Текст
                    СПИСОК основных О&ОЭНАЧЕНИА


а == ь
 а равно Ь
а > Ь

 а больше Ь
а
 Ь
 а больше или равно Ь
а < Ь
 а меньше Ь
а
 Ь
 а меньше или равно Ь
а
Ь ' а/ Ь, а: Ь
 обыкновенная дробь
т == а ::1:: h
 число т приближенно равно а с точностью
до h
а. 10 п
 стандартный вид числа (n
 ero порядок,
1
a< 10)
модуль числа а
знак арифметическоrо квадратноrо корня
знак арифметическоrо корня n
й степени
множество всех натуральных чисел
множеСТВQ всех целых чисел
множество всех целых неотрицательных
чисел
Q
 множество всех р
циональных чисел
R множество всех деиствительных чисел, чис

ловая прямая
множество всех положительных действи

тельных чисел
числовая плоскость
замкнутый промежуток (отрезок) с KOH

цами а и Ь, а < ь



=



N

z

Zo



R+


If
[а; Ь]
(а; 00), [а; 00),
(
oo; b),(
oo; b]

(
oo; 00)


бесконечные промежутки
бесконечный промежуток, числовая пря

мая
а
 обозначение вектора
(а
 б, а + б)
 б
окрестность точки а
[х]
 целая часть числа х
{х}
 дробная часть числа х
Ixl
 модуль (абсолютная величина) числа х
'(х)
 значение функции в точке х
D(f)
 область определения функции f
Е (f)
 область значений функции f
L\x
 приращение aprYMeHTa х
L\f (хо), L\f
 приращение функции f в точке хо
"(Хо)
 производная функции f в точке хо
е
 число е, основание показательной функции,
для которой (е)' == е
loga
 лоrаrиФм 110 основанию а
Ig
 десятичный лоrарифм
In
 натуральный лоrарифм (лоrарифм с OCHO

ванием е)
шах f
 наибольшее значение функции f на отрезке
[а; Ь] [а; Ь]
min f
 наименьшее значение функции f на отрезке
{а; Ь] [а; Ь]





