АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ
СОЧИНЕНИЙ
ПАЧЕБЫШЕВА
Том V
ПРОЧИЕ СОЧИНЕНИЯ
БИОГРАФИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
■ИЗДАТЕЛЬСТВО АЗСАДЕМТСУС НАУК СССР
М О СКВА"АЙНИНГРАД
1951

*ft~JCs~sZPt
d

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
академики: //. И. Артоболевский, С. И. Бернштейн (председатель), Й. Г. Бруевич
И* М. Виноградов, А. И. Колмогоров, \ А. Н. Крылов |, Л. С. Лейбензон,
В. И. Смирнов, С. Л. Соболев; член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне^
профессор В. Л. Гончаров
Ответственные редакторы V тома:
академик С. Н. Бернштейн, Д. Л. Васильков,
профессор В. Л. Гончаров, академик В. И. Смирнов

ОТ РЕДАКЦИИ
В соответствии с принятым планом издания Полного собрания
сочинений П. Л. Чебышева, пятый (последний) том содержит в своей
первой части математические работы П. Л. Чебышева, которые
выходят из рамок, соответствующих предыдущим четырем томам: теории
чисел (т. I), анализ (т. II и III), теория механизмов (т. IV). Таким
образом, первой частью пятого тома завершается полное собрание
математических сочинений П. Л. Чебышева; краткие комментарии к его
работам, помещенные в конце этой части, принадлежат Я. И. Бланку,
Д. А. Василькову, В. В. Голубеву и В, Д. Гончарову.
Среди математических сочинений П. Л. Чебышева, вошедших в
пятый том, следует особо отметить публикуемую впервые интересную
студенческую работу «Вычисление корней уравнений», за которую
ему была присуждена серебряная медаль, хотя по своему
достоинству эта работа заслуживала бы более высокой награды. Впервые также
публикуется здесь отрывок из незаконченной статьи «Об одной
теореме г. Лиувилля», в котором П. Л. Чебышев впервые дает замечаг
тельный пример (указанный также Стильтьесом в его известном
мемуаре «О непрерывных дробях») непрерывной функции, отличной
от нуля, все моменты которой на действительной полуоси раннц
нулю.
Кроме того, в пятый том включены магистерская диссертация
Чебышева «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»,
вышедшая отдельным изданием в 1845 г. и являющаяся библиографической
редкостью, и его диссертация pro venia legend! «Об интегрировании
помощью логарифмов», защищенная в Петербургском университете
в 1847 г. для получения звания адъюнкта. Обе эти диссертации на
вошли в первое издание сочинений П. Л. Чебышева. Последняя из
них лишь в 1930 г. была напечатана в Известиях Академии Наук СССР*
Здесь воспроизводится также перевод известного доклада П* Л. Чебы*
щева «О кройке одежды», сделанный им на заседании конференции
Французской ассоциации содействия преуспеванию наук, не вошедший
в первое издание сочинений П. Л. Чебышева, но опубликован^
ный в «Архиве истории науки и техники», вып. 9 (1936), и в
«Успехах математических наук», т. I, вып. 2 (12), (1946). Остальные
четыре работы П. Л. Чебышева, помещенные в пятом томе,
содержатся в старом издании его сочинений. Среди них особое место
занимает знаменитая статья „Черчение географических карт*, где

4 —
П. Л. Чебышев высказывает в яркой форме свое научное credo,
основной принцип которого — неразрывная связь между теорией и
практикой.
Без сомнения, научное творчество П. Л. Чебышева — это та область,
где его гений оставил наиболее глубокий след; однако роль П. Л.
Чебышева в развитии культуры нашей родины очень велика также в
различных других направлениях, и главная задача второй части пятого
тома — «Биографические материалы» — освещение всех прочих
областей его деятельности на основе документов, большей частью
публикуемых впервые. Не останавливаясь на рассмотрении отдельных
разделов «Биографических материалов», перечень которых читатель
найдет в оглавлении, отметим, что наряду с исключительно важной
научно-педагогической работой, проводившейся П. Л. Чебышевым в
Петербургском университете (см. раздел «П. Л. Чебышев в
Петербургском университете»), он уделял много времени и внимания
деятельности в Ученом комитете Министерства народного просвещения,
которая имела первостепенное значение для преподавания школьной
математики. Данные об этой стороне деятельности П. Л. Чебышева
подкреплены обширными архивными материалами, публикуемыми в
разделе «П. Л. Чебышев в Ученом комитете Министерства народного
просвещения».
В разделе «Материалы о деятельности П. Л. Чебышева в
Артиллерийском комитете» выявлено значительное участие П. Л. Чебышева
в деле развития отечественной артиллерии, но, к сожалению,
документов, определяющих конкретный вклад П. Л. Чебышева в этом
направлении, найдено немного.
Наконец, существенную новость настоящего издания представляет
собой публикация нескольких, недавно найденных, писем
П. Л. Чебышева и значительной части писем к нему многих выдающихся
русских и иностранных ученых (Ковалевской, Эрмита, Кронекера, Силь-
вестера и др.).
По сравнению с научными трудами П. Л. Чебышева вторая часть
тома — «Биографические материалы» — может представить интерес и
доступна гораздо более широкому кругу читателей, в частности, для
преподавателей средней школы. Вводные статьи и краткие
примечания к основным разделам этой части рассчитаны главным образом на
такого читателя,— не имеющего специальной математической и
исторической подготовки.
Выходу в свет настоящего тома предшествовала большая работа
по отысканию и отбору архивного материала. Значительные
результату достигнутые в этом направлении, нельзя считать
исчерпывающими, и мы надеемся, что они послужат основой для дальнейшей
работы. Успехом в архивных изысканиях мы обязаны главным образом
энергии и опыту В. Е. Прудникова. В отыскании документов,
освещающих деятельность П. Л. Чебышева в Петербургском университете и
в Академии Наук, на первом этапе работы полезный вклад сделан

— о —
М. И. Радовским; в последующих этапах этих поисков, а также в
редакционном оформлении разделов «П. Л. Чебышев в Петербургском
университете» и «П. Л. Чебышев в Академии Наук>> значительное участие
принял С. М. Лозинский. Ряд интересных сведений, нашедших свое
отражение в статье «Род и семья П. Л. Чебышева», получены через
посредство В. Е. Прудникова от родственников П. Л. Чебышева:
Н. И. Поповой, Д. П. Соколовой, С. С. Тарасенкова и С. В. Шервин-
ского. Всем этим лицам редакция выражает свою искреннюю
признательность. Мы выражаем также благодарность президенту Парижской
Академии Наук профессору А. Билля (Н. Villat) за предоставление
публикуемого ниже письма П. Л. Чебышева Ж. Лиувиллю, а также
профессору Ж. Николлю (J. Nicolle), приславшему материалы,
относящиеся к выступлениям П. Л. Чебышева во Французской ассоциации
содействия преуспеванию наук.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ*
S'il exlste une methode generate pour la
resolution des equations, elle doit etre analogue
a ces operations qui n'en seraient que des cas
particuliers.
Fourier**
I
После тысячелетних изысканий вопрос о последнем действии
алгебры в наше время переходит в ряд вопросов совершенно
решенных, и вот в чем заключается это решение, плод многосложных
исследований и обширнейших соображений великих математиков.
«Решить уравнение — значит найти, каким образом произвести
действие, означенное через v- Это действие... состоит в двух приемах.
Первый прием отделяет корни; ...Другой прием, после отделения
корней, есть собственно решение уравнений: вычисление корней и
радикалов»***.
Выводом этого заключения не оканчиваются еще многочисленные
изыскания относительно решения уравнений, но получают от него
большую определенность и вместе с тем большую важность. Теперь
с помощью его легко можем видеть, что сделано и что остается еще
сделать для совершенства теории уравнений.
Не входя в подробности касательно отделения корней, как действия,
легко выполнимого по способу Штурма или, еще удобнее, по способу
Фурье в соединении с лагранжевым, обратимся теперь к теории
вычисления корней, главнейшей в решении уравнений, и займемся
рассмотрением ее.
Эта теория ныне представляется нам соединенным исследованием
дбух, трех, ...известнейших способов; каковы: Ньютона или Фурье,
Лагранжа, высших порядков, .. .Эти способы были открыты и
усовершенствованы в продолжение нескольких столетий и в это время
преемственно один после другого получали название удобнейшего,
* Студенческая работа П. Л. Чебышева, публикуемая впервые. Комментарий см. ла
стр. 173. — Ред.
** Если существует общий метод решения уравнений, то он должен быть
аналогичен тем операциям, которые представляют собой лишь его частные случаи.—Фурье.
*** Слова Острсградского. Лекция IV. [Чебышев цитирует «Лекции алгео>и-
чёского и трансцендентного анализа» М. В. Остроградского. —* Ред.]

— 8 -
совершенного. В наше время самое изящное вычисление корней
составляет линейное приближение — способ Ньютона, исправленный Фурье;
и в самом деле, помощью его решение уравнений стало так легко,
так просто, как и всякое другое действие алгебры.
Какого же усовершенствования может ожидать еще эта теория от
позднейших математиков? Бесспорно, нельзя терять надежды когда-либо
открыть способ удобнее способа Фурье и тем облегчить самое
решение уравнений. Но все эти открытия, как бы ни были изящны, не
принесут существенной пользы теории. Она получит несколько новых
способов; но, не будучи в состоянии исчерпать бесконечное
множество их, только сделается многосложнее, обременится новыми
правилами и никогда ни получит надлежащей полноты, необходимой ей
как части науки. Тут могут быть полезны одни изыскания общие,
доставляющие нам не один частный способ — эту бесконечно малую
часть одного целого, но всю совокупность их, — все целое. Таким
образом, исчерпав одним общим приемом все способы как известны е,
так и возможные, мы сообщаем теории, с одной стороны, полноту,
какой не могли бы доставить ей тысячи новых способов, а с другой,
единство, которое теперь еще при небольшом числе их потеряно,
Так усовершенствуется теория, и необходимым следствием этого будет
удобность ее приложений.
Исследование подобного приема составляет цель настоящего
рассуждения.
II
Из числа восьми действий алгебры каждые два решают вопросы
совершенно обратные: что составляет известное в одном действии,
становится искомым другого, и напротив: данные второго составляют
предмет изыскания первого. Эту противоположность вопросов можно
заметить между сложением и вычитанием, умножением и делением,
возведением в степень и извлечением корней; и, наконец, точно так
же относятся между собою: составление полиномов и решение
уравнений. Вследствие этого соотношения вопросов мы легко могли
вывести правила вторых действий (т. е. вычитания, деления, извлечения
корней) из первых (сложения, умножения, возведения в степень).
Почему же теперь, при выводе последнего действия алгебры, не
следовать этой стезе, три раза приводившей нас к желаемому результату?
Вот твердая точка отбытия для вывода общего приема!
При составлении функции мы находим величину ее при известной
частной величине изменяемого. Так, приравняв fx какому-нибудь у,
будем иметь fx = у. Определить у по х— вот задача составления
функций или полиномов. Обратный вопрос будет состоять в
определении х по у, или Fy = х. Но, чтобы сделать изыскания эти более
определенными, сосредоточенными, согласились всегда полагать в этом
случае у = О, или fx — О. Итак, перейти от fx = 0 к F0 = х — вот
задача решения уравнений или собственно вычисления корней. Это

— 9 -~
всегда легко можно выполнить, если будем знать приближенную
величину х, положим а (или, что то же самое, пределы х: а и а').
В самом деле, по соотношению уравнений fx ~y и Fy = x знаем,
что если /а=Р, то непременно существует и другое уравнение, как
тождественное, Fp = а. Но от Fp всегда по Тэйлоровой теореме,
главнейшей в составлении полиномов, можем перейти к F (0) = F(P — Р).
Итак,
х = F(0) = F(p-P) = Fp - pF'p + £/*р _ ?! F"p + ...
или
a-pF'P + £ F"p --^Fwp + ^ Я^р .
Вот истинное выражение х как корня уравнения fx = 0; остается
определить F"P, F"p, F^p, ... по /'a, /4 /wa, ...,/ло, ... . Это легко
сделать по тождеству уравнений fx=y и Fy = х.
Мы видели, что существование уравнения /a = p условливает
другое: Fp = а. Если же увеличим а какою-нибудь величиною а', то
будет/(a + a') = р +р', где Р' означает изменение величины
(приращение) /а. Отсюда проистекает, как видели, следующее уравнение:
F(P + P') = a + a'. Давая с£ величину бесконечно малую, из первого
равенства найдем выражение fee следующим образом:
t+P =/(* + *)= f* + *f * + ?£/"" + •'•
Р' = сС/а + i-/»a + Va + ' *' •
при а' бесконечно малом:
а' -^
Но, с другой стороны, давая р' величину бесконечно малую, найдем
таким же образом выражение F'p:
F(p + p') = a + a' = Fp + p'/*p + ^/**p + £l^p+...,
-а=-/*Р,
a' = p'F*p + ^-F" p + Ц-F" P+ • • •;
но p' бесконечно мало, следовательно
Итак
/e./*p=i;.-£=i или /^=fa.

- 10 -
Из этого уравнения без всякой трудности выведем и прочие
производные F$. Для этого дадим р какое-нибудь приращение р', найдем
соответствущее ему выражение; из этого нового уравнения вычтем
прежнее: F$ — -у^; перейдем к пределу — и таким образом найдем
fa
F"§\ она будет равняться — Л, ч8 . Далее из этого уравнения тем
же путем найдется:
р ~~ (/«)• If*)4 '
FIVQ _ 15 (Г а)» 10/"«/"« _ /IV*
Итак,
* /'« \f*)W* V/«;l2W 6/'aJ
//a Vr5^"g)3 5/"«Г« , /IVa1 /n,
V/W L8(/a)3 12(/a)« + faj '" ^U>
Вот общее истинное выражение корня уравнения — начало всех
частных способов. Приложения его к десятичным и непрерывным дробям
дадут способы Фурье, Лагранжа, высших порядков, ... и множество
новых. Рассмотрим же все это отдельно, обращая главное внимание
на общность вывода этих, ныне разъединенных формул.
III
Если в разложении x = F($ — p) остановиться на третьем члене,
то, по теореме Лагранжа, будем иметь
x = Fp-p^p + f- /ПР-ФР),
или*
Л~а fa /(a...*)* 2f(a...x)
* Символом / (а... х) Чебышев обозначает значение функции / при некотором
значении аргумента, лежащем между а и х — Ред.
/"a fx
** /?"(p —?p) содержится между — JTttr и — ,~.г . В самом деле, ф
содержится между 0 и 1; следовательно, F" (Р — фр) = ^"Р (1 — ф) заключается между F"0 и
fx fa
Р"$; но F"0 = — jf-т* (иб° Р = ° соответствует.а, равной х), F"P = — гзта» по"
этому F«№-^) = -^^3-

— и —
Если же знаем другой предел л:, — положим, а',—так что истинная
величина х заключается между а и а', то вправе сказать, что
величина, содержащаяся между х и а, необходимо содержится между
а и а'. Итак,
Из этой простой формулы сам собою вытекает способ линейного
приближения — и притом с новым усовершенствованием, какого не
могли доставить ему ни великий Ньютон, ни Фурье.
а —^выражает приближенную величину корня, (/а)2 у '*'' "^ —
разность между приближенною и истинною величиною его.
Этот прием гораздо удобнее обыкновенно употребляемого для
вывода способа Ньютона или Фурье. Не говоря уже о том, что он, как
видели выше, есть самый естественный и, как увидим впоследствии,
общий всем известным способам; но посмотрите, с такою ли точностью,
как у нас, определяется обыкновенно погрешность нового
приближения. Ньютон ее совершенно не определял, а вычислял только
примерно— и это составляло главный недостаток его способа. Фурье
исправлял этот недостаток: определил ее, но чем же? Величиною не-
известною! По Фурье, эта погрешность равна -— JJ . В нашу же
формулу входят одни известные —и посмотрите, какая быстрота,
точность сообщается этим способу Ньютона.
Для примера возьмем у Фурье решение уравнения хъ — 2х — 5 = О
и потом сделаем то же по нашей формуле.
Вот собственные слова его (Fourier, Analyse des equations nume-
riques, L. 11, 211): «En substituant des nombres intermediates de l'ordre
decimal, immediatement inferieur, il viendra:
2,0
2,1
La plus grande limite 2,1 est ici exterieure, qui a ete designee par br
puisque cette valeur donne le meme signe + aux deux f onctions f (x)
et fix). Par consequent la premiere valeur approchee se formera en
retranchant de b = 2,1 le quotient^- = ^§-; la division doit fitre
continuee. jusqu'au chiffre decimal de l'ordre 2n + k, c'est-a-dire ici
jusqu'aux centiemes, et avant d'operer la soustraction, on doit augmenter
le dernier chiffre d'une unite. CommeTon trouve -^^=0,0054, lenom-
bre a retrancher de 2,1 est 0,01: il vfent done pour premiere valeur
approchee 2,09.
:m (x)
+
+
fix)
+
12
+
12,6
fix)
+
10
+
11,23
№
—
-10
+
0,061

~ 12 -
Cette valeur est exacte au moins de ^pres: mais on ignore jusqu'ici
si elle est moindre ou plus grande que la racine»*.
Вот как поступал Фурье для определения разности новой
приближенной величины корня от истинной; точно так же поступают и ныне.
Но это вычисление гораздо точнее, удобнее по нашей формуле. Она
определяет погрешность приближенной величины корня, найденной
Фурье в вышеприведенном примере, следующим выражением
/42 1)1--/^,.. 2,1)
J \^Ч 2{/'(2...2,1)}3>
которое при наибольшем значении равняется
(0,061)2 ^г <0,000038-0,63<0,000024.
Итак, деление 0,061 на 11,23 должно продолжать не до сотых долей,
как это делал Фурье, но по крайней мере до стотысячных; отчего
новая приближенная величина корня будет 2,1—0,00543 = 2,09457.
Она будет более истинной,— это можно видеть всегда из знака
Д' = х — ах. В этом примере Д' с —; следовательно, х <С <*i и притом
превосходит ее менее чем [на] 0,000 024; следовательно, малый предел
корня — 2,094 54, и первые 4 цифры верны.
Теперь очевидно преимущество нашего приема перед приемом
Фурье. От одного и того же действия он имел только 2 верные
цифры; мы же — 4; и если бы повторили способ Ньютона,
подобно Фурье, еще четыре раза, то имели бы по крайней мере 64
верных цифр; между тем как он не мог найти более 32. Но это ясно из
первого приближения, и потому, не останавливаясь на этом, перейдем
к способу Лагранжа.
IV
Неизвестная величина всегда легко разлагается в непрерывную
дробь. Если только возможно определить целую часть ее а, подставить
* «Подставляя промежуточные значения низшего десятичного разряда, получим
/"(*) Г (Л f(x) f(x)
2,0
2Д
+
+
+
12
+
12,6
+
10
+
11,23
—
-10
+
0,061
Внешним пределом, обозначенным нами через Ь, будет здесь 2,1, поскольку это
значение даст знак + для обеих функций f (х) и f\(x). Следовательно, первое прибли-
, ,л f(b) 0,061
женное значение корня получим, вычтя из о = 2,1 частное угтту = 77-93; деление
следует продолжать до (2л + £)нго десятичного знака, т. е. в нашем случае до сотых, и
последний десятичный знак частного надо увеличить на единицу. Так как
0,061
лл ос = 0,0054, то из 2,1 придется вычесть 0,01: приходим к первому приближенному
значению 2,09.
Это значение верно по крайней мере с точностью до одной сотой; но пока нам
неизвестно, больше ли оно или меньше [истинного значения] корня».

- 13 -
вместо х а+у и потом вместо у —, то, повторяя эти действия
несколько раз, мы будем постепенно находить один знаменатель за
другим и постепенно приближаться к искомой величине. Этот прием
есть общий для вычисления неизвестного помощью непрерывных
дробей и, без сомнения, может быть приложен к определению корней
уравнения, точно так же, как для вычисления логарифмов и т. п. Но
он для более точного решения уравнений утомителен, требуя для
каждого знаменателя составления новых уравнений, определения всех
производных, подстановления 1, 2, 3, ... вместо х, и т. д.
Но следующий прием избавит нас от этих продолжительных
действий и даст возможность находить не один знаменатель, но
несколько зараз.
Если мы знаем некоторую часть непрерывной дроби, выражающей
корень уравнения fx =* О, положим
•+т+4+.
1
LJ LJ kj LJ^ LJ
и подходящие дроби -Л- , рД , тт- у..., гг^~, гг у соответствующие из-
Vo Wi V2 V/_i 4i
вестным знаменателям а, b, £,...,/, g, то, изобразив остальную часть
ее, неизвестную нам,
ft +
k+^f + .
через t, будем иметь уравнение
х-
откуда
*Qi-i-
1-Х
Pi-xQi
Теперь, чтобы определить t, мы должны найти величину х, — вот
зависимость способа непрерывных дробей от нашего ряда. Итак,
находим из вышеизложенной нами формулы:
X —
Qi
(
f
Рл
г
q)
Ql~f(
'(3) Г
'®||
2)"V®Mg}
|>©Г гЩ
'{'®\'~«{Щ

— 14 -
а потом и самую величину U
'($
Н
+
f-1
• **+<?«
/'
<?,_,/»,-ОА-1
/\
'Л\
vQr
/'
Л
Q,-
+
-QA-i
(-1)'
О?
&
1-
■ +
QA-i
SJ
/'
+
- (-1)'" I
(_!)Ч-1
/
+
QiJ
Q?
/'
f4
if
f[7T.
f
Qi
Лд1
... у
J
Первые три члена этой формулы были найдены еще в прошедшем'
столетии Лагранжем и приняты в основание второго способа
непрерывных дробей. Но наш вывод ее гораздо проще, удовлетворительнее.
Притом он ясно показывает, с какою именно точностью выражается
истинная величина t формулою Лагранжа, между тем как, следуя
выводу великого изобретателя ее, мы об этом заключаем только
гадательно. Поэтому, если [пропуск? — Ред.] наберем ложных цифр
за истинные, то — другая крайность — нередко истинными
пренебрегают как ложными. Употребление же нашей формулы "избавит нас как
от первой, так и от второй погрешности. Для сравнения нашего
приема с приемом Лагранжа выписываю решение по его способу
уравнения х3 — х2 — 2х + 1 = 0 из Лекций алгебрического и
трансцендентного анализа (часть 1, лекц. X)*:
* П. Л. Чебышев цитирует М. В. Остроградского формально не вполне точно.—
Ред.

- 15 -
«Для одного из корней уравнения х* — х'2- 2х-т 1 0 находим
следующие подходящие дроби
L _1 1. JL ^ ?Ii! lilii! [fiL'! *} 'м:* ii5iii4
О ' L" ' ~l ' о ' 101' 2n7 ' 722 ' 929 ' ~62Я»Г ' "МЙЙГ '
соответствующие знаменателям непрерывной дроби
1, 1, 4, 20, 2, 3, 1, 6, 10.
Pi 9
Возьмем i = 3, g- = —, Qf_! = 1 и, подставляя в выражения,
входящие в формулу Лагранжа, имеем
/a)-4./(4)=f./-a)-f-
Итак, t = -g- f 103 + щ— l) или
,_ 10528 _9П 1
3+4-+_l t
6 +4»-
Сколько же тут верных знаменателей? Вот как узнает это
Лагранж:
«Найдя первое частное = 20, заключающееся в t, получим
I 22 1
Q*+1 = 201 И й*<ЗмоР" ir< — 5400 000*-
Не желая ни в каком случае изменить подлинник, я удерживаю»
без изменения и это выражение неравенства, хотя, сказать правду*
оно очень не точно.
«Откуда должно взять Q/ +х не > 1^5400 000, не >2300. Итак,
Р7 1674
мы должны остановиться на седьмой подходящей дроби: q = -^ ».
Неточность этого заключения очевидна: следующий знаменатель
принадлежит истинному выражению корня, и мы должны остановиться
Р 11345
на восьмой дроби: ~ = ~^щ-- И в самом деле, наша формула ясно
показывает, что восьмой знаменатель х или пятый выражения t есть
верный. Принимая за приближенную величину t по способу Лагранжа
+
V-"'+' '(£
мы делаем погрешность, равную остальной части истинного
выражения t\ но чтобы сократить приближенное вычисление ее, беру
только первый член: ибо следующие по чрезвычайной малости дроби

— 16 -
>(2)
—ук-~> которую они имеют множителем и притом в высоких сте-
пенях, не могут иметь влияния на первые цифры, единственно
необходимые нам. Итак, вычислив этот член
(-1)г /V0i
по которому можно судить о погрешности нашего приближения t,
находим, что она менее
11 ill
25" " 5l5^,21"~0,24^ ^25-515 == 12875 < ШШ'
Следовательно, последняя подходящая дробь t должна иметь
знаменатель не > 100. Рассмотрим же найденное выражение
t==20+-o-,JL i и подходящие дроби, соответствующие
знаменателям 20, 2, 3, 6,2, найдем, что искомая соответствует знамена-
а . 1247 11345
телю 6, при котором t = -^- и х = 62Q(, -.
Точно так же легко по этому приему определить, сколько должны
мы предварительно найти знаменателей по общему способу
непрерывных дробей, чтобы приложение формулы Лагранжа могло быть
успешно. Для этого должно обратить внимание на величину
четвертого члена найденного нами выражения t и определить, можно ли
получить один истинный знаменатель. Так просто, так легко все это
по нашему приему.
Выводом способов Фурье и Лагранжа не ограничиваются
вышеизложенные приложения ряда Q,— так будем называть для краткости
ряд, найденный выше для выражения х,— они дают нам еще
несколько новых способов, замечательных по быстроте приближения к
истинной величине корня, но исследование их оставим на несколько
времени и займемся теперь рассмотрением способов высших порядков.
Ряд Q, как мы видели выше, есть общее выражение корня
уравнения; частный же вид его условливается единственно степенью
данной функции (уравнения).
Если /х степени п, то не более как п производных функций будут
иметь действительные величины; прочие же, /п+г, /л+2,... постоянно
равняются нулю. Поэтому в частном приложении нашего ряда к
уравнению] хп + ахп~г + Ьхп~2^ \-q = 0 должно будет опустить
члены, содержащие /И"1, /л+2,... как равные нулю; вот чем отличается

- 17 -
корень взятого нами уравнения от общего выражения его для всякой
степени. Но, с другой стороны, видим из рассмотрения ряда Q, что
в его члены входят последовательно
f*,fx,r*,...,f-\f\f+\...
и, вследствие того, чем выше степень взятого нами уравнения, тем
больше одинаких членов в выражении его корня с выражением
общим. Это дает нам возможность заменять общее, точное выражение
корня, для большего приближения к нему, корнем частного
уравнения наипростейшего.
Вот основание способов высших порядков. Теперь приложим наше
общее рассуждение к способу второго порядка.
Если предположить /х второй степени, то найдем: /а, /а, /"а
будут иметь действительные величины, дальнейшие же производные
/X f14*, • • • равняются нулю. Поэтому в частном приложении ряда Q
к квадратному уравнению найдем следующее выражение для его
корня:
— /а 1 //а V/"а 1 //а V 3 (/"<*)* 1 (f* V 15 (fa)9 _
Х ~~ * /'* 2 V>aJ 2/'a 6 \f'*J (fa)* 24 \J'aJ (fa)9
= a+ _ .
Знаем, что корень уравнения] второй степени выражается
конечною формулою; ищем ее и находим *
-fx+V(fx)*-2f*f* _
а_Г fa
Если заменить теперь этим частным рядом или, что все равно,
^а+КГ/а)2-2/а/"а
а + -^
общее выражение корня
а_/а 2 V/'oJ /'а 6 VjV L (A)2 /a J
1 //а у Г15 (/"а)* _ в/УЬ /IVa1
то найдем: первые три члена совершенно одинаковы, различие
начинается с четвертого, и в частном ряде, против общего, недостает
только
1 / /ay fa J_ //ay *Г*Г*
T\f*J f* "*" 24 V>W (A)2 *
* Нетрудно определить, какой ряд надобно взять при \Г7Г. . Радикальное
выражение должно давать наш ряд, а это воаможно только при -К
2 П. Л. Чебыпгев, т. V

— 18 -
Этих выводов довольно нам, чтобы составить точное, определенное
понятие о приближении второго порядка: если дано уравнение fx=0
и знаем приближенную величину его корня а, то
будет новая, более точная величина его, и разница от истинной
равна
L6 \r*J f'x + 1.2-3.4 \f*J (fy-f + "'J'
Как ни кратко это заключение, но в нем содержится наибольшая
часть исследований VIII Лекции алг[ебрического] и /ярая<;[цендент-
ного] анализа. Постараемся же это обнаружить.
Для этого предварительно сократим нашу формулу, выражающую
погрешность второго приближения, откинув члены, содержащие ■!£
множителем выше третьей степени, как это делает Фурье в подобной
формуле с членами, содержащими Д4, Дб,.... От этого *А'=х — а, =
= b2^3vFaJ Га и это пРивеДет нас к следующим заключениям.
Если а и а' будут два предела корня уравнения fx = 0, от
которых хотим приближаться к нему по способу второго порядка, то,
вставив их в ряд функций fx, fx, fx,... найдем две строки знаков.
Тут можно отличить 8 случаев; рассмотрим же каждый из них
отдельно:
I) fx fx fx fx ...
И - + + + ...
И + + + + ...
Приближение от а перейдет за корень, потому что Д' = х — а, =
= 1Гч7ч/ ЛГ бУДет отрицательное, и следовательно] х<а/. Напро-
тив, a H - х-угф——J— менее корня, погрешность,
соответствующая ему, отрицательная. Итак, новые приближенные величины
корня а, и а' будут служить ему новыми, более тесными пределами.
И) fx fx fx fmx ...
(a) - + + - ...
К) + + + — ...
В этом случае YKf^Jf7^ положительная величина; напротив,
*«„ а„, <х,/„ ... будут означать второе, третье, четвертое,... приближенные
величины а, последовательно находимые при вычислении корня.

- 19 -
g-Г^-Л 4гр-— отрицательная; следовательно), приближение от а
дает меньший предел, а от а' — больший.
III) fx f'x fx fx ...
(*)-- + - ...
(а') _ _ + _ ...
Здесь должно заметить то же, что и в предыдущем случае:
приближение от меньшего предела дает меньший, а от большего — больший.
IV) fx f'x fx fx ...
(«) + - + - ...
(«') - - + - ...
В этом случае, по объясненной в 1-м примере причине, приближение
как от ос, так и от а! переходит за корень, и следовательно] снова
получаются два предела его (корня).
V)
(«)
(«')
fx
—
+
fx
+
+
fx
—
—
г*
+
+
Тут то же самое должно заметить, что и в IV-м случае.
VI) fx f'x fx fx...
(ос) - + + - ...
к> + + + - ...
В этом случае, как и во Н-м, пределы корня только стесняются; но
от меньшего получается меньший предел, а от большего —
больший.
VII) fx fx fx fx ...
(«)--- + •••
(«') - - - + ...
В выражение погрешности новых пределов не входит /"оц след[ова-
тельно], от него не зависит знак А' = х — а. Итак, случай VII cob-i
падает с III.
VIII) fx fx fx fx..,
(«) + -- - ...
(«') - - - -...
Здесь, так же, как и в 1-м случае, по способу второго порядка
переходим от меньшего предела к большему, и обратно. Но и в этом
также получаются два предела, больший и меньший.
Бесспорно, все эти заключения так просто вытекают из нашей
основной формулы, что почти напрасно было подробное вычисление
их; но я это сделал единственно для того только, чтобы вполве
опровергнуть ложное мнение о приближении второго порядка
академика нашего Остроградского или, быть можетэ только редактора его
2*

- 20 -
лекций.. Последнее мне кажется вероятнее, и потому здесь буду
относиться к Бурачку, тем более, что и следующее он именно
приписывает себе (ч. I, стр. 263, 264, прим.). Без всякого основания, не
только истинного, но даже похожего на истинное, автор Лекц[ий]
аиг[ебрического] и трансцендентного] анализа выводит следующее
заключение: «По приближению второго порядка можно вычислять
корни с выгодою только от одного предела, потому что в большей
части рассмотренных случаев от другого предела величина,
вычисленная по неисправленной формуле, не переходит за корень». Сейчас
мы разобрали все возможные случаи и видели, что не только часто,
но даже всегда приближение второго порядка, если от одного
предела переходит за корень, то непременно переходит от другого, и-
следовательно] всегда дает больший и меньший пределы. Но сам
г. Бурачек, как бы признаваясь в несправедливости
вышеприведенных слов, в этой же лекции впоследствии утверждает, что А',
разность между двумя величинами х, найденными от двух пределов,
всегда менее разности каждой из них от истинной величины х.
Не явно ли тут признает он, что истинная величина его содержится
всегда между величинами, находимыми по способу второго порядка
от двух пределов? То ли говорил он несколько строк выше?
Но пойдем далее. Г. Бурачек, приняв в основание своих
изысканий истину, против которой, как мы видели, сильно восставал,
выводит следующую формулу для выражения погрешности нового при-
Л8 flVa'
ближения. Она по его заключению, менее ^^з Tv"" а'' больший
предел ху у Остроградского изображен Ь; и поэтому у него
ж, ^ Д8 flYb .^ д8 /V
д<Т^зяГ> У HacA<T^37v"
Ложность этой формулы можно доказать и неточностью ее вывода
и выводом подобной формулы Фурье. Но — все эти доказательства
в сторону! — формула г. Бурачка сама по себе нелепа, и это легко
может быть обнаружено.
Если возьмем для решения по способу второго порядка
уравнение третьей степени (почему бы этого и не сделать?), то посмотрите,
по указанию этой формулы, какая будет разность найденной величины
х от истинной. Знаем, для кубичного уравнения /iva есть нуль;
следовательно], всегда A^i^'/v* Д<-°*
Как же понять это выражение д'?
Тут' можно сделать два предположения, но ни одно из них не
оправдывает Бурачка.
1) Быть может, в самом деле, мы по способу второго порядка
для уравнений третьей степени всегда находим такую величину х,
которая от истинной разнится менее всякой данной, совпадает с нею.
Несправедливость подобного предположения очевидна.
2) Если в этом случае Д' не 0, то не есть ли оно отрицательная
величина? Но и это предположение опровергается, не только нашею

— 21 -
формулою, свидетельствующею, что приближение второго порядка
для кубичного уравнения может очень часто давать величину менее
корня, а следовательно д' = х — ос, положительное, но даже
бесчисленным множеством примеров. Вот один из них:
fx = *?-2x — 5 = 0, /х = Зх* - 2, fx = bx, fmx=^6.
Пределы йи 2,1 довольно тесны, чтобы начинать приближение
второго порядка, и так находим:
с/ - 9 1 - /7 ft*)-^1/42,1)1»- 2/(2Д) Л2Д) _
— 9 1 11,23-1^(11,23)2- 2» 12,6-0,061 __ 9 11,23-1^124,5754 __
"Ai 12,6 ~~/,! Щ "~
01 11,23-11,161348 484 8 01 пыьллокоп олп/im^
= 2,1 ^ = 2,1—0,005 448 539 = 2,094 551 464.
Разность между истинною величиною корня и второю, приближенною,
2,094551464 находим 0,000000 351, не нуль и не отрицательная
величина, как бы это следовало из формулы Лекц[ий] алг[ебрического)
а /трансцендентного] анализа.
Тут невольно рождается вопрос: неужели г. Бурачек не видал
этого затруднения в приложении своей формулы к уравнению третьей
степени, и это не могло навести его на нелепость ее? Так: он видел
это затруднение, желая решить по способу второго порядка
уравнение х3 — 2л: — 5 = 0, но согласился лучше совсем отказаться от
решения уравнений третьей степени, чем снова проверять вывод своей
формулы (такова бывает лень рассудка), и, не объясняя причины,-
ввел в известное уравнение Ньютона множитель х+19 отчего и
получил уравнение четвертой степени х* + х3 — 2х2 — 7х — 5 = 0 (см.
стр. 271). Что же касается до кубичных уравнений, они, как
обнаруживающие нелепость формулы Бурачка, добросовестно им забыты.
Впрочем неверность ее обнаруживается даже приведенным
примером Бурачка; жаль только, что этого не заметил или, быть может,
не захотел заметить редактор лекций Остроградского. Он берет для
одного из корней уравнения х4 — 6х* + 6х2 + 9х + 2 = 0 пределы
3,5 и 3,6 и приближается к истинной величине х по способу второго
порядка. Для новой приближенной величины корня находит он
-2+^4+2:33-0,1875 _ 0 к , - 2 +УЩ75 __
6,Ь + 33 d'D + 33
= 3,54-2-°46f33528 -3,5620016.
Чем же разнится эта величина от истинной? По формуле Бурачка
находим
д,^ Д* /v(3,6) ^(0,1)' 24^QO0Q1O6
В самом же деле она более 0,000443. Такова неверность формулы
а ^ 1-2-3 fb ■

— 22 -
VI
Рассмотрение ряда Q нас привело к бесчисленному множеству
частных способов вычисления корней. В предыдущих параграфах мы
рассмотрели из них все те, которые ныне известны как удобнейшие,
и видели, что они составляют только несколько приложений истинного
выражения корня уравнения, оставляя, быть может, в неизвестности
самые любопытные. Поэтому намерен я теперь, в заключение моего
рассуждения, рассмотреть несколько новых приложений его и показать
важность их для вычисления.
1. Если в разложении найденной величины x = F($ — (3)
остановиться на четвертом члене, то по теореме Лагранжа будем иметь:
или, как нашли,
Х = а jr-
f f* V /"* _ t_J*_\* Г {/>,(«-->«/))> Г («■■■«') 1
UW2/a \/>...«')/ L2 {/>...а')}2 6/'(а.. .a') J *
Приближение к истинной величине корня по этой формуле всегда
успешнее, чем по способу Фурье, а с другой стороны гораздо проще
^ fa f fa Y fa
приближения второго порядка, a—f^~[f^) ~W£ выражает новую
приближенную величину корня, (^^j [ 2 {/(*...*')}* ~ 6/>...a')J
при наибольшем значении — разность ее от истинной.
Для показания важности этого способа приложу его к известному
уравнению Ньютона
я3 — 2х — 5 = 0.
Вставив 2 и 2,1 в ряд производных данной функции, находим
следующие строки знаков:
/«
—
1
+
0,061
/'а /"а /"'а
+ + +
10 12 6
+ + +
11,23 12,6 6
2,1
откуда видим:
1) корень содержится между 2 и 2,1;
2) V/(«...«') J L2 {/(а... а-)}2 "~ б/(«...«') J ПРИ наибольшей
величине равняется (0,0061)3 [-^f~ -g^] = (0.0061 f(^f -^\<
<0,000000216-(0,85-0,09X0,00000023; а поэтому
3) новая приближенная величина корня от истинной разнится менее
0,0000003, сдед[овательно], по крайней мере шесть десятичных цифр
нами найденной величины корня будут принадлежать его истинному
выражению.

— 23 —
Итак, вычислим его самым делом верно до стомиллионовых долей:
- __„ /а f /* Y-T* - 9 1 0,061 ^0,0В1 у 12,6 -мпппллпл
-0,000016 54
я, =2,094 551 59.
А' = х— а, есть величина отрицательная, следовательно, а, = 2,094 551 59
более корня; но разница его от истинной величины менее 0,0000003;
следовательно], 2,094551 2 — меньший предел, откуда 2,094 551—все
цифры верные.
Повторив этот прием еще раз, найдем 16 верных цифр; а, будет
равняться 2,094551 481 542 3265, и разность этой величины от истинной
менее 0,000 000000000 00001. Подставив 2,094551481542 326 5 в нашу
формулу вместо а„ мы найдем третью приближенную величину х. Она
будет
2,094 551481542 326 5-
/(2,094 551481542326 5) f / (2,094 551 4 ...) у* f (2,094 551 4...) __
/ (2,094 551 481 542 326 5) \ / (2,094 551 4 ...) / If (2,094 551 4...) ~
+
= 2,094 551481542 3265 +
0,С00 0 00 000 000 000 102 107 496 044 367 954 543 249 518 586 537 5
11,161 437 726 493 464 726 445 633 097 806 75
0,000 000 000 000 001021 0 ... -J2 12,567 308 889 253 959 0
_ 10,000000000000001021 О...-)2
\ 11,161437 /
2-11,161 437 726 493 464 726445 6330
= 2,094 551481 542 326 500 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 00
+ 0,000 000 000 000 000 091482 386 540 579 307 675 443 419 905 724 22
— 0,000 000000 000 000 000 000 000 000 000 004 701 586 024196 725 14
2,0 94 551481 542 326 591 482 386 540 579 302 973 857 395 708 999 08 '
Мы видели: наибольшая величина
{/'(д.. .«')}» Г («■■■О
2{f (а. ..ос7)}* 6/(а...а')
есть 0,76; теперь нет нужды вычислять и снава. { # L ап }8 менее
{0,000 000 000 000 000 092}8 <
< 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 8.
Следовательно], третья приближенная величина корня от истинной
разнится менее
0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 7, или
^ 10Ш(Ш(ЮООШОО0ОО000ООШ(ХЮ(Ш(Ш(ШОШ0Ш0ООО0О *
Из этого примера убеждаемся в важности приема, нами употребляемого
для вычисления корней. Фурье решал это же уравнение по своему
способу и получил после пяти приемов только 32 верные цифры; мы
же в три приема нашли 48. Что же касается до 5, 6,... верных цифр,
как это большею частью бывает нужно в практике, мы получили
в один прием.

- 24 -
2. Приближение к истинной величине корня будет еще быстрее,
если возьмём для вычисления ее 5, 6,... членов ряда Q. Бесспорно,
вычисление новой величины корня будет еще не так просто, как видели
выше, но со всем тем, можно предположить, гораздо проще
приближения третьего, четвертого порядков, быстрота которых могла бы
только сравниться с быстротою этих приемов. Так, если будем
приближаться к истинной величине корня по формуле
- „ _ Л _ fl!L>\ £± - ( /aY Г У"^% _ ЛИ. 1
' /* V fa) 2 fa V /W [ 2 (fa)» /a J '
число верных цифр, говоря вообще, будет последовательно
увеличиваться в 4 раза.
3. Приложения ряда Q к непрерывным дробям также дают
множество частных способов вычисления корней. Выше (§ IV) мы видели,
что t, искомый знаменатель, выражается формулою:
которая дает следующие приближенные выражения для
(-1)') Q&-1 . f \Qt) I
{ Лог;)
а) Первая из этих формул дает нам способ непрерывных дробей,
соответствующий линейному приближению. Точно по тому же закону,

- 25 -
как в нем, число верных цифр каждый раз быстро возрастает. Покажем
это на корне уравнения х8 — 2х — 5 = 0.
Если знаем следующие подходящие дроби: -%- = -~ , -5*- = f * то t
выразится так:
— ( 16 л. 1123> 1062 1 _, * j
ioov(—l)8"^ т)~ 610 -[ + 1" + -; l. j
° + 2
Сколько же тут верных знаменателей? Наибольший член из прене-
бреженной нами части t есть foo т~2лпа <Шо* Следовательно,
последняя подходящая дробь t должна иметь знаменателем не
>]/100 = 10. Рассматривая найденное выражение
t= 1 + 4- . 1
1 2 5 7 47
и подходящие дроби: у» Т' Т' Т' 27'**"' найдем> что искомая
7 155
соответствует знаменателю 1, при котором £ = х>а;с==:*74=: 2,094 59.
1 1
Эта величина верна до ^г< 4900 < 0,0005 и притом более х;
следовательно, меньший предел его 2,09454. Точно то же нашли мы для
этого корня по способу Фурье.
b) Вторая величина есть формула Лагранжа; мы уже о ней говорили
довольно (§ IV).
c) Третья доставляет нам способ чрезвычайно быстрый. Сущность
его легко можно видеть из нашей формулы, и потому я
ограничиваюсь тут только указанием на его возможность.
Так многочисленны, так разнообразны приложения ряда Q. Заметим
также, что приложение его к двучленным уравнениям дает [бином]
Ньютонов с дробным показателем, к уравнениям второй, третьей
и четвертой степени —известные конечные формулы.
С одной стороны, показать одно общее начало всех частных
способов вычисления корней, а с другой, бесконечное, разнообразное
множество их,—вот задача моего рассуждения; задача великая,
объемлющая главную часть алгебры. Знаю, сочинение мое не
соответствует задаче, но по крайней мере оно подаст мне случай слышать
от вас несколько замечаний относительно мыслей моих об этом
важном предмете анализа и, может быть, избавит меня от дальнейших
заблуждений.

ОПЫТ ЭЛЕМЕНТАРНОГО АНАЛИЗА
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ *
ПОЛОЖЕНИЯ
I
Теория вероятностей приносит надлежащую пользу только при
помощи анализа.
II
С началами алгебры может быть выведена вероятность повториться
нескольким событиям известное число раз.
III
Определение вероятности, что числа повторений событий будут
в данных пределах, требует составления особенной таблицы.
IV
Без посредства интегралов могут быть даны понятие об этой
таблице и ряды для ее вычисления.
V
С помощью этой таблицы мы можем составлять заключение о
вероятности события по числу его повторений.
VI
Чрез посредство одной вспомогательной теоремы относительно
суммирований может быть также выведена вероятность средних
результатов.
* «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». Сочинение, написанное
для получения степени магистра кандидатом Чебышевым. Москва. В типографии Августа
Семена, на Кузнецком Мосту, в доме Суровщикова. 1845.
В отличие от всех остальных сочинений Чебышева, настоящая работа
воспроизводится здесь со значительной модернизацией формул, в частности, с заменой
развернутой записи сумм и произведений, сокращенной с Е и П.— Ред.

- 27 —
VII
С одними началами алгебры можно пока?ать, что величина
произведения 1-2-3- • -(х — \)х всегда заключается между величинами
Сх 2е п\ Схх ~2е * 12х **', где С есть количество, не
зависящее от х.
Показать без посредства трансцендентного анализа основные
теоремы исчисления вероятностей и главные приложения их, служащие
опорою всем знаниям, основанным на наблюдениях и свидетельствах, —
вот мысль, предложенная мне для осуществления его сиятельством
господином попечителем Сергеем Григорьевичем Строгановым.
Решение этой задачи представляет, с одной стороны, важное развитие
приемов алгебраического анализа, с другой,—значите 1ьную пользу
в распространении знаний исчисления вероятностей между множеством
людей, ограничивающихся в изучении математики одною алгеброю.
Анализ теории вероятностей до сих пор составляет одну из
любопытнейших и вместе с тем одну из труднейших отраслей
трансцендентного анализа. Здесь искомое, кроме самых простых случаев,
определяется уравнениями в конечных разностях, которых
исследование представляет несравненно более трудностей, чем исследование
уравнений дифференциальных. Из этих уравнений искомое получается
выраженным с помощью определенных интегралов, большею частью
весьма сложных; таков способ Лапласа, до сих пор единственный.
И наконец, числовые величины этих искомых приводятся к особенной
трансцендентной, не заменимой вполне никакою совокупностью
конечного числа действия алгебры, так же как известными там
трансцендентными ех, sin x и пр.
Таким образом, начиная с уравнений, определяющих искомое, до
числовых значений его, везде встречаем анализ трансцендентный
и наиболее трудный. Но, вникнув внимательнее в задачи теории
вероятностей, мы убеждаемся на самом деле, что кроме приема, здесь
доселе употребляемого, посредством которого при помощи анализа
трансцендентного все вопросы решаются удовлетворительно, возможен
другой прием с одними началами алгебры, прием, хотя уступающий
первому в общности, но значительно выигрывающий в простоте
анализа. Так, мы находим весьма просто выражение искомой
вероятности без уравнений в разностях, с началами только умножения и
возведения в степени. В диссертации моей я ограничился только несколькими
•частными случаями, наиболее любопытными; но легко убедиться, что тот
же самый прием прилагается и ко многим другим вопросам. Получая
таким образом для вероятностей алгебраические выражения, я
показываю приближенные их величины без помощи интегралоэ; здесь как
вспомогательное средство употребляется только разложение lg(l +x)
по степеням возрастающим х, ряд обыкновенно предлагаемый в

- 28 -
прибавлениях к начальной алгебре. Замечая же, что большею частию
все эти величины вероятностей приводятся к выражениям одинакового
вида, я означаю их, подобно sin, lg и пр., особенным знаком Т и
предлагаю для определения их величин таблицу. Таким образом с помощью
одной алгебры решаются все вопросы относительно повторения событий
и определяются вероятности средних результатов — все, что
составляет наиболее любопытное и полезное в теории вероятностей.
Но если все это, сделанное мною, слабо и незначительно, то
сочинение мое Опыт элементарного анализа теории вероятностей,
я надеюсь, заслужит внимание ученых как попытка осуществить мысль
чрезвычайно полезную. До сих пор элементарные курсы теории
вероятностей ограничивались только изложением, более или менее
подробным, результатов, полученных посредством высшего анализа.
Дать возможность -поверить все эти заключения анализом строгим
и простым, доступным для большей части учащихся, есть большой
шаг в способе элементарного изложения теории вероятностей.
Кандидат Чебышев
1844 года
октября 17 дня.
I
ОСНОВНЫЕ НАЧАЛА
§ 1. Если из определенного числа различных событий при
известных обстоятельствах одно необходимо должно случиться и нет
особенной причины ожидать какого-либо из этих событий преимущественно
пред другими, то такие события отличаем названием случаев равно-
возможных. Так, имея одинакую причину ожидать туза, короля,
даму и пр. какой-либо масти, выдергивая наудачу карту из полной
колоды, мы говорим здесь туз, король, дама и пр. известной масти
суть случаи равновозможные.
§ 2. Если же из п таких случаев т имеют необходимым
следствием событие, которое не имеет места при остальных п — т случаев,
то такое событие называют вероятным и за меру его вероятности
принимают —, т. е. отношение числа равновозможных случаев
благоприятных для события к числу всех равновозможных случаев.
Так, из 52 равновозможных случаев, которые представляет
выдернутая наудачу карта из полной колоды (§ 1), двенадцать случаев:
король червей король бубен король треф король пик
дама „ дама „ дама „ дама „
валет п валет „ валет „ валет „
представляют фигуру, а остальные 52—12 не фигуру. Поэтому веро-
12
ятность выдернуть наудачу фигуру из полной колоды карт будет -^,
Л 3
или, по сокращении на 4 числителя и знаменателя, -г*- •

— 29 -
Вот другой пример, более общий. В сосуде лежит а шаров, из
которых Ъ цвета белого; остальные a — b других цветов. Если я, не
выбирая, выну отсюда один шар, он будет белый или не белый,
смотря по тому, попадется ли мне в руку шар из числа b белых или
из числ'а прочих а — Ь. Но как всякий из этих шаров имеет одина-
«ую возможность попасться в руку, следовательно, вынуть каждый
из них — случай равновозможный, и число всех этих случаев а, число
шаров. Но из них Ъ только белого цвета, а поэтому р, вероятность
вынуть белый шар, определится
§ 3. Из составленного нами понятия о вероятности (§ 2) следует,
что она всегда выражается дробью, которой числитель менее
знаменателя, если только не во всех возможных случаях имеет место
рассматриваемое событие или, что одно и то же, если это событие
не есть необходимое. В последнем случае вероятность его, как
отношение чисел равных, приведется к 1. Так/?, вероятность вынуть белый
шар в предыдущем примере (§ 2), будет 1, если b = а, т. е. если
в сосуде все а шаров белого цвета. В этом случае мы необходимо
вынем белый шар, а не какого-либо другого цвета, ибо в сосуде все
шары будут белые.
Другой предел вероятности, когда число случаев, в которые
рассматриваемое событие имеет место, есть нуль или, что одно и то же,
когда событие совсем невозможно. Вероятность такого события,
выражаясь отношением 0 к конечной величине, приводится к 0. Например,
если b в примере § 2 будет 0, то вынуть белый шар будет невозможно
(ибо при b = 0 совсем не будет шаров белого цвета) и р — вероятность
этого события — будет 0.
Итак, 1 и 0 суть пределы вероятности событий, из которых первого
она достигает, увеличиваясь для событий необходимых, второго,—
уменьшаясь для событий невозможных. Для всех же других событий,
в которых нет необходимости и невозможности, вероятность остается
отличною от 1 или 0. Здесь приближенно мы считаем несомненным,
что события будут или не будут иметь место, если вероятности их
мало разнятся от 1 или 0. Таковы все заключения, выводимые из
наблюдений и свидетельств.
§ 4. Наука о вероятностях, известная под именем теории
вероятностей, имеет предметом определение вероятности события по данной
связи его с событиями, которых вероятности известны.
Вот основные теоремы этой науки.
§ 5. Первая теорема. Вероятность, что случится одно из у.
событий Еъ Еь ..., из которых ни одно не может случиться вместе
с другим*, есть сумма их вероятностей.
* Такие события будем называть несовместными между собою.

- 30 —
В самом деле. Если вероятности событий
Еъ Е%> • • •, «Сц. (2)
суть
Ръ Ръ • • ■, Рр, (3)
и число всех равновозможных случаев
есть я, то, по сделанному нами определению вероятностей (§ 2), будем
иметь
А = 1Г' Л^ТГ'-'-'Л^ТГ ' (5)
где тъ т2, ..., т^ суть числа случаев, благоприятных для событий (4)
Все £ти случаи, имея необходимым следствием одно из событий
Еъ Еь .. ., £^, будут различны между собою, ибо по положению ни
одно из событий Еъ Еь ..., Е^ не может случиться вместе с другим,
а потому число всех таковых случаев будет т1 + т2+ • • • + т^. Но
число всех равновозможных случаев (4) есть п\ следовательно, Р,
вероятность, что случится какое-либо из событий (2)
по § 2, определится уравнением
или
и, вследствие
(5),
Р =
Р =
будет
Р =
т1 + т2+--
~ п
-4tk. л.1Ь.л..
п ' п '
= Pl + p2 + '-
~ п
• + /V
(6)
что и следовало доказать.
Например, если в числе а шаров, заключенных в сосуде,
находятся Ьг белого цвета, Ь2 черного, то вероятность вынуть шар (§ 2)
h h
белого цвета будет —, черного -^ . Отсюда вероятность вынуть шар
белого или черного цвета, по доказанной теореме, будет —- Н—L.
Рассматривая события Еь Е2,. .., Е^ как различные виды одного
события F, эту теорему выражают так:
«Если для события F возможно несколько различных видов,
несовместных между собою, то вероятность его будет сумма вероятностей
этих видов».
Так в вышеприведенном примере вынуть шар белый и вынуть шар
черный суть два вида одного события — вынуть шар или белый ^ли
черный.

— 31 —
§ 6. В частном случае, когда
Pi = Pi = • • • = р
р-
по (6) будем иметь
Р = РА (7)
т. е. вероятность случиться одному из у. событий, несовместных между
собою и одинаково вероятных, есть произведение их числа на общую
их вероятность.
Так вероятность вынуть один определенный шар* из сосуда,
заключающего а шаров, есть —, ибо здесь при равновозможных
случаях только один случай дает определенный шар. Отсюда, по (7),
вероятность вынуть один из b определенных шаров будет b —
или —, что мы и нашли (1) для выражения вероятности вынуть шар
белого цвета, когда число их есть Ъ.
§ 7. Вероятность события необходимого, как видели (§ 3), есть 1;
вследствие этого по доказанной теореме (§ 5) |необходимо должно
случиться одно из несовместных между собою событий Еъ Еъ . .. , Е^
если сумма их вероятностей есть 1, и обратно: сумма вероятностей
событий ЕъЕъ-, £р., несовместных между собою, [будет] 1, если одно из
них необходимо имеет место. Так, если в сосуде из числа b + V -f bn
шаров b белого цвета, b' — черного, b" — красного, то вероятность
вынуть белый шар будет ь+*, + ь„, черный b + %+bn, красный b+y+b„ .
Сумма вероятностей этих событий есть b+b,+b„ + b+b>+bn + b+y+p >
что, приводясь к 1, обнаруживает необходимость одного из них, т. ев
вынуть шар или белый, или черный, или красный.
Два события, несовместные между собою, из которых при
известных обстоятельствах одно необходимо имеет место, отличают
названием событий противуположных. Означая через ряд вероятности
таких двух событий, мы по доказанному будем иметь
P + q=l. (8)
Вот какую связь представляют вероятности двух событий
противуположных. Вследствие этого, по (8),
р = \-ду д=\-р, (9)
т. е. вероятность какого-либо события определится разностью 1 и
вероятности события ему противуположного.
§ 8. Вторая теорема. Вероятность случиться событию Ег вместе
с событием Е% есть произведение вероятности Ег на вероятность,
которую получает Е2 в том случае, когда Ег имеет место.
* Например, означенный JSfe 1 (если мы каждый из них означим различными
номерами 1, 2, 3,..., а).

- 32 -
В самом деле, пусть будет р вероятность события Еъ и когда это
событие имеет место, пусть будут
Съ С»..., С„ (10)
все равновозможные случаи, из которых т случаев
(~*1> ^2> • • • » ^гп (11)
имеют необходимым следствием событие [Е2, не имеющее места при
остальных я — т случаях; рь вероятность события Е2 в этом
предложении, определится (§ 2) через
А--?. (12)
Если же мы назовем через Р0 вероятность случиться Ег вместе
с Сх; вероятность случиться Ег с С2, Ьх с С3,.. ., Ех с Ст Ех с Ст+и
Ех с Ст+2,. . ., Ех с Сп будут также Р0, ибо по положению Съ С2,... ,Сту
Ст+и . .., Сл все суть случаи равновозможные после события Ех.
Вследствие чего, по (7), тР0 будут вероятность случиться событию Ех
вместе с одним из т случаев (11),
или, что одно и то же, вместе с событием ^ которое они имеют
необходимым следствием. Поэтому будем иметь
Р = тРф (13)
если назовем через Р вероятность случиться Ех вместе с Е2. Точно
так же по (7) в пР0 находим вероятность случиться Ех вместе с одним
из п случаев (10)
^1) ^2> • • • 9 ^т> • • • > ^я>
что приводится к ръ вероятности одного события Еъ ибо вместе
с этим событием всегда случится один из п случаев (10) как
единственно возможных. А потому
пР0 = рх.
Исключая с помощью этого уравнения Р0, из (13) находим
Р — — Г)
где, по (12), заменяя -~- через /?2, получим
в чем и заключается предложенная теорема.
В частном случае, когда одно событие не имеет влияния на
вероятность другого, по (14) Р, вероятность случиться им вместе,
определится через произведение их вероятностей.

- 33 -
Например, если в сосуде из числа а шаров находятся Ь белого
цвета, в другом из числа d шаров V белого цвета, то вероятность
вынуть белый шар из первого сосуда будет —, из второго К- Отсюда,
по (14), вероятность, что из обоих сосудов вынутся белые шары,
определится произведением —.-г.
Здесь одно событие не имело влияния на вероятность другого.
Вот пример, где происходит такое влияние.
Из сосуда, содержащего а шаров, в числе которых b шаров белого
цвета, я вынимаю наудачу два шара один за другим, не положив
назад вынутого; какая вероятность, что оба вынутые шара будут
белые? Вероятность, что первый вынутый шар будет белый, есть —,
и из оставшихся в сосуде а — 1 шаров белых будет b — 1 или Ь,
смотря по тому, будет ли вынутый в первый раз шар белый или
не белый. А следовательно, смотря по тому, будет ли вынут в первый
раз шар белый или не белый, вероятность вынуть белый шар во
второй раз будет a__i или • __1 . Вот влияние одного события на
вероятность другого. Чтобы получить вероятность в оба раза вынуть белые
ь
шары, мы по доказанной теореме должны умножить —, вероятность
в первый раз вынуть белый шар, на ~ , вероятность во второй раз
вынуть белый в том предположении, что первый вынутый шар был
белый.
§ 9. Предыдущую теорему легко распространить на большее число
событий. Пусть будут рг вероятность события Ех, р2 — вероятность
события Е2 в том предположении, что событие Ех имеет место
рг — вероятность события Е3 в том предположении, что оба события
Еъ Е2 имеют место. По (14) мы находим, что вероятность случиться Ег
вместе с Е2 есть р^р2. Делая
ЛЛ = А (15)
мы в р будем иметь вероятность события случиться Ег вместе с Е&
а поэтому вероятность такому событию случиться вместе с EZi или,
что одно и то же, случиться трем событиям Еъ Еъ Ег вместе, по (14),
будет рр3. Заменяя здесь р через ргр2 по (15), находим для
выражения этой вероятности ргр^Рз-
Переходя таким образом к 4, 5, б,... и т. д. событиям, мы
убеждаемся, что Р, вероятность случиться вместе (л событиямЕъ Е^..., Е^
определится уравнением
Р = PlP* - • - Р? (16)
где pi — вероятность события Ег;
Рг— вероятность события Е2в предположении, что Ег имело место;
pz — вероятность события Ez в предположении, что Еь Е% имели
место;
3. П. Л. Чебыоде», т. V

- 34 -
р —вероятность события Е^ в предположении, что Еъ Е2)..., Е^{
имели место.
В частном случае, когда события Еь Еъ . .., Е^ не имеют влияния
друг на друга, Р (16), вероятность случиться всем им вместе,
приводится к произведению их вероятностей.
Так, например, вероятность • вынуть белые шары из \l сосудов,
содержащих
аъ а2, . . ., а^
шаров разного цвета, в числе которых белых
01, 02, • • • > 0}х,
вынимая из каждого сосуда по одному шару, будет
A. A...iV.
Вероятность же вынуть сряду ц белых шаров из сосуда,
заключающего а шаров, в числе которых Ь белых, будет
_ь_ ь—1 ь — 2 ь — (\>.— 1)
а 'а—i * а — 2 "" а — (fx — 1)
где — есть вероятность вынуть белый шар в первый раз; ~
—вероятность вынуть белый шар во второй раз в предположении, что
h 9
первый вынутый шар был белый; ~9 — вероятность вынуть белый
шар в третий раз в предположении, что первые два вынутые были
белые; и т. д.
§ 10. С помощью предыдущих теорем мы доходим до
следующего предложения:
«Если событие F может случиться только тогда, когда имеет место
одно из [л событий
после которых его вероятность становится равною
Ръ Ръ • • •, Р^
вероятности же событий
суть
то вероятность события F есть
PiPi + PtPt + '-' + P^.
В самом деле, по теореме второй (§ 8) вероятность случиться Ек
вместе с F есть Ргръ Е2 вместе с F— есть Р2р2; Ед вместе с F— есть
РзРг> •.., Ер вместе с F — естъ Р^. Отсюда по первой теореме (§5)

- 35 -
вероятность, что случится какое-либо из этих совпадений событий Ег
с Fy Е2 с F, Е3 с F, . .., Еу. с F, или, что одно и то же, что случится F
вместе с каким-либо из событий Е1у Е2,..., £,х, определится суммою
PiPi + PfPi + '-'+P^. (17)
Но по положению Fh не может иначе случиться, как вместе с одним
из событий
F F F
Следовательно, это выражение (17) и будет принадлежать
вероятности события F.
Пусть будет, например, (х сосудов
Аъ А2, . . •, А^
где Аг заключает аг шаров, в числе которых Ьг белого цвета, А2 заключает
а2 шаров, в числе которых Ь2 белого цвета,..., А^ заключает а^ шаров,
в числе которых Ь^ белого цвета. Вероятность вынуть белый шар будет
A. h. hi
смотря по тому, будем ли мы вынимать шар из сосуда Аг или Аъ...,
или Ар.. Но если мы, не выбирая, опускаем руку в один из этих \±
сосудов, то вероятности вынуться шару из сосудов
А±, А% . . . , Ау.
будут
JL JL ... J_
и-' и- *
Отсюда вероятность, что шар, вынутый наудачу из этих у. сосудов
будет белого цвета, определится через
J_A + —A j I- —-^
ИЛИ
А/А+А + ...+ ^
Рассматривая события £ь Е2,..., £V как различные гипотезы, в
которых событие Z7 может случиться, это предложение выражают так:
«вероятность события есть сумма произведений вероятностей каждой из
возможных и взаимно друг друга исключающих гипотез на вероятности
его в этих гипотезах».
§11. Третья теорема.—Если событие/7 может случиться только
тогда, когда имеет место одно из у. событий
3*

— 36 -
после которых его вероятность
Ръ Рь --->Pv.>
вероятности же событий
£>ь £*ъ ' • • > ^ у-
суть
то вероятность, что с F имело место событие Ev есть
PiPi
Лл + ^+''' + V/
Для доказательства этого назовем через Р вероятность Ег в
предположении, что F имеет место. По теореме второй (§ 8),
вероятность случиться вместе F и Ег будет
ибо, как видели (§ 10), Ргрг + Р%р2 Н ЬЛ*Аа есть вероятность события
F, а Р по положению есть вероятность ^ в том случае, когда F
имеет место. Но эта же вероятность — вероятность случиться вместе F
и Ег — по теореме второй (§8) есть Ргръ ибо Pi есть вероятность
события Еь а рх вероятность F, если Ег имеет место. Следовательно,
(PiPi + Р2Р2 + • • • +лл) Р = PiPv
Откуда
Р== PiPi + P*Pi+ -- + Лл' (18)
что и следовало доказать.
Так, если из \х сосудов предыдущего примера (§ 10) вынулся
наудачу белый шар, то вероятность, что он вынулся из сосуда Аь
определится через
p. ^i р. а2 р, ^
*1 *2 ^
" ОСриЛАПи^,!*! JBDJU
1 1 1
где —, ~,..., -^- — вероятности вынуть белый шар, когда выни-
и-
маем шар из сосудов Аь Аъ ..., А& а —, —> ••> вероятности
вынуться шару из сосудов Аъ Аь..., А^.
Рассматривая события Еъ ЕЬ...,Е^ как различные гипотезы, в
которых событие F может иметь место, это предложение выражают
следующим образом: «вероятность, что событие имело место в
предполагаемой гипотезе, есть произведение вероятности этой гипотезы
на вероятность события в ней, разделенное на сумму таких
произведений относительно всех возможных и взаимно друг друга
исключающих гипотез».

- 37 —
§ 12. Если же событие F находится под теми же самыми
условиями, как и F, так что первое случается в той же самой
гипотезе, в какой случилось второе, то находя, по § И, для
вероятностей гипотез
когда событие F имеет место,
РгРх РгРг V*
PiPi+PiPz+'-'+P^' PiPi + PtPt+'-' + P^' 'PiPi + PtPt + '-'+P^
и называя через тгь, тгъ...,щ вероятности события F' в гипотезах
Еь Е%..., Е^ мы, по § 10, заключаем, что вероятность F будет
PiPi ff ,. , Уч
PiPi+PtPt +•• • + Vi- ' piP* + ^.л+--+ V*
ИЛИ
PiPi*i + Л/>»*» + • ■ - - У^
PiPi + PtPt+'-'+P^ '
Вот вероятность события F, условливаемая событием F,
происходящим под теми же самыми условиями, как и F.
Например, если я вынул наудачу белый шар из сосуда, не зная
какой это именно сосуд из числа сосудов § 10, то вероятность вынуть
еще белый шар, вынимая из того же самого сосуда, будет
II
О ПОВТОРЕНИИ СОБЫТИЙ
§ 13. Показавши основные начала теории вероятностей, мы
приступим к определению вероятности повториться данным событиям в
известное число случаев известное число раз.
Мы видели (§ 9), что если рь p^...,р^ суть вероятности событий
Еъ Еъ...,Е^ то вероятность, что события Еъ Еъ..-,Е^ будут иметь
место, определится произведением pi/v--/V Если же предположим,
что из числа \х событий Еъ Е2,...,Е^ т событий тождественны Е9
которого вероятность р, прочие же у. — т событий тождественны Fy
которого вероятность 1 — р, то по предыдущему рт(1—р)*~т будет
вероятность случиться в известном, определенном порядке т раз
событию Е и [х — т [раз] событию F. А поэтому, если К будет число всех
различных видоизменений, возможных в порядке следования т событий

— 38 -
Е я [i — m событий F, то (§6) Крт {\ — рУ~т будет вероятность
повториться в |х случаях т раз событию Е и \х — т событию F.
Что же касается до числа К, числа различных видоизменений в
порядке следования т событий Е и \L-tn событий Z7, то при выводе
формулы бинома Ньютона показано, что это число равняется
т ! ({J. — т)! *
Итак, называя через Р^™ вероятность в [l случаях повториться т
раз событию Е (и, следовательно, противуположному ему повториться
\л— т раз), мы для определения Р^т имеем уравнение
где р есть вероятность события Е.
Таким же образом предполагая, что из числа ц. событий Еъ Еь...,Еу.
тг событий тождественны E'v т2 тождественны Е^ ..., ma-i
тождественны Еа_г и, наконец, остальные [х — тг — т2-> т^\
тождественны F, событию противуположному Е\, Ер..., E'9_v и, называя через
РъР*---*Ра-1, 1— Рг—Рг pa-i вероятности событий Яр Е'2>...
...,Z^_,, F, мы, по § 9, заключаем, что р^рф.'-ръ-г (l—pi — p2 —
pa-\)lx"~mx m°-i будет вероятность случиться в определенном
порядке тг событиям Е'г, т2 событиям E'y..,ma-i событиям Ea_v
\х — т1 — т2 та-1 событиям F. Замечая же, что число
видоизменений в порядке следования тх событий E'v т2 событий Е'2,...9 ma-i
событий Еа_р ..., ^ — гпх — пг2 ma~ \ событий Р есть, как
доказано при биноме Ньютона,
к*
мы, по (§ 6), заключаем, что
ил <<'••• /^ТЧ1 -pi -p* Po-if~mi~m>—m°-1
есть вероятность повториться в [х случаях т1 раз событию Е[, т2 —
событию Е'2,..., m0-i — событию E'a__v у. — тг — т2 rna-i —
событию противуположному E'v Еу ..., E9m_v где ръ рь . --,pa-i суть
вероятности событий Е\, E'2,...,E'a_v Итак, называя вероятность этого Р,
мы для определения Р имеем уравнение
^/W- • -<V (1 -pi - р^' — P°-if~mi~mt m°-1
§ 14. Переменяя в уравнении (19) р на ръ р2,---,рп,---,ps-ь находим
Ш5Л_.РГ(1_Л)^-, от,(Дм), pyo-pj^,...,
/n!(pt%,-/C(i-^-'".---, Mi^-W)i^-i(i-^')^,

- 39 —
для величины вероятностей событию Е повториться в у. случаях т
раз, когда вероятность Е предполагаем равною рь />».--, р*..., ps-\-
Если же все эти s — 1 гипотез одинаково возможны и нет места иным
Л
гипотезам, то общая их вероятность - __ . Вследствие чего, по § 11,
1 а»
s — i т\{^ — т)\ Рп (1~ Рп)
—| —у — —(21)
s-i т!(|Г-л,)1 УТ(^РгГ-т+Р?(^Р^-тЛ-'-+рТ^-Р5-^-т}
будет вероятность, что событие Е, повторившееся в у. случаях т раз,
имело вероятностью рп- Изображая вероятность этого через Vp , мы
л
для определения ее, сократив одинаких производителей числителя и
знаменателя (21), находим
VВ- — —ZT~ 77.—Г _ . —
'Рп
р? (1 - Р^~т + р? (1 -л)"-™ + • • •+рТ-1 О - р, -xf'
(22)
Например, если нам известно только, что в сосуде s шаров и они
двух цветов: белые и черные, то вероятность вынуть оттуда белый
шар одинаково может быть
_1_ 2_ s — i
s ' s ''"' s '
смотря по тому, будет ли там 1, 2,..., s—1 шаров белого цвета. Если
же мы знаем, что вынимая отсюда по одному у шаров, всякий раз
полагая назад вынутый, мы т раз имели шар белый, то по (22), делая
1 2 s — i
там рг = —, р2 = —,..., ps-\ = ——, найдем в
£Г0-т)"
-УОЧГ'ЧтХОЧГ'+'-'Ч^ТО-^1)"
выражение вероятности, что вынуть белый шар имело вероятностью
—, или, что в сосуде было п шаров белого цвета.
По (22) мы находим
Р?(1-РгГ-т
рТ (1 - л)*-'" + Рт (1 -л)*-"" +• • • + pT-i (I - Ps-if ~n'
р?(1-РгГ-т
p?(t-Pir-" + pf(i-pjr-n+~- + p?-i{i-Ps-iy~m'
p7-i(i-Ps-u~m
pT(i-pl)»-m+pZ(i-Pir-m+~-+p?-x(i-Ps-if~m

— 40 -
для величины вероятностей, что событие, повторившееся в [л случаях
т раз, имело вероятностью рь рь .. -, ps~\\ но при этом вероятность
повториться ему в у! случаях т! раз по (21) есть
Следовательно, по § 12,
./bWj^O! х
р? (1 -л)1*-* + pf (1 -лГ-"1 + •••+/>?-! (1 -Ps-iY-"1
X {pf (1 - P^Y'-m' -Р? О - Р1)"~т + Р? (1 - /,2)'i'~m' -Р? (! - P2),i-m+ • • •
• • • + Р?1г (1 -рв-,Г~т'-Pt-г (I -/',-1)li-'"} (23)
будет 'вероятность повториться событию в [i! случаях т' раз, когда
оно в (х случаях имело место т раз и /71; ръ ..., />4_1 суть
единственно и равно возможные величины его вероятности.
Так в предыдущем примере
т'\ (yi'-m'y.
(т)"(1-тГ"+а)*о-!Г"+-+(£^)*(,-1^г*
х {(Г('4Г"'(тГ(ЧП+ (4)"'0-5)""'(1Г (ЧГ+
будет вероятность в у! раз вынуться /и/ белых шаров, если в \l раз
вынулись т белых.
III
О ПОВТОРЕНИИ ДВУХ СОБЫТИЙ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО РАЗ
§ 15. Выражения вероятностей, как могли заметить из предыдущих
параграфов, заключают большею частью произведение такого вида
х\ = \-2---{х — \)х.
Чтобы найти значение его для х довольно большого, полагаем
где, сократив одинаких множителей числителя и знаменателя и собравши
все производители = е2, которых число х — 1, находим
12-22- - -(х— l)2*-2^1 в2*-2 = А. (25)

- 41 —
Отсюда, по умножении всего на х2х+1 е-^- и излечении квадратного
корня, имеем
x\ = eVAx 2 е~*. (26)
Так выражается произведение 1-2-3---Л; через А; остается только
определить это количество.
Для этого назовем через С произведение бесконечного числа
производителей
По равенству
мы будем иметь
2 f j_ Y „2 /_L Y ^ / д: -1 у*-* с
6 \2 J6 \* J'"6 \ * ) ~ егГ х VH-l^ + iy*^...'
что для Д по (24), дает такое выражение:
которое иначе можем написать так:
Л = Се г UW *' U+2/ (28)
Но
^(ттт^^^ + ^ + ^^ттт-
= 2 + 2(^+l)lg(l-Jl1)-lg(l-^I) =
2 2 2
= 2 — 2 -~ 2 (д: -f 1) ~~ 3(д:+ I)2 "~~ 4 (ж + I)3
■ 1 , 1 J 1 +...=
\ А То/у I П2То/,1 1V* I
^jc + l"1-2(д:+ 1)2_Г3(д:+ 1)
1
(29)
"" 2-3(л: + 1)2 3-4 (л:+1)3 4-5(jc+1)4
Это выражение lg£2f-q^Y* мы можем представить иначе, заметив,
о
Г1 1 Л V 1 * > t . 1 ,, .1 , _
что
JL/1
6

— 42 -
1 1
Внося отсюда значение 6,x + i)» + 6 ,х + 1)8 Н в (29). находим
+ (x-5-6)l^W+--- <3°>
Рассматривая это выражение, мы замечаем, что все коэффициенты
13 14
■q—£75, ТГ"~ 5Йв*"'" имеют значения положительные, а поэтому
п л. л. 13 14 i
С другой стороны, коэффициенты у — 475» 6- — ^б"» • • • менее -^-,
а вместе с тем и менее коэффициентов выражения
•*. 1 _з 4 1 , з ^5 1 .
18 " (х + I)4 ^ 18 ' "2" ' (х Н- I)5 ~^* 18 * 2-3 * (* + I)6 "^
^ 18 ЧД* + 1 - l)3 (jc +• l)8 У 18 V*3 (-* + l)3 У
Поэтому
и, по равенству (30),
АБ^ \x + lj ^ 6 V* ^ + iy^J8V3 (*-Ь1)3У
Это в совокупности с (31) дает
6\х jc+V^g^ \x + iy ^ 6 V-* ^+1У + ]8\л:8 (* + l)V'
(32)
Заменяя здесь х через л: + 1, л: + 2, ..., t — 1, находим
-К^'-,-Ь)<^<ШГ3< .
^- 6 \х + 1 х + г) ~ 18 V, (х 4- I)3 (л + 2)3 )'
6 V* + 2 x + 37 ^ lg e \x + Ъ) <-
^- 6^ + 2 x + 3^ T 18 V (ж + 2)3 (x + 3)3^'
1 /" -1 t Л ^! „•> ft - IV'-1 ,
—бО—1-т)<1ве'(гг) <
^- 6 V./ - 1 * У ^ 18 W—I)3 "?V'

- 43 -
•Складывая почленно все эти неравенства с (32), находим
1 i * ^-\~„->f x Yt+1 , 1 , Л* + i Y-н-з , , , „rt-
/-ij-^
6* ' 6* ' 18xJ 18/' '
■что для t = oo будет
Вследствие этого (28) дает
1 j i_
С<*х >Л; Cefir 1&1*<А
■л, по (26),
х! < е УСхх+ 2" е *+ и* х! > * /С /+ 2 г *+ '** «и». (33)
Что касается до постоянного количества е У С, мы по (33) находим
еус>—_±—г> е]/с<
_L ■ l l
х * е Л^ х 2 е
*+ -2 ~х+ for /+ Т 0 ~х+ й7 *" за?
тде, давши х величину довольно значительную, например 100, получим
.две величины весьма мало разнствующие между собою и тем менее,
-чем более х> из которых одна будет более е]/"Су другая менее e\fC.
Числовые вычисления этих величин обнаруживают, что eYC
равняется 2,506 62828..., что, как известно, есть величина [/Своего
миллионных долях. Следовательно, по (33) можно принять с
достаточной точностью
х!<К2тгх *~е x^v\ x\>V'2n х'2 е Л+^ **. (34)
.Пренебрегая здесь отрицательными степенями х перед первою
степенью его, по (34) можем принять для выражения l-2-З...л; такое
уравнение:
х! = /2тг х 2 ег*. (35)
.Эту формулу обыкновенно и употребляют в теории вероятностей.
§ 16. С помощью формулы (35) нетрудно определить значение
лля*1Ь т, ^ — та больших чисел, что, как видели в § 13, есть вероят-
шость двум противуположным событиям Е и F, которых вероятности р
м 1 — р, в [I случаях повториться первому m раз, второму у. —т.

— 44 —
Делая последовательно х — щ т, \l — т, в формуле (35) находим
(i!=Vr27t^+2 e~»,
(ji - т)! = ]/2ти (y.-mf т+ "2 ^+т.
Внеся эти выражения ^!, т\, (ц,— т)\ в (36), имеем
-oz ..И—о-й-1*
Рц. т = , ^ - , Р« (1 " />) —,
V 2izm 2g т\1-к \х~т) 2 e
что по сокращении может быть представлено так
Полагая же
m—p]x = Z (38>
и замечая, что вследствие этого уравнения
Z = т—р\ь=- (1 — р) [l — [i + т,
находим
£Е = 1_Л, iLzELt^iH--^-, (39>
что дает, по (37), такое выражение для Р^, т :
^ -=т /^) С1 ~ 4)" С1 + ^Гт- (4о>
Для величин Z, незначительных в отношении т и [х — /га, это
выражение Рц, m может быть представлено весьма просто. Написавши
уравнение (40) таким образом:
разлагаем lg (l - —), lg (l + ^§-J в ряды
да 2m2 3m3 *' pi-m 2(jji —m)« + 3(^-/я)3 *
ix, m ^ у m{yL„_m)
__ Z2 _ _Z^_ _ Z* Z8
= - l/ ^ e

- 45 —
a Z3 Z3
где пренебрегая ^2, . . . , -3 ^_,. . .} величинами
незначительными по незначительности Z в отношении m, jx — m, находим
\ m ц — т]
р^т~ viz V M^ihf -TlhV
(Л g -'m^-m)
/л(ц — m)
(41)
или
Р^т=-П=,л/ * e , (42)
внеся значение Z no (38).
Ho m (p. - m)' по (39Ь есть pfi-^p, ' следовательно,
7 7 \
пренебрегая-—, -, мы можем принять —т? г-за величину-т-^—v;
г * /и jx — m г р (1—р)р. J т(у.—ту
а поэтому выражение Pp., m (41) представится так
О 1 2/7(1-/7)!Х
^,т = ^1===ре . 43
У 2ттт?(1-/?)£*
Вот как выражается вероятность, что в \х случаях событие,
которого вероятность р, повторится т раз и, следовательно, остальные
\L — m раз будет иметь место событие противуположное, которого
вероятность 1 —р, где по (38)
т = p[i + Z. (44)
§ 17. По первой теореме (§ 5) вероятность, что в [х случаях
событие Е повторится или /тг, или т + 1, или т + 2, ... или tfi + s раз,
выразится суммою
Рц., m 4" 'it-, m + l "Т"' * • Т" -гц, я* -f S'
Это и будет вероятность, что в у. случаях событие Е повторится не
менее m раз и не более m + s; ее мы изобразим через Д^ + <г-
Положив
Т]т + 3 = Р^т+Р»,т + 1+-' + Р»,т + з, (45)
мы найдем Пт + 5> внеся в (45) значения Р^т, P^m + i,..., P^m + s-
Но если
m—p[L = Z = ZQ, )
т + 1 — p[i = Zb I ^
J71 + 5— p[L = Zs, )

- 46 -
величины незначительные в отношении my[i — mf /тг + 1, ц —/я—-1 и
пр., то по (43)
2р(1-р)(х
^Ц, /71 ,/-r : °
Z2
zl
У 2 тер (1 —
1 2р(1-р)И
*p"iS—p)v-
1 2р(1-р)м.
-г м-, m + s =./-- .. ч #
Г2тср(1-/?)1л
и, вследствие (45),
Z1
Ни.т 1^2 тир (1 —/7) ^ А '
£=0
Замечая же из уравнений (46), что
мы это выражение (47) JJm + * напишем так:
S
m+s __ 1 ^ р1р (\-р) (х
•»> т V"2 ТС/? (1 —/7) [А
/г=0
где, положив
находим
1Г Z° = X, лГ sJri =x, (48)
T]m+S=—^— у* 1 У (49)
1»,т Утф + 1)
£=0
Так определяется Пт+* через сумму 5 + 1 членов. Если число
5 + 1 не так велико, эту сумму нетрудно найти. Но вычисление будет
очень продолжительно, когда s + 1 велико; свойства выражения (49)
облегчают в этом случае определение числовой его величины. Этим
мы теперь и займемся.
2х
§ 18. Когда s + 1 так велико, что можно пренебречь -=
/при определении Дт+*), то можем принять
х „ . \ / * у * (50)
-1) т~"^
V* <«+!)£ ^(S + 1) А=0

- 47 —
Для доказательства этого предполагаем сначала X количеством
положительным, и так как х (48) всегда имеет значение положительное, та
в этом случае
ибо при X и х положительных
Х*<(Х+ цГ+Т)хУ<(Х + 1Т1 ХУ. <*=».-.'-»Ь
(Х+1^хУ<(Х + ДгА)хУ<(Х+7ТТхУ (*-l.-.^-D-
и т. д.
Но сложив почленно эти неравенства (51) и полученные суммы
умножив на ,_ , находим
X
-(*+А*)'
^(5 + 1)^/ V^/(S + i) ^
k \2
отсюда
<v~-,\u (е-*-g-<*+*>')■ (52>
У 7г (s 4-1)
Следовательно, пренебрегая количеством
^^Е (е-** _ ег (*+*>■),
которое < _ * , можем принять разность
V 7С (S + 1)
* 2' l -v^T^ 2. ' <м>
V«(s + 1) ^ V^t(s + i)
k=0
за нуль.
В неравенствах (51), а потому и в (52) переменятся только знаки
<, > на >, <, если X и вместе с ним

— 48 -
-будут количества отрицательные; ибо в этом случае
(Х+7Т1ХУ<(Х+ЦГ+Т)ХУ<Х*- (*=1.2....,*-1Ь
(*+ 7ТГ *)'<(*+ £тд* )< (* + JTT *)'• <*=!«2-- ^
ит.д.Но и при обратных знаках неравенств из (52), пренебрегая
—=± (е~хг - е- (*+*>'),
выводим
Наконец, если -АГ количество отрицательное, но не все члены ряда
у , L_ г VI 2 у У ,/j£+l)y
А "Г / (5 + 1) ^ Л "Г/(5 + 1) ' ' " л' ^ ~*~ t(s + l)*
имеют значения отрицательные, а, например, начиная с X + ^ "у х,
t [s -f-1)
«ли с Х+^Л11ч^»«. • или с X + t)s,A х, они становятся количества-
ми положительными, то в этом случае для X, X + . ,л\Х, ... ,Х +
+1{ ^ х, как количеств отрицательных, имеем обратные
неравенствам (51):
е <2« <fe У ,(<-1.2 0-
*=0
Для
Л ^(s-fl)*' Л T /(5 + 1) Х* '* Л +t(S + l)X
как количеств положительных, по (51),
(54)
k=0
(l = Z + \,...,s + l) (55)
л! для всяких величин Х+'—^х, X + ~^~х,...,Х + Щ^~х
0< 2* J <t. (56)
4=0

- 49 —
Складывая почленно неравенства (54), (55), (56) и полученные суммы
умножая на —pz , находим
^ у <г~—£ v Рк у .
^(* + 1)Й ^ кл(,+1) £ ' <
откуда разность
l^/(S + i)£ Гя/(, + 1) ^
менее * У,* и более -=-^ (\~e-xt).
/—ч
u 2*
по числовые значения этих величин менее ~j= следовательно,
г я (s + 1)
пренебрегая ими, можем принять и в этом последнем случае разность
(53) на нуль, что и следовало доказать.
Заменяя в уравнении (50) s + 1 через t и t через s + 1, мы будем
2л:
иметь верно до ~
что в совокупности с (50) дает уравнение
.-. -('+4')' , • -(".тг')'
погрешность которого будет не более суммы погрешностей уравнений
2х 2х
(50) и (57) и, следовательно м^нее -7=-/ — + г/— •
Утс($4-1) у Ttt
§ 19. По этому свойству выражения
2jc
мы можем легко найти числовое значение его> верно до -~т=-—ГТГ
в 12.десятичных цифрах для всех величия Хк Х + х от — 50 до + 50,
4 П. Л. Чебышев, т, V

— 50
выраженных в биллионных долях (что для нас совершенно
достаточно), когда знаем для Z = X и Z = X + х значения
тъ-тЬа Же ■ (69)
k=0
В самом деле. Для х в биллионных долях и менее 100, как
предполагают условия—50 <Х< 50, — 50<ЛГ + х<50, произведение \0пх
будет число целое и меньше 1015. А в этом случае
t io-jr-1 - fx + wrj t ю"-1 ~ (* + lo^J
10»—I - { * + "Ton" ) , 10»X+10»-1 - ( x+ foir )
* v <? v y + i— v * ч Л
WlO18 Zj ^ l/" 7i 1013 ZJ
ft=0
где, заменяя по (59)
V^ioi» ^o * r /*10» A
1 , у *
fc=0
A \2
101*- 1
-(*+*)'
10"-1
V У или -,J— У. е К J
—p= r V e y или —p= V.
*=0 *=0
через Г (Л"), ДЛ' + .х), найдем
-p^- 2 * V J = T{X)-T{X + x) +
k=0
10илг~1 - ( X + X
+ yr^iQls S *
(*+^J
A==0
Но для X, X + x, больших — 50 и меньших 50, количество
л, io"±fe_v
1 io»*-i "^+-T^r-J
Kitiop»" i e
менее
V^iO13
е
/ гЛ, к>"\2
10"\2
1013jc
а потому гораздо менее 1000ооооооооооооооЬоо ' Следовательно,
пренебрегая этим, можем принять
T^ir 2 * v ^ = щ)-щ + 4 (60)
Л~0

— 51
Но (58) для t = W3x дает
2е
А=0 ' " V» "г V -^
верно до Т^ТТ7 + "f^ или более чем до
** +0,0000000000002.
Vlt (S + 1)
Отсюда, по (60), верно до -у= в 12 десятичных цифрах
TJiTT^' '-гм-г <* + *)• (в,)
Мы не будем заниматься составлением таблицы значений T(Z). Па
уравнению (59)
10»—1 -^+1^У
П^) = ,т^ У, *
л=о
это дело возможное, хотя чрезвычайно трудное, требующее
определения и сложения 1000000000000000 членов» что превосходит всякие
силы. Но есть способы, облегчающие эту выкладку; с помощью их
и найдены значения
Т(0), 7(0,01), Т(0,02),..., Т(2,98), Г(2,99), Г(3), Г(4), Г(5),
помещенные в конце книги * под названием таблица Т. Что же касается
до значений T(Z) при Z величине отрицательной, то, полагая в
(61) X = з^т- х и X = 0, находим
К2тф-И)
s
*=0
^тф-И)
■^^'-rC-^-xJ-r^,)
1 -1— A*
^е \s+1 ' = Т(0)—Т(х).
*=о
Откуда заключаем
что для s чрезвычайно большого будет
7-(-х)-7(0)=Г(0)-Г(хХ
* См. стр. 86-87. — Ред.

- 52 -
или
T(—x) = 2T(Q) — T(x).
Но Г(0), как видно из таблицы Г, есть 0,5, следовательно,
Т(-х) = \-Т(х). (62)
§ 20. Вследствие уравнения (61) найденное нами выражение T]m+S
(49) приводится к следующему
UT1==T{X)~'T{X + X)f
куда внеся значения Х> х из (48) и потом значение Z из (44), находим
n.« V V" 2/7 (1 — р) jx / V >^"2/7 (1 — /?) £х У " l '
Вот как выражается через Т вероятность, что в у. случаях событие,
которого вероятность р, повторится не менее тп раз и не более m+s.
Так, делая постепенно m равным
рр-\/2р(\ — р)^ ру.-2^2р(\~р)\ь p\L~Z\[2p{\— p)^
ру. — 4\/2р(1-р)у., р^ — 5]/2р(\ -р)р,
и соответственно s равным
21/2/7(1-^-1, 4|/2/>(1—р)^ —1У 6l/2p(l—p)pi— 1,
8/2р(1-р)ц-1, 101/2/7(1-/7)^-1,
по уравнению (63) находим
J-Vpn-J/2p<l-p)<x ' ■'■Vpi*-2V"2p(l-jP)|i
ТГТ/>И-3|/"2р (1-р) Ц-1 __ у* / дч у,/дч T-TPV+lVty (l-P) V--1 __ f/ л\ J* /л\
«I V, pil-3 У~2р (1-р) jx ' -IV р^_4 ]/"2р (1-р) [х
утр^+5Г5Г(1Гру1Г-1 = 7(_5) _ Г(5)
или, внеся выражение Г(-1), Г(—2), 7(— 3), Г(—4) через Г(1),
7(2), Г(3), Г(4), Г (5), по (62),
-ртР^+Г2р(1-р)у. =1—27,(1) ттр^+21л2р(1-р){х __ j 2742)
-*-Ур!х--1/"2р(1-р){Х ' ^VpM-~2|/"2p(l-p)ir
т-1рм.н-з1/"2р(1-р)Ел = j 2743) тт^^-иУ"2р(1--р){х _ ^ 2774)
AVpn.-3]/"2p(l-p)tx ' АА{х,рМ.-4|/*2р(1-р)ц.
ТТ^-+5Г2р(1-р)7 _ } ^т^-
^-Ч/^-бУ^ра-р)^
Находя значения Г(1), Г(2), Г(3), Г(4), Г(5) в таблице Т, отсюда
имеем

- 53 —
JJ^r*™» = 0,999977 9, Д^КУП^ЯГ в 0,999 999 984 582,
к
PMJrbV'2p{\-p)M
0,999 999999998
#
Таковы вероятности, что в у случаях событие, которого
вероятность р, повторится
а) не более ру. + ]/2р(1—р)у. — \ раз и не менее ру — /2р(1 — р)у. ,
Р) не более ру. + 2 /2р(1 — р)у. — 1 и не менее рц — 2 |/2р(1 —р)р. э
у) не более pjx + 3/2p(l—p){x— 1и не менее р^ —3/2р(1 — р)|х,
S) не более ру. + 4 У^р (1 —р) [л — 1 и не менее рц — 4 ]/2р (1 —р) ^ ,
е) не более py. + b\f2p(\ — р)[л— 1 и не менееря — 51/ 2р (1 — р) ji э
или, что одно и то же, вероятности, что в у. случаях отношение
числа повторений события, которого вероятность р, к числу всех
случаев будет разниться от р — — не более
У>(1—р) 1 2\"2р(\-р) 1 51^(1-/7) 1
^V 2(х' у" 2ц' •'•' V' V
Вообще по (63) 7 (—и) — Г (и) или 1—27 (и), по (62), будет
вероятность, что событие в у случаях, имея вероятностью р, повторится
не более ру. + и\/2р(1 — /?)fx — 1 и не менее ру. —иj/2p(1 —р)у. раз,
или, что отношение числа повторений его к у. будет отличаться от
р—£- не более как на и —Ру~^~ —§-*• Но 1 — 2Т(и) при значи-
, 1 1 V2p(i—p) 1
тельной величине и весьма близко подходит к 1, а п-, и —г* ^7—-^-
при [х чрезвычайно большом величины весьма малые; следовательно,
чрезвычайно вероятно, что при большем числе случаев отношение
числа повторений события к числу всех случаев будет весьма ^мало
разниться от вероятности события в эти случаи. В этом заключается
теорема Якова Бернулли.
§ 21. Легко доказать эту теорему независимо от таблицы Т.
В самом деле, по принятому нами знакоположению § 17, вероятность
событию Е повториться в у. случаях не более (р + г)[1раз и не менее
(р — /) у. определится уравнением
Г1(Р-Н> I* в Р|ц ^ + р^ ^ 1Х_1 + .. . + Ръ (р^) „;
откуда выводим
П(р+о*
и, (р-0 it
П04"0 * = 1 — Ящ (p+f) н-1 — Яр,, (p+f) ^+2 р* * —
- Лц (p-f) jx-1 — Рщ <р-0 ц-2 Ящ 0, (64)
2-2 2-4 2-6

Р»ц (р-Н) н-+* -" Рр-. 0>-Н) и
- 54 —
замечая, что
Рщ р, + Рщ. ^.i + • • • + Рщ 1 + Рщ о - 1 •
Но по § 13 находим, принимая -за р вероятность события £,
(l-jp-Q(i p (i — p-i)y.-l _p_
(P + i)v + l ' Р-1 " (Р + 0^ + 2 /> —1
... ^ —Р — 0^ — ^ +1 т р
(P + i)v-+s ' р-1'
D _ р (Р — О Е 1-/? (^-/)^-1 1 — /г
ПчСл-Он-* — ^Мр-0 v- (\„р + |>+1 * р (l—/>+/)i* + 2 " ^
(р — /) [л — s 4-1 # 1 —/>
'" (1~р + /)н. + ^ ' /> '
где количества
(/> + i) f -И * 1 - Р ' * V' (/> + i) и- + * " 1 —/>
Н — n — ft и. n 1 — n
менее , , ,v ■ • —^V или r-^, а количества
(p + «)t* я-1 1 + —
/>
(/? —*V !-/? (/>-^-Hl l—i»
(l —/> + /)ц-И я ''"' (t-/> + /){* 4- ^ />
менее /4 yy „ ';, ■ • —~ или v— .
(i — p -f f) {x p l
Поэтому
a _ _^_ у Л-т4'
Рщ (Р+0 И-f-j <CPj>., tP-H) P- I / » Рщ О*-*) V—J <^ Pp., (p-i) ix I 7~~
V 1 + 4- 7 \1 + : '
pi \ i—p/
Вследствие чего (64) дает
/ i \k f i \k
V-p-i) p. / 1 - A -\ (/>-/) tW 1 *
I(P-H) v- \ i _ D , . .. ^ I 1-Я | D . ..• ^ I £
и a fortiori
i- < t-i
1+4- i+. '
П(Р-Н) v- -^ i Я n 1 —P r>
m Cp-0 »>l i i P* *+№ 7ZJT * (P"° **
1-Я „ Я
1-
1+-L 1 + ;'
/I 1-P
#то, по сокращении^ приводится к следующему;
ш o,-0|fc > 1 1 F* Ср^) I- ^ Рщ (Р-Ои- (Ь^
Остается только показать высший предел величин Р^, (^4-0 ^ Р^, (р-о ^
что уравнения] (19), (33) дают без всякого затруднения.

- 55 -
Так по (19) находим
вследствие чего, по (33), P^cp+i)^ менее
e/C^Te~^+i^p</>+^(l -р)0-р~о*{г*С[(р+ /)lt]Cp"i"J>,l+ ~*
X
■ (1-р-о н- 1
12 (1—/?—О jt 36
х е
(l-p-i)V >
Отсюда по приведении, и заметив, что
i * >0 ! 1—>0
a fortiori выводим
l
VT
1
.eij: 1 (р^Мг^+а-р-^Мг,
—-==. - - e P+1 i-jr—г
что по разложении lg в ряд дает
"^ (р+0 н- ^
1
l2~^ fi P . j_ *' 4- 1 * ** * ** « г
<^£ * — .^ '"Ь 'й^ з >+«r"i~2"(i-p-i) 3*(i--p'-*),i"* *r
(66)
Переменяя здесь г на — /, имеем
P\h (Р-0 1* <
Л2 * л V-\«'p-i з'(р-/)* "+'2"l-p + /"t" 3"(l-p+0s )*
<^f _. l e
(67)
С помощью формул (65), (66), (67) нетрудно заметить, как быстро
подходит к единице значение ТТ^^ ^ с увеличением и.. Что ка-
сается до постоянного е \/С, то, делая в (33) х = 10, находим
g>/C= 1U"T е 120>2,50662.

— 56 -
§ 22. Уравнение (63) для р = -?-, (x = р.х + [i2 -\ Ь \h Д3^
П
т-\- s *р I 2
т
1
л* —-о-(Hi + Не 4 ЬЫ
\У у(^1 + ^2 + *'-+ "о)
Так определяется вероятность, что в \lx + у..2 Н Ь V-o случаях
событие, которого вероятность р, повторится не менее m раз и не
более m + s или, что одно и то же, вероятность, что сумма чисел
повторений этого события в jilf jx2,..., [х0 случаях ;> m и <С m + s. Но
вероятности событию в ^ случаях повториться тх раз; в [х2 случаях
т2 раз,..., в [ic случаях тс раз, когда вероятность его у, по (43)
СУТЬ .2 о .2
2;
2
1 -е '*** [ с ^9 _i_.eT^
У \«*i Vi"** Vk
2^°
где
t i 1
Z2 = m1— -£ {хь Z2 = /w2 — у fxa,..., Za = m0 — у H-o- (69)
Отсюда по второй теореме (§ 8)
z2 z2 z2
zl z2 za
1 .e 4fa # * .g V^» 1 . 4"^
,/1 Vs— i/r
ny.a
будет вероятность, что в рь jjl2, .♦., (Ло случаях /пд, т2,..., ma будут
числа повторений события, которого вероятность у;и по первой тео-
Реме ГГ + +.• 4- вероятность, что эти числа будут какие-либо,
удовлетворяющие условию т^т1+ тг-\ \- ma< m + s,
определится суммою значений
1 ше -U
Kl* VT
*и-*
Z2
z2
1
1 <г т*
|/у^0
соответствующих всем возможным величинам ть т2,.,., тя0, для ко*
торых
т < тх + т2 Ч Ь тс < т + 5.
Но вследствие уравнений (69) это условие приводится к
следующему: i i i
^<T^l + ^l+-2-^2 + Z24 [--z-pa + Za^m + S,

- 57 —
или
— у (Hi + ^2 Н h l*o),
и при изменении wx от 0 до ^ w2 от 0 до \ib ..., m„ от 0 до ^ по
(69) количества Zx, Zb ..., Z5 принимают значения
zi = 2~^1> 2"^i + Ь --2~У-1 + 2, ... , 4 ^ - Ь i-ft»
^2 = 2~ И-2» 2" ^2+ 1' 2~ Р* + 2, ... , 1Г р* — 1, 2" ***
^° = <р (id, 2" [Х3 + 1, 2~ jxa + 2, — , у {х3 — 1, -г [1,.
Итак,ПГ^+-+,э,т> или> по (68),
//f»-y(ftt+yi+-+[i8)\ /m + 5 + 1 -~2- (|1, + |i«+---+|ie)>
есть сумма значений
2? 4
1,1 1
•£ * ; *£ • • • j- •£
для всех величин Zx, Zb ..., Z«„ заключающихся в рядах
11 1 11
2,х = — И-1, 2~ И* + 1> 2" ^1^г ^ * * • » "У" ^i — ^ ~2~ ^ь
11 1 11
11 1 11
Z* = 7TV«* 2" ^ + 1, о" \h+ 2, • • • > -о" ^« — 1, — fri
и удовлетворяющих условию
л Г (ai + И-2 Н Ь Н^Х2"i + ^2 Н h z°<
< wi + s —2~ (hi + у* н н v«Y
Если же мы положим pi~4ai bb щ = 4ог 6» ... , »Оа = 4ос Ъ* Zx= а^у^
zi = а2^2, ... , Za = Oaj/а» т — -j- ({£i+t4Н Ь^г)=И4 где а1э а* ..., «с
количества положительные, то по предыдущему в

- 58
будем иметь сумму значений
V2 У" У2
1 2
1 - олГ 1 _~~ "о/Г" 1 л 2ft,
е 2ЬХ . х .е 2*. " .е 2bv
У*™\ь V^lh Уг™\ъ
для всех величин уъ j/2, ..., у* заключающихся в рядах
y1 = —2alb1, —2а1Ь1 +4"' — 2ах^х + -|~' •••> 2аА~-Т"» 2аА>
«1
■*!
j; = — 2а2&2, — 2а2&2 + — , - 2а2й2 + -^-, ..., 2а262 — —, 2а2Ь»
а2 2 2
j 9 1
j/a = — 2аА, — 2а,&* Ч , — 2аА + -1-, ..., 2ааЬа — —, 2а^а
аа аа Ла
и удовлетворяющих условию
М < ах j/x + а2у2 -\ \- аау, < М + ст.
§-23. Но уравнение (61) для X = -_ , л: = ^— , 5 + 1=А и для
Е£"^-гШ-г(тг
ТЛы^ £, \V2FJ \Угъх
Притом T(Z), как замечаем из таблицы Г, изменяется весьма мало,
юри малом изменении Z, так же как и в том случае, когда довольно
^большую величину Z переменяем на другую большую величину.
А поэтому, в предположении Ьх числом большим, можем принять
^-1 1/о_-2 ь ZJ
Г**» £ V^*,
£=0
•если Н и //ь Я 4- h и H1 + h1 мало разнятся между собою или если
они величины довольно большие; а это приводит к тому, что суммы
2 г
значений _. g ^ , ^==e 2^ будут равны, если в пределах
довольно близких между собою или довольно больших будем давать уг
величины, возрастающие [до] —, а хъ возрастающие [до] 1.
Предполагая же эти суммы умноженными на

— 59 -
и за пределы уи хх принимая
J>i< < гах&и
а1
Af—а2у2-а3.у3 аау9
~" Л1 ^ ~ ^ *ъ
aii
М + 5 - а2>у2 - а8^8 аа^а
хх ^ ^ t>lf
ai
где Аь Въ подобно 2а1й1, величины большие, мы таким образом дохо
дим до заключения, что суммы значений
■е 2*'• —р. "»>* ■ ■ • — е у>а,
V2«f», \Г2*4Ь2 Vl™\bz
х\ i 'I
/"2^ ^2^; у-щ 3
равны для величин уь хь заключающихся в рядах
ai ai ai
*1 = -Л> -Л+1, -Л + 2, ..., ^-1, £х
и удовлетворяющих условиям
Л* - а2у2 — азЗ'з aeJfa Л* — <х2_У2 - *8.Уа ааУа
Уг> , *!>
а.
Л* + S — «2^2 — ЧУ* %Уа M + S — агуг — azy% atjyt
Л< , Xl<
<jJa
или
М< а2 j/x + а2^2 Н Ь «а> < Ж + 5,
ЛГ < ах хх + а2 ^2 Н V *°У* < М + s-
А отсюда* давая последовательно у%, yz, ... , у* все значения
jft=—2^6* —2a2&2+42~) ~2a2fc2 + ^-, ... , 2oc2fc2- —, 2*A,
уа=-2а^а, -2аЖ + —, -2aA + 4-> — ' 2flta6a—— t 2^<«
мы заключаем, что суммы значений

- 60 -
Vl™\bl V2nalb2 V**j,b.
равны для величины xlt ylt y2, Уз, ■■■ , У* заключающихся в рядах
Хг = -А1у -Аг+1, - Л + 2, ... , Вг - 1, Вц
уг = ~ 2а1й1, - 2л1Ь1 + ~, - 2«.1Ь1 +■%-,..., 2а А — -i-, 2а^
\ 9 1
У2 = — 2сх06о, — 2л0Ьо Н , — 2a2&3 + -f-, ..., 2а2&2 ——, 2^^
- - а2 а2 2
4 9 1
^ = _ 2а А, — 2аа&а Н , — 2а А + —, ♦.. , 2а А — — , 2аа6а
и удовлетворяющих условиям
М < а2 j/i + а2 j/2 -i + ae j;e < М + S,
Ж < а2 *! + а2 j/2 -\ Ь аа_у<,< М + s.
Повторяя эти же рассуждения относительно j/2, ... , у^ мы таким
образом дойдем до заключения, что сумма значений
2 2 2
■*! *2 ха
\г2кЬ1 У2кЬъ Vlnb,
для величин хъ х2, ..., хау заключающихся в рядах
хг = — А19 - Л + 1, -Л + 2, ... , J^-l, £ъ
Х2 ^ ^2» — ^2 Т^ ^2 ~Г <4 • • • > &2 м ^2»
Ха === /\ai -<*о "т" *> -**о ~г -А • • • > *^о *> -^о
и удовлетворяющих условию
М < а^х + а2х2 Ч Ь а0лга < Л1 + 5,
когда Ьъ Ьъ ... f ft0, Вь В» ... , Во количества довольно большие
£авна сумме значений
1 e 2bx * .p. 2bt -i fi 2*a
V2na\bx V2na22b2 V^ba
для величин уь у2, ... , д>0, заключающихся в рядах
Л = - 2aA, - 2оА + 4", — 2ax*i + Т"> • • • » 2aA ~^-> 2aA>
ai ai ai
j>2 = —2«А, — 2a2fr2 + -i-, _2а,&, + -г, .. 2«А — —, 2*^
а2 а2 а2
-.».. 4 ^
.Уо= — 2аайа, — 2а0&0+-—, — 2aefte + —, ... , га^ — —, 2аайа

- 61 —
и удовлетворяющих условию
М < агуг + а2 j/2 Н h лауа < Af + s
и, следовательно, так же как эта последняя (§ 22), определится через
т / М \ ___ j / м 4- s - 1 \
\ К2(а2^+а^2+...-Ьа^а)/ \ V^fb, + aj 62 +7". • + «2 *«J/ "
Это вывели мы, предполагая аь а^ ... , аа количествами положитель-
ными; но результат не переменяется при перемене их знака, ибо эта
соответствует перемене хг на — хъ х2 на —xt и пр. вместе с
переменою Лх на Въ А2 на В^, ... и обратно; причем значение
2 2 2
1 е 2г>г . __2—g 2*. -L=.e 2*с
гй^; Vbdbt ущ
остается без перемены.
§ 24. Если событие Е в ^ случаях имело вероятностию р1? в ^
случаях р2, в V* случаях р3, ..., в Ца случаях р<„ то, по (43),
А
%е 2Р1(\-Рх)иг будет вероятность повториться ему в \it
1
случаях /Tix раз, где
Z1 = m1 — p1iiv (70>
£L_
Подобным образом - «е 2р.<i-p,>сбудет вероятность по-
вториться ему в \i2 случаях т2 раз, где
Z2 =/я2—р2(л2; (71>
. е зр, (i-pom вероятность повториться ему в ix3 слу-
чаях /я3 раз, где
Zz = mB—р3(х3; (72)
Z2
a
1
^ 2р0 (1 рс) иа вероятность повториться ему в [Хо случаях
тяа раз, где
Za = /По — pa^Lo. (73)»
Вследствие этого по второй теореме (§ 8) произведение
z2 z2 z2
zl z2 *a
<, 2рх(1-рх)щ ^ 2р,(1-р,)^ ^ 2pff (l~pa) \La
Vlizpi (i - рг) jh ^2ir/72 (1^ Л) ^ V27T/?a (1 - />a) j*a
будет вероятность, что в этих ^ ^ ..., ^ случаях тх, ть .. ., ж*

- 62 —
будут числа повторений события Е; и по первой теореме (§ 5)
вероятность, что эти числа будут какие-либо удовлетворяющие условию
5 <; л1т1 + a2m2 Л V а.сГпа <: S + s
определится суммою значений
z2 z2 z2
zl z2 ^a
е 2Pitt~Pi)Ui е 2р%{1-Рш)и* е 2Po(l-Po)V-o
V2nPl (1 - Pl) to Г2-кр2 (1 - Л) to V2izpG (1 - ра) ^о '
соответствующих всем возможным величинам ml9 m2f..., тоу
которые дают S <: а1т1 + а2т2 Н f- ссата < 5 + 5. Но это условие,
вследствие уравнений (70), (71), (72), (73), приводится к следующему:
S< <txZx + (Xip^ + a2Z2 + a2/?2^2 Н Н aaZa + аа/?0^0 < S + 5,
или
S — а,/?^ aG/7o[x0 < a^ + a2Z2 H h aCTZCT <
< 5 + s — ajp^ ctGpa\La (74>
и, по уравнениям (70), (71), (72), (73), величинам т1 от 0 до (хх, т%
от 0 до (х2, /п3 от 0 до [х3,: .., ma от 0 до \ьа соответствуют такие
значения Zv Z2, ..., Za
2i = —Ли. —Л1*1 + 1| —Л1Ч + 2,..., (1— Л) №l — 1, (l—Pi)\h> )
^2 = —p2^2y —P2V-2+1, —P2V<2 + 2,..., (1 — J02) ^2 — 1Л 1 ~ Pl) U<2> l /75ч
Za = —pa[lay —Pg^g+ 1, — pa[Xa + 2, ..., (1 — pa) [la ~ 1, (1 — /?a) ^o-)
Следовательно вероятность, что ть т2, ..., ma числа повторений
события Е в jij, и«2> • • • у Ро случаях будут удовлетворять условию
5 < сс1т1 + a2/n2 Н h aa/nCT < 5 + s,
определится суммою значений
yl yl J>2
zl z2 zo
^ 2^(1-^)^1 e 2jMl-.Pt) 14 £ 2pa(l-p0)^a
K2TC/?! (1 — Л) ^ К2тср8 (1 - рг) to V2npa (1 -pa) Hv,
для величин (75) Zx, Z2,..., Zc, удовлетворяющих условию (74).
Но эта сумма, по § 23, для [lv [л2> .. ., ц0 больших чисел равняется
~/ S — «lPlt*l — «>Aftl aa/?gP-a \ __
\V2 [*2lPl (1 -Л) ^ + c%pt (1 - Л) to + •. • + a2po (1 -pj ^o] /
___ _ / S -M + 1 — «iPlfa ~ °4P2^2 адЛ^о \
\\Г2 [4Pl (1 ~ Pl) to + a^2 (1 _Л) |л2 +... + a^a (1 - pa) jxo]/
Вот как выражается вероятность, что т1? /я2,. .., ma, числа
повторений события в \ль [х2, .. ., fxe случаях, будут удовлетворять условию
S < а^ + a2m2 -\ j- a0/n0 < 5 + 5,
когда вероятнбсть его в этих [ib \l2> ]. .. , {i0 случаях была р1э р2» • • •» Ра^

— 63 —
Например, если рх есть вероятность погибнуть в известном пути
кораблю определенного устройства Dv p2 вероятность этого же для
корабля Ц, рг Для корабля D3, •.., ра для корабля Do, то ^
кораблей Dv [i2 кораблей Db \lz кораблей D3,. .., [л„ кораблей Do,
пустившихся в путь, будут [иметь] ^, &>,.-., ц0 случаев для
кораблекрушения, причем вероятность его рь ръ. .., ра. А поэтому, называя
через т19 тъ ..., та числа кораблекрушений в ^ кораблях Dj., в {%
кораблях D2, в jjl3 кораблях D3, • • •, в ^х0 кораблях Do, мы по
доказанному находим
Т
V2 [afo (1 - Pl) ^ + «f/>f (1 - Л) к» +. • • + *lpa (1 - Ра) ц0]
Г
(i
v/2 [afo (1 - Pl) ^+ <^Pt (1 - Л) Hi + • ■ • + a|pa (1 -Д,) h.J /
для величины вероятности быть
5 < ътх + a2m2 H \- aam0 < 5 + s.
Если же предположим аъ <*.ъ ..., о* ценностями кораблей
Db D2,.. ., Da, это будет вероятность, что кораблей погибнет на сумму
не менее 5 и не более S + s. Так определяется вероятность, что.
страховое общество, в котором застраховано (ix кораблей Оъ $х2
кораблей D2, [лг кораблей D3,. . ., (io кораблей Da заплатит за погибшие
корабли не менее 5 и не более S + s, если вероятности
кораблекрушений Db Db ..., D0 суть ^i, /?2,. • •, pa. To же относительно
страхования других каких-либо собственностей.
IV
ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ ПО ЧИСЛУ ПОВТОРЕНИЙ ЕГО
§ 25. Если событие Е, вероятность которого может быть только»
Т' Т' • •' > ^ '
где все величины для нее одинаково возможны, в [х случаях
повторилось m раз, то, как видели (§ 14), Vn, вероятность быть у вели-
S
чиною вероятности события Е, определится уравнением
V,
аго^г
е-К1-тГ"ЧтТ(,-тГ"+-чг^д,-'-^г
(76)
Мы покажем теперь приближенное значение этого выражения V*п_
S
т
при больших числах 5, [х, т, [i — т в том случае, когда — мала

— 64 —
разнится с —. Для этого мы замечаем, что отношение
У—) V-—) .. (—J v—г
А
приводясь к -; j ——= -х ^z^ , более 1. А поэтому
I 2\*—m
/»vX t>v-» более X-iw4 P-iv- и' следовательно,
«более каждого из количеств
/у —ЗУ» / __г» — 3у-~т /г/ — r\m Л __ гг-
— r\t*—m
/zr~2Y /- ^i?-— 2\р--ю » ' • ' » / ^ —r+ 1 not / _ ii — r+ 1 Nix-m *
Откуда следует, что
\ (т)"0-тГ" /
/Z> — 2Not X -у — 2\v--m fv — r\m f v — r\[x— m
fv — l\m (a __ t>--lY"ffl * * * f v — r+ 1 Лот Л __ i/ — г 4-1 N(J--OT»
ИЛИ
1Л W V ^s — vj J ^ /Чу — Г\т /^ _ gj-J.y~m '
Замечая из этого неравенства, что
<(^1)"0-^-1)м[0-Ж1+.4-.Г"Г-
мы заключаем, что
О)" 0 - тГ*+(4ТС-1Г*+• ••+(г?У 0 - V)"""<
<(^)" 0 - ^-'Г Ж1 - хГ 0+.-^-.Г"Г+
+ [0Ч)"0+^УГ+-+М- ™
Но нетрудно убедиться, что если
«-^-„(J-fep^)'.-, 3<И<4, (78)

- 65 -
то количество (l — i)m (l + —^f m менее 1. В самом деле. Это
1 \ ii-m
количество может быть представлено так / —^- \ , или
I \ а—т
S — V
где дробь
1+ *
5 — V
/л 1 ^ 1 mu
менее 1; ибо вследствие (78) будет ^-^ -<^—^. а 2(^т), ^г,
mix (2а — т) 1
// г—га^- -а-, ... —количества положительные.
б (и— ту vz '
Убедившись таким образом, что в сделанном предположении (78),
количество (l у (l + ^zrjT менее 1» мы> по (77), заключаем,
что
а)"0-тГ"+(т)"0-4Г"+-
... + («=!)-(,_«zil)''-<(,_,)('-?i)-(l_t=i)'-, (79)
где, по (78),
2
т Г 2т ({J. — т) \ 5 ,
<У = 5 —— tts(^ ^ ^J , 3<tt<4.
Заменяя здесь s через s — wt m через ^ — /я, находим
аГ0-/7+(4У0ЧГ+-+
или, что одно и то же,
<(i_«_1)(J!L±i)-(i_«L±i)-", (80)
где
w
^sJizJl + Us(0=^fJ^yt 3<«<4.
Вследствие неравенств (79), (80), выражение V± по формуле (76)
5 П. Л. Чебышев. т. V

V— \\Vk-m
— 66 —
может быть представлено так:
+ el{s-^-i)(i^±l)m(i-^)^}-i , (8i)
где
2
0<6, e^l. (82)
По формуле (81) мы легко найдем приближенную величину 1/л.
Для этого мы замечаем, что вследствие (82) разности -— — — >
о у»
^^ — ,..., — — — при fz, m, [L — т больших числах будут вели-
2 ™
чины незначительные относительно (i, /я, jjl — яг степени —-^ Также
по предположению незначительна величина разности —— —.
Вследствие этого для приближенного вычисления членов выражения (81)
может быть употреблен следующий прием.
Чтобы найти приближенное значение fyj (l — ■— J m, мы
замечаем, что
(тГ0-3~-(т+г-р'[^-(^)Г-
= («. Y* (у--ту-™ т 'г [1- - (г - >)]+ (tl~m) lg [1_ £а(г- г)] в
(v Pts / / m42 , 1 / \х.а \l* ч / t от ч3
V f*
Отч2
(83)
Откуда, пренебрегая членами | (-g- - (-^-2) (•£ - ^J,
•4 (j£r + оПГ^-Дт ~ У;' • • • имеем
Что же касается до пренебрежения членами
то оно позволительно для t = п, потому что по предположению раз-
п т
ность у величина весьма малая; также оно позволительно дм
t = v, v+l,...,w, ибо, [как мы] видели, для этих величин t раз?
йость — величина незначительная и относительно (х, т, у.--ш

— 67 -
степени — ^ *. Итак, формула (83) может быть употреблена для
приближенного вычисления членов выражения (81). Вследствие чего
имеем по (81)
и* / а __ да ч 2
/ и /Р-1 тч2 ^« /«Н-1__*«\2
X\6(i; —1)^ 2«(|1-1Я) V s v.) +Qi(s_^_ })€ 2m'(V-m) IT" >xj.^
| V g 2т(ч-т) \s м) >
где, по (82),
о<е; e^i.
Умножая на ~у 2кт(* — т) числителя и знаменателя в полученном
таким образом выражении V п , находим
1/я = —|/ 5 Г Г* *»<»-*> I* ^ X
~. s V Ъкт (а — /и)
Но заменяя в (61)5 + 1 через v—w+\y Xчерез у 2m (ц-m)" (т ~ ^)»
x через jZ-Y Ы(;_т) , мы имеем
1 да |x» / fe j7i\2
^ V £ 2m({x-m) W ^/ =
lm (ii - m) 2j *
1 (V-* - _J!l_V' --"."Y
* Вследствие чего, как легко заметить, член -g-^j^ < _ /л)» J\~s p J
степени - _, член т (J55 - ((t _„,)»; (^ - — J степени - у следующие будут
2 4
степени — 1," — 1 £~, — 1Т и т- Л-
5*

- 68 -
Вследствие чего предыдущее выражение Vn напишется так:
^ H- /_П_ __ _^ ч^
-Ll/ £ *> 2m(ut-m) W M-/ v
5 У 2пт(и.~т) * А
р.* / п /л ч2
о~~ 2т
s V 2пт (у. — т)
+ 6х (s — <ш — l)e 2m ^~m> v~* *' J +
^ ' I/ 2m(tA-m) Vs ii У J ' IV 2m{v.-m)\ s \l J1 f '
куда внеся значения v, w из (82) и пренебрегая у, заключаем, что
Vn_ равняется
~s~
pi.' / п тч2
.£> 2т\
\(\>.-т)
_ ^ (п Л
II/ £ £ 2/*(н.-т) is л/ х
sK 2гс/я(и-/л) P A
/ ю ч , ю ч
Но, по (62), t{-u/^^) =1-т[иу/~щ^) , вследст-
вие чего предыдущее выражение V п приводится к следующему:
s
1 Г 7л £ (JL _ JZL\2
ll/ £ <е 2m^-m)Ks ix ) х
s г 1кт (у. — т)
I Ю ч л~1
Но при [L большом Т [и у 2m(t—m)l величина чрезвычайно
малая; ею мы можем пренебречь. Также можем пренебречь
количеством
tV ъ»С- ж) Р (« - 0 + et (s -w -1>] е~"' fafer)",

— 69 —
ибо это количество менее Л/ ^—~ {>е * \ъ*\м-м))* а эт0 менее
Г Z/7Z (IX — /72) '
i(\L-m)
1
( £ ^5" \г ( *г \ •
; — . Но ^-~—^— есть отношение Неперова
е\1т{\*.-т))Ь J ^(гяЦц-ш))"7"
/ £ \« / *' ч 5"
логарифма е^2т^"т^ к е^2т^~т^ —отношение, быстро подходящее
к 0 с увеличением значения f 2 ,^_,V, как можно видеть иа
таблицы lg. Итак, при значительных величинах s, jx, т, р, — т для
приближенного значения Vп можем принять
у1в7У4-),Га"м(,"')- {84)
Вот как выражается вероятность, что — есть величина вероятности
события Е, повторившегося в \l случаях т раз, когда
все равно и единственно возможные величины этой вероятности.
§ 26. Отсюда Wj/ вероятность, что одно из количеств
s
п ft-h 1 п 4- пх
будет вероятностью события £*, повторившегося в |х случаях /п раз*
определяясь по первой теореме (§ 5) суммою V л_+ V^+i +> • • + Уп+п>
S S S
?ыразится формулою
п+пх г з л» _ **' /А _ 2?л2
wjL -TK-asfi^S'"-^1'"^. (85)
Но (62) для s= пь Х= |/"=KZ(£_|.) * = /=^=: i±i
дает
. - Л1 ^ / k m ч 2
J-T/, р ^у е 2m(iA-m) u iW _.
5 V 2пт (у. — т) ZJ
- J IV 2m(\L-m)\s \l )\ l W 2т(^~-т) s [lJ}>
а поэтому уравнение (85) приведется к следующему:
(86)
5
* Потому что иа>у. См. (82).

- 70 -
Вот как выражается вероятность, что одно из количеств
п п + 1 п -f пх
,...,
S ' S S
(87)
было вероятностью события Еу повторивш'егося т раз в \l случаях,
когда
_1_ _2_ _ s — 1
S ' S S
все равно и единственно возможные величины этой вероятности, или,
что одно и та же,что вероятность этого события была ;> — и <! —j^1.
Здесь наиболее замечателен случай, когда дли вероятности
события Е все величины от 0 до 1 равновозможны, что приводится к
предположению в ряду (87) s числом черезвычайно большим.
Называя в э?ом случае ~ , п $Пх через р, рг и замечая, что при 5
^ п-\-пл л -{- n1Jri
чрезвычайно большом ——- не чувствительно разнится с , мы
по (86) находим, что Wp\ вероятность быть >/? и <^рг вероятности
события Е, повторившегося в (л случаях т раз, когда для нее все
величины одинаково возможны, определится уравнением
»?- Т1/^^,{р-т)]-т[/^£ч(""I)]• <88>
Так из наблюдений над повторением события мы можем вывести
заключение о его вероятности.
Например. Наблюдения показали, что из 215 599 новорожденных
во Франции 110 312 было мальчиков. Внеся в уравнение (88) 215599,
110 312 на место (л, ш, мы йайдем
т\Л/° 215 5992 Л 110 312 \Л т\ -Г 215 599* / 110 312\|
IV 2.110 312-105 28-7 \Р 215599/J LV 2-110312-105 287 \Pl 115599/J
для выражения вероятности, что новорожденному во Франции быть
мальчиком имело вероятностью величину >р и </?!• Так для
р = 0,50715, рг = 0,516 15 эта вероятность будет
Т Гг/ 215 599^ / 110 312^1 _
1 IV 2-НО 312-105 287 ^и>ои/ 10 215 599 / J
т \\f 215 599» (с\ъ\Ъ\Ъ И0 Ш\ 1
1 IV 2-110 312-105 287'\' 215555/J '
что приводится по выполнении вычислений к
Т(-2,95)-:Г(2,95)
и по уравнению (62) к
1—27(2,95).
Таблица же Т дает 1 —2 Т (2,95) = 0,999 96980.

— 71 —
Таким образом, наблюдая числа умирающих в разные возрасты,
определили, в пределах весьма вероятных и довольно тесных,
вероятность дожить до известного возраста.
Y
О ПОВТОРЕНИИ НЕСКОЛЬКИХ СОБЫТИИ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО РАЗ
§ 27. Вероятность, что в [л случаях события Еъ £*..., Е^х
EQy которых вероятности суть рь р2,..., pc-i, l—pi — p2 — р<,-г,
повторятся тъть...,/n0-i, [L — m1 — m2 ma-i раз, есть, как
видели (§ 13),
Р = — птх Т)т% . . .
тх\ т2\ • • • та_г\ (\i — m1 ^a-l)1 l 2
... jpb-i (i —Pl-Pt p<,-.l)»-m*-~-m°-K (89)
Ho, no (35), имеем
jd = У2к ^ e'^
Шх\ = j/"27T mJ^+2 e-m^
m2! = Y2tz m™*+* erm\
{\L — mx mc_i)!»
= V^z (|x -mx mo-if-"1 m°-1+l e" (»~щ m°-^
Внеся отсюда величины
у}, mx\, m£,..., mc~-i!, {[i — mx — тг — • • • — ma-i)l
в (89), по сокращении и приведении, находим
У2ктх*2кт2-• '2тста__у2тс(у. — тпх — ... — та_Л \ тх J I тг J
... f^zi^S^1 ({i ~Pl"Pi *-l} у-У--'щ~-т^''-я°-1 т
\ ma-i ) \ р-Щ-Щ та_г ) " I
Но полагая
mx — px [x = Zx, m2 — p2 \i = Zg,..., m^x — p^i \i = Za_b (91)
в сумме этих уравнений находим
л*! + я*2 Н V Шо-1 — (Л + рг Л h po~i) \i — Zx + Z2^ + Ze_u

— 72 -
или
— [1 + тг + т2+ Ь л1о-1 + (1— Pl — р2 р0_1)[х =
= ^i + Z2 + • • • + Zc-i. (92)
Откуда, по сокращении на ть т2,..., та-и \i — fn1 — m2^ /гс0-ъ
имеем
1 P\V> ___ ? i Рг V- _ 7 1 /?g~1 ** — Z ,
1 —— — Z*l9 1 — Z,2, • • • , 1 — ^о—1,
_ i , (J - л — л /'e-i) t* Zi + 2H— + zo-i
(i — mx — m2 — • • • — та__г \L — m1 — m2 — ma-\
ry Pi V> Pi V- Po-l V- (1 — Pi - P2 * - Ar-l) *
Внося отсюда значения ^, ^~,..., —— , —— —
в (90), получаем следующее выражение для Р
j/27г/тг1-27гт2-• •2tu/?z0_1*27t({x--Wi — • • • ~ m0_j) V mxJ \ m2J
что с помощью логарифмов может быть так представлено
p _ У 2^ eR—v
yiTim1 -turn2« ••27г/и0_1'27т/^ — mx — • • • —ma_Л
Разлагая здесь логарифмы в ряды по восходящим степеням
Z, Z2 ^a-1 Zx + Z2 + h^.j
— , — ,..., , и пренебрегая их третьими
и высшими степенями, находим
|/'27Г/И1 • 27Гт2 • • ^ТПИд^.!^^ (^ — /Hj — • • • — ГП9—\)
куда внеся значения тъ т2,...,та-и [х — т1 — т2—• *—та-г из
(91) и (92), и пренебрегши Zb Z2,...,Z0_b Z2 + • • • +Z0_i перед /^ji,
/72 (X, . . . , pa-l fc (1 — Pi — P2 — Pa-l) [А, ПОЛуЧИМ
_ у1 Zfe _ (2'1+Zrf...+Z0--i)»
у 2izp1 \L-2-Kp2 p.. •2тг/?а_1 ц.2гс (1 — рг — /?2 pa_x) jx
где по (91)
"*i — pi (J. = Zb m2—p2[L = Z2,..., гпа-г —pa-i ^ = Z0_i. (94)
Вот как выражается вероятность, что события Еъ Е2,...,Еа-и Еа в
(л случаях, имея вероятностями ръ р2>...,ра~\, 1 —Р\ — ръ — ро-и
.повторятся тигп2у ..., пгп-и [L—m1 — m2 — • * - — Ща-\ раз.

73
Отсюда по первой теореме вероятность, что /пь/я* ...,/Ио-ь
р — тг — т2 — m0-i, числа повторений событий ЕЪЕЪ...У Ea-h Ea>
будут какие-либо числа, удовлетворяющие условию
SOj/rii + oc2m2 + • • • + cLo-into-i + a0(ji-~ m1 — m2—
определится суммою значений
— /7to-l) <^
(95>
(Z1+2.4"--+20_1)"
vs
i7U{X £
у zfe
соответствующих всем положительным величинам mlf /n2,..., m0_u
^ — m2
■m* —
ma-u Для которых
S< ax /Их + a2m2 -\ h «e-i m0_i + aa (ц — m1—m% me-\) <S+s.
Но это условие вследствие уравнений (94) приводится к такому:
S<a1(Z1 + /?1[JL) + М22 + />2иО + "•• +a0_1(Z0_i+/?0_i|x) +
+ ac(^— Z1 — p1[L — Z2—p2tL Z0_i — p0_ij*)<S + s
или
5—[a1/71 + a2jp2+ •-. +a0_1p0_1 + a0(l -~Pl—p2 p0_!)] ji<
< (ai — ao) Zx + (a2— a*) Z2 -f • • • + (aa_i — Oo) Z0-i <
< 5 + S — [a^ + &.2p2 -\ \- aa-\po-\ + M1 —Л — Л /fe-i)] \h
(96>
и величинам /иь mb ..., ma-i от 0 до jx, для которых \1 — тг — m2
• • • — гпо—х остается количеством положительным, по (94)
соответствуют значения
Z1 = —p1^ —piP + l, — PiP + % -у
(1 — Л)|*—Ь (1-Л)л
Z2 = — p2[L, —р2Р+1> —р2^ + 2, ...,
(1— л) {1-1, (1—Л)^
(97)
Zo_l = — po-l (Л, — pa-l [l + 1, — Ат-l |I + 2, . . . ,
(1—/>o-i)p—1, (1—Po-i)ft
для которых
(1 — Pi—p2 — P0-1) [x — Zx — Z2 — • • • — Zc-i > 0.
(98)
Следовательно, вероятность, что тътъ...ута-и р — лгг —- т2.
• • • — ifto-i, число повторений событий Еь Еъ..., Д,-ъ £*о, будут
удовлетворять условию (95), определится суммою значений
о-1 72
У"2тгц
-2
(Z1+Zi+...+^a-l)i
А=0
2/>fc * 2 (1-Л-Р1-
-Pa-l) P-
у2жтг • 27u/w2 • • • 2ти/77а_1 • 2тс (^ — щ — •»• — та^\)

- 74 -
для величин Zx, Z2,.. •, Z,-i (97), удовлетворяющих условиям (96) и (98).
Определением этой суммы теперь и займемся, называя ее для
сокращения П.
§ 28. Уравнение (61) для *=-у=, х = D + |i+ *, s^D+В'дает
«откуда, по (62),
для величины Д £>' положительных, значительных в отношении j/sfjji,
ибо в этом случае, как видно из таблицы Г, значения Т (у=) ,
Т I - j весьма мало разнятся от 0.
Но легко заметить, что
-2
e я~~1
приводится к
_1 _ 2|i Г2тс^ g * *
ny. УЪкрх р-2кр2 p.. -2пр9_г [1-2т: {1—рх pa_{) [l *
■а потому сумма значении
в—1
_V (Zk-PkZ)* tZ1+Zi+—+Za-14- (1-Л-Р. /»a-i> -Z3*
* *-*
2/?Л 2 (1—/?г-р. Pa—l) l^
j/,27rp1^-27t^1ji---27c^a_1ii.2ic(l—/?! />e_i)H-
для величин
Z=~A —D + l, -Д + 2,..., Dr — 1, Z)', (100)
яриводясь к
D' у1 Z* (Z1+Zt+-»+Zg_1)»
У"2тгу. 1/27Т^1 Н-*2тг/?2 jjf -2тг/7а_1 ^.-2я(1 —Л —Л Д*-1>М- *

- 75 -
по (99) будет равняться
V2;
\tz\l е
(<Z,+2t-r...+Ze_,)»
-Po_l)p.
]/2tzPi \i-2Tzp2 у. .2ti/70 . j 11.271 (1 — Pl — pt pa_{) jt
Вследствие этого П (§ 27), сумма значений
Zj. 9.я. м 9 /
о-1 72
2^ft __
Г7. k=s=xZPkV- 2(1-/?,-/?, Pa-l)*
}/27tp1 [1'2-крг у,- • -2*/^ vl-271 (1 — Pl -
"Z'e-l)^
для величин Zb Z2,..., Z0_i (97), удовлетворяющих условиям (96), (98),
определится суммою значений
£=I
2Р*Р-
2 (1-рг-р. Ро—l) P-
У^тг^ ^.2тг/?2 ц. • '2тсра_1 у.-2п(\—р1 — рг /70_,) у.
для этих величин Zb Z2,..., Za-i и для величин (100). Если же мы
внесем в это выражение хь х^..., xa-i на место Zx — /?х Z, Z2 — р2 Z,...
-..,Za-i — pa-iZ, то оно представится через
^l+^+•••+Д:a-l+^,
£*=!
2pk V- 2 (l-Pi-p, Pa—l) ?•
Уг2тср1у.-2пргу.--*2кр<3_1 у.-2к(1—р1 — рг ра_х) у. '
где значениям Zlt Z& .~*,Za~-i (97), удовлетворяющим условиям (96),
<98), будут соответствовать такие значения хъ хъ..., x<,-i:
х2 = — p!\L— piZ, —Piy. — PiZ+ 1,...
...,(1-Л)(*—A£-l> (i-ft)^AZ,
^2 = -~АИ«—P2Z, — p2(/. —/?2Z+1,...
,..,d^2)^ftz-i, (l—л)1х —p,z; } (ioi)
Xa-l = ~ /?a-I ^ — P*-I ^» A»-l P- — Pa-1 Z + 1, . . •
...^l-^j^-^tZ- 1, (1 — pe-i)p— Pa-lZ,
удовлетворяющие условиям
S — Ц [a^! + a^ ^ (- **- ij^a-i + a* (1 — рг — рг p<r-i)] <
< («i- «•) (*i + PiZ) + (a2 - aa) (x, + p2Z) + • • •
1- (aa__i — aa) (Xa-i + A-iZ) <
<S + s — \l[otipi + *гр2 4 h **-iP*-i + *>(1 —Pi—Pz P°-i)]>
(1—A—A A-i)l*--(A+A+--- + A-i)z--*i—
_д;2 **-i>0, (102)

- 76 -
из которых первое напишется так:
S — N[i < (ах — осв) хх + (а2 — <ха) х2-\ \- (а0_! — ав) ха-\ + (Л/— а0) Z <
<S + s — N^ (Ю2'>
если положим для сокращения
«lPl + «Л + " • • + «а-lPa-l +«а(1 ~Л — Р2 />—l) = N' (Ю3>
Вследствие этого П определится суммою значений
_ "у _fft __ («i-Nct-b —+дса.1+2)а
g Jg~1
\r2Tzplli-2Tzp2VL...2npa_1y.-27:(i-p1-p2 Pe-l)P
для величин (101), (100) хь x2, ...,xa-i, Z, удовлетворяющих
условиям (102), (102'). Но значение
°~l 4 (ос1+х1+...+Ло_1+2)2
-2
V27zpl[i-27zp2y.-. -2npa_1[L-2n(i—p1—pt ра_г) \i
при [i большом изменяется весьма мало при малом изменении хъ х2,...
...,х0_ь а потому эта сумма приметно не изменится, если мы коли-
чествам хъ х2,..., *a-i дадим вместо величин [(101) ряды величин,
мало отличающихся от (101). С другой стороны, мы замечаем, что
эти ряды величин хъ х2>..., ха~\ без приметного изменения суммы
можем ограничивать пределами — Аъ Бь — Л2, В2,..., — Аа-ь Ва-\
вместо (101)— /?1(х— pxZ, {\—p1)\L—PiZi—p2y.—p%Zi(\—p2)\L—p2Zy...
..., — pa-i[i—Po-\Z, (1 — pa-\) fx — po-iZ> если Аъ Вь Аъ В2,..., Ао-п
50_i, так же как ргу. + pxZ, (1 —рг) \i — pxZy p2\i + p2Zy (1 —р2)у.-р2г,...
...,/7CT_i[x + pa~\Zy (1 — po-i)jx—jt^o-iZ количества положительные,
значительные в отношении У2\л; ибо для таких величин хъ х29..., x0-i
значения
j^S-W 2(1—/?г—/?, pa^i)\L
V2nplV.-2TzplV.-. .27cpa_ijjf27c(l—л—л jPc-iV
весьма малы и, следовательно, не имеют приметного влияния на
общую сумму. А поэтому П при {л большом можем принимать равным
сумме значений
П04)
У^тс^ц-гт^и. • ^^„^^(l—/?!—р2 A,_i)P

- 77 —
для величин
*i= —Л, — Дх+1, — Л! + 2 В1-\, Въ )
хъ = ~Аг> — At+l, ~As + 2 Вг — 1, Bv
Xa-l = — Л0-Ь — Д,_1 + 1, — Л.-1 + 2,..., В„-1 — 1, £„_,,
Z = —Д -D + l, -D + 2,..., а~\,П,
1(105)
удовлетворяющих условиям
(1 — Pi — Л P«-l) ^ ~ (Pi + Р* + • ' - + Pcr-l) Z—Xi-
— х2 xa-i>0, (106)
5 — Л/^ < (ах — Оа) хх + (а2-ас)х2Н Ь (аа_1 —а0) Ха-i + (ЛГ—а*) Z <
<S + S —ЛГ(х. (ЮГ)
Но подставляя сюда ха на место л*! + х2Н r*o-i + Z, мы (104)
представим через
■s *
e *^1
)Г2ясрх\?.-2щ>г\к- • • 27r/70_1^.2ir(l--/71—/?s Pa-i)a '
и величинам (105) Z, удовлетворяющим условиям (106), (107), будут
соответствовать значения ха
X, = - D + 2** ~ D + 2 ** + *' ' ' ' 'Я + 2 ** (108)
удовлетворяющие условиям
S — NtL^^ixb - N)xk i- (N-- *a) xa^S + s - Ny.. (110)
£=i
Замечания же, сделанные нами относительно рядов величин
хъ х2,..., хс_1 (101) и их-пределов, здесь будут иметь место относи-
о-1
тельно ряда величин (108) xa и пределов его xff> — D + 2х*»
a-l
JCa < П + ^ ATik, Х0 < J^ ( ^~ 2 Xk ) П° ( l09)' °ТКУДа МЫ

- 78 —
заключаем, что величина рассматриваемой суммы изменится неприметно,,
если мы количеству ха вместо величин (108) в пределах
Ха > — D + ^ *Ь
o-i 1 — 2^* °"1
будем давать величины
хв=~А* - А,+ 1, — А, + 2,...,Д,—1, Д> (111)
ограничивая их пределами — Л0, £а, где Аа, Ва какие-либо большие
положительные числа.
Но сумма значений
о-1 2 2
^ 2рЛ(л 2{\-px-pt /V-l)^
для величин (108), (111) хъ х2,..., ха-и хау удовлетворяющих уело-
вию (110)
S — 7V[jl< 2 (^ — N) хк + (N - оа) х0 < S + s - ЛГц,
£=1
по (§ 23) для (л, Л1э 5а, Л2, 52> • • • > ^o-i, Д»-ь Ла, Д> больших чисел
равняется
S + s — Ny.
У 2 SK - ЛОЧ + 2 (ЛГ- ая)* (l - 2 V) И
г Л=1 \ *=1 /
£=1 \ *=1
или по раскрытии скобок, вследствие (103)
S — Ny.
- Т I _ s + *-N* \ (ИЗ)
1у2{|^+.:(.-|>,)-№},)
Вот величина П (§ 27) вероятности, что /я^/%.. •/я<,-ь
jjl— тх — т2 ma.-h числа повторений в |х случаях событий

- 79 -
El9 Еъ ...,£о и Ea, которых вероятности ръръ. . .,ро-ь \ — р\~ Ръ —
/70 -1 будут удовлетворять условию
S< а^ + а2т2 -) \- а0_,/ив_1 + а0(ц — /т^ — m2 та- i)<S +s.
§ 29. Если предмет /С в различных случаях может иметь а
различных величин Ль Ла,.. ., ho-h ha и из |х величин его, взятых
случайно, mi равны hv mt равны At,...,me_i равны Ae-1 и остальные
li. — mi — т2 то \ равны ho, то
1 /0_1 \
или
о-1 А
А=1
2 -т'^+т"^-771! w°-o (114>
будет среднее этих [L величин К- Но если р1% р2У..., /?0_ь 1—/?х—
—/?2 /70-1 суть вероятности предмету К иметь величины-
hx, hb ..., ha—i, Ло, то mv т2, - -. у Ша-ь у< — щ — т2 —m0-i
выражения (114) будут числа повторений в ц случаях событий, которых
вероятности ръ ръ ..., ра~ь 1 — Л — Рг — • А>-ъ а потому
вероятность, что эти числа удовлетворят условию
о-1 и и , о-1
л=1 V *=*i /
(115)
или, что все равно, условию
о-! о-1
S{x<2 hkmk + ha I f/.— 2m*) <5[x + stx,
будет по (113)
<P f S\x — N\l
r-. -—^
Stt + sy. — Ny.+ 1
V*{l*»+*{*-l*)-»h
(ив)
где
^=2Л*^ + Л° (1_Е**У (117)
Полагая в выражении (116)
Si=u- — у 2Istipb+£(i-sV*)~^1 *•

— 80 -
и пренебрегая
под знаком Т, находим Т(—и)—- Т(и), или по (62) 1—2 Т(и) для
величины вероятности, что среднее [х величин К (115) будет не менее
N-JL
и не более
Л/+-^
^/2 [1'
о-1
или, что среднее ^ величин К от N будет разниться не более как на
ту 2\2йр*+£(1_2>)-m
k=\
(118)
Но \—2Т(и) при значительной величине и, как видим из
таблицы Г, весьма мало разнится от 1, а
Ту2 [2 А*^*+^(1- S**)-^
£=1
равное по (103)
*/*£
о-1
«р*+«(1-2^*)-
Аг=1
а-1
2 hkpk + holl-^Pk
k=i
при (х чрезвычайно большом величина весьма малая. Следовательно,
весьма вероятно, что среднее большего числа величин К будет
незначительно разниться с N, где N, по (117), есть
2А*Р* + Аа(1-2/1*
*=1
о-1
*=1
количество, зависящее только от hb h2,..., Ла_ь Ла, величин
возможных для К, и их вероятностей. Вследствие этого, если условия,
определяющие £х величин /С, остаются без перемены и для других fx'
величин, то при больших числах (х, (хг средние р и ц.' величин /С
будут разниться весьма мало. И обратно: мы узнаем разность этих
условий по значительной разности средних величин.

