xk cos bx dx, ^ xkeax dx и др.,
которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
163.	Примеры. 1) ^ х*\пх dx.
Дифференцирование In л: приводит к упрощению, поэтому полагаем
Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже извесшому
|пв 162, (4)]; подставляя его значение, получим
и
2) (а) ^ In х dx, (б) ^ arctg х dx.
Принимая в обоих случаях dx = dv, получим:
(а) ^ \nxdx = x\nx — ^ х d In х = х In л* — ^ dx = х (In х — 1) + С;
= л: arctg л:— ~ In (лг2 + 1) + С	[п0161, 4 (а)],
3)	^х* sin х dx.
Имеем
^ х2 d (— cos х) =— х2 cos х — ^ (— cos лг) d (х2) =
=—х2 cos лг + 2 ^ х cos х dx.
^ х2 sin х dx = — х* cos x + 2 (x sin x + cos x) -\-C.

163]	§	1.	ПРОСТЕЙШИЕ	ПРИЕМЫ	ВЫЧИСЛЕНИЯ	295
В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось
применить двукратно.
Так же, повторным применением этого правила, вычисляются интегралы
^ Р (х) еах dx, ^ Р (х) sin bx dx, ^ Р (л:) cos bx dx,
где Р(х) — целый относительно х многочлен.
4)	Любопытный пример представляют интегралы
^ еах cos bx dx, ^ еах sin bx dx.
Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв,
скажем, dv = eaxdx, v = ^eax^j, то получим
Je0* cos bx dx = — eP* cos bx 4- — f eax sin bx dx,
a	a	J
eax sin bx dx = -i- ePx sin bx —\ eax cos bx dx.
Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выраженным через
другой *).
Однако если в первую формулу подставить выражение второго инте¬
грала из второй формулы, то придем к уравн ению относительно первого
интеграла, из которого он и определится:
J *•* COS bx dx = b^bx^cosbx_ ^ + Q
Аналогично находим и второй интеграл
,	a sin bx—b cos bx nv ,
\ eax sm bx dx =	гт-и	e + G*
J	a2	-f-	b*	^
5)	В качестве последнего примера применения метода интегрирования
по частям выведем рекуррентную формулу для вычисления инте¬
грала
Применим к нему формулу (3), полагая
1	.	2пх•dx
и = (х» + аТ ’	^ Так 410 du = ~W+^y*r' V = X'
Мы получим
х	С*	х2
Jn = (xi + a*)lt + 2n ) (х* + а8)я+1 dx'
*) Если под интегралами разуметь определенные первообразные
(ср. замечание в п* 158], то, желая во второй формуле иметь те же функ¬
ции, что и в первой, мы, строго говоря, должны были справа присоединить
еще некоторую постоянную. Конечно, она была бы поглощена постоянными С
и С' в окончательных выражениях.

296 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [164
Последний интеграл можно преобразовать следующим образом:
С	.ах_С	(х* + а*)-а*
J (х* + ai)n+L	J	(х* + а2)п+1
_ С ах s С dx ш 9 г
~ J (л:а + в2)" а J (х* + а‘)пы —Jn~a '/я+‘-
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соот¬
ношению
= ^“2 а2^п "Ь	2na*Jn+v
откуда
Г -	1	х	1	2п~1	1	/	/сч
л+1"“ 2яа2 (л:2 + а'2)п 2л а2 я‘	1	}
Полученная формула сводит вычисление интеграла /Л+1 к вычислению
интеграла Jn с меньшим на единицу значком. Зная интеграл
Г	1	t	х
Л = -arctg —
[п° 159, 6) (б); мы берем одно из его значений], по этой формуле, при
л = 1, найдем
•	1	X	,	1	„	X
8 ~ 2es л:2 + оа + 2в» 2 g а
[что мы выше получили другим путем, см. п° 161, 5)]. Полагая в формуле (5)
п = 2, получим далее
_ 1 х |3/_1 х ,3 л:	3	х
J8 “4я2 (х% + л2)2	4а2 Л 4а2 (л:2 + а2)2	8д4	*2	+ а2 + 8л5 arcTg а
и т. д. Таким образом можно вычислить интеграл Jn для любого натураль¬
ного показателя.
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
164.	Постановка задачи интегрирования в конечном виде.
Мы познакомились с элементарными приемами вычисления неопре¬
деленных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути,
по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предо¬
ставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих пара¬
графах мы остановимся подробнее на некоторых важных частных
классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне
определенный порядок вычислений.
Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при инте¬
грировании функций упомянутых классов и по какому принципу
будет произведено самое их выделение.
В п° 25 было охарактеризовано то многообразие функций, к кото¬
рым в первую очередь применяется анализ; это — так называемые

1651
% 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
297
элементарные функции и функции, которые выражаются через эле¬
ментарные с помощью конечного числа арифметических действий и
суперпозиций (без предельного перехода).
В главе V мы видели, что все такие функции дифференцируемы,
и их производные принадлежат к тому же многообразию. Иначе
обстоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что инте¬
грал от функции, принадлежащей упомянутому классу, сам этому
классу не принадлежит, т. е. не выражается через элементарные
функции с помощью конечного числа названных выше опера¬
ций. К числу таких заведомо невыражающихся в конечном
виде интегралов относятся, например,
^ е~ х2 dx,	^ sin х* dx, ^ cos х2 dx,
Jsin лг ,	(*	cos	x i f dx
-Г-dx, \—dx,
другие примеры подобного рода будут приведены ниже [п°п° 169,
172 и сл.]. Важно подчеркнуть, что все эти интегралы реально
существуют*), но они лишь представляют собой совер¬
шенно новые функции и не приводятся к тем функциям,
которые мы назвали элементарными.
Известны сравнительно немногие классы функций, для которых
интегрирование может быть выполнено в конечном виде; этими клас¬
сами мы ближайшим образом и займемся. На первом месте среди
них надлежит поставить важный класс рациональных
функций.
165.	Простые дроби и их интегрирование. Так как из непра¬
вильной рациональной дроби можно исключить целую часть, инте¬
грирование которой не представляет трудностей, то достаточно за¬
няться интегрированием правильных дробей (у которых сте¬
пень числителя ниже степени знаменателя).
Из них мы остановимся здесь на так называемых простых дро¬
бях; это будут дроби следующих четырех типов:
I	А	И	А	ш	Мх + АГ	Mx	+	N
*	х—а* * (х— a)k* ’ х2 -\-рх +	*	(x2	+	px	+	q)m*
(k = 2y 3,...)	(т	=	2,	3,...)
где Ау My Ny at py q — вещественные числа; кроме того, по отно¬
шению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен x*-\-px-\-q
не имеет вещественных корней, так что
ч—^>°-
*) См. сказанное по этому поводу в п*156. Мы вернемся к этому ниже
в п°183.

298 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) (165
ДроСи вида 1 и И мы уже умеем интегрировать [п°159, 4)]:
А ^ = АШ\Х-а\ + С,
Л Г	^х	 	^	!	I С
л J {х — a)k~ k — 1 (*— a)k~1'
Что же касается дробей вида III и IV, то их интегрирование
облегчается следующей подстановкой. Выделим из выражения
x*+px + q полный квадрат двучлена
**+/>*+?=**+2)3+[?—(f)8]=
= (* + f) +[ч —
Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число
положительное, его можно положить равным аа, если взять
«=+]/?—т-
Теперь прибегнем к подстановке
x+£=t, dx = dt,
В случае III будем иметь:
f “* + »4х=[Ш+1К~^Л=
J x*-\-px-\-q J t3 + a‘
_М f 2tdt ,	Мр\ f	dt _
— 2j +	2jj7T+^-	—
= |-]n(^ + as) + l(A/-^)arctg4 + C,
или, возвращаясь к л; я подставляя вместо а его значение:
Для случая IV та же подстановка даст:
С Mx + N d
} (Xs-fpx-f qr ax—J	0» + «»)»	ai —
,(N_Mp\C dt
2 J (**-f ^ Vv 2 j J +	'

166]
§ 2, ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
299
Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой
Р-\-а* — иу 2tdt = du:
С 2tdt 	 С da 		1	1	.	г
J (t» + a2)m~ J ат	tit	—	1	ит~к	"Г	с	—
1 'ft + с	(2)
m—1 (*2 + а2)я
Второй же из интегралов справа, при любом т, может быть вычи¬
слен по рекуррентной формуле п° 163, (5). Затем останется лишь
положить в результате 1 =	,	чтобы вернуться к переменной лг.
Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей.
166.	Интегрирование правильных дробей. Итак, простые
дроби мы интегрировать умеем. Что же касается произвольной
правильной дроби, то ее интегрирование основывается на следующей
важной теореме, которая доказывается в курсе алгебры:
Каждая правильная дробь
Р{х)
Q(x)
может быть представлена в виде суммы конечного числа про¬
стых дробей.
Это разложение правильной дроби на простые дроби теснейшим
образом связано с разложением ее знаменателя на простые множи¬
тели. Как известно, каждый целый многочлен с вещественными коэф¬
фициентами разлагается (и притом единственным образом) на веще¬
ственные же множители типа х — а и х* -f - рх -f- q\ при этом квад¬
ратичные множители предполагаются не имеющими вещественных
корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные
множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются)
и полагая, для простоты, старший коэффициент многочлена Q (лг) рав¬
ным единице, можно записать разложение этого многочлена схемати¬
чески в виде
Q(x) = (x-a)k ... (л* + рХ + дГ.шв9	(3)
где k9 ..., ту ... суть натуральные числа.
Заметим, что если степень полинома Q есть я, то, очевидно,
сумма всех показателей ky сложенная с удвоенной суммой всех
показателей т, в точности даст п:
S^ + 2^w = «.	(4)
В алгебре устанавливается, что каждому множителю вида (х — a)h
в разложении знаменателя правильной дроби отвечает группа
из k простых дробей:
(5>

300 гл. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [166
а каждому множителю вида (х*рхq)m— группа из т простых
дробей:
Mi* ~4~ Nt |	М2х -I- N2 .	| Мтл* 4~ Nm	жлч
X2+pX + g-t {х2+рх + д)2 -lT----t{x2+px + q)m,	W
причем Ay My N здесь — числовые коэффициенты. Таким образом,
зная разложение (3), мы тем самым знаем знаменатели тех про-
р
стых дробей, на которые разлагается данная дробь Остановимся
на вопросе об определении числителей, т. е. коэффициентов А,
М, N. Так как числители группы дробей (5) содержат k коэффи¬
циентов, а числители группы дробей (6) 2т коэффициентов, то,
ввиду (4), всего их будет п.
Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибегают
к методу неопределенных коэффициентов, который со-
р
стоит в следующем. Зная форму разложения дроби пишут его
с буквенными коэффициентами в числителях справа. Общим
знаменателем всех простых дробей, очевидно, будет Q; складывая
их, получим правильную дробь *). Если отбросить теперь слева и
справа знаменатель Q, то придем к равенству двух многочленов
(п—1 )-й степени, тождественному относительно х. Коэффициентами
при различных степенях х многочлена справа будут линейные одно¬
родные многочлены относительно п коэффициентов, обозначенных
буквами; приравнивая их соответствующим численным коэффициентам
полинома Ру получим, наконец, систему п линейных уравнений, из
которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того, что
возможность разложения на простые дроби наперед установлена, упо¬
мянутая система никогда не может оказаться противоречивой.
Больше того, так как упомянутая система уравнений имеет реше¬
ние, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов поли¬
нома Р), то ее определитель необходимо будет отличен от нуля.
Иными словами, система всегда оказывается определенной. Это
простое замечание попутно доказывает и единственность разложения
правильной дроби на простые дроби.
Поясним сказанное примером.
2х* + 2х+ 13
(*_ 2) (*■ + !)»•
2л:2 4- 2л: 4- 13
Пусть дана дробь 		гтт1 U2’» Согласно общей теореме, для нее
имеется разложение
2л-2+ 2* 4-13	А__ , Вх + С+ Dx + E
(лг—2)(л:2+1)2"“ х —2~ л*2 4-1 ^ (лга+1)а’
Коэффициенты Л, В, С, Д Е определим, исходя из тождества
2х* + 2л: 4-13 = Л (л:3 4-1)2 4" (Вх + С) (л:3 + 1) (л: —2) 4-(Dx + E) (х —2).
*) Сумма правильных рациональных дробей всегда представляет собой
правильную же дробь.

167]
$ % ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
301
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, при¬
дем к системе из пяти уравнений
Алгебраический факт, который мы только что установили, имеет
непосредственное применение к интегрированию рациональных дробей.
Как мы видели в предыдущем номере, простые дроби интегрируются
в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой рацио¬
нальной дроби. Если всмотреться в те функции, через которые
выражаются интегралы от целого многочлена и от правильных дро¬
бей, то можно сформулировать более точный результат:
Интеграл от любой рациональной функции выражается в ко¬
нечном виде с помощью рациональной же функции, логарифма и
арктангенса.
Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспо¬
миная выведенные выше формулы [165], имеем:
Замечание. Разложение на простые дроби ведет свое происхождение
от Лейбница. Он легко справляется с линейными множителями в знамена¬
теле, даже отвечающими кратным корням. В случае мнимых корней Лейб¬
ниц сопоставляет каждый такой корень с сопряженным ему и из двух мни¬
мых линейных выражений получает вещественное квадратичное выражение.
Однако это не всегда ему удается: так, разложение
Лейбниц получить не смог (его впоследствии указал Тейлор).
Определение числителей простых дробей по методу неопределенных коэф¬
фициентов принадлежит Иоганну Бернулли.
167.	Метод Остроградского для выделения рациональной части
интеграла. Остроградский *) указал прием, с помощью которого нахожде¬
ние интеграла от правильной рациональной дроби значительно упрощается.
Этот прием позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную
часть интеграла.
*) Академик Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861) —вы¬
дающийся русский математик и механик.
л:4 А + В = 0,
х8 — 2Я +С = 0,
х2 2A + B—2C + D=2,
х1 —2В + С—2D + E =2,
х° А — 2С—2Е=\3,
откуда
Л = 1, В = — 1, С = — 2, £) = — 3, Е = — 4.
Окончательно
2лг2 + 2лг+13 _	1	х	+	2	Злг + 4
(х — 2) (л:2 + I)2 х — 2 х2 + \	(*2+1)8
1	3— 4х
2	х2 + 1
4 arctgA: + C.
х* + а* = (х2 + У 2 ах + а2) (х2 — У 2 ах-(- а2)

s
302 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)	|1б7
Мы видели [п°165], что рациональные члены в составе интеграла полу¬
чаются при интегрировании простых дробей вида II и IV. В первом случае
интеграл можно написать сразу:
(х—а)к<1х~~ к — 1 (х — а)*-‘ +С‘	(7)
Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла
С Mx + N .	(	л	р2	Л
Прибегнув к знакомой уже нам подстановке х + ^ = t, используем ра¬
венства (1), (2) и формулу приведения (5) п° 163 при п = т — 1. Если вер¬
нуться к переменной х, то получим
Мх -\-N		М'х + N* , я f	dx
+рх + я)т	(х*+Рл: + Я)т1 ^ J (хш+рх + д)”*-+ ’
где М', АТ и а означают некоторые постоянные коэффициенты. По этой же
формуле, заменяя т на т—1, для последнего интеграла найдем (если
т > 2)
Г	adx		 АР'дг + ЛГ I я f	dx
J (х2 + рх + q)m‘l (xt+px + q)™-* J (x*+px + q)m~*
и т. д.; пока не сведем показатель трехчлена x2-\-px + q в интеграле справа
к единице. Все последовательно выделяемые рациональные члены суть пра¬
вильные дроби. Объединяя их вместе, получим результат вида
С Mx + N	R{x)	 «if dx
(x2 + px + q)n
^	R(x)	i	i	f dx
(Jp+px + qF-i + )x*+px + q’ (8)
где R(x)—целый полином, степени низшей, чем знаменатель *), а X — по¬
стоянная.
р
Пусть имеем правильную дробь которую будем предполагать несо¬
кратимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые множители [см. (3)].
Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от
дробей вида (5) или (6). Если k (или тп) больше единицы, то интегралы всех
дробей группы (5) [или (6)], кроме первой, преобразуются по формуле (7)
или (8)]. Объединяя все эти результаты, окончательно придем к формуле вида
) Q (х)	<?, (*)+ ) Qг (х)dX-	(9>
Р
Рациональная часть интеграла	получена от сложения выделенных выше
VI
рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правиль¬
ной дробью*), а ее знаменатель имеет разложение
Qi {х) — (x—af~l... (л:2\рх -[ q)n~l...
*) См. сноску на стр. 300.

167]	§	2.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ	РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	303
р
Что же касается дроби 9 оставшейся под знаком интеграла, то она по-
V2
лучилась от сложения дробей вида 1 и III, так что она также правильная
Qs (х) = {х—а)... (Xs + рх + q)...
Очевидно [см. (3)),	=
Формула (9) и называется формулой Остроградского.
Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме
+й'	(10)
Мы видели, что многочлены Qx и Q3 легко находятся, если известно раз¬
ложение (3) многочлена Q. Но они могут быть определены и без этого раз¬
ложения. Действительно, так как производная Q' содержит все простые мно¬
жители, на которые разлагается Q, именно с показателями на единицу мень¬
шими, то является наибольшим общим делителем Q и Q\ так что может
быть определено по этим многочленам, например, по способу последова¬
тельного деления. Если известно, то определится простым деле¬
нием Q на Qv
Обратимся к определению числителей и Р2 в формуле (10). Для этого
также пользуются методом неопределенных коэффициентов.
Обозначим через я, nlt я2, соответственно, степени многочленов Q, Qu
Q2, так что л1 + па = я; тогда степени многочленов Я, Р1% Я2 будут не выше
п — 1, пх — 1, п2 — 1. Подставим в качестве и Я2 многочлены степеней
nt — 1 и я2 — 1 с буквенными коэффициентами; всего этих коэф¬
фициентов будет пх + пъ т. е. п. Выполним в (10) дифференцирование
РiQi	РiQi I Р* Р
Q! +
Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаме¬
нателю 0, сохраняя целым числитель. Именно,
р'П 	р QiQs.
*>;<?!lWt 1 о. -/у*
Ql - OiO, ~ Q
.	QtQ<* rj
если //означает частное ZL^L::. Но это частное можно представить в виде
VI
целого многочлена. Действительно, если (л;—д)*, при Л^>1, входит в со¬
став Qu то (х — a)k~l войдет в 0J, а х — а в состав Q2; такое же заклю¬
чение можно сделать и о множителе вида (л:а -)- рх + q)m при 1. Следо¬
вательно, числитель Н нацело делится на знаменатель, и впредь под Н
можно разуметь целый многочлен (степени я* — 1).
Освобождаясь от общего знаменателя Q, придем к тождеству двух мно¬
гочленов (степени п — 1)
PlQt-Pili + PtQ^P
Отсюда, как и выше, для определения п введенных буквенных коэффициен¬
тов получим систему из п линейных уравнений.
Так как возможность разложения (10) установлена, каково бы ни было Я,
то упомянутая система должна быть совместной при любых свободных
членах. Отсюда само собой вытекает, что определитель ее отличен от нуля,

304 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [1<Й
а значит — система необходимо оказывается определенной, и разложе¬
ние (10)—при указанных знаменателях и Q2—возможно лишь един¬
ственным образом *).
Пример. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла
С 4х* 4* 4л:3 + 16л:2 + \2х + 8 ^
J	^ + № +
Имеем
<?1 = С>3 = (^ + 1)(^ + П = л:3 + ^ + д; + 1,
4х* + 4х* + \6х* + \2х + S [ ax* + bx + c Т dx^ex+f
(х3 + х* + х + I)2	[лг3	+	лг2 + л:Ч-1	+ х* + х+ \ *
откуда
4л:4 + 4л:3 + 16л:8 + 12л: + 8 = (2 ах + b)(x* + x*+x+ 1) —
— (axa + Ьх +с) (Зл;а 2х + 1) + (dx2 + ex + f) С*3 + х* + х + !)•
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях,
получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные я, b
cf = 0 (в последующем уже d в расчет не берем)
—	а + е = 4
—	2b + e+f=4	а = -~ 1,	b= 1,
а — b — Зс —|— е —f =116	с = — 4,	= 0,
2a—2c + e+f=\2	е = 3,	/= 3.
л0 Ь—с -(-/= 8
Итак, искомый интеграл
$4л:4 + 4л3 + 16л:2 + 12л+ 8 .	 х* — х + 4	.
(х + I)2 (л2 + I)2	л3	+ л2 + х + 1 +
+ 3	x» + «*+i+l +3arctgx + C.
В этом примере вычисление последнего интеграла легко было произвести
сразу. В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби.
Можно, впрочем, и этот процесс объединить с предыдущим.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
168.	Интегрирование выражений видаdjf**).
Выше мы научились интегрировать в конечном виде рациональные
дифференциалы. В дальнейшем основным приемом интегрирования
тех или других классов дифференциальных выражений будет разы¬
скивание таких подстановок t = a>(x) (где о> сама выражается через
*) Ср. аналогичное замечание по поводу разложения правильной дроби
на простые дроби, стр. 300.
**) Условимся раз навсегда буквой обозначать рациональную
функцию от своих аргументов.

168]
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
305
элементарные функции), которые привели бы подынтегральное выра¬
жение к рациональному виду. Назовем этот прием методом рацио¬
нализации подынтегрального выражения.
В качестве первого примера его применения рассмотрим интеграл
вида
где R означает рациональную функцию от двух аргументов, т — на¬
туральное число, а а, р, y, 8 — постоянные.
Положим
здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как /?,
<р, <р' — рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам
предыдущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив
где все показатели г, s, ... рациональны; стоит лишь привести эти
показатели к общему знаменателю ту чтобы под знаком интеграла
(1)
Интеграл перейдет в
\R (Т(0, i) cp' (0 dt;
t = 0) (jc).
К интегралу вида (1) сводятся и более общие интегралы
получить рациональную функцию от л; и от радикала
Полагаем
тогда

306 гл. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ! [169
169.	Интегрирование биномиальных дифференциалов. Бино¬
миальными называются дифференциалы вида
xm(a + bxn)pdx>
где а9 Ь — любые постоянные, а показатели т, п, р — рациональные
числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в конеч¬
ном виде.
Один такой случай ясен непосредственно: если р — число
целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматриваемое
выражение относится к типу, изученному в предыдущем номере.
Именно, если через X обозначить наименьшее общее кратное знаме¬
нателей дробей /иип,то мы имеем здесь выражение вида R(Yx)dx9
так что для рационализации его достаточна подстановка t = x/x.
Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z = xn. Тогда
1	Т1±} _ j
хт(л + bx*)9 dx = - (a -f- bz)p z n dz
и, положив для краткости
n
будем иметь
^ xm (a -f- bxn)pdx = -i- ^ (a -f - bz)p zqdz.	(2)
Если q — число целое, то мы снова приходим к выражению
изученного типа. Действительно, если обозначить через v знаменатель
дроби р9 то преобразованное выражение имеет вид R (z, уа -f- bz).
Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть и
сразу — подстановкой
t — Y a-\-bz = j/ a-\-bx\
Наконец, перепишем второй из интегралов (2) так:
Легко усмотреть, что при p-\-q целом мы также имеем изученный
случай: преобразованное выражение имеет вид r(^z, v а-^У Под-
интегральное выражение в данном интеграле рационализируется и
сразу — подстановкой
,У fa + bz — Vi/ —,

169|	§	3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ 307
Таким образом, оба интеграла (2) выражаются в конечном
виде, если оказывается целым одно из чисел
р. ч. Р-Т-Я
или (что то же) одно из чисел
т +1 т +1 ,
р> -г-» -Т-+Р-
Эти случаи интегрируемости, по существу, известны
были еще Ньютону. Однако лишь в середине прошлого столетия
Чебышев установил замечательный факт, что других случаев
интегрируемости в конечном виде для биномиальных диф¬
ференциалов нет.
Рассмотрим примеры.
I	1	1
1)	^ -		dx=^x 2(\+x*)3dx.
	!. j_ i
о	1	1	1	т+1	2	'	0
Здесь т = — у, я = -j-, р = ~-у так как—~j	= 2, то имеем
7
второй случай интегрируемости. Заметив, что v = 3, положим (по общему
правилу)
t = у 1 + \fx> x = (t* — 1)S dx = 12Г- Vя — I)8 dt,
тогда
«
Р tri+r*	з
^	уГ=	dx — 12 J (t‘ —<*) dt = yt* (4t* —7) + C и т. д.
На этот раз m = 0, я = 4, р = —— третий случай интегрируемости, так
/71+ 1	,	1	^ л	о	а
как —1	Р=	~Л	г = 0.	Здесь	v = 4;	положим
п	*	г	4	4
  -УГ+х*	-1
t	= у	х-* + \=	—	* = ««-!)	4,
_ 5
dx=—1)	4	dt,

308 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) 1170
так что yf I + х4 = tx = t (t*—1)	4	и
-Т$^тг=т1п|га|-тагс‘^+с
и т. д.
170.	Интегрирование выражений вида R(xf \/ ах*Ьхс).
Подстановки Эйлера. Переходим к рассмотрению очень важного
класса интегралов
\ R (*> V ах* -f - Ъх + с) dx.	(3)
Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных
корней, так что корень из него не может быть заменен рациональ¬
ным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые подста¬
новками Эйлера, с помощью которых всегда можно достигнуть
здесь рационализации подынтегрального выражения.
Первая подстановка приложима в случае, если а 0. Тогда
полагают
I/ ax*-\-bx-\-c — t— У а х*).
Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении членов ах*
в обеих частях) Ьх -(- с = t* — 2 \fa tx, так что
V- *а-с	\ "с- Vae + bi+c Уо
*“2 1/Tt + Ь' Vax-ybx-i-c-^	2у-(	+	ь	,
dx==2^a <* + " + cVt.dt
(2 Y a t -f by
Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для опре¬
деления х получается уравнение первой степени, так что ху а одно¬
временно с ним также и радикал у ах* Ьх -j- выражается р а-
ционально через t.
Если полученные выражения подставить в (3), то вопрос сведется
к интегрированию рациональной функции от t. В результате, возвра¬
щаясь к х, нужно будет положить
t = У ах* + Ьх + с + У ах.
Вторая подстановка приложима, если с0. В этом случае
можно положить
У ах* -\-bx-\-c = xt-{- У~с * *).
*) Можно было бы положить и У ах2 4- for + с = f -\~Уах*
**) Или У ах2 4“ Ьх -J- с = xt—Ус.

170J	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ 309
Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить
на ху то получим ах -f- b=xt2 -f- 2 У~с t — снова уравнение первой
степени относительно х. Отсюда
x=2VjJ — b_	Ы	+	аУ7
a—t2 ’	^	'	a—t2
ix-г Y7‘'-b‘Xv’°.dt.
(a — t2)2
Подставив это в (3), очевидно, осуществим рационализацию подынте¬
грального выражения. Проинтегрировав, в результате положим
^	У+ Ьх с — У с
X	*
Замечание I. Случаи, рассмотренные выше (а^>0 и с^>0)
приводятся один к другому подстановкой х =—. Поэтому всегда
можно избежать пользования второй подстановкой.
Наконец, третья подстановка пригодна в том случае, если
квадратный трехчлен ах2-\-Ьх-\-с имеет (различные) вещественные
корни X и [1*. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на ли¬
нейные множители
ах2	Ьх + с = а (х — X) (х — |х).
Положим
Y ах* + Ьх	с = t (х — X).
Возводя в квадрат и сокращая на х — X, получим и здесь уравнение
первой степени а(х — |а) = £2(л;— X), так что
*==$*£. v^'+bx+,=i^i,
И Т. д.
Замечание II. При сделанных предположениях радикал
У а (х — X) (jc — (i.) (считая для определенности, скажем, х X) можно
преобразовать к виду
(х-\)Уа^,
так что в рассматриваемом случае
R(х, Уах%-\-Ьх + с) = 1Ъ\х,

310 гл. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [170
и мы, в сущности, имеем дело с дифференциалом изученного в п® 168
типа. Третья подстановка Эйлера, которую можно записать в форме
тождественна с подстановкой, уже указанной в п°168.
Покажем теперь, что первой и третьей подстановок Эйлера одних
достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подынте¬
грального выражения в (3) во всех возможных случаях.
Действительно, если трехчлен ах9 -\-bx-\-c имеет вещественные корни,
то, как мы видели, приложима третья подстановка. Если же веще¬
ственных корней нет, т. е. ft2— 4яс<^0, то трехчлен
а** + Ьх + с = ^ [(2а* -|- Ь)* + (4 ас — #>))
при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай а<^0 нас
не интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных
значений. В случае же а^>0 применима первая подстановка.
Эти соображения приводят вместе с тем к общему утверждению:
интегралы типа (3) всегда берутся в конечном виде, причем для
представления их, кроме функций, через которые выражаются
интегралы от рациональных дифференциалов, нужны еще лишь
квадратные корни.
Примеры. 1) В п° 161, 6) мы фактически применили первую под¬
становку к вычислению интеграла
С dx
J Ух*±а*
Хотя второй основной интеграл
(* = ±а2).
dx
Уа*—х*
нам известен из элементарных соображений, но—для упражнения — мы
все же к нему применим эйлеровы подстановки.
(а)	Если воспользоваться сначала третьей подстановкой
то
х = а
У a? —x- = t (а — л*),
1	4 atdt		5	2 at
=? “2 S	2 ,,с'8 ‘+0=2 иаг VB7 +с■
f	dx
J Vа?—х*	~	J	t*	+ 1
Так как имеет место тождество
о 4 лГа+х	. х I я ,	_	_	ч
2arctg у а~^— = arcsin	у	(—а<х<а),
то этот результат лишь формой разнится от уже известного нам.

170]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ 311
Читателю и впредь следует считаться с возможностью для инте¬
грала получаться в разных формах, в зависимости от примененного
для его вычисления метода.
(б)	Если к тому же интегралу применить вторую подстановку
Y а2— x* = xt—а,
то аналогично получим:
С dX -= — 2 С	——— = — 2 arctg tС=
J Уаг—х*	J	t* + \
=_2„tt8£±£2ES+c.
Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством: этот резуль¬
тат годится отдельно для промежутка (— а, 0) и для промежутка (0, а),
ибо в точке * = 0 выражение
о ♦ а + Vа% — х*
—	2 arctg—
лишено смысла. Пределы этого выражения при х-+ — 0 и при дг—* + 0 раз¬
личны: они равны, соответственно, ни — тс; выбирая для упомянутых про¬
межутков различные же значения постоянной С так, чтобы второе
из них	было	на 2п больше первого,	можно составить функцию,	непрерывную
во всем	промежутке (—я, а), если	принять за ее значение при	* = 0 общий
предел слева и справа.
И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме,
ибо имеют место тождества
х
	 arcsin - — п для 0 < X < в,
о	«. а+уа* — х* I	а
—	2 arctg — 		— <
X	•	х	,
1	arcsin — + тс для —а<л:<0.
dx
\*+У хг — х+ 1 •
(а)	Сначала применим первую подстановку: У х2—х -J-1 =t— х
X~2t—\’ dx — 2(&—l)»dt>
С	dx		 С 2t*—2*4-2
' х -J- УXs — х -J-1 J t(2t— I)2
= -у • 2^ГГ+21п|<|-|-1П|2<-1 \ + С.
Если подставить сюда t = x-\-yxa—*+1, то окончательно получим:
£ 	dx		 _ 3^	1
J х+Ух*—х+\ ~	2 2х + 2Ух*—х + 1 — 1
-	11п|2* +2 Ух* — х + 1—1\ + 21п\х+ У лг2—*+11 + С.

312 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)	(171
(б)	Применим теперь вторую подстановку: Ух*— ■*+ 1	1,
■*=7*117» dx = — 2J^l-tyrdt' Vxi — x + l = t	1,
х + Vx*—x + l=jzr[,
f	dx	_ f — 2<»-f 2f—2 At _
J х+Ух*— x+l J t(t — l)(i+ l)8
_ C ri-l-i	31	3 1^
jL* 2 t — \ 2t+\ («-h 1)2J —
= 7^+21nl*l-Tln|*-1|-T,n,* + 1| + c'-
r\	* У X2  X 4“ i 1
Остается подставить сюда t = -	^	 —; после очевидных упро¬
щений получим:
	dx_			3*	^
х + УX2 — X *4“ 1 _ Ух2 — х + \ +х+\ +
+ 2\п\Ух*— дг+1 + 1|—-1 In !/•«* — * + 1 —*+ 1|-
— yin I У Xs — X + 1 +JC + 1 l + c.
Это выражение, хотя и разнится от ранее полученного по форме, но при
С = С + ^ отождествляется с ним.
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИИ
171.	Интегрирование дифференциалов Я (sin л:, cosx)dx. Диф¬
ференциалы этого вида могут быть рационализированы подстановкой
t = tgy(—ъ<^х<^ъ). Действительно,
о* х	-	,	9	х
g? 2t l~^2 1 -f
Sin X —	= 'j To , COS X
так что
1+tg2- i+*s> 1+tg.* i+**
Г»	4-	4.	J
*=2arctgf, dx = Y^-p,
o/-	w d( 2t 1 —t*\ 2Л
R(sinx, cos x)dx—R \jqr7r, T+Wj ' r+F*
Таким образом, интегралы типа
^ R (sin х, cos х) dx	(1)

1711	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	313
всегда берутся в конечном виде\ для их выражения, кроме функ¬
ций, встречающихся при интегрировании рациональных дифферен¬
циалов, нужны лишь еще тригонометрические функции.
Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для
интегралов типа (1), приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже
указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более
простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элемен¬
тарные замечания из области алгебры.
Если целая или дробная рациональная функция R (и, v) не меняет
своего значения при изменении знака одного из аргументов, напри¬
мер к, т. е. если
/?(—и, v) — R(u9 v\
то она может быть приведена к виду
R(a, v) = Rl(u\ v),
содержащему лишь четные степени и.
Если же, наоборот, при изменении знака и функция R(u, v)
также меняет знак, т. е. если
R(—ut v) = — R (и, v),
то она приводится к виду
R(u, v) = R2(u*, v)-u\
это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить
.	R(u,	v)
к функции —^
I.	Пусть теперь R(u, г>) меняет знак при изменении знака и;
тогда
R (sin х$ cos х) dx = R0 (sin2 х, cos jc)sin xdx =
= —R0(l —cos2*, cos x)dcosx,
и рационализация достигается подстановкой t—cosx.
II.	Аналогично, если R (и, v) меняет знак при изменении знака vy то
R (sin хг cos х) dx = R* (sin ху cos2 jc)cos xdx =
= R$(sinx, 1—sin2jc)cf sin*,
так что здесь целесообразна подстановка £=sinje.
III.	Предположим, наконец, что функция R(uf v) не меняет
своего значения при одновременном изменении знаков и и v:
R(— н, —v) = R{и, v).
В этом случае, заменяя и на —v, будем иметь
R{u, v) — R(±v, vj = R*{^, vу

314 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) (171
Замечание. Нужно сказать, что, каково бы ни было рацио¬
нальное выражение R(u, г>), его всегда можно представить в виде
суммы трех выражений рассмотренных выше частных типов. Напри¬
мер, можно положить
Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака и, вто¬
рое меняет знак при изменении знака v, а третье сохраняет значение
при одновременном изменении знаков и и v. Разбив выражение
R (sin ху cos х) на соответствующие слагаемые, можно к первому из
них применить подстановку t=cosxf ко второму — подстановку
t=s\nx и, наконец, к третьему — подстановку t = tgx. Таким об¬
разом, для вычисления интегралов типа (1) достаточно этих трех
подстановок.
По свойству функции Ry если изменить знаки и и v ^отношение --
при этом не изменит
а тогда, как мы знаем,
Поэтому
R (sin лг, cos х) = R* (tg лг, cos* л;) = R* ^tg лг, -j _j_
т. е. попросту
R (sin X, cos х) = R (tg х).
Здесь достигает цели подстановка
ибо
R (sin xf cos x)dx = R (t) у^2
и т. д.
R(Uy V) —
R (и, у) — R (— а, у)
2
R (— и, v) — R (— н, — v)
2
R (— tiy — v) + R (и, v)
2
Примеры. 1) ^ sin2 л; cos3 х dx. Подынтегральное выражение меняет
знак от замены cos л: на—cos л:. Подстановка * = зт.к:

172]	§	4.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ	ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ	ВЫРАЖЕНИЙ
dx
315
*~х COST?- Подынтегральное выражение не изменяет своего зна¬
чения при замене sin х на — sin х и cos* на—cosat. Подстановка ^ = tg лег:
С dx - f	2	-1 I c-
J sin4л:cos8x J t*	“	1	t	3t> + C~
= tg x — 2 ctg x — -g- ctg* x + C.
3) С dx - С
; J sin x cos 2x J
dx
sin л: (2cos2 x— I)
f	c?a:	_	С	dt
J sin x (2 cos2 л — 1) J (I — 0(1— 2ts)
Подстановка t= coex:
Y 2 |l— </2
+ C =
I + t
1 + V2 cos x
1 — Y2 cos*
-f-ln
+ c.
1 Г» 1	ra
4)	^ 1 j-j_2>cos'x'+r*dx (0<r<1> “*<*<*)• Применим здесь
x
универсальную подстановку t = tg у. Имеем
1	(*	1—Г!	tfr	—	П	f	Л	_
2 J 1—2rcosAr + ra * r> J (i_r)a + (1+r)^ “
= arctg	+ С = arctg	tg ^ + С.
К этому интегралу приводится и такой:
(*	1— rcos*	.	1	«—ra L
J 1—2rcosAr + r* J L2 Т" 2 I-2rcosx + r2J
= у А' + arctg (iip tg f'j + С.
172.	Обзор других случаев. В п° 163 мы уже упоминали о том,
как интегрируются выражения вида
Р (лг) е™ dx, Р (лг) sin bx dxг, Р (лг) cos bx dx,
где Р — целый многочлен. Любопытно отметить, что дробные выра¬
жения (п — натуральное число)
«. j sm х .
Xя dx'	Xп	Х' Xя
cos X
dx
уже не интегрируются в конечном виде.

