АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ
С ОЧИНЕНИЙ
П.Л.ЧЕБЫШЕВА
Том III
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ТЯЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМТ1УС НАУК CCCI»
МОСКВА 'ЛЕНИНГРАД

"7Г Г¥ес/*'-<

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Акадечики: И. Иг. Артоболевский, С Я. Бернштейн (председатель), Я Г. Бруевин,
Я. М. Виноградов, Л. Я. Колмогоров, I Л. Я. Крылов I, Л. С Лейбензощ
В. Я. Смирнов, С. Л. Соболев; член-корреспондент Б. Я. Делоне;
профессор В. Л. Гончаров.
Ответственные редакторы III тома
профессор Я. Я. Ахиезер, акадечик С. Я. Бернштейн,
профессор В. Л. Гончаров, академик Л. Я Колмогоров

ОТ РЕДАКЦИИ
В третьем томе Полного собрания сочинений
П. Л. Чебышева помещены основные труды
П. Л. Чебышева по математическому анализу,
включая теорию вероятностей, относящиеся к
1868—1894 гг.—второй половине его научной
деятельности. Комментарии составлены Н. И- Ахиезе*
ром, В. Л. Гончаровым и А. Н. Колмогоровым.

О ФУНКЦИЯХ, ПОДОБНЫХ ФУНКЦИЯМ
ЛЕЖАНДРА*
То замечательное свойство лежандровых функций
^0» *^1> ^2> • • • >
по которому легко находятся разложения в ряд вида
как известно, выводится очень просто из выражения интеграла
1 l dx.
**
I
]/rl—2sx+s* ]Л—2/*+/2
В самом деле, по определению этих функций имеем
1
]/*! _ 2sx + s2
■=*в+*х5+*,#+...,
К1 — 2tx + t%
а потому интеграл
1 Х0+Х^±Х{^+...,
1 * <**
I
]Л — 2sx + sz ]/l — 2tx +1%
равен интегралу
J(X0 +XlS+X2s*+ ...) (Xt+Xit -№2+ ...)dx,
который по раскрытии скобок приводится к такой сумме
бесконечного числа членов:
л ==оо т~*> / 4-1
Л=0 7П = 0
2 2 И"/*а**
* Опубликовано в Записках Имп. Акад. Наук, XVI (1870), стр. 131—140; Собр
соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб! 1907
стр. 59—68.—Ред.
** Legendre. Exercices de calclil integral, II, стр. 250.

— 6 —
Но, определяя величину этого интеграла в конечном виде, находим,
что он выражается формулою
1 t 1 +Vst
Vst 1 - Y7t
которая разлагается в ряд по степеням произведения st, и,
следовательно, в разложении ее нет ни одного члена вида
A sn tm,
где п не равно /я.
Сличая между собою такие два выражения одного и того же
интеграла
+1
1 dx,
Г '
J Yl-2sx+s2 Yl-^2tx
—1
мы замечаем, что тождество их предполагает равенство
+1
^XnXmdx=0
—i
«при всех величинах п и т, не равных между собою.
Точно так: же интеграл более общий
Jt (I+*)0 ~*f
где
p(s ^^O-bJ+T^l -2gx4-e* ) (1 -s+Vl -2sx+s* f
Vl-2sx+s*
PU v (l+t + Vl-2tx+i*) (l-i + Yl-2tx+l*)?'
r\t> X)= — ,
У l-2tx+t>
приводясь к интегралу
Г *+*Ч1-**? dZy (2)
разлагающемуся в ряд по степеням произведения st, показывает, что
целые функции переменной х
^ 0» * I* * 2 i • • • у

— 7 —
получаемые разложением выражений
(1 -rS+V l-2sx^-s*) (l-s-±-Vl-2sx±s*f
V I— 2sx+s-
(l 4/4 у 1 - 2tx+t*) (1 - /+ ]Л - 2/*4^")"
/ 1— 2/х-^Я
в ряды
r0+rl5+r2s*+...,
удовлетворяют уравнению
+1
ТпТт dx=Q (3)
)(1+х)Х(1-х?
при всех величинах я и т, не равных между собою.
Что касается приведения интеграла (1) к виду (2), то это легко
сделать по уничтожении общеупотребительным способом радикалов,
заключающихся в функциях F(s, х), F(ty х).
В самом деле, полагая
Vl-2sx+s*=V2sy, (4)
находим, что
x=l±*-f (5)
2s *
И
Приравнивая последний радикал выражению
и полагая для сокращения
1+*2 1+'2_
получаем
=а, -^—=р, (б)
2s 2/
3 — а — иг
2и
Vi-2tx+t*=V2i (Я-*) =Уя*~"£* • (7)

— 8
Внеся же величину у в выражения (4), (5) радикала yi—2sx~\-sz
и переменной х, имеем
}/l-2s;tfs2=}/2s
ft — g — U2
2U
2
*""" 2* V 2а J
Последнее равенство по (6) короче можно написать так:
2
_• _ а _ ц*
2а
По этим величинам переменной х и радикалов
}Л— 2SJC+S2, ]Л—2^+*2
находим, что
2а3 2г/3
_ [4 0 + 0 И2 ~(р - а - Ц2)У^
(2af
.X 2Х >
4 w
_КР — « — »»)»—4(«— 1) g']11,
(ЭД*
__((3 — а — ц" — 2У"^Т и)" (р — а — и»+2}/« — 1 uf
F(s, х)=Ь - Lk 2JL J_=
Г 2и
X4-{i—1 X {x
3- L K2^ J L K2s J_
2 2 i^+^'CP-*-»2)

F (t, x)
—
— 1. 2" J
9—
1 2и J
2u
4-n-l
t 2
2——-и^р-а + и»! Г2 ——г" » + P — * + »*!
. 1/2/ J L v* J
2 »
a^^-^p —a-fK«)
Замечая же, что по (6)
1/a-fb
L-s
(8)
последние выражения функций F (s, x), F(t, x) короче можем
написать так:
5 2 [2|/a+] ff-f-p -я-v* ] ^^а-Зц + Р-а-ц'Г
2 2 цХ+^1(Э~-а-"2)
И-я-1 x ^
»„ ч t 2 [2]/р-^-1Ц + р-а+И [2]/р~Ш+р~а + ^]
2 2 nx+n-l (p — a+u*)
Перемножив эти величины
F(s,x), F(t,x), dx
и разделив произведение их на величины
(1+*А (1-xf,
находим, по сокращении общих множителей в числителе и
знаменателе, что дифференциал
F(s4x).F<t,x) dx
(l+x)X(l-xf
выражается так:
Ч-ц-1

— 10 —
Разлагая же здесь числителя и знаменателя дробей
и2+2У$ + Ти + $ — а и2-1-2 У]Г^~1 ц-1~р-а
M2_j_2 Y^+\U — р + * ' — tf2—2 /a — 1 -fp — а
на линейные множители, мы замечаем, что первая из них, по
сокращении на
лриводится к
л вторая, по сокращении на
лриводится к
Уэ — 1 — 1/аГИ1 _ и
вследствие чего выше найденное выражение дифференциала
F(s,x).F(t,x) dx
приводится к следующему, простейшему:
Чтобы найти пределы величины и, соответствующие пределам
интеграла
2х (l+x)\l-xf
мы замечаем, что, по (7), (4) и (6), величина и через х выражается
так:
и=У$ — х — j/oc— х,
откуда, делая х— — 1 и х== + 1, находим, что величина к,
соответствующая х=—1, есть
соответствующая л:== + 1, есть

— 11 —
А потому интеграл
-rl
С F(s, x)-F(t, x)
представится так:
dx
V3+1-VTh
v/ / u -^ J 3—1 — 1 x — ] \ rfu
IX
yp — 1— y«—I — и/ "
Этот интеграл, как не трудно заметить, значительно упрощается
введением переменной
и
V— .
1 •»—1 —V a-t-1
Делая такую подстановку и замечая, что величинам
соответствуют
/Р + 1 -/«+1 '
находим, что этот интеграл приводится к такому виду:
где
величина, которая по (8) через 5 и t выражается формулою
_ Y2t YJs _ (1 - t) YTs — Q—s) Y2t
1+L__1+JL (i+o/S-(1+5)/2?
Y2t Y2s
Сокращая же последнюю дробь на
V2s-~V2i,

— 12 —
находим
i + Vsi
1 - /s/
Откуда и видно, что интеграл (9), к которому приводится интеграл
(1), представляет собою функцию от произведения st. Чтобы получить
такой интеграл в виде более простом, полагаем
VssJ±^L.t (10)
1 — у stz
что дает
dv^ 2Vstdz
(l - YJiz)2
dv _ 2yrlidz 2V"sidz
v {l + YJtz){l~-Ysiz) I—stz2''
v-\-\ 1 y + Y 3 — st z
* —i Y"siz' т —» Vsi(i—z)
Внося эти величины в выражение интеграла (9) и замечая, что,
по (10), величинам v
1 /(Г^П — i/"oT="i
V=l, V = Y = H r
/P + I —/a+l
соответствуют
z=; о, 2 = 1,
находим, что рассматриваемый нами интеграл приводится к такому:
1
J-
* (1~$(г) dz,
6 x\l-*fil-st*)
что и следовало показать.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИЙ
ПО ЗНАЧЕНИЯМ,
КОТОРЫЕ ОНИ ИМЕЮТ ПРИ НЕКОТОРЫХ
ВЕЛИЧИНАХ ПЕРЕМЕННОЙ*
§ 1. Формула Лагранжа дает выражение функции и по л ее
значениям
соответствующим п различным величинам переменной
в том случае, когда функция и представляет собою полином степени
не выше п—1. Коши дал формулу для определения функции и в том
случае, когда она представляет собою дробь
N_
D '
где D—полином степени не выше данного предела X, а N — полином
степени не выше п — X—1. Переходя к функциям иррациональным,
мы замечаем, что простейшая цз них представляет корень уравнения
второй степени
и2— hi — Л1 = 0,
где L и Ж —полиномы степеней по возможности низких.
Мы теперь покажем, что этот случай, так же как и случай
решается разложением в непрерывную дробь одного и того же
выражения, с тою только разницей, что случай
N
* Опубликовано в Матем. сборнике, IV (1870), стр. 231—245; Собр. соч,
П.Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 19Q7
стр. 69—82.— Ред.

— 14 —
решается обыкновенным употреблением непрерывных дробей, а
случай
u*+Lu — М=0
требует того особенного употребления их, о котором мы говорили
в письме к профессору Брашману, * напечатанном в I томе
„Математического сборника".
§ 2. Приступая к определению функции и вида
N
по п ее значениям
соответствующим п различным величинам переменной
X=Xlf Х.у, . . ., Хю
мы замечаем, что уравнения, определяющие полиномы N и D,
получатся, когда приравняем нулю разность
uD — N
при
X = Xlf Х%, . . ., Хю
причем разность
uD — N
можем заменить разностью
UD — N,
изображая через U целую функцию степени п — 1, имеющую при
x=xl9 х2, ..., хп одинаковые значения с искомою функциею щ—
функцию, которая по формуле Лагранжа представится так:
U = 9(x)\-—^ 1 На + -••+ ■ и" 1
1_(* — xi) ?'(*i) С* —**)<P'(*2) C* - x„) ф' (xn) J 9
где
9 (х) = (х — хг) (х—Хь)...(х~ xn\ (1)
Обращение же в нуль разности
UD—N
при п различных величинах переменной
X==Xi, Хь, • . ♦, Хп
Том II, стр. 412—415 настоящего Собрания сочинений. —Ред.

— 15 —
составляет необходимое и достаточное условие для делимости этой
разности на
о (х) = (х — хг) (х — х2) ...(х- хя),
откуда получается такое равенство:
UD—N = v(x)W, (2)
где W — какая-нибудь целая функция.
Этому уравнению будет удовлетворять бесконечное множества
различных систем функций D, N, W и каждая из этих систем даст
дробь
N
D'
которая при
Л" = Х±, Х%, . . ., Хп
будет обращаться в
Ограничивая выбор функций N и D, как это делает Коши,
требованием, чтобы D была степени не выше X, а N — степени не выше
п — X — 1, мы замечаем, что в этом случае функция N будет степени
ниже, чем ?—, и ниже —, так как <?(х), по (1), степени п. Уравне-
ние же (2) по перенесении членов и по разделении на <pW и D
дает
U W _ N
?(х) D D?(x)'
где, по выше замеченному относительно степени функции N, вторая
часть будет степени ниже, чем —, и ниже, чем —-. А потому дробь
w_
D
U
*(*)
1
D4
1
Но первое, как известно, возможно только в том случае, когда дробь
2L
D
будет представлять выражение
верно и до
и до

— 16 —
есть одна из подходящих дробей выражения
U
получаемых разложением его в непрерывную дробь.
Второе же предполагает, что в ряду подходящих дробей этого
W
выражения за дробью — следует дробь со знаменателем степени
выше К так как степень приближения, доставляемого какою-либо
подходящею дробью, определяется единицею, разделенною на
произведение знаменателей этой дроби и следующей за нею.
Из этого видно, что дробь
D '
где, по положению, D степени не выше X, будет последняя
подходящая дробь выражения
и
со знаменателем степени не выше X.
Изображая через
непрерывную дробь, получаемую разложением выражения
и через
ряд подходящих дробей, где
и
*(*)'■
Рг Рг
Р0=0, Р1=1, P2=g2,...,Pi=,Pi_1^ + Pl^,
(3)
и полагая, что дробь
есть последняя в ряду
Q»
^> ^l ?*
Qo' Q1' 02""

— 17 —
со знаменателем Q^ степени не выше л, мы, но выше показанному,
будем иметь
D = Q:1, W ^ Р;х. (4)
Так найдется знаменатель D искомой дроби
и функция W, которая вместе с Z), по уравнению (2), определяет
числителя N этой дроби.
§ 3. Нетрудно также показать, что числитель N определяется
непосредственно при разложении выражения
и
в непрерывную дробь.
В самом деле, по нашему знакоположению непрерывная дробь,
происходящая от разложения этого выражения, есть
Чг -Г • .
где qv q.2i qz,... представляют частные, получаемые при
последовательных делениях 9 (х) на U, U на первый остаток, первый остаток
на второй и т. д. Изображая же через
АЪ ^V2> **3* • • •
остатки, получаемые при этих делениях, мы замечаем, что они будут
связаны между собою и с функциями 9(*), U, Ч^ Яъ> ?з> - • • такими
уравнениями:
U=R1q2+R2, I
Ri^Rtfz+R» [ (5)
\
Ri-^Rs-M+Ri-)
Вставляя в первое из этих уравнений величину U из второго,
находим
?(*)=(*ift + ^) gi+Ri=Ri(ял* +1) + Ял, щ
где, заменяя по (3),
через
Q2> Qi>
имеем
2 П. Л. Чебышев т. 1U.

— 18 —
Замечая же, по (3), что
мы можем второе из уравнений (5) представить так:
U = Я А + RtPi-
Заменяя же в равенствах
<?(x) = R1Qt + RaQ1,
U = /?,Р2 + RaPv
по (3), Qx и Р1 через
Qi - Qatfa и Р3 — Р,цг
и по (5) Rx через
RS + #2<?3,
находим
9 (х) = (/?, + #2<?з) Q2 + Яа (Q3 - Qtf,),
U = (RS4- R#9) P2 + R2 (/>,- P2<?s),
что по сокращении дает
<p(x) = #3Q2 + /?2Q3,
<->=№ + №•
Заменяя же здесь, по (3) и (5), функции
Ц?2> Ръ "г
через равные им
Qa-QzIa, Pi — PzPi, Rt + Rsg*.
по сокращении имеем
cp(x) = #4Q3 + #3Q4)
u = R*p»+R»Pa-
Продолжая такие подстановки, находим, что вообще
<f{x) = Ri+iQt + RlQ,+ u
£/=&+, рг + р2р,+1.
(б)
Умножая же первое из этих уравнений на Qh второе на Рг и
вычитая одно произведение из другого, получаем, по сокращении,
UQi-^(x)Pi = Ri(QiPi + l-Qi + lPi).
А так как по свойству подходящих дробей
QiPi+i-Qi+iPi= (—1)',

— 19 —
то это равенство приводится к следующему:
Делая здесь / = $л и замечая, что, по (4),
находим
UD — 9{x)W = i-lfRv,
что, по сличении с равенством (3), дает
N=(—\)"/?,, (8)
откуда видно, что один из остатков
взятый с знаком ~f- или —, будет равняться числителю N искомой
дроби
Лг
и = -
D
Так как знак, с которым aV равняется Л/, определяется знаком
степени (—1) , то он будет или +> или —, смотря по тому, будет ли
у. четное, или нечетное.
§ 4. В ряду остатков
All R%9 Rzj - • -j
получаемых при последовательных делениях 9 (-*) на U, U на первый
остаток, первый остаток на второй и т. д., нетрудно узнать остаток
#и, который, по (8), дает величину N числителя искомой дроби
и — d .
Для этого мы замечаем, что, по нашему знакоположению (§ 3),
остаток /?ix получается при частном q^ и знаменателю q^ непрерывной
дроби
1
Чч + 1
соответствует подходящая дробь
Q,'
доставляющая по (4) величину D знаменателя искомой дроби.
2*

— 20 —
Из этого видно,что Ru, будет остатком последнего деления,
необходимого для определения подходящей дроби
Он '
и, следовательно, по (4), величины D.
Кроме того, легко показать, что в ряду
Al, /\2> Rs> • • •
остаток AV будет первым степени ниже /г — X.
В самом деле, так как функция Rt степени выше, чем Rt+\, a
Q/+i степени выше Qif то произведение RtQi+i будет степени
выше, чем
Rt+iQi.
Вследствие этого, по уравнению (6), произведение RiQi+\ будет
одной степени с 9 (х) или хп; а, следовательно, остаток Rt будет той же
степени, как и частное
Qt + i *
Делая здесь г = {л и замечая, что, по § 2, Qn+i будет первою
функцией в ряду
Qv Qi2y • • •>Qh.» Qtx + ь •••
степени выше X, мы на основании выше показанного заключаем, что
/? в ряду остатков
Rl> *\2, Аз» " • •
хп
будет первым степени ниже, чем —, т. е. ниже п — X.
хх
Из этого видно, что для определения по выше сказанному
числителя и знаменателя искомой дроби
N
и = —
D
нужно продолжать последовательные деления 9 (х) на U, U на первый
остаток, первый остаток на второй и т. д. до тех пор, пока не
получится остаток степени ниже п — X. Последний остаток с знаком +
или— и будет числитель N; знаменатель же Z) = QIX найдется по
частным qv q2>... , q^ полученным при этих делениях при помощи
формул (3). Что касается до знака, с которым последний остаток
будет равен числителю N, он будет + или —, смотря по тому,
будет ли [х, число всех делений, четное или нечетное.

— 21 —
§ 5. Переходим теперь к тому случаю, когда функция и
представляет корень уравнения
и2 + 1л - М = 0.
Чтобы функция и, обращаясь в
«х, иъ ..., ип
при
удовлетворяла уравнению
и* + 1м — М = 0,
необходимо и достаточно при тех же величинах х иметь
£Я + Ш - М = 0,
где U (§ 2) целая функция степени п — 1, имеющая одинаковые с и
значения при х = xlf х2, ...,хп. Это же приводится к равенству
U*-\-LU-M = <o(x)W9 (9)
где
Ф(л) = (х — хх)(х- х2)---{х — хп),
a W — неизвестная целая функция.
Всякая система функций L, М, при которых это равенство может
быть удовлетворено целою функцией W, дает уравнение
а2+ /,** — Ж = 0,
которому будет удовлетворять функция и, обращающаяся в %, к2, ..♦,#„
при л: = д^д^, ...,*л> и таких уравнений найдется бесконечное
множество. Имея в виду уравнения наиболее простые, мы будем искать то
из них, в котором степень функции L не превосходит данного предела
Л и при этом функция М степени по возможности низкой.
Уравнение (9), по перенесении членов и по разделении на ф(х),
приводится к следующему:
(10)
L - U7= -
ф(*)
откуда видно, что разность
_ и1 , м
9 (*) 9 (*
L— W
представляет выражение
IP
Ф(х)

— 22 —
с точностью до членов одного порядка с дробью
м
Ф{Х)
и, следовательно, для того, чтобы Ж, согласно с выше сказанным,
было степени по возможности низкой, разность
ф(ЛГ)
должна по возможности ближе представлять величину
Определение же полиномов L и W под таким условием и
составляет то особенное употребление непрерывных дробей, которое было
предметом выше упомянутого письма. Прилагая к настоящему случаю
формулу, там показанную для определения полинома X, мы находим,
что функция L будет определяться таким рядом:
(Eft Q^ — Яг EQo v) Q0 - (Еу2 Qx v — q2 EQ1v)Ql+ ... ,
где
U2
v == — ,
a
Ях> Чъ • -, Q0> Qi> • • •
имеют те же значения, как и р предыдущих параграфах.
Этот ряд, остановленный на последнем члене степени не выше К
дает искомый полином L. Полагая, что такой член есть
± (ЕЯ*+1 QvV — g*+i EQtP) Qp.
и изображая для сокращения выражение вида
Eqi+iQto—qi+iEQto
через
мы, на основании выше сказанного, будем иметь
L ==o)0Q0—cojQi +...+ (— 1) «vQ^.
Что касается функции W, то при нашем знакоположении формула
упоминаемого нами письма, определяющая полином Y, дает для
определения W такую формулу

— 23 —
Для определения полинома М вносим в уравнение (10) найденные
нами выражения полиномов L и W, а также разложение функции
и*
v =
?W
в ряд по значениям
-y-Q§- Р§, -^-Q.-P,,...,
?(«) fix;)
которое дает
-_^2Г = Eo-i- *e (^-Q,-PA -Wl(-^ -Q^-РЛ + ...,
откуда по умножении на <p(*) и сокращении получается такое
выражение полинома Ж:
М = (—dV+iIUQ^, -Т (л) P^i]+(-~1^4+2[t;Q^2-^)P^2] г...
Замечая же, по (7), что
£/Q,+I - <p(*)P*+i = (- if"' /?*+i ,
^Q*+2 -? (*) P^2= (- DU+2 Л|И-2 ,
находим, что это выражение полинома М приводится к следующему:
М = — 0)^4-1 Ru+l *V+-2 Rn+2 — • • . .
Так определяются полиномы L и М, доставляющие простейшие
уравнения вида
которым может удовлетворять функция и, обращающаяся в
tlly Uo, . . . , tln
при
А. ■—■ Ж, 1 j *^2' • * * л

О ФУНКЦИЯХ,
НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ
§ 1. В записке, под заглавием „О функциях, подобных функциям
Лежандра", ** я показал, каким образом прием, употребленный Ле-
жандром *** для доказательства основного свойства функций,
известных ныне под его именем, может быть распространен на функции
более сложные, получаемые разложением выражения
{l+s+V l-2sx-rs*) {l—s+Yl—2sx+s^,'
Y 1 — 2sx+s*
в ряд
функции, бывшие предметом исследований Якоби в мемуаре его ****
под заглавием „Untersuchungen tiber die Differentialgleichung der hy-
pergeometrischen Reihe", где такое свойство функций
Т Т Т
выведено им на основании дифференциального уравнения, которому
удовлетворяют гипергеометрические ряды.
Здесь я покажу одно из приложений этих функций, откуда еще
лучше можно видеть сродство их с функциями Лежандра.
Приложение это заключается в определении полиномов вида
^+Л1х»-!-ЬЛ2^-2+ . . . -f-A,-i*+i4n,
которые, не переставая возрастать или убывать в данных пределах
наименее удаляются от нуля.
Такие полиномы, как мы увидим, выражаются помощью функций
Лежандра только в том случае, когда п, степень полинома, число
* Опубликовано в Приложении к XXII тому Записок Имп. Акад. Наук, № I
(1873), стр. 1—32; на франц. языке „Sur les fonctions qui different le moins possible
de zero" (Journ. de math, pures et appl., II serie, XIX (1874), стр. 319—346); Собр.
соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907,
стр. 187—215. — Ред.
** См. этот том, стр. 5—12.—Ред.
*** Exercices du calcul integral, II, стр. 250.
**** J а с о b i. Mathematische Werke. Bd. II.

— 25 —
нечетное, и он представляет функцию возрастающую. Во всех же
других случаях для определения таких полиномов необходимы
другие функции, получаемые разложением выражения
У"1 — 2sx-rs*
при л и [L, не равных нулю. Что касается полиномов, которые таким
образом определяются, то они могут иметь полезные применения и
для чистой математики и для практической механики, как это видно
из сообщения, сделанного нами 22 августа 1871 г. в Киеве, на третьем
Съезде естествоиспытателей, и из статьи нашей „О центробежном
уравнителе", напечатанной при Отчете Императорского Московского
технического училища за 1871 год.*
§ 2. Для упрощения формул мы будем предполагать, что пределы,
между которыми заключаются рассматриваемые величины
переменной х, приведены к —1 и -j-1 (что всегда легко сделать).
Изображая искомый полином вида
хп+Агхп-'Л~А,хп~2± . . .+Аа гХ±А„
через
мы замечаем, что, по требованию рассматриваемого нами вопроса,
функция F (х) должна от х=—1 до х=+1 или постоянно
возрастать, или постоянно убывать, а потому в этих пределах первая
производная
должна сохранять один и тот же знак, и, следовательно, значения
начальной функции
/4-1), />(+!)>
соответствующие величинам
х=—1, х=-(-1,
будут представлять пределы, между которыми меняется функция
F(x) при переходе х от х=—1 до х= + 1. Чтобы полином F(x)
при переходе от F(—1) до ^(-Н) наименее удалялся от нуля,
наибольшее по числовой величине из количеств
F(-l), F(+l)
должно быть по возможности мало и, следовательно, не должно
допускать уменьшения при таком изменении полинома F(x), от кото-
* См. том IV настоящего собрания сочинений. — Ред.

— 26 —
рого не нарушаются требования вопроса относительно.вида полинома
Р(х) = хп4-А1хп~1 + А2хп-2+ . .. -\-Ап-\х+Ая
и знака производной его F' (х) между х=—1 и л= + 1.
Но нетрудно убедиться, что это может иметь место только в том
случае, когда удовлетворяется такое равенство:
В самом деле, если такое равенство не удовлетворяется, то, вычитая
из функции
Р(х)
постоянную величину
2
(причем, очевидно, не меняются ни вид полинома Р(х), ни величина
его производной F' (х)), мы вместо прежних предельных величин
/4-1), ^(+1)
получаем такие предельные величины:
{ 2 2
Fl I I) /У(+Д)+^'-1' = ^(+D-^(-l)
2 2
Сличая же квадраты этих величин с среднею арифметическою
квадратов
/=4-1), Р(+1),
мы находим, чт©
/2(+i) + ^hD / F(+i)+fH) 2
2 V 2
откуда видно, что квадрат новых пределов
'2 ' 2
будет меньше наибольшего из квадратов
Р*(—1), /"(+1)
и, следовательно, новые пределы по числовой величине будут
меньше наибольшего из прежних пределов. На основании этого мы зак-

- 27 —
лючаем, что в рассматриваемом нами вопросе все искомые полиномы
должны удовлетворять такому равенству:
F( + l) = — P(—l).
Имея же такое уравнение, мы можем определить величину
рассматриваемых нами полиномов по величине их производной. В самом деле,
представляя искомый полином F(x) под видом интеграла
х
F(x) = f F'(x)dx+C
-1
и внося эту величину F (х) в выше найденное равенство, мы
получаем такое уравнение для определения постоянного количества С:
f F(x)dx+C = — С.
Откуда имеем
С = — 1 Г F(x)dx%
— 1
вследствие чего предыдущее выражение искомого полинома
приводится к такой формуле:
х +1
F(X)={ F'(x)dx — ~ С F'(x)dx. (1)
-1 —i
Определяя по этой формуле предельные величины полинома F(x)
соответствующие х=±1, мы находим, что они равняются интегралу
+ i
^ F'(x)dx
— 1
со знаком -f- или со знаком —, откуда видно, что предел уклонений
рассматриваемых нами полиномов будет равняться числовой величине
интеграла
+ i
1
j ) P*{x)dx.
§ 3. Приступая к определению выражения первой производной
F' (х\
мы замечаем, что, по свойству рассматриваемых полиномов, эта

— 28 —
производная не должна менять своего знака между х=— 1 и х=-{-1,
а потому все корни уравнения
Г(х)=0,
заключающиеся внутри пределов
х==—1, х = -\-1,
должны быть кратными и притом степени кратности должны
представлять числа четные. Называя же через ах, а2, ..., ато все корни
уравнения
/"(*)=О,
которые больше —1 и меньше +1, через
2)ч, 2А2,. .., 2Хт
степени кратности этих корней и полагая, что уравнение
jF'(x)=0
имеет X корней, равных -\-1, и Х0 корней, равных —1, мы теперь
докажем, что сумма
>.+Х0+2Х1+2Х2+...+2л/п,
представляющая число корней уравнения
Р'(х)=0,
не выходящих за пределы
х=—1, х=-|-1,
должна быть не меньше п—1, степени этого уравнения.
Чтобы показать это, мы допустим противное, т. е.
Х+Х0+2Х1+2Ха+ .. +21т<п- 1, (2)
и покажем, что в этом предположении можно всегда найти для
полинома Р(х) такое изменение, при котором вид его и знак
производной F* (х) между х=—1 и л;= + 1 остаются без перемены, числовая
же величина интеграла
— 1
определяющего наибольшее уклонение искомого полинома от нуля,
делается меньше. Для этого мы замечаем, что по выше сказанному
уравнения
F'{x)=0
(*-l)Wl)X° (х- а/* (х- *2f •. .. (x-aJ^-O

— 29 —
от х-—1 до x-=-pl будут иметь корнями одни и те же величины
и в одинаковых степенях кратности, а потому отношение
F'ix)
(« — 1) (v-flf (х— ях) Kl (х —а2Г'" . . . {t — am\2Am
между х-=—1, х-=-\-1 не будет менять знака и будет заключаться
между двумя величинами, отличными от нуля. Полагая, что из таких
пределов отношения
F(x)
(х —1) (x-rl) (vr-ax) (x —*2i . ..(v — amj*
наименьший по числовой величине есть 10, мы замечаем, что
разность
£j£l г
. ; ; ' ~~; 1-о
между лг = —1 и х = 4~ 1 будет иметь одинаковый знак с дробью
F'[x)
и по числовой величине будет меньше ее, и, следовательно, то же
будет иметь место относительно выражений
F' (x)-L0(x-l)\x+lftt {x — aJKl {x-aSh . . . (х — ат)\
Z7' (*),
получаемых из предыдущих через умножение их на
(x—lYix+D'ix — a^ l (х — *2)-\..(х — аа)~т.
Откуда видно, с одной стороны, что мы не нарушим требования
нашего вопроса относительно знака первой производной F* (х) в
пределах х=—1, х-= + 1, если вычтем из нее выражение
LQ(x-l)\x+lf* (x-*f* (x-af* . . . (x-*J\
а с другой, что при этом уменьшается числовая величина интеграла
J Fr (x) dxy
- i
определяющего предел уклонения рассматриваемого полинома от нуля.
Что же касается вида полинома
F(x)=x»+Alx»~*+A2x*'-*+ ... +An-ix+Att,

— 30 —
то после такого изменения F' (л), очевидно, он будет представляться
тою же формулою, так как по неравенству (2) выражение
LQ(x—l)\x + l)9 (х-а/1 0*-а2)2Хг .. • (x—clJ**
не будет заключать в себе степеней х выше п — 2.
Так мы убеждаемся, что при неравенстве (2) можно сделать
полином F(x) ближе подходящим к нулю, сохраняя для него, согласно
требованию вопроса, вид
хп^-А1хп~1-]гА2хп-2^г . . . +Ап~гх+Ап
и не изменяя знака его производной между х=—1, х = -\-\, и,
следовательно, что такое неравенство не должно иметь место
относительно искомого полинома, который при выполнении выше
поименованных требований, должен наименее удаляться от нуля в пределах
х=.— 1, х = -\-\.
Замечая же, с другой стороны, что это неравенство, где первая
часть представляет число корней уравнения
F'(x) = 0,
заключающихся в пределах х=—1, х=-\-1, а вторая — степень этого
уравнения, не может также иметь места и со знаком обратным, мы
по выше доказанному заключаем о равенстве
Х+Х0+2Х1 + 2л2+...+2Ат=я-1,
откуда видно, что все п—1 корней уравнения
F(x)=0
будут у него общими с уравнением
(х - 1)" (Л' + Х)\х - а/1 (х - а/'- ..(х- а,/" = 0
и, следовательно,
X X 2Х 2Х 2Х
F'(x) = C(x-l) (x+1)\x-oll) ' (х-а2) *...(*- ат) «
где С — постоянный множитель.
Для определения величины этого множителя мы замечаем, что
искомый полином F(x) должен быть вида
и, следовательно,
Р* (Х) = пхп ' + (п - 1) АгхГ2+{п- 2)А2хп~3+ ... +Л„_Р
что по сличении с выше найденным выражением F1 {х) дает

— 31 —
и вследствие этого мы, по предыдущему, получаем такую формулу
для определения функции F'(х):
Г (х) = п(х-1)Х (х + 1)' (х - ai)2/i (X - а2)2/' . . . (Л' - am)2>m-
Называя же через
частные и через
Р> Ро
остатки, получаемые при делении показателей
Л, Л0
на 2, мы замечаем, что это равенство может быть представлено так:
Г(х) =
= n(x-l)° (x+l)P%\(x-l)q(x4-lf'(x- xj^x— *2{\..(x—*Jm]\
или
f'UHrtU-l/ (х+1)"и2, (3)
где U — полином, который найдется по формуле
(x~lf (x+l)q'(x - zj1 (х — a/ ... (a-- aJX- - U.
§ 4. В формуле (3), выведенной нами для определения функции
F' (х), числа р, р0, представляя остатки от деления чисел л, а0 на 2,
могут иметь только такие значения:
О, 1,
и во всяком частном случае по виду числа п, степени искомого
полинома F* (х) и знаку производной его F' (х) между х = — 1, л*^-}~1
не трудно показать, какую из этих величин должен иметь показатель
Р или о0 в выражении F'(х) по формуле
F'(x)=n(x - l)\Oc+iy0,t/.
В самом л^ле, если пу степень полинома
F(x)=xn-{-A1xn-l+A2x"~2+...+An__1x+An
есть число нечетное, то производная его F'(x) должна быть степени
четной, а в этом случае предыдущее равенство, где U2 — функция
четной степени, предполагает, что множитель
(х-1? (х +1)"

— 32 —
представляет тоже функцию четной степени. Замечая же, что это не
имеет места ни в предположении
Р=0, р0-1,
ни в предположении
р = 1> Ро=0,
мы заключаем, что в рассматриваемом нами случае будет или
Р = 0, Ро=0,
или
Р=1, Ро = 1-
Чтобы сделать выбор из этих двух систем величин р, р0, мы
замечаем, что при первой из них формула (3) дает
а при второй
F'(x)^n(x — l)(x+l)t/2,
и что первое из этих двух выражений F' (х), при х^>—1 и <+1,
будет иметь величину положительную, а второе отрицательную,
откуда видно, что при п нечетном будет или
Р=0, Ро=0,
или
Р = 1. Ро=1>
смотря по тому, будет ли искомый полином F (х), от х = — 1 до
х=-\-1, представлять функцию возрастающую, или убывающую.
Переходя к случаю п четного, мы замечаем, что при таком п
производная F' {х) будет степени нечетной и, следовательно, для
удовлетворения равенству (3) должны принять или
р=0, Ро=1,
или
Р=1, р0 = 0.
А так как при этих величинах р, р0 формула (3) дает
Р'(х)=*п(х+1)Ц*, F'(x)=n(x — l)U2,
где первое выражение Р{х), от * = —1 до *=+1, остается
величиною положительною, а второе отрицательною, мы заключаем, что
при п четном будет или
Р=0, Ро = 1,
или
р = 1 Ро^О,
смотря по тому, должен ли искомый полином F (х), между х = — 1 и
х=*-{-1, возрастать, или убывать.
Так определяется величина показателей р, р0 в формуле (3).

— 33 —
§ 5. Переходя к определению полинома U, заключающегося в
этом выражении F' (х), мы замечаем, что, по § 3, он представляет
произведение
(Х-if (Х+ 1 f{X - OlJXx - а2)" ... (А' - «J",
я следовательно, он должен иметь такой вид:
U = Xl+Blxf"1+B^2+.. . + Bt_tx + Bt.
Определяя по этой формуле степень второй части равенства (3) и
приравнивая ее числу л —1, степени первой части, получаем такое
равенство:
/г-1=Р+Ро+2/, (4)
которое послужит нам для определения /, степени полинома V.
С другой стороны, мы замечаем, что, по §3, предел уклонения от
нуля искомого полинома F(x) между л==—1, х = -f-l равняется числовой
величине интеграла
\ j F'{x)dx;
этот же интеграл, по внесении в него выше показанного выражения (3)
функции F'(х), приводится к такому:
Г—IV П С Р. Р 2
•i~~— (l+xf{l-x)9Udx,
которого числовая величина, очевидно, есть
4-1
~ Г (1 +xf'(l-x)?U dx.
А потому, называя через L предел уклонения от нуля искомого
полинома F (х) между х=—1, л;= + 1, будем иметь
L = \ ^(\+x)P\l-xfudx. (5)
Откуда видно, что, уменьшая по возможности величину L согласно
с требованием вопроса, мы должны полином U выбрать под условием,
чтобы интеграл
+1
/ (l + xf(l+x)*U dx
~i
имел наименьшую величину.
3 п. Л. Чебышев, т. III.

— 34 —
Что же касается определения полинома U под таким условием,
то это легко сделать при помощи функций
получаемых разложением по степеням выражения
(1 +s+Vl -2sx~+7*)\] — л + ТЛ-^у + а3^
Y\ — 2sx + **
в ряд
В самом деле, эти функции, как известно, суть степеней 0, 1, 2,. .. ,
,..., и вообще при т nz = m1 удовлетворяют такому уравнению:
1 -dx^O,
—i
откуда, по доказанному намя в мемуаре „О непрерывных дробях",*
следует, что наименьшая величина интеграла
-fi
Г - dx
- 1
при Z вида xl-]-B1xl~~1-:\-B2Xl~2-{-. - • ~{-В1__гх-\-В1 имеет место в том
случае, когда полином Z разнится с функциею Т\ только постоянным
множителем. На основании этого мы заключаем, что полином
U = х1+В1х1~1+В2х1~2+.. .+BZ_ гх+В19
соответствующий наименьшей величине интеграла
+1
/ (\+x)9\l—x)?U2dx,
- 1
найдется по формуле
и=с:т1л
когда в выражении
(1+^+ Vl—Zsv+s*) (l— s+j/\ — 2sK+7*f
У1 — 2sx -f s*
доставляющем через разложение в ряд
T.+T1s+T$*+... + TJ+...
* См. том II настоящего Собрания сочинений, стр. 103—1L6.—Ред.

- 35 -
значение функции Tv положим
Изображая же через
коэффициент при х1 в функции
л
и замечая, что эта степень х входит в полином £/ с коэффициентом
равным единице, мы заключаем, что выше найденное выражение
полинома U предполагает равенство
1 =CKV
откуда
вследс!вие чего это выражение полинома U нам дает
" = ~Уг г" (6)
где, по выше сказанному, функция Т1 определится разложением
выражения
(l±s ± \/ 1~2аГ^7«) ?'( 1 — ^ -4- V 3 - 2sк -f а*Г?
У I — 2Д-Г-Р-52
в ряд
Г04-^5+7'.^+... 4-Г^+. .. .
Так как это разложение может быть представлено под видом ра
венства
(1 +g+ ]/Т=2^) '"(1 -s + V\ -2sK±s*) ? = ^ т
/l-2^-f«* ? * *
то, изображая вообще через
^m> Km > • • •
коэффициенты при
в функции Гот, при m каком-нибудь, мы будем иметь
m те—1
A j Л
(1+^ + 11— 1'6'х: -fja) ' (1 _ s4-Yl — 2sk4-s2) '

— 36 —
каковы бы ни были величины s и х. Делая же здесь
а
и полагая потом
s = 0,
мы находим, что это равенство приводится к следующему:
—рв—р
4±2=а—-2*--.
откуда видно, что Kv коэффициент при х1 в функции Т1% будет
равняться коэффициенту при а* в разложении выражения
(1+КГ=Г£Г*~"Р
Vl -2a
Но так как, по выше показанному (§ 4) относительно чисел р0, р,
сумма их Ро + р будет приводиться или к 0, или к 1, или к 2 и при
этих величинах суммы р0 + р выражение
разлагается в ряды
1,1 , ЬЗ н , I-3-5-..(2/— 1) , .
1 ' Ь2 1 ' Ь2.3-../ ]
1,1-3 , 1-3-5 9 , f l-3-5---(2/+l) , ,
2 2-1-2 ' 2-1-2-3 2-1-2-3---(/+1) 1
2 2 ' 2 3-Ь2 > '•' ' 2 / + 2 l-2-3---(/+1) ~#' ' '
то коэффициент Kv соответственно предположениям
P+Po = 0, Р+Ро = Ь р+р0 = 2,
будет иметь следующие величины:
у_1-3-5---(2/—1)
*<_ 1-2.3--./ 3
1 1-3-5---(2/+1)
' 2 1-2-3---(/+1) 'Г v '
У _ 1 1-3-5--.(2/+1) 1+1
1 2 " 1-2-3-..(/+1)*/+2 '

— 37 —
§ 6. На основании выше показанного нетрудно будет найти во
всяком данном случае такой полином F(x) вида
xr+ALxrl+Ai*r2+. . ,JrAn_lx+An ,
который, не переставая возрастать или убывать между х =— 1,
лс = + 1, в этих пределах наименее удаляется от нуля.
Для этого мы прежде всего определяем числа рв, о, замечая, что,
по § 4, при п нечетном должно быть или
р«0, Ро = 0,
или
р = 1, Рв=1,
смотря по тому, ищется ли полином возрастающий или убывающий
в пределах х =— 1, х=-\-1, а при п четном должно быть или
Р = 0, Ро=1,
или
P = U Ро = 0,
смотря по тому, возрастает ли в этих пределах искомый полином
или убывает.
Определивши величину чисел р, р0, мы, по уравнению (4), находим
/ = я-р-р,-1 (8)
2
и затем ищем выражение функции Tv представляющей коэффициент
при sl в разложении выражения
(l+s+Vl— 2^jc+F) P<(1 —s+Vl — 2sxT^)
Vl—2sx + s*
по восходящим степеням 5, и величину коэффициента Кь по
формулам (7). Зная величину функции Тг и коэффициента КР мы найдем
F' {х), производную искомого полинома, на основании уравнений (3)
и (6), которые по исключении из них U нам дают
P1(x)=-^(x+lf(x-lfT2l.
Внося же эту величину производной F' (х) в уравнение (1), мы
получаем такое выражение для искомого полинома:
J{х _ i)\x + i)po T]dx _ ± j{x _ !)>(* + i)V?dx .
-1 ~ — 1 J
Так найдется искомый полином, который, между *=—1, х = +1
постоянно возрастая или убывая, будет удаляться от нуля меньше,
п

38 —
чем все другие такого же вида. Чтобы найти величину L предела
уклонений такого полинома от нуля между х—— 1, х==-\- 1, мы
замечаем, что формула (5), по внесении в нее величины U из (6), нам
дает
L= \+h\+xt{l-x)9T]dx,
1К\ J,
где, заменяя, по (4), число п равною ему суммою 2/ —}— р —|— р0 —{— !.
находим
Для определения величины интеграла
j (\+xt(\-xfTUx,
Р-т-2
J (l+*)'•(! _*)Т
dx.
входящего в эту формулу, мы, на основании показанного нами *
приведения интеграла
00
+ 1 .<*
I
~0
• 2r^m-2r«
tm
1
(\+x)\\~-xf
dx
к интегралу
i
\
*х(1 — *У\1 — six2)
dx,
замечаем, что интеграл
-ы
J (1 + jc)p° (1 — x) Tidx
— i
будет равняться коэффициенту при (st) в разложении величины
интеграла
лГр*(1—*ГР0— stx*)
dx
по восходящим степеням st. А так как этот интеграл равен
-— log ^ __. при P=0, p0=0,
yV 1 — Vst
равен
2
L 2(^0
s2t*
~ log
2" 1 + Yst
при
p=l, p0=l
* См. мемуар „О функциях, подобных функциям Лежандра", стр. 5—12. — Ред,

- 39 —
и равен
-^loga-tf)
при р=0у р0 = 1, равно как и при р=1, рв=0, и эти три выражения
разлагаются в ряды
~1- + —**+ — (^)2+...H — («*/+. •->
2-2-3 - 2-3-5 ' 2.4-7v ; ! ' 2(/+ 2)(2/+3)v ' '
1 + Is* + 2- (ф2+ .. Н — (st)l+
2 ' 4 'б 2(/-f 1)
то при выше показанных системах величин р, р0 значения интеграла
J (l + xy9(l -x)fT\dx
— 1
будут следующие:
2 /4-1 1
2/+Г 2(/-f2)(2/+3) 2(/-fl)
Внося в выражение предела Z. эти величины интеграла
J(l+*/•(!-*) Ti dx
вместе с величинами Кг по (7), находим для определения L такие
три формулы:
/ 1.2.3.../ У
\1.3.5...(2/-П/ '
LJJJ;*rA*+y) Л^ + 2
1.3-5...(2/+ 1) ; /+ Г
£г=го/ Ь2.3...(/-г 1) ^2
" V 1-3-5-•-(2/-f- 1) У '
соответствующие таким предположениям относительно р и р0:
р=0, Р0=0,
Р = Ь Р0=Ь
Р==0, р0=1
или
р = 1, р0=0.
Но, по (8), в этих предположениях относительно чисел р, р0 находим
; /г — 1 ; п — з , п — 2

- 40 —
вследствие чего предыдущие выражения L приводятся к таким:
1-2-3
/, = '
1.3-5---(я— 2)/
Я— 1 \2
ЬЗ-5---(я — 2)1 п — 1 '
я
1-2-3--- —
1=21 2
Ч-3-5--- (п—\у
Первые две формулы, полученные в предположениях
Р=0, р0==0,
относятся (§ 6) к случаю п нечетного; эти две формулы, как
нетрудно заметить, могут быть представлены одною такою формулою:
/ 1-2-3--- —-—\
M-3-5-..(/i—. \у я±1 '
которая приводится к первой или ко второй из них, смотря по тому,
будет ли оставлен в выражении л±1 знак + или — Замечая же>
что первая формула соответствует предположению
Р=0, Ро=0,
и, следовательно, по § 5, тому случаю, когда искомый полином от
х=— 1 до х=-\-\ должен возрастать, а вторая соответствует
предположению
и, следовательно, случаю, когда искомый полином убывает, мы
заключаем, что в формуле
■ 1.2.3-■^i",
л+1
1-3-5---(я —2)' я±1
из двух знаков ± должен быть удержан + или —, смотря по тому,
возрастает ли искомый полином от х^=— 1 до х==4"1>или
убывает. Так найдется £, предел уклонения от нуля искомого полинома
между х=— 1 и х=-\-\, в том случае, когда п, степень этого
полинома, число нечетное. Что касается определения L при п чет-

— 41 —
ном, то при таком п величина L найдется всегда по третьей формуле
1 = 2 2—) ,
так как она соответствует и предположению
Р=0, р0=1
и предположению
Р = 1, Ро=0.
§ 7. Полиномы вида
х»+ А^»-1 + Агх"~* + ... + Ап~\х -f An,
определяемые по выше сказанному, будут уклоняться от нуля между
х=— 1 и х=-\-1 меньше, чем все другие того же вида и подобно
им возрастающие или убывающие, а потому при таких условиях
никакой полином между л;=—1 и х=-\-1 не может уклоняться от
нуля меньше чем на L, предел уклонений рассматриваемых нами
полиномов.
Вследствие этого выше найденные выражения предела L приводят
нас к такой теореме:
Теорема. Если полином вида
хп + AiXn-i + ... + An-ix + A„
отх=—\ до х=+1 не переставая возрастает или убывает,
числовая величина его в этих пределах не может остаться
меньше
( Ь2-3- — — V
А —)>
если п число четное, и меньше
(H!zfl:),1±.
4.3.5---(л -2/ п±\ '
если п число нечетное. В последней формуле из двух знаков ±
должно взять + или —, смотря по тому, возрастает или
убывает искомый полином от х = — 1 до х = + 1.
Из этой теоремы можно вывести другую, более простую, заменив
точные величины предела L такими приближенными величинами их,
которые меньше настоящих. Такого рода приближенные величины L
легко выводятся, между прочим, из формулы Валлиса
•к __ 2 f 2 4 4 2т 2т 2т + 2 2т + 2
2 ~~ 1 3 3 5 2т — 1 2т -f 1 ' 2т + 1 ' 2т + 3

— 42 —
В самом деле, полагая
v 2m (2/и + 2) (2m + 2) (2т +4)
(2т + 1) (2т + 3)
у = (2т + 2)2 (2т + 4)2
(2т + 1) (2т + 3) " (2т + 3) (2т -j- 5)
мы по этой формуле находим
71 2 2 4 4 2т
2 13 3 5 2т — 1
2 2 4 4 2т 2т
2 1 3 3 5 2т — 1 2т + 1
откуда выводим
2
1-2-3---/Я \ 2ттс
Г,
1-3-5- • •(2m—])J 22m+1 Л '
1.2.3-../И \2__ (2т + l)7i
1-3-5---(2ifi — 1) / 22m+l Y
Замечая же, что выше показанные выражения величин X, У могут
быть представлены под таким видом:
Wi-_L_Wi-.
(2m + 1,7 V (2m + З)2
1 \ Л , 1
rWi+ \ Vi +
V (2m 4- 1)(2т+3)У V '
(2т + 3) (2т + 5)
мы заключаем, что
Х<1, У>1,
вследствие чего предыдущие равенства нам дают
Ь2-3-*-т \V '2m*:
ЬЗ-5.-.(2т —1) / 22m+I '
Ь2.3---т \2 (2т + 1W
Л-3-5---(2т —1)/ 2*«+«
откуда видно, что величина
Ь2-3---т
ЬЗ-5---(2/тг~ 1)
будет заключаться между двумя произведениями, получаемыми от
умножения
22/?М-1
на 2/7г и на 2/и + 1, и, следовательно, эта величина будет равняться
произведению —-— на некоторую среднюю величину между 2т и

— 43 —
2m -f- 1. Замечая же, что эта средняя величина может быть
представлена формулою 2т-\-Ъ, где 9>0 и <1, мы на основании выше
сказанного выводим такое равенство:
Ь2>3—m \2_ (2*1 + 6)*
Делая в этой формула
при п нечетном.и
при п четном, находим
l-2-з—-
л—1
/72 =
л
/72 =
2
/I-! 2
= £(*-! +«).
1-3.5...,(л —2)' 2й
1.2-3... ±-
2 ' * (/!+»).
ЬЗ-5-..(л — I)7 2rt+1
Так как значение 6 ограничивается только пределами 0 и 1 и то
же самое имеет место относительно разности 1 — 6, то в первой из
выведенных нами формул разность 1—6 может быть заменена
величиною 6, через что эта формула приводится к такому же виду, более
простому:
?__ =jL(rt_e).
1-3.5...{/г-2)/ 2я
Сличая выведенные нами равенства с выражениями (§ 6),
определяющими величину L, мы замечаем, что эти выражения приводятся
к следующему:
. я + 1 л — О г л + б
L = —! ic, L = тс.
л ± 1 2я 2Л
Рассматривая эти величины L, мы замечаем, что низший предел их
получается из формулы
г п 4-1 'п — б
1=—£ тс,
л±1 2Л
когда здесь примем 6 = 1 и возьмем ±1 с знаком + и что эта
предельная величина L равняется
л—1
•1С.
2п

— 44 —
откуда видно, что величина 1 будет всегда больше
/2 — 1
7Г
2п
вследствие чего, на основании выше доказанного, мы приходим к
такой теореме:
Теорема. Числовая величина полинома
хп + Ахх»-1 + ... + Ап-хх + An
между х=—\, х=+ 1 должна превзойти величину к, если
2п
он в этих пределах не перестает возрастать или убывать.
Полагая в наших формулах
2z —а —Ь
b — а
и замечая, что при этом полином
хп + А,хп~х + • • • + Ап~\х + An
по умножении на
приводится к полиному вида
z" + A'zn"1 -\-A"zn-2^...
и что предельным величинам х=—I, jjc-== —|— 1 соответствуют такие
предельные величины z:
z=a, z=b,
мы, на основании предыдущей теоремы, получаем следующую:
Теорема. Числовая величина полинома
между z=a,z = b не может не превзойти величины {п — 1) ( J тс,
если он в этих пределах не переставая возрастает или убывает.
Из этой же теоремы нетрудно вывести такую;
Теорема. Если числовая величина f{b) — f(a) разности значений
полинома
f(z)=zn + A'*""1 + Auzn~2 + ...
при z — a, z=b не превосходит предела
производная f'(z) меняет свой знак между z=a, z=b.

— 45 -
В самом деле, если бы f (г) не меняла своего знака между z=a,
z=b, то полином
в этих пределах представлял бы функцию или постоянно
возрастающую, или постоянно убывающую, а потому все значения его, от
z=a до z=Ь, заключались бы между его предельными значениями,
соответствующими z=a> z~b и которые приводятся к следующему:
Ф(а)=-1 (f(b)- f(a)),
0(b)=l(f(b)-f(a)\
откуда видно, что между z==at z=b числовая величина
полинома Ф(х) не превосходила бы числовой величины
\(f{b)-f(fl)\
и, следовательно, по условию теоремы, величины
i-2(n-i)(^)U(ra_i)(^);,
а это не может иметь места по предыдущей теореме.
Полагая
F(z)=(m + 1) (V* + Bxz"-X +B2zm~* + ...)dz
a
и замечая, что при этом функция F(z) приводится к полиному вида
где
/l = /72-j-l,
и что
F(z)=(m+1) {zm+B1zm-x -ЬЯ><гт~2+ ...),
ь
F (b)—F(a)^(m+l)J(zm+B1zm-l+Btzmr2+ ...)dz ,
a
мы из этой теоремы выводим такую:
Теорема. Уравнение
zm-\-B1zm-1 -\-B&m-* -f ... == О
между z=a, z=b должно иметь по крайней мере один корень

— 46 -
если числовая величина интеграла
ь
J (zm+B1z^-1 + B2zm~2-\-
Л
не превосходит величины
2т (Ь — а\
-71
i dz
т + 1 V А
На основании той же теоремы нетрудно доказать такую
относительно ряда функций
/(*)> П*)> /"И, ...,/(Л~1>(г), /<«\г),
служащих для отделения корней по способу Фурье:
Теорема. Какова бы ни была величина t, если в выражении
2п / ТчТ)
^±4|/ /(п\х*^2 радикал берется с знаком противным знаку
дроби ^— , при двух подстановках z = t. z~t-h4 » / —Ll™
r(t) F V 4(п-I)27t2
число перемен знака в ряду
fiz), f\z\ f\z)9..., fW{z), fi*\z\
где
f(z)=zn+A'zn l-\-Anzn 2+ . . . ,
не может остаться без изменения.
При доказательстве этой теоремы представляется несколько
различных случаев, смотря по знаку величин f (t), f(t). Мы рассмотрим
тот случай, когда обе величины имеют знак +5 но то> что будет
показано относительно этого случая, легко применяется ко всем
остальным.
Предполагая обе величины f(t), f\t) положительными, мы должны
взять в выражении
I2/—J
■I)2*2
радикал со знаком —, и, следовательно, должны показать, что при
f(t)>0, f'(t)>0
чисяо перемен знака в ряду
/(г), f'(z), Г (?),..., f^\z), f<»\z)
2/z/ 7*7)
неодинаково для z=t и для z = t — 4 л/ J /ч. .
у 4 (я — 1)*тс2
Для доказательства этого мы замечаем, что всякий раз, когда
между рассматриваемыми пределами или f(z), или f'(z)y или та и
другая обращаются в 0, число перемен знака в ряду
/(г), f\z\ /"(*), ...,f(*-*\z), f%z),

— 47 —
очевидно, должно измениться. Чта же касается предположения, что
между этими пределами ни f(z), ни f'(z) не обращается в нуль, то
невозможность этого нетрудно доказать на основании выше
показанной теоремы.
В самом деле, если
/(0>о, r(t)>o
и в то же время уравнения
2я
не имеют корней между z=t, z=t — 4f / — — ' , то функции
у 4 (л — 1)2лг*
в этих пределах должны сохранять знак -}-; а потому должно быть
откуда видно, что числовая величина разности
/(0-/(*-41У—£!2—
JV) J[ \ 4(/i-J)V
должна быть меньше /(г1), а это невозможно по выше доказанной
теореме, так как числовая величина разности
f(b)-f(a)
при
b=t, a=t-Axf-£®—
У 4(л —I)V
по этой теореме должна превосходить
2л
2(п — \)п(Ь-^)П = 2(п—1)тс
J/ 4(п — ])2тс2 J
=/(*)•
Прикладывая последнюю теорему к тому случаю, когда
уравнение
гп+Агп~х + Д"гЛ-2 + . . . =0
не имеет мнимых корней, и замечая, что в этом случае всякое
изменение числа перемен знака в ряду
/(г), /'(*). /"(4 • • • > /(л-1}(2), /П*)

— 48 —
2л /
2л/~ 74)—
при переходе от2=£кz = t-±:4i / —^-^— показывает присутствие
у 4ч/х—])2тс-
корня уравнения
f(z) = 0
между этими величинами z, мы приходим к такой теореме:
Теорема. Какова бы ни была величина t, взяв радикал в вира-
2п/ f2(i) f It)
жении t-\-4i/ —=*-^ с знаком противным знаку дроби ^—^-f
— у 4(/г —1)ати2 У ' /'(*)
2п/ TW)—
мы найдем между пределами t и £±41 / \ по крайней
мере один корень уравнения
f(z)=z*+A,zn-l-{-Anzn-2-{- ... =0,
если только это уравнение не имеет мнимых корней.

О КВАДРАТУРАХ*
1. В весьма важном сочинении по анализу, которое недавно издано
г. Эрмитом, знаменитый геометр дает новую формулу для
приближенного вычисления интеграла
В этой формуле все значения функции <р(л:) входят с одним и тем
же коэффициентом, чем формула Эрмита существенно отличается от
формулы Гаусса и что делает весьма удобными ее численные
приложения. Важность приближенных формул этого рода побуждает
меня предложить некоторые соображения, касающиеся разыскания
таких формул.
Допустим, что при данной функции F(x) мы желаем выразить
возможно точно интегралы вида
-и
^F(x)?(x)dx
формулою
где <?(х) — какая-нибудь функция, а величины £, xv хг% . . ., хп не
зависят от вида этой функции. Так как эта формула содержит только
л+1 величин k, xv xtr ... , хПУ которыми мы можем располагать, то
ее нельзя отождествить с величиною интеграла
$F(x)?(x)dx
—1
далее членов, содержащих п первых производных функций <р(л:).
* „Sur les quadratures" (Journ. de main, pures et appl., II serie, XIX (1874), стр,
(19—34); русский перевод А. М. Ляпунова в-Собр. соч. П.- Л. Ч е б ы ш е в а под ред
А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 165—180; П. Л. Че бы шев
Избранные математические труды. ГТТИ, 1946. — Ред.
4 п. Л. Чебышев, т. Ш.