8.1: .ВОДНЕ8 HCn НДУМОВИЧ АФ. НАУМОВИЧ о!] @w[x] [k1]  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ W@rn&[P[b  МИНСК «Университетское» 1991 
ББК 22.1я2 862 УДК 51(038) У важаемыu читатель! Цена на эту кни2У несколько завышена. Часть средств от реализации издания будет перечислена в республиканскиЙ детский фонд «Дети Чернобыля». Спасибо. Воднев В. Т. и др. В 62 Школьный математический словарь /В. Т. Boд нев, Н. Ф. Наумович, А. Ф. Наумович. Ми.: Университетское, 1991. 112 с. ISBN 5.. 7855..0253..4. Словарь включает термины, понятия, определения, исполь зуемые в школьных учебниках по математике, информатике и вычислительной технике. Приведены основные математи- ческие формулы, даны формулировки теоре'М, имеющих OTHO шение к описываемым терминам. Для преп.одавателей вузов и средних специальных учеб ных заведений, слушателей подrотовительных отделений и KYP сов, учителей и учащихся средних школ и ПТУ. 1602010000002 В 2891 M317(03)91 ББК 22.1я2 Справочное издание Воднев Владимир Трофимович Наумович Нил Федорович Наумович Адольф Федорович МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ Заведующая редакцией Л. Ф. ВерниК08ская. Редактор Т. А. Pe6eHKO 8а. Художник д. А. Милованов. Художественный редактор Р. В. Конд- рад. Технический редактор Т. К. Романович. Корректор Л. С. Ману- ленко. ИВ N2 ]020 Сдано в набор 31.10.89. Подписано в печать 16.11.90. Формат 84Х 108/32. Бумаrа типоrрафская Н2 2. rарllитура литературная. Высокая печать с ФПФ. Усл. печ. л. 5,88. Уел. Кр.-отт. 6,3. Уч..изд. л. 8,79. Тираж 100000 экз. Заказ 3029. Цена 1 р. 50 к. Издательство «Университетское» rосударственноrо комитета БССР по печати. 220048. МИНСК, проспект Машерова, 11 Минский ордена Трудовоrо KpaCHoro Знамени полиrрафкомбинат МППО им. Я. Ко- ласа. 220005, Минск, Красная, 23. I S В N 5-7855-0253-4 @ В. Т. Воднев, Н. Ф. Наумович, А. Ф. Наумович, 1990 DJVU .. Joker2156 
ПРЕДИСЛОВИЕ Преподаватель математики высшеrо или среднеrо специальноrо учебноrо заведения должен четко представлять себе школьный курс математики, особенно при проведении вступительных экзаменов. Полное представление о характере знаний, умений и навыков учащих- ся нынешней средней школы является необходимой предпосылкой и для дальнейшеrо успешноrо преподавания математических дисцип лин. Вместе с тем преподаватели лишены школьных математических учебников. На ряде математических кафедр Белrосуниверситета им. В. И. Ле нина уже MHoro лет ведется систематическая работа по ознаком" лению с переменами в преподавании математики в средней школе. На кафедре высшей математики факультета прикладной математики по учебникам и методическим пособиям для средней школы Be дется картотека школьных математических понятий, терминов и сим.. волов. На основе этой картотеки составлен словарь. Словарь мы адресуем в первую очередь преподавателям естест.. венноматематических дисциплин высших и средних специальных учебных заведений. Он также будет полезен учителям ивыпускни" кам средних школ при подrотовке к вступительным экзаменам. Отвечая на пожелания читателей «Математическоrо словаря средней школы» более четко давать некоторые определения, мы хотим подчеркнуть, что определения ПРИВОДЯТСЯ в том виде, как они даны в Действующих учебниках (кроме неизбежной перестрой- ки фраз при словарном оформлении). Работая со словарем, читатели MorYT Har лядно представить все достоинства и недостатки школьных учебников. Не вдаваясь в подробный анализ, к недостаткам мы хотели бы отнести лишь следующее. :к сожалению, встречаются понятия, которыми авторы пользуются, ниrде не определяя их (например, минута, секунда). Ряд важных понятий перенесен в задачи и упражнения, что не Bce rда оправдано, ибо не все задачи в школе решаются (например, свойства медиан треуrольника, свойства диаrоналей параллело rpaMMa). Поэтому в словарь мы включили не только результаты, оформленные в виде определений, теорем и следствий к ним, но и мноrие результаты из задач и упражнений, содержащие, на наш взrляд, важную информацию (это в тексте специально отмечается). И наконец, совершенно бессистемно приводятся исторические све- дения. Замечания и предложения просим присылать по адресу: 220080, r. Минск, пр. В. И. Ленина, 4, Белrосуниверситет им. В. И. Ленина, кафедра высшей математики факультета прикладной математики. Авторы 3 
КАК ПОЛЬЗОВА ТЬСЯ СЛОВАРЕМ в начале словаря прнведены обозначения и символы, исполь зуемые в ныне действующих учебниках и учебных пособиях для средней школы, а также кратко объяснен их смысл. Термины, понятия, определения, теоремы расположены в алфа витном порядке, отдельно для традиционноrо школьноrо курса математики и для основ информатики и вычислительной техники. Ссылки даны на действующие учебники (нумерация классов CTa рая) Например, запись А 6,111,9.26 означает, что ссылка дана на учебник алrебры шестоrо класса, r лава 111, параrраф 9, пункт 26. Аналоrично, r 8, 10  учебник rеометрии BocbMoro класса, пара rраф 1 о; М 4,8.55; 60  учебник математики четвертоrо класса, параrраф 8, пункты 55 и 60; И 9, 1, 4.12  учебник основ информатики и вычислительной техники девятоrо класса, раздел 1, параrраф 4, пункт 12. Если термин повторяется в тексте, слова, составляющие ero, обозначаются начальными буквами, первая из которых заrлавная, например, Абсолютная nО2решность  А. П., Боковая поверхность приЗМbl  Б. П. П. В тексте приняты сокращ-ения: O. определение, T. теорема, C. следствие из теоремы, Y. упражнение, З. задача, наз. называется, называемый (в зависимости от контекста); С. И. CBe дения из истории, напр. например, Т. o. таким образом. Отдельными статьями приведены все теоремы, имеющие имен ные или специальные названия, например Теорема Виета, Теорема косинусов и т. д. Остальные теоремы формулируются в тексте COOT ветствующих статей. Если при какомлибо термине отсутствует ссылка на источник, это означает, что он вводится в основном понятии, например Бо ковая срань пирамиды  см. Пирамида Вершина конуса  см. Конус и т. д. Знаком .. помечен необязательный материал. В именном указателе в алфавитном порядке даются фамилии всех математиков, упоминаемых в учебниках, и приводится только информация, содержащаяся в этих учебниках. 
СЛОВАРЬ ПО МАТЕМАТИКЕ Абсолютная величина (модуль) вектора  длина отрезка, изображающеrо вектор. Обозначения: lal для вектора а, IAB I для вектора АВ . Доказывается, что I iQ I == I лl lаl . в каче ств упаж нений предлаrается доказать, что IAC I  IAB 1+ IBC 1, la + ь I   lal + Ibl. r 8,10. См. также Координаты вектора} Умножение вектора на число. Абсолютная величина числа  то же, что и /vl0дуль числа (см.). Абсолютная поrрешность. О. А. п. приближенноrо значения числа наз. модуль разности числа и ero приближенноrо значения. Таким образом, А. п. приближенноrо равенства х  а есть число Ix al. Если А. п. приближенноrо значения х числа а не превосходит HeKoToporo числа h, т. е. Ix  аl  h, то х наз. приближенным зна чением числа а с точностью до h. Десятичные приближения действительноrо числа х с точностью до 10n являются приближенными значениями числа х с точностью ДО IOn, т. е. XпX И XX С точностью до 10n. А 6,111,9.26; 9 10,11,5.14. Абсцисса точки  см. Координаты на плоскости. Аксиомы  утверждения, выражающие основные свойства про стейших фиrур и являющиеся отпра вными в доказательствах друrих свойств. Основные свойства не доказываЮТСЯ..r 6,1. Аксиомы планиметрии  см. Основные свойства принадлежности точек и прямых} Основные свойства расположения точек на прямой и на плоскости} Основные свойства измерения отрезков} Основные свойства измерения У2лов} Основные свойства откладывания отрез ков и У2ЛОВ} Основное свойство nараллельных прямых (в ст. Парал лельные прямые). Аксиомы стереометрии. Система А. с. состоит из аксиом пла ниметриu (см.) и rруппы аксиом, которая выражает основные cвoй ства плоскостей в пространстве. 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадле жащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Т,. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. т 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся пря мая принадлежит плоскости. С. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке. Тз. Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. r 9,14. Алrоритм  точное предписание, инструкция для выполнения последовательных действий, направленных на решение какойлибо задачи. Понятие А. требует, чтобы были определены не только сами действия, но и последовательность их выполнения. 5 
ПР11псдены при меры линеЙноrо А., разпетвляющеrося А. Упо МНlIаlOТСЯ 11 циклические А., в которых одна и та же команда повто- ряется HCCKOJlbKO раз подряд. А 8, V 1,14.38. Амплитуда колебания  см. rармонuческие колебания. Апофема пирамиды  см. Пирамида. Апофема правильной усеченной пирамиды. см. СУ сеченная пирамида. AprYMeHT (независимая переменная)  см. Функция. Арифметическая проrрессия  последовательность, в которой каждый член, начиная со BToporo, равен предыдущему члену, сло- женному с одним и тем же числом. Иначе: последовательность (а п )  А. П., если для любоrо нату- ральноrо n выполняется условие а п +. == а п + d, rде d  некоторое число. Разность между любым членом А. П., начиная со BToporo, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство а п + 1  а п == d. Число d наз. разностью А. n. Чтобы за- дать А. П., достаточно указать ее первый член и разность. Формула п20 члена А. n.: а п == а. + d(n  1). Иначе: а п == === dn + (аl  d), т. е. любая А. п. может быть задана формулой вида а п == kn + ь, rде k и Ь  некоторые числа. Верно и обратное: последовательность (а п ), заданная формулой вида а п == kn + ь, rде k и Ь  некоторые числа, является А. п. (разность ее рав- на k). ( + ) а, ал п Формула суммы n первых членов А. п.: Sn == 2 . Если заданы первый член и разность А. П., то удобно пользоваться ФОРМУ- 2а, + d(n  1) лой Sn == 2 п. Сумма всех натуральных чисел от I до (1 + п)n п равна 2 . А 8,111,6.14; 15. Арифметический квадратный корень  см. Квадратный корень. Арифметический корень п..й степени  см. Корень пй степени из числа a Свойства арифметичеСКОёО корня nй степени. Арккосинус  см. Теорема о кopнe Решение nростейших три- ёонометрuческих уравнений. ApKKOTaHreHc  см. Теорема о корне. Арксинус  см. Теорема о корне, Решение nростейших Tpи ёонометрических уравнений. ApKTaHreHc  см. Теорема о кopHe Решение nростейших Tpи ёонометрическuх уравнений. Бесконечная rеометрическая проrрессия  см. Сумма 6ескон.еч ной ёеометрuческой nрО2рессиu rеометрическая nрОёрессия. Бесконечная десятичная дробь. Объясняется на примере деле- ния 8/37== 0'216216.... Так как rруппа цифр 2, 1, 6 повторяется в одном и том же порядке, то Б. д. д. 0,216216 наз. периодической. Повторяющаяся rруппа цифр составляет период дроби. При записи периодических Б. Д. д. период пишут один раз, заключая ero в Kpyr лые скобки: 8/37===0,(216); 7/12==0,58(3) и т. п. Каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), ли.бо в виде Б. д. д. Конечную десятичную дробь можно записать в виде периодической Б. д. д., приписав к ней спра- ва бесконечную последовательность нулей: 2,5 === 2,5 (О). 6 
Б. д. д. сравнивают по тому же правилу, что и конечные деся тичные дроби. А 7,11,4.8. С м. также Рациональное число, И ррационаЛЬhое число. Бесконечные промежутки. Бесконечные интервалы: (а; 00)  множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х> а; ( 00; Ь)  множество всех чисел х, удовлетворяющих HepaBeH ству х< Ь; ( 00; 00)  множество всех действительных чисел (числовая прямая) . Бесконечные промежутки (замкнутые): [а; (0)  м ножество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству X а; (  00; Ь]  множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х  Ь. А 910, Материал для повторения. Биквадратное уравнение  см. Уравнения, nрuводящuеся к. квадратным. Биссектриса треуrольника, проведенная из данной вершины, отрезок биссектрисы уrла треуrольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. 31. Б. т. делит противолежа щую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 32. Б. т. не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из тои же ве.ршины. r 6,3; 8,11. Биссектриса уrла  луч, который исходит из вершины уrла, проходит между ero сторонами и делит уrол пополам. r 6,2. Боковая rpaHb  пирамиды,   призмы,   усеченной пирамиды. Боковая поверхность  конуса,   пирамиды,   цилиндра. Боковая поверхность призмы (точнее, Площадь боковой по верхности призмы)  сумма площадей боковых rраней призмы. Полная поверхность nризмы равна сумме Б. П. П. и площадей OCHO вани й. Т. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину боковоrо ребра (S === pl). r 10,18. Боковая сторона  равнобедренноrо треуrольника,   трапеции,   треуrольника. Боковое ребро   пирамиды,   призмы. Большая окружность сферы  см. Шар. Большой Kpyr шара  см. Шар. Вектор  направленный отрезок. Для обозначения В. исполь зуются строчные латинские буквы а, Ь, с, ... . Иноrда В. обозначают указанием ero начала и конца: АВ. При этом начало В. ставится 7 
на первом месте. Иноrда вместо слова «В.» над буквенным обозна   чением В. ставится стрелка или черта: а, а. В. АВ н CD наз. одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Два В. наз. равными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллельный перенос, который пере водит начало и конец одноrо В. соответственно в начало и конец друrоrо В. Равные В. одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если В. одинаково направлены и равны по абсо лютной величине, то они равны. От любой точки можно отложить В., равный данному, и только один. В., у KOToporo начало совпадает с ero концом, наз. нулевым п. Обозначение: О. Абсолютная величина нулевоrо В. считается p(1B ной нулю. Все нулевые В. равны по определению. r 8,10; 9,17 См. также Координаты вeKTopa КоллинеарНblе векторы, Еди flИЧНblй вeKTOp Скалярное произведение, JI множение вe"'()pa на число. Верные цифры  см. П ри6лиженное значение числа. Вертикальные уrлы. Два уrла наз. В. у., если CTOpOH')I одноrо yr ла являются дополнительными полупрямыми СТОрОЧ друrоrо. Т. В. у. равны. r 6,2. Вершина  конуса,  лома ной,  мноrоrранника,  мноrоуrольника,  пирамиды,  треуrольника,  Tp'exrpaHHoro уrла,  уrла,  четырехуrольника. Вершина параболы  см. Функция у == ax2 Квадратичная функция. Взаимно обратные числа  два числа, произведение которых равно 1. М 5,11,7.43. Взаимно простые числа  см. Наибольший общий делитель. Взаимное расположение rрафиков линейных функций. rрафики двух линейных фУНJ{ЦИЙ, заданных формулами вида у === kx + Ь, пересекаются, если коэффициенты k различны, и параллельны, если коэффициенты k одинаковы. rрафик любой линейной функции у == kx + ь при Ь =1= О парал лелен rрафику прямой пропорциональности с тем же коэффициеll том k. А 6,11,6.18. Внесение множителя под знак (квадратноrо) корня. Объясня ется на примерах. А 7,11,7.16. Внешний уrол выпуклоrо мноrоуrольника  СМ. МНОZОУ20льник. Внешний уrол треуrольника при данной вершине  уrол, смеж ный с уrлом треуrольника при этой вершине. Уrол треуrольника при данной вершине наз. внутренним У2ЛОМ, чтобы не путать с В. у. т. Т. В. у. т. равен сумме двух внутренних уrлов, не смежных с ним. С. В. у. т. больше любоrо BHYTpeHHero yr ла, не смежноrо с ним. r 6,4. Внутренние накрест лежащие yrJlbl  см. Секущая прямая. Внутренние односторонние уrлы  см. Секущая прямая. 8 
Внутренний уrол треуrольника  см. Внешний У20Л треусоль ника. Внутренняя точка а области определения D(f) функции f Точку а наз. В. т. D(f), если можно подобрать бокрестность точки а, целиком входящую в D(f). А 9 1 О, Материал для повторения. См. также Окрестность. Возведение в степень  см. Степень с натуральным показа телем. Возведение в степень одночлена  СМ. Одночлен. Возведение 8 степень произведения  СМ. Степень с натураль НЫА-! /Zоказателе/rl. Возведение в степень степени  см. Степень с натуральным показателе.Н. Возведение дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый pe зультат записать в числителе, а второЙ  в зна менателе дроби: (ajb)п == а п jbf А 7,1,3.5. Возрастание и убывание функций. О. Функция наз. возрастаIO lцеЙ внекотором промежутке, если большему значению арrументэ из этоrо промежутка соответствует большее значение функции: из Х2 > х, (для любых значений из промежутка) следует f(X2) > [(х,). О. Функция наз. убывающеЙ внекотором промежутке, еС,,'IИ большему значению aprYMeHTa нз этоrо промежутка соответствует меньшее значение функции: из Х2 > х, следует [(Х2) < [(х,). Если функция возрастает на всей области определения, то ее наз. возрастающей функцией. Если функция убывает на всеЙ обла  сти определения, то ее наз. убывающей функцией. Т. ЛинеЙная функция у == kx + Ь при k > О является возрастаю. щей, а при k < О  убывающей. Функция возрастает на ./rtножестве Р, если для любых х, и Х2 из множества Р, таких, что Х2 > Х" выполнено неравенство [(Х2) > {(х,). Функция f убывает на множестве Р, если для любых ХI и Х2, принадлежащих множеству Р и таких, что Х2 > х" выполне но неравенство [(Х2) < f(x,). Промежутки, на которых функция возрастает (убывает), наз. промежутками возрастания (убывания) функции. А 7,IV,13,33; 910,1,2.3; 4. См. также Признак возрастания функции Признак y6ывa ния функции. Возрастающая функция  см. Возрастание и убывание функ ции Признак возрастания функций. Вторая производная функции f  производная от производ ной " функции f. Обозначение: f". Примеры: sin" х ==  sin х, cos" х ===  cos х. В. п. помоrает более подробно исследовать поведение функции. Первая производная есть скорость изменения функции, а В. п. есть скорость изменения этой скорости. А 9 10,11,7.29. Второй коэффициент квадратноrо уравнения  см. KвaдpaT ное уравнение. Второй признак равенства треуrольников  СМ. Признаки pa венства треуеольников. Вынесение множителя из..под знака (квадратноrо) корня. Объясняется на примерах. А 7,11,7.16. Вынесение общеrо множителя за скобки. Объясняется на при мерах. А 6,IV,11.30. 9 
Выпуклый  мноrоrранник,  мноrоуrольник,  четырехуrольник. Выражение с переменными. Объясняется на при мерах. Так, 60!  В. с П., буква t здесь ваз. переменной. Если в В. с п. подста- вить вместо каждой пере мен ной ее значение, то получается числовое выражение. Выполнив указанные в нем действия, получим число, наз. значением В. с n. при выбранных значениях переменных. Не- которые выражения имеют смысл не при всех значениях переменной. А 6,1,1.2. Высота конуса,  пирамиды,  призмы,  цилиндра. Высота пара.ллелоrрамма ABCD, соответствующая сторонам АВ и CD, отрезок BF перпендикуляра, опущенноrо из вершины В на прямую CD. r 8,13. Высота трапеции ABCD  расстояние между параллельными ПРЯМblМИ АВ и CD. f 8,13. Высота треуrольиика, опущенная из данной вершины, пер- пендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треуrольника. З. Если а, Ь, с  стороны тр еуrольника, то В. т., опущенная на сторону с, равна a 2  (а 2  Ь 2 + с 2 )/4с 2 . у Стороны треуrольника обратно пропорциональны ero высотам, 1 1 1 т. е. а:Ь:с == ha : hb : hc . r 6,3; 7,7; 8,13. У Вычисление объемов тел. Пусть задано тело и существует такая прямая Ох, что, какую бы плоскость, перпендикулярную к этой прямой, ни взять, известна площадь S (х) сечения тела этой плоскостью. Если функция S (х) непрерывна на отрезке [а; Ь], то объем V части тела, заключенноrо между плоскостями, соответствую- ЩИМИ значениям х == а и х == Ь, можно вычислить по формуле ь V == )S (x)dx. С ее помощью выводятся формулы объемов шара, а конуса, пирамиды. Отмечается, что если тело получено вращением ь криволинейной трапеции BOKpyr оси Ох, то V == лf2(х)dх. А 910, а II 1,9.35. Вычитание мноrочленов  СМ. Сложение и вычитание MHOO- цленов. rармонические колебания. rоворят, что физическая величина, изменяющаяся во времени в соответствии с уравнением f" (t) == ==  u/f(t) (00  положительная постоянная), совершает r. к. Само уравнение наз. дифференциальным уравнением F. к. При любых постоянных А, <.о и ер функция f(t) == А COS(ffit + <рУ является решением уравнения [. к. Верно и обратное: любое реше- ние уравнения [. к. есть функция вида А cos(u>t + <р), причем обычно 10 
выбирают А  О, fP Е [О; 2л]. Максимальное значение модуля функции f(t) == А cos (wt + <р) равно А. Константу А наз. амплитудой колеба- ния, константу w  У2ловой частотой колебания, константу <р  начальной фазой колебания. [рафик r. K. синусоида. А 9IO,II,7.29. rеометрическая проrрессия  последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со BToporo, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Иначе: последовательность (Ь п )  r. П., если для любоrо HaTY ральноrо n выполняются условия: Ь п =1= О и Ь п + 1 == bnq, rде q  не- которое число. Отношение любоrо члена r. п., начиная со BToporo, к предыду- щему члену равно q, т. е. при любом натуральном n верно равенство Ь.Ь: I == q. Число q наз. знаменателем F. n. Знаменатель r п. отли- чен от нуля. Чтобы задать r. П., достаточно указать ее первый член и знаменатель. Формула п20 члена Т. n.: Ь п == Ь 1 qn  1. bnq  Ь ) Формула суммы n первых членов Т. n.: Sn == l ' q =1= 1, q Ь 1 (qfl  1) или Sn == l ' q =1= 1. А 8,111,7.1 б 18. q rеометрическая фиrура. Объясняется на примерах (треуrоль- ник, квадрат, окружность и др.). Часть r ф. также является [. ф. Объединение нескольких r. ф. есть снова r. ф. Основные [. ф. на пл ос кости  точка и прямая. r. 6,1. rеометрический СМЫСЛ производной  см. Касательная. rеометрическое место точек (на плоскости)  фиrура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свой ством. Так, окружность есть r. м. т. плоскости, равноудаленных от данной точки. Т. r. м. Т., равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходя щая через ero середину. Понятие r. м. т. используется и в пространстве. r 6,5. См. также Метод 2ео.метрическuх мест rеометрия  наука о свойствах rеометрических фиrур. r., изучаемая в школе, наз. евклидовоu, по имени древнеrреческоrо ученоrо Евклида (111 в. до н. э.). r 6,1. rипербола  см. Функция у == k/x. rипотенуза  см. П РЯАЮУ20ЛЬНЫЙ треУ20ЛЬНUК. rомотетичные фиrуры  см. Fо.мотетия. rомотетия относительн() нентра. Пусть F  данная фиrура и О  фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фи- rypbI F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k. ОХ, rде k  положительное число. Преобразование фиrуры Р, при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', построенную указанным способом, наз. Т. относительно центра О. Число k наз. коэффuциен том Т. Фиrуры F и F' наз. 20мотетuчныМ,u. r 7,9; 9,17 rpaдyc  1/180 часть развернутоrо уrла. М 4,11.6.44. См. также Основные свойства измерения У2лов. rраница фиrуры, тела. понятие используется без определения, напр., в сочетаниях: rраницей Kpyra является окружность, rpa. ница шара наз. шаровой поверхностью или сферой. r 8,13; 10,18; 19. J J 
rpaHb двуrранноrо уrла,  мноrоrранника,  TpexrpaHHoro уrла. rрафик линейноrо уравнения с двумя переменкыми  см. Л uнейное уравнение с двумя nеременны,М,и. rрафик линейной функции  см. Л инейная функция. rрафик обратной пропорциональности  см. Функция у == k/ х. rрафик обратной функции  см. Обратная функция. rрафик прямой пропорциональности  см. Прямая пpoпop цuональность. rрафик уравнения с двумя переменными  см. У равнение с двумя перемеННbl}'-lИ, Линеиное уравнение с двумя пере"иенными. rрафик функции  множество всех точек, абсциссы которых равны значениям aprYMeHTa, а ординаты  соответствующим зна чениям функции. А 6,11,5.14. r ф. наз. множество точек (х; у) координатной плоскости, r де у == {(х); х «пробеrают» всю область определения функции [. Для Toro чтобы подмножество точек координатной плоскости являлось rрафиком какойлибо функции, необходимо, чтобы это подмножество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Часто функцию задают rрафически  предъявляют ее rрафик. А 9lO,I,2.3. rрафический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными  см. Система двух уравнении с двумя nере,М,енными. rрафический способ решения уравнений. Объясняется на при мерах, как можно найти приближенные значения корней, находя абсциссы точек пересечения соответствующих rрафиков. А 8,11,4.9. Движение  преобразование фиrуры F в фиrуру F', сохраняю щее расстояние между точками, т. е. переводящее любые две точки Х и У фиrуры Р.в точки Х' и у, фиrуры р' так, что ХУ == Х'У'. Т,. Преобразование симметрии относительно точки является Д. т 2. Преобразование симметрии относительно прямой явля ется Д. т 3. При Д. точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимноrо распо ложения. C 1 . При Д. прямые переходя т в прямые, полупрямые  в по лупрямые, отрезки  в отрезки. С 2 . При Д. сохраняются уrлы между полупрямыми. Два Д., выполненные последовательно, дают снова Д. Преоб разование, обратное Д., является также Д. Т4. Преобразования симметрии относительно точки, прямой и плоскости в пространстве являются Д. т 5. Д. переводит плоскости в плоскости. r 7,9; 9,17. Двойные неравенства  неравенства вида  3 < х < 2,  3   х < 2,  3 < х  2 и т. п. Объясняются на примерах. А 7,IV, 12.29. Двуrранный уrол  фиrура, образованная двумя полуплоско стями С общей оrраничивающей их прямой. Полуплоскости наз. zранями, а оrраничивающая их прямая  ребром Д. у. Плоскость, перпендикулярная к ребру Д. у., пересекает ero rрани по двум полупрямым. Уrол, образованный этими полупрямыми, наз. линейным У2ЛОМ д. у. За меру Д. у. принимается мера COOTBeT 12 
ствующеrо ему линейноrо уrла. Все линейные уrлы совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера Д у. не зависит от выбора линейНО20 уzла. r 10,18. Двуrранный уrол TpexrpaHHoro уrла  см. ТрехzраliflblЙ усОЛ. Двучлен  см. Мноzочлен. Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа образуют мно}кество Д. ч. Каждому д. ч. соответствует точка на координатной прямой, и каждой точке координатной прямой COOT ветствует некоторое Д. ч. (рациональное или иррациональное) Каждое Д. ч. представляется в виде бесконечной десятичной ДDоби. И наоборот: всякая бесконечная десятичная дробь пред савляет собой некоторое Д. ч. (рациональное, если дробь периоди  ческая, и иррациональное, если дробь непериодическая) Запись Д. Ч. в виде бесконечных десятичных дробей можно использовать для сравнения чисел. Д. ч. можно ск.,падывать, вычитать, умножать, делить (при усло вии, что делитель отличен от нуля), причем действия над Д. ч. обла дают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. Например, для любых двух Д. ч. а и Ь верны равенства а + ь == Ь + а, аЬ == Ь а и т. д. Для практических целей при выполнении действий над Д. ч их заменяют приближенными значениями. А 7,11,5.11. Действия с десятичными дробями. Сложение и вычитание дe сятичных дробей выполняется поразрядно. При этом дроби запи сывают одну под друrой так, чтобы запятая оказалась под запятой Чтобы умножить одну десятичную дробь на друrую, надо выпол нить умно)кение, не обращая внимание на запятые, а затем в полу ченном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в дe лимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на HaTY ральное число. Чтобы умножить десятичную дробь на 1 оп, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр вправо. Чтобы разделить десятичную дробь на 10'', надо в этой дроби перенести запятую на п цифр влево. М 4,II,7.488.57. Действия с обыкновенными дробями. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибав ляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. При сложении и вычитании дробей с разными зна менателями их предварительно приводят к общему знаменателю. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению их числителей, а заа менатель равен произведе нию знаменателей. Чтобы разделить одну дробь на друrую, надо делимое YMHO жить на дробь, обратную делителю. М 4,II,5.3841; 5,11,6; 7 Действия с положительными и отрицательными числами. Что бы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус». Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большеrо модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак Toro слаrаемоrо, модуль KOToporo больше. Сумма двух противо "оложных чисел равна нулю. ]3 
Чтобы из одноrо числа вычесть друrое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Чтобы пере множить два отрицательных числа, надо перемно }кить их модули. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить их модули и перед полученным результатом по ставить знак «минус». Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо модуль делимоrо разделить на модуль делителя. Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимоrо разделить на модуль делителя и перед полученным результатом поставить знак «минус». Делить на нуль нельзя. М 5,1,2; 3. Декартовы координаты в пространстве. Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у, z, пересекающиеся в одной точке О. Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящую через прямые х и у, наз. плоскостью. ху. Две друrие плоскости наз. соответственно xz и yz. Прямые х, у, z I-Iаз. KoopдиHaT ными осями (или осями координат), точка их пересечения О  Ha чалом координат, а плоскости ху, yz и xz  координатными nло скоетями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полу прямые  полуоси, одну из которых наз. положительной, друrую  отрицательной. Через произвольную точку А проведем плоскость, па раллель ную плоскости yz. Она пересечет ось х в некоторой точке Ах. Koop дuнатой х точки А наз. число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА х : положительное, если точка Ах лежит на положительной полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полу оси. Если точка Ах совпадает с точкой О, то полаrаем х == О. Ана- лоrично определяются координаты у и z точки А. Тройку чисел х, у, z наз. декартовыми координатами точки А в пространстве. Коорди наты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А (х, у, z), иноrда просто (х, у, z). r 9,17. Декартовы координаты на плоскости  см. Координаты на nло скости. Деление дробей  см. Действия с обыкновенными дробями. Деление с остатком. Пусть а и Ь  натуральные числа. Если при делении числа а на число Ь получается неполное частное q и остаток (, то а === bq + " rде q и r  натуральные числа или нуль, причем r < Ь. М 4,1,3.21; А 6, Сведения... Деление степеней  см. Степень с натуральным показателем. Делитель натуральноrо числа а  натуральное число Ь, на KOTO рое а делится без остатка, т. е. а === bq, rде q  натуральное число. Число 1 является делителем любоrо натуральноrо числа. Если Ь  д. н. ч. а, то а наз. кратным числа Ь. Число О кратно любому натуральному числу. М 4,1,3.22; А 6, Сведения... Десятичная дробь. Любое число, знаменатель дробной части KOToporo выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи (объясняется на при мерах), или, как rоворят иначе, в виде Д. д. Если к Д. д. приписать справа нуль, то получится равная ей дробь. Если Д. д. оканчивается нулем, то этот нуль можно отбро сить  получится равная ей дробь. Из двух (положительных) Д. д. с разными целыми частями меньше та, у которой целая часть меньше, и больше та, у которой целая часть больше. Чтобы сравнить две (положительные) Д. д. с одинаковыми целыми частями, надо уравнять, приписывая справа 14 
нули, число десятичных знаков после запятой в обеих дробях и cpaB нить их дробные части. М 4,II,7,45; 46. См. также Действия с десятичными дробями Бесконечная десятичная дробь. Десятичный лоrарифм  лоrарифм по основанию 10. Обозна чение: Ig. А 9IО,IV,11.4З. Диаrональ мноrоуrольника,  призмы,  четырехуrольника. Диаrональное сечение призмы  СМ. П ризм-а. Диаметр  окружности,  шара. Диаметральная плоскость шара  см. Шар. Диаметрально противоположные точки шара  см. Шар. Дискриминант квадратноrо трехчлена  см. Квадратный Tpex член. Дискриминант квадратноrо уравнения  см. Формула корней квадраТНО20 уравнения. Дифференциальное уравнение rармонических колебаний  см. Fармонические колебания. Дифференциальное уравнение показательноrо роста и пока- зательноrо убывания  уравнение вида "(х) == kf(x), rде k  HeKO торая константа. Решением этоrо уравнения является любая функ. ция вида f(x) == Ce k \ rде С  постоянная (т. к. С произвольно, У этоrо уравнения бесконечно MHoro решений). Решений друrоrо вида уравнение не имеет. Смысл этоrо дифференциальноrо ypaB нения состоит в том, что скорость изменения функции в точке х про. порциональна значению самой функции в этой точке. Приводятся примеры: 1) радиоактивный распад (т'(t) ==  km(t), т(О) == то, решение m(t) == moek(), 2) рост населения страны, 3) охлаждение тела. Упоминаются друrие дифференциальные уравнения: 1) при вер. тикальном движении под действием силы тяжести координата точки z единичной массы удовлетворяет дифференциальному уравнению z"(t) == g, общее решение KOToporo z(t) == Zo + vot + gt 2 /2, rде Zo == z(O), v() == z' (О), 2) при rармонических колебаниях в соответ. ствии с дифференциальным уравнением у" (t) == (j)2y(t) общее реше ние имеет вид y(t) == А cos((j)t + <р), rде А и <р  произвольные кон. станты, которые можно определить, если заданы начальные условия у(О) == Уа, у'(О) == Vo. А 9 1 O,IV, 12.48. Дифференцирование  см. Производная. Длина дуrи окружности  см. Длина окружности. Длина ломаной  см. Ломаная. Длина окружности. Дается наrлядное представление о Д. о. как длине отрезка, полученноrо после разрезания нити в форме окружности и распрямления ее. Т. Отношение д. о. к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей. Доказательство этой теоремы не слишком cTporoe и исполь зует идею о том, что Д. о. есть предел периметров правильных BЫ пуклых пуrольников, вписанных в окружность. Отношение Д. о. к диаметру обозначают rреческой буквой ]5 
п: l/2R == п. Число 1t  иррациональное, приведен.о ero приближен ное значение (п 3,1416). Таким образом, Д. о. вычисляется по формуле 1 == 2пЯ. Длина дyи окружности, отвечающей центральному уrлу в пО, равна лRп/180. r 8,12. Длина отрезка. Не определяется, а объясняется. r 6,1. См. также Основные свойства измерения отрезков. Длина промежутка с концами а и Ь  число Ь  а. А 910, атериал для повторения. Додекаэдр  см. Правильные МНОёОёранники. Доказательство  рассуждение, путем KOToporo устанавлива ется правильность утверждения о свойстве той или иной rеометри ческой фнrуры. r 6,1. Доказательство от противноrо  способ доказательства, состоя щий в том, что сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опи раясь на аксиомы и уже доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение Teo ремы. r 6,2. Дополнительные полупрямые  см. Полупрямая. Дополнительный множитель к числителю и знаменателю  см. Основное свойство дроби. Дополнительный плоский уrол  см. П лоскuu усол. Допустимые значения переменных  значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А 7,1,1.1. Достаточные условия существования экстремума функции в точке. При нахождении точек зкстремума функции требуется найти ее критические точки (см.) и провести исследование, действительно ли данная критическая точка является точкой экстремума. При этом обычно используют д. у. С. Э. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точ K хо, а l' (х) > О на интервале (а; Хо) и l' (х) < О на интервале (хо; Ь), то точка ХО является точкой максимума функции 1. Упрощенная формулировка: если в точке Хо производная меняет знак с плюса на минус, то ХО есть точка максимума. Признак .миниму,М,а функции. Если функция f непрерывна в точке Ха, а f'(x) < О на интервале (а; ХО) и {' (х) > О на интервале (хо; Ь), то точка Хо является точкой минимума функции f. Упрощен ная формулировка: если в точке хо производная меняет знак с ми нуса на плюс, то Хо есть точка минимума. А 9 10,11,7.26. Достаточный признак возрастания (убывания) функции  см. Признак возрастания функции) Признак убывания функции. Дроби  см. Обыкновенная дробь) Десятичная дробь. Дробная часть числа х  см. Целая часть числа х. Дробное рациональное уравнение  см. Рациональное ypaB не ние. Дробные выражения  выражения, составленные из чисе.il и пе ременных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления, причем обязательно используется деление на выражение с переменными. д. в. при некоторых значениях переменных MorYT не иметь смысла. А 7,1,1.1. Дуrа окружности  см. Центральный уёОЛ. 16 
Единичная окружность  окружность радиуса 1 с центром в начале координат. А 9 10,1,1.1. Единичный вектор  вектор, абсолютная величина KOToporo равна единице. Е. В., имеющие направления положительных KOOp динатных осей, наз. координатными векторами или ортами. Их обо значают ё-, (1,0) на оси х и е2 (О, 1) на оси у. Любой вектор а(а" а2)    допускает представление в виде а == а,е, + а2е2. Аналоrично в npo     страистве имеет место представление а(а" а2, аз) == а,е, + а2 е 2 + азез, rде е" е2, е1  Е. В., имеющие направления координатных осей. r 8,10; 9, 17. Зависимая переменная  см. Функция. Задание прямой в пространстве. Любая прямая полностью определяется, если заданы две плоскости, проходящие через эту прямую. Отсюда следует, что любая прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями  уравнениями плоскостей, проходя. щих через эту прямую: а,х + а2У + азz + а4 == О, Ь ,х + Ь 2У + ЬзZ + ь 4 == О. Точка (х, у, Z), удовлетворяющая этим двум уравнениям, при надлежит каждой из плоскостей, а значит, принадлежит прямой. Обратно, координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, так как точка принадлежит каждой из плоскостей. r 9,17. Задачи на построение (простейшие). 1. Построить треуrольник с данными сторонами а, Ь, с. 2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость уrол, равный данному. 3. Построить биссек- трису данноrо уrла. 4. Разделить отрезок пополам. 5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а. r 6,5. Заключение в скобки  см. Сложение и вычитание М,носочленов. Заключение теоремы  см. Теорема. Законы арифметических действий. Для любых действительных чисел а, Ь и с справедливы следующие равенства: а) а + ь == ь + а (переместительный закон сложения), б) (а + Ь) + с == а + (Ь + с) (сочетательный закон сложения), в) аЬ == Ьа (переместительный закон умножения), r) (аЬ)с == а(Ьс) (сочетательный закон умножения), д) (а + Ь) с === ас + Ьс (распределительный за кон) . А 9 1 О, атериал для повторения. Замкнутая ломаная  см. Ломаная. Звено ломаной  см. Ломаная. Знак арифметическоrо квадратноrо корня  см. Квадратный корень. Знак интеrрала  см. Инте2рал. Знаменатель rеометрической проrрессии  см. Fеометрuческая nр02рессия. Знаменатель дроби  см. Обыкновенная дробь. Значащие цифры числа  все ero цифры, кроме нулей, стоя щих вначале. А 7,V,15.З7. Значение выражения с переменной, функции, числовоrо выражения. 17 
Извлечение квадратноrо корня  см. Квадратный корень. Измерение отрезков  см. Основные свойства измерения OT резков. Измерение yr лов  см. Основные свойства измерения уzлав, Радианная мера уzла. Изображение пространственных фиrур на плоскости  см. П араллельное проектирование. Икосаэдр  см. Правильные МНО202ранники. Интеrрал. Вводится из rеометрических соображений при BЫ числении площади криволинейной трапеции. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а; Ь]. Разобьем OTpe зок (а; Ь] на п отрезков одинаковой длины точками ХО == а < Ха < ba < Х2 < ... < Xп 1 < х п == Ь, и пусть f1x === == Xk  Xk 1, rде п ba k==I, 2, ..., nl, п. Составим Sn== (((Хо) + f(xl) +... п ..... + f(xn 1)). Утверждается: для любой непрерывной функции Sn стремится (при п 00 ) к некоторому чису. Это число наз. (по опреде ь лению) И. функции f от а до Ь и обозначают f(x)dx, т. е. ь а Sn  f(x)dx при п 00 (читается «интеrрал от а до Ь эф от икс ДЭ а икс»). Числа а и Ь наз. пределами uнте2рированuя: а  нижним пределом, Ь  верхним. Знак  наз.. знаком, uнтеzрала. Функция f наз. подынтеzральной функцией, а переменная х  nере.менной uнтеzрuрования. Если f (х)  О на отрезке [а; Ь], 70 площадь S соответствующей ь криволинейной трапеции выражается формулой S ===  f(x)dx. а  Для приближенноrо вычисления И. можно рассматривать суммы Sn. Лучше, однако, воспользоваться суммами ba 1 1 Sn === п (2 '(хо) + f(xl) + f(X2) +... + 2"" '(Х п ), слаrаемые которых равны в случае положительной функции пло щадям трапеций, «вписанных» В криволинейную трапецию и orpa- ниченных ломаными. .. Понятие и. удобно расширить, полаrая по определению, что ь а а f(x)dx ===   f(x)dx при а  Ь (в частности, f(x)dx == О). А 9lOr а ь а 11 1,9.34. См также Формула Ньютона  Лейбница, Вычисление объ е.мО8 тел. Интеrрирование  операция, обратная операции дифференци- рования (см.). А 9lO,III,8.30. Интервал (а; Ь). О. И. с концами а и Ь есть множество всех чи сел х, удовлетворяющих неРС1венству а<х< Ь. А 910, Материал для повторения. Иррациональное число. На координатной прямой имеются точ ки, которым соответствуют числа, не являющиеся рациональными (не существует, напр., TaKoro рациональноrо числа, квадрат КОТО- 18 
poro равен 2). Число, которое нельзя представить в виде дроби т/n, rде т  целое число, а п  натуральное, наз. И. ч. Число 11, напр., является И. ч. Всякое И. ч. можно представить в виде бесконечной десятич ной непериодической дроби. Верно и обратное: каждая бесконеч ная десятичная непериодическая дробь представляет собой HeKO торое И. ч. А 7,11,5.11. Иррациональные уравнения  уравнения, в которых перемен ная содержится под знаком корня. Приводятся примеры реше ния И. у. При некоторых способах решения (напр., при возведении в квадрат частей И. у.) MorYT появиться посторонние корни, поэто му требуется проверка полученных корней. Удобнее решать И. у., nr; Так, уравнение  f == g paBHO используя равносильные переходы. сильно системе { g2n==f, g  О. А 9 IO.IV,IO.37. Исследование функций. Предлаrается следующая схема И. ф.: 1) найти область определения функции; 2) выяснить, обладает ли функция особенностями, облеrчаю щими исследование (является ли функция f: а) четной или нечет ной; б) периодической); 3) вычислить координаты точек пересечения rрафика f с ося ми координат; 4) найти промежутки знакопостоянства функции; 5) найти промежутки возрастания и убывания функции; 6) найти точки экстремума функции и вычислить значения в этих точках; 7) исследовать поведение функции f при больших (по модулю) значениях aprYMeHTa. И. ф. на возрастание (убывание) и на экстремум удобно про водить с помощью производной. Для этоrо сначала находят про изводную функции t и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума. Результаты исследования удобно занести в таблицу. Обычно по результатам И. ф. строят rрафик. А 9IO,I,2.4; II,7.27. Касание окружностей. Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную. К. о. паз. внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. К. О. наз. внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. r 6,5. Касательная к rрафику функции {, дифференцируемой в точке XO, прямая, проходящая через точку (Хо, '(хо)) и имеющая уrловой коэффициент {' (хо). Точку (Хо, f (хо)) наз. точкой касания. Поскольку f / dx  {' (хо), то yr ловой коэффициент Д! / дх секущей, проходящей через точки (хо, '(хо)) и (хо + дх, {(хо + x)), практически равен уrло вому коэффициенту К. Условие y/ L\x---+ {' (хо) при 8х---+О позволяет дать rеометрическое определение К. как предельноrо положения секущей при dx---+O. Существование производной функции f в точке хо эквивалентно существованию невертикальной К. в точке (хо, f(xo» rрафика, при чем уrловой коэффициент К. равен f' (хо). В этом состоит eeoм.eTpи ческuй смысл производной. 19 