316 гл. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [173
С помощью интегрирования по частям легко установить для
интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их
соответственно к трем основным:
$ех С dv
-~dx=\	— у *) («интегральный логарифм»);
-dx = si дг («интегральный синус»);
cos х
III.	\ ^p-dx = clx («интегральный косинус») **).
Мы знаем уже [п° 163, 4)] интегралы
f еах sin bxdx= asin ^l™b±-e°*+C,
I	e**cos bxdx = bsmbx^+acosbx ^ + c
Отправляясь от них, можно в конечном виде найти интегралы
^ xneaxs\n bx dx,	^ xneaxcos bx dx,
где n= 1, 2, 3,... Именно, интегрируя по частям, получим:
*V“sin bxdx = x* «™bx-bcosbx_eax_
—	^ xn~xeaxs\n bxdx-\-	J	x^e**	cos	bxdxt
J *V"cos bxdx = x" bsin
—	a^¥ § Ar'I",^sin bxdx — ain^'bi £ J^^cos bxdx.
Эти рекуррентные формулы позволяют свести интересующие
нас интегралы к случаю п = 0.
§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
173.	Определения. К рассмотренным в п° 170 интегралам вида
^ R (ху Yах2 + Ьх + с) dx,
*) Подстановка * = 1пу.
**) Впрочем, во всех трех случаях надлежит еще фиксировать произ¬
вольную постоянную; это будет сделано впоследствии.

174]
§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
317
которые всегда вычисляются в конечном виде, естественно примыкают интег¬
ралы вида
Vа*ъ + Ьх* + сх + d)dx,	(1)
У ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + е) dx,	(2)
содержащие квадратный корень из многочленов третьей или четвертой сте¬
пени. Это—очень важный класс интегралов, нередко встречающийся в при¬
ложениях. Однако нужно сказать, интегралы вида (1) и (2)—как пра¬
вило—уже не выражаются в конечном виде через элементарные
функции. Поэтому знакомство с ними мы отнесли к заключительному пара¬
графу, чтобы не прерывать основной линии изложения настоящей главы, по¬
священной, главным образом, изучению классов интегралов, берущихся
в конечном виде.
Многочлены	под корнем	предполагаются	имеющими	вещественные
коэффициенты.	Кроме	того, мы всегда будем считать, что	у них	нет	кратных
корней,	ибо	иначе	можно было бы вынести линейный	множитель	из-под
знака корня; вопрос свелся бы к интегрированию выражений уже ранее
изученных типов, и интеграл выразился бы в конечном виде. Последнее об¬
стоятельство может иметь место иной раз и при отсутствии кратных кор¬
ней; например, легко проверить, что
С 1 +х*	dx _ х	_
J 1 —*4 У \ — xi УТ=~х* ’
f 5*8-H	у2х$ + 1 +с.
J V 2дг«+1
Интегралы от выражений типа (1) и (2) вообще называют эллиптиче¬
скими в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столкнулись при
решении	задачи	о спрямлении	эллипса [п° 201,	4)].	Впрочем,	это название,
в точном	смысле, относят обычно лишь к тем из них,	которые не берутся
в конечном виде; другие же, вроде только что приведенных, называют
псевдоэллиптически ми.
Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значений) интегра¬
лов от выражений (1) и (2) при произвольных коэффициентах а, Ь, с, ...,
разумеется, затруднительно. Поэтому естественно желание свести все эти
интегралы к немногим таким, в состав которых входило бы по возможности
меньше произвольных коэффициентов (параметров).
174.	Приведение к канонической форме. Заметим, прежде всего, что
вообще достаточно ограничиться случаем многочлена четвертой степени под
корнем, ибо к нему легко приводится и случай, когда под корнем многочлен
третьей степени. Действительно, многочлен третьей степени ах3 + Ьх2 +
+ cx-\-d с вещественными коэффициентами необходимо имеет веще¬
ственный корень [п°69], скажем X, и, следовательно, допускает вещественное
разложение
ах3 + Ьх8 -f- сх + d — а (л:— X) (х2 +рх + q).
Подстановка х—\ = t* или (х—Х =— t2) и осуществляет требуемое при¬
ведение
\R(x, Yах3 + ...) dx=\iR(t* + A, t yat*+ ...)2tdt.
Впредь мы станем рассматривать лишь интегралы, содержащие корень из
многочлена четвертой степени вида (2).
С помощью элементарных преобразований и подстановок, на которых
мы не имеем возможности здесь останавливаться, прежде всего каждый

318 ГЛ. X. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) [174
эллиптический интеграл (2) — помимо интегралов, выражающихся в конечном
виде,— приводится к так называемому каноническому интегралу вида
*(«•>*		(3)
у (1 —*2)(1 — k*z*) '
где k есть некоторая положительная правильная дробь: 0<Л<1.
Выделяя из рациональной функции R целую часть, а оставшуюся пра¬
вильную дробь разлагая на простые, приходят в результате к такому общему
заключению: все эллиптические интегралы с помощью элементарных под-
становок— и с точностью до слагаемых, выражающихся в конечном
виде, — приводятся к следующим трем стандартным интегралам.
С	dz
		£	z*dz
—k*z*) 9 J V (1 —
у (1 —z2)(l —№) ’ J у (1— 2s) (1 — k?z*)
(0<ft<l)
С	dz
(1 + /w2) ]/■ (1 — 2a)(l — A*z2) ’
где в последнем интеграле h может оказаться и комплексным. Эти инте¬
гралы, как показал Лиувилль, в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр *)
назвал эллиптическими интегралами, соответственно, f-го, 2-го и 3-го рода.
Первые два содержат лишь один параметр k, а последний, кроме него, еще
(комплексный) параметр Л.
Лежандр внес в эти интегралы еще дальнейшие упрощения, выполнив
в них подстановку z = sin^<p изменяется от 0 до При этом первый
из них непосредственно переходит в интеграл
[ df	(4)
J Y 1 — Л2 sin2 у *
второй преобразуется так:
sin8cprfcp	1	С	dy	1 Г г~Л	.-г-т~5— .
1	-		= Т„ \		— Т5 1 У 1 —k2 sin2 9 dvt
J /1 — Л2 sin2 ср £ J YI —k* sin2 <p b* J
т. e. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу
^ Y 1 sin2 ¥	(5)
Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в
dy
s
(1 -f/rsin8?) У 1 — ^sin2/
(6)
Интегралы (4), (5) и (6) также называются эллиптическими интегралами
1-го, 2-го и 3-го рода — в форме Лежандра.
Из них особую важность и частое применение имеют первые два. Если
считать, что эти интегралы при ^ = 0 обращаются в нуль, и тем фиксировать
содержащиеся в них произвольные постоянные, то получатся две вполне
определенные функции от ср, которые Лежандр обозначил соответственно
*) Адриан Мари Лежандр (1752—1833) и Жозеф Лиувилль (18U9—
1882)—выдающиеся французские математики.

1741
$ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
319
через F(kt <р) и Е (k, <р). Здесь, кроме независимой переменной <р, указан
также параметр k, называемый модулем, который входит в выражения
этих функций.
Лежандром были составлены обширные таблицы значений этих функций
при различных <р и различных к, В них не только аргумент <р, трактуемый
как угол, выражается в градусах, но и модуль к (правильная дробь!) рас¬
сматривается как синус некоторого угла 0, который и указывается в таб¬
лице вместо модуля, и притом также в градусах.
Кроме того, как Лежандром, так и другими учеными были изучены
глубокие свойства этих функций, установлен ряд относящихся к ним фор¬
мул и т. д. Благодаря этому, функции F и Е Лежандра вошли в семью
функций, встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах
с элементарными функциями.
Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном мы вы¬
нуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием в конечном виде».
Однако было бы ошибочно думать, что этим ограничиваются задачи инте¬
грального исчисления вообще: эллиптические интегралы F и Е являются
примерами таких функций, которые плодотворно изучаются по их интеграль¬
ным выражениям и с успехом применяются, хотя и не могут быть пред¬
ставлены через элементарные функции в конечном виде.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
175.	Другой подход к задаче о площади. Вернемся к задаче об
определении площади Р криволинейной трапеции ABCD (рис. 65),
которой мы уже занимались в п° 156. Мы изложим сейчас другой
подходк решению этой за-
угольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота
совпадает с одной из ординат полоски, скажем, с крайней слева.
Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступен¬
чатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.
Обозначим абсциссы точек деления через
•*o = aOiOa< ... 0,<лгм< ... Оn = b.	(1)
Основание t-ro прямоугольника (i = 0, 1, 2, ..., п—1), очевидно,
равно разности хш — xlt которую мы будем обозначать через Длг*.
Что же касается высоты, то, по сказанному, она равна yi=f{x,).
Поэтому площадь i-ro прямоугольника будет ytkxt = /(л;() Дл:,-.
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим п р и-
ближенное значение площади Р криволинейной трапеции:
*) Обобщая при этом идею, уже однажды примененную в частном при¬
мере [п° 43, 3)].
дачи *).
X	Разделим	основание	АВ	нашей
фигуры произвольным образом на
части и проведем ординаты,
соответствующие точкам деления;
тогда	криволинейная трапеция
I& разобьется на ряд полосок (см.
х чертеж).
Рис. 65.
Заменим теперь приближенно
каждую полоску некоторым прямо-
п — 1	п	—	1
Р= 2 yi или р— 2 /(*<) д*«-

1751
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
321
Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех Axt
стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как предел:
P==lim2^A*/ = lim2/C*f)A-*<	(2)
в предположении, что все длины одновременно стремятся к нулю,
Тот же прием пригоден и для вычисления площади Р(х) фигуры
AKLD (рис. 63), лишь дробить на части пришлось бы отрезок АК.
Заметим еще, что случай, когда y=f(x) принимает и отрицательные
значения, исчерпывается заключенным в п° 156 условием считать
площади частей фигуры под осью х — отрицательными.
Для обозначения суммы вида ^уАл; (вернее сказать — предель¬
ного значения этой суммы) Лейбниц и ввел символ J у dxг, где у dx
напоминает типичное слагаемое суммы, a J есть стилизованная буква S —
начальная буква латинского слова Summa*). Так как площадь, представляю¬
щая это предельное значение, в то же время является первообразной для
функции /(*), то тот же символ сохранился и для обозначения первообраз¬
ной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения,
стали писать
$/(*) dx,
если речь идет о переменной площади, и
ъ
\f{x)dx
а
—	в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей изменению х
от а до b.
Мы воспользовались интуитивным представлением о площади,
чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобразных
сумм вида (2), которые исторически и были введены в связи с зада¬
чей о вычислении площади. Однако самое понятие площади нуждается
в обосновании, и — если речь идет о криволинейной трапеции — оно
достигается именно с помощью упомянутых пределов. Разумеется,
этому должно быть предпослано изучение пределов (2) самих по себе,
вне связи с геометрическими представлениями, чему и посвящена
настоящая глава.
Пределы вида (2) играют исключительно важную роль в математи¬
ческом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому же в раз¬
личных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут неоднократно
повторяться на всем протяжении курса.
*) Термин «интеграл» (от латинского integer = целый) был предложен
учеником и сподвижником Лейбница Иоганном Бернулли; сам Лейбниц пер¬
воначально говорил: «сумма всех у dx*.
И Г, М. Фихтенгольц. т. I

322
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[176
176.	Определение. Пусть функция /(х) задана в некотором про¬
межутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на
части, вставив между а и b точки деления (1). Наибольшую из
разностей Axi = xi+1—xi (1 = 0, 1, п— 1) будем впредь обо¬
значать через X.
Возьмем в каждом из частичных промежутков [хь дг1+1] по произ¬
волу точку х =	*)
:f+1 (i = 0, 1, я—1)
и составим сумму
«= 2
1 = 0
Установим теперь понятие (конечного) предела этой суммы:
1= lim сг.	(3)
X —о
Представим себе, что промежуток [а, Ь] последовательно разбивается
на части, сначала одним способом, затем — вторым, третьим и т. д.
Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем
называть основной, если соответствующая последовательность зна¬
чений Х = ХЬ Ха, Х3, ... сходится к нулю.
Равенство (3) мы понимаем в том смысле, что последовательность
значений суммы а, отвечающая любой основной последователь-
ности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу /, как бы
ни выбирать при этом
Можно и здесь дать определение предела «на языке е-8». Именно,
говорят, что сумма о при X — 0 имеет предел /, если для каждого
числа е^О найдется такое число 8^>0, чтоу лишь только
Х<^8 (т. е. основной промежуток разбит на части, с длинами
Длг*<^8), неравенство
\*-1\<г
выполняется при любом выборе чисел 5.
Доказательство равносильности обоих определений может быть
проведено в том же порядке идей, что и в п° 33. Первое определе¬
ние «на языке последовательностей» позволяет перенести основные
понятия и предложения теории пределов и на этот новый вид пре¬
дела.
*) Выше мы в качестве £* брали во всех случаях наименьшее значе¬
ние Xi.

177]
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
323
Конечный предел I суммы о при X—*0 называется опреде¬
ленным интегралом функции f(x) в промежутке от а до b
и обозначается символом *)
если такой предел существует, то функция f(x) называется инте¬
грируемой в промежутке [а, Ь].
Числа а и b носят название, соответственно, нижнего и верх¬
него пределов интеграла. При постоянных пределах определен¬
ный интеграл представляет собой постоянное число.
Приведенное общее определение принадлежит Риману, который
впервые высказал его в общей форме и исследовал область его при¬
менения. И самую сумму о иногда называют римановой суммой,
хотя на деле еще Коши отчетливо пользовался пределами подобных
сумм для случая непрерывной функции. Мы же будем предпочти¬
тельно называть ее интегральной суммой, чтобы подчеркнуть
ее связь с интегралом.
Поставим теперь себе задачей выяснить условия, при которых
интегральная сумма а имеет конечный предел, т. е. существует опре¬
деленный интеграл (4).
Прежде всего заметим, что высказанное определение в действи¬
тельности может быть приложено лишь к ограниченной функ¬
ции. В самом деле, если бы функция f(x) была в промежутке [а, Ь\
неограничена, то — при любом разбиении промежутка на части — она
сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за
счет выбора в этой части точки £ можно было бы сделать /(5),
а с ней и сумму о, сколь угодно большой; при этих условиях конеч¬
ного предела для о, очевидно, существовать не могло бы. Итак,
интегрируемая функция необходимо ограничена.
Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед пред¬
полагать рассматриёаемую функцию f(x) ограниченной:
177.	Суммы Дарбу. В качестве вспомогательного средства иссле¬
дования, наряду с интегральными суммами, введем в рассмотрение,
по примеру Дарбу**), еще другие, сходные с ними, но более про¬
стые суммы.
*) Это обозначение для определенного интеграла ввел французский
математик и физик Жан Баптист Жозеф Фурье (1768—1830). Эйлер писал
более громоздко:
ъ
(4)
а
т (х) ^М, если а^х^Ь.
**) Гастон Дарбу (1842—1917) —французский математик.
11*

324
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1177
Обозначим	через	тt	и	Мь	соответственно,	точные	нижнюю	и
верхнюю границы функции f(x) в l-м промежутке [xit xi+1] и соста¬
вим суммы
J	л-1	п—1
s= X mi^xi> s= 2
fr=rO	/=0
Эти	суммы	и	носят название соответственно	нижней	и	верхней
(интегральных) сумм, или сумм Дарбу.
В частном случае, когда f(x) непрерывна, они являются просто
наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих взятому
разбиению, так как в этом случае функция f(x) в каждом проме¬
жутке достигает своих точных границ, и точки можно выбрать
так, чтобы — по желанию — было
/&) = % или /(£;) = Л1,.
Переходя к общему случаю, из самого определения нижней и
верхней границ имеем
Умножив члены обоих этих неравенств на Дxt (Axt положительно) и
просуммировав по i, получим
При фиксированном разбиении суммы 5 и 5 будут
постоянными числами, в то время как сумма с еще остается
переменной ввиду произвольности чисел Но легко видеть, что за
счет выбора Е* можно значения /(£*) сделать сколь угодно близкими
как к mi9 так и к Мь а значит — сумму о сделать сколь угодно
близкой к 5 или к S. А тогда предыдущие неравенства приводят
к следующему уже общему замечанию: при данном разбиении
промежутка суммы Дарбу s и S служат точными соответ¬
ственно нижней и верхней границами для интегральных сумм.
Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами:
Первое свойство. Если к имеющимся точкам деления
добавить новые точкги то нижняя сумма Дарбу может от этого
разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться.
Доказательство. Для доказательства этого свойства доста¬
точно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления
еще одной точки деления х\
Пусть эта точка попадает между точками xk и л;А+1, так что
*к<*<*Ь± 1-
Если через 5' обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней 5
она будет отличаться только тем, что в сумме 5 промежутку [xk,xk+i\
отвечало слагаемое

177J	%	1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ	И	УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	325
а в новой сумме S' этому промежутку отвечает сумма двух слагаемых
М> С*' — •**) +Ж* (лг*+1 — х'),
где Mk и Mk суть точные верхние границы функции f(x) в проме¬
жутках [xk, х'] и [лг', xk+l]. Так как эти промежутки являются частями
промежутка [xk> хш]у то
Mk < Mk, Mk^Mkt
так что
М„ (х' — хк)	Mk (х' — хк), Мк (xk+i — х') sc Mk (xk+i — х').
Складывая эти неравенства почленно, получим
Мк (х’ — хк) + Мк (хш — х')^Мк (xk+i — хк).
Отсюда и следует, что Sr^S. Для нижней суммы доказательство
аналогично этому.
Второе свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не пре¬
восходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому
разбиению промежутка.
Доказательство. Разобьем промежуток [а, Ь] произвольным
образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу
Si	И	(I)
Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с пер¬
вым, разбиение промежутка [а, Ь\ Ему также будут отвечать его
суммы Дарбу
$2	И	«Sg.	(И)
Требуется	доказать,	что	С	этой	целью,	объединим	те и
другие точки	деления;	тогда	получим некоторое третье, вспомогатель¬
ное, разбиение, которому будут отвечать суммы
sz	и	53.	(III)
Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых
точек деления; поэтому, на основании доказанного первого свой¬
ства сумм Дарбу, имеем
Si < %
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заклю¬
чаем, что
5з ^ «S*
Но 53^53, поэтому из только что полученных неравенств вытекает
5| ^ S%
что и требовалось доказать.

326
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
(178
Из доказанного следует, что все множество {«} нижних сумм
ограничено сверху, например, любой верхней суммой S. В таком слу¬
чае [п°6] это множество имеет конечную т о ч н у ю верхнюю границу
/* = sup{s}
и,	кроме того,
какова бы ни была верхняя сумма 5. Так как множество верхних
сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу числом /*, то
оно имеет конечную точную нижнюю границу
/* = inf {£},
причем, очевидно,
/*</*.
Сопоставляя все сказанное, имеем
$</*</*<5	(5)
для любых нижней и верхней сумм Дарбу.
178.	Условие существования иг^еграла. С помощью сумм Дарбу
теперь легко сформулировать это уСЖй^Щ
Теорема. Для существования определенного интеграла необ¬
ходимо и достаточно, чтобы было
lim (S — s) = 0.	(6)
X —о
Сказанное в п° 176 достаточно для уяснения смысла этого пре¬
дела. Например, «на языке е-8», условие (6) означает, что для
любого е}>0 найдется такое 8^>0, что лишь только Х<^8 (т. е.
промежуток разбит на части с длинами Длг*<^8), тотчас выполняется
неравенство
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
существует интеграл (4). Тогда по любому заданному г^>0 найдется
такое Ъ]>0, что лишь только все Дл;*<^8, тотчас
|«—/|<С® или I—е<Са<СУН“е>
как бы мы ни выбирали ^ в пределах соответствующих промежутков.
Но суммы s и S при заданном разбиении промежутка являются,
как	мы установили,	для интегральных сумм,	соответственно,	точ¬
ными нижней	и	верхней границами; поэтому для	них	будем	иметь
так что
lim s = I, lim S=I,	(7)
x—о	x-o
откуда и следует (6).

179J
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
327
Достаточность. Предположим, что условие (6) выполнено;
тогда из (5) сразу ясно, что /*==/* и, если обозначить их общее
значение через /,
s^I^S.	(5*)
Если под а разуметь одно из значений интегральной суммы, отве¬
чающих тому же разбиению промежутка, что и суммы s, S, то, как
мы знаем,
s ^ a ^S.
Согласно условию (6), если предположить все Axt достаточно малыми,
суммы s и 5 разнятся меньше, чем на произвольно взятое е^>0. Но
в таком случае это справедливо и относительно заключенных между
ними чисел о и /:
|о — 71<е.
так что I является пределом для о, т. е. определенным интегралом.
Если обозначить колебание — mt функции в г-м частичном
промежутке через а>,, то будем иметь
/1—1	Л—I
S—s=Yi (Af, — mi) Ах, = 2 «/Л*/.
i	= 0	*=О
и условие существования определенного интеграла может быть пере¬
писано так:
я—1
lim V (o^^izrrO.	(8)
х-о -to
В этой форме оно обычно и применяется.
179.	Классы интегрируемых функций. Применим найденный
нами признак к установлению некоторых классов интегрируемых
функций.
I.	Если функция f(x) непрерывна в промежутке \а, Ь], то
она интегрируема.
Доказательство. Раз функция /(х) непрерывна, то на осно¬
вании следствия из теоремы Кантора [п°7б] по заданному е]> 0 всегда
найдется такое 8	0, что лишь только промежуток [а, b] разбит
на части с длинами Длг*<3 то все	Отсюда
Л—1	Л—1
2 0>,д*(<е 2 Длг, = t(b — a).
/=0	*=0
Так как b — а есть постоянное число, а е произвольно мало, то
условие (8) выполняется, а из него вытекает существование инте¬
грала. Можно несколько обобщить доказанное утверждение.
II.	Если ограниченная функция /(лг) в [а, Ь\ имеет лишь ко¬
нечное число точек разрыва, то она интегрируема.

328	гл х1# ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[179
Доказательство ограничим случаем, когда между а и b
содержится лишь одна точка разрыва х? (рис. 66). Возьмем про¬
извольное е >> 0. Окружим точку к окрестностью (х' — е, л/ + е)-
В двух оставшихся (замкнутых) промежутках функция /(лг) будет
непрерывной, и мы можем применить к каждому из них в отдель¬
ности следствие из теоремы Кантора. Из полученных по е двух чисел
8 выберем наименьшее (его мы также будем обозначать буквой 8).
П
Рис. 66.
Тогда оно будет годиться для каждого из указанных выше проме¬
жутков. Ничто нам не мешает взять вдобавск 8<^е. Разобьем теперь
наш промежуток [а, Ь] произвольно на части так, чтобы их
длины Длгг все были меньше 8. Полученные частичные промежутки
будут двух родов:
I)	промежутки, лежащие целиком вне выделенной окрестности
точки разрыва. В них колебание функции <0^ е;
II)	промежутки, либо заключенные целиком внутри выделенной
окрестности, либо частью на эту окрестность налегающие.
Так как функция /(лг) предположена ограниченной, то колебание
ее в любом из этих промежутков не превосходит ее колебания Q
во всем промежутке [а, Ь].
Сумму
i
разобьем на две:
2	щкх? и 2 Ш«"АXi">
V	i,f
распространенные, соответственно, на промежутки первого и второго
рода.
Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь
2<*>»'Длт,*'<[е 2 Длг*'<[е(Ь — а),
v	v
Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежутков
второго рода, целиком попавших внутрь выделенной окрестности,
в сумме меньше или равны 2е; промежутков же, лишь частично на¬
легающих на них, может быть не больше двух, и сумма их длин
меньше 28, а значит и подавно меньше 2е. Следовательно,
2 щпкхр <С ^ S ^Xi"	^
i" i"

180]
i 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
329
Таким образом, окончательно, при Дх; 8 имеем:
2	т»Ьхе> < е [(Ь — а) + 42].
i"
Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных
скобках содержится постоянное число, а е произвольно мало.
Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функ¬
ций, не покрывающийся предыдущим.
III.	Монотонная ограниченная функция f(x) всегда интегри¬
руема.
Доказательство. Пустьf(x) — монотонно возрастающая
функция. Тогда ее колебание в промежутке [xit хi+1] будет
“,=/(*i+l) — /(■*;).
Зададимся любым е)>0 и положим
*	 е
Как только Ajc*<^8, тотчас будем иметь
2	«|А*1 < 8 2 [/(■**+ О-Ях,)] = 8 [f{b) -fid)} = е,
откуда и следует интегрируемость функции.
Замечание. Отметим, что изменение значений интегрируемой
функции в конечном (равном k) числе точек не отразится ни на
существовании, ни на величине интеграла.
Так как упомянутое изменение коснется не более, чем k членов
суммы о)£Ахь то при X —>■ 0 сумма по-прежнему будет стремиться
к нулю. Что же касается до значения самого интеграла, то для
обеих функций — исходной и измененной — точки ^ в интегральной
сумме всегда можно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми
точками, для которых их значения разнятся.
§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
180.	Интеграл по ориентированному промежутку. До сих пор,
говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до b», мы
всегда подразумевали, что а<^Ь. Устраним теперь это стеснительное
ограничение.
С этой целью мы, прежде всего, установим понятие напра¬
вленного или ориентированного промежутка. Под ори-
ентиро ванным промежутком [а, b} (где может быть и а<^Ь
и а^>Ь) мы будем разуметь множество значений х, удовлетво¬
ряющих неравенствам, соответственно,
а^х^Ь или а^х^Ь

330
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
(180
и расположенных, или упорядоченных, от а к Ь, т. е.
в порядке возрастания, если а<^Ь, или убывания, если а^>Ь. Таким
образом, мы различаем промежутки [а, b] и [Ь, а]: совпадая по
своему составу (как числовые множества), они разнятся по напра¬
влению.
Можно сказать, что то определение интеграла, которое было
дано в n° 176, относится к ориентированному промежутку
[а, b] лишь для случая, когда а<^Ь.
Обратимся к определению интеграла в ориентированном про¬
межутке [а, Ь] в предположении, что а^>Ь. Можно повторить для
этого случая обычный процесс дробления промежутка, вставляя
точки деления в направлении от а к Ь\
*0 = а > J?! > а >... > XI > *г+1 >... > ха = Ь.
Выбрав в каждом частичном промежутке [xit лт/+1] по точке так
что Xi^zti^zxi+i, составим интегральную сумму
я-1
где — на этот раз — все Axt=xM — **<^0. Наконец, предел этой
суммы при Х = тах Ад^-^О и приведет нас к понятию интеграла
ь
\f(x) dx= lim о.
а	*-0
Если для промежутков [а, Ь] и [Ь> а] (где а^Ь) взять те же
точки деления и те же точки 5, то отвечающие им интегральные
суммы будут разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пре¬
делам, получаем такое предложение:
1°. Если f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то она ин¬
тегрируема и в промежутке [Ь, а\ причем
Ь	а
^f(x)dx — —	(х) &х'
а	b
Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за
ь
определение интеграла ^ при а^>Ь в предположении, что инте-
а
а
грал ^ существует.
ь

181)	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	331
Заметим еще, что по определению же полагают
а
\f{x) dxг = 0.
а
181.	Свойства, выражаемые равенствами. Перечислим дальней¬
шие свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами *).
2°. Пусть f{x) интегрируема в наибольшем из промежутков
[а, Ь\ [а, с] и [су b] **). Тогда она интегрируема в двух других,
и имеет место равенство
ь	с	ь
\f(x) dx = $/(*) dx + $/(*) dx,
а	а	с
каково бы ни было взаимное расположение точек а, b и с.
Доказательство. Положим сначала, что а<^с<^Ь и функ¬
ция интегрируема в промежутке [а, Ь].
Рассмотрим разбиение промежутка [а, Ь] на части, причем точ¬
ку с будем считать одной из точек деления. Тогда, прежде всего,
ь	с	ь
2	w Ах = 2	®	***)
а	а	с
и — ввиду положительности всех слагаемых — из стремления к нулю
суммы слева следует то же и для сумм справа, так что интегри¬
руемость функции f(x) в промежутках [а, с] и [с, Ь\ установлена.
А теперь, очевидно,
2/(9 Ьх = 2/(6) Ьх + 2/G) Д-*.
а	а	с
Переходя к пределу при X 0, мы получим требуемое равенство.
Другие случаи расположения точек а, Ьу с приводятся к этому.
Пусть, например, Ь<^а<^с и функция f(x) интегрируема в про¬
межутке [с, Ъ] или — что то же, ввиду 1°, — в промежутке [&, с].
В этом случае, по доказанному, будем иметь
$/(*) dx — \f(x) dx + $/(лг) dx,
Ь	Ь	а
Ь
*) Здесь и впредь, если речь идет об интеграле мы считаем воз-
а
можным (при отсутствии специальной оговорки) оба случая: а < b
и a >b.
**) Вместо этого можно было бы предположить, что функция f(x) ин¬
тегрируема в каждом из двух меньших промежутков: тогда она была бы
интегрируема и в большем.
***) Смысл обозначений ясен сам собою.

332
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1182
откуда, перенося первый и второй интегралы из одной части равен¬
ства в другую и переставив пределы (на ссновании свойства 1°),
придем опять к прежнему соотношению.
3°. Если f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и
k •/ (х) (где k = const) также интегрируема в этом промежутке,
причем
ь	ь
\k-f(x)dx = k • $/(*) dx.
a	a
4°. Если f(x) u g(x) — обе интегрируемы в промежутке [а, Ь\
то и f(x)±g(x) также интегрируема в этом промежутке,
причем
ь	ь	ь
\ [/(•*) ±£(-*0] <£* = $/(*) dx ± $£(*) dx.
В обоих случаях доказательство строится аналогично, с помощью
перехода к пределу в интегральных суммах. Проведем его, напри¬
мер, для последнего утверждения.
Разобьем промежуток [а, Ь\ произвольно на части и составим
интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки ^
в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех
сумм одни и те же; тогда будем иметь
S ± £&)] Ах(=2/(?<) д*<± 2 £&) bxt.
Пусть теперь Х->0; так как для обеих сумм справа пределы
существуют, то существует предел и для суммы слева, чем уста¬
навливается интегрируемость функции f(x)±g(x). Переходя в пре¬
дыдущем равенстве к пределам, приходим к требуемому соотно¬
шению.
182.	Свойства, выражаемые неравенствами. До сих пор мы
рассматривали свойства интегралов, выражаемые равенствами; перей¬
дем теперь к таким, которые выражаются неравенствами.
5°. Если функция f(x\ интегрируемая в промежутке [a, Ь],
неотрицательна и а<^Ь, то
ь
\f(x)dx^z 0.
а
Доказательство очевидно.
Простым следствием отсюда (и из 4°) является

182]	S	2.	СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	333
6°. Если обе функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежут¬
ке [а, Ь\ и всегда f{x)^g\x), то и
ь	ь
\f(x')dx<=.\g{x')dx
а	а
в предположении, что а<^Ь,
Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности
7°. Пусть функция f{x) интегрируема в промежутке [а, b]
и а <^Ь; тогда и функция |/С*)| интегрируема в этом проме-
жутке, и имеет место неравенство
| $/(*) dx | < ^ \fix)\dx-
а	а
Прежде всего убедимся в существовании интеграла от |/(я)|.
Если в промежутке [xif хм\ взять любые две точки xf и х!\ то [п° 8]
11/(Л1Н/(^11<1/(Л-/С*')|.
Поэтому, обозначив через о>* колебание функции \f(x)\ в проме¬
жутке [xit хм\ по определению колебания [п° 73], будем иметь
так что
О < 2 Aj?< ^ 2	*)’
и стремление к нулю суммы справа влечет за собой то же для
суммы слева.
Самое же неравенство легко получить непосредственно, исходя из
интегральных сумм
12/6) д*, |< 21/6) I**»*)
и переходя к пределам.
8°. Если f(x) интегрируема в [а, Ь\, где а<^Ь, и если во всем
этом промежутке имеет место неравенство
m^f(x)^M,
то
ъ
т (Ь — а) ^ $/(•*) dx^M(b — а).
а
Можно применить свойство 6° к функциям т, f(x) и М, но
проще непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами
2/6) Axi < м 2 Ддг<
и перейти к пределу.
*) Так как acbt то все Дл:,;>0.