- 50 —
Мы будем поэтому иметь
4-1
] F{x)<?(x)dx — k[<? (*j) + ?(*2Ч- • • • + ?(*,.)] =
= *1ф(л+1>(0)+ k#i*+\0) + . .., (1)
где Ьъ £2>. . . обозначают коэффициенты при <р(л+1\0), ^(/г+2)(0), ... в
выражении разности
^F(x)c?(x)dx-t>[9(x1)-\-9(x2)+ . . .+9(*я)],
которое получим, разлагая по формуле Маклорена функцию ср (х) под
знаком интеграла и значения ее <р(хг), 9С*2)> . .. , <р(хп) вне этого знака.
2. Чтобы на основании формулы (1), когда она возможна, найти
величину коэффициента £ и значения xv х2> . . . , хп переменной ху
мы замечаем, что в частном случае, когда
?(*) =
Z — X
где z — какое угодно количество, формула эта приводится к
равенству
? X \Z— Xr Z—Х2 Z
~г
= 1.2-3.. .(д+1)^г-"-2+1 -2.3. •. (п+2)^2г~"-3+. . . ,
где £, #i, £2> • • • * xi> х2> • • • t хп СУТЬ величины, не зависящие от z.
С другой стороны, обозначая через f(z) произведение
(г — хг)(г — х2) • • • (z — xn\
имеем
/ (z) z—Xi z — x2
вследствие чего предыдущая формула приводится к такой:
-и
pW dx = kf*l*) » Ь2.3...(п + 1)^1 , 1-2-3 ,..(я+2>*у . (2)
*-х f(z) "Г ^+2 -Г ^+3 I"--- W
Умножая эту формулу на г; и замечая, что значения выражений
-fi +i
l

— 51 —
1.2»3--.(л+1)*1 l-2-3-.-(n + 2)*t
для г = оо соответственно равны
J F(x)dxy n, 0, 0, ... ,
приходим к такому равенству:
-hi
f/> (*)<£*=л£,
что нам дает для определения коэффициента k следующую формулу
*=! С p(x)dx.
—1
3. Чтобы определить функцию
f(z)=(z—x1)(z — x2) ... (z — хя),
мы замечаем, что формула (2) после интегрирования по г дает
'V о/ м / w ч /(*) 1-2-3..-л*! 1-2-3-.•(»+!)*,
_1 * *
где С — постоянная, и отсюда
4-1
_ Ь2-3 ... nfr _ 1.2.3'-..<л+1)»« _ if f (x) logtr-jr) d.x
г/ч «. *"И v Л+2 ^» * J,
Так как искомая функция
f(z)=(z — хг) {z - х2)... (z - ха)
n-ой степени, а выражение
1.2-3 -. nkx 1-2-3- {п+\)кж ___
разнится от 1 только степенями г, которые ниже г~*л, то ясно, что
целая часть функции, стоящей в первой части найденной формулы
равна функции f(z). Мы будем поэтому иметь
т5
f(z)=ECe -1
или
+1
1
-и
?(*) log (г--x)dx
f(z)=CEe -1 (3)
% F(x)U>g(z—x)dx
k

— 52 —
изображая через Е целую часть функции, помещенной под этим
знаком. В этой формуле величина постоянной k дается, как мы видели,
уравнением
4-1
k = — Г F (x) dx. (4)
Что касается постоянной С, то значение ее легко найти, замечая,
что в искомой функции коэффициент при zn равен 1; но мы не будем
останавливаться на разыскании величины этой постоянной, так как
ее всегда можно отбросить, не изменяя уравнения
+1
F(x) log (z—x) dx
f{z)=CEe -1 =0,
корни которого представляют величины х1У х2, . . . , хп в
интересующей нас формуле
+i
J F(x)<?(x)dx=f?[<?{xi)-\~y{x2)+ ... Н-ф(хя)].
4L Переходя к приложениям, мы сделаем сначала
1
Р{х) =
YT=;
что представляет случай, который 0ыл рассматриваем г. Эрмитом и в
котором интеграл
+1
{ F(x)(?(x)dx
приводится к
-^^dx.
\
/1-Х2
Для этого вида функции Р (х) находим
+1 4-1
1
F(x)dx=*\ dK =.*.
J Vl— x*
+1
[F(x)log(z-x)dx=[ J2MS^dx^logLtX*=±.
J J Vl — x* 2
поэтому, на основании (4),
* n '

- 53 -
и, ,на основании (3), уравнение f(z)=Q, определяющее величины xlt
х2, .. . , хп% приводится к
что представляет результат, тождественный с выводом Эрмита, ибо
целая часть функции
равна
cos (n arc cos г).
5. Чтобы показать другое приложение данных нами формул, мы
положим теперь
что представляет случай, когда интеграл
+1
^F(x)9(x)dx
приводится к
4-1
это — интеграл, для которого Гаусс дал свою формулу квадратур.
Так как
+1 -И
\dx=2, f \og{z-x)dx=\og{2+lY+l -2,
то на основании п° 3 заключаем, что приближенная величина инте-
грала Cy(x)dx будет доставляться формулою
*l9(^i) + 9U9)+---+?(x.)l.
если сделаем £=—, а за xi9 х2,..., хп примем корни уравнения
п
/+1 \ Ж*+П
_2_Лог<£±2>_1_2, , . „-т
„ 1 \ (z-\f
Е ^ U-D /=0или EV-^-^ =0,
(»+П -Г
2
(*-1)

— 54
которое, при посредстве разложения в ряды, можем представить под
следующим видом:
п _ п п__ __
""' =0.
Егпе
2-Зг2
4-5*4
Q-lz*
(5)
6. Давая п простейшие значения, каковы
/г=2,3,4,5,6,7,
находим, что для этих значений п уравнение (5) обращается соответ■*
ственно в
z з и,
г3 z-
2
= 0,
г4 -г2+— = 0,
3 ' 45
г5 ~г3+— г=0,
6 ' 72
г6 — г4 + — г2 — ——0,
~ 5 105
•4г5+
360'
64В0
а разрешая эти уравнения, получаем следующие системы значений
п=2
*!=—0,577350,
х2 =+0,577350,
/t=3
JCt = —0,707107,
•*2 = 0,
х3=+0,707107;
га=4
*!=—0,794654,
x2=— 0,187592,
дз=+0,187592,
х4=+0,794654;
/г=5
*!= —0,832497,
х,= — 0,374541,
■*»= 0,
^=+0,374541,
-0,832497;
п=6
*!=■—0,866247,
л:2=—0,422519,
*,=—0,266635,
л:4=: +0,266635,
xs=+0,422519,
хь= +0,866247;
я=7
*!= —0,883862,
хг=~ 0,529657,
х,=—0,323912,
*4 = 0,
хъ = +0,323912,
x6=+0,529657,
л:7=+0,883862.
При этих величинах хи х2,...,х„ формула
■Ыхд+Ч(х1+...+9(х„)]

— 55 —
дает приближенное выражение интеграла
которое в известных случаях удобнее для приложений, чем формула
Гаусса; ибо в эту последнюю формулу значения <р (хх), <р (xt),..., <?(хп)
входяЛг с различными коэффициентами. Так как наше выражение
-pi
интеграла \<?(x)dx точно лишь до членов, содержащих <?п+1(0),
—I
уп+2 (0),..., то в нем вообще придется брать больше членов, чем
в формуле Гаусса. Тем не менее, в случае, когда значения fRfo),
<р (х2),..., ф (хп), по которым определяется интеграл \<?{x)dxy содер-
—1
жат неизвестные погрешности, значительно превышающие ту, которая
происходит от отбрасываемых членов, найденной нами приближенной
формуле следует отдать предпочтение перед формулой Гаусса, даже
в отношении степени точности, так как в нашей приближенной
формуле сумма квадратов коэффициентов, по причине их равенства, имеет
наименьшую возможную лдя нее величину.
7. Возвращаясь к случаю, разобранному Эрмитом, мы замечаем,
что интеграл
—\
при x=cos0 приводится к
7Г
J 9 (cos 6)^8;
о
поэтому данная им формула может иметь весьма полезные
приложения к разысканию приближенных величин первого члена разложения
<р (cos 6) в ряд
A0+A1cosQ+A2cos2b+ ...
Чтобы найти подобное же выражение для коэффициента Av мы
должны были бы в формулах п° 3 сделать
Yi-x*
+i
Но при таком выборе функции F (х) интеграл J F(x)dx% входящий
—1
в формулы п° 3, приводится к нулю, чем ясно обнаруживается, что
формулы эти в рассматриваемом случае неприложимы. Покажем, что
может, тем не менее, дать для этого случая изложенная выше метода.

— 56 —
В интеграле
[ F (х) 9 (х) dx
после замены функции ср (х) ее разложением в ряд
член, содержащей 9(0), исчезает всякий раз, когда интеграл
fi
( <?(x)dx равен нулю; но это обстоятельство, очевидно, может пред-
-1
ставиться в выражении
не иначе, как если половина членов его взята со знаком —
Вследствие этого, в предположении
J F(x)dx=0,
мы будем искать приближенное выражение интеграла
•fi
[ F (х) 9 (х) dx
-1
при помощи формулы
к [? (*i)+9 (-**)+ • • • +9 СО ~ 9 (-««+1)~~ ?(*т+2 ) — •••— 9(*2m)]>
содержащей /я членов со знаком + и т членов со знаком —.
8. Так как в формуле
к [9 (*i) +-9 (*f)+ ... +9 {xj— 9 (xm+l ) — 9 (xm±2)- • • • ~9 (*2 J
встречается 2m-ft величин: *, *x, ^ д;ш, xm+l, xm+2,... ,x2m,
которыми можно располагать, и так как по составу ее член с ф (0)
в ней исчезает, то формулу эту можно отождествить с интегралом
-и
^ F(x)y(x)dx в членах, содержащих 2/ra-f-l первых производных
-1
функции ф (л:), что дает уравнение
+|
\F(x)<?(x)dx=k[9(x1)+<?(x2)+...+<?(xm)-<?(xm+l) —
—!
~9(хт+2) - . • --9(^J]+*1cp2OT+2(0)+^92ffl+3(0)+...
На основании этого уравнения, следуя той же методе, как и в
п°п° 2, 3, мы найдем значения количеств £, xv xtf.^.9 x2m. В самом
+1

— 57 —
деле, если положим
Z — X
предыдущее уравнение приведется к такому:
1 I 1 , , 1
$В<*-(;
—1
J 1 \ , l-2-3---(2m+2)*i t I-3-3---(2**+3)fet
-Ч+-
: ~~ х2т. J
Делая затем
/•(«)=(* - Xj)(z — Xt)- ■ -(z — xm),
Л (*)=(* - *«+,) (г - *m+2) • • • (г - *2m)
и замечая, что при этих выражениях /в (г), Д (г) имеем
/x(z) Z—Xm+l Z—Xm+2 z—x2m
можем дредставдть ваше уравнение под видом
+1
J z-x [/.(я) A«J
1-2-3"-(2iii+2)*i
1 -
1-2-3-"(2m+3)6, t
-1
^+4
откуда интегрированием по г найдем
J-2-3---(2/tt+2)fe2 __
Постоянная, вводимая интегрированием, будет нулем, так как здесь
все члены уничтожаются при г;=©°.
Из этого уравнения, полагая для сокращения
1-2.3.-.(2m+l)*t г 1-2-3---(2»я4-2)*а__у
выводим
-hi
/iW, e-L^-2m-2-X^-2m- 3—^
1^ JF (*)!<*(*-*)<**
fiW

— 58 —
Так как функции /0(г), Л(г) °ДН0Й и той же степени, то дробь
1*^±- будет нулевой степени; притом выражение
АО)
--L^-2™ 2_Iar-2m-3_...
с?
-2/я 1
разнится от 1 только степенями г, низшими, чем z
Поэтому найденное нами уравнение показывает, что дробь -j^~
разнится от выражения
+1
y ГF (*) l°g & ~x)dx
e -1
-2m—1
только членами, которые содержат степени г низшие, чем г , и,
■следовательно, низшие, чем степень дроби — --, ибо функция
f (?)
/1(2), как мы видели, только /тг-ой степени. Но дробь -ту-, как из-
/i (2)
вестно, в том только случае может давать приближенную величину
какой-либо функции с точностью до порядка , когда она
предав [/i(*)F
ставляет одну из подходящих дробей, получаемых при разложении
этой функции в непрерывную дробь, и когда полное частное,
соответствующее этой подходящей дроби, не содержит члена с —. Исходя
из этого, нетрудно найти и постоянную к и функции /0(г), fi(z),
которыми определяются величины хг, xi9..., хт, хт+1, хт+2,..., х2т.
С этой целью разлагаем выражение
'Л
+1
F(x) \og(z—x) dx
в непрерывную дробь, останавливаясь на частном, соответствующем
подходящей дроби, для которой числитель и знаменатель га-ой степени.
Приравнивая нулю коэффициент при — в полном выражении этого
z
частного, мы получим уравнение, которым определится величина
постоянной k, а подставляя найденную таким путем величину k в
числитель и знаменатель нашей подходящей дроби, мы получим
искомые функции /0(г),( fx(z).
9. Чтобы показать применение сейчас изложенного на примере,
допустим, что дело идет о разыскании приближенного выражения
интеграла
[ xy(x)dx.

— 59 —
Для этого в формулах предыдущего п° следует положить
/?(jc)=x
При таком выборе функции F(x) получаем
-и +1
I F(x)log(z — x)dx=\xlog(z — x)dx = £zL-.\0g±kL — z,
i I 2 *~3
-j\ F(x)\og(z-x)dx ,.__, z+l z
e =e
Разлагая это последнее выражение в непрерывную дробь, находим,
что полное частное, соответствующее подходящей дроби, для которой
числитель и знаменатель первой степени, равно
3*г+1-(т*-?г)т+-
и что эта подходящая дробь равна
Zkz — 1
Zfcz+l
откуда заключаем, что в приближенном выражении интеграла
+i
[ х <р (х) dx
—1
формулою
для k должно взять корень уравнения
J-*-J—о,
5 Ш
а для xv х2 — соответственно корни уравнений
3fc-l=0, 3£z+l=0.
Таким образом мы находим две величины £:
/т
*-+/^' *""]■ 27
и две системы значений xv x2:
_ г . /" 3 ___ ! /" 3
з_
5 ;
но из этих двояких значений £, хг, х2, очевидно, выводится только

— 60 —
одно значение для искомого выражения, именно:
Чтобы найти приближенное выражение интеграла
4-1
[ х ф (х) dx
-1
с четырьмя членами, мы должны взять частное той же непрерывной
дроби, соответствующее подходящей дроби, для которой числитель
и знаменатель второй степени. Так как полная величина этого частного
выражается рядом
243 k2— 45 z '
и частное это соответствует подходящей дроби
270&У — 90ftz+10—54#»
270£2*2+90&г-+ 10—54£2'
то величину постоянной £ и xv х2, хг, х^ найдутся из уравнений
5832 *4 — 945 *2-f 35=0,
270*2z2—90&г-И0-54#2=0,
270#2z2+90fc-f-10 — 54*2=0.
Решая их, мы приходим к двум следующим выражениям
рассматриваемого интеграла:
0,23937 [ср (0,89224)+9 (0,50030) — 9 (- 0,50030) — 9 (— 0,89224)]
и
0,32363 [9 (0,84905) +9 (0,18093) - <р (— 0,18093) — 9 ( - 0,84905)].
10. Переходя к разысканию приближенных выражений интеграла
V
f cos 6 9 (cos 6) dQ или \ х 9 С*) dx,
мы положим в наших формулах
/1-х2
Для этого вида функции ^(л:) получаем
\ F(x)log(z — x)dx=[—E=rlog(z — x)dx = — n(z— /z^T),
J Jyl-x2
—i

61
-и
_Ц Fix) Jogf(2- - x)dx
e - =e k
Разлагая последнее выражение в непрерывную дробь, находим
подходящие дроби
4&зг — тс 48&V-- 12kKz4-K*~-12k*
, . . . ,
которые соответствуют полным частным
* 12* z 20(12**~тс8)£ *
откуда, на основании п° 8, выводим: 1°, для определения к, xv x2 в
приближенном выражении интеграла
fcos 6 ф (cos 0) dB
* о
формулою
*[<р(*1>—ф(*»)]
такие уравнения:
12^ — 7г2=0, 4£г — ти=0, 4*2?+«=0,
и 2°, для определения подобного же выражения с четырьмя членами—
такие уравнения:
48**г2— 12^гг+^2— 12**=0,
48^a4-12^c2:-f^2—12*2=0.
Приближенные выражения интеграла
ТС
[ cos6<p(cos6)rfe,
о
получаемые на основании этих уравнений, приводятся к. следующим
Г cos 6 ф (cos 0) d8 = ~4=- {Ф (cos60) — 7 [cos 0+6,,)]},
J /12
о
тс
(cos6cp(cos6)d6==
о
=0,151765Tc{9(cosel)+9(cos62) —9[cos(^+6l>] —ф[со$(1г+&2)]}

— 62
где
00=30°, б^ 12°, 62=480.*
Мы получили бы более точные выражения интеграла
?cos6©(cos6)d0,
о
взявши большее число членов в формуле
* [? (Хг) "N (**)+ • - - +? (*т) — 9 (-**,+! ) — <Р (*т+2 )-..•—? (*2*)].
Мы не будем останавливаться на исследовании этих формул;
заметим только, что, заменяя во всех этих формулах члены вида
<p(cos6x) выражениями
ф [COS—- l+9(COS
2;t4-8) \ r . /_ 2(/—1)« + 6х'
+ ...+9 cos
Г' < )j
где /—число целое, мы получим приближенные выражения интеграла
?cos/0 9(cose)rf0.
о
Таким образом, исходя из предыдущих формул, доставляющих
приближенные выражения с двумя и четырьмя членами для интеграла
Jcos6(p(cos6)fl?e,
о
мы могли бы перейти к приближенным выражениям с 21 и 4/ членами
для интеграла
7Г
Jcos/e<p(cose)de,
к выражениям, которые можно представить так:
0,151765т: ^* 1Ч1Т / рл+вЛ ,
Lt=o L \ /
где суммирования распространяются на числа
{1=0,1,2,...,2Z — 1.
[Х7С + 02
* А. М. Ляпунов, переводивший на русский язык мемуар „О квадратурах" для
Собрания сочинений П. Л. Ч е б ы ш е в а, изданного в 1899—1907 гг., указал для
рассматриваемого интеграла другое возможное выражение с четырьмя членами, в котором
k = 0,<245562тг, 6Х = 24°, 82 = 84°.—Ред.

О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИНАХ
ИНТЕГРАЛОВ*
В мемуаре, весьма интересном во многих отношениях, который
был прочитан Бьенэме в Академии Наук в 1833 г. и который был
напечатан в Comptes rendus и воспроизведен в журнале Лиувилля
(2-ая серия, т. XII, 1867) под заглавием „Considerations a l'appui de
la decouverte de Laplace sur la loi de probabilite dans la methode des
moindres carres", знаменитый ученый предлагает метод,
заслуживающий особенного внимания.
Этот метод состоит в определении предельной величины интеграла
jf(x)dx,
о
по величинам интегралов
А А А
ff(x) dx, fxf(x) dx, J>2/(x) dx, ...,
0 0 0
где A><z, af(x)—неизвестная функция, подчиненная одному только
условию сохранять знак + между пределами интегрирования. Простое и
строгое доказательство закона Бернулли, находящееся в моей заметке
под заглавием „О средних величинах",** представляет один из
результатов, легко получаемых из метода Бьенэме, при помощи
которого он сам пришел к доказательству одного предложения о вероят ~
ностях, из которого закон Бернулли вытекает непосредственно.
Пытаясь получить для предельных величин интеграла
jf(x)dx
* „Sur les valeurs limites des integrates* (Journ. de math, pures et appl., II serie,
XIX (1874), стр. 157—160); русский перевод А. М. Ляпунова в Собр. соч. П. Л. Ч е-
бышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 183—185
П. Л. Ч е б ы ш е в. Избранные математические труды. ГТТИ, 1<М6.— Ред.
См. том II настоящего Собрания сочинений, стр. 431—437.— Ред.

— 64 -
все, что могут доставить величины интегралов
в в в в
ff (x) dx, fx f (x) dx, jx2 f(x)dx,...., fxm f(x) dx,
AAA A
где
A<a, B>b
и где f(x) остается положительною, я пришел к заключению, что
эти изыскания приводят к нового рода теоремам, касающимся
разложения выражения
в
7W
j
dx
Z — X
А
в непрерывную дробь, разложения, играющего столь важную роль
в теории рядов. Вот, например, одна из этих теорем:
Если 2-й/ есть одна из дробей, подходящих к интегралу
h
dx,
Z— X
А
получаемая при разложении его в непрерывную дробь
1
и если
Zv Z2, . . . , 2j, 2Г/-+Х» • • • > ^я—1» ^я» • • • » Zm
суть корни уравнения
Ф(г)=0,
расположенные в порядке возрастания, то всякий раз, когда между
пределами х=А, х=В функция f (х) остается положительною,
величина интеграла
zn
t f (x) dx
zi
превышает сумму
'?(*/+!> , Ф (*/+2> , , Ф (*я-2> , Ф (*я-1>
Ф'(*/+,) Ф'(*,+2) ' +'<*,i-2> Ф'(*„-,)
я остается менее следующей
ф(*/) , ?(z/+i> , , ? (**-i> , ф(*я)
+'(*/) ^ Ф'(*/+,) ' ФК_,) Ф' (*„) '

— 65 —
Как на один из примеров задач, решаемых этим методом, я укажу
на следующую.
Даны: длина, вес, место центра тяжести и момент инерции
материальной прямой линии с неизвестною плотностью, изменяющеюся
при переходе от одной точки к другой. Требуется найти наиболее
тесные пределы для веса некоторого отрезка этой прямой.
Предполагая, что речь идет о весе отрезка, отсчитываемого от
одного из концов линии, расстояние которого от центра тяжести
равно d, и изображая через /, р длину и вес всей линии, через k ее
момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести
и перпендикулярной к линии, через х, z длину и вес рассматриваемого
отрезка, мы приходим к такому решению задачи:
Пока х менее
вес z остается между
О и & ;
(d-xYp+k'
в случае, когда х превышает
этот вес остается между пределами
Р (a-xyp+k '
наконец, если х лежат между
d и d-\ ,
(t-Oip dp
величина этого веса лежит между пределами
(x~d)(l-d)p+k (l+d-x)(l-d)p-k
5 П. Л. Чебышев, т. Ш.

ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ
ВЕЛИЧИН РАВНООТСТОЯЩИХ
§ 1. Если ищется по способу наименьших квадратов выражение
какой-либо фун кции f(x) под видом полинома, и величины функции
Jx), служащее для определения искомого выражения этой функции,
суть
f(\),f(2),...,f(m-l),
искомый полином, как известно, найдется ** по формуле
т т
где
9о(х), 9i(x), ...
суть знаменатели подходящих дробей суммы
2тЬ
Х=1
■1 х—2 х — т+1
получаемых разложением ее в непрерывную дробь
Лох+В0 + 9l с
А1х+В1 + Ь
Л2х+В2 + .
Функщш
?о(4 ?iW
как уже было замечено мною, имеют то же значение в обратном
способе разностей, какое имеют функции Лежандра в интегральном
исчислении, и, подобно последним, могут быть представлены *** такою
формулою:
* Опубликовано в приложении к XXV тому Записок Имп. Акад. Наук, №5, (1875).
Собр. соч. П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907,
стр. 219—242.— Ред.
** См. мемуар „О непрерывных дробях*, том II настоящего Собрания сочинений,
стр. 103—126.— Ред.
***„Об одном новом ряде", том II настоящего Собрания сочинений, стр. 237—239—Ред*

— 67 —
?wW = A"(^-l)(^-2). . .{х — п){т+п-1—х). • .(m — х),
если не обращать внимания на постоянные множители, которые в
формуле (1), очевидно, сокращаются.
Такое выражение функций
?о(4 «pit*),..-,
как мы увидим, значительно облегчает вычисление всех сумм,
входящих в формулу (1).
§ 2» Приступая к доказательству выше приведенного выражения
функций
?о(*)> ?Л*)> ..-,
мы, для сокращения письма, согласимся изображать через Ф(х)
произведение
(х—\){х — 2). * . (х — п)(т-}-п — х— 1) (т-{-п — х — 2) - - . (т — х\>
Так как это произведение обращается в нуль при
х—19 2 , ...,л,
х=т-\-п — 1, т -\-п — 2, .. -, т,
то все выражения
Ф(х), Ф(х+1), .-, Ф(х+п-1)
при jc=1 и х=т будут равны нулю, и то же будет иметь место
относительно разностей
Ая^Ф^),Д^Ф(л:+1),...,АФ(л+л —2),
кст>рые определяются во величинам
Ф(х), Ф(л+1), ... Ф(*+л—1).
На основании этого нетрудно показать, что сумма
j?/4*)A"<W*)>
какова бы ни была фуотад* Р(х), будет дриводиться к сумме
(-1)" j^<b(x+n)bnF(x).
1
Для того мы замечаем, что, преобразовывая сумму
т п

— 68 —
п раз, по известной формуле
находим, что она приводится к следующему:
F(x) Ая~' Ф (х) - AF (х) АЛ~2Ф U+1)+А2 Р (х) АП~3Ф (х+2) —. .. +
+(_ lf-^ (х+п — l)bn~lP (*)+ (-1)" 2 Ф(-И-л) *nF{x).
Но здесь, по выше сказанному относительно функции
Ф(х+п— 1)
и разностей
Ая~! Ф (jc), Ая~2 Ф (*+1), .. ., АФ (х+п - 2),
все члены, стоящие вне знака 2, будут обращаться в нуль и при
л:=1 и при х=т, а потому в этих пределах получим
т т
^Р(х)АпФ(х) = (—1)" ^Ф(х-{-п)АпР(х). (2)
1 1
Делая здесь
и замечая, что при этом Р(х), будучи степени ниже пу дает
находим
rrt m m
^?0(х)АпФ(х)=0, 2^(*)Д"Ф(х)=0,..., 2^r (*)АяФ(х)=0.
1 1 1
Эти же равенства, по § VII выше упомянутого мемуара о
непрерывных дробях, показывают, что в разложении функции АлФ(;с)
в ряд
А 9а 0*0+5?! (х)+ ... + Gcpn^i (х) +Я?Л (х)
коэффициенты
Af B,...9G
равны нулю, и следовательно, выражение А"Ф(л;) равно функции
<рп {х) с некоторым постоянным множителем. Этот множитель, как уже
замечено было выше, сокращается в формуле (1). Опуская этот
множитель, мы примем
?п(х)=АпФ(х),
вследствие чего равенство (2) приведется к такому:
т т
2F(х) ?я (*)=» С- 1)" 2 Ф(*+«)b"F(x),
i 1

— 69 —
где
Ф(х)=(х — 1)(х — 2)- • -(х — п)(т-\-п — х — 1). . .(т — х).
§ 3. Переходя к определению сумм, заключающихся в формуле (1),
мы для сокращения письма введем знак Г([х) для обозначения
произведения 1-2-3- • • ({х — 1).
При помощи этого знака произведения
{х — 1) (х — 2)' . .(* — п),
(т-{-п — х — 1) (т^п — х — 2)- ♦ *{т — х)
представятся так:
Г(лг) Г(т+п — х)
Г(х-п)' Г(т-лг) '
что для определения функций Ф (х) и <ря (х) дает
v ; Т(х — п) Г(т-х)
9п (jc)==A« Г(х) Г(т+п-х) (3)
r" v > г (х - л) Г (т - л:) '
и вследствие этого выше найденное преобразование суммы приводится
к следующему:
|^wfw=<-""|rr<r)r,r::Vvw-
Делая здесь
мы находим для определения сумм
m m m
i i i
такую формулу:
2 <?„ [х)№ = ь 1)" 2 ^г1 J ,ЛП/ <*>•
*J JmJ Г(х) Г(т —/i—jc)
Делая в той же формуле
получаем
^Й(*И(-1)"У Ife+n), T(m-x) An Л)

— 70 —
Но по (3)
а" , ч ,2п ГР0 Т(т+п-х)
А ?*(•*) = * Г(*-п) Г(*-*) *
и так как
г<*> =(х-1)(х-2). ■ • (*-»),
Г(х — п)
Г (т — х)
то в произведении
Г(лр Г (т + п — х)
Г(х — п) Т(т — х)
член с высшей степенью х равняется
(-i)V*,
вследствие чего 2я-ая разность этой функции приведется к
постоянной величине
(—l)n2/t(2^— 1) . . .3-2-1,
что через Г представится таким образом:
(-1)яГ(2л + 1).
Откуда заключаем, что
ДЧ(*)=(-1)"Г(2я+1),
и вследствие этого выше полученное преобразование суммы
1
нам дает
Уй(*) = Г(2я+1) У L(£±^.^>LziL.
Так как Т(т — п — я) обращается в бесконечность при
х=т — п, т — /i-f-1, ..., т — 1,
то, начиная с х=т—п, все элементы суммы
- грс+п) грп-х)
2 + i*-
х) Г(т—п—х)
равняются нулю, а потому в этой сумме за верхний предел можно
взять т — п вместо т; вследствие этого предыдущее равенство
приводится к следующему:

— 71 —
\;<рЧх)=Г(2й+1)у£(£±«) г (i—х)
f"U l <f Г(х) Г(т-п-л) W
§ 4. Для определения величины суммы, заключающейся в
последнем равенстве, и других подобных ей, которые нам впоследствии
понадобятся, мы теперь найдем выражение для всех сумм вида
г, Г(х+р-1) T(N-x+q-i)
2
Г(лг) Г (Л^ — х)
что легко сделать при помощи ньютонова бинома. Для этого
замечаем, что разложения степеней
(1~*ГР, d-tf\ (i-tf*~*
в ряды по формуле Ньютона могут быть, при помощи знаков
суммы £ и функции Г, написаны так:
(l~t} ~Z r(p)f(x+i)rf
^ Г(р + *)Г(у+1)
аде суммы распространяются на все целые величины >., ji, v от О
до оо. Сличая произведение первых двух сумм с последнею,
получаем тождество
Г(р + Ъ
что иначе может быть представлено в таком виде:
у v т(р + \) r(y + fO £+*= У г (я 4- ^ + v) ^
^^ Г(/7)Г(Х+1) ГЙ)Г(11+1) ^ Г(р + д)Т(^+1)
Определяя здесь члены с tN~~2, мы замечаем, что в левой стороне
этого тождества коэффициент при tN~2 равняется сумме значений
выражения
r^ra + ^r^r^+i)
соответствующих всем целым и положительным величинам К*у-, при
которых сумма X -\- р приводится к N — 2, или, что одно и то же,
сумме таких значений этого выражения, в которых

— 72 —
а X равно числам 0, 1, 2,..., N — 2. Откуда видно, что в левой
стороне рассматриваемого нами тождества со степенью t ~~ будет
такой член:
Х=ъг Г(/> + У) Tig + N-2-X) tN-2
Z Г(/>)Г(Х+1) T(q)T(N~l-X)
Замечая же, что на правой стороне atoro тождества член с t ~2 есть
V(p + g + N—2) ,n-2
r(p + q)T(N-l)
мы заключаем, что оно предполагает такое равенство:
^у"1 Т(р + \) r(q + N-2-X) = T(p + q + N~-2)
« Г(р)Г(Х+1) Г(<7)Г(ЛГ-1-Х) T(p + q)T(N-l) '
Умножая это равенство на Г (р)Т (д) и полагая
мы приводим его к такому виду:
: + р-У r(N—x + q-
Т(х) T(N-x) T(p + q) T(N-1)
V1 Г(* + /»-1^ Г(ЛГ-* + ?-1) = Г(/7)Г(^) Г(/>+? + ^-2) ,
^ Г (л;) Г(7У —х) Г(р 4- <rt Г(УУ—1) ' 1 '
Делая здесь
N=m — п, р=п+1, q=n-\-\y
находим для определения суммы, заключающейся в формуле (4),
m—п
2
Г(* + я) Tjm-x) Г2 (п + 1) Г (т + п)
А Г(х) Г(т — п — х) ~~ Г(2я+2) Г(т-п—1) '
вследствие чего она дает
^ 2/ n Г(2д+;) Г*(п + 1)Г(т + 1)
^VnW— T(2n + 2) Т(т-~п-1)
1
Заменяя же здесь Г(2/г + 2) через (2л + 1)Г(2я+1), находим
V Ф2 Щ- ^(я+огри + я)
2l п (2л + 1)Г(да —я — Р*
1
§ 5. Приступая к определению функций
Фо («*). <Pi (*), ?2 (*)»
которые найдутся по формуле (3), мы выведем предварительно
выражения разностей функций

— 73 —
Г(х)* Г(*-х)
Г(*-р) Г(?-р-х)
Определяя первые разности, находим
А Г(х) = Г(х + 1) Г(х)
Т(х-р) Г(«-р+1) Г(х-р)'
А Г(у-х) ^_ Г(?-х-1) Г(у-х)
Г(У-Р-ДС) Г(д-р-х-1) Г(д-р~х) '
Внося сюда вместо
Г(х+1), Г(х-р), Г^-р-х-1), Г(?_х)
равные им величины
х—р д—р^х—1
мы, по приведении, получаем:
Л
г
T(q
Г(д-
Г(х)
■Р — х)
=щр
Г (л
-р.
Г.(х)
Г(?-х-
Г(?-р-
■1)
■■*)
Прилагая эти формулы к определению вторых, третьих и т. д. разно*
стей, находим, что вообще
а*—^— = л(л — 1)... (р~14-1) — ,
Заменяя же здесь произведение
р(р-1)...(р-1+1)
через
Г(р-/+1) *
получаем
д! Г(х) Г(р + 1) Г(х)
Г(х-р) Г(р-/+1) Г(х-р+[) '
д, Г(?-х) , ц Г(р+0 Г(9-х-0
!
(6)
Переходя к определению функции уп(х) по формуле
о мс)=дя—— -—■ ,
™v > Г(х —л) Г(т — х)

— 74 —
мы разложим функцию
Г О + п — *)
Г (т — х)
в ряд по формуле
Р (х) = /> (я + 1) + *-*"* Л/7 (п + 1) +
(д-я_1)(,-я-2) дV (П + 1) + . . . ,
которая при помощи знаков Г, 2 может быть представлена так:
р( \ — V Г(л:-гг) A^fr + O
^ (*) — £ Г(х_п_х) Г(Х+П '
где сумма распространяется на все целые величины К а за k°F(n -\
принимается начальная функция F(n-\-l).
Полагая в этой формуле
Р {x)=ISHL±JLzlL
v ' Г{т — х)
ж замечая, по (6), что в этом случае
А/>(*)-(-1) Г(п_х+1) Г(я,_ж) •
яаходим
что, по умножении на
Т(т + п-х) = у ,_ цХ Г(в + 1)Г(/я--1-~1)Г(х-№)
Г(т —ж) Л *■ •* r(X-f-l)r(rt —Х + 1)Г(/и —я-1)Г(х —и—X)
9
Г(*-п)
лриводится к следующему:
= 2(-^
Г(х) Гря4-и —*) __
Г(лг — n) T(m — x) ~
Г(п+1)Г(т —X—1) Г(х)
Г(Х + 1)Г(л —Х + 1)Г(|и — п_ 1) Г(х--л —X)
Определяя при помощи этой формулы разность
А„ Г(дс) Г(т + я-*)
Г(х — /г) Г(т—х) '
находим, что она выражается через
2(— 1)х Г(я + 1)Г(т-Х-1) д„ Г(дс)
Г(Х+ 1)Г(л —Х+1)Г(1л-л-1) Г(х-п->) '

— 75 —
и так как эта разность равняется функции
Фя (*)>
по (6) же,
дп Г(*) ^Г(яЧ-Х+1) Г(*)
Г (л: — л — X) T(X-t-l) Г(дс —X) '
то это дает нам такое выражение функции <ря (х):
чх Г (п 4-1) Г (д - X - 3) Г (я -f X + 1) Г (х)
?.w=2(-i) xy
(Х+ 1)Г(я-Х + 1)Г(т-я-1) Г(* —X) '
где знак суммы, как видели, распространяется на все целые
положительные величины к. Но так как, начиная с Х=я + 1, делитель
Г (л — к+1) обращается в оо, и, следовательно, члены обращаются
в 0, то за верхний предел суммы можно взять \=п-\- 1.
§ 6. Внося выше найденные величины сумм
2 ?.(*)/(a 2<p«w
в формулу (1) и изображая вообще через
выражение
с,*
Г(«+р + 1) ^(а + р) (х + ft - 1) ■ . • (х +J)
Г(« + 1)Г(р + 1) 1-2---Р
представляющее коэффициент при аа&3 в разложении (a -f- &)а+9, мы
находим, что общий член этой формулы может быть написан так:
т
2с*-1.«с«.-«-*-1.«А"/<х>
(_ р. 2" + 1 Г(т-»-1) J *„ (х),
V ' т-1 Г(т-1)Г(в+1) Ст_1)П
или
Г(|Я-Я-1)Я„
■ ?n С*).
Г(я + 1)Г(т-1)
где для сокращения полагается
т
2 С*-1,ДС«-л-л--1,11АЯ/(^)
т ~ * Cm-1, n
и вследствие этого разложение функции fix) по (1), остановленное
на (Z+ 1)-м члене, представится такою суммою:
** Г(л4-ПГ(т-П
/7=0

— 76 —
Изображая эту приближенную величину f{x) через Р(х), мы
будем иметь
Г(т — п — l)Fn
п=0 \ \ ' \
(*),
где, как видели, функция уп (х) имеет следующую величину:
Ф М = Х=У1( хГ(п + 1)Г(т-Х-3)Г(я + Х+3) Г (х)
Раскрывая суммы, заключающиеся в этих формулах, мы найдем
F {х) под видом полинома степени /, и это выражение F (х) будет
отличаться только знакоположением от того, которое было дано нами
в выше упомянутой ноте. С другой стороны, по этим формулам для
определения функции F (х) легко получаются значения
/>(1), Д/>(1), AV(1)....,
как мы сейчас увидим.
Определяя по выше показанным формулам разности
где ^— какое-нибудь число, находим
~'(л + 1)Г(т—1)
■£, Г=(Х+1)Г(п-Х + 1)Г(т-п-]) r(*-X)*j
НО ПО (6)
А» Г(*) _ Г(Х + 1) Г(х)
Г(ж —X) r(X-[x + l) Г(ж —X + rt '
что для х=1 дает
Д" Г<]) _ Г(Л + 1) Г(1)
Г(1-Х) Г(Х —[X + D. Г(1—Х + К-) '
Так как здесь при X. — н--< — 1 обращается в бесконечность
делитель Г (к — \1+1), а при X. —fx>l— делитель Г (1 — X -}- р.), то
разность
Г (1 — Х^
остается отличною от нуля только при X— ^=0 и, следовательно,-
для X=ii; а потому в сумме, представляющей величину №<рп(х), при
л:=1 останется один только член, соответствующий Х=щ и в этом
члене разность
д*/* (*) =/ у ' 10"-"-•№_ ы (х) )
rS Г(я + 1)Г(т-1) *ПК h
| (7)

— 77 —
Аи Г(х)
Г(л:-Х)'
по найденной сейчас формуле, по причине равенства Х=р.,
приведется к Г (р. -(- 1). Вследствие этого, по (7), для х= 1 получается
ДЧ (!)=( If Г(я + 1)Г(1в-ц- 1) ГСп+Р + 1)
™W V > г([1+1)Г(п —(1+1)Г(ж-л —1)'
д^/7/j)^ V* / Yf ГО» —Е —1)Г(л + t* + J)^it
^ Г^ + 1)Г(«-1)Г(^-(* + 1) '
Так как здесь делитель Г(#—{i-f-1) обращается вое при
/г=0, 1, 2,..., ьь — 1,
то все элементы суммы от л=0 до я=р приводятся к нулю, а
потому за нижний предел ее можно взять л=[л, и вследствие того
выведенная нами формула напишется так:
§ 7. В формуле, определяющей величину разности
А^(1),
выражение
/_ jvii Гри-р—1)Г(я + р + 1)
V Г01+1)Г(«-1)Г(л-р+1)
обращается в 1 при
что соответствует тому случаю, когда &?Р (1) приводится к Р (1);
а потому величина Z7 (1) будет определяться формулою
л=0
Переходя к определению разностей Д/5 (1), Д2/7 (1),..., мы для
сокращения письма будем изображать выражение
Г(д-р-1).Г<я + р + 1)/гя
Г(р + 1)Г(т —1)Г(и —ц+0
Г(я-ц-1)Г(я + ц+1)
через
(—If-
V Г01 + 1)Г(я1-1)Г(л-ц+1)
вследствие чего формула, найденная нами для определения Д11 F(l),
представится так:
А*/>(!) = ^ (^ я)*7-
л=0

— 78 —
Определяя же, по равенству
(ц, л)_(-1) r(m_1)r((4 + ])r(n,,+1)>
отношение
(I* + 1, п)
находим
fa + ^ я) _ rfr + Q Г(т-ц-2) Г(п+т + 2) Г(п — н-+ О
fa, л) Г> + 2) Г(л1-ц-1) Г(л + |1+1) Г(п —fi)
что, по причине равенств
Г((1 + 2) = (|1+1)Г(|1+1),
Г (от — (л— 1) = (да — (х-2)Г (от — (а — 2),
Г (я + (х + 2)=(л + ц + 1) Г (л -f v. + 1),
Г(я —|1 + 1) = (л —{1)Г(л —(1),
приводится к следующему:
fr + l.")^ (я + ^+ !)("-к) _ n(n + I)-^fa + 0
(М) ((л+])(«-(д-2) 04-1) (/п-ц-2) '
откуда выходит
G* + 1) (m — |i — 2)
Это соотношение между величинами
((1 + 1, Л), (Ц, Л)
в совокупности с замеченным выше равенством
(О, л) = 1
дает возможность легко вычислять все значения множителя (р, п)
в формуле
д^(1)= ^ о*.»)''..-
На основании выше сказанного мы заключаем, что величины
Р (1), Д/7 (1), AV (1), Ь?Р (1),. ..
в том случае, когда ряд (1) останавливается на (I -\- 1)-м члене?
найдутся по таким формулам:
д^(1)-(1, lm + O, 2)/>, +(1,3)/*, + ... + (U/)/>•'
Д»/>(1) = (2, 2)./>, + (2, 3)^3+...+(2, О^Л (8)
Д8/>0) = (3,3) ^, + ...+(3,0 Л,!

— 79 —
где величины
определяются формулами
'О» '1> '2> • • • у 'I
Л,=(-1)
„ ^ С^_1 л Ст-п- х- 1, п Д*/ (*)
я 2л -|- 1 1
Са,Э =
"» — ] Сш-1, л
(а + Р) (« + ?-]),,,(а + 1)
1-2,,-р
а множители
(1, 1), (1, 2), (1, 3), . .. , (1, /),
(2, 2), (2, 3),. . . , (2, I),
(3, 3) (3, 0,
{v-, л).
(9>
выводятся один из других по равенству
Г^ (р + 1)(я-*-2)
причем полагается
(0, 1)=1, (0, 2)=1, (0, 3) = 1,..., (0, 0=1-
§ 8. Чтобы показать на примере употребление выведенных нами
формул, мы приложим их к тому случаю, который в баллистике
Н. Маиевского вычислен по прежним нашим формулам.
На этом примере величины переменной х и соответствующие им.
величины функции f(x) суть следующие:
*=1. /(je)=0,2020,
jc=2, /(х)=0,1885,
jc = 3, /(*)=0,1645,
х=4, /(jc)=0,1434,
x=5, /(лО==0,П76,
x=6, /(x) ==0,0897,
x=7, /(x)=0,0581,
x=8, f(x)=0,0244,
x=9, f(x)= — 0,0122.
Определяя по этим величинам функции /■(*) ее разности
различных порядков, составляем такую табличку:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
/00
0,2020
0,1885
0,1645
0,1434
0,1176
0,0897
0,0581
0,0244
—0,0122
bf{x)
-0,0135
-0,0240
-0,0211
-0,0258
-0,0279
—0,0316
-0,0337
-0,0366
—
Д*/(х)
-0,0105
+0,0029
-0,0047
-0,0021
—0,0037
-0,0021
-0.0029
; —
1 —
Д»/(х)
-1-0,0134
-0,0076
+0,0026
-0,0016
+0,0016
-0,0008
—
—
—

— 80 —
Так как в этом примере /я =10, для я=0 получаем
1 '°
Cx-i^Q-Cg-x, 0=1, ^9,0 = 1, Л)= ~Т" 2j f^X^
для /г=1
для /г=2
9 ,
п п л: (9-л:) г _ 10
Ьл-1, 1 • C8-jf, 1 = — , ^9, 1 — — ,
1 9-10 <£ 1-1 '
п r (x+l)x (9-x)(8-x) _ _ 11-10
F.
= 5-2 у, (*+!)■* (9--»)(8-дс) A»f(.;V
9-11-10 Л 1-2 1-2 IK h
для /г=3
„ „ (х+2)(х-\-1)х (9-х)(8-х)(7-х) п 12-11-10
c,_,,8-ce-,j3 — ^ , с9>3= -Т17Г,
„ 7-2-3 -^ (ж+2) (*+!)* (9 — *) (8-х) [1-х)
1-2-3-1-2-3 ^ '*
9-12-11-10 ^ 1-2-3-1-2-3
Определяя по выше приведенным значениям f (x) и разностей
Af(x), №f(x), A3/(x) суммы, заключающиеся в величинах
* о» 'i> '"г» * з>
находим
2 /(*)=0,9760.,
2 -y-^pAf(*) =-3,2312,
2 i£±P С9-Ж8-.) A,/(jc)gB_1>2908>
2 (X+lit1U (9"X)(1827)(7"X)AV(.)=0,0656,
что, по внесении в выражения величин
*о» *i> *г> F$,
дает
F0= ■— -0,9760=0,1084,
/?i=-^-(-3,2312)=0,1077,
^^-^^TTIF -0.0656=-0,0002.

— 81 —
Складывая эти величины, мы по (8) получим величину ^(l),
соответствующую тому случаю, когда в выражении (1) искомой
функции останавливаются на четвертом члене, или, что одно и то же,
когда четвертые разности ее принимаются равными нулю.
Таким обрааом, для определения F(l) находим
F (1) ==0,1084+0,1077—0,0130-0,0002.
По тем же величинам
мы, на основании формул (8), получим разности
д/41), avu), д^а)
при помощи множителей
(1,1», (1,2), (1,3),
(2,2), (2,3),
(3,3).
Так как по (9) при
т=10, ц = 0, л= 1,2,3,
принимая
находим
(0,1)=1, (0,2) = 1, (0,3) = 1,
(ltl) ь^Ы., J.
V ' 1.(10-2) 4 '
(1,3)=—«=°±.1 = --L
4 ' ' 1.(10-2) 2 '
то по (8) мы перейдем от выше упомянутой величины F (1) к
величине А/7 (1), опустив первый член и умножив остальные по порядку на
(U)=+, (1.2)=--f, (1,3)=--f-.
Таким образом находим
д/^(1) = L .о,1077+— .0,0130+ —-0,0002=
= —0,0239+0,0097+0,0003.
Чтобы перейти от этой величины первой разности Р (1) ко второй,
мы должны, по (8), опустить первый член, а остальные по порядку
умножить на отношения
(2,2) (2,3)
0.2)' (1,3)"
6 П. Л. Чебышев, т. III.

— 82 —
Так как, по (9), при /я = 10 находим
(2,2) ^ 2-3-1-2 ^ 2 (2,3) = 3-4-3-2 _ 5
(1,2) 2.(10-3) 7 ' (1,3) 2-(1и-3) 7 '
то, по выше сказанному, для определения величины Л2/7 (1), получается
А*/*(1)= ?- -0,0097— — .0,0003 = — 0,0028-0,0002.
Опуская здесь первый член и умножая второй на отношение
(3,3)
(2,3)'
которое по (9) равно
3-4-2-3 б_ 1_
3(10-4) ~~ 3-6,"" 3 '
находим
AV(1) = - ~- (-0,0002)=0,0001.
о
Таким образом, для определения выражения искомой функции в
предположении, что четвертая разность ее равняется нулю, находим
F (1)==о,1084+0,1077—0,0130-0,0002 = 0,2029,
д/7(1)=:_о,0269+0,0097+0,0003 = -0,0169,
Д2/7 (1 )==_о,0028-0,0002=—0,0030,
Д»/*(1)=0,0001.
§ 9. Выведенные нами формулы относятся к тому случаю, когда
все величины
/(1),/(2), ...,/(т-1)
предполагаются одинаково хорошими, или, что одно и то же, когда
их средние квасратические погрешности равны.
В том случае, когда эти погрешности величин
/(1),/(2), ...,/(/я-1)
не одинаковы, а обратно пропорциональны величинам
6(1), 6(2), ..., 6(т—1),
формула (1), как известно, заменяется такою;
т т
f(x)= -i- ?А*)+-^ ?хИ+...,

— 83 —
где
Фо(4 <Pi(*), •••
суть знаменатели подходящих дробей суммы
V 82(Х) = 82(1) . 9* (2) . | 6»(/п-3)
^х —X х—\ * х—2 *"** х — т + 1 >
получаемых разложением ее в непрерывную дробь
■ С° С
Нетрудно показать, что случай
' Г (л:) Г(т — х) '
где ос, р — какие-нибудь постоянные количества, разрешается
формулами, подобными тем, которые были выведены для случая 6(;с) = 1,
Для этого мы замечаем, что дробь
Ап Т(х+а) Г (ж -дг+р + я)
Т(х — п) Г(т — х)
Г(х+а)Г(т—х-\-$)
Т{х) Г(т-^-х)
приводится к целой функции степени п* и что по (2), полагая там
К } Г(х — п) Г(т — х)
находим
S"1 р(х) д" гС*+а) Г(т-х+£+п) _
К } Т(х — п) Г(ш—х)
:(_П» у 1Х^+я+«)Г(т-дс+р)дЯ ( . (ш)
4 ' £а Г (х) Г(« - л -*) V У
Делая здесь /^х) равным
<Ро(А ?iW, -.., ?ihW
и замечая, что для этих значений F(x) разность
LnF{x)
приводится к нулю, мы заключаем, что все суммы
* Выражение этой функции показано ниже.

84 —
ij ™ К } Г (* — л) Г(т—х)
^lV ; Г(* —л) Г (/л-*) '
4 9-ч^д F^J г(т-^)
равны нулю, а потому, принимая
б2 (х\= г(*+«> Г(да-*+р)
V ; T(jc) Г(да —jc)
и полагая для сокращения
АпГ(лс4-а) Г(да —х + Р + я)
Г(«) Г (да —л:)
Г(л:+а) Г т—х + р) Wх%
Г(х) Т(т-х)
мы будем иметь
т т
2 <?<> (х) wx е2 (х)=а 2 ^{х) w* °2 (*)=0
г 1
т
1
Из этих же равенств, подобно тому как это было показано для
случая 6 (х) = 1 в § 2, мы выводим, что
и, следовательно, по нашему знакоположению
Дп ГО+cQ r'm-x-l-ft + ft)
Г(х — п) Г (да —л:)
Уп(х)= Г (л:-fa) Г(да~-л:+Р) • ^
Г (л:) Г (да - л:)
Переходя к определению сумм
2 Фо (*) 62 (■*) f (х), 2 Ь (х) б2 (*)/(*), 2 Ф2 (х) б2 (*)/(*),...,
2ф20(*)62(*), 2??wetw 2 *2(*)вЯ (*)-••■
мы замечаем, что равенство (10), по внесении .в него величины
л Г Ос4-а^ Г (да — х + р + п)
Г(х-*п) Г(т — х)

— 85 —
из (11) и по замене
Г(л:4-а) Г(т~* + р)
Г(дг) Г(т-х)
через
в*(х),
дает
/71 /71
Делая здесь F(x)=f(x), мы находим
m от
что служит для облегчения вычисления сумм
2 f(x) <?0 (х) б2 (х), 2 /(л) 9l (х) Ъ\х),....
1 t
Для определения суммы
т
2<p2»e2w
1
мы положим в этом равенстве
и, так как, по (11), для такой величины F (х) находим
AV(x)^A'T^^)=(-irr(g+1)r/2y,+g+p+1)
v ; яЧ ' v ' Г(л+«+Э+1)
то это дает нам
V ф2 Ш 62Ш= r^+J)r^+K+P+D ^ Г(*+а+")Г(т-*+Р)
Г(т — х — п)
Ч/2 + oc+P + l) ** Г(х)Т{т-х-п)
Функция
обращается в оо при
х=т — пу т — п — 1, ..., т — 1,
вследствие чего все элементы суммы
2т Г{х+*+п) Г(т-дг+р)
х Г(х) Т(т-х-п)>
начиная с х=т—п, равняются нулю, а потому за верхний предел
этой суммы можно взять т — л, и она напишется так:
m~л r(x+a+tt) Г(т-* + Р)
2шк Г (*) Г (т- х -л) '

— 86
а эта сумма по (5) равняется
Г(я+«+З^Г(л + Р + 1)Г(ю+я + "+Р)
Г(2л+а + Р+2) Y(m — n— 1) '
В нося эту величину суммы
т—п
, Г (л;) Г (т - х - л)
в предыдущую формулу, находим, что сумма
2>м*)в*(*)
выражается таким образом:
Г(2л + а+|3 + 1)Г(/71-/х-1)Г(/х + а+Р + 3)
§ 10. Переходя к определению функций
ФоС*)> ?i(4 •••
по формуле (11), мы замечаем, что вообще разность
ьпиух
приводится к сумме
vx+n д" их+ -f AVx+„-i &rlux+ J^L д21/,+я_2 ьг*ил
которую можно представить так:
Х=п+1
хе0 г(х+1)г(п-х+1)л ^+"-хА ^
Полагая здесь
U = Г(.дс+а) ^ _ Г(т-^-д:+р + /х)
Л Г (л-л)' * Г(т-*)
находим, что разность
^пТ(х+а) Т(тп — х+р + п)
Г(х~п) Г (от — х)
равняется
V Г[п+1) Т(т+р+1-х} х Г(*+«)

— 87 —
а так как, по (6),
дх Т(т+$+\-~х) = /_2чх_ Г (я + P + J) Г(т + Р-дг)
Г(/я-л+*~ *) Г(л + р —х+!) Г(т-л+Х-х) '
дЛ_Л Г (дг+а) _ Г(д + « + Д) Г (дг-f <х)
Г(х*~л) Г(а+Х+1) Г(.х —X)'
то для величины разности
дпГ(х + а) Г(т — х + Р + я)
Г(лг--л) Г(т—*)
будем иметь
(~ПГ(л+0Г(л+«+1)Г(л+р+1)Г(т+Р~х)Г(дг + а)
Х^0 Г(Х+1)Г(л-Х4-!}Г(а+Х+1)Г(л + р-~Х+1)Г(т-л-ЬХ~л:)Г(^Х)
2
Разделяя эту величину разности
А„Г(.х4-з) Г(т-* + Р + я)
Г(х—л) Г(т-х)
на
ГОс + «> Г(т — x-f ft)
Г (jc) Г (т - х) '
находим в частном
^+1 (~1)У(л4-1)Г(л+« + 1)Г(л + Р + П Г(т-х) Г(х)
Л Г(Х+1)Г(л — Х+1)Г(х+Х+1)Г(л + р — Х+1) Г(ж-л + Х—*)Г(.г —X)
и это по (11) будет величина функции <?я(х).
Так как здесь
Г(«—л) г===;(от_х_1)^т_л:_2)..,(^ — д^х-х),
Г(л*—я+^—*)
FW - (*— 1) (jc —2)... (jc — X),
то все члены этой суммы будут представлять полиномы степени п,

О ПРЕДЕЛЕ СТЕПЕНИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ,
КОТОРАЯ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ИЗВЕСТНЫМ УСЛОВИЯМ*
Если целая функция, между какими-нибудь двумя пределами
переменной, удаляется мало от нуля и имеет значительную величину вне
этих пределов, то, наверно, она высокой степени.
Какова же формула, которая дает предел степени целой функции
по ее отклонениям от нуля для значений переменной, лежащих между
известными пределами, и по ее величине вне этих пределов? Решая
эту задачу по способам, изложенным в нашем мемуаре „Вопросы
о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением
функций", ** мы пришли к такой очень простой теореме:
Теорема. Если целая функция f(x) степени п, от х=—/ до
х=-\-1, не выходит из пределов — L и -\-L, а для всех значений х
вне пределов х=—I, х=-\-1 величины функции f (х) находятся или
лежат вне пределов —L u-\-L, то должно быть
[v^-V*^/ ^ Vu&J]2-Yu MY - v'
где радикалы взяты со знаком -f".
* Опубликовано в Bull, de la Soc. Mathem. de France, III, (1875), стр, 103; Собр.
соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907.
стр. 701. — Ред.
** См. том II настоящего Собрания сочинений П. Л. 4 е б ы ш е в а, стр. 152—
236.—А?д.

О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ,
ЛИНЕЙНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВУХ ПОЛИНОМОВ*
§ 1. В письме к г. Брашману** мы показали, каким образом,
разлагая функцию и в непрерывную дробь
определяя
ее
подходящие дроби
_ Яо Л _
1 ' С?2
Яг
= Я_
+ . .
мы можем найти величины полиномов X,Y, при которых выражение
uX—Y
наименее разнится с какою-нибудь функцией v.
Полиномы X, Y, удовлетворяющие этому условию, как было
высказано нами в выше упомянутом письме и доказано в мемуаре под
заглавием „О разложении функций в ряды при помощи непрерывных
дробей*,*** определяются рядами
X=co1Q1+co2Q2+6>3Q3+...> \
Г=-Е^+о)1Р1+со2Р2+о>3Рз+...> >
где знаком Е обозначается целая часть функции, а
ы1У а>2, о>з, ...
суть целые функции, которые по значению функции v и знаменателям
Qn SC2> Qz> • • • >
Qi> Яъ 4zi • • • >
* „Sur les expressions approchees lineaires par rapport к deux polyndmes" (Bull, des
sciences mathem. et astr., II serie, I (1877), стр. 289—312; на русском языке в
Приложении к XXX тому Записок Имп. Акад. Наук, № 4 (1Я77); Собр. соч. П. Л. Чебыше-
ва под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907» стр. 245 — 264. — Ред.
** Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 411—419.— Ред.
*** Там же, стр. 416— 430.— Ред.

— 90 —
находимым по вышесказанному, разложением функции и в
непрерывную дробь, получаются из такой общей формулы:
что короче можно написать так:
«^(-l/^Efo/^Qi)), (2)
изображая знаком
•совокупность всех членов в разложении функции vQh заключающих
отрицательные степени переменной.
Останавливая выше показанные ряды на каких-либо
соответствующих членах
мы находим такую систему полиномов X,Y, в которой X степени
ниже, чем Qm+b а разность выражения иХ—Yc функцией v достигает
•самой низкой степени, возможной в предположении X полиномом
степени ниже, чем Qm+i.
При этом степень полинома X определяется степенью члена
последнего из удержанных в разложении X, а степень разности
uX — Y — v
степенью первого члена в ряде
<Om+l (llQm+\ — -Pm4-l) + bWb2 (ttQm+2 — Pm+2) -{""•••>
не обращающегося в нуль.*
Полагая, что первый из таких членов есть
<йт+п (u>Qm+n — Pm+n)t
и изображая через р степень функции
мы по выше сказанному заключаем, что вообще степень приближения
выражения иХ — Y к v будет определяться степенью произведения
■* \UQm+n — Рт+п)>
* См. вышеупомянутые статьи и мемуар наш под заглавием ,0 наибольших и
наименьших величинах сумм, составленных из значений целой функции и ее
производных". [Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 438—466. г- Ред.)

— 91 -
и, следовательно, степенью дроби
так как по свойству подходящих дробей степень разности
ttQm+n — Рщ + п
равняется степени дроби
1
Qm+n+\
Из этого видно, что выражение uX—Y при X, Y— целых функциях
и X степени не выше, чем x°Qm, может представить функцию v с
точностью до членов
только в том случае, когда выполняются такие условия:
^>/72-f-l==0> <х)л!+2 = 0, >>#j O)m+7I_,=0,
где, следуя знакоположению Абеля, мы обозначаем знаком В степень
функции.
При выполнении же этих условий ряды (1), остановленные на
членах u>mQm, <^тРту как видели, дают X степени не выше, чем x9Qmt и
выражение иХ—Y отличается от ю членами степени не выше, чем
А потому условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
формула
uX—Y
могла представить функцию v с точностью до x~N при X сгепени не
выше М, напишутся так:
6>от+1=0, €йЛ+2=0,...,ЮЛ+л-1==0, \
если через
Q«> Qm + n
обозначим последние знаменатели подходящих дробей
£± £i Ь
Qif Q.' О» '",

— 92 —
которых степени не превосходят пределов М и N— 1, и через а, р —
степени дробей
Х^ Qm+n+\
Qm' XN
% 2. Мы теперь покажем, что эти условия могут быгь заменены
такими, более простыми:
bF(vQt^1)<b^-> SFfrQ^ifk, (4)
где
Qz-ь Qi
суть последние два члена ряда
Vi» Wz> Уз* • • • >
которые по умножении друг на друга дают произведение степени
ниже jW+ЛЛ
Для этого мы сначала найдем высший предел степеней
SF(vQJ, bF(<vQm+l), ..., SF(vQm+n)
в том случае, когда условия (3) выполнены. Убедившись на основании
этого в необходимости выполнения условий (4), мы покажем, что они
со своей стороны предполагают выполнение каждого из условий (3).
По связи, существующей между подходящими дробями
Л Р_2 Р*
<V Q2' Q8' ""
выражения
" = <7о+- L . JL
имеем
Q,+, =Qiqi + Qi-i ,
что по умножении на v нам дает
vQt+i =vQiqiJrvQi-i .
Переходя от равенства функций к равенству их дробных частей,
находим по нашему знакоположению
F(vQi^) = F(vQiqi)+ F(pQt-i). (5)
Разлагая же функции
vQh vQtqt
на целую и дробную части, получаем
*>Qi = E(vQd+F(pQd9
vQtqi^EdoQtqd+FivQtqd,

— 93 —
что по исключении Qt нам дает
F (vQ, qt)=qtP (vQt)-\- qt E (vQt) - E (<oQt qt).
Внося эту величину
P(pQ,qi)
в равенство (5) и изображая для сокращения через Ut целую функцию
E(«Q,?,) — ?|E (*<&),
находим такое равенство:
Яг F(vQt)=P(vQl+l) - PivQ^+U,.
Замечая же, что функции
F(vQi+i), F(vQi-t)
содержат только члены с отрицательными степенями переменной, мы
отсюда выводим
Е (?,/*(*?,))=*/„
что по формуле (2)
*>,=(-JO'-'Efo/^Q,))
нам дает
и вследствие этого выше найденное выражение функции qiF(vQi)
приводится к такому равенству:
которое и послужит нам для вывода высшего предела степеней
функций
Р (vQm)> P (*Qm+l), • ' • > Р (vQm+n)
в том случае, когда имеем
Так как в этом случае для всех величин/, от i=/n-f-l до / = т-|-л—1
включительно, функция о^ обращается в 0, то для всех этих значений
выведенное нами равенство приводится к следующему:
4i P (pQt)=P(pQi+i)-P («Qi-i). (6)
Замечая, что функция qx степени не ниже первой, мы из этого
равенства заключаем, что в ряду
Р (*>Qm)> P (^Qm+l), . . . > Р (vQm+n)

— 94 ~
между тремя функциями
FdvQt+i), F(vQi), F(vQt-i),
непосредственно следующими одна за другою, средняя функция
F(vQt)
должна быть во всяком случае степени ниже, чем одна из крайних
FivQi+i), F(vQt-i).
Из этого видно, что в ряде
8F (vQm), ZF (vQm+i),. •., S/7 (vQm+n)
ни один из средних членов не может' представить maximum, а потому
в этом ряде может быть только один minimum.
Полагая, что
%F (t/Qx)
есть первый член ряда
*F(<oQn), *F(vQm+i),..., SF(vQm+n),
достигающий наименьшей величины, мы замечаем, что для всех
значений f, от i=m-\-l до /=Х —1, функция
FfrQi-O
будет степени выше, чем
и, следовательно, по равенству (6), ее степенью будет определяться
степень выражения
откуда для рассматриваемых величин i получается такое равенство:
F(vQf ,)
Чх
Делая здесь*
/=яг+1, т-\-2,.. ,,\—1,
мы получаем ряд уравнений, служащих для последовательного
перехода от функции
к функциям
F{vQm+i)> F(vQm+2), ...,/* (vQx-ii).

— 95
Эти уравнения нам дают
SF(vQm+2) = 8 Р^") ,
Qm±\ Ят+2
8/^(^Qx_i)=S ^^ .
4m+l Qm+2 '" 4\-l
Переходя к членам ряда
S/7 {vQM)9 ЬР (vQm+,),..., SF(^Qx), ...,ЪР {vQm+n), (7)
следующим за первым наименьшим членом
мы замечаем, что ни один из них не может быть меньше его, а
потому мы будем иметь или
или
bF{vQx+i)>*F(vQx),
смотря по тому, будет ли за наименьшим членом следовать член ему
равный, или нет.
Что же касается третьего члена
bF(vQm),
то он не может достигать той же наименьшей величины, ибо иначе
мы нашли бы три члена в ряду
F{vQm\ F(vQn+l),...,F{vQa+n)
одной и той же степени, что по выше показанному невозможно.
Из этого видно, что после члена
8/?(*>Qx+i)
в ряду (7) члены необходимо должны итти возрастая, а потому при
всех величинах /, от /=X-f-l до /=m~f-/i— 1, будем иметь
bP(vQw)>lF(vQt^i)9
вследствие чего, по (6), при этих величинах / степень члена
qtFivQt)

— 96 -
будет определяться степенью члена F(vQi +1), что предполагает
равенство
Делая здесь последовательно
i=mJrn— l, m-f-^-"2>... Д-f-li
мы находим ряд уравнений, служащих для постепенного перехода
от функции
F(vQm+n)
к функциям
F (tfQiH-m-i), F (tfQ*+n-2),..., F (*>Qm-i)-
Из этих уравнений получаем
ОГ {VQm+n-\ ) =0 ,
8/>(tfQx+,) = 8
Ят+п—\ Ят+п-2
Чт-\-п—\ Ящ+п-2 '' ' ?X+1
§ 3. Таким образом по двум крайним функциям ряда
F (vQm), F (vQm+г),. .., F (vQm+n-i), F (vQm+n)
определяются степени всех прочих, за исключением одной функции
F (vQx).
Для определения степени этой функции мы замечаем, что (6), при
г=Х, дает
qxF (vQx) = F(<vQx+i) — F (*>Qx-i).
Так как здесь по предыдущему параграфу члены
F(vQx+i), F(vQM)
будут одних степеней с выражениями
то по крайней мере одно из этих выражений будет степени не ниже,
чем q\F {vQx), и, следовательно, будем иметь или
S/7 (tfQx) < S ^^ ,
или
*F(vQ>) <S р№»гы) #
Ят±п-\<1т+п-.г • • Я\+\Я\

- 97 —
Так как по предыдущему параграфу для
г-=/я+1, >я+2,. .., *»—1,
/=Х+1, Х+2,...,т-\-п— 1
имеет место или равенство
iF(vQt)^b ^^—,
Ят\-1ЯтН • • • tf*
или равенство
bF{vQi)^b р№ть* 9
Ят*п~- ltf/irfo—i""" Ql
причем, очевидно, удовлетворяется по крайней мере одно из условий
Ят+\Ят+2--Я1
Ят+п-\Ят+п-2"-Я1
найденных нами сейчас для
мы заключаем, что для всех величин /, от i=m-\-\ по /=/я+л--1>
будет иметь место следующее:
Ц*(«0,)<>- 7"" g>
ИЛИ
8/>(*Q,)<*
Яя1+п-1Ят+п~-2--Я1
Что касается высших пределов степеней функций
то они могут быть выведены из последних условий (3)
Для этого мы замечаем, что по формуле (2), определяющей функции
<*\> <*>2> ^3» • • • »
имеем
сот+л = (- l)***-1 E {qM+nF(vQM+n))9
вследствие чего выше показанные условия относительно степеней
функций
предполагают, что функции
ЯтР (vQm), Ят+пР {vQm+n)
7 П. л. Чебышев, т. Ш.