Уравнение К. к 2рафику функции { в точке А(хо, {(Ха)) имеет вид у == {(Ха) + " (хо)(х  Хо). Дается способ построения К. к пара боле в любой ее точке А (ха, ха), кроме вершины: соединить точку А с точкой Т, делящей пополам отрезок оси Ох с концами О и ха. Л 9 1 0,1 1,6.22. Касательная к окружности  прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку При этом данная точка окружности наз. точкой касания. rоворят также, что окружность касается прямой. r 6,5. Касательная плоскость   конуса,   цилиндра. Касательная плоскость к шаровой поверхности  см. Шар. Касательная прямая к шаровой поверхности (сфере)  см. Шар. Катет  см. П РЯМОусОЛЬНblU треусоJl.ЬНИК. Квадрат  прямоуrольник, у KOToporo все стороны равны. К. является также ромбом, поэтому обладает свойствами прямо уrольника и ромба. r 7,6. Квадрат суммы и квадрат разности. Формула квадрата суммы  тождество (а + ь)2 === а 2 + 2аЬ + ь 2 (одна из формул сокращенноrо умножения). Словами: квадрат суммы двух выражений равен KBaд рату первоrо выражения плюс удвоенное произведение первоrо и BToporo выражений, плюс квадрат BToporo выражения. Формула квадрата разности  тождество (а  b)2==a22ab+b2 (одна из формул сокращенноrо умножения). Словами: квадрат раз ности двух выражений равен квадрату первоrо выражения минус удвоенное произведение первоrо и BToporo выражений, плюс квадрат BToporo выражения. А 6,V,14.35. Квадратичная функция  функция, которую можно задать фор мулой у == а:С + Ьх + с, rде Х  независимая переменная, а, Ь и с  числа, причем а =1= О. Преобразовав выражение ах 2 .+ Ьх + с, ( Ь ) 2 Ь2  4ас получим у == а х + 2а 4а или у == а(х  т)2 + n, rде Ь ь 2  4ас т ==   2 и п ==  rрафик функции у == a(x т)2 + п а 4а получается из rрафИI<а функции у == ах 2 с помощью параллельноrо переноса, при котором точка (Ха; Уа) переходит в точку (ха + т; уа + п). rрафик к. ф. У == ах 2 + Ьх + с есть парабола, равная пара .. ( Ь Ь 2  4ас ) боле у == ах 2 . Ее вершинои является точка  2а ;  4а - . Ь Осью симметрии служит прямая х ===  2а ' параллельная оси у. При а > О ветви параболы направлены вверх, при а < О  вниз. А 8,1,2.4; 5. Квадратное уравнение  уравнение вида ах 2 + Ьх + с == О, rде х  переменная, а, Ь и с  некоторые числа, причем а =1= О. Числа а, Ь и с  коэффициенты К. у., причем а наз. первым коэффu циентом Ь  вторым коэффициентом и с  свободным членом. К. у., у KOToporo первый коэффициент равен 1, наз. пpивeдeH ным К. у. Если в К. у. хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое К. у. наз. неполным К. у. Неполное К. у. вида ах 2 + Ьх == О при b=t=O имеет два КОРНЯ:ХI===О и X2==b/a; неполное К. у. 20 
вида a+ c==O, C=i=O при c/a>O имеет два корня: х, ==  ..y c/a и X2==  c/a; при c/a<O уравнение корней H имеет. А 7,111,8.18; 19. См. также Формула корней квадраТНО20 уравнения, Теорема Виета. Квадратный корень из числа а  число, квадрат KOToporo равен а. Так, К. к. из 64 будут 8 и  8. о. Арифметическим К. К. из числа а наз. неотрицательное число, квадрат KOToporo равен а. Для арметическоrо К. к. из числа а принято обозначение:  Знак \j наз. знаком арифметичеСКО20 К. к.; выражение, стоящее под знаком корня, наз. подкоренным выражение.М. При а < О выражение  не имеет смысла. Вычисление (арифметических) К. к. наз. еще извлечением К. к. При любом а  О верно равенство (? === а. Большему числу соответствует БОЛLшее значение арифметическоrо К. к. Объясняется, К.1к вычислять К. к. С помощью таблиц и микро калькулятора. А 7,11,5.1 о; 12; 6. 15. См. также Свойства квадратных корней. К8адраТНIЙ трехчлен  мноrочлен вида ах 2 + Ьх + с, rде х  переменная, а, Ь 11 с  числа, причем а =1= О. О. Корнем К. т. наз. значение переменной, при котором значе ние этоrо трехчлена равно нулю. К. т. имеет те же корни, что и квадратное уравнение ах 2 + Ьх + + с === О. Дискриминант квадратноrо уравнения наз. также дискри минантом К. т. Число корней К. т., как и число корней квадратноrо уравнения, зависит от ero дискриминанта: при D > О К. т. имеет два различных корня; при D == О К. т. имеет один корень; при D < О К. Т. не имеет корней. Из теоремы Виета следует, что если К. т. ах 2 + Ьх + с имеет корни х, и Х2, ТО Xt + Х2 ===  Ь/а, Х'Х2 == с/а. А 8,1,1.1. См. также Разложение квадраТНО20 трехчлена на множители. Коллинеарные векторы  два отличных от нуля вектора, лежа щие на одной прямой или на па раллельных прямых. Т. У К. в. соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух векторов соответствующие координаты про порциональны, то векторы коллинеарны. r 8,10. Кольцо  то же, что КРУ20вое кольцо. Конечная последовательность  см. Последовательность. Коническая поверхность. Термин употреблен в У.ll. r 10,21. Конус (точнее, круrовой конус)  тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку  вершину K. с точками HeKoToporo Kpyra  основания К. Отрезки, соединяющие вершину К. с точками окружности основания, наз. 06раЗУ10ЩИ'м'и К. Поверхность К. состоит из основа ния и боковой поверхности. К. наз. прямым, если прямая, соединяющая вершину К. с цeHT ром основа ния, перпендикулярна плоскости основания. В школе рассматриваются лишь прямые К., наз. кратко К. Высотой К. наз. перпендикуляр, опущенный из ero вершины на плоскость основания. У прямоrо К. основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямоrо К. наз. прямая, содержащая ero высоту. Сечение К. плоскостью, проходящей через ero ось, наз. осевым сечением К. Плоскость, проходящая через образующую К. и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту обра зующую, наз. касательной плоскостью К. 21 
Т. Плоскость, перпендикулярная оси К., пересекает К. по Kpyry, а боковую поверхность  по окружности с центром на оси К. Плоскость, перпендикулярная оси К., отсекает от Hero меньший К. Оставшаяся часть наз. усеченным К. Пирамидой, вписанной в К., наз. такая пирамида, основание которой есть мноrоуrольник, вписанный в окружность основания К., а вершиной является вершина К. Боковые ребра пирамиды, вписан- ной в К., являются образующими К. Пирамида наз. описанной около К., если ее основанием явля ется мноrоуrольник, описанный около основания К., а вершина совпадает с вершиной К. Плоскости боковых rpa ней описанной П-Ирамиды являются касательными плоскостями к. r 10,19. КОНЦЫ отрезка  см. Отрезок. Концы промежутка  точки а и Ь у отрезка [а; bJ, интервала (а, Ь) и полуоткрытых промежутков [а; Ь) и (а; Ь]. А 9 10, Материал для повторения. Координатная плоскость  см. Декартовы координаты в пpo CTpaHCTBe Координаты на плоскости, а также М 5,1,1.10. Координатная прямая. Прямую линию с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением наз. К. п. Чис ло, показывающее положение точки на прямой, наз. координатой этой точки. М 5,1,1.2. Координатные векторы (орты)  см. Единичный вектор. Координатные оси  см. Координаты на плоскости, Декартовы координаты в пространстве. Координатные плоскости  см. Декартовы координдтЬ! в про- странстве. Координатный луч  луч, начерченный слева направо, с OTMe ченным на нем единичным отрезком. Вводится описательно. М 4,1,1.5. Координаты в пространстве  см. Декартовы координаты 8 пpOCTpaHCTe.  Координаты вектора. Пусть вектор q имеет началом точку А, (Xt, Yt), а концом  точку А 2 (Х2, У2). К. в. а наз. числа al == Х2  XI, а2 == У2  YI. К. в. ставят рядо м с бу квенным обозначением вектора, в данном случае a(at, а2) или (а" а2), Координаты нулевоrо вектора равны нулю. Абсо лютная величина вектора с координатами al, а2 равна -У ат + a. Т. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Обратно: если у векторов СОO'fветствующие координаты равны, то векторы равны. Аналоrично в пространстве: К. в. С началом в точке А I (Xl, у" Zt) И концом в точке А 2 (Х2, У2, Z2) наз. чис ла al === Х2  XI, а2 == У2  YJ, аз == Z2  Zl. Запись: a(al, а2, аз) или (al, а2, аз). Верна теорема, сформулированная выше. r 8,10; 9,17. Координаты на плоскости (декартовы). На плоскости через точ ку О проводим две взаимно перпендикулярные прямые х и у  оси координат. Ось х (она обычно r()ризонтальна) наз. ОСЬЮ абсцисс, а ось У  осью ординат. Точкой пересечения О  началом KOOp динат  каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся наз. одну из них положительной, отмечая ее стрелкой, а друrую  отрицательной. Каждой точке А плоскости сопоставим пару чисел  Koopди наты точки  абсциссу (х) и ординату (у) по следующему правилу. 22 
Через точку А проводим прямую, параллельную оси ординат. Она пересечет ось абсцисс в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А будем наз. число х, абсолютная величина KOToporo равна расстоянию от точки О до Ах. Это число будет положительным, если Ах принадле- жит положительной полуоси, и отрицательным, если Ах принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат у, то полаrаем х равным нулю. Аналоrично определяется ордината (у) точки. Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А(х, у)  на первом месте абсцисса, на BTO ром  ордината. Оси координат разбивают плоскость на четыре части  четвер- ти  1, 11, 111, IV. В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются (иллюстрируется рисунком). Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у === О), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х == О). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю. Плоскость, на которой введены описанным способом коорди- наты, наз. плоскостью ху или координатной плоскостью. Произволь НУЮ точку на этой плоскости с координатами х и у иноrда обозначают просто (х, у). Введенные на плоскости координаты х, у наз. декартовыми, по имени французскоrо ученоrо Р. Декарта (15951650). r 7,8. Координаты середины отрезка. Если А (XI, YI), В(Х2, У2)  концы отрезка и С(х, у)  ero середина, то х == (Xl + Х2)/2, у === (УI + У2)/2. в пространстве К. с. о. с концами A1(XI, Yt, Zl) и А 2 (Х2, У2, Z2) нахо- дятся по формулам х == (Xl + Х2)/2, у === (Yl + У2)/2, Z===(Zl +Z2)/2. r 7,8; 9,17. Координаты точки  см. Координатная nрямая Координаты на nлоскостu Декартовы координаты 8 пространстве. Корень квадратноrо трехчлена  СМ. Квадратный трехчлен. Корень п..й степени из числа а (п  натуральное)  такое чис ло, nя степень KOToporo равна а. Если n  нечетное натуральное число, то К. nй с. из любоrо числа существует, притом только один. Запись корня нечетной степени: . Число п паз. пО1Шзателем. корня; выражение, стоящее под знаком корня, подкоренным выражением. Если n  четное, то при а> О существуют два К. nй с. (эти корни  противоположные числа), в этом случае знаком  обоз- начают неотрицательный К. п-й с. из а. Отрицательный же обозна- чают .y;. Если а == О, то К. n-й с. из а равен нулю. Если а < О, то К. пй с. из а при четных n не существует. Из определения К. nй с. следует, что при всех значениях а, при которых выражение'  имеет смысл, верно равенство () п == а. Функция у == V---; определена при всех х, функция У == v;  при х  О. Каждая из этих функций является возрастающей. Ре- зультат обобщается на любое n. Арифметическим К. пй с. из неотрицатеЛЬfl020 числа а наз. неотрицательное число, n-я степень KOToporo равна а. Корень нечет ной степени из отрицательноrо числа а можно выразить через а риф- метический К. n-й с.:  ==  a (а < О, п  нечетное число). С помощью знака К. пй с. записываются решения уравнения XZ == а. А 8,IV,9.21; 910,IV,IO.36. 23 
С'м. также Свойства арuфAtетuчеС1WёО корня пй степени. Корень уравнения  значение переменной, при котором ypaBHC ние обращается в верное равенство. А 6,1,3.7. См. также Уравнение ... Косеканс  см. Основные триеономе триче ские функции. Косинус. 1. К. OCTporo yr ла а прямоуrолъwоrо треуrольни ка отношение катета, прилежащеrо к уrлу а, к rипотенузе. Обозна чение: cos а. Т. К. уrла зависит только ОТ rрадусной меры. С. cos а< 1. Катет, прилежащий Ii уrлу а, равен произведению rипотенузы, на cos а. Справедливы формулы: sin(90°  а) == cos а, cos(90°   а) == sin а, cos 450 == ,;2/2, c'os 300 == ';з/2, cos 600 == 1/2. При возрастании OCTpdro уrла cos а убывает. r 7,7. 2. К. уrла а, 00 < а < 180  см. Определение cиHyca косинуса и таН2енса для лю6020 уела от 00 до 1800. 3. К. люб9rо yr ла а  см. Три20нометрuческие функции лю6020 ap2YMeHTa ТРИ20нометрические функции числов020 ap2YMeHTa Функция у == cos х. KOTaHreHC  см. Три20но,М,етрические функции лю60еО apcYMeHTa Три20нометрические функции чuслов020 apCYMeHTa Функция у == == ctg х. Коэффициент rомотетии  см. FоМ,отетия. Коэффициеwr обратной пропорциональностн  число k в фор муле у == k I х. А 9 1 О, Материал для повторения. Коэффициент одночлена  см. Одночлен. Коэффициент подобия  см. Преобразованuе подобия. Коэффициент пропорциональности  СМ. П ропорциональные nepeMeHHbte l Прямая проnорциональность. Крайние члены пропорции  см. Пропорция. Кратное числа а  см. Делитель натураЛЬНО20 числа а. I(pиволинейкая трапеция  см. Площадь криволинейной Tpa nеции. Критичс,кие точки функции  BJI.yTpeHH6e точки области опре деления функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Только К. т. ф. MorYT быть точками экстремума функции. А 910, 11, 7.26, 28. См. также Теорема Ферма l Наибольшее и наименьшее значения функции. Kpyr  фиrура, состоящая из всех точек плоскости, находящих ся на расстоянии, не большем данноrо, от- данной точки. Эта точка наз. центром К., а данное расстояние  радиусом К. rра,ницей к. является окружность с теми же центром и радиусом. r 8,13. KpyroBoe кольцо  фиrура, заключенная между двумя окруж ностями С одним и тем же центром и различными радиусами. Поня тие используется в у .44. r 8,13. Круrовой конус  СМ. Конус. Круrовой cerMeHT  общая часть Kpyra и полуплоскости. Пло щадь К. с., не paBHoro полукруrу, вычисляется по формуле S == nR 2 == 360 а + S д., r де а  rрадусная мера центральноrо yr ла, который содержит дуrу этоrо К. с., а S А  площадь треуrольника с верШИl'lами в центре Kpyra и концах радиусов, оrраничивающих соответствующий сектор. Знак «» надо брать, коrда а < 1800, а знак «+»  коrда а > 1800. r 8,13. Круrовой сектор  часть крура, лежащая вну1'ри. соответствую 24 
щеrо цеитраJJbноrо уrлз. Площадь К. с. вычисляется по фор.муле :лR 2 S == 360 а, rде R  радиус Kpyra; а  rрадусная мера COOTBeT ствующеrо центральноrо yr ла. r 8,13. Круrовой ЦИЛИНДР  см. Цилиндр. Куб  прям.ОУZ.йЛЬНblЙ nараллелепиnед (СМ.), у KOToporo все ребра равны. r 10,18. См. также Правильные м.НО202раннuки. Куб суммы и куб разности (формулы сокращенноrо lмн'оже- иия)  тождества (а + ь? == аЗ + 3а 2 Ь + Заь 2 + ь З , (а  Ь) == аЗ   3а 2 Ь + 3аь 2  Ь З . А 9 10, Материал для повторения. Кубический корень  Корень третьей степени из числа. А. 9 1 О, IV, 10.36. См. также Корень пй степени. Лежать между. Понятие иллюстрируется чертежом, на котором точка В Л. м. точками А и С, В разделяет точки А и С. в этом случае rоворят, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В, точки А и В лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точкой С. Точки В и С лежат по одну 'сторону от точки А. r 6,1. Линейная функция  функция, которую можно задать формулой вида у == kx + Ь, rде х  независимая переменная, k и Ь  числа. Прямая пропорциональность является частным случаем Л. ф. (при Ь == О, k * О). . rрафиком Л. ф. является прямая. Для построения ero доста- точно найти координаты двух точек rрафика, отметить эти точки на координат-ной плоскости и провести через них прямую. Число k в фор- мул' У == kx + ь наз. У2ЛО8bl-М коэффициентом прямой. . Л. ф. при k > О является возрастающей, а при k < О  убываю- щей. А 6,II,6.16 18;7,IV,13.33. Линейное уравнение с двумя переменными  уравнение вида ах + Ьу == с, rде х и у  переменные, а, Ь и с  числа. Числа а и Ь наз. коэффициента-ми при nере'м'енных, число с  свободным члено'м'. rрафиком Л. у. с д: п., В котором хотя бы один из коэффициен- тов при переменных не равен нулю, является прямая. Если а:::с: О И Ь == О, то при с  О любая пара чисел является решением Л. у. с д. П., а ero rрафиком  вся координатная пло- скость; при с *-0 уравнение не имеет решений и ero rрафик не содержит ни ОДНОЙ точки. Отмечается) что, напр., rрафиком уравнения х== 3 служит прямая, параллельная оси у. А 6,VI,16.41. Линейное уравнение с одной переменной  уравнение вида ах == ь, rде х  переменная; а и Ь  числа, а наз. коэффuцuентоJt при переменной, а число Ь  свободным членом. Л. у. с о. п., в котором а =1= О, имеет единственный корень Ь / а. Если а == О и Ь * О, то уравнение ах == Ь корней не имеет. Если а == О и Ь == О, то любое зна- чение х является корнем уравнения. А 6,1,3.8. Линейные неравенства с одной переменной  неравенства вида ах > Ь или ах < Ь, rде а и Ь  некоторые числа. Рассмотрены при меры неравенств, в которых коэф_фициент при переменной не равен нулю (их решения  числовые промежутки) . Неравенство вида Ох > ь или Ох < Ь либо не имеет решений, либо ero решением явля ется любое число. А 7,IV,12.30. Линейные размеры прямоуrольноrо паРаллелепипеда......... см., П РЯМОУ20ЛЬНЫU naраллелеnипед. Линейный уrол AByrpaHHoro уrла  см. ДвУ2ранный У20Л. 25 
Линия ТаиrеНСов......... касательная 1 к единичной окружности в точке P(l; О). Если а  произвольное число и Pa.(cosa.; sin а)  соответствующая точка на единичной окружности, то ордината точки пересечения прямых ОРа. И l равна TaHreHcy уrла а. А 9lO,I,1.1. Лоrарифм числа Х по основанию а  показатель степени, в KO торую надо возвести число а, чтобы получить х. Обозначение: logax (а > О, а =1= 1, х> О). Таким образом, a1og"x == х (основное лоарuф.мическое тождество). А 9.........lO,IV, 1 1.42. См. также Основные свойства ЛО2арифмов, ЛО2ариф.мическая функция, Натуральный Л02ариф-м, Десятичный Л02арuфм. Лоrарифмироваиие  термин употребляется без объяснения как средство сокращения речи, напр., «По правилу лоrарифмирования степени», «Выразим лоrарифм по основанию 2 выражения ВаЗ Wче рез ЛОfарифмы по основанию 2 чисел а и b», коротко rоворят: «Пролоrарифмируем данное выражение по.-основанию 2». А 9lO, IV,II.43. Лоrарифмическая функция. Показательная фуни;ция '(х) == == аХ при а> 1 возрастает на R, а при О < а < 1 убывает на R; об ласть ее значений  множество R +. Следовательно, она обратима и для нее определена обратная функция g(x), область определения ко- торой  множество R+, а область значений  множество R. Эту функци, наз. ЛО2арuф.мической с основР,ние-м а и обозначают g(x) == loga х. Л. ф. с основанием 10 обозначают 19. Итак, a1og"x == х для любоrо х > О. OCOBHыe свойства Л. ф. (вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции): 1. Область определения Л. ф.  множество всех положительных чисел: D(loga) == R+; 2. Об ласть значений л. ф. множество всех действительных чисел: Е (loga) == R; 3. Л. ф. на всей области опредe.nения R + возрастает при а> lи убывает при О < а < 1. А 9IO,IV,11.42. См. также Основные свойства лоеарифАС08 1 Натуральный ло 2ариф.м. Jlо'rарифмические уравнения инеравенства. Простейшее лоrа рифмческое уравнение logax == Ь для любоrо Ь имеет и притом только одно реш,ение а Ь . Это вытекает из TOrO, что функция 10gaX воз- растает (или убывает) на промежутке (0;- 00) и принимает на этом промежутке все действительные значения (см. Теорем о корне). При решении простейших неравенств также испоЛьзуют возраста- ние (убывание) функции 10gaX. Приводят(:я примеры решения таких уравнений инеравенств, а также сводящихея к ним. А 9lO,IV,11.44. Ломаная А .А 2 А з ...А п ........ фиrура, которая состоит из точе А 1, А2, ..., Аn и соединяющих их отрезков А IA2, А 2 А з , ..., Aп .А п . Точки А I t А 2 , ..., Аn Н8-З. вершина.м.u Л., а отрезки А .А2, ААз, ..., AII .Аn  звенья.ми Л. Л. наз. простой, если она не имеет самопересечений. Длиной Л. наз. сумма длин ее звеньев. Л. паз. за.мкнутой, если у нее концы совпадают. r 8,12. Луч  то же, что Полуnрямая. Максимум функции  значение функции в точке максимума. А 910,I,2.4. См. также Точки экстре.му.ма l Критические точки функции, Достаточные условия существования экстре.м.ум.а. Математическая индукция  см. Метод .математической ин- дукции. 26 
Мrновенная скорость  см. Механический смы.сл производной. Медиана треуrольника. проведенная из данной вершины, отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треуrольника. Т. В равнобедренном треуrольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. r 6,3. у 1. Все три медианы треуrольника пересекаются в одной точке. у 2. Любые две медианы треуrольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:], считая от вершины. r 7,6. Мера двуrранноrо уrла  см. ДвУ2ран.ный У20Л. Метод rеометрических мест при решении задач на построение. Пусть, решая задачу на построение, надо найти точку Х, удовлетво ряющую двум условиям. rеометрическое место точек, удовлетворяю ших первому условию, есть некоторая фиrура Fl, а rеометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фиrура Р 2 . Искомая точка Х принадлежит РI и Р2, т. е. являетсн их точкой пересечения. r 6,5. Метод интервалов  метод решения неравенств с одной перемен НОЙ, основанный на С80ЙСТве- непрерывных функций: если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет знак. Суть М. И. Пусть функция непрерывна на интервале I и обра  щается в нуль в конечном ч.исле точек этоrо интервала. Этими точками / разбивается на интервалы, в каждом из которых f coxpa няет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции в какой.либо одной точке ДЛЯ каждоrо TaKoro интервала. Этот знак удобно отмечать на координатной прямой. A9lO,II,6.21. Т Метод математической индукции  метод решения задач, опирающийся на принцип математической индукции: если предло жение, зависящее от натуральноrо числа n, а) верно для HeKoтoporo начальноrо значения п === по и б) из допущения, что ОНО еерно для n == k, rде k  по  произвольное натуральное число, выте'кает, что предложение верно и для п == k + 1, то предложение верно для любоrо натуральноrо n  по. А 9...........10' Задачи повышенной трудности. Механический смысл произвоДной. Пусть материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция хи) времени /. Если значение средней. скорости Vcp(t) == Ax/t при t--+O стремит ся к определенному значению, то ero наз. м'2новенной скоростью v (/0) этой точки в момент времени /0, т" е. X/ /  V (/0) при А! ----+ О. Но !!x/t--+x'(to) при !!t--+O. Поэтому с.читают, что мrновенная скорость v(t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом v(t) == х' (t). Коротко: производная ОТ коорди- наты по времени есть скорость. В этом и состоит М. С. п. Аналоrично для ускорения: а === и' (t). Коротко: производная от скорости по времени есть ускорение. А 910,11,6.24. Минимум функции  значение функции в точке минимума. А 910,I,2.4. См. также Точки Э1Сстре.мума, Критические точки функции, Д остаточные условия существования экстре.му.ма. Мноrоrранник  тело, оrраниченное конечным числом плоско стей. rраница м. паз. ero поверхностью. М. паз. выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой цз оrраничивающих плоскстей. Общая часть поверхности выпуклоrо М. и оrраничивающеи ero плоскости паз. 2ранью. Стороны rраней М. нзз. ребрами, а верши.. ны  вершuн.а.ми М. r 10,18. 27 
См. также Построение плоских сечений МНОi!О2раняикй, Правиль ные м.НOi!OepaHHUKU. Мноrоrраиныii уrол (аlа2аз...аn)  фиrура, составленная из плоских уrЛО8 (а,а2), (а2аз), (аза4), ..., (апа,). ДЛЯ М. у. определяются понятия rраней, ребер и Д8уrранных уrлов так же, как и для трех.. ераННО20 У2ла (см.). r 1 0,18. Мноrоуrольная область (плоский мноrоуrольник)  см. MH020 У20ЛЬНUК. Мноrоуrольник  простая замкнутая ломаная, соседние звенья которой не лежат на одной прямой. Вершины ломаной наз. верши нами М., а звенья ломаной  сторонами М. Отрезки, соединяющие не соседние вершины М., наз. диаi!оналямu. М. с п вершинами, а 3Ha чит, и с п сторонами, наз. пУ20ЛЬНUКОМ. Плоским М., или МН020У20ЛЬНОй областью, наз. конечная часть плоскости, оrраниченная М. М. наз. выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости OT носительно любой прямой, содержащей ero сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. Уzлом выпуклоrо М. при данной вершине наз. уrол, образованный ero СТОрОflами, сходящимися в этой вершине. Т. Сумма уrлов выпуклоrо nуrольника равна 1800 (п  2). Внешним У2ЛОМ выпУКЛО20 М. при данной вершине наз. уrол, смежный внутреннему уrлу М. при этой вершине. З. Сумма внешних yr лов выпуклоrо пуrол.ьника, взятых по одному при каждой вершине, равна 3600. r 8,12. Мноrоуrольник, вписанный в окружность  мноrоуrольник, все вершины KOToporo лежат на некоторой окружности. r 8,12. См. также Правильный выпуклый МНО20У20ЛЬНUК. Мноrоуrольник, описанный около окружности  мноrоуrольник, все стороны KOToporo касаются не которой окружности. r 8,12. СМ. также Правильный выпуклый м.ноеоуеольник, Площадь вы пУКЛО20 ,м но еОУ2ОЛ ь ника, onUCaHHOi!O около "pYi!a. Миоrочлеи  сумма одночленов (см.). Одночлены, из которых состоит М., наз. членами М. Если М. состоит из двух членов, ero наз. двучлено-м, если из трех членов  трехчленом. Одночлены считаются М., состоящими из одноrо члена. Подобные слаrаемые в М. наз.. подоБНЫм'и членами М. Тождест венное преобразование М.., состоящее в замене суммы подобных членов одним членом, наз. приведением подобных членов М. М., не содержащий подобных членов, каждый член KOToporo является одночленом стандартноrо вида, наз. М. стандарТН020 вида. Степенью М. стандартноrо вида наз. наибольшую из степеней входящих в Hero одночленов. Степенью М., не записанноrо в стан- дартном виде, наз. степень тождественно paBHoro ему М. стан- дартноrо вида А 6,IV,10.27. См. также Сложение и вычитание AtНО20члеНОfJ, У -множение одночлена на М,Н020член, Разложение мноzочлена на .множители, Умножение .мНО20члена на М,Н020член. Мноrочлен стандартноrо вида  см. М НО20член. Множество. Понятие используется без объяснения. См. также Объединение м-ножеств. Модуль вектора  то же, что абсолютная величина вектора. Модуль числа а  расстояние от точки а на координатной прямой до начала координат. Обозначение: I al. Модуль положитель- иЬrо числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательноrо числа  противоположному числу. 28 
М. ч. наз. также абсолютной величиной числа. М 5,1,1.6; А 6, Сведения... Наибольшее и наименьшее значения функции. Если функция непрерывна на отрезке [а; Ь], то соrласно теореме Вейерштрасса существуют точки отрезка [а; Ь], в которых функция f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь] значения. Если функция имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, то можно указать правило разыскания Н. и Н. з. ф.: чтобы найти Н. и н. з. ф., И1\fеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно BЫ ЧI:СЛИТЬ значения fУНКЦИИ во всех критических точках и на концах отезкаt а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наимень шес. А 910,II,7.28. Наибольший общмй делитель данных натуральных чисел  наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел. Натуральные числа, Н. о. Д. которых равен 1, наз. взаимно простыми числами. Для Toro чтобы найти Н. о. д. двух чисел, надо: 1) разложить данные числа на прос'тые множители; 2) составить произведение из общих простых множителей с наименьшим показателем; 3) найти значение полученноrо произведения. Таким же образом находят Н. о. Д. трех и более чисел. М 5,11,4.29. Наименьшее общее кратное данных натуральных чисел  наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Для Toro чтобы найти Н. о. к. двух чисел, надо: 1) разложить. да нные числа на простые множители; 2) ,составить произведение из всех получившихся простых множителей, взяв каждый 83 них с наибольшим показателем; 3) найти значение полученноrо :произве- дения. Таким же ОQразом находят Н. о. к. трех' и более чисел. М 5,11,4.30. Наименьший общий знаменатель дробей  см. .Приведение дробей 1(. общему знаменателю. Наклонная. 1. Н.' к nря,М,ой. Пусть ВА  перленди'куляр, опу- щенный из точки В на прямую а, и С  любая точка прямой а, отлич ная от А. Отрезок ве "аз Н., проведенной из точки В. к прямой а. Точка С наз. основанием Н., отрезок АС наз. nроекцией Н. Если к прямой из одной точки проведены перлендикуляр и наклонные, то Н. больше перпенд:икуляра; равные Н. имеют равные проекции; из двух Н. больше та, у которой nроекция больше. r 7,7. 2. H' I nроведенная из данной точки к данной плоскости,  любой отрезок", не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а друrим  н'а плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, наз. основание.м В. Отрезок, соединя.ющий основания лерпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки, наз. nрое1(.цuей Н. r 9,16. См. также Теорема о трех nерnендuкулярах. Наклонная призма  см. П риЗ.ма. Натуральные числа  числа, употребляемые при счете пред метов: 1,2, .... м 4,I,IJ. Натуральный лоrарифм  лоrарифм по основанию е,. Обозна  ченне: ln. Т. 0., lnx == 10geX. Соrласно основному лоrарифмическому тождеству для любоrо положительноrо числа а имеем е 1п и== а. Любая показательная функция аХ может быть записана f:\ виде аХ == e x1na . А 910,IV,12.45. 29 
Начало координат  см. Координаты на плоскости, ДеIШрТО8Ы координаты в пространстве. Начальная точка полупрямоА (.луча)  см. Полуnря.мая. Начальная фаза колебания  см. Fармоническuе колебания. Назависимая переменная (aprYMeHT)  см. Фунхция. Неизвестное  СМ. Уравнение. Необходимый признак зкстремума  см. Теорема Ферма. Непериодическая бесконечная десятичная дробь  СМ. Иррацио- нальное число. Неполное квадратное уравнение  см. Квадратное уравнение. Неполный квадрат суммы (разности)  см. Сумма и разность кубов. НепраВИJlьная дробь...... дробь, у которой числитель больше зна менателя или рэ вен ему. Из любой Н. Д. можно выделить целую часть. Для этоrо нужно разделить с остатком числитель на знаме "атель. Частное от деления будет целой частью числа, остаток  иислuтелем, а делитель  знаменателем. Чтобы записать число в виде Н. д., нужно умножить ero целую uacTb на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем будет знаменатель дробной части. М 4,11,5.37; 39; 40. Непрерывность функции. Функцию f, для которой приближенное равенство f(x)  f (а) выполняется с любой, наперед заданной точностью для всех х, достаточно близких к а, наз. непрерывной 8 точке а. Иначе: функция f непрерывна в точке а, если малым изме- нениям aprYMeHTa в ЭТОЙ точке отвечают малые изменения функции. Или: функция f непрерывна в точке а, если fO при l\xO, или f(x)f(a) при х---+-а. Функцию, непрерывную в каждой точке промежутка l паз. непрерывной на этом проМ,ежутке (промежуток 1 наз. прОJ4ежутком непрерывности функции f). Функция, дифференцируемая в точке й, непрерывна в этой точке. (Обратное неверно: напр., функция Ixl в точке О непрерыв- на, но .не дифференцируема.) Все рациональные и триrонометри ческие функции дифференцируемы, а следовательно, непрерывны во всех точках своих областей определения. Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращается в нуль., то она на этом интервале сохраняет постоянный знак (ДOKa телЬСТВО HeCTpGrOe, опирающееся на rеометрическую очевидность). А 910,II,6.21. Неравенства второй степени с одной переменной  неравенства вида ах 2 + Ьх + с > О и ах 2 + Ьх + с < О, rде х  переменная, а, Ь и с  чиела, причем а =F- О. Решение Н. в. с. можно свести, к нахождению промеЖУТКQВ, в которых соответствующая квадратичная функция (см.) принимает положительные или отрицательные значения. Приводятся примеры решения Н. в. с. Запись решения х =1= 4 равносильна записи (  00; 4) U U (4; + (0). А 8,1,3.6. Неравенства с одной переменной. Решение", Н. с о. n. паз. значе ние переменной, KOOpoe обращает ero в верное числовое Hepa венство. Решить неравенство  значит найти все ero решения или до- казать, что их нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, наз. равносиль.. ным.и. Равносильными считаются и неравенства, не имеющие реше ний. Если из одной части неравенства перенести в друrую слаrаемое 30 
с противоположным знаком, то получ.ится равносильное ему Hepa венство. Если обе части неравенства умножить или разделить на ОДНО и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак Hepa венства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. Рассматриваются примеры решения линейных Н. с о. n. (см.). А 7 t IV, 12.29,30. Неравенства числовые  см. Числовые 1lеравенства, Свойства числовых неравенств. Неравенство треуrольника (свойство расстояний между тремя точками). Т. Каковр! бы ни были три точки А, 81 С, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки: АВ  АС + вс. Если точки лежат на одной прямой и С лежит между А и в, то имеет место равенство АВ == АС + ВС; если точки не лежат на ОДНОЙ прямой, cTporoe неравенство АВ < < АС + ВС. в любом треуrольнике каждая сторона меньше суммы двух друr-их сторон. 3. Любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тоrда, ко-rда сама является диаметром. r 7,7. Нестроrие неравенства  см. Числовые неравеnства. Не.четная функция. О. Функция у == g(x) наз. нечетной, если области определения этой функции наряду с каЖДЫМ числом х при.. надлежит и противоположное ему число x и при этом верно pa венство g( .......Х) ==  g(x). rрафик любой Н. ф. симметричен относи тельно начала координат. А 8IV .19; 9lO,I,2.4. n..Уrольная пирамида  см. Пuра},f,ида. n-Уrольиик  см. МНО20У20ЛЬНUК. Нулевой вектор  см. Вектор. Нули синуса, косинуса, TaHreHca, котаиrенса  СМ. Функция у == sin х, Функция у == cos х, Функция у == tg X 1 Функция у::= ctg х. Область значений функции  СМ. Функция. Область определения функции  СМ. Функция. Образующая  конуса,  цилиндра. Обратимая функция  см. Обратная функция. Обратная пропорциональность  см. Функция у == kjx. О,братная теорема. Теорема, обратная данной TeopeMe, Teope ма, заключение которой является условием данной, а условие  заключением данной. Не всякая теорема имеет О. Т., т. е. если данная теорема верна. то О.. т. может БЫ7Ь неверна. r 6,3. Обратная функция. Функцию, принимающую каждое свое зна- чение в единственной точке области определеqия, паз. обратияой (если f  обратим,а, а число а принадлежит области значений Е(п, то уравнение '(х) == а имеет решение, и притом только одно). О. Функцию g, которая в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что f (у) == х, наз. обратной к функции {. Таким образом, функция g имеет область определения Еи) и область значений D(n. rрафик функции g, обратной к функции " симметричен rрафику f относительно прямой у == х. Т. об О. ф. Если функция f возрастает (или убывает) на про- ЗJ 
межутке J, ТО она обратима. Обратная к f функция g, опреДeJIенная вобласти значений " также является возрастающей (COOTBeTCTBeH но  убывающей). А 910,IV,11.41. Обратно пропорциональные переменные. Пусть переменные х и у принимают только положительные значения. Переменная у обратно пропорциональна переменной Х, если при увеличении значений Х в не. сколько раз соответствующие значения переменной у уменьшаются 80 столько же раз. Если Ха И Х2  значения переменной X а Yl и У2  соответствующие им значения переменной у, то Х2/Ха == УI!У2. Отсюда следует, что Х.Уа == Х2У2, т. е. если переменная у обратно пропорцио нальна переменной Х, то произведения соответствующих значений Х и у равны. А 6,11,4.12. Общий вид первообразных  см. Основное свойство первооб разных. Общий знаменатель  см. Сложение и вычитание дробей. Объединение множеств А и В  множество, каждый элемент KOToporo принадлежит хотя бы одному из множеств А и В. Обозначе ние: А U В. А 9 10,1,2.3. Объединение фиrур. Понятие не определяется, а иллюстрирует ся на примерах. Объединение нескольких rеометрических фиrур есть снова rеометрическая фиrура. r 6,1. 1 Объем конуса вычисляется по. формуле V == пR2Н, rде R  радиус основания конуса, а Н  высота. Формула не выводится. Сказано лишь, что она может быть получена таким же способом, как и формула объема цилиндра, ТОЛ,ько с помощью пирамид, описанных около конуса и вписанных в конус. r 10,20. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. r 10,20. См. также Объе.м. nрям,ОУ20ЛЬНО20 параллелепиneда. Объем пирамиды равен трети произведения площади ее осно. 1 вания на высоту: V == зSН. Формула выводится сначала для треуrольной пирамиды (разбиением на слои равной высоты, по строением призмы, содержащей слой, и призмы, содержащейся в слое, и т. д.), затем для любой. r 10,20. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V == SH. Формула выводится сначала для тре.уrольцой призмы (дополнением ее до параллелелипеда), затем рассматри вается об.щий случай. З. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите О. П., если площадь сечения Q, а боковые ребра равны 1. (Ответ: V == Ql.) r 10.20. Объем прямоуrольноrо параллелепипеда вычисляется по формуле V == аЬс, rде а, Ь, с  длины ребер параллелепипеда. При выводе формулы рассматриваются случаи: 1) а, Ь, с выражаются конечными десятичными дробями; 2) длина хотя бы одноrо из ребер а, Ь, с выражается бесконечной десятичной дробью. r 10,20. Объем тела. Понятие формируется на примере наполнения сосудов жидкостью. Число, указывающее, во сколько раз второй сосуд больше первоrо, паз. объемом BToporo сосуда. Первый сосуд явля ется здесь единицей измерения. Свойства объема: 1) Каждый сосуд имеет определенный (положительный) объем. 2) Равные сосуды имеют равные объемы. 3) Объем Bcero сосуда равен сумме объемов ero частей. r 10,20. 32 
Объем тела вр.ащения  M. Т ело вращения. Объем усеченноrо конуса, у KOToporo раДИУСbI оснований R i 1 .и Rz, а высота h, вычисляется по формуле V == зпh(R + RIR2 + + R). r 10,20. Объем усеченноii пирамиды с площадями оснований Q, и Q2 И высотой h ВЫЧИCJIяется по формуле v==fh(Q, + -!QIQ2 +Q2). r 10,20. Объем цилиндра с радиусом основани R и высотой h вычис ляется по формуле V == nR 2 H, которая выводится с помощью призм, вписанных в цилиvдр и описанных около цилиндра. r 10,20. 4 Объем шара радиуса R вычисляется по формуле V == 3 лR 3 Формула получается из формулы объема шаровоrо слоя при а == R, Ь == R. r. 10,20. Объем шарО80rо cerMeHTa,  шар<>воrо сектора,  шаровоrо слоя. Объемы подобных тел относятся, как кубы их соответствующих линейных размеров. З. Плоскость, проведен.ная через середину высоты пирамиды параллельно основанию, делит .объем пирамиды в отношении 1: 7. r 10,20. Обыкновенная дробь объясняется с ПОМОЩЬЮ примера: если предмет разделен на четыре равные части, то, взяв порознь одну и три 013 из полученных частеи, пишут, что взяли ""4 предмета и ""4 предмета. 133 Такие записи, как ""4" и 4' маз. О. д. в дроби 4 число 3 наз. числите ле.м дроби, а число 4  знаменателем дРl?би. Знаменатель пока.зыва- ет, на сколько равных частей разделен предмет, а числитель  сколько взято таких частей. Числитель дроби пишут над чертой, а знаменатель  под чертой. Равные дроби  это различные обозна чения одноrо и Toro же дробноrо числа. М 4,1I,5.35. См. также Действия с обыкновенными дробями. Одинаково направленные векторы  см. Вектор. Одинаково направленные полупрямые  полупрямые, которые совме.щаются параллельным переносом, т. е. существует параллель ный перенос, который переводит одну полупрямую в друrую. Если а и Ь  О. н. П. И Ь и с  О. н. П., ТО а и с  тоже О. н. п. Две полупрямые наз. nротивоположно направленными, если каж дая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к друrой. r 8,10. Одночлен. Такие выражения, как 5а 2 х, 2Ь 3 (  з)ьс 2 ,  3а 7 , а так- же числа, переменные и их степени наз. О. Стандартный вид о........... вид О., который представлен 'как произ ведение числовоrо множителя (стоящеrо на первом месте) и степеней различных переменных. К О. стандартноrо вида относятся и такие одночлены, как 5, а, a, аЗ. Числовой множитель o. записанноrо в стандартном виде, наз. коэффициентам о. Сумму показателей CTe неней всех ВХОДЯЩИХ в О. переменных наз. степенью о. Если О. не 2 ЗО29 33 
содержит переменнЬ!х (т. е. является числом), то ero степень счи- тают равной нулю. При умножении О. с-r.андартноrо вида перемножают их коэффи- циенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. При возведении в степень О. стандартноrо вида ВОЗВО,ll.ят в эту степень ero коэффициент, а показатель степени каждой переменной умножают на показатель степени, в которую нужно возвести о. .А 6,III,8.22; 23. Одночлен стандартноrо вида  см. Одночлен. Окрестность. Понятие используется без определения. Интервал вида (а  б; а + б), rде 6> О. иаз. бокрестностью точки а. А 910, 1,2.4; Материал для повторения. Окруrление десятичной дроби. При О. Д. д. до какоrонибудь разряда следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после з.апятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра есть 5 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра есть О, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. М 4,11,7.50. Окружность  фиrура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка наз. центром' о. Расстоя ние от точки О. до ее центра наз. радиусом О. Радиусом О. паз. также любой отрезок, соединяющий точку O с ее центром. Отрезок, соединяющий две точки О., Н8З. хордой. Хорда, проходя- щая через центр, наз. диаАетро.м. Уравнение о. с центром в точке (а, Ь) и радиусом R: (х  и? + + (у  Ь)2 == R 2 . В частности, если центром о. является начало КООР" дина, то уравнением о. будет х 2 + у2 == R 2 . r 6,5; 7,8. Окружность, вписанная в треуrОJlЬНИК  окружность, касающа яся всех ero сторон. Т. Центр О. в. в Т является точкой пересечения ero биссектрис. 2S Радиус О. в. в т. можно вычислить по формуле r == а + ь + с I rде а, Ь, с  стороны треуrольника, S  ero. площадь. У. Докажите, что в прямоуrольном треуrольнике радиус вПи- санной окружности равен половине разности между суммой катетов и rипотенузой. r 6,5; 8,13. Окружность, описанная о КОJlО треуrОJlьника  окружность, лроходящая через все вершины треуrольника. Т. Центр о. о. о. т являеТGЯ точкой пересечения перпендику- дяров к сторонам треуrольника, проведенных через середины этих сторон (серединных перпендикулstров к сторонам треуrопьника). Если а, Ь, с  стороны треуrольника, а, р, у  противолежащие ИМ уrлы, R  радиус о. о. о. т., то sin а/а == sin Р/Ь == sin у/с === 1/2R Радиус о. о. о. т. можно вычислить по формуле R == abc/4S, rAt' S  площадь треуrольника. Уа. Найдите площадь правипьноrо треуrолъника, вписанноrо в Kpyr радиуса R (Ответ. 3R 2 ,j3/4). У2. Докажите, что центром окружности, описанной OKOJlO прямо- yroJlbHoro треуrольника, является середина rипотенузы. r 6,5; 8,11,13. ОкТ&ЗАР  см. ПравuдьНble 14НОeD2раннulЩ. Определенне. Дать о. чемулНбо....... значит объяснить, что эm такое. Напр., о. треуrольника: «Треуrольником наз. фиrура, KO rорая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соеДИНЯЮЩИХ ЭТИ ТОЧКИ» о. параплеJlЬНЫХ пря- з4 
