В.ТВОДНЕВ, Н.Ф НАУМОВИЧ, АФ. НАУМОВИЧ
ивкт'ьмыий
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
а — b —
а> b —
а^Ь —
a<Zb —
b —
а равно b
а больше b
а больше или равно b
а меньше b
а меньше или равно b
обыкновенная дробь
а ,,	,
а/b, а.Ь —
о
т = а ± h — число т приближенно равно а с точностью
до h
а-10л— стандартный вид числа (п — его порядок,
1<а< 10)
|а\ — модуль числа а
Y — знак арифметического квадратного корня
— знак арифметического корня n-й степени
до — множество всех натуральных чисел
2 — множество всех целых чисел
20 — множество всех целых неотрицательных
чисел
Q — множество всех рациональных чисел
R — множество всех действительных чисел, чис-
ловая прямая
R+ — множество всех положительных действи-
тельных чисел
R2 — числовая плоскость
[а; Ь] — замкнутый промежуток (отрезок) с кон-
цами а и Ь, а < b
(а; оо), [а; оо),
(—оо; Ь),(—оо; Ь] — бесконечные промежутки
(—оо; оо) — бесконечный промежуток, числовая пря-
_ мая
а — обозначение вектора
(а — 6, а 4- 6) — б-окрестность точки а
[х] — целая часть числа х
{х) — дробная часть числа х
|х| — модуль (абсолютная величина) числа х
f(x) — значение функции в точке х
D(j) — область определения функции f
E(f) — область значений функции f
Ах — приращение аргумента х
Af(xo), А/ — приращение функции f в точке Хо
f'(xo) — производная функции f в точке Хо
е — число е, основание показательной функции,
для которой (е*)' — е*
logo — логарифм ио основанию а
1g — десятичный логарифм
In — натуральный логарифм (логарифм с осно-
ванием е)
max f — наибольшее значение функции f на отрезке
[а; &]	[а; Ь]
min f — наименьшее значение функции f на отрезке
(а:	[а; Ь]
В.Т. ВОДНЕВ
НФ. НАУМОВИЧ
АФ. НАУМОВИЧ
шожьиьой
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
Минск
«Университетское:
1991
ББК22.1я2
В62
УДЯ 51(038)
waleriy
Уважаемый читатель!
Цена на эту книгу несколько завышена. Часть средств от реализации
издания будет перечислена в республиканский детский фонд «Дети
Чернобыля». Спасибо.
Воднев В. Т. и др.
В 62 Школьный математический словарь/В. Т. Вод-
нев, Н. Ф. Наумович, А. Ф. Наумович.— Мн.:
Университетское, 1991.— 112 с.
ISBN 5-7855-0253-4.
Словарь включает термины, понятия, определения, исполь-
зуемые в школьных учебниках по математике, информатике
и вычислительной технике. Приведены основные математи-
ческие формулы, даны формулировки теорем, имеющих отно-
шение к описываемым терминам.
Для преподавателей вузов и средних специальных учеб-
ных заведений, слушателей подготовительных отделений и кур-
сов, учителей и учащихся средних школ и ПТУ.
1602010000—002
В---------------28—91
М317(03)—91
ББК22.1я2
Справочное издание
Воднев Владимир Трофимович
Наумович Нил Федорович
Наумович Адольф Федорович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Заведующая редакцией Л. Ф. Берниковская. Редактор Г. А. Ребенко-
ва. Художник Д. А. Милованов. Художественный редактор Р. В. Конд-
рад. Технический редактор Т. К. Романович. Корректор Л. С. Ману-
ленко.
ИБ № 1020
Сдано в набор 31.10.89. Подписано в печать 16.11.90. Формат 84 X 108/32. Бумага
типографская № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать с ФПФ. Усл. псч. л. 5,88.
Усл. кр.-отт. 6,3. Уч.-изд. л. 8,79. Тираж 100 000 экз. Заказ 3029. Цена 1 р. 50 к.
Издательство «Университетское» Государственного комитета БССР по печати.
220048, Минск, проспект Машерова, 11
Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат МППО им. Я. Ко-
ласа. 220005, Минск, Красная, 23.
© В. Т. Воднев, Н. Ф. Наумович,
ISBN 5-7855-0253-4	А- ф- Наумович, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
Преподаватель математики высшего или среднего специального
учебного заведения должен четко представлять себе школьный
курс математики, особенно при проведении вступительных экзаменов.
Полное представление о характере знаний, умений и навыков учащих-
ся нынешней средней школы является необходимой предпосылкой и
для дальнейшего успешного преподавания математических дисцип-
лин. Вместе с тем преподаватели лишены школьных математических
учебников.
На ряде математических кафедр Белгосуниверситета им. В. И. Ле-
нина уже много лет ведется систематическая работа по ознаком-
лению с переменами в преподавании математики в средней школе.
На кафедре высшей математики факультета прикладной математики
по учебникам и методическим пособиям для средней школы ве-
дется картотека школьных математических понятий, терминов и сим-
волов. На основе этой картотеки составлен словарь.
Словарь мы адресуем в первую очередь преподавателям естест-
венно-математических дисциплин высших и средних специальных
учебных заведений. Он также будет полезен учителям и выпускни-
кам средних школ при подготовке к вступительным экзаменам.
Отвечая на пожелания читателей «Математического словаря
средней школы» более четко давать некоторые определения, мы
хотим подчеркнуть, что определения приводятся в том виде, как
они даны в действующих учебниках (кроме неизбежной перестрой-
ки фраз при словарном оформлении).
Работая со словарем, читатели могут наглядно представить
все достоинства и недостатки школьных учебников. Не вдаваясь
в подробный анализ, к недостаткам мы хотели бы отнести лишь
следующее. К сожалению, встречаются понятия, которыми авторы
пользуются, нигде не определяя их (например, минута, секунда).
Ряд важных понятий перенесен в задачи и упражнения, что не все-
гда оправдано, ибо не все задачи в школе решаются (например,
свойства медиан треугольника, свойства диагоналей параллело-
грамма). Поэтому в словарь мы включили не только результаты,
оформленные в виде определений, теорем и следствий к ним, но и
многие результаты из задач и упражнений, содержащие, на наш
взгляд, важную информацию (это в тексте специально отмечается).
И наконец, совершенно бессистемно приводятся исторические све-
дения.
Замечания и предложения просим присылать по адресу: 220080,
г. Минск, пр. В. И. Ленина, 4, Белгосуниверситет им. В. И. Ленина,
кафедра высшей математики факультета прикладной математики.
Авторы
3
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЛОВАРЕМ
В начале словаря приведены обозначения и символы, исполь-
зуемые в ныне действующих учебниках и учебных пособиях для
средней школы, а также кратко объяснен их смысл.
Термины, понятия, определения, теоремы расположены в алфа-
витном порядке, отдельно для традиционного школьного курса
математики и для основ информатики и вычислительной техники.
Ссылки даны на действующие учебники (нумерация классов ста-
рая) Например, запись А 6,111,9.26 означает, что ссылка дана на
учебник алгебры шестого класса, глава III, параграф 9, пункт 26.
Аналогично, Г 8,10 — учебник геометрии восьмого класса, пара-
граф 10; М 4,8.55; 60 — учебник математики четвертого класса,
параграф 8, пункты 55 и 60; И 9, I, 4.12 — учебник основ информатики
и вычислительной техники девятого класса, раздел I, параграф 4,
пункт 12.
Если термин повторяется в тексте, слова, составляющие его,
обозначаются начальными буквами, первая из которых заглавная,
например, Абсолютная погрешность — А. п., Боковая поверхность
призмы — Б. п. п.
В тексте приняты сокращения: О.— определение, Т.— теорема,
С.— следствие из теоремы, У.— упражнение, 3.— задача, наз.—
называется, называемый (в зависимости от контекста); с. и.— све-
дения из истории, напр.— например, Т. о.— таким образом.
Отдельными статьями приведены все теоремы, имеющие имен-
ные или специальные названия, например Теорема Виета, Теорема
косинусов и т. д. Остальные теоремы формулируются в тексте соот-
ветствующих статей.
Если при каком-либо термине отсутствует ссылка на источник,
это означает, что он вводится в основном понятии, например Бо-
ковая грань пирамиды — см. Пирамида, Вершина конуса — см.
Конус и т. д.
Знаком V помечен необязательный материал.
В именном указателе в алфавитном порядке даются фамилии
всех математиков, упоминаемых в учебниках, и приводится только
информация, содержащаяся в этих учебниках.
СЛОВАРЬ ПО МАТЕМАТИКЕ
Абсолютная величина (модуль) вектора — длина отрезка,
изображающего вектор. Обозначения: |а| для вектора а, |ЛВ I для
вектора АВ. Доказывается, что |Ха | = Ш |а|. В качестве упраж-
нений предлагается доказать, что | АС |	| АВ | -р | ВС |, | а + b |
< |а| + |£|. Г 8,10.
См. также Координаты вектора, Умножение вектора на число.
Абсолютная величина числа — то же, что и Модуль числа (см.).
Абсолютная погрешность. О. А. п. приближенного значений!
числа наз. модуль разности числа и его приближенного значения.
Таким образом, А. п. приближенного равенства хжа есть число
I х — а |.	'
Если А. п. приближенного значения х числа а не превосходит
некоторого числа /г, т. е. |х — а| /г, то х наз. приближенным зна-
чением числа а с точностью до h.
Десятичные приближения действительного числа х с точностью
до 10~л являются приближенными значениями числа х с точностью
до 10~л, т. е. хп ~ х и х'п ~ х с точностью до 10~л. А 6,111,9.26;
9—10,11,5.14.
Абсцисса точки — см. Координаты на плоскости.
Аксиомы — утверждения, выражающие основные свойства про-
стейших фигур и являющиеся отправными в доказательствах других
свойств. Основные свойства не доказываются. Г 6,1.
Аксиомы планиметрии — см. Основные свойства принадлежности
точек и прямых, Основные свойства расположения точек на прямой
и на плоскости, Основные свойства измерения отрезков, Основные
свойства измерения углов, Основные свойства откладывания отрез-
ков и углов, Основное свойство параллельных прямых (в ст. Парал-
лельные прямые).
Аксиомы стереометрии. Система А. с. состоит из аксиом пла-
ниметрии (см.) и группы аксиом, которая выражает основные свой-
ства плоскостей в пространстве.
1.	Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадле-
жащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
2.	Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой.
3.	Если две различные прямые имеют общую точку, то через
них можно провести плоскость, и притом только одну.
Т|. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести
плоскость, и притом только одну.
Тг. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся пря-
мая принадлежит плоскости.
С. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются,
либо пересекаются в одной точке.
Т3. Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести
плоскость, и притом только одну. Г 9,14.
Алгоритм — точное предписание, инструкция для выполнения
последовательных действий, направленных на решение какой-либо
задачи. Понятие А. требует, чтобы были определены не только сами
действия, но и последовательность их выполнения.
5
Приведены примеры линейного А., разветвляющегося А. Упо-
минаются и циклические А., в которых одна и та же команда повто-
ряется несколько раз подряд. А 8,VI, 14.38.
Амплитуда колебания — см. Гармонические колебания.
Апофема пирамиды — см. Пирамида.
Апофема правильной усеченной пирамиды.— см. Усеченная
пирамида.
Аргумент (независимая переменная) — см. Функция.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой
каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сло-
женному с одним и тем же числом.
Иначе: последовательность (ал) — А. п., если для любого нату-
рального п выполняется условие ап +1 = ап d, где d— некоторое
число.
Разность между любым членом А. п., начиная со второго, и
предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном п верно
равенство ап + i — ап — d. Число d наз. разностью А. п. Чтобы за-
дать А. п., достаточно указать ее первый член и разность.
Формула п-го члена А. п.: ап — а\ 4- d(n — 1). Иначе: ап =
= dn + (fli — d), т. е. любая А. п. может быть задана формулой
вида ап = kn + b, где k и b — некоторые числа. Верно и обратное:
последовательность (ал), заданная формулой вида an = kn Ь, где
k 1л b — некоторые числа, является А. п. (разность ее рав-
на k).	/IX
Формула суммы п первых членов А. п.: Sn =--------—~~ • Если
заданы первый член и разность А. п., то удобно пользоваться форму-
2fli + d(n — 1)
лой = ---------£------ п. Сумма всех натуральных чисел от 1 до
п равна — П . А 8,111,6.14; 15.
Арифметический квадратный корень — см. Квадратный корень.
Арифметический корень n-й степени — см. Корень п-й степени из
числа а, Свойства арифметического корня п-й степени.
Арккосинус — см. Теорема о корне, Решение простейших три-
гонометрических уравнений.
Арккотангенс — см. Теорема о корне.
Арксинус — см. Теорема о корне, Решение простейших три-
гонометрических уравнений.
Арктангенс — см. Теорема о корне, Решение простейших три-
гонометрических уравнений.
Бесконечная геометрическая прогрессия — см. Сумма бесконеч-
ной геометрической прогрессии, Геометрическая прогрессия.
Бесконечная десятичная дробь. Объясняется на примере деле-
ния 8/37=0,216216.... Так как группа цифр 2, 1, 6 повторяется в
одном и том же порядке, то Б. д. д. 0,216216 наз. периодической.
Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи
периодических Б. д. д. период пишут один раз, заключая его в круг-
лые скобки: 8/37=0,(216); 7/12=0,58(3) и т. п. Каждое дробное
число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной
десятичной дроби), либо в виде Б. д. д. Конечную десятичную дробь
можно записать в виде периодической Б. д. д., приписав к ней спра-
ва бесконечную последовательность нулей: 2,5= 2,5(0).
6
Б. д. д. сравнивают по тому же правилу, что и конечные деся-
тичные дроби. А 7,11,4.8.
См. также Рациональное число, Иррациональное число.
Бесконечные промежутки.
Бесконечные интервалы:
(а; оо) — множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
х >» а\
(— оо; Ь)—множество всех чисел х, удовлетворяющих неравен-
ству х < Ь\
(_оо; оо)—множество всех действительных чисел (числовая
прямая).
Бесконечные промежутки (замкнутые):
[а; оо) — множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
х а;
(—оо; /?]—множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
х^Ь. А 9—10, Материал для повторения.
Биквадратное уравнение — см. Уравнения, приводящиеся к
квадратным.
Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины,—
отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину
с точкой на противолежащей стороне. Зь Б. т. делит противолежа-
щую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Зг. Б. т. не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из
той же вершины. Г 6,3; 8,11.
Биссектриса угла — луч, который исходит из вершины угла,
проходит между его сторонами и делит угол пополам. Г 6,2.
Боковая грань
— — пирамиды,
— — призмы,
— — усеченной пирамиды.
Боковая поверхность
— — конуса,
— — пирамиды,
— — цилиндра.
Боковая поверхность призмы (точнее, Площадь боковой по-
верхности призмы) — сумма площадей боковых граней призмы.
Полная поверхность призмы равна сумме Б. п. п. и площадей осно-
ваний.
Т. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового
ребра (S = p/). Г 10,18.
Боковая сторона
— — равнобедренного треугольника,
— — трапеции,
— — треугольника.
Боковое ребро
— — пирамиды,
— — призмы.
Большая окружность сферы — см. Шар.
Большой круг шара — см. Шар.
Вектор — направленный отрезок. Для обозначения В. исполь-
зуются строчные латинские буквы а, Ь, с, .... Иногда В. обозначают
указанием его начала и конца: АВ. При этом начало В. ставится
7
на первом месте. Иногда вместо слова «В.» над буквенным обозна-
чением В. ставится стрелка или черта: а, а.
В. АВ и CD наз. одинаково направленными, если полупрямые
АВ и CD одинаково направлены.
Два В. наз. равными, если они совмещаются параллельным
переносом, т. е. существует параллельный перенос, который пере-
водит начало и конец одного В. соответственно в начало и конец
другого В. Равные В. одинаково направлены и равны по абсолютной
величине. Обратно: если В. одинаково направлены и равны по абсо-
лютной величине, то они равны. От любой точки можно отложить В.,
равный данному, и только один.
В.,	у которого начало совпадает с его концом, наз. нулевым В.
Обозначение: 0. Абсолютная величина нулевого В. считается рав-
ной нулю. Все нулевые В. равны по определению. Г 8,10; 9,17
См. также Координаты вектора, Коллинеарные векторы, Еди-
ничный вектор, Скалярное произведение, Умножение вектора
на число.
Верные цифры — см. Приближенное значение числа.
Вертикальные углы. Два угла наз. В. у., если стороны одного
угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Т. В. у. равны. Г 6,2.
Вершина
—конуса,
—	ломаной,
—	многогранника,
—	многоугольника,
—	пирамиды,
—	треугольника,
—	трехгранного угла,
—	угла,
—	четырехугольника.
Вершина параболы — см. Функция у — ах2, Квадратичная
функция.
Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых
равно 1. М 5,11,7.43.
Взаимно простые числа — см. Наибольший общий делитель.
Взаимное расположение графиков линейных функций. Графики
двух линейных функций, заданных формулами вида у = kx 4- b,
пересекаются, если коэффициенты k различны, и параллельны, если
коэффициенты k одинаковы.
График любой линейной функции у — kxb при b =# 0 парал-
лелен графику прямой пропорциональности с тем же коэффициен-
том k. А 6,11,6.18.
Внесение множителя под знак (квадратного) корня. Объясня-
ется на примерах. А 7,11,7.16.
Внешний угол выпуклого многоугольника — см. Многоугольник.
Внешний угол треугольника при данной вершине — угол, смеж-
ный с углом треугольника при этой вершине. Угол треугольника
при данной вершине наз. внутренним углом, чтобы не путать с В. у. т.
Т. В. у. т. равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
С. В. у. т. больше любого внутреннего угла, не смежного с
ним. Г 6,4.
Внутренние накрест лежащие углы — см. Секущая прямая.
Внутренние односторонние углы — см. Секущая прямая.
8
Внутренний угол треугольника — см. Внешний угол треуголь-
ника.
Внутренняя точка а области определения D(f) функции f
Точку а наз. В. т. D(J), если можно подобрать 6-окрестность точки
а, целиком входящую в D(j). А 9—10, Материал для повторения.
См. также Окрестность.
Возведение в степень — см. Степень с натуральным показа-
телем.
Возведение в степень одночлена — см. Одночлен.
Возведение в степень произведения — см. Степень с натураль-
ным показателем.
Возведение в степень степени — см. Степень с натуральным
показателем.
Возведение дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень,
надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый ре-
зультат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби:
(а / Ь)п = ап / Ьп. А 7,1,3.5.
Возрастание и убывание функций. О. Функция наз. возрастаю-
щей в некотором промежутке, если большему значению аргумента
из этого промежутка соответствует большее значение функции: из
х2 > %| (для любых значений из промежутка) следует f(x2) > /(xi).
О. Функция наз. убывающей в некотором промежутке, если
большему значению аргумента из этого промежутка соответствует
меньшее значение функции: из х2 > х} следует f(x2)< f(xi).
Если функция возрастает на всей области определения, то ее
наз. возрастающей функцией. Если функция убывает на всей обла-
сти определения, то ее наз. убывающей функцией.
Т. Линейная функция у = kx + b при k > 0 является возрастаю-
щей, а при k < 0 — убывающей.
Функция возрастает на множестве Р, если для любых Xi и х2
из множества Р, таких, что х2 > Х|, выполнено неравенство
/(хг) >/(Х]). Функция f убывает на множестве Р, если для любых
X] и х2, принадлежащих множеству Р и таких, что х2 >• Х|, выполне-
но неравенство f(x2)<f(xi).
Промежутки, на которых функция возрастает (убывает), наз.
промежутками возрастания (убывания) функции. А 7, IV, 13,33;
9—10,1,2.3; 4.
См. также Признак возрастания функции, Признак убыва-
ния функции.
Возрастающая функция — см. Возрастание и убывание функ-
ции, Признак возрастания функций.
Вторая производная функции f — производная от производ-
ной f' функции f. Обозначение:	Примеры: sin"x =—sin х,
cos"x = — cos х.
В. п. помогает более подробно исследовать поведение функции.
Первая производная есть скорость изменения функции, а В. п. есть
скорость изменения этой скорости. А 9—10,11,7.29.
Второй коэффициент квадратного уравнения — см. Квадрат-
ное уравнение.
Второй признак равенства треугольников — см. Признаки ра-
венства треугольников.
Вынесение множителя из-под знака (квадратного) корня.
Объясняется на примерах. А 7,11,7.16.
Вынесение общего множителя за скобки. Объясняется на при-
мерах. А 6,IV,11.30.
9
Выпуклый
—	многогранник,
—	многоугольник,
—	четырехугольник.
Выражение с переменными. Объясняется на примерах. Так,
60/ — В. с п., буква t здесь наз. переменной. Если в В. с п. подста-
вить вместо каждой переменной ее значение, то получается числовое
выражение. Выполнив указанные в нем действия, получим число,
наз. значением В. с п. при выбранных значениях переменных. Не-
которые выражения имеют смысл не при всех значениях переменной.
А 6,1,1.2.
Высота
—	конуса,
—	пирамиды,
—	призмы,
— цилиндра.
Высота параллелограмма ABCD, соответствующая сторонам
АВ и CD,— отрезок BF перпендикуляра, опущенного из вершины
В на прямую CD. Г 8,13.
Высота трапеции ABCD — расстояние между параллельными
прямыми АВ и CD. Г 8,13.
Высота треугольника, опущенная из данной вершины,— пер-
пендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей
противолежащую сторону треугольника. 3. Если а, Ь, с — стороны
треугольника, то В. т., опущенная на сторону с, равна
д/а2 — (а2 — Ь2 А- с2)/4с2.
У Стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам,
т. е. а:Ь:с = ^-:^-:^~. Г 6,3; 7,7; 8,13.
Па ПЬ Пс
▼ Вычисление объемов тел. Пусть задано тело и существует
такая прямая Ох, что, какую бы плоскость, перпендикулярную к
этой прямой, ни взять, известна площадь S(x) сечения тела этой
плоскостью. Если функция S(x) непрерывна на отрезке [а; д], то
объем V части тела, заключенного между плоскостями, соответствую-
щими значениям х—а и х = Ь, можно вычислить по формуле
ь
V — \S(x)dx. С ее помощью выводятся формулы объемов шара,
а
конуса, пирамиды. Отмечается, что если тело получено вращением
ь
криволинейной трапеции вокруг оси Ох, то V = \nf2(x)dx. А 9—10,
111,9.35.	°
Вычитание многочленов — см. Сложение и вычитание много-
членов.
Гармонические колебания. Говорят, что физическая величина,
изменяющаяся во времени в соответствии с уравнением =
= — со2/(/) (со — положительная постоянная), совершает Г. к. Само
уравнение наз. дифференциальным уравнением Г. к.
При любых постоянных А, со и ср функция f(f) = A cos(co/ ср/
является решением уравнения Г. к. Верно и обратное: любое реше-
ние уравнения Г. к. есть функция вида A cos (со/ -|- <р), причем обычно
10
выбирают А > 0, ф £ [0; Максимальное значение модуля функции
f(j) = A cos (со/+ ф) равно А. Константу А наз. амплитудой колеба-
ния, константу со — угловой частотой колебания, константу ф —
начальной фазой колебания.
График Г. к.— синусоида. А 9—10,11,7.29.
Геометрическая прогрессия — последовательность отличных от
нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Иначе: последовательность (Ьп) — Г. п., если для любого нату-
рального п выполняются условия: Ьп =/= 0 и bn+i=bnq, где q — не-
которое число.
Отношение любого члена Г. п., начиная со второго, к предыду-
щему члену равно q, т. е. при любом натуральном п верно равенство
== q. Число q наз. знаменателем Г. п. Знаменатель Г п. отли-
Ьп
чен от нуля. Чтобы задать Г. п., достаточно указать ее первый член
и знаменатель.
Формула п-го члена Г. п.: bn = b\qn~ ’.
bnq b\
Формула суммы п первых членов Г. п.: Sn = -------j—, с? =# 1,
ft.^’-l)	ч~
или S„ =------, <7=7*= 1. А 8,111,7.16—18.
<7 — 1
Геометрическая фигура. Объясняется на примерах (треуголь-
ник, квадрат, окружность и др.). Часть Г ф. также является Г. ф.
Объединение нескольких Г. ф. есть снова Г. ф. Основные Г. ф. на
плоскости — точка и прямая. Г. 6,1.
Геометрический смысл производной — см. Касательная.
Геометрическое место точек (на плоскости) — фигура, которая
состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свой-
ством. Так, окружность есть Г. м. т. плоскости, равноудаленных
от данной точки.
Т. Г. м. т., равноудаленных от двух данных точек, есть прямая,
перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходя-
щая через его середину.
Понятие Г. м. т. используется и в пространстве. Г 6,5.
См. также Метод геометрических мест
Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. Г.,
изучаемая в школе, наз. евклидовой, по имени древнегреческого
ученого Евклида (III в. до н. э.). Г 6,1.
Гипербола — см. Функция у = k/x.
Гипотенуза — см. Прямоугольный треугольник.
Гомотетичные фигуры — см. Гомотетия.
Гомотетия относительно центра. Пусть F — данная фигура и О —
фиксированная точка. Проведем через произвольную точку X фи-
гуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k • ОХ, где
k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором
каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным
способом, наз. Г. относительно центра О. Число k наз. коэффициен-
том Г. Фигуры F и F' наз. гомотетичными. Г 7,9; 9,17
Градус— 1/180 часть развернутого угла. М 4,11,6.44.
См. также Основные свойства измерения углов.
Граница фигуры, тела. Понятие используется без определения,
напр., в сочетаниях: Границей круга является окружность, Гра-
ница шара наз. шаровой поверхностью или сферой. Г 8,13; 10,18; 19.
11
Грань
—	двугранного угла,
—	многогранника,
— трехгранного угла.
График линейного уравнения с двумя переменными—см.
Линейное уравнение с двумя переменными.
График линейной функции — см. Линейная функция.
График обратной пропорциональности — см. Функция y = k/)c.
График обратной функции — см. Обратная функция.
График прямой пропорциональности — см. Прямая пропор-
циональность.
График уравнения с двумя переменными — см. Уравнение с
двумя переменными, Линейное уравнение с двумя переменными.
График функции — множество всех точек, абсциссы которых
равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим зна-
чениям функции. А 6,11,5.14.
Г ф. наз. множество точек (х; у) координатной плоскости, где
у = f(х); х «пробегают» всю область определения функции f. Для
того чтобы подмножество точек координатной плоскости являлось
графиком какой-либо функции, необходимо, чтобы это подмножество
имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной
оси Оу.
Часто функцию задают графически — предъявляют ее график.
А 9—10,1,2.3.
Графический способ решения системы двух уравнений с двумя
переменными — см. Система двух уравнений с двумя переменными.
Графический способ решения уравнений. Объясняется на при-
мерах, как можно найти приближенные значения корней, находя
абсциссы точек пересечения соответствующих графиков. А 8,11,4.9.
Движение — преобразование фигуры F в фигуру F', сохраняю-
щее расстояние между точками, т. е. переводящее любые две точки
X и Y фигуры F-в точки X' и Y' фигуры F' так, что XY — X'Y'.
Т|. Преобразование симметрии относительно точки является Д.
Тг. Преобразование симметрии относительно прямой явля-
ется Д.
Тз. При Д. точки, лежащие на прямой, переходят в точки,
лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного распо-
ложения.
Сь При Д. прямые переходят в прямые, полупрямые — в по-
лупрямые, отрезки — в отрезки.
Сг. При Д. сохраняются углы между полупрямыми.
Два Д., выполненные последовательно, дают снова Д. Преоб-
разование, обратное Д., является также Д.
Т4. Преобразования симметрии относительно точки, прямой и
плоскости в пространстве являются Д.
Тб- Д. переводит плоскости в плоскости. Г 7,9; 9,17.
Двойные неравенства — неравенства вида — 3 < х < 2, — 3
х < 2, — 3<х^2 и т. п. Объясняются на примерах. A 7,1V, 12.29.
Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоско-
стями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости наз.
гранями, а ограничивающая их прямая — ребром Д. у.
Плоскость, перпендикулярная к ребру Д. у., пересекает его грани
по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми,
наз. линейным углом Д. у. За меру Д. у. принимается мера соответ-
12
ствующего ему линейного угла. Все линейные углы совмещаются
параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера Д у. не
зависит от выбора линейного угла. Г 10,18.
Двугранный угол трехграннего угла — см. Трехгранный угол.
Двучлен — см. Многочлен.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа
образуют множество Д. ч. Каждому Д. ч. соответствует точка на
координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соот-
ветствует некоторое Д. ч. (рациональное или иррациональное)
Каждое Д. ч. представляется в виде бесконечной десятичной
дроби. И наоборот: всякая бесконечная десятичная дробь пред-
ставляет собой некоторое Д. ч. (рациональное, если дробь периоди-
ческая, и иррациональное, если дробь непериодическая) Запись
Д. ч. в виде бесконечных десятичных дробей можно использовать
для сравнения чисел.
Д. ч. можно складывать, вычитать, умножать, делить (при усло-
вии, что делитель отличен от нуля), причем действия над Д. ч. обла-
дают теми же свойствами, что и действия над рациональными
числами. Например, для любых двух Д. ч. а и b верны равенства
а + b — b + a, ab = Ьа и т. д.
Для практических целей при выполнении действий над Д. ч
их заменяют приближенными значениями. А 7,11,5.11.
Действия с десятичными дробями. Сложение и вычитание де-
сятичных дробей выполняется поразрядно. При этом дроби запи-
сывают одну под другой так, чтобы запятая оказалась под запятой
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выпол-
нить умножение, не обращая внимание на запятые, а затем в полу-
ченном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько
их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в де-
лимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько
их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на нату-
ральное число.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10я, надо в этой дроби
перенести запятую на п цифр вправо. Чтобы разделить десятичную
дробь на 10л, надо в этой дроби перенести запятую на п цифр влево.
М 4,11,7.48—8.57.
Действия с обыкновенными дробями. При сложении дробей
с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибав-
ляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя
первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот
же знаменатель. При сложении и вычитании дробей с разными зна-
менателями их предварительно приводят к общему знаменателю.
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой
равен произведению их числителей, а знаменатель равен произведе-
нию знаменателей.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умно-
жить на дробь, обратную делителю. М 4,11,5.38—41; 5,11,6; 7
Действия с положительными и отрицательными числами. Что-
бы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули
и перед полученным результатом поставить знак «минус». Чтобы
сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля
вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак
того слагаемого, модуль которого больше. Сумма двух противо-
положных чисел равна нулю.
13
Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому.
Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемно-
жить их модули. Чтобы перемножить два числа с разными знаками,
надо перемножить их модули и перед полученным результатом по-
ставить знак «минус».
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо
модуль делимого разделить на модуль делителя. Чтобы разделить
два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить
на модуль делителя и перед полученным результатом поставить знак
«минус». Делить на нуль нельзя. М 5,1,2; 3.
Декартовы координаты в пространстве. Возьмем три взаимно
перпендикулярные прямые х, у, z, пересекающиеся в одной точке О.
Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость,
проходящую через прямые х и у, наз. плоскостью' ху. Две другие
плоскости наз. соответственно xz и yz. Прямые х, у, z наз. координат-
ными осями (или осями координат), точка их пересечения О — на-
чалом координат, а плоскости ху, yz и xz — координатными пло-
скостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полу-
прямые — полуоси, одну из которых наз. положительной, другую —
отрицательной.
Через произвольную точку А проведем плоскость, параллель-
ную плоскости yz. Она пересечет ось х в некоторой точке Ах. Коор-
динатой х точки А наз. число, равное по абсолютной величине длине
отрезка ОАХ: положительное, если точка Ах лежит на положительной
полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полу-
оси. Если точка Ах совпадает с точкой О, то полагаем х = 0. Ана-
логично определяются координаты у и z точки А. Тройку чисел х, у, z
наз. декартовыми координатами точки А в пространстве. Коорди-
наты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением
точки: А (х, у, z), иногда просто (х, у, z). Г 9,17.
Декартовы координаты на плоскости — см. Координаты на пло-
скости.
Деление дробей — см. Действия с обыкновенными дробями.
Деление с остатком. Пусть а и b — натуральные числа. Если
при делении числа а на число b получается неполное частное q и
остаток г, то а = bq 4- г, где q и г — натуральные числа или нуль,
причем г < Ь. М. 4,1,3.21; А 6, Сведения...
Деление степеней — см. Степень с натуральным показателем.
Делитель натурального числа а— натуральное число Ь, на кото-
рое а делится без остатка, т. е. а = bq, где q — натуральное число.
Число 1 является делителем любого натурального числа. Если
b — Д. н. ч. а, то а наз. кратным числа Ь. Число 0 кратно любому
натуральному числу. М 4,1,3.22; А 6, Сведения...
Десятичная дробь. Любое число, знаменатель дробной части
которого выражается единицей с одним или несколькими нулями,
можно представить в виде десятичной записи (объясняется на при-
мерах), или, как говорят иначе, в виде Д. д.
Если к Д. д. приписать справа нуль, то получится равная ей
дробь. Если Д. д. оканчивается нулем, то этот пуль можно отбро-
сить — получится равная ей дробь.
Из двух (положительных) Д. д. с разными целыми частями
меньше та, у которой целая часть меньше, и больше та, у которой
целая часть больше. Чтобы сравнить две (положительные) Д. д.
с одинаковыми целыми частями, надо уравнять, приписывая справа
14
нули, число десятичных знаков после запятой в обеих дробях и срав-
нить’их дробные части. М 4,11,7,45; 46.
См. также Действия с десятичными дробями, Бесконечная
десятичная дробь.
Десятичный логарифм—логарифм по основанию 10. Обозна-
чение: 1g. А 9—10,IV,11.43.
Диагональ
—	многоугольника,
—	призмы,
		четырехугольника.
Диагональное сечение призмы — см. Призма.
Диаметр
—	окружности,
—	шара.
Диаметральная плоскость шара — см. Шар.
Диаметрально противоположные точки шара — см. Шар.
Дискриминант квадратного трехчлена — см. Квадратный трех-
член.
Дискриминант квадратного уравнения — см. Формула корней
квадратного уравнения.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний — см.
Гармонические колебания.
Дифференциальное уравнение показательного роста и пока-
зательного убывания — уравнение вида f'(x) = kf(x\ где k—неко-
торая константа. Решением этого уравнения является любая функ-
ция вида f(x) = CeAx, где С — постоянная (т. к. С произвольно,
у этого уравнения бесконечно много решений). Решений другого
вида уравнение не имеет. Смысл этого дифференциального урав-
нения состоит в том, что скорость изменения функции в точке х про-
порциональна значению самой функции в этой точке.
Приводятся примеры: 1) радиоактивный распад (mkm(t\
пг(О) = пго, решение m(f) = moe~kt), 2) рост населения страны,
3) охлаждение тела.
Упоминаются другие дифференциальные уравнения: 1) при вер-
тикальном движении под действием силы тяжести координата точки
z единичной массы удовлетворяет дифференциальному уравнению
£"(/) = £, общее решение которого z(t) — z0 -f- vQt -f- gt2/2, где
zo = z(O), uo = z'(0), 2) при гармонических колебаниях в соответ-
ствии с дифференциальным уравнением y"(t) = — to2y(t) общее реше-
ние имеет вид y(t) — A cos(coZ ср), где А и ср—произвольные кон-
станты, которые можно определить, если заданы начальные условия
У(Р)=Уо, y'(O)=vo. А 9—10,IV,12.48.
Дифференцирование — см. Производная.
Длина дуги окружности — см. Длина окружности.
Длина ломаной — см. Ломаная.
Длина окружности. Дается наглядное представление о Д. о.
как длине отрезка, полученного после разрезания нити в форме
окружности и распрямления ее.
Т. Отношение Д. о. к ее диаметру не зависит от окружности,
т. е. одно и то же для любых двух окружностей.
Доказательство этой теоремы не слишком строгое и исполь-
зует идею о том, что Д. о. есть предел периметров правильных вы-
пуклых n-угольников, вписанных в окружность.
Отношение Д. о. к диаметру обозначают греческой буквой
15
л: I/<2% = ?i. Число л — иррациональное, приведено его приближен-
ное значение (л « 3,1416).
Таким образом, Д. о. вычисляется по формуле / = 2л/?.
Длина дуги окружности, отвечающей центральному углу в п°,
равна л/?и/180. Г 8,12.
Длина отрезка. Не определяется, а объясняется. Г 6,1.
См. также Основные свойства измерения отрезков.
Длина промежутка с концами а и b — число b — а. А 9—10,
Материал для повторения.
Додекаэдр — см. Правильные многогранники.
Доказательство — рассуждение, путем которого устанавлива-
ется правильность утверждения о свойстве той или иной геометри-
ческой фигуры. Г 6,1.
Доказательство от противного — способ доказательства, состоя-
щий в том, что сначала делаем предположение, противоположное
тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опи-
раясь на аксиомы и уже доказанные теоремы, приходим к выводу,
противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо
доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше
предположение было неверным, а значит, верно утверждение тео-
ремы. Г 6,2.
Дополнительные полупрямые — см. Полупрямая.
Дополнительный множитель к числителю и знаменателю — см.
Основное свойство дроби.
Дополнительный плоский угол — см. Плоский угол.
Допустимые значения переменных — значения переменных, при
которых выражение имеет смысл. А 7,1,1.1.
Достаточные условия существования экстремума функции в
точке. При нахождении точек экстремума функции требуется найти
ее критические точки (см.) и провести исследование, действительно
ли данная критическая точка является точкой экстремума. При
этом обычно используют Д. у. с. э.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точ-
ке хо, a f'(x)2> 0 на интервале (а; Хо) и /'(xjc 0 на интервале (хо; Ь),
то точка Хо является точкой максимума функции f. Упрощенная
формулировка: если в точке х0 производная меняет знак с плюса на
минус, то Хо есть точка максимума.
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в
точке хо, a f'(х) < 0 на интервале (а; х0) и /'(х)>0 на интервале
(х0; Ь), то точка Хо является точкой минимума функции f. Упрощен-
ная формулировка: если в точке Хо производная меняет знак с ми-
нуса на плюс, то Хо есть точка минимума. А 9—10,11,7.26.