— 81 —
§ 30. Но чтобы судить о близости среднего ц величин К к
а-1 а-1
3 kkpk+hoil — ^pk J, мы должны определить значение
т j/"2 [s ***+£ (i - 2 *)- ^
(И9)
ибо, как показали (§ 29), имеем вероятность 1—2 Т (и), что среднее ^
а-1 а-1
величин К от W, или (117) от 2 A*P*+M 1 — 2р* ) будет разниться
не более как на это количество.
Для определения приближенной величины (118) принимают N
равным
£=1
о-1
3 *я*А*+ (р.— 2^л)Ао
fc=l
среднему ^ величин /С, что, как видели (§ 29), для р числа большего
мало разнится с N. Вследствие этого выражение (119) заменится
таким:
или
* i/"t Is ^р*+й 0 - s*)- f т s «*a*+£ fr-s) A\ •
(120)
Что же касается до приближенного значения
а-1
Л=1
^hipk+hi(1-3** '
fc=l
то, заменяя в (115), (116), (118) hb А2,..., Ао-ь Ла через h% h\ ..., /£_р А*
и пренебрегая
Го-1 а-1 1 ^-V.
2 3Aip*+Ai(1-3^0""iV2r I
под знаком Г, находим
S\l— A^(jl
^j^kfo + ^l-^)-*»].
-Г/
6 П. Л. Чебышев, т. V
S[L -f- Sy. — N[i
}/2[ihUk+h°^-lPk)-Nt\*j
(121)

82
где
o-l
o-l
(122)
O-l
£=1 ч fc=l
для величины вероятности, что числа mv #i2,..., та-и V-— 2Шк
будут удовлетворять условию
о-1 ^ o-l
*=i
или
Га—1
2 h\mk+hlU— ^rrtk
k=i
k=i
o-l
k=l
<S + s.
Отсюда, делая
S
="-ij/
-^/щ
£=1 ^ *«1 '
o-l
aX+a4o i~2^ )~N2
k=i
t* >
найдем T(—u) — T(u), или по (62) 1—2T(u) для величины
вероятности, что
Г o-l o-l
— 2 hlmk+hlfyi— 2 rnk
|fe=l A=l
будет не менее
V«II
o-l
h\mk+htfl-^Pk
k=i
■N*
и не более
или, что
N + fy^2 |j? й£р* + A4e (l - J>) - ^
I o-l o-l 1
2 m,khl+ (\l — 2 "**) A*
Л-1 Ч fc=l У J
от Л/ будет разниться не более как на
f j/2 [ %h*p«+h° 0 - j>) - ^2
Но 1 — 2Т(и) при значительной величине и весьма мало разнится
от 1, а

— 83 -
приводясь по (122) к
становится малою величиною при у. большем. Следовательно, весьма
вероятно, что при [х большом числе количество
[о—1 о—1 -.
А—1 Ч *»1 У J
о—1 • о—1 >^
будет мало разниться от N, или (122) от %hkpk + fc( 1— 2^0'
А потому, без значительного изменения величины (122), можем
а-1 ^ о-1 ч
заменить здесь 2 Л*^ + А* ( 1 — 2 Р* )
через
го-1
о-1
2 /и*а* + (V—2 тЛ А*
и 1 >• и 1 s
Вследствие чего приближенное значение (118) будет
и [т {i [l^feA|+О1~ Дт0hl] -
■"■^i 2 OT*A*+ (?•"■ 2Л*)Ав 1) *
Итак (§ 29), имеем вероятность 1— 2Т(и), что среднее р. величин К
от 2 **/>* + М *"" 2 ^*) будет разниться не более как на
- -р [ 2^ + 0х- §^*>aJ} )• (123)*
Это выражение мы можем написать иначе, замечая, что количество
л Га—1 s о—1 -v П
— y\mkfik + (p— 2/7г*)М есть сРеДнее [а величин К а
-^ Г 2 ^а!+^ — 2 ^)лЛ
есть среднее их квадратов, а потому, изображая эти средние величины
через [К]^ [К%, выражение (123) представим так:
»V'j:([K%-WlY

- 84 -
Но легко убедиться, что
_2_
У-
{рО—1 о—1 -| га—1 с—1 -1 2 \
4- 2 ****! + (и— 2 *0 ^ - 4-2 2 ткнк + (V - 2 **0 а« =
** U=i ч л«1 у J ^ U=i ч *=i y J *
(а—1 , pa—1 a—1 --I . 2
2 m* \hk - 4 2 ^ ^ + U - 2 *»0 Ч +
a—1 г рст-1 a—1 n
+ (V — 2ть)[h*—тг 2^а* + (V—2>Ча*
где, заменяя
■0-1
2 ^*A* + (и- — 2 *4 А,
через [К]^ находим
{pa—1 ' a—1 -1 ра-1 а—1 -,
4* 2^* + ^—2>Ча° ~4 2m^ + C^~2m0Aa
-а-1 а-1
2 *** (а* - [ W + (V - 2 W) (^ - [Щ
и выражение (123) представится так:
k=A
°%тк (А* - [К],)2 + (l* - "S^O (^ - [KU*
(124)
или
где
f |/2 I Д»* (A* - ™* + 0х ~ S^*) (Л« - [W] - (125)
2«* (A* - [К],)8 + (ц - 2>*) (A„ - [/Ш2
A«l
ft=l
есть сумма квадратов разностей всех [л величин /С и их средней
величины.
§ 3L Если Ab А2, ..., Aa-i, Aa суть разные величины, получаемые
для одного и того же искомого /С из различных наблюдений, то
истинная величина К определится уравнениями
(126)
где въ s2, - •., za погрешности наблюдений, вследствие которых
находим для К величины Al5 А2, ..., Л0. Называя через ръ р2, ..., ра вероят-

- 85 -
ности этих погрешностей, или, что одно и то же, вероятности
получить из наблюдений для К величины къ hb ..., А*, мы из уравнений
(126) находим
= ^+Se*P* + ea(l-S^)' (127)
feel Л=1
Если же предположим в наблюдениях, определяющих величину АГ
одинаковую возможность дать величину больше или меньше
истинной на одно и то же количество, что весьма вероятно, то возможные
погрешности еь е2, ..., е0 будут попарно равны, отличаясь только
знаками, и будут иметь одинаковые вероятности, вследствие чего сумма
а—1 * а—1 >.
2 sApA + eo(l —2 P*J пРивеД^тся к 0, и по (127) будем иметь
о—1 о-1
2 hkpk + ha (l - 2 Р*) = *• (128)
Но по предыдущему (§ 30) мы имеем вероятность 1— 2Т(и\ что
а—1 у- о—I -v
среднее у. величин К будет разниться от ^hkpk + hoi 1 — 2^0 не
£=1 ^ fc=l ^
более как на ну —([К2]^ — [К]1)> когда Аь Л2> •••» h* суть возмож-
ные величины К ъ ръ Р* ---9 Ро их вероятности. Следовательно,
предполагая къ hb ..., Ас различными величинами, получаемыми из наблю-
в—1 , а-1 -ч
дений для искомого К, причем по (128) 2 ЬьРь + Ао( 1 — 2 Р*} есть
/С, истинная величина искомого, мы в 1— 2Т(и) находим выражение
вероятности, что среднее (х величин искомого, полученных из
различных наблюдений, от истинной величины его будет разниться не более
как на и у — ([К2]^ ~ [К\1)У или, что одно и то же, на количество
(125). Например, 29 наблюдений, произведенных Кавендишем для
определения плотности земли, дали для ее величины
5,50 5,26 5,58 5,62 5,79 5,42 5,46 5,85
5,61 5,55 5,65 5,29 5,10 5,47 5,30
5,88 5,36 5,57 5,44 5,27 5,63 5,75
5,07 5,29 5,53 5,34 5,39 5,34 5,68
Находя среднее этих 29 величин плотности земли равным 5,48 и
среднее их квадратов равным 30,071, мы по доказанному имеем
вероятность 1 — 2Т(и), что 5,48 от плотности земли разнится не более
как на и 1/-кд-(30,071 — 5,482), или не более как на 0,053 а. Так, делая
и = 1,89, находим вероятность 1 — 2Г( 1,89) = 0,992 4794, что 5,48 от
плотности земли разнится не более как на 0,053-1,89, или на 0,1.

- 86 -
Ю
00
cq
ОЭ
00
о
|>
St*
cq
о
118
СО
чн
чн
05
105
ю
00
099
чЧ
St*
094
ОЗ (N СО
cq чн чн
N N тч
чР 00 Ю
(N О СО OJ СО
D^ СО СО Ю LQ
О О О О О
о о о о
о о о о
о о о о
o^cqcost*^cot^oooo^cqcost*LOco£ooo50;44cqco
ЮЮЮ10ЮЮЮЮЮЮСОСОСОСОСОСОСОСО^СО^С0^1>^^^1>^
cq~cqcq~cq~cq~cq~cq~cqcq~cq~cTcqcq~c^ cq cq cq cq cq cq cqcq
00 CO CxI-OO ■H05NQ00C0Nc0CSllOC0^^sfI>O^C0O,H
00NOC0NO0000N0505M00C0r;Ocq^^NHb;C0C0
coco^st<^i>.oooco^oocqioo5cooocq^cq^cooo^o
cocq-4H005oot^c>-co»osj<,<t<cocqcq-4H,4H000505oooooo
cqcqcqcq-4H4H-4H«rs-4H-4HTH^Tr<r-''r<'5r<"5r,!S?^r,QQQQQ
8 8
О О
8 S
cq cq
О
о
о
cq
о
cq
8 8 8 8
О О О О
СО ЧГ Ю СО
о о о о
cq cq cq cq
о
о
о
О
cq
о
о
о
00
о
cq
8
О
ОЭ
О
cq
О
О
о
о
чЧ
cq
О
О
О
чЧ
чЧ
cq
8
о
cq
•чЧ
cq
8
О
СО
чН
cq
о
о
о
St*
чЧ
cq
8
О
LO
чЧ
cq
о
о
о
СО
чЧ
cq
8
О
1>
чН
cq
о
о
о
оо
чЧ
cq
8
О
ОЭ
чН
cq
о
о
о
8
cq
о
о
о
чН
cq
cq
о
о
о
cq
cq
cq
8
О
СО
cq
cq
S
*"
N
§
к
г N
J S
к
N
s
K,
N
sf
947
016
о
s
CO
649
078
о
8
О
750
239
о
8
О
о
000
500
о
о
о
о
со cq
чН СО
СО ОЗ
СО F-
CD Ю
чН чН
О О
О О
•чн cq
lo ю
г> о
St* чН
ОЭ 00
Ю UO
СО St*
о о
о о
•чн cq
о о
чЧ СО
со о
LO чН
СО СО
cq cq
о о
гн cq
ю ю
о о
СО 00
00 1>
LO «чЧ
СО t*»
чр оо
оэ оо
S* SJ<
о о
чн cq
о о
-о о
ОЭ
241
015
о
СО
lo
ОЭ
607
072
о
со
о
оэ
767
226
о
со
Ю
о
ю
079
483
о
8
О
чН
707
014
о
st*
LO
чН
675
070
о
о
St*
530
222
о
LO
О
СО
444
477
о
S
о
со
00
оо
чЧ
014
о
LO
LO
О
782
068
о
ю
о
со
338
218
о
LO
о
чЧ
814
чЧ
О
lo
о
о
ОЭ
685
013
о
СО
LO
чЧ
928
066
о
со
о
чЧ
192
214
о
СО
LO
О
cq
ОЭ
чЧ
466
о
СО
о
о
D^
00
ОЭ
чЧ
со
чЧ
О
о
1>
sj*
со
чЧ
чЧ
065
о
О
•чЧ
092
о
чЧ
cq
о
о
cq
чЧ
LO
460
о
о
о
LO
726
012
о
00
lo
оэ
336
063
о
00
о
LO
038
206
о
00
о
ОЭ
960
454
о
00
о
о
чЧ
269
012
о
ОЭ
LO
LO
598
061
о
оэ
о
|>
031
202
о
оэ
LO
О
1>
359
О
825
011
о
о
со
ю
897
059
о
о
ОЭ
071
198
о
о
со
о
LO
768
оэ со
5 5
О
Оэ
О
О
о
о
чЧ
О
ю
396
чЧ
чЧ
О
О
чН
СО
ю
233
058
о
чЧ
st*
159
194
о
ч-Ч
СО
О
LQ
00
00
чН
438
о
чН
чН
о
оэ
980
о
чЧ
О
О
cq
СО
О
606
056
о
cq
со
294
190
о
cq
СО
О
00
620
432
о
cq
чН
О
ю
578
ОТО
о
со
СО
со
014
055
о
со
00
476
186
о
СО
СО
о
st*
066
427
о
со
чН
О
чЧ
ОЭ
00
чЧ
О
чЧ
О
о
st*
СО
00
458
053
о
st*
чЧ
707
182
о
St*
СО
о
LO
526:
чЧ
cq
st*
О
st*
чЧ
О
cq
cq
чЧ
00
009
о
ю
СО
чЧ
938
чЧ
LO
О
О
ю
st*
985
178
о
ю
СО
р
о
002
416
о
ю
чН
о
ю
447
009
о
СО
СО
оэ
чЧ
UO
st<
050
о
со
|>
чЧ
чЧ
со
175
о
со
СО
о
чН
494
о
чЧ
SF
О
СО
чЧ
О
00
094
СО
753
05 00
8 8
О
CD
00
999
048
о
i>
cq
686
171
о
СО
О
00
003
405
о
чЧ
О
о
00
со
со
581
047
о
00
о
109
168
о
00
СО
о
чН
532
399
о
00
чН
О
1>-
423
008
о
05
СО
00
195
046
о
05
О
580
164
о
<2
со
о
чН
00
sf
О
чН
008
о
о
О
843
044
о
8
Ю
099
161
о
е
о
i>
S 88
О со
394
о
05
чН
О
388
о
а
о
ю
796
007
о
чН
cq
522
043
о
чН
cq
со
667
157
о
чН
1>
о
чН
239
383
о
«чЧ
cq
о
со t>
00 О
ОЭ чЧ
st* cq
8 8
О О
cq со
О ОЭ
со st*
СО 1>
cq о
cq О
st* sj*
о о
о о
cq со
cq cq
Ю чН
со со
00 St*
cq оэ
st* О
ю ю
чН чН
о о
cq со
о о
чН 1>
cq оо
LO 00
00 -st<
l>- C4
со со
о о
cq со
cq cq
о о

- 87 -
О СЛ СО СМ СО
*г< чг* СО Ю t—
to sj* со см -гч
05C04rO-^I>-000(^C^^OCOCOtO^CNI05COCOCOCOC^r^N3« CO
^ и со со -н "
СО СО
о о
8 8
О О
4j* to
см см
СЛ
со
,000
о
СО
см
СО
со
,000
о
см
О -Н СО С- ч-ц Г*
О Г4* 4J* 'r-f СЛ СО
со to to to vi* sj<
8 8 8 8^
О О О О
Ч5}4
СО О 4}* оа to ч-ч 00
M-HQhCOincO., ,-
сососмсмсмсмсмсмсм
OOQOQOOO
оооооооо
оооооооооооооооооооооо
ООСЛОчНСМСОЧ1<ЮСОГ^ООСЛ
СМСМСОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
si* 5
СМ СО V}* Ю СО Г^
s? sf vf sf sj s?
NNC<INCvlNN(NWWMiNNiNiNWNNNiNCvINC4C^WN
8
О
8
52,
i> to oo to
см 4i* 4t* 4j*
CO CO О tO
СЛ CO 41* rH
CO CO CO CO
8 8 8 8
СЛ l> l> l> 4j*
CM СЛ 4j* C- 00
чН t> tO CO CM
СЛ CO 4j* CM О
to to to to to
8 8 8 8 8
со о to t- t-
CO CM S»* CO
CM 00
t> CO
-ы O
CO 00
о
8
41*
о
со
43*
4}*СОСОСОСОСОСОСОСМСМСМСМСМ
СЛ CO
OS -ri О
00 СМ СО
О OS h
О OS
LO О
to ^
4J* СО
о
СО СО 4}*
00 СО tO
Г- СО tO 4J*
о о
о о
8 8 8 8 8 8 8
оооооооооооооооооооооооооо
СО 41* tO СО
00 00 00 00
t» оо а о
00 00 О0 OS
чнсмео4}*юсог-оосл
о
8
о"
4J*
Г"-
4t<
С—
ел
СО
о
о
4f*
см
СЛ
Ой
4t*
to
00
со
о
о
ю
см
о
см
00
СО
г»
со
о
о
СО
см
см
со
4J*
см
со
со
о
о
1^
см
ел
см
со
тН
to
СО
о
о
00
см
СО
8
о
4t*
со
о
о
ел
см
о
со
ел
ел
см
со
о
о
о
со
4J*
00
СО
ел
чН
со
о
о
чН
со
4J*
г^
СО
ел
о
со
о
о
см
со
to
см
ел
ел
ел
см
о
о
со
со
чН
СО
4f*
о
ел
см
о
о
4t*
СО
ел
00
чН
чгЧ
Я
о
о
to
со
со
ел
чН
см
г^
см
О
о
СО
со
оо
со
4Т*
со
СО
СМ
о
о
г»
со
о
см
ел
4Г*
to
СМ
о
о
00
со
СО
со
СО
со
4J*
см
о
о
ел
со
4F
t^
to
00
со
см
о
о
о
4J*
00
со
г*
о
со
см
о
о
чН
41*
ел
чН
чрч
со
см
см
о
о
3
СО
«*ч
Г*
to
ч-4
СЯ
о
о
со
4J*
t-
чН
ю
оо
о
см
о
о
ч?
ю
см
to
чН
о
см
о
о
to
4J*
см
со
|>
4J*
ел
чН
о
о
СО
4!*
ю
со
Ч-*
00
00
чН
о
о
с*
4J*
ел
см
t>-
ч—С
00
чгН
о
о
°3
41*
о
чгч*
to
to
с»
4J-I
о
о
<3
41*
ОСМСОС<100СМЮСОСОчНСООСЛчрЧС04|*СЛСОчНСМ10сОСМООчНОЭ
чНСМчнСЛ41*0005004}*ООООС0050СОООЮООС0004^4}*0041*41*10
сосмсоооел4?41*о5елсосмсо4^ооюс^41*10чгч«^союоосооо4}<
со4?*смоелелелоаосМ4}*соелсмсооюососмооюсмооог»
tr^4j*4r4004?4H00t0C0Ot^4j*4H05C04}*4HC3iCO4I*4r405I>t0CMO
4^4|*4|*сосососмсч1смс>ЗчгЧчгчч-40оооелелелелоооооооооо
чНч-ц^НчгЧчНчНчНчНчНчНчгЧчгКчНчгЧчгЧчНчНООООООООО^
о~ о" о" о~ о" о~ о" о" о" о" о~ о~ о" о" о~ о" о" о" о о оо о о о о
4j*toco с^оо<зэОчнсмс041*юсо^оослО'^емсо4}*1осо1>.оосл
f~ С— С— l>^N0000000000000000Q000C3O5O5O5O5O5O5O3O3O3
о"'о"'о"'о"чо'чо"оо~о",о"'осГо~о~оооооооооооо
to
4t<
о
о
о
tO СО
8
ел о со со ел о t— оо ю см о
OOOOCOiONONQWN
OScptOOO^CQ^O^OCOOa
сог^елюсмсо^чнсм
юосоюсосо1>-елсм
__ _. елсоо «н со to оо л ^
C0C04l*cO00OCMt000CMCO4-t
4j*
см
ЧГ«
ч-Ч
625
00
to
со
чН
со4
Ьч
00t0CMO00C0t04I<c0C0
1>»4WC04HOOtOOtOOt00^0^0^4HC04HcOCMt^COOQ4r
сосоюю4^4?сососм<гачнчнооело500оос^с^сосоюю4?41*
со со w л л « л со л со со л « со е^ n n n el n с» N n n « N
с^оо"о"о*о~о~о"оо"оо"*о"*о"оооооооооооо
сос^ооелОч-чсм<Л4^юсог^ооелочнсмсо
CMCMCMCMCOCOCOCOC0C0C0C0COC04J*4t*4li4J*
sf to со 1> оо
^ sji sii sjt "5
оооооо~©о~оо
«оо ооооооооооооо

OB ИНТЕГРИРОВАНИИ ПОМОЩЬЮ
ЛОГАРИФМОВ*
ПОЛОЖЕНИЯ **
I
В теории интегрирования иррациональных дифференциалов первое
место принадлежит дифференциалам, которые заключают
рациональным образом квадратный корень рациональной функции.
II
Если эти дифференциалы не интегрируются без помощи
логарифмов, то при современном состоянии анализа нет общего способа для
их интегрирования.
III
Этот способ необходим для усовершенствования теории Абелевых
функций.
IV
Он требует решения такого вопроса: найти целые числа, которые,
будучи умножены на данные количества (иррациональные и мнимые),
дают в сумме нуль, если это возможно; в противном случае
обнаружить невозможность этого.
V
При современном состоянии теории чисел мы можем решить этот
вопрос только в .некоторых частных случаях.
VI
Когда же решен этот вопрос о числах, то интегрирование
приводится к определению функций помощью неопределенных уравнений.
* Диссертация на право чтения лекций (pro venia legendi). Впервые была
опубликована в Известиях Академии Наук СССР, VII серия, отделение физ.-математических
наук (1930), стр. 785—849.— JP^d.
** «Положения в рассуждении Магистра Чебышева об интегрировании помощью»
логарифмов» датированы автором 8 мая 1847 г.; напечатаны в Собр. соч. П. Л.
Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907, стр. XX.

- 89 -
VII
Решение этих уравнений по способу неопределенных
коэффициентов представляет большие затруднения.
VIII
Они решаются помощью непрерывных дробей.
IX
Отношение интегралов, которыми Якоби определяет указателей
обратных Абелевых функций и подобных им, может иметь
иррациональную и действительную величину.
Рассуждение, которое ныне я имею честь представить
С.-Петербургскому университету, имеет предметом интегрирование тех
иррациональных дифференциалов, которые, заключая рациональным образом
квадратный корень рациональной функции, интегрируются при помощи
логарифмов. Всем известны превосходные труды Абеля и Лиувилля
по этому предмету; рассуждение мое есть только новое приложение
их открытий. Результаты же этого приложения следующие:
1) открытие обширного класса интегралов, не выразимых при
помощи логарифмов;
2) весьма простой способ находить алгебраические члены;
3) способ определять число членов, заключающих логарифмы и
находить уравнения, определяющие каждый из этих членов отдельно;
4) решение этих уравнений.
Вот изыскания, которые составляют мое рассуждение.
1847 ™да Магистр Чебышев
апреля 18 дня. v
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 1. Все дифференциалы, рациональные относительно квадратного
корня рациональной функции, могут быть так представлены
Af + Af,!/"*
где Ж, Мъ N, Nly R, /?х функции целые, и это приводится к сумме
MNR^M^R dx , (M1N-NlM)RRl ^ _^= .
N*Rx-N\R N^ — NJR VRRt,
где
(M1N-N1M)RRl 1
N*Rt-NlR 'УЩ

— 90
не трудно так преобразовать, чтобы под радикалом не было кратных
производителей, и дробь, при ней стоящая, была простая. Вследствие
этого интеграл
yi
Yk
приводится к сумме
^ MNR1-M1N1RA^ } С fx dx
J N>Rx-N\R aX±\P* /ft?'
где
MNR1 — M1N1R
N*RX - N$R
— рациональная дробь, Qx — целая функция, не имеющая кратных
производителей, ^ — несократимая дробь.
Интегрирование дифференциала
№RX-N\R
не представляет никакой трудности, вся трудность в определении
интеграла
fx dx
Г I*.
)Fx
F* Vbx~"
Изысканием выражения этого интеграла мы теперь и займемся.
Относительно интеграла
с fx dx
доказано, что если он приводится к функциям алгебраической и
логарифмической, то значение его определяется уравнением
~' + А'1о*Рг-ЯгГ*Г
тде Фх, Фгх, рь qb ръ д2, ..., pr, qr —. целые функции, Аъ Л2, ..., Аг —
постоянные *. Притом, если члены этого уравнения приведены к
наименьшему числу, то постоянные Аъ Аь ..., Аг не будут удовлетворять
уравнению
Mi + М* + •. • + krAr = 0,
.какие бы ни были къ kb ..., kr числа действительные рациональные.
* A b е 1. Lettre а М-г Legendre.— L i о u v i 11 е. Memoire sur les transcendantes
•elliptiques de premiere et de seconde espece, considerees comme fonction de leur
amplitude. Jo urn. Ecole Polytechn., 23-e cahier.

Факсимиле начала § 1 статьи «Интегрирование помощью логарифмов» (уменьшено)

— 92 —
Вот уравнения, которые послужат нам для определения интеграла
Г fx dx
)fx 'VQx~
в том случае, когда он приводится к функциям алгебраической и
логарифмической.
§ 2. Для упрощения этих изысканий мы ограничимся тем случаем,
когда дифференциал
fx dx
степени — 2 и следовательно 0х степени четной, заметив, что к этому
виду приведется всякий дифференциал переменою х на а + —, где
а есть величина, при которой данный дифференциал не обращается
ни в 0, ни в оо.
Предполагая дифференциал
fx dx
К ' VQx~
данным и степень его равною — 2, мы теперь займемся определением
выражения интеграла
с fx dx
по уравнению
fx_dx__ _Ф£ /■— Рх + дгУЪх~ , . ^„Pt + qtVjx
$
£ £L = £f КвТ+ л log ь±Ц£ + a, log &±ai« +...
гх у ох ч^дг Л _ д1 у ед; />2 — 92 V 9*
• + ^log -^=,
pr — qrVQx
где Фх, Q>iX, ръ дъ р» q2, ..., pr, qr функции целые, Аь Аь ..., Аг
постоянные, неспособные удовлетворить уравнению
Mi + Ma + • • • + krA, = О,
какие бы ни были klt k2, -.-, kr числа действительные рациональные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ВЫРАЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛА \fe£L
§ 3. Мы приступим теперь к определению алгебраического члена
в выражении интеграла
\
fx dx
Для этого основное уравнение наше
\-Arlog— —г==-

- 93
напишем так:
\- AAog
7?=^ "Г л, 1U£ = f=
и, предполагая всегда функции fx и ^х, Фх и Фхх простыми между
собой, относительно этого уравнения докажем следующие две
теоремы, которые будут иметь место, какой бы степени дифференциал
fx dx
Fx YW
ни был.
Теорема 1. Если в уравнении
••• + Ar\ogpS±lL^ (1,
функция Фхх делится на х — а, то Fxbx делится на (х — а)2.
Доказательство. Назовем через т и со целые числа,
означающие сколько производителей, равных х — а, имеют функции Ф2х, 6х.
В этом предположении, разлагая Ф2х и 6х по восходящим степеням
х— а, мы будем иметь
Ф1х = Ф1(а + х-а) = Ь(х-а)т+Ь1(х-а)т+1+--- \ (
Ъх = 6 (а + х — а) = с (х — af + с1 (х — а)**1 Н , J
где Ь, с будут конечные величины. Также будем иметь
Фх = Ф (а + х — а) = А + Ах (х — а) Н ,
где А всегда будет отлично от 0, ибо в противном случае х — а было
бы общим делителем Фхх и Фх, а это невозможно, потому что
функции Ф2х и Фх предполагаются простыми между собой.
Из найденных нами выражений Фгх, Фх, бх мы выводим
—/бх-уУ^х-а) +
^ 17(2Ц-у+ад (х_а)~я,+"£+1 + ... (3)
С другой стороны, из свойств логарифмической функции следует,
что разложение выражения
Allog£L+£^ + At,ogA±^+... + ^log^±^
A-tfi^ft* bp2->g2yex pr-qrV0x

— 94 —
по восходящим степеням х — а не может быть иначе как
Glog (х - а) + вг {х - a)*1 + G2(x- а)*% + ■ • ■,
где аь а2,... суть числа положительные, G, Оъ G2,... количества
конечные или 0. Внося отсюда значения ^Y§x, Qx и
в уравнение (1) и, полагая для сокращения
* с Wc ~ '
находим
\ щ^Ус(х-аГ + сг(х- а)а+1 + ■ ■ ■ dx =
= ~Vc{x — a) ~ +H{x — a) 2 + Glog{x-a) +
+ GAX- a)"1 + G2{x- a)a' + - •. .
Но это уравнение, будучи продифференцировано относительно х>
дает
= -у- {j-n + Yj (x~a) +Н(—т+ у + 1 J(x-a) + • • -
• • • + J37 +«1<М*- ^Г"1 + ««О,(л- а)*-1 +. • •,
откуда выходит
(х-а? - (4)
/л: Ус + сг(х — а) -\ (х —- а)'
ТП—1
h V с ( — т-\--ёс) ,. х „, °> m w,
V * J f со . Л w—=r- m— —+ai
^ -+7Vf -m+2-+lJ(jc-a}+...+G(A:-a) 2 -f ^(дг-д) 2 +•••
Чтобы доказать с помощью этого уравнения предложенную нами
теорему, мы замечаем, во-первых, что т равно 1 или более 1, ибо
иначе по уравнению (2), в противность положения, Фгх не делилось
бы на х — а, во-вторых, что со должна быть не > 1, ибо в противном
случае по (2) 0л: имела бы производителя кратного, что не должно
иметь места по § 1. Но если т = 1 или >1, со<1, то т — 1 =0

— 95 —
или > 0, т — y > О, а в этом случае уравнение (4), где с, А, Ъ
конечные величины, в пределе для х = а дает
Ч<£^]-»
или величине конечной.
Это же уравнение не может иметь места, если РхЬх не делится
на х — а. Итак, РхЪх делится на х — а, что и следовало доказать.
§ 4. Теорема 2. Если Fx Qx имеет п производителей равных х—а*
где п = 2 или >2, то в уравнении
• • • + Ar log —
pr-qrVbx
алгебраический член
ие может обратиться в 09 и знаменатель его должен иметь п—\
производителей равных х — а.
Доказательство. Если РхЬх имеет п производителей равных
х — а, а Ьх имеет со таких же производителей, то разложение
/**
Vq*
Fxbx
по восходящим степеням х — а, как показали над
в § 3, будет такого вида:
где Af — количество конечное, со —целое число, не превосходящее 1.
Внося это выражение
fx
V$x
Fxbx '
и разложение
Л log
Рг — ЯгУЪх Рг~Ч*УЪх pr-qrVUx
* Это уравнение получается в предположении неделимости fx на х — я, что здесь
действительно имеет место. В самом деле, если бы fx делилось на х — а, то функции
fx и /иг, в противность положения (§ 3), имели бы общего делителя, ибо необходимо
Fx имеет производителем х — а, иначе произведение Fx на функцию Ъх, не имеющую
кратных производителей (§ 1), не могло бы иметь х — а кратным множителем, как
предполагается в доказываемой теореме.

= +
- 96 —
показанное в § 3, мы из уравнения
Рг ~ Ч* У®* Рг-^гУ 0-*
ВЫВОДИМ
$(W(je —а) 2 Н-Л^х-а) 2 + •••)<** =
= ^l/6^+Glog(x-a) + G1(x-a)ai+G2(x-a)aa + ...,
что, будучи продифференцировано по х, дает
N(x — a) 2 +М1(х-а) 2 +...=
Ф* у-~
= ^2F—+ 3^ +«iOi(JC-a)"^1 +«.G.(JC-a)"r"1 + •• • •
Но так как Л/" количество конечное, п — 2 или > 2, о = 1 или
<С 1> ai> a2» • • • числа положительные, то это уравнение не может быть
тождественным, если мы предположим, что
есть 0. Итак, алгебраический член в уравнении
p2~qjbx Pr-.qrV§x
не может быть равен 0, в чем и заключается первая часть
предложенной теоремы.
Для доказательства второй части этой теоремы мы замечаем, что
выведенное нами уравнение
N(x-a) 2+Ыг{х-а) 2 +...=
= dx + x^TJ + «А (х - a)^"1 + a2G2 (x - a)-'"1 + •. ■,
по причине N не =0, л>2, со<1, ax>0, a2>0,..., не может быть
тождественно, если в разложении

— 97 -
по восходящим степеням х — а первый член не есть
- (х-а)
-Л+у+1
Но по § 3 выражение этого члена есть
-Ус(х-а) т 2 ,
где m есть число производителей Ф^, равных х — а; а это
выражение не иначе &ожет быть тождественно с
(х-а)
-л+2-+1
как при равенстве
- т + Г2- = — п + 2-+ I.
Из этого же равенства выходит т = п—I, в чем и заключается
вторая часть теоремы.
§ 5. Из доказанных нами теорем относительно уравнения
тождественного уравнению
С fx dx _ Фх лг7г-> л w Pi + 4iVbx |
+ А2log "-г** +...+ Arlog r^,
обнаруживается, что д состав Фгх [входят] одни кратные
производители FxQx и что в Фгх степени их кратности единицею ниже, чем
в Fxbx. А отсюда следует, что, понизив на 1 степени всех
различных производителей Fxbx, получим Ф^. Но в теории равных
корней доказано, что таким образом составляется общий наибольший
делитель
dFxbx
Fxbx и
dx
Следовательно, относительно Фгх можем сделать такое заключе-
чение.
Правило h Знаменатель алгебраического клена в выражении
интеграла
fx dx
\F*7bx
7 п. л. Че&ы&т, т. v

— 98 —
через функции алгебраическую и логарифмическую есть наибольший
общий делитель
ry Q dFxQx
Fx vx и —j^— .
§ 6. Теперь приступим к дальнейшему исследованию
алгебраического члена в выражении интеграла
С fx ^х
\*ъТЪх'
По сделанному нами предположению (§ 2), функция
fx 1
-2;
а
потому
Fx
разлагая
Vbx
dx
Fx Vbx
по нисходящим степеням х и интегрируя каждый член, мы для
выражения интеграла
fx dx
?fx_
)Fx
Fx Уъх
будем иметь ряд, не содержащий положительных степеней х. Также
не заключает в себе положительных степеней х ряд, в который
разлагается по нисходящим степеням х выражение
Pi — qiVdx pz — qtVbx pr — qrVbx
Вследствие же этого равенство
\fx Vex -ф1ХУ*х + а№ Pl-qiVbx +
+ ^log^i^p+...+ ^log^ + ^^
Рг — ЯгУЪ* pr-qrVbx
:луча
VQx
может иметь место только в том случае, когда степень
Фх
ф^с
не превосходит 0. Но степень выражения
Фх 1Угк-
может не превосходить 0 только в том случае, когда степень |/"бх
не превосходит степени Фхх, а Фгх, по правилу I (§ 5), есть общий
наибольший делитель
FxQx и *Щ**-.
dx

— 99 —
Отсюда следует такое заключение:
Правило II. В выражении через функции алгебраическую и
логарифмическую интеграл
С i?L dx
К* Vte9
где
fx l
г* Vbx
степени — 2, алгебраический член может находиться только в том
случае, когда степень общего наибольшего делителя
с Л dFxbx
Fx Ьх и —-:—
dx
не менее степени |/бх.
§ 7о Прежде чем приступим к определению числителя
алгебраического члена в выражении интеграла
С _А dx
) Fx Vex '
мы покажем теперь один обширный класс интегралов, не
приводящихся к функциям алгебраической и логарифмической. Общая форма
этих интегралов есть
где
степень — 2, а функции
Hy ft v tjt .
dx
имеют общим наибольшим делителем функцию х, которой степень
менее степени У*8х. Из предложенных нами теорем обнаруживается
весьма просто невозможность привести эти интегралы к функциям
алгебраической и логарифмической. В самом деле, если функции
„ a dFxbx
Fxbx и
-заимеют общим делителем какую-нибудь функцию х> то Fxbx имеет
кратных производителей, а в этом случае по теореме 2 выражение
интеграла
" fx dx
\&
fx
Fx '
Fxbx и
dx
Vbx'
1
Vbx
dFxbx
невозможно без алгебраического члена. Но, с другой стороны, это
выражение не может заключать алгебраического члена по правилу II,
ибо степень общего наибольшего делителя
Fxqx и ___,

— 100 —
по положению, менее степени Y§x. Следовательно, выражение
интеграла
в сделанных нами предположениях никоим образом не может быть
приведено к функциям алгебраической и логарифмической. К этому
классу интегралов принадлежат, например, интегралы
\
(х — а)(х— Ъ) cLx
{х _ c)i "' Y(x-e){x-f){x-g){x-h)f
С x~~ a —
) х-с ' V(X-c)(x-e)ix-f)(x — g)9
когда а и Ъ не равны с, е, /, g9 h [и] суть величины все различные
между собой.
§ 8. Приступим теперь к определению'числителя алгебраического
члена в выражении интеграла
С _/£ dx
) F* Vbx *
Мы видели (§ 6), что степень
не должна превосходить 0, а для этого степень Фх не должна быть
более степени -^L Поэтому, означив через п степень ~4, мы в п
будем иметь высший предел степени Фх и, следовательно, Фх
представляется формулой
1пхп + ln-i хп~1 Н ь 1хх + /0,
где ln, In-u • • • > k> l<s — постоянные количества. Значение этих
количеств определяется с помощью следующей теоремы.
Теорема 3. Если в уравнении
С fx dx _ Фх ^g-r . . Рг + ЯгУЪх
p2-q2VQx pr^qrV§x
функция Фх равняется
lnxn + /„_! x"-1 + • • • + kx + l0i
то выражение
fx~ 3§" Qx lnln*n-1 + {n- l)ln-ix»-* +... + /j -
f Fx Wx РхФ±гхдх\п n . , n . , , f . , .
~ (&x "2 Щх~) V"X + tn-lX"-1 + • • • + lyX + /0)

- 101 -
делится на Фгх без остатка, где Фгх есть общий наибольший дели*
тель функций
~ Q dFxbx *
Fxvx и —-: .
dx
Доказательство. Внеся в уравнение
J Fx Vbx Фхх* ъ рх - qx Y$x - 5 p2 ~ tfrVbx
Pr - Яг VQx
ПОЛИНОМ
InX» + ln-lXn~l +- • •+ 1гХ + !<>
на место Фх, находим
i Fx Vbx Фгх V X
Pl + qxVbx Pt + q^Qx pr + q,lT§x
+ i4xl0g == +^2l0g -=r +••■+ ^rl0g -=,
рх-ЯгУЪх Рг-Чг*Ъх pr-qrVQx
Легко убедиться, что выражения
Fx РхФх'хЪх
будут функции целые. В самом деле, функция Фхх как общий наибольший делитель
dFxbx
Fxbx и
dx
в частном FxbxiOxX дает произведение всех различных производителей FxQx,
взятых в первой степени, что будет делиться на Ьх, ибо Ьх не имеет кратных
производителей (§ 1) и все его произбодители заключаются в числе производителей Fxbx,
следовательно,
Fxbx Fx
ЩхТх или Фхх
должно приводиться к целой функции. Что же касается до выражения
Fx Фхгх Ьх
Фг2х
то мы узнаем в нем функцию целую, замечая, что оно равняется разности
dFxbx dFx Qx
dx d Fxbx dx d Fxbx
Фхх dx Фгх * a Фгх ' dx Фхх
суть функции целые, потому что Фгх есть общий делитель
^ А dFxbx
Fxbx и __.

— 102 -
откуда выходит такое уравнение:
\{fx ~ %с6х inl"x"~1 + (» - 1) In-ix»'1 + • • • + /J -
I Fx 6'лг Fx Ф,'х Ьх\ г , .} Уёх .
= Лх log -== + Л2 log ^~ Н h Ar log -=.
Сравнивая это уравнение с уравнениями теоремы 2, мы убеждаемся»
что оно, не заключая алгебраического члена, возможно только в том
случае, когда сокращением дроби
{/X - -|^ 6* [ШпХ»-1 + (я - 1) 1п-1Хп~2+ • • • + /J -
/ Т7* 60: FxO',xbx \ г , л
\ Фхх 2 Ф{дг / J
6%
степени всех производителей ее знаменателя понижаются до 1. Но
такое сокращение возможно только в том случае, когда
fx -SjcQx \п1пХп-1 + {n - 1) ln~ixn~2 +... + /J —
/ Fx Ъ'х Fx<b'*xbx\
~ ХфГх ' 1 ЦТ")^ + !«-lxn~1+"' • +'** + ^
числитель этой дроби, делится на Фхл:, ибо Фхх, будучи общим
наибольшим делителем
dFxbx
Fxbx и
rfe
есть самая простая функция, которая, деля FxQx, дает частное, не
заключающее кратных производителей. Итак, выражение
fx ~ lutx Ьх l*11**""1 + (Л - l)tn-ixn~2+ •.. + /J -
Fx Wx Fx<b\xbx\
, Ф^'~2 Щх~) [1пХП + /«-^Я"1+- ' * + l*x + lo\
должно делиться на Фгх, что и следовало доказать.
§ 9. С другой стороны, нетрудно убедиться, что делимость без
остатка выражения
fX - Ж^Х \п1пХП~1 + (Л - 1) /я-ЦС»-2+ • • - + /J —
/ /*.* 8'* Fjc Фт' х Qx \
- te • 1—ф]т-j ?■*■+/я-1-*""1+• • •+^+«

- 103 -
на Фхх вполне определяет коэффициенты /„, /„_lt ..., 1Ь 1& Для этого
мы докажем следующую теорему.
Теорема 4. Возможна одна только система величин /„, /я^ь ..., 1Ъ /0
для которых выражение
1х~1^хЬх lntnxn-1 + (n- \)ln-ix»-*+ ..- + /,] —
/ Fx Ъ'х Fx<S>\xbx\
делится без остатка на Фхху где Фгх есть общий наибольший
делитель FxQx и dFxbx . п степень -~г.
dx Vbx
Доказательство. В самом деле, если мы допустим, что
/* - ^ б* [тапх"-^ + (п ~ 1) хл-ix*-2+ • • • + xj -
"fc'~^ ф-)Мл + Хл_1Х^+--- + Х1Х + Х0],
так же как
/X — ^ 6Х [я/лХ»-1 + (Л - 1) /л-!*""2 + • • • + /J -
делится на Фхх без остатка, то, называя через Л1, Ж, целые функции,
получаемые при этих делениях, имеем
fx-^Ьх [п\пх»-г + (п- 1) V-ix»-4- • • • + XJ —
/' Fx Ь'х Fx Ф, х Ьх\ ,
~~ \ф~Г1 ф|7~) [кпХП + Х"-1Х',~1+ • • • +^х + N>1 = Жф>х'
/.К - ^ 6Х [«/„X"-1 + (Я - 1) /я-1Х»-2+ • • • + /J -
~~ [^Гх'~2 Щх~) l/«*" + /«-i*"-I+--- + /iJC + 4J =^1Ф^-
Откуда выходит
J \ Д* Fx J УЖх Фгх V *'
[ ( fx M^x\ dx = ^ + Ь-у*"^ *'' +'i* + Ь уЬ:
l\Fx Fx ) V~Qx Фхх
Вычитая же эти уравнения одно из другого, находим
г(М1 — М)Ф1х ^ jtx_
J Fx ' VWx^
Фхх *

— 104 —
Но легко доказать несообразность этого уравнения. В самом деле,
оно необходимо предполагает знаменатель в алгебраическом
выражении интеграла
М1~М dx
F* VWx'
Фхх
ибо в дроби
г
ФХХ
где п есть степень ~=, степень числителя менее степени знаменателя.
У Ьх
Но в выражении интеграла
Мх — М dx
ф^
по теореме 1 (§ 4), алгебраический член не может иметь зйаменателя,
ибо Целая функция, к которой приводится-ф-^, в произведении набх
дает функцию, не имеющую кратных множителей, как мы показали
в примечании при § 8. Следовательно, сделанное нами допущение
невозможно; откуда и следует предложенная нами теорема.
§ 10. Из двух последних теорем следует, что коэффициенты
уравнения
Фх = 1пхп + ln-ixn~l +... + 11Х + 1ф
определяющего числителя алгебраического члена в выражении
интеграла
f(x) dx_
С fix) dx
) Fx VTx
суть единственные величины, которые делают выражение
fx - ~ Ъх [nlnx*-1 + (л - 1) /Л-иС-2+ • • - +/J -
/ Fx 6'л: FxOlxtixX „
делимым на Фгх, что приводит нас к такому заключению.
Правило III. Для определения числителя алгебраического члена
в выражении интеграла
с fx dx
] Fx Vbx

— 105 -
делим на Фгх выражение
Fx
fX~~^Qx [ШпХ"-1 + (П - 1) /„_,*»-»+ ••• + /,]-
Fx в'х Fx Ф.' х Ьх \
^х~2 Цх~) [1пХ" + 1»->Х"-^ * - + UX + /,],
где Фхх есть общий, наибольший делитель
FxQxu *%*L,
dx '
/г степень выражения -~=г. В остатке, полученном при этом деле-
нищ приравняв нулю отдельно коэффициенты всех степеней х, мы
получаем уравнения, определяющие вполне величины количеств
In, ln-\y • • •, 1ъ 'о- Через эти же количества искомый числитель
выражается формулой
1пхп + 1п-\хп ~Ч ylxx + /0.
Если уравнения, таким образом полученные для определения
количеств /л, /л_1, ..., 1Ь /0, не будут удовлетворяться никакими
значениями их, мы заключим о невозможности выразить интеграл
) Fx
fx dx
Fx V¥x
через функции алгебраическую и логарифмическую.
§11. Пример. Для примера определим алгебраический член-
в выражении интеграла
Г 22л* 4- 98л5 + 18fc**-f 175л3 4- 86ла4- 21л + 2 Ле
J Зл' + 7х* + 5л4 + ** > 7л* 4- 20л3 + 21л2 + 8х + 1
По й|)авилу I (§ 5), для определения знаменателя этого члена ищем
общего наибольшего делителя функций
(Зхб + 7х* + Ьх* + х*) (7Х4 + 20х3 + 21л:2 + 8х + 1),
d(3x* 4- 7л5 Ч- 5л* 4- л-) (7л-4 + 20л1 + 21л2 4- 8л 4-1)
rf.v
и так как он есть xz + х2, то мы заключаем, что искомый знаменатель
есть х3 + х2.
По правилу II (§ 6), замечая, что степень
|/"7х4 + 20х3 + 21х2 4- 8х + 1
менее степени хь + х2, мы заключаем, что выражение рассматриваемого»
интеграла может заключать алгебраический член.

— 106 -
По правилу III (§ 10), определяем степень выражения
г хг + хг
Vlx* + 20х* + 21л2 4- 8л 4-1
и находя ее равной 1, делим выражение
22хв + 98х5 + 186х4 + 175х3 + 86х2 + 21* + 2 —
(Зл:6 + 7л5 + 5л:4 + *3) (7л^ 4- 20л:3 + 21л:2 + 8ж + 1) / __
а;8 + х2 х
■с
3л6 + 1хъ + 5л*4 + -*3 28л3 4- 60л2 4- 42л: 4- <
х* + х2
(Зх* 4- 7л5 4- 5л4 + *э) (Зл:2 4- 2л) (7л:4 + 20л:3 4- 21л:2 + 8л: + 1)
на х3 + х2. Получив в остатке при этом делении
* + * )&* + 'о)
(22 — 2/х + 22/0) х2 + (21 + /х + 21/0) х + 2/0 + 2,
мы находим для определения /1? /0 такие уравнения:
22 — 2/х + 22/0 = 0, 21 + 1г + 21/0 = 0, 2/0 + 2 = 0,
откуда выходит 1Х = 0, /0 = —1. Внося же эти значения 1Ъ 10 в
формулу 1гх + /0, мы находим, что — 1 есть числитель алгебраического
члена в выражении интеграла нами рассматриваемого.
Таким образом, доходим до заключения, что если интеграл
Г 22л*6 4- 98л5 4- 186л4 4- 175л:8 4- 86л2 + 80л 4- 2 dx
J Злв 4- 7л5 + 5л4 4- х> У 7л:4 4- 20л3 + 21л:2 + 8л: 4-1
выразим через функции алгебраическую и логарифмическую, то
алгебраический член в его выражении есть
Х^Х2 /7**+ 20** +21** +8л:+1-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЧАСТИ В ВЫРАЖЕНИИ
fx dx
Fx VOx
ИНТЕГРАЛА v &- —
§ 12. Определивши по предыдущим правилам алгебраический
•член в уравнении
J Fx Vbx Фххг Рх — Ях^Ъх 2 S рг — qtVbx
••• + A,log -^
или убедившись в отсутствии его, мы для определения остальной
части выражения интеграла
fx dx
i
F* Vbx

- 107 -
будем иметь уравнение
... + Лг log — ,
pr-qrVbx
f±x dx
где ^ у~ равняется
fx dx , Фх гк~
«ли
fx dx
Fx Vbx'
смотря по тому, имеет ли выражение интеграла
С fx dx
J Fx Гвх
алгебраический член или нет. Но во всяком случае, как легко
убедиться, степень
fxx dx
Fi* Vbx
будет <—■ 1. В самом деле, если бы степень
Л* dx
Fy* Увх
не была менее — 1, то значение интеграла
fxx dx
) Fxx у foe
при x = oo было бы равно бесконечности, а вследствие предыдущего
уравнения при х = оо было бы бесконечно и выражение
Р1—Я1 У®* Рг — Яш^Ъх Рг — Яг^Ъ*
Но это противно уравнению
pr + qrVbx
■ + A,lOg -F--
рг — ЧгУЬх
в котором
[
Рг-Яг*
fx dx
I*Tf)x
и.

- 108 -
при х = ос имеют пределом величины конечные или 0; ибо
fx dx
FxT&c
по § 2 степени не —2, а
по § 6 степени не >0.
Итак, определение логарифмической части в выражении интеграла
fx
Fx
fx
dx
Vox1
dx
где
Fx Vqx
предполагается степени—2, приводится к определению значения
интеграла
)f,x Vfjx
по уравнению
Г f^dx__ А . Рг + qtVbx , 1 Pt + q^Sx
)ъ* irrx-All0gPl-qiir<5x +А210ёр2-д2Гёх +
...+ Ar\ogFr^4r , (5>
pr~qr\ Ьх
где
fxx dx
~Р\*Т$х
степени < — 1.
Исследованием этого уравнения мы теперь и займемся.
§ 13^ Нетрудно убедиться, что в этом уравнении все выражения4
Pi + gi ^a* Рг + д%Уъ* Рг + Яг^ъ*
Рх — ЧгУЪх' р2 — ЧчУЪ* pr — qTVbx
степени нулевой. Для доказательства этого мы замечаем, что
значение интеграла
\ Fi* Vbx
при х = оо не есть оо; ибо дифференциал
fxx dx
F1x~vi&
степени менее — 1. Но по уравнению (5) это может быть только
в том случае, когда все выражения
Pi + дг У$х р2 + дг У§х рг + дгУЪх
Рч — ЧуУЪх' p2—q2V$x' " ' ' Pr^qrYVx

- 109 -
степени нулевой. В самом деле, если ръ ц2,..., у.г суть степени
этих выражений, то вторая часть уравнения (5), разложенная по
нисходящим степеням х, будет иметь первым членом
Ах log х^ + Л2 log х** Н Ь Аг log х?г%
или
(Ml + Н-2^2 Н Ь P#A) log X.
А это при х = оо обращается в оо, если сумма
^Hi + (а2^2 Н 1- У-гАг
не приводится к 0. Но по свойству коэффициентов Л1э Л2,. .., Лг
<§ 1) сумма
Mi+ Рг4Н Ь [*гЛ>,
где {хь fi.2> • • • у V-r числа действительные рациональные, не иначе мо.
жет быть равна нулю, как при {хх = 0, (х2 = 0, ... , [Lr = 0. Итак,
в выражении интеграла
которым мы будем теперь заниматься, все выражения
рх+дгУЬх p2 + g2Vfc pr + grVfc
р1 — д1УЪ~х' рг— q%Vbx pr — qrVbx
будут степени нулевой-
§ 14. Для раскрытия прочих свойств выражения интеграла
Г Ах dx
}Л* Vex
предположим, что х\ хп, ..., Xs суть единственные величины,
обращающие выражения
Рг + ЯгУёх p2 + q2V~Qx рг+дгУвх
Pi—giVux ' pt — qtVG ' " "' pr — qrVQx
в 0 или оо. Если при этом выражения
Pi + Яг У'Ъх р*+д*Уъх Рг + Яг^Ох
Рх — ЯгУЪ* ' Ръ — Я*Уйх ' ' pr — grV$x '
разложенные по восходящим степеням х — xf, х — х", ... , х — Xs,
имеют в первых членах
{х~х?)щ\ (х — я")1"1*, ... , (х — xs)m\ (x — xf)m\ {х — хГ)щ*,...
... , (х-х*)т*, • • -, (х - *Т;, (х-хТг"> • • •, (х-х*)т*г,

— по -
то отношения
Pl + qx Vbx
(х-
(■*-
-х*)т*'
-х')т*'
(x — x")mS ••
Рг Ч- <7г ^fe
А — ?2 ^вХ
(*-
р±
Рт
_х»уп%"..
+ qrV&c
~qrVbx
'(*-
•(*-
-**)< '
-.**)< '
{X — Х?)™* (X — Х")™'" -'(Х- Х8)^
останутся конечными величинами при всякой величине х не равной оо.
Поэтому, называя это отношение через Ть Т2>... , Тг, мы будем
иметь уравнения
Рг + дгТГЬх
Pi — я± Vbx
Тг(х — хг)щ' (х ~ х")т>"
Pz — 9 2 у вл:
{х - Л*Р
р.-д.Уйх
■X"
(Х-Х*)тг ,
(6)
где Тъ Т2, ... , Гг суть функции, не обращающиеся в 0 и оо при х
не = оо.
Вот уравнения, которые послужат нам к раскрытию свойств
выражения интеграла
С Л* dx
) F±x Vex'
§ 15. Функции
Pi + qiVSx p2 + д2 Удх pr+qrV$x
p1 — q1Vbx ' Рг — Чъ^Ъ* ' ' Рг~—Яг^Ъх *
по уравнениям (6), перестают быть конечными величинами только при
X = xf, х — хпу ... , х — Xs, а вследствие этого, по уравнению
)Fxx Vbx ~All0gPl-qiVbx +A2l0ep2-q2V$x +
только эти величины х могут обращать интеграл
dx
УеЗс
в оо.

- Ill —
f x
Но для этого знаменатель дроби ~~-, которую предполагаем
простой, не должен заключать производителей, отличных от х — х\
х — х*,...,х — Xs. Ишак, уравнение Fxx = 0 не должно иметь корней
отличных от х\ х"> ... , Xs.
Что же касается до количеств У, х"у..., х\ то они все
удовлетворяют уравнению Ргх = О, как мы сейчас докажем.
Для этого мы замечаем, что пределы отношений
Pi + qiVhc Рг + Яг У^х Рг + яХ^
p1 — q1V^x рг — q2Vbx pr — qr Vbx
(х-х*)^ {х-х1)"1* (х-х*)тг'
при х = xf> по (6), суть величины конечные, а потому интеграл
Ах _1 m'1Al + m'2A0+...+ m'rAr \ ^
Fxx \Tqx х — х' J
не может иметь значения бесконечного, ибо вследствие уравнений
Уг* V Ъх Рг — ЧгУЪх Ръ — Ч*УЪх Рг — Яг*Ъх
= Аг log (х - х!)щ' + А2 log (х - хГ)щ' +. -. + Л log (x - Х)т'\
этот интеграл выражается формулой
Р\ + Яг УЪ* Рг + Яг УЪх рг + Яг V~Qx
л 1 Pi — QiVbx . Л t po — q*Vbx , , л t Рг — QrV^bx
Ал log ——нг w, Ь Ло log ——Ч2 . h Ar og -^—*г ^ , -
Но для того, чтобы интеграл
ч
дд: 1 _ mlAl + m2A2 + ---+mrAr .
при х = л;' не обращался в оо, предел выражения
\Fi* VVx *—* I 1 '
при x = xf должен быть 0; откуда выходит такое уравнение:
т'А + m& + ■■•+ тгАг = Нт ^^ .
Замечая (§ 14), что ни одно из количеств т[9 /%•••> т'г не
может быть оо, также числом иррациональным или мнимым, одно же

- 112 -
из них по крайней мере отлично от 0*, мы заключаем, что сумма
пС\А\ + т2А2 H г т'гАг есть количество конечное (см. § 2). А
потому, вследствие предыдущего уравнения, выражение
flx{x — xr)
Fxx Vbx
при xs=xf должно иметь величину конечную.
Но по § 1 функция Qx не может иметь производителем (х — хг)2,
поэтому
.. Ах(х — х')
lim J1 ' _
х=х> Fxx УЬх
будет 0, если Fxx не содержит производителем х — х'. С другой
стороны,
lim №-?)
*=*' FxxVbx
f X
•будет оо, если в дроби —-, которую предполагаем несократимой,
г±х
знаменатель имеет производителем х — хг или если х — х, входит
производителем в Fxx и 6л;. Итак, хг есть простой, корень уравнения
Fxx = 0 а не обращает в 0 функцию 6х.
Замечая же, что в этом случае
t. f1x(x — xr)
hm J1 ,Л , ;
fxx Vex
равняется
F\xrV§x?'
мы из уравнения
т\Ах + т'2А2 + • • • + m'rAr = lim fl^~-J
х=х' ггХ V VX
ВЫВОДИМ
т[Аг + m^A2 + ... + m;Ar= F,^-r,
что для сокращения будем писать так:
А р р f^Vm
p=i *■
Повторяя эти рассуждения относительно всех величин, которые
обращают в 0 или сю по крайней мере одну из функций
Рг + ЯгУ^х р2 + д2У&с рг + дгУ~Ъх
Px — qtVtix' р2 — д2УЪх'*"' pr — qrVbx'
* Иначе, по уравнению (6), все выражения
рх + дхУЖх р2 + д2У0х* Рг + ЯгУОх
Pl-qiV$x' P2-g2Vbx''"' Рг-ЧгУ~Ъх
«е обращались бы в 0 и оо при x — x!f что противно положению (§ 14),

113
мы доходим до такого заключения:
Теорема 5. Если значение интеграла
Л* dx
fit
определяется уравнением
С fxx dx __ . . Рг + ЯгУбх . ■ Рг + д^УЪх
W Г€х АхХЩ Pl-qin-x +Ail0gpt-q>r<Tx +■
+ Arlog
рг + дГГЪх
а функции
Pr-qrV%x '
р^+д^Ъх pt + qtV~fix pr + qrVJx
р\-ЧгУ\х ' pt-q2Vex '"' pr-qrVbx
удовлетворяют уравнениям
Pltqi}^ =Ti(x- *T' (x - x'T' •■■ (x - х»)*\
^ + <?'Й? =T2(x-xT»' (x-х")"1' ...(х-х°)т'
Pi — Яг У vx
рг-дгГЪх
.\mr*
x — x>) \
(7)
где Tb ^ ..., Г, су/яь функции, не обращающиеся в О и оо яр» х
ке = оо, /по корни уравнения Ргх = 0 су/яь л/, х", ..., л?; все оии
простые, не обращают Ьх в нуль и выражения
/г*
А*"
Л**
f,Vfey ' f[x"V%x" ' ' ^iVVe^
равны суммам
р=г
2«л« 2»;v--.2*Sap
р=1
р=1
р-^1
§ 16. С помощью этой теоремы мы покажем, как определяется
число членов в выражении интеграла
С Л* dx
и находятся уравнения, определяющие каждый из этих членов
отдельно. Для этого мы должны все количества
Л*
Л-*"
h*
fy Vbx1 ' F[x"VW '"*' F^VHx^
разделить на две группы так, чтобы в первой группе были
количества, которые, умноженные на действительные рациональные числа,
8 п. Л. Чебышев. т. V

— 114 —
не дают в сумме 0, а во второй — количества, которые могут быть
приравнены сумме количеств первой группы, умноженных на числа
действительные, рациональные.
Если таким разделением количеств
F\x'V%x' ' F^'VOx" ' ' F\y?Vbx*
мы узнаем, что количества
умноженные на действительные, рациональные числа, не дают в
сумме 0, а количества
Л***1 ЛУ+2 п*
удовлетворяют уравнениям
JIх > VI tSs—1 JlX /Q\
то относительно интеграла
)fxx rex
докажутся следующие теоремы.
§ 17. Теорема 6. В уравнении
J ЪХ у QX Vx — ЧлУ в* Рг — Чъ
pr + qTV*x
определяющем значение интеграла
С Ах dx
) Fxx ГЪх '
не моэюет быть менее i членов, и уравнение это может быть
так преобразовано, что из числа г коэффициентов Аъ А2,..., Аг
коэффициенты Аъ А2,..., Ai числом i будут удовлетворять
уравнениям
А - 1 & А - 1 - А^ ... а - 1 _Л^_
УЪх
V¥x +'
г#ё iVb Л^2,..., M числа целые положительные.

— Но —
Доказательство. По теореме 5 (§ 15) ыы имеем уравнения
2т;л>= Tvfe' S"'^- тЩг""
р=г
J
■•■•^•--^vzr- <9>
из которых ни одно не тождественно другим относительно количеств
А19 А2,...,АГ, ибо по положению (§ 16) количества
F[x' V*x ' F[x" Vbx" ' ' F\xi |/ljj?
умноженные на действительные, рациональные числа, не могут дать
в сумме 0, а это предполагается тождественностью уравнений (9).
Но для того, чтобы эти уравнения были все различны между собой,
число их / не должно быть более г, числа количеств А19 А2,..., Аг
в чем и заключается первая часть предложенной теоремы.
Далее, уравнения (9), не будучи тождественны относительно
количеств А1у А2,..., Аг> могут служить для определения Аъ Аъ..., Aif
и отсюда мы получим значения Аъ Аъ ..., Д-, выраженные через
суммы количеств
Fx x Vbx' FlX" V Ъх F^ УОх1
умноженных на действительные, рациональные числа. Внося эти
значения Аъ А2,..., At в уравнение
, . . Рг + ЯгУ&
pr-qrV*X
мы во второй части его будем иметь количества
-гЦт=-> . hfr— '"' . *f%r-i > Л+а' Л^..., Аг,
F^'Vte' F^Vex" F^ybx1
умноженные на выражения такого вида:
Mogu+fe^* + oc2lagfe±i^ + • ■ • + ос,tog ^±?4r,
где аъ «a, • • •, «г числа действительные, рациональные. Но
выражения такого вида, очевидно, приводятся к
1 , P + Q^fti
N *"» P-QKC *

- 116 -
где, N целое, положительное число, Р и Q функции целые, что н
доказывает вторую часть предложенной нами теоремы.
§ 18. Теорема 7. Если интеграл
определяется формулой
••• +A>log— z~,
в которой коэффициенты Av А2, . • •, Лг удовлетворяют
уравнениям,
^ /^ " ел' ^* /^ " в*" "* /^у еУ
где Nly N2,..., N/ числа целые, положительные, то функции
Рг + Яг У~Ьх р2 + g2 V'fo Pi + qjVUx
Рг-ЧхУ&с' Рг-ЧгУ&У'"У Р^Я^**
удовлетворяют уравнениям
Л + ft У g* = 7i {х _ ^ (д. __ xi+1) *(х_х1+2) \..(х_#)
Px-qiVte
Ръ + д*Уъ* = т2{х — x")N*(х-x!+l)Na** (х-x'+Y**'"--{х-х*)"'к^1,
Рг — ЧгУЪх
• ••••••••••••• ••• • •••*
* + «'^ = Щх- x'f' (х - х^р *<' (х - х^р к" .-.(х- *f'K?-1,
Pi — Qt У &*
где Ть Тъ..., Т{ суть функции, не обращающиеся в О и оо при х
не = оо*.
Доказательство. Мы видели в § 13, что приличным,
выбором количеств s, хГ, х'\ ..., Xs, яг/, т"у..., т^, т2', т2, ..., /тс/,...
**..*/ия', /тх/,..., /яг8 можно всегда получить такие уравнения:
* Не надо забывать, что эта теорема, так же как предыдущая, имеет место *
предположении, сделанном в § 16.

- 117 —
Р2 — Чг Vbx
-Т2{х~ *Т%' (х - х?')т>" ...(х — x*)*"*s,
Рг + Яг У®*
— = Tr(x-x!)mr (x-xTr .■•(*-*)"*',
Рг— ЯгУОх
(П)
где 7\, Тъ..., 7V суть функции, не обращающиеся в 0 и оо при х
не = оо. Но из этих уравнений по теореме 5(§ 15) заключаем, что
у!у x",...9xs суть корни уравнения Fxx = 0 и что количества
FJx'Vbx' ' F^xt'Vbx" ' ' F^jffVbj? ' ""' F^fto?
удовлетворяют уравнениям
ТУ** VW
р=1
р=*г
ра=»1
/,«*>•'
Л** _
р=1
р=»г
Внося сюда значения
Y** /5? ^ отр Л(
л*1
из уравнений (8), а потом значения
F^xfVbx' ' Fi'jcPVte"
F1fxi VW
из уравнений (10), находим
р=г р=г p==r
p=*r
за=1 p=l c=l pe=l
.2
6«1
V .* H ';
o=»l

- 118 -
В этих уравнениях коэффициенты при А19 Л2,..., Аг числа
действительные, рациональные; но по § 2 количества Аъ Л2,..., Аг не
способны удовлетворять уравнениям такого вида. Следовательно,
полученные нами уравнения должны быть тождественны относительно
Аъ Л2,..., АГу что предполагает
Щ' = Nl9 m2r = 0,..., т/ = О,
тг4 = О, т2* = 0,..., m/ = N„ ..., /я/ = 0,
т<+ '-АлХ mf2+1 = /&Va...., /^+1 = А<М, m%i=0, т£й=0,..., ml+l = 0,
m!+2= tfiX "4+2 =^X, •.. mp2 - K'i'Nh *4#=0, m£22=0,..., т^+2 = 0,
mf = /(!-|iV1, m5=CW2,..., m^Kr'Nu m?+i=0, /7if+2 = 0,..., mj=0.
Но, внося отсюда значения /n/, m{,..., mxs, #i2', m/,..., m28,...
...,mif, m/,..., m/ в уравнения (11), мы получаем уравнения,
предложенные в теореме.
§ 19. Прежде чем покажем приложение теорем, нами доказанных*
заметим, что каждый член формулы
Рг — ЯгУЬх p2-q2VQx Pf-qrYbx
может быть преобразован так, что дробь, стоящая под знаком log, не
будет обращаться в -д-.
Чтобы сделать это с членом
Pi —qiVQx
назовем через 60х общий наибольший делитель функций ръ Ьх и по-
положим для сокращения
5 = *' fe-вх*. (12)
В этом предположении будет
рх = %х те, Ьх = Ъ0хвхх,
и вследствие этих уравнений найдем
Pi-4iV*x ^ЪьХп-Я^ЪьхЬх г *izV%x-qxVbxx
откуда выходит
~—\ *2 е°*+1* 9i*+2щх vw
~ 2 ^в^ + д^л-гга^^О^ёрё'

- 119 -
куда, внося 6х на место б0х, б^, по (12), имеем
A iog Pi + Яг УЪх __ л х 1q тм,х + дх%х + 2Щх Уьх
1 Pi - Ях УЪ* 2 ъгЪ*х + qt%x - 1щх УЪх '
Нетрудно доказать, что дробь, стоящая под знаком log во второй
части этого уравнения, не обращается в -^-. В самом деле, легко
убедиться, что б0х и бхх, 6хж и ръ ft и тгб0х суть функции простые между
собою; ибо, во-первых, если бы б0х и вгх имели общего делителя, то
Qx, равная по (12) б0хбхх, имела бы кратного множителя, что противно
§ 1; во-вторых, если бы -к и 6^ имели бы общего делителя, то, в
противность положения, функции рх и 6х, равные по (12) боХтг, б0хб1х,
имели бы общим наибольшим делителем не б0х; в-третьих, в
выражении
рх + ЧгУЪх
Ях
Убд
мы всегда предполагаем сокращенным общий делитель рг и дъ
вследствие чего ft не может иметь общего делителя с -л и б0х, которых
произведение, по (12), есть р1а
Но если б0х,и 62x, 6хх и щ ft и тсб0х суть функции простые между
собой, то для одной и той же величины х не могут обратиться
в 0 выражения
7С /боХ, ft |/б^Л
а потому не может обратиться в -тр дробь
и квадрат ее
ъУЪъХ + дхУЪхх
7:У%х — дхУ^х
n2QQx -f Ях2^ + 2щх УЪрХвхх
тт20ол: + qx20xx — 2щх УЬ^хЬхх '
ИЛИ
п*%х •+ дхЩхх + 2щг УЪх
7t260jc -f ЯЛ* — 2щх УЬх '
что и следовало доказать.
§ 20. Если же мы преобразуем таким образом все члены
уравнения _
[ Л* . J*_ __ , < pl+qlV5i , Ръ + д2Уёх
... + ,4rlog-—£-=-,
давши ему вид, о котором говорили в §§ 17, 18, то из этого уравне
ния, вследствие § 13 и теоремы 7 (§ 18), выведем такое заключение
Теорема 8. Если дифференциал
fxx dx
Т^УЪх

- 120 —
степени, не >—1, а интеграл его выражается формулой
••• +i4rIog r^
в, — ?, к 8л
притом количества
Л*'
р, —g,Kttr
(13)
/Y-*' Ve*' ' ^ v Kex" '' *'' /Y** Ve^ '
умноженные на действительные, рациональные числа, не дают в
сумме 0, а количества
л*'+1 л*г+2 /.*»_
равняются суммам
%К'а
h*a
1\<з -р= > • • • > /j До 77
где
*=.l /у.*" ]/*0лга ' о*1 /У *а ]/а*а «1 /У*с V^ '
числа действительные, рациональные,
корни уравнения Fxx = 0, /ио возможно целыми функциями Рь Qu
Р» Q2> • • •, fi, Q; » целыми положительными числами
удовлетворять уравнениям
Pl + QllTSx ^
Рг-QrVbi
= Т1{х-х?)"*(х-хН-1)"»^'(л;-л**)"**'" ... (Х_х.уЛ*-':
P1 + Q1V^X
степень '' ' 4<1'rZZ = 0,
Pi + QiVftx
pt-Q2V6x
= Tt(x- XT (X - X'+I)".*.' {x _ ^+2)».*." .. . (a; _ я»)**.*-' ^
степень '' ' ~"' _ = 0,
A + Q<Vft*_
= Ti (X — X1)"' (X - Х1+1)Ъ "'' (X - XH*)** *'" . • • (X - X»)"' *«**',
Pi — Qifbx '
(14)

— 121 -
притом так, что выражения
Л + QiVjjf Pt + QtVfc Р{ + Qf VTx
Л-QiVeue' P1-QiV$x""'pi-Q<rex
никогда не будут обращаться в-^-, а функции Тъ 72,..., Т{
сохранят конечную величину при всех величинах х не = оо.
§ 21. Убедившись таким образом, что приводимость интеграла
Г Ах dx
к формуле
Pi — Яг У в* А — Чг VQ* Рг-Яг ***
предполагает возможность удовлетворить уравнениям (14), мы
докажем теперь, что значение интеграла
? Л* dx
) Fix Vte
определится вполне, когда найдутся целые функции Ръ Qb Ръ Qb...
..., Р/, Qf, целые и положительные числа пъ п^ ..., щ, при которых
уравнения (14) удовлетворяются.
Теорема 9. Если дифференциал
fxx dx
и количества
fi*'_ ш Л*" ...; Л-*5
?г* VW ' F^x" YQx" ' F^Xs y^
обладают свойствами, которые предполагали мы в предыдущей
теореме, уравнения же (14) удовлетворяются целыми функциями
Ръ Qb Р» Qb--->Pu Qh целыми и положительными числами
л>ъ пъ--->пи т0 значение интеграла
v
Af_ dx_
Pi* Vbc
определится уравнением
s
1*LJ£- = J- № log p» +ЪУ~*?_ I
PiXVbx «i FJxfVW ^Px-Q1Vbx'V
^ «a FJjrYb? ё Ps.-Q.reA: ^ ^"i F^-/b? Pt-QiVbx

- 122 -
Доказательство. Дифференцированием функции
_1_ Л*' __1ог A + Qi^g , 1 Л*" , P* + Q*V^ ■
«i ^'л'Кб^ ё />г - Q1 Увх ~Г я» УУлг'-Гвл" SPa-Q2Ve.* ~Г
нетрудно убедиться, что это есть выражение интеграла
/Зх dx
\
Р*х ГШ'
1
"l
SlX JQ£
Fx'x'V~bx' 1V&
...+±
где f2x, F2x функции целые. Итак,
Рг н- Qx Уй* _^ fxx" Pt + Q%VSx в а
Рг - Qx Кб* "*" я» ' Рг'х" V6jc" ё />2 - Q2 /"бд: ~Г
"/ ' Л'^Кё? я,-0,^6* J р* Ve* ' ll0J
Но из этого уравнения, вследствие уравнений (14), заключаем по
теореме 5, что корни уравнения F2x = 0, так же как и уравнения
Fxx = 0, суть х', х",..., Xs, и все они простые. Откуда следует, что
р—- разлагаются на функцию целую и сумму простых дробей
o—s
Ах" 1
2£
0=rl *2 х Х Х
Но мы сейчас докажем, что эта сумма равна
t X
сумме простых дробей, заключающихся в -^—. В самом деле, по той
ГХХ
же теореме 5, из уравнений (15) и (14) выходит
А** _ !h_ hx' f*x" _ п2 fxx"
F2'x'Vbx' *i F^x'Vbx' Р2'х"УЪх" п2 FJx"Vbx"
/уУ+^елг'-и £ *o "/^/еУ F^x^^bx1^'
a=t
Внося же сюда
Л*'+1 Л*'+2 ,..., Л**

- 123 —
вместо сумм
a=t
У к' flX У /Г flX У vs-i Л*У *
и сделав сокращения, выводим из этих уравнений
Л*' ^ Л-*' Л*" _ fxx" ftX' _ tJ
FJx' F.'x' ' Ft'x" Fx'x ' fjjJ ~7j7J'
FJxl+l /Y*i+1 ' F2'^+2 F^.^ ' ' ' Ft'x* /y** '
что обнаруживает ясно тождественность сумм
у h*° i у h*a
Итак, дроби
/V* ' Fxx
не разнятся между собой никакой дробью. Посмотрим теперь, могут
ли они разниться целой функцией?
Если бы разность
/** Л*
Ftx Ргх
привелась к целой функции Р, то в разности уравнений (13) и (15) мы
имели бы
С -£- rfr - -L & Ina A±5lO* j_ 4-
л* F/У J/V Л - 0, ^ б Pl - qx \ГЪх
pr + qrVbx
Но так как выражения
p1-Q1Vrei>* "' 'Pi-QtVbx '
по уравнениям (14), а выражения
Рг + ЯгУ"^ рг + дгУ~Ъх~ ^
Рг-ЯгУЪх ' ' pr-qrTT5x '
по § 13, суть степени нулевой, то это уравнение для значения
интеграла
iVbx
* Равенство их предполагалось, см. теорему 8.

— 124 —
при х = оо дает величину конечную или 0, что предполагает
степень Р ниже степени
х
В этом же случае, как показал Лиувилль *, интеграл
\ tf= dx
J Увд:
невыразим через функцию алгебраическую и логарифмическую,
следовательно, предыдущее уравнение невозможно.
Итак, дроби
ft* fix
F2x ' Fxx
не могут разниться между собой ни целой функцией, ни дробью;
следовательно, они равны, а при этом равенстве уравнение (15)
приводится к уравнению предложенной теоремы.
§ 22. Из совокупного рассмотрения теорем 8 и 9 мы выводим
такое правило для определения выражения интеграла
г fxx dx
)~Fs Vbx-
через сумму членов вида
A log и ч \ :
Правило IV. Определяем значения xf х",..., xs корней уравнения
Fxx = О и по ним находим значения
А-*'_ А*"_ ,. ., А-^_
Fx'*f Vbx* ' F^x" VW '" ' p^ yQxs '
Количества эти разделяем на две группы, как сказали в § 16. Если
по этому делению оказалось, что количества
h*_ А*" _ .,; А**
Fi'x'Vbx' ' F1'x"\rbx" ' ' /у.**}/&7 '
умноженные на действительные рациональные числа, не дают в
сумме 0, а количества
А***1 А**+2 ,.,., Ах5
удовлетворяют уравнениям
Л'^+1Ке^+1 afl 9Fi*Vbf% Fi'JVVte** £i ° FSx'Vex*"
* Memoire sur les transcendantes elliptiques de premiere et de seconde espece,
considerees comme fonction de leur amplitude. Journ. Ecote Polyieckn. 23*e cakier.

- 125 —
аЫ
/if! V A*-i Л^
2*5-'
где К'и /£,...,/(J, A^ /<а,...,Яь.-.,ЯГ'. К1Г\.-.>КТ~1 числа
действительные, рациональные, то выражение интеграла
^ерез сумму членов вида
ал Р + Я У~Ъх
Л log y^4
p — qvbx
будет иметь следующие свойства:
1) Выражение интеграла
С b?L dx
) Fi* V¥x
будет заключать i членов и значение его определится уравнением
р д* dx_ = 1 ду ipg^i + Qi^ 1
J f*x Vex ч F^ ум ё Л - Qi ^e*
+ JL л*"_ to л + ftVS jl ^ _to z^ + q^c
2) Чтобы найти значение интеграла
) Ъх yei*
мы должны внести в это уравнение целые, положительные числа
Пъ Пъ--.,пи целые функции Ръ Qb P& Q&...,Ph Q6 при которых
удовлетворяются уравнения:
PllQly!r = Tli<x~*)П1(Х~х1*1)****'^-*-*)***'. • • (х —л*)****"1,
Px-QxVQx
степень • *^v» _ = О,
М — Q; г 0ДС
степень — Ц-?^ = О,

- 126 —
где Tlt Тъ..., Ti суть функции, не обращающиеся в О и со при х
не = со, а дроби
Pi + QiVSx Рж + О%Г0х Pi + QtVte
Px-QxV*x' Я2--Q2Vrёл:,'", ^-Q^fct
никогда не обращаются в -g-.
3) /fo/ш по вставке этих значений Ръ Q1? P2, Q2,..., Р*, Qf- дбор-
1 - flX' \ozPl + Qirfx I 1 Л*"_ log я» + 0»^ 1
дав/п выражение интеграла, отличного от
то выражение интеграла
hx_dx__
Pi* Vbx '
) Fxx Vbx
через сумму членов вида
AXogp±sX^
6 p-qVbx
невозможно.
То же случится, если функции Рь Qb P2, Q2, • • •, Рь Q* и числа
пъ Пъ..., щ, удовлетворяющие вышеизложенным условиям,
оказываются невозможными.
§ 23. Таким образом мы узнаем число членов в уравнении
M,log-
/V-<7r
V~0A
и находим уравнения, которые определяют каждый из них отдельно•
Эти уравнения, как легко заметить, приводятся в таковому виду:
p + q УЪх _ Т(х-а)п{х-Ъ)п* ... (лг-~/)пХ
p — qVQx (x — s)na -..(jc —jrp '
степень ^ ^ ^ чГ— = 0,

— 127 -
где известны: 1) функция 9х; 2) количества а, Ь9 • • -,/, s, - • • ,j/, из
которых ни одно не обращает %х в нуль *; 3) рациональные,
действительные, положительные числа л, р,..., X, а,..., -q; не известны: 1) целые
функции р и #, которые предполагаются такими, что дробь
р— qVbx
не обращается в -ц-; 2) Г — функция, не обращающаяся в 0 и оо при
х не = оо; 3) целое положительное число л. Определением этих
неизвестных мы займемся в следующей главе, а здесь на примере
покажем приложение правила IV.
Мы видели (§ 11), что в выражении интеграла
Г 22л* + 98*s + 186jc* + 175*8 + 86л;2 + 21* + 2 dx
] Ъх* + 7*5 + 5л^ 4- *8 * V 1х* 4- 20л* + 21л:2 + 8* + 1
алгебраический член есть
-1
г2 ]/"7л:4 + 20х3 + 21х2 + 8х + 1
jc3 + л:2
Поэтому логарифмическая часть выражения этого интеграла
определится уравнением
К22л:6 + 98л:5 + 186л^ + 175JC8 + 86л:2 + 2U + 2 1
Зл* Н- 7л:5 + 5л* + *» "К 7л* + 20*3 + 21д* + &к + 1
-1
— У 7** + 20л? + 21л:2 + 8л: + 1
•2
—***■ а )*-
что приводится к такому равенству:
f л:2 dx
J3*2 + 4л: + 1 у 7дч + 20л? + 21*2 4- 8л: + 1
■Лlog * + *ff + 4,log * + *ff+.-+^log» + »™l.
Прилагая правило IV к выражению интеграла
л:2 dx
s
Зл:2-Ь 4*+1 у1х* + 20л:3 + 21л:2 + 8л: -f 1 '
мы должны решить уравнение Зх2 + 4х +1 = 0, и так как корни его
суть х= —о-, х= — 1, то мы вычисляем значение функции
6*4-4 у*]* + 20** + 21** + 8л: 4-1
* См. теорему 5.

- 128 —
при л:=—о-, jc == — 1. Замечая же, что значения
6л:+ 4 y7xi + 20д:8 + 21л:2 + 8л: + 1
1 11
при х=—g-, я =— 1 суть—, 2", мы открываем такое
уравнение:
Г * 1 1
L6* + 4 Vlx* + 20л:8 + 21л:2 + 8л: + 1 J x=-l
= г *2 1 ]
|_6*-f 4 ' Y4& + 20л:8 + 21jc2 + 8л: + 1 Jx-- V
з
вследствие чего, деля количества
г л* \ 1
[б* + 4 " У7л* + 20л:8 + 21л:* + 8л: + 1 JL^-i'
Г *' 1 1
[_6* + 4 fix* + 20л:8 + 21л:2 + 8л: + 1 J*«-J-
з
на две группы, как сказано было в § 16, мы возьмем в первую группу
количество
L6-* + 4 " У~7л* + 20л:8 + 21л:2 + Ъх + Г] *= - -L'
з
а во вторую количество
Г х2 .— 1 1
L6-* + 4 V 7л* + 20л:8 + 21л:2 + 8х + 1 Jx=-l'
и замечая, что второе количество равно первому, умноженному на — 1,
мы по правилу IV заключаем:
1) выражение интеграла
Р л:2 dx
\ Злг2+ 4л: + 1 }Г7х* + 20л:8 + 21л:2 + 8л: + 1
заключается в одном члене, которого формула есть
1 Г х* .— 1 1 w Pi + QiVte
пх L6^ + 4 V7**-f 20л:8 + 21л:2 + 8л: + 1 Jx^-i Pi-Qi^S* '
ИЛИ
_Llog л + Qx^ .
2) в эту формулу должно вставить целые функции Ръ Qx и целое
число nv удовлетворяющие уравнениям
Pi + Q» V7* + 20* + 21* + 87ТГ _ / j_y ,у , п_„,
степень Л + Qi У^+Д? + Ид» + to +1 = Q
Л — Qi ^7* + 20* + 21* + 8х + 1

- 129 -
где
Р\ +<?i Vlx* н- 20л:а + Ых% + 8л: + 1
Л — Oi ^7л* + ^Од:3 + 21л:2 -f 8л* + 1
никогда не обращается в ~^-, а функция Тг не обращается в 0 и оо
при х не = оо;
3) если же формула, таким образом полученная, выражает значение
интеграла, отличного от
г х* dx
J3*2 + 4* + 1 ' Vlx* + 20л? + 21jc« + 8л: + 1 *
то этот интеграл невыразим через сумму членов вида
A log •*— н ,г-г-.
То же имеет место, если условия
я1 + Ql i^+^ + ^+to + i; д г / + -1-У (•* +и-»
Л — Qx K7X4 + 20л:8 + 21л:2 + $х + 1 Ч 3 У
Pi + Oi К7л^ -j- 20л:3 + 21л:* + 8л: + 1 л
степень — ,г == = 0
Px — Qx Vlx* + 20л? + 21л:2 + 8х + 1
не могут быть удовлетворены.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ, К КОТОРЫМ ПРИВОДИТСЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЧАСТИ В ВЫРАЖЕНИИ
ИНТЕГРАЛА \&;£L
§ 24. Мы займемся теперь определением целого числа п и целых
функций р, q, удовлетворяющих уравнениям
где Г есть неизвестная функция, которая сохраняет конечную
величину при х не = оо, дробь
р + д УЬх
p — q Vbx
никогда не обращается в -^-; р,..., А, а,..., т) — числа рациональные
положительные, а, &,...,/, 5,...,j/ — количества все различные между
собой и не обращающие Qx в 0. В некоторых частных случаях легко
находятся число п и целые функции р} q, удовлетворяющие этим
условиям; но вообще определение их представляет чрезвычайные
затруднения.
Общий способ, который мы предлагаем здесь и который кажется
нам самым удобным, заключается в следующем: найти ряд чисел,
9 П. Л. Чебышев, т. V

— 130 —
в котором должно находиться искомое число п, и приравнивая п
последовательно различным числам этого ряда, искать функции р
и q, удовлетворяющие условиям:
pjL±V^ = (x-ar{x-br*...(x-ti* нь j>±jVbL = о. (16)
p-qVbx (x — s)na--'(x—y)nr> p~qVbx v '
Чтобы достигнуть этого, мы предполагаем известною целую
функцию фх, которая удовлетворяет уравнениям
9x-V/0^ = Tuo(x-ar(x-^...(x-/)/zXn
ФХ + j/""0x = 7их (х — s)° • •• (х—j/)73, I
где 7г0, щ суть функции, которые не обращаются в 0 при х не = оо.
Во всяком частном случае такая функция легко найдется *.
Но нетрудно заметить, что первое из уравнений (16) может быть так
написано:
p + gyx—qfax—VOx) _ j {х — а)п (x - bf^ • •• (д: - /)nX
/? + tf срл: — q (9x + ^9*) (x — *)ла • • • (x —y)n7i
куда, внося значения
фх + VQx, фх — ]/бх
из (17), находим
р + <7<р* — ?*о (л: — а)" (ж - 6)я& ... (х— t)nX ^ T (x-a)n(x — b)n^ ...(jc-./)"*
p + cjcpjt — <7тс0(лг — s)na ... (л:—j/p ~~ (X — s)na...(x—yY*
а это дает нам
v 4- лох =■ дко — qnj
^^ ** (JC_s)*a...(JC_7j)'»)-_ Г(* — а)п {х— Ъ)п$ ...(х — у)"*
Х (X_a)n(x_ft)/z3 ... (x — l)nX(x — s)n° ... (X— j/)»4 .
* В самом деле, если р,..., р', со,..., со/ суть числа целые, удовлетворяющие
условиям р > л£ — 1,..., р' > rik -~ 1, о > /ia -— 1,..., со' > пт) — 1, то уравнения (17) могут
быть заменены следующими:
уа = V va, <pfl = —-— ,..., 9V }a = — ,
da
db db*
dt dP
ф£ = — V QS, <prS = — — ,. .. , <pK<a,S = —
ds
ds«
откуда легко выведем значение ф* помощью неопределенных коэффициентов.

— 131 -
Замечая же, что для х не = оо функции q, щ, щ не обращаются в оо,
а функция Т сохраняет конечную величину, количества же a, ft,...,/
5..., у все различны между собой, мы убеждаемся, что ни одна из
величин а, ft,..., /, s,..., у не обращает дроби
яч — дъгТ
(*-- s)na ••• {х — у)пч — Т(х-а)п(х-Ь)п^ -"(х^1)п\
в оо. А потому предыдущее уравнение приводится к такому:
p+-q<px = Tz(x — a)n(x~b)nt ••• (х — l)nX (х — s)n° • •• (х — у)пг>, (Щ
где те означает функцию, не обращающуюся в оо при х~а, ft,...,/,
Предполагая ряд связанными таким уравнением, мы покажем
теперь, к чему приводятся уравнения (16).
§ 25. Первое из уравнений (16)
р + д У~Ъх = (дс —д)Я(лг— б)п3 ...(* — /)пЛ
где, по положению, Г сохраняет конечную величину при х не = оо
а дробь
р + дУОх
~p-qV¥x
не обращается в -д-, приводится, очевидно, к тому, что отношения
р + д У fa р — q У Ох
(х — а)п (х — Ъ)п$ -..(х — 1)пХ ' (х — s)na • -• (х~у)п^
сохраняют конечную величину при х не = оо. Но эти отношения*
как видно по их форме, не могут обратиться в оо при х отличном
от a, ft,...,/,s, ...,j/. А что они не обращаются также в оо при х =
= a, ft,..., /, s,..., у, то в этом мы убеждаемся, заметив, что эти
отношения, вследствие уравнений (17) и (18), приводятся к таким
выражениям:
qn0 + п(х — s)na • • • (л; ~-y)m , q-Ki + п(х — а)п (х — ft)np • • • (х — I)* ;
функции же 7CQ, 7Г!, те, # не обращаются в оо при х = a, ft,..., /, s,..., j>.
Если же отношения
/? + ? ^Оу p — gVUx
(Х _ fl)« (* _ ^)«3 ...(* — /)лЯ ' (х - 5)ла • •. (х-*-у)"*
не обращаются в оо, то свойство их оставаться конечными аелияи-
нами яри х не = оо выразится уравнением
Р + яГГх р-дУЪ = фтцШ11
(х-а)п (х- Ь)п* • • - (х-/)лХ (х- s)n° ■ ■ - (л—у)т
не обращающейся в 0 при х«е - «,

— 132 -
Но это уравнение, в котором выражения
р + д VSx р ■— д Vbx
(х — а)п(х—Ь)п* ... (х — [)пХ ' (x — s)na ---{x-y)nr] '
как видели, не обращаются в оо, может иметь место только в том
случае, когда первая часть его равна постоянному; ибо в противном
случае, возведя обе части его в степень N, где N есть число кратное
знаменателей дробей (3,..., А, а, , т), мы имели бы рациональную
дробь
(p*-g*Vx)N
(Х _ afN (х — b)n*N . • • (х - 1)пШ (х - s)naN . • • (х -y)nr'N
которая не обращается в 0 и.оо при х не = оо, что невозможно.
Итак, вследствие уравнения (18), первое из уравнений (16)
приводится к следующему:
-тг -—2-г — —- = постоянному. (19)
(х — а)п (x-bft ... {x-f)nX(x — s)nG .-. (х— у)яч v '
Прежде, чем пойдем далее, заметим, что это уравнение, где
рг— q2Qx есть функция рациональная, предполагает рациональность
выражения
(л: — а)п (х — Ь)п* • • • (х — 1)пХ (х — s)na • • • (х—у)т ,
а это может иметь место только в том случае, когда произведения
/*Р, . ..,/гХ, яст, ...,лт) приводятся к числам целым, откуда следует, что
п должен делиться на знаменателей дробей р,..., X, а,..., tj, яри-
веденных в простейший вид. Но при таком свойстве п нетрудно
убедиться по уравнению (18), что тс есть функция целая.
Действительно, если /г(3,...,/гХ, па,...,ят) числа целые, то, по (18), 7с есть
рациональная функция и знаменатель ее не может заключать
производителей, отличных от х — а, х — Ь,..., х — /, я — 5,..., х — J/. Но ни
один из этих производителей туда не входит, ибо мы видели в § 24,
что функция те не обращается в оо при х — а, и,...,/, s,...,y. Итак,
тс есть функция целая.
Повторяя эти же суждения над уравнением, которое получается
перемножением почленно уравнений (17), мы убеждаемся также, что
произведение щпг есть функция целая.
§ 26. Таким образом, мы доходим до следующего заключения:
Чтобы найти число п и функции р, qy удовлетворяющие уравнениям
p-qVbx (х~8Г...(х~уГ ' СтеПеНЬ p-qVbx- ~ ft
мы должны искать я между числами, которые делятся на
знаменателей дробей (3,..., х а, ....,т], приведенных в простейший вид. Пред-

- 133 —
полагая же п равным одному из этих чисел и делая для сокращения
v = (x-a)n(x — b)n* ...(x-l)nX(x-s)na ...и-3>Г>
мы для определения р будем иметь уравнение
/7 + ?9^ = tc-v, (20)
где тг, q суть функции целые неизвестные нам, а <р* функция целая,
определяемая уравнениями (17).
Нам теперь остается показать, какие значения должны иметь
функции q и тс для того, чтобы р, определенная из уравнений (17),
и q удовлетворяли уравнениям (16). Мы видели в предыдущем
параграфе, что вследствие (18) первое из уравнений (16) приводится
к следующему:
/т2 — аЧх
-—-— = постоянному,
где для сокращения пишем v вместо
(х — а)п {х - ft)713... (х — 1)пХ (х - s)na... (х —у)п\
Но это уравнение, по внесении значения р из (20), принимает
такой вид:
tc*v — 2q<px + q ф х~~ — постоянному,
и вторая часть этого уравнения есть целая функция, ибо тс и 7и0, по
§ 24, суть функции целые, a k0ic19 по (17), равняется -—=—. Если
же вторая часть этого уравнения есть функция целая, то уравнение
это, очевидно, тождественно такому:
степень \n2v — 2q<$XK + q*9X~ x 1 = 0.
Вот уравнение, к которому приводится первое из (16); что же
касается до второго, то оно внесением значения р из (20) принимает
такой вид:
степень 4Y \г - = 0*
7iv — qyx — q У Qx
Итак, для удовлетворения уравнениям (16) функции q и
несвязанные с р равенством (20), должны удовлетворять условиям
степень ГтЛ — 2^<рхти + Я2 ^—^1 = 0,
tuv — qox + q Vbx ~
степень *Y \г— == 0.
rcv —- qyx — qVQx
Но эти уравнения могут быть заменены такими:
(tcv — qox + qVOx)2 Л м (tuv — ^jc~ qVbxY n
степень *Y ч '— = 0, степень - ~ - — = 0,
V V

— 134 -
которые получаются через сложение и вычитание первых между
собой. Но, если последние уравнения напишем так:
7iv — qyx + q—х_ __ фуНК нулевой степени,
v
тгу — дух — q Vbx __
функ* нулевой степени,
то сложением и вычитанием их выведем
(21)
функ. степени •< 0, j
}
i
——Д^ = функ. степени *< 0 *.
(22)
Вот уравнения, которые послужат нам для определения искомых
функций q и тс.
§ 27. Мы покажем теперь, что дробь -~-, где тс и q суть функции,
удовлетворяющие уравнениям (22), есть одна из приближающихся
(convergentes) дробей, которые мы получаем, разлагая выражение
— в непрерывную дробь. В самом деле, если
^° + zx + .
есть непрерывная дробь, в которую разлагается дробь -~ , ^ есть
простая дробь, равная
1
zo + z% + .
+
*i-i
* Эти уравнения совершенно тождественны уравнениям (21), ибо уравнения (22),
как видели, предполагаются уравнениями (21), и с другой стороны, как нетрудно
заметить, они всегда влекут з& собой уравнейия (21). В самом деле, вследствие
уравнений (22) функции
rev — дух 4- д V^Qx tvj — дух — д Vbx
Т > I
будут или нулевой степени или степени отрицательной. Но последнее не может иметь
места, ибо произведение эл;их функций есть
7u2v — 2духп + Q% ,
функция целая (§ 25), а первое приводится к уравнениям (21).
** Эта дробь несократима, ибо иначе, по (20), функции р и д имели бы общего
множителя, и эти функции предполагаются простыми между собой.

- 135 -
и наконец, если Z есть такая функция, которая удовлетворяет
уравнению (23)
Z»+4r+._ t --?-. (23)
то, по свойству непрерывных дробей, будет
тс Ф-* ± 1 ^
~ — = q(qz + q9) ' степень Я > степени q0.
Откуда выходит
степень Z = степени
-L L
V Vе
Ttv — qyx q y
и это, ЕСледствЕе >равнений (22), обнаруживает, что Z есть
функция степени положительной, и следовательно, что Z разлагается
в непрерывную дробь
• »
где У, Yl9... суть функции степени положительной. Внося же это
разложение Z в уравнение (23), мы убеждаемся, что — разлагается
в непрерывную дробь
Z +±-
+ ~z—i 1
Уг+-.
. У
где К, Кь... подобно Zi, Z2,..., Z* суть функции степени
положительной. А так как, по положению, дробь
Z +±-
^,+4-,
получаемая из предыдущей откидыванием знаменателей Y, Кь...,
равняется -^-, то отсюда мы заключаем, что действительно — есть
®х
одна из приближающихся дробей, получаемых разложением — в
непрерывную дробь, что и следовало доказать.

- 136 -
§ 28. Нам остается теперь показать тот признак, по которому
в ряду приближающихся дробей выражения — узнаем дробь, равную
—, где те и q суть функции, удовлетворяющие уравнениям
q г х = функ. степени < О,
Tiv — qqx __ фуНКш степени ^ 0.
Для этого мы замечаем, что первое из этих уравнений означает,
что знаменатель искомой дроби степени не выше, чем у -^-.
Что же касается до второго уравнения, то оно может быть так
написано:
степень —> г-!> степени 1/7,
»(т-£)
а так как, по положению (§ 27), непрерывные дроби
1 1
Z< + T+ -1
7Г0 7Г фЛГ
iw —
рывных дробей, выходит
равняются простым дробям -—t — > -^-> откуда, по свойству непре«
1
степень —7 -^ = степени (q Y + qQ),
1 TtY 4- 7Г0
то предыдущее уравнение означает, что знаменатель простой дроби,
к которой приводится непрерывная дробь
'+"z—+ 1 *
z0 + -

— 137
степени не ниже чем V^ ■ Но дробь
7 • 1
л1 ~
есть та, которая следует за
+ -JL. t
у
• + +-. 1
равной —, в ряду приближающихся дробей выражения —.
Итак, в ряду приближающихся дробей выражения —, ми узнаем
дробь —, где п и q суть функции, удовлетворяющие условиям (22),
по следующим двум признакам:
1) знаменатель этой дроби степени не выше, чем у -j^i
2) знаменатель следующей дроби степени не ниже, чем Yv.
Если же в ряду приближающихся дробей выражения — нет дроби
с такими свойствами, то мы заключаем о невозможности удовлетворить
условиям (22), а вместе с тем убедиться в невозможности
уравнений (16).
§ 29. Чтобы показать на примере то, что мы сказали вообще об
определении числа п и функций р, q под условиями
p + gVW дГ(*-д)«(,-»Г>...(,-./)'» степеньР + ^Д =0,
p — qVbx {x-s)n<J.,.{x-y)n'n p — qVbx
где Т не обращается в 0 и <х> при х не = оо,
p + qVfo
>-аУ~Ъл
не обращается в -д-, положим
Ъх = 7.x4 + 20х3 + 21*2 + 8х + 1,
(х — а)п (х — bf^. ..(x — 1)пХ
(*+#
(х - s)na... (х — y)m (х+1 )п
Замечая, что в этом случае ряд чисел р, ..., X, а, ..., г\ приводим
к 1, мы заключаем по § 26, что значение числа п должно искать
в ряду 1, 2, 3, ... . Но если же мы будем полагать последовательно
п=\, п = 2, я = 3, ..., то для определения р и q, как сказано

138
в § 26, должны найти целую функцию ух, которая удовлетворяет
уравнениям
Ф*— ^Тх* + 20х3 + 21л;* + 8х + L = -к0 (х + -|Л", |
<рх + /7л* + 20х3 + 21л:2 + 8х + 1 = ^ (л: +1)", J
(24)
где тсс, тс! суть функции, не обращающиеся в оо при л; = — -g- э х = — I.
После того для определения р, по (20), будем иметь
/> + Wx = «(x + iJ (x+l)11, (25)
где тс, у, по § 27, определятся разложением выражения
срл;
х + ~У(х + 1)п
в непрерывную дробь.
Так, для п = 1 находим
5 . 2
5 , 2
- л: + --
фЛ* _ ^ ^
/ 1 \ 4 1 3 14
откуда такой ряд приближающихся дробей:
125 __ 50
' з х Т~
5 2
1 "3 Х + 3"
3 ,,14 _4_ , 1 ' '"
5 "*+ 25 ^ "^З^^З
Замечая, что в этом ряду дроби имеют знаменателей степени
выше, чем
мы заключаем по § 29, что искомые функции в предположении п = 1
невозможны.
Полагая п = 2, находим
9х = — 9л;3 — 20л;2 — 12л: — 2,
фдг __ —9JC3 — 20л:2 — 12лг— 2 __
: + -*-)*(*+ l)t ^+|-^+2^2 + |_^+|
9 81 ^ 729 11826
10 * 100

- 139
откуда такой ряд приближающихся дробей:
__729 1182Г»
1 ~~ i<7A ГоГП
9 SI 10 ^ 100" "^lOO
Замечая, что и здесь знаменатели степени выше, чем
Г 7х* 4- 20л* 4- :
(* + I)2
7л^ + 20л? + 2U* + 8ж + 1" '
мы заключаем о невозможности предположения я = 2.
Если же мы положим /г «= 3, то найдем
ФХ = 108.x5 + 378л;4 + 495х3 + 296х2 + 80х + 8,
фдт 108.vs + 378.V4 + 495.*» + 296дг5 + 80,у + 8
/ 1 \8 19 136 19 4 1
(* + ~з) (^ + 1)3 * + ** + Т"^ + ^^+ Э^4- 9* + ^Г
1
~~J_ -L-L-j- 1
108 ' 216 ' 23328jc2 + 81643* + 106320 +.
откуда такой ряд приближающихся дробей:
1 23328** + 81643* + 106320
J__ J_ ' 216ДГ8 + 864**4- 13680л: +496' *" "
108 X+ 216
А так как знаменатель первой дроби степени не выше, чем
v,
(««
*{х + I)8
7** + 20** + 21jc2 + 8* + 1 •
знаменатель же следующей дроби степени не ниже, чем
то по § 28 заключаем, что первая дробь
1
108"^ + 216
есть именно та, которой числитель определяет тс, а знаменатель q
Следовательно,
Полагая же в уравнении (25)
п = 3, <рх = 108хб + 378х4 + 495х3 + 296х2 + 80* + 8,
108 * ^ 216'
1 1

- 140 -
находим
Так узнаем мы, что уравнения
р 4- д Vlx* + 20л? + 21л:2 •+• 8л: + 1 _ ~J
/? — д Vlx* + 20л:8 + 21л:2 + 8* +1 ~~ (х + 1)п '
степень
Ье2
/? + д УЪс* + 20л? + 21л:2 + 8х +Т
/? — д Vlx* -f 20л:3 + 21л:2 + 8л: + 1
удовлетворяются предположениями
_ О _ 1 3 _ 1 1 1
П — 6, р — —х у q — Jog Х • 216 '
Найдя это решение уравнений. (26), мы, по § 23, заключаем, что
если интеграл
С л:2 dx
\ З*2 + 4* + 1 Ylx* + 20л:8 + 21л:2 + 8х + 1
выразим через сумму членов вида
Л \ozp + q j/~^r+ 2ay3+21*2 + 8*+ *
/? — ? f"7л:4 -Ь 20л:3+21л:2 + 8л:+ 1'
то его значение равняется
6 Og2T6^-CT58-*+2l6)r7^ + 20^+21^ + ^+1

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
К ЗАЩИТЕ ДИССЕРТАЦИИ «ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМОВ»*
(Отрывок)
Я имел честь представить на суд Вам, М.[илостивые] г.
[осудари], первый мой опыт интегрирования помощью логарифмов; теперь
позвольте представить Вам отчет в приемах, употребленных
мною при этом интегрировании.
Я избрал предметом исследований моих дифференциалы,
заключающие рациональным образом квадратный корень рациональной функции.
Общая формула этих дифференциалов приводится к сумме двух
выражений, из которых одно не заключает радикала, другое имеет его
делителем. Первое интегрируется без затруднения. Что же касается
до второго, то относительно его открыл Абель и доказал Лиувилль,
что всякий раз, когда оно интегрируется помощью логарифмов, инте-
г рал его выражается формулою известного вида. Это составляет
основание моих изысканий.
Вам известно, М.[илостивые] г.[осудари], что эта формула состоит
из двух частей, существенно^ различных между собою. Одна часть
не заключает знака логарифма, другая содержит члены с этим знаком.
А потому определение этой формулы приводится к двум вопросам:
к определению алгебраической ее части, к определению ее части
логарифмической.
Первый вопрос решен вполне Лиувиллем и академиком нашим
Остроградским в предположении логарифмической части нулевою. Но
решение их, основанное на тождестве интегрируемого дифференциала
с дифференциалом искомого алгебраического выражения, очевидно,
не может быть распространено на тот случай, когда
логарифмическая часть отлична от нуля. Поэтому я должен был предпринять
изыскания более общие. Так так алгебраическая часть определяемой
мною формулы содержит неизвестным одну дробь, то я для
определения ее предложил себе, во-первых, открыть, какие производители
входят в состав знаменателя и в какой степени, во-вторых, определить
* Обнаружен в Госуд. историческом архиве Ленинградской области.

— 142 -
высший предел числителя и найти уравнения, определяющие его
коэффициенты. Решение этих вопросов составляет предмет первых
трех теорем. Эти теоремы вытекают из следующего свойства
логарифмической функции, существенно отличающего ее от функции
алгебраической:
«логарифмы алгебраической функции х, обращаясь в оо при
х = а, в разложении по восходящим степеням х не имеют членов
с отрицательной степенью».
Что же касается до приема, которым выводятся отсюда
предыдущие теоремы, то я предпочел всем другим приемам способ
разложения в ряды как самый простой, самый ясный и здесь, где сходимость
рядов несомненна, вполне строгий. Из доказанных таким образом
теорем обнаружилось, что знаменатель искомой дроби определяется
отыскиванием общего наибольшего делителя двух известных функций,
а числитель определяется решением уравнений первой степени
—приемы, подобные тем, которые нашел наш академик Остроградский для
интегрирования дробей алгебраическими знаками. Здесь также
нетрудно было показать, что число уравнений, получаемых для
определения коэффициентов числителя, не может быть менее числа
коэффициентов. Но я полагал, что этим не вполне доказывается достаточность
уравнений, полученных для определения коэффициентов числителя;
ибо в числе этих уравнений может быть несколько уравнений
тождественных другим. Поэтому я счел за необходимое доказать, что
полученные мною уравнения не могут иметь более одного решения.
Это составляет предмет четвертой теоремы моей диссертация.
Так определяется алгебраическая часть в выражении интегралов
составляющих предмет моего рассуждения.
Кроме того, из предыдущих теорем открывается обширный класс
интегралов, не приводящихся к логарифмам. Доселе известен был
один только класс подобных интегралов, открытие которых
принадлежит Лиувиллю, и этот класс существенно отличен от того, который
здесь открывается.
Отыскав алгебраическую часть, я исключаю ее из формулы, мною
определяемой. Вследствие же этого, определение ее логарифмической
части приводится к интегрированию дифференциалов помощью
формулы, которой все члены с знаком логарифма. Но эта формула и без
алгебраического члена, очень сложна. В ней неопределенное число
членов, из которых каждый заключает три неизвестных — одно
постоянное вне знака log и две функции под знаком его. Очевидно, что такая
сложная формула может быть определена только через определение
отдельно каждого из ее членов. И в этом-то, М. [илостивые] г. [осу дари],
по моему мнению, заключается главная трудность интегрирования,
которым я занимался.
В интегрировании рациональных функций это не представляет
никакой трудности; там мы достигаем этого подразделением данного
дифференциала на дифференциалы простейшие и интегрированием

Факсимиле начала наброска вступительного слова при защите диссертации
«Интегрирование помощью логарифмов» (уменьшено).

- 144 -
последних. Здесь же, напротив, такое разложение не может быть с
пользою употреблено, ибо в то время, когда данный дифференциал
интегрируется помощью логарифмов, простейшие его составляющие
могут не интегрироваться. Итак, М.[илостивые] г. [осудари], здесь
разложение дифференциалов на простейшие должно быть заменено
другим приемом, определяющим каждый < член отдельно. Это
составляет предмет 5, 6, 7 и 8-й моего рассуждения и из этих теорем
открывается, что число членов в интеграле, мною рассматриваемом, и
условия, определяющие каждый из них отдельно, находятся чрез
решение вопроса теории чисел. Такая зависимость интегрирования
дифференциалов от свойств чисел весьма замечательна.
Независимо от решения этого вопроса о числах, предыдущие
теоремы приводят к следующему заключению:
«Число членов, заключающих log в выражении
рассматриваемых нами интегралов, не может превосходить степень
знаменателя, если дифференциал степени не более —1. А отсюда легко
вывести, что во всяком случае степень его знаменателя +1 есть
высший предел числа членов с знаком log».
Частный случай этого предположения, для знаменателя нулевой
степени, высказан Абелем. Он обещал доказать его, но, к сожалению,
умер, не исполнив своего обещания.
Определивши таким образом число членов, заключающих
логарифмы, и найдя уравнения, определяющие их, я приступил к
решению этих уравнений. Для решения этих уравнений, вероятно,
найдется много различных приемов. В рассуждении моем я привел
решение этих уравнений к разложению в непрерывные дроби. С
первого взгляда это решение представляется существенно отличным от
решения, данного Абелем для частного случая, которым он
занимался* У него одно иррациональное выражение разлагается в непрерывную
дробь, неопределенно продолженную, у нас — неопределенный ряд
рациональных выражений разлагается в дроби с определенным числом
знаменателей. Но нетрудно показать, что в некоторых случаях, куда
относится и случай, рассмотренный Абелем, способ, мною
предлагаемый, приводится к действиям, составляющим способ Абеля. Такое
приведение особенно замечательно тем, что оно значительно облегчает
интегрирование, и легко доказать, что оно всегда возможно, если в
определяемом интеграле число членов достигает своего предела, о
котором сказано выше.
Вот в чем заключаются изыскания, составляющие предмет моего
сочинения.
Теперь позвольте прочесть Вам положения, к которым привели
меня эти изыскания*.
* См. стр. 88-89.- Ред.

— 145 -
Я ожидаю теперь Ваших замечаний. Они прольют мне новый свет
на предмет моих занятий и я употреблю все силы [для того, чтобы]
воспользоваться ими при дальнейших изысканиях.
Особенно важен для меня суд Ваш о последнем * моем положении.
Зная трудность предмета, мною избранного, и сознавая свое бессилие,
я везде поверял себя открытиями великих геометров и с особенным
удовольствием видел согласие своих выводов с истинами давно
известными. Но прилагая свои начала к абелевым функциям, я был
остановлен несогласием моего вывода с известным предложением Якоби.
Этот вывод, предполагающий одно из двух: илц несправедливость
предложения Якоби, весьма невероятную, или ошибочность моих
суждений, весьма возможную, я не хотел скрыть от Вас,
Милостивые] г.[осудари], я желал представить на суд Ваш и с этим-то...**
* девятом — Ред.
** Конца текста нет. — Ред.
10 П. Л. Чебышев» т. V

О ПОСТРОЕНИИ
ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ*
При построении географических карт легко достигнуть
воспроизведения фигуры какой-нибудь части поверхности земного шара так,
чтобы постоянно существовало подобие между ее бесконечно малыми
элементами и их изображением на карте.
Но так как масштаб различных элементов неодинаков, то
конечные участки поверхности земного шара, при их изображении на карте,
более или менее искажаются, смотря по уклонениям масштаба от его
нормальной величины; а так как эти уклонения при различных
системах черчения карт представляют величины более или менее
значительные, то понятно, что существует такая система, которая при
изображении данного участка земной поверхности приводит эти
уклонения к minirnum'y и, следовательно, изображает фигуру ?того
участка наилучшим образом.
Мы займемся именно определением этой системы черчения карт.
Вопрос, который нам предстоит решить, имеет большое сходство
с теми, которые были предметом нашего мемуара под заглавием: «Теория
механизмов, известных под названием параллелограмов», где мы
стремились подходящим выбором постоянных данной функции
уменьшить, сколь возможно, ее уклонения от другой функции для всех
значений переменной, заключенных в данных пределах. При условии
minimum'a такого рода нам предстоит теперь отыскивать функцию
двух переменных, которая должна удовлетворять некоторому
уравнению с частными производными. Для упрощения формул мы не
будем принимать во внимание сплющенность земли, но тот же способ
может быть легко распространен на все возможные предположения
о форме земли.
По обозначению Лагранжа (Nouveaux Memoires de TAcademie de
Berlin, 1779) масштаб выражается так
__ Vfi {и -f t}T^)F'(и — tV~^i)
eu+e-u
* «Sur la construction des cartes geographiques». Bull, de la Classe phys.-math. de
Г Acad. Imp. Sci. a> St.-Petersbourg, XIV (1856), стр.257—261 ;"русскийперевод в
Собрании сочинений П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб.
1899, стр. 233—236. — Ред.

— 147 -
что дает
logm =±logf (и + tV~\) + -L\ogF {u--tV~)~log
ea + e~
где сумма первых двух членов, содержащих произвольные функции,
будет, очевидно, интегралом такого уравнения:
ди* + dt* ~~а
Поэтому изменения масштаба зависят от отклонений функции
log — — от интеграла этого уравнения.
Но, по замечательным свойствам этого уравнения, можно убедиться»
2
что minimum отклонения его интеграла от функции log — — на
площади, ограниченной какой-нибудь кривой, может иметь место не иначе,
как если разность
сохраняет на этой кривой постоянно одно и то же значение.
Итак, интегрированием уравнения
д*Ц д*Ц __ п
яри этом условии получим величину
U = ^logf (u + tV^l) + ^rlogF(ii-tVi:ri)
с произвольной постоянной, а отсюда извлечем величины функции
которые с постоянным множителем доставят нам выгоднейшую
проекцию. Что касается их постоянного множителя, остающегося
неизвестным, то он легко определяется по нормальной величине масштаба.
Поэтому легко указать все случаи, когда можно получить
наиболее точную проекцию карты, принимая за меридианы и параллели
круговые дуги.
В вышеупомянутом мемуаре Лагранж показал, что при всех
системах проекций, обладающих этим свойством, очень важным для
практики, масштаб выражается так:
1
т —
2 — (А*в + 2аЪ cos 2c (t - g) + b2e~2ca)
Следовательно, в силу сейчас сказанного, эти системы проекций
могут дать наиболее точное изображение какой-нибудь страны, если
только на границах этой страны имеем
logт = — logf а 2 _и [а2е2са + 2ab cos2с (t—g) + Ре-*"]\ = пост.,
10*

— 148 —
или, что то же самое,
log tn = _ log 2 _ц - log (а/д+'('-*)/:гг + йе-^-г(/^)/=г) -
- log (aeca-c{t~g)V^ + be-ca+c(t-g)V~}). (1)
Чтобы упростить это уравнение, преобразуем координаты, взяв
За полюс точку, где log яг становится minimum, а за первый меридиан
чгот, который проходит через первоначальный полюс. Пусть t0 и
"90° — z0— долгота и широта этой точки, и условимся обозначать
чгер'ез Т и 90° — Z 'долготу и широту в новой системе координат.
Если заметим, что, по употребляемому нами обозначению Лагранжа,
и представляет log tang-у, 90° — z ~ широта относительно первого
полюса, а £ —долгота, то легко придем к таким очень простым
уравнениям
е -tang 2 e - z r/_ e
1 — tang "y tang-n- e
& 2 2г0 Z -Т\Г-\
1 — tang -s- tang -у- г
Внося эти величины в уравнение (1) и замечая, что logm
становится minimum при Z = 0, находим, что это уравнение с точностью
до количеств порядка tang3-у становится
Т?2ус (cos2T — sin2T) tang2-гр + tang2-ту- — пост.,
а так как в стереографической проекции имеем с постоянным
множителем
Z Z
х = tang -у- sin Ту у = tang -у cos Г,
то это уравнение дает
sin2z0 + 4c2 — 1 « . sin2 z0 — 4с2 -f 1 «
ШТ0 Х2 + sin**0 У = Л°^-
Поэтому, если отыскивается проекция довольно малой страны и
принимаются за меридианы и параллели круговые дуги, то эта
проекция может значительно приблизиться к наиболее точной только в том
случае, если ее границы в их стереографической проекции, с точно-
стью до количеств порядка tang3 — , удовлетворяют уравнению
sin2*0 + 4<:2--l 2 sin2*0-4c2-fl
sin2z0 л ^ sin2*n У —пост.,

- 149 -
и, следовательно, представляют кривую второй степени, которая будет,
очевидно, эллипс, ибо она должна быть сомкнутой.
Из предыдущего уравнения видно, что одна из осей этого эллипса
идет по направлению меридиана, и, что отношение осей равно
/^sin2 z0 — Ac2 + 1
V sina2r0-Mc2 — 1 *
Итак, если надо проектировать участок земной поверхности,
ограниченный подобною кривою, оси которой относятся одна к другой
как 1: п, то указатель проекции определится так:
(2с)*= 1+^1 sin» z0.
•Это уравнение показывает, что существует тесная связь между
очертанием страны и наивыгоднейшей величиной указателя для ее
проектирования.
По уравнениям, о которых мы только что сказали, можно
определить и центр проекции и величину указателя наивыгоднейшим
образом для точности карты, каков бы ни был вид страны.
Именно это мы предполагаем показать в подробном мемуаре
о построении географических карт.

ЧЕРЧЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ*
Сочинение, написанное для торжественного акта в Императорском
С.-Петербургском университете 8 февраля 1856 г.
М.[илостивые] г.[осудари]!
Науки математические, с самой глубокой древности, обращали на
себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще
более интереса по влиянию своему на искусства и промышленность.
Сближение теории с практикою дает самые благотворные результаты,
и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки
развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для
исследования, или новые стороны в предметах давно известных.
Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены
науки математические трудами великих геометров трех последних
столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих
отношениях; она предлагает вопросы существенно новые для науки, и
таким образом вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если
теория много выигрывает от новых приложений старой методы или
от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием
новых метод, и в этом случае науки находят себе верного
руководителя в практике.
Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное
разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется,
недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную
важность имеют те, которые необходимы для решения различных
видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической
деятельности человека: как располагать средствами своими для
достижения по возможности большей выгоды?
Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории
наибольших, и наименьших величин. Эти задачи, чисто практического
характера, имеют особенную важность и для теории: все законы,
определяющие движение материи весомой и невесомой, представляют
* Опубликовано в следующих изданиях: Годичный торжественный акт в
С.-Петербургском университете, бывший 8 февраля 1856 г. СПб. 1856, стр. 73—90; французский
перевод Mention в «Nouvelles annales de Mathematiques», XIX (1866), Paris; «Школа
математики чистой и прикладной», № 2 (1885), стр. 110—116; Собрание сочинений
П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 239—
2А1.— Ред.

— 151 -
решение задач этого рода. Нельзя не заметить особенно
благотворного влияния их на развитие наук математических.
До изобретения анализа бесконечно малых известны были только
частные примеры решения таких задач; но в этих решениях уже было
начало новой, важнейшей отрасли математических наук, известной
под именем дифференциального исчисления. Чтобы показать влияние
вопросов о наибольших и наименьших величинах на открытие этой
науки, я приведу здесь то место знаменитого сочинения Ньютона
«Philosophiae naturalis principia mathematical, где он говорит о начале
этого открытия, которого приложения и результаты теперь
неисчислимы:
«Лет десять тому назад (в 1677 г.), когда я вел переписку с весьма
ученым геометром Лейбницем, я писал к нему, что имею способ для
определения наибольших и наименьших величин, для проведения
касательных и для решения других подобных вопросов, и что способ
мой с таким же удобством может быть употреблен для уравнений,
заключающих в себе радикалы, как и для рациональных. Я скрыл
тогда свой способ под переставленными буквами, которых значение
было следующее: яДано уравнение, заключающее в себе сколько
угодно количеств текущих, найти течение, и наоборот". На это
знаменитый Лейбниц отвечал, что с своей стороны он нашел подобный
способ и сообщил мне его в том же письме. Этот способ отличался
от моего только названием и знакоположением». (Прим. на VII
предложение 2-й книги, изд. 1713 г.).
Но открытием дифференциального исчисления и решением задач,
подобных тем, которые привели к открытию его, предмет этот не был
исчерпан вполне, и это обнаружилось в изысканиях самого Ньютона:
вопрос, им решенный, об определении формы, при которой тело,
двигаясь в жидкости, наименее встречает препятствия — представил
задачу наибольших и наименьших величин, существенно отличную
от подобных задач, разрешимых по способу дифференциального
исчисления. Общий способ решения задач этого рода, особенно важных
для теоретической механики, привел к открытию еще нового
исчисления, известного под именем вариационного.
Несмотря на такое развитие математики в отношении теории
наибольших и наименьших величин, нетрудно заметить, что практика
идет далее и требует решения задач о наибольших и наименьших
величинах еще нового рода, существенно отличного от тех двух,
которые решаются в дифференциальном и вариационном исчислениях.
Как пример вопросов такого рода и решения их, мы можем
представить изыскания наши о параллелограме Уатта, напечатанные
в Memoires des savants etrangers нашей Академии за 1854 г. Из
результатов, до которых мы дошли, рассматривая методу, необходимую
для определения наилучшего устройства механизмов этого рода, видно,
что и в этом случае вопросы практики ведут ко многим теоретическим
результатам, интересным для науки; что методы, на которые впервые

- 152 —
вызывает нас практика, являются средством для решения новых
теоретических вопросов, интересных даже независимо от практического
значения их *.
Другой пример вопросов этого рода, и особенно замечательный,
представляет черчение географических карт. При современном
состоянии теории географических карт можно показать бесконечное
множество различных способов черчения их таким образом, что весьма
малые элементы земли сохранят в изображении своем настоящую
форму. Но так как при этом, по свойству сфероидальной поверхности
земли, масштаб изображения различных элементов ее, по
необходимости, различен, то равные элементы ее, взятые в разных местах, при
изображении на карте, представляются в разных размерах. Чем
значительнее эти перемены масштаба, тем неправильнее географическая
карта. А так как величина этих изменений масштаба, на пространстве
той же части поверхности, бывает более или менее, смотря по способу
проекции карты, то, естественно, рождается такой вопрос:
При какой же проекции эти изменения масштаба будут
наименьшими?
В записке, читанной мною в заседании Академии Наук 18 января**,
я показал, что вопрос этот, переведенный на язык анализа, приводится
к особенной задаче наибольших и наименьших величин, существенно
отличной от тех, которые решаются в дифференциальном и
вариационном исчислениях. Задача эта подобна тем, которые были
предметом вышеупомянутого мемуара «О параллелограме Уатта», но
относится к высшему разряду таких задач: там отыскивалось несколько
постоянных величин, здесь требуется найти две неизвестные функции,
что соответствует определению бесконечного множества постоянных.
* Так, мы находим здесь, между прочим, решение такого вопроса:
«Целая функция хт + Ахт~1 + Вхт~~2 -\ 1-Я не может не меняться при перемене
х; какая же низшая степень ее изменяемости?» И потом, «при каких значениях А,
В,...,Н она достигает этого предела?».
Решение этой задачи ведет ко многим результатам, интересным для высшей
алгебры. Например:
1. Если f(x) = хп + Вхп~1 + Схп~2 +•. • + Я, в пределах h и h ± 4 л/ ± — f (h\
найдется по крайней мере один корень одного из уравнений /(jc) = 0, /(jc) = 0. Знак
радикала определяется знаком дроби — тгтй\ . Это имеет важное приложение в отде-
лении корней по способу Фурье.
2. В уравнении х°п+1 + Вх^'1 + С*,л"-3+ . .. + Их ± К = 0 всегда есть корень
между
2 л-fi 2л+1
откуда выходит такое свойство уравнений: в уравнении jc2"*1 + Вх2п~1 + Схы"г -Ь
+ • •• + Я* + К — О, заключающем х в нечетных степенях, если /С содержится между
—2 и + 2, в тех же пределах найдется по крайней мере один корень.
** См. «О построении географических карт», стр. 146—149,— Ред.

— 153 —
Это полагает такую же разницу между этими задачами, какая
существует в задачах дифференциального исчисления и вариационного.
В теоретическом отношении этот предмет тем более интересен,
что он приводится к исследованию уравнения в частных производных»
особенно замечательного, и, между прочим, выражающего равновесие
теплоты в пластинках бесконечно тонких. Так, вопрос о
наивыгоднейшей проекции карт связан с этим замечательным свойством теплоты:
при равновесии теплоты в круглой, бесконечно тонкой пластинке,
температура центра есть среднее температуры всех точек на
окружности; то же для шара: температура центра — среднее температуры
на поверхности.
Окончательное решение о наивыгоднейшей проекции карт очень
просто: наивыгоднейшая проекция для изображения какой-нибудь
части земной поверхности на карте есть та, в которой, на границе
изображения, масштаб сохраняет одну и ту же величину, легко
определяемую по принятой, нормальной величине масштаба. Что же
касается до определения проекции, представляющей такое свойство,
оно приводится к решению обыкновенной задачи интегрирования
уравнений в частных производных, где дается значение интеграла
на границах, внутри которых он должен оставаться конечным и
непрерывным.
Так, для изображения всякой страны на карте, найдется одна
наивыгоднейшая проекция. Эта проекция определится положением
страны относительно экватора и формою ее границ; при этом
параллели и меридианы будут представлять различные кривые линии, но
вообще близкие к кругам или прямым, если проектируется
незначительная часть земной поверхности. Линии эти по точкам чертятся безо
всякого затруднения.
Особенно замечательны те случаи, в которых параллели и
меридианы обращаются совершенно в круги или прямые линии; этим
значительно облегчается черчение карт незначительных размеров. Лагранж
в мемуарах своих «Sur la construction des cartes geographiques» (Nou-
veaux Memoires de ГAcademie de Berlin, 1779) определил все проекции,
где это имеет место. На основании же свойства наивыгоднейшей
проекции, вообще нетрудно показать, при изображении каких именно
земель такие проекции будут наивыгоднейшими: границы этих земель
определятся точками, в которых масштаб, при этом роде проекций,
сохраняет одну и ту же величину. Границы земель, таким образом
определяемые, представляют вообще довольно сложные кривые линии.
Но по мере уменьшения пространства, изображаемого на карте, они
упрощаются и быстро подходят к эллипсисам, так что они
незначительно разнятся от этих линий при изображении земель даже
пространных, как, например, Европейской части России. Эллипсисы эти
имеют известные, определенные положения: центр цх находится в
центре проекции; одна из осей идет по направлению меридиана.
Отношение осей этих эллипсисов определяется положением их центра

- 154 —
относительно экватора и особенно величиною, названною Лагранжем
указателем проекции.
Обратно, для изображения всякой части земной поверхности, не
слишком большой и ограниченной подобным эллипсисом, можно найти
способ проекции, в которой параллели и меридианы будут круги или
прямые линии и которая даст изображение, близкое к
совершеннейшему. Но для этого, по сказанному выше, центр проекции и
указатель ее должны быть выбраны надлежащим образом, согласно с
положением земли и видом границ *. Поэтому частные способы проекций,
с сохранением подобия в бесконечно малых элементах, каковы
стереографические проекции — полярная и горизонтальная, проекция
Гаусса и Меркатора, которые все выводятся из общего способа
частным предположением относительно места центра проекции или
величины указателя,— могут дать изображение на карте, близкое к
совершеннейшему, только в известных, частных случаях.
Так, если вышеупомянутый эллипсис обращается в круг, указатель
выходит равным единице, и наивыгоднейшая проекция приводится
вообще к стереографической горизонтальной проекции, которая
обращается в полярную, когда центр круга совпадает с полюсом земли.
По мере уменьшения оси эллипсиса, направленной по меридиану,
наивыгоднейшая проекция приближается к проекции Гаусса. С
приближением центра к экватору, эта проекция переходит в меркаторскую.
Из этого ясно, что, имея в виду получить наилучшее изображение
на карте различных земель, нельзя ограничиваться одним или
несколькими частными способами, а необходимо употреблять общий способ,
выбирая всякий раз приличным образом и центр проекции, и величину
указателя.
По сказанному выше, это легко выполняется при изображении на
карте такой части земной поверхности, которой границы
представляют эллипсис, с осью, направленною по меридиану. Но на практике
столь простых случаев никогда не представляется; границы различных
земель всегда имеют вид чрезвычайно неправильных кривых линий.
Несмотря на это, для наилучшего изображения не слишком
пространной земли, можно определить и положение центра проекции и
величину указателя, сличая форму границ с эллипсисом или другими
коническими сечениями. Для этого достаточно иметь только
приблизительное изображение той земли, для проекции которой
отыскиваются наивыгоднейшие положения центра и величина указателя, а потому
здесь может быть употреблена карта, начерченная по какому бы ни
было способу.
* Указатель проекции определяется такою формулою: 1/ 1 +2 cos2/, где /—
широта центра, п — отношение оси, направленной по меридиану, к другой оси. (См.
записку мою: «Sur la construction des cartes geographiques», читанную в Академии
18 января нынешнего года). [См. стр. 146—149.— Ред].

- 155 —
Собственно говоря, здесь можно сделать три различные
предположения, которые дают начало трем различным решениям; но сличая
их между собою, нетрудно будет найти наивыгоднейшее. Во-первых,
проектируемую землю можно рассматривать как часть пространства,
ограниченного эллипсисом, с осью по направлению меридиана; для
земель, в которых наибольшее распространение по меридианам и
параллелям находится почти против центра — это соответствует всегда
наивыгоднейшему решению. Этот случай наиболее встречается на
практике. Во-вторых, проектируемую землю можно рассматривать как
часть пространства между двумя эллипсисами, гиперболами или
параболами, одинаково расположенными. Это может дать наивыгоднейшее
решение только при изображении земель, которые изогнуты в виде
серпа или представляют узкую полосу, наклонную к меридианам и
параллелям. Наконец, в-третьих, она может быть сравнена с
пространством, заключающимся между ветвями двух обратных гипербол; это
соответствует таким землям, которых границы значительно вогнуты
против центра*.
Останавливаясь на первом предположении, к которому относится
большая часть случаев, встречающихся на практике, заметим, что из
множества эллипсисов, которые могут быть описаны около
проектируемой земли, наивыгоднейшая проекция определится наименьшим
«з них, если для сравнения различных эллипсисов мейсду собою
примем длину среднего диаметра их, равно наклоненного к обеим осям.
По виду границ проектируемой земли, нетрудно узнать те точки,
на которые этот эллипсис будет опираться, и по этим точкам
найти его оси и центр. Центр этого эллипсиса будет наивыгоднейшим
местом центра проекции, а положение этого центра и отношение осей
эллипсиса определит наивыгоднейшего указателя. Все это относится
собственно к изображению на карте земель весьма малых; но для
земель пространных, по общему способу последовательного
приближения, легко найти поправки и в положении центра проекции и в
* Для пространства, которое в стереографической горизонтальной проекции, при
X2 V2
радиусе = 1, ограничено эллипсисом —. + =Z— = 1г предел изменений масштаба (раз-
а2 о2
несть наибольшего и наименьшего масштаба, деленная на средний масштаб) выражается
2a2h2 л*2 v2 « х2 v2 л
так:. - ; для пространства между двумя эллипсисами _- + ^— = X2, -— -f 4г- = *
д2 _|_ £2 J а2 Ъг а2 Ь2
о (\ъ I) а2Ъ2 х2 v2 о
этот предел равен -z_i± ; между двумя гиперболами —г — <£-- — X2,
а2 + о2 Gr os
.£_—У^ = l он равен ^, ~~ ' fa>—; между двумя параболами х2 = 2ру+к,
а2 Ь2 ±{а2 — Ь2)
х2 = 2ру + ос' он равен 2 (а— а7); наконец, в пространстве между ветвями двух
обратных гипербол jfL—J!— = 1, -i-—iL= — X2 предел изменений масштаба
a2 b2 a2 b2
равняется 2(Х +i)a-b ^ ^то выводится из последних уравнений вышеупомянутой
±(а2 — Ь2)
записки, и это верно до tang8 —, где и угловое расстояние точек проектируемой
земли от той точки, которая принята за центр стереографической проекции.