мых: «Прямые "аз. параллельными, если они не пересекаются». r 6, 1 . Определение синуса, I(осинуса и TaHreHca для J1юбоrо уrла от 00 до 1800. На плоскости ху берем окружность с центром в начале координат и радиусом R. Пусть а  острый уrол, который образует радиус ОА с положительной полуосью х, и А имеет координаты х и у. Тоrда cos а == x/R, sin а == y/R, tg а == у/х. Этими же формулами определяют sin а, cos а и tg а для любоrо уrла а (кроме tg а при а == 900). При этом имеем sin 900 == 1, cos 900 == О, sin 1800 == О, cos 1800 == ...... 1. Считая, что совпадающие лучи образуют уrол 00, имеем также: sin 00 === О, cos 00 == 1, tg 00 === о. Т. ДЛЯ любоrо уrла а, O < а < 1800, имеем sin (1800  а) == == sin а, cos О80 0 +-- а) ==  cos а, tg (1800  а) ==  tg а (последнее при а =1= 900). r 7,8. Ордината ТОЧКИ  СМ. Координаты на плоскости. Орт (координатный вектор)  см. Единичный вектор. ОртоrОНaJlЬНая проекция фиrуры на данную плоскость  ее параллельная проекция в направлении, перпендикулярном этой плоскости. Т. Площадь о. п. мноrоуrольника на плоскость равна произ- ведению ero площади на косинус уrла между плоскостью MHoro- уrольника и плоскостью проекции. r 9,17 Освобожд.ение знаменателя дроби от знака корня. Объясняет- ся на примерах. А 7,11,7.17. Осевое сечение   конуса,   цилиндра. Оси координат  см. Координаты на плоскости. Декартовы координаты в пространстве. Основание конуса, наклонной, перпендикуляра, пирамиды, призмы, равнобедренноrо треуrольника, трапеции, усеченной пирамиды, цилиндра.. Основание степени  см. Степень с.. натуральным показатеде.м. Основание треуrольника (иноrда)  сторона, проведенная rори зонтально. Две друrие- стороны в этом случае наз. БОlOO8ЫМU сто.. РОНаАСи,. r 7,7. СМ. также Равнобедренный треуzольнu". Основное Jlоrарифмическое тождество  СМ. Лоzариф.м. Основное свойство дроби  свойство, выражаемое' тождеством а ас Ь === ---ьё--. верным при любых значениях а, Ь и с, rде Ь =1= О, с =1= О (Т. е. при всех допустимых значениях переменных). Замена дроби  u а  ---ьё-- тождественно равнои дробью Ь "аз. сокращением дроби  на общиц множитель с числителя и знаменателя (с наз. дополни.. а тельны,М .множителе-м к ЧИСЛ,ителю и знаменателю дроби ь). Если 35 
изменить знак числителя (или знаменателя), то изменится и знак дроби. А 7,1,1.2. Основное свойство корня  см. С байства арифм-втичеСКО20 корня nй степени. Основное свойство пара.ллельных прямых  см. Параллельные прямые. Основное свойство первообразных: общий вид первообразных для функции '(х) на промежутке J есть Р(х) + С, rде С  произволь ная постоянная, а Р(х)  одна из первообразных для ФУНКЦJfИ f(x) на промежутке 1. Т. о., 1) какое бы число ни поставить в выраже ние F(x) + с вместо С, получится первообразная для f(x) на проме жутке 1; 2) какую бы первообразную Ф (х) для f на промежутке 1 ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежут ка J будет выполнено равенство Ф(х) == Р(х) + С. о. с. п. можно придать rеометрический смысл: rрафики любых двух nервообразных для функции f получаются дрyr из друrа парал лельным переносом вдоль оси Оу. А 910,III,8.31. Осно.вное свойство пропорц.ии  см. П роnорцuя. Основные свойства измерения отрезков. Каждый отрезок им-еет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой ero точкой. r 6,1. Основные свойства измерен'ии уrлов. Каждый уrол имеет опреде ленную rрадусную меру, большую нуля. Развернутый уrол равен 1800. fрадусная мера уrла р.авна сумме. rрадусных мер уrлов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между ero CTO ронами. r 6,1. Основные свойства лоrарифмов. При любом а> О, а =1= 1 имеют место равенства: 1) log a 1 === о; 2) 10g a а == 1; 3) loga(xy) == loga x + + 10gaY при х > О, У > О (лоrарифм произведения равен сумме лоrарифмов); 4) 10g a (xjy) == 10gax logaY при х> О, У> О (лоrарифм частноrо равен разности лоrарифмов); 5) для любоrо числа х> О и любоrо р Е R: loga.xP == р logax (лоrарифм степени равен произве дению показателя этой степени на лоrарифм основания этой степени). Формула перехода от одноrо основания лоrарифма к друrому основанию: loga х == 10gb x/logb а (х > О, а > О и а =F 1, Ь > О и Ь =F 1). А 910,IV,11.43. Основные свойства откладывания отрезков и уrлов. 1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. 2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить уrол с заданной rрадусной мерой, меньшей 1800, и только один. r 6,1. Основные свойства принадлежности точек и прямых. Сна'Чала вводятся понятия.: точка лежит на прямой, или принадлежит прямой, или прямая проходит через точку; прямые пересекаются в точке, точка пересечения прямых. Свойства: 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. 1.1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересе- каются только в одной точке. r 6,1. Основные свойства расположения точек на прямой и на плоско- сти. 1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя друrими. 2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. r 6,1. 36 
Основные свойства степени  см. Степень с натуральным пока.. зателе,М, Показательная функция. Основные трнrонометрические тождества. 1. sin 2 а + cos 2 а === 1. Верно при любых а. 2. tg а == sin a/cos а. Верно при cos а =1= О. 3. ctg а == cos a/sin а. Верно при sin а =1= О. Из 1 3 получа ются: 4. tg а · ctg а == 1. Верно при всех а, при которых tg а и ctg а имеют см ысл. 5. 1 + tg 2 а == 1 /cos 2 а. Верно, коrда cos а =1= О. 6 1 + ctg 2 а == l/sin 2 а. Верно, коrда sin а =1= О. r 7,7; А 8,V,12.29.  Основные триrонометрические функции  синус, косинус, TaHreHC и KOTaHreHc. Иноrда рассматривают еще две о. т. ф. секанс 1 1 и косеканс:' sec а == , cosec а == . cos а sln а О. т. ф. именно 6 потому, что триrонометрические функции OCTporo yr ла а можно определить как отношения сторон прямо уrольноrо треуrольника с острым yr лом а. Та ких отношений 6: s i n а == а/с, cos а == Ь / с, tg а == а/ Ь, с t g а == Ь / а, sec а == с / ь, с osec а == с/а. А 9 1 0,1, 1. 1 . Остроуrольный треуrольник  треуrольник, у KOToporo все уrлы острые. М 4,11,6.44. Острый уrол  уrол, меньший 900. r 6,2. Ось абсцисс, ось ординат  см. Координаты на плоскости. Ось вращения  см. Тело вращения. Ось конуса (прямоrо)  см. Конус. ОСЬ правильноii пирамиды  см. Пира.мида. Ось симметрии фиrуры  см. П реобразование симметрии OTНO ситеllЬНО прямой. Ос.ь цилиндра  см. Цилиндр. Относительная поrрешность приближенноrо значения  OTHO шение Абсолютной пО2решностu (см.) к модулю приближенноrо значения. Обычно О. п. выражают в процентах. В случае коrда абсолютная поrрешность неизвестна, оrраничиваются оценкой О. п. Если приближенное значение и,сла х равно а и абсолютная поrрешность меньше или равна h, т. е. Х == а + h, то О. П. меньше или равна hja. А 7,V,15.З9. Отношение двух чисел  см. Проnорцuя. Отображение  см. Функция. Отрезок. 1. O. часть прямой, состоящая из всех ТО1!{ек этой прямой, лежащих между двумя данными точками. Эти точки наз. конца,Ми отрезка. О. обозначается указанием ero концов, напр., О. АВ. r 6,1. 2. О. с концами а и Ь (числовой промежуток)  множество всех чисел х, УДО8летворяю.щих неравенству а  х  Ь. Обозначение: [а; Ь]. А 7,IV,12.29; 910, Материал для повторения. Парабола  см. Функция у == х 2 , Функция у == ах 2 , Квадратич.. ная функция.  Параболоид вращения  поверхность, получающаяся при вращении параболы у == aBoKpyr оси Оу. Все лучи, параллельные оси параболическоrо зеркала, после отражения сходятся в одной точке, наз. фокусом nараболичеСКО20 зеркала. На этом свойстве основано устройство параболическоrо телескопа. А 910,II,6.24. 37 
ПараJlлелепипед  призма, основание которой есть параллело- rpaMM. У П. все rрани  параллелоrраммы. П. может быть прямым и наклонным. т 1. Диаrонали П. пересекаются 8 ОДНОЙ ТОЧ'ке и точкой пересе- чения делятся пополам. С. Точка пересечения диаrоналей П. является ero центром симметрии. rрани П., не имеющие общих вершин, наз. про тuволежащ uм.и. Т 2 . у п. противолежащие rрани параллельны и равны. r 10,18. ПараЛЛeJJоrpамм  четырехуrольник, у Koтoporo противоле- жащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Т.. Если диаrонали четырехуrольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехуrольник  П. т 2. Диаrонали п. пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 31. Через точку пересечения диаrоналей п. проведена п'рямая. Отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой точке пополам. Тз. у п. противолежащие стороны равны, противолежащие yr лы равны. 32. Если у выпуклоrо четырехуrольника две стороны парал- лельны и равны, то он является п. Сумма квадратов диаrонале'Й П. равна сумме квадратов ero сторон. r 7,6; 8,11. ПараJlлельное проектирование. Обычно П. п. пользуются при изображении пространственных фиrур на плоскости. Берем произ- вольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа.. и Пj>ОВОДИМ через произвольную точку А фиrуры прямую, па раллельную h. Точка А I пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А. Построив таким образом изображение каждой точки фиrуры, получим изображение фиrуры. Некоторые свойства изображения фиrуры на плоскости при таком построении: 1) прямолинейные отрезки фиrуры изображаются на плоскости чертежа отрезками (предполаrается, что проектируе- мые отрезки не параллельны направлению проектирования); 2) па- раллельные отрезки фиrуры изображаются на плоскости чертежа параллельныии отрезками; 3) отношение отрезков одной прямой или па раллельных прямых сохраняется при П. п. r 9,15. Парuлельность ПJЮскостей. Две плоскости паз. параллельны- АСи.. если они не пересекаются. Tl. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в друrой плоскости. т 2. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Тз. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 3. Через точку А, не принадлежащую ни одной из параллель ных плоскостей (1, И. СХ2, проведена ПРОИЗ80льная прямая, пересе- кающая плоскости в точках Х! и Xz соответственно. Докажите, что отношение длин отрезков АХ 1 :АХ 2 не зависит от взятой прямой. Т4. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. r 9,15. Параллельность ПрJlМОЙ и плоскости. Прямая и плоскость наз. naраллельным.и, если они не пересекаются. т Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллель-на 38 
какойнибудь прямой в этой плоскости, то она параЛi1Iельна и самой плоскости. З. Через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную друrой прямой. r 9.15. Параллельные плоскости  см. П араллельность плоскостей. Параллельные прямые. 1. На плоскости. Две прямые на плоско сти наз. П. п.. если они не пересекаются. При этом прямые считаются неоrраниченно продолженными в обоих направлениях. Обозначение: all ь (<<прямая а параллельна прямой Ь»). ОСНО8ноесвойство П. n.: Через точку, не лежащую иа данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. r 6,1. См. также Л ризнак:и nараллеЛЬflости прямых. 2. В пространстве. Две прямые в пространстве наз. nараллель нье.м.и, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. т 1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, па.. раллельную ЭТОЙ прямой, и притом только одну. т 2. Две прямые, параллельиые третьей прямой, параллельны. r 9,15. ПараЛJlельный перенос. 1. П. n. на плоскости преобразова ине фнrуры Р, при котором произвольная ее точка (х, у) (в дeKapTO вых координатах) переходит в точку (х + а, у + Ь), r де а и Ь  по стоянные. п. п. задается формулами х' == х + а, у' == у + Ь. Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х, у) при П. п. П. л. есть движение. Название «П. п.» оправдывается тем, что при п. п. точки смещаются на одно и то же расстояние. При П. п. прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). TI' KakOBbl бы ни были две точки А и А', существует и притом единственный П. п., при котором точка А переходит в точку. А'. Т 2 . Преобразование, обратное П. П., есть П. п. Два п. п., выпол- ненные один за друrим, дают снова П. П. r 8,10. 2. п. n. в пространстве  преобразование, при котором произ вольная точка (х, у, z) фиrуры переходит в точку (х + а, у + Ь, z + с), rде а, Ь, с  постоянные. п. П. задается формулами х' == == х + а, у' == у + Ь, z' == z + с, выражающими координаты х', у', z' точки, в которую переходит точка (х. у, z) при п. п. Свойства П. П.: 1) П. п. есть движение; 2) при п. П. точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на ОДНО и то же расстояние; 3) при П. п. каждая прямая переходит в па раллельную ей прямую (или в себя); 4) каковы бы ни были точки А и А', существует единственный П. П., при котором точка А переходит в точку А'; 5) два П. П., выполненные последовательно, дают П. П.; 6) преобразование, обратное п. П., есть П. П.; 7) при П. п. в про- странстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо 8 па.. раллельную ей плоскость. r 9,17. Первообразная. Функция F наз. п. для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этоrо промежутка Р' (х) == '(х).  Функцию F ааз. п. для функции f на промежутке [а; Ь), если р' == f в интервале (а; Ь) и AP(a)--+О при LU--+О и  > О. Функцию F наз. П. дЛЯ функции f на промежутке (а; Ь], если Р' == f на интервале (а; Ь) и АР(Ь)----+О при Ах--+О, 8.х < о. Аналоrично определяется П. в общем случае и для друrих промеж.Утков.  Три правила нахождения П.: 1) если F есть П. дЛЯ " а G  П. ДЛЯ g, то F + G есть П. дЛЯ f + g; 2) если F есть П. дЛЯ " а k  постоян ная, то kF есть П. дЛЯ kf; 3) если Р(х) есть п. ДЛЯ функции f(x). 39 
1 а k и Ь  постоянные, причем k =1= О, то TF(kx + Ь) есть П. дЛЯ функции f (kx + Ь). См. также Основное свойство первообраЗНblХ.  Любая непрерывная на промежутке / функция имеет на этом промежутке П.  Приводится таблица первообразных для некоторых функций: Xn+l C C kkx+C; xп,пE, п=l= ] п+l +C;I/x2x+C; sinxcosX+C; cosxsinx+C; 1/cos2xtgX+C; 1/sin 2 х   ctg х + с. А 910, III,8.30,32. Первообразная показательной функции. Т. ФУliКЦИЯ е Х есть первообразная для функции е Х на R. Функция аХ /ln а есть первооб- разная для функции аХ на R. А 910,IV,12.45. Первый коэффициент квадратноrо уравнения  см. Квадратное уравнение. Первый пр-изнак равенства треуrольников  см. Признаки paвeH ства треУ20льниКО8. Переменная  см. Выражение с nере.менными. Переменная интеrрирования  см. Интеzрал. Переместительное свойство (сложения и умножения)  см. Свойства действий над числами. Пересечение прямой с окружностью. Если уравнение окружности есть х 2 + y2 == R 2 , а уравнение прямой х == d, то: окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R > d; прямая и окруж ность касаются, если R :::::: d; прямая и окружность не пересекаются, если R < d. r 7,8. Периметр треуrольника, четырехуrольника, мноrоуrольника  сумма ero сторон. r 6,3(У.); 7,6(); 8,13. Период бесконечной периодической I десятичной дроби  см. Бесконечная десятичная дробь. Период функции  см. Периодическая функция. Периодическая функция. О. Функцию f наз. периодической с периодом Т =1= о, если для любоrо х из области определения f зна- чения этой функции в точках х и х + Т равны, т. е. '(х + Т) == '(х). Если функция f  п. ф. с периодом Т, то при любом целом n =1= О число п Т тоже период этой функции. Наименьший положительный период функций sin х и cos х равен 2л, а функций tg х и ctg х равен л. ДЛЯ построения rрафика П. ф. с периодом Т достаточно про вести построение на отрезке [о; Т] и затем полученную кривую параллельно перенести на расстояния пТ вправо и влево вдоль оси Ох, rде п  любое натуральное число. . Если То  наименьший положительный период функции " то все периоды кратны То, т. е. если Т  любой период, то Т == пТ о , rде п  целое число, не равное нулю.  А 9------10'1'3.5. ПерпеНДИКУJlЯР. 1. П. к данной прямой  отрезок прямой, пер- пендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Этот конец отрезка наз. основание.м. п. Т. (существование и единственность П.). Из любой точки, не лежащей На данной прямой, можно опустить на эту прямую П., и только один. r 6,2; 4. 2. П., опущенный из данной точки на данную плосКость,....... отрезок, соединяющий данную точку с ТОЧКОЙ плоскости и .лежащий 40 
на прямой, перпендикулярной ПЛОСКОСТИ: Кон'ец этоrо отрезка, ле жащий в плоскости, наз. ОСНО8'анuем. П. Расстоянuе.м, от точ'ки ДО плоскости наз. длина П., опущенноrо из этой точки на плоскость. 3. Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находят ся на одинаковом расстоянии от плоскости. r 9,16. Перпендикулярность плоскостей. Две пересека ющиеся плоскости наз. nер,!-ендикулярны.мu, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпенди кулярным прямым. Tl. Если плоскость проходит через прямую, перпеНДИКУЛЯРНУIО друrой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 3. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости сх. т 2. Если 8 одной из двух перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную прямой их пересечения, то она будет перпендикулярна и друrой плоскости. r 9,16.. Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая, пересекающая плоскость, наз. nерnендикулярnой этой плоскости, если она перпен дикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости. TI' Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересече ния, то она перпендикулярна плоскости. 31. Через любую точку данноц прямой можно провести перпен дикулярную ей плоскость.' т 2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллель ных прямых, то она перпендикулярна и друrой. 32. Через любую точку А можно провести прямую, перпенди кулярную данной плоскости сх. т 3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. r 9,16. Перпендикулярные плоскости  см. Перпендикулярность пло скостей.. Перпендикулярные прямые. 1. П. n. на плоскости  две пря мые, пересекающиеся под прямым yr лом. Перпендикулярность прямых оБQзначается знаком .L. Запись a.L Ь читается: «Прямая а перпендикулярна прямой Ь». Т. Через каждую точку прямой можно провести перпенди кулярную ей прямую, и только одну. r 6,2. 2. П. n. в пространстве  две прямые, пересекающиеся под прямым уrлом. Иноrда П. п. паз. и скрещивающиеся прямые, если уrол. между ними 900 (см. У20Л .между пря.мы.мu). Т. Пересекающиеся прямые, параллельные пеРI.Iендикулярным прямым, сами перпендикулярны. З. Через любую точку прямой в простра нстве можно провести перпеНДИКУЛЯРПУI9 ей прямую. r 9,16; 17 Пирамида  мноrоrранник, образова нный всеми отрезками, соединяющими да8НУЮ точку  вершину П. с точками плоскоrо мноrоуrольника  основания П. Поверхнееть П. состоит из основания и боковых rраней. Каждая боковая rpaHb  треуrольник. Одной из ero в'ершин является вершина П., а противолежащей ей стороной  сторона основания п. БQКО8btМU ребрами П. маз. ребра, соединяю- Щ,ие вершину п. с верщинами основания. Высотой П. наз. перпенди куляр, рпущенный из верцzины П. па плоскость основания. П. паз. n"уzольной, если в ее основании лежит nуrольник. Треуrольная П. иаз. инr да те траэдро-м. 41 
т 1. Плоскость, параллельная основанию П. и пересекающая ее, отсекает подобную П. П. паз. правиАЬНОЙ, если ее основанием является правильный мноrоуrольпик, а основание высоты совпадает с центром этоrо MHoro уrольника. ОСЬЮ правильной П. наз. прямая, содержащая ее высоту. Управильной П. боковые ребра равны, следовательно, боковые rрани  равнобедренные треуrольники. Высота боковой rрани пра вильнон П., проведенная из ее вершины, наз. апофеAtой. Боковой поверхностью П. наз. сумма площадей ее боковых rраней. т 2. Боковая поверхность правильной п. равна произведению полупериметра основания на апофему. 3. Найдите боковую поверхность П., у которой площадь OCHO вания Q. а двуrранные уrлы при основании равны q> (Ответ: Q/cos «р). r 10,18. Пирамида, вписанная в конус  СМ. Конус. Пирамида, описанная около конуса  см. Конус. Планиметрия  раздел rеометрии, в котором изучаются фиrуры на плоскости. r 6, 1. Плоский мноrоуrольник (мноrоуrольная область)  см. Mн.oeo У20IlЬНИК. Плоски, yrOJl....... часть плоскости, оrраниченная двумя различ.. ными лучами. исходящими из одной точки. Эти лучи паз. сторонами уrла. Два п. у. с общими сторонами наз. доnoлнuтельнbUШ. Если П. у. является частью полуплоскости, ТО ero rрадусной мерой иаз. rрадусная мера обычноrо yr па с теми же сторонами. Если П. у. содержит ПОЛУПЛОСКQСТЪ, то ero rрадусная мера равна 360с)  а, rде а  rрадусная мера дополнительноrо п. у. r 8,12. Плоскость  одна из основных фиrур в пространстве. П. 060" значаются обычно буквами CZ, fJ, ,\" .... r 9,14; 17. См. также Аксиомы CTepeOMeTpUU 1 Уравнение плоскости. Плоскость симметрии фиryры  см. Пре06разованue CиJМMeTpии относительно плоскости. ПЛОТНОСТЬ стержня. Пусть дан неоднородиый стержень, причем известна масса m(l) любоro ero куска длины 1 (1 отсчитывается от фиксированноro конца стержня). Тоrда линейную П. с. находят по формуле d(l) == т' (l). А 9lO,II,6.24. Площади подобных фиrур. Если Е. и Е 2  подобные простые фи rypbl, то существует преобразование подобия, переводящее фиrуру Fl в фиryру F 2 . Пусть коэффициент подобия равен. k, а площади фиryр обозначены S(F.) и S(F 2 ). Тоrда S(F 2 ) == k 2 S(F.). Коэффици ент подобия k равен отношению соответствующих линеАныx размеров фиryp F 2 и Е.. Поэтому п. п. ф. относятся как квадраты их СООТ" ветствующих линейных размеров. r 8,13. Площадь. Понятие П. фиrуры формируется на примере расхода зерна при равномерном засевании земельных участков. Один участок берется за единицу измерения. Tor да П. BToporo участка паз. число, указывающее, во сколько раз второй участок больше первоrо (по расходу зерна). Из этоrо рассуждения вытекают следующие свойства п.: 1) каждый участок имеет определенную П.; 2) равные участки имеют равные П.; 3) п. Bcero участка равна сумме п. ero частей. Orмеченные свойства полностью определяют п. фиrуры. rоворя о П. треуrольника, параллелоrрамма, трапеции, вообще мноrоуrольника, имеют в виду П. областей, оrраниченных ИМИ, т. е. П. соответствующих плоских областей. r 8,13. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле 42 
s == 1tRL, rде R  радиус основания конуса, 1  длина образующей r 10,21 Площадь боковой поверхности призмы  см. Боковая пoвepx н.ость прuз.м.ы. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S == 21tRH, rде R  радиус основания цилиндра, Н  вы.. сота. ВЫВОДИТСЯ формула с ПОМОЩЬЮ соотношения S == Нт Vh/2h h--+O (см. Площадь поверхности тела). Здесь 21tRH < Vh/2h < 2лRН + + 4лRh. Поэтому V h /2h. при h ---+ О стремится к 2nRH r 10,21. Площадь выпуклоrо мноrоуrольника, описанноrо около Kpyra, вычисляется по формуле S == р' /2, rде р  периметр, ,  радиус Kpyra. r 8,13. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [а; Ь] оси Ох задана непрерывная функция '. не меняющая на нем знака Фиrуру, оrраниченную rрафиком этой функции, отрезком [а; Ь] и прямыми х == а и х == Ь, иаз. криволинейной траnецией. При вычислении П. к. т пользуются следующей теоремой Пусть f  непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; Ь] функция, S  площадь соответствующей крцволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [а; Ь], то S == Р(Ь)  Р(а). ь Используя понятие интеrрала, можно записать S ==  f(x)dx. а С помощью интеrралов вычисляются и площади фиrур, заключенных между двумя rрафиками 3. Докажите, что если функция f непрерывна на отрезке [а; Ь] и ь f(x)  О, то f(x)dx == s, rде S  площадь соответствующей а криволинейной трапеции. А 910,III,9.З334. Площадь Kpyra вычисляется по формуле S == lR/2 == 1tR 2 , rде R  радиус Kpyra, 1  длина ero окружности. Формула выводится с помощью площадей правильных описанных и вписанных п-уrOJIЬНИ ков и с учетом тoro, что при достаточно больших п периметры п"уrоль ников сколь уrодно мало отличаются от длины окружности Kpyra. r 8,13. Площадь kpyroBoro cerMeHTa  СМ. КРУ20вой сееАеНТ ПJlOщадь Kpyroвoro сектора  см. Круеовой сектор. Площадь OpтorOН8J1bHOA проекции мноrоуrольника  СМ. OpT020 нлД,ьная nроеlCЦия. ПЛ0lЦ8АЬ парал.llелоrрамма равна произведению ero стороны на высоту, проведенную к ЭТОЙ стороне. r 8,13. П.lощадЬ ооверхносТ8 сферическоrо сеrмеита вычисляется по формуле S === 21tRH, rAe R  радиус сферы, а Н  высота сеrментз r 10,21. Площадь поверхности тела. Понятие формируется на примере расхода краски при покраске купола. Затем ПРИВОДИТСЯ rеометри ческое определение п. п. Т. Пусть F  данная поверхность. По- строим тело F", состоящее из всех точек пространства, для каждой НЗ которых найдется точка поверхности F на расстоянии, не большем h. Наrлядно тело Fh можно представить себе как тело, заполненное краской при окрашивании поверхности с обеих сторон слоем краски толщиной h. Пусть V"  объем тела РЬ. п. п. Т F наз. предел отно- шения V,,/2h при hO, т е. S == liт V.j2h. ь-+о 43 
Для таких простх выпуклых поверхностей, как боковая по- верхность призмы и пирамиды, это определение приводит к прежним значениям площади поверхности  сумме площадей боковых rраней. r 10,21. Площадь прямоуrольника со сторона ми а и Ь вычисляется по формуле S === аЬ. При выводе этой формулы рассматриваются случаи: 1) Kor да длины а и Ь сторон прямоуrольника выражаются конечными десятичными дробями (прямоуrольник разбивается на равные квадраты); 2) Kor да хотя бы одна из сторон прямоуrоль- ника выражается бесконечной десятичной дробью (рассматриваются приближенные значения а и Ь с точностью до п десятичных знаков) r 8,13. Площадь сферы радиуса R раана 4nR 2 . Выводится с помощыр определения S === Нт V h /2h ( см. Площадь поверхности тела) . hO 3десь Vh/2h == 4nR 2 (l + h 2 /ЗR 2 ). r 10,21. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. r 8,13. Площадь треуrольника равна половине произведения ero стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 3.. Докажите справедливость формулы дЛЯ П. т. АВС: S == == AB · АС. sin А. 2 З 2 . Выведите формулу repOHa дЛЯ П. т. S == p(p a)(p Ь)(р c), rде а, Ь, с  длины сторон треуrольника, а р  полупериметр. r 8,13. Поверхность мноrоrранника  см. MHozozpaHHUK. Поворот плоскости около данной точки  движение, при котором каждый луч, исходящий из ЭТОЙ точки, поворачивается на один и тот же уrол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки). r 7,9. Подкоренное выражение  см. Квадратный корень, Корень nй степени. ПОДМl;lожество. Термин употреблен без объяснения. А 9 1 О, 1,2.3. Подобные слаrаемые в мноrочлене  члены мноrочлена, имею щие одинаковую буквенную часть. П. с. являются и члены, не имею- щие буквенной части. А 6,IV,IO.27. Подобные тела. Тела Т и Т' паз. П. Т., если существует преобразо вание подобия (см.), при котором тело Т переходит в тело Т'. r 10,20. См. также Объе.м.ы подобных тел. Подобные треуrольники  см. Подобные фи2УРЫ, Прuзнаки пo добия треуеольник.ов. Подобные фиrуры  фиrуры F и F', переводимые друr в друrа преобразован,ием. подобия (см.). Запись: F  р' (читается: фиrура F подобна фиrуре Р'). В записи подобия треуrольников дАВС со со Д А' В' С' предполаrается, что вершины, совмещае'мые преобразо ванием подобия, стоят на соответствующих местах, т. 'е. А переходит в А,', В  в В!, С  в С'. У П. ф. соответствующие уrлы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подоб- ных треуrольников АВС и А'В'С': ZA == LA', LB == LB', LC == == L С', АВ/А'В' == ВС/В'С' == АС/А'С'. r 7,9. Подобные члены мноrочлена  см. Мноаочлен. Подынтеrральная функция  см. И нтеzрал. ПоказатеJlЬ корня  см. Корень nй степени. Показатель степени  см. Степень с IШтуральныМ, no/(,азателе,М,. Показательная функция. Для любоrо положительноr.о числа а 44 
существует, и притом только одна, функция, определенная на всей числовой прямой, возрастающая при а > I (убывающая при О < а < < 1) и принимающая значения а т/n при рациональных значениях х == т/п aprYMeHT8. Эту функцию наз. П ф. с основание.м. а (обозна- чение: €Т). Основные свойства П. ф.: 1 Область определения функции аХ (при а =F 1)  множество R действительных чисел. 2. Область значений функции аХ (при а =F 1)  множество R+ всех положительных действительных чисел. 3. При а > I функция аХ возрастает на всей числовой прямой, при О < а < 1 функция аХ убывает на множестве R. 4. При люБыx действительных значениях х и у справедливы равенства: аХа У == а Х + У , аХ/аУ == aXY-, (аЬУ == аХЬ Х , (albY == аХ Ib X , (аХ)У == аХУ Эти формулы наз. основными свойства.м.и степени. А 910,IV,11.39. Показателltнwе уравнения инеравенства. 1. Простейшее показа- тельное уравнение аХ == аС (а > О, а =1= 1) имеет единственный ко- рень (это вытекает из Toro, что аХ на (oo; + 00) возрастает при а> 1 и убывает при О < а < 1, и из теоремы о корне (см.)) Этим корнем является число с (если аХ == Ь, то х == logab). 2. Решение простейших показательных неравенств также осно- вано на свойстве монотонности функции €т (возрастает при а> I и убывает при О < а < 1). Приводятся примеры решения П. у и н. А 910,IV,ll.40. Полная поверхность конуса. Понятие без объяснений использо- вано в У.15. r 10.21. Полная поверхность призмы  см. Боковая поверхность приз,Мы. Полная поверхность цилиндра. Понятие без объяснений исполь- 3(jBaHO в У.б. r 10,21. Полукруr. Понятие используется в тексте (напр., на с. 171), ка к са мо собой разумеющееся. r 8,13. Полуокружность. Понятие используется в тексте (напр., на с. 263), как само собой разумеющее.ся. r 10,20. Полуоси, положителltная и отрицательная.......... см. Координаты на плОС1Wсти Декартовы координаты в пространстве. ПOJlуоткрытые промежутки с концами а и Ь: [а; Ь)  множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а  х < Ь; (а; Ь]  мно- жество всех чисел, уДовлетворяющих перавенству а < х  Ь А 9 1 О, Материал для повторения. Полуплоскость. Прямая разбивает плоскость нв две П. Если концы какоrо-нибудь отрезка принадлежат одной П., то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным П., то отрезок пересекается с прямой. r 6,1 Полупрямая, или луч  часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки (паз. начальной точ1Wй П.). Различные П. одной и той же прямой с общей начальной точкой паз. дополнuтеЛЬНbtAlU П п. можно обоз- начить строчной латинской буквой или двумя точками: начальной и еще какойлибо, принадлежащей П. При этом начальная точка ставится на первом месте. r 6,1. Полуцилиндр. Термин использован в У.4 в сочетании «полуци- линдрический свод». r 10,21. Полушар. Понятие используется, ваор., в У.Э6. как само собой разумеющееся. r 10.19. 45 
Полый шар  тело, оrраниченное двумя концентрическими шаровыми поверхностями. r IO,19(Y.37). ПОРЯДОК действий. В выражении, не содержащем скобки, CHa чала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление и далее сложение и вычитание. Сложение и вычитание, так же как умножение и деление, производятся в той же последовательности, в которой они записаны. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках. А 6, Сведения... ПОРЯДОК числа  см. Стандартный вид числа. ,Последовательность. Поясняется на при мерах, как для любоrо номера n указывается соответствующее число. Числа, образующие П., наз. соответственно первым, вторым, третьим и т. д. члена.ми п. Член П. с номером n, или пй член П., обозначают а п . Саму П. обозначают (йп). П. может содержать онеч ное число членов. В таком случае ее наз. конечной П. Чтобы задать П., нужно указать способ, позволяющий найти член п. с любым номером. Часто П. задают с помощью формулы, выражающей ее nй член как функцию номера n. Такую формулу наз. формулой пeo члена П. ,Формулу, выражающую любой член П., начиная с HeKoToporo, через предыдущие (один или несколько), паз. рекуррентной. А 8,111,6,13. Посторонний корень  см. Иррациональные уравнения. Построение плоских сечений мноrоrраННИ'ка. Обычно задача состоит в том, чтобы построить сечение, имея па раллельную npoeK цию тела. Сечение выпуклоrо мноrоrранника есть выпуклый плоский мноrоуrольник, вершины KOToporo в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами мноrоrранника, а CTO роны  С ero rранями. Для построения прямой пересечения плоско стей обычно находят две ее точки и Пр080ДЯТ через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Tor да искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной. r 10,18. Правила вычисления пределов  см. Предел функции. Правила вычисл.ения производиых.. 1 Если функции и и v дифференцируемы в точке Хо, то их сумма дифференцируема в этой точке и (и + v)' == и' + v' Кратко: произ водная суммы равна сумме производных. 2. 'Если функции и и v дифференцируемы в точке Хо, то их про изведение дифференцируемо в этой точке и (иv)' == u'v + uv'. С. Если функция и дифференцируема в точке Хо, а С  по стоянная) то функция Си дифференцируема в этой точке и (Си)' == Си' Кратко: постоянный множитель можно ВQIНОСИТЬ за знак Пр08З водной. 3. Если функции и и v дифференцируемы в точке Ха И функция v не равна нулю в этой точке, то частное ujv также дифференцируемо ( и ) ' u'v  uv' Вхои........ 2 V V Доказывается, что для любоrо натуральноrо n и для любоrо Х (х* О при п  1): (х п )' == nxnl. А 910,II,5.l8. ПраВl1ла нахождения первообразных  см. Первообразная. Правило параллелоrрамма сложения векторов  см. Сложение векторов. Правильнац дробь  дробь, у которой числитель меньше зна меН2теля. М 4,11,5.37 4'6 
Правильная  пирамида,  призма,  усеченная пирамида. Правильные мноrоrранники. Выпуклый мноrоrранник паз. правильны.м., если ero rрани являются правильными мноrоуrольни- ками с ОДНИМ и тем же числом сторон и в каждой вершине MHoro- rранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов nравuльных выпуклых .м.НО202ранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. у nравиЛЬН,О20 тетраэдра rрани  правильные треуrольники, в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой пирамиду, YI которой все ребра равны. у куба все rрани  квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоуrольный параллеле пипед с равными ребрами. у октаэдра rрани  правильные треуrольники, но в отличие от тетраэдра в каждой ero вершине сходится по четыре ребра. у додекаэдра rрани  правильные пятиуrольники. В каждой вершине сходится по три ребра. у икосаэдра rрани  правильные треуrольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. З. Найдите двуrранные уrлы правильноrо тетраэдра (OTBeT cos<p === 1/3, <р  70032'). r 10,18. Правильиый выпуклый мноrоуrольннк  мноrоуrольник, у KO Toporo все стороны равны и все yr лы равны. т П. в. м. является вписанным в окружность и описанным около.окру)Кности. Если R  радиус описанной окружности, ,  радиус вписанной окружности дЛЯ П. в. м. со стороной а и числом сторон п, то а а R == " == . в частности, для правUЛЬН020 2 sin (1800 jn) 2 tg (1800 jn) треуеольнuка R : aj ,. == а/2,;3; для правиЛЬН,О20 четырех- У20льН,uка R == a/'.j2, r == а/2; для правUЛЬН,ОёО шестuуеольнuка R === а, r == а,jЗ;2. 3. Сторона правиль ноrо восьмиуrольника вычисляется по фор муле а8 == R 2 ,;2, rде R  радиус описанной окружности. у Сто она правильноrо 12-уrольника вычисляется по формуле, a12 == R 2 ..уз, R  радиус описаннс;>й окружност. r 8,12. . См. также Мноzоуеольнuк# вписанный в окружность# MHOёO У20льник# описанный около окружности. Правильный тетраэдр  см. Правильные .м.НО202раннuки. Предел функции. Функция '(х) стремится к пределу L при х, CTpe мящемся к а (значение х == а не рассматривается), если можно обес печить любую наперед заданную точность приближенноrо paBeH ства '(х)  L за счет уменьшения поrрешности I Ахl == I х  а' 8 зна- чении aprYMeHTa. Короче: приближенное равенство '(х)  L при х  а может выполняться' с любой точностью. Вместо слова «стре- мится» В записи принято ставить стрелку: f(x)L при xa. Это. же записывают иначе: limf(x) == L. Читается: «предел f(x) при х, стре.. х......а мящемся к a t равен L». Так, если '(х) == kx + ь, то f(x)ka + Ь при х--+а. Абсолютная поrрешность приближенноrо равенства f(x)  ka + ь равна If(x)  47 
 ka  Ь 1== I k(a + L\x) + ь  ka  Ь 1== I kf.lL\xl. Равенство '(х)   ka+b выполнено с любой наперед заданной точностью h, если взять I дх\  h/I k I (k =1= О). Правила вычисления пределов (доказательство не ВХОДИТ в курс средней школы). Пусть '(х)----+А и g(x)----+B при xa. Тоrда при х--+а: 1) {(х) + g(x)--+A + В; ) f (х) · g(x) АВ; 3) j(x)jg(x)----+АjВ (при В =* О). А 910,II,5.14. Пределы интеrрирования  см. Инте2рал. ПреобраЗОtlание rрафиков функций. 1. Параллельный перенос rрафика вдоль оси ординат: g(x) == '(х) + а. 2. Параллельный пере нос rрафика вдоль оси абсцисс: g(x) == {(х + а). 3. Растяжение и сжатие rрафика к оси абсцисс: g(x) == af(x). 4. Растяжение и сжа тие rрафикз к оси ординат: g(x) == '(х/а). А 9lO, Материал для повторения. Преобразование, обратное данному. Пусть преобрззование фи rypbl F В фиrуру р' переводит различные ТОЧКИ фиrуры F в различ ные ТОЧКИ фиrуры р'. Пусть произвольная точка Х фиrуры F пере ходит в точку Х' фиrуры F'. П'реобразование фиrуры F' в фиrуру Р, при котором точка Х' переходит в точку Х, называется П. о. д. Преобразование, обратное движению, есть движение. r 7,9. Преобразование подобия  преобразование фиrуры F в фиrуру р', при котором расстояния между точками изменяются (увеличи ваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки Х, у фиrуры F при П. п. переходят в точки Х', у, фиrуры F', то Х' У' == ,k · Х У, причем число k одно и то же для. всех точек Х, У. Число k наз. коэффициенто'м' подобия. Т. rомотетия есть П. п. При П. п. три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, перехо дят в три точки А., 8., C 1 , также лежащие на одной прямой, причем если точка В лежит между точками А и С, то В. лежит между точ ка ми А. и С 1. П. п. переводит прямые в прямые, полупрямые  8 полупрямые, отрезки  в отрезки. П. п. сохраняет уrлы между прямыми. r 7,9; 9,17. См. также Площади подоб1tblх фиzур. Преобра30вание симметрии относительно плоскости. Пусть а  произвольная фиксиранная плоскость. Из точки Х фиrуры опускаем перпендикуляр ХХ на плоскость а и на ero продолжении за точку Х откладываем отрезок ХХ', равный ХХ. Преобразование, которое переводит точку Х в симметричную ей точку Х', наз. П. с. о. п. а.. Если П. с. о. п. а переводит фиrуру в себя, то фиrура наз. сuм.мет рUttНОЙ относительно плоскости а, а плоскость а наз. плос1WСТЬЮ симметрии фиrуры. r 9,17. Преобраэование симметрии относительно прямой  преобразо ванне фиrуры F в фиrуру р', при котором каждая ее точка Х пере ходит в точку Х', симметричную относительно прямой g. При этом фиrуры F и р' наз. си-м.,М,етричными относительно прямой g. Если П. с. о. п. g переводит фиrуру F в себя, то эта фиrура наз. си'м''м'етрuчной относительно пря'м'ОЙ g, а прямая g наз. ОСЬЮ СU'м''м'ет рии фиrуры. З. Прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. r 7,9; 9,17. Преобразование симметрии относительно точки  преобразо ванне фиrуры F в фиrуру р,', при котором каждая ее точка Х пере 48 
ходит в точку Х', симметричную относительно данной точки О. При этом фиrуры F и Р'. "аз. сu.м..м.еТРUЧНblми относительно точки О. Если п. с. О. Т. Опереводит фиrуру F в себя, то она наз. цeHT раЛЫ-tоси'м.м.етрuчной, а точка О  центром сuм.м.етрии. Например, параллелоrрамм является центральносимметричной фиrурой, ero центр  точка пересечения диаrоналей. r 7,9; 9,17. Преобразование фиrур. Если каждую точку данной фиrуры сместить какимнибудь образом, то получим новую фиrуру. rOBO рят, что эта фиrура получена nреобразование.u из данной. Из П. ф. на nЛОС1Wстu рассматриваются преобразование симметрии относи тельно точки, преобразование симметрии относительно прямой, rOMo тетия, движение, ПОБОрОТ и др. В пространстве, кроме Toro, pac сматривается пробразование симметрии относительно плоскости. r 7,9; 9, 17. Приближенное знач.ение числа с точностью до h. Если число приближенно равно а с точностью до h, то пишут х == а + h. Число h берут с одной или двумя значащими цифрами, при этом младший разряд h должен COOTBeTCTBOBaT младшему разряду а. В таблицах и справочниках П. з. ч. записывают без явноrо указания абсолют ной поrрешности, считая, что она не превосходит одной единицы последнеrо разряда. В этом случае принято считать все цифры при ближенноrо значения верными. Записывая приближенное значе ние в виде а. НУ', обычно в числе а сохраняют лишь верные цифры. А 6,111,9.26; 7, У, 15.38. См. также АБСQлютная rюерешность. Приближенные вычисления. В сумме и разности приближен ныx значений сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в том из данных, в котором меньше десятичных знаков. В произведении и частном приближенных значений сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержится в том из прибли женных данных, в котором меньше значащих цифр. А 8,VI,14.35,36. Прнведение дробей к общему знаменателю. Общее кратное знаменателей двух дробей наз. общим знаменателем, а наименьшее общее «ратное этих знаменателей  наuменьшu},f общи'м знамена телем'. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей; 2) найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их допол нительный множитель. М 5,11,5.35. Приведенне подобных членов мноrочлена  см. М НО20член. Приведенное квадратное уравнение  см. Квадратное ypaвHe н'ие, Теорема Виета. Призма  мноrоrранник, образованный заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками параллельных прямых, которые пересека плоский мноrоуrольник в одной из плоскостей. rрани П., лежащие в этих плоскостях, наз. основаниями п. Друrие rрани наз. боковыми 2ранямu. Все боковые rрани П. параллело rpaMMbl. Ребра П., соединяющие вершины (разных) оснований. наз. боковы..м.u ребрами. Все боковые ребра П. па раллельны. Высотой п. наз. расстояние между плоскостями ее оснований. Orрезок. соединяющий две вершины, не принадлежащие одной rpa ни, наз. диа20налью П. ДиаzонаАЬНblМ сечением П. наз. сечение П. плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежа щих одной rрани. п. наз. прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны OCHO ваниям. В противном случае П. иаз. наклонной. Прямая П. наз. 49 