Достаточный признак возрастания (убывания) функции — см.
Признак возрастания функции, Признак убывания функции.
Дроби — см. Обыкновенная дробь, Десятичная дробь.
Дробная часть числа х — см. Целая часть числа х.
Дробное рациональное уравнение — см. Рациональное урав-
нение.
Дробные выражения — выражения, составленные из чисел и пе-
ременных с помощью действий сложения, вычитания, умножения
и деления, причем обязательно используется деление на выражение
с переменными. Д. в. при некоторых значениях переменных могут
не иметь смысла. А 7,1,1.1.
Дуга окружности — см. Центральный угол.
16
Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в
начале координат. А 9—10,1,1.1.
Единичный вектор — вектор, абсолютная величина которого
равна единице. Е. в., имеющие направления положительных коор-
динатных осей, наз. координатными векторами или ортами. Их обо-
значают ё| (1,0) на оси хи е2(0, 1) на оси у. Любой вектор a(ai, аг)
допускает представление в виде а = aiei 4- а2е2. Аналогично в про-
странстве имеет место представление a(fli, а2, аз) = fliCi 4~ 02е2 4" аз^з,
где ё|, ё2, е.з — Е. в., имеющие направления координатных осей.
Г 8,10; 9,17.
Зависимая переменная — см. Функция.
Задание прямой в пространстве. Любая прямая полностью
определяется, если заданы две плоскости, проходящие через эту
прямую. Отсюда следует, что любая прямая в пространстве задается
двумя линейными уравнениями — уравнениями плоскостей, проходя-
щих через эту прямую:
4-	а2у + a3z 4- 04 = 0,
Ь1Х4“^2^/4_^з2 4" ^4 = 0.
Точка (х, у, z), удовлетворяющая этим двум уравнениям, при-
надлежит каждой из плоскостей, а значит, принадлежит прямой.
Обратно, координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим
уравнениям, так как точка принадлежит каждой из плоскостей.
Г 9,17.
Задачи на построение (простейшие). 1. Построить треугольник
с данными сторонами а, Ь, с. 2. Отложить от данной полупрямой в
данную полуплоскость угол, равный данному. 3. Построить биссек-
трису данного угла. 4. Разделить отрезок пополам. 5. Через данную
точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а. Г 6,5.
Заключение в скобки — см. Сложение и вычитание многочленов.
Заключение теоремы — см. Теорема.
Законы арифметических действий. Для любых действительных
чисел а, b и с справедливы следующие равенства:
a)	a-]- b — b а (переместительный закон сложения),
б)	(а 4- Ь) + с — а 4- (6 + с) (сочетательный закон сложения),
в) ab = Ьа (переместительный закон умножения),
г) (ab)c = а(Ьс) (сочетательный закон умножения),
д) (а 4- Ь)с = ас 4- Ьс (распределительный закон). А 9—10,
Материал для повторения.
Замкнутая ломаная — см. Ломаная.
Звено ломаной — см. Ломаная.
Знак арифметического квадратного корня — см. Квадратный
корень.
Знак интеграла — см. Интеграл.
Знаменатель геометрической прогрессии — см. Геометрическая
прогрессия.
Знаменатель дроби — см. Обыкновенная дробь.
Значащие цифры числа — все его цифры, кроме нулей, стоя-
щих вначале. А 7,V,15.37.
Значение
—	выражения с переменной,
—	функции,
—	числового выражения.
17
Извлечение квадратного корня — см. Квадратный корень.
Измерение отрезков — см. Основные свойства измерения от-
резков.
Измерение углов — см. Основные свойства измерения углов,
Радианная мера угла.
Изображение пространственных фигур на плоскости — см.
Параллельное проектирование.
Икосаэдр — см. Правильные многогранники.
Интеграл. Вводится из геометрических соображений при вы-
числении площади криволинейной трапеции.
Пусть функция f непрерывна на отрезке [а; 6]. Разобьем отре-
зок [а; Ь] на п отрезков одинаковой длины точками хо = а < Xi <
< Х2 <...< хп-\ < хп = Ь, и пусть Ax = ---^Q =Xk—Xk-\, где
£=1, 2, ..., п — 1, п. Составим Sn = ’~~п ° (f(*o) +	+ ••♦
... +i)). Утверждается: для любой непрерывной функции
стремится (при п-> оо) к некоторому числу. Это число наз. (по опреде-
ь
лению) И. функции / от а до b и обозначают \j(x)dx, т. е.
г	а
Sn-+\f(x)dx при п->оо (читается «интеграл от а до b эф от икс дэ
а
икс»). Числа а и b наз. пределами интегрирования: а—нижним
пределом, b — верхним. Знак J наз.. знаком интеграла. Функция f
наз. подынтегральной функцией, а переменная х — переменной
интегрирования.
Если f(x) 0 на отрезке [а; 6], то площадь S соответствующей
ь
криволинейной трапеции выражается формулой S = \f(x)dx.
а
▼ Для приближенного вычисления И. можно рассматривать
суммы Лучше, однако, воспользоваться суммами
Sn =	fМ + f(x,) + Дх2) + ... + у fM),
слагаемые которых равны в случае положительной функции пло-
щадям трапеций, «вписанных» в криволинейную трапецию и огра-
ниченных ломаными. ▼
Понятие И. удобно расширить, полагая по определению, что
Ь	а	а
\f(x)dx = — \[(x)dx при a^b (в частности, $f(x)dx = 0). А 9—10,
а	b	а
III,9.34.
См также Формула Ньютона — Лейбница, Вычисление объ-
емов тел.
Интегрирование — операция, обратная операции дифференци-
рования (см.). А 9—10,111,8.30.
Интервал (а; Ь). О. И. с концами а и b есть множество всех чи-
сел х, удовлетворяющих неравенству а<х<Ь. А 9—10, Материал
для повторения.
Иррациональное число. На координатной прямой имеются точ-
ки, которым соответствуют числа, не являющиеся рациональными
(не существует, напр., такого рационального числа, квадрат кото-
18
рого равен 2). Число, которое нельзя представить в виде дроби
т/п, где т — целое число, а/г — натуральное, наз. И. ч. Число л,
напр., является И. ч.
Всякое И. ч. можно представить в виде бесконечной десятич-
ной непериодической дроби. Верно и обратное: каждая бесконеч-
ная десятичная непериодическая дробь представляет собой неко-
торое И. ч. А 7,11,5.11.
Иррациональные уравнения — уравнения, в которых перемен-
ная содержится под знаком корня. Приводятся примеры реше-
ния И. у. При некоторых способах решения (напр., при возведении
в квадрат частей И. у.) могут появиться посторонние корни, поэто-
му требуется проверка полученных корней. Удобнее решать И. у.,
используя равносильные переходы. Так, уравнение = g равно-
сильно системе
(g2"=f,
lg>0. А 9—10.IV, 10.37.
Исследование функций. Предлагается следующая схема И. ф.:
1)	найти область определения функции;
2)	выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчаю-
щими исследование (является ли функция /: а) четной или нечет-
ной; б) периодической);
3)	вычислить координаты точек пересечения графика f с ося-
ми координат;
4)	найти промежутки знакопостоянства функции;
5)	найти промежутки возрастания и убывания функции;
6)	найти точки экстремума функции и вычислить значения
в этих точках;
7)	исследовать поведение функции f при больших (по модулю)
значениях аргумента.
И. ф. на возрастание (убывание) и на экстремум удобно про-
водить с помощью производной. Для этого сначала находят про-
изводную функции f и ее критические точки, а затем выясняют,
какие из них являются точками экстремума.
Результаты исследования удобно занести в таблицу. Обычно
по результатам И. ф. строят график. А 9—10,1,2.4; 11,7.27.
Касание окружностей. Две окружности, имеющие общую точку,
касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.
К. о. наз. внутренним, если центры окружностей лежат по одну
сторону от их общей касательной. К. о. наз. внешним, если центры
окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной.
Г 6,5.
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке
Хо,— прямая, проходящая через точку (хо, Дхо)) и имеющая угловой
коэффициент Д(хо). Точку (хо, Дхо)) наз. точкой касания. Поскольку
Af/Ax ж f'(хо), то угловой коэффициент А//Ах секущей, проходящей
через точки (хо, Дхо)) и (х0 4- Ах, Дхо 4- Ах)), практически равен угло-
вому коэффициенту К. Условие Аг//Ах->Д (хо) при Ах->0 позволяет
дать геометрическое определение К. как предельного положения
секущей при Ах->0.
Существование производной функции f в точке Хо эквивалентно
существованию невертикальной К. в точке (хо, Дхо)) графика, при-
чем угловой коэффициент К. равен Д(хо). В этом состоит геометри-
ческий смысл производной.
19
Уравнение К. к графику функции f в точке А(х0, /(хо)) имеет
вид у = f(xo) + f'(x0)(x — хо). Дается способ построения К. к пара-
боле в любой ее точке А(хо, х§), кроме вершины: соединить точку А
с точкой Т, делящей пополам отрезок оси Ох с концами 0 и х0.
А 9—10,11,6.22.
Касательная к окружности — прямая, проходящая через точку
окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку
При этом данная точка окружности наз. точкой касания. Говорят
также, что окружность касается прямой. Г 6,5.
Касательная плоскость
— — конуса,
— — цилиндра.
Касательная плоскость к шаровой поверхности — см. Шар.
Касательная прямая к шаровой поверхности (сфере) — см.
Шар.
Катет—см. Прямоугольный треугольник.
Квадрат—прямоугольник, у которого все стороны равны.
К. является также ромбом, поэтому обладает свойствами прямо-
угольника и ромба. Г 7,6.
Квадрат суммы и квадрат разности. Формула квадрата суммы —
тождество (а + 6)2 = а2 + 2аЬ Ь2 (одна из формул сокращенного
умножения). Словами: квадрат суммы двух выражений равен квад-
рату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и
второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности — тождество (а — b}2— а2— 2аЬ АтЬ2
(одна из формул сокращенного умножения). Словами: квадрат раз-
ности двух выражений равен квадрату первого выражения минус
удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат
второго выражения. А 6,V, 14.35.
Квадратичная функция — функция, которую можно задать фор-
мулой у = ах2 -j- Ьх А~ с, где х — независимая переменная, а, b и с —
числа, причем а 0. Преобразовав выражение ах2<А~ Ьх + с,
/ , Ь \ Ь2 — 4ас	2
получим у = а( х А~ — )------~А-- или у = а(х — т) + и, где
\ 2а / 4а
Ь	Ь2 — 4ас _	,	,	/ х2 ।
т =----— и п =--------——. График функции у — а(х— т) -Н п
получается из графика функции у = ах2 с помощью параллельного
переноса, при котором точка (хо; уо) переходит в точку (хо + т;
уо А~ п). График К. ф. у = ах2 А~ Ьх А~ с есть парабола, равная пара-
-	2 с	»	/ ь Ь2 — 4ас \
боле у = ах . Ее вершиной является точка 1	;-----——-к
гч	Ь
Осью симметрии служит прямая х= — —, параллельная оси у.
При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0— вниз.
А 8,1,2.4; 5.
Квадратное уравнение — уравнение вида ах2 + Ьх 4- с = 0,
где х—переменная, а, Ь й с — некоторые числа, причем а =# 0.
Числа а, Ь и с — коэффициенты К. у., причем а наз. первым коэффи-
циентом, Ь — вторым коэффициентом и с — свободным членом.
К. у., у которого первый коэффициент равен 1, наз. приведен-
ным К. у.
Если в К. у. хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю,
то такое К- у. наз. неполным К. у. Неполное К. у. вида ах2 А~ bx = Q
при Ь =£ 0 имеет два корня: Х| = 0 и х2 = — Ь/а\ неполное К. у.
20
вида ах2 + с = 0, при — с/а>0 имеет два корня: х, = —у—с/а
и %2 с/д; при — с/а<0 уравнение корней не имеет.
А 7,111,8.18; 19.
См. также Формула корней квадратного уравнения, Теорема
Виета.
Квадратный корень из числа а — число, квадрат которого
равен а. Так, К- к. из 64 будут 8 и — 8.
О. Арифметическим К. к. из числа а наз. неотрицательное число,
квадрат которого равен а. Для арифметического К. к. из числа а
принято обозначение: -у/a. Знак -yj наз. знаком арифметического
К, к.-, выражение, стоящее под знаком корня, наз. подкоренным
выражением. При а<0 выражение ~\[а не имеет смысла.
Вычисление (арифметических) К. к. наз. еще извлечением К. к.
При любом а'^0 верно равенство (~\/а)2 = а. Большему числу
соответствует большее значение арифметического К- к.
Объясняется, как вычислять К- к. с помощью таблиц и микро-
калькулятора. А 7,11,5.10; 12; 6.15.
См. также Свойства квадратных корней.
Квадратный трехчлен — многочлен вида ах2 + Ьх с, где х —
переменная, а, Ь и с — числа, причем а =# 0.
О. Корнем К. т. наз. значение переменной, при котором значе-
ние этого трехчлена равно нулю.
К. т. имеет те же корни, что и квадратное уравнение ах2 Ьх
-|-с = 0. Дискриминант квадратного уравнения наз. также дискри-
минантом К- т. Число корней К. т., как и число корней квадратного
уравнения, зависит от его дискриминанта: при D >> 0 К- т. имеет
два различных корня; при D = 0 К. т. имеет один корень; при D < 0
К. т. не имеет корней.
Из теоремы Виета следует, что если К- т. ах2 + Ьх с имеет
корни %| и х2, то %| + х2 = — Ь/а, х,х2 = с/а. А 8,1,1.1.
См. также Разложение квадратного трехчлена на множители.
Коллинеарные векторы — два отличных от нуля вектора, лежа-
щие на одной прямой или на параллельных прямых.
Т. У К. в. соответствующие координаты пропорциональны.
И обратно: если у двух векторов соответствующие координаты про-
порциональны, то векторы коллинеарны. Г 8,10.
Кольцо — то же, что Круговое кольцо.
Конечная последовательность — см. Последовательность.
Коническая поверхность. Термин употреблен в У.11. Г 10,21.
Конус (точнее, круговой конус) — тело, образованное всеми
отрезками, соединяющими данную точку — вершину К.— с точками
некоторого круга — основания К. Отрезки, соединяющие вершину К-
с точками окружности основания, наз. образующими К- Поверхность
К. состоит из основания и боковой поверхности.
К. наз. прямым, если прямая, соединяющая вершину К. с цент-
ром основания, перпендикулярна плоскости основания. В школе
рассматриваются лишь прямые К., наз. кратко К.
Высотой К. наз. перпендикуляр, опущенный из его вершины
на плоскость основания. У прямого К. основание высоты совпадает
с центром основания. Осью прямого К- наз. прямая, содержащая
его высоту. Сечение К. плоскостью, проходящей через его ось, наз.
осевым сечением К- Плоскость, проходящая через образующую К.
и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту обра-
зующую, наз. касательной плоскостью К.
21
Т. Плоскость, перпендикулярная оси К., пересекает К. по кругу,
а боковую поверхность — по окружности с центром на оси К.
Плоскость, перпендикулярная оси К., отсекает от него меньший
К. Оставшаяся часть наз. усеченным К.
Пирамидой, вписанной в К-, наз. такая пирамида, основание
которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания К.,
а вершиной является вершина К. Боковые ребра пирамиды, вписан-
ной в К., являются образующими К.
Пирамида наз. описанной около К., если ее основанием явля-
ется многоугольник, описанный около основания К., а вершина
совпадает с вершиной К. Плоскости боковых граней описанной
пирамиды являются касательными плоскостями К. Г 10,19.
Концы отрезка — см. Отрезок.
Концы промежутка — точки а и b у отрезка [а; 6], интервала
(а, 6) и полуоткрытых промежутков [а; Ь) и (а; Ь]. А 9—10, Материал
для повторения.
Координатная плоскость — см. Декартовы координаты в про-
странстве, Координаты на плоскости, а также М 5,1,1.10.
Координатная прямая. Прямую линию с выбранными на ней
началом отсчета, единичным отрезком и направлением наз. К. п. Чис-
ло, показывающее положение точки на прямой, наз. координатой
этой точки. М 5,1,1.2.
Координатные векторы (орты) — см. Единичный вектор.
Координатные оси — см. Координаты на плоскости, Декартовы
координаты в пространстве.
Координатные плоскости — см. Декартовы координаты в про-
странстве.
Координатный луч — луч, начерченный слева направо, с отме-
ченным на нем единичным отрезком. Вводится описательно. М 4,1,1.5.
Координаты в пространстве — см. Декартовы координаты в
пространстве.	_
Координаты вектора. Пусть вектор а имеет началом точку
А\ (xi, у]), а концом — точку A2U2, {/2). К. в. а наз. числа а\ = х2 — Xi,
а2 — у2— у\. К. в. ставят рядом с буквенным обозначением вектора,
в данном случае а2) или (аь а2). Координаты нулевого вектора
равны нулю.
Абсолютная величина вектора с координатами а2 равна
л/а? -bat
Т. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
Обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то
векторы равны.
Аналогично в пространстве: К. в. с началом в точке Ai (xi, yh Z\)
и концом в точке А2 (х2, у2, z2) наз. числа at = х2 — Xi, a2 = y2 — yi,
а3 = 22 — Z\. Запись: o(oi, а2, а3) или (oi, а2, а3). Верна теорема,
сформулированная выше. Г 8,10; 9,17.
Координаты на плоскости (декартовы). На плоскости через точ-
ку О проводим две взаимно перпендикулярные прямые х и у — оси
координат. Ось х (она обычно горизонтальна) наз. осью абсцисс,
а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом коор-
динат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся наз.
одну из них положительной, отмечая ее стрелкой, а другую —
отрицательной.
Каждой точке А плоскости сопоставим пару чисел — коорди-
наты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по следующему правилу.
22
Через точку А проводим прямую, параллельную оси ординат. Она
пересечет ось абсцисс в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А
будем наз. число х, абсолютная величина которого равна расстоянию
от точки О до Ах. Это число будет положительным, если Ах принадле-
жит положительной полуоси, и отрицательным, если Ах принадлежит
отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат у, то
полагаем х равным нулю. Аналогично определяется ордината {у)
точки. Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным
обозначением точки: А(х, у) — на первом месте абсцисса, на вто-
ром — ордината.
Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четвер-
ти — I, П, III, IV. В пределах одной четверти знаки обеих координат
сохраняются (иллюстрируется рисунком). Точки оси х (оси абсцисс)
имеют равные нулю ординаты (у = 0), а точки оси у (оси ординат)
имеют равные нулю абсциссы (х = 0). У начала координат абсцисса
и ордината равны нулю.
Плоскость, на которой введены описанным способом коорди-
наты, наз. плоскостью ху или координатной плоскостью. Произволь-
ную точку на этой плоскости с координатами х и у иногда обозначают
просто (х, у).
Введенные на плоскости координаты х, у наз. декартовыми,
по имени французского ученого Р. Декарта (1595—1650). Г 7,8.
Координаты середины отрезка. Если А(хь у\), В(х2, у2)— концы
отрезка и С(х, у) — его середина, то х= (xi 4- х2)/2, у = (r/j 4- #2)/2.
В пространстве К. с. о. с концами ЛДхь yi, Z\) и Л2(х2, у2, z2) нахо-
дятся по формулам х = (х! 4-х2)/2, у =	4- r/2)/2, z = (z\ 4-z2)/2.
Г 7,8; 9,17.
Координаты точки — см. Координатная прямая, Координаты на
плоскости, Декартовы координаты в пространстве.
Корень квадратного трехчлена — см. Квадратный трехчлен.
Корень л-й степени из числа а (л — натуральное) — такое чис-
ло, п-я степень которого равна а.
Если п — нечетное натуральное число, то К. п-й с. из любого
числа существует, притом только один. Запись корня нечетной
степени: ^у/а. Число п наз. показателем корня', выражение, стоящее
под знаком корня,— подкоренным выражением.
Если п — четное, то при а > 0 существуют два К. п-й с. (эти
.	« Г ~
корни — противоположные числа), в этом случае знаком у а обоз-
начают неотрицательный К. п-й с. из а. Отрицательный же обозна-
чают — -у/a. Если а = 0, то К. п-й с. из а равен нулю. Если а < 0,
то К. п-й с. из а при четных п не существует.
Из определения К. п-й с. следует, что при всех значениях а,
при которых выражение ~у/а имеет смысл, верно равенство (у[~а)п = а.
3 /	,	4 /
Функция у= ух определена при всех х, функция у = ух—
при х > 0. Каждая из этих функций является возрастающей. Ре-
зультат обобщается на любое п.
Арифметическим К. п-й с. из неотрицательного числа а наз.
неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Корень нечет-
ной степени из отрицательного числа а можно выразить через ариф-
метический К. п-й с.: -у/а= — ~у[-—а (а < 0, п — нечетное число).
С помощью знака К. п-й с. записываются решения уравнения
хГ = а. А 8,IV,9.21; 9—10,IV,10.36.
23
См. также Свойства арифметического корня п-й степени.
Корень уравнения — значение переменной, прн котором уравне-
ние обращается в верное равенство. А 6,1,3.7. См. также Уравнение
▼ Косеканс — см. Основные тригонометрические функции.
Косинус. 1. К. острого угла а прямоугольного треугольника
отношение катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе. Обозна-
чение: cos а.
Т. К. угла зависит только от градусной меры.
С. cos а < 1.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы
на cos а. Справедливы формулы: sin(90° — а) = cos а, cos(90° —
— а) = sin а, cos 45° = -р2/2, cos 30° = -\/3/2, cos 60° = 1 /2.
При возрастании острого угла cos а убывает. Г 7,7.
2. К- угла а, 0° а 180° — см. Определение синуса, косинуса
и тангенса для любого угла от 0° до 180°.
3. К. любого угла а — см. Тригонометрические функции любого
аргумента, Тригонометрические функции числового аргумента,
Функция у = cos х.
Котангенс — см. Тригонометрические функции любого аргумента,
Тригонометрические функции числового аргумента, Функция у =
= etgx.
Коэффициент гомотетии — см. Гомотетия.
Коэффициент обратной пропорциональности — число k в фор-
муле y = k/x. А 9—10, Материал для повторения.
Коэффициент одночлена — см. Одночлен.
Коэффициент подобия — см. Преобразование подобия.
Коэффициент пропорциональности — см. Пропорциональные
переменные, Прямая пропорциональность.
Крайние члены пропорции — см. Пропорция.
Кратное числа а — см. Делитель натурального числа а.
Криволинейная трапеция — см. Площадь криволинейной тра-
пеции.
Критические точки функции — внутренние точки области опре-
деления функции, в которых ее производная равна нулю или не
существует. Только К. т. ф. могут быть точками экстремума функции.
А 9—10, II, 7.26, 28.
См. также Теорема Ферма, Наибольшее и наименьшее значения
функции.
Круг — фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящих-
ся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка
наз. центром К., а данное расстояние — радиусом К. Границей К.
является окружность с теми же центром и радиусом. Г 8,13.
Круговое кольцо — фигура, заключенная между двумя окруж-
ностями с одним и тем же центром и различными радиусами. Поня-
тие используется в У.44. Г 8,13.
Круговой конус — см. Конус.
Круговой сегмент — общая часть круга и полуплоскости. Пло-
щадь К. с., не равного полукругу, вычисляется по формуле S =
лЛ2
= 36Q~a д, где а — градусная мера центрального угла,
который содержит дугу этого К. с., а — площадь треугольника
с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих
соответствующий сектор. Знак «—» надо брать, когда а < 180°,
а знак « + » — когда а > 180°. Г 8,13.
Круговой сектор — часть круга, лежащая внутри соответствую-
24
угла. Площадь К. с. вычисляется по формуле
— радиус круга; а — градусная мера соответ-
щего центрального
5=w“’ где *
ствующего центрального угла. Г 8,13.
Круговой цилиндр — см. Цилиндр.
Куб — прямоугольный параллелепипед (см.), у которого все
ребра равны. Г 10,18.
См. также Правильные многогранники.
Куб суммы и куб разности (формулы сокращенного умноже-
ния) __ тождества (а 4- Ь)3 = а3 + За2Ь 4- ЗаЬ2 4- 63, (а — bf = а3 —
__За2Ь + ЗаЬ2 — Ь3. А 9—10, Материал для повторения.
Кубический корень — корень третьей степени из числа. А 9—10,
IV, 10.36.
См. также Корень п-й степени.
Лежать между. Понятие иллюстрируется чертежом, на котором
точка В Л. м. точками А и С, В разделяет точки Я и С. В этом случае
говорят, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В, точки
А и В лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точкой
С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Г 6,1.
Линейная функция — функция, которую можно задать формулой
вида y — kx-]-b, где х—независимая переменная, k и b — числа.
Прямая пропорциональность является частным случаем «Л. ф. (при
Ь = 0, £=/=0).
Графиком Л. ф. является прямая. Для построения его доста-
точно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на
координатной плоскости и провести через них прямую. Число k в фор-
муле у = kx 4- b наз. угловым коэффициентом прямой.
Л. ф. при k > 0 является возрастающей, а при k < 0 — убываю-
щей. А 6,11,6.16—18;7,IV,13.33.
Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида
ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа. Числа а и b
наз. коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.
Графиком Л. у. с д. п., в котором хотя бы один из коэффициен-
тов при переменных не равен нулю, является прямая.
Если а=0 и b — 0, то при с = 0 любая пара чисел является
решением Л. у. с д. п., а его графиком — вся координатная пло-
скость; при с 0 уравнение не имеет решений и его график не
содержит ни одной точки. Отмечается, что, напр., графиком уравнения
х= —3 служит прямая, параллельная оси у. А 6,VI,16.41.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида
ах = Ь, где х — переменная; а и b — числа, а наз. коэффициентом
при переменной, а число b — свободным членом. Л. у. с о. п., в котором
а =£ 0, имеет единственный корень b/а. Если а = 0 и b =# 0, то
уравнение ах = b корней не имеет. Если а = 0 и b — 0, то любое зна-
чение х является корнем уравнения. А 6,1,3.8.
Линейные неравенства с одной переменной — неравенства вида
ах Z> Ь или ах <Z b, где а и b — некоторые числа. Рассмотрены при-
меры неравенств, в которых коэффициент при переменной не равен
нулю (их решения — числовые промежутки). Неравенство вида
0х >> b или Ox < b либо не имеет решений, либо его решением явля-
ется любое число. A 7,1V, 12.30.
Линейные размеры прямоугольного параллелепипеда — см.
Прямоугольный параллелепипед.
Линейный угол двугранного угла — см. Двугранный угол.
25
Линия тангенсов — касательная I к единичной окружности
в точке Ро(1; 0). Если а — произвольное число и Pa(cosa; sin а) —
соответствующая точка на единичной окружности, то ордината точки
пересечения прямых ОРа и I равна тангенсу угла а. А 9—10,1,1.1.
Логарифм числа х по основанию а — показатель степени, в ко-
торую надо возвести число а, чтобы получить х. Обозначение:
logax (a Z> 0, а =/= 1, х>0). Таким образом, alogaX = x (основное
логарифмическое тождество). А 9—10,1 V, 11.42.
См. также Основные свойства логарифмов, Логарифмическая
функция, Натуральный логарифм, Десятичный логарифм.
Логарифмирование — термин употребляется без объяснения как
средство сокращения речи, напр., «По правилу логарифмирования
степени», «Выразим логарифм по основанию 2 выражения 8а3д/^~че-
рез логарифмы по основанию 2 чисел а и Ь»,— коротко говорят:
«Прологарифмируем данное выражение по основанию 2». А 9—10,
IV,! 1.43.
Логарифмическая функция. Показательная функция f(x) =
= ах при 1 возрастает на /?, а при 0< а < 1 убывает на /?; об-
ласть ее значений — множество /? + . Следовательно, она обратима и
для нее определена обратная функция g(x), область определения ко-
торой — множество /?+, а область значений — множество R. Эту
функцию наз. логарифмической с основанием а и обозначают
g(x) = logax. Л. ф. с основанием 10 обозначают 1g. Итак, al0goX = x
для любого х > 0.
Основные свойства Л. ф. (вытекают из свойств показательной
функции и теоремы об обратной функции): 1. Область определения
Л. ф.— множество всех положительных чисел: D(loga) =2. Об-
ласть значений Л. ф.— множество всех действительных чисел:
£(loga) = .fl; 3. Л. ф. на всей области определения /?+ возрастает
при а > 1 и убывает при 0 < а < 1. А 9—10,IV,! 1.42.
См. также Основные свойства логарифмов, Натуральный ло-
гарифм.
Логарифмические уравнения и неравенства. Простейшее лога-
рифмическое уравнение logax = 6 для любого b имеет и притом
только одно решение аь. Это вытекает из того, что функция logax воз-
растает (или убывает) на промежутке (0; оо) и принимает на этом
промежутке все действительные значения (см. Теорема о корне).
При решении простейших неравенств также используют возраста-
ние (убывание) функции logax.
Приводятся примеры решения таких уравнений и неравенств,
а также сводящихся к ним. А 9—10,1V, 11.44.
Ломаная А|А2А3...АЛ — фигура, которая состоит из точек
Ai, А2, ..., Ап и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3. An-iAn.
Точки Ai, А2... Ап наз. вершинами Л., а отрезки AiA2, А2Аз, ...,
Ап-1А„ — звеньями Л.
Л. наз. простой, если она не имеет самопересечений. Длиной Л.
наз. сумма длин ее звеньев. Л. наз. замкнутой, если у нее концы
совпадают. Г 8,12.
Луч — то же, что Полупрямая.
Максимум функции — значение функции в точке максимума.
А 9—10,1,2.4. См. также Точки экстремума, Критические точки
функции, Достаточные условия существования экстремума.
Математическая индукция — см. Метод математической ин-
дукции.
26
Мгновенная скорость — см. Механический смысл производной.
Медиана треугольника, проведенная из данной вершины,—
отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей
стороны треугольника.
Т. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная
к основанию, является биссектрисой и высотой. Г 6,3.
У	,. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
У	2. «Любые две медианы треугольника пересекаются и точкой
пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Г 7,6.
Мера двугранного угла — см. Двугранный угол.
Метод геометрических мест при решении задач на построение.
Пусть, решая задачу на построение, надо найти точку X, удовлетво-
ряющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяю-
щих первому условию, есть некоторая фигура Г|, а геометрическое
место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая
фигура F2. Искомая точка X принадлежит F\ и F2, т. е. является их
точкой пересечения. Г 6,5.
Метод интервалов — метод решения неравенств с одной перемен-
ной, основанный на свойстве непрерывных функций: если на интервале
(а; Ь) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом
интервале сохраняет знак.
Суть М. и. Пусть функция непрерывна на интервале I и обра-
щается в нуль в конечном числе точек этого интервала. Этими
точками / разбивается на интервалы, в каждом из которых f сохра-
няет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно
вычислить значение функции в какой-либо одной точке для каждого
такого интервала. Этот знак удобно отмечать на координатной
прямой. А9—10,11,6.21.
▼	Метод математической индукции — метод решения задач,
опирающийся на принцип математической индукции: если предло-
жение, зависящее от натурального числа и, а) верно для некоторого
начального значения п — п0 и б) из допущения, что оно верно
для п — k, где k по — произвольное натуральное число, вытекает,
что предложение верно и для n — k + 1, то предложение верно для
любого натурального п по- А 9—10, Задачи повышенной трудности.
Механический смысл производной. Пусть материальная точка
движется по координатной прямой, причем задан закон движения,
т. е. координата х этой точки есть известная функция х(/) времени
t. Если значение средней скорости иср(Д/)== Дх/Д/ при Д/->0 стремит-
ся к определенному значению, то его наз. мгновенной скоростью
и(/о) этой точки в момент времени to, т. е. Дх/Д/<?(/0) при Д/->0.
Но Дх/Д/->х'(/о) при Д/->0. Поэтому считают, что мгновенная
скорость у(/) определена (только) для любой дифференцируемой
функции х(/), при этом у(/) = х'(/). Коротко: производная от коорди-
наты по времени есть скорость. В этом и состоит М. с. п. Аналогично
для ускорения: а = v'(t). Коротко: производная от скорости по времени
есть ускорение. А 9—10,11,6.24.
Минимум функции — значение функции в точке минимума.
А 9—10,1,2.4. См. также Точки экстремума, Критические точки
функции, Достаточные условия существования экстремума.
Многогранник — тело, ограниченное конечным числом плоско-
стей. Граница М. наз. его поверхностью. М. наз. выпуклым, если он
лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих плоскостей.
Общая часть поверхности выпуклого М. и ограничивающей его
плоскости наз. гранью. Стороны граней М. наз. ребрами, а верши-
ны— вершинами М. Г 10,18.
27
См. также Построение плоских сечений многогранника, Правиль
ные многогранники.
Многогранный угол (aia2fl3...art) — фигура, составленная из
плоских углов (0102), (агОз), (а3а^, ..., (апа\). Для М. у. определяются
понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трех-
гранного угла (см.). Г 10,18.
Многоугольная область (плоский многоугольник) — см. Много-
угольник.
Многоугольник — простая замкнутая ломаная, соседние звенья
которой не лежат на одной прямой. Вершины ломаной наз. верши-
нами М., а звенья ломаной — сторонами М. Отрезки, соединяющие
не соседние вершины М., наз. диагоналями. М. с п вершинами, а зна-
чит, йен сторонами, наз. п-угольником.
Плоским М., или многоугольной областью, наз. конечная часть
плоскости, ограниченная М.
М. наз. выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости от-
носительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама
прямая считается принадлежащей полуплоскости. Углом выпуклого
М. при данной вершине наз. угол, образованный его сторожами,
сходящимися в этой вершине.
Т. Сумма углов выпуклого п-утольника равна 180°(я — 2).
Внешним углом выпуклого М. при данной вершине наз. угол,
смежный внутреннему углу М. при этой вершине.
3. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по
одному при каждой вершине, равна 360°. Г 8,12.
Многоугольник, вписанный в окружность — многоугольник,
все вершины которого лежат на некоторой окружности. Г 8,12.
См. также Правильный выпуклый многоугольник.
Многоугольник, описанный около окружности — многоугольник,
все стороны которого касаются некоторой окружности. Г 8,12.
См. также Правильный выпуклый многоугольник, Площадь вы-
пуклого многоугольника, описанного около круга.
Многочлен — сумма одночленов (см.). Одночлены, из которых
состоит М., наз. членами М. Если М. состоит из двух членов, его наз.
двучленом, если из трех членов — трехчленом. Одночлены считаются
М., состоящими из одного члена.
Подобные слагаемые в М. наз. подобными членами М. Тождест-
венное преобразование М., состоящее в замене суммы подобных
членов одним членом, наз. приведением подобных членов М.
М., не содержащий подобных членов, каждый член которого
является одночленом стандартного вида, наз. М. стандартного вида.
Степенью М. стандартного вида наз. наибольшую из степеней
входящих в него одночленов. Степенью М., не записанного в стан-
дартном виде, наз. степень тождественно равного ему М. стан-
дартного вида. A 6,1V, 10.27.
См. также Сложение и вычитание многочленов, Умножение
одночлена на многочлен, Разложение многочлена на множители,
Умножение многочлена на многочлен.
Многочлен стандартного вида — см. Многочлен.
Множество. Понятие используется без объяснения.
См. также Объединение множеств.
Модуль вектора — то же, что абсолютная величина вектора.
Модуль числа а — расстояние от точки а на координатной
прямой до начала координат. Обозначение: | а|. Модуль положитель-
ного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного
числа — противоположному числу.
28
М. ч. наз. также абсолютной величиной числа. М 5,1,1.6; А 6,
Сведения...
Наибольшее и наименьшее значения функции. Если функция
непрерывна на отрезке [а; д], то согласно теореме Вейерштрасса
существуют точки отрезка [а; д], в которых функция f принимает
наибольшее и наименьшее на [а; 6] значения. Если функция имеет
на этом отрезке лишь конечное число критических точек, то можно
указать правило разыскания Н. и н. з. ф.: чтобы найти Н. и н. з. ф.,
имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вы-
числить значения функции во всех критических точках и на концах
отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наимень-
шее. А 9—10,11,7.28.
Наибольший общий делитель данных натуральных чисел —
наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих
чисел. Натуральные числа, Н. о. д. которых равен 1, наз. взаимно
простыми числами.
Для того чтобы найти Н. о. д. двух чисел, надо: 1) разложить
данные числа на простые множители; 2) составить произведение из
общих простых множителей с наименьшим показателем; 3) найти
значение полученного произведения. Таким же образом находят
Н. о. д. трех и более чисел. М 5,11,4.29.
Наименьшее общее кратное данных натуральных чисел —
наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих
чисел. Для того чтобы найти Н. о. к. двух чисел, надо: 1) разложить
данные числа на простые множители; 2) составить произведение из
всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с
наибольшим показателем; 3) найти значение полученного произве-
дения. Таким же образом находят Н. о. к. трех- и более чисел.
М 5,11,4.30.
Наименьший общий знаменатель дробей — см. Приведение
дробей к общему знаменателю.
Наклонная. 1. Н. к прямой. Пусть В А—перпендикуляр, опу-
щенный из точки В на прямую а, и С — любая точка прямой а, отлич-
ная от А. Отрезок ВС наз Н., проведенной из точки В к прямой а.
Точка С наз. основанием Н., отрезок АС наз. проекцией Н.
Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и
наклонные, то Н. больше перпендикуляра; равные Н. имеют равные
проекции; из двух Н. больше та, у которой проекция больше. Г 7,7.
2.	Н., проведенная из данной точки к данной плоскости,— любой
отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним
концом в данной точке, а другим — на плоскости. Конец отрезка,
лежащий в плоскости, наз. основанием Н. Отрезок, соединяющий
основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной
точки, наз. проекцией Н. Г 9,16.
См. также Теорема о трех перпендикулярах.
Наклонная призма — см. Призма.
Натуральные числа — числа, употребляемые при счете пред-
метов: 1, 2, .... М 4,1,1.1.
Натуральный логарифм — логарифм по основанию е. Обозна-
чение: In. Т. о., 1пх = \ogeX. Согласно основному логарифмическому
тождеству для любого положительного числа а имеем е]"и=а.
Любая показательная функция ах может быть записана в виде
ах=ех1па. А 9—10,1V, 12.45.