- 156 —
величине указателя. Так определится наивыгоднейший способ черчения
карты данной земли, в которой параллели и меридианы остаются
кругами.
Из этого видно, что черчение географических карт принадлежит
к числу тех практических вопросов, которые для различных стран
решаются различно, что способ черчения, выгодный для Франции,
Германии или Англии, может быть невыгодным для России. Притом»
по обширности своей, Россия представляет особенные трудности в
изображении своем на карте, а потому выбор проекции, наиболее
соответствующей ее пространству, виду границ и положению
относительно экватора, имеет особенную важность. Не говоря уже о
картах, обнимающих собою все части России, карты различных частей
ее представляют весьма чувствительные изменения в масштабе. Так,
изображая на карте все, что принадлежит ей по эту сторону
Уральских гор, по способу Гаусса допускаются изменения в масштабе
более 1/20, а это, при измерении поверхностей, дает разность одной
квадратной мили на десять, погрешность весьма значительная.
Погрешность карты становится менее при стереографической горизонтальной
проекции с центром прилично выбранным, но и здесь разности в
масштабе достигают до 1/34, что, при измерении поверхности,
составляет разность одной квадратной мили на семнадцать- Эти
погрешности не так малы, чтобы можно было их оставить без внимания;
средство же для уменьшения их заключается в определении проекции,
более соответствующей форме и положению проектируемой земли.
Рассматривая на карте эту часть России, мы замечаем, что, в общем
очертании границ своих, она далеко не подходит к эллипсисам,
которых ось идет по меридиану, а в этом случае, как видели, нельзя
достигнуть наилучшего изображения на карте, оставляя меридианы и
параллели кругами или прямыми линиями.- Такое упрощение в
построении ее карты влечет значительное уменьшение в степени
правильности изображения. Чтобы достигнуть наиболее верного изображения,
необходимо определить, по вышесказанному, способ проекции через
интегрирование особенного уравнения. Так как это интегрирование
должно быть выполнено под условием, зависящим от вида границ, а
эти границы представляют весьма сложные кривые, то, разумеется,
точное интегрирование невозможно. Но практика и не требует этого.
Для нее достаточно в изменениях масштаба ограничиться
десятитысячными долями, а в этом случае все сводится на определение
нескольких коэффициентов, которые, с точностью, достаточною для практики,
легко могут быть вычислены по виду границ, как бы изогнуты они
ни были. Что касается до параллелей и меридианов, то по точкам
они начертятся без затруднения.
Переходя к простейшим способам черчения карт, где параллели
и меридианы представляют круги или прямые линии, мы. замечаем,
что владения России по эту сторону Уральских гор, вместе с
Кавказом и Грузиею, более распространяются от Севера к Югу, чем от

- 157 —
Востока к Западу, а потому этого пространства нельзя сравнивать
с кругом, и тем менее с эллипсисом, в котором ось по направлению
от Севера к Югу очень мала в сравнении с осью, направленною от
Востока к Западу. Следовательно, по вышесказанному, ни проекция
Гаусса, ни проекция стереографическая не соответствует здесь
проектируемой земле. Прилагая к настоящему случаю показанный нами
способ определения центра и указателя проекции, мы замечаем, что
центр наименьшего эллипсиса, который, имея ось по направлению
меридиана, обнимает собою все владения России до Уральских гор
включительно, вместе с Кавказом и Грузиею, приходится между
Ярославлем и Угличем, на долготе 57° и широте 57°36'; отношение же
осей его равно 17/10. Принимая в основание этот эллипсис, мы
находим, что наивыгоднейшей проекции соответствует указатель 1,0788*.
Эта величина от 1, указателя стереографической проекции,
разнится менее, чем на одну десятую. Но и эта разница имеет значительное
влияние на степень точности изображения. Мы видели, что
стереографическая проекция, при самом выгодном положении своего центра,
на пространстве рассматриваемой нами части России представляет
изменение в масштабе до 1/34. Принимая же найденную величину 1,0788
за указателя проекции и центр ее между Ярославлем и Угличем (на
долготе 57°, широте 57°42ГЗСГ), мы получили карту этой части России,
где изменения масштаба не превосходят 1/50, и это высшая степень
точности, до которой можно достигнуть, оставляя параллели и
меридианы кругами или прямыми линиями.
Подобно этому, М. [илостивые] г.[осудари], большая часть
вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших
величин, совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы
можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет
самого лучшего, самого выгодного.
* По формуле второго примечания [с#. сноску на стр. 154,— Ред.] при / = 57°36',
п — 1,7, указатель выходит 1,0675. Вычисляя же поправки, находим, что к этой величине
должно придать 0,0113; для широты же центра проекции выходит 57°36'+ 6'30"=57o42'3Q".
Долгота его остается равною 57°.

ПРАВИЛО ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ*
1) Взяв разности долгот и широт двух мест, должно выразить их в
минутах;
2) удвоить разность широт;
3) из двух цифр: разности долгот и удвоенной разности широт,
надо помножить меньшую на 3, а большую на 7 и сложить одно
произведение с другим;
4) итог, разделенный на 8, даст искомое расстояние в верстах.
* Опубликовано в Месяцеслове на 1869 год. Изд. Имп. Академии Наук, стр. 128,
и в Собрании сочинений П. Л. Чебышева под ред А. А. Маркова и Н. Я. Сонина,
том II, СПб. 1907, стр. 736.— Ред.

О РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ДВУХ СИЛ,
ПРИЛОЖЕННЫХ К ОДНОЙ ТОЧКЕ*
1. На основании одной теоремы об углах, заключенных между
плоскостями, проходящими через одну точку, легко придти к очень
замечательному соотношению между углами, которые образуют три
силы Rly R2, R3, приложенные к одной точке, и равнодействующие
этих сил, взятых по две, именно:
sin (Rv [RX,R2]) sin (Rt, [Rt.Rt]) sin (/?„ [R^RJ) _ .
sin (Rt, [Rlt R2]) sin (R9, [R2, Rz]) sin (Rlt [#3, R,]) ~ ' Уl)
где
[Ri> Rz]j [R2J Rel* [^?з> ^1]
означают равнодействующие сил Rx и /?2, R2 и Rz, R3 и Rl9 a
[\Rb [Rv ^?d)> (^?2> [Ri> ^?г])> (R& [^з> Ri])> • • •
углы между равнодействующими и силами, их составляющими.
Это уравнение служит основанием двух новых доказательств парал-
лелограма сил, данных в декабре 1875 г. г. Дарбу в Bulletin des
Sciences rnathematiques и мною в одном сообщении, сделанном в
Московском математическом обществе**.
Мы покажем теперь, как посредством этого уравнения можно найти
величину отношения
sin(fix,[/?i,*i1)
sin (ie2, [/?!, /?2])'
не делая никаких допущений относительно направления
равнодействующей и непрерывности.
2. Замечая, на основании уравнения (1), что отношение
sin(a„r*i»fltl)
sin {Rlf [RltRz])
не зависит от угла, образованного силами Rb /?3 ***, мы предположим
* На франц. яз. «Sur la resultante de deux forces appliquies a un seul point»
Bull, de la Soc. Mathem. de France, VI (1877—1878), стр. 188—193; Собрание
сочинений П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, Том II, СПб. 1907,
стр. 267—270.—Ад.
** 27 (15) дек. 1875 г.- Ред.
** См. вышеупомянутое доказательство Дарбу.

- 160 -
этот угол равным 120° и обозначим буквою <р угол между силою Rt
и равнодействующею [Rb R3] двух сил Rb /?3-
Таким образом мы получаем
sin (R2,[RltRs]) _ sin (120°-9) _ VT ttr* , i
sin (i?lf [RlfR3]) ~ sin ? ~ 2 LL& ? ^ 2 '
Но легко убедиться, что равнодействующая такой системы двух
сил не изменится, если угол, заключенный между ними, мы
уменьшим на 60°, а силу R± уменьшим на R3, ибо такое изменение нашей
системы, очевидно, можно выполнить посредством присоединения трех
сил, равных R3 и расположенных симметрично вокруг точки
приложения, именно: двух сил, направленных противоположно прежним
двум силам, и третьей силы, составляющей с прежними угол в 60°.
А для измененной таким образом системы двух сил будем иметь
согласно нашим обозначениям
sin (/?,,[/?!-Д3.Я»1) _ sin (60°-у) УТ . _ 1
sin (R1—R9,[R1—RB,R9])~ sin 9 2 ^ * 2'
что, по вычитании из предыдущего выражения, дает
sin (R?, [Rl9 /?а]) sin (/?„ fo - ff3, Л,]) ,
sin (Rlf [Rlf Л.]) sin (/?2 - #3, [#i - Д.. #з])
3. Заменяя в этом равенстве Rx величинами
*Ч)» *Ч)— R& Ro — 2/?з» • - • > Ао — (#&— 1) ^V3>
которые мы предполагаем не меньшими чем R3, мы находим ряд
уравнений, которые дают
sin (R3, [K0, R3]) sin(/?3,[flo — mR*,Rz]) =m
sin (Д0, [Д0, #3]) sin (tf0— /тг#3, [Ло— ™#з,R*]) '
что мы можем представить так:
sin (Rt,[R9§Rz]) __ R± A , R0-~mR3
sin (R0,[R0,R3]) ""^V+ /?• Л
f J?,sfa(/?,,[/?0-mg„fl,]) ,Л т
A \ (R0- mR3) sin (/?,- mR8, [R0- mR3> R3)) X)) > W
заменив число /га разностью
До ./?0 — mR3
Rz Rz
равною этому числу.
С помощью именно этой формулы мы выведем из уравнения (1)
величину отношения
sin (Rlt[RlfR2])
sin(R2>[RlfR2])'

— 161 -
4. Для этой цели предположим, что для какой-нибудь силы г
найдено такое количество L, которого не превосходит численная
величина разности
rsin (г, [г, г{\) __
JiSinfrJ/vrJ)
при всех величинах гг от гг = г до гг = 2г, если угол (г, г2) равен 60°.
В этом предположении, обозначая символами 6, в<°> количества,
заключенные между 0 и 1, мы будем иметь для всех величин гг = г + Ъг
такую формулу:
rsin(r,[r,r+brl)
(г + 6/) sin (г + вг, [г, г + 0г])
~-1=4-е<°>1.
А так как достоверно, что равнодействующая не изменяет
направления, когда мы заменяем силы их одинаковыми частями, то будем
иметь также
Я> sin (/?„[/?„/?, +о/?,])
(#з + в#з) Sin (#з + 6Я8, [Я„ Rz + в/?8])
для всех величин
— !=-+- e<0>L (3)
Л. «IT' (4)
где л — число целое.
5. Но взяв в уравнении (2) за т целую часть частного —^—-,
имеем
/?0 - т/?3 = /?8 + 6#з,
и для такой величины т уравнение (2) приводится к
sm(JRz,lR0,Rt]) _R0 Л , Rz + в#з f #зsin №*> Г#з>#> + 6/?J) 114^
sin(/?e,[^«a]) " #з V1 "*" /?в \ (#з+ е#3) sin (/?,+ 6#3, [/?,. Л,+ 6/?J) (/
а это последнее уравнение, в случае
нам дает
Полагая
и обозначая
sin (R3, [R0
sin (Д„ [Я,
в этой формуле
через
Яо
/?,=
" Л3
= #1:
(1±3
> ^?о==
з 4- 8/?з
я.
11 П. Л. Чебышев, т. V

— 162 -
соответствующие величины б и 6(0), мы получаем
Sin (/?»[/?!,/?»]) _ /^ Л , /?» + 6l#3 fl(0) Т \
sin (/?,, [Rl9 Rs]) ~~ Л, V — /?i > У*
sin (R3, [R2,Rz]) R^_(a i_ #з 4- ^2^з л(0) г Л
sin (tf2, [R2f Rz]) ~ RSV— R* 2 J #
6. Внося эти величины в уравнение (1), мы находим, что оно дает
1+ (1 + ЦД» fl(Q)/
sin (/?lf [# х, /?j) /г, 1 , (1 + е1)/г, 0(О)15
откуда, после подстановки величины R3 из (4), мы выводим такую
формулу:
i + (1 + 62) г а(0),
sin (flx, [/?х, /?J) = #а ~ /|/?а 2
sin (/?„ [Rv R2]) R1 i . (1 + 6X) г фь *
— л/гх 1
Так как в этой формуле число п можно взять сколь угодно
большим, а
единственные количества, зависящие от числа п и от сил /?ь /?3>
остаются заключенными между 0 и 1, то, увеличивая п беспредельно,
находим
sin (/?х, [/?!,/?,]) /?«
sin (/?2, [/?lf/?J) /?х '

ДОКЛАДЫ П. Л. ЧЕВЫШЕВА
ВО ФРАНЦУЗСКОЙ АССОЦИАЦИИ СОДЕЙСТВИЯ
ПРЕУСПЕВАНИЮ НАУК (ASSOCIATION FRAN^AISK
POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES)
В настоящем разделе мы публикуем список докладов, читанных П. Л. Чебышевым
во Французской ассоциации содействия преуспеванию наук. В тех случаях, когда доклад
был опубликован при жизни автора и, следовательно, помещен в предыдущих томах
настоящего Собрания сочинений, мы отсылаем читателя к соответствующему тому*..
В других случаях мы вынуждены ограничиться текстуальным воспроизведением
резюме, опубликованных в Отчетах (Comptes Rendus) Ассоциации. Наконец, относительно»
некоторых докладов мы не располагаем никакими сведениями и помещаем лишь их
заглавия (по данным тех же Comptes Rendus).
1.0 КВАДРАТУРАХ
(«SUR LES QUADRATURES»)
Доложено на II сессии Ассоциации 25 августа 1873 г.
См. том III настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 49—62»
В дополнение к сноске на стр. 49 тома III укажем, что французский текст статьи
был также полностью помещен в Comptes Rendus de la 2-me section de L'Ass. Franchise
pour PAvancement des sciences (1874), стр. 69—82.
2. О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИНАХ ИНТЕГРАЛОВ
(«SUR LES VALEURS LIMITES DES INTEGRALES»)
Доложено на II сессии Ассоциации 27 августа 1873 г.
См. том III Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 63—65.
3. О НОВОМ ЦЕНТРОБЕЖНОМ УРАВНИТЕЛЕ
(«SUR UN NOUVEAU REGULATEUR A FORCE CENTRIFUGE»)
Доложено на II сессии Ассоциации 28 августа 1873 г.
По всей вероятности, в докладе излагалось содержание статьи «О центробежном
уравнителе» (см. том IV Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр, 37—53»)
11*

— 164 -
4. СУММИРУЮЩАЯ МАШИНА С НЕПРЕРЫВНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
(«MACHINE ARITHMETIQUE ADDITIVE A MOUVEMENT CONTINU»)
Доложено на V сессии Ассоциации 19 августа 1876 г.
Содержание доклада неизвестно. Можно предполагать, что речь шла об одной
из первых моделей известного арифмометра П. Л. Чебышева.
5. ЛЕКАЛО ДЛЯ ЧЕРЧЕНИЯ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ
БОЛЬШОГО ДИАМЕТРА
f«RUGLE POUR TRACER DES ARCS CIRCULAIRES DE GRAND DIAMETRE»)
Доложено на V сессии Ассоциации 21 августа 1876 г.
Лекало состоит из некоторого числа прямолинейных звеньев, соединенных между
собой подвижно так, что все смежные звенья образуют одинаковый угол (с точностью
ало крайней мере до —- градуса]. Изменение угла между какой-нибудь парой
звеньев вызывает изгиб лекала в целом, так что последнее всегда изображает часть
•контура правильного многоугольника. Гибкая линейка, скрепленная с этим контуром,
еточти точно изображает дугу окружности.
Прибор позволяет чертить дуги окружностей диаметра от 1,33 м до сколь угодно
большого. Прибор снабжен верньером со шкалой, на которой читается кривизна
получающейся дуги. С помощью такого лекала дуги окружностей чертятся так же
легко, как прямолинейные отрезки с помощью обычной линейки. Лекало позволяет
проводить дуги окружностей по трем заданным точкам.
(Резюме доклада, напечатанное в С. R. de la 5-me session, (1877), стр. 81).
6. ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ФОРМУЛЫ КАТАЛАНА И ВЫТЕКАЮЩАЯ
ИЗ НЕГО АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
<«SUR LA GENERALISATION DE LA FORMULE DE M. CATALAN ET SUR UNE
FORMULE ARITHMETIQUE QUI EN RESULTE»)
Доложено на V сессии Ассоциации 22 августа 1876 г.
См. том I настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 277—279.
7. НОВЫЙ ТИП ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(«NOUVEAU GENRE DE PROBLEME DU CALCUL DES VARIATION»)
Доложено на V сессии Ассоциации 23 августа 1876 г.
Содержание доклада неизвестно.
S. НОВЫЙ МЕХАНИЗМ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
(«NOUVEAU MECANISME A MOUVEMENT PARALLELE»)
Доложено на V сессии Ассоциации 25 августа 1876 г.
Содержание доклада неизвестно.

— 165 —
9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(«INTEGRATION DES EQUATIONS DEFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE»)
Доложено на VII сессии Ассоциации 23 августа 1878 г.
Содержание доклада неизвестно.
10. ОБ ОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
(«SUR UNE TRANSFORMATION DES SERIES NUMERIQUES»)
Доложено на VII сессии Ассоциации 26 августа 1878 г.
См. т. I настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 280—282.
П. О КРОЙКЕ ОДЕЖДЫ
(«SUR LA COUPE DES VETEMENTS»)
Доложено на VII сессии Ассоциации 28 августа 1878 г.*
§ 1. Принимая участие в прениях на Конгрессе в Клермон-Фер-
ране в связи с очень интересным сообщением, сделанным Эдуаром
Люка о применении математического анализа к тканям**, я коснулся
другого вопроса о тканях, решение которого при помощи математики
может представить известный интерес, а именно, кройки материй при
изготовлении одежды или вообще оболочек каких бы то ни было тел.
За неимением времени мне не удалось даже вкратце изложить свои
мысли по этому вопросу, и я пользуюсь настоящим случаем, чтобы
выполнить эту задачу.
§ 2. В нашей одежде имеется одна лишь часть, форма которой
совершенно определяется телом,—это спина и бока, поэтому только
в отношении этих частей мы можем искать соотношения между
формой тела и формой покрывающих его кусков материи.
Чтобы обсудить этот вопрос с общей точки зрения, мы будемг
рассматривать не только части вышеназванной одежды, но и всякук>
плотно прилегающую оболочку, назначением которой является покрыть
предмет какой-либо формы.
* Ранее было опубликовано в журналах «Архив истории науки и техники», вып. 9,
(1936), и «Успехи математических наук», том I, вып. 2 (12), (1946). Комментарий на
стр. 184—185.— Ред.
** Имеется в виду V сессия Ассоциации, состоявшаяся в Клермон-Ферране
в 1876 г., на которой Э. Люка (Edouard Lucas) выступил с сообщением: «Lois geo-
metriques du tissage».— Ред.

— 166 —
1 3. Так как в этом случае дело касается изменения формы
поверхности, то понятно, что решение является не чем иным, как
применением принципов, данных Гауссом в его знаменитой работе,
озаглавленной «Общее исследование кривых поверхностей». Но, чтобы
получить из данных принципов решение нашего вопроса, необходимо
определить природу изменений, претерпеваемых элементами материи,
когда она становится оболочкой тела какой бы то ни было формы.
§ 4. Если подобная оболочка делается из материи с некрупными
клетками, то можно легко заметить, что прямоугольные клетки, из
которых состоит материя в своей первоначальной форме, изменяются
в параллелограммы, углы которых удаляются более или менее от 90°;
длина сторон не подвергается значительному изменению.
Следовательно, можно допустить, по крайней мере в качестве
первого приближения, что материя, изгибаясь для покрывания какого-
либо тела, не изменяет ничего кроме углов наклона нитей основы и
нитей утка, в то время как длина нитей остается та же.
§ 5. Из этого мы заключаем, что материя может оказать заметное
сопротивление силе растяжения, лишь в том случае, когда последняя
направлена по длине нитей основы или нитей утка.
§ 6. С другой стороны, для того чтобы эти нити, подверженные
силе растяжения, направленной по их длине, оставались в равновесии
на поверхности тела, они должны представлять собою линии
наикратчайших расстояний.
Это условие, кроме исключительных случаев, может быть строго
выполнено в каждой части оболочки лишь одной нитью основы и
одной нитью утка. Положение этих нитей, как мы увидим,
определяет вполне положение всех других. Для того чтобы элементы
материи изменялись как можно меньше по соседству с этими нитями,
обыкновенно за направление нитей берут направление двух линий
кратчайшего расстояния, пересекающихся под прямым углом.
§ 7. Возьмем эти линии за первоначальные оси координат, считая
координатами длину нитей основы или нитей утка, которые мы
обозначим буквами х и у.
Эти координаты будут прямолинейны и прямоугольны, когда кусок
материи имеет свою первоначальную плоскую форму. Они будут
криволинейными в случае, когда материя облегает тело, и тогда они
определяют точки поверхности, покрытой различными частями
материи; таким образом, в обоих случаях координаты одинаковых
составных частей будут иметь одинаковое значение.
§ 8. Чтобы найти расстояние между двумя соседними точками
материи, координаты которых суть х, у; x + dx, y + dy, мы получаем
в первой системе координат, когда материя имеет свою плоскую
первоначальную форму:
ds2 = dx2 + dy2.

167 -
Переходя к случаю, когда материя изогнута, мы замечаем, что
тогда, соответственно вышесказанному, прямоугольник, определяемый
четырьмя точками
х, У\ х + dx% у\ х,у + dy\ х + dx, у -1- dy
на материи в ее первоначальной форме, переходит в параллелограмм,
и расстояние между точками
х, У\ х + dx, у + dy
определяется равенством
ds2 = dx% + dy2 + 2 cosydxdy, (1)
где <р обозначает угол, образованный нитями основы и нитями утка
в точке (х, у).
Расстояние между двумя элементами материи изменяется, когда
материя будет облегать тело, и это изменение будет больше или
dy
меньше в зависимости от величины cos 9 и отношения j-.
Применяя к этому выражению ds2 общую формулу, данную
Гауссом для определения кривизны поверхностей, мы получим
ts . о d2C0SO дф дт /ЛЧ
где через К мы обозначаем кривизну поверхности в точке (х, у).
§ 9. Чтобы перейти от системы координат, которые нам дают нити
материи на поверхности облегаемого ею тела, к координатам,
наиболее подходящим для исследования поверхности, мы должны
определить кратчайшие расстояния различных точек от первоначальных
нитей, взятых нами за оси координат х, у.
Этого легко достигнуть, воспользовавшись уравнением кривой
наименьшего расстояния, даваемой следующей формулой
вариационного исчисления:
д \ ds = О,
которая на основании (1) будет:
д \ Vdx* + dy2 + 2co$ydxdy = 0.
Отсюда следует
-tS+4S,O+«»*©-,-f,(»"+^)(0-y-e- (3>
§ 10. Заметив, что ось х, уравнение которой есть

- 168 —
представляет, как мы сказали, одну из кривых кратчайшего
расстояния, мы находим, применяя предыдущее уравнение,
д cos 9
дх
= 0,
т. е. что угол ф не изменяется вдоль оси х. Так как этот угол
прямой в точке пересечения осей х, у, можно придти к заключению, что
<р == 90° во всех точках оси х.
То же самое находим относительно оси у. Из этого заключаем,
что cos ф будет обращаться в нуль каждый раз, когда х = 0 или у — 0;
следовательно, cos 9 может быть разложен в следующий ряд:
COS9 = ху (А0 + Ахх + А2у + .. .).
Внося величину cos 9 в уравнение (2) и предположив, что
кривизна К разлагается в ряд
находим
а отсюда
KB + Kxx + Kiy + ..
AQ = /Со, Ах = -у, л2 =
• >
Кг
2
cos9 = ху(/(0+&х + ^У + " •} (4)
§ И. С помощью разложения в ряд cos 9 нетрудно получить из
уравнения (3) общее выражение у для всех точек, расположенных
на линиях, представляющих самые короткие расстояния от различных
точек поверхности до оси Оу.
Обозначив через U величину у в точке пересечения этих кривых
с осью Оу и заметив, что эти кривые должны пересекать ось Оу под
прямым углом, получим для х = 0, у = U: ~ = 0.
В этом случае разложение у в ряд должно принять следующую
форму:
y=U+B2x* + B3xB + ... .
Подставив эту величину у в уравнение .(3) и заменив cos 9 его
значением (4), находим, приравняв нулю члены уравнения с х°, х, х2,...,
значения для В» В3,...:
о ~ Ко г г К2 г™ d _ K\U
Отсюда получим
y = U-(^U + -^-U*)x*- Ц?-Хъ + ... . л (5)

— 169 —
§ 12. Принимая во внимание уравнение (5), получаем
X
s=[ VУ2+ 1 +2/ cosydx,
и
~i(WiU% + TKiKtV*)#+--- • (6)
Это уравнение даст нам общее выражение кратчайшего расстояния
от оси Оу; здесь координата х имеет любое значение, а координата^
имеет величину, определяемую формулой (5).
Что касается значения U, то оно определяет на оси Оу точку,
ближайшую к точке х, у. Эта величина вместе с величиной 5 дает
нам удобную систему координат. Этой системой координат мы и будем
пользоваться в дальнейшем.
§ 13. Обращая ряд (6), получаем
+ iQc.Ki и*+\кгКъи^+.„$ (7)
что дает после подстановки в уравнение (5)
v=U-(±W + \K%ufy*--^s* + .... (8)
Таким образом, получаем формулы для величин х, у в функциях
от U и 5.
На основании этих формул можно найти кривые, по которым
надо выкраивать различные куски материи, чтобы сделать оболочку
какого-нибудь тела (предположив, конечно, что части поверхности,
которые должны быть покрыты различными кусками, а также и
положение основных нитей известны).
Они могут быть получены при помощи уравнений (7) и (8),
определяющих прямоугольные координаты х, у точек кусков материи в их
первоначальной плоской форме для различных величин U и 5, данных
на границе соответствующих частей поверхности тела.
§ 14. Чтобы показать на примере употребление этих формул, мы
определили по ним форму, которую надо придать кускам материи, чтобы
сделать оболочку, плотно прилегающую к шару и состоящую из двух
частей, из которых каждая покроет полностью одно полушарие.
Такой формой будет четырехсторонняя фигура, состоящая из
кривых, углы которых округлены. Первоначальное положение нитей
совпадает с диагоналями фигуры.

— 170 -
Вид ограничивающих фигуру кривых приближается к гиперболе.
Чтобы проверить этот результат исчисления, я сделал чехол для
шара, разрезал куски сообразно вышесказанному.
Два куска указанной формы, будучи скроены и сшиты, сообразно
с тем, что мы описали, дали результат, не оставляющий желать лучшего,
как вы сами можете судить. Это доказывает, насколько вышеизложенные
соображения согласуются с практикой.
12. О ПРОСТЕЙШИХ ПАРАЛЛЕЛОГРАММАХ, СИММЕТРИЧНЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
(«SUE LES PARALLELOGRAMMES LES PLUS SIMPLES, SYMETRIQUES
AUrOUR DUN AXE»)
Доложено на VII сессии Ассоциации 29 августа 1878 г.
См. том IV настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 85—91.
13. О СПРЯМЛЕНИИ КРИВЫХ
(«SUE LA RECTIFICATION DES COURSES»)
Доложено на XI сессии Ассоциации 25 августа 1882 г. *
В этом сообщении г. Чебышев показывает, как можно использовать для вычисления
длины дуги кривой точки, ординаты которых применяются при отыскании площади по
методу квадратур, сообщенному им на конгрессе в Лионе ** и недавно обогащенному весьма
интересными исследованиями г-на Радо.
В простейшем случае получается, что длина дуги 'приближенно равна сумме длин
боковых сторон равнобедренного треугольника, имеющего основанием хорду,
стягивающую концы дуги, и высотой «стрелку» дуги, умноженную на 1/ ~ *** .
(Резюме доклада, напечатанное в С. R. de la 11-me session (1883), стр. 63—64)
14. О НОВОЙ СЧЕТНОЙ МАШИНЕ
(«SUR ШЕ NOUVELLE MACHINE ARITHMETIQUE»)
Доложено на XI сессии Ассоциации 26 августа 1882 г.
Содержание доклада, по всей вероятности, изложено в заметке «Счетная машина
с непрерывным движением» (см. том IV Полного собрания сочинений П. Л. Чебыше-
ва, стр. 158—160).
* На XI сессии Ассоциации П. Л. Чебышев был почетным председателем (president
d'honneur) секции математических наук (см. С. R. de la 11-me session, (1883), стр. 63),
** Имеется в виду состоявшаяся в 1873 г. в Лионе II сессия Ассоциации.— /^.
*** См. комментарий на стр. 185.— Ред.

— 171 -
15. О ВЫБОРЕ РАДИУСА ОКРУЖНОСТИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ,
ВЫРАЖАЮЩИХ ВЕРОЯТНОСТИ НО ИХ ПРОИЗВОДЯЩИМ
ФУНКЦИЯМ
(«SUR LE CHOIX DU RAYON DANS LES INTf GRALES DEFINIES PRISES LE
LONG D'UN CERCLE PAR LESQUELLES ON EXPREME LES PROBABELITES
D'APRES LEURS FONCTIONS GENERATRICES»)
Доложено на XI сессии" Ассоциации 28 августа 1882 г.
В этом сообщении [г. Чебышев показывает, как следует выбирать радиус для
интегралов, выражающих вероятности по их производящим функциям, чтобы упростить
отыскание их предельных значений в случае бесконечного числа испытаний,
(Резюме доклада, напечатанное в С. R. de la U-me session (1883), стр. 108).
16. О ФУНКЦИЯХ, НЕКОТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ КОТОРЫХ
НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЕТСЯ ОТ НУЛЯ
(«SUR LES FONCTIONS DONT LA DERIVEE DUN CERTAIN ORDRE S'ECARTE
LE MOINS POSSIBLE DE ZERO»)
Доложено на XI сессии Ассоциации 30 августа 1882 г.
В этом сообщении г. Чебышев показывает, какую роль играют функции, некоторая
производная которых наименее уклоняется от нуля, в задачах интерполирования
и выравнивания. Далее он показывает, как отыскиваются такие функции в одном
частном случае, и указывает одну вытекающую отсюда теорему анализа.
(Резюме доклада, напечатанное в С. R. de la U-me session, (1883), стр. 150).

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ г. ЛИУВИЛЛЯ*
[Отрывок из неоконченной заметка)
... Я докажу, что уравнение
оо
\ хп <?х dx = О,
о
где п — целое положительное число или нуль,—удовлетворяется, если
положить
4 4 _
yx^e-^sinVx.
В самом деле, интеграл \ хп е~ ^ smy^x dx превращается в
о
оо
4 С ^ (я+1)-1 e-z sin zdz,
о
если в первом из них заменить х на г4. Но известно, что значение
оо
интеграла \ z4 (rt+1) -1£-* sin z dz есть
о
sin 4 (n + 1) -T-
4(n+l)
f
^4(Л+1)-^-,^
о 2 *>
2 0
Следовательно,
4 sin 4 (л + 1)-^-
0
или
С ' — — 4 Sin 4 (Л +• 1) "7- л
I х* е- ^ * sin V * dx = 4T^+i)— \ ^(я+1) ~l£?~* ^
С X" в~ У х SinVxdx = — -2201 С *«»+« -^-* <fe.
о о
Это выражение для интеграла \ л;я£- ^ sin Y x dx показывает нам,
о
его значение равно нулю, когда п есть целое положительное число
или нуль. Ч[то и] т[ребовалось] д[оказать].
что
* Публикуется впервые. Комментарий см. на стр. 185—186. — Ред.

КОММЕНТАРИИ
«ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ»
Работа «Вычисление корней уравнений» написана Чебышевым в 1838 г. при
переводе с первого на второй курс университета.
Решение алгебраического уравнения
i (х)==а^ + а^-1 +.• •+ вя-1 х + ап = 0 (1)
Чебышев, согласно Остроградскому*, трактует как «последнее действие алгебры», исходя из
схемы: сложение — вычитание; умножение — деление; возведение в степень — извлечение
корня; вычисление значений полинома Р (х) — отыскание х из уравнения Р (х) = А
<или из уравнения Р(х) — А = 0 вида (1))**.
«Последнее действие алгебры» Чебышев, также следуя в этом Остроградскому,
понимает весьма широко: оно охватывает как способы отделения корней, так и
всевозможные аналитические методы приближенного отыскания корней (метод Ньютона,
метод хорд и т. п.). Отделение корней в этой работе не рассматривается. Полином
/ (х) исследуется в окрестности простого корня х.
В разделе I своей работы Чебышев формулирует цель исследования — дать общий
метод отыскания корней уравнения (1), содержащий в качестве частных случаев
приемы 4как известные, так и возможные».
Автор осуществляет это в разделе II. Его идея базируется на обращении
степенного ряда. Именно, если ряд
со
сходится в некоторой области \Х\<г, г>0, то при условии сгф0, в некоторой
области J Y\<CR, #>0, имеет место разложение
оо
* «Лекции алгебрического и трансцендентного анализа», читанные в Морском
кадетском корпусе в 1836 г. академиком Остроградским. Составлены кораб. инж.
С. Бурачком и лейтенантом С. Зеленым. Мы называем их кратко «Лекции» и цитируем
по второму изданию (Изд. Акад. Наук СССР, М.-Л. 1940).
** Остроградский в своих «Лекциях» (ч. 1; IV) пользуется даже специальным
символом у: х — у (я* ai> • • • * ап) обозначает корень уравнения (1) как функцию
коэффициентов я* полинома f(x). Позднее, по свидетельству Сомова, Остроградский
отказался от этого обозначения.

- 174 —
1 с2
причем коэффициенты rfv легко выражаются через cv: dx = —-, d2 — — -3 , dz =
^1
-—-5—> <ь= 2 ит-д-
c1 ct
Заменяя здесь переменные по формулам
мы обращаем разложение
с»
v=0
где
следующим образом:
Вместо того чтобы в формуле (2) полагать у = 0 и решать полученное уравнение
относительно х, можно положить у = 0 в формуле (3): тогда решение упомянутого
уравнения представляется явно в виде ряда
со
*-«+2(-wv. (4>
что как раз и приводится к ряду Чебышева:
/(a) / /(а) у/' (а) / / (а) V ( /»* («) Г И
"/О
х)_ //WV/LfcO //М^УГМ Г («) Л
а) ~ \f (а) у/ 2/ (а) ~~ \j' (а) J W2 (ос) ~ 6/' (а) )'
:IV ,
/ Л!V /5ГМа) 5Г(а)Г(а) /iV («) \
~" V/ (*) J W3 (а) ~ 12 /2 (а) + 24/ (a) J +'' * • W
Разложение (3) — сходящееся, если \у — р|<Л, и при этом условии имеет сумму
х, удовлетворяющую неравенству |х — ее |<г. Возьмем произвольное число а,
достаточно мало отличающееся от искомого корня х уравнения /(л:)=0, именно так,
чтобы было | р | = |/(а) | </?; следует заметить, что R зависит, конечно, от выбора
ос, но ^стремится к]положительному пределу, когда ос приближается к х, если только
х — простой корень данного уравнения. В таком случае разложение (4) или (5) сходится
к искомому корню уравнения. Так, процедура нахождения корня, указанная Чебышевым,
наверное сходится в некоторой окрестности каждого простого корня уравнения к этому
самому корню.^Неравенство |/(а) <# определяет область сходимости с точностью до
точек контура; так как радиус сходимости R ряда (3) может быть легко найден как
расстояние точки р = / (а) до ближайшей особенности (точки ветвления) многозначной,
вообще говоря, обратной функции F(y) (а такими особенностями, если функция
f(x) — целая, могут быть лишь значения f (х) в нулях ее производной), то в
конкретных примерах определение области сходимости ряда (5) не представляет
затруднений.
Останавливая разложение (5) на некотором члене, Чебышев оценивает полученное
приближение посредством остаточного члена ряда Тейлора в форме Лагранжа. Этот
безукоризненный ход мысли позволяет избегнуть рассмотрения вопроса о сходимости,
которое в те времена едва ли можно было предпринять. Достаточно заметить, что
самая возможность разложения аналитической функции в степенной ряд,
установленная Коши в 1831 г., нашла свое отражение во французских журналах лишь несколько

- 175 —
лет спустя и едва ли могла быть известна Чебышеву в его студенческие годы. О том,
что внимание его было направлено в эту сторону и что он искал решения вопроса на
высоком уровне строгости, свидетельствует позднейшая «Заметка о сходимости ряда
Тейлора» (см. т. II этого издания, стр. 8), содержащая ссылку на Exerclces d'analyse
Коши,
В разделе III из своей формулы Чебышев в качестве первого приближения
получает результат по «методу касательных» Ньютона
но с оценкой погрешности, значительно лучшей чем у Фурье:
1*Ча~Я1)1<таФ,(а)Я
(опущенный аргумент здесь принадлежит промежутку от х до а).
В разделе IV Чебышев дает, с помощью формулы (5), выражение погрешности
/, которая получается, если заменить корень х, представленный непрерывной дробью
ЬАг
■* + тд.!
с +
некоторым отрезком этой дроби. Выражение это уточняет полученное Лагранжем
выражение * для t и позволяет получить оценку погрешности последнего. Это уточне.
ние Чебышев показывает на одном из примеров, приведенных в «Лекциях» Остро-
градского.
В разделе V формула (5) применяется для получения «способа второго порядка»;
в (2) f(x) заменяется полиномом второй степени /х (х), удовлетворяющим условиям
Д (а) =/(а), /2(а) =_f (a), /J" (a) =/" (а); в качестве приближенного значения для
х принимается корень полинома Д:
/м
/»
1 f/(«)V/4«) 1 f/(«)УЗГ*(а>
2\f(a)Jf(a) GKf(«)J /" («)
= а + угщ . (б)
В выражении же погрешности
1 sf(a) у/» , 1 //WVBfWrW .
*\f(«))f(*) + 2A\J(*)J /«(a) + "'
/(a)
удерживается лишь первый член третьей степени относительно утт^с. При этом
дополнительно предполагается, что производные f, fvi /"не обращаются в нуль в некотором
промежутке от а до а', содержащем корень х.
В «Лекциях» Остроградского (ч. 1; XIII) содержится утверждение, заключающееся
в том, что если брать приближения к х по формуле (6), исходя из начальных
(«нулевых») приближений а и а' по недостатку и .по избытку, то новые, улучшенные
значения ах и aj («первые» приближения) могут оказаться лежащими по одну сторону
от jc**. Несложное исследование, проведенное Чебышевым, показывает, что при
* Остроградский, «Лекции» (ч. 1; X).
** Это ошибочное заключение, как указывает и Чебышев, принадлежит, по всей
вероятности, не Остроградскому, а редакторам его «Лекций» С. Бурачку и С.
Зеленому. Это тем более вероятно, что, по их словам (см. сноску на стр. 190 «Лекций»),
исследование формулы (2) в лекции XIII Острсградский предоставил слушателям. То же
замечание относится и к оценке (3) на стр. 192 «Лекций»,

- 176 —
достаточно близких а и а' это невозможно. Тут же Чебышев показывает
несостоятельность оценки для | аг — a J |, выведенной в «Лекциях» (ч. 1, лекция XIII, стр. 192).
В разделе VI Чебышев, удерживая в формуле (5) три первых члена, получает
приближенное выражение
х->« М1—/(а) ffMVf'M
(f{*)\%
\f(*)J
f (a) \f(a)J 2f(a)
с оценкой погрешности
I / f2 f" \ I
\x — ax |< max J/s (a) (^g^g bf*)\
и показывает на примере, оперируя с 50-значными десятичными дробями, быстроту
последовательных приближений к л: по этому способу.
Д. Васильков, В. Гончаров
«ОПЫТ ЭЛЕМЕНТАРНОГО АНАЛИЗА
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
«Опыт элементарного анализа теории вероятностей», магистерская диссертация
П. Л. Чебышева, вышла в свет отдельным изданием в 1845 г. В этой работе автор
суммирует результаты теории вероятностей, доступные элементарным алгебраическим
методам без применения «трансцендентных» методов Лапласа; последние, в результате
ряда случаев необоснованного их применения, были отчасти скомпрометированы в
глазах Чебышева и его современников. От создания же своих новых методов, открывших
новую эпоху в теории вероятностей, Чебышев в те годы был далек; его классические
мемуары «О средних величинах» (том II, стр. 431—437) и «О двух теоремах
относительно вероятностей» (том III, стр. 229—239) вышли в свет первый 22 года, второй
42 года спустя*.
Работа содержит простейшие теоремы теории вероятностей (в рамках
классического определения вероятности), закон больших чисел для случая ограниченного числа
различных вероятностей и предельную теорему для биномиального распределения.
со
1 С
Нормальный закон задается функцией Г(г)=-р=- \ e~z* dz, которая определяется
Z
(приближенно) посредством соответствующих интегральных сумм. В приведенной
Чебышевым таблице функции Т(г) последний знак не вполне надежен. В применениях
предельных соотношений на первый план выдвинуты тщательно проведенные
оценки погрешностей.
Есть основания предполагать, что диссертация в том виде, в каком она
защищалась Чебышевым в 1846 г. **, содержала еще доказательство теоремы Пуассона,
опубликованное в том же году отдельной заметкой («Элементарное доказательство одного
общего предложения теории вероятностей», том II, стр. 14—22, комментарий на
стр. 473-474).
Д. Васильков
* О роли Чебышева в развитии теории вероятностей см. статью С. Н. Бернштейна
в сборнике «Научное наследие П. Л. Чебышева», вып. 1, Изд. Академии Наук СССР,
М.—Л. 1945.
** См. помещенную ниже статью «П. Л. Чебышев в Московском университете».

— 177 -
«OB ИНТЕГРИРОВАНИИ ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМОВ»,
«ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО К ЗАЩИТЕ ДИССЕРТАЦИИ
„ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМОВ" (ОТРЫВОК)»
Работа П. Л. Чебышева «Об интегрировании помощью логарифмов» была
представлена им в апреле 1847 г. как диссертация («рассуждение») pro venia legendi, т. е.
на право преподавания, С.-Петербургскому университету. Эта работа, вступительное
слово и тезисы, поставленные автором при ее защите, представляют в двух
отношениях очень большой интерес в изучении научного творчества нашего великого
математика. С одной стороны, эта работа является своего рода программною работою,
открывающею большой цикл работ по интегрированию алгебраических функций, по
вопросу, который интересовал Чебышева в течение весьма долгого периода;
последний мемуар, посвященный этой области, был напечатан Чебышевым в 1867 г.* С
другой стороны, эта работа живо характеризует научные влияния, под которыми
развивалась научная деятельность молодого Чебышева (в момент написания этой работы Чебы-
шеву было 26 лет), и генезис его дальнейших научных работ.
Как указывает сам Чебышев в предисловии к работе и во вступительном слове
при ее защите, эта работа представляет собою развитие идей и методов, которые были
указаны Абелем и Лиувиллем; кроме того, во вступительном слове Чебышев
указывает на влияние работ Острсградского, в частности, знаменитой работы Остроградского,
в которой дан метод отделения алгебраической части в интегралах от рациональной
функции **, а в одном из тезисов, который выходит за пределы содержания диссертации, дело
идет о результате, указанном Якоби. Эти влияния сказываются в методах, применяемых
автором; они нссят чисто вычислительный алгоритмический характер, который
характерен для работы и Абеля, и Лиувилля, и Якоби.
В этом отношении чрезвычайно характерно изложение в знаменитом сочинении
Якоби «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum», коренным образом
отличнее от того, которое применяется в настоящее время и начало которому положено
в работах Лиувилля, относящихся к 40-м годам. Возможно, что во время написания
своей диссертации Чебышев не был знаком с поздними работами Лиувилля, но
характерно то, что и позднее, когда Чебышев несомненно был хорошо знаком с работами
Лиувилля, по характеру приближающимися к современным методам теории функций,
сн систематически пользуется чисто алгоритмическими методами в духе Эйлера,
Лежандра, Абеля.
В предисловии к своей диссертации Чебышев так характеризует результаты
своей работы:
1) открытие обширного класса интегралов, не выразимых с помощью логарифмов;
2) весьма простой способ находить алгебраические члены;
3) спссоб определять число членов, заключающих логарифмы, и находить
уравнения, определяющие каждый^ из этих членов;
4) решение этих уравнений.
Диссертация Чебышева не была напечатана при его жизни и не вошла в собрание
его сочинений, изданное в 1899—1907 гг. Академией Наук под редакцией академиков
А. А. Маркова и Н. Я. Сонина. Причина этого совершенно понятна. Несомненно, что
после окончания работы над диссертацией Чебышев продолжал работать над вопросом
об интегрировании в элементарных функциях алгебраических функций и получил
результаты гораздо более полные и далеко перекрывающие результаты диссертации
* См., например, В. В. Голубев. Работы П. Л. Чебышева по интегрированию
алгебраических функций. Сборник «Научное наследие П. Л. Чебышева», вып. 1, 1945;
см. также Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева, том II, 1947, комментарий,
стр. 485.
** В настоящее время этот метод часто называется, исторически совершенно
неправильно, методом Эрмита.
12 П. Л. Чебышев, т. V

— 178 —
1847 г.; эти результаты вошли в его фундаментальный мемуар «Об интегрирования
иррациональных дифференциалов», напечатанный в 1853 г.*
При сравнении этих двух работ совершенно ясным становится развитие творческой
мощи Чебышева. Так, в диссертации значительная ее часть (§ 3—11) посвящена
отделению алгебраической части интеграла; при этом во вступительном слове автор
особенно подчеркивает принцип, положенный им в основу этой части исследования; этот
принцип сформулирован автором в следующей несколько неясной форме: «логарифм
алгебраической функции, обращаясь в оо при х — а, в разложении по восходящим
степеням х не имеет членов с отрицательною степенью». Как видно из текста работы,,
смысл тезиса состоит в том, что в области нулей или полюсов функции
Pi + Яг V$W)
*>2 -г q2 V$ (■*)
где plt р2, Я\> Яг> б —многочлены от х, этот логарифм может быть представлен
в виде
g log (x - а) + gl (x - af* + g2 (x-af* + ... ,
где ult a2,... — положительные числа. Между тем в мемуаре 1853 г. эта задача для
несколько более сложного случая вообще не рассматривается, так как, повидимому,
автор считает решение ее очевидным **.
Во вступительном слове отмечается возможность найти обширный класс
интегралов, не выражающихся в элементарных функциях; этому вопросу посвящен § 7
диссертации. В мемуаре 1853 г. такие примеры в весьма разнообразных случаях можно
получить при помощи замечательной теоремы Чебышева о дифференциальном биноме.
Некоторые части исследований диссертации вошли без изменений в мемуар-
1853 г. Так, теорема I мемуара 1853 г. *** представляет собою повторение общего
заключения о числе логарифмических членов во вступительном слове к диссертации.
Наконец, применение непрерывных дробей к нахождению логарифмических членов,
составляющее содержание § 27 диссертации, полностью повторяется вплоть до
обозначений (например, функции Т) в более позднем мемуаре П. Л. Чебышева «Об
интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из многочлена третьей
или четвертой степени» ****.
Таким образом диссертация 1847 г. явилась началом и определила круг научных
интересов Чебышева в этой области анализа на продолжительный период; все его
позднейшие работы в этой области представляют собою развитие идей диссертации-
В этом ее интерес. Но этим же объясняется и то обстоятельство, что Чебышев не
нашел нужным ее напечатать. Позднейшие полученные им в этой области результаты
далеко перекрывали результаты диссертации, а некоторые ее части казались Чебышеву,
в более позднее время, не заслуживающими интереса по своей элементарности.
Но в связи с защитою этой диссертации есть один загадочный пункт. В качестве
последнего, девятого тезиса диссертации поставлено утверждение:
«Отношение интегралов, которыми Якоби определяет указателей обратных абеле-
вых функций и подобных им, может иметь иррациональную и действительную величину».
Это положение не стоит ни в какой связи с содержанием диссертации, но по
обычаям того времени в тезисы можно было включать и положения, не связанные
непосредственно с содержанием диссертации, но которые диссертант готов отстаивать.
Во вступительном слове диссертант обращает особое внимание на этот тезис,
повергая его обсуждение на суд факультета.
* См. т. II настоящего Полного собрания сочинений, стр. 52—70; там же см. и:
другие работы П. Л. Чебышева, посвященные этой теме.
** См. том II настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 52-
*** Там же, стр. 65.
**** Там же, стр. 71—98.

- 179 -
К сожалению, не сохранилось, повидимому, никаких указаний на какую-либо
дискуссию Что этому вопросу во время защиты. Точно так же ни в диссертации, ни
в последующих работах Чебышева нет не только никаких указаний, связанных с этим
тезисом, но и никаких указаний на работу Чебышева над исследованиями Якоби.
Можно предполагать, что в этом тезисе, несмотря на необычную терминологию
(«указатели обратных абелевых функций») дело идет об отношении периодов
эллиптических функций. Как известно, Якоби принадлежит теорема, что для эллиптической
функции, отличной от постоянного, отношение периодов должно быть числом
комплексным. В случае же, если это отношение периодов есть действительное и
иррациональное число, доказывается при помощи аппроксимации этого числа
рациональными числами (например, подходящими дробями в разложении числа в
непрерывную дробь), что функция имеет периоды с модулем, сколь угодно малым; из
этого сейчас же следует, что аналитической функции, отличной от постоянного,
с таким отношением периодов не существует. Таким образом, тезис, выдвигаемый
Чебышевым, ошибочен. Вероятно, ошибочность его стала быстро ясна и самому Чебы-
шеву; в дальнейших работах Чебышева нет никаких указаний ни на это положение,
ни на работы Якоби по теории эллиптических и абелевых интегралов, ни на работы
других авторов (Гепель, Розенхайн, Эрмит), которые занимались этими вопросами;
вместе с тем остаются совершенно неясными и основания тех сомнений, которые
были у Чебышева в отношении правильности теоремы Якоби.
В. Голубее
«О ПОСТРОЕНИИ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ»
Предположим, что требуется составить карту области D на некоторой
поверхности S с соблюдением принципа конформности. Пусть на поверхности введены
изометрические ортогональные координаты х, у и элемент дуги дается формулой
ds* = Л2 (dx* + dy*), Л = Л (х, у) > 0.
Если станем рассматривать х, у как прямоугольные координаты на плсскости карты,
то, вводя обозначение
dv2 = dx% -f dy2,
получим, что выражение
_ 1 = dG
~ Л ~~ ds
представляет собою масштаб проекции.
Произвольная конформная проекция поверхности 5 на плоскость карты получается
из рассматриваемой проекции посредством введения функции комплексного переменного
w = ф (z),
где
z = х + iy, w = и + iv,
и масштаб отображения плоскости t на плоскость w дается соотношением
причем положено
da = \dz\, dL = \dw\.
Отсюда ясно, что масштаб проиавольной проекции поверхности S на плоскость т
равен
_ fi^_<£S_ da _
v ~~ ds ~~ da ds ~~ ^'

— 180 -
его логарифм имеет вид
log v = log X + log {x = — log Л + log | 9' (2) |.
Чебышев ставит задачей посредством надлежащего подбора функции ф (z) мини-
мализировать вариацию (т. е. разность между максимумом и минимумом) этой
величины в пределах карты. Поскольку постоянное слагаемое здесь роли не играет, а
выражение U (х, у) = log | 9' (2) | есть гармоническая функция, речь идет о том, чтобы
минимализировать максимум отклонения
\U(x,y)-\ogA\
посредством подбора гармонической функции U (х, у).
Поставим задачу несколько шире: требуется минимализировать максимум
отклонения в некоторой односвязной области D гармонической функции U (х, у) от данной
непрерывной функции f(x,y).
Установим достаточное условие того, что гармоническая функция U0 (x, у)
доставляет искомый минимум. Пусть
max\U0{x,y)-f(x,y)\ = L0>0.
D
Обозначим через Е+ и Е~ множества точек области D, в которых соответственно
выполняются равенства
^ о (■*» y)—f(x,y) = + t<o и ^о (•*> y)—f (х. У) = — Lo-
Тогда если множество Е+ (или Е") содержит замкнутую кривую Г, внутри
которой имеется хоть одна точка Р множества Е~ (соотв. множества Е+), то
можно утверждать, что функция UQ (x, у) доставляет искомый минимум. Кроме
того, в указанном случае гармоническая функция U0 (x, у), доставляющая минимум,
единственная.
Пусть, напротив, имеется такая гармоническая функция U1(x, у), что
max I U1 (х, y)—f (х, у)\ = Ьг^Ь0.
D
Рассмотрим гармоническую функцию
U(x,y) = U0(x,y)-U1(x.y).
Во всех точках кривой Г разность U0 — / равна L0, а разность Ux — / по
абсолютному значению не превышает Lx\ значит, на кривой Г мы имеем
С другой стороны, в точке Р разность U0 — f равна —10> а разность U1 — f no
абсолютному значению не превышает Lx; значит, в точке Р
Отсюда, по свойствам гармонических функций, следует £/=0, т. е. U-l — Uq, и
наше утверждение доказано.
Возможно (но отнюдь не обязательно), что роль кривой Г играет контур С
области D. Такой случай наверное имеет место, если данная функция
f—субгармоническая (или супергармоническая) в области D.
Как известно, если функция /—субгармоническая в области/), то в этой области
имеет место неравенство
f<U,
где (/—гармоническая функция, на контуре С совпадающая с функцией /. Пусть
Я —одна из точек области D, где разность f—U достигает минимума — т<0.
Рассмотрим гармоническую функцию

- 181 —
Отклонение U0 — /= (U— f) — -- имеет значение —- ~ на контуре Си вместе с тем
имеет значение + -у в точке Р, но нигде в области D не выходит за эти пределы.
В таком случае кривая С принадлежит множеству Е~, а точка Р внутри ее—
множеству Е+, и по доказанной выше теореме функция U0 доставляет искомый минимум.
Указанное построение, вообще говоря,невыполнимо в случае,если данная функция/
не является субгармонической (или супергармонической). Действительно, в этом
случае область D может разбиться на зоны (1), в которых £/>/, и зоны (2), где £/</
в зонах (1) разность U — / имеет положительный максимум, в зонах (2) —
отрицательный минимум, и точки, в которых достигаются эти максимум и минимум, не
принадлежат границе С. В качестве примера приведем функцию
/ = х2 у -j- 3jty,
принимая в качестве области D круг х2 + .у2<1. Функция U, на контуре совпадающая
с /, равна
U~f+\y(i-x2-y2),
и разность
£/-/=1^,(1.
положительна в полукруге у > 0 и отрицательна в полукруге у < 0; максимум ее до-
1 1
стигается в точке х = 0, у = —==., минимум — в точке х = 0, у = — . Несмотря
Уъ Гз
на то, что разность U—j постоянна на границе области, функция U не является
решением задачи, так как при достаточно малых положительных е функция U — еу, также
гармоническая, отклоняется от / меньше чем U.
Предположим теперь, что
/(*..у) «logЛ,
и установим, какому свойству поверхяости S соответствует свойство функции f
быть субгармонической {или супергармонической). Для этой цели, опираясь на
формулу ds2 = Л2 (dx2 + dy2), вычислим согласно theorema egregium Гаусса полную
кривизну К поверхности S: вычисление показывает, что, положив в общей теореме Гаусса
Е = С = Л2, F = 0,
мы получаем:
A log Л
откуда следует:
Л log Л = — КЛ2.
Из последнего равенства вытекает, что если кривизна К поверхности 5 (в
пределах области D) сохраняет положительный знак, то А/ = A log Л < 0, т. е. функция /
супергармоническая; и если кривизна К сохраняет отрицательный знак, то А/ = A logA>0,
т. е. функция / субгармоническая.
Принимая Землю за сферу, а широту и и долготу v за координаты, мы получаем
элемент дуги поверхности
ds2 = R2 (du2 + cos2 и dv2).
Простейший способ получить изометрическую сеть заключается в замене переменных
(проекция Меркатора):
= $^=1о^(т + т)' y=v>

- 182 -
что дает
ds2 = Л2 (dx2 + dy2),
где
л R
ch л:
Так как
AlogA = ^(logr/г —logch^) -J_<0.
то функция log Л супергармоническая. Но, по предыдущему, этот же результат
следует непосредственно из того факта, что кривизна сферы — положительная.
Аналогичное заключение имело бы место в случае сфероида (эллипсоида вращения).
В работе «О построении географических карт» Чебышев утверждает, не приводя
доказательства, что, по замечательным свойствам уравнения Лапласа Aw = 0, минимум
отклонения его интеграла от функции / = log ch х на площади, ограниченной какой-
нибудь кривой, может иметь место не иначе, как если разность U — / сохраняет на
этой кривой одно и то же значение.
Интересно, что согласно этой формулировке постоянство разности на контуре
является не только достаточным, но и необходимым условием достижения минимума.
Из предыдущего изложения вытекает, что это условие — необходимое и достаточное
для всякой функции /, обладающей свойством субгармоничности или
супергармоничности; иначе говоря — для всякой поверхности S, обладающей гауссовой
кривизной постоянного знака в рассматриваемой области.
Утверждение Чебышева впервые было доказано в 1894 г. Д. А. Граве (см. «Об
основных задачах математической теории построения географических карт», изд. Акад. Наук,
1896 г.,. стр. 1—197, гл. IV; см. также Journal fur die reine u. angew. Math. 140 (1911),
стр. 247—251). Подробное доказательство имеется в работе П. Белоновского «Теорема
Чебышева о конформных проекциях» (Труды гидрографического института Главсев-
морпути, вып. 2 (1940), стр. 15—26).
Проекции Чебышева занимают почетное место в картографической литературе.
Отметим, в частности, статью А. Динченко «Проекция Чебышева для Советского Союза»
в журнале «Геодезист», № 10 (1938).
В. Гончаров
«ЧЕРЧЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ»
По свидетельству В. В. Григорьева («Императорский С.-Петербургский
университет в течение первых 50 лет его существования», 1870 г., стр. 185), Чебышев написал
«для акта университетского 1856 г. трактат о черчении географических карт, вскоре
после того изданный в Париже на французском языке».
«Подробный мемуар», о котором говорится предположительно в конце заметки
«О построении географических карт», повидимому, не был написан Чебышевым.
Сообщение, сделанное на торжественном акте университета 8 февраля 1856 г., едва ли
может быть названо «трактатом»: но это — развитое вступление, вкратце, без формул,
излагающее содержание задуманного мемуара.
Особое место занимают две первые страницы рассматриваемого сочинения, где
мы находим исключительного значения мысли по поведу математических наук,
взаимоотношения теории и практики и по поводу тех «совершенно новых для науки задач
наибольших и наименьших величин», к решению которых Чебышев неоднократно
обращался.
Сам Чебышев не делает попытки характеризовать задачи «нового рода» и,
ограничиваясь указанием на их существенное отличие от задач, решаемых в дифферен-

— 183 -
циальном и вариационном исчислениях, приводит лишь пример своих исследований о
параллелограмме Уатта; вторым примером служит черчение географических карт.
Характерную черту чебышевских задач (скажем от себя) можно видеть в
постановке вопроса о нахождении «минимакса»—минимума максимумов. Пусть задана
некоторая функция F(X, У) двух «переменных» (понимаемых в широком смысле) X ш У,
из которых первое принимает «значения» из некоторой области Л, второе —из
некоторой области В. Разыскивается максимум значений F(X, У) при постоянных
«значениях» У и при «значениях» X, меняющихся в области А: этот максимум есть
функция от «значения» У; затем разыскивается минимум этой последней функции при
изменении У в области В. Получается комбинация:
min max F (X, У).
г6вх£л
Так, например, в простейшей задаче нахождения многочлена, наименее уклоняющегося
от нуля, роль F играет выражение
причем X сводится к обыкновенной переменной х, изменяющейся в пределах
—1<ХГ1, а К представляет собою множество значений параметров pv р2,.. „рп,
меняющихся неограниченно. Задача черчения географической карты включается в эту же
•схему, причем роль F играет выражение
\U(x,y)~f(x,y)[t
где f(x,y) (= log спд:) — данная функция, X обозначает точку (х,у) из данной
области D, а У — произвольная гармоническая функция U.
«Окончательное решение» задачи о наивыгоднейшей проекции карт Чебышев дает
словами: «наивыгоднейшая проекция для изображения какой-нибудь части земной
поверхности на карте есть та, в которой, на границе изображения, масштаб сохраняет
одну и ту же величину». Заслуживает внимания то обстоятельство, что решение
■сформулировано для случая «земной поверхности», кривизну которой естественно
считать всюду положительной.
Позволительно строить догадки о том, во-первых, должен ли был «подробный
немуар» иметь своим предметом составление карты произвольной поверхности, во-
вторых, не предполагалось ли в нем рассмотреть приближение функций двух
переменных полигармоническими функциями — аналогами многочленов высших степеней
«(подобно тому, как гармонические функции — аналог линейных многочленов).
В. Гончаров
«ПРАВИЛО ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
РАССТОЯНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ»
Мы воспроизводим здесь отрывок из «Месяцеслова на 1869 год» (издание
Императорской Академии Наук, стр. 128): «Географические таблицы, составленные членом
Имп. Акад. Наук Б. С. Якоби»:
«По географическому положению городов и других мест, их долготе и широте,
можно вычислить их взаимное географическое расстояние на поверхности земли. Эти
вычисления производятся помощью известных формул сферической тригонометрии,
которые мы намерены впоследствии изложить вкратце в календаре. Ныне мы
ограничились следующею простою формулою, которая дает довольно близкие
приблизительные результаты для средних широт и для расстояний не слишком больших и
которую сообщил нам член Императорской Академии Наук г. Чебышев:
1) взяв разности долгот и широт двух мест, должно выразить их в минутах;

- 184 -
2) удвоить разность широт;
3) из двух цифр: разности долгот и удвоенной разности широт, надо помножить
меньшую на 3, а большую на 7 и сложить одно произведение с другим;
4) итог, разделенный на 8, даст искомое расстояние в верстах.
Например, в росписи городов Российской Империи широта Москвы показана
= 55°45', а долгота = 5544'; широта С.-Петербурга = 59*57', долгота = 47°58'.
Применив к этим данным нашу формулу, получим:
1) 59°57' — 55°45' = 4°12' = 252'; 55°14' — 47°58' = 7*16' == 436';
2) 252 х 2 = 504;
3) 504 х 7 + 436 х 3 = 3528 + 1308 = 4836;
4) 4836 :8 == 604 г/2 версты — результат, который почти совершенно совпадает с
показанным в этой росписи расстоянием по Николаевской железной дороге, 604 версты.
Впрочем, географические расстояния, как само собою разумеется, всегда бывают
несколько меньше, чем расстояния по путям сообщения; хотя, с другой стороны, по
мере увеличения числа железных дорог по разным направлениям, разность между
расстояниями по путям сообщения и географическими все более и более уменьшается».
Попытка расшифровать приведенную здесь формулу на основе теории наилучшего
приближения функций сделана в книге В. Л. Гончарова «Теория интерполирования и
приближения функций», ГТТИ, 1934, стр. 285.
В. Гончаров
«О КРОЙКЕ ОДЕЖДЫ»
Это сочинение, доложенное П. Л. Чебышевым в Association Franchise pour l'avance-
ment des sciences 28 августа 1878 г., не было напечатано при жизни автора и не вошло
в первое собрание сочинений. Впервые опубликовано в «Архиве истории и техники»,
вып. 9, 1936 г., и перепечатано в «Успехах математических наук», т. I, вып. 2 (12),
1946 г.
В этом сочинении Чебышев впервые ввел оказавшуюся столь полезной для
теории поверхностей криволинейную сеть специального вида, известную под названием
сети Чебишева.
Последняя характеризуется свойством, что у криволинейных четырехугольников
сети противоположные стороны равны между собой.
Если такую сеть принять за координатную, линейный элемент поверхности при
соответствующей параметризации принимает вид:
ds2 = du2 + 2 cos odudv + dv2,
где oi — сетевой угол.
Чебышев приходит к этой сети, решая задачу об одевании поверхности тканью„
которая первоначально предполагается плоской, составленной из двух параллельных
пучков нитей, пересекающихся ортогонально. При одевании поверхности нити
изгибаются, сохраняя длину, но меняя сетевой угол.
Чебышевская сеть однозначно определяется в окрестности некоторой точки
поверхности заданием двух непересекающихся в этой точке кривых, принадлежащих
сети.
Решение задачи об одевании поверхности требует определения координат чебы-
шевской сети в функции заданных на поверхности криволинейных координат, что
сводится, как показали позже Servant и Bianchi, к интегрированию системы уравнений
гиперболического типа:
д2иг , duJ dak
dvldv2 + VJk dv1 dv2 e °
при условиях:
и? = f (Vi) при v2 = 0, и1 = ф* (v2) при v1 = 0, /<"(0) = ф*(0).

- 185 —
Чебышев решает эту задачу, находя разложения в ряд координат чебышевской
сети по координатам полугеодезической сети.
На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотические линии
образуют чебышевскую сеть. Этот результат лежит в основе всех доказательств
известной теоремы Гильберта о том, что не существует аналитической поверхности
постоянной отрицательной кривизны без особенностей, из чего вытекает невозможность
интерпретации в целом планиметрии Лобачевского на поверхности постоянной
отрицательной кривизны.
Чебышевские сети тесно связаны с другим основным понятием современной
дифференциальной геометрии — с параллельным перенесением.
Bianchi показал, что касательные, проведенные в точках произвольной кривой С,
принадлежащей чебышевской сети, к кривым второго семейства, параллельны вдоль С
в смысле Levi-Civita. Это свойство характеризует чебышевскую сеть.
В общей теории сетей оказался полезным введенный Я. С. Дубновым тензор сети,
названный им чебышевским, так как этот тензор обращается в нуль, только если
сеть чебышевская.
Я- Бланк
Литература: L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale. В. Ф. Каган.
Основы теории поверхностей в тензорном изложении.
«О СПРЯМЛЕНИИ КРИВЫХ»
Упоминаемый способ нахождения площади изложен в мемуаре «О квадратурах»,
возникновение которого относится к 1873 г. Простейший случай соответствует
квадратурной формуле
(см. том III, стр. 54, при п = 2). Отсюда получается прием спрямления в
предположении, что данная кривая — дуга параболы второго порядка с вертикальной осью,
проходящая через точки на горизонтальной оси с абциссами х = ± 1.
Работа Радо (R. Radau), упомянутая в докладе, напечатана в 1880 г. в VI томе
Journal de Mathematiques.
По поводу правила Чебышева для приближенного спрямления дуг имеется
заметка Д. А. Граве (Известия Академии Наук, 1895, № 2), с подзаголовком «В память
последнего в жизни П. Л. Чебышева математического разговора». Этот разговор
состоялся в 1 ч. дня 25 ноября 1894 г., т. е. накануне смерти Чебышева. Граве
обобщает результат на случай кривой двоякой кривизны.
В. Гончаров
«ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ г. ЛИУВИЛЛЯ*
(Отрывок из неоконченной заметки)
«Об одной теореме г. Лиувилля» (оригинал на французском языке: «Sur un theo-
гёте de M. Liouville») представляет собой набросок оставшейся незавершенной заметки.
С уверенностью судить о замысле автора трудно: Чебышев ставит под сомнение
результат Лиувилля (Journ. de math, pures et appl., t. И), касающийся однозначного

— 186 -
ь
определения функции <р (х) посредством интегралов (моментов) \ хп <р (х) dx, и, пови-
а
димому, недостаточно строго разграничивает случаи конечного и бесконечного
промежутков. Воспроизведенный здесь отрывок интересен содержащимся в нем примером
определенной в про межутке 0 <х <+с© функции q> (х) ф О, для которой \ xn^(x)dx=^ О
о
(п = О,1,2,...). Этот же пример был построен, повидимому, независимо от Чебыше-
ва, Стильтьесом (см. его «Recherches sur les fractions continues», Ann. de Toulouse
(1894); русский перевод в «Харьковской математической библиотеке», кн. 1, стр. 99).
Непосредственно за приведенным отрывком следуют слова: «Заканчивая эту
заметку, я замечу, что те же возражения можно было бы сделать г. Лиувиллю
относительно [его теоремы]», на которых сохранившаяся часть заметки обрывается. Взятые
в скобки слова в оригинале зачеркнуты.
Д. Васильков

БИОГРАФИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СЕМЬЕ И РОДЕ
П. Д. ЧЕБЫШЕВА
Настоящая заметка имеет целью пополнить скудные сведения о предках,
родителях, братьях и сестрах П. Л. Чебышева.
Род Чебышевых восходит к XVII веку. В так называемой «бархатной книге»,
изданной Н. И. Новиковым в 1787 г., упоминается один из предков Чебышевых но
прозвищу «Чабыш».
Та ветвь рода Чебышевых, к которой принадлежал Пафнутий Львович, владела
небольшим родовым имением в Боровском уезде Калужской губернии — селом Ока-
товым. В Окатове провели большую часть жизни родители Пафнутия Львовича — Лез
Павлович Чебышев и чАграфена Ивановна Чебышева (урожденная Познякова).
В Окатове же 4 (16) мая* 1821 г. родился Пафнутий Львович.
Старый дом в Окатове, в котором провел детство Пафнутий Львович, был снесен
в конце 40-х годов и вместо него был выстроен новый, принадлежавший впоследствии
Пафнутию Львовичу. Этот «новый> дом был сожжен немецко-фашистскими
оккупантами осенью 1941 г.
У Л. П. и А. И. Чебышевых было девять человек детей: пятеро сыновей
(Пафнутий, Павел, Петр, Николай, Владимир) и четыре дочери (Елизавета, Екатерина,
Ольга и Надежда).
Старшей была дочь Елизавета (род. в 1819 г.); в 1852 г; она вышла замуж за
А. Т. Тарасенкова, известного врача и общественного деятеля
Пафнутий Львович был на два года моложе Елизаветы Львовны. За ним шел
брат Павел (1822—1869), бывший судьей Боровского уездного суда в 1850—1856 гг.
Петр Львович (род. в 1824 г.) был на военной службе, но рано вышел в отставку;
погиб при железнодорожной катастрофе.
Николай (род. в 1831 г.) и Владимир (род. в 1832 г.)—младшие братья
Пафнутия Львовича — окончили артиллерийскую академию. Впоследствии Николай Львович
в чине полковника был начальником Варшавского учебного полигона; умер в 1875 г.,
в чине генерал-майора, начальником Кронштадтской крепостной артиллерии.
Владимир Львович, выдающийся ученый-артиллерист, дослужился до чина
генерала-от-артиллерии, был заслуженным профессором Михайловской артиллерийской
академии, основателем и первым редактором «Оружейного сборника». Из всех
братьев это был наиболее близкий к Пафнутию Львовичу человек, свидетель
последних дней его жизни. При материальной поддержке Владимира Львовича Академией
Наук было издано в 1899—1907 гг. первое двухтомное собрание сочинений
П. Л. Чебышева.
Екатерина Львовна (род. в 1827 г.) была замужем за М. Н. Лопатиным,
известным в свое время юристом. Семья Лопатиных занимала видное место в кругах
московской интеллигенции.
* Эта дата основана на подлинной метрической записи. До последнего времени
датой рождения П. Л. считалась, со слов К. А. Поссе, 14 (26) мая (см. «Краткий
биографический очерк» в I томе Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева,
стр. 5—9).

Лев Павлович чебышев
(1792 — 1861),
отец П. Л. Чебышева

Аграфена Ивановна чебышева
(ум. в 1867 г.),
мать П. Л. Чебышева

Владимир Львович чебышев
Брат П. Л. Чебышева
Ольга Львовна (по мужу Гончарова) пользовалась некоторой известностью как
автор рассказа «Тысяча восемьсот двенадцатый год», изданного в 1867 г.
Обществом распространения полезных книг.
Надежда Львовна (род. в 1829 г.), бывшая замужем за М. П. Захаровым,
больше других сестер поддерживала связь с Пафнутием Львовичем. По воспоминаниям
ее потомков, Н. Л. систематически бывала в Окатове и посещала Пафнутия
Львовича в Петербурге.

П. Л. ЧЕБЫШЕВ
В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
П. Л. Чебышев поступил на второе отделение философского факультета *
Московского университета в 1837 г.
Университетская программа по математике в те годы охватывала аналитическую
геометрию и высшую алгебру (I курс), дифференциальное исчисление, интегральное
исчисление и обыкновенные дифференциальные уравнения (II и III курсы), уравнения
в частных производных, вариационное исчисление и исчисление конечных разностей
(IV курс).
Ниже приведено расписание учебных занятий на первое полугодие 1840/41 уч.
года. В связи с этим документом полезно отметить, что в то время предметы,
проходимые студентом в Университете, делились на «факультетские» и «побочные»
(для математиков к последним относились, нащжмер, зоология и бот аника; по
«побочным» предметам при переходе с курса на курс достаточно было иметь средний
балл 3V2).
В * годы пребывания П, Л. Чебышева в университете «чистую» математику
читал Н. Е. Зернов, прикладную математику — Н. Д. Брашман, астрономию —
Д. М. Перевощиков, практическую механику и начертательную геометрию —
А С. Ершов.
Своими дарованиями П. Л. Чебышев обратил на себя внимание Н. Д. Брашмана.
Трудно оценить роль, которую сыграл Н. Д. Брашман в формировании великого
ученого, но известно, что П. Л- Чебышев навсегда сохранил чувства признательности и
уважения к своему университетскому наставнику. Об этом имеется свидетельство
К. А. Поссе **. Между Н. Д. Брашманом и его прославленным учеником в течение
ряда лет существовал и научный контакт, о чем свидетельствуют, например, статья
П. Л. Чебышева «Разложение в ряды при помощи непрерывных дробей» *** (в
частности, последний абзац этой статьи) и публикуемое ниже письмо Н. Д. Брашмана
П. Л. Чебышеву.
В 1838 г. П. Л. Чебышев написал свою первую научную работу «Вычисление
корней уравнений» (см. стр. 7—25 этого тома). Позднее эта работа была представлена
на конкурс, объявленный факультетом. П. Л. Чебышеву была присуждена
серебряная медаль (см. «Отчет о состоянии и действиях Императорского Московского
университета за 1840/41 академический год», стр. 15). Из этого же «Отчета» явствует, что
одновременно золотой медали был удостоен студент Антон Смоляк. Приходится либо
признать, что жюри конкурса не оценило исключительно высокий уровень
«студенческой работы» П. Л. Чебышева, либо строить догадки о достоинствах работы,
* По уставу 1835 г. Московский университет имел факультеты: юридический,
медицинский и философский; последний состоял из двух отделений: отделения
словесности и физико-математического.
** См. «Краткий биографический очерк» в I томе Полного собрания сочинений
П. Л. Чебышева.
*** Там же, том II, стр. 412—415.
13 П. Л. Чебышев, т. V

Ординарный профессор Московского университета
н. е. зерно в
(1804—1862)

Ординарный профессор Московского университета
н. Д. брашман
(1796-1866)

Ординарный профессор Московского университета
Д. М. ПЕРЕВОЩИКОВ
(1788-1880)

- 197 -
поданной А. Смоляком. Последняя не сохранилась, а ее автор остался неизвестен
в математике.
Московский университет П. Л. Чебышев окончил в 1841 г. «отличнейшим
кандидатом» *.
Публикуемые ниже документы **, кроме первого, относятся к магистерским
экзаменам П. Л. Чебышева в 1843 г. и к защите им магистерской диссертации в 1846 г.:
1. Расписание времени преподавания в Императорском Московском университете
на первое полугодие 1840/41 г. во втором отделении философского факультета.
2. Прошение П. Л. Чебышева о допущении к магистерским экзаменам
[от 19 (31) марта 1843 г.].
3. Выписка из журналов заседаний второго отделения философского факультета
ст 29 апреля, 24 сентября, 29 октября и 5 ноября 1843 г.
4. Письменные ответы П. Л. Чебышева на магистерских испытаниях (29 октября
и 5 ноября 1843 г.).
5. Ходатайство факультета перед Советом университета об утверждении П. Л.
Чебышева магистром (от 25 сентября 1846 г.).
При чтении этих документов надо иметь в виду действовавший тогда порядок
экзаменов, предшествующих защите диссертации:
«Из определенного числа написанных и хранимых в тайне вопросов, относящихся
особенно до каждой науки, к отделению принадлежащей, выбираются по жребию дзл
вопроса для магистра и четыре для доктора, кои они должны решить основательно
и подробно. Засим следует производить словесное испытание в других предметах,
назначенных экзаминатором. Потом они должны решить письменно такое же число и
также по жребию выбранных вопросов в присутствии члена Отделения»
(«Положение об испытании на ученые степени», утвержденное в 1837 г.).
Взамен работы на тему о бесконечно-малых качаниях ***, предложенную
Отделением в заседании от 5 (17) ноября 1843 г., П. Л. Чебышев в 1845 г. представил в
качестве магистерской диссертации свой «Опыт элементарного анализа теории
вероятностей» (см. стр. 26—87 этого тома). Предварительное рассмотрение диссертации Ог-
делением состоялось 30 мая (Пиюня) 1845 г., защита —8 (20) июня 1846 г.
* Диплом П. Л. Чебышева сохранился в делах Совета университета (№ 65 за
1843 г.).
** Найдены в Мособлархиве МВД, фонд — Московский университет.
*** Эта тема позднее была предложена А. Ю. Давидову.

— 198 -
L Распределение времени преподавания учебных предметов в Импера-
во втором отделении
Курсы
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Часы
X
XI
XII
I
II
X
1 XI
XII
I
X
XI
XII
I
II
X
XI
XII
I
II
Понедельник
Рисование (уч. Гадзевич)
! —
Чистая математика (экстраорд.
проф. Зернов)
Французский язык (пр. Куртенер)
; —
Зоология (Рулье)
Ботаника (орд. проф. Фишер)
Механика (орд. проф. Брашман)
Чистая математика (экстраорд.
проф. Зернов)
—
Ботаника (срд. прсф. Фишер)
Астрономия (орд. проф. Перево-
щиков)
Механика (орд. проф. Брашман)
Физика (адъюнкт Спасский)
—
Зоология (Рулье)
Ботаника (орд. прсф. Фишер)
Астрономия (орд. проф. Перево-
щиков)
Физика (адъюнкт Спасский) I
Вторник
—
Богословие (пр. Терновский) :
I Астрономия (орд. проф. Пере- j
ВОЩИКОВ) ;
Физика (адъюнкт Спасский)
Русская словесность
(экстраорд. проф. Шевырев)Г
Химия (орд. проф. Гейман)
—
Физическая география
(адъюнкт Спасский)
"—
Химия (орд. проф. Гейман)
—
Зоология (Рулье)
Минералогия (орд. проф. Щу-
ровский)
—
— 1
—
Химические опыты (орд. проф.
Брашман) |
Химические опыты (орд. проф.
Брашман)
Астрономия (орд. проф. Пере-
вощиков) j

- 199 —
шорском Московском университете на первое полугодие 1840/41 г.
философского факультета
Среда
—
!
i —
!
Чистая математика
(экстраорд. проф
1 Зернов)
1 Французский язык
J (проф. Куртенер]
] Зоология (Рулье)
Ботаника (орд.
проф. Фишер)
| Чистая математика
(экстраорд. проф.
1 Зернов)
! —
—
Ботаника (орд.
1 проф. Фишер)
Астрономия (орд.
проф. Перевощи-
1 ков)
Статика (орд. проф.
1 Брашман)
— 1
—
— 1
! Ботаника (орд. 1
проф. Фишер)
Динамика (орд. 1
проф. Брашман)
— 1
Четверг
—
Богословие (пр. Тер-
новский)
1 Астрономия (орд.
проф. Перевощи-
1 ков)
1 Физика (адъюнкт
Спасский)
1 Русская словесность
(экстраорд. проф.
1 Шевырев)
Химия (орд. проф.
Гейман)
—
Физическая
география (адъюнкт
1 Спасский)
—
Химия (орд. проф.
Гейман)
—
Чистая математика
(экстраорд. проф.
Зернов)
Астрономия (орд.
проф. Перевощи-
ков) 1
— 1
Законы о состояниях
(адъюнкт Лешков)
Геогнозия (орд.
проф. Щуровский)
Чистая математика
(экстраорд. проф.
Зернов) 1
Химические опыты 1
(орд. проф.
Брашман) |
1
Пятница
1 Рисование (уч. Гад-
зевич)
—
| Чистая математика
(экстраорд. проф.
1 Зернов)
I Французский язык
(пр. Куртенер)
Французский язык
(пр. Куртенер)
Зоология (Рулье)
1 Ботаника (орд. проф.
| Фишер)
Механика (орд. проф.
Брашман)
Чистая математика
(экстраорд. проф.
Зернов)
Суббота
—
1 Богословие (пр.
Тернов ски й)
1 Французский язык
(пр. Куртенер)
Физика (адъюнкт
Спасский)
1 Русская словесность
(экстраорд. проф.
Шевырев)
Химия (орд. проф.
Гейман)
—
Механика (орд. проф.
Брашман)
—
— Химия (орд. проф.
Гейман)
Ботаника (орд. проф.
Фишер)
—
Статика (орд. проф.
Брашман)
— 1
—
Зоология (Рулье)
Ботаника (орд. проф.
Фишер)
— {
— I
—
Чистая математика
(экстраорд. проф.
Зернов)
Минералогия (орд.
проф. Щуровский)
—
Законы о состояниях
(адъюнкт Лешков)
Динамика (орд. проф.
Брашман)
Чистая математика
(экстраорд. проф.
Зернов)
~
—

- 200 -
2. В Совет Императорского Московского университета
кандидата Пафнутия Чебышева
Прошени е.
Желая получить степень магистра математических наук,
покорнейше прошу Университетский Совет допустить меня к установленному
испытанию. При сем имею честь объяснить, что аттестат о моем
учении находится при делах университета.
Кандидат Пафнутий Чебышев.
Марта 19 дня 1843 года.
3. Выписка
из журналов заседания 2-го отделения философского факультета
об испытании г. Чебышева.
1. В заседании Отделения 1843 года апреля 29-го числа.
Слушали:
Отношение г. Ректора Университета от 23-го марта о допущении к испытанию на
степень магистра математических наук кандидата Пафнутия Чебышева; депутатами от
Совета назначены профессоры: ординарный Рихтер и экстраординарный Лешков. Затем
Чебышев и был испытываем, согласно правилам, адъюнктом Спасским из физики
и физической географии и на предложенные словесные вопросы отвечал
удовлетворительно.
Определено: продолжать испытание в будущем заседании Отделения.
2. В заседании отделения 1843 года' сентября 24-го числа продолжено было
испытание на степень магистра математики кандидата Чебышева в предметах чистой и
прикладной математики ординарными профессорами Зерновым и Брашманом. Кандидат
Чебышев на предложенные ропросы отвечал удовлетворительно.
Определено: приступить в будущее заседание к письменному испытанию кандидата
Чебышева.
3. В заседании Отделения 1843 года октября 29 числа продолжено было
испытание на степень магистра математики кандидата Пафнутия Чебышева.
Ординарный профессор Брашман, согласно с правилами, предложил для
письменного решения задачу: Определение закона о движении тела по циклоиде, когда кроме
тяжести действуют еще какие-нибудь возмущающие силы. Так как решение этой
задачи найдено удовлетворительным, то и определено: продолжать испытание в буду-
шем заседании отделения.
4. В заседании Отделения 1843 года ноября 5-го числа продолжено было
испытание на степень магистра математики кандидата Пафнутия Чебышева; ординарный
профессор Зернов, согласно с правилами, предложил для письменного решения
следующую задачу: множитель, вспомоществующий нахождению интеграла уравнения
дифференциального; случаи, в коих можем находить оный, и главные его свойства.
Решение этой задачи найдено удовлетворительным. После чего г. Чебышеву
задана была тема для диссертации о бесконечно малых качаниях.
Определено: с приложением письменных решений задач, предложенных г.
Чебышеву, в подлиннике, донести Совету об окончании испытания и представить на
утверждение Совета заданную г Чебышеву тему.
Подписал Секретарь Отделения М. Спасский.

— 201 —
4. Письменные ответы П. Л. Чебышева на магистерских
испытаниях
Определение закона движения тела по циклоиде,
когда кроме тяжести действуют еще какие-нибудь
возмущающие силы
Для движения точки по плоской кривой линии имеем уравнение]
(1) vdv = Xdx + Ydy,
где v есть скорость, Ху Y— проложения* действующей
ускорительной силы на оси координат, дх, ду*— действительные перемещения.
Пусть на точку действуют 2 силы: сила тяжести по
направлению, прямо противному оси х, и сила возмущающая / по касательной
к траектории. Проложение первой силы на ось х будет — g, второй
—f-gfl проложение первой силы на ось у будет 0, второй —/ ^-.
Следовательно], в этом случае
v r дх
X = -g-fw,
1 J ds
Вставляя эти величины X, Y в (1), находим
(2) vdv = (—g—fjf)dx— f^-dy = -gdx— fds,
ds
где, заменяя v через -^-, выводим
£•$--«**-/*.
откуда
d*s ___ дх г
(3) dt* ~~ s ds *и
Это уравнение] в совокупности с ур[авнением] траектории вполне
определяет движение точки по данной кривой.
Для циклоиды мы будем иметь уравнение
(4) s2 = 2/x,
где / есть диаметр образующего круга
**
* Проекции. — Ред.
** В правой части уравнения (4) должно быть 41х. — Ред.

- 202 —
Уравнение (4) в дифференциале нам дает
sds = / дх,
откуда
дх _ s
ds /
дх
Внося эту величину -у- в (3), находим
(5) dt* I Jt
Относительно этого уравнения] заметим, что оно по обыкновенным
приемам интегрируется, когда / есть функция s (или 5 и х, что одно
и то же: ибо по уравнению] (4) х = -^
В этом предположении находим
dt 1 Г ds r
: , *=Г ,. 6S =====
|/c-2$(f * + /)* J]/' C-2$(f * + /)<
ds
Что же касается до случая, когда / есть функция t,
интегрирование уравнения] (5) точно в общем виде невозможно. Приближенный
же интеграл мы можем найти следующим образом.
Если / в уравнении] (5) предположим 0, то интеграл его будет
(6) s^Ccositot+CJ,
называя у = о>2. Не ограничиваясь этим частным случаем, мы можем
уравнение]м (6) представить интеграл общего уравнения] (5),
принимая за С, Сг функции t, при которых бы уравнение] (6)
удовлетворяло уравнению] (5). Кроме того, поелику в уравнении] (6) два
произвольных [постоянных], то выбором их можем удовлетворить вместе
с уравнением] (5) еще какому-нибудь условию. За это условие мы
принимаем
(7) cos (at + Сг) дС—С sin (со£ + Сг) дСг = 0,
и уравнение] (5) с (7) нам вполне определяют С, Сг
ds
dt
ds
Определяя по уравнению] (6) -^т-, находим *
(8) ^■ = -«CsinK + C1)+cosK + C1)^—CsinK+Cx)^
ЯЛ~* ЯЛ"
* В оригинале в правой части (8) стоят dC и dCx вместо -тт и -^. - Ped.

Факсимиле письменной работы (страницы 1 и 3) П. Л. Чебышева на магистерском экзамене в Московском университете 4 ноября (23 октября) 1843 г.

- 203 -
что вследствие (7) приводится к следующему:
^l = _<oCsin(w^ + C1).
Откуда
(9) ^ = -«,CcosK+C1)-«osin(^ + C1)^—«CcosK+Cx)^.
д2$
Внося эту величину ^- в (5) и s из (6), находим
- 6>*С cos (Ы + Сг) - со sin (со* +сг)ж~ qC cos И + С*) Ж =
= —««Ccos^+CO--/,
что по сокращении дает
со sin и + с0 ж -0)С cos И +ci) ж = -/>
ИЛИ
(Ю) со sin (со* + Сг) 4г + «С cos И + ^) ^ =/.
Определяя из уравнений] (10) и (7) -gf, -§f> находим
со ^-=/sinK + CI); Ceo ^ = /cos(©* + Сг).
Откуда
дС _ f . ,, ,Г. дСх _ f
dt
fsinK + СД ^^cosH+C,).
Принимая для первого приближения во вторых частях этих
уравнений] С и Q за постоянные, мы из них выводим
С= J£sinK+ СОд*, Сг = J -^cosH + Сх)
<W.
Подставляя эти величины С, С2 в (6) и (8), мы находим таким
ds_
dt
образом приближенные выражения s и -зг = ^ в функциях t
Кандидат Пафнутий Чебышев.
[Оценка экзаминатора:]
Весьма удовлетворительно.
Николай Брашман.

- 204 -
Множитель, вспомоществующий нахождению
интеграла уравнения дифференциального.
Случаи, в коих можем находить ответ,
и главные его свойства
Пусть будет
Mdx + Ndy = 0 (1)
уравнение дифференциальное первой степени и первого порядка.
Интеграл его
f(x, у, С) = 0 (2)
будет содержать произвольное постоянное количество С в первой
степени; ибо уравнение (1), получаясь исключением С из (2) и
дифференциала его по х, содержит дх, ду в первой степени.
Решая уравнение (2) относительно С, интеграл уравнения (1)
представим через
С = у{х, у).
Дифференциаля это, мы находим уравнение
которое не содержит произвольного постоянного и, следовательно,
тождественно (1). А для этого должно быть
дф (*, у) д<? (х, у)
дх ду
М ~ N ;
откуда
д9(*.У) = zM д9(х$У) N
дх ZJV1> ду z ' W
дф (х. У) <?9 (*> У)
если назовем равные отношения —^—, —~— через z, где г будет
вообще некоторая функция х и у. Внося выражения М и N из (3)
в (1), найдем
д<?(х,у) д<? (х, у)
Мдх + Ndy = д* дх + —Ц— ду;
откуда, по уничтожении знаменателя z,
z(Mdx + Ndy) - Mj^ дх + Щ^- ду. (4)
Из этого мы видим, что всякое дифференциальное уравнение
первого порядка и первой степени, имеющее интеграл, приводится к
полному дифференциалу через умножение на некоторую функцию,
которая и известна под названием множителя вспомогательного.

- 205 —
Изображая полный дифференциал <p(x, у) по х и через д<р, мы
уравнение (4) представим так:
z{Mdx + Ndy) = dy.
Умножая это уравнение на ф (9), где ф—какая-нибудь функция, найдем
гф(ср) (Мдх + Ndy) = ф (<р) Эф.
Замечая, что ф(ф)дф есть полный дифференциал, мы заключаем, что
таковым будет и
z<\>{<?)[A*dx + Ndy].
Следовательно, уравнение (1) будет делаться полным
дифференциалом также и от множителя гф(ср), где ф совершенно произвольная.
Итак, вспомогательных множителей для уравнения (1) бесконечное
множество.
Для определения их, из уравнения (4) выводим
А ох ' * ~" ду
Дифференциаля первое из этих уравнений по у, второе по х и
замечая, что
&<?(*, у) = д\{х,у)
дх ду ду дх '
найдем
d(zM) _ d(zN)
ду дх~ ' (5)
уравнение, которому должно удовлетворять 2, чтобы zMdx + zN ду
было полным дифференциалом. Замечая, что это уравнение
приводится к
., дг , дМ лг dz , dN
уравнению с частными дифференциалами, которого интегрирование
представляет еще более трудностей, чем (1), видим, что уравнением
(5) или (6) мы не можем воспользоваться в общем виде.
Но есть случаи, когда легко находим значение z,
удовлетворяющее уравнению] (6); именно, когда z — функция одного х или одного
у может ему удовлетворить.
В первом предположении уравнение (6) дает
дМ KTdz . dN
откуда
\\ду дх 'N \J)
z—e*

- 206 —
во втором
откуда
С (6N дМ\дх^
z = eJ
Уравнение (7), предполагающее z функциею одного х, будет иметь
ГдМ dN\ 1 «
место, когда ( g д~)~м приводится к функции одного х;
уравнение же (8), предполагая z функциею одного у, будет иметь [место],
fdN дМ\ 1 ,
когда (^5ж — aJT J ЯГ — Функция одного у.
Так, для уравнения, известного под названием линейного,
ду + Ру дх = Q dx,
где Р, Q — функции одного х, находим
'Ш дЛГ\ j. _ д (Ру — Q)
и, по (7),
\ду dxjN~~ ду —^
\Pdx
z = eJ
Также вспомогательного множителя всегда находим, если М, N
функции х и у однородные. Называя через т степень функций М, N
относительно х, у и предполагая z функциею однородною
какой-нибудь степени щ мы по теореме Фонтеня имеем
d-№* + dJlP-y = (" + n)zM.
Это уравнение в совокупности с (5)
д(гМ) _ d(zN)
ду дх
определяет весьма просто z. Внося из последнего в первое значение
d(zM)
-^—;, находим
d-^x + d-^y = (m + n)zM,
d(zM) d(zN) d(zMx) лл д (zMy)
что заменою х дх , У дх через к дх } — Mz, v ^ приводится
к урав[нению]
^-Mz + ^ = {m + n)zM,

— 207 -
или
d[z(Mx + Ny)] , , , 1Ч л,
— дх уп = {m + n+l) zM.
Этому уравнению удовлетворяем, принимая
z(Mx + Ny) = 1; т + п + 1 = 0.
Первое нам дает
__ 1
Z~~ Mx + Ny '
что удовлетворяет уравнению т + п + 1 = 0, ибо вследствие этого
степень z есть — т — 1.
Вот наиболее замечательные случаи, когда находим
[вспомогательного множителя для уравнения первого порядка и первой степени.
Что же касается до уравнений первой степени высших порядков, то
для них хотя мог бы с пользою быть употреблен вспомогательный
множитель, но определение его вообще затруднительно; а поэтому
употребление его здесь ограничивается немногими частными
случаями.
Кандидат Пафнутий Чебышев.
[Оценка экзаминатора:]
Удовлетворительно.
Николай Зернов.
5. В Совет Императорского Московского университета 2-го отделения
философского факультета
Донесение.
В публичном заседании Отделения 8-го июня сего 1846 года происходило защи-
щеиие диссертация: «Опыт элементарного анализа теории вероятностей», написанной
г. кандидатом Чебышевым для получения степени магистра; оппонентами, по
назначению декана, были ординарные профессоры: Брашман и Зернов. Все возражения,
деланные как означенными оппонентами, так и другими членами Отделения, г. Чебышев
разрешил совершенно удовлетворительно, посему Отделение и признало его
достойным искомой им степени магистра.
Донося о сем Совету, Отделение покорнейше просит ходатайствовать об
утверждении г. Чебышева магистром математических наук. При сем препровождается
выписка из журналов заседаний Отделения об испытании г. Чебышева.
Декан Д. Перевощяков.
Сентября 25 дня 1846 г.
Секретарь Отделения М. Спзсский.

П. Л. ЧЕБЫШЕВ
В С.-ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
П. Л Чебышев поступил на службу в Петербургский университет в 1847 г. на
должность доцента второго отделения философского факультета. При чтении
настоящего очерка и документов полезно иметь в виду следующие сведения об организации
Университета в рассматриваемую эпоху. Согласно Университетскому уставу 1835 г.,
университет делился на философский факультет, состоявший из двух отделений, и
юридический факультет. С 1850 г. первое отделение философского факультета было
переименовано в историко-филологический, а второе отделение — в
физико-математический факультет; эти названия были подтверждены Университетским уставом 1863 г.
Физико-математический факультет, делившийся на разряд физико-математических и на
разряд естественных наук, состоял из семи кафедр: 1) чистой и прикладной
математики, 2) астрономии и геодезии, 3) физики и физической географии, 4) химии,
5) минералогии и геогнозии, 6) ботаники, 7) зоологии. Окончивший университет с
защитой дипломного сочинения получал ученую степень кандидата. Кроме того, были
еще две высшие ученые степени: магистра и доктора (соответствующие
приблизительно нынешним степеням кандидата и доктора наук). Перед защитой как магистерской,
гак и докторской диссертации полагалось держать экзамен, который был достаточно
серьезен.
Профессор университета мог занимать кафедру 25 лет; затем он, если не желал
оставить службу с выходом на пенсию, мог баллотироваться в Ученом совете
университета на право занимать кафедру еще 5 лет; по истечении этих пяти лет можно было
выходить в отставку или баллотироваться снова и т. д.
Ежегодно перед началом учебного года издавалось отдельной книжкой
«Объявление о публичном преподавании наук в Императорском С.-Петербургском
университете за ... год», в -котором было напечатано, кто и какие курсы будет читать <в
университете; с 1861 г. эти «Объявления» были переименованы в «Обозрения». В
«Объявлениях» указывалась также основная литература, соответствующая читаемому куосу.
Именно такой смысл имеют фразы, вроде «придерживаясь сочинений Лагранжа, Фурье
и др.» или «придерживаясь руководств „Elements de Geometrie" Лежандра и Пон-
селе», которые читатель найдет в соответствующих документах. Если соответствующих
курсу пособий не было, то указывалось, что курс читается «по собственным запискам».
Так, практическую механику Чебышев читал «по собственным запискам», а теорию
чисел сначала «по собственным запискам», а затем по «изданному им сочинению
„Теория сравнений"». Впрочем К. А. Поссе указывает (С. А. Венгеров, Критико-биографиче-
ский словарь русских писателей и ученых, т. VI, стр. 15*), что и в тех случаях,
когда Чебышев указывал' литературу, его курс по стилю изложения был всегда
оригинален и с литературными источниками имел мало общего.
Учебная нагрузка Чебышева составляла в начале его педагогической деятельности
10 часов, а затем 8 и с 1860/61 учебного года 6 часов в неделю. В 1852—1856 гг.
* Основанный на этой статье биографический очерк, принадлежащий А. А
Маркову и Н. Я. Сонину, воспроизведен в томе I настоящего Полного собрания
сочинений П. Л. Чебышева («Пафнутий Львович Чебышев». Краткий биографический очерк,
стр. 5—9).

- 209 —
Чебышев читал в Александровском лицее (б. Царскосельский лицей, который в свое
время окончил А. С. Пушкин) практическую механику. Больше Чебышев нигде и
никогда курсов лекций не читал. К. А. Поссе пишет (там же, стр. 20—21): «мне
случалось слышать от Чебышева отзыв об Остроградском, как о человеке, необыкновенно
способном, но, по мнению Чебышева, не сделавшим для науки всего того, что он мог
бы сделать, если бы не посвящал так много времени преподаванию». В 1849 г. Чебы-
шев получил в университете степень доктора; диссертацией служила его знаменитая
книга «Теория сравнений». В том же 1849 г. Чебышев получил за «Теорию сравнений»
«второстепенную» Демидовскую премию*. (Демидовские премии, основанные
П.Н.Демидовым в 1831 г., присуждались Академией Наук ежегодно с 1831 г. по 1865 г. за
выдающиеся работы по различным отраслям знания. Премия первой степени составляла
1424 руб, премия второй степени 712 руб.; количество первых и вторых премий,
присуждавшихся в данный год, точно определено не было и зависело от количества
представленных работ и их оценки Академией; общая сумма премий за один год не
должна была, однако, превышать 20 000 руб.).
С 1852/53 учебного года Чебышев был экстраординарным профессором, с I860 г.—
ординарным профессором, а с 1872 г.— заслуженным ординарным профессором.
Интересно заметить, что ординарным академиком Чебышев сделался раньше, чем
ординарным профессором, именно в 1859 г. Всего Чебышев преподавал в университете 35 лет.
Чебышев читал в университете следующие курсы: высшую алгебру (1847/48—
1859/60 гг.), теорию чисел {1847/48—1881/82 гг.), аналитическую геометрию и
сферическую тригонометрию (1848/49—1859/60 гг.), теорию эллиптических функций (1849/50—
1859/60 гг.), интегрирование дифференциальных уравнений (1848/49 гг.), практическую
механику (1849/50—1850/51 гг.), интегральное исчисление (1860/61—1881/82 гг.), теорию
вероятностей (1860/61—1881/82 гг.). Практическая механика читалась им на
существовавшем короткое время (1839—1843 гг. и 1849—1851 гг.) реальном отделении. В
настоящее время кажется почти невероятным, что это отделение, причиной
возникновения которого была «потребность в большем распространении по Империи реальных
знаний посредством приготовления преподавателей по этой части» (Григорьев В. В.,
«Санкт-Петербургский университет за первые 50 лет своего существования»),
производило набор студентов всего два раза (в 1839 и 1849 гг.), причем оба раза было
принято по шесть студентов.
Приведем следующий отрывок из уже цитированной статьи К. А. Поссе:
«В конце 60-х годов, когда я был студентом третьего и четвертого курса,
Чебышев читал нам теорию определенных интегралов, интегрирование уравнений, теорию
чисел и теорию вероятностей. Лекции его были чрезвычайно увлекательны, и многие
из нас слушали некоторые его курсы по два раза, на третьем и четвертом курсе,
сожалея, что время не позволяло нам прослушать вторично все излагаемые им
предметы-
Курсы, читавшиеся Чебышевым, были невелики по объему, но содержательны, по
изложению очень доступны и удобопонятны. Стремление некоторых профессоров
читать студентам обширные курсы Чебышев не одобрял и называл это стремление
«желанием блеснуть перед студентами своими знаниями». Спешу оговориться, что это
мнение Чебышев никогда не высказывал перед студентами ни на лекциях, ни в
частных разговорах и вообще не только не позволял себе осуждать своих коллег перед
учащимися, но избегал даже даваггь советы по занятиям предметами, читаемыми
* В 1849 г. из двадцати шести представленных на соискание премии работ девять
были награждены премией второй степени, премии первой степепи не были присуждены
вообще. Как явствует из отзыва о «Теории сравнений» академиков Буняковского
и Фуса и из основанного на этом отзыве отчета непременного секретаря Академии,
этот труд Чебышева «без сомнения был бы достойным полной Демидовской премии,
если б сочинение заключало в себе теорию чисел во всем ее объеме, именно
теорию сравнений с присовокуплением приложения ее к диофантову анализу»,
14- П. Л. Чебышев, т. V

- 210 -
другими. Приведенное выше мнение я слышал от Чебышева позднее, когда я уже
кончил университетский курс.
Литографированных записок к лекциям Чебышева никогда не существовало,
печатного руководства сн также не издавал, говоря, что он держится в своих лекциях
руководства Лакруа и только разъясняет то, что требует разъяснения. В то время
однако, когда я слушал лекции Чебышева, между ними и руководством Лакруа было
очень мало общего, и вышеупомянутое заявление Чебышева можно было принять
лишь в том смысле, что он по существу не выходил из пределов указанного
руководства. Несмотря на отсутствие внешних пособий, большинство студентов усваивало
курсы Чебышева очень легко, и не выдержать экзамена по его предметам считалось
большим позором. На экзаменах студентов Чебышев не был ни слишком строг, ни
слишком снисходителен и всегда чрезвычайно сдержан и вежлив.
Заслуги Чебышева как профессора навсегда останутся в памяти тех, кому выпала
на долю завидная участь учиться у него».
Кроме того «первые шаги на научном поприще тех из его слушателей, которые
посвятили себя занятиям математикою, были сделаны под руководством и под
влиянием драгоценных его указаний, которые он давал всем желающим и умеющим ими
воспользоваться.
Каждую субботу, от 2—4 часов, двери его были открыты для всякого, имеющего
что-нибудь сообщить о собственных занятиях знаменитому математику и получить от
него указания, и редко кто-нибудь от него уходил, не унося с собою новых мыслей
и поощрения к дальнейшей работе. Были, разумеется, и такие области математики,
которыми Чебышев очень мало интересовался, были такие работы, о которых Чебышез
говорил коротко, что они „не в его духе", и в этих случаях беседа! -с автором очень
скоро прекращалась, и автор уходил не вполне удовлетворенный результатами своего
посещения».
Чебышев близко интересовался и организационной стороной деятельности
университета, а также материальной стороной быта преподавателей и профессоров. В этой
связи интересна большая его статья «О штатах университетов», публикуемая в
документах. Предложения Чебышева о размере окладов, сделанные им в этой статье,
приняты не были. Устав 1863 г. установил следующие оклады: ординарный профессор
3000 руб., экстраординарный профессор 2000 руб. и доцент 1200 руб. в год, что
существенно ниже окладов, которые предлагал Чебышев.
Чебышев был не только гениальным математиком, но и выдающимся воспитателем
молодых ученых. За последние десятилетия его жизни вокруг него сформировался
исключительный по силе научный коллектив, одна из крупнейших в мире
математических школ — знаменитая Петербургская математическая школа (А. А. Марков,
А. М. Ляпунов, Е. И. Золотарев, А. Н. Коркин и др,). Общая оценка и характеристика
Петербургской школы не входит в задачи настоящего очерка. Укажем только, что
главными направлениями работ Петербургской школы были 1) области алгебры и
анализа, связанные с задачами интерполирования, проблемой моментов и наилучшим
приближением функций, 2) теория чисел, 3) теория вероятностей, 4) математическая
физика, гидродинамика и, в особенности, проблема устойчивости. Общеизвестна
основоположная роль исследований самого Чебышева в первых трех из указанных
направлений. Из публикуемой ниже корреспонденции Чебышева * видно, что им была написана
по меньшей мере одна важная работа, примыкающая к четвертому направлению.
Однако, к величайшему сожалению, эта работа не сохранилась. Но творческий путь
А. М. Ляпунова, расширившего тематику петербургской школы включением
последнего направления, определился с того дня, когда П. Л. Чебышев поставил ему,
студенту четвертого курса, задачу о фигурах равновесия вращающейся жидкости,
отличных от эллипсоидальных. Хотя знаменитые работы Ляпунова по математической
физике и теории устойчивости и выходят за пределы задачи о фигурах равновесия,
которую перед ним поставил Чебышев, по возникли они в творчестве Ляпунова из его
* См. раздел «Переписка П. Л. Чебышева».

- 211 -
размышлений над проблемой Чебышева. Сказанного достаточно, чтобы оценить влияние
Чебышева на тематику работ его учеников. Не меньшее влияние оказал Чебышев и на
стиль работ петербургской школы. Для Чебышева было характерно решать трудные
конкретные задачи/вырабатывая на них общие и сильные аналитические методы.
Излюбленным аппаратом его исследований были непрерывные дроби. При этом Чебышев
был далек от господствовавшей в то время на Западе теории функций комплексной
переменной и остался чужд зародившейся в конце XIX столетия теории множеств.
ПРОГРАММЫ КУРСОВ, ЧИТАННЫХ П. Л. ЧЕБЫШЕВЫМ
ПРОГРАММА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ 1
(Одна лекция в неделю)
Руководствами служат сочинения по алгебре Лагранжа, Фурье,
Коши и др.
В первом полугодии пройдено:
1) понятие о решении уравнений высших степеней; мнимые
величины— модуль и аргумент; выполнение первых пяти действий над
мнимыми количествами; 2) доказательство, что всякое уравнение
имеет корень вида а + bV~ 1; 3) о сопряженности мнимых корней, число
всех корней уравнения; 4) о равных корнях, освобождение уравнений
от равных корней; 5) отделение корней по способу Штурма и Фурье,
способ подкасательных и другие средства убедиться в отсутствии
корней между двумя пределами; 6) вычисление корней помощью
непрерывных дробей; способ Фурье вычисления корней.
Предметом лекции второго полугодия будет:
1. Соотношение корней уравнения с коэффициентами его.
2. Симметрические функции корней. Приложение их к составлению
уравнения, которого бы корни были данною функциею данного
уравнения.
3. Исключение неизвестных помощью симметрических функций.
Степень конечного уравнения.
4. Способ исключения неизвестных помощью деления.
5. Способы исключения неизвестных Эйлера2 и Безу.
6. Определение мнимых корней уравнения.
7. Свойства корней двучленного уравнения. Решение двучленных
уравнений.
8. Решение уравнений третьей степени. Неразрешимый случай.
9. Решение уравнений четвертой степени.
10. Общий вид результата какой-либо совокупности алгебраических
действий.
11. Отличие функций алгебрических от трансцендентных.
Доказательство трансцендентности тригонометрических, логарифмической и
показательной функции.
Адъюнкт П. Чебышев
Декан Отделения Э. Ленц.
Н*

- 212 -
ПРОГРАММА ЛЕКЦИЙ ПЕРВОГО КУРСА
«СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»з
(Две лекции в неделю)
Руководствами служат сочинения Лежандра, Эйлера2, Ритта, Леруа
Коши и других.
В первом полугодии пройдено:
А. Сферическая тригонометрия
В состав ее вошло: 1) исследование свойств тригонометрических
функций, разложение их в бесконечные ряды и в произведение
бесконечного числа множителей; 2) уравнения, связывающие различные
части сферического трехугольника; 3) исследование различных случаев,
встречающихся при решении сферических трехугольников; 4) решение
сферических трехугольников, которых стороны весьма малы.
В. Аналитическая геометрия
Часть первая.
1) Понятие об аналитической геометрии и способе координат,
аналитическое определение положения точки; расстояние двух точек;
2) уравнение линии на плоскости, решение различных вопросов
относительно прямых линий и точек; 3) преобразование координат; 4)
исследование кривых линий второй степени; определение центра; 5)
разделение кривых линий на классы, простейшие виды уравнений кривых
линий, составляющих эти классы.
Предметом лекций второго полугодия будет:
1. Исследование вида эллипсиса, с различными способами его
черчения.
2. Исследование вида гиперболы, с различными способами ее
черчения.
3. Исследование вида параболы и способ чертить ее.
4. Фокусы и директрисы этих линий.
5. Касательные, подкасательные; нормали, субнормали.
6. Асимптоты. Черчение гиперболы по асимптотам.
7. Сопряженные диаметры и дополнительные хорды. Приложение
их свойств к определению центра, главных осей и фокусов в данном
коническом сечении.
Этим оканчивается первая часть аналитической геометрии о точках
и линиях на плоскости.
Часть вторая.
1. Уравнение точки, расстояние двух точек в пространстве.
2. Уравнение плоскости и решение различных вопросов,
относящихся до плоскостей.
3. Уравнение прямой линии. Решение различных вопросов,
относящихся к ней.

- 213 -
4. Теория проекций.
5. Преобразование координат.
6. О поверхностях второй степени.
7. Разделение их на классы.
8. Исследование эллипсоида.
9. Исследование гиперболоида однополого.
10. Исследование гиперболоида двуполого.
11. Исследование параболоида гиперболического.
12. Исследование параболоида эллиптического.
13. Изложение способа узнавать, к какому классу принадлежит
поверхность, когда известно ее уравнение.
Адъюнкт П. Чебышев.
Декан Отделения Э. Ленц.
ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ4
(Две лекции в неделю)
Руководствами служат: Poncelet: Traite de Mecanique appliquee
aux machines, Introduction a la mecanique -industrielle, Cor i о lis:
Traite de la mecanique des corps solides et du calcul de Teffet des
machines, Christian: Traite de Mecanique industrielle, Pambour:
Traite theoretique et pratique des machines locomotives, с различными
дополнениями из сочинений Навье, Тредгольди, Арманго и других.
В первое полугодие пройдено первый отдел практической
механики: об органах преобразования движения, с полною теориею
построения зубчатых колес (по Оливье), и значительная часть второго отдела:
о передаче движения- Здесь доказан общий способ вычисления
количества работы; выведено уравнение, показывающее потерю работы от
вредных сопротивлений; изложены законы трения и жесткости веревок
и разобраны подробно вредные сопротивления: 1) наклонной плоскости,
2) клина, 3) различных частей машины, двигающихся по прямому
направлению между упорными точками, 4) трение осей, 5) трение
колес катящихся; 6) вредные сопротивления ворота.
Предметом лекций второго полугодия будет:
1. Формула Понселе для приближенного вычисления значений*.
2. Приложение ее к различным случаям равновесия ворота.
3. Потеря работы при передаче движения помощью блоков
простых и сложных.
4. Трение винтов различного вида.
5. Трение зубчатых колес цилиндрических и конических.
6. Трение бесконечного винта.
* Здесь очевидный пропуск. Повидимому, имеется в виду одна из приближенных
формул Понселе, выражающих корень квадратный из суммы (разности) х2, у2, .. в виде
линейной функции от х, у,.... — Ред.

- 214 —
7. Влияние непрерывного изменения скорости различных частей
машины на количество работы.
8. Теория шатуна.
9. Необходимость уравнивать ход машины, средства для этого
употребляемые.
10. Теория маховых колес. Обстоятельства, условливающие размеры
махового колеса; размещение его и угловая скорость его вращения.
11. Прерывное изменение скорости. Теория удара и трение в
момент удара.
12. Орудия, служащие для мгновенного изменения скорости.
13. Теория молотов и пестов.
Адъюнкт П. Чебышег.
Декан Отделения Э. Ленд.
1850-го года,
января 2-го.
ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИИ АДЪЮНКТА П. ЧЕБЫШЕВА
В ПЕРВОЕ ПОЛУГОДИЕ 1850/61 г. 5
1
По предмету сферической тригонометрии
и аналитической геометрии
Руководствами будут служить: для лекций сферической
тригонометрии — Математическая энциклопедия Перевощикова, для
аналитической геометрии — курс Брашмана с дополнениями из
Analyse appliquee a la Geometrie de trois Dimensions, par Leroy,
и из Problemes <fapplication de l'Algebre a la Geometrie, par G. Ritt.
(Две лекции в неделю.)
А) Сферическая тригонометрия.
1. Составление уравнений, связывающих между собою различные
части сферического трехугольника.
2. Приложение этих уравнений к определению прямоугольных
сферических трехугольников по двум данным.
3. Определение каких-либо сферических трехугольников по трем
данным. Исследование тех случаев, когда возможны два решения.
Случаи невозможные.
4. Аналогия Гаусса и Непера. Приложение их к решению
сферических трехугольников.
5. Сумма углов сферического трехугольника и поверхность его.
6. Решение по приближению тех сферических трехугольников,
которых стороны очень малы.

- 215 —
В) Из аналитической геометрии.
1. Способ прямолинейных координат на плоскости. Координаты
прямоугольные и косоугольные. Расстояние двух точек.
2. Уравнение прямой линии. Геометрическое значение его
коэффициентов в системе прямоугольной и косоугольной. Определение угла,
составляемого двумя прямыми линиями. Аналитическое выражение
перпендикулярности и параллельности. Определение расстояния точки
от прямой линии.
3. Преобразование прямолинейных координат при изменении
направления осей и начала координат.
4. Полярные координаты. Преобразование прямолинейных координат
в полярные, и обратно — полярных координат в прямолинейные.
5. Исследование вида кривых линий, определяемых уравнениями
второй степени. Понятие об эллипсисе, гиперболе и параболе.
6. Центр эллипсиса и гиперболы. Отсутствие центра в параболе.
7. Простейший вид уравнения эллипсиса. Черчение его по точкам
и непрерывным движением.
8. Простейший вид уравнения гиперболы. Черчение гиперболы.
9. Простейший вид уравнения параболы. Черчение этой линии.
10. Сопряженные диаметры кривых линий второй степени. Свойство
сопряженных диаметров линий с центром и без центра. Сопряженные
диаметры двух кривых линий, имеющих четыре общие точки.
Определение кривой линии второй степени по пяти точкам. Главные
сопряженные диаметры.
11. Свойства сопряженных диаметров в эллипсисе, гиперболе и
параболе.
12. Фокусы кривых линий второй степени. Фокусы эллипсиса,
гиперболы и параболы. Свойства радиусов-векторов, проведенных из
фокусов. Директрисы.
13. Полярные уравнения эллипсиса, гиперболы и параболы.
2
По предмету высшей алгебры
Руководствами служат: Остроградского Лекции алгебрическо-
го [итрансцендентного] анализа, Сомова Теория определенных алгеб-
рических уравнений высших степеней, с дополнениями из Analyse des
equations determinees, par F о u r i e г, и Traite de la resolution des equations
numeriques, par Lagrange. (Одна лекция в неделю).
1. Производные целой функции; геометрическое значение первой
производной. Теорема Тейлора для целой функции. Наибольшие и
наименьшие значения целой функции.
2. Действия над мнимыми количествами.
3. Общий вид корней уравнения. Число их.
4. Сопряженность мнимых корней. Разложение целой функции на
множители первой и второй степени.

— 216 —
5. О равных корнях. Разложение данного уравнения с равными
корнями на уравнение с корнями неравными.
6. Отделение корней по способу Штурма. Приложение его к
уравнениям третьей степени и четвертой степени.
7. Свойство ряда, составленного из начальной функции и ее
производных. Отделение корней по способу Фурье.
8. Способ подкасательных для обнаружения отсутствия корней
между двумя подстановками. Другой способ Фурье узнавать
отсутствие корней между двумя подстановками.
9. Теория непрерывных дробей, дроби подходящие; их свойства.
10. Употребление непрерывных дробей для обнаружения отсутствия
или присутствия корней между двумя подстановками.
11. Стеснение пределов и вычисление корней помощью
непрерывных дробей.
12. Вычисление корней по способу Фурье. Степень сближения
пределов, при котором этот способ с выгодою прикладывается.
Быстрота приближения к истинной величине корня.
13. Вычисление корней по способу второй степени.
Теория кисел
Руководством служит сочинение, мною изданное, под названием
Теория сравнений6, с дополнениями из Theorie des nombres, par
Legendre; Disquisitiones arithmeticae, Gauss. (Одна лекция в
неделю.)
1. Предмет теории чисел и разделение ее.
2. Свойства чисел абсолютно простых и простых относительно.
3. Сравнение двух чисел между собою.
4. Сравнение первой степени, число их решений, определение этих
решений. Теорема Фермата, теорема Гаусса. Приложение этих теорем
к решению сравнений второй степени.
5. Сравнения высших степеней, высший предел числа их решений
при простом модуле. Понижение степени сравнения. Признак, по
которому узнаем, что сравнение имеет столько решений, сколько в
показателе единиц. Теорема Вильсона.
6. Сравнение второй степени. Число решений сравнения второй
степени. Приведение сравнений второй степени к простейшему виду.
Признак, по которому отличаем сравнения второй степени,
допускающие два решения, от сравнений второй степени, не имеющих решения.
7. Значение символа Лежандра Г-~\ где р—-простое, нечетное.
Свойства этого символа, определение значений (—)-
8. Значение символа (—J прир составном. Свойства его.
Употребление этого символа.

- 217 -
9. Решение уравнений (~-^==1, ^-£Л = — 1. Приложение этого
к делимости чисел.
10. Сравнения двучленные вида х™==:\ (Мод. р). Свойства
решений этих сравнений, число решений, определение их.
11. Сравнения двучленные*вида л;т = —1 (Мод. р). Число решений
таких сравнений; невозможные сравнения этого вида.
12. Общие свойства двучленных сравнений хт = А (Мод. р).
Решение этих сравнений.
13. Приложение теории сравнений двучленных к делимости чисел.
4
Практическая механика (вторая часть)
Руководствами служат: Resume des leqons donnees a l'fecole des
ports et chaussees, par №avier, Traite de Mecanique, appliquee aux
machines, Memoire sur les roues hydrauliques a aubes courbes, par
P^oncelet, Traite de la Mecanique des corps solides et du calcul de
l'effet des machines, par Coriolis. (Две лекции в неделю.)
1. Предмет теории двигателей. Определение количества работы
двигателей по опыту. Снаряды, употребляемые с этою целью.
2. О человеке, как двигателе; различные способы приложения его
силы. Сравнение различных приводов в отношении количества
работы, доставляемой одним человеком в одни сутки. Наиболее выгодные
скорость и усилия.
3. О лошади и других животных как двигателе. Снаряды,
употребляемые для получения работы этих двигателей. Условия, при которых
эта работа получает наибольшую величину.
4. О ветре как двигателе. Устройство различных ветряных
приводов. Условия, определяющие выбор той или другой системы крыльев.
Средства уравнивать скорость их. Количество работы, доставляемой
ветром различной скорости.
5. Количество работы, которую вода, двигающаяся в канале или
падающая с высоты, способна доставить. О расходе различного рода отверстий.
6. Теория наливных колес. Наиболее выгодная скорость их; вид
и размеры его частей. Колеса гребные.
7. Пошвенные колеса с прямыми и кривыми лопатками. Висячие
колеса.
8. Теория турбин. Устройство их, при котором достигаем
желаемой скорости и наибольшего полезного действия.
9. Колеса реактивные. Водостолбовая машина.
10. Сравнение количества работы, доставляемой при различных
обстоятельствах гидравлическими колесами различного устройства.
Обстоятельства, условливающие выбор той или другой системы колес.
Адъюнкт П. Чебышев.
В Собрании факультета 26 мая одобрено.
Декан физико-математическото факультета Э. Ленд.

- 218 -
ПРОГРАММА КУРСА ПРАКТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В АЛЕКСАНДРОВСКОМ
ЛИЦЕЕ, ЧИТАННОГО П. Л. ЧЕБЫШЕВЫМ в 1852-1866 гг. 7
(Две лекции в неделю, в I классе.)
Общие понятия о механике вообще и в особенности о
практической механике. Сила, количество работы. Показать, что количество
работы выражается произведением усилия на длину проходимого
пути. Количество работы по направлению, отличному от направления
силы. По каким направлениям сила стремится двигать и по каким
не стремится? Какие перемещения могут произвести силы,
приложенные к системе точек? Условия равновесия системы. Случай, когда
для всех точек системы одинаково возможны перемещения в две
противоположные стороны; упрощение в этом случае условия
равновесия системы. Приложение этого к точке, могущей двигаться по
одной прямой линии и подверженной действию двух сил. Основной
закон равновесия в его приложении: 1) к наклонной плоскости, 2) к
рычагу и его видоизменениям: к весам Роберваля и самовесу, 3) к
клину, 4) к вороту. — О движении точек. Равномерное движение
машин; его уравнение. Двигатели и сопротивления. Условия
равномерного движения машин. Сопротивления вредные и полезные.
Показать, что в машине сколько выигрывается в силе, столько теряется
в скорости. Основной закон равномерного хода машин в его
практическом применении: 1) винтовой пресс, дифференциальный винт;
бесконечный винт; 2) дифференциальный ворот. Неравномерное движение
машин. Изменение в скорости от действия данной силы в данное время.
Масса тела. Количество работы, потребное для того, чтобы в
скорости точки произвести данное изменение, ps = -^-(v2 —v02). Работа
инерции. Приложение этого к практическим вопросам. Решить
следующий вопрос: воз весит 40 пудов, ему надобно сообщить скорость
10 футов в Г'; сколько на это потребно работы, если воз вначале
был в покое? — Определение усилия, потребного для того, чтобы
данному телу на данном пространстве сообщить известную скорость или
уничтожить прежде бывшую. Приложить уравнение ps = -у {v2 — v02)
к движению паровозов. Как велика должна быть сила,
долженствующая сообщить поезду] известную скорость на известном протяжении?
Как велика должна быть сила для того, чтобы остановить поезд на
известном протяжении? Уравнение неравномерного хода машин;
начало живых сил. Решить следующий вопрос: если покатить по полу
какой-нибудь шар, то он, прокатившись до некоторого расстояния,
остановится; зная скорость шара при начале движения и длину
проходимого пути, требуется узнать, как велика была сила, остановившая
тело, т. е. сила различных сопротивлений? •— Объяснить, на
основании общего закона неравномерного хода машин, действие следующих
механизмов: 1) молота, 2) копра с бабою; описание устройства этого

— 219 -
механизма. Движения периодические. Приведение в движение машин
и их остановка. Приложение общей теории неравномерного хода
машин к определению неравномерностей в движении колеса с
шатуном.— Средства уравнивать ход машины. 1) Как уменьшить
неравномерности, происходящие от того, что сумма всех работ в каждый
период не равна нулю? Центробежный уравнитель. Формулы для
определения изменения в положении стержней от изменения скорости
вращения и для определения веса шаров. 2) Как уменьшается
неравномерность движения машины в продолжение каждого периода?
Маховое колесо. Формулы для определения размера маховых колес. —
Вредные сопротивления. Трение; различные виды трения. Трение тел
скользящих; определение величины трения; трение при начале
движения и в продолжение движения. Определение работы трения в том
случае, когда для поднятия тяжестей употребляется наклонная
плоскость. Трение осей. Приложение этого к определению количества
работы, поглощаемой трением махового колеса. Трение пятника в пяте. —
Трение второго рода. Жесткость веревок. Результаты опытов Кулона и
Морена: -щ (а + (3Q), -^ (А + Вп + CQ). Сопротивление средин. Вред
и польза вредных сопротивлений. Нажимы, употребляемые для
остановки машин или замедления их хода. Нажимы для остановки
поездов по железной дороге. Приложение силы трения к определению,
по опыту, количества работы, доставляемой двигателем. —
Преобразование движения. Система органов, служащих для этого.
Преобразование прямолинейного движения в другое такое же; органы для этого
преобразования. Наклонная плоскость; выгода от ее употребления.
Клин; ножик. Блок простой и сложный; выгода от употребления
блоков.— Преобразование вращательного движения в прямолинейное и
обратно; органы для этого преобразования. Ворот простой, кабестан.
Ворот дифференциальный. Винт простой и дифференциальный.
Преобразование кругового движения в прямолинейное попеременное.
Доказать, что если внутри круга катится другой круг радиуса, вдвое
меньшего, то точки последнего круга описывают прямые линии.
Колесо Делагира. Кривошип с шатуном. Двойной кривошип. Эксцентрик
и его видоизменения. — Преобразование одного вращательного
движения в другое. Угловая скорость. Как найти скорость по дуге, зная
угловую скорость, и обратно. Органы для преобразования одного
вращательного движения в другое; передача вращения между двумя
осями параллельными, с переменою направления вращения; зубчатые
колеса цилиндрические, внешние. Определение числа зубцов,
величины шага, ширины зубцов, ширины впадины. Условие, которому
должно удовлетворять очертание зубцов. — Очертание зубцов, наиболее
употребительных в практике. Зубцы эпициклоидальные. Черчение
этих зубцов. Длина их и ширина. Приблизительный способ черчения
этих зубцов. Недостатки зубцов эпициклоидальных. Зубцы с
разверткою круга. Случай, когда одно колесо сочленено со многими другими.

— 220 -
Недостатки зубцов с разверткою круга. Цевочная шестерня,
очертание зубцов при этой шестерне. — Передача движения между двумя
осями параллельными без перемены направления. Зубчатые колеса
цилиндрические, внутренние; их построение, черчение их зубцов.
Преобразование вращательного движения в прямолинейное и обратно:
зубчатка с зубчатым колесом. Правила для устройства зубчатки, число
и форма зубцов. Передача вращательного движения между двумя
осями перпендикулярными, но в разных плоскостях; бесконечный
винт. — Передача вращения между двумя осями пересекающимися.
Колеса конические, их черчение. Универсальный шарнир. Передача
вращательного движения между двумя осями, находящимися на
далеком расстоянии; бесконечный ремень. Преобразование непрерывного
вращательного движения в попеременное вращательное или
прямолинейное. Молота хвостовые и лобовые. Песты. — Одушевленные
двигатели; их отличительные свойства; выражение количества их
работы. Количество работы, доставляемой человеком как двигателем.
Обстоятельства, увеличивающие и уменьшающие количество этой
работы. Приводы для получения работы человека: ступенчатый
барабан, рукоятка, рычаг и пр. Журавль. Лошадь как двигатель. Конный
привод. — Неодушевленные двигатели. Общее уравнение для
определения количества их работы. Ветер как двигатель. Устройство
вертикальных крыльев. Количество работы, получаемой от ветра. Условие
наибольшей работы. Крылья горизонтальные. — Вода как двигатель.
Падение воды; определение количества работы падения воды. Как
определить количество воды, протекающей в реке в продолжение
данного времени? Общая теория употребления воды как двигателя.
Гидравлические приемники. Гидравлические колеса. Каким условиям
должно удовлетворять колесо, чтобы работа воды достигала
наибольшей величины? Колеса висячие, их устройство. Количество работы,
доставляемое этими колесами. — Колеса подливные с прямыми и
кривыми лопатками. Устройство этих колес; наивыгоднейшая их скорость.
Количество работы, ими доставляемое. Колеса наливные.
Наивыгоднейшая их скорость; количество работы. Турбины различного
устройства. Водостолбовая машина. — О паре как двигателе. Устройство
печей. Различные системы котлов. Принадлежности котлов:
предохранительные клапаны и кружки, манометры, водомерные приборы,
питательные приборы. Свисток. Паровой цилиндр и золотники различного
устройства. Холодильник. Преобразование прямолинейного
попеременного движения поршня в круговое непрерывное: коромысло, шатун,
параллелограм Уатта. — Различные системы паровых машин. Машины
простого и двойного действия. Машины высокого, среднего и
низкого давления. Машины с охлаждением пара и без охлаждения.
Машины с расширением пара. Машины с коромыслом и без коромысла.
Машины с качающимися цилиндрами. Количество работы,
доставляемое машинами с холодильником и без холодильника. Особенности в
устройстве, паровых машин на пароходах и паровозах. Механизмы,

— 221 —
которыми приводятся в движение пароходы и паровозы. Пароходы с
Архимедовым винтом; пароходы с колесами.
ПРОГРАММА ЛЕКЦИИ
ЭКСТРАОРДИНАРНОГО ПРОФЕССОРА П. ЧЕБЫШЕВА8
1
Сферическая тригонометрия и аналитическая геометрия
Руководством будут служить собственные записки.
(Одна лекция в неделю.)
А. Сферическая тригонометрия
1. Составление уравнений, связывающих различные части
сферического трехугольника.
2. Приложение этих формул к определению прямоугольных
трехугольников по двум данным частям.
3. Определение каких-либо сферических трехугольников по трем
данным частям.
4. Аналогия Гаусса и Непера. Приложение их к решению сфериче-
ческих трехугольников.
5. Сумма углов сферического трехугольника и его поверхность.
6. Решение сферических трехугольников по приближению.
В. Аналитическая геометрия
1. Способ прямолинейных координат на плоскости. Прямоугольные
и косоугольные координаты. Расстояние двух точек.
2. Уравнение прямой линии на плоскости. Геометрическое
значение коэффициентов уравнения. Определение угла, составляемого
двумя прямыми линиями. Условие перпендикулярности и параллельности.
3. Преобразование координат при изменении направления осей и
начала.
4. Понятие о координатах полярных. Преобразование
прямолинейных координат в полярные и обратно полярных в прямолинейные.
5. Исследование кривых линий, определяемых уравнением второй
степени.
6. Центр кривых линий второй степени.
7. Простейший вид уравнения эллипсиса. Различные способы
чертить его по точкам и непрерывным движением.
8. Простейший вид уравнения гиперболы и различные способы ее
черчения.
9. Простейший вид уравнения параболы. Черчение ее.
10. Сопряженные диаметры кривых линий второй степени.
Свойства их в кривых с центром и без центра.
11. Сопряженные диаметры эллипсиса, гиперболы и параболы.
12. Фокусы кривых- линий второй степени. Фокусы эллипсиса,
гиперболы и параболы директрисы.

- 222 -
13. Полярные уравнения кривых линий второй степени.
14. Касательные к кривым линиям второй степени.
15. Касательная и линии, от нее зависящие, в эллипсисе.
16. Касательная и линии, от нее зависящие, в гиперболе.
17. Касательная и линии, от нее зависящие, в параболе.
18. Дополнительные хорды в эллипсисе и гиперболе.
Соотношение между дополнительными хордами, сопряженными диаметрами и
касательною.
19. Асимптоты гиперболы. Уравнение гиперболы, отнесенной к
асимптотам.
20. Определение точки в пространстве. Расстояние двух точек.
21. Уравнение плоскости. Угол двух плоскостей. Условие
перпендикулярности и параллельности плоскостей.
22. Уравнения прямой линии в пространстве. Условие
пересекаемости двух линий.
23. Угол двух линий и линии с плоскостью. Условие
перпендикулярности и параллельности.
24. Преобразование координат при изменении направления осей и
начала. Полярные координаты. Преобразование прямолинейных
координат в полярные и обратно.
25. Исследование поверхностей второй степени. Поверхности,
имеющие центр; определение его координат.
26. Диаметральная плоскость.
27. Главная диаметральная плоскость.
28. Эллипсоид.
29. Гиперболоид однополый. Образование этой поверхности
движением прямой линии.
30. Гиперболоид двуполый.
31. Параболоид гиперболический. Образование его движением
прямой линии.
32. Параболоид эллиптический.
33. Конусы и цилиндры.
2
Высшая алгебра
Руководством буду? служить: Остроградского Лекции алгеб-
рического анализа9, Сомова Теория определенных уравнений
высших степеней, с дополнениями из Analyse des equations determinees,
par Fourier, и Traite de la resolution des equations numeriques, par
Lagrange. (Одна лекция в неделю.)
1. Производные целой функции, геометрическое значение первой
производной. Теорема Тейлора для целой функции. Наибольшее и
наименьшее значения целой функции.
2. Действие над мнимыми количествами.
3. Общий вид корней уравнения. Число корней.

- 223 —
4. Сопряженность мнимых корней. Разложение целой функции на
множители первой и второй степени.
5. О равных корнях. Разложение данного уравнения с равными
корнями на уравнение с корнями неравными.
6. Отделение корней по способу Штурма. Приложение его к
уравнению третьей степени.
7. Свойства ряда, составленного из начальной функции и ее
производных. Отделение корней по способу Фурье.
8. Способ подкасательных для обнаружения отсутствия корней
между двумя подстановками. Другой способ узнавать отсутствие
корней между двумя подстановками.
9. Теория непрерывных дробей, дроби подходящие; их свойства.
10. Употребление непрерывных дробей для обнаружения
отсутствия или присутствия корней между двумя подстановками.
И. Стеснение пределов и вычисление корней помощью
непрерывных дробей.
12. Вычисление корней по способу Фурье. Степень сближения
пределов, при которой этот способ с выгодою прикладывается.
Быстрота приближения к истинной величине корня.
13. Вычисление корней по способу второй степени.
14. Решение уравнений двучленных.
15. Уравнение третьей степени, неразрешимый случай; решение его
помощью тригонометрических таблиц.
16. Уравнение четвертой степени.
17. Соотношение между коэффициентами уравнения и его корнями.
18. Теория симметрических функций.
19. Исключение неизвестных помощью симметрических функций.
20. Степень конечного уравнения.
21. Исключение неизвестных через последовательные деления.
Другие способы исключения неизвестных.
22. Доказательство, что всякая совокупность алгебраических
действий приводится к решению уравнения.
23. Отличие функций алгебраических от трансцендентных.
Трансцендентность функций: логарифмической, показательной и всех круговых.
3
Теория эллиптических функций
Руководствами будут служить: Сомова Основания теории
эллиптических функций, с дополнениями из сочинения Абеля (Oeuvres
completes de N. Н. Abel) и Якоби (Fundamenta nova theoriae functionum
ellipticarum). (Одна лекция в неделю.)
1. Приведение к простейшим видам тех интегралов, которые под
знаком интегрирования содержат функцию рациональную
относительно х и ]/а + Ьх + сх2 + дх* +~ех*.

— 224 -
2. Различные виды эллиптических функций.
3. Теорема Абеля.
4. Приложение теоремы Абеля к эллиптическим функциям
различного вида.
5. Обратные эллиптические функции.
6. Определение sin am (а+р), sin am (а—Р), sin am (а + р) sin am (а—13).
7. Определение cos am (а+р), cos am (а—р), cos am (а+fi) cos am (а—р).
8. Определение tang am (a — P), tang am (a + p), tang am (a + p).
• tang am (a — p).
9. Формулы, определяющие A am (a + p), A am (a — p),
Д am(a + p)-A am (a— p).
10. Значение sin am a, cos am a, A am a, tang am a при мнимой
величине a.
И. Периодичность обратных эллиптических функций.
12. Преобразование первой степени.
13. Преобразование второй степени.
14. Вычисление эллиптических интегралов первого вида,
основанное на преобразовании второй степени.
15. Общая теория преобразований нечетных степеней.
16. Преобразование большого модуля в меньший и меньшего в
Оолыний.
17. Разложение эллиптических функций в бесконечные ряды.
4
Теория чисел
Руководством служит сочинение, изданное мною под названием
Теория сравнений7, с дополнениями из Theorie des nombres, par
Legendre, и Disquisitiones Arithmeticae, Gauss. (Одна лекция в
неделю.)
1. Предмет теории чисел и разделение ее.
2. Свойства чисел абсолютно простых и простых относительно.
3. Сравнение двух чисел между собою.
4. Сравнение первой степени, число их решений, определение этих
решений. Теорема Фермата, теорема Эйлера. Приложение этих теорем
к решению сравнений первой степени.
5. Сравнение высших степеней; высший предел числа их решений
при модуле простом. Понижение степени сравнения. Признак, по
которому узнаем, что сравнение имеет столько решений, сколько в
показателе единиц. Теорема Вильсона.
6. Сравнение второй степени. Число решений сравнений второй
степени. Приведение сравнений второй степени к простейшему виду.
Признак, по которому отличаем сравнения второй степени,
допускающие два решения, от сравнений второй степени, не имеющих решения.
7. Значение символа Г~\ где/? — простое, нечетное. Свойства этого
символа и определение его величины.