334
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
(182
Доказанным соотношениям можно придать более удобную форму
равенства, освобождаясь в то же время от ограничения а<^Ь.
9°. Теорема о среднем значении. Пусть f(x) интегрируема
в [а, b] (a gj Ь) и пусть во всем этом промежутке m^f(x)^M;
тогда
ь
\f(x) dx = y.(b — а),
а
где т^р^М.
Доказательство. Если а<^Ь, то по свойству 8° будем
иметь
ь
j/OOckcsgM.
а
Положив
Ь
TL-^f(x)dx = v.,
а
получаем требуемое равенство.
а
Для случая, когда а^>Ь, проводим то же рассуждение для ^ ,
ь
а затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле.
Только что доказанное равенство принимает особенно простой
вид, когда функция f(x) непрерывна. Действительно, если считать, что
т и М суть наибольшее и наименьшее значения функции, суще¬
ствующие по теореме Вейерштрасса [п° 73], то и промежуточное зна¬
чение |i, по теореме Больцано — Коши [п°70], должно приниматься
функцией f(x) в некоторой точ¬
ке с промежутка [а, Ъ]. Таким
образом,
ь
5 / (•*) dx=(b — a)f (с),
а
где с содержится в [а, Ь].
Геометрический смысл послед¬
ней формулы ясен. Пусть / (дг) ^ 0.
Рис. 67.	Рассмотрим	криволинейную	фигу¬
ру ABCD (рис. 67) под кривой
y=f(x). Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая опре¬
деленным интегралом) равна площади прямоугольника с тем же
основанием и с некоторой средней ординатой LM в качестве высоты.
10°. Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть.
1)	£■(•*) 11 произведение f(x)*g(x) интегрируемы в промежутке

182)	$	2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	335
[а, £]; 2) m^f(x)^Ai; 3) g*(je) во всем промежутке не меняет
знака: ^(лг)^О [^(лг)^0]. Тогда
ь	ь
\f{x)g{x)dx = ^.\g (лг) dx,
а	а
где т ^ (i ^ М.
Доказательство. Пусть сначала g*(jc)^0 и а<^Ь\ тогда
имеем
mg (х) </ (лг)g (лг) sS Mg (лг).
Из этого неравенства, на основании свойств 6° и 3°, получаем
ь	ь	ъ
tn\g(x)dx^ \f(x)g{x) dx ^	dx.
а	а	а
Ввиду предположения о функции £(*), по 5° имеем
ь
\g(x)dx^z 0.
а
Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно,
что одновременно также
ъ
\f(x)g(x)dx = 0,
а
и утверждение теоремы становится очевидным. Если же интеграл
больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двой¬
ного неравенства, положим
ь
\f{x)g(x) dx
\g(x)dx
а
и придем к требуемому результату.
На самом деле ограничения, что а<^Ь и £(лг)^0, не нужны:
перестановка пределов или изменение знака g(x) не нарушат ра¬
венства.
Если /(х) непрерывна, то эта формула может быть записана
следующим образом:
ь	ъ
\f (х) g (х) dx =f(c) \ g (х) dx,
а	а
где с содержится в [а, Ь].
Замечание. Переменную интегрирования мы постоянно обозна¬
чали буквой х\ но, разумеется, ничто не изменилось бы, если бы,

336	ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[183
вместо х, мы пользовались какой-нибудь другой буквой, лишь бы
сохранились пределы а и 6, между которыми переменная меняется,
ъ
и подынтегральная функция f. Символ ^ f{x)dx означает ровно то же
а
Ь	Ь
число, что и ^f(t)dt или ^f{z)dz и т. п. Этим очевидным замеча-
а	а
нием мы сейчас воспользуемся.
183.	Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a, b] (a^b)t то
1181, 2°] она интегрируема и в промежутке [а, х\ где х есть любое
значение из [а, Ь]. Заменив предел Ь определенного интеграла пере¬
менной х, получим выражение
®(x)=\f(t)dt*),	(1)
а
которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает
следующими свойствами:
11°. Если функция f{x) интегрируема в [а, Ь\ то Ф(лг) будет
непрерывной функцией от х в том же промежутке.
Доказательство. Придав х произвольное приращение Ад: = h
с тем лишь, чтобы x-\-h не выходило за пределы рассматриваемого
промежутка, получим новое значение функции (1):
дг+А	х лг-fr Л
Ф(* + й)= $ /(0<ft=$+ $
а	ах
[см. 2°], так что
ж+ft
Ф (дг -(- А) — Ф (jc) = ^ f{t)dt.
X
Применим к этому интегралу теорему о среднем значении 9°:
Ф (х -}- К) — Ф (х) — цА;	(2)
здесь [г содержится между точными границами rri и М функции/(дг)
в промежутке [.х, x-\-h], а следовательно, и подавно между (постоян¬
ными) границами ее т и М в основном промежутке [а, Ъ] **).
Если устремить теперь h к нулю, то, очевидно,
Ф (х -j- К) — Ф (х)	0	или Ф (х -)- К)	Ф (дг),
что и доказывает непрерывность функции Ф (лг).
*) Переменную интегрирования мы обозначили здесь через чтобы не
смешивать ее с верхним пределом х.
**) Напомним, что интегрируемая функция ограничена [n* 176J.

183]	§	2.	СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	337
12°. Если функцию fit) предположить непрерывной в точ¬
ке t — xг, то в этой точке функция Ф(лг) имеет производную,
равную
ф'с*)=/(*)*)-
Доказательство. Действительно, из (2) имеем
Ф (х-\- h) — Ф (х)	^ л/1,
—>	^	— = [х, где т^р^М.
Но, ввиду непрерывности функции f(t) при t=xy по любому е]>0
найдется такое 8]>0, что при |Л|<^8
f(x) — ш </(0 </(*) + •
для всех значений t в промежутке [лг, x-\-h], В таком случае имеют
место и неравенства [6]
f(x) — е ^ mf ^ Mr *^f(x) е,
так что и
fix) — е^[х^/(лг)-}-е или |(х—/(лг)|^е.
Теперь ясно, что
Ф' (лг) = lim .? С* + *) — ф (*)„ = iim ^ == f(x),
Л-о	п	Л-0
что и требовалось доказать.
Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципиальное
и прикладное значение. Если предположить функцию fix) непрерыв¬
ной во всем промежутке [а, Ь\ то она интегрируема [п° 179, I] и преды¬
дущее утверждение оказывается приложимым к любой точке лг
этого промежутка: производная от интеграла (1) по переменному
верхнему пределу х везде равна значению fix) подынтегральной
функции на этом пределе.
Иными словами, для непрерывной в промежутке [а, Ь\ функ¬
ции fix) всегда существует первообразная\ примером ее яв¬
ляется определенный интеграл (1) с переменным верхним пределом.
Таким образом, мы, наконец, установили то предложение, о ко¬
тором упоминали еще в п° 166.
В частности, мы теперь можем записать функции F и Е Лежандра [174]
в виде определенных интегралов:
F(k, y)=f -- -		,	E(k, i)= С /1—ft*sin26 rf0.
r/ J у i — *2Sm*e *	Y; J
0 r 0
*) Это важное предложение — для функции, непрерывной во всем про¬
межутке,— впервые строго доказал Коши (в 1823 г.).
Если вспомнить геометрическое истолкование определенного интеграла
как площади [п° 175], то теорема 12е отождествится с так называемой тео¬
ремой Ньютона и Лейбница [п° 156].

338	ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[184
По доказанному только что, это будут первообразные функции, соответ¬
ственно, для функций
—г- ^ • ■ г , Y1—&2sina<p
]Л — *2sina<p
и притом обращающиеся в нуль при <р = 0.
Замечание. Утверждения, доказанные в настоящем номере,
легко распространяются на случай интеграла с переменным нижним
пределом, так как вследствие 1°
Ь	х
х	Ъ
Производная от этого интеграла по х, очевидно, равна — f(x),
если х есть точка непрерывности.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
184.	Вычисление с помощью интегральных сумм. Приведем
примеры вычисления определенного интеграла, непосредственно как
предела интегральных сумм — в согласии с его определением. Зная
наперед, что интеграл для непрерывной функции существует, для вы¬
числения его мы можем выбирать разбиение промежутка и точки S,
руководствуясь исключительно соображениями удобства.
ь
1)	J sin х dx. Разделив промежуток [а, Ь] на п равных частей, поло-
а
b — й
жим h== ——; функцию sin х вычислим для правых концов, если а < о%
и для левых при а > Ь. Тогда
п
”n = h S Sin (а + ih).
/=1
Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее
на 2 sin у, а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов,
легко получим:
п	п
"V sin (а + ih) —	—'S 2 sin (а + ih) sin ~ =
2 sin у i=\
2 sin -тг
1	[coe^e+tt—j*)— cos(a-(-i/i+-^j] =
cos + y h'j — cos (л+яЛ+у
о • h
2sm2
(1)

184]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	339
Таким образом,
Jl
= —2— Г cos U + у л) — cos (а + Y л)1 •
sin у L
Так как h-+ О при я—*>со, то
*	А
J sin х dx = lim —cos	+ у	— cos [b	+ у	J = cos a — cos b.
a	sin ~2
b
2)	^x*dx (£>a> 0; fA—произвольное вещественное число).
a
На этот раз мы разобьем промежуток [я, Ь] на неравные части,
а именно между а и b вставим п — 1 средних геометрических. Иными сло¬
вами, положив
q=qn=\f
рассмотрим ряд чисел
а,	ад	aq'	aqn = b.
Заметим,	что	при	я —оо	отношение	q = qa—l,	разности	же	aqi+1—aq1
все меньше величины b (q — 1)—► ().
Вычисляя функцию для левых концов, имеем
°п= 2 И')и- (aqi+l —aqlj=av-+l (q — 1) jf) (9>‘+1)<.
1=0	l=o
Предположим сначала, что —1; тогда
(АГ—1
ш
®я = ^+I {q — 1) ■>- +	Г— = (Я1*1 — аИ-+1)
я —1
^+1	 J V	'	^+1—-1
и, используя уже известный предел [п° 65, 3)], получим
ъ
С	а	1
J " '* “„!£ •*=<4““Й «fcr —мл--
a
В случае же fi. = — 1 будет
= Я (?п —!) = «["[/" -J —l),
и на основании другого известного результата [там же, 2)]

340
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
(185
185.	Основная формула интегрального исчисления. Мы видели
в п° 183, что для непрерывной в промежутке [а, Ь] функции f(x)
интеграл
®(x)=\f(t)dt
а
оказывается первообразной функцией. Если F(*) есть любая
первообразная для f(x) функция [например, найденная методами § 1—4
предыдущей главы], то [п° 165]
3>(*) = F(*) + C.
Постоянную С легко определить, положив здесь х = а, ибо
Ф(а) = 0; будем иметь
0 = Ф (a) = F(a)-\-Ct откуда С= — F(a).
Окончательно
0>(x) = F(x) — F(a).
В частности, при х = Ь получим
Ф (Ь) = $ /(*) dx = F(b) — F (а).	(А)
а
Это — основная формула интегрального исчисления *).
Итак, значение определенного интеграла выражается раз¬
ностью двух значений, при х = Ь и при х = а, любой первооб¬
разной функции.
Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычисления
определенного интеграла от непрерывной функции f(x). Ведь для
ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первооб¬
разную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях
определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной
формуле. Заметим лишь, что разность справа обычно изображают
символом F(x) j£ («двойная подстановка от а до Ь) и формулу пишут
в виде
\jf(x)dx = F(x)\ba.	(А*)
а
*) Рассуждения здесь вполне аналогичны тем, которыми мы пользова¬
лись в п° 156 при вычислении функции Р(х) и площади Р. Сама фор¬
мула (А) легко могла бы быть получена сопоставлением результатов п° 156
и п° 175.

1861
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
341
Так, например, сразу находим:
ь
1)	J sin х dx = — cos х = cos а — cos bt
a
b
p	лгИ-* I*	b^+1—a^+1
2)	)л^л=!]Г+т1а=	FH
a
b
3)	J ~- = 1пд:|*=1п6— lne (a>0, *>0)
a
—	результаты, не без труда полученные нами в предыдущем номере.
186.	Формула замены переменной в определенном интеграле.
Та же основная формула (А) позволит нам установить правило замены
переменной под знаком определенного интеграла.
ь
Пусть требуется вычислить интеграл ^ f(x)dx, где f{x) непрерыв-
а
ная в промежутке [а, Ь\ функция. Положим х = ср(£), подчинив функ¬
цию ср(£) условиям:
1)	сp (t) определена и непрерывна в некотором промежутке [а, р]
и ее значения	не	выходят	за пределы промежутка	[а,	Ь]	*),	когда
t изменяется в	[а,	р];
2)	ср (а) = а, ср (Р) =
3)	существует в [а, р] непрерывная производная <р'(0*
Тогда имеет место формула
\f(x)dx=J)if(<f{f))^(t)dt	(2)
а	а
Ввиду предположенной непрерывности подынтегральных функций
существуют не только эти определенные интегралы, но и соответствую¬
щие им неопределенные, и в обоих случаях можно воспользоваться
основной формулой. Но если F(x) будет одной из первообразных для
дифференциала	f(x)dx, то	функция Ф (t) = F (ср (£)),	как	мы	знаем,
будет первообразной для дифференциала / (<р (0) * ?Ч0 1СР- п° 160].
Поэтому имеем одновременно
ь
5 f(x)dx=F(b) — F(a)
*) Может случиться, что функция f(x) определена и непрерывна в более
широком, чем [л, Ь\у промежутке [А, В], тогда достаточно потребовать,
чтобы значения (t) не выходили за пределы промежутка [А, В\.

342
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И
5 /(? (0) ?' (0 М=Фф) - Ф(а) = F (<р ((*)) - F(<р (а)) = F(b)- F(a),
откуда и вытекает доказываемое равенство.
Замечание. Отметим одну важную особенность формулы (2).
В то время, как при вычислении неопределенного интеграла с по¬
мощью замены переменной, получив искомую функцию выраженной
через переменную t, мы должны были возвращаться к старой пере¬
менной ху здесь в этом нет надобности. Если вычислен
второй из определенных интегралов (2), который представляет собой
число, то тем самым вычислен и первый.
Примеры. 1) Найдем интеграл \ Yа*—х2 dx с помощью подста-
а
а
новки * = asin t; роль а и р здесь играют значения 0 и Имеем:
о	о
[ср. п° 160].
2) Рассмотрим интеграл
2
Последний интеграл подстановкой
приводится к виду
изменяется
о
2
(тс — t) sin t
1 4* cos2*
2
и представляется в виде разности
2
я
1C
Т
5 sin t
1	+ COS2 t
о
Подставляя, после сокращений получим:

187]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	343
187.	Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Мы имели в п° 162 формулу интегрирования по частям
^udv = uv— du,	(3)
в предположении, что функции и, v от независимой переменной х
непрерывны в рассматриваемом промежутке [а, Ь\ вместе со своими
производными ti> т/. Теперь, с помощью все той же основной фор¬
мулы (А), мы преобразуем формулу (3) в аналогичную формулу уже
в определенных интегралах, сводящую вычисление одного определен¬
ного интеграла к вычислению другого (вообще более простого).
Обозначим последний интеграл в формуле (3) через <р(х). Тогда —
по формуле (А):
ь
\udv = [uv — <? (х)] |* = uv j* — <р (х) |*.
а
Так как в то же время, в силу (А),
ь
\vdu = <р(*)|*
а»
а
то и приходим окончательно к формуле
ь	ь
^udv = uv)fa —	du.	(4)
а	а
Формула (4), устанавливающая соотношение между числами,
принципиально проще формулы (3), в которой участвуют функции;
она особенно выгодна, если двойная подстановка равна нулю.
Пример. Вычислить интегралы
JC	1C
2	~2~
Jm = ^ sinm х dx, J'm = ^ cosm х dx
при натуральном m.
Интегрируя по частям, найдем:
2
2
5 sinOT_1 х d (— cos x) =— sinm_1 x cos л: ^ + (m — 1) ^ slnm~*x cos* xdx.
о	0
Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя cos2 х через 1 — sin2 х9
получим
Jm==(trl — 1) Ля-2 — (я* — 1) Jmt
откуда рекуррентная формула:
тп — 1 ,

344	ГЛ.	XT.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ	ИНТЕГРАЛ
по которой интеграл Jm последовательно приводится к /0 или Jv Именно,
при т = 2п имеем:
jin— г sin xdx — 2я (2/1—2) ... 4-2	2»
если .же т = 2/1 + 1, то
%
Т
т Г • 2П4.1	^	2п(2п	—	2)	... 4 • 2
в+> = 3 sm xdx = ~(2Н1)(2п_ 1}:з.р
О
Такие же точно результаты получаются и для J'm *).
Для	более	короткой	записи	найденных выражений	введем	символ	/я!!,
который	означает	произведение	натуральных чисел,	не	превосходящих	гп и
одной с ним четности (так что, например, 6!! = 2 • 4 • 6, а 71! = 1 • 3 • 5 • 7).
Тогда можно будет написать
(m — 1)!! тс
-	гг1— -к- при т четном
■"	го
(т —1)1!	w
		——	при	т	нечетном.
ml! г
188. Формула Валлиса. Из формулы (5) легко вывести знаменитую
фор му лу Валлиса, которая опубликована в 1655 г. в его «Ариф¬
метике бесконечных величина
Предполагая 0<*<у, имеем неравенства
sin2,1+1 х < sin2п х < sin2/1-1 х.
Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до
те	тете
Т	~2	~2
J sm2,l+1 х dx < J sin2" x dx	< J	sin2/l_1	x	dx.
г	i
J sinm x dx = ^ cosm x dx =
о	о
Отсюда, в силу (5), находим
2п\\	_	(2л~1)!!	«	_	(2/1	— 2)!!
(2п + 1)!!	2п\\	'	2	(2л	—1)1! *
или
Г 2п\\	]2	1	I2	1
Ц2/1- 1)!!J 2п +1 < 2	\_(2п— 1)1!J * 2/1-
Так как разность между двумя крайними выражениями
1	Г 2п\\ I2 _ 1 тс
(2п + \)2п [_(2/г— 1)1! J <2 л" 2 9
очевидно, стремится к нулю при п — со, то ^ является их общим пределом.
*) Заметим, что J'm переходит в 4 с помощью подстановки *==*?f—

189]
$ 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
845
Итак,
*	__	1	Г	2л!!	1»	1
2	»-IooL(2/i— 1)1!J 2л+1>
или
те	 г	2	2	4	4	2л	2п
2	1 "3	’	3	■ 5 ‘	’	2л—	1	’	2/1+1	•
Это и есть # 0/? ж .у ля	Валлиса*).	Она	имеет исторический инте¬
рес как первое представление числа те в виде предела легко вычисляемой
рациональной переменной. В теоретических исследованиях ею пользуются и
сейчас, но для гшиближенного вычисления числа те теперь существуют методы,
гораздо более быстро ведущие к цели.
§ 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
189.	Формула трапеций. Пусть требуется вычислить определен-
ь
ный интеграл ^ /(лг) dxг, где /(лг) есть некоторая заданная в проме-
а
жутке [а, b] непрерывная функция. В § 3 мы вычисляли подобный
интеграл преимущественно по формуле (А), с помощью первообразной.
Но первообразная в конечном виде выражается лишь для узкого
класса функций; за его пределами обычно приходится прибегать
к различным методам при¬
ближенного вычисления. Эти
методы дают приближенное
выражение для интеграла
через значения подынтеграль¬
ной функции, вычисленные
для ряда значений незави¬
симой переменной. В про¬
стейших случаях получение
такого выражения облегчает¬
ся геометрическими сообра¬
жениями, поскольку опреде¬
ленный интеграл может быть
истолкован как площадь
«криволинейной трапеции»
ABCD (рис. 68), ограниченной кривою y=f(x) [п°17б], и наша
задача сводится к приближенному вычислению такой площади.
Прежде всего, естественно заменить кривую CD ее хордой,
а криволинейную трапецию — обыкновенной трапецией. Для опреде¬
ления площади последней достаточно знать лишь начальную и конеч¬
ную ординаты
f(a)—yb	f(b) —yi
Рис. 68.
*) В оригинале дана формула для —.

346
ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[189
и основание Ь — a = h. Таким образом мы приходим к приближенной
формуле ^
j f{x) dx Ь-=^ [/(а) +/(*)] = 4 (у,+У1).	(1)
Конечно, эта формула дает лишь грубое приближение. Для полу¬
чения более точной формулы разобьем промежуток [а, Ъ] точками
Х\> -*2»	хп-1 на/| равных частичных промежутков
\йу	[-Kit	-^2]> • • • 9 h Щ	(2)
и проведем соответствующие взятым точкам ординаты; они разобьют
нашу фигуру на п полосок, каждую из которых мы приближенно заме¬
ним трапецией, подобно тому как выше сделали это со всей фигу¬
рой (рис. 69).
Так как высоты всех тра-
h
пеций равны —, то, полагая
f(a)=yo, f(xl)=yu ....
f(xn.i)=ya.i, f(b)=yn,
для площадей трапеций по
порядку будем иметь зна¬
чения:
^ CVi + js). ..
+Уп)-
Складывая, придем к приближенной формуле:
ь
J f(x) dx	+ У1 +... +Уп]-
(3)
Это и есть так называемая формула трапеций.
Можно показать, что при возрастании п до бесконечности погреш¬
ность формулы трапеций безгранично убывает. Таким образом,
при достаточно большом п эта формула воспроизводит искомое
значение интеграла с произвольной степенью точности.
Для примера возьмем известный нам интеграл
1
Г^Г» = Т==0’785398 -
1

190]
% 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
347
и применил к нему выведенную приближенную формулу, беря /г = 10 и
вычисляя на четыре знака.
По формуле трапеций имеем
*о = 0,0
*ю = 1»0
1,0000
у10 = 0,5000
Сумма 1,5000
1 ^Ь^ООО + 70993j = 0,78498
АГ1=0,1
ух = 0,9901
*2 = 0,2
3^2 = 0,9615
*з = 0,3
^з = 0,9174
*4 = 0,4
jy4 = 0,8621
* 5 == 0,5
уь = 0,8000
Xq = 0,6
yQ = 0,7353
х7 — 0,7
у7 = 0,6711
*8 = 0,8
_у8 = 0,60&8
хь — 0,9
у0 = 0,5525
Сумма 7,0998
Полученный приближенный результат разнится от истинного значения
меньше, чем на 0,0005.
Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли
оценить здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла.
Для того чтобы наша формула была действительно пригодна для прибли¬
женных вычислений, нужно иметь удобное выражение для погрешности,
которое позволяло бы не только оценивать погрешность при данном я, но
и выбирать /г, обеспечивающее требуемую степень точности. К этому во¬
просу мы вернемся в п° 191.
190.	Параболическая формула. Вернемся к криволинейной фи¬
гуре ABCD и, разделив ее основание АВ пополам в точке Е, про¬
ведем соответствующую
ей ординату EF (рис. 70).
Ординаты
AD =уо,
ВС=ух
и основание AB = h пред¬
полагаем известными.
Вместо хорд CF и FD
заменим на этот раз кри¬
вую CD приближенно ду¬
гой параболы (с вер¬
тикальной осью!), прохо¬
дящей через три точки
С, F, D — в расчете на то, что парабола лучше воспроизведет
данную кривую, чем ломаная CFD.
Конечно, прежде всего нужно удостовериться, что через произ¬
вольные три точки плоскости
(*о> Уо), (x,/v	(xv У1) (*oO/sOl)

348	ГЛ. XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[190
действительно всегда может быть проведена такая парабола, и при¬
том только одна. Уравнение параболы с вертикальной осью имеет
вид
у = ах4“ Ьх -f- с,
и его коэффициенты однозначно определяются из трех условий:
axl -\-Ьхй-{-с —уй,	ax\h -f bx4i -j- с =yi/a
ах] -\-bXi + c =уь
ибо определитель системы
*о	1
х\/%	хЧш	1
х\	хх	1
(«определитель Вандермонда») отличен от нуля *).
Теперь займемся вычислением площади Р фигуры, ограниченной
сверху именно дугой параболы. Как мы покажем, эта площадь
выразится формулой
р— 4 (у О + *Уч% +^1);	(4)
ее обычно связывают с именем Симпсона **).
Не умаляя общности, можно считать, что ось у проходит через
точку Л. Тогда
h
Р = J {ах* -\-bx + c)dx=^ (2aft* + 36ft -f 6c).
0
Если учесть, что
Уъ = с,	Учг = а	y^atf + bh + c,
то формула Симпсона проверяется непосредственно.
Выражение (4), дающее точное значение площади под парабо¬
лой, воспроизводит искомую площадь под кривой y=f(x) лишь
приближенно:
ь
J f(x) dx = J O# 4- 4yVe -f Jj).	(5)
*) При a = 0 парабола вырождается в прямую.
**) Томас Симпсон (1710—1761) — английский математик. По-види¬
мому, формула была известна еще до него.

191]
§ 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
849
Для повышения точности поступим так же, как и выше: разделим
промежуток [а, Ь] сначала на п равных частей (1), а рассматриваемую
фигуру — на п полосок, к каждой из которых в отдельности при¬
меним формулу типа (5). Так как эта формула использует кроме
крайних еще и среднюю ординату, то нам придется каждый из п
частичных промежутков (1) разделить с помощью точек х\/г%
хь/у	Дгл_1/9 еще пополам (так что в общей сложности основной
промежуток окажется разложенным на 2п частей). Так как основа-
h
ния всех п (а не 2я!) полосок равны —, то для площадей их полу¬
чим соответственно приближенные выражения
которая называется параболической формулой, или формулой
Симпсона; этой формулой пользуются для приближенного вычи¬
сления интегралов чаще, чем формулой трапеций, ибо она — при той
же затрате труда — дает обычно более точный результат.
сона. Мы возьмем 2/t = 4, так что число использованных ординат на этот
раз будет даже меньшим, чем раньше. Имеем (вычисляя на пять знаков).
—	все пять знаков верны!
Конечно, по отношению к формуле (5) могут быть повторены замечания,
сделанные в конце предыдущего номера. К оценке погрешности приближен¬
ных формул мы сейчас и переходим.
191.	Дополнительные члены приближенных формул. Рассмотрим
сначала простейший частный случай формулы трапеций, отвечающий пред¬
положению /1 = 1, т. е, формулу (1). Восстанавливая точность этой формулы
h
6n O'0 + Vs
h h
CVi + 4ув/а + Уъ), ...»	(Уп-1 + 4Ул-1/8 + Уп)*
h
Складывая их, придем к новой приближенной формуле:
ь
J fix) dx =*= ~ [(уо + yn) -{-2 (yi + • • • -\-Уп-д +
а
Для сравнения вычислим снова интеграл
формуле Симп-
х0 — 0 хЧш —	^	*8/9—4 х2 *
Л = 1	4>Ч	=	3»76471	2yt	=	1,6	4у8/а	=	2,56	^	=	0,5
1(1+3,76471 + 1,6 + 2,56 + 0,5) = 0,78539 ...

850	ГЛ.	XI.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ	ИНТЕГРАЛ	1-191
с помощью некоего «дополнительного члена» р, можем написать:
ь
J /(*) dx=. iyf [/(а) +/(*)] + Р,
а
и задача состоит в нахождении выражения р, удобного для оценки.
Предположим, что функция f(x) имеет в промежутке [а, Ь] непрерывные
производные первых двух порядков. Тогда следующие элементарные пре-
ь
образования интеграла ^ f(x)dx, сводящиеся к трижды повторенному ин-
а
тегрированию по частям, непосредственно приводят к искомому выражению
для р.
Имеем:
ъ	ь	ъ
§/(*) dx=\f(x) d (x — a)=/(b) (b — a) — ^f (x) (x — a) dx,
a	a	a
b	b	b
(*) (x — a) dx = ^f (x) (x— a) d(x — b) =— ^(x— b) d [f (*) (x — л)] =
a	a	a
b	b
= — \f' (X) (x — a) (x-b)dx-^f (x) (X — b) dx,
a	a
b	b	b
$ f {x) (x — b) dx — 5 (X — b) df (x) =f(a)(b — a)—^f (x) dx.
a	cl	a
Сопоставляя все это, получим
ь	ь	ь
\ f {x) dx=(b — a) [/ («)+/(*)]-$/(*) <** + $/" (X) (x - a) (x- b) dx,
a	a	a
откуда
ь	b
J / (Jf) dx = tzB [f ia)+fm + ^r (x) (x - a) (x - b) dx,
a
так что
о
p = y ^ /" (x) (X — a)(x — b) dx.
Так как функция f' (x) непрерывна, а множитель (x — a) (x — b) не
меняет знака в промежутке [а, b]t то — по обобщенной теореме о среднем
[о° 182, 10°]
ь
Р = jf (Ь J (х — о) (х — b) dx = —	/"	({),
а
где а^\^Ь *).
*) Этот простой вывод выражения для дополнительного члена формулы (1)
принадлежит студенту Г. Ц е й т и н у.

191J	§	4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	351
Если промежуток [д, Ь] разделен на п :> 1 равных частей, то для каж¬
дого частичного промежутка [л:,-, лг,+1) — по доказанному — будем иметь
точную формулу
■*i+i
^ / (*) dx = Ь-^ • У‘ ^Vf+1 —	Г	(£i)	(Xi < 5/ Xi+i).
*i
Сложив эти равенства (при / = 0, 1, ..., п—1) почленно, получим:
ь
J f(x) dx=А р+*а +Л+...	+ fint
а
(h = b — а)
где выражение
о	_	f’(to)+f'(ti)	+	...+f'	(6„-i)
Нл “	12/г2	п
и есть дополнительный член формулы трапеций (3).
Обозначим через т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее
значения непрерывной функции f' (л:) в промежутке [л, Ь\ [п° 73]; тогда и
среднее арифметическое
Г go)+Г (6|)+■■■+/” fa-i)
п
также будет содержаться между т и М. По известному свойству непрерыв¬
ной функции [п°70) найдется в [а, b] такая точка, 8, что упомянутое выра¬
жение в точности равняется /" (8). Поэтому окончательно имеем
=	/"(S)	^	*>•	(7)
При возрастании п этот дополнительный член убывает, примерно, как
JL *\
п2	1
Р rf*
Вернемся, для примера, к вычислению интеграла \	*	произве¬
денному в п° 189. Для подынтегральной функции /(*)=	■/ ^ имеем f* (х) =
* + х
Зл:2 — 1	гл	п
= 2 ^	эта	производная	в	промежутке	[0,	1]	меняет знак, но по
абсолютной величине остается меньшей двух. Отсюда, по формуле (7),
I	Яю I < 0,0017. Мы вычисляли ординаты на четыре знака с точностью до
0,00005; нетрудно видеть, что погрешность от округления ординат может
быть включена в приведенную выше оценку. Истинная погрешность, дей¬
ствительно, меньше этой границы.
По отношению к формуле Симпсона (б> мы ограничимся тем, что при¬
ведем ее дополнительный член без вывода. В предположении существования
*) Мы говорим примерно, ибо и £ может изменяться с измене¬
нием п. Это следует помнить и впредь.

352	ГЛ.	XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[\92
для функции f(x) четырех непрерывных производных, этот дополнитель¬
ный член (если промежуток разделен на 2п частей) имеет такой вид:
			(«СЧ*»)-	(8)
I
С dx
Обратимся снова к интегралу 1 у-т-—Для того чтобы избежать вы-
V +х
числения четвертой производной, фигурирующей в формуле (8), мы заметим,
что функция /(•*г) = г“т:—2 сама является производной от у = arctg лг, так
что мы можем воспользоваться готовой формулой из п°96, 5). В согласии
с ней
/(4) (■*) =У5) = 24 cos5 sin 5 [.У + у).
откуда |/(4)(*) I ^24, так что по формуле (7) | Rt | <	<	0,0006.	Истин-
ная погрешность, как. мы видели, значительно меньше этой границы.
192* Пример. В заключение, чтобы дать пример приближенного вычис¬
ления определенного интеграла, значение которого нам наперед неизвестно,
поставим себе задачей вычислить полный эллиптический инте¬
грал второго рода *)
1C
2
E[jh)=$Yl-is]nixdx
о
с точностью до 0,001 по формуле Симпсона.
Для функции f(x)=j/~ 1 — ~ sin2х, при изменениихот 0 до имеем
|/4> (*) | < 12 **), поэтому [см. (7)1
(IT 2 1
l#s»l< 180.(2га)4 '12<У ‘ (2п)4’ ТаК КаК (т) < 10,
*) Полными называют интегралы F (kt 9) и Е (ft, у) Лежандра при
^ = в этом случае в их обозначении мы будем опускать второй аргумент
и писать просто F(k)t E(k). Для полных интегралов существуют особые
таблицы.
**) Очевидно, у =/ (а:) ^ —=.; дифференцируя тождество
^ У 2
^* = 1—-^sin**,
легко последовательно получить оценки сверху абсолютных величин произ¬
водных у\ у", у"\ у'”\

192]	§	4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	353
Возьмем 2л = 6, так что |	| < 0,00052. Тогда
х0 = 0 (0е)	у0	=	1,0000
*»/, = Й (15’>	4У1/, = / 12 + /Г2 = 3,9324
ATj = |- (30*)	2ух = У14/2 =	1,8708
*./s	(45*)	4Л/г = /12 =	3,4641	~	■	^у^-	=	1,35063	...
х8 = |- (60°)	2уа = /'10/2 =	1,5811
х5/2 = g (75*)	4у5/з = /12-/12 =	2,9216
*. = у(90’)	Л-=/2*/2= 0,7071
Сумма 15,4771
К полученному результату, кроме поправки /?в, следует добавить еще
(неотрицательную) поправку на округление, которая не превосходит
«««•*«1,00003.
36
Таким образом,
1,35011 < Е	< 1,35118,
!Ш-1
и можно утверждать, что E\^r=.j= 1,351 o,ooi.
(На деле в полученном результате все знаки верны!)
Этот пример интересен в том отношении, что соответствующая перво¬
образная функция в конечном виде не выражается, так что ею воспользо¬
ваться для вычисления определенного интеграла было бы невозможно.
Наоборот, если в этом и аналогичных случаях первообразные предста¬
вить в виде определенных интегралов с переменным верхним пределом, то
можно было оы вычислить значения этих интегралов, отвечающих ряду
значений верхнего предела. Этим, с принципиальной стороны, выясняется
возможность составления для функций, заданных лишь их интегральными
выражениями, таких же таблиц» какие известны читателю для элементарных
функций.
12	Г. М. Фихтенгольц, т. 1

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
193.	Определение понятия площади. Квадрируемые области.
Многоугольной областью, или — короче — многоуголь¬
ником, мы будем называть произвольную конечную (возможно и
несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими
замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие площади было
достаточно изучено в школьном курсе геометрии, его мы положим
в основу.
Возьмем теперь произвольную фигуру (Р) на плоскости, представ¬
ляющую собой ограниченную замкнутую область. Ее гра¬
ницу или контур (К) мы всегда
будем себе представлять в виде
замкнутой кривой (или нескольких
таких кривых).
Станем рассматривать всевозмож¬
ные многоугольники (А), целиком
содержащиеся в (Р), и многоуголь¬
ники (В), целиком содержащие	в
себе (Р) (рис. 71). Если А и	В
означают, соответственно, их пло¬
щади, то всегда. А^В. Множество
чисел {Л}, ограниченное сверху
любым В, имеет точную верхнюю
границу Р* [п° 6], причем Р* В. Точно так же множество чисел {В}>
ограниченное снизу числом Р*, имеет точную нижнюю границу
Р* ^ Р*.	Эти	границы	можно	было бы назвать — первую — в н у	т-
ренней,	а	вторую — внешней площадью фигуры (Р).
Если обе границы
P# = sup{i4} и P* = inf{5}
совпадают, то общее их значение Р называется площадью
фигуры (Р). В этом случае фигуру (Р) называют квадрируемой.

193]
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
355
1°. Для существования площади необходимо и достаточно,
чтобы для любого е^>0 нашлись таких два многоугольника (Л)
и (В), что В — A < в.
Действительно, необходимость этого условия вытекает из основных
свойств точных границ [п° в]: если площадь Р существует, то най¬
дется Л^>Р—и	Достаточность сразу же следует
из неравенств
Л^Р*^Р*^£.
Та же мысль может быть выражена и иначе: существенную роль
в вопросе о квадрируемости области (Р) играет кривая (/С), служащая
ее контуром.
Если квадрируемость налицо, то, как мы только что видели,
но заданному е^>0 кривая (К) может быть заключена в некоторую
многоугольную область (В— Л), содержащуюся между контурами обоих
многоугольников (Л) и (В) (см. рис. 71) и имеющую площадь В — А е.
Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заключен
в многоугольную область (С) с площадью С<^е, где е — любое наперед
заданное положительное число. При этом, без умаления общности,
можно предположить, что (С) не покрывает всей фигуры Р. Тогда
из точек области (Р), не попадающих внутрь (С), составится много¬
угольная область (Л), содержащаяся в (Р); если же к (Л) присоеди¬
нить (С), то получится многоугольная область (В), уже содержащая
в себе (Р). Так как разность В—Л = С<[е, то — в силу 1° — отсюда
следует квадрируемость области (Р).
Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или не¬
замкнутая) кривая (К) имеет площадь, равную нулю, если
ее можно покрыть многоугольной областью с произвольно малой пло¬
щадью. Тогда приведенное выше рассуждение позволяет сформулиро-
гать условие квадрируемости в новой форме:
2°. Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо
и достаточно, чтобы ее контур (К) имел площадь, равную нулю.
В связи с этим приобретает важность выделение широких клас¬
сов кривых с нулевой площадью.
Легко показать, что этим свойством обладает любая непрерывная
кривая, выражаемая явным уравнением вида
y=f(x) или X = g(y)	(1)
(а ^ х ^ Ь)	(с ^у d)
(/ и g— непрерывные функции).
Пусть, например, мы имеем дело с первым из этих уравнений.
По заданному е^>0 можно промежуток [а, b] разложить на части
\xiy xi+1\ (/ = О, 1, ..., п—1) так, чтобы в каждой из них коле¬
бание а>* функции / было	[п°76]. Если обозначить, как обычно,
12*

356
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[194
через mt и Mt наименьшее и наибольшее значения функции / в /-м
промежутке, то вся наша кривая покроется фигурой, составленной
из прямоугольников
что и требовалось доказать. Значит, кривая (1) имеет нулевую пло-
весь контур, очевидно, так же будет иметь площадь, равную нулю.
194.	Аддитивность площади. Представим себе, что фигура (Р)
разложена на две фигуры (Pj) и (Ре)*): это можно осуществить,
например, с помощью кривой, соединяющей две точки ее контура
или целиком лежащей внутри (Р) (рис. 73, а и б). Тогда имеет место
теорема:
4°. Квадрируемость двух из этих трех фигур (Р), (Р2), (Р2)
влечет за собой квадрируемость третьей, причем всегда
\Xi> хм; т^у Mf]	(i — 0, 1, ..,j п 1)
(рис. 72) с общей площадью
2	(Mt — отг) (лтм — ЛГ;) = 2 <»iAxi < jbj 2 АЛГ*‘ = ®'
У
щадь. Отсюда следует:
3°. Если фигура (Р) ограни¬
чена несколькими непрерывными
кривыми, каждая из которых
порознь выражается явным урав¬
нением (1) (того или другого
типа), то эта фигура квадри-
i i
-z РУема•
Рис. 72.
&ut о	Действительно,	поскольку
каждая из упомянутых кривых
имеет нулевую площадь, то и
Рис. 73.
(2)
*) Они могут иметь частично общую границу, но не налегают одна на
другую, т. е. не имеют общих внутренних точек.