29
Начало координат — см. Координаты на плоскости, Декартовы
координаты в пространстве.
Начальная точка полупрямой (луча) — см. Полупрямая.
Начальная фаза колебания — см. Гармонические колебания.
Назависимая переменная (аргумент) — см. Функция.
Неизвестное — см. Уравнение.
Необходимый признак экстремума — см. Теорема Ферма.
Непериодическая бесконечная десятичная дробь — см. Иррацио-
нальное число.
Неполное квадратное уравнение — см. Квадратное уравнение.
Неполный квадрат суммы (разности) — см. Сумма и разность
кубов.
Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше зна-
менателя или равен ему. Из любой Н. д. можно выделить целую
часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаме-
натель. Частное от деления будет целой частью числа, остаток —
числителем, а делитель — знаменателем.
Чтобы записать число в виде Н. д., нужно умножить его целую
«асть на знаменатель дробной части и к произведению прибавить
числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем
дроби, а знаменателем будет знаменатель дробной части. М 4,11,5.37;
39; 40.
Непрерывность функции. Функцию f, для которой приближенное
равенство f(x)^f(a) выполняется с любой, наперед заданной
точностью для всех х, достаточно близких к а, наз. непрерывной
в точке а. Иначе: функция / непрерывна в точке а, если малым изме-
нениям аргумента в этой точке отвечают малые изменения функции.
Или: функция f непрерывна в точке а, если Д/->0 при Дх->0, или
f(x)->f(a) при х-+а.
Функцию, непрерывную в каждой точке промежутка /, наз.
непрерывной на этом промежутке (промежуток I наз. промежутком
непрерывности функции f).
Функция, дифференцируемая в точке а, непрерывна в этой
точке. (Обратное неверно: напр., функция |х| в точке 0 непрерыв-
на, но не дифференцируема.) Все рациональные и тригонометри-
ческие функции дифференцируемы, а следовательно, непрерывны во
всех точках своих областей определения.
Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращается
в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак (дока-
тельство нестрогое, опирающееся на геометрическую очевидность).
А 9—10,11,6.21.
Неравенства второй степени с одной переменной — неравенства
вида ах2 + Ьх 4- с > 0 и ах2 4- Ьх 4- с < 0, где х — переменная, а, Ь
и с — числа, причем а =# 0.
Решение Н. в. с. можно свести к нахождению промежутков, в
которых соответствующая квадратичная функция (см.) принимает
положительные или отрицательные значения. Приводятся примеры
решения Н. в. с. Запись решения х =# 4 равносильна записи (— оо; 4) J
U (4; 4-оо). А 8,1,3.6.
Неравенства с одной переменной. Решением Н. с о. п. наз. значе-
ние переменной, которое обращает его в верное числовое нера-
венство. Решить неравенство — значит найти все его решения или до-
казать, что их нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, наз. равносиль-
ными. Равносильными считаются и неравенства, не имеющие реше-
ний. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое
30
с противоположным знаком, то получится равносильное ему нера-
венство. Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число, то получится равносильное ему
неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак нера-
венства на противоположный, то получится равносильное ему
неравенство.
Рассматриваются примеры решения линейных Н. с о. п. (см.).
A 7,1V, 12.29,30.
Неравенства числовые — см. Числовые неравенства, Свойства
числовых неравенств.
Неравенство треугольника (свойство расстояний между тремя
точками). Т. Каковы бы ни были три точки А, В, С, расстояние между
любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них
до третьей точки: АВ АС + ВС. Если точки лежат на одной прямой
и С лежит между Л и В, то имеет место равенство АВ = АС А- ВС;
если точки не лежат на одной прямой,— строгое неравенство АВ <С
< АС А~ ВС. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы
двух других сторон.
3.	Любая хорда окружности не больше диаметра и равна
диаметру только тогда, когда сама является диаметром. Г 7,7.
Нестрогие неравенства — см. Числовые неравенства.
Нечетная функция. О. Функция у = g(x) наз. нечетной, если
области определения этой функции наряду с каждым числом х при-
надлежит и противоположное ему число — х и при этом верно ра-
венство g(— х) =—g(x). График любой Н. ф. симметричен относи-
тельно начала координат. А 8,IV,8.19; 9—10,1,2.4.
и-Угольная пирамида — см. Пирамида.
л-Угольник — см. Многоугольник.
Нулевой вектор — см. Вектор.
Нули синуса, косинуса, тангенса, котангенса — см. Функция
у = sin х, Функция у — cos х, Функция у = tg х, Функция у = ctg х.
Область значений функции — см. Функция.
Область определения функции — см. Функция.
Образующая
—	конуса,
—	цилиндра.
Обратимая функция — см. Обратная функция.
Обратная пропорциональность — см. Функция y = k/x.
Обратная теорема. Теорема, обратная данной теореме,— теоре-
ма, заключение которой является условием данной, а условие —
заключением данной. Не всякая теорема имеет О. т., т. е. если данная
теорема верна, то О. т. может быть неверна. Г 6,3.
Обратная функция. Функцию, принимающую каждое свое зна-
чение в единственной точке области определения, наз. обратимой
(если f — обратима, а число а принадлежит области значений E(j),
то уравнение f(x) = a имеет решение, и притом только одно).
О. Функцию g, которая в каждой точке х области значений
обратимой функции f принимает такое значение у, что №) = х,
наз. обратной к функции f. Таким образом, функция g имеет область
определения E(j) и область значений D(J).
График функции g, обратной к функции Д симметричен графику
/ относительно прямой у = х.
Т. об О. ф. Если функция f возрастает (или убывает) на про-
31
межутке /, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная
в области значений f, также является возрастающей (соответствен-
но— убывающей). А 9—10,IV, 11.41.
Обратно пропорциональные переменные. Пусть переменные х и
у принимают только положительные значения. Переменная у обратно
пропорциональна переменной х, если при увеличении значений х в не-
сколько раз соответствующие значения переменной у уменьшаются во
столько же раз. Если Х| и Хг — значения переменной х, а у\ и у2 —
соответствующие им значения переменной у, то х2/х\ = У\/У2- Отсюда
следует, что Х\У\ = х2у2, т. е. если переменная у обратно пропорцио-
нальна переменной х, то произведения соответствующих значений
хну равны. А 6,11,4.12.
Общий вид первообразных — см. Основное свойство первооб-
разных.
Общий знаменатель — см. Сложение и вычитание дробей.
Объединение множеств А и В — множество, каждый эпемент
которого принадлежит хотя бы одному из множеств А и В. Обозначе-
ние: A U В. А 9—10,1,2.3.
Объединение фигур. Понятие не определяется, а иллюстрирует-
ся на примерах. Объединение нескольких геометрических фигур
есть снова геометрическая фигура. Г 6,1.
Объем конуса вычисляется по формуле V = — л/?2//, где R —
радиус основания конуса, а Н — высота. Формула не выводится.
Сказано лишь, что она может быть получена таким же способом,
как и формула объема цилиндра, только с помощью пирамид,
описанных около конуса и вписанных в конус. Г 10,20.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания
на высоту. Г 10,20.
См. также Объем прямоугольного параллелепипеда.
Объем пирамиды равен трети произведения площади ее осно-
вания на высоту: V——SH. Формула выводится сначала для
треугольной пирамиды (разбиением на слои равной высоты, по-
строением призмы, содержащей слой, и призмы, содержащейся
в слое, и т. д.), затем для любой. Г 10,20.
Объем призмы равен произведению площади основания на
высоту: V = SH. Формула выводится сначала для треугольной
призмы (дополнением ее до параллелепипеда), затем рассматри-
вается общий случай.
3. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное
боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите
О. п., если площадь сечения Q, а боковые ребра равны /. (Ответ:
V=Ql.) Г 10,20.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
V = abc, где а, Ь, с — длины ребер параллелепипеда. При выводе
формулы рассматриваются случаи: 1) а, Ь, с выражаются конечными
десятичными дробями; 2) длина хотя бы одного из ребер а, Ь, с
выражается бесконечной десятичной дробью. Г 10,20.
Объем тела. Понятие формируется на примере наполнения
сосудов жидкостью. Число, указывающее, во сколько раз второй сосуд
больше первого, наз. объемом второго сосуда. Первый сосуд явля-
ется здесь единицей измерения. Свойства объема: 1) Каждый
сосуд имеет определенный (положительный) объем. 2) Равные
сосуды имеют равные объемы. 3) Объем всего сосуда равен сумме
объемов его частей. Г 10,20.
32
Объем тела вращения — см. Тело вращения.
Объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R\
и /?2, а высота /г, вычисляется по формуле V = —л/г(/?? + /?i/?2 +
+ Г Ю,20.
Объем усеченной пирамиды с площадями оснований Q] и Q2
и высотой /г вычисляется по формуле V = -у h(Q\ 4-л/^1^2 + Q'2)-
Г 10,20.
Объем цилиндра с радиусом основания R и высотой /г вычис-
ляется по формуле V = n.R2H, которая выводится с помощью призм,
вписанных в цилиндр и описанных около цилиндра. Г 10,20.
4
Объем шара радиуса R вычисляется по формуле V = — nR3
Формула получается из формулы объема шарового слоя при а = —R,
b = R. Г 10,20.
Объем
— шарового сегмента,
— шарового сектора,
— шарового слоя.
Объемы подобных тел относятся, как кубы их соответствующих
линейных размеров.
3. Плоскость, проведенная через середину высоты пирамиды
параллельно основанию, делит объем пирамиды в отношении 1:7.
Г 10,20.
Обыкновенная дробь объясняется с помощью примера: если
предмет разделен на четыре равные части, то, взяв порознь одну и три
1 . 3
из полученных частей, пишут, что взяли — предмета и — предмета.
1	3	3
Такие записи,	как	— и —,	наз.	О.	д.	В	дроби	— число 3	наз.	числите-
4	4	4
лем дроби,	а	число 4 — знаменателем	дроби.	Знаменатель	показыва-
ет, на сколько равных частей разделен предмет, а числитель —
сколько взято таких частей. Числитель дроби пишут над чертой,
а знаменатель — под чертой. Равные дроби — это различные обозна-
чения одного и того же дробного числа. М 4,11,5.35.
См. также Действия с обыкновенными дробями.
Одинаково направленные векторы — см. Вектор.
Одинаково направленные полупрямые — полупрямые, которые
совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллель-
ный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.
Если а и b — О. н. п. и b и с — О. н. п., то а и с — тоже
О. н. п.
Две полупрямые наз. противоположно направленными, если каж-
дая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной
к другой. Г 8,10.
Одночлен. Такие выражения, как 5а2х, 2/г3( — 3)Ьс2, — За7, а так-
же числа, переменные и их степени наз. О.
Стандартный вид О.— вид О., который представлен как произ-
ведение числового множителя (стоящего на первом месте) и степеней
различных переменных. К О. стандартного вида относятся и такие
одночлены, как —5, а, —а, а3. Числовой множитель О., записанного
в стандартном виде, наз. коэффициентом О. Сумму показателей сте-
пеней всех входящих в О. переменных наз. степенью О. Если О. не
2—3029
33
содержит переменных (т. е. является числом), то его степень счи-
тают равной нулю.
При умножении О. стандартного вида перемножают их коэффи-
циенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают.
При возведении в степень О. стандартного вида возводят в эту
степень его коэффициент, а показатель степени каждой переменной
умножают на показатель степени, в которую нужно возвести О.
А 6,111,8.22; 23.
Одночлен стандартного вида — см. Одночлен.
Окрестность. Понятие используется без определения. Интервал
вида (а — б; а 4- б), где 6 > 0, наз. ^-окрестностью точки а. А 9—10,
1,2.4; Материал для повторения.
Округление десятичной дроби. При О. д. д. до какого-нибудь
разряда следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а
если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая
следующая за этим разрядом цифра есть 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю
оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если первая следующая за
этим разрядом цифра есть 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся
цифру не изменяют. М 4,11,7.50.
Окружность — фигура, которая состоит из всех точек плоскости,
равноудаленных от данной точки. Эта точка наз. центром О. Расстоя-
ние от точки О. до ее центра наз. радиусом О. Радиусом О. наз.
также любой отрезок, соединяющий точку О. с ее центром.
Отрезок, соединяющий две точки О., наз. хордой. Хорда, проходя-
щая через центр, наз. диаметром.
Уравнение О. с центром в точке (а, Ь) и радиусом R: (х — а)2 4-
4- (у — b)2 — R2. В частности, если центром О. является начало коор-
динат, то уравнением О. будет х2 4~ у2 — R2- Г 6,5; 7,8.
Окружность, вписанная в треугольник — окружность, касающа-
яся всех его сторон.
Т. Центр О. в. в т является точкой пересечения его биссектрис.
2S
Радиус О. в. в т. можно вычислить по формуле г = ——-—— ,
а + b + с
где а, Ь, с — стороны треугольника, S — его площадь.
У. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус впи-
санной окружности равен половине разности между суммой катетов
и гипотенузой. Г 6,5; 8,13.
Окружность, описанная около треугольника — окружность,
проходящая через все вершины треугольника.
Т. Центр О. о. о. т является точкой пересечения перпендику-
ляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих
сторон (серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).
Если а, Ь, с — стороны треугольника, а, 0, у — противолежащие
им углы, R — радиус О. о. о. т., то sin а/а = sin 0/Z? = sin у/с = 1/2/?
Радиус О. о. о. т. можно вычислить по формуле R = abc/4S, где
S — площадь треугольника.
Уь Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в
круг радиуса R (Ответ- 3/?2"\/§/4).
У2. Докажите, что центром окружности, описанной около прямо-
угольного треугольника, является середина гипотенузы. Г 6,5; 8,11,13.
Октаэдр — см. Правильные многогранники.
Определение. Дать О. чему-либо — значит объяснить, что это
такое. Напр., О. треугольника: «Треугольником наз. фигура, ко-
торая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех
отрезков, попарно соединяющих эти точки» О. параллельных пря-
34
мых: «Прямые наз. параллельными, если они не пересекаются».
Г 6,1.
Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от
0° до 180°. На плоскости ху берем окружность с центром в начале
координат и радиусом R. Пусть а — острый угол, который образует
радиус ОА с положительной полуосью х, и А имеет координаты х и
у. Тогда cos а = x/Rt sin а = y/R, tg а = у/х. Этими же формулами
определяют sin а, cos а и tg а для любого угла а (кроме tg а при
а = 90°). При этом имеем sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° =0,
cos 180°=—1. Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°,
имеем также: sin 0° = 0, cos 0° — 1, tg 0° = 0.
Т. Для любого угла а, СН<а<180°, имеем sin (180° —а) =
= sin а, cos (180° — а) = —cos а, tg (180° — а) = — tg а (последнее
при а =# 90°). Г 7,8.
Ордината точки — см. Координаты на плоскости.
Орт (координатный вектор) — см. Единичный вектор.
Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость — ее
параллельная проекция в направлении, перпендикулярном этой
плоскости.
Т. Площадь О. п. многоугольника на плоскость равна произ-
ведению его площади на косинус угла между плоскостью много-
угольника и плоскостью проекции. Г 9,17
Освобождение знаменателя дроби от знака корня. Объясняет-
ся на примерах. А 7,11,7.17.
Осевое сечение
—	— конуса,
—	— цилиндра.
Оси координат — см. Координаты на плоскости, Декартовы
координаты в пространстве.
Основание
—	конуса,
—	наклонной,
—	перпендикуляра,
—	пирамиды,
—	призмы,
—	равнобедренного треугольника,
—	трапеции,
—	усеченной пирамиды,
—	цилиндра.
Основание степени — см. Степень с натуральным показателем.
Основание треугольника (иногда) —сторона, проведенная гори-
зонтально. Две другие стороны в этом случае наз. боковыми сто-
ронами. Г 7,7.
См. также Равнобедренный треугольник.
Основное логарифмическое тождество — см. Логарифм.
Основное свойство дроби — свойство, выражаемое тождеством
а ас
, верным при любых значениях а, b и с, где 6 =/= 0, с =/= 0
(т. е. при всех допустимых значениях переменных). Замена дроби
ос	а,	* ас
тождественно равной дробью — наз. сокращением дроби
на общий множитель с числителя и знаменателя (с наз. дополни-
а
тельным множителем к числителю и знаменателю дроби -—). Если
о
35
изменить знак числителя (или знаменателя), то изменится и знак
дроби. А 7,1,1.2.
Основное свойство корня — см. Свойства арифметического корня
п-й степени.
Основное свойство параллельных прямых — см. Параллельные
прямые.
Основное свойство первообразных: общий вид первообразных
для функции Дх) на промежутке / есть F(x)+ С, где С — произволь-
ная постоянная, а Г(х)— одна из первообразных для функции
f(x) на промежутке I. Т. о., 1) какое бы число ни поставить в выраже-
ние F(x) + С вместо С, получится первообразная для f(x) на проме-
жутке /; 2) какую бы первообразную Ф(х) для f на промежутке /
ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежут-
ка / будет выполнено равенство Ф(х) = F(х) + С.
О. с. п. можно придать геометрический смысл: графики любых
двух первообразных для функции f получаются друг из друга парал-
лельным переносом вдоль оси Оу. А 9—10,Ш,8.31.
Основное свойство пропорции — см. Пропорция.
Основные свойства измерения отрезков. Каждый отрезок имеет
определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме
длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Г 6,1.
Основные свойства измерения углов. Каждый угол имеет опреде-
ленную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен
180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на
которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сто-
ронами. Г 6,1.
Основные свойства логарифмов. При любом а > 0, а =# 1 имеют
место равенства: 1) loga 1 = 0; 2) logaa= 1; 3) loga(xr/) = logax -f-
-Hogaf/ при x > 0, у > 0 (логарифм произведения равен сумме
логарифмов); 4) loga(x/z/) = logax— logaf/ при х> 0, у> 0 (логарифм
частного равен разности логарифмов); 5) для любого числа х > 0
и любого р £ R: logaxp = р logax (логарифм степени равен произве-
дению показателя этой степени на логарифм основания этой степени).
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
основанию: loga х = log6 x/log6 а (х > 0, а>0 и а=^\, Ь>0 и
b #= 1). А 9—10,IV, 11.43.
Основные свойства откладывания отрезков и углов.
1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить
отрезок заданной длины, и только один.
2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно
отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только
один. Г 6,1.
Основные свойства принадлежности точек и прямых. Сначала
вводятся понятия: точка лежит на прямой, или принадлежит прямой,
или прямая проходит через точку; прямые пересекаются в точке,
точка пересечения прямых.
Свойства: 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
1.1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересе-
каются только в одной точке. Г 6,1.
Основные свойства расположения точек на прямой и на плоско-
сти.
1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Г 6,1.
36
Основные свойства степени — см. Степень с натуральным пока-
зателем, Показательная функция.
Основные тригонометрические тождества.
1.	sin2 а + cos2 а = 1. Верно при любых а.
2.	tg а = sin a/cosa. Верно при cos а =# 0.
3.	ctg а = cos a/sin а. Верно при sin а #=0.
Из 1—3 получаются:
4.	tg а • ctg а = 1. Верно при всех а, при которых tg а и ctg а имеют
смысл.
5-	1 + tg2 а = 1 /cos2 а. Верно, когда cos а =# 0.
6.	1 + ctg2 а = l/sin2a. Верно, когда sin а =/= 0. Г 7,7; А 8,V, 12.29.
▼ Основные тригонометрические функции — синус, косинус,
тангенс и котангенс. Иногда рассматривают еще две О. т. ф.— секанс
1 1
и косеканс: sec a =----- , cosec a = —.-.
cos a	sin a
О. т. ф. именно 6 потому, что тригонометрические функции
острого угла а можно определить как отношения сторон прямо-
угольного треугольника с острым углом а. Таких отношений 6:
sin a = а/с, cos a = b/c, tga = a/b, ctg a = b/a, sec a = c/b,
cosec a = c/a. A 9—10,1,1.1.
Остроугольный треугольник — треугольник, у которого все углы
острые. М 4,11,6.44.
Острый угол — угол, меньший 90°. Г 6,2.
Ось абсцисс, ось ординат — см. Координаты на плоскости.
Ось вращения — см. Тело вращения.
Ось конуса (прямого) — см. Конус.
Ось правильной пирамиды — см. Пирамида.
Ось симметрии фигуры — см. Преобразование симметрии отно-
сительно прямой.
Ось цилиндра — см. Цилиндр.
Относительная погрешность приближенного значения — отно-
шение Абсолютной погрешности (см.) к модулю приближенного
значения. Обычно О. п. выражают в процентах. В случае когда
абсолютная погрешность неизвестна, ограничиваются оценкой О. п.
Если приближенное значение числа х равно а и абсолютная
погрешность меньше или равна /г, т. е. х = а ± /г, то О. п. меньше или
равна h/a. А 7,V,15.39.
Отношение двух чисел — см. Пропорция.
Отображение — см. Функция.
Отрезок. 1. О.— часть прямой, состоящая из всех точек этой
прямой, лежащих между двумя данными точками. Эти точки наз.
концами отрезка. О. обозначается указанием его концов, напр., О.
АВ. Г 6,1.
2. О. с концами а и b (числовой промежуток) — множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а х Ь. Обозначение:
[а; д]. A 7,1V, 12.29; 9—10, Материал для повторения.
Парабола — см. Функция у — х2, Функция у — ах2, Квадратич-
ная функция.
V Параболоид вращения — поверхность, получающаяся при
вращении параболы у — ах2 вокруг оси Оу. Все лучи, параллельные
оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной
точке, наз. фокусом параболического зеркала. На этом свойстве
основано устройство параболического телескопа. А 9—10,11,6.24.
37
Параллелепипед — призма, основание которой есть параллело-
грамм. У П. все грани — параллелограммы. П. может быть прямым и
наклонным.
Т|. Диагонали П. пересекаются в одной точке и точкой пересе-
чения делятся пополам.
С. Точка пересечения диагоналей П. является его центром
симметрии.
Грани П., не имеющие общих вершин, наз. противолежащими.
Т2. У П. противолежащие грани параллельны и равны. Г 10,18.
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоле-
жащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных
прямых.
Tj. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — П.
Т2. Диагонали П. пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам.
Зь Через точку пересечения диагоналей П. проведена прямая.
Отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится
в этой точке пополам.
Тз. У П. противолежащие стороны равны, противолежащие
углы равны.
32. Если у выпуклого четырехугольника две стороны парал-
лельны и равны, то он является П.
Сумма квадратов диагоналей П. равна сумме квадратов его
сторон. Г 7,6; 8,11.
Параллельное проектирование. Обычно П. п. пользуются при
изображении пространственных фигур на плоскости. Берем произ-
вольную прямую /г, пересекающую плоскость чертежа, и проводим
через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную А.
Точка Ai пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет
изображением точки А. Построив таким образом изображение
каждой точки фигуры, получим изображение фигуры.
Некоторые свойства изображения фигуры на плоскости при
таком построении: 1) прямолинейные отрезки фигуры изображаются
на плоскости чертежа отрезками (предполагается, что проектируе-
мые отрезки не параллельны направлению проектирования); 2) па-
раллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа
параллельными отрезками; 3) отношение отрезков одной прямой или
параллельных прямых сохраняется при П. п. Г 9,15.
Параллельность плоскостей. Две плоскости наз. параллельны-
ми, если они не пересекаются.
Т|. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна
двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
Т2. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость,
параллельную данной, и притом только одну.
Тз. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей,
то прямые пересечения параллельны.
3.	Через точку А, не принадлежащую ни одной из параллель-
ных плоскостей он и а2, проведена произвольная прямая, пересе-
кающая плоскости в точках Х\ н Хъ соответственно. Докажите, что
отношение длин отрезков АХ\ :АХг не зависит от взятой прямой.
Т4. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя
параллельными плоскостями, равны. Г 9,15.
Параллельность прямой и плоскости. Прямая и плоскость наз.
параллельными, если они не пересекаются.
Т Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна
38
какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и
самой плоскости.
3. Через любую из двух скрещивающихся прямых можно
провести плоскость, параллельную другой прямой. Г 9,15.
Параллельные плоскости — см. Параллельность плоскостей.
Параллельные прямые. 1. На плоскости. Две прямые на плоско-
сти наз. П. п., если они не пересекаются. При этом прямые считаются
неограниченно продолженными в обоих направлениях. Обозначение:
а||6 («прямая а параллельна прямой Ь»).
Основное свойство П. п.: Через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной
данной. Г 6,1.
См. также Признаки параллельности прямых.
2. В пространстве. Две прямые в пространстве наз. параллель-
ными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Ть Через точку вне данной прямой можно провести прямую, па-
раллельную этой прямой, и притом только одну.
Т2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Г 9,15.
Параллельный перенос. 1. П. п. на плоскости—преобразова-
ние фигуры F, при котором произвольная ее точка (х, у) (в декарто-
вых координатах) переходит в точку (х + а, у 4- Ь), где а и b — по-
стоянные. П. п. задается формулами х' = х 4- а, у'=у-\~Ь. Эти
формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит
точка (х, у) при П. п.
П. п. есть движение. Название «П. п.» оправдывается тем,
что при П. п. точки смещаются на одно и то же расстояние. При
П. п. прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
Т|. Каковы бы ни были две точки А и А', существует и притом
единственный П. п., при котором точка А переходит в точку А'.
Т2. Преобразование, обратное П. п., есть П. п. Два П. п., выпол-
ненные один за другим, дают снова П. п. Г 8,10.
2. П. п. в пространстве — преобразование, при котором произ-
вольная точка (х, у, z) фигуры переходит в точку (x-j- о, у 4- Ь,
z4-c), где а, Ь, с — постоянные. П. п. задается формулами х'=
= х 4- a, y' = yA-b, z'=zA~c, выражающими координаты х', у',
zr точки, в которую переходит точка (х, у, z) при П. п.
Свойства П. п.: 1) П. п. есть движение; 2) при П. п. точки
смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и
то же расстояние; 3) при П. п. каждая прямая переходит в па-
раллельную ей прямую (или в себя); 4) каковы бы ни были точки
А и А', существует единственный П. п., при котором точка А переходит
в точку А'; 5) два П. п., выполненные последовательно, дают П. п.;
6) преобразование, обратное П. п., есть П. п.; 7) при П. п. в про-
странстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в па-
раллельную ей плоскость. Г 9,17.
Первообразная. Функция F наз. П. для функции f на заданном
промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x) = f(x).
▼ Функцию F наз. П. для функции f на промежутке [а; Ь), если
F' = f в интервале (а; Ь) и AF(a)->0 при Лх->0 и Лх>> 0. Функцию
F наз. П. для функции / на промежутке (а; Ь], если F' = f на интервале
(а; Ь) и AF(b)->0 при Лх—>-0, Дх < 0. Аналогично определяется П.
в общем случае и для других промежутков. V
Три правила нахождения П.: 1) если Гесть П. для f,a G — П. для
g, то F 4- G есть П. для f + g; 2) если F есть П. для f, a k — постоян-
ная, то kF есть П. для kf; 3) если F(x) есть П. для функции /(х),
39
a k и b — постоянные, причем k =# 0, то — F(kx -f- b) есть П. для
функции f(kx 4- b).
См. также Основное свойство первообразных.
V «Любая непрерывная на промежутке / функция имеет на этом
промежутке П. V
Приводится таблица первообразных для некоторых функций:
k-----kx+C-	----rc + '| + сП/л/*----2д/*+С;
sin x------cos x -h C; cos x---sinx4~C; l/cos2x--------tg x 4- C\
l/sin2x-------ctg x + C. A 9—10, 111,8.30,32.
Первообразная показательной функции. T. Функция ех есть
первообразная для функции ех на /?. Функция ах/1п а есть первооб-
разная для функции ах на R. А 9—10,1V,12.45.
Первый коэффициент квадратного уравнения — см. Квадратное
уравнение.
Первый признак равенства треугольников — см. Признаки равен-
ства треугольников.
Переменная — см. Выражение с переменными.
Переменная интегрирования — см. Интеграл.
Переместительное свойство (сложения и умножения) — см.
Свойства действий над числами.
Пересечение прямой с окружностью. Если уравнение окружности
есть х2 + у2 = R2, а уравнение прямой х = d, то: окружность и
прямая имеют две точки пересечения, если R > d; прямая и окруж-
ность касаются, если R = d\ прямая и окружность не пересекаются,
если R < d. Г 7,8.
Периметр треугольника, четырехугольника, многоугольника —
сумма его сторон. Г 6,3(У.); 7,6(У.); 8,13.
Период бесконечной периодической десятичной дроби — см.
Бесконечная десятичная дробь.
Период функции — см. Периодическая функция.
Периодическая функция. О. Функцию f наз. периодической
с периодом Т =/= 0, если для любого х из области определения f зна-
чения этой функции в точках х и х 4- Т равны, т. е. f(x 4- Т) = f(x).
Если функция f — П. ф. с периодом Т, то при любом целом и У=0
число пТ тоже период этой функции. Наименьший положительный
период функций sin х и cos х равен 2л, а функций tg х и ctg х
равен л.
Для построения графика П. ф. с периодом Т достаточно про-
вести построение на отрезке [0; Г] и затем полученную кривую
параллельно перенести на расстояния пТ вправо и влево вдоль оси
Ох, где п — любое натуральное число.
▼ Если Tq — наименьший положительный период функции f,
то все периоды кратны То, т. е. если Т — любой период, то Т = пТ0,
где п — целое число, не равное нулю. ▼ А 9—10,1,3.5.
Перпендикуляр. 1. П. к данной прямой — отрезок прямой, пер-
пендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Этот
конец отрезка наз. основанием П.
Т. (существование и единственность П.). Из любой точки, не
лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую П., и
только один. Г 6,2; 4.
2. П., опущенный из данной точки на данную плоскость,—
отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий
40
на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, ле-
жащий в плоскости, наз. основанием П. Расстоянием от точки до
плоскости наз. длина П., опущенного из этой точки на плоскость.
3. Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находят-
ся на одинаковом расстоянии от плоскости. Г 9,16.
Перпендикулярность плоскостей. Две пересекающиеся плоскости
наз. перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная
прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпенди-
кулярным прямым.
Ть Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную
другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
3. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную
плоскости а.
Т2. Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести
прямую, перпендикулярную прямой их пересечения, то она будет
перпендикулярна и другой плоскости. Г 9,16.
Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая, пересекающая
плоскость, наз. перпендикулярной этой плоскости, если она перпен-
дикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку
пересечения данной прямой и плоскости.
Т|. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна
двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересече-
ния, то она перпендикулярна плоскости.
3]. Через любую точку данной прямой можно провести перпен-
дикулярную ей плоскость.
Т2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллель-
ных прямых, то она перпендикулярна и другой.
32. Через любую точку А можно провести прямую, перпенди-
кулярную данной плоскости а.
Т3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,
параллельны. Г 9,16.
Перпендикулярные плоскости — см. Перпендикулярность пло-
скостей.
Перпендикулярные прямые. 1. П. п. на плоскости — две пря-
мые, пересекающиеся под прямым углом. Перпендикулярность
прямых обозначается знаком _1_. Запись аЛ_Ь читается: «Прямая а
перпендикулярна прямой Ь».
Т. Через каждую точку прямой можно провести перпенди-
кулярную ей прямую, и только одну. Г 6,2.
2. П. п. в пространстве — две прямые, пересекающиеся под
прямым углом. Иногда П. п. наз. и скрещивающиеся прямые,
если угол между ними 90° (см. Угол между прямыми).
Т. Пересекающиеся прямые, параллельные перпендикулярным
прямым, сами перпендикулярны.
3. Через любую точку прямой в пространстве можно провести
перпендикулярную ей прямую. Г 9,16; 17
Пирамида — многогранник, образованный всеми отрезками,
соединяющими данную точку — вершину П.— с точками плоского
многоугольника — основания П. Поверхность П. состоит из основания
и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из
его вершин является вершина П., а противолежащей ей стороной —
сторона основания П. Боковыми ребрами П. наз. ребра, соединяю-
щие вершину П. с вершинами основания. Высотой П. наз. перпенди-
куляр, опущенный из вершины П. на плоскость основания.
П. наз. n-угольной, если в ее основании лежит п-угольник.
Треугольная П. наз. иногда тетраэдром.
41
Т|. Плоскость, параллельная основанию П. и пересекающая ее,
отсекает подобную П.
П. паз. правильной, если ее основанием является правильный
многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого много-
угольника. Осью правильной П. наз. прямая, содержащая ее высоту.
У правильной П. боковые ребра равны, следовательно, боковые
грани — равнобедренные треугольники. Высота боковой грани пра-
вильной П., проведенная из ее вершины, наз. апофемой.
Боковой поверхностью П. наз. сумма площадей ее боковых
граней.
Т2. Боковая поверхность правильной П. равна произведению
полупериметра основания на апофему.
3. Найдите боковую поверхность П., у которой площадь осно-
вания Q, а двугранные углы при основании равны ф (Ответ: Q/cos ф).
Г 10,18.
Пирамида, вписанная в конус — см. Конус.
Пирамида, описанная около конуса — см. Конус.
Планиметрия — раздел геометрии, в котором изучаются фигуры
на плоскости. Г 6,1.
Плоский многоугольник (многоугольная область) — см. Много-
угольник.
Плоский угол — часть плоскости, ограниченная двумя различ-
ными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи наз. сторонами
угла. Два П. у. с общими сторонами наз. дополнительными.
Если П. у. является частью полуплоскости, то его градусной
мерой наз. градусная мера обычного угла с теми же сторонами.
Если П. у. содержит полуплоскость, то его градусная мера равна
3606 — а, где а — градусная мера дополнительного П. у. Г 8,12.
Плоскость — одна из основных фигур в пространстве. П. обо-
значаются обычно буквами а, р, у, ... . Г 9,14; 17.
См. также Аксиомы стереометрии, Уравнение плоскости.
Плоскость симметрии фигуры — см. Преобразование симметрии
относительно плоскости.
Плотность стержня. Пусть дан неоднородный стержень, причем
известна масса m(Z) любого его куска длины / (Z отсчитывается от
фиксированного конца стержня). Тогда линейную П. с. находят по
формуле = А 9—10,11,6.24.
Площади подобных фигур. Если F\ и Е2 — подобные простые фи-
гуры, то существует преобразование подобия, переводящее фигуру
Fi в фигуру Е2. Пусть коэффициент подобия равен kt а площади
фигур обозначены S(Fi) и S(F2). Тогда S(F2) = k2S(F\). Коэффици-
ент подобия k равен отношению соответствующих линейных размеров
фигур F2 и F\. Поэтому П. п. ф. относятся как квадраты их соот-
ветствующих линейных размеров. Г 8,13.
Площадь. Понятие П. фигуры формируется на примере расхода
зерна при равномерном засевании земельных участков. Один участок
берется за единицу измерения. Тогда П. второго участка наз. число,
указывающее, во сколько раз второй участок больше первого (по
расходу зерна). Из этого рассуждения вытекают следующие свойства
П.: 1) каждый участок имеет определенную П.; 2) равные участки
имеют равные П.; 3) П. всего участка равна сумме П. его частей.
Отмеченные свойства полностью определяют П. фигуры.
Говоря о П. треугольника, параллелограмма, трапеции, вообще
многоугольника, имеют в виду П. областей, ограниченных ими, т. е.
П. соответствующих плоских областей. Г 8,13.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
42
S = nRl, где R— радиус основания конуса, / — длина образующей
Г 10,21
Площадь боковой поверхности призмы — см. Боковая поверх-
ность призмы.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по
формуле S = 2nRH, где R — радиус основания цилиндра, Н — вы-
сота. Выводится формула с помощью соотношения S = lim Vh/2h
h^O
(см. Площадь поверхности тела). Здесь 2nRH < Vh/2.h < 2nRH +
-f- 4л/?/г. Поэтому Vft/2/z. при h -> 0 стремится к 2nRH
Г 10,21.
Площадь выпуклого многоугольника, описанного около круга,
вычисляется по формуле S=pr/2, где р — периметр, г — радиус
круга. Г 8,13.
Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [а; 6] оси
Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака
Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; Ь] и
прямыми х = а и х = Ь, наз. криволинейной трапецией.
При вычислении П. к. т пользуются следующей теоремой
Пусть f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; Ь] функция,
S — площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть
первообразная для f на отрезке [а; 6], то S = F(b) — F(a). ь
Используя понятие интеграла, можно записать S= \f(*)dx.
С помощью интегралов вычисляются и площади фигур, заключенных
между двумя графиками
3. Докажите, что если функция f непрерывна на отрезке [а; 6] и
ь
f(x)^O, то \f(x)dx=—St где S — площадь соответствующей
а
криволинейной трапеции. А 9—10,111,9.33—34.
Площадь круга вычисляется по формуле S = IR/2 = л/?2, где
R — радиус круга, I — длина его окружности. Формула выводится
с помощью площадей правильных описанных и вписанных п-угольни-
ков и с учетом того, что при достаточно больших п периметры п-уголь-
ников сколь угодно мало отличаются от длины окружности круга.
Г 8,13.
Площадь кругового сегмента — см. Круговой сегмент
Площадь кругового сектора — см. Круговой сектор.
Площадь ортогональной проекции многоугольника — см. Ортого-
нальная проекция.
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на
высоту, проведенную к этой стороне. Г 8,13.
Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по
формуле S = 2nRH, где R — радиус сферы, а И — высота сегмента
Г 10,21.
Площадь поверхности тела. Понятие формируется на примере
расхода краски при покраске купола. Затем приводится геометри-
ческое определение П. п. т. Пусть F — данная поверхность. По-
строим тело Гл, состоящее из всех точек пространства, для каждой
из которых найдется точка поверхности F на расстоянии, не большем
h. Наглядно тело Fh можно представить себе как тело, заполненное
краской при окрашивании поверхности с обеих сторон слоем краски
толщиной h. Пусть Vh — объем тела Ед. П. п. т F наз. предел отно-
шения Vh/2h при /г->0, т е. S = lim Vh/2h.
й-*-0
43
Для таких простых выпуклых поверхностей, как боковая по-
верхность призмы и пирамиды, это определение приводит к прежним
значениям площади поверхности — сумме площадей боковых граней.
Г 10,21.
Площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется
по формуле S = ab. При выводе этой формулы рассматриваются
случаи: 1) когда длины а и b сторон прямоугольника выражаются
конечными десятичными дробями (прямоугольник разбивается
на равные квадраты); 2) когда хотя бы одна из сторон прямоуголь-
ника выражается бесконечной десятичной дробью (рассматриваются
приближенные значения а и b с точностью до п десятичных знаков)
Г 8,13.
Площадь сферы радиуса R равна 4л/?2. Выводится с помощью
определения S = lim Vh/2h (см. Площадь поверхности тела).
Здесь Ил/2/z = 4л/?2(1 +/г2/3/?2). Г 10,21.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований
на высоту. Г 8,13.
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны
па высоту, проведенную к этой стороне.
3|. Докажите справедливость формулы для П. т. ABC: S =
= -^ЛВ -AC- sin Л.
32. Выведите формулу Герона для П. т. S = ~\/р{р — а)(р — Ь)(р — с),
где а, Ь, с — длины сторон треугольника, ар — полупериметр.
Г 8,13.
Поверхность многогранника — см. Многогранник.
Поворот плоскости около данной точки — движение, при котором
каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один
и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке
или против часовой стрелки). Г 7,9.
Подкоренное выражение — см. Квадратный корень, Корень п-й
степени.
Подмножество. Термин употреблен без объяснения. А 9—10,1,2.3.
Подобные слагаемые в многочлене — члены многочлена, имею-
щие одинаковую буквенную часть. П. с. являются и члены, не имею-
щие буквенной части. A 6,1V, 10.27.
Подобные тела. Тела Т и Т' наз. П. т., если существует преобразо-
вание подобия (см.), при котором тело Т переходит в тело Г'. Г 10,20.
См. также Объемы подобных тел.
Подобные треугольники — см. Подобные фигуры, Признаки по-
добия треугольников.
Подобные фигуры — фигуры F и F', переводимые друг в друга
преобразованием подобия (см.). Запись: F со F' (читается: фигура
F подобна фигуре F'). В записи подобия треугольников А АВС со
со /^А'В'С' предполагается, что вершины, совмещаемые преобразо-
ванием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит
в А', В — в В', С — в С'. У П. ф. соответствующие углы равны,
а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подоб-
ных треугольников АВС и А'В'С'\ Z_A = Z-A', Z_B — Z-B', Z_C =
= ZC', AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A’C. Г 7,9.
Подобные члены многочлена — см. Многочлен.
Подынтегральная функция — см. Интеграл.
Показатель корня — см. Корень п-й степени.
Показатель степени — см. Степень с натуральным показателем.
Показательная функция. Для любого положительного числа а
44
существует, и притом только одна, функция, определенная на всей
числовой прямой, возрастающая при а > 1 (убывающая при 0 < а <
< 1) и принимающая значения а т/п при рациональных значениях
х= т/п аргумента. Эту функцию наз. П ф. с основанием а (обозна-
чение: 0х).
Основные свойства П. ф.:
1	Область определения функции ах (при а=/=1)—множество
R действительных чисел.
2.	Область значений функции ах (при а=/= I) — множество R +
всех положительных действительных чисел.
3.	При а> 1 функция ах возрастает на всей числовой прямой,
при 0 < а < 1 функция ах убывает на множестве R.
4.	При любых действительных значениях х и у справедливы
равенства: ахау = ах+у, ах/ау = ах~у, (ab)x = axbx, (а/Ь)х = ах/Ьх,
(ах)у = аху Эти формулы наз. основными свойствами степени.
А 9—10,IV,11.39.
Показательные уравнения и неравенства. 1. Простейшее показа-
тельное уравнение ах = ас (а>0, а =/= 1) имеет единственный ко-
рень (это вытекает из того, что ах на (— оо; -{-оо) возрастает при
а> 1 и убывает при 0<а< 1, и из теоремы о корне (см.)) Этим
корнем является число с (если ах = Ь, то x=loga6).
2.	Решение простейших показательных неравенств также осно-
вано на свойстве монотонности функции ах (возрастает при а > 1
и убывает при 0<а<1). Приводятся примеры решения П. у ин.
А 9—10,IV,11.40.
Полная поверхность конуса. Понятие без объяснений использо-
вано в У. 15. Г 10.21.
Полная поверхность призмы — см. Боковая поверхность призмы.
Полная поверхность цилиндра. Понятие без объяснений исполь-
зовано в У.6. Г 10,21.
Полукруг. Понятие используется в тексте (напр., на с. 171), как
само собой разумеющееся. Г 8,13.
Полуокружность. Понятие используется в тексте (напр., на
с. 263), как само собой разумеющееся. Г 10,20.
Полуоси, положительная и отрицательная — см. Координаты
на плоскости, Декартовы координаты в пространстве.
Полуоткрытые промежутки с концами а и Ь: [а; Ь) — множество
всех чисел, удовлетворяющих неравенству a^.x<Zb; (а; Ь]—мно-
жество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а < х b
А 9—10, Материал для повторения.
Полуплоскость. Прямая разбивает плоскость на две П. Если
концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной П., то отрезок не
пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным
П., то отрезок пересекается с прямой. Г 6,1
Полупрямая, или луч — часть прямой, которая состоит из всех
точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки
(наз. начальной точкой П.). Различные П. одной и той же прямой
с общей начальной точкой наз. дополнительными П П. можно обоз-
начить строчной латинской буквой или двумя точками: начальной
и еще какой-либо, принадлежащей П. При этом начальная точка
ставится на первом месте. Г 6,1.
Полуцилиндр. Термин использован в У.4 в сочетании «полуци-
линдрический свод». Г 10,21.
Полушар. Понятие используется, напр., в У.36, как само собой
разумеющееся. Г 10,19.
45
Полый шар — тело, ограниченное двумя концентрическими
шаровыми поверхностями. Г 10,19(У.37).
Порядок действий. В выражении, не содержащем скобки, сна-
чала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление
и далее сложение и вычитание. Сложение и вычитание, так же как
умножение и деление, производятся в той же последовательности,
в которой они записаны.
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия
в скобках. А 6, Сведения...
Порядок числа — см. Стандартный вид числа.
Последовательность. Поясняется на примерах, как для любого
номера п указывается соответствующее число.
Числа, образующие П., наз. соответственно первым, вторым,
третьим и т. д. членами П. Член П. с номером п, или п-й член П.,
обозначают ап. Саму П. обозначают (а„). П. может содержать конеч-
ное число членов. В таком случае ее наз. конечной П.
Чтобы задать П., нужно указать способ, позволяющий найти
член П. с любым номером. Часто П. задают с помощью формулы,
выражающей ее п-й член как функцию номера п. Такую формулу
наз. формулой n-го члена П. Формулу, выражающую любой член
П., начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько),
паз. рекуррентной. А 8,111,6,13.
Посторонний корень — см. Иррациональные уравнения.
Построение плоских сечений многогранника. Обычно задача
состоит в том, чтобы построить сечение, имея параллельную проек-
цию тела. Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый плоский
многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками
пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сто-
роны — с его гранями. Для построения прямой пересечения плоско-
стей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую.
Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят
в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка
получается в пересечении найденной прямой с данной. Г 10,18.
Правила вычисления пределов — см. Предел функции.
Правила вычисления производных.
1	Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их сумма
дифференцируема в этой точке и (и и)' = и' v' Кратко: произ-
водная суммы равна сумме производных.
2.	Если функции и и v дифференцируемы в точке Хо, то их про-
изведение дифференцируемо в этой точке и (uv)' = u'v + uv'.
С. Если функция и дифференцируема в точке х0, а С—по-
стоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и {Си)' — Си'
Кратко: постоянный множитель можно выносить за знак произ-
водной.
3.	Если функции и и v дифференцируемы в точке х0 и функция v
не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо
(и \' u'v — uv'
---------- I = ------2---•
V /	v
Доказывается, что для любого натурального п и для любого х
(х#=0 при n^l): (xny = пхп~ ’. А 9—10,11,5.18.
Правила нахождения первообразных — см. Первообразная.
Правило параллелограмма сложения векторов — см. Сложение
векторов.
Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше зна-
менателя. М 4,11,5.37
46
Правильная
— пирамида,
— призма,
— усеченная пирамида.
Правильные многогранники. Выпуклый многогранник наз.
правильным, если его грани являются правильными многоугольни-
ками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине много-
гранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:
правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники,
в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет
собой пирамиду, у которой все ребра равны.
У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится
по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллеле-
пипед с равными ребрами.
У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от
тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.
У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой
вершине сходится по три ребра.
У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие
от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.
3. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра (Ответ;
cos<p= 1/3, <р«70°32'). Г 10,18.
Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник, у ко-
торого все стороны равны и все углы равны.
Т П. в. м. является вписанным в окружность и описанным
около окружности.
Если R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной
окружности для П. в. м. со стороной а и числом сторон и, то
а	а
R =--------------у г =-------------. В частности, для правильного
2 sin (180°/п)	2tg(180°/n)
треугольника R = ahfi>, г = а/2-д/З; для правильного четырех-
угольника R = a/^lc2, г = а/2', для правильного шестиугольника
R — а, г — 0-^/2.
3. Сторона правильного восьмиугольника вычисляется по фор-
муле а8 = R\2 — где # — радиус описанной окружности.
У Сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле
в]? = R\2— R—радиус описанной окружности. Г 8,12.
См. также Многоугольник, вписанный в окружность, Много-
угольник, описанный около окружности.
Правильный тетраэдр — см. Правильные многогранники.
Предел функции. Функция f (х) стремится к пределу L при х, стре-
мящемся к а (значение х = а не рассматривается), если можно обес-
печить любую наперед заданную точность приближенного равен-
ства f(x)^L за счет уменьшения погрешности |Лх| = |х— а\ в зна-
чении аргумента. Короче: приближенное равенство f(x)«L при
х«а может выполняться с любой точностью. Вместо слова «стре-
мится» в записи принято ставить стрелку: f(x)-*L при х-+а. Это же
записывают иначе: limf(x) = L. Читается: «предел Цх) при х, стре-
мящемся к а, равен А».
Так, если f(x) = kx Ь, то f(x)-+ka-\-b при х->а. Абсолютная
погрешность приближенного равенства f(x)&ka-\-b равна |/(х) —
47
— ka — b\ = |fc(a + Ax) + b — ka — b\ — |fc| • |Ax|. Равенство f(x)«
ж ka-\-b выполнено с любой наперед заданной точностью Л, если
взять |Ах| h/\k\ (k ф 0).
Правила вычисления пределов (доказательство не входит в
курс средней школы). Пусть f(x)->A и g(x)-+B при х->а. Тогда
при х—
0 /(х) + ^(х)^Л+В;
2)	/(х).^(х)->ДВ;
3)	f(x)/g(x)^A/B (при В=£0). А 9—10,11,5.14.
Пределы интегрирования — см. Интеграл.
Преобразование графиков функций. 1. Параллельный перенос
графика вдоль оси ординат: g(x) = f (х) Д- а. 2. Параллельный пере-
нос графика вдоль оси абсцисс: g(x) = f (х Д- а). 3. Растяжение и
сжатие графика к оси абсцисс: g(x) = af(x). 4. Растяжение и сжа-
тие графика к оси ординат: g(x) = f(x/a). А 9—10, Материал для
повторения.
Преобразование, обратное данному. Пусть преобразование фи-
гуры F в фигуру F' переводит различные точки фигуры F в различ-
ные точки фигуры F'. Пусть произвольная точка X фигуры F пере-
ходит в точку X' фигуры F'. Преобразование фигуры F' в фигуру
F, при котором точка X' переходит в точку X, называется П. о. д.
Преобразование, обратное движению, есть движение. Г 7,9.
Преобразование подобия — преобразование фигуры F в фигуру
F', при котором расстояния между точками изменяются (увеличи-
ваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит,
что если произвольные точки X, Y фигуры F при П. п. переходят в
точки X', У" фигуры F', то X'Y'=k-XY, причем число k одно и
то же для всех точек X, Y. Число k наз. коэффициентом подобия.
Т. Гомотетия есть П. п.
При П. п. три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, перехо-
дят в три точки Ai, Bi, Ci, также лежащие на одной прямой, причем
если точка В лежит между точками А и С, то Bi лежит между точ-
ками Ai и Ci. П. п. переводит прямые в прямые, полупрямые —
в полупрямые, отрезки — в отрезки. П. п. сохраняет углы между
прямыми. Г 7,9; 9,17.
См. также Площади подобных фигур.
Преобразование симметрии относительно плоскости. Пусть
а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры
опускаем перпендикуляр XX на плоскость а и на его продолжении
за точку X откладываем отрезок XX', равный XX. Преобразование,
которое переводит точку X в симметричную ей точку X', наз. П. с. о. п.
а. Если П. с. о. п. а переводит фигуру в себя, то фигура наз. симмет-
ричной относительно плоскости а, а плоскость а наз. плоскостью
симметрии фигуры. Г 9,17.
Преобразование симметрии относительно прямой — преобразо-
вание фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X пере-
ходит в точку X', симметричную относительно прямой g. При этом
фигуры F и F' наз. симметричными относительно прямой g.
Если П. с. о. п. g переводит фигуру F в себя, то эта фигура наз.
симметричной относительно прямой g, а прямая g наз. осью симмет-
рии фигуры.
3.	Прямая, проходящая через центр окружности, является ее
осью симметрии. Г 7,9; 9,17.
Преобразование симметрии относительно точки — преобразо-
вание фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X пере-
48
ходит в точку X', симметричную относительно данной точки О, При
этом фигуры F и F', наз. симметричными относительно точки О.
Если П. с. о. т. О переводит фигуру F в себя, то она наз. цент-
рально-симметричной, а точка О — центром симметрии. Например,
параллелограмм является центрально-симметричной фигурой, его
центр — точка пересечения диагоналей. Г 7,9; 9,17.
Преобразование фигур. Если каждую точку данной фигуры
сместить каким-нибудь образом, то получим новую фигуру. Гово-
рят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Из П. ф.
на плоскости рассматриваются преобразование симметрии относи-
тельно точки, преобразование симметрии относительно прямой, гомо-
тетия, движение, поворот и др. В пространстве, кроме того, рас-
сматривается преобразование симметрии относительно плоскости.
Г 7,9; 9,17.
Приближенное значение числа с точностью до h. Если число
приближенно равно а с точностью до К, то пишут х = а ± h. Число
h берут с одной или двумя значащими цифрами, при этом младший
разряд h должен соответствовать младшему разряду а. В таблицах
и справочниках П. з. ч. записывают без явного указания абсолют-
ной погрешности, считая, что она не превосходит одной единицы
последнего разряда. В этом случае принято считать все цифры при-
ближенного значения верными. Записывая приближенное значе-
ние в виде а* 10л, обычно в числе а сохраняют лишь верные цифры.
А 6,111,9.26; 7,V,15.38.
См. также Абсолютная погрешность.
Приближенные вычисления. В сумме и разности приближен-
ных значений сохраняют столько десятичных знаков, сколько их
содержится в том из данных, в котором меньше десятичных знаков.
В произведении и частном приближенных значений сохраняют
столько значащих цифр, сколько их содержится в том из прибли-
женных данных, в котором меньше значащих цифр. А 8,VI, 14.35,36.
Приведение дробей к общему знаменателю. Общее кратное
знаменателей двух дробей наз. общим знаменателем, а наименьшее’
общее кратное этих знаменателей — наименьшим общим знамена-
телем. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю,
надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных
дробей; 2) найти для каждой дроби дополнительный множитель;
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их допол-
нительный множитель. М 5,11,5.35.
Приведение подобных членов многочлена — см. Многочлен.
Приведенное квадратное уравнение — см. Квадратное уравне-
ние, Теорема Виета.
Призма — многогранник, образованный заключенными между
двумя параллельными плоскостями отрезками параллельных прямых,
которые пересекают плоский многоугольник в одной из плоскостей.
Грани П., лежащие в этих плоскостях, наз. основаниями П. Другие
грани наз. боковыми гранями. Все боковые грани П.— параллело-
граммы. Ребра П., соединяющие вершины (разных) оснований,
наз. боковыми ребрами. Все боковые ребра П. параллельны.
Высотой П. наз. расстояние между плоскостями ее оснований.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной гра-
ни, наз. диагональю П. Диагональным сечением П. наз. сечение П.
плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежа-
щих одной грани.
П. наз. прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны осно-
ваниям. В противном случае П. наз. наклонной. Прямая П. наз.
49
правильной, если ее основания являются правильными многоуголь-
никами. Г 10,18.
Призма, вписанная в цилиндр — см. Цилиндр.
Призма, описанная около цилиндра — см. Цилиндр.
Признак возрастания функции. Достаточный П. в. ф.: если
Г(х)> 0 в каждой точке интервала /, то функция f возрастает на 1.
При доказательстве используется формула Лагранжа (см.). Если
функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возра-
стания, то его можно присоединить к этому промежутку. П. в. ф.
используется при исследовании функций. А 9—10,11,7.25.
Признак максимума функции — см. Достаточные условия
экстремума.
Признак минимума функции — см. Достаточные условия экс-
тремума.
Признак постоянства функции. Если Е'(х) = 0 на некотором
промежутке, то функция F—постоянная на этом промежутке.
П. п. ф. используется при выводе основного свойства первообразных
(см.). А 9—10,111,8.31.
Признак убывания функции. Достаточный П. у. ф.: если /'(х) <Z 0
в каждой точке интервала /, то функция f убывает на /. При дока-
зательстве используется формула Лагранжа (см.). Если функция
непрерывна на каком-либо из концов промежутка убывания, то
его можно присоединить к этому промежутку. П. у. ф. используется
при исследовании функций. А 9—10,11,7.25.
Признаки делимости на 10, 5, 2, 9, 3. 1. Если запись числа окан-
чивается цифрой 0, то это число делится на 10; если запись оканчи-
вается любой другой цифрой, то число не делится на 10.
2.	Если запись числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это
число делится на 5; если запись числа оканчивается любой другой
цифрой, то число не делится на 5.
3.	Если запись числа оканчивается четной цифрой, то число
делится на 2; если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то
число не делится на 2.
4.	Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на
9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится
на 9.
5.	Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на
3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится
на 3. М 4,1,3.23; 24.
Признаки параллельности прямых. 1. Две прямые, параллель-
ные третьей, параллельны друг другу. 2. Если при пересечении двух
прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны или сум-
ма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые парал-
лельны.
3 Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой.
Докажите, что через точку С можне провести прямую, параллельную
прямой АВ.
Ть Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой,
то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних
односторонних углов равна 180°.
Тг. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если
прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она
перпендикулярна и другой. Г 6^4.
Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны:
1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам дру-
50
того, и углы, образованные этими сторонами, равны; 3) если стороны
одного треугольника пропорциональны сторонам другого.
3. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S. Дока-
жите, что ЛЗ • BS = CS • DS. Г 7,9.
Признаки равенства прямоугольных треугольников. 1. Если
гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треуголь-
ника, то такие треугольники равны. (Признак равенства по гипо-
тенузе и острому углу.)
2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоуголь-
ного треугольника соответственно равны катету и противолежа-
щему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
(Признак равенства по катету и противолежащему углу.)
3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треуголь-
ника равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие тре-
угольники равны. (Признак равенства по гипотенузе и катету.)
Г 6,4.
Признаки равенства треугольников. Первый П. р. т. (по двум
сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними
одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй П. р. т. (по стороне и прилежащим к ней углам). Если
сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соот-
ветственно стороне и прилежащим к ней углам другого треуголь-
ника, то такие треугольники равны.
Третий П. р. т. (по трегч сторонам). Если три стороны одного
треугольника равны соответственно трем сторонам другого треуголь-
ника, то такие треугольники равны. Г 6,3.
Принцип Кавальери. Пусть прямые некоторого пучка параллель-
ных пересекают фигуры Ф| и Ф2 по отрезкам равной длины. Тогда
площади фигур <£j и Ф2 равны. А 9—10,111, С.и.
Принцип математической индукции — см. Метод математиче-
ской индукции.
Приращение независимой переменной (аргумента) — см. При-
ращение функции.
Приращение функции f в точке хо. Пусть х — произвольная точ-
ка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Хо.
Разность х — хо наз. приращением независимой переменной (или
аргумента) в точке хо и обозначается Ах. Таким образом, Ах = х — хо,
откуда следует, что х = хо + Ах. Говорят также, что первоначаль-
ное значение Хо «получило приращение Ах». Вследствие этого зна-
чение функции f изменяется на величину f(x) — f(х0) = /(хоД-Ах) —
--Дх0). Э\а разность наз. П. ф. f в точке х0, соответствующим при-
ращению Ах, и обозначается символом А/, т. е. по определению
А/ = f(xo + Ах)— f(x0), откуда /(х) = f (х0 + Ах) = f (х0) + А/. При
фиксированном Хо приращение А/ есть функция от Ах. Приращение
А/ наз. также приращением зависимой переменной и обозначают
для функции y = f(x) через &у. А 9—10,11,5.15.
Проекция наклонной — см. Наклонная.
Проекция прямой на плоскость — см. Угол между прямой и пло-
скостью.
Произведение вектора на число — см. Умножение вектора на
число.
Производная. П. функции f в точке хо наз. число, к которому
Д/ f(xo + Дх) — f (хо)
стремится отношение	--------при Ах, стремящемся
51
к нулю. П. функции f в точке х0 обозначается f'(x0), т. е. по опреде-
Кх„ + Дх)-/(хо)
ле н и ю f (xq) — 11 m ----------
Дх о Ах
Функцию, имеющую П. в точке Хо, наз. дифференцируемой
в этой точке. Пусть D\ — множество точек, в которых функция f
дифференцируема. Сопоставляя каждому x£D\ число f'(x), получим
функцию с областью определения D\. Эта функция наз. П. функции f
и обозначается f'(x) (или просто у'). Нахождение П. данной
функции f наз. дифференцированием.
Доказывается, что (kx + с)' = k. В частности, 1) П. постоянной
равна нулю: (с)' = 0; 2) П. функции у = х равна 1: х' = 1. Рассмот-
рены также примеры: (х2)' = 2х, (х3)' = Зх2, (1/х)' = — 1 /х2(х =/= 0).
Отмечается также, что для функции у — |х| имеем:
{1 при х > 0,
не существует при х = 0,
— 1 при х < 0.
Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х0, то Af-^-O
при Ах->0, т. е. /(х0 4-Ax)->f(хо) при Ах->0. А 9—10,11,5.17; 18.
См. также Касательная к графику функции, Механический
смысл производной, Правила вычисления производных, Формулы
для приближенных вычислений.
Производная логарифмической функции. При любом х > 0
выполняется равенство 1п'х=1/х.
Отсюда следует, что для функции 1/х на промежутке (0; оо)
любая первообразная может быть записана в виде 1пх-|-С. Функ-
ция 1/х имеет первообразную и на промежутке (— оо; 0), это функция
1п(— х). Таким образом, на любом промежутке, не содержащем
точку 0, первообразной для функции 1/х является функция In |х|
А 9—10,1V, 12.46.
Производная показательной функции. Т]. Показательная функ-
ция ех дифференцируема в каждой точке и (6х)' = ех.
Т2. При любом положительном а функция ах дифференцируема
в каждой точке х и (ах)' = ах\п а.
С. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей
области определения, т. е. при любом а > 0 и любом Хо имеем:
ах-+ах° при х—>х0. А 9—10,1V, 12.45.
Производная сложной функции. Если функция f имеет произ-
водную в точке хо, а функция g имеет производную в точке yQ = f(x0),
то сложная функция /z(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке
хо, причем /г'(х0) = g'(f(x0)) «Г(х0).
▼	Доказательство проводится для случая А/ =/= 0. ▼ А 9—10,
11,5.19.
Производная суммы, произведения, частного — см. Правила вы-
числения производных.
П	роизводные тригонометрических функций. 1. (sin х)'= cos х.
▼	Формула выводится с использованием утверждений: а)
S А * ПРИ	(отмечается геометрический смысл этого
результата), б) cos (хо + Ах/2) ->cosxo при Ах->0. ▼
2.	(cos х)'=—sinx.
Вывод формулы основан на равенствах cosx = sin(n/2— х),
cos(n/2 — х) = sinx и правиле дифференцирования сложной функции.
3.	(tgx)' = l/cos2x.
52
4.	(ctg x)' = — 1 /sin2 x.
Формулы 3 и 4 выводятся с помощью формулы производной
частного. А 9—10,11,5.20.
Промежутки — см. Числовые промежутки.
Промежутки возрастания и убывания функции — см. Возра-
стание и убывание функции.
Промежутки знакопостоянства функции — промежутки, на ко-
торых функция принимает положительные значения (график функ-
ции лежит выше оси абсцисс), и промежутки, на которых она при-
нимает отрицательные значения (график лежит ниже оси абсцисс).
А 9—10,1,2.4.
Промежутки непрерывности функции — см. Непрерывность
функции.
Пропорциональные переменные. Переменная у пропорциональна
переменной х, если при увеличении значений х в несколько раз соот-
ветствующие значения у увеличиваются во столько же раз. Если
х\ и X2 — значения переменной х, а у\ и у2 — соответствующие им
значения у, то х2/х\=у2/у\. Если переменная у пропорциональна
переменной х, то отношения соответствующих значений х и у равны.
Из того, что у\/х\ —у2/х2, следует, что отношения любых соответ-
ствующих значений П. п. у и х равны одному и тому же числу. Это
число наз. коэффициентом пропорциональности. Если его обозна-
чить буквой k, то ylx = k. А 6,11,4.10.
См. также Числа, пропорциональные данным числам.
Пропорция. Частное двух чисел а и b наз. иначе отношением
а и Ь. Отношение двух положительных чисел показывает, во сколько
раз одно число больше другого или какую часть одно число состав-
ляет от другого.
Равенство двух отношений наз. П. Запись: a:b = c:d или
а с
~	 В П. a:b — c:d числа а и d наз. крайними членами П.,
а числа b и с — средними членами П. В дальнейшем все члены П.
считаются отличными от нуля.
Основное свойство П.: в верной П произведение крайних членов
равно произведению средних. Обратно: если произведение крайних
членов равно произведению средних, то П. верна. Если в верной П.
поменять местами средние члены или крайние члены, то получив-
шиеся новые П. будут верны. М 5,11,7.45.
Простая ломаная — см. Ломаная.
Простая область (простая фигура) — область, допускающая
разбиение на конечное число треугольников (под треугольником
здесь понимается ограниченная им область). Г 8,13.
Простое тело — тело, которое можно разбить на конечное число
тетраэдров, т. е. треугольных пирамид. В частности, П. т. являются
призма, пирамида, выпуклый многогранник. Для П. т. выводятся
формулы вычисления объемов. Г 10,20.
Простые и составные числа. Натуральное число наз. простым,
если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само
это число. Натуральное число наз. составным, если оно имеет более
двух натуральных делителей. Число 1 имеет только один натуральный
делитель, поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным
числам. Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное
четное простое число. Остальные простые числа — нечетные.
Всякое составное число можно разложить на простые множи-
тели, и притом единственным способом (если не учитывать порядка
расположения множителей). М 5,11,4.27; 28.
53
Противолежащие вершины четырехугольника — см. Четырех-
угольник.
Противолежащие грани параллелепипеда — см. Параллеле-
пипед.
Противолежащие стороны четырехугольника — см. Четырех-
угольник.
Противоположно направленные векторы. Термин не объясня-
ется, но используется при формулировке Т.10.5. В ходе ее доказа-
тельства говорится: «Если X < 0, то точка В лежит на дополнитель-
ной полупрямой, векторы а и ка противоположно направлены».
3.	Даны различные точки: Л(%|, у}) и Bfx?, у^) • Докажите,
что векторы АВ и В А противоположно направлены. Г 8,10.
Противоположно направленные полупрямые — см. Одинаково
направленные полупрямые.
Противоположные числа — два числа, отличающиеся друг от
друга только знаком. Для каждого числа есть только одно проти-
воположное ему число. Два П. ч. изображаются на координатной
прямой точками, симметричными относительно начала отсчета. Число
0 противоположно самому себе. Число, противоположное числу а,
обозначают — а.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль наз.
целыми числами. М 5,1,1.5.
Проходить между. Луч с П. м. сторонами угла Z_(a6), если он
исходит из вершины угла и пересекает какой-нибудь отрезок с кон-
цами на сторонах угла. В случаях развернутого угла считают, что
любой луч, исходящий из его сторон, П. м. сторонами угла.
Т. Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость
два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой,
П. м. сторонами большего угла. Г 6,1; 2.
Процент — одна сотая часть. Если слово «П.» идет после числа,
записанного цифрами, то вместо него ставят знак %. Решаются
различные задачи на П. М 4,11,8.55; 60.
Прямая —одна из основных фигур на плоскости и в простран-
стве. П. обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, с, d, ...
Терминология: точка А лежит на П. а, П. а проходит через точку А.
П. а и b могут пересекаться в точке (точка пересечения). П., прохо-
дящую через точки А и В, обозначают также АВ.
Т. Две различные П. либо не пересекаются, либо пересекаются
только в одной точке. Г 6,1; 9,14; 17. См. также Аксиомы планимет-
рии, Аксиомы стереометрии, Уравнение прямой, Задание прямой
в пространстве.
Прямая призма — см. Призма.
Прямая пропорциональность, или пропорциональность — функ-
ция, которую можно задать формулой вида у = kx, где х — неза-
висимая переменная, k — не равное нулю число (коэффициент про-
порциональности). График П. п. есть прямая, проходящая через
начало координат. Если k > 0, то график П. п. расположен в первой
и третьей координатных четвертях, если k < 0, то во второй и
четвертой. А 6,11,5.15.
Прямой конус — см. Конус
Прямой параллелепипед — параллелепипед, боковые ребра ко-
торого перпендикулярны основаниям (такого текста в книге нет,
это комбинация определений параллелепипеда и прямой призмы)
Г 10,18.
Прямой угол — угол, равный 90° Г 6,2.
54
Прямой цилиндр — см. Цилиндр.
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы
прямые.
Т. П. есть параллелограмм. Диагонали П. равны.
3. Если у параллелограмма все углы равны, то он П. Г 7,6.
Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед, у
которого основанием является прямоугольник. У П. п. все грани —
прямоугольники. Длины непараллельных ребер П. п. наз. его линей-
ными размерами. У П. п. три линейных размера.
Т. В П. п. квадрат любой диагонали равен сумме квадратов
трех его линейных размеров.
3. Диагонали трех граней П. п., сходящиеся в одной вершине,
равны а, Ь, с. Найдите линейные размеры П. п. (Ответ:
"д/-у(*2 + с2-а2). ~д/у(с2 + а2-й2), -д/у (а2 + Ь2 - с2) • )
Г 10,18.
Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого есть
прямой угол. Два других угла П. т. острые. Они дополняют друг
друга до 90°. Сторона П. т., противолежащая прямому углу, наз.
гипотенузой, две другие стороны наз. катетами.
3. В П. т. с углом в 30° катет, противолежащий этому углу,
равен половине гипотенузы. Г 6,4.
См. также Признаки равенства прямоугольных треугольников,
Среднее пропорциональное, Теорема Пифагора.
Равенство фигур. Фигуры F и F' наз. равными, если они дви-
жением переводятся одна в другую. Для обозначения Р. ф. исполь-
зуется обычный знак равенства: F = F'.
В записи равенства треугольников: &АВС = &А\В\С\—
предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на
соответствующих местах. При таком условии равенство треуголь-
ников, определяемое через их совмещение движением, и равенство,
как его определяют в ст. Равные^ треугольники (см.), выражают
одно и то же. Г 7,9.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две
стороны равны. Эти стороны наз. боковыми сторонами, а третья
сторона — основанием Р. т.
Т|. В Р. т. углы при основании равны.
Т2. Если в треугольнике два угла равны, то он Р. т.
Тз. В Р. т. медиана, проведенная к основанию, является бис-
сектрисой и высотой.
3. Биссектриса Р. т., проведенная из вершины, противолежащей
основанию, является медианой и высотой. Г 6,3.
Равнобокая трапеция — см. Трапеция.
Равноотстоящие прямые — см. Расстояние между параллель-
ными прямыми.
Равносильные неравенства с одной переменной — см. Нера-
венства с одной переменной.
Равносильные уравнения — см. Уравнение.
Равносильные уравнения с двумя переменными — см. Уравне-
ние с двумя переменными.
Равносторонний конус — конус, в осевом сечении которого —
правильный треугольник. Г 10,19.
55
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все
стороны равны.
3|. У Р. т. все углы равны.
З2. Если у треугольника все углы равны, то он Р. т. Г 6,3.
Равносторонний цилиндр — цилиндр, диаметр которого равен
высоте. Г 10,19(У.6).
Равные векторы — см. Вектор, Координаты вектора.
Равные дроби — см. Обыкновенная дробь.
Равные отрезки — отрезки, имеющие равную длину. Г 6,1.
Равные треугольники—треугольники АВС и A1B1C1, если у
них =	Z£=Z£1, ZC=ZCi, АВ = А\В\, ВС = В}С},
АС = А\С\. Кратко: треугольники равны, если у них соответствую-
щие стороны и соответствующие углы равны. Запись: дЛВС =
= ДЛ|В.С|. При этом имеет значение порядок, в котором запи-
сываются вершины треугольников. Отмечается следующее свойство
простейших фигур: каков бы ни был треугольник, существует рав-
ный ему треугольник в заданном расположении относительно дан-
ной полупрямой (одна вершина — в начале полупрямой, другая —
на стороне полупрямой, третья — в заданной полуплоскости) —
существование треугольника, равного данному. Г 6,1.
См. также Признаки равенства треугольников, Равенство фигур.
Равные углы — углы, имеющие одинаковую угловую меру.
Г 6,1.
Равные фигуры — см. Равенство фигур.
Радиан — см. Радианная мера угла.
Радианная мера угла — отношение длины соответствующей
дуги к радиусу окружности (предполагается, что угол является
центральным утлом в окружности). Из формулы для длины дуги
окружности, отвечающей центральному углу в п°, следует, что
I я	о
— = и, т. е. Р. м. у. получается из градусной умножением
К 1 80
на л/180°. В частности, Р. м. у. 180° равна л, радианная мера пря-
мого угла равна л/2. Единицей Р. м. у. является радиан. Угол в
один радиан — это угол, у которого длина дуги равна радиусу.
Градусная мера угла в один радиан равна 180°/л»57°. Из ра-
венства 1 рад = 180°/л получаем, что 1° = рад ~ 0,017 рад.
Г 8,12; А 8,V,11.28.
Радиус
—	круга,
—	окружности,
—	цилиндра,
— шара.
Радиус сферы — см. Шар.
Развернутый угол — см. Угол.
Разложение квадратного трехчлена на множители. Возможно
для любого квадратного трехчлена, имеющего корни. Если дискри-
минант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что этот
трехчлен имеет два равных корня.
Т. Если Х| и х2— корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с,
то ах2 4- Ьх + с = а(х — Х|)(х — х2).
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя раз-
ложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.
А 8,1,1.2.
Разложение многочлена на множители — представление мно-
56
гочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов
(среди которых могут быть и одночлены). Одним из способов Р. м. н. м.
является вынесение общего множителя за скобки (объясняется на
примере). Обычно при вынесении общего множителя за скобки
каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с
наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене.
Если все коэффициенты — целые числа, то в качестве коэффициента
общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель
всех коэффициентов многочлена.
На примере объясняется способ Р. м. н. м., наз. способом груп-
пировки, состоящий в объединении членов многочлена в группы так,
чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
При Р. м. н. м. используются также формулы сокращенного
умножения. А 6,IV,И.30; 12.32.
Разложение на множители разности квадратов — см. Разность
квадратов.
Разложение на множители разности (суммы) кубов — см. Сумма
и разность кубов.
Разложение на простые множители — см. Простые и состав-
ные числа.
Разность арифметической прогрессии — см. Арифметическая
прогрессия.
Разность векторов — см. Сложение векторов.
Разность квадратов — одна из формул сокращенного умно-
жения: (а — Ь)(а Ь) = а2 — Ь2. Произведение разности двух выра-
жений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Формула разности квадратов — тождество а2 — Ь2 = (а — Ь\а + Ь):
разность квадратов двух выражений равна произведению разности
этих выражений и их суммы. А 6,V, 13.33; 34.
Раскрытие скобок. Скобки, перед которыми стоит знак «плюс»,
раскрывают так: опускают скобки и этот знак «плюс», не изменяя
знаков слагаемых, стоящих в скобках. Скобки, перед которыми
стоит знак «минус», раскрывают так: опускают скобки и этот знак
«минус», заменяя знаки слагаемых, стоящих в скобках, на противо-
положные. М 5,1,2.17.
Расположение прямой относительно осей координат — см.
Уравнение прямой.
Распределительное свойство сложения и умножения — см.
Свойства действий над числами.
Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от
какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой. Так как рас-
стояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны, то
говорят, что параллельные прямые—равноотстоящие прямые.
Г 6,4.
Расстояние между скрещивающимися прямыми. Общим перпен-
дикуляром двух скрещивающихся прямых наз. отрезок с концами
на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Т. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр,
и притом только один. Он является общим перпендикуляром парал-
лельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
Р. м. с. п. наз. длина их общего перпендикуляра. Оно равно рас-
стоянию между параллельными плоскостями, проходящими через
эти прямые. Г 9,16.
Расстояние между точками А и В — длина отрезка АВ. Если
точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается
равным нулю. Если известны координаты концов отрезка (xi, yi)
57
и (%2, У2), то d2 = (Xi — х2)2 + (yi — У2)2, где d — Р. м. т. В частности,
если xi=x2, то d=\yi— t/21; если у\ = у2, то d=|*i — х2\. Если
точки совпадают, то d = 0. В пространстве Р. м. т. Ai(xi, у\, Zi) и
А2(х2, у2, z2) находится из соотношения Л Иг = (х2 — %i)2 + (У2 — У\)2 4-
+ (z2-Zi)\ Г 6,1; 7,8; 9,17.
Расстояние от точки до плоскости — см. Перпендикуляр.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опу-
щенного из данной точки на прямую.
3.	Расстояния от любых точек прямой до параллельной прямой
равны. Г 6,4.