правиАЬн.ой, если ее основа ния являются правильными мноrоуrоль ннками. r 10,18. Призма, вписанная 8 цилиндр  см. Цилиндр. nризма, описанная около цилиндра  см. Цилиндр. Признак возрастания функции. Достаточный П. в. ф.: если {' (х) > О в каждой точке интервала /, то функция f возрастает на J. При доказательстве используется фор.нуда Ласранжа (см.). Если функция непрерывна на какомлибо из концов нромежутка возра стания, ТО ero можно присоединить к этому промежутку. П. в. ф. ИСlIользуется при исследовании ФУНКЦИЙ. А 910,II,7.25. Признак максимума функции  см. Достаточные условия Эк'стре.му.ма. Признак минимума функции  см. Достаточные условия ЭКС тремума. Признак постоянства функции. Если р' (х) === О на некотором промежутке, то функция F  постоянная на этом промежутке. П. п. ф. используется при выводе основНО20 свойства первообразных (см.). А 910,III,8.31. Признак убывания функции. Достаточный п. у. ф.: если ['(х) < о в каждой точке интервала /, то функция f убывает на J. При ДOKa зательстве используется формула Ласранжа (см.). Если функция непрерывна на какомлибо из концов промежутка убывания, то ero можно присоединить К этому промежутку. П. у. ф. используется при исследовании функций. А 9 1 0,11,7.25. Признаки делимости на 1 О, 5, 2, 9, 3. 1. Если запись числа OKaH чивается цифрой О, то ЭТО число делится на 10; еС1И запись оканчи вается любой друrой цифрой, то число не делится на 10. 2. Если запись числа оканчивается цифрой О или 5, то это число делится на 5; если запись числа оканчивается любой друrой цифрой, ТО число не делится на 5. 3. Если запись числа оканчивается четной цифрой, то число делится на 2; если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то число не делится на 2. 4. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. 5. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3. М 4,1,3.23; 24. Признаки параллельности прямых. 1. Две прямые, пзраллель ные третьей, параллельны друr друrу. 2. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие уrлы равны ИJlМ CYM ма внутренних о)S.носторонних yr лов равна 1800, то прямые парал- лельны. 3 Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ. TI. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие yr лы равны, а сумма внутренних односторонних уrлов равна 1800. Т 2 . Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и друrой. r 6,4. Признаки подобия треуrольников. Два треуrольника подобны: 1) если два yr ла oAHoro соответственно равны двум yr лам друrоrо; 2.) если две стороны одноrо пропорциональны двум сторонам дру- 50 
roro, и уrлы, образованные этими сторонами, равны; 3) если стороны одноrо треуrольника пропорциональны сторонам друrоrо. 3. Хорды АВ и CD окружности пересекзются в точке S. ДOKa жите, что AS . BS == CS · DS. r 7,9. Признаки равенства прямоуrольных треуrольников. 1. Если rипотенуза и острый уrол одноrо прямоуrольноrо треуrольника соответственно равны rипотенузе и острому уrлу друrоrо треуrоль ника, то такие треуrольники равны. (Признак равенства по rипо тенузе и острому yr лу.) 2. Если катет и противолежащий ему уrол одното прямоуrоль Horo треуrольника соответственно равны катету и противолежа щему уrлу друrоrо треуrольника, то такие треуrольники равны. (Признак равенства по катету и противолежащему yr"Т"IY.) 3. Если rипотенуза и катет одноrо прямоуrольноrо треуrоль- ника равны rипотенузе и катету друrоrо треуrольника, ТО такие Tpe уrольники равны. (Признак равенства по rипотенузе и катету.) r 6,4. Признаки равенства треуrольников. Первый п. р. Т. (по двум сторонам и уrлу между ними). Если две стороны и уrол между ними одноrо треуrольника равны соответственно двум сторонам и уrлу между ними друrоrо треуrольника, то такие треуrольники равны. Второй П. р. Т. (по стороне и прилежащим к ней уrлам). Если сторона и прилежащие к ней уrлы одноrо треуrольника равны COOT ветственно стороне и прилежащим к ней уrлам друrоrо треуrоль- ника, то такие треуrольники равны. Третий П. р. Т. (по трем сторонам). Если три стороны одноrо треуrольника равны соответственно трем сторонам друrоrо треуrоль ника, то такие треуrольники равны. r 6,3. ПРИНЦИП Кавальери. Пусть прямые HeKoToporo пучка паралле-пь- ных пересекают фиrуры ФI и Ф2 по отрезкам равной длины. Тоrда площади фиrур Ф) и Ф2 равны. А 9lO,IlI, С.и. ПРИНЦИП математической индукции  см. Метод математuче екой индукции. Приращение независимой переменной (aprYMeHTa)  см. При- ращение функции. Лриращение функции { в точке Хо. Пусть х  произвольная точ ка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки хо. Разноеть х  Ха наз. nрuращением независимой nере'м'енной (или apzYMeHTa) в точке Ха И обозначается Ах. Таким образом, x === х  хо, откуда следует, что х:::::; ХО + x. rОБОрЯТ также, что первоначаль- ное значение Ха «получило приращение Ах». Вследствие этоrо зна чение функции f изменяется на величину '(х)  {(Ха) === f(Xa + x)   f(Xa). 3'1 d разность наз. П. ф. f 8 точке хо, соответствующим при ращению i\x, и обозначается символом f, т. е. по определению , == '(хо + x)  {(Хо), откуда f(x) === f(xo + дх) === '(хо) + f. При фиксированном хо приращение Af есть функция от l1x. Приращение А! наз. также nрuращениеJlf завиСU.А-tОЙ переменной и обозначают для функции у == f(x) через y. А 910)II,5.15. Проекция наКJIОННОЙ  см. Наклонная. Проекция прямой на плоскость  см. Jlzол .Аtежду пря,Atой и пло скостью. Произведение вектора на число  см. У М,ножение вектора на число. Производная. П. функции f в точке хо наз. число, к которому Af f(xo + Ах)  !(Ха) стремится отношение x === Ах при Ах, стремящемся 51 
к нулю. П. функции f в точке хо обозначается f'(xo), т. е. по опреде { ' ( ) 1 . f(xo+x)f(xo) лению хо == lffi А Лх  о ilX Функцию, имеющую П. в точке хо, наз. дифференцируемой в этой точке. Пусть D.  множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому х Е Dl число "(х), получим функцию с областью определения D.. Эта функция наз. П. функции f и обозначается " (х) (или просто f', у'). Нахождение П. данной функции f наз. дифференцированием. Доказывается, что (kx + с)' == k. В частности, 1) П. постоянной равна нулю: (с)' == о; 2) П. функции у == х aBHa 1: х' == 1. PaCCMOT рены также примеры: (х 2 )' == 2х, (х3)' == Зх, (ljx)' ===  ljx 2 (x =#= О). Отмечается также, что для функции у == \ х\ имеем: { 1 при х > о, I х I ' == не существует при х == О, ........ 1 при х < О. Лемма. Если функция f дифференцируема в точке хо, то АТ ----+ О при Ах----+О, т. е. f(xo+x)----+f(xo) при Ах--+О. А 910,II,5.17; 18. См. также Касательная к zрафик.у Фун"цuи Механический смысл nроизводн.ой, Правила вычисления nроизводНЫХ J ФОРJ4УЛЫ для приближенных вычислении. Производная JJоrарифмической функции. При любом х > О выполняется равенство In'x == ljx. Отсюда следует, что для функции I/x на про меж утке (О; 00) любая первообразная может быть записана в виде In х + с. Функ- ция ljx имеет первообразную и на промежутке ( 00; О), это функция In (  х). Таким образом, на любом промежутке, не содержащем точку О, первообразной для функции 1/ х является функция ln \ xl А 9lO,IV,12.46. Производная покаэательноii функции. Та. Показательная функ ция  дифференцируема в каждой точке и (ej' == tf. Т 2. При любом положительном а функция cr дифференцируема в каждой точке х и (aj' == ct 1" а. С. Показательная функция непрерывна в каждой точке' своей области определения, т. е. при любом а > О и любом хо имеем: aX---+а ХО при xxo. А 9lO,IV,12.45. Производная CJlожной функции. Если функция f имеет произ- водную в точке хо, а функция g имеет производную в точке уо == {(Хо), то сложная функция h (х) == g(f (х» также имеет производную в точке Ха. причем h' (хо) == g' и (хо) · f' (хо).  Доказательство про водится для случая l:1 f =F О.  А 9 1 О, 11,5.19. Производная суммы, ПроИЗ8едения, частноro  см. Прави.IUJ вы численuя nроизводныl.. Произво.ц.иые триrонометрических функций. 1. (sin х)' == cos х.  Формула выводится с использованием утверждений: а) sin Ах/2 Ах/2  1 при AxO (отмечается rеометрический смысл зтоrо результата), б) cos (хо + Ах/2) cosxo при l:1xO.  2. (cosx)' ==  sinx. Вывод формулы основан на равенствах cos х == sin (п/2  х), cos(n/2  х) == sinx и правиле дифференцирования сложной функции. 3. (tg х)' == I /cos 2 х. 52 
4. (ctg Х)' ==  1 /sin 2 х. Формулы 3 и 4 ВЫВОДЯТСЯ с помощью формулы производной частноrо. А 9 10,11,5.20. Промежут,КИ  см. Числовые промежутки. Промежутки возрастания и убывания функции  СМ. Возра стание и убывание функции. Промежутки знакопостоянства функции  промежутки, на KO торых функция принимает положительные значения (rрафик функ ции лежит выше оси абсцисс), и промежутки, на которых она при нимает отрицательные значения (rрафик лежит ниже оси абсцисс). А 910,I,2.4. Промежутки непрерывности функции  см. Непрерывность функции. Пропорционапьиые переменные. Переменная у пропорциональна переменноЙ х, если при увеличении значений Х в несколько раз COOT ветствующие значения у увеличиваются во столько же раз. Еи XI и Х2  значения переменной х, а Yl и У2  соответствующие им значения у, то Х2/ХI  Y2/YI. Если переменная у ПРОfIорциональна перемеНkОЙ х, то отношения соответствующих значений Х и у равны. Из Toro, что Yl/XI  У2/Х2, следует, что отношения любых COOTBeT ствующих значений П. п. у и х равны одному и тому же числу. Это число наз. коэффициентом nроnорцuональности. Если ero обозна  чить буквой k, то у/х  k. А 6,11,4.10. См. также Числа, nроnорциональные данным числам. Пропорция. Частное двух чисел а и Ь наз. иначе отношением а и Ь. Отношение двух положительных чисел показывает, во сколько раз одно число больше друrоrо или какую часть одно число COCTaB ляет от .в.руrоrо. Равенство двух отношений наз. П. Запись: а: Ь == С: d или ;:   . в П. а: Ь == с: d числа а и d наз. крайними членами П., а Чliсла Ь и с  средними членамu П. В дальнейшем все члены П. считаются отличными от нуля. Основное свойство П.: в верной П произведение крайних членов равно произведению средних. Обратно: если произведение крайних членов равно произведению средних, то П. верна. Если в верной П. поменять местами средние член'ы или крайние члены, то получив шиеся новые П. будут верны. М 5,11,7.45. Простая ломаная  см. ЛОAf.аная. Простая область (простая фнrура)  область, допускающая разбиение на конечное число треуrольников (под треуrольником здесь понимается оrраниченная им область). r 8,1 З. Простое тело  тело, которое можно разбить на конечное число тетраэдров, т. е. треуrольных пирамид. В частности, П. т. являются призма, пирамида, выпуклый мноrоrранник. ДЛЯ П. т. выводятся формулы вычисления объемов. r 10,20. Простые и составные 'числа. Натуральное число "аз. ПРОСТЫМ, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число. Натуральное число "аз. соста , BHblJrt если оно имеет более двух натуральных делителей. Число 1 имеет только один натуральный делитель, поэтому оно не относится 'ни к простым, ни к составным числам. Число 2  наименьшее простое число. Это единственное четное простое число. Остальные простые числа  нечетные. Всякое составное число можно разложить на простые множи тели, и притом единственным способом (если не учитывать порядка расположения множителей). М 5,11,4.27; 28. 53 
Противолежащие JleРWИНЫ четырехуrоJlыlкаa  (М. Четырех.. уеольник. Противолежащие rрани параллелепипеда  см. Параллеле пипед. Противолежащие стороны четырехуrольника  СМ. Четырех.. уzольник. Противоположно направленные векторы. Термин не оБЪЯСНЯ ется, но используется при формулировке Т.10.5. В ходе ее доказа- тельства rоворится: «Если л, < О, то точка В лежит на дополнитель- ной полупрямой, векторы а и ла противоположно направлены». З. Даны различные точки: А (Xl, Yl) И В(Х2, У2). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены. r 8,10. Противополо.жно направленные полупрямые  СМ." Одинаково направленные полупрямые. Противоположные числа  два числа, отличающиеся друr ОТ друrа только знаком. Для каждоrо числа есть только одно проти воположное ему число. Два П. ч. изображаются на координатной прямой точками, симметричными относительно начала отсчета. Число О противоположно самому себе. Число, противоположное числу а, обозначают  й. Натуральные числа, противоположные им числа и нуль наз. целыми числами. М 5,1,1.5. Проходить между. Луч с п. м. сторонами уrла L(ab), если он исходит из вершины yr ла и пересекает какойнибудь отрезок с кон- цами на сторонах уrла. В случаях развернутоrо уrла считают, что л ю б о й л у ч, исходящий из ero сторон, п. м. сторонами уrла. Т. Если от данной полупрямой отложить В одну полуплоскость два yrла, то сторона меньшеrо уrла, отличная от данной полупрямой, п. М. сторонами большеrо уrла. r 6,1; 2. Процент  одна сотая часть. Если слово «П.» идет после числа, эаписанноrо цифрами, то вместо иеrо ставят знак % Решаются различные задачи на П. М 4,11,8.55; 60. Прямая  одна из основных фиrур на плоскости н в простран стве. п. обозначаются строчными латинскими буквами: а. Ь, с, d, ... Терминолоrия: точка А лежит на П. а, П. а проходит через точку А. п. а и Ь MorYT nересекаться в точке (точка пересечения)". П., прохо дящую через точки А и В, обозначают также АВ. Т. Две различные П. либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной. точке. r 6,1; 9,14; 17. СМ. также А"сиоАСЫ Rланu.м.ет" puи АксиОАЫ CTepeoAteTpиul' Уравнение nря.мой Задание пря.м.ой в пространстве. Прямая IJризма  СМ. П рUЗJНй. Прямая про ПОРЦИО н ал ьность, или пропорциональность.  функ.. ЦИЯ, которую можно задать фо.рмулой вида у == kx, rAe х  неза.. виси мая переменная, k  не равное нулю число (коэффtlциент про.. порциональности). rрафик п. п. есть прямая, ПРОХОДSlщав через начало коор.в.инаr. Если k> О, то rрафик п. п. расположен в первой и третьей координатных четвертях, если k < О, то 80 второй И четвертой. А 6,II,5.15 Прямой конус  СИ. Конус Прямой параллелепипед  параллелепипед, БОКQвые ребр"а ко- тoporo перпендикулярны основаниям (тзкоrо теJ(СТЗ в книrе нет, это комбинация определений параллелепипеда и прямой прнзмы) r 10..18. Прямой уrол  уrол, равный 900 r 6,2. 54 
Прямой цилиндр  см. Цилuндр. Прямоуrольник  четырехуrольник, у KOToporo все уrлы прямые. Т. П. есть параллелоrрамм. Диаrонали П. равны. 3. Если У параллелоrрамма все уrлы равны, то он П. r 7,6. Прямоyrольный параллелепипед  прямой параллелепипед, у KOToporo основанием является прямоуroльник. У п. П. все rрани  прямоуrольники. Длины непараллельных ребер П. п. ваз. ero лuней нь,мираэм.ера.м.u. У п. п. три линейных размера. Т. в п. п. квадрат любой диаrонали равен сумме квадратов трех ero линейных размеров. 3. Диаrонали трех rpаней п. П., сходящиеся в ОДНОЙ вершине, рав ны а, Ь, с. На,йди те линейные размер ы П. п. (Отв ет:  (b2+c2a. y (c2+a2b2). './  (a2+b2C2).) r 10,18. ПРЯМОУroJIЬИЫЙ треуroJlЬНИК  треуrольник. у Koтoporo есть прямой уrол. Два друrих уrла П. Т. острые., Они дополняют друr друrа до 900. <";торона п. Т., противолежащая прямому уrлу, наз. 2uпотенузоd, две друrие стороны наз. ка те та,М,и. 3. В П. т. С уrлом в 300 катет, противолежащий этому уrлу, равен половине rипотенузы. ,r 6,4. См. также Признаки равенства пряAtоуаОЛЬНbLХ треУ20льнuков, Среднее nрОnОрЦИQнальное, Теорема Пифаеора. Равенство фиrур. Фиrуры F и р' паз. paBHblAtU, если они дви- жением пере80ДЯТСЯ одна в друrую. Для обозначения Р. ф. исполь- зуется обычный знак равенства: F == р'. В запи.си равенства треуrольников: 6.АВС == 8А.В.С.  предполаrается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треУ20ЛЬ- ниКО8;1 определяемое через их совмещение двuже1tием. и равенство, ка/(, ezo определяют 8 ст. Равные... треУ20льникu (см.), выражают одно uro же. r 7,9. Равнобедренныii треyroJJЬНИК  треуrольник, у КOToporo две стороны равны. Эти стороны наз. боковы'м'U сторонами, а третья сторона  основанue.м. Р. т. Та. В Р. т. уrлы при основании равны. Т 2 . Если В треуrольнике два уrла равны, то он Р. Т. ТЗ. В Р. т. медиана, проведенная к основанию, является бис сектрисой и высотой. З. Биссектриса Р. т., проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой. r 6,3. РавноООкаJl траneцlUl  СМ. Траnецuя. РаВНООТСТОSlщие прямые  см. Расстояние J,f,ежду параllлель НbtM-и nряAtbtJftu. Равносильные неравенства с од.ной переменно.ii  СМ. Вера.. венства с одной neре.менно й. Равносильные уравнения  см. Уравнение. Равносил"ные уравнения с двумя переменным'и  см. YpaвHe нue с двумя neре.м.ен.ныМ,u. Равносторонний конус  конус, в осевом сечении KOToporo....... правильный треуrольник. r 1 O 19. .55 
Равносторонний треуrольник  треуrольник, у KOToporo все стороны равны. 31. у Р. т. все уrлы равны. 32. Если у треуrольника все утлы равны, то он Р. т. r 6,3. Равносторонний ЦИЛИНДР  цилиндр, диаметр KOToporo равен высоте. r 10,19(У.6). Равные векторы  см. Вектор, Координаты вектора. Равные дроби  см. Обыкновенная дробь. Равные отрезки  отрезки, имеющие равную длину. r 6,1. Равные треуrольники  треуrольники А.ве и A 1 B 1 C 1 , если у них LA == LAl, LB == LB., LC == L С 1 , АВ == AIBl, ВС == B.C 1 , АС == AtC.. Кратко: треуrольники равны, если у них соответствую щие стороны и соответствующие уrлы равны. Запись: ABe == == 6А.В,С 1 . При этом имеет значение порядок, в котором запи сываются вершины треуrольников. Отмечается следующее свойство nростейших ФИ2УР: каков бы ни был треуrольник, существует paB ный ему треуrольник в заданном расположении относительно дaH ной полупрямой (одна вершина  в начале полупрямой, друrая  на стороне полупрямой, третья  в заданной полуплоскости)  существование треуrольника, paBHoro данному. r 6,1. См. также Признаки равенства треУ20ЛЬf.lUКО8, Рав.енство Фи2УР. Равные уrлы  уrлы, имеющие одинаковую уrловую меру. r 6, 1. Равные фиrуры  см. Равенство фисур. Радиан  см. Радианная мера У2ла. Радианная мера уrла  отношение длины соответствующей дуrи к радиусу окружности (предполаrаетея, что уrол является центральным уrлом в окружности). Из формулы для длины дуrи окружности, отвечающей центральному уrлу в пО, следует, что 1 n Р u Jf== 180 п, т. е. . М. у. получается из rрадуснои умножением на л/180 0 . В частности, Р. м. у. 1800 равна л, радианная мера пря Moro уrла равна л/2. Единицей Р. М. у. является радиан. Уrол в один радиан  это уrол, у KOToporo длина дуrи равна радиусу. fрадуеная мера уrла в один радиан равна 1800 /л  570. Из pa n венства 1 рад== 180 0 /л получаем, что 1 О == 180 рад  0,017 рад. r 8,12; А 8,У,11.28. Радиус Kpyra, окружности, цилиндра, шара. Радиус сферы  см. Шар. Развернутый yrOJl  см. Усол. Разложение квадратноrо трехчлена на множители. Возможно для любоrо квадр,атноrо трехчлена, имеющеrо корни. Если дискри минант квадратноrо трехчлена равен нулю, то считаЮТ j что этот трехчлен имеет два равных корня. Т. Если ХI И Х2  корни квадратноrо трехчлена ах 2 + Ьх + с, то ar + Ьх + с == а(х,  XI)(X""":"' Х2). Если квадратный трехчлен не имеет корней, то ero нельзя раз ложить на множители, являющиеся мноrочленами первой степени. А 8,1,1.2. Разложение мноrочлена на МН()ЖИТeJlИ  представление MHO 56 
rочлена в виде произведения двух или нескольких МНОfочленов (среди которых Moryт быть и одночлены). Одним из способов Р. м. н. м. является вынесение обще20 множителя за скобки (объясняется на примере) . Обычно при вынесении общеrо множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены мноrочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном мноrочлене. Если все коэффициенты  целые числа, то в качестве коэффициента общеrо множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов мноrочлена. На примере объясняется способ Р. м. н. м., наз. способом 2pyп пирО8ки, состоящий в объеди.нении членов мноrочлена в rруппы так, чтобы слаrаемые в каждой rруппе имели общий множитель. При Р. м. н. м'. используются также формулы сокращеННО20 умножения. А 6,IV,I] .30; 12.32. Разложение на множители разности квадратов  см. Разность квадратов. Разложение на множители разности (суммы) кубов  см. Сумма и разность кубов. Разложение на простые множители  см. Простые и COCTaв ные числа. Разность арифметической проrрессии  см. Арифметическая nрО2рессия. РазноС1'Ь векторов  см. Сложение векторов. Разность квадратов  одна из формул сокращенноrо YMHO жения: (а  Ь)(а + Ь) === а 2  ь 2 . Произведение разности двух Bыpa жений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Формула разности квадратов  тождество а 2  Ь 2 == (а  ЬХа + Ь): разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выра"жений и их суммы. А 6,У,13.33; 34. Раскрытие скобок. Скобки, перед которыми стоит знак «плюс», раскр-ывают так: опускают скобки и этот знак «плюс», не изменяя знаков слаrаемых, стоящих в скобках. Скобки, перед которыми ст,оит знак «минус», раскрывают так: опускают скобки и этот знак «минус», заменяя знаки слаrаемых, стоящих в скобках, на противо положные. М 5,1,2.17. Раположение прямой относительно осей координат  см. Уравнение пРЯАtОЙ. Распределительное свойство сложения и умножения  сМ. Свойства действий над числамu. Расстояние между параллельными прямыми  расстояние от какойнибудь точки одной прямой до друrой прямой. Так как pac стояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны, то rоворят, что параллельные прямые  равноотстоящие прямые. r 6,4. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Общи-м пepneH дикуляром двух скрещивающихся прямых наз. отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Т. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром парал лельных плоскостей, проходящих через эти прямые. Р. м. с. П. Hё:t3. длина их общеrо перпендикуляра. Оно равно pac стоянию -между параллельнымu плоскостями, проходящими через эти прямые. r 9,16. Расстояние между точками А и В  длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю. Если известны ,координаты концов отрезка (XJ, У') 51 
и (Х2, У2), ТО d 2 == (XI  Х2? + (Yl  У2)2, rде d  Р. м. т. В частности, если Xl === Х2, то d === 'У.  Y2f; если УI == У2, то d == IXI  Х21. Если точки совпадают, то d === О. в пространстве Р. м. т. А. (XI, YI, ZI) И А2(Х2, У2, Z2J находтся 3 соотншенияА1А == (Х2...... XJ)2 + (у2....... Уа? + +(Z2Zt). r 6,1,7,8,9,17. Расстояние от точки до ппоскости  см. П ерneндикуляр. Расстояние от точки до прямой  длина перпендикуляра, опу- щенноrо из данной точки на прямую. 3. Расстояния от любых точек прямой до параллельной прямой равны. r 6,4. а Рациональная дробь  рациональное выражение вида ь. Сумму, разность, произведение и частное Р. д. всеrда можно пред- ставить в виде Р. д. Всякое рациональное выражение можно пред- ставить в виде дроби, числитель и знаменатель которой  MHoro члены. А 7,1,1,2.43.7. Рациональное уравнение  уравнение, левая и правая части KOToporo являются рациональны.м.u выражения,М,и (см.). Р. у., в ко- тором левая и правая части являются целыми выражениями, наз. целым Р. у. Р. у., в котором левая и правая части являются дроб- ными выражениями, нзз. дроБНbtAt Р. у. При решении дробных Р. у. обычно целесооб.разно поступать следующим образом: 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2) заменить данное уравнение целым, умножив ero на общий знаменатель; 3) решить получившееся целое уравнение; 4) исключить из ero кор.. ней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. А 7,111,10.24. Рациональное число......... число, которое можно представить в виде m/n, rде т  целое число, а п  натуральное. Такое пред ставленне можно сделать поразному. Среди дробей, с помощью которых записывается данное Р. Ч., всеrда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. ДЛЯ целых чисел такой дробью является дробь со знаменателем, равным 1. Каждое Р. ч. может быть представлено в виде бесконечной деся- тичной периодической дроби. Верно и обратное утверждение: каж дая бес ко l1еч на я десятичная периодическая дробь представляет неко- торое рациональное число. Разные бесконечные десятичные перио. дические дроби представляют разные Р. ч. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают друrой записью дробей с перио дОМ О, например, О, (9) == 0,999... == 1,000... == 1; 16,1 (9) === 16,1999...== -== 16,2000...== 16,2. При обращении обыкновенной дроби в десятич- ную не может получиться дробь с периодом 9, А 7,11,4.8. Рациональные выражения  целые' выражения (см.) и дроб. ные выражения (см.). CM также Рацuохальн.ая дробь. Ребро ......... двуrранноrо уrла,  мноrоrранника,  TpexrpaHHoro уrла. Рекурренrная формула  см. Последовательность. Решение задач с помощью систем уравнений. При Р. 3. С П. с. у. сначала обозначают буквами неизвестные числа. Затем составляют систему уравнений, решают ее и, наконец, истолковывают получен вый результат в соответствии с условием задачи. Приводятся при меры. А 6,VI,17.45. Решение квадратных уравнений: 1) выделением квадр ата ДBY 58 
члена  объясняется на примерах; 2) по формуле  см. Формула корней квадратноео уравненuя. А 7,III,8.209.21. Решение неравенств  см. Неравенства с одНОЙ переAfенной. Решение простейших триrонометрических неравенств. Приво- дятся образцы решений неравенств вида sin х < й, cos х  а, tgx  а и т. п. Решение более сложных неравенств, содержащих триrоно- метрические функции, сводится, как правило, к Р. п. т. н. А 9IO, 1,4.12. Решение простейших триrонометрических уравнений. 1. cost == а при t == + arccosa + 2пn, nEZ, lal  1. В частности, cos t == 1 при t === 2лп, п EZ; cos t ==  1 при t == л + n +2лп, nEZ; cost 1 О при t=="2 +лп, nEZ. 2. sint==a при t==( I)n arcsina+nп, nEZ, 'аl  1. В ч.астнQCТИ, sin t == 1 при t ==  + 2пп, n Е z; sin t ==  1 при t==  ; +2пn, nEZ; sint===O при t==лп, nEZ. 3. tg t ;::: а при t == arctg а + лn, n Е Z, а Е R. Решение трнrонометрических уравнений сводится к Р. п. т. у. С помощью формул, выражающих свойства триrонометрических функций. А 9 1 0,1,4.11. Решение систем линейных уравнений. Обсуждаются два способа Р. с. л. у., приводящие к равносильным системам. 1. Способ подстановка. Состоит в том, что сначала из KaKoro нибудь уравнения выражают одну переменную через друrую, полу ченное выражение подставляют в друrое уравнение, решают полу- ченное уравнение с одной переменной, затем находят соответствую щее значение второй переменной. 2. Сnосо.6 сложения. Путем умножения уравнений системы на соответственно подобранные числа и CJlожения полученных ypaB нений получаем уравнение с одной переменной, из KOToporo находим значение одной из переменных, а потом  значение друrой (из одноrо из наqальн,ых уравнений). Иллюстрируется примерами. А 6,VI,17.43; 44. Решение системы уравнений с двумя переменными  СМ. Cи стема двух уравнен'UЙ с дву.м.я пере.менными. Решение треуroльииков  нахождение неизвестны сторон и yr лов треуrольника по известным ero yr лам и сторонам.. Основные задачи: 1. Даны сторона и два yr ла треуrольника. Найти третий уrол и остальные две стороны. 2. Даны две стороны и уrол между ними. Найти .остальные два уrла и третью сторону. 3. Даны две стороны и уrол, противолежащий одной из них. Найти остальные два yr ла и третью сторону. 4. Даны три стороны треуrольника. Найти ero уrлы. При решении этих задач используется теорема о сумме уrлов треуrольника, теорема косинусов и теорема синусов. Каждая из задач имеет -единственное решение, кроме задачи 3, которая может це иметь решения. иметь одно решение или иметь два решения. r 8,1 1 Решение уравнения с двумя переменными  см. Уравнение с двумя nеременными. Решить уравнение  значит найти все ero корни или доказать. что их нет. А 6,1,3.7. Ромб  параллелоrрамм, у Koтoporo все стороны равны. 59 
Т. Дuаrонали Р. пересекаются под прямым уrлом. Диаrонали Р. являются биссектрисами ero yr лов. 3. Если у параллелоrрамма диаrонали перпендикулярны, то он является Р. r 7,6. Свободный член квадратноrо уравнения,   линейноrо уравнения с двумя переменными,   линейноrо уравнения с одной переменной. Свойства арифметическоrо корня nй степени. Т 1. Если а  О и Ь  О, то v;;;;  vb; таким образом, при любом натуральном n корень из-произведения неотрицательных множителей равен про изведению корней из этих множителей. Т 2 . Если а  О и Ь > О, то v;;;ь == / таким .?бразом, при любом натуральном n корень из дроби, числитель которои неотри цателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Т;з. Если n и k  натуральные числа и а  О, то w;; ==. т 4. Если n, k и т  натуральные числа и а  О, то  == == W; таким образом, если показатель корня и показатель CTe пени подкоренноrо выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится (основное свойство корня). Ts. w= ()k. Т 6. Для любых чисел а и Ь таких, что О  а < Ь, выполняется неравенство  < vb. А 8,IV,9.22; 9lO,IV,10.36 Свойства действий над числами. 1. П ере.м.естительное свойство. Для любых чисел а и Ь верны равенства: а + Ь == Ь + а, аЬ == Ьа. 2. Сочетательное свойство. Для любых чисел а, Ь и с верны равенства: (а + Ь) + с == а + (Ь + с), (аЬ) с == а(Ьс). 3. Распределительное свойство. Для любых чисел а, Ь и с верно равенство а(Ь + с) == аЬ + ас. Из переместительноrо и сочетательноrо свойств сложения сле дyeT что в любой сумме можно как уrодно цереставлять слз-rаемые и произвольным образом объединять в rруппы. Из переместитель.. Horo и сочетательноrо свойств умножения следует., что в любом произ ведении можно как уrодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в rруппы. Распределительное свойство pac пространяется на случай, Kor да число умножается на сумму трех и более слаrаемых. Так как вычитание можно заменить прибавле нием числа, противоположноrо данному, то свойства деЙСТ8ИЙ MO rYT быть расширены. А 6,1,2.4. Свойства квадратных корней. Т 1. Если а  О и Ь  О, то  ,;;,;ь.. Этот результат обобщается и на большее число сомножителей: ,;;;ьс ==.;;  -v; (а  О, Ь  О, с  О)  корень из произведения неотрицательных множителей _равен произведению корней из этих множителей. Т 2 . Если а  О и Ь > О, то ,;;;;ь == .;;/  корень из ДрQби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, 60 
равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Отсюда следуют npaвU.Aa умножения и деления арuф.м.етuче ских квадратных корней:  ,;ь ==.j;b, rде а  О и Ь  о; /  a/b, rде а  О и Ь> О. т 3. При любом значении х:  == I х 1. Эта теорема применяется при извлечении квадратноrо корня из степени с четным показателем. На примерах объясняется, как происходит вынесение множи теля изпод знака корня и внесение множителя ПОД знак корня. А 7,11,6.13; 14; 7.16. Свойства  обратно пропорциональных переменных,  пропорциональных переменных. Свойства синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca.' sin а. > О в 1 и 11 четвертях, sin а < О в III и IV четвертях. cos а. > О в 1 и IV четвертя-х, cos а < О во 11 и -111 четвертях. tg а > о, ctg а > О 8 1 и 111 четвертях, tg а < о, ctg а < О 80 11 и IV четвертях. Значения синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca не изменя ются при прибавлении к уrлу nелоrо числа оборотов. Формулы, выражающие зависимость между синусами, косину сами, танrенсами и котанrенсами противоположных уrлов: sin (a)== ==  sin а, cos ( а) == cos а, tg ( а) ==  tg а, ctg ( а) ==  ctga. А 8,У,11.27. См. также Основные трuzонометрическuе тождества, Функция у == sin х, Функция у == cos х, Функция у == tg х, Функция у == ctg х. Свойства степени с рациональным показателем. Для любоrо а> О и любых рациональных чисел р и q: a P tf1 == аР + q, аР: a q == aPq, (aP)Q с:: a pq ; для любых а > О и Ь > О и любоrо рациональноrо р: (аЬУ == аРЬ Р , (ajbY == аР jb P . C 1 . Для любоrо положительноrо а и любоrо рациональноrо р: aP == l/а Р . С 2 . При любом рациональном р и любом натуральном n  == а р / п (а> О). Отмечаются также следующие два С. с. с р. п.: 1) пусть r  рациональное число и О < а < Ь, тоrда cf < Ь' при r > О, а' > Ь' при r < о; 2) для любых рациональных чисел r и s из неравенства r > s следует, что a'>a s при а>l, a'<a s при О<а<l. А 8,IV,10.24; 910, IV, 10.38. Свойства уравнений  см. Уравнение. Свой«:тва числовых неравенств. Tl. Если а < ь и Ь < С, то а<с. т 2. Если а < ь и с  любое число, то а + с < Ь + с, т. е. если к обеим частям BepHoro неравенства прибавить одно и то e число, то получится верное неравенство. Тз. Есл'и а < ь и с  положительное число, то ас < Ьс. Если а < ь и с  отрицательное число, то ас> Ьс. Аналоrичное свойство справедливо и для деления. Итак: если обе части BepHoro Hepa венства умножить или разделить на одно и то же положительное число, ТО получится верное неравенство; если обе части BepHoro неравенства умно}Кить или разделить на одно и то )Ке отрицатель ное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. 61 
с. Если а и Ь  положительные числа и а> Ь, то l/а < l/b. Т.. Если а < Ь и с < d. то а + с < ь + d. Таким образом, если сложить почленно верные неравенства одноrо знака, то получится верное неравенство. Ts. Если а < ь и с < d, rде а, Ь. с, d  положител-Ьные чис.ла, то ас < bd. Таким образом, если перемножить почленно верные He равенства одноrо знака, левые и правые части которых  поло- жительные числа, то получится верное неравенство. С. Если числа а и Ь положительны и а< Ь, то а п < ь п (n  HaTY ральное число). Указанные свойства использованы для оценки суммы, разности, произведения и частноrо числовых неравенств (на примерах). А 7,IV,11.27; 28. CerMeHT  см. Круеовой ceZMeHT.. .. Секанс  см. Основные три20но.метрические функции. Сектор  см. КРУ20ВОЙ сектор. Секущая  см. Касательная. Секущая прямая  прямая АС, пересекающая две заданные прямые АВ и CD. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то уrлы ВАС и DCA наз. внутренними односторонними. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой А С, то уrлы ВАС и DCA наз. внутренними накрест лежащими. С. п. образует с прямыми АВ И CD две пары внутренних односторонних и ,'Цве пары внутренних накрест лежащих уrлов. Если внутренние накрест лежащие yr лы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие уrлы друrой пары тоже равны. а сумма внутренних односторонних yr лов каждой пары равна 1800.. Обрат- но: если сумма внутренних односторонних уrлов одной пары равна 180°, ТО сумма внутренних односторонних уrлов друrой пары тоже равна 180°, а внутренние накрест лежащие yrлы каждой пары равны. r 6.4. См. также П рuзнакu параллельН,остu прямых. Серединный перпендикуляр к отрезку  прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему. r 6,5.. Симметрия  см. Т очка l симметричная данной точке OТHocи тельН,о прЯм'ОU 1 Точка, СUJAJtlетричн,ая данной относительно точки l Преобразование' симм.етрuи относительно точки, Преобразование cиM м.етрuи относительн'О nРЯМОй l П реобразование cu.ммeTpuи OТн'ocи тельН,о плоскости. Синус. 1. С. ocTporo yr ла а прямоуrольноrо треуrольника  отношение противолежащеrо катета к rипотенузе. Обозначение: sin а. С,. уrла зависит только от величины yr ла. Катет, противо лежащий yrлу а 7 равен произведению rипотенузы на sin а. Справед- ливы формулы: sin (900 ........ а) == cos а, cos (900  а) === sin а, sin 450 == /2, sin 300 == 1/2, sin 600 === -JЗ/2. При возрастании OCTpOro уrла sin сх. возрастает. r 7,7. 2. С. уrла с%, 00  с%  1800  см. Определение cUHyca l Kocи нуса, танеенса для любое о У2ла от 00 до 1800: 3.- С. любоrо уrла а  СМ. ТрuzоН,ометрuческ.ие. функции лю- 60ео apeYAteHTa l ТриzоН,ометрuческие функции числовО20 apZYMeHTa l Функция у == sin х. Синусоида  см. Функция у == siп х. Система двух уравнений с ДВУМЯ перемеиными. На примерах объясняется, что такое С. д. у. с Д. П. и как она записывается, напр., 62 
{ х + у == 12, xy==2 или { У....... х 2 == О, У  2х  3 == О . О. Решением С. Д. у. с д. п. наз. пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Pe шить систему уравнений  значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. На при мере объясняется rрафический способ решения С. д. у. с Д. п., состоящий в том, что приближенно ищутся точки пере- сечения rрафиков каждоrо из уравнений системы. Если rрафики двух линейных уравнений  параллельные пря мые, то система не имеет решений; если прямые совпадают, то система имеет беСКОJlечно MHoro решений. Приведен пример, в котором система линейных уравнений имеет единственное решение. А 6,VI, 16.42. СМ. также Решение систем линейных ypaвHeHий Решение задач с помощью систем уравнений. Система координат. Эти слова в пункте «Введение координат на плоскости отсутствуют, однако употреблены в заrлавии пункта «Расположение прямой относительно системы координат», а также, наор., в пункте «Скалярное произведение векторов» и др. r 7,9; 8,10. Система неравенств с одной переменной. Приводятся примеры таких систем. О. Решением С. н. С о. п. наз. значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решить систему  значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Приведены примеры систем (ре,шения которых являются промежуткамн). А 7,IV,12.31. Системы уравнений второй степени. Сначала на примере объяс няется rрафический способ решения таких систем  приближенное нахождение решений как координат точек пересечения rрафиков уравнений. Систему, в которой одно из уравнений второй степени, а друrое  первой, всеrда можно решить способом под ста новки, выражая из уравнения первой степени одну из переменных через друrую и подставляя найденное выражение в уравнение второй степени. Получается уравнение с одной переменной, степень KOToporo не выше двух. Если система составлена из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения уравнений. ПР,ИВОJl.ятся примеры. А 8,11,5.1 о; 11. Скалярное произведение векторов a(al, а2) и b(b J , Ь 2 )  число aJb J + а 2 Ь 2 . с. п. обозначается оБ. с. п. аа обозначается также 0,2 Очевидно, что а 2 == I a1 2 . Из определения с. п. следует, что для любых векторов а, ь, ё имеет место равенство (а + Ь)с == йё + ьё. УелоAf, между ненулевыми векторами АВ и АС наз. уrол ВАС. Yr лом между любыми двумя векторами а и ь наз. уrол между равными им векторами с общим началом. Уrол между одинаково направлен- ными веКТQрами считается равным нулю. Т. с. п. векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус уrла между ними: аЬ == lallbl cos а. 63 
Если векторы перпендикулярны, то их С. п. равно нулю. И обрат но, если С. п. отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы пер пендикулярны. В пространстве с. п. векторов (а,. а2, аз) и (Ь,. Ь'2, Ьз) наз. число a,b 1 + а2Ь 2 + азЬ з . Так же, как и на плоскости, С. п. векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус уrла между BeI{TO рами. r 8,10; 9,17. Скрещивающиеся прямые  прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Через любую из двух с. п. можно про вести плоскость, параллельную друrой прямой. Через каждую из С. п. можно провести плоскости, параллельные друr друrу. У. rеометрическое место середин отрезков с концами на двух С. п. есть плоскость. r 9,15. См. также Расстояние между ,скрещивающи.мuся nрямыми, J'zол между nрямыми. Сложение векторов. Суммой векторов а и Ь с координатами at, а2 и b t , Ь 2 наз. вектор с с координатами а, + b t , а2 + Ь 2 , т. е. a(al, а2) + b(b l , Ь 2 ) === с(а. + b t , а2 + Ь 2 ). ДЛЯ любых векторов а, ь, с имеют место равенства а + ь == ь + а, а + (Б + с) == (а + +Ь)+с. Т. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное    равенство АВ + ВС == АС. Эта теорема дает способ построения суммы произвольных   векторов а и Ь (<<правило треуrольника» с. в.). Надо от конца    вектора а отложить вектор Ь', равный вектору Ь. Тоrда вектор, начало KOToporo совпадает с началом вектора а, а конец  с концом    вектора Ь', будет суммой векторов а и Ь. 31. ABCD  параллелоrрамм. Докажите векторное равенство АВ + AD == АС (<<правило nараллелоzрамм.а» С. в.). Разностью векторов a(al, а2) и Ь(Ь" Ь 2 ) наз. такой вектор C(CI, С2), который В сумме с вектором Ь дает вектор а: ь + с == а. Отсюда находим координаты вектора с == а  Ь: Cl == al  Ь" С2 == == а2  Ь2. 32. Даны векторы АВ и А С с общим началом. Докажите, что АС  А"В == ВС. Аналоrично в пространстве суммой векторов a(al, а2, аз) и b(b 1 , Ь 2 , Ь з ) наз. вектор c(al + b 1 , а2 + Ь 2 , аз + Ь з ). Так же, как и    на плоскости, имеет место векторное равенство АВ + ВС == АС. r 8,10; 9,17. Сложение и вычитание дробей  см. Действия с обblкновен н'ыми д Р9бяМ,u. Сложение и вычитание мноrочленов. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, сумму (разность) мноrочленов можно представить в виде мноrочлена. Иноrда требуется несколько членов мноrочлена заключить в скобки. Tor да: если перед скобками ставят знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, пишут с теми же знаками; если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, пишут с противоположными знаками. А 6,IV,10.28. 64 
Сложение числовых иеравенств  см. Свойства числовых Hepa венств. Сложная функция. Если функция f переводит х в у, а функция g переводит у в Z, то функцию h, переводящую х в z, называют С. ф., составленной из функций g и " и пишут h(x) === g(f(x)). Т. О., чтобы вычислить значение С. ф. h(x) === g(f(x)) в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у «внутренней» функции f в этой точке, а затем  g(y). Область определения С. ф. g(f(x))  множество всех тех х из области определения функции f, для которых f(x) входит в область определения функции g. А 9IO,II,5.19. См. также П роизводная сложной функции. Смежные уrлы  два уrла, у которых одна сторона общая, а друrие стороны этих уrлов являются дополнительными полу- прямыми. Т. Сумма С. у. равна 1800. С. Если два уrла равны, то и смежные с ними уrлы равны. Уrол, смежный с прямым, есть прямой уrол. Уrол, смежный с ОСТРЫМ,тупой, а уrол, смежный с ТУПЫМ,острый. r 6,2. Сокращение дроби  см. Основное свойство дроби. Соответствующие стороны, уrлы у равных или подобных фиrур (треуrольников, мноrоуrольников)  понятие, используемое как само собою разумеющееся. См. Равенство ФU2УР, Подобные фи2УРЫ. Соотношения между сторонами и уrлами в прямоуrольном треуrOJlьнике  см. Косинус, Синус, ТаН2енс. Соотношения между триrонометрическими функциями одноrо и Toro же aprYMeHTa  см. Основные три20нометрические тождества. Соседние вершины четырехуrOJlьника  см. Ч етырехуеольник. Соседние стороны четырехуrольника  см. Ч етыреХУ20льник. Составное число  см. Простые и составные числа. Сочетательное свойство (сложе.ния и умножения)  см. Свойства действий nад числами. Способ rруппировки  см. Разложение МНО20члена на .мHO жители. Способ подстановки при решении систем  см. Решение систем линейных уравнений, Системы уравнений второй степени. Способ сложения при решении систем линейных уравнений  см. Решение систем линейных уравнений. Сравнение чисел. Из двух чисел меньшим считается то, изобра  жение KOToporo расположено левее на координатной прямой, и боль шим то, изображение KOToporo расположено правее. Всякое положи- тельное число больше нуля, а всякое отрицательное число меньше нуля, поэтому всякое отрицательное число меньше положит-ельнorо числа. Из двух отрицательных чисел. меньше то, у KOToporo больше модуль, и больше то, у KOToporo меньше модуль. М 5,1,1.7. Среднее арифметическое нескольких чисел  частное, получаю- щееся при делении суммы этих чисел на число слаr"аемых. М 4,11,8.59. Среднее пропорциональное положительных чисел а и Ь  число х == ,;;;;; (средний член пропорции а: х == х: Ь). Катет прямоуrOJIЬНО ro треуrольника есть С. п. между rипотенузой и ero проекцией на rипотенузу. Высота прямоуrольноrо треуrольника, опущенная из вер- шины прямоrо уrла, есть С. п. между проекциями катетов на rипо- тенузу. r 7,7. Средине члены пропорции  см. Пропорция. 3ЗО29 65 