- 225 —
8. Значение символа (j\ при р составном. Свойства символа и его
употребление.
9. Решение уравнений (J)= 1, (£) = - 1. Приложение этого к
делимости чисел.
10. Сравнения двучленные вида хт = 1 (Мод. р). Свойства
решений этих сравнений, число решений, определение их.
11. Сравнения двучленные вида хт = А (Мод. р).
12. О сравнениях вида хт = — 1 (Мод. р). Число решений таких
сравнений; невозможные сравнения этого вида.
13. Приложение теории двучленных сравнений в делимости чисел.
14. О сравнениях вида clx=eeA (Мод. р). Решение таких сравнений.
15. Теорема указателей. Решение сравнений первой степени и
сравнений двучленных помощью таблиц указателей.
16. О существовании первообразного корня для всякого простого
числа. Число первообразных корней.
17. Определение первообразных корней.
18. О сравнениях вида х2 + Ау2 + В = 0 (Мод. р).
19. Линейные делители квадратичной формы х2±ау2 при а
простом.
20. Свойства квадратичных форм.
21. Определение квадратичных делителей квадратичных форм.
22. Определение линейных делителей помощью квадратичных.
Экстраординарный профессор П. Чебышев
1853 г.
19 мая.
Программы профессора Чебышева одобрены были
на факультетском Собрании 29 мая 1853 г.
Декан Э. Ленц.
Краткий отчет за 186311864 академический год от преподавателя
аналитической геометрии, сферической тригонометрии, высшей алгебры, теории чисел и
теории эллиптических функций, экстраординарного профессора П. Чебышева10
Имя

преподавателя
Пафну-
тий
Чебышев
Предмет
преподавания
В 1-м курсе
разряда
математических и
естественных
наук.
Аналитическая
геометрия и
сферическая
тригонометрия.
Что пройдено
Основные формулы
сферической
тригонометрии и их
приложение к
решению
сферических
трехугольников. Аналитика
в пространстве и
на плоскости.
По какому автору
По
собственным
записям.
Число
лекций
53
Имена
отличнейших студентов и
слушателей
Венгржинович
Фаддей,
Дзюбин v
Михаил,
Цуханов
Михаил.
16 П. Л. Чебышев, т. V

- 226 —
Имя

преподавателя
Пафну-
тий
Чебышев
Предмет
преподавания
Во 2-м курсе
разряда
математических наук.
Высшая
алгебра.
В 3-м курсе
разряда
Математических наук.
Теория чисел.
В 4-м курсе
разряда
математических наук.
Теория
эллиптических функций.
Что пройдено
Свойства корней
уравнения.
Отделение и
вычисление корней.
Исключение
неизвестных.
Понятие о предмете
теории чисел,
свойства сравнений,
сравнение 1-й, 2-й
и высших
степеней. Теория
указателей. Теория
квадратичных
форм.
Свойства
эллиптических функций,
их
преобразования и приведения.
По какому автору
По
сочинениям о
высшей
алгебре Острс-
градского,
Сомова, Ла-
гранжа,
Фурье.
По
собственному
сочинению
Теория
сравнений.
По сочинению
Сомова
Основания
теории
эллиптических
функций.
1 Число |
]лекций
28
28
25
1
Имена
отличнейших студентов
и слушателей
Пожаров
Андрей,
Евсевич
Ипполит.
Фишер Адам,
Дрожжин
Василий.
Бобчинский
Тит,
Зелинский
Антон.
П. Чебышев.
Краткий отчет за 1855J1855 академический год от преподавателя чистой
математики э\кстра\-о\рдинарного\ профессора] П. Чебышева11
Имя

преподавателя
Пафну-
тий
Чебышев
Предмет
преподавания
Что пройдено
По какому автору
Имена
отличнейших студентов
и слушателей
Сферическая

тригонометрия и
аналитическая
геометрия.
Соотношения между
сторонами и углами
сферического
трехугольника. Решение
сферических
трехугольников. Решение
трехугольников с
малыми сторонами.
Аналогии.— Способ
координат. Точки на
плоскости и их
расстояния. Прямая
линия. Преобразование
координат. Кривые
2-й степени. Точки и
линии в пространстве.
Плоскость.
Поверхности 2-й степени.
По
собственным
запискам.
54
2-го курса
Коркин
Александр, 12
Авенариус
Михаил,
Адамов
Алексей,
Гельман
Август

227 —
Имя

преподавателя
Предмет препода-
ваьия
Что пройдено
По какому автору
Имева
отличнейших студентов
и слушателей
Пафну-
тий
Чебышев!
Высшая
алгебра.
Теория чисел.
Теория
эллиптических функ-|
ций.
Решение уравнений как
особеннее действие
алгебры. Виды и
число корней.
Решение численных
уравнений.
Симметрические функции.
Исключение
неизвестных. Теорема Безу.
Решение уравнений
двучленных.
Уравнение третьей и
четвертой степени.
Основные свойства
чисел; свойства
сравнения. Сравнения 1-й
степени. Сравнения
высших степеней.
Сравнения 2-й
степени; квадратичные
вычеты. Сравнения
двучленных.
Первообразные корни и
указатели.
Квадратичные формы.
Приведение интегралов,
содержащих радикал
из полинома
четвертой степени или
третьей. Понятие о
видах эллиптических
функций. Теорема
Абеля. Ее
приложение. Периодичность
эллиптических
функций 1-го вида.
Преобразование по
модулю. Разложение
в ряды.
По
собственным
запискам,
придерживаясь
сочинений Ост-
роградсксго,
Сомова, Лаг-|
ранжа и
Фурье.
291 Добружинскии
I Константин,
1 Таскин
Михаил.
По изданному
мною
сочинению:
Теория сравне-
По сочинению
пр. Сомова:
Основания
теории

липтических
функций.
90
26
Итого 138
2-го курса
Заржицкий
Николай,
Ястребцсв
Василий.
4-го курса
Калябин Петр,
Бычков Федор,
Евсевич
Ипполит,
Ордин Кесарь,
Струве Карл,
Францкевич
Альфонс.
Э. о. пр. [Экстраординарный профессор] П. Чебышев.
15*

— 228 -
ЭТАПЫ СЛУЖБЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА В УНИВЕРСИТЕТЕ
Сообщение
о назначении Буняковского Виктора Яковлевича оппонентом
при публичном защищении магистром Чебышевым диссертации
под заглавием: «Об интегрировании помощью логарифмов» 13.
Декан 2-го отделения философского факультета имеет честь уведомить Виктора
Яковлевича14, что он назначен оппонентом при публичном защищении магистром
Чебышевым диссертации его под заглавием: «Об интегрировании помощью
логарифмов», которое будет происходить в воскресенье 18 сего мая в 12 часов утра,
в одной из университетских зал.
13 мая 1847 г.
26 июня 1847 г.*
Г. Ректору С.-Петербургского
университета15.
Признавая полезным предложение декана Второго отделения философского
факультета, утвержденное Советом С.-Петербургского университета, касательно
поручения магистру Чебышеву чтения алгебры во 2-м курсе, вместо адъюнкта Сомова,
и теории чисел в 4 курсе, по одной лекции в неделю на каждый из сих предметов,
а адъюнкту Сомову, вместо чтение алгебры одной лекции в неделю, чтения в 3-м
курсе теории эллиптических функций также одной лекции, я согласен на приведение
этой меры в исполнение, как скоро магистр Чебышев будет утвержден г. Министром
народного просвещения в звании доцента.
Попечитель С.-Петербургского Учебного Округа (подпись)
Правитель Канцелярии (подпись)
10 ноября 1847 г.
В Совет Императорского С.-Петербургского университета
2-го отделения философского факультета
Представление16.
По случаю открывшейся в здешнем университете вакансии экстраординарного
профессора по кафедре математических наук, 2-е отделение философского
факультета имеет честь ходатайствовать об избрании на оию вакансию адъюнкта Сомова, и,
вместе с тем, о назначении приват-доцента Чебышева адъюнктом по той же кафедре.
Излишне было бы входить <в подробности относительно педагогических и ученых
заслуг адъюнкта Сомова. Члены Совета знают на самом опыте, что молодые люди,
получившие математическое образование в здешнем университете, отличаются
основательностью приобретенных ими познаний, а это без сомнения должно отнести
преимущественно к способу преподавания в первом курсе, где, так сказать, полагается
основание дальнейшему изучению высших предметов. Эта обязанность до сих пор
* Дата перед наименованием адресата всюду на документах указывает время
получения письма адресатом.— Ред.
м. н. п.
Попечителя
С.-Петербургского учебного
Округа
Канцелярия
Стол 1
в С-т Петербурге
23 июня 1847 года
№ 3532

— 229 —
лежала исключительно на адъюнкте Сомове. Поэтому он, неоспоримо, имел самое
близкое влияние на несомненные успехи многих студентов, окончивших курс в нашем
университете. Ныне г. Сомову поручено от факультета читать в 3 курсе теорию
эллиптических функций, одну из труднейших в интегральном исчислении. Можно
утвердительно сказать, что и эти чтения будут также удачны: ручательством в этом
служит сочинение об упоминаемом предмете, напечатанное г. Сомовым в 1841 г., и
которое отличается особенною отчетливостью и ясностью изложения.
Прибавим еще, что г. Сомов не ограничил свою ученую деятельность одними
педагогическими занятиями. В 1838 г. он напечатал пространное сочинение о теории
определенных алгебраических уравнений высших степеней, которому была
присуждена от Академии Наук поощрительная Демидовская премия. Так как 2-е отделение
имело уже случай представить Совету подробный разбор этого труда, то
ограничится ныне одним только замечанием, что эта книга, в которой излагается в полном
объеме целая наука, в современном ее состоянии, обратила на себя особенное
внимание отечественных математиков замечательным развитием и даже
усовершенствованием многих теорий. Нет сомнения, что это сочинение много способствовало
усилению математического образования и к распространению у нас примечательнейших
трудов первостепенных математиков. Наконец, г. Сомов в диссертации своей, написанной
на степень доктора и напечатанной под заглавием Аналитическая теория волнообразного
двиоюения эфира, предложил столько примечательных и любопытных для науки
исследований, что это сочинение, отличающееся сверх того обдуманностью и изяществом
аналитических приемов, дает автору несомненное право на почетное место между
известными математиками.
Приват-доцент Чебышев читает во 2-м курсе теорию алгебраических уравнений
высших степеней, а в 4-м теорию чисел. Профессору Буняковскому поручено было
посещать эти лекции, и потом представить свое мнение о новом преподавателе.
Исполнив это поручение и рассмотрев со вниманием составленные г. Чебышевым
записки о преподаваемых им предметах, проф. Буняковский отозвался с полною
похвалою как о чтениях, так и о записках. Особенная ловкость г. Чебышева в
аналитических приемах, ясность и последовательность в изложении, стройный,
систематический порядок, в котором он умел расположить, повидимому, весьма разнородные
предметы исследования теории чисел, некоторые новые, упрощенные доказательства,—-
все эти достоинства свидетельствуют о несомненных, высоких его дарованиях. Проф.
Буняковский желает обратить внимание членов Совета преимущественно на то
обстоятельство, что теория чисел, чуть ля не труднейшая часть чистого анализа, до
сих пор не была приведена в удовлетворительную систему, и первые попытки
нашего молодого математика в этом деле он считает весьма удачными. Он основывает
свое мнение как на содержании лекций и сообщенных ему Записок о теории чисел,
так и на словесных объяснениях по этому предмету, которые он несколько раз имел
с г. Чебышевым. 2-е отделение имеет также честь представить Совету, что имя
г. Чебышева известно с весьма выгодной стороны и за границей по статьям, которые
он не раз уже помещал в иностранных математических журналах. Наконец,
диссертация Об интегрировании помощью логарифмов, читанная г. Чебышевым в нашем
Унивеоситете в виде пробной лекции, по трудности излагаемого в ней предмета и по
тонким аналитическим соображениям, собственно принадлежащим ее автору, есть, без
сомнения труд, вполне заслуживающий внимания математиков.
В заключение 2-е отделение присовокупляет, что приват-доцент Чебышев читал
до сих пор две лекции в неделю; ныне же, с увольнением Э. П. Аекудовича, он будет
иметь, по распоряжению факультета, пять лекций, наравне с другими профессорами.
По «всем сим соображениям, Отделение признает совершенно справедливым
ходатайствовать об избрании г. Чебышева в звание адъюнкта.
Декан Отделения Э. Ленц
С.-Петербург. 1847 г. ноября 7-го.

— 230 —
Во 2-е Отделение философского факультета
С.-Петербургского университета 17
ординарного профессора Буняковского мнение
о рукописи адъюнкта Чебышева: Теория сравнений.
Теория чисел, эта важная отрасль чистого анализа, остается до сих пор как бы
чуждою высшему математическому образованию не только у нас, но и вообще.
Между тем, нет сомнения, что она, составляя одну из существенных частей общего
анализа, совершенно необходима для полноты математических сведений.
С.-Петербургскому университету принадлежит счастливая мысль ввести ее в число
факультетских, обязательных предметов, и, можно надеяться, что в скором времени другие
русские университеты последуют в этом отношении нашему примеру. Ни по одной
из отраслей точных наук так не ощутителен, в нашей литературе, недостаток
пособий, как по теории чисел. За исключением немногих академических мемуаров, до сих
пор не было на русском языке ни одного сочинения по этой части, что, конечно,
много замедлило у нас ее изучение. Итак, издавие основательного трактата по
предмету теории чисел должно считать очень значительною заслугою для отечественной
ученой литературы.
Ныне адъюнкт П. Л. Чебышев представил во 2-е отделение рукопись под загла-
еием Теория сравнений18, которую факультет поручил мне рассмотреть. Этот труд
составляет отдельное целое, именно, общую часть теории чисел, часть наиболее
важную по своим приложениям. Нельзя не обратить особенного внимания на искусство,
с каким сочинитель расположил и подвел под общие начала все (Исследования я
доказательства, относящиеся к теории сравнений. Ученые, занимающиеся специально
этим предметом, очень хорошо знают, как трудно привести в систематический порядок
статьи, поведимому, разнородные, входящие в состав подобного рода изысканий.
Сочинение г. Чебышева разделено на восемь глав следующего содержания:
Предварительные понятия. Глава I. О сравнениях вообще. Глава II. Сравнения
первой степени. Глава III. О сравнениях высших степеней вообще. Глава IV. Сравнения
второй степени. Глава V. Сравнения двучленные. Глава VI. Сравнения вида
а*^А (Мод. р). Глава VII. Сравнения второй степени с двумя неизвестными.
Глава VIII. Приложение теории сравнений к разложению чисел на первоначальные
множители. Не будем останавливаться на разборе этих глав, заключающих в себе полное
изложение основных начал науки; скажем только, что система, которую ввел автор,
простота употребляемых им приемов и единообразие способов значительно облегчат
изучение теории чисел, которая, по отвлеченности своей, многим казалась
недоступною. Обратимся к трем прибавлениям 19; составляющим собственный труд сочинителя.
В первом из них, под заглавием Квадратичные вычеты, т. Чебышев распространил
определение символа (-~ \ предложенного Лежандром только для N простого, на
случай какого ни есть сложного числа N. Из исследований автора проистекает
легчайший способ для вычисления этой символической формулы в общем случае, и вместе
с тем обнаруживаются значительные преимущества такого знакоположения в других
частях теории чисел. Второе прибавление имеет предметом определение
первообразных корней для некоторых простых чисел данного вида. Здесь любители теории
чисел найдут несколько весьма применительных предложений о первообразных корнях,
-совершенно новых по своей сущности. Наконец, в третьем прибавлении автор
занимается исследованием свойств функции, определяющей совокупность простых чисел,
меньших данного предела. Этот труд, требовавший самых тонких соображений из
интегрального исчисления, одобрен нашею Академиею Наук и напечатан1 недавно
на французском языке в ее Записках, почему я считаю излишним говорить о его
достоинстве.
В конце книги помещено несколько таблиц, употребляемых в теории чисел.
Первая содержит в себе простые числа до предела .6000; во втором разряде таблиц

- 231 -
заключаются все первообразные корни и указатели для простых чисел до 200. Наконец,
третья таблица дает вое линейные делители квадратичной формы х* щр для
величин а от 1 до 101 включительно.
В заключение сказанного о сочинении адъюнкта Чебышева, присовокуплю, что
оно, по всей справедливости, заслуживает полное внимание, с одной стороны, как
первый самостоятельный труд на русском языке о предмете, признанном весьма важаым
всеми математиками, а с другой, по самому исполнению, которое отличается
строгою последовательностью, простотою изложения м> во многих случаях, изяществом
новых аналитических приемов, собственно принадлежащих автору. Весьма
желательно, чтоб это сочинение было скорее издано в свет, потому что оно, по достоинству
своему, неоспоримо, послужит к обогащению нашей математической литературы.
Профессор В. Буняковский.
2 октября 1848 г.
Разбор сочинения г-на Чебышева,
адъюнкта С.-Петербургского университета, под заглавием
«Теория сравнений»,
составленный гг. академиками Фусом и Буняковским20.
Теория чисел, эта важная отрасль чистого математического анализа, очень
недавно сделалась у нас предметом, до некоторой степени обязательным, при высшем
математическом образовании. Не останавливаясь на вопросе о значении этой науки
в ряду знаний положительных, укажем только, в коротких словах, на пользу, которую
она приносит. Для этого достаточно было бы исчислить многоразличные ее
приложения к высшей алгебре и к интегральному исчислению. Но, кроме того, теория
чисел имеет другое, неоспоримое достоинство: она в высшей степени способствуег
развитию привычки не доверять поверхностным взглядам, а подвергать каждый
предмет обстоятельному, полному разбору. Тонкие, иногда глубокомысленные
умозаключения, встречающиеся в ней, изощряют способность мышлевия, »н в этом отношении,
по нашему мнению, приносят высшему образованию такую же пользу, какую, со-
тласно со свидетельством всех педагогов, можно ожидать от геометрии для среднего
образования. В таком убеждении С.-Петербургский и Казанский университеты, два
года тому назад, ввели ее в число факультетских предметов.
Недостаггок книг о теории «чисел на русском языке, конечно, отчасти замедлил у
нас ее изучение. Кроме немногих академических записок и отдельных статей об этой
теории, помещенных в некоторых курсах алгебры, мы до сих пор ничего не имели
о ней, сколько-нибудь полного, даже в переводе. Итак, появление оригинального
сочинения по предмету трансцендентной арифметики конечно обратит на себя
внимание отечественных математиков.
Г. Чебышев, адъюнкт С.-Петербургского университета, представил в прошедшем
году в Демидовский конкурс сочинение в рукописи под заглавием Теория сравнений;
го поручению Академии мы рассматривали этот труд, ныне почти оконченный
печатанием. Имеем честь представить о нем следующее мнение.
Книга г. Чебышева составляет отдельное целое, именно общую, наиболее
важную часть учения о числах. В самом деле, теория сравнений служит основанием
всех изысканий, входящих в высшую арифметику; в некотором смысле она есть
умозрительная ее часть, а диофантов анализ — только приложение ее законов к
решению практических вопросов. Нельзя не обратить особенного внимания на искусство,
с которым автор расположил и подвел под общие начала все исследования и
доказательства, относящиеся к теории сравнений. Ученые, специально занимающиеся этим
предметом^ ояень хорошо знают, как трудно привести в систематический порядок
статьи, повидимому разнородные, но которые однако^, по зрелом обсуждении,
должны войти в изложение науки о числах. По нашему мнению, одно составление
обстоятельной, систематической программы по этой отрасли математики есть уже труд,
вдшже з&служдаадащий благодарности.

— 232 -
Сочинение г. Чебышева разделено на восемь глав следующего содержания:
Глава I. О сравнениях вообще. Глава II. О сравнении первой степени. Глава III.
О сравнениях высших степеней. Глава IV. Сравнения второй степени. Глава V. О
сравнениях двучленных. Глава VI. О сравнениях вида а* = А (Мод р). Глава VIII.
О сравнении второй степени с двумя неизвестными. Глава VIII.
Приложение теории сравнений к разложению чисел на простые множители.
Вслед за этими осьмью главами, помещены три прибавления, -именно:
I. О значении символа (?~ ] при pug составных; приложение к определению JL
\Я J Я
при q простом. II. О первообразных корнях. Теоремы, служащие для определения
первообразных корней различных чисел по их виду. III. О свойствах функции,
определяющей сколько простых чисел, меньших данного. В заключении книги автор
приводит три таблицы, из которых две последние особенно полезны при исследованиях
о свойствах чисел. I. Таблица простых чисел до 6000. II. Таблица указателей и
первообразных корней для чисел, меньших 200. III. Таблица линейных делителей формулы
& ± аУ2 до а = 101.
В предисловии к своему сочинению г. Чебышев, в коротких словах, поставил на
вид главные заслуги Фермата, Эйлера, Лагранжа, Лежандра и Гаусса по предмету
теории чисел. Там же он старался оправдать систему изложения, принятую им в своей
теории сравнений, и, должно отдать справедливость автору, порядок, которого он
придерживался, очень естественный, и постепенность везде соблюдена как нельзя
строже. Легко убедиться в этом, пробежав подробное содержание параграфов,
входящих в состав каждой главы. Несмотря на свою краткость, предисловие
свидетельствует, что автор глубоко изучал труды математиков по предмету трансцендентной
арифметики, и преимущественно исследования Эйлера. Весьма любопытным
показалось нам замечание г. Чебышева, что в мемуаре под заглавием: Observationes circa
divisorem quadratorum per numeros primos, изданной Эйлером еще в 1772 г.,
заключается, правда без доказательства, одно предложение, которое в сущности выражает
закон взаимности двух простых чисел. Этот примечательный закон, один из
важнейших в теории чисел, предложен и доказан Лежандром в 1785 г.; но сближение
теоремы Эйлера с Лежандровой, сколько нам известно, не было замечено до сих пор
математиками.
Текст сочинения заключает в себе полное изложение начал науки о числах. При
расположении статей автор следовал в той мере, в какой аналогия дозволяла,
разделениям и переходам от одного предмета к другому, принятым в определенном
алгебраическом анализе. Такой порядок должно считать вполне естественным и
удовлетворительным, сообразив, что уравнения определенного алгебраического анализа
в общей части теории чисел заменяются сравнениями, то есть равенствами остатков.
Конечно, по самой сущности предмета, аналогия не могла быть поддержана во всех
подробностях, и тут предстоял автору труд систематического расположения
некоторых отдельных предложений, в чем он имел полный успех. При естественности
системы, сочинение г. Чебышева имеет и другие достоинства, относящиеся к самому из-
ложеняю. Кроме ясности и строгости доказательств, истинно геометрических, оно
отличается простотою приемов и единообразием способов, а это самое значительно
облегчит изучение теории чисел, которая, по отвлеченности своей, многим казалась
недоступною. В подтверждение наших слов, мы укажем между прочим на главу IV,
в которой излагается подробно теория сравнений второй степени и, как
принадлежащее сюда предложение, закон взаимности двух простых чисел. Предмет этой главы
считается одним из наиболее сбивчивых и затруднительных; между тем, читая его
в книге г. Чебышева, он покажется чрезвычайно простым и элементарным, что, без
сомнения, послужит лучшею ^похвалою изложению.
Скажем ещё несколько слов о трех прибавлениях19, заключающих в себе
собственные исследования сочинителя. В первом из них, под заглавием Квадратичные вычеты>
г. Чебъппев распространил определение символа (-^\ предложенное Лежандром
только для N простого, на случай какого ни есть сложного числа Ж Из исследований

— 233 —
автора проистекает легчайший способ для вычисления этой символической формулы
в общем случае, и, вместе с тем, обнаружяваются значительные преимущества такого
законоположения в других частях теории чисел. Второе прибавление имеет предметом
определение первообразных корней для некоторых простых чисел данного вида.
Изыскания, о которых говорим, примечательны тем, что заключают в себе первый
успешный опыт непосредственного определения первообразных корней, независимый от
последовательных испытаний или подстановлевий. В упоминаемом прибавлении
любители теория чисел найдут четыре предложения о первообразных корнях, совершенно
ноьые по своей сущности. Выписываем эти георемы:
Теорема 1. Первообразный корень числа простого 22п -f 1 есть 3.
Примеры: 5, 17, 257, 65537 имеют первообразным корнем 3.
Теорема 2. Первообразный корень числа 2(4д+1) + 1 при 4л+1 простом,
есть 2, а числа 2(4/i + 3)-j-l при 4л+ 3 простом, есть 2(4л + 3) — 1.
К первому случаю относятся числа 11, 59, 83, 107, 123, которых первообразный
корень есть 2; ко второму 7, 23, 47, которых первообразные корни будут
соответственно 5, 21, 45.
Теорема 3. Первообразный корень An + 1 при п простом, нечетном, есть 2.
Так, 13, 29, 53, 117 имеют первообразным корнем 2.
Теорема 4. Число видаА-2тп-\-\ при п простом, превосходящем > имеет
4-2т
первообразным корнем 3.
Так, числа 89, 137 вида 8/г + 1 и 5009 вида 16/г 4- 1 имеют первообразным
корнем 3.
Наконец, в третьем прибавлении, автор занимается исследованием свойств
функции, определяющей совокупность простых чисел, меньших данного предела. Этот труд,
требовавпшй самых тонких соображений из интегрального исчисления, одобрен нашею
Академиею и напечатан в прошлом году на французском языке в Memoires des
Savants etrangers, почему и считаем излишним говорить о его достоинстве.
Согласно с изложенными выше замечаниями, рецензенты не сомневаются, что
Теория сравнений г. Чебышева, по достоинству своему, послужит к действительному
обогащению отечественной математической литературы. Как первый самостоятельный
труд на русском языке о предмете, признанном весьма важным всеми математиками,
он заслуживает особенного внимания и одобрения, и рецензенты признали бы его
достойным полной Демидовской премии, если б сочинение заключало в себе теорию
чисел во всем ее объеме, именно теорию сравнений с присовокуплением приложения
ее к диофантову анализу. Весьма желательно, чтобы автор издал вторую часть
трансцендентной арифметики и изложил ее с такою же последовательностью, простотою
и изяществом, как первую. Тогда бы мы имели полный трактат о теории чисел,
соответствующий современному состоянию науки. В ожидании появления нового труда,
предлежащий, по совершенному убеждению рецензентов, вполне заслуживает
одобрения Академии, почему они и имеют честь ходатайствовать о присуждении
сочинителю Теории сравнений адъюнкту П. Чебышеву второстепенной Демидовской награды.
7 апреля 1849 г. Академики: Буяяковский.
П. Фус.
Общий отчет о восемнадцатом прщуоюдении Демидовских наград,
составленный непременным секретарем Императорской Академии Наук
и читанный в публичном собрании сей Академии 21 мая 1849 г.20
[Отрывок]
К сроку аакрытия ©осемвадцатого конкурса, 1 ноября 1848 года, поступило в
Ажадедаш от Авторов двадцать пять соискательяых сочинений, из коих два вскоре
затем истребованы обратно сочинителями, первое до причине элементарности пред-

- 234 —
мета, конечно дающей автору мало надежды на успех, второе — для дальнейшей
тщательной переработки рукописи. Взамен того, до присуждения, представлены были
академиками, без .просьбы и ведома сочинителей, к удостоению премиями, три книги,
так что весь конкурс составился из 26 номеров; в том числе:
По истории, археологии и хронологии 7
По математическим и военным наукам. ... 5
Путешествий 3
По физике и химии .....
По статистике и этнографии . по два, итого . . 10
По естественным наукам . . . '
По медицине —
По филологии —
Наконец, учебник 1
"Всего" . . . ~ 26
Из них: на русском языке печатных книг девятнадцать, рукописей две; на ино-
<ггранных языках печатных книг пять.
В самой Академии рассмотрено двадцать сочинений, остальные шесть —
посторонними лицами, по выбору и приглашению Академии.
К присуждению полных премий Академия на сей раз не нашла побудительных
лричин, из семнадцати же удостоенных рецензентами сочинений, девять могли быть
увенчаны второстепенными премиями. О содержании и достоинстве их мы,
по-примеру прежних лет, представим в отчете нашем краткий обзор, руководствуясь
подлинными рецензиями.
I.
Теория сравнений адъюнкт-профессора
С.-Петербургского университета Чебышева.
СПб. 1849 г. Рецензия академиков
Фуса и Буняковского.
Министерство
Народного Просвещения
Департамент
народного Просвещения Господину Попечителю С .-Петербургского
имперГрского Умного Округа*.
<Г.-Петербургского Университета
13 ноября Ш8 г.
№1460
Второе Отделение философского факультета С.-Петербургского университета
представило Совету Университета о напечатании на казенный счет составленного
.адъюнктом Чебышевым сочинения под заглавием Теория сравнений, с
предоставлением автору, -в его пользу, некоторого числа экземпляров.
Из приложенного к этому представлению донесения ординарного профессора
Буняковского, которому поручено было Отделением рассмотрение сочинения
адъюнкта Чебышева, видно, что это сочинение заслуживает полного внимания, с одной
стороны, как первый самостоятельный труд на русском языке о предмете, признанном
весьма важным всеми математиками, а с другой стороны, по самому исполнению,
которое отличается строгою последовательностью, простотою изложения и во многих
случаях изяществом новых аналитических приемов, собственно принадлежащих
автору, и что по достоинству своему оно неоспоримо послужит к обогащению наш#
математической литературы.

- 235 —
Совет Университета, признав труд адъюнкта Чебышева достойным издания на
казенный счет, положил напечатать оный в числе 600 экземпляров с употреблением
требующихся для этого по примерному расчету фактора Типографии Академии Наук
до 500 рублей из суммы, положенной по штату на издание сочинений по ученым
предметам, и с предоставлением 400 экземпляров в пользу сочинителя.
Вместе с тем Совет признал за нужное постановить общим правилом, чтобы
издаваемые от Университета ученые труды членов его печатались всегда не более
как в числе 600 экземпляров и чтобы из этого числа две трети, т. е. 400
экземпляров выдавались авторам в вознаграждение за труд их, а прочие 200 экземпляров
были употребляемы для рассылки в ученые общества и высшие учебные заведения,
также к почетным членам Университета и для раздачи преподавателям, равно для
хранения в библиотеке университетской и при делах Канцелярии Совета на случае
востребования.
Донося об этом Вашему превосходительству и представляя при сем копию с
заключения профессора Буняковского о сочинении адъюнкта Чебышева, Совет
Университета (имеет честь испрашивать разрешения Вашего на приведение означенных
предположений в исполнение.
К сему Совет нужным считает присовокупить, что за израсходованием в текущем
году всей суммы на печатание ученых сочинений, по штату назначенной,
предполагается отнесги расход на издание рукописи адъюнкта Чебышева на будущий год.
Ректор Университета (подпись)
Секретарь Совета (подпись)
Его превосходительству господину Ректору
С.-Петербургского Университета
Декана 2-го отделения философского факультета
Донесение22.
На предложение Вашего превосходительства относительно просьбы адъюнкта
Чебышева о принятии его сочиненш под заглавием Теория сравнений вместо
диссертации на степень доктора, имею честь донести, что факультет признает это
сочинение достойным для принятия его вместо дшхертации.
Декан Э. Ленд.
Ki 38.
22 ноября 1848 г.
Протокол испытания адъюнкта С.-Петербургского университета,
магистра Пафнутия Чебышева на степень доктора
по разряду математики и астрономии23
Второе отделение философского факультета, вследствие предложения г. Рекяора
от 1 декабря 1848 г. за Ш 1720, производило адъюнкту Чебышеву испытание на
степень доктора математики и астрономш в следующем порядке:
На основанот § 38 положения о произвЬдетве в ученые стеиеии, адъюнкт Чебы-
шев защищал в заседания факультета, 7-ах> декабря 1848 г., оочжнеиие, им
написанное* so предмету чистой математики под заглавием Теория ср<шшщй. Отделение
призааяо защиадение адъюнкта Чебышева вполне удовлетворительным, а посему
допустим© ею к словесному^и письменному испытанию!

- 236 -
14 декабря 1848 г., адъюнкту Чебышеву были предложены для словесных
ответов следующие вопросы из чистой и прикладной математики: 1) теория сходимости
рядов с подробным изложением исследований по этому предмету Абеля, Коши и
Моргана; 2) об интегрировании дифференциальных уравнений вообще, с приложением к
уравнениям первого порядка и первой степени; 3) общая теория равновесия с
приложением к условиям равновесия веревочного многоугольника и тяжелой цепи; 4) о
законе больших чисел, предложенном Пуассоном, и о законе Якова Бернулли.
20 янзаря 1849 г. адъюнкту Чебышеву были предложены для словесных ответов
следующие вопросы из астрономии и геодезии: 1) о фигуре земли, выводимой из
теории притяжения; 2) о приложении теории вероятностей к геодезическим
измерениям.
После того адъюнкт Чебышев дал письменные ответы на следующие вопросы:
1) теория определенных интегралов; 2) о вращательном движении твердого тела;
3) когда трех наблюдений достаточно для определения элементов кометы?
Все словесные и письменные ответы адъюнкта Чебышева Второе отделение
признало удовлетворительными.
В заключение своего испытания, 15 мая 1849 г. адъюнкт Чебышев защищал
публично свое сочинение Теория сравнений, причем оппонентами были ординарные про-
фессоры В. Я. Буняковский, С. С. Куторга, А. Н. Савич, экстраординарный
профессор О. И. Сомов.
Ответы адъюнкта П. Чебышеза на сделанные ему возражения найдены
отделением удовлетворительными, посему Второе отделение философского факультета
объявило адъюнкта Чебышева достойным ученой степени доктора математики и
астрономии.
Декан Отделения Э. Ленд.
Записка
профессора Буняковского об ученых заслугах Чебышева
в связи с баллотированием из адъюнктов
в экстраординарные профессоры24
В Совет Императорского С.-Петербургского Университета.
При предстоящем баллотировании из адъюнктов в экстраординарные профессоры,
и согласно поручению физико-математического факультета, имею честь представить
в Совет краткую записку об ученых заслугах г. Чебышева. Начальство университета
могло вполне оценить как познание, так и опытность его в деле преподавания,
следив, в течение трех лет, за его чтениями по предмету элементарных и высших частей
математики. В изложение практической механики, читанной им в первый раз в
Реальном отделении в нынешнем академическом году, он уже успел ввести немаловажные
усовершенствования против лучших руководств, изданных на иностранных языках.
В особенности замечательна своею определительностью и оконченностью
обработанная им теория зубчатых колес, одна из необходимейших в практическом отношении.
Не могу также умолчать о лекциях теории чисел,, читаемых также г. Чебышевым, и
которые я имел случай посещать. Строгость введенной им системы в изложении этой
отрасли чистого математического анализа, простота и ясность приемов, отчасти
собственно ему принадлежащих, свидетельствуют о несомненных его педагогических
дарованиях. Посвящая деятельность и таланты свои на пользу университетских
курсов, г. Чебышев как ученый, истинно преданный избранному им предмету, уделяет
все досуги на обогащение науки самостоятельными, исследованиями.
Не стану утомлять внимания гг. членов Совета подробностями о трудах нашего
молодого математика, отчасги уже известных им и по отзывам нашего факультета.
Напоминаю только, что кроме рукописных диссертаций и двух изданных отдельных
сочинений: Опыта элементарного анализа теории вероятностей*5 и Теории сравнений,.

- 237 -
из которых второе удостоено половинной Демидовской премии, г. Чебышев
напечатал несколько мемуаров в известнейших математических журналах, как то: в
отличнейших периодических изданиях Лиувилля и Крелля, а также в наших Академических
Записках. Все эти труды носят на себе печать самобытности, большой обдуманности
и особенной математической проницательности. Теперь он занимается одним из
труднейших вопросов теории чисел, именно, определением по приближению количества
простых чисел, заключающихся между двумя пределами, которые зависят известным
образом один от другого26. Г. Чебышев сообщил мне некоторые из доказанных им
теорем; эти предложения, -своею определительностью и степенью общности, далеко
оставляют за собою все, что известно до сих пор по этому вопросу, хотя им и
занимались первостепенные математики. Труд этот предназначается для помещения в
Записки нашей Академии Наук. Он же, очень недавно, предпринял новые исследования
о теории наивыгоднейших результатов наблюдений, и, судя по первым его попыткам,
можно ожидать от его изысканий весьма примечательных выводов.
Принимая в соображение неотъемлемое достоинство трудов г. Чебышева, никто
конечно не усумнится, что он занимает уже теперь почетное место между молодыми
математиками, приобретшими известность в Европе. Будущность же его, богатая
надеждами, вся впереди. Начальство университета, оценившее дарование г. Чебышева
почти с самого вступления его на ученое поприще, с удовольствием видит теперь,
что он оправдал все ожидания и тем самым приобрел нсвые права на внимание
всего нашего сословия.
Профессор В. Буняковский
Марта 31 дня
1850 г.
Министерство
Народного Просвещения
Департамент
Народного Просвещения
Совет
Императорского
С.-Петербургского Университета
6 ноября 1850 г.
№ 1547
С присоединением кафедры философии к кафедре богословия и с увольнением,
по сему случаю, ординарного профессора Фишера, открылась вакансия ординарного
профессора, почему в заседании Совета университета, 30 минувшего октября,
произведено было баллотирование всех экстраординарных профессоров в звание
ординарного профессора и адъюнкта Чебышева в экстраординарные профессоры, так как он
один только, из наличных адъюнктов, имеет требуемую уставом ученую степень
дсктора; причем избраны экстраординарный профессор Воскресенский в
ординарные профессоры, большинством 23 противу 3 шаров, и адъюнкт Чебышев в
звании экстраординарного профессора, большинством 22 противу 5 шаров.
Совет С.-Петербургского университета, донося об этом Вашему
превосходительству и свидетельствуя, что оба кандидата учеными своими трудами, даром
преподавания и отлично усердною службою вполне заслужили право на повышение, честь имеет
покорнейше просить об исходатайствовании утверждения экстраординарного
профессора по кафедре химии статского советника Воскресенского в звании ординарного, а
адъюнкта по кафедре математики Чебышева в звании экстраординарного
профессора; но как на пополнение оклада профессора богословия и философии, в сравнении с
ординарными профессорами, употребляется 714 р. 80 к. из вакантного оклада
ординарного профессора, то Совет просит о разрешении обратить на пополнение
жалованья профессора Райковского один из свободных адъюнктских окладов.
Формулярные о службе гг. Воскресенского и Чебышева списки я баллотировочные
ласты при сем прилагаются.
Ректор Университета (подпись).
Секретарь Совета (подпись).
7 ноября 1850 г.
Господину Попечителю С.-Петербургского
Учебного Округа27.

- 238 -
5 февраля 1852 г.
Милостивый Государь
Дмитрий Богданович28.
По представлению моему, вследствие отношения Вашего превосходительства от
28 декабря 1851 г., г. Министр народного просвещения, в предложении от 25-го
минувшего января за № 1030, изъявил согласие на дозволение экстраординарному
профессору С.-Петербургского Университета Чебышеву принять на себя
преподавание практической механики в Императорском Александровском Лицее, с тем, чтобы
такое соединение должностей не мешало точному выполнению обязанностей его по
университету 29.
Имея честь уведомить об этом Вас, Милостивый Государь, покорнейше прошу
принять уверение в совершенном моем почтении и преданности.
(Подпись)
Его прев-ву К. Б. Броневскому
В Совет С.-Петербургского университета
физико-математического факультета
Представление30.
В заседание 5 января 1860 г. профессору Буняковский, Савич и Сомов
представили факультету, по случаю баллотировки на вакансию ординарного профессора,
записку о заслугах экстраординарного профессора Чебышева, которую факультет вполне
одобрил и при сем представляет на благоусмо1рение Совета.
В прошлом ноябре исполнилось 12 лет со дня избрания П. Л. Чебышева в
адъюнкты нашего Университета. В течение этого времени Совет мог вполне оценить
редкие его педагогические дарования, неутомимое трудолюбие и безусловную
преданность науке. Примечательными трудами своими, напечатанными в разных изданиях
Академии Наук, а также в иностранных журналах, он достойным образом оправдал
выбор как Университета, так и Академии, и заслужил почетную известность в
кругу первостепенных европейских ученых. В справедливое возмездие за ученые
заслуги г. Чебышева, наша Академия избрала его в, ординарные академики, а
Московский университет в почетные свои члены. При этом должно заметить, что
звание ординарного академика он получил, прослужив всего шесть лет, между
тем как со дня поступления его на службу в Университет прошло уже слишком
двенадцать лет.
Ныне, с увольнением проф. Буняковского, представляется Университету самый
благоприятный случай выразить и свое сочувствие к ученому, который глубокими
своими исследованиями по разным отраслям математического анализа обратил на
себя всеобщее внимание первостепенных математиков, и вместе с тем, заместить
достойнейшим членом открывшуюся у нас вакансию ординарного профессора
математики. Избрание г. Чебышева в ординарные профессоры будет справедливою
наградою за его труды, которые дают ему неотъемлемое право на такое отличие,
и мы уверены, что представление наше будет принято с единодушным, полным
сочувствием.
Деятельность г. Чебышева так известна всем, что факультет считает излишним
исчислять здесь разнообразные труды его. Достаточно сказать, что некоторые из его
мемуаров перепечатаны в известнейших иностранных -издавши, как например в
математическом журнале Лиувилля, в Высшей алгебре Серре и других. Даже одно
рассуждение г. Чебышева О непрерывных дробях переведено с русского на фран-
м. н. и.
Попечителя
С.-Петербургского учебного
Округа
Канцелярия
Стол 1
в С.-Петербурге
1 февраля 1852 г.
№ 807

— 239 -
цузский язык известным ученым г. Биенэмэ, членом Парижской Академии Наук, и
напечатано потом в журнале Лиувилля. Перепечатание статей в таком
первостепенном журнале, отличающемся своею крайнею разборчивостью, служит лучшим
доказательством занимательности и важности, приписываемой французскими
математиками ученым исследованиям г. Чебышева.
Мы умалчиваем также о других трудах его по званию члена Артиллерийского
Комитета. И здесь, по предмету, разных практических вопросов, относящихся к
баллистике, он, со свойственною ему проницательностью и глубоким знанием
математического анализа, дошел до примечательных результатов, о которых
засвидетельствовано в высочайшем Приказе от 10 сентября 1859 г.; в том Приказе сказано, что ему
всемилостивейше жалуется Орден Св. Анны 2-й степени «за отлично-усердные и
весьма полезные, независимо от прямой по долоюности в Академии обязанности, труды
по математическим изысканиям в Артиллерийском Комитете в продолжении четырех
лет, веоъма много способствовавшие к разрешению в настоящее время вопросов о
нарезных орудиях и продолговатых снарядах».
Декан Э. Ленц.
Лист баллотировки
ординарного профессора Штейнмана, состоящего на окладе экстраординарного
профессора, и всех экстраординарных профессоров С-Петербургского университета,
имеющих на то по закону право, для замещения открывшейся в этом
Университете, по увольнении Действительного] С.[татского] С.[оветника] Буняков-
ского, вакансии ординарного профессора, с присвоенным этому званию окладом.
В заседании Совета 22 февраля 1860 г.31
Подвергались баллотировке
Орд. проф., состоящий на окладе
экстраординарного, Штейнман . .
Экстраординарные профессоры:
Чебышев
Получи
избирательные
Один (1)
Три (3)
Девятнадцать (19)
1 Девять (9)
1 Девять (9)
1 Шесть (6)
ли шары
неизбирательные
Девятнадцать (19)
Семнадцать (17)
Ни одного (0)
Десять (10)
Десять (10)
Тринадцать (13)
Следует девятнадцать подписей-
Лист баллотирования
ординарного профессора П. Л. Чебышева на оставление при Университете
на 5 лет по выслуге им двадцатипятилетнего срока
(Заседание Совета 1 мая 1872 г.)82
Ординарный профессор П. Л. Че-
Число избирательных
голосов
39 (тридцать девять)
Число неизбирательных
голосов
1 (один)
Ректор Университета (подпись)

- 240 —
Министерство
Народного Просвещения
Ректора
Императорского
С.-Петербургского Университета
2 августа 1872 г.
№ 830
Приказом г. Управляющего Мин. Народн. проев. 16 июля сего года орд[инарный]
профессор} СПБ Университета действительный] ст[атский] советник] Чебышев
утвержден в звании заслуженного профессора] с оставлением тем же приказом на службе
при Унив. на пять лет по выслуге им 13 июля сего года двадцатипятилетнего срока
по учебному ведомству Министерства Народн. Просвещения, почему на основании Св.
зак. (изд. 1867), т. III, Уст. о пенс, ст. 490, 492 и примечания 2 к ст. 490 по
продолжению 1868 года имеет право на получение в пенсию полного оклада жалованья.
Представляя при сем ведомость об испрашиваемой заслуж. ординарному проф.
Чебышеву пенсии, имею честь покорнейше просить Ваше пр-во об исходатайствовании
сему профессору пенсии с 13 июля 1872 г. 'К сему долгом считаю присовокупить, что
формулярный список о службе г. Чебышева был представлен 3 мая сего года за
№ 473.
Ректор Университета (подпись).
Лист баллотирования
заслуженного ординарного профессора П. Л. Чебышева на оставление на службе
при Университете на пять лет по выслуге 13 июля 1877 г. тридцатилетнего
срока
(Заседание Совета 2 мая 1877 г.) 34
Заслуженный Ординарный
Профессор Пафнутий Львович Чебышев
Число избирательных
голосов
37 (тридцать семь)
Число неизбирательных
голосов
1 (один)
Ректор Университета (подпись).
Лист баллотирования
в почетные члены С.-Петербургского Императорского университета
Заседание Совета 19 апреля 1882 г. 85
Заслуженный ординарный
профессор тайный советник Пафнутий
Львович Чебышев
Число избирательных
голосов
Тридцать три (33)
Число неизбирательных
голосов
нуль (0)
Ректор Университета А. Бекетов.
Секретарь Совета (подпись).
Г. Управляющему СПБ. Уч. Окр.

— 241 -
Из протоколов Совета С.-Петербургского университета36
Совет Императорского Санкт-Петербургского университета, высоко ценя ученую
деятельность ординарного академика императорской Академии Наук, заслуженного
ординарного профессора С.-Петербургского университета тайного советника Пафнутия
Львовича Чебышева, в заседании 19 апреля 1882 г., избрал его в почетные члены
императорского С.-Петербургского университета.
Ректор императорского Санкт-Петербургского университета, доктор
естественных наук, ординарный профессор, тайный советник и разных орденов кавалер
(подпись).
Декан историко-филологического факультета, доктор всеобщей истории
ординарный профессор, действительный статский советник и разных орденов кавалер
(подпись).
Декан физико-математического факультета, доктор химии, ординарный
профессор, действительный статский советник и разных орденов кавалер (подпись).
Декан юридического факультета, доктор политической экономии,
ординарный профессор, действительный статский советник и разных орденов кавалер
(подпись).
Декан факультета восточных языков, доктор Восточной словесности,
заслуженный ординарный профессор, действительный статский советник и разных
орденов кавалер (подпись).
Министерство И августа 1882 г.
Народного Просвещения
Попечитель
Санкт-Петербургского
Учебного Округа
Августа 10 дня 1882 г.
№ 4895
В Совет С.-Петербургского Университета*7.
Департамент народного -просвещения отношением от 2-го сего августа за № 9118
уведомил меня, что представление об увольнении заслуженного ординарного
профессора тайного советника Чебышева, согласно его прошению, от службы при Университете
с 13-го июля сего 1882 г., утверждено приказом г. Министра народного просвещения
от 27 истекшего июля за № 10.
Об этом имею честь уведомить Совет С.-Петербургского университета, в ответ
на представление от 2-го июня за № 947.
Управляющий Округом Д. Михайлов
Правитель Канцелярии С. Борейша
№ 11 ст. 1
18 октября 1882 г.
В Совет С.-Петербургского Университета38.
Физико-математический факультет в заседании своем 15 октября 1882 г.,
заслушав заявление комиссии39, специально составленной факультетом из гг. математиков
для рассмотрения вопроса о чествовании заслуг проф. П. Л. Чебышева, постановил
ходатайствовать перед Советом о следующем:
J В назначенный для чествования день поднести П. Л. Чебышеву диплом
почетного члена Университета, для чего избрать из членов Совета особую комиссию.
2. Составить адрес Пафнутию Львовичу от имени Совета и поднести его вместе
с дипломом {проект адреса прилагается).
Декан (подпись).
16 октября 1882 г. Секретарь (подпись).
16 П. Л. Чебышев, т. V

— 242 -
Адрес, поднесенный П. Л. Чебышеву Советом Университета
в связи с 35-летием его службы в Университете 40.
Глубокоуважаемый Пафнутий Львович!
Приветствуя Вас в настоящий день, Совет Университета желает почтить в лице
Вашем знаменитого ученого, в течение 35 лет потрудившегося на пользу науке и
юношеству, в честь и славу России.
Глубокомысленные Ваши исследования по разным отраслям математического
анализа создали Вам громкое имя, известное во всей Европе; исследования эти навсегда
принадлежат науке; деятельность же Ваша на поприще русского просвещения
неразрывно связана с нашим университетом и всегда будет служить одним из лучших
украшений его летописей.
Выражая Вам наше глубокое уважение и признательность за Вашу
долговременную .и плодотворную деятельность «в качестве профессора Университета, мы не
находим достаточно слов, чтобы выразить все наше сожаление о ничем невознаградимой
утрате, которую понес Университет вследствие Вашего решения оставить кафедру, с
которой так долго раздавалось Ваше живое слово.
Мы утешаем себя только тою мыслью, что несмотря на это решение, связь Вайи*
с Университетом порвана быть не может: с одной стороны, Ваши ученые труды будут
служить-предметом изучения для Ваших многочисленных учеников, с другой,— Ваши
личные с нами отношения будут постоянно поддерживать Ваше общение с
университетом.
Примите же, Пафнутий Львович, наши живейшие пожелания, чтобы Ваша ученая
деятельность продолжалась еще на многие и многие годы с тою же неослабною
энергией, -которая была ей присуща до сей поры.
Ректор Университета
21 ноября 1882 г.
НАУЧНЫЕ КОМАНДИРОВКИ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Его превосходительству, господину Попечителю
С.-Петербургского учебного округа.
Представление41.
Из всех прикладных наук математического анализа, по влиянию своему на
усовершенствование мануфактур и, следовательно, на распространение государственного
богатства, особенного внимания заслуживает практическая механика. В последнее
время эта наука составляла предмет занятий многих ученых и взошла в состав курса
реальных наук. Но несмотря на превосходные сочинения английских, французских и
немецких ученых по различным отраслям практической механики, быстрые
усовершенствования машин всех родов — особенно в Англии, Франции и Соединенных Штатах —
далеко опередили- их теорию. Вследствие этого изучение механических производств в
их современном состоянии предполагает необходимым близкое знакомство со всеми
новыми изобретениями. В обыкновенное время это представляет чрезвычайные
затруднения и требует многолетних путешествий. Все эти препятствия для изучения
современного состояния механических производств устраняются вполне всемирною
выставкою; на ней, в короткое время и с незначительными издержками, можно видеть все
новейшие изобретения по части механики. Таким удобным случаем для приобретения
сведений обо всех усовершенствованиях машин мы считаем необходимым
воспользоваться, тем более, что r нашем факультете уже вторично благоугодно было высшему
начальству учредить реальный курс для приготовления учителей реальных наук.
Принимая в соображение ту пользу для преподавания практической механики,
которую можно извлечь из знакомства со всеми усовершенствованными машинами, мы
обращаемся к Вашему превосходительству со всепокорнейшею просьбою поручить препо-

- 243 -
давателю практической механики, адъюнкту по кафедре математики Пафнутню Чебы-
шеву съездить в Лондон на всемирную выставку и обозреть все, что будет там
примечательного относительно усовершенствования механических производств. Его
обширные познания б практической механике и в математическом анализе,
необходимом пособии при изучении машин, а также сведения во многих мануфактурных
производствах, служат несомненным ручательством, что все замечательное в устройстве
машин будет перенесено в наше отечество и послужит к усовершенствованию
мануфактур. Без потери для университетского курса, он может отправиться в конце апреля
в Лондон на всемирную выставку. Не ограничиваясь обозрением ее, он в
продолжение летних месяцев может посетить замечательнейшие мануфактуры как з Англии,
так и во Франции, и ознакомиться со способом преподавания практической механики
в их технических заведениях. Что касается до издержек, то ему достаточно будет
того содержания, которое он получает в здешнем университете как адъюнкт по
кафедре математики и преподаватель практической механики в разряде реальных наук.
1850-го года Э. Ленц.
декабря 18-го дня. В. Буняковский.
О. Сомов.
1 авг. 1852.
Совету
С.-Петербургского Университета 42
Экстраординарный профессор С.-Петербургского университета Чебышев» уволенный
в отпуск за границу для ученой цели, от 9/21 июля доносит мне, что прибыв в Па
риж, он начал заниматься в Conservatoire des arts et metiers43, где в короткое время
надеется ознакомиться со ©сем, что сделано наиболее замечательного в устройстве
машин, даже со многими машинами, которые были представлены на Лондонскую
выставку и куплены Французским правительством для консерватории44. Прежде при^
ступления к изучению общей организации фабрик и заводов г. Чебышев считает
необходимым изучать машины и их составные части в отдельности, для чего
представляет все средства Conservatoire des arts et metiers. Что касается до обозрения
фабрик и заводов, то так «как поверхностное обозрение их не может принести июльзы по
краткости времени, г. Чебышев должен ограничиться наиболее замечательными,
которые находятся в Париже и его окрестностях, потому считает необходимым съездить
на одну из фабрик, где действует турбина Фурнерона, теориею которой он
занимается, и, если позволит время, намерен побывать на рудниках. Через три месяца г.
Чебышев отправится в Англию, где ожидает его много интересного по практической
механике.
Об этом даю знать Совету университета для надлежащего сведения.
Попечитель С.-Петербургского Округа (подпись).
Письмо Я. Л. Чебышева
попечителю С.-Петербургского учебного округа
с отчетом о командировке во Францию45.
Согласно с проектом моего путешествия, я употребил три месяца на
обозрение предметов, наиболее интересных для практической механики,
во Франции. Первые шесть недель употреблены были мною на обоарение
16*
м. н. п.
Попечителя
С.-Петербургского Учебного
Округа
Канцелярия.
Стол 1.
в С-т Петербурге
29 июля 1852 года
Jvft 4382

- 244 -
моделей и машин, которые находятся в Conservatoire des arts et
metiers, и фабрик, находящихся в Париже и его окрестностях.
Железная дорога С.-Жермена доставила мне случай познакомиться с
устройством атмосферических железных дорог. Из всех паровых машин,
которые я видел, паровая машина этой дороги и машина Марли,
известная в истории практической механики, мне представили наиболее
средств усмотреть на опыте, отчего происходит несогласие
современной теории с наблюдениями. Между многими заводами, которые я здесь
нашел, особенное внимание мое обратили заводы Гаянжа, близ Меда,
известные превосходною обработкою железных руд и производством
многих машин.
По возвращении из восточных департаментов, я ездил в южные, до
г. Бордо. Здесь особенного внимания заслуживают оружейный завод
в Шателеро и пушечно-литейный завод в Рюелль и знаменитые
бумажные фабрики в окрестностях Ангулема. Между прочим, я нашел здесь
случай наблюдать действие турбин. Таким образом, в продолжение трех
месяцев я успел познакомиться со многими фабричными производствами
во Франции и приобрести многие практические данные касательно
устройства машин и наиболее выгодного употребления воды и пара как
двигателей. Между прочим, сличая размеры составных частей в
различных паровых машинах, я нашел данные, необходимые для изысканий
моих ,в теории параллелограмма Уатта; результаты этих изысканий
будут представлены мною в особом мемуаре.
Наблюдения над турбинами близ Ангулема и ветряными мельницами
Лилля, которые обыкновенно ставятся в пример, мне доставили
богатый материал для изысканий о работе этих двигателей:
недостаточность современной теории очевидна. Кроме сведений по части
механики, разговор с учеными Франции доставил мне случай ознакомиться со
взглядом их на многие предметы чистой математики и на вопросы,
решением которых они занимаются в настоящее время. Между
прочим, один из известнейших геометров Лиувилль изложил мне начала
цозой теории эллиптических функций. С своей стороны я напечатал два
мемуара, которые были представлены нашей Академии, и написал
сочинение^ в котором окончательно решил вопрос об интегрирования
двучленных дифференциалов.
Теперь я в Англии, где также много интересного для меня; но
краткость срока моего путешествия не позволяет мне останавливаться на
многом
Примите уверение в истинном почтении и совершенной
преданности, с которыми пребыть честь имеет Вашего превосходительства
всепокорнейший слуга
Пафнутий Чебышев.
1852 :года октября 3/15, Лондон.

- 245 —
Отчет экстраординарного проф. Чебышева о научной поездке в Англию46.
По приезде в Лондон, я обратился к двум известным
английским геометрам г. Сильвесгеру и г. Келе. Этим ученым я обязан,
с одной стороны, беседами о различных вопросах чистого анализа,
на которые я посвящал вечера и воскресные дни, а с другой стороны,
случаем познакомиться с известным инженер-механиком Англии —
г. Грегори. Узнавши о цели моего путешествия и в особенности о тех
вопросах практической механики, решение которых составляло
предмет моих занятий, он вызвался мне содействовать в отыскании на
фабриках лондонских предметов, необходимых для меня. С этою целью
он ездил со мною на те фабрики, где полагал найти паровые
машины, устроенные самим Уаттом, машины особенно интересные для меня,
как данные о правилах, которым следовал сам Уатт при устройстве
параллелограммов', первая часть моих изысканий об этих механизмах
представлена уже в Академию Наук. Относительно производства
машин он мне рекомендовал фабрики Мозле, Никера и Пека. На них то
я обратил особенное внимание. К сожалению, по краткости срока
моего путешествия, не мог быть в Манчестере, Бирмингаме и других
городах Англии, богатых предметами по практической механике. 18
октября приехал я из Лондона в Париж, где, исполнивши поручение,
данное мне от Императорского Александровского лицея (относительно
покупки различных пособий для курса моего практической механики),
и воспользовавшись случаем быть у Фуко и видеть его новые опыты,
22-го числа отправился я по дороге к Брюсселю, где употребил двое
суток на осматривание его богатого музея машин и моделей; там,
между прочим, находится паровая машина особенной конструкции. Из
Брюсселя я отправился в Берлин, где особенно интересно было для
меня говорить с известным геометром Лежен-Дирихле. Этому геометру
мы обязаны началами приложения исчисления бесконечно малых к
теории чисел. Но до сих пор им опубликована только часть его
изысканий, о прочем же мы знаем только по некоторым результатам,
высказанным им без доказательства. Занимаясь развитием этих начал, я
дошел до заключения об определении, сколько чисел меньших данного
предела, которое не вполне согласно с одним из результатов, им
упоминаемых *47. Поэтому мне особенно интересно было познакомиться с
теми изысканиями Лежен-Дирихле, которых с нетерпением ожидает
ученый мир. Во время пребывания моего в Берлине, каждый день я
имел случай беседовать с этим геометром. Также был у него на
Университетской лекции.
Узнавши в Берлине, что по случаю ранних морозов навигация
прекратилась и в Тильзите ожидают скоро льда, я не решился оставаться
долее в Берлине, и 30 октября выехал к Кенигсбергу, а оттуда в Тау-
роген и, наконец, в Петербург.
* Изыскания мои по этому предмету напечатаны в Memoires des savants eiran-
gers. 1848.

- 246 -
Отчет
экстраординарного профессора С.-Петербургского университета
Чебышева о путешествии за границу**.
По получении паспорта за границу, 21 июня 1852 г. отправился я
на пароходе в Штетин, куда прибыл 24 числа, и в тот же ,пень поехал
в Берлин. Согласно с проектом моего путешествия, остановившись в
Берлине не более как на 12 часов, я принял кратчайшее направление
по железным дорогам к Парижу. Проезжая невдалеке от Лилля, я счел
необходимым заехать в этот город, в окрестностях которого находится
много ветряных мельниц, устроенных по голландской системе и
известных в практической механике по наблюдениям, которые над ними
произведены были Кулоном. Если, с одной стороны, ветер, по
непостоянству своему, не может быть употреблен как двигатель на фабриках,
где частое прекращение работы сопряжено с значительными убытками,
то, с другой стороны, это самый дешевый двигатель, и потому очень
часто употребляется для смалывания зерен, выработки масла, толчения
льна и пр. Для современной теории ветра как двигателя, ветряные
мельницы Лилля особенно интересны: наблюдениями Кулона над этими
мельницами теория поверяет свои результаты. Но при этом нельзя не
заметить, что если в общих чертах теория и наблюдения согласны
между собою, то в подробностях они значительно разнятся друг с
другом. Так, по теории, наклонение крыльев к оси их вращения должно
постоянно уменьшаться с удалением от их концов; наблюдения же
Кулона над ветряными мельницами Лилля показывают, что кривизна
поверхности крыльев следует иному закону: если сначала, с удалением
от конца крыла, угол, составляемый элементами его и осью вращения,
уменьшается, то, достигнувши известного предела, он начинает
увеличиваться, так что первые разности его постоянно убывают, между тем
как по теории они должны возрастать. Такое несогласие современной
теории с результатами многих наблюдений Кулона над мельницами,
которых устройство механиками-практиками признается за образцовое,
естественно наводит на мысль, не оказывают ли значительного влияния
на ход мельницы некоторые из тех обстоятельств, которые не
принимаются обыкновенно современною теориею в расчет, как то: изменение
силы и направления ветра от самого здания мельницы, кривизна оси
крыльев и пр.? Принимая все это во внимание, легко найти
аналитические выражения и для определения количества работы ветряной мель-
ндцы и наивыгоднейшей .формы ее крыльев; остаются только
неизвестными некоторые постоянные количества, различные для различных
мельниц. А чтоб поверить эти выражения наблюдениями Кулона над
ветряными .мельницами Лилля, необходимо иметь относительно их
данные более подробные, чем те, которые были достаточны при изложении
прежней теории ветряных мельниц. Посему, проезжая близ Лилля,
я счел полезным заехать в этот город и двое суток употребил на осмотр
ветряных мельниц, находящихся в его окрестностях.

- 247 -
Из Лилля 28 июня отправился я в Париж, куда и прибыл в тот
же день к вечеру. В это время учебные курсы были кончены; но
большую часть профессоров я застал еще в Париже: обстоятельство
весьма важное для успеха моего путешествия в том отношении, что,
по краткости срока его, мне необходимо было иметь местные данные,
при помощи которых я мог бы скоро находить то, что наиболее
интересно для занятий моих практическою механикою, и кроме того
получить рекомендации, без которых много видеть нельзя, или можно
видеть только поверхностно.
По приезде в Париж, я обратился к извесгному геометру Лиувиллю,
члену Парижской Академии Наук и издателю Математического
журнала, в котором я принимал участие трудами с 1842 г. Вниманию этого
геометра я обязан был возможностью в короткое время познакомиться
с теми учеными, которые необходимы были для успеха моего
путешествия. По сведениям, собранным мною из разговора с ними, я нашел,
что для меня полезнее всего одну часть трехмесячного пребывания во
Франции употребить на обозрение машин и моделей в Conservatoire des
arts et metiers43, на наблюдение над производством машин на
фабриках, находящихся в Париже и его окрестностях, в особенности
г. Каве, известного своими паровыми машинами с качающимися
цилиндрами, и другие механические заведения, которые или представляют
что-либо особенное, или находятся в связи с предметами моих
исследований по практической механике; другую же часть посвятить на
путешествие по Франции, чтобы видеть предметы особенно интересные для
меня, а именно: съездить на Гаянжевские железные заводы, где
производятся также в большом количестве различные машины, на
известные бумажные фабрики в окрестностях Ангулема, на казенный
литейный завод в Рюелль и другие, посещение которых не будет
сопряжено с значительною тратою времени.
Согласно с этим, до 8 августа занятия мои ограничивались
предметами, которые находятся в Париже и его окрестностях. При всей
ограниченности времени, которое я должен был делить между Conservatoire
des arts et metiers, мастерскими Каве и многими предметами по части
практической механики, в высшей степени интересными, как то:
атмосферическою железною дорогою в Сен-Жермене, дорогою Со,
замечательною по своим изгибам, машиною Марли и другими, я счел
необходимым не упускать из виду и того, что мог приобресть для моего
теоретического образования из беседования с знаменитыми
французскими геометрами. Посему, дообеденные часы проводил я или в
Conservatoire des arts et metiers или на фабриках, большею частью у
Каве, вечера же посвящал частью на беседование с гг. Коши, Лиувил-
лем, Биенэме, Термитом *, Серре, Лебегом и другими учеными, частью
же на теоретические занятия, которые имели или непосредственное
отношение с данными, полученными мною из рассматривания различных
* Эрмит.— Ред.

- 248 -
систем машин, или с вопросами анализа, на которые был наведен
разговором с кем-либо из ученых. Таким образом, по желанию гг. Лиувил-
ля и Термита, я занялся развитием тех начал, на которых написана
была моя диссертация, представленная в С.-Петербургский университет
в 1847 г, pro venia legendi. В этой диссертации я рассматривал тот
случай, когда интегрируемый дифференциал содержит квадратный
корень рациональной функции — случай самый простой и наиболее
встречающийся в приложениях. Но во многих отношениях интересно
было показать распространение этих начал на случай корня какой ни
есть степени. Так, например, в интегральном исчислении особенное
внимание обращает на себя интегрирование дифференциалов, известных
под названием двучленных-, для чего предлагают различные частные
приемы с объяснением, в каких случаях они достаточны для получения
желаемого результата; за исключением этих немногих случаев, ничего
нельзя было сказать утвердительного относительно интеграла
двучленных дифференциалов; приемы ли наши недостаточны или эти интегралы
невозможны в конечном виде? Решения этого вопроса, очевидно, нельзя
было ожидать от частных приемов, как бы многочисленны ни были
случаи, ими обнимаемые; для этого необходим общий прием,
обнимающий разом все частные случаи, а подобный прием заключается в
началах вышеупомянутых. Развитием этих-то начал я и занялся, с целью
показать, в каких случаях интегралы двучленных дифференциалов
возможны в конечном виде и в каких случаях они представляют
особенные трансцендентные. Изыскания мои по этому предмету привели к
заключению, что обыкновенно предлагаемые частные приемы
интегрирования двучленных дифференциалов (алгебраических) обнимают все
случаи, когда это интегрирование возможно в конечном виде, и таким
образом вопрос об интегрировании их в конечном виде может считаться
вполне решенным. При этом я также дошел до одной теоремы, которая,
как частный случай, содержит известную теорему Абеля, оставленную
им без доказательства *. Из многих предметов исследования, которые
* ...1е theoreme suivant tres remarquable a lieu: Lorsqu'une integrate de la forme
Pj., ой p et R sont des functions entieres de x, est exprimable par des logarithmes,
V R
on peut toujours l'exprimer de la maniere suivante:
[p^ АЛ P+qVR
ou A est constant et p et q des fonctions entieres de x. Je me reserve de demontrer ce
theoreme dans.une autre occasion. (Abel, Oeuvres completes, t. I, p. 65).
[...имеет место следующая (весьма замечательная теорема: Если интеграл вида №-~
)V R
где р и R — целые функции от х, может быть выражен помощью логарифмов, то его
всегда можно представить следующим образом:
где А постоянно, а р и q — целые функции от х. Доказательство теоремы я отложу
до другого случая.— Ред.]

- 249 -
представились мне при рассматривании, и сличения между собою
различных механизмов передачи движения, особенно в паровой машине,
где и экономия в топливе и прочность машины много зависят от
способов передачи работы пара, я особенно занялся теориею механизмов,
известных под названием параллелограммов. Изыскивая различные
средства извлекать из пара наиболее работы в том случае, когда нужно
иметь вращательное движение, как это большею частью бывает, Уатт
изобрел особенный механизм для превращения прямолинейного
движения поршня во вращательное [движение] коромысла,— механизм,
известный под названием параллелограмма. Из истории практической механики
известно только, что на мысль о возможности подобного механизма
великий преобразователь паровых машин и был наведен
рассматриванием особенного снаряда, где, чрез совокупление различных
вращательных движений, получались разнообразные кривые линии, некоторые
близкие к прямой. Но мы не знаем, каким путем он дошел до
наивыгоднейшей формы своего механизма и размера его элементов.
Правила, которым следовал Уатт при устройстве параллелограммов,
могли служить руководством для практики только до тех пор,
пока не встретилась необходимость изменить форму его; с изменением
формы этого механизма потребовались новые правила. Эти правила и
практика и современная теория извлекают из начала, которому, пови-
димому, следовал Уатт при устройстве своих параллелограммов.
Суждения, которые приводят в доказательство этого начала, очевидно, не
могут выдержать никакой критики; даже на практике очень часто
оказывается неудобным употреблять элементы параллелограмма,
находимые по этому началу, так что для поправки их надобились особые
таблицы. Из сказанного мною видно, до какой степени необходимо было
параллелограмм Уатта и его видоизменения подвергнуть строгому
анализу, заменивши вышеупомянутое начало существенными свойствами
этого механизма и условиями, которые встречаются на практике. С этою
целью я обращал особенное внимание на обстоятельства, которыми
условливаются некоторые из элементов его как в машинах фабричных,,
так и на пароходах, а с другой — на вредные действия неправильностей
его хода, которых следы можно заметить на машинах, бывших долго
в употреблении.
Предположивши вывести правила для устройства параллелограммов
прямо из свойства этого механизма, я встретил вопросы анализа, о кото^
рых до сих пор знали очень мало. Все, что сделано в этом отношение
принадлежит члену Парижской Академии Наук г. Понселе, известному
ученому в практической механике; формулами, им найденными,
пользуются очень много при вычислении вредных сопротивлений машин.
Для теории параллелограмма Уатта необходимы формулы более
общие, и приложение их не ограничивается исследованием этих
механизмов.
В практической механике и других прикладных науках есть целый
ряд вопросов, для решения которых они необходимы. По краткости

- 250 -
времени и обширности предмета, я успел окончить только первую
часть моей записки которая и представлена в Императорскую
Академию Наук.
С вопросом о параллелограмме Уатта тесно связан вопрос об
устройстве паровых машин без коромысла, а следовательно без этого
механизма.
В этом отношении .особенно замечательна система паровых машин
Каве с качающимися цилиндрами. Вот почему его фабрика так
интересовала меня. При помощи качающихся цилиндров состав паровой
машины значительно упрощается. Но подвижность цилиндров
представляет много затруднений в их устройстве, в особенности золотников;
посему для меня в высшей степени интересно было следить за
производством различных частей этих машин, во многих случаях весьма
выгодных.
В отношении устройства паровых машин, кроме фабрики Каве,
собрания моделей различных машин в Conservatoire des arts et metiers
(где между прочим находится модель паровой машины особенной
конструкции графа Румянцева), подвижной машины, купленной
Французским правительством в Лондоне на всемирной выставке, мое
внимание особенно привлекли две машины: машина на атмосферической
железной дороге в Сен-Жермене и машина Марли. Кроме превосходного
совокупления нескольких паровых машин вместе, последняя для меня
была особенно интересна тем, что работа ее, заключающаяся в
поднятии воды на значительную высоту, легко определяется по манометру,
приделанному к помпам, в то время как другие манометры показывают
давление пара в цилиндре и холодильнике. На этой машине ясно видно
влияние на количество работы различных обстоятельств, которыми
большею частию пренебрегает современная теория. Только из таких
наблюдений можно надеяться извлечь формулы, которые определили
бы с достаточною точностью и количество работы паровой машины и
наивыгоднейшие размеры ее частей.
Занимаясь таким образом паровыми машинами, я не упускал из
вида, сколько позволяло время, гидравлических колес. Conservatoire
des arts et metiers представило мне для этого многочисленное собрание
моделей различных колес, между прочим турбины, которая находится
на мельнице в Сент-Море, куда я и ездил три раза. Это дало мне
возможность приобресть многие данные об употреблении этого
двигателя, теоретически не вполне исследованного.
Кроме этого,.как Conservatoire des arts et metiers, так и фабрики,
на которых я был, доставили мне богатый материал относительно
различных механизмов для передачи движения, также относительно
машин, имеющих целью особенные, известные работы. Между прочим
внимание мое привлекли машины занимательного механика Вокансона,
арифметическая машина Паскаля, различные приводы для поднятия
воды, машины бумагопрядильные и льнопрядильные, машины
металлургические.

- 251 —
8 августа отправился я по дороге к Мецу. Остановившись на
несколько часов в Мо, чтобы осмотреть там водяные колеса на мельнице,
я продолжал путь ь Мец, куда и прибыл 9 числа. Здесь я встретил
членов Математической комиссии для экзамена поступающих в
Политехническую школу, что и доставило мне случай быть на этх
экзаменах. Здесь же встретился я с Полиньяком, известным во Франции по
своим изысканиям в математике: мы с ним занимались одними
вопросами — доказательством известного постулата Бертрана и других
предложений этого рода и, повидимому, различными путями успели
победить особенные трудности, которые представляли эти вопросы. В 1849 г.,
15 октября, в Парижской Академии Наук читал г. Полиньяк отчет об
исследовании особенных рядов, названных им диатомическими, и о
приложениях, которые из них можно сделать. Между прочим, он
говорил, что, на основании этих рядов, он мог дойти до строгого
доказательства, что в пределах ап и ап+1 находится по крайней мере одно
простое число. Хотя этого недостаточно для доказательства постулата
Бертрана, в котором вообще даются пределы более тесные, но и в этих
"пределах присутствие простого числа не могло быть обнаружено без
помощи особенных приемов. Пределы, в которых прежде могли
обнаружить присутствие простого числа, были несравненно шире этих.
Изыскания г. Полиньяка обратили на себя внимание членов Парижской
Академии Наук, в особенности геометра Коши, представившего в
Академию, незадолго перед моим отъездом из Парижа, вторую часть
изысканий его. Между тем в 1850 г. я представил в нашу Академию
Наук записку «О простых числах» *, где дал доказательство постулата
Бертрана и показал присутствие простых чисел в пределах более
тесных, и все это без помощи диатомических рядов. Публикуя в
следующем году первую часть своего труда, г. Полиньяк в предисловии
сравнивает свои приемы с теми, которые употреблены мною, и остается
при мысли о выгоде диатомических рядов. При такой разнице во
взгляде на один и тот же предмет, остававшийся прежде без
исследования, нам в высшей степени интересно было иметь случай говорить
между собою, и этот случай нам представился в Меце. Употребляя
послеобеденные часы на беседование с г. Полиньяком и членами
математической комиссии для экзамена поступающих в Политехническую
школу, известными геометрами гг. Термитом и Серре, утро посвящал
я обозрению железных заводов с фабриками машин при них,
которые находятся в большом количестве близ Меца. Здесь особенно
обратил мое внимание завод Карла Венделя, известный превосходною
выработкою железа и производством машин, в Гаянже. Таким
образом я цробыл в Меце до 16 августа и 17 числа возвратился в
Париж.
По приезде в Париж я возобновил вышеупомянутые занятия по
практической механике. Кроме того, г. Лиувилль вызвался прочесть мне
* См. том I настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 191—
207.— Ред.

— 252 ~
в сокращенном виде новую теорию эллиптических функций, которая
была читана им в College de France. До сих пор эта теория, в высшей
степени интересная и важная по своим приложениям, была обрабатываема
наиболее в отношении развития частных приемов. Г. Лиувилль, давно
известный многими открытиями в анализе, задумал построить эту теорию
на одном общем начале, определяющем существенное значение
эллиптических функций между предметами исследования чистого анализа. Не
останавливаясь на исследовании функций, определяемых тем или
другим интегралом, он начинает с исследования общих свойств функций,
и-разделяет их на два класса: функции вполне определенные и
функции не вполне определенные. Остановившись на первых, как наиболее
простых, он показывает некоторые обпше свойства их; потом переходит
к тому случаю, когда они периодичны, и доказывает относительно их
теоремы, тем более интересные, что они не зависят совершенно от
вида функций или способа их употребления, а единственно от их
существенных свойств — полной определенности, непрерывности и
периодичности.
На основании этого он строит теорию функций двойной
периодичности, предполагая их везде вполне определенными. Эти функции он
разделяет на классы по числу так называемых им нулей и
бесконечностей, т. е. числа величин независимой переменной, которые, в
пространстве одного периода, обращают рассматриваемую функцию в нуль
и бесконечность. Потом он показывает, что наименьшее число этих
нулей и бесконечностей есть два, и находит выражение функций с
каким-нибудь числом нулей и бесконечностей через функции, в
которых эти числа имеют наименьшие значения, т. е. равны двум.
Таким образом раскрывается вся важность функций двойной
периодичности с двумя нулями и бесконечностями. Остановившись на этих
функциях, он, на основании общих свойств функций периодичных, ищет
дифференциальное уравнение, которому они должны удовлетворять.
Уравнение, которое он находит таким образом, есть то самое, которое служит
для определения обратных эллиптических функций первого вида. Так,
г. Лиувилль от общих начал переходит к эллиптическим интегралам,
которые сначала обратили на себя внимание своим видом и различными
приложениями; одному из этих приложений они и обязаны своим
именем.
До сих пор изыскания г. Лиувилля по этому предмету имеют интерес
только чисто теоретический; но нет причины полагать, что и здесь,
подобно другим частям анализа, более глубокий взгляд не открыл
нового, как бы прежние исследования ни были многосторонни. Кроме
теории эллиптических функций г. Лиувилля, я имел случай
познакомиться с основными началами ее, предложенными другим французским
геометром г. Термитом. Если начала этого геометра уступают
предыдущим с теоретической стороны, то они выигрывают много в
приложениях, особенно для эллиптических функций второго и третьего вида, к
которым непосредственно не могут быть приложены начала г. Лиувилля.

- 253 -
Так как в Императорском С.-Петербургском университете на мне,
между прочим, лежит обязанность читать теорию эллиптических
функций, то для меня весьма полезно было узнать то, что сделано в ней
двумя известными французскими геометрами. Также интересно было мне
поверить свое мнение о периодичности функций вообще.
Августа 28-го г. Лиувилль отправился в г. Туль, поручивши мне
заняться печатанием в его журнале двух моих записок. Употребляя на
*го вечера, я мог попрежнему продолжать мои практические занятия
по механике.
Сентября 16-го я отправился в Ангулем — место, известное по
производству превосходной писчей бумаги. По дороге туда я мог видеть
много других предметов по части механики, весьма замечательных, в
особенности оружейный завод в Шательро. Вечером 16-го сентября
приехал я в Ангулем, где и остановился до 26-го числа. За
исключением трех дней, употребленных мною на поездку в Бордо (что мне
доставило, между прочим, случай видеть занимательный висячий мост
через Гарону), остальное время употребил я на наблюдения над
производством бумаги в Айгулеме и его окрестностях, особенно на фабрике
г. Конта, с которым познакомился на дороге. Кроме того ездил я на
пушечно-литейный завод в Рюелль, лежащий невдалеке от Ангулема.
Также в Короне имел я случай видеть писчебумажную фабрику,
которой одна часть приводится в движение двумя турбинами. Из
Ангулема приехал я в Париж 28 сентября, чтобы взять от нашего
посланника позволение выехать в Англию, куда и отправился
2 октября.
По приезде в Лондон, я обратился к двум известным английским
геометрам — Сильвестру и Келе. Расположению этих ученых я обязан,
с одной стороны, интересными беседами по различным отраслям
математики, на что употреблял я вечера и воскресные дни, в продолжение
которых все фабрики закрыты, а с другой стороны, случаем
познакомиться с известным английским инженером-механиком Грегори.
Узнавши о цели моего путешествия и в особенности о тех вопросах
практической механики, решение которых составляло предмет моих занятий,
он вызвался содействовать мне в отыскании на лондонских фабриках
предметов наиболее для меня необходимых. С этой целью он ездил со
мною на различные фабрики, где полагал найти различные машины,
устроенные самим Уаттом. Эти машины были особенно интересны для
меня, как данные о правилах, которым следовал Уатт при устройстве
своих параллелограмов,— правила, с которыми я должен был
сравнить результаты моих изысканий, упомянутых выше. К сожалению,
оказалось, что одна из самых старинных машин Уатта, долго
сохранявшаяся, в последнее время была продана в лом; но г. Грегори успел
найти две машины, которые, как видно по патентам, были совсем
переделаны Уаттом и сохраняются теперь как достопамятность.
Относительно производства машин он советовал мне обратить внимание на
фабрики Мозле, Иипера и Пена, для чего мне особенно полезна была его

— 254 -
рекомендация. Кроме многих паровых машин различных систем, на
первой из этих фабрик я видел вращательную машину, которая
делается по проекту самого Мозле-отца.
Если в Лондоне нет музея, подобно Conservatoire des arts et metiers,
то есть заведение другого рода, значительно способствующее к
распространению в народе сведений по технологии и практической механике;
это — так называемое Royal Polytechnic Institution. Здесь находится
значительное собрание моделей по разным отраслям практической
механики и различные машины, приводимые в движение парами; на многих
из этих машин производится на самом деле работа; тут же
выставляются различные новые изобретения, которых пользу показывают на
практике. Для приведения в движение гидравлических колес, а также для
объяснения устройства шлюзов, движения кораблей, подводных работ
и пр., в одной зале устроен огромный бассейн, в который по каналам
течет постоянно вода. Кроме того в лаборатории производятся
химические опыты, особенно интересные по своим приложениям в практике.
Это заведение посещается публикою в большом количестве.
По краткости времени, я должен был ограничиться теми предметами^
которые нашел я в Лондоне и его окрестностях.
Октября 14-го выехал я из Лондона в Париж, где должен был
получить известие от Императорского Александровского лицея
относительно покупки различных пособий для моего курса практической
механики. Исполнивши это поручение и воспользовавшись случаем быть
у г. Фуко вместе с г. Термитом и видеть его новые опыты, я отправился
22 октября по дороге к Берлину. Так как дорога эта проходит близ
Брюсселя, где много предметов интересных по практической механике
и читаются публичные лекции об этой науке, я решился заехать в этот
город. Не имея возможности оставаться там долго, я ограничился
обозрением музея машин, где, между прочим, находится много
замечательных орудий земледельческих, кроме того много моделей паровых
машин различного устройства и вращательная машина особенной
конструкции. Здесь же я мог видеть многие произведения бельгийской
промышленности; также был на лекции практической механики г. Кента.
Пробывши таким образом в Брюсселе три дня, я продолжал свой путь
в Берлин, куда и прибыл 26-го числа.
Здесь для меня особенно интересно было видеть известного геометра
Лежен-Дирихле. Между многими развитиями в анализе, сделанными
этим геометром, особенного внимания заслуживают его начала
приложения исчисления бесконечно малых к исследованию свойств чисел. Но
до сих пор обнародована им только некоторая часть его изысканий по
этому предмету; об остальном же мы ничего не знаем, кроме некоторых
окончательных результатов, высказанных им без доказательства.
Изыскания г. Лежен-Дирихле имеют особенный интерес для меня в том
отношении, что я сам занимался исследованиями этого рода, и в
записке, представленной мною в Императорскую С.-Петербургскую Академию
Наук, под заглавием: «Sur la fonction qui determine la totalite des

— 255 -
dombres premiers inferieurs a une limite donnee» * показал, что формула,
найденная по аналогии Лежандром, для определения, сколько простых
чисел, меньших данного предела, должна быть заменена другою:
результат тем более неожиданный, что о такой неверности формулы Ле-
жандра не упоминает г. Лежен-Дирихле, говоря о своих изысканиях по
этому предмету. В продолжение моего пребывания в Берлине, я
каждый день имел случай беседовать с этим геометром как о
вышеупомянутых изысканиях, так и о других предметах чистого и прикладного
анализа. Также с особенным удовольствием был я у него на лекции по
части теоретической механики.
К крайнему сожалению, узнал я в Берлине, что, по случаю ранних
морозов, навигация по Финскому заливу прекратилась, и в Тильзите
ожидают скоро льда; а потому, имея до окончания срока моего
путешествия не более десяти дней, я, оставшись долее в Берлине,
подвергаюсь опасности промедлить моим возвращением в С.-Петербург.
Посему 30 октября выехал я по направлению к Таурогену, а 7-го числа
прибыл в С.-Петербург.
Так воспользовался я высочайше дарованным соизволением на мое
путешествие за границу. Хотя, по краткости срока его, я не мог обнять
еще много, что входит в предмет занятий практической механики, одна-
кож предметы наиболее важные исследованы мною с подробностью,
как то: устройство паровых машин различных систем, ход этих машин
под влиянием различных обстоятельств, гидравлические колеса вообще
и турбины в особенности, устройство ветряных мельниц по голландской
системе, различные органы передачи движения, также различные
производства, в особенности писчей бумаги, прядения льна и обработки
железа. Кроме того для меня весьма интересно было общее
расположение различных частей фабрик, предмет весьма важный в
практическом отношении.
В физико-математический факультет
Императорского С.-Петербургского университета
Представление49.
В 1852 г. мы имели честь входить с представлением об отправлении
экстраординарного профессора Чебышева за границу. Из отчета, представленного им, видно, что
успех этого путешествия действительно оправдал наши ожидания. Но так как это
путешествие ограничивалось весьма коротким сроком *и притом в такое время года,
когда главные учебные заведения за границей, по случаю каникул, закрыты, то мы
полагаем, что вторичное путешествие г. Чебышева, и более продолжительное, должно
принести существенную пользу как для науки вообще, доставив ему новый запас
практических материалов для занятий его механикою, так и для распространения
сведений практической механики в нашем отечестве, познакомив его со способами
* См. том I настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева,
стр. 173—190.— Ред.

- 256 -
-преподавания этой науки в заведениях, назначенных собственно для реального
образования
Не говоря уже вообще о важности занятий практическое механикою в настоящее
время, о необходимости ее для полного математического образования, влияние ее на
развитие самой математики, мы видим особенный интерес в занятиях практическою
механикою профессора Чебышева, так как наш факультет не имеет кафедры по этому
предмету, а между тем, по значению его, практическая механика входит в область его
занятий: по высочайше утвержденному Уставу Университета он производит
испытания на такие высшие ученые степени, где практическая механика составляет один
из предметов экзамена, ему поручается рассмотрение сочинений по практической
механике, поступающих в университет, и наконец, в нем же открыто было,
с 1847/48 по 1850/51 гг., отделение реальных наук. Во всех этих случаях
профессор Чебышев заменяет профессора практической механики, и в 1849 г. ему
препоручено было исправлявшим должность Министра князем Ширинским-Ших-
матовым рассмотрение программы лекций практической механики в Московском
университете.
К этому мы считаем необходимым присовокупить, что путешествие не только
полезно для занятий г. Чебышева практическою механикою, но и для занятий его
науками математическими вообще: изустные беседы с учеными дают возможность, с одной
стороны, узнать взгляд их на предметы гораздо ближе, чем возможно это из их
сочинений, а с другой,— поверить собственный взгляд мнением их, который в разговоре
высказывается с особенною откровенностью Беседы эти, доставляя возможность
узлать многие изыскания, только что начинающиеся, вместе с надеждами и
опасениями в благополучном результате их, открывают нам самый процесс изысканий; а с
другой стороны, вызывая на подобный разговор, возбуждают к новым занятиям, к
развитию новых идей. Вследствие этого путешествие и обогащает ученых новыми
сведениями и является плодотворным началом новых изысканий. Так, несмотря на
кратковременность первого путешествия г. Чебышева, оно доставило ему возможность из
•бесед с учеными Германии, Франции и Англии, узнать многое по различным частям
математики, что останется надолго неизвестным публике; между прочим он привез
новую и до сих пор не напечатанную теорию эллиптических функций французского
геометра Лиувилля, в листках, на которых этот известный ученый еще доходил до
некоторых выводов. Желание отблагодарить французского ученого имело следствием
новые изыскания нашего профессора об интегрировании и мемуар его напечатал Лиу-
в-илль в своем журнале. Кроме того профессор Чебышев, во время путешествия,
сделал изыскания о механизме, известном под названием параллелограмма Уатта, а
мемуар об этом был представлен нашей Академии Наук.
На основании всех этих соображений, мы думаем, что путешествие профессора
Чебышева несомненно принесет значительную пользу для занятий его как практическою
механикою, так и математикою, и в особенности теперь, когда он знаком со многими
учеными во Франции. Так как по служебным обязанностям г. Чебышева он не может
надолго оставить Петербурга, то. для успеха его путешествия мы полагаем
необходимым, чтобы он ограничился Германиею, Франциею и Бельгиею — и здесь только теми
местами, в которых он найдет наиболее средств для достижения цели сзоего
путешествия. Срок же его ученой командировки за границу может быть продлен до конца
будущих зимних каникул, так как в остальное время университетских курсов,
с прибавкою надлежащего числа лекций, он может успеть окончить все согласно
с программою.
28 марта 1856 г. Профессор Лени.
Профессор В. Буняковский.
Профессор Савич.
Профессор Сомов.

— 257 —
В физико-математический факультет Императорского
С -Петербургского университета
Профессора П. Чебышева
Донесение50.
Еще в 1866 г. физико-математический факультет ходатайствовал о
командировании меня за границу с ученою целью, но так как
командировка эта до сих пор не осуществилась, и вследствие того не могут
быть окончены предпринятые мною работы, требующие личного
свидания с иностранными учеными, занимающимися теми же предметами, и
справок с манускриптами, находящимися в библиотеках Парижа,
Лондона и Берлина, то я обращаюсь с покорнейшею просьбою в факультет
о возобновлении ходатайства командировать меня за границу. Кроме
возможности окончить начатые мною работы по части математического
анализа, эта командировка доставит мне случай видеть на фабриках и
заводах сделанные в последнее время усовершенствования в устройстве
машин, составляющих предмет особенно важных приложений
математики, которыми я занимаюсь, а также ознакомиться с методами
преподавания математики и математических предметов в иностранных
училищах, отличающихся особенно успехами по этой части. Последнее мне
тем более необходимо, что я состою членом и Попечительского Совета
и Ученого Комитета нашего Министерства, где часто возбуждается
вопрос о методах преподавания этих наук у нас и за границей.
Командировка эта могла бы быть ограничена шестимесячным сроком, со
включением каникулярного времени, т. е. с 1 июля по 1 декабря.
18-го октября. П. Чебышев.
1869-го года
В Совет С.-Петербургского Университета
Декана физико-математического факультета
Донесение51.
Физико-математический факультет определил ходатайствовать в Совете
Университета о командировании профессора Я. Л. Чебышева за границу на шесть месяцев,
сроком с 1 июня по 1 декабря. Цель этой командировки заключается в том, чтобы
доставить профессору Чебышеву возможность, для окончания некоторых
предпринятых им работ, лично совещаться с иностранными учеными и посетить •библиотеки
Парижа, Лондона и Берлина для справок с хранящимися в них манускриптами. При
этом профессор Чебышев считает необходимым также ознакомиться на фабриках и
заводах с новейшими усовершенствованиями в устройстве машин, составляющими
предмет особенно видимый приложений математики, которыми он занимается в
настоящее время. Наконец, состоя членом Пооечительского Совета и Ученого
Комитета Министерства народного просвещения, где часто возбуждаются вопросы о
методах преподавания математики и математических наук у нас и за границей,
профессор Чебышев желает лично ознакомиться с методами преподавания этих наук в
иностранных училищах.
Декан (подпись).
28 февраля 1870 г.
17 П. Л. Чебышев, т. V

- 258 —
В физико-математический факультет
Императорского С.-Петербургского университета
П. Чебышева
Донесение52.
Занимаясь приложением математического анализа к устройству
различных механизмов, я имею крайнюю надобность ознакомиться с
новейшими усовершенствованиями, сделанными наукою и практикою по
этой части. Так как всемирная выставка, имеющая быть в Вене,
представляет особенно удобное средство в непродолжительное время
изучить все то, что сделано было наиболее замечательного по части
механизмов, составляющих предмет моих занятий, то я имею честь
представить в факультет о необходимости нынешним летом командировать
меня за границу для собрания на всемирной выставке в Вене данных,
без которых мне невозможно продолжать моих занятий по
приложению математики к механике. Для того чтобы собрать все нужные для
меня данные на всемирной выставке в Вене, а также посетить и
обозреть музеи Парижа и Лондона — для командировки моей за границу —
необходимо назначить до четырех месяцев.
П. Чебышев.
3 марта 1873 г.
Его превосходительству господину Ректору
Императорского С.-Петербургского Университета
Заслуженного профессора П. Чебышева
Прошение53.
Имея надобность ехать в Москву по случаю испытания в
Московском техническом училище регуляторов моей системы, покорнейше
прошу уволить меня в отпуск с 17 мая на 14 дней и вместе с тем
снабдить меня свидетельством на проезд в разные губернии и прожития
там в продолжение каникулярного времени.
Заслуженный профессор П. Чебышев.
1877 года мая 12-го дня.
В физико-математический факультет Императорского
С.-Петербургского университета
Заслуженною профессора П. Л. Чебышева54.
Занимаясь приложением математики к различным вопросам
кинематики, я нахожу необходимым ознакомиться с тем, что в последнее
время было сделано особенно замечательного по этой части механики за

— 259 -
границею. Всемирная выставка нынешнего года в Париже представляет
для этого особенно удобное средство, которым мне необходимо
воспользоваться для успеха моих занятий. Парижская всемирная выставка тем
более представляет для меня интерес, что на ней будет находиться
несколько предметов, сделанных на основании моих вычислений, и эти
предметы будут подвергнуты испытанию экспертов. Сверх того во
время выставки будет съезд математиков и механиков, на которые я
получил приглашение. Принимая все это во внимание, я счел нужным
обратиться в факультет с всепокорнейшей просьбою ходатайствовать о
командировании меня в Париж на полтора месяца сверх
каникулярного времени. Командировка эта могла бы быть исполнена без
причиненного ущерба для моих занятий по должности профессора, если бы
началом ее было положено 15 мая, а конец 15 сентября.
П. Чебышев.
ЗАМЕЧАНИЯ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
К ПРОЕКТУ УСТАВА УНИВЕРСИТЕТОВ
И ЗАПИСКА О ШТАТАХ УНИВЕРСИТЕТОВ.
[ЗАМЕЧАНИЯ] ОРДИНАРНОГО ПРОФЕССОРА ЧЕВЫШЕВ455.
По рассмотрении проекта Общего устава Императорских
Российских университетов, имею честь представить мнение об изменениях,
которые я считаю необходимым сделать в этом уставе.
1. По тому большому влиянию, которое имеет разделение
факультетов на отделения, я считаю нужным конец § 9 Общих положений
изменить так: «Факультеты, по местным потребностям, могут быть
разделены на отделения, но не иначе, как с разрешения министра народного
просвещения.
2. Так как практическая механика существенно разнится от
механики аналитической и по предмету своему и по методам и [так] как
эта наука сама по себе обширна и требует специального занятия ею,
то считаю нужным в § 13 второй главы отделить практическую
механику от аналитической.
3. Принимая в соображение, что в различных отделениях одного и
того же факультета преподаются науки существенно различные между
собою и что кончивший курс по одному отделению может совсем не
знать науки другого отделения (например, кончивший курс по
отделению физико-математических наук может не знать зоологии и т. п.),
нельзя признать достаточным для получения места профессора ученой
степени, хотя бы и того факультета, но не того отделения, к которому
относится предмет его лекций. Сверх того желательно бы было, чтобы
предметами лекций профессоров были те самые предметы, которые при
их испытаниях на ученые степени были избраны ими как главные;
только относительно этих предметов дипломы на ученые степени могут

- 260 -
свидетельствовать о специальных знаниях доктора или магистра. А
потому § 71 главы 4, по моему мнению, следовало бы изменить так:
«Никто не может быть ординарным профессором по той -науке, по
которой он не имеет степени доктора. Для получения звания
профессора экстраординарного или старшего доцента надлежит, по крайней
мере, иметь степень магистра по той же науке. Доцентами же
младшими и приват-доцентами могут быть кандидаты того отделения или
разряда, где их предмет излагается как главный. Лекаря с отличием,
провизоры и ветеринары должны представить диссертацию (pro venia
legend!) и защитить ее в присутствии совета».
«Примечание. Особенно важное сочинение, по признанию совета,
может заменить ученую степень».
4. Так как в университете не предполагается производить никаких
экзаменов поступающим в число студентов, то необходимо в конце
§ 108 главы V выкинуть следующее: «а также сочинения и устные по
оным объяснения, требуемые для зачисления в студенты».
О ШТАТАХ УНИВЕРСИТЕТОВ56.
Члена Ученого комитета, академика Че б ышев а.
Во всех замечаниях, касающихся штатов университетов, говорится о
крайней необходимости значительно увеличить содержание всех
университетских преподавателей, так как в недостаточности этого
содержания заключается причина того, что теперь мало желающих посвятить
себя приготовлению к обязанностям профессора, а потому многие
кафедры по нескольку лет остаются незанятыми. По замечанию
Современной летописи Русского вестника, без увеличения профессорского
жалования не может увеличиться число соискателей на профессорские
места, а следовательно, невозможна и строгость выбора. Имея в виду
недостаточность отпускаемых ныне из государственного казначейства
сумм на содержание учебных заведений, Министерство народного
просвещения предложило попечителям учебных округов составить проект
новых штатов, основанных на местных соображениях и увеличенных в
той мере, которая считается необходимою для полного удовлетворения
потребностям службы. В Журнале Министерства народного
просвещения за август месяц 1862 г., в статье Об усилении средств содержания
заведений Министерства народного просвещения напечатано извлечение
из предположений по этому предмету попечителей С.-Петербургского,
Московского, Харьковского, Киевского и Виленского учебных округов.
В этой статье, касательно окладов университетских, находится
следующая таблица, представляющая нынешние оклады содержания
профессоров и некоторых других университетских чиновников и оклады по
предположениям попечителей. Оклады * содержат в себе как жалование,
так и квартирные и столовые деньги и выражены в круглых числах.
* Здесь и далее имеются в виду годовые оклады.

261 —
!
Содержание, ныне получаемое
В университетах
о. Я
а о
н *
52
о о
•5 о
. S
03 Я
Содержание по предположениям
попечителей округов
Л 2
Ординарный профессор . . .
Экстраординарный профессор
Адъюнкт
Лектор
Доцент старший
„ младший
Прозектор
Лаборант
Библиотекарь
Помощник библиотекаря . . .
Синдик
Секретарь совета
Казначей
Бухгалтер
Экзекутор ,
Ректор ,
Деканам прибавочных . . .
1572
1175
800
600
500
428
714
343
857
514
428
428
428
2000
300
1543
1095
786
504
500
700
428
700
343
840
504
420
420
420
1964
300
1263
954
643
568
560
336
560
250
843
506
450
450
464
294
1350
980
690
500
600
443
800
350
3000
2000
1000
1000
1000
642
1500
600
1500
1000
1000
800
800
2000
300
3000
2000
1500
1200
1000
1200
1200
950
600
1500
1000
800
800
800
3400
600
2800
2000
900
1000
600
1000
700
1С00
500
1200
800
700
700
700
1000
400
2400
1700
1000
700
700
400
900
500
900
450
1000
1000
400
«Таким образом, сказано в этой статье, по предположению четырех
попечителей округов, содержание профессоров и других лиц, служащих
при университетах, следовало бы увеличить почти вдвое. Как ни
значительны, повидимому, предполагаемые оклады,— при нынешней
дороговизне всех предметов содержания не только в столицах, но и в
университетских городах, они оказываются едва достаточными для
удовлетворения всех необходимых потребностей служащих лиц и их семейств.
Попечитель Харьковского учебного округа, представляя о
необходимости назначения вышепоказанных окладов, замечает, что всякое
уменьшение количества предполагаемого им содержания будет стеснительным
для служащих при университете лиц. Оклады, представленные
Харьковским попечителем, значительно меньше тех окладов, какие Совет
Харьковского университета находил в настоящее время необходимыми для
содержания семейных профессоров и чиновников университета.
Необходимые годовые издержки семейного ординарного профессора Совет
Харьковского университета определил в 3000 рублей, а именно:
На продовольствие 750 руб.
„ наем квартиры 500 »
„ экипировку 500 »
„ дрова (7 саж. по 22 руб.) 154 »
„ дрислугу (мужч. 10 руб. и женщ. 4 руб. в м-ц) 164 »
„ воду (3 руб. в месяц) 36 »

- 262 -
На освещение (по фунту стеариновых свеч в сутки, или 9 пудов
в год, на 117 руб. и на 25 руб. сальных свеч) 142 »
„ покупку книг, журналов, на воспитание детей, мелкие и
разные случайные расходы 750 »
Всего 3000 рублей
На том же основании Совет находил необходимым назначить:
Экстраординарному профессору 2500 руб.
Старшему доценту 1800 »
Младшему 600 »
Лектору 1000 »
Прозектору и лаборанту по 1800 »
Библиотекарю 1500 » и т. д.
Совет Казанского университета относительно увеличения штатов
говорит следующее: «что касается до предлагаемых размеров окладов,
то вполне достаточно указать только, как на факт всем известный, на
то обстоятельство, что в то время, когда существующие ныне оклады
считались и были действительно достаточны для обеспечения, цена
почти на все ежедневные потребности жизни была вдвое или втрое
менее настоящей. Будет близко к правде, если сказать, что значение
рубля ассигнациями было тогда то же, что теперь значение рубля
серебром».
Затем Совет Казанского университета предлагает следующую
роспись расходов:
Одному Всем
РУб. руб.
32-м ординарным профессорам, в том числе и профессору
богословия (жалованья 2000 руб., столовых 600 руб. и
квартирных 400 руб.) 3000 96000
15-ти экстраординарным профессорам (жалованья 1200 руб.,
столов. 500 руб. и квартирных 300 руб.) 2 000 30 000
2-м преподавателям Восточных языков 2 000 4000
20-ти старшим доцентам 1000 20 000
20-ти младшим доцентам * 500 10 000
3-м лекторам 800 2 400
4-м прозекторам 1 000 4 000
3-м помощникам прозектора 500 1500
2-м старшим лаборантам 800 1600
3-м младшим лаборантам 600 1800
Астроному-наблюдателю 1 200 1 200
Учителю рисования 600 600
Учителям искусств — 900
Библиотекарю 1 000 1 000
4-м помощникам библиотекаря • 500 2000
Механику 500 500
Таксодермисту 500 500
3-м хранителям музеев 500 1 500
Смотрителю ботанического сада 600 600
Садовнику этого сада 600 600
Ординатору клиники . . . . • 600 600
Смотрителю клиники 500 500
* Жалованье ныне состоящим на службе адъюнктам производить из остатков
от штатных сумм на жалованье доцентов по 1200 руб.

- 263 —
Одному Всем
руб. руб.
3-м ассистентам факультетской клиники 400 1 200
2-м ассистентам госпитальной клиники 400 800
Повивальной бабке 400 400
Синдику (жалованья 1200 руб. и столов. 300 руб.) 1 500 1 500
Секретарю Совета • . . . 900 900
2-м секретарям: правления и студенческих дел 700 1 400
Казначею 700 700
Бухгалтеру 700 700
Экзекутору университета 600 600
Инспектору студентов 1000 1000
4-м чиновникам, состоящим при инспекторе 600 2400
3-м столоначальникам (2-м в правлении, 1-му в совете) .... 500 1 500
Архивариусу 400 400
Архитектору университета 400 400
Врачу при студенческой больнице • . . . . 400 400
На канцелярию университета — 3 000
На содержание церкви университета 800 800
На содержание церкви в клинике 700 700
На астрономическую обсерваторию 700 700
На физический кабинет и лабораторию — 1 000
На химическую лабораторию и кабинет . — 1 500
На технологическую лабораторию и кабинет — 1 000
На минералогический кабинет — 500
На зоологический и зоотехнический кабинет — 1 200
На ботанический сад и кабинет • — 3 000
На кабинет строительного искусства — 300
На сельскохозяйственный кабинет . — 300
На рисовальный класс • — 150
На музей изящных искусств и древностей • . . — 1 500
На кабинет судебной медицины — 200
На анатомический театр ...» • — 800
На физиологический кабинет . . . — 800
На лабораторию и фармацевтическую, фармакологическую и
физиологической химии — 600
На фармакологическое и фармацевтическое собрание -— 200
На кабинет патологический — 400
На собрание хирургических инструментов и препаратов
факультетской клиники — 250
На то же для госпитальной клиники — 200
На собрание акушерских инструментов и препаратов — 300
На собрание инструментов для терапевтической факультетской
клиники — 100
На собрание инструментов для терапевтической госпитальной
клиники — 100
На собрание инструментов для глазной клиники — 200
На факультетские клиники, повивальный институт и аптеку ... — 13000
На библиотеку* — 6000
На выписку журналов — 1000
На переписку с иностранными корреспондентами — 400
На печатание протоколов Совета университета — 200
* Наем служителей в наемно-вспомогательных заведениях относится на суммы
этих заведений.

- 264 —
Одному Всем
руб. руб.
На печатание сочинений по учебным предметам • • — 1 000
На квартиры чиновникам — 2 000
На стипендии, считая в том числе сибирских, виленских,
оренбургских, астраханских и пермских — 20 000
На командирование профессоров и студентов за границу .... — 16000
На пособия молодым людям, оставленным при университете для
усовершенствования — 4 000
На покупку книг для стипендиатов медицинского факультета . . — 500
На больницу для студентов — 1 500
На практические курсы — 500
На решение задач — 500
На содержание зданий университета — 14000
На содержание служителей университета — 3 000
Прибавочного жалованья:
Ректору 1000 1000
Проректору 750 750
4-м деканам 500 2 000
4-м секретарям факультетов 200 800
Профессору акушерства за повивальный класс 300 300
Итого 304 350
В некоторых замечаниях на проект Университетского устава
приводится самый бюджет расходов профессора, и при этом оказывается, что
даже для удовлетворения необходимых потребностей жизни
содержание профессоров должно быть увеличено в значительной пропорции. Так,
принимая средним числом семейство профессора состоящим из жены и
троих несовершеннолетних детей, профессор Горлов замечает, что для
такого семейства и при нынешних ценах потребны следующие расходы:
1. Помещение. Квартира (5 жилых комнат, передняя и кухня)
600 руб.— Отопление (30 саж. дров по 4 руб. за саж. с доставкою)
120 руб.— Освещение (4 пуда стеариновых, 3 пуда сальных свеч,
лампового масла на 11 руб.) 80 руб.
2. Пища. Обед на 5 человек (при теперешней дороговизне говядины
12—15 коп. за фунт, не может быть положен дешевле 25 коп. на
человека в день, всего 1 р. 25 к.) в год 456 р. 25 к.— Чай, белый хлеб,
масло и сахар (считая по 8 коп. утром и по 8 коп. вечером на человека,
ежедневно по 80 коп.) в год 272 руб.
3. Одежда. Одежда и обувь профессора в год 200 руб.— Его
семейства (считая на каждого по 120 руб.) 480 руб.— Чистка белья (считая
наем поденщиц, их содержание, мыло, крахмал, равно и глажение по
6 руб. в месяц) в год 72 руб.
4. Книги профессору 150 руб.
5. Дополнительные уроки к обучению детей в казенных учебных
заведениях и на учебные пособия (по 60 руб. на каждого) 180 руб.
6. Прислуга. Кухарке (по 5 р. в месяц) в год 60 руб."—Двум
служанкам (по 47а рубля каждой в месяц) 108 • руб. Содержание их (по
15 коп. каждой в сутки) 164 р. 25 к.' Всего 2942 р. 50 к.

- 265 —
«Итак,—в заключение говорит г. Горлов,—потребно 29427г руб.,
если профессор будет завтракать на 8 коп.; если он и все его домашние
будут всегда ходить пешком; если он и все его домашние будут
всегда здоровы и никогда не будут звать доктора и покупать
лекарства; если он не будет никуда выезжать из Петербурга в летнее
время, когда Петербург необитаем от пыли, жары и зловония; если он
будет вести затворническую жизнь и никого не будет у себя принимать
и сам никого посещать; если он не будет заботиться об участи своих
детей и жены и не будет ничего для них сберегать; если у него не будет
никаких экстраординарных расходов. Допустив же, что профессор по
всем этим предметам будет делать самые умеренные и необходимые
расходы, бюджет его надо возвысить до 4000 руб. сер. При 5000 руб.
содержания жизнь профессора сделается удобною и привлекательною
для молодых ученых, которые для приобретения таких выгод войдут в
значительную между собою конкуренцию. Понятно, почему до сих пор
не могло быть этой конкуренции, когда профессору оклад и наполовину
недостаточен, и когда ему на квартиру выдается 150 рублей.
Необходимость для пополнения содержания снискивать существование
журнальными статьями или преподаванием в учебных заведениях сделала
положение профессора крайне тягостным и отвлекает его от занятий чисто
научных, которые каждый профессор собственно имеет в виду, вступая на
кафедру. Если профессорский оклад будет возвышен до 5000 руб.
ординарному, до 3500 руб. экстраординарному и по соразмерности другим
преподавателям, то профессор будет в состоянии действительно посвятить
себя наукам без суровых забот о хлебе насущном и приобрести такое
положение может сделаться целью жизни для самых отличных дарований».
Профессор Березин по этому предмету говорит так:
«Предполагая у профессора, как человека семейного и вполне
посвятившего себя одной науке, совершенно необходимыми следующие
расходы: квартира 660 руб., дрова и вода 200 руб., освещение 60 руб.,
прислуга 180 руб., платье, белье и обувь 350 руб., книги 250 руб., стол,
чай и сахар 1000 руб., доктор и аптека 200 руб., разъезды 150 руб.,
домашний ремонт 150 руб., прачка 100 руб., экстраординарные расходы
200 руб., всего 3500 руб., получаем такую роспись содержания для
преподавателей и прочих служащих: ординарный профессор 3500 руб.,
экстраординарный 2500 руб., старший доцент 1500 руб., младший доцент
1000 руб., лектор 1000 руб., практический преподаватель 700 руб.,
библиотекарь 1500 руб., помощник библиотекаря 1000 руб., ректор, сверх
квартиры и профессорского жалованья, 1200 руб., проректор, сверх
квартиры и профессорского жалованья, 1000 руб., инспектор, сверх
квартиры, 1000 руб., декан (дополнительных) 300 руб., секретарь
факультета 200 руб.»
Исправляющий должность экстраординарного профессора Навроцкий
предлагает такую смету расходов ординарного профессора:
«Квартира 700 руб., дрова и вода 180 руб., освещение 80 руб., стол,
чай и сахар 1000 руб.; платье и белье 400 руб., книги и письменные

— 266 —
принадлежности 250 руб., прислуга и прачка 240 руб., доктор и аптека
200 руб., воспитание детей 300 руб., домашний ремонт 100 руб.,
извозчик 150 руб., непредвидимые расходы 200 руб. Итого 3800 руб.»
«Сообразно же с этой сметой, необходимым кажется,— говорит он,—
назначить разным должностным лицам С.-Петербургского университета
следующее содержание, соразмерное занимаемым ими должностям:
ординарному профессору 3800 руб., экстраординарному профессору
3000 руб., старшему доценту 2000 руб., младшему доценту 1500 руб.,
лектору 1300 руб., практическому преподавателю 800 р и т. д.»
Относительно штатов университетских в замечаниях исправляющего
должность адъюнкта Патканова находим следующее:
«Ординарному профессору 4000 руб., экстраординарному 3250 руб.,
старшему доценту 2500 руб., младшему доценту 1500 руб., лектору
1500 руб., практическому преподавателю восточных языков 1000 руб.,
библиотекарю 2000 руб., помощнику библиотекаря 1500 руб.,
помощнику проректора 1000 руб.
Добавочное содержание:
Ректору 1200 руб., проректору 1000 руб., деканам 500 руб., членам
правления из профессоров 300 руб., секретарям факультета 200 руб.
Годовой расход
Ординарного
профессора Доцента
Квартира и дача 700 500
Дрова и вода 200 100
Прислуга 150 130
Освещение , 50 50
Платье 350 300
Книги и письменные принадлежности 400 200
Стол, чай и пр 1 500 900
Доктор, аптека 150 120
Извозчик 150 100
Прачка 150 100
Домашний ремонт и непредвиденные расходы . . . 200 —
Итого 4000 2 500»
Об этом же ординарный профессор Чубинов говорит так:
«Ординарному профессору 5000 руб. в год. Экстраординарному 3500 руб.
Старшему доценту 2500 руб. Младшему доценту 1500 руб. Лектору 1500 руб.
Практическому преподавателю восточных языков 1000 руб.
Библиотекарю 2000 руб. Помощнику библиотекаря 1500 руб. Помощнику
проректора 1000 руб.
Добавочного содержания:
Ректору 1200 руб. Проректору 1000 руб. Деканам по 500 руб.
Членам правления из профессоров по 300 руб. Секретарям факультета по
200 руб.

— Ж7 —
Годовой бюджет расхода ординарного профессора:
Квартира 800 руб. Дрова и вода 200 руб. Освещение 50 руб.
Прислуга 200 руб. Платье 350 руб. Книги и письменные принадлежности
250 руб. Стол, чай, сахар и пр. 2000 руб. Доктор и аптека 200 руб. На
извозчика 150 руб. Прачка 150 руб. Домашний ремонт 250 руб. На
непредвидимые расходы 400 руб. Итого 5000 руб.»
Наконец, исправляющий должность экстраординарного профессора
Галстунский, не касаясь других местностей, собственно для Петербурга
предлагает следующее*.
«Ординарному профессору 4200 руб. Экстраординарному
профессору 3200 руб. Старшему доценту 2200 руб. Младшему доценту 1300 руб.
Лектору 1300 руб. Практическому преподавателю восточных языков
750 руб. Практическому преподавателю и учителю мусульманской
каллиграфии 900 руб. Библиотекарю (при казенной квартире) 1300 руб.
Помощникам библиотекаря (при казен. кварт.) по 900 руб. Чиновникам
по студенческим делам (при хоз. кварт.) по 650 руб. Синдику (при
казен. кварт.) 1300 руб. Секретарям (при казен. кварт.) по 800 руб.
Штатным канцелярским чиновникам (при казен. кварт.) по 360 руб.
Добавочных:
Ректору (при казен. кварт.) 1200 руб. Проректору (при казен.
кварт.) 900 руб. Деканам по 400 руб. Членам правления из
профессоров по 250 руб. Секретарям факультетов по 200 руб.»
В выноске же г. Галстунский говорит:
«Годовой расход ординарного профессора в С.-Петербурге: квартира
700 руб., дрова и вода 200 руб., освещение 80 руб., прислуга, прачка и
мытье белья 280 руб., платье и белье 360 руб., книги и письменные
принадлежности 250 руб., стол, чай, сахар, кофе и белый хлеб 1200 руб.,
доктор и аптека 250 руб., на извозчиков 180 руб., домашний ремонт
100 руб., воспитание детей 300 руб. На непредвидимые расходы 300 руб.
Итого 4200 руб.»
Профессор Кавелин не говорит, насколько именно, по мнению его,
должно увеличить содержание профессоров, но относительно
необходимости улучшить материальное положение их, в его замечаниях мы
находим следующее:
«Одно из существенных великих зол теперешнего положения
профессора заключается в том, что материальное положение его одно из
самых печальных, участие в университетском управлении и делах
только кажущееся, а не действительное, почему и трудно привязаться ему
к своему университету всею душою; взамен того профессор есть
чиновник, которого честолюбие или, правильнее, чинолюбие может
развиваться широко. Из скромного труженика, которого честь и слава должны
бы сосредоточиться на занятии наукою, на усовершенствовании своего
курса, на деятельном участии в развитии и процветании университета,

— 268 -
с которым он так тесно связан, профессор, вследствие теперешнего
своего положения, неминуемо должен обратиться в искателя средств
существования, в чиновника по учебной части, как его и называют в
разных министерских предписаниях прежнего времени, наконец, в
искателя чинов и других служебных отличий, как необходимого условия для
того, чтоб со временем улучшить свое материальное положение.
Профессура есть своего рода монашеский обет, который допускает своего
рода отличия и почести, но совсем иного свойства, чем те, которые
принадлежат по праву органам бюрократии. Единственная сфера
профессора— наука, кафедра, университет — сфера скромная, но в то же
время бесконечно широкая для призванных. Единственное, что нужно
профессору — это чтоб заботы материальные не отвлекали его от
университета, чтоб он имел под старость, когда силы ему изменят, надежду на
верный и спокойный кусок хлеба, и чтобы судьба его семейства, после
его кончины, не тревожила его. Больше ему ничего не нужно. Кто ищет
большего, тому не для чего быть профессором, тот будет полезнее на
других поприщах, которых так много.
Чтоб поставить профессоров в их надлежащую колею, чтоб
вывести их из теперешнего ненормального положения, имеющего вредное
влияние на наши университеты, прежде всего необходимо улучшить их
содержание, восстановить прежний пенсионный устав по учебной части,
действовавший до 6 ноября 1852 г., но в то же время лишить их права
на чины и все другие служебные отличия, и только оставляющим
профессуру и переходящим в гражданскую или военную службу зачитать
время, проведенное на кафедре, в действительную службу. При такой
обстановке кафедры будет наполняться одними действительно
призванными к науке и преподаванию лицами, и эти лица, не развлекаясь
ничем, будут заниматься одним своим делом».
Наконец, в замечаниях Русского профессора говорится, что у нас
вознаграждение профессоров и доцентов должно быть особенно высоко,
потому что иначе никто не пойдет искать этих должностей. Содержание
должно быть втрое против нынешнего или в 2lj2 раза, если допущены
будут гонорары. Далее он так представляет участь профессора
в России:
«Русскому профессору (исключая разве гениальных людей)
приходится выбирать или быть мучеником или игнорантом; но последним, до
известной степени, будет даже (особенно в провинции) и благородный
мученик науки — от недостатка в ученых пособиях, от недостатка в
книгах и живительном обмене мыслей. Стало быть, отсталость от бедности
есть неминуемая судьба его, хотя бы он весь предался науке и ею
только дышал. Сверх того, он завален заседаниями, испытаниями,
комитетами, презентациями, так что при самой лучшей воле, он непременно
должен отстать от европейской науки. Но отстал ли он от русской
науки? Далеко не всегда».
Все помещенные в «Замечаниях» мнения согласны в крайней
необходимости увеличения содержания всех университетских преподавателей,

— 269 -
и притом в значительной степени. Впрочем, необходимость
увеличения содержания в университете прежде еще признана была самим
правительством, и она сама собою высказывается неимением достойных
кандидатов на многие профессорские места. Что же касается до
размера, в котором именно необходимо возвышение профессорских окладов,
то по этому предмету мнения до некоторой степени различны и
распадаются явным образом на две категории. Одни мнения составлены, по
крайней мере, повидимому, независимо от настоящих цен на предметы
жизненной потребности, другие же выведены на основании этих цен.
К первой категории относятся мнения гг. попечителей округов:
С.-Петербургского, Московскою, Харьковского и Киевского, ко второй —все
остальные. Мнения первых довольно близки между собою, и, по
отношению к увеличению содержания преподавателей, эти мнения в общих
чертах приблизительно можно представить так:
Оклады профессоров ординарных и экстраординарных удвоить;
оклады .адъюнктов и лекторов увеличить в меньшей пропорции — в полтора
или в VU; старшим доцентам назначить содержание вполовину против
экстраординарных профессоров и почти одинаковое с окладом лектора;
оклад же младших доцентов сделать значительно меньше оклада
лекторов.
Но с этим вообще значительно разнятся, остальные мнения и по
размеру увеличения содержания всех преподавателей, и по взаимному
отношению окладов профессоров, доцентов и лекторов.
В этих мнениях содержание, приблизительно половинное против
экстраординарных профессоров и почти одинаковое с лекторским,
полагается младшим доцентам, а не старшим, как в мнениях первой
категории, вследствие чего содержание младших доцентов выходило бы
совершенно недостаточным для потребностей жизни (400—600) и почти
вдвое меньше лекторского. Признавая необходимость, назначением
достаточного оклада, обеспечить за младшими доцентами возможность
посвятить все время науке и университету и поставить их не ниже
лекторов, мы находим нужным принять аднение второй категории и
предложить содержание младшим доцентам вполовину против оклада
экстраординарных профессоров. Затем, сравнивая в вышеприведенных
мнениях второй категории предлагаемые оклады для прочих
преподавателей в университете, мы замечаем, что средним числом оклады
ординарных профессоров выходят на одну треть больше экстраординарных,
содержание же старших доцентов составляет среднее между окладами
экстраординарных профессоров и младших доцентов: это мы и полагаем
принять за основание при расчете содержания различных
преподавателей в' университете. Затем, чтобы назначить размеры этих содержаний,
нам остается только решить: как велико должно быть высшее
профессорское содержание,— содержание, которое после многих лет и
усиленных трудов может иметь молодой; человек не без особенных
способностей, отказываясь от всякой другой карьеры, ддя образования из себя
достойного представителя какой-либо науки. По этому предмету, как мы

— 270 -
уже видели, мнения первой категории также значительно разнятся со
второй, и в этом случае, мы также считаем необходимым предпочесть
последние, как составленные на основании расценки необходимых
предметов жизненной потребности, и по которым было бы недостаточно
только удвоить содержание профессоров, как это полагается в мнениях
первой категории, а необходимо усилить в большей степени. Из
вышеприведенных смет расходов видно, что при ценах петербургских,
например, для жизни сколько-нибудь удобной и при семействе еще не
очень многочисленном, нужно профессору в год до 5000 руб., и что для
понижения бюджета расходов до 3000 руб., как подробно показано в
мнении профессора Горлова, профессору необходимо обречь себя на
лишения весьма чувствительные. Поэтому, если в видах сокращения
государственных расходов нужно отказаться от мысли сделать положение
профессора вполне обеспеченным в материальном отношении, назначив
ему при высшем окладе 5000 р. содержания, то, с другой стороны, в
видах обеспечения университета преподавателями вполне достойными и
в полном комплекте, нельзя ограничивать его оклада только 3000 руб.,
не вполне достаточными для жизни сколько-нибудь удобной. А потому,
кажется, необходимо будет принять среднее из двух чисел — 4000 руб.,
что предполагает увеличение содержания профессора почти в 21/2 раза,—
следовательно, почти в той же степени, как это было сделано в 1835 г.,.
когда вместо 2000 рублей ассигнациями назначено было 5000 руб., и в
степени, быть может, меньшей той, в которой вздорожали с тех пор
средним числом все предметы жизненных потребностей. При окладе
ординарного профессора в 4000 руб. по вышеприведенному расчету,
оклады прочих преподавателей в круглых числах должны быть такие:
экстраординарному профессору 2600 р., старшему доценту 2000 р.,
младшему доценту и лектору по 1300 р.
Это выведено нами было собственно для Петербурга. Переходя к
штатам других университетов, мы должны решить вопрос: следует ли
назначить во всех университетах однообразные оклады или нет? Все,
касавшиеся этого предмета, единогласно признают необходимость
уравнения окладов во всех университетах, и в подтверждение этого мнения
Совет Казанского университета приводит такие соображения:
«Нельзя не заметить, что назначение преподавателям в
провинциальных университетах окладов, по крайней мере равных со столичными,
необходимо для поднятия первых. Столицы сами по себе представляют
материальные и нравственные выгоды, вследствие которых их
университеты всегда будут богаче преподавателями. Назначение последним в
столице больших окладов будет увеличивать нарушение равновесия к
ущерб университетов провинциальных». Принимая это во внимание,
нельзя не признать необходимости вышепоказанные оклады
преподавателей оставить без изменения для всех университетов.
До сих пор, говоря о содержании преподавателей в университете, мы
не обращали внимания на то, сколько будет ему выдаваться в виде
жалованья и сколько в виде столовых и квартирных, так как собственно

— 271 -
для преподавателя, состоящего на службе в университете, все равно,
под каким бы наименованием ни выдавались ему деньги, необходимые
для его существования. Но от этого, главным образом, зависит размер
его пенсиона, так как в пенсион обращается только жалованье.
Поэтому решение того, какую часть профессорского оклада выдавать в виде
жалованья и какую в виде столовых и квартирных, зависит от
определения, какую именно часть оклада профессора следует оставлять ему
в пенсион по выслуге полного срока. Принимая в соображение, что для
занятия кафедры в университете требуются и особенные способности и
особенное приготовление, что человек, вступивший на это поприще,
отрекается навсегда от других, а между тем через 25 лет самой
добросовестной и полезной службы он большею частью увольняется, и нередко
оттого только, что сам не успел приготовить, себе достойного преемника,
мы приходим к убеждению, что увольняя под конец жизни такого
человека, в материальном положении его не следует делать значительного
стеснения, как это было бы при назначении ему пенсиона, значительно
меньшего против получаемого им на службе содержания. На основании
этого мы полагаем, что, по крайней мере, три четверти полного его
оклада должны выдаваться ему в виде жалованья, а затем остальная
четверть может выдаваться под названием столовых и квартирных, из
которых первые, согласно с предлагаемыми окладами Советом
Казанского университета, приблизительно можно принять вполтора против
последних. По этому расчету и делая необходимые округления в
числах, мы составили следующую таблицу содержания преподавателей
университетов:
Жалованья Квартир- Столовых Всего
руб. вых руб. руб. руб.
Ординарному профессору 3000 600 400 4 000
Экстраординарному профессору .... 2000 350 250 2600
Старшему доценту j 1500 300 200 2000
Младшему доценту и лектору] 1 000 175 125 1 300
Что касается до прибавочного жалованья ректору, проректору,
деканам, членам правления, секретарям факультета, а также жалованья
библиотекарю, помощнику его, синдику (если он будет), казначею,
бухгалтеру, экзекутору и секретарю Совета, то относительно этого в-
замечаниях предлагаются различные числа, вообще более или менее
близкие между собою. Как среднее этих предположений, с некоторыми
необходимыми округлениями чисел, может представить следующая
таблица, которая, по нашему мнению, и должна быть принята при
назначении содержания вышепоименованным лицам:
Прибавочного
жалованья
руб.
Ректору 1500
Проректору 1000
Декану ш 500
Члену правления 300
Секретарю факультета 200

- 272
Жалованье при
казенной квартире, руб.
Синдику 1 200
Секретарю совета 900
Казначею 800
Бухгалтеру 800
Библиотекарю 1 500
Помощникам библиотекаря по 1 000
Экзекутору 700
Прозектору 1 200
Лаборанту 1000
Наконец, относительно содержания прочих лиц, состоящих при
университетах, и сумм на их различные учреждения, я полагаю принять без
изменения мнения советов, так как они одни имеют все нужные
данные для безошибочного заключения об этих предметах.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Архив Лнгр. обл. *, Пб. университет; ф. 14; св. 97; д. 4958; л. 97. Документ
бе? даты, может быть отнесен к 1847—1852 гг.
2 Подлинное написание у Чебышева — Ейлер; также еллипсис, еллиптические
функции.
3 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 97; д. 4958; л. 94—95.
Документ без даты; может быть отнесен к 1847—1852 гг.
4 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 97; д. 4958; л. 98.
5 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 102; д. 4999; л. 166—170.
6 См. том I настоящего Полного собрания сочинений.
7 Заимствовано из книги «Исторический очерк Императорского, бывшего
Царскосельского, ныне Александровского, лицея». Составлен И. Селезневым к
пятидесятилетнему юбилею. СПб., 1861, стр. 489—494.
8 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 16, св. 116; д. 5279; л. 147—152.
9М. В. Остроградский. Лекции алгебраического и трансцендентного
анализа, i
10 Архив Лнгр. обл., Канцелярия попечителя Пб. уч. округа; ф. 139; св. 118;
д. 5698; л. 176—177.
11 Архив Лнгр. обл., Канцелярия попечителя Пб. уч. округа; ф. 139; св. 120;
д. 5785; л. 99—100.
is Коркин Александр Николаевич (1837—1908), впоследствии выдающийся
математик, один из крупнейших представителей так называемой петербургской
математической школы. С 1868 г. профессор Петербургского университета. Предшественник
академика А. Н. Крылова по кафедре в Николаевской -морской академии.
13 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 9.
14 В. Я. Буняковский (1804—1889), выдающийся русский математик. Работал в
области анализа и теории вероятностей. С 1820 г. по 1826 г.. учился за границей
(в Лозанне и Париже). В 1826 г. вернулся в Россию и занялся преподавательской
деятельностью в Петербургском университете (некоторое время работал также в
Горном институте и в Институте путей сообщения). В 1830 г. избран в Академию
Наук, с 1864 г. был ее вице-президентом.
15 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 4814; л. 55.
* Государственный исторический архив Ленинградской области.

- 273 -
J6 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 35—36.
17 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 51—53.
1а См. том I настоящего Полного собрания сочинений.
19 В настоящем собрании сочинений (см. предыдущее примечание) «Теория срав-
нений> публикуется лишь с первыми двумя прибавлениями. Третье прибавление, «Об
определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»,
опубликованное автором еще ранее отдельной статьей, помещено в томе I настоящего
Полного собрания сочинений, стр. 173—190.
20 Заимствовано из книги «Восемнадцатое присуждение учрежденных П. Н.
Демидовым наград», СПб., 1849.
21 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 54—55.
22 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 47.
23 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 67—68.
34 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; с©. 81; д. 5а; л. 75—76.
25 См. том V настоящего Полного собрания сочинений, стр. 26—87.
26 Вероятно имеются в виду исследования, изложенные в опубликованной в том
же году статье «О простых числах»,— см. т. I Полного собрания сочинений,
стр. 191—207.
27 Архив Лнгр. обл., Канцелярия попечителя Пб. уч. округа; ф. 139; «св. 106;
д. 5439; л. 1.
З8 Архив Лнгр. обл.; Александровский лицей; ф. 11; св. 335; д. 4073; л. 9.
29 Чебышев читал практическую механику в Александровском лицее с 1852 г.
до 1856 г.
30 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 232—233.
31 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 237.
33 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 359.
33 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 365.
34 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 395.
35 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а, л. 419.
36 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 470.
37 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 424.
38 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 430.
29 Упомянутая комиссия, помимо принятых Советом пунктов, предлагала:
3. Предоставить студентам университета, если они пожелают, со своей
стороны поднести адрес в это же время.
4. Устроить Пафнутию Львовичу обед по подписке от имени его сослуживцев,
учеников и всех, желающих почтить его заслуги. О дне обеда и месте подписки
публиковать в газетах заблаговременно, (см. Архив Лнгр. Обл., Пб. университет;
ф. 14; св. 1051; д. 14839; л. 102). Пункт 3 в сохранившемся оригинале зачеркнут
и на полях поставлен знак «?».
40 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 431.
41 Архив Лнгр. обл., Канцелярия попечителя СП. уч. округа; ф. 139; св. 107;
д. 5459; л. 1—2.
42 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 106.
43 Национальный музей искусств и ремесел (в Париже).
44 Т. е. для музея.
45 Архив Лнгр. обл., Пб. университет, ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 110—111.
46 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. Г12—ИЗ.
47 См. том I настоящего Полного собрания сочинений, стр. 173—190.
43 Опубликован в Журнале Министерства народного просвещения, ч. XXVIII,
стд. IV, стр. 2—14, и в Собрании соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и
Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. I—XIX.
49 Архив Лигр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 181—182.
50 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1049; д. 14799; л. 45—46.
51 Архив Лнгр. обл., Пб. университет, ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 342.
18 П. Л. Чебышев, т. V

- 274 —
52 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1049; д. 14811; л. 23.
53 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 81; д. 5а; л. 392.
54 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1050; д. 14823; л. 16. Доку-
мент без даты. Командировка, о которой речь идет в прошении, состоялась в 1878 г.
55 Заимствовано из книги «Замечания на Проект Общего устава Императорских
Российских университетов», ч. 1, СПб, 1862.
56 Заимствовано из журналов заседаний Ученого комитета Министерства
народного просвещения.

И. Л. ЧЕБЫШЕВ
В АКАДЕМИИ НАУК
Связь Чебышева с Академией Наук началась в 1848 г., когда он, совместно
с академиком В. Я. Буняковским,- составил указатель к работам Эйлера по теории
чисел. В 1849—1852 гг. Чебышев и академик П. Н. Фус работали над
подготовкой к печати найденных в 1844 г. неопубликованных рукописей Эйлера.
В 1853 г. Чебышев был избран адъюнктом Академии Наук. При чтении
документов следует иметь в виду следующие особенности структуры Академии Наук,
того времени. Были академики трех разрядов (в восходящем порядке): адъюнкт-
академики, или, как их сокращенно называли, адъюнкты, экстраординарные
академики и ординарные академики. Разряды наук для адъюнктов не назначались;
подробную мотивировку этого обстоятельства можно найти в представлении Чебышева
в адъюнкты, подписанном академиками П. Н. Фусом, В. Я. Струве, Б. С. Якоби и
В Я. Буняковским. В то же время экстраординарные и ординарные академики
могли выбираться только по определенным кафедрам, при наличии вакансий.
Академики всех трех разрядов могли избираться только из лиц, живших в Петербурге
или давших согласие после избрания оставить занимаемую должность и переехать
в Петербург. Между тем академик мог, помимо .работы в Академии, занимать и
другие должности в столице.
В 1856 г. Чебышев избирается экстраординарным академиком по кафедре
прикладной математики, а в 1859 г. ординарным академиком по той же кафедре.
Заседания физико-математического отделения происходили раз в две недели, общие
собрания Академии — раз в месяц.
На общих собраниях Чебышев почти не выступал, на заседаниях
физико-математического отделения выступал тоже, повидимому, довольно редко. Сравнительно
часто встречается имя Чебышева в протоколах физико-математического отделения
за 1853—1862 гг. Здесь заслуживают внимания протоколы от 16 февраля 1855 г.,
16 мая 1856 г., 2 августа 1861 г. и 20 сентября 1861 г. (старого стиля). Отметим
протокол от 16 мая 1856 г., в котором Отделение поручает Чебышеву собирать*
во время пребывания его за границей, информацию относительно преподавания
прикладных наук и черчения в рабочих школах промышленных городов. Здесь
интересен совершенно практический характер поручения, которое Отделение дает
Чебышеву.
За годы 1863—1889 (27 лет) имя Чебышева встречается в протоколах Академии
только в связи с житейскими надобностями (его уход в отпуск, командировки
и т. д.) и в связи с поручениями составить отзывы о разных изобретениях,
которые ему давала Академия. Изобретатели — преимущественно диллетанты —
конструировали самолеты, самоходные экипажи, арифмометры и т. п. Во всех случаях,
за исключением одного (стереограф Ливчака), Чебышев дал отрицательный
отзыв.
За последние годы жизни Чебышева интересны протоколы физико-мтгематиче-
ского отделения от 4 ноября 1892 г. и 2 декабря 1892 г., а также протокол общего
собрания ог 5 марта 1894 г.
18*

- 276 —
В Первое Отделение Императорской Академии Наук *
Академия, действуя совершенно в духе высочайше дарованного ей Устава и э
полном сознании собственных польз своих, всегда старается обеспечивать свои
выборы не только уверенностью в несомненных дарованиях избираемых ею молодых
ученых, но еще и ручательствами за будущую их деятельность. Эти ручательства она
'может иметь не иначе, как только проследив, так сказать, весь ученый быт
избираемого лица и получив убеждение в неизменной его преданности и любви к сво^й
^науке. При таких трудных условиях удачного выбора, естественно, что Академия не
может и не должна, по крайней мере безусловно, поставить себе за непреложное
щравило избирать всегда нового члена непременно по определенной наперед науке
шли специальности. В этом отношении она не стеснена, как университеты, которые,
шо необходимости, должны тотчас же замещать вакантные места по каждой
кафедре, и именно для того, чтобы полнота читаемых курсов не была нарушена. По
высшему назначению Академии, ей предоставлено право, и даже некоторым образом
вменяется в обязанность, пользоваться теми редкими случаями, в которых она может
приобрести достойного во всех отношениях ученого, хотя бы в представляемой им
специальности, совместной однакож с предметами академических занятий, и не было
а то время самой настоятельной надобности. Академия давно уже при избрании
адъюнктов руководствуется этим началом, совершенно согласным с ее Уставом, в
5<отором положительно сказано, что разряды наук для адъюнктов предварительно не
назначаются. Академия, соображая обстоятельства и надобность, избирает их для
тех частей, по коим признает сие необходимым и полезным (§ 70). Долговременный
опыт показал, кажется, самым убедительным образом пользу этой меры относительно
ученого состава нашей Академии; с другой стороны, соразмерность, существующая
ныне у нас в числе представителей различных наук и специальностей, устраняет
«сякую причину опасаться, чтобы, вследствие принятого начала, некоторые отрасли
знаний, в ущерб другим, получили значительный перевес в нашей Академии.
С такими мыслями нижеподписавшиеся, твердо убежденные, что действуют и в
духе Академического Устава, и к пользам Академии, имеют честь предложить в
адъюнкты экстраординарного профессора здешнего Университета доктора математика
и астрономии П. Л. Чебышева. Редкие его дарования и неутомимая ревность к
занятиям известны многим из нас, а исполненные им доселе труды дают ему полное
лраво на отличие, о котором мы ходатайствуем.
Прежде нежели представим отчет об ученых трудах г. Чебышева, мы позволим
«себе поставить на вид, что он, при обширных познаниях в математическом анализе,
ревностно занимается практической механикой. В течение двух лет он читал
подробный курс этой науки в реальном отделении С.-Петербургского университета, а в
нынешнем году приглашен преподавать этот самый предмет в Императорском
Александровском лицее. Один из нас видел записки г. Чебышева по разным теориям
практической механики и отзывался об них как о труде, исполненном с большой
обдуманностью; в особенности замечательна своею определительностью и окончен-
ностью обработанная им теория зубчатых колес, статья столь важная в практическом
отношении. Сверх того, он сообщил одному из подписавших это представление почти
оконченный труд, относящийся к теории преобразования движения, который в
скором времени поступит на суд Академии. В настоящее время эта теория занимается
исследованием только тех приводов, которые изобретены практиками; г. Чебышев
показывает в своем мемуаре, каким образом самое изобретение приводов может
быть предметом исследования науки. Так, он ищет систему тех приводов, которые
чрез совокупность нескольких вращательных движений дают движение, близко
подходящее к прямолинейному. Система этих приводов, построенная им a priori,
доставляет возможность заменить параллелограмм Ватта другими приводами, которые в
известных обстоятельствах бывают самыми выгодными. Эти изыскания тем более
важны, что с введением новых систем паровых машин, особенно на пароходаос, употреб-
* Архив Академии наук СССР, ф. 2, оп. 17, № 26.

- 277 -
ление параллелограмма Ватта в настоящем его виде оказывается неудобным. Нзлг
известно также, что г. Чебышев готовит труд о теории ветряных мельниц.
Рассматривая работу ветра и воды, обыкновенно предполагают во всех струях одну
скорость—среднюю скорость всех струй— и в этом предположении ищут
наивыгоднейшее устройство приемников их работы. Результаты, таким образом полученные,
могут считаться только первою степенью приближения и нередко значительно
уклоняются от истины, особенно для ветра, которого и скорость и направление претерпевают
большие перемены близ поверхности земли. В теории ветряных мельниц этими
неравенствами в действии ветра пренебрегать нельзя, тем более, что современная
теория их ощутительным образом разнится от правил, выводимых из наблюдений.
Г. Чебышев предложил себе вопрос рассмотреть действие ветра, не предполагая ©
его струях ни скорости, ни направления постоянными, и определить, какое влияние
имеет на форму крыльев неоднообразность действия ветра. Таким образом
наблюдения примиряются с теорией, и теория получает большую точность.
При быстром развитии фабричной промышленности в наше время и успехах
практической механики, Академия, конечно, признает чрезвычайно полезным усилить
последний предмет, приобретя ученого, которого дознанные математические знания ручались
бы вместе за основательность практических его сведений. С этой стороны
предлагаемый нами кандидат вполне удовлетворяет всем справедливым требованиям.
Мемуары его по чистому анализу уже доставили ему почетное имя и у нас и за границей.
где некоторые из них напечатаны в известнейших ученых журналах. Поименуем
главные труды г. Чебышева по этому предмету с краткими указаниями на их сущность.
Будучи еще магистром, г. Чебышев написал пространную диссертацию: «Об
интегрировании помощью лога-рифмов», которую один из нас, по поручению начальства
здешнего Университета, имел случай рассматривать. Эту диссертацию сочинитель
защищал публично на звание приват-доцента. Г. Чебышев предлагает в ней способ для
интегрирования рациональной функции от переменной независимой и квадратного
радикала из полинома какой ни есть степени посредством алгебраических и
логарифмических членов. Приняв за основание известную теорему Абеля относительно вида
интеграла в том случае, когда он может быть выражен помощью функций этих двух
родов, автор определяет сперва алгебраическую часть, а потом логарифмическую.
Анализ, употребленный г. Чебышевым, обнаруживает признаки, по которым можно
судить, приводится ли или нет предложенный интеграл к предполагаемому виду, и
если это приведение возможно, то определяется и самый интеграл. Сверх того, автор
указывает на весьма обширный класс интегралов, которые, не удовлетворяя известным
условиям, невыразимы посредством функций алгебраических н логарифмических.—
Из этого краткого указания видим, что решенный г. Чебышевым вопрос имел полный
современный интерес и принадлежал к числу труднейших в области интегрального
исчисления. Особенного внимания в этом труде заслуживает способ, предлагаемый
автором для решения некоторого вида неопределенных уравнений второй степени, от
которых зависит нахождение логарифмической части в выражении рассматриваемого
интеграла. Г. Чебышев с искусством победил немаловажные затруднения,
представляемые самою сущностью этих уравнений.
Переходим теперь к напечатанным трудам г. Чебышева; при этом исчислении мы
будем руководствовалъся хронологическим порядком их издания.
«Note sur une classe d'nrtegrales definies multiples» (1843 г.). (Journal de Ma-
thematiques pures et appliquees, par Liouville. T. VIII, p. 235.)
В этой записке г. Чебышев предлагает особенную теорему для выражения
определенных интегралов известного вида и показывает, как из нее выводятся некоторые
формулы, найденные гг. Коши и Пуассоном. Эта теорема была предложена
г. Чебышевым без доказательства; доказательство ее дал г. Каталан в статье,
напечатанной в том же журнале, но без изложения условий, при которых эти
формулы справедливы.
«Note sur la convergence de la serie de Taylor» (1844 г.). (Journal fur die reine
und angewandte Mathematik, von Crelle, Band 28, Heft III.)