196]
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
357
Утверждение относительно квадрируемости сразу вытекает из усло¬
вия 2°. Остается лишь доказать равенство (2). Рассмотрим соответ¬
ствующие фигурам (Pt) и (Ра) входящие и выходящие многоуголь¬
ники (Ai), (Бх) и (Л2), (В%). Из взаимно неналегающих многоуголь¬
ников (At), (Л2) составится многоугольная область (Л) с площадью
A = At-\- Аь целиком содержащаяся в области (Р). Из многоуголь¬
ников же (Вх) и (5а), возможно, и взаимно налегающих, составится
область (£) с площадью В ^ Bt -f- В%, содержащая в себе область (Р).
Имеем одновременно
А\ -J- А<2 ^ Р ^ В ^ В\ -J- В%
и
А\ ^ Р\ Н“ Р% ^ Вх -|- В%,
так что числа Р и Pj-|-P2 содержатся между одними и теми же и
притом произвольно близкими границами Ai-\-A% и Bi-{-Bi, следо¬
вательно, эти числа равны, что и требовалось доказать.
Отметим, в частности, что отсюда Р\<^Р> так что часть фигуры
имеет площадь, меньшую, чем вся фигура.
196. Площадь как предел. Условие квадрируемости 1°, сформу¬
лированное в предыдущем номере, может быть перефразировано так:
5°. Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо
и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности
многоугольников {(Лл)} и {(£л)}, соответственно содержащихся в (Р)
и содержащих (Р), площади которых имели бы общий предел
lim Ап — \\тВп = Р.	(3)
Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры (Р).
Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие
фигуры, квадрируемость которых уже установлена:
6°. Если для фигуры (Р) можно построить такие две после¬
довательности квадрируемых фигур {(Q„)} и {(/?л)}, соответ¬
ственно содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых
имеют общий предел
lim Qn = Um Rn — Py
то фигура (Р) также квадрируема, причем упомянутый предел и
будет ее площадью.
Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заменить
каждую фигуру (Qn) содержащимся в ней многоугольником (Лд),
а фигуру (Rn) — содержащим ее многоугольником (Вп), настолько
близкими к ним по площади, чтобы одновременно выполнялось и (3).
196.	Выражение площади интегралом. Обратимся теперь к вы¬
числению площадей плоских фигур при помощи интегралов.
На первом месте рассмотрим, впервые — в строгом изложе¬
нии, уже встречавшуюся нам задачу об определении площади

358
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(196
криволинейной трапеции ABCD (рис. 74). Эта фигура огра¬
ничена сверху кривой DC, имеющей уравнение
где f(x)— положительная и непрерывная в промежутке [а, Ь] функ¬
ция; снизу она ограничена отрезком АВ оси л;, а с боков—двумя
ординатами AD и ВС (каждая из которых может свестись в точке).
Обозначив через /и* и Mv соответственно, наименьшее и наибольшее
значения функции fix) в i-м промежутке (/ = 0, 1, ..., п—1), со¬
ставим суммы (Дарбу)
Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур,
составленных соответственно из входящих и выходящих прямоуголь¬
ников (см. рисунок). Поэтому
Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу
и сверху кривыми (рис. 75), уравнения которых
И yi=fi(x)	(а<х<Ь),
*) В силу 5е это само по себе доказывает квадрируемость криволиней¬
ной трапеции ABCD; чтобы получить упоминавшиеся там последова¬
тельности фигур, можно было бы, например, делить промежуток на
л равных частей, увеличивая п до бесконечности.
У=/(х),
Собственно, существование
площади Р рассматриваемой фи¬
гуры ABCD следует из 3°, и речь
идет лишь об ее вычислении.
С этой целью разобьем про¬
межуток [а, Ь], как обычно, на
части, вставив между а и b ряд
\В „ точек
Рис. 74.
(X =	it.	<<	^
имеют своим пределом интеграл ^f(x)dx*), следовательно, ему и
а
равна искомая площадь
ъ
ь
P=^ydx = ^f (дг) dx.
(4)
а
а

196]
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
359
то, рассматривая ее как разность двух фигур ABFE и ABDC, полу¬
чим площадь названной трапеции [см. 4°] в виде
ь	ь
Р=\(Уъ— yi)dx = \ [/а(лг) —Л (х)] dx.	(5)
а	а
Пусть теперь дан сектор АОВ (рис. 76), ограниченный кри¬
вой АВ и двумя радиусами-векторами О А и ОВ (каждый из которых
может свестись к точке). При этом кривая АВ задается полярным
Рис. 76.
уравнением r = g(% где ^(6) — положительная непрерывная в про¬
межутке [а, р] функция.
Вставив между аир (см. рисунок) значения
а=ео<0,<еа<...<0,<0м<...<9д=р,
проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если ввести
и здесь наименьшее и наибольшее из значений функции g(0)
в [0*, 0<+1] : {а* и М;, то круговые секторы, описанные этими радиу¬
сами, будут соответственно входящими и выходящими для фигуры (Р).
Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих секторов
две фигуры, площади которых будут
°=т2^д9>- и %=j2 M‘A9i-
i	i
В этих суммах о и 2 легко узнать суммы Дарбу для интеграла
у ^	ПРИ стремлении к нулю наибольшей из разностей ABt
а
обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда в силу 6°*) фигура
*) Чтобы получить упоминавшиеся в 6е последовательности
фигур, и здесь можно было бы делить промежуток на п равных частей.

360	гл.	XII.	ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(Р) квадрируема и
р=11 rV0= 11 te(0)]V0.
[198
(6)
х2 у
Примеры. 1) Даны эллипс	=	1	и	точка	М(х.у) на нем
(рис. 77). Определить площадь криволинейной трапеции ВОКМ и сек¬
тора ОМВ.
Из уравнения эллипса имеем у = ~ ]/"л2 —*2, так что по формуле (4)
. х < Ъ ^	s-	.	а:	.	*у
= ~2 агС8Ш T + 25*^e	*	=Т	агС8Ш	Т'+ ~Т'
Так как последнее слагаемое представляет площадь АОКМ, то, отнимая
ее, для площади сектора получим выра¬
жение
ли»-» аЬ , х
Р2 = пл. ОМВ = -R- arcsm —.
аЪ
При х = а для площади четверти эллипса найдем значение	так
что площадь всего эллипса Р=паЬ. Для круга д = £ = г и получается из¬
вестная формула P=7ir2.
2)	Определить площадь фигуры, заключенной между двумя конгруент-
ными параболами у9 = 2рх и х2 = 2ру (рис. 78).
Очевидно, нужно воспользоваться формулой (5), полагая там
Ух=-^> У* =
Для установления промежу1“ка интегрирования решим совместно данные
уравнения и найдем абсциссу точки М пересечения обеих парабол, отличной
от начала; она равна 2р. Имеем:
P=j (y^-^)dx= (-§-	f	=уР’.

197]
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
361
3)	Формула (4) может быть использована и в том случае, если кривая,
ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или урав¬
нениями	* = ?(0, У = Ъ(*)
Произведя замену переменной в интеграле (4), получим (в предположении,
что х = а при t = tQ и х = Ь при t = Т):
т	т
«КО *’«<«•	(7)
to	to
Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его пара¬
метрического представления
х = а cost, y = b$mt
и учесть, что х возрастает от —а до л, когда t убывает от я до нуля, то
найдем	о	*
Р = 2 ^b sin t • (— a	sin t) dt =	2ab ^	sin21 dt =	nab.
n	0
Мы вычислили	здесь	площадь	верхней	половины	эллипса	и	удвоили ее.
4)	Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой
x = a(t— sin t), дг = д(1— cos t) (рис. 79). Имеем по формуле (7)
2л
Р = ^ я2( 1— cos ty dt “ а2 [^t—2sin^+-|- sin2^ |^=ьЗяла.
о
Таким образом, искомая площадь
оказалась равной утроенной площади
круга радиуса а.
5)	Найти площадь одного витка
архимедовой спирали г = а6 (рис. 80).
Имеем по формуле (6)
ч%
Р=-1в* f еа<*е=-^-е»
0
в то время как площадь круга ра¬
диуса 2тъа будет 4я3я2. Площадь вит¬
ка спирали равна трети площади кру-	^
га (этот результат был известен еще	рис>	go.
Архимеду).
197.	Определение понятия объема, его свойства. Наподобие
того, как в п° 193, исходя из понятия площади многоугольника, мы

362
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[197
установили понятие площади для произвольной плоской фигуры, мы
сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем много¬
гранника.
Итак, пусть дано произвольной формы тело (V), т. е. ограничен¬
ная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей (S) тела
пусть служит замкнутая поверхность (или несколько таких поверх¬
ностей).
Мы будем рассматривать многогранники (X) объема X, целиком
содержащиеся в нашем теле, и многогранники (У) объема У, содер¬
жащие в себе это тело. Существуют всегда точная верхняя гра¬
ница V* для X и точная нижняя граница V* для У, причем V* V*;
их можно было бы назвать, соответственно, внутренним и внеш¬
ним объемами тела.
Если обе величины
V* = sup {X} и V* = inf {У}
совпадают, то их общее значение V называется объемом
тела (У). В этом случае тело (V) иногда называют кубируе-
м ы м.
И здесь легко доказать теорему:
1°. Для существования объема необходимо и достаточно,
чтобы для любого е^>0 нашлись таких два многогранника («V)
и (К), для которых У — Х<^г.
Можно ее представить в другой форме:
2°. Для того чтобы тело (V) имело объем, необходимо и
достаточно, чтобы ограничивающая его поверхность (S) имела
нулевой объем, т. е. чтобы ее можно было заключить в многогран¬
ное тело с произвольно малым объемом.
К числу поверхностей с нулевым объемом, прежде всего, при¬
надлежат поверхности, выражаемые явным уравнением одного из трех
типов
Z =/ (X, у), у = g о, х), x — h (у, 2),
где /, g, h — непрерывные функции от двух аргументов в не¬
которых ограниченных областях.
Пусть, скажем, дано уравнение первого типа в области (Р), ко¬
торая содержится в прямоугольнике (R). По теореме п° 137, каково бы
ни было е 0, можно разложить этот прямоугольник на столь малые
прямоугольники (Rt) (i= 1, 2, .п)у чтобы колебание функции /
в той части (Р*) области (Я), которая содержится в (/?*), было <4>.
Если тх и Мг — наименьшее и наибольшее из значений функции f
в (Pi), то вся наша поверхность может быть заключена в много¬
гранник, составленный из прямоугольных параллелепипедов с пло-

198]
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
363
щадями оснований и высотами =	—	mt.	Объем этого много¬
гранника будет
i	t
что и требовалось доказать.
Поэтому:
3°. Если тело (V) ограничено несколькими непрерывными по¬
верхностями, каждая из которых порознь выражается явным
уравнением (одного из трех типов), то это тело имеет объем.
Подобно площади, и объем обладает свойством аддитив¬
ности:
4°. Если тело (V) разложено на два тела (1^) и (V2), то из
существования объема для двух из этих трех тел вытекает
существование объема для третьего. При этом
V=vt+vb
Легко перефразировать для объемов и те предложения 5°, 6°,
которые в п° 195 были доказаны для площадей:
5°. Для того чтобы тело (V) имело объем, необходимо и
достаточно, чтобы существовали такие две последовательности,
соответственно, входящих и выходящих многогранников {(A'J}
и {(Кл)}, объемы которых имели бы общий предел
lim Хп = lim Yn = V.
Этот предел и будет объемом тела (V).
Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогран¬
ников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы.
6°. Если для тела (V) можно построить такие две последова¬
тельности, соответственно, входящих и выходящих тел {(7~л)}
и {(£/л)}, которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся
к обще му пределу
lim Гл = lim Un = V,
то и тело (V) имеет объем, равный упомянутому пределу.
198.	Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевидного
замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого
служит квадрируемая плоская фигура (Р), имеет объем,
равный произведению площади основания на высоту: V=PH.
Возьмем многоугольники (Ап) и (Вп), соответственно содержащиеся
в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы их площади Ап и Вп
стремились к Р [п° 196, 5°]. Если на этих многоугольниках построить
прямые призмы (Хп) и (Yn) высоты Я, то их объемы
Хп — АпН и Yn = BnH

364	гл.	XII.	ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	(198
будут стремиться к общему пределу V—PH\ который (в силу
п° 197, 5°) и будет объемом нашего цилиндра.
Рассмотрим теперь некоторое тело (У), содержащееся между
плоскостями х = а и х — Ь> и станем рассекать его плоскостями,
перпендикулярными к оси х (рис. 81). Допустим, что все эти сечения
Рис. 81.
квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсцис¬
се Ху — обозначим ее через Р(х) — будет непрерывной функцией
от х (для а^х^Ь).
Если спроектировать без искажения два подобных сечения на
какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х, то они могут
либо содержаться одно в другом (как на рис. 82, а)у либо частично
одно на другое налегать, или лежать одно вне другого (рис. 82, б и в)•
Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения,
будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси х,
оказываются всегда содержащимися одно в другом.
В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объем,
который выражается формулой
ь
V=\P(x)dx.
а
(8)

198]
§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
365
Для доказательства разобьем отрезок [а, Ь] на оси х точками
a = *0<*i<...<*i<*i+i <•••<>«==*
на части и разложим плоскостями x = xif проведенными через точки
деления, все тело на слои. Рассмотрим /-й слой, содержащийся
между плоскостями x = xt и x = xi+i (i — 0, 1, ..., п—1). В про¬
межутке [xh xi+l] функция Р(х) имеет наибольшее значение Mt и
наименьшее значение если сечения, отвечающие различным зна¬
чениям х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем,
x = xit то все они при сделанном предположении будут содержаться
в наибольшем, имеющем площадь и содержать в себе наимень¬
шее, с площадью т£. Если на этих, наибольшем и наименьшем,
сечениях построить прямые цилиндры высоты Дл^ = л;/+1—хь то
ббльший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой на¬
шего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На осно¬
вании сделанного вначале замечания объемы этих цилиндров будут
соответственно	и	mtAxt.
Из входящих цилиндров составится тело (7), а из выходящих —
тело (U); их объемы равны соответственно
2 М{Ах{ и
i	i
и, когда стремится к нулю Х = тахДлг1-, имеют общий предел (8).
В силу п° 197, 6°, таков же будет и объем тела (V) *).
Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное
выше предположение о взаимном расположении сечений, представ¬
ляют тела вращения. Вообразим на плоскости ху кривую,
заданную уравнением y=f{x) (a^x^b), где f(x) непрерывна и
неотрицательна; станем вращать ограниченную ею криволинейную
трапецию вокруг оси х (рис. 83, а и б). Полученное тело (V), очевидно,
подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются
на перпендикулярную к оси х плоскость в виде концентрических
кругов. Здесь
/>(*) = *у = *[/(*)]•,
так что
ъ	ь
V-к ^_уаc?jcr = тс^ [/(jc)]2dx.	(9)
а	а
Если криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кри¬
выми yx=fx{x) и Уъ=/ъ(х)у то, очевидно,
v= * \ \yl -yl] dx=*\ {[Д (х)Т - [А (*)]*} dx, (Ю)
*) Деля, например, промежуток на равные части, легко выделить те
последовательности входящих и выходящих тел, о которых говорится в ци¬
тированном предложении.

366
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[198
хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться.
Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие
тела, которые получаются путем сложения или вычитания из тел,
удовлетворяющих упомянутому предположению.
В общем случае можно утверждать лишь следующее: если
тело (V) имеет объем *), то он выражается формулой (8).
Примеры. 1) Пусть эллипс	=	^	вращается	вокруг	оси	х.
Так как
У* = Ь^(а*-х*),
*) Так будет, например, если тело удовлетворяет условиям теоремы 3е.

1981	§	1.	ПЛОЩАДИ	И	ОБЪЕМЫ
то для объема эллипсоида вращения найдем
а	а
V=% J ^(аа—*2) dx==2^^ (a!—x2)dx =
367
Г =4 ***’*>•
Аналогично для объема тела, полученного от вращения вокруг оси у,
4
найдем выражение -g-па2Ь. Предполагая же в этих формулах л = £ = г, мы
получим для объема шара радиуса г известное значение -g-яг3.
2)	То же—для ветви циклоиды x = a(t— sin 0» у = а(\—cos*)
(0^*^2и).
Рис. 84.
Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки
x = a(t — sin t), dx = a( 1—cos t) dt в формуле
2	па
V	= n ^ у2 dx.
0
Именно:
2	ж
V=*e5 J (1—cos O' dt = Jte* * — 4 sin * -f-|- sin 2<! +^- sin* t^j |jj*=5iAA
0
3)	Найти объем трехосного эллипсоида, заданного каноническим урав¬
нением
(рис. 84).
•£_l£ . £ = 1
ai-Tbs-r С*
0	а
*) Легко видеть, что 5 = § (подстановка х = — t).
— а О

368
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[198
Плоскость, перпендикулярная к оси х и проходящая через точку М (*)
на этой оси, пересечет эллипсоид по эллипсу; уравнение проекции его (без
искажения) на плоскость уг будет таково:
(X = const).
*■('-$ ‘‘(‘-Я
Отсюда ясно, что полуоси его будут соответственно
а площадь [п° 196, 1)] выразится так:
Р (X) = пЬс (l -£) = $ («* -х*).
Таким образом, по формуле (8) искомый объем
а
V	— J (а2— х2) dx = ±nabc.
— а
4)	Рассмотрим два круговых цилиндра радиуса г, оси которых пересе¬
каются под прямым углом, и определим объем тела, ограниченного ими.
Тело OABCD, изображенное на рис. 85, составляет восьмую часть
интересующего нас тела. Ось х проведем через точку О пересечения осей
цилиндров перпендикулярно к обеим
осям. Тогда в сечении тела OABCD
плоскостью, проведенной на расстоя¬
нии х от О, перпендикулярно к оси х,
получится квадрат KLMN, сторона
которого MN^y~r2—х2, так что
Р (х)=г2 —х2. Тогда по формуле (8)
V=8 \ (r2—x2)dx = ~r\
5)	Решим в заключение ту же
задачу, но в предположении, что ци¬
линдры имеют различные радиусы:
ги^>г.
Разница, по сравнению с прежним,
будет лишь в том, что, вместо квад¬
рата, в сечении рассматриваемого
тела плоскостью на расстоянии л: от О
получится прямоугольник со сторонами У г2—х2 и У R2—х2. Таким обра¬
зом, в этом случае объем V выразится уже эллиптическим инте¬
гралом
г
Y(/?* —х*) (/•» —х2) dx
О

1981	§	1.	ПЛОЩАДИ	И	ОБЪЕМЫ	359
или, если сделать подстановку *=rsin<p и положить =
те
т
V	= 8Rr2 ^ cos2? • )/* 1 — k2 sin2 у dy = 8/?r2 • /.
Займемся сведением интеграла / к полным эллиптическим интегралам *)
обоих видов. Прежде всего,
jc	JL
2
/=
С cos2? . -а С sm2<pcos2<p .	.	.	.
= \	.	.	Т.:	: dy — k2 \ ■ ■ =1-. =Ь=	=	/х	+	/2,
J 1—/t2sin2<j>	^	1—Л2 sin2 «р
Но
tc
2	2
j = Г 1 — sin2 9	ft2—1 f	rfy
1 oJ	1— ft2 sin2 9 *	**	J	Y	1—ft2 sin* 9
1C
T
+ 1 J /1 —ft2 sin2 9 d<f = (l -1) F (ft) + -jJj E (ft).
0
С другой стороны, интегрируя по частям, имеем:
1C
2	1C
/* =	^ sin 2<р d Y 1 —^2 s^n2 ?•= ^ sin 2«р	1	—	к2 sin2 ? |^2 —
о
1C	*
Т	2
—	^ cos 2ср	•	1 —k2 sin2	<р	^	(1 — 2 cos2 <p) Y 1	—£2 sin2 9	dy =
= E(k) — 2/.
Отсюда
Таким образом, окончательно
^=^[(1 +Аа) £ W -(1 -А8) /Ч*)].
*) См. сноску на стр. 352.

370
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[199
§ 2. ДЛИНА ДУГИ
В(Т)
Рис. 86.
199.	Определение понятия длины дуги. Рассмотрим на пло¬
скости (поначалу — незамкнутую) кривую А В, заданную пара¬
метрическими уравнениями
•*=<р(0> у=V(0'	(1)
7)
где функции ср и ф предполагаются непрерывными. Будем считать,
что точка А отвечает значению t~tQ, а точка В — значению t=T.
При этом пусть кратных
точек на кривой нет, так что
Mi(ti)	различным значениям пара-
vvVv	метра t отвечают и различные
7	^	точки кривой.
Если считать точки кривой
расположенными в порядке
возрастания параметра t (т. е.
из двух точек ту принимать за
следующую, которая отве¬
чает большему значению
параметра), то этим на кри¬
вой создается определенное
направление (рис. 86).
Возьмем теперь на кривой АВ ряд точек
А	—-	Mq,	Л1\у ...,	Aii,	^i+it • • • > N[m —
идущих одна	за	другой в указанном	направлении; им отвечает ряд
возрастающих значений параметра
Впишем в кривую А В ломаную (/?) = AMiM2 ... В и обозначим через
р ее периметр.
Конечный предел s для периметра р, при стремлении к нулю
наибольшей из сторон MiMi+l ломаной (р), называется длиной
дуги АВ:
s = AB = lim /?.
Если такой предел существует, то сама кривая называется спрям¬
ляемой.
Содержание этого определения может быть раскрыто так: какую
бы ни взять последовательность вписанных в кривую ломаных
{(Рп)}> удовлетворяющую лишь тому условию, что наибольшая
из сторон ломаной (рп) при возрастании п стремится к нулю,
периметр рл всякий раз стремится к пределу s.

199]
§ 2. ДЛИНА ДУГИ
371
Можно выразить его и «на языке е-8»:	для	каждого	е^>0
должно найтись такое 0, что неравенство
0^5—/?<^е
выполняется, лишь только все стороны вписанной ломаной
МгМм< 8.
Равносильность обоих определений устанавливается как обычно.
Важным свойством длины дуги является ее аддитивность:
Если на дуге АВ взять еще точку С, то из спрямляемости
дуги АВ вытекает спрямляемость обеих дуг АС и СВ, причем
АВ = AC -f- СВ.
Мы примем здесь это утверждение без доказательства: для тех
кривых, которые мы обычно будем рассматривать [см. п°201], не
только будет обеспечено существование длины дуги, но и аддитив¬
ность будет вытекать из самого выражения длины дуги интегралом.
Обратимся теперь к случаю замкнутой кривой, для которой
точки А и В совпадают (но кратных точек все же нет, т. е. каж¬
дая отличная от А = В точка получается лишь при одном значении
параметра t). Нетрудно видеть, что
в этом случае приведенное выше
определение длины дуги уже не
может быть применено безогово¬
рочно: ведь даже при соблюдении
указанного условия ничто не ме¬
шало бы ломаной стягиваться в точ¬
ку, а ее периметру стремиться
к нулю (рис. 87). Суть дела в том,	Рис* 87*
что при незамкнутой кривой
одно убывание всех звеньев ломаной (р) до нуля уже обеспечивает все
более тесное примыкание их к соответствующим частичным дугам;
поэтому-то и естественно предел ее периметра р принять за длину
всей дуги. В случае же замкнутой кривой дело обстоит уже не так *).
Можно было бы видоизменить это определение (неизбежно услож¬
нив его) с тем, чтобы оно охватило и случай замкнутой кривой.
Мы предпочтем — для простоты — другой путь, именно, представим
себе замкнутую кривую, с помощью произвольно взятой на ней
точки С разложенной на два незамкнутых куска, и сумму их длин
(если они оба спрямляемы) назовем длиной всей кривой. Опираясь
*) Если вспомнить из курса элементарной геометрии определение длины
окружности как предела периметра правильного вписанного многоугольника,
то именно оговорка относительно правильности многоугольника как
раз и предотвращает здесь указанную в тексте возможность!

372
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	J201
на аддитивность длины дуги, легко показать, что эта сумма на деле
не зависит от выбора точек А и С.
200.	Леммы. Рассмотрим вновь незамкнутую кривую (1) без крат¬
ных точек. Докажем для нее следующих два вспомогательных утверждения:
Лемма /. Если точки М’ и М" отвечают значениям ? и ?' пара¬
метра (? < ?'), то для любого Ь > 0 найдется такое т) > 0, что при
?г—*'<*] длина хорды М'М" <&.
Действительно, ввиду равномерной непрерывности функций <р и ф из (1),
по &>0 найдется такое *)>0, что при 11"—будет одновременно
I * (П -т (О I <	, I + (П -Ф (О I <
а тем самым—и
Шг = Yh (П —9 (ОГ + № (П -Ф ЮР <
Имеет место и
Лемма 2. Для любого g > 0 существует такое й>0# что, лишь
только длина хорды М'М"<Л тотчас же разность t"—?(?<:?')
значений параметра, соответствующих ее концам, будет < tj.
Допустим противное; тогда для некоторого *] > 0, при любом
Б>0, найдутся такие две точки М' (?) и М” (?% что М'М" <& и в то же
время ?r—?^ri. Взяв последовательность {йл}, сходящуюся к нулю, и по¬
лагая поочередно & =	(п= 1, 2, 3, ...), придем к двум последователь¬
ностям точек {M„(Q} и {М£ (*£)}, для которых
но	1	(п	=	1,	2Г3, ...).
По лемме Больцано—Вейерштрасса [п° 51], без умаления общности
можно предположить, что при этом
(этого легко добиться, переходя — в случае надобности—к частичным после¬
довательностям). Очевидно,
так что	В	то же время для соответствующих точек М* и М**
имеем М*М** = 0, т. е. эти точки должны совпасть, что невозможно, так
как кривая не имеет кратных точек и незамкнута. Полученное противоречие
завершает доказательство.
Эти две леммы показывают, что—при определении длины незамкнутой
кривой — совершенно безразлично, исходить ли из требования, чтобы стре¬
милась к нулю наибольшая из сторон М*М*+1 вписанной ломаной [в согла¬
сии с п° 199], или из требования, чтобы стремилась к нулю наибольшая из
разностей А^ = ^+1—так как оба требования вытекают одно из другого!
Сейчас нам удобнее будет характеризовать предельный процесс именно по¬
следним требованием.
201.	Выражение длины дуги интегралом. Предположим допол¬
нительно, что функции ср и ф, фигурирующие в уравнениях (1) не¬
замкнутой кривой, имеют непрерывные производные ср' и ф\ При
этих условиях, как мы докажем, кривая спрямляема и длина дуги
выражается формулой
*= \vx?+y?df= SvT?W+TkW dt. (2)
*Q	*0

2011	§ 2. ДЛИНА ДУГИ	373
Мы будем исходить из разбиения промежутка [t0, 7] точками
*•<*!<*. <...<*!< ^/+1 ^	—	Т
на части длины Ati = ti+1 — tt. Этим значениям t отвечают вершины
ломаной АМх... Мп^ В, вписанной в дугу АВ, и (как мы разъяс¬
нили выше) длину ее s можно определить как предел периметра р
ломаной при стремлении X* = max Att к нулю.
Положим
<Р(t,)=хi, <1>(t,) —yt 0 = 0, 1,	п)
в
=	х1>	^у,	=Уы —У1	0 = 0, 1, я —1).
Длина /-го звена Л4*М/+1 вписанной ломаной выразится так:
Применив к приращениям Ахг и Ayt функций (1) порознь формулу
конечных приращений, получим:
Ь.хг = <р0, + Щ — «Р Of) = <р' (т,) Att,
Aу, =	+ Mt) — ф 0|) = <!»' (-г?) м„
причем о значениях xt и х? мы ничего не знаем, кроме того, что оба
они содержатся между и ti+1. Имеем теперь
ШйГг = VWWf+WW? Ы»
так что для периметра всей ломаной получается следующее выражение:
p=2V w<?t)T+w W)P д*<-
*
Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде xf
на %i9 то преобразованное выражение
<»=S /FW+ItW
i
очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для
интеграла (2). При стремлении X* к нулю эта сумма и будет иметь
своим пределом упомянутый интеграл •). Для того чтобы показать,
что к тому же пределу стремится и периметр р ломаной, достаточно
обнаружить, что разность р — а стремится к нулю.
С этой целью произведем оценку этой разности
l/'-oKElVI?' ЫР+W ОТ - У W Ы?+W № I д*1-
i
*) Существование его не вызывает сомнений, ибо подынтегральная функ¬
ция непрерывна [пв 179, I].

374	ГЛ.	XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО исчисления	Р01
Элементарное неравенство
j /Ж+Ц _	| < | bt - b | *),
если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы
в отдельности, даст нам
\р—° к 21 'W)—f w I м‘-
i
Ввиду непрерывности функции ф' (t), по любому заданному е}>0
найдется такое 8	0, что | ф' (tf *) —	(01	6	лишь только 11* — 11 <8.
Если взять все А^<[8, то и |т*— т,-1	8,	так что | <|/ (т*)— фЧт*)1<С8
и
1/>-о|<е£.д^=е(г-*0).
i
Это и доказывает наше утверждение.
Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах
У —f(x)	(х0^х^Х),
то, принимая х за параметр, из формулы (2), как ее частный слу-
чай, получим
X	X
S= 5 /1 -\-у’х dx= \ у 1 + [/'(*)	(2а)
Х0	Xq
Наконец, и случай полярного задания кривой
r=g(9)	(60	^	0	^	0)
также приводится к параметрическому с помощью обычных формул
перехода
х = y cos 0 = g(6) cos 0, y = r sin b = g(d) sin 0;
роль параметра здесь играет 0. Для этого случая
х'ъ = re cos 0 — г sin 0, у'в = r$ sin 0 -{- г cos 0,
так что
*02+^02 = г2 + Г0*	(3)
и
5 = 5 yw+tfdb =±= 5 VTiWTiiW*».	(26)
во	®о
*) Неравенство это очевидно при а — 0; если же аф0, то оно непо¬
средственно вытекает из тождества
у о* -t- Ь\ — у а* + Ь* = -■ Ь^Ьу.	(h—ъ),
г ~ 1	У	(Р	+	Щ+УсР+Ь1
так как множитель при разности в скобках по абсолютной величине меньше
единицы.

201]	§	2.	ДЛИНА ДУГИ	375
Замечание. Формула (2) непосредственно распространяется и на
случай замкнутой кривой. Возьмем в этом случае произвольное tr
между t0 и Ту	разложим данную	замкнутую	кривую	(1)	соответ¬
ствующей точкой	М (?) на	две	незамкнутые	кривые	AM	и	MB
и к каждой кривой в отдельности применим формулу типа (2):
v	т
Sl = AM = 5 > sa = Af£ = $.
h	t’
Сложив эти результаты, для длины всей замкнутой кривой получим
г
S = Si	=
Примеры. 1) Парабола: у = ^.
Приняв за начало отсчета дуг вершину 0(л: = 0), для произвольной
точки М с абсциссой х имеем:
5 = ОМ =	^	у х* -\-p2dx —
= j\yx V^TF +4ln(* +
mi+12+2.
2)	Циклоида: x == a (t — sin t), у = a (1 — cos t).
Здесь (при 0 ^ ^ 2tc)
]/x't ~\-y't—a У 0 — cos 0s + sin8^ = 2a sin
длина одной ветви циклоиды, по формуле (2), будет
2ic
S~2a ^ sin ~^ = ~4flcos у	= 8e.
о
3)	Архимедова спираль: г = д0.
По формуле (26), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (от¬
вечающей углу 0), получаем
е
s = OM = a ^ /Т+ТЙ«Г9=-|- [0/ГТ^+1п(в+КГ+15)].
Любопытно, что, подставив здесь 0 = — , мы придем к выражению, фор¬
мально сходному с выражением для длины дуги параболы [см. 1)].

376	гл. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	(202
4)	Эллипс: ^+|? = 1.
Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме:
х = a sin t, у = b cos t. Очевидно,
У xt2 +.У/2 = Va* c°s21 + b* sin21 = Y a2 — (a2 — b2) sin21 = a Y1 — *2 sin2*,
где e = —	-	 есть численный эксцентриситет эллипса.
Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой
его точки в первом квадранте, получим
t
s = а ^ Y1 — е2 sto8 t dt = а • Е (е, t).
о
Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим инте¬
гралом второго рода [п° 174, см. также п° 183]; как указывалось, этот факт
послужил поводом для названия «эллиптический».
а частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный
эллиптический интеграл *)
Л
2
а^ Y1 —£2 sin2 tdt — a-E (е).
о
Длина же всего обвода будет
S	= 4a-E(t).
202.	Переменная дуга, ее дифференциал. Возьмем на дуге АВ
точку Му отвечающую произвольному значению t параметра. Тогда
длина дуги AM, вместо (2), выразится формулой
		 t
s = s(t) = АМ = ^ Уx't-\-yt dt	(4)
U
и, очевидно, будет возрастающей и непрерывной функцией от t.
Больше того, ввиду непрерывности подынтегральной функции,
эта переменная дуга s = s(t) будет иметь по t производную, равную
подынтегральной функции [п°183, 12°]:
s't = Vx't “f* Уь*	(5)
Если возвести это равенство в квадрат и умножить почленно на dt*,
то получим замечательную по простоте формулу
ds* — dx2 -f- dy\	(6)
*) См. сноску на стр. 352.

2021
§ 2. ДЛИНА ДУГИ
377
которая к тому же обладает геометрической наглядностью. На рис. 88
в криволинейном прямоугольном треугольнике MNMX «катетами»
служат приращения координат точки M:MN=Ax, NMt = Ду, а «ги¬
потенузой» — дуга MMt = А5, которая является приращением дуги
AM=s. Оказывается, что если не для самих приращений, то для
их главных частей — дифференциалов — имеет место своеобразная
«теорема Пифагора».
Полезно отметить частные случаи важной формулы (5), отвечаю¬
щие различным частным типам задания кривой. Tart, если кривая
задана явным уравнением в декартовых координатах y=f(x), то
в роли параметра оказывается х, дуга зависит от х: s = s(x), и
формула (5) принимает вид
s’x=V^-\-y'x-	(5а)
Если же кривая задана полярным &У
уравнением r=g(b), и парамет¬
ром будет 0, то дуга на этот раз
будет функцией от 0: 5 = 5(0).
Ввиду (3), формула (5) преобра¬
зуется так:
s»= /г4 + геа.	(56)
Часто представляется удобным	Рис.	88.
взять в качестве начальной точки А
для отсчета дуг не один из концов дуги, а какую-либо внутреннюю
точку ее. В этом случае естественно дуги, откладываемые от нее
в направлении возрастания параметра, считать положительными,
а в	другом — отрицательными и,	соответственно	этому,	длину	дуги
в первом случае снабжать	знаком	плюс,	а	во	втором	— знаком	минус.
Вот эту величину дуги со знаком мы для краткости будем
называть просто дугой. Формулы (4), (5), (5а), (56) имеют место
во всех случаях.
Так как переменная дуга 5= AM является непрерывной монотонно
возрастающей функцией от параметра t, то и последний, в свою
очередь, может быть рассматриваем как однозначная и непрерывная
функция от s\ t = w(s) [п°71]. Подставляя это выражение t в уравне¬
ния (1), мы получим текущие координаты х и у выраженными
в функции от 5:
лг = ср(о>(5)) = Ф(в),	=	<j)	(ш	(S))	=	ЧГ	(s).
Несомненно, дуга 5 = АМ, играющая роль «криволинейной абсциссы»
точки М, является самым естественным параметром для определения
ее положения.