Средняя линия трапеции  см. Трапеция. Средняя линия треуrOJlьника  отрезок, соеДИНЯЮЩИЙ середины двух ero сторон. Т. С. Л. Т., соединяющая середины двух данных сторон, парал лельна третьей стороне и равна ее половине. З. Середины сторон четырехуrолъника являются вершинами параллелоrрамма. r 7,6. . Средняя скорость  см. Механический СА«ЫСЛ проuзводной. Стандартный вид одночлена  см. Одночлен. Стандартный вид числа а  запись ero в виде а. lon, rде 1 :< а < 1 О и п  целое ЧИ-СJlО. Число п наз. порядком числа а. А 7V15.37. Степенная функция. Для Jlю60rо действительноrо числа р и каждоrо положительноrо х определено число . Тем самым на про.. межутке (о; 00) при фиксированном р определена функция {, за- данная формулой '(х) == хР. Эrа функция наз. С. ф. (с показателем степени р). Если р> О, то С. ф. определена и при х == О, поскольку ()р == О. . Для целых р с. ф, определена и для х < О. При четных р эта функция четная, а при нечетных р  нечетная. Производная С. ф.: (хРУ == pxP 1. При Р < о с. ф. убывает на промежутке (о; 00), при р > о С. ф. возрастает на промежутке [о; 00). Построены rрафики с. ф. при неко" торых р. При р =1=  1 общий вид первообразной С. ф. х Р таков: Р(х) == х Р + 1  Р + 1 + С. При р ==  1 первообразной является функция вида lп Ixl + с. Для вычисления значений С. ф. предлаrается приближенная формула (1 + Ах)а  1 + ax (приближение тем точнее, чем меньше Ах). А 9 10,IV,12.47. Степенная функция с натуральным показателем  см. Функция у == х п . Степень  мноrочлена,  одночлена. Степень с дробным (рациональным) показателем. О. Если а  положительное число, m/п  дробное число (т  целое, n  натуральное), то а m / п === п#. Если т/п  дробное положительное чис,Ло (т и п  натураль ные)" то от/п == О. ДЛЯ отрицательных оснований С. с д. п. не рас.. сматривается. Значение С. с д. п. r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: a тk / пk == а т / п (а > о, т  целое, п и k  HaTY ральные числа). А 8,IV,10.2З. См. также Свойства степени с рациональным показа тел е.м.. Степень с натуральным показателем. О. Степенью числа а с Ha туральным показателем n, большим 1, наз. произведение n множите лей, каждый из которых равен а. Степень числа а с показателем 1 наз. само число а. Обозначение: а п . Выражение а п наз. степенью, число а  OCHO ванuем. степени, число п  показателе.м. степени. Нахождение зна чения степени нзз. возведением в степень. Основное свойство степени: для любоrо числа а =F О и произ вольных чисел т и п ата n == а т + п. При умножении степеней содинако.. вым основанием основание оставляют прежним, а показзтели степеней складывают. 66 
Для любоrо числа а =1= О и произвольных чисел т и n таких, что т > п, имеем: а т :а п == aтп. При делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а из показателя степени делимоrо вычитают показвтель степени делителя. О. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: а О == 1. При этом формула ата п == а т +п верна и при т == О или n === О (а =F О), а формула а т : а n == aтп  и IIрИ т  n. т ==' О или п == О (а =1= О). При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают: (аЬ)п == апь п . При B03 ведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают: (a)п == а тп . Два последних свойства имеют место и ДЛJl степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля) . Если т > n, то а m > а п при а> 1 и а т < а п при О < а < 1. А 6,I1I,7.l921; 910,IV, 10.38. Степен.. с нулевым показ'ателем  см. Степень с натуральным пок,азателе.м. Степень с целым показателем. О. Если а =1= О и n  целое отрицательное число, то uп === ljan. Выражение оп при целом отрицательном n (так же, как и при n == О) смысла. не имеет. Свойства, установленные для степени числа с натуральным nOKa зателе-м (см.), справедливы и для степени с любым целым показа телем. А именно, для любоrо а =1= О и любых целых т и n; ата п == а т + п, а т : а n === а т  п, (ат)п === а тп ; для любых а =1= О. Ь =1= О и любоrо цe лоrо п: (аь)п == апь п , (ajb)n == а п jb n , а О == 1. А 7,У, 14.35 36; 9 10, IV,IO.38. Степень уравнения  см. Целое уравнение# Целое уравн.ение с нескольки.ми пере.менными. Стереометрия  раздел rеометрии, в котором изучаются фиrуры в пространстве. Основные фиrуры в простра.нстве: точка, прямая и плоскость. r 9,14. См. также Аксиомы стереометрии. Сторона мноrоуrольника.,  треуrольника,  yr ла,  четырехуrольника. Строrие неравенства  см. Числовые неравенства. Сумма бесконеifОЙ rеометрической проrрессии при I q1 < I  число, к которому стремится сумма Sn (п первых членов nporpec Ь. сии) при неоrраниченном увеличении n. Это число равно  l . q 2 h l Запись: Ь 1 + b,q + b.q + ... == . Обозначив сумму проrрессии lq u ы  (Ь п ) буквои 5, получим формулу S ===  l . q Если I q I  1, то сумма Sn при неоrраниченном увеличении п не стремится ни к какому числу. Та.ким образом, бесконечная reo метрическая проrрессия имеет сумму только при Iql < 1. А 8,111,7.18. Сумма векторов  см. Сложение векторов. Сумма и разность кубов. Имеют место тождества (формулы 67 
сокращенноео умножения): (а + Ь) (а 2  (Jb + ь 2 ) == аЗ + Ь З  произ ведение суммы двух выражений и непОЛНОёО квадрата их разности (а 2  аЬ + ь 2 ) равно сумме кубов этих выражений; (а  Ь) (а 2 + + аЬ + ь 2 ) == а  Ь З  произведение разности двух выражений и непОЛНО20 квадрата суммы (а 2 + аЬ + ь 2 ) равно разности кубов этих выражений. Формула суммы кубов  тождество аЗ + Ь З === (а + Ь) (а 2  аЬ + + ь 2 ): сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполноrо квадрата их fазности. Формула разности кубов  тождество аЗ  Ь З == (а  Ь) (а + аЬ + ь 2 ): разность кубов двух выражений равна проиЗ,Ведению разности этих выражений и He полноrо квадрата их суммы. А 6,У,15,37; 38. Существование и единственность перпендикуляра к прямой. Т. Из любоЙ точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. r 6,4. Существование треуrОJlьиика, равиоrо данному  см. Равные треУ20льники. Сфера (шаровая поверхность)  см. ШаРI Уравнение сферы. Схема ИСCJIедования функции  см. И сследоваfШе функций. Таиrенс. 1. Т. oCTporo уrла а прямоуrольноrо треуrО.7Iьника  отношение противолежащеrо катета к прилежащему. Обозначение,: tg а. Т. уrла зависит только от величины уrла. Катет, противолежа щий yrJlY а, равен произведению BToporo катета на tg а. Справедли вы формулы: tg 450 == 1, tg 30 Q == 1/';з' tg 600 ===,;з. При возраста нии oCTporo yr ла tg а возрастает. r 7,7; 8. 2. Т. уrла а, 00  а  1800  см. Определение синуса, косинуса и та1lёе1lса для люБО20 У2ла ОТ 00 до 1800. 3. Т. любоrо уrла  см. ТРU20нометрическuе функции люБО20 apzYMeHTa l Трuеонометрuческuе функции числовоzо ap2YAfe1lTa l Функция у == tg а. Танrенсоид-а  см. Функция у == tg х. Тело. Термин употребляется без определения или предвари тельноrо объяснения (впервые встречается в тексте: «Мноrоrранни ком наз. Т., оrраниченное конечным числом плоскостей»). r 10,18. Тело вращения  тело, которое плоскостями, перпендикуляр ными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по KpyraM с центрами на этой прямой. Круrовой цилиндр, конус, шар являются примерами Т. в. Если ввести декартовы координаты х, у, Z, приняв ось тела за ось х, то плоскость ху пересечет поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии. Пусть у == '(х)  ypaB нение той части линии, которая расположена над осью. Объем части Т. в., заключенной между плоскостями х == а и х == Ь, выраз.ится фор ь мулой V === л  f2(x) dx, а < ь. r 10,19; 20. а Теорема (в rеометрии)  предложение, выражающее свойство rеометрической фиrуры, которое доказывается. При доказательстве Т. разрешается пользоваться основными свойствами простейших фиrур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными Т. Никакими дру,ими свойствами фиrур, даже если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя. Формулировка Т. обычно состоит из двух частей. В одной rоворится о том, что 68 
дано. Эта часть нзз. условие'м' Т. В друrой части rоворится о том, что должно быть доказано. Эта часть наз. заключение-м Т. r 6,1. Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на отрезке [а; Ь] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; Ь], в которых f принимает Ha иБОЛЬUJее и наименьшее на [а; Ь] значения.  Доказательство  в курсе анализа. Т А 9 1 0,1 1,7.28. СМ. также Наибольшее и наименьшее значения функции. Теорема Виета. Т. Сумма корней приведенноrо квадратноrо уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противопо ложным знаком, а произведение КОQней равно свободному члену. Таким образом, для уравнения r + рх + q == О при D > О име ем х, + Х2 ===  р, Х&Х2 == q. Теорема верна и при D == О, если условить ся, 'ITO В этом случае уравнение имеет два равных корня. Верно и утверждение, обратное Т. В.: Т. Если числа т и n таковы, что их сумма равна  р, а произ вед€ние равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + + рх + q == о. Из теоремы Виета следует, что если квадратный трехчлен ах 2 + + Ьх+с имеет корни хl И Х2, то Хl +Х2== b/a, XtX2==c/a. А 7,111,9.23; 8,1,1.1. См. также Квадратный трехчлен. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треуrольника равен сумме квадратов двух друrих сторон без удвоенноrо произведения этих сторон на косинус уrла между ними: вс 2 == АВ 2 + Ас 2   2АВ · А С · cos А. С.. Квадрат стороны треуrольника равен сумме квадратов двух друrих сторон « + » удвоенное произведение одной из них на проек цию друrой (знак «+» надо брать, коrда противолежащий уrол тупой, а знак «», коrда уrо.л острый). С 2 . Сумма квадратов диаrоналей параллелоrрамма равна сумме KaдpaTOB ero сторон. r 8,11. Теорема о корне. Пусть функция- f возрастает (илц убывает) на промежутке /, а число а  любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Tor да уравнение f (х) == а имеет единственный корень в промежyrке 1. Т. о к. применяется при решении уравнений. Так, синус возрастает на отрезке [п/2; п/2] и принимает все значения от  1 до 1. По Т. о к. для любоrо числа а, I а I  1, в про межутке [п/2; п/2] существует единственный корень Ь ypaBHe ния sin х == а. Это число Ь наз'. арксинусом числа а и обозначают arcsin а. Итак, арксинусом числа а наз. такое число из отрезка [  л/2; п/2], что ero сннус равен а. ,Аналоrично, арккосинусом числа а, I а I  1,. паз. такое число из отрезка [О; зt 1, что ero косинус равен а. Обозначение: arccos 'а. Арктане.енсо.м числа а, а Е R, наз. такое число из интервала (  п/2; п/2), что ero TaHreHc равен а. Обозначение: arctg а. т Арккотанеенсо.м. числа а, а Е R,наз. такое число из инте.рвала (О; n), что ero KOTaHreHc равен а. Обозначение: arcctg а.  А 9 10, 1,4.10. Теорема о трех перпендикулярах. ПРЯ1Vl'ая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендику.'1ЯРНО ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плосости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. r 9,16. Теорема. об обратной функции  см. Qбратная фунхцuя. 69 
Теорема n ифаrора. В прямоуrольном треуrольнике квадрат rипотенузы равен сумме квадратов катетов. С. В прямоуrольном треуrольнике любой из катетов меньше rипо тенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos а < 1 для любоrо oCTporo уrла а. r 7,7. Теорема синусов. Стороны треуrольника пропорциональны си sin а sin f3 sin у нусам противолежащих yr лов:   а Ь с 3,. Биссектриса уrла треуrольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. С. В треуrольнике против большеrо yr ла лежит большая CTO рона, против большей стороны лежит больший уrол. sin а 32. Докажите, что в Т. с. каждое из трех отношений а sin  sin у 1 .. Ь' с равно 2R ' rде R  радиус окружности, описаннои около треуrольнЮ<'з. r 8,11. Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие CTO роны yr ла, отсекают на одной ero стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на друroй ero стороне. 3. Разделить данный отрезок на n равных частей. r 7,6. Теорема Ферма (необходимый признак зкстремума). Если точка Хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f', то она равна нулю: " (хо) ==: О. Т. Ф. есть лишь необходимое условие экстремума: из Toro, что производная в точке хо обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. А 9 10,11,7.26. Тетраэдр  см. Пирамида# Правuльные MH020zpaHHUКU. Тождественно равные выражения  выражения, принимающие равные значени при всех допустимых для них значениях пере менных. А 6,1,2.5; 7,1,1.-2. Тождественное преобразование выражения (преобразование вы  ражения)  замена одноrо выражения друrим, тождественно paB ным ему выражением. Т. П. в. С переменными выполняются на основе свойств действий над числами (см.). К Т. п. В. относятся, например, приведение подобных слаrаемых, раскрытие скобок. А 6,1,2.5. Тождество  равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в Hero переменных. Чтобы доказать, что некоторое pa венство является Т. (иначе: доказать Т.), используют тождественные преобразованuя выражений (см.). А 6,1,2.6; 7,1,1.2. Точка  одна из основных rеометрических фиrур на плоскости и в пространстве. Т. принято обознач'ать прописными латинскими буквами А, В, С, D, .... r 6,1; 9,14. Точка касания  см. КасательнаЯ 1 Касательная 1\, Оl\,РУЖН,ОСТU 1 Шар. Точка минимума, максимума  см. Точки Эl\,стре.мума. Точка, симмеrричная данной точке относительно ПJlОСКОСТИ  см. П реобразование симметрии относительно плоскостu. Точка, симметричная данной точке относительно прямой. Пусть g  фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку Х и опустим перпендикуляр ХХ на прямую g. H продолжении этоrо пЩ)пендикуляра за точку Х отложим отрезок ХХ', равный отрезку ХХ. Точка Х' наз. симметрuчной точке Х относительно прямой g. Если точка Х леЖИ1 на прямой g, то симметричная ей точка есть 70 
сама точка Х. Точка, симметричная точке Х', есть точка Х. r 7,9. Точка, симметричная данной точке относительно точки. Пусть О  фиксированная точка и Х  произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ. Точка Х' наз симметричной точке Х относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Точка, сим метричная точке Х', есть Х. r 7,9. Точка  числовой плоскости,  числовой прямой. Точки зкстремума. О. Точка хо наз. точкой минимума функции " если для всех х из некоторой окрестности точки хо вы пол не но неравенство f(x)  f (хо). О. Точка Хо наз. точкой .максимума функции " если для всех х из некоторой окрестности точки Хо выполнено неравенство '(х)  '(хо). Общее название точек минимума и максимума  Т. э. Зна чения функции в этих точках наз. экстремумами функции. А 9 1.0,1,2.4. См. также КритичеСlШе точки Функцuи Теорема Фер.ма ДOCTa точные условия существования экстрем.ума. Трапеция  выпуклый четырех.уrольник, у KOToporo только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны наз. основанuя.м.u Т. Две друrие стороны наз. боковыми сторонами. Т., у которой боковые стороны равны, наз. равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, паз. средней линией Т. Т. Средняя линия Т. параллельна основаниям и равна их полу сумме. f 7,6. Третий признак равенства треуrольников  СМ. П ризнакu pa венства треуzольников. Треуrольник  фиrура, состоящая из трех точек, не леж ащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки наз. вершинами Т., а отрезки  ero сторонами. Т. обозначается указанием ero верш,ин. Вместо слова «Т.» употребляют значок . J'ело.м Т. АВС при вершине А наз. уrол, образованный полу прямыми АВ и АС. Так же определяются уrлы при вершинах В и С Т. Сумма уrлов Т. равна 1800. С. у любоrо треуrольника хотя бы два уrла острые. В любом Т. каждая сторона меньше суммы двух друrих сторон. Иноrда в Т. сторона, проведенная rОРИЗ0нтально, наз. основанием, а две друrие  60К08ы.м.и сторона.м.и.. В Т. против большеrо уrла ле жит большая сторона, против большей стороны лежит больший уrол. Т. Если прямая, не проодящая ни через одну из вершин Т., пересекает одну из ero сторон, то она пересекает только одну И3 двух друrих сторон. r 6,1; 7,7; 8,11. Треуrольник, вписанный в окружность, описанный около окруж- ности  СМ. Мноzо'у20льник вписанный в ок.ружность МНО20У20ЛЬ HиK описанный около окружности, П равиЛЬ1tый выпуклый .мн.020 уеольнuк, а также О/(ружность описанная около треуzольника OK ружность вписанная в треУ20льник. Трехrранный уrол (аЬс)  фиrура, составленная из трех плоских уrлов: (аЬ), (Ьс) и (ас). Эти уrлы наз. ераня.ми Т. у., а их стороны  ребрами Т. у. Общая вершина плоских уrлов наз. вершиной Т. у. Двуrранные уrлы, образуемые rранями и их продолжениями, наз. двуеранными У2лами Т. у. r 10,18. 71 
Трехчлен  см. Мноzочлен., Квадратный трехчлен. Триrонометрические ФУНКЦИИ любоrо aprYMeHTa. На оси х справа от начала координат отмечаем точку А и проводим через нее окруж ность с центром в точке О. Радиус ОА наз. начальным радиусом. Поворачиваем начальный радиус около точки О. При повороте против часовой стрелки уrол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке  отрицательным. Уrол поворота может выражаться в rрадусах каким уrодно числом от  00 до + 00. Cy ществует сколько уrодно уrлов поворота, при которых начальный радиус ОА переходит в заданный радиус 08. При повороте на уrол а начальный радиус переходит в pa диус ОВ. В зависимости от Toro, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, уrол а наз. уrлом этой четверти. При прибав-: лении к yr лу целоrо числа оборотов получается уrол этой же четверти. Уrлы 00, + 900, + 1800, ... не относятся ни к какой четверти. Пусть при повороте около точки О на уrол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. СИНУСО'м У2ла а наз. отношение ординаты точки В к радиусу. Косинусом У2ла а наз. отношение абсциссы точки В к радиусу. т анаенсом У2ла а наз. отношение ординаты точки В к ее абсциссе. КотаН2енсо,М, У2ла а наз. отношение абсциссы точки В к ее op динате. Так, если координаты точки В равны х и у, а длина начальноrо радиуса равна R, то sina==y/R, cosa==x/R, tga==y/x, ctga== == х/у. Функции sin а, cos а, tg а, ctg а являются Т. ф. л. а. 3наче ния Т. ф. л. а. зависят только от уrла а. Выражения sin а и cos а имеют смысл при любых а. Для TaHreH са исключаются уrлы, равные + 900, + 2700, + 4500, ... . Для KOTaH reHca исключаются yr лы, равные 00, + 1800, + 3600, .... Синус и косинус Moryт принимать любые значения от  1 до 1, а TaHreHC и котзнrенс  любые значения от  00 до + 00. А 8,У, 11.26; 28. См. также Свойства синуса, KocUHyca l тансенса и KOTaHzeHca l Три20нометрuческие функции числовО20 аР2умента. Триrонометрические ФУНКЦИИ числовоrо aprYMeHa. Запись sin х, rде х  произвольное действительное число, ()3Ha чает синус уrла, paBHoro х радианам. Каждому числу х соответствует определенное значение синуса. Таким образом, синус является функ цией с областью определения (  00; + 00). Точно так же косинус есть функция с областью определения (oo; + 00 ).. Областью значений как синуса, так и косинуса является промежуток [1; 1]. TaHreHc является функцией, область определения которой co стоит из всех чисел, кроме + л/2, + 3л/2, + 5л/2, .... Область значений TaHreHca есть множество всех действительных чисел. KOTaHreHc является функцией, область определения которой состоит из всех чисел, кроме О, + л, ::f:: 2л, + 3л, ... . Область значений KO TaHreHca  множество всех действительных чисел. Косинус является четной функцией, синус, TaHreHc и KOTaH reHc  нечетными. А 8,V,II.28. Тупой уrол  уrол, больший 900 и меньший 1800. r 6,2. ТупоуrOJlЬНЫ,Й треуrольннк  треуrольник, один из уrлов KOTO poro тупой. М 4,11,6.44. Убывающая функция  см. Возрастание и убывание ФУНКЦИй, Признак убывания функции. 72 
)'rловая частота колебаний  см. rар.монuческuе коле банил. Уrловой коэффициент касательной к rрафику функции  см. К асательная Уrловой коэффициент прямой. Если в общем уравнении прямой ах + Ьу + с == О коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно привести к виду у == kx + q. Коэффициент k в этом уравнении наз. У. к. п. Он С точностью до знака равен TaHreHcy OCTporo уrла, который образует прямая с осью х (rеометрический смысл У. к. п.). r 7,8. См. также Линейная функция. Уrол  фиrура, которая состоит из точки  вершины У., и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, сторон У. Если стороны У. являются дополнительными полупрямыми, то У. наз. развернутым. У. обозначается либо указанием ero вершины, либо указанием сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух друrих точек на сторонах У., напр., L О, L(ab), LAOB (буква, обозначающая вершину, ставится посредине). r 6,1. См. также Плоский У20Л. Уrол, вписанный в окружность, уrол, вершина KOToporo лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Т. У. в. В о., стороны KOToporo проходят через две данные точки окружности, равен половине уrла между радиусами, проведенными в эти точки, или дополняют ее до 1800. С. Все вписанные в окружность уrлы, стороны которых про- ходят через две точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны. Если вершина вписанноrо уrла В и центр О лежат по одну сторону от прямой АС, то LABC  -} LAOC; если вершина В и центр О лежат по разные стороны от прямой АС, то LABC == 1800  1 "2 LAOC. Если хорда АС является диаметром, то АВС == 900. r 6,5. Уrол выпуклоrо мнorоуrOJlьника  см. МНО20У20льник. Уrол выпуклоrо четырехуrOJlьиика  см. Ч етыреХУ20ЛЬНUК. Уrол между векторами  см. Скалярное проuзведенuе. Уrол между плоскостями. Уrол между параллельными плоскостя- ми считается равным нулю. Пусть данные плоскости пересекаются. Проводим плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Уrол между этими прямыми наз. У. м. п. Определяемый так У. м. П. не зависит от выбора секущей плоскости. r 9,17. Уrол между прямой и плоскостью. Пусть а  плоскость и а  пересекающая ее прямая. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость а, лежат на прямой а. Эта прямая наз. проекцuей прямой а на плоскость а. У. м. п. И п. наз. уrол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Уrол между параллельны ми прямой и плоскостью считается равным. нулю, а уrол между перпендикулярными прямой и плоскостью  равным 900. У. м. п. И п. дополняет до 900 уrол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости. r 9,17. YroJl между прямыми. Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные уrлы. Вертикальные уrлы равны, а смежные дополняют друr друrа до 1800. Уrловая мера меньшеrо из них паз. 73 
У. м.. п. Уrол между пер.nендикулярными прямыми равен 900 по определению. Уrол между параллельными прямыми считаем paB ным нуЛю. J'елом .между скрещuвающu.мuся nрямы.мu наз. уrол между пере секающимися параллельными им прямыми. Этот уrол не зависит от Toro, какие взяты пересекающиеся прямые. Иноrда скрещи вающиеся прямые наз. перпендикулярнымк, если уrол между ними равен 900. r 9,17. Уrол между скрещивающимися прямыми  см. J120Л между nря.м.ымu. Уrол поворота  см. ТРU20но.м.етрuческuе функции лю6020 apzy. .мента. YroJl треуrольиика  см. ТреУ20.ll.ьниlC. Умножение вектора на ЧИcJIО. Проuзведение.м.. вект ора (a l, а2) на ч исло л иаз. вектор (лаr, ла2). По определению (at, а2) л == == л (aJ., а2). Для любоrо вектора а и чисел л и .... будет (л. -t 11) ! == == ла + ....а. Для любых двух векторов а и ь и чис.ла л будет л(а + 6) ==   == ла + лЬ. Т. Абсолютная величина вектора ла равна Iл.llаl. Направле     ние вектора ла при а =1= О совпадает с направлением вектора а, если л > О, и противоположно ero направлению, если л < О. 3. Даны различные точки A(Xl, Yl) и в (Х2, У2). Докажите, что векторы АВ и БА противоположно направлены. Аналоrично в пространс тве произве денuе-м вектора a(al' а2, аз) на число л наз. вектор ла == (АД., Ла2, лаз). Ero абсолютная величина равна I л I I а 1, а направление совпадает с направлением вектора   а, если л > О, и противоположно направлению вектора а, если л.<о. r 8,10; 9,17. Умножение дробей  см. Действия с обыкновенными дро6яAf.U. Умножение мпоrочлена на мнorочлен. Чтобы умножить м ноrочлен на мноrочлен, нужно каждый член одноrо мноrочлена умножить на каждый член друrоrо мноrочлена и полученные произведения сложить. Произведепие любых двух мноrочленов можно представить в' виде мноrочлена. А 6,IV,12.31. Умножение одночлена на мноrочлен. Чтобы умножить одночлен на мноrочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член мноrочлена и полученные произведения сложить. Произведение одночлена и мноrочлена всеrда можно представить в виде мноrочлена. А 6,IV,II.29. Умножение одночленов  см. Одночлен. Умножение степеней  см. Степень с натуральным показаТелеАС. Умножение числовых неравенств  см. Свойства числовых не- равенств. Уравнение  равенство, содержащее переменную. Переменную в У. иаз. также неизвестным числом, или просто неизвестным. О. Корне.м (решением) У. паз. значение переменной, при котором У. обращается в верное равенство. Решить Y. значит найти все ero корни или доказать, что их нет. У., имеющие одни и те же корни, наз. равносильными У. У., не имеющие корней, также считают равносильными. Свойства У.: 1) если к обеим частям У. прибавить одно и то же 74 
число, ТО получится У., равносильное данному; 2) если обе части У. умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число то получится У., равносильное данному. Если в У. перенести слаrа;е мое из одной части в друrую, изменив ero знак, то получится У., равно. сильное дзвному. А 6,1,3.7. Уравнение касательной к rрафику функции  см. Касательная. Уранение окружности  см. Окружность. Уравнение первой степени  уравнение, левая часть KOToporo является мноrочленом первой степени, а правая  нулем. А 7,111,8.18. Уравнение плоскости. Пусть Ао(хо, уо zo)  какая.нибудь точка плоскости и n (а, Ь, с)  вектор, перпендикулярный плоскости. Тоrда У. п. есть а(х  хо) + Ь (у  уо) + c(z  zo) == о. Заметим, что коэффи. циенты а, Ь, с в Yt п. ах + Ьу + cz + d == О являются координатами вектора, перпендикулярноrо плоскости. "r 9,17. Уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости). Любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах + Ьу + с == О. Расположение прямой относительно осей координат в некоторых частных случаях: 1) а == О, Ь =1= О  прямая параллельна оси х; в част. ности, если с == О, то прямая совпадает с осью х; 2) Ь == О, а =1= О  прямая параллельна оси у; в частности, если и с == О, то совпадает с ней; 3) с == О  прямая проходит через начало координат. r 7,8. См. также Уzловой коэффициент пря.мой Задание прямой в npo странстве. Уравнение с двумя переменнымн (неизвестными). Приводится пример равенства х  у == 5, содержащеrодве переменные. Утвержда ется: такие равенст.ва наз. У. с д. п. или уравнениями с двумя неиз. вестными. О. Решением У. с д. п. 8аз. пара значений переменных, обра щающая это уравнение в верное равенство. У. с д. П., имеющие одни и те же решения, наз. равносильными. Каждое решение вида (х; у) У. с д. п. можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют 2рафик, У. с д. п. Напр., rрафиком уравнения Jё-  у == о будет парабола. А 6,VI_16.40. См. также Линейное уравнение с дв-цмя пере.менными. Уавнение сферы с центром в точке А(а, Ь, с) и радиусом R: (х  а)2 + (у  ь)2 + (z  с? == R 2 . Если центром сферы является начало координат, то У. с. будет х 2 + у2 + Z2 == R 2 . Т. Линия пересечения двух сфер есть окружность. r 1 0,19. Уравнение фи-rуры на плоскости в декартовых координатах  уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют KOOp динаты любой точки фиrуры. Любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фиrуры. r 7,8. Уравнения, приводящиеся к квадратным. Уравнение, степень KO Toporo выше двух, иноr да удается решить с помощью введения новой переменной и приведения данноrо уравнения к квадратному. Показывается на примерах. У. п. к к. является и биквадратное уравнение  уравнение чет вертой степени ах 4 + ьх 2 + с == О, rде а * О. Оно является квадратным относительно х 2 . А 8,11,4.8. Усеченная пирамида. Плоскость, параллельная плоскости OCHOBa ния пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Друrая часть представляет собой мноrоrранник, который 75 
наз. У. п. rрани пирамиды, лежащие в параллеЛЬНblХ плоскостях, паз. основаниями У. П.; остальные rрани наз. боковыми араням-и. OCHOBa ния У. п. представляют собой подобные (более Toro, rомотетичные) мноrоуrольники, боковые rрани  трапеции. У. П., которая получается из правильной пирамиды, наз. правильной У. п. Боковые rрани пра вильной У. п. равнобокие трапеции, .их высоты наз. апофемами. 3. Докажите, что боковая поверхность правильной У. п. равна произведению полусуммы пери метров оснований на апофему. Ось У. П. совпадает с осью пирамиды. r 10,18. Усеченный конус  см. Конус. Условие теоремы  см. Теорема. Фиrура  см. Fеометрическая фuсура. Фиrуры, симметричные относительно плоскости  см. П реобра зование симметрии относительно плоскости. Фиrуры, симметричные относительно прямой  см. П реобразо вание сим.м.етрии относительно прямой. Фиrуры, симметричные относительно точки  см. П реобразо вание cu.м..м.eTpии относительно точки. Формула. На примерах поясняется, что для решения задач в об щем виде составляют Ф., выражающие зависимости между пере менными. Ilриведены формулы площади квадрата: S == а 2 ; четноrо числа: т == 2п; зависимости между путем, скоростью и временем: s == vt. А 6,1,1.3. Формула repOHa  см. Площадь треуеольника. Формула квадрата суммы (разности)  см. Квадрат суммы u квадрат разности. Формула КОрflей квадратноrо уравнения ах 2 + Ьх + с == О, rде а =1= О. Выражение D == Ь 2  4ас наз. дискриминантом КВ8дратноrо уравнения.    b п 1. Если D-> О, то уравнение имеет два корня: Xl == 2а Х2 ==  ь 2 ,;D . Кра ткан запись: х ==  ь 2; ,;D . 2. Если D == О, уравнение имеет единственный корень х ==  2 b . . а 3 Если D < О, уравнение корней не имеет. Если в квадратном уравнении коэффициент при х является чет ным числом, ТО при D  О Ф. к. к. у. ах 2 + 2kx + с == О удо бно зап и k +D/4 k +k 2ac сывать в виде Х == , т. е. Х == , а а k 2  ас  О. А 7,111,9.21. Формула косинуса разности  см. Формулbt сложения. Формула косинуса суммы  см. Фор.мулы сложения. Формула Лаrранжа. Пусть функция f дифференцируема в каждой точке HeKoToporo промежутка, а и Ь  произвольные точки из этоrо промежутка. Тоrда на интервале (а; Ь) найдется такая точка с, что f' (с) == f(b  -=--f) (Ф. л.). Пр.иводятся rеометрические рассуждения, объясняющие правдо подобность этой формулы (опирающиеся на rеометрический СМblСЛ производной ). Механическая интерпретация Ф. Л: если материальная 76 
точка движется по координатной прямой соrласно закону х   f(t), то в какойто момент времени мrновенная скорость равна средней, т. е. найдется такое 10 Е [а; Ь], что v (/0)  {'(/o)  {(Ь l  {(а) a А 910,II,6.22; 24. Формула n-ro члена арифметической проrрессии,    rеометрической проrрессии,    последовательности. Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления интеrралов). Из сравнения формул для вычисления площади криволинейной трапеции h (см.) S == Р(Ь)  F(cdj и S   f(x)dx делается вывод: если F  перво а образная для f на [а; Ь], то ь  f (x)dx == Р(Ь)  Р(а)  F (x)1  (Ф. Н.Л.). II Эта формула верна для любой функции, непрерывной на отрезке [а; Ь].  Ф. Н.Л. верна и в случае а  Ь, если считать, что )f(x)dx == а а а    f(x)dx (в частности,  f(x)dx == О). А 9 10,111,9.34. Ь а Формула перехода от одноrо основания лоrарифмов к дру.rому основанию  см. Основные свойства лосариф.мов. Формула разности квадратов  см. Разность квадратов. Формула разности косинусов  см. Формулы СУ,М,МЫ и разности три20нометрических функций. Формула разности кубов  СМ. Су.мма и разность кубов. Формула разности синусов  см. Формулы CYMlltbl и разности три20но,М,етрических функций. Формула синуса разности  см. ФОр'м'улы сложения. Формула синуса сумм..  см. Формулы сложения. Формула суммы косинусов  см. ФОр'м'улы сум,М,ы и разности тршоно.метрических функций. Формула суммы n первых членов     арифметической проrрессии,     rеометрической проrрессии. Формула суммы кубов  см. СУ'м'ма и разность кубов. Формула суммы синусов  сМ. Формулы СУММЫ и разности Tpи сон()метрuческих функций. Формулы двойноrо уrла  формулы, позволяющие выразить sin 2а, cos 2а и tg 2а через триrонометрические функции yr ла а: 1. sin -2а  2 sin а cos- а. 2. cos 2а == cos 2 а  sin 2 а. 2 tg а 3. tg 2а == 1 t 2 ga Из этих формул выводятся формулы 1  cos 2а == 2 sin 2 а, 1 + + cos 2а == 2 cos 2 а. А 8,У,13.33. Формулы дифференцирования: С' == о; (х)' == 1; (ха)' == а x 1; sin'x==cosx; cos'x==sinx; tg'x== 12 ; ctg'x==  .12 ; cos Х Sln х (е Х )' == е Х ; (аХ)' == аХ In а; 1 In' х== х; (f + g)' == " + g'; (fg)'  " g + 77 
+fg'; (cf)'==cf'; (  )' == f'gfg' ; (f.(kX+b»'==kf'(kX+b); (f(g(x)))' === f' (g(x)) · g' (х). А 9 IО,Справочныи материал. Формулы для приближенных вычислений. Если функция f диф ференцируема в ХО, то при X, мало отличающихся от нуля, rрафик f(x) на малом отрезке [Хо  h; хо + h] примыкает к касательной к rрафику " проходящей через точку (хо; f(xo). Следовательно, при малых f!x значения f Moryт быть приближенно найдены по формуле f(x)  f(xo) + f' (xo) . Так, sin 1 о  0+ 1. IO  0,0174533. BЫBe демы формулы: "; 1 + дх :::: 1 + ; i\x; (1 + i\x)" :::: 1 + ni\x (n  целое число). А 9 10,11,6.23. .    /1  cos а Формулы половинноrо aprYMeHTa: sln 2  +  2 ' а  /1 + cos а а 1  cos а cos 2' '""7" ::1:: V 2 ' tg 2 == ::f:: 1 + cos а . Знак «плюс» или «минус» ставят в зависимости от Toro, какой знак имеет левая часть (в какой четверти находится уrол а). а s in а а tg 2"" == 1 + cos а. и tg 2 == Используются также формулы: 1  с os а == . . А 9IO,I,1.2. s lП а Формулы приведения для триrонометрических функций  фор мулы, С помощью которых триrонометрические функции уrлов вида лk/2:r. а, rде k  произвольное целое ЧИСЛО, MorYT быть Bыpa жены через функции уrла а (при любом а): 1. sin (л/2 + а) == cos а, cos (л/2 + а) ==  sin а. 2. sin (л + а) == ...... sin а, cos (л + а) ==  cos а. 3. sin (3л/2 + а) ===  cos а, cos (3л/2 + а)== sin а. 4. sin (2л + а) === sin а, cos (2л + а) === cos а. Приводятся и друrие формулы, в том числе для TaHreHca и Ko:raHreHca. Результаты сведены 8 таблицу. Сформулированы зако номерности, имеющие место в Ф. П.: функция в правой части paBeH ства остается с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что уrол а является уrлом 1 четверти; для уrлов л + а и 2л + а название исходной функции сохраняется, для yr лов :л/2 + а и 3л/2 + а название исходной функции заменяется (синус на коси нус, косинус на синус, TaHreHC на KOTaHreHc, KOTaHreHC на TaHreHC) " С помощью Ф. п. нахождение значения триrонометрической функции любоrо уrла можно свести к нахождению значения три rонометрической функции уrла от О до л/2. А 8,V,12.31. Формулы сложения для триrонометрических функций  фор мулы, позволяющие выражать триrонометрические функции СУММЫ и разности двух уrлов через триrонометрические функции этих уrлов: 1. cos (а  ) == cos а cos  + sin а sin f3 (формула косинуса разности: косинус разности ДВУХ уrлов равен произведению коси "усов этих уrлов плюс произведение синусов этих уrлов). 2. cos (а + 13) == cos а cos f3  sin а sin f3 (формула косинуса суммы: косинус суммы двух уrлов равен произведению косинусов этих уrлов минус произведение синусов этих уrлов). 78 
З. sin (а + ) == sin а cos  + cos а sin р (формула синуса cy.м. мы: синус суммы двух уrлов равен произведению синуса первоrо уrла на косинус BToporo плюс произведение косинуса nepBoro уrла на синус BToporo). 4. sin (а  ) == sin а cos   cos а sin  (формула синуса разно сти: синус разности двух уrлов равен произведению синуса первоrо уrла на косинус BToporo минус произведение косинуса nepBoro уrла на синус BToporo). Используя формулы 14, можно вывести Ф. с. для TaHreHca и KOTaHreHca, например, tg (а. + fl) == /:a.tgflp , tg (а.  р) == tg а  tg fI == I + tg а tg  . Al 8,V,13.32. Формулы сокращенноrо умножения  см. Разность l(вaдpaTOB Квадрат суммы и квадрат разностu Сумма и разность кубов Куб суммы и куб разности. Формулы суммы и разности триrонометрических функций. 1 . + . 2 . а+р af} . sln а. sm  == sln 2 . cos 2  сумма синусов двух yr лов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих yr лов на косинус их полуразности. 2. siп а.  sin р == 2 sin а. -; fI cos а. t fI  разность синусов двух уrлов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих уrлов на косинус их полусуммы. a+fI a(3 3. cos а + cos (3 == 2 cos 2 cos 2'  сумма косинусов двух уrлов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих уrлов на косинус их полуразности. 4. cos а.  cos р ==  2 sifl а. t fI siп а. -; fI  разность коси- нусов двух yr лов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих yr лов на синус их полураз ности. З. Докажите, что tg а. + tg fJ == sin (а + fl) , tg а  tg f} == . cos а cos fl  SIП (а.  fI) . А 8,V, 13.34. cos а cos fI Функция. Ф. с областью определения D наз. соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется некоторое вполне определенное число у. rоворят, что у является Ф. от х. Само соответствие обычно обозначают буквой f и записывают у == f(x). Переменную х наз. незавuсUN.ОЙ переменной или apeYMeH ТОМ, переменную у  зависимой переменной. Число у == f (х) наз. значением Ф. f в точке х. Область определения Ф. f обозlfачают D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x), rде х принадлежит области определения Ф., наз. областью значений Ф. f и обозна чают E{f). Если не дано дополнительных оrраничений, то областью опре деления Ф., заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.  Ф. f с областью определения D и областью значений Е наз. также отображенuе.м. множества D на множество Е. Нередко рассматривают Ф. (отображения), область определения или область 79 
значени.й которых не являются числовыми множествами. . А 6,11,5.13; 7,IV, 13.32; 9 10,1,2.3. Функция, возрастающая в промежутке  см. Возрастание и убывание функций. Функция, дифференцируемая в точке  см. П роизводная. Функция, непрерывная в точке  см. Непрерывность функции. Функция, непрерывная на промежутке  см. Непрерывность функции. Функция, убывающая в промежутке  см. Возрастание и убbl вание функции. Функция у == r. rрафик Ф. проходит че})ез начало координат, а все ero точки, кроме точки (о; О), расположены выше оси х. Точки rрафика, имеющие противоположные абсциссы, располо жены симметрично относительно оси у (Ф. четная). Кривую TaKoro вида (rрафик Ф. у == х 2 ) наз. параболоЙ. Объясняется, как с помощью таблицы квадратов (из «Четы рехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса) вычислять значения Ф. у == х 2 для чисел от 1 до 10. Ф. х 2 убывает в промежутке ( 00; О] и возрастает в проме жутке [О; + 00). А 6,III,9.2425; 7,IV,13.33. Функция у ===. fрафик Ф. проходит через начало координат, расположен в первой и третьей координатных четвертях, при этом точки rрафика, имеющие противоположные абсциссы, расположе мы симметрично относительно начала координат (Ф. нечетная). Ф. у == х 3 является возрастающей. А 6,111,9.24. Функция у ==,;;. Определена при х  О. rрафик Ф. проходит через начало координат и расположен в первой координатной чет верти. rрафик Ф.   часть параболы. rрафики функций у == х 2 , rде х  О, и у == У; симметричны относительно прямой у == х. Ф. у ==  является возрастающей. А 7,11,5.12; IV,13.33. Функция у === kjx. О. Обратн,ОЙ ПРОflорциан:альностью цаз. функция, которую можно задать формулой вида у == k/x, rде х  независимая переменная и k  не равное нулю число. Областью определения Ф. у == k/x является множество всех действительных чисел, отличных от нуля. Ф. нечетная. fрафик не пересекает ни оси у, ни оси Х. При k > О 1) Ф. принимает отрицательные значения, если х < О, и положительные значения, если х > о; 2) Ф. убывает на каждом из промежутков ( 00; О) и (о; + 00). При k < О 1) Ф. принимает положительные значения при х < О и отрицательные при х> о; 2) Ф. возрастает на каждом из промеЖУТК08 ( 00; О) и (о; + 00). rрафик Ф. состоит из двух ветвей (расположенных при k > О в первой и третьей четвертях, а при k < О  ВО второй и четвертой). Кривую TaKoro вида наз. zunерболой. А 7,IV,13.34. Функция У == ах 2 . При а == 1 получим функцию у == х 2 (см.), rрафик которой  парабола. fрафик Ф. у == 1,5r можно получить из параболы у == х 2 растяжением от оси х в 1,5 раза. rрафик Ф. у == 0,5х 2 можно получить из параболы у == х 2 сжатием к оси х в 2 раза. rрафик Ф. у == ах 2 при любом значении а =1= О, как и rрафик Ф. у == х 2 , наз. параболой. Свойства Ф. у == ах 2 при а =1= о: 1. При любом а, если х == О, ТО У == О. Значит, rрафик Ф. проходит через начало координат 80 