- 278 —
Здесь г. Чебышев показывает, каким образом, рассматривая производные данной
функции, можно заключить о пределах, в которых она разлагается в ряд сходящийся.
«Demonstration elementaire d'une proposition generate de la theorie des proba-
biirtes» (1846 г.). (Journal von Crelle, Band 33, Heft III.)
В этом труде г. Чебышев предлагает строгое элементарное доказательство одной
-из самых важных теорем теории вероятностей, именно закона больших чисел.
Предлагаемым им анализом устраняется употребление расходящихся рядов, которые
обыкновенно в исследованиях подобного рода встречаются.
«Sur la fonction qui determine la totalite des nombres premiers inferieurs a une
limite donnee» (1848). (Mem. des savants etrangers. T. VI).
В этом мемуаре г. Чебышев ищет, на основании теоретических соображений, ту
функцию, которая с известною степенью точности выражает, сколько находится
простых чисел от 1 до данного предела. Изыскания -г. Чебышева показали, что та
функция, которая употреблялась прежде, и выведенная по аналогии Лежандром
из рассматривания простых чисел, не вполне справедлива.— Труд этот требовал
самых тонких соображений из интегрального исчисления. В заключение мемуара
приведено в виде приложения общей формулы суммование двух рядов, зависящих от
закона доследования простых чисел.
Вслед за этим мемуаром напечатан другой труд г. Чебышева, как бы служащий
продолжением сейчас упомянутому. Новый мемуар, под заглавием «Memoire sur les
nombres premiers», также напечатан в наших Mem. des savants etramgers (т. VII)
и заключает в себе примечательные исследования о пределах, между которыми
непременно заключается одно или несколько простых чисел. Известный постулат
Бертрана *, подавший повод к многим попыткам, оказавшимся неудачными, доказан со
всею строгостью в упоминаемом мемуаре и составляет только частный случаи одного
общего предложения. Там же автор доходит до некоторых важных теорем,
относящихся к сходимости таких бесконечных строк, которых последовательные члены
зависят от ряда простых чисел. Этот труд г. Чебышева мы считаем весьма
примечательным по той причине, что предложения о простых числах, им доказанные,
принадлежат к числу таких, которые доселе представляли почти непреодолимые
затруднения.
«Sur les formes quadratiques» (1851 г.). (Journal de Math, par Liouville. T. XVI.)
В этом труде г. Чебышев показывает, каким образом выражение чисел
квадратичными формами с положительным определителем может послужить для отличия
чисел простых от составных, как это делается помощью квадратичных форм,
имеющих отрицательный определитель; потом он предлагает средство для облегчения этого
рода изысканий.
«Note sur differentes series» (1851г.). (Journal de Math, par Liouville. T. XVI.)
В этой статье предложен особенный способ выводить бесконечные ряды и показан
закон рядов, получаемых таким образом. Так, между прочим, г. Чебышев выражает
показательную функцию произведением бесконечного числа множителей, а также
разлагает тригонометрические функции в ряды, в которых члены составлены через
умножение дуги на количества постоянные и проч.
Укажем теперь на изданную в 1849 г. нашим кандидатом книгу Теория
сравнений. Так как это сочинение было предметом полного разбора, представленного
академиками Фусом и Буняковским, вследствие которого оно и увенчано половинною
Демидовскою премией, то считаем излишним долго останавливаться здесь на его
обсуждении. Скажем только, что этот труд составляет общую часть учения о числах.
•Автор с особенным искусством расположил и подвел под общие начала главные
исследования и доказательства, относящиеся к теории сравнений; ученые, специально
занимающиеся этим предметом, знают очень хорошо, как трудно привести в
систематический порядок статьи, повидимому разнородные, но которые однакож по
зрелом обсуждении должны войти в изложение науки о числах. Книга эта обогащена
* Journal de TEcole polytechnique, Caihier XXX, Bertrand.

- 279 -
собственными изысканиями автора, между которыми находим первый успешный опыт
непосредственного определения, по виду простых чисел, первообразных их корней,
независимый от последовательных испытаний или подстановлений. При
естественности принятой системы, это сочинение г. Чебышева имеет и другие достоинства,
относящиеся к самому изложению; кроме ясности и строгости доказательств, истинно
геометрических, оно отличается простотою приемов и единообразием предлагаемых в нем
способов, что в трансцендентной арифметике составляет весьма важные качества.
Обратим еще внимание Отделения на заслуги, уже оказанные г. Чебышевым
нашей Академии. В 1848 г. он, вместе с одним из подписавших это представление,
составил подробный систематический указатель к многочисленным мемуарам Эйлера
по теории чисел. Этот указатель напечатан в главе драгоценной для математиков
книги «Leonhardi Euleri commentationes arithmeticae collectae», изданной в 1849 г.
Сверх того, богатый запас открытых в 1844 г. неизданных рукописей Эйлера
приводится в порядок и приготовляется к печати при содействии его же, г-на Чебышева.
Хотя сии рукописи суть большею частью чистые, собственноручные списки более *лч
менее обширных статей великого геометра, но не получив той окончательной отделю',
которую он любил давать трудам своим до отдачи их в печать, они требуют внимл-
тельного пересмотра и тщательнейшей поверки выкладок; и этот труд г. Чебышев с
неутомимым и бескорыстным усердием продолжает делить с издателями. Равным
образом он вместе с ними принял на себя восстановление затерянных чертежей к
некоторым из сих рассуждений и извлечение занимательных, неизданных отрывков из
■черновых книг, писанных рукою учеников Эйлера, когда уже он был лишен зрения.
Первый том сего посмертного издания (Opera posthuma) окончен печатанием.
Сделанное нами обозрение трудов г. Чебышева, примечательных и по их
сущности, и по их разнообразию, внушает нам уверенность, что это представление будет
принято Академиею с полным сочувствием к нашему убеждению об истинных
дарованиях предлагаемого нами кандидата, имеющего перед собой будущность, богатую
надеждами. В последнем отношении ручается за исполнение наших ожиданий
основательность и степень настоящих знаний г. Чебышева, редкое его трудолюбие,
пытливость ума и полная преданность своей науке.
П. Фус
Струве
Якоби
В. Буняковский
Из протоколов Физико-математического отделения Академии.
Заседание от [13] 1 апреля 1853 г.
№ 92.
Непременный секретарь * сообщает Отделению записку, которую он счел
должным представить г. вице-президенту и которая составлена так: «После избрания
г. Оттона Струве, в штате Физико-математического отделения остаются два
вакантных места адъюнктов. На эти вакансии Отделение имеет четырех кандидатов,
должным образом рекомендованных, именно:
по химии: г. Зинин, профессор Медико-хирурпической Академии; кандидатура
предложена гг. Ленцем, Якоби и Фрицше (докладчик);
по физиологии растений, в ее связи с
а) сельским хозяйством: г. Железнов, профессор Московского университета;
кандидатура предложена гг. Миддендорф, Ленцем и Бэром (докладчик);
б) растительной палеонтологией: г. Карл Мер клин, физиолог Императорского
Ботанического сада; кандидатура предложена гг. Брандт, Фрицше и Мейером
(докладчик);
* Академик П. Н. Фус— Ред.

- 280 —
по прикладной механике: г. Чебышев, профессор С.-Петербургского
университета; кандидатура предложена гг. Фуссом, Струве, Якоби и Буняковским
(докладчик) .
Нас уверяют, что из этих четырех кандидатов, г. Железнов имел счастье
получить, из самых уст г. президента, положительное заверение в том, что г. прэзидент
одобряет его кандидатуру; Академия о том прямым путем не извещена. Она
полагает, что единственное справедливое решение, которое может принять г. президент,
состоит в том, чтобы допустить всех четырех ученых как 'Кандидатов, «предоставив
Академии свободно избрать из них двух, которых она сочтет достойнейшими. На этой
записке г. вице-президент сделал следующую надпись: «Рассмотрев настоящую
записку и сравнив ее с моей перепиской с г. президентом, я нахожу, что граф,
действительно, принимает кандидатуру г. Железнова; поэтому со своей стороны не вижу
причин не допустить к баллотировке и других кандидатов».
Вследствие этого, Секретарь известил гг. членов Отделения разосланными на дом
повестками, что сегодня будет иметь место баллотировка обоих адъюнктов.
Отделение, прослушав снова чтение четырех предложений и дополнительных
записок, представленных гг. Бэром и Миддендорфом о работах г. Железнова и г. Буня-
козским о работах г. Чебышева, решило, что для устранения всякого персонального
обсуждения следует, как и при баллотировке г. О. Струве, установить порядок
следования специальностей по их относительной важности, принимая во внимание,
разумеется, достоинства кандидатов.
Баллотировка дала: по прикладной механике пятнадцать голосов, по физиологии-
растении тринадцать голосов, по химии семь голосов.
Вследствие этого избрание г. Чебышева было поставлено на голосование; он
получил тринадцать положительных голосов и пять отрицательных и был таким
образом провозглашен избранным Отделением.
Так как по физиологии растений имелось два кандидата, то сначала голосовали
вопрос о том, какой из двух специальностей отдать предпочтение. Подсчет голосов
дал: за сельское хозяйство двенадцать голосов, за палеонтологию растений пять
голосов и один белый билет.
Наконец, избирательное голосование дало за г. Железнова 12 положительных
голосов и б отрицательных; он, следовательно, тоже провозглашен избранным
Отделением.
Оба избрания будут представлены завтра одобрению пленума.
Заседание [28] 16 февраля 1855 г.
§ 43.
Г. Чебышев обращает -внимание Отделения на то, что издание последних
рукописей Эйлера, столь ценных для науки, произведено почти исключительно трудом и
неутомимыми и просвещенными заботами покойного непременного секретаря П. Фусса,
и, принимая во внимание, с другой стороны, что первый том этого издания будет
украшен портретом Эйлера, предлагает поместить в начале второго тома портрет Фусса.
Отделение присоединяется полностью к мысли г. Чебышева, решает отгравировать на
меди или стали портрет своего покойного сочлена и поместить эгот портрет во
втором томе трудов Эйлера, а также в Докладах Академии. В распоряжение гравера
можно будет представить два портрета г. Фусса, из которых один, писанный маслом,
находится в Главной обсерватории, а другой, дагерротип — в семье покойчого.
Отделение поручает 'попечению гг. Якоби, Чебышева и Николая Фусса дальнейшие
мероприятия о гравировании портрета.

- 281 -
Заседание [7 ноября] 26 октября 1855 г.
§ 237.
Во исполнение решения Ученого комитета Военного министерства, принятого в
заседании от 24 октября, генерал Шуберт обратился к Академии с вопросом, нет ли
каких-либо препятствий к привлечению г. Чебышева в Комитет в качестве
математика. Соглашаясь вполне на такое использование г. Чебышева, Академия уведомляет
об этом директора вышеназванного Комитета.
Заседание [28] 16 мая 1856 г.
§ ПО.
Отделение, по предложению г. Якоби, поручает г. Чебышеву собрать в странах,
которые он будет посещать, всю возможную информацию относительно
предшествующего развития, современного состояния и организации преподавания в рабочих
школах прикладных наук и черчения. Промышленные и портовые города, в которых
названное преподавание должно быть особенно развито, должны в особенности привлечь
внимание г. Чебышева.
Заседание [28] 16 мая 1856 г.
§ П7.
Гг. Остроградский, Ленц, Якоби, Буняковский, Перевощиков и О. Струве,
принимая во внимание серьезные и разнообразные работы г. Чебышева, выполненные им
после его поступления в Академию, предлагают его на должность экстраординарного
академика по кафедре прикладной математики. Отделение, заслушав реферат о работе
г. Чебышева, постановляет провести голосование на следующем заседании.
Заседание [11 июня] 30 мая 1856 г.
§ 132.
Согласно решению, принятому на последнем заседании, Отделение производит
голосование г. Чебышева на должность экстраординарного академика. При подсчете
голосов оказывается, что г. Чебышев избран единогласно. Вследствие этого г. Чебы-
шев провозглашается избранным и его избрание будет представлено на утверждение
общего собрания.
Заседание [8 декабря] 26 ноября 1858 г.
§ 359.
Гг. Остроградский, Ленц, Якоби, Купфер, Буняковский (докладчик) и О. Струве
предлагают г. экстраординарного академика Чебышева на вакансию ординарного
академика по кафедре прикладной математики. Это предложение делается с согласия
г. арезидента. Отделение решает провести голосование г. Чебышева на следующем
заседаний 10 декабря.

- 282 —
Заседание [22] 10 декабря 1858 г.
§371.
Отделение приступает к голосованию кандидатуры г. Чебышева на должность
ординарного академика по кафедре прикладной математики. Число членов отделения,
проживающих в С.-Петербурге, шестнадцать; число голосующих четырнадцать,
законное большинство десять. При подсчете голосов оказывается, что г. Чебышев избран
единогласно. Это избрание будет представлено на одобрение общего собрания.
Заседание [24] 12 августа 1859 г.
§ 256.
В письме от 17 июля, помеченном № 5346, г. тайный советник Муханов сообщает,
что распоряжением его величества государя императора, г. Чебышев назначен
действительным членом недавно созданногЪ временного Артиллерийского комитета. Об этом
назначении Административному комитету будет сообщено par ampliation *. '
Заседание [14] 2 августа 1861 г.
§ 189.
Г. Гусев, редактор Математического журнала**, который он на собственные
средства издает в Вильно, просит разрешения пересылать письма, касающиеся
редакционных дел, а также сами номера журнала, в форме казенных посылок и с приложением
печати Астрономической обсерватории г. Вильно. Он хотел бы также иметь
разрешение поместить на обложке своего журнала слова: «Издается Астрономической
обсерваторией г. Вильно, под редакцией г. Гусева*. Отделение, несмотря на все свое
желание помочь предприятию г. Гусева, задуманному с наилучшими намерениями; не
находит, однако, возможным удовлетворить его просьбу. От Академии не зависит
разрешить г. Гусеву бесплатную пересылку его писем и его журнала, позволив ему
пользоваться с этой целью печатью обсерватории; было бы также неудобно поместить в
заглавии журнала слова «издается обсерваторией», тогда как в действительности это
не так. Не имея, следовательно, возможности поддержать предприятие г. Гусева
указанным им способом, Отделение полагает, что может быть возможно помочь ему
другим путем, и просит г. Чебышева ознакомиться с вышедшими номерами журнала
г. Гусева и представить свое мнение по этому поводу.
Заседание [2 октября] 20 сентября 1861 г.
§ 215.
Г. Чебышев, которому в заседании 2 августа (см. § 189 протоколов) было
поручено ознакомиться с вышедшими номерами Математического журнала, издаваемого в
Вильно г. Гусевым, представляет доклад, в котором он указывает на полезность этого
издания, единственного периодического издания на русском языке ***, посвященного
математическим наукам, и заключает, что начинание г. Гусева заслуживает
поощрения. Отделение решает, что копия этого доклада будет представлена Министру на-
* Par ampliation— пространно, в развернутом виде.— Ред.
** «Вестник математических наук» — первый в России математический журнал,
■издававшийся на русском языке директором Виленской обсерватории М. М. Гусевым с
1800 по 1862 т.—Ред.
*** «Математический Сборник» начал -издаваться в 1867 v.-—Ред.

- 283 —
родного просвещения, с приложением ходатайства Академии о разрешении г. Гусезу
пересылать журнал бесплатно.
Заседание [26] 14 февраля 1862 г.
§ 58.
Непременный секретарь напоминает Отделению, что с отставкой г. В. Струве
появилась вакансия ординарного академика по астрономии, и он зачитывает § 1 и 2
Устава, подтвержденного 11 августа 1849 г., касающиеся избрания действительных
членов Академии. Согласно этим правилам, Отделение решает назначить комиссию,
состоящую из пяти членов, которой будет поручено составить список кандидатов на
вакантную должность. Затем производят голосование сложенными билетами. По
результатам голосования, комиссия избирается в составе: гг. Ленд, Буняковский, Якоби,
Чебышев и О. Струве.
Заседание [30] 18 апреля 1862 г.
§ 126.
Комиссия из пяти членов, которой было поручено составить список кандидатов
на вакантное место члена Академии, по Астрономии (см. § 58 протокола от 14
февраля 1862 г.), дает отчет об исполнении этого поручения. Предложены два кандидата
на должность экстраординарного академика. Предложение, подписанное четырьмя
членами комиссии, именно гг. Струве и Буняковским (докладчики), Ленцем и Якоби,
излагает заслуги г. Савич, профессора С.-Петербургского Университета. Второе
предложение, подписанное тремя членами Отделения, именно гг. Чебышевым (докладчик),
Буняковским и Струве, излагает заслуги г. Ковальского, профессора Казанского
Университета. Решают, что голосование будет иметь место на следующем заседании
Отделения.
Заседание [30] 18 мая 1876 г.
§ 157.
Читаны: 1) прошение преподавателя механики в Виленском реальном училище
г. Ливчака о рассмотрении Академией изобретенной им типографской наборной
машины, названной им стереограф, которою, без помощи шрифта, производится
непосредственно бумажная матрица произвольного текста, с которой затем получается
посредством отливки стереотип, и 2) отзыв академиков В. Я. Буняковского, П. Л. Чебышева
и Л. И. Шренка, в присутствии которых было произведено испытание стереографа
г. Ливчака в типографии Академии. В этом отзыве изъяснено, что машина г. Ливчака
представляет вполне удовлетворительное решение задачи печатать без помощи
шрифта, что во многих отношениях выгодно для практики. При помощи этой машины очень
легко и быстро по данному тексту производятся бумажные матрицы, с которых,
посредством отливки, получается прямо стереотип для печатания. Производство таких
матриц помощью машины сопряжено с большими затруднениями, более значительными,
чем те, которые представлялись при устройстве машин литографирующих. Но все эти
затруднения успел победить г. Ливчак, как убедились означенные академики из
осмотра его машины и опыта производства помощью ее бумажных матриц. Вследствие
этого, они полагают, что машина г. Ливчака может оказать весьма важную услугу
типографскому делу п что эта машина заслуживает полного внимания. Положено
сообщить этот отзыв г. Ливчаку.

- 284 -
Доклад, сделанный в Физико-математическом отделении
Академии на заседании [30] 18 января 1883 г.
г. Чебышевым *.
Господин Миттаг-Леффлер, бывший профессор Гельсингфорского
университета, прислал мне первый выпуск нового математического
журнала, который его величество король шведский и норвежский удостоил
чести своим особенным покровительством. В своем письме г. Миттаг-
Леффлер сообщает мне, что он уполномочен его величеством попросить
меня представить этот выпуск в нашу Академию.
Г. Миттаг-Леффлер, знаменитый математик, которому
трансцендентный анализ обязан чрезвычайно важными исследованиями, является
главным редактором нового математического журнала, выходящего в
Стокгольме под названием «Acta Mathematica».
Его сотрудники, члены редакции — это математики, очень известные
своими работами в различных областях чистой и прикладной
математики: А. В. Баклунд (А. V. Backlund), Г. Т. Дауг (Н. Th. Daug), Г. Гюль-
ден (Н. Gylden), Г. Гольмгрен (Н. Holmgren), Мальмстен (С. Malm-
sten), Бьеркнес (С. Bjerknes), О. Брох (О. Broch), С. Ли (S. Lie),
Л, Силов (L. Silow), Л. Лоренц (L. Lorenz), Дж. Петерсен {J.
Petersen), Г. Цейтен (Н. Zeuten), Л. Линделеф (L. Lindelof). Имена ученых,
из которых состоит редакция журнала «Acta Mathematica», и большой
интерес, который представляют статьи, опубликованные в первом
выпуске, не оставляют никаких сомнений, что этот новый журнал,
основанный в Стокгольме, благодаря щедрости его величества короля
Оскара II, будет способствовать развитию математических наук не только в
Швеции и Норвегии, но и прогрессу этих наук во всей Европе.
Из протоколов Физико-математического
отделения Академии.
Заседание [28] 16 января 1890 г.
§ 16.
Читано представление, подписанное гг. академиками П. Л. Чебышевым,
В. Г. Имшеяецким и О. Л. Баклундом, следующего содержания:
«Назначенная Физико-математическим отделением Академии
комиссия по вопросу о замещении вакансии ординарного академика по
математике, открывшейся с кончиной В. Я. Буняковского, обсудив этот
вопрос, имеет честь представить свои заключения в виде двух следующих
предположений.
1) Имея в виду, что для замещения вакансии ординарного
академика по математике избрание достойнейшего между несколькими
кандидатами представляло бы существеннейшую выгоду; что переход на
* Bull, de l'Acad. Imp. des Sciences de S.-Petersbourg, 28 (1883), стр. 410.— Ред.

- 285 -
исключительную службу Академии Наук для профессора университета,
еще не выслужившего полной пенсии и звания заслуженного
профессора, крайне невыгоден, вследствие устаревших законоположений
относительно права на выслугу пенсии академиками; что поэтому, с одной
стороны, нельзя упустить из вида предстоящую, в непродолжительном
времени, выслугу упомянутых прав университетской службы некоторыми
профессорами математики, могущими быть достойными кандидатами, а
с другой стороны, нельзя терять надежды, что исключительно
академическая служба может быть вскоре поставлена в лучшие условия
относительно права выслуги на пенсию,— комиссия, на основании
вышесказанного, имеет честь предложить оставить пока открытым вопрос о
замещении вакансии ординарного академика по математике.
2) Принимая во внимание, что избранный три года тому назад
(1886 г., дек.) адъюнктом по математике экстраординарный профессор
С.-Петербургского университета Андрей Андреевич Марков своими
научными трудами и участием в занятиях Академии вполне оправдал
возлагавшиеся на него ожидания при его избрании, двое из
нижеподписавшихся членов комиссии считают справедливым предложить г.
адъюнкта А. А. Маркова к повышению в экстраординарные академики».
Положено баллотирование г. Маркова в экстраординарные академики произвести
в следующем заседании отделения.
Заседание [22] 10 апреля 1890 г.
§ 100.
Ввиду того, что по распоряжению автустейшего президента в настоящем
заседании предполагалось обсудить, между прочим, вопрос о том, не следует ли Акаь
демии Наук вместо непременного секретаря иметь ученого секретаря, избираемого
на определенный, более или менее продолжительный срок, прочитаны § 48, 50, 52 и
"98 устава Академии, в коих начертаны обязанности, лежащие на непременном
секретаре. Вследствие возникших по этому предмету прений, с согласия августейшего
президента, положено обсуждение этого вопроса, тесно связанного с другими
параграфами устава, передать в комиссию, имеющую скоро быть назначенной для пересмотра
устава Академии.
Во время вышеозначенных прений Академии Н. Н. Бекетов возбудил вопрос о
несовместимости должности непременного секретаря с званием члена Комитета
Правления Академии я прочел записку нижеследующего содержания:
«В статье о Комитете Правления Академического устава § 113 определяет
состав членов этого Комитета; в этот состав не входит непременный секретарь, а
представителями отделений являются два отдельных академика, избранные на два года.
С другой стороны, в обязанностях непременного секретаря нигде не упоминается об
участии его в заседаниях Комитета Правления. На основании указанных статей я
полагаю, что уста© Академии в этом случае имел в виду отделить занятия
непременного секретаря от обязанностей члена Комитета Правления, и, действительно,
занятия непременного секретаря настолько многочисленны, что и при исполнении уже
одаой этой обязанности, непременному секретарю довольно трудно уделять
достаточное время для своих научных занятий, поэтому присоединение к этой должности еще
должности члена Комитета Правления должно быть обременительно. Наконец, такое
совиестительство в одном лице двух различных отраслей ведения академической
жизни— научной и хозяйственной — и нежелательно; устав, по моему мнению, и имел

- 286 -
это в виду, что уже ясно из различного способа избрания лиц на ту или другую
должность. Тогда, как непременный секретарь избирается пожизненно, члены от
отделений в Комитет Правления избираются всего на два года. Так я понимаю
указанные мною статьи академического устава и вполне признаю их целесообразность;
поэтому я и предлагаю в настоящее время приступить к избранию из числа ординарных
академиков Физико-математического отделения члена в Комитет Правления, так как
бывший член Комитета от Физико-математического отделения, многоуважаемый
ординарный академик А. А. Штраух избран в непременные секретари».
Против этого академик П. Л. Чебышев возразил, что толкование, придаваемое
уставу академиком Бекетовым, совершенно произвольно, но так как из недавно еще
преподанного г. Министру народного просвещения разъяснения, что действия, не
воспрещаемые прямо в уставе, этим самым разрешаются, следует, что раз конференции
предоставлено избирать из своей среды членов Комитета, безо всяких исключений,
то нет и основания создавать исключения для одного лишь члена конференции,
потому лишь, что он почтен уже доверием своих товарищей и состоит непременным
секретарем.
Академик Фаминцын, соглашаясь с мнением академика Бекетова, присовокупил,
что, несмотря на отличное исполнение академиком Штраухом обязанностей члена
Комитета от отделения, г. Фаминцын тем не менее считает желательным выбор нового
члена Комитета. Совмещение должности секретаря отделения и члена Комитета
Правления в одном лице представляет, по мнению академика Фаминцына, следующие
существенные' неудобства: 1) при этом допущении, одному лицу предоставляется
чрезмерно большое влияние на ход дел в Академии; 2) отделение, к которому
принадлежат секретарь, получит через это значительное преимущество перед остальными;
3) нередко, кроме того, интересы отделения могут идти в разрез с интересами всей
Академии, и лицо, совмещающее в себе обе вышепоименованные должности, может
быть поставлено через это в очень неловкое положение. На основании этих
соображений академик Фаминцын считает желательным выбор нового члена Комитета.
По .мнению академика Л. И. Шренка, совмещение должности непременного
секретаря и члена Комитета Правления в одном лице вообще не составляет ничего
нового; так, например, и К. С. Веселовский, в бытность свою непременным
секретарем, не раз был избираем от III отделения членом в Комитет. Переходя от этого
частного примера к общему обсуждению вопроса, академик Шренк, бывший и сам
неоднократно членом Комитета, заметил, что участие непременного секретаря в
заседаниях Комитета Правления представляется не только не вредным, но, наоборот,
чрезвычайно полезным, ибо самые занятия его по конференции значительно
облегчаются и ускоряются, когда он в точности знает, в каком положении находятся
хозяйственные дела Академии.
По выслушании этих мнений его императорское высочество августейший
президент изволил предложить передать на рассмотрение ближайшего очередного общего
собрания вопрос о том, следует ли по I отделению произвести ныне же баллотировку
для избрания в члены Комитета от Физико-математического отделения, или же
предоставить академику А. А. Штрауху остаться членом Комитета до истечения
3-летнего, с 1889 г., срока его выбора в члены Комитета.
Заседание [3 ноября] 23 октября 1890 г.
§ 304.
Академик О. А. Баклунд просил Отделение сделать по Комитету Правления
распоряжение о выдаче из неизрасходованной суммы, назначенной ему, согласно
протоколу соединенного собрания II и III отделений 17 января с. г., на
неосуществившуюся поездку для определения разности долгот между г. Харьковом и г. Москвой,
денег, какие окажутся нужными на покрытие расходов по перенесению меридианного

— 287 -
круга из Главной николаевской обсерватории в Малую обсерваторию и для установки
этого прибора на место. К сему академик Чебышев заметил, что вообще было бы
очень желательно восстановление Малой обсерватории для занятий академика по
астрономии, живущего в Петербурге и не могущего пользоваться Пулковской
обсерваторией; подобное устройство потребовало бы ничтожных затрат, так как
инструменты и обсерватория уже имеются. Положено о выдаче г. Баклунду просимых на
денег сообщить в Комитет, предложение же академика Чебышева обсудить в
комиссии из принадлежащих к составу отделения представителей по астрономии и
математике.
Заседание [22] 10 апреля 1891 г.
§ 134.
Академик П. Л. Чебышев, рассмотрев по поручению Отделения сочинение
капитана П. Шиффа под заглавием: «Опыт приложения теории упругости к изучению
действия выстрела на лафет», донес, что предмет этого сочинения заслуживает
особенного внимания, как по практическому значению своему, так и по трудности,
которую он представляет для математики. Этот предмет, между прочим, обратил на себя
внимание одного из величайших математиков нынешнего столетия, члена Парижской
Академии Наук Пуассона, который в 1825 г. написал мемуар под заглавием: «For-
mules relatives' aux effets du tir d'un canon sur les diffarentes parties de* son afffit».
Несмотря на всю гениальность этого математика, сделанное им по части лафетов
оставляет желать многого. Теория Пуассона впоследствии была значительно
усовершенствована, но до сих пор не имеется вполне удовлетворительного решения вопроса
о действии выстрела на лафет. Сочинение П. Шиффа представляет значительный шаг
вперед в решении этого трудного вопроса: здесь рассматривается действие выстрела
на лафет, не предполагая его неизменяемым, как это делал Пуассон и его
последователи. При такой постановке вопроса представляются дифференциальные уравнения,
которые в настоящее время не могут быть обинтегрированы без значительных
упрощений, требующих допущений, более или менее уклоняющихся от истины; вследствие
чего получаются формулы, которые представляют только приближенные выражения
того, что на самом деле имеет место и что должен показать опыт. На основании
вышесказанного академик Чебышев полагает, что сочинение капитана Шиффа вполне
заслуживает помещения в наших ученых Записках, в виде приложения к ним.—
Одобрено.
Заседание [16] 4 ноября 1892 г.
§ 337.
Тот же академик* представил некоторые возражения на мемуар проф. Сонина,
напечатанный по распоряжению Физико-математического отделения (см. проток, засед.
13 мая 1892 г. § 183). После некоторых прений, возбужденных заявлением академика
Маркова, положено записку его передать академику П. Л. Чебышеву.
Заседание [14] 2 декабря 1892 г.
§ 381.
Академик П. Л. Чебышев донес Отделению, что переданное ему в заседании от
4 ноября с. г. (см. § 337) заявление академика А. А. Маркова по поводу мемуара
* А. А. Марков.— Ред.

- 288 -
ь
проф. Н. Я. Сонина «Sur l'integraile х^Ы——» касается сочинения, уже напе-
J ' z~-x
а
чатаниого в изданиях Академии, а такие сочинения, по уставу Академии,
дальнейшему рассмотрению ею не подлежат. На основании сего, академик П. Л. Чебышев
полагает, что заявление А. А. Маркова в настоящее время не подлежит более
обсуждению конференции «и может быть лишь передано в архив на хранение.— Одобрено.
Протокол общего собрания Л£ 111.
Заседание [17] 5 марта 1894 г.
§47.
Читан § 77 протокола заседания Физико-математического отделения от 16
февраля 1894 г. следующего содержания:
♦Многие авторы, печатающие свои исследования в изданиях Академии,
обращаются с просьбой о выдаче им, сверх положенных пятидесяти экземпляров их
сочинений, еще пятьдесят, с той целью, чтобы иметь возможность представить свой труд
на получение ученой степени.
Ввиду этого академик П. Л. Чебышев возбудил вопрос, сообразно ли с
достоинством Академии, чтобы сочинения, напечатанные в ее изданиях, могли служить
диссертациями на получение ученой степени, и не следует ли постановить
каких-нибудь правил в этом отношении».
По обсуждении этого вопроса в общем собрании положено не входить в
рассмотрение, какое назначение желают давать авторы своим сочинениям, напечатанным
в изданиях Академии.

ОТЗЫВЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА О НАУЧНЫХ ТРУДАХ
И ИЗОБРЕТЕНИЯХ
Среди отзывов П. Л. Чебышева о работах по математике и механике наибольший
интерес представляет отзыв о работе Рахманинова «Теория вертикальных водяных
колео и отзывы (и представления) о работах непосредственных учеников Чебышева,
представителей знаменитой петербургской математической школы.
В отзыве о работе Рахманинова ярко выявлена точка зрения Чебышева о
важности связи теории с практикой, точка зрения, которую он не раз подчеркивал в своих
работах и выступлениях. Интересно отметить также характерный для Чебышева
интерес к экстремальным задачам, связанным с запросами практики и требующим для
своего решения полной разработанной теоретической схемы. Приведем относящийся
сюда отрывок из отзыва: «Недостаточность теории водяных колес, о которой мы
говорим, еще показательнее обнаруживается при определении наивыгоднейших размеров
их различных частей и других обстоятельств, условливающих maximum их работы.
Причина этого понятна: здесь приходится брать производную выражения количества
работы, а при этом, как известно, члены, имеющие большую величину, могут
обращаться даже в нуль, а члены малые—получать значительную величину>.
Ряд отзывов и представлений непосредственно связан с деятельностью Чебышева
в Петербургском университете. А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Марков,
Ю. В. Сохоцкий, И. И. Иванов — представители петербургской математической
школы, много лет работавшие в Петербургском университете. Отметим отзывы Чебышева
о двух выдающихся работах, сыгравших крупную роль в развитии петербургской
школы теории чисел. Это отзывы о работе Е. И. Золотарева «Теория целых
комплексных чисел с приложением к интегральному исчислению» и о работе А. А. Маркова
«О бинарных квадратичных формах положительного определителя».
В конце этого раздела приведены два коллективных отзыва: 1) Буняковского,
Якоби, Струее и Чебышева о землемерных приборах, сконструированных Зарубиным,
и 2) Имшенецкого, Чебышева и Маркова о работах, представленных на соискание
премии им. Буняковского.
Разбор сочинения г. Рахманинова под заглавием:
«Теория вертикальных водяных колес», Москва, 1852,
составленный профессором С.-Петербургского университета
П. Чебышевым1.
Если в нашей ученой литературе есть уже несколько сочинений о
гидравлических колесах, то по содержанию, отчетливости, а более
всего, по сближению теории с практикой сочинение г. Рахманинова, под
заглавием Теория вертикальных водяных колес, составляет для нее
существенно новое приобретение.
При внимательном чтении того, что до сих пор имели мы
относительно подяных колес со включением даже сочинений французских
19 П. Л. Чебышев. т. V

— 290 -
ученых Бордо, Навье, Понсле, * Беланже и других, легко заметить, что
этот предмет далеко не исследован в надлежащей полноте и точности,,
необходимой для практики, где вода очень часто, с особенной выгодой,
употребляется как двигатель. Такой недостаток теории водяных колес
тем чувствительнее, что работа, доставляемая водой реки или источника,
всегда ограничена в количестве, и не во власти человека увеличить ее
за пределы,' назначенные местностью. В то время, когда по
несовершенству водяных колес теряется очень часто более половины работы воды,
по недостатку этой работы, бывают в необходимости сокращать самое
производство или пополнять этот недостаток другими двигателями,
требующими значительных издержек.
Недостаточность теорий гидравлических колес легко объясняется
теми трудностями, которые встречаются при определении законов их
движения. Если рассматривать воду в ее вытекании на колесо, как
бесконечно тонкую струю, если предполагать, что все ее частицы с
одинаковой скоростью достигают колеса, где до момента выливания имеют
скорости, общие с самим колесом, и, наконец, пренебречь вредными
сопротивлениями, то, по примеру французских ученых, легко составить
уравнения движения колеса. Но эти уравнения не имеют надлежащей
точности, и результаты, из них выводимые, непосредственно к
практике приложены быть не могут. Если из этих уравнений получаются
формулы для количества работы наливных колес довольно близкие к
истине, то подобные формулы для других колес значительно разнятся
с наблюдениями. Эти формулы употребляются не иначе, как с помощью
так называемых практических коэффициентов. Самое употребление
этих коэффициентов показывает, что те обстоятельства, которыми
пренебрегают при рассматривании движения водяных колес, имеют
значительное влияние на количество работы и, следовательно, по
крайней мере, до известной степени должны быть принимаемы
в расчет.
Недостаточность теории водяных колес, о которой мы говорим, еще
поразительнее обнаруживается при определении наивыгоднейших
размеров их различных частей и других обстоятельств, условливающих
maximum их работы. Причина этого понятна: здесь приходится брать
производную выражения количества работы, а при этом, как: известно,
члены, имеющие большую величину, могут обращаться даже в нуль, а
члены малые — получать значительную величину. Поэтому не
удивительно, что таким образом находят даже нули и бесконечности на место
величин конечных: подобные выводы не могут иметь никакого
приложения в практике. Чтобы дать правила для наивыгоднейшего употребления
воды как двигателя, необходимо было подвергнуть гидравлические
колеса анализу более точному, анализу, в котором было бы обращено
внимание на все обстоятельства, изменяющие количество работы приметно
для практики.
* Понселе.— Ред.

— 291 -
Начало такого анализа гидравлических колес принадлежит
германским ученым, в особенности Редтенбахеру. Принявши во внимание все
обстоятельства, имеющие значительное влияние на работу воды, он
вывел более точные формулы для определения количества этой работы
в различных гидравлических колесах. Теория его обходится без помощи
практических коэффициентов и, в большей части случаев, дает с
достаточной точностью условия, при которых колеса доставляют наиболее
работы. С такими усовершенствованиями теория гидравлических колес
изложена в сочинении г. Рахманинова. Развивая приемы Редтенбахера,
автор показывает в своем сочинении, каким образом местные условия
определяют устройства спуска, размеры колеса и его наивыгоднейшую
скорость.
Сочинение г. Рахманинова имеет тем более интереса, что он, не
ограничиваясь одними теоретическими выводами, обращает полное внимание
на те правила устройства колес, которые выведены были из
наблюдений. От такого сближения теории с практикой сочинение г. Рахманинова
очень много выигрывает. Множество частных вопросов, которые
представляются при определении элементов колес различного устройства и
при различных обстоятельствах, автором изложены с надлежащей
отчетливостью. В его сочинении мы находим исследование таких
предметов относительно устройства колес, которые были совершенно
недоступны для прежней теории, единственно известной у нас, но которые
имеют большую важность в практике.
Ошибки, которые естественно могли вкрасться в исследования, столь
многосложные, не имеют существенного влияния на главные
результаты, тем более, что автор, понимая всю важность практической стороны
предмета своего сочинения и особенную трудность исследований
теоретических, везде в теории старался проследить результаты, выведенные
из наблюдений. Так, например, в теории пошвенного колеса с прямым
руслом, автор ошибочно заключает из выведенных формул, что число
лопаток должно уменьшаться с увеличением радиуса колеса (стр. 51);
если расстояние лопаток действительно увеличивается с увеличением
этого радиуса, то это расстояние увеличивается медленнее, чем сама
окружность колеса. Расстояние это увеличивается пропорционально
квадратному корню радиуса, в то время, когда окружность колеса
пропорциональна первой степени его. А потому число лопаток должно быть
прямо пропорционально квадратному корню радиуса колеса. Но эта
ошибка исправляется тем, что переходя к практике, автор сам
замечает, что при одних и тех же обстоятельствах, но большем размере
колеса, число его лопаток становится более. Или в теории колеса,
окруженного жолобом (стр. 131), он выводит, что глубина потока притекающей
к колесу воды уменьшается с увеличением разности углов,
определяющих направление струи и точки входа ее в колесо; заключение
справедливое только под известным условием, определяющим отношение
изменений каждого из этих углов, но в приложении, которое он делает из
этого вывода, это условие большей частью выполняется.
19*

— 292 —
Подобные ошибки не имеют большой важности, поэтому не
останавливаясь на них долее, мы перейдем к тому, что имеет влияние на
достоинство всего сочинения г. Рахманинова. В книге его мы находим
подробный анализ тех условий, при которых колесо водяное доставляет
наибольшую работу, и в этом отношении теоретические выводы свои
г. Рахманинов сравнивает с правилами устройства колес, найденными
из наблюдений. Таким же образом полезно было бы сравнить с
наблюдениями теоретические выводы относительно самого количества работы.
Мы уже замечали, что неверности формул, незначительные при
определении величины работы, могут оказывать значительное влияние при
определении условий maximum этой работы; и обратно,
неверности, которые в последнем случае почти незаметны, могут ясно
обнаружиться при определении величины работы. С другой стороны,
необходимо показать, сколько в обыкновенных обстоятельствах можно ожидать
полезной работы от колеса того или другого устройства; такая
характеристика колес эесьма важна для самой практики. Также при
определении условий наибольшей работы не следует ограничиваться
рассмотрением одной так называемой полной работы; вредные сопротивления,
зависящие от размера колеса, должны быть исключены из этой работы,
как это и делает сам г. Рахманинов при исследовании некоторых колес.
Показавши общий характер сочинения Рахманинова, мы рассмотрим
теперь отдельно содержание каждой из его глав.
Глава I. Теория пошвенного колеса с прямыми лопаЫами.
Показавши общие уравнения для определения работы воды, автор
останавливается на пошвенном колесе с прямыми лопатками. Колесо это, по
множеству потерь работы воды, представляет особенные трудности для
теоретических исследований, но заслуживает полного внимания потому,
что на практике очень часто употребляется. Рассмотревши отдельно все
главные потери работы воды, автор выводит уравнение для
определения полезной работы, доставляемой этим колесом. Не говоря уже о
существенном различии этого уравнения с теми, которые находим мы у
Бордо, Навье, Понсле и других французских ученых, это уравнение
значительно разнится с уравнением Редтенбахера, которому принадлежит
-более точная теория этих колес: г. Рахманинов определяет с большей
точностью количество воды, проходящей бесполезно между лопатками,
и обращает должное внимание на потерю работы от поднятия воды в
одном канале. Последнее особенно важно по влиянию своему на
величину наивыгоднейшей скорости колеса. Выведенные таким образом
уравнения он прикладывает также к определению наивыгоднейших размеров
колеса, и теоретические выводы сличает с правилами практиков.
Глава II. Теория пошвенного колеса с кривыми лопатками,
изобретенного Понсле. Колесо Понсле с большею выгодой может заменять пош-
венные колеса с прямыми лопатками, обыкновенно употребляемые при
малых падениях. Но у нас до сих пор это колесо мало известно; все, что
у нас было публиковано о нем, слишком недостаточно для устройства
его с теми выгодами, которые оно может доставить. Поэтому более

- 293 -
строгие и отчетливые изыскания о колесе Понсле, которые мы
находим во II главе сочинения Рахманинова, заслуживают полного
внимания.
В этой главе автор рассматривает условия, при которых вода
вступает на лопатку без удара и оставляет ее без скорости, сличает это с
практическими правилами устройства колеса Понсле, определяет
полезную работу его и кончает определением размеров вновь устрояемого
колеса. Последняя статья особенно важна в практическом отношении, и
она особенно развита у г. Рахманинова: он дает формулы для
определения главных элементов колеса по наклону рабочего русла и
коэффициенту наполнения.
Глава III. Теория колес, окруженных жолобом. Глава IV. Теория
колес, окруженных жолобом и получающих воду выше средней их точки.
Первая из этих глав посвящена общей теории колес, окруженных
жолобом, и в особенности исследованию таких колес, в которые вода
вступает ниже их центра: колес полупошвенных, получающих воду из
шлюзного отверстия, и колес боковых, получающих воду через открытое
отверстие. Вторая имеет предметом колеса, получающие воды выше
своего центра; в ней рассмотрены отдельно колеса с лопатками и колеса с
ящиками.
Все колеса, составляющие предмет этих глав, рассмотрены подробно
в отношении обстоятельств, имеющих значительное влияние на
количество работы, и с теоретическими выводами сличены практические
правила построения этих колес.
Глава V. Теория колес с ящиками, получающих воду из
резервуара посредством шлюзного отверстия и не окруженных жолобом. Теория
этих колес у Редтенбахера представляет особенные недостатки. Так, на
основании своих уравнений, Редтенбахер находит (Theorie und Bau der
Wasserrader, стр. 153), что наибольшая работа этих колес соответствует
скоростям воды и колеса, равным нулю, и, следовательно, бесконечно
большой ширине колеса. Такой результат вполне опровергается опытом,
из которого видно, что уменьшение скорости воды и увеличение ширины
колеса, за известными пределами, сопровождается уменьшением
полезной работы. В сочинении г. Рахманинова мы находим более точные
формулы, в которых обращено внимание на увеличение веса колеса
вместе с уменьшением его скорости; из условий, которые должны
удовлетвориться при входе воды в колесо, и из этих формул видно, что
действительно, уменьшая скорость воды далее известного предела,
уменьшают полезную работу колеса. На основании этих формул автор
определяет теоретически наивыгоднейшие размеры различных частей
колеса. Между прочим, он показывает, каким образом от коэффициента
наполнения зависит наивыгоднейшее наклонение конца лопатки.
Теоретические выводы он сличает со многими наблюдениями.
Этой главою оканчивается сочинение г. Рахманинова.
Из сделанного нами обзора этого сочинения видно, что оно заключает
в себе подробный анализ всего наиболее существенного относительно

— 294 —
увеличения полезной работы воды в колесах вертикальных, колесах,
наиболее употребительных. До сих пор ни по одной части практической
механики мы не имеем сочинения, в котором бы предмет был
исследован с такой подробностью и отчетливостью, в котором бы показаны
были теоретические начала для определения главных элементов
машины. Чтобы представить в таком виде теорию вертикальных водяных
колес, „автор воспользовался всем, что наилучшего сделано в ней
различными учеными, сличил со многими наблюдениями их теоретические
выводы и в некоторых местах дополнил их собственными. Такой труд о
предмете, особенно важном для практики, с недостатками, весьма
ограниченными, по мнению нашему, достоин награды второстепенной
Демидовской премией.
В физико-математический факультет Императорского
С.-Петербургского университета.
Донесение 2.
Рассуждение на степень магистра кандидата Коркина3 имеет
предметом определение произвольных функций в интегралах уравнений с
частными производными. Этот предмет чрезвычайно важен по своим
приложениям в математической физике и обращал на себя особенное
внимание знаменитейших геометров последнего столетия: Лагранжа,
Лапласа, Фурье, Пуассона и Коши. Но, несмотря на усилия этих
геометров, до сих пор определение произвольных функций остается в
математике вопросом наименее обработанным. Все, что сделано по этому
пр'едмету, заключается в частных формулах, которых приложение очень
ограничено. Такие трудности представляет предмет, избранный г. Кор-
киным для магистерской диссертации. При изложении этого предмета
он не ограничился объяснением частных способов и критикою их, но
также обратил должное внимание на обобщение этих способов. В этой
отрасли чистого анализа особенную важность представляет известная
формула Фурье; г. Коркин в своей диссертации показывает
определение формулы более общей, откуда получается формула Фурье как
частный случай. Основываясь на этой формуле, автор показывает, как
определяются произвольные функции в интеграле уравнений, особенно
замечательных по своим приложениям. Начало, принятое автором при
определении этих функций, представляет то важное преимущество, что
оно избавляет от необходимости допускать предварительно возможность
выражать искомый интеграл тем или другим рядом. Вместе с тем
устраняется надобность в исследовании свойств корней трансцендентных
уравнений, что нередко представляет большие затруднения.
Из вышесказанного видно, что диссертация г. Коркина имеет
предметом своим отрасль математики, особенно трудную и особенно важную

- 295 -
по своим приложениям, и что в изложении его у автора виден
самостоятельный взгляд на методы, употребляемые здесь. На основании
этого должно признать диссертацию г. Коркина удовлетворительной для
получения степени магистра
1860 год,
ноября 14-го. П. Чебышев.
В физико-математический факультет
П. Чебышева.
Донесение 4.
Имею честь донести факультету, что диссертация г. Сабинина
О механических квадратурах, по многим своим недостаткам, не
может быть, по моему мнению, признана удовлетворительной для
допущения к защищению.
1863 года 16-го мая.
Статский советник
Чебышев.
В физико-математический факультет
профессора Чебышева.
Донесение5.
Рассуждение, представленное кандидатом Цветковым на степень
магистра, под заглавием О поверхностях, могущих быть
преобразованными одна в другую без разрыва и без сгиба своих частей, заключает в
себе аналитические исследования условий, при которых такое
преобразование возможно. Кроме ясного и отчетливого изложения этого
предмета, принадлежащего к числу самых трудных в высшей математике и
особенно интересных, это рассуждение заключает в себе новые выводы,
ясно свидетельствующие о том, до какой степени наш кандидат хорошо
усвоил аналитические методы и умеет ими пользоваться. При таких
достоинствах рассуждение г. Цветкова, по моему мнению, вполне
удовлетворяет условиям магистерской диссертации, о чем, с возвраюм
этого рассуждения, и имею честь донести факультету.
22-го октября 1863 г.
П. Чебышев.

- 296 —
1-го декабря 1864 года.
В физико-математический факультет Императорского
С.-Петербургского университета
орд. профессоров О. И. Сомова,
П. Л. Чебышева.
Донесение6.
По рассмотрении диссертации кандидата Бесселя, под заглавием
Приведение иррациональных интегралов к эллиптическим, имеем честь
донести факультету, что это рассуждение имеет предметом решение
интересной задачи высшего анализа, тесно связанной с известными
изысканиями Брио и Буке, а именно: определение подстановки
известного вида, которая способна дифференциал с каким-нибудь радикалом
привести к дифференциалу с квадратным радикалом из полинома
степени не выше четвертой. Сочинение это, несомненно, свидетельствует
и о стремлении автора к самостоятельным изысканиям и о близком
знакомстве его с трудами новейших геометров по трансцендентному
анализу; недостатки, которые замечаются в изложении этой
диссертации, вполне объясняются трудностью предмета, а потому мы полагаем,
что они не могут быть препятствием для защищения этой диссертации,
тем более, что многие из них могут быть исправлены в корректурах.
О. Сомов.
П. Чебышев.
В физико-математический факультет Императорского
С.-Петербургского университета
профессора П. Чебышева.
Донесение7.
Сочинение ищущего степень магистра А. Жбиковского, под
заглавием Об Эйлеровых интегралах, представляет собой довольно полное
изложение всего, что до сих пор сделано было существенно важного
по этому отделу интегрального исчисления. Не ограничиваясь одними
свойствами Эйлеровых интегралов, в сочинении своем А. Жбиковский
рассматривает ряды, в которые разлагаются эти интегралы, и
показывает определение так называемых Бернулиевых чисел,
представляющихся в этих рядах. Сочинение это, несомненно, свидетельствует, что
А. Жбиковский хорошо знаком с математической литературой и умеет
пользоваться источниками. Изложено вообще хорошо; встречаемые же
местами ошибки против языка (как-то: [нрзбр] расширять точку зрения
и .т. п.) могут быть исправлены при печатании. Для нашей
математической литературы это сочинение будет очень хорошим приобретением,

— 297 —
так как оно при незначительном объеме содержит полную теорию
Эйлеровых интегралов, которая из всех предметов чистой математики
наименее обращала внимание на себя наших ученых. Принимая это
во внимание, я полагаю, что сочинение г. Жбиковского Об Эйлеровых
интегралах, представленное им в виде диссертации на степень магистра
чистой математики, может быть допущено к печатанию и публичному
защищению. Сочинение это при сем прилагается.
1867 года февраля 2 дня. П. Чебышев.
В физико-математический факультет Императорского
С.-Петербургского университета
П. Чебышева.
Донесение8
Диссертация магистранта Золотарева9 О решении одного
неопределенного уравнения третьей степени (х3 +Ay3+Azz—3Axyz=l) содержит
результаты самостоятельных изысканий автора о квадратичных формах
и приложение их к решению одного из замечательнейших уравнений в
теории чисел. Донося о сем факультету, я имею честь предложить
одобрить эту диссертацию для напечатания и публичного защищения.
1869 год
сентября 12-го. П. Чебышев.
В физико-математический факультет
Пр. П. Чебышева.
Донесение10.
Рассуждение под заглавием О функциях, подобных функциям
Лежандра, представленное кандидатом Поссе11, ищущим степень
магистра математики, имеет предметом функции особенно замечательные
и цо своим свойствам и по своим приложениям. В сочинении своем
г. Поссе сначала рассматривает разложение в непрерывную дробь
одного определенного интеграла и из свойств подходящих дробей этого
выражения выводит свойства функций, служащих для разложения в
ряды других функций от одной переменной, затем он останавливается
на том частном случае этих функций, который соответствует функциям,
подобным функциям Лежандра, бывшим предметом исследования
Якоби в посмертном его сочинении О гипергеометрических рядах, при
помощи приемов, существенно отличных от тех, которые употреблены
кандидатом Поссе в своем рассуждении. Рассмотрев основные свойства
таких функций вообще, г. Поссе переходит к частным видам их,
наиболее замечательным, и кончает рассуждение рассмотрением двух
функций, которые представляют пределы, к которым стремятся функции,
подобные [функциям] Лежандра при увеличении до некоторых пределов

— 298 -
количеств, в них входящих. Хотя все вышепоименованные функции и
были прежде открыты, сочинение г. Поссе следует признать
удовлетворительным для получения степени магистра по тем особенностям в
выводах, им употребленных, ясно свидетельствующим, что г. Поссе вполне
владеет математическим анализом и имеет верный взгляд на предметы,
представляющие особенные трудности.
3 февраля 1873 г. П. Чебышев.
В физико-математический факультет
профессора Чебышева.
Донесение12.
Между различными вопросами математического анализа, которыми
в настоящее время много занимаются геометры, особенного внимания
заслуживает исследование рядов, составленных из функций, получаемых
разложением в непрерывную дробь интегралов известного вида. Так
как ряды эти дают средство для решения многих вопросов чистой и
прикладной математики, определение новых функций, служащих для
составления этих рядов, представляет существенно важное
приобретение для анализа. Диссертация нашего докторанта Ю. И. Сохоцкого13
под заглавием Об определенных интегралах и функциях,
употребляемых при разложении их в ряды содержит в себе результаты изысканий
автора по этому весьма важному и в то же время весьма трудному
предмету, изысканий, которые привели его к определению новых
функций, служащих для разложения в ряды. Не ограничиваясь изложением
свойств этих функций, Ю. И. Сохоцкий показывает связь между этими
функциями и свойствами определенных интегралов, доставляющих через
разложение в непрерывную дробь как эти функции, так и другие, им
подобные. Для этого в I главе своего сочинения он рассматривает харак-
ь
теристические свойства интегралов вида \ д.___, и потом показывает,
а
каким образом на основании этих свойств получаются различные
выражения определенных интегралов, а также соотношение между
определенными и неопределенными интегралами, между прочим, и знаменитая
теорема Абеля. Затем, переходя в следующих главах к рассмотрению
функций, служащих для разложения в ряды, он, выходя из одного общего
начала, выводит все, что было сделано наиболее замечательного по
этому предмету его предшественниками, и в заключение показывает
свойства функций, им найденных.
Принимая в соображение, что диссертация г. Сохоцкого есть труд
вполне самостоятельный и что в ней, несмотря на трудность предмета,

- 299 -
заключаются новые результаты, я нахожу ее вполне
удовлетворительной.
3-го ноября 1873 г. П. Чебышев.
В физико-математический факультет
профессора П. Чебышева.
Донесение14.
Сочинение нашего доцента Е. И. Золотарева9, представленное им
для получения степени доктора математики, заключает в себе теорию
целых комплексных чисел с приложением к одному весьма важному
вопросу интегрального исчисления. Известно, какое высокое значение
в науке имеют изыскания берлинского математика Куммера
относительно комплексных чисел и так называемых чисел идеальных, которые
при этом представляются. Для решения вопроса интегрального
исчисления, который имел в виду наш доцент, комплексные числа, бывшие
предметом исследований Куммера, оказались недостаточными; для
этого необходимо было исследовать комплексные числа и соответствующие
им идеальные числа более общего вида, а именно, составленные из
корня какого-либо уравнения с целыми коэффициентами. За исключением
одного частного случая, исследование которого он оставил до другого
времени, Е. И. Золотарев показал общие свойства таких чисел; это
составляет предмет II и III глав его сочинения, которым предшествует
глава I О функциональных сравнениях, необходимых для теории
комплексных. В последней IV главе наш доцент показывает приложение
теории комплексных чисел в общем виде к решению одного вопроса
интегрального исчисления, а именно об интегрировании дифференциала
(д?+ ) _ ^ приложение это заслуживает особенного внима-
V х* + ух3 4- ея* + гх + £
ния по двум причинам. Во-первых, вопрос интегрального исчисления,
которым здесь занимается Е. И. Золотарев, есть тот, на котором
остановилась первая часть интегрального исчисления, так как случай
квадратного радикала из полинома первой и второй степеней давно решен,
случай же третьей и четвертой степени приводится к вопросу,
рассмотренному г. Золотаревым. Во-вторых, до сих пор мы знаем еще очень
мало приложений теории чисел к вопросам определенного анализа и эти
приложения считаются весьма важными приобретениями для
математики.
Из всего вышесказанного видно, какой высокий интерес имеет
сочинение г. Золотарева и как много свидетельствует оно и о познаниях
автора и его способностях, а потому я считаю сочинение под заглавием
Теория целых комплексных чисел с приложением к интегральному
исчислению вполне достойным как диссертацию для получения степени
доктора математики. — тт ^
г П. Чебышев.

- 300 —
В физико-математический факультет С.-Петербургского университета15.
Имеем честь представить факультету на освободившуюся стипендию
кандидата Маркова16, который по своим познаниям и способностям
вполне ее заслуживает. Мы уже имели случай заявить факультету
о нем как об одном из слушателей, замечательном по своим
способностям. Мы можем прибавить, что он в последнее время сделал весьма
замечательное и трудное исследование «О наименьших значениях
бинарных форм положительного определителя», которое будет напечатано.
А. Коркин.
П. Чебышев.
Ю. Сохоцкий.
В физико-математический факультет
Императорского С.-Петербургского университета
профессора П. Чебышева.
Донесение. [Отрывок]17
Сочинение кандидата Маркова под заглавием О квадратичных
формах положительного определителя, написанное им для получения
степени магистра математики, уже знакомо нашему факультету по
представлению, читанному о нем в заседании 2 ноября и, согласно с
которым, факультет признал его достойным напечатания на специальные
средства университета. К тому вполне лестному отзыву, который был
сделан об этом сочинении в представлении, подписанном всеми тремя
профессорами математики, я могу только лично от себя присовокупить,
что в этом сочинении кандидата Маркова изложены результаты вполне
самостоятельной работы по предмету, имеющему очень большой интерес
для теории чисел, и что она свидетельствует об искусстве г. Маркова
в употреблении непрерывных дробей; в них, по замечанию Лежандра,
высказанному им в прибавлении Алгебры Эйлера, заключается
средство, от которого прямо или косвенно зависит решение многих весьма
важных вопросов, еще не решенных. При этом, как не весьма...
В физико-математический факультет
профессора П. Чебышева.
Донесение18.
Рассуждение под заглавием О некоторых полиномах с одной и
многими переменными, представленное кандидатом г. Орловым, ищущим
степень магистра по чистой математике, относится к той части
трансцендентного анализа, которая в настоящее время привлекает внимание
многих геометров и усердно разрабатывается ими. От развития этой

- 301 —
части анализа зависит успех решения многих вопросов, как чистой, так
и прикладной математики.
Известно, что за исключением немногих вопросов, особенно простых,
они решаются только при помощи рядов; для разложения же в ряды
служат такие функции, большей частью полиномы, которые по своим
свойствам особенно удобны для этого. В последнее время число таких
функций, заключающих в себе одну переменную, значительно возросло.
Между ними заслуживают особенного внимания полиномы, подобные
функциям Лежандра, на которые в первый раз было обращено
внимание в посмертном сочинении знаменитого математика Якоби О
гипергеометрических рядах и которые ныне составляют предмет исследований
многих геометров.
Еще недавно в наш факультет была представлена магистерская
диссертация об этих функциях и была защищаема публично.
Исследования, заключающиеся в этой диссертации, вместе с работами
иностранных геометров о полиномах, подобных функциям Лежандра, вошли в
состав I главы рассуждения г. Орлова и приведены там в строгую
систему. Во II главе своего рассуждения г. Орлов рассматривает функции
того же рода с двумя переменными, представляющими гораздо более
трудностей и которые до сих пор мало исследованы. Не ограничиваясь
изложением того, что сделано относительно таких функций его
немногими предшественниками, г. Орлов излагает результаты собственных
своих изысканий по этой части трансцендентного анализа,
представляющей и особенные трудности и особенный интерес.
Из вышесказанного видно, что рассуждение г. Орлова под заглавием
О некоторых полиномах с одной и многими переменными, несомненно,
свидетельствует и о глубоких познаниях в высшей математике и о
способностях к самостоятельной работе, а потому рассуждение его, по
моему мнению, вполне заслуживает одобрения для напечатания и
публичного защищения.
14-го марта. Профессор П. Чебышев.
В физико-математический факультет
Петербургского университета 19.
По предложетш физико-математического факультета, Совет
университета ходатайствовал перед г. попечителем С.-Петербургского Учебного
округа о дозволении бывшему ученику Учительского института Иванову20
поступить посторонним слушателем в университет и отложить на время
обязательное для него поступление на службу преподавателем
городского училища. Ходатайство Совета было уважено г. попечителем, и в
настоящее время Иванов поступил вольнослушателем на
физико-математический факультет. Ходатайство за Иванова было мотивировано
тем* что при благоприятных условиях Иванов подает надежду
сделаться со временем полезным научным деятелем и заслуживает по своим

- 302 -
способностям всякого поощрения в стремлении посвятить себя
серьезному труду. Принимая во внимание крайнюю скудость материальных
средств Иванова и несовместимость правильных занятий в университета
с другими, которые бы обеспечили ему существование на время
пребывания в университете, мы просим факультет назначать Иванову от
времени до времени хотя бы небольшое денежное пособие и выдать ему
на первый раз сто пятьдесят рублей из частных средств факультета.
П. Чебышев.
А. Коркин.
Ю. Сохоцкий.
К. Поссе.
Мнение академиков Буняковского, Якоби, Струве и Чебышева
об инструментах, относящихся до межевания, изобретенных П. Зарубиным.
(Описание оных и способ употребления. Рукопись 2К)
Между различными приложениями геометрии в общежитии межевание,
бесспорно, занимает первое место; самое название ее свидетельствует, что первоначальным
ее назначением было исключительно землемерие, составляющее для многих, даже в.
настоящее время, главную цель изучения начал геометрии. Потребность в межеваний
встречается беспрестанно. Не говоря уже о необходимости разграничения земель
разных владельцев, нередко случается, что помещик имеет необходимость как в
размежевании собственных земель, сообразуясь с видами своего хозяйства, так и в
измерении пространства участков земли, получающих различные хозяйственные назначения.
Бее задачи, относящиеся до межевания, не представляют особенной трудности в
теоретическом отношении. Но на практике решение их составляет работу, большей
частью весьма утомительную, в особенности измерение площадей даже после
перенесения земли на план; а это, разумеется, самое существенное для всякого
владельца. Очень немногие из них в состоянии определить количество земли,
заключающейся в том или другом участке их владений, или разбить свою землю на участки
желаемой величины. Довольствуясь в подобных случаях глазомерной оценкой или
примерным измерением, они невольным образом впадают в ошибки, которые нередко
влекут за собой большие или меньшие для них убытки. Для людей, хорошо знакомых
с приемами землемерия, такие неудобства, конечно, не существуют, но, с другой
стороны, решение представляющихся им задач потребует вообще много времени и
особенно внимания при многочисленных умножениях и сложении чисел; иначе ошибки
почти неизбежны.
Многого остается еще желать для облегчения приемов землемерия и,
действительно, мы видим, до какой степени практическое применение правил межевания
бывает и продолжительнее и сложнее, например, измерения длины, взвешивания
тяжестей, определения объема жидкостей; между тем, нет сомнения, что измерение
квадратного содержания земель и нарезка десятин очень часто так же необходимы, как
и действия, о которых сейчас упомянуто.
Итак, все, что относится до облегчения землемерия и, в особенности,
определения количества земли, перенесенной на план, имеет для нас особенный интерес:
достижением этой цели, с одной стороны, увеличивается круг землевладельцев,
которые сами могут удовлетворить свои надобности в землемерии, а с другой, облегчается
труд людей, посвятивших себя исключительно этому занятию. В 1848 г. на
Демидовский конкурс представлен был ручной планиметр г. Ермакова; этот инструмент,
как значительно облегчающий определение площадей треугольников, был удостоен
почетного отзыва Академии. Ныне на Демидовский конкурс поступило от г. Зарубина

— 303 -
шесть различных инструментов; каждый из них служит к упрощению или нанесения
нарезок или измерения площади плана. Между прочим, один из этих инструментов —
планиметр — приводит определение поверхности плана к крайней степени простоты:
при помощи его это измерение делается доступным и чрезвычайно легким для всякого,
даже вовсе незнакомого с началами землемерия. Во многих случаях измерение длины
бывает не легче измерения площади плана при помощи этого инструмента.
Из шести представленных в конкурс г. Зарубиным инструментов вместе с
описанием их устройства и употребления, пять были уже рассмотрены Академией в
прошлом году, и удостоились вполне одобрительного отзыва. Вот, что было сказано в
донесении комиссии, назначенной для рассмотрения изобретений г. Зарубина:
Для ближайшего обсуждения представленных снарядов, рецензенты,
к которым по изъявленному с их стороны желанию присоединился
и г. Чебышев, нашли полезным пригласить и самого изобретателя. В их
присутствии он подробно объяснил устройство главного снаряда —
планиметра, показал его употребление на практике, а также произвел
опыты измерения прямолинейных фигур посредством так называемой
им линейки-планиметра. По соображении всех данных, имеем честь
представить следующее заключение на благоусмотрение отделения.
Изобретенных г. Зарубиным инструментов пять, именно:
1. Планограф, который служит для измерения и нанесения углов на
плане и в этом отношении имеет некоторые преимущества перед
обыкновенным транспортиром.
2. Исчислитель планов (в одном ящике с планографом). Две
отдельные медные линейки, снабженные приличными делениями. К концу
одной из них приделана под прямым углом короткая пластинка. Прямое
назначение этого инструмента состоит в непосредственном определении
площадей треугольников, без всякого арифметического вычисления.
3. Длиномер. Очень простого устройства инструмент, служащий для
измерения линий большой длины и чрезвычайно полезный при
определении площадей планов значительного размера. Такие планы
обыкновенно разбиваются на части; каждую часть превращают потом в
равномерный с ней треугольник, который приводят к данному единичному
основанию. Таким образом, площадь плана будет пропорциональна
сумме высот всех частных треугольников. Деления на циферблате
длиномера означены так, что, прокатив инструмент по всем линиям,
означающим эти высоты, стрелки прямо покажут число десятин и частей ее,
заключающихся в измеряемой площади.
4. Линейка-планиметр. Медная линейка длиной около 20 дюймов, а
шириной от 2 до 21/* дюймов, постоянно сохраняющая параллельное
положение, когда двигают ее рукой по направлению,
перпендикулярному к ее длине. Цель эта достигается посредством известного
механизма, состоящего из двух валиков одинакового диаметра,
утвержденных на железной оси и пропущенных сквозь линейку. Таким образом
линейка, будучи положена на гладкую поверхность, свободно катится
по ней, сохраняя свою параллельность, пока не отведут ее от
первоначального направления, употребив на то некоторое усилие. Сверх того,
с правой стороны линейки приделан часовой механизм, назначенный,

— 304
как и механизм в длиномере, для непосредственного измерения
площади треугольника, приведенного к данному единичному основанию.
5. Планиметр. Посредством этого инструмента задача об
определении площадей решается в общем ее виде. Снаряд устроен так, что,
обведя концом указателя периметр плана, ограниченного какими ни
есть линиями, прямыми и кривыми, стрелки прямо покажут на двух
циферблатах количество десятин и сотен квадратных сажен,
заключающихся в измеряемой
фигуре. Теоретическое
начало, на котором г.
Зарубин основал свой
планиметр, весьма просто; оно
состоит в следующем
очевидном предложении:
величинами, суммами,
разностями дуг можно
выразить величины,
суммы, разности площадей
параллелограммов,
имеющих стороны, равные
радиусам описанных дуг.
Применение этой
геометрической истины к
устройству планиметра
очень остроумно.
Вообразим медный
сектор, произвольного
числа градусов,
например, четверть крута ABC,
и положим, что он свободно катится по рейлсу* LN; при таком
вращении центр его С постоянно движется по линии КМ, параллельной LN.
Пусть будет сверл того линейка IE, проходящая через центр С и
имеющая свободное движение вправо и влево перпендикулярно к рейлсу
КМ. В середине F линейки помещается колесо, которое катится по
сектору при его движении вверх и вниз, а на правой оконечности Е
линейки приделан указатель, которым обводят периметр фигуры.
Расстояние колеса F от указателя Е равно радиусу сектора,
увеличенному шириной рейлса LN. Наконец, при обращении своем колесо F
сообщает движение другим колесам числительного снаряда, на
циферблатах которого читается уже окончательный результат. Вот
главные части планиметра г. Зарубина; самое употребление его очень
просто. Положим, например, что измеряемая фигура есть
прямоугольник HGED. Приведем точку А сектора в Я и выдвинем
подвижную линейку вправо так, чтобы указатель Е совместился с точкой С;
м\
Г—
ь ~
В
/ F
X / J
X ' /
хУ /
*^ч /
А
л
н £
* Рельсу.— Ред.

— 305 —
обведем потом указателем линию СЕ и когда он дойдет до положения
£, то действие кончено: стрелки на циферблатах покажут искомую
площадь. Чтобы удостовериться в этом, надобно доказать, что
пространство, пройденное колесом F, будет пропорционально измеряемой
площади. Пусть HD = a, HG = 6; площадь прямоугольника определится
произведением ab. Означим также через R и г радиусы сектора и коле-
са F, через <р —угол ACD, который получится, когда сектор прокатится
по всей высоте HD прямоугольника, и, наконец, через ср' — угол, на
который колесо изменит свое начальное положение. При таких условиях,
очевидно, получим, во-первых, уравнение
R<$ = a,
откуда
а
С другой стороны, по устройству линейки, постоянное расстояние
указателя Е от колеса F равно радиусу /?, увеличенному шириной
рейлса LN; следовательно, CF = DE = Ъ, и как [только] колесо опишет
дугу JF = by, то и получим
7-ф' = 6ф,
откуда
т г
Подставив на место угла ср равную ему величину -^-, найдется
окончательно
Итак, угол <? действительно пропорционален искомой площади аб,
почему и может служить для непосредственного ее измерения. Легко
усмотреть, что [так] как всякая фигура разлагается на бесконечное
число прямоугольников, имеющих одно измерение бесконечно малое, то
в силу приведенного выше основного предложения, планиметр, по
очертании всего периметра данной фигуры, определит полную ее площадь
точно таким образом, как показано сейчас в рассуждении
прямоугольника.
Из пяти инструментов, изобретенных г. Зарубиным, мы обратим
особое внимание отделения на линейку-планиметр. По простоте ее
устройства, по испытанной точности доставляемых ею результатов и по
скорости, с которой при некоторой привычке получается окончательный
результат без всяких арифметических вычислений, она может служить
чрезвычайно полезным пособием для землемеров. Употребление ее
очень просто, а цена умеренная — 10 рублей серебром, почему она и
доступна всякому. Посредством этого инструмента выполняется
известное геометрическое построение для превращения многоугольника в
равномерный с ним треугольник; действие это производится с возможной
20 П. Л. Чебышев, т. V

— 306 —
быстротой, которой в высшей степени способствует параллельность
движения линейки. Г. Зарубин показал, что основание окончательного
1реугольника может быть взято и вне фигуры, на каком угодно
направлении, и эта произвольность выбора, во многих случаях, очень полезна
в практическом отношении. Треугольник, заменяющий многоугольную
фигуру, обращают в другой, равномерный с прежним, но имеющий
основание, требуемое принятым делением на числительном снаряде.
Прокатив линейку как бы с целью определить высоту окончательного
треугольника, стрелка на циферблате покажет непосредственно число
десятин и частей ее, заключающихся в измеряемом треугольнике, а,
следовательно, и искомую площадь первоначального многоугольника.
Планиметр г. Зарубина, как мы сказали выше, есть инструмент
весьма остроумный по вымыслу и удовлетворяет вполне условиям,
требуемым от подобных снарядов. Стоит только обвести указателем
периметр плана, каковы бы ни были линии, его ограничивающие, и стрелки
циферблата прямо покажут квадратное содержание изменяемого
участка. В последние годы изобретено довольно много планиметров;
таковы, например, снаряды Эрнста Бёвьера (Beviere), Каспара Ветли.
Санга (Sang), Барановского. Но они для землемеров имеют свой
общий недостаток: именно, дороговизну, происходящую от сложности
их механизма. К тому же такой инструмент легко подвергается
повреждениям, для исправления которых не всегда и не везде можно найти
опытных мастеров. Правда, г. Зарубин утверждает, что при заказе
довольно значительного числа изобретенного им планиметра, например,
ста экземпляров, каждый обойдется не дороже ста и даже впоследствии
сорока рублей серебром, что составит, примерно, только половину
средней цены снарядов этого рода. При такой умеренной цене, изобретение
г. Зарубина может, конечно, распространиться и принести пользу.
Описания инструментам составлены г. Зарубиным с полной
отчетливостью; равным образом изложение способов, относящихся до
межевания, заслуживает одобрения и по содержанию своему и по ясности.
Чертежи, приложенные к тексту, выполнены с особенным старанием.
Мы полагаем, что напечатание представленной г. Зарубиным рукописи
под заглавием Руководство к практическому употреблению вновь
изобретенных инструментов и способов до межевания было бы очень
полезно для землемеров, и что многие из них, ознакомясь по описанию
с линейкой-планиметром, станут употреблять ее и тем самым избавятся
от утомительного труда разбивать план на треугольники и искать
площадь каждого из них отдельно, как то обыкновенно делается.
Шестой инструмент, представленный ныне г. Зарубиным в Демидовский
конкурс,— Ручной лонгиметр — служит также, в некотором отношении, к облегчению-
приемов межевания, и именно при сочинения планов: это линейка с делениями, по
которым назначаются длины сторон прямолинейных фигур, снабженная циферблатом,
показывающим в то же время угловое наклонение ее в новом положении с
положением прежним. Такая линейка много облегчает составление планов, хотя этот
инструмент, в отношении к простоте устройства, уступает первому инструменту г.
Зарубина — планографу.

— 307 —
Из вышеприведенного разбора инструментов г. Зарубина видно, до какой
степени облегчаются ими и сочинение планов, и измерение их площадей. Такие
инструменты, с подробным и отчетливым описанием их устройства и употребления,
составляют, без сомнения, 'весьма важное приобретение в деле межевания. Принимая ©о
внимание столь успешные труды и действительные заслуги г. Зарубина по
практическому землемерию, рецензенты считают долгом своим, по строгой справедливости,
ходатайствовать о поощрении изобретений его Демидовской наградой.
Доклад комиссии по присуждению в 1890 г.
премии имени В. #. Буняковского.
Читан в заседании физико-математического отделения Академии 6 ноября 1890 г.
На соискание премии В. Я. Буняковского за математические труды
были получены сочинения от двух авторов.
I. Ординарный профессор Варшавского университета Н. Я. Сонин
представил собрание своих работ, изданных в промежуток времени
от 1886 по 1889 гг. включительно. Сборник этот, не имеющий общего
заглавия, составленный автором из его работ, расположенных в порядке
их издания, заключает в себе семь статей:
1) Об определении максимальных и минимальных свойств плоских
кривых. 68 стр., 1886 г.
2) О приближенном вычислении определенных интегралов и
вычислении входящих при этом целых функций. 76 стр., 1887 г.
3) О Бернуллиевых полиномах и их приложениях. 71 стр., 1889 г.
4) Об одной формуле приведения кратных интегралов. 33 стр.,
1889 г.
5) О приведении одного кратного интеграла. 10 стр., 1889 г.
6) О представлении логарифма и Эйлерова постоянного
определенным интегралом. 15 стр., 1889 г.
7) О прерывной функции [х] и ее применениях. 78 стр., 1889 г.
За исключением статьи № 5, помещенной в Московском
математическом сборнике, все прочие изданы в Варш. унив. известиях.
П. П. Е. Рощин, штатный преподаватель математики в
Михайловской Артиллерийской Академии, представил Записки по
дифференциальному и интегральному исчислениям, в двух частях: часть
1—Дифференциальное исчисление с предварительными статьями и
прибавлением, 720 стр.; часть 2 — Интегральное исчисление, 495 стр., 1888 г.
Поименованные выше сочинения, по мнению комиссии, вообще
соответствуют требованиям правил, установленных для соискания премии
Буняковского. Научные труды профессора Н. Я. Сонина, относящиеся к
высшим частям чистой математики, посвящены частью решению
вопросов оригинальных, частью же представляют разработку вопросов
известных, предпринятую автором в видах или усовершенствования
метода их исследования или полноты развития как их теории, так и
приложений; поэтому совокупность этих трудов отвечает преимущественно
первой' половине § 5 правил о премии Буняковского. Что касается
20*

— 308 -
сочинения г. Рощина, представляющего достаточно полное изложение,
с педагогической целью, одной из важнейших отраслей высшей
математики, то его можно признать удовлетворяющим той части
вышеупомянутого § 5 правил о премии, которая изложена во второй его половине.
Так как на основании § 7 и 8 тех же правил премия имени Буня-
ковского ни в каком случае не разделяется, то комиссия, в дополнение
к вышеизложенному, считает нужным присовокупить следующие
соображения, на основании которых она имеет предложить присуждение
премии одному из двух ее соискателей.
Перечисленные выше работы Н. Я. Сонина составляют только
дополнение длинного ряда его других научных трудов, появлявшихся в
течение последних двадцати лет в русских и частью иностранных
математических периодических изданиях, доставивших ему лестную
известность и видное место в среде русских математиков. Работы,
представленные им на соискание премии, как показывают их названия,
относятся вообще к области интегрального исчисления. В большинстве из них
свойства определенных интегралов составляют или самый предмет
исследования, или же, так сказать, главное аналитическое орудие, глубоко
изученное автором и мастерски применяемое им сообразно цели
исследований. В статьях № 4 и 5 показаны замечательные обобщения
некоторых приемов приведения кратных интегралов, подкрепленные
многочисленными приложениями. Введение числовой, прерывной функции [^]
множителем интегрируемого дифференциала, под знаком определенного
интеграла, составляет новый оригинальный прием, полезные
применения которого обнаружены в статье № 7, в вопросе о нахождении так
называемых асимптотических выражений некоторых функций для
весьма большого значения аргумента*. В статье № 1 разбирается
оригинально поставленный вопрос о максимальных и минимальных
свойствах плоских кривых, приведенный, по своей обширности, в некоторые
границы. Анализ этой задачи привел автора к общим выводам, польза
которых бесспорна при рассмотрении частных вопросов того же рода.
Наконец, статьи № 2 и 3 посвящены вопросам, разработке которых в
большей или меньшей степени содействовали, между прочим, труды
русских математиков. Представив полный очерк данных математической
литературы по специальному вопросу о приближенном вычислении
определенных интегралов, проф. Сонин следующим образом
характеризует свою работу о том же предмете:
«В настоящем труде мы старались держаться на самой общей
теоретической почве и имели в виду довести до последней степени
строгости, простоты и ясности решения всех вопросов относительно прибли-
* Обыкновенно проф. Сонин приводит обстоятельные указания на специальную
литературу, относящуюся к предмету исследования, в которых, к сожалению,
замечается недостаток в ст. № 7: так, здесь не указан или упущен из виду замечательный
мемуар Эйлера De funciionibus inexpLicabilibus, который, по мнению одного из членов
комиссии, по основной идее и окончательным результатам имеет много общего с
работой № 7 Н. Я- Сонина.

- 309 —
женного вычисления определенных интегралов по методу
интерполирования. Целые функции уп(х) (имеющие важное значение в этом
вопросе) мы определяем их интегральным свойством, а о разложений в
непрерывную дробь интеграла
ь
С F (z) dz
a
(знаменатель п-и подходящей которой обыкновенно принимался за
определение полинома <?п(х)) упоминаем лишь вскользь, приводя не только
самую дробь, но и остаток при вычислении интеграла по этой дроби.
Кратных интегралов, введенных в учение о непрерывных дробях Э.
Гейне, мы вовсе не употребляем, как совершенно излишних»
Тщательное критическое сравнение важнейших произведений,
относящихся к изучаемому предмету, позволило автору весьма успешно
выполнить то, что им обещано в предисловии к своей работе: с
устранением усложнений анализа, не связанных необходимо с сущностью
задачи, решение ее представлено им на основании трудов своих
предшественников в изящно простом, строгом и общем виде. Достоинства
статьи № 3 о полиномах Бернулли и их приложениях заключаются,
главным образом, в разработке этих последних и в довольно полных
литературных указаниях относительно разных сторон рассматриваемого
предмета; что касается данного автором определения полиномов
Бернулли, то его можно причислить к простейшим из предложенных
прежде.
Из предыдущего общего очерка содержания и характера
произведений Н. Я. Сонина можно видеть, что, внося свои собственные взгляды
или проводя новые мысли в каком-либо вопросе, он вообще всегда
опирался на основательно критическое изучение совокупности
соответствующих произведений специальной литературы, вследствие чего каждый из
его трудов имеет вообще значение ценного научного вклада.
По поводу другого труда, представленного на соискание премии
Буняковского, составляющего курс лекций дифференциального и
интегрального исчислений, следует заметить, что, хотя система изложения
этих важных предметов преподавания издавна уже установилась в
главных чертах, но тем не менее заслуживают полного внимания новые
опыты совершенствования подобных курсов по содержанию и форме, а
также стремление поддерживать их на уровне современных успехов
науки. Записки г. Рощина представляют весьма тщательно обдуманный
труд этого рода, для удачного выполнения которого требовалось, кроме
полного обладания предметом, еще и собственная плодотворная
педагогическая опытность. Все части курса, как теоретическая, так и
прикладная, строго соразмерны; изложение всюду точно, сжато и ясно; все
общие выводы поясняются хорошо выбранными примерами и
упражнениями, так что с немногими дополнениями, которые легко почерпнуть
из известных источников, Записки г. Рощина могут вполне отвечать

— 310 -
потребностям современного преподавания общего курса и исчисления
бесконечно малых и составляют поэтому ценное приобретение для на:
шей литературы по части руководств к изучению высшей математики.
Имея в виду, что премия имени Буняковского преимущественно
назначается на поощрение в нашем отечестве самостоятельной разработки
чистой математики посредством оригинальных научных изысканий,
комиссия, на основании вышеизложенного, по единогласному своему
постановлению, предлагает в настоящем году удостоить этой премии
совокупность трудов, которые представил на ее соискание ординарный
профессор Императорского Варшавского университета Николай
Яковлевич Сонин.
В. Имшенецкий.
П. Чебышев.
А. Марков.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Заимствовано из книги «Двадцать второе присуждение учрежденных П. Н.
Демидовым наград», СПб., 1853, стр. 97—107.
2 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1046; д. 14700; л. 77—78.
3 См. примечание 12 к разделу «П. Л. Чебышев в Петербургском университете».
4 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1047а; д. 14750; л. 7.
I Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1047; д. 14741; л. 12.
6 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1047; д. 14758; л. 47.
7 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1047а; д. 14758, л. 78—79.
8 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1049; д. 14800; л. 38.
9 Я. И. Золотарев (1847—1878)—выдающийся представитель петербургской
математической школы, работал в области теории чисел и алгебры. С 1868 г.— приват-
доцент Петербургского университета, с 1876 г.— профессор университета -и адъюнкт
Академии.
10 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1049; д. 14800; л. 66—67.
II К. А. Поссе (род. в 1847 г.)—русский математик, представитель петербургской
математической школы, профессор Петербургского университета. Работал в области
математического анализа. До настоящего времени пользуется популярностью его
учебник дифференциального и интегрального исчисления.
12 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1049; д.. 14811а; л. 16—17.
13 Ю. И. Сохоцкий (род. в 1842 г.)—видный математик, профессор
Петербургского университета. Автор ряд*а важных исследований в области теории функций
комплексного переменного. В 90-х годах был президентом Петербургского
математического общества.
14 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1049; д. 14813а; л. 16—17.
Документ без даты. Защита докторской диссертации Золотарева состоялась
в 1876 г.
15 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1050; д. 14823; л. 84. Документ
без даты. Предположительно относится к 1877—1878 гг.
!• Л. Л. Марков (1856—1922)—один из крупнейших русских математиков, ученик
и последователь Чебышева. Ему принадлежит ряд основополагающих результатов в
теории вероятностей и в теории чисел. С 1880 г. приват-доцент, с 1886
г.—профессор Петербургского университета, В Академии Наук с 1886 г. (в 1886 г. избран
адъюнктом, в 1890 г.—экстраординарным академиком, в 1896 г.—ординарным
академиком) .

— 311 -
17 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1058; д. 14826; л. 109.
Сохранилась лишь часть этого интереснейшего документа. Дата отсутствует. Работа
Маркова, о которой идет речь в «донесении», была опубликована в 1880 г.
18 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; св. 1050; д. 14835, л. 18—19.
Документ без года.
19 Архив Лнгр. обл., Пб. университет; ф. 14; ев 1050; д. 14835; д. 150. Документ
без даты.
20 И. И. Иванов (род. в 1862 г.) — видный русский математик, работал в области
теории чисел. В 1924 г. был избран членом-корреспондентом Академии Наук.
21 Заимствовано из книги «Двадцать третье присуждение учрежденных П. Н.
Демидовым наград», СПб., 1854, стр. 137—147.

П. Л. ЧЕБЫП1ЕВ В УЧЕНОМ КОМИТЕТЕ
МИНИСТЕРСТВА НАРОДНОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ
В этом разделе публикуются некоторые документы, относящиеся к деятельности
П. Л. Чебышева в Ученом комитете Министерства народного просвещения.
Ученый комитет, официально существовавший, с перерывами и под различными
наименованиями, с 1818 г., был восстановлен в 1856 г. С этого момента до 1873 г.
математические науки были в нем представлены Л. Л. Чебышевым.
Обязанности П. Л. Чебышева как члена Ученого комитета состояли главным
образом в рецензировании учебной литературы по математике и других книг
математического содержания, поступавших в Ученый комитет; кроме того, П. Л. Чебышеву
приходилось участвовать в разработке программ и учебных планов для уездных
училищ, прогимназий и гимназий, а также высказываться по ряду иных вопросов, по
которым требовалось официальное мнение Ученого комитета.
Принимая во внимание громадный авторитет П. Л. Чебышева и опыт,
приобретенный им за 17 лет работы в Ученом комитете, можно с уверенностью говорить о
значительном влиянии, оказанном П. Л. Чебышевым на постановку и уровень
преподавания математики (а также смежных дисциплин: космографии и физики) в
низших и средних учебных заведениях во второй половине прошлого столетия.
Публикуемые ниже материалы представляют собой выборки из рукописных
журналов заседаний Ученого комитета, хранящиеся в Центральном государственном
историческом архиве в Ленинграде (наб. Красного флота, 4) и составляющих фонд
№ 734, описи 2 (1856—'1863 гг.) и 3 (1864—1873 гг.). Журналы тех заседаний, в
которых принимал участие П. Л. Чебышев, подписаны им самим, чем гарантируется
точность передами его докладов.
Ниже приведен полный перечень материалов, извлеченных из журналов Ученого
комитета и относящихся к деятельности П. Л. Чебышева.
Часть этого материала публикуется в настоящем томе: цифры в прямых скобках
суть порядковые номера, под которыми значатся у нас соответствующие документы.
При отборе материалов для публикации редакторы считали наиболее
интересными: 1) документы, освещающие точку зрения П. Л. Чебышева на существенные
вопросы постановки и методики преподавания элементарной математики *, 2) отзывы
П. Л. Чебышева (сами по себе, может быть, мало характерные) об учебниках и
руководствах, сыгравших важную роль в истории преподавания математики, 3)
отдельные высказывания П. Л. Чебышева, характеризующие его как ученого и
общественного деятеля; в этом отношении особенно интересен документ [79] — «О проекте
устава Московского математического общества».
Порядок публикации выбран следующий:
I. Доклады П. Л. Чебышева Ученому комитету по вопросам, относящимся к
низшей и средней школе.
II. Отзывы П. Л. Чебышева о книгах и рукописях математического содержания.
* Уже теперь мы можем получить некоторое представление о методических
взглядах П. Л. Чебышева (в этом отношении особенного внимания заслуживают документы
[17], [23], [30], [38], [39], [66], [71], [72]). Полное освещение этого интересного вопроса —
задача, требующая дальнейших исследований.

- 313 —
III. Доклады П. Л. Чебышева Ученому комитету по вопросам, относящимся к
научным обществам и высшей школе.
Внутри каждой рубрики документы расположены в хронологическом порядке.
1857 год. Отзывы о сочинениях: 1) «Арифметика в вопросах и ответах>
Высочи на; 2) «Руководство к арифметике» My дров а; 3) «Основания арифметики с
правилами и образцами» И хоре в а; 4) «Программа по предмету арифметики»,
составленная Захаровым [16]; 5) «Новая арифметика для первоначального
обучения» Ритта, пер. с франц. Андреева.
Записка о реальных курсах при уездных училищах [1]. Программы по
арифметике и геометрии для уездных училищ [2].
1858 год. Отзывы о сочинениях: 6) «Начальные основания космографии» Паль-
ковского; 7) «Plan d'ecoles populaires dites industrielles», par Navio; 8)
«Арифметика» Богуславского; 9) «Домашний землемер или руководство, как с
простым понятием измерять и исчислять посредством кв. сажен разных линий земли и
приводить оные на десятичные пропорции» Петушков а; 10) «Практическая
арифметика с правилами и образцами для решения задач» Ихор ев а; 11)
«Арифметика для девиц» Михельсона; 12) «Собрание геометрических задач» Ритта,
пер. с франц. Соколова.
О преподавании математики [в гимназиях], 1-й вариант [3].
1859 год. Отзывы о сочинениях: 13) «Арифметика по руководствам Буссе, Буня-
ковского, Бурдона и др.», составленная Жи братом; 14) «Собрание арифметических
задач для изустного вычисления» Та л я [17]; 15) «Первоначальные упражнения в
арифметике» Буссе [18]; 16) «Руководство к арифметике» К и р ш т е й н а; 17)
«Начальные основания алгебры» Тихомандрицкого и «Основания алгебры»
Перевощикова [19]; 18) «Первоначальная арифметика» Примеров а;
19) «Практический изустный арифметик» Шпальвинга [20]; 20) «Арифметика»
Маркова [21]; 21) «Начальные основания алгебры» С и м а ш к о [22]; 22) «Курс
теоретической арифметики» Полесского-Шупило.
1860 год. Отзывы о сочинениях: 23) «Наглядное изложение предварительных
понятий о геометрии» Ефремова [23]; 24) «Курс практической геометрии» М а с-
с о н а; 25) «Общепонятная практическая геодезия» Т а м о ч к и н а; 26)
«Математическая география» Рындина; 27) «Арифметика» Р у м м е л я.
О преподавании математики [в гимназиях], 2-й вариант [4].
1861 год. Отзывы о сочинениях: 28) «Руководство к изучению русской грамоты
и счисления» Главинского; 29) «Основания общей арифметики для VII класса»
Жбиковского [24]; 30) «Упражнения в геометрии с подробными решениями»
Хм ыров а; 31) «Сокращенные логарифмические таблицы» Буссе [25]; 32)
«Арифметика» Никулина; 33) «Полная теория логарифмов» Смяровского; 34)
«Руководство к верному определению выгод и невыгод для хозяйственных предприятий»
Мей б а ум а; 35) «Курс арифметики» Мельгунова.
Мнение об отмене в Ришельевском лицее преподавания арифметики. Доклад об
учебниках по математике в низших и средних учебных заведениях [б].
1862 год. Отзывы о сочинениях: 36) «Руководство к изучению начальной
математики» Долгомостьева; 37) «Практическая арифметика или руководство к
решению задач» И х о р е в а; 38) «Methode pratique du calcul», par В а г г ё; 39) «Ариф-
мография и арифметика» Богуславского; 40) «Руководство к рисованию по
правилам перспективы» Шпарва(рта; 41) «Тригонометрия плоская и сферическая и
основные начала аналитической геометрии» Дюперрона; 42) «Руководство к
изучению прямолинейной тригонометрии» Шатилова; 43) «Способ делени-я угла
на три равные части» Полуектова; 44) Русская азбука (ч. 2, арифметика),
изданная Глазуновым для народных училищ; 45) «Problemi di geometria del piu alto
interesse matematico resoluti e demostrati», Anguera; 46) Решение численных
уравнений по способу И. Козлова; 47) «Руководство к геометрии» Нелюбима;
48) «Арифметика» Кондратовича; 49) «Начальные основания прямолинейной
тригонометрии» Дмитриева [26]; 50) «Руководство к наглядному обучению

— 314 -
математической географии» Носова; 51) «Курс начальной алгебры» Краевича [27];
52) «Астрономическое землеведение для первого ученического возраста» Печор ина.
Доклад о проекте устава Казанского коммерческого института [73].
1863—1S64 годы. Отзывы о сочинениях: 53) «Арифметика» Пальковского;
54) «Тригонометрия» С ер ре (пер. Любицкого) [28]; 55) «Очерки астрономии»
Гершеля (пер. Драшусова); 56) «Курс алгебры» Ростиславлева;
57) «Курс физики», его же; 58) «Полный курс элементарной математики» Xри-
стиани [29]; 59) «Первый курс арифметики, составленный по методу Грубе» Ла-
довским [30]; 60) «Учебник математической и физической географии» Миниц-
кого; 61) Геометрические чертежи, изданные в Вене Гиллардтом [31]; 62)
«Начальные основания физики» Т ы р т о в а; 63) «Арифметика» Высочина; 64) «Курс
наук» Иванова; 65) «Записки для руководства воспитанников при изучении
алгебры в объеме гимназического курса» Страшинского; 66) «Курс геометрии с
тригонометрией.» Хит ров а; 67) «Понятие о Земле и краткий очерк земного шара»
Чернявского; 68) «Основания физики» Краевича [32]; 69) «Die Bruchtabele»
Пульх; 70) «Популярная энциклопедия» Дельфина; 71) «Руководство к
черчению, рисованию и чистописанию» Лосева; 72) «Образец критического изучения
сочинения об определенных интегралах» Попова [33]; 73) Старинная рукопись
арифметики [34]; 74) «Беседы о земле, воде, воздухе и разных тварях» Бекетова.
Проект объявления о конкурсе на руководство по арифметике для начальных
народных училищ [6]. Доклад о гимназических учебных руководствах и пособиях по
математике и физике [7]. О разделении физико-математического факультета
Казанского университета на отделения [74]. Доклад об учебной статистике гимназий
Петербургского округа. Доклад о замечаниях Советов Харьковского и Дерптского
ветеринарных учшшщ на составленный Ученым комитетом проект устава Харьковского и
Дерптского ветеринарных институтов. Мнение о предоставлении
Петровско-Разумовской земледельческой академии права присуждать ученые звания [75].
1865 год. Отзывы о сочинениях: 75) «Базар или арифметика в картинах для
народных училищ» Ц ы р и н а; 76) «Арифметика» П о ж а р о в а; 77) «Курс
элементарной геометрии с практическими упражнениями для средних учебных заведений»
Курбатова; 78) «Руководство к арифметике» В о л е н с а; 79) «Die Geometrie der Alten
in einer Sammlung von 850 Aufgaben» Веккеля (Weckel), пер. Нормана [35];
80) «Руководство прямолинейной тригонометрии» Малинина [36]; 81) «Плоская
тригонометрия» Байера; 82) «Руководство к математике» А р р о н е т а; 83) «Курс
алгебры» Маркова [37]; 84) О втором курсе «Арифметики» Ладовского, в
связи с результатами преподавания арифметики по методу Грубе [38]; 85)
«Арифметика» (1-й выпуск третьего курса) Ладовского [39]; 86) «Арифметика для детей
десятилетнего возраста» Тр утнева.
Инструкция об объеме преподавания в гимназиях и прогимназиях математики,
физики и космографии [8].
Доклад о результатах испытаний учеников 7-х классов и посторонних молодых
людей на право поступления в университет. Мнение о конкурсе на составление
руководств по математике и космографии для гимназий и прогимназий. Проект
объявления о конкурсе на составление учебников для гимназий и прогимназий по
математике и космографии [9]. Доклад о программах преподавания математики и
космографии по новому уставу в гимназиях различных округов [10]. Доклад об изменении
порядка испытания из отдельных частей математики лиц, желающих приобрести
звание учителя [76].
1866 год. Отзывы о сочинениях: 87) «Руководство коммерческих и финансовых
вычислений» Р е й н б о т а; 88) «Краткая метрология Европейских государств», его
же; 89) «Предварительные сведения из математической и физической географии*
Сеньковского; 90) «Собрание арифметических задач» Томаса [40]; 91)
«Сборник алгебраических задач» Пржевальского [41]; 92) «Руководство к
времяисчислению церковному и гражданскому» Л а л о ш а; 93) «Элементарная теория
тригонометрических линий и прямолинейная тригонометрия» Соколова, «Динамика»

- 315 —
его же, «Общая теория решений алгебраических уравнений> Деларю и
«Арифметика для первоначального обучения» Ковальского [42]; 94) «Наука счету
(арифметика) для грамотных крестьян» Траилина; 95) «Арифметика» Флорин-
с кой; 96) «Арифметика на счетах» Бур а ко в а; 97) «Курс арифметики» Сер ре,
пер. Юденича [43]; 98) «Настольный словарь для справок по всем отраслям
знаний» Толя; 99) «Краткое руководство к арифметике для средних учебных заведений»
Протопопова; 100) «Гимназический курс арифметики» Померанцева;
101) «Пять частей света (руководство к изучению географии)» Якимова;
102) О руководствах по арифметике Воленса и Никулина.
Замечание о «Правилах разделения физико-математического факультета
Казанского университета на специальные отделения» [77]. Мнение об учебном плане
гимназий Дерптского учебного округа [11]. Второй доклад об изменении порядка
испытания из отдельных частей математики лиц, желающих приобрести звание
учителя [78]. Доклад о проекте устава Московского математического общества [79].
Доклад о результатах конкурса на составление курса арифметики для начальных
народных училищ.
1867 год. Отзывы о сочинениях: 103) «Арифметика для начальных народных
училищ» Леве [44]; 104) «Собрание упражнений по дифференциальному и
интегральному исчислению» 3 о н к е (пер. Галахова); 105) «Руководство арифметики
для гимназий» Малинина и Буренина; «Собрание арифметических задач для
гимназий», и х ж е [45]; 106) «Решение неопределенных уравнений по способу остатков»
Прозорова; 107) «Арифметика, составленная для сельских школ и приходских
училищ» Никулина [46]; 108) «Учебник математической и физической географии»,
составленный в объеме гимназического курса Саковичем; 109) «Опыт определения
площади круга» Панкина; 110) Арифметика, генетически составленная Шней-
дером [47]; 111) «Руководство по арифметике» Ти бор дин а; 112) «О делении
углов на 3, 5 и 7 частей» Медведкова.
Мнение о выписывании для библиотек учебных заведений «Математического
сборника» [80]. Мнение о космоглобусе — наглядном пособии при изучении
космографии. Доклад об учебных- руководствах и пособиях по математике, употребляемых в
гимназиях и начальных народных училищах [12]. Мнение об отчетах магистра Восто-
кова й кандидатов Шведова и Булыгинского, командированных за границу с целью
приготовления к профессорскому званию.
1868 год. Отзывы о сочинениях: ИЗ) «Теорема короны или равночастной
трисекции математических углов> Малышева; 114) «Сборник примеров и задач»
относящихся к курсу элементарной алгебры» Бычкова [48]; 115) «Алгебраическое
суммирование строк по способу переходов» Прозорова; 116) «Арифметика»
Крашенинникова; 117) «Плоская тригонометрия» Обадзинского; 118)
«Начальная алгебра» Пржевальского [49]; 119) «Курс арифметики для начальных
училищ» Примерова; 120) «Учебное пособие по предмету арифметики для
воспитанников Константиновского межевого института» Ларионова [50]; 121) «Вывод
строки Ньютона при целом показателе по способу переходов и по суммированию
фигурных чисел» Прозеро-ва; 122) «Суммирование обратных рядов по способу
переходов», его же; 123) «Рациональная арифметика» Кондратовича; 124)
«Пятизначные таблицы логарифмов чисел и тригонометрических линий с прибавлением
логарифмов Гаусса» Пржевальского [51]; 125) «Приложение алгебры к
геометрии» Оландера; '126) «Гимназический курс арифметики для I класса»
Померанцева; 127) «Суммирование обратных рядов с возрастающим и постоянным
числом множителей в членах по способу переходов» Прозоров а; 128) «Начальная
арифметика», пособие для наглядного обучения арифметике Рубисова;
129) «Арифметические задачи» Максимова; 130) «Задачи и теоремы из
элементарной геометрии на плоскости» Хмырова; 131) «Сборник упражнений в
дифференциальном и интегральном исчислении» Хмыров а; 132) «Опыт элементарного
руководства арифметики для народных училищ» Ра веко го; 133) «Опыт популярного
изложения планиметрии» Серебровского,

- 316 —
Мнение по вопросу о сокращении объема преподавания математики в гимназиях
и об увеличении числа часов, положенных уставом 1864 г. на этот предмет [13].
Мнение о руководствах и пособиях по математике для духовных семинарий.
1869 год. Отзывы о сочинениях: 134) «Сравнительные таблицы десятичных и
русских мер» Петрушевского и Еремеева; 135) «Руководство космографии
для гимназий» Малинина и Буренина [52]; 136) «Основания геометрии»
Руше и Комберусса, пер. Гольденберга [53]; 137) «Способ преподавания
арифметики в народных училищах, с приложением примеров арифметических
действий» Крымского; 138) «Арифметические задачи в карточках», его же; 139)
«Руководство алгебры» В о л е н с а [54]; 140) «Учебник плоской тригонометрии» Мочни-
к а, пер. Черкунова [55]; 141) «Руководство прямолинейной тригонометрии для
гимназии» Чеховича; 142) «Руководство к основательному изучению
прямолинейной тригонометрии без высшего анализа, содержащее более 300 задач с их
выводами и краткое учение о факториальных дробях» Ранчковского.
Доклад о рукописях, поступивших на объявленный о* Ученого комитета, в 1865 г.
конкурс по составлению учебных руководств для гимназий и прогимназий по
математике и космографии [14]. Мнение о четырех отчетах кандидата Андреевского,
посланного за границу для усовершенствования в науках.
1870 год Отзывы о сочинениях: 143) «Руководство к арифметике» Назарова;
144) «Руководство к геометрическому черчению» Дурова; 145) «Тригонометрия»
С е р р е, пер. Г у т о р а [56]; 146) «Арифметика» М и к е е в а.
Доклад о введении обучения математике на русском языке в гимназиях Дерпт-
ского округа. Мнение о разделении физико-математического факультета
Варшавского университета на отделения и разряды [81].
1871 год. Отзывы о сочинениях: 147) «Начала космографии» Краевича [57];
148) «Практическая арифметика» Гурьева [58]; 149) «Курс начальной алгебры»
Вержинского [59]; 150) «Арифметика на счетах» Буракова (изд. 2-е);
151) «Рукопись к арифметике» Филиппова; 152) «Новое решение некоторых
наиболее известных геометрических задач» Серебровского [60]; 153) «Начальная
алгебра» Гика [61]; 154) «Полный курс начальной арифметики» Чеканского
[62]; 155) «Начертательная геометрия» Макарова; 156) «Сборник арифметических
задач для приготовительного и систематического курса» Евтушевского
(изд. 1-е) [63].
Доклад о неподготовленности в математике и физике молодых людей,
поступающих из средних учебных заведений э Медико-хирургическую академию [15].
1872 год. Отзывы о сочинениях: 157) «Практическая арифметика» (в трех частях)
и «Сборник арифметических задач» Полякова [64]; 158) «Элементарный курс
теоретической математики» (ч. 1, арифметика) Ап еш няне,к ого; 159)
«Математическая география» Си ар с к ого; 160) «Начальная геометрия», учебное
руководство для средних учебных заведений В олене а [65]; 161) «Краткий учебник
космографии» Зубков а; 162) «Руководство к коммерческой арифметике Цвет ко в а;
163) «Начальная геометрия», опыт методического руководства для средних
учебных заведений, Полякова; 164) «Начальная геометрия для средних учебных
заведений» Б е р е«с а [66]; 165) «Методика арифметики» Евтушевского и
«Сборник арифметических задач для приготовительного и систематического курса»
(изд. 2-е), его же [67]; 166) «Алгебра для гимназий, с 1200 задачами и примерами»
Борткевича [68]; 167) «Руководство к арифметике для средних учебных
заведений» Андреевского; 168) «Руководство алгебры и собрание алгебраических
задач» Малинина и Буренина и «Задачи для умственных вычислений»
Малинина [69].
Доклад о возникших в Харьковском университете затруднениях в применении
правил для специального испытания на звание учителя по математике и физике лиц,
окончивших курс наук в физико-математическом факультете Харьковского
университета [82]. Мнение об отчетах о заграничных занятиях кандидатов Лигина и Ермакова.
Доклад о плане преподавания математики в приготовительном классе гимназии.

— 317 -
1873 год. Отзывы о сочинениях: 169) «Практический курс простых дробей» Т а-
р асов а; 170) «Элементарная теория тригонометрических линий и прямолинейная
тригонометрия» (4-е изд.) Соколова; 171) «Прямолинейная тригонометрия и
сборник тригонометрических задач» Пржевальского [70]; 172) «Руководство к
математической и физической географии» Винклера (пер. Сент-Илера);
173) «Коперник и его учение» Вейнберга.
Доклад об объяснительной записке составителя «Практической арифметики» П о-
л я ко в а [71]. Доклад о прошении, представленном в Ученый комитет
подполковником Беренсом [72].
I. ДОКЛАДЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА УЧЕНОМУ КОМИТЕТУ
ПО ВОПРОСАМ, ОТНОСЯЩИМСЯ К НИЗШИМ И СРЕДНИМ ШКОЛАМ
1. О реальных курсах при уездных училищах1
Согласно определению Ученого комитета, состоявшемуся 8 марта,
имею честь представить соображения о реальных курсах при уездных
училищах.
Так как курсы эти назначаются не для приготовления к высшему
реальному образованию, а только для распространения по возможности
основательных сведений, полезных в практической деятельности, то при
устройстве этих курсов нельзя иметь в виду систему полного
реального образования. Состав этих курсов определяется особенностями того
класса людей, для которых они назначаются. Особенности эти
заключаются в следующем:
1) недостаток умственного развития, вследствие чего собственными
соображениями они не в состоянии выводить из общих начал науки те
частные» результаты, которые одни имеют непосредственное приложение
в их практической деятельности;
2) отсутствие любознательности и преданность материальным
выгодам, вследствие чего они не видят интереса в том, что не обещает
никакой материальной выгоды.
При таких слушателях для успеха реальных курсов при уездных
училищах необходимо следующее.
1. Не излагать реальных наук в их общих началах. Поэтому ни
сельское хозяйство, ни практическая механика, ни технология, взятые в
полном составе, не должны быть предметом реальных курсов при
уездных училищах, ибо, по обширности таких предметов, чтение их
необходимо ограничится общими началами, а в этом виде оно не
обещает никакого успеха. Здесь необходимо ограничиваться предметами
более частными, но представляющими по своим приложениям особенный
интерес для слушателей. Эти предметы могут излагаться со всеми
подробностями, необходимыми для практики, с объяснением всего, что
дознано в них наукою и опытом: только такое изложение на реальных
курсах в уездных училищах может иметь успех.
2. При изложении этих предметов иметь особенно в виду все то.
что в применении своем обещает несомненную пользу. Только таким

- 318 -
изложением можно вызвать сочувствие слушателей, особенно преданных
материальным выгодам. Объяснение вещей более или менее известных
может представить для них интерес только через сравнение старого с
предлагаемыми нововведениями, служащее для полного уразумения
выгоды последних.
Вследствие вышесказанного, для полного успеха реальных курсов
при уездных училищах необходимо избирать для чтений предметы из
той сферы практической деятельности, которая в нашем отечестве
может быть значительно улучшена введением приемов более совершенных.
Не говоря уже о практической пользе таких чтений, они едва ли не
самое верное средство вызвать массу народа к любознательности,
обнаруживая недостаточность рутины и особенную выгоду разумного
знания дела. Согласно с этим, все механические и химические
производства, которых развитие или усовершенствование у местных жителей
обещает особенные выгоды, могут быть с успехом предметом реальных
чтений при уездных училищах. Точно так же все, что обещает
улучшения в сельском хозяйстве, может с пользою преподаваться при уездных
училищах, как-то:
1) об усилении плодородия земли;
2) об усовершенствовании земледельческих орудий;
3) о разведении новых растений, по местным условиям обещающих
особенные выгоды;
4) о разведении домашних животных, средства против их болезней
вообще и в особенности против падежа и т. д.
Кроме этих предметов, собственно реальных, при уездных училищах
можно излагать с пользою общеполезные сведения по части наук
медицинских, как-то:
1) о сохранении здоровья;
2) о домашних средствах против болезней, не представляющих
особенной опасности для жизни;
3) о болезнях, где помощь медика необходима;
4) несчастные случаи, где немедленная помощь необходима, и в чем
должна заключаться эта помощь (обмороки, замерзание, отравление,
ушибы и т. д.).
Распространение основательных сведений по этой части тем более
необходимо, что в народе до сих пор удерживаются предрассудки,
весьма гибельные для их здоровья. Уничтожение этих предрассудков
должно иметь значительное влияние на уменьшение смертности в
низшем классе.
Нет никакого сомнения, что реальные курсы при уездных училищах,
утроенные согласно вышеуказанному, имели бы действительный успех,
распространяя особенно полезные сведения и развивая
любознательность в массе народа. Но для этого необходимы специалисты по тем
предметам, которые будут преподаваться при уездных училищах, и в
этом заключается все затруднение для устройства реальных курсов в том
виде, в каком они могли бы иметь успех. Из всех вышепоименованных

— 319 -
предметов легко найти преподавателей-специалистов только по части
медицинских наук: для этого могут быть приглашены городские врачи.
Что касается до преподавания других предметов на реальных курсах
при уездных училищах, то для этого необходимо приготовить особенных
преподавателей-специалистов как по различным отраслям сельского
хозяйства, так и по тем техническим производствам, которых развитие
у нас обещает особенную выгоду.
2. Программы [для уездных училищ]
а) Арифметика2.
A. Отвлеченные числа.
1) Повторение первых четырех действий над целыми отвлеченными
числами. Различные способы проверки этих действий. Изменения
вывода при уменьшении и увеличении данных чисел в сложении, вычитании,
умножении и делении. Упражнения в решении задач, относящихся к
этим действиям. Решение в уме простейших из них. Объяснение
употребления счетов.
2) О числах простых и составных. Признаки, что число заключает в
себе множителем 2, 3, 8, 5, 10, 9. Разложение чисел на простые
множители.
B. Именованные числа.
1) Понятие об именованных числах. Именованные числа,
употребляемые в России. Понятие о единицах меры, веса, монеты и пр.
иностранных, наиболее известных.
2) О приведении чисел большего наименования в числа меньшего
наименования и обратно.
3) Сложение и вычитание именованных чисел.
4) Умножение и деление именованных чисел.
С. Обыкновенные дроби.
1) Понятие о дробях. Значение знаменателя и числителя в дроби.
Дроби правильные и неправильные. Исключение целого числа из
неправильной дроби. Приведение к неправильной дроби целого числа с
дробью.
2) Изменения дроби при увеличении или уменьшении: 1) числителя,
2) знаменателя, 3) числителя и знаменателя вместе. Представление
одной и той же дроби в разных видах. Приведение дробей к одному
знаменателю простейшему. Сокращение дробей. Определение общего
наибольшего делителя: 1) разложением числителя и знаменателя на
простые множители, 2) последовательным делением.
3) Сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

— 320 -
D. Десятичные дроби.
1) Понятие о десятичных дробях. Изображение их без знаменателя.
Значение цифр, стоящих на разных местах за запятою. Признаки
наибольшей и наименьшей дроби между несколькими неравными.
Увеличение и уменьшение десятичной дроби от перестановки запятой.
2) Неизменяемость дроби от прибавки нулей справа. Приведение
дробей к одному знаменателю. Сложение и вычитание десятичных
дробей по приведении их к одному знаменателю. То же без приведения к
одному знаменателю.
3) Умножение и деление десятичных дробей.
4) Приведение обыкновенных дробей в десятичные. В каких
случаях получается десятичная дробь конечная и в каких бесконечная?
Доказательство, что в последних случаях она всегда периодическая.
Изображение таких дробей. Обращение десятичных дробей в простые:
во-первых, конечных, во-вторых, периодических.
Е. Об отношениях и пропорциях.
1) Арифметические и геометрические отношения.
2) Пропорции арифметические, изображение их. Свойства этих
пропорций и их решение. Непрерывные арифметические пропорции,
определение среднего члена в этих пропорциях.
3) Геометрические пропорции, изображение их. Свойства этих
пропорций. Определение каждого члена пропорции по трем другим.
Непрерывные геометрические пропорции. К чему приводится определение
среднего члена в этих пропорциях.
F. Тройное правило.
1) О простом тройном правиле. Составление пропорции по
условиям задачи и их решение.
2) О сложном тройном правиле. Составление пропорций в этом
случае. Решение пропорций, относящихся к сложному тройному правилу.
Сокращения вычислений, которые при этом представляются.
Решение различных арифметических задач:
1) Цепное правило.
2) Правило товарищества.
3) Правило смешения,
G. О степенях и корнях.
1) Понятие о степенях и корнях вообще, в особенности второй и
третьей степени, квадраты и кубы первых девяти чисел.
2) Составление квадрата суммы двух чисел. Извлечение квадратных
корней.
3) Составление куба суммы двух чисел. Извлечение кубических
корней.

— 321 -
Примечание. При изложении по вышеизложенной программе
арифметики в высших народных училищах, где, согласно с проектом
Устава, она будет преподаваться по 6 часов в первом классе, по 4
часа — во втором и по одному часу в двух последних, необходимо иметь
в виду следующее:
1. При переходе из первого класса во второй ученики должны верно
и быстро решать все задачи относительно первых четырех действий как
с отвлеченными числами, так и с именованными.
Для этого необходимо по возможности более упражнять их в
решении задач такого рода как на бумаге, так и в уме, что составляет почти
единственное приложение арифметики к обыкновенным потребностям
физики. Поэтому для усиления практических занятий в вычислениях с
отвлеченными и именованными числами преподавание арифметики в
первом классе должно быть по возможности ограничено в объеме, и я
полагаю, что здесь достаточно будет пройти до действий над дробями
(отдел С, ст. 3).
2. Во втором классе желательно, чтобы оканчивались все действия
над дробями как обыкновенными, так и десятичными: по общей связи
этих статей, для успешного изучения их, полезно, чтобы они излагались
все вместе в один год. При навыке учеников в вычислениях над
отвлеченными и именованными числами это возможно сделать, имея по
четыре урока в неделю.
3. В третьем классе следует- пройти об отношениях, пропорциях и
тройном правиле, которые имеют непосредственное приложение в
геометрии, и упражнением на примерах приучить учеников к составлению
пропорций из условий задачи и к решению их.
4. Остальное из арифметики будет пройдено в последнем классе. По
роду задач, которые представляются в последних двух классах,
ученики будут иметь случай, пред выходом из училища, повторить на
примерах все пройденные ими действия как над отвлеченными числами
целыми и дробными, так и над именованными. Такое повторение
упрочит их познания в арифметике. Это должен иметь в виду преподаватель
при выборе задач.
б) Геометрия3.
А. Предварительные понятия.
Об измерениях. Предмет геометрии и ее разделение. Аксиомы.
Теоремы. Леммы.
О фигурах прямолинейных, о круге.
1) О линиях вообще и о прямой в особенности. Свойства прямой
линии, очевидные сами по себе.
2) Углы, образуемые прямыми линиями. Различного рода углы.
Теоремы относительно смежных и противоположных углов.
3) Линии перпендикулярные и параллельные, основные теоремы
относительно этих линий.
21 П. Л. Чебышев, т. V

— 322 -
4) Треугольники; сумма их углов. Различные роды треугольников.
Условия равенства двух треугольников. Теоремы относительно связи
сторон с углами.
5) О многоугольниках; сумма их углов. Четвероугольники,
известные под особенными названиями. Диагонали; особенности диагоналей в
этих четвероугольниках.
6) Круг, его хорды и касательные. Теоремы относительно этих
линий.
7) Измерение углов. Углы, которых вершина на окружности, внутри
ее и.вне. Угол двух хорд, опирающихся на диаметр.
8) О подобии треугольников. Пропорциональность сторон в подобных
треугольниках. О перпендикуляре, опущенном из вершины прямого утла
на гипотенузу. Пифагорова теорема. О пропорциональных линиях в круге.
9) О подобии многоугольников. Отношение периметров правильных
многоугольников. Отношение окружностей кругов. Понятие об
отношении окружности к диаметру. Приближенные величины этого
отношения.
В. Об измерении площадей.
1) Площадь прямоугольника, параллелограма, треугольника,
трапеции, площади правильных многоугольников.
2) Площадь круга, его сектора и сегмента.
С. О поверхностях.
1) Понятие о плоскости. Определение плоскости двумя
пересекающимися или параллельными линиями и тремя точками, не лежащими
на одной прямой. Пересечение двух и трех плоскостей между собою.
О перпендикулярности и параллельности плоскостей между собою и с
прямыми линиями.
2) Плоскостные углы, их измерение. Углы многогранные.
3) О многогранниках вообще, Призма. Пирамида. Правильные
многогранники.
4) Поверхности круглых тел, цилиндр, конус, шар. Образование
этих поверхностей, существенные их свойства.
D. Об измерении поверхностей тел и объемов.
1) Боковая поверхность призмы и цилиндра.
2) Боковая поверхность правильной пирамиды. Боковая поверхность
конуса. Боковые поверхности правильных пирамид и конусов,
усеченных плоскостями, параллельными основанию.
3) Поверхность шара и его отрезка.
4) Объем параллелепипеда. Объем призмы и цилиндра.
5) Объем пирамиды и конуса.
6) Объем шара и его различных отрезков.

- 323 -
Е. Практические приложений геометрии.
1) Об измерении длины и определении положения горизонтальной
плоскости. Орудия, употребляемые для этого в практике. Измерение
высот.
2) О снятии землемерских планов и нарезке земель по плану.
Орудия, употребляемые для этого.
3) Исчисление площадей планов.
4) О нивеллировании.
5) Определение объема насыпей, выемок.
Примечание. По проекту Устава высших народных училищ,
геометрия будет преподаваться в III и* IV классах по 4 часа в неделю.
Ничего не должно быть предлагаемо без доказательства. В III классе
должна быть пройдена планиметрия (предварительные понятия о
фигурах прямолинейных и о круге, об измерении площадей). При этом
ученики должны по возможности более упражняться в решении
геометрических задач как черчением, так и вычислением.
В IV классе изложится остальная часть геометрии (о поверхностях,
измерение поверхностей тел и объемов). Кроме решения задач,
относящихся к этой части геометрии, особенное внимание должно обратить
на те практические приложения геометрии, которые значатся в
программе под литерой Е.
Преимущественно же полезно познакомить учеников с
употреблением обыкновенных землемерских орудий. Для этого желательно
было бы при каждом уездном училище иметь астролябию, цепь и прочие
принадлежности межевания, которых употребление на самом деле — в
поле — мог бы показывать учитель своим ученикам. Не говоря уже о
том, что знание приемов землемерия может понадобиться по предмету
особенно важному в общежитии, оно может лучше всего возбудить
интерес к геометрии в слушателях, которые, не видя практических
приложений этой науки, обыкновенно не вполне сознают необходимость
изучения ее.
3. О преподавании математики4.
I
Преподавание математики в гимназии, как высшем
общеобразовательном заведении, имеет три различные цели: 1) развитие умственных
способностей, 2) доставление сведений, необходимых для всякого
образованного человека, и 3) приготовление к специальным занятиям
физико-математическими науками и приложениями их к практической
деятельности.
Так как достижение первых двух целей имеет одинаковую
необходимость для каждого, достижение же последней необходимо только для
некоторых, и оно требует значительного усиления преподавания
математики, что невозможно без стеснения преподавания других предметов
21*

- 324 —
гимназического образования, то курс математики в гимназиях по
необходимости должен быть разделен на два отдела: 1) общий — одинаково
обязательный всем, 2) специальный, представляющий развитие и
приложение общего, с целью доставить возможность желающим
приобрести сведения из математики и математических наук, необходимые для
приобретения высшего образования в науках физико-математических и
реальных.
Первый отдел должен оканчиваться в первых пяти классах
гимназии; второй должен быть предметом преподавания 'в последних трех
классах.
II
Согласно вышесказанному в первых пяти классах будут
преподаваться из математики те части ее, которые особенно соответствуют
развитию умственных способностей и содержат в себе сведения, более или
менее необходимые для всякого образованного человека, а именно:
1) арифметика, 2) алгебра, за исключением статей, не имеющих
особенной важности для общего образования (как-то: общий наибольший
делитель, исследование уравнений со многими неизвестными,
извлечение корней из многочленов, бином Ньютона), 3) геометрия.
III
В последних трех классах ученикам, посвятившим себя
преимущественно изучению наук физико-математических, должно преподаваться
следующее.
А. По математике:
1) остальные части из алгебры;
2) тригонометрия плоская и сферическая;
3) аналитическая геометрия;
4) начертательная геометрия.
В. По части математических наук:
1) математическая география и космография:
2) оптика и механика.
IV
Так как знание математики не заключается в одном понимании
предметов, ее составляющих, но [и] в умении пользоваться ими, а
этого можно достигнуть только продолжительными занятиями в классах и
вне оных, то для преподавания различных частей математики
необходимо значительное число уроков; во всяком случае его не должно быть

- 325 -
менее нижеследующего: в I классе--арифметики 3 урока (целые
отвлеченные и именованные числа); во II классе — арифметики 3 урока
(дроби простые и десятичные); в III классе — арифметики 1 урок
(пропорции, извлечение корней), алгебры —2 урока (первые четыре
действия над буквенными выражениями); в IV классе — алгебры I урок
(уравнения первой степени, с одним и многими неизвестными),
геометрии—2 урока (лонгиметрия); в V классе -алгебры 1 урок
(квадратные уравнения и логарифмы), геометрии Э урока (планиметрия и
стереометрия) ; в VI классе — алгебры 2 урока (исследование решений
уравнений, извлечение корней из многочленов, прогрессии, вычисление
логарифмов), тригонометрии (плоской и сферической) и аналитической
геометрии 2 урока; аналитическая геометрия до конических сечений; в
VII классе — аналитической геометрии (окончание) 2 урока,
математической географии и космографии 2 урока; в VIII классе —
начертательной геометрии 2 урока, оптики и механики 3 урока.
V
По тесной связи между собою различных частей
вышепоименованных наук, нет ни возможности, ни пользы назначать для каждого
класса отдельно предметы преподавания их; это должно быть
предоставлено педагогическому совету. Преподавание науки, отнесенной к
нескольким классам, должно составлять одно целое, причем должьо иметь в
виду, чтобы ученики приобретали и умение и навык владеть вполне
всем запасом сведений математических, сообщаемых им в гимназии.
Арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия (плоская и
сферическая), аналитическая геометрия, математическая география и
космография должны преподаваться в полном их объеме.
Кроме того, желательно бы было, чтобы в курсе алгебры VI класса
ученики могли познакомиться с некоторыми особенно важными
предметами высшей математики, как-то: с понятием о функциях, их
производных, тейлоррвою строкою, способом линейного приближения.
Что касается до объема остальных предметов, то относительно их
должно заметить следующее:
1) преподавание начертательной геометрии по малому числу уроков,
уделенных на этот предмет, может ограничиться рассмотрением точек,
прямых линий, плоскостей, черчением многогранников, поверхностей
цилиндрических и конических и поверхностей вращения; начальными
основаниями линейной перспективы;
2) оптика и механика, отнесенные к VIII классу, служат собственно
дополнением курсу физики, преподаваемому в первых пяти классах, где
эти предметы, требующие особенно много математических соображений,
не могут преподаваться с полным успехом. Здесь же, в последнем
классе, при двух уроках в неделю, они могут быть изложены с
большим развитием. В особенности такое развитие было бы полезно в курсе
механики, куда бы могли войти некоторые статьи особенно важные из

- 326 -
практической механики, как то: вычисление количества работы, наиболее
употребительные органы преобразования движения и двигатели.
4. О преподавании математики5.
I
Преподавание математики в гимназии, как высшем
общеобразовательном заведении, имеет две цели: во-первых, развитие умственных
способностей, во-вторых, доставление сведений, необходимых для
общего образования. Кроме того, гимназия, приготовляя к специальным
занятиям тою или другою отраслью наук, должна иметь возможность
сообщать также те сведения из математики, которые необходимы для
занятия ею и ее многоразличными приложениями в высших учебных
заведениях.
II
Так как достижение первых двух целей одинаково необходимо для
каждого, то ими определяется наименьшая степень математического
образования, которое может быть допущено к оканчивающим
гимназический курс. Сюда относятся полное знание арифметики с надлежащим
навыком владеть ею для решения вопросов обыденной жизни;
элементарный курс алгебры, доставляющий средство решать вопросы более
общие и видеть связь искомых с данными вопроса; и, наконец, курс
геометрии со включением приложения алгебры к геометрии, науки
столь же важной по своим приложениям, как и по влиянию на
умственное развитие.
III
Но если преподавание математики в таком размере достаточно для
людей, посвящающих себя занятиям историко-филологическими,
политическими или юридическими науками, то оно должно быть пополнено
для.тех, которые намерены посвятить себя изучению высшей
математики и ее многоразличным приложениям. Для этого необходимо
большее развитие и арифметики, и алгебры, и геометрии.
При изучении арифметики должен быть приобретен навык скоро и
верно делать числовые вычисления, для чего необходимо знание
приемов, служащих для сокращения и проверки выкладок. Курс алгебры
должен быть дополнен биномом Ньютона, теориею неопределенных
коэффициентов с приложением к вычислению логарифмов. Сверх того,
ученики должны быть приучены к скорому выполнению различных
числовых выкладок.
Курс геометрии должен быть пополнен тригонометрией — плоской и
сферической, а также началами геометрии аналитической и
начертательной. Сверх того, в заключение, преподавателем математики ученикам
должно быть показано приложение ее к наукам физико-математическим,

— 327 —
и с этой целью должен быть предложен им элементарный курс оптики
и механики, что составит дополнение к курсу физики, где эти предметы,
требующие особенно много знаний математики, не могут быть
изложены в надлежащем виде.
IV
Вышепоименованные три науки — арифметика, алгебра и геометрия,
составляющие полный курс математики в тех гимназиях, где этому
предмету не будет дано особенного развития и где на него полагается
всего 22 урока, распределяются по классам следующим образом:
в I классе — арифметики 3 урока; во II классе — арифметики 3
урока; в III классе — арифметики 2 урока, алгебры 1 урок; в IV классе —
алгебры 3 урока; в V классе — алгебры 3 урока; в VI классе
—геометрии 3 урока; в VII классе — геометрии 2 урока; в VIII классе —
геометрии 2 урока.
По этому распределению на каждую из этих наук приходится
следующее число часов: 1) на арифметику — 8 уроков, 2) на алгебру
7 уроков, 3) на геометрию 7 уроков.
V
В тех гимназиях, где с исключением греческого языка, дано будет
большее развитие математики, в видах приготовления к специальному
занятию ею и ее приложениями в высших учебных заведениях, зыше-
показанные науки, входящие в такой курс математики, распределяются
по классам таким образом:
в I — арифметики 4 урока; во II — арифметики 4 урока; в III —
арифметики 1 урок, алгебры 3 урока; в IV—алгебры 3 урока; в V —
алгебры 1 урок, геометрии 2 урока; в VI — алгебры 2 урока, геометрии
2 урока; в VII — геометрии 2 урока, тригонометрии 2 урока; в VIII —
начало аналитической и начертательной геометрии 2 урока, оптики и
механики 2 урока. Следовательно, на арифметику 9 уроков, алгебру 9,
геометрию 6, тригонометрию 2, для аналитической и начертательной
геометрии 2, для оптики и механики 2.
VI
По тесной связи всего, что входит в состав арифметики, алгебры и
геометрии, и невозможности вместить каждую из этих наук в один
учебный год, преподавание их должно идти непрерывно через несколько
классов. Причем педагогическому совету надлежит следить, чтобы
преподаватель не останавливался слишком долго на одних статьях в
ущерб полноте других. Притом для полного успеха преподавания
математики в гимназиях необходимо, чтобы пройденное в низших классах
находило себе приложение в высших, что возможно по тесной связи
наук, составляющих курс математики в гимназиях.

— 328 -
5. Об учебниках по математике в низших и средних учебных заведениях6
По проекту Устава общеобразовательных учебных заведений
Министерства народного просвещения, предполагается преподавать по части
математики следующее:
A. В народных училищах: сокращенный курс арифметики.
B. В прогимназиях и в первых классах гимназий: 1) полный курс
арифметики, 2) геометрию.
C. В высших классах гимназий: 1) алгебру, 2) тригонометрию,
3) основания начертательной геометрии и аналитической геометрии.
В преподавании арифметики как сокращенной, так и полной, и в
преподавании геометрии, по проекту Устава, не предполагается
существенных изменений, вследствие чего по этим наукам могут остаться
те же руководства, которые были изданы Министерством или допущены
им к употреблению (т. е. «Таблицы взаимного обучения арифметике»,
«Руководство к арифметике» и «Собрание арифметических задач»
Б у с с е и «Руководство к изучению четырех арифметических действий»
Больмана).
Но по проекту Устава предполагается произвести значительные
изменения в преподавании алгебры. В гимназиях, где особенно будет
развито изучение древних языков, курс алгебры должен быть сокращен
против нынешнего. В прочих же гимназиях курс алгебры должен быть
распространен. Для надлежащего успеха тот и другой курс алгебры
должен представлять собою нечто целое, законченное. Таких курсов
алгебры в настоящее время не имеется, и от искусства их составления
много будет зависеть успех преподавания алгебры в гимназиях. А
потому, если предположение о двух родах гимназий будет утверждено,
то необходимо будет озаботиться составлением для них руководства по
алгебре. То же должно сказать об остальных науках математических:
тригонометрии и основании начертательной и аналитической геометрии,
для которых понадобятся руководства, согласованные и с курсом и с
числом уроков, назначенных на эти предметы.
6. Проект объявления о конкурсе на руководство по арифметике
для начальных народных училищ7
1. Курс арифметики для начальных народных училищ должен
содержать только четыре действия над целыми числами.
2. В учебнике не должно быть ничего, кроме необходимого.
Примеры и задачи в нем могут быть только такие, которые необходимы для
объяснения арифметических предложений или правил. Задачи же для
приобретения навыка в арифметических выкладках должны быть
помещены отдельно в виде прибавления, причем следует обратить
надлежащее внимание и на выбор задачи и на порядок их расположения.
3. Все арифметические предложения и правила должны быть
объяснены вполне удовлетворительно и таким образом, чтобы эти
объяснения могли заменить собою доказательства.

- 329 —
4. При изложении различных арифметических предложений
необходимо иметь в виду употребление их на практике, при этом должно
объяснить употребление счетов.
5. Курс арифметики для низших народных училищ, со включением
вышеупомянутого собрания задач в виде прибавления, не должен
объемом своим превышать четырех листов крупной печати.
6. Автор, сочинение которого будет признано лучшим из всех
удовлетворяющих вышеуказанным требованиям, награждается премией в
500 руб. и сохраняет за собой право издания.
7. О гимназических учебных руководствах и пособиях
по математике и физике8
Из переданных на мое рассмотрение сведений относительно
руководств и пособий, употребляемых в гимназиях различных округов по
математике и физике, оказывается, что в большей части этих заведений
употребляются преимущественно книги, не только одобренные или
рекомендованные Министерством, но и изданные Департаментом.
Последние особенно распространены. Так, во всех семи округах употребляются
следующие три книги: одобренные Министерством, а издание последней
сделано Департаментом: 1. Алгебра Тихомандрицкого, 2)
Практические упражнения в алгебре Больмана, 3) Физика Ленца.
В шести округах употребляются следующие книги, все одобренные
или изданные Министерством: 1) Арифметика Буссе, 2) Собрание
арифметических задач Буссе, 3) Геометрия Буссе.
В пяти округах: 1) Алгебра Сомова, 2) Алгебра Беллавена,
3) Тригонометрия Дмитриева, 4) Математическая и физическая
география Талызина, 5) Логарифмические таблицы Буссе.
Все эти книги, употребляемые в большей части округов,
представляют собой достаточные средства для преподавания в гимназиях
математики и математических предметов, так как они обнимают собою все
науки гимназического курса по этой части, а для некоторых имеется
по несколько различных руководств. Что касается до прочих руководств
и пособий, употребляемых в меньшей части округов, то они суть
следующие.
Употребляемые в трех округах: 1) Алгебра Щеглова, 2) Алгебра
Мейера и Шоке, 3) Геометрия Погорельского, 4) Собрание
задач Иваницкого.
Употребляемые в двух округах: 1) Арифметика Буняковского,
2) Тригонометрия Миквица, 3) Физическая география Ленца,
4) Логарифмические таблицы Кал лет а, 5) Как пособия: Основания
общей арифметики Жбик.овского, курсы физики Любимова,
Дагена, Гана, Жамена.
Наконец, употребляемые только в одном округе, и то не во всех
гимназиях, следующие: 1) Курсы арифметики: Симашко,
Щеглова, Золотова, Полякова, Штакгаузена, 2) Курсы алгебры:
Цветков а, Краевича, 3) Курсы тригонометрии: Перевощи-

- 330 -
ков а, Бурдона, Симашко, 4) Курсы физики: Тыртова и Пи-
саревского, 5) Практические упражнения в геометрии: Гурьева
и Дмитриева, 6) Собрание задач математических Ламовского,
7) Математическая география с началами космографии С а в и ч а и
Начальные основания астрономической географии В о л е н с а, 8) Лога-
рифхмические таблицы, изданные Морским корпусом, 9)
Геометрия Лежандра, 10) Как пособия: курсы геометрии Л акр у а,
Гурьева, Сирода, курс математики Христиани, 11) Как
пособия: курсы тригонометрии Зеленого, Бурдона и Лефебю-
ра де Фу реи, 12) Космическая физика Миллера, 13) Собрание
физических задач: Делла-Воса и Розенберга.
Из этих книг, употребляемых в меньшей части округов, могуг также
с пользою служить для преподавания математики и математических
наук нижеследующие:
I. По арифметике. Курсы Буняковского, Симашко,
Щеглова и как пособие — Основание общей арифметики Ж б и -
ковского.
II. По алгебре. Курсы: Цветков а, Мейера и Шоке,
Щеглова; последние два как пособия.
III. Таблицы логарифмов. Таблицы К а л л е т а; таблицы,
изданные Морским корпусом.
IV. По геометрии. Как руководства — курсы геометрии
Погорельского и Лежандра; как пособия — практические
упражнения в геометрии Гурьева и Дмитриева.
V. По тригонометрии. Курсы Миквица, Перевощико-
в а, Симашко, и как пособие курс Зеленого.
VI. По физике. Как пособия — курсы Тыртова,
Любимова и Писаревского.
VII.no физической и математической географии.
Физическая география Ленца, Математическая география и
космография С а в и ч а, Астрономическая география В о л е н с а.
Из вышеприведенного видно, что в настоящее время наша
педагогическая литература достаточно богата по части низшей математики,
физической и математической географии и что по этой части она
представляет все нужные средства для преподавания этих наук в
гимназиях, которых преобразование по новому уставу не повлечет за
собою никаких существенных перемен в программах этих наук. Что
касается до улучшения руководства по этой части, то оно, конечно,
желательно, ибо имеющиеся ныне руководства далеко не могут быть
признаны совершенными; но этого, по свойству математических
предметов, нельзя достигнуть объявлением конкурсов, так как составление
курсов по этим предметам, при поспешной работе, не может выйти
особенно удачно; такие курсы должны составляться годами и представлять
собою результаты продолжительной педагогической деятельности.
Для того же, чтобы вызвать к этому труду наших педагогов,
необходимо только следить постоянно за новыми изданиями и допускать к

- 331 —
употреблению в гимназиях все, что окажется того достойным, не давая
в этом отношении каких-либо привилегий одним книгам перед другими.9
в. Инструкция об объеме преподавания в гимназиях и прогимназиях
математики, физики и космографии10
Так как классические гимназии будут давать право на поступление
в университет по всем факультетам, не исключая и
физико-математического, необходимо, чтобы в них преподавались в полном объеме все
части низшей математики: арифметика, алгебра со включением бинома
Ньютона, геометрия и тригонометрия и вся физика; затем, насколько
останется времени, необходимо изложить основания физической
географии и математической географии с космографией. Что касается до
лишних уроков, назначенных ла эти предметы в гимназиях реальных (три
для математики, три — для физики с космографией), они должны быть
употреблены на сообщение ученикам навыков к числовым выкладкам и
применение алгебры к решению вопросов геометрии и физики.
Распределение этих предметов по классам, согласно с общепринятым
порядком, должно быть такое: арифметика будет предметом занятий I, II и
III классов, алгебра начинается в III и будет продолжаться до V
включительно, геометрия начнется с IV и окончится в VI; затем в
VII классе должна быть пройдена тригонометрия (прямолинейная) и
сделано повторение всех частей математики. Преподавание физики,
согласно с уставом, должно быть разделено между тремя классами V,
VI и VII таким образом, чтобы в последнем классе осталось время для
прочтения оснований физической и математической географии с
космографией.
Что касается до назначения пределов прохождения каждой из
вышеупомянутых наук в различных классах, то это должно быть
предоставлено педагогическим советам гимназий.
Согласно с вышесказанным и принимая в соображение число
уроков в различных классах гимназий и прогимназий, математика и
математические науки в гимназиях и прогимназиях должны преподаваться
в объеме нижепоказанном:
А. В классических гимназиях.
Математика.
Из арифметики: целые числа — отвлеченные и именованные, дроби
обыкновенные и десятичные, решение арифметических задач.
Из алгебры: простейшие действия над алгебраическими
выражениями, уравнения первой степени. Возвышение в степень и извлечение
корней; приложение этого к извлечению квадратных и кубических
корней из чисел. Уравнения второй степени. Пропорции, прогрессии,
логарифмы, бином Ньютона.
Из геометрии: лонгиметрия, планиметрия и стереометрия.
Прямолинейная тригонометрия.