_	_	а
Рациональная дробь — рациональное выражение вида —.
Сумму, разность, произведение и частное Р. д. всегда можно пред-
ставить в виде Р. д. Всякое рациональное выражение можно пред-
ставить в виде дроби, числитель и знаменатель которой — много-
члены. А 7,1,1,2.4—3.7.
Рациональное уравнение — уравнение, левая и правая части
которого являются рациональными выражениями (см.). Р. у., в ко-
тором левая и правая части являются целыми выражениями,
наз. целым Р. у. Р. у., в котором левая и правая части являются дроб-
ными выражениями, наз. дробным Р. у. При решении дробных Р. у.
обычно целесообразно поступать следующим образом: 1) найти
общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2) заменить
данное уравнение целым, умножив его на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение; 4) исключить из его кор-
ней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. А 7,111,10.24.
Рациональное число — число, которое можно представить в
виде mln, где m — целое число, а п — натуральное. Такое пред-
ставление можно сделать по-разному. Среди дробей, с помощью
которых записывается данное Р. ч., всегда можно указать дробь с
наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых
чисел такой дробью является дробь со знаменателем, равным 1.
Каждое Р. ч. может быть представлено в виде бесконечной деся-
тичной периодической дроби. Верно и обратное утверждение: каж-
дая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет неко-
торое рациональное число. Разные бесконечные десятичные перио-
дические дроби представляют разные Р. ч. Исключением являются
дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с перио-
дом 0, например, 0, (9) = 0,999... = 1,000... = 1; 16,1 (9) = 16,1999...=
= 16,2000...= 16,2. При обращении обыкновенной дроби в десятич-
ную не может получиться дробь с периодом 9, А 7,11,4,8.
Рациональные выражения — целые выражения (см.) и дроб-
ные выражения (см.).
См. также Рациональная дробь.
Ребро
—	двугранного угла,
—	многогранника,
—	трехгранного угла.
Рекуррентная формула — см. Последовательность.
Решение задач с помощью систем уравнений. При Р. з. с п. с. у.
сначала обозначают буквами неизвестные числа. Затем составляют
систему уравнений, решают ее и, наконец, истолковывают получен-
ный результат в соответствии с условием задачи. Приводятся при-
меры. А 6,VI, 17.45.
Решение квадратных уравнений: 1) выделением квадрата дву-
58
члена — объясняется на примерах; 2) по формуле — см. Формула
корней квадратного уравнения. А 7,111,8.20—9.21.
Решение неравенств — см. Неравенства с одной переменной.
Решение простейших тригонометрических неравенств. Приво-
дятся образцы решений неравенств вида sinx < a, cosx^a, tgx^a
и т. п. Решение более сложных неравенств, содержащих тригоно-
метрические функции, сводится, как правило, к Р. п. т. н. А 9—10,
1,4.12.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
1.	cos / = а при t — ± arccosa + 2л/г, n£Z, |а|	1.
В частности, cos t — 1 при t = 2лп, п £Z; cos t = — 1 при t = л +
4~2лп, n£Z; cos/ = 0 при t = ~ -f- ли, n£Z.
2.	sin / = a при / = ( — 1)я arcsina +ли, n£Z, |a| С 1.
В частности, sin t = 1 при t = у- 4- 2лп, n£Z; sin/= —1
при t —----+ 2лл, n^Z\ sin t = 0 при t — лп, n£Z.
3.	tg/ = a при t = arctga 4-лп, n£Z, a£R.
Решение тригонометрических уравнений сводится к Р. п. т. у.
с помощью формул, выражающих свойства тригонометрических
функций. А 9—10,1,4.11.
Решение систем линейных уравнений. Обсуждаются два способа
Р. с. л. у., приводящие к равносильным системам.
1. Способ подстановки. Состоит в том, что сначала из какого-
нибудь уравнения выражают одну переменную через другую, полу-
ченное выражение подставляют в другое уравнение, решают полу-
ченное уравнение с одной переменной, затем находят соответствую-
щее значение второй переменной.
2. Способ сложения. Путем умножения уравнений системы
на соответственно подобранные числа и сложения полученных урав-
нений получаем уравнение с одной переменной, из которого находим
значение одной из переменных, а потом — значение другой (из
одного из начальных уравнений). Иллюстрируется примерами.
А 6,VI, 17.43; 44.
Решение системы уравнений с двумя переменными — см. Си-
стема двух уравнений с двумя переменными.
Решение треугольников — нахождение неизвестных сторон и
углов треугольника по известным его углам и сторонам. Основные
задачи:
1.	Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол
и остальные две стороны.
2.	Даны две стороны и угол между ними. Найти остальные
два угла и третью сторону.
3.	Даны две стороны и угол, противолежащий одной из них.
Найти остальные два угла и третью сторону.
4.	Даны три стороны треугольника. Найти его углы.
При решении этих задач используется теорема о сумме углов
треугольника, теорема косинусов и теорема синусов. Каждая из задач
имеет единственное решение, кроме задачи 3, которая может не
иметь решения, иметь одно решение или иметь два решения. Г 8,11
Решение уравнения с двумя переменными — см. Уравнение с
двумя переменными.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать,
что их нет. А 6,1,3.7.
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
59
Т. Диагонали Р. пересекаются под прямым углом. Диагонали
Р. являются биссектрисами его углов.
3.	Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то
он является Р. Г 7,6.
Свободный член
—	— квадратного уравнения,
—	— линейного уравнения с двумя переменными,
—	— линейного уравнения с одной переменной.
Свойства арифметического корня я-й степени. Т|. Если
и b 0, то \]ab = \[а д[Ь\ таким образом, при любом натуральном
п корень из произведения неотрицательных множителей равен про-
изведению корней из этих множителей.
Т2. Если а > 0 и Ь > 0, то ^Jajb =	таким образом,
при любом натуральном п корень из дроби, числитель которой неотри-
цателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя,
деленному на корень из знаменателя.
Тз. Если п и k — натуральные числа и а 0, то ~у/\/а=^а.
Т4. Если п, k и т— натуральные числа и а 0, то д/атк =
= \!ат\ таким образом, если показатель корня и показатель сте-
пени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и
то же натуральное число, то значение корня не изменится (основное
свойство корня).
Т5. W=(^)‘-
Тб. Для любых чисел а и b таких, что 0 а < Ь, выполняется
неравенство д/o' < !y/b. А 8,IV,9.22; 9—10,1V,10.36.
Свойства действий над числами. 1. Переместительное свойство.
Для любых чисел а и b верны равенства: а + b = b 4- a, ab = Ьа.
2. Сочетательное свойство. Для любых чисел а, b и с верны
равенства: (а + Ь) 4- с = а 4- (Ь 4- с), (ab)c = а(Ьс).
3. Распределительное свойство. Для любых чисел а, b и с верно
равенство a(b 4- с) = ab 4- а,с.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения сле-
дует, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые
и произвольным образом объединять в группы. Из переместитель-
ного и сочетательного свойств умножения следует, что в любом произ-
ведении можно как угодно переставлять множители и произвольным
образом объединять их в группы. Распределительное свойство рас-
пространяется на случай, когда число умножается на сумму трех
и более слагаемых. Так как вычитание можно заменить прибавле-
нием числа, противоположного данному, то свойства действий мо-
гут быть расширены. А 6,1,2.4.
Свойства квадратных корней. Т|. Если	и b 0, то
л/ab= д/а -y/b.
Этот результат обобщается и на большее число сомножителей:
~y[abc = ~у/а -\/b д/G" (а > 0, b 0, с 0) — корень из произведения
неотрицательных множителей равен произведению корней из этих
множителей.
Т2. Если а 0 и b > 0, то ~\[ajb =	— корень из дроби,
числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен,
60
равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Отсюда следуют правила умножения и деления арифметиче-
ских квадратных корней: ~у[а ~\fb — ~\[ab, где о>0 и 0; л/^/л/^=
-\ja/b, где о > 0 и Ь>0.
Тз. При любом значении х:д/х2 = |х|.
Эта теорема применяется при извлечении квадратного корня
из степени с четным показателем.
На примерах объясняется, как происходит вынесение множи-
теля из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.
А 7,11,6.13; 14; 7.16.
Свойства
—	обратно пропорциональных переменных,
—	пропорциональных переменных.
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
sin а > 0 в I и II четвертях, sin а < 0 в III и IV четвертях.
cos а>0 в I и IV четвертях, cos а < 0 во II и III четвертях.
tg а > 0, ctg а > 0 в I и III четвертях, tg а < 0, ctg а < 0 во II
и IV четвертях.
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменя-
ются при прибавлении к углу целого числа оборотов.
Формулы, выражающие зависимость между синусами, косину-
сами, тангенсами и котангенсами противоположных углов: sin ( —а) =
= — sin а, cos (— а) = cos а, tg (— а) = — tg а, ctg (— а) = — ctga.
A 8,V,11.27.
См. также Основные тригонометрические тождества, Функция
у = sin х, Функция у = cos х, Функция у — tg х, Функция у = ctg х.
Свойства степени с рациональным показателем. Для любого
а>0 и любых рациональных чисел р и q: apaq = ар + 4, ар :aq — ap~q,
(ap)q = apq\ для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального р:
(abY = apbp, (а/Ь/ = ар/Ьр.
С|. Для любого положительного а и любого рационального р:
а~р = \/ар.
Сг- При любом рациональном р и любом натуральном п уар =
= ар/п {а > 0).
Отмечаются также следующие два С. с. с р. п.:
1) пусть г — рациональное число и 0 < а < Ь, тогда d <ЬГ при
г > 0, ar > Ьг при г < 0;
2) для любых рациональных чисел г и $ из неравенства г > s следует,
что d>as при a> 1, ar<as при 0<а<1. А 8,IV,10.24; 9—10,
IV,10.38.
Свойства уравнений — см. Уравнение.
Свойства числовых неравенств. Ть Если а < b и b < с, то
а < с.
Тг. Если а < b и с — любое число, то а с <Ь + с, т. е. если
к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то
получится верное неравенство.
Тз. Если a < b и с — положительное число, то ас < be. Если
а < b и с — отрицательное число, то ас > Ьс. Аналогичное свойство
справедливо и для деления. Итак: если обе части верного нера-
венства умножить или разделить на одно и то же положительное
число, то получится верное неравенство; если обе части верного
неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицатель-
ное число и изменить знак неравенства на противоположный, то
получится верное неравенство.
61
С. Если а и Ъ — положительные числа и а > Ь, то 1 /а < \/Ь.
Т4. Если a <Z b и с <d, то а + с < b d. Таким образом, если
сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится
верное неравенство.
Т5. Если а < b и с <Z d, где a, b, с, d — положительные числа,
то ас < bd. Таким образом, если перемножить почленно верные не-
равенства одного знака, левые и правые части которых — поло-
жительные числа, то получится верное неравенство.
С. Если числа а и b положительны и а<. Ь, то а" < Ьп (п — нату-
ральное число).
Указанные свойства использованы для оценки суммы, разности,
произведения и частного числовых неравенств (на примерах).
А 7,IV, 11.27; 28.
Сегмент — см. Круговой сегмент.
▼ Секанс — см. Основные тригонометрические функции.
Сектор — см. Круговой сектор.
Секущая — см. Касательная.
Секущая прямая — прямая АС, пересекающая две заданные
прямые АВ и СО. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости
относительно прямой АС, то углы ВАС и ОСА наз. внутренними
односторонними. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях
относительно прямой АС, то углы ВАС и ОСА наз. внутренними
накрест лежащими. С. п. образует с прямыми АВ и CD две пары
внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих
углов.
Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то
внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма
внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°. Обрат-
но: если сумма внутренних односторонних углов одной пары равна
180°, то сумма внутренних односторонних углов другой пары тоже
равна 180°, а внутренние накрест лежащие углы каждой пары
равны. Г 6,4.
См. также Признаки параллельности прямых.
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая
через середину отрезка перпендикулярно к нему. Г 6,5.
Симметрия — см. Точка, симметричная данной точке относи-
тельно прямой, Точка, симметричная данной относительно точки,
Преобразование симметрии относительно точки, Преобразование сим-
метрии относительно прямой, Преобразование симметрии относи-
тельно плоскости.
Синус. 1. С. острого угла а прямоугольного треугольника —
отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначение:
sin а. С. угла зависит только от величины угла. Катет, противо-
лежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin а. Справед-
ливы формулы: sin(90° — а) = cos а, cos(90° — а) = sin а, sin 45° =
V2/2. sin 30° — 1 /2, sin 60° = "\/§/2. При возрастании острого угла
sin а возрастает. Г 7,7.
2.	С. угла а, 0° а 180° — см. Определение синуса, коси-
нуса, тангенса для любого угла от 0° до 180°.
3.	С. любого угла а — см. Тригонометрические функции лю-
бого аргумента, Тригонометрические функции числового аргумента,
Функция у = sin х.
Синусоида — см. Функция у = sin х.
Система двух уравнений с двумя переменными. На примерах
объясняется, что такое С. д. у. с д. п. и как она записывается, напр.,
62
x + r/= 12,
x — y = 2
fy — x2 = 0
l у — 2x — 3 = 0
О. Решением С. д. у. с д. п. наз. пара значений переменных,
обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Ре-
шить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать,
что решений нет.
На примере объясняется графический способ решения С. д. у.
с д. п., состоящий в том, что приближенно ищутся точки пере-
сечения графиков каждого из уравнений системы.
Если графики двух линейных уравнений — параллельные пря-
мые, то система не имеет решений; если прямые совпадают, то
система имеет бесконечно много решений. Приведен пример, в котором
система линейных уравнений имеет единственное решение. А 6,VI,
16.42.
См. также Решение систем линейных уравнений, Решение задач
с помощью систем уравнений.
Система координат. Эти слова в пункте «Введение координат
на плоскости» отсутствуют, однако употреблены в заглавии пункта
«Расположение прямой относительно системы координат», а также,
напр., в пункте «Скалярное произведение векторов» и др. Г 7,9; 8,10.
Система неравенств с одной переменной. Приводятся примеры
таких систем.
О. Решением С. н. с о. п. наз. значение переменной, при котором
верно каждое из неравенств системы.
Решить систему — значит найти все ее решения или доказать,
что их нет. Приведены примеры систем (решения которых являются
промежутками). A 7,1V, 12.31.
Системы уравнений второй степени. Сначала на примере объяс-
няется графический способ решения таких систем — приближенное
нахождение решений как координат точек пересечения графиков
уравнений.
Систему, в которой одно из уравнений второй степени, а другое —
первой, всегда можно решить способом подстановки, выражая из
уравнения первой степени одну из переменных через другую и
подставляя найденное выражение в уравнение второй степени.
Получается уравнение с одной переменной, степень которого не
выше двух.
Если система составлена из двух уравнений второй степени
с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно.
В отдельных случаях такие системы удается решить, используя
способ подстановки или способ сложения уравнений. Приводятся
примеры. А 8,11,5.10; 11.
Скалярное произведение векторов а(аь аг) и b(bi, Ь2) — число
0161+0262. С. п. обозначается ab. С. п. аа обозначается также
а2 Очевидно, что а2 = |а|2. Из определения С. п. следует, что для
любых векторов а, Ь, с имеет место равенство (а + Ь)с — ас Ъс.
Углом между ненулевыми векторами АВ и АС наз. угол ВАС. Уг-
лом между любыми двумя векторами ~а и b наз. угол между равными
им векторами с общим началом. Угол между одинаково направлен-
ными векторами считается равным нулю.
Т. С. п. векторов равно произведению их абсолютных величин
на косинус угла между ними: ab = |а| |6| cos а.
63
Если векторы перпендикулярны, то их С. п. равно нулю. И обрат-
но, если С. п. отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы пер-
пендикулярны.	________ ___________
В пространстве С. п. векторов (ai, а^, а3) и (д(, 62, Ьз) наз. число
flibi + 02^2 4- азЬз. Так же, как и на плоскости, С. п. векторов равно
произведению их абсолютных величин на косинус угла между векто-
рами. Г 8,10; 9,17.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и
не лежат в одной плоскости. Через любую из двух С. п. можно про-
вести плоскость, параллельную другой прямой. Через каждую из
С. п. можно провести плоскости, параллельные друг другу.
У. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух
С. п. есть плоскость. Г 9,15.
См. также Расстояние между скрещивающимися прямыми, Угол
между прямыми.
Сложение векторов. Суммой векторов а и b с координатами
ai, а2 и Ь], 62 наз. вектор с с координатами а\ +&i, аг 4-^2, т. е.
а(аь a2)-]-b(b\,	= с(а\ + b\t а2 + 62). Для любых векторов
а, Ь, с имеют место равенства аb = b а, а + (Ь + с) = (а +
-h Ь) 4- с.
Т. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное
равенство АВ + ВС = АС.
Эта теорема дает способ построения суммы произвольных
векторов а и b («правило треугольника» С. в.). Надо от конца
вектора а отложить вектор Ь', равный вектору Ь. Тогда вектор,
начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом
вектора Ь', будет суммой векторов а и Ь.
3|. ABCD — параллелограмм. Докажите векторное равенство
АВAD = АС («правило параллелограмма» С. в.).
Разностью векторов а(а\, а2) и b(b\, bz} наз. такой вектор
c(ci, Сг), который в сумме с вектором b дает вектор а: b + с = а.
Отсюда находим координаты вектора с — а — Ь: С\ — а} — 6,, с2 =
= 02 — Ь2-
32. Даны векторы АВ и АС с общим началом. Докажите, что
АС— АВ = ВС.
Аналогично в пространстве суммой векторов а(а\, а2, аз) и
b(bi, b2, Ьз) наз. вектор c(ai4-6b а24"^2, аз 4- Ь3). Так же, как и
на плоскости, имеет место векторное равенство АВ 4- ВС — АС.
Г 8,10; 9,17.
Сложение и вычитание дробей — см. Действия с обыкновен-
ными дробями.
Сложение и вычитание многочленов. Раскрывая скобки и приводя
подобные члены, сумму (разность) многочленов можно представи/ь
в виде многочлена. Иногда требуется несколько членов многочлена
заключить в скобки. Тогда: если перед скобками ставят знак «плюс»,
то члены, которые заключают в скобки, пишут с теми же знаками;
если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заключаемые в
скобки, пишут с противоположными знаками. А 6,IV,10.28.
64
Сложение числовых неравенств — см. Свойства числовых нера-
венств.
Сложная функция. Если функция f переводит х в у, а функция
g переводит у в z, то функцию h, переводящую х в z, называют С. ф.,
составленной из функций g и f, и пишут h(x) = g(f(x)). Т. о., чтобы
вычислить значение С. ф. h(x) = g(f(x)) в произвольной точке х,
сначала вычисляют значение у «внутренней» функции f в этой точке,
а затем — g(y). Область определения С. ф. g(f(x)) — множество
всех тех х из области определения функции /, для которых f(x)
входит в область определения функции g. А 9—10,11,5.19.
См. также Производная сложной функции.
Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,
а другие стороны этих углов являются дополнительными полу-
прямыми.
Т. Сумма С. у. равна 180°.
С. Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Угол, смежный с
острым,—тупой, а угол, смежный с тупым,—острый. Г 6,2.
Сокращение дроби — см. Основное свойство дроби.
Соответствующие стороны, углы у равных или подобных фигур
(треугольников, многоугольников) —понятие, используемое как само
собою разумеющееся.
См. Равенство фигур, Подобные фигуры.
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном
треугольнике — см. Косинус, Синус, Тангенс.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента — см. Основные тригонометрические тождества.
Соседние вершины четырехугольника — см. Четырехугольник.
Соседние стороны четырехугольника — см. Четырехугольник.
Составное число — см. Простые и составные числа.
Сочетательное свойство (сложения и умножения) — см. Свойства
действий над числами.
Способ группировки — см. Разложение многочлена на мно-
жители.
Способ подстановки при решении систем — см. Решение систем
линейных уравнений, Системы уравнений второй степени.
Способ сложения при решении систем линейных уравнений —
см. Решение систем линейных уравнений.
Сравнение чисел. Из двух чисел меньшим считается то, изобра-
жение которого расположено левее на координатной прямой, и боль-
шим то, изображение которого расположено правее. Всякое положи-
тельное число больше нуля, а всякое отрицательное число меньше
нуля, поэтому всякое отрицательное число меньше положительного
числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше
модуль, и больше то, у которого меньше модуль. М 5,1,1.7.
Среднее арифметическое нескольких чисел — частное, получаю-
щееся при делении суммы этих чисел на число слагаемых.
М 4,11,8.59.
Среднее пропорциональное положительных чисел а и b — число
x=^[ab (средний член пропорции а.х — х’.Ь). Катет прямоугольно-
го треугольника есть С. п. между гипотенузой и его проекцией на
гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вер-
шины прямого угла, есть С. п. между проекциями катетов на гипо-
тенузу. Г 7,7.
Средние члены пропорции — см. Пропорция.
3—3029
65
Средняя линия трапеции — см. Трапеция.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины
двух его сторон.
Т. С. л. т., соединяющая середины двух данных сторон, парал-
лельна третьей стороне и равна ее половине.
3. Середины сторон четырехугольника являются вершинами
параллелограмма. Г 7,6.
Средняя скорость — см. Механический смысл производной.
Стандартный вид одночлена — см. Одночлен.
Стандартный вид числа а — запись его в виде а-10л, где
1 а < 10 и п — целое число. Число п наз. порядком числа а.
A 7,V, 15.37.
Степенная функция. Для любого действительного числа р и
каждого положительного х определено число х?. Тем самым на про-
межутке (0; оо) при фиксированном р определена функция f, за-
данная формулой f(x) = x?. Эта функция наз. С. ф. (с показателем
степени р). Если р>0, то С. ф. определена и при х = 0, поскольку
0я = 0. Для целых р С. ф. определена и для х < 0. При четных
р эта функция четная, а при нечетных р — нечетная.
Производная С. ф.: (х?У = рхр~'.
При р < 0 С. ф. убывает на промежутке (0; оо), при р > 0 С. ф.
возрастает на промежутке [0; оо). Построены графики С. ф. при неко-
торых р.
При р =# — 1 общий вид первообразной С. ф. хр таков: Г(х) =
хр+ 1
= ——;—|- С. При р = — 1 первообразной является функция вида
Р + 1
1п|х| 4-С.
Для вычисления значений С. ф. предлагается приближенная
формула (1 -|-Лх)а ~ 1 + аЛх (приближение тем точнее, чем меньше
Ах). А 9—10,IV,12.47.
Степенная функция с натуральным показателем — см. Функция
У = хп.
Степень
— многочлена,
— одночлена.
Степень с дробным (рациональным) показателем. О. Если
а — положительное число, т/п — дробное число (т — целое, п —
натуральное), то ат/п — ’'^[аРР
Если т/п — дробное положительное число (т и п — натураль-
ные), то — 0. Для отрицательных оснований С. с д. п. не рас-
сматривается. Значение С. с д. п. г не зависит от способа записи
числа г в виде дроби: amk/nk = ат/п (а > 0, т — целое, ri и k — нату-
ральные числа). A 8,1V,10.23.
См. также Свойства степени с рациональным показателем.
Степень с натуральным показателем. О. Степенью числа а с на-
туральным показателем и, большим 1, наз. произведение п множите-
лей, каждый из которых равен а. Степень числа а с показателем 1
наз. само число а.
Обозначение: ап. Выражение ап наз. степенью, число а — осно-
ванием степени, число п — показателем степени. Нахождение зна-
чения степени наз. возведением в степень.
Основное свойство степени: для любого числа а =/= 0 и произ-
вольных чисел m и п ап1ап = а,п + ". При умножении степеней с одинако-
вым основанием основание оставляют прежним, а показатели степеней
складывают.
66
Для любого числа а #= 0 и произвольных чисел тип таких, что
т > п, имеем: ат: ап = а"'~п. При делении степеней с одинаковым
основанием основание оставляют прежним, а из показателя степени
делимого вычитают показатель степени делителя.
О. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:
При этом формула атап = ат+п верна и при т = 0 или п = О
(а 0), а формула а,п: ап = а,п~п — и при т п, т = 0 или п = О
(а =/= 0).
При возведении в степень произведения возводят в эту степень
каждый множитель и результат перемножают: (ab)n = апЬп. При воз-
ведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели
перемножают: (ат' = атп. Два последних свойства имеют место и
для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от
нуля).
Если т > п, то ат > ап при а > 1 и ат < ап при 0 < а < 1.
А 6,111,7.19—21; 9—10,1V, 10.38.
Степень с нулевым показателем — см. Степень с натуральным
показателем.
Степень с целым показателем. О. Если а ф 0 и п — целое
отрицательное число, то ап = 1 /а~п.
Выражение 0л при целом отрицательном п (так же, как и при
п = 0) смысла не имеет.
Свойства, установленные для степени числа с натуральным пока-
зателем (см.), справедливы и для степени с любым целым показа-
телем. А именно, для любого аУ=0и любых целых тип: атап =
ат + п ат. ап _ ат- п* ^nyi _ для любых fl =/= 0, 6 =/= 0 И ЛЮбОГО ЦС-
лого п: (ab)n = anbn, (а,/Ь)п = ап/Ьп, а°=1. А 7,V,14.35; 36; 9—10,
IV, 10.38.
Степень уравнения — см. Целое уравнение, Целое уравнение с
несколькими переменными.
Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются фигуры
в пространстве. Основные фигуры в пространстве: точка, прямая и
плоскость. Г 9,14.
См. также Аксиомы стереометрии.
Сторона
— многоугольника,
— треугольника,
— угла,
— четырехугольника.
Строгие неравенства — см. Числовые неравенства.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |<?| < 1 —
число, к которому стремится сумма Sn (п первых членов прогрес-
\	b \
сии) при неограниченном увеличении п. Это число равно -j-------.
Запись: Ь\ b\q + b\q2 + ... =^~— . Обозначив сумму прогрессии
(Ьп) буквой S, получим формулу S
Если |^| > 1, то сумма Sn
п не стремится ни к какому числу.
— _±_
“ \—q'
при неограниченном увеличении
Таким образом, бесконечная гео-
метрическая прогрессия имеет сумму только при |^| < 1. А 8,111,7.18.
Сумма векторов — см. Сложение векторов.
Сумма и разность кубов. Имеют место тождества (формулы
67
сокращенного умножения)', (а + Ь) (а2 — ab 4- Ь2) = а3 + Ь3 — произ-
ведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности
(а2 — ab + Ь2) равно сумме кубов этих выражений; (а — Ь) (а2 4~
+ ab 4- Ь2) = а3 — Ь3— произведение разности двух выражений и
неполного квадрата суммы (а2 4~ ab 4- Ь2) равно разности кубов этих
выражений.
Формула суммы кубов — тождество а3 4- Ь3 — (а 4" b) (а2 — ab 4~
4- Ь2): сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих
выражений и неполного квадрата их разности. Формула разности
кубов — тождество а3 — Ь3 = (а — b) (сг + ab 4- Ь2): разность кубов
двух выражений равна произведению разности этих выражений и не-
полного квадрата их суммы. А 6,V, 15,37; 38.
Существование и единственность перпендикуляра к прямой. Т. Из
любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту
прямую перпендикуляр, и только один. Г 6,4.
Существование треугольника, равного данному — см. Равные
треугольники.
Сфера (шаровая поверхность) — см. Шар, Уравнение сферы.
Схема исследования функции — см. Исследование функций.
Тангенс. 1. Т. острого угла а прямоугольного треугольника —
отношение противолежащего катета к прилежащему. Обозначение:
tg а. Т. угла зависит только от величины угла. Катет, противолежа-
щий углу а, равен произведению второго катета на tg а. Справедли-
вы формулы: tg 45° = 1, tg 30° = 1 /д/3^ tg 60°= д/з? При возраста-
нии острого угла tg а возрастает. Г 7,7; 8.
2. Т. угла а, 0° а 180° — см. Определение синуса, косинуса
и тангенса для любого угла от 0° до 180°.
3. Т. любого угла — см. Тригонометрические функции любого
аргумента, Тригонометрические функции числового аргумента,
Функция у — tg а.
Тангенсоида — см. Функция у — tg х.
Тело. Термин употребляется без определения или предвари-
тельного объяснения (впервые встречается в тексте: «Многогранни-
ком наз. Т., ограниченное конечным числом плоскостей»). Г 10,18.
Тело вращения — тело, которое плоскостями, перпендикуляр-
ными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с
центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются
примерами Т. в.
Если ввести декартовы координаты х, у, z, приняв ось тела за
ось х, то плоскость ху пересечет поверхность тела по линии, для
которой ось х является осью симметрии. Пусть у = [(х) — урав-
нение той части линии, которая расположена над осью. Объем части
Т. в., заключенной между плоскостями х — а и х = Ь, выразится фор-
ft
мулой V = n\ f2(x)dx, а<Ь.Г 10,19; 20.
а
Теорема (в геометрии) — предложение, выражающее свойство
геометрической фигуры, которое доказывается. При доказательстве
Т. разрешается пользоваться основными свойствами простейших
фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными,
т. е. доказанными Т. Никакими другими свойствами фигур, даже
если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя. Формулировка
Т. обычно состоит из двух частей. В одной говорится о том, что
68
дано. Эта часть наз. условием Т. В другой части говорится о том,
что должно быть доказано. Эта часть наз. заключением Т. Г 6,1.
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на отрезке [а; Ь\ функция
/ принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения,
т. е. существуют точки отрезка [а; Ь\, в которых f принимает на-
ибольшее и наименьшее на [а; Ь\ значения.
▼ Доказательство— в курсе анализа. ▼ А 9—10,11,7.28.
См. также Наибольшее и наименьшее значения функции.
Теорема Виета. Т. Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противопо-
ложным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Таким образом, для уравнения х1 + рх 4- q — 0 при D > 0 име-
ем %] 4- %2 = —р, Х|*2 = q. Теорема верна и при D = 0, если условить-
ся, что в этом случае уравнение имеет два равных корня.
Верно и утверждение, обратное Т. В.:
Т. Если числа тип таковы, что их сумма равна —р, а произ-
ведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 4~
4- рх 4- q = 0.
Из теоремы Виета следует, что если квадратный трехчлен ах2 4-
4-6x4-с имеет корни xi их2, тох| 4-*2= — b/а, х\х2 = с/а. А 7,111,9.23;
8,1,1.1.
См. также Квадратный трехчлен.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними: ВС2 = АВ2АС2 —
— 2АВ • АС • cos А.
С|. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проек-
цию другой (знак «4~» надо брать, когда противолежащий угол
тупой, а знак «—», когда угол острый).
С-2- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон. Г 8,11.
Теорема о корне. Пусть функция f возрастает (или убывает)
на промежутке /, а число а — любое из значений, принимаемых f
на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = а имеет единственный
корень в промежутке /.
Т. о к. применяется при решении уравнений.
Так, синус возрастает на отрезке [ —л/2; л/2] и принимает все
значения от — 1 до 1. По Т. о к. для любого числа а, |а|	1, в про-
межутке [—л/2; л/2] существует единственный корень b уравне-
ния sin х — а. Это число b наз. арксинусом числа а и обозначают
arcsin а. Итак, арксинусом числа а наз. такое число из отрезка
[ —л/2; л/2], что его синус равен а.
Аналогично, арккосинусом числа а, |а|	1, наз. такое число
из отрезка [0; л], что его косинус равен а. Обозначение: arccos а.
Арктангенсом числа а, а С R, наз. такое число из интервала
( — л/2; л/2), что его тангенс равен а. Обозначение: arctg а.
▼ Арккотангенсом числа а, а С И,наз. такое число из интервала
(0; л), что его котангенс равен а. Обозначение: arcctg а. V А 9—10,
1,4.10.
Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная на
плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции,
перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на
плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и
проекции наклонной. Г 9,16.
Теорема об обратной функции — см. Обратная функция.
69
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
С. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипо-
тенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos а < 1 для любого
острого угла а. Г 7,7.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны си-
sin a	sin 6 sin у
нусам противолежащих углов: -------= —----- =------— .
а	о	с
3|. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
С. В треугольнике против большего угла лежит большая сто-
рона, против большей стороны лежит больший угол.
Зг. Докажите, что в Т. с. каждое из трех отношений »
sin р sin у	1
—т— , ---- равно - -, где R — радиус окружности, описанной
и С	Zr\
около треугольника. Г 8,11.
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие сто-
роны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они
отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
3. Разделить данный отрезок на п равных частей. Г 7,6.
Теорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если
точка Хо является точкой экстремума функции f и в этой точке
существует производная f', то она равна нулю: /:/(хо) = О.
Т. Ф. есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что
производная в точке Хо обращается в нуль, не обязательно следует,
что в этой точке функция имеет экстремум. А 9—10,11,7.26.
Тетраэдр — см. Пирамида, Правильные многогранники.
Тождественно равные выражения — выражения, принимающие
равные значения при всех допустимых для них значениях пере-
менных. А 6,1,2.5; 7,1,1.2.
Тождественное преобразование выражения (преобразование вы-
ражения) — замена одного выражения другим, тождественно рав-
ным ему выражением. Т. п. в. с переменными выполняются на
основе свойств действий над числами (см.). К Т. п. в. относятся,
например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.
А 6,1,2.5.
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях
входящих в него переменных. Чтобы доказать, что некоторое ра-
венство является Т. (иначе: доказать Т.), используют тождественные
преобразования выражений (см.). А 6,1,2.6; 7,1,1.2.
Точка — одна из основных геометрических фигур на плоскости
и в пространстве. Т. принято обозначать прописными латинскими
буквами А, В, С, D....Г 6,1; 9,14.
Точка касания — см. Касательная, Касательная к окружности,
Шар.
Точка минимума, максимума — см. Точки экстремума.
Точка, симметричная данной точке относительно плоскости —
см. Преобразование симметрии относительно плоскости.
Точка, симметричная данной точке относительно прямой.
Пусть g — фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X
и опустим перпендикуляр XX на прямую g. На продолжении этого
перпендикуляра за точку X отложим отрезок XX', равный отрезку
XX. Точка X' наз. симметричной точке X относительно прямой g.
Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть
70
сама точка X. Точка, симметричная точке X', есть точка X. Г 7,9.
Точка, симметричная данной точке относительно точки. Пусть
О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости.
Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ',
равный ОХ. Точка X' наз симметричной точке X относительно точки
О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Точка, сим-
метричная точке X', есть X. Г 7,9.
Точка
—	числовой плоскости,
—	числовой прямой.
Точки экстремума. О. Точка хо наз. точкой минимума функции
f, если для всех х из некоторой окрестности точки Хо выполнено
неравенство f (х) f (х0).
О. Точка хо наз. точкой максимума функции f, если для всех
х из некоторой окрестности точки хо выполнено неравенство
Общее название точек минимума и максимума — Т. э. Зна-
чения функции в этих точках наз. экстремумами функции. А 9-
10,1,2.4.
См. также Критические точки функции, Теорема Ферма, Доста-
точные условия существования экстремума.
Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого только две
противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны
наз. основаниями Т. Две другие стороны наз. боковыми сторонами.
Т., у которой боковые стороны равны, наз. равнобокой. Отрезок,
соединяющий середины боковых сторон, наз. средней линией Т.
Т. Средняя линия Т. параллельна основаниям и равна их полу-
сумме. Г 7,6.
Третий признак равенства треугольников — см. Признаки ра-
венства треугольников.
Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на
одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Точки наз. вершинами Т., а отрезки — его сторонами. Т. обозначается
указанием его вершин. Вместо слова «Т.» употребляют значок Д.
Углом Т. АВС при вершине А наз. угол, образованный полу-
прямыми АВ и АС. Так же определяются углы при вершинах В и С
Т. Сумма углов Т. равна 180°.
С. У любого треугольника хотя бы два угла острые.
В любом Т. каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Иногда в Т. сторона, проведенная горизонтально, наз. основанием,
а две другие — боковыми сторонами. В Т. против большего угла ле-
жит большая сторона, против большей стороны лежит больший
угол.
Т. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин Т.,
пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну
из двух других сторон. Г 6,1; 7,7; 8,11.
Треугольник, вписанный в окружность, описанный около окруж-
ности — см. Многоугольник, вписанный в окружность, Многоуголь-
ник, описанный около окружности, Правильный выпуклый много-
угольник, а также Окружность, описанная около треугольника, Ок-
ружность, вписанная в треугольник.
Трехгранный угол (abc)— фигура, составленная из трех плоских
углов: (ab), (Ьс) и (ас). Эти углы наз. гранями Т. у., а их стороны —
ребрами Т. у. Общая вершина плоских углов наз. вершиной Т. у.
Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, наз.
двугранными углами Т. у. Г 10,18.
71
Трехчлен — см. Многочлен, Квадратный трехчлен.
Тригонометрические функции любого аргумента. На оси х справа
от начала координат отмечаем точку А и проводим через нее окруж-
ность с центром в точке О. Радиус ОА наз. начальным радиусом.
Поворачиваем начальный радиус около точки О. При повороте
против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при
повороте по часовой стрелке — отрицательным. Угол поворота может
выражаться в градусах каким угодно числом от — оо до 4-оо. Су-
ществует сколько угодно углов поворота, при которых начальный
радиус ОА переходит в заданный радиус ОВ.
При повороте на угол а начальный радиус переходит в ра-
диус ОВ. В зависимости от того, *в какой координатной четверти
окажется радиус ОВ, угол а наз. углом этой четверти. При прибав-
лении к углу целого числа оборотов получается угол этой же четверти.
Углы 0°, ±90°, ±180°, ... не относятся ни к какой четверти.
Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус
ОА переходит в радиус ОВ.
Синусом угла а наз. отношение ординаты точки В к радиусу.
Косинусом угла а наз. отношение абсциссы точки В к радиусу.
Тангенсом угла а наз. отношение ординаты точки В к ее абсциссе.
Котангенсом угла а наз. отношение абсциссы точки В к ее ор-
динате.
Так, если координаты точки В равны х и у, а длина начального
радиуса равна R, то sin а = y/R, cos а = x/R, tg а = у/х, ctg а =
— х/у. Функции sin а, cos а, tg а, ctg а являются Т. ф. л. а. Значе-
ния Т. ф. л. а. зависят только от угла а.