— 98 —
степеней не выше
с, р,
а потому
X?
Чт+п
Вследствие же этого выше найденные пределы степени F {vQt)
водятся к таким:
ЯтЯт+\~-Я1 '
или
Ят+пЧт+п—Х • ' • Qi
Эти формулы могут быть значительно упрощены.
По нашему знакоположению подходящая дробь разложения
соответствующая неполному частному qk9 есть
^4-1
0*+i
а потому произведение неполных частных
Я\ЯгЯг---Ян
будет одной степени со знаменателем Q*+i.
На основании этого мы находим, что произведения
ЯтЯт+\ • • • ЯU
Ят+п ^лг+л—1 * • • Я(
будут одинаковых степеней с дробями
вследствие чего выше найденные неравенства нам дают
8F(4)<^ или 8f(^,)<S *><?<1 .
vm-fn-f-l

— 99 —
А так как по нашему знакоположению (§ 1)
*Q*
&
будут одинаковых степеней с
то эти неравенства приводятся к следующему:
V/4-1 *
откуда видно, что высший предел степени каждой из функций
F (vQm)> F (vQm+i),., •, F (vQm+n)
будет определяться наибольшею из двух величин
<1+
'Oi-, ' ~х?
при соответствующем значении и
Полагая, что й ряду
Ql> V2» Qz> • • •
последние две функции, которые по умножении друг на друга дают
произведение степени ниже M-\-N, суть
мы замечаем, что они должны удовлетворять таким неравенствам:
*(QM-Q,)<A*+JV, л
*(QfQt+l)>M+N. I (8)
А так как
то эти неравенства предполагают, что
если i=l — 1, и
8—>8%,
если г=/. Вследствие чего по найденному нами относительно высшего
предела степени

— 100 —
мы для /=/—1 и i=l имеем
8/=>Qr->)<§-, j
Мы теперь покажем, что эти неравенства, вытекающие, как видели,
из условий (3), со своей стороны предполагают необходимым
выполнение каждого из условий (3).
§ 4. По нашему знакоположению
pi-\ ^j_ pi-\-\i
Qt-i' Qi' Qm-и.
означают подходящие дроби разложения
u=q*+i+
ч
*»+!»-1 +
соответствующие неполным частным
Изображая через
S
т
простую дробь, к которой приводится непрерывная дробь
1
Ях-
91+1 +''. , 1
мы, по свойству непрерывных дробей, находим
Умножая это на v, имеем
что предполагает равенство

— 101 —
Разлагая же функции
vQv vQtS, vQt_v vQ^T
на целую часть и дробную, находим
«Qt_1=E(«QI_,)4-/'(«Qj-,), '»Qz-^=E(t»QI_ir)+/7 (wQf_,T);
откуда, исключив Q,, Qz_,, стоящие без знаков Е, Р, выводим
Р (vQtS) = SP (vQ,) + SE(vQl)-E (vQ&,
P(?Qt-iT)=* TP(vQ^) -bTE(^_,) - E(*<?,_, Г).
Внеся эти величины функций
У(*&$). P(vQt-.tT)
в выше найденное выражение функции
и полагая для сокращения
SEivQ^EivQ^+TEivQ^-EivQ^T^U^
получаем
Так как S и Т суть члены простой дроби
S
т*
к которой приводится непрерывная дробь
1
9t+
Яг+\ +
•+ ■
t
то они будут одинаковых степеней с произведениями
9/4-1^+2;* ••^j+h-i >
и, следовательно, одинаковых степеней с дробями
Q/4-P- Q/+it
Ql ' 0/4-1 '

— 102 —
составленными из знаменателей подходящих дробей
Л pi+\ pi+*
0,* 0,+,' Qi+V.
разложения
л + •. .
*'-' +74- •
+ '?'+^-i +•
А потому мы будем иметь
bs=b-^^, ьг=
1+VL
Qi Qi+i
Замечая же, что по (9)
мы находим
л*,
**«Ж.
ОгОц.1
Но, по (8), произведение
степени не ниже M-\-N, вследствие чего последнее неравенство дает
Из этого видно, что в выражении функции
по формуле (10) оба члена, содержащие переменную в отрицатель-
ных степенях, будут степени не выше, чем —тг » а потому
Х1У
Замечая же, что
^J+U+l
мы отсюда выводим, что

— 103 —
Полагая здесь последовательно
[1=0,1,2,..., п-\-т — /— 1
и замечая, что при этих величинах у. функция QZ+JJL+1 достигает только
предела Qm+n, степень которого по § 1 не превосходит N—1, мы
заключаем, что
bqJP (vQ} < 0, *ql+lF (*Q|+1) < 0,..., Цт+л^Р {vQ^^) < 0,
вследствие чего, определяя функции
по формуле
находим
«i=0, «/+1 = 0,..., б> да+Л^ =0.
Полагая же u=/n-|-/i—/, имеем
вследствие чего, определяя функцию а>да+я по той же формуле, заме-
чаем, что она будет степени не выше» чем —-—^.
А так как по нашему знакоположению (§1)
заключаем, что
Так мы убеждаемся, что неравенства (9) влекут за собою выполнение
условий
Переходя к доказательству, что то же имеет место относительно
прочих условий (3), изображаем через
подходящие дроби разложения
Я1-х +
fz-x+i + • . ^
соответствующие неполным частным ?z_2>?m-

— 104 —
При помощи этих дробей подходящие дроби разложения
+ —— _l_L_
соответствующие неполным частным
4l—\~2> ll—X—p Я1—2' 4l~\>
одни через другие определяются так:
Qi-i Qj-x^+Qt-v-i^i' Qi Qi-xS2+Qi-x-iT2
Решая же уравнения
Ql-l=Qi-XSl+Ql_x_lTv
относительно
Q;_X ' Q/-X-1
и замечая, что по свойству подходящих дробей
находим для Qz_x такое выражение:
Умножая это на v и переходя- от равенства функций к равенству
их дробных частей, получаем
± F (vQl_x)=F(vQl^T2) - F {vQfJ.
По равенствам же
vQi-J^EivQ^TJ + F(vQ^T%), vQ^^E&Q^) + F(vQl_l)i
vQtT^EivQfr) + /^Г,), vQ^EivQ} + F (vQt)
находим
F (vQtTx) = 7^ (vQt) + Tx E («Q,) - Eft^r,).
Внося эти величины функций

— 105 —
в выше показанное выражение функции
и полагая для сокращения
Г2Е (trQf_,) - Е (t»Q,_, Г2)- Г,Е (*Q,) + E (vQfJ^V,
получаем
±^(^Qz-x)=^(^Q/-.)- ^ frQt) + ^- (П)
Так как по нашему знакоположен ию
гх' г,
суть подходящие дроби разложения
'" + Г~ 4-
"^ т I
?*-2 Ч
соответствующие неполным частным
то знаменатели их Т19 Г2 должны быть одинаковых степеней с
произведениями
Qt-'k+'fll—'k+l # • -^-2'
^/_X+I 4W+2 # # -Ql-24t-\
и, следовательно, одинаковых степеней с дробями
составленными из знаменателей подходящих дробей
непрерывной дроби
^-х + -. 1
А потому
Q/ t Qi
Qr-x-H Qr-x-fi

— 106 —
Но по (9) имеем
О Xм-
откуда выходит
Or ,Qt . хМ
Так как, по (8), произведение QJr_l Ql степени ниже M + N, то
первое из этих неравенств нам дает
sr^^xs-
хм
<?Z-X+1
Из этого видно, что обе функции
-будут степени не выше, чем
хм
Qt-
-Х+1
а в этом случае по формуле (11), замечая, что V не содержит
отрицательных степеней переменной, находим
S/^Q,_X)<8*
хм
что, по соединении с равенством
Qi-x+i
<?,-х '
нам дает
v/_x
Делая здесь
Х = / — пг— 1, I— m — 2, ..., 1,
и замечая, что при этом, по § 1, дробь
хм
Qi-x
остается степени ниже нуля, находим
*?m+1 Р (vQ^) < 0, bgm+2 F (*Qm+2) < 0, ..., *?м F (*QZ_,) < 0,
вследствие чего, определяя функции

— 107 —
тю общей формуле
*>, = (—1) '-* Е (qt F ivQi)
получаем
C0m+I =0, COm+2 =0, . . . , 6)^=0.
Полагая же в предыдущей формуле
Х = / — /71
и замечая, что по нашему знакоположению (§ 1)
Qm
находим
откуда по общей формуде, ощредедя^щ^й значение функции %,
заключаем, что
Так мы убеждаемся в выполнении условий
*Vh =0, co^2 =0, ..., co^j =0,
которые вместе с выше показанными условиями
•обнимают все условия (3).
Из этого щдно* что неравенства (4) составдяют не толысо
необходимые* на и достаточные усдощад дад того, чтобы формула
nX-Y,
при Х> Y целых и X степени не выше т, могла дать црцблнженное
выражение функции v с точностью до x~N не включительно.

О ФУНКЦИЯХ,
МАЛО УДАЛЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ
ПРИ НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИНАХ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Если целая функция F(x) между пределами х——A, x—-\-k
мало удаляется от нуля, за этими пределами она может иметь
большую величину при х, близком к —А или -\-h, только в том случае,
когда степень ее довольно высока. Мы теперь покажем, как по
степени функции F (х) и высшему пределу уклонения ее от нуля между
x=—h, x=-\-h можно найти высший предел ее величины при
каком-нибудь значении х=Н, не заключающемся между x= — hr
х=+ А,
Так как введением постоянного множителя в функцию F(x)
можно в желаемой пропорции изменить все значения ее и между
д:=—-А, х=-}-/1 и при х=Н, то мы для простоты изложения
ограничимся предположением, что функция F(x) такова, что
значение ее при х=Н равняется некоторой данной величине М, и затем
между целыми функциями, удовлетворяющими условию
F(H)=M
и имеющими данную степень п, будем искать ту, которая между
х=—A, je=-|-A наименее удаляется от нуля. Изображая через L
наибольшее уклонение от нуля такой функции между х=—А, я= + h
и замечая, что для всякой другой функции той же степени п и
приводящейся к М при х=Н наибольшее уклонение от 0 между
х—— A, *=-f-A будет превосходить Z,, мы заключаем, что
отношение
М
L '
получаемое из рассмотрения этой функции, будет представлять
высший предел отношения значения целой функции степени я при х=Н
к наибольшему уклонению ее от нуля между х=—А, х= -f-A.
§ 2. Приступая к определению функции F(x) под выше
сказанными условиями, мы замечаем, что она, будучи степени п и приво-
* Опубликовано в Приложении к XL тому Записок Имп. Акад. Наук, № 3
0881); Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А, Маркова и Н. Я. Сонина, том II,
СПб. 1907, стр. 335-356.— Ред.

— 109 —
дясь к М при х = Н, должна представляться такою формулою:
F(x)=^lx^+p^-'+^^+pn_lx + pn)(x^H) + M, (1)
где pv р2, ..., pn_v pn — постоянные количества. Эти постоянные
в рассматриваемой нами функции определяются тем условием, что
она от л:= — h до x=+h остается в пределах —L, -\-L, между
которыми ни одна функция того же вида и при тех же величинах х
не может оставаться. Для определения значения постоянных р19
Ру • • •» Pn-v Pn на основании этого условия мы воспользуемся первою
теоремою мемуара нашего под заглавием „Вопросы о наименьших
величинах, связанные с приближенным представлением функций".*
Теорема эта может быть применена к определению коэффициентов
функции Р(х)у так как эта функция и ее производные остаются
непрерывными и конечными между х=— h и x=-\-h.
На основании этой теоремы и изображая через х19 хг,..., х^
различные величины переменной х, при которых функция Р(х)
между ;с=—A, x=+h достигает предельных величин —L, + L, мы
заключаем, что система п уравнений
— АН А2 -J- 1 — Л^ — U,
dpi dpx dpx
^х1+^х,+...+^-о,
dp2 dp2 dp2
dPn W dpn ^ ^ dpn
с и- неизвестными Xj, "k^ »»•> К должна иметь решение, в котором
все v неизвестных Х^Х^,..., Х^ не равны нулю.
Определяя по (1) значение производных
dF(Xl) dF(x2) dFQcJ
dpx
dp*
• J
dpx
dP2
dF(xa)
dpx
dF(*»)
<*P2
^Ы
dpn dp} dpn
и внося их величину в предыдущие уравнения, мы находим, что они
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 152—236.— Ред.

— по —
приводятся к следующему:
(х, - И) xr'h +(xt-H) x»-% + • • • + C*u- Н) х-1 К = 0, ]
(*! - Н) xr2h + (xt - Н) л»-»Х8 + • • • + (^ - Н) х*-2^ = о,
(х, —Н) кх + (хг-Н))л'-\ Ь {х* - И) л„=0.
(2)
§ 3. Величина Н по положению находится за пределами х=—hy
x—-\~h, между которыми, как видели выше, содержатся все ^ вели-
ЧИН ^\t Х%у • • • у Ху,»
Вследствие этого ни одна из разностей
хх — Я, х.2 — Н,...,х1Х — Н
не может обратиться в нуль. Заметивши это, мы теперь покажем,,
что [х, число неизвестных \19 Х2, . . . , )^ в выше найденной системе
уравнений, должно превосходить п, число уравнений, для того чтобы
они могли быть удовлетворены величинами к19 Х2, . . . , Х^,
отличными от нуля, как это необходимо должно быть по в!ыше
приведенной теореме для функции F(x), нами рассматриваемой.
В самом деле, если ja не превосходит /г, произведение
уХ — Х%) (X —' Х$)* ' Ш\Х — Х^х)
будет приводиться к полиному степени ниже п, который может быть
всегда представлен так
Ах^+Вх*^ \-К.
Изображая этот полином через ф (х), мы замечаем, по разложению»
его на множители, что
ф (хг) = (Хг — Х2) (Х1 — Хг)'" (хх — Х»\
Ф W=0, 9 (*з)=*0,..., Ф (^)=0.
Переходя затем к уравнениям (2), мы их по порядку умножаем на
А, В, ..., К
и складываем, что дает нам уравнение, которое, по нашему знако-
положению, пишется так:
(*!—#) Ф (хх) >ч+С*2 - Н) ф (х2) Х2Н К*ч — Н)9 <Х0 К=0.
Внося сюда выше найденные значения функций
мы замечаем, что это уравнение приводится к следующему:
(хх — Я) (хг — х2) (X — xz) • • • (л* — х*) Хг=0.
Отсюда выходит
А=0,

— Ill —
так как, по замеченному выше, разность хх — Н не равна нулю, а
величины х1У хъ ..., х^, все различны между собою.
Подобным образом докажется, что при [*<> уравнения (2)
предполагают
Х2=0, ..., >^=0.
Из этого видно, что число р., показывающее, сколько раз
рассматриваемая нами функция от х=—h до x=-f-A достигает предельных
величин —Z, -\-L, не переходя за них, должно быть больше п; а
потому уравнение
Р*{х) — 1*=0 (3)
должно иметь между х=—A, x=-\-h по крайней мере /t+1
различных корней. Из этих п-\-\ корней по крайней мере будет п — 1 таких,
которые не равняются ни — А, ни+А- Эги п—1 корней уравнения (3)
не могут быть простыми, ибо при переходе х через простой корень
уравнения (3) функция F*{x) переходит через L2, а это противно
положению. С другой стороны, замечая, что кратные корни
уравнения (3) должны удовлетворять уравнению
/"(*)=0,
которое, по (1), степени п — 1, мы заключаем, что уравнение (3) не
может иметь и более п — 1 кратных корней. Изображая эти корни
через
Х±, «Xg, X$t,. .., Xaj_i,
мы, по выше сказанному, заключаем, что первая часть уравнения
должна делиться на произведение
(х - хгу (х—х2)* (х — xzf • • • (x—xnJ)\
Нетрудно также заметить, что она должна делиться и на
произведение
(x—h)(x+h).
В самом деле, уравнение (3), как видели сейчас, не может имет^
более п — 1 кратных корней* а так как между х=—А, .*=-{-*» п0
выше показанному, должно заключаться по крайней мере я+1
корней этого уравнения, то два из них по крайней мере будут простые.
Но, как было замечено выше, уравнение (3) в пределах x=—hy
x=-\-h может иметь простые корни только такие:
х=—Л, x=-\-h,
что и предполагает делимость первой его части на произведение
(x—h)(x+h).
Так убеждаемся мы, что разность
F*(x) — I2

— 112 —
будет делиться на
(х — хг)2 (x — х2)* (x — xQ)2--(x — хп-х)2
и на
(х — h)(x + h)=x2 — h2,
и, следовательно, на произведение их
(х - хх)2 (х - х2)2 (х - xzf • • • (х—*«_!)» (х2- h2).
Замечая же, по (1), что это произведение одной степени с разностью
F2(x)—L2,
мы заключаем, что эта делимость предполагает равенство
F2(x)—L2=C(x — x1)2(x — x2)2"'{x — xn^1)2(x2 — h2)>
где С есть постоянное количество. Это равенство нам дает такое
уравнение:
F2(x) — 12=(х2-1г2)Ф2(х), (4)
где Ф(х) есть целая функция степени п— 1, определяемая формулою
Ф (*)= ± УС (х — хх) {х — х2у..{х — хп_х). (5)
При этом мы предполагаем, что знак радикала ±VC выбирается
так, что высший член в функции Ф(л:) имеет одинаковый знак с
высшим членом функции F(x).
§ 4. Приступая к определению функции F(x) на основании
уравнения (4), мы замечаем, что оно может быть представлено так:
F2 {х) - (x2 — h2) Ф2 (x)=L2r
откуда, по разложении разности
F2(x)—(x2 — h2)02(x)
на два множителя
{F (х) — Ф (х) y'x2 — h2) {F (*)+Ф (х) }fx2-h2\
выводим
F(x) — Ф(х)\/х2 — h2
L*
Р(^х)+Ф(х)Ух2^Н2
что по разделении на Ф(х) нам дает уравнение
^-Vr3F=AS-- » . (б)
ф (*) Г Ф (х) [F (*)+Ф (х) Ух2 — Л2 ]
Из этого уравнения, как мы показали в выше упомянутом мемуаре,
выражение искомой функции F (х) может быть легко получено через
разложение выражения \/х2 — h2 в непрерывную дробь. Мы теперь

— 113 —
покажем, как может быть найдена эта функция и без помощи
непрерывных дробей. Для этого мы замечаем, что, называя через Р, Q
целые функции, определяемые равенствами
р== (х+\г^П&)п+(х-Ух*-н*)п
2
n_(x+Vx*-h*)n-(x-Vx*-h*)n
2IV —Л2
(7)
мы находим
Я —Qj/x2 —A2 =U-/jt2 — Л2 f
С другой стороны, замечая, что произведение
(*+/** — А2)(х — \/х*- A2 J
приводится к А2> мы выводим
х— |/х2 — А2 Л*
x-j-j/V —Л*
вследствие чего предыдущее равенство нам дает
. 1.2л
P-Qj/jc2 — A2
откуда, деля на Q, выводим
—— Vx* — Л2
Л2Л
Вычитая же это равенство из (6), мы получаем
F(x) Р _ L*
иЪп
<&(*) 0 • Ф (х) [F (х) + Ф (x)Vx* - Л2 ] Q (x+VxT^~hi)n
что по умножении на Ф(х) Q нам дает такое уравнение:
L*Q Л2лФ(х)
/*(x)Q —Ф(л:)Р =
^W+^Wb2- л* (^^-W — л*)"
Рассматривая вторую часть этого уравнения, мы замечаем, что оба
члена ее представляют выражения степени ниже нуля, так как
функции I2Q, А2лФ(х), находящиеся в числителе этих членов, по (5) и (7),
степени л —1, а функции Р(х)+Ф{х)]/х2- А2, U+V-*2 — h% T> на'
ходящиеся в знаменателе, по (1), (5), степени п. Вследствие этого
рассматриваемое нами уравнение, где первая часть представляет
целую функцию, может быть удовлетворено только предположением,
что обе части его приводятся к нулю, и, следовательно,
F(x)Q — <b(x)P=0.
8 п. Л. Чебшпев, т. 111.

— 114 —
Находя же по этому равенству, что
F(x) = L
ф(х) Q
и замечая, по (4), (5), (7), что функция F (х) не может иметь общего
делителя с Ф (х)9 а функция Р с Q, мы заключаем, что функции F (х),
Р могут разниться между собою только постоянным множителем, и,
следовательно,
F(x) = C1P,
где Сг есть постоянное количество. Эта величина F(x), по внесении
выражения Р из (7), нам дает
Р(х) = Сг
2
§ 5. Для определения постоянного Cv мы замечаем, что по § 1
функция F(x) при х = Н должна равняться М. Делая лее в
найденном нами выражении F(x)
мы получаем
что, будучи приравнено М9 нам дает такое уравнение для
определения Сг:
откуда выходит
с = ш
Внося же эту величину Сг в выше найденное выражение функции
F(x), получаем
F(x) -М(* +Г*=1Г)п+(х-Vx*-h*)n
Так представляется целая функция степени п9 которая, будучи
равна М при х^Н9 в пределах —к, +*> не заключающих Я,
наименее удаляется от нуля. Чтобы найти L, предел этих уклонений,
мы замечаем, что уравнение (4) при х = h нам дает
F*{h) = L\
откуда
L = F(k\

— 115 —
Полагая же x = h в вывэденном нами выражении функции F(x)
находим
(н+ VtF^h*)n-\-{H - Ун* - л2)л
вследствие чего предыдущее равенство нам дает
2Mhn
откуда получается такая формула для величины отношения — :
L~ 2hn
которое, по сказанному в § I, представляет высший предел
отношения значения целой функции степени п при х=Н к наибольшему
уклонению ее от нуля между х=—к, x= + h. При этом
предполагается, что Н не заключается между х=—A, x=+/z.
Представляя полученное нами равенство под видом
М[(!+/Я"+(тУН]
(8)
и заменяя здесь выражение
Ь? У h*
равным ему
(f+i/f
находим
м
^-Н(^1/тт+(т+|/2-л
Определяя по этому равенству величину
получаем
f+/s-
^+)/-^-')'-т-±)/
Чтобы решить, какой из двух знаков ± должен быть оставлен
в этой формуле, мы предположим, что за А и Я принимаются лишь
положительные количества. В этом предположении мы находим, что

— 116 —
и, следовательно, по (8)
/я , /"я1 ;\v м
(т+|/^ ) >т-
Это же неравенство показывает, что выведенное нами уравнение
может быть удовлетворено только с верхним знаком при радикале
1/ ~ * и> следовательно, должно быть
/я , /~тг* :\л м г~м* г
откуда выходит
Определяя же по этому равенству число п, находим
I м ГШ- \
я -(t+j/tt-J
Чт+ /£-) '
что дает низший предел степени целой функции, которая, уклоняясь
от нуля не .более как на L между х=—A, x — + h, равняется М при
х=Н, не заключающемся между +h, —h. При этом все величины А,
Ну L, М предполагаются положительными.
§ 6. Мы займемся теперь решением того же вопроса относительно
тригонометрической функции вида
^04"^iCOS9+^2Cos29+...+ АЛ cosnqj-f-
4-£iSin9 + 52sin29+-. .+B„sin/i9, (9)
которую мы для сокращения будем изображать через f($).
Для этого мы опять предположим данною величину
рассматриваемой функции при некотором значении
9 = 9i>
величину, которую мы попрежнему будем изображать через М, и
затем между всеми функциями вида (9) и удовлетворяющими
уравнению
f(?i)=A*
будем искать ту, котррая наименее уклоняется от нуля между
данными пределами 9 = — ?о» ?=+<Ро> не заключающими величины
?=9i.

— 117 —
Чтобы привести функцию Д<р) к алгебраическому виду, мы вводим
переменную х, полагая
в 2
Находя по этому равенству
2t 1 — хг
sm 9 = —— , cos ф = ,
**+! *2+1
мы замечаем, что формула (9), по внесении в нее выражений синусов
и косинусов кратных угла ф, приведется к такому виду:
с9*я + с1з?а-1+...+с9я
(х*+1)л
где С0, Сь ..., С2л—-постоянные.
Делая здесь
мы это выражение функции /(<р) представляем так:
Полагая же
/(<p)=__zw (11)
tg-^=A, tg-^ = tf, (12)
мы замечаем, по (11), что равенство
f(<h) = M,
которому должна удовлетворять искомая функция, приводится к
следующему:
F™ -м.
Отсюда выходит
Р(Н)=(Н*±1)пМ, (13)
что предполагает приводимость функции F(x) к такому виду:
(р^2п Члх^Ч.. .+Р2л)(^Я)+(ЯЧ1)Х
где
Рз> Рг> • •» Р2п
постоянные количества, которые определяются тем условием, что
функция
f( w F(x) _(p^2n^+P^2n^+-'+Pj^-^+^№+^nM

— 118 —
.между x= — h9 х=+А по возможности мало удаляется от нуля.
Называя через L высший предел удаления от нуля этой функции
между х =— h, x=-\-h и прикладывая выше упомянутую теорему,
мы рядом суждений, изложенных в §§ 2, 3, доходим до такого
уравнения относительно функций F(x):
РЦх) - L*(x*+l)2n = С(х2 - h*)(x- xj*(x — x2)*. • .(*-*2л-1)2,
где х1У х2, x3,..., х2п-г — различные действительные величины.
Это уравнение мы приводим к виду
F2 (х) - L2 (х2+ 1)2я = Ф2 (х) (х2— Л2), (14)
полагая
Ф (х)=±Ус (х - хг)(х — х2)-- -(х—х^-г), (15)
где радикал берем с тем из двух знаков ±, при котором отношение
F(V=i)
приводится к количеству положительному.
§ 7. Приступая к решению уравнения (15), мы замечаем, что оно
при
х = У^Л
дает
Р*{У=\) = -(\ + 1г*)Ф*(У~1),
откуда по извлечении корня выходит
F{]/^1) =+Ф(}/~1)1/Т+А«|/^Т,
где, по сказанному сейчас относительно выбора знака в формуле (15),
должен быть оставлен один верхний знак, и, следовательно, будем
иметь
Р(У^Т) = Ф (j/ITi)|/л«+Т ]/~1. (16)
Делая же в этом уравнении
х = -У~\у
мы находим
Г* (_ J/IZT) = ф2 (_ j/ZTi) (__ 1 _^
откуда по извлечении корня получаются такие две величины для
F (- ]/=1)=+УТ+¥ Ф (-]/~\) У~\,
р (-У~\)=- yi+i? ф (— у=\) у=\.
Этим двум величинам F{—}/— 1), как мы увидим, соответствуют два
различных решения уравнения (14), определением которых мы теперь
и займемся.

— 119 —
Останавливаясь на случае
р{-\Г^)=УТ^ф(-]Г=1)У=1, (17)
мы изображаем через Р и Q целые функции, определяемые
равенствами
. „ >(18)
Определяя по этим равенствам выражение суммы P-j-QK x*—№ и
разности Р—QYх2—А2, находим
Р + Q ]/B=T«=!(|/Kfr+ y/A2^2)2n,
Р—q j/jcS^^Cj/a5^!"—y,¥^x~sfn,
что по перемножении между собою дает
P* — Q» (*»-**)=
= [(l/lM1! +V¥=rxi) (VF+i"- V^7*2)]2" =(*2+1 f,
откуда выводим, что
P2=Q2(;c2—A»)-fCx»+lf. (19)
Перемножая эту величину Р2 с величиною /^(х), которая, по (14),
равняется сумме
Ф2 (*) (х2 — А2)-К* (х2+1)2",
мы находим
PV» (jc) = Q«<D«(;c)(jC* —A*)^" (x2_|_ !)<»_[_
+(jee-A*)(Jct+lf [£2<22+Ф2(*)],
что дает нам
Р2/72 (х) — Q202 (х) (л2 — А2)2=12 (х2+ 1)4Я +
+(**" А2) (*2+1)2"[£2<Э2+Ф2 (*)].
откуда, разлагая первую часть на два множителя, выводим
[PF (jc)-j- Q<D (х) (х2 — А2)] [РР (x) — Qd> (х) (х2 - А2)] =
=(x2+l)2n[L2(x2+l)2n+(x2—А2)(12д2+Ф2(^))]-
Здесь, как нетрудно показать, первый множитель первой части
РР(х)+С}Ф(х){х*-Ь.*)
при х=±У—\, корнях уравнения х2-}-\ = О, не обращается в нуль.
В самом деле, по (16), (17), (18), при х=±,\/~\, мы находим

вследствие
приводится
Р=
чего
к.
22п-
при
— 120
l(h*+l)\ Q =
этих величинах
—
_ 22я~1
(Л2+1)"~
х выражение
PF(x)+QO(x)(x2-
-А»)
1
" 2
ч2л
|/_Ь22л(1+А2)/14*2 Ф (± "К-1);
это же не может обратиться в нуль, так как, по (15), функция Ф (х)
обращается в нуль только при действительных величинах х=*хъ
х2ч • • • > Х2п-1'
Убедясь таким образом, что в выведенном нами уравнении первый
множитель первой части не обращается в нуль при корнях
уравнения jc2+1=0, и, следовательно, этот множитель не имеет общего
делителя с (х2-\- 1)л, мы, на основании этого уравнения, которого
вторая часть делится на (х2-{-\)2п, заключаем, что
РР{х) — QO(x)(x*-h2),
2/z
второй множитель первой части, должен делиться на (х2-\-1)
С другой стороны, представляя уравнения (14), (19) под видом
(F (х) - Ф (х) ]/х2 ^А2) (F (x) -f Ф (х) /л:2 —A2)=L2 (х2 -f 1)2" ,
(P+Q Vx2 — h2) (P^QVx2 — h2) = (x2-fl)2
и перемножая их между собою, находим
[PF (х) — <ЭФ (х) (л2 - h*)+(QF (х) - РФ (х)) yx*—h*]X
X[PF (x) - <ЭФ (х) (х* - А2) - (QF (х) —РФ (х)) УхЪ^Г*) =1* (л2 f 1)4"-'
что приводится к следующему:
[PF (jc) — <ЭФ (х){х* - A2)]2- [QF (х) - РФ (х)]\х*— h*)=L* (x2 + lf-
Так как, по выше доказанному, выражение
PF(x) — QO(x)(x* — h*)
делится на C*2-f-l) , это уравнение предполагает делимость на
(х2 -f if1 члена [QF (x) — РФ (х)]2 (х2— А2).
Замечая же, что здесь я2-— А2 не имеет общего делителя с
(х2 +• 1) , мы заключаем, что
[QF(x)-PO(x))2

— 121 —
делится на (jc2-f-l) » и, следовательно, первая степень
QP(x) — PQ>(x)
2л
делится на {х2±1) , что может иметь место только при равенстве
QF(x) — PQ>(x)=0,
так как по (10), (15), (18) функции Р(х), Р степени 2л, а функции
Ф(4 Q степени 2л—1; вследствие чего выражение
QFix) — РФ(х)
не может быть степени выше 4л—1. На основании выведенного
нами равенства мы находим, что
F(x) _Р
Ф(х) — Q>
Так как, по (15), функция Ф (х) состоит из линейных множителейг
отличных от x-\-\f—T, х—]/':=Л, входящих в x2-fl> то, по
уравнению (14), функции ^(л;), Ф(х) не могут иметь общего делителя.
В этом же случае дробь
Ф(х)
может равняться дроби
я
О'
где члены по (10), (15), (18).одинаковых степеней, только при
Р(х)*=СР, 0(*)=C'Q,
где С есть постоянный множитель. Внося в равенство
Р(х)=СР
выражение функции Р по (18), мы находим, что
/*(*) = - с [(/FTT+Vf^=rx2)2n + (/F+T- /A2 — x*f].
Так определяется функция Р{х), удовлетворяющая уравнению (14>
в том случае, когда
Р (- v^l) = \f lTA*2 Ф (- /1Г1) Z11^
Чго касается случая, когда это равенство удовлетворяется с
знаком —, выражение функции Р(х)} удовлетворяющей уравнению (14),.
получится по выше показанному, когда за Р, Q примем такие функции:

— 122 —
Таким образом найдется второе решение уравнения (14), в котором
f (х) = -С" [(/F+Tx+/3^=^2)2,x+ (/F+T*-/д^А*)2"].
§ 8. Из найденных нами двух решений уравнения (14) мы должны
выбрать то, которое дает высший предел отношения
Л
L
Для этого мы найдем значение этого отношения, принимая за
F{x) сначала первое решение, потом второе. Сличая между собою
М
полученные таким образом две величины отношения ■— и
предполагая всегда #>А, нетрудно будет отличить то, которое' дает
решение нашей задачи.
Принимая за F(x) первую величину и делая в ней
х=Н,
мы находим
/>(//)=.£[(j/F+T-f-Vh^^'f+(УР+i- /л2-я2)2"],
что по внесении в уравнение (13) нам дает
£[{}/J^l+}/Jp^*fn + (]/J?^ - Vh*—Я2)2л] = (Я2 + 1)Ж
откуда получается такая величина С:
2л . 2л
Внося эту величину С в первое выражение функции F(x), мы
находим для нее следующую формулу:
(\Щ^П +Гн^П7^)2п+(У¥Т1 — Ю*2-#2)2л
откуда, полагая x=h, получаем
/>(А)>
,ч2д , Л/-ГТ-Г-Г i/rrs г;Пч2л
По уравнению же (14), делая л;=А, находим
2л
F2(A) — £а(Аа-М) =0,

— 123 —
что для определения количества L нам дает
а это по внесении выше найденной величины F (х) приводится к
следующему:
L=± 2(Н'--г1)пМ
CTF+7 +V1?=W*)2n+ (ГлнТ - Yh*=tP)2n'
откуда, определяя отношение
м
— t
L
получаем
L ~ 2 (Н>+1)"
что, как нетрудно заметить, может быть представлено под таким
видом:
М
=±cos [ 2п arc cos
§ 9. Переходя к другой величине Р(х), представляемой формулою
Р(х)=- С [(У¥Ц^х+Ух^^2п+(УЩ^Тх — Ух* — А2/"],
мы находим при х=Я
Р(Н) = - С [(\[Ща H+YH*-h*)n+ (УЩЛ Н - ]/H*—h*f],
что по внесении в (13) дает такое уравнение для определения С:
- С" [{УЩл и + VH*—h2)2n + (i/FTT и -} /7у^=Т2) 2л] =
=(tf2-fl)nM.
Определяя по этому уравнению величину С и внося ее в
рассматриваемое нами выражение С", находим
(VгF+lЯ+^№~^2Л+(/ЛЧ^Я^VгЯ2-/l3)2л
что при x=h дает
(j/"F+t h+VW^T*) 2n+(VrF+T я - Г/Я=Т2)2л

— 124 —
Делая же в уравнении (14)
мы находим
о™
F2(h) — L*(h2±l) =0,
откуда следует
F{h)
L = ±
(ЛЧ1)"'
что, по внесении выше найденной величины F (h), приводится к такой
формуле:
L = A 2h2\H*+ if M
(Vh*+i H+VH2-h*)2n+(Vh*+\ H-Vw-h*)2"
откуда выходит
м = (угйпртя+> W^ie-2n+ (VJi*+iH-V~H*---h*)2n =
L ~ 2Л2Л(№+1)Л
= 1 1\(и л/"**^* 1 \f H*-h*~\ П\ (н /7ЕЕ1— / H*—h* \ п\
~2[Дл|/ № + 1 |/ (Я2+1) Л2/ \Л ]/ Я2+1 у (Я2+1)Л2/ J*
А так как произведение
\л у №+* |/ (Я2+1) л2Дл |/ я^+i \/ (Я2+1)/гу
приводится к 1, и, следовательно,
Я /11*+1 /~~Я2-/*2 /Я /""ЛНТ . /~ я2-/*2 \~*
л ]/ Я2+1 J/ (Я^+1)Л2 \Л |/ Я2 + 1 ^j/ (№+7)T2j '
выше наиденная величина отношения — может быть представлена под
видом
\Л [/ Я2+1 'j/ (Я2+1)Л2/ J
Рассматривая выражение, стоящее здесь в скобках [ ], мы
замечаем, что наименьшая его величина, получаемая при
Я f н*+1 ■ Г
h У Я2+1 ~^У (
Я2 — Л2 _-
— I j
(№+1) Л2
есть 2. Вследствие этого найденное теперь отношение
м
г

— 125 —
по числовой величине будет всегда не менее 1, что дает высший
предел этого отношения, так как прежде найденная величина его
in arc cos "■ -'
± cos , ш,
\ \ - №—1,
всегда заключается между -f-1 и —1.
Из этого видно, что высший предел отношения т~ для
рассматриваемой нами функции найдется по формуле
2п
м
М = J_
L ~ ~ 2
И
h у h*+i ' у (Я2+1) л2/
_ -2л_
где из двух знаков ± мы оставим только +, принимая за L и М
числовые величины наибольшего уклонения такой функции от нуля
между x= — h} x=-f-A и значения ее при х=И.
В этом предположении мы будем иметь всегда
2л
2л
М
L
(№+1)
f
/я /"F+T | f w-h*
\h У //3+ 1 }/ (Н2+1) *>
#*+1
Внося сюда, по (12), величины
?i
A=tg-* //==«
и замечая, что

— 126 —
Это дает для функции вида
А0 + Л cos 9 + А2 cos 2<р + .. . + Ап cos щ-\~
+ Вг sin ср -j- В% sin 29 + . .. + вп sin Щ
высший предел отношения величины ее при <p=?i K наибольшему
удалению ее от нуля между <р=—?о> ?=?в> не заключающими
между собою <p=9i.
§ 10. Определяя по выше полученному равенству величину
разности
Si
м_
L
мы находим, что она равняется
±/f
№_ 1
Нетрудно показать, что при sin
9i
Sin*
2
положительных (как
мы их всегда предполагаем) здесь должен быть удержан знак +.
В самом деле, внося в выражение
2л
L
величину отношения — по последнему равенству предыдущего
параграфа, мы находим, что оно приводится к следующему:
2л
-2л
где при
2
sin ^>0,
sin-^>0
2 ^
второй член меньше первого, так как он приводится к

- 127 —
через замену выражения
равным ему
Sln "Г ■ / / sm —\
-ч-У(тт)-'-
Убедясь таким образом, что в выражении разности
формулою
должен быть удержан знак +, мы заключаем, что
(Е-;УЩ-№
Решая же это уравнение относительно числа л, мы находив
St+]/-f-')
что дает нам низший предел числа п, при котором формула
А0 + Лх cos 9 + Л2 cos 2<р + • • • + ^я cos я<р +
+ Вх sin cp -f- £2 sin 2<зр -f- . • - + Вп sin #<р,
удаляясь от нуля между ср == — ср0, (р== —f- <p0 не более как на L, рав
няется ±М при <p=9i- Величины Z, УН, срх, <р0 предполагаются поло
жительными, УИ больше I и ?=9i не заключающимся между <р-=

О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ
ОДНИХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ,
ВЗЯТЫЕ В ТЕХ ЖЕ ПРЕДЕЛАХ*
В том случае, когда известны значения функции F (х) при всех
величинах переменной х от х—а до х=Ь} последняя из выведенных
нами формул в мемуаре „О непрерывных дробях",** по замене сумм
интегралами, дает такое разложение функции F (х):
(F^dx (p^dx [F№d*
F(x)=l— Фо + V; Фх + -Ъ + ••"
\ffidx \$?dx \$9dx
где & — какая-нибудь функция, прерывная или непрерывная, но
сохраняющая знак + между х=а, х=Ьу пределами, между которыми
берутся все интегралы, а ф0, Фи ф2, • • • суть знаменатели
подходящих дробей интеграла
ь
\
Ь^ dz,
X — Z
а
получаемых разложением его в непрерывную дробь.
Разлагая по этой формуле две какие-нибудь функции и, v и
интегрируя произведение иФйх от х=а до х = Ь, находим, что
интеграл
ъ
\ uvbdx
а
приводится к ряду, состоящему из таких членов:
\^тЫх^1Ых
где числа т, п принимают все значения от 0 до оо.
* Опубликовано в Сообщениях и протоколах заседаний Матем. общества при
Харьковском Имп. Унив., И (1882), стр.93—98; Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред.
А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 716—719.— Ред.
** Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 103—126.—Ред.

— 129 —
Замечая, что по известному свойству функций ф0, ф1э фа, . . . при т
не равном п интеграл
обращается в нуль, мы из этого ряда выводим такое разложение
интеграла?
[ u^dK • \v№d* [ utyfdy: . \ vty№* [ ц^йШ • [ tfyjbdx
\ uvMx = -± = f- i = f- У i |_. _
\$Мх ty*%dx \tydx
Останавливая этот ряд на члене
и называя через Rn дополнительный член, мы получаем равенство
[u^fidx • [v№d* \utynAdx • \vtyn<bdv
[и*Мх^ *-—r-^ -f • ■ •+ ] ' ] + *?.•
Определяя выражение дополнительного члена Rn в этом
разложении интеграла \uvbdx, мы нашли, что он обладает такими
свойствами:
1) Числовая величина его не превосходит
J АВ,
л»Ьп<х)\*
у
dxn
где А, В суть наибольшие числовые величины производных —- t
d?v л
— в пределах интегрирования,
-ч dnu dnv
2) Если в этих пределах производные —, — не меняют сво-
' dvn d<.n
его знака, дополнительный член Rn. имеет одинаковый знак с про-
-ч dnu dnv
изведением .
dtn dxn
Чтобы показать приложение этого, мы рассмотрим случай я=-1.
Так как первые подходящие дроби интеграла
ъ
%*.*.
I 3C — Z
а
9 П. Л* Чебышев, т. Ш

— 130 —
получаемые разложением его в непрерывную дробь, суть
о \Ых
\ Ых • х — \ хЫх
то функции ф0, ф1? входящие в наши формулы, имеют следующие
величины:
ф0=1, ф1= {bdx-x—\xbdx.
Полагая в наших формулах
и внося в них эти величины функций ф0, фх, мы получаем равенство
\ иЫх > [ vbdx
\ uv&dx= -* J ^
\'Ых
и такое выражение для высшего предела числовых величин
дополнительного члена Rx:
\^хЛк*Ых; — (\ хЫ* У
J\tjy
\
Ых
где Л, В суть наибольшие числовые величины производных —, ~
dx dx
в пределах интегрирования. В том случае, когда производные
—, — в пределах интегрирования не меняют своих знаков,
дополнительный член R17 по выше сказанному, будет иметь одинаковый знак
du dv
с произведением — • -.
dx dx
Полагая &=1 и принимая за пределы интегрирований 0 и 1, мы
по выше найденной формуле получаем равенство
1 ii
[ uvdx= [ udx- [ vdx-\-Rt
и такое выражение для высшего предела числовых величин Нг: — АВ.
Для другого приложения мы рассмотрим случай, когда 9=1 и
пределы интегрирований суть — 1 и т 1. В этом случае, как
известно, функции ф0, фх, ф2,.. . приводятся к функциям Лежандра Х0, Хг,
Хъ .. . и вследствие того по нашей формуле получается такое

— 131 —
равенство:
+1 ^ uX^dx-^ vXQdx ^ uX^d*.^ vXn_}dx
J
uvdx= ^ ^ V . . . + -i± zl l p
5*3** S*2-i"
откуда по внесении величин интегралов
+i +i -fi
\ Xldx, \ X\dx,. . ., \ Xl-idx
выходит
—t
+1 4-1 +1
I uvdx = - I uX0dx* \ <oX0dx -f. . . -+-
Замечая же, что в рассматриваемом случае
4-1 4-1
2
^Ibdx^Xif
= \ХЧХ:
2л+1
*Шв *£.в1.3.5...(2«-1),
мы, по выше показанному выражению высшего предела числовой
величины дополнительного члена Rn, находим, что в выведенном на*
ми разложении интеграла \uvdx числовая величина дополнительного
члена не будет превосходить количества
2АВ
12.32-52-.42n — l)J (2л+ 1)
dnti dnv
где Ay В — наибольшие числовые величины производных —, — ме-
dxn dxn
жду х=— 1 и х=-\-1. Что касается знака дополнительного члена,
то, по выше сказанному, он несомненно будет одинаковым с знаком
dnu dnD dnu dnv л
произведения , „, если производные —-, —т между х=—1 и
dxn dxn dxn dxn
x=~|-l не меняют своих знаков.
В заключение заметим, что показанное нами относительно
дополнительного члена в разложении интеграла
[uvbdx
может послужить для определения степени точности, с которой выше
сказанное разложение функции Р(х), остановленное на каком-либо
члене, дает ее величину.

OB ОТНОШЕНИИ ДВУХ ИНТЕГРАЛОВ,
РАСПРОСТРАНЕННЫХ Н V ОДНИ И ТЕ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ
НЕРЕМЕННОЙ*
§ 1. Отношение двух интегрэлов
[ Yudx
[ Yvdx
распространенных на одни и те же величины х и заключающих под
знаками своими дифференциалы с одинаковым множителем Y, меняется
более или менее при изменении этого множителя.
Мы теперь покажем, как найдутся пределы ограничивающие эти
изменения, когда общий множитель Y остается полиномом степени не
выше п. При этом мы будем предполагать, что полином Y и
функция v сохраняют одни й те же знаки в пределах интегрирования,
условие, необходимое для того, чтобы отношение
J Yudx
^Yvdx:
не принимало всех величий от —со до -f* со >
Для упрощения наших формул мы будем предполагать, что
интегралы
\Yadx> \Yvdx„.
приведены к такому виду, что пределы их суть х =—1, *=+ 1, и
что знак, сохраняемый по положению переменным полиномом Y и
функцией v в пределах интегрирования, есть -j-
§ 2. Приступая к определению в сделанных нами предположениях
предельных величин отношения
+1
( Yudx
J Yvdx
-г
* Опубликовано в Приложении к XLIV тому Записок Имп. Акад. Наук, № 2
1883); Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II,
СПб. 190/, стр. 377—402. — Ред.

- 133 —
мы теперь докажем, что наибольшая и наименьшая величины этого
отношения получаются при величинах полинома К, удовлетворяющих
такому уравнению:
К=(1 + л)р(1—xfZ2,
где р=0 или 1, р0 = 0 или 1, a Z есть полином некоторой степени.
Для доказательства этого пусть будет
та величина полинома К, при которой, в сделанных нами
предположениях, отношение
4-1
^ Yudx
-j
4-1
[ Yvdx
достигает высшего или низшего предела, Так как полином Y0 не
должен менять своего знака между х=— 1 и х=-\-\, все корли
уравнения
г0=о,
превосходящие —1 и меньшие +1, должны быть кратными, и
степени кратности их должны равняться числам четным.
Полагая, что такие корни суть
что степени их кратности равны
2^i, 2fx2,..., 2ц,.
и что
суть числа корней уравнения
равных
-1, +1,
мы замечаем, что произведение
(x — x^^x-xj**. . .(х-*,)2*' (1 + х)\\ -хУ
представляет полином степени не выше, чем К0, что этот полином,
подобно YQy сохраняет знак + между х = — 1 и х=+\ и что
отношение его к Y0 между х=—1 их= + 1 остается величиною
конечною.

— 134 —
Вследствие этого при U, определяемом равенством
U^(x-x1)^(x^x2)^^^x-xf^(\+x)\l-xY\ (1)
и а бесконечно малом выражение
будет представлять полином, одинаковой степени с Кв и, так же как
YQf сохраняющий знак + между х= — 1 и х=-\-1.
А потому величина отношения
[ Yudx
—i
4-1
^ Yvkx
—i
при Y=Y9 не может быть ни наибольшею, ни наименьшею
величиною в сделанных нами предположениях, если отношение
\ (YQ±*U)udx
-И
—1
с одним из двух знаков ± при а превосходит
\ YbUdx
-1
+i
J YQvdx
а с другим — меньше этой величины.
Для того же, чтобы это не могло иметь места при а бесконечно
малом, как известно, производная по а выражения
+1
\ (П ± «£/) udx
4-1
\ (Kg ± *U) vdx
при а = 0 должна равняться нулю, что дает нам такое уравнение:
+1 +1 4-1 4-1
$ V0vdx- ^ Uudx— ^ YQudx- \^Uvdx
^1 =! =! =1 - = 0.
\ Y*vdx\

— 135 —
Так как полиномы К0, V и функция v между х = — 1 и *=+ 1,
по выше сказанному, остаются положительными, интегралы
+1 4-1
] Y0vdx ] Uvdx
будут иметь величины отличные от нуля, а в этом случае из
предыдущего равенства получается такое:
-и +1
^ Youdx J Uudx
-l —i
^ YQvdx ^ Uvdx
—i —i
откуда видно, что наибольшая и наименьшая величины отношения
^Yudx
_
—1
получаются, при
Г-У,
где U> по (1), представляется такою формулою:
U={x-xtf"(x — xtf*- ..(х — х№{\ + х)\\ -х)\
Изображая через а, а0 частные, получаемые при делении чисел
v, v0 на 2, и через р, р0 остатки этих делений, мы находим,_что
v==2a + p, v0=2cra + pa,
где р=0 или 1, ро=0 или 1. Вследствие чего выше показанное
выражение Y=U9 доставляющее предельные величины отношения
-и
\уах
—I
+1
J УМ*
—1
приводится к такому виду:
r = Z*(l+Jc)p(l-*)p',
где
Z^ix-xFix-xp-.-ix-XtPil + xyV-xf.

— 136 —
Из этого видно, что предельные величины отношения
^ Yudx
~~\
+1
J Yvdx
в том случае, когда полином Y, степени не выше д, сохраняет знак -f
между х=—1, х= + 1, будут равны предельным величинам
отношения
4-1
\^Z*(l +хУ(1-хУ°ис1х
4-1
^Z2(l+ х)? (1 — *)* vdx
—i
в том случае, когда р=0 или 1, р0 = 0 или 1, a Z есть полином,
с которым выражение Z2 (1 + x)?(l —х)9* остается степени не выше л.
Полагая для сокращения
(1 + *)'(1 —х)*я = в0(х),
(1 + х)9(1-~хУъ = в(х),
мы займемся теперь определением полинома Z данной степени, при
котором отношение
4-1
\z\(x)dx
—i
4-1
[ Z?Q{x)dx
достигает наибольшей или наименьшей величины.
§ 3. Замечая, что отношение
4-1
^ ?%{x)dx
—1
4-1
\fb[x)dx
не меняет своей величины при умножении полинома Z на какое-либо
постоянное, мы заключаем, с одной стороны, что искомый полином
содер кит произвольный постоянный множитель, а с другой, что
выбором этого множителя можно сделать полином Z удовлетворяющим
уравнению
\z2Q(x)dx= 1.
-j

— 137 —
Так как при этом равенстве отношение
J Z\ (к) dx
[ Z2Q{x)d<
приводится к интегралу
+1
\Z\[x)dx,
—1
то искомый полином Z при некоторой величине постоянного
множителя будет представлять решение такой задачи о наибольших и
наименьших относительных:
Между полиномами данной степени и удовлетворяющими
уравнению
-и
\z2Q(x)dx=l
—i
найти полиномы, при которых интеграл
-и
\z2%(x)dx
достигает самой большой или самой малой величины.
Умножая на произвольные постоянные полиномы, представляющие
решение этой задачи, мы получим общие выражения полинохчов, при
которых отношение
+1
^Z\(x)dx
— i
-и
jj Z20(x)rft
—i
достигает своих предельных величин.
Что же касается определения полинома Z, который, под условием
-и
\z\(x)dx=l,
—i
доставляет наибольшую или наименьшую величину интегралу
+1
\ Z26 (х) dx,
—i

— 138 -
это представляет частный случай задачи, бывшей предметом нашего
мемуара под заглавием „О наибольших и наименьших величинах
сумм, составленных из значения целой функции и ее производных".*
Прилагая к интегралам
4-1 4-1
\z\{x)dx> \z2Q(x)dx
то, что нами, дано было вообще относительно сумм, и изменивши
знак вспомогательного множителя X, мы находим, что полином Z
степени т — 1, доставляющий maximum или minimum интеграла
4-1
\z\(x)dx
иод условием
4-1
\z2Q(x)dx=l,
—1
определяется таким равенством:
4-1
Произведение Z \ °^'~~—Ф dz с точностью до х~т включи-
J X—2
тельно равняется целой функции.
Так как это равенство не нарушается от введения какого-либо
постоянного множителя в полином Z, то общее выражение его,
удовлетворяющее этому равенству, будет заключать произвольный
постоянный множитель. Величина этого множителя найдется по равенству
4-1
\ Z2e (x) dx=l
— 1
при решении выше показанной задачи наибольших и наименьших
ютносительных; переходя же от этого выражения полинома Z к общему
выражению его, доставляющему предельные величины отношения
4-1
\ 2?%(x)dx
\^z4(x)dx
мы, по замеченному выше, должны снова ввести произвольный
постоянный множитель в выражение полинома Z.
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 438-466. — Ред.

— 139 —
§ 4. Изображая ч£рез V целую функцию, получаемую при
разложении выражения
4-1
J x — z
по нисходящим степеням х, и через Въ Въ... коэффициенты при
отрицательных степенях х, мы; по сказанному относительно искомого
полинома Zf будем иметь такое уравнение:
—1
откуда, но разделении на Z, получаем
+1
x„
Г е0'*)-хо(лг) dz^ v вх , вг ,
J *-* ■ Z Zxm+l ^ 2хт^ ' '
Из этого равенства видно, что дробь
Z
дает величину интеграла
J X — Z
с точностью до —— включительно, а это, как известно, возможно
Zxm
только в том случае, когда в ряду подходящих дробей интеграла
+1
I
x — z
dz,
получаемых разложением его в непрерывную дробь, находится дробь,
равная
v_
z*
а подходящая дробь, следующая за нею, имеет знаменатель степени
выше т, что предполагает отсутствие подходящей дроби с
знаменателем степени /я, так как искомый полином Z имеет степень т — 1.
На основании этого легко во всяком частном случае вывести
уравнение, которому должна удовлетворять вспомогательная величина X, и
найти выражение искомого полинома Z при различных величинах X,
удовлетворяющих этому уравнению- Что касается выбора между ними
тех величин X, которые дают решение нашей задачи, он не труден;

— 140 —
ибо, как мы сейчас увидим, X есть величина отношения
4-1
4-1
J Z%(x)d*
—l
Чтобы показать это, мы замечаем, что, цо выше сказанному, в
ряду подходящих дробей, прлучаемых разложением: выражения
j
-1
Оо(г)-Шг)
dz
x — z
V
в непрерывную дробь, за дробью — будет следовать дробь с знаме-
нателем степени выше, чем Zx\ а в этом случае, как известно, имеет
место такое равенство:
\ Z2(%(x)-\Q(x))dx = Q,
—1
откуда выходит
+1
^?%(x)dx
-1
+!
jj Z2Q(x)dx
—l
Из этого видно, что при решении нашей задачи, требующей
сделать отношение
J Z\(<)dx
~i
-и
^Z2Q(*)dx
по возможности большим или по возможности малым, за X следует
принять наибольшую или наименьшую из величин ее, при которых
в ряду подходящих дробей интеграла
4-1
Г e0(^-xe(z)^
Jt х-ж
по выше сказанному, нет дроби с знаменателем степени т.
§ б. Урзвнение, определяющее величины X, и выражение
полинома Z при этих величинах легко получаются через разложение
интеграла
4-1
Г е0(*)-хе(*) dz
J X — Ж

— 141 —
в непрерывную дробь. Найдя подходящую дробь этого разложения
с знаменателем степени т, уничтожаем в членах этой дроби
делителей, заключающих количество X (что всегда можно сделать
умножением числителя и знаменателя на некоторую функцию X). Знаменатель
этой дроби приведется к виду
F0 (л) xm+Fx (X) xP-i+Fz (Ь) хт~2+...,
где
целые функции количества X.
Умножая эту формулу на произвольное постоянное С, мы находим
выражение
CF0(k)xm+CP1(i.)xn"l + CF2(\)x^9+..., (2)
обнимающее собою все поликомы степени не выше /я, которые по
умножении на
t'!e0(j) м (z) dz
J X —Z
-1
дают произведение, с точностью до х~т включительно,
приводящееся к функции целой. Замечая, что искомый полином обладает
таким свойством, мы заключаем, что он должен представляться
формулою (2), а так как степень Z не выше т—1, в этой формуле,
приложенной к определению Z, член с хт должен уничтожиться, что
предполагает уравнение
F0(k)^0. (3)
Вследствие же этого уравнения, по выше сказанному, получается
для искомого полинома такое выражение:
Z=CFt (>0*m~1+C/72(>0*m "3 + .... (4)
Определяя наибольший и наименьший корни уравнения
F0(k) = 0,
мы найдем наибольшую и наименьшую величины, которые может
иметь отношение
-ы
z1 е0(*) dx
-и
\2ГЪ{х)й*
-1
когда Z есть полином степени т — 1. Выражение полинома Z, при
котором это отношение достигает своих предельных величин,
получается по формуле (4), когда за X примутся наибольший и
наименьший корни уравнения (3).

— 142 —
§ 6. Мы теперь займемся частным случаем, в котором
предельные величины, отношения
\ Z2b0(x)dx
-1
J Z2Q(x)dx
и соответствующие им значения полинома Z особенно легко
получаются на основании того, что было нами показано. Случай этот имеет
место, когда
%(х)=х Ь(х).
В этом случае интеграл
t W-xeoo dx
J X — 2
приводится к
+1(*-Це(ж)&;
Г (г-Х)9(;
—I
рассматривая же последний интеграл как предел суммы
/ , w+i — *У»
мы, на основании показанного нами в мемуаре под заглавием »0
непрерывных дробях", * находим, что знаменатель /n-ой подходящей
дроби интеграла
J X— 2
по ^т¥г(х), <\>т(х), знаменателям (т-(-1)-ой и /n-ой подходящих дробей
интеграла
6(z)
J x — z
—I
выражается формулою
Фт 00 Фт+i (*) "- ФлН-i 00 Фт (*) (5)
Х — \
Так как Ф^ОО» Фт(*) суть функции степеней/п+1,/п, то старший
член полинома, определяемого этою формулою, будет вида
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 103-г126.— Ред.

— 143 —
а потому в рассматриваемом нами случае уравнение, определяющее
величины X, будет следующее:
<М*)=о.
По доказанному в предыдущем параграфе, наибольший и
наименьший корни этого уравнения нам дадут предельные величины
отношения
-и
\ ?хЪ(к)й*
-hi
J Z'd(x)dx
-I
Для определения соответствующих величин полинома Z мы, по § 5,
умножаем формулу (5) на произвольное постоянное С и принимаем
за X выше поименованные два корня уравнения Фот(М=0.
Таким образом для искомого полинома^ получается следующее
выражение
которое можно представить под видом
ML
z=c0
х — \
полагая
В частном случае, когда
в(*)=1,
знаменатели
Фх(*)э Ф«(^),-ь., Ф„(л:),...
подходящих дробей интеграла
с 6 (*) tfg _ г d*
J x — a J X —z
-1 -1
приводятся, как известно, к функциям Лежандра
Х1У Х2>«• •> Хт* • • •
Вследствие этого наибольший и наименьший корни уравнения
хт=о
будут предельными величинами отношения
4-1
-Л

— 144 —
когда Z есть полином степени т—1. Делая в формуле
количество к равным этим корням, мы получим выражения
полиномов, при которых рассматриваемое нами отношение достигает своих
предельных величин.
§ 1. Показавши, как найдутся предельные величины отношения
+i
\z\{x)dx
\z*b(x)dx
-l
когда Z есть полином данной степени, мы воротимся теперь к нашей
задаче об определении наибольшей и наименьшей величин отношения
\ У и dx
4-1
J Yvdx
когда Y есть полином степени /г, сохраняющий знак -f- между х=— 1,
х=-\-\. Эти предельные величины отношения
\ Yudx
+1 '
jj Yvdx
-i
как было показано в § 2, будут равны пределам, за которые не
переходит отношение
+i
Jz*(l+*)? {\-xfudx
+i
^Z\\+x)9(\-xfvdx
при р=0 или 1, р0=0 или 1, Z — полиноме степени не выше "~р~Ро .
Изображая через Е ~~9 — ?о наибольшее целое число, содержащееся
в —~~р~"р0 и замечая, что в общем виде полинома степени
2
Е п — Р ~~ р° заключаются как частные случаи полиномы всех низших
степеней, мы, на основании показанного в §§ 2 и 3, найдем эти пределы,

— 145 —
полагая
е0 {х)=(1+х)'(1-х)*и, 6 (х)=(1+х)Р(1 -x)*v,
^l=En~rpt (6)
и делая относительно чисел р, р0 такие четыре предположения:
1) р=0, Ро=0,
2) Р = 1, Ро=0,
3) Р=0, р0-1,
4) Р = 1, Ро=1.
Пределы, в которых будут заключаться предельные величины
отношения
J f{\ + x)\l-xfbudx
—1
-И
\z\l +x)\i-xfVdx
при этих величинах р, р0 и соответствующих им величинах т—\г
будут пределами отношения
+i
\ Yvdx
-1
когда полином У степени не выше п и сохраняет знак -f- между
х=—1 и х=-\-1.
§ 8. Мы теперь покажем, как найдутся эти пределы в случае
особенно простом, а именно, когда u=xv. При такой величине и, по§ 6,
предельные величины отношения
4-1
^ 2*(1+х)р(1 -xfudx
_1
+1
J Z2(l+x)P(l — *)pWx
-1 .
когда полином Z степени т—1, равны наибольшему и наименьшему
корням уравнения
где фт (X) есть знаменатель /я-ой подходящей дроби интеграла
*Г(1+*)Р Q-*tudz
J X —*
получаемой разложением его в непрерывную дробь.
10 Д. Л. Чебышев, т. III

— 146 -
Чтобы найти предельные величины этого отношения, служащие,
по выше сказанному, пределами для отношения
-hi
J Yxudx
+ i
[ Yudx
—l
когда полином Y степени не выше п и остается положительным между
х= — 1 и х=-\-1, мы должны рассмотреть такие четыре гипотезы
относительно чисел р, р0:
р = 0, ро = 0,
р = 1, Ро = 0,
Р=0, Po = l5
Р"=1> Ро=1>
причем, по равенству (6), за т должны быть приняты такие числа:
т- п-\-2 г- п-\-1 г- п4-1 т? п ,-.
тг = Е—•—, т2 = Е—-—, /tzs = E—!—, т* = Е—. (7)
Изображая через
Ф«С*), €](х), №(х), ф£Ч*)
функции, к которым приводится функция фт(х) при этих величинах
Р, р0, мы замечаем, что наибольшие и наименьшие корни уравнений
ф2(*)=о. ф£м=о, ф2м=о, ф£(*)=° (8)
будут равны тем предельным величинам отношения
Jz2(i+x)p0-*)pW*
\Z (\+ х)9 (1 — xf udx
—l
между которыми наибольшая и наименьшая будут предельными
величинами отношения
4-1
—1
-hi
—1
в сделанных нами предположениях.