- 332 —
Физика.
Общие свойства тел. Равновесие и движение тел. Звук. Свет,
теплород, магнетизм, электричество, гальванизм.
Космография.
Физическая география, фигура и движение земли. Солнце, луна и ее
движение. Планеты и их спутники, кометы. Неподвижные звезды,
туманные пятна.
Б. В реальных гимназиях.
Математика.
Из арифметики: целые числа — отвлеченные и именованные, дроби
обыкновенные и десятичные, решение арифметических задач.
Непрерывные дроби.
Из алгебры: простейшие действия над алгебраическими
выражениями, уравнения первой степени. Возвышение в степень и извлечение
корней; приложение этого к извлечению квадратных и кубических
корней из чисел. Уравнения второй степени. Пропорции, прогрессии,
логарифмы. Приложение логарифмов к решению различных задач
арифметических и алгебраических. Бином Ньютона.
Из геометрии: лонгиметрия, планиметрия, стереометрия.
Прямолинейная тригонометрия. Решение различных тригонометрических задач
посредством логарифмических и тригонометрических таблиц.
Приложение алгебры к геометрии.
Физика.
Общие свойства тел, равновесие и движение, вывод формул
относительно равновесия и движения в простейших случаях. Простые машины.
Звук, свет, вывод формул относительно отражения света и преломления
его. Основания теории сотрясения. Теплород: механический эквивалент
работы теплоты. Магнетизм, электричество, гальванизм.
Космография.
Физическая география. Фигура и движение земли. Солнце, луна и
ее движение. Планеты и их спутники, кометы. Законы Кеплера, закон
всеобщего тяготения. Неподвижные звезды, туманные пятна.
В. В классических прогимназиях.
Математика.
Из арифметики: целые числа — отвлеченные и именованные, дроби
обыкновенные и десятичные. Решение арифметических задач.

— 333 —
Из алгебры: простейшие действия над алгебраическими
выражениями. Уравнения первой степени. Возвышение в степень и извлечение
корней; приложение этого к извлечению квадратных и кубических
корней из чисел. Уравнения второй степени.
Из геометрии: лонгиметрия до пропорциональных линий.
Г. В реальных прогимназиях.
Математика.
Из арифметики: целые числа — отвлеченные и именованные, дроби
обыкновенные и десятичные. Решение арифметических задач
Непрерывные дроби.
Из алгебры: простейшие действия над алгебраическими
выражениями; уравнения первой степени. Возвышение в степень и извлечение
корней; приложение этого к извлечению квадратных и кубических
корней из чисел. Уравнения второй степени. Пропорции и прогрессии.
Из геометрии: вся лонгиметрия.
9. Проект объявления о конкурсе на составление учебников
для гимназий и прогимназий по математике
и космографии11
По поводу введения в действие нового, Высочайше утвержденного
19 ноября 1864 г. Устава гимназий и прогимназий Министерства
народного просвещения, на основании которого гимназии разделяются на
классические и реальные, различающиеся, между прочим, объемом
преподавания в них математики и космографии, и в видах снабжения
гимназий учебниками-руководствами по сим предметам, наиболее
соответствующими определенному для означенных предметов объему и вообще
делу гимназического образования, Ученый комитет, по предложению
г. Министра народного просвещения, объявляет конкурс на
составление учебных руководств по арифметике, алгебре, геометрии,
тригонометрии и космографии.
Руководства эти должны представлять полное систематическое
изложение означенных наук, в объеме преподавания их в классических
гимназиях, и с тою законченностью, которая необходима для приготовления
студентов на факультет физико-математический. В конце руководств
должны быть присовокуплены прибавления, заключающие в себе те
статьи, которые назначаются собственно для одних реальных гимназий.
Состав руководств и прибавлений к ним должен быть следующий:
1) Арифметика. Состав руководства: целые числа — отвлеченные и
именованные, дроби обыкновенные и десятичные, решение
арифметических задач. Прибавление: непрерывные дроби.

- 334 -
2) Алгебра. Состав руководства: простейшие действия над
алгебраическими выражениями: уравнения первой степени. Возвышение в
степень и извлечение корней; приложение этого к извлечению квадратных
и кубических корней из чисел. Уравнения второй степени.
Пропорции, прогре'ссии, логарифмы. Бином Ньютона. Прибавление:
приложение логарифмов к решению различных арифметических и
алгебраических задач со всеми нужными для практики подробностями
относительно удобнейшего употребления логарифмов и с
достаточным числом примеров для приобретения навыка в употреблении
логарифмов.
3) Геометрия. Состав руководства: лонгиметрия, планиметрия и
стереометрия. Прибавление: приложение алгебры к геометрии.
4) Тригонометрия. Состав руководства: тригонометрические линии,.
их свойства, формулы для решения треугольников. Употребление этих
формул. Тригонометрические таблицы и их употребление. Прибавление:
решение различных тригонометрических задач посредством
логарифмических и тригонометрических таблиц, с объяснением приемов,
облегчающих вычисления, и с достаточным числом примеров для
приобретения навыка к вычислениям.
5) Космография. Состав руководства: физическая география. Фигура
и движение земли. Солнце, луна и ее движение. Планеты и их
спутники. Неподвижные звезды, туманные пятна. Прибавление: законы
Кеплера и закон всеобщего тяготения, с объяснением вывода этих законов
и их приложений, насколько это возможно при помощи низшей
математики.
При изложении означенных руководств должно быть обращено
особое внимание на ясность и определительность выражений, на
устранение таких оборотов речи, при которых является возможность
различного понимания смысла. Все объяснения и доказательства должны быть
вполне строги, без излишних подробностей и с крайне осмотрительным
употреблением слов: очевидно, само по себе понятно и т. п., которые
нередко употребляются авторами именно там, где доказательство
представляет особенные затруднения. Из различных приемов для
доказательства теорем желательно, чтобы предпочтение было сделано тем
приемам, которые наиболее естественны; там, где могут быть употреблены
одинаково способ доказательства от противного и способ пределов,
употреблять последний.
Все предложения должны быть пояснены надлежащими примерами;
кроме того, желательно, чтобы на каждую статью были предложены
задачи для упражнения.
Что касается до объема этих руководств, то он должен
соответствовать числу уроков, назначенных на эти предметы в таблицах числа
недельных уроков, которые приложены к Уставу гимназий и прогимназий,
полагая, что, независимо от назначенных на математику уроков, на
космографию будет уделено: в, классических гимназиях — по два, а в
реальных — по три урока в неделю.

— 335 -
Условия конкурса:
1) Руководства могут быть представлены одним конкурентом по
всем означенным предметам или по некоторым из них или, наконец,
только по одному предмету.
2) Последним сроком представления руководства на конкурс
назначается 1 октября 1867 г.
3) За лучшие курсы арифметики, алгебры и геометрии будет выдано
по тысяче рублей за каждый; за лучший курс тригонометрии пятьсот
рублей и за лучший курс космографии семьсот рублей.
4) Одна половина означенной премии будет выдана немедленно по
одобрении рукописи, а остальная часть по представлении автором
печатного экземпляра руководства.
5) Удостоенное премии руководство составляет собственность автора
и рекомендуется Ученым комитетом к употреблению в гимназиях и
прогимназиях, не обязывая, впрочем, эти заведения непременно
употреблять только это руководство.
6) Руководства на конкурсе должны быть присылаемы в Ученый
комитет Министерства народного просвещения.
7) Рукопись руководства должна быть отмечена каким-либо
девизом, а имя, звание и местожительство автора должны быть означены
в особом пакете под тем же девизом.
10. О программах преподавания математики и космографии
по новому уставу в гимназиях различных округов12
Касательно переданных мне на рассмотрение проектов преподавания
математики и космографии по новому уставу в гимназиях различных
округов имею честь представить следующие замечания.
1) По С.-Петербургскому и Московскому округам в классических
гимназиях не полагается преподавать бином Ньютона. Этого, по моему
мнению, допустить нельзя, так как из классических только гимназий
будут поступать в университет на все факультеты, а следовательно и
на физико-математический, где знание бинома Ньютона необходимо.
2) По Московскому округу в гимназиях, даже реальных, не
полагается показывать извлечение кубических корней.
3) По Киевскому и Одесскому округам для гимназий реальных
полагаются начала аналитической геометрии. Едва ли не лучше, вместо
введения совершенно новой науки, познакомить учеников ближе с
приложением алгебры к геометрии'.
4) По Харьковскому округу в реальных гимназиях предполагается
проходить уравнения третьей и четвертой степени, начала теории
вероятностей и начала дифференциального и интегрального исчислений; все
это в курсе алгебры я считаю совершенно излишним. С другой стороны,
я полагаю полезным в реальных гимназиях преподавать приложение
алгебры и геометрии, которое опущено в программах математики па
Харьковскому округу.

- 336 —
5) Попечительский совет Казанского учебного округа предлагает
переменить порядок преподавания математики и проходить геометрию
прежде алгебры на том основании, что алгебра, как наука более
отвлеченная, чем геометрия, несравненно труднее усваивается учениками.
Это я считаю неудобоисполнимым по следующим причинам: 1) алгебра
имеет тесную связь с арифметикой, от которой переход к алгебре очень
существенен; 2) для геометрии необходимы алгебраические знаки и
3) во всех гимназиях у нас алгебра преподается прежде геометрии.
Отступление от этого порядка в одном Казанском округе затруднит
переход учеников из гимназии этого округа в другие.
11. Об учебном плане гимназий Дерптского учебного округа13
По плану курс математики, сравнительно с нашими гимназиями,
увеличен аналитическою геометриею и первыми началами сферической
тригонометрии. Такое расширение курса математики не может не
принести пользы, если только оно сделано без ущерба в преподавании
арифметики, алгебры и геометрии, существенно необходимых для
общего образования.
Распределение занятий математикою по классам, сколько можно
видеть из краткого перечня числа уроков по различным предметам,
сделано основательно; нельзя не заметить только, что при этом
употребляемая терминология не вполне согласна с общепринятою, вследствие
чего местами представляет недоразумение. Так, при изложении занятий
VI (низшего) класса говорится об обращении в единицу (вместо
приведения к единице); при IV классе говорится: приведение в квадрат
и куб и т. п. Вместо космографии полагается математическая география,
что в сущности одно и то же, и «а этот предмет, вместе с первыми
началами сферической тригонометрии, назначено только два часовых
урока в неделю, вследствие чего курс космографии придется проходить
в несколько сжатом виде.
12. Об учебных руководствах и пособиях по математике, употребляемых
ныне в гимназиях и начальных народных училищах14
В каталоге учебных руководств и пособий по математике я нахожу
нужным сделать следующие перемены:
1) Исключить курс алгебры бывшего учителя IV Московской
гимназии М. Цветкова и внести по этому предмету курс, изданный
профессором Давидовым. Исключение из каталога курса г. Цветкова я считаю
нужным потому, что в этом курсе встречаются многие места, дурно
изложенные. Так, отдел II об уравнениях автор начинает следующим
образом: «Всякая задача, предметом которой служит одно вычисление,
может быть изображена в виде равенства между искомых и
совокупностью неизвестных чисел» (стр. 48). Трудно даже угадать, что именно
хотел этими словами сказать автор.

— 337 -
Отдел V начинается словами: «Уравнения называются
неопределенными, когда неизвестная получает несколько решений» (стр. 80). Это
неверно, не говоря уже о неправильности изложения. Уравнения
определенные могут иметь несколько решений.
О логарифмах у г. Цветкова говорится, между прочим, следующее:
«Логарифмы первоначальных чисел суть вообще несоизмерные
логарифмы, а потому и всякий такой логарифм в общем виде выражается
так, как выражается всякое другое неизмеримое количество, как напри-
3 4
мер, выражается ]/а + х, Va + х> Va + х бесконечным рядом членов,
расположенных по степеням числа х» (стр. 187). Это дурно изложено
и неверно.
На стр. 79 мы читаем: «Бесконечно большие решения всегда
показывают несообразность в вопросе, если только вопрос не относится к
высшей геометрии». Такое мнение не основательно.
Так как в курсе г. Цветкова много мест, представляющих подобные
недостатки, и в настоящее время мы имеем несколько учебников по
этому предмету более удовлетворительных (как-то: Сомова, Тихоман-
дрицкого, Щеглова, Беллавена, Мейера и Шоке, и наконец, вновь
изданный Давидова), то мы полагаем, что курс алгебры Цветкова должен
быть исключен.
2) Внести в каталог как пособие при изложении геометрии в
гимназиях одобренное уже Ученым комитетом «Собрание геометрических
задач» доктора Веккеля, изданное в переводе А. Дмитриевым.
3) Внести в каталог учебников для народных училищ арифметику
Леве, бывшую на конкурсе и исправленную по замечаниям Ученого
комитета.
4) Исправить вкравшуюся ошибку относительно книги Краевича
(IV отдела, 5) и поставить «алгебраических» вместо «арифметических».
5) Внести в каталог книги, одобренные после 1864 г., для
употребления в училищах Министерства народного просвещения.
Определено: Согласиться с докладом г. Чебышева и составленный на
основании сего доклада каталог учебных руководств и пособий, которые могут быть
употребляемы в гимназиях и прогимназиях, представить на благоусмотрение г.
Управляющего Министерством народного просвещения.
Каталог учебных руководств и пособий по математике
1) Буняковского В. Арифметика. Руководство для военно-учебных
заведений. Изд. 2-е, СПб., 1862.
2) Б усе е Ф. Руководство к арифметике, 2 части. СПб., 1864.
3) Б у с с е Ф. Собрание арифметических задач, расположенных по руководству
к арифметике. СПб., 1864.
4) Воленса В. Руководство к арифметике. СПб., 1865.
5) Жбиковского" Основания общей арифметики для VII класса гимназии.
2 части. СПб., 1862.
6) Иваницкого А. Собрание арифметических задач, расположенных по
арифметике Буняковского. Изд. 7-е, СПб., 1866.
7) Л е в е А. Курс арифметики и собрание арифметических задач. Изд. 6-е,
СПб., 1865.
8) Леве А. Общепонятная арифметика, излагающая необходимейшие приемы
для решения численных вопросов изустно и на счетах. СПб., 1864.
22 П. Л. Чебышев, т. V

- 338 —
9) Малинина А. и Буренина К. Руководство арифметики для гимна-
зий. Москва, 1867 (как пособие).
10) Малинина А. и Буренина К. Собрание арифметических задач для
гимназий. Москва, 1867 (как пособие).
11)Симашко Ф. Арифметика. Изд. 4-е, СПб., 1865.
12) Томаса И. Собрание арифметических задач для умственного и
письменного исчисления. Вып. 1, СПб., 1866 (как пособие).
13) Цвет ков а. Руководство к арифметике. 2 части. Москва, 1864.
14) Щеглова Н. Арифметика, Изд. 12-е, СПб., 1866 г.
15) Б е л л а в е н а. Алгебра, пер. с французского П. Погорельским. Изд. 8-е,
Москва, 1863.
16) Больмана А. Практические упражнения в алгебре. Изд. 5-е. СПб., 1865.
17) Давидова А. Начальная алгебра. Москва, 1867.
18) Краевича А. Собрание алгебраических задач для употребления в
средних учебных заведениях. СПб., 1864.
19) Маркова С. Курс алгебры, составленный по гимназической программе.
Четыре выпуска. СПб., 1865 (как пособие).
20)Мейера и Шоке. Начальные основания алгебры. СПб., 1864 (как
пособие).
21) Сомова О. Начальная алгебра. Изд. 2-е, СПб., 1864.
22)Тихомандрицкого А. Начальная алгебра. Изд. 2-е, СПб., 1860.
23) Щ е г л о в а Н. Начальные основания алгебры, с таблицами степеней
чисел от 1 до 1000, СПб., 1853 (как пособие).
24) Б е л л а в е н а. Геометрия. Пер. с французского П. Погорельским. Москва,
1846.
25) Б у с с е Ф. Основания геометрии. Руководство, составленное для гимназий.
СПб., 1864.
26) Веккеля. Собрание геометрических задач, пер. А. Дмитриев, СПб., 1866.
27) Д а в и д о в а А. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса.
Изд. 2-е, Москва, 1865.
28) Лежандра А. Геометрия. Руководство при преподавании планиметрии и
стереометрии. Пер. А. Камбека, 2 части. СПб., 1861.
29) Дмитриева А. Начальные основания прямолинейной тригонометрии,
СПб., 1862.
30) Зеленого. Прямолинейная и сферическая тригонометрия. Изд. 2-е, СПб.,
1£56 (как пособие).
31) Малинина А. Руководство прямолинейной тригонометрии для гимназий.
Изд. 2-е, Москва, 1865.
32) Миквица Г. Начальные основания прямолинейной геометрии, низшей
геодезии и приложения алгебры к геометрии, СПб., 1860.
33) Перевощи ков Д. Тригонометрия. См. его «Гимназический курс чистой
математнки>. Москва, 1841.
34) С и м а ш к о Ф. Тригонометрия. С таблицами чисел логарифмов от 1 до
3240 и пр. Изд. 2-е, СПб., 1857.
35) С о к о л о в а И. Элементарная теория тригонометрических линий и
прямолинейная тригонометрия. Харьков, 1853.
36) Буссе. Логарифмические таблицы.
37) В е г а. Логарифмическо-тригонометрическое руководство. Обработано доктором
К. Бремикером. Берлин, 1858.
38) Кал лета. Таблицы логарифмрв: чисел от 1 до 108 000 и пр. Пер. Д. Пе-
ревощикова. Москва, 1856.
39) Таблицы обыкновенных логарифмов чисел и тригонометрических линий для
употребления в мороком кадетском корпусе. СПб., 1862.
13. О сокращении объема преподавания математики в гившазиях
и об увеличении числа часов, положенных уставом 1864 г.
на этот предмет15
По приказанию г. Министра сообщена была Департаментом
народного просвещения в Ученый комитет выписка из отчета по
управлению Киевским учебным округом за 1866 г. для соображений при
пересмотре гимназического устава. Выписка эта относится до преподавания
математики в гимназиях и заключается, между прочим, в следующем:
«Объем гимназического курса по предметам математики слишком велик

- 339 —
в сравнении с временем, назначенным на его прохождение; так что
преподаватели, торопясь покончить положенные отделы, не имеют
достаточного времени на занятия учеников практическими
упражнениями и приложением теории к решению практических задач. Нельзя
также не заметить, что преподавание арифметики оканчивается раньше
чем следует и прежде чем дети вместе с возрастом настолько созревают
умственно, что в состоянии бывают овладеть задачами, относящимися к
приложению правил сложных, тройных, смешения и вычисления
процентов. Чтобы преподавание сделать более производительным,
необходимо объем его сократить, а время, определяемое на него, увеличить».
Высказанное здесь мнение о недостаточности числа уроков по
математике для полного успеха преподавания этой науки в настоящем объеме
гимназического курса согласно с тем, что было заявлено и мною при
составлении Ученым комитетом нового расписания часов в гимназиях
по случаю предложения о прибавке VIII класса. А так как нельзя
уменьшить объем этого курса без ущерба для общего образования,
посему необходимо увеличить число уроков по математике, а это может
быть выполнено только при восьмиклассном составе гимназического
курса.
14. О рукописях, поступивших на объявленный от Ученого комитета
в 1865 г. конкурс по составлению учебных руководств для гимназий
и прогимназий по математике и космографии1*
На объявленный конкурс по математике поступило 18 руководств,
из которых 4 по арифметике, 5 по алгебре, 4 по геометрии, 4 по
прямолинейной тригонометрии и 1 по космографии...
Из числа этих рукописей две оказались не подходящими под условия
конкурса... Остальные 16 руководств были рассмотрены в Комиссии,
составленной под моим председательством из инспектора 2-й
С.-Петербургской прогимназии Григорьева и учителя той же прогимназии
Ильина. Из разбора этих рукописей, составленного нами и который
я имел честь докладывать Комитету в его последние три заседания,
видно, что ни одно из этих руководств не удовлетворяет вполне
требованиям конкурса относительно краткости и ясности изложения,
точности определения и строгости выводов...
15. О неподготовленности в математике и физике молодых людей,
поступающих из средних учебных заведений в Медико-хирургическую
академию17
Во исполнение поручения, возложенного на меня Ученым комитетом,,
я пересмотрел все программы гимназий всех округов и нашел, что они
обнимают собой все части низшей математики в полном их состоянии
и вообще вполне соответствуют требованиям гимназического курса.
Недостатки же могли произойти оттого, что не всеми учениками были
надлежащим образом усвоены все статьи ее в продолжение гимназиче-
22*

— 340 —
ского курса. Печальные факты, замеченные Медико-хирургической
академией на вступительном экзамене из математики, если только они не
составляли редких исключений, могли бы только привести к
заключению о недостаточности времени, уделяемого в гимназиях, на уроки
математики — предмета, требующего особенно много времени, так как
при изучении его необходимо приобрести, кроме теоретических знаний^
также и навык к употреблению математики на практике*
II. ОТЗЫВЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА О КНИГАХ И РУКОПИСЯХ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ18
16. «Программа по предмету арифметики»
Составлена учителем Ставропольской гимназии Захаровым19.
Составленная г. Захаровым программа по предмету арифметики, не
заключая в себе ничего существенно нового относительно преподавания
арифметики и не отличаясь точностью и ясностью изложения, не
заслуживает особенного внимания. От принятого ныне порядка изложения
арифметики в курсе уездных училищ она главным образом отличается
тем, что в ней предлагаются дроби прежде именованных чисел. Такой
порядок в курсе уездных училищ не может быть предпочтен давно
принятому, по которому именованные числа, как предмет более простой,
понятный сам по себе и особенно необходимый в практике, излагаются
прежде статьи о дробях. Что касается до различных подробностей
относительно предметов, входящих в состав курса арифметики, то многие из
них совершенно излишни, а некоторые заключают в себе явные ошибки.
К последним относятся: 1) § 42, где г. Захаров предлагает средство
определять число цифр частного; 2) § 53, где дано определение
кратных чисел; 3)- числовое выражение (§ 52)
2 х4-(4+1)х (7x3—5-0)
2x2.1 — 1 — 0.2
не имеющее смысла; 4) взгляд на алгебру как на символ краткости
(§ 64); 5) объяснение куба (§ 99) и другие.
Изложение во многих местах очень темно. Так, в § 96 мы находим
следующее место,- совершенно непонятное: «Что называется
погрешностью десятичной дроби? Наглядное объяснение погрешности подобное.
Вы знаете очень хорошо, откуда может получить деньги А, поэтому,
.когда вы узнали, что он только что получил деньги, то вы можете
отгадать, сколько он получил. Вы говорите, например, что он имеет
100 руб., но он, положим, имеет 105, значит вы ошиблись на 5 и т.д.»
При г таких недостатках изложения программа г. Захарова не
представляет ничего существенно полезного для успеха преподавания
арифметики, не заслуживает особого внимания.

— 341 —
17. «Собрание арифметических задач
для изустного вычислениям
Соч. учителя начальных школ Р. Тал я20.
Изустное решение арифметических задач много содействует
умственному развитию детей. Такие задачи представляются ежечасно в
обыкновенной жизни, и дитя по необходимости приучается к решению
их. Собрание таких задач составляет только средство усилить то, что
самой жизнью дается детям для развития их способностей через
сличение. Но чтобы оно могло достигать своей цели, необходимо при
выборе из множества задач, представляющихся на практике, иметь в
виду постепенный ход развития числительной способности детей.
Упражняясь в решении этих задач, дитя должно незаметным образом
перейти от самых легких изустных вычислений до задач, составляющих
границу, где необходимо употребление числительных знаков. Заставлять
же его переходить эту границу неблагоразумно. Нет никакого сомнения,
что при чрезвычайном усилии и продолжительных занятиях можно
приучить дитя к решению в уме очень трудных задач, но это ни к чему
существенно полезному не поведет, а менее всего может вести к
развитию математических способностей. Подтверждением этого могут
служить те дети, в которых проявляется необыкновенная способность
умственно решать многосложные арифметические задачи, ибо, как опыт
показывает, такие дети всегда оказываются мало способными к
изучению математики.
Ни в коем случае не следует заставлять детей умственно решать
такие задачи, которые взрослыми и при надлежащем воспитании
решаются только при помощи числительных знаков. В этом случае г. Таль
особенно много погрешает, и — что хуже всего — у него встречаются
задачи, относящиеся собственно не к арифметике, а к алгебре — задачи,
взятые не из практической жизни и в уме особенно трудно решимые.
Такие задачи могли бы быть еще допущены в виде прибавления, а
у него они рассеяны по всей книге и между задачами чисто
арифметическими и весьма простыми. Так, в 5-м упражнении 11 отдела мы
встречаем у него такую задачу: «У меня три кошелька с деньгами. В первом
и втором вместе 11 руб., в первом и третьем вместе 12 руб., а во втором
и третьем 13 руб. Сколько рублей в каждом кошельке?» Эта задача
собственно алгебраическая, без всякого практического значения, а
предложена она г. Талем между самыми обыкновенными и простыми
арифметическими, как например: «в одной аллее 88 дерев в два ряда по
обеим сторонам дороги: сколько стоят дерев в каждом ряду?».
Подобное представляется во многих местах собрания задач г. Таля. Кроме
этого, вообще в задачах г. Таля нет надлежащей последовательности,
столь необходимой для развития умственных способностей.
Г. Таль для расположения своих задач принял в основание величину
чисел, представляющихся при решении; но он упускает из виду, что с
одними и теми же числами задачи могут быть и очень легкие и очень

— 342 -
трудные. Что касается до самого изложения задач, то оно во многих
местах очень дурно; некоторые задачи остаются даже неопределенными.
Наконец, есть задачи, заключающие сами в себе ошибки.
18, «Первоначальные упражнения в арифметике» Ф. И. Б у с с е21
Названное сочинение Буссе существенно отличается от руководства
по арифметике того же автора. В этом новом руководстве, как и в
первоначальном курсе арифметики, изданном Департаментом народного
просвещения под заглавием: «Руководство к арифметике, ч. 1»,
излагается только учение о целых числах, отвлеченных и именованных, с
первоначальными понятиями о дробях, но по изложению своему эти
два руководства существенно различны между собою: в прежнем
руководстве прямо предлагались истины, входящие в состав элементарного
курса арифметики; в новом же руководстве рядом последовательных
вопросов до тех же истин доводятся ученики. При таком изложении
автор по необходимости должен был останавливаться на различных
частных случаях, прежде чем перейти к случаям общим, и вследствие
этого объем его рукописи значительно увеличился (15 печатных листов
против прежних пяти). Сравнивая рукопись Буссе с курсом его
напечатанной арифметики, мы устанавливаем существенную разницу между
ними как по содержанию, так и по изложению. В первой излагается
только учение о целых числах, с кратким понятием о дробях; во втором
же заключается вся арифметика. Кроме того, само учение о целых
числах в новом сочинении Буссе предлагается иначе. Так, он начинает
рассмотрение чисел с того, как они представляются детям при счете
предметов, а в вышепоименованном курсе арифметики сначала
рассматриваются числа, как они представляются при измерении чего-нибудь.
Нет никакого сомнения, что порядок, принятый Буссе в новом
сочинении, удобнее для обучения малолетних детей, и тем более, что он
совершенно избавляет от необходимости давать детям понятие о числах в
таком виде: «Число есть показание, сколько раз в данной величине
заключается величина того же рода, принимаемая за единицу».
Дав понятие о простейших числах, Буссе предлагает разложение их
на различные части, чего нет в вышепоименованном руководстве.
Изображение и выговаривание чисел изложены с особенными подробностями,
облегчающими понимание этих предметов, трудных для детского ума;
то же замечание относительно различных действий над числами.
Наконец, в заключение своего сочинения, Буссе дает ряд задач, которые могут
служить хорошим упражнением для учащихся и чего нет в
вышепоименованном руководстве арифметики.
Из всего вышеизложенного следует, что новое сочинение Буссе
существенно разнится с руководством по арифметике, изданным
Департаментом, а потому нет оснований не разрешить г. Буссе, согласно его
прошения, печатание этого труда.

- 343 -
19. «Начальные основания алгебры»,
составленные г.Тихомандрицким,
и «Основания алгебры», составленные г. Перевощиковым22
Г. Чебшиев, указав на главнейшие, по его млению, ледостаггки в руководствах
гг. Тихомандрицкого и Перевощикова, в заключение говорит:
«Из вышепоказанных нами недостатков «Начальной алгебры»
г. Тихомандрицкого и «Оснований алгебры» г. Перевощикова видно, что
оба эти руководства заставляют еще много желать лучшего.
Недостатки эти оправдываются особенною трудностью составления хорошего
курса алгебры, который доступно для детского ума должен сообщать
совершенно точные понятия о предметах отвлеченных и довольно сложных,
а вместе с гем приучить к употреблению на практике всех средств,
предлагаемых этой наукой. Недостаточно знать все теоремы и правила,
входящие в состав алгебры, необходимо владеть ими, а на это менее
всего обращают внимание у нас при составлении руководств по алгебре.
Так, в курсах гг. Перевощикова и Тихомандрицкого особенно
недостаточна статья об употреблении логарифмов при вычислении, а это
необходимо на практике. Впрочем, за неимением доселе курса алгебры,
который бы можно было рекомендовать для исключительного или по
крайней мере преимущественного пользования в гимназиях, необходимо
учителям предоставить до некоторой степени выбор, по своему
усмотрению, руководства, наиболее соответствующего их способу изложения.
А так как по полноте и системе алгебра г. Тихомандрицкого должна
привлечь на себя внимание многих преподавателей, то новое издание
может принести существенную пользу».
20. «Практический изустный арифметик»
Соч. учителя 3-го Дерптскаго начального училища Шпальвинга23.
Руководство г. Шпальвинга по составу своему не соответствует
заглавию, ибо в этом руководстве вместе с собранием задач, которые
могут решаться в уме, есть упражнения, которые по сущности своей
прямо относятся к письменному исчислению. Сверх того, расположение
задач вообще далеко не удовлетворяет условиям хорошего руководства
для умственного исчисления, для чего особенно необходимы строгая
последовательность при переходе от легкого к трудному.
Наконец, примеры изустного решения трудных задач весьма
неудовлетворительны, а решение некоторых задач более или менее ошибочно.
Посему «Практический изустный математик» г. Шпальвинга далеко не
представляет удовлетворительного руководства для обучения
умственному счислению и его нельзя рекомендовать в наши училища.
21. «Арифметика», составленная учителем Казанской гимназии
Марковым24
Курс арифметики г. Маркова особенно отличается обилием
содержания. Сравнительно с курсами общеупотребительными -в «Арифметике»

— 344 -
г. Маркова значительно более развиты многие статьи, важные или в
теоретическом отношении или в практическом, как-то: времяисчисление,
признаки делимости, обращение простых дробей в десятичные и др., а
также решение различных арифметических задач и задач, выходящих
даже из области этой науки. Изложение вообще сйсато: в
незначительный объем этого сочинения вложено большое количество материала. Но
при всей сжатости в арифметике г. Маркова все изложение определи-
тельно и отчетливо; такое изложекие требовало от автора особенного
искусства, и оно несомненно свидетельствует о его способностях. Курс
г. Маркова отличается полнотою содержания, краткостью и вместе с
тем определительностью изложения. Но при всех этих достоинствах
курс г. Маркова не может быть принят за руководство для
преподавания. Изложение этого курса слишком сжато; притом везде много
обращено внимания на сущность действий и мало на механизм выполнения
их, так что, между прочим, не показано на самом деле расположение
чисел при сложении и вычитании их. Ко всему этому надобно
прибавить, что с первых же страниц курса автор употребляет алгебраические
обозначения и вводит понятие о положительных и отрицательных
величинах, которые не легко понимаются учениками и в алгебре. Из
вышесказанного видно, что при всех достоинствах «Арифметики» г. Маркова,
она не может быть принята в руководство для преподавания в
училищах; но распространение ее между преподавателями арифметики, а
также между учениками, прошедшими курс арифметики .и знакомыми
с началами алгебры, обещает несомненную пользу, а потому
желательно, чтобы этот курс был приобретен библиотеками гимназий и уездных
училищ.
22. «Начальные основания алгебры» Ф. С и м а ш к о25
Г. Чебышев, изложив в мнении своем недостатки руководства г. Симашко,
полагает, что оно ни по содержанию своему, ни по изложению не удовлетворяет
условиям, требуемым от руководства алгебры для гимназий, и что сочинение это может
быть полезно только для людей, уже хорошо знакомых с алгеброю начальною,
которые из книги г. Симашко могут почерпнуть многие сведения касательно высшего
анализа.
23. «Наглядное изложение предварительных понятий о геометрии».
Соч. инспектора Казанской 2-й гимназии Ефремова26.
Находя полезным знакомить учеников гимназии в первых двух
классах с началами геометрии, г. Ефремов составил для этого особенное
руководство, в котором на трех печатных листах изложено все то, что
составляет предмет трех частей геометрии: лонгиметрию, планиметрию и
стереометрию. При такой сжатости изложение большей частью
недостаточно, и за исключением некоторых статей, особенно развитых, все
остальные представляют перечень геометрических терминов и
голословное изложение свойств, принадлежащих предметам, обозначенным
этими терминами.

— 345 —
Таким образом г. Ефремов из геометрии делает науку описательную
и тем самым лишает ее, относительно влияния на умственное развитие,
тех преимуществ, которые ей принадлежат более других
математических наук, входящих в гимназический курс. Вводить в гимназию
преподавание геометрии в таком несовершенном виде нет никакого
основания и тем более, что для этого курсы других наук должны быть
стеснены. Трудность задачи, которую предложил себе г. Ефремов, желая
изложить в столь незначительном объеме все, что составляет предмет
полной геометрии, обнаруживается у него на каждой почти странице. Так,
у него эллипс определяется очертанием овальных столов; черчение
круга, всем хорошо известное, выводится из черчения эллипсов; вместо
определения прямых углов сказано так: угол ABC, в котором только
что укладывается этот треугольник, прямой. На следующей странице
подробно говорится о квадратах и кубах, а о них не дано
предварительно ясного понятия. Нельзя также не обвинять автора в неточности
выражений, вследствие чего в его руководстве, между прочим,
окружность становится соизмеримою со своим радиусом (каждая окружность
44
будет равняться — своего радиуса), откуда выходит решение
невозможной задачи, известной под именем квадратуры круга. Наконец,
нельзя не заметить некоторой небрежности при составлении этого курса;
так, для одних и тех же предметов, в двух отделах, употребляются
различные названия; в первом отделе говорится средоточие,
полупоперечник, во втором — центр, радиус и т. д.
При таких недостатках сочинение г. Ефремова не может быть
принято в число руководств.
24. «Основания общей арифметики для VII класса».
Соч. старшего учителя математики Минской гимназии Жбиковского27.
Сочинение это заключает в себе полный и подробный курс
арифметики со включением многих статей алгебры. Оно по составу своему
существенно разнится от имеющихся у нас руководств по арифметике,
и в нем многие статьи изложены с особенной отчетливостью, а потому
сочинение это, как представляющее собой существенно полезное
приобретение для нашей учебной литературы и несомненно
свидетельствующее как о способностях, так и о деятельности автора, вполне достойно
посвящения имени его высокопревосходительства *. На это поощрение
труд Жбиковского тем более имеет право, что этот учитель гимназии
приобрел уже известность открытием новых признаков делимости
чисел, которые представлены им были Академии наук и опубликованы в
III томе Бюллетеня.
Признавая вполне в авторе рассматриваемого сочинения и
основательные познания и особенные способности, мы не можем, однако, не
заметить, что труд его как по составу своему, так и по изложению не
* Попечителя Виленского учебного округа.— Ред.

- 346 —
соответствует условиям гимназического руководства. Имея в виду
учеников, знакомых с алгеброю, Жбиковский из этой науки переносит
многие статьи в свой курс «Общей арифметики». Такое сближение
арифметики с алгеброю полезно для ясного уразумения их и дает
возможность легко сделать многие дополнения в этих науках. Но для
этого при выборе статей, переносимых из одной науки в другую, нужно
особенное внимание, и здесь менее чем где-нибудь может быть допущен
произвол. А это, как видно, было упущено из виду при составлении
рассматриваемого нами сочинения по арифметике. Автор не
высказывает, что именно руководило им при выборе алгебраических статей,
перенесенных им в свой курс арифметики; об этом выборе он говорит
только: «похищая у алгебры всю техническую часть ее (за исключением
уравнений) и пр.». Но исключение уравнений и помещение статей менее
важных, особенно в практическом отношении, нельзя ничем оправдать:
уравнения есть статья алгебры, особенно тесно связанная с арифметикой,
и притом по части решения практических задач, что, как замечает сам
автор в предисловии, согласно с программою Министерства народного
просвещения 10 апреля 1852 г., должно иметь в виду в курсе VII
класса, для которого он и назначает свое сочинение. А между тем у него
подробно излагается учение о мнимых величинах, которые по существу
своему никакого значения для арифметики иметь не могут и которые
даже могли бы быть исключены из курса начальной алгебры (как это
сделано по ведомству военно-учебных заведений). То же должно сказать
о формулах Крампа, которые не имеют здесь никакого значения.
Что касается изложения, то оно во многих местах не так просто и
ясно, как это требуется от хорошего руководства: объяснения даже
самых основных предметов, как-то: целого числа, величины
положительной и отрицательной, арифметических действий и т. д. лишены
надлежащей ясности. Определение же, которое дает автор возвышению в
степень, явным образом недостаточно.
В силу вышеизложенного «Арифметика» г. Жбиковского может быть
принята как учебное пособие для библиотек гимназий и уездных
училищ; она заслуживает того особенностями своего состава, изложением
таких статей арифметики и алгебры, которых нет в других курсах.
25. «Сокращенные логарифмические таблицы» Ф. И. Б у с с е28
Новое издание логарифмов, приготовленное покойным Ф. И. Буосе,
представляет то существенное различие от прежних изданий,
употребляемых в гимназиях, что здесь принято пять знаков при определении
логарифмов вместо семи. Вследствие чего эти логарифмы не способны
давать более ту же степень точности при вычислении, какую можно
достигнуть при помощи прежних таблиц. Это неудобство не выкупается
помещением таблиц разностей, которые для логарифмов в настоящем
виде не представляют значительного сокращения вычислений и нимало
не содействуют увеличению точности. Недостаточность во многих

— 347 —
случаях логарифмов с пятью цифрами видна, между прочим, из того,
что при помощи этих логарифмов нельзя при определении сумм до
1000 руб. иметь верно копейки. При том даже из примеров, привоаимых
самим Буссе, такие логарифмы, очевидно, недостаточны и не подлежит
сомнению, что некоторые из них самим автором были сделаны по
таблицам более точным.
26. «Начальные основания прямолинейной тригонометрии>
А. Дмитриева29
В сочинении этом, составленном по поручению начальства Морского
кадетского корпуса, есть такие подробности относительно тригонометрии
вообще и особенно относительно изложения ее к практике, которых в
большей части курсов не имеется, как-то: разложение в ряды, съемка
планов, нивеллирование, а также таблицы величин синуса, косинуса,
тангенса и котангенса через 10', которые имеют нередко приложения в
практике. Учитывая эти особенности и бедность нашей математической
литературы, разбираемое руководство может быть одобрено как
учебное пособие.
27. «Куре начальной алгебры»
Соч. (в рукописи) преподавателя 5-й Петербургской гимназии Краевича зо.
По отзыву г. Чебышева, курс этот отличается особенною полнотою содержания.
Кроме статей, которые составляют собственно начальную алгебру, в этом курсе
рассматриваются и вопросы арифметики, требующие для полной строгости и
отчетливости решений пособия алгебры, и предметы, относящиеся до высших частей
математики, но тесно связанные с началами алгебры или представляющие приложение алгебры,
особенно интересные. Так, между прочим, в этом курсе алгебры целая глава
посвящена исчислению вероятностей. Такое расширение начальной алгебры было бы очень
полезно для молодых людей, которых занятие математикою ограничивается одним
гимназическим курсом. Но оно не может быть выполнено надлежащим образом по
ограниченности времени, уделяемого в гимназическом курсе на этот предмет, и по
невозможности усилить этот предмет без значительного ущерба в других. Чтобы у)бедиться
в этом, достаточно обратить внимание, с одной стороны, на значительность объема
курса начальной алгебры, как он представляется у г. Краевича, а с другой, что и при
таком значительном объеме этот курс, по причине обилия материала, в него
внесенного, заключает в себе много таких мест, которых изложение не может быть
признано удовлетворительным и для устранения чего потребовалось бы объем курса
увеличить еще значительнее.
В подтверждение сказанного г. Чебышев приводит несколько мест рукописи г.
Краевича, из которых можно видеть, какие чувствительные недостатки произошли в ней
от желания вместить в малый объем то, что для полного и отчетливого изложения тре
бует много места.
В заключение г. Чебышев признает руководство начальной алгебры г. Краевича не
соответствующим требованиям гимназического курса.
28, «Тригонометрия» С е р р е (в переводе Любицког о)31
Тригонометрия г. Серре и по содержанию своему и по изложению
заслуживает полного внимания и особенно замечательна обилием
материала: в ней содержится много таких подробностей о тригонометрических

— 348 —
функциях и их употреблении для решения различных задач, которых
дельзя найти в обыкновенных курсах тригонометрии, а потому это
сочинение может служить очень полезным дополнением к гимназическому
курсу.
29, «Полный курс элементарной математики»
Соч. подполковника генерального штаба Христиани32.
«Полный курс элементарной математики», составленный
генерального штаба подполковником Христиани, обнимает собою арифметику,
алгебру, геометрию и прямолинейную, тригонометрию. В общем составе и
системе изложения эти курсы не представляют ничего особенного: автор
следовал в них давнему способу преподавания этих наук. Но нельзя
не заметить, что изложение в его книге далеко не удовлетворительно
и даже, кроме темных и сбивчивых мест, встречаются такие, где
сообщаются суждения решительно ошибочные, что в никаком случае не
может быть допущено в учебнике. Так, на стр. 31 г. Христиани, после
некоторых рассмотрений, предполагает как первое следствие их
следующее: «если произведение делится на какое-либо число, то, по
крайней мере, один из его сомножителей должен разделиться на это
число». На самых простых примерах можно видеть несправедливость
этого следствия: произведение, например, 10 на 12 делится на 8,
между тем как ни 10, ни 12 не делится на 8. Далее у г. Христиани:
«если одно число не делится на другое без остатка, то и степень его
не разделится на это число». Тоже неправда: 10, например, не
делится на 4, а все степени его 102 = 100, 103 = 1000 и пр., очевидно,
делятся на 4.
При разложении чисел на множители автор замечает, что при
отыскивании делителей попытки должно делать только до тех пор, пока
испытуемый делитель будет более половины делимого. Для этого, как
известно, дается другой предел, более близкий. При объяснении в
алгебре употребления логарифмических таблиц Каллета автор говорит:
«если данное число заключается между 1020 и 1080 или, что все равно,
когда данное число выражено четырьмя цифрами и пр.». Это не совсем
так; число 1018, например, хотя и состоит из 4 цифр, но не содержится
между 1020 и 1080.
Как пример недостаточного объяснения при изложении предметов
существенно важных, можно указать на многие места. Так, в
тригонометрии, при объяснении составления таблиц, мы находим у автора
следующее: «Выше было замечено, что с уменьшением дуги sin
уменьшается и что sin 0 = 0, а потому, без чувствительной погрешности,
можно принять sin Г равным дуге в Г» (стр. 603—604).
Из того, что sin и дуга вместе обращаются в 0, еще не следует,
чтобы отношение их при этом было равно именно единице, а не другому
какому-либо 1числу, что нужно показать для надлежащего объяснения
составления тригонометрических таблиц.

— 349 -
Или в геометрии: «...две прямые могут встречаться только в том
случае, когда суммы внутренних углов по одну сторону не равны 2d, а
так как при одном и том же условии две прямые не могут быть между
собою параллельны и пересекаются, то если сумма внутренних углоь
по одну сторону секущей не равна 2d, должно быть одно из двух: или
линии параллельны или пересекаются, но, допуская первое, окажется,
что прямые, находясь на одной плоскости, всегда параллельны, что
невозможно, а потому должно допустить второе, т. е. что линии
пересекутся». Суждения эти, очевидно, лишены надлежащей строгости.
В алгебре, давая понятие об отрицательных величинах, он говорит,
что отрицательное количество не существует, но есть только знак для
выражения невозможности вычитания, а после сам разлагает
отрицательные количества на их составные части.
Из всего вышесказанного ясно, что курс г. Христиани не может быть
признан хорошим учебником.
30. «Первый куре арифметики, составленный по методе Грубо.
Соч. старшего учителя 1-й Харьковской гимназии Ладовского33.
Г. попечитель Харьковского учебного округа при донесении от
2 октября за № 3343 представил г. Министру народного просвещения
«Первый курс арифметики, составленный по методе Грубе» старшим
учителем математики 1-й Харьковской гимназии г. Ладовским и, от
имени попечительского совета, просит разрешения ввести это
руководство в приходских и уездных училищах. В донесении своем попечитель,
в пользу введения этого курса, приводит следующее: 1) в прошлом
гбду по рукописной тетради г. Ладовского, учителя харьковских
приходских училищ, убедились в необходимости заменить существующую в
некоторых училищах методу Ланкастера методою Грубе как
действующую на развитие детей преимущественно перед прочими методами;
2) директор училищ Харьковской губ., находя такой метод
удовлетворяющим своей цели, просит разрешения на введение в приходские
училища вверенной ему дирекции руководства Ладовского для
первоначального обучения арифметике; 3) .этот курс вполне одобрен
профессором университета Бейером, рассматривавшим его, причем Бейер
выразил убеждение, что этот (первый) курс с огромною пользою может
быть допущен к употреблению в низших учебных заведениях, а также
может быть сделан обязательным для приготовления поступающих в
первые два класса гимназий; 4) кроме проф. Лавровского, объявившего,
что он полагает не делать обязательным употребление этого курса в
приходских училищах, а только рекомендовать его как пособие, все
прочие члены попечительского совету положили ввести его руководством
во всех приходских и уездных училищах Харьковского учебного округа.
Из рассмотрения первого курса арифметики, изданного г. Ладовским,
оказывается, что он действительно составлен с полным знанием дела
и вполне соответствует своей цели. Но, сознавая вполне всю трудность

- 350 -
перемены обыкновенной системы преподавания арифметики, с которою
так свыклись наши учителя, на систему Грубе, где успех преподавания
особенно много зависит от искусства учителя, я полагаю, что
обязательное введение курса г. Ладовского, составленного по этой системе,
требует большой осмотрительности. Из вышесказанного видно, что в пользу
введения этого курса опыт показал только преимущество системы Грубе
перед системою Ланкастера, далеко не удавшейся у нас, и такой опыт
был произведен в самом Харькове, где, сравнительно, лучшие учителя;
все же остальное, приводимое г. попечителем в пользу введения курса
г. Ладовского, относится только к достоинству самой методы Грубе и
удовлетворительности курса Ладовского, по ней составленного, а не
к удобоприменяемости этой системы при настоящем положении наших
училищ. Принимая во внимание и сознавая, какой вред может
произойти от неудовлетворительного употребления системы Грубе, я полагаю,,
что прежде обязательного введения этой методы и вместе с тем курса
г. Ладовского во все низшие училища Харьковского округа, полезно
было бы ограничиться сначала введением этого курса в одни училища
Харьковской губ., директор которых особенно ходатайствует о введении
курса г. Ладовского в училищах ему подведомственных, и предоставить
этому директору наблюдения свои относительно успешности в его
училищах новой системы преподавания начал арифметики сообщить
Ученому комитету.
31. Геометрические чертежи, изданные в Вене Гиллардтом
для употребления в прогимназиях34
По отзыву Чебышева такие чертежи несомненно представляют хорошее
вспомогательное средство при обучении началам геометрии. На этих чертежах изображены
известные фигуры, относящиеся ко всем существенным предложениям лонгиметрии и
планиметрии и на буквах показана взаимная связь частей этих фигур. Особенность же,
представляемая этими чертежами и весьма полезная для облегчения понимания начал
геометрии, состоит в следующем: они начертаны на бумаге, которая вся намечена
рядами точек, равноотстоящих друг от друга как по направлению горизонтальному, так и
по вертикальному, и по этим точкам начерчены все фигуры. Вследствие этого нч
чертежах прямо видны и взаимные расстояния точек, и размеры частей, и, в большей
части случаев, величина площадей; причем справедливость некоторых теорем
становится осязательной. Кроме того, при употреблении таких чертежей и особенно
бумаги с рядами точек, фигуры эти легко очерчивать без помощи циркуля...
32. «Основания физики» К. Д. К р а е в и ч а35
По отзыву г. Чебышева книга эта, как произведение человека известного в
Петербурге и по его познаниям и по его педагогическим способностям, не могла остаться
незамеченной; но [так] как книга эта была составлена собственно для обучения девиц,
причем автор, имея в виду, что физику начинают преподавать девицам в том возрасте,
когда умственные силы их обыкновенно еще не довольно развиты, то посему
сочинение г. Краевича не представляет этой науки в том виде, как она должна быть
изучаема в духовных учебных заведениях, соответствующих нашим гимназиям.

- 351 —
33. «Образец [критического] изучения сочинения об определенных
интегралах» ординарного профессора Казанского университета
Попова36
Относительно замечаний ординарного профессора Казанского
университета Попова по случаю сочинения г. Беренса-де-Ган под
заглавием: Expose de la theorie des proprietes des formules de transformation
et des methodes devaluation des integrales definies, представленных
г. Министру помощником попечителя Казанского учебного округа
31 июля за № 3120 как образец критического изучения, с каким г.
Попов пользуется различными авторами, писавшими об определенных
интегралах, о которых он приготовляет трактат, имею честь донести, что
замечания эти вполне верны и недостатки сочинения г. Беренса-де-
Гана, указываемые г. Поповым, действительно имеют место и что,
независимо от этих замечаний, известные ученому миру труды г. Попова
по чистой и прикладной математике достаточно ручаются за высокий
интерес приготовляемого им нового труда. К этому я считаю
необходимым только присовокупить, что г. Попов ошибается, говоря, что
такое сочинение г. Беренса-де-Гана, кажется, увенчано С.-Петербургской
академией; как участник в рассматривании этого сочинения по
должности академика, я могу засвидетельствовать, что неудовлетворительность
этого произведения во многих отношениях была вполне сознана нашей
Академией.
34. Старинная рукопись арифметики87
Означенная рукопись содержит в себе курс арифметики,
составленный через сокращение известного курса Магницкого и изменение
числовых примеров. При сравнении соответствующих статей этой рукописи
с книгою Магницкого видно, что составитель рукописи вписывал в нее
буквально из книги Магницкого то, что он находил нужным, причем
у него, кроме весьма важных орфографических погрешностей и описок,
встречаются ошибки, изобличающие в нем неясное понимание текста.
Таких ошибок в тексте очень много; но числовые примеры ясно
свидетельствуют, что составитель рукописи хорошо знал арифметические
выкладки и даже избегал там ошибок, где они были у Магницкого.
Обращаясь за сим к определению времени, когда эта рукопись составлена,
надо отметить, что она относится не ранее как к началу прошлого
столетия, так как курс Магницкого напечатан в 1703 г., и это
подтверждается следующим местом рукописи: «Есть церковь некая строилась в
лета 1465; хощу ведать сколько прошло до нашего 1710 года». Эти
слова не оставляют никакого сомнения, что рассматриваемая рукопись
арифметики составлена около 1710 г., и, следовательно, что она
относится к 1*ервым годам употребления курса Магницкого; а потому эта
рукопись может иметь некоторый интерес в том отаошении, что дает
понятие о затруднении, с которым понималась эта книга даже
людьми, с успехом занимавшимися арифметикой.

— 352 -
35. «Die Geometrie der Alten in einer Sammlung von 850 Aufgaben»
von Dr. L. Weckel (пер. Норман а)38
Управляющий Казанским учебным округом, -на основании отзыва
Попечительского совета касательно пользы издания в свет и введения
как пособия в гимназии и училища перевода сочинения г. Веккеля,
просит в случае одобрения перевода этого сочинения г. Норманом,
напечатать опыт на счет Министерства. Сочинение г. Веккеля, за исключением
предисловия, состоит из кратких предложений, между которыми одни
представляют собою различные теоремы геометрии на плоскости,
другие — задачи, решаемые на основании этих теорем. Эти краткие
предложения, не представляющие никакой трудности для перевода, у г.
Нормана изложены удовлетворительно; но того же нельзя сказать о
предисловии.
Несмотря на неудовлетворительность изложения предисловия в
переводе г. Нормана, не подлежит сомнению, что это собрание
геометрических задач может быть с пользою употребляемо на уроках
геометрии, а потому желательно, чтобы г. Норман получил средства для на-
печатания своего перевода.
36. «Руководство прямолинейной тригонометрии» А. Малинина3
Г. попечитель Харьковского учебного округа 7 августа за № 2127
донес г. Управляющему Министерством народного просвещения, что
Попечительский совет означенного округа, согласно с мнением г.
профессора Бейера о достоинстве составленного г. Малининым
«Руководства прямолинейной тригонометрии», положил испросить разрешения
на введение этого курса в виде пособия при преподавании
тригонометрии в учебных заведениях и что он, попечитель, разделяет мнение
Попечительского совета. По рассмотрении этого сочинения я нашел, что
оно отличается и полнотою содержания и ясностью изложения, а
вместе с тем составляет курс тригонометрии объема весьма
незначительного. По соединении таких достоинств, сочинение г. Малинина
представляет очень хорошее руководство для преподавания тригонометрии,
а потому я нахожу нужным не только согласиться с мнением
Попечительского совета Харьковского округа о введении этого курса в
пособие при преподавании тригонометрии, но и предложить рекомендовать
этот курс тригонометрии для употребления руководством в гимназия*
всех округов.
37. «Курс алгебры».
Соч. учителя Казанской гимназии Маркова40.
Сочинение г. Маркова, под заглавием «Курс алгебры»,
составленный по гимназической программе, и по составу своему и по изложению
стоит выше того уровня, на котором находится преподавание алгебры
в наших гимназиях и которого оно может достигнуть по уделяемому

- 353 —
на этот предмет времени в гимназиях как классических, так и
реальных. В гимназический курс алгебры г. Марков вводит такие статьи,
которые обыкновенно относят к высшим частям математики, как та:
уравнения высших степеней, неопределенные уравнения второй степени.
Вследствие этого курс алгебры г. Маркова представляет книгу слишком
в 30 листов, но и при таком значительном объеме в ней многое
осталось не вполне объясненным, как это, между прочим, замечается в § 46
первого выпуска, в § 240, 298, 313 и 316 второго выпуска. К числу
недостатков изложения должно отнести то, что г. Марков неверно
употребляет термин «алгебраическое действие», к числу алгебраических
действий относит вычисление логарифмов, причем опускает решение
уравнений. С другой стороны, употреблению этого сочинения в наших
гимназиях как руководства мешает и то, что при изложении его г.
Марков предполагает известными из курса арифметики такие статьи,
которые в ней не излагаются, как то: понятие об уравнении (§ 4 первого
выпуска), свойства чисел взаимнопростых (3-й выпуск, § 312). Из всего
вышесказанного видно, что курс г. Маркова не может быть принят в
гимназиях как руководство. Но по тем подробностям, которые здесь
даются о предметах, входящих в гимназический курс алгебры или
сродных с ними, сочинение это с пользою может служить пособием для
преподавания алгебры в гимназиях.
38. О втором курсе «Арифметики» Ладовского
в связи с результатами преподавания арифметики
по методу Грубе41
Департамент Народного просвещения, при отношении от 26 февраля
с. г. за № 1679, препроводил в Ученый комитет отзыв г. попечителя
Харьковского учебного округа от 26 января за № 246 по предмету
преподавания арифметики в низших училищах по первому курсу
составленной г. Ладовским «Арифметики», вместе с донесением по этому
предмету директора училищ Харьковской губернии, а также экземпляр
второго курса арифметики г. Ладовского, и по этому делу просил
сообщить мнение Ученого комитета. Вследствие единогласного отзыва
учителей уездных училищ касательно неудобоприменимости первого курса
арифметики г. Ладовского для уездных училищ, не подлежит
сомнению, что это руководство для уездных училищ не годится. Из
рассмотрения же всех мнений относительно преподавания по сему руководству
в приходских училищах видно, что все учителя, за исключением одного,
не говорят определительно, до какой степени, при употреблении
вышеупомянутого руководства, может быть выполнено по преподаванию
арифметики то, что требуется от курса народных училищ уставом их.
Признавая вполне, что система Грубе, которой следовал г. Ладовский
при составлении первого курса арифметики, особенно хороша для
развитая умственных способностей детей, что подтверждается и мнениями
23 П. Л. Чебышев, т. V

- 354 -
учителей, я думаю, однако, что этого одного недостаточно еще для
предпочтения этой системы всякой другой в училищах, где образование
многих будет заканчиваться. При изложении арифметики в таких
училищах необходимо иметь в виду, чтобы уроки по этому предмету,
вместе с развитием умственных способностей, сообщали ученику и те
сведения, которые признаны необходимыми для людей, оканчивающих
там свое образование. Но касательно этого, за исключением одного
преподавателя, никто не говорит определительно, а единственный
учитель, коснувшийся этого предмета (г. Киткевич), говорит
положительно, что преподавание арифметики по руководству г. Ладовского в
приходских училищах, в этом отношении, не может быть признано
вполне удовлетворительным. Вот что по этому предмету говорится в
донесении г. директора училищ Харьковской губернии «...Учитель
Киткевич видит в учебнике Ладовского превосходный способ или
руководство, ведущее к изучению, но не дающее знания предмета. Учитель
Киткевич ничего не сказал бы против учебника Ладовского, если бы
приходское училище было только приготовительным училищем; но так
как некоторые завершают в нем курс своего образования, то в этом
последнем случае одного аналитического руководста недостаточно, и
учебник Ладовского, при отсутствии в нем общих правил и приемов,
не может помочь в задачах с числами из многих цифр, в задачах
запутанных и сложных. Г. Киткевичу удавалось даже слышать от
родителей, что дети их, обучавшиеся арифметике по учебнику Ладовского,
забыли сложение».
Принимая в соображение вышеизложенное, я нахожу, что
сообщенные ныне сведения относительно результата преподавания арифметики
по руководству г. Ладовского недостаточны для того, чтобы можно
было признать это руководство вполне достаточным для приходских
училищ; чтобы сделать такое заключение, .необходимо знать: до какой
степени доведены были познания учеников в арифметике при
изложении ее по курсу г. Ладовского и для выполнения по этому предмету
требований устава приходских училищ не оказалось ли необходимым
делать дополнения к этому курсу или прибегать к помощи других
руководств.
Что касается до 2-го курса «Арифметики» г. Ладовского, то он
отличается особенно пространным изложением: заключая в себе только
учение о целых числах, он составляет более 12-ти печатных листов. Если
этот объем несколько увеличился от помещения в тексте многих задач
(числом в 500), которые могут быть полезны, то, с другой стороны,
в этом курсе г. Ладовского есть много таких подробностей, которые
только затемняют дело и которые часто заключают в себе неверные
суждения, например:
На стр. 8: «Действие над числами значит работа над числами».
«Какую бы задачу мы -ни решали, всегда придется для ее решения
из нескольких чисел составить одно или несколько других чисел...». Это
неверно.

- 355 -
Далее, на стр. 9: «Когда узнают, из каких двух чисел состоит
какое-нибудь одно число, то такую работу называют вычитание». Тоже
неверно и, очевидно, противоречит предыдущему.
То же повторяется на стр. 19.
На стр. 122: «Все то, что существует и что мы узнаем нашими
пятью внешними чувствами, можно мерить и считать; но то, что мы'
познаем не внешними чувствами, а умом и верою, то нельзя измерять
и сосчитать».
«Быстрота, с которою пред нами или с нами что-нибудь делается,
называется временем».
При таких недостатках в изложении второго курса арифметики
г. Ладовского, по моему мнению, этот курс не может быть признан
полезным руководством в уездных училищах.
39. «Арифметика» (1-й выпуск третьего курса) учителя 1-й Харьковской
гимназии Ладовского42
I. Из отзывов преподавателей в приходских училищах по предмету
курса г. Ладовского ясно видна недостаточность первоначального курса
арифметики г. Ладовского для наших приходских училищ. Из
одиннадцати отзывов, сообщаемых по этому предмету г. попечителем, в
девяти отзывах, а именно по училищам Ахтырскому, Изюмскому,
Лебединскому, 1-му Харьковскому, Сумскому, Купянскому, Змиевскому,
Старобельскому и Волчанскому, определительно сказано, что для
выполнения требований устава приходских училищ по преподаванию
арифметики, первоначальный курс г. Ладовского недостаточен; в остальных
же двух мнениях — по училищам Валковскому и Богодуховскому —
ничего положительного по этому предмету не сказано; в первом
говорится только, что по курсу г. Ладовского познания учеников были
доведены до именованных мер, и по второму — что в арифметике познания
учеников, особенно державших экзамен в уездное училище, были
удовлетворительными. Кроме того, штатные смотрители Изюмского и Старо-
бельского училищ и учитель математики училища Лебединского
свидетельствуют, что в их училищах, где ученики обучались арифметике по
курсу Ладовского, познания учеников оказались неудовлетворительными.
Из вышесказанного ясно, что, при употреблении первоначального
курса г. Ладовского в приходских училищах, следует быть крайне
осмотрительным и не упускать из виду требований устава. Что касается до
употребления этого курса как пособия в приходских училищах и в
первом классе уездных училищ, как того желает г. попечитель
Харьковского учебного округа, то это может быть допущено. Но при этом
необходимо обратить внимание на то: 1) что первоначальный курс г.
Ладовского, подобно всем другим, составленным по системе Грубе,
служит только указанием, как преподавателю вести учеников к пониманию
счета и вычислений; 2) что хороший преподаватель арифметики,
ознакомившись с системою Грубе, найдет возможность воспользоваться ею
23*

— 356 -
для уяснения того, что трудно понимается учениками при обучении их
арифметике по общепринятой системе в училищах; и 3) что только в
этих видах курсы, составленные по системе Грубе, подобно
первоначальному курсу г. Ладовского, могут быть допущены как пособие в
наших училищах.
II. Г. попечитель Харьковского учебного округа 22 сентября за
№ 2629 сообщает, что учитель 1-й Харьковской гимназии Ладовский
вошел с прошением о дозволении ему употреблять при его уроках в
гимназии изданный им 1-й выпуск третьего курса арифметики; что
Попечительский совет, соглашаясь с мнением об этом курсе
профессора Бейера, определил представить о сем г. министру и что
он, попечитель, просит сделать распоряжение о внесении означенного
выпуска арифметики г. Ладовского в список учебников,
предназначенных к употреблению в средних учебных заведениях.
Из рассмотрения приложенных при сем мнений профессора Бейера
о 1-м выпуске третьего курса и о 2-м выпуске, прежде изданном, того
же руководства, а также присланного при этом экземпляра 1-го
выпуска третьего курса арифметики г. Ладовского, видно, что хотя
профессор Бейер в общих словах и похвально отзывается об этом
сочинении, но в то же время показывает и значительные ошибки автора.
То, что говорит г. профессор Бейер, входя в подробности, дает
совершенно другой вид его похвалам, которые он делает, говоря вообще; по
внимательном рассмотрении всего сказанного в мнениях г. профессора
Бейера и по сличении этого с сочинением г. Ладовского оказывается,
что эти похвалы представляют только оправдания или извинения автора
в темноте и сбивчивости изложения, при явной ошибочности местами
суждений автора о предметах, самых существенных. Так, в мнении о
втором курсе арифметики г. Ладовского, профессор Бейер показывает
весьма важные недостатки этого сочинения и прямо говорит, что
сочинение г. Ладовского заставляет желать со стороны теоретической
некоторых улучшений; а между тем, в начале своего мнения, он говорит
так: «небольшого внимания достаточно, чтобы понять, что автор
передает дело так, как оно им самим обдумано и прочувствовано». В
другом же мнении г. Бейер выражается так: «Следы такого
(философского) оттенка проявляются и в составлении понятия о дробях и в
приведении к одному знаменателю дробей с различными знаменателями,
и, наконец, в построении правил умножения и деления дробей.
Арифметическая метафизика, подобная той, какая встречается у г. Ладовского,
не должна пугать ни преподавателей, ни учащихся».
До какой степени темно и сбивчиво изложение во втором курсе
арифметики г. Ладовского, видно из донесения моего, слушанного в
заседании Ученого комитета 29 марта 1865 г. Подобные же недостатки в
присланном теперь 1-м выпуске третьего курса арифметики г.
Ладовского можно видеть из следующих мест его сочинения:
«Вместо данной дроби получается новая, но выраженная меньшими
числами» (стр. 21).

— 357 —
«Понятно, что дроби возможно выразить удобно только в таких
долях, которых знаменатель будет кратным числом знаменателя данной
дроби» (стр. 17). Это неверно: разве 5/ю неудобно заменить 1/2.
«Такой вопрос прямо не удовлетворяется» (стр. 48).
«При делении разнородных чисел частное указывает часть делимого
и всегда с ним однородно» (стр. 52). Это не всегда оправдывается и т. п.
Из всего вышесказанного видно, что арифметика г. Ладовского
лишена той точности и ясности в изложении, которые составляют
необходимое условие хорошего учебника, а потому я считаю невозможным
внести ее в список учебников, предназначенных к употреблению, в
средних учебных заведениях.
40. «Собрание арифметических задач» И. Т о м а е а43
Выпуск 1-й «Собрания арифметических задач» г. Томаса
представляет богатый материал для упражнения учеников в изустном и
письменном счислениях с целыми числами и обыкновенными дробями, а
потому может быть с пользою употребляем при преподавании
арифметики в наших училищах; необходимо только учителю иметь в виду
делать выбор задач согласно с порядком преподавания арифметики,
принятом в наших училищах, и исключать те задачи, которые собственно
относятся к алгебре, как, например, задача 464 (стр. 41), состоящая в
следующем: «Если мне дадут,— сказал мальчик,— еще 40 орехов, то у
меня будет столько же, сколько их у моего брата, а если мне дадут
90 орехов, то у меня станет вдвое более, нежели у моего брата;
сколько он и брат его имели?»
Такая задача находится в конце II отдела, а затем следует III
отдел, начинающийся столь простой задачей: «сосчитайте по единицам
все числа от 100 до 120, от 180 до 210» и т. д.
41. «Сборник алгебраических задач» Е. Пржевальского44
«Сборник алгебраических задач», составленный г. Пржевальским,
отличается особенною полнотою; в этом сборнике содержится огромное
число задач, и задач чрезвычайно разнообразных, из которых
многие даже не относятся к гимназическому курсу алгебры, как, например,
задачи на неопределенные уравнения второй степени, задачи о
наибольших и наименьших величинах и т. п. Учители гимназий, сообразно с
программою преподавания алгебры в этих заведениях, могут найти в
означенном «Сборнике» обильный материал для упражнения учеников,
и с этой стороны сборник задач г. Пржевальского может быть
рекомендован учителям математики в средних учебных заведениях. Для такого
употребления «Сборника задач» не могут служить препятствием
замечаемые в нем по местам недостатки...

- 358 -
42. «Элементарная теория тригонометрических линий и прямолинейная
трдгонохметрия» И. Соколова; «Динамика», его же. «Общая
теория рзшеяий алгебраических уравнений» Д е л а р ю и «Арифметика
для первоначального обучения» Ковальского45
По рассмотрении означенных книг имею честь донести, что из них
одна — «Элементарная теория тригонометрических линий и
прямолинейная тригонометрия» г. Соколова — включена уже в каталог руководств,
одобренных для употребления в гимназиях, и она до сих пор остается
одним из лучших курсов тригонометрии. Затем остальные сочинения —
два по предмету своему и одно по изложению — не соответствуют
потребностям ни гимназий, ни низших училищ. Первые две суть:
«Динамика» г. Соколова и «Общая теория решений алгебраических
уравнений», магистерская диссертация кандидата Деларю. Оба эти
сочинения относятся к области высшей математики, а потому эти сочинения
не могут иметь никакого употребления в гимназиях и народных
училищах.
Последнее сочинение — «Арифметика для первоначального
обучения» г. Ковальского. Этот курс, по содержанию своему, соответствует
объему преподавания арифметики в начальных народных училищах, но
по изложению своему далеко не удовлетворяет условиям хорошего
руководства для этих училищ.
Так как в этих училищах большая часть преподавателей не будет
иметь особенной педагогической подготовки, то для них руководства
должны быть составлены с особенным тщанием. В этих руководствах
не должно заключаться ничего лишнего, а все необходимое должно
быть изложено кратко и общепонятно, причем все предлагаемые
правила выполнения арифметических действий должны быть объяснены
вполне удовлетворительно и так, чтобы причина сделалась очевидною.
Чтобы показать, до какой степени не удовлетворяет этим условиям
сочинение г. Ковальского, считаю достаточным привести несколько мест
из его курса, по которым видно, что он, с одной стороны, вдается в
рассмотрение таких предметов, которые могли бы быть исключены из
первоначального курса арифметики и которые даже не могли быть
объяснены им надлежащим образом, а с другой, что правила первой
важности, как например порядок, которому следуют при сложении и
вычитании, не объяснены надлежащим образом.
На стр. 7 мы читаем: «Числа меньше десяти называются единицами
первого разряда или просто единицами, десятки — единицами
второго разряда; сотни — единицами третьего разряда».
На стр. 19 мы читаем: «Хлеб измеряется известным количеством
хлеба», а далее говорится следующее: «Всякая вещь (величина)
измеряется вещью из одинакового с нею рода (однородною): вес — весом,
объем — объемом и т. д.». Такие и подобные им предметы с пользою
могли бы быть исключены из курса народных училищ; в том же виде,
как они изложены у г. Ковальского, их трудно понять. Переходя к
недостаткам другого рода, мы замечаем, что выполнение сложения чисел

— 350 -
меньших 10 совсем не объяснено. Переходя к сложению чисел более
100, автор складывает, начиная с сотен; потом тот же пример
переделывает, складывая первое число со вторым, сумму их с третьим и т. д.,
а затем прямо выводит такое правило: «Но чтобы сделать короче,
подписывают отдельные слагаемые одно под другим так, чтобы единицы
одного разряда находились в одном столбце, и начинают складывать
сперва единицы, потом десятки, потом сотни и т. д.».
На стр. 35, приступая к вычитанию чисел в несколько цифр, автор
опять начинает слева, потом тот же пример переделывает, начиная
справа; решает еще один пример и потом говорит так: «Но короче
будет, если число подписать под числом, как при сложении, и начинать
вычитать с единиц».
При таких недостатках в изложении сочинение г. Ковальского не
может быть рекомендовано для употребления в народных училищах.
43. «Курс арифметики» Серре, пер. Юденича46
Поручик межевых [частей] инженер Юденич вошел в Ученый
комитет с прошением рассмотреть «Курс арифметики» Серре, переведенный
им с французского языка, и рекомендовать этот курс как руководство
для гимназий, если оно удостоится благоприятного отзыва.
«Курс арифметики» Серре, как и все другие труды этого
математика, пользуется во Франции большою известностью, и для нашей
математической литературы перевод его сочинения, сделанный г.
Юденичем, составляет очень хорошее приобретение. Но, несмотря на все
достоинства этого сочинения, отличающегося богатством содержания и
строгостью доказательств, оно и nQ составу своему и по изложению не
подходит под требования гимназического курса, где арифметика
преподается как отдельная самостоятельная наука. В курсе же г. Серре
включены такие статьи, которые относятся к другим частям математики,
как-то: вычисление над коренными величинами, теория прогрессий,
теория логарифмов,— составление таблицы первоначальных чисел, предел
числа делений, получающихся при отыскании общего наибольшего
делителя двух чисел и т. п. Последнее и не могло быть дано в
надлежащем виде при помощи низшей математики. При изложении же
различных выводов очень часто употребляются буквы подобно тому, как в
алгебре, и многие предложения имеют характер совершенно
алгебраический; например, на стр. 40 предлагается такая теорема: «Чтобы
вычесть из какого-нибудь числа разность двух других чисел, должно к
первому придать меньшее из последних и потом из результата вычесть
большее» и т. п.
Из всего вышесказанного видно, что арифметика г. Серре не
соответствует требованиям гимназического курса, и потому прошение г.
Юденича не может быть удовлетворено.

- 360 -
44. «Арифметика для начальных народных школ» А. Л е в е47
При рассмотрении начальных курсов арифметики, представленных
на объявленный в 1864 г. от Ученого комитета конкурс, оказалось, что
рукопись под девизом: «Quod bonum, felix faustumque sit»
представляло руководство, отчетливо и ясно изложенное, по содержанию своему
вполне соответствующее объему преподавания арифметики в начальных
народных школах. Но, как видно из отчета о конкурсе, это сочинение
не было признано достойным премии только вследствие
недостаточности некоторых из его отделов, в которых замечался пропуск предметов
необходимых или очень полезных. Автором этого сочинения оказался
г. Леве, давно известный в педагогическом мире своими руководствами
по математике. Так как теперь г. Леве исправил в рукописи своей
недостатки, указанные в отчете о конкурсе, то сочинение его в настоящем
виде представляет элементарный курс арифметики, который с
особенною пользою может служить руководством в начальных народных
училищах.
15. «Руководство арифметики для гимназий»и «Собрание арифметических
задач для гимназий». Соч. А. Малинина и К. Буренина48
Преподаватель Московской 4-й гимназии Малинин представил
составленные им, вместе с преподавателем той же гимназии Бурениным,
книги: «Руководство арифметики для гимназий» и «Собрание
арифметических задач для гимназий», и просил Ученый комитет, по
рассмотрении этих книг, буде окажутся они достаточными, одобрить для
употребления в гимназиях. Курс арифметики гг. Малинина и Буренина,
вместе с собранием задач, служащих необходимым дополнением его,
представляет собой руководство к арифметике, заслуживающее
внимания по полноте своей. В этом руководстве, сверх того, что собственно
составляет арифметику в тесном смысле этого слова, содержатся
только некоторые статьи из теории чисел, имеющие тесную связь с
арифметикою. Статьи эти, напечатанные мелким шрифтом, служат
дополнением к арифметике и могут быть полезны как для учеников гимназии
высших классов, так и для окончивших гимназический курс.
Собрание задач вполне соответствует составу руководства. Но,
признавая все эти достоинства в трудах гг. Малинина и Буренина, я
должен заметить, что в арифметике их некоторые места изложены
неудовлетворительно. Так, на стр. 2 дается следующее определение числа:
«Число есть одна единица или совокупность нескольких однородных
единиц». На стр. 3, где делается вывод из понятия о числе, § 4
начинается так: «Так как всякое число есть совокупность нескольких
единиц, то...» и т. д. На стр. 8 предлагается вопрос о цифре (задача 13-я),
а понятие о цифрах дается только на следующей странице. На стр. 44
и 45 дается таблица умножения в одном виде; потом говорится, что ее
представляют в нижеследующем виде. Сравнивая же таблицу, вновь
написанную, мы замечаем, что она от первой разнится не только

- 361 -
видом своим, но и полнотою; первая же таблица умножения даже не
заключает в себе необходимого; например, в ней не находятся
произведения 5 на 3, 5 на 4 и т. д., а эти произведения необходимы, ибо
возможность заменить их произведением 3 на 5, 4 на 5 и т. п. показана
после.
На стр. 150 из того, что деление на число 9 не обнаруживает
ошибки при вычитании 3672 — 2837 = 835, заключается: «следовательно,
вычитание сделано верно»; на этом основании пришлось бы верным
считать и такое вычитание 37672 — 2837 = 853, где ошибка не может
быть обнаружена остатком от деления на 9. На стр. 194 говорится:
«Таким образом мы видим, что десятичные дроби, происходящие от
обращения простых дробей, бывают точные или конечные и периодические
или бесконечные». Но из предыдущего это не видать, и это показано
только на следующей странице.
На стр. 195 бездоказательно говорится: «сколько раз входит 2 и 5
(в знаменатель простой дроби), столько будет цифр до периода».
На стр. 204, о совокупных вычислениях простых и десятичных
дробей, говорится: «Обыкновенно, если простые дроби обращаются в
периодические, то лучше все дроби обратить в простые». Это неверно:
большею частью и в этом случае предпочитают употреблять
десятичные дроби.
Вследствие таких недосмотров в изложении, арифметика гг. Мали-
нина и Буренина, вместе с собранием задач, по ней составленным,
могла бы быть допущена только как пособие при преподавании
арифметики в гимназиях.
46. «Арифметика, составленная для сельских школ и приходских училищ».
Соч. А.Никулина49
Арифметика г. Никулина, составленная для сельских и приходских
училищ, содержит в себе очень подробные объяснения десятичной
системы нумерации, но в ней далеко не удовлетворительно изложены
арифметические действия над отвлеченными и именованными числами.
Здесь совершенно опущены все объяснения, необходимые для того,
чтобы дать понять ученику, почему при вычислении поступают так, а
не иначе. Бессознательное заучивание различных приемов,
предлагаемых в арифметике, не может принести никакой пользы... Кроме
недостаточного объяснения арифметика г. Никулина страдает темнотою
и сбивчивостью изложения. До какой степени дурно изложение у
г. Никулина, можно видеть из следующего места его книги: «Число,
которое показывает, сколько раз первое число (множимое) должно
быть сложено само с собою, называется множителем» (стр. 21); Это
не точно; если, например 5 умножить на 2, то 5 само собою
складывается не 2 раза, а 1 раз.
«Если остатки последних двух делений равны между собою, то это
будет служить признаком того, что сложение сделано верно» (стр. 31).

- 362 -
Этого нельзя сказать: если бы, например, автор нашел вместо суммы
18665 (пример 1-й) сумму 18656, то по вышеуказанному правилу
ошибка не обнаружилась бы. Относительно меры времени г. Никулин
говорит так (стр. 44): «Время измеряется продолжительностью движения
Земли. Земля имеет два движения: одно около Солнца, другое — около
своей оси. Продолжительность первого движения назвали годом,
продолжительность второго — сутками. В одном годе простом 365 суток
или дней, в одном високосном — 366 суток».
Как же понять? Из этого следовало бы понять, что в високосный
год Земля медленнее движется около Солнца.
Далее читаем: «В 1-м месяце 30 дней. Месяц разделяется еще на
4 недели. В одной неделе 7 суток». Одно противоречит другому, так
как 4 недели всего составляют 28 дней.
В мерах длины помещена длина градуса как вполне
определенная единица длины, между тем как длина градуса — величина
переменная.
В заключение считаю необходимым обратить внимание на
неправильное употребление союза «то», который автор повторяет очень
часто; он везде пишет так: «Чтобы убедиться в верности сложения, то
стоит только одно из слагаемых чисел опустить» и пр.
На основании вышесказанного я полагаю, что сочинение г.
Никулина не представляет собою удовлетворительного руководства для
училищ.
47. Арифметика, генетически составленная Э. Шнейдером
(СПб., 1867 г.) so
Арифметика г. Шнейдера и по изложению своему и по
содержанию существенно отличается от общеупотребительных руководств по
арифметике. Особенность этого руководства можно заметить и из
заглавия его; на нем значится: «Арифметика, генетически составленная
Э. Шнейдером». Вот как г. Шнейдер объясняет особенность своего
руководства:
«В предлагаемом руководстве я держался исключительно
генетического способа изложения, т. е. при каждом новом понятии указывал
не только на тесную связь его с предыдущими истинами, но также
объяснял, как всякая новая истина необходимо и естественным образом
должна была проявиться в известной и определенной форме всякий раз,
когда человек, возбужденный к мышлению внешними обстоятельствами
или внутренним влечением, не удовлетворялся более приобретенными
им прежде знаниями».
В состав своего руководства г. Шнейдер вводит, между прочим,
действия над количествами отрицательными, что, как известно,
представляет для понимания учеников много трудного даже в алгебре, куда
это собственно и относится.

363 —
До какой степени оказался неудобовыполнимым план г. Шнейдера,
можно видеть из того, что значительная часть его объяснений или
оказывается темною, или недоступною для понимания учеников, или
неверною, противоречащей тому, что положительно известно из высшей
математики. Например, как понять это место и насколько оно верно:
«При решении различных задач мы замечаем, что каждая из них
может быть решена помощью умозаключений, но что все-таки из
повторяющейся при каждой задаче последовательности различных действий
можно вывести общие правила для решения, сначала задачам можно
дать форму или двух равных сумм или двух равных произведений»
и пр. (стр. V).
О связи различных частей арифметики г. Шнейдер выражается так:
«в арифметических науках каждый новый шаг должен быть не чго
иное, как только другая форма прежде выведенной истины» (стр. VI;
суждение, очевидно, неверное).
Вот как г. Шнейдер дает понятие о нуле:
«Нуль выражает, что понятие существует, но предмета,
принадлежащего к нему, нет. Из этого следует, что и нуль может быть принят
за число, но только в виде члена численного ряда» (стр. 3).
На стр. 36 он говорит:
«Закон XIV. Если каждое слагаемое отдельно делится без остатка
на какое-либо число, то и сумма должна делиться на то же число.
Последний закон можно выразить и следующим образом:
«Закон XV. Если сумма и все слагаемые, исключая одного, делятся
на какое-либо число, то и последнее слагаемое делится на то же число».
Кроме недостатка в изложении, это ошибочно: последний закон не
одинаков с первым по содержанию своему и требует доказательства.
В конце следующей страницы (37) предлагается доказательство
одной теоремы (закон XVIII): это доказательство не достаточно, так
как в нем говорится о делимости одного числа на другое, а следует
говорить о существовании общего множителя в этих числах.
Также недостаточен вывод закона XXVIII (стр. 103). Чтобы
показать, как в арифметике г. Шнейдера объясняются действия над
отрицательными количествами, приведу здесь то, что он говорит
относительно умножения на отрицательные числа:
«Если (+7) • (+5) означает положительное счисление семи единиц
пять раз, т. е. +35, то (+7) • (—5) должно иметь значение противное,
т. е. должно быть равным —35, следовательно, произведение
положительного числа на отрицательное будет отрицательно».
«Если (—7) • (+5) означает положительное счисление семи единиц
пять раз, т. е. должно быть равным произведению —35, то (—7) • (—5)
должно иметь значение противное, т. е. положительного счисления
семи единиц пять раз, т, е. 4-35; другими словами, произведение
отрицательных чисел будет положительно» (стр. 107).
Из всего вышесказанного видно, что курс арифметики г. Шнейдера
не может быть признан удовлетворительным руководством.

— 364 -
■48. «Сборник примеров и задач, относящихся к курсу элементарной
алгебры» Ф. Бычкова51
Означенная книга содержит в себе обильный материал для
упражнений в алгебраических вычислениях. Выбор задач сделан с знанием дела,
и они расположены согласно с общепринятым порядком преподавания
алгебры. В конце книги дается решение некоторых задач. При этом
г. Бычков не объясняет, чем он руководствуется, пропуская решение
одних задач и помещая решение других. Так, в первом отделе он
опустил решение 114 первых задач и дал решение 115-й задачи, которая
ничего особенного не представляла. То же замечено при решении
задач других отделов. По нашему мнению, было бы лучше поместить ре-
шение или всех задач, или таких, которые почему-либо замечательны.
Но и в настоящем виде этот сборник задач может быть с пользою
употребляем при уроках алгебры, а потому я полагал бы допустить эту
книгу как пособие для гимназий.
49. «Начальная алгебра> Е: Пржевальского52
Г. Пржевальский, при составлении курса алгебры, не имел в виду
объема преподавания математики в наших гимназиях и совершенно
опустил статью о биноме Ньютона. По одному этому пропуску алгебра
г. Пржевальского не может заменить в наших гимназиях ныне
употребляемых руководств по этой науке; но, с другой стороны, сочинение
г. Пржевальского по изложению своему оставляет желать еще многого.
Так, для начинающих учиться алгебре трудно понять объяснения вроде
следующих: «Те вопросы, которые различаются между собою числами
и названиями предметов, называются вопросами одного рода. Так как
в этих вопросах условия от отношения между величинами одни и те
же, то, следовательно, и действия над ними, которые определяются по
условиям и отношениям величин, суть одни и те же...»; «Поставить
такие знаки, под которыми можно было бы подразумевать всякое число,
целое и дробное, и чтобы эти знаки по числовой величине можно было
бы различать между собой».
«Формула, не содержащая знаков -f- и —, называется одночленом».
А разве —2а, —26, —1 не суть одночлены? На основании
вышесказанного я полагаю, что «Начальная алгебра» г. Пржевальского не может
.быть рекомендована для употребления в наших гимназиях.
50. «Учебное пособие по предмету арифметики для воспитанников
Константиновского межевого института» инженер-капитана
Ларионова53
Означенное сочинение представляет значительное отступление от
общепринятой системы изложения арифметики. В этом сочинении,
прежде изложения первых четырех действий над целыми числами,
предлагается несколько статей о дробях, как-то: способ изображения и
выговаривания дробей; понятие о десятичных дробях, способ изображе-

- 365 -
ния и выговаривания десятичных дробей; понятие об увеличении и
уменьшении дробей простых и десятичных; приведение десятичных
дробей к одному общему знаменателю. Четыре действия над десятичными
дробями предлагаются прежде тех же действий над дробями
обыкновенными. При таких существенных отступлениях в системе изложения
арифметики сочинение г. Ларионова не может быть допущено для
употребления в наших училищах, где преподавание этой науки
расположено по общепринятой системе, удовлетворяющей требованиям
педагогики. Кроме того, сочинение г. Ларионова страдает сильно темнотою
и сбивчивостью изложения *.
51. «Пятизначные таблицы логарифмов чисел и тригонометрических
линий с прибавлением логарифмов Гаусса»
Е. Пржевальского54
Так как, с одной стороны, во всех общеупотребительных у нас курсах
алгебры при изложении учения о логарифмах имеются в виду более
точные таблицы — таблицы о семи знаках, а с другой,— таблицы о
пяти знаках, во многих случаях, далеко недостаточны, я нахожу
невозможным рекомендовать таблицы г. Пржевальского для употребления в
наших гимназиях.
52. «Руководство космографии для гимназий»,
поданное на конкурс 1865 г.под девизом «Numeri regmnt mtmdum»55
Руководство космографии для гимназий под девизом «Numeri re-
gunt mundum», представленное на конкурс в рукописном экземпляре,
напечатано с обозначением, что это руководство составлено
преподавателями Московской 4-й гимназии гг. Малининым и Бурениным.
Независимо от того, что появление этого сочинения в печати сделало
известным имена авторов, что противно условиям конкурса, это
сочинение не может быгь признано достойным премии и по недостаткам своим,
которые заключаются в сбивчивости изложения, и даже положительным
ошибкам. Многие места этого сочинения, страдающие также
недостатками, были уже указаны в «Математическом сборнике», издаваемом
Московским математическим обществом (3-е отделение III тома). Не
повторяя замеченного там, я укажу теперь на другие места этого
сомнения, из которых можно видеть, до какой степени
неудовлетворительно объяснены многие предметы, имеющие особенную важность.
В статье о фигуре Земли мы читаем (стр. 41 рукописи, стр. 34
книги): «Так как все меридианы имеют форму эллипсисов, а измерение
градусов экватора и параллелей показало, что они суть круги, то
нужно предположить, что Земля есть тело вращения, происходящее от
обращения полуэллипсиса около малой его оси». Почему же именно
* Дальше Чебышев приводит примеры плохого изложения.— Ред.

— 366 —
около малой оси, а не около большой? На той же странице мы читаем:
«...меридианы имеют форму эллипсиса, кривой, которая получена при
пересечении прямого конуса плоскостью наклонно к его оси». Но таким
образом получается и гипербола; следовало бы вместо конуса взять
цилиндр; или, оставив конус, сказать, что эллипсис есть одна из кривых
линий, получаемых при вышесказанном сечении. На стр. 10 рукописи
(та же страница книги) читаем: «звезда представляется (в трубу)
блестящею точкою, а планета небольшим кружком большего или
меньшего диаметра, смотря по силе телескопа». Но известно, что при
рассматривании планет в телескоп они представляются не всегда
кружками.
На стр. 16 рукописи читаем: «все тела при падении стремятся к
центру Земли». Это было бы тогда, если бы Земля была неподвижна и
представляла точный шар. Касательно черчения географических карт
на стр. 46 рукописи (39 стр. книги) читаем: «Обе вышеизложенные
проекции (стереографическая и ортографическая) представляют то
неудобство, что различные части земной поверхности изображаются в
них в различном масштабе и, следовательно, из отношения частей,,
изображенных на карте, нельзя судить о действительном отношении их
на земной поверхности. Поэтому проекции эти употребляются только для
изображения целых полушарий. В тех же случаях, когда желательно
изобразить небольшую часть земной поверхности, например, какое-
нибудь государство, употребляют другую проекцию, называемую
проекцией Бонна или коническою проекцией». В этих немногих строках
несколько ошибок и очень грубых. Так, 1) заключение авторов:
«поэтому проекции эти...» и пр., не имеет основания, 2) это само по себе не
верно, не согласовано с общеизвестными фактами, 3) изменение
масштаба не составляет принадлежности исключительно двух
вышеупомянутых проекций; они принадлежат всем проекциям, не исключая
проекции Бонна. Подобных мест, требующих исправления, как в рукописи»
так и в книге очень много, и потому в настоящем виде это сочинение
не может быть признано удовлетворительным руководством.
53, «Основания геометрии» Руше и Комберусса
Пер. с франц. А. Гольденберга. Москва. 1869 г.56
Курс геометрии Руше и Комберусса, в переводе А. Гольденберга.
далеко не удовлетворяет условиям хорошего руководства. До какой
степени некоторые места этого сочинения изложены несоответственно
условиям хорошего руководства, можно видеть из нижеследующего.
Б первой же главе мы встречаем такое общее предложение, которое
не может быть вполне понято начинающими: «Если какая-либо
теорема и обратная ей справедливы, то и противные им справедливы;
точно так же справедливость какой-либо теоремы, противной ей, влечет
за собою справедливость им обратным» (стр. 11).

— 367 -
Далее, в той же главе такое общее правило трудно понимаемое:
«Когда в теореме или ряде теорем сделаны были все возможные
предположения и все они привели к заключениям между собою
существенно различным, то все теоремы, обратные доказанным, справедливы»
(стр. 24).
Во 2-й главе читаем: «...соответствие в равенстве и соответствие в
сумме представляют необходимые и достаточные условия
пропорциональности двух величин. Если выполняется только одно из этих
условий, то пропорциональность не существует» и т. д. (стр. 83). Подобные
общие предложения не должны иметь места в начале курса. С другой
стороны, мы замечаем, что в этом курсе без особенной надобности
введены новые термины такого рода: равноделящая стороны треугольника,
равноделящая угол, а исключен такой общеупотребительный термин,
как «катет», через что, по необходимости, усложнилось изложение
многих предметов. Так, общеизвестное изложение теоремы Пифагора
пришлось заменить таким, не столь простым и не столь ясным: «Квадрат,
построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик
сумме квадратов, построенных на сторонах прямого угла» (стр. 24).
Также нельзя не отнести к числу недостатков неверное употребление
общепринятых терминов. Так, на стр. 14 читаем: «...вершины этих
углов — вершины треугольника», а на следующей странице, как бы в
опровержение этого, говорится: «...третью сторону равнобедренного
треугольника называют его основанием, а противолежащую ей вершину
вершиной равнобедренного треугольника» (стр. 15).
Из вышесказанного видно, что курс геометрии Руше и Комберусса,
изданный в переводе на русский язык г. Гольденбергом, не может быть
рекомендован в наших учебных заведениях.
54. «Руководство алгебры» В. В о л е н с а57
Это рукободство сильно страдает темнотою изложения и
положительными ошибками; оно не может быть признано удовлетворительным
и по содержанию; в нем заключается масса теорем или правил
относительно первых четырех действий, которые совершенно излишни;
например: «чтобы сложить какую-либо величину с суммою, надобно
эту величину сложить последовательно с слагаемыми в произвольном
порядке». Доказательство этой теоремы лишено надлежащей строгости,
так как в них автор ограничивается рассмотрением целых чисел.
Также излишни многие теоремы, предлагаемые автором в статье о
пропорциях.
Заключая в себе так много лишнего, сочинение это в то же время
представляет значительные пропуски относительно предметов особой
важности, как-то: не показано, распространение бинома Ньютона на
показателей дробных и отрицательных, не показано точное
определение основания логарифмов, о котором ошибочно сказано, что оно
равняется 2,71828 (стр. 163), между тем как это только приближенная его

- 368 —
величина; не показано даже значение нулевых степеней в статье о
показателях. Из всего вышесказанного видно, что разбираемое
«Руководство алгебры» не может быть одобрено.
55. «Учебник плоской тригонометрии» Ф. Мочника
Пер. с нем. А. Черкунова. Киев, 1869 г.58
Курс тригонометрии доктора Мочника, заключающий в себе менее
трех печатных листов, страдает чрезмерной сжатостью изложения и
весьма значительными пропусками, вследствие чего в этом курсе
многое темно и недостаточно, а введение в курс тригонометрии термина
«тригонометрические или угловые функции», употребляемого вместе с
общеизвестным термином «тригонометрические линии» еще более
затемняет изложение. Вот как в курсе г. Мочника дается понятие об этих
функциях: «Так как в основании измерений линий и углов служат
существенно различные единицы, которые поэтому в числах не могут
выражаться одной и тою же единицей, то были побуждены в вычислениях
вместо углов употреблять отношение известных прямых линий, которые
бы определенным образом зависели от величин углов: эти отношения
называются тригонометрическими или угловыми функциями» (стр. 6).
Начинающему учиться тригонометрии эгого не понять, а с другой
стороны, [это] и не согласно с тем,' что известно об измерении углов
дугами, дуг — прямыми линиями. Далее, на стр. 12, встречается термин, не
имеющий смысла: «угловые функции круга». На стр. 26 употребляется
еще новый термин: «кофункция». Кроме темноты и неясности
изложения, в курсе г. Мочника замечаются такого рода пропуски: не дается
даже понятие о том, что называется sinus-versus и cosinus-versus;
не показан переход от длины дуги в частях радиуса к числу градусов,
минут и секунд, и обратно, вследствие чего выводы, делаемые автором
на стр. 42 и 43, не могут быть поняты; не доказано, что при острых
углах дуга превосходит синус, а остается меньше тангенса, между тем
как это служит основанием для составления тригонометрических таблиц.
Из всего вышесказанного ясно, что «Учебник плоской
тригонометрии» г. Мочника не может быть признан удовлетворительным
руководством.
56. «Тригонометрия» Серре
в переводе Е. Гутора; Воронеж, 1869 г.59
Преподаватель Воронежской гимназии, поручик Гутор, представил
в Ученый комитет Министерства народного просвещения и в Ученый
комитет при Святейшем синоде первый выпуск перевода тригонометрии
Серре, просил рассмотреть этот выпуск и, буде он окажется того
достойным, рекомендовать для употребления в училищах нашего
Министерства и Духовного ведомства. Сочинение г. Серре, по содержанию

- 369 —
своему, далеко превосходит объем преподавания тригонометрии в
средних учебных заведениях: оно содержит и сферическую тригонометрию
и тригонометрические ряды и решение по приближению треугольников
при помощи дифференциального исчисления. Хотя начало этого
сочинения, представленного в переводе г. Гутором, и имеет предметом одну
лишь прямолинейную тригонометрию, но и здесь содержится много
такого, что необходимо было поместить автору, имевшему в виду
высший курс тригонометрии, и что совершенно излишне в руководстве для
средних учебных заведений. Так, здесь выводятся формулы для
суммирования синусов и косинусов дуг, составляющих арифметическую
прогрессию (стр. 29), формулы для деления дуг (стр. 35—47), выражение
тригонометрических линий некоторых дуг помощью радикалов (стр.
47—48), формулы, связывающие тригонометрические линии некоторых
углов (стр. 57—64). Что касается до достоинств перевода, то он в
некоторых местах неудовлетворителен *...
На основании вышесказанного я полагаю, что первый выпуск
тригонометрии Серре, переведенной г. Гутором, не может быть
рекомендован для употребления в учебных заведениях Министерства народного
просвещения и Духовного ведомства.
57. «Начала космографии> Б. Браевича
СПб., 1871 г. «о
Сочинение г. Краевича заключает в себе два отдела —
математическую географию и физическую географию и два прибавления — о
конических сечениях и о пасхалиях. По рассмотрении книги и -всех
прибавлений, имею честь донести Комитету, что они изложены с достаточною
полнотою и ясностью и соответствуют требованиям программы
преподавания космографии в гимназиях, а потому я полагаю возможным
допустить это сочинение для употребления в гимназиях как руководство
по космографии.
68. «Практическая арифметика» П. Гурьева
СПб., 1871 г., 2-е издание61.
Означенный курс арифметики, как видно из предисловия, составлен
г. Гурьевым из двух его сочинений: «Руководства к преподаванию
арифметики малолетним детям» и «Арифметических листков». Первое
предназначалось собственно для молодых наставников и тех родителей,
преимущественно матерей, которые захотели бы сами руководить
занятиями своих детей; второе же заключает в себе собрание задач с их
решениями. Из этих-то двух книг и составил свой курс «Практической
арифметики» г. Гурьев, причем от имел в виду дать возможность
обойтись при изучении арифметики без помощи руководителя, за
исключением крайних случаев. Имея в виду такую особенную цель при
составлении своей «Практической арифметики», г. Гурьев не стеснялся
* Дальше Чебышев приводит примеры.—■ Ред.
24 п. Л. Чебышев, т. V

- 370 —
требованиями системы преподавания арифметики, системы,
общепринятой в наших училищах. Так, между статьями о вычитании, делении
чисел, не превосходящих 100 (стр. 13), помещена статья об употреби-
телвнейших мерах длины, веса и пр. Та же статья, с некоторыми
дополнениями, помещена после статьи об изменяемости частного,
происходящего от различных 'изменений делимого и делителя (стр. 132), Та же
статья, с новыми прибавлениями, встречается третий раз на стр. 216—
222 и между двумя статьями, которые нигде не разделяются: статьей
о приведении дробей к одному знаменателю и статьей о сложении и
вычитании дробей, действий, для которых нужно приведение дробей к
одному знамвдателю.
В статье о десятичных дробях (стр. 246), прежде чем показать, что
всякая бесконечная дробь, происходящая от обращения обыкновенной
дроби в десятичную, будет периодической, говорится о приведении
бесконечных десятичных дробей в простые, возможном только в случае их
периодичности (стр. 127). В статье о разложении чисел на простые
множители не объяснено, до какого предела нужно пробовать деление на
различные простые числа, а после говорится только по отношению
к числу 347.
На основании всего вышесказанного полагаю, что «Практическая
арифметика» г. Гурьева не может быть принята в число руководств,
употребляемых в наших училищах.
59. «Курс начальной алгебры».
Соч. учителя Курской гимназии Вержинского62.
По рассмотрении сочинения г. Вержинского, имею честь донести, что
оно, по содержанию и изложению статей, не ниже некоторых курсов
алгебры, изданных у нас в последнее десятилетие, и что оно
несомненно свидетельствует и о педагогических способностях автора и о его
трудолюбии; но, вместе с тем, нельзя не заметить, что сочинение г.
Вержинского, подобно вышеупомянутым курсам алгебры, свидетельствует
об особенной трудности составления начальной алгебры, настолько
удовлетворительной, что ее можно было бы рекомендовать для руководства
в гимназиях. Неудовлетворительность этого курса заключается в
неверном представлении предметов особенно важных, в неполноте или
нестрогости доказательств и в недостаке ясности при изложении.
Чтобы показать, до какой степени во всех этих отношениях страдает
курс алгебры г. Вержинского, приведу из нее несколько отрывков.
Относительно знаков +> —, •, : на стр. 9 читаем: «Знаки эта, как
известно, употреблялись и в арифметике, но там они по произволу
поставлены или пропущены». Этого никак нельзя сказать. На стр. 471
дается такое ошибочное определение мнимых величин: «отрицательная
величина, из которой извлекается кв. корень, называется мнимая
величина второй степени». Нельзя сказать, что —5, например, стоящее под
знаком радикала в выражении J/ — 5, есть мнимая величина. С другой

- 371 -
стороны, ошибочно различать мнимости второй степени от мнимости
высших степеней, так как последние всегда приводятся к первым.
4 5 3
На стр. 604 читаем: «j/a26, ]/3a26, ]/—7а62 будут величины действи-
4 4
тельные, a ]/— 2ab2, |/— 15а262 величины мнимые». Этого нельзя
сказать вообще, и сопоставляя это место со статьей о решении
двухчленного уравнения (стр. 674), где находим: х = ±у - *,мы пришли бы
к заключению, что здесь х всегда мнимая величина.
В статье о неопределенных уравнениях читаем (стр. 657):
«Существует однако же признак, по которому мы можем впредь сказать,
может ли неопределенное уравнение вида ах -\-Ьу — с доставить
решение в целых числах или нет. Этот признак состоит в том, что если
постоянные величины а и Ь имеют общего делителя, а с его в себе не
заключает, то в таком случае решение в целых числах невозможно».
Но это составляет только признак невозможности, необходимо было
бы тут же показать признак возможности или не упоминать о нем, пока
не будет дан способ решать неопределенные уравнения.
Вот как темно и не точно предлагается способ неопределенных
коэффициентов, в виде правил:
«если будут даны два многочлена, расположенные по степеням
одной и той же переменной величины, то коэффициенты у одийаковых
степеней ее, не содержащие в себе этой величины, равны между собою»
(стр. 383). На стр. 258 66 уравнениях автор выражается совершенно
непонятно.
На основании вышесказанного я полагаю, что «Курс алгебры»
г. Вержинского не может удовлетворить требованиям хорошего
руководства.
60. «Новое решение некоторых наиболее известных геометрических задач>
М. Серебро^вского
(Казань, 1868 г.)68
Задачи, составляющие предмет этой книжки, допускают много
различных решений, но из этих решений в состав руководств и пособий
по геометрии вошли только те, которые отличаются удобоприменимо-
стью на практике или замечательны в теоретическом отношении. Что
же касается до всех других решений тех же задач, то изучение их не
может принести существенной пользы, тем более что при помощи
приложения алгебры к геометрии такие решения отыскиваются без всякого
затруднения. Но если сочинение г. Серебровского не может быть
рекомендовано как пособие по геометрии, то нельзя не признать, что оно
ясно свидетельствует о математических способностях автора, так как
решения, им предлагаемые, найдены им, повидимому^ без помощи
приложения алгебры к геометрии и высшей геометрии, и эти решения
существенно отличны от тех, которые предлагаются в курсах геометрии.
24*

— 372 —
61. «Начальная алгебра» Д. Гика.
Часть 1: Алгебраические количества и действия над ними (Москва, 1869 г.)
Часть 2: Алгебраические вопросы и их решения (Одесса, 1871 г.)64.
Сочинение г. Гика ни по содержанию своему, ни по системе не
соответствует требованиям программы преподавания алгебры в гимназиях.
Несмотря на то, что курс алгебры г. Гика очень значительного объема
(ч. 1—268 стр., ч. 2—*534 стр.), в нем совсем опущена статья о
биноме Ньютона и его приложениях, статья же о логарифмах изложена
недостаточно. С другой стороны, мы встречаем в этом курсе массу
теорем совершенно излишних, вроде следующих:
«§ 29. Мантисса неправильной дроби равняется дробной части
логарифма числителя без логарифма знаменателя» (ч. 2, стр. 379).
«Теорема 10. Сумма целых и равных степеней двух количеств
никогда не делится на разность их оснований, т. е. ат + Ьт не делится
на а — 6, а остаток от деления есть 2 ат». Последнее, сверх того,
неверно. При делении алгебраических выражений, строго говоря, остаток
не имеет определенной величины и зависит от порядка расположения
членов в делимом и делителе. При том расположении членов, которое
мы находим у автора, деление суммы ат + Ьт на а — Ъ дает остаток
не 2ат, а 2Ьт.
По расположению различных статей курс г. Гика также не
соответствует требованиям программы. Так, в нем статья об отрицательных
величинах (ч. 1, гл. VI) помещена после статей о сложении, вычитании,
умножении и делении как одночленов, так и многочленов, статья о
логарифмах перемешана со статьей о прогрессиях. Кроме того нельзя не
заметить, что сочинение г. Гика не отличается ясностью изложения...
В заключение замечу, что автор не везде надлежащим образом
употребляет математические знакоположения; так, например, на стр. 226
{ч. 1) мы у него находим формулы:
-3 -12
на стр. 227 (ч. 1)
Var\ VW+W '
У а\ у а 3> и т. д.
На основании всего вышесказанного я полагаю, что курс «Начальной
алгебры» г. Гика не может быть принят в число руководств для
гимназий.
62. «Полный курс начальной арифметики».
Руководство для домашнего чтения и школьного преподавания, а также для сельских
учителей Ф. Чеканского (СПб., 187il)es.
Сочинение г. Чеканского ни по системе своей, ни по содержанию
не соответствует программам преподавания арифметики в наших
училищах как низших, так и средних. В этом курсе помещены статьи,

- 373 —
которые не могут иметь места в учебнике элементарном, как то:
извлечение кв. корней, признаки делимости на числа 7 и 13, а между тем нет
ничего о десятичных дробях; не показано определение общего
наибольшего делителя посредством последовательного деления, нет
надлежащего объяснения разложений чисел на простые множители. Чтобы
показать, до какой степени этот курс по системе своей отступает от
общепринятого способа преподавания арифметики, считаю достаточным
заметить, что здесь, прежде чем дается понятие о числах больших 1000,
говорится и об измерении углов транспортиром, и об отвесе, и о линиях
перпендикулярных и параллельных, и о различных многоугольниках...
Учитывая это, а также неудовлетворительность изложения, г. Ч^бышеЕ не одобрил
сочинение Чеканского для употребления в гимназиях как руководства.
63. «Сборник арифметических задач для приготовительного
и систематического курса».
Составил В. Евтушевский. Часть 1-я: целые числа. Часть 2-я: дроби.СПб., 1871 а.
В предисловиях к 1 и 2 частям своего труда автор подробно
говорит о содержании их и тех особенностях, которые резко отличают его
сборник арифметических задач от других сборников подобных задач, и
в конце предисловий указывает на книгу свою, под заглавием:
«Методика арифметики в применении к сборнику арифметических задач».
«Что касается,—говорит он в конце предисловия к 1-й части,— самых
подробных указаний относительно употребления моего сборника задач
при прохождении курса арифметики, а также и указаний относительно
расположения и приемов сообщения ученикам этого курса как в низших,
так и средних учебных заведениях, то они изложены в особой книге
для учителей „Методика арифметики в применении к сборнику
арифметических задач", к печатанию которой я вскоре приступлю». При тех
особенностях, которые замечаются в сборнике задач г. Евтушевского,
такая книга крайне необходима; только при пособии ее можно
надеяться, что наши учителя, привыкшие к общепринятой у нас системе
преподавания арифметики, будут в состоянии извлечь надлежащую
пользу. Но до тех пор, пока эта книга не будет издана автором, нельзя
вводить в употребление его сборника задач, составленного, повидимому,
для преподавания арифметики по системе, существенно отличной от
той, по которой составлены учебники, принятые в руководство в наших
училищах.
Рассматривая этот сборник задач по отношению к общепринятой у
нас системе преподавания арифметики, мы замечаем в нем такие
отступления, которые делают его неудобоприменимым в наших училищах.
Отступления эти замечаются и в последовательности изложения, и в
знакоположениях, и даже в самой системе нумерации.
Автор делит свой сборник задач на две части: 1-я — целые числа;
2-я—• дроби, а между тем во 2-й части мы находим целый отдел под
таким заглавием: «Действия над числами целыми любой величины»

— 374 —
(стр. 40—43), где предлагаются задачи исключительно на числа целые.
Кроме того, два параграфа отдела «Примеры для вычислений»
посвящены только целым числам. Все задачи на обыкновенные дроби
помещены прежде задач на числа целые, превосходящие 1 000 000. При
изложении мер а&тор начинает не с простейших линейных, как это
обыкновенно делают, а с мер тел сыпучих; в мерах длины, поверхностей и
объемов деление сажени на аршины и вершки и деление ее на футы
и дюймы перемешаны (стр. 95). Величина метра относительно
меридиана отнесена к отделу: части метра (стр. 106, 2-я ч.); аптекарский
вес от обыкновенного веса отделен мерами длины, поверхностей,
объемов, времени и бумаги и т. п.
Что касается до расположения задач в каждом отделе особенно, то
оно строго сделано по величине чисел; но зато трудности задачи
не всегда следуют в надлежащем порядке. Так, например, если
сравнить между собою в 1-м отделе 1-й части задачи 3, 9, 11, 24, то
задача 11, заключающаяся в следующем: «Семейство состоит из отца,
матери, сына и дочери. Сколько в этом семействе человек и поскольку
мужчин и женщин?», оказывается легче задачи 9-й на то же число 4,
и даже легче задачи 3-й, в которой говорится: «Мальчик, идя в училище,
получил от отца три копейки на завтрак; за копейку он купил яблоко,
а на остальные два кренделя. По скольку заплатил он за каждый
крендель?»
Задача 24-я заключается в следующем: «Два мальчика купили три
яблока; один одно яблоко, а другой два по одинаковой цене; второй
за свои яблоки заплатил двумя копейками больше первого. Сколько
стоят все три яблока?», а в следующей задаче (25-й) дело идет до
простого счета недельных дней и т. п...
На основании всего вышесказанного я полагаю, что сборник
арифметических задач г. Евтушевского не может быть принят как пособие
при преподавании арифметики в наших училищах. На том же
основании я полагаю, что он не может быть введен в употребление и в
училищах духозного ведомства, где арифметика преподается по той
же системе, как и в наших училищах67.
64. «Практическая арифметика» (в 3-х частях) и «Сборник арифметических
задач» П. Полякова
(Москва, 1871 г.)68.
Курс арифметики г. Полякова содержит в себе эту науку в полном,
составе: кроме учения о целых числах и дробях, в ней заключаются и
пропорции с тройными правилами и корни квадратные и кубические.
По содержанию своему этот курс даже выходит за пределы программы
преподавания арифметики в гимназиях, где извлечение квадратных а
кубических корней отнесено к алгебре; но по изложению своему
арифметика г. Полякова далеко не соответствует требованиям гимназического
курса, так как в ней многие доказательства предложений особенно

- 375 —
важных изложены неудовлетворительно. Чтобы показать, до какой
степени в этом отношении страдает арифметика г. Полякова, приведу
здесь доказательства, предлагаемые автором относительно различных
предложений.
На стр. 21 читаем:
«27. Неизменяемость произведения от перестановки производителей;
5X4 значит 5 повторить четыре раза в сложении, т. е.
5 + 5 + 5 + 5 = 20;
4X5 значит 4 повторить пять раз в сложении, т. е.
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20.
Итак, все равно, что 5X4 или 4X5, следовательно, от перемены
порядка производителей произведение не переменяется».
На стр. 64 и 65 читаем:
«Число 105 делится без остатка на 5 и на 7; докажем, что оно
разделится на произведение этих чисел, т. е. на 35.
105:5 = 21; отсюда 105 = 5X21, или так как 21=7X3, то
105 = 5 X 7 X 3, или так как 5X7 = 35, то 105 = 35 X 3. Здесь 105
можно принять за делимое, 35 — за делитель, а 3 — за частное;
следовательно, 105 : 35 = 3.
То же самое и таким же образом можно вывести, разделив 105 на 7.
105:7=15; отсюда 105 = 7X15 = 7X5X3 = 35X3, а отсюда
105 : 35 = 3.
Итак, всякое число, которое делится без остатка на какие-нибудь
числа, не равные между собою, разделится без остатка и на их
произведение».
Нетрудно заметить, что заключения, выводимые здесь автором, не
имеют надлежащей строгости, и таким недостатком страдают многие
из доказательств, предлагаемых г. Поляковым.
Другого рода недостатки арифметики г. Полякова заключаются в
том, что он слишком большую важность приписывает различным
приемам, служащим для облегчения вычислений в уме, и этим частным
приемам он посвящает всегда первое место, что не согласно с
общепринятою системою преподавания арифметики в гимназиях и даже в
уездных училищах. Так, в статье о сложении, прежде чем показать
общепринятый способ сложения на письме, предлагается
облегчительный способ для сложения в уме (стр. 10), для чего автор считает
нужным заучить числа, от ел ожени л которых получается 10.
Далее говорит:
«Положим, что дано сложить 7 и 6. От 7 до 10 недостает 3, поэтому
от 6 отнимем 3 и придадим к 7, будет 10, а вместо 6 останется 3;
10 + 3=13».
На основании вышесказанного, я полагаю, что по изложению своему
арифметика г. Полякова не может удовлетворить требованиям гимнази-

- 376 —
ческого курса; что же касается до низших училищ, то по содержанию
своему она не соответствует объему преподавания арифметики в этих
училищах.
Переходя к рассмотрению Сборника арифметических задач, я
должен заметить, что при составлении его г. Поляков им:ел в виду свой
курс Практической арифметики, а потому в его сборнике задач есть
такие задачи, которые, при обучении арифметике по общепринятой
системе, необходимо или совсем исключить или значительно сократить.
Так, в его сборнике слишком 4 страницы (30, 31, 32, 33, 34)
посвящены задачам на упражнения в разложении делимого на части кратные;
на стр. 29 предлагается 80 задач для повторения таблицы деления
и т. д.; но это еще не может быть препятствием для употребления этого
сборника задач как пособия, хотя не подлежит сомнению, что сборник
задач, составленный вполне согласно с принятою системою
преподавания арифметики и не требующий от учителя выбора задач и перемены
в системе их расположения, должен быть предпочтен сборнику задач
г. Полякова.
65. «Начальная геометрия».
Учебное руководство для средних учебных заведений В. Во ленеа (СПб., 1872г.) *
Г. Воленс при составлении своего курса «Начальной геометрии»
имел в виду исключительно средние учебные заведения, как это видно
из самого заглавия его книги. Но если этот кур,с, по содержанию
своему, не соответствует объему преподавания в гимназиях и других
средних учебных заведениях, то по изложению он далеко не удовлетворяет
требованиям преподавания геометрии в этих училищах. Сам автор в
предисловии к своему курсу говорит, что геометрия для гимназий
должна быть построена на научной почве, необходимо приучать учащихся
к математической строгости доказательства. Признавая вполне
справедливость такого мнения и прилагая его к настоящему случаю, мы
приходим к убеждению, что рассматриваемый нами курс геометрии, по
изложению своему, не может быть признан удовлетворительным
руководством для гимназий. Чтобы показать, как сильно он страдает
неточностью выражений и нестрогостью доказательств, приведу несколько
мест. На стр. 16 читаем: «треугольники, одинаковые по величине и
форме, называются равными; следовательно равные треугольники при
наложении совместятся». Что собственно разумеет автор под названием
одинаковые по форме и величине — не видно, и как выходит следствие,
выводимое автором, нельзя понять. Вот как автор, на стр. 28 и 29
выводит, что из данной точки можно провести только одну прямую
параллельно ВС: «Из точки А всегда можно опустить перпендикуляр АВ на
ВС; затем к прямой АВ в точке А восставим перпендикуляр AD.
Прямые AD и ВС будут параллельны, ибо обе перпендикулярны к третьей
АВ. Следовательно, так как в точке А можно восстановить только один

- 377 -
перпендикуляр к А В, поэтому из точки А можно провести только одну
прямую, параллельную £С». Но из того, что показанным здесь
построением получается только одна параллельная, нельзя еще заключить,
чтобы другое построение не дало другой параллельной.
Говоря об определении приближенной величины отношения
окружности к диаметру (стр. 100), автор не показывает возможности
вычислять это отношение со всякою желаемою точностью; при этом он
высказывает под видом леммы следующее: «если искомое число
заключается между двумя десятичными дробями, т. е. если оно более одной,
но менее другой десятичной дроби, то одинаковая десятичная часть
обеих дробей равна искомому числу до известной степени
приближения». Но весь вопрос здесь в степени точности: всякая десятичная дробь
может быть рассматриваема, как приближенная величина искомого до
некоторой степени приближения. Большая часть выводов относительно
поверхностей и объемов не имеет надлежащей строгости, так как при
этом рассматриваются многоугольники, состоящие из бесконечного
числа бесконечно малых сторон.
В заключение замечу, что на стр. 88 мы находим даже такое
доказательство, которое приводит к заключению положительно неверному.
Здесь автор, между прочим, доказывает, что во всяком многоугольнике,
вписанном в круге, стороны равны, если углы равны. Что это не всегда
имеет место, можно видеть из того, что около всякого прямоугольника,
каковы бы ни были его стороны, можно описать круг.
На основании всего вышесказанного я полагаю, что курс
геометрии г. Воленса не может быть признан удовлетворительным
руководством.
66. «Начальная геометрия для средних учебных заведений»
В. И. Беренса
Три выпуска. СПб., 1871 г. и 1872 г.70
При изложении своей геометрии г. Беренс значительно отступил от
общепринятой системы: цель, которую он при этом имел в виду,
объяснена им только при издании последнего выпуска книги, где находится
предисловие, которое должно предшествовать началу геометрии. Из того
предисловия видно, что г. Беренс при составлении своего руководства
имел в виду, выражаясь его собственными словами, соединить строгость
изложения с простотою объяснений и с последовательным
распределением учебного материала. Вполне сознавая, что упрощение в изложении
геометрии с сохранением всей строгости доказательств послужило бы
значительным облегчением для преподавания этого предмета, я не могу
не заметить, что достижение этого представляет особенные трудности;
все попытки, сделанные до сих пор для упрощения геометрии, были
далеко не удачны. Сочинение г. Беренса также может служить
подтверждением того, как трудно ввести упрощения в изложении геометрии с

- 378 -
сохранением всей строгости доказательств и надлежащей точности
выражений.
Приступая к изложению геометрии, автор в 1-м параграфе
показывает предмет занятий этой науки, говоря таким образом:
«Места, занимаемые вещественными предметами, называются
геометрическими телами или объемами. Изучением свойств объемов
занимается наука, именуемая геометрией» (стр. 1).
В следующем же параграфе (стр. 2) о предмете занятий геометрии
говорится другое:
«Итак, мы имеем,— говорится здесь,— три рода геометрических
величин: тела, поверхности и линии. Все эти величины вместе известны под
общим именем протяжений. Свойства всех трех родов протяжений
составляют предмет геометрии, почему она называется также наукой о
протяжениях>.
Идя же далее, мы замечаем, что, по словам автора (стр. 6), нельзя
даже ограничить занятий геометрии тремя вышеуказанными
протяжениями,, а следует сказать, что она занимается свойствами четырех родов
протяжений, так как, по его определению углов, они представляют
тоже особенный род протяжений.
Следующий § 3 начинается так: «Хотя поверхности, линии и точки
всегда можем иметь на теле, но можем их воображать и отдельно»
(стр. 2).
Трудно понять настоящий смысл первого предложения: «иметь на
теле точки» и пр.
В четвертом параграфе автор приступает к рассмотрению прямой
линии и, вместо определения ее, говорит, что это — простейшая линия
(стр. 2). Но что значит слово простейшая — этого он нигде не объясняет.
Затем он говорит, как на практике получаются прямые линии, как
поверяются линейки, как ставят вехи, и потом прямо делает такое заключение:
«Итак, прямая линия есть такая линия, на которой, если взять две
какие-нибудь точки, то через эти две точки другой такой же линии
вообразить нельзя» и пр.
Та же нестрогость вывода замечается в следующих словах их
автора, которыми оканчивается § 4:
«Так как, с одной стороны, между двумя точками можно провести
только одну прямую, а с другой стороны, между различными
расстояниями, идущими (?) от одной точки до другой, должно быть
наименьшее, то прямую линию нужно считать кратчайшим расстоянием между
двумя точками».
§ 8 (стр. 2) начинается так:
«При изучении протяжений употребляются названия: аксиома,
теорема, задача и пр.».
Затем автор говорит об аксиомах, теоремах, задачах и даже о
гипотезах, но забывает определения и постулаты, имеющие особую важность
для геометрии. В этом параграфе автор, между прочим, говорит
следующее:

— 379 —
«Теорема и задача общим именем называются предложениями»
(стр. 4). Почему же задачи, подобно теоремам, называются
предложениями? Это неверно. Продолжая таким образом рассматривать
параграф за параграфом сочинения г. Беренса, мы находим в нем не мало
такого, что должно быть исправлено. В особенности требует
тщательного пересмотра первый отдел под заглавием «Предварительные
понятия:», к которому относятся все вышепоказанные замечания. Но и
другие отделы сочинения г. Беренса, хотя далеко не в такой степени,
требуют исправления. Чтобы показать, до какой степени это необходимо,
приведу здесь несколько мест из различных частей его сочинения.
Вот как он приступает (стр. 17) к теории параллельных линий.
«В предыдущей статье рассматривались свойства линий,
соединяющих точки прямой с точкой, вне прямой находящейся; теперь
рассмотрим свойства прямых, проводимых через точку, вне прямой лежащей».
Но разве линии, соединяющие точки прямой с точкою, вне прямой
находящеюся, не суть в то же время линии, проходящие через точку,
вне прямой лежащей.
Переходя к известному постулату Евклида, автор говорит так:
«Проведя теперь через точку А какую-нибудь другую [прямую],
надо будет доказать, что она встретится с DC. Точного доказательства
этой истины до сих пор еще не существует, почему мы ее допустим без
доказательства».
Но одно отсутствие строгого доказательства не может служить
основанием для принятия чего-либо за несомненное.
Замечу при этом, что объяснение этой истины, напечатанное ниже
мелким шрифтом (стр. 18) и, по мнению автора, необязательное для
наших гимназий, решительно ничего не дает в подтверждение этой истины.
В отделе о двугранных углах (стр. 215—219) автор неверно
называет величину двугранного угла наклонением двугранного угла.
Теоремы об усеченных пирамидах и конусах (стр. 258—297) не
точно формулированы; все, что в них говорится об объеме и поверхности
усеченных пирамид и конусов, справедливо только в том случае, когда
сечения сделаны параллельно основанию, и это было необходимо
оговорить в теореме.
В § 217 (стр. 320) говорится, что сечение конуса плоскостью,
проходящею через ось его, представляет две прямых, и при этом даже есть
ссылка на § 191, а в § 191 (стр. 287) доказывается теорема, по
которой это сечение есть равнобедренный треугольник, а не две прямых.
Сопоставляя же то, что доказывается на стр. 284 относительно сечений
круглых поверхностей, с тем, что говорится на стр. 285 об образовании
прямого круглого конуса, мы приходим к третьему заключению
относительно сечений конуса, не согласному ни с тем, что сказано в § 191,
ни с тем, что сказано в § 217.
Все выше замеченное относительно геометрии г. Беренса показывает
только, до какой степени трудно выполнение задачи, которую он себе
предложил. Но чем труднее задача, тем большего внимания будет

- 380 -
заслуживать удовлетворительное решение ее, и этого мы можем ожидать
от нового издания сего курса, когда автором будут вполне устранены
неточности выражений, вкравшиеся в первое его издание и бывшие
причиною вышеуказанных противоречий в тексте и нестрогости
доказательств.
67. «Методика арифметики».
Пособие для родителей, учителей и учительских семинарий.
Составил В. Е'втушевский. СПб., 1872 г.
«Сборник арифметических задач для приготовительного и
систематического курса».
Составил В. Е вту ш е в с ки й. Часть 1-я: целые числа. Часть 2-я: дроби. Издание
второе, исправленное. СПб., 1872 г.71
Учитель математики, надворный советник В. А. Евтушевский,
представил в Ученый комитет составленные им книги: 1) «Методика
арифметики», пособие для родителей, учителей и учительских семинарий
и 2) «Сборник арифметических задач для приготовительного и
систематического курса», вышедший вторым изданием. При этом г. Евтушевский
в прошении своем объясняет, что первая книга предназначается для
учащих, вторая для учеников и что в последней — сборнике
арифметических задач — при втором издании сделаны поправки и изменения,
указанные ему касательно первого издания.
В донесении моем относительно первого издания сборника задач
Евтушевского, представленном Ученому комитету в конце 1871 г.,
изложены основания, по которым этот сборник не мог быть принят в
пособие при изложении арифметики по общепринятой у нас системе
преподавания этой науки. Так как все перемены и исправления, сделанные
г. Евтушевским при втором издании его сборника и задач, касаются
только статей дополнительных, а именно: таблиц и примеров
вычислений, то все, сказанное мною прежде о неудобоприменимости этого
сборника задач в наших учебных заведениях, остается во всей силе и
относительно второго издалия. К этому я должен еще присовокупить,
что и поправки в дополнительных статьях сделаны автором далеко не
удовлетворительно. Так, относительно первого издания ему замечена
была неточность заглавия одной таблицы чисел, а именно:
«Таблица чисел до 2743, делящихся без остатка на 7, 13, 17, 19, 23».
В новом издании это заглавие переменено на следующее: «Таблица
чисел до 2743, имеющих наименьших делителей 7, 13, 17, 19, 23»
(стр. ПО, ч. III). Это новое заглавие, очевидно, хуже прежнего, так
как оно даже ошибочно в грамматическом отношении и тоже не дает
верного определения рода чисел, заключающихся в этой таблице,
чисел, между которыми многие (например 841, 899, 1147, 1189, 1247,
1271, 1333,...) не имеют делителями ни 7, ни 13, ни 17, ни 19, ни 23.
Также относительно 1-го издания была замечена ошибочность такого
выражения: «франк равен по весу 5 граммам серебра». В новом

- 381 -
издании это предложение заменено следующим: «франк весит 5 грамм».
Новая редакция, разумеется, лучше прежней, так как в ней не
высказывается разница веса 5 граммов серебра с весом 5 грамм какого-либо
другого вещества; но она, очевидно, не содержит того, что автор хотел
высказать в первой редакции, и что необходимо было высказать для
определения франка как монеты, а именно: веса серебра,
заключающегося в нем; в новом же издании сборника задач даже не сказано, что
эта монета серебряная.
Относительно первого издания заметно было неправильное
употребление арифметических знаков; при втором издании знакоположение
исправлено, но не везде....
В таблице мер (часть 1, стр. 97—99) сделаны поправки по указанию
моего донесения, но не все. Так как таблица начинается не с
простейших мер, а с мер тел сыпучих (ласт, четверть и т. д.); затем следуют
меры жидких тел (бочка, ведро, штоф).
Что касается до нового сочинения г. »Евтушевского под заглавием
«Методика арифметики», то оно, как говорит автор в прошении своем,
предназначается для учащих, а потому не может быть рассматриваемо
ни как руководство, ни как пособие для учеников, что видно и по
содержанию этого сочинения и по изложению. Я должен сказать только,
что сочинение его нашло бы более читателей и принесло бы большую
пользу, если бы оно было изложено языком более точным и не
противоречило бы началам науки. Чтобы показать, до какой степени оно
страдает в этом отношении, считаю достаточным привести из него
места, относящиеся до предметов особенно важных.
Вот что говорится на стр. 26 об истинах математических:
«Математические аксиомы можно считать врожденными человеку и
поставить их в зависимость от нервных движений, как это сделал
Ушинский в своей антропологии; нер©ы наши в здоровом состоянии не
могут представить нам части больше целого или двух прямых,
пересекающихся в двух точках — оттого и доказательство аксиом невозможно...
Все же остальные математические истины — теоремы приводятся к
очевидным истинам-аксиомам и на основании их доказываются».
Это неверно, доказательством чего служат, между прочим, постулаты.
Вот что говорится об арифметических действиях вообще (стр. 128):
«Сложение есть основное арифметическое действие — все прочие
арифметические действия происходят из него путем упрощения
вычислений».
Это прямо противоречит понятию о действиях прямых и обратных.
На следующей странице (129) автор приступает к изложению
упражнений при изучении отдельных чисел первого десятка. После
общеизвестного образования чисел прибавлением 1 к числу
предшествовавшему он говорит о разложении чисел на слагаемые, о
приведении этих разложений в систему и об определении числа их (стр. 131).
Но на все это, как известно, арифметика не имеет надлежащих средств,
и г. Евтушевский в книге своей не говорит, каким образом можно

— 382 —
безошибочно доходить до решения этих вопросов. Он ограничивается
только рассмотрением одного примера. Но из этого примера можно только
видеть трудность решения этих задач; ибо несмотря на то, что автор
для своего примера выбрал небольшое число (4), он (стр. 131)
пропустил три разложения, а именно: 1) один, пара, один, 2) пара, один,,
один, 3) один, один, пара.
Для приведения дробей к общему знаменателю, автор, между
прочим, предлагает особенные таблички. «Положим,— говорит он,—
(стр. 294),— требуется сложить дроби 12> 10 > 15.
Ученики составляют табличку
1
\2'
1
10'
1
15'
2
24 >
2
20'
2
30'
3 4 5
36' 48' 60'
3 4 5
30 > 40' 50'
3 ,4-
45» *6U * # ' #
6 (7
72' 84
6
60 > ' *
Причем для второй и третьей дроби табличка пишется только до
тех пор, пока не получатся доли, равные тем, в которых выражается
первая дробь, в настоящем случае 60~тые».
До какого предела нужно продолжать первый ряд, автор не
говорит; судя по точкам (...), можно думать, что он предполагает этот ряд
продолженным до бесконечности,— вещь невыполнимая на практике.
Второй ряд автор предлагает продолжать до дроби со знаменателем,
имеющим себе равного в первом ряду. Но, поступая таким образом,
мы в большей части случае©, не дойдем до общего знаменателя. Так,
ill
если данные дроби будут -2 > 3 > 5 > то, следуя строго словам автора,
* 1 1234567
мы должны составить для дроби у ряд у> -£-> -g-> -g-> j^> т^> т^,...,
11* 12 12
а для дробей уИ у ряды у > -6- * • • • и у' Jo • • • • *^ак же наВДется
тут общий знаменатель? На стр. 321 автор предлагает пример вычисления
с обыкновенными дробями. Это вычисление далеко не может быть
названо образцовым, так как здесь автор понапрасну переходит от
.неправильных дробей к смешанным числам и потом делает обратный переход.
На основании всего вышеизложенного я полагаю, что оба
сочинения г. Евтушевского требуют. тщательного пересмотра.
68. «Алгебра ддя гимназий с 1200 задачами и примерами».
В пяти книжках. Составил рорткевич, согласно с новым учебным планом
преподавания математики в гимназиях Министерства- народного просвещения.
СПб., 1872 72.
При составлении своей алгебры г. Борткевич имел в виду, не только
план, преподавания математики,, которому в точности долдош
следовать вее.гимцазии, но также и примерную программу алгебры, которая

- 383 -
приложена к этому плану, и от которой, разумеется, не будут
значительно уклоняться программы преподавания алгебры в различных
гимназиях. Так как, по уставу гимназий, составление программ
предоставлено самим преподавателям, то нельзя требовать от учебника алгебры,
чтобы он одинаково согласовался с программами преподавания этой
науки во всех гимназиях; но в этом и нет особенной надобности. При
составлении учебного плана преподавания алгебры имелись в виду
общеупотребительные курсы этой науки, и перестановка некоторых
статей, допущенная учебным планом, нимало не мешает употреблению
этих курсов.
Учебник алгебры г. Борткевича составляет пять отдельных книжек,
по числу классов, где этот предмет преподается, и каждая книжка
начинается выпиской из примерной программы того, что должно
проходиться из алгебры в соответствующем классе; а затем следует
изложение различных статей алгебры, показанных в этой программе.
Сравнивая состав книжек с программою, мы замечаем, что они
вполне согласуются с программою только по внешнему виду; по
существу же представляют уклонения друг от друга, более или менее
значительные и нередко такого свойства, при котором для
преподавания алгебры необходимо гораздо больше времени, чем полагается
в уставе.
• Так, в I книжке, где излагаются начала алгебры и где в
заключение следовало показать решение простеищих уравнений цервой ртепени
с одною неизвестною, из задач, к .ним относящихся, у г. Борткевича мы,
встречаем уравнения квадратные (стр. 45), определение уравнений
вообще, как числовых, так и буквенных, понятие о тождествах, о величи-"
нах постоянных, а что еще хуже, находим введение терминов, даже не
объясненных предварительно, каковы: «очевидные равенства»,
«постоянные количества» (стр. 46—47), «полнейшая неопределенность». Что„
собственно, разумеет автор под первым и последним терминами,— даже
трудно догадаться. Этою статьей автор еще не заканчивает I книжки,
как бы это следовало сделать не только по примерной программе, но и
по учебному плану; он предлагает еще статью о неравенствах и их
решении (стр. 60-—64).
В отдел о прогрессиях (книжка IV, стр. 7) автор включил статью о
треугольниках и квадратных числах, что несогласно с программою; в
статье же о логарифмах уделил слишком много места на
исследование того случая, когда за основание принимается чисдо, отличное от
10-ти, а между тем самое существенное предлагается в виде такого
примечания (стр. 46),:
«Примечание L Посредством логарифмов арифметические действия
упрощаются, и именно: умножение сводится на сложение, деление на
вычитание...» и т. д.
Прием, употребляемый при делении логарифмов с отрицательной
характеристикой, пример чего представляется ца стр. 45 книжки IV, не
объяснен; о натуральной системе логарифмов ничего нет.

— 384 -
Но если по составу своему курс алгебры г. Борткевича не совсем
подходит под требования преподавания алгебры в наших гимназиях, то
по изложению своему он даже далек от этого. Нигде так сильно не
высказывается вред темного и сбивчивою изложения, как в учебнике
алгебры, а в этом отношении сочинение г. Борткевича сильно
погрешает. Не говоря уже о предметах, которых ясное и точное изложение
представляет действительно не мало затруднений, у г. Борткевича
даже простые, общедоступные предметы изложены так, что их трудно
понять или можно понять неверно.
Так, что может быть проще понятия об уравнении первой степени с
одною неизвестною, а это у г. Борткевича в I книжке излагается так
{стр. 47):
«Уравнением первой степени с одним неизвестным называется такое
уравнение, которое может быть приведено различными
преобразованиями, не нарушающими его, к виду ах + Ь = О» и т. д.
Слова «различные преобразования, не нарушающие уравнения»,
слишком неопределенны; после того уравнение х2 — 2х + 1 = 0, приво-
дянхееся к х= 1, следует признать за уравнение первой степени.
Вот как определяется сложение алгебраических количеств (стр. 27,
кн. I):
«Сложить несколько количеств — значит-найти такое новое количество,
называемое суммой, которое заключало бы в себе столько
положительных и отрицательных единиц и ее частей, сколько их было во всех
данных количествах вместе, называемых слагаемыми».
По этому определению суммы она должна показывать отдельно
число единиц положительных и число единиц отрицательных, что
несправедливо.
Вот что говорит автор об отрицательных величинах (стр. 9, кн. I):
«В арифметике такое требование (из меньшего числа вычесть
большее) считается невозможным, даже несообразным, так как оно
противоречит здравому смыслу, не допускающему отнимать большее от
меньшего, а следовательно, и не согласуется с сущностью действия
арифметического вычитания; несмотря на это, в видах дальнейшего развития
науки, условились, в подобных случаях, отнимать от уменьшаемого
числа столько единиц и долей, сколько это окажется возможным, и
затем остающиеся в излишестве единицы и ее часть в вычитаемом
помещать в результате с знаком (—), означая этим условным знакополо-
жением, что столько-то единиц и ее долей подлежало еще отнятию, но
не могли быть отняты, так как неоткуда было их отнять.»
Из этих слов автора выходит, что для развития математики нужно
было ввести в нее несообразности: очевидно, что это не так.
По словам автора (стр. 37, кн. III) выходит, что квадратное
уравнение может иметь соизмеримые мнимые корни; но мнимое не может
быть соизмеримым.
Вот в каком виде изложено у автора (стр. 45, кн. V) определение
одного из решений уравнения ах-\-Ъу = с.