378	гл.	XII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ИНТЕГРАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ	[203
Предположим, что при данном значении t обе производные х\
и yt одновременно в нуль не обращаются (геометрический смысл этого
предположения будет выяснен в п°210), тогда
s’t— VW+y?>o,
и для соответствующего значения 5 существует производная [п°80]
^ = 0)' ($) = -
а следовательно, и производные
x's = V(s)f У, = Г(5).
203.	Длина дуги пространственной кривой. По отношению
к пространственной кривой
■*=?(*). у== ф (0» *=х(0
— без кратных точек — определение длины дуги может быть дано
в таком же виде, как и для плоской кривой [199—201]. Здесь также
для длины дуги получается формула, аналогичная (2):
s = AB = ^ Yx't-\-У?-\- z?dt
io
и т. д. На этот случай переносится, почти без изменений, все ска¬
занное относительно случая плоской кривой. Не задерживаясь на этом,
приведем примеры.
1)	Винтовая линия: х = а соз t, у = a sin t, z = ct.
Так как здесь
+	V & + Л
то длина дуги кривой от точки A (t = 0) до точки М (t — любое) будет
		 		 t
s = AM V а2 + с2 dt = V а2 + с* t
о
—	результат очевидный, если вспомнить, что при разворачивании цилиндри¬
ческой поверхности винтовая линия на ней превратится в наклонную прямую.
2)	Кривая: x = R sin2 ty у = R sin t cos tf z = Rz<& t, где 0 ^ t ^
Имеем
Vх? +y't‘ + z’t = Я /1 + sin21.

204]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
379
В таком случае длина всей кривой выразится полным эллиптическим
интегралом второго рода
1C	1C
~2	Y
-vsK\
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ
ВЕЛИЧИН
204.	Схема применения определенного интеграла. Прежде чем
перейти к применениям определенного интеграла в области механики,
физики и техники, полезно наперед уяснить себе тот путь, по кото¬
рому в прикладных вопросах обычно приходят к определенному инте¬
гралу. С этой целью мы набросаем общую схему применения инте¬
грала, иллюстрируя ее примерами уже изученных геометрических задач.
Вообразим, что требуется определить некоторую постоянную вели¬
чину Q (геометрическую или иную), связанную с промежутком
[а, Ь]. При этом пусть, каждому частичному промежутку [а, р], содер¬
жащемуся в [a, b]t отвечает не¬
которая часть величины Q так, что
разложение промежутка [а, Ь] на
частичные промежутки влечет за
собой разложение на соответ¬
ствующие части и величины Q.
Точнее говоря, речь идет о
некоторой «функции от про¬
межутка» Q([a> Р]), обладающей
свойством аддитивности,
так что, если промежуток [а, р]
состоит из частичных промежут¬
ков [а, 7] и [7, р], то тогда и
Q ([*» № = Q(K t]) + Q([t. М)-
Задача же состоит в вычислении
ее значения, отвечающего всему
промежутку [а, Ь].
Для примера возьмем на пло¬
скости кривую y=f(x)(a^x^ b)
(рис. 89). Тогда: 1) длина 5 кривой А В, 2) площадь Р ограни¬
ченной ею криволинейной трапеции AA’BtB и 3) объем V тела,
полученного от вращения этой трапеции вокруг оси х, — все три

380
ГЛ. ХТТ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[204
являются величинами указанного типа. Нетрудно дать себе отчет
в том, какие «функции от промежутка» ими порождаются.
Рассмотрим «элемент» AQ величины Q, отвечающий «элементар¬
ному промежутку» [х, х -f- Ах]. Исходя из условий вопроса, стараются
найти для AQ приближенное выражение вида q {х) Ах, линейное отно¬
сительно Ах, так, чтобы оно разнилось от AQ разве лишь на беско¬
нечно малую порядка, высшего, чем Алг. Иными словами, из бес¬
конечно малого (при Ах0) «элемента» AQ выделяют его глав-
ную часть. Ясно, что тогда относительная погрешность прибли¬
женного равенства
AQ = q (лг) Ах	(1)
будет стремиться к нулю вместе с Ах.
Так, в примере 1) элемент дуги ММХ можно заменить отрезком
касательной МК> так что из AS выделяется линейная часть
у 1	уХ&.Х = У1 + \/' (лг)]9 Длг.
В примере 2) естественно заменить элементарную полоску АР входя¬
щим прямоугольником с площадью
у Ax=f(x)Ax.
Наконец, в примере 3) из элементарного слоя А V выделяется его
главная часть в виде входящего кругового цилиндра, с объемом
ку* Ах = к \f (л;)]2 Ах.
Во всех трех случаях нетрудно показать, что погрешность от такой
замены будет бесконечно малой высшего порядка, чем Ах.
Лишь только это сделано, можно уже утверждать, что искомая
величина Q точно выражается интегралом
ь
Q = \^q(x) dx.	(2)
а
Для пояснения этого разложим промежуток [а, b] точками хи
на элементарные промежутки
[ау хг], [xlt х*]у ..., [*„ xi+1l ..., [хп^у Ь].
Так как каждому промежутку \xit дг/+1] или [хь хотвечает
элементарная часть нашей величины, приближенно равная q{x^)Axit
то вся искомая величина Q приближенно выразится суммой
Q = 2 9 (*i) A*i-
i
Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мельче
частичные промежутки, так что Q, очевидно, будет пределом упомя-

204] I 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	381
нутой суммы, т. е. действительно выразится определенным интегра-
ь
лом ^ q(x)dx.
а
Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным при¬
мерам. Если выше мы получили формулы для величин S, Р, V не¬
сколько иначе, то это потому, что задача наша состояла не только
в вычислении их, но и в доказательстве их существования — в согла¬
сии с ранее данными определениями.
Таким образом, все дело сводится к установлению приближенного
равенства (1), которое обыкновенно пишут в форме
dQ = q (*) dx.	(3)
Затем остается лишь «просуммировать» эти «элементы», что приводит
к формуле (2).
Мы подчеркиваем, что пользование здесь интегралом, вместо
обыкновенной суммы, весьма существенно. Сумма давала бы лишь
приближенное выражение для Q, ибо на ней отразились бы погреш¬
ности отдельных равенств типа (3); предельный же переход, с помощью
которого из суммы получается интеграл, уничтожает погрешность и
приводит к совершенно точному результату. Итак, сначала в интере¬
сах простоты, в выражении элемента dQ отбрасываются бесконечно
малые высших порядков и выделяется главная часть, а затем, в инте¬
ресах точности, суммирование заменяется интегрированием, и просто
получаемый результат оказывается точным.
Впрочем, можно было бы подойти к вопросу и с иной точки
зрения. Обозначим через Q(лг) переменную часть величины Q,
отвечающую промежутку [а, х], причем Q (а), естественно, полагаем
равным нулю. Ясно, каким образом рассмотренная выше «функция
промежутка» Q ([a, [J]) выражается через эту «функцию точки» Q (х):
Q ([*> M)=Q(P)-Q(a).
В наших примерах функциями точки являются: 1) переменная
дуга АМу 2) площадь переменной трапеции АА'ММ и, наконец,
3)	объем тела, полученного от вращения именно этой трапеции.
Величина AQ есть попросту приращение функции Q (х), а произ¬
ведение q(x)dxy представляющее собой его главную часть, есть не
что иное, как дифференциал этой функции. Таким образом, равен¬
ство (3), написанное в дифференциальных обозначениях, на деле
является теперь не приближенным, а точным. Отсюда также сразу
получается требуемый результат:
ь
\q(x)dx = GHP)-Q(a)= Q([e, b}) = Q.
a

382
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[205
Отметим все же, что в приложениях более удобной и плодотвор¬
ной является идея суммирования бесконечно малых элементов (Лейб¬
ниц!)— с подразумевающимся предельным переходом.
205.	Площадь поверхности вращения. В виде первого примера
применения изложенной схемы мы рассмотрим вопрос из области
геометрии — о вычислении площади поверхности вращения.
Мы лишены возможности установить здесь в общем виде понятие
площади кривой (т. е. неплоской) поверхности — это будет сделано
во втором томе. Поэтому сейчас мы лишь научимся вычислять пло¬
щадь поверхности вращения, считая ее существующей и обладающей
свойством аддитивности. Впоследствии мы убедимся, что полученная
нами формула входит как частный случай в общую формулу для
площади кривой поверхности.
Итак, пусть имеем на плоскости ху (именно в верхней полупло¬
скости) некоторую кривую АВ, заданную уравнениями вида
* = y =	(4)
где <р и <]> — функции от параметра, непрерывные вместе со своими
производными. Для простоты будем предполагать ее незамкнутой и
лишенной кратных точек.
Нам удобно, в данном
случае, ввести в качестве
параметра дугу s, отсчиты¬
ваемую от точки A (t0), и
перейти к представлению
*	= Ф (s), y = W(s), (5)
(0 sg s ==£ S)
о котором была речь в
п° 202. Параметр 5 изме¬
няется здесь от 0 до S,
если через 5 обозначить
длину всей кривой АВ.
Задача состоит в определении площади Q поверхности, полученной
от вращения кривой АВ вокруг оси х. Обращаем внимание читателя
на то, что роль независимой переменной здесь играет s, с промежут¬
ком изменения [0, S],
Если выделить элемент ds кривой (рис. 90), то его прибли¬
женно можно принять за прямолинейный и вычислять соответствующий
ему элемент площади dQ как площадь усеченного конуса с образую¬
щей ds и радиусами основания у к у-\-dy. Тогда по известной из
школьного курса формуле
dQ=2* l±Sy+Mds.
Рис. 90.

205]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	383
Впрочем, это еще не та формула, к которой мы стремимся — произ¬
ведение dy*d$ двух бесконечно малых надлежит отбросить. Мы придем
к линейной относительно ds формуле
dQ = 2тсу ds,
откуда уже, «суммируя», окончательно получим
Q = 2TC^j/ds,	(6)
о
где под у надлежит разуметь фигурирующую в	(5) функцию	W (s).
Если вернуться к общему параметрическому	заданию (4)	нашей
кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену перемен¬
ной [см. п° 186, (2)], преобразуем его к виду
т	т
Q = 2* ^ Yx? +у? dt = 2* $ <|> (0 /[ср' (t)f + [f (t)f dt. (6a)
*0	to
В частности, если кривая задана явным уравнением 3/ =/(х)(а^х*^Ь),
так что в роли параметра оказывается х, будем иметь:
ь 		*
Q = 2ic$_y|^ 1 +yj dx = 2u \f(x) /l + [f (*)]a dx.	(66)
a	a
Примеры. 1) Определить площадь поверхности шарового пояса.
Пусть полукруг, описанный около начала радиусом г, вращается вокруг
оси х. Из уравнения круга имеем у=Уг2— х2\ далее,
У* угг—х* ’ ^Х^гУх~уг*—х* ’
У V] +Ух=г■
В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы кото¬
рой имеют абсциссы хх и х2 > х1у по формуле (66) будет
*2
Q = 2п ^ гйх = 2кг(х2— xi) = 2nrh,
*1
где h — высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса
равна произведению окружности большого круга на высоту пояса.
В частности, при = — г, xs = rt т. е. при Л = 2г, получаем площадь
всей шаровой поверхности ф = 4яга.
2)	Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги циклоиды
x = a(t — sin t)t у = а( 1—costf)*

384
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(206
Так как <y = 2esin2-^f ds = 2а sin dt, то
2я	п
Q = 2iz ^ 4a2 sin3 ~ dt = 16тia* ^ sin8 и da =
о	о
8	(cos3 и	\	I*	64	й
= 1б™2 \ з	*»*)|0 = у™2*
206.	Нахождение статических моментов и центра тяжести
кривой. Как известно, статический момент К материальной точки
массы т относительно некоторой оси равен произведению из массы т на
расстояние d точки от оси. В случае системы п материальных
точек с массами тъ тъ ..., тп> лежащих в одной плоскости с осью,
соответственно, на расстояниях dif db .dn от оси, статический
момент выразится суммой
*=2 «А-
i
При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси,
берутся со знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону —
со знаком минус.
Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но рас¬
положены сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру,
то тогда для выражения статического момента вместо суммы потре¬
буется интеграл.
Остановимся на определении статического момента Кх относительно
оси х масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой АВ
(рис. 90). При этом мы предположим кривую однородной, так что
ее линейная плотность р (т. е. масса, приходящаяся на единицу
длины) будет постоянной; для простоты допустим даже, что р = 1
(в противном случае придется полученный результат лишь умножить
на р). При этих предположениях масса любой дуги нашей кривой
измеряется просто ее длиной, и понятие о статическом моменте при¬
обретает чисто геометрический характер. Заметим, вообще, что когда
говорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой — без
упоминания о распределении вдоль по ней масс, то всегда имеют
в виду статический момент (центр тяжести), определенный именно
при указанных предположениях.
Выделим снова некий элемент ds кривой (масса которого также
выражается числом ds). Приняв этот элемент приближенно за мате¬
риальную точку, лежащую на расстоянии у от оси, для его статиче¬
ского момента получим выражение
dKx=yds.

206]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
385
Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за незави¬
симую переменную возьмем дугу s, отсчитываемую от точки Л,
получим
Kx = \yds.
о
Аналогично выражается и момент относительно оси у:
s
Ky = \xds.
о
Конечно, здесь предполагается, что у (или х) выражено через 5.
Практически в этих формулах выражают 5 через ту переменную t, х
или 0, которая играет роль независимой в аналитическом предста¬
влении кривой.
Статические моменты Кх и Ку кривой позволяют легко установить
положение ее центра тяжести С(5, ?]). Точка С обладает тем
свойством, что если в ней сосредоточить всю «массу» 5 кривой
(выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы
относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно
этой оси; в частности, если рассмотреть моменты кривой относи¬
тельно осей координат, то найдем
Sb = Ky = \xds9	Sti = Kx = \ у ds,
откуда
о	о
S
(7)
Из формулы для ординаты т] центра тяжести мы получаем заме¬
чательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем
5
TiS=\yds,
О
откуда
2тп1*5= 2yds;
о
но правая часть этого равенства есть площадь Q поверхности, полу¬
ченной от вращения кривой АВ [206, (6)], в левой же части равен¬
ства 2tcy] обозначает длину окружности, описанной центром тяжести
13	Г. М. Фихтенгольц, т. I

386
ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[207
кривой при вращении ее около оси х, a S есть длина нашей кривой.
Таким образом, приходим к следующей теореме Гульдина*):
Величина поверхности, полученной от вращения кривой около
некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кри¬
вой, умноженной на длину окружности, описанной центром тя¬
жести С кривой (рис. 90).
Эта теорема позволяет установить координату т) центра тяжести
кривой, если известны ее длина 5 и площадь Q описанной ею по¬
верхности вращения. Вот тому
примеры:
1) Пользуясь теоремой Гуль¬
дина, определить положение центра
тяжести дуги АВ (рис. 91) круга
радиуса г.
Так как эта дуга симметрична
относительно радиуса ОМ, прохо¬
дящего через ее середину Af, то
ее центр тяжести С лежит на этом
радиусе, и для полного определе-
ff	О	В'	ния положения центра тяжести
рис 91 #	необходимо лишь найти его рас¬
стояние т) от центра О. Выбираем
w	оси, как указано на чертеже, и обо¬
значим длину дуги АВ через s, а ее хорды АВ (= А'В') — через Л. От вра¬
щения рассматриваемой дуги вокруг оси х получается шаровой пояс, пло¬
щадь поверхности Q которого, как мы знаем [n°205, 1)] равна 2ъгН. По теореме
vh
Гульдина та же поверхность равна 2rcTjs, так что $>) = гЛ и к) = —.
s
2
В частности, для полуокружности Л = 2г, s = rcr и т) =— г ==0,637 г.
те
2)	Определить центр тяжести ветви циклоиды (рис. 79 на стр. 361):
х = а (t — sin t), у = а (1—cos 0
Если принять в расчет симметрию, то сразу ясно, что £ =	Учиты-
4
вая же результаты примера 2) п°205, легко получить затем: т] = -о- Д.
о
207.	Нахождение статических моментов и центра тяжести
плоской фигуры. Рассмотрим плоскую фигуру А А'В В (рис. 92),
ограниченную сверху кривой АВ, которая задана явным уравнением
y=f(x). Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно рас¬
пределены массы, так что поверхностная плотность их р
(т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без
существенного умаления общности можно тогда принять, что р=1,
т. е. что масса любой части нашей фигуры измеряется ее пло¬
щадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о ста¬
тических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.
*) Пауль Г у л ь д и н (1577—1643) — швейцарский математик. Заметим,
впрочем, что обе его теоремы (см. следующий номер) были известны еще
Паппу — выдающемуся греческому математику III века нашей эры.

207]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
387
Желая определить статические моменты Кх, Ку этой фигуры
относительно осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь
элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной по¬
лоски (см. рисунок). Приняв эту полоску приближенно за прямоуголь¬
ник, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и
площадь) будет у dx. Для определения соответствующих элементарных
моментов dKXy dKy предположим всю массу полоски сосредоточен¬
ной в ее центре тяжести (т. е. в центре прямоугольника), что, как
известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная
материальная точка отстоит от оси л: на расстоянии ~у, от оси у—
на расстоянии [x^ — dx^ последнее выражение можно заменить
просто через х, ибо отброшенная величина ^dxг, умноженная на
массу ydXy дала бы бесконечно малую второго порядка. Итак, имеем
dKx = T£y*dx, dKy = xydx.
Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам
ь	ь
K^^^y'dx, Ку— J xydx,	(8)
v	а
причем под у разумеется, конечно, функция /(лг), фигурирующая
в уравнении кривой АВ.
Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматри¬
ваемой фигуры относительно осей координат легко определить
теперь и координаты ?, т) центра тяжести фигуры. Если через Р
обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основ¬
ному свойству центра тяжести
ъ	ь
P\ = Ky=^xydx, Pn = Kx=^y*dx,
а	а
13*

388	ГЛ.	XII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ИНТЕГРАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ	|207
откуда
ь	ь
\xydx	у	С	У	dx
tfv 2	кх	21	(9)
р
И в данном случае мы получаем важное геометрическое след¬
ствие из формулы для ординаты центра тяжести. В самом деле,
из этой формулы имеем
ъ
2ict| Р=к^у* dx.
а
Правая часть этого равенства выражает объем V тела, получен¬
ного от вращения плоской фигуры АА'В'В около оси х [п°198, (9)],
левая же часть выражает произведение площади этой фигуры Р
на 2-717] — длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
Отсюда вторая теорема Гульдина:
Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей
ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окруж¬
ности, описанной центром тяжести фигуры:
У=Р-2щ.
Заметим, что формулы (8), (9) распространяются на случай фи¬
гуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (рис. 75 на стр. 359).
Например, для этого случая
ь	ь
Кх — у j (.у! —_у!) dx,	Ку=^х Os —ух) dx; (8а)
а	а
отсюда ясно уже, как преобразуются формулы (9). Если вспомнить
формулу (5) п°196, то легко усмотреть, что теорема Гульдина спра¬
ведлива также и для этого случая.
Примеры. 1) Найти статические моменты Кх> Ку и координаты центра
тяжести фигуры, ограниченной параболой у* = 2рх, осью х и ординатой,
соответствующей абсциссе х.
Так как у=У2рх, то по формулам (8)
х	*	3	г— б
кх = ^-1р \ xdx = ^px‘, Ку=УЩ> | dx — 2 х2 ,
С другой стороны, площадь [п°196, (4)]

208]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
389
В таком случае, по формулам (9),
3	3	,/о—	3
t = T*.	px = jy.
Пользуясь значениями 6 и *rj, легко найти—по теореме Гульдина—объем
тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг
конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так
как расстояние центра тяжести от оси вращения есть -g- лг, то искомый объем
8 *
будет	пх У-
2) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды
X = a (t — sin 0» у — а(\ — cos t) и осью х.
Воспользовавшись п°196, 4) и пв198, 2), по теореме Гульдина легко уста-
5 гг	*
новить ij = -g-a. По симметрии: £ = %а.
208.	Механическая работа. Пусть точка М движется по прямой
(этим случаем мы ограничиваемся для простоты), причем на перемеще¬
нии 5 на нее вдоль той же прямой действует постоянная сила F.
Из элементов механики читателю известно, что тогда работа W этой
силы выразится произведением F-s.
Чаще, однако, случается,	что	величина	силы	не остается	постоян¬
ной, а непрерывно меняется	от	точки	к	точке, и	для	выражения
работы снова приходится прибегнуть к определенному интегралу.
Пусть путь 5, проходимый точкой, будет независимой перемен¬
ной; при этом предположим, что начальному положению А нашей
точки М соответствует значение 5 = % а конечному В — значение
5	= 5 (рис. 93). Каждому значению 5 в промежутке [% 5] отвечает
^	S	м
u	s	~*	!
j	F(S)	I
о Ц	VP	а
— S9 —*t	н—ds — i
Рис. 93.
определенное положение движущейся точки, а также определенное
значение величины Т7, которую, таким образом, можно рассматривать
как функцию от s. Взяв точку М в каком-нибудь ее положении,
определяемом значением 5 пути, найдем теперь приближенное выра¬
жение для элемента работы, соответствующего приращению ds пути,
от 5 до s-^-ds, при котором точка М перейдет в близкое положе¬
ние М (см. рисунок). В положении М на точку действует опреде¬
ленная сила F; так как изменение этой величины при переходе точки
из М в М — при малом ds — также мало, пренебрежем этим измене¬
нием и, считая величину силы F приближенно постоянной, найдем
для элемента работы на перемещении ds выражение
dW=F-ds,

390	ГЛ.	XII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ИНТЕГРАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ	(208
так что вся работа W представится интегралом
5
W= \Fds.
(Ю)
Пример. Применим в виде примера формулу (10) к вычислению ра¬
боты растяжения (или сжатия) пружины с укрепленным одним концом
ние. Если учитывать только ту часть действующей силы, которая на это
затрачивается, то ее работа при возрастании растяжения от s0 = 0 до 5 вы¬
разится так:
Обозначив через Р наибольшую величину натяжения или преодолеваю¬
щей ее силы, соответствующую растяжению пружины (и равную с5), мы
можем представить выражение для работы в виде
Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила Р
(например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена
вдвое большая работа PS. Как видим, лишь половина ее затрачивается на
растяжение пружины; другая половина пойдет на сообщение пружине с гру¬
зом кинетической энергии.
(рис. 94); с этим приходится иметь
дело, например, при расчете буферов
у железнодорожных вагонов.
Известно, что растяжение s пру¬
жины (если только пружина не пере¬
гружена) создает натяжение /?, по
величине пропорциональное растяже¬
нию, так что p = cs, где с—некото¬
рая постоянная, зависящая от упругих
свойств пружины («жесткость» пру¬
жины). Сила, растягивающая пружи¬
ну, должна преодолевать это натяже-
Рис. 94.
№=i-PS.

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
209.	Аналитическое представление кривых на плоскости.
В настоящей главе мы в виде примера коснемся лишь немногих
приложений дифференциального исчисления к геометрии — преиму¬
щественно на плоскости. Подробно эти приложения изучаются в диф¬
ференциальной геометрии, представляющей собой самостоя¬
тельную математическую дисциплину.
Вспомним сначала различные способы аналитического представле¬
ния кривых на плоскости (известные читателю из аналитической гео¬
метрии), предполагая, что в основу положена некоторая прямоуголь¬
ная система координат *).
1°. Выше мы не раз рассматривали уравнение вида
у—fix) [или дг=^0)]	(1)
и изучали соответствующую ему кривую. Такого рода задание кри¬
вой, когда одна из текущих координат ее точки непосредственно
представляется в виде однозначной функции от другой координаты,
мы будем называть явным заданием (или представлением) кри¬
вой. Оно обладает особой простотой и наглядностью.
Примером может служить парабола у = ах2.
2°. Впрочем, в аналитической геометрии кривая чаще задавалась
уравнением, не разрешенным ни относительно х, ни относительно у:
F(x, у) = 0,	(2)
которое называют неявным уравнением кривой.
*) Оговорим раз навсегда, что функции, о которых будет идти
речь в этой главе, как правило, предполагаются непрерывными и имеющими
непрерывные же производные по своим аргументам; в случае надобности,
мы будем требовать существования и непрерывности и дальнейших произ¬
водных.

392
ГЛ. XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[209
х2
Пример. Эллине	—1=0. Иной раз мы в состоянии выра¬
зить из уравнения (2) одну переменную через другую, например, у через лг,
и представить кривую (или ее
часть) явным уравнением (1). Так,
в случае эллипса:
y = ±~Y а2— л:3
(для — а ^ х ^ а).
В других случаях, хотя зависи¬
мость, скажем у от лг, и опреде¬
ляется уравнением (2), и—при
известных	условиях*)—суще¬
ствует однозначная функция (П,
удовлетворяющая уравнению (2),
и даже можно утверждать, что
эта «неявная» функция непрерыв¬
на и имеет непрерывную произ¬
водную, но явного выражения для
нее мы написать не можем. Так,
например, будет в случае декар¬
това листа: х8 -\-у3 — 3аху = О
(рис. 95).
3°. Наконец, в предыдущем
изложении упоминалось о том,
что уравнения вида
х=<? (0>	(3)
устанавливающие зависимость
текущих координат точки от
некоторого параметра t,
также определяют кривую на
плоскости. Подобные уравне¬
ния называют параметри¬
ческими; они дают пара¬
метрическое предста¬
вление кривой.
Примером, прежде всего, мо¬
жет служить параметрическое
представление эллипса:
х = a cos t9	y = b sin t.
При изменении параметра t (геометрический смысл которого ясен из
рис. 96) от нуля до 2тс, эллипс описывается против часовой стрелки, начи¬
ная от конца А (а, 0) большой оси.
В качестве второго примера, упомянем не раз встречавшуюся нам
циклоиду:
x — a(t— sin /),	у = а (1— cos*),
*) См. по этому поводу главу XIX во втором томе.

210]
в 1. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
393
которая представляет собой траекторию точки круга, катящегося по прямой
(рис. 97). В роли параметра здесь оказывается угол t = < NDM между
подвижным радиусом DM и первоначальным его положением О А. При
изменении t от нуля до 2п точка опишет дугу, изображенную на чертеже.
Вся кривая, отвечающая изменению t от — оо до + со, состоит из бесчис¬
ленного множества таких дуг.
210.	Касательная к плоской кривой. Понятие касательной
нам уже встречалось не раз [см., например, п° 77]. Кривая, заданная
явным уравнением
y=f(x)>
в каждой своей точке (лг, у) имеет касательную, угловой коэффи¬
циент которой tga выражается формулой
tg *=y'x=f (х).
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
Y-y=y'x(X-x).	(4)
Здесь (как и ниже) X, Y означают текущие координаты, ах, у —
координаты точки касания.
Легко получить и уравнение
нормали, т. е. прямой, прохо¬
дящей через точку касания пер¬
пендикулярно к касательной:
У—у =	!-(Х-х),
Ух
Х—х+Ух(Г—У) = 0. (5)
В связи с касательной и нор¬
малью рассматривают некоторые
отрезки — именно отрезки ТМ и
MN и их проекции ТР и PN на
ось х (рис. 98). Последние называются, соответственно, под ка¬
сательной и поднормалью и обозначаются через sbt (sub-
tangens) и sbn (subnormal). Полагая в уравнениях (4) и (5) У—0$
или

394
ГЛ. XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[210
легко вычислить, что
Ух
1)	Например, для параболы у = ах2 имеем:
sbt=TP=	sbti = PN=уух*
(в)
ух 2ах 2
—	результат, уже известный нам [см. сноску на стр. 143].
Обратимся теперь к случаю неявного задания кривой уравне¬
нием (2). Если допустить, что это уравнение вблизи интересующей
нас точки равносильно уравнению вида (1)*), то кривая в этой точке
заведомо имеет касательную (4). В п°141, 4) мы научились выра¬
жать производную ух «неявной» функции — нам непосредственно не
известной — через известные производные F'x и Fy; именно, мы
имели
в предположении, что F'y ф 0. [Заметим попутно, что это как раз и
есть то условие, при соблюдении которого уравнение (2) в окре¬
стности рассматриваемой точки кривой оказывается
равносильным уравнению вида (1).] Подставляя найденное-выражение
для ух в уравнение касательной, после простых преобразований по¬
лучим уравнение:
Ввиду полной симметричности его относительно х и у, ясно, что
то же уравнение для касательной получится, если обменять х и у
ролями, предполагая F'x ф 0. Лишь если в рассматриваемой точке
обе производные F’Xy Fy одновременно равны нулю, равенство (7)
превращается в тождество и перестает быть уравнением определен¬
ной прямой. В этом случае точку (х, у) называют особой точкой
кривой; в особой точке кривая на деле может и не иметь опреде¬
ленной касательной!
Примеры. 2) Парабола: у2 = 2рх (рис. 99). Продифференцируем это
равенство, считая у функцией от х; получим уу'х^=Р* Таким образом [см.
(6)], поднормаль параболы есть постоянная величина. Отсюда вытекает про¬
стой способ построения нормали, а с ней и касательной к параболе.
F'x (X, У)
F’y (Ху у)
F’x{x, y)(X-x)-\-F'y(x, y)(V-y) = 0.
(7)
*) Та же сноска, что на стр. 392.

210]	§	1. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ	395
Впрочем, в этом случае и подкасательная выражается просто — разделив
уравнение параболы почленно на только что полученное равенство, сразу
находим:
~ = 2*,
Ух
или
sbt=2х.
1 j*—* (рис. loo).
По формуле (7) имеем такое уравнение касательной:
3) Эллипс-. ^5 +!? = 1
%&-*) + р(г-у)=о.
Учитывая само уравнение эллипса, можно последнее уравнение переписать
в более простом виде:
хХ
+^=i.
Т Ь3 '
У,
К
S
/
* V
■ дч
Г
tS
✓ А//
/ /
III
1 0
/ /
А 7
я
к:;;
	^
/
Полагая здесь К=0, най-
дем —. Таким образом,
точка Т пересечения касатель¬
ной с осью х не зависит ни
от у, ни от Ь. Касательные к
различным эллипсам, отвечаю¬
щим различным значениям b,
в их точках, имеющих абсцис¬
су ху все проходят через одну и
ту же точку Г на оси х. Так как
при Ь = а получается окруж¬
ность, для которой касательная
строится просто, то точка Т
сразу определяется, и. это приво¬
дит к простому способу построения касательной к эллипсу, ясному из чертежа.
4)	Для декартова листа: х*+у* — Заху = 0 обе частные производные
от левой части уравнения
3 (х*— ау) и 3 (у2 — ах)
Рис. 100.

398	ГЛ. XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[210
обращаются в нуль одновременно в начале координат; как видно из рис. 95,
в этой особой точке кривой, в действительности, нет определенной каса¬
тельной.
Наконец, рассмотрим кривую, заданную параметрическими урав¬
нениями (3). Если в выбранной точке производная х\ = ср' (t) отлична
от нуля, скажем, больше нуля, то она и вблизи этой точки положи¬
тельна; значит, функция х = <р(0 монотонно возрастает [п°111], а
тогда и t будет возрастающей функцией отдг: t = t(x) [п°71], с про¬
изводной t'x = ~ [п°80]. Подставляя эту функцию от х, вместо t,
xt
в уравнение = получим, что на некотором участке
кривой у является функцией от х:
также имеющей производную. Таким образом оказывается, что при¬
мыкающий к взятой точке отрезок кривой способен выражаться и
явным уравнением: в таком случае кривая в этой точке имеет каса¬
тельную.
Угловой коэффициент касательной может быть выражен следую¬
щим образом:
й± .
,	dy dt Уь	/оч
tga = y* = ^=^ = -;.	(8)
dt
Подставляя это выражение в уравнение (4) касательной, легко пре¬
образуем его к виду пропорции:
X-x_Y-y
()
Часто, впрочем, умножают оба знаменателя на dt и пишут уравнение
касательной и так:
о°>
Если бы мы предположили, что в выбранной точке отлична от
нуля производная у\ = <|/ (t), то, обменяв х, у ролями, пришли бы
к тому же уравнению касательной. Лишь в том случае, когда в дан¬
ной точке обе производные х\ и у\ обращаются в нуль одновре¬
менно, наше рассуждение не приложимо. Такая точка тоже называется
особой точкой кривой: в ней касательной может и не быть.Кстати,
и уравнения (9) или (10) теряют смысл: оба знаменателя — нули.
5)	В качестве примера рассмотрим задачу о проведении касатель¬
ной к циклоиде: x = a(t — sin г), _y = a(l—cos t) (рис. 97). Имеем в этом
случае
х\ = а (1 — cos t)% y’f = asin t,

211J	|	t.	КАСАТЕЛЬНАЯ	И	КАСАТЕЛЬНАЯ	ПЛОСКОСТЬ	397
так что особыми будут точки, отвечающие * = 2kn (fc = 0, ±1, it 2, ...),
За исключением этих точек, по формуле (8),
sin t . t А ( п t\
*в- = Т=5Г<вС*Т =tg(2-2j’
7C t
и можно принять а = ~2—"2*
t
Вспомним (рис. 97), что * = <MZW, так что <Л4£ЛГ=—. Если продол¬
жить прямую ЕМ до пересечения в'Г с осью х% то <£Ул: = ~ —~ = а.
Следовательно, прямая соединяющая точку циклоиды с высшей точкой
катящегося круга в соответствующем положении, и будет касательной. От¬
сюда ясно, что прямая MN будет нормалью.
Впоследствии нам полезно будет выражение для отрезка п нормали до
пересечения с осью х, которое легко получить из прямоугольного треуголь¬
ника MEN. Именно,
я =хМ7У=2дsin у.
На этот раз и в особых точках касательные существуют — они парал¬
лельны оси у; однако самое расположение кривой относительно касатель¬
ных в этих точках необычно: налицо острия («точки возврата»).
211.	Положительное направление касательной. До сих пор мы
определяли положение касательной к кривой ее угловым коэф¬
фициентом tga, не различая двух противоположных направлений
на самой касательной: tga для обоих один и тот же. В некоторых
исследованиях, однако, представляется необходимым фиксировать
одно из этих направлений.
Представим себе кривую, заданную параметрическими уравне¬
ниями (3), и рассмотрим «обыкновенную», т. е. не особую, ее точку,
В этой точке, как мы видели в п°202, существуют производные
dx , dy
причем
как это легко получить из основного соотношения
dx*-\-dy* = ds*
[202, (6)] делением на ds*.
Прежде чем перейти к существу указанного в заголовке вопроса,
установим одно вспомогательное утверждение, которое будет нам
полезно и в последующем.
Лемма. Пусть М — обыкновенная точка кривой (рис. 101).
Если через Мх обозначить переменную точку той же кривой, то

398	ГЛ.	XIII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ	(211
при стремлении Mi к М отношение длины хорды ММХ к длине
дуги MMt будет стремиться к единице:
lim
ММ^
■ 1,
(12)
Примем дугу за параметр, и пусть точка М отвечает значению 5
дуги, а точка Мх — значению 5 -f- As. Их координаты пусть будут,
соответственно, х, у и лг + Алг, у-\-Ау. Тогда MMi = |As|,
ММХ = y0lxr2--|-Ay9, так что
а
ММХ	^Дл^ + Ау2 	-| Г/Дл:\а . /Д.у\а
I	As | V \As / \AFj e
О, в силу (11) и получаем
MMt
Переходя справа к пределу при As
требуемый результат.
Итак, при указанных условиях бесконечно малые хорда и дуга
оказываются эквивалентными.
Пусть теперь на рассматриваемой кривой выбраны начальная
точка и определенное направление для отсчета дуг; возьмем снова
дугу за параметр, определяющий
положение точки на кривой.
Пусть точке М, о которой
была речь, отвечает дуга s.
йц	Г	Если придать s положитель¬
ное приращение As, то дуга
s -f- As определит новую точку М1у
лежащую от М в сторону
возрастания дуг. Секущую
направим от Ж к Mlf и угол,
составленный именно этим напра¬
влением секущей с положитель-
Рис. 101.	ным направлением оси х, обо¬
значим через р. Проектируя отре¬
зок ММХ на оси координат (рис. 101), по известной теореме из
теории проекций, получим
пр.л. ММХ = Длг = MMt cos р, np.j, MMt = Ay = MMX sin p,
откуда
Q Длг	.	о	Ay
C0SP=Mir*	sinp——
' а

L_..LL^4\
•г/Т
Д !
1
1
-1 Ах

'MMt *	“*“r—'AiAV
Так как MMi = Ast то эти равенства можно переписать так:

212]
§ 1. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
399
Будем называть положительным то направление каса¬
тельной, которое идет в сторону возрастания дуг;
точнее говоря, оно определяется как предельное положение при As —* О
для луча ММи направленного так, как это разъяснено выше. Если
угол положительного направления касательной с положительным на¬
правлением оси х обозначить через а, то из (13) получим в пределе,
с учетом (12),
dx	.	dy
С08а=*Г>	sina=-^--	<14>
Эти формулы определяют угол а уже с точностью до 2£тс
(k — целое), следовательно, действительно фиксируют одно из двух
возможных направлений касательной, именно — положительное.
212.	Случай пространственной кривой. На этом случае мы ос¬
тановимся лишь вкратце, ввиду полной аналогии его со случаем
плоской кривой.
Подобно тому, как мы это делали на плоскости, координаты пе¬
ременной точки пространственной кривой можно задать
в функции от некоторой вспомогательной переменной — пара¬
метра t:
х = <?(*)> y — z —	(15)
с тем, чтобы при изменении параметра t точка, координаты которой
даются этими уравнениями, описывала рассматриваемую кривую.
В случае пространственной кривой (15), определение касательной
остается тем же, что и для плоской кривой. Исключим из рассмот¬
рения особые точки кривой, для которых производные х\, у\, г\
обращаются в нуль одновременно, и возьмем какую-либо обыкно¬
венную точку М(ху у, г) кривой, определяемую значением t пара¬
метра. Придадим t приращение А/, тогда наращенному значению t-\- At
параметра будет отвечать другая точка Мх (х -{- Длг, у -j- Ду, z~\-Az).
Уравнения секущей ММ будут иметь вид
Х—х _ У—у	Z — z
Дл;	Ау	Аг 9
где X, К, Z—текущие координаты. Геометрический смысл этих
уравнений не изменится, если мы все знаменатели разделим на At:
Х—х	Y—y _ Z — z
Ал;	Ау	Az
Tt	It	It
Если эти уравнения в пределе, при Д£ —О, сохраняют опреде¬
ленный смысл, то этим будет установлено существование предель¬
ного положения секущей, т. е. к а с а т е л ь н о й *). Но в пределе
*) Мы переходили к пределу при Д£—*0, но можно показать, что это
равносильно, так сказать, более геометричному предположению: МЛ^—► 0.