Выражения sin а и cos а имеют смысл при любых а. Для танген-
са исключаются углы, равные ±90°, ±270°, ±450°, ... . Для котан-
генса исключаются углы, равные 0°, ±180°, ±360°, ....
Синус и косинус могут принимать любые значения от —1 до 1,
а тангенс и котангенс — любые значения от — оо до -|-оо. A 8,V,
11.26; 28.
См. также Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса,
Тригонометрические функции числового аргумента.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Запись sin х, где х — произвольное действительное число, озна-
чает синус угла, равного х радианам. Каждому числу х соответствует
определенное значение синуса. Таким образом, синус является функ-
цией с областью определения (— оо ; + оо). Точно так же косинус есть
функция с областью определения (—оо; + оо). Областью значений
как синуса, так и косинуса является промежуток [—1; 1].
Тангенс является функцией, область определения которой со-
стоит из всех чисел, кроме ±л/2, ±Зл/2, ±5л/2, ... . Область
значений тангенса есть множество всех действительных чисел.
Котангенс является функцией, область определения которой состоит
из всех чисел, кроме 0, ±л, ±2л, ±3л, ... . Область значений ко-
тангенса — множество всех действительных чисел.
Косинус является четной функцией, синус, тангенс и котан-
генс — нечетными. А 8,V, 11.28.
Тупой угол — угол, больший 90° и меньший 180°. Г 6,2.
Тупоугольный треугольник — треугольник, один из углов кото-
рого тупой. М 4,11,6.44.
Убывающая функция — см. Возрастание и убывание функций,
Признак убывания функции.
72
Угловая частота колебаний — см.	Г армонические	коле-
бания.
Угловой коэффициент касательной к графику функции — см.
Касательная.
Угловой коэффициент прямой. Если в общем уравнении прямой
ах + by + с = 0 коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение
можно привести к виду у = kx Ц- q- Коэффициент k в этом уравнении
наз. У. к. п. Он с точностью до знака равен тангенсу острого угла,
который образует прямая с осью х (геометрический смысл У. к. п.).
Г 7,8.
См. также Линейная функция.
Угол — фигура, которая состоит из точки — вершины. У., и двух
различных полупрямых, исходящих из этой точки,— сторон У. Если
стороны У. являются дополнительными полупрямыми, то У. наз.
развернутым. У. обозначается либо указанием его вершины, либо
указанием сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух
других точек на сторонах У., напр., АО, A(ab\ АЛОВ (буква,
обозначающая вершину, ставится посредине). Г 6,1.
См. также Плоский угол.
Угол, вписанный в окружность,— угол, вершина которого лежит
на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Т. У. в. в о., стороны которого проходят через две данные точки
окружности, равен половине угла между радиусами, проведенными
в эти точки, или дополняют ее до 180°.
С. Все вписанные в окружность углы, стороны которых про-
ходят через две точки окружности, а вершины лежат по одну сторону
от прямой, соединяющей эти точки, равны.
Если вершина вписанного угла В и центр О лежат по одну сторону
от прямой АС, то А АВС = — А АОС\ если вершина В и центр О
лежат по разные стороны от прямой АС, то AABC=\8Q° —
---Х- ААОС. Если хорда АС является диаметром, то АВС = 90°.
Г 6,5.
Угол выпуклого многоугольника — см. Многоугольник.
Угол выпуклого четырехугольника — см. Четырехугольник.
Угол между векторами — см. Скалярное произведение.
Угол между плоскостями. Угол между параллельными плоскостя-
ми считается равным нулю. Пусть данные плоскости пересекаются.
Проводим плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения.
Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между
этими прямыми наз. У. м. п. Определяемый так У. м. п. не зависит
от выбора секущей плоскости. Г 9,17.
Угол между прямой и плоскостью. Пусть а — плоскость и а —
пересекающая ее прямая. Основания перпендикуляров, опущенных из
точек прямой а на плоскость а, лежат на прямой а. Эта прямая
наз. проекцией прямой а на плоскость а. У. м. п. и п. наз. угол между
этой прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между параллельны-
ми прямой и плоскостью считается равным нулю, а угол между
перпендикулярными прямой и плоскостью — равным 90°. У. м. п. и п.
дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром
к плоскости. Г 9,17.
Угол между прямыми. Две пересекающиеся прямые образуют
смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные
дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них наз.
73
У. м. п. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90° по
определению. Угол между параллельными прямыми считаем рав-
ным нулю.
Углом между скрещивающимися прямыми наз. угол между пере-
секающимися параллельными им прямыми. Этот угол не зависит
от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Иногда скрещи-
вающиеся прямые наз. перпендикулярными, если угол между ними
равен 90°. Г 9,17.
Угол между скрещивающимися прямыми — см. Угол между
прямыми.
Угол поворота — см. Тригонометрические функции любого аргу-
мента.
Угол треугольника — см. Треугольник.	_____
Умножение вектора на число. Произведением вектора (аь а^
на число X наз. вектор (Xai, ka2). По определению (ai, а2) X =
= X(oi, а2). Для любого вектора а и чисел Хиц будет (X-hp)‘a =
= Ха + ца. Для любых двух векторов а и b и числа X будет Х(а + б) =
= Ха -|- ХЬ.
Т. Абсолютная величина вектора Ха равна |Х| |а|. Направле-
ние вектора Ха при а =/= 0 совпадает с направлением вектора а,
если X >> 0, и противоположно его направлению, если X < 0.
З.Даны различные точки А(%|, r/i) и В(х2, у2\ Докажите, что
векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Аналогично в пространстве произведением вектора а(а.\, а2, а3)
на число X наз. вектор Xa = (Xai, Хаг, Ха3). Его абсолютная величина
равна |Х||а|, а направление совпадает с направлением вектора
а, если X > 0, и противоположно направлению вектора а, если
Х<0. Г 8,10; 9,17.
Умножение дробей — см. Действия с обыкновенными дробями.
Умножение многочлена на многочлен. Чтобы умножить многочлен
на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на
каждый член другого многочлена и полученные произведения
сложить. Произведение любых двух многочленов можно представить
в виде многочлена. A 6,1V, 12.31.
Умножение одночлена на многочлен. Чтобы умножить одночлен
на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член
многочлена и полученные произведения сложить. Произведение
одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.
А 6,IV, 11.29.
Умножение одночленов — см. Одночлен.
Умножение степеней — см. Степень с натуральным показателем.
Умножение числовых неравенств — см. Свойства числовых не-
равенств.
Уравнение — равенство, содержащее переменную. Переменную
в У. наз. также неизвестным числом, или просто неизвестным.
О. Корнем (решением) У. наз. значение переменной, при котором
У. обращается в верное равенство.
Решить У.— значит найти все его корни или доказать, что их
нет. У., имеющие одни и те же корни, наз. равносильными У. У., не
имеющие корней, также считают равносильными.
Свойства У.: 1) если к обеим частям У. прибавить одно и то же
74
число, то получится У., равносильное данному; 2) если обе части
У. умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число,
то получится У., равносильное данному. Если в У. перенести слагае-
мое из одной части в другую, изменив его знак, то получится У., равно-
сильное данному. А 6,1,3.7.
Уравнение касательной к графику функции — см. Касательная.
Уравнение окружности — см. Окружность.
Уравнение первой степени — уравнение, левая часть которого
является многочленом первой степени, а правая — нулем. А 7,111,8.18.
Уравнение плоскости. Пусть А0(х0, Уп z0) — какая-нибудь точка
плоскости и п (а, Ь, с) — вектор, перпендикулярный плоскости. Тогда
У. п. есть а(х — х0) 4" b(y — у0) 4- c(z — z0) = 0. Заметим, что коэффи-
циенты а, Ь, с в У. п. ах 4- by + cz -f- d — 0 являются координатами
вектора, перпендикулярного плоскости. Г 9,17.
Уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости).
Любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида
ах -h by 4- с — 0.
Расположение прямой относительно осей координат в некоторых
частных случаях: 1) а — 0, b 0 — прямая параллельна оси х; в част-
ности, если с = 0, то прямая совпадает с осью х; 2) b = 0, а =/= 0 —
прямая параллельна оси у\ в частности, если и с = 0, то совпадает
с ней; 3) с = 0—прямая проходит через начало координат. Г 7,8.
См. также Угловой коэффициент прямой, Задание прямой в про-
странстве.
Уравнение с двумя переменными (неизвестными). Приводится
пример равенства х — у = 5, содержащего две переменные. Утвержда-
ется: такие равенства наз. У. с д. п. или уравнениями с двумя неиз-
вестными.
О. Решением У. с д. п. наз. пара значений переменных, обра-
щающая это уравнение в верное равенство.
У. с д. п., имеющие одни и те же решения, наз. равносильными.
Каждое решение вида (х; у) У. с д. п. можно изобразить в
координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки
образуют график У. с д. п. Напр., графиком уравнения х2 — у = 0
будет парабола. А 6,VI, 16.40.
См. также Линейное уравнение с двумя переменными.
Уравнение сферы с центром в точке А (а, Ь, с) и радиусом R:
(х — а)2 + (у — Ь)2 4- (^ — с)2 — R2. Если центром сферы является
начало координат, то У. с. будет х2 у2 z2 — R2.
Т. Линия пересечения двух сфер есть окружность. Г 10,19.
Уравнение фигуры на плоскости в декартовых координатах —
уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют коор-
динаты любой точки фигуры. Любые два числа, удовлетворяющие
этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.
Г 7,8.
Уравнения, приводящиеся к квадратным. Уравнение, степень ко-
торого выше двух, иногда удается решить с помощью введения
новой переменной и приведения данного уравнения к квадратному.
Показывается на примерах.
У. п. к к. является и биквадратное уравнение — уравнение чет-
вертой степени ах4 -I- Ьх2 4- с = 0, где а #= 0. Оно является квадратным
относительно х2. А 8,11,4.8.
Усеченная пирамида. Плоскость, параллельная плоскости основа-
ния пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную
пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который
75
наз. У. п. Грани пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, наз.
основаниями У. п.; остальные грани наз. боковыми гранями. Основа-
ния У. п. представляют собой подобные (более того, гомотетичные)
многоугольники, боковые грани — трапеции. У. п., которая получается
из правильной пирамиды, наз. правильной У. п. Боковые грани пра-
вильной У. п.— равнобокие трапеции, их высоты наз. апофемами.
3. Докажите, что боковая поверхность правильной У. п. равна
произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Ось У. п. совпадает с осью пирамиды. Г 10,18.
Усеченный конус — см. Конус.
Условие теоремы — см. Теорема.
Фигура — см. Геометрическая фигура.
Фигуры, симметричные относительно плоскости — см. Преобра-
зование симметрии относительно плоскости.
Фигуры, симметричные относительно прямой — см. Преобразо-
вание симметрии относительно прямой.
Фигуры, симметричные относительно точки — см. Преобразо-
вание симметрии относительно точки.
Формула. На примерах поясняется, что для решения задач в об-
щем виде составляют Ф., выражающие зависимости между пере-
менными. Приведены формулы площади квадрата: S = а2; четного
числа: m — 2rz; зависимости между путем, скоростью и временем:
s = vt. А 6,1,1.3.
Формула Герона — см. Площадь треугольника.
Формула квадрата суммы (разности) — см. Квадрат суммы и
квадрат разности.
Формула корней квадратного уравнения ах2 4- Ьх 4- с = 0, где
а 0. Выражение D — Ь2 — 4ас наз. дискриминантом квадратного
уравнения.
,	— b — л/D
1.	Если D > 0, то уравнение имеет два корня: Xi =---------,
— Ь4-л/Б ..	-Ь±~у/Б
*2=---------*— . Краткая запись: х =----.
2а	2а
b
2.	Если D = 0, уравнение имеет единственный корень х =--.
3.	Если D < 0, уравнение корней не имеет.
Если в квадратном уравнении коэффициент при х является чет-
ным числом, то при D >0 Ф. к. к. у. ах2 4- 2kx 4- с = 0 удобно запи-
— k ± ^\1г) /4	— k ± дЛ2 ~ ас
сывать в виде х—------------------, т. е. х=------------------,
а	а
k2-ac^0. А 7,111,9.21.
Формула косинуса разности — см. Формулы сложения.
Формула косинуса суммы — см. Формулы сложения.
Формула Лагранжа. Пусть функция f дифференцируема в
каждой точке некоторого промежутка, а и b — произвольные точки
из этого промежутка. Тогда на интервале (а; Ь) найдется такая точка
с, что =	(ф. л.).
о — а
Приводятся геометрические рассуждения, объясняющие правдо-
подобность этой формулы (опирающиеся на геометрический смысл
производной). Механическая интерпретация Ф. Л.: если материальная
76
точка движется по координатной прямой согласно закону х=
= f(/), то в какой-то момент времени мгновенная скорость равна
средней, т. е. найдется такое /о Е [а; Ь], что v (to) = f'(t0) =	.
А 9—10,11,6.22; 24.
Формула я-го члена
—	— — арифметической прогрессии,
—	— — геометрической прогрессии,
— — — последовательности.
Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления интегралов). Из
сравнения формул для вычисления площади криволинейной трапеции
ь
(см.) S = F(b) — F(a) и S = j f(x)dx делается вывод: если F — перво-
а
образная для f на [а; Ь], то
ь
J f(x)dx = F(b)-F(a) = F(x)\t (Ф. Н.-Л.).
а
Эта формула верна для любой функции, непрерывной на отрезке
[а; 6].	*
Ф. Н.-Л.	верна	и	в	случае	а	>6,	если	считать,	что	\[(x)dx =
а	а	а
= — \f(x)dx (в частности, \f(x)dx = 0). А 9—10,111,9.34.
Ь	а
Формула	перехода	от	одного	основания	логарифмов	к	другому
основанию — см. Основные свойства логарифмов.
Формула разности квадратов — см. Разность квадратов.
Формула разности косинусов — см. Формулы суммы и разности
тригонометрических функций.
Формула разности кубов — см. Сумма и разность кубов.
Формула разности синусов — см. Формулы суммы и разности
тригонометрических функций.
Формула синуса разности — см. Формулы сложения.
Формула синуса суммы — см. Формулы сложения.
Формула суммы косинусов — см. Формулы суммы и разности
тригонометрических функций.
Формула суммы п первых членов
—	— — — арифметической прогрессии,
—	— — — геометрической прогрессии.
Формула суммы кубов — см. Сумма и разность кубов.
Формула суммы синусов — см. Формулы суммы и разности три-
гонометрических функций.
Формулы двойного угла — формулы, позволяющие выразить
sin 2а, cos 2а и tg 2а через тригонометрические функции угла а:
1.	sin 2а = 2 sin а cos а.
2.	cos 2а = cos2 а — sin2 а.
з.	tg 2а = ,2tf“ .
Б 1 — tg2 а
Из этих формул выводятся формулы 1 — cos 2а = 2 sin2 а, 1 4"
4-cos 2а = 2 cos2 a. A 8,V, 13.33.
Формулы дифференцирования: С' = 0; (х)' = 1; (ха)' = а ха-1;
•	4	,	1	1
sin' х = cos х; cos х = — sin х; tg х =---— ; ctg х =------т—п— ;
* cos2 х &	sm2x
(е7 = ех; (ах)' = ах1па; 1п'х= у; (f 4- g)' =/'+ g'; (fg)' = f'g +
77
+ fg'; Ш = сГ; (j)' = -gg/g'; (Kkx + b))' = kf'(kx + b)-,
tf(gW))' = f'(g(x)) • S' W- A 9—10,Справочный материал.
Формулы для приближенных вычислений. Если функция f диф-
ференцируема в хо, то при Дх, мало отличающихся от нуля, график
/(х) на малом отрезке [хо — /г; Хо 4- /г] примыкает к касательной к
графику f, проходящей через точку (хо; f(xo)). Следовательно, при
малых Дх значения f могут быть приближенно найдены по формуле
f(x) ж/(х0) 4- /'(х0)Дх. Так, sin 1° ж 0 4" 1 • -тбтг ~ 0,0174533. Выве-
/------------------------	1	1о0
дены формулы: *у1 4- Дх ж 1 4- — Дх; (1 4-Дх)" « 1 + пДх (п —
целое число). А 9—10,11,6.23.
Формулы половинного аргумента:
а	/14-cos а , а	/1 — cos а
cos У = ± л/ ~Г~ 1 g Т = ± Л/ 1+^Га •
Знак «плюс» или «минус» ставят в зависимости от того, какой знак
имеет левая часть (в какой четверти находится угол а).
sin а
1 4- cos а
* а
и =
Используются также формулы: tg -^ =
1 — cos а л Л Л т . Л
----:----. А 9—10,1,1.2.
sin а
Формулы приведения для тригонометрических функций — фор-
мулы, с помощью которых тригонометрические функции углов
вида л£/2±а, где k — произвольное целое число, могут быть выра-
жены через функции угла а (при любом а):
1.	sin (л/2 4- а) = cos а, cos (л/2 4- а) = — sin а.
2.	sin (л 4- а) = — sin а, cos (л 4" а) = — cos а.
3.	sin (Зл/2 4- а) = — cos а, cos (Зл/2 4- а) = sin а.
4.	sin (2л 4- а) = sin а, cos (2л 4- а) = cos а.
Приводятся и другие формулы, в том числе для тангенса и
котангенса. Результаты сведены в таблицу. Сформулированы зако-
номерности, имеющие место в Ф. п.: функция в правой части равен-
ства остается с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если
считать, что угол а является углом I четверти; для углов л ± а и
2л ± а название исходной функции сохраняется, для углов л/2 ± а
и Зл/2 ± а название исходной функции заменяется (синус на коси-
нус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
С помощью Ф. п. нахождение значения тригонометрической
функции любого угла можно свести к нахождению значения три-
гонометрической функции угла от 0 до л/2. А 8,V, 12.31.
Формулы сложения для тригонометрических функций — фор-
мулы, позволяющие выражать тригонометрические функции суммы и
разности двух углов через тригонометрические функции этих углов:
1.	cos (а — 0) = cos а cos р 4- sin а sin р (формула косинуса
разности: косинус разности двух углов равен произведению коси-
нусов этих углов плюс произведение синусов этих углов).
2.	cos (а -|- р) = cos а cos р — sin а sin р (формула косинуса
суммы: косинус суммы двух углов равен произведению косинусов
этих углов минус произведение синусов этих углов).
78
3. sin (a + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0 (формула синуса сум-
мы: синус суммы двух углов равен произведению синуса первого
угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла
на синус второго).
4.	sin (a — 0) = sin a cos 0 — cos a sin 0 (формула синуса разно-
сти: синус разности двух углов равен произведению синуса первого
минус произведение косинуса первого угла
1—4, можно вывести Ф. с. для тангенса
в <» + !>- ,-VX  W-
угла на косинус второго
на синус второго).
Используя формулы
и котангенса, например,
= ТТ5-----тЛ-- А 8>V, 13.32.
1 + tg a tg 0
Формулы сокращенного умножения — см. Разность квадратов,
Квадрат суммы и квадрат разности, Сумма и разность кубов, Куб
суммы и куб разности.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций.
1	l-о о . a 4- 0 a — 0
1.	sin a -f- sin 0 = 2 sin —-— cos — -сумма синусов двух
углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов
на косинус их полуразности.
о-	о п . a — 0	a-h0
2.	sin a — sin 0 = 2 sin —-—cos — ----разность синусов
двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности
этих углов на косинус их полусуммы.
о	I on a + 0 a — 0
3.	cos a 4- cos 0 = 2 cos —-— cos — --сумма косинусов
двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы
этих углов на косинус их полуразности.
л	о n . a + 0 . a — 0
4.	cos a — cos 0 = — 2 sin —sin —-------------разность коси-
нусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному
произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полураз-
ности.
3. Докажите, что tg a 4" tg 0 =-------—	,
cos a cos 0
= Sln<a —P) . a 8.V, 13.34.
cos a cos 0
tga — tg 0 =
Функция. Ф. с областью определения D наз. соответствие, при
котором каждому числу х из множества D сопоставляется некоторое
вполне определенное число у. Говорят, что у является Ф. от х.
Само соответствие обычно обозначают буквой f и записывают
у = f(х). Переменную х наз. независимой переменной или аргумен-
том, переменную у — зависимой переменной. Число y = f(x) наз.
значением Ф. f в точке х. Область определения Ф. f обозначают
D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x\ где х принадлежит
области определения Ф., наз. областью значений Ф. f и обозна-
чают E(f).
Если не дано дополнительных ограничений, то областью опре-
деления Ф., заданной формулой, считают множество всех значений
переменной, при которых эта формула имеет смысл.
у Ф. f с областью определения D и областью значений Е
наз. также отображением множества D на множество Е. Нередко
рассматривают Ф. (отображения), область определения или область
79
значений которых не являются числовыми множествами. V А 6,11,5.13;
7,1V,13.32; 9—10,1,2.3.
Функция, возрастающая в промежутке — см. Возрастание и
убывание функций.
Функция, дифференцируемая в точке — см. Производная.
Функция, непрерывная в точке — см. Непрерывность функции.
Функция, непрерывная на промежутке — см. Непрерывность
функции.
Функция, убывающая в промежутке — см. Возрастание и убы-
вание функции.
Функция у = х2. График Ф. проходит через начало координат,
а все его точки, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х.
Точки графика, имеющие противоположные абсциссы, располо-
жены симметрично относительно оси у (Ф.— четная).
Кривую такого вида (график Ф. у = х2) наз. параболой.
Объясняется, как с помощью таблицы квадратов (из «Четы-
рехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса) вычислять
значения Ф. у — х2 для чисел от 1 до 10.
Ф. х2 убывает в промежутке ( — оо; 0] и возрастает в проме-
жутке [0; + оо). А 6,111,9.24—25; 7,IV,13.33.
Функция у = х3. График Ф. проходит через начало координат,
расположен в первой и третьей координатных четвертях, при этом
точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположе-
ны симметрично относительно начала координат (Ф.— нечетная).
Ф. у = х3 является возрастающей. А 6,111,9.24.
Функция = Определена при х 0. График Ф. проходит
через начало координат и расположен в первой координатной чет-
верти. График Ф. -\[х— часть параболы. Графики функций у = х2,
где х>0, и у = ~\/х симметричны относительно прямой у = х.
Ф. у = ^[х является возрастающей. А 7,11,5.12; IV,13.33.
Функция y — k/x. О. Обратной пропорциональностью наз.
функция, которую можно задать формулой вида у = k/x, где х —
независимая переменная и k — не равное нулю число.
Областью определения Ф. y — k/x является множество всех
действительных чисел, отличных от нуля. Ф. нечетная. График не
пересекает ни оси у, ни оси х.
При k > 0 1) Ф. принимает отрицательные значения, если
х < 0, и положительные значения, если х>0; 2) Ф. убывает на
каждом из промежутков (— оо; 0) и (0; + оо).
При k <0 1) Ф. принимает положительные значения при
х<0и отрицательные при х > 0; 2) Ф. возрастает на каждом из
промежутков (— оо; 0) и (0; оо).
График Ф. состоит из двух ветвей (расположенных при k > 0
в первой и третьей четвертях, а при k <0 — во второй и четвертой).
Кривую такого вида наз. гиперболой. A 7,1V, 13.34.
Функция у —ах2. При а=1 получим функцию у — х2 (см.),
график которой — парабола. График Ф. у = 1,5х2 можно получить
из параболы у = х2 растяжением от оси х в 1,5 раза. График Ф.
z/ = 0,5x2 можно получить из параболы у = х2 сжатием к оси х в
2 раза. График Ф. у = ах2 при любом значении а #= 0, как и график
Ф. у = х2, наз. параболой.
Свойства Ф. у= ах2 при а =^= 0:
1.	При любом а, если х = 0, то у = 0. Значит, график Ф. проходит
через начало координат
80
2.	При а > 0, если х О, то у > 0; при а < 0, если х =£ 0, то
у < 0. Поэтому при а > 0 график Ф. расположен в верхней полу-
плоскости, при а < 0 — в нижней полуплоскости.
3.	Противоположным значениям аргумента соответствуют рав-
ные значения функции. Отсюда следует, что график Ф. симметри-
чен относительно оси ординат (Ф.— четная).
4.	При а>0Ф. убывает в промежутке ( — оо; 0] и возрастает
в промежутке [0; 4-оо); при а <с 0 Ф. возрастает в промежутке
(— оо; 0] и убывает в промежутке [0; + оо).
При а > 0 ветви параболы у = ах2 направлены вверх, при
а < 0 — вниз. Ось у является осью симметрии параболы. Точку пе-
ресечения параболы с ее осью симметрии наз. вершиной параболы.
Вершина параболы у = ах2 совпадает с началом координат. А 8,1,2.3.
Функция у = хп, п — натуральное (степенная функция с нату-
ральным показателем). Область определения — множество всех
действительных чисел.
1. п — четное. Если х = 0, то у = 0,— график Ф. проходит через
начало координат. Если х =/= 0, то у > 0,— график Ф. расположен
в первой и второй координатных четвертях. Ф. является четной —
график симметричен относительно оси ординат. Функция возрастает
в промежутке [0; + оо) и убывает в промежутке (— оо; 0].
2. п — нечетное. Если х = 0, то у — 0,— график Ф. проходит
через начало координат. Если х >» 0, то у > 0; если х <Z 0, то у < 0,—
график Ф. расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Ф. является нечетной — график симметричен относительно начала
координат. Ф. возрастает на всей области определения.
Областью значений степенной функции с четным показателем
является множество неотрицательных чисел, а областью значений
степенной функции с нечетным показателем — множество всех
действительных чисел. А 8,IV,8.20.
См. также Функция у = х2, Функция у = х3, Прямая пропор-
циональность.
Функция ^=sinx (синус). Сопоставляет каждому действи-
тельному числу его синус.
Сначала строится график Ф. на [0; 2л] (с использованием опре-
деления), для построения графика вне этого отрезка используется
свойство sin (х 4- 2лп) = sin х. Таким образом, график Ф. на всей
прямой получается из графика на отрезке [0; 2л] с помощью парал-
лельных переносов вдоль оси Ох (вправо и влево) на 2л, 4л, 6л, ... .
График сйнуса наз. синусоидой.
Свойства Ф. у = sin х.
1.	Область определения синуса — вся числовая прямая, а область
значений — отрезок [—1; 1]: D (sin) = R, Е (sin) = [—1; 1].
2.	а) Синус — нечетная функция: sin (—х) = — sin х для всех
х£/?.
б)	Синус — периодическая функция с периодом 2л: sin (х 4- 2л) =
= sin х для всех x(R (2л — наименьший положительный период).
3.	Нулями синуса являются точки х = лп, где n(Z.
4.	Промежутки знакопостоянства: интервалы (2лп; л 4~ 2лп),
на которых значения синуса положительны, и интервалы (л4"2лп;
2л 4-2лп), на которых значения синуса отрицательны, n£Z.
5.	Промежутки возрастания — отрезки [— л/2 4~ 2лп; л/2 4-
4-2лп], где n(Z, промежутки убывания — отрезки [л/2 4-2лп;
Зл/2 4- 2лп], где п £ Z.
6.	Синус имеет максимумы, равные 1, в точках л/2 4-2лп, где
n£Z; имеет минимумы, равные — 1, в точках Зл/2 4- 2лп, где n£Z.
А 9—10,1,1.1; 2.3; 3.6.
4—3029	01
Функция у = cos х (косинус). Сопоставляет каждому действи-
тельному числу его косинус.
Из равенства cos х = sin (х 4- л/2) следует, что график Ф.—
синусоида (см. Функция у = sin х), сдвинутая вдоль оси Ох на
л/2 влево.
Свойства Ф. у = cos х.
1.	Область определения Ф.— вся числовая прямая, а область
значений—отрезок [—1; 1]: D (cos) = R, Е (cos) = [— 1; 1].
2.	а) Косинус — четная функция: cos (— х) = cos х для всех
x£R.
б)	Косинус — периодическая функция с периодом 2л:
cos (х + 2л) = cos х для всех x£R (2л — наименьший положитель-
ный период).
3.	Нулями косинуса являются точки х = л/2 4~лл, где n£Z.
4.	П ромежутками знакопостоянства являются интервалы
(—л/2 4-2лп; л/2 4~2лл), на которых значения косинуса положи-
тельны, и интервалы (л/2 + 2лл; Зл/2 4-2лл), на которых значения
косинуса отрицательны, n£Z.
5.	Промежутки возрастания — отрезки [— л4~2лл; 2лл], где
n£Z; промежутки убывания—отрезки [2лл; л 4~ 2лл], где n£Z.
6.	Косинус имеет максимумы, равные 1, в точках х = 2лл, где
n£Z; точками минимума косинуса являются точки х = л4-2лл,
где n£Z, в которых значения косинуса равны —1. А 9—10,1,1.1; 3.7.
Функция y=\gx (тангенс). График Ф. строится вначале на
интервале (—л/2; л/2). Вследствие тождества tg (х + ли) = tg х
график Ф. на всей прямой получается из графика на интервале
(—л/2; л/2) параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо и
влево) на л, 2л и т. д. График Ф. наз. тангенсоидой.
Свойства Ф. у = tg х.
1.	Область определения тангенса — множество всех действи-
тельных чисел, кроме чисел вида л/2 4-лл, где n£Z; область зна-
чений — вся числовая прямая.
2.	а) Тангенс — нечетная функция: tg(— х) = — tg х для всех
xQD (tg).
б)	Функция тангенс — периодическая, ее период равен л:
tg (х 4- л) = tg х для всех x£D (tg) (л — наименьший положитель-
ный период тангенса).
3.	Нули тангенса — точки х = лл, где n£Z.
4.	Промежутками знакопостоянства тангенса являются интер-
валы (лл; л/2 4- лл), на которых тангенс положителен, и интервалы
(—л/2 4-лл; лл), на которых тангенс принимает отрицательные
значения, n£Z.
5.	Тангенс возрастает на промежутках (—л/2 4~лл; л/2 4-лл),
где n£Z.
6.	Ф. не имеет экстремумов. А 9—10,1,1.1; 3.8.
Функция y=ctgx (котангенс). Приводится график Ф.
▼ Свойства Ф. у = ctg х.
1.	Область определения — множество всех действительных
чисел, кроме точек лл, где n£Z; область значений — вся числовая
прямая.
2.	а) Котангенс — нечетная функция: ctg ( —х) = —ctg х для
всех x£D (ctg).
б) Ф. котангенс — периодическая, ее период равен л:
c*g 4-л) = ctg х для всех x£D (ctg) (л—наименьший положи-
тельный период).
82
3.	Нули котангенса — точки л/2 4- лп, n£Z.
4.	Промежутки знакопостоянства — интервалы (пн; л/2 4-лп),
на которых котангенс положителен, и интервалы ( — л/2-{-ля; ли),
на которых котангенс отрицателен, n£Z.
5.	Котангенс убывает на промежутках (ля; л 4- ля), n£Z.
6.	Функция не имеет экстремумов. V А 9—10,1,1.1; 3.9.
Хорда окружности — см. Окружность.
Целая часть числа х — наибольшее целое число, не превосхо-
дящее х. Обозначение: [х]. Строится график функции f (х) = [х].
Разность х — [х] наз. дробной частью числа х и обозначается
{х}. Приводится график функции f (х) = (х). А 9—10,1,2.3.
Целое уравнение — уравнение, левая и правая части которого
являются целыми выражениями (см.). Всякое Ц. у. можно заме-
нить равносильным ему уравнением, левая часть которого — мно-
гочлен стандартного вида, а правая — нуль.
Если Ц. у. с одной переменной записано в виде Р (х) = 0, где
Р (х)—многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена
наз. степенью уравнения. Степенью произвольного Ц. у. наз. степень
равносильного ему уравнения Р (х) = 0, где Р (х) — многочлен стан-
дартного вида.
Ц. у. первой степени можно привести к виду ах 4- b = 0, где
а=/=0. Оно имеет один корень. Ц. у. второй степени приводится к
виду ах2 4- Ьх 4- с = 0, а=/=0 и имеет не более двух корней. Урав-
нение третьей степени можно привести к виду ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0,
а =£ 0, уравнение четвертой степени — к виду ах4 4- Ьх3 4" сх2 4-
4- dx 4- е = 0,	0. Они имеют не более трех и четырех корней
соответственно. Вообще уравнение я-й степени имеет не более я кор-
ней. Для уравнений третьей и четвертой степеней известны фор-
мулы корней, но они очень сложные. Для уравнений пятой и более
высоких степеней общих формул корней не существует. На практике
для решения уравнений третьей и более высоких степеней исполь-
зуют различные методы, позволяющие находить приближенные зна-
чения корней с любой точностью. Иногда уравнение третьей или более
высоких степеней удается решить, применяя какой-либо специаль-
ный прием (например, разложение многочлена на множители).
А 8,11,4.7.
Целое уравнение с несколькими переменными — равенство,
содержащее несколько переменных. Если левая часть Ц. у. пред-
ставляет собой многочлен стандартного вида, а правая — числа
нуль, то степенью уравнения наз. степень этого многочлена. Сте-
пенью произвольного Ц. у. наз. степень равносильного ему урав-
нения, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а пра-
вая — нуль. А 8,11,5.10.
Целые выражения — выражения, составленные с помощью
действий сложения, вычитания и умножения. Произведение одина-
ковых множителей может быть записано в виде степени. К Ц. в.
относят и выражения, в которых кроме указанных действий исполь-
зуется деление на число, отличное от нуля. Многочлены и, в частно-
сти, одночлены являются Ц. в. Всякое Ц. в. можно представить в
виде многочлена.
Ц. в. имеет смысл при любых значениях входящих в него пере-
менных. А 7,1,1.1.
83
Целые числа — натуральные числа, противоположные им и
нуль. М 5,1,1.5.
Центр
— круга,
— окружности,
— шара.
Центр симметрии — см. Преобразование симметрии относитель-
но точки.
Центрально-симметричная фигура — см. Преобразование сим-
метрии относительно точки.
Центральный угол в окружности — плоский угол (см.) с вер-
шиной в центре окружности.
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, наз.
дугой окружности, соответствующей этому 1Д. у. Градусной мерой
дуги окружности наз. градусную меру соответствующего Ц. у.
т т	о	,
Ц. у. в п соответствует дуга окружности, имеющая длину / =
lot)
Развернутому углу соответствует длина полуокружности л/?, углу
л/?
в 1° соответствует дуга  . Г 8,12.
180
Цилиндр (круговой цилиндр) — тело, образованное заключен-
ными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех
параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей.
Отрезки с одним концом на окружности этого круга наз. образую-
щими Ц.
Поверхность Ц. состоит из оснований Ц.— двух равных кругов,
лежащих в параллельных плоскостях, и боковой поверхности.
Ц. наз. прямым, если его образующие перпендикулярны пло-
скостям оснований. Прямой Ц. обычно наз. кратко Ц. Прямой Ц. мож-
но рассматривать как тело, полученное при вращении прямоуголь-
ника вокруг его стороны как оси.
Радиусом Ц. наз. радиус его основания. Высотой Ц. наз. рас-
стояние между плоскостями оснований. Осью Ц. наз. прямая,
проходящая через центры оснований. Она параллельна образую-
щим. Сечение Ц. плоскостью, проходящей через ось Ц., наз. осевым
сечением. Плоскость, проходящая через образующую Ц. и перпен-
дикулярная осевому сечению, проведенному через эту образую-
щую, наз. касательной плоскостью Ц.
Т. Плоскость, перпендикулярная оси прямого Ц., пересекает его
боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Призмой, вписанной в Ц., наз. призма, основания которой —
равные многоугольники, вписанные в основания Ц. Призма наз.
описанной около Ц., если ее основания — равные многоугольники,
описанные около оснований Ц. Плоскости ее граней касаются
боковой поверхности Ц. Г 10,19.
Четверть (координатная) — см. Координаты на плоскости.
Четная функция. О. Функция у = f (х) наз. четной, если области
определения этой функции наряду с каждым числом х принадле-
жит и противоположное ему число —хи при этом верно равенство
/(-х) = Цх).
График Ч. ф. симметричен относительно оси ординат.
А 8,IV,8.19; 9—10,1,2.3.
Четырехугольник — фигура, состоящая из четырех точек и че-
тырех последовательно соединяющих их отрезков. Никакие три из
84
данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие
их отрезки не должны пересекаться. Данные точки наз. вершина-
ми Ч., а соединяющие их отрезки — сторонами. Вершины Ч. наз
соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вер-
шины, не являющиеся соседними, наз. противолежащими. Отрезки,
соединяющие противолежащие вершины, наз. диагоналями. Стороны
Ч., исходящие из одной вершины, наз. соседними сторонами. Стороны,
не имеющие общего конца, наз. противолежащими сторонами.
Ч. наз. выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости
относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама
прямая считается принадлежащей полуплоскости.
Ч. обозначается указанием его вершин, напр., Ч. ABCD. В обо-
значении Ч. рядом стоящие вершины должны быть соседними.
Углом выпуклого Ч. при данной вершине наз. угол, образован-
ный его сторонами, сходящимися в этой вершине. Г 7,6; 8,12.
Числа (части), пропорциональные данным числам. Числа
У\	У?
у\, У2, Уз, ... пропорциональны числам Х\, х2, %з, ...» если у- = — =
Уз	Х2
= — = ... . Коэффициент пропорциональности (см.) равен любо-
%3	„	У\	У2	Уз	гг
му из отношении	—,	—,	—.....Приводятся примеры деления на
X] Х2 Хз
части, пропорциональные данным числам. А 6,11,4.11.
Числитель дроби — см. Обыкновенная дробь.
Число е— см. Экспонента.
Числовая плоскость — множество упорядоченных пар действи-
тельных чисел. Любая упорядоченная пара действительных чисел
наз. точкой Ч. п. Ч. п. принято обозначать символом R2 (читается:
«эр два»). А 9—10, Материал для повторения.
Числовая прямая — множество R всех действительных чисел.
Элементы множества R (т. е. числа) наз. точками Ч. п. А 9—10,
Материал для повторения.
Числовое выражение. Объясняется на примерах. Ч. в. составля-
ются из чисел с помощью знаков действий в скобках. Если в Ч. в.
выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок дей-
ствий, то получится число, наз. значением Ч. в.
Сложение, вычитание и умножение можно производить над
любыми числами. Делить можно на число, не равное нулю. Если
в Ч. в. имеется деление на нуль, то говорят, что Ч. в. не имеет смысла.