- 385 -
«Итак,— говорит он,— одна пара целых корней уравнения ах-\-Ьу = с
может быть легко найдена, если обратить обыкновенную дробь -. в
непрерывную, вычислить ее подходящие дроби, составить разность двух
т р
последних из них п и £ и затем умножить все члены полученного
равенства на произведение щс.ъ
Но что именно даст величину х и что величину у — об этом не
сказано; это тем нужнее было сказать, что здесь представляется
несколько различных случаев; с другой стороны, нельзя не заметить, что слова
«составить разность» не выражают того, что нужно было высказать.
Вот что говорит автор касательно извлечения корней различных
степеней из чисел (стр. 56, кн. I):
«...нужно обозначить число десятков искомого корня через х, а
число единиц через у и положить
N > (10а + у)п = 10V + -\ KT-V-1 у +
+ ifiLziliow-V-y + n{n~^~2) ion-V-y + ... 4-/А
а затем решить это неравенство, сводя постепенно вопрос на извлечение
корня, содержащего в себе все менее и менее цифр.»
Из этих слов автора ни один ученик не будет в состоянии понять,
что нужно делать для определения корней высших степеней.
Курс алгебры г. Борткевича особенно богат задачами и примерами,
которых, как видно из самого заглавия этого курса, содержится в нем
1200. Но такое обилие задач и примеров, помещенных между
выводами и объяснениями, едва ли может быть отнесено к числу достоинств
курса, так как чрез это существенно важное смешивается с
предметами, которые без особенного ущерба для науки могли бы быть опущены,
как это можно видеть даже из вышеприведенного относительно
изложения статей о логарифмах, о решении неопределенных уравнений и пр.
С другой стороны, нельзя не заметить, что решения задач,
предлагаемых автором как образец, иногда оказываются далеко не образцовыми.
Так, в книжке I, в статье о решении уравнений, автор в первом
примере (стр. 49) напрасно уничтожает знаменателя, не перенеся
известные члены числа в одну часть, а неизвестные в другую, так как чрез
это общий знаменатель сокращается. В книжке V (стр. 43) автор,
предлагая для примера определение помощью непрерывных дробей
приближенных значений, ошибочно считает «нужным разложить в
такую дробь и величину 3,141592 6 й величину 3,141592 7, выгода
употребления непрерывных дробей и состоит в том, что при помощи их одно
разложение дает и высшие и низшие пределы рассматриваемых
величин.
Нельзя также не упрекнуть автора за отступления от терминологий,
давно общепринятой в алгебре,—отступлений, которые ничем не могут
П. Л. Чебышев, т. v

- 386 -
быть оправданы и которые особенно вредны в учебнике. Так, во II кн.
на стр. 2—3 автор говорит о «расположении в убывающем (или
возрастающем) порядке относительно какой-нибудь буквы», между тем
как по общепринятой терминологии следовало сказать «расположение
по возрастающим или убывающим степеням какой-нибудь буквы»;
впоследствии (как можно видеть из стр. 5, кн. II, стр. 12, кн. II) автор
сам отказывается от своего нововведения. В книжке I, в статьях об
уравнениях первой степени и неравенствах, автор, вместо «решение»
говорит «корень» и выражается так: «корень уравнения первой
степени», «корень задачи», «корень неравенства первой степени»; в
книжке V (стр. 25—27), вместо того чтобы сказать: «извлечь кубический
корень из л» и «найти мнимые корни уравнения х3 = /г», автор говорит:
«извлечь вещественный кубический корень из л», «извлечь мнимый
кубический корень из я». К числу подобного рода нововведений должно
отнести такое употребление знаков неравенства >, <, какое мы
находим у автора; например на стр. 4 (книжка I), где читаем:
«Изобразите число, которое бы было >а на 1? Напишите
число > За — 1 на ЗЬ + с? А также, которое < Ъ + 5с на а.»
Кроме всех вышепоказанных недостатков сочинения г. Борткевича,
по которым оно не может быть рекомендовано для употребления в
гимназиях, курс г. Борткевича, в настоящем его виде, не мог бы быть
признан для употребления и по тем сокращениям многих слов, которые
еделаны при печатании его. Чтобы показать, до какой степени эти
сокращения затрудняют чтение книжек г. Борткевича, приведу из них
несколько мест.
«Сложить несколько положительных и отрицательных чисел значит
найти такое новое число, наз. суммой, которое бы заключало в себе
[столько] полож. и отриц. единиц и ее частей, сколько их было во всех
данных числах вместе, так наз. слагаемых» (кн. I, стр. 12).
«Разберем все случаи деления многочлена на многочлен, отн.
знаков одночленного делителя, причем под а, 6, с,... будут подразум.
какие угодно одночлены» (кн. II, стр. 1).
«Итак, выраж. Q- должно быть рассматриваемо как такое,
которого численное значение есть бесконечно большое, или иначе: как
предел величин, до которых достигает только мысль» (стр. 1$
кн. III).
«Цел. количества, общ. наиб, делитель кот. есть единица, наз. взаим-
нопростыми» (стр. 21, кн. II).
Если через такие сокращения и уменьшится несколько объем курса
алгебры г. Борткевича, то это имеет влияние только на уменьшение
цены его, а эта выгода далеко не может вознаградить учеников за
потерю времени на приискание надлежащих окончаний ко всем не вполне
напечатанным словам, для чего нужно перечитывать некоторые
периоды, так как окончание многих слов нельзя угадать, не прочтя всего
периода.

- 387 -
69. «Руководство алгебры и собрание алгебраических эадач».
Составили А. Малинин и К- Буренин. Изд. 2-е. Москва, 1872 г.
«Задачи для умственных вычислений».
Составил (преимущественно по Цингеру) А. Малинин; Москва, 1871 г.73
По рассмотрении означенных сочинений имею честь донести
Ученому комитету, что «Руководство алгебры и собрание алгебраических
задач» заключает в себе все то, что по плану преподавания математики
в гимназиях должно входить в состав курса, и все это изложено с
надлежащей полнотою и ясностью. Отступление от этого плана замечается
только в порядке распределения некоторых статей, но это не может
представить существенного препятствия для употребления этого
сочинения, как руководства в наших гимназиях, так как эти статьи легко
могут быть переносимы с одних мест на другие. Касательно изложения
я считаю нужным оговорить только употребление радикалов с показа-
3
т — 3 ^г
телями дробными и отрицательными, как то: Yan , V<*2, Va2 и пр.,
что несогласно с духом знакоположения и должно быть исправлено в
новом издании.
Переходя к собранию задач г. Малинина, я должен заметить, что
этот сборник заключает в себе много задач, которые с пользою могут
служить для упражнения учеников в вычислениях, по преимуществу
умственных, но что он далеко не обнимает всего курса арифметики,
а потому он может чбыть допущен для употребления как пособие
только в низших училищах и в приготовительных классах гимназий.
Что касается до употребления означенных сочинений в других
училищах, о которых упоминает г. Малинин в своем прошении, то я
полагаю, что курс алгебры может быть допущен к употреблению во всех
тех училищах, где алгебра преподается в одинаковом объеме с
гимназиями, а «Сборник задач» может быть допущен там, где допущены
сборники задач, одобренные для употребления в низших училищах и
приготовительном классе гимназий.
70. «Прямолинейная тригонометрия и сборник тригонометрических
задач» Е, Пржевальского74
Означенное сочинение как по своему объему, так и по богатству
содержания значительно превосходит те руководства тригонометрии,
которые употребляются в наших гимназиях, и по программе своей
далеко выходит за те границы, которые назначены для курса тригонометрии
учебным планом предметов, преподаваемых в мужских гимназиях
Министерства народного просвещения. В подтверждение вышесказанного
считаю достаточным указать, что г. Пржевальский в своем курсе
тригонометрии говорит о решении кубических уравнений (стр. 129) и
двучленных какой ни есть степени, и о суммировании тригонометрических
25*

- 388 -
рядов, и о теореме Муавра, и о многих других предметах,
принадлежащих к высшему курсу тригонометрии. На прохождение тригонометрии
в гимназиях -в таком объеме потребовалось бы уделить слишком много
времени, в ущерб другим математическим предметам, имеющим
большую важность и для общего образования и для приготовления к
занятиям высшею математикою. Поэтому я полагаю, что сочинение г.
Пржевальского не может быть допущено в гимназиях ни как руководство, ни
как пособие; но, имея в виду, что это сочинение заключает в себе
много такого по тригонометрии, что не входит в гимназический курс этой
науки и что вообще оно изложено удовлетворительно, я полагаю, что
это сочинение могло бы быть рекомендовано для библиотек гимназий и
реальных училищ.
71. Об объяснительной записке составителя «Практической арифметики»
П. Полякова75
Касательно замечаний, сделанных Ученым комитетом о том, что
некоторые заключения, выводимые г. Поляковым, не имеют надлежащей
строгости, он в своей объяснительной записке говорит следующее:
«В объяснительной прежней записке, представленной вместе с
учебником, я сам сознавался в таком недостатке и приводил тому следующую
причину: первая часть практической арифметики и начало второй
(статья о делителях) содержат в себе не совсем точные определения и
доказательства по той причине, что строгие научные определения и
доказательства не доступны для детей того возраста, в котором
обыкновенно проходится арифметика. Поневоле приходится жертвовать
строгою точностью в пользу ясности и доступности предмета. Впрочем
такая необходимая жертва не может нисколько повредить делу, потому
что арифметика, при повторении ее учениками VII класса гимназии,
излагается в строго научной форме по учебникам совершенно
различным с тем, какие употребляются в низших классах».
Такой взгляд на преподавание арифметики положительно не верен.
Доказательства, лишенные надлежащей строгости, ничего кроме вреда
принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени,
употребленного на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства
вредно действуют на умственные способности 'учеников, приучая их
видеть там достаточную причину, где ее нет. Если что-либо не может
быть доказано строго, необходимо это прямо сказать ученикам, а не
вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство.
Пример этого нам дал сам Евклид в своей геометрии. Г. Поляков также
ошибается, утверждая, что при повторении арифметики в VII классе
гимназии она излагается по учебникам совершенно различным с теми,
какие употребляются в низших классах. Не говоря уже о том, что
нельзя с успехом проходить алгебру с учениками, не вполне усвоившими
арифметику, преподавание арифметики в гимназиях потребовало бы
слишком много времени, если бы ее стали проходить два раза по двум

- 389 -
разным учебникам и предлагали различные доказательства на те же
самые истины.
В оправдание нестрогости доказательств, заключающихся в
учебнике г. Полякова, он сравнивает одно место своего сочинения с
соответствующим местом арифметики Леве (в 10-м издании), одобренной
Ученым комитетом; но при этом г. Поляков опускает начало
доказательства г. Леве.
72. Доклад о прошении, представленном в Ученый комитет
подполковником Беренсом76
Г. подполковник Беренс представил в Ученый комитет первые два
листа своей геометрии с сделанными исправлениями некоторых мест,
указанных мною в донесении моем о его книге, и объяснительную
записку о неисправленных местах, прося одобрить его книгу, если
сделанные им исправления и доводы его о неисправленных местах окажутся
основательными. К этому г. Беренс присовокупляет, что он вовсе не
настаивает на принятии его труда руководством, но что он ищет
только простого одобрения, без которого книга его не может употребляться
в гимназиях. Что собственно разумеет г. Беренс под словами: простое
одобрение — из его прошения не видно; равным образом не видно,
какое употребление должен иметь, по его мнению, его учебник
геометрии в тех гимназиях, где эта наука преподается по другим
учебникам, принятым за руководство. По самому составу своему, курс
геометрии г. Беренса не может быть отнесен к числу пособий; если же
г. Беренс имеет в виду приобретение его книги гимназическими
библиотеками, то к этому не представляется никакого препятствия; тем не
менее нет причины рекомендовать со стороны Ученого комитета эту
книгу и для библиотек, как это можно было заметить из сказанного
мною об этой книге в прежнем моем донесении.
Переходя к рассмотрению исправлений, сделанных г. Беренсом в его
геометрии .и в его объяснительной записке, считаю нужным сказать, что
в донесении моем, представленном в Ученый комитет в заседании
24 июля прошлого года, я сначала показал, в чем заключается
особенность курса геометрии, задуманного г. Беренсом, и основания, по
которым можно опасаться, что этот курс окажется неудовлетворительным,
затем привел несколько мест из его сочинения, из которого ясно видно,
что эти опасения оправдались на самом деле. Приведенные мною места
из геометрии г. Беренса далеко не исчерпывают всего, что в ней
оказывается неудовлетворительным, и в прежнем донесении моем было ска-
зано по этому йредмету следующее:
«Продолжая таким образом рассматривать параграф за
параграфом сочинения г. Беренса, мы находим в нем не мало такого, что
должно быть исправлено.»
Из этого видно, что исправление одних указанных мною мест еще
недостаточно, для того чтобы сделать рассмотренную мною геомет-

- 390 -
рию удовлетворительным руководством; кроме указанных мною мест,
в этой геометрии найдется еще очень много других, вполне
подтверждающих высказанное мною опасение о трудности сделать что-либо
хорошее р началах геометрии, уклонившись от пути, указанного
Евклидом.
Но кроме того, что указанные мною места книги г. Беренса
составляют очень незначительную часть того, что поражает своею
неудовлетворительностью; и эти места частию оставлены г. Беренсом без
исправления, частию исправлены не надлежащим образом. Так, для
устранения сделанного мною возражения на п. 3 (стр. 3) параграфа
четвертого он откинул первую часть периода, оставив одну последнюю часть,
чрез что нарушилась связь суждений. Для устранения возражений на
§ 11 (стр. 6), он выкинул слово «протяжение» и изменил окончание
двух слов; но от этих изменений вышло следующее:
«...получается фигура, называемая углом. Итак — угол состоит из
двух встречающихся линий, ограниченных точкою их встречи.»
Но это не согласно с общепринятым взглядом на угол; угол
не состоит из линий, а образуется линиями, и линии, образующие
угол, предполагаются в одну сторону продолженными до
бесконечности.
В § 20 (стр. 17) прибавлено слово: «непосредственно», вследствие
чего вышло следующее:
«...теперь рассмотрим свойства прямых, проводимых непосредственно
через точку, вне прямой лежащую.»
Что значит: провести линию через точку непосредственно — автор
нигде не объясняет и это едва ли кому известно.
На той же странице (17-й) слова: «почему мы ее допустим без
доказательства» заменены словами:
«...тем не менее мы допустим ее как несомненную». Но от такой
перемены это место не сделалось лучше; вот как оно представляется
в измененном виде:
«...Надо будет доказать, что она (линия А) встретится с DC.
Точного доказательства этой истины до сих пор не существует, тем не
менее мы допустим ее как несомненную.»
В этом заключаются существенные исправления, сделанные г.
Беренсом в его геометрии, а остальное все ограничивается изменением
нескольких слов на стр. 1, прибавкою одного слова и исключением-двух
строк на стр. 4.
Обращаясь к объяснительной записке г. Беренса, я не могу
согласиться с ним касательно пользы говорить о прямой линии, не давши
точного понятия о ней, и исключая постулаты и определения,
служащие основанием всей геометрии. До какой степени нельзя в геометрии
обойтись без постулатов, ясно видно из только что приведенного нами
места геометрии г. Беренса, где сначала говорится: «Надо доказать»,
а потом: «мы примем за несомненное»; чтобы показать то же
касательно определений, приведем следующее место (стр. 301, 302):

- 391 -
«Так как все точки полуокружности вращения находятся около
своего центра, во все время образования шара, на одном и том же
расстоянии, то сферическою поверхностью называется также такая
поверхность, у которой все точки равно удалены от одной из внутренних ее
точек, называемой центром шара».
Из этих слов автора выходит, что есть две поверхности, известные
под одним и тем же именем: сферическая поверхность, а следовало
сказать, что для сферической поверхности возможно другое определение.
Сказавши об определениях, г. Беренс в своей объяснительной
записке продолжает:
«В теоремах, относящихся к усеченным пирамидам и конусам, я не
говорю о том, что сечение сделано параллельно основанию, потому что
определения этих тел, сделанные на стр. 235 и 296, вполне устраняют
предположение, что сечение может быть не параллельно основанию.»
Но из этого выходит, что автор совсем не допускает сечения
пирамид и конусов плоскостями, не параллельными их основанию, между
тем как такие сечения имеют не мало значения в математике.
Далее в объяснительной записке г. Беренса читаем:
«Что касается, наконец, до § 217, то в нем ясно сказано, что
сечение поверхности конуса (а не конуса) плоскостью, проходящею чрез ее
ось, представляет две прямые линии, что конечно, не противоречит
теореме § 191, а есть, напротив, ее следствие; кроме того в § 196 сказано,
«по должно по преимуществу разуметь под словами: коническая
поверхность.»
Каким образом сказанное в § 217 о сечении поверхности конуса
может быть рассматриваемо как следствие сказанного о том же в § 191—
нельзя понять, так как в § 217 сказано, что это сечение будет
представлять две прямые линии, в § 191—три прямые линии.
На основании всего вышесказанного я полагаю, что несмотря на
сделанные г. Беренсом поправки в его геометрии, она не может быть
признана удовлетворительным руководством или пособием.
III. ДОКЛАДЫ П. Л. ЧЕВЫШЕВА УЧЕНОМУ КОМИТЕТУ
ПО ВОПРОСАМ, ОТНОСЯЩИМСЯ К НАУЧНЫМ ОБЩЕСТВАМ
И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
73. О проекте устава Казанского коммерческого института77
Относительно переданного мне на рассмотрение проекта устава
Казанского коммерческого института имею честь донести Комитету,
что хотя устройство такого училища и принесет торговому сословию
несомненную пользу, но это далеко не будет соответствовать тем
денежным средствам, которые на него потребуются. По проекту устава,
в этом училище полагаются и живущие и приходящие ученики, и курс
учения заключает в себе соединение предметов общего образования, в
степени довольно значительной, с предметами специального приготовле-

- 392 -
ния к коммерческой деятельности. Содержание такого училища с семью
классами потребует значительных расходов, а между тем оно будет
иметь все те недостатки, которые признаны неизбежными в заведениях,
имеющих в виду, при самом начале образования, специальное
назначение учеников. Не подлежит никакому сомнению, что на те же
денежные средства Казанское купеческое сословие могло бы принести более
пользы, если бы оно употребило их, с одной стороны, на
распространение общего гимназического образования устройством новой гимназии
или, по крайней мере, прогимназии, а с другой,— доставило бы
возможность получившим основательное общее образование изучать
науки, необходимые для успешного занятия коммерцией), для чего
достаточно открыть публичные курсы этих наук. Не говоря уже о том, до
какой степени полезно для всякой разумной деятельности получить
основательное общее образование, все науки гимназического курса, за
исключением разве древних языков, собственно необходимы и для
надлежащего изучения предметов, составляющих специальность людей,
готовящихся к коммерческой деятельности, как-то: физика, химия,
механика, естествознание, сельское хозяйство, наука о торговле, история
торговли, политическая экономия и т. .п. Нельзя не заметить также, что
в выполнении этого проекта может встретиться затруднение и со
стороны материальных средств, необходимых для содержания пансионеров и
полупансионеров. Хотя в проекте и высчитано, что за это, даже с
малым остатком (146—94V4) будет достаточно суммы, которая, при
полном комплекте учеников, будет поступать в институт как за
пансионеров и полупансионеров, так и за приходящих. Но такого полного
состава институт может достигнуть только через несколько лет после
его открытия, а между тем, с самого начала своего, будет иметь такие
статьи расхода, которые нельзя сокращать соразмерно наличному
числу учеников. Если же, несмотря на все вышепоказанные неудобства
предполагаемого коммерческого института как заведения полузакрытого,
с соединением общего образования с специальным, Казанское градское
общество останется при желании устроить такое училище и найдет для
этого все нужные средства, то в настоящем проекте устава его я
считаю нужным сделать следующие изменения и дополнения:
1) По § 2-му главное заведывание Казанским коммерческим
институтом предоставляется г. начальнику губернии. Я полагаю, что успех
преподавания в Институте будет вполне обеспечен только в том случае,
если это училище, по отношению к учебной части, будет в ведении
г. попечителя Казанского округа. Пример подобного подчинения
коммерческого училища, по учебной части, попечителю округа
представляет Одесское коммерческое училище (§ 4 Устава этого училища).
2) В § 21 сказано глухо, что на содержание коммерческого
института поступает сумма, назначенная по приговору градского общества, из
источников, им определенных. Для совершенного обеспечения
существования института необходимо определительно сказать, сколько будет
ежегодно отпускаться на его содержание.

- 393 -
3) В § 4 сказано глухо, что основанием для приема в число
пансионеров Казанского градского общества служат: а) свидетельство о
бедности, выданное градским головою; б) способности и знания,
оказанные на приемных экзаменах в Педагогическом совете, и в) жребий," в
случае, если число кандидатов, равных по способностям и знаниям,
превышает число вакансий. Чтобы устранить вполне произвол,
который более или менее может иметь место при решении вопроса о
выборе одного из нескольких кандидатов, на основании двух столь
различных данных, как бедность и способности с знаниями, было бы полезно
этот параграф изменить так: «право поступления в число пансионеров
Казанского градского общества принадлежит детям беднейших лиц
купеческого, мещанского и цехового сословий г. Казани, и на это право
выдается свидетельство градским главою. Из числа кандидатов,
имеющих такое свидетельство, на открывшиеся вакансии пансионеров
градского общества принимаются те, которые на приемных экзаменах в
Педагогическом совете окажутся лучшими по способностям и знаниям.
Если же число кандидатов, равных по способностям и знаниям,
превышает число вакансий, то выбор между такими кандидатами решается
жребием».
4) По § 51-му требуется согласие Попечительского совета на
исключение ученика из института только в том случае, если этот ученик
состоит пансионером градского общества. Так как на судьбу всякого,
более или менее, имеет влияние исключение из училища, то
необходимо, чтобы не иначе как с согласия Попечительского совета никто из
учеников не мог бы быть исключаем из института.
По выслушании мнения г. Чебышева, Ученый комитет, обратив особенное внимание
на учебную часть проекта устава Казанского коммерческого института, выразил
убеждение, что предположенное в нем соединение общего образования со специальным не
обещает успеха ни для того, ни для другого, тем «более, что общее образование,
соответственно возрасту допускаемых учеников, должно быть начато с курса низших
классов гимназии. Посему, по мнению Ученого комитета, было бы полезнее, обусловив
прием учеников большим возрастом, требовать от них знания курса хотя первых
четырех классов гимназии, как это требуется от поступающих в Одесское коммерческое
училище. Соглашаясь затем с прочими замечаниями г. Чебышева, Ученый комитет
вообще признавал бы с своей стороны полезным, чтобы проект устава Казанского
коммерческого института был соглашен с уставом Одесского коммерческого училища,
особенно в отношении 'влияния на учебную часть сего последнего попечителя округа.
Определено: о всем вышеизложенном представить на благоусмотрение г. министра
народного просвещения.
74. О разделении физико-математического факультета
Казанского университета на отделения78
При том значительном развитии преподавания наук математических,
которое находит возможным физико-математический факультет
Казанского университета, предлагающий иметь два профессора и одного
доцента для чистой математики и отдельных профессоров для теоретиче-

- 394 -
ской и практической механики, не подлежит сомнению польза
предлагаемого этим факультетом подразделения разряда математических наук,
начиная с третьего курса на три отделения: 1) отделение наук
математических и механики, 2) отделение астрономии и геодезии и 3)
отделение физики, физической географии и химии; причем однако, в виду
замечаний проф. Попова, высказанных им в отдельном мнении,
необходимо, чтобы чтение всех наук математических было расположено так,
чтобы все студенты, до перехода в специальное отделение, могли
усвоить все то, что составляет и необходимую принадлежность общего
математического образования и вспомогательные средства для занятий
той или другой отраслью математических наук.
76. О предоставлении Петровско-Разумовской земледельческой академии
права присуждать ученые звания79
В Петровской академии предполагается давать ученые степени
магистра: 1) сельского хозяйства, 2) лесовода, 3) зоотехника и 4)
технологии сельскохозяйственных и лесных производств.
Степень магистра есть ученая степень, доказательство знаний и
занятий, а не просто знаний, как бы они обширны и полезны ни были.
Поэтому трудно согласиться признавать ученым (не в смысле
выученного) человека, занимающегося только лесоводством или зоотехникой
или одними сельскохозяйственными и лесными производствами без
полного знакомства с другими предметами, в последнем случае, например,
без знания других производств, часто так близко связанных, что ясное
и глубокое, чисто ученое понимание предмета невозможно без
знакомства с целым классом подобных явлений. Посему предполагаемые в
проекте дробность и специализирование ученой степени магистра
невозможно признать рациональным.
Для получения степени магистра проектом устава требуется
свидетельство об окончании гимназического курса, а положением об
испытаниях предполагаются испытания в самой академии 1) из основных
предметов и 2) из специальных предметов.
Испытания из основных предметов соответствуют испытаниям на
степень кандидата естественных наук в университетах, а испытания из
специальных предметов соответствуют собственно магистерскому
экзамену. Но для получения этих степеней факультеты требуют более
обширных знаний, чем те, которыми полагает довольствоваться будущая
Петровская академия. Для получения степени кандидата требуется
знание полного университетского курса, по соответствующему разряду
или отделению факультета, а экзамен в академии из так называемых
основных предметов далеко не соответствует этой полноте. Положим,
что академия и будет поступать совершенно основательно, когда, имея
в виду чисто практическое направление сообщаемых в ней знаний,
ограничится, например, только ботаникой хозяйственных растений и

- 395 --
зоологией в применении к хозяйству, и вовсе исключит минералогию
и геодезию. Но невозможно ограничиться требованием только этих
знаний от желающего получить ученую степень магистра сельского
хозяйства. От него требуется, например, и по проекту [знание]
морфологии и физиологии растений, а сколько-нибудь основательное и
полное знакомство с этими предметами невозможно без знания
фррм и организации множества растений, не имеющих никакого
интереса в хозяйственном отношении и не входящих, следовательно, в
курс сельскохозяйственной ботаники. То же самое можно сказать и об
испытаниях в основных предметах для получения степени магистра и
по всем другим предметам, которую предполагается давать в будущей
академии. От магистров лесоводства требуется, например, тоже
морфология и физиология растений и физиология животных, а курс общей
ботаники и общей зоологии ограничивается подробным знанием только
растений и животных, относящихся к лесной флоре и фауне.
При испытании на степень магистра факультеты требуют более
глубоких познаний в нескольких вспомогательных науках, из которых
кандидаты снова подвергаются экзамену. По проекту же академия
полагает ограничиться испытанием только из специальных наук, оставляя
вовсе без внимания вспомогательные науки, служащие однако
основанием специальности.
Из всего вышесказанного очевидно, что в научном отношении
магистры Петровской академии не могут быть сравнены с магистрами
университетов.
Поэтому мы полагаем:
1. От желающих доказать в академии свои специальные знания
следует требовать свидетельство об окончании не гимназического курса
вообще, а курса реальных гимназий. Этим дополнится хотя в некоторой
степени недостаток общих естественно-исторических знаний, который
неизбежен, если ограничиться требованиями проекта.
2. Доказавшим академии свои специальные сведения надлежит
давать не ученую степень, а звание, представляя им особые права, но ни
в коем случае не сравнивая оных вполне с магистрами университетов.
76. Об изменении порядка испытания из [отдельных частей] математики
лиц, желающих приобрести звание учителя80
В Ученый комитет передано было представление г. попечителя
С.-Петербургского учебного округа от 18 февраля [1865 г.] за № 831,
с приложением одобренного Советом С.-Петербургского университета
мнения профессоров математики о некоторых изменениях в производстве
испытаний на звание учителей и возражения на это мнение инспектора
7-й С.-Петербургской гимназии Дмитриева.
Изменения в экзаменах на звание учителя, о которых здесь
говорится, касаются способа применения того, что сказано в положении об

- 396 -
этих экзаменах относительно числа вопросов по каждому предмету.
В положении об этих экзаменах определено точно число вопросов по
каждому предмету, а не сказано определительно, что принимается за
отдельный предмет и что за части одного предмета, и это, быть может,
различно принимается различными учебными округами и даже
различными дирекциями одного округа. В испытательном комитете
С.-Петербургского университета принимают за отдельные предметы
арифметику, алгебру и геометрию, вследствие чего при экзамене из математики,
как главного предмета, требуется втрое больше ответов, чем при
экзамене из других предметов, например русского языка, где грамматика и
история литературы считаются только частями одного предмета, или
истории, где древняя, средняя и новая история принимаются за части
одной науки. Так как по положению об экзаменах из главного
предмета требуется пять изустных ответов, два письменных и одна пробная
лекция, то при экзамене из математики приходится предлагать 15
вопросов для изустных ответов, 6 — для письменных и 3 пробные лекции,
кроме тригонометрии, из которой, как дополнительного предмета,
требуется еще два изустных ответа.
Такое большое число вопросов по элементарной математике не
может не показаться излишним, особенно при сравнении с вопросами по
другим предметам, и это вызвало преподавателей математики- в
университете на представление .в Совет такого содержания: «По уставу для
испытаний кандидатов на разные учительские места разделены
различные части математики, так как каждая из них считается за
особенный предмет. Принимая во внимание, что основательное знание
геометрии требует знания алгебры и арифметики, а знание тригонометрии
предполагает знание геометрии, алгебры и арифметики, мы полагаем,
что можно было бы держащих экзамен по математике разделить на
два рязряда: 1) от одних требования знания полного гимназического
курса; 2) от других знания геометрии, алгебры и арифметики, и как в
том, так и в другом случае считать математику как один предмет.
Таким образом устранились бы неудобства, сопряженные с числом
вопросов».
С мнением этим согласился Совет С.-Петербургского университета и
представил это мнение г. попечителю, который подверг его
обсуждению людей, проведших свою жизнь в учительской практике. В
представлении своем г. попечитель объясняет, что все они, а также и он
сам, признали справедливым мнение инспектора 7-й
С.-Петербургской гимназии Дмитриева, которое противно вышеприведенному мнению
профессоров, принятому Советом университета. В мнении своем, г.
попечитель говорит, что возражения против вышеприведенного могут быть
трех родов:' а) с точки зрения научной, Ь) педагогической и с)
законодательной.
По первому пункту г. Дмитриев соглашается с вышеприведенным
мнением, что основательное знание геометрии требует знания алгебры
и арифметики, и знание тригонометрии предполагает знание геометрии,

- 397 -
алгебры и арифметики; но замечает, что далеко не все части
арифметики и алгебры представляются при изучении геометрии. Это верно;
но отсюда еще не следует, что при экзамене из математики, по каждой
из этих наук должно предлагать столько же вопросов, сколько
признается достаточным для экзамена из всей словесности или из
всеобщей истории. Бесспорно, чем больше предлагается вопросов, тем
вернее может быть сделана оценка знаний экзаменующихся; но нет
никакой возможности переспросить всю науку и сколько бы вопросов ни
предлагалось, всегда останутся некоторые статьи неспрошенными.
При экзамене из математики это не имеет еще такого неудобства, как
при экзамене из других наук, где различные части не имеют и такой
связи, как части элементарной математики, по замеченному выше.
По второму пункту г. Дмитриев говорит:
«Если принять мнение гг. профессоров, которые предлагают
разделить экзамены учителей на два разряда, то для получения аттестата,
одним бы пришлось экзаменоваться только из прямолинейной
тригонометрии, другим — только из геометрии: прочие же отрасли математики,
предполагается, войдут в означенные науки как предметы
вспомогательные».
О том, чтобы экзаменовать только из последних частей низшей
математики — геометрии или тригонометрии — не £ыло предлагаемо,
как можно видеть из вышеприведенного мнения, прописанного вполне;
напротив, там определительно сказано, что должно требовать знания
полного гимназического курса, с тригонометриею или без
тригонометрии.
По третьему, последнему, пункту г. Дмитриев говорит:
«В мнении гг. профессоров не выяснено, для кого именно
предлагают они назначить по предмету математики экзамен первого рода,
т. е. из предметов гимназического курса, и для кого экзамен второго
рода, т. е. только по арифметике, алгебре и геометрии». О том, кто
должен экзаменоваться из тригонометрии, кто не должен — определено
точно в положении об испытании учителей.
Из рассмотренных трех пунктов, на которых г. Дмитриев
основывает свои возражения, не видно еще необходимости при экзамене из
математики предлагать отдельно по арифметике, алгебре и геометрии
столько вопросов, сколько требуется их при экзамене из главного
предмета, взятого в полном составе. Если это так делается до сих пор в
Испытательном комитете С.-Петербургского университета, то, как я
имел случай видеть из протоколов испытаний гимназий
провинциальных, этому не следуют в некоторых дирекциях и очень может быть, что
этого излишнего усложнения экзамена из математики нет в
Испытательных комитетах других университетов.
На основании всего этого, я полагаю, что прежде, чем отвергнуть
вышеприведенное мнение гг. профессоров С.-Петербургского
университета, необходимо снестись по .этому предмету с другими
университетами 81.

- 398 -
77. О правилах разделения физико-математического факультета
Казанского университета на специальные отделения82
Касательно разделения разряда физико-математических наук,
предлагаемого физико-математическим факультетом Казанского
университета, я имею только заметить о необходимости изменения 3-га пункта,
которым определяется занятие математикой и механикою студентов,
посвящающих себя специально изучению ими астрономии с геодезиею
или физики с физической географией и химией. В этом пункте
говорится следующее: «Для того чтобы студенты двух последних отделений
физико-математических наук приобрели достаточно основательные
знания в чистой математике и механике, насколько это нужно для
самостоятельного изучения исчисленных в этих двух отделениях наук, они
обязаны выслушать в 3-м курсе трансцендентный анализ вместе со
студентами первого отделения того же курса». Последнее предложение
следовало бы заменить следующим: «они обязаны прослушать в 3-м и
4-м курсах вместе с студентами первого отделения 3-го и 4-го курсов
те части чистой и прикладной математики, которые факультетом будут
признаны обязательными на испытаниях студентов этих двух
отделений, о чем факультет извещает особыми объявлениями».
78. Об изменении порядка испытания из отдельных частей математики
лиц, желающих приобрести звание учителя88
В заседании Ученого комитета 12 апреля 1865 г. слушано было
мнение мое по вопросу об изменении порядка испытания из математики
лиц, желающих приобрести звание учителя математики, и на основании
изложенных мною соображений Ученый комитет признал правильным,
чтобы составные части математики, подобно составным частям или
отделам других предметов, при испытаниях на звание учителя не были
принимаемы за отдельные предметы, и чтобы за сим число изустных
и письменных вопросов, а также пробных уроков по математике не
превышало числа вопросов и пробных уроков, требуемых по другим
предметам. Но прежде окончательного разрешения вопроса относительно
порядка испытания из математики, вопроса, возбужденного Советом
С.-Петербургского университета и по которому г. попечитель не
согласился с мнением совета, Ученый комитет полагал вытребовать нужные
сведения по сему предмету от гг. попечителей прочих учебных округов.
Согласно с этим, по приказанию г. управлявшего Министерством, 5 мая
прошлого года предложено было обсудить вышеозначенный вопрос в
советах всех прочих университетов, и мнения их, с заключениями
гг. попечителей округов, сообщить Департаменту.
Из поступивших по этому предмету мнений университетских советов
и гг. попечителей видно, что все они признают необходимым уменьшить
число вопросов, которые приходится делать при экзаменах из
математики на основании положения о специальных испытаниях, если считать
арифметику и геометрию отдельными науками. Разница в мнениях

- 399 -
замечается только при определении степени уменьшения вопросов; но
большинство из них, а именно Советы университетов Московского,
св. Владимира, Новороссийского и Дерптского и гг. попечители учебных
округов Московского, Киевского, Одесского и Дерптского, относительно
сокращения числа вопросов, принимают мнение Ученого комитета, т. е.
что достаточно при экзаменах из арифметики и геометрии предлагать
всего пять изустных вопросов и два письменных.
Совет Казанского университета также находит нужным уменьшить
число требуемых вопросов в размере, предлагаемом Ученым комитетом,
но считает нужным определить только минимум числа вопросов,
предоставляя экзаминаторам по их усмотрению увеличивать это число.
Г. попечитель Казанского округа также находит полезным уменьшить
число вопросов в вышепоказанном размере; но, во избежание нарекании
на излишнюю строгость или стеснение, полагает неудобным
предоставить экзаминаторам, по их усмотрению, увеличить число вопросов.
Мнение Ученого комитета об уменьшении числа вопросов при
экзамене из математики, по доставленным ныне сведениям, не было принято
без изменения только в Харьковском округе; но и здесь признано
нужным уменьшение числа вопросов, которые следует делать, считая
арифметику и геометрию за отдельные предметы, а именно:
а) Совет Харьковского учебного округа находит достаточным, как
доселе делалось в испытательном комитете этого университета, при
экзамене из математики предлагать по арифметике изустных [вопросов]
от 3 до 5, письменный 1; по геометрии — изустных 3, письменный 1.
Сравнивая эти числа с числами, предлагаемыми Ученым комитетом,
видим, что в числе письменных вопросов нет разницы; число же
изустных вопросов должно быть вместе по арифметике и геометрии от б
до 8 вместо 5, предлагаемых комитетом,— в чем нет значительной разницы.
б) Попечитель Харьковского учебного округа признает возможным
сохранить только число письменных вопросов по математике, признавая
весьма достаточным по одному письменному из арифметики и
геометрии; но сокращение числа изустных вопросов он считает ненужным и
предлагает даже увеличить число словесных вопросов по русскому
языку, для уравновешения требований по этому предмету с требованиями
по математике, и полагает распределить вопросы таким образом:
5 словесных вопросов из русской грамматики, 2 — из церковно-славян-
ской грамматики, 3 — из словесности, т. е. риторики, теории поэзии
и истории литературы (из каждой по одному).
Так как строгость экзамена ни мало не зависит от большого числа
предлагаемых .вопросов и для верности оценки познаний лучше
останавливаться при экзаменах долго на немногих предметах, чем переходить
быстро от одного предмета к другому, то я не вижу пользы обязывать
экзаминатора делать большое число вопросов, больше чем нужно п©
мнению специалистов для оценки познаний испытуемого. На основании
этого, я полагаю, что вышепоименованное мнение мое о числе
вопросов при экзамене из математики, мнение, с которым Ученый комитет

- 400 -
в заседании 12 апреля 1865 г. уже согласился и которое, как видно из
вышепоказанного, принимается без изменения почти всеми
университетами и гг. попечителями, не может не быть признано, основательным.
Что касается до замечания, сделанного г. попечителем Харьковского
учебного округа, что в испытательном комитете С.-Петербургского
университета введено излишнее усиление и усложнение экзамена из
математики тем, что предлагаются вопросы из алгебры и тригонометрии,
таких предметов, о которых в правилах о специальных испытаниях не
упоминается, то это сделано, как я узнал теперь, по предложению
бывшего попечителя М. Н. Мусина-Пушкина, и желательно, чтобы это было
отменено84.
79. О проекте устава Московского математического общества86
В настоящее время мы имеем ученые общества по многим наукам,
но до сих пор у нас нет математического общества. До какой степени
велика потребность в таком обществе и как много можно надеяться
на успех его, ясно видно из представленного г. Министру народного
просвещения «Математического сборника», в котором заключается
только часть того, что в прошлом году было прочтено на вечерах у
покойного члена-корреспондента Академии Наук, заслуженного
профессора Брашмана. Все ученые, постоянно участвовавшие в этих собраниях,
принимают на себя звание действительных членов общества (§ 5), и
притом с полною готовностью трудиться на пользу науки, как это видно
из § 14, в котором говорится:
«Каждый действительный член обязан в заранее назначенный срок
сделать сообщение по избранному им отделу науки и представить,
кроме того, письменное изложение своего сообщения». И далее:
«Действительные члены, не представившие в течение двухгодичного срока
обязательных рефератов, становятся членами-корреспондентами».
Но если таким образом успех предполагаемого в Москве
Математического общества вполне обеспечивается nb отношению к
плодотворности его занятий, то нельзя не опасаться, чтобы деятельность его не
встретила затруднения по отношению к денежным средствам, о которых
<в уставе (§ 11) говорится так:
«Средства как для составления и пополнения библиотеки, так и для
издания трудов общества, составляются: 1) из обязательного
ежегодного взноса действительными членами по пяти руб., 2) из доходов от
продажи изданий общества и 3) из добровольных пожертвований».
Все возможные сокращения расходЪв, как видно из проекта устава,
будут сделаны, а именно: 1) не будет особенного помещения ни для
заседаний общества, ни для его библиотеки; 2) не будут приглашаться
посторонние лица для заведывания библиотекою общества и его
изданиями: все это, по § 7, возлагается на президента и вице-президента.
Но за всем тем остаются неизбежные расходы и довольно
значительные: 1) на издание трудов, 2) на почтовые расходы, 3) на приобретение
книг для библиотеки. Для покрытия всех этих расходов вышепоказанные

- 401 -
источники могут оказаться недостаточными. При вышепоказанных
требованиях от действительных членов Математическое общество,
разумеется, не может рассчитывать на большое число членов, и взнос их
по пяти руб. составит очень малую сумму; также нельзя рассчитывать
на значительный доход от продажи изданий: опыт показал и у нас
и за границей, что ученые математические сочинения медленно
расходятся в продаже. Затем остается третий источник дохода —
добровольные пожертвования, источник, который, без сомнения, мог бы дать
много.
Но принимая в соображение всю пользу учреждения
математического общества в России, нельзя не пожелать, чтобы существование его
и необходимые для успеха его средства не были в зависимости от
частной благотворительности. Кроме предоставления права пересылать
бесплатно по почте пакеты и посылки весом до 1 пуда, я полагаю,
что следовало бы испросить назначения Московскому математическому
обществу ежегодно какой-нибудь суммы для покрытия хотя части его
расходов на библиотеку и издание трудов. Кроме высокого значения
математики в деле общего образования и пользы ее практических
применений, эта наука для нас, русских, представляет особенный интерес:
это — наука, к которой, по отзыву иностранных ученых и по истории
образования в нашем отечестве, мы русские, имеем особое призвание,
и по этой науке, в большей или меньшей степени, мы можем
состязаться с иностранцами. Такому состязанию в деле науки, лестному
для национальной гордости, нельзя отказать в пособии, которым
пользуются некоторые ученые общества по предметам, не представляющим
ничего подобного. Ежегодные выдачи математическому обществу могли
бы быть ограничены 500 рублями, полагая 300 руб. на покрытие
расходов по изданию 10 печатных листов и 200 руб. на приращение
библиотеки; затем расходы на издания и библиотеку выше этой суммы
покрывались бы показанными в § 11 средствами общества.
Что касается до прочих параграфов устава, то относительно их я
не имею сделать никаких замечаний.
80. О выписывании для библиотек учебных заведений
«Математического сборника»86
Президент Московского математического общества обратился к
г. Министру народного просвещения с письмом, в котором излагает
цель и программу издания, предпринятого этим обществом под
названием «Математического сборника», и просит предложить
подведомственным Министерству учебным заведениям приобресть «Математический
сборник» для библиотек своих. Из письма президента Московского
математического общества и первого выпуска «Математического
сборника», приложенного к этому письму, видно, что в состав этого
издания, кроме записок, относящихся к высшей математике, входят статьи
по тем частям математики, которые преподаются в гимназиях, и статьи
26 П. Л. Чебышев, т. V

- 402 —
эти имеют особый интерес в педагогическом отношении. Так, в 1-м
выпуске второго тома, кроме записок и статей, принадлежащих гг.
Бугаеву, Петерсону, Слуцкому, Сабинину и мне и составляющих первый
отдел книжки, во втором отделе находятся статьи, имеющие связь с
гимназическим курсом, и, между прочим: элементарный вывод одной
формулы — статья президента Общества А. Ю. Давидова, элементарные
задачи для упражнения учащихся, по поводу сходимости рядов Поппе-
ра, о сочинении арабского математика Ибна Альбана, о курсе
арифметики гг. Малинина и Буренина.
Ознакомление учителей гимназий и учеников высших классов с
статьями такого рода обещают несомненную пользу, а потому я
полагаю, что «Математический сборник» как единственное у нас издание,
где такие статьи печатаются, должен быть приобретен гимназическими
библиотеками.
81. О разделении физико-математического факультета
Варшавского университета на отделения и разряды87
Рассмотрев представление г. попечителя Варшавского учебного
округа от 19 марта [1869 г.] за № 1914, имею честь донести Ученому
комитету, что я вполне разделяю мнение большинства членов
физико-математического факультета о необходимости оставить разряд
физико-математических наук без подразделения на отделы, как это имеет место во
всех других университетах Импе^ли. Считаю нужным только в числе
математических предметов по этому разделу поставить и вариационное
исчисление рядом с интегральным исчислением — предмет,
преподающийся во всех университетах и который не составляет части
интегрального исчисления. Что касается предметов дополнительных по
этому разделу, то ввиду значительного числа предметов главных,
можно бы было ограничиться одною химиею, как это имеет место в других
университетах.
Касательно математических предметов в разряде
физико-математическом я нахожу нужным сделать только одно изменение в редакции:
поставить интегрирование дифференциалов вместо интегрирования явных
дифференциальных выражений.
82. О возникших в Харьковском университете затруднениях
в применении правил для специального испытания на звание
учителя по математике и физике лиц, окончивших курс наук
в физико-математическом факультете Харьковского университета88
Рассмотрев дело по вопросу о возникших затруднениях в
применении правил для специального испытания на звание учителя математики
и физики лиц, окончивших курс наук в физико-математическом
факультете Харьковского университета, имею честь донести, что упомянутые
затруднения заключаются в том, что, по распределению предметов
преподавания в Харьковском университете, физическая география не

- 403 -
преподается в разряде математических наук, а астрономия не
преподается в разряде физико-химических наук; знание же этих предметов
требуется от лиц, имеющих звание учителя математики в гимназиях.
Затруднения эти будут вполне устранены, если все лица, окончившие
курс наук в Харьковском университете по разрядам наук
математических и наук физико-химических, при испытании на звание учителя
математики и физики в гимназиях, будут подвергаемы полному
испытанию: первые — из физической географии, а вторые — из астрономии,
сверх сокращенного испытания, полагаемого правилами для
специальных испытаний на звание учителей и воспитателей гимназий и
прогимназий, как это нашел нужным делать Совет Харьковского
университета, согласно с мнением физико-математического факультета. Что же
касается перенесения в математический факультет испытания по
математической географии для лиц, ищущих звание учителя географии, как
то предложил сделать факультет историко-филологический, то я считаю
это излишним обременением для лиц, ищущих звание учителя
географии, так как экзамен этот потребовал бы от них специальных знаний
по астрономии.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Центральный государственный исторический архив в Ленинграде,, фонд № 734,
опись 2, дело № 2, 1857 г., стр. 143—153 *. Сохранился подлинник документа,
написанный рукой П. Л. Чебышева.
2 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 200—207.
3 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 207—215.
4 Оп. 2, д. 3, 1858 г., стр. 209—215. Это — раздел объяснительной записки к
проекту гимназического устава, составленному в 1858 г. В> составлении проекта
принимали участие все члены Ученого комитета; при этом каждый составлял программу
по своей специальности. Поэтому вряд ли можно сомневаться в том, что
воспроизведенный здесь текст принадлежит именно П. Л. Чебышеву.
5 Оп. 2, д. 5, 1860 г., стр. 100—102. Это —раздел объяснительной записки к
проекту гимназического устава 1860 г. Записка отличается от предыдущей
отсутствием а программе элементов математического анализа
6 Оп. 2, д. 6, 1861 г., стр. 311—312.
7 Оп. 3, д. 1, 1863—64 гг., стр. 1149.
3 Оп. 3, д. 1, 1863—64 гг., стр. 1260—1263.
9 Последний абзац этого документа был дословно повторен П. Л. Чебышевым в
1865 г. в связи с объявлением конкурса на составление руководств по математике и
космографии для гимназий и прогимназий (оп. 3, л. 2, 1865 г., стр. 659—660).
™ Оп. 3., д. 2, 1865 г., стр. 312—314.
11 Оп. 3, д. 2, 1865 г., стр. 1175—11183. Этот проект был представлен П. .Л.
Чебышевым Ученому комитету со следующей докладной запиской:
«По § 40 устава гимназий и прогимназий преподавание математики и
космографии в гимназиях реальных должно быть усилено сравнительно с .преподаванием этих
наук в гимназиях классических. Но так; как окончившие курс учения в сих последних
поступают в университет на вое факультеты, а следовательно и на
физико-математический, то в этих гимназиях курс математики и космографии должен проходиться
* В дальнейшем ссылка на архивный документ будет приводиться сокращенно:
оп. (опись), д. (дело), г. (год), стр. (страницы).
26*

- 404 -
полный, а затем усиление математики и космографии в гимназиях реальных должно
состоять в прибавлении некоторых особенных статей. Эти статьи, как назначаемые
для одних реальных гимназий, должны быть помещены в прибавлениях для того,
чтобы статьи эти в гимназиях классических могли быть опускаемы без малейшего
нарушения системы. Это тем удобнее сделать, что таких добавочных статей немного
и они представляют собой нечто отдельное и такое, что для любознательного ученика
классической гимназии представит очень полезное руководство для занятий без
помощи учителя».
Проект этот, одобренный Ученым комитетом и утвержденный министром
народного просвещения, был напечатан в «Сборнике распоряжений по Министерству
народного просвещения» il5 сентября 1865 г.
*2 On. 3, д. 3, 1665 г., стр. 910—912.
13 Оп. 3, д. 4, 1866 г., стр. 1587—1588. Рецензированный П. Л. Чебышевым
учебный план Дерптского учебного округа не был утвержден ученым комитетом.
" Оп. 3, д. 7, 1867 г., стр. 878—889.
15 Оп. 3, д. 8, 1868 г., стр. 578—580
16 Оп. 3, д. 10, 1869 г., стр. 805—807. Здесь воспроизведены лишь отрывки
документа.
17 Оп. 3. д. 16, 1871 г., стр. 1—3.
13 Отзывы П. Л. Чебышева публикуются в том порядке, в каком они
докладывались Ученому комитету. Инициалы автора рецензируемого произведения П. Л. Че-
бышев обычно опускал, указывая лишь чин или должность автора; иногда он просто
ставил перед фамилией «г> — господин.
и Оп. 2, д. 2, 1857 -г., стр. 263—265.
20 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 12—13.
21 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 298—300. Упомянутое в тексте «Руководство к
арифметике» (ч. I) Буссе было впервые издано в начале 30-х годов и в дальнейшем много
раз переиздавалось.
22 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 556—557. Тихоман&рицкий Александр Никитич (1800—
1888) — математик, профессор Киевского университета. Его «Начальная алгебра»
выдержала несколько изданий и в середине 50-х годов заменила в гимназиях «Ал-
гебру> Погорельского.
23 Од. 2, д. 4, 1859 г., стр. 596—597. Это руководство было первоначально издано
на немецком языке, а затем переведено автором на русский язык.
24 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 598—599.
25 Оп. 2, д. 4, 1859 г., стр. 605. Симашко Франц Иванович (1817—1892) —пре-
подаваггель Па;вловского кадетского корпуса. Впоследствии в чине ген.-лейтенанта)
Симашко был директором одной из военных гимназий. Пользовались известностью
его учебники по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии.
Здесь публикуется пересказ отзыва П. Л. Чебышева, записанный в журнале
Ученого комитета!.
26 Оп. 2, д. 5, 1860 г., стр. 13—16.
27 Оп. 2, д. 6, 1861 г., стр. 77—80.
28 Оп. 2, д. 6, 1861 г., стр. 122.
29 Оп. 2, д. 7, 1862 г., стр. 223.
30 Оп. 2, д. 7, 1862 г., стр. 382—384. В журнале Ученого комитета» записан
пересказ отзыва П. Л. Чебышева.
31 Оп. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 32-33. Серре Жозеф Альфред (Serret J. A.)
(1819—1885)—французский математик, автор учебников по арифметике, алгебре и
тригонометрии. Перевод «Курса арифметики» Серре издавался у нас неоднократно
и ««по строгости изложения считался одним из лучших руководств.
32 Оп. 3, д. ,1, 1863—1864 гг., стр. 156—160.
» Оп. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 209—212.
м Оп. 3, д. 1, 1863—«1864 гг., стр. 318—320. В журнале Ученого комитета
записан пересказ отзыва. Здесь публикуется лишь его отрывок.

- 405 -
35 On. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 732—733 Этот отзыв, пересказ которого
занесен в журнал Ученого комитета, был ответом на запрос относительно «Оснований
физики» Краевича, направленный в Ученый комитет обер-прокурором св. синода.
ж Оп. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 110—112. Попов Александр Федорович
(1815—1879)—известный математик, ученик Лобачевского и его преемник по
кафедре в Казанском университете. Член-корреспондент Петербургской Академии Наук.
37 Оп. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 301—303. Рукопись, о которой здесь идет речь,
сохранилась в семье крестьянина быв. Пермской губернии Максима Суханова.
за Оп. 3, д. 3, 1865 г., стр. 1047—1048.
39 Оп. 3, д. 3, 1865 г., стр. 1352—1354. Малинин Александр Федорович (1834—
1888) —выдающийся русский педагог, преподаватель 4-й Московской гимназии
(в 1856—1872 гг.) и директор Московского учительского института (в 1872—1888 гг.).
Широкую известность приобрел своими учебниками по математике, физике и
космографии, выдержавшими многочисленные издания. Некоторые из его учебников
составлены в сотрудничестве с К- П. Бурениным и Ф. И. Егоровым.
« Оп. 3, д. 3, 1865 г., стр. 1602—1604.
41 Оп. 3, д. 2, 1865 г., стр. 386—393. По приведенному в тексте мнению Чебы-
шева Ученый комитет принял следующее решение: «Имея в виду, что решение
вопроса об удобоприменимости преподавания арифметики по методу Грубе может
состояться только на основании достаточных для решения данных, Ученый комитет,
согласно с мнением г. Чебышева, признал нужным потребовать сведения о том:
1) до какой степени доведено было познание учеников в арифметике при обучении
ее по курсу г. Ладовского и 2) для сообщения учащимся сведений, положенных по
уставу приходских училищ, оказалось ли вполне достаточным руководство г.
Ладовского, или же нужно было прибегать к другим руководствам. Что же касается
уездных училищ, то для них означенный курс не годится. За сим выпуск 2-го курса
арифметики г. Ладовского, вследствие указанных г. Чебышевым недостатков в
изложении, также не может быть одобрен для употребления в уездных училищах».
42 Оп. 3, д. 3, 1865 г., стр. 1801—11812. Ученый комитет постановил потребовать
от попечителя Харьковского учебного округа дополнительных отзывов
преподавателей о применимости метода Грубе при обучении арифметике. Когда эти отзывы были
получены, Ученый комитет передал их на рассмотрение П. Л. Чебышеву.
Заключение о них и составляет первую часть публикуемого документа. Во второй части,
содержится отзыв о 1-м выпуске 3-го курса «Арифметики» Ладовского.
43 Оп. 3, д. 4, 1866 г., стр. 965. Томас Иван Петрович — преподаватель одной из
петербургских гимназий. Его задачник по арифметике, наряду с задачниками Ивл-
ницкого, Малинина и Буренина, считался одним из лучших в нашей учебной
литературе.
44 Оп. 3, д. 5, 1866 г., стр. 1313—1318. Пржевальский Евгений Михайлович —
полковник, штатный преподаватель математики и механики в Александровском
военном училище (с 1866 г.); известный автор учебников по элементарной математике.
Здесь приводится лишь отрывок отзыва П. Л. Чебышева о «Сборнике
алгебраических задач» Пржевальского.
45 Оп. 3, д. 5, 1866 г., стр. 1447—1552. Соколов Иван Дмитриевич (1812—1873) —
профессор механики в Харьковском и, вслед за тем, в Новороссийском университете
(в Одессе). Учебник тригонометрии Соколова был в свое время весьма популярен;
в 50-х годах им был заменен несколько устаревший учебник Перевощикова
45 Оп. 3, д. 4, 1866 г., стр. 594—596.
47 Оп. 3, д. 6, 1867 г., стр. 130. Леве Август Августович — известный в свое время
автор русских руководств по математике. Его учебники по арифметике и алгебре
неоднократно переиздавались.
43 Оп. 3, д. 6, 1867 г., стр. 427—431. Буренин Константин Петрович —
преподаватель математики в 4-й Московской гимназии. Несмотря на то, что «Руководство
арифметики для гимназий» Малинина и Буренина было допущено Ученым комитетом
лишь как пособие для гимназий, оно с 1867 г. по 1879 г. выдержало тринадцать
изданий. О Малинине см. примечание 39.

— 406 -
« On. 3, д. б, 1867 г., стр. 32—37.
50 Оп. 3, д. 7, 1867 г., стр. 1002—1007.
51 Оп. 3, д. 9, 1868 г., стр. 954—956.
« Оп. 3, д. 8, 1868 г., стр. 146—148
">3 Оп. 3, д. 8, 1868 г., стр. 227—230
з* Оп. 3, д. 8, 1868 г., стр. 470.
55 Оп. 3, д. 11, 1869 г., стр. 930—933. Сохранился подлинник документа,
написанный рукой П. Л. Чебышева.
и Оп. 3, д. 11, 1869 г., стр. 1035—1039.
57 Оп. 3, д. 11, 1869 г., стр. 934—936.
за Оп. 3, д. 11, 1869 г., стр. 1329—1334.
5э Оп. 3, д. 13, 1870 г., стр. 41—44.
ЗД Оп. 3., д. 16, 1871 г., стр. 530—531. Краевич Константин Дмитриевич (1833—
1892) —выдающийся русский педагог, издатель педагогического журнала «Семья и
школа» (1876—1882), автор учебников по физике, алгебре и космографии.
« Оп. 3, д. 16, 1871 г., стр. 530—531.
62 Оп. 3., д. 16, 1871 г., стр. 238—241.
63 Оп. 3, д. 16, 1871 г., стр. 883—884.
** Оп. 3, д. 17, 1871 г., стр. 1070—1073. Д. Гик — преподаватель 6-й Московской
гимназии. В сотрудничестве с А. Муромцевым, преподавателем той же гимназии,
Д. Гик издал в конце 70-х годов свои «Элементы геометрии», особенностью которых
являлось расположение материала по способам доказательств.
65 Оп. 3. д. 17, 1871 г., стр. 1249—1251.
б« Оп. 3, д. 16, 1871 г., стр. 724—729. Евтушевский Василий Андрианович (1836—
1888) —известный русский педагог, автор руководств по арифметике и алгебре,
видный деятель Петербургского педагогического общества и педагогического музея
военно-учебных заведений, редактор журнала «Народная школа», организатор
многочисленных съездов народных учителей.
67 С вопросом о возможности использования задачника Евтушевского в духовных
училищах к Ученому комитету обратился синод
ба Оп. 3, д. 18, 1872 г., стр. 187—193. Поляков Петр Николаевич — преподаватель
математики в 1-й Московской гимназии.
69 Оп. 3, д. 18, 1872 г., стр. 127—131.
™ Оп. 3, д. 20, 1872 г., стр. 691—701. Беренс Виктор Иванович (1814—1884) —
инженер-полковник. Окончив военно-инженерную академию, посвятил себя
преподаванию математики. Свою «Начальную геометрию для средних учебных заведений»
Беренс представил*на рассмотрение Ученого комитета в 1872 г. Получив
отрицательный отзыв П. Л. Чебышева, он подверг учебник частичной переработке и год спустя
снова представил его Ученому комитету. П. Л. Чебышев вторично рассмотрел этот
учебник и снова его не одобрил (см. [72]). В этом' втором отзыве (четвертый абзац)
а характерной форме выражено4 скептическое отношение П. Л. Чебышева к
попыткам изложения начал геометрии, отклоняющегося от традиционного.
7* Оп. 3, д. 20, 1872 г., стр. 1071—1080.
72 Оп. 3, д. 20, 1872 г., стр. 1356—1371.
73 Оп. 3, д. 20, 1872 г., стр. 886—889.
74 Оп. 3, д. 21, 1873 г., стр. 421—424.
75 Оп. 3, д. 21, 1873 г., стр. 94—98. Объяснительная записка Полякова,
поддержанная Московским учебным округом, была направлена министром народного
просвещения Ученому комитету, который в свою очередь передал ее на рассмотрение
П. Л. Чебышева. Последний, как явствует из текста его доклада, нашел взгляд
Полякова на преподавание арифметики в гимназиях «положительно неверным».
Ученый комитет согласился с мнением П. Л. Чебышева, оставив в силе свое прежнее
заключение о «Практической арифметике» Полякова (см. [64]).
78 Оп. 3, д. 21, 1873 г., стр. 159—161. См. примечание 70.
77 Оп. 2, д. 7, 1862 г., стр. 254—<262.

- 407 -
78 On. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 1244—1245.
79 On. 3, д. 1, 1863—1864 гг., стр. 1235—1242. Министр государственных имуществ
препроводил 4 декабря 1863 г. на заключение министра народного просвещения
выписку из проекта устава Петровской академии относительно предоставления
Академии права присуждать степень магистра. Вопрос был передан на рассмотрение
членам Ученого комитета Чебышеву и Соколову. С их мнением, приведенным в тексте,
Ученый комитет согласился.
so On. 3, д. 2, 1865 г., стр. 402—501.
81 По этому докладу П. Л. Чебышева Ученый комитет принял следующее
решение: «На основании соображений, изложенных в мнении г. Чебышева, признать
правильным, чтобы составные части математики, подобно составным частям или отделам
других предметов, при испытаниях на звание учителя, не были принимаемы за
отдельные предметы, и чтобы за сим число изустных и письменных вопросов, а также
пробных уроков по математике не превышало * числа вопросов и пробных уроков,
требуемых по другим предметам. Но как существующий в Испытательном комитете
С.-Петербургского университета порядок испытания из математики на звание учителя,
быть может, имеет место и в испытательных комитетах других университетов,— то
Ученый комитет полагал бы, прежде окончательного разрешения вопроса относительно
порядка испытания математики, вытребовать нужные по сему предмету сведения от
г.г. попечителей прочих учебных округов».
82 Оп. 3, д. 4, (1866 г., стр. 1291—1292.
83 Оп. 3, д. 4, 1866 г., стр. 518—528.
84 По второму докладу П. Л. Чебышева об изменении порядка испытаний по
математике лиц, желающих приобрести звание учителя, Ученый комитет постановил:
«Вследствие вышеизложенных сообрасжений г. Чебышева, основанных на мнениях
большинства университетских советов и г.г. попечителей учебных округов, Ученый
комитет полагает, что составные части математики, подобно составным частям или
отделам других предметов при испытаниях на звание учителя уездного училища, не
должны быть принимаемы за отдельные предметы, и за сим число изустных и
письменных вопросов, а также пробных уроков по математике не должно превышать
числа вопросов и пробных уроков, требуемого по другим предметам. Посему для
подвергающихся испытанию из математики на звание учителя уездного училища,
принимая арифметику и геометрию за один главный предмет, на точном смысле
§ 12 Положения о специальных испытаниях, представший на испытание должен
решить словесно пять вопросов, а письменно два и дать один пробный урок. Если в
С.-Петербургском университете, как упоминает выше г. Чебышев, испытуемым на
звание учителя уездного училища предлагаются вопросы еще из алгебры и
тригонометрии, то это не согласно с § 10 означенного Положения и должно быть отменено».
85 Оп. 3, д. 5, 1866 г., стр. 1525—1532.
86 Оп. 3, д. 6, 1867 г., стр. 738—740.
87 Оп. 3, д. 13, 1870 г., стр. 724—725.
88 Оп. 3, д. 16, 1872 г., стр. 63—68.

П. Л. ЧЕБЫШЕВ В АРТИЛЛЕРИЙСКОМ КОМИТЕТЕ
Заслуги П, Л. Чебышева перед русской артиллерийской наукой были признаны
и оценены еще при жизни ученого. Особенно важное значение для артиллерии
имели бессмертные работы П. Л. Чебышева по теории вероятностей и
интерполированию. Однако всестороннее выяснение непосредственного влияния П. Л. Чебышева на
его современников-артиллеристов, а также обратнсго влияния конкретных
артиллерийских задач, с которыми приходилось сталкиваться П. Л. Чебышеву, на его научное
творчество — пока еще дело -будущего.
Здесь мы воспроизводим всего пять документов, относящихся к этой
интереснейшей стороне деятельности П. Л. Чебышева:
1. Отрывок из отчета о занятиях артиллерийского отделения Военно-ученого
комитета («Артиллерийский журнал», 1856, № 1).
2. Выдержка из № 4 «Артиллерийского журнала» за 1858 год.
3. Выдержка из докладной записки «О гражданских членах Временного
артиллерийского комитета» (1863 г.).
4. Мнение П. Л. Чебышева о результатах экзаменов по математике в
артиллерийском училище (1867 г.).
5. Выдержка из № 2 «Артиллерийского журнала» за 1869 г.
П. Л. Чебышев был назначен действительным членом Военно-ученого комитета
22 дек. 1855 г. (по старому стилю). Документы 1 и 2 вкратце излагают содержание
работы П. Л. Чебышева в комитете за 1856—И858 гг. К сожалению, помимо этих
скупых данных, мы не располагаем никакими сведениями о цилиндрических снарядах
Чебышева, обладающих, при стрельбе из гладкоствольных орудий, наибольшей
устойчивостью в полете. Неизвестны нам и результаты испытаний 12-фунтовых снарядов,
упомянутых во 2-м документе. Можно предполагать, что эти результаты оказались
неудовлетворительными. В таком случае практическая ценность исследований П. Л.
Чебышева заключалась в том, что была доказана бесцельность попыток добиться таким
путем значительного увеличения устойчивости. Задача эта была решена переходом
на нарезные орудия. Заслуги П. Л. Чебышева в этом направлении были оценены
немедленно. Уже в 1859 г. П. Л. Чебышев получил орден св. Анны 2-й степени, как
было сказано, «за отлично-усердные и полезные, независимо от прямой по
должности в Академии обязанности, труды по математическим изысканиям..., весьма
много способствовавшие разрешению вопросов о нарезных орудиях и продолговатых
снарядах».
В том же 1859 г. Военно-ученый комитет был преобразован во Временный
артиллерийский комитет, который не входил в состав Главного артиллерийского
управления, а числился непосредственно при генерал-фельдцехмейстере. П. Л. Чебышев вошел
в состав одной из комиссий Временного артиллерийского комитета] — «Комиссии по
математическим артиллерийским вопросам и опытам, относящимся до теории
стрельбы». Кроме П. Л. Чебышева, в эту комиссию входили полковник Н. В. Маиев-
ский, штабс-капитан А. П. Горлов и поручик Н. Л. Чебышев, брат Пафнутия
Львовича.
В 1867 г. Временный артиллерийский комитет был преобразован в Технический
комитет Главного артиллерийского управления, а еще через два года — в
Артиллерийский комитет Главного артиллерийского управления. П. Л. Чебышев выбыл из его

- 409 -
состава, повидимому, при последней реорганизации, т. е. в 1869 г. * В Техническом
комитете П. Л. Чебышев состоял совещательным членом «Комиссии по баллистике
и опытам, к ней относящимся», правителем дел которой был Н. В. Маиевский.
Чрезвычайно интересен 3-й документ, характеризующий хотя и очень суммарно,
равностороннюю деятельность П. Л. Чебышева в Артиллерийском комитете.
4-й документ содержит выводы П. Л. Чебышева из результатов экзаменов по
математике в артиллерийском училище в 1867 г., на которых П. Л. Чебышев
присутствовал по приглашению товарища генерал-фельдцехмейстера, генерала Баранцева.
Ученый совет (конференция) Артиллерийской академии и училища согласились с этими
выводами, и предложенные П Л. Чебышевым изменения в программе были утверждены.
В 5-м документе сообщается о формуле П. Л. Чебышева, выражающей
дальность полета снаряда в воздухе как функцию от угла бросания, начальной скорости
и экспериментально определяемого сопротивления воздуха при заданной начальной
скорости. Р в этой формуле — вес снаряда).
1.
«Дальность и меткость выстрелов продолговатых пуль из ручного огнестрельного
оружия зависят: 1) от значительного веса пуль, 2) от уничтожения зазора, 3) от
устойчивости оси пули в отношении направления движения, что достигается: или
нарезами ствола или одной формою пули. Эти условия не могут быть столь же удобно
выполнены при стрельбе продолговатыми снарядами из артиллерийских орудий по
следующим причинам: 1) от прибавления веса снаряда увеличится разрушительное
действие пороха и снаряда на стены орудия. Поэтому при проектировании для
60-фунтовой пушки продолговатого снаряда, артиллерийское отделение, приняв вес его на
Уз более веса ядра, т. е. равным 84 фунтам, положило уменьшить заряд до 14
фунтов; 2) при употреблении на продолговатые снаряды чугуна, железа и стати, зазор
не может быть уничтожен и будет одною из причин, уклоняющих ось снаряда от
надлежащего направления; 3) устойчивость продолговатых снарядов при гладком
канале может быть достигнута только одною формою.
По предложению артиллерийского отделения член оного, академик Чебышев,
занимался приисканием наилучшей формы снаряда и дошел до следующих результатов:
а) чем более размеры продолговатого снаряда, при одинаковой форме, тем
устойчивость его делается менее, так что употребление подобных снарядов в артиллерии,
без особенных вспомогательных средств, как то: винтовой нарезки и т. п., может быть,
окажется невозможным;
б) устойчивость увеличивается от увеличения внутренней пустоты снаряда и
уменьшения толщины его стенок;
в) для проектированных снарядов весом в 84 фунта, при толщине стенок в
1,39 дюйма, устойчивость может быть достигнута тогда, когда пустота будет только
в самой нижней части снаряда и представит цилиндрическую впадину.
На основании этих данных предложены три цилиндрических снаряда с
цилиндрическими впадинами: № 1 — с углом конической части в 110°, № 2 — с углом в 100°
и № 3 — с утлом в 80°; притом, если изобразить степень устойчивости снаряда № 1
числом 10, то степень устойчивости снаряда № 2 изобразится числом 8!/з, а снаряда
№ 3 числом 5У4- Из этих трех снарядов дальность только одного № 3 будет более
дальности сферического снаряда одинакового с ним веса, но зато устойчивость будет
гораздо менее.
Артиллерийское отделение признало полезным приготовить по 25 снарядов
каждого рода и испытать их, начиная с № 2; если степень его устойчивости окажется
недостаточною для правильности полета, то испытать № 1; если же № 2 полетит
правильно, то вместо № 1 испытать № 3, обещающий большую дальность. К сему
* Из последнего абзаца 3-го документа можно с известным основанием сделать
вывод, что П. Л. Чебышев собирался покинуть Артиллерийский комитет еще в 1863 г

- 410 -
артиллерийское отделение присовокупило, что по трудности приготовить чугунные
снаряды со стальною вершиною полезно было бы изготовить цилиндрическую часть
снарядов из железа и наварить на нее стальную -коническую вершину».
(Артиллерийский жур-нал, 1856 г., № 1; Отчет о занятиях
артиллерийского отделения Военно-ученого комитета, стр. 60—62).
2.
«Цилиндрические снаряды были проектирозаны в артиллерийском отделении
членом оного академиком Чебышевым в 1856 г., вследствие желания бывшего
Кронштадтского военного генерал-губернатора иметь таковые снаряды со стальною
вершиною к обыкновенным 60-фунтовым пушкам для пробивания обшитых железом
неприятельских судов. По поручению отделения акад. Чебышев вошел в подробное
теоретическое исследование вопроса о наилучшем устройстве цилиндро-конических
снарядов, получил ряд выводов по этому предмету и проектировал по три различных
чертежа для снарядов 60- и 12-фунтового калибра, различающихся между собою по
степени устойчивости своей оси и по величине дальности, которой от них можно
ожидать и которая, как показала форма проектированных снарядов, уменьшается с
увеличением степени устойчивости.
Три чертежа снаряда для 60-фунтовой пушки артиллерийским отделением были
тотчас представлены и по каждому чертежу было заказано изготовить по 25 снарядов
с железною цилиндрическою частью и стальной вершиною и для них особые шпигли
с тем, чтобы испытать относительное достоинство этих чертежей.
Но подобное испытание снарядов г. Чебышева, вынужденное военными
обстоятельствами, не вполне согласовалось с указанием теории, по которой означенные
снаряды следовало подвергать испытанию, начиная не с большого, но с возможно
меньшего калибра, так как в случае неудовлетворительности снарядов 60-фунтового
калибра не имеется еще основания сделать заключение о неудовлетворительности
снарядов той же формы для прочих орудий меньшего калибра. Поэтому, когда
испытание цилиндрических снарядов со стальною вершиною для 60-фунтовых пушек было
отменено на том основании, что в настоящее время для пробивания крытых железом
судов предполагается испытать стрельбу сплошными ядрами из бомбовых пушек,
артиллерийское отделение, вполне разделяя пользу этой отмены, признало
необходимым, однако, произвести опыты над снарядами г. Чебышева стрельбою из орудий
небольшого калибра, именно из 12-фунтовой пушки.
Поводом к такому заключению артиллерийского отделения послужили следующие
обстоятельства:
1) практическая польза для артиллерии в случае удовлетворительных
результатов опытов;
2) акад. Чебышевым проектированы снаряды на точных основаниях
математического анализа и в форме этих снарядов соблюдены все условия, дающие снаряду
наибольшую возможную устойчивость, так что всякое отступление от этой формы
влечет за собой уменьшение достоинства снаряда.
Испытание таких снарядов, сопряженное лишь с маловажными издержками, будет
полезно даже в случае, если результаты опытов окажутся неудовлетворительными,
уже потому, что этим получится прочное основание для обсуждения достоинства
других систем цилиндрических снарядов для орудий с гладким каналом, поступающих
в артиллерийское отделение непрерывным рядом, и отстранятся труды и издержки
на испытание огромного числа таковых снарядов, проектированных обыкновенно
эмпирически.
Для производства означенного испытания Артиллерийское отделение избрало из
проектированных г. Чебышевым форм для 12-фунтовых снарядов две и определило
изготовить по 25 снарядов каждой формы из лучшего, по возможности, менее
хрупкого чугуна.

- 411 -
Это заключение артиллерийского отделения одобрено, и ныке необходимые для
опытов 50 снарядов 12-фунтового калибра оканчиваются изготовлением».
(Артиллерийский журнал, 1858 г., № 4, стр. 84—86).
3.
«Значение члена Артиллерийского комитета по чистой математике академика Че«
бышева имеет особый характер. Артиллерийское искусство, как часть математической
физики, во многих отраслях своих исследований, например касающихся стрельбы
(т. е. движения снаряда в воздухе), движения снарядов в канале орудия, оценки
действительности стрельбы, основанной на теории вероятностей, действия орудия на
лафет и т. п., представляет трудности столь значительные, что для преодоления их
становится недостаточным усилие офицеров, хорошо знающих математические науки в
обыкновенном их объеме, но нужно содействие великих геометров.
Как в прошедшие века, так и настоящего времени знаменитые геометры всех
стран занимались артиллерийскими вопросами, и конечно, им одним артиллерия как
наука; исключительно обязана тем небольшим запасом рациональных и верных
понятий, какие ныне имеются на счет этих вопросов.
Лежандр, Лаплас, Лагранж, Эйлер, Бернулди, Пуассон занимались
артиллерийскими вопросами. Г. Чебышев, член Академий С.-Петербургской и Парижской,
признаваемый во всей Европе первостепенным геометром и составляющий славу и
гордость России, продолжает собою ряд упомянутых великих ученых, занимавшихся
артиллерией— факт тем более важный, что в настоящее время необходимо весьма
многие части теории вырабатывать вновь, а без теоретических оснований одна практика,
требуя нескончаемых опытов и, следовательно, поглощая непомерные расходы и
время, все-таки не может представлять надлежащего исхода, не может дать никаких
общих заключений.
Г. Чебышев, во-первых, принял на себя руководство всеми теми артиллерийскими
офицерами, как в комитете, так и вне комитета находящимися, которые занимаются
математическими артиллерийскими работами, всякое встречаемое ими сомнение
г. Чебышевым разъясняется, всякое затруднение преодолевается. Как пример, здесь
можно указать на содействие его по предмету приложения теории вероятностей к
артиллерийской стрельбе, приложения, которые дали в последнее время полезнейшие
результаты, а также на пояснение вопросов, относящихся к теории вращательного
движения* теории совершенно новой в артиллерии, столь трудной и столь для
артиллерии необходимой теперь.
Во-вторых, г. Чебышев предпринимает некоторые математические изыскания
специально для Артиллерийского комитета. Так, например, он определил рациональными
изысканиями, какую наивыгоднейшую форму должен иметь удлиненный снаряд для
того, чтобы, двигаясь без вращательного движения, он имел наибольшую
устойчивость в воздухе. Данная им теория и произведенные на основании ее опыты
разъяснили весьма много вопросов о стрельбе продолговатыми снарядами из орудий с
гладким каналом и дали основания для обсуждения многочисленных систем этих
снарядов, предлагавшихся различными изобретателями.
Для облегчения составления таблиц стрельбы по данным, полученным из опытов,
г. Чебышев нарочно для комитета составил свои знаменитые в Европе формулы
интерполирования, чрезвычайно упрощающие работу вычисления и тем не менее дающие
весьма точные результаты. В будущем помощь г. Чебышева артиллерийскому
ведомству остается необходимой; если он оставит артиллерию, то при разработке
основанных на математике вопросов надобно будет иногда или вовсе отказываться
от их решения или обращаться к милости г. Чебышева, который, не имея сношения
с Артиллерийским ведомством, не будет иметь повода уделять артиллерийским
вопросам столь дорогие часы ученых своих занятий».
(Архив Артиллерийского музея в Ленинграде. Фонд Главного
артиллерийского управления. Военно-ученый комитет, 1863 г., № &90, стр. 46—48).

- 412 -
4.
«Как по ответам на вопросы из теории, так и по решению
практических задач, я мог убедиться, что вообще все пройденное из математики
усвоено юнкерами надлежащим образом, и они в состоянии успешно
пользоваться для приложений всем запасом сведений по математике,
сообщенным им в училище. Что касается до объема, в котором
изложены им были различные части математики, то в этом отношении я
не только не заметил пропуска чего-либо нужного, но даже нашел
возможным и полезным сделать некоторые сокращения, а именно:
исключить все те статьи, которые вообще не применяются на практике и
которые в то же время не представляют развития или объяснения
общих начал. Таковы, по моему мнению, следующие статьи: 1)
отделение корней по способу Штурма, 2) отделение по способу Фурье,
3) условие сходимости бесконечных произведений, 4) различные задачи
о комбинациях в статье о вероятностях, 5) упрощение решения
уравнения высших степеней при данной зависимости между корнями» *.
5.
«Года два тому назад член* Артиллерийского комитета и Академии наук Л, Л. Че-
бышев сообщил некоторым артиллеристгм следующую формулу для вычисления
дальности полета снарядов в воздухе:
1 + 2,317 Z_sin29 — 1
^ Р г
Здесь х означает дальность полета снаряда, v — начальную скорость, g — ускорение
тяжести, F — силу сопротивления воздуха при начальной скорости, ф — угол бросания.
Формула эта, по отзыву г. Маиевского, дает вполне удовлетворительные
результаты для отлогой стрельбы сферическими снарядами, при начальных скоростях, не
превосходящих 1200 фут., если ©еличина сопротивления F (найдена на основании
произведенных с достаточной точностью опытов.
Формула Чебышева выводится с помощью некоторых допущений из формулы для
дальности, получаемой в предположении сопротивления воздуха пропорциональным
кубу скорости».
(Артиллерийский журнал, 1869 г., № 2, стр. 455—456).
v2 Р
х= 1,373— -=•
S *
* А. П латов и Л. Кирпиче в. Исторический очерк образования и развития
артиллерийского училища, СПб., 1870 г., стр. 357—358.

ПЕРЕПИСКА П. Д. ЧЕБЫШЕВА
Мы располагаем, к сожалению, лишь немногими письмами самого Чебышева, но
возможно, что опубликование настоящей коллекции поспособствует тому, чтобы его
собственные письма были обнаружены в тех местах, где они хранятся. Правда,
имеющиеся материалы позволяют судить о том, что Чебышев, вообще говоря, не был
расположен к переписке, отдавая предпочтение личным встречам и беседам с людьми,
мнениями которых интересовался. И тем не менее, если Сильвестер пишет Чебышеву:
«Я знаю, что не отвечать на письма — Ваше правило», то в этой фразе можно видеть
все же некоторое преувеличение.
Что касается писем, адресованных Чебышеву, то после его смерти их обширное
собрание было передано его братом В. Л. Чебышевым в распоряжение Академии Наук,
в архивах которой и было обнаружено в последнее время в результате поисков,
произведенных В. Е. Прудниковым. Всего имеется 106 писем, относящихся к огромному
промежутку времени — почти четыре десятилетия: полтора десятка писем относятся к
раннему периоду — от 1856 г. до 1864 гм остальные распределены сравнительно
равномерно между 1871 и 1894 гг. Все письма собрания имеют научное или
научно-деловое содержание; вместе с тем многие из них представляют особый интерес по той
причине, что вносят дополнительные штрихи в характеристику личности Чебышева,
отражают его взгляды или освещают отношения между ним и его корреспондентами.
Ниже публикуются те из писем этого собрания, которые с указанной точки
зрения имеют наибольшее значение; не опущены даже при незначительности содержания
и те из них, под которыми стоит подпись того или иного из выдающихся деятелей
науки своего времени.
Принят порядок расположения писем к Чебышеву по странам*. Русских писем
довольно мало: среди них выделяются письма нашей знаменитой соотечествеиницы
С. В. Ковалевской, Н. Д. Брашмана (бывшего одним из учителей Чебышева по
Московскому университету), Н. В. Ханыкова, близко знавшего Чебышева.
Среди писем на иностранных языках, как численно, так и по своей
значительности, естественно, преобладают французские. Из них центральное место занимают
письма Ш. Эрмита: они наиболее многочисленны и содержательны, охватывают
промежуток времени свыше тридцати лет. Затрагиваемые в них вопросы позволяют
судить об общности многих научных — и не только научных — интересов. Замечательна
страница, где Эрмит рисует свое выступление в качестве посредника между
Чебышевым и главой французской математики — больным Коши. В первых письмах Эрмита
мы видим, что французский ученый как будто пытается своими советами помогать
Чебышеву в выборе направления его научной деятельности; позднее же, в 1890 г.,
сообщая Чебышеву о награждении его выдающимся отличием — орденом Почетного
Легиона, он устанавливает высокий ранг, заслуженный Чебышевым. «Все вместе со
мной признали, что Вы — слава русской науки, один из первых геометров в Европе,
один из величайших геометров всех времен».
Из одного письма Эрмита, относящегося к последнему году жизни Чебышева»
мы впервые узнаем о «замечательном открытии», сделанном Чебышевым в области
* Письма каждого автора собраны вместе; для каждой страны принят
хронологический порядок (по дате первого письма данного автора).

- 414 -
астрономии (!) и касающемся приближения пертурбационной функции. В чем сущность
этого открытия — продолжает оставаться неизвестным.
Столь же богаты содержанием (хотя и менее значительны) экспансивные,
жизнерадостные письма Ж- Каталана, рисущие нам Чебышева в его отношениях с
французскими и бельгийскими друзьями. Крайне выразительны также письма Ж. Бьенэме,
научные заслуги которого (в области теории вероятностей) Чебышев особенно высоко
ценил и в сеою очередь был им ценим.
Петербургская Академия Наук, в числе других ученых избрала своими членами-
корреспондентами: Эрмита (в 1858 г.), Дюамеля (в 1859 г.), Шаля (в 1862 г.), Делонэ»
(в 1871 г.), Сильвестера (в 1872 г.), Бьенэме (в 1874 г.), Борхардта (в 1879 г.), Левы
(в 1889 г.). П. Л. Чебышев, бывший (следует полагать) во многих этих случаях среди
инициаторов избрания, имел обыкновение первым посылать поздравление избранному.
Ответные благодарственные письма всех этих выдающихся ученых входят в состав
настоящего собрания и здесь приведены.
• Немалое число первоклассных математиков и широко известных деятелей
математики, современников Чебышева, имели случай писать ему по тому или иному
поводу; мы находим среди них имена Дарбу, Лиувилля, Кронекера, Батальини, Люка,
Оканя и других. Миттаг-Леффлер обращается к нему с просьбой об оказании
поддержки журналу Acta Mathematica перед Академией Наук и, в последующем письме,
выражает за выполнение этой просьбы благодарность «одному из первых мастеров
анализа всех эпох» (1884 г:).
Особое место занимает в собрании деловая переписка, связанная с работами
Чебышева в области шарнирных механизмов и по поводу изобретенной им счетной
машины. Круг лиц, интересующихся относящимися сюда вопросами, более широк, и
корреспонденция более многочисленна и разнообразна. Мы видим, что Чебышев склонен-
способствовать распространению сведений о своих машинах, озабочен их
экспериментальной проверкой и не жалеет материальных средств, для этого им предназначенных.
Из переписки этого рода здесь воспроизводится лишь немногое.
Не воспроизведена (или заменена кратким пересказом) большая часть писем, в*,
которых различные авторы выступают перед Чебышевым как просители — в поисках:
звания, работы, одобрения написанных ими книг и т. д. Но и эги письма, конечно,
свидетельствуют об авторитете Чебышева и о том влиянии, которое он был способен*
оказывать.
В подготовке и комментировании всех писем принимали участие Д. А. Васильков;
В. Л. Гончаров и В. Е. Прудников; ряд авторитетных указаний сделали И. И. Арто^
болевский, Н. И. Ахиезер и В. В. Голубев.
ПИСЬМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА
ПЕРЕЧЕНЬ ПИСЕМ
Звездочка у даты письма в этом перечне означает, что соответствующее письмо»
приведено ниже. Из остальных писем — три (второе письмо П. Н. Фусу, письмо
Н. Д. 'Браш-ману и первое из писем к С. В. Ковалевской) опубликованы в
предыдущих томах Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева; здесь указаны точные
ссылки на том и страницы.
1844 г. П. Н. Фусу [?] (23.XII.1843/4.I.1844*).
1853 г. П. Н. Фусу (10/22. III).
См. т. I, стр. 276: «О новой теореме, относящейся к числу простых чисел
вида 4п + 1 и 4п -f- 3».
А. И. Шервинской (18/ЗО.Х).
А. И. Шервинской (14/26.XI).

- 415 -
1865 г. Н. Д. Брашману (18/30.IX).
См. т. II, стр. 412: «Разложение в ряды при помощи непрерывных
дробей».
1873 г. Ж. Лиувиллю (2/14.Х*).
1886 г. С. В. Ковалевской (20.IX/2.X).
См. т. III, стр. 226: «О суммах, составленных из коэффициентов рядов
с положительными членами».
С. .В. Ковалевской (8/20.Х* и 14/26.Х*).
1888 [?] г. С. В. Ковалевской (20.X/1.XI *).
1889 г. С. В. Ковалевской (11/23.Х*).
Письмо П. Н. Фу су [Р]1
[По-французски]
Ваше превосходительство (Excellence),
Позвольте мне просить Вас быть любезным представить в Академию
приложенный при сем мемуар.
Когда я занимался интегральным исчислением перед экзаменом на
степень магистра философии, то проблема, решение которой я даю
в моем мемуаре, возникла у меня сама собою, и я попытался ее решить,
хотя и знал, что г. Остроградский уже занимался этим вопросом2.
Я не могу соперничать с этим знаменитым геометром в тонкости
анализа, но проблема сама по себе достаточно интересна, чтобы
вызвать, может быть, некоторое снисхождение по отношению к
недостаткам метода и выражения.
Будьте любезны принять свидетельство глубочайшего уважения, с
каким имею честь быть
Вашего превосходительства преданным и покорным слугой
П. Чебышев
Москва, 23 декабря 1843 г.
Письмо Ж. Лиувиллю3
[По-французски]
Monsieur,
Считаю своим приятным долгом направить Вам маленький мемуар
«О квадратурах», о котором имел случай говорить Вам в Туле (Toul),
Нет надобности свидетельствовать о том, как я был бы польщен,
если бы он был напечатан в Вашем уважаемом журнале, столь
справедливо ценимом всеми геометрами.
Пользуюсь случаем, Monsieur, просить Вас передать мое уважение
г-же Лиувилль и принять уверение в моих почтительных чувствах.
Париж, П. Чебышев
14 октября 1873 г.

- 416 -
Письма к С. В. Ковалевской4
Первое по времени из имеющихся писем Чебышева к Ковалевской (20 сентября —
2 октября 1886 г.) воспроизведено в томе III настоящего Полного собрания
сочинений, стр. 226.
Об этом письме ниже имеется упоминание.
8 октября 1886 г
Многоуважаемая Софья Васильевна!
Сердечно благодарю Вас за присланную фотографию. На ней
впервые я увидел Софью Васильевну II5, которою я уже семь лет (со
времени С.-Петербургского съезда естествоиспытателей) сильно
заинтересован был рассказами ее маменьки, как-то: об усилии ее,
увенчавшемся успехом, произнести «мама», о беспокойно проведенной ночи,
помешавшей ее маменьке быть в одном из заседаний математической
секции и т. п.
Я очень рад, что Вы находите возможным напечатать мое письмо
в Вашем журнале. Теперь я занят работою, где первая из сообщенных
мною формул оказывается крайне необходимою.
Вчера в заседании Академии Наук сделаны представления о трех
новых членах: Маркове, Бейльштейне и Бекетове6. Буцу ждать с
нетерпением праздников в надежде, что Вы доставите мне честь Вас видеть
и поговорить с Вами о математике и механике.
Примите уверения в истинном моем почтении, с которым пребывать
честь имею
Ваш, Милостивая Государыня,
П. Чебышев.
Потрудитесь передать мое почтение г. Миттаг-Леффлеру 7.
14/26 октября 1886 г.
Многоуважаемая Софья Васильевна!
На корректуре статьи, составленной из письма моего к Вам, я, по
просьбе г. Енестрема, изменил заглавие в такое: Sur les sommes com-
posees des coefficients des series a termes positifs.
Если Вы находите это заглавие достаточно хорошо определяющим
характер той задачи о рядах, решение которой собственно имелось в
виду при рассмотрении интеграла
оо
J er**F(z)dz
о
и которая имеет особенный интерес, пусть так и печатают. Если же Вы
предпочтете иначе озаглавить, я вперед даю свое согласие и считаю
излишним присылать ко мне вновь корректуру с измененным Вами

Факсимиле письма (первой и последней страницы) П. Л. Чебышева к С. В. Ковалевской

- 417 -
заглавием. Других изменений и поправок я не имею никаких
предложить, кроме нескольких опечаток, указанных мной на корректуре. Еще
раз приношу Вам глубочайшую благодарность и за сделанный Вами
перевод и за присланную Вами фотографию, и всепокорнейше прошу
передать мое почтение г. Миттаг-Леффлеру и мою искреннюю
благодарность г. Енестрему за труд по пересылке корректуры и оттисков, о
которых он меня уведомляет в последнем письме8.
Примите уверение в истинном моем почтении и глубочайшем
уважении
Ваш покорнейший слуга
П. Чебышев.
20 октября
Многоуважаемая Софья Васильевна!
Лестное внимание, которым Вы удостоили мою первую работу,
О предельных величинах интегралов9, подает мне надежду, что Вы
окажете содействие для появления в свет на французском языке
второй моей работы по тому же предмету, представляющей продолжение
первой. Перевод ее, при сем прилагаемый, сделан молодым
математиком 10, получившим высшее математическое образование в Париже,
и сделан отлично. Из различных заграничных журналов, где этот
перевод мог бы быть напечатан, я предпочитаю Acta Mathematica, и это
не потому только, что там напечатан перевод первой статьи и письмо
мое к Вам касательно того же предмета. Потрудитесь передать мое
глубочайшее почтение Миттаг-Леффлеру вместе с ожиданием видеть
перевод моей статьи в его журнале. Новостей математических у нас
никаких нет; сам я сижу за мемуаром О простейших суставчатых
системах, который надеюсь скоро кончить и представить в Академию Наук.
Прошу принять уверение в глубочайшем уважении.
Ваш покорный слуга
П. Чебышев11.
11/23 октября 1889 г.
Многоуважаемая Софья Васильевна!
Никто не сомневается, что Вы всем сердцем преданы отечеству и
что Вы с радостью перешли бы из шведского университета в русский.
В этом не может быть никакого сомнения; можно только сомневаться,
что Вы согласитесь променять университетскую кафедру в Швеции на
место преподавателя математики высших женских курсов у нас, Я
полагаю, что такая перемена была бы большою жертвою с Вашей
стороны и жертвою в ущерб развития высшей математики. При ныне
действующих у нас уставах мужских учебных заведений, безусловно
27 П. Л. Чебышев, т. V

— 418 -
не допускающих женщин ни на какие кафедры, нам остается только
радоваться и гордиться, что наша соотечественница с таким успехом
занимает кафедру в заграничном университете, где национальное
чувство далеко не в пользу ее. Я слышал, что ответ, уже послан на письмо
г. Косича 12, которым был возбужден вопрос о доставлении Вам места
в России взамен того, которое Вы имеете в Стокгольме. Я имел случай
читать это письмо и, признаюсь, был крайне удивлен, как мало знаком
Ваш родственник с тем, что общеизвестно о Вашей ученой карьере.
Потрудитесь передать мое почтение г. Миттаг-Леффлеру и мою
искреннюю благодарность как за напечатание в его журнале перевода
моего мемуара Об интегральных вычетах, так и за пересылку оттисков.
Прошу принять уверение в глубочайшем уважении и искренней
преданности.
Ваш покорнейший слуга
П. Чебышев.
ПИСЬМА к П. Л. ЧЕБЫШЕВУ
ПЕРЕЧЕНЬ ПИСЕМ
В этот перечень вошли все письма из коллекции Академии Наук СССР,
адресованные Чебышеву. Звездочки означают, что соответствующие письма приведены ниже
(полностью, или в отрывках, или же даны краткие сведения об их содержании).
Содержание писем, у дат которых нет звездочки, не приводится. Даты4 писем указаны
по новому стилю.
1856 г. Polignac (8.VI *).
1858 г. Hermite (6.1 *, 27.VI *).
1859 г. Hermite (6.1 *), Sylvester (5.VII *), Gloesener (24.VII).
1860 г. Duhamel (5.1 *), Mention (17.1V), Hermite (31.V *), Mention (17.X *).
1861 г. Брашман (ЫИ*).
1862 г. Струве (20.111*), Ковальский (19.IV* и 30.IV*), Chasles (24.V*).
1864 г. Liouville (19,111*).
1869 г. Germain (11.XI*).
1871 г. Delaunay (13.XII *).
1872 г. Dwelshauvers-Dery (20.IV), Sylvester (l.IX * и 26.1Х *), Cremona (12.XI *),
Sylvester (23.ХИ*).
1873 г. Zeuner (15.1), Meunier-Dollfus (l.XII), Ханыков (12.XII).
1874 г. Mannheim (19.V*), Bienayme (27.V* и 24.XII*), Eichens (5.XI).
1875 r. Ekhens (12.IV), Hermite (6.VI*), Saint-Claire-Deville (2.VII), Bienayme
(14.VIII*).
1876 г. Ханыков (22.VIII *), Catalan (20.XI*), Hermite (27.XI *).
1878 г. Маиевский (14, 15.IV и 22.IV*), Hermite (29.VI *), Lucas (7.XII).
1879r. Grolous (4.1), Jung (19.1 и 7.II), Laisant (12.VI *)Г Borchardt (17.XII *),
Grandclerhent (23.XII).
1880r. Grolous (31.1), Collignon (25.11* и 25ЛИ *), Mannheim (25.111 *) Koenigs-
berger (22.IV*).
1881 r. Laussedat (9.II *).
1882 r. Mittag-Leffler (2.XII *).
1883 г. Блажевский (22.1), Lindelof (13.1V).
1884 r. Mittag-Leffler (8.IV*), Dwelshauvers-Dery (16.XII).
1885 r. Clark (22.11), Jung (24.11), Henry (3.IX), Lemoine (8.XII *).

- 419 -
1886 г. Catalan (ll.V*), Caligny (2.VIII *), Philippen (15.XI).
1887 r. Teixeira (9.IV *), Dairboux (23.VI *).
1888 r. Jung (25.1), Charlier (23.V*).
1889 г. Ковалевская (28.111 *), Lucas (12.IV), Laussedat (18.V), Kronecker (15.XI '),
Leaute (3.XII), Loewy (7.XII *).
1890 r. Catalan (D8.II *), Lucas (16.111), Hermite (21.V*), Lucas (21V), Battaglini
(4 и 24.VI*), Massarini (4.VI*), Bourget (20.VIII), Caligny (9.XI *).
1891 r. Lucas (ilO.VI), Dwelshauvers-Dery (ll.VI), Massarini (30.XI) Catalan
(12.XII *).
1892 r. Massarini (14.1 и LVI).
1893 r. d'Ocagne (25.11*), Laussedat (2 и 14.VI), Gillet (6.VIII), Leraoine (26.V1II *),
Dwelshauvers-Dery (27.IX), Сабинин (12.Х1), Hermite (23.XI*).
1894 r. Massarini (21.11), Craig (23.111), фон-Бооль (14.Х *).
Недостаточно датированы следующие письма:
d'Abbadie (l.VIII *), предположительно 1878 г.
Hermite — без даты*, не позднее 1857 г.
Hermite (27.VIII *), предположительно 1882 г.
iLaisant (31.VIII), предположительно 1879 г.
При каждом письме, оригинал которого написан не по-русски, указано, на
каком языке оно написано автором письма.
Русские письма
Письмо Н. Д. Брашмана13
Милостивый государь
Пафнутий Львович!
При сем присылаю Вам перевод статьи Сильвестера из № 133 и прибавления
Миррифельда из № 135. В № 136 Supplement December 1860 г. Сильвестер еще поме-
стил некоторые примечания об извлечении VNvl намек о распространении способа
Понселе на всякую степень. Он показывает также приложение к исчислению
эллиптической функции первого вида. Но все это для Вас понятно будет из формул без
перевода. Когда Вы прочтете мой приближенный способ определения постоянных, то
сделайте милость сообщите мне Ваше мнение, годятся ли мои чрезвычайно сложные
формулы и можно ли их упростить. Вы много обяжете высоко Вас почитающего и от
души Вам преданного
Москва, 1 марта 1861 г.14 Н. Брашмана.
Письмо О. В. Струве15
Пулково, 20 марта 1862 г.
Дорогой собрат!
Имею честь направить Вам при сем прилагаемые три работы господина Ковальского.
1. Исследования о движениях Нептуна.
2. О заггмениях.
3. Астрономические исследования Обсерватории в Казани, № 1.
Лишь взглянув на эти работу, невозможно не согласиться, что господин К., по
своей продуктивности и по научному уровню своих работ, намного превосходит своях
конкурентов. Предвижу, что Вам будет сравнительно нетрудно доложить все эти
материалы в Комиссии.
Как только эти труды Вам больше не будут нужны, я прошу Вас вернуть их в
библиотеку Обсерватории через Секретариат Академии.
27*

— 420 -
Письма М. А. Ковальского16
Казань, 19 апреля 1862 г.
Милостивый государь
Пафнутий Львович!
Баше письмо от 30 марта я получил только сегодня; это обстоятельство извинит
меня перед Вами в замедлении моего ответа.
Лестное мнение Ваше о моих работах много обрадовало меня тем более еще
и потому, что я не ценил их настолько, чтобы они могли обратить внимание
Академии На предложение комиссии принять место члена академии едва ли нашелся бы
кто-нибудь из занимающихся серьезно наукою, который не согласился бы охотно,
особенно испытав, что значит жить вдали от центра ученой деятельности. Одно
только обстоятельство слишком важно для меня, чтобы не высказать его Вам, а именно:
кажется, Академия полагает, что я исключительно занимаюсь теорией. Хотя я
занимался и занимаюсь наблюдениями едва ли не более нежели теориею, однако же я
до сих пор, исключая отрывочных наблюдений, не издал ничего серьезного по этому
отделу. Пояснением служит то обстоятельство, что приняв в 1855 г. в заведывание
здешнюю обсерваторию, я предпринял с самого начала труд, на совершение которого
нужно несколько лет, именно — исследование положения околополярных звезд между
80° и 90° склонения, ограничиваясь теми из них, которые могут быть наблюдаемыми
здешним полуденным кругом в 5 дюймов отверстия объектива. С начала 1854 г. я
преимущественно был занят этой работой, и хотя она подвинута далеко, но она не
кончена. Она была бы кончена, если бы не болезнь моя в 1859 г. и довольно
долгое, около 15 месяцев, пребывание мое за границею. Я того мнения, что астроном-
теоретик, если он отстанет от практики, не поладит с теориею, и потому изменить раз
принятый мною план моих работ, план соединять теорию с практикою, значило бы
идти наперекор внутреннему моему убеждению.
Я надеюсь, Пафнутий Львович, что Вы извините меня, если вместо прямого
ответа, да или нет, я принужден дать Вам ответ с условием: если О. В. Струве
согласится принять меня в число своих помощников в Пулковской обсерватории, то звание
экстраординарного академика я принял бы как выражение лестного и более чем
заслуженного мнения Академии обо мне.
Прочитав Ваше письмо, первою моею мыслью было писать О. В. Струве по
этому делу; но я удерживаюсь по той причине, что я не знаю, есть ли вакансия
в Пулкове и не распорядился ли он уже иначе. Если Вы не откажетесь быть
посредником между мною и О. В. Струве по этому делу, то этим много обяжете
меня.
Прилагаю при сем перечень изданных мною сочинений, оставляя без внимания
некоторые менее важные статьи:
1) Теория движения Нептуна, Казань, 1852 г.
2) Северный Урал. С.-Петербург, 1853 г.
3) О затмениях. Казань, 1856 г.
4) Recherches sur les mouvements de Neptune, suivies des tables de cette planete,
1856.
5) Recherches astronomiques de Tobservatoire de Kasan, № 1, Kasan 1859.
В настоящее время я занимаюсь теориею движения астероида Астреи, вычисляя
пертурбации его на основании формул, выведенных мною в статье «Developpement
de la fonction perturbatrice», впрочем с некоторыми изменениями.
Хотя работа эта не столь далеко подвинута, чтобы обнародование отрывочных
результатов могло представить научный интерес, однакож я пришел к тому
убеждению, что составление таблиц астероидов, исключая Паллады, практически вполне
возможно, если только остерегаться того предположения a priori, что строки, с
первого члена сходящиеся и что некоторые слишком [дальше неразборчиво].

- 421 -
Прошу Вас, Пафнутий Львович, передать мой поклон и поздравление О. И.
Сомову 17 с новым его назначением и принять уверения в истинном моем уважении, с
каким имею честь быть Вашим покорным слугой
М. Ковальский
Казань, 30 апреля 1862 г.
Милостивый государь
Пафнутий Львович!
Вас удивляет, что на первое Ваше письмо я не отвечал так долго, и, вероятно,
ь-е можете поверить, что письмо шло 20 дней. В апреле во время распутицы и
разлива Волги почта обыкновенно очень опаздывает, иногда ее нет и две недели.
В первом моем письме к Вам, которое Вы получили, без сомнения, я дал Вам
ответ насчет моего перевода в Петербург. Без обсерватории я не был бы в
состоянии окончить мой каталог околополярных звезд, но эту работу не решусь оставить
неоконченною. Перевод из провинции в Петербург кого бы ии прельстил, но при этом
я должен знать, что этим я ничего не теряю. Здесь я хозяин своего времени и
работы, занимаюсь тем, что меня более интересует и для меня очень важно, чтобы, в
случае моего определения в Пулковскую обсерваторию, я не был отвлечен
посторонними поручениями директора. В свое время я как-то не поладил с О. В. Струве;
по каким причинам, эго я сам не знаю. Надеюсь, что время и опыт изменили нас
обоих, но все-таки это пока только вероятность. И потому, Пафнутий Львович, прошу
Вас успокоить меня на этот счет, если станет у Вас охоты на занятия чужими
делами. Именно, прошу Вас известить меня подробнее, не мешает ли моя кандидатура
в Академию кому-нибудь из Пулковских астрономов и желает ли г. Струве иметь
меня в Пулкове в качестве второго астронома? Я не желаю стать никому на дороге;
но так как Казанью, несмотря на некоторые неудобства для занимающихся наукою,
я не слишком недоволен и получаю без большого труда с лишком две тысячи, то и
естественно мое желание быть столько же довольным и на новом месте. Признание
моих работ Академиею и ученый комфорт, служа в Петербурге, составили бы для
меня чистый барыш.
Я писал на-днях А. Н. Савичу, прося его разъяснить .положение моего дела и
вместе с тем говорить с О. В. Струве и написать мне откровенно, буду ли я
вожделен в Пулкове. С А. Н. Савичем мы друзья, но несмотря однако на это, я боюсь,
чтобы он, по своему обыкновению, не отвечал мне слишком неопределенно. И потому,
Пафнутий Львович, в случае если удостоите меня Вашим ответом, напишите мне
положительно, могу ли рассчитывать на доброе расположение О. В. Струве.
Спокойствие для меня важнее всего 18.
С истинным уважением и преданностью
имею честь быть М. Ковальский.
Из письма Н. В. Ханыкова19
22 августа 1876 г.
Долго и часто думал я, Пафнутий Львович, после Вашего обязательного
посещения меня в Рамбулье, о третьей задаче Вашей жизни, которую Вы собираетесь
разрешить так же успешно, как разрешили первые две. Не придавая этой шутке более
значения, чем она заслуживает, но слыша ее от Вас не в первый раз, мне
показалось интересным отнестись к ней совершенно без применения именно к тому или
другому лицу, а постараться разъяснить ее себе вообще как общественно-философский
тезис и разобрать, правы ли те, которые обвиняют общество в недостаточном
уважении и внимании к ученым? Первое, что такое ученый? Само собой разумеется, что
я называю таковым, вероятно, так же как и Вы, специалиста, который по складу
своего ума и по счастливому образованию мозга получил от природы дар находить
човыс стороны в предметах человеческого знания, в известном направлении и, таким

- 422 -
образом, расширяющего круг этих знаний и завещающего, после своей смерти,
человечеству ряд новых идей и воззрений на известные предметы, которые никто из его
современников не был бы в состоянии сделать или просто не сделал. Если Вы
согласитесь с этим, то Вы должны будете согласиться с тем, что подобная гениальность —
такая же случайность как рождение принца крови или сына бедняка, как выигрыш
большого куша в карты или лотерею, словом как все необычайное, выходящее из
обыденного круга, совершающееся с нами помимо нашей весьма не свободней воли.
Тем не менее мы видим, что общество относится далеко не одинаково ко всем этим
счастливцам рождения; иных, как, например, полководцев, государственных людей,
банкиров и т. д., оно немедленно награждает само, окружая их почетом, давая им
власть, богатство, влияние на общественные дела и т. п.; других же, как литераторы,
окружая светскими отличиями, а нередко и богатствами, раскупая издаваемые ими
книги; наконец, класс, специально нас занимающий, класс исключительных
мыслителей, обыкновенно скромно проходит однообразную жизнь, довольствуясь одобрением
немногих, понимающих их цену, но с полною уверенностью, что благодарное
потомство никогда [их] не забудет и что они зарабатывают единственный вид
бессмертия, свойственный человеческой душе. Право ли общество, действуя так? Конечно
право, потому, между прочим, что оно всегда и во все века так же неизменно это
делало, как земля вращалась вокруг солнца, ergo, в этой кажущейся его
несправедливости было побуждение, свойственное натуре общества, без коего оно не могло бы
существовать. В особенности часто поражало это меня в Англии. Лондон набит
статуями Нельсона, Веллингтона, Питта, Канинга, сэра Роберта Пиля и др., и только
два года тому назад, в темном углу публичного сквера, разведенного частным
человеком сэр Робертом Валлисом, поставлен грудной (sic!) бюст Ньютона, в
pendant к бюстам актеров, актрис и статуи, в рост человеческий, Шекспира,
занимающей центр сквера. Впрочем не Вы первый геометр, задававший себе подобную задачу.
Якоби (Кенигсбергский) тоже писал в марте 1850 г. Шумахеру: «Я получаю теперь
снова мое прежнее содержание, увеличенное несколькими сотнями талеров и это с
того самого момента (1 октября Ш49 г.), когда меня вздумали приневолить к
философскому отречению. Да научит это Вас, что математиков безнаказанно не
обижают». Он однако не прибавил, какою ценою математик купил это мнимое
наказание правительства, он должен был обмануть австрийское правительство, отказавшись
от окончательно заключенного контракта о переходе в Венский университет
профессором и кроме того дать (некатоновскую, как ее назвал Гумбольдт) расписку никогда
не всовьшаться в политику. Зная Вас, я убежден, что Вы никогда не примирились бы
с таким соломоновоким решением, но впрочем, верьте мне: худой мир лучше доброй
войны. Франция и Швейцария единственные два государства, где ученые, я то
столичные, играют роль в обществе, но это выработалось отчасти в складе общества
XVIII века, где ученые большею частью были вместе и литераторы, как Даламбер,
Кондорсе, Бюффон, Лаплас и др. В Швейцарии же потому, что ряд ученых, какДе-
кисдоки, Соссюры и др., являлись из рода женевских патрициев, т. е. людей (богатых
и с большими общественными связями. Но и во Франции люди того состава и родства,
как Ивон де Валерсо, Оссиан Бонне, Эрмит и пропасть других, общественного
значения не имеют и не будут иметь. Однако basta — 26-го надеюсь Вас посетить в
Париже и застать Вас за Вашим утренним чаем.
Письмо Н. В. Маиевского20
22 апреля 1878 г.
Многоуважаемый Пафнутий Львович!
Я писал Вам, что не сумел выразить общий способ вывода один из другого
множителей
(1,1) (1,2), (1,3). . .(1,П
(2,2), (2,3). . .(2,4

- 423 -
Хотя совершенно знаю, что он Вам и не нужен, но так как я его нашел при помощи
формул стр. 18 Вашего мемуара об интерполировании (1864), то позволяю себе Вам
его сообщить.
При знакоположении, принятом Вами в мемуаре 1875 г., означенные множители
выводятся один из другого по равенству
<-»+'>=r?r'^h»)-|<^'.»)]-;^T-=S-71^»-').
2гс+ 1 т
1- Ч =
причем
(0,0) = 1, (0,1) = 1, (0,2) = 1; (0,3) -1,. . .
(\х > п, п) = 0, ({Л_1>7г)«)==0, (р>п~ 1, п— 1) = 0,
(;а>я -Ы, п + 1) = 0
Искренно уважающий Вас и преданный Вам Н. Маиевскчй21.
Письмо С. В. Ковалевской22
28/16 марта 1889 г.
Многоуважаемый Пафнутий Львович!
Нынешнюю зиму я пользуюсь отпуском от Стокгольмского университета и
провожу ее в Париже, куда мне и было переслано Ваше письмо. Вследствие того, что
письмо пропутешествовало из Стокгольма в Париж, произошла маленькая задержка и
я поэтому не могла ответить Вам так скоро, как ответила бы иначе.
Позвольте мне и от себя лично и от имени Миттаг-Леффлера принести Вам
благодарность за то, что Вы нас вспомнили ,и прислали нам Вашу статью23. Само собой
разумеется, что она будет напечатана в следующем же № Acta Mathematica. С
нетерпением ожидаю обещанной Вами статьи — приложения эллиптических функций,—
о которой Вы сообщаете мне такие интересные подробности. Позвольте мне тоже
прислать Вам мою работу, за которую я получила в декабре месяце le prix, Bordin
от Французской академии. Академия, не зная, разумеется, что я автор этой работы,
увеличила даже премию с ее обычного размера в 3000 франков на 5000 франков.
Вы можете себе представить, как я была счастливя от этой, ©ьшавшей мне на долю
чести.
Я получила разрешение от здешней академии напечатать мою работу
предварительно в Acta Mathematical, но в скором времени она появится тоже в Savants etran-
gers24. He приедете ли Вы весною в Париж, на выставку? Известите, пожалуйста,
когда именно приедете. Я думаю остаться здесь до половины июня, а потом вернусь
в Швецию.
Примите, многоуважаемый Пафнутий Львович, уверение в моем искреннем и
глубочайшем почтении.
Софья Ковалевская.
P. S. Hermite и Бертрана я вижу здесь очень часто. Они теперь отличные друзья
а делают друг другу всевозможные любезности. Оба очень довольны тем, что
французы, в лице Poincare и Арре1Га так отличались по случаю премии короля Оскара 2б.
Письмо В. Г. фон-Бооля
26
Милостивый государь
глубокоуважаемый Пафнутий Львович!
С благодарностью возвращаю Вам фотографические рисунки арифмометра,
которыми я воспользовался при описании Вашего прибора. Посылаю Вашему
Высокопревосходительству пять экземпляров этого описания в виде отдельных оттисков из

- 424 -
«Трудов Отделения физических наук Императорского общества любителей
естествознания* и прошу Вас откровенно высказать Ваше мнение о нем и Ваши замечания,
которые я приму с искренней благодарностью и воспользуюсь ими для моей книги, которую
я имею в виду издать, изложив в ней описание всех имеющихся арифмометров.
В трудах упомянутого выше Общества, после описания Вашего арифмометра,
помещена небольшая заметка, взятая из одного из Ваших писем, присланных ко мне,
и касающаяся описания Ваших фотографий. Это сделано по убедительной просьбе
редакции, которая пожелала непременно поместить на страницах своего журнала
хотя несколько строк, лично Вами написанных.
Позвольте еще раз поблагодарить Вас за Ваше любезное и полезное для меня
внимание к моим занятиям и надеяться, что Вы не откажете мне и впредь в Вашем
содействии. Если мне случится побывать в Петербурге, то Вы разрешите мне
посетить Вас, чтобы иметь удовольствие лично представиться Вам.
Прошу, Ваше Высокопревосходительство, принять уверение в искреннем моем к
Вам уважении и сердечной преданности
В. фон-Бооль.
Москва,
14 октября 1894 г
Иностранные письма
ФРАНЦИЯ
Письмо А. де-Полиньяка27
[По-французски]
Париж, 8 июня 1856 г.
Дорогой г. Чебышев,
Мансион28, который Вам вручит это письмо,— один из подающих надежды
молодых математиков. Он рассчитывает прожить некоторое время в Петербурге и
посвятить себя там преподаванию. Я буду Вам навсегда обязан, если Вы сделаете для
него то, что сочтете возможным. Ваше покровительство будет иметь для него
большой вес.
Я очень счастлив тем, что благодаря этому случаю могу возобновить наше
знакомство и просить Вас ознакомить меня с новыми открытиями, которыми Вы
обогатили теорию простых чисел. Что касается меня, то из-за войны, в настоящее время
к счастью оконченной, я не мог далеко продвинуть мои исследования. Правда, я
сделал несколько маленьких работ, но, сравнительно с огромными шагами, которые Вы
должны были сделать, с трудом осмеливаюсь говорить Вам о них. Все же я хотел
бы сообщить Вам, между прочим, следующий «результат. Можно найти формулу,
дающую все простые числа с приближением, зависящим от того приближения, с
которым выражено Т(х) = 1 • 2 • 3 • • • х>— это приближение можно определять только по
мере того, как число (до которого мы желаем знать все простые числа) увеличивается;
в то же время число членов формулы также очень быстро увеличивается.
Жму Вам руку горячо и сердечно и жду известий от Вас в скором времени.
А. де-Полиньяк, капитан артиллерии,
адъютант маршала Пелисье.
Письма Ш. Эрмита29
[По-французски.]
[Без даты]
Mon cher Monsieur!
Неотложные семейные обстоятельства вынуждают меня снова просить у Вас
прощения в том, что мне приходится манкировать условленным свиданием. Я уезжаю
из Парижа раньше, чем предполагал, и направляюсь в Нанси, а затем в Мец; таким-

- 425 -
образом, уже не знаю, найдется ли минута, чтобы повидаться с Вами до отъезда,.
По всем этим причинам мне не хотелось бы, чтобы Вам осталось неизвестным, что
г. Коши, которого я видел в последний четверг, чрезвычайно заинтересовался Вашими
открытиями в области простых чисел. Он в настоящее время чувствует себя плохо и
потому просил изложить ему на словах содержание Ваших мемуаров, боясь,
что не сможет прочесть их с той сосредоточенностью, какую требуют трудные
исследования по такому тонкому [epineux] вопросу. Я сообщил ему большую часть
Ваших теорем и с удовлетворением убедился, что он обнаружил самый живой
интерес. В особенности его поразило доказательство постулата Бертрана и результаты,
касающиеся сходимости ряда ии Щ., из,-, ир,... (где р — целое), и, слушая его
замечания, я пришел к заключению, что момент благоприятен, чтобы передать ему
Ваше желание с ним увидеться. Вы будете вполне удовлетворены [vous n'aurez qu'a
vous louer] приемом, который он Вам окажет,— смею Вас уверить, нисколько не
опасаясь, что факты опровергнут предположения.
Не имея возможности провести с Вами еще некоторое время, я тем более
сожалею об этом, что хотел Вам сообщить теорему, мною найденную, которая стоит
в тесной связи с тем, что Вы мне говорили об уравнении ах + by + сг — 0, и, может
быть, привлечет Ваале внимание. Вот в чем она заключается: считая заданными два
иррациональных числа х и уу можно приблизить их оба сразу двумя дробями с общим
знаменателем — — с дополнительным условием, чтобы сумма квадратов ошибок
С-?)Ч'-г)"
увеличивалась бы 'всякий раз, как вместо ^ будет взято меньшее число. Этим усло-
вием дроби — , — определяются полностью; и тогда оказываются справедливыми
(X [I
следующие утверждения:
ло mi n 1
2°. Рассматривая четыре последовательных приближения
(т_ п\ (т[ гГ\ /т* пГ\ ( тт пГ_\
мы получаем:
пш = ц>пп + о^л' 4- п
тт = о>т/" + ыгтг -f т,
причем о и ох — целые.
Из этого нового [способа] приближения величин вытекает ряд следствий
арифметического (порядка. Надеюсь, что в Мете у нас будет случай обо всем этом
поговорить. •
Предполагая, что я уже сказал, отправиться в Нанси, прежде чем ехать в Мец,
я Вам сообщу название отеля, в котором остановлюсь при возвращении, чтобы мы с
Вами могли встретиться: это — H6tel du Nord. Возможно, что со мною будет также
г. Сенэ [Senet].
Вместе с выражением моего сожаления, прошу Вас, Monsieur, принять уверения
в моих дружественных и почтительных чувствах.
Ш. Эрмит.30

- 426 -
6 января 1858 г.
Mori cher Monsieur!
С глубоким чувством признательности я отвечаю на Ваше письмо,
преисполнившее меня радостью. С давних пор я не осмеливался надеяться на честь принадлежать
к Вашей Академии и теперь я проникнут чувством живейшей благодарности Вам и
Вашим собратьям, вознаградившим мои работы превыше ожидания. Научное поприще
не лишено горечи, но среди долгих и тяжелых трудов нашей профессии геометров
меня будет поддерживать и поощрять симпатия настоящих друзей науки, таким ценным
доказательством которой я обязан Вам, mon cher Monsieur, более, чем кому-либо
другому.
Я уверен также, что Вы не откажетесь быть посредником между Вашей Академией
и мною, когда я буду иметь возможность представить ей некоторые из моих
исследований как свидетельство моей признательности и почтительного уважения.
А пока я должен Вам сообщить нечто безотлагательное относительно Ваших
работ. Узнав с большим удовольствием из Вашего письма, что Ваш мемуар по
вопросам о наименьших величинах накануне выхода в сеет, я 'боюсь, как бы Вы не
предоставили другим сделать важные, может быть, самые важные, выводы в этой
области, в которую Вы внесли новые и основополагающие идеи.
Так, в сообщаемой мне Вами столь интересной теореме о невозможности
интегрирования в конечном виде выражения
V(x — а) (я3 -f рх* + qx+ г)
Вы не исследуете того, во что обращается Ваше условие неинтегрируемости
применительно к интегралу, представленному в канонической форме. Но в июле месяце
прошлого года я узнал от г. Борхардта, что геометры, поспешно прочитавшие Ваш
мемуар об интегрировании иррациональных дифференциалов, были несколько
удивлены, что Вы не воспользовались приведением к канонической форме, и что г. Вейер-
штрасс тотчас же принялся за дело и дополнил в этом пункте Ваш мемуар в своей
статье, извлечение из которой появилось в отчетах Берлинской академии. Я не знаю,
известно ли Вам об этом; его заключение состоит в том, что интеграл
С dx
J (rr* - а2)К(Т— z2) (1 - к^Щ
выражается в конечном (виде только в том случае, если
f dx =m[— dx -+n[ dx
)V (1— я2) (1—/c2x2) J V(i - x*) (1 — k*a*) J V(l — я2) (1 — *'2*2)
0 0 0
где m и п рациональны [kf2 + &2 — 1)-
Наберитесь же, mon cher Monsieur, мужества и смело пускайтесь в глубины
теории эллиптических интегралов. Вы найдете в них как бы связь между Вашими
изысканиями в интегральном исчислении и Вашими арифметическими изысканиями31.
Я не премину передать Ваши поклоны гг. Лиувиллю, Дюамелю, Шалю и всем,
кого Вы перечислили. К несчастью, г-на Коши уже больше нет32. Для науки это
неизмеримая потеря, которая для меня лично была особенно чувствительна. Вы
знаете, в каких печальных обстоятельствах я находился со времени Вашей последней
поездки. Эти душевные горести закончились болезнью, которая чуть меня не унесла.
Я заболел ветряной оспой в тяжелой форме, и мой доктор уже приготовил
надгробную речь, когда г-ну Коши пришла благая мысль прислать для ухода за мной
сестру милосердия, которую он знал уже давно <и пользовался ее услугами в своей
семье; он поручил ей меня, как если бы я был его сыном.

- 427 -
Ежедневно и по нескольку раз в день, когда было крайне опасно приближаться
ко мне, он приходил справляться о моем здоровьи, и доброй монахине заботливым
уходом удалось меня вырвать из рук почти верной смерти, так как болезнь
осложнилась. Я не в меньшей мере обязан ему благодарностью за избавление от всего, что
являлось причиной моего душевного беспокойства и от чего теперь осталось лишь
отдаленное воспоминание. Так что мадам Эрмит, не забывшая северного
путешественника, предложила мне поехать в С.-Петербург с тем, чтобы отдать ему визит.
Я еще много имею сказать Вам, mon cher Monsieur; ибо, как Вы видите,
в Вашем лице я вижу больше чем собрата, и, может быть, в скором времени я
снова смогу Вам написать с просьбой сообщить Вашей Академии некоторые мои
исследования.
В ожидании примите еще раз выражение моей живейшей признательности и
глубокого уважения.
Ш. Эрмит.
Я вспоминаю, что уравнения в конце Вашего письма уже были рассмотрены
Якоби. Во всяком случае г. Коши и г. Иоахимсталь изучали линейные уравнения,
коэффициенты которых получаются циклической перестановкой коэффициентов одного
уравнения. Пример: ax + by + cz = kt Ьх + су + аг=*к', cx + ay + bz = k". Они
решаются умножением их соответственно на 1, 6, б2 (где 6 один из корней
уравнения 03 = 1) и последующим сложением.
Париж, 27 июня 1858 г.
Дорогой собрат!
В моем последнем письме я сообщил BaiM, что прибегну к Вашим услугам, чтобы
р знак уважения и благодарности представить Вашей Академии сообщение о
некоторых моих исследованиях.
В настоящее время именно это я и собирался сделать, взяв предметом моего
сообщения приведение модулярного уравнения восьмой степени к уравнению седьмой
степени, когда совершенно непредвиденное обстоятельство заставило меня спешно
написать Вам, отложив исследование на более позднее время. Вот о чем речь.
Г. Бертран представил в Академию работу одного парижского профессора!, г. Руше з3,
озаглавленную «Мемуар о разложении функций в ряды по знаменателям
подходящих дробей непрерывной дроби», и одно извлечение из этой работы только что
появилось в Comptes rendus. Читая это извлечение, я вспомнил, что в одном
разговоре Вы мне указали все выводы этого автора и, кроме того, еще целый ряд
других. Правда, автор ссылается на Вашу формулу, ту, которую Вы опубликовали в
заметке, прочитанной в С.-Петербургской Академии, и в 53-м томе журнала Крелля.
Но мне представляется совершенно очевидным, что эта теория принадлежит Вам в
гораздо большей степени, чем это признает г. Руше. Я собирался взять слово на
следующем заседании, чтобы упомянуть перед Академией о сообщенных мне Вами
выводах. Решив, однако, что воспоминания о давнем разговоре (в котором мое
внимание было обращено, главным образом, на применение Ваших принципов к
интегрированию квадртных корней посредством логарифмов) не дадут мне, может быть,
достаточно твердых для того оснований, я предпочел тотчас же написать Вам и
подождать, пока Вы лично ознакомитесь с работой г. Руше. Если бы Вы тогда пожелали
установить Ваши права па приоритет и в связи с этим представить Академии
сообщение о некоторых Ваших выводах в этой области, то нет нужды уверять Вас, сколь
я был бы счастлив предоставить себя в Ваше распоряжение, тем более — иметь от
Вас известия о Вашем здоровье и узнать, как Вы провели этот год. О себе скажу, что
я не выбрался из эллиптических функций и модулярных уравнений и опубликовал
несколько статей, которые будут Вам отправлены, как только появятся оттиски.
Неожиданно я получил при помощи эллиптических функций решение уравнения

- 428 -
-*р — х — а = 0. Но в тот момент, когда я предполагал глубже исследовать этот
вопрос и занимался полным уравнением, г. Кронекер из Берлина мне сообщил метод столь
же прекрасный, как и глубокий, чтобы непосредственно получить решение этого
полного уравнения при помощи эллиптических функций, минуя промежуточное
приведенное уравнение х?—х— а—О. Написанное им мне по этому поводу письмо, уже
появившееся в Comptes rendus, будет также опубликовано с моими собственными
исследованиями, и я не сомневаюсь, что оно глубоко заинтересует Вас. Хотя эти
изыскания относятся к алгебре и трансцендентному анализу, они очень близко
касаются арифметики, и с этой точки зрения я оставляю за собой право поговорить
с Вами, о них еще, если, как я надеюсь, мне удастся довести их до ожидаемых
результатов.
* Взамен, mon cher Monsieur, Вы мне расскажете, к чему Вас привели размышления о
столь трудной проблеме касательно теоремы Лежандра, выставленной Академией на
конкурс и которой, я полагаю, Вы не преминете заняться. Но сколько затруднений
она должна доставить!
Мне по крайней мере она кажется неприступной в том направлении
исследований, на котором я нахожусь, и я должен вспомнить о словах священного писания:
«человек не господин своего пути», так как вижу, что эти вопросы теории чисел,
столь замечательные и важные, будут для меня всегда недоступны.
Я высказываю совершенно искреннее пожелание, mon cher Monsieur, чтобы Ваши
усилия увенчались успехом. Надеюсь, Вы этого достигнете во имя дружбы, ради
науки и ради всего, что Вам дорого. Именно с этой мыслью я возобновляю
выражение моих чувств глубокого уважения и живейшей симпатии.
Ш. Эрмит.
6 января 1859 г.
Дорогой собрат!
Как только я узнал из Вашего последнего письма о Вашем желании, чтобы
поскорее вышел в свет перевод опубликованного Вами мемуара о непрерывных дробях,
я поспешил об этом переговорить с г. Бьенэме, который сообщил мне, что он уже
передал г. Лиувиллю рукопись своего перевода84. Теперь Ваша работа появилась
целиком по-французски, и я ее прочел с таким удовольствием и интересом, что
пользуюсь случаем написать об этом, желая показать, что я ее изучил, и сообщить Вам
размышления, ею вызванные.
Более всего привлекла мое внимание теорема в конце § VI35, относящаяся к
квадрату
Фо(*о)> <M*i)> • •• > Фо(*п)
<М*о). ф1(*х)> •••> «М*л)
Фп («о)» ®п (*i), . . . , Фп (*я)
Она, как мне кажется, дает новый подход к вопросу, разрешенному Вами так изящно
при помощи непрерывных дробей, и одновременно делает очевидной связь Ваших
новых формул с интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть, следуя, насколько возможно, Вашими обозначениями, б (х) — произвольная
целая функция и /(х) = (х —- х0) (х — х1)...(х — хп)\ аналитический элемент формулы
Лагранжа есть функция
r*W- х-* b(xt)f(xi) '
которая дает ft (x}) = 0 или = 1, смотря по тому, различны или равны между собой / и./.
Отсюда, положив
в (■*) - 'о/о (X) + tjx (х) + . . .+ tnfn (х) = 2 Ufi (*).

- 429 -
получим 6 (л^) = (i и, следовательно,
2 «• ы = 2 <?
а
Пусть теперь /0 = а0Т0 + ^ + • • • + ljn, ix = fllr0 + J^i + • • • + /хГя1 ...,*„«
= я,Л + ^л^1 Н + /дГ,,; эта подстановка даст 2 '? ** 2 ^ ; ПРИТ0М е М примет
вид в (л:) = ГоФо (*) + 7^ (x) -\ Ь ГпФл (*), где новые функции Ф (х) выражаются
линейно через /0, flt и т. д,; а так как 2 02 (•**) = 2 *? ' то отсюда следуют ссновные
соотношения: ^ фт (■**) фт' (•**) = ° или *» смотря по тому, различны или равны
между собой т и т\
Рассмотрение подстановок, которые преобразуют самое в себя сумму квадратов,
позволяет, следовательно, связать с формулой Лагранжа целый класс формул,
обладающих свойством, которое Вы устанавливаете на втором месте в § VII Вашего мемуара,
так как очевидно, что функции Ф, которые я только что полу-чил, содержат 0 (лг)
множителем/так что можно написать Фт (л:) = л¥т (х) 0 (х) и точно следовать
методу, примененному Вами в этом параграфе.
Но в этом классе функции те, которые у Вас появляются из разложения — /, *
в непрерывную дробь, на этот раз получаются совершенно другим путем следующим
образом. Я утверждаю, что можно всегда определить подстановку tQ = aQT0 + Ь0Тг -f
и т. д. таким образом, чтобы 0 (х) приняло вид:"
0 (х) = ГДо (х) + Т&г (х)+. . .+ ТпЧГп (х),
где y¥i будет степени i относительно х. В самом деле, имея
Фо (■*) = ^о/о И + «iA И + • • • + anfn W
Фх W = *о/о (*) + *iA W + • • . + bnfn (X)
Фп (х) = /0/и И + *j/i И + . . . +*nfn [X),
1
видим, что, приравняв частное а / ч Ф0 (х) постоянной, мы придем к п линейным
уравнениям, которые выразят, например av a2f..., ап в функции а0; желая сделать
1
■ q / ч ■ Ф0 (х) многочленом первой степени, придем к п — 1 уравнениям, из которых
получимЬъ bz,...,bn, выраженные линейно через b0, bx и так далее. Следовательно,
уравнение ^aibi = О дает возможность найти все 6, с точностью до общего
множителя. Когда таким образом эти величины будут определены, то все с найдутся
из соотношений 2*/cJas= °' 2^*==0 и так далее- Итак' наконе^ будут известны
с точностью до общих множителей величины av Ъь, с% и т. д., а эти множители
определяются из уравнений: ^ а\ = lj 2 *% = 1 и т* д* Таков пРием' которым можно
заменить разложение в непрерывные дроби и при котором можно избежать
затруднений с несовместными уравнениями. В случае, если 0 (х) = 1, я заметил еще, что
нахождение функций W сводится к элементарному вопросу приведения к сумме квадратов
2 (*о + *1*+ ***! + • • -+Z«A?)2=24
i=0 х=Ю

- 430 -
при помощи специальной подстановки вида
z0 = a0Z0 4- bQZx 4- ... +1ц2п
zx = a1Zl + ... -\-kxZn
z% = a2Z2 + . . . +g1Zn
и т. д.
Это полностью определяет aQ, bQ и т. д., alt Ьг и т. д.
Я не знаю, разделите ли Вы надежду, которую я питаю, упоминая об этом методе:
он, может быть, допускает распространение на функции многих переменных, о котором
мы с Вами когда-то беседовали и которое представляет большие затруднения. Ваш
новый мемуар о наименьших величинах, связанных с представлением функций, мне также
показался в высшей степени интересным и нет нужды говорить Вам, насколько Ваши
применения теории алгебраических уравнений привлекли мое внимание. Может быть,
я снова буду говорить о них с Вами, ксгда достаточно глубоко изучу Ваш мемуар.
Это будет для меня новый случай засвидетельствовать Вам свое почтение, как сейчас
я прошу Вас принять уверения в моих чувствах высокого уважения и дружбы.
Ваш преданный собрат
Ш. Эрмит.
31 мая 1860 г., Париж.
Дорогой собрат и друг!
Я счастлив известить о почти единогласном избрании Вас
членом-корреспондентом Instltut de Franceзв. Это — должная и вполне заслуженная дань уважения,
воздаваемая Вам как за Ваши прекрасные открытия в арифметике, так и важные работы
по теории интерполирования. Благодарю Вас за присылку Ваших последних мемуаров,
которые показались мне крайне примечательными и которые, конечно, превратят
теорию интерполирования в одну из интереснейших теорий анализа. В частности, я был
поражен открытием выражения знаменателей через разнести произведения
(х - nh) (х—(п — 1) h)...(x — h)(x + h)...(x + nh),
что дает неожиданный и интересный подход к функциям -Х"д87. Но мне пришлось бы
перечислять слишком много, если бы я хотел указать все, что поразило меня в Ваших
последних работах. Я предпочитаю подождать Вашего приезда к нам (о котором я
узнал от г. Дюамеля) и насладиться удовольствием видеть Вас заседающим с Вашими
новыми собратьями. Тогда мне будет легче и приятнее беседовать с Вами о
предметах наших общих размышлений и исследований, в частности, о распространении на
функции многих переменных некоторых результатов теории интерполирования. А пока
позвольте мне обратить Ваше внимание на одну теорему Кэли, которая кажется мне
достойной внимания: «Пусть Р и Q два полинома относительно х, у, z...,
удовлетворяющие уравнению
d2u d2u d2u
dx2 + ~df + dz2 + ' ' • = 0;
интеграл \ PQ dxdydz..., распространенный на все значения переменных,
удовлетворяющих условию х2 -f у2 + г2 + ... = 1, равен нулю, если Р и Q различны между
собой»87а- Это дает разложения функций многих переменных, связанных условиями
minima, которые кажутся удобным орудием в вопросах интерполирования. Но Вы
знаете, сколь я желал бы видеть Ваши усилия направленными также в сторону
эллиптических функций; размышляли ли Вы хотя бы иногда о них со времени Вашего
возвращения в Россию? Я доставлю себе удовольствие возобновить по этому поводу
мои настояния, когда Вы снова будете гостем французской геометрии, чего я ожидаю
также, чтобы увидеть Вас вкушающим удовлетворение от приема в лоно Академии
Наук с тем уважением и живой симпатией, которые знающие Вас близко разделят со
всеми остальными сочленами.

- 431 -
Именно с этой надеждой я возобновляю самые искренние поздравления и
уверения в моих чувствах высокого уважения и дружбы.
Ш. Эрмит.
Дорогой собрат!
Позвольте мне рекомендовать Вам г. аббата Праваз, который вручит Вам это
письмо, а также мое небольшое сочинение о показательных функциях, которое я прошу
Вас соблаговолить представить Вашей Академии Наук. Пользуясь этим случаем
напомнить Вам о себе, я не могу прежде всего отказать себе в удовольствии поздравить
Вас с избранием иностранным сочленом [associe etranger] Академии88, поздравив и
самого себя с тем, что избраны Вы, мой дорогой друг, которого я люблю и уважаю
в продолжение стольких лет и чьи работы получили таким образом справедливую
награду. Я надеюсь также, что, так как теперь Вы связаны с Академией более тесной
связью, какой-либо ближайший случай приведет Вас во Францию, и я смогу
побеседовать с Вами немного дольше, чем в Ваш последний приезд.
Помните, я говорил Вам, что предпринимаю некоторое исследование в связи с
Вашими последними работами о квадратурах? Я должен Вам признаться, что мои
попытки не увенчались успехом и что последнее слово в этом вопросе остается за Вами.
Моим желанием (я не знаю, осуществимо ли оно) было получить меру приближения
b
к интегралу \ f(x)dx1 не зависящую от разложения функции f(x) в ряд по
возрастаем
ющим степеням переменной; Ваши же методы дают быстрые или медленные
приближения, в зависимости от характера этого ряда. Но мне не посчастливилось в этом,
и хотя я включил этот вопрос в программу моего курса на факультете, но читал то,
что сделано Вами и только Вами.
Я пользуюсь случаем предложить Вам записки, составленные в этом году
слушателями моего курса в Политехнической школе, с просьбой снисходительно их
просмотреть. Та доля, которую я попробовал отвести арифметике, как бы она ни была
мала, еще оказалась слишком большой, и предложение * о разложении целого числа
на сумму квадратов было воспринято слушателями не без затруднений.
Возобновляя выражения моих чувств давней и искренней любви, прошу считать
меня Вашим другом и преданным собратом.
Ш. Эрмит.
Париж, 6 июня 1875 г. [?]
Дорогой друг!
Наш собрат г. Венэ, который в скором времени закончит опубликование трудов
Лагранжа, думает включить в свое издание по возможности полную математическую
переписку великого геометра.
С этой целью он, зная Ваше участие в опубликовании посмертных произведений
Эйлера,39 поручает мне спросить у Вас, нет ли среди его рукописей еще не
изданных писем Лагранжа. Мы рассчитываем, мой дорогой друг, что Вы со свойственной
Рам любезностью осведомите нас на этот счет.
Мне еще поручено сказать Вам, что в случае, если Вы сообщите нам о
существовании рукописных материалов, полезных для издания Лагранжа, министр народного
просвещения намерен обратиться от имени правительства к Вашей Академии с
просьбой о благосклонной передаче нам этих материалов. Мы даже надеемся, мой дорогой
друг, что Вы будете дсбры указать нам наиболее подходящий путь для того, чтобы,
наше ходатайство дошло и было благосклонно принято Вашей прославленной.
Академией.