- 147 -
Переходя к определению функций
€м> ф?(*>, *?(*). ф!»
при различных величинах т, мы замечаем, что первая из них,
получаемая при
Р=0, Ро=0?
найдется разложением интеграла
X — Z
__1
в непрерывную дробь: эта функция, как видели, есть знаменатель
/я-ой подходящей дроби.
По формуле (5), делая X==F1 и заменяя tym(x), фт+i (х) через
Ат(х)у Фт+iW» мы находим такие выражения для функций ${£(х),
<\>(т(х)> определяемых разложением интегралов
C(]+z)udz Г(3 - z) udz
) x-z ' ) x-z
—1 —I
в непрерывные дроби:
т щ^^)(~3)ф^1(х)^^)+1("3)ф-М (9)
^j,^1)^ . (10)
По той же формуле, заменяя tym(x), tym+\(x) через ^(х), ф^, (х)
и полагая Х=1, мы находим такое выражение функции <\>{£(х),
определяемой разложением интеграла
1-'
-1
через функцию ty{$(x), определяемую разложением интеграла
X — 2
1
ф<4) (х) в __ .

~ 148 —
Внося в это равенство выражения функций Ф^С*)' ФБ+1 х) по (10)
мы находим, что оно приводится к следующему:
^{х)_ ^V2(*)-^i(*)+aC(*) ^ (1])
где
/. = «&£> [фП)+1 (1) ф<0 (_ 1) _ фО> (1) ф^, (_ 1)],
Ж^^)[фО)+2(1)«ЬО)(-1)-фО)(1)ф(.)+2(_1)|,
л/ -=Ф-%^} [Ф£>+2 (1) Ф£й-, (-1) - «ДО-миЩ* (-DI-
Так найдутся все функции, входящие в уравнения (8).
Что касается чисел
т1У т2, т2, т4,
определяющих степени этих уравнений, то, по (7), полагая
л=2/,
находим
а полагая
л=2/ —1,
находим
mx = l, m2=l, ms=l, m±—l—1.
§ 9. В частном случае, когда
и=1,
функции
ф(')(х), ф<2')(х), ф«>(*),...,
представляющие знаменателей подходящих дробей разложения
интеграла
-1
в непрерывную дробь, приводятся, как уже замечено было в § 6,
к функциям Лежандра
Х19 Х2) А3, ... ;
•а потому в рассматриваемом нами случае будем иметь
ФЯ (*)=*«. Ф&., (*)=*«+.. ФЙ* (*)=хт^

-149-
и в этом случае, по свойству лежандровых функций, находим
<ЮТ=1, ♦SV,(D=1, 4£*(1)-1,
Ф£Ч-1)=€'+2(-1)=(-1)". Ф(Д.(~ 0=-(-1)".
вследствие чего уравнения (9), (10), (11) нам дают
Ф2>(*)=(-1)«*,"+,+*«
X I
д:2— I
Замечая же, по свойству лежандровых функций, что
мы находим, что последняя формула приводится к такому выражению
функции Фй>(л):
ч^2т+3 *w+i * — Хт
*JF> (*)=(-!)"
m+2
Вследствие этого, по § 8, предельные величины отношения
4-1
JYxdx
+1
!Yd*
—i
когда полином К остается положительным между х=—1 и х = + 1,
найдутся из уравнений
Фй(*)=(- *)
I *„.,+*,
*2(*)~
=0,
ф«> (*)=(- 1)' *+* Xw~xi =0)
если степень У не выше 21, и из уравнений
(12)
W=(-i)"
л—i
4l-i 27+1 *i* ~ Xl-\
/+1 х*-1
если степень Y не выше 2/— 1.
=0,
(13)

- 150 -
§ 10. По этим уравнениям мы найдем высший предел отношения
-1
определивши самую большую величину, которая удовлетворяет
какому-либо из уравнений (12) или (13), смотря по тому, будет ли
предел степени полинома Y равен 2/, или 2/ —1.
Это легко сделать на основании свойств лежандровых функций.
Как известно, лежандрова функция Хг имеет всегда знаки
противные при двух последовательных корнях уравнения
а потому несомненно, что в каждом из / промежутков между ними
содержатся корни уравнений степени /
Xl+l+Xj ^Q Xl+*~~Xl = Q Xl+^X~Xl =Q
x + l ' x — 1 ' x* — 1
откуда видно, что все корни этих уравнений будут меньше
наибольшего из корней уравнения
который и будет самою большою величиною, при которой
удовлетворяется какое-либо из уравнений (12).
Повторяя те же суждения относительно уравнений
Хл-Х, ,
мы убеждаемся, что все корни уравнения
будут меньше наибольшего корня уравнения
Xt=0.
Этот корень будет также превосходить все корни уравнения
Xi+i — Xj __q
вследствие того, что, по выше показанному, все корни его меньше
наибольшего корня уравнения
AT/4-i=0,

— 151 -
а в промежутке между этим корнем и наибольшим корнем уравнения
как известно, функция Х1Н сохраняет знак —, а функция Л', знак -f-.
что делает несомненным отсутствие в уравнении
jc — 1
корня, превосходящего наибольший корень уравнения
Хг = 0.
Замечая же, что при этом корне функция Х1+1 имеет знак —, мы
заключаем, что этот корень, со своей. стороны, будет меньше
наибольшего корня уравнения
Xi+\ + Xi __q.
х + 1
откуда видно, что наибольшая величина, удовлетворяющая какому-
либо из уравнений (13), есть наибольший корень уравнения
Xi+i~\-Xi __q
которое по уничтожении делителя х-{-1, не имеющего влияния на
этот корень, приводится к следующему:
*m+*i=0.
§ 11. Из доказанного нами относительно наибольших величин,
удовлетворяющих уравнениям (12) и (13), следует, что высший предел
отношения
+1
[ Yxdx
~\
4-1
\Ydx
—1
когда полином Y остается положительным между л:= — 1 и л: =4-1,
будет равняться наибольшему корню уравнения
или уравнения
XM+Xt=0,
смотря по тому, будет ли предел степени полинома Y равняться 21
или 21 — 1. Замечая, что формула
4-1
\ Yxdx
-1
+1
J Ydx

— 152 -
одинаково способна давать как положительные величины, так и
отрицательные, мы заключаем, что высшие пределы ее величин,
находимые по выше сказанному, будут также пределами ее числовых
величин.
Из того же, что отношение
4-1
\ Yxdx
- i
остается без перемены при замене Y через — Y, видно, что пределы
этого отношения, найденные нами в предположении, что Г между
jc=— 1, х=-\-\ сохраняет знак +> будут иметь место и в том
случае, когда Y между х=—1 и х=-\-1 сохраняет знак —, и,
следовательно, вообще, когда Y в этих пределах не меняет своего
знака. Таким образом, из доказанного нами относительно высшего
предела отношения
\ Yxdx
\ydx
получается следующая теорема:
Теорема. Если Y есть полином, не меняющий своего знака между
х~— \у х=-\-1, и степень его не выше п, числовая величина
отношения
-и
jj Yxdx
—i
-hi
\Ydx
—i
не будет превосходить наибольшего корня уравнения ,YZ+]L=0 или
^m+-*z=0i смотря по тому, будет ли л=2/ или 2/—1.
При этом через Х1+1, Хг обозначаются лежандровы функции
степеней /+1, /.
§ 12. Мы теперь покажем одно приложение выведенной нами
теоремы. Пусть будет ABC дуга параболической линии, которой
уравнение в системе прямоугольных координат такое:
y=f{x)=Cpx*+Cp-1j<?-*+... .
Если эта дуга между точками Л, С идет постоянно возвышаясь
или опускаясь и не перегибается, она не может пересекать ни хорды
АС9 ни линий AD, CD, проведенных через ее концы Л, С параллельно

—153 —
осям координат, а потому сегмент ABC будет составлять часть прямо-
угольного треугольника, образуемого хордою АС и линиями AD, DCy
параллельными осям координат. Из этого видно, что отношение
сегм. АСВ
треуг. ACD
будет всегда меньше 1, какова бы ни была степень параболической
линии. Для всякой же данной степени отношение
сегм. АСВ
треуг. ACD
будет иметь пределом некоторую величину, меньшую 1.
Фиг. 1
Эту предельную величину отношения
сегм. АСВ
треуг. ACD
как мы теперь покажем, и дает выведенная нами теорема.
Изображая через
XQ> Уй> ХЪ У\
координаты точек Л, С и замечая, что y=f'(*)> находим
AD=x, -*0, CD=yx -y0=f(Xi)—f(Xo)>
что дает нам такое выражение площади треугольника ACD:
ACD--
Хг — ДСо
(f(x1)-f(x0)),
которое может быть представлено так:
ACD=^^\f{x)dx.

— 154 —
Переходя к определению величины сегмента АСВ, мы замечаем,
что площадь трапеции АгАССг выражается так:
ЛЛСС1=-^-(ЛЛ1+СС1)===^°(л+Л)=^:£2(ГК)+/(^));
площадь же, ограниченная сверху дугою ABC, а с прочих сторон
прямыми линиями АА1У АгСъ СХС, выражается интегралом
\f(x)dx.
х0
Вычитая последнюю площадь из первой, мы находим, что величина
сегмента АСВ выражается так:
ACB=b^l{f (x0)+f(Xl))-ljf(x)dx,
х0
что приведется к
Хх
ACB=[f (х)(х - ^±Ь\ dx,
Х0
когда проинтегрируем по частям ^f(x)dx, приняв
\ dx = х
*0 + *1
2
По найденным нами величинам площади треугольника ACD и
сегмента АСВ отношение их выражается так:
сегм. АСВ
треуг. ACD
Хх
*1~ Х° С ГГг\ Yi-
\ / {х) ах
ха
что приведется к равенству
+ 1
сегм. АСВ — 1
И*
Iit+h±l±\dt
треуг. Л СО +1
— 1
когда введем переменную t вместо х, полагая
х= Xl— х° t 1 Xl~^~x°
2^2'

- 155 -
Так как параболическая линия, нами рассматриваемая, между
точками Л, С идет постоянно поднимаясь или опускаясь, и уравнение ее
есть
.У =/(*),
то производная
в пределах t=—1, £=-{-l, соответствующих этим точкам, не будет
менять знака, а потому к выражению
определяющему величину отношения
сегм. АСВ
треуг. ACD
может быть приложена выше показанная теорема. Замечая же, что
здесь функция целая / (х) будет степени не выше р— 1, мы в этой
теореме должны взять за п разность р — 1. Таким образом, на
основании этой теоремы мы приходим к заключению, что отношение
сегм. АСВ
треуг. ACD
не будет превосходить наибольшего корня уравнения
если параболическая линия степени не выше 2/+1, и уравнения
*z+i+*i=0.
если она степени не выше 21.
Полагая /=1, мы находим, что первое из этих уравнений
приводится к такому:
2 2
а второе к такому:
Замечая, что наибольший корень первого уравнения естьт/ "^ , а
■ч
*o + *i
tdt

— 156 —
второго —, мы, по выше сказанному, заключаем, что высший предел
о
отношения
сегм. ЛСВ
треуг. ACD
для параболических линий второй степени есть -, а третьей степе-
о
ни 1/ -
V з

OB ОДНОМ РЯДЕ, ДОСТАВЛЯЮЩЕМ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ИНТЕГРАЛОВ
ПРИ РАЗЛОЖЕНИИ ПОДИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
НА МНОЖИТЕЛИ *
§ 1. В записке под заглавием „О разложении функций одной
переменной"** мы показали различные ряды для разложения функций,
получаемые из общей формулы интерполирования по способу
наименьших квадратов, данной нами в мемуаре под заглавием „О
непрерывных дробях".*** В этих рядах члены составляются из полиномов
определяемых разложением интеграла вида
X — Z
а
в непрерывную дробь: знаменатели подходящих дробей, получаемых
при таком разложении интеграла
и суть те полиномы, по которым разлагаются функции в ряды,
бывшие предметом нашей записки.
Мы теперь покажем ряд иного рода, заключающий те же
полиномы. Этот ряд дает не приближенные выражения функций в виде
полиномов, как прежние, но приближенные с дополнительным членом
выражения определенных интегралов, которые составляются из
интегралов более простых в некотором отношении, а именно: при
определении интеграла вида
ь
JVo(*)/i (*)«*(*№
* Опубликовано в Приложении к XLVII тому Записок Имп. Акад. Наук, № 4
(1883); Собр. соч. П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II,
СПб. 1907, стр. 405—417.—Ред.
** Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 336—341 .—Ред.
*** Там же, стр. 103—126.—Ред.

- 158 —
где под знаком интеграла находится произведение трех функций
/о(*). Л(4 62W,
получается приближенное выражение, составленное из интегралов,
под знаком которых находятся отдельно функции
/о(*)6«(х), fi(x)bHx\ Ъ*(х),
умноженные на выше упомянутые полиномы.
§ 2. Этот ряд вместе с его дополнительным членом легко
выводится из рассмотрения многократного интеграла
Т = I PqSqS^q dx0dxx • • • dxn,
(1)
где функции
определяются таким образом:
в0=6(л:0)в(х1).--в(^я),
ср (X) = (* — Х0) (Х — Хг)-.. (Х—Хп),
So =
/о (*о) 1 /o(*i)
?' (*о)
+•
9' (*o) ?' (*i)
Л> = ?'(*о)?'(*1)-'У(*л).
. J. /о(£_я)
' 9' (*/z) '
(2)
Последнее равенство, по внесении в него значений <р' (*о)> ?' C*i)>
..., ср' (*„), приводится к следующему:
Я0= ± [<Л — хг) (х, — л-2) • • • (х0 — хп) • • • (xn-i— хп)]К (3)
Пределы всех переменных в рассматриваемых нами интегралах
будут одни и те же, а именно: а и Ь.9
Замечая по составу функций S0, Sv что произведение их равняется
сумме членов вида
/о (*д /i (**)
ф'(*/) ф'(**)'
где
i=0,l, ... ,л, А = 0,1, ... , пу
мы заключаем, что интеграл (1) разлагается на такую сумму
интегралов:
^ J 9 (**) 9 (**) я
В этой сумме будут члены двух родов, а именно: 1) члены, в
которых i—k, и 2) члены, в которых / Ф k. Так как в этой сумме
значки U к имеют все величины от 0 до п, то членов первого рода

— 159 —
будет л-f 1, а членов второго рода (п-\-\)п. Вследствие же
симметричности ее относительно переменных
члены первого рода будут все иметь одинаковую величину с членом
J 9 (*о)? (*о)
соответствующим /=0, £=0, а члены второго рода — одинаковую с
членом
и_^Ш1Р%и d d
J 9' (*o) 9 (*i)
соответствующем i=0, k = l; а потому рассматриваемый нами
интеграл (1) будет разлагаться так:
7" = (й+1) to ^ P^odx0dXl. ■ .dx„+ j
J ф (x0) <? (x„) I
+ (я+.1) „ f 4M/£u P0QUxJXl- ■ -dx„.
§ 3. Для упрощения первого из интегралов, входящих в это
равенство, мы введем новые функции 6Х, Ф1г Plt полагая
в(х1)в(х1)---в(хя) = в1, )
(х — х1)(х—х2)---(х — х„)=Ф(х), \ Ю)
ФЧх1)Ф'(х2)---Ф,(хп)=Р1. J
Сличая эти равенства с равенствами (2), замечаем, что
в0=в1.в(х0), j (б)
Дифференцируя последнее равенство по х, получаем
<?' (х) = Ф(х)+(х — х0)Ф\х),
откуда, полагая
ЛС = Хф, X^f Х%, . • • , Лл
и замечая, по (5), что х=хь х2, ..., хп обращают функцию Ф(х) в
нуль, выводим
?- (х0) = Ф (х0), у' (Jc^te — jc0) Ф' {xj, ...,?' (*„)= (*„-*,) Ф' (xn).(7)
Перемножая эти равенства между собою, находим
?'(-«о)<P'(-Ki)?'(*2) •••?'«> =
= {Xl — xt) (х2 - х0)■■ ■ (хй— хй) Ф (х„) Ф' (xj Ф' (jcs) • • • Ф' (х„).

- 160 —
Так как, по (5),
(х1-ха) (хг — х0) ■•■(х„- х0)=(—1)пФ(х0),
Ф'(*!)<!>'(*») •••<&'(*«) = Л,
а по (2)
выведенное равенство нам дает
/>о=(-1)" <*>*(*«) Л- (8)
Внося по (8), (6), (7) величины Р0, 60, ср' (ха) в интеграл
Г /oWL лс*о) я еа dXu dXi ^... dXn>
J 9' C*o) 9' («о)
мы замечаем, что он приводится к следующему:
I (-1) и/о (*о)Л (-«о) Pf* (*о) в? rfjc0 flUx dx.2 ■ ■ ■ dxn.
J<
Так как, по (5), функции Р19 вх не содержат переменной л:0, этот
интеграл разлагается на произведение двух интегралов таким образом:
I(-1)"P^Uxidx2.--dxn. Г/0 (^о)Л (*о) в*(*о)^o-
Вследствие чего, изображая через С величину интеграла
\(—l)*P1Q2\dx1dx2---dxn,
к)
не зависящую от функций /0(*), /i(4 мы получаем для определения
первого интеграла, входящего в равенство (4), такую формулу:
Г /oMAfo)^^^,. .^я=с f /0 (*0)Л(*о) 62(^о)^о. (9)
J 9 (*о) 9 W J
§ 4. Переходя к упрощению интеграла
Г ШZl(£i) pobUx,d^dxtdxz- ■ -dxn,
J 9 l*o) 9 (*i)
мы введем еще три новые функции, полагая
%{х,)Ь(х3)---Ь(х„) = %, \
(х-х%)(х~х^)---(х — хп)=Ф1(х), \ (Ю)
Ф'ЛхЗЩхА-'-Ф'ЛХп^Рг- I

- 161 -
Сличая первые два равенства (10) с соответствующими им
равенствами (5), выводим
(п)
o1==e(jc1)e«. \
ф (■*)=(*-*i)<M*).J
Дифференцируя последнее равенство по х, получаем
Ф'Н = Ф1 (*)+(*-хх)Ф;(;с),
откуда, полагая
х=х1г х%, ..., хп
и замечая, по (10), что функция Фг(х) при х=х%, хЗУ ..., хп
обращается в нуль, имеем
Ф' (хх) = Фх (хД Ф» (*2) = (х2 — хг) Ф; (х2), ...,
фЧ*«) = (*л —*1)Ф;(-*л)- (12)
Перемножая эти равенства между собою, находим
Ф'их)ФЧ^)ФЧ^)--Ф'(^)=
=с*2—*i)(*8—^1)-ч^-^1)ф1(^)ф;(^)ф;и3)--ф;(^„),
откуда, по равенствам (5), (10), получается такое выражение
функции Рг:
вследствие чего равенство (8) нам дает
Р0 = -ФЧ*о)Ф?(*1)А2.
Внеся сюда, по (12), Ф'^) вместо Фг (xj и заменив, по (7),
функцию Ф(х0) через <р'(*о)> а функцию Ф'^) через 2Jfii, получаем
*i—л:0
D _ / ?' (*о) Ф' (*i)
*л — —
xi — хо
Внося же эту величину Р0 в интеграл
I
f^u&L PqQI dxQ dXx dx2 *.-dxn
Ф' (*o) ? (*i)
и заменяя в нем, по (6), функцию 60 произведением в(х0) 6Х, а
функцию 615 по (11), произведением в (atj.) ва, находим, что он приводится
к следующему:
представить так:
- f/о (*o)/i (*i) F (*о> *i) °2 (*о) б2 (*х)<**о rf*i>
что можем представить так:
11 П. Л. Чебышев, т. III

— 162 —
изображая через
F (х0, хх)
функцию двух переменных х0, х1г определяемую равенством
F(xa, хх)= С*'<■*<№(.*О p2QUx2dxs- • -dxn. (13)
J \Х1 Хо)
§ 5. Вследствие показанных нами преобразований интегралов,
входящих во вторую часть равенства (4), оно приводится к такому
решению:
Г=(Л+-1)С f/oWAWO2^)^- {
- (п-f- \)п Г/0 (х0)/± (xL) F (x0, Xl) б2 (л:0) б^ (Xl)dxQdxlt
где Т, по (1), есть величина интеграла
(14)
1
Яо^о^бо^о^г • -dxn.
Мы тейерь покажем, как найдутся пределы, между которыми
заключается величина этого интеграла.
По (2), функции SQ, S± определяются равенствами
^ _ /о (*о) | /о (*0 , , /о (х„)
° Ф'(*о) <p'(*i) ф'(*л)'
s = Ш I /i(*i) , , /г (*я)
1 ?'(*о) 9f(*i) ф'(*л)"
Внеся сюда, по (7),
Ф (*о), (*i -*о)Ф' (Xi), • •., (*я - *о) Ф' (а;я)
вместо
?'(*о)> ?'(-*i)> •••> <Р'(*л)>
мы замечаем, что эти равенства могут быть представлены так:
S.= — Г/в(*о) Ф(*о)/о(^ *(*q>/«(**) 1 )
5х=—— [Л С*0) Ф(*о)/1(д;1) Ф(*о)/»(*я) 1 Г (15)
Ф(лг0) L (*о —*1)Ф'(*1) (Хо-хп)Ф'(Хп)1 • j
Рассматривая первое из этих равенств, где, но (5),
°(*)=(*—*i)(*-*2)-••(■*--*„),
мы замечаем, что выражение, стоящее здесь в скобках [ ],
представляет разность значения функции /0(х) при х=х0 с величиною,
которую дает формула интерполирования Лагранжа для определения этой
величины по величинам /0 (х)у соответствующим х=х19 х2> ..., хп.

— 163 —
Отношение такой разности к величине
(*о — *Р (*о — *2> ■ - (*о — х„)
l-2-.-л
как известно, не выходит из пределов, в которых остается
производная
dYofr)
dx*
при a:=x0, хъ х2, ..., хп я при величинах промежуточных.
Замечая же, по сказанному в § 2 относительно пределов
интегрирования, что все эти величины будут содержаться между а и Ь, мы
заключаем, что это отношение будет равняться некоторой величине
М^ средней между величинами, которые имеет производная
dafo(x)
dxn
в пределах л;=а, х=Ь.
Вследствие этого, по равенству (15), будем иметь
с = (*о ~ *0 (*о — *») • * * (*о — хп) мо
0 Ь2.-.п Ф(*о) •
Заменяя здесь, по (5), произведение
(х^ — хх) (хй х2) • • • (х0 .хл)
через Ф(х0), находим выражение для «S* которое по сокращении
приводится к следующему:
•5.= -
Ь2---я
Подобным образом найдется
1-2 •■•п '
где Aft есть некоторая величина, средняя между величинами, которые
ммеет производная
между х=а, х=Ь.
На основании выведенных нами равенств относительно значений
функций S* Sx в интеграле
Т = ГS0St ЗД dx0dx1 •■•dx„,
и замечая, что здесь, по (3), множитель РЛ не меняет своего знака,
11*

- 164 —
мы заключаем, что при некоторых величинах М0, Мх, не выходящих
за пределы, в которых содержатся производные
d»fo(x) dnMx)
dxn ' dxn
от х = а, до х = Ьу будем иметь такое равенство:
Т= J^^%[p^dxudx^ • -dxn. (16)
§ 6. Внеся эту величину Т в равенство (14), получаем уравнение
0-2-•-л)* J J
- (п+1) П С /о U0)/i (*i) ^ (*о> *i) б2 (*о) б2 (*i) *M*i,
откуда выходит такая формула для определения величины интеграла
S/oW/iWe2w^:
(/о (*o)/i (*о) б2 (*о) <**о = J /о (*o)/i (*i) nF[X«cXl) 6 2 (Хо) 6* (хх) rfx0 rf^-f
(Ь2... /х)2(/г + 1)С
Из этой формулы мы получаем ряд, составляющий предмет нашей
записки, разлагая функцию
^Р(х0ухг)
на члены, составленные из полиномов, которые, по сказанному в § 1,
определяются разложением интеграла
е2 о) dz
X — Z
i
в непрерывную дробь и которые мы будем изображать через
Фо(*)> <K(*)> Фа(*)> ••-•
По известному свойству этих полиномов, на основании формулы
(17), такое разложение функции
— Г (Х09 Xj)
легко сделать, не определяя величины интеграла
I
t^M^AP%\dXidx dx
который, по уравнению (13), дает выражение функции
F (Хо, xj.

- 165 —
Мы только заметим на основании этого уравнения, что Р(х09хг)
есть функция целая, степени ниже п и относительно xQ и
относительно хъ как это видно из того, что, по (2), произведение <р'Ч*о)'?''(*i)
делится на (х0 — хг)2 и не содержит ни х0У ни хх в степени
выше n-j-1-
Так как, по свойству полиномов
Фо(*)> ФЛ*), Ф2(*)> ••-,
всякая степень х ниже п может быть представлена суммою
*оФо(*) f*i Ф1(*Н Мя-1Ф»-1(*)>
го, по выше замеченному относительно функции Z7 (х0, xL), функция
■ F (х<>, хг)
п
~С
будет представляться такою суммою:
2 СХ)1х фх(*о)Ф*(*1)>
где X, (х остаются меньше я.
Внеся эту сумму вместо функции
~ Р \хо> хг)
в формулу (17), мы получаем равенство
J/oUo)/iW02W^o=
+
M0Mx\p^KQdKr--dKn
(\.2---n?(n+l)C
которое, как нетрудно заметить, может быть представлено так:
= 2 сх,, f/о (*) Фх w62 (*)rf* fл w ф, w62 w rf*+
"^ (Ь2--.л)*(п + 1)С
По известному свойству полиномов
ФоМ> ФхС*)* Ф2(^)> •••

[
- 166 —
удовлетворять уравнению
b(x)4>k(x)%*(x)dx=0 (19)
при i Фк, нетрудно найти величину коэффициентов
входящих в эту формулу.
В самом деле, если мы возьмем в этой формуле
/о(*) = Ф|(*)> Л(*) = Ф*(*).
полагая
то производные
dxn dxn ' dxn dxn
будут равняться нулю, вследствие чего, по сказанному в § 5
относительно количеств Ж0, Mv они будут тоже нулями; а потому при
таких значениях функций /0 (х), fx (х) формула (18) приведется к
равенству
Замечая, по (19), что интегралы
|ф|(х)фх(х)в«(х)Лдс, |фт(*)Ф11(*)в« (*)<**
обращаются в нуль при к ф I, ^фт, мы заключаем, что в сумме
сокращаются все члены, кроме члена, в котором
А потому выведенное нами равенство дает
j Фх С*) Ф^ (*) 6^ (*)^=СХ{Х j ф* (*) е^ (х) dx J ф^ (х) 6^ (х) Лс,
откуда для определения величины коэффициента СХ{Х получается
такая формула:
Полагая здесь X={i, находим
1
Ся,х=
5й(*)в»мл/

— 167 —
в случае же Ъфр, по равенству (19), замечаем, что
откуда видно, что сумма
ск, -0.
2 Сл,, J /о (*) фх (х) в» (х) dx^f, {х) ^ (х) е« (л) £х
содержит только члены, в которых X=ti, и что в этих членах
коэффициент CXi(1 имеет такую величину:
а потому равенство (18) приводится к следующему:
J
"• (1-2--.я)*(л+1)С ' ^
где суммирование распространяется, по выше сказанному, на такие
величины \:
Х=0,1,2,...,л — 1.
§ 7. Нетрудно также найти величину выражения
(1.2---п)»(л+1)С
заключающегося в последнем члене выведенного нами равенства.
Это можно сделать, полагая в этом равенстве
/о(*)=Ф„(*). Л(*)=Ф.(*)-
Так как в этом случае производные
«Р/оОО <*Vi(*)
приводятся к количеству постоянному, равному typ(0), то, по
сказанному в § 5 относительно количеств Af0, Мь они будут тоже равняться
ф^>(0); вследствие чего при
формула (20) дает
Г ^ [\фп(*>М*>в1(*)**]* г
(1-2 •••«)»(« + !) С

- 168 —
Так как здесь, по сказанному в предыдущем параграфе, число X.
остается меньше п, то, по (19), интегралы вида
заключающиеся под знаком суммы, обращаются в нуль, и мы находим
J
Ф2 (х) 92 (х) dx ■■
Это равенство нам дает
JP0Qldx0dXl ■■■ dxn J ф2 (x)e2(x)dx0
(Ь2... л)»(я+ 1)С = [ф(лп)(0)]2 ''
что по внесении в формулу (20) приводит ее к следующему:
i
^ \/0WM*)e,(*)«fc [/,(х)фх(х)е*(х)<*х
f0(x)f1(x)^(x)dx^ 2 — ? ~ " +
где сумма представляет п членов ряда
/о to Фо (х) б3 (х) rfx J Л (ж) ф, W е»(ж) dx
i |_
\%{x)b\x)dx
$/о to *i to б2 to dx J Л (х) фх (х) 62 (х) dx
U2(x)62(x)rfx
J/o to Фя-i to егto** • S /l to Фя-i («) б2 (^) Ac
J^_ito92(x)dx
доставляющего приближенную величину интеграла
а выражение
;j>>o.
)62(^0)йГл:0
№?<P)]S
представляет дополнительный член этого ряда.

— 169 -
Замечая, по сказанному в § 5 относительно количеств М0, М1г
что числовая величина их не будет превосходить наибольшей
числовой величины производных
<*"/о(*) rfa/i(x)
dxn ' dxn
в пределах интегрирования, и изображая эти наибольшие числовые
величины через Л, В, мы заключаем, что числовая величина
дополнительного члена
не будет превосходить величины
Что касается знака дополнительного члена, он легко определяется
в том случае, когда производные
dg/o(<) d»/, (*)
dx71 ' dx?
между пределами интегрирования не меняют своих знаков.
В этом случае, по сказанному в § 5, количества M0i Мг будут
иметь те знаки, какие имеют производные
dxn ' dxn
в пределах интегрирования, а потому дополнительный член
где выражения
|ф2„К)е2Ю^о> [Ф(лл)(0)]2,
очевидно, имеют всегда значения положительные, будет иметь знак
+ или знак —, смотря по тому, сохраняют ли эти производные в.
пределах интегрирования одинаковые знаки, или противные.

OB АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЯХ,
КОТОРЫЕ В ДАННЫХ ПРЕДЕЛАХ ПРЕДСТАВЛЯЮТ
ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
ИЗ ПЕРЕМЕННОЙ*
Когда из всех дробей вида
F(x) '
где степени f(x), F(x) не превосходят п, будем искать ту, которой
логарифм, от х=— < 1 до л:=а>1, уклоняется наименее от лога-
а
рифма Ух, то найдем дробь, которая может быть представлена
следующим образом:
/(*>
•*{/'-¥)*(-/'■?■)
F 00 ср (/1 - ах) ф (- Y\ —ax)
где 9 (х) есть функция степени т, которая, помимо совершенно
произвольного постоянного множителя, может быть определена помощью
уравнения
?(уг1-йгл:)ф(- Yl—ax)
Так, полагая т=1, найдем для приближенного выражения Ух
между х=— и х=а дробь
а
kx + 1
x+k '
где k есть постоянная, определяемая уравнением
** - 6k2—4 (а + -Ц £—3=0,
* Краткая заметка в Bull, de la Soc. mathem. de France, XII (1884), стр. 167—168.
Собр. соч. П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том. II, СПб;
1907, стр. 725.— Ред.

— 171 -
и откуда, полагая
Z Г~&
Yab V в9
получим для приближенного выражения Yz между Z=A nZ=B фо]
мулу
4^g kZ + VJB
Z + kVAB

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН ИНТЕГРАЛОВ
ПОСРЕДСТВОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫЧЕТОВ*
§ 1. В записке под заглавием „О предельных величинах
интегралов", ** напечатанной в математическом журнале Лиувилля, мы
сообщили некоторые результаты, полученные нами относительно
предельных величин интеграла
V
ff(x)dx
а
в том случае, когда даны величины интегралов
ь ь ь
Cf(x)dx, Cxf(x)dx, Cx2f(x)dx, ...,
а а а
взятых в пределах более широких: а<^и, b^>vt и неизвестная
функция f(x) остается положительною между х=а, х—Ь.
По теореме, предложенной в этой записке для случая, когда число
данных интегралов
ь ъ ь
f f{x) dx, f xf(x) dx9 . . . , j x2m~l f (x) dx
a a a
есть четное = 2m, предельные величины интеграла
v
jf(x) dx
a
могут быть найдены только в том случае, когда пределы его а, чу
удовлетворяют некоторому уравнению, зависящему от величины
данных интегралов.
* Опубликовано в Приложении к LI тому Записок Имп. Акад. Наук, № 4 (1885);
на французском языке „Sur la representation des valeurs limites des integrates par les
residus integraux" в Acta math., IX (1886), стр. 35—56; Собр. соч. П. Л. Чебышева
под ред. А. А. Маркова и Н. Я- Сонина, том. II, СПб. 1907, стр. 421— 440.— Ред.
** См. стр. 63—65 этого тома.—Ред.

- 173 —
Чтобы получить это уравнение и выражения предельных величин
интеграла
jf(x)dx
лри и, v, удовлетворяющих этому уравнению, мы разлагаем интеграл
J Z Х
а
в ряд по нисходящим степеням г, что даег
ь ъ
ь $f(x)dx fxf(v)dx
r zoo dx =« ^ *— ^
2-Х
откуда, полагая, что
ь ь
Jf(x)dx = A0; jxf(x)dx = Alf ..., Jx2m л f(x)dx=A2m-u
получаем такое выражение интеграла
ь
•Г /W
dx,
точное до — включительно:
Лт
Ап . А,
1т-\
Z П 2* ' * z2m
На основании этого и изображая через
1
ахг + рх
1
а2* + Р2
непрерывную дробь, происходящую от разложения выражения
и остановленную на m-ом неполном частном, мы будем иметь, тоже
с точностью до — включительно,
22т
ь
2-Х СС^ + pt
*т* + Ря

— 174 —
При помощи непрерывной дроби, таким образом определяемой,
получаются уравнение, которому должны удовлетворять щ v в
рассматриваемом нами случае, и соответствующие им предельные
величины интеграла
V
Г/(«*) dx.
и
Изображая через
простую дробь, к которой приводится эта непрерывная дробь, и
приравнивая знаменатель ее Фт(г) нулю, мы получаем уравнение
Фт(*)=о,
которому должны удовлетворять пределы и, v интеграла
v
Jf(x)dx.
и
Изображая же через
Zv Z2, . . . , Zt_v Zv . . . , 2Г„_р 2Л> . . . , Zm
все корни этого уравнения, расположенные в возрастающем порядке
мы находим, что предельные величины интеграла
Г f(x) dx
и
в случае
»=*„ v=zn
даются такими суммами:
*т(*м) г Уш(^+2) j | УтК-х)
+«(^+l) +«(*l+2) +«(*n_i)
~ г — 1 г •
Эти суммы состоят из вычетов функции
*««
относительно корней уравнения
Фя(*)~о,
-зяклюнающихся.з .пределах
со включением крайних или без них.

- 175 -
Чтобы представить эти суммы частных вычетов интегральными
вычетами, мы согласимся изображать через со положительную
бесконечно малую величину. Так как при этом обозначении корни
уравнения
Ф„(г)=0,
заключающиеся в пределах
г1 + *, 2„ — (О,
суть
а в пределах
суть
zi+i>
Zl+2> '
г,—со,
2i> zi+i>
, . . ,
г„ + <о
.... гп,
то предыдущие суммы частных вычетов представляются такими
интегральными вычетами:*
а потому, на основании показанных выражений предельных величин
интеграла
Jf(x)dx,
будем иметь
2l
§ 2. Эти неравенства, а также решение одной задачи, данное в
выше упомянутой записке, и решение других задач того же рода
прямо получаются из представления интегральными вычетами
предельных величин интеграла
Гf(x)dx
а
в том случае, когда верхний предел v остается произвольным, а ниж-
* Мы не ставим пределов мнимой части z> так как она всегда будет равна нулю.

- 176 —
ний и имеет одинаковую величину с нижним пределом данных
интегралов
ъ ъ
ff(x)dx, Jxf(x) dx, . . .
а а
В этом случае предельные величины интеграла
jf(x)dx
а
получаются из таких формул:
jf(x)dx<V£p(z), (1)
a a— to
jf(x)dx>V^F{z), (2)
а а—и>
где F (г) есть рациональная дробь, состав которой зависит от числа
данных интегралов
ъ ъ
f/(■*) dx, f xf(x) dx, ...
a a
и их величины.
Эта дробь легко получается при помощи разложения интеграла
ъ
№
^dx
в непрерывную дробь
1
atz + рх
1
«2* + 02 — * . 1
am* + P/тГ
которой т неполных частных, как видели, могут быть всегда найдены,
если известны величины 2т интегралов
ь ь ь
Jf(x)dx=A0, Г xf(x)dx=Aly ..., Cx2m-lf(x)dx^A2m-\-
а а а
Изображая попрежнему через
Ум (*)
Фя»(*)
простую дробь, к которой приводится непрерывная дробь
1
«1* + Pi

— 177 -
мы будем обозначать через
простую дробь, к которой она приводится, будучи остановлена на
неполном частном
а ,2 + 8, ..
Если вместе с величинами 2т интегралов
ь ь ъ
jf(x)dx=A0, jxf(x)dx = A19 ..., J**» lf(x)dx = Atm i
дается также величина интеграла
ъ
Jx*"f(x)dx=A2m,
а
кроме выше показанной непрерывной дроби и двух простых дробей
*m-l(*) ?mW
для определения рациональной дроби
входящей в формулы (1), (2), необходимо найти еще величину
коэффициента z в (т-\- 1)-ом неполном частном непрерывной дроби,
получаемой о г разложения выражения
Ji-L — -I 1~ ™--1jl
Этот коэффициент мы будем изображать через
°Wi
§ 3. Переходя к определению рациональной дроби F{z), мы
замечаем, что она в общем виде особенно просто может быть
представлена непрерывной дробью. В этой непрерывной дроби первые т
неполных частных одинаковы с неполными частными непрерывной дроби
1
«i*+ Pi-
а2* +
происходящей от разложения интеграла
) z — х
а
12 ц. л. Чебышев, т. Ш

178
Вследствие этого рациональная дробь F(z) будет определяться
такой формулой:
1
P(z) =
«i* + Pi
l
Ч* + Р2 — '
1
ат*+Рл
(3)
где Z есть неизвестная функция. Эта функция найдется при помощи
одних функций фт-1 (г), фт(г), если дается 2т интегралов
ь ь ь
ff(x)dx, jxf(x)dx, ..., Jx2m~lf(x)dx.
а а а
Если же дано 2т + 1 интегралов
ь ь ь
jf(x)dx, Jxf(x)dx, . . . , Jx2mf(x)dx,
a a a
при определении F(z) понадобится еще постоянная величина am+,.
В первом случае мы найдем эту функцию по формуле
Z=y(z — v) -f-
tm-\
(V)
принимая за у наибольшую из двух величин
Ы') +■«(*) j'
Фт-1 W Фт-1 W
М»> <U«)
(4)
6 — » |_
Во втором случае функция Z определяется двумя различными
формулами, смотря по знаку дроби
1 Г фст_1 (д:
-v\_ фш(а)
') Ф*-1 («)
+„(»)
am+i
J Г 4W-I
-lW Фт-1»)
(5)
Если эта дробь имеет величину положительную, функция Z
определяется так:
Z=am,1(g —^)+^"l(t?). (6)
В противном случае функция Z найдется по формуле
1-р Фж(«) (1-р)»*-(1-р)(*-вр)
(7)

- 179 -
где
1 r*„-i(*) fr, |№)1
1 I jL_i(*) Ф—1(«) 1
*-« L *„(»)" <L<"> J am+'
8=
6—а
*m l(« +„-i(e)
L. U*>
1^1
(«) J affi+1'
§ 4- Из представления интегральными вычетами предельных величин
интеграла
\№
dx
при v каком-нибудь легко получаются все формулы, показанные
в выше упомянутой записке.
Полагая, что даны величины 2т интегралов
ь ь ь
\f(x)dx, \xf{x)dx, ..., \х2т xf(x)dx
а а а
и что ищутся предельные величины интеграла
\f{x)dx
а
при v, удовлетворяющем уравнению
Ф.(*)=0,
мы замечаем, что в этом случае, по § 3, функция Z будет
определяться так:
Z=1{Z-V)+-T^T'
откуда по равенству
Ф„»=0
ВЫХОДИТ
Z=oc,
вследствие чего, по (3), будем иметь
«i*+Pi —
Заменяя здесь непрерывную дробь равной ей простой
9гтг(*)

— 180 —
находим
при такой же величины P{z) формулы (1), (2) нам дают
v
9,7*0)
У ei+-w
а
Это будет иметь место при всех величинах v, удовлетворяющих
уравнению
Ф„И=о.
Делая последовательно
где г,, гя, по нашему знакоположению (§ 1), суть корни уравнения
и гя>г„ мы из этих формул выводим
а а
zl zl
(7(*)<te> £ teg-, \f{x)dx<i I
7 +ш
9/77 О)
Вычитая же последние два неравенства из двух предпоследних
находим
l№№<Asf'
/
f{x)dx> £ ^М
и эти неравенства, как видели (§ 1), дают те самые предельные
величины интеграла

- 181 -
которые были нами показаны в журнале Лиувилля1 для
рассматриваемого случая.
§ 5. Чтобы вывести из формул (1), (2) решение задачи, показанное
в выше упомянутой записке, полагаем, что даны три величины
Р> d, k,
определяемые такими формулами:
ъ
p=\f(x)dx, d=JL , k=*Ux-Wf(x)dx,
О ' f Q
\f(x)dx
0
и что требуется найти предельные величины интеграла
V
[f(x)dx
о
в том случае, когда неизвестная функция f(x) между jc=0, х=**о
не делается отрицательной.
Так как тремя величинами
Р, d, к
определяются величины трех интегралов
ь ъ ь
jf(x)dx=p, ^xf{x)dx=pd, ^x*f{x)dx=pd%-\-k,
0 0 О
то предельные величины интеграла
]f(x)dx
О
в нашей задаче найдутся по формулам, имеющим место, когда число
данных интегралов есть нечетное 2/n+l; при этом должны положить
/7z=1, а—О,
А0=р, Ax—pd% А^рсР+к,-
Для определения непрерывной дроби
1
ciH-P«—•. i
разлагаем выражение

— 182 —
в непрерывную дробь, не идя дальше первого неполного частного,
что дает нам
1 = 1
р Р
откуда, по нашему знакоположению, выходит
9i О) _ 1 Фо (*) = 0 9iO) _^ Р___
♦iW _£ rf_ Фо(*) 1 Ф1ОО *~rf
Для определения постоянной величины ат+1=а2 разлагаем в
непрерывную дробь выражение
останавливаясь на втором неполном частном и ограничиваясь в нем
одним первым членом. Таким образом получаем
~+,£«1+/»*+*ава_?_
^ ** ' Г* 2-d 1
**+•
откуда, по сказанному (§ 2) об определении am+i = <x2, выводим, что
Р2
k '
§ 6. Внося эти величины в формулу (5), мы получаем дробь
^ Pd
d — v
p(b-d)
Знаком этой дроби, по § 3, определяется, которая из двух формул
(6), (7) дает настоящую величину функции Z.
Так как эта дробь меняет свой знак только при величинах
p(b—d) ' pd'
обращающих ее в оо и 0, а при 1;=+°° и *> = —со она равняется
+ 1, то знак ее при
p{b-d)
и при
pd

- 183 —
будет -{-> а между этими пределами, где
k
d —
Pi
она будет иметь знак — Вследствие этого при
v<d *—
p{b-cf)
и при
f>flf+ —
pd>
по сказанному в § 3, мы для определения функции Z должны взять
формулу (6), которая нам дает
H>i W k v — d
В случае же
k <<u<d±k
p(b-d) pd
функция Z получится из формулы (7), по которой находим
Z=£z+(2d-b-v)p~+{b-d)(v-d)^-
p[p(b — d)d — k][p (г;—^ d — k] [p (d — v) (b—d)— k]
& (z — d)— p& (b — d)(v — d)d
Переходя к определению рациональной дроби F(z) no (3), мы
замечаем, что в рассматриваемом нами случае непрерывная дробь
1
«i*f Pi"
l
а2^+Р2— • . 1
содержит только одно неполное частное
i о z d
р Р
вследствие чего (3) приводится к следующему:
р р Z
а это при двух выше найденных величинах функции Z нам дает та
кие две величины F(z):
F&= —
(z—v) [z — d +
F(z)= "'
pz* — p(b+v--d)z+k-\~{b — d)(v-~<f)p
z(z—b)(z — v)

— 184 —
Первая из этих величин F (г), как видели, будет иметь место, когда
k
v<d-
p(b-d)
или
v>d+
pd
Вторая — в том случае, когда
p{b — d) ^ pd
Внеся эти величины рациональной дроби Р(г) в формулы (1), (2)
и сделавши там я=0> мы находим, что предельные величины интеграла
\f{x)dx9
доставляющие решение нашей задачи, получаются из формул
k \
v ~ a) p (z — V -+-
[f(x)dx> £
0 \ P,v — d))
J to
«+«> р(^-_-у)4-
pKv — d)y
k
v — d
( k \
(jar — v> f дг rf-
если
v<C d—
p(v — d) '
k ^ , , k
или v "'d-\~ -,
p{b-d) ' pd
и из формул
\f(x)dx^> Г l*2 - p (fr+t? - d) z+k+(b ~d)(v — d) p
J M z(z — b)(z — v)
если
—-—0<d-|- —.
p{b — d) pd
§ 7. Останавливаясь на случае
(8)
v<d
P(b-d)'

- 185 —
мы замечаем, что при таких величинах v, между г~ — <о и z=*v ±со,.
дробь
( k \
{z — v)[z—d-\~ j
может обращаться в ос только при
z = v,
k
так как другая величина z=d , обращающая ее в оо, прш
v<Cd и со бесконечно малом, превосходит и v-\-o> и v—со.
p(b — d)
Что же касается
z=v,
то эта величина по причине неравенства
со>0
будет заключаться в пределах
— СО, IJ-j-CO,
но будет вне пределов
— со, v — со.
Вследствие этого при рассматриваемых нами величинах v
интегральный вычет
k
О / 1 \
приведется к нулю, а интегральный вычет
k
г>+ш P(Z—V) +
L ( k
- °> (z—v)(z--d-\--
p(v~-d).
к вычету только относительно
гг—*>,
равному
kp
k+p(v-df
к
А потому при vKd--^-^ формулы (8) приводятся к еле
дующим:
\ f(x) dx > 0, ] /(*) dx< k+p{v-d)*

— 186 —
Перехрдя к случаю
pd
-мы замечаем, что при таком неравенстве величина
л k
p(v~d)
обращающая в оо дробь
% , k
p{z—v)-+
v — d
(z-v)[z-d+
p(v-d)
будет заключаться и в пределах
О), V (0
и в пределах
— о, iJ-f-co;
другая же величина, обращающая эту дробь в ос, равная v, будет
заключаться только между последними пределами.
Вследствие этого интегральный вычет
k
р v — d
С/ / k
- u» z — v) I z — d-\-
p(v — d)
приведется к одному вычету относительно
z—d ,
p{v — d)
равному
k+p(v—d)* '
л интегральный вычет
k
„+«о р (Z-V)+ -
л v — d
k
- «> (z — v) ( z — d-\-
p(v — d),,
сбудет представлять сумму вычетов дроби
k
p(z—v) +
v — d
(*-«) (*-<Ч- '
p(« — d)

- 187 —
относительно обеих величин г, обращающих ее в с», сумму, равную р.
При таких же величинах интегральных вычетов формулы (8) дают
J k+p(v-df
V
\f(x)dx<P-
о
Нам остается рассмотреть случай, когда
p(b-d) " ^ ^ pd
При таких величинах v, как видели (§ 6), предельные величины
интеграла
jf(x)dx
О
даются формулами
pz* - р (b+v - d) z+k-fjb -d){v — d)p
z(z — b)(z — v)
^f(x)dx> £
о —w
f fix) dx< V Г ~ p*-p(b+v-d)z+k+lb-d)(v-d)p
0
Так как из трех величин
г=0, z=b, z~v,
обращающих дробь
pz* - р [b+v - d) z+k + (b -d)[v~d)p
2{z — b){z — v)
в oo, г=0 заключается и в пределах
— о, v — w
и в пределах
z=b не заключается ни в тех, ни в других, a z—v заключается толь
ко в последних, то интегральный вычет
Г Pz* ~~ P (&+v ~~ rf) *+&+ (b — d){v~-d) p
Уш z(z-b)(z-v)
приводится к одному вычету относительно г=0, равному
(b — d)(v — d)p+k
bv

— 188 —
а интегральный вычет
"оШ Р**-Р(Ь + у - d)z + k-\-(b-d)(v-d)p
L> Z\3 -b)(z —v)
к сумме вычетов относительно г=0, z=v9 которые равны
(b — d)(v — d)p+k d(b — d)p- k
bv (b - v)v
и которые в сумме дают
{b — d)(b+d — v)p~ k
b{b- v) ;
вследствие чего из этих формул выходит
\f{x)dx> ,
о
(f(x)dx <H>-*Hb+a-„)p-k
rKJ ^ b(b-v)
о
Так из представления предельных величин интеграла
V
!f(x)dx
а
интегральными вычетами получаются все формулы, данные в записке,
напечатанной в журнале Лиувилля, под заглавием „О предельных
величинах интегралов".*
§ 8. Показаннце нами предельные величины интеграла
\f{x)dx
а
для случая, когда даны величины интегралов
ь ь ь
\f(x)dx, \xf{x)dx, \x*f(x)dx,...
а а а
и неизвестная функция f(x) между х=а, х=Ъ остается
положительною, легко поверяются при помощи равенства
ъ
\Uf(x)dx= £ UF(z),
* Стр. 63 — 65 этого тома. — Ред.

— 189 —
которое, по свойству рациональной дроби F(z), определяемой
формулами (3), (4), (6), (7), будет всегда иметь место, если U есть целая
функция и степень ее меньше числа данных интегралов
ь ъ ъ
f f(x)dx, \xf(x)dx, Jx*f(x)dx,...
и а а
Что касается вывода их на основании теории наибольших и
наименьших величин, это будет предметом особенной записки, где
будут изложены и другие приложения рациональной дроби F(z).
Мы увидим, что дв.а корня уравнения
F(x)
ближайшие к корню
X — V,
дают решение такой задачи относительно функции f(x):
В каких пределах, начиная от x~v или кончая x~v, функция
f(x) может оставаться равною нулю?
Давая же в формулах, определяющих F(z), букве v некоторые
частные величины, мы получаем такие две дроби F1{z), F>(z)y с
которыми интегральные вычеты
£ Рх(г)6(г), ' £ Ft{z)Q{z)
а -- щ a -f- <*>
представляют предельные величины интеграла
ь
Jf(x)b{x)dx,
а
если между х=а, х=Ь функция Q{x) остается конечною и
непрерывною, а производная ее порядка, равного числу данных интегралов
ъ ь ь
\ f (x) dx, J xf(x) dx, J x2/ (x) dx,...,
a a a
не меняет своего знака. Эти частные виды дроби F(z) в случае
четного числа данных интегралов
ь ь ъ
' jf(x) dx, \ х f(x) dx, ..., / x2m~lf(x) dx
а а л

— 190 —
получаются из формул (3), (4), когда за v принимаем Ъ и какой-либо
из корней уравнения фга(;с)=0. В случае же нечетного числа данных
интегралов
ъ ъ ь
If(x) dx, \ xf(x)dx,..., \x2mf(x)dx
а а а
дроби Fx(z\ F2(z) находятся по формулам (3), (6), когда полагаем
v=a, v = b.
При помощи дробей, определяемых формулами (3), (4), (6), (7)у
могут быть также найдены предельные величины интеграла
V
\f(x)dx,
U
каковы бы ни были и и v, если только в данных интегралах один
из пределов равен ± сю.

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫЧЕТАХ,
ДОСТАВЛЯЮЩИХ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ИНТЕГРАЛОВ*
§ 1. В записке под заглавием ,0 представлении предельных
величин интегралов посредством интегральных вычетов",** читанной в за
седании Академии Наук 8 октября 1885 г., мы показали, каким
образом по величине 1т интегралов
\f(x)dx, \xf(x)dx, ..., \xim-xf{x)dx
а а а
можно найти самые тесные пределы, между которыми заключается
величина интеграла
V
J /(*) dx,
а
если функция f(x) при л:>а и <ft не делается отрицательною и v
содержится между а и Ь. Такие пределы, как мы видели, при
помощи интегральных вычетов представляются очень просто, а именно:
\f(x)dx< I P{z),\
\f(x)dx> £ F(z).\
a a.—ш /
В этих формулах о> обозначает бесконечно малую положительную
величину, a F(z) рациональную функцию, которая при помощи
непрерывной дроби
1 1
«i* + Pi —
«2* + $2 — * .
1
«*+{
* Читано на заседании Физико-математич. отделения Имп. Акад. Наук 30 (18) ноября
1886 г. Опубликовано в Приложении к LV тому Записок Имп. Акад. Наук, № 2 (1887);
на французском языке «Surles residus integraux qui donnent des valeurs approchees des
integrates» (Acta math., XII (1888-1889), стр. 287—322); Собр. соч. П. Л. Чебышева
под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 443—478.—Ред.
** Стр. 172—190 этого тома.—Ред.

- 1У2 —
происходящей от разложения выражения
[f(*)d* \xf(v}dv \x2,n xf(K)dK
К + -^—; + ...+"
г*
м ее подходящих дробей
Фт-1<» *г* Г Pi
?m (*)
*т !г + Ря
*«w *i* + Pi -"v"+>7— >
*m* + Pm '
находится по формулам
1
/*(*) =
а^ + Pi ___
OL.2Z -j- P2
«Я1* + Р|Я ~~ 2
где у есть постоянный коэффициент, равный наибольшей
величин
ъ
Приводя непрерывную дробь
*гг + Рх ■—■
i рд i№) **^(»П
*** f Pm — 1
z
в обыкновенную, мы, по выше сказанному, находим
откуда, полагая
Ф1(г)=фтп(^)2-фт_1(г),

— 193 —
выводим
/?(г)==^^i£I
Внося эту величину функции F(z) в формулы (1), находим
V tf-f-tt>
\f(x)dx< f «г^,
У £,Фх(*)'
d ©—ш
что иначе может быть представлено так:
■У Л1ф1« ^ v <м*>
[f(x)dx> } ^^— } *^-
Замечая, что интегральные вычеты
v 4-а> t>
Ъ Ф^*) ' t/ ф (г) '
где, по нашему знакоположению, о> есть бесконечно малая величина,
распространяются только на величины, смежные с г=ю и что эта
величина z, удовлетворяющая, по (2), (3), уравнению Ф1(г)=0, лежит
на одном из пределов их, мы находим, что они равны
1 Фо(«) ?
2 ф',(*)'
вследствие чего последние формулы нам дают
Ф0(2Г) , 1 Ф0(У)
J У V У Х С/ ф 2 ' 2 ф/ (t?)
а а—о) ч
Из этого видно, что интегральный вычет
дает величину интеграла
с точностью до
13 п. Л. Чебышев, т. III
у Фр(*)
, 1 ф.(<0
~~ 2 ®i (о)

- 194 -
и это будет наибольшая точность, с которою может быть определена
величина его по значениям 2т интегралов
ъ ь ъ
J f{x) dx, J xf(x) dx,...9 J x2m~l f(x) dx,
a a a
если относительно "функций f(x) известно только то, что она остается
положительною между х~а и х=Ь.
Мы теперь займемся исследованием величины дроби
ФоОО
и формул, которые могут привести к определению ее высшего
предела. Для одного частного случая, особенно замечательного, на
основании этих формул мы находим высший предел дроби
в виде функции числа данных интегралов
ь ъ ъ
\ f{x) dx, \ xf(x) dx, [ x2f(x) dxy . . . ,
a a a
которая беспредельно приближается к нулю по мере увеличения
этого числа до оо.
§ 2. Мы воспользуемся здесь некоторыми результатами,
полученными нами в мемуаре под заглавием „О непрерывных дробях".*
В этом мемуаре мы занимались рассмотрением непрерывной дроби,
происходящей от разложения суммы
У Q2 (*f) = в2(*о) I Q2(*i) -f . . . + Q2(t,l)
Z /С £ <* " лп Z ~ и^1 Z .X y\
где
xQ, xly x2, . . . , xn
действительные величины, различные между собою, а
е2(*о), е*^),..., ъцхп)
какие-нибудь положительные количества.
Предполагая эту дробь приведенною к виду
1
«1* + р! —— 1
a2z + р8
Ч* + Рз — * • ^
и изображая через
?о(*) 9i(*) ?2(g)
Фо(*) ' М*) ' Ф,(*)
* Том II, стр. 103—126, настоящего Собрания сочинений.—Ред.