А 6,1,1.1.
Числовые множества. Для обозначения Ч. м. приняты следую-
щие символы:
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Zo — множество целых неотрицательных чисел;
Q — множество рациональных чисел;
Qo — множество неотрицательных рациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
/? + — множество положительных действительных чисел.
Справедливы следующие соотношения N cz Z cz Q cz R. A 9—10,
Материал для повторения.
См. также Числовые промежутки.
Числовые неравенства. О. Число а больше числа b (а>Ь),
если разность а — b — положительное число; число а меньше числа
Ь(а < Ь), если разность а — b — отрицательное число.
Если разность а — b равна нулю, то число а равно числу Ь.
Для любых двух чисел а и b выполняется одно и только одно из
соотношений: а > b, a<z Ь, а = Ь.
85
Если а > b, то b < а\ если а < Ь, то b > а.
Если а больше b или а равно Ь, то пишут а b («а больше или
равно д»); если а меньше b или а равно Ь, то пишут а b («а меньше
или равно Ь»).
Неравенства, составленные с помощью знаков < или >>, наз.
строгими неравенствами, а неравенства, составленные с помощью
знаков или наз. нестрогими.
Приводится пример Ч. н.: а2 b2 > 2ab. A 7,1V, 11.26.
См. также Свойства числовых неравенств.
Числовые промежутки. Простейшие множества в R наз. про-
межутками.
Отрезок с концами а и b (обозначается [а; Ь]) есть множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а^х^Ь.
Интервал с концами а и b (обозначается (а; Ь)) есть множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенству a<Zx<Zb.
Полуоткрытые промежутки с концами а и Ь: [а; Ь) — множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенству a^.x<Zb; (а; 6] —
множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х Ь.
Бесконечные интервалы: (а; оо)—множество всех чисел х,
удовлетворяющих неравенству х> а\ (—оо; Ь)—множество всех
чисел х, удовлетворяющих неравенству х< Ь.
Бесконечные промежутки (замкнутые): [а; оо) — множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х а; (— оо; Ь]— мно-
жество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х^. Ь.
Множество R всех действительных чисел обозначают также
(—оо; оо). A 7,1V,12.29; 9—10,Материал для повторения.
Член
—	многочлена,
—	последовательности.
Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, находя-
щихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта
точка наз. центром Ш., а данное расстояние — радиусом Ш.
Граница Ш. наз. шаровой поверхностью, или сферой. Таким
образом, точками сферы являются все точки Ш., которые удалены
от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяю-
щий центр Ш. с точкой шаровой поверхности, также наз. радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий
через центр Ш., наз. диаметром. Концы любого диаметра наз. диа-
метрально противоположными точками Ш.
Ш. является телом вращения. Он получается при вращении
полукруга вокруг его диаметра как оси.
Ть Всякое сечение Ш. плоскостью есть круг. Центр этого круга
есть основание перпендикуляра, опущенного из центра Ш. на се-
кущую плоскость.
Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают Ш. по равным
кругам. Наибольший круг получается в сечении плоскостью, прохо-
дящей через центр Ш. Радиус этого круга равен радиусу Ш.
Плоскость, проходящая через центр Ш., наз. диаметральной пло-
скостью. Сечение Ш. диаметральной плоскостью наз. большим
кругом, а сечение сферы — большой окружностью.
Тг. Любая диаметральная плоскость Ш. является его плоскостью
симметрии. Центр Ш. является его центром симметрии.
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности
86
и перпендикулярная к радиусу, проведенному в точку А, наз. каса-
тельной плоскостью. Точка А наз. точкой касания.
Тз- Касательная плоскость имеет с Ш. только одну общую точ-
ку — точку касания.
Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности пер-
пендикулярно к радиусу, наз. касательной.
Т4. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесчис-
ленное множество касательных, все они лежат в касательной пло-
скости Ш. Г 10.19.
Шаровая поверхность (сфера) — см. Шар.
Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Объем Ш. с. высотой Н выражается формулой V = л//2(7? — /7/3),
R— радиус шара. Г 10,20.
Шаровой сектор — тело, которое получается из шарового сег-
мента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше
полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого
вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента.
Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него
удаляется.
Объем Ш. с. вычисляется по формуле V = ~ nR2H, где R —
радиус шара, а Н — высота соответствующего шарового сегмен-
та. Г 10,20.
Шаровой слой — часть шара, расположенная между двумя па-
раллельными плоскостями, пересекающими шар.
Объем Ш. с. между плоскостями х = а и х = b находится по
ь
формуле V = л J(/?2 — x2)dx = n,R2(b — а)-^-(b3 — a3) (центр ша-
ра принят за начало координат, плоскость ху пересекает шар по
окружности, уравнение которой х2 + у2 = R2). Г 10,20.
Экспонента. Существует такое число, большее 2 и меньшее 3
(это число обозначают буквой е), что показательная функция у = е*
е^х — 1
в точке 0 имеет производную, равную 1, т. е. ——-->1 при Ах->0.
Число е иррационально, е = 2,71828...
Функцию 6х часто наз. Э. и обозначают ехр х (читается: «эксп
от икс»). А 9—10,IV,12.45.
Экстремум функции — см. Достаточные условия существования
экстремума, Критические точки функции, Наибольшее и наимень-
шее значения функции, Теорема Ферма, Точки экстремума.
СЛОВАРЬ ПО ИНФОРМАТИКЕ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ
Адрес — см. Память ЭВМ.
Алгол-60 — см. Языки программирования.
Алгоритм — понятное и точное предписание (указание) исполни-
телю совершить последовательность действий, направленных на
достижение указанной цели или на решение поставленной задачи.
Запись А. распадается на отдельные указания исполнителю
выполнить некоторое законченное действие. Каждое такое указание
87
наз. командой. На каждом шаге исполнения А. исполнителю точно
известно, какая команда должна выполняться следующей. Поочеред-
ное выполнение команд А. за конечное число шагов приводит к
решению задачи. Совокупность команд, которые могут быть вы-
полнены исполнителем, наз. системой команд исполнителя. Для пра-
вильного построения А. необходимо знать систему команд испол-
нителя и быть уверенным, что исполнение А. завершится за ко-
нечное число шагов. И 9,1,1.1.
См. также Алгоритмический язык, Последовательное построение
алгоритма.
Алгоритм вычисления значений многочлена (схема Горнера).
Многочлен аохп + а\хп~1 -f-....-f- ап-ix 4- ап преобразуется к виду
(...((аох +	+ а2)х 4- ... 4- ап _ |)х 4- ап. Операции выполняются в
порядке, определяемом скобками. А. в. з. м. упрощает вычисления
и удобен для записи на алгоритмическом языке. Приведен в И 9,11,7.
Алгоритм Евклида — алгоритм нахождения наибольшего общего
делителя двух натуральных чисел. Приводится запись А. Е. на алго-
ритмическом языке. И 9,1,1.1; 3.8.
Алгоритмический язык — система обозначений и правил для
единообразной и точной записи алгоритмов и их исполнения. Пра-
вила А. я. лежат в основе языков программирования для ЭВМ.
А. я. имеет свой словарь, основу которого составляют слова,
употребляемые для записи команд, входящих в систему команд испол-
нителя. Такие команды наз. простыми командами. Обычно простая
команда выглядит как повелительное предложение, включая, если не-
обходимо, формулы и другие символические обозначения. Кроме того,
в А. я. используется некоторое ограниченное число слов, смысл и
способ употребления которых задан раз и навсегда. Эти слова наз.
служебными словами. При записи алгоритмов они выделяются и
записываются, как правило, в сокращенной форме.
Алгоритм, записанный на А. я., должен иметь название, для
выделения которого перед ним записывается служебное слово алг.
За названием алгоритма записываются его команды. Для указания
начала и конца алгоритма его команды заключаются в пару служеб-
ных слов нач. и кон. Команды записываются последовательно.
При записи одной команды можно перейти на другую строку. Если
несколько команд записываются на одной строке, то они разделяются
точкой с запятой (;).
Последовательность нескольких команд алгоритма, выполняю-
щихся одна за другой, наз. серией. Серия может состоять из одной
команды. В А. я. встречаются линейные алгоритмы, состоящие из
одной серии простых команд, а также разветвляющиеся (см.) и
циклические (см.) алгоритмы, для записи которых используют две
так называемые составные команды: команда ветвления (см.) и
команда повторения (см.), в каждую из которых входит условие,
в зависимости от которого выполняются или не выполняются простые
команды из числа входящих в составную. И 9,1,2.3; 4.
Алгоритмы вычисления значений функции — см. Вспомогатель-
ные алгоритмы вычисления значений функции.
Алгоритмы поиска информации. Одно из важнейших применений
компьютеров — учет и обработка экономической информации. Рас-
сматривается упрощенная модель реальной обработки информации
на примере учета хранящихся на складе предметов. Используется
алгоритм двоичного поиска, для которого круг поиска на каждом
шаге алгоритма сужается примерно вдвое. И 10, Приложение IV.
88
Алгоритмы работы с графической информацией. Если задача,
результатом решения которой является графическая информация
(чертежи, графики, диаграммы, рисунки и др.), решается с помощью
компьютера, то эта информация выводится либо на графический
дисплей, на экране которого высвечивается эта информация, либо
на графопостроитель, который вычерчивает графическую информацию
на листе бумаги.
А. р. с г. и. состоят из специальных графических команд, каж-
дая из которых указывает, какое элементарное графическое действие
надо совершить (нарисовать точку, отрезок, окружность, многоуголь-
ник и т. д.).
Предлагается набор команд для вычерчивания простейших фи-
гур, использующий прямоугольную систему координат на плоскости.
Сначала исполнитель находится в точке (0; 0) и смотрит вдоль оси у.
1.	Команды вычерчивания: вперед (а), назад (а). По команде
вперед (а) исполнитель вычерчивает отрезок длиной а с начальной
точкой и с направлением таким же, как у исполнителя перед началом
этой команды. После выполнения этой команды исполнитель попа-
дает в концевую точку отрезка, а его направление остается неиз-
менным. По команде назад (а) вычерчивается отрезок в направ-
лении, обратном направлению исполнителя. Направление исполни-
теля при этом не меняется.
2.	Команды поворота: направо (Ь), налево (Ь). Исполнитель
по команде направо (Ь) поворачивается на b градусов вправо; по
команде налево (Ь) —на b градусов влево.
3.	Команды для вычерчивания изображения, состоящего из
отдельных элементов: рисуй, не рисуй. По команде не рисуй исполни-
тель перестает рисовать отрезки, а команды вперед и назад исполь-
зуются теперь только для передвижения (без рисования). Для
отмены действия команды не рисуй вводится команда рисуй. После
этой команды исполнитель при выполнении команд вперед и назад
начинает рисовать отрезки. И 9,11,9.
Алгоритмы работы с литерными величинами — см. Текст.
Алфавитно-цифровое печатающее устройство (АЦПУ) — см.
Устройства ввода-вывода.
Аргумент — см. Заголовок алгоритма.
Архитектура ЭВМ — основные принципы устройства ЭВМ. Эти
принципы были обоснованы математиком Дж. фон Нейманом
в 1946 г. Первая ЭВМ, основанная на этих принципах, ЭДСАК, была
создана в Англии в 1949 г. М. Уилксом. И 9,Введение; 10,111,16.
См. также Поколения ЭВМ.
База данных — специальным образом организованное (с по-
мощью компьютеров) хранилище информации. После организации
Б. д. компьютер может работать в качестве так называемой инфор-
мационно-поисковой системы, способной практически мгновенно отве-
чать на интересующие нас вопросы. И 9,Введение; 10,111,17.
Базовое программное обеспечение ЭВМ — см. Операционная
система.
Байт — единица информации, состоящая из 8 битов, Каждый из
которых может принимать два значения: 0 или 1. Таким образом, Б.
может принимать 28 = 256 различных значений, а состоящее из двух
Б. (16 битов) машинное слово может принимать 2,6= 65536 раз-
личных значений. Биты в словах принято нумеровать справа нале-
89
во. Значение нулевого бита обозначается /о, значение 1-го бита обо-
значается ит. д.
Для измерения объема памяти ЭВМ используются производные
единицы — килобайт (1 килобайт = 210 байт), мегабайт (1 мега-
байт =2*0 килобайт) и гигабайт (1 гигабайт = 210 мегабайт). Эти
единицы обозначаются соответственно кбайт, Мбайт и Гбайт. И ^Вве-
дение; 10,1.4.
Бейсик — язык программирования. Создан в США. В настоящее
время Б.— один из самых распространенных в мире языков програм-
мирования на персональных компьютерах. И 10,11,14; 15.
См. Общий вид программы на Бейсике, Константы и перемен-
ные в Бейсике, Выражения в языке Бейсик.
Библиотека алгоритмов — фонд алгоритмов, представляющих
интерес для дальнейшего использования.
В Б. а. И 9, И 10 включены следующие алгоритмы:
1.	Алгоритм вычисления модуля действительного числа.
2.	Алгоритм решения линейного уравнения ах= Ь, где а и b —
произвольные вещественные числа.
3.	Алгоритм решения неравенства ах > Ь, где а и Ь — произ-
вольные вещественные числа.
4.	Алгоритм нахождения наименьшего элемента в линейной
таблице чисел.
5.	Алгоритм упорядочения по возрастанию элементов линейной
таблицы чисел.
6.	Алгоритм вычисления значений многочлена Рп(х) = аох” +
4- а\х?~* + ••• +	+ ап по схеме Горнера.
7.	Алгоритм уточнения корня уравнения f(x)=O на отрезке
[а; 6] с заданной точностью е при условии, что функция f(x) на от-
резке [а; Ь] монотонна и меняет знак.
8.	Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми х = а, х — b, у = 0 и кривой у = f(x) при усло-
вии, что для всех х из отрезка [а; Ь] значения f(x) 0.
9.	Алгоритм нахождения максимальной из двух величин.
10.	Алгоритм решения квадратного уравнения ах2Ьхс = 0,
где а, Ь, с — произвольные вещественные числа (а^0).
11.	Алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего де-
лителя двух натуральных чисел.
12.	Алгоритм вычисления факториала натурального числа.
13.	Алгоритм нахождения остатка при делении целого положи-
тельного числа на целое положительное число.
14.	Алгоритм деления с остатком целых положительных чисел.
15.	Алгоритм подсчета количества отрицательных, нулевых и по-
ложительных элементов в таблице.
16.	Алгоритм нахождения наименьшего делителя целого поло-
жительного числа х (не считая единицы).
17.	Алгоритм замены букв а на буквы б. И 9,Приложение II;
10,Приложение II.
Бит — единица измерения количества информации. Один Б.—
это количество информации,. содержащееся в сообщении типа «да-
нет» (О.или 1 в двоичном коде).
Б. наз. также цифры 0 и 1 в записи информации, закодирован-
ной в виде последовательностей цифр 0 и 1. И 9,Введение; 10,1,Пре-
дисловие.
См. также Байт.
Большие интегральные схемы (БИС) —см. Микросхема.
90
Ввод-вывод — см. Устройства ввода-вывода, Команды ввода и
вывода на Рапире, Команды ввода-вывода на Бейсике.
Величины делятся на постоянные и переменные. Постоянными
наз. В., значения которых не меняются в процессе исполнения
алгоритма; переменными наз. В., значения которых меняются в про-
цессе исполнения алгоритма. Для обозначения переменных В. вво-
дится обозначение, наз. в алгоритмическом языке именем В. При ис-
полнении алгоритма в каждый момент времени В. обычно имеет опре-
деленное значение. Оно наз. текущим значением. В процессе ис-
полнения алгоритма В. может не получить конкретного значения.
Такая В. наз. неопределенной.
В. могут иметь различный тип: они могут быть натуральными
(нат.), целыми (цел.), вещественными (вещ.) и литерными (лит.).
Литерными наз. В., значениями которых являются слова или текст.
Для выделения текста, являющегося значением литерной В., значения
литерных В. берутся в кавычки. И 9,1,3.5.
См. также Константы и переменные в Бейсике.
Вещественные числа — название действительных чисел в про-
граммировании. И 9,1,6.
Внешние устройства ЭВМ обеспечивают ввод и вывод инфор-
мации (см. Устройства ввода-вывода), взаимодействие ЭВМ с чело-
веком и другими ЭВМ. Кроме того, В. у. позволяют сохранить
информацию на так называемых внешних носителях: гибких магнит-
ных дисках, кассетах, магнитофонах и т. п. И 10,1,Введение.
Внешняя (медленная) память ЭВМ — см. Память ЭВМ.
Внутренняя (оперативная) память ЭВМ — см. Память ЭВМ.
Вспомогательные алгоритмы вычисления значений функций.
Первая строка записи алгоритма является заголовком, где указаны
тип значений функции, название функции, далее в скобках дается
список ее аргументов с указанием типа. В заголовке больше не
указывается ничего — и так ясно, что все перечисленные в скобках
величины являются аргументами, а результатом является значение
функции, обозначаемое условно служебным словом знач. Эта вели-
чина используется как переменная, тип которой совпадает с типом
значений функции. Указывать тип этой величины не следует. За заго-
ловком следует алгоритм вычисления значения функции f(x) при
заданном х. И 10,11,8.
Вспомогательный (или подчиненный) алгоритм — алгоритм,
целиком используемый в составе других алгоритмов. Обращение
к В. а. в алгоритмическом языке записывается в виде команды вызо-
ва В. а. (см.). После выполнения команды вызова выполняется
следующая за ней в основном алгоритме команда.
При записи шагов исполнения основного алгоритма, содер-
жащего в себе вызов В. а., в таблице значений записываются только
величины основного алгоритма. При записи шага, состоящего в вы-
зове В. а., записываются новые значения тех величин, которым
присваиваются результаты данного исполнения В. а. Если есть необ-
ходимость проследить исполнение В. а., то для каждого обращения
к нему составляется своя таблица значений.
Каждое исполнение В. а.— это один шаг основного алгоритма.
И 9,1,4.11.
Вывод — см. Устройства ввода-вывода, Команды ввода и вывода
на Рапире, Команды ввода-вывода на Бейсике.
Выражения в команде присваивания могут быть записаны с по-
мощью следующих операций и функций: сложение — х у, вычи-
91
тание — х — у, умножение — х*у, деление — х/у, возведение в сте-
пень— х**г/, взятие элемента линейной таблицы — %[/], взятие эле-
мента прямоугольной таблицы — х[/, /], извлечение корня—sqrt(x),
синус — sin(x), косинус — cos(x), тангенс — tg(x), арксинус —
arcsin(x), арккосинус — arccos(x), арктангенс — arctg(x), десятичный
логарифм — lg(x), соединение строк — s -f-1, вырезка —s [i: j]. При
записи В. могут быть также использованы функции, алгоритмы вы-
числения которых включены в библиотеку вспомогательных алго-
ритмов.
В. в условиях составляются по тем же правилам. В качестве
знака можно использовать = и =/=, а также (для В. с целыми и
вещественными значениями) знаки <,	И 10,Приложение
1.7; 9.
Выражения в языке Бейсик. Как и в алгоритмическом языке,
в Бейсике из переменных и констант с помощью знаков операций
и круглых скобок можно строить выражения. Для обозначения
арифметических операций используются символы: -|------сложение,
-----вычитание, — умножение, / — деление, Л — возведение в сте-
пень. Для литерных переменных в Бейсике разрешено использовать
только одну операцию — соединение текстов. Эта операция обозна-
чается знаком +.
В выражениях языка Бейсик, как и в алгоритмическом языке,
можно использовать названия функций, напр., SIN (X), ABS(X).
Для записи алгоритмов на языке Бейсик можно использовать
только те символы, которые есть на клавиатуре ЭВМ: это почти все
символы математики (кроме греческих букв); операция извлечения
квадратного корня (^/а) обозначается SQR(a); выражения a=£b,
b, а^Ь записываются	а> — Ь, а<_—Ь соответ-
ственно. И 10,11,14.3.
Вырезка — см. Текст.
Гибкий диск — пластмассовая круглая пластинка, покрытая спе-
циальным составом, обладающим магнитными свойствами. Для запи-
си или считывания магнитной головкой информации Г. д. вставляется
в дисковод. Запись и воспроизведение происходят, как и в магнито-
фонах, только информация состоит из нулей и единиц.
На Г. д. может быть записано до 0,5 Мбайт информации.
Емкость одного Г. д. оказывается достаточной, чтобы запомнить
несколько сотен тысяч байтов. И 10,1,5.
См. также Магнитная память.
Гигабайт — см. Байт.
Графическая информация — см. Алгоритмы работы с графиче-
ской информацией.
Графопостроитель — см. Устройства ввода-вывода, Алгоритмы
работы с графической информацией.
Двоичные коды — см. Информация.
Дисковод — устройство для записи и чтения информации на гиб-
ком магнитном диске. И 9,Введение.
Дисплей — см. Устройства ввода-вывода.
Длина текста — см. Текст.
Единицы измерения информации и объема памяти ЭВМ —
см. Байт.
92
Заголовок алгоритма. Запись всякого алгоритма начинается с
заголовка (приводятся примеры). Перед каждым именем величины
указывается ее тип. Величины, являющиеся исходными данными
для алгоритма, наз. аргументами. Их список помещается после
служебного слова арг. Результаты алгоритма перечисляются
после служебного слова рез. Имена аргументов и результатов алго-
ритмов перечисляются через запятую.
Общий вид 3. а.:
ал г название алгоритма (список величин с указанием типов)
арг имена аргументов
рез имена результатов И 9,1,3,6.
Загрузчик. Программы, написанные на языке машинных команд,
хранятся во внешней памяти ЭВМ — чаще всего на диске. Специаль-
ная программа — 3. находит нужную программу на диске, копирует
ее в память ЭВМ и устанавливает начальное значение Счетчика
Команд. Если данная программа использует подпрограммы, то 3. на-
ходит их и тоже помещает в память ЭВМ. И 10,111,17.
Запись алгоритмов в виде процедур на Рапире. Отмечаются
основные отличия от записи алгоритмов на алгоритмическом языке.
1.	Алфавит языка Рапира ограничен: можно использовать
только русские и латинские буквы. Переменные с индексами запи-
сывают в одну строку: Х| пишется как XI и т. п.
2.	Возведение в степень обозначается двумя звездочками, умно-
жение— одной, квадратный корень из числа х записывается как
SQRT (X), деление обозначается символом /.
3.	Вместо служебного слова алг используется слово ПРОЦ
(сокращение от «процедура»).
4.	Имена в Рапире (названия алгоритмов, переменных и т. п.)
должны представлять собой последовательность букв, цифр и симво-
лов подчеркивания (_____) и не должны содержать пробелов.
5.	Нет отдельных списков аргументов и результатов. Вместо этого
в перечислении величин в заголовке процедуры (их наз. параметрами
процедуры) ставится стрелка =>- (состоящая из двух символов = и
>) перед аргументами и после результатов. (Если какая-то величина
Z является и аргументом, и результатом, то стрелка ставится и до,
и после: =>Z=>).
6.	В заголовке процедуры на Рапире не указываются типы пара-
метров: одна и та же величина может в разные моменты принимать
значения разных типов. Другими словами, типы имеют не сами ве-
личины, а их значения.
7.	Не конкретизируется тип промежуточной величины, напр.,
вместо вещ D записывается ИМЕНА: D.
8.	Команды повторения и выбора пишутся на Рапире так же,
как и на алгоритмическом языке, только с использованием заглав-
ных букв при записи служебных слов.
9.	Вместо знака =# используется комбинация знаков / = , вместо
и — комбинации < = и > =.
10.	Текст, предназначенный для человека, читающего программу,
заключается в скобках между звездочками. Исполнитель программы
(компьютер) пропускает части программы, заключенные между (*
и *). И 10,11,10; И.
Запись алгоритмов вычисления значений функций на Рапире.
Особенности записи:
1. Вместо служебного слова алг используется слово ФУНК, тип
значений функции заранее не указывается.
93
2. Стрелки перед аргументами функции не ставятся. И 10,11,11.
Запись условий в алгоритмическом языке. Простое условие в
алгоритмическом языке имеет вид: выражение знак выражение.
Напр., а 4- b >• с + d. Составное условие состоит из простых, соеди-
ненных служебными словами и, или, не. Условия встречаются
в командах ветвления, выбора и повторения. И 10,Приложение 1.9.
См. также Отношения между величинами в качестве условий.
Знак присваивания — см. Команда присваивания.
Имя величины — см. Величины.
Инвертор — простейшее электронное устройство обработки ин-
формации, закодированной с помощью наличия или отсутствия
напряжения. И. имеет два контакта, входной и выходной, и устроен
так, что если подать на вход напряжение (1), то на выходе оно
пропадает (0), а если на вход не подавать напряжения (0), то на
выходе оно будет (1).
На тех же принципах работает и более сложный элемент (И-
НЕ), имеющий два входа и один выход. На выходе его появится
нуль, если на обоих его входах — единицы. Во всех остальных
случаях на его выходе появляется единица. ЭВМ строятся из тысяч и
миллионов такого рода элементов. И 10,1,5.
Интерпретатор — см. Языки программирования.
Информатика — наука, исследующая законы и методы перера-
ботки и накопления информации. Развитие И. связано с использова-
нием электронно-вычислительных машин, устройств для хранения и
переработки информации. И 9,Введение.
Информационно-поисковая система. Поясняется на примерах
библиотеки, АМТС и др. И 9,Введение.
См. также База данных.
Информация в ЭВМ хранится и обрабатывается в виде комби-
нации электронных сигналов двух типов, которые принято обозна-
чать цифрамй 0 и 1. «Любая И. представлена в ЭВМ последователь-
ностью цифр 0 и 1, такие последовательности наз. двоичными ко-
дами. В большинстве ЭВМ один символ записывается кодом из 8
цифр (восьмиразрядный код). Числовая И. также кодируется после-
довательностью двоичных цифр. Любое преобразование И. внутри
ЭВМ сводится к работе с двоичными кодами. И 9,Введение; 10, Вве-
дение.
См. также Память ЭВМ, Бит, Байт.
Исполнение алгоритма. Сначала исполнитель составляет таблицу
записи значений используемых в алгоритме переменных величин.
Такую таблицу наз. таблицей значений. При И. а. компьютером зна-
чения величин хранятся в его памяти. При И. а. человеком таблица
значений выполняет роль дополнительной памяти для исполнителя.
Затем исполнитель приступает непосредственно к И. а. Алгоритм
расчленяется на отдельные команды, которые последовательно реги-
стрируются в таблице как шаги алгоритма. Выполнение шагов алго-
ритма демонстрируется на примерах решения квадратного уравнения
и алгоритма Евклида. И 9,1,3.8.
Калькулятор «Электроника БЗ-36» — вычислительное устройство
небольших размеров с набором из 25 клавиш и световым экраном
(индикатором) для научно-технических расчетов. К- является вычис-
лительным средством исполнителя-человека и позволяет в ряде слу-
94
чаев выполнить отдельные вычислительные команды алгоритма.
Приводится цикл задач для К.:
1.	Выполнение вычислительных команд алгоритма (А. Задачи на
непосредственное вычисление; Б. Задачи с буквенными обозначе-
ниями; В. Задачи на построение графиков; Г. Аналитические
задачи).
2.	Вычислительные задачи из курсов физики и химии.
3.	Использование К. для выполнения алгоритма (на примерах
алгоритма Евклида, вычисления значений многочлена по схеме Гор-
нера). И 9,Приложение I.
Килобайт — см. Байт.
Клавиатура — см. Устройства ввода-вывода.
Кодировка адресов. В ЭВМ каждый адрес кодируется после-
довательностью из 16 нулей и единиц, т. е. словом. В программах
обозначают адреса числами от 0 до 65535. Соответствие между
этими числами и последовательностями из 16 нулей и единиц зада-
ется формулой
адрес = /is • 215 -р /п • 214 4~ ••• /о • 2°.
Приводятся примеры К. а. И 10,1,4.2.
Кодировка команд. В ЭВМ каждая команда кодируется последо-
вательностью из 16 нулей и единиц, т. е. словом. Конкретные приме-
ры К- к. приведены в приложениях. И 10,1,5; Приложение III.
Кодировка символов. Символы (цифры, русские и латинские
буквы, знаки препинания и пр.) обычно кодируются последова-
тельностями из 8 нулей и единиц, т. е. байтами. Поскольку байт
имеет 256 различных значений, можно закодировать 256 различных
символов. Существует несколько различных способов К- с. Конкрет-
ный способ К. с. задается таблицей, в которой указаны коды всех
символов. И 10,1,4.4.
Кодировка целых чисел. Целые числа кодируются последова-
тельностями из 16 нулей и единиц, т. е. словами. Поэтому можно
закодировать лишь 65 536 различных целых чисел. Способ кодировки
выбран так, что он охватывает целые числа от — 32 768 до 32 767
Соответствие между целым числом и его двоичным кодом задается
формулой
число = /15 • 2*5 -|- /14 • 214 -р ... -|- /о • 2° — /15 • 216.
Приводятся примеры К. Ц. ч. И 10,1,4.3.
Команда — см. Алгоритм, Программа.
Команда ветвления в алгоритмическом языке. 1. Полная форма:
если условие
то серия 1
иначе серия 2
все
В зависимости от условия выполняется только одна из двух се-
рий команд, входящих в К. в. Если условие соблюдено, то выполня-
ется серия 1, если нет — серия 2. К. в. заканчивается, как только
выполняется последняя команда из серии 1 или серии 2. В качестве
условия в К- в. может быть использовано любое понятное исполни-
телю утверждение, которое может соблюдаться или не соблюдаться.
Утверждение может быть выражено словами или формулой.
95
2. Сокращенная форма:
если условие
то серия
все
В этом случае, если условие соблюдено, выполняется указанная
серия команд. Если же нет, то выполнение К- в. на этом заканчивается.
И 9,1,2.4; 10,Приложение 1.3.
Команда ветвления в Бейсике. Общий вид этой команды:
IF условие THEN команда ELSE команда
Английские слова IF, THEN, ELSE соответствуют русским если,
то, иначе. Команда .выполняется аналогично команде ветвления в
алгоритмическом языке (см.).
Как и в алгоритмическом языке, в Бейсике можно образовы-
вать составные условия, только вместо слов и, или, не нужно
писать AND, OR, NOT соответственно; исходные условия можно
брать в круглые скобки, напр., условие (х > 5) AND (х < =7)
означает, что 5'< х 7. И 10,11,15.1.
См. также Выражения в языке Бейсик, Отношения между ве-
личинами в качестве условий.
Команда выбора. 1. Полная форма:
выбор
при условие 1: серия 1
при условие 2: серия 2
при условие N: серия N
иначе серия
все
При выполнении К- в. последовательно проверяются условия
команды. Как только исполнитель находит условие, которое соблю-
дается, он выполняет серию идущих за ним команд (и на этом выпол-
нение К. в. заканчивается). Если ни одно из условий не соблюдается,
то выполняется серия команд, идущих после слова иначе.
2.	Сокращенная форма:
выбор
при условие 1: серия 1
при условие 2: серия 2
при условие N: серия N
все
В сокращенной форме К- в. отсутствуют слово иначе и серия
идущих за ним команд. Если ни одно из условий К- в. не соблюдается,
выполнение К- в. заканчивается.
Команду ветвления (см.) можно рассматривать как частный
случай К. в. И 10,11,6; Приложение 1.4.
Команда вызова вспомогательного алгоритма имеет вид:
имя (список аргументов и результатов)
Если вспомогательный алгоритм вычисляет значение функции,
то для его вызова достаточно записать в выражении имя этой
функции. Напр., при выполнении команды r/ = abs(a+l) вызыва-
96
ется вспомогательный алгоритм abs. И 9,1,4.11; 10,Приложение 1,8.
См. также Вспомогательный алгоритм.
Команда комментария в Бейсике — команда REM, которая позво-
ляет вносить в текст программы комментарии: любой текст от слова
REM (от английского слова remark — пояснение) до конца строки
игнорируется во время исполнения программы. И 10,11,15.3.
Команда обращения к подпрограмме в Бейсике — команда
GOSUB, которая позволяет перейти к исполнению программы с той
строки, номер которой указан в команде. Как только первый раз после
выполнения команды GOSUB встретится команда RETURN (вернуть-
ся), исполнение программы продолжается со строки, следующей за
командой GOSUB. И 10,11,15.3.
Команда окончания исполнения программ в Бейсике — команда
END. И 10,11,15.3.
Команда повторения (цикл «пока») в алгоритмическом языке
встречается в задачах, в которых требуется повторять одни и те же
действия. К. п. записывается так:
пока условие
нц
серия
кц
При выполнении К. п. входящая в нее серия команд повторяется
до тех пор, пока соблюдается указанное условие. Если условие не
соблюдается с самого начала, то серия не выполняется ни разу.
Условие цикла проверяется перед выполнением серии, но не в процессе
ее выполнения. И 9,1,2.4; 10, Приложение 1.5.
Команда повторения в Бейсике бывает двух видов. Первый из них
аналогичен команде повторения (см.) пока — нц — кц. Вместо слова
пока используется WHILE, вместо кц — WEND. Все команды, стоя-
щие после слова WHILE до слова WEND, выполняются до тех пор,
пока соблюдается условие, стоящее после WHILE. После этого снова
проверяется условие. Как только выяснится, что условие не соблю-
дается, выполнение команды WHILE закончится и начнется выпол-
нение команды, следующей за WEND.
Второй тип команды повторения аналогичен команде повторения
с параметром (см.). Используются слова FOR, ТО, NEXT (для, до,
следующий). Напр., по команде 20 FOR 1% =0 ТО В % переменная
1% меняется последовательно с шагом 1 от 0 до В % и для каждого
значения 1% выполняются команды, стоящие между FOR и NEXT
После слова NEXT можно указывать имя параметра. Значение пара-
метра может изменяться с шагом, отличным от 1. Для этого использу-
ется служебное слово STEP (шаг). Запись 20 FOR 1% =0 ТО В %
STEP 2 означает, что шаг изменения переменной 1% равен 2.
И 10,11,15.2.
Команда повторения с параметром (цикл «для») в алгоритми-
ческом языке. Общий вид команды такой:
ДЛЯ X ОТ Xmjn ДО Шаг Хщаг
НЦ
серия
кц
В К. п. с п. х — целочисленная переменная, наз. парамет-
ром, a Xmin, X шах и Хшаг— целочисленные выражения, причем Хшаг долж
но быть больше 0. Входящая в К. п. с п. серия выполняется для
последовательности значений х= Xmin; Xmin 4“ -^шаг; Xmin 4“ 2% шаг» •••»
97
Xmax. Если Xmin = Xmax, серия выполняется только один раз, если же
с самого начала Xmin > Хтах, то серия не выполняется ни разу.
Наиболее часто употребительна К- п. с п., в которой шаг (т. е. зна-
чение xuiar) равен 1. В этом случае слово «шаг 1» можно опустить.
И 10,11,7, Приложение 1.6.
Команда присваивания — команда вида: имя: = выражение
В К- п. имя — имя некоторой величины. В результате выпол-
нения команды значение этой величины становится равным указан-
ному в команде выражению, которое должно иметь соответствующий
тип. При записи выражений (см.) могут быть использованы операции
и функции, а также функции, алгоритмы вычисления значений
которых включены в библиотеку алгоритмов (см.).
В левой части К. п. может стоять выражение
%[/], если х — линейная таблица,
у 7, /], если у — прямоугольная таблица,
$[/:/], если s — литерная величина.
В языке Бейсик вместо знака присваивания «: =» используется
знак «=». И 9,1,3.7; 10,Приложение 1.7.
Команды ввода-вывода в Бейсике.
Команда PRINT используется для вывода на экран цифровой
и буквенной информации.
Команда INPUT позволяет приостановить исполнение програм-
мы и ввести с клавиатуры значения переменных, имена которых
следуют за командой INPUT. И 10,11,15.4.
Команды ввода и вывода на Рапире.
По команде ВВОД: X вводятся литерные значения переменной X.
После завершения ввода необходимо нажать специальную клавишу
для продолжения исполнения программы.
По команде ВВОД ДАННЫХ: X вводимые данные воспринима-
ются как числа. Для отделения целой части от дробной применяется
точка (а не запятая).
Команда ВЫВОД: X выводит на экран дисплея значение X, при
этом тип значений X машине известен. И 10,11,13.
Команды вычерчивания — см. Алгоритмы работы с графической
информацией.
Команды поворота — см. Алгоритмы работы с графической ин-
формацией.
Команды условного и безусловного перехода. При выполнении
некоторых команд меняется не только содержимое регистров, но
и биты N и Z в процессоре. Напр., при выполнении команды «сравнить
R1 с R2» при Rl < R2 (т. е. Rl — R2 < 0) установятся значения:
бита N (negativ — отрицательный) — 1, бита Z (zero — нуль) — 0;
при Rl = R2 (т. е. /?1 — R2 — 0): бита N — 0, бита Z — 1; при R1 >
> R2 (т. е. R1 — /?2 > 0): бита N — 0, бита Z — 0.
В зависимости от значений битов N и Z можно менять содер-
жимое СК (Счетчика Команд) (условный переход). Напр., если
меньше, переход на +2 слова.
Существует и команда безусловного перехода, которая незави-
симо от значений битов N и Z увеличивает или уменьшает СК на
указанное число слов в дополнение к обычному увеличению на 2.
И 10,1,3.1; 2.
Команды языка Бейсик — см. Команда ветвления в Бейсике,
Команда повторения в Бейсике, Команда обращения к подпрограм-
ме в Бейсике, Команды ввода-вывода в Бейсике.
Компилятор — см. Языки программирования.
Компьютер — другое название ЭВМ. И 9,Введение.
98
Константа — то же, что и постоянная. См. Величины.
Константы и переменные в Бейсике. Константы записываются
так же, как и в алгоритмическом языке, только для отделения
целой части от дробной используется точка. Тип константы ясен из
ее записи. Напр., 2, — 1 —целые числовые константы; 2.0, 36,0 —
вещественные; «введите число», «сколько ему лет?» — литерные.
В Бейсике тип переменной определяется по ее имени. Если имя
оканчивается знаком % — переменная целого типа, если знаком
$ — литерного типа, во всех остальных случаях — вещественного.