400	гл.	XIII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ
мы получим
X— х __ Y—у __ Z—z
xt y't z't
{212
(16)
и эти уравнения, действительно, выражают прямую, поскольку не все
знаменатели — нули. Таким образом, в каждой обыкновенно й> точке
кривой касательная и существует и выражается этими уравнениями.
Для особой точки вопрос о ка¬
сательной остается открытым.
Иногда уравнения (16) удобно
писать в виде
Х—х
dx
Y—y = Z — z
dy	dz
(17)
который получается из (16) умно¬
жением всех знаменателей на dt.
Если через а, р, ^ обозначить
углы, составленные касательной
с осями координат, то направляю¬
щие косинусы cos a, cos [3, cos 7
выразятся так:
cos а =
cos (3:
cos 7:
± Vxt+y’?+*'i
	y't
± Vх'? +y't + *t »
	ft
±Ух?+у?+*? •
Выбор определенного знака перед радикалом отвечает выбору опре¬
деленного направления касательной.
В качестве примера рассмотрим винтовую линию (рис. 102)
х = а cos t, у = а sin t, z = ct.
В этом случае
Xf === — a sin tf yi = a cos t,	z’t = c%
и уравнения касательной имеют вид:
Х—х	У—у	Z—z
— a sin t	a cos t	с
Направляющие косинусы касательной:
cos а = -
а sjn t
Y а* + с* •
COS Р = -
a cos t
Y а1 + ca *
COS 1 =
Y + C* *

213]
§ 1. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
401
Отметим, что cos ? = const, следовательно, и к = const Если представить
себе винтовую линию навернутой на прямой круглый цилиндр, то можно
сказать, что винтовая линия пересекает все образующие этого цилиндра под
постоянным углом.
Для пространственной кривой, так же как и для ллоской, в ка¬
честве параметра, определяющего	положение точки,	может	быть
выбрана дуга s, отсчитываемая от произвольно выбранного начала
в определенном направлении. За положительное направление каса¬
тельной	выбирают	направление в сторону возрастания	дуг.	Если	речь
идет об	обыкновенной	точке кривой, то для	нее	направляющие ко¬
синусы положительно направленной касательной выразятся
так:
dx	0	dy	dz
С05*=Ч7’ С08Р = Ж> C0S?=dF	(18)
[ср. п° 211].
213.	Касательная плоскость	к поверхности. Мы	имели	уже
дело [п° 124] с поверхностью, задаваемой уравнением
2 = fix, уу,	(19)
это — явное задание поверхности *). В аналитической геометрии
чаще поверхность задается неявным уравнением:
F(x, у, г) = 0,	(20)
не разрешенным относительно ни одной переменной.
X8	«8	2 2
Примеры,	+	^—1=0 (эллипсоид),
X2	Vs Z2
	(конус второго порядка).
Как и в случае неявного задания плоской кривой, при известных
условиях **), и здесь уравнение (20) оказывается равносильным
уравнению вида (19), определяя одну из координат как функцию от
двух остальных (с непрерывными частными производными), хотя
мы можем и не знать явного выражения для этой
функции.
Пусть М(х> у, z) будет какая-либо точка поверхности (20).
Проведем через М по поверхности произвольную кривую и в на¬
званной точке построим к этой кривой касательную; таких кривых
(и касательных к ним) существует бесчисленное множество.
Если все касательные в точке М к различным кривым, про-
веденным через эту точку по поверхности, лежат в одной
плоскости, то саму плоскость называют касательной
*) Конечно, особая роль г случайна; явным будет и задание поверх¬
ности уравнениями вида: x=sg(y, z) или^ = Л(2, х).
**) См. сноску на стр. 392.

402	гл. XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (213
плоскостьюк поверхности в точке М; точку же М при этом
называют точкой к ас а ни я.
Кривую, проведенную по поверхности (20), можно вообще пред¬
ставить себе аналитически выраженной уравнениями вида (15). Так
как, по предположению, кривая лежит на поверхности всеми своими
точками, то при подстановке в уравнение (20) вместо х, у, z, соот¬
ветственно, функций <р, ф, х» это уравнение обратится в тождество
относительно параметра t. Дифференцируя это тождество по t, по¬
лучим [с использованием инвариантности формы (первого) диф¬
ференциала, п° 143]:
Fx • dx -j- Fy • dy -j- Fz • dz = 0,	(21)
где в качестве значений аргументов функций F'x, Fryt F\ можно,
в частности, взять координаты х, у, z точки касания М, а под dx,
dy, dz надлежит разуметь дифференциалы функций (15) при соот¬
ветствующем значении t. С другой стороны, касательная к рассма¬
триваемой кривой в точке М(х, у, z) выразится уравнениями (17),
гДе X, У, Z—текущие координаты, a dx, dy, dz — те же, что и
только что. Подставляя в (21) вместо dx, dy, dz пропорциональные
им — в силу (17) — разности X — х, Y—у, Z — z, получим оконча¬
тельно равенство
Fx (Х-х) + Fy{Y—у) + F'z(Z— z) = 0,	(22)
которое, таким образом, выполняется для всех точек любой из (упо¬
мянутых в определении) касательных. Если хоть одна из производ¬
ных Fxу Fy, F’g в точке М отлична от нуля, то равенство (22) пред¬
ставляет уравнение плоскости, которая и будет касатель¬
ной плоскостью.
В том исключительном случае, когда в рассматриваемой точке
одновременно
F'x = Fy = F2 = 0
(такая точка называется особой), равенство (22) обращается
в тождество, и касательная плоскость может и не существовать.
Примеры. 1) Эллипсоид:
X2	V2	2*
_ л. У	1
а2	Ь2	с2
Касательная плоскость получается по формуле (22), с учетом самого
уравнения эллипсоида, в виде:
хХ	у У	zZ_
а* ' b*	с8
2)	Конус второго порядка:

214]	§	2.	КРИВИЗНА	ПЛОСКОЙ	КРИВОЙ	403
Касательная плоскость:
xX,yY__zZ_
а8 f b3 с‘ '
В вершине (0, 0, 0) конуса, которая является особой точкой, это урав¬
нение теряет смысл, и касательной плоскости нет.
Направляющие косинусы нормалик поверхности (так называется
перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания), очевидно,
будут
Fx			Fy
±V Fx+Fy+Fz ’	±VFx + Fy + Fz
cos V =		Л?..	.
± V Fx + Fy + Fz
Явное уравнение (19) можно, переписав в виде
z—f(x,y) = 0,
рассматривать как частный случай уравнения (20). Если ввести стан¬
дартные обозначения:
д±=р d±=q
дх р> ду ч>
то для этого случая уравнение касательной плоскости (22) перепи¬
шется так:
Z-z=p(X-x) + q(Y-y),	(23)
а направляющие косинусы нормали будут:
—	Я
-4- V 1 _1_ л2 _1_ Л2 9
(24)
COS X =	7==£===-,	COS a =	-=====-
+Р* + Я*	±;/1	+p2	+	q*	9
1
COS V :
§ 2. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
214.	Направление вогнутости, точки перегиба. Рассмотрим
какую-либо плоскую кривую, заданную, скажем, явным уравнением
y=f(x), и точку М (*о, / (*о)) на ней.
Говорят, что в точке М кривая направлена вогнутостью в опре¬
деленную сторону от касательной, если в достаточно малой окрест¬
ности точки М кривая всеми точками лежит именно с этой стороны
касательной (рис. 103). Точку называют точкой перегиба, если—»
снова в достаточно малой окрестности ее — точки кривой с абсциссами

404
ГЛ. XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[214
*	Оо лежат по одну сторону касательной, а точки с абсциссами
лг>лг0 — по другую, т. е. если в точке М кривая переходит с одной
стороны касательной на другую или, короче, пересекает касатель¬
ную (рис. 104).
Так как уравнение касательной в точке М будет таково:
*'=/(*0)+/'(*«)(*-**)*)>
то для решения вопроса о направлении вогнутости или о наличии
перегиба нужно изучить знак разности
У - Y=f (х) -f(xо)-/' (лго) ix - лг0)
в окрестности точки х0. Предположим существование в этой окрест¬
ности непрерывной второй производной /" (х).
Пусть сначала	0. Прибегнув к формуле Тейлора с до¬
полнительным членом в форме Пеано [п° 107, (17)] при п = 2,
получим:
у-у=Г(х<2!±а {х-х,)\
где а-►О при х^х0. Для значений х, достаточно близких к дг0,
эта разность сохраняет знак числа /"(Xq), следовательно, при
f'(xо)>0 кривая в точке М вогнутостью направлена вверх, а при
/" (лг0) <0 — вниз.
Если /"(jc0) = 0, то справа остается лишь член который
ничего не говорит о знаке разности у — Y. В этом случае возьмем
дополнительный член в форме Лагранжа [п° 106, (12)] также при п = 2:
у— ^=^2Г" (Х~Х»У>
*) Мы отошли здесь от обозначений, использованных в п° 210 [см. (4)],
но по-прежнему обозначили текущую ординату точки касательной через г,
чтобы отличить ее от ординаты y=f(x) точки кривой с той же абсциссой х.

215]
§ 2. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
403
где либо х<^с<^х& либо х0<^с<^х. Если вблизи значения х0
вторая производная f (х) сохраняет (как слева, так и справа)
знак плюс или минус, то тот же знак сохраняет и разность
у—Y, и вогнутость в точке М, направлена соответственно
вверх или вниз.
Наоборот, если /" (х) меняет знак при переходе через точку xQ,
то меняет знак и разность у — У, и в точке М налицо перегиб.
В этом случае точка перегиба М9 если ограничиться достаточно малой
ее окрестностью, как бы отделяет те точки, где вогнутость кривой
направлена вверх, от точек с направлением вогнутости вниз *).
Для примера рассмотрим синусоиду: у = sin х; здесь у" = — sin х =
=—у. Следовательно, в промежутках, где sin* сохраняет знак плюс (минус),
синусоида вогнутостью направлена вниз (вверх). Для значений вида * = йтс
(k — целое) У' обращается в нуль, меняя при этом знак; им отвечают точки
перегиба синусоиды. Наоборот, для функции у = х* имеем у" = 12лг2, и хотя
при х = 0 вторая производная обращается в нуль, но при других значениях *
она сохраняет знак плюс, и кривая везде направлена вогнутостью вверх.
Для наличия перегиба (если предположить существование
второй производной) условие у” = 0 является необходимым,
но не достаточным.
В этом легко усматривается аналогия с теорией экстремумов
[ср. 112 и след.].
Заметим в заключение, что, вместо исследования знака второй
производной ff(x) вблизи точки лг0, здесь также можно рассматри¬
вать последовательные производные f" (лго)>/(4) С*о)>-в самой точке *0-
Так как относящиеся сюда соображения вполне аналогичны проведен¬
ным в п° 117, то предоставляем их читателю.
Замечание. Исследование кривой на точки перегиба позволяет
уточнит^ построение графиков функций по сравнению с тем, что
об	этом сказано в п° 116.
216. Понятие кривизны. Рассмотрим дугу кривой без кратных
и особых точек, заданную параметрическими уравнениями
* = 1 (0» ^ = Ф(0-	(О
Если в каждой ее точке провести касательную (скажем, в положи¬
тельном направлении), то вследствие «искривленности» кривой эта
касательная с перемещением точки касания будет вращаться; этим
кривая существенно отличается от прямой, для которой каса¬
тельная (совпадающая с ней) сохраняет одно и то же направление
для всех точек.
Важным элементом, характеризующим течение кривой, является
«степень искривленности» или «кривизна» ее в различных точках;
эту кривизну можно выразить числом.
*) Иногда именно это свойство кладут в основу определения точек пере¬
гиба. Такое определение не вполне равносильно определению, данному
в тексте.

406	ГЛ.	XIII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ	(215
Пусть MMt (рис. 105) есть дуга кривой; рассмотрим касатель¬
ные М Т и Mi 7i, проведенные (в положительном направлении)
в конечных точках этой дуги.
Естественно кривизну кривой
характеризовать углом пово¬
рота касательной, рассчитан¬
ным на единицу длины дуги,
т. е. отношением , где угол о>
измеряется в радианах, а дли¬
на о— в выбранных единицах
длины. Это отношение называют средней кривизной дуги
кривой.
На различных участках кривой средняя кривизна ее будет, во¬
обще говоря, различной. Существует, впрочем (единственная), кри¬
вая, для которой средняя кривизна везде оди¬
накова: это окружность *). Действительно,
для нее имеем (рис. 106)
<0
с'
<0
/?0>
R
о какой бы дуге окружности ни шла речь.
От понятия средней кривизны
дуги MMi перейдем к понятию кривиз¬
ны в точке.
Кривизной кривой в точке М назы¬
вается предел, к которому стремится
средняя кривизна дуги MMlt когда точка
Mi вдоль по кривой стремится к М.
Обозначив кривизну кривой в данной точке буквой k, будем иметь
k = lim —-.
Для окружности, очевидно, £ = ^-, т. е. кривизна окружности есть
величина, обратная радиусу окружности.
Замечание. Понятия средней кривизны и кривизны в данной
точке совершенно аналогичны понятиям средней скорости и скорости
в данный момент для движущейся точки. Можно сказать, что сред¬
няя кривизна характеризует среднюю скорость изменения направления
касательной на некоторой дуге, а кривизна в точке — истинную ско¬
рость изменения этого направления, приуроченную к данной точке.
*) Не считая, разумеется, прямой, для которой кривизна всегда нуль.

215]
§ 2. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
407
Обратимся теперь к выводу аналитического выражения для кри¬
визны, по которому ее можно было бы вычислять, исходя из пара¬
метрического задания кривой.
Предположим сначала, что в роли параметра фигурирует дуга.
Возьмем на кривой обыкновенную точку М, и пусть ей отве¬
чает значение 5 дуги. Придав 5 произвольное приращение As, полу¬
чим другую точку ^(s-f-As) (рис. 107). Приращение Да угла на¬
клона касательной при переходе от М к Мх даст угол ш между
обеими касательными: о)=Да.
Так как a —As, то средняя
*	Да
кривизна будет равна -д^.
Устремив ММХ = Д5 к
нулю, для кривизны кривой
в точке М получим выра¬
жение
ds
(2)
Рис. 107.
Важно отметить, впрочем,
что эта формула верна лишь
с точностью до знака,
так как кривизна, по нашему определению, есть число неотрицатель¬
ное, а справа может получиться и отрицательный результат. Дело
в том, что как Да, так и As могут быть отрицательными, так что,
строго говоря, следовало бы писать: со = |Да|, а = |As| и, наконец,
da
ds
Это замечание следует иметь в виду и впредь.
Для того чтобы придать формуле (2) вид, удобный для непосред¬
ственного вычисления (а вместе с тем установить самое существова¬
ние кривизны), на этот раз предположим, что функции <р и <J>, фигу¬
рирующие в параметрическом задании (1) кривой, имеют непрерыв¬
ные производные первых двух порядков.
Если рассматриваемая точка M(t) является обыкновенной, то без
умаления общности можно считать, что именно x't = ср' (t) ф 0.
Перепишем теперь формулу (2) иначе:
, 	 da 	 at
~di~ IT'
(3)
Ho s< =	[n°202,	(5)],	остается	лишь	найти	а*.	Так	как
[п°211, (8)]

408	гл.	XIII.	ПРИЛОЖЕНИЯ	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО	ИСЧИСЛЕНИЯ	[216
ТО
1-
1 x'ty'ti-xpy't	ш
' 1 + (4У х? ~ х?+у? ’
'Xt'
Подставив в (3) значения s't и придем к окончательной формуле:
и_х\Г*-х%у\
(х?+У?)Ч*'	(5)
Эта формула вполне пригодна для вычисления, ибо все фигурирую¬
щие в ней производные легко вычисляются по параметрическим
уравнениям кривой.
Если кривая задана явным уравнением у=/(х), то эта формула
принимает вид
k={\ +?xw	<5а>
Наконец, если дано полярное уравнение кривой: г = g(б), то, как обычно,
можно перейти к параметрическому представлению в прямоугольных
координатах, принимая за параметр 0. Тогда с помощью (5) получим
г2 + 2г'3 — гг о2
= (га + ге2)8/з	•	(5б)
216.	Круг	кривизны	и радиус кривизны. Во	многих исследованиях
представляется	удобным	приближенно заменить	кривую	вблизи	рас¬
сматриваемой точки окружностью, имеющей ту же кривизну, что
и кривая в этой точке.
Мы будем называть кругом*) кривизны кривой в данной
на ней точке М круг, который
1)	касается кривой в точке М;
2)	направлен вогнутостью в этой точке в ту же сторону,
что и кривая;
3)	имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М (рис. 108).
Центр С круга кривизны называется просто центром кри¬
визны, а радиус этого круга — радиусом кривизны (кривой
в данной точке).
Из определения круга кривизны явствует, что центр кривизны
всегда лежит на нормали к кривой в рассматриваемой точке со сто¬
роны вогнутости. Если кривизну кривой в данной точке обозначить
через k, то, вспоминая (п° 216), что для окружности имели формулу
k=^-9 теперь для радиуса кривизны, очевидно, будем иметь
/\
		к=4-
*) В этом контексте слово «круг» привычным образом употребляется
в смысле «окружность».

216]
§ 2. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
409
Пользуясь различными выражениями, выведенными в предыдущем
номере для кривизны, мы можем сразу же написать ряд формул для
радиуса кривизны:
R =
ds
da
W+лТ;
xty't* — x't&'t
о +з>;та
R=-
У*
(r' + r’W*
J + 2r'2
•rv
(6)
(7)
(7a)
(76)
которые и применяются в соответствен¬
ных случаях.
Сюда также относится замечание о
знаке, которое было сделано по по¬
воду выражения для кривизны [п°21б].
Впрочем, вместо отбрасывания знака, можно было бы истолковать
его геометрически, связывая это с тем, в какую сторону от (поло¬
жительно направленной [п°211]) касательной приходится откладывать
радиус кривизны по нормали в точке касания. Именно, при о б ы ч-
ном расположении координатных осей положительный
знак радиуса кривизны указывает на то, что он направлен влево от
касательной, при отрицательном же знаке — он направлен вправо *).
Это особенно легко проверить на случае явного задания кривой, ибо
тогда [см. (7а)] знак радиуса кривизны совпадает со знаком у"хъ> а по¬
следний— как мы знаем [п° 214] — как раз и определяет, в какую
сторону от касательной направлена вогнутость кривой (а с нею — и
радиус кривизны).
Примеры. 1) Определить радиус кривизны циклоиды: х = a (t— sin t),
у s=s а (1 — cos t) (рис. 97 на стр. 393).
it t 1
Так как [ne210, 5)]a = y — у , то da = — у dt; с другой же стороны
[n°201,2)], V"х? + у? = 2а sin у , т. е. </$ = 2л sin ^ dt В таком случае
для вычисления R можно воспользоваться формулой (6):
t
ds
2	a sin ~ dt
da
-1л
= —4л sin у.
*) При этом следует помнить, что положительное направление отсчета
дуг отвечает возрастанию параметра (*, х или 0).

410	ГЛ. XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	(216
Если вспомнить выведенное нами в пв210, 5) выражение для отрезка
нормали п до пересечения с осью х, то окажется, что
#	= — 2/г.
Отсюда—построение центра кривизны С, ясное из рисунка.
2)	В заключение скажем несколько слов об одном практическом во¬
просе, в котором как раз и используется существенно изменение кривизны
вдоль кривой: речь идет о так называемых переходных кривых,
применяемых при разбивке железнодорожных закруглений.
Как устанавливается в механике, при движении материальной точки по кри¬
вой развивается центробежная сила, величина которой определяется формулой
где т — масса точки, v — ее скорость, а /? — радиус кривизны кривой в рас¬
сматриваемой ее точке.
Если бы прямолинейная часть железнодорожного пути непосредственно
примыкала к закруглению, разбитому по дуге круга (рис. 109, в), то при пе¬
реходе на это закругление центробежная сила возникала бы мгновенно, соз¬
давая резкий и сильный толчок, вредный для подвижного состава и для
верхнего строения пути. Для избежания этого прямолинейную часть пути со¬
прягают с круговой при помощи некоей переходной кривой (рис. 109, б).
Вдоль нее радиус кривизны постепенно убывает от бесконечного зна¬
чения— в точке стыка с прямолинейной частью — до величины радиуса
круга — в точке стыка с круговой дугой, и соответственно этому посте¬
пенно нарастает центробежная сила.
В качестве переходной кривой, например, используется кубическая пара-
бола у = -щ. В этом случае, очевидно, имеем
X8	„ X
У = 27- * =7’
так что для радиуса кривизны получается выражение
При х = 0 имеем У = 0 и # = оо, и наша кривая в начале координат каса¬
ется оси х и имеет нулевую кривизну.

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ВОЗНИКНОВЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ИДЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. ПРЕДЫСТОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
217.	XVII век и анализ бесконечно малых. Это был период, переход¬
ный от средневековья к новому времени, начало расцвета капитализма,
который в своей борьбе с феодальным строем представлял тогда прогрес¬
сивную силу. Точные науки от самой жизни получали мощные импульсы
для быстрого развития. Мореплавание вызвало повышенный интерес к астро¬
номии и оптике. Кораблестроение, устройство плотин и каналов, создание
различных машин и сооружений, запросы баллистики и вообще военное
дело — содействовали развитию механики. В свою очередь астрономия,
оптика, механика — да и сама техника непосредственно — требовали реши¬
тельного обновления тогдашней математики.
Это обновление произошло под знаком введения переменной ве¬
личины, которое Энгельс справедливо назвал «поворотным пунктом в мате¬
матике» (см. цитату на стр. 37—38). Лишь математика переменных величин
могла оослужить потребности нарождавшегося математического естество¬
знания. Новые задачи привели к созданию новых методов исследс?-
вания, связанных с рассмотрением «бесконечно малых» величин (или
«инфинитезимальных» методов). Отсюда математический анализ, офор¬
мившийся к концу века в самостоятельную научную дисциплину, и получил
название «анализа бесконечно малых», удержавшееся даже до нашего
времени.
Вначале в этой области преобладало «кустарное производство»: устано¬
вление каждого отдельного факта нуждалось в специальном подходе со сто¬
роны исследователя. Но с течением времени положение вещей изменилось.
Стали появляться общие методы для решения однотипных задач, устанавли¬
вались связи между задачами разных типов, постепенно выяснялись общие
понятия, лежащие в основе решения, и все это блестяще завершилось —
в руках Ньютона и Лейбница — открытием дифференциального и интеграль¬
ного исчисления.
Первый параграф посвящен обзору достижений, по меньшей мере двух
поколений математиков, которые на протяжении полустолетия подготовили
это открытие.
218.	Метод неделимых. Начнем с предыстории интеграль¬
ного исчисления, которая на деле восходит еще к далекой древности;
что касается вычисления площадей и объемов, а также определения положе¬
ния центров тяжести фигур, то здесь истинным учителем математиков
XVII века был Архимед (III век до н. э.).

412
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[218
В дошедшем до нас «Послании Архимеда к Эратосфену» *) сообщается
о том, что свои результаты — в предварительном порядке — он получал
с помощью своеобразного метода, в котором формально использовалась
теория равновесия рычага, но в существе лежала мысль о составлении
плоских фигур из линий, а тел — из плоскостей. Истины, найденные этим
«атомистическим» методом, впоследствии публиковались со строгими их
доказательствами, по обычаю того времени, от противного. Однако матема¬
тикам XVII века это «Послание» не было известно — на протяжении двух
тысячелетий оно считалось утерянным, и текст его совершенно случайно
был обнаружен лишь в начале нашего столетия. Таким образом, в интере¬
сующую нас эпоху о методе, которым Архимед пользовался для откры¬
тия своих результатов, можно было только догадываться по другим сохра¬
нившимся его сочинениям. В них иной раз и следа не оставалось от того
пути, на котором результаты фактически были получены. Но в некоторых
работах, при самом доказательстве от противного, Архимед все же пользо¬
вался разложением плоской фигуры (или тела) на элементы, правда, взя¬
тые в конечном числе и конечной толщины; в связи с этим
он рассматривал также вписанные и описанные ступенчатые фигуры (тела),
которые являются геометрическим прообразом наших интегральных сумм.
Первую попытку раскрыть архимедов метод и расширить область его
применения осуществил немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер
(1571—1630). Он опубликовал в 1615 г. книгу под названием «Новая сте¬
реометрия винных бочек» **). Хотя сочинение это написано по случайному
поводу и, казалось бы, на сугубо практическую тему, но оно содержит
новый для того времени подход к вопросу о квадратурах и кубатурах:
плоская фигура разлагается на бесконечное число бесконечно малых эле¬
ментов, а затем из тех же элементов — в случае надобности, деформиро¬
ванных— составляется новая фигура с уже известной площадью (и анало¬
гично— для тела).
Отметим, что упомянутые элементы у Кеплера не вовсе лишены тол¬
щины: он говорит о «тончайших кружочках», о «частях крайне малой
ширины, как бы линейных» и т. п.
Таким путем Кеплер сначала получает прямые выводы для ряда
результатов, известных еще Архимеду, а затем — в разделе, названном им
«Дополнение к Архимеду» —вычисляет объемы 87 новых тел вращения!
Преемником идей Кеплера и основоположником «метода неделимых»,
как такового, явился ученый итальянский монах, ученик Галилея — Бонавен-
тура Кавальери (1598—1647), для которого пропаганда этого метода стала
делом всей его жизни. В 1635 г. вышел в свет его основной труд «Гео¬
метрия, изложенная новым способом неделимых непрерывного», впослед¬
ствии (в 1647 г.) дополненный «Шестью геометрическими опытами» ***).
В этих работах, по существу, воскресла атомистическая точка зрения Ар¬
химеда.
«Для определения размера плоских фигур применяются, говорит Кавальери,
прямые линии, параллельные некоторой прямой..., которые мы воображаем
себе проведенными в бесконечном числе в этих фигурах» (рис. 110). Ана¬
логично он поступает и с телами, только там вместо линий проводятся
плоскости. Эти линии (плоскости) и суть пресловутые «неделимые»; они «не
ограничены числом и лишены какой бы то ни было толщины» (в этом
Кавальери противопоставляет себя Кеплеру!). Однако Кавальери не решается
*) Имеется в русском переводе: «Новое сочинение Архимеда» (Одесса,
Mathesis, 1909).
**) Имеется в русском переводе (ГТТИ, 1935).
***) Имеется русский перевод двух книг; «Геометрии» и «Опыта IV»
(ГТТИ, 1940).

218]
§ 1. ПРЕДЫСТОРИЯ ДИФФЕРЕНЦ. И ИНТЕГР. ИСЧИСЛЕНИЯ
413
утверждать, что фигуры или тела состоят из этих неделимых, лишенных
толщины. Его основное положение формулируется осторожнее: «Плоские
фигуры (или тела) относятся как все их неделимые, взятые вместе».
Например, если параллелограмм ABCD (рис. 111) диагональю АС разло¬
жить на два треугольника и вообразить
в них прямые, параллельные основанию
CD,то «все линии (OR) параллелограмма»
относятся ко «всем линиям (QR) тре¬
угольника» как 2:1, ибо таково отноше¬
ние площади параллелограмма к площади
треугольника.
Под «всеми линиями» фигуры Ка-
вальери понимал, как можно думать,
сумму этих линий, т. е. величину бес¬
конечную («неограниченную»), так что
лишь отношение двух подобных
сумм могло оказаться конечным. По-видимому (хотя Кавальери нигде не го¬
ворит этого явно), неделимые находятся на равных расстояниях друг от
друга, но эти расстояния нигде не фигурируют. Если попытаться передать
мысль Кавальери в привычных нам терминах, то можно сказать, что он
использует сумму ординат (или сумму значений функции), не умножая их
на приращении абсциссы (независимой переменной). Так, сформулированное
выше утверждение, если за параллелограмм взять для простоты квадрат со
стороной а и восстановить умножение
в
на расстояние h между неделимыми,
можно (конечно, весьма условно!) про¬
иллюстрировать цепью равенств:
а
%OR	2вЛ.
Jadx
. = 2.
J xdx
Важный дальнейший шаг делает Ка¬
вальери, устанавливая в «Геометрии» от-
ношёние «всех квадратов (линий OR)
Рис. 111.	параллелограмма»	ко	«всем	квадратам
(линий (?/?) треугольника». В результате
длинного ряда умозаключений, оно оказывается равным трем. В «Опыте IV»
он сопоставляет далее «все кубы» и «все квадрато-квадраты» (линий) парал¬
лелограмма и треугольника: здесь отношения получаются равными четы¬
рем и пяти. Отсюда Кавальери сделал заключение о справедливости по¬
добного же закона и для случая степени с любым натуральным показателем т.
Этот закон можно было бы в наших символах записать так.
а
\ ат dx
а
§ хт dx
о
так что, по сути, здесь речь идет о вычислении интеграла

414	гл. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	[219
Свои результаты Кавальери немедленно же применяет к различным квад¬
ратурам и кубатурам, но получает ихсовершеннонезависимо от
приложений. В этой общности постановки задачи (именно как задачи
вычисления определенного интеграла) заключается продвижение вперед по
сравнению с Кеплером, выполнявшим всякий раз лишь конкретные ку¬
батуры.
219.	Дальнейшее развитие учения о неделимых. Вычислением интег-
а	а
рала Jxmdx путем сопоставления его с ^ат dx*= а** -И занимались и дру¬
гие ученые. Французский математик Пьер Ферма (1601 — 1665), как видно из
его переписки, пришел к общему результату Кавальери несколько раньше
последнего. Затем должны быть упомянуты Блез Паскаль (1623— 1662) —
французский математик, физик и философ — с его работой «Сумма числовых
степеней» (1654), а также английский ученый Джон Валлис (1616— 1703),
о книге которого «Арифметика бесконечных величин» (1655) нам уже при¬
ходилось говорить. Все они исходили из арифметических соображе¬
ний и связывали это вычисление с рассмотрением суммы m-х степеней по¬
следовательных натуральных чисел. На привычном нам языке суть дела мо¬
жет быть выражена так: если разложить промежуток [0, а] на п равных час¬
тей длины	то	отношение интегральных сумм
2(4*Г*	2**	,
i = 1	i = l	1
л	—пт	+1	1 при n~hCO'
*=1
Предельный переход, впрочем, отчетливо выступает только у Валлиса. В ос¬
нове всех рассуждений лежит умозаключение по индукции.
В более поздних работах *) Ферма, занимаясь квадратурой различных «па¬
рабол»: ут = схп и «гипербол»: утхп =с, уже прямо разбивает фигуру под
кривой на полоски (как это делаем мы), но настолько малые, чтобы можно
было «приравнять» их прямоугольникам. При этом абсциссы у него образуют
даже не арифметическую, а геометрическую прогрессии [ср. 184, 2)]. Таким
путем Ферма оказался в состоянии вычислять интегралы от степеней хг с ра¬
циональными показателями г = ± — (исключая лишь случай г = —1, от-
14
вечающий классической гиперболе).
Ближе подошел к современному пониманию определенного интеграла и
раскрыл мощь (еще не созданного!) интегрального исчисления — Паскаль.
Мы имеем в виду те его сочинения, которые в совокупности дают решение
выдвинутого им же в 1658 г. ряда задач, связанных с циклоидой и тре¬
бующих вычисления различных площадей, объемов, длин дуг и определе¬
ния положения центров тяжести. Эти работы первоначально были опубли¬
кованы им под псевдонимом, как «Различные открытия А. Деттонвилля в гео¬
метрии».
Паскаль продолжает пользоваться «языком неделимых», но в обстоя¬
тельном «Предуведомлении» тщательно разъясняет, как этот язык
*) Отрывки из них можно найти в «Хрестоматии по истории математики»
Вилейтнера, вып. JV (ГТТИ, 1932), стр. 70.

2191
§ 1. ПРЕДЫСТОРИЯ ДИФФЕРЕНЦ. И ИНТЕГР. ИСЧИСЛЕНИЯ
415
надлежит понимать. Например, если диаметр полукруга (рис. 112)
разделен на «неограниченное» число равных частей в точках Z, и проведены
ординаты ZM, то под «суммой ординат» разу¬
меется «сумма неограниченного числа прямоугольни¬
ков, составленных каждой ординатой с каждой из ма¬
леньких равных частей диаметра», причем эта сумма
«отличается от площади полукруга на величину, мень¬
шую любой данной». На рис. 113 дуга ВС круга раз¬
делена на «неограниченное» число равных дуг в точ¬
ках Д из которых опущены перпендикуляры DE,
называемые «синусами». В таком случае, «если говорят
просто сумма синусов DE, то под этим понимают
сумму прямоугольников, составленных каждым сину¬
сом DE и каждой из выпрямленных маленьких дуг
DD, так как эти синусы порождены равными де¬
лениями дуги». В приведенных примерах само собою
ясно, на части какой линии следует умно¬
жать рассматриваемые там ординаты, или синусы;
в других случаях эта линия должна быть явно упомя¬
нута. Таким образом, независимая переменная, которую оста¬
вил в тени Кавальери, рассматривавший лишь сумму значений функции,
-	-	здесь с полной отчетливостью
^	"	восстанавливается в правах:
значения функции ум¬
ножаются на прираще¬
ния независимой пере¬
менной.
Для того чтобы дать
образец рассуждения, которым
пользуется Паскаль для вы¬
числения нужных ему инте¬
гралов, приведем одно предло¬
жение из «Трактата о синусах
четверти круга» *). Прежде
Рис. 113.
видная
из
лемма (см. рис. 114,
DI X ЕЕ = RR X АВ.
Само же упомянутое предложение гла¬
сит: сумма синусов дуги BF (рис. 115)
равна отрезку АО, умноженному на
радиус АВ.
Заменяя в (1) каждую касательную
ЕЕ дугой DD и складывая все равен¬
ства этого типа, слева получим нужную
нам «сумму синусов», а справа сумму
всех RR или — что то же — линию АО,
умноженную на АВ. Этим и завершается
доказательство.
За ним следует интересное «Пред¬
уведомление», в котором Паскаль пред¬
лагает читателю не удивляться тому, «что
все расстояния RR вместе равны АО,
а также что каждая касательная ЕЕ
которого
(о
всего
ясны
устанавливается
и обозначения):
оче-
*) Выдержки из него имеются в упоминавшейся уже «Хрестоматии*
Вилейтнера, вып. IV, стр. 81.