— 195 —
ее подходящие дроби, мы по формулам, выведенным в этом мемуаре
находим, что
2 ©*(^)^(-«,)=-, 2 <>«(*«)+?(*»)=1,
откуда ясно, что все коэффициенты
al5 a2> a3> * * '
имеют величины положительные и вследствие того высшие члены
в функциях
Фо(г), ?i(*)> ?2(г), • • •>
Фо(*)> Ф^г), ф,(г),...
будут иметь коэффициенты положительные.
С другой стороны, по доказанному в этом мемуаре, мы для
всякой целой функции /0 (г) степени ниже р. имеем такое уравнение:
2/о(^)ФЛ^)62(^)=0. (4)
На основании этого уравнения мы покажем деперь некоторые
свойства функций
Фо(г)> Фхф, Ф2(г),
которые нам понадобятся впоследствии.
Для этого мы замечаем, что последняя подходящая дробь
9п+\ (2)
со знаменателем фл+1 (г) степени п+1 будет давать точную
величину суммы
1 1- . . . -\ ,
а потому знаменатель ее фл+1 (z) должен иметь такую величину:
Фл+1 (z)=C(z — x0) (г — хг). . . (г — хп), (5)
где С — постоянный коэффициент.
Полагая, что величины
Xq, X}, . . . , Х^, -^x_j_p • • • , Хп
расположены в возрастающем порядке, и замечая, по (5), что
выражение

- 196 —
приводится к целой функции степени п—1, мы, по (4), для
ФД*)=фя(г)
выводим
2 WW,) е,( )д0.
Так как в этом уравнении сумма распространяется на величины г,
обращающие, по (5), функцию фя+1 (г) в нуль, то это уравнение
приводится к равенству
откуда по умножении на хх— хх+1 выводим
ф'«+1 ы фл w (-ч)=ф;+. к+.ж (**+.) ег к+1).
Так как по (5) уравнение
Фл+1(г)=0
не имеет мнимых корней, то при двух корнях его
производная
ф;+1(*)
должна иметь знаки противные, а это по найденному нами равенству
предполагает, что величины
Ыхд> ФяС*х-м)
имеют различные знаки, и, следовательно, что уравнение
фл(г)=0
имеет корень между
z=xv z=xx+{.
Из этого видно, что в каждом из п промежутков между двумя
последовательными корнями уравнения
Фя+1(*) = °>
будет содержаться по крайней Мере один корень уравнения
Фя(*)=0,
и, следовательно, что все его п корней имеют действительные
величины, различные между собою. Изображая корни этого уравнения
через
Х0> XV - - • » Хп-\ 9

— 197 —
мы, по выше показанному, замечаем, что эти корни вместе с корнями
уравнения
фя+!(г)=0
будут представлять такой ряд возрастающих величин:
хо> хо> xv х\> - * • > *х» **v xi-\-v х\+\» * * •' хп— 1' хп-
§ 3. По корням
х0, xv .. . , хл ,
уравнения
Ф„(г)=0
мы находим такое разложение подходящей дроби
9я(*)
AW
на простые:
ft. («) = уя (*о) 1 | *я(*1#) 1 [ ... 1 ?/| ^ж) —1—, (6)
где, как нетрудно убедиться, все множители
Тя (*b) ?я (*l) ?п (*я-0
имеют величины положительные.
Чтобы показать это, мы замечаем, что в подходящих дробях
функции
связаны таким уравнением:
?я+1 (*) Фя W ~ ?„ W Фя+1 (*) = L
Разделяя это уравнение на
+я+1 M+«W
(где через х^ обозначаем один из корней х0, х\, ..., хп_г уравнения
фл(г)=0) и полагая
Zsss\>
находим
?я (*Q
+;og w*;.m(<)

— 198 -
Чтобы определить на основании этого равенства знак дроби
при [х=0, 1, 2, ..., п— 1, мы замечаем, что, по § 2, в каждом из
промежутков между корнями
х0, xv ..., х^, х^+х, ..., хп__х
уравнения
Ф„(г)=0
будет содержаться один корень уравнения
фя+1(г)=0.
То же должно иметь место относительно корней уравнения
Ш=о,
так как все корни уравнения
фя(г)=0
имеют величины действительные. Вследствие этого в каждом из этих
промежутков дробь
1
ф;«фя-н«
будет менять свой знак два раза, а потому при всех величинах
г:==•*'o, xv • • •' Хп~\
будет иметь один и тот же знак. Переходя к величинам г,
превосходящим х'п_г, наибольший корень уравнения Ф„(г)=0, мы замечаем,
что при этих величинах z производная фл(г) не может менять своего
знака; функция же фя-н(г), по § 2, переменит свой знак при z=xn.
Откуда видно, что при всех величинах
хо> xv • • •' хп~\
дробь
з
Фя«ФЯ+1Ю
будет иметь знак, противный тому, который она имеет при z весьма
большом положительном и который, очевидно, есть -f , так как, по § 1,
старшие члены в функциях фя(г), фя+1(г) имеют положительные
коэффициенты.
Убедясь таким образом, что при всех величинах (х=0, 1, 2, ...,
п— 1 дробь
1
Фя(*'ц)ФЯ+1(*У

— 199 —
остается отрицательною, мы, по выше найденному уравнению,
заключаем, что при (j-=0, 1, ..., га —1 дробь
?„(<>
будет иметь положительные величины.
Из этого видно, что, обозначая через
положительные величины
yn^o> J?»^ ?„(*!i-i)
Ф>.) ' Фя(*',)"' "" Ф„(С|)'
мы, по (6), будем иметь
9Л1)=е?(:^+е[^) e?(t;.,)
Фя(») *-х'0 z — x\ "" г~^_,
Таким образом, из разложения подходящей дроби
Ф.+1 (')
на сумму
е«(*,) | с (с,) | | е»с*»)
в которой ха, х19 ..., хп — величины действительные, различные
между собою, a 62(x0), 62(Х), ..., б2(хя) — какие-нибудь
положительные количества, вытекает возможность разложения подходящей дроби
?*(*)
Ф«00
на сумму
где х0, х[, ..., ^_j—также действительные величины, различные
между собою, а 6?(л£), б2^), ..., б2 (л:^,)--количества
положительные.
При этом, как видели, величины
-*Ч)> XV • • • » Х\* Х\+\* * • * > "^Л*
*0' XV ' ' ' > XV X\+V • • • » ^л-1 »
будучи расположены в возрастающем порядке, должны представить
следующий ряд:
■*0> Х0> XV XV ' ' ' > Xh> XV Xl+V ^X-fP * • • » Xn-~V Xn-

- 200 —
Переходя подобным образом от разложения дроби
?„(*)
ФяЮ
к разложению дроби
Фя-,«'
и т. д., мы находим для каждой из них такое разложение:
Фг (*) * - *о
*/-1
где г0, г,, ..., гт/_i — корни уравнения ф,(г)=0, имеют величины дей
ствительные, различные между собою, а 6*(г0), Offo), ..., 6£(zz_,)-
количества положительные. При этом, изображая через
г0, z,, ..., zx, zl+v ..., 2Z__2
корни уравнения
ф,_, (г)=0
и располагая их вместе с корнями уравнения
ф,(г)=0
в возрастающем порядке, получаем ряд
Z0> Z0> ZV ZV ' " • > ^Х> ^X> Z\+V • • • > г7— 2» ^7—P
где все члены будут содержаться между х0 и хп.
§ 4. Обращаясь к непрерывной дроби
1
«i*+p, •
1
«а*+Ра —. # 2
а/л*+Рт
происходящей от разложения выражения
б
j/Wdx
j Н
6
?х2/(*)<**
-*-?-+••■
*
^х2"1-1/(*)<**
,_L?
мы замечаем, что это выражение разнится с интегралом
"mdx
z — x
а
только членами
\ хш f (х) dx J x2m+I / (л:) dx
а \а_ |

— 201 —
а так как эти члены не имеют влияния на первые т знаменателей
непрерывной дроби, то, ограничиваясь ими, мы можем рассматривать
непрерывную дробь
1
1
ai*+Pi
V+Pi— -
am*-t-pm
как происходящую от разложения интеграла
ъ
-dx.
J *—x
а
Этот же интеграл, где, по положению, функция f(x) не делается
отрицательною между -£=а, х=Ь, может быть рассматриваем как
предел суммы
е2(*о) | 62(*i) | | e2fa)
z — xQ z — x1 * — *п
где х0, х19 ..., хп—-ряд возрастающих величин, начиная с х0=а до
хп—Ь, а б2(л:0), б2(л^), ..., б2(хп) — положительные количества,
выбранные соответственно с величиною функции fix) при х=х0
xlf ..., хп.
Поступая таким образом, мы по доказанному в предыдущем
параграфе заключаем, что коэффициенты о^, о^, ..., ост в непрерывной
дроби
1
a^+Pi- \
ат*-Т Рт
происходящей от разложения выражения
ь ь ъ
$/(*)«** \xf(x)dx ^x2m-lf(x)dx
должны иметь величины положительные, определяемые равенствами
1 1 1
а2 — j , ocg — •£ , ..., am—b
\ Ф§ to / to <** J Ф? to / W <** S *L-i W / to **
a a a
и что уравнения
фж(г)=0, Ф»-1(г)=0,
которые получаем, приравнивая нулю знаменатели подходящих дробей
?«W 9ib-i(*)

— 202 —
должны иметь все корни действительные, различные между собою и
заключающиеся между а и Ъ. Притом корни этих уравнений
Z0, Zx, - • - , ZK, z\+\> • • • » Zm- 1 '
Z0, Zv . . . , 2a, Zy_^_v . . . , Zm_2i
будучи расположены в возрастающем порядке, должны представить
такой ряд:
г0> г0' ZV ZV ' ' ' > ZV г>' Z)+V • ' • ' Zm- 2' Zm- Г
Все это должно иметь место, если интегралы
ь ъ ь
\f(x)dx, ^xf(x)dxy ..., \x2n-lf(x)dx
а ' а а
могут иметь данные величины при f(x), не делающейся
отрицательною в пределах
х = а, х = Ь.
§ 5. По выше сказанному, если заданные величины интегралов
ъ ь ъ
J/(x) dx, Jxf(x)dx, ..., Jx*m~lf(x)dx
a a a
возможны при f(x), положительной между х = а, x=b, уравнение
Фт(*>=0,
выведенное на основании их, не должно иметь корня, выходящего
за пределы г~а, z=b. Прежде чем перейти к случаю, наичаще
представляющемуся, когда корни этого уравнения не достигают ни
предела а, ни предела &, мы рассмотрим тот исключительный случай,
когда одна из величин a, b или обе удовлетворяют уравнению
Ф«(*)=0.
Рассматривая, по сказанному в предыдущем параграфе, интеграл
[Шах
)z-x
а
как предел суммы
в'(*о) | o»(*i) . г в2(*я)
Z — Х0 2— Х1 " ' Z — Xn*
где х0 — а, хп=Ь, и замечая, что, по § 2, только последняя
подходящая дробь ее
Тя+1 (*)
Фя+lW*
равная этой сумме, может иметь знаменателем функцию, обращаю-

— 203 -
щуюся в 0 при z=x0=a или z=-xn = b, мы заключаем, что в рассмат
риваемом нами случае сумма
в2 fa.) г Q2fa) | | е*(*п)
Z — Х0 1-Х, "'*2-~х„
и, следовательно, представляемый ею интеграл
должны равняться подходящей дроби
?т fa
Так как эта дробь по разложении на простые дроби дает
9т О) _Ут(*и) ^ | 9m fa) 1 (_ [_bifaw--i) I
то сумма
Bafa)_,_.e*_fa) |^| Q2fa)
2 — *п * — *1
должна привестись к сумме
9m fa) _J [ ?m(*i) _J i | ?m fai-i) J
Фт (О * - *o Фт fa) * - *x * " ф'да (Zm_,) Z - z^^j
а эта сумма может равняться интегралу
""t^-dx
Z — X
а
только в том случае, когда функция f(x) при всех величинах х,
лежащих между а и Ъ не в смежности с
остается равною нулю, а при величинах х бесконечно близких к
X=Zq, Zv ..., Zm—lt
имеет такие значения, при которых интегралы
*o+w *i+°> zm—i
J f(x)dx, \ f(x)dx,..., J f(x)dx
в пределе, когда со делается нулем, приводятся к величинам
?mfa) ?mfa) *m (*т-\)
Ф*(*о)' Ф«(*1)' "" Ф«(**-0'

— 204 —
Для функции же f(x\ таким образом определяемой, интеграл
v
\f(x)dx
а
при всех величинах v, заключающихся в пределах х=а, х=Ь и не
равных г0, гъ ..., zm-\, приводится к интегральному вычету
Что касается величин
V=ZQ, Zlf . . . , Zm—h
то при переходе v через эти величины интеграл
v
[f(x)dx
а
будет вдруг получать приращения, равные
вследствие чего величина его при
^=г0, гх, ..., zm_x
не может быть вполне определена.
§ 6. Переходя к тому случаю, когда ни а, ни Ь не удовлетворяют
уравнению
Ф«(*)=0,
мы замечаем, что количество у, входящее в наши формулы, будет
иметь величину положительную. В самом деле, по § \, мы имеем
у > 1 ГФт-1(Д) Фт-ifo)]
'"fl-f I фя(а) фЛ(17) У
Y >-!_ ГФш-iW Фш-iW]
^-^ L фж(« фт(в) J'
что, по умножении на положительные величины *> — a, b — v, дает
Фт-lW , Ф/тг-lW
у (i; — а) > —
у(Ь-<о) >
Фт(«) Фт(*0 '
Ф^Ю Ф^Ю
Ф«(») Ф«(«)
Складывая эти неравенства, находим
Т(»-а)>*-'(>)-У-'(а>

- 205
где количества
I'm-1 (*) *„_,(«)
il
имеют те же знаки как и величины дроби
ФтЮ
лри z=+°°» 2= —oo, так как все корни уравнений
Ф„(г) = 0, Фт_,1г)=0
•больше а и меньше ft. Из того же, что было сказано (§ 2) о высших
членах в функциях
Ф«(г). Фж_1 (г),
видно, что
потому будет также
а вследствие того, по выше найденному неравенству, где Ъ — а>0,
обнаруживается, что у есть величина положительная.
Количество у, как видели (§ 1), служит для определения функции
4>i(z), которая, по (2), (3), представляется формулою
*i(«)=
Так как у, по доказанному сейчас, величина положительная, а по
§ 2 высшие члены в функциях
имеют коэффициенты положительные, мы по этой формуле находим
♦i (+<»)=+> Ф1(-»)=Ч=,
где верхний знак соответствует случаю т четного, а нижний т
нечетного. Делая же в этой формуле
Z~zm~\ ' Zm-2> • - • >z0
и замечая, по § 4, что
Ф»(*я-1 )=0, U*m-2 )-0,..., фт (z0)=0,
Фот_, («„_,) = -h, Ф„_, (*„,_, ) = -,.-., Фш_, («о)==F,
мы по этой формуле находим
Ф^т-О—, Фг(гш-2)=+,..., Ф1(гв)=±,

— 206 —
откуда видно, что все т-\-\ корней уравнения
Фх(г)=0
имеют величины действительные, различные между собою, и что
каждый из корней уравнения
фт(г)=0
содержится между ближайшими его корнями.
§ 7. Изображая через
корни уравнения
<t\(z)-=0,
мы находим для дроби
Фо(*)
такое разложение:
Ф,(*)=Ф,(С») 1 [ Фо(^) 1 , . г _Фо_&и) L_
ф»ю o;(c,)«-.?o «iiw-Ct '*'~г Ф;<г:т) г-^'
где, как нетрудно убедиться, все дроби
Фо (С.) Фо (Сг) Фр (С„)
ф', (Со)' ф; (с,)'""' ф; (tm)
имеют величины положительные.
Чтобы показать это, мы замечаем, что, по (3), разность
Фо(г)ФЛгО — Ф1(г)<ря(г)
приводится к разности
Ф« (г) Ф«-1 («)-?„-1 (г) Фт (г)-.
которая равняется 1 по свойству подходящих дробей.
Таким образом получается равенство
Фо(г)Ф«(*)-Ф1(г)фя,(г)=1.
Изображая через £х один из корней
уравнения
Ф1(г)=0
и деля это равенство на
Ф, (ж) К (г)
*-с,

— 207
мы находим, что оно при г = С/ дает
Фв(Сх) __
Рассматривая же значения функции
1
Фт(*)Ф|(*)
при
корнях уравнения
мы, по доказанному в § 6 относительно уравнений
<M*)=0, фя(г)=0,
замечаем, что в промежутках между этими корнями функции фт (г), Ф| (г)
меняют свой знак один раз, а отг=Ът дог= + °° сохраняют знак -}-.
Откуда ясно, что при всех этих величинах z функция
1
+m (Z) Ф\ (г)
будет оставаться больше нуля и, следовательно, по выше найденному
равенству, то же будет иметь место относительно функции
Фо»
ф; (z)'
Так мы убеждаемся, что дробь
Фр(*)
Фг(г) '
равная, по § 1, непрерывной дроби
1
«i* + Pi-
1
<ч*+Р*-
*т*+$т — —
приводится к сумме
Фр(Со) 3 г Фо(Ь) 1 [ _ | фоШ 1
ф; (?о) * - ^ ф! id)*-?i '"' ф! к«) *-£*
где
величины действительные, различные между собою, а
Ф0(Со) Фо (Ci) ^ Фо(^т)
Ф', (W ' Ф#1 (Ъ) ' ' " Ф'1 (Ит)
количества положительные.

208
Сличая эту сумму с суммою
е2(х0) » &(хг)
Z—X0 Z — Xx Z — Xn
которую мы рассматривали в выше упомянутом мемуаре о
непрерывных дробях и к которой она приводится заменою функции
Фо(*)
ф; (ж)
функцией б2 (г), числа т числом п и величин
г г г
Ч)> ^и • • • > ^т
величинами
по формуле, выведенной в конце § 5 этого мемуара, находим такое
равенство:
<&i (Ci) Ф, (W Ф, (W
где суммирования распространяются на величины г=0, 1, 2, ...,/я.
Что касается определения величины сумм, входящих в эту формулу,
то, по сказанному в § 2, и замечая, что в непрерывной дроби
1
*i*+Pi
1
<*а*+Р2 — \ 1
ат*+Р/тГ-—'
нами рассматриваемой, последний знаменатель Z равняется
4W-i(*)
у(г—*;)-
+mW
мы находим, что
2ш^L~L, 2 ш-^--. • • • > 2ф2и-Л>^=-.
2*ш
Фо(Ъ)
ф,(ад
Внося эти величины сумм в выше найденное равенство и замечая,
что, по нашему знакоположению, £0, Ci,..., Cm суть корни уравнения
Ф1(г)=0, мы выводим из него такую формулу для определения
величины дроби , при величинах г, удовлетворяющих уравнению
Ф,(*)
Фх(г)=0:
Фо(«)
Ф1 (*) Mfl*) + «Ж (*)+•-- +«тФт-1 (*) +Т& (*)

— 209 —
откуда для z=v, которая, по (2), (3), удовлетворяет уравнению
Фх(г)=0, получаем
Фо(р) 1
Ф'хМ *Л20 (z) +а,ф? (*) + ... + ««&-! («0+т£ (*>
§ 8. Так как, по § 1, уклонения интеграла
\f(x)dx
а
от интегрального вычета
имеют пределами
2 Ф', (в) ' 2 ф; (в) '
то по найденной нами величине дроби
ф; (v)
видно, что степень точности, с которою интеграл
их
\№
представляется интегральным вычетом
Ь Фг(г)
a-to ч '
определяется величиною дроби
1 1
(7)
2 а^ (*)+«,# (t» + ... + «„♦£_! W+tfJ» («О
Из того, что было показано относительно функций
Фо(*)> Ф,(*),.-..Ф^,(*)> Ф«(*)
и постоянных
ах, ocg,..., ат, у»
видно, что только у зависит от величин а, 6, служащих пределами
в рассматриваемых интегралах. По формулам же, определяющим y
(§ 1), видно, что величина ее приближается к +°°» когда фт(а) или
фт(6) приближается к нулю.
А потому по мере приближения а или Ь к корню уравнения
Ф-(*)-0.
14 П. л. Чебышев, т. III

— 210 -
в формуле (7) член
будет приближаться к °°, если только фт(1>) не равно нулю.
Вследствие этого, по выше сказанному, с приближением а или b
к корню уравнения фт(г)=0, разность интеграла
\fM)
dx
с интегральным вычетом
^ фг(р)
будет беспредельно приближаться к 0, если v не удовлетворяет
уравнению ф/72(^)==0, что, согласно с сказанным в § 5 о случае, когда
а или Ъ удовлетворяет уравнению
Ф«(*)=0.
Обратно, с уменьшением количества у дробь (7) увеличивается
и достигается наибольшей величины, когда у=0, что по формулам
§ 1 будет иметь место при а——°°, 6 = + °°-
В этом случае, по (7), получается дробь
1 I
Таков предел уклонения интеграла
ъ
\f(x)dx
а
от интегрального вычета
если
Что касается величины дроби
1 1
2 a^^ + a^f (17)+ ... + «*+**_,(*)
то она, как нетрудно заметить, уменьшается при увеличении числа т
и при т=<* делается равною нулю, если ряд
«i^(^)+^(^)+e3^(«)+...
есть расходящийся. Величина этой дроби будет различна при
различных величинах v9 вследствие чего, смотря по величине v, интеграль-

— 211 —
ный вычет будет давать величину интеграла с большею или меньшею
степенью точности. Но легко показать, что во всяком случае при
некоторых величинах <и эта дробь, и, следовательно, дробь (7),
которой она представляет высший предел, будут меньше
2т
\f(x)dx.
В самом деле, изображая через D наибольшую величину
знаменателя
при *>, заключающемся между г»=а, <о=Ь, мы находим, что
а л
а так как, по § 4,
ъ ь ъ
Ul(x)f(x)dx=j-, ^(x)f(x)dx= +-,..., fe, (*)/(*)<**= JL
a a a
то это неравенства приводится к следующему:
ь
m<D^f(x)dx,
а
откуда видно, что —, представляющая по нашему знакоположению
наименьшую величину др©би
1 1
при *>, заключающемся между а я Ь, меньше
На основании показанного нами относительно предела уклонений
интеграла
V
[f(x) dx
от интегрального вычета
р Фо(*)

— 212 -
в том случае, когда дана величина интегралов
ь ь ь
(f(x)dx, (xf(x)dx,..., ix**-lf(x)dx
a. a v
и функция f(x) остается положительною между х-=а, x = b, мы мо
жем найти пределы уклонения интеграла
\/(х)
dx
от
\fx{x)dx,
а
когда имеют место равенства
ь ь ь ь
f f(x)dx = [ fx(x) dx, \ xf(x)dx= \ xf^xjdx,
a a a a
b b
• • -, \ x9m~lf(x) dx^ \ х2т~~1Ъ(х) dx,
a a
и функция ft (x), так же как и f (х), остается положительною между
х=а, х=Ь. Так как в этом случае получаются одинаковые
интегральные вычеты и те же пределы уклонения интеграла от интегрального
вычета, то разность между интегралами
V V
\ f(x) dx, [ fx x) dx
а а
не будет превосходить удвоенной величины наибольшего уклонения
их от интегрального вычета
у Фо(*)
^ <X>l(2)
и, следовательно, по вышесказанному, она не будет больше
1
каковы бы ни были пределы а, Ь.
% 9. По сказанному в предыдущем параграфе, если имеют место
равенства
ь ь ь ь
\ / (*) *Х= \ Л (X) dX, \ Xf(x) dx=\ xfax) dX,
a a a a
Ь Ь
..., J x2m^f(x)dx = [x^f^dx

- 213 —
для двух функций
fix), Мх),
сохраняющих знак 4- при всех величинах х между х=а, х = Ь, то
интегралы
\f(x)dx9 \fi(*)dx
при v между а, Ь не могут уклоняться друг от друга на величину
превосходящую дробь
1
где функции
Фо(*), ФЛ*). -.., *m-i(a:)
и постоянные
а1> <*2> • • • , <*/п
находятся, как видели, при помощи разложения интеграла
ь
dx
С fix)
)z-x
в непрерывную дробь
1
«i*+Pi-
1
«**+&-
Внося в формулу
величины коэффициентов по § 4, мы ее приводим к виду
+8М , *?(") . , CiW
(8)
z> ' л
+ . ' +•••+
ad a
где, как нетрудно заметить, величина членов не меняется от
введения каких бы то ни было постоянных множителей в функции
Фо(*)> Фх(*),...,4»»-i(s).
Вследствие этого при определении предела уклонений интегралов
[f(x)dx, \Ш*х

— 214 —
друг от друга по формуле (8) мы можем в ней принять за
Фо(г)> <Ш> Ф*(*), •••> <\>rn-i(z)
функции, получаемые разложением интеграла
в непрерывную дробь вида
Pi
ь
Z — X
а
р2
dx
где р1? р2, Рз, - • • какие-либо величины, так как по сказанному выше
об определении функций
Фо(г), <К(г), ...-> ^т-\(?)
ясно, что от перемены величин р1э р2, р3> • •. меняются только
постоянные множители этих функций.
Как пример приложения выведенных нами формул мы теперь
рассмотрим случай, когда
а=—оо, &=-(-оо
q -£x«
Мы покажем, как в этом случае может быть определен высший
предел дроби (8) при v каком-нибудь, откуда получается теорема,
которая может иметь полезные применения в теории вероятностей.
По формулам, данным нами в записке под заглавием „О
разложении функций одной переменной",* где мы рассматривали разложение
в непрерывную дробь интеграла
" k
\
|/?
da
и ее подходящие дроби
Уо (*) <Pi(*) 92 (*)
мы замечаем, что в рассматриваемом нами случае функции
Фо(г), Фх(г), Ф,(г),...
* Том II, стр. 335—341» настоящего Собрания сочинений.— Ред.

— 215 —
могут быть представлены формулою
*r<*)-e -ST"
и что они последовательно могут быть найдены по уравнению
Ф/ (г) = - q* z фг_, (г) — (/ - 1) q* ф,_9 (г) (9)
и равенству
Фо(г) = 1.
Кроме того, по доказанному в этой записке мы имеем
i
^=е 2 ф?(*)Лс = 1-2-3-.•/•?».
У2тс
Определяя по этой формуле величины интегралов
\Wf(x)dx, J ^(x)f(x)dxf..^\^m_l(x)]f(x)dx
ири
а=—оо, &=+оо, f(x)=-2-те~'тХ\
мы находим, что они равняются
1,Ь?2, ..., Ь2.-.(№-1)?*»-2,
вследствие чего, по (8), мы находим, что в рассматриваемом нами
случае предел уклонений интегралов
J/(*)<**, \fi{x)dx
друг от друга будет определяться величиною дроби
^_j
■;.2[(г)| *?»> ,..., А-1»>
где функции фвОи), Фх (f)>..., Фт-i (*») получаются из уравнения (9).
Чтобы найти высший предел этой дроби, мы будем искать низший
предел суммы
Ф2о(«>) , *>) , , **-*(»>
^ г-
Полагая
Г(<+1)?»<

— 216 —
мы эту сумму представим под видом
Чтобы найти низший предел этой суммы, мы сначала определим
функцию переменной t, которую представляет бесконечный ряд
Т0+Т^+Т2Р+ТгР+---
и которую мы будем изображать через 0 (t).
§ 10. Приступая к определению функции 6(f), мы замечаем, что
по (9)
ф|(*)=-?%Фм (*)-(/- 1)?2Ф/-2(г),
откуда, заменяя / через / — 1, получаем
ф,_, (г) = - <72гф/_2 (г) -(1-2) ?2ф/_3 (г).
Определяя по этим уравнениям величины
ф*(г), (/-2)V4f_3(2),
находим
ф2(г)=^ггф2_1(г)+2(/- 1)<74гф/-1 (г)ф/_а(г)+(/-1)»^*ф?_8(г)>
Эти два уравнения по исключении ф/—i (г)-фг_2(г) дают
ф2(г)_(/_1)(/_2)уф?_3(г)=^(^г-/+1)Ф?_,(г)-
-(/-1)^(^2-/+1)Ф?_2(г).
Делая здесь z=v и внося величины функций
ФК<0> Ф?-, («). ФЬ (*). ФЬ («)
по (10), мы получаем уравнение, которое по сокращении приводится
к следующему:
/Г,—(?Ч»« —/+1) 7|_,+(?Ч»*—Н-1) Г,_2- (/-2) Гг_3=0.
Чтобы вывести отсюда уравнение, определяющее функцию
e(*)=M-T1*+iy»+...= -| r, *\
0
ны умножаем это равенство на tl и суммируем для всех величин
от /=0 до /=оо, что дает нам
2 1Т?~ 2 (***■-'+i)tw+
о о
о о

— 217 -
Заменяя в суммах
о о
fj(/-2)r, zt
О
число / числами
/+1, /+2, /+3,
и замечая, по (10), что
Г_,=0, Г-2=0, Г_з-=0,
мы находим, что
о о
00 00
./+1
2 (^v-/+i)7wz= 2 (?^-/-i)r/+2,
о о
2(/-2)7W'= 2(/+1)Г/+3,
о о
вследствие чего выше найденное равенство приводится к следую
щему:
00
2/r/-2(^2-o^z+i+
о о
+ 2 (q4>*-l-l)Tf+9- 2 (/+1)Г/+3=0,
о о
что иначе может быть представлено так:
(l+t — t* — t*) J /г/^=(?Ч>* —(^*—1)* + '*) 2 Г^
о о
Замечая, что по вашему звакоположению
2^=6(0
о
и вследствие того
О
мы из этого уравнения выводим, что
(1 +t -1* — t*) 8' (0=(?2^2- (qW — 1) t+P) 8 (f).
Это же уравнение, будучи проинтегрировано, нам дает
дН>Ч

— 218 —
где С — произвольное постоянное, которого величину мы легко
находим, делая здесь £=0 и замечая, что по формулам, определяющим
е(0> т& ФоС^Х функция 6(0 при t=0 приводится к 1.
Таким образом мы получаем
С=1,
и вследствие того, по предыдущему равенству, мы заключаем, что
функция б (t), которую мы хотели найти и которая дает величину
суммы
о
имеет такую величину:
дН>Ч
§ 11. По найденному нами выражению суммы
2 ТА
о
при t переменном, низший предел суммы
может быть получен при цомощи формул, показанных нами в выше
упомянутой записке о представлении предельных величин
интегральными вычетами. Чтобы приложить к суммам
00
О
то, что было там дано для интегралов, мык представляем эти суммы
под видом интегралов
т—1
J Yt*dx, J Ytxdx,
изображая через Y функцию, равную нулю при всех величинах х, не
смежных с
*=0, 1, 2, 3, ...,
а при величинах х, бесконечно близких к х=0, 1,2,..., имеющую
такие значения, при которых: интегралы
ш I 2
^Ydx, \Ydx, J Ydx,.. .
О 1—u> 2 -u>

- 219 —
с приближением <о к нулю беспредельно приближаются к величинам
Для функции Y, таким образом определенной, мы будем иметь
\Yfdx=^Tt1*=m)9
о о
J Yfdx=T0 + 7\* 4- • • • + Г»..,*—'.
О
да—1
Так как функция Yf, от х=0 до х=оо, не делается
отрицательною, то пределы величины интеграла
о
по величине трех интегралов
\Yfdx
J Yfdx, \xYfdxy J xV^dx
найдутся при помощи формул, данных нами в §§ 6 и 7 выше
упомянутой записки. Полагая в этих формулах
x*rt*d*
а=0, й=оо, v
00
[ xYtxdx
о
мы находим, что низший предел величины интеграла
J Yfdx
есть
\ xYtxdx j
Yfdx-^. L,
i \хЧейх
о
Замечая же по равенству
^Yfdx=b{f),
что
\xYfdx±W(t)t

220 —
\x2Yfdx=t2V(t) + tW(t),
00
0
мы из этого выводим такое неравенство:
<в"(/) + в'(0
о
Принимая здесь за t величину, удовлетворяющую уравнению
т~£®+2, (И)
б'(0
мы находим для такой величины t неравенство
т—1
J w /9"(0 + в'(0
о
откуда, замечая, что по свойству функции У ццтеграл
т~ 1
о
приводится к сумме
получаем
*6"(0 + 6'(0
Ограничивая же величину £ пределами £=0, t=l и делая
7*0 ~Ь 7\ "{*" f~ 7\я-1 = «Sm—1 >
мы замечаем, что
вследствие чего предыдущее неравенство нам дает
^_,>б(0--^^
§ 12. По этой формуле мы найдем низший предел суммы
Sm-i = 7^0 + 7\ -| f- rm_i,
принимая за £ корень уравнения (11), заключающийся между 0 и 1.
Внося в эту формулу и уравнение (11) величину функции 8(f)»
по § 10 мы замечаем, что они приводятся к следующему:
/л—1 = ^-^— ^ iil /_, (12)

- 221 —
Sm~ 1^>
qxv4
2L±
(1-0°
1 + '
qV
-"*+*
%v + /f/ +1
(13)
Последнее неравенство нам дает низший предел суммы
Sm-l = TQ -f- 7\ Н j- Гт_!,
выраженный в функции £, корня уравнения (12), заключающегося
между 0 и 1. Точное определение этого корня очень трудно, но мы
можем обойтись без этого, имея в виду лишь найти величину,
которая всегда остается меньше Sm~\. Мы заметим только, что
уравнение (12), если tfi>l (как это мы всегда предполагаем), имеет всегда
корень, заключающийся в пределах £=0, £=1, потому что вторая
часть его при этих пределах равняется 1 и оо.
Для определения низшего предела Sm-ъ не прибегая к решению
уравнения (12), мы поэтому уравнению берем величину J/m—1 иде-
лим на нее неравенство (13), что дает нам неравенство, которое
может быть так представлено:
q*v*t
\ — t
vj
2/-
(1-0°
\
t+rAw)
2i-
0-0°
q*v*
1+Г j ■ 1+*
Замечая, что здесь t больше нуля и меньше единицы, находим
q*v4
>1,
^+Ьг7^2<1+^2>
2t +(-—S qh)2 < 2 + qW< 2(1+ qW),
1 -i
1 -t
1 + t4 ^ ~ 2
Vf2
0*0
»+a=v
<?•
вследствие чего предыдущее неравенство нам дает
V"S=I
>
(gv +1)
Г2
О+'-т-Ч
— + —
2 ~ 2
(14)

- 222 —
Переходя к определению низшего предела выражения
1 2 *
при t^>0 и <1, мы замечаем, что уравнение (12) дает
(«_l)(l_^)e^+iL^^t,.+ -±±* .
Так как при рассматриваемых нами величинах t здесь все члены
остаются положительными, то это уравнение предполагает
неравенство
(Л1-1)(1—**)>*»,
откуда, прикладывая к обеим частям 1—t2, выводим
/я (1-**)>!,
что дает
1
!-*>■
«(1-М)
и вследствие того
так как 1 +£ при £<С1 остается меньше 2.
С другой стороны, определяя наибольшие величины функций
(1-0'
1+t '
^ 1+t Ч
1+t
при рассматриваемых величинах t, мы находим, что они получаются
при £=1/2 — 1 и £=1 и равняются
3—1/8", 2,
вследствие чего выше написанное уравнение нам дает
(т — 1) (1 — г2)<^+2+ (3— 1/8")q*v\
откуда выходит
т(1 — **)< 3+(3 — 1/8") ?2 <у2.
Деля это неравенство на т(1-[~0 и замечая, что при
рассматриваемых величинах t сумма 1-f t не меньше 1, мы находим
1 /^з+(з-^8)?2»2

— 223 —
и вследствие того
т
По выведенным нами неравенствам, дающим низший предел
величин t и 1 — ty мы находим, что
откуда, замечая, что 8 ~- есть величина положительная, получаем
По доказанному нами относительно величины выражения
1 2 V
при рассматриваемых величинах t9 видно, что неравенство (14) не
будет нарушено, если в нем вместо этэго выражения будет постав-
т — 3
лено
т
Таким образом из неравенства (14) получается неравенство
Sm-1 ^_2_ (/Я-3)3 1
которое нам дает
2{т-Ъ?У7п^\ 1
Sm-\ > ■
Так как по нашему знакоположению
Фо(«) , Ф?(*) , i «&-!<•)
Sm—1 =^Г'о"Ь^1"Ь * * ''-\-Тт—1
1 ' Ь?2 ' ! 1-2---(т—1)д2т-*
мы, на основании этого неравенства, заключаем, что дробь
1
1 '1-е»"1 1-2---(т-1)^2я|-2
имеет величину меньше
3 УТ (m2 ~ 2m+3)VV v'+l)*
2(m~3)3 "Tui — l

— 224 -
Замечая, что эта дробь, по § 8, дает предел уклонений
интегралов
д*х* v
)dx
— oo
друг от друга в том случае, когда имеют место равенства
+ °° + ?> _ £ £
j f&x)dx~ j y^e » dx,
— 00 - - 00
+00 +00
txfx(x)dx= jr|
__oo —oo
4-00 +op
q* x«
xe 2 dx,
q% xz
c2e 2 rfjc,
+ 00 +00 gl Xt
f x*~*fx(x)dx= ^x^e-~dx,
__oo —oo
+00 +00 ^ x«
Г x2'"-1/!(x)'dx = \ y^x2m~' e~ ~2~ dx,
—CO —00
и функция. ft(x) остается положительною, и что
V * » ^ + 00 Л
Г — 9х- 1 С С л —9
\те~! d*=vr)e-dx- \vke~
—00 —00 ~
\ l7L=xe * Лс=0, -^
?2
+00 _»^g
г2«-2,Г"~ дг 1-3-5 ••• (2m —3)
— ^2m-2
—oo
f-£-jeto
+oo 9%x%
—00
мы, по выше показанному, получаем такую теорему:
Теорема. Если функция ft(x)y оставаясь положительною, дает
+ор +ор +Sp -f со
\fx(x)dx=l, \хМх)(1х=:0, r*Vx(*)d*=-r> f*3A (•*)<** ==0,

- 225
j" ^"-ViW^1"3,5^""3*. f x^Mx)dx=0
величина интеграла
V
\h{x)dx
- 00
заключается в пределах
}_ Г е-х> dx _ 31^3 (M2*-2m+3)Vyy*+I)*
* J 2(т~3)5Гт^Т
-00
V% J » 2(m-3)*Km-f
— 00
15 п. Л. Чебышев, т. III

О СУММАХ, СОСТАВЛЕННЫХ
ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЯДОВ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ*
ПИСЬМО С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
Я весьма обрадован честью, которую Вы мне оказали, пожелав
перевести заметку о предельных величинах интегралов. Интерес,
с которым Вы отнеслись к моим исследованиям по этому предмету,
побуждает меня сообщить Вам один результат, который я только
что извлек из них, относительно определения пределов, между
которыми остается сумма какого-нибудь числа первых коэффициентов
ряда
Л0 + Ахх+ А^х* + Azx* + .. .
или
И 2х 3* '
в случае, когда все члены числа положительные. Для определения
этих пределов по вещественным значениям бесконечных рядов
Л0 -f Ахх + А^ + Л3х3 + .. .,
h 4. h 4- Ъ 4-
я отыскиваю предельные величины интеграла
\F{z)dz,
о
предполагая, что функция F(z) не становится отрицательным числом
при 2>0и что известна величина интеграла
\e~tzF(z)dz
о
для вещественных и положительных значений t.
* Опубликовано в Acta math., IX (I8S7), стр. 182—1Я4; Собр. соч. П. Л. Чебы-
шева под ред. А.А.Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1S07, стр. 733—7L5.—- Ред.

- 227 —
Между различными пределы-ыми Ееличинами интеграла
\F{z)dz,
6
которые я получил, наиболее замечательные по своей простоте могут
быть представлены следующими формулами:
Ф' {?) cr e Ф v2j)
О О
где р, а — какие-нибудь положительные количества, а функция Ф (t)
определяется при £>0 уравнением
Ф(0=]* **F{z)dz
и приводится к оо при t—0.
По этим формулам легко найти предельные величины интеграла
\F(z)
dz
для произвольного д, давая р и о значения, удовлетворяющие
условиям
— <и, —log——>#.
Ф' (р) ° Ф (2з)
Чтобы приложить эти формулы к определению пределов, между
которыми остается сумма первых п коэффициентов ряда
Ай + А1х + АА** + А9х*-\-...,
надо взять
Ф (0-= А0 + Ахе-' + Aze-2t + Л3*Г* + . ..
и
гг=/г — 1.
Полагая
ф /Т)= h4- в* + -3 4- - 4- .. •
V' 1' Т2^Т3' ^4' ^
и
u=log/t,
найдем пределы для суммы п первых коэффициентов ряда
£i 4- — «4- --3 4- — 4
j* ~ ;,* ~ 3* ' 4* * * #

- 228 —
Таким образом, например, принимая за Ф(1) бесконечный ряд
J_ 4- -1--Ц — 4-— 4- — 4-
ji+t ' 214"' 31_и 5l+t :l+t ''
составленный только из простых чисел, получим формулы для вычис
ления пределов конечной суммы
по бесконечным рядам вида
J_4-J-4--L_4- — _l
]•+' 2нг 31+/ 5,+/ '"
Jog_2_ , log3 , log 5 , log 7 ,
21+' 3I+< 5,+' 7!+'
log* 2 , log23 , log2 5 , logsj7_ ,
2i+t r 3i+< r 5i+< T 7i+/ +"••••
С.-Петербург.
20 сент. (2 окт.) 1886.

О ДВУХ ТЕОРЕМАХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕРОЯТНОСТЕЙ*
§ 1. В записке под заглавием „О средних величинах" ** мы
показали, как получаются неравенства, из которых легко выводится
теорема относительно вероятностей, заключающая в себе как частные
случаи и теорему Берну лли и закон больших чисел.
Теорема эта была нами так формулирована:
Если математические ожидания величин
U j, Uv, #3, . . . ,
г/2 ц2 **2
tip и2, w3, . . .
не превосходят какого-либо конечного предела, вероятность, что
средняя арифметическая п таких величин от среднего
арифметического их математических ожиданий разнится менее чем на
какую-нибудь данную величину, с возрастанием числа п до оо,
приводится к единице.
Это мы вывели, отыскивая предельные величины одного интеграла
по данным величинам других интегралов, заключающих под своими
знаками вместе с некоторыми известными функциями одну
неизвестную функцию, сохраняющую положительный знак. Развивая
употребленную при этом методу, мы в последнем из наших сообщений
Академии Наук*** показали, что она в приложении к одному частному
случаю доставляет такую теорему относительно интегралов:
Если функция /(я), оставаясь положительною, дает
+ ос +оо 4-оо +оо
\f(x)dx = l, [xf(x)dx=0, ( x2f(x)dx = \, {x*f(x)dx=0,
—00 —00 —CO —00
* Читано на заседании Физико-математического отделения Имп. Акад. Наук
22 (10) марта 1887; опубликовано в Приложении к LV тому Записок Имп. Акад. Наук,
№ б (1887); на французском языке «Sur deux theorCmes relatifs aux probabilitys»
(Acta math., XIV (1890—3891), стр. 305—315); Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред.
А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том И, СПб. 1907, стр. 4SJ—492; П. Л. Чебышев,
Избранные математические труды. ГТТИ, 1946, стр. 156—168.— Ред.
** Том И, стр. 431—437, настоящего Собрания сочинений.— Ред.
*** «Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины
интегралов», стр. 191—225.— Ред.

— 230 -
+ 00 +00
_O0 —00
mo величина интеграла
заключается в пределах
qv
\№
dx
— [ c~xtdx 3Гз(m?~2m + 3) (<7V + 1} ,
Г*" J 2(«-3)Vm^7
о
— f g-^rfcc 1 3^3>*2~2^ + 3) (^2 + 1)
^ J 2(m —з/^т^П"
—00 N *
Мы теперь покажем, как при помощи этой теоремы относительно
интегралов получается теорема относительно вероятностей, которая
в приложении к определению благонадежнейших величин неизвестных
на основании большого числа уравнений, заключающих случайные,
более или менее значительные погрешности, приводит к способу
наименьших квадратов. Теорема эта может быть так формулирована:
Если математические ожидания величин
их, и2, uz,. . .
равны нулю, а математические ожидания всех их степеней имеют
числовую величину ниже какого-либо конечного предела,
вероятность, что сумма п величин
«1 + «2 + #3 + • • • + Un9
деленная на квадратный корень из удвоенной суммы
математических оэюиданий их квадратов, заключается между двумя какими-
нибудь величинами t и t\ с возрастанием числа п до оо имеет
пределом величину интеграла
e~**dx.
t
v § 2. Чтобы доказать эту теорему в самом общем ее виде, мы
примем — оо и 4" оо за пределы, в которых заключаются все возможные
значения величин
их, иг, #3, • • •

- 231 -
Изображая через
?! (л:) dx, <р2 (*) dx, 93 (л:) dx, . . .
вероятности, что величины
**!, «2, »8» • • •
имеют значения, заключающиеся в бесконечно узком промежутке
х, х + dx,
мы замечаем: 1) что функции
?!(*), 9*0*), fc(4 ...
не будут иметь значений отрицательных; 2) что интегралы
-Но +оо 4-оо
J ?i (*i) ^ %, J 92 (й2) dti* $ 9з («J <*«* • • • >
—СО —00 СО
представляющие вероятности, что
и19 ц-2> #з» • • •
имеют какие-либо значения в пределах — оо, -\- оо, будут равны еди
нице; 3) что интегралы
+00 +00 +00
J «i?i (»i)<U»i. \ и&2{щ)du2, J tts?3(«s)rf«3,...,
—00 —00 —00
как представляющие математические ожидания величин
М1> #2> И3, • . . ,
по сделанному предположению, должны привести к нулю; 4) что все
вообще величины dt\ определяемые равенством,
+оо
—00
как представляющие математические ожидания величин
И1э #2» ^3» • • • >
возведенных в кзкие-либо степени, будут, по положению, заклю;
чаться в некоторых конечных предел:х.
С другой стороны, изображая через
f(x)dx
вероятность, что величина дроби
* * + «2 + • • • + "л

— 232 -
заключается в бесконечно узком промежутке
х, х 4- dx,
мы знаем, что эта вероятность получится из равенства
f(x) dx= J - • • J ?x (их) ф2 02) • • • <р„ (яя) ^Миа• • • rfa„,
когда интегрирование относительно их, иъ .. ., дл будет
распространено на все величины их, при которых дробь
щ -т- и2 + . • - + и„
Vn
не выходит за пределы, бесконечно близкие между собою х, х -f dx.
Перемножая же это равенство почленно с равенством
esx=e ^ ,
где s есть произвольное постоянное, и интегрируя от х=—оо до
х= -f- оо, находим
j e**f(x)dx = y--\e Vn ^(и,)ф2(и2)• • • ф„ («„)<*иг</и а• • • dua.
_00
Так как в последнем интеграле переменные
и19 и2, . - . , #п
будут принимать все возможные значения от — оо до -f* <*>, то он
приведется к такому произведению простых интегралов:
+оо su^ Ч-оо ^ffi +00 5йл
J е n9i^du1- \ е \2(u2)du2 •*• \ eVn %(un)dun,
—00 —00 —00
вследствие чего предыдущее равенство нам даст
erf(x)dx--
—оо
+00 SUt +00 «У«а +00 *?МЛ
J
= J е " 9Х (%) rfih • \ е " ф2 (я,) <utj - • • \ </" q>„ («„) й?»я.
(1>
Разлагая обе части этого равенства по степеням 5 и сравнивая
в них коэффициенты при одинаковых степенях 5, мы найдем
величины интегралов
+00 +00 +00
J f(x) dx, J xf(x) dx, J xj(x) dx, ...,

— 233 -
представляющих математические ожидания величины
^___ их -f ц, + ...-f un
возведенной в различные степени, и которые на основании выше
приведенной теоремы послужат нам для определения предельных
величин интеграла
\f(x)dx,
представляющего вероятность, что
иг ~\~ и2 -
х--
не превосходит какой-либо величины v.
§ 3. Ограничиваясь определением 2т интегралов
+ 00 +00 +00 +00
J f(x) dx, J xf(x) dx, J x*f(x) dx,..., J x2m~xf(x) dx,
- 00 -00 - 00 -00
мы замечаем, что первая часть уравнения (1), разложенная по
степеням s до члена с s2m~\ дает такой ряд:
+ 00 +00 +00
f f(x)dx -f L Г xf(x) dx + ^ j x*f(x)dx 4 • • -
-coo -oo —oo
+C0
Лт—I
4 *1 _ Г x2m'lf(x)dx.
Чтобы найти соответствующие члены во второй части этого
уравнения, мы ее представляем под таким видом:
+00 SUt +00 SU^ +00 *ап
Юг ) в Фх (%) ^i+log J * ф»(в.)^и. 4- • . . + log \ е^* фя (an)dan
_00 —-00 —00
откуда получится разложение этой части, точное до s m~
включительно, когда логарифмы, здесь заключающиеся, заменятся их раз-
ложениями в ряды, продолженные до членов с s
Для определения такого разложения логарифма
+ 00 SU.
log ^ eVn^l{u^dvi,

- 234 -
где / = 1, 2, . .. , /г, мы замечаем, что, с точностью до s2m~l, интег
рал
+ 00 SU.
j /«9, (и,) Л»,
равен сумме
+ 00 +00
+ос 5 "*?("*)^ 5 "bi(ui)dui
—00
+00 +00
1-2-3 nVn l-2.3-..(2m —I)Mm-Vrt
а эта сумма, по сказанному в предыдущем параграфе относительно
интегралов, в ней заключающихся, приводится к следующему:
Л(2) Л(3) а{2гп~1)
1+**-,* + *' _д» + ...+ аЛ /*-!.
2л 1.2-3 nVn 1.2---(2m-})nm-lVn
Разлагая же логарифм этого выражения по степеням 5, мы
находим ряд, который, будучи остановлен на члене с s2/n~\ может быть
так представлен:
,2/я-1
fl(2) т/'З) F(2m-I)
2* лГл л1*-1^
где
целые функции количеств
(2) (8) <>-!)
U>1 г Ut , . . . , tit у
не содержащие числа п.
Полагая в этой формуле
I—1, 2, ..., /г,
мы- получаем разложение логарифмов
+ор sut^ 4-оэ sat^ 4-00 *ил
log J e \1{u1)dttly log j eVa92(u*)du* • • • ■ log J «Vil9i, («*)<*»*»

- 235 -
откуда через сложение получается равенство:
log ] е n?x(«i)^x + log ] e 4(%№2+...-f log I «"Ч (««)<&,=
— <*> _oo J_
— 00
-X
5
= s3 4-
где
i_ «?> + «?> + ... + „?>
^-■)_ K'2m~') + if-'> + ... + r**-'>
Вследствие этого равенство (1), с точностью до s2*-1,
представится так:
(2)
Из этого равенства, по Еыше сказанному, мы найдем величины
интегралов
+00 +00 +00
\ f(x)dx, \ xf{x)dx,.... J x2n-1f(x)dx,
— 00 —00 —00
ограничиваясь при разложении в ряды его частей членами со
степенями s не выше 2т— 1.
§ 4. По сказанному в предыдущем параграфе равенство (2)
определяет величину интегралов
+ 00 +00 +00
J f(x)dx, \ xf(x)dx,.... J x2m-*f (x) dx,
—00 —00 —00
кгково бы ни было число п. Переходя к определению этих
интегралов при я=оо, мы замечаем, что, по положению, числовая величина
математических ожиданий всех степеней иь «2, и3,... не будет
превосходить некоторого конечного предела, и, следовательно, то же
будет иметь место относительно величин
1/(3) т/З) т/(3)
T/(2/n~l) T/(2m-J) t/(2ti-I)
V 1 , V2 , - • • , Vn 7
которые, по § 3, суть целые функции этих ожиданий, не
заключающие числа п% и относительно величин

— 236 -
которые суть средние арифметические величин
V\3\ Vf\ ..., V«>,
,/(2/7i—l) T/(2m~l) T/(2m~l)
V\ ,1/2 , • • • > Vn
В том же случае, когда числовая величина количеств
УИ(3), . . . , М{2т~1)
при всяком п остается ниже некоторого конечного предела, уравне
ние (2) при п = оо приводится к следующему:
+оо si
[esxf(x)dx^eTq\
--00
По этому уравнению значение интегралов
4-00 +оо +00
J f{x)dx, J xf{x)dxy J x*f(x)dx, . . . ,
—00 —00 —00
+oo +oo
J x2m~2f (x) dx, J x-m' {f{x) dx
— 00 —00
при п бесконечно большом найдется через сравнение членов с
сО с о2 оЗ «4 2/я—2 2/л~1
О , О, OjGyOy.t-y О у О
в разложении по степеням s интеграла
+00
5 esxf(x)dx
— 00
и функции
Таким образом находим
+ 00 +00 +00 +О0
I fix) dx= 1, л;/(л) ^х=0, ( х2/0) dx = j-t, Г х3/(х) Ле=0,
— 00 —00 —00 —00.
+*> -foo
-<» -оо
Замечая, что функция /О) не может иметь отрицательных
значений, мы из этих равенств на основании теоремы относительно инте-

— 237 —
гралов, приведенной в § 1, заключаем, что при п — оо и т каком
нибудь величина интеграла
\ №dx
будет заключаться между такими двумя величинами:
qv_
if*
1 Г с-** dx 3 Кз {т"' ~2т + 3) в*»' + 1у
—00
V"~ ] 2(m — ?>fVm — 1
Это же может иметь место только в случае равенства
qv
v VF
—00 —CO
так как при увеличении числа т до оо выражение
2 (/n — 3)8Vm^l
имеет пределом 0. Убедясь таким образом, что при я=со должно
иметь место равенство
\т"-Ы
е x~dxy
мы из него, полагая последовательно
я ч
выводим
q * t- q Г Г
Г f(x)dx = Лг f *""<**' f /W ^ = -73 f *~^

- 238
откуда через вычитание получается
fix)dx = —\ e~x,dx.
Так как, по сказанному в § 2 относительно функдии / (х), интег
Q
рал
f(x)dx
ч-
представляет вероятность, что величина дроби
//. 4- иг -J-
VI
заключается между пределами
я
и, следовательно, что дробь
г/, -J- //, 4-
~7
заключается между
и
равенство этого интеграла при п =
t
■ •■ + «»
i
V2_f
Я
• • • + "л
2л
<',
эо с интегралом
""Л
и дает выше приведенную теорему относительно дроби
//. 4- //> 4-... 4- Цц
к которой приводится дробь
"l + "з + - • • + «Л
при внесении в нее величины - по § 3.

- 239 -
Выведенное нами выражение вероятности, что величина дроби
их -ь ?/, -4-» • -*- ^г?
/2(,|Ч42, + ...+^)
заключается между £ и <', будет иметь место только при /t=oo.
При п конечное эта вероятность будет более или менее разниться
от своей предельной величины
~L [e^dx,
t
смотря по величине числа п и количеств
д,мт, ...; м*»-х>,
зависящих, как видели, от математических ожиданий величин
возведенных в различные степени.
Не останавливаясь на определении высшего предела этой разности
при п большом, заметим, что по формулам, данным нами в залиске,
под заглаЕием „О разлсжении функций одной переменной" *, при п
каком-нибудь получается такое выражение для этой вероятности:
где
суть
t
-*(*)'
коэффициенты при
в разложении
функции
е
fcW+*(£)'
АГз>
s3,
J3)
/\4> • • *
S4
я
по степеням s, a
полиномы, получаемыг по формуле
ф, (*)=«*
<*-.'
* Том II, стр. 335—341, настоящего Собрания сочинений.— Ред.

О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ
КВАДРАТНОГО КОРНЯ ПЕРЕМЕННОЙ
ЧЕРЕЗ ПРОСТЫЕ ДРОБИ *
§ 1. При вычислении квадратур нередко приходится заменять
функции, представляющие затруднения для интегрирования, их
приближенными выражениями. Если такое затруднение происходит от
радикала второй степени, с большою пользою может быть
употреблено приближенное выражение радикала
функцией вида
которое получается при помощи первой теоремы, доказанной нами в
мемуаре, под заглавием „Вопросы о наименьших величинах,
связанные с приближенным представлением функции" **. Когда имеется
в виду по возможности уменьшить предел относительной
погрешности при всех значениях х, от х= 1 до лс = Л> 1, наилучшее
представление радикала
функцией
Сх+х С2-\~х Сп-\-х
* Читано на заседании Физико-математического отделения Имп. Акад. Наук
26 (14) марта 1889 г.; опубликовано в Приложении к LXI тому Записок Имп. Акад.
Наук, № 1 (1889); немецкий перевод О. Backlund'a „Angenaherte Darstellung der
Quadratwurzel einer Veranderlichen mittels einfacher Bruche" (Acta math., XVIII (1894),
стр. 313—122); французский перевод А. Васильева „Sur les expressions approchees
de la racine carree de la variable au moyen des fractions simples" (Ann. de l'Ecole
Normale Superieure, III sine, XV (1898), стр.463—480);Собр, соч. П. Л. Чебышева
под ред. А. А.#Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 543—558. — Ред.
** Том II, стр. 152—236, настоящего Собрания сочинений. — Ред.

- 241
будет то, при котором отношения
/:
\ л „_£_+ _£_+...+ -*«
Сг f * С% -f X Сп-\-х
наименее удаляются от 1 между х = \, x — h.
Такое представление радикала
/■
мы можем найти при помощи выше упомянутой теоремы, прикладывая
ее к определению величин
A, Л19 о%, ♦ .. f Бт Cjj С2, . . . , Сп>
с которыми логарифм отношения
/?
^ + ~ + 7~l + '- + 7rBrt
Сг + х Сг + х ' > Сп-тх
или
а л- Bl 4- В* ' г Д"
"*" ct -1- * "*" (Л -*-' < п Q4- х
/:
наименее уклоняется от 0, когда х меняется от х=1 до х = А.
Полагая, что в промежутке х = 1, л = А предельные величины этих
отношений суть
Л у>/.
мы на основании выше упомянутой теоремы убеждаемся в
возможности приблизить эти пределы к 1 надлежащим изменением 2л + 1
количеств
А у В1У В2, . . ., Bni Cv С2, . .., СПУ
заключающихся в функции
У x
если она от;с=1 дох = А достигает менее 2/г-|~2 раз предедьных
величин
16 П* Л. Чебышев, т. Ш

— 242 —
откуда следует, что наибольшее приближение к 1 пределов
может иметь место только при таких величинах
А, В19 Д>> • • • > &п> Cv ^2> • • • > Сп>
с которыми функция
в промежутке
х=1, x=h
достигает по крайней мере 2/г + 2 раза величин /, —, не переходя
за них.
Мы теперь покажем, как на основании этого могут быть найдены
и количество / и функция у, доставляющие решение нашей задачи.
§ 2. Так как функция у, приводясь к / или — при какой-либо
величине х, не делающей
dx
и отличной от
х = \, x = h,
между х=\, x=h будет переходить за пределы /, —, то, по выше
замеченному, начиная с х=1 до x=h, должно быть по крайней мере
2/г+2 различных величин х, удовлетворяющих уравнению
(12 — у2)(1—12у2)=0
вместе с уравнением
(^)'*С1-^)(Л-х)«0,
где по (1) первые части представят рациональные дроби с
одинаковым знаменателем
{С1+х?(Сл+ху..-(Ся+х)*
и с числителями степени 4п + 2. По составу же этих уравнений видно,
что общие корни их, отличные от х=1, х=А, должны быть кратными,
вследствие чего эти уравнения не могут иметь места одновременно
при 2/t + 2 различных величинах х, не имея 4п+2 общих корня,
равных или неравных, а это предполагает тождество их, так, как по
выше показанному; они приводятся к уравнениям степени 4/t+2.

- 243 -
Уравнения же эти могут быть тождественны только при равенстве
где С — постоянная величина, откуда выходит такое дифференциальное
уравнение:
Между различным*! функциями j/, удовлетворяющими этому
уравнению при каких-лябо величинах постоянных /, С, нетрудно
отличить ту, котор:я дает решение нашей задачи.
Для этого мы замечаем, что, по (1), равенство
dx
приводится к уравнению степени 2/t, а потому от х=0 до x=~f-oo
производная — не может более 2/t раз обращаться в нуль.
Так как по выше сказанному она не менее 2/t раз приводится к
нулю в промежутке я=*1, x=hf то она в промежутках
должна ни разу не обращаться в нуль,; в промежутке же
х = 1, х = h
должна 2/t раз делаться равною нулю.
Вследствие этого между определенными интегралами
1 Л
С d* Г &*
J Ух{1-х){К=Ъ ' ]Ух(*- 1)(Л-х) '
L
о i
i
Г dy
)У{Р-у){1-и)
0 *
получается из уравнения (2) такое соотношение:
г \
С dy ( _ <**
)У(//-У)(1^/у*> ф)Ул(1-.)(Л -*)
• - (2/t+1) -^ - (3)

- 244 —
§ 3. На оснозании этого равенства легхо вычисляется величина /
по отношению интегралов
I.
h
dx \ dK
Vx(l—x)[h—x)' )Vx(x-l)(h~x) *
1
Из различных формул, служащих для этого, мы в настоящем
случае будем пользоваться такою:
/*=1 — 1б<72"-н (' t- «---г я- ' -г -Л8^
V* ^2(2/i+l)/(2f-fl)x 8
в,-.,6^«[(=±й L (4)
/-=4-00
V ^(2л-Ы)/(2/-М)
-oo
где
Jdx
Yx(\-x)(h-x)
О
?-* '
dx
Yx(x~^\S\h
dx
"~*7
По этой формуле видно, как быстро приближаются к единице
количества /, *— при возрастании числа п, и вследствие того быстро
уменьшается относительная погрешность формулы
Сх+х С2+х ' Сп+х '
доставляющей приближенную величину радикала
/?
в промежутке от х=1 до х=й.
Изображая через 6 величину, заключающуюся между 0 и 1, мы
находим для представления всех величин, заключающихся между /,
— формулу /2Э_1; вследствие чего, по выше показанному относительно
функции
L bi+* СЛ+х Cn+xj
получается такое уравнение для определения величины радикала

- 245 -
/l-f~[A+£--+£--+"-<&\- (5)
§ 4. Количества
Л, В1У В^ . . . , Вп, Cv С2, ... , Сл,
входящие в эту формулу, лэгко выводятся из выражения интеграла
уравнения (2), который получается при равенстве (3).
Представляя этот интеграл под видом
мы находим, что здесь количества
Л, Вх, fi2, . . . , 5„, Сх, С2,..., С„,
при помощи эллиптической функции с модулем
>-/ч-
/С
2
J /l —A;2sin ^9
о
определяются такими формулами:
Л =
/Г/г
[2л 4/с
2п + 1 ' 2л+ 1 ' ' 2/z + IJ
2^Adn сп2
2/иАГ Г , „, 2ЛГ , , OJ 2nA- -I ' т , 2mtf
2/1+ 1 L 2/1+ 1 ' 2/z +1J
2/z + 1 I 2/x + 1 2/z + IJ 2л + J
Замечая, что функция
dn-2^
2/г + 1
пригодится к 1 при яг=0 и не меняется при перемене т на —т,
мы можем сумму
' 2л + 1 ' 2л + 1 ' 2л + I
представить под видом
2тАГ
2 eta;-——,
** 2/г + 1

- 246 —
где знак суммы предполагается распространенным на величины
т=—п, —(л — 1), . . . , —1, 0, 1, . . . , п — 1, я.
Вследствие этого мы будем иметь
, _ , 2тК
iVh >, dn — /s:T- ; >^п- —
2>/udn;- —• t
£m 2/i + 1 . =
Ст+х , о 2тК ъ . ?"*^ , 27/АГ
SH'
о rs~~ h+X
2т К
2л + 1
2тК
2 dn — ЛГ-
2п 4- 1 Vh
vi 2тЛГ . 2/я# 2/и/Г
/ > dn : * sn2 , - + Л en2 —
Za 2л + 2л + 1 2л + 1
Так как выражение
2»К
dn
2л 4- 1 1 Л
2/и/Г , 2//f , , ?m^
dn —- , , х sn 4- Л сп
2л 4- 1 2/1 -+- 1 '
2л + 1 2d -+- 1 ' 2^-t-l
при /гс=0 приводится к
^ 2л + 1
величине равной Л, а при перемене знака т не меняется, то это
выражение, просуммированное относительно т при значениях
1Л=—я, —(л—1), .. ., — 1, 0, 1, .. ., п— 1, л,
даст выражение суммы
л+—^_ + -Ь_ + ... + -.*<
Л
Вследствие этого из равенства (5) получается такая формула для
определения величины радикала
/*

- 247 -
при х, не выходящем за пределы x=l, x—h:
2п.К
Vhdn
2л + I
/ь
, 2тК , t , 2 nAT
2л + 1 ~ 2л + 1
~ . (/
I > dn
** 2л + 1
§ 5. Из полученного нами ргвенства нетрудно вывести формулу,
доставляющую предельные величины интеграла
-du
VV
при помощи интегралов, заключающих функцию V вне знака
радикала. Дляэтоо необходимо, чтобы функции U> V оставались
положительными при всех величинах переменной и, на которые
распространяется интегрирование.
Изображая через
пределы, за которые при этом функция V не выходит, мы замечаем,
что выражение
будет оставаться между пределами
1 1L
и, следовательно, между пределами
1, К
если
Откуда видно, что при значениях а, на которые распространяется
интеграл
$**
равенство (7) будет приложимо к
V
если примем
А——

- 248 —
Внося же эти величины х и h в равенство (7), мы 'получаем
2тК
YMM dn
2д + 1
V
— Ksn2 - + Afcn
уИ0_ 2/г+1 ' 2/: + 1
2тК
что по сокращении на }/М0 нам дает
ГЖап2^
v\
>у 2/г + 1
V sn2 ' — + Л1 СП2 ;
2/1 + 1 * 2/г + 1
/29
2>
2/яЛГ
2л + 1
Так как по положению при значениях и, на которые
распространяется интеграл
CJJdu
функция U остается положительною, из этого равенства, где 8 остается
неизвестным количеством, заключающимся между 0 и 1, получаем
2'
VM dn Udu
->w -I- 1
V sn* —- + М сп2
Л 2/z + 1
Эта формула получена нами в предположении-
вследствие чего, по (6), будем иметь
Мо=М(1 — Р). (9)
Это дает нам соотношение между величинами М9 Мд, за которые
не должна выходить функция V в пределах интегрирования, и
модулем £, служащим для составления формулы (8) и уравнения (4).
Изображая для сокращения
sn ~
2/1 + 1
через sm9 находим
'2тК< л/л ~Я л ЪтК
СП-
-rVl-si,. 1^=УТ=ё?т,
2п + 1 ' т' 2л + 1

249 —
2тК
вследствие чего, полагая
5 = 1+21/1 — *2s? + 2]/l— кЦ + ..- + 2у\— k7sl (10)
и
ns)sssi«LU-JiiL^^i ^ (ш
мы по равенству (8) будем иметь
[^=±[F(0) + 2F(Sl) + 2F(s2) + .*-+2F(sn)l (12)
Так как величина 6 заключается между 0 и 1, это равенство
при 6=0, 6 = 1 дает такие две предельные величины интеграла
[£du^F(0) + 2F(sl) + 2F{sJ + .--+2F(s.)9
^du<±[F(0) + 2F(s1) + 2F(s2) + --. + 2F(sn)},
где / есть количество, определяемое уравнением (4), по составу
которого видно что / при возрастании числа п быстро приближается к 1.
§ 6. Переходя к приложениям выведенных нами формул, мы
начнем со случая, когда
l/=l, V = \ — *2sin2tt,
где Х<1. Принимая 0 за низший предел в интеграле
) VY J V\-\ sin и '
мы находим, что наибольшая величина функции
у=1 —\г sin2 u
в пределах интегрирования есть 1, а потому, согласно нашему знако-
положению, можно взять
М=1.
При этой величине М уравнение (9) дает
Дг=1-*2,
где Ма есть низший предел величины
у=1-Х* sin2 и,
при которое приложима формула (12).