Для описания табличных величин (их наз. массивами) исполь-
зуется служебное слово DIM. В Бейсике нумерация элементов таб-
лиц всегда начинается с 0, поэтому при описании таблицы указы-
вается только число элементов таблицы. Строка 10 DIM А (5) со-
держит описание вещественной таблицы А, в которой 5 элементов:
А(0), А(1), А(2), А(3), А(4). Номер элемента табличной величины,
в отличие от алгоритмического языка, в Бейсике записывается в
круглых скобках. И 10,11,14.2.
Кортежи на Рапире. Табличные величины в Рапире наз. кортежа-
ми. Элементы К. нумеруются всегда с единицы. Правила Рапиры
позволяют записывать К- в виде списка элементов, разделенных
запятыми и заключенных в угловые скобки ( и ). Через A[N] обозна-
чается N-й элемент К- А. Длина К- X обозначается ДЛИН(Х).
Элементами К. могут быть не только числа, а, напр., другие
К. С помощью «кортежа кортежей» в Рапире записываются прямо-
угольные таблицы, для чего наряду с записью A[I][J] разрешается
писать A[I, J].
Над К-, как и над текстами, определены операции вырезки и
соединения (склеивания), напр., (4,2,1,3) [2:3] = (2,1). И 10.11.12.
Линейная таблица — см. Табличные величины.
Линейный алгоритм — см. Алгоритмический язык.
Литерные величины — см. Величины, Текст.
Магистраль осуществляет связь и обмен информацией между
компонентами ЭВМ. М. можно представить как пучок проводов,
к которому параллельно присоединены все компоненты ЭВМ. По-
сылая по М. электрические сигналы, любая компонента ЭВМ может
передать информацию другим компонентам. Для передачи адресов
и информации из памяти используется 16 проводов М. Максималь-
ная порция информации, передаваемая за один раз, составляет 16
битов. В М. есть также провода, по которым передаются управляю-
щие сигналы, напр. указание, что делать с информацией, располо-
женной по данному адресу: прочесть или записать.
Чтение процессором слова, записанного в памяти по некоторому
адресу, происходит следующим образом: 1) процессор передает на
М. адрес нужного слова и указание «читай слово»; 2) память считы-
вает адрес с М. и передает на М. содержимое соответствующего
слова; 3) процессор считывает слово с М.
Аналогично взаимодействуют между собой и остальные компонен-
ты ЭВМ. И 10,1,1.2.
Магистрально-модульный принцип построения ЭВМ. Наличие
магистрали (см.) позволяет собирать ЭВМ из отдельных функцио-
нально и конструктивно законченных блоков, наз. модулями. Модуль
может содержать несколько компонент ЭВМ. Наоборот, одна компо-
99
нента ЭВМ может быть изготовлена в виде нескольких модулей.
Подсоединяя к магистрали различные наборы модулей, можно полу-
чать различные ЭВМ. Такой М.-м. п. п. ЭВМ получил широкое
распространение, так как обладает рядом важных достоинств:
1.	Процессор может эффективно управлять внешними устройст-
вами с помощью тех же команд, которыми он работает с памятью.
2.	Можно конструировать и подключать к магистрали новые
внешние устройства. При этом не требуется никаких изменений в
уже существующих устройствах, процессорах, памяти.
3.	Из готовых модулей можно легко составлять ЭВМ разной
мощности и назначения. Состав ЭВМ можно легко изменять в про-
цессе ее эксплуатации. И 10,Приложение III.
Магнитная память — самый распространенный вид внешней
памяти ЭВМ. Информация в М. п. кодируется не электрическим
сигналом, а намагниченностью частички вещества. Примером М. п.
может служить гибкий диск (см.) И 9,Введение.
Массив — см. Константы и переменные в Бейсике.
Машинная графика — см. Системы машинной графики.
Мегабайт — см. Байт.
Микропроцессор — см. Микросхема.
Микросхема — электронное устройство, обрабатывающее по-
ступающую в ЭВМ в виде электрических сигналов информацию.
М. состоит из тысяч и сотен тысяч согласованно работающих эле-
ментов. Несколько М., составляющих процессор, помещают на одну
плату — пластмассовую пластинку с металлическими проводниками
на ней, соединяющими М. На такой же плате располагаются М.,
образующие внутреннюю память ЭВМ. В ЭВМ четвертого поколения
используются сложные М., наз. большими интегральными схемами
(БИС).
Если М. содержит целиком весь процессор ЭВМ, то она наз.
микропроцессором. Такой микропроцессор целиком размещается на
одном кристалле кремния. И 9,Введение; 10,1,1; 10,111,16.
Модуль — см. Магистрально-модульный принцип построе-
ния ЭВМ.
Накопитель на гибких магнитных дисках — то же, что и Диско-
вод (см.).
Неопределенная величина—см. Величины.
Непроцедурные языки программирования — специальные языки,
избавляющие программиста от необходимости явно описывать
в программе последовательность действий, для чего достаточно
описать на этом языке, что должна сделать программа (а не как это
она должна делать). И 10,111,17.
Номер строки — см Общий вид программы на Бейсике.
Общий вид программы на Бейсике. Программа на языке Бейсик
состоит из последовательности строк. Каждая строка начинается
целым числом — номером строки; за номером строки следует команда.
Допускается несколько команд в одной строке, в этом случае коман-
ды отделяются двоеточием.
В языке Бейсик в основном используются буквы латинского
алфавита и английские названия команд. В команде присваива-
ния применяется знак«=» (а не «: = »).
Строки в Бейсике необязательно нумеровать подряд, но обя-
100
зательно в возрастающем порядке. Обычно строки нумеруются с
интервалом в 10: 10, 20, 30, .... И 10,11,14.1.
Оперативная память ЭВМ — см. Память ЭВМ.
Операционная система — комплекс специальных вспомогатель-
ных программ для работы на ЭВМ: команда-загрузчик, (см.), под-
программы для работы с внешними устройствами, файловая систе-
ма (см.), управляющие программы для организации параллельного
выполнения нескольких процессов и др.
О. с. входит в так называемое базовое программное обеспече-
ние ЭВМ. И 10,111,17.
Операция вырезки — см. Текст.
Операция соединения (склеивания) — см. Текст.
Основной алгоритм работы процессора ЭВМ. Каждая команда
занимает в памяти ЭВМ одно слово. Адреса слов — четные числа.
Процессор в каждый момент исполнения программы помнит, какую
команду он должен выполнять следующей. Для этой цели исполь-
зуется регистр R7, наз. также Счетчиком Команд (СК). Действия
процессора по выполнению каждой команды состоят из четырех эта-
пов. Процессор: 1) читает адрес из СК, 2) читает слово из памяти по
этому адресу, 3) увеличивает СК на 2, 4) выполняет команду, запи-
санную в прочитанном слове. Этот циклический процесс прекраща-
ется, когда выполняемой командой окажется специальная команда
стоп. В этом и состоит О. а. р. п. И 10,1,2.2.
См. также Память ЭВМ.
Отношения между величинами в качестве условий. В алгорит-
мическом языке используются следующие знаки отношения между
величинами:
для числовых величин
<С меньше
>> больше
не меньше
не больше
= равно
У= не равно
для литерных величин
= равно =А не равно
В алгоритмах работы с числовыми и литерными величинами
в качестве условий используются именно такие отношения. Если
условие состоит только из одного отношения между величинами,
то такое условие наз. простым. Условие, которое состоит из двух
отношений, соединенных служебными словами и, или, не, наз.
составным. Если а и b — условия, то условие а и b соблюдается, если
соблюдаются вместе а и Ь\ условие а или b соблюдается, если соблю-
дается хотя бы одно из условий а, Ь, не важно какое; условие не
а соблюдается, если не соблюдается а, и наоборот. И 9,1,3.9.
См. также Запись условий в алгоритмическом языке.
Память ЭВМ. Задача П.— в хранении обрабатываемой про-
цессором информации и программы работы ЭВМ.
Чтобы обеспечить бесперебойную работу процессора, нужно,
чтобы время чтения требуемой информации из П. было не больше,
чем время выполнения операции. Таким образом, в состав ЭВМ вхо-
дит быстрая П. Такую П. наз. также оперативной (так как процессор
обращается к ней постоянно в ходе выполнения своих операций),
или внутренней. Если о некоторой информации заранее известно,
что она долго не понадобится, то ее можно поместить в медленную
память. Медленную память наз. внешней. И 9,Введение.
101
П. ЭВМ разбита на отдельные участки — байты (см.) с номе-
рами 0, 1,2, 3, ... . Эти номера наз. также адресами. Два соседних
участка: нулевой и первый, второй и третий и т. д.— образуют
ячейки П. ЭВМ. Таким образом, ячейка П. может хранить два байта
(т. е. 16 битов) информации. Для содержимого одной ячейки исполь-
зуется название — машинное слово или просто слово. Каждое слово
тоже имеет адрес — это адрес начального байта слова. Таким обра-
зом, адресами слов будут четные числа 0, 2, 4, 6.Адреса слов и
байтов тоже хранятся в П. ЭВМ и передаются между различными
устройствами машины. При этом каждый адрес кодируется 16 бита-
ми. И 10,1,1.1.
См. также Байт, Магнитная память.
Параметр — см. Команда повторения с параметром.
Параметры процедуры — см. Запись алгоритмов в виде процедур
на Рапире.
Паскаль — см. Языки программирования.
Переменная величина — см. Величины, Константы и переменные
в Бейсике.
Персональный компьютер.- Приводятся примеры их возможного
использования. Устройство вычислительных машин рассматривается
на примере персональной ЭВМ ДВК-2М. И 9,Введение; 10,1,1.
Перфокарта — специальная тонкая картонная карточка, на ко-
торой с помощью отверстий кодируется информация для введения в
память ЭВМ. И 10,111,17.
Печатающее устройство (принтер) — см. Устройства ввода-
вывода.
Плата — см. Микросхема.
Подпрограмма — вспомогательная программа. Как и программа,
она состоит из команд и размещается в памяти ЭВМ. Единственное
отличие заключается в том, что в конце П. вместо команды стоп
должна стоять специальная команда возврат из подпрограммы.
Вызвать П. можно с помощью команды вызов подпрограммы,
вслед за которой в памяти ЭВМ расположен адрес П. П. может, в
свою очередь, вызывать другие П. и т. д. И 10,Приложение III,2.
Поколения ЭВМ различаются элементной базой (см.), архи-
тектурой (см.), новыми способами решения задач и программным
обеспечением (см.). В настоящее время основу вычислительной
техники составляют ЭВМ третьего и четвертого П. Ведутся экспе-
риментальные разработки машин пятого П.
В ЭВМ первого П. (40—50-е гг.) использовались электронные
лампы. Появление ЭВМ второго П. (50—60-е гг.) связано с исполь-
зованием транзисторов. Основу ЭВМ третьего П. (60—70-е гг.)
составляют интегральные схемы. ЭВМ четвертого П. (с середины
70-х г.) используют большие интегральные схемы, микропро-
цессоры.
Основные технические характеристики современных ЭВМ:
быстродействие от сотен тысяч до сотен миллионов операций в се-
кунду, внутренняя память от десятков кбайт до десятков Мбайт,
внешняя память от сотен кбайт до сотен Гбайт. И 9,Введение;
10,111,16.
Последовательное построение алгоритма. Алгоритм сначала фор-
мулируется в самых «крупных» командах, при этом в записи алго-
ритма могут использоваться команды, выходящие за рамки возмож-
ностей исполнителя. Затем на каждом последующем этапе отдельные
детали алгоритма уточняются, при этом недоступные исполнителю
команды записываются как вызовы вспомогательных алгорит-
102
мов. После этого так же строятся вспомогательные алгоритмы.
Процесс продолжается до тех пор, пока все алгоритмы не будут
состоять из команд, понятных исполнителю. Такой способ построения
алгоритма наз. методом последовательного уточнения. Метод иллю-
стрируется на примере построения алгоритма вычисления степени
у=ах, где х — целое число, с^О. И 9,1,4.12.
Постоянная величина — см. Величины, Константы и перемен-
ные в Бейсике.
Принтер — то же, что и печатающее устройство. См. Устрой-
ства ввода-вывода.
Присваивание — см. Команда присваивания.
Программа. Работа ЭВМ состоит в выполнении процессором
последовательности операций. Это выполнение происходит под
управлением П. П. состоит из отдельных команд, предписываю-
щих процессору выполнять то или иное действие над информацией,
хранящейся в памяти. В каждой команде указывается, где именно
в памяти находится нужная информация, какую именно следует
выполнить операцию, в какое место памяти нужно поместить ре-
зультат операции.
Решение задачи по заданной П. происходит автоматически.
П. записывается в память машины и может быть заменена на дру-
гую П.
П. составляется человеком на языке программирования, а
ЭВМ с помощью специальных системных П. переводит эту П. в
двоичный код. И 9,Введение; 10,1,5.
Программирование в широком смысле — общее умение исполь-
зовать ЭВМ, в узком — написание программы для ЭВМ. И 10,При-
ложение V.
Программное обеспечение ЭВМ — набор созданных для кон-
кретной ЭВМ программ, определяющий сферу применения ЭВМ.
П. о. современных ЭВМ включает десятки и сотни тысяч программ:
от компьютерных игр и программ обработки текстов до программ
специального назначения. И 10,111,17.
Промежуточная переменная — переменная, которая не является
ни аргументом, ни результатом алгоритма, а используется только
при его выполнении для обозначения вычисляемого промежуточного
значения. После служебного слова нач должен быть указан тип П. п.
И 9,1,3.7.
Простая команда — см. Алгоритмический язык.
Простое условие — см. Отношения между величинами в ка-
честве условий.
Процедура—запись алгоритма на Рапире. И 10,11,10.
Процесс. Так как быстродействие ЭВМ велико, она может
одновременно делать несколько дел (напр., печатать текст на печа-
тающем устройстве, выяснять, сколько свободного места оказалось
на диске, обрабатывать символы, набираемые человеком на клавиа-
туре, и т. п.). Каждое такое «дело» наз. П. Для организации парал-
лельного (одновременного) выполнения нескольких П. нужны спе-
циальные управляющие программы. И 10,111,17.
Процессор — центральное устройство ЭВМ, обрабатывающее
информацию и обеспечивающее автоматическое исполнение храня-
щейся в памяти программы. П. может выполнять фиксированный
набор операций: арифметические действия (сложение, умножение,
вычитание, деление) над числами, содержащимися в памяти, пере-
мещение информации из одной ячейки памяти в другую и др. Это
103
выполнение происходит под управлением программы (см.). И 9,
Введение; 10,1,2.
См. также Собственная память процессора, Основной алго-
ритм работы процессора.
Прямоугольная таблица — см. Табличные величины.
Пустой текст — см. Текст.
Разветвляющийся алгоритм — см. Алгоритмический язык, Ко-
манда ветвления.
Рапира—язык программирования, разработанный в СССР
в начале 80-х годов для использования в школьном курсе инфор-
матики. Вместе с тем этот язык имеет широкие возможности, позво-
ляющие составлять сложные производственные программы. В учеб-
нике описаны только некоторые простейшие элементы языка Р.
И 10,11,10—13.
См. также Запись алгоритмов в виде процедур на Рапире, За-
пись алгоритмов вычисления значений функций на Рапире.
Регистр — см. Собственная память процессора.
Редактор программ — см. Редактор текстов.
Редактор текстов — специальная программа, позволяющая
вводить текст в компьютер и работать с этим текстом, используя
экран дисплея. Программы текстовой обработки составляют сейчас
наиболее часто используемые программы для микрокомпьютеров.
Р. т. может быть использован для подготовки на ЭВМ текстов
программ.
Вместо Р. т. можно использовать редактор программ, который
учитывает правила записи программ на используемом языке про-
граммирования, что повышает производительность труда програм-
миста. Напр., редакторы программ на языке Бейсик могут авто-
матически нумеровать строчки программы и вставлять в текст
программы служебные слова. Редактор программ можно совместить
с компилятором или интерпретатором. В этом случае ЭВМ сможет
проверять правильность программы по мере ее ввода человеком.
Такой редактор может формировать не только служебные слова,
но и целые конструкции языка, делая невозможными ошибки в за-
писи этих конструкций. И 10,111,17.
Результат алгоритма — см. Заголовок алгоритма.
Рекуррентные соотношения — соотношения, связывающие зна-
чения искомой функции от некоторого натурального аргумента со
значением этой же функции от предыдущего по величине аргумента.
Для определения значения функции при минимальном значении
аргумента задается прямое правило.
Алгоритмы вычисления значений функций на основе Р. с. наз.
рекурсивными алгоритмами (см.). И 10,11,8.
Рекурсивные алгоритмы — алгоритмы, в которых значения
функций выражаются через значения тех же функций от других
аргументов (приводятся примеры вычисления факториала, квад-
рата натурального числа). Способ исполнения Р. а. остается тем же
самым, что и у обычных алгоритмов, нужно лишь при каждом но-
вом обращении к вычислению значений функции составлять новый
экземпляр таблицы значений. И 10,11,8.
См. также Рекуррентные соотношения.
Серия — см. Алгоритмический язык.
Сеть ЭВМ. Компьютер может быть соединен с другими компь-
104
ютерами, тогда они образуют С. ЭВМ, которая позволяет исполь-
зовать информацию, накопленную в одном месте, сразу во многих
местах, где она может понадобиться. И 9,Введение.
Символ подчеркивания — см. Запись алгоритмов в виде про-
цедур на Рапире.
Система автоматизированного проектирования (САПР). Гра-
фические построения и расчеты с помощью ЭВМ различных маши-
ностроительных, авиационных, автомоб ил ьных деталей и конструк-
ций являются составной частью САПР. Такие системы во много
раз повышают производительность труда конструкторов и сокращают
сроки разработки. Сидя перед подключенным к ЭВМ экраном,
конструктор может, напр., скомандовать ЭВМ изобразить отдель-
ные части и узлы машины, что позволяет оценить их внешний вид
и компоновку. ЭВМ может также произвести моделирование рабо-
ты этих узлов и показать их части, где наиболее вероятна поломка
при эксплуатации. И 9,Введение.
Система команд исполнителя — см. Алгоритм.
Системные программы — специальные программы, с помощью
которых ЭВМ переводит программы с языка программирования
на машинный язык. И 10,1,5.
Системы машинной графики. При создании в компьютере моде-
лей (напр., деталей, изготавливаемых на станке с ЧПУ) приме-
няются специальные устройства. Описаны некоторые из них.
Световое перо имеет вид авторучки, соединенной прово-
дом с ЭВМ. На кончике светового пера находится электронное
устройство, при поднесении которого к выбранной точке экрана в
ЭВМ поступает информация о координатах точки на экране. Дви-
гая перо, можно указывать на экране нужные точки, рисовать ли-
нии и т. д.
Шаровой рычаг имеет вид шарового шарнира, от которого
отходит стержень. Поворот стержня поворачивает шаровой шарнир,
и информация об углах поворота (вперед, назад, влево, вправо)
передается в ЭВМ.
«М ы ш ь» имеет вид коробочки, лежащей на поверхности
стола и соединенной проводом с ЭВМ. Коробочка свободно катается
по столу. При ее движении информация о положении «мыши» посту-
пает в ЭВМ. С помощью «мыши» можно рисовать линии.
С. м. г. позволяет создать не только чертеж детали, но и объем-
ную ее модель, рассматривать ее со всех точек зрения, строить по-
верхность детали и т. д. И 10,111,17.
Склеивание — см. Текст.
Слово (машинное слово) — см. Память ЭВМ, Байт.
Служебные слова — см. Алгоритмический язык.
Собственная память процессора. Процессор имеет небольшую
собственную память, из которой особо выделены 8 слов, наз. ре-
гистрами и имеющих имена RO, Rl, R2, R3, R4, R5, R6, R7. Каждый
регистр, как и слово обычной памяти, хранит 16 битов, кроме того,
в С. п. п. особый интерес представляют два бита с именами N и Z.
И 10,1,2.1.
См. также Основной алгоритм работы процессора, Команды
условного и безусловного перехода.
Соединение — см. Текст.
Сортировка — упорядочение таблицы с помощью ЭВМ (по вели-
чине элементов, по алфавиту и т. п.). Имеется много алгоритмов,
обеспечивающих быстрое решение задачи С. для разного вида таблиц.
Приводится пример С. таблицы в порядке возрастания элементов,
105
для чего строится алгоритм поиска наименьшего элемента (исполь-
зуется в качестве вспомогательного) и алгоритм упорядочения
линейной таблицы. И 9,11,6.
Составное условие — см. Отношения между величинами в ка-
честве условий.
Составные команды — см. Алгоритмический язык.
Справочно-информационные системы — одна из важных обла-
стей применения компьютеров. Приводятся примеры использова-
ния С.-и. с. (при покупке авиабилетов, в науке и др.). И 9,Вве-
дение.
Станок с ЧПУ. Процесс изготовления деталей на станках мож-
но автоматизировать с помощью ЭВМ. Рассчитав нужную деталь
с помощью компьютера, можно с помощью того же компьютера
рассчитать, как должны двигаться резец и остальные части станка,
чтобы такую деталь изготовить. Для управления этими движения-
ми используются специальные двигатели, перемещающие части
станка по командам ЭВМ. Оснащенные таким образом станки наз.
С. с ЧПУ (числовым программным управлением). Применение
таких станков совместно с компьютерами позволяет изготавливать
сложные детали, причем переход от изготовления одного типа дета-
лей к другому осуществляется путем смены программы в управ-
ляющей ЭВМ. И 9,Введение; 10,111,17.
Стек — структура, элементы которой подчиняются правилу
«положил позже — взял раньше». В качестве примера стека можно
привести детскую пирамидку (первым снимается колечко, надетое
последним). При вызовах подпрограмм адреса возвратов сохраня-
ются в стеке. И 10,Приложение II 1.2.
Стоп (команда стоп) — см. Основной алгоритм работы процес-
сора.
Супер-ЭВМ — ЭВМ, делающие миллиарды операций в секун-
ду. И 9,11,8; 10,111,16.
Схема Горнера — см. Алгоритм вычисления значений много-
члена.
Счетчик Команд (СК) — см. Основной алгоритм работы процес-
сора.
Таблица значений — см. Исполнение алгоритма.
Табличные величины в алгоритмическом языке. Чаще всего
встречаются линейные и прямоугольные таблицы.
Для указания, что некоторая величина является линейной таб-
лицей, нужно задать тип элементов таблицы, ее имя, начальный
и конечный порядковые номера ее элементов. В алгоритмах рабо-
ты с Т. в. это указание записывается следующим образом: служеб-
ное слово, указывающее тип (цел, вещ, лит и т. п.), затем служеб-
ное слово таб, имя таблицы, за которым стоят в квадратных скоб-
ках начальный и конечный порядковые номера ее элементов, раз-
деленные двоеточием (напр., вещ таб время [0:23]).
Для прямоугольной таблицы должны быть указаны границы
номеров как по вертикали, так и по горизонтали, напр.:
цел таб произведение [1:9,	1:9]
границы множителя границы множимого
Порядковый номер элемента таблицы заключается в квадрат-
ные скобки и помещается вслед за именем таблицы на том же уровне
строки, напр., а[/]; или произведение [2,7]. И 9,1,3.10.
106
См. также Кортежи на Рапире, Константы и переменные в
Бейсике.
Текст — произвольная последовательность символов (не обя-
зательно имеющая смысл). Вводятся операции, выполняемые над
литерными величинами.
Операция соединения, или склеивания, обозначается знаком
«4~» и соединяет два Т. в один, напр., «ин» + «форматика» =
= «информатика», «12» + «345»= «12345».
Длиной Т. наз. количество букв в нем. Длина Т. А обознача-
ется длин (А). Существует Т. длины 0, не содержащий ни одной
буквьь Он обозначается двумя стоящими рядом кавычками «»
и наз. пустым Т. Буквы в Т. считаются пронумерованными слева
направо, начиная с единицы.
С помощью операции вырезки можно «вырезать» из Т. фраг-
мент, указав номера первой и последней букв, напр., если А =
«информатика», то А [3:7] = «форма», А[7:7]=«а». Комбинируя
операции вырезки и склеивания, можно получать из одних Т. другие.
Введенные операции используются в алгоритмах работы с ли-
терными величинами (приводятся примеры).
Значение литерной величины может быть изменено командой
присваивания, при этом старое значение этой величины «теряется».
Используется также команда частичного изменения значения ли-
терной величины, при этом важно, чтобы новая часть слова имела
ту же длину, что и старая. И 10,11,9.
Текущее значение величины — см. Величины.
Терминал — соединенное с ЭВМ устройство для ввода и выво-
да информации. И 9,Введение.
Тип величины — см. Величины, Константы и переменные в
Бейсике.
Томография — метод получения (с помощью ЭВМ) изобра-
жений внутренних частей непрозрачных тел. Т. позволяет обнару-
живать дефекты, скрытые в глубине детали, или признаки заболе-
вания, скрытые в тканях организма, и т. п. И 9,Введение.
Упорядочение таблицы — см. Сортировка.
Управляющие программы — см. Процесс.
Устройства ввода-вывода. Информация, обрабатываемая про-
цессором, в некоторый момент должна быть помещена, или, как го-
ворят, введена, в память. Результаты работы ЭВМ должны быть
переданы человеку (другой ЭВМ, управляемому станку и т. д.),
другими словами, выведены. Эти операции осуществляются У. в.-в.
Основное устройство ввода — клавиатура, на которой имеются
буквы русского и латинского алфавитов, цифры, знаки препинания
и специальные символы. В память ЭВМ они передаются закоди-
рованными с помощью электрических сигналов.
Основным устройством вывода информации является дис-
плей — телевизионный экран, на котором изображаются буквы,
цифры и другие символы, имеющиеся на клавиатуре. Если этим и
исчерпываются возможности дисплея, он наз. алфавитно-цифро-
вым. Если на дисплее можно, кроме того, получать различные гео-
метрические изображения, то он наз. графическим.
Помимо получения изображений на экране дисплея ЭВМ позво-
ляет получать их на бумаге. Если требуется вывод алфавитно-циф-
ровой информации, то это делается с помощью алфавитно-цифро-
вого печатающего устройства (АЦПУ). Если требуется вывод гра-
107
фической информации, то это делается с помощью графопострои-
теля и других устройств. Печатающее устройство, или принтер,
позволяет печатать и рисунки, и тексты. И 9,Введение; 10,1,5.
Файл — см. Файловая система.
Файловая система. Порция информации, хранимая во внешней
памяти, наз. файлом. Для организации записи, хранения, поиска
и считывания файлов используется комплекс специальных программ,
который наз. Ф. с. И 10,III,17.
Фортран — см. Языки программирования.
Цикл —то же, что и Команда повторения (см.).
Циклический алгоритм — см. Алгоритмический язык, Команда
повторения.
Числовое программное управление (ЧПУ) — см. Станок с ЧПУ.
Шаг алгоритма — см. Исполнение алгоритма.
Шаг изменения параметра — см. Команда повторения с пара-
метром, Команда повторения в Бейсике.
Электронно-вычислительная машина (ЭВМ) — универсальное
устройство для хранения и переработки информации. Состоит из
процессора (см.), памяти (см.) и внешних устройств (см.). Работа
ЭВМ состоит в выполнении процессором заданной последователь-
ности операций. И 9,Введение; 10,1,1.
См. также Информация.
Элементная база ЭВМ — совокупность элементов, из которых
строятся компьютеры. С изменением Э. б. ЭВМ изменялись харак-
теристики, внешний вид и возможности компьютеров. Смена Э. б.
ЭВМ лежит в основе смены поколений ЭВМ (см.). И 9,Введение;
10,111,16.
Этапы решения задачи с использованием ЭВМ.
1.	Постановка задачи, включающая выделение исходных дан-
ных (аргументов), величин, значения которых надо определить;
построение математической модели, позволяющей свести исследо-
вание реального объекта к решению математической задачи. Сте-
пень соответствия модели реальному объекту проверяется практи-
кой, экспериментом.
2.	Построение алгоритма, который может быть записан на
алгоритмическом языке или в виде схемы.
3.	Запись алгоритма на языке программирования.
4.	Исполнение алгоритма с помощью ЭВМ. Этап завершается
получением результата.
5.	Анализ полученных результатов. Цель — определить, на-
сколько точно полученные результаты соответствуют реальности.
Анализ позволяет уточнить модель, если это необходимо.
Языки программирования — правила записи программ, испол-
няемых на ЭВМ. Исходной информацией для составления програм-
108
мы является запись алгоритма решения данной задачи на алго-
ритмическом языке.
В школьном курсе изучаются два Я. п.: Рапира (см.) и Бейсик,
(см.). Упоминаются такие Я. п., как Фортран (созданный в конце
50-х гг.), предназначенный для программирования научно-тех-
нических расчетов; Алгол-60, послуживший основой для разработки
многих языков, напр., языка Паскаль, который является одним из
наиболее распространенных Я. п. для микрокомпьютеров.
Число относительно широко используемых Я. п. в настоящее
время исчисляется десятками, а общее их число — тысячами.
Существуют два типа программ-переводчиков с Я. п. на ма-
шинный язык. Они наз. компиляторами и интерпретаторами. Про-
грамма-компилятор читает текст на Я. п. от начала и до конца, со-
здавая эквивалентную программу на машинном языке. Интерпре-
татор читает исходную программу по частям, сразу выполняя
соответствующие действия. Из упоминавшихся Я. п. Фортран,
Алгол-60, Паскаль обычно компилируются, а Бейсик и Рапира —
интерпретируются. И 10,11,10; 111,17.
Ячейка памяти ЭВМ — см. Память ЭВМ.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ариабхат (конец V в.), индийский математик. Знал формулу
sin2 а + cos2 а = 1, формулы для синуса, косинуса, тангенса поло-
винного угла, которые служили ему для составления таблиц этих
функций. А 9—10,1,с.и.
Архимед, греческий математик. Более двух тысяч лет тому
назад создал систему нумерации. М 4,пункт 62.
Бернулли Я., ученик Лейбница. Ему принадлежит название
«интеграл». А 9—10,1 II,с.и.
Брадис В. М., автор «Четырехзначных математических таблиц».
А 6,Ш,9.25;7,П,6.15.
Бриггс Г. (1556—1630), английский математик. Ввел десятич-
ные логарифмы. А 9—10,IV,с.и.
Бюрги И. (1552—1632), швейцарский математик. Независимо
от Непера ввел логарифмы. А 9—10,IV,с.и.
Валлис Д. (1616—1703). В его работах встречаются доста-
точно ясные представления о поведении тригонометрических функ-
ций при изменении аргумента от — оо до 4- оо.
Вейерштрасс (1815—1897), немецкий математик. Развил строй-
ную теорию действительных чисел (вторая половина XIX в.).
А 9—10,II,с.и.; Приложение.
Виет Франсуа (1540—1603), знаменитый французский мате-
матик (Т. Виета). Ему принадлежит ряд результатов по тригоно-
метрии. А 7,111,9.23; 9—10,1,с.и.
Герои Александрийский, древнегреческий ученый, живший в
I веке н. э. (Формула Герона). Г 8,13.
Дедекинд (1831 —1916), немецкий математик. Во второй поло-
вине XIX в. развил стройную теорию действительных чисел.
А 9—10,II,с.и.; Приложение.
Декарт Р. (1596—1650), французский ученый. Впервые ввел
координаты на плоскости, которые сейчас наз. декартовыми. Г 7,8;
А 9—10,Н,с.и.
Дирихле Л., немецкий математик. В 1837 г. независимо от
Лобачевского Н. И. дал современное определение числовой функ-
ции. А 9—10,II,с.и.
Евклид, древнегреческий ученый (III век до н. э.). Создал за-
мечательное руководство по математике под названием «Начала».
В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.
Г 6,1.
110
Кавальери Б. (1598—1697). Продолжил исследования Кеплера.
Сохраняет свое значение и в наше время Принцип Кавальери.
А 9—10,III,с.и.
Кантор Г. (1845—1918), немецкий математик. Во второй по-
ловине XIX в. развил стройную теорию действительных чисел.
А 9—10,II,с.и.; Приложение.
Кеплер И. В своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.)
правильно вычислил ряд площадей и объемов (разрезая тело на
бесконечно тонкие пластинки). А 9—10,III,с.и.
Киселев А. П., автор школьного учебника «Геометрия». Г 6,1.
Котес (1682—1716). В его работах находят геометрический
вывод формул для производных тригонометрических функций.
А 9— 10,1,с.и.
Коши О. (1789—1857), французский математик. В 1821 г. дал
строгое определение понятий предела последовательности и пре-
дела функции, сохранившееся до наших дней. А 9—10,II,с.и. Ему
принадлежит современное понятие определенного интеграла как пре-
дела интегральных сумм. А 9—10,II,с.и.; III,с.и.
Крылов Алексей Николаевич (1863—1945), русский математик
и кораблестроитель. Много сделал для развития приближенных
вычислений. М 4,II,пункт 62.
Лагранж Жозеф Луи (1736—1813), французский математик
и механик (Формула Лагранжа). А 9—10,11,6.23.
Лаплас, французский математик. Дал высокую оценку изобре-
тению Логарифмов. А 9—10,1У,с.и.
Лейбниц Г. (1646—1716), немецкий математик и философ.
Развил систематическое учение о производных — дифференциаль-
ное исчисление. С помощью правил логарифмирования еще в конце
XVII в. решил показательные уравнения. Лейбницу принадлежит
современное обозначение интеграла. Им установлена связь между
операциями дифференцирования и интегрирования. А 9—10,II,с.и.;
Ш,с.и.; IV,c.h.
Лобачевский Н. И., русский математик. В 1834 г. дал совре-
менное определение числовой функции. А 9—10,11,с.и.
Магницкий Леонтий Филиппович. Создал первый учебник по
математике в России. М 4,пункт 62.
Непер Дж. (1550—1617), английский математик. Ввел (неза-
висимо от Бюрги) логарифмы, развил их теорию и составил под-
робные таблицы логарифмов. А 9—10,IV,с.и.
Ньютон И. (1643—1727), английский математик. Основатель
современного математического естествознания. Развил системати-
ческое учение о производных — дифференциальное исчисление.
Им установлена связь между операциями дифференцирования и
интегрирования. А 9—10,1,с.и.; II,с.и.; III,с.и.
Оресм Н. (1323—1382), французский математик. В его рабо-
тах встречаются дробные показатели степени и наиболее простые
правила действий над степенями с дробными показателями.
А 9—10,IV,с.и.
111
Паскаль, XVII в. Его первые работы содержали правила на-
хождения производных от многочленов. А 9—10,11,с.и.
Пифагор, древнегреческий ученый, живший в VI веке до н. э.
(Т. Пифагора). Г 7,7.
Птолемей (II век н. э.), греческий математик. Составитель
таблиц длин хорд окружности с шагом 30'. А 9—10,1,с.и.
Рыбкин Н., автор «Сборника задач по геометрии». Г 6,1.
Фалес Милетский, древнегреческий ученый, живший в VI веке
до н. э. (Т. Фалеса). Г 7,6.
Ферма Пьер (1601 —1665), французский математик (Т. Ферма).
В его первых работах содержались правила нахождения произ-
водных. А 9—10,П,7.26;с.и.
Чебышев П. Л. (1821 —1894), великий русский математик.
Полностью исследовал вопросы интегрирования некоторых клас-
сов иррациональных функций. А 9—10,III,с.и.
Штифель М. (1486—1567), немецкий математик. Ввел название
«показатели», дал определение а° = 1 при а =?= О, для некоторых
частных случаев пришел к соотношениям log (ab) = log а 4- log b,
log a/b = log a — log b. A 9—10,IV,с.и.
Шюке Франц H. (XV в). Рассматривал степени с отрицатель-
ными и нулевыми показателями. А 9—10,IV,с.и.
Эйлер Л. (1707—1783). Дал современный вид теории тригоно-
метрических функций (в книге «Введение в анализ бесконечно ма-
лых»), завершил систематическое исследование интегрирования
элементарных функций (в книге «Интегральное исчисление»).
А 9—10,1,с.и.; III,с.и.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................................. 3
Как пользоваться словарем................................... 4
Словарь по математике ...................................... 5
Словарь по информатике и вычислительной технике ....	87
Именной указатель...........................................ПО
b
$f(x)dx — интеграл функции f в пределах от а до b
а
lim f(x) — предел функции f при х^а
х-+а
f(x)^>- — предел функции f при х^а
х-+а
F — первообразная
В(х) |$ — приращение функции F (т. е. F(b) — F(a))
-о — знак равносильности
Е — знак принадлежности множеству
(ал) — последовательность
ап — п-й член последовательности (ая)
« — знак приближенного равенства
а0, ai а2...ап... — бесконечная десятичная дробь
D = Ь2 — 4ас — дискриминант квадратного уравнения ах2 -f-
-j- bx -j- с = О
1 рад — величина угла в один радиан
л «3,1416 — отношение длины окружности к диаметру
С — длина окружности
% — процент
А (а) — координата точки А на координатной прямой
А, В, С, ... — обозначение для точек
а, Ь, с, ... — обозначение для прямых
АВ — прямая, проходящая через точки А и В
Z_(a, b) — угол со сторонами а и b
Z.AOB — угол с вершиной О и точками Я и В на
сторонах
А ЛВС — треугольник с вершинами Л, В, С
а||6 —	прямая	а	параллельна прямой	b
a-Lb —	прямая	а	перпендикулярна к прямой b
° —	градус
' —	минута
ABCD —	обозначение четырехугольника
Л(х, у), (х, у) — точка с абсциссой х и ординатой у
F = F' — равенство фигур
F сю F' — фигура F подобна фигуре F'
АВ а Лв — обозначения вектора (с началом Л и кон-
_ цом В)	_
|а| — абсолютная величина вектора а
а(а\, a2)»(oi» 02) — вектор с координатами а\ и а2
е\, е2 — координатные векторы (орты)
а b — скалярное произведение векторов а и b
а2 — скалярное произведение аа
А\А2...Ап — ломаная с вершинами А\, А2, ..., Ап
S, S(F) — площадь фигуры F
а, 0, у, ... — обозначения для плоскостей
ху, xz, yz — координатные плоскости
(abc) — трехгранный угол, составленный из пло-
ских углов (аб), (Ьс), (ас)
(а\а2...ап) — многогранный угол, составленный из пло-
ских углов (aja2), (а2а3), (а3а4), ..., (апа})