2. При а > О, если x::l= О, то у > о; при а < О, если x::l= О, то у < О. Поэтому при а> О rрафик Ф. расположен в верхней полу- плоскости, при а < О  в нижней ПOJlуплоскости. 3. Противоположным значениям aprYMeHTa соответствуют рав- ные значения функции. Отсюда следует, что rрафик Ф, симметри чен относительно оси ординат (Ф. четная). 4. При а> О Ф. убывает в промежутке ( 00; О] и возрастает в промежутке [о; + 00); при а <:: о Ф. возрастает в промежутке ( 00; О] и убывает в промежутке [о; + 00). При а > О ветви параболы у == ах 2 направлены вверх, при а < О  вниз. Ось у является осью симметрии параболы. Точку пе ресечения параболы с ее осью симметрии наз. вершиной параболы. Вершина парабольn у == ах 2 совпадает с началом координат. А 8,1,2.3. Функция у == , п  натурльное (степенная функция с HaTY ральным по/(,азателем). Область определения  множество всех действительных чисел. 1. n  четное. Если х == О, то у == O, rрафик Ф. проходит через начало координат. Если х =#= О, то у > O, rрафик Ф. расположен в первой и второй координатных четвертях. Ф. является четной  rрафик симметричен относительно оси ординат. Функция возрастает в промежутке [о; + (0) и убывает в промежутке ( 00; О]. 2. n  нечетное. Если х == О, то у == O, rрафик Ф. проходит через начало координат. Если х > О, то у > о; если х < О, то у < O, rрафик Ф. расположен в первой и третьей координатных четвертях. Ф. является нечетной  rрафик симметричен относительно начала координат. Ф. возрастает на всей области определения. Областью значений степенной функции с четным показателем является множество неотрицательных чисел, а областью значений степенной функции снечетным показателем  множество всех действительных чисел. А 8, IV,8.20. См. также Функция у == х 2 , Функция у == х З , Прямая nponop циональность. Функции у== sin х (синус). Сопоставляет каждому действи- тельному числу ero синус. Сначала с;:троится rрафик Ф. на [о; 2л] (с использованием опре деления), для построения rрафика вне этоrо отрезка используется свойство si" (х + 2пn) == si" х. Таким образом, rрафик Ф. на всей прямой получается из rрафика на отрезке [о; 2п] с помощью парал лельных переносов ВДOJlь оси Ох (вправо и влево) на 2л, 4п, 6л, ... . fрафик синуса наз. синусоидой. Свойства Ф. у == si" х. 1. Область определения синуса  вся числовая прямая, а область значений  отрезок [I; 1]: N' (sin) == R Е (sin) == [ 1; 1]. 2. а) Синус  нечетная функция: si" (  х) ==  sin х для всех xER. б) Синус  периодическая функция с периодом 2п: si" (х + 2п) == == sin х для всех xER (2п  наименьший положительный период). 3. Ну/l,ЯМ-U синуса являются точки х == пn, rде n EZ. 4. ПрО},f,ежут/Ш энакоnос тоянс тва: интервалы (2лn; л + 2пn), на которых значения синуса положительны, и интервалы (л + 2лп; 2", + 2лn), на которых значения синуса отрицательны, n EZ. 5. ПРО},f,ежутки возрастания  отрезки [п/2 + 21tп; п/2 + + 2пn], rде п EZ прояежут/Ш убывания  отрезки [п/2 + 2пn; 3п/2 + 2лn], rде п Е z. б. Синус имеет .N.aICCUAtYACbl, равные 1, в точках :rr./2 + 2пn. rде n Е z; имеет AtUHUAtYAtbl; равные ...... 1, в точках 3п:/2 + 2лn, r де n Е z. А 910,1,1.1; 2.3; 3.6. 43029 81 
ФУIIКЦИЯ У == COS % (косинус). Сопоставляет каждому действи- тельному числу ero косинус. Из равенства cos х == sin (х + n/2) следует, что rрафик Ф. синусоида (см. Функция у == sin х), сдвинутая ВДОЛЬ оси Ох на n/2 влево. Свойства Ф. у == cos х. 1. Область определения Ф. вся числовая прямая, а область значений  отрезок [1; 1]: D (cos) == R, Е (cos) == r  1; 1]. 2. а) Косинус  четная функция: cos (  х) == cos х для всех xER. б) Косинус  периодическая функция с периодом 2л: cos (х + 2п) == cos х для всех xER (2n  наименьший положитель- ный период). 3. Нуля,М,и косинуса являются. точки х == :л/2 + м, rде nEZ. 4. П ромежутка.мu знакопОСТОЯllства являются интервалы ( n/2 + 2nn; п/2 + 2пп), на которых значения косинуса положи тел.ьны, и интервалы (п/2 + 2nn; 3л/2 + 2пn), на которых значения косинуса отрицательны, n Е z. 5. Про.межутlШ 80ЗРастан,uя  отрезки [n + 2nn; 2лп1 rде n Е Z; про.межутки убывания  отрезки [2яп; n + 2лп 1 r де п Е Z. 6. Косинус имеет .мaкcuм.yм.ы, равные 1, в точках .х == 2лп, rде nEZ; точками .минимума косинуса являются точки х == n + 2nn, rде nEZ, в которых значения косинуса равны  1. А 910,I,I.1; 3.7. Функция у== tg х (TaHreHC). rрафик Ф. строится вначале на интервале (п;/2; п/2). Вследствие тождества tg (х + пn) == tg х rрафик Ф. на всей прямой получается из rрафика на интервале (n/2; п/2) параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо и влево) на п, 2л и т. Д. fрафик Ф. наз. танеен,соидой. Свойства Ф. у == tg х. 1. Область определения т aHreHca  множество всех действи тельных чисел, кроме чисел вида п/2 + п.n, rде n EZ; область зна.. ченuй  вся числовая прямая. 2. а) TaHreHc  нечетная функция: tg (x) ==  tg х для всех xED (tg).. б) Функция TaHreHc  периодическая, ее период равен п: tg (х + п) == tg х для всех xED (tg) (л  наименьший положитель- ный период TaHreHca). 3. Нули TaHreHca  точки х == пn, rде n EZ. 4. П ромежуткамu знакоnостоянства T3HreHca являются интер валы (пп; n/2 + лп), на которых TaHreHC положителен, и интервалы (п/2 + пп; лп), на которых TaHreHc принимает отрицательные значения,  n Е z. 5. TaHreHc возрастает на промежутках (п/2 + пn; п/2 + пn), rде п EZ. 6. Ф. не имеет экстре.мумов. А 9 10,1,1.1; 3.8. Функция у== ctg х (котаиrенс). Приводится rрафик Ф. 'у Свойства Ф. у == ctg х. J. Область определения  множество всех действительных чисел, кроме точек пn, rде nEZ; область значении  вся числовая прямая. 2. а) KOTaHreHc  нечетная функция: ctg (x) == ctg х для всех хЕ D (ctg). б) Ф. KOTaHreHc  периодическая, ее период равен п: ctg (х + п) == ctg х для всех xED (ctg) (л  наименьший положи тельный период). 82 
3. Нули KOTaHreHca  точки п/2 + пn, n Е z. 4. Промежутки знакоnостоянства  интервалы (пп; п/2 + пn), на которых KOTaHreHC положителен, и интервалы (п/2 + пn; пn), на которых KOTaHreHc отрицателен, n Е z. 5. Кот aHreHC убывает н а промежутках (пn; n + пn), n Е z. 6. Функция не имеет экстремумов.  А 9 1 О, 1,1.1; 3.9. Хорда окружности  СМ. Окружность. Целая часть числа х  наибольшее целое число, не превосхо- дящее х. Обознчение: [х]. Строится rрафик функции f (х) == [х]. Разность х  [х] паз. дробной частью числа х и обозначается {х}. Приводится rрафикфункции f (х) == {х}. А 9 10,1,2.3. Целое уравнение  уравнение, левая и правая части KOToporo ЯВJIяются целыми выlаженuямии (см.). Всякое Ц. у. можно заме нить равносильным ему уравнением, левая часть KOToporo  MHO rочлен стандартноrо вида, а правая  нуль. Если Ц. у. с одной переменной записано в виде Р (х) == О, rде р (х)  мноrочлен стандартноrо вида, то степень этоrо мноrочлена паз. степенью уравнения. Степенью произвольноrо Ц. у. наз. степень равносильноrо ему уравнения Р (х) == О, rде Р (х)  мноrочлен стан- дартноrо вида. и. у. первой степени можно привести к виду ах + ь == О, rде а =1= О. Оно имеет один корень. Ц. у. второй степени приводится к виду ах 2 + Ьх + с == о, а =1= О и имеет не более двух корней. У рав- нение третьей степени можно привести к виду a + ьх 2 + сх + d == О, а =1= О, уравнение четвертой степени  к вJjfду ах 4 + Ьх 3 + cr + + dx + е == О, а =1= о. Они имеют не более трех и четырех корней соответственно. Вообще уравнение nй степени имеет не более n KOp ней. Для уравнений третьей и четвертой степеней известны фор- мулы корней, но они очень сложные. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул корней не существует. На практике для решения уравнений третьек н более высоких степеней исполь- зуют различные методы, позроляющие находить приближенные зна- чения корней с любой точностью. Иноr да уравнение третьей или более высоких степеней удается решить, применяя какойлибо специаль- ный прием (например, разложение мноrочлена на множители). А 8,11,4.7. Целое уравнение с несколькими переменными  равенство, содержащее несколько переменных. Если левая часть Ц. у. пред- ставляет собой мноrочлен СТClндартноrо вида, а правая  ЧИСЛ<А нуль, то степенью уравнения наз. степень этоrо мноrочлена. CTe пенью произвольноrо Ц. у. паз. степень равносильноrо ему ypaB нения, левая часть KOToporo  мноrочлен стандартноrо вида, а пра- вая  нуль. А 8)1,5.10. Целые выражения  выражения, составленные с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Произведение одина ковых множителей может быть записано в виде степени. К Ц. В. относят И выражения, в которых кроме указанных действий исполь зуется деление на число, отличное от нуля. Мноrочлены и, в частно- сти, одночлены ЯВJIяются Ц. в. Всякое Ц. в. можно представить в виде мноrочлена. ц. в. имеет смысл при любых значениях входящих в Hero пере менных. А 7,1,1.1. .83 
Целые числа  натуральные числа, противоположные им и нуль. М 5,1,1.5. Центр  Kpyra,  окружности,  шара. Центр симметрии  см. П реобраэованuе си.м..м.етрuи относитель- НО точки. Центрально-симметричная фиrура  см. П реQбразование cи.м. метрии относительно точки. Центральный уrол в окружности  плоский У20Л (см.) с вер- шиной в центре окружности. Часть окружности, расположенная внутри плоскоrо уrла, паз. дУ20Й окружности, соответствующей этому Ц. у. rрадусной мерой дуrи окружности наз. rрадусную меру соответствующеrо ц. у. л,R Ц. у. в по соответствует дуrа окружнос:rи, имеющая длину 1 == 180 n. Развернутому yr лу соответствует длина полуокружности nR, yr лу в 1 о соответствует дyr а . r 8,12. Цилиндр (круrовой ЦИЛИНАР)  тело, образованное заключен- ными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих Kpyr в одной из плоскостей. Отрезки с одним концом на окружности этоrо Kpyra наз. образую щи,,"и ц. Поверхность ц. состоит из оснований Ц. двух равных KpyroB, лежащих в параллельных плоскостях, и боковой nов'ерхности. Ц. наз. прямым, если ero образующие перпендикулярны пло скостям ОСНОJЗаний. Прямой Ц. обычно наз. кратко Ц. Прямой Ц. мож но рассматривать как тело, полученное при вращении прямоуrоль- ника Boкpyr ero стороны как оси. Радиусо.м, ц. наз. радиус ero основания. Высотой ц. наз. pac стояние между плоскостями оснований. ОСЬЮ Ц. наз. прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образую- ЩИМ. Сечение Ц. плоскостью, проходящей через ось Ц., наз. осевЫАе сечением. Плоскость, проходящая через образующую Ц. и перпен дикулярная осевому сечению, проведенному через эту образую.. щую, наз. касательной ПЛОСКОСТЬЮ ц. Т. Плоскость, перпендикулярная оси прямоrо Ц., пересекает ero боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Призмой, вписанной вЦ., нзз. призма, основания которой......... равные мноrоуrолъники, вписанные в основания Ц. Призма наз. описанной около Ц., если ее основания  равные мноrоуrольники, описанные около основаНffЙ Ц. Плоскости ее rраней касаются боковой поверхности Ц. f 1 0,19. Четверть (координатная)......... см. Координаты на плоскости. Четная функция. О. Функция у == f (х) паз. четной, если области определения этой функции наряду с каждым числом. Х принадле жит и противоположное ему число ....... Х и при этом верно равенство f (  х) == f (х). fрафик Ч. ф. симметричен относительно оси ординат. А 8,IV,8.19; 9IO,I,2.3. Четwрехуrольник  фиrура, состоящая из четырех точек и че.. тырех последовательно соединяющих их отрезков. Никакие три из 4 
данных точек не должны лежать на одной прямой, 8 соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки наз. вершина- .ми Ч., а соединяющие их отрезки  сторонами. Вершины ч. наз соседни.ми, если они являются концами одной из ero сторон. Bep шины, не являющиеся соседними, нзз. nроти80лежащШtU. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, наз. диа20налями. Стороны Ч., исходящие из одной вершины, наз. соседними сторонами. Стороны, не имеющие общеrо конца, иаз. противолежащuми сторонами. Ч. наз. выпуклым, если ОН расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей ero сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей ПOJ1уплоскости. Ч. обозначается указанием ero вершин, напр., Ч. ABCD. В обо.. значении Ч. рядом стоящие вершины ДОЛЖНЫ быть соседними. Уzлом' выпуклоrо ч. при данной вершине наз. уrол, образован.. ный ero сторонами, сходящимися в этой вершине. r 7,6; 8,12. Числа (части), ПРOnОРЦИОН8Jlьиые даниы. числам. Числа уа  У2  У., У2, Уз, ... пропорциональны числам Xl, Х2, Хз, ..., если ха  ......... ..... Уз Х2 ==  == .... Коэффициент nроnорциональности (см.) равен любо.. Хз у. У2 Уз му из отношений .......:...., , , .... Приводятся примеры деления на Xl Х2 Хз части, пропорциональные данным числам. А 6,11,4.11. Числитель дроби  см. Обыкновенная дробь. Ч иело е  см. Экспонента. Числовая плоскость  множество упорядоченных пар действи тельпых чисел. Любая упорядоченная пара действительных чисел наз. точкой Ч. п. ч. п. принято обозначать символом R 2 (читается: сэр два»). А 910, Материал для повторения. Числовая прямая  множество R всех действительных чисел. Элементы множества R (Т. е. числа) паз. точками Ч. п. А 910, атериал для повторения. Числовое выражен.,е. Объясняется на примерах. Ч. в. составля ются из чисел с помощью знаков действий в скобках. Если в Ч. в. выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок дей ствий, то получится число, паз. значенuе.м. Ч. в. Сложение, вычитание и умножение можно производить над любыми числами. Делить можно на число, не равное нулю. Если в Ч. в. имеется деление на нуль, то rоворят, что Ч. в. не имеет смысла. А 6.1, 1. 1. Числовые множества. Для обозначения Ч. м. приняты следую.. щие символы: N  множес:rво натуральных чисел; Z  множество целых чисел; Zo  множество целых неотрицательных чисел; Q  множество рациональных чисел; Qo  множество неотрицательных рационал-ьных чисел; R  множество действительных. чисел; R +  множество положительных действительных чисел. Справедливы следующие соотношения N с: Z с: Q с: R. А 910, атериал для повторения. См. Также Ч uсловые nро.межутки. Числовые неравенства. О. Число а больше числа Ь (а> Ь), если разность а  Ь  положительное число; число а меньше числа Ь(а < Ь), если. разность а  Ь  отрицательное число. ЕCJJИ разность а  Ь равна нулю, то число а равно числу ь. Для любых двух чисел а и Ь выполняется одно и тоЛько одно из соотношений: а > Ь, а < Ь, а == Ь. 85 
Если а > Ь, то Ь < а; если а < Ь, то Ь > а. Если а больше Ь или а равно Ь, то пишут а  Ь (<<а боль.ше или равно Ь»); если а меньше Ь или а равно Ь, то пишут а b (<<8 меньше или равно Ь»). Неравенства, составленные с помощью знаков < или >, ваз. СТРО2ими неравенствами, а неравенства" составленные с помощью знаков  или , наз. нестроеи.ми. Приводится пример Ч. Н.: а 2 + Ь 2  2аЬ. А 7,IV,11.26. См. также Свойства числовых неравенств. Числовые промежутки. Простейшие множества в R наз. про- Jleжутка.мu. Отрезок с концами а и Ь (обозначается (а; Ь]) есть множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а  х  Ь. Интервал с концами а и Ь (обозначается (а; Ь») есть множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь. Полуоткрытые промежутки с концами а и Ь: (а; Ь)  множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а  х < Ь; (а; Ь]....... множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х  Ь. Бесконечные интервалы: (а; 00 )  множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству Х> а; (oo; Ь)  множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х < Ь. Бесконечные промежутки (замкнутые): (а; 00 )  множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству Х  а; ( 00; Ь]  мно- жество всех чисел Х, удовлетворяющих неравенству Х  Ь. Множество R всех действительных чисел .обозначают также ( 00; 00). А 7,IV,12.29; 910,Материал для повторения. Член мноrочлена,  последовательности. Шар  тело, состоящее из всех точек пространства, находя щихся на расстоянии, не большем данноrо, от данн.ой точки. Эта точка наз. центром Ш., а данное расстояние  радиусоАС Ш. .rраница ш. наз. шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки Ш., которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, с.оединяю- щий центр Ш. с точкой шаровой поверхности, также наз. радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр Ш., наз. диаметром. Концы любоrо диаметра наэ. дuа- м,етрально противоположными точками ш. Ш. является телом вращения. Он получается при вращении полукруrа BOKpyr ero диаметра как оси. Tl. Всякое сечение Ш. плоскостью есть Kpyr. Центр эт.оrо Kpyra есть основание перпендикуляра, опущенноrо из центра Ш. на се- кущую плоскость. Плоскости, равноудаленные от Ц€HTpa, пересекают Ш. по равным KpyraM. Наибольший Kpyr получается в сечении плоскостью, прохо дящей через центр Ш. Радиус этоrо Kpyra р.авен радиусу ш. Плоскость, проходящая через центр Ш., наз. диам,етраАЬНОй пло- скостью. Сечение Ш. диаметральной плоскостью паз. большим круао.м., а сечение сферы  большой о/(,ружностью. Т 2. Любая диаметральная плоскость Ш. является ero плоскостью симметрии. Центр Ш. является ero центром симметрии. Плоскость, проходящая че.рез точку. А шаровой поверхности 86 
и перпендикулярная к радиусу, проведенному в точку А, 88З. /(aca тельной плоскостью. Точка А наз. точкой касания. Тз. Касательная плоскость имеет с Ш. только одну общую точ ку  точку касания. Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности пер пендикулярно к радиусу, наз. касательной. т 4. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесчис ленное множество касательных, все они лежат в касательной пло-- скости ш. r 10.19. Шаровая поверхность (сфера)  СМ. Шар. Шаровой cerMeHT  часть шара, отсекаемая от Hero плоскостью. Объем ш. с. высотой Н выражается формулой V === пн 2 (R  Н /3), R  радиус шара.. r 10,20. Шаровой сектор  тело, которое получается из шар080rо cer. мента и конуса следующим образом. Если шаровой cerMeHT меньше полушара, то шаровой cerMeHT дополняется конусом, у KOToporo вершина в центре шара, а основанием является основание cerMeHTa. Если же cerMeHT бо.льше полушара, то указанный конус из Hero удаляется. 2 Объем Ш. с. вычисляется по формуле V == 3 1tR 2 H, rде R  радиус шара, а Н  высота соответствующеrо шарОБоrо cerMeH та. r 10,20. Шаровой слой  часть шара, расположенная между двумя па- раллельными плоскостями, пересекающи,ми шар. Объем Ш. с. между плоскостями х === а и х === Ь находится по ь формуле V === n  (R 2  x 2 )dx == nR2(b  а)  : (Ь З  аЗ) (центр ша. а ра принят за начало координат, плоскость ху пересекает шар по окружности, уравнение которой r + 11 === R2). r 10,20. Экспонента. Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что ооказательная функция у == е tJ.x 1 е  в точке О имеет производную, равную 1. т. е. X  1 при Ах----+О. Число е иррационально, е == 2,71828... Функцию lf часто наз. Э. и обозначают ехр х {читается: «эксп от икс). А 9IO,IV,12.45. Экстремум функции  см. Достаточные условия существования Э1(,стре},tу.ма Критические точки функцuи Наибольшее и наимень.. шее значения фун1(,ЦUU Т еоре.ма Фер.ма Точки Эк'стре.му.ма. СЛОВАРЬ ПО ИНФОРМАТИКЕ И вычиспИТЕпЬНОJil ТЕХНИКЕ Адрес  см. Память ЭВМ. Апrел-60  СМ. Языки nр02рам.Aluроsанuя. АлrорllТМ  понятное Н точное предписание (указание) исомни- телю совершить последовательность действий, направленных на достижение указанной цели ипи на решение поставленной задачи. Запись А. распадается на отдельные указания исполнителю выполнить некоторое законченное' действие. Каждое такое указание 81 
наз. lCомандой. На каждом ware исполнения. А. исполнителю точно известно, какая команда должна выполняться следующей. Поочеред ное выполнение команд А. за конечное число шаrов при водит к решению задачи. Совокупность команд, которые MorYT быть вы- полнены исполнителем, Иаз. системой команд исполнителя. Для пра- вильноrо построения А. необходимо знать систему команд испOJl нителя и быть уверенным, что исполнение А. завершится за ко- нечное число шаrов. И 9,1,1.1. СМ. также Алеорuтмический язык. ПосдедоватеЛЬНQе пQCTpoeHue аА20рит Ata. Алrоритм вычисления значений мноrочлена (схема rориера). Мноrочлен аохп + alXп 1 + .... + aп tX + а п преобразуется к виду (...«аоХ + at)x + а2)Х + ... + а п  I)X + а п . Операции выполняются 8 порядке. определяемом скобками. А. в. з. м. упрощает вычисления и удобен ДЛЯ записи на алrоритмическом языке. Приведен в И 9,11,7. А.lrоритм ЕВКJlида  алrоритм нахождения наибольшеrо общеrо делителя двух натуральных чисел. Приводится запись А. Е. на алrо- ритмическом языке. И 9,1,1.1; 3.8. АJlroритмический язык  сисТема обозначений и правил для единообразной и точной записи алrоритмов и их исполнения. Пра- вила А. Я. лежат в основе языков проrраммирования ДЛЯ ЭВМ. А. я. имеет свой словарь, основу KOToporo составляют слова, употребляемые для записи команд, входящих в систему команд испол- нителя. Такие команды иаз. пpOCTbutu командами. Обычно простая команда выrлядит как повелительное предложение, включая, если не. обходимо, формулы И друrие символические обозначения. Кроме Toro, в А. я. используется некоторое оrраниченное число слов, смысл и способ употребления которых задан раз и навсеrда. Эти слова наз. служебны,м.и словами. При записи алrоритмов они выдеЛЯIОТСЯ и записываются, как правило, в сокращенной форме. Алrоритм, записанный на А. Я., должен иметь название, для выделения KOToporo перед ним записывается С.[1ужебное слово  За названием алrоритма записываются ero команды. Для указания Н'ачала и конца алrоритма ero команды заключаются в пару служеб-. ных слов нач. и КОН. Команды записываются последовательно. При записи одной команды можно перейти на друrую строку. Если несколько команд записываются на одной строке, то они разделяются точкой с запятой (;). Последовательность нескольких команд алrоритма, выполняю- щихся одна за друrой, наз. серией. Серия может состоять из одной команды. В А. я. встречются линейны.е адорuтмы, состоящие из одной серии простых команд, а также разветвляющиеся' (СМ.) И циклические (см.) аЛ20риТJtы, для записи которых используют две так называемые составные команды: команда ветвления (см.) и команда повторения (см.), в каждую из которых входит условие, в зависимости от KOToporo ВЫПQJJНЯЮТСЯ или не выполняются простые команды из числа входящих 8 составную. И 9,1,2.3; 4. Алrоритмы выЧllсления значений функции  см. Вспо.моеатель- ные аЛ20рит мы вычисления значений функции. Алrоритмы поиска информации. Одно из важнейших применений компьютеров  учет и обработка экономической информации. Pac сматривается упрощенная модель реальной обработки информации на примере учета хранящихся на складе предметов. Используется алrоритм двоичноrо поиска, для KOToporo Kpyr поиска на каждом ware алrоритма сужается примерно вдвое. И 10, Приложение IV. 88 
Алrоритмы работы с rрафическоА информацией. Если задача, результатом решения которой я8JIяется rрафическая информация (чертежи, rрафики, диаrраммьt, рисунки и др.), решается с помощью компьютера, то эта информация выводится либо на rрафический дисплей, на экране KOToporo высвечивается эта информация, либо на rрафопостроитель, который вычерчивает rрафическую информаЦИIО на листе бумаrи. А. р. с r. и. состоят из специальных rрафических команд, каж дая из которых указывает, какое элементарное rрафическое действие надо совершить (нарисовать точку, отрезок, окружность, мноrоуrоль н и к и т. д.). Предлаrается набор команд для вычерчивания простейших фи ryp, использующий, прямоуrольную систему координат на плоскости. Сначала исполнитель находится в точке (о; О) и смотрит вдоль оси у. 1. Кожанды вычерчивания: вперед (a)1 назад (а). По команде вперед (а) исполнитель вычерчивает отрезок длиной а с начальной точкой и с направлением таким же, как у исполнителя перед началом этой команды. После выполнения этой команды исполнитель попа дает в концевую тчку отрезка, а ero направление остается неиз менным. По команде назад (а) вычерчивается отрезок в направ ленин, обратном напрвлению исполнителя. Направление исполни теля при этом не меняется. 2. Команды поворота: направо (Ь), налево (Ь). Исполнитель по команде направо (Ь) поворачивается на Ь rрадусов вправо; по команде налево (Ь)  на Ь rрадусов влево. 3. Команды для вычерчивания изображения, СОСТQяще20 из отдельных элементов: рисуй, не рисуй. По команде не рисуй исполни.. тель перестает рисовать отрезки, а команды вперед и назад исполь зуются теперь только для передвижения (без рисования). Для отмены действия команды не рисуй вводится команда рисуй. После этой команды исполнитель при выполнении команд вперед и назад начинает рисовать отрезки. И 9,11,9. Алrоритмы работы с JlИтерными величинами  см. Текст. Алфавитно-цифровое печатающее устройство (АЦПУ)  см. Устройства вводаВblвода. AprYMeHT  см. 3а20ловок, аЛ20риТAlа. Архитектура ЭВМ  основные ПрИНЦИПЫ устройства ЭВМ. Эти принципы были обоснованы математиком Дж. фон Нейманом в 1946 f. Первая ЭВМ, основанная на этих принципах, ЭДСАI(, была создана в Анrлии в 1949 r. М. Уилксом. И 9,Введение; 10,111,16. СМ. также ПОlWденuя ЭВМ. База данных  специальным образом орrанизованное (с по мощью компьютеров) хранилище информации. После орrанизации Б. д. компьютер может работать в качестве так называемой инфор мационнопоисковой системы, способной практически MrHoBeHHO OТBe чать на интересующие нас ВQПРОСЫ. И 9,Введение; 10,111,17. Базовое nporpaMMHoe обеспечение. ЭВМ  см. Операционная си С те.м.а. Бант  единица информации, состоящая из 8 битов, каждый из которы.х может принимать два значения: О или 1. Таким образом, Б. может принимать 28:=:: 256 различных значений, а состоящее из двух Б. (16 битов) .машинное слово может принимать 210== 65536 раз личных значений. Биты в словах принято нумеровать справа нале.. 89 
во. Значение нулевоrо бита обозначается io, значение lro бита обо- значается i. и т. Д. ДЛЯ измерения объема памяти ЭВМ используются производные единицы  килобаilт (1 килобайт == 210 байт), .ме2абайт (1 Mera байт == 210 килобайт) и 2uzабайт (1 rИfабайт == 210 меrабайт). Эти единицы обозначаются соответственно кбайт, Мбайт и rбайт. и 9,BBe дение; 10,1.4. Бейсик  язык проrраммировзния. Создан в США. В настоящее время Б. ОДИН из самых распространенных в мире языков проrрам- мирования на персональных компьютерах. И 10,11,14; 15. См. Общий вид nрО2рам.мы на Бейсике Константы u пepeMeн, ные в Бейсике Выражения в язьiк,е Бейсик. Библиотека алrоритмов  фонд алrоритмов, представляющих интерес для дальнеЙlUеrо использования. В Б. з. И 9, И 10 5ключены следующие алrоритмы: 1. Алrоритм вычисления модуля действительноrо числа. 2. Алrоритм реlUения линейноrо уравнения ах == Ь, rде а и Ь  произвольные вещественные числа. 3. Алrоритм решения неравенства ах> Ь, rде а и Ь  произ- вольные вещественные числа. 4. Алrоритм нахождения наименьшеrо элемента в линейной таблице чисел. 5. Алrоритм упорядочения по возрастанию элементов линейной таблицы чисел. 6. Алrоритм вычисления значений мноrочлена Рп(х) == аох" + + a.x" 1 + ... + aп lх + а п по схеме ropHepa. 7. Алrоритм уточнения корня уравнения f (х) == О на отрезке [а; Ь] с заданной точностью 8 при условии, что функция f (х) на OT резке [а; Ь] монотонна и меняет знак. 8. Алrоритм нахождения площади криволинейной трапеции, оrра.ниченной прямыми х == а, х == Ь, у == о и кривой у == {(х) при усло- вии, что для всех х из отрезка [а; Ь] значения '(х)  О. 9. Алrоритм нахождения максимальной из двух в,еличин. 10. Алrоритм решения квадратноrо уравнения ах 2 + Ьх + с == О, rде а, Ь, с  произвольные вещественные числа Са =1= О). 11. Алrоритм Евклида вычисления наибольшеrо общеrо дe лителя двух натуральных чисел. 12. Алrоритм вычисления факториала натуральноrо числа. 13. Алrоритм нахождения остатка при делении целоrо положи тельноrо числа на целое положительное число. 14. Алrоритм деления с остатком целых положительных чисел. 15. Алrоритм подсчета количества отрицательных, нулевых и по- ложительных элементов в таблице. 16. Алrор-итм нахождения наименьшеrо делителя целоro поло- жительноrо числа х (не считая единицы). 17. Алrоритм замены букв а на буквы б. И 9,Приложение 11; 10,Приложение 11. Бит  единица измерения количества информации. Один Б. это количество информации,. содержащееся в сообщении типа «да- нет» (О или 1 в двоичном коде). Б. наз. также цифры О и 1 в записи информации, ,эакодирован ной в виде последовательностей цифр О и 1. И 9,Введение; 10,I,Пре дисловие. См. также Байт. Большие интеrральные схемы (БИС)  СМ. Микросхема. 90 
Ввод-вывод  СМ. Устройства Bвoдaвывoдa Команды ввода и вывода на Paпиpe Команды B80дaBывoдa на Бейсике. Величины делятся на постоянные и переменные. Постоянными наз. В., значения которых не меняются в процессе исполнения алrоритма; nеременяымu паз. В., значения которых меняются в про цессе исполнения алrоритма. Для обозначения переменных В. вво- дится обозначение, наз. в алrоритмическом языке именем В. При ис полнении алrоритма в каждый момент времени В. обычно имеет опре деленное значение. Оно -наз. текущим значением. В процессе ис- полнения алrоритма В. может не получить KOHKpeтHoro значения. Такая В. наз. неопределенной. В. MorYT иметь различный тип: они MorYT быть натуральными (нат.), целыми (цел.), вещественными (вещ.) и литерными (лит.). Литер ными паз. В., зн ачениями которых '""ЯВJi'""яются слова или текст . Для выделения текста, являющеrося значением литерной В., значения литерных В. берутся в кавычки. И 9,1,3.5. См. также Константы u nеременные в Бейсике. Вещественные числа  название действительных чисел в про- rраммировании. И 9,1,6. Внешние устройства ЭВМ обеспечивают ввод и вывод инфор мации (см. Устройства BвoдaвЫBoдa), взаимодействие ЭВМ с чело- веком и друrими ЭВМ. Кроме Toro, В. у. позволяют сохранить информацию на так называемых внешних носителях: rибких маrнит- ных дисках, кассетах, маrнитофонах и т. П. И 10,l,Введение. Внешняя (медленная) память ЭВМ  см. Память ЭВМ. Внутренняя (оперативная) память ЭВМ  см. Память ЭВМ. BCnOMOraTeJIЫfble аJlrоритмы вычисления значений функций. Первая строка записи алrоритма я.вляется заrоловком, rде указаны тип значений функции, название функции, далее в скобках дается список ее aprYMeHTOB с указанием типа. В заrоловке больше не указывается ничеrо  и так ясно, что все перечисленные в скобках величины являются арrументами, а результатом является значение функции, обозначаемое условно служебным словом. Эта вели чина используется как переменная, тп которой совпадает с типом значений функции. Указывать тип этой величины не следует. За заrо ловком следует алrоритм вычисления зцачения функции f(x) при заданном х. И 10,11,8. ВспомоrатеJlЬНЫЙ (или подчиненныi) алrоритм  алrоритм, целиком используемый в составе друrих алrоритмов. Обращение к В. а. в алrоритмическом языке записывается в виде команды вblЗО ва В. а. (см.). После выполнения команды вызова выполня;ется следующая за ней в основном алrоритме команда. При записи шаrов исполнения OCHOBHoro алrоритма, coдep жащеrо в себе вызов В. а., в таблице значений записываются только величины OCHoBHoro алrоритма. При записи шаrа, состоящеrо в вы- зове В. а., записываются новые значения тех величин, которым присваиваются результаты данноrо исполнения В. а. Если есть необ ходимость проследить исполнение В. а., то для каждоrо обращения к нему составляется своя таблица значений. Каждое исполнение В. a. это один шаr основпоrо алrоритма. И 9,1,4.11. Вывод  см. Устройства ввoдaBывoдa Команды ввода и вывода на Paпиpe Команды ввoдaвывoдa на Бейсике. Выражения в команде прuсваивания MorYT быть записаны с по мощью следующих операций и функций: сложение  х + у, ВЫЧИ- 91 
тание  х  у, умножение  х*у, деление  Х/У, возведение в сте- пень  х** у, взятие элемента линейной таблицы  x[il. взятие эл.е мента прямоуrольной таблицы  x[i" i1 извлечение корня  sqrt (х), синус  sin(x), косинус  cos(x), TaHreHC  tg(x), арксинус  arcsin(x), арккосинус  arccos(x), apKTaHreHc  arctg(x), десятичный лоrарифм  Ig(x), соединение строк  s + t, вырезка  s [i: п. При записи В. MorYT быть также использованы функции, алrоритмы BЫ числения которых включены в библиотеку вспомоrательных алrо ритмов. В. в условиях составляются по тем же правилам. В качестве знака можно использовать  и =F-, а также (для В. с целыми и вещественными значения.ми) знаки <, , >, . и 10,Приложение 1.7; 9. Выражения в языке Бейсик. Как и в алrоритмическом языке, в Бейсике из переменных и констант с помощью знаков операций и Kpyr лых скобок можно строить выражения. Для обозначения арифметических операций используются символы: +  сложение,   вычитание, *  умножение, /  деление, л  возведение в сте- пень. Для литерных переменных в Бейсике разрешено использовать только одну оп;ерацию  соединение текстов. Эта операция обозна- чается знаком +. в выражениях языка Бейсик, как и в алrоритмическом языке, можно использовать названия функций, напр., SIN (Х), ABS (Х). ДЛЯ записи алrоритмов на языке Бейсик можно использовать только те символы, которые есть на клавиатуре ЭВМ: это почти все символы математики (кроме rреческих букв); операция извлечения квадратноrо корня (.J;;) обозначается SQR (а); выражения а =F Ь, а  Ь, а  Ь записываются а < > Ь, а> == Ь, а < == ь соответ" ственно. И 10,11,14.3. Вырезка  см. Текст. rибкий диск  пластмассовая круrлая пластинка, покрытая спе- циальным составом, обладающим маrнитными свойствами. Для запи- си или считывания маrнитной r-оловкой информации r. д. вставляется в дисковод. Запись и воспроизведение происходят, как и в маrнито.. фонах, только информация состоит из нулей и единиц. На r. д. может быть записано до 0,5 Мбайт информации. Емкость одноrо r. Д. оказывается достаточной, чтобы запомнить несколько сотен тысяч байтов. И 10,1,5. См. также Ма2нитная память. fиrабайт  см. Байт. fрафическая информация  см. АЛ20ритмы работы с 2рафиче.. ской информацией. fрафопостроитель  см. Устройства ввода8ыводаl Алzорит.мы работы с ерафической информацией. Двоичные КОДЫ  см. Информация. Дисковод  устройство для записи и чтения информации на rиб- ком маrнитном диске. И 9,Введение. Дисплей  см. Устройства ввода-вывода. Длина текста  СМ. Текст. Е,ltиницы измерекия информации и объема памяти ЭВМ  см. Байт. 92 
Заrоаовок ал rоритма. Запись всякоrо алrоритма начинается с заrоловка (приводятся примеры) . Перед каждым именем величи'ны указывается ее тип. Величины, являющиеся ИСХОДНЫМИ данными для алrоритма, наз. a/J2YMeHTQ,MU. Их список помещается после служебноrо слова apr. Результаты алrоритма перечисляются после служебпоrо слова рез. Имена aprYMeHTOB и результатов алrо ритмов перечисляются через запятую. Общий вид 3. а.: алr названuе алzорит.ма (список величин с указанием типов) apr имена арzужентов рез имена результатов И 9,1 ,3,6. Заrрузчик. ПРОfраммы, написанные на языке машинных команд, хранятся во внешней памяти ЭВМ  чаще Bcero на диске. Специаль пая проrрамма  3. находит нужную проrрамму на диске, копирует ее в память ЭВМ и устанавливает начальное значение Счетчика Команд. Если данная nporpaMMa использует подпроrраммы, то 3. Ha ходит их и тоже помещает в память ЭВМ4 И 10,111,17. Запись алrоритмов в виде процедур на Рапире. Отмечаются основные отличия от записи алrоритмов йа алrоритмическом языке. 1. Алфавит языка Рапира оrраничен: можно использовать только русские и латинские буквы. Переменные с индексами запи сывают в одну СТРОКУ: Xl пишется как Хl и т. п. 2. Возведение в степень обознаqается двумя звездочками, YMHO жение  одной, квадратный корень из чи.сла х записывается как SQRT (Х), деление обозначается символом /. 3. Вместо служебноrо слова алr используется слово ПРОЦ (сокращение от «процедура»). 4. Имена в Рапире (названия алrоритмов, переменных и Т. п.) должны предста8JIЯТЬ собой последовательность букв, цифр и cи.мBO лов подчеркивания ( ) и не должны содержать пробелов. 5. Нет отдельных CiUiёKOB арrумептов и результатов. Вместо этоrо в перечислении величин в заrоловке процедуры (их паз: пара.метра.ми процедуры) ставится стрелка => (состоящая из двух СИМВOJIов == И » перед арrументами и после результатов. (Если какаято величина Z является и aprYMeHTOM, и результатом, то стрелка ставится и до, и после: =>Z*). 6. В заrоловке процедуры на Рапире не указываются типы пара метров: одна и та же величина может в разные моменты принимать значения разных типов. Друrими словами, типы имеют не сами Be личины, а их значения. 7. Не конкретизируется тип промежуточной величины, напр., вместо вещ D записывается ИМЕНА: D. 8. Ком анды 'повторения и выбора пишутся на Рапире так же, как и на алrоритмическом языке, только с использованием заrлав ных букв при записи служебных слов. 9. Вместо знака =1= используется комбинация знаков / ==, вместо  и   комбинации < == и > ==. 10. Текст, предназначенный ДЛЯ' человека, читающеrо nporpaMMY, заключается в скобках между звездочками. Исполнитель проrраммы (компьютер) пропускает части проrраммы, заключенные между (* и *). и 10,11,10; 11. Запись алrоритмов вычисления значений функций на Рапире. Особенности записи: 1. Вместо спужеБНОFО слова !:!!:. используется слово ФУНК, тип значений функции заранее не указывается. 93 
2. Стрелки перед арrуМентами функции не ставятся. И IO,II,II. Запись УСJlОВИЙ в алrоритмичееком языке. Простое условие в алrоритмическом языке имеет вид: выражение знак 8ыражение. Напр., а + ь > с + d. Составное условие состоит из простых, соеди нснных служебными словами !!L или , не. Условия встречаются в командах ветвления, выбора и повторения. И 10,Прило)ксние 1.9. См. также Отношения между величинаАtИ в качестве условий. Знак присваивания  см. Команда присваuванuя. Имя величины  см. Величины. Инвертор  простейшее электронное устройство обработки ин формации, закодированной с помощью наличия или отсутствия Нf1пря,кения. и. имеет два контакта, входной и выходной, и устроен так, что если подать на вход напряжение (1), то на выходе оно пропадает (0), а если на вход не подават напряжения (О), то на выходе 0110 будет (1). На тех же принципах работает и более сложный элемент (и НЕ), имеющий два входа и один выход. На выходе ero появится нуль, если на обоих ero входах  единицы. Во всех остальных случаях на ero выходе появляется единица. ЭВМ строятся ИЗ тысяч и миллионов TaKoro рода элементов. И 10,1,5. И нтерпретатор  см. Языки nрО2рам.мированuя. Информатика  наука, исследующая законы и методы перера ботки и наI{опления информации. Развитие И. связано с испо.льзова ннем электронновычислительных машин, устройств для хранения и переработки информации. И 9,Введение. И нформационно"поисковая система. Поясняется на примерах библиотеки, АМТС и др. И 9,Введение. См. также Ваза данных. Информация в ЭВМ хранится и обрабатывается в виде комби нации электронных сиrналов двух ТИПОВ, которые принято обозна чать цифрами О и 1. Любая И. представлена в ЭВМ последователь- ностью цифр О и 1, такие последовательности паз. двоuчН,ы:мu lCo дами. В БО..:1ьшинстве ЭВМ один символ записывается кодом из 8 цифр (ВОСЬ!\Iиразрядный КОД). ЧисловаяИ. также кодируется после довательностью двоичных цифр. Любое преобразование и. внутри ЭВМ сводится J{ работе с двоичными кодами. И 9,Введение; 10, BBe дение. См. также Па.АtЯТЬ ЭВМ, Бит, Байт. Исполнение алrоритма. Сначала исполнитель составляет таблицу записи значений используемых в алrоритме переменных величин. т акую таблицу наз. таблицей значении. При И. а. компьютером зна чения величин хранятся в ero памяти. При И. а. человеком таблица значений выполняет роль дополнительной памяти для исполнителя. Затем исполнитель приступает непосредственно к И. а. Алrоритм расчленяется на отдельные команды, которые последовательно реrи стрируются в таб.пице как ша2и алеоритм,а. Выполнение шаrов алrо ритма демонстрируется на примерах решения квадратноrо уравнения и алrОрИТма Евклида. И 9,1,3.8. Калькулятор «Электроника Б3-36»  вычислительное устройство небольших размеров с набором из 25 клавиш и световым экраном (индикатором) для научнотехническнх ра-еч:етов. К. является вычис лительным средством исполнителячеловека и позволяет в ряде. слу .94 
чаев ВЬПIОЛНИТЬ отдельные вычислительные команды алrорнтма. Приводится ЦИКЛ задач дЛЯ К.: 1. Выполнение вычислительных команд алrоритма (А. Задачи на непосредственное вычисление; Б. Задачи с буквенными обозначе- ниями; В. Задачи на построение rрафиков; r. Аналитические задачи) . 2. Вычислительные задачи НЗ курсов физики и химии. 3. Использование К. дЛЯ выполнения алrориrма (на примерах алrоритма Евклида, вычисления значений мноrочлена по схеме [ор- нера). И 9,Приложение 1. Килобайт  см. Байт. Клавиатура  см. Устройства ввода-вывода. Кодировка адfJecов. В ЭВМ каждый адрес кодируется после дователЬНОСТqЮ из 16 нулей и единиц. т. е. словом. В проrраммах обозначают адреса числами от О до 65535. Соответствие между этими числами и последовательностями из 16 нулей н единиц зада ется формулой д . 2 [5 + . 2 14 + + . 2 0 а peC==llS. 114. ... lo. . Приводятся примеры К. а. И 10,1,4.2. Кодировка команд. В ЭВМ каждая команда кодируется последо вательностью из 16 нулей и единиц, т. е. словом. Конкретные приме ры К. К. приведены в приложениях. И 10,1,5; Приложение 111. Кодировка СИМВOJIов. Символы (цифры, русские и латинские буквы, знаки препинания' и пр.) обычно кодируются ПDследова тельностями из 8 нулей и единиц, т. е. байтами'- Поскольку байт имеет 256 различных значений, можно закодировать 256 различных символов. Существует несколько различных способов К. с. Конкрет- ный способ К. с. задается таблицей, в которой указаны коды всех сим.волов. И 10,1,4.4. Кодировка целых чисел. Целые числа кодируются последова тельностями из 16 нулей и единиц,. т. е. словами. Поэтому можно закодировать лишь 65 536 различных целых чисел. Способ кодировки выбран так, что ОJl охватывает целые' числа от  32 768 до + 32 767 Соответствие между целым числом и ero двоичным кодом задается формулой . 2 15 + . 2 14 + + . 2 0 . 2 16 число == l15 · 114 · ... lo ·  l15 · . Приводятся примеры К. ц. ч. И 10,1,4..3. Команда  см. АЛ20риТМ 1 Проzрамма. Команда ветвления в алrоритмическом языке. 1. Полная форма:  условие  серия 1 ина'lе серия 2 все в зависимости от условия выполняется только одна и;з двух ce рий команд, входящих в К. В. Если условие соблюдено, то выполня erся серия 1, если нет  серия 2. К. в. заканчивается, как только выполняется последняя команда из серии 1 или серии 2. В ачестве условия В  В. может быть использовано любое понятное исполни- телю утверждение, которое может соблюдаться или не соБЛЮД,аться. Утверждение. может быть выражено словами или формулой. 95 
2. Сокращенная форма: если условие то серия все в этом случае, если условие соблюдено, выполняется указанная серия команд. Если же нет, то выполнение К. в. на этом заканчивается. И 9,1,2.4; 10,Приложение 1.3. Команда ветвления в Бейсике. Общий вид этой команды: IF условие THEN команда ELSE команда Анrлийские слова IF, THEN, ELSE соответствуют русским если, то, иначе. Команда .выполняется аналоrично команде ветвления в аЛ20ритмическом языке (см.). Как и в алrоритмическом языке, в Бейсике можно образовы вать составные условия, только вместо слов !L.,  нужно писать AND, OR, NOT соответственно; исходные условия можно брать в Kpyr лые скобки, напр., условие (х > 5) AND (х < == 7) означает, что 5' < х  7. И 10,11,15.1. См. также Выражения в языке БейсиК 1 Отношения между вe личинами в качестве условий. Команда выбора. 1. Полная форма: выбор при условие 1: серия 1 при условие 2: серия 2 при условие N: серия N иначе серия все При выполнении К. в. последоватеЛЬНQ проверяются условия команды. Как только исполнитель находит условие, которое соблю дается, он выполняет серию идущих за ним команд (и на этом выпол- нение К. в. заканчивается). Если ни одно из условий не соблюдается, то выполняется серия команд, идущих после слова иначе . 2. Сокращенная форма: выбор при условие 1: серия 1 при условие 2: серия 2 iiри условие N: серия N все в . сокращенной форме К. в. отсутствуют слово иначе и серия идущих за ним команд. Если ни одно из условий К. в. не соблюдается, выполнение К. в. заканчивается. Команду ветвления (см.) можно рассматривать как частный случай К. в. И 10,11,6; Приложение 1.4. Команда вызова вспомоrатепьноrо алrоритма ймеет вид: имя (список ap2yeHToв и результатов) Если вспомоrательный алrоритм вычисляет значение функции, то для ero вызова достаточно записать в выражеыия имя. этой функции. Напр., при выполнении команды у == abs(a + 1) вызыsа.. 96 