— 250 -
Так как функция V при величинах переменной я, на которые
распространяется интеграл
da
Vl-Ksin*u
о
не должна переходить за предел MQ) при всех этих величинах и
должно быть
1— X2sin2a>l — £2,
и, следовательно,
^ k
sin#-<. —.
X
Если
это условие, очевидно, будет вы юлнягься при всяком
действительном значении и\ а потому в случае
к интегралу
и
С da
J V~l — Х-sin* и
о
можно будет приложить формулу (12), как бы велико ни было и.
В случае же
Х>&
это условие будет удовлетворяться только при значениях и, не
превосходящих
arc sin— ,
х
а потому в этом случае наши формулы будут приложимы к
интегралу
и
du
!
V 1 - Х- sin2 и
о
только при выполнении условия
и< arc sin- ,
Внеся в формулу (11)
U=l9 V=l~ X*sin2a, Ж=1,
и принимая О за низший предел интегрирования, мы находим, что
в рассматриваемом нами случае
^(„.ПЕЩ *
w S J(l — Х«яп«в)«? +1— t

— 251 —
V 1 — *v
Lrarctg(|/l — XVtgie).
При помощи этой функции и величин
которые (§ 5) определяются эллиптическою функцией с модулем £,
мы, по (1^), получаем уравнение, которое дает предельные величины
интеграла
и
Г du
J V \ — X sin- г/
о
быстро приближгющиеся друг к другу при увеличении числа я.
§ 7. Останавливаясь на частном предположении
*=1
vi-
мы находим
и вследствие того уравнение (4), определяющее количество / при
различных числах п, приводится к такому:
/*=1 —16^- <2/хч-1>^ / l_zh_£ ±j ±—\.
\ 1 -f- £-<2л+1)л _j_ г-(вл+3)я j J
Из этого уравнения, при
/t=l, 2, ...
получаем
/2=0,9993546,
/«=0,9999988.
откуда видно, как быстро приближаются друг к другу, при
возрастании числа л, предельные величины интеграла
к
Г Аг
доставляемые формулою (12).
Полагая в этой формуле п—1, получаем
а

- 252 —
Так как при
уравнение, определяющее Sy приводится к равенству
s=i+2j/HF?
и
sn—=$! =0,9002272,
3 1
находим
5=2,5424598,
вследствие чего, по (11), при к=л/ - выходит
V
1 — -r $* arc ig (Vl — X s- tg u)
2,5424593 Vl - X s*
Делая здесь
5=0, 5=^=0,9002272,
получг.ем
/*(0)=0,3933199я,
р( ч _ 0,3033401 arc tg (VT^QWO 40Я9 Г tg a)
V\ — 0,8104039 X'
что по внесении в равенство (12) дает такую формулу для определе-
и
С da 9
J Vl — X2sin2w
о
0 3933199а + 0.6066-01 arc tg (V\ - Q.siQjoTsTgfg и) 1
1О~0^04б89~Х* J*
и
ния интеграла
о
1
/w
Полагая л=2, мы находим, что в рассматриваемом нами случае
равенство (12) приводится к следующему:
— ~ Uu + f l arc tg (R, tg и) + £ arc tg (/?2tg a 1,
-A3 sin* a /2tt L Ax #2 J
V\
о
где
Л = 0,2360679, ^=0,4188063, B> = 0,3451258,
RX=Y\ — 0,4252983 X*, /?2=]/l —0,93131 il 1A
Формулы подобного вида относительно интеграла-
3 -j-psin0 и da
I
l+?sin и Yi _x2sio«tf
о

- 253 -
получаются из раз^нства (12), когда полагаем
] -р # s.n *//
§ 8. Принимая в равенствз (12) за U и V различные функции,
мы получаем ф^р^улы, доставляющие предельные величины
интегралов вида
Спаи
которых вычисление нередко представляет большие трудности.
Так, полагая
У=1-Х* sin* a, t/=<D(tga),
где Ф (tg и) есть функция, сохраняющая знак + в пределах
интегрирования, находим
и
[-^^du=Jr{F(0) + 2P(s1) + 2F(si)+-.-+2F(sn)\,
J VI— x*sin*a /2e
Л
о
где
fM=^-W f Q(tgg)rfg
^ ' S J l-^XVsin2tf '
о
Эти формулы, по замеченному в § 6, будут иметь место при
всяком и, если
Предполагая, что это условие выполняется и принимая ^ за
верхний предел интегрирования, мы из этих формул выводим
тс
2
Г <mjO*«_i [F{0) + 2/?(5i) + 2F(s2) + . • * f 2/> (*,)).
J Kl — X* sina ^ Z2'
0
F
^ ' S J 1 - XWn2u '
о
Полагая в последнем интеграле
tga=z,
находим, что он преобразовывается в интеграл
Г Ф(*)**
J 1 + (1 - XV) *г

- 254 -
вследствие чего равенство (И), определяющее функцию F(s), в
рассматриваемом нами'случае приводится к такому:
W 5 J 1 + (1 -\s*)z< '
о
Отсюда видно, что формула, получаемая для определения интеграла
тс
У
Г __Ф ('g u)du
J Vl — X-sin2 и '
о
будет заключать в себе только интегралы вида
Г Ф (*)</*
J 1 + (1-Х*)*8 '
О
интегралы, которых выражение известно при некоторых частных
значениях функции Ф(г).
Так, в случае
ф(г)=гр-1, 0</><1,
находим
) 1+(1-Х^)*3 J l+(l-XV) л» ~ ^ А;
о о 2 sin y О—XV) 2 .
а потому при определении интеграла
тг тс
Т 2
Г <l>('gr/)rf'« Г fg*-W/7
J Kl— X-s.n'w*. J V 1 — х- sia и
о о
по равенству (12) будем иметь
TzVl — k s£
p
2sin^C(l-~X^)2S
едствие
Tt
2
0
i чего
~xudu
X* sin2 о
оно дает
7t
■ _2
У«£
PSsin
2
2i/"~
T c-
-»4
-v4f

- 255 -
откуда, внеся величину 5 по (10), получаем
sin- l+2|/T-AJ+...+ 2|/r^]Af
В честном случае, когда за модуль k принимается i / — и л=1„
это равенство, по внесении в него величины
Sl^=sn^=0,9002272,
дает для определения интеграла
2
1
1
tgP-'irrfg
J Vl — X* sin1«
о
при )* <^ I / — такую формулу:
7С
2
/*sin^
0,3933199 4- °'6066"01
(1-0.8.04089Х'
т1.
о2 J
где /2=0,9993546.
Полагая я=2, при той же величине модуля £, получаем для
определения интеграла
2
J Vl —V sin? ir
в случае >>< i / — такую формулу:
]
2 Го,235067Э + °-4188Г63 ^ + °-345125^ Л .
/^siny [ (1-C42S29S8X2)2 (1 - 0,9313131Х)2 J
2
где /2 = 0,9999988.

О СУММАХ, СОСТАВЛЕННЫХ ПЗ
ЗНАЧЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ОДИОЧЛЕНОВ,
УМНОЖЕННЫХ НА ФУНКЦИЮ, КОТОРАЯ ОСТАЕТСЯ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЮ *
§ 1. Разлагая функцию f(x) в ряд по восходящим степеням разности
х — X,
мы находим формулы для приближенного представления функции f(x)
под видом полиномов, в которых коэффициенты определяются
значениями начальной функции
и производных
/'(*), Г(*).-.-
при х=Х. Разлагая f{x) в ряд более сложного вида
K0UQ + K1U1^K2U2'i .♦., (1)
где
U0, Uv U2, ...
какие-либо функции переменной х, не зависящие от /(*), мы
находим для определения коэффициентов
*М)> К1» /\2) • • •
формулы, которые вообще могут быть представлены так:
Ко= 2 9o(*i)f(Xi), *i= 2 9i(*i)/(*i)> •••
Функции
ФоО0> <?i(*)> 9«W •••>
* Читано на заседании Физико-математического отделения Имп. Акад. Наук,
21 (9) окт. 3890 г; опубликовано в Приложении к LXIV тому Записок Имп. Акад. Наук,
№ 7 (1891); Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина,
том II, СПб. 1907, стр. 561—610.— Ред.

— 257 —
сюда входящие, и значения переменной х, на которые
распространяются суммы, зависят от рода функций
и0, и19 и* ....
служащих для составления ряда (1).
В случаях особенно простых, когда функции
Ъ(*)> 9i(x), 9ъ(*)> •••
представляют полиномы степеней
О, 1, 2, ... ,
эти суммы разбиваются на такие элементарные суммы:
2 *?/(*,), 2 *if(*i)> 2 Af(*i)> ■ ■ •. (2;
и тогда приближенные выражения функции f(x) по формуле
f(x)=K0U0+K1U1+KzU2+... (3)
определяются при помощи сумм (2), составленных из значений одно
членов
Xr.} Xj, Xj, . . . ,
умноженных на f(xt).
Получаемые таким образом приближенные выражения функции f(x)
существенно отличаются от тех, которые выводятся через
разложение функции f(x) в ряд по степеням разности х—X и которые дают
полиномы, наиб л иже подходящие к f(x) в смежности с х=Х.
Но, уступая последним в степени точности, когда дело идет до
вычисления f(x) в смежности с х=Х9 эти приближенные выражения
в некоторых случаях лучше представляют функцию f(x) при
значениях х, меняющихся в пределах более или менее широких.
Так, из показанного нами в мемуаре под заглавием: „Об
интерполировании по способу наименьших квадратов" * видно, что ряд (3)
с функциями
определяемыми разложением суммы
2 —
— X — Х{
в непрерывную дробь, и с коэффициентами
Kq, Кг, Къ, • -.,
* Том II, стр. 314—334, настоящего Собрания оачинений.—Ред.
17 п. Л. Чебышев, т. Ш

— 258 —
составленными линейным образом из сумм
2 *?/<•*<)> 2^(4 2 фы ■ ■ ■ •
дает приближенное выражение функции f(x) под видом полинома
степени более или менее высокой, который между всеми другими той
же степени отличается самою малою величиною суммы, получаемой
при сложении квадратов уклонений его значений от значений/^-),
служивших для разложения f(x) в ряд (3). В пределе, когда все эти
величины f(x) сливаются с f(X), этот полином приводится к
приближенному выражению функции f(X), которое находится через
разложение ее в ряд по восходящим степеням разности х — X и который
представляет / (х) с наибольшим приближением при х, бесконечно
близким к X.
Более общую формулу для приближенного вычисления функции
f(x) при помощи сумм
2 •*?'(■*,). 2*//(*,). 2^W"-
мы находим на основании показанного нами в мемуаре под заглавием
„О непрерывных дробях"*. Формула эта представляется под видом
дроби
F(x)
FoW
где за знаменатель F0(x) может быть взята какая-либо функция,
положительная при всех величинах x=xh числитель же F (х) есть
полином большей или меньшей степени. Дробь, таким образом
получаемая для приближенного выражения функции f(x), отличается от
всех других, имеющих тот же знаменатель F0 (x) и числитель F (х)
той же степени, самою малою величиною суммы
Из этого видно, что суммы
2*?/<**>■ 2*' 2*?/<**>•• •••
подобно производным
/(4/'(4ГМ
могут служить для определения приближенной величины функции
f(x) при значениях переменной х, заключающихся в пределах более
или менее широких.
* Том II, стр, 103—126, настоящего Собрания сочинений. — Ред.

— 259 —
Из того же, что было показано нами* относительно интегралов
jf(x)dx, Jxf(x)dx, f x2f(x)dxf...,
к которым в пределе приводятся суммы
видно также, что эти суммы, подобно производным
f(x),f'(x),f"(x),...>
могут служить для решения некоторых вопросов касательно функции
f(x), существенно отличных от вычисления по приближению ее
значений при различных величинах переменной х.
Получаемые выводы остаются в силе и при /(х) прерывной;
необходимо только, чтобы эта функция при всех рассматриваемых
величинах переменной х не делалась отрицательною, условие,
которому функции во многих вопросах чистой и прикладной математики
удовлетворяют, представляя в то же время непреодолимые
затруднения для приложения дифференциального исчисления по причине
прерывности.
Вследствие этого суммы
2 *?/(*,), jvw. 2 *?/(*,)>•••,
составленные из произведений положительных величин
f(xo), f(xi)> /(**)> • • •. Д*я-0
и различных степеней каких-либо действительных количеств
хо, xv х2> - • • > xn—v
заслуживают особенного внимания. Мы теперь покажем, как по
величине этих сумм можно найти низший предел наибольшего из количеств
Xq, xv х2, ..., хп_1
и высший предел наименьшего.
Предполагая же данными пределы, за которые количества
Х0> XV Х2> ' * •» Хп—1
* ,0 предельных величинах интегралов*, стр. 63—65; ,0 представлении
предельных величин интегралов посредством интегральных вычетов", стр. 172—192; ,06
интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов", стр. J9I—225;
.О суммах, составленных из коэффициентов рядов с положительными членами",
стр. 226-22& — Ред.
17*

— 260 —
в суммах
2*?/(*!>. 2V(*,).---. 2X'~'W.
0 0 0
не выходят, мы покажем, как по величине этих сумм можно найти
maxima сумм, получаемых через сложение тех членов ряда
/0*о)> /(*,)> A-S). • • • >/(-V-i)>
которые соответствуют членам ряда
х0, xv х2,..., хп_ р
не достигающим более или менее одного из своих пределов.
По формулам, определяющим эти maxima, легко получаются
предельные величины интеграла
\т
dx
в том случае, когда известна величина интегралов
\f{x)dx, \xf{x)dx,...9 \xl-*f{x)dx,
а а а
функция/(х) не делается отрицательною между х = а и х=6, а
количество и больше а и меньше Ь.
§ 2. Полагая
Т(*о)=Уо> /(Х\) = У1> /(х2) = У2>-->/(хп~\) = Уп~1>
2^?/W=C0f ^xJ{x^Cv
о о
2^/(^)=с2 2 4-'/(*!)=<:,_„
о о
мы находим, что величины
Xq, Xj, Xg, . . . , Xn—V
v0, yv v2, ..., Л-Р
связаны между собою такими / уравнениями:
2^=со- 2зд=с"
о о
2^,=су..., 2^_1лвС'-" (4)

— 261 —
где, согласно сказанному в предыдущем параграфе, количества
xQ9 х{9 х2, ..., хп }
не должны быть мнимыми, а величины
Уо=/(*о)> yi=f(*i)> Л=М) Л.=Ю
меньше нуля.
Разлагая сумму
п
о
по нисходящим степеням х, мы получаем равенство
' О О 0
* о
которое вследствие уравнений (4) приводится к такому:
о 1 о
откуда ясно, что для удовлетворения уравнениям^) какими-либо
величинами
**0> *^1' *2У * ' * * "*л—Р
Л- Л. Л. •••' Л-р
необходимо и достаточно, чтобы сумма
2т?
точно до членов с -у включительно, равнялась бы выражению
С другой стороны, замечая, по выше сказанному относительно
величин
Х0у Хр Ху . . . , -^л_р
JV yv У* •••> Л-р
что сумма
л
sU x — Xi
о

— 262 —
от *=—оо до л:==+°° обращается в бесконечность при п величинах
•*0' XV XV * * ' > Xn—V
переходя всякий раз из —оо в +оо, мы по знакоположению Коши*
находим равенство
4-00 п л,
Прикладывая же к определению указателя
способ, показанный Коши, и замечая, что сумма
п
X—Xi
о
приводится к дроби с знаменателем степени /г, мы убеждаемся, что
указатель ее, в пределах х——оо, *=4-oo, может достигать
величины и, равной степени знаменателя, тогда только, когда в
непрерывной дроби
1
Яг —
1
Яг'
происходящей от ее разложения, все неполные частные
Яъ Яъ Яг> •••
суть линейные функции х с положительными коэффициентами.
Откуда видно, что условие необходимое и достаточное для того,
чтобы ни одна из величин
х0, х{У х2, ..., хп1
не была мнимою, а величины
Уо> yv Уъ> • • • > Уп~\
были положительными, может быть представлено равенством
Уг - х
2У1 _ *
X-Xi *lX±h
1
1
агх + р2
«l* + P* — .
*** +i
Journal de TEcole Polytechnique, cahier 25.

— 2вЗ —
в совокупности с неравенствами
*i>0, <ч>0, аз>0,....ал>0.
Сопоставляя это с выше показанным относительно уравнений (4),
мы убеждаемся, что такие величины
х0, xv х2, ..., xn^v
Уо> Уг У2> • • - Уп-i
могут удовлетворять им только в том случае, когда непрерывная
дробь
1 1
1
*** + Ь а2* + р2
*аУ+Рз ~
1
ал* + Рп
происходящая от разложения суммы
п
\1 У1
ъ*-*1
представляет выражение
9л 4- -1 4- — 4- + <^"~1
х х2 ' ** » " * - *'
точно до —г включительно.
х
На основании этого по разложению выражения
в непрерывную дробь
1
*° „<">
9 ,("')-.
нетрудно определить первые неполные частные непрерывной дроби
1 1
а8* + Ра
1
в которую разлагается сумма
п

— 264 —
если величины
л'0, xv xv ..., хп_ ,,
Уо, Ух> Ут •••> Уп-г
в нее входящие, удовлетворяют уравнениям (4).
§ 3. Изображая через £ целое число, получаемое при делении /
на 2, и останавливая непрерывную дробь
1
1
на неполном частном
мы находим для нее такое приближенное выражение:
«1-*-Н
1
а2* + Рг ~ .
1
«л^ + Ра'
точное до —- включительно.
С тою же степенью точности последняя дробь будет давать и
выражение
7 + ^ + ---+-^>
так как по выше сказанному оно не разнится с непрерывною дробью
«i* + Pi ——
«2*+Р2 — •
1
*л* + Рл
членами выше , где / равно 2к или 2£-f-l, смотря по тому, де-
xi+\
лится ли / на 2, или нет.
Откуда видно, что непрерывная дробь
1
«1* +1
1
а2* + Р2 ' .
«А*+Р*
с k неполными частными должна давать выражение
* <7< > p,_
r ' ■

— 265 —
точно до членов с — включительно; а это предполагает такие ра-
венства:
Если эти равенства имеют место, непрерывная дробь
1
(5)
*i* + Pi
«2* + Р* — •
1
дает выражение
£° л- £s J- 4- Cf
х ~ х2 ~ * * * ^ ^
точно до членов — включительно, каковы бы ни были неполные ча-
стные, следующие за
в непрерывных дробях, происходящих от разложения этого
выражения и суммы
л
При / четном, по выше сказанному относительно числа k, находим
-1=1
откуда видно, что при таком / непрерывная дробь
-4- *
происходящая от разложения суммы
о
дает выражение
2—'
х Т *»Т ' • ' ^ х<

— 266 —
точно до члена с -, включительно, и вследствие того, по § 2, урав-
нения (4) должны удовлетворяться при величинах
x0J х1У х2,. . . , -^я_р
Уо> Уи Л, • • • > Л-!»
заключающихся в сумме
л
§ 4. Переходя к случаю / нечетного, когда /=2£-{~1, мы
замечаем, что вследствие равенств (5) разнссть непрерывных дробей
1
ахХ + ?! --" ?(')
С/С*') _
а2* + & — ' • ._ 1 ?(") .
«Л* + Рл '
происходящих от разложения функций
2У1 , £• л- -1 4- -f 4- 4- ^=L
0 jc —х, л [ *а ' х3 ' ' *" ' х1
«будет одинаковой степени с выражением
g(*+1)-»»+i*--P»+i .
откуда видно, что эта разность может быть степени не выше —/ — 1,
как это, по § 2, должно быть для удовлетворения уравнениям (4),
только в том случае, когда разносгь
степени не выше нулевой и, следовательно, когда неполное частное
V*+1) содержит х в первой степени с коэффициентом, равным ak+v
Если это имеет место и удовлетворяются равенства (5), разность
выражений
yi С0 ,сг ,С, . г ci-i
п
О '
лри / нечетном =2£-f"l» остается степени ниже —/, и вследствие
того, по § 2, удовлетворяются уравнения (4).

- 267 —
Таким образом, по разложению выражения
в непрерывную дробь
qi") L_
utt\
qK } — * -.
определяются первые неполные частные непрерывной дроби
1
ax* + Pi —
1
Ч* -+ Ря '
в том случае, когда она равняется сумме
х0,
Уо,
?•
Хц %2>
Уп Л,
■У*
• • • J
. . . ,
»
• •*»-.!
Л-i
где
удовлетворяют уравнениям (4). Для того же, чтобы ни одна из
величин
•^0» **1> *^2> • • • > "^л 1
не была мнимою и все величины
Л, Ух> Л. • • •> Л-1
были положительными, как видели (§ 2), необходимо и достаточно
чтобы количества
ai, а2, . . . , ал
были больше нуля.
Говоря о решениях уравнений (4), мы предполагали, что в не
прерывной дроби
1
1
1* + h
-<*** + Pi — •. i__
«п* + Ря

— 268 —
происходящей от разложения суммы
п
У1
неполное
/ число
частное
четное =
=2*,
*х-хГ
*к* + h>
и неполное частное
если / число нечетное =2£ +-1.
Так как число уравнений (4) есть /, равное 2k или 2k -j- *> a число
неизвестных
-^0* "^V ^2> • • • > *^д р
Л» Л> Л» • • • > Л-1
есть 2/г, это всегда будет иметь мзсто, если /, число уравнений (4),
не превосходит 2/г, числа неизвестных, в них заключающихся.
В противном случае эти уравнения будут возможны только при
величинах
С0, Cj, С2, • • • , ^/__р
удовлетворяющих некоторым условиям.
Чтобы вывести эти условия и показать особенности, которые при
этом представляют решения уравнений (4), мы замечаем, что, по § 2,
при удовлетворении этих уравнений непрерывная дробь
1
а2дг -f- р2 . 1_
«л* + Эя
происходящая от разложения суммы
л
2Уг
должна давать выражение
с° 4- —* -4- — 4- 4- С/~*
х ' л;2 "*"" л:3 ^ " * " Г х1
точно до -г- включительно.
X1
Это же, при л< —, возможно, только тогда, когда последнее
выражение разлагается в непрерывную дробь

269 -
а2л; -4- S., — •,
«я* + Рл —
q{n+l) -
где q{n+X) степени выше / — 2л. В этом и заключается условие
возможности уравнений (4) при />2гс. Так как при этом вполне
определяются и число п и все неполные частные
ai* -f Pi, *t* + Р* • • • » «г* + P/i
непрерывной дроби, в которую разлагается сумма
л
о '
уравнения (4) будут иметь одно решение.
Во всяком другом, случае эти уравнения, если они только
возможны, будут иметь бесконечное множество решений, отличающихся
между собою и числом неизвестных
*^0> *^1> -*"2> * • • » Хп р
У*> Л, ^ • • • . Л -1
и пределами, в которых заключаются величины
§ 5. Предполагая величины
•^е» ^ъ -^2> * • • • > -^л—1
расположенными в возрастающем порядке, мы теперь покажем, как
найдутся те из решений уравнений (4), в которых х0 имеет самую
большую величину или хп_л самую малую.
Изображая через
подходящие дроби, которые получаем, останавливая непрерывную
дробь
*i* + Pi ~
a2x -f- р2 — . # 1_
на 1-м, 2-м,. . . , /1-м, . .. неполном частном, мы будем иметь
?л00 = 1
♦я (*) «i* + Р*
?я00 _ 1 ]
а2д; 4" Рз — -. 1
«л* + Рл *

— 270 —
Вследствие этого при решении уравнений (4) с 2п неизвестными
*^0> ^V *^2> * # * у "X/i—V
У о, У±> У2>-<-> Уп~\>
по § 2, будет удовлетворяться равенство
0 *—** фл(«)'
откуда видно, что в этом решении неизвестные
х0, х1у х2, . . . , -^л__1
равняются корням уравнения
Фя(*)=о.
вследствие чего низший корень этого уравнения дает величину х0>
а высший хп_у Для определения условий, при которых х0 достигает
самой большой величины или хп_1 самой малой, мы замечаем, что
по свойству подходящих дробей функции
Ы*)> *«(*)> • • • . Ф« (•*). фт+, (X),
в рассматриваемом нами случае определяются равенствами
ф2 (*)'= {а.2х + р2) ф! (л) — 1,
№« (*)=(«** + Р J Ф„_, С*) — Ф*_а (*). (6)
Ф-н-i (*)~К*и * + Р»н ) *- W - Ф-1 W. (7)
где, по § 2,
«i>0, «,>(>,..., «m>0, ат+)>0. (8)
По первому из этих равенств видно, что уравнение
Фх(*)-0
имеет одно решение:
«1
Внося эту величину во второе равенство и замечая, что
получаем

- 271 —
Полагая же в нем последовательно
Х = —оо , л: = -f- оо
и замечая, по (8), что
«i>0, а2>0,
находим
**(-oo)= + f ф2(+оо) = +-
По этим величинам функции ф2(л:) при
* = — оо, х = —&, л:== + оо
Pi
видно, что х = , удовлетворяющий уравнению
ai
Фх(*)=0,
заключается между низшим корнем уравнения
Ф*(*) = 0
и высшим.
Чтобы распространить это на все уравнения, составленные из двух
каких-либо функций, следующих одна за другою в ряду
Ф! («*) у Ф2 (*) , • • ., Фт-1 (Х) , фт (х), фт+1 (х) , . .. ,
мы докажем, что все корни уравнения
Ф«(*)«0
должны заключаться между низшим корнем уравнения
фт+1 (X) = О
и высшим, если то же имеет место относительно корней уравнений
ф«_,(.х)=0, <M*) = 0.
В самом деле, изображая через А0 низший корень уравнения
**(*) = О,
а через А высший и полагая доказанным, что все корни уравнения
фт_, (х) = О
заключаются между низшим корнем уравнения
Фт(*) = 0
и высшим, мы замечаем, что уравнение
фЛ_1(д:) = 0
не должно иметь корней ни между х = — со , х = Л0, ни между
;с = -|- со , л; = А, а потому величины
Фт-I (*в) , Фт-I (А)

— 272 —
должны иметь одинаковые знаки с
ф^-_1(— ОО), фт l(o-)-
Вследствие этого по уравнению (7), полагая в нем последовательно
х = Л0, х = h
и замечая по определению величин Л0, А, что
Ф„(Ло) = 0, фт(А)=0,
находим для
Фт-и (Л0), фт+1 (А)
величины, имеющие противные знаки с величинами
фи»-!(— ОО), фт_ 1 (ОО) .
Так как эти величины, по (6), (7), (8), имеют одинаковые знаки
с величинами
фт-м(- -ОО), фда+1(оо),
заключаем, что в сделанном нами предположении функция фт+1(^:)
меняет свой знак и между х = — оо, х = А0 и между х = А, х — оо;
а потому уравнение
Фт+l ОО = О
имеет корень меньше А0, низшего корня уравнения
Ф«(*)=0,
и корень, превосходящий А, высший корень последнего.
Откуда видно, что все корни уравнения
Фя(*)=о
содержатся между низшим корнем уравнения
Фт+1(л;)=0
и высшим, если то же имеет место относительно корней уравнений
фт_,(х) = 0, ф«(*) = 0.
На основании этого, переходя последовательно от уравнений
Фг(*) = 0, Ф2(х) = 0
к уравнениям
Ф2(*) = 0, ф8(*)=0,
Фз(*) = 0, Ф4(*) = 0,

— 273 —
rtbi убеждаемся, что вообще с увеличением значка v в
рассматриваемых нами уравнениях, низший корень уравнения
<!>,(*) = о
уменьшается, а высший возрастает,
§ 6, По этому свойству уравнения
не трудно показать условие, при котором, решая уравнение (4),
получаем для хп-\ самую малую величину или для х0 самую большую.
Мы видели (§ 3), что при решении уравнений (4) необходимо
различать два случая: случай / четного и случай / нечетного.
В случае / четного, полагая / = 2&, мы показали, что все искомые
решения уравнений (4) определяются равенством
2d Х—Х;
Уг _ 1
x—Xi ьгх 4- Pi
1
«2^ + Рв . 1
•• ' (9)
где первые k неполные частные
«1* + Pi > 4х + Рг. •.., 4х + fa
одинаковы с теми, которые получаются при разложении выражения
х ^ х" ^ л* ^-'"Т" Х1
в непрерывную дробь
1
«I* + Pi —
1
<*2# + Рз—.. 1
«** + Ра
число же остальных неполных частных и величина их остаются
произвольными; необходимо только, по сказанному в § 2, чтобы все
неполные частные были линейные функции переменной х с
положительными коэффициентами при х
Из этого видно, что в рассматриваемом нами случае число п не
может быть меньше k.
Так как, по § 3, величина х0 есть низший корень уравнения
а хя-л высший и, по доказанному сейчас, при увеличении п первый
уменьшается, а последний возрастает, решение уравнений (4), в
которых xQ имеет самую большую величину и хп-\ самую малую,
получится при самой малой величине я, равной, как видели, &
18 П. Л» Чебышев, т,Ш

— 274 —
Вследствие этого, изображая через М0 низший корень уравнения
Ф*(*) = 0,
а через М высший, в рассматриваемых нами решениях уравнений (4),
каково бы ни было число я, будем иметь
Переходя к случяю / нечетного, мы замечаем, по § 3, что
при/= 2к + 1 непрерывная дрсбь, служащая для определения решений
уравнений (4), не может быть остановлена на неполном частном
*** +■ Ра »
вследствие чего, по выше сказанному относительно определения
•^j > Хп—1
и изменения предельных корней уравнения
Фл(*) = 0
при увеличении я, в рассматриваемом случае, где л>£, будут иметь
место неравенства
*j<M)> Хп-\>М.
Кроме того, нетрудно показать, что при / = 2k -f- 1 величины х,,
хп-\ будут удовлетворять такому неравенству:
*a-i(V-i) Фа-iW
-«*+1<0. (Ю)
Для этого мы замечаем, что, по § 5, прл я^А + 1, ни уравнение
Фл+!(*)=0,
ни уравнение
Ф*(*)=0
не будут иметь корней, выходящих за пределы корней уравнения
Фя(*)=0.
Так как низший корень этого у{ авнения есть х0, а высший хя_и
уравнения
Ф*+!(*)=°. ФЛ*)=о
не будут им*ть корней ни ме.кду х = — оо, х-*©, ей между x=^=xn_h
л:=оо, а потому дробь
Ъ+\ (*)
при

— 275 —
будет иметь те же знаки, как при
.£ = — 00, Х = 0©.
Пэ формулам же (7), (8), ползгая в них т=£, х=— оо„ д—.-^со,
мы находим, что эта дробь при х=—со имеет велзчину
отрицательную, а при д:=оо положительную; в бедствие чего захиючаем
Внося сюда величины
получаемые из (7) в предположензи /тг=£, x-=jc0, л-=л^1э выводим
неравенства
^^1 + Рн»-т"Л; >°>
**(v-l)
откуда, по вычзтанзз по:ледяего неравенства из первого и по
разделения на хп_}—xJ9 по ту чае гея выше налисанноз нерзвенство,
которое будет иметь место п и /=2£4-Ь ка< бы веляхо ни было
число п в рассматриваемом решзнии ур_вчений (4).
§ 7. До сих пор мы говорили о суммах
п п п я
дХ1Уь 2лХ1Уь 2^Х'Уь -••> ^Xi У§,
0 0 0 О
ограничиваясь частным случаем, когда все величины
3>о, У» Уз, .. - >Уп~*
превосходят» нуль. Переходя к случаю более общему, когда между
этими величинами встречлогся нули, мы предположим, что ряд
величин
У» Уи Уь • • • > Уп-v
заключающихся в суммах, которые мы рас:'матрзвалз, получается из
ряда квадратов действительных величин
2 2 2 2
Uq, Г/1, Uy . . . , Up~\
через исключение в нем членов равных нулю. Полагая при этом, что
ul =,Уо> uSl=yv ul=y2,... > t£n_x=yn_t (11)

— 276 —
и чт о
^0> ^1> ^2> • • • > ^р— 1
есть возрастающий ряд действительных величин, где
zSt=xo> **=*!. V=-S> •■- V-i=*« ■' 02;
р р р р
~& 0 2 V^ ^ , 2 V* ~2,.2 Х^ ~*-~К,2
мы замечаем, что суммы
2 *?«?. 2 г'и!' 2 г'и?' • • •' 2 гГ'н
ооо о
приводятся к таким:
2*$Ь>«. 2*л« 2^"---' 2-^»
0 0 0 О
вследствие того уравнения (4) дают
2 г?и?=С0, J *£»'=Clf 2 *И=С2, . . . , 2 г'"",«'Я!СИ. (13)
0 0 0 О
Откуда видно, что доказанное нами в предыдущих параграфах
относительно уравнений (4) может послужить нам при рассмотрении
уравнений (13), где
Щ, «1, и2, . . ., Up_x
какие-нибудь действительные величины, равные или неравные нулю, а
^0> Zl> ^2> • * * > ^/j—l
есть ряд возрастающих величин.
Изображая через £ целое число, заключающееся в —, через
?■(*) Уз W 9ft (*)
ФЛ*)' Ф.(*)' " '' Ы*)' '"
подходящие дроби выражения
£n -L —1 4- & 4- -L ~*
получаемые разложением его в непрерывную дробь
ч* + §х г-—

— 277 —
через MQ низший корень уравнения
а через М высший, мы доказали, что уравнения (4) могут
удовлетворяться только в том случае, когда
х0<Л10, .*„__!> Ж. (14)
Так как сумма
р
2 «?=»?+! + 4+2 + 4+з + • • • + 4-1
?+<
при 9 < V~i содержит член
2
а сумма
О
при <7i>s0 член
2
и эти члены, по (11), равняются величинам yn_v y^ превосходящим
по положению нуль, суммы
р « qx «
2 й'. 2И'?
<7-И о
могут привестись к нулю толысо в случае
что предполагает
так как величины
^Оу ZV Z%> ' ' * » ^я—1
идут в возрастающем порядке.
Заменяя в последних формулах, по (12),
через

— 278 —
мы приводим их к таким:
которые, по (14), дают
откуда видно, что суммы
превосходят нуль, если
и вследствие того, по равенствам
О 0 9+1
2^-2«!-2А
?г О О
при таких величинах zq9 zq^ суммы
2»?. 2"?
О qx
не могут достигать своего предела
2Л
О
Мы теперь займемся определением высшего предела сухмм;
q+\ р
2 «* 2"*
когда они остаются меньше суммы
ы
о
Пределы эти будут более или менее р:зннться от последней сум
мы, смотря по величине
членов ряда
^0» %ц 22, • • • > zp~~v
соответствующих членам

— 279 -
ряда
гЛ и2 и1 „2
и0> UV «2> • * ' » Up-V
которые вместе с
и2 и2
представляют предельные члены в рассматгизаемых наии суммах.
Величину членов zqt zqx мы будем юображать через v, w, полагая
zi=v> Zq=w'> (15)
вместе с тем положим, что
*о*=а9 гр„г = Ь, (15-bis)
где а, Ь — данные величины. Для возможности уравнений (4) и (12)
в сделанных нами пред изложениях, по (14), величины а и Ъ как
пределы, между которыми заключаются величины
«*0> «*i> -*2, • • • > ^ti-^V
должны удовлетворять неравенствам
величины же а, vf по (15), заключаясь в ряду
Z0k Z\> Z2> • • • > ^р—1»
не должны выходить за пределы га=а, 2^ir=&.
§ 8. Чтобы ндйти высший предел сумш
ХЛ 2 2 i 2 t 2 , г 2
О
в сделанных нами предположениях, мы б/дем искать между всеми
системами величин
Щ, «1, я* . . ., и^,
2^0» ZV ZZ> • • • » Zp—V
удовлетворяющих уравнениям (13) и условиям
г0 = а, 2^=ir, zp_x=b,
*j<*i<*j<.-.<Vi'
ту, в которой сумма
о
достигает самой большой величины. При. этом мы не будем делать

— 280 —
никаких частных предположений относительно чисел р> q\ числа эти
как мы увидим, вполне определяются при отыскании maximum'a суммы
и1 + и\ + 4 + • • • + и1>
если только в ряду
все члены
и% и\, и% . . ., и*_,
Д|, 11%, • • • у ^р~2
тличны от нуля, условие, которое может быть всегда выполнено
при составлении ряда
й0» ^i> Щ' ' • * > ^p—V
по сказанному в § 7, и которым устраняется возможность
увеличивать беспредельно числа р, q через прибавление в этом ряду равных
нулю.
Прилагая к определению наибольшей величины суммы
о
в сделанных нами предположениях общеизвестный прием отыскания
условного maximum'a и замечая, что неизвестные
uQ, uv u2, . . . , uq> tig+v . . ., up_v
и данные
^0> ^1> ^2> • • • > ^7—1»
ге=а> V^' Vi=*
связаны / уравнениями (13), мы при помощи / вспомогательных
величин
^0> ^1> ^2> • • • » ^/_|
и полагая для сокращения
?-и р р р
2 «?=*, 22?и? = 5» 2 z^t=s* • • • > 2 г<~'в<= ^-" <16)
о о о о
получаем для определения величин
щ, «uv . . ., uq, ug+v . . ., up_]f
zb г2,..,, zq_v zg+v . . ., 2p__2>
доставляющих искомый maximum, такие уравнения:

— 281 —
au1 oil! aux due диг
ад + ад + ад +... + X/I!^=L_?£ =o,
*dzt~ ldZi 2 dzL ~ ^ д*г dzx
^s^ _ад^+ _ад_ d_b=L_J>L=o,
A9— (- />, j- A.2 — 1- . . . + A,_, — — = U,
d*q+l dzq+\ d*q+\ д*9+1 d*q+l .
, ^oii ад , , dS, , , . dSt-i dX _n.
«>-2 «p-2 д*р-2 дгр-г dzp-t
по равенствам же (16) находим
при iq=0, 1, 2,...,/— 1,
/=1, 2, 3 q-\,q + \, q + 2,..., p-2
при ij=0, 1, 2,.. ., / — 1, i=0, 1, 2,..., /7—1,
при i=0, 1, 2,.. ., q,
при j=?+1, g + 2, p—\,
при t = l, %..., q-\, q+\, ? + 2,..., p-2
а потому эти уравнения приводятся к следующим:
2 (Х0 + ХЛ +' Х*5 + • • • + ^-i«i~' - 1) и,=0,
при
i=0, 1, 2,.... q,
2(Х0 + Ххг, + Х2г! +... -f- h-^Г') щ-=0,
при
;=?+ 1, 9 + 2,..., р — 1
и, наконец,
(1-М-2Х,*, + ... + (/ — 1) V^r2) а? = О,
при
/=1, 2,..., q-\, q-\-\,q + 2 р —2,
д5,
dzt
*3,
dUi
дХ
дХ
дХ
d*i''
■п—1 2
= 2г?«.
=2и,
=0
=0

— 282 —
что корочз можно представить так:
2(Q(zl)—\)ul=0 при /=0, 1, 2,..., q,
2Q(zi)ui = 0 при / = 9 + 1, 9 + 2> .. . , р — 1,
6'(г2)ы?=-0 при /«1, 2,..., 9 — 1, 9+1,..., р-2,
где через 6 (г) обозначена делая функция, имеющая такую.величину:
8 (г) = Х,_,;г'-1 +Хмг'-1 + . . . + >^2 + V + V (17)
Полагая, согласно выше сказанному, что ни одна из величин
«,, uv .. . , ир_ъ
не рчвна нулю, мы из этих уравнений по сокращении на 2#, и и? по*
лучаем
в (г,)—1=0 при /=1, 2,. . ., q,
в(г,)=0 при /=^+1, 9 + 2,..., /> —2,
6'(г2)=0 при /=1, 2,.. ., 9 — 1> 9 + 1> • • • » Р — 2-
В случае же /=0 или /=/? —1, когда #t можег оказаться
равным нулю, эти уравнения дают
[6 (г0) - 1] и0=09 6 (гр__х) «^,=0,
откуда выходиг
е(г0)-1-0,
если и0=£0, и
e(Vi)=°>
если «p_,=r=0.
§ 9. На основании выведенных нами равенств можно показать
зависимость низшего предгла числа корней уравнения
6'(г)=0
от числа р, что дает возможность найти высший предел этого числа*
Для этого мы замечаем, что, по § 8, уравнения
6 (г)— 1=0, 6(г)=0,
кроме корней, равных
Zly 2Г2, . . . , Zy,
Zq+l> 2q+Z> • • • , ^р—2»
могут иметь также корни, равные
Чтобы обнять все возможные случаи, мы будем обозначать через
а число 1 илл 0, смотря по тому, имеет ли уравнение
в (г) —1=0

— 283 —
корень, равный z0, или нет, а через ох единицу или нуль, смотря по
тому, удовлетворяет ли уравнению
б (г) = О
величина 2=г;>__1, или нет.
При помощи величин а, ах число различных корней уравнения
6(г)-1=0,
заключающихся в ряду
^0» %1> %2) • • • 1 Zq>
представится суммой
9 + о,
а число различных корней уравнения
6(г>=0,
заключающихся в ряду
суммой
Замечая, что производная в'(г) должна обращаться в нуль между
двумя последовательными корнями того и другого уравнения, мы
заключаем, что в промежутках между двумя членами рядов
^0> 2?1> &2* * * • 9 Zqf
ZQ+1> Z9+2> • • • 9 Zp—2t Zp~l
будет не менее
различных корней уравнения
8'(г)=0.
Так как этому уравнению, по § 8, удовлетворяют еще р —3
величин
Zl* ZZ* • * • 9 Zq—V %9+1* . . . , Zp-~2i
то оно должно иметь не менее
p-f-° + ai — 4 + р — 3 = 2р-+а-4-а1 — 7
различных корней, и, следовательно, степень его не может быть
меньше этого числа, что, по (17), предполагает
'/ —2^2p + o + <>i —7,
откуда выходит
2р</ — а — аг -f-5. (18)

— 284 —
где по нашему знакоположению р есть число величин
^0> ^1> ^2> • • • > ^р—\у
при которых получается искомый maximum суммы
2**-
О
а числа а, ах равняются 1 или 0, смотря по тому удовлетворяет ли
z = z0 уравнению
6(г)-1=0,
a z = гр~1 уравнению
6(г)=0,
или нет Так как, по § 8, равенство
е(*0)—i=o
может не иметь места только в случае и0 = 0, а равенство
6(г:р_1)=0
в случае ир-1=0, то равенство
о=0
предполагает
и0=0,
а равенство
а1=0
предполагает
1^=0.
По формуле (18), изображая знаком Е целую часть дроби, находим
2,
Этой формулой определяется высший предел р, числа неизвестных
Uq, ltlt tlfy . . . , Up—X.
Так как случай р большего обнимает все случаи р меньшего, мы
будем предполагать, что число р имеет возможно большую величину,
для определения которой по этой формуле имеем
P = E/-a-g' + 5. (19)
§ 10, Останавливаясь на случае / четного и полагая / =* 2k, по (19),
находим
0=E2^^q^gl + 5> (20)

— 285 —
где, как видели, числа а, ах могут иметь такие величины: 0, 1.
Предполагая а=0, а1==0, мы по этой формуле получаем
по сказанному же в § 9 о равенствах
о=0, а1==0,
заключаем, что в рассматриваемом случае величины и0>ир~г равняются
нулю, и вследствие того число величин в раду
Uq, U>i, и%, - . • , #р—2> ^Р 1»
отличных от нуля, есть
а потому уравнения (13), по исключении в них членов с множителями
и0,ир~ъ равными нулю, и по замене
2 2 2
Zly Z%, . . . , 2Й
через
Уоу У\> • • •» -Ул—1»
•*о> -^1» • • -» -*&—1>
приведутся к уравнениям (4) с числом я = £. При таком же числе п,
по § 5, эти уравнения имеют только одно решение, в котором
^о» «^i> • • • > Хп—1
удовлетворяют уравнению
Ф*(*)=0.
Замечая, по (15), что
zg=v
есть одна из величин
мы заключаем, что рассматриваемое нами предположение
с=0, о1==0
может иметь место только в том случае, когда данная величина v
равняется какому-либо из корней
Ф*С*)=0.
В яротивном случае мы должны искать решение нашей задачи,
делая другие предположения относительно чисел а, а,.

— 286 —
Полагая
о=1. a1=i.
мы, по (20), находим
откуда видно, что в этом предположении уравнения (13) будут
заключать 2(£ + 1) неизвестных
2-а» 2ц • • • > £#>
2 2 2
«О, Hi, . . • , Uk,
вследствие чего эти уравнения, по замене в них
Z(\> z}> • • • > Zk>
2 2 2
#0, #Ь • • • ' ^А
через
приведется к уравнениям (4) с числом я=£ + 1-
Решая эти уравнения по сказанному в § 5, мы находим, что
2\)=гг=-£()> 21 = Х1, . . . , Zq = Xq, . . . , Zk = Xk
должны удовлетворять уравнению
а так как по (15) и (15-bis)
zQ = a, zq=vf Zp-1=zk = b9
это предполагает равенства
Ф*+1 (а) = 0, фн-i (*0=0, фЛ+1 (6)=0.
Чтобы показать, к чему приводятся эти равенства, мы вносим в
них выражение фулкции фЛ-и(*) через функции ф^/л;), фЛ-х(л), которое
получается из (7) при т=&. Та.сим образом находим три уравнения
(аЛ+1а + рА+1) фЛ(а) - ф^(а) = 0, (21)
(«а+1 ^ + Р*+0 Ф^) — Ф*1 (<0=0, (22)
(аЛ+1 & + р*+|) ф/ft) - фЛ -х(й)=0. (23>
Из уравнения (22) выходит
Внося эту величину рЛ+1 в уравнения (21) и (23) и решая их
относительно аЛ+1, мы получаем такие две формулы для определения этого
коэффициента:

— 287 —
I
a — v
1
*+1 b - v
f?-l (25)
(26)
V- (0 +*-
♦*(») ♦*(»
» J'
откуда видно, что рассматриваемое предположение
о=1, a1=l
не может иметь места, если две величины для aA+j, получаемые из
этих уравнений, различны между собою.
§11. Переходя к предположению
а=0, ^=1,
мы, по (23), находим
по равенству же
заключаем (§ 9), что
Откуда видно, что при
а=0
Ио=0.
о=0, с2 = 1
ЧИСЛО В2ЛИЧИН
«J, «L> ...I И
р-1>
отличных от нуля, будет равняться &+ 1; вследствие чего уразне-гия
2
(13\ цо исключении в них члена с множителем ио, равным нулю,
будут заключать только 2(А+1) неизвестных
Полагая же
£1? 22« .
2 2
• • у %k+u
2
мы эти уравнения приводим к системе уравнений (4), в которых
я = £-|~1» и вследствие того, по § 5, величины
суть корни уравнения
Ф*+1(*) = 0.
Так как по (15) и (15-bis)

— 288 —
этому уравнению должны удовлетворять величины
x=tv, х = Ь,
что предполагает равенства
<k+1(*)=0, Ф*+1(*)=0.
Внося сюда выражение функции Ф^-иС*) через фЛ(х), $к^г(х),
которое получаем из (7) при m = k, находим уравнения, одинаковые с
(22), (23) и которые, как видели, для определения неизвестных
постоянных
заключающихся в функции <ta+i(*)i дают такие формулы:
По сказанному в §§ 5 и 7, величина oc^i должна превосходить
нуль, и ни одна из величин
Zlf Z2, . . . , 2T^-hl
не может быть меньше а.
Первое предполагает, что выше найденная формула дает
**+i>0;
второе же, что уравнение
Ф*+1(*)=0,
которого корни равняются
не имеет корней между * = — сои x=a.
Нетрудно показать, что при выполнении первого условия
последнее может иметь место только в случае
Фа-иО*) ^ q
Чтобы показать это, мы замечаем, что, по (7), в случае
«А+1>0,
дробь
имеет величину отрицательную при х = — сю; знак же ее между
*=— со, лг=а не может измениться, если уравнение
Ф*+гСФ=0

— 289 —
не имеет корня меньше а, так как при этом, по § 5, уравнение
Ф*М=0
акже не будет иметь корня меньше а.
Из этого видно, что рассматриваемое нами предположение
относительно чисел <?, сгх может иметь место только при выполнении
условия
Ы*)
Внеся сюда, по (7), выражение функции $к+г{х)через tyk\x)>tyk-i(x)
и, по (24), величину постоянной $k+1, находим, что это неравенство
приводится к следующему:
^+l(a_t,)<4A^(i)_*ft=!&).
1V * ♦*(*>
Так как v содержится между а и i>a, разнос.^ а — v имеет
величину отрицательную, а потому из последнего неравенства по
разделении т a — v выходит
a-vl i>k(a фЛ(«) J
Замечая, что здесь вторая часть имеет ту же величину, как и в
уравнении (25), мы заключаем, что предположение
•а = 0, ог= 1
может согласоваться с требованиями нашей задачи тогда только,
когда формула (26) дает для аЛ+1 величину не меньше той, которая
получается по формуле (25).
Рассматривая таким же образом решение нашей задачи в
предположении
в=1, а1 = 0,
когда, по § 9,
«,-1=0,
мы приводим уравнения (13) к уравнениям (4), полагая
ul=y0, и*=уг,..., 4 =Уд> - • > и1+х=Ун+г,
откуда, повторая то, что мы делали при рассмотрении случая
с = 0, а1==1,
мы выводим, что постоянная a^+i должна определяться
уравнением (25) и что она должна быть не меньше той, которая получается
из формулы (26).
19 П. Л. Чебышев, т. Ш

— 290 —
Откуда видно, что из двух предположений
а=0, а1==1,
а=1, а=0,
может удовлетворять требованиям нашей задачи первое или второе,
смотря по тому, которое из уравнений (25), (26) дает большую
величину для aft+1. В частном случае, когда эти уравнения для аЛ+1
дают одну и ту же величину, формулы, определяющие функцию
приводятся к тем, которые мы нашли, полагая
а=1, ах=1.
Что касается предположения
с=0, с1==0,
оно, как мы видели, возможно только при равенстве
Ф*(*0=О;
при таком же равенстве оба уравнения (25), (26) дают аЛ+г=оо,
вследствие чего непрерывная дробь .
1
a^+Pi"
приводится к дроби
1
]
а**+Р£-
1
**+i* + P*+j
ai* + Pi ~
1
«а-*+Рв"
1
которая по выше сказанному служит для решения нашей задачи в
предположении
а=0, а1==0.
§ 12. Из показанного нами об определении величин
ZQ> Zl> • • • > Zp—if
доставляющих искомый maximum суммы
при / четном = 2k, видно, что, несмотря на возможность различных
предположений относительно чисел а, сь не может быть двух
различных систем величин
ZQ) ZV • • * > Zpmm ti
удовлетворяющих требованиям нашей задачи.

— 291 —
Замечая же по составу суммы
н2 + и2 + ... + я*,
что в сделанных нами предположениях она должна иметь maximum
мы заключаем, что он получится при значениях
zQ, zlt ..., zp_ 1У
определяемых выведенными нами формулами.
По этим формулам, как видели, величины
^0> *1> • • • » %р—1
получаются при помощи непрерывной дроби
а2Х + р2 '
вЛ«+Рл"
где
ai> Pi» 02» h> • • • > Чу h
определяются разложением выражения
Со i С\ i Q i i сг-\
х ^ х> ~*~ х* "f" • " ' ^ *<
в непрерывную дробь
1
«1* + 0i
]
«2* + Рз — . . e J
коэффициент аЛ+1 равняется наибольшей из двух величин
a постоянное рл+1 определяется равенством
Ы«0
Изображая через
19*

— 292 —
простую дробь, к которой приводится непрерывная дробь
1
aix + Pi
*i* + Pa — * •. 1
<*ft* + P* ; ,
а через
корни уравнения
расположенные в возрастающем порядке, мы, по § 11, будем иметь
или
zQ=a, zx=x0, . . . ,zq=xg j, . . . , zk=xk j, ^+1=-^^
вместе с равенством
или
2Г0 = Х0, Zi = Xlt . . . , Zg=Xg, . . . , Zfc^^Xfo, ^k-\~\:==z
месте с равенством
По сказанному же относительно величин
видно, что в первом случае получится
«2=0, й?=Л, . . . , u?q^yq_ р . . . , и|=^Л..р и\+1=Ук,
а во втором
Замечая, что по нашему знакоположению
и по (15)
мы на основании этого находим, что в первом случае будут иметь
место равенства
а во втором равенства

— 293 —
Полагая же в первом случае q —1=1*, а во втором q = p, мы в
обоих случаях будем иметь
Для определения величин
Уф Уъ - • • , У#
сюда входящих, мы замечаем, что, по § 5, при n=k-\-\ имеем
4i yi Фл+iW
откуда выходит
Т *-** +*+iW '
1f_ ^*+i^i)
Определяя по этой формуле величины
Л. Л. •••>JV
и внося их в равенство
Х=Уо+У1+...+У1>,
находим, что эта сумма составляется из значений дроби
ф*+1 (*)
при
X=:Xq% Х±, . . . , Х^,
последовательных корнях уравнения
ФА+1 (*)=о,
между которыми наибольший я , по (27), равняется ^, а наименьший
х0 (по § 8) не менее а; такая же сумма при помощи знака £,
введенного Коши, представляется формулою
♦ik+iW
а_ш *A+I
где со предполагается бесконечно малою величиною, превосходящею
нуль *. Таким образом, для определения величины искомого maximum'a
* Для упрощения наших формул мы не ставим при знаке 9 пределов мнимой
части х, как это делал Коши: в вопросах, нами рассматриваемых, мнимые части х
равны нулю.

— 294 —
при /=2£ получается равенство
§ 13. Переходя к случаю / нечетного и полагая /=2£+1> мы
по (19), находим
У 2
где, как видели,
с==0 или 1, ^=0 или 1.
Останавливаясь на предположении
о=0, ах=0,
мы по этой формуле получаем
но сказанному же в § 9 о случае
а=0, ах^0
имеем
"о=0, Vi=a*+2=0-
При таких величинах
уравнения (13), по сокращении членов, умноженных на ftQ=0, ttp_i=
= аЛ+2=0, и по замене неизвестных
неизвестными
Х0У ХЪ * * • > Xq -V * • • > •*-£» Л> -VlJ • • • >Уд—\у . . . , Уь
приводятся к уравнениям (4) с числом я=£-|-1.
В решении таких уравнений, как было показано в § 5, величины
Х0> Х1> • • - > ^р—\у • • • • Х%
€уть корни уравнения
Ф*+|(*)=0,

295 —
где функция Фл+1(*), по сказанному в § 4 о случае /=2£-f 1, будет
определяться равенством
Фл + ito «i^+Pi
2t+pt — •.
^b^4-f
в котором
а1> Pi» «J» P* • • > > аЛ> РЛ» аЛ4-1
имеют те же величины, как и в непрерывной дроби
1
«1*+Э
*** + Р* — • . 1
>* + h
в*+!
< + Р*+,—
а у есть неизвестное постоянное.
Для определения величины у и функции фЛ+1 (х), от нее
зависящей, мы замечаем, что в ряду величин
Xq=Z19 Xx = Z2, • • • ? ■*g_i===2'g» • • • > •x&===2:ft-f l
будет заключаться
которая, по (15), равняется v, а потому уравнение
должно удовлетворяться при х—г»» что предполагает равенство
Чтобы найти на основании этого величину у, мы замечаем, что
уравнение (7) при Pm+1=Y, /и=£ дает
ФА+, W=(«t+i *+т) Ф* (*) - Ф*_, (х), (28)
вследствие чего из предыдущего равенства выходит
(**+1*+Т)Ф*(*0 —Ф*_,(*)=0,
откуда получаем
Фл-iW
у =s а ^.

— 296 —
Внося же эту величину у в формулу (28), находим
**+iW =
«*+i(* — *>)'
Фл-iW
Ф*(*)-Ф*-,(*)• (29)
По этой формуле получается первая часть уравнения
Wi(*)=0,
которым определяются величины
x0=zv хг=г2у .. . , ^_..,=г^, . . . , xk=zk+v
Так как, по § 7, величины
^О» г1> • • • у zk -f 2
представляют восходящий ряд, где, по (15-bis),
рассматриваемое нами предположение
о=0, а1=0
окажется невозможным, если в этом уравнении будет корень,
выходящий за пределы х=а, х=Ь; это же, как нетрудно показать,
должно случиться, если дробь
Ф*+10) Ф* У)
имеет величину положительную.
В самом деле, если все корни уравнения
заключаются между х=а, х=Ь, то же, по § 5, должно иметь место
относительно уравнения
Ф,(*)=0,
а потому величины
Ф*+>(«)> Ф»> Фл+,(*Ь Ф*№
должны иметь одинаковые знаки с величинами
Ф*+1(—°°)> Фа — °°). Фа + хМ. Ф*(°°)>
и вследствие того дробь
Ф*(-*Н*С«)

— 297 ~
при х=оо должна иметь одинаковый знак с величиною
Ф*(*)ФЛ+1(*)
По формуле же (7) видно, что эта дробь при х=оо приводится
к —1.
Так мы убеждаемся, что для возможности предположения
а=0, ах==0
при решении нашей задачи необходимо, чтобы дробь
Ф*(«)Ф*+1(*)
имела величину отрицательную.
Внося сюда выражение функции tyk+1(x) по (29), находим, что эта
дробь равняется
ч , Фл-iW Ф*-1(«)
аА. , (а — V) Ч- —
,,. ч , Ф*-1 («О Ф*-1 (*>
Разлагая это выражение на два множителя
a-v *-«L Ф*<*> **(») J '**'
Ъ-vl ФЛ(*) Ф*(«) J ^
и замечая, что первый множитель, где
имеет величину отрицательную, мы заключаем, что предположение
с=0, а1==0
при
может иметь место в том только случае, когда
Ф*-1
a— v
ф*
_,(a)_ ^(«П
(в) *»(«) J
1
6 —v
Фа («О
>0.

— 298 —
§ 14. Переходя к предположению
о = 1, ^=1,
иы, по (19), при
/ = 2*4-1, <з = 1, «1 = 1
находим
откуда видно, что в рассматриваемом случае уравнения (13) будут
•содержать 2 (£+2) неизвестных
zo> zi> • • • » zqy * • • 9 zk+v
и что эти уравнения приведутся к уравнениям (4) с числом я=£-|-2,
если положим
г0 = Д:0, zi~X\) • • . , Zq — Xq'> • • • > ^4- 1==,>СА+ 1'
«2 = .Уо. »? = Л, • • • , ^=-V •••'**+! =^+1 •
В решении же таких уравнений по § 5, как видели, неизвестные
равняются корням уравнения
где через Фа+2(а:) обозначается знаменатель простой дроби, к
которой приводится непрерывная дробь
«i*+Pi
1
1
<**
* + Р*
а*+1* + Т
ъ*4 r*
В этой непрерывной дроби величины
<*!, а2, . . . , аЛ, ^, р2, . . . , pfe
определяются по § 4 разложением выражения

— 299 —
в непрерывную дробь
1
*i*+Pi —
1
**< + 8а
а
Y, Tit Та
три неизвестные постоянные, которых величина должна быть
найдена.
Чтобы получить уравнения, определяющие эти постоянные, мы
замечаем, что между величинами
Х0===г0» Xl===:Zl> • • • > Xq~Zq* ' ' • > Xk+\ ==zZk-i- V
удовлетворяющими уравнению
находятся
г0» zqf xn-\=zp-i==:Zk+V
которые, по § 7, равны
a, <v, b;
а потому должны иметь место равенства
Ф*+*(я)=0, ФЛ+2(<0=0. ф4+1(*)=0, (30)
где Фа + 2(а:) есть функция, которой выражение через фЛ (х), фЛ _, (л:)
легко получается при помощи уравнения (7).
В самом деле, полагая в этом уравнении
находим
Ь+Лх)=(**+1х+ч)*Лх)-~*н+1 (*);
полагая же
получаем
Ф*+2 (*) =(Yi*+ Y2) Ф*+ , (*) - Ф* (*)>
откуда, по исключении фЛ+1(*)> выходит
ф4 + ДОЧ(Г**+Та) («*+i *+Т) - 1] Ф* (*) - <Yi*+Y2) Ф*_, (х).

— 300 —
Определяя по этой формуле величины
Ф*+а(«). Ф*+аИ»Ф*+2(*)
и внося их в равенства (30), находим такие три уравнения:
[(Yie+Y«) («*+i«+Y) —ЧФ*(а) —(У1«+Гг)Ф*_, (а)=0,
[(Yi-d+Ys) («*+i *»+Y) — 1] Ф* («)— (Yitf+Ya) Ф* -i («0=0,
[(Yx^+yJ («*+i *+Y) — Ч Ф*(*) — (Фх^+Т*) Ф*_, (&)«0.
Решая же эти уравнения относительно
Y. Yi, Y»
мы получаем для определения этих величин формулы, которые могут
быть так представлены:
"hr-iO) <J> — «)ppi
где
Ф*(«) i-Р *+1
Y = (]-p)2 Y =Q-P)(gp-*)
fl (b-af?Pl ' '2 (ft-a)2PPl '
1 Г h-ii") _ Ф*-i («) 1 _
= a-v[ i,k(a) ijk{v) J "*+'
= 1 Г Ф»-1(»)_ Ф*-1(а)1
Pi *-«L +*(*> +*<*> J a*+I'
Сличая последнюю формулу с неравенством (10) и замечая, что,
по выше показанному,
х0=а, хп _ j = о,
мы заключаем, что
Pi<0,
и вследствие того по формуле, определяющей постоянную уг, эта
величина будет иметь знак противный с величиною о, равной, как
видели, дроби
_j_r*»-i(g)_ **-!<*> 1
a-v\_ ф^(д) ^(г>) J
*-,«(_ фЛ(») фй(г>) J

— 301 —
Замечая же, что Yi как коэффициент х в одном из неполных
частных непрерывной дроби, происходящей от разложения суммы
п
о 1
должен по § 2 иметь величину положительную, мы заключаем, что
для возможности рассматриваемого нами предположения
а = 1, ах = 1
эта дробь должна быть меньше нуля, что прямо противно
найденному нами в предположении
о=0, ^=0.
Что касается предположений
о=0, а1=1,
о = 1, 0^=0,
то при таких величинах с, ох и при /=2£-f-l по формуле (19)
находим
2
Отсюда видно, что в этих предположениях уравнения (13) будут
заключать то же число неизвестных, как и в предположении
о=1, ог = 1,
а потому их решения, если только они возможны, получатся из
формул, найденных нами для случая
о=1, с1=1.
§ 15. Из показанного нами видно, что в случае / нечетного
также не может быть двух различных систем величин
^0' ZV • ' т » Zq* * # * > Zp-V
«Q. И?, • • • , ft|, • • - , U\__v
удовлетворяющих требованиям нашей задачи, а потому величины
этих неизвестных, получаемые по выведенным нами формулам, должны
давать искомый maximum суммы
Х=«5+*?+ • • • +4
По этим формулам, при £=2£+1, решение уравнений (13), как
видели, сводится на решение уравнений (4) с числом п, равным или

302
£+1, или £-f2. Первое имеет место в том случае, когда вели
чина дроби
Ф*- 1 (g) _ JV-i_W_
Фа («)
a — v
Фа(*)
ХА-Ь1
1
* — V
Ф*-1 (*) Фл-i («)
ak+i
ЫЬ) Фа(<>)
больше нуля, второе,— когда она меньше нуля. В первом случае
2'л==и, С| ==Лп1 . . • » 2^„ —:Л„ !,-••, А4-1==" А' «4-2 '
°0 =Л' Z\—^0» • ' • ' Zq "q -V
«2=0, й2=з;0, . . . , в5=.У,. „
во втором
Zo^^O' ^1=^1' • ■ • > гд = Хд> ' '
»1=Уо> й?=^р---| К=Уд,..
где при
я=* + 1,
так же как и при
/i = * + 2,
величины
Х0, JCp . . . , Xq_^ ^, • . •
j>0> JV • • • > Л-р Л^ • •
определяются равенством
^J v r fllr -L ft,
MOT Д, Д,^ CtjA. | pi
0 «a^ + Pt— •..
• > гА+1—" ^A+p
• , а|+,=Л+,.
> **/i~-P
> Л-i
1
1
В этом равенстве величины
а,, а2, . . . , ал, ал+1, Рр Р2, . . . , Рл
одинаковы с теми, которые заключаются в непрерывной дроби
1
- 3. —. 1
1
1
■1* + Pi —
«2* + Р« —•
«а* + Ра
aA+l* + Pft+l
происходящей от разложения выражения
Со _L. <a i *2 | I CI-I .
* ~~» » *8 "Г • • • П Г >
х *2 *в х1

— 303 —
остальные же величины получаются различно, смотря по тому,
будет ли /z=£+l или /i=£-f-2. В первом случае
во втором
— а , .и. <х =
— р) (др — fr)
Р _(1-P)(^-^
где р, рх—вспомогательные величины, определенные формулами,
показанными в § 14.
Внося выше показанные величины
ul uv- • • > "|, ^
в формулу
*=»?+*?+... + «*
и равенство (15), находим в одном случае
а в другом
Полагая же в первом случае
а во втором
мы заключаем, что в обоих случаях будут иметь место равенства
*-=Л + -Vi + • • • + Л» ^=^
из которых, как было показано в § 12, получается такая формула
для определения суммы X при помощи знака о :

— 304 —
§ 16. Прием, употребленный нами при определении maximum'a
суммы
*=2^=ио+"?+...+<,
о
может быть приложен и к отысканию наибольшей величины суммы
Изображая последнюю сумму через Х0, имеем
U ^J Г #Х I $1 + 1 I l О—1
Эта сумма, как нетрудно заметить, приводится к прежней, если
в ней поставить р — / — 1 вместо / и положить
?!=/> —0—1,
откуда видно, что формулы, выведенные нами при рассмотрении
прежней суммы, приведутся к тем, которые имеют место для новой
суммы, когда в них будут сделаны все изменения, вызываемые
заменою i через p — i— 1.
Полагая
*,=£,_,_,, «/ = *V-, м Чх^Р — Ч — 1>
мы находим, что сумма
^'=i«? =<+<+!+•••+<..
приводится к сумме
Xo=ul+U\-\- ...+Ul
имеющей одинаковый вид с
уравнения (15) дают
уравнения (15-bis)
уравнения же (13) сохраняют прежний вид с переменою только г* и
на Z, С/.