416
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[220
равна каждой из маленьких дуг DD, ибо достаточно известно, что хотя это
равенство неверно, когда множество синусов конечно, но тем не
менее оно верно, когда это множество неограниченно».
Для истолкования доказанного утверждения на нашем языке, положим
радиус АВ = \ и введем угол <p = <iMD; тогда оно окажется равносиль¬
ным равенству
j[cos у dy = sin <р.
Очень поучителен и самый подход Паскаля к решению поставленных
им задач: он наперед в общем виде точно перечисляет, какого типа ин¬
тегралы («суммы») для этого оказываются нужными. Затем он показывает,
как их вычислить применительно к интересующему его конкретному слу¬
чаю, и тем завершает решение. Упомянем еще о различных довольно слож¬
ных интегральных формулах, преобразующих одни интегралы («суммы») в
другие; Паскаль получает их из стереометрических соображений и исполь¬
зует с большим мастерством.
220.	Нахождение наибольших и наименьших, проведение касатель¬
ных. Обратимся к предыстории дифференциального исчис¬
ления. В этой области зачинателем следует считать Ферма, который за¬
нимался как раз обеими задачами, обычно относимыми к дифференциально¬
му исчислению: разысканием наибольших и наименьших и проведением ка¬
сательных, и первым применил к их решению методы, имеющие по существу
инфинитезимальный характер.
Работа Ферма «Метод исследования наибольших и наименьших» *) ста¬
ла известна из его писем, начиная с 1629 г., частично была опубликована в
1642—1644 гг., а полностью — лишь в 1679 г., уже после смерти Ферма.
Правило, предложенное Ферма (без какого-либо обоснования!) для ра¬
зыскания наибольших или наименьших значений, мы разъясним на одной из
рассмотренных им же задач: рассечь
(§)	банную линию АС (рис. 116) в точке В
—		—так, чтобы тело, построенное на кеад-
рате АВ и на линии ВС, было наи-
А 	В	С	большим.
Д)	Обозначая данный	отрезок	АС	че¬
рез	Ву а искомый АВ	— через	А,	для
Рис. 116.	наибольшего объема получим выраже¬
ние: А2 (В—Л)**). Подставив сюда
А + Е вместо А (буква Е у Ферма служит стандартным обозначением
для приращения рассматриваемой величины Л), приравняем оба выражения
(на деле неравные!):
(А + Ef (В — А — Е) — А2 (В — Л).
Опустим теперь	в	обеих	частях	общие	члены и сократим	оставшиеся	на
содержащийся	в	них	всех множитель Е:
2А (В — А) —А*+ Е (В — А — Е) — 2АЕ = 0.
Наконец, уничтожим здесь те члены, которые и после этого сокращения
еще содержат множителем Е. В результате получится:
2А(В—А) — Ла = 0, или 2АВ = ЗА2.
*) См. «Хрестоматию» Вилейтнера, вып. IV, стр. 78.
**) Мы здесь и везде дальше пользуемся привычными нам алгебраичес¬
кими обозначениями, независимо от того, как на деле пишет цитируемый
автор.

220]
§ 1. ПРЕДЫСТОРИЯ ДИФФЕРЕНЦ. И ИНТЕГР. ИСЧИСЛЕНИЯ
417
Это будет уже, по выражению Ферма, «истинное» равенство, в то время как
предшествующие равенства были лишь «вымышленными» или «приближен¬
ными». Из последнего равенства и определяется =
В общем виде, если использовать функциональные обозначения, «правило
Ферма» выглядит так. Для разыскания величины А, доставляющей выраже¬
нию /(А) наибольшее или наименьшее значение, Ферма сначала пишет «при¬
ближенные» равенства
f(A + E)=f(A) или / (A-j- Е) — /(Л) = 0,
откуда, деля на Е, получает
f(A+E)-f(A)_n
В последнем равенстве он уничтожает члены, еще содержащие Е, т. е. пола¬
гает Е = 0 (а это равносильно здесь переходу к пределу при Е —* 0). Тогда
получается, наконец, уже «истинное» равенство
Г / (А-\-Е) — / (А) 1	=0
[ Е Jя=о
или—в наших обозначениях—f (Л) = 0, откуда и определяется искомое А
[ср. 100 и 112].
Величина £, хотя Ферма этого не говорит, играет роль очень ма¬
лого (если не бесконечно малого) приращения независимой перемен¬
ной Л. Исходное равенство f (АЕ) = f (А) выражает своего рода принцип
остановки: в тот момент, когда величина достигает своего
наибольшего или наименьшего значения, она как бы
останавливается в своем изменении*).
В той же работе Ферма указывает, что его методом можно решать и
задачу о проведении касательных к кривым. На этот раз через Л он обозна¬
чает подкасательную, а через Е — ее приращение (или убыль); поль¬
зуясь уравнением кривой, он составляет сначала «приближенное» равенство,
применяет прежнюю проце¬
дуру, и в результате получает
равенство, из которого опреде¬
ляется Л.
К исследованиям Ферма при¬
мыкают правила, данные для реше¬
ния названных задач другими авто¬
рами и либо упрощающие правила
Ферма, либо расширяющие область
их применения. Мы упомянем лишь
о методе проведения касательных,
который излагает учитель Ньюто¬
на— Исаак Барроу (1630—1677)
в своих «Лекциях по оптике и гео¬
метрии» (1660—1670), указывая,
что делает это «по совету друга»
(по-видимому — Ньютона!)
Барроу вводит стандартные обозначения для обеих координат точки М
кривой (рис. 117) и для их приращений, полагая AP—f, РМ = т, NR — e,
= а, причем считает эти приращения — вместе с дугой
*) Подобный принцип уже формулировался раньше, например, Кеплером.
14 Г. М. Фихтенгольц, т. I

418
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ 04FPK
(221
NM «неограниченно малыми». Связав координаты / — е и т — а
точки N уравнением кривой, Барроу отбрасывает в полученном соотношении
все члены, вовсе не содержащие ни е, ни с, (они на деле взаимно уничто¬
жатся), а также члены степени выше первой относительно ей а («ибо
эти члены не будут иметь никакого значения»). Здесь впервые явно высту¬
пает принцип пренебрежения членами высшего порядка малости (у Ферма
его можно лишь подозревать!).
Теперь уже легко определить отношение а к е, или — что то же—от¬
ношение ординаты РМ = т к подкасательной TP = t. Равенство обоих от¬
ношений следует из подобия конечного треугольника ТРМ и бесконечно
малого треугольника NRM (в котором вместо «частицы кривой»,
именно ввиду ее «неограниченной малости», подстав¬
ляется «частица касательной»).
Эти подобные треугольники с той поры прочно вхо¬
дят в обиход анализа бесконечно малых. Впоследствии
Лейбниц назвал их «характеристическими»*).
221.	Проведение касательных с помощью кинема¬
тических соображений. Французский математик Жиль
Персонн де Роберваль (1602—1675) и итальян¬
ский физик и математик Эванджелиста Торричелли
'У	(1608—1647) независимо друг от друга и примерно
одновременно (их исследования впервые были опубли¬
кованы в 1644 г.) пришли к мысли использовать для
проведения касательных к кривым кинематические
соображения. Именно, если кривую удается представить
как траекторию	движения точки,	составленного из двух
более простых	движений,	для	которых скорости по
величине и направлению непосредственно даны, то на¬
правление скорости составного движения — а с ним и
направление касательной к траектории — определяется
по «правилу параллелограмма».
В качестве примера приведем принадлежащее Тор¬
ричелли решение задачи о касательной к параболе. Он
использует при этом кинематические соображения
своего учителя Галилея, которые для краткости мы,
отступая от оригинала, изложим на языке аналитической геометрии. Пусть
точка	в	начальный	момент времени	находится	з О	(рис. 118) и свободно
падает с ускорением g (а значит — со скоростью	gt, если через t обозначить
время) вдоль вертикальной прямой, которая сама перемещается горизон¬
тально с постоянной скоростью и. Тогда, при обозначениях чертежа, в мо¬
мент t будем иметь:
x = -jgt‘, y = ut,
U'2
откуда, исключая t> найдем: у2 = 2 — х. Таким образом, в качестве траек¬
тории точки получается парабола (которая, за счет выбора и, может быть
отождествлена с произвольной параболой у2 = 2рх). Отношение вертикаль¬
ной скорости к горизонтальной равно
gt _ gt2 __ 2х
и ut у *
*) Впрочем, по его утверждению, идея бесконечно малого «характери¬
стического» треугольника была им заимствована не у Bappov, а у Паскаля
[см. п° 219, рис. 114].

222)
§ 1. ПРЕДЫСТОРИЯ ДИФФЕРЕНЦ. И ИНТЕГР. ИСЧИСЛЕНИЯ
419
откуда — с учетом подобия треугольников — и усматривается, что касатель¬
ная пересекает ось параболы позади ее вершины на расстоянии х [ср. 210, 2)].
Мы остановились именно на этом примере в связи с тем, что здесь для
проведения касательной использовано разложение движения по кривой на
составляющие движения по горизонтальному и вертикальному
направлениям.
Впоследствии Барроу, обобщая эту идею, стал представлять движение
уже по произвольной кривой как бы составленным из двух дви¬
жений — горизонтального (которое всегда можно считать равномерным) и
вертикального. Тогда положение касательной Ш (рис. 118) определится
отношением отрезков ТР и РМ, которое равно отношению скорости «опу¬
скания» к скорости «бокового движения».
222.	Взаимная обратность задач проведения касательной и ква¬
дратуры. Исключительный интерес и важность представляют десятая и один¬
надцатая из «Лекций по геометрии» Барроу: в них проведение касательных
связывается с квадратурами. Из большого числа относящихся сюда предложе¬
ний мы выделим теоремы XI из лекции X и XIX из лекции XI, в которых впер¬
вые в предыстории анализа бесконечно малых прямо про¬
тивопоставляются две основные задачи дифференциального и интегрального
исчисления в геометрической форме, именно—проведение касательной к
кривой и квадратура кривой *). Переведя эти теоремы на аналитический язык,
в привычных нам обозначениях содержание их можно сформулировать так:
х
I.
Если у = f z dx, то Q — 5
J	dx
II. Если z = то ^z dx=y (подразумевается, что у = 0 при * = 0).
о
Чтобы дать представление о том, что же на самом деле сделано у Барроу,
изложим вкратце формулировку и доказательство второй из этих теорем.
Дана произвольная кривая АВ (рис. 119). Пусть МТ — касатель¬
ная к ней в точке М. Вторую кривую KL определим условием:
•) См. «Хрестоматию# Вилейтнера, вып. IV, стр. 89.
14*

420
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
(223
FZ:R — FM\TFt где R— данный отрезок (= DM). Тогда площадь
ADLK равна произведению DB X R.
Для доказательства, возьмем на кривой АВ «неограниченно малый отре¬
зок MN» и проведем указанные на чертеже линии. Тогда (как мы уже знаем)
МО: NO = FM: TF= FZ:R,
откуда
NO X FZ = MO X R или С?/7 X FZ = ES X
«Но так как все прямоугольники GF X FZ отличаются от площади ADLK
сколь угодно мало, и все соответствующие прямоугольники ES X ЕХ обра¬
зуют прямоугольник DH1B, то утверждение является достаточно ясным».
Если положить AF = x, FM=y, FZ = z и /?=1, то по условию, опре¬
деляющему вторую кривую, как раз и будет
z 	 FM	 dy
Т"”Тdx '
а заключение теоремы равносильно тому, что
X
^zdx = y X 1 —у.
о
Тщетно, однако, было бы искать у Барроу даже простого сопоставления
этих двух теорем (в книге они отделены двумя десятками других); к тому
же они почти не используются. Здесь именно и сказалось то обстоятельство,
что Барроу говорит на геометрическом языке, не владея теми общими
понятиями, которые одни только и могли бы осветить существо вопроса
и открыть дорогу широким приложениям.
223.	Обзор предыдущего. Подведем же итоги тому, что было достиг¬
нуто в XVII веке в направлении «анализа бесконечно малых» — до появления
на математическом поприще Ньютона и Лейбница.
Всего больше было сделано в области, связываемой теперь с интегральным
исчислением. Здесь не только было получено большое количество конкрет¬
ных результатов, относящихся к квадратурам, кубатурам, спрямлениям дуг,
компланациям поверхностей и определению центров тяжести, но и была
осознана связь между всеми подобными задачами, которые традиционно
приводились к простейшей из них — к квадратуре. В работах Кавальери,
Паскаля и других начало выкристаллизовываться самое
понятие определенного интеграла. Был вычислен фактически
ряд простейших интегралов, чаще всего в геометрической форме, но иногда
и чисто арифметически (Ферма, Паскаль, Валлис); найдены были различные
соотношения, преобразующие одни интегралы в другие (Ферма, Паскаль,
Барроу).
В области, относимой теперь к дифференциальному исчислению, Ферма
дал единообразный метод инфинитезимального характера для решения задач
на разыскание наибольших или наименьших и на построение касательных.
Его исследования были продолжены рядом других авторов. Однако здесь
не удалось выделить основных понятий, лежащих в суще¬
стве вопроса. Особняком стоят попытки Роберваля и Торричелли, про¬
долженные Барроу, решить задачу проведения касательной к кривой, исходя
из кинематических соображений (это впоследствии нашло отражение в кон¬
цепциях Ньютона).
Наконец, как мы только что видели, Барроу удалось частично перебро¬
сить мост от задач одной группы к задачам другой.
Таким образом, почва для нового исчисления была подготовлена, но
исчисления как такового все еще не было. А между тем, как впослед¬

224]	§	2.	ИСААК НЬЮТОН	421
ствии ярко выразился Лейбниц, «после таких успехов науки недоставало
только одного — нити Ариадны в лабиринте задач, именно аналитического
исчисления по образцу алгебры». Здесь, прежде всего, нужно было
установить в общей форме основные понятия нового
исчисления и их взаимосвязь. Затем—введя подходящую симво¬
лику—н адлежало создать регулярный процесс, или алго¬
рифм, для вычисления. Это и было выполнено Ньютоном и Лейб¬
ницем, независимо друг от друга *) и притом по-разному.
Обзору их работ, относящихся к анализу бесконечно малых, мы пред¬
пошлем еще следующее замечание о самом понятии «бесконечно малой».
В ту пору — да и в течение еще долгого времени — под бесконечно или
неограниченно малой понимали, часто, не говоря этого явно, так сказать,
статическую, т. е. неизменяющуюся величину, не равную нулю и в то
же время (абсолютно) меньшую всякой конечной величины. Это понятие
«актуально» бесконечно малой — при нашей концепции числа и простран¬
ства—противоречиво и носит мистический характер. Ему противопоста¬
вляется— привычное нам теперь — понятие «потенциально» бесконечно малой
как переменной величины, которая лишь в процессе своего изменения
становится (абсолютно) меньшей любой конечной величины. Переход от
одного понимания бесконечно малой к другому встре¬
тился с большими трудностями, ибо требовал ясного
представления о предельном процессе. Борьбу этих двух кон¬
цепций читатель увидит и в трудах Ньютона и Лейбница, к рассмотрению
которых мы переходим.
§ 2. ИСААК НЬЮТОН (1642—1727)
224.	Исчисление флюксий. Основной работой Ньютона, где излагается
это исчисление, является трактат: «Метод флюксий и бесконечных рядов» **).
Он был составлен около 1671 г. (основные идеи его оформились, вероятно,
еще раньше), но вышел в свет лишь в 1736 г. — уже после смерти автора.
Переменные величины Ньютон называет «флюэнтами» (т. е. «текущими» ве¬
личинами) и обозначает последними буквами латинского алфавита: и, _у, z, х;
они рассматриваются как растущие (убывающие) во времени. Скорости
же, с которыми они возрастают, называются их «флюксиями» и обозначаются
теми же буквами, но с точками: tu, у, z х. Таким образом, для Ньютона
скорость есть понятие непосредственно ясное, не нуждающееся в опреде¬
лении, а через него уже определяется флюксия, т. е. — как сказали бы мы —
производная от флюэнты по времени ***).
Правда, Ньютон оговаривает, что время здесь понимается не буквально —
за «время» может быть принята любая величина, скажем, х, равномерно
растущая вместе с настоящим временем, например, такая, чтолг=1. Но
следует помнить, что все флюэнты зависят от этого «времени», т. е. от
одной и той же универсальной независимой перемен¬
ной. Таким образом, ни функций от нескольких независимых переменных,
ни частных производных у Ньютона нет.
Первую основную проблему Ньютон затем формулирует так:
*) Мы совершенно оставляем в стороне необоснованный спор о приори¬
тете открытия нового исчисления, который возник впоследствии.
**) Имеется русский перевод; см. «Математические работы Ньютона»
(ОНТИ, 1937), стр. 25—166.
***) Хотя символикой Ньютона сейчас не пользуются, но в механике
и физике до сих пор сохранилось обыкновение именно производные по вре¬
мени обозначать точками.

422
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
(224
«/7о данному соотношению между флюэнтами определить соотноше¬
ние между флюксиями».
Эта проблема более обща, чем просто вычисление флюксии от заданной
флюэнты. Но решает ее Ньютон непосредственно лишь для алгебраических
уравнений. Для примера он берет уравнение
*3 — ах2 + аху —У = 0.	(1)
Предлагаемое Ньютоном правило сводится к следующему: каждый член, со¬
держащий степень х, умножается на показатель степени х, и один из мно¬
жителей х заменяется на х\ аналогично, каждый член, содержащий степень у}
умножается на показатель степени у, и один из множителей у заменяется
на у\ сумма всех найденных таким образом членов приравнивается нулю.
В данном примере получится
Зх2х — 2 ахх + аух + аху — 3у2у = 0.
Легко понять, как переносится это правило на общий случай алгебраического
уравнения, связывающего любое число флюэнт. При наличии дробей или
радикалов Ньютон прибегает к обходному пути. Пусть дано уравнение
х8 — ау2			х2 У ау + х2 = 0.
Полагая
—Щ-— = z и х2 У ау + х2 = и,
а + у	w	j	\
Ньютон сводит его к уравнению
х* — ay2	z —и = 0,
к которому применимо указанное правило:
Зх2х — 2 ауу + z — и = 0.
Что же касается г, щ то они, в свою очередь, определяются из соотношений,
получающихся, если применить то же правило к уравнениям:
az-^yz— by5 — 0, ах*у + х* — и2 = 0.
Переходя к доказательству правила, Ньютон вводит новое понятие:
«моменты» текущих величин. Это — «те неограниченно малые их части, бла¬
годаря прибавлению которых в неограниченно малые части времени беспре¬
рывно увеличиваются сами величины». Эти моменты пропорциональны ско¬
ростям, с которыми величины изменяются* т. е. флюксиям. Вводя неограни¬
ченно малую величину о (это не нуль, а «актуально» бесконечно малое при-
!>ащение времени), Ньютон записывает моменты величин так: ио> уо, го, хо
лейбницевские дифференциалы1).
Самое доказательство Ньютон проводит на уже рассмотренном примере,
в основном повторяя процедуру Ферма. Подставив в равенство (1)
х-\-хо вместо х и у+уо вместо у, он почленно вычитает (1), сокращает
на о и, наконец, пренебрегает теми членами, которые и после этого еще
содержат о: «так как — поясняет Ньютон — мы предположили о бесконечно
малой величиной,..., то члены, которые на нее умножены, можно считать
за ничто в сравнении с другими». Ни этот принцип, ни само правило фор¬
мально не новы, но существенно новым является то, что ре¬
зультат здесь утверждается для флюэнт любой при¬
роды, безотносительно к каким-либо частным задачам.

225]
§ 2. ИСААК НЬЮТОН
423
Впоследствии Ньютон ввел и флюксию от флюксии, т. е. вторую флюк¬
сию: и, у, 2У х, и даже флюксии высших порядков.
Свое исчисление флюксий Ньютон применяет сначала к задачам, о кото¬
рых уже не раз была речь выше.
Определить наибольшие и наименьшие значения величин».
Сначала формулируется принцип остановки: «когда величина есть наи¬
большая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течет
ни вперед, ни назад». Отсюда правило: найти флюксию и приравнять ее нулю.
При этом, как подчеркивает Ньютон, соотношение, определяющее
флюэнту, может содержатьи иррациональности, чего не
допускали ранее опубликованные правила.
«Провести касательные к кривым».
В основном случае, когда непосредственно дано уравнение между декар¬
товыми координатами х, у переменной точки кривой, Ньютон рассуждает
подобно Барроу [я0 221], лишь бесконечно малые приращения (убыли) е и а
он заменяет моментами х - о и у- о, так что (сохраняя обозначения черт. 117)
РМ:ТР = у:х;
отношение же флюксий определяется по указанному правилу из уравнения
кривой. Ньютон рассматривает и ряд других способов проведения касатель¬
ной, отвечающих другим способам зада¬
ния кривой.
Совершенно новой по постановке
является задача:
«Определить величину кривизны
какой-либо данной кривой в данной
точке*.
Сформулировав ее, Ньютон при¬
совокупляет: «Существует мало задач
в учении о кривых, которые были бы
изящнее этой и глубже вскрывали бы
их природу».
Определения понятия кривизны не
дается. Для круга — кривизна одна и
та же во всех точках, для разных кру¬
гов она обратно пропорциональна диа¬
метру. Кривизна кривой в данной точ¬
ке D (рис. 120) совпадает с кривизной
такого круга, который теснее всего
примыкает к кривой вблизи этой точки
(фактически Ньютон считает кривую и
круг сливающимися по бесконечно ма¬
лой дуге Dd). Если С есть центр этого
круга («центр кривизны»), то в нем пересекаются бесконечно близкие нор¬
мали CD и Cd к кривой. Для радиуса круга («радиуса кривизны») Ньютон
выводит формулу, которая лишь формой записи разнится от привычной нам.
225.	Исчисление, обратное исчислению флюксий; квадратуры. После
первой основной проблемы Ньютон в «Методе флюксий» формулирует и
обратную ей вторую проблему:
<По данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение
между флюэнтами».
В таком виде это есть (как мы сказали бы теперь) задача об интегри¬
ровании обыкновенного дифференциального уравнения, гораздо более общая
и трудная, чем непосредственное нахождение флюэнты по ее флюксии, т. е.
разыскание первообразной. Мы не будем касаться здесь упомянутой общей
задачи (ее Ньютон решает преимущественно с помощью бесконечных рядов)

424
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[225
и остановимся лишь на задаче разыскания первообразной, которую Ньютон
всегда трактует геометрически — как задачу квадратуры кривой.
В основе лежит фундаментальное предложение о том, что (если восполь¬
зоваться привычной нам терминологией) производнаяот перемен¬
ной площади по абсциссе есть ордината, так что сама
площадь для ординаты и служит первообразной [ср. 156].
Представляет интерес то доказательство этого предложения, которое
Ньютон дал в своей более ранней работе*), еще до оформления
т
метода флюксий. Желая установить, что для кривой у = ax’ площадь г
ап	т + п
(отсчитываемая от точки, где у = 0) выразится формулой z = ——п— >
Ньютон идет обратным путем и из выражения для площади получает выра-
з
2 —
жение для ординаты. Начинает он с частного случая: если z = у х 2» то
_1
2
у = х ; воспроизведем относящиеся сюда рассуждения, имеющие совершенно
общий характер.
Итак, пусть (рис. 121) АВ = х, BD=y и пл. ADB=*z. Положим
В$ = о (здесь о не означает еще приращения времени, как в теории
флюксий!) и введем BK—v так, чтобы
прямоугольник B$HKt с площадью ov,
был равновелик фигуре В$ЪО; тогда
Лр = х + о и Л&р = z + ov.
Подставив эти выражения вместо х
з
2 2
и z в соотношение у х = z или
—	л:8 = 28, после обычной процедуры
отбрасывания равных членов и сокра¬
щения на о придем к равенству
-i (Зх2 + 3x0 + ог) = 2 zv + ov*.
«Если теперь — продолжает Ньютон — предположить, что В$ бесконечно
убывает и исчезает или что о является нулем, то v и у делаются равными,
и члены с множителем о исчезают». Отсюда уже легко получается и требуе-
Т
мый результат: у = х *
Так как v, собственно, и есть отношение приращения площади (=ov)
к приращению абсциссы (= о), и утверждение, что v делается равной орди¬
нате при бесконечном убывании о, не связано с рассматриваемой частной
задачей, то по существу это и есть доказательство [ср. 156] сформулирован¬
ного выше предложения. Отметим, что о = #(3 здесь скорее является беско¬
нечно малой в нашем смысле, и чувствуется определенный намек на пре¬
дельный переход!
Иначе поступает Ньютон в «Методе флюксий». Наряду с переменной
криволинейной фигурой ADB, он рассматривает и переменный прямоуголь¬
*) «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»; см.
«Математические работы Ньютона», стр. 3 — 24. Это сочинение было написано
еще в 1666—1667 гг., но напечатано лишь в 1711 г.

225]
§ 2. ИСААК НЬЮТОН
425
ник АСЕВ с высотой АС—1 (рис. 122). Обе площади «порождаются» дви¬
жением, соответственно, прямых BD и BE. «Тогда приращения этих пло¬
щадей *) и их флюксии будут всегда в том же отношении, что и описываю¬
щие их линии». При прежних обозначе¬
ниях (с учетом того, что площадь
прямоугольника есть х) будем иметь
г у •
—	= — или z =ух.
X 1
В предположении же, что лг = 1,
получим просто: z=y. Обоими этими
результатами Ньютон постоянно поль¬
зуется.
Теперь легко решается задача:
<Найта сколько угодно кривых,
площади которых представляются с
помощью конечного уравнения».
Именно, задавшись наперед произвольным уравнением между х
и 2, нужно найти из него уравнение между х и z^=y; таким путем и полу¬
чается кривая, площадь которой имеет заранее известное выраже¬
ние через абсциссу (или, вообще, связана с ней известным уравнением).
Вслед за этим Ньютон ставит задачу:
<Найти сколько угодно кривых, площади которых связаны с пло¬
щадью какой-либо данной кривой конечным уравнением».
Коротко говоря, здесь один интеграл проводится к другому с помощью
подстановки, но операция производится — как и только что — в обратном
порядке: ищется функция, интеграл которой с помощью наперед за¬
данной подстановки мог оы быть выражен наперед заданным
уравнением через данный интеграл.
Пользуясь этими двумя приемами, Ньютон составил обширные «ката¬
логи» кривых, квадратура которых либо выполняется непосредственно, либо
же — с помощью указываемых подстановок — приводится к квадратуре эл¬
липса или гиперболы («площади которых можно считать некоторым обра¬
зом известными»). Приведение к квадратуре конических сечений фактически
означало использование простейших трансцендентных функций — логарифми¬
ческой и обратных круговых, которые в то время еще не были введены в анализ.
Специально вычислению квадратур посвящена другая работа Ньютона:
«Рассуждение о квадратуре кривых», написанная вскоре после «Метода
флюксий» и вышедшая в свет в 1704 г. **). Там рассматриваются выраже¬
ния и более сложного вида, например,
zB(e + fz^ + gz2li + • • -)х (я +	+	czi7i	+	...),
где 0, X, т) — рациональные показатели. Как частный случай отметим нахо¬
ждение биномиальных интегралов, т. е. разыскание первообразных для
выражений вида
ZQ
Впрочем, более подробно Ньютон об этом говорит в одном из писем, пред¬
назначенных для Лейбница (1676): он знает, что квадратура выполняется
е + 1	/	ч	0+!	,	*
алгебраически, если —^— есть целое (положительное) число или —^	(-Л
оказывается целым (отрицательным) числом [ср. п° 169].
*) На этот раз, видимо, «актуально» бесконечно малые.
••) См. «Математические работы Ньютона», стр. 167 — 193. Введение и
другие части «Рассуждения» носят следы позднейшей обработки.

426
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
(226
N л
Рис. 123.
Что касается приложений исчисления квадратур, то в «Методе флюксий»
Ньютон отчетливо подчеркивает, что таблицами площадей кривых можно
воспользоваться для определения и величин другого рода по заданным их
флюксиям. Примером может служить задача:
«Определить длины кривых».
Вопрос сводится к определению дуги t = QR (рис. 123) по ее флюксии
*= j/za-{-y2 [ср. п° 202, (5) ], где z = MN и y = NR суть абсцисса и орди¬
ната переменной точки Р кривой у. Сама же формула для t непосредст¬
венно вытекает из рассмотрения прямо¬
угольного Д RSr, сторонами которого слу¬
жат «моменты» величин z, у, t.
226.	Ньютоновы «Начала» и зарожде¬
ние теории пределов. Произведением, ко¬
торое больше всех других доставило Нью¬
тону славу, были вышедшие в 1686—1687 гг.
«Математические начала натуральной фи¬
лософии» *). В нем заложены основы всей
механики вообще и небесной механики —
в особенности.
Ньютон говорит в одном письме, что
он нашел важнейшие предложения своих
«Начал» методом флюксий. Однако на
самом изложении это обстоятельство никак
не отразилось: обычно приводятся — по примеру древних — лишь доказа¬
тельства предложений в синтетически геометрической форме.
Но вместе с тем «Начала» содержат и нечто существенно новое и важ¬
ное в методологическом отношении. Первый же отдел первой книги («О дви¬
жении тел») Ньютон посвящает своеобразной теории пределов, под
названием «Метода первых и последних отношений».
«Первыми отношениями» или «последними отношениями» двух величин
называются их предельные отношения. Первым термином Ньютон поль¬
зуется для обозначения предела отношения двух «зарождающихся» (беско¬
нечно малых) величин, а второй он применяет безразлично как к отношению
«исчезающих» (бесконечно малых) величин, так и к отношению величин ко¬
нечных или даже бесконечно больших. Говорит Ньютон также о «первой
сумме зарождающихся» или «последней сумме исчезающих» величин. Важно
подчеркнуть, что все эти понятия не определяются, и их содержание
выясняется лишь из самого способа их применения. Своеобразие термино¬
логии Ньютона связано с представлением одостижении переменной
своего предела, который является, таким образом, для нее «последним»
(«первым») значением.
ося ньютонова теория пределов состоит из одиннадцати лемм геометри¬
ческого содержания. Как Ньютон указывает в следующем за ними «Поуче¬
нии», они приводятся в целях сокращения доказательств. Того же можно
было бы достигнуть и при помощи метода неделимых, но последний пред¬
ставляется «менее геометричным». «Поэтому, — продолжает он, — если
во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-либо величины
как бы состоящими из постоянных частиц,... то следует разуметь, что
это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не суммы
и не отношения конечных частей, а последние суммы и последние отноше¬
ния исчезающих величин...». И далее: «если в последующем для простоты
речи я буду говорить о величинах весьма малых или исчезающих или
*) Есть русский перевод акад. А. Н. Крылова (1915—1916), воспроизве¬
денный также и в т. VII «Собрания сочинений акад. А. Н. Крылова» (1936).

228]
§ 8. ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
427
зарождающихся, то не следует под этим разуметь количеств определенной
величины, но надо их рассматривать, как уменьшающиеся беспредельно».
Таким образом, здесь провозглашается принципиально близкая к современ¬
ной точка зрения: взамен «актуально» бесконечно малых вводятся в рассмот¬
рение «потенциально» бесконечно малые и пределы их сумм и отношений!
227.	Вопросы обоснования у Ньютона. Мы видим, что позиция Ньютона
в вопросах обоснования его исчисления — уже на протяжении двадцати лет —
претерпела значительную эволюцию.
В «Методе флюксий», отражающем его старые взгляды, «моменты» ве¬
личин явно суть «актуально» бесконечно малые, рост величины сводится
к последовательному их прибавлению. Свободно используется принцип пре¬
небрежения бесконечно малыми величинами по сравнению с конечными.
В «Началах» Ньютон уже отмежевывается от точки зрения неделимых.
Во введении к «Квадратуре кривых», написанном позже, он говорит: «Я здесь
рассматриваю математические величины не как состоящие из мельчайших
частиц, но как описанные непрерывным движением». Из одного замечания
во втором издании «Начал» (1713) явствует, что именно «в способе образо¬
вания величин» Ньютон усматривает главное отличие своего метода от ме¬
тода Лейбница. Теория пределов, которую —хотя и в зачаточной форме —
мы находим в «Началах», представляет существенное продвижение в вопросе
обоснования нового анализа. Впоследствии, в упомянутом уже введении
к «Квадратуре кривых», Ньютон и самый вывод флюксии от хп связывает
с рассмотрением «последнего отношения» двух исчезающих величин, т. е.
по существу — с предельным переходом.
Однако Ньютон все же не выдерживает этой точки зрения до конца.
Не далее, как во второй книге «Начал», он снова вводит неясное понятие
«моментов» величин, т. е. их «мгновенных приращений или уменьшений»!
Относительно этих «моментов» устанавливается ряд простых утверждений
(к тому времени, нужно сказать, в эквивалентной форме, уже опубликован¬
ных Лейбницем!). Вот, например, одно из них: если моменты величины А, В
суть a, bt то момент произведения АВ есть АЬ-\-Ва. Любопытно, что
при доказательстве его Ньютон не исходит из естественно возникающего
равенства
(А + а) (В + b) — АВ = Ab + Ва + abt
ибо тогда ему пришлось бы пренебречь членом ab по сравнению с дру¬
гими (что как раз и делает Лейбниц!), но прибегает к уловке, а именно,
пользуется равенством
(И + | .) [В + 4-») - (А - 1.) [в - 1 ») = АЬ + Л,
которое, правда, сразу приводит к нужному результату, но вовсе не выте¬
кает из существа дела.
Таким образом, попытка Ньютона своим «Методом первых и последних
отношений» подвести рациональный фундамент под новое исчисление не была
последовательной. Она получила дальнейшее развитие и завершение лишь
более чем через столетие — уже в трудах математиков начала XIX века [п° 233].
§ 3. ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646-1716)
228.	Начальные шаги в создании нового исчисления. В отличие от
Ньютона, после Лейбница осталось огромное рукописное наследство — и при¬
том с датами, позволяющими восстановить порядок развития его идей.
В одной из его рукописей, помеченных 1675 г., впервые встречается знак
«Удобно будет, говорит Лейбниц, писать J вместо все, J / вместо все /,

428
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[229
т. е. вместо суммы /» (I здесь означает линию). Вскоре появляется и знак
разности d, устанавливаются простейшие формулы, относящиеся к этим
символам. Лишь постепенно Лейбниц начинает писать dx или dy под з н а-
ком ^ !
В течение 1676—1677 гг. Ньютон и Лейбниц (через посредство третьего
лица) дважды обменивались письмами. Ньютон в них излагает свои резуль¬
таты по разложению в бесконечные ряды и квадратурам. Упомянув о под¬
готовленном им трактате (по-видимому, имелся в виду «Метод флюксий»),
Ньютон сообщает, что обладает методом, с помощью которого не только
решаются задачи на касательные или на наибольшие и наименьшие вели¬
чины, но и облегчается разыскание квадратур; однако
самый метод он скрыл. Лейбниц немедленно ответил
на это изложением своего метода, ограничиваясь,
правда, лишь дифференциальным исчислением. Он
пишет:
«Отрезок ТВ1 (рис. 124) относится к ординате
BtCt *) как CXD (разность двух абсцисс АВ*. АВя)
относится к Du2 (разности двух ординат) ... Отсюда
явствует, что нахождение касательных есть не что
иное, как нахождение разностей ординат, если угодно
разности абсцисс положить равными между собой.
Поэтому, если называть в последующем через dy
разность двух ближайших у и через dx разность
двух ближайших х, очевидно, что d(y2) есть 2у dy,
d(y3) есть 3y2dy и т. д.» Например,
dy2 = (y + dy)2—y2
или, если опустить взаимно уничтожающиеся вели¬
чины, а также квадрат (dy)2 — «по основаниям,
известным из метода наибольших и наименьших» **), то будет d(y2) = 2ydy.
Далее, Лейбниц приводит формулы дифференцирования произведения
и корня (рассматривая корень как степень), дифференцирует и более слож¬
ные радикальные выражения, подчеркивая, что «весьма удивительным и
чрезвычайно удобным образом оказывается, что dy и dx всегда находятся
вне иррациональной связи».
229.	Первая печатная работа по дифференциальному исчислению.
Лишь в 1684 г. был опубликован первый мемуар Лейбница под длинным
названием: «Новый метод наибольших и наименьших, а также касательных,
для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные вели¬
чины, и особый для этого род исчисления» ***).
Здесь Лейбниц первоначально пытается избежать бесконечно малых и
по отношению к «разностям» (differentia) или «дифференциалам» (quantitas
differential) переменных величин становится на другую точку зрения, по
сравнению с цитированным выше письмом его к Ньютону. Пусть (черт. 125)
YY будет произвольная кривая, Y—переменная точка на ней с абсциссой
АХ=х и ординатой YX=y. Через dx Лейбниц обозначает попросту про¬
извольно взятый отрезок. Если YD есть касательная к кривой
*) Здесь и впредь следует иметь в виду, что Лейбниц обычно откла¬
дывает абсциссы по вертикали, а ординаты — по горизонтали.
**) Намек на Ферма и других, решавших задачу разыскания наибольших
и наименьших.
***) На русском языке имеются в переводе «Избранные отрывки из мате¬
матических сочинений Лейбница» (Успехи математических наук, т. Ill, в. 1,
1948; стр. 166—173).