- 432 -
Пользуюсь этим случаем, чтобы вновь выразить Вам мое чувство давней и весьма
искренней любви к Вам.
Ш. Эрмит.
Париж, 27 ноября 1876 г.
Мой дорогой собрат!
С самого заседания в прошлый понедельник, когда Вы сообщили мне о Вашем
дрекраснсм и важном результате, содержащемся в формуле
Е
т — an — Ь = —,
п
где Е меньше 2, и упрекнули меня с большой горечью в том, что я обратил на него
не больше внимания, чем другие, я пытался его доказать и теперь, чтобы себя
оправдать, предлагаю Вам мой скромный метод.
и. u/ у" и
Пусть —, — , — ,... последовательность подходящих дробей, сходящаяся к а,
причем
[LV' — (l/v = 1
jiV —и/V ==1
и т. д.
Последовательности целых чисел (у, v), (ц/, V) и т. д. я ставлю в соответствие
другую последовательность следующим образом:
( m=y.E(v'b) — y!E(vb)
\ n--=:vE (v'b)-v'E(vb)
(m' = [L'E(v*b) — \xnE(v'b)
\п' = vrE{v"b)-v"E{vrb)
и т. д., где Е (х) — целая часть числа х.
Я утверждаю, что числа этой второй последовательнссти обладают тем свойством
которое Вы открыли.
В самом деле, так как
т — an = (у. — av) Е (ч'Ь) — (у/ — av') E (v&),
то равенства
£(v&)=v& — в, E(</b)=v'b — s',
где ens' положительны и меньше единицы, дают:
т — an = (у. — a\i)(Vb — е') — (у/ — av')(vb — s) —
— (yV — [l'v) b — e' (y. — ач) + e (у/ — av').
Отсюда, в силу того, что yv' — y/v = 1:
т — an — b = — е' (p. — ач) -f е (\tf — av').
Но можно написать
о о/
у. — яУ = —р, и/ — я v = ~г ,
V v
где шиш'- положительны и меньше единицы, что дает:
ее/ — е'со
т — an — b = ■
V
яли
m — дл — о = —г
v

- 433 -
где у) заключено между + 1 и — 1, а так как
п = v (Vb — g') — v' (vb — г) = £V' — e'v,
то Вы видите, что целое число л, конечно, меньше чем v', что и доказывает результат,
к которому Вы пришли первым.
В надежде на то, что отныне Вы не будете больше обвинять меня в том, что я
не оказываю Вашим арифметическим открытиям того приема, который им должен
оказывать всякий любящий арифметику, я вновь заверяю Вас, мой дорогой собрат,
в моей самой искренней дружбе.
Париж, 29 июня 1878 г. Ш* ЭрМИТж
Сен-Жермен-ан-Лэ, 27 августа. [1882 г.?]4
Дорогой друг!
Прогуливаясь вчера вечером, я в темноте упал и поранил себе колено, хотя
несерьезно, но из-за этого я вынужден оставаться дома и лишен удовольствия видеть
Вас и беседовать с Вами в последний раз перед Вашим отъездом.
Для того чтобы хоть немного возместить эту потерю, я хочу еще раз высказать
Вам мое восхищение по поводу открытого Вами условия, которое характеризует ряды
N
-jyxn, представляющие конечные функции41. Оно состоит в тем, что отношение к
п наибольшего простого делителя D остается конечным при возрастании п. Не
согласитесь ли Вы, мой дорогой друг, дать им особое название и договориться называть
их, например, «элементарными рядами»? При таком наименовании мы сможем сказать,
что сумма и произведение нескольких элементарных рядов являются элементарными
рядами, и я думаю, что не ошибусь, утверждая, что не только целая функция, но и
любая рациональная функция конечного числа таких рядов всегда принадлежит к
тому же типу. Нужно сделать теперь еще один шаг вперед, и рассмотреть
алгебраическое уравнение
S^ + Siy™~i + • • . + Sm = О,
коэффициенты которого были бы элементарными рядами; надо доказать, что любой
ряд, расположенный по целым степеням переменной, тождественно удовлетворяющей
этому уравнению, может быть только элементарным. Не осуществляя этого, я все же
предвижу, что если выразить у через х
у = Ахх + А2х* + . . . + Лп хп + . . ,
и подставить в уравнение, то получающиеся в результате такой подстановки
уравнения покажут, что Ап будут зависеть рационально от коэффициентов рядов S0, 5Ь... Sm,
с индексами, меньшими л, и что при вычислении не появятся делители, которые
заставили бы Ап выйти за пределы определенного Вами типа. Но я не могу и мечтать
о том, чтобы серьезно заняться столь глубоким и трудным вопросом, так как все мое
время занято другими, еще не законченными исследованиями. Так, в данный момент
я испытываю тысячу трудностей с числами Бернулли, которые приводят меня к новой
числовой функции — вот ее определение.
Если т — какое-нибудь целое число, a mv m2, mz,... последовательные
коэффициенты разложения (1 +х)ш, то эта функция такова:
1 1
F (т) = у [т2 + тА + т9 + . . . ] + у К + ет8 + т1Ъ + . . .] +
1
S
28 П. Л. Чебышев, т. V

— 434 -
и т. д. -- числа, содержащиеся между 3 и т. Очень легко видеть
mv-i + Щр-2 ~Ь Щу-г + • • •
есть кратное простого числа р, так что F (т) представляет собой целое число, каково
бы ни было т,
Я ничего не говорю Вам о Вашей теореме о приближенном спрямлении кривых,
предполагая хорошенько о ней поразмыслить, но напоминаю Вам, что почту за честь
и удовольствие изложить ее моим ученикам в будущем году как свидетельство
Вашей симпатии к Политехнической школе. Если разрешите, я присоединю к ней
определение элементарных рядов, доказательство того, что сумма, произведение и
частное двух таких рядов дают ряды такого же типа, откуда непосредственно следует, что
вообще любая рациональная функция конечного числа элементарных рядов является
элементарным рядом. В дальнейшем я изложу Вашу теорему во всем ее объеме,
ограничившись в отношении неявных функций доказательством (как мне кажется, легким)
того, что ряд, определяемый уравнением второй степени S0y2 + «SijV + $2 — 0 является
элементарным, если таковы коэффициенты.
Получив доказательство Вашей симпатии, мои ученики оценят чувства, которые
я выражаю Вам; посылая мои наилучшие пожелания в отношении успеха Ваших работ,
прошу Вас принять уверения в моей преданной дружбе.
Ш. Эрми1.
Париж, 21 мая 1890 г.
Дорогой собрат и друг!
Я позволил себе большую вольность в отношении Вас, взяв на себя, как президент
Академии Наук, смелость обратиться к министру иностранных дел с ходатайством а
награждении Вас командорским крестом ордена Почетного Легиона, который и был
Вам пожалован Президентом Республики. Это отличие является лишь небольшой
наградой за великие и прекрасные открытия, с которыми навсегда связано Ваше
имя и которые давно уже выдвинули Вас в первые ряды математической науки нашей
эпохи. Но мне хотелось напомнить Вам о себе и выполнить то, что я считал долгом
дружбы.
Все члены Академии, которым было представлено возбужденное мною ходатайство,,
поддержали его своей подписью и воспользовались случаем засвидетельствовать
живейшую симпатию, которую Вы им внушаете. Все они присоединились ко мне, заверяя, что
Вы являетесь гордостью науки в России, одним из первых геометров Европы, одним из
величайших геометров всех времен. Могу ли я надеяться, мой дорогой собрат и друг,
что этот знак уважения, идущий к Вам из Франции, доставит Вам некоторое
удовольствие? По меньшей мере, прошу Вас не сомневаться в моей верности воспоминаниям
о нашей научной близости и в том, что я не забыл и никогда не забуду наших бесед
во время Вашего пребывания в Париже, когда мы говорили о столь многих предметах,
далеких от Эвклида.
Пользуюсь Вашей добротой и выскажу пожелание, чтобы Вы смогли вызвать к
себе в С.-Петербургскую Академию Наук г-жу Ковалевскую, талант которой вызывает
восхищение всех математиков и которая, в своем стокгольмском изгнании, хранит в
своем сердце сожаление и любовь к своей родине — России. Я узнал от нее о том
участии, которое Вы приняли в ее избрании в члены-корреспонденты Академии; в
тоже время она сообщила мне о своем тяжелом душевном состоянии, связанном с
пребыванием заграницей, и я решаюсь просить Вас, по мере возможности, оказать ей
нужную поддержку 42.
Прошу Вас извинить мое ходатайство, если оно нескромно, и от всего сердца
шлю Вам пожелания здоровья и счастья, а также пользуюсь этим случаем вновь
где ^ = 3,5,7,11..
что вообще

- 435 -
заверить Вас, дорогой собрат и друг, в моем неизменном чувстве самой искренней га
преданной любви к Вам.
Ш. Эрмит-
Париж, 23 ноября 1893 г.
Дорогой собрат и сердечный друг!
Я только что столкнулся с вопросом, целиком принадлежащим Вам, который
Вы давно разработали и разрешили и о котором мы беседовали во время одной из
Ваших поездок в Париж. Он встречается в арифметике и в алгебре и касается minima
некоторых линейных функций: речь идет об отыскании двух многочленов А и В
переменной х степеней а и Ь, дающих наилучшее приближение выражения SA + S'B 4-
+ S", где S, Sr, S" суть ряды относительно х вида
а0 + 4х + а2*Ч •
Итак, нужно удовлетворить следующему условию:
SA + S'B + S" = xO+brtSt,
где S1 также обозначает ряд относительно х. Ваш метод дан в статье, написанной
по-русски, и я не мог с ним познакомиться. Прибегаю к Вашей любезности и прошу
дать мне указания для того, чтобы я мог цитировать Вашу работу и отсылать к неш
читателей. Позвольте мне в то же время предложить Вашему вниманию мой способ,,
который, может быть, ничем не отличается от того, что Вами уже получено.
Я пользуюсь многочленами Р и Q степеней а и b + 1, которые дают наилучшее
приближение величины SP + S'Q, так что получается равенство
SP+S'Q^j&b^sl.
Таким образом, я определяю две постоянные т и т' согласно условию, что
mSx + mrSxr делится на х и т + т! = 1.
Пусть далее
Аг = тА + тп'Р
B1 = mB + m,Ql
xSts=mS1+m'S'1;
тогда многочлены Аг степени а и Вх степени Ь -Ь 1 удовлетворяют равенству
SAX + S'B, + S" = xa^b^S2.
Отсюда, исходя из соотношений
SE + S" = **+i$o
SE' + S' = Jt^So,
S" S'
где Е и Е' представляют собой а -{-1 первых членов разложений — -^ и — ^- по
возрастающим степеням переменной, мы получим правило, позволяющее последовательно
определить многочлены Ап, Вп степеней а и п так, чтобы было:
SAn + S'Bn + S"\- jP^vSm.
Я спешу воспользоваться этим случаем, мой дорогой друг, чтобы заверить Вас
что ни время, ни расстояние не изгладят из моей памяти того доброго и се'рДечного
воспоминания, которое я храню о наших беседах в H6tel du Louvre. Я не могу, в
особенности, забыть о великом и прекрасном открытии (о котором Вы рассказали
28*

- 436 -
пне слишком кратко), касающемся приближения пертурбзщкшиой функции, & чем
«г. Баклунд должен был сообщить в С.-Петербургской Академии. Как бы мне хотелось
«основательно познакомиться с Вашими результатами, чтобы иметь возможность с
полным пониманием поздравить Вас с этим новым достижением, которое в* равной
степени интересует геометров и астрономов!
Если бы Вы прислали для опубликования в наших Comptes readus заметку о* Вашем
открытии, то доставили бы большую радость Вашим собратьям по Институту,
питающим к Вам такое уважение и симпатию. Ваш дар изобретения отнюдь не уменьшается
и Ваша. работоспособность остается неизменной. Не всем такое счастье; во время
каникул я приступил к изысканиям по алгебраическому приближению функций и
должен сам признаться, что слишком мало ими удовлетворен, чтобы сделать их
предметом сообщения в Вашей Академии Наук.
В связи с моей работой я вступил в область занимавших Вас вопросов и пошел
по Вашим стопам, но после Вас я там ничего не нашел. Следовательно, именно Вам
принадлежит вклад в эту область науки — во имя дружбы и союза наших наций.
В надежде получить Ваш ответ, вновь заверяю Вас, мой дорогой собрат и
сердечный друг, в моей давно известной Вам искренней и сердечной привязанности.
Ш. Эрвшт.
Письмо Ж. Дюамеля43.
[По-французски.]
Париж, 5 января 1860 г.
Monsieur и дорогой собрат!
Тысяча причин, одна хуже другой, заставили меня так сильно задержать мою
благодарность за Ваше любезное письмо. Прежде всего, у меня каждый день бывает
лекция или в Политехнической школе или в Сорбонне, затем была работа по
рассмотрению одной из кандидатур в моей секции Академии, ожидание диплома, о
котором Вы мне сообщаете и о котором мне хотелось бы с Вами поговорить,
незнание Вашего адреса в городе, где так трудно найти человека, и пр. и пр. Наконец,
яело с кандидатурой закончено, мы избрали г. Физо **, и один из моих слушателей —
капитан Горлов43 — надпишет Ваш адрес на этом письме; я очень надеюсь, что оно
дойдет до Вас вместе с моей благодарностью за Ваше любезное, более чем
своевременное сообщение о чести, оказанной мне Академией, членами которой состояли
такие ученые, как Эйлер, Бернулли и др.
Поблагодарите, пожалуйста, г. Буняковского за его привет и попросите его
засвидетельствовать мое почтение его дамам, которых я имел честь видеть в Москве.
Если Вам представится случай говорить или писать гг. Брашману и Давидову из
Москвы, передайте им привет от француза, которого они так хорошо приняли и ко-
иорый вспоминает об этом с благодарностью. Не забудьте также и генерала Казам-
£ека, если увидите его в Петербурге.
Вы даете нам надежду видеть Вас в Париже этим летом, и я думаю об этом с
большим удовольствием; очень надеюсь, что мои странствования не полностью
совпадут с Вашим пребыванием в нашей стране и что мы сможем побеседовать а
Вашей статье по интерполированию, а также о работе, которую Вы собираетесь нам
прислать.
Моя, жена благодарит Вас за приветствие, я же весьма счастлив, что могу
яазваяь себя
Вашим преданным собратом
Ж. М. Дюамель.

- 437 -
Письмо Ж. Мансиона46
[По-французски.]
Париж, 17 октября 1860 г.
Дорогой г. Чебышев!
Надеюсь, что Вы сохранили обо мне некоторое воспоминание, хотя бы оно
заключалось лишь в том, что Вы думаете, будто я Вас забыл! Однако это вовсе не так,
и если я не осмеливался Вам писать ранее, то причиною были как семейные
обстоятельства, полностью меня захватившие, так и одновременно сознаваемая мною*
необходимость* соблюдать молчание после потрясения, заставившего меня покинуть
Петербург 8 месяцев тому назад.
Не раз мне недоставало Вас по субботам: я испытывал глубокое сожаление, не-
имея возможности отправиться на восьмую (девятую?) линию в дом Добролюбова.
Всегда я с особенным удовольствием буду вспоминать продолжительные беседы,
которые мы часто вели; мне всегда будет приятно сознавать, что Вы обнаружили
интерес к моему положению и оказывали внимание молодому мрачному мизантропу.
Может быть, однажды то какому-нибудь стечению обстоятельств я снова окажусь*
возле Вас. А пока я хотел бы сохранить, так сказать, связь с моим русским
прошлым. Скажите же мне, есть ли основание рассчитывать, что удастся поместить кое-
какие из моих работ в Ваших изданиях? Я начал бы с посылки Вам труда
аналитического содержания, достаточно обширного для «Мемуаров»: вот о чем идет речь.
Г. Пруэ указал47 на любопытное соотношение между площадью какого-либо
многоугольника и площадями многоугольников, получаемых, если последовательно
соединять середины стороны первого, второго,— Рь Р2, Рз,...,^ илиРп_1(где п четное или
~2 "Г
нечетное). До сего времени это соотношение доказывали длинным и косвенным путем.
Я доказываю как это соотношение, так и многие другие очень просто, при помощи
разностных уравнений, которые почти все интегрируются посредством произведений
биномиальных множителей48. Словом, мой труд имеет вид некоторого целого, и
потому, как мне кажется, может рассчитывать на известное внимание.
Позвольте Вас уверить, что моя посылка не причинит Вам хлопот. Я постараюсь
ее Вам доставить через верного посредника. Вам пришлось бы только раз взглянуть
на корректуры.
Вы мне доставите большое удовольствие, если ответите по-русски. Я не оставляю4
Вашего языка, который всегда мне нравился: продолжаю читать русские книги. Нет
чи возможности получать «Современник*? Я заплатил бы за него и 75 и 80 франков
в год, вместо тех 60-ти, которые он стоит в Петербурге.
Я видел г-на Вашего брата49 до его отъезда в отеле Fleurus на улице того же
названия: я ему вернул брошюру г. Маиевского о нарезных орудиях. Вы без
сомнения видели перевод Вашей университетской речи50. Г. Тиссо51 спрашивал меняна
этих днях, опубликовали ли Вы свой большой мемуар о географических картах.
Я ответил, что нет.
Рискуя смутить Вашу скромность (но тем хуже), сообщу Вам, что здесь Вас
считают одним из величайших аналитиков века. Бертран52 сказал: что бы ни говорили,
что бы ни делали, г. Че[бышев] * является преемником Гаусса. О г. Остро-ом ** не
говорят совершенно.
Давайте мне, не стесняясь, поручения и запросы всякого рода. Я заранее
предоставляю себя целиком в Баше распоряжение.
Мой привет г. Непременному секретарю53. Спросите его, не уполномочит ли or
меня опубликовать статью о его работе по климатологии в «Космосе» или каком-
нибудь другом журнале. Я с удовольствием переведу его отчет на 1861 г. и, чтобы
* В оригинале: М. Teh,— Ред.
** В оригинале: М. Ostr- -у.— Ред.

- 438 -
ке задеть его деликатности, объявляю, что охотно приму взамен какой-нибудь том
Ваших академических изданий.
Примите, мой дорогой г. Чебышев, уверение в чувствах, с которыми я имею честь
оставаться
Вашим признательным и преданным слугой
Ж. Мамсион
"32, улица де-Бонди, Париж.
Письмо М. Шаля54
[По-французски.]
Париж, 24 мая 1862 г.
Дорогой собрат!
Я-пользуюсь любезностью Вашего соотечественника г. Николая Ханыкова55, чтобы
направить в императорскую Академию ряд небольших математических работ вместе с
письмом, выражающим глубокую признательность за звание члена-корреспондента, о
•присвоении /которого Вы любезно мне сообщили и о чем после я получил
официальное уведомление и грамоту.
Имею честь направить Вам также несколько брошюр, опубликованных после
Вашего последнего пребывания в Париже.
Когда мы будем иметь удовольствие снова Вас здесь увидеть?
Прошу Вас принять, дорогой собрат, выражение сердечного уважения от
преданного Вам навсегда
Шаля.
Письмо Ж. Лиувилля56
[По-французски .1
Париж, 19 марта ,1864 г.
Mon cher Monsieur Tchebichefl
Я рекомендую Вам моего племянника Анри Лиувилля, желающего пополнить свое
медицинское образование посещением больниц С.-Петербурга. Он сопровождает
доктора Лефора, на которого нашим Управлением госпиталей возложено научное
поручение. Позвольте мне воспользоваться этим случаем, чтобы передать поклон нашим
собратьям по Академии: я не смогу никогда достаточно отблагодарить их за
прекрасный подарок — арифметические труды Эйлера.
Естественно, что о Вас я думаю всего чаще: когда Вы снова приедете к нам в
гости в Туль, хотя бы только для того, чтобы поесть орехов?
Примите, мой дорогой собрат, еще раз уверение в моих искренних чувствах.
Ж. Лиувилль.
Письмо А. Жермейа57
[По-французски.]
11 .ноября J869 г.
[А. Жермен обращается к Чебышеву с вопросом, была ли опубликована, .им
пространная статья о черчении географических карт58.]

- 439 -
Письмо Ш. Делонэ59
[По-французски.]
Парижская Обсерватория
Париж, 13 декабря 1871 г.
Monsieur и глубокоуважаемый коллега!
Я получил сегодня телеграмму, любезно посланную Вами и извещающую меня
об избрании меня членом-корреспондентом С.-Петербургской Академии. Это
избрание— большая для меня честь, которую я высоко ценю.
Предупредительность, с которой Вы мне сообщаете о моем избрании, усугубляет
испытываемое мною удовлетворение.
Благоволите, дорогой коллега, принять уверение в моих наилучших к Вам
чувствах.
Ш. Делонэ.
Письмо А. Маннгейма60
[По-французски.]
[Письмо Маннгейма от 19 мая 1874 г. содержит составленное в теплых
выражениях поздравление с избранием Чебышева иностранным сочленом [associe etranger]
Парижской академии, состоявшимся накануне (см. также письма Эрмита).
25 марта 1880 г. Маннгейм пишет Чебышеву в связи с посылкой своей книги —
.Курса начертательной геометрии:
«Я знаю, что -моя работа не принадлежит к тем, которые Вас могут особенно
интересовать, так как находится вне обычного круга Ваших исследований. Однако я
дорожу возможностью представить ее Вам как свидетельство давней дружбы и
восхищения, которое во мне вызывают Ваши работы. К тому же, ум столь разносторонний
{aussi ouvert], как Ваш, способен оценить самые равнообразные изыскания».]
Письма Ж. Бьенэме61
[По-французски.]
Дорогой и прославленный собрат!
Вы знаете, как мне трудно писать. Вот почему я присоединился к г. Эрмиту,
чтобы послать Вам по телеграфу мои самые сердечные поздравления, не оставляя
при том надежды написать Вам при первой же возможности, когда моя дрожь
уменьшится.
Но этот момент не приходит, так как я провожу целые ночи почти совсем без
•сна. И вот понадобилась еще одна добавочная причина, побудившая меня направить
Вам мои каракули. Питаю надежду, что Вы мне простите. Добавочная причина
возникла вчера вечером с получением мною очередной тетради журнала нашего дорогого
Лиувилля62. Ни Вы и никто другой не сообщили мне о том, как лестно Вы говорили
обо мне прошлым летом в Вашем сообщении на Конгрессе е Лионе63. Вы должны
были бы счесть странным, что я никак не выразил Вам своей признательности. Это
и есть та добавочная причина, заставившая меня писать сегодня, ибо я не
могу не выразить Вам сейчас же свою благодарность за акт великодушия, глубоко
меня тронувший. Но Вы знаете, что моей дружбе к Вам нечего было ждать, чтобы
родиться и окрепнуть.
Исключительное дарование, отмеченное наивысшим отличием64, которое могла
недавно предоставить Вам Академия, и Ваши личные достоинства привязывают меня к
Вам издавна, хотя я не вижу Вас и лишился способности уже переписьгааггься с кем
■бы то ни было. К несчастью, мой возраст и мое здоровье не сулят мне возможности

— 440 -
продолжительное время питать к Вам мои чувства глубокой привязанности и
восхищения. Но прошлое ручается Вам за то, что они будут продолжаться, пока я жив.
Прошу Вас принять еще одно выражение этих чувств и сохранить среди Ваших
друзей место, которым я так дорожу, так же, как дорожу тем, что еще могу
подписаться:
Ваш собрат
Ж. Бьенэме,
Член Парижской Академии.
Париж, 27 мая 1874 г.
(мое письмо будет отправлено лишь 28-го).
Дорогой и прославленный собрат!
Честь, оказанная мне С.-Петербургской Академией, трогает меня
беспредельно, и в особенности вызывает мое удовлетворение то, что я обязан этим Вашей ко
мне дружбе и данной Вами моим работам оценке, оказавшейся способной определить
выбор, сделанный Академией.
Позвольте выразить Вам из всей глубины сердца мою благодарность. Прошу Вас
также передать мою признательность всем тем членам Академии, которые приняли
участие в моем представления. Я направлю- Академии выражение моей благодарности
немедленно по получении официального уведомления.
Г. Ханыков, всегда доброжелательный, получил в 9 часов 22 декабря Вашу
телеграмму и тотчас же мне ее переслал. Но вчера у меня должно было состояться
заседание одной комиссии, и мне вручили весьма обязательное письмо г. Ханыкова в тот
самый момент, когда я выходил из дома, чтобы отправиться на это заседание. Мне
пришлось вернуться очень поздно, около четырех часов и, несмотря на холод, я
велел себя проводить к г. Ханыкову, чтобы его благодарить; я знал (от г. Лиувилля)г
что он болен, но, сам страдая от колода, я не мог пойти узнать, что с ним. Мне
показалось, что у него был бронхит и уже проходит. Когда, озябши, я вернулся домой,
было уже поздно приниматься за корреспонденцию; вот почему я пишу только
сегодня утром, хотя Ваше приятное сообщение я получил вчера утром. Я считаю нужным
Вам это объяснить.
Г. Ханыков так (Прекрасно сохранил Ваш секрет, что я и не подозревал, в чем
дело; а потому не был лишен испытать удовольствие от полнейшей приятной
неожиданности. Увидя на адресе: «корреспонденту С.-Петербургской Академии Наук»,
я не знал, кто это мог так ошибиться; а мой сын, капитан инженерных войск,
бывший тут же, принялся смеяться вместе со мной. Но, увидев подпись г. Ханыкова, я,
зная его осведомленность, понял тотчас же, что такой адрес поставлен не случайно.
В одно мгновение мы от иронического смеха перешли к смеху полного
удовлетворения. Но только мне было очень досадно, что я должен был безотлагательно уйти из
дому и не имел времени тотчас Вас поблагодарить.
Вы видите, что все произошло так, как Вы это организовали издалека: по
крайней мере, я так подозреваю, судя по некоторым словам г. Ханыкова. Трудно было бы,
принимая во внимание мои годы, сделать мне большее удовольствие, и я счастлив, что
этим обязан именно Вам.
Верьте всегда, дорогой и добрый собрат, глубокому уважению и искренней
дружбе, которую я к Вам питаю в течение многих лет, и сохраните ко мне Вашу дружбу.
Ваш старый собрат
Париж, 24 декабря, 1874 г.
Ж- Бьенэме.
Monsieur и прославленный собрат!
Я поспешил написать несколько строк капитану Жуффрэ 65t чтобы сообщить ему
о Вашем желании видеть его, и просил его зайти к Вам, если он будет в Париже.

— 441 —
Представьте себе, что мое письмо застало его в Оверни, куда он поехал недавно
на воды. Он сожалеет, что находится так далеко от Парижа как раз в то время,
когда Вы там. Он поручил мне передать Вам это, если я Вас увижу снова.
Вот об этом я и пишу Вам. Ваши замечания побудили меня прочитать его
брошюру. Я вижу, что он все-таки придерживается теории Гаусса, не пытаясь ее
обосновывать. В этом нет большого неудобства пока речь не идет о приложениях.
Но в приложениях то или иное обстоятельство могло бы создать затруднение, и
теория Гаусса только, пожалуй, запутала бы дело.
Я полагаю, что Вы успели повидать все, что было ученого в Париже. Очень
огорчен, что не был в состоянии насладиться такой редкой встречей. По крайней мере,
благодаря Вашим любезным визитам, я мог поблагодарить Вас непосредственно за
все, что Вы сделали для того, чтобы я мог подписываться вдвойне в качестве
Вашего собрата, что мне делает такую большую честь.
Верьте моим сердечным к Вам чувствам и моей преданности
Ж. Бьенэме.
14 августа 1875 г.,
Париж.
Письма Э. Катала на66
[По-французски.]
Дорогой г. Чебышев!
Издательство Б. Бонкомпаньи ет, чтобы напечатать данные, касающиеся Лебэга68,
нуждается в бюллетене Петербургской Академии за январь, март и май 1829 г. Не
смогли бы Вы достать для него эти выпуски в качестве дара или на время?
Надеюсь, что все Ваши путешествия были столь же удачны, как и поездка
в Клермон-Ферран. Моя жена все еще с удовольствием вспоминает о чудесном
вечере, проведенном в H6tel de la Poste. Эд. Люка69, который нас так смешил
своим «Iame-en-table», теперь профессор в лицее Charlemagne в Париже, как раз
там, где я был в 1847 г. Если бы не этот разбойник Бонапарт, я был бы попрежнему
в Париже; по крайней мере это не лишено вероятия70.
Если Вы получите N. С. М.7I, Вы сможете прочитать Ваше прекрасное
обобщение маленькой случайно полученной мною формулы. Если Вам будет угодно послать
мне еще что-нибудь, все это будет помещено с готовностью и признательностью.
Россия очень далеко, но несмотря на это, г. Лигин, профессор в Одессе72, посылает
мне статьи.
Сердечные поклоны от Ваших друзей в Льеже.
Э. Каталан.
Льеж, 20 ноября 1876 г.
Просьба: если это письмо к Вам придет, уведомить о получении.
Эмпирическая теорема. Утроенное произведение всякого квадрата нечетного
числа, не делящегося на 25, равно сумме квадратов трех простых чисел, отличных от
2 и 3. Вероятно, теорема не верна, но она дает правильный результат до
3.1592 = 2692 + 592-И*.
Дорогой и прославленный друг!
28 апреля моя жена и я отпраздновали пятидесятилетие нашего
супружества. До последней минуты этого дня, основываясь на Вашем любезном обещании
в декабре 1884 г., мы надеялись на Ваше прибытие. Мы говорили друг другу: «Раз
®н не приезжает, значит он болен». Действительно, г-жа Двельсоуэрс7Э получила
известие через одного из членов Вашей Академии, что вы больны. Что с Вами?
Постарайтесь дать мне знать об этом. Вы никогда не пишете, но у Вас есть
добровольные секретари, например, наш уважаемый и почтенный собрат Буняковский.

— 442 —
Когда Вы его увидите, извинитесь за меня перед нимг уже давно я собираюсь ему
написать; но я очень занят редактированием и изданием второго тома наших [?]
Melanges74.
Когда в скором времени исполняется семьдесят два года, необходимо
поторапливаться. Затем, я хотел бы препроводить нашему ученому собрату кое-какие
арифметические теоремы; я не нашел ничего интересного, за исключением некоторых
свойств чисел Сегнера 2, 5, 14, 41,..., но об этом будет сказано позже74а.
Мне неизвестно,
познакомились ли Вы с моими двумя
заметками о кривой Уатта75,
извлеченными из Mathesis'a7б. Во
второй из них я приводил
чертеж, здесь изображенный, не
придавая ему никакой
важности. Двельсоуэрс, весьма
осведомленный в прикладной
механике, высказал мнение,
противоположное моему, и
посвятил этому маленькому прибору
нечто вроде лекции.
Естественно, такой результат нисколько
меня не раздосадовал.
Мой бывший ученик Эрнест
Чезаро77, о котором так
плохо отозвался один из Ваших
собратьев, наделал, как Вы
знаете, шума в свете. Он
печатает в равного сорта сборниках удивительные изыскания в области высшей
арифметики. К несчастью, он почти умирает от голода в Torre Annunziata (Неаполь) со своей
женой и тремя детьми! Не смогли бы Вы что-либо сделать для него? В настоящее
время вакантна кафедра алгебры в Неаполе. Вот что ему было бы нужно.
Со вчерашнего дня мы в Брюсселе, в свадебном путешествии. После заседаний
Академии (сегодня и завтра) мы проведем несколько дней в Динане около Намюра;
затем вернемся в Льеж.
Мы желаем Вам продолжения доброго здоровья, если Вы здоровы, и полного
выздоровления, если Вы плохо себя чувствуете.
Моя жена шлет Вам лучшие пожелания.
Ваш старый друг
Э. Каталан.
Брюссель, H6tel du Grand Miroir, 11 мая 1886 г.
Еще раз прошу не забыть сообщить обо мне нашему превосходному и ученому
собрату Буняковскому.
Вот задача, которую я ему предлагаю:
Положим:Л^-/г-2^)+2(^)-Е^^)+...,гдеа,(В;у:..^ простые
( ?- j имеет то же значение, что Е СIL \ и пусть: W = /ill — — JM — -g- V 1 _ —
Найти пределы [разности] N — Nr.
числа, а
Дорогой и прославленный друг!
Г. Анатоль де-Калиньи78, корреспондент Парижской Академии, член (raembre
associe) Бельгийской Академии и т. д., весьма хотел бы стать [членом-] корреспон-

- 443 -
деятом С.-Петербургской Академии, заняв место известного, недавно умершего,
Хирна79. Я вчера написал Калиньи (моему другу на протяжении пятидесяти лет):
сВаше избрание зависит от Чебышева, и я надеяюсь, что он отнесется к этому
благоприятно». В самом деле, дорогой президент, Вы знаете лучше меня прекрасные
опыты де-Калиньи по колебанию жидкостей и применение этих опытов при прорытии
Мон-Сени.
Г-жа де-Калиньи сообщает мне в письме, что работы Анатоля были изложены
вкратце в двух томах in 8°. Вероятно, Вы их знаете. Я сказал, как говорят ораторы,
которым нечего больше сказать. Но все же я прибавлю следующее: я буду счастлив
успехами человека, которого я уважаю в высокой степени и который, при всяком
случае, старался быть мне полезным и приятным.
Приблизительно два \месяца тому назад я открыткой запросил у Вас справку по
поводу одного из Ваших мемуаров. Я не получал ответа. Получили ли Вы сами эту
открытку?
При случае, прошу Вас сообщить мне о г. Буняковском. Жив ли он еще? Я не
решаюсь больше писать ему.
Моя жена, которая тепло Вас вспоминает, теперь часто хворает. Она стареет,
а «старость — смертельная болезнь». Я же здоров и надеюсь скоро дать Вам новые
доказательства моего доброго здоровья. Желаю, чтобы это письмо нашло Вас в
таком же состоянии.
Ваш старый друг
Э. Каталан.
Льеж, 18 февраля 1890 г.
Знаете ли Вы эмпирическую теорему Брокара80, инженера, изобретателя новой
геометрии треугольника? Вот она.
Если число делится на сумму своих цифр, увеличенную или уменьшенную на
единицу, и если этот делитель нечетный, то он — число простое.
Пример: N = 918; S = 18; S—1 = 17; -_£L = 54; 17 — простое число81
Брокар проверил до N = 1210. Но отсюда он не делает заключения о верности
теоремы.
Прославленный собрат и друг!
Г. де-Калиньи пишет мне о том, чтобы я рекомендовал его кандидатуру, что я
уже делал, но без успеха. Не знаю, ждет ли меня на этот раз удача и захочет ли
С.-Петербургская Академия принять в свои ряды старого экспериментатора,
открывшего в 1838 г. новый принцип в области прикладной механики. Я этого глубоко
желаю. В продолжение пятидесяти лет дружба между маркизом и демократом никогда
не омрачалась!
Так как Вы совершенно не пишете, то в настоящее время мне неизвестно, в
живых ли почтеннейший господин Буняковский. Если это так, то передайте ему мои
поздравления и попросите его написать мне еще одно прекрасное письмо, какие он
присылал прежде. Последнее из них я получил несколько лет тому назад. Я посылал
ему неоднократно мои небольшие работы, но от него ничего больше не получил. Его
фотография попрежнему висит в моей гостиной напротив Вашей; между ними я
сохранил фотографию господина Дон-Педро82, недавняя смерть которого вызвала во
мне живейшие сожаления.
Меняя тему беседы, скажу Вам, дорогой друг, что на этих днях я снова взялся
за исследования в области эйлеровых интегралов, уже частично изложенные в ме*
муаре о постоянной С, который Ваша Академия любезно изъявила согласие
напечатать. Вот некоторые результаты; не найдете ли Вы их заслуживающими интереса?
„, х 1 ТТ (1+^ + <7+А)
В(р,Я) = -Г 11 (/> + Х)(1 + а+Х)
q 11 (/> + Х)(1 + 0+Х)'

— 444 -
Р = ТТ (Р + ^)(1 Ч-^ + Х)
q 11 (? + Х)(1+р + *) '
о
, П ft + /> + *)(* + 2Р)№ +*Р + 3)
"1-11 (Х + р)(Х + 2;>+2)(2Х + 2/7+1)*
о
В последней формуле левая часть не зависит от р (положительная постоянная);
это довольно удивительно! w
Моя жена и я оба стареем, как Филемон и Бавкида, но чувствуем себя
прекрасно. Бавкида шлет Вам своей привет (я тоже); она хотела бы Вас увидеть снова
(и я тоже).
Ваш очень старый друг
Э. Каталан.
Льеж, 12 декабря 1891 г.
Письмо А. д'А б б а д и 84
[По-французски.1
Дорогой собрат!
Не можете ли Вы придти ко мне обедать, завтра в б часов?
У нас будет г. де-Бразза85, который был занят в прошлую пятницу, и
г. Радо86, который сумеет понять устройство Вашей счетной машины.
Моя жена просит Вас разрешить ей посмотреть Ваше замечательное изобретение,
и если Вы согласитесь доставить к нам эту машину, то я пришлю к Вам завтра в
5 ч. 30 м. человека, который ее перенесет. Носильщик будет сопровождать Вас также
на обратном пути и, таким образом, Вы ее не потеряете из виду.
Примите выражение моего глубокого уважения.
Антуан д'Аббади.
1 августа [1878 г.?]87
Письма Э. Люка88 (1878—1891 гг.)
[По-французски.]
(Эти письма! — делового содержания, они касаются публикации заметки Чебы-
шева в отчетах Французской ассоциации содействия -преуспеванию наук, пересылки
моделей в адрес Национального музея искусств и ремесел, представления Люка в
С.-Петербургскую Академию, заметки о законе взаимности, установки в залах музея
«диаграммометра» {интегратора) полковника Козлова!, которому автор письма дает
высокую оценку.]
Письма К. Лезана89
Палата Париж, 12 июня 1879 г.
депутатов 16, Авеню де-Вилье.
[По-французски.]
Monsieur et cher Collegue,
Имею честь просить Вас об услуге, которая, надеюсь, не причинит Вам слишком
большого беспокойства. Вы бы весьма меня обязали, если бы смогли прислать мне
очень краткие заметки по каждому из интересных сообщений, которые Вы делали на
разных съездах Французской ассоциации содействия преуспеванию наук893; в каж-

— 445 —
дой за'метке должны быть резюмированы основное содержание сообщения,
примененные методы и полученные результаты.
Я был бы особенно заинтересован в получении сведений о сообщениях,
упомянутых в прилагаемом списке.
Я поставил себе целью подготовить сводку работ 1-й и 2-й секций с самого
основания Ассоциации, и Ваше содействие было бы для меня чрезвычайно ценным.
Благоволите принять, Monsieur и дорогой коллегау уверение в моих наилучших
чувствах и преданности
К. А. Лезан,
доктор наук,
председатель 1-й и 2-й секций
на конгрессе 1879 г.
С приветом и искренней дружбой
К. А. Л.
О квадратурах
О предельных величинах интегралов.
О новом центробежном уравнителе.
Счетная машина с непрерывным движением.
Лекало для проведения дуг большого диаметра
Обобщение формулы Каталана.
Новый тип задачи вариационного исчисления90.
Новый механизм с параллельным движением.
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка01
О преобразовании числовых рядов.
О кройке одежды.
О простейших параллелограмах, симметричных относительно оси.
Письма Э. Коллиньона92
[По-французски.]
[В письме от 25 февраля 1880 г. Э. Коллиньон благодарит Чебышева за присылку
работы о сочлененных параллелограма1Х и вспоминает о днях совместного предсе-
дательствования на конгрессе в Париже. В постскриптуме стоит: «не могу ли я
задать Вам вопрос, который я затрудняюсь решить для общего случая и который Вы
встретили, может быть, в Ваших прекрасных изысканиях по теории чисел?
CL С
Он заключается в следующем: считая известными дроби — , , выразить в функ-
Ь а
ции а, Ь, с, d члены хну простейшей дроби — , которую можно вставить между
данными дробями».
На самом письме имеется черновой набросок ответа Чебышева, причем
решение предполагается дать с помощью непрерывных дробей.
В ответном письме (25 марта 1880 г.) Коллиньон благодарит за любезное
разъяснение; указывает, однако, что метод, основанный на разложении в непрерывную
дробь, «превосходный с арифметической точки зрения», ему был известен, но он не
мог ничего из него извлечь при решении специального вопроса, его
интересовавшего; если же не удалось найти решения в желательной для него форме, то виной
здесь его собственная неискусность.]
Письма А. Лосседа93 (1881—1893 гг.)
[По-французски.}
В этих письмах А. Лосседа просит Чебышева выставить в Национальном музее
ряд его шарнирных механизмов, благодарит его за присылку экспонатов и извещает
1873 г.
»
»
1876 г.
»
»
»
!878 г.
»
»
»

— 446 -
его о том, что в Annates музея поступила (ныне хорошо известная) статья Оканя
(М. d'Ocagne) с описанием счетной машины (арифмометра) Чебышева.]
Письма Э. Лемуана94
[По-французски.]
[Э. Лемуан рассматривал ту точку треугольника, для которой сумма квадратов
расстояний от трех сторон оказывается наименьшей. На конгрессе в Лионе Чебышев
после выступления Лемуана заметил, что эта точка была уже известна Гауссу. В
письме, датированном 8.XII.1885 г., Лемуан просит Чебышева сообщить ему
соответствующую справку, необходимую ему в связи с составлением библиографической заметки.
В другом письме (от 26.VIII.1893) Лемуан обращается к Чебышеву от имени
редакции журнала «L'intermediaire des Mathematiciens», издание которого в то время
подготовлялось. Задачей этого журнала было поддерживать общение между
математиками различных стран: редакция должна была публиковать «вопросы»,
предложенные учеными, обладающими известным именем, для всеобщего решения. Просьбу
прислать такие «вопросы» Лемуан направляет и Чебышеву95.]
Письма А. де-Калиньи96
[По-французски.]
[.В письме от 2 августа 1886 г. говорится:]
«Monsieur,
Я имел честь послать Вам экземпляр своего труда в двух томах in 8°, с 8
таблицами, озаглавленного «Recherches theoriques et experimentales sur les oscillations de
l'eau, et les machines hydrauliques a colonnes liquides oscillamtes», за который я
получил почетный диплом на международной выставке в Н. Орлеане и золотые медали
на выставках в Амстердаме и Анвере.
Г. Министр почт и телеграфов написал мне, что названное издание Вам было
доставлено. Не были бы Вы так добры с ним познакомиться? Мой знаменитый друг,
г. Эрмит, сказал мне, что оно должно было бы Вас заинтересовать. Я думаю даже,
что он Вам по этому поводу с удовольствием напишет».
[Из дальнейшего текста пространного письма видно, что его автор желал бы
занять вакантное место члена-корреспондента С.-Петербургской Академии наук и
ищет поддержки Чебышева (воздерживаясь, однако, от прямого изложения
просьбы). За подписью автора следует ввушительное перечисление увенчивающих его
титулов и званий.
Через четыре с лишним года, 9 ноября 1890 г., де-Калиньи пишет Чебышеву
снова:
«Monsieur,
Имею честь адресовать Вам брошюру, содержащую пять писем, опубликованных
моими собратьями по Королевской академии в Бельгии. Прошу Вас не отказать
присоединить их ко второму тому моей работы, озаглавленной «Теоретические и
экспериментальные исследования» и т. д., которую я Вам преподнес в 1883 г. ...Мой
друг Каталан обнадежил меня в том, что Вы любезно настаиваете на моей
кандидатуре в императорскую С.-Петербургскую академию, где в настоящее время имеются
вакантные места члена-корреспондента среди механиков и физиков... Благоволите
извинить меня, если я совершил нескромность, которой не позволил бы себе без
советов Каталина и г. Эрмита». з7]

— 447 —
Письмо Г. Дарбу98
[По-французски.]
23 июня 1887 г.
Monsieur и прославленный собрат!
Молодой русский г. Лион", после прохождения в продолжение нескольких лет
курса математики в Гренобльском и Парижском университетах, желает вернуться на
родину, чтобы завершить свое образование.
Вполне естественно, что я его рекомендую
Вашей благосклонности и прошу Вас
оказать ему поддержку и дать советы, в
которых Вы никогда не отказывали Вашим
соотечественникам, давшим нам столько
прекрасных работ. Г./Гион, в соответствии
г тем, что я знаю о нем, может
рассчитывать на Ваше расположение. Если Вы с
ним побеседуете, то убедитесь, что у него
очень серьезный образ мыслей,
заслуживающий полного одобрения.
Пользуюсь случаем, чтобы напомнить
Вам о себе.
Позвольте мне также предложить
Вашему вниманию теорему, которую я недавно
опубликовал и которую Вы, может быть,
видели 10°. Если три точки А\ В'у С одного
стержня вынуждены оставаться на
неизменных расстояниях от трех закрепленных
точек А, В, С, расположенных на прямой линии, то имеется, вообще говоря, одна
точка стержня Л'В'С, описывающая плоскость, перпендикулярную прямой ABC.
Благоволите принять, милостивый государь, уверения в моих почтительнейших
чувствах.
Г. Дарбу,
Член Академии.
Письмо М. Лёви101
[По-французски.]
7 декабря 1889 г.
[М. Лёви благодарит Чебышева за поддержку его кандидатуры в
члены-корреспонденты С.-Петербургской Академии 102.]
Письмо М. д'Оканя103
[По-французски.]
Париж, 25 февраля 1893 г.
Национальный
музей
искусств и ремесел
Monsieur и
прославленный учитель!
Полковником Лосседа 104, после смерти оплакиваемого Эдуарда Люка105, возложена
на меня обязанность заниматься коллекцией счетных машин Музея. Я собираюсь
сделать описание этой коллетсции для предстоящего издания каталога. Пока я читаю ряд

- 448 -
лекций по поводу упомянутых машин. Но в моем распоряжении нет сколько-нибудь
полного описания машины, изобретенной Вами. Краткая статья, появившаяся в
1882 г. в журнале «Nature», дает представление о принципе устройства, но не
содержит никаких указаний относительно самого применения. Я буду Вам чрезвычайно
обязан, если Вы соблаговолите мне сказать, где я мог бы найти эти указания и
более того, в случае, если таковые никогда не были опубликованы, не были бы
Вы любезны сообщить их непосредственно мне? Вы дадите мне таким образом
возможность заполнить достойный сожаления пробел в собрании описаний моделей
нашего Музея.
Благоволите принять уверение в моем глубоком почтении
М. д'Окань,
Инженер путей сообщения.
АНГЛИЯ
Письма Д ж. Сильвестера106
[По-французски.]
Королевская военная академия.
Вулич, 5 июля 1859 г.
Mori cher Monsieur,
Примите мою благодарность за Ваше письмо с ответом по поводу сочинений
Эйлера (относительно Partitiones). После того я прочел в последние недели в Лондоне
открытый курс из 7—8 лекций, посвященный этой теме; постараюсь Вам доставить
экземпляры пояснительного текста к этим лекциям, который я набросал и просил
отпечатать, чтобы мои слушатели, пользуясь таким материалом, могли лучше
следить за формулами.
Ко мне поступил Ваш мсмуар о наименьших величинах: прошу Вас принять
выражение моей признательности — надеюсь изучить его с пользой для себя.
Никак не могу понять, что это за мемуар Эйлера, о котором объявлено, что он
должен появиться в томе IV Opera Collecta под названием «Analysis Combinatcria —
Partitio Numerorum», «Numerus Commentatorum 7» [?]. Очевидно, его нельзя
отождествить ни с одним из тех мемуаров, которые Вы так любезно перечислили в
Вашем письме. Вы оказали бы мне большое одолжение, объяснив, в чем дело.
И не посмею ли я просить Вас разъяснить, какого рода вопросы имеет в виду
Эйлер, говоря о Geometria situs? Нужно Вам сказать, что мне пришлось столкнуться
с особого рода геометрией положения, когда я рассматривал применения тернарных
и кватернарных систем линейных однородных уравнений в связи с натуральными
порядками следования, согласно которым можно расположить переменные в каждой
из этих систем. Упомянутые порядки выражаются, или лучше сказать, «переводятся»
в натуральных порядках следования точек в какой угодно системе данных точек.
Например, если взять пять точек в плоскости, то их можно сгруппировать, вообще
говоря, тремя различными способами, и в зависимости от способа группировки
окажется И. 16 или 15 натуральных порядков следования. Выражение «вообще говоря»
я употребляю, чтобы не рассматривать частных расположений, когда три или более
точек окажутся на одной прямой. Если взять шесть точек в плоскости, то будет 15
различных группировок, которые естественно разбиваются на четыре класса. Три
группировки в случае пяти точек и две в случае четырех точек принадлежат
(каждая) лишь одному классу.
Примите, Monsieur, уверение в глубоком уважении.
Преданный Вам
Дж. Сильвестер.

- 449 -
[По-английски.]
1 сентября 1872 г.
[Сильвестер пишет Чебыщеву из Праги, направляясь в Москву с целью осмотра
выставки; просит дать рекомендательное письмо к кому-либо в Москве, так как не
имеет там знакомых.]
[По-английски.]
14(27) сентября 1872 г.
[Возвращаясь в Англию через Петербург и Стокгольм, Сильвестер сделал визит
Чебышеву, но не застал его; в письме, выражает сожаление.]
[По-английски.]
23 декабря 1872 г.
Дорогой профессор Чебышев!
Я только что получил мемуар, который Вы мне любезно прислали. К сожалению,
я не в состоянии прочесть его, хотя знаю достаточно хорошо русский алфавит, чтобы
прочесть Вашу фамилию и понять, что Вы являетесь его автором. Посылка
адресована мне как «члену-корреспонденту Петербургской Академии*. Я совершенно не
подозревал, что имею удовольствие носить столь высокое и почетное звание.
Не будете ли Вы добры написать мне (хотя бы строчку) по-французски, чтобы
сообщить мне, как случилось, что я был избран членом-корреспондентом: я имею в
виду дату моего избрания в качестве такового. Был бы также весьма признателен
Вам, если бы Вы смогли переслать мне список членов Академии (если такой
существует) пли что-нибудь напоминающее ту брошюрку, которая содержит описание
Парижской Академий.
Я знаю, что не отвечать на письма — Ваше правило, но надеюсь, что на этот
раз, в порядке исключения, Вы согласитесь прислать мне такого рода информацию.
С > совершенным почтением
Дж. Сильвестер.
ШВЕЦИЯ
Письма Г. Миттаг-Леффлера107
[По-французски.]
Стокгольм, 2 декабря 1882 г.
Высокочтимый милостивый государь!
В Стокгольме с конца этого года выходит новый математический журнал,
который находится под особым покровительством его величества нашего короля. Имею
честь послать Вам бандеролью его первую книжку 108.
Его величество король поручил мне просить Вас соблаговолить представить эту
первую книжку С.-Петербургской Академии, и он особенно будет Вам признателен за
Вашу любезность, если Вы распорядитесь напечатать в зивеспиях Академии те
несколько слов, которыми Вы сопроводите представление.
Мне было поручено просить о том же господина Эрмита109 касательно
Парижской Академии и господина Вейерштрасса по касательно Берлинской Академии Наук.
Со своей стороны, я позволю себе предложить Вам посылать в
С.-Петербургскую Академию различные выпуски «Acta» по мере их выхода в свет и был бы вполне
счастлив получать в обмен Известия Академии и, может быть, еще иные будущие
печатные труды Академии по математике.
29 П. Л. Чебышев. т. V

- 450 —
Благоволите принять, милостивый государь, выражение глубокого уважения, с
которым я остаюсь
Вашим покорнейшим слугой
Г. Миттаг-Леффлер
[По-французски.]
Стокгольм, 8 апреля 1884 г.
Высокочтимый милостивый государь!
Позвольте просить Вас принять выражение моей живейшей благодарности за
доброжелательные слова, с которыми Вы любезно цредставили «Acta Mathematical
С.-Петербургской Академии Наук. Благоприятное внимание, которое было оказано
моему журналу Вами — одним из величайших мастеров анализа всех времен — крайне
драгоценно для меня, так как дает мне уверенность, что это начинание действительно
содействует успеху науки, и надежду в будущем также рассчитывать на Ваше
расположение. Не будет ли слишком смело просить Вас не отказать в любезности
подарить мне одну из Ваших статей? Ничто не могло бы быть более полезным для
моего журнала ш.
В настоящее время, вновь занявшись Вашими блестящими исследованиями о
maxima и minima, я более чем когда-либо восхищен величием Вашего
математического гения. Я надеюсь даже, что смогу сделать применение этих исследований- к
теории аналитического представления функций, чем я теперь и занят. Через несколько
недель я позволю себе послать Вам первый набросок этого исследования. Я
полностью решаю в нем две проблемы, а именно: найти все особенности, которые может
иметь однозначная моногенная функция одной переменной, и также представить при
помощи ряда или при помощи всегда сходящегося произведения всякую однозначную
моногенную функцию, как бы сложна она ни была 112.
Посылаю Вам бандеролью уже вышедшие до сего времени три цервые тома
«Acta Mathematical и прошу Вас соблаговолить принять их от меня в качестве
скромного дара гению, тдк обогатившему нашу науку своими бессмертными
открытиями.
Примите, прошу Вас, великий учитель (grand Maitre], выражение искреннего
восхищения, с которым я остаюсь
Вашим преданнейшим
Гёста Миттаг-Леффлер.
Письмо К. Л. Шарлье113
[По-французски.]
Милостивый государь!
Вот задача, решение которой Вы, может быть, смогли бы дать.
Найти вид функции фг (со), зависящей от целого числа г и действительной
переменной со и обладающей следующими свойствами:
4f> /m = 0, 1, 2, . . . \
\ 9т И фп (со) tfco = 0 m ^ М л = 0 1 2 . . )
—со
+оо (I)
V 9w (to) <pw (со) rfoo = km (m = 0,1, 2, . . .)
—со
Тотчас же видно, что эта задача имеет в виду аналитическое представление;
функции действительной переменной для всех значений этой переменной. Действительно,

- 451 -
после того как эта задача решена, можно представить всякую функцию такого рода
при помощи ряда
/ Ы = b0 + 61?l (o>) -f Ь2уг (а>) 4- . • .
в предположении, что этот ряд — равномерно сходящийся для всех действительных
значений переменной с:.
Задача имеет важное значение сама по себе, но, в частности, интересует меня в
данный момент в связи с некоторыми исследованиями по поводу гиперэллиптических
интегралов.
Я пришел к ней, рассматривая уравнения вида
d<*=zF(x)dx,
где х нужно выразить как функцию со, причем х изменяется между двумя
конечными пределами а и Ъ, в то время как а, принимает все действительные значения
между — с» и + оо; переменные при этом связаны таким образом, что одному
значению переменной соответствует единственное значение другой. Если указанная
выше задача решена, то получим также и решение этого вопроса. Действительно^,
коэффициенты b0f Ь\ и т. д. будут выражены при помощи интегралов, значения
которых можно найти, не зная выражения х в функции <о.
Условиям (I) удовлетворяют тригонометрические функции и полиномы Лежандра,
но только с другими пределамя в интегралах. Так получаются два обыкновенных
метода представления произвольных функций. Но эти методы — ряд, Фурье и ряд
полиномов Лежандра — дают, вообще говоря, представление функций только для
ограниченной области переменной.
Вы сами рассматривали совершенно аналогичные проблемы в двух мемуарах;
«О непрерывных дробях> (Journ. de Liouville, III) и «О разложении функций одной
переменной^ (Bulletin, 1850 г.). В сущности Вы исходите из несколько иной точки
зрения, так как имеете целью представление функций, полученных при помощи
наблюдений; и различные методы, которые Вы даете, зависят от различных
предположений относительно функции вероятности этих, наблюдений (fonction de probabilites
de ces observations]. Но из Ваших результатов вытекают заключения аналитического
характера, совершенно не зависящие от этих обстоятельств. Действительно, Вы
показали, что таким образом можно придти к общеупотребительным методам
представления функции и многому другому. Например, к рядам, расположенным по весьма
замечательным полиномам
одно применение которым Вы дали в Вашем сочинении «О двух теоремах» и т. д.
Но можно ли вообще употреблять этот метод для представления функций? И
какую роль играет предположение относительно функции вероятности?
Не пожелаете ли Вы написать мне в ответ несколько строк? Мне это .было бы
очень приятно.
Прошу Вас меня извинить, если я затрудняю Вас, но вопрос меня очень интеь
ресует и я полагал, что лучше всего для разъяснения обратиться к Вам ш.
С глубочайшим уважением
Ваш Шарлье.
Пулково, май U/23, 88
29*

- 452 -
ГЕРМАНИЯ
Письмо К. В. Борхардта115
[По-французски.]
Берлин, 17 декабря 1879 г.
Дорогой г. Чебышев!
Я в высшей степени тронут честью быть избранным членом-корреспондентом
Вашей прославленной Академии, и единственное, что способно увеличить значение,
которое я этому придаю,— это то обстоятельство, что об избрании я узнал, мой
дорогой друг, от Вас первого; отсюда я могу заключить, что в стенах Академии Вы
взяли на себя инициативу оказания мне этой выдающейся чести.
Оставляя за собой право выразить Вашей Академии мои чувства горячей
благодарности, после того как я получу об этом официальное уведомление, я
прошу Вас пока быть выразителем этой искренней благодарности перед Вашими
коллегами.
Несколько лет назад я имел большое удовольствие быть удостоенным визита со
стороны Вашего выдающегося соотечественника и ученика Золотарева Пб. Я отправил
потом ему один экземпляр моего мемуара о среднем арифметико-геометрическом
четырех элементов ш, и был тяжело огорчен, когда почта возвратила мне его вместе
с сообщением о его смерти.
Я надеюсь, дорогой г. Чебышев, что скоро у Вас найдется свободное время, чтобы
предпринять путешествие, которое приведет Вас на некоторое время в Берлин. Я знаю
мило геометров, которые обладают свойственным Вам талантом в ходе беседы
вводить друзей в курс центральных идей своих трудов.
Для меня будет большим удовольствием увидеть Вас вновь моим гостем.
(Пока же примите выражение преданности со стороны, верьте мне, Вашего
искреннего друга
К. В. Борхардта.
Письмо Л. Кёнигсбергера118
[По-немецки.]
Вена, 22 апреля 1880 г.
Университетсштрассе, 2.
Hochverehrter Herr,
Разрешите мне переслать Вам одну работу, предметом которой является вопрос
о приведении абелевых интегралов к эллиптическим и которая находится в тесной
связи с Вашими классическими исследованиями по вопросу о приведении
эллиптических интегралов к логарифмам. Я позволю себе также в ближайшем будущем
переслать Вам более обширную статью о распространении теоремы Абеля на
интегралы любых дифференциальных уравнений, в которой рассматривается теория
неприводимости дифференциальных уравнений и ряд других относящихся сюда
вопросов.
Я надеюсь, что этой осенью мне удастся лично познакомиться с Вами, так как я
собираюсь вместе с моей семьей нанести визит моему шурину, сыну покойного генерал-
адъютанта Лихонина, проживающему в Петербурге.
С просьбой оказать моей работе снисходительное внимание, остаюсь с глубокий
уважением и почтением
преданный Вам
Лео Кёнигсбергер.

- 453 -
Письмо Л. Кронекера119
[По-немецки.]
Берлин-Вест,
Бельвю-штрассе, 13.
15 ноября 1889 г.
Hochgeehrter Herr College,
примите мою искреннюю благодарность за любезную пересылку мне экземпляра
[нрзбр] перевода Вашей «Теории сравнений» и не откажите принять от меня
несколько экземпляров опубликованных мною за последнее время работ, которые я
позволяю себе одновременно переслать Вам.
Первый том трудов Лежёна-Дирихле, которые я редактирую, в ближайшие дни
будет Вам выслан здешней Академией; том этот вышел в свет всего несколько
недель тому назад.
С глубоким почтением,
Преданный Вам
Л. Кронекер.
ИТАЛИЯ
Письмо Л. Кремоны120
[По-французски.]
Милан, 12 ноября 1872 г.
Monsieur!
С величайшим удовлетворением я получил столь любезно присланные Вами две
книги, содержащие Ваши драгоценные публикации. Я не смог бы найти достаточно
красноречивых слов, чтобы выразить Вам мою глубокую благодарность. Уверяю Вас,
что я совершенно не в состоянии описать радость, которую испытал, получив этот
исключительный подарок. Теперь мне хотелось бы изучить немного русскую
грамматику, чтобы перевести сначала для себя, а потом, может быть, и для других, Ваши
ученые труды.
В ожидании продолжения Вашего ко мне милостивого расположения, прошу Вас
всегда считать меня Вашим преданным почитателем.
Л. Кремона.
Письма Дж. Батальини121
[По-французски.Д
Неаполь, 4 июня 1890 г.
Милостивый государь и
прославленный профессор!
Огромное значение Вашего труда по теории сравнений или элементам теории
чисел, истинного образца логики, столь блестящего благодаря отбору маггериала,
ясности и силе доказательств, делает весьма желательным его итальянский перевод
для применения его в наших школах. Молодой математик, мадемуазель Иджиния
Массарини, которая была моей ученицей в Римском университете и с тех пор
удостоилась звания доктора математики Неапольского университета, хотела бы приступить
к переводу этого труда на итальянский язык; вот почему я берусь, от ее и от своего
имени, просить Вас быть любезным разрешить его перевод, как это -было Вами
разрешено для немецкого перевода профессору Герману Шапире, Гейдельбергского уни-

- 454 -
верситета122. Если это будет необходимо, итальянский перевод будет просмотрен и
исправлен лично мною, перед тем как рукопись пойдет в набор 123.
Прошу принять выражение уважения и глубокого почтения.
Ваш преданный
Джузеппе Батальини,
профессор анализа и механики
Неапольского университета.
[В своем следующем письме, от 24 июня 1890, Батальини, от своего имени и от
имени Иджинии Массарини, благодарит Чебышева за предоставление права
итальянского перевода «Теории сравнений».]
Письма И. Массарини
[По-французски.]
[Письма Иджинии Массарини, переводчицы «Теории сравнений» Чебышева на
итальянский язык,— краткие вежливые записки делового содержания.]
ПОРТУГАЛИЯ
Письмо Ф. Г. Техейра124
[По-французски.]
[9 апреля 1887 г. Ф. Г. Техейра направляет Чебышеву свою заметку, касающуюся
теоремы Эйзенштейна 125, и высказывает пожелание иметь его суждение по этому
поводу; из курса Эрмита, читанного в Сорбонне, он знает, что Чебышев «опубликовал
замечательные работы, относящиеся к этой теореме», и желал бы с ними
познакомиться.]
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Кто является адресатом письма — не вполне ясно;, но с некоторой
уверенностью можно (предполагать, что это —Павел Николаевич Фус, бывший в 1843 г.
непременным секретарем Академии Наук. В письме речь идет, повидимому, о первом
научном труде Чебышева «Заметка об одном классе кратных определенных интеграь
лов», тесно связанном с задачей интегрирования уравнений математической физики.
2 Этой же задачей занимался М. В. Остроградский в ряде своих мемуаров, в том
числе и в мемуаре: «О сфероидах, моменты инерции которых равны» (1842).
Другое письмо П. Н. Фусу, более позднее, воспроизведено в томе I настоящего
Полного собрания сочинений, стр. 276.
3 Ж. Лиувилль (Joseph Liouville, 1809—1882), крупнейший французский
математик, профессор Политехнической школы и College de France в Париже. С 1836 г. до
1875 г. издавал Journal de mathernatiques pures et appliquees.
4 Ковалевская Софья Васильевна (1850—1891)—крупнейший русский математик,
профессор Стокгольмского университета с 1883 г.
Замечательная работа, доставившая ей мировую известность и за которую она
получила от Парижской академии наук премию Бордэна, относится к вращению
твердого тела вокруг неподвижной точки.
5 «Софья Васильевна II» — Софья Владимировна Ковалевская, дочь С. В. и
Вл. О. Ковалевских.
6 Марков Андрей. Андреевич (1856—1922)—тогда! адъюнкт Академии Наук оо
чистой математике.

~ 455 -
Бейлыитейн Федор Федорович (1838—1906)— профессор химии Петербургского
технологического института, член-корреспондент Академии Наук с 1883 г.,
ординарный академик с 1886 г.
Бекетов Николай Николаевич (1827—1911) —член-корреспондент Академии Наук
с. 1877 г., ординарный академик с 1886 г., выдающийся русский химик.
7 МиттаглПеффлер — см. прим. 107.
8 Указанная в письме статья Чебышева «О суммах, составленных из
коэффициентов рядов с положительными членами» была напечатана в Acta Mathematica, IX,
1887, стр. 182—184.
9 Работа Чебышева «О предельных величинах интегралов» была напечатана в
журнале Acta Mathematica, IX, 1886, под заглавием <0 представлении предельных
величин интегралов посредством вычетов». Перевод этой работы на французский
язык был сделан С. В. Ковалевской.
10 Вторая работа Чебышева по тому же вопросу появилась на страницах XII
тома Acta Mathematica в Ш89 г. под заглавием «Об интегральных вычетах,
доставляющих приближенные величины интегралов». Перевод этой работы был сделан
математиком Лионом (см. прим. 99).
11 Судя по содержанию, письмо относится к 1888 г.
!2 Косим Андрей Иванович (род. в 1833 г.), генерал-от-инфантерии, двоюродный
брат С. В. Ковалевской. Косич ходатайствовал перед правительством о возвращении
С. В. Ковалевской на родину в качестве члена Петербургской Академии Наук. Он
обратился с этой целью к президенту Академии, великому князю Константину
Константиновичу, с письмом, в котором, между прочим, привел суждение Наполеона
о том, что всякое государство должно дорожить возвращением выдающихся людей
более, нежели завоеваяием богатого города.
13 Брашман Николай Дмитриевич (1796—1866) — заслуженный профессор
Московского университета, основатель Московского математического общества. К своему
письму Н. Д. Брашман приложил. сделанный им перевод на русский язык статьи
английского математика Сильвестера (см. прим. 106) «Размышление об идее теоремы
Сильвестера-Понселе» и снабдил этот перевод своими комментариями. После этой
статьи Сильвестера приведено в письме дополнение к ней Миррифельда. В конце
этого дополнения поставлены скобки и в них стоит «Philosophical Magazine, 1860.
October».
14 Позднейшее письмо Чебышева к Брашману — см. т. II настоящего Полного
собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 412—415.
^Струве Отто Васильевич (род. в 1819 г.)—сын знаменитого астронома
В. Я. Струве, также астроном, ординарный академик Петербургской Академии Наук
с 1861 г.
16 Ковальский Мариан Альбертович (1821—1884)—известный астроном,
профессор Казанского университета с 1850 г. В начале 1862 г. О. В. Струве ушел в отставку.
На освободившуюся вакансию были предложены два кандидата: А. Н. Савич,
профессор астрономии Петербургского университета, и М. А. Ковальский. Первую'
кандидатуру поддерживали академики Буняковский, Якоби и Ленц, вторую —
П. Л. Чебышев и О. В. Струве.
17 Сомов Осип Иванович (1815—1876)—выдающийся математик, академик с
1862 г. и ординарный профессор Петербургского университета с 1856 г.
18 В результагге были избраны: Л. Н. Савич — экстраординарным академиком,
AL А Ковальский — членом-корреспондентом Петербургской Академии Наук.
19 Ханыков Николай Владимирович (1822—1878) —известный русский ученый,
автор многочисленных работ по истории и археологии древнего Востока, член-коррес-
яондент Петербургской Академии Наук с 1852 г,, доктор истории Востока honoris
causa, организатор и участник ряда географических экспедиций (в Хорасан и др.)-
20 Маиевский Николай Владимирович (1823—1892)—генерал-от-артиллерии, заь
служенный профессор Артиллерийской академии, член-корреспондент Академии Наук

- 456 —
с 1878 г., один из выдающихся русских ученых-артиллеристов, основоположник
русской баллистической школы.
21 Кроме приведенного в тексте письма, сохранились еще два письма Н. В. Маи-
евского к Чебышеву. В одном из них Н. В. Маиевский указывает на несущественную
арифметическую погрешность, вкравшуюся в мемуар Чебышева «Об интерполировании
величин равностоящих» (1875 г.); в другом он благодарит Чебышева за его записку
и за доставление одного из его мемуаров.
22 См. прим. 4.
23 речь идет о статье П. Л. Чебышева «Об интегральных вычетах,
доставляющих приближенные величины интегралов», которая была напечатана в Acta Mathema-
tica, XII, 1889.
24 Полное заглавие этого журнала: Memoires presentes par divers savants,
a PAcademie des Sciences de l'lnstitut Naitional de France. Работа С. В. Ковалевской
«Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки» была напечатана
в т. XXXI этого журнала (1890).
25 Пуанкаре и Аппель — выдающиеся французские математики второй
половины XIX в.
2в Фон-Бооль Владимир Георгиевич (1836—1899)—генерал-майор, инспектор
классов Александровского военного училища в Москве, преподаватель физики, ученик
М. В. Остроградского, А. В. Гадолина и Н. В. Маиевского по Артиллерийской
академии, автор ряда учебных руководств по математической и физической географии, по-
метеорологическим приборам и т. д.
В своей статье «Арифмометр Чебышева» (Труды отделения физических наук
общества любителей естествознания, 1894 г., т. VII, вып. 1), о которой идет речь
в письме, фон-Бооль дал подробное описание этого прибора. Оно целиком вошло в
известную монографию фон-Бооля «Приборы и машины для механического
производства арифметических действий», изданную в Ш96 г., уже после смерти Чебышева.
Фон-Бооль отмечает, что Чебышев писал ему: «Вашим сообщением разъясняется
многое, что темно у Окань, и он сам воспользуется этим при предстоящих
конференциях в консерватории [т. е. в Музее искусств и ремесел.— Ред.]». Повидимому,
Чебышев имел в виду заметку Окаяя {d'Ocagne), помещенную в Annales de Conservatoire
des Arts et Metiers, V, 2-е serie, 1893. Первое описание арифмометра Чебышева было-
сделано самим Чебышевым в Revue Scientifique, № 13, 1882.
27 Л. de-Полиньяк (Alphonse de Polignac, 1826—1863), капитан артиллерии, в
1846—1861 гг. опубликовал ряд заметок, касающихся простых чисел, а также мемуар
«Sur Ies nombres premiers» в Journal des mathematiques, XIX, 1854.
28 О Мансионе — см. прим. 47.
2q Ш. Эрмит (Charles Hermite, 1822—1901), крупнейший французский математик,,
с 1856 г. член Французской Академии, в 1857 г. был избран членом-корреспондентом,
а в 1895 г.—почетным членом С.-Петербургской Академии Наук. В течение многих
лет поддерживал дружеские отношения и научный контакт с Чебышевым.
30 Настоящее письмо не датировано. Написано оно не позднее мая 1857 г., так
как во время его написания был жив Коши.
31 Зрмит упоминает о результатах, полученных Чебышевым в его мемуаре «Об-
интегрировании иррациональных дифференциалов» (1853 г.; см. том II настоящего
Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 52—69). Как известно, в своих
исследованиях по интегрированию алгебраических функций Чебышев применял
алгоритмические методы Эйлера и Абеля и избегал методов теории функций; не
затрагивается в этих работах и теория эллиптических функций. Эрмиту, видевшему
важность полученных Чебышевым результатов, методы Чебышева казались устаревшими»
Свои доводы Эрмит подкрепляет ссылками на результаты, полученные Вейерштраосом-
в статье «Ueber die Integration algebfaischer Differentiate vermittelst; Logarithmen»
(Berl. Ber., 26, II, 1857; Wcrke, I, S. 227). Эти результаты относятся к кругу задач,
рассматривавшихся Чебышевым, но они связаны с теорией эллиптических функций
и с общими идеями теории функций.

- 457 -
32 Коши (A. Cauchy) умер 23 мая 1857 г.
33 Э. Руше {Eugene Rouche, 1832—1910) — французский математик, член
Французской академии с 1896 г.
34 Мемуар Чебышева «О непрерывных дробях*, опубликованный в Ученых
Записках Имп. Академии Наук в 1855 г., был также опубликован на французском
языке в Journal de math, pures et appliquees »в 1858 г.
35 См. том II настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева,
стр. 122-123.
36 Jnstitut de France — Парижская академия. Под этим названием объединены:
Academie Francaise, Academie des Sciences, Academie des Inscriptions et Belles-
Lettres, Academie des Sciences morales et politiques, Academie des Beaux-Arts.
3(7 См. заметку «Об одном новом ряде» том II настоящего Полного собрания
сочинений П. Л. Чебышева, стр 236—238.
37а Имеется в виду, очевидно, заметка A. Cayley «Sur les fonctions de Laplace»,
помещенная в 1848 г. в Journ. de mathem. pures et appL, XIII, pp. 275—280; см. также
Собр. соч. Кэли (Mathematical Collected Papers, I, pp. 397—401). Формулировка
теоремы Кэли, приведенная Эродитом, не вполне точна: речь идет о различии степеней
двух гармонических функций, специальным образом построенных.
38 Избрание Чебышева иностранным сочленом (associe etranger) Французской
академии состоялось 18 мая 1874 г. В связи с этим можно предположить, что год в
дате письма следует читать 1874 вместо 1875.
39 Издание трудов Эйлера С.-Петербургская Академия Наук предприняла в
1849 г. Редактировавший это издание академик Буняковский привлек Чебышева к
работе над «Leonhardi Euled commentationes arithmeticae collectae».
40 Год на письме не помечен. Письмо написано не раньше 1882 г., так как с
докладом о приближенном спрямлений кривых (см. четвертый абзац письма) Чебы-
шев выступил на сессии Французской ассоциации содействия преуспеванию наук в
августе 1882 г. О соответствующей теореме Эрмит пишет как о новинке, так что
можно предположить, что письмо относится именно к 1882 г.
41 В своем «Курсе анализа» Эрмит пишет:
«Задержимся несколько на арифметическом характере рядов вида:
^ = «о + а^+ а**2 + . . . ,
когда они соответствуют алгебраическому уравнению F(x, y) = 0, коэффициенты
которого мы полагаем целыми числами. Эйзенштейну мы обязаны следующим очень
интересным замечанием: в том случае, когда коэффициенты — дроби,, достаточно изменить
х на kxy причем k обозначает целое число, выбранное подобающим образом, чтобы
все дроби, за исключением первой, сделались целыми числами...
Чебышев пошел дальше в этом направлении и пришел к чрезвычайно интересным
результатам. В заданной функции:
а0 + агл: + ... + *пХп + ...,
разложенной в ряд по возрастающим степеням х, приведем каждый коэффициент
N
ал> который мы полагаем рациональным, к более простому выражению —. Пусть
рп—наибольший из простых делителей <2, и временно обозначим предел частного
Ел при п — оо индексом ряда. В этом случае теорема, данная знаменитым геомет-
п
ром, заключается в том, что всякий ряд с рациональными коэффициентами,
получающийся для функции, составленной из конечного числа функций алгебраических,
логарифмических и показательных, имеет индексом число конечное» (см. Шарль Эрмит
«Курс анализа». Пер. с франц. под ред. проф. Н. М. Гюнтера, ОНТИ, М.—Л., 1936,
XIX лекция, стр. 256—258).
Под «конечными функциями» (fonctions finies) Эрмит, видимо, и
подразумевает функции, «составленные из конечного числа функций алгебраических, лога-

- 458 -
рифмических и показательных». В той же лекции несколькими строками ниже Эрмит
указывает, что «теорема, обратная теореме Чебышева, не справедлива», и приводит
соответствующий пример. Сама теорема Чебышевым опубликована не была, а Эрмит
не приводит в «Курсе* ее доказательства.
В тесной связи с этой теоремой находится (также упоминаемый Эрмитом на
стр. 258 «Курса») результат П. Л. Чебышева, который может быть сформулирован
хп
следующим образом: индекс ряда V — бесконечен. Доказательство этого частного
утверждения было восстановлено А. А. Марковым по обрывку черновика, найденному
в бумагах П. Л. Чебышева после его смерти*. В 1901 г. И. И. Иванов обобщил это
хп
предложение, доказав, что все ряды вида V , где Л, В — целые,
взаимно-простые, имеют бесконечный индекс.
42 См. письмо Чебышева к Ковалевской.
43 Дюамель, или Дюгамель (Jean Marie Duhamel, 1797—1872) — математик и
физик, профессор математического анализа в Парижском университете, Нормальной и
Политехнической школах, член Парижской академии с 1840 г., автор курсов анализа
(1840 г.) и механики (1845 г.). Его пятитомный трактат «Methodes dans les Sciences
de raisonnnemenb (1866—;1872 гг.) был частично -переведен на русский язык под
названием «Приложение методов умозрительных наук к науке о числах и пространстве»
и некоторое время пользовался у нас большим влиянием.
и Физо (Hyppolite Fizeau, 1819—1896) — известный физик, член Парижской
академии с 1860 г.
45 Капитан Л. П. Горлов — один из сотрудников Чебышева по работе .в
Артиллерийском отделении Военно-ученого комитета, ученый секретарь этого отделения с 1858 г.
4* Ж- Мансион (J. Mention, род. в 1821 г.), богатый парижанин, давал уроки
некоей княгине Трубецкой, которая способствовала затем его поездке в Петербург.
Обстоятельства, обусловившие его отъезд из России, нам неизвестны. По
возвращении в Париж преподавал в Иезуитском коллеже.
47 Работы Пруэ (Eugene Prouhet, 1817—il867) напечатаны в Nouvelles annales de
mathematiques за 1850 и 1856 годы.
48 Статья Мансиона под заглавием «Sur la serie du probleme de Fuss» была
помещена в Bull, de l'Acad. Imp. des siences de St-Peteirsbourg, 1 (I860), стр. 507—
512. В этой статье автор,, между прочим, пишет:
«Г-н Чебышев указал* мне на то, что уравнение Лп/4/г_2=( Л „^j—l^cpазу
интегрируется с помощью равенства
sin /ф sin (/ — 2) ф __ /sin (/—!') ф\2 .
sin 9 sin 9 V sin ф J *
Он полагает V~AX = а и находит
v— ^(a + fa2-4 )n+l- (a — У^~^А )я+!
n ~ 2n+lV*=ri ''*
49 Очевидно, Владимира Львовича Чебышева.
50 «Черчение географических карт» — сочинение, написанное для торжественного
акта в Петербургском университете 8 февр. 1£56 г. Речь идет, очевидно, о
французском переводе, опубликованном в 1660 г. в XIX томе Nouvelles annales de
mathematiques.
51 Tucco (Auguste Tissot, род. в 1824 г.), известный французский ученый,
занимавшийся астрономией, космографией и географией; написал также ряд
математических работ.
62 Бертран (Joseph Bertrand, 1822—1900), член Парижской академии с 1856 г.,
ее непременный секретарь с 1874 г., один из крупнейших французских математиков.
* См. том I Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 283—284.

- 459 -
53 Имеется в виду академик К. С. Веселовский.
5* Мишель Шаль (Michel Chasles, 1793—1880), профессор Парижского
университета и Политехнической школы, член Парижской академии с 1851 г., виднейший
французский геометр.
65 О Я. В. Ханыкове — см. прим. 19.
56 О Ж- Л ну вилле — см. прим. 3.
67 Жермен (A. Germain), французский инженер, член Географического общества,
fio поручению Depot de& cartes et plans Морского Министерства, собиравший труды
но картографии.
68 Намерение Чебышева опубликовать более пространную статью о черчении
географических карт (см. «О построении географических карт», стр. 146 настоящего
тома) осуществлено не было; в письме Мансиона идет речь, очевидно, о французском
переводе «университетской речи» 8 февраля 1856 г.
69 Шарль Делонэ {Charles Eugene Delaunay, 1816—1872), профессор
Политехнической школы, член Парижской академии с 1855 г., механик и астроном.
60 Л. Маннгейм (Amedee Mannheim, 1831—1906), полковник, геометр, был
профессором Политехнической школы. Упоминаемая ниже его книга носит название
«Cours de Geometrie descriptive comprenant les elements de la geometrie
•cinematique».
G1 И. Ж. Бьенэме (Irenee Jules Bienayme, 1796—1878), член Парижской
академии (academicien libre) с 1852 т. В работе Бьенэме 1867 г. (Journal de math, pures
«et appl., (2), 1!2, также Comptes rendus, XXXVII) содержится частный случай
•известного «неравенства Чебышева» из области теории вероятностей.
В 1858 г. Бьенэме осуществил перевод на французский язык мемуара Чебышева
«О непрерывных дробях», опубликованный в Journal de math., (2), t. III.
62 Ж. Лиувилль — см. прим. 3.
63 В августе 1873 г. в Лионе на конгрессе Французской ассоциации содействия
преуспеванию наук Чебышевым был сделан доклад «О предельных величинах
интегралов», воспроизведенный вслед за' тем в Journal de mathematiques. См. том III
настоящего Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, стр. 63—65.
64 «Наивысшее отличие» — звание associe etranger, предоставленное Чебышеву
Парижской академией 18 мая 1874 г.
65 Жуффрэ (Esprit Pascal Jouffret, род. в 1837 г.), профессор Артиллерийской и
инженерной школы з Фонтэнбло. Им были выведены интерполяционные формулы,
интересовавшие Чебышева.
« Э. Каталан (Eugene Charies Catalan, il(814—1894), учитель Эрмита,
выдающийся французский математик, живший с 1865 г. в Бельгии и занимавший кафедру
в Льежском университете.
«* Б, Бонкомпаньи (Baldassare Boncompagni) издавая в Риме до 11*887 г. исто-
рико-библиографический справочник • В olletino di bibliografie e di storia di scienze
mat. e fis.; всего вышло двадцать томов.
ее Лебег (Victor Amedee Lebesgue, 1791-—1875)—профессор университета в
Бордо, с 1847 г. член-корреспондент Парижской академии; занимался преимущественно
теорией чисел.
169 Эд. Люка — см. прим. 88.
70 В 1851 г. Катал ал, тогда профессор лицея, отказался дать правительству
империи присягу, обязательную для всех лиц, состоявших на государственной службе, и
вынужден был обратиться к частному преподаванию.
71 N. С. М.— Nouvelle Correspondance Mathematique — издание, публиковавшееся
Э. Каталаном совместно с профессором Гентского университета Мансионом (P.
Mansion). Речь идет здесь о заметке П. Л. Чебышева «Обобщение формулы Каталана и
вытекающая из него арифметическая формула» (том I, стр. 277—279).
п Лигин Валерьян Николаевич (1846—1900), с 1879 г. профессор механики
в Новороссийском университете (в Одессе), с 1897 г. попечитель Варшавского
учебного округа. Занимался шарйирными механизмами.

- 460 -
73 Г-жа Двельсоуэрс — жена инженера, профессора Льежского университета
Виктора Двельсоуэрса (Victor Dwelshauvers-Dery, 1836—4913), одного из друзей и
корреспондентов Чебышева.
74 Melanges Mathematiques» («Математическая смесь») — сборник, издававшийся
Каталаном, содержавший экстракты из научных работ в общедоступной обработке.
Имя Чебышева встречалось там неоднократно.
743 «Число Сегаера» Тп (п =4,5,...) обозначает число способов разложения
выпуклого л-угольника на треугольники с помощью диагоналей.
75 О кривой Уатта см. том II настоящего Полного собрания сочинений П. Л.
Чебышева, стр. 475—477, а также отдельную книгу: П. Л. Чебышев. Теория механизмов,
известных под названием параллелограмов. Изд. Акад. Наук СССР, 1949.
7tJ Mathesis — математический журнал, издававшийся при ближайшем участии
Каталана; существует и в наши дни.
77 Э/ Чезаро (Ernesto Cesaro, 1859--1906) впоследствии был профессором
анализа университета в Неаполе; ему принадлежит несколько интересных книг, из числа
которых на русский язык переведен «Элементарный учебник алгебраического
анализа и исчисление бесконечно малых» (1913 г. и 1936 г.).
78 Л. де-Калин>ъи — см. прим. 96.
?э Хирн (Gustav Adolf Hirn, 1816-НШ90), гражданский инженер, был
членом-корреспондентом Парижской и С.-Петербургской академий.
80 Брокар (Henri Brocard, род. в 1845 г.)—капитан инженерных войск, с 1874 г.—
директор основанного им метеорологического института в Алжире. 'Кроме геометрии
треугольника занимался отдельными вопросами дифференциальной геометрии и
распределением простых чисел (заметки 1879—1880 гг. в Nouvelle Correspondance Ma-
themajtique).
81 Утверждение Брокара ошибочно, как видно на примере числа 3975. «Теорема»
Брокара, которую он проверил для Af<1210, в действительности верна даже для
#<3975, как легко показать, пользуясь признаком делимости на 3.
м Дон-Педро <dom Pedro II de Alcantara, 1825—1891)—бразильский император,
пользовавшийся репутацией либерального мона.рха. В 1871 г. посетил Европу,
присутствовал на заседании Академии Наук в Париже; член Французского географическога
общества с 1868 г.
83 Мемуар Каталана Петербургской Академией, яовидимому, опубликован не был-
Работа «Integrates euleriennes et elliptiques» была напечатана в Memoires de ГАса-
demie de Belgique, XLIX, 1893.
84 А д'Аббади (Antoine d'Abbadie, род. в 1810 г.)—географ, член Парижской
академии с 1867 г. Руководил рядом африканских экспедиций, участвовал в
Бразильской миссии, был в Абиссинии и т. п.
85 Де-Бразза (Peter de Brazza, род. в 1852 г.) приобрел известность
путешествиями по Африке, получил золотую. медаль Географического общества.
ы Радо (Rodolphe Radau, 1835—1911) — метеоролог, астрофизик. Родился в
Кенигсберге, натурализовался во Франции. Чебышеву был известен его мемуар о
механических квадратурах (Journal de mathem., 1880).
а7 Год поставлен предположительно.
ад Э. Люка (lEdouard Lucas, 1842—1891)—французский математик, профессор
парижских лицеев Charlemagne и St. Louis, также один из директоров Национального
музея искусств и ремесел (Conservatoire des Arts et Metiers). Известен как автор
сборника «Recreations mathematiques» («Математические развлечения»), дважды
переведенного на русский язык.
& Ш.Лезан (Charles Ange Ladsant, 1877—1920), профессор Политехнической
школы, один из издателей журнала L'Enseignement Matthematique, видный прогрессивный
деятель в области математического образования; его «Введение в математику»
(«Initiation mathematique») было переведено на русский язык и издавалось неоднократно.
89а См. «Доклады П. Л. Чебышева во Французской ассоциации содействия
преуспеванию наук (Association Francaise pour ravancement des sciences)» на стр. 163—171.

-- 461 -
90 По всей вероятности речь идет о задаче, рассмотренной Чебышевым в статье
<Ю наибольших и наименьших величинах сумм, составленных из значений целой
функции и ее производных* (см. том II настоящего Полного собрания сочинений
П. Л. Чебышева, стр. 438—466; комментарий там же на стр. 516).
91 Редакционная коллегия не располагает сведениями о содержании этого
доклада.
92 Э. Коллиньон (Edouard Collignon, род. в 1831 г.), видный инженер, профессор
Политехнической школы и Ecole des Ponts et Chaussees.
93 Л. Лосседа (A. Laussedat) —+ директор Национального музея искусств и ремесел
^ Conservatoire Nationale des Arts et Metiers).
94 Эмиль Лемуан (Emile Lemoine, 1840—1912), занимался геометрией
треугольника; был вместе с Лезаном директором журнала L'lntermediaire des Mathematiciens.
95 Вероятно, Чебышеву уже не пришлось откликнуться на эту просьбу: вышедший
в 1894 г. (год смерти Чебышева) первый том журнала не содержит вопросов
Чебышева.
96 Л. de-Калиньи (Anatole de Caligny, 1811—1892), маркиз, из семьи, давшей ряд
известных инженеров, член-корреспондент Парижской академии с 1869 г., был членом
Московского общества испытателей природы.
97 По поводу кандидатуры де-Калиньи писал Чебышеву и Каталан.
98 Г. Дарбу (Gaston Darboux, 1842—1917), профессор высшей геометрии
Парижского университета, член Академии с 1884 г., непременный секретарь с 1900 г., член-
корреспондент Петербургской Академии с 1895 г., автор капитального трактата
«Theorie des surfaces», вышедшего в 1887 г.
99 По поводу Лиона (Joseph Lyon, 1858—1907) имеются сведения, что он родился
в Смоловичах (в России); в 1890 г. получил докторскую степень в Париже, защитив
диссертацию «О кривых постоянного кручения». В 1887 г. перевел работу Чебышева
<0 предельных величинах интегралов» для Acta Mathematica; умер в Женеве.
100 На этой теореме основано устройство планиграфа Дарбу; см. его собственную
заметку по этому поводу в книге Koenigs'a «Lecons de cinematique».
ш М. Леей (Maurice Loewy, 1833—1907), известный французский астроном.
102 Избрание Лёви в члены-корреспонденты С.-Петербургской Академии
состоялось в том же 1889 г.
103 М. дЮкань (Maurice d'Ocagne, 1862—1938), профессор Политехнической
школы, член Парижской академии с 1922 г., один из создателей номографии как
самостоятельной отрасли математики.
101 О Лосседа см. прим. 93.
105 О Люка см. прим. 88.
106 Сильеестер (James-Joseph Sylvester, 1814—il897), известный математик,
алгебр аирт, ученик де-Моргана по Лондонскому университету, член Королевского общества
с 1838 г. Испытав ряд профессий, в 1859 г. был профессором математики в Военной
академии в Вуличе. С 1863 г. он член-корреспондент Парижской академии. Позднее,
в 1876 г., уехал в Америку, приняв профессуру в университете Джои а Хопкинса в
Балтиморе; в 1878 г. основал American Journal of Mathematics. В 1884 г. вернулся
в Англию и до самой смерти работал в Оксфорде.
107 Г. Миттаг-Леффлер (Gustav Magnus Mittag-Leffler, 1846—1927), выдающийся
математик и научный деятель, швед по национальности, был сначала профессором в
Упсале, затем (с 1881 г.) —в Стокгольме, член-корреспондент Петербургской
Академии Наук с 1896 г.
108 Упоминаемый журнал основан Миттаг-Леффлером и носит название Acta
Mathematica. Он пользовался исключительной репутацией; существует поныне.
109 Эрмит (см. прим. 29) привлечен Миттаг-Леффлером как признанный глава
французской математики.
110 Вейерштрасс (Karl Weierstrass, 1815—1897) — глава берлинской школы
математики во второй половине прошлого столетия, оказавший значительное влияние на

— 462 -
направление математической мысли; учитель Софьи Ковалевской. С 1864 г.
член-корреспондент, с 1895 —почетный член С.-Петербургской Академии Наук.
"» в Acta Mathematica, кроме «Письма С. В. Ковалевской» . (т. IX, 1837„
стр. 182—184), напечатаны переводы следующих .мемуаров Чебышева:
«О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных
вычетов» (т. IX, 1886, стр. 35—56);
«Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов»-
(т. XII, 1888—1889, стр. 287—322);
«О двух теоремах относительно вероятностей» ((т. XIV, 1890—1891, стр. 305—315);
«О приближенных выражениях квадратного корня переменной через простые
дроби» (т. XVIII, 1894, стр. 113—132).
112 Работы-Миттаг-Леффлера в указанном направлении позднее нашли свое
отражение в ряде мемуаров, опубликованных в Acta Mathematica.
из К. Л. Шарлье (Carl Ludwig Charlier, 1862—1934), выдающийся шведский
астроном и специалист в области математической статистики; в 1888 г. начал свою
деятельность в качестве ассистента в Стокгольмской обсерватории.
114 Вопрос Шарлье касается возможности перенесения на бесконечный
промежуток теории, развитой Чебышевым для случая конечного промежутка. Он просит также
Чебышева разъяснить .ему роль функции, называемой в настоящее время «весом»
приближения.
us К. В, Борхардт (Carl WJUhelro Borchardt, 1817—1880), крупный математик,
член Берлинской академии с 1856 г.; с 1855 г. издатель журнала Крелля (Journal fur
die reine und angewandte Mathematik).
116 E. И. Золотарев (1847—1878), адъюнкт Академии Наук с 1876 г., ученик
Чебышева; преждевременно погиб при несчастном случае.
117 Мемуар Борхардта «Ueber das arithmetisch-geometrische Mittel aus vier Ele-
menten» напечатан в Monatshefte der Akad. d. Wiss. Berlin, 1876, и в Bull. Sci. Mathfc
et Astr. (2), I.
118 Л. Кёнигсбергер (Leo Koenigsberger, 1837—1921), видный немецкий математик.
Был первым научным руководителем С. В. Ковалевской; направил ее в Берлин к
своему учителю Вейергатрассу.
119 Л. Кронекер (Leopold Kronecker, 1823—1891), крупнейший немецкий
математик, профессор Берлинского университета и член Берлинской академии наук; член-
корреспондент С.-Петербургской Академии Наук с 1872 г. Работал в области теории
чисел, алгебры и анализа. Принимал участие в издании Journal fur Mathematik.
120 Л. Кремона (Luigi Cremona, 1830—1903) профессор математического анализа
в Риме, выдающийся алгебраист и геометр.
i21 Джузеппе Баталыши (Giuseppe Battaglini, Д826—1894), профессор математики и
механики в Неаполе и Риме,ч!лен Римской академии, редактор Giornale di Matematica;
перевел на итальянский язык «Пангеометрию» и другие сочинения Лобачевского.
122 Г. Шапира (Hermann Schapira, 1840—1898), уроженец Одессы, профессор
Гейдельбергского университета, издал перевод «Теории сравнений» в Берлине -в 1889 г.
123 Перевод «Теории сравнений» на итальянский язык, предпринятый Массарини,
повлек за собой переписку между нею и Чебышевым. Книга была издана
в Риме в 189/5 г.
i2i ф# pt Техейра (Francisco Gomes Teixeira, 1851—1933), профессор и 'Директор
Политехнической академии в Опорто (Португалия).
№ Ann. de PEcole Norm. Sup., т. HI, за 1886 г. См. примечание 41.

ПОЧЕТНЫЕ ЗВАНИЯ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Доктор математики и астрономии —1849 г.
Члш-ксфреспондент Ученого комитета Министерства государственных имущесп
1854 г.
Член-корреспондент Льежского Королевского ученого общества —1856 г.
Член-корреспондент Филоматического общества в Париже—1856 г.
Почетный член Московского университета —1858 г.
Ординарный академик С.-Петербургской Академии наук —1859 г.
Ординарный профессор Петербургского университета — 1860 г.
Член-корреспондент Парижской Академии наук—1860 г.
Член-корреспондент Шербургского общества естественных наук—1866 г.
Член-учредитель Московского математического общества —1867 г.
Почетный член Киевского университета—1869 г.
Почетный член Артиллерийской академии— 1870 г.
Член Берлинской Академии наук—1871 г.
Заслуженный профессор Петербургского университета—1872 г.
Член Болонской Академии наук—1873 г.
Почетный член Ученого комитета Министерства народного просвещения — 1873 г.
Иностранный сочлен Парижской Академии наук —1874 г.
Член Лондонского Королевского общества—1877 г.
Почетный член Новороссийского университета—1878 г.
Член Итальянской Королевской Академии—1880 г.
Почетный член Петербургского университета—1882 г.
Член Французского математического общества —1882 г.
Почетный член Московского общества естествоиспытателей—1889 г.
Почетный член Петербургского минералогического общества —1890 г.
Почетный член Петербургского математического общества — 1893 г.
Почетный член Казанского университета — 1893 г.
Иностранный член Шведской Академии наук—1893 г.

важнейшие даты
в жизни п. л. чебышева
1#21 г. 4 (16) мая родился П. Л. Чебышев (в селе Окатово, Боровского уезда
Калужской губ.).
1832 г. Чебышевы переезжают в Москву.
1837 г. П, Л. Чебышев поступает в Московский университет на второе
(математическое) отделение философского факультета.
1841 г. П. Л. Чебышев представляет работу «Вычисление корней уравнений»,
удостоенную серебряной медали на конкурсе, объявленном университетом.
1841 г. П. Л. Чебышев оканчивает университет.
1843 г. Выход в свет первого научного труда П. Л. Чебышева «Заметка об одном
классе кратных определенных интегралов».
1845 г. Выход в свет сочинения П. Л. Чебышева «Опыт элементарного анализа теории
вероятностей», представленного в качестве магистерской диссертации.
1846 г. 8 (20) июня П. Л. Чебышев защищает в Московском университете
магистерскую диссертацию.
1847 г. П. Л. Чебышев переезжает в Петербург.
1847 г. 18 (30) мая П. Л. Чебышев защищает в Петербургском университете
диссертацию («Об интегрировании помощью логарифмов») на право чтения лекций.
1S47 г. 13 (25) июля П. Л. Чебышев утвержден в звании доцента.
1847 г., сентябрь. П. Л. Чебышев начал чтение лекций по алгебре и теории чисел
в Петербургском! университете,
1847 г. 10 (22) ноября П. Л. Чебышев представлен факультетом к званию адъюнкта
Петербургского университета.
1847 г. Академик В. Я. Буняковский и П. Л. Чебышев составляют указатель к трудам
Эйлера по теории чисел.
1849 г. Вышло в свет 1-е издание книги П. Л, Чебышева «Теория сравнений» с
приложением статьи «Об определении числа простых чисел, не превосходящих
данной величины».
U849 г. 15 (27) мая П. Л. Чебышев защищает в Петербургском университете
докторскую диссертацию «Теория сравнений».
1849 г. 21 мая (1 июня) Академия Наук присуждает П. Л. Чебышеву Демидовскую
премию за его сочинение «Теория сравнений».
1850 г. 7 (19) ноября П. Л. Чебышев избирается экстраординарным профессором
Петербургского университета.
1852 г. Выход; в свет мемуара П. Л. Чебышева «О простых числах».
1852 г, июнь — октябрь. П. Л. Чебышев в научной командировке (во Франции, Англии
и Германии).
1852 — 1856 гг. П. Л. Чебышев читает курс практической механики в
Александровском лицее.
1853 г. 1 (13) апреля П. Л. Чебышев избирается адъюнктом Академии Наук.
1853 г. Опубликована статья П. Л. Чебышева «Об интегрировании иррациональных
дифференциалов».
1854 г. Выходит в свет статья П. Л. Чебышева «Теория механизмов, известных под
названием параллелограмов».
1855 г. Выходит в свет мемуар П. Л. Чебышева «О непрерывных дробях».

— 465 -
1855 г. 22 декабря (3 января 1856 г.) П. Л. Чебышев назначен действительным
членом Артиллерийского отделения Военно-ученого комитета
1856 г. 16 (28) февраля П. Л. Чебышев назначен членом Ученого комитета
Министерства народного просвещения.
1856 г. 30 мая (11 июня) П. Л. Чебышев избирается экстраординарным академиком.
1856—-1857 гг. П. Л. Чебышев по заданию Артиллерийского отделения Военно-
ученого комитета проводит исследование вопроса об устойчивости цилиндро-
конических снарядов.
1858 г. 10 (22) декабря П. Л. Чебышев избирается ординарным академиком.
1859 г. П. Л. Чебышев назначен действительным членом временного Артиллерийского
отделения и правителем дел комиссии «по математическим артиллерийским
вопросам и опытам, относящимся до теории стрельбы».
1859 г. Выходят в свет мемуары П. Л. Чебышева: «Вопросы о наименьших величинах,
связанные с приближенным представлением функций», «Об интерполировании
в случае большого числа данных, доставленных наблюдениями» и «Об
интерполирования по способу наименьших квадратов».
1860 г. 22 февраля (6 марта) П. Л. Чебышев избирается ординарным профессором
Петербургского университета.
1860—1868 гг. П. Л. Чебышев состоит членом Попечительского совета
Петербургского учебного1 округа.
1860 г. П. Л. Чебышев избирается членом-корреспондентом Парижской Академии наук.
1864 г. Выход в свет статьи П. Л. Чебышева «Об интерполировании».
1867 г. 28 января (9 фезраля) П. Л. Чебышев входит в Московское математическое
общество в качестве члена-учредителя.
1867 г. Во II томе «Математического сборника»' публикуется статья П. Л. Чебышева
«О средних величинах».
1867 г. П. Л. Чебышев назначается совещательным- членом технического комитета
Главного артиллерийского управления.
1872 г. 2 (Г4) августа П. Л. Чебышев удостоен звания заслуженного профессора
Петербургского университета.
1873 г. П. Л. Чебышев уходит в отставку от службы1 в Ученом комитете Министерства
народного просвещения.
1874 г. П. Л. Чебышев избирается иностранным сочленом (associe etranger)
Парижской академии наук.
1882 г. 19 апреля (1 мая) П. Л. Чебышев избирается (почетным членом Петербург-
екого университета.
1882 г. 13 (25) июля П. Л. Чебышев выходит в отставку от службы в университете.
1887 г. 10 (22) марта П. Л. Чебышев представляет Академии наук статью «О двух
теоремах относительно вероятностей».
1892 г. 12 (24) декабря. На заседании Петербургского математического общества под
председательством П. Л. Чебышева прочитан доклад П. Л. на тему «О
приближенном вычислении одного определенного интеграла».
1893 г. 15 (27) февраля. П. Л. Чебышев избирается почетным членом Петербургского
математического общества.
1893 г. П. Л. Чебышев получает награду за свои механические модели,
экспонированные на выставке в Чикаго.
1894 г. 26 ноября (8 декабря). Смерть П. Л. Чебышева.
30 П. Л. Чебышев, т. V

ОЧЕРКИ О ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
П. Л. ЧЕБЫШЕВА
1. А. М. Ляпунов. П. Л. Чебышев. Харьков, 1895. См. также: «Сообщения
Харьковского математического общества». Вторая серия, т. IV, № 5—6, 1895;
«Избранные математические труды П. Л. Чебышева», Гостехиздат, 1946.
2. К. А. Поссе. П. Л. Чебышев (С. А. Венгеров. Критико-биографический словарь
русских писателей и ученых, т. VI, СПб., 1897—1Ш04; Соч. П. Л. Чебышева, изд.
под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, СПб., 1907, т. II; том I настоящего
Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, М.— Л., 1944).
3. А. В. В а сил ь ев. P. Tchebychef et son oeuvre scientifique. Bollettino di biblio-
grafia e storia delle scienze matematiche, Turin, 1898. В немецком переводе
отдельное издание Teubner, Leipzig.
4. А. В. Васильев. Математика. Вып. 1, гл. II, § 5 (из серии «Русская наука»),
Петроград, 1921.
5. В. А. Стекло в. Теория и практика в исследованиях Чебышева. Петроград, 1921.
См. также «Успехи матем. наук», I, вып. 2 (12), 1946.
6. Н. Г. Чеботарев. П. Л. Чебышев (Большая сов. энциклопедия, ОГИЗ, 1934, т. 61).
7. С. Н. Бернштейн. О математических работах П. Л. Чебышева («Природа»,
1935, № 2).
8. А. Н. Крылов. П. Л. Чебышев. Биографический очерк, М.— Л., 1944.
9. Научное наследие П. Л. Чебышева, вып. 1 и 2. Изд. АН СССР, М.—Л., Г945.
10. С. Н. Бернштейн. Академик П. Л. Чебышев (к 50-летней годовщине его
кончины 8 дек. 1894). («Природа», 1945, № 3).
11. Н. И. Ахиезер. Краткий обзор математических трудов П. Л. Чебышева
(«Избранные математические труды П. Л. Чебышева», Гостехиздат, 1946).
12. Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. Изд. АН СССР, М.—Л., 1947.
13. Б. В. Гнеденко. П. Л. Чебышев («Люди русской науки», т. I. Гостехиздат,
М.— Л., 1948).

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТРУДОВ П. Л. ЧЕБЫШЕВА,
ПОМЕЩЕННЫХ В НАСТОЯЩЕМ ПОЛНОМ СОБРАНИИ
СОЧИНЕНИЙ*
1. Вычисление корней уравнений. V, стр. 7—25.
2. Заметка об одном классе кратных определенных интегралов. II, стр. 5—7 [Journ.
de math, pures et appl., I serie, VIII (1843), стр. 235—239; Соч. I, стр. 3—6.]
3. Заметка о сходимости ряда Тэйлора. И, стр. 8—13. [Journ. fur die reine und angew.
Math, 28 (1844), стр. 279—283; Соч. I, стр. 9—14.]
4. Опыт элементарного анализа теории вероятностей. V, стр. 26—87. [Отдельное
издание, Москва, 1845.]
5. Элементарное доказательство одного общего предложения теории вероятностей.
И, стр. 14—22. [Journ. fur die reine u. angew. Math., 33 (1846), cm 259—267;
Соч. I, стр. 17—26.]
6. Об интегрировании помощью логарифмов **; V, стр. 88—140. [«Изв. АН СССР»,
отд. физ.-матем. наук, 8 (1930), стр. 785—849.]
7. Теория сравнений. I, стр. 10-^172. [Отд. изд.: Ье-СПб., 1849, 2-е —СПб., 1879,
3-е—СПб., 1901; иностр. переводы: «Theorie der Congruenzen». Mit Autorisa-
tion des Verfassers herausgegeben von H. Schapira. Berlin, 1888; «Theoria delle
congruenze». Traduzione con aggiunte e note di I. Massarini. Roma, 1895.]
8. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины I,
стр. 173—190. [«Теория сравнений», СПб. 1849, стр. 209—229 и след. издания;
Memoires presenter a l'Acad Imp. des sciences de St.-Petersbourg par divers
savants, VI (1851), стр. 141—(157; Journ. de math, pures et appl., I serie, XVII
(18*2), стр. 341—365; Соч. I, стр. 29—48.]
9. О простых числах. I, стр. 191—207. [Journ. de math, pures et appl, I serie, XVII
(1852), стр. 366—390; Memoires presents a l'Acad. Imp. des sciences de St.-Pe-
tjersbourg par divers savants, VII (1854), стр. 17—33; Соч. I, стр. 51—70.]
10. О квадратичных формах. I, стр. 208—228. [Journ. de math, pures et appl., XVI
(1851), стр. 257—282; Соч. f, стр 73—96.]
11. Заметка о некоторых рядах. I, стр. 229—236. [Journ. de math, pures et appl., I
serie, XVI f(1851), стр. 337—346; Соч. I, стр. 99—108.]
12. О новой теореме, относящейся к числу простых чисел зида An +1 и 4л + 3
(Письмо к г. Фусу). I, стр. 276 [Bull, de la Classe phys.-mathem. de l'Acad.
Imp. des sciences de St.-Petersbourg, XI, (1853), стр. 208; Соч. I, стр. 697—698.]
13. Теория механизмов, известных под названием параллелограмов. II, стр. 23—51.
[Memoires presentes a l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg par divers
savartts, VII (1854), стр. 539—568; Соч. I, стр. 111—143; «Успехи матем. наук»,
I, вып. 2 (12), стр. 12—37;» отдельное издание, Изд. Акад. Наук СССР, 1949].
* Сразу после заголовка даны ссылки на том и страницы настоящего Полного
собрания сочинений П. Л. Чебышева (изд. Акад. Наук СССР, 1944—11951). Далее
указано, где и когда данная работа публиковалась ранее или помимо этого Собрания.
Сокращение «Соч.» означает здесь ссылку на собрание сочинений П. Л. Чебышева,
изданное под редакцией А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, томы I, И, СПб., 1899—1907.
** .Диссертация pro venia legendi; защищена в Петербургском университете в 1847 г.
30*

— 468 -
14. Об интегрировании иррациональных дифференциалов. II, стр. 52—69. [Journ.
de math, pures et appl., I serie, XVIII (1853), стр. 87—111; Соч. I,
стр. 147—168; П. Л. Чебышев. Избранные математические труды. ГТТИ, 1946,
стр. 77—99.]
15. Об интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из полиномов
третьей или четвертой степени. II, стр. 70. [Bull, de la Classe phys.-math. de
l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg, XII (1854), стр. 315—316; Соч. I,
стр. 699—700]
16. Об интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из
многочлена третьей или четвертой степени. II, стр 71—98. [Memoires de l'Acad. Imp.
des sciences de St-Petersbourg, VI serie. Sciences math, et phys., VI (1857),
стр. 203—232; Journ. de math, pures et appl., II serie, II (1857); Соч. I,
стр. 171—200.]
17. Об одной формуле анализа. II, стр. 99-чШО. [Bull, de la Classe phys.-rnathem. de
L'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbouirg. XIII (1855), стр. 210; Соч. I,
стр. 701—702.]
18. Извлечение из мемуара о непрерывных дробях. II, стр. 101—102. [Bull, de la Classe
phys.-math. de l'Acad. Imp. des 'sciences de St.-Petersbourg, XIII (1855), стр.210;
Соч., I, стр. 703—704.]
19. О непрерывных дробях. И, стр. 103—i26. [Ученые записки Имп. Академии Наук,
III (1855), стр.' 636—664; Journ. de math. phys. et appl., II serie, III (1858),
стр. 289—323; Соч. I, стр. 203—230.]
20. О построении географических ка)рт. V, стр. 146—Г49. [Bull, de la Classe phys.-math.
de l'Acad. Imp. des sciences de, St.-Petersbourg, XIV (1856), стр. 257—261; Соч.
I, стр. 233-236.]
21. Черчение географических карт. V, стр. 150—157. [Годичный торжественный акт в
С.-Петербургском университете, бывший 8 февраля 1856 г. СПб., 1856; Nouvel-
les annales de Mathematiques, XIX (I860), приложение: Bull, de bibliographic
d'histoire et de biographie mathematiques, стр. 49—61; Школа математики
чистой и прикладной, № 2 (1885), стр. 110—116; Соч. I, стр. 239—247.]
22. О ряде Лагранжа. И, стр. 1Й7—«145. [Bull, de la Classe phys.-math. de TAcad. Imp.
des sciences de St -Petersbourg, XV (1857), стр. 289—307, Journ. de math, pures
et appl., II serie, II (1857), стр. 166—183 (без § 5); Соч. I, стр. 251—270.]
23. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением
функций. И, стр. 146—150. [Bull, de la Classe phys.-math. de l'Acad. Imp. des
sciences de St.-Petersbourg, XVI (1868), стр. 145—149; Соч. I, стр. 705—710;
П. Л. Чебышев. Избранные математические труды. ГТТИ, 1946, стр. llll—116.]
24. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением
функций. II, стр. 151—235 [Memoires de Г Acad. Imp. des sciences de
St.-Petersbourg, VI serie, VII (1859), стр. 199—291; Соч. I, стр. 273—378.1
25. Об одном новом ряде. II, стр. 236—238. [Bull, de la Classe phys.-rnathem.
de l'Acad. Imp. des sciences de St-Petersboiirg, XVII, (1&59), стр. 257—261;
Соч. I, стр. 381—384.]
26. Об интерполировании величин, доставленных наблюдениями. II, стр. 239—243.
'Bull, de la Classe phys.-raarthem. de l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg,
XVI, (1858), стр. 353—358; Соч. I, стр. 711—714.]
27. Об интерполировании в случае большого числа данных, доставленных
наблюдениями. И, стр. 244—313. [Memoires de l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg,
VII serie, I, № 5 (1859), стр. 1 —8il; Соч. I, стр. Э87—469.]
28. Об интерполировании по способу наименьших квадратов. И, стр. 314—334.
[Memoires de l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg, VII serie, I, № 15 (1859),
стр. 1—24; Соч. I, стр. 473—498.]
29. О разложении функций одной переменной. II, стр. 335—341 [Bull, de !a Classe
phys.-mathem. de l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg, I, стр. 193—200;
Соч. I, стр. 501-Г-508.]

— 469 -
30. Об интегрировании иррациональных дифференциалов. II, стр. 342—-344. ГС. R. hebd.
des seances de l'Acad. des sciences, LI (I860), 46—48; Journ. de math, pures et
appl., II serie, IX (1864), стр. 242—247; Соч. I, стр. 511—514J
31.06. интегрировании дифференциала г * +о — dx. И, стр. 345-357.
[Bull, de la Classe phys.-math. de l'Acad. Imp. des sciences de St.-Petersbourg,
III (1861), стр. 1—12; Соч. I, стр. 517—530.]
32. О некотором видоизменении коленчатого параллелограма Уатта. IV, стр. 5—9.
[Bull, de la Classe phys.-math. de l'Acad. Imp. des. sciences de St.-Petersbourg,
IV, (1862), стр. 433—438r. Соч. I, стр. 533-538.]
33. Об интерполировании. II, стр. 357—374. [Приложение к IV тому Записок Имп.
Акад. Наук,) № 5 (1864); Соч. I, стр. 541—560.]
34. Об интегрировании дифференциалов, содержащих кубический корень. II, стр. 375—
411. [Приложение к VII тому Записок Имп. Акад. Наук, № 5 (1865); Соч. I,
,стр. 563—608.]
35 Разложение в ряды при помощи непрерывных дробей (Письмо Н. Д. Брашману).
И, стр. 412—415. [Journ. de math, pures et appL, II serie, X (1865), стр. 353—
358; Матем. сборник, I (1866), стр. 291—296; Соч. I, стр. 611—614.]
36. О разложении функций в ряды при помощи непрерывных дробей. II, стр. 416—430.
[Приложение к IX тому Записок Имп. Акад. Наук, JSfe 1 (1866): Соч. I.
сто. 617—636.]
37 Об одном арифметическом вопросе. I, стр. 237—275. [Приложение к X тому
Записок Имп. Акад. Наук, № 4 (1866); Соч. I, стр. 639—684.]
38. О средних величинах. II, стр. 431—437. [Матем. сборник, II (1867), стр. 1—9;
Journ. de math, pures et appL, Й serie, XII (1867), стр. 177—/184; Соч. I.
стр. 687—694.]
39 О наибольших и наименьших величинах сумм, составленных из значений целой
функции и ее производных. II, стр. 438—466. [Приложение к XII тому Записок
Имп. Акад. Наук, № 3 (1867), стр. 1—47; Journ. de; math, pures et appl. II serie,
XIII (Ш68), стр. 9—42; Соч. II, стр. 3—40.]
40. Об интегрировании простейших дифференциалов, содержащих кубический корень.
II, стр.* 467—471. [Матем. сборник, II (1867), стр. 71—78; Соч. II, стр. 43—47.]
41. Об одном механизме. IV, стр. 10—16. [Записки Имп. Акад. Наук, XIV (1868),
стр. 38—46; Соч. И, стр. 51—57.]
42. Правило для приближенного определения расстояний на поверхности Земли. V,
стр. 158. [Месяцеслов на .1)869 год. Изд. Имп. Акад. Наук, стр. 128;
Соч. И, стр. 736.]
43. О функциях, подобных функциям Лежандра. III, стр. 5—12. [Записки Имп. Акад.
Наук, XVI (1870), стр. 131—140; Соч. И, 59—68.]
44. Об определении функций по значениям, которые они имеют при некоторых
величинах переменной. III, стр. 13—23 [Матем. сборник, IV (1,870), стр. 231—245;
Соч. И, стр. 69—82.]
45. О параллелограммах. IV, стр. 16—36. [Труды второго съезда русских
естествоиспытателей в Москве, происходившего 20—30 авг. 1869 г. 1870; Соч. II,
стр. 85—106.]
46. О центробежном уравнителе. IV, стр. 37—53. [Отчет и речи, произнесенные в
торжественном собрании Имп. Московского технического училища 8 сент. 1871 г.;
Соч. II, стр. 109—126.]
47. О зубчатых колесах. IV, стр. 54—84. [Отчет и речи, произнесенные в торжественном
собрании Имп. Московского технического училища 10 сент. 1872 г.; Revue Uni-
velrselle des Mines, 38 (1873), стр. 523—546; Соч. И, стр. Ш7—162.]
48. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля. III, стр. 24—48. [Приложение к
XXII тому Записок Имп. Акад. Наук, № 1 (1873), стр. 1—32; Journ. de math,
pures et appl., И serie, XIX (1874), стр. 319—346; Соч. И, стр. 189-215.]

- 470 -
49. О квадратурах. Ill, стр. 49—62. [Journ. de math, pures et appl., II serie, XIX (1874),
стр. 19—34; Les Mondes, pair MMoigno, XXX; Соч. II, стр. 165—180; П. Л. Че-
бышев. Избранные математические труды. ГТТИ, 1946.]
50. О предельных величинах интегралов. III, стр. 63—65. [Journ. de math, pures et
appl., II serie, XIX (1874), стр. 157—160; Соч. II, стр. 183—185; П. Л. Чебы-
шев. Избранные математические труды. ГТТИ, 1946.]
51. Об интерполировании величин равноотстоящих. III, стр 66—87. [Приложение к
XXV тому Записок Имп. Акад. Наук, № 5 (1875); Соч. II, стр. 219—242.]
52. О пределе степени целой функции, которая удовлетворяет известным условиям.
III, стр. 88 [Bull, de la Soc. mathem. de France, III (1875), стр. 103; Соч.. II,
стр. 701.]
53. Лекало для черчения дуг окружностей большого диаметра (резюме доклада). V,
стр. 164 [С. R. de PAssoc. franchise pour l'avancement des sciences (1876).]
54 Обобщение формулы Каталана и вытекающая из него арифметическая формула. I,
стр. 277—279. [С. R. de Г Assoc, francaise pour l'avancement des /sciences (1876);
Nouvelle correspondance mathematique redigee par E. Catalan, II (1876); Соч. II,
стр. 702—704.]
55. О приближенных выражениях, линейных относительно двух полиномов. III,
стр. 89—107. [Bull, de la Soc. math, et astir., II serie, I (1877), стр. 289—&12;
Приложение к XXX тому Записок Имп. Акад. Наук, № 4 (1877): Соч. П,
стр. 246—264.]
56. О равнодействующей двух сил, приложенных к одной точке. V, стр. 159—162.
[Bull, de la Soc. mathem. de France, VI (1877—1878), стр. 188—193; Соч. II,
стр. 267—270.]
57. О простейших сочленениях. IV, стр. 92—100. [Матем. сборник, IX (1878); Revue
Uhiverselle des Mines, II serie, XV (1884); Соч. И, стр. 273—282.]
58. Об одном преобразовании числовых рядов. I, стр. 280—282. [С. R. de Г Assoc.
Francaise pour l'avancement des sciences (1878); Nouvelle correspondance
mathem. redigee par E. Catalan, IV (1879); Соч. И, стр. 705—707.]
59. О кройке одежды, V, стр. 165—170. [С. R. de PAssoc. Franchise pour l'avancement
des sciences (1878); Архив истории науки и техники. Вып. 9 (1936); Успехи
матем. наук, I, вып. 2 (12) (1946).]
60. О простейших параллелограммах, симметрических около одной оси. IV,
стр. 85—91. [С. R. de l'Assoc. Francaise pour l'avancement des sciences, (1878);
Школа математики чистой и прикладной (1865); Соч. II, стр. 709—714.]
61. О параллелограммах, состоящих из трех элементов и симметрических около
одной оси, IV, стр.; 101—112. [Приложение к XXXIV тому Записок Имп. Акад.
Наук, № 3 (1879); Соч. И, стр. 285—297.]
62. О параллелограммах, состоящих из трех каких-либо элементов. IV, стр. 113—141.
[Приложение к XXXVI тому Записок Имп. Акад. Наук, № 3 (1880); Соч. II,
стр. 301—331.]
63. Теорема относительно кривой Уатта. IV, стр. 142. [Bull, des sciences mathem. et
astr., И serie, V (1881), стр. 216; Соч. И, стр. 715.]
64. О простейших параллелограммах, доставляющих прямолинейное движение с
точностью до четвертой степени. IV, стр. Г43—157. [Приложение к XL тому Записок
Имп. Акад. Наук, № 1 (1881); Соч. II, стр. 359—374.]
65. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной.
III, стр. Ю8—127. [Приложение к XL тому Записок Имп. Акад. Наук, № 3
{1881); Соч. И, стр. 335—356.]
66. О спрямлении кривых (резюме доклада). V, стр. 170. [С. R. de l'Assoc.
Francaise pour Pavancement des sciences (1882), стр. 63—64; Соч. II, стр. 720.]
67. Счетная машина с непрерывным движением. IV, стр. 158—160. [Le Revue Scienti-
fique, III serie, IV (1882); Соч. И, стр. 721—724.]

€8. О выборе радиуса окружности для интегралов, выражающих вероятности по их
производящим функциям (резюме доклада). V, стр. 171. [С. R. de Г Assoc.
Francaise pour l'avancement des sciences (1882), стр. 108.]
69. О функциях, некоторая производная которых наименее уклоняется от нуля
(резюме доклада). V, стр. 171. [С. R. de l'Assoc. Francaise pour l'avancement
des sciences (1882), стр. 150.]
70. О приближенных выражениях одних интегралов через другие, взятые в тех же
пределах. III, стр. 128—131. [Сообщения и протоколы заседаний Матем. общ-ва
при Харьк. Имп. унив., II (1882), стр. 93—98; Соч. II, стр. 716—719.]
71. Об отношении двух интегралов, распространенных на одни и те же величины
переменной. III, стр. 132—156. [Приложение к XLIV тому Записок Имп. Акад.
Наук, № 2 (1883); Соч. И, стр 377—402.]
72. Об одном ряде, доставляющем предельные величины интегралов при разложении
подинтегральной функции на множители. III, стр. 157—169. [Приложение к
XLVII тому Записок Имп. Акад. Наук, № 4 (1883); Соч. II, стр. 405—417.]
73. Об алгебраических дробях, которые в данных пределах представляют
приблизительно квадратный корень из переменной. III, стр. 170—171. [Bull de la Soc.
Mathem. de France, XII (1884), стр. 167—168; Соч. II, стр. 725.]
74. О преобразовании вращательного движения в движение по некоторым линиям
при помощи -сочлененных систем. IV, стр. 161—166. [Bull, de la Soc. Mathem. de
France, XII (Ш84), стр. 179—187; Школа математики чистой и прикладной, №1
(1885); Соч. II, стр. 726—732.]
75. О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных
вычетов. III, стр. 172—190. [Приложение к LI тому Записок Имп. Акад. Наук, № 4
(1885); Acta Mathem., IX (1886); стр. 35—56; Соч. II, стр. 421—440.]
76. Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов. III,
стр. 191—225. [Приложение к LV тому Записок Имп. Академии Наук, № 2
(1887); Acta Math., XII (1888—1889), стр. 287-^22; Соч. И, стр. 443—478.]
77. О суммах, составленных из коэффициентов рядов с положительными членами
^Письмо С. В. Ковалевской). III, стр. 226—228. [Acta Math., IX (1887),
стр. 182—184; Соч. II, стр. 733—736.]
78. О двух теоремах относительно вероятностей. III, стр. 229—239. [Приложение к
LV тому Записок Имп. Акад. Наук, № 6 (1887); Acta Math., XIV (1890—1891),
*стр. 305—315; Соч. II, стр. 481—492; П. Л. Чебышев. Избранные математические
труды, ГТТИ, J 946, стр. 156—168.]
79. О простейшей суставчатой системе, доставляющей движения, симметрические
около оси. IV, стр. 167—211. [Приложение к LX тому Записок Имп. Акад.
Наук, Ко 1 (1889); Соч. И, стр. 495—540.]
80. О приближенных выражениях квадратного корня переменной через простые
дроби. III, стр. 240—255. [Приложение к LXI тому Записок Имп. Акад. Наук, № 1
(1889); Acta Math., XVIII (1894), стр. 113—122; Annales de 1'Ecole Norm.Sup.,
Ill serie, XV (1898), стр. 463—480; Соч. И, стр. 543-^558.]
81. О суммах, составленных из значений простейших одночленов, умноженных на
функцию, которая остается положительною. III, стр. 256—306. [Приложениз к
LXIV тому Записок Имп. Акад. Наук, № 7 (1891); Соч. И, стр. 561—610.]
82. О разложении в непрерывную дробь рядов, расположенных по нисходящим
степеням переменной. III, стр. 307—362. [Приложение к LXXI тому Записок Имп.
Акад. Наук, № 3 (1892); Соч. И, стр. 613—666.]
83. О полиномах, наилучше представляющих значения простейших дробных функций
при величинах переменной, заключающихся между двумя данными пределами.
III, стр. 363—372 [Приложение к LXXII тому Записок Имп. Акад. Наук, № 7
(1893); Соч. И, стр. 669—678.]
84. О суммах, зависящих от положительных значений какой-либо функции. III.
стр. 373—390 [Записки Имп. Акад. Наук, VIII серия, I, № 7 (1895); Соч. И,
стр. 681—698]

СОДЕРЖАНИЕ
Cm p.
От редакции 3
Вычисление корней уравнений 7
Опыт элементарного анализа теории вероятностей 26
Об интегрировании помощью логарифмов 88
Вступительное слово к защите диссертации «Об интегрировании помощью
логарифмов» (Отрывок) 141
О построении географических карт 146
Черчение географических карт 150
Правило для приближенного определения расстояний на поверхнссти Земли . . 158
О равнодействующей двух сил, приложенных к одной точке 159
Доклады П. Л. Чебышева во Французской ассоциации содействия преуспеванию
наук (Association Franchise pour l'Avancement des Sciences) 163
1. О квадратурах. 2. О предельных величинах интегралов. 3. О новом
центробежном уравнителе. 4. Суммирующая машина с непрерывном
движением. 5. Лекало для черчения дуг окружностей большого диаметра.
6. Обобщение одной формулы Каталана и вытекающая из него
арифметическая формула. 7. Новый тип задач вариационного исчисления. 8.
Новый механизм с параллельным движением. 9. Интегрирование
дифференциальных уравнений первого порядка. 10. Об одном преобразовании
числовых рядов. 11. О кройке одежды. 12. О простейших параллелогра-
мах, симметричных относительно оси. 13. О спрямлении кривых.
14. О новой счетной машине. 15. О выборе радиуса окружности для
интегралов, выражающих вероятности по их производящим функциям.
16. О функциях, некоторая производная которых наименее уклоняется
от нуля 163—171
Об одной теореме г. Лиувилля (Отрывок из неоконченной заметки) 172
Комментарии: 173
«Вычисление корней уравнений» (Д. Васильков и В. Гончаров) 173
«Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (Д. Васильков) . . . 176
«Об интегрировании помощью логарифмов», «Вступительное слово к
защите диссертации „Об интегрировании помощью логарифмов" (Отрывок)»
(Д Голубев) 177
«О построении географических карт» (Я Гончаров) 179
«Черчение географических карт» (В. Гончаров) 182
«Правило для приближенного определения расстояний на поверхности
Земли» (В. Гончаров) " 183
«О кройке одежды» (#. Бланк) 184
«О спрямлении кривых» (В. Гончаров) , . . . 185
«Об одной теореме г. Лиувилля (Отрывок из неоконченной заметки)»
(Д. Васильков) • 185

- 474 -
'БИОГРАФИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Краткие сведения о семье и роде П. Л. Чебышева 189
П. Л. Чебышев в Московском университете 193
П. Л. Чебышев в С.-Петербургском университете 208
Программы курсов, читанных П. Л. Чебышевым 211
Этапы службы П. Л. Чебышева в университете 228
Научные командировки П. Л. Чебышева • 242
Замечания П. Л. Чебышева к проекту Устава университетов и записка
о штатах университетов 259
Примечания 272
П. Л. Чебышев в Академии Наук 275-
Отзывы П. Л. Чебышева о научных трудах и изобретениях 289
Примечания 310
П. Л. Чебышев в Ученом комитете Министерства народного просвещения 312
I. Доклады П. Л. Чебышева Ученому комитету по вопросам,
относящимся к низшим и средним школам 317
II. Отзывы П. Л. Чебышева о книгах и рукописях математического содержания 340
III. Доклады П. Л. Чебышева Ученому комитету^ по вопросам,
относящимся к научным обществам и высшей школе 391
Примечания . . . . • 403
П. Л. Чебышев в Артиллерийском комитете 408
Переписка П. Л. Чебышева 413
Письма П. Л. Чебышева 414
Письма к П. Л. Чебышеву 418
I. Русские письма 419
II. Иностранные письма 424
Примечания 454
Почетные звания П. Л. Чебышева 463-
Важнейшие даты в жизни П. Л. Чебышева • . . . . 464
Очерки о жизни и деятельности П. Л. Чебышева 46в
Хронологический перечень трудов П. Л. Чебышева, помещенных в настоящем
Полном собрании сочинений 467

ОПЕЧАТКИ В ПОЛНОМ СОБРАНИИ СОЧИНЕНИИ П. Л. ЧЕБЫШЕВА»
Том I
Стр.
35
38
38
41
50
54
54
59
70
73
79
84
92
96
97
103
114
115
133
Строка
3 сн.
1 св.
8 сн. ]
11 св.
4 св.
9 сн.
8 сн.
8 св.
14 св.
13 сн.
16 сн.
5 св.
4 сн.
1 сн.
18 сн.
3 св.
14 св.,
12 сн.
16 сн.
4 св.
Напечатано
Зя3
Р-1
V—2
а-Ьа =0
х = а
его
xz + х2 + 2jt=s0
х* — х2 + 2х
Р -1
когда q
М)м
§23
CC^EEl
(мод. я2)
х=~0
<хаЕ=1
| aix —С
р — 1==ат
Ind. х
2b, и b
Должно быть
Ъа,
N—1
а.Ьа*-*-ь=о
д:~а
ЭТО
хг — х* — 2jc==0
х*-~х* — 2х
р-1
q —1
когда а
(-if9
§22
аш = 1
(мод. а2)
fx~0
а« = 1
7^
/7 — 1 == а™
Ind. A
2bх и bx
* Заканчивая издание полного собрания сочинений П. Л. Чебышева,
предпринятое Академией Наук в 1944 г. в связи с 50-летием со дня его смерти, редакционная
коллегия предлагает вниманию читателей прилагаемый список опечаток и
исправлений по всем пяти томам. Обилие опечаток в I томе об'ясняется, главным образом,
срочностью его издания в условиях военного времени.
1

Стр.
133
137
138
144
145
145
146
149
159
161
162
163
164
164
170
184
206
218
229
Строка
16 св.
4 сн.
3 св.
{К св.
| 13 сн.
11 сн.
i 1 сн.
[ 10 св.
1 13 св.
7 св.
| 9 сн.
1 сн.
7 св.
6 сн.
14 св.
2 сн.
13 св.
8 св.
11 сн.
Напечатано
тот же
л = 1
дг2 —17^
и = 2k + 2
вводим
4z +г35
26/тг + 6
а/2 + 2а/ + с
х2 — \5у*
всякого числа,
(4)
й = ос', р', Y', •••
wJ llFj wJ *'"=
У + 1 т' + 1
2 + 2
корнем 11;
V л* ^ ; л8 log *
1
2 log 2
±(*»-Дл)
зависящие
Должно быть
тот
а = 10
^2 __ 21 _у2
и = 4k + 2
выводим
104* + 35
26/тг + 10
al2 + 2Ы + С
jc2 — 5-13У
всякого числа Л,
ш
а = а' р' у' . • •
\Vj \У) iVJ'"
2 + 2
корнем 21;
/ В \ JP_ 1
V Л2 + У + Л8 log л:
1
2 log 2
±(*я —Ду1)
не зависящие
£

Стр.
231
234
241
246
253
255
267
267
288
Строка
7 СН.
4 св.
10 сн.
1 сн.
11 сн.
2 св.
9 сн.
6 сн.
1 сн.
Напечатано
1111
я—1 д2—1 a*—l a*—i
1 1
аь—1 а6—1
__ 2
58
Hq^'1])
ФМ>)
1-2D/
2D/
значение g •
Ы-Q £>2
§ VIII
1872 г.
Должно быть
1 1 1
а—i а2—1 а8—1
1 1
~~ а5—1 ав—1 ~~ '"
_ 1
5*
ф(о^-'0
ф(А^о)
1 — 2 £>/
значение ^ •
(a2t — 0 £>ai
§ VII
1878 г.
ТАБЛИЦЫ
Стр. 311, строка 20 сн.
314, прост, ч. 13
прост, ч. 23
317, прост, ч. 61
318, прост, ч. 71
319, прост, ч. 89
320, прост, ч. 103
Напечатано
2372
Л = 12, / =
N=10, 11, 12, 13, 14, 15,
/ = 1, 1, 3, 14, 12, 7;
#=16, 17, 18, 19,
/=13, 10, 17, 5;
/ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
W= 7, 7;
N=16, /=15
N = 26, /=22
Должно быть
2237
N=12, /=6
N=10,11,12,13,14, 15,
/= 1, 3,14,12, 7,13;
N=16,17,18, 19,
/=10,17, 4, 5;
/=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
N=1,10, 39,24; 57,21, 27;
N= 16, /= 22
N= 26, /= 15
пропущен первообразный
корень 33
/=99,N =
J = 99, N= 31

Стр. 322, прост, ч. 127
323, прост, ч. 131
324, прост, ч. 139
325, прост, ч. 151 |
прост, ч. 157
326, прост, ч. 163
прост, ч. 167
327, прост, ч. 173
328, прост, ч. 181
329, прост, ч. 191
330, прост, ч. 193
331, прост, ч. 199
332, форма х2 + 42/
333, форма х2 + 4бу
форма х2 4- 66/
форма х2 + 69/
334, форма*2 4-86/
форма х2 4- 89/
335, форма х2 + 93/
форма х2 + 95/
форма х2+101у2
Напечатано
/=116, TV = 31
/= 35, TV = 76
jV = 50, /= 26
/=132, 7V = 47
N = 12, /=121
7 = 138, 7V = 81
N= 36, /= 80
TV = 143, /=134
TV =109, /= 36
ДГ =113, /=193
/=147, TV = 61
/=162, TV = 21
jV = 21, /=138
JV = 49, /= 61
N= 57, /= 72
TV = 16, /=175
ЛГ= 99, /=192
TV =102, /= 79
/= 0, TV = 0
/=172, TV= 1 8
/=И5, TV =182
N= 11, /= 89
JV = 56, /= 10
/= 32, N = 12
168* 4-159
184г 4-157, 169,
2642:4* 77
276*4- 77
344;?+ 89
356* 4-106
3562: 4- 354
f 3722: 4-115, 127,
380* 4- 359, 36 , 373
4042: 4- 305
404* 4- 321
404* 4- 331, 335
Должно быть
/=116, TV= 71
/= 35, TV = 79
N = 50, /=25
/=132, TV = 57
TV = 12, 7 = 131
/ = 138, TV = 91
TV = 36, /= 70
TV =143, /=154
TV = 109, 1= 35
//=113, 7 = 103
1 = 147, TV =161
/=162, TV = 25
TV = 21, /= 38
7V = 49, / = • 62
7V = 57, 1= 92
TV = 16, /=172
TV = 99, /=102
N=102, / = 76
/= 0, TV = 1
/=172, TV =138
/=115, TV = 82
/V = ii, /=189
N=* 56, /= 20
1 = 32, TV = 7
168* + 157
1842: + 157, 167, 169,
264*4- 71
276;? 4- 73
3442:4- 87
3562: 4- 105
3562: 4- 345
3722: 4-115, 121, 127,
380* 4- 359, 363, 373,
1 4042: 4- 309
! 404* 4- 317
404* 4- 331, 333, 335

Стр. 336, форма х2 — 29у2
форма х2 — 34j/2
форма х2 — 38у2
форма х2 -
форма х2 -
-41у2
-47У5
форма х2 — 51у2
форма х2 — 55у2
форма х2 — 58у2
337, форма х2 — 62j/2
форма х2 — 74^2
339, формах2 — Ю1у»
Напечатано
1160+ 81, 91
1360 + 111, 117, 121
1520+ 23
1520 + 129
1640+ 63
1880 + 61, 67
1880 + 27
2040 + 173, 179
2200+ 57, 69
2200 +197, 203
2320+ 67
2480 + 103
2480 +145
2960 + 251, 255
4040 + 378
Должно быть
1160+ 81
1360 +111
1520 +
1520 +
1640 +
1880 + 61,
1880 +
2040 + 173,
2200+ 57,
2200 + 197,
2320 +
, 83, 91
, 121
21
131
73
65, 67
187
175, 179
67, 69
201, 203
65
2480 +
2480 +
2960 + 251,
107
141
253, 255
4040 + 373
Том II
Стр.
5
28
34
34
39
39
57
61
111
118
119
Строка
2 СВ.
17 св.
5 св.
14 св.
4 св.
7 св.
7 сн.
9 св.
8 св.
2 сн.
9 сн.
Напечатано
9iW q»2W ФзМ '••
/n+1(*n + l)=0
исключаться
для
*Уг
dz
п + 1
lim
х = х'
i = t
2 WO А{
/==0
какого-либо
(-1Г
' Л* + 1
1 1
/= 0 1
Должно быть
<PiW ФгЫ ФзМ ••'
/п+! (лг) =0
заключаться
до
dz
л + 1
lim
Х= 0
i = t
/ = 0
какой-либо
(_!)«
Ат+1
—1
"i;4'(*,) e2 (*,)
t — О
5

Стр.
165
166
166
169
174
174
179
192
211
218
222
230
234
241
245
249
254
257
258
260
Строка
1 СН.
10 св.
18 сн.
11—12 сн.
2 св.
7 сн.
12 св.
12 сн.
9 сн.
3 св.
7 сн.
13 св.
4 сн.
12 св.
19 сн.
12 св.
8 св.
1 сн.
1 сн.
6 св.
Напечатано
хф (х) N
= d
ф (х) лг-<р wo = o j
и предыдущих
±^2 W
f(a + h)-f(a-h)
2
... +к
— ч
дробь,
v*+»
частного п.
2 10 х + Лп 4- 2 Lo
hn~A
замечая, что
г..
с коэффициентом Л
to z + 2
+ 2y]2
— К "to, *)i, TQs. *U» '•'> + Л
+ 33 /г3
!
при п = 0, 2, 4.
в (§7)
Должно быть
л: ф (*) Ф (х) N
= /
Ф (дг) N— ф (л:) Q
из предыдущих
±^W
/(д + Д)+/(Д —ft)
2
.-. + к = о
+ 4
дробь —— э
ч-«
четного /г.
2я-4 ,2
л-1 2 0
2 L0x + hn+ ^ГГ~
h
замечая, что k = 2,
г
с коэффициентом Л г
W+1
Д> *]l» *)s, *)8» *)4» •", &
+ 32 /г8
при л = 0, 2, 4, чем мы
и займемся
i (в § 7)

Стр.
264
265
278
299
300
313
324
330
330
342
352
361
364
366
Строка
10 СВ.
2 св.
11 сн.
8 сн.
5 св.
7 сн.
5 сн.
7 св.
8 св.
3 сн.
13 сн.
17 св.
2 сн.
14 св.
Напечатано
W
J 0,67418 h
М2{хг — хх) F{x%)
Ь
1
и
(*}/" *2-h*y
s = 0,06901 Л4
Ва —
хп = 0,13895
выразить
(1964)
1 / х*+х2+х+ — -х2— i-
V 4 2
К,_,ДХ-1 Vi-
2 *xW-
0
(-1)х2дху. и
0 г —Л , •
Должно быть
W
J - 0,67418 я
Mt = (xz-~Xl) F(xt)
I1 _
(«_j/ Г»-»»)'
s = 0,05901 Л4
4
jcu = 1,13895
выразить и
(1864)
] / x*+x*+x+ — — jt:2— —
|/ 4 2
1 y^^-V,-
2 фхм«,«
0
л
(-1)XS AXt/. v.
0 * —X * •
Tom III
Стр.
24
38
59
Строка
1 сн.
4 сн.
4 св.
Напечатано
Bd. II.
VT
Z2 —
2
Должно быть
Bd. III.
v^r
W 2 ""
7

Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
60
118
120
124
230
326
328
339
341
347
356
405
11 сн.
15 св.
4 сн.
1 сн.
5 св.
2 св.
16 св.
2 сн.
11—12 сн.
3 сн.
2 сн.
7 сн.
следующим выражениям
уравнения (15),
(х2 +1)2"
М
I
i
(схЯ+а»)
*»(*)-о.
S n -^
по которому числовая
величина
-Ф» (-л)Фт_2 (0)
, 2т—1
+ —
Но
s2, s4, • • •
следующим приближенным
выражениям
уравнения (14),
(х2 + 1)«л
М
(сх H + h)2
*даМ=0,
i^
по которому Тп, числовая
величина
-Ф»(-А)Ф«-1 и
.2m-l
Яп
S3, S4,
Том IV
Стр.
96
145
207
Строка
2 сн.
3 св.
4 сн.
Напечатано
BNCn = ANAlt
— Ь.
cos 1 ср tp2— l>U,
Должно быть
BNCX1 = ЛЯ4Х
+ *.
cos («_9l_—г^>о,
Том V
Стр.
217
231
Строка
13 СВ.
2 св.
Напечатано
ports
х2 ay2
Должно быть
ponts
х2 ± ау2

Печатается по постановлению
Редакциочно-ивдательекого совета
Академии Наук ССОР
*
Редактор издательства М. В. Яковкин
Технический радактор Н. П. Аузан
Корректор Г. С. Петрикова
*
РИСО АН СССР № 4287. Т-00033. Издат. М 2802
Тип. эаказ JVft 643. Подп. к печ. 19/11 1951 г.
Формат бум. 70хЮ87«. Печ. л. 40,75+3 вклейки
Бум. л. 14,875. Уч.-ивдат. 34,5. Тираж 4000.
Цена в переплете 30 руб.
2-я тип. Издательства Академии Наук СССР
Москва, Шубинский пер., д. 10