— 305 —
Откуда видно, что, меняя а на b, b на а и v на w в формулах,
выведенных нами для определения величин
го> гь • • • » гр 1»
«5» иЬ •••• «^-,.
доставляющих maximum суммы
при
мы получим формулы, которые дают величины
ZQt Zv . . . , Zp__,,
доставляющие maximum суммы
при
Zq=w.
Так как по составу формул, показанных нами в §§ 8, 9, 10, 11,
12, 13, ясно, что уравнения, определяющие величины
zo> zv • • • » zp~v
*%, и?, «J-f,
не меняются при перемене а* на Ь, й на а, мы заключаем, что все
сказанное нами об определении этих величин приложимо и к
определению величин
z0, Zv . .. , Zpl,
us. */?.-.., wj_, -
На основании этого мы заключаем, что и здесь, при /-=2£ или
/=2£ + 1» величины неизвестных, доставляющие искомый maximum,
будут определяться при помощи непрерывной дроби
а2* ~Г Pi
происходящей от разложения выражения
20 П. л. Чебышев, т, П1

— 306 —
По этой дроби, как было показано в §§ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, определяется непрерывная дробь
1
агХ + Pi
а2Х -fp2 — .. 1
доставляющая решение нашей задачи, и где n=k + \ или k + 2.
Изображая через
?п(*)
Ы*)
простую дробь, к которой приводится последняя непрерывная, мы
находим уравнение
ФЛ*)=о
для определения величин
Zo' zi> • • • > Zp .,
и формулу
/2==_i(Zi)_
^
для определения 1)\
Переходя к определению суммы
и замечая по выше сказанному, что величины
составляют ряд убывающий, начиная от Z0 = b до Zg=w, мы
находим на основании этой формулы, что искомый maximum при помощи
знака £ представляется так:

О РАЗЛОЖЕНИИ
В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ РЯДОВ,
РАСПОЛОЖЕННЫХ ПО НИСХОДЯЩИМ СТЕПЕНЯМ
ПЕРЕМЕННОЙ*
§ 1. Из показанного нами относительно предельных величин и
сумм **, под знаком которых неизвестная функция не делается
меньше нуля, видно, что такие величины получаются при помощи
подходящих дробей ряда
^l 4- — + -' -1 >
х ] х* 1 х" '
находимых через разложение его в непрерывную дробь.
В этом ряду коэффициенты
^0> ^1> ^2> • • *
суть данные величины, по которым ищутся предельные значения
интегралов или сумм.
С увеличением числа данных быстро возрастает трудность
определения нужных подходящих дробей ряда
_*±£_4- — 4- — 4- .
X ~ X* ^ Xs '
через разложение его в непрерывную дробь и становится даже
непреодолимою, если желают иметь общие формулы, доставляющие
искомые пределы при произвольно большом числе данных. В
настоящее время такие формулы могут быть н йдены только в тех
исключительных случаях, когда по составу коэффициентов
^0> ^1» ^2) ■ •*
* Читано на заседании Физико-математического отделения Имп. Акад. Наук 25
(13) мая 1892 г.; опубликовано в Приложении к LXXI тому Записок Имп. Акад. Наук,
№ 3 (1892); Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина»
том II, СПб. 1907, стр. 613-666. — Ред.
** «О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных
вычетов», стр. 172—190; «О суммах, составленных из значений простейших одночленов,
умноженных на функцию, которая остается положительною», стр. 256—306.—Ред.
20*

— 308 —
ряд
Jil _l — 4- -^-4-
х ' х2 п лг' 1
принадлежит к числу немногих выражений, которых подходящие
дроби при современном состоянии анализа могут быть получены без
помощи непрерывных дробей. В каждом из таких случаев все
подходящие дроби ряда
— +-§-+-%+•••
X X
2
представляются одною формулой с произвольным целым
положительным числом, которое определяется степенью знаменателя.
Принимая последовательно за это число
1, 2, 3,...,
мы находим по этой формуле ряд подходящих дробей, который мо-
зкет быть продолжен сколь угодно далеко. Предполагая, что эти
подходящие дроби, получаемые из одной общей формулы, соответствуют
тому частному случаю, когда в ряду
£р 1 fit | С> |
коэффициенты
^0» ^1» ^2> • • •
имеют такие величины:
С0 = Cq, Cj = clf C2 = c%, • . •,
мы теперь покажем, как можно ими воспользоваться для определения
подходящих дробей ряда
fi) I fit | _С* |
х ^ х* ^ х* "•" • • "
когда коэффициенты
^0> ^V ^2» • • •
более или менее разнятся от с0, сх с2,...
Имея в виду показанное нами относительно непрерывных дробей,
происходящих от разложения рядов, представляющихся при отыскании
цредельных значений сумм и интегралов, мы будем предполагать, что
ряд
х ^ х* ^ х* ^ ' •'
при
Сщ = Cq, Cti^1 clf C2 => ^,...

— 309-
разлагается в непрерывную дробь
1
«1* + Pi'
1
«1* + Pi'
«з* + Рз - ' .
»
где
«i>0, о2>0> аз>0, ...
Изображая через
ФоОО ?i(y) 9t(*)
Фо<*)' fiW' МО"""
ее подходящие дроби, .мы на основании показанного нами в выше
упомянутых мемуарах, замечаем, что уравнения
Фх(*) = 0, Ф2(*) = 0, ф3(х)=0, ...
будут степеней
1, 2, 3, ...,
что корни их будут иметь величины действительные и между двумя
ближайшими корнями уравнения
фя(*) = 0
найдется один корень уравнения
Ф,-1(*) = 0
при всяком числе п.
Для упрощения же наших формул мы ограничимся предположением,
что все корни этих уравнений больше нуля, как это имеет место в
случаях особенно интересных по своим приложениям и чего можно
всегда достигнуть надлежащим изменением переменной х.
В этом предположении все корни уравнений
Ф1(*) = 0, фа(*) = 0, Фз(*) = 0,...
будут иметь величины действительные положительные, а потому
первые части их
Ы*)> Ы*)>
ФзОтбудут представлять полиномы со знакопеременными членами, где
высшие члены будут иметь знак -\- , так как в непрерывной дроби
«** + Pi- * _ J
'»* + * ** + fc- •

- 310 —
по выше сказанному,
«i>0, а2>0, а3>0,... (I)
Определяя на основании этого знаки функций
ФлС*), Ф2(*)> Фз (*).•••
при
х = 0, л; = —й<0, х = — оо,
мы находим, что вообще при всяком п будет
(-1)ЛФл(0)>0, (-1)ЛФ„(-А)>0, (-1)яфЛ-оо)>0. (2)
§ 2. Переходя к случаю, когда коэффициенты
^e» ^iv ^а> • • •
в ряду
более или менее разнятся от
^о> ^v ^ ъ • • • >
мы положим
С0 — с0 e0, C1 = c1-\~eij С2 = с$ е2,...
и обозначим через IF, IF0 функции, определяемые равенствами
х а:2 л:'
ту/ ^0 ^1 | &Z
У 1-2 v-J
(3)
из которых выходит
х ' х2 ~ х* ~ х ~ х* ~ х* ~ а *
Для определения той из подходящих дробей выражения
w-w0 = ^ + -£ + -& + ...,
X Хг X1
у которой знаменатель степени т (если такая дробь имеется), мы ее
изобразим через
Так как по выше сказанному функции
ФхО*), ФаС*), Фз(*)>

- 311 —
суть степеней
1,2,3,...,
функция
будет одинаковой степени с фт(х) и вследствие того будем иметь
Vm{x) = gJ,m(x) + %m(x),. (4)
гДе ^ — постоянное количество, отличное от нуля, а 0т(;с) —
полином степени не выше т—-1. При таком разложении знаменателя
искомая дробь представляется под видом
Определяя разность этой дроби с функцией
мы находим, чтб бна равняется дробному выражению
w К (*) - Qw (*) - ((gm±m (x) 4- 6m (x)) W0 + g^ wjr
£***«(*)+ &,„(*)
Так как здесь знаменатель степени т и это выражение,
представляя разность функции
W—WQ
с ее подходящею дробью
должно быть степени ниже —2т, числитель
w em (х) -ая(х)- tem Ф« («*) + е. (*)) тг0 + gm Фт u) w
должен быть степени ниже —т\ для этого же необходимо и
достаточно, чтобы разность
w*M(x)-am{x)
давала бы величину функции
(gJm (X) + 0m (*)) W0 - gjfm (X) W
точно до x~~m включительно. На основании этого по формулам,
высказанным нами в письме к профессору Брашману и доказанным
в мемуаре под заглавием пО разложении функций в ряды при
помощи непрерывных дробей"*, можно найти разложение полинома Ьт(х)
по функциям
ФоОО> <M*)> •••> Фт-i (*)•
* Том И, стр. 412—415 и 416—430, настоящего Собрания сочинений. — Ред.

— 312 —
В самом деле, прилагая формулы, выведенные в § 10 выше
упомянутого мемуара к определению полинома Ът(х) степени не выше
т — 1, с которым выражение
тт(х)-ат(х)
при С1т(х) целом может наиближе представить какую-либо функцию
F(x\ и полагая, что W разлагается в непрерывную дробь
которой подходящие дроби суть
£i El £l
Oi ' Q2 ' Оз '""
мы находим, что
em (x) = AJ^ Qr - A,L2Q2 + ...-(- l)mAmLmQmi (5)
где
^l> -^2» • • • > ^m
означают коэффициенты членов с — в произведениях
QiF(x), Q2FW, •-., QmF(x).
При полиноме Ьт (х), получаемом из этой формулы, и С1т (х),
надлежащим образом выбранном, выражение
wbm(x)-am(x)
представит функцию Р (х) с наибольшей степенью точности, которая
для него возможна при Ът(х) степени не выше /га—1. Так как при
этом формула
WQm(x)-Qm(x)
дает функцию
F(x)
точно по крайней мере до х~т включительно, а при всяком другом
полиноме степени не выше т—1, точность ее не может достигать
этого предела, то по выше сказанному об определении полинома
6т (х), входящего в выражение (4) функции фда (х), заключаем, что
он должен удовлетворять равенству (5) в том случае, когда
F (X)=(gj>m(x) + К (*)) Wo -gm^ni W W (6)

— 313 —
и
* 1 =_L_
АХХ + Вг+ т 1 а2х + Ра ^~ 1
Л3* + -Оз -р *. а8* -f- P8 ~
Из последнего равенства видно, что при этом
А1=а19 А2=—а2, Л3=Оз, . . .
и
Qi> Q* Qa, • • • ,
знаменатели подходящих дробей непрерывной дроби
имеют такие величины:
Qi=M*)> Q2=*iW, Ра=-Ф2(^ Р*=Ф»и)....
Находя на основании этого
AQi=aA(*)> 4aQa=—a^ (х), A3Q3=—а3ф2(л),
мы, по выше сказанному относительно величин
i*l> -^2» -^3> * * *>
заключаем, что коэффициенты
A\Lii ЛоЬ21 /i3X-3, . . .
в уравнении (5) равняются коэффициентам при — в произведениях
«А С*) Р (*)> — «2Ф1 W ^ (*)> - «8ф2 (х) F (х), . . .
и вследствие того они могут быть представлены так:
AiL1=M0(z)F(z)]Z} ^2Z2=--[a.A(e) F(z)]29 А313 — [а3ф2 (г) /?(г)Ь,..
если согласимся коэффициент при — в разложении какой-либо функ
ции V по нисходящим степеням z изображать через
Внося в уравнение (5) эти величины коэффициентов
AiLi, A^L** ^з-^з» • • • •

— 314 -
и показанные выше значения Qlt Q.,, Qs, . . . , мы находим, что оно
дает
+[«*№)?&], ф2(х)+ . • • +[*Jm-Az)F(z)l Ф«-1 W=
= [Mo(*) ф0 (г) + «2фх (х) ф1 (г) + . . . + «тфт _, (х) фт_, (г)) Р (г)]г,
и вследствие того, полагая
<&т{х, г) = ахф0 (х) ф0 (г) -f а2фх (х) фх (г) + . . . + ajm., (х) фда , (г), (7)
находим
bm{x) = \<bm{x,z)F{z))2; (8)
откуда по внесении выражения функции F(x), определяемой
формулою (6), получаем такое уравнение для определения искомого
полинома 6т(х):
ет(*)=[Фт(*. z) ((g^m(z)-\-Qm(z))W0-gm^n(z)W)}z,
или, что одно и то же,
Ьт(х)=[Фт(х, z) (gm*m(z) + QAz))W0]z-[gmOm(x, г)Ф«(г)П.
В э том равенстве по свойству подходящих дробей произведение
•будет разниться от целой функции фт(г) членами степени ниже —т\
функция же Фт(х, г) относительно г, по (7), степени т — 1;
вследствие этого выражение
Om(x)z)^m(z)W
не будет содержать члена с - ; а потому найдется
Z
[gm<bm{X>*)*m{z)W\, = 0,
и выведенное нами уравнение приведется к такому:
bm{x)^^m{xyz){g^m(z)+K{z))W0}ZJ (9)
где, по (7), функция Фт(х,z) выражается через
в виде суммы т членов, симметрических относительно x,z и степеней
не выше т—1 относительно каждой из этих величин.
• Нетрудно найти выражение этой функции в виде очень простой
дроби, содержащей только фт_х(х), фот(х). Для этого мы замечаем,
что уравнение (7), будучи умножено на х, дает
-* фт (*, z)=djx ф0 (х) ф0(г)+а*х фх(х) Фх(г)+ --+остхф^ (х) фт_х(г).

— 315 —
Так как знаменатели
ФоО), <|»i(jc), ф,(х), ..., ф^И, $я[х)
подходящих дробей непрерывной дроби
1 I
■»* + Pi " ^ПГР, —Лт
<*з* + h -
удовлетворяют равенствам
фо(х) = 1, фх(х) = (a^+k) ф0(х), ф2(х) = (а2х+р2) ф,(л:) - фв(х), .
из которых выходит
*i* Фо (■*) = фх (х) — рхф0 (X),
а.2Х фх(х) = ф2(х) — Р2фх(х) +ф0(х)
««^Фт-iW^ Ф/nU) - Р«Ф«-1(^)+Ф«-й1-«);
это уравнение приводится к следующему:
ХФт(Х, Z) = [фх(х) - Ш*)1 Фо(2) + [Ф2(^) - р1Ф1(^) + Фо(*)]Ф1(г)4- • ' '
• • • +1ФЛ*) - ^Фш-^+Ф*-!^)] Ф--Л*)-
Определяя таким же образом произведение
гФт(х,г),
находим
гФте(х, *) = №i(*) - Ш«)] Фо(*ЖФЛ*) - Шг)+Фо(гШ*)+ • • •
• • • +[Фт(г) - М^Ф+Ф-г-^)] ф^Л*),
что по вычитании из предыдущего равенства дает
(х - г) Фт(х, г) = ф^г) ф^л) - фт(г) фт_1(х).
Деля это на х — г, мы получаем для определения функции
Фт(л:,г) такую формулу:
ф fx ~\ _ Фт-1(*) Фт(*) ~ Фт(*) Фж-iQ^ ц0)
§ 3. Приступая к приложениям выведенных нами формул, мы
начнем с частного случая, когда ряд
приводится к дроби
1
«(* + *)'

— 316 —
что имеет место при таких величинах е0, еъ еъ ....
_ 1 _ h _Ъ?_
е°~н' в1~н' в2 и9'"
Количество Л мы будем предполагать всегда положительным, а
И каким-нибудь.
В этом частном случае, делая
в формуле (9), мы находим для определения полинома Ът (х)
уравнение
Ых) = [Ф«(*. *№тШ+*Л*)) -Щ^ъ};
Чтобы вывести отсюда выражение искомого полинома Ът{х), мы
замечаем, что функция
по исключении из нее целой части
£тЫ*) + КМ - gm^mi- *) - Ьт{- h)
H(z + h)
не имеющей влияния на величину
1
<bm(X**)(g*Am(*)+Qm(*))-
приводится к дроби
что дает
Гф (х ~}8тЫ*) + ет(*)1 _ gmJ>m(~ Ю 4- 6W(- Л) Г Фт(У, *) i
L mV ^ ; Ж* + Л) J, Я L z + h J/
Исключая же здесь из функции
целую часть ее
мы получаем

— 317 -
откуда, по равенству
Pfft4 =*-<*•-*>■
выходит
[Ф»(*.*)(gjж(г)+6т(г))—'—] = - ^U-3±M^*L<bn{Xf_h).
вследствие чего найденное нами выражение полинома Ьт(х)
приводится к такому:
Неизвестное постоянное бт(—Л), заключающееся в этом
выражении функции 8т(х), мы находим, замечая, что оно при д:= —h дает
уравнение
U-h) ~-fe**_t*B. Mzl»). фи(_Л> _ А),
/7
откуда получается
6 ( д^Ш- /г)Фт(-/г,- Л)
М ' Я-Фот (-*,-/>)
Полагая же для сокращения
Фт(-Л,-Л) = #т, (И)
мы по этой формуле имеем
вследствие чего выше найденное выражение полинома 6т(л:)
приводится к такому:
K{x)==gmK(-h)Om(x.-h) ^ (12)
Внеся это выражение полинома Ьт(х) в равенство (4),
определяющее функцию ТЛ(л:), знаменателя той из подходящих дробей
выражения
которого степень есть т, мы находим, что в частном случае, нами
рассматриваемом, когда
П7Л = 1

— 318 -
этот знаменатель определяется формулою
*. <*)=&.*.<*)+ ^-(-*^'-Л) • (13)
Что касается ^^(х), числителя этой дроби, мы его найдем,
умножая W—W0 на ^¥т(х) и откидывая в произведении члены с
отрицательными показателями.
§ 4. Формулы, получаемые по выше сказанному для определения
функций
Vm(x), Пт(х),
содержат постоянный множитель gm) который остается
неопределенным. Так как этот множитель есть общий в функциях
а„(х), wm(x),
то он сокращается в дроби
вследствие чего он остается вполне произвольным, если при
определении функций
Тт(л), йя(х)
имеется в виду только наибольшее приближение дроби
Q/тгРО
к функции
W ,
как мы до сих пор делали. Теперь перейдем к предположению, что
рассматриваемая нами дробь
*т (*)
получается из разложения функции
HQc + h)
в непрерывную дробь
1
я* ——
Яг —.
где ql9 q2, qZy... целые функции.

- 319 —
Изображая через
Ро р, я,
Qo ' Qi э 0* '"" "
ее подходящие дроби, в которых
Qo=l> Qi=?i, Q2=Qi92-Qo (14)
мы замечаем, что между няма должна находиться дробь с
знаменателем степени т, если разность
Н — Нт
не обращается в 0; так как при этом, по (13), найдется знаменатель
степени т, с которым дробь
дает выражение функции
W
точно до
]_
< (О
включительно. Это же не может иметь места, если дробь
ЧЬЮ
не заключается в ряду
I± A fjL
Со ' Qi ' Q, '""
подходящих дробей функции
W-
И^х -t- Л) '
получаемых разложением ее в непрерывную дробь
1
Т-± ,
?2 ~
Яг — •
• >
откуда видно, что при постоянном множителе gm> надлежащим
образом выбранном в формуле (13), она дает функцию ^(я), равную одно
му из знаменателей
Qi> Q29 Qs> * • •

— 320 —
На основании этого и повторяя то же при замене числа т
числами 1,2, ..,//7 — 1, мы заключаем, что, по (13), при постоянных
множителях
Si* £2j • • * у ёт—V £т*
надлежащим образом выбранных, найдутся функции
имеющие себе равные в ряду знаменателей
Qu Qz> Q& • • •»
если не удовлетворяется ни одно из уравнений
H^HifH==H2>,^>H==Hm_v H = Hm. (15)
Так как степени этих знаменателей представляют ряд восходящий,
а функции
^iC*). ^(х), .... ЧГт_х{х), ЧГм(х),
по (13), суть степеней
1, 2, ..., т— 1, т%
последние могут приводиться к первым только в случае равенств
^1(x)=Q1, ^(x) = Q2r...,^m_1(x) = Qm_v Vm(x) = Qa, (16)
которые и послужат нам для определения величины постоянных
множителей
£l> £ь • • • 9 Sm —V £m>
входящих в выражения функций
§ 5. Приступая к этому, мы замечаем, что, по (14), равенства (16)
могут иметь место только в том случае, когда неполные частные
содержат х в первой степени и, следовательно, когда вообще qn при
п^т представляется формулою
<?п=?пХ+°п>
где р , оп — количества постоянные.
Внеся эту величину qn в уравнение
Qn = Qn-i Яп-<2п-г>
которому, по (14), должны удовлетворять знаменатели Qrt__2, Qn_mV Qn, мы
находим, при /г</я, равенство
On = Qn-i ^nx + °J — Qn-t>

- 321 -
которое, по (16), дает
^W-^WIp^ -г <) -- «к,,, (л).
Чтобы вывести отсюда уравнения для определения величин g^gt
• • • >£т- v ёт> мы вносим сюда выражения функций
4'„W. 4V.W. ч-*„_2(*),
которые находим по (13), заменивши
ФЯС*.—A). *„_i(*. —А), Фя_2(дс,--А)
их величинами, получаемыми из (10) при т=п,п — \,п 2.
Это доставляет нам уравнение
ёп
Ых) +
+«(-*) *«-i (-»>+«<*)-*,, (-*)*„_ i (*>
Я —Яя лг + Л
=ёп-ЛРпх+ v|_Фя-1 w + н-нп_х
?«-j[ ф».
-г„_2 Ф„-я(*) +
Ф»-а( - Л> *«-з (- *) V-a(--*)- 'V
< +
Va(-*J *«-»(-*) I
Я— Я„_г
откуда по умножении на х + А выводим
[g„ Ф„ № ~ gn-t (Р.* + «я) Ф„_ 1 (*) + g„_2 Ф„_2 (■*)] (* -L h) \
+ г«~^ №. . (~ *) Ф„ (*) - Ф„ (- *> Ф„_, (*)] -
-£„_
'Я-Я,
/Z—1
Я-//,
л-!
(ря-« + вя)[Фя-2(-А)Фв-|(^-Фл 1(-*)Фл^(-«)1 f
+g^ tr** h) №.-з(-а)Ф|-2^)-ф^(-*)ф^^)1-»-
В этой формуле функции
Ф*-2(*)> Ф„~,(*Ь Фя<*)
как знаменатели подходящих дробей
?л-2 <*) Фд-1 (*) ?«(*)
выражения
U^=
I
«i*+?i
±* + b
«a* + P8 - •
21 П. Л. Чебышев, т. m

~ 322 -
связаны между собою уравнением
Фя (*) = («** + W„-l W - Фл-2 (*)> (17)
вследствие чего множитель, стоящий здесь при х~\- h, по исключении
из него Фл(а:), приводится к такому:
К «гЛ - е„ «-я-1) х Фя-1 (*) + (К sn - Qn ёп-х) Ф„-1(*) +
Замечая, что первый член этого выражения по умножении ная + Л
дает произведение степени л+1 и что остальные члены
рассматриваемого нами равенства степени ниже п + 1, мы заключаем, что оно
не может иметь места, если не сокращается этот член, а потому
должно быть
«Хг-Р„£л х=°- (18)
При сокращении же этого члена оно приводится к следующему:
+[*--*.+^5тат^ ]**.-.(*)+
+ [А »А - а„^_,) 1Г-ТГп F=5- j^ (л) +
.Г., „ ч , °ei*-\*l- 1 С- й) , gn. 2у 2 (~ Л) Уз (- *) 1 , , s ,
+ [*(g-,-gJ+ „_„ni +■ й—й- ]Ф-3(*) +
Для исключения отсюда произведений
4-i(4 -«Фя-аО*)
мы, по (17), находим
И. /.А- М*>-Мл-!(*) + *„ »W
•*Vrt_i W — ; у
п
что при перемене п на п—1 дает
Внеся эти величины произведений
■*IV-i(*), хФ^С*)

— 323 -
в рассматриваемое равенство, получаем
W-M*-iM+VaM
\ь*-в0 МмУ1(-*)У»(-*)>«(»
[р"8" ngn~l н-нп_х J
+ [ ёп 2 -«•« + P"g"-1^-1 (~ Л) 1 Ф"-1 (Х) ~ P"-* *" 2 (<) + ^^ W |
L " Н~Нп~\ J «„-1
4-ГаГВр- 0<г 1 &.V<-*> ^«-it.-i(-*)^8(-*)l ,.,
+[*(*_,-*„)+ я-^, + я-гй^—Jw*>+
В этом равенстве первая часть представляет алгебраическую
сумму функций
Фл (*)> Ф«-1 (*)> Фл~2 (*). Фя-3 (*)>
умноженных на постоянные количества, которые должны привестись
к нулю для того, чтобы такая сумма, составленная из функций
**(*)> Фц-lto» Фл 2(4 Фл-з(^)
степеней
л, п— 1, л — 2, я — 3,
была тождественна нулю.
На основании этого, определяя здесь члены с
+»(*)> Фл-з(*)
и приравнивая их коэффициенты нулю, мы выводим такие два
уравнения:
Pi»6»-«nfti-i _ png*-~iVi(~^V-2(-~ft) , &А»(-*)У1(~*> = 0
&I-2 —8п , Рл fti-I^-l (~Л) &-2*1-2 (—*> ^q
Внеся сюда, по (18),
~z—п
вместо рл, получаем уравнения, из которых выходит

— 324 —
gn ^ H-"n-x H-H«r-,-*n-tf,-ilT*l (20)
Величины
#„, #„_,, Hn_r
сюда входящие, найдутся по формуле (11) при т^-п, п—\, п~2.
Внеся в эту формулу выражение функции
Фш (х, z),
но (7), и делая т = п, мы находим, что величина Н„ определяется
формулою
^*хФо2(-А)+ «2ф2(_А)+... + «|1е4(-А). (21)
Заменяя здесь я через я—1,п — 2 и сравнивая между собою
величины Нп, Hn_v #Л_2, получаемые из этой формулы, мы замечаем, что
они удовлетворяют уравнениям
Н*=Н^г + аяф^(-А), ЯЛ„^Я_2+ ал^ф2_2(-А),
которые даю?
аяФ2я-.(-Л) = Яп-Яя „ «я_1Фая^(-А) = Яп_1 - Яя 2,
вследствие чего найденное нами выражение отношения
8п
по исключении из него величин
приводится к такому:
Полагая здесь последовательно
п—т, т — 2, яг— 4, ...,т — 2р-\-А
и перемножая получаемые при этом равенства, мы по приведении
получаем
ёт-2Р+2 (* - мт) ся- ят_2)2(я- ят„4)2.. .(я- ят^р4.2)
цолагая же здесь
т=:2р, т=2р — 1,

— 325 —
находим
lit _ (М~Н2р it(H- *2P з)2---(^-^з)2 .
S2 ("- И2р){Н- Н2р_/{Н- Н2р. $-{Н- Н2) '
gip 1 _ (Я- Я2р_ 2)2 (Я - Я2_ 4)2- • • (Я - Я2)2
«1 (Я ~ 'V-l) ("~ ^2^3)2 («" Vl)'1 * -(Я- Я0 '
§ 6. Величины g1( ^заключающиеся в этих формулах, по (16)
найдутся из равенств
которые по (13) дают
£i*i (*)+£i -~ ' 'I1' -; =<?,.
Замечая, по (7), что степени функций
Ф,(;с, -А), Ф2(х, -Л)
ниже степеней
мы из этих равенств выводим
£1===limJ^, £2 = lim Qa
*•=» Ф1ОО " -*=«> фа(*)
откуда видно, что величины gx, g2 равняются отношениям коэффи
циентов старших членов в функциях
Ql» <М*). Q2» ФзС*).
которые мы, по § 4, находим, разлагая
1
х ха к3 Я(х + Л)
в непрерывные дроби,
Так как при этом получается

— 326 ~
w — WA—
Hx H{cxH+h) J
с0Я-1~>0Я~-1)- "_ (CpH-iy ~
Я(с»Я-1) (с2Я-/г-) - Я (cM+h*) X~T >
по нашему знакоположению в рассматриваемом нами случае имеем
_ *о3
а,=
а2=
CqC 2 —С
Со % С0 С2 — С1
q = Нк H(cxH+h) q = (срЯ--!)**» _e
*0f/-l (с0 Я - I)2 ' 2 Я [(с0сЛ - с2,) Я - с0 Л2 - 2cjh - с2]
откуда, по выше сказанному относительно определения величин gl%
£2, ВЫХОДИТ
S1 " , £<> = *"Т О
с^-1 *" с1Н[(с0с2-с2г) Я- €0Л2- 2dft- с2]
а по (21)
//.=«1Ф8(-А)+«.Ф?(-*Ь —4- <fo*+Cl)'
Находя по последним равенствам
£0 = ~-, c0h2 + 2схА + с2 = (с0с2 — с]) Но
**1
и внеся эти величины в выражения gv g2, получим
Н-Нг' S2 Н(Н-Н2) '
вследствие чего формулы, выведенные нами в предыдущем параграфе
для определения отношений ga,^**-1 ? дают
*2р Н(Н-Нгр) \(H-Hv^W-Htp_d~<H-Ht) ) ' {
= Я / (Я-Я2^2)(Я-ЯР/7_4)...(Я-Я2)У (22)
Этими формулами определяются величины постоянных
множителей
8%> ё*> • . • , grm

— 327 —
входящих в выражения функций
по (13), когда подходящие дроби
выражения
ViM ' vt(i) '*•" чгм(х)
fiL-f-— -f — Н
х дг2 л:1 ' H(x+h)
выводятся из разложения его в непрерывную дробь
1
1
PiX-K?!
1
Рт* + *т — •.
Что касается определения неполных частных этой дроби, то, по
(18), при т = 2р, т=2р—1 находим
откуда по (22) выходит
Р2/7—1—а2/>—1
я - я^ \(Я - нгр-гу.. (я - я3) (я - яо
Определивши таким образом коэффициент от в неполном частном
Рягх+ая1> мы найдем ат по формуле
которая получается из равенства (19) после внесения, по (18), —
ап
вместо — и замены п через т.
§ 7. В случае, нами рассматриваемом, по § 1, количества
av осо, . . . , сст
имеют величины положительные, вследствие чего найденные нами
формулы, как легко заметить, дают
Pi>0, ?2>0, .... Рт>0,

— 328 —
если Н имеет какую-нибудь величину, отрицательную или
положительную, превосходящую
Ограничиваясь такими величинам Я, мы, по сказанному в § 1
относительно непрерывной дроби, которой неполные частные содержат
только первую степень х с коэффициентами положительными,
заключаем, что корни уравнений
ЧР\(х)=0, Т2(х)=0, ..., ТЛ(*)=0
имеют величины действительные и в промежутках между двумя
ближайшими корнями какого-либо из них
Тп(х)=0
заключается один корень уравнения
Отсюда видно, что ни одно из этих уравнений не будет иметь
отрицательного корня, если в последнем
тя(*)=о,
приводящемся, по (13) и (10), к уравнению
it (х\ 1 ** <~ fe) Фм-i ("""Л)^ (*) ~~ ^(~~ ^ Ф«-1 (^ ~о Г2ЧЪ
все корни больше нуля.
Чтобы найти условия, при которых это имеет место, мы замечаем
по § 1, что между двумя ближайшими корнями уравнения
Ф«М=0
заключается всегда один корень уравнения
фЛ-1(*)=0,
а потому в промежутке между ними функция фЛ_1(л:) должна менять
свой знак; при обращении же функции фтС*) в нуль и при перемене
знака функцией tym-i(x) первая часть уравнения (23), очевидно,
меняет знак. Вследствие этого во всех промежутках между
ближайшими корнями уравнения
Фт(*)=0
найдется по крайней мере один корень уравнения (23).
На основании этого и принимая в соображение, что уравнение
Фт(*)=0
имеет т корней, которые все, по § 1, больше нуля, мы заключаем,
что уравнение (23) имеет не менее т — 1 положительных корней, а
потому оно, будучи степени т, не может иметь более одного
отрицательного корня. Один же отрицательный корень в уравнении (23)

— 329 —
не может быть, если первая часть его при л- = — эо имеет
одинаковый знак с
V* (0) + -я—— - - - - - .
величиною ее при л=0.
Замечая по составу ее, что при х = — оо она имеет одинаковый
знак с ф«(*), членом высшей степени, и что, по (2), ф«(—оо) имеет
тот же знак, как и фЛ(0), мы, по выше сказанному, заключаем, что
уравнение (23) не имеет отрицательного корня, если отношение
величин
,h (С)\ Hi (П\ 1 fai~h) im-\ (— Н}$т[0) — Ът(— Л) *л 1(0)
п. — ttm n
есть количество положительное и, следовательно, если имеет месю
неравенство
1 4- fa(—h) fa~* Н h) 'fa (°) - fa (- *) **- iJL0.> -> 0
Так как, но (2),
fa(—k) >Q
fa(0) *
а, по (7), (16), дробь
fa-1(~ ^ ** (°>"" fa ("" А) Фзд -1 <0)
Л
равняется сумме
«хФо(—А)Фо(0) + а2ф1(-А)ф1(0)Ч Ь«тФш-Ц-Л)Ф«-1(0),
где, по (1), (2), все члены имеют величины положительные, это
неравенство без нарушения его может быть разделено на произведение
•fa[—h) 1jm-l(--h)1im(b)--fa{--h)ltm-\ (0)
Ф„(0) h " " ''
после чего оно, по перенесении первого члена во вторую часть,
дает
Л >_ fr»(°) h- (24)
Н-Нт^ U (- Щ ф«-1 (- h) Ът (0) - ф» (- Л) Ф«-1 (0) '
Замечая, что при выполнении этого неравенства уравнение
+* <*) + 77=^Г 7+~а - °
не будет иметь корня отрицательного, мы заключаем, что ни одна*
из т перемен знаков уравнения
Ф*(*)=0

— 330 —
не пропадет от прибавления членов, составляющих полином
умноженных на
/У — Ит
если эта величина больше
Фт(0) Л
Фт(—Л) фт-!(-Л)фт(0) —фя,(-Л)фт 1(0)
§ 8. Возвращаясь к общему случаю, когда коэффициенты
^0» ^1> ^2» • • •
в ряду
Н7«= — — -L 4- — —
0 х х2 ' х3
ничем не связаны между собою, мы примем
Т/{П) Tf(n) „(ft) rr(/l)
для обозначения числовой величины коэффициентов, с которыми
входят
у-0 v-1 v*2 уП
в функцию $п(х) при я каком-нибудь.
Так как по § 1 в полиномах
ФоИ> ФхО)* <М*), ...
члены идут попеременно с знаками +> —, и высшие члены имеют
знак +> функция фп(х) при п каком-нибудь будет представляться
формулой
Фя (х) = ff <£> хя — АГД Xя-1 + /Г w2 я*-2 —... ± К<# =
= 2 (_ ^n~iK{l)xi ('=0. Ь2,.. .,л). (25)
Определяя по этой формуле произведения
«1Фо(*)Фо(г)> «2<M*)«M*)> --., атФ* -i(-*)Фт-i (г),
где, по (1),
ах>Ю, а2>0, ..., аш>0,
мы замечаем, что они приводятся к алгебраической сумме членов,
«содержащих х, z в степенях ниже /я, и что вообще знак члена с
£ i .
X' Z "

- 331 -
определяется знаком
(-1)" ''(-1)л"'"=(-1)''т/".
откуда видно, что по внесении выражений этих произведений в
формулу (7) получится уравнение, которое можно представить так:
Ф«(*,г)= ^ 2(-l)'' + '"(''./^^^ (26)
(/, = 0,l,2,...;m-l; i„ =0,1,2 от— 1),
обозначая через (/,, i„) числовую величину коэффициента при х?»г1".
Внеся же это выражение функции Фт (л:, г) в уравнение (9) и замечая,
что здесь
U7o== Ji _ Л +** _ у <-lfer х '" '.
»м*) = 2(~1)"",/f(",x''
(Г = 0,1, 2,...; i=0,l,2,...tm)f
находим
6ОТ (jc) =
=U-2 2 2 ^-1,''Ti"+"~'+''('"i»)e/?V^+'" '' '],+
+ [2 2 2(-1)/'+'"+"(/"'"")<г''е*(г)х''г,""""!],-
Представляя же коэффициенты искомого полинома Ьт(г) пол
видом
{—D^gmYm-i, (-l)m~2gmYm 2,-..,(-1)°^Г0,
находим
в«(х)=гт2(-1)4^^ (71 = 0,1,2,...,/«-1), (27)
что по внесении в предыдущее равенство дает
2(-1),Г,.х,1=
= [222 2(-1)''+'" + Ж""/ + '' (^иег^Рх?'г'+ '"■'' 1\г-\-
+[2 2 2 2(-1^+,"+,+"</»'")в"к'у'гТ' + '" ""!•
Чтобы найти значение членов, заключающихся во второй части
этого равенства, мы замечаем, что в суммах, стоящих под знаками
[ ]2, члены с — , определяющие их величину, получаются в первой
2
i
сумме
V V V ^(--1У>+г'>>+т'-*+*'(i., 1„)е.,К\т)х1>г*+1"~1' ]

— 332 —
при i' — i \-i„, а во второй
2 2 2 2(--Л)^+^'^
,) e,. К x ' г***-
v i
ч
при г' = 1Г|+/„. Откидывая же здесь все члены, где это не имеет
места, мы находим, что рассматриваемая нами формула приводится
к следующему:
В этой формуле обе части представляют полиномы остепенит—1.
которые должны быть равны друг другу.
Определяя члены с
х1
т 2
в том и другом полиноме и приравнивая выражения коэффициентов
одинаковых степеней, мы находим такие т уравнений:
Ym i=l-l)m2 ^ir^-Ui..)e^it.K\m) |-2 ^(rn-\,i,,)eri+i,,Yj
Ym-2 =(-1Г 2 2(m~2> *-) *+/"*im) -i 2 2(m~2> m^+i.^ I
}(28)
y1=(-\t2 2 (ь '-)*+#„ ^m)+ 2 2 u. ^)^+/,7,,
^o=(-ir 2 2 (°> 'л^л^-ь 2 2 № ч) *>+'- n,
которыми определяются все т неизвестных количеств
Ym- I , К/72—2 , ■ • - , Ki, Коь
входящих в выражение искомого полинома Ът(х) по (27).
По составу этих уравнений видно, что при
£о, в\, в2, e<im i
бесконечно малых количества
Ym—l ? Y m~2 j • - , Y\ у Yq
имеют также величины бесконечно малые, которых порядок
относительно
£0, е{> в2, ..., £2m-l
не ниже первого; а потому при таких во, еи е2, ..., £2m-i последние
члены в этих уравнениях будут относительно е0> е\у..., e<im~\ измерения
не ниже второго; вследствие чего, откидывая их, мы по (28), точно

333 —
до первых степеней ео, ei9... ,ечт~\ включительно, находим
Ym-i=(~l)m% У,(т -1, iff)eiMK\m\
Km.2=(-lf V 2(w- 2, /.,)*,+, /C|m),
Внося же эти приближенные величины
/ m-1 , У т -2 , • • - , У\ , Ко
в последние члены уравнений (28), мы получаем формулы для
определения этих неизвестных точно до второго порядка.
Продолжая такие подстановки, мы можем найти величины
У т-Л 1 Ym~ 2 у • • • > У1, У0 1
точные до желаемой степени.
§ 9. Не останавливаясь на этом, мы теперь покажем, как можно
найти высший предел погрешностей, происходящих от опускания
последних членов в уравнениях (28), если величины
£о, в\у в2>. . .,£2ot-i
не переходят за некоторые пределы, которые, как мы увидим, легко
получаются во всяком частном случае.
Обозначая числовую величину сумм
2 2 (*> *..)еш»К1л\ 2 2("> М*ч+1,. 1\
при п каком-нибудь через
Т U
числовую величину искомых
Утп—\ , Утп~2 , • • • , У\ . ^0
через
высший предел этих величин через М и через Kv ту из искомых
Ym—\ у Ут—2 у • • • у У\, У О,
которой числовая величина достигает предела М, мы замечаем, что
равенство
У, =(-lf 2 2(v> Ь)**„К\тЧ- 2 2 К 0**w„ ^

— 334 -
получаемое по (28), может иметь место только в том случае, когда
M<Tv+Uv. (29)
Так как, по § 8,
(л, /„)>0,
числовая величина суммы
не уменьшится, если в ней вместо е*н-/„ возьмется числовая величина
этого количества, а вместо Y^ — количество Ж, представляющее, по
нашему знакоположению, высший предел числовой величины искомых
У т \ , Ут-2 , . . • , У г , У О-
Вследствие этого мы находим
Un<S«M, (30)
изображая через Sn сумму
2 2±(*, '-)*1+ч
получаемую в том случае, когда из двух знаков ± оставляется тот,
с которым ±£ii+'„}>0*
На основании этого, обозначая через 5, Т высшие пределы величин
От 1, 0/n-2i • • ., «bi, Oq»
* т I , I m 2j . • ., / ti / о»
получаем
£/v*sSjW, 7*v<7\
что, по (29), дает
M^T + SM.
Из этой формулы при
S<1
получается
Л1<~-, (31)
чем, по выше сказанному относительно Ж, определяется высший
предел числовой величины искомых
Ут~1у Ут~2у •«•> У и У(Ь'
Что касается неравенства
при котором, как видели, найдется высший предел Жив котором S
есть высший предел величин

— 335 -
оно будет иметь место, если величины
£()> ^1> ^2» • • •
не выходят за пределы, где
Sm~l<l, Sm 2<l Si<l, S0<\.
Эти же пределы могут быть найдены во всяком частном случае.,
так как суммы
очевидно, обращаются в нуль при
£о = 0* ^1 = 0, е2 = С, ..., е2л-!=0.
Предполагая, что количества е^е^еъ... не выходят за эти
пределы, мы будем иметь
вследствие чего по (30) находим
Af< -—-,
1—S
U»<~JZ^ (32)
Так как по нашему знакоположению Un есть числовая величина-
суммы
2 2(M-)<Vr, У*
эта сумма будет заключаться между
-Un, +Un
и, следовательно, по (32), между
откуда видно, что уравнение
Kn=(-if2 2 (».'••)«/+,,. *Г°+ 2 S^mv,-,,^. (зз)
получаемое по (28). дает
кя = (-1Г2 2(«.-)е,.+,лГ
с точностью до
— i—s
Принимая последовательно
п = т — 1, т —2, ...», 1, 0,

— 336 —
мы, таким образом, найдем при
е0у е1% е.,
удовлетворяющих неравенству
5<1,-
приближенные величины искомых
*т~\* Ут 2, •••> Уv *о
и пределы их погрешностей. На основании этого мы заключаем, что
при выполнении этого условия уравнениям (28) можно будет
удовлетворить конечными величинами
Ут—Ь Ут 2* • • -. ' 1, /о>
и вследствие того, по сказанному в § 2, найдется полином
степени т, с которым дробь
Цц|(*)
при 0>т(х), надлежащим образом выбранном, дает функцию
I
точно до ~т' включительно.
Откуда видно, что
будет одною из подходящих дробей этого выражения; а потому в
ряду их, при 5<1, должна найтись дробь с знаменателем степени т.
§ 10» Мы теперь займ-емся приложением выведенных нами формул
к случаю, когда величины
заключаются в пределах
1_ л_ __j^ _^li
j JL j *_ _i_ *2 ^2m~l
где #0,Л— количества положительные.

- 337 —
При этом мы будем предполагать, что условие
выполняется, для чего, как мы увидим, количество Н0 не должно
быть ниже некоторого предела, который будет показан.
Так как по § 8 количества
(n,L), ■ К1т)
1
не меньше 0, maximum числовой величины суммы
2 2 (л*м */+/,, */т)
при
ео, еи е?, ..., e2*i-i
не выходящих за пределы
1 h h2
tiQ ti0 ti0
, 1 , h , K-
tt0 /70 /70
получится при
1 Л Л2
«0 "0 «0
>
Я0 '
^ я0
вследствие чего в рассматриваемом нами случае, по § 9, будем иметь
г.<2 2<м..)^к'Л
что дает
7,»<^2С>а'-2(я'/")а/"- (34)
Для определения суммы
2 кГн
мы замечаем, что из уравнения (25) при n^=m,x = —h получается
ф.(-А)-(-1Г2**"Ч
откуда выходит
2^ш)А/ = (-1)"фя(-А).
Для определения суммы
2 С».*»)*'"
22 п. Л. Чебышев, т. III

— 338 -
мы полагаем в уравнении (7) 'г =—А и в получаемое при этом
равенство
Фт (л-, -Л) = a^0 (-А) ф0 (х) + аЖ (- Л) Фх WH Ь
+ «шФ«.-1(— A)«|>«-l(-*)
вносим выражения функций
ФоМ. 'М-*). •••• Ф« |(Л")
по (25). Таким образом мы находим
Фт (х, - А) = (-1Г -»[Z.£L, х* ' - l£l a jc—a +
+ 1Й'1»х»-3-...], (35)
полагая для сокращения:
f£L, = (-1Г -'«„+* -1 (- А) /СИ"-!0,
Z.ST-U= (- l)m -' [<хтФ« -. (- А) К%-21) - «* -1 Ф„ - а (— А) ЛГ^Т- ?],
Л= (- 1)т-' М»-1 (-h) K(Z~?- «а _.ф„-2(- А) /(М> +
Г
+ «*-зФ«-з(—ЛЖЙ'-З"],
)
(36)
Замечая, что это выражение функции Ф,„ (х, — А) должно быть
тождественно с
Фт(х,-А)= 2 2(-1)''+f"OV.0(-A)'"*i'.
получаемым из (26) при г=—А, и что хп в этих выражениях входит
с коэффициентами
(-1)ЧГ\ (-1)-2(п,/..)АЧ
мы приходим к заключению о равенстве
Внеся найденные нами величины сумм
2-tf"°#r • 2(»''»)Л'-
в неравенство (34), получаем
1<.т)
(37)
откуда выводим a fortiori
7-л<(-1)-фт(_А)
Нш
я, !
(38)
(38-bis)

- 339 —
изображая через LSm> высший предел величины
тКт) ,{т) Т(т) ,(т)
Переходя к определению maximum'a суммы
2 2±(/*>/")*vK,
в том случае, когда
€q> ei> e,f ..., e2m-i
не выходят за пределы
_JL _Л_ _51 h2m~l
Ял Ял Ял Я„
1 , h , Л2 , Л
2/я -1
4-— Д-- 4- —
/70 П0 /70 /20
и при всех слагаемых берутся знаки, с которыми они имеют
величины положительные, мы замечаем, что этот maximum получается при
__ 1 __ h __№ __ h2m~l
е0— 77 > е1 — 77 ' е2— г* > • • • 1 ^2m- 1 — ——
г/0 "о "о "в
и при знаках -|-. Откуда видно, что количество, обозначенное нами
через Sn9 не будет превосходить суммы
2 2 (п> <-)
h*+i"
Но
и вследствие того
"о
Так как
и по (37)
2(я,/«)А'"=^^>,
это неравенство дает
*.<^£г'
откуда при
п= т—1, т — 2, .♦., 1, 0
получается
с. 4*2-1 а--1 о <4ml2A"-i
22* 51<Д"1Г~Г' ^ЯвА-Г

— 340 —
Эти формулы показывают, что S, наибольшая из величин
не будет превосходить
Я о h - Г
так как по нашему знакоположению L(m) есть высший предел
величин
г (т) т(т) т(т) г(т)
А потому должно быть
s<«2£=±. (40)
По этой формуле видно, что условие
5<1, (41)
о котором говорили выше, будет выполнено, если
//„>/.(») ^1. (42)
п — ]
При рассмотрении настоящего случая мы будем ограничиваться
величинами Н0, удовлетворяющими этому неравенству, а поэтому будем
иметь
S<\.
§ 11. По § 9, при
S<1,
высший предел числовой величицы искомых
У т~ Ь У т— 2 j • • • > Угу *о>
обозначенный нами через М, удовлетворяет неравенству
Замечая, что это неравенство не нарушается от замены в нем
Г, 5
величинами
<-1)-Ы-*>^. """""-
Н0 JiQ h — I
котор-ые по (38-bis), (40) не могут быть меньше Т, S> мы из него

— 341
выводим, делая такую замену:
вследствие чего по (39) находим
и по (30)
(-1)я»И»и<*)фЯ1(_л)^-^
5ЯЖ< ^iL
С- J>*i<*> i<*> фт t— A) -*"" '
и.<
".lft-7=f^
где £/„, по нашему знакоположению (§9), числовая величина суммы
2 2 (*•'") *i+',.*V
На основании этого и неравенства (38), по которому числовая
величина суммы
не превосходит
£1»)
(-1)"фя(-А)-7Г'
мы из уравнения (33) заключаем, что числовая величина Yn не пре
восходит суммы
лт— 1
(~1Г^т)^т)фт (- A) -j—f Li")
+ (-1)-Фя(-А)1Г
*(*-т£г1И
равной
(-1У"Ф»(-*)4.Ж)
Откуда следует, что Yn заключается между такими пределами:
- »-(-*>'Г0 и , *«(-»>4"j. _ (4а)
/гш— 1 {т) hm-\ с»)

— 342 —
По этим формулам, полагая
п = т — 1, т — 2, ..., 1, О,
мы найдем пределы, между которыми содержатся величины всех т
неизвестных
заключающихся в т уравнениях (28); из чего мы заключаем, что при
выполнении условия
S<\
в рассматриваемом нами случае уравнения (28) будут иметь конечные
решения, и, следовательно, по выше сказанному, найдется полином
Ym (*)=£. Ы*)+М*)=
степени т, с которым дробь
Цщ(*)
при &т(х), надлежащим образом выбранном, дает выражение W — W0
точно до — включительно. Замечая, что для этого дробь
х2т
должна иметь равную себе в ряду подходящих дробей
£ £* £»
выражения W — WQ, получаемых разложением в непрерывную дробь,
мы заключаем, что при Я0> удовлетворяющем неравенству (42), в
этом ряду должна найтись дробь с знаменателем степени т.
Повторяя те же суждения при замене числа т числами
т — 1, т — 2, ..., 1,
мы приходим к заключению, что в ряду подходящих дробей
jPl _Л _Pg
выражения W— W0 должны находиться дроби с знаменателями
степеней
т. т— 1, т — 2, . .. , 1,

— 343
если #о удовлетворяет неравенствам
h.™ 1 hm- \ л ил
Здесь по нашему знакоположению
суть высшие пределы величин
т(т) г(т - I) г(1)
которые мы получаем из уравнений (36), оставляя их в настоящем
виде или заменяя число т числами т — 1, /тг — 2, ... , 1.
Так как эти уравнения при замене числа т числами ^, у- — 1
дают
/#>=(_ If -'[«^-it-AKJT п-а,_1ф,._2(-А)/С^ "2)+...],
L\T* ==(-1) *-* К , ф^2 (_А) Kit » __ ^2ф^,(_ *)*<* 2) + . . .]
из них выходит
Замечая же по (1), (2), что
о^Х), (_1)^1ф|Х_1(_А)>0,
мы из этого равенства выводим
Т Ы \ Г (И~ D
откуда видно, что L{[L\ высший предел величин
не может быть меньше L{*~1), высшего предела величин
Lpt — 2 , Ljx—3 » • • • » **0
и, следовательно, должно быть
На основании этого и принимая в соображение, что

— 344 —
находим
Л-1 Л—1
Так как при этом в неравенствах (44) вторые части представляют
ряд убывающий, все они будут удовлетворяться величиною Я0,
удовлетворяющею первому
hm — 1
Я0>1^)-
я — 1
и вследствие того, по выше сказанному, при таком Н0 должны
найтись дроби с знаменателями степеней
т, т — 1, . . . , 1
в ряду подходящих дробей выражения W—W0, получаемых из
разложения
qx —— 1
Яг
Замечая, что это возможно только при
Яъ Яь • • • , Ят
первой степени, мы заключаем, что в рассматриваемом нами случае
при"#0, удовлетворяющем неравенству (42), непрерывная дробь,
происходящая от разложения выражения
W-WQ,
должна быть вида
1
pi*+*i
1
P*2 + G2
?т*+°п
Так как она должна сохранять этот вид при всех изменениях
выражения W— W0, не нарушающих неравенства (41), коэффициенты
Pl> P2t
не должны обращаться ни в 0, ни в оо, пока удовлетворяется
неравенство (41), и, вследствие того, они как рациональные функции
коэффициентов выражения W—W0 не могут менять своих знаков, пока
Н0 не перейдет за предел, назначаемый неравенством (41).
На основании этого и замечая, что при
Я0=оо,

- 345 -
по § 10, получается
W0=0y W-W0=W
и вследствие того дробь
1
Pi*+'i
]
Р2* + *1 — -в
Рт*+°я
обращается в дробь
«i^+Pi
а2^ + ?2 •
где, по (1),
«i>0, а2>0, ..., *„>(),
мы заключаем, что в сделанных нами предположениях коэффициенты
Pi» ?2> • • • > Рт
будут иметь величины положительные.
§ 12. Убедясь таким образом, что при
£()> ^1» ^2> • • • > ^2/п - 1 >
не выходящих за пределы
1 h к1
Н0 Н0 Н0 Но
1 _,__Л_ ^^ , h2m~
Но Но Но Но
И
н ^ Лт) hm-\
ряд
W — W0--
Со — ер , Ci+gi, f c\nll Л
разлагается в непрерывную дробь
I
Pm*4 */л —•
3

где
Pi>0,
и изображая через
— 346 —
Р2>0, ...,
М*)
?т>0,
SmW
ее подходящие дроби, мы, по сказанному в § 1 относительно
непрерывной дроби такого вида, заключаем, что все корни уравнений
тх(х)=а т2(*)=о,..., Ymi*)=o
имеют величины действительные и что все они больше нуля, если
уравнение
не имеет отрицательного корня. Чтобы вывести условие, при котором
то имеет место, мы замечаем, что уравнение
Tm(x)=0,
по (4) и (27), приводится к такому:
где коэффициент Уч при •»)=«, по (43), заключается в пределах
На основании этого и принимая в соображение, что, по (35), (10),
Фт(х, — Л)=
=(- i)m -' [iJsfi, xm -' - №12 хт ~ 2-ь • • +(- if ~' СХ
ф (х /Л_ *«-! (-*)**(*>-*« (-A)*m-l(*>
m^X' ' x+h
мы приходим к заключению, что в сумме
коэффициенты-при различных степенях х содержатся в промежутках
между коэффициентами тех же степеней х в функциях
Фот (- К) ^-,(-*)t«W-t«(-»^-i(»)
„ ftw-l,(m) *+ft

— 347 —
(Сравнивая эти функции с функцией
Фт(-*) *я-1 (-*)*« («)-»« (-*)*«-•! СО
Н-Нп x+h.
входящей в состав уравнения (23), и замечая, что неравенство (24),
где вторая часть <0, выполняется, если
Н-Нт
не выходит за пределы
Фт (- *) Фт __, (- л) *я (0) - фт (- Л) фж , (0) '
, Ф„(0) *
*«(-*) *«-i С-ft)**(P)-+„(-*)*„-i (0) '
мы заключаем, по доказанному в § 7, что при
, J 1
ft"»-! (m) ' /,"-1 .(«)
не выходящих за пределы
Ф*(-А) +*-i(-*)+»(P)-**(-*)+«-i(0)
, *„ (0) *
**(-*) *ж-| С- А)Ф» (0)- +„, (— А)Ф„ _ , (0) '
уравнение
■будет содержать только перемены знаков и, следовательно, не будет
иметь отрицательных корней.
Так как величины
Л"--1 <т) hm-\ (m)
яе выходят за показанные пределы при
„ ^ й«-1 ,(я) . К_(~ Л) Фт-i (~ У *т (0) ~ Фт (~ *) *я-1 W
а по (10), (35)
л /П v\ гм *т~1 (~ А) *»(0) ~ *т (~ А) *т-1 (0)

— 348 -
мы приходим к заключению, что при Я0, превосходящем сумму
h~\ ^ фЛ(0)
уравнение
ф*(*)+2(-1)чмч=о
не будет иметь отрицательных корней, вследствие чего по выше
показанному не будут иметь таких корней уравнения
Y„ (*)=<), ^-iW=0, .... YX(*)=0.
Из этого и доказанного в предыдущих параграфах, полагая
мы выводим такую теорему:
Теорема. £*^лд ряд
со £_^ i_ _£a I #
разлагается в непрерывную дробь
I
ai*+Pi
аоЛГ + f
1
e*+Pm- ••
где
«i>0, а2>0, ..., а„>0,
и яс£ корни уравнений
<KW=0, ф2(х)=0, ..., ф/л„1(х)=0, фт(*)=0,
составленных из знаменателей ее т подходящих дробей
+1 (*) ' Ы*)' " ' Фл1 -1 00 ' Фт (X)
имеют величины положительные, то эюе и с тем эюе кислом т
имеет место относительно непрерывной дроби, происходящей от
разложения ряда
Cq f £±л_ £i-L ...
# первых т ее подходящих дробей в том случае, когда
коэффициенты
^о> ^1> ^2» • • • * С^т—х

349 —
не выходят за пределы
1 h к /r^-i
Н0 п0 п0 nQ
I , h , Ь} . htm-1
со + -ТГ > ci + ТГ > г^
П0 /70 /70 /10
.где Л какая-нибудь положительная величина, а Н0 —
положительная величина, превосходящая сумму
hm—\ ^(т) | $m(-h)j(m)
я которой L{m) —высший предел числовой величины коэффициентов
в полиноме, равном
Фя-1 (- Л) фст fa) - Фя (- ^ Фя|-1 (*)
a Lom) — постоянный член его,
§ 13. Переходя к рассмотрению корней уравнения
Tm(jc)=0, (45)
когда в ряду
Ср — ?о ( сг+pt , c2 — g2 ,
величины е0> elf £2> • • • ничем не связаны между собою, мы
замечаем, что оно, по § 12, приводится к уравнению
*«(*)+2(-l)4V4=0, '46)
где коэффициенты
* т—1> ' т~2> • • • 1 ^1> •'о
определяются уравнениями (28). Полагая в этих уравнениях
е0=0, ^=0, *>2=0, ..., ^2/я_1=0,
мы находим
1^=0, ^=0, ..., Кх=0, Г0=0;
вследствие чего уравнение (46) обращается в уравнение
фв(*)=0,
откуда видно, что корни уравнения (46) суть функции величин
^0» ^1* ^2> • • • * е2т—Ъ
которые при
£0=(J, £j=U, £2==^> •••» &2т—1===^
равняются корням уравнения
Ф„С*)=0

- 350 —
Обозначая через
xl9 хъ ..., хг, ..., хт
корни последнего уравнения, расположенные в возрастающем порядке.
а через
Г,(0) j^<0) (0) (О)
корни уравнения (46), расположенные так, чтобы получалось
Х\ ^ Х2 -^ • • • ^ Х\ -^ • • • ^ Хт
при
е0=0, ех=0, г2 = 0, ..., ^^=0,
мы, по выше сказанному, при этих величинах е0, е1У еъ.. #, е2/я-1 будем
иметь
г(0)__ *•<?>_*. Г,(С>— Г V(0)— Y
-М —а.^, -л-2 —«^2> -"И —**7» • * • у л лг —"^т*
По (3) и (28) все коэффициенты функций W0Jbm(x) обращаются в
нуль при
е0=0> ei=0, е2 = 0,...
и
det zf+1 *
Вследствие этого, дифференцируя уравнение (9) по ех и полагая
£o = 0, ^ = 0, е2=0,...,
в смежности с этими величинами eQ, еъ еъ ... получаем
*U(*)_/ ,х' Г<*>т(*,*)Ф,я(*)
М*)_/ nV ГФтС*,«)Фя|(*)1
Внеся сюда выражения функций
по (27), (10) и сокращая на gm> находим
д ^ (_1}Ч У, ^ ^ ^ г ф^х (,) ^ (х) - фт («) ф^х (*) ^ ф1 ^
dtfj- L (л: — z) zl "*" J г
что при
корне уравнения
дает

— 351 —
откуда, замечая, что У\, уничтожается при е0=0, ^=0, е2=0, ...„
получаем
2(-«)^'-(-о'*««)[й^г1- <«>
Так как
корни уравнения
Ф*(*)=о,
по § 1, имеют величины действительные положительные, в полиноме
к которому приводится дробь
<&(*) = C*(z-xt)2(z-xt)2...(z-Xl)2...(z-xm)2
z — xt z— Xi
члены идут попеременно с знаками + ,—. Замечая, что старший
член C2z2m~x Ихмеет коэффициент положительный, находим, что
коэффициент при гг представляется формулою
-(-1)'/С,
где
К>0.
Вследствие этого получается
и уравнение (47) дает
2 (-1)Ч^*1Ч «-**-!w). (48>
Это равенство будет иметь место при
х^=х1, х2> • • - > -^яи
корнях уравнения
Ф«(*)=0;
^<°>
при корнях же уравнения (46), обозначенных нами через х\ ', мы
будем иметь
^(fH-SH'M^-o.
откуда, дифференцируя по ^, выводим
f. ич£ + 2 <-о'£ «•>'+2 (-«Л г, «Т'-^-о-

- 352 —
Прилагая это уравнение к случаю, когда
е0=0, е1 = 0} е2=0,...
и замечая, что при этом, по выше сказанному,
Ym^ = 0, 7^ = 0, ..., Г1==0, Г0=0, *}">=*,.
мы находим, что в смежности с
е0=0, е1=0> е2=0, ...
будет иметь место равенство
из которого выходит
дУ
что по (48) дает
7 =к , . im
Этим равенством определяется величина производной
в смежности с
е0=0, ^=0, е2=0, ...,
и нетрудно показать, что в рассматриваемом нами случае из него
получается
В самом деле, по сказанному в § 1 относительно уравнений
<W(*)=0, Ф2СО=0, ф8(*)=0, ...,
видно, что между двумя ближайшими корнями уравнения
фт(*)=0
заключается и один корень уравнения
фот^и)=о
и один корень уравнения
Фт(*)=0;
а потому дробь

— 353 -
в этих промежутках меняет свой знак два раза, возвращаясь при
к одному и тому же знаку. Замечая по тому же самому, что
уравнения
f«W = 0, Ф«_,(х) = 0
не имеют корней между х—хт,х— -j-oc, мы заключаем, что дроби
имеют одинаковый
откуда выходит
знак
+«(*/>
*т (*«)
с дробью
*•-
*т
-1 (+<*)
;(+оо) '
L^Uo
фж<*1>
так как, по § 1, должно быть
Фт_,(+°о)>0, Фт(+<»)>0.
Убедясь таким образом, что
—, ^> О,
мы, по (49), где, как видели, АГ > 0, находим
-£ >0, (50)
что и следовало доказать.
Доказанное нами неравенство дает низший предел производной
в смежности с
£0=0, ^=0, £2=0, ...
Чтобы вывести из уравнения (49) высший предел этой
производной, определяем ^^(л:,) по (25), полагая
fl = ffl — 1, Л)=Л^,
что дает
*-.(*!>- 2(-1)"","',^*<"",>^
По той же формуле, делая я—от и замечая, что корни уравнения
Ф«(*)=0
23 EL Л. Чебышев, т. Ш

- 354 -
равняются
имеем
Ф«и/) = /Г^,(л-/-л;1)---(л-/-х/ ^(л^-*/и)-••(*/-*„).
Вследствие этого из уравнения (49) выходит
det ^)(V/-v1)...(c/-x/ iMv-*/-н)-" О";-*m> '
Замечая по (25), что К{™] при фЛ(-к) степени т не равно нулю,,
а по § 1, что
Лх, Х>, . . . , Л';, . . . , Хт>
корни уравнения
Ф*(*) = 0,
все различны между собою, мы из этого равенства, где
а , А / , л^
конечные величины, заключаем, что производная
в рассматриваемом нами случае не превосходит некоторого конечного
предела, который может -быть найден по коэффициентам функций
Фш-хС*), Фт(*)
и корням уравнения
Ф«(*)=0,
откуда видно, что при постепенном изменении величин
^0» ^1» ^2» • • •
в смежности с
е0=0, ^=0, е2=0, ...
все корни* уравнения (46) будут изменяться тоже постепенно, причем,
по (50), эти корни будут возрастать при увеличении е0, е1} е2,...
§ 14. Чтобы распространить-это на случай, когда
^0> ^\ь &2, ...
более или менее разнятся от нуля, мы замечаем, что свойства
функций
ФхМ, Ф*(*), %--. ФтСО,

- 355 —
служившие1 основанием для всех наших выводов, остаются без
изменения, по доказанной нами теореме, если вместо ряда
X ' Xz ' X
возьмется ряд
О { *М J С •> | _
-_1 _L l J 2 _L . . . __1_ ^2т — 1 ? C±l
X ' X1 Г V* ' Г Xim
где
^0> W> ^2> •••> ^2т — 1
не выходят за пределы
1 h_ t л* him'1
fiQ /70 tt<> **Q
го + 7Г' ^+-7Г> c2+ —--м^-1+
Я7 -I- 1 TJ » -i I FJ ' > Л/Я 1 I ГГ
0 "0 "0 "в
при /7, /-/0, удовлетворяющих условиям, показанным в этой теореме.
Откуда видно, что при таких
(-'С ^1» ^2*
относительно ряда
111 _L ^UL_l.__l~l- •
X Хг Xl
может быть повторено все, показанное нами относительно ряда
—г—Н—-i >
и вследствие того, заменяя ряд
^0 — ^0 { Ct т Р\ | С2 — #2 [
"7" ' .v2 ' х* '
рядом
х х2 х1
при выводе уравнения
Vm(x)=0f
по сказанному в § 9, мы не нарушим свойств этого уравнения,
показанных в предыдущем параграфе, и по которым все корни его при
постоянном увеличении
^0> ^1> ^*2> * • •
в смежности с
е0,=0, ех=0, е2=0,...