239]
§3. ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
429
в точке У, то отрезок, относящийся к dx так, как ордината у относится
к (подкасательной) XD, называется dy.
Таким образом, в отличие от Ньютона, для которого первоначальным
понятием была скорость, у Лейбница здесь первоначальным понятием ока¬
зывается касательная!
Затем Лейбниц сообщает — без всякого вывода — «правила исчисления»,
относящиеся к дифференцированию постоянной, суммы, разности, произве¬
дения, частного, степени, корня *). «Если знать,
так сказать, алгорифм этого исчисления, кото¬
рое я называю дифференциальным, то ...
можно будет находить наибольшие и наимень¬
шие, а также касательные, не испытывая при¬
том необходимости в устранении дробей или
иррациональностей ..., как это приходилось,
однако, делать, пользуясь доныне обнародо¬
ванными методами». Что же касается дока¬
зательства всего этого, то для него нужно
принять во внимание, что dx, dy, ... можно
считать соответственно пропорциональными
«мгновенным приращениям или уменьшениям
ху у, ...». Таким образом, в конечном счете
дело все же сводится к рассмотрению беско¬
нечно малых, как и в упомянутом выше
письме к Ньютону!
Лейбниц указывает, что наибольшая или
наименьшая ордината определяется условием,
что касательная не наклонена ни в одну,
ни в другую сторону, т. е. тем, что tfy = 0; в этот момент ординаты
«ни возрастают, ни убывают, но находятся в покое». Он отличает наиболь¬
шее значение от наименьшего по тому, направлена ли кривая к оси своей
вогнутостью или выпуклостью, а об этом судит по знаку d dy. Наконец,
он исследует и точки перегиба (допуская, правда, здесь неточности).
Рис. 126.
В заключение Лейбниц решает своим методом ряд задач, в том числе
знаменитую задачу, которой занимались. Ферма и другие ученые XVII века:
каков должен быть путь света от точки С в одной среде до точки Е
в другой среде (рис. 126), чтобы он бил пройден в кратчайшее время?
*) В некоторых из них встречаются двойные знаки в связи с тем, что
подкасательная не снабжается знаком.

430	ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	|23о
Лейбниц вводит «плотности» Лиг рассматриваемых сред (в смысле «сопро¬
тивления, которое испытывают в них лучи света») и ищет на прямой SS,
изображающей плоскость раздела, такую точку F, чтобы путь CFE «был
наиболее легким из всех возможных», т. е. чтобы величина
w = CF • h + FE • г
была наименьшей. При обозначениях чертежа
w = hf-\-rg = h У(р — х)2 -{-с2 + г У х<2 -+ е~•
Искомое х определяется из условия dw = 0, или
h (р — х) _гх
/	~Т'
что можно переписать и так:
р—хшх ,
с—7—: — = г: Л.
/ £
Легко усмотреть, что этим выражен известный закон физики: синусы, углов
падения и преломления обратно пропорциональны оптическим
плотностям обеих сред. «Другие ученейшие мужи, — заключает Лейбниц,—
вынуждены были сложными путями добиваться того, что опытный в этом
исчислении человек выполнит в трех строках».
230.	Первая печатная работа по интегральному исчислению.
В 1686 г. Лейбниц опубликовал мемуар «О глубокой геометрии и анализе
неделимых, а также бесконечных» *), где впервые встречается знак J (на
этот раз — в виде строчной буквы s).
Сначала речь идет об одной теореме Барроу. Если через у, х и р обо¬
значить абсциссу, ординату и поднормаль, то р dy = x dx (это легко полу¬
чить, использовав бесконечно малый «характеристический» треугольник с ка¬
тетами dy и dx). «Если обратить это разностное (дифференциальное) урав¬
нение в суммирующее, то будет J р dy = ^x dx. Но из того, что я изложил
в моем методе касательных, явствует, что d л:2^ = х dx\ следовательно,
и обратно, улг2= ^ х dx (ибо у нас суммы и разности или J и d — е
имно обратны, как в обычном исчислении степени и корни)». Отсюда
^ р dy= — х2, что и составляет содержание теоремы Барроу.
Лейбниц подчеркивает, что его исчисление позволяет выражать с по¬
мощью уравнений также и «трансцендентные», т. е. неалгебраические линии,
например, циклоиду. Мы изложим соответствующее место мемуара,
пополнив его теми разъяснениями,	которые сам Лейбниц дает	по этому
поводу в своих письмах. На	рис.	127 изображены полукруг	и	половина
дуги циклоиды; пусть радиус круга равен единице, АВ = х, BE^v, ВС=у,
АЕ = д, GD = dx, DL = dv.	Тогда, по известной теореме	геометрии,
v == У2jc — х2, так что
1—х ,	^гтт	чо	■	■ г-;—ч;>	dx	С dx
-вза-
dv = ,1 х dx, GL=V(dx)* + (dv)*=-=M===, а= С ,
2а: — х2	Y2x	—	х2	J	У2х — *2
*) См. «Избранные отрывки из математических сочинений Лейбница»,
стр. 175-177.

231]
§ 3. ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
431
Так как, по самому происхождению циклоиды, ЕС = а к y = a-\-v, то
«Это уравнение в совершенстве выражает соотношение между ординатой у
и абсциссой х, и из него могут быть выведены все свойства циклоиды».
(Например, путем дифференцирования отсюда легко получить известное
построение касательной или
нормали к циклоиде.) Таким А
образом, интегрирование
служит для Лейбница сред¬
ством для построения транс¬
цендентных функций, кото¬
рых он иначе ни записать, ®
ни исследовать не умеет.
В конце мемуара Лейб¬
ниц делает важное преду¬
преждение о том, что не
следует под знаком J пре-	^
небрегать множителем dx,
ибо это преградило бы путь
к преобразованию одной	^
фигуры в другую. Ясно, что
здесь имеется в виду пре¬
образование переменной,
позволяющее одну квадратуру свести к другой, а осуществление этого, дей¬
ствительно, упрощается наличием множителя dx.
Итак, в интегральном исчислении для Лейбница основным понятием
была сумма «актуально» бесконечно малых прямоугольников у dx (кото¬
рую он позже, по примеру братьев Бернулли, стал называть интегра¬
лом); Ньютон же, как мы видели, в основу положил понятие первообраз¬
ной. Для приложений точка зрения Лейбница была удобнее, хотя самое
вычисление интеграла и он сводит к нахождению первообразной.
231.	Дальнейшие работы Лейбница. Создание школы. Содержание
нескольких десятков статей и заметок Лейбница, а также его переписки
с выдающимися математиками его времени — очень разнообразно. Оно охва¬
тывает, прежде всего, дальнейшее развитие созданного им исчисления. Не¬
которые из относящихся сюда вопросов мы уже упоминали по ходу изло¬
жения самого анализа в предыдущих главах: дифференцирование степенно¬
показательных выражений [п° 85, (5)], формулу для дифференциалов высших
порядков от произведения [п° 98], разложение рациональных дробей, для облег¬
чения их интегрирования, на простые дроби [п° 166]. Другие работы Лейбница
связаны с разложением функций в бесконечные ряды или принадлежат
более высоким областям анализа [мы встретимся с ними во втором томе].
Наряду с построением аппарата анализа, Лейбниц занимался и его приложе¬
ниями, особенно в области «дифференциальной» геометрии. Он часто ставит
своим современникам различные прикладные задачи и, в свою очередь,
решает задачи, поставленные другими.
Особо важное значение имел тот факт, что у Лейбница появи¬
лась школа, главными представителями которой были братья Бер¬
нулли, Якоб (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), а также Гильом Франсуа
де Лопиталь (1661—1704), автор первого учебника дифференциаль¬
ного исчисления. Созданию школы содействовали научный энтузиазм

432
ГЛ. XIV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[232
Лейбница, непрерывная публикация выходящих из-под его пера работ и его
деятельная научная переписка.
Нельзя недооценить и роли введенных им удобных обозначений, весьма
приспособленных к геометрическим и механическим
исследованиям (недаром же именно лейбницевские обозначения в ос¬
новном сохранились и до нашего времени!). Целесообразная символика,
несомненно, облегчила создание настоящего алгорифма, о котором он мечтал
с самого начала. Этот алгорифм постепенно стал общим достоянием.
232.	Вопросы обоснования у Лейбница *). В этом направлении
Лейбниц испытывал серьезнейшие затруднения, до конца жизни не пре¬
кращая поисков путей для обоснования своего исчисления.
«Актуально» бесконечно малые составляют основу как дифференциаль¬
ного, так и интегрального исчисления. По отношению к первому Лейбниц [пв229]
еще пытается заменить бесконечно малые разности пропорциональными им
конечными величинами; наряду с бесконечно малым («неуказуемым») харак¬
теристическим треугольником он рассматривает подобный ему конечный
(«указуемый») треугольник. Но для вывода своих формул он все же не
может обойтись без бесконечно малых и без использования принципа пре¬
небрежения бесконечно малыми высших порядков.
В ответ на нападки критиков нового исчисления, Лейбниц предлагает
заменить «бесконечно малые» величины «несравнимо малыми» величинами,
какими являются, например, пылинка по отношению к Земле или Земля по
отношению к небесному своду. Наряду с этим Лейбниц, в других своих
высказываниях, подчеркивает, что он вовсе не разумеет под бесконечно
малой «величину, очень маленькую в действительности, но всегда постоян¬
ную и определенную»; эта величина должна быть лишь достаточно мала для
того, чтобы ошибка была меньше любой указанной. В этом, если угодно,
можно усмотреть намек на сближение с точкой зрения «потенциально» бес¬
конечно малых.
Возможный выход из положения Лейбниц видит даже в том, чтобы счи¬
тать бесконечно малые как бы «фиктивными» или «идеальными» понятиями,
служащими лишь для облегчения открытий и сокращения рассуждений,
наподобие мнимых корней в обыкновенном анализе. Наконец, он намечает
еще один круг идей, которым пытается обосновать законность своих умо¬
заключений— это его «принцип непрерывности», имеющий некоторую связь
с предельным переходом. Но все попытки Лейбница обосновать свое исчи¬
сление, видимо, не были до конца убедительными и для него самого. По¬
ставив в одной рукописи вопрос, будут ли бесконечно малые действительно
существующими и могут ли они быть строго обосновали, Лейбниц заявляет:
«Я думаю, что это может быть оставлено под сомнением».
С другой стороны, в одной из своих полемических статей он высказы¬
вается так: «Я высоко ценю старательность тех, которые стремятся все
доказать, вплоть до первоначальных положений, и нередко сам прилагаю
к этому старания; однако я не советовал бы чрезмерной тщательностью
ставить преграды искусству открытия или под этим предлогом отбрасывать
наилучшие открытия и самим себя лишать их плодов...». Таким образом,
даже не имея уверенности в возможности обосновать созданное им исчис¬
ление, Лейбниц считает применение его оправданным теми результатами,
к которым оно приводило.
Это положение вещей как нельзя лучше охарактеризовано Марксом
в следующих словах, относящихся именно к математикам той эпохи: «сами
верили в мистический характер новооткрытого исчисления, которое давало
правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные)
*) См. «Избранные отрывки из математических сочинений Лейбница»,
стр. 187-196.

233]
§ 3, ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
433
результаты математически положительно неправильным путем. Таким
образом, сами себя мистифицировали и тем более ценили новое откры¬
тие...» *).
233.	Послесловие. Ближайшее столетие было ознаменовано дальнейшим
расцветом математического анализа, методы его совершенствовались, область
применения значительно расширилась. Тем не менее оно в значительной
степени сохранило свой «мистический» характер: основы его, неоднократно
подвергавшиеся критике, оставались неясными.
Правда, понятие предела, лишь намечавшееся у математиков XVII века,
в последующем было уточнено. В предисловии к своему «Дифференциаль¬
ному исчислению» (1/55) знаменитый петербургский академик Леонард
Эйлер (1707—1783) с полной отчетливостью говорит о пределе, к которому
все более и более приближается отношение приращения двух величин, по
мере того как сами приращения становятся все меньшими и меньшими.
Мы уже упоминали об этом в пв26, но там же подчеркнули, что в самом
трактате Эйлера понятие предела ни разу не используется. Около того же
времени французский математик и философ Жак Лерон Даламбер (1717 —
1783), в своих статьях в известной «Энциклопедии», дал и общее определение
предела, причем Даламбер высказал убеждение, что «теория пределов и
есть основа для истинной метафизики дифференциального исчисления».
В конце XVIII столетия широко пропагандировал применение теории пре¬
делов в анализе и геометрии русский математик и механик академик Семен
Емельянович Г урьев (1764—1813). Но на деле понятие предела все же
не стало действенным орудием для обоснования математического анализа.
Так, в 1797 г. Лазарь Карно (1753—1823) выступил со своими «Размыш¬
лениями о метафизике бесконечно малых» **), где, повторяя уже и ранее
высказывавшуюся мысль, он пытается обосновать неизменную правильность
результатов, получаемых с помощью сомнительных средств, — взаимной
компенсацией погрешностей!
Лишь математики начала XIX столетия — в особенности Огюстен Люи
Коши (1789—1857) — сделали из понятия предела настоящий фундамент
для последовательного построения математического анализа в целом,
окончательно изгнав из него всякую мистику. Впрочем, как мы знаем,
в этом фундаменте еще оставалась брешь — не хватало строгого обосно¬
вания самого понятия вещественного числа и установления непрерывности
области вещественных чисел; это было выполнено уже во второй половине
прошлого века.
Теперь, наконец, читатель получил возможность уяснить себе в це¬
лом картину зарождения, развития и уточнения тех основных поня¬
тий дифференциального и интегрального исчисления, которые изучались
в этом томе.
*) К. Маркс, «Математические рукописи» (Под знаменем марксизма,
1, 1933), стр. 65.
**) Есть русский перевод (ГТТИ, 1933).

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Цифры обозначают страницы)
Абсолютная величина 29
Аддитивность длины дуги 371
		отрезка 35
—	объема 363
—	площади 356
Актуально бесконечно малая 421,422,
432
Аналитический способ задания функ¬
ции 41, 42—44
Аналитическое выражение 42
—	представление кривых 44, 391, 399
	 поверхностей 220, 401
Аргумент функции 40, 218
Арифметическое значение корня 31,
50
—	пространство 220
Арксинус, арккосинус и т. д. 54
Архимед 90, 361, 411, 412
Архимедова спираль 361, 375
Барроу 283, 417, 419, 420
Бернулли И. 48, 301, 321, 431
Бернулли И. и Лейбница формула
158, 249
Бернулли Я• 48, 95, 431
Бесконечная десятичная дробь 20
—	производная 159
Бесконечно большая величина 66, 69
	, классификация 116
		, порядок 116
—	малая величина 62, 69
	высшего порядка о (а) 111
	классификация 110
	, леммы 83
	, порядок 112
	, эквивалентность 112
Бесконечность ( + оо,—оо) 25, 38—
39, 67
Бесконечный промежуток 38
Больцано 25, 59, 117, 128
Больцано—Вейерштрасса лемма 105,
239
Больцано—Коши условие 107, 108
Больцано—Коши теоремы 107, 128,
131, 238
Валлис 59, 344, 414, 420
Валлиса формула 345
Вейерштрасс 105
Вейерштрасса теоремы 134, 135, 240
Вейерштрасса—Больцано лемма 105,
Верхняя граница числового множе¬
ства 24
	точная 25
Вещественные числа 18, 433
	, вычитание 28
	, деление 31
	, десятичное приближение 20
	, равенство 19
	, сложение 27
	, умножение 29
	, упорядочение 19
Винтовая линия 378, 400
Вложенные промежутки, лемма 97
Внутренняя точка множества 225
Вогнутость 403
Возрастающая последовательность
93
—	функция 93, 97
Высшего порядка бесконечно малая
величина о (а) 111
	дифференциалы 174, 175
	функций нескольких перемен¬
ных 263, 266
	производные 168
	, общие формулы 170
	частные 259
Вычисление определенных интегра¬
лов, интегральные суммы 338
	, интегрирование по частям
343
	 через первообразную 340
	 подстановкой 341

АЛФАВИТНЫЙ
Галилей 412, 418
Геометрическое истолкование диффе¬
ренциала 163
	 производной 145
Гипербола равнобочная 44,49
Главная ветвь (главное значение)
арксинуса, арккосинуса и т. д.
55—57
Главная часть (главный член) беско¬
нечно малой 114
Граница области 226
—	числового множества (верхняя,
нижняя) 24
График функции 42, 44, 202, 405
	пространственный 220
Гулъдин 386
Гульдина теорема 386, 388
Гурьев 433
Даламбер 433
Дарбу 323
—	суммы (верхняя, нижняя) 324
Двойной предел функции 232
Двух переменных функция 218
Деоекинд 16
Дедекинда основная теорема 23
Действительные числа, см. Веще¬
ственные числа
Декарт 15, 37
Декартов лист 392, 395
Десятичное приближение веществен¬
ного числа 20
Десятичные логарифмы 51
Диаметр точечного множества 242
Дирихле (Лежен —) 48
Дифференциал 161, 428
—, таблица 164
—	высших порядков 174, 175
—	, геометрическое истолкование 163
—	дуги 376
—, инвариантность формы 165, 253
—, применение к приближенным вы¬
числениям 166—168, 255
Дифференцирование 164
—	интеграла по верхнему пределу 337
(см. Ньютона — Лейбница теорема)
—	неявной функции 250
—	, правила 165, 254
Дифференцируемая функция 161, 252
Длина дуги 370, 372, 426
	, аддитивность 371
	пространственной кривой 378
—	прямолинейного отрезка 35
Дополнительный член формулы Тей¬
лора 187, 189, 267
.	трапеций 351
УКАЗАТЕЛЬ	435
Дополнительный член формулы Симп¬
сона 352
Дробная рациональная функция 49
	, непрерывность 121
	нескольких переменных 228,
231, 236
Дуга переменная 376
	, дифференциал 376
—, предел отношения хорды к дуге 397
е (число) 98, 102
--, иррациональность 102
—, приближенное вычисление 101
Замена переменной в неопределен¬
ном интеграле 289
	в определенном интеграле 34}
Замкнутая область 226
—	m-мерная сфера 224, 226
Замкнутое точечное множество 226
Замкнутый m-мерный параллелепи¬
пед 224, 226
—	промежуток 38
Измерение отрезков 35
Инвариантность формы дифферен¬
циала 165, 253
Интеграл неопределенный 279
	, геометрическое истолкование
282
	, свойства 281
	, существование 284, 337
	, таблица 285
—	определенный 322
	, вычисление с помощью инте¬
гральных сумм 338
		, вычисление с помощью перво¬
образной 340
—	—, геометрическое истолкование
320
	, приближенное вычисление 345
—, свойства 329
	, существование 326
	, схема применения 379
Интегралы, не выражающиеся в конеч¬
ном виде 297, 307, 315, 317, 318, 353
Интегральная сумма 323, 412
	, верхняя и нижняя 324
Интегральный косинус 316
—	логарифм 316
—	синус 316
Интегрирование биномиальных диф¬
ференциалов 306, 425
—	в конечном виде 297
—	по частям в случае неопределен¬
ного интеграла 293

436
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интегрирование по частям в случае
определенного интеграла 343
—	подстановкой в случае неопреде¬
ленного интеграла 289
	определенного интеграла 341
—, правила 286, 289, 293
—	простых дробей 298
—	радикальных выражений 304, 306,
308, 317
—	рациональных выражений 299, 301
—	тригонометрических и показатель¬
ных выражений 312
Интегрируемая функция 323
		, классы 327
Инфинитезимальный метод 411, 416
Иррациональные числа 15, 18, 22
Кавальера 412—414, 420
Кантор 138, 221
Кантора теорема 138, 241
Карно 433
Касательная 142, 393, 394, 396, 399,
417, 423,'428
—	односторонняя 158
—	плоскость 401—402
—	, положительное направление 399,
•	401
Квадратура 284, 424
Квадрируемая фигура 354
Квадрируемости условия 355—357
Кеплер 412
Классификация бесконечно больших
116
	малых 110
Клеро 263
Колебание функции 136, 240
Конечных приращений теорема, фор¬
мула 180, 182
Конус 2-го порядка 401, 403
Координаты m-мерной точки 221
Корень, существование 31
—	уравнения, существование 130
Косеканс 52
Косинус 52
Котангенс 52
Коша 59, 117, 128, 146, 164, 216, 236,
260, 267, 337, 433
Коши неравенство 222
—	теорема, формула 182
Коши — Больцано условие 107, 108
—•■ — теоремы 107, 128, 131, 238
—	форма дополнительного члена 188
Кривизна 406, 423
—	, круг 408, 423
—	, радиус 408, 423
—, центр 408, 423
Кривые, см. соотв. название
Куб /л-мерный 224
Кубируемое тело 362
Лагранж 132, 146, 273
Лагранжа теорема, формула 180
—	форма дополнительного члена 187,
267
Лежандр 318, 319
Лежандра функции F (k, <р), Е (k, <р)
319, 337, 376
	F (k)> E{k) 352, 369, 376, 379
Лейбниц 48, 140, 146, 158, 164, 301,
321, 411, 420, 421, 427—433
Лейбница и Ньютона теорема 283,
337, 419, 424
Лейбница и И. Бернулли формула
158, 249
—	формула 172, 175
Лаувиллъ 318
Лобачевский 49
Логарифм, существование 34
—	десятичный 51
—	натуральный 104
	, переход к десятичным 104
Логарифмическая функция 51
	, непрерывность 121
	, производная 148
Ломаная (в m-мерном пространстве) 223
Лопаталь 210, 211, 431
Лопиталя правило 210, 213
м переменных функция 227
/я-кратный предел 232
m-мерная сфера 224, 226
	 точка 221
m-мерное пространство 221
m-мерный параллелепипед 223, 226
Маклорен 185
Маклорена формула 185, 190
Максимум, см. Экстремум
Маркс 13, 432—433
Минимум, см. Экстремум
Многозначная функция 40, 53, 218
Множество точечное, замкнутое 226
		, ограниченное 239
—	числовое, ограниченное сверху или
снизу 24
Модуль перехода от натуральных ло¬
гарифмов к десятичным 104
Момент флюэнты 422, 427
Монотонная последовательность 93
—	функция 93, 97
	, интегрируемость 329

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ	43/
Монотонная функция условие непре¬
рывности, разрывы 119, 128
Монотонность функции, условие 196
Направление на кривой 370
Направленный промежуток 329
Натуральный логарифм 104
Начальное значение величины 282
Неделимых метод 411—416, 427
Независимые переменные 39, 217, 227
Неопределенность, раскрытие 85, 210
0
—	вида -Q- 85, 210
		~ 86, 213, 216
ОО ’	’
	О-оо 87, 214, 216
	оо — оо 87, 216
	1°°, 0°, оо° 126, 216
Неопределенный интеграл, см. Ин¬
теграл неопределенный
Неопределенных коэффициентов ме¬
тод 300, 303
Непер, неперовы логарифмы 104
Непрерывная функция, интегрируе¬
мость 327
Непрерывность множества веществен¬
ных чисел 23, 94, 433
—	прямой 36
—	функции в области 237
	промежутке 119
	точке 117, 235
	односторонняя 118
	равномерная 136, 241
Непрерывные функции, операции над
ними 120, 123, 236, 237
	, свойства 128—139, 237—242
Несобственные числа 25, 38—39, 67
Нечетная функция 203
Неявная функция, вычисление про¬
изводной 250
Нижняя граница числового множе¬
ства 24
	точная 25
Нормаль к кривой 393
	поверхности 403
Ньютон 16, 59, 140, 146, 307, 411, 417,
420, 421—427
Ньютона и Лейбница теорема 283,
337, 419, 424
—	метод первых и последних отно¬
шений 426
Область в ш-мерном пространстве
223—226
—	изменения переменной (перемен
ных) 38, 218
Область замкнутая 226
—	определения функции 40, 42, 218
—	открытая 226
—	связная 237
Обратная функция 53
	, производная 149
	, существование 132
Обратные тригонометрические функ¬
ции 54
	, непрерывность 122
	, производные 151
Обращение в нуль непрерывной функ¬
ции, теорема 128, 238
Объем тела 362
	, аддитивность 363
	внутренний, внешний 362
	вращения 365
	как предел 363
	по поперечным сечениям 364
	, условия существования 362,363
Ограниченное точечное множество
239
—	сверху или снизу числовое множе¬
ство 24
Ограниченность непрерывной функ¬
ции, теорема 134, 240
Однозначная функция 40, 218
Однородная функция 256
Односторонние непрерывность, раз¬
рывы функции 118
—	пределы функции 76
Односторонняя касательная 158
—	производная 158, 170
Окрестность точки 62, 224
Определенный интеграл, см. Инте¬
грал определенный
Ориентированный промежуток 329
Основная последовательность раз¬
биений промежутка 322
—	формула интегрального исчисле¬
ния 340
Особая точка кривой 394, 396, 400
	поверхности 402
Острограоскай 301
Остроградского метод выделения ра¬
циональной части интеграла 301
—	формула 303
Открытая область 226
—	m-мерная сфера 224, 226
Открытый промежуток 38
—	m-мерный параллелепипед 224, 226
Отрезок, измерение 35
Оценка погрешностей 167, 192, 255
Парабола 49, 90, 142, 284, 360, 375,
388, 394- 395

438	АЛФАВИТНЫЙ	УКАЗАТЕЛЬ
Параболическая формула (Симпсона)
347
Параболоид вращения 220
—	гиперболический 270, 274
—	эллиптический 274
Параллелепипед /л-мерный 223, 226
Параметрическое представление кри¬
вой 370, 392, 399
	прямой в m-мерном простран¬
стве 223
Паскаль 414—416, 420
Пеано 189
—	форма дополнительного члена 189
Первообразная функция, см. Инте¬
грал неопределенный
Первых и последних отношений ме¬
тод (Ньютон) 426
Перегиба точка 201, 403
Переменная 37, 38
—	независимая 39, 217, 227
Перестановка дифференцирований 260,
263
—	предельных переходов 233
Переходные кривые 410
Плотность распределения масс 145
Площадь криволинейной трапеции 358
	как первообразная 283
	предел суммы 320
—	плоской фигуры 354
	, аддитивность 356
	внутренняя, внешняя 354
	как предел 357
	, условия существования 355
—	поверхности вращения 382
—	сектора 360
Повторный предел 232
Пограничная точка 226
Погрешность абсолютная, относи¬
тельная 112, 115, 167, 193, 255
Подынтегральная функция 280
Подынтегральное выражение 280
Подкасательная 393, 417
Поднормаль 393
Подстановка (замена переменной)
в неопределенном интеграле 289
	определенном интеграле
341
—	Эйлера 293, 308
Показательная функция 50
	, непрерывность 121
	, производная 148
Полное приращение функции 245
Полный дифференциал 251
	, инвариантность формы 253
	, применение к приближенным
вычислениям 255
Полуоткрытый промежуток 38
Порядок бесконечно большой 116
	малой 112
Последовательность 60
—	монотонная 93
—, предел 61
Постоянство функции, условие 195
Потенциально бесконечно малая 421,
424, 432
Правило, см. соотв. название
Правильная дробь, разложение на
простые 299
Предел последовательности 61
	, бесконечный 67
	, единственность 79
	монотонной 93
—	отношения 84, 88
—	произведения 84, 88
—	производной 182
—	разности 84, 88
—	суммы 84, 88
—	функции 68, 69, 80
	 	 монотонной 97
	натурального аргумента 61, 63
	нескольких переменных 228
	односторонний 76
	повторный 232
Пределы определенного интеграла,
нижний и верхний 323
Предельный переход в равенстве, в
неравенстве 81
Приближенное вычисление опреде¬
ленного интеграла 345
Приближенные вычисления, приме¬
нение дифференциала 166—168, 255
—	формулы 112, 115, 166, 192
Приращение переменной 118
—	функции, формула 152, 245
	нескольких переменных, полное
245
	, частное 243
Приращений конечных, теорема и
формула 180, 182
Произведение функций, непрерыв¬
ность 120, 236
	, предел 84, 87, 88, 89
	, производная и дифференциал
154,	165, 173, 175, 254
Произведение вещественных чисел 30
Производная 140, 144, см. также по
названиям функций
—	бесконечная 159
—	высшего порядка 168
—, геометрическое истолкование 145
—, односторонняя 158, 159, 170
—	, правила вычисления 153— 156

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ	439
Производная, пример несуществова¬
ния 160
—	. разрыв 160, 182
—, таблица 151
—	частная 243
	высшего порядка 259
Промежуток 38
Промежуточное значение, теорема
131, 238
Простые дроби 297
	, интегрирование 298
	, разложение правильной дроби
299
Пространственный график функции
220
Пространство т-мерное 221
Прямая в т-мерном пространстве 222
Псевдоэллиптические интегралы 317
Работа механическая 390
Равномерная непрерывность функ¬
ции 136, 241
Радиус кривизны 408, 409, 423
Разность функций, см. Сумма
—	вещественных чисел 28
Разрыв 117
—	монотонной функции 128
—	обыкновенный, 1-го рода, 2-го ро¬
да 126
—	односторонний 119
—	производной 160, 182
—	функции нескольких переменных
235
Раскрытие неопределенностей 85, 210
Расстояние между точками в т-мер-
ном пространстве 221
Рационализация подынтегрального
выражения 305
Рациональная функция 49
	, непрерывность 121
	нескольких переменных 228, 231,
236
Рациональная часть интеграла, вы¬
деление 301
Рациональные числа 15
Раман 221, 323
Риманова (интегральная) сумма 323
Роберваль 418, 420
Ролль 178
Ролля теорема 178, 180
Связная область 237
Сгущения точка 68, 226
Секанс 52
Сечение в множестве рациональных
чисел 16
Сечение в множестве вещественных
чисел 23
Симметричные числа 28
Симпсон 348
Симпсона формула 349
——, дополнительный член 352
Синус 52
—, предел отношения к дуге 73
Синусоида 52
Скорость мгновенная 141, 421
—	средняя 141
Сложная функция 57, 227
		, непрерывность 123, 237
	, производные и дифференциалы
155,	165, 175, 248, 253,265
Смешанные производные 261
—	функции 48
Спрямляемая дуга 370
Среднее значение, теоремы в диффе¬
ренциальном исчислении 183, 188
	в интегральном исчислении
-334—335
Средняя кривизна 406
—	скорость 141
Статический момент кривой 385
	плоской фигуры 387
Стационарная точка 199, 270
Степенная функция 50
	, непрерывность 122, 123
	, производная 147
Степенно-показательная функция
(2-х переменных) 228
	, дифференцирование 244
	, непрерывность 236
		, предел 231
Степенно-показательное выражение,
предел 125
	, производная 158, 249
Степень с вещественным показателем
32
Сумма функций, непрерывность 120,
236
	, предел 84, 87, 88, 89
	, производные и дифференциалы
154,	165, 170, 254
—	вещественных чисел 27
Суммирование бесконечно малых эле¬
ментов 379, 411—416, 427, 431
Суперпозиция функций 57, 123, 227,
237
Сфера т-мерная 226
Сходимости принцип 107, 108
Табличный способ задания функции
42
Тангенс 52

440	АЛФАВИТНЫЙ	УКАЗАТЕЛЬ
Тейлор 185, 301
Тейлора формула 183, 187, 189, 267
	, дополнительный член 187, 189,
267
Тело в m-мерном пространстве 223
Теплоемкость 146
Торричелли 418, 420
Точка, см. соотв. название
Точная граница числового множества
(верхняя, нижняя) 25
Трапеций формула 346
	, дополнительный член 351
Тригонометрические функции 52
	, непрерывность 122
	, производные 149
Убывающая последовательность 93
—	функция 93, 97
Угловая точка 158
Уравнение кривой 44, 391, 399
—	поверхности 220, 401
—, приближенное решение 130
—, существование корня 130
Ускорение 145
Ферма 177, 414, 416—418, 420, 429
—	теорема 177, 417
Флюксия 421
Флюэнта 421
Формула 41, 42; см. также соотв.
название
Функциональная зависимость 39, 217
Функция 40, 48; см. также название
функции
—, исследование 195
—	натурального аргумента 46
—	нескольких переменных 217, 218,
227
—	от функции (или от функций) 58,
227
—	промежутка, аддитивная 379
—	точки 217, 227
Фурье 323
Характеристический треугольник 415,
417, 418, 432
Ход изменения функции 195, 203
Целая рациональная функция 49
	, непрерывность 121
	нескольких переменных 228,
231,	236
—	часть числа |£(x)J 41, 46
Центр кривизны 408, 423
—	тяжести кривой 385
	плоской фигуры 387
Циклоида 361, 375, 383, 389, 392, 396,
409, 414, 430
Частичная последовательность 105
Частная производная 243
	высшего порядка 259
Частное значение функции 41, 218
—	приращение 243
—функций, непрерывность 120, 236
	, предел 84, 86, 88, 89
	, производная и дифференциал
155,	165, 254
—	вещественных чисел 31
Четная функция 203
Чебышёв 194
Чебышёва правило 194
—	теорема 307
Числа, см. Рациональные, Иррацио¬
нальные, Вещественные числа
Числовая ось 36
—	последовательность 60
Шаровой пояс 383
Шварц 261
Эйлер 48, 99, 132, 216, 259, 263, 273,
433
Эйлера подстановки 293, 308
—	формула 258
Эквивалентные бесконечно малые 112
Экстремум (максимум, минимум)
—, правила отыскания 198, 199, 201,
206, 273
—	собственный, несобственный 198,
269
Электрическая сеть 277
Элементарные функции 49, 58
	, непрерывность 121
	, производные 147—152
Эллипс 360, 376, 392, 395
Эллипсоид вращения 367
—	трехосный 368, 401, 402
Эллиптические интегралы 317
	в канонической форме 318
	1-го, 2-го, 3-го рода 318
	в форме Лежандра 318
	полные 352
Энгельс 37, 411

Григорий Михайлович Фихтенгольц
Основы математического анализа, том I
М., 1968 г., 440 стр. с илл.
Редактор Л. И. Головина
Техн. редактор А, А. Лукьянов	Корректор	Л.	А.	Любович
Печать с матриц. Подписано к печати 28/XII 1967 г. Бумага 60X90 */ie* Физ. печ. л. 27,5.
Уел. печ. л. 2/,6.	Уч.-изд. л. 29,1. Тираж 150ООО экз. Цена 92 коп. Заказ МЬ 1390.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1 «Печатный Двоо»
им. А. М. Горького Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР,
г. Ленинград, Гатчинская ул., 26.