ется вспомоrательный алrоритм abs. И 9,1,4.11; 10,.Приложение 1,8. См. также ВСnОАСоеательный аЛ20рUТм.. Команда комментария в Бейсике  команда REM, которая позво- ляет вносить в текст nporpaMMbl комментарии: любой текст от слова REM (от анrлийскоrо слова remark  пояснение) до конца строки иrнорируется во время исполнения проrраммы. И 10,11,15.3. Команда обращения к noдnporpaMMe в Бейсике  команда GOS ИВ, которая позволяет перейти к исполнению проrраммы с той строки, номер которой указан в команде. Как только первый раз после выполнения команды GOSUB встретится команда RЕТИRN (BepHYTb ся), исполнение проrраммы продолжается со строки, следующей за командой GOSUB. И 10,11,15.3. Команда окончания ИСПOJlнения проrрамм в Бейсике  команда END. И 10,11,15.3. Команда повторения (цикл «пока») В алrоритмическом языке встречается в задачах, в которых требуется повторять одни и те же действия. К. п. записывается так: пока условие вц серия кц При выполнении К. п. входящая в нее серия команд повторяется до тех пор, пока соблюдается указанное условие. Если условие не соблюдается с caMoro начала, то серия не выполняется ни разу. Условие цикла проверяется перед выполнением серии, но не в процессе ее выполнения. И 9,1,2.4; 1 О, Приложение 1.5. Команда повторения 8 Бейсике бывает двух видов. Первый из них аналоrичен ко,М,анде nОВТ9рения (см.)   нц  кц . Вместо слова пока используется WHILE, вместо кц  WEND. Все команды, стоя щие после слова WHILE дО слова WEND, выполняются до тех пор, пока собл'юдается условие, стоящее после WHILE. После этоrо снова проверяется ,условие. Как только выяснится, что условие не соблю дается, выполнение команды WИILЕ закончится и начнется выпол нение команды, следующей за WEND. Второй тип команды повторения аналоrичен команде повторения с парам.етро'м' (см.). Используются слова FOR, ТО, NEXT (для, до, следующий). Напр., по команде 20 FOR 1% ==0 ТО В% переменная 1% меняется последовательно с шаrом 1 от О дО В% и для каждоrо значения 1% выполняются команды, стоящие между FOR и NEXT После слова NEXT можно указывать имя параметра. Значение пара- метра может изменяться с шаrом, отличным от 1. Для этоrо использу ется служебное слово STEP (шаr). Запись 20 FOR 1 % == О ТО В % STEP 2 означает, что шаr изменения переменной 1 % равен 2. И 10,11,15.2. Команда повторения с параметром (цикл «для») В алrоритми ческом языке. Общий вид команды такой: 8:!!LX ()т X min до Х таХ war X war ВЦ серия кц .........В К. п. с П. Х  целочисленная переменная, наз. параяет ром, а X min , Х JUзх И Xwar целочисленные выражения, причем X Ufar ДОJlЖ но быть больше О. Входящая в К. п. с п. серия выполняется для последовательности значений Х== Х miп ; X min + X war ; Х miп + 2X war , ..., 97 
Xmax. Если X mio == Х тах , серия выполняется ТOJIЬКО ОДИН раз, если же С caMoro начала Х miп > Х mах, ТО серия не выполняется ни разу. Наиболее часто употребительна К. п. с п., в которой шаr (Т. е. зна чение Х шаr ) равен 1. В этом случае слово ({!!!!! 1» можно опустить. И 10,11,7, Приложение 1.6. Команда присваивания  команда вида: llМЯ: == 8ыражение В К. п. UAf.Я  8МЯ неКQТОРОЙ величины. В результате выпол нения команды значение этой величины становится равным указан ному в команде выражению, которое должно иметь соответствующий тип. При записи выражений (СМ.) MorYT быть использованы операции и функции, а также функции, алrоритмы вычисления значений которых включены в библиотеку алZОРUТАЮ8 (см.). В левой части К. П. может стоять выражение Х[Ё1 если х  линейная таблица, yIi, п, если у  прямоуrольная таблица, s [i : 11 если s  литерная величина. В языке Бейсик вместо знака присваивания «: ==» используется знак «== ». И 9,1,3.7; 10,Приложение 1.7. Команды ввода"вывода в Бейсике. Команда PRINT используется для вывода на экран цифровой и буквенной информации. Команда INPUT позволяет приостановить исполнение nporpaM мы и ввести с клавиатуры значения переменных, имена которых следуют за командой INPUT. И 10.,11,15.4. l(oмaHJ(ы ввода и вывода на Рапире. По команде ВВОД: Х вводятся литерные значения переменной Х. После завершения ввода необходимо нажать специаЛьную клавишу для продолжения исполнения проrрзммы. По команде ВВОД ДАННЫХ: Х BBoдltмыe данные воспринима- ются как числа. Для отделения целой части ОТ дробной применяется точка (а не запятая). Ком:анда ВЫВОД: Х выводит на экран дисплея значение Х, при этом тип значений Х машине известен. И 10JI,13. Команды вычерчивания  см. АЛZОрUТAtbl работы с zрафической информацией. Команды поворота  см. АлеоритAtы работы с ерафuческой ин.. форм,ацией Команды YCJlOBHOrO и безусловноrо перехода. При выполнении некоторых команд меняется не только содержимое реrистров, НО и биты N и Z в процессоре. Напр., при выполнении команды «сравнить RI с R2» при Rl < R2 (т. е. Rl  R2 < О) установятся значения: бита N (negativ  отрицательный)  1, бита Z (zero  нуль)  о; при R1 === R2 (Т. е.. Rl  R2 === О): бита N  О, бита Z  1; при Rl > > R2 (т. е. RI  R2> О): бита N  О, бита Z  О. в зависимости от значений битов N и Z можно менять coдep жимое СК (Счетчика Команд) (условн'ЫЙ переход). Напр., если .мень ше переход на + 2 слова. Существует и команда безусловноzо перехода, которая незави симо от значений битов N и Z увеличивает или уменьшает СК на указанное число слов в дополнение к обычному увеличению на 2. И 10,1,3.1; 2. Команды языка Бейсик  см. Команда ветвления в Бейсике, Ком.ахда nовтореftuя в Бейси1(,е Ком.аl:lда обращения к подпроерам- .ме в &Лсuке, Команды 88oдa8ЫBoдa в Бейсике.. Компилятор  СМ. ЯЗЫ/Ш nроzраМl4uрования. Компьютер  друrое название ЭВМ. И 9 J Введение. 98 
Константа  то же, что и постоянная. См. Величины. Константы и переменные в Бейсике. Константы записываются так же, как и в алrоритмическом языке, только для отделения целой части от дробной используется точка. Тип константы ясен 83 ее записи. Напр., 2,  1  целые числовые константы; 2.0, 36,0  вещественные; «введите число», ({сколько ему лет?»  литерные. В Бейсике тип переменной определяется по ее имени. Если имя ока"чивается знаком %  переменная целоrо типа, если знаком $  литерноrо типа t во всех остальных случаях  вещественноrQ. Для описания табличных величин (их наз. .массивами) исполь. зуется служебное слово D 1М. В Бейсике нумерация элементов таб. лиц всеrда начинается с О, поэтому при описании таблицы указы. вается только число ЭJIментов таблицы. Строка 10 DIM А(5) co держит описание вещественной таблицы А, в которой 5 элементов: А (О), А (1), А (2), А (3), А (4). Номер элемента табличной величины, в отличие от алrоритмическоrо языка, в Бейсике З8п.исывается в круrлых скобках. И 10,11,14.2. Кортежи на Рапире. Табличные величины в Рапире паз. к,ортежа .ми. Элементы К. нумеруются всеrда с единицы. Правила Рапиры позволяют записывать К. в виде списка элементов, разделенных ПЯТblМИ и заключенных в уrловые скобки < и ). Чере'.:J A[N] обозна. чается Nй элемент К. А. Длина К. Х обозначается длин (Х). Элементами К. MOryr быть не только числа, 8, напр., друrие К. С помощью «кортежа кортежей» в Рапире записываются прямо. уrольные таблицы, для чеrо наряду с записью A[I][J} разрешаеТСfI писать A[I, J} Над К., как и над текстами, определены операции вырезки и соединения (склеивания), "апр., (4,2,1,3) (2:3} == (2,1). И 10.11.12. Линейная таблица  см. ТабличнЫЕ величины. Линейныii алroритм  см. А.Il20ptlТAluчес1Шй ЯЗЫК. Литерные велиЧИНЫ ........ см. Величины, Т екст. МаrистраJlЬ осуществляет связь и обмен информацией между компонентами ЭВМ. М. можно представить как пучок ПрО80ДОВ, к которому параллельно присоединены все компоненты ЭВМ. По. сылая по М. электрические сиrНЗJIЫ, любая компонента ЭВМ может передать информацию друrпм компонентам. Для передачи адресов и информации из памяти используется 16 проводов М. Макснмаль ная порция информации, передаваемая за один раз, составляет 16 битов. В М. есть также ПрО80Д3, по которым передаются управляю. щие сиrналы, напр. указание, что делать с информацией, располо. женной по данному адресу: прочесть или записать.- Чтение процессором слова, записан,ноrо в памяти по некоторому адресу, происходит следующим образом: 1) процессор передает на М. адрес нужноrо слова и указание «читай слово»; 2) память считы Бает адрес с М. и передает на М. содержимое соответствующеrо слова; 3) процессор считывает слово с М. Аналоrи'1НО взаимодействуют между собой и остальные КОМПОliен. ты ЭВМ. И 10,1)1.2. МаrИСТР8JIЬНО"МОДУЛЬНЫЙ принцип построения ЭВМ. Наличие .маеuстрали (см.) позволяет собирать ЭВМ И3 отдельных функцио нально и конструктивно законченных блоков, наз. .м одуля.ми. М.одуль может содержать несколько компонент ЭВМ. Наоборот, одна компо. 00 
нента ЭВМ может быть изrотовлена в виде нескольких модулей. Подсоединяя к маrистрали различные наборы модулей, можно полу чать различные ЭВМ. Такой. М.-М. п. П. ЭВМ получил широкое распространение, так как обладает рядом важных достоинств: 1. Процессор может эффективно управлять внешними устройст вами с помощью тех же команд, которыми он работает с памятью. 2. Можно конструировать и подключать к маrистрали новые внешние устройства. При этом не требуется никаких изменений в уже существующих устройствах, процессорах, памяти. 3. Из rOToBblx модулей можно nerKo составлять ЭВМ разной мощности и назначения. Состав ЭВМ можно леrко изменять в про- цессе ее эксплуатации. И 10,Приложение 111. Маrнитная память  самый распространенный вид внешней памяти ЭВМ. Информация в М. п. кодируется не электрическим сиrналом, а намаrниченностью частички вещества. Примером М. п. может служить еибкuй диск (см.) И 9,Введение. Массив  см. Константы и nеременные в Бейсике. Машинная rрафика  см. Системы .машинной zрафики. Меr.абайт  см. Байт. Микропроцессор........ см. Микросхема. Микросхема  электронное устройство, обрабатывающее по ступающую в ЭВМ в виде электрических сиrналов информацию. М. состоит из тысяч и сотен тысяч cor ласованно работающих эле- ментов. Несколько М., составляющих процессор, помещают на одну плату  пластмассовую пластинку с металлическими проводниками на ней, соединяющими М. На такой же плате располаrаются М., образующие внутреннюю память ЭВМ. В ЭВМ четвертоrо поколения используются сложные М., наз. большими интеrральными схемами (БИС). Если М. содержит целиком весь процессор ЭВМ, то она наз. .микропроцессором. Такой микропроцессор целиком размещается на одном кристалле кремния. И 9,Введение; 10,1,1; 10,111,16. Модуль  см. М аzистрально.модульный nринцип nOCTpoe ния ЭВМ. Накопитель на rибких маrнитных дисках  то же, что и Диско.. вод (см.). Неопределенная величина  см. Величины. Непроцедурные языки проrраммировання  специальные языки, избавляющие проrраммиста от необходимости явно описывать в проrрамме последовательность действий, для чеrо достаточно описать на этом языке, что ДOJlжна сделать проrрамма (а не как это она должна делать). И 10,111,17. Номер строки  см Общий вид nрО2ра.м.мы на Бейсике. Общий вид nporpaMMbl на Бейсике. Проrрамма на языке Бейсик состоит из последовательности строк. Каждая строка начинаerся целым числом  номером строки; за номером строки следует команда.. Допускается несколько команд в одной строке, в этом случае KOMaH ды отделяются двоеточием. В языке Бейсик в основном используются буквы латинскоrо алфавита и анrлийские названия команд. В команде присваива- ния применяется знак«==» (а не «: ==»). Строки в Бейсике необязательно нумеровать ПОДРЯД, но обя 100 
зательно в 80зр.астающем порядке. Обычно строки нум.еруются с интервалом в 10: 10, 20, 30, .... и 10,11,14.1. Оперативная память ЭВМ  см. Память ЭВМ. Операционная система  комплекс специальных вспомоrатель ных проrрамм. для работы на ЭВМ: l(,оман.даза2РУЗЧUк, (см.), под проrраммы для работы с внешними устройствами, файловая cиC,Te .ма (см.), управляющие nporpaMMbl для орrанизации параллельноrо выполнения нескольких процессов и др. О. с. входит в так называемое базовое nрО2ра.м.мное обеспече IIuе ЭВМ. И 10,111,17. Операция вырезки  см. Текст. Операция соединеl:lИЯ (СКJlеивания)  см. Текст. Основной алrоритм ра6оты процессора ЭВМ. Каждая J{оманда анимает в памяти ЭМ одно слово. Адреса слов  четные числа. Процессор в каждый мом-ент исполнения проrраммы помнит, какую команду он должен выпол,нять следующей. Для этой цели исполь зуется реrистр R7, наз. также Счетчиком Команд (СК). ДеЙствия процессора по выполнению каждой команды состоят из четырех эта пов. Процессор: 1) читает адрес из СК, 2) читает слово из памяти по этому адресу, 3) увеличивает СК на 2, 4) выполняет команду, запи санную в прочитанном слове. Этот циклический процесс прекраща- ется, коrда выполняемой командой окажется специальная команда стоп. В этом и состои о. а. р. п. И 10,1,2.2. См. также Пам-ять ЭВМ. Отношения. между вел"чинами в качеетве уловий. В алrорит мическом языке используются следующие знаки отношения между вел ичинами: для числовых величин < меньше  не меньше > больше  не больше == равно =1= не равно для литерных вел ичин == равно =1= не равно В алrоритмах работы с числовыми и литерными величинами в качестве условий используются именно такие отношения. Если условие состоит только из 'Oдноrо отношения между В6JIичинами, то такое условие наз. простым. Условие, которое состоит из двух отношений, соединенных служебными словами и, или , не, наз. составным. Если а и Ь  условия, то условие a!J1 соблюдается, если соблюдаются вместе а и Ь; условие а  Ь соблюдается, если соблю дается хотя бы одно ИЗ условий а, Ь, не важно какое; условие не а соблюдается, если не соблюдается а, и наоборот. И 9,1,3.9. См. также Запись -условий в алzорит.мическо.м языке. Память ЭВМ. Задача П. в хранении обрабатываемой про цессоррм информации и проrраммы работы ЭВМ. Чтобы обеспечить бесперебойную работу п.роцессора, нужно, чтобы время чтения требуемой информации из П. было не больше, чем время выполнения операции. Таким образом, в состав ЭВМ BXO дИТ быстрая П. Такую П. наз. также оперативной (так как процессор обращается к ней постоянно в ходе выполнения своих операций), или 8нутренней. Если о некоторой информации заранее известко, что она долrо не понадобится, то ее можно поместить в медленную память. Медленную память наз. внешней. И 9,Введение. 1.01 
п. ЭВМ разбита иа отдельные участки  байты (см.) с HOMe рами О, 1, 2, 3, ... . Эти номера наз. также адресами. Два соседних участка: нулевой и первы,' второй .и третий и т. д. образуют ячейки П. ЭВМ. Таким образом, ячейка П. может хранить два байта (т. е. 16 битов) информации. Для содержимоrо одной ячейки исполь зуется название  .машинное слово или просто слово. Каждое славо тоже имеет адрес  это адрес начальноrо байта слова. Таким обра зом, адресами слов будут четные числа О, 2, 4, 6, .... Адреса слов и байтов тоже хранятся в П. ЭВМ и передаются между различными устройствами машины. При этом каждый адрес кодируется 16 бита МИ. И 10,1,1.1. См. также Байт Ма2нurная память. Параметр  см. Команда повторения с nара.м.етро,М. Параметры процедуры  см. Запись йЛ20рuт.мов в виде процедур на Рапире. Паскаль  см. Языки прО2рам.мuроеания. Переменная величина  см. ВеличиНЬt Константы и nере.менные в Бейсике. Персональный компьютер., Приводятся примеры их возможноrо использования. Устройство вычислительных машин рассматривается на при мере персон.альной ЭВМ ДBK2M. И 9Введение; 1'0,1,1. Перфокарта  специ.альнаятонкая 'картонная карточка, на KO торой с помощью отверстий кодируется информация для введения в память ЭВМ. И lO,III, [7. Печатающее устройство (пpиtlтер)  см. Устройства ввода.. вывода. Плата  см. Микросхема. Подпроrрамма  вспомоrательная проrрамма. Как и nporpaMMa, она состоит из команд и размещается в памяти ЭВМ. Единственное отличие заключается в том, что в конце П. вместо команды стоп должна стоять специальная команда возврат из nодnРО2ра.м.мы. Вызвать П. можно с помощью команды вызов nодnрО2рамм,ы, вслед за которой в памяти ЭВМ расположен адрес П. П. может, в свою очередь, вызывать друrие П. и Т. д. И 10,Приложение 111,2. Поколения ЭВМ различаются элем,ентной базой (см.), архи- тектурой (CM.) новыми способами решения задач и npozpaAtAt1tblAl обеспечением (см.). В настоящее время основу вычислительной техники составляют ЭВМ Tpeтbero и четвертоrо п. Ведутся экспе риментальные разработки машин пятоrо П. В ЭВМ первоrо П. (4050e rr.) использовалЙсь электронные лампы. Появление ЭВМ BToporo П. (5060"e rr.) связано с исполь зованием транзисторов. Основу ЭВМ TpeTbero П. (6070e rr.) составляют интеrральные схемы. ЭВМ четвертоrо п. (с середины 70 х r.) используют большие интеrральные схемы, микропро- цессоры. Основные технические характеристики современных ЭВМ: быстродействие от сотен тысяч до C.QTeH миллионов операций в се.. кунду, внутренняя память от десятков кбайт ДО десятков Мбайт, внешняя память от сотен кбайт ДО сотен [байт. И 9,Введение; 10,111,16. Последовательное построение алrоритма. Алrоритм сначала фО)r мулируется в самых «крупных» командах, при этом в записи алrо.. ритма Moryт использоваться команды, выходящие за рамки 8QЗМОЖ" настей исполнителя. Затем на каждом последующем этапе отдельные детали алrоритма уточняются, при этом недоступные исполнителю команды записываются как вызовы вспомоrательных алrорит- 102 
мов. После этоrо так же строятся вспомоrательные алrоритмы. Процесс продолжается до тех пор, пока все алrоритмы не будут состоять из команд, понятных исполнителю. Такой способ построения алrоритма паз. .методом nоследовательноzо уточнения. Метод иллю. стрируется на примере построения алrоритма вычисления степени у == ах, rде х  целое число, а =1= О. И 9,1,4.12. Постоянная ВeJlичина  см. ВелuчиНbl Константы и nepeMeH ные в Бейсике. Принтер  то же, что и печатающее устройство. См. У строй ства BBoдaвывoдa. Присваивание  см. Команда nрuсваuванuя. Проrрамма. Работа ЭВМ состоит в выполнении процессором последовательности операuий. Это выполнение происходит под управлением П. П. состоит из отдельных команд, предписываю. щих процессору выполнять то или иное действие над информацией, хранящейся в памяти. В каждой команде указывается, r де .именно в памяти находится нужная информация, какую именно следует выполнить операцию, в какое место памяти нужно поместить ре. зультат операции. Решение задачи по заданной П. происходит автоматически. п. записывается в память машины и может быть заменена на дpy rую п. П. составляется человеком на языке проrраммирования, а ЭВМ с помощью специальных системных П. переводит эту П. в двоичный код. И 9,Введение; 10,1,5. Прorраммирование в широком СМblсле  общее умение исполь. зовть ЭВМ, В узком  написание nporpaMMbl дЛЯ ЭВМ. И 10,При. J10жение v. Проrраммное обеспечение ЭВМ  набор созданных для кон., кретной ЭВМ nporpaMM, определяющий сферу применения ЭВМ П. о. современных ЭВМ включает десятки и сотни тысяч проrрамм: от компьютерных иrр и nporpaMM обработки текстов до nporpaMM специальноrо назначения. И 10,111,17. Промежуточная переменкая  пе-ременная, которая не является ни aprYMeнToM, ни результатом алrоритма, а используется только при ero выполнении для обозначения вычисляемоrо промежуточноrо значения. После служебноrо слова нач д олжен быть указан тип П. п. И 9,1,3.7. Простая команда  см. АЛ20рит .мический ЯЗblК. Простое условие  см. Отношения между величuнами в Ka честве условий. Процедура  запись алrоритма на Рапире. И 10,11,10. Процесс. Так как быстродействие ЭВМ велико, она может одновременно делать несколько дел (напр., печатать текст на печа. тающем устройстве, выяснять, сколько свооодноrо места оказалось на диске, обрабатывать символы, набираемые человеком на клавиа туре, и т. п.). Каждое такое «дело» ваз. П. ДЛЯ орrанизации парал. лельноrо (одновременноrо) выполнения нескольких П. нужны спе циальные управляющие проrраммы. И 10,111,1.7. Процессор  центральное устройство ЭВМ, обрабатывающее информацию и обеспечивающее автоматическое исполнение х-раня. щейся в памяти проrраммы. П. может выполнять фиксированный набор операций: арифметические действия (сложение, умножение, вычитание, деление) над числами, содержащимися в памяти, пере мещение информации из одной ячейки памяти в друrую и др. Это 103 
выполнение ПРОИСХОДИТ ПОД управлением nрО2раАСЖЫ (см.). и 9, Введение; 10,1,2. См. также Собственная память npoцeccopa Основной аЛ20 рит.м работы nроцессора. ПрямоуrOJlьная таблица  см. Табличные величины. Пустой текст  см. Текст. Разветвляющийся алrоритм  см. АЛ20рит мический яэык Ko .манда ветвления. Рапира  язык проrраммирования, разработанный в СССР в начале 80x rодов для использования в школьном курсе инфор .матики. Вместе с тем этот язык имеет широкие возможности, позво ляющие составлять сложные производственные nporpaMMbl. В учеб- нике описаны только некоторые простейшие элементы языка Р. И 1 0,11, 10 13. См. также Запись аЛ20рит.мов в виде nроцедур на Раnире За пись аЛ20рит.мов вычисления значений функций на Рапире. Реrистр  см. Собственная память nроцессора. Редактор nporpaMM  см. Редактор текстов. Редактор текстов  специальная проrрамма, позволяющая вводить текст Б компьютер и работать с этим текстом, используя экран дисплея. Проrраммы текстовой обработки составляют сейчас наиболее часто используемые проrраммы для микрокомпьютеров. Р. т. может быть использован для подrотовки на ЭВМ текстов проrрамм-. Вместо Р. т. можно использовать редактор nрО2ра.мм, который учитывает правила записи проrрамм на используемом языке про rраммирования, что повышает производительность труда проrрам миста. Напр., редакторы nporpaMM на языке Бейсик MorYT авто- матически нумеровать строчки проrраммы и вставлять Б текст про'rраммы служебные слова. Редактор проrрамм можно совместить 'с компилятором или интерпретатором. В этом случае ЭВМ сможет проверять правильнасть nporpaMMbl по мере ее ввода человеком. Такой редактор может формировать не только служебные слов-, но и целые конструкции языка, делая невозможными ошибки в за писи этих конструкций. И 10,111,17. Результат алrоритма  см. За20ловок аЛ20рит.м.а. Рекуррентные соотношения  соотношения, связывающие зна чения искомой функции от HeKoToporo натуральноrо aprYMeHTa со значением этой же функции от предыдущеrо по велич,ине aprYMe"Ta. Для определения значения функции при минимальном значении aprYMeHTa задается прямое правило. Алrоритмы вычисления значений функций на основе Р. с. наз. рекурсивными ал20рит.ма.мu (см.). И 10,11,8. Рекурсивные алrоритмы  алrоритмы, в которых значения функций выражаются через значения тех же функций от друrих aprYMeHToB (приводятся примеРJ>I вычисления факториала, KBaд рата натуральноrо числа). Способ исполнения Р. а. остается тем же самым, что и у обычных алrоритмов, нужно лишь при каждом HO БОМ обращении к вычислению значений функции составлять новый экземпляр таблицы значений. И 10,II,8. См. также Рекуррентные соотношенlJ,Я. Серия  см. Алеорuтмическuй язык. Сеть ЭВМ. Компьютер может быть соединен с друrими компь- 104 
ютерами, тоrда . QHIi образуют С,. ЭВМ, которая позволяет исполь- зовать информацию, накопленную в одном месте, сразу во мноrих местах, rде она MO}l{eT понадобиться. И 9ведение. СИМВОЛ подчеркивания  см. Запись аЛ20ритмов в виде пpo цедур на Рапире. Система автоматизированноrо проектироsания (СА ПР). rp а- фические построения и расчеты с помощью ЭВМ различных маши- ностроительных, авиационных, автомобильных деталей и конструк- ций являются составной частью САПР. Такие системы во MHoro раз повышают производительность труда конструкторов и сокращают сроки' разработки. Сидя перед подключенным к ЭВМ экраном, конструктор может, напр., скомандовать ЭВМ изобразить отдель- ные части и узлы машины что позволяет оценить их внешний вид и КОМПОНОВКУ. ЭВМ может также произвести моделирование рабо- ты этих узлов и показать их части, rде наиболее вероятна поломка при эксплуатации. И 9,Введение. Система команд исполнителя  см. Алеорuт м. Системные nporpaMMbl  специальные проrраммы, с помощью которых ЭВМ переводит проrраммы с языка проrраммирования на машинный язык. И 10,1,5. Системы машинной rрафики. При создании в компьютере моде- лей (напр., деталей, изrотаВЛl1ваемых на станке с ЧПУ) приме- ня'ются специальные устройства. Описаны некоторые из них. е в е т о в о е пер о имеет вид авторучки, 'соединенной прово дом с ЭВМ. На кончике cBeTOBoro пера находится электронное 'устройство, при поднесении KOToporo к выбранной точке экрана в ЭВМ поступает информация о координатах точки на экране. Дви- rая перо, можно указывать на экране нужные точки, рисовать ли нии и т. д. Шар о в о й р ы ч а r имеет вид шаровоrо шарнира, от KOToporo ОТХОДИТ стержень. Поворот стержня поворачивает шаровой шарнир, и информация об уrлах поворота (вперед, назад, влево, вправо) передается в ЭВМ. «М Ы Ш ь» имеет вид коробочки, лежащей на поверхности стола и соединенной проводом с ЭВМ. Коробочка свободно катается по столу. При ее движении информация о положении «мыши» посту- пает в ЭВМ. С помощью «мыши» можно рисовать линии. С. м. r. позволяет создать не только чертеж детали, но и объем ную ее м QДел-ь, рассматривать ее со всех точек зрения, строить по- верхность детали и Т. Д. И 10,111,17. Склеивание  см. Т еICСТ. Слово (мащинное слово)  см. Память ЭВМ? Байт. Служебные слова  см. Алеорuтмический язык. Собственная память процессора. Процессор имеет небольшую собственную память, из которой особо выделены 8 слов, наз. pe 2истрамu и имеющих имена RO, Rl, R2, R3, R4, R5, R6, R7. Каждый реrистр, как и слово обычной памяти, хранит 16 битов, кроме T-oro, в С. п. п. особый интерес представляют два бита с именами N и Z. И 10,1,2.1. См. также О-сновной аЛ20рUТм. .работы nроцессора, Команды условНО20 и безусловноео перехода. Соединение  см. Текст. Сортиров'ка  упорядочение таблицы с помощью ЭВМ (по вели- чине элементов, по алфавиту и т. п.). Имееч'СЯ MHoro алrоритмов, обеспечивающих быстрое решение задачи С. ДЛЯ разноrо вида таблиц. Приводится пример с. табли.цы в порядке возрастания элементов, 105 
для чет-о стронтся алrоритм поиска наименьшеrо элемента {испоJtь.. зуется в качестве вспомоrательноrо) и алrоритм упорядочения линейной таблицы. И 9,11,6. Составное условие  см. Отношения между веАuч.uна.мu 8 ка.. честве условий. Составные команды  см. Алеорuтмuческuu язык. Справочио"ииформаЦИОliные системы  одна из важных обла- стей применения компьютеров. Приводятся пример.ы использова.. пия С.-и. с. (при покупке авиабилетов, в науке и др.). И 9,BBe дение. Станок с ЧПУ. Процесс ИЗFОТОВJtення деталей на станках МОЖ НО автоматизировать с помощью ЭВМ. Рассчитав нужную деталь с помощью компьютера, можно с помощью Toro же компьютера рассчитать, как должны двиrаться резец и остальные части станка, чтобы такую деталь изrотовить. Для управления этими движения.. ми используются специальные двиrатели, перемещающие части СТанка по командам ЭВМ. Оснащенные таким образом станки наз. С. с ЧПУ (числовым nporpaMMHblM упр.авлением). Прнменение таких станков совместно с компьютерами позволяет изrотавливать сложные детали, причем переход от изrотовления одиоro типа дeтa лей к друrому осуществляется путем смены nporpaMMbl в управ- ляющей ЭВМ. И 9,Введение;10,lII,17. Стек  структура, элементы которой подчиняются праВИJlУ «поло-жил позже  взял раньше». В качестве примера стека можно привести детскую пирамидку (первым снимается колечко, надетое последним). При вызовах подпроrрамм адреса возвратов сохраня I01'ся в стеке. И lО,Приложение 111.2. Стоп (KOMaН'a стоп)  см. Основной алt!орuт.м работы пpoцec сора. Супер-ЭВМ  ЭВМ, делающие миллиарды операций в ceKYH ду. И 9,П,8; 10,111,16. Схема fориера  см. Алzорит.м вь€чuсления значений .жн.оzо члена. Счетчик Команд (CK)  см. ОСНО8НОЙ аЛ20рUТМ работы nрацес.. сора. Таблица значений  см. ИеfЮднение й.IleOpиT.мa. Табличные величины в алrоритмическом языке. Чаще вcero встречаются линейные и прямоуrольные таблицы. Для указания, что некоторая величина является линейной таб.. лицей, нужно з.адать тип элементов таблицы, ее имя, начальный и конечный порядковые' номера ее элементов. В алroритмах рабо ты с Т. В. это указание записывается следующим образом: служеб ное слово, указывающее тип ( цел, вещ, ЛИТ н Т. Пr), затем служеб.. ное слово таб, имя таблицы, за которым стоят в квадратных скоб.. ках начальный и конечный порядковые номера ее элементов, раз депенные двоеточие. (напр., вещ таб время [о: 23] ). Для пря.моуеольной т аблицы дол жны быть указаны rраницы номеров как по вертикали, так и по rоризонтали, Н8Пр.; цеп таб произведение [1:9, 1:9} rраницы множителя rраницы множимоrо. Порядковый номер элемента таблицы заключается в квадрат.. ные скобки и помещается вслед З3 именем таблицы на том же уровне строки, наир., а [i]; или произведение [2,7}. И 9,1,3.10. 106 
СМ. также Кортежи на Panиpe Константы и n.epeJl.eHНbIe в Бейсике. Текст  пронзвольная последовательность СИМВОЛОВ (не обя эательно имеющая смысл). ВВОДЯТСЯ операции, выполняемые над литерными величинами. Операция соединения, или склеивания, обозначается знаком «+» и соединяет два Т. в один, нзор., «ИН» + «форматика» === == «информатика», «12» + «345» == «12345». Длиной Т. паз. количество букв в нем. Длина Т. А обозн.ача ется длин (А). Существует Т. длины О, не содержащий ни ОДНОЙ буквын обозначается двумя стоящими рядом кавычками «» и наз. пусты'м Т. Буквы в Т. считаются пронумерованными слева направо, начиная с единицы. С помощью операции 8ырезк,u можно «вырезать» из Т. фраr мент, указав номера первой и последней букв., ,напр., если А == «информатика», то А [3: 7] == «форма», А [7: 7] == «а». Комбинируя операции вырезки и склеивания, можно получать из одних Т. друrие. Введенные операции используются в алrоритмах работы с ли терными величинами (приводятся примеры) . Значение литерной величины может быть изменено командой присваивания, при этом старое значение этой величины «теряется». Используется также команда частичноrо изменения значения ли терной величины., при ЭТймважно, чтобы новая часть слова имела ту же длину, что и старая. И 10,11,9. Текущее значение величины  см. Величины. Терминал  соединенное с ЭВМ устройство для ввода и BЫBO да информации. И 9.,Введение. ТIIП величины  см. ВеЛUЧUНЫ 1 Константы и nере.ме1lные в Бейсике. Томоrрафия  метод получения (с помощью ЭВМ) изобра жений внутренних частей непрозрачных тел. Т. позволяет обнару- живать дефекты, скрытые в rлубине детали, или признаки заболе БаНИЯ, скрытые в тканях орrанизма, и т. П. И 9,Введение. УПОРЯАочение таблицы  СМ. Сортировка. Управляющие nporpaMMbl  см. Процесс. Устройства ввода"выво.да. Информация, обрабатываемая про цессором, в некоторый момент должна быть помещена, или, как ro ворят, введена, в память. Результаты работы ЭВМ должны быть переданы человеку (друrой ЭВМ, управляемому станку и Т. д.), друrими словами, вы BeД€HЫ. Эти операции осуществляются У. B.B. Основное устройство ввода  клавиатура, на которой имеются буквы pyccKoro и латинскоrо алфавитов, цифры, знаки препинания и специальные символы. В память ЭВМ они передаЮТal закоди- рованными с помощью электрических сиrналов.. Основным устройством вывода информации я.вляется диc плей  телевизионный экран, на котором -изображаются буквы, цифры и друrие символы, имеющиеся на кла8иатуре Если этим и исчерпываются возможности дисплея, он наз. алфа8llТноцифро выМ,. Если на дисплее можно, кроме Toro, получ.ать различные reo метрические изображения. то ОН наз. ерафическим. Помимо получения изображений- на экране дисплея ЭВМ позво ляет получать их на бумаrе. Если требуется ВЫВОД алфавитно-циф роБОЙ информации, ТО это делается с ПОМОЩЬЮ алфавитноцифро вoro печатающеrо устройства (АЦПУ). Если трооует:ся ВЫВОД rpa 1()1 
фической информации, то это делаетс,. с помощью rрафопострои теля и друrих устройств. Печатающее устройство, или принтер, позволяет печатаТID и рисунки, и тексты. И 9, Введение; 10,1,5. Файл  см. Файловая система. Файловая система. Порция информации, хранимая во внешней памяти, наз. файлом. Для орrанизации записи, хранения, поиска и считывания файлов используется комплекс специальных проrрамм, который иаз. Ф. с. И 10,111,17. Фортран  см. Языки проzраммирования. Цикл  то же, что и Ко.м.анда повторения (см.). Циклический алrоритм  СМ. Алzорuт.м.uческий ЯЗЫК, Команда повторения. Числовое nporpaMMHoe управление (ЧПУ)  см. Станок с ЧПУ. Шаr алrоритма  см. Исполнение алеоритма. Шаr изменения параметра  см. Ко.м.анда повторения с пapa .м.етром, Команда повторения в Бейсике. ЭлеКТРОННО"ВЫЧИCJJительная машина (ЭВМ)  универсальное устройство для хранения и переработки информации. Состоит из nроцессора (см.), памяти (см.) и внешних устройств (см.). Работа ЭВМ состоит в выполнении процессором заданной послеДQватель- ности операций. И 9,Введение; 10,1,1. См. также Информация. Элементная база Э'ВМ  совокупность элементов, из которых строятся компьютеры. С изменением Э. б. ЭВМ изменялись xapaK теристики, внешний вид и возможности компьютеров. Смена Э. б. ЭВМ лежит в основе смены поколениu ЭВМ (см.). и 9,Введение; 10,111,16. Этапы решения задачи с использованием ЭВМ. 1. Постановка задачи, включающая выделение исходных дaH ных (aprYMeHTOB), величин, значения которых надо определить; построение математической модели, позволяющей свести исследо- вание реальноrо объекта к решению математической задачи. Сте- пень соответствия модели реальному объекту проверяется практи- кой, экспериментом. 2. Построение алrоритма, который может быть записан на алrоритмическом языке или в виде схемы. 3. Запись алrоритма на языке проrраммирования. 4. Исполнение алrоритма с помощью ЭВМ. Этап завершается получением результата. 5. Анализ полученных результатов. Цель  определить, Ha сколько точно полученные результаты соответствуют реальности. Анализ позволяет уточнить модель, если это необходимо. Языки проrраммирования  правила записи проrрамм, испол.. пнемых на ЭВМ. Исходной информацией для составления проrрам" 108 
мы является запись алrоритма решения данной задачи на алrо- ритмическом языке. В школьном курсе изучаются два Я. П.: Рапира (см.) и Бейси" (см.). Упоминаются такие Я. П., как Фортран (созданный в конце 50x rr.), предназначенный для проrраммирования научнотех нических расчетов; Алrол60, послуживший основой для разработки мноrих языков, напр., языка Паскаль, который является одним из наиболее распространенных Я. п. для микрокомпьютеров. Число относительно широко используемых Я. п. в настоящее время исчисляется десятками, а общее их число  тысячами. Существуют два типа проrраммпереводчиков с Я. п. на ма- шинный язык. Они наз. компиляторами и интерпретаторами. Про rраммакомпилятор читает. текст на Я. п. от начала и до конца, со- здавая эквивалентную .проrрамму на машинном языке. Интерпре- татор читает исходную nporpaMMY по частям, сразу выполняя соответствующие действия. Из упоминавшихся Я. п. Фортран, Алrол60, Паскаль обычно компилируются, а Бейсик и Рапира  интерпретируются. И 10,11,10; 111,17. Ячейка памяти ЭВМ  см. Память ЭВМ. 
ИМЕННОМ УКАЗАТЕЛЬ Ариабхат (конец V в.), нндиЙскик математик. Знал формулу sin 2 а. + cos 2 а. == 1, формулы для синуса, косинуса, 1'aHreHCa ПОЛQ винноrо yrла, которые служили ему для составления таблиц этих функций. А 910,I,с.и. Архимед, rреческий' математик. Более двух тысяч лет тому назад создал систему нумерации. М 4,ПУНКТ 62. БеРНУЛJlИ я., ученик Лейбница. Ему принадлежит название «uнтеерал». А 910,III,с.и. Брадис В. М., автор «Четырехзначных математических таблиц». А 6,111,9.25;7,11,6.15. Бриrrс f. (1556 1630), aHr лийский математик. Ввел десятич.. ные лоеарифмы. А 910,IV,с.и. Бюрrи и. (15521632), швейцарский математик. Независимо от Непера ввел лоеарuфмы. А 9 1 О,IV,с.и. Валлис д. (16161703). В ero работах встречаются ДOCTa точно ясные представления о поведении триеонометрuческих ФУНК ций при изменении .aprYMeHTa от  00 до + 00. Вейерштрасс (1815 1897), немецкий математик. Развил строй ную теорию действительных чисел (вторая половина XIX в.). А 910,II,с.и.; Приложение. Виет Франсуа (1540 1603), знаменитый французский MaTe матик (Т. Виета). Ему принадлежит ряд результатов по TpиeOHO метрии. А 7,111,9.23; 910,I,с.и. repOH Александрийский, древнеrреческий ученый, живший в 1 веке н. э. (Формула r ерона). r 8, 13. Дедекинд (18311916), немецкий математик. Во второй поло вине XIX в. развил стройную теорию действительных чисел. А 910,II,с.и.; Приложение. Декарт Р. (1596 1650), французский ученый. Впервые ввел координаты на плоскости, которые сейчас наз. декартовыми. r 7,8; А 9 10,1 I,с.и. ДИРИХJlе Л., немецкPlЙ математик. В 1837 r. независимо от Лобачевскоrо Н. И. дал современное определение числовой ФУн'К ции. А 9 1 0,1 I,с.и. Евклид, древнеrреческий ученый (111 век до н. э.). Создал за мечательное руководство по мате,М,атике под названием «Начала». В течение длительноrо времени rеометрию изучали по этой книrе. r 6, 1. . 110 
КавальерJl Б. (15981697). Продолжил исследования KenJIepa. Сохраняет свое значение и в наше время ПрU1tцun КаваА:Ьери. А 910,III,си. Кантор r. (18451918), немецкий математик. Во второй I1 ловине XIX В. развил стройную теорию действитеДЬNblX чисел. А 910,II,с.и.; Приложение. Кеплер И. В своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 r.) правильно вычислил ряд площадей и объемов (разрезая тело на бесконеч но тонкие пластинки). А 9 1 О, 1 lI,с.и. Киселев А. п., автор школьноrо учебника «rеометрия». r 6,1. Котес (16821716). В ero работах находят rеометрический вывод формул для прои380дных ТРШО1ЮAteТРUческих фупкцuй. А 9 10,I,с.и. Коши о. (17891857), французский математик. В 1821 r. дал cTporoe определенuе nон,ЯТllU предела по.след08ательН,DCТ.u и пpe дела функции, сохранившееся до наших дней. А 9 1 ОIIос.и. Ему принадлежит современное понятие определенноzо интеерала как пре- дела интеrральных сумм. А 910,II,с.и.; III,с.и. Кры.пов Алексей Николаевич (1863 1945) J русский М 31'ем атик и кораблестроитель. MHoro сделал для развития приблuжеllНЬ1Х вычислении. М 4,II,пункт 62. Лarранж Жозеф Луи (17361813), французский .математик и механик (Форм-ула Лаеранжа). А 910,II,6.23. Лаплас, французский математик. Дал высокую оценку нзобр тению .it 02 ар ифм-ов. А 910,IVс.и. ЛейБНIIЦ r. (16461716), немецкий математик и фил-ософ. Развил систематическое ytte1tue о проuзводных  диффере1Щuaль ное исчисление. С помощью правил лоrарифмирования еще в конце XVII в. решил показательные уравнения. Лейбницу принадлежит современное оБОЗfШttе1tll.e и нте2рала. Им установл-ена связь .между операциями диффереJЩupО8Шtuя и unтеzрированuя. А  1 О,II,си.; III,с.и.; I",с.и. Лобачевский H. рУССКИЙ математик. В 1834 r. дал coвpe мен ное оnределение'числовой функции. А 910,II,с.и. Маrницкий Леонтий Филиппович. Создал первый учебник по .математике в России. М 4,пункт 62. Непер Дж. (15501617), анrлийский математик. Ввел (неза висимо от Бюрrц) лоеарuфмы, развил их теорию и составил под робные таблицы лоеарифм.ов. А 9 lО,IV,с.и. Ньютон и. (I6431727), анrлийский математик. Основатель COBpeMeHHoro математическоrо естествознания. Развил системати ческое учение о nроизводных  дифференциальное исчисление. Им установлена связь между операциями дифференцирования и интеzрирования. А 910,lс.и.; II,с.и.; III,с.и. Оресм Н. (1323 1382), французский м.ат€матик. В ero рабо- тах встречаются дробные показатеЛIf степени и наиболее простые правила действии над степеня:м.и с дробными nокаэателямu. А 9 1 О,IV,с.и. 111 
Паскаль, XVII в. Ero первые работы содержали nравuла Ha хождения производных ОТ мноеочленов. А 910,II,с.и. Пифаrор, древнеrреческий ученый, живший в VI веке до н. э. (Т. Пифаеора). r 7,7. Птолемей (11 век н. э.), rреческий математик. Составитель таблиц длин хорд окружности с шаrом 3й'. А 910J,с.и. Рыбкин Н., автор «Сборника задач по rеометрии». r 6,1. Фалес Милетский, древнеrреческий ученый, живший в VI веке до н. Э. (Т. Фалеса). r 7,6. Ферма Пьер (16011665), французский математик (Т. Ферма). В ero первых работах содержались правила нахождения произ водных. А 910,II,7.26;с.и. Чебышев п. л. (18211894), великий русский математик. Полностью исследовал вопросы интеерирования некоторых клас сов иррациональных функций. А 9lО,III,с.и. Штифель М. (1486 1567) J немецкий математик. Ввел название «показатели», дал определение а О == 1 при а =1= О, дЛЯ некоторых частных случаев пришел к соотношениям log (аЬ) == log а + log Ь, log ajb == log а  log Ь. А 910,IV,с.и. Шюке Франц Н. (ХУ в). Рассматривал степени с отрицатель Itыми и нулевыми nок.азателями. А 9 10,IV,с.и. Эйлер л. (1707  1783). Дал современный вид теории TpиeOHO .метрических функций (в книrе «Введение В анализ бесконечно Ma лых») , завершил систематическое исследование интеерирования элементарных функций (в книrе «Интеrральное исчисление»). А 9 10,1 ,с.и.; III,с.и. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие. . Как пользоваться словарем. . Словарь по математике . Словарь по информатике и вычислительной технике · Именной указатель. . . · · · 3 4 5 87 110 
ь ' (х) dx  интеrрал функции f в пределах от а до Ь а Нт '(х) предел функции f при х----+а х........а {(x) предел функции f при xa х---+а F первообразная F(x) I   приращение функции F (т. е. F(b)  Р(а))   знак равносильности Е  знак принадлежности множеству (а п )  последовательность а п  nй член последовательности (а п )   знак приближенноrо равенства ао, а, а2 ... а п ...  бесконечная десятичная дробь D == Ь 2  4ас  дискриминант квадратноrо уравнения ах 2 + + Ьх + с == О 1 рад  величина уrла в один радиан 11;  3, 1416  отношение длины окружности к диаметру С  длина окружности %  процент А (а)  координата точки А на координатной прямой А, В, С, ...  обозначение для точек а, Ь, с, ...  обозначение для прямых АВ  прямая, проходящая через точки А и В L(a, Ь)  уrол со сторонами а и Ь LAOB  уrол с вершиной О и точками А и В на сторонах ABC  треуrольник с вершинами А, В, С а" Ь  прямая а параллельна прямой Ь а J... Ь  прямая а перпендикулярна к прямой Ь о  rрадус ,  минута ABCD  обозначение четырехуrольника А (х, у), (х, у)  точка с абсциссой х и ординатой у F == Р'  равенство фиrур F  Р'  фиrура F подобна фиrуре Р' Ь АВ  a АВ  обозначения вектора (с началом А и KOH а, ,..., "  цОМ В) I а I  абсолютная величина 'вектора а а(аl, а2), (аl, а2)  вектор с координатами al и а2  ..... el, е2  координатные 6екторы (орты) аЬ  скалярное произведение векторов а и Ь а 2  скалярное произведение аа A 1 A 2 ...A n  ломаная с вершинами Al' А2, ..., А п S, S(F)  площадь фиrуры F а, f:}, ,\" о..  обозначения для плоскостей ху, xz, yz  координатные плоскости (аЬс)  трехrранный уrол, составленный из пло , ских уrлов (аЬ), (Ьс), (ас) (аlа200.ап)  мноrоrранный уrол, составленный из пло ских уrлов (аlа2), (а2аз), (аза4), 0.0, (anal)