- 356 —
постепенно возрастают. На основании этого, замечая, что при
E^z=zC^ ^о~г £<>>
£1 = Gl c\~T^v
получается
rff0=de0, dEx -— д^, d£2=rf£2,...,
и величинам
£<)> ^1» ^2> • ' •»
смежным с
^o^0* ^i = 0, £2=0,...,
соответствуют величины
смежные с
мы заключаем, что, заменяя ряд
С О во [ С j - j- в i I С2 ^2 {
X ' X2 ' .V1 '
рядом
fp Jug i £i ~Т"^ i | ^2 ^2 !
при выводе уравнения
по § 9, цы получим уравнение, которого все корни постепенно возра
стают при увеличении Е0, Ег, Е2,... в смежности с
Что касается этих величин
^0> ^1» ^2^ * * * »
то первые 2т из них не должны выходить за пределы
1_ л_ л«_ him-1
//о //о ^о • • • »
1 h h* .2m—i
+ 4г> +4 +5- + Л
HQ Hi «о /У(
о

- 357 —
так как по условиям теоремы § 12 коэффициенты
^о> Lv С2, ... ,С2л,--1
предполагаются не выходящими за пределы
i
С°+~Н.'
h
С1~я7-
ci+£.'
с*~ я„' •
-2m—1
г -4- Л
• • > ^-il- я
§ 15. В частном случае, когда
ряд
Ср — £0 t gt4~^i \ сг — Е2
о
равен
1
Яо(* + Л)
Вследствие этого, по § 9, при таких величинах Я0, Еъ Еъ.. #
уравнение
приводится к уравнению
Н9 — Нт x-\-h
Замечая, что эти величины
^0» -^1» ^Ъ * • •>
где А>0, Я0 > 0, увеличиваются вместе с —, мы заключаем по дока-
занному в предыдущем параграфе, что корни этого уравнения
постепенно возрастают при постепенном увеличении —.
Точно так же, полагая
Р __ 1 р h p. _ hz
мы убеждаемся, что корни уравнения
л, (х) ** <~"А) *«-* (~ V **» W "~ ♦* (~~ Л) Ф^-1 № — 0 (52)
постепенно убывают при постепенном увеличенци — .
я0

— 358 -
На основании этого нетрудно найти пределы корней уравнений
(51), (52), которые мы будем изображать через
Л*1 , Хч , . . . , Xi , . . ., Хт,
Х\ , Х'2 , . • . , Xi , . . ., Хт,
предполагая их расположенными так, чтобы при —=0 получалось
Замечая, что эти уравнения при Я0 = ос приводятся к уравнению
фт(*) = 0,
которого корни, будучи расположены в возрастающем порядке,
представляют ряд
-^1> Х%, , . ., Ajr, , . ., лт?
мы заключаем, что при
получится вообще
х\=хи xi'-=xi. (53)
Так как по выше показанному, корень хг уравнения (51) приводится
к корню хг уравнения
Фж(*)=0
при
Но
и постепенно возрастает вместе с этой величиной, которая по § 10,
не может быть меньше 0, низший предел корня Xi есть xv Что
касается высшего предела, xi, этот корень, постепенно возрастая при
увеличении —, не достигает величины, равной х/+1> корня уравнения
На
Ф«(*)=о,
следующего за хг в ряду
х±, х.2, ..., Xiy х
Ш>
nofoMy что, как нетрудно показать, при х=х1+1 и Н0фос,
уравнение (51) не удовлетворяется. В самом деле, полагая
х—xi+i

- 359 —
в первой части этого уравнения и замечая, что
мы находим, что она приводится- к дроби
которая при И0 конечном не может обратиться в нуль, вследствие
того, что, по § 1, уравнению
не может удовлетворять отрицательная величина х =— А, а корень
его хт не может дать
откуда видно, что корень х] уравнения (51) будет содержаться между
корнями х2,хт уравнения
и вследствие того
хг < х\ < хт. (54)
Повторяя то же относительно корня уравнения (52)
который по выше сказанному приводится к хг при—-=0 и постепенно
убывает при увеличения—, находим
ч-i-
;л7<^. (55)
Так получаются пределы корней уравнений (51), (52), и по этим
корням, как мы увидим, могут быть найдены пределы корней
уравнения
•4U*)=o,
которое получается, по § 9, после замены в ряду
с0 —е0 _i_ ci + ei j__ с2 j- *з |
величин
&Ф €\> &Ъ • • • ? ^2m--l
величинами
£ф, .Cj, jt2> • • • ? £2m 1 ?

— 360 —
не выходящими за пределы
1 h ft2 Л2т!
Н0 И0 И0 И%
, \_ , h . Л2__ , к**-*
"о ^»о "о "•
где А—какая-нибудь положительная величина, а #§ — положительная
величина, не ниже предела, показанного в § 12.
В частном случае, когда
' -0.
я.
эти пределы приводятся к нулю, и мы получаем
£о = 0, £, = 0, Е2 = 0, ..., £,2m-i=0,
вследствие чего уравнение
обращается в уравнение
«М*) = 0,
и, по § 13, мы находим
Переходя к случаю, когда -- не равно нулю, мы, на основании
Но
показанного нами о постепенном возрастании корней уравнения
¥„(.*) = 0
вместе с величинами
£о, £ 1 , ^2i ...» £ 2/»- 1 i
заключаем, что при
•^0» ^1> "^*2> • • • » *-2т- ! ,
не выходящих за пределы
1 h h2 Л2т-1
+
maximum корня
получится при
я0 '
1
я0 '
я, '
+ —
+ я. '
я, ' •
+ —
+ я0 ' •
яЦ
я0
. Д2/П-!
1 Л с. Л*
h2m-
Пщ П* Пй Нь

— 361 —
Замечая по выше показанному, что при таких величинах
Е*> ^1» £-2» •••)^/В-1
уравнение
Ти(х) = 0
приводится к уравнению (51), которого корни суть
xv xv ..., xv ..., хт,
мы приходим к заключению, что одна из этих величин будет давать
maximum корня x(f.
Между этими величинами легко узнать ту, которая дает maximum
1
корня хФ>, если —- бесконечно мало. В этом случае по формулам,
Н0
определяющим пределы величин
.Cg, £lf £2> •••> ^2т -1 *
видно, что эти величины остаются в смежности с 0; а потому все
величины корня xfij> остаются в смежности к х1У к которому он
приводится при — =0. Вследствие этого maximum корня х№ при —
Н0 Н0
бесконечно малом может равняться только той из величин
х х, х2, ..., xv ..., хт,
которая приводится к хг при — = 0. Такая же величина, как видели,
есть х\.
На основании этого и принимая в соображение, что в
рассматриваемом нами случае maximum, корня xty при постепенном увеличении
1 1
— возрастает постепенно, мы заключаем, что при всех величинах — ,
Hq На
удовлетворяющих условиям теоремы § 12, этот maximum будет
определяться одним н тем же корнем х\ уравнения (51), так как иначе
этот maximum при некоторой величине —, к которой приложимы
все выведенные нами формулы, переходил бы вдруг от равенства
с хг к равенству с какой-либо другой из величин
xv х^, ..., xv ..., хтР
что невозможно.
Из этого видно, что при
£$> *>Х* Е*ъ » + * г E*%ei— 1 >

— 362
выходящих за пределы
1 Л
+ ' -, + *-.
Н0 Ни
hl
на
h2m 1
_
корень х^ уравнения
тЛи)=о
не может быть больше хи и вследствие того
Определяя таким же образом наименьшую величину корня х^
при
не выходящих за пределы
1 /г /г2 _ h2m l
Н0 Я0 Я0 Я0
+-^>+-;;-. + "
«,2m
//0 Я() #0 Я0
мы находим, что этот minimum равен корню х[ уравнения (52) и
вследствие того
Так как по (54)
Xl<^Xl-irV
а по (55)
^1 1 ^ *1»
выведенные нами сейчас неравенства дают
На основании этого, зная корни уравнения
мы можем найти пределы корней уравнения
если
•£<)' *-*Ъ Е"±> • • • > ^2т~\
не выходят за выше показанные пределы.

О ПОЛИНОМАХ, НАИЛУЧШЕ
ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ ЗНАЧЕНИЯ
ПРОСТЕЙШИХ ДРОБНЫХ ФУНКЦИЙ
ПРИ ВЕЛИЧИНАХ ПЕРЕМЕННОЙ, ЗАКЛЮЧАЮЩИХСЯ
МЕЖДУ ДВУМЯ ДАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ*
§ 1. Во многих случаях приближенные вычисления значительно
упрощаются от замены дробных выражений целыми функциями,
представляющими достаточно точно все их значения, от которых
зависит искомый результат. Такого рода приближенные выражения
дробных функций определяются уравнениями, которые получаются
из теорем, доказанных нами в мемуаре под заглавием „Вопросы о
наименьших величинах, связанные с приближенным представлением
функции", **
Мы теперь покажем, как на основании этих уравнений находятся
полиномы различных степеней, наилучше представляющие значения
простейшей дроби
1
И- v
при величинах переменной х, не выходящих за пределы
х — —h, x=~\-h.
Величины Ну h мы предполагаем положительными и для того,
чтобы дробь оставалась конечною между
x——h, x — -\-hy
берем
#>А.
Изображая через
* Читано на заседании Физико-математического отделения Имп. Акад. Наук
14 (2) дек. 1892 г.; опубликовано в Приложении к LXXII тому Записок Имп. Акад.
Наук, № 7 (1893) ;Собр. соч. П. Л. Ч е б ы щ е в а под ред* А. А. Маркова и Н. Я. Сонина,
том II, СПб. 1907, стр. 669-678.'— Ред.
** Том II, стр. 152—236, настоящего Собрания сочинений.— Ред.

— 364 -
искомый полином, мы замечаем, что абсолютная погрешность при
представлении им значения дроби
_J
Н- х
равна разности
гг Ро~Ргх Рп 2Хп2 — Рп \хп К
п — х
Так как частное от деления этой разности на
1__
Я- х
приводится к выражению
l+(X—H){Pn-tX* 1+Рп-2Х»Ц \-PiX+Po),
относительная погрешность приближенной величины дроби
_J
Я- х
под видом полинома
А+А-Н \-рп-2Х»-*+рп-Ххп~'
будет тем меньше, чем ближе к нулю величина
1 + (х—И) (рп-\хп {-f Рп- 2Хп~ 2-| Ь А*+А)-
Вследствие этого для уменьшения по возможности высшего
предела этой погрешности между
x= — h, x = -\-h
коэффициентам
А> А» • •• > Рп-% рп~\
должно дать такие величины, при которых выражение
1+{х-Н) (рп- хх"-* + рл-ах-Ч-' *' + А* + А)
в промежутке
х= — h, x = + h
наименее удаляется от нуля. На основании теорем, доказанных в
выше упомянутом мемуаре, величины
А» Р\у • • •> Рп—27 Рп-Ь
удовлетворяющие такому условию, легко получаются, как это видно
из мемуара нашего под заглавием „О функциях, мало удаляющихся
от нуля при некоторых величинах переменной*, * где на основании
этих теорем найдейы коэффициенты
Pn-h Pn-2> . • • , А> А>
* См. стр. Ш—127 этого тамяи — Ре&

- 365 —
с которыми функция
М + (Н — х)(рп _,х» 1+р„ 2хп'-Ч tPiX + Po)
наименее удаляется от нуля при х, заключающемся между х — —А,
jt=:-}-A. Здесь количество М предполагается данным и может иметь
всякую величину.
Принимая
мы по формулам этого мемуара находим, что выражение
1+ {X — И)(Рп^Хп' ]+Рп-2Хп 2Н \~РуХ+рй)
наименее уклоняется от нуля между
x = —h, x=-\-h
при коэффициентах
рп ь рл-2, ••• ,Pi, Р&*
определяемых равенством
1+(*-//)(/>.. IX» Ч-Ря 2Х» *+...+р1Х±Рш) =
(Я + Y H*-h?\ + (Я - V Я2 ~ Л2/
и что выражение
1+С*—rtjCpn-i^+P*^'' 2-{ bPi*+Po)
с такими коэффициентами
рл-Ъ Рд 2, • • « , Pi, Ре»
в промежутке между х== — А,х=+ А достигает пределов
2/^ j 2/^
(Я + /Я2 - Л2)Л+ ("- /Я2 - И* (Я+ YiF=l?)*+(H - VTF~h*)n '
не переходя за них.
Из этого видно,- что все значения дроби
1__
Н-х'
от х = — А до х = + ^> не могут быть представлены никаким
полиномом степени л — 1 столь близко, чтобы относительная погрешность
не достигала ни предела
2hT
(Я+ У Н*-&)П+(Н- /й*^Т«)*'

— 366 -
ни предела
(и + Ун1 л2) %(Я - 1 'я2 - - л2)"
и что она не переходит ни за один из этих пределов только при
коэффициентах/?„ \, рп 2,---,PvPo> удовлетворяющих равенству (1),
чем и определяется полином
Рп \хп lJrPn 2Xn 2Н rPix+Po
степени п—1, наилучше представляющий значение дроби
1
Я- х
в промежутке
х—— Л, x--=-{-h.
§ 2. Определяя по равенству (1) искомый полином
Po+P.ixJl гР* Iх" 2+Рп \хп\
мы находим, что он представляется такою дробью:
(£L+ ^Н* ~ Н1)>П - (Я - УН* - Я*)71- (х + y^^)n_z- (v - Ух*=Т1)П
[Ш+ УШ~^~Ь*)П+ (Я- \ ~H*~^~h*)n] (Я - х)
Чтобы найти полином
P&~\-PlxJ[ \~Рп 2Хп 2-\-рп~\Хп \
к которому приводится эта дробь, мы замечаем, что сумма
(Я + 1^Я*^А*)л+ (Я — |/7/^=^2)п,
будучи однородною целою функцией количеств Я, /г степени я,
представится так по раскрытии скобок:
(Я+ YW^Hflf + (Я — -|/"Я^=У2)л=
~ДПЯЯ + А, 2А2ЯЛ ЧЛп^^Я^Ч-", (2)
где
^/Р ^л 2> ^/г—4j • • •
коэффициенты, не зависящие от Я, А.
Заменяя в этом равенстве Я через х, находим
(x-f К ха - **)"+(* — Y к% ~~ Л2)Л==

— 367 —
что по вычитании из предыдущего равенства дает
(Н ; Ул//ГГГа2)Я. l (я — ] Я*=="й* Г - (х 4- К*2- Л2)"—
— (x-\fl?=h*)=An{.Hn — xn)-\-An 2ti2{Hn~>2*-xn'2) \
+An.AhA(Hn 4-xn 4)-|-...;
оттуда, деля на Н—х, получаем
Я- л-
-j-A. 2А2(ЯЛ 3+/УЛ 4х+Яя V+...H-
+ ЛЯ-4А,1//Я 5+^л 6*-ЬЯя V+..Jf
что иначе можно представить так:
(Н-тУ н*~ htf-f (Я - 1 /-у - /г*/* - (x-t\ x~r^~hIf - (x-)jc- л*)"
Я- jc ~~
-Л.Я" Ц-А* 2Й2ЯЯ *+Ап AhAHn *-{-...+
+(А„ЯЯ 2-f-i4„ 2Л2Ял Ч-4п *Л4Ял ef..-)^+
+ (АпНп г+А„ 2h2H"-*-\ An ,hAHn 7+...)**2+
Сличая выражения, стоящие здесь при
^v , л,, л, , . . . ,
с разложением функции
по (2), мы замечаем, что они представляют целые части частных
получаемых при делении этой функции на
Я, Н*,Н\...;
а потому, изображая знаком Е такие части частных, находим
{H+VW^^litf+iH — 1 W^h9)11 - U +V xT^/ft")* - (л - V> - h* )П =
Н~х
= Е {('Н+\/~Н*- h*)n+(H — VH% — A2)"] — +
я
+е [(я+>7^2 - &)*+{н- V'№- - а*)"] —*■+
Я*
я*

- 368 —
что по разделении на
(Я- |/Я2 — Л2) + (W-J^-A*)
дает
{H+VW^h*)*+Ш- У Я2 ~~а* )* - (х +V'xT^~h^ f - (х - V х* - а* Г
[(Я+^ГЯ2 - h*)n+(H- VH* - А2)"] (Я-jc)
е [(я+>^72^л^Ч(я~^*- л0*1 -1-
Я,
(я+V я2 - л2)"-+ (я- Уя2 - л"2)"
Е [(#_|_Ktf2__ Л2)Л + (Я- 1ЛЯ^Л2)*]
Я2 ,
л:4-
х2+
(h+Vh* - л>) +(я- К я2 - л'О
■ L \Я>_
(я+1гя2- л2)п+(я- V я2 — л2)*
Вследствие этого, по выше показанному относительно полинома
наилучше представляющего дробь
Я-х
в промежутке
х= — hy х— +А,
такой полином представится формулою
е [(я+>л/?г=гл1)я+(я-'Угя2- аз)1 —
L J я
(Я+УТ^-А2) + (Н-Ун*-&)
е [(я+^я2 - л2)*+(я - ^я2 - a2)"] -L
Я2 ,
. ^ X-f
(я+У~я2 ~ л2)л+(я- Vw-h*)*
е [(я+>г/^^^)п+(я~К'я2^^лт)/т] _L
(Я-И" Я2 - А*) +(Я~УЛ,2-А2)
Я8 о ,

- 369 -
Сличая это приближенное выражение дроби
1
под видом полинома степени п—1 с выражением
н ] н* нп~1 нп
получаемом через разложение ее в ряд по восходящим степеням х,
мы замечаем, что последнее есть предел, к которому приближается
первое при уменьшении h до нуля.
Так как формула
разнится от дроби
величиною
\
И- х
х»
Нп(Н-х)
относительная погрешность ее при представлении этой дроби в
промежутке
х=—А, x—4-h
может достигать пределов
для формулы же, выведенной нами, как видели, эта погрешность не
выходит за пределы
2hn , 2Л^
(h+Vh*- л2)я+(я- Vw-bS) (#4-У#*-л*)Л+(#- V № - Vs)
§ 3. Полученное нами приближенное выражение дроби
Н- х
может быть с пользою употреблено во многих случаях.
Для примера мы покажем приложение этого выражения к
вычислению по приближению интеграла
J Н- х
-л
dx.
При этом мы будем предполагать, чтй функции f(x), так же как
в Я —л:, не делаются отрицательными между х= —А, х~~\~Н.
24 п. д. Чебьгагев, т. III

— 370 —
Изображая через Р относительную погрешность этого выражения
при представлении им различных значений дроби
1
Я- х'
мы находим, чго абсолютная погрешность его представится формулою
Н-х
и вследствие того для определения точной величины
1__
Я- х
по формуле § 2 получаем
Е [(H+V~H* - h*f+(H+VH* - Л2)"] -L
_J_e ; п Н +
н х {н+Гн* - л2)"+(я- Vw-wf
Е [(Я+УЯ2 - Н*)П+(Н- V Я2 - Л2)"] J-
? Я2 »
л .—-*+
(Я+F Я2 - А3) +(Н- V Я3 - Л3)
Е [(Я+КЯа - Л3)"+(Я- КЯ3 - А2)"] —
(я+1Ляа^7Г2)я+(я- v я2 - лО" я *
Умножая обе части этого равенства на f(x)dx и интегрируя от
х= — h до x=~\~h, имеем
+" Е [(Я+УЯ^А2)Я+(Я-Уяз - A2)"] -L +*
« Я— X , г П / j чЛ J
е [(я+Уя2-л2)л+(я- Уя2 - л2)л] JL +л
; ^- ^
f(x)dx+
e \(h+Vh*- л2)п+(я- Уя2- л2)п] J- +л
7/3 1 *№)<**+. .
(н+Vw ~ л2) +(я- Уя2-лО -*
+ 1«Ь^«^

- 371 —
что короче можно представить так:
J Н-х
~h
Е [{И+VH* - tff+ifl- VtP - h>f\ J Sf(x)dx +*
полагая
— 4-—-+—4- 4--**~ = с
Я^№ ^Я5 ' 'я*
Замечая, что это равенство дает
'&Pdx%
Н-х Н*{Н-~х)
где член
нп (Я - х)
относительно Я степени ниже —п, мы находим
Б [(Я+у7/2 — htf+Ш — VH*~ А2)*] 5 =
-Е [(Я+^ЯГ=^^ [-J_ - ^£^]=*
=Е [(Я +^Я*-А*)Л-НЯ - ywzrj?)} _J_ f
вследствие чего предыдущее выражение интеграла
—А
приводится к такому
\l±Ldx
J Я- х
-А
+А
№
х) dx =
-К
е [(я+тО/*- н*)я+(н-ун*- л3)*] Г ~^
f(x)dx
х f*
(Я+V Я* - Л2) + (Я- КЯ*- Л2)
Замечая, что /* как отнйсйтельная погрешность рассматриваемого
нами выражения дроби
24* —— ,
Н-х

— 372 -
по § 2, не выходит за пределы
2hn , 2ЛЛ
и что функции
Я- х
2* f /(*)Лс
по положению остаются положительными между х= h% х-^ ^ h,
мы находим, что последний член
-Л
в предыдущем равенстве не будет выходить за пределы
- Г /(*>d
(Я+V Я2 - Л*)"+(Я- У7/*~ A2)*_J, Я ~~ *
_^ Ш Т^С*)**. в
(Я+ У № - Л*)Л+(Я- У № - Л2)" J Я" *
—п
Откуда видно, что дробь
Е [(Я+Г№=ГТ.)П+(Я- VWT-»)*\ |-^f
~~h
(Я+КЯ2-Л2)Л+(Я- V Я2 - А2)"
со знаменателем, равным полиному
(tf+j/tf2— А2)П+(^- VH* — h*)\
дает приближенное выражение интеграла
J Я-х
с относительною погрешностью, не выходящею за пределы
2hn , 2hn
(Я+У Я8 - A2) uf^tf-y//2- л2) (Я+V Я2 - Л^) +(H-V Н*~- А1)

О СУММАХ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ
КАКОЙ-ЛИБО ФУНКЦИИ*
§ 1. Из мемуара нашего „О суммах, составленных из значений
простейших одночленов, умноженных на функцию, которая остается
положительноюв, ** видно, какой интерес представляют
действительные значения неизвестных
^0; ^1> ^2> • • * > Zp — U
UQ, ttj, tt2» • • • i Up - h
при которых суммы
0 0 0 О
равняются данным величинам. Определение неизвестных
^0» ^1» ^2* • • • > 2Гр-Ь
а0» #2> #2» • • • у Кр--\
под такими условиями приводится к решению уравнений
р р р р
2и?=св( 2*,"*=^ 2«?в*вС* •••» 22'*"' ""=£*-■, о)
0 0 0 О
где
Со, Gi, С2, ..., С2Л—1
данные величины.
Полагая
я^Г,, al^K^ 4=Гь ...» «J-i =>Vi ,
мы ати уравнения можем заменить такими:
2>v=c0, 2г/^=сь 2^=^ • ••> 2**' ^=с2*-ь
0 0 0 О
* Доложено на заседании Физико-математического отделения Имп. Акад. Наук
28(16) февр. 1894 г.; опубликовано в Записках Имп. Акад. Наук, VIII серия, I, №7 (1*95);
Собр. сач. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я- Согоша, том II, СПб.
1907, стр. 681—698.- Ред.
** См. стр. 256—306 этого тома.— Ред.

- 374 -
более простыми. Но при решении последних уравнений необходимо
иметь в виду, что действительные значения неизвестных
й0, Uv U2, . . . , Пр-А
получаются только при
У Q) * 1* *2» • • • > Ур—1
положительных*
Выписывая значения неизвестных
Z$y ^1» ^2» • • • > ^р—Ь
#0> Wl> U2> ' • • 9 UP- 1
в каком-либо из рассматриваемых решений уравнений (1), мы будем
всегда предполагать, что они расположены в таком порядке, при
котором величины
Zq, %v ^ь • • • > 2р—i
представляют ряд возрастающий. Установивши таким образом порядок
следования величин
Zq9 ^1> Z^ . . . , Zp~t,
Щ, и19 иъ ..., йр~\
при всяком решении уравнений (1) и замечая, по § 3 выше
упомянутого мемуара, что при £=/?, когда число неизвестных не
превосходит числа уравнений, эти уравнения могут иметь одно, только
решение, получаемое при помощи разложения выражения
К ^ X* ' X3 ' " ' ■ ! *2*
в непрерывную дробь, мы заключаем, что в этом частном случае
величины
^0> ^1> %2 у • * • > Zp—l *
111, ll\, ttl, .... Up~\
вполне определяются их значками и могут быть найдены без затруд^
нения. Для отличия этих величин от всех.других, удовлетворяющих
уравнениям (1) при р>£, мы примем для обозначения их
Uo = y0, ti\=yv lll = y2, > . . , llp-\ —yP-\ .
Так как эти величины zv и? представляют решение уравнений {1)
при р =£, мы будем иметь
2 Л = C0, 2 **Л^. 2 &У\ = cf - • - 2 *^ Л = С2*-Ь (2)
0 0 0 0
причем, по выше сказанному относительно t09zltzit...9zp^u должно
быть
*o<*i<*«<-..<*
к I

— 375 -
Из этих неравенств и уравнений (2), как мы покажем,
получаются неравенства, которым удовлетворяют все действительные решения
уравнений (1), сколь велико ни было бы в них число неизвестных
^0> %1> 2^2, - • • , Zp—I,
^0> ^1» ^2> • • • > tip—1,
откуда и выводятся предельные величины интегралов и сумм,
бывших предметом наших мемуаров, под заглавиями „О представлений
предельных величин интегралов посредством интегральных вычетов*
и „Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины
интегралов",* а также и выше упомянутого мемуара о суммах.
Что касается величин
•^0> **1> **2> • - • > Xk—l t
Уо> Ун Учу 4 • * > Уъ~\ i
определяемых уравнениями (2), они, как мы сказали, получаются при
помощи непрерывной дроби, в которую разлагается выражение
X
Представляя эту дробь под видом
1 1
Яг — ~~
Яъ —
мы, по доказанному в § 2 выше упомянутого мемуара, находим, что
должно быть
ах>0, а2>0, ...,а*>0,
если первоначальные уравнения (1) могут быть удовлетворены
действительными величинами
Zqi Z\i 2>%> • • • > 2^/7—Ь
Щ> %> Щ> -•, Щ-i
при каком-нибудь числе р.
Предполагая эти условия выполненными и изображая через
9i(*) ?«(*) ?*М
подходящие дроби выражения
^4--^ + —24- 4~С^~!
х ! *2 * х3 " * ***
* Стр. 172—190 и 191—225 этого тома.— Рад.

— 376 -
получаемые разложением его в непрерывную дробь
к-} ,
Яг -~ — ,
<7з -f-
мы, по доказанному в выше упомянутом мемуаре, заключаем, что
неизвестные
*^0» *^1' "^2' • • • > -^Л—1
в уравнениях (2) равны корням уравнения
ф4(л)=0
и что по корням этого уравнения неизвестные
Уъ, Л» Уг> • • > Jte-i
определяются такою общею формулою:
*-?Sv (3>
§ 2. Полагая
Zq = Xq, Z1:=X11 Z<l=^X<i , . . . , 2f^~i = JCjt—i,
мы из решения уравнений (2) выводим решение уравнений (1) для
случая р=£, когда число неизвестных не превосходит числа уравнений.
Переходя к случаю ббльшего числа неизвестных, когда уравнения
(1) становятся неопределенными, мы замечаем, что при всех
действительных решениях этих уравнений сумма
где q —- одно из чисел
О, 1, 2, ...,р —1,
не будет превосходить некоторого предела, который может быть
найден на основании того, что в § 8 выше упомянутого мемуара было
показано относительно определения maximum'а суммы
Этот maximum в предположении
*b><*> Zq^v, zP-\<b>
получается при г0,г,,г2,. ..,2гр_,, удовлетворяющих уравнению

- 377 —
где Ф^+Дг) есть знаменатель простой дроби
9fe+l (*)
к которой приводится непрерывная дробь
1 •
*i*+Pi"
1
1
а**+Р*
когда в ней за аЛ+1 принимается наибольшая из двух величин
1 ГФ^,(«) Ф^»)"! 1 Г Ф*~1
Г*-И л,. f«\ *-H
») Ф*(«)
Ф*-1 (»)
Ф*<«>)
Полагая здесь
где jc/ по нашему знакоположению есть корень уравнения фл(х)=0.
мы находим
Ф*-| W _
ф*м
вследствие чего, по выше сказанному относительно коэффициента
<х.к+1, получается1
и непрерывная дробь
1
«i*+Pi"
v+fc —.
определяющая простую дроб
приводится к дроби
1
*i*+Pi~~
равной по § 1
а** + Р*
ь
Фл+iW '
1
«а*+Р* ~ ♦ ^
Ф*(*)
1
«Л+1*+Р*+1
1
«**+h*

- 378 —
Так как эта дробь состоит из тех же функций, как и дробь
определяющая, по § 1, решение уравнений (2), мы заключаем, что в
рассматриваемом нами случае, когда
величины
^0» ^l» ^2> • • • »
и& »?, »1, - •.
доставляющие maximum суммы
найдутся по формулам
йо=Уо> и\=уь и\=у* ..., и* =JV
«, _ ?»(*«») t. — 2*(fi). „ _ Ф*(*2) 1Р _9*(*?)
V*o) Ф*(*0 +*(*•) V**)
при #=/.
Из этого видно, что сумма
«5+*?+«2+ • • • +»?=Л+Л+Л +•' • -+Л
есть высший предел, которого не может превзойти сумма
получаемая при каком-либо действительном решении уравнений (1),
когда
По сказанному же (§ 1) относительно ряда
%0> 2^1* 2^2> • • • > ^р—Ъ
видно, что вообще гч может быть меньше zq только при г\ < д, и так
как в этом случае, очевидно, сумма
меньше суммы
«о+и?+"И !-"?>
имеющей, как видели, высшим пределом
мы заключаем, что при
z4<jc,
должно быть
ul + uf + и| + • • -+и»<Л +л +j/2 +• • • +yt. (4)

- 379 -
Повторяя те же суждения, относительно maximum' а суммы
2 » 2 ,2 i ,2
иЯГГиЯг+1 Г^+2 1 Г tlp_U
который получается по § 16 выше упомянутого мемуара, мы находим,
что при
будет иметь место неравенство
4+4+1+ • • • +4-i <Л+Л+1 "I h Л-1- (5)
Замечая же по (1), (2), что
id + ui + iiU ь4-1=с0,
выводим
ЙО+Й?+йЦ Уи\ =С0 — 4+1 — 4+2 4~1>
.Уо+Л+лЧ |-Л=Св —Л+1-Л+2 Л-i,
вследствие чего неравенство (4) дает
4+i+4 f «ч—ь4~1 > л+1+j>i чН—Ьл-i,
откуда видно, что при
Z-ц <^ Л;,
когда имеет место неравенство (4), будет также
4+i+ 4+2+ • •/+4-i >л+1+л+2+ • • ■ -Ьл-ь
и тем более
4+4+ Н b4-i >Л+1+Л+Н- * • • +Л-1-
Это вместе с неравенством (5) дает возможность найти пределы,
между которыми должна оставаться сумма
2 г 2 , i 2
M-»4+i+---+ttp-i
во всех действительных решениях уравнений (1), как бы велико ни
было число неизвестных, в них заключающихся.
§ 3. На основании показанного, пределы суммы
4+4+Н 1-4-1
при всяком числе неизвестных в уравнениях (1) могут быть найдены
при помощи решения их с наименьшим числом неизвестных.
В этом случае, как видели, уравнения (1) приводятся к уравнениям
(2), легко решаемым через разложение выражения

- 380 -
в непрерывную дробь. Мы теперь посмотрим, что происходит с этою
дробью и величинами, от нее зависящими, при изменениях, более или
менее значительных, коэффициентов
Ьо> Cj, С2, . - • , ^2Л—1«
Здесь мы будем пользоваться теоремою, доказанною нами в мемуа-
ре под заглавием „О разложении в непрерывную дробь рядов,
расположенных по нисходящим степеням переменной", * для чего предполагаем,
что в рассматриваемом нами случае выполняются все те условия, при
которых была получена эта теорема, а именно:
1) При
С0 = £0т (^А=^1 (^2 = Со, • • . , С>2А—1;==:^2А— 1
выражение
^+£;+^+
разлагается в непрерывную дробь
1
^2k—l
r2k
*i* + Pi —
1
«*X + Pa ~
1
«** + P* —
где
*i>0. a2>0, ..., a*>0.
2) Уравнения
Фо(*)=0, <M*)«0, Фа(^)=0, ..., Ф*(*)==0У
составленные из знаменателей ее подходящих дробей
9о(*) ?i(*) Ф«(*)_ ?fe(*)
не имеют отрицательных корней.
3) Количества
^0> ^1» ^-*2> * * * з ^2А—1
не выходят за пределы
1 . л л* л1*"1
/1о /70 /70 /70
„ i 1 „ i Л (Л2 , Л2*"-1
Со^_ ^«^ £2_|_ #> ^2Л-1П 7Г~~>
"о «в "• "о
где Л — какое-нибудь положительное количество, а Я0 — величина
превосходящая сумму.
&* — 1 £<*>_l Ф*(~Л) /1*>
Л-1 ^ фЛ(0)
* Стр. 307—362 этого тома. - Ред.

— 381 —
в которой Hk) есть высший предел числовой величины коэффициентов
в полиноме, равном
ж + ft
а Lo**—постоянный член его.
При выполнении этих условий, как видели, в уравнениях
Ф<(*)=0, Ф2(*)=0, ..., ф*(*)=0,
составленных из знаменателей подходящих дробей
9г(х) ?«(*) ?*(*)
выражения
Яр. 4- - 4- — -1 1- ~-*~-1
х ] хг ' х8 ] x*k '
все корни имеют величины действительные положительные.
Изображая через
у(0) г(0) „(0) (0)
корни уравнения
♦*(*)= О,
через
ЛМ (О) .ГО)
величины
<р&(*0 ) yk(xi ) ?feUfe-i)
и полагая
С0=с0 — е0% C1=cx-Arev Съ=Съ — е29...,См„1 — с& x-\-etk lt (6)
мы, по сказанному в § 1, получаем такие уравнения:
0 0 0
2 (Л"" ^-^-i+^-i- ел
По сказанному же относительно пределов, в которых должны
заключаться величины
Go, Cj_, Cg, .. . , Cjfc—1>
уразре-ния (6), показывают, что высшие пределы количеств
^0> ^1» ^2» • • • * ^2&— t

- 382 -
равны
1 h V А**"1
а низшие
Изображая через
значения неизвестных
#0 Н0 #0
1 h h?
Hq Н0 Н0
#0, Х\, Х2,
Хо, Х\ , Л^2 > • • •
■'//,•
Л2*"1
•••' "„•
> ^-Г|
, •*£-!
ЛО) у(0) (0) (0)
в уравнениях (7) при этих предельных величинах e0i еъ еъ..., e2k_1
и через
Уо, У и Уь -.- , y'k-u
Уо',У\\ У2, ... ,Ум-ь
соответствующие им значения неизвестных у£\ у\°\у^\ ... >y£±v мы,
по (7), получаем
n "on "on "о
(8)
ь2
го 0 по
k
0
0 "о
2 «>**" V^as-i
0
0
, Л2*" *
я„ :
2 о;'
0
«2Л-1
h
~#Г
(9)
Эти уравнения вместе с уравнениями (7) послужат нам для
определения maximum'a и minimum* а суммы
при решении уравнений (7), к которым приводятся уравнения (2).
Эта же сумма, как видели, при [*=/, у.—/-|rl дает нам пределы,
между которыми заключается* сумма
во всех действительных решениях уравнений (1), как бы ни было
велико число неизвестных.
§ 4* Чтобы "найти maximum й minimum» суммы

- 383
получаемой при сложении величин у£\yflv...,_у£>,, которые дают
уравнения (7) при e0,eve2,,..,e2k_v не выходящих за пределы
1 А А2 А2*"'
#0 До Но Нь
1 А А2 А2*"1
ищем дифференциалы суммы
по величинам е0, ev£2,...,evt_v
Изображая через с какое-либо из чисел 0,1,2,,..,2*— 1, мы
находим, что уравнения (7) при дифференцировании их по е9 дают такие
равенства:
сг а
2 -Ir W+ 2 «of> W"'-*—(-I)'>
2 ^и°>)'+1+ 2 c+Djf» W-^-o.
2 -Sfw0))2"+ 2 («-«jf^-^-o.
(/=0,1,2,...,* —1).
Умножая эти равенства на произвольные постоянные
V Ч* 2» * • • ' ^2*-1
и складывая, находим
2 4? K+X.*f>+.-•+*»-. w2*-1]+
+ 2 j# • *,+зд»+ • •. +(2* -1) v., w*4 -^—(- ^ >

- 384 -
что короче можно представить так:
СГ ft
при помощи целой функции 6(x), определяемой равенством
Чтобы вывести отсюда выражение производной
мы даем произвольным постоянным
\г ^р V • • • » *■>* I
такие величины, при которых функция
е (х)=х0+х1л+^2Ч • • • +ь»-г*** '
удовлетворяет 2£ условиям, вполне ее определяющим,
е- (4°>)=е- (*{°>) =... = е' (4°!,) =0, (ю)
вко))=8 (4») =... =6ед) =о, (11)
е (40)) - в едх) =... = в (4>!,) = 1. (12)
При выполнении функцией В (х) всех этих условий полученное
нами уравнение приводится к равенству
M!±Ai+^_+Ai„_(_,A, (13,
которое дает выражение искомой производной по одному из
коэффициентов целой функции
определяемой уравнениями (10), (11), (12).* Для определения знака
этой производной, зависящего от знака коэффициента К ^функции
6(х), мы замечаем, что, по (10), уравнение
6'(л;) = 0
* Такой полином 8(<> может быть представлен формулою
'-* Ф' (*J°>) - (х - xf) Ф" (*J°>)
фа
«2
,~ (*-*f°№'W
где
Ф{х)=(х-хР)(х-х™)...{х-*^)

- 385 —
удовлетворяется при k величинах
Кроме того ему должны удовлетворять некоторые величины, лежа
щие в каждом из н- — 1 промежутков между
х(0) х{0) х(0) jA0\
и в каждом из k — у- — 1 промежутков, между
г(0) . х(0) Х<0) г<0)
так как, по (11), (12)? имеем
6(л(о))=в(л(о)) = в(4о>)= ... =6(^1^
е(^))=оад1)=бед2)= ...-8(4°^).
Замечая, что числа этих промежутков, сложенные с числом
величин
40>> 40)> 40)> • • • > 4%
дают сумму 2k — 2, равную степени уравнения
е'(*)=0,
мы заключаем, что:
1) все корни уравнения
6' (х)=0
имеют величины действительные;
2) все они простые;
3) £ корней равняются величинам
40), х\°\ 4°\ -.., 4%
а остальные k — 2 содержатся по одному в каждом нз k — 2
промежутков между величинами
г(0> х{0) х(.0). х(0)
^(0) дКО) ХФ) х(0)
Откуда видно, что уравнение
6'(*)'=()
не будет иметь корней ни за пределами
х=х$\ x^^li9
ни в промежутке между jcgLp x£>, и так как, по выше сказанному,
40)>о>
все корни этого уравнения будут иметь величины положительные
25 п. Л. Чебышев. т. Ш

— 386 -
На основании этого не трудно определить знаки коэффициентов
Л0, A,, >w2, ..., А2*-1
в полиноме
Из того, что .уравнение
6'(*)=0
не имеет корней между
х=хЮх, х^х<£\
следует, что в этом промежутке производная 6'(х) не меняет своего
знака; из того что по (11), (12)
в(*£1,)=0, &(*£>) = 1,
знак, сохраняемый функцией 6'(х) в этом промежутке, должен
быть +• Откуда видно, что функция в' (х), обращаясь в 0 иркх=х^и
представит такую перемену знаков:—,-)-.
То же должно иметь место при переходе х через
Х=Л0) Л(0) х(0) х(0)
Л *0 > 1 > 2 » * * * > {Л—2 '
простые корни уравнения
6'(*)=0,
так как в каждом из промежутков между этими корнями находится
один простой корень его. Из этого видно, что при переходе х
через х=х^ функция 6'(л;) меняет знак — на +> а так как уравнение
6'(х)=0
не имеет корней за пределами х=\&) х—х£±х, производная 6' (х)
остается отрицательною при всех величинах х меньше л<°>. Откуда
следует, что производная 6' (х) при х=0 имеет величину
отрицательную и что начальная Q(x) между x=0, x=x$i убывает. Последнее
же по равенствам (11), которые дают
е(40))-о,
может иметь место только при 6(0)>0.
Убедясь таким образом, что <Э'(0)<0, 8(0)>0, мы заключаем,
что в функции
6 (Х) = Х0 + XlX + Х2** + • • - + }.2Ь~1Х**-*
первый член имеет величину полоящтельную, а второй отрицатель-
цу»

— 387 -
Что касается остальных членов, то знаки их легко определяются
по знаку >п на основании того, что в уравнении
6' U) = >4 + 2л2х -\ Ь(2*— 1) /12* i*2*~*>
как. видели, все корни имеют величины положительные, а потому
в ряду
>n, K2f . . . , Л2* 1
должны быть одни перемены знаков. Таким образом мы находим,
что при всяком q коэффициент кд должен иметь одинаковый знак
с (-1)'.
§ 5. По доказанному нами относительно знака К уравнение (13)
при всяком а дает
де.
<0,
откуда видно, что при увеличении количеств е0, еи ег, . .. , еу,-
в рассматриваемых нами пределах
h2A 1
h hL
н4 w. w, н,
j_ h_ h^ fc»J_
Я0 Я0 Яв Я0
сумма
убывает, а потому в этих пределах minimum ее получится при
1 h
fc2* I
Я§ Я0 /10 Я0
a maximum при
1 h h2 h2k l
е<> = —7Т, *i = —ТГ' ^2 = —7Г» *2* i =
Я0 Я0 - Я0 Я8
Так как по нашему знакоположению (§ 3)
Л> Ур У* • • - Ук i
представляют величины, к которым приводятся
V(0) у(0) у(0) у(0)
при
r2 fc2A !
____ 1 Л _ Л
£а — -тт" > ^i — 77" > ^2 — Т7 > * • • » ^2А
25*

- 388 -
те же величины при
1 А л2 Л2А '
е<> = — -гг > е1 = ~7Г' е°-==~~77 е-ik \ = —,
по nt па па
мы, по доказанному относительно maximum'a и minimum'a суммы
J?»+ ->$.,+-- + -VSV
будем иметь
jf+-C +--- + Л<Х'+Л+.+---+Л-г (15)
Обращаясь к решениям уравнений (1) при произвольно большом
числе неизвестных, мы, по (6), полагаем
С0=с0 — е0, С1=с1-\- ev С2 — с2—е2) . . . , См \=С2к i +^2* i,
где
^0> ^1» ^2> * • * » ^2£ I
количества, не выходящие за пределы, показанные в § 3.
Так как по нашему знакоположению при этих величинах
^0» ^"l» ^-"2> * * * > ^2* I
получается
*0=*<°>, х,=^\ -*2=40)> •••>'Vi = 4°V
Уо=УР, Уг=У?}. У2=У(20)- ...,Л-1=Л%
мы, по § 2, заключаем, что при zr << х<°> должно быть
и\ + «21+1 + • • • + ««_, >j$, + j$2 -Ь ■ ■ • f j/f,,
а в случае z^>xf^ должно быть
Замечая же, что неравенство (14) при p, = /-f-l Дает
уПх +у%,+ • • • +Ч°1, > Х+, +л+2+ • • • +ук-,.
а неравенство (15) при {* = / дает
vp+^>,+• • • + а <л+Х+,+• • • +л-,.
мы отсюда выводим

389 -
для случая
*,<*Г. (16)
н
«*,+«*+,+ •••-*«j ,<у'+х;.4--+л .
для случая
*,>*?*. (17)
Замечая же, по доказанному в конце упомянутого в § 3 мемуара,
что в сделанных нами предположениях получается при всяком /
*?><*;, ^0)^<,
мы находим, что неравенство (16) не может не иметь места, если
z4<x't> a неравенство (17) получится всегда при г >*|.
Вследствие этого будем иметь неравенство
*5+«?.+н—f-«j 1>л+1+х+24—!л ,
всякий раз, когда г <Г*|/, и неравенство
ft24+ttUi • l]'ul \<УггУ'^\ гЛ'-i
в случае г > *'г
Таким образом, из решения уравнений (8), (9) с 2k неизвестными
могут быть выведены высший" и низший пределы суммы
«* + <нЧ V*\-v
получаемой при сложении квадратов значений неизвестных
йг, Urk+\, . . • у tip- I
в действительных решениях уравнений, как бы ни было велико
число неизвестных. При этом данные величины С0, Сх, С2, ..., Съь \
могут более или менее разниться с величинами с0, cv сь . . . , с?ь ь
необходимо только, чтобы разности
не выходили за пределы
]
я/
1
я.'
ft
Яо'
Л
я/
Л2
я,' '
Л2
• • У
• • 1
Л2* '
я.
A2ft .
я.

— 390 —
где /?, HQ — положительные величины, удовлетворяющие требованиям,
показанным в § 3. Что касается величин
хо>
Л>
Х0'
Уо>
xv
•У..
-*>-
Ух
xv . .
y'v ■■
Х<£ , • .
, У> > • •
• > Хк 1
•• У'н 1
• ' Xk V
- Л i
они, по сказанному в § 1, легко получаются через разложение
выражений
1 Л /г
Со-77 *i-|-„ ^-77
b2k Г
X2 t3 X2*
1 Л Л'
Си+77 ci-^ Ci + 77 ^ 1 Я
h2k '
2k 1 '
г х3' x2k
в непрерывные дроби, которые, как было показано в мемуаре,
упомянутом в § 3, выводятся очень просто из непрерывной дроби,
происходящей от разложения выражения
С0 I с\ , с2 | , c2k 1

КОММЕНТАРИИ
„О ФУНКЦИЯХ. ПОДОБНЫХ ФУНКЦИЯМ ЛЕЖАНДРА*:
„О ФУНКЦИЯХ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ"
„Функции, подобные функциям Лежандра", известны в настоящее время под
названием полиномов Якоби. Они могут быть определены, с точностью до
постоянных множителей, как полиномы последовательно возрастающих степеней
Л/ (•*") (л —0 1, 2,...), ортогональные в промежутке 1 < л* < 1 относительно веса
'w-(7^-{r-*F ькъ
1
В частности, при a_;j_0 они совпадают с полиномами Лежандра, а при /.—а— —
— с поллиномамн Чебышева Тп (х) — cos n arc cos л*.
Мемуар Якоби, в котором полиномы, носящие его имя, появляются впервые,
посмертный: он опубликован Э. Гейне в 56-м томе журнала Крелля (1859 г.) и
снабжен примечанием, из которого ясно, что Якоби ввел свои полиномы около 1843 г.
и мыслил их - применительно к промежутку 0<с<] - как частный случай
гауссовой гипергеометрической функции
<& а<7~ 1>...<а , v 1)?0т !)•••(? И 1) v
h (х\ а, ft, v)— > — - -д'
при условии, что один из параметров а или £ принимает целое офицательное
значение, вследствие чего ряд прерывается. Отсюда полиномы Якоби называются также
гипергеометри чески ml .
В мемуаре Якоби указываются представления полиномов, обобщающие так
называемую формулу Родрига для полиномов Лежандра: именно, с точностью до
постоянных множителей, полиномы /п{х) имеют вид
(.v-l)4< h**"n !(л--,-1)п '•(* 1)" ■'].
а к"
Отсюда, п\ гем ин1егрирования по частям, выводится и свойство ортогональности:
i
У Якоби получена, с помощью ряда Лагранжа, также и производящая функция
полиномов ./„ (v)
ос
F h, v) - У h" Jn (x).
п О

- 392 —
Ей можно придать вид
(l+b + Yl - 2hx+x*)x (l - h + Yl - 2hx+**Y
F(h,x)-
Yl-2hx+h*
В заметке „О функциях, подобных функциям Лежандра", Чебышев, откликаясь
на упомянутый мемуар Якоби, * показывает, что свойство ортогональности полиномов
Якоби (которые у Чебышева обозначены через Г^) может быть выведено прямо из
Свойства производящей функции F(h,x), заключающегося в том, что интеграл
!
F(s,x) P(f,x)
(1+*)х(1-*Г
l
зависит только от произведения st. Это и доказывает Чебышев в своей заметке,
пользуясь при вычислении интеграла классическими приемами эйлеровых
подстановок.
Принципиальное значение результата Чебышева заключается в том, что, подобног
т ому, как это всегда делалось раньше для частного случая полиномов Лежандра
полиномы Якоби могут быть определяемы посредством производящей функции, откуда
удобно выводятся и все их свойства,— совершенно независимо от
гипергеометрического ряда.
Полиномы Якоби находят применение в мемуаре Чебышева, относящемся к 1872 г.
„О функциях, наименее уклоняющихся от нуля". Здесь поставлена задача,
родственная основной задаче наилучшего приближения,—найти такой многочлен данной
степени, который при заданном старшем коэффициенте наименее уклонялся бы от нуля
в основном промежутке,— однако с новым дополнительным требованием: искомый
многочлен в пределах рассматриваемого промежутка, скажем—1 <;*<;i, должен
изменяться монотонно, а именно, или возрастать или убывать.
Как видно из вступительного абзаца, в данном случае, как и в мемуаре „Теория
механизмов, известных под названием параллелограмов", Чебышев при постановке
задачи руководствовался практическими применениями.
Повидимому, исходным для Чебышева оказался тот простейший случай, когда
при положительном старшем коэффициенте искомый многочлен нечетной степени
2п-\-1 должен быть возрастающим: при этих условиях производная искомого много-
члена равна квадрату полинома Лежандра степени п при надлежащем нормировании;
что же касается постоянного слагаемого, то оно, естественно, определяется таким
образом, чтобы достигаемые на концах промежутка минимум и максимум отличались
только знаками. В иных случаях, когда степень искомого многочлена — четная, или же
когда при положительном старшем коэффициенте степень нечетная, но многочлен
должен быть убывающим, производная отличается от тачного квадрата присутствием
одного из множителей 1 ± х (или обоих); тогда, вместо лежандровых полиномов
появляются якобиевы, с весом одного из трех видов
р(х) = 1+х, 1-х, 1-х2.
Для наименьшего уклонения Чебышев выводит формулы, показывающие его
зависимость от степени полинома. Так, в простейшем из названных случаев эта
формула имеет вид
1-2-3 ■
1 \ 2
Ln
ЬЗ-5--- (л —2)/ '
См. ссылку в начале мемуара „О функциях, наименее уклоняющихся от нуля"

- 393 -
тогда как без условия монотонности получается
Применение формулы Стирлинга при л-»эодает асимптотическое равенство
из которого ясно, что условие монотонности влияет на порядок уклонения не так
сильно, как, пожалуй, можно было бы ожидать. Это соображение, строго говоря, не
высказано Чебышевым, но в его мемуаре, взамен асимптотического равенства, имеется
даже более точное неравенство
(n~l)jL„<L'n<n~Lm
выведенное из формулы Валлиса.
Последнее полученное Чебышевым соотношение показывает, между прочим, что,
хотя у Чебышева постановка задач имеет, вообще говоря, строго алгебраический
характер (п считается постоянным), тем не менее асимптотические свойства решений
(при л-^оо) также привлекали его внимание.
Следует отметить еще два обстоятельства, выясняющие историческое и
принципиальное значение мемуара „О функциях, наименее уклоняющихся от нуля*.
Во-первых, в процессе решения поставленной задачи о нахождении монотонного
многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, Чебышев приходит к необходимости
минимализировать интеграл вида
1
\p(x)h\{x)dx9
—1
где р (х) — данная положительная функция, Рп (х) — искомый многочлен степени ти
Тем самым он выходит, выражаясь языком функционального анализа, за пределы
пространства С и соприкасается с гильбертовым пространством 1^. Другое, более
длительное соприкосновение с пространством Ц, Чебышев имел в связи с его теорией
ортогональных полиномов, которым посвящен ряд работ.
Во-вторых, необходимо указать на широкое развитие, которое получила
постановка экстремальных задач с условием монотонности в сравнительно недавнее время.
В J927 г. С. Н. Бернштейн обобщил результат Чебышева на случай
кратно-монотонных многочленов порядка Л-f-l, т. е. многочленов, у которых все производные,
до порядка Л-|~1 включительно, не принимают отрицательных значений в
рассматриваемом промежутке. При этом, как и в случае Чебышева, решение получается с
помощью полиномов Якоби, однако соответствующих весам более общего вида. Ряд
иных задач, касающихся кратно-монотонных полиномов, был поставлен и решен как
самим С. Н. Бернштейном, так и его учениками. С другой стороны, в связи с этими
исследованиями возникла и более широкая проблематика, имеющая своим объектом
изучение свойств функций действительного переменного в зависимости от знаков их
последовательных производных. С. Н. Бернштейн назвал абсолютно-монотонными
функции, у которых производные всех порядков сохраняют (положительное значение,
регулярно-монотонными — функции, у которых производная любого порядка
сохраняет свой знак. В качестве примера укажем на следующие результаты С Н. Берн-
штейна: 1) необходимое и достаточное условие аналитичности функции заключается
в ее представимости в каждом достаточно малом промежутке в виде разности двух
абсолютно-монотонных функций; 2) всякая функция, регулярно-монотонная в
некотором промежутке, голоморфна внутри круга, имеющего данный промежуток своим
диаметром.
В. Гончаров

— 394 —
„О КВАДРАТУРАХ"
См ста!ью Н. И. А х и с :< е р а „Общая теория полиномов Чебышева" в
сборнике „Научное наслелие П. Л. Чебышева". вып. 1, М. Л., ]94о.
Н. Лхиеаер
„О ФУНКЦИЯХ, МАЛО УДАЛЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ ПРИ
НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИНАХ ПЕРЕМЕННОЙ"; „О ПОЛИНОМАХ,
НАИЛУЧШЕ ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ ЗНАЧЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ
ДРОБНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ВЕЛИЧИНАХ ПЕРЕМЕННОЙ,
ЗАКЛЮЧАЮЩИХСЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ДАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ»
Эги две статьи, относящиеся к последнему периоду деятельноеiи Чебышева, так
же как и третья- „О приближенных выражениях квадратного корня переменной
через простые дроби", в смысле развития теории наилучшего приближения функций
не содержат ничего принципиально нового; в них рассматриваются конкретные
проблемы, целиком укладывающиеся в рамки общих положений, сформулированных
в мемуаре „Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным
представлением функций".
Сюит, однако, указать на некоторые отдельные моменты.
!• В § 4 первой из названных статей имеется новое, не связанное с непрерывными
дробями доказательство того, что если F и Ф многочлены степеней соответственно п
и п 1 (точно), удовлетворяющие тождеству вида
F1- (х2- 1)Ф* = £,
где L постянная, го многочлены F и Ф только посюяиным, одним и ie\i же,
множителем отличаются от многочленов
sin n arc cos v
Тп -cos a arc cos .v, U„ ,— 7^ —
n n 1 у\
x-
Действительно, из указанного тождества вытекает следующее:
Un I Ф
FUn х - ФТп^р^фу-г—1 ^+г__)я ,
и 1ак как правая часть при v-^oo стремится к нулю, а левая часть есть многочлен,
то 91 а последняя тождественно равна нулю:
FUn ,- ФГя=0,
откуда и следует ччверждение, если принять во внимание, что многочлены Тп и
Un j взаимно простые.
2. Интересна в ^ 6 постановка фигономегрической экстремальной задачи. Чебы-
шев алгебраизирует ее с помощью тангенса половинного угла и таким образом
приходит к предшествующей рассмотренной им задаче. Другой возможный - и более
простой путь решения заключается в том, чтобы, предварительно сформулировав
тригонометрический аналог необходимого условия приближения, воспользоваться
в дальнейшем дифференциальным уравнением так, как Чебышев делает в мемуаре
„Теория механизмов, известных под названием параллелограмов".

- 395 -
3. Во второй статье Чебышев, будучи, как можно полагать, сосредоточен на
проблеме моментов, ищет способ приближенно выразить интеграл
через моменты функции f(x) — интегралы вида
h
Ц/00 x*d< (v^-0, 1,2 д 1).
—h
Для этой цели подбирается многочлен Р(х) степени я — 1 по условию миннмалнзи-
ровать максимум относительной погрешности в приближенном равенстве
что немедленно приводит к задаче, рассмотренной в первой из названных здесь
статей. Искомый многочлен имеет вид
Н — х
Предел относительной погрешности в предыдущем приближенном равенстве, как
нетрудно заметить, есть
откуда можно заключить, что относительная погрешность равенства
h h
iP(x)f(x)dx
^<Ч'
не превышает того же предела.
4, Не представило бы также труда подобрать многочлен Р (х) по условию минн-
мализировать максимум абсолютной погрешности равенства
1 -/>(*),
т. е. найти многочлен Р (дг) степени л — 1, наименее уклоняющийся в промежутке
—h < х <+А от функции— . Такого рода частная задача у Чебышева не получает
Н— х
явного решения, но она включается во „второй случай* мемуара .Вопросы о
наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций". Ее
решение дается формулой
1 1 f (х + V&^Ti*)"~х Шх - кг-\-У(Н* — К*) (х»^РГ)
^~" Н—х~~ 2\ (Я*- h*) (H+VlP—h* У1"1 (Я — х) +
, С* — У*1 - ь> )п~1 \нх -&- VW- ь?) (х2 - /?*)]}
(Д* - h2) (H+^/T^^^f-1 (Я - х) \

- 396 -
причем предел абсолютной погрешности написанного выше приближенного равенства
есть
Л^
(Яа - д2) {H-\-Vi¥^rhl)n~l"
Отсюда можно заключить, что предел абсолютной погрешности равенства
h h
Л x -h
h
не превышает той же величины, умноженной на \ | f(x) \ dx.
—Л
5. Асимптотически (при л->эо) значение наилучшего приближения элементарной
дробной функции с кратным полюсом
=■ (Р > 2)
было получено С. Н. Бернштейном в 1912 г.; им же рассмотрен случай не только
алгебраических, но и трансцендентных особенностей самых разнообразных типов;
при этом не исключаются также и попарно сопряженные мнимые особенности.
Более подробные сведения по поводу затрагиваемых здесь вопросов и более
богатый выбор соответствующих экстремальных задач читатель найдет в монографии
С Н. Бернштейна „Экстремальные свойства полиномов" (ОНТИ, 1937); нет
сколько примеров разобрано также в книге В. Л. Гончарова „Теория
интерполирования и приближения функций" (ОНТИ, 1934).
В. Гончаров.
„О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИНАХ ИНТЕГРАЛОВ"
С задачей Чебышева о предельных величинах интегралов неразрывно связано
имя А. А. Маркова, который впервые решил эту задачу и в различных направлениях
ее обобщил. Среди многочисленных работ Маркова, посвященных этой теме,
имеется небольшая статья, написанная вскоре после смерти П. Л. Чебышева и в
сжатой форме излагающая как постановку задач* интересовавших Чебышева и его
ближайших учеников, так и основные результаты, полученные в этой области'ими
и, в первую очередь, автором статьи Марковым. Редакция воспроизводит здесь
этот очерк Маркова.
Что касается позднейших исследований, примыкающих к рассматриваемому
кругу идей, то о них см. статью „Общая теория полиномов П. Л. Чебышева" автора
этих строк в сборнике „Научное наследие П. Л. Чебышева", вып. I.
*Я Ахиезер
А. А. МАРКОВ. О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИНАХ ИНТЕГРАЛОВ *
В записке „Stir les valeurs Hmites des integrates" ** знаменитый П. Л. Чебышев
поднял следующий вопрос о предельных величинах интегралов.
* Доложено в заседании Физико-математического отделения 6 февр. (25 яяв.) 1895 г.
** Journal de Liouville, 2-е serie, XIX (1874), стр. 157—160.

- 397
й < it < v < b
Даны числа
и значения интегралов
ъ ъ ь
\f(x)dx=a0f f*f(x)dx=al, jj V*f(x)dX:
л а а
b
a
найти точные высший н низший пределы для
V
></* = «„_,;
)dx
при условии, что f{x) не может получать в промежутке от х = а до х — Ь
отрицательных значений.
Для случая
а = и или b — v
мною дано в диссертации ,0 некоторых приложениях алгебраических непрерывных
дробей" полное решение вопроса Чебышева.
Я показал также, что при некоторых ограничениях нетрудно определить для
данной функции ^(Jc) точные предельные величины интегралов
$Q(x)/(*y,t, \*{x)f{*)dx.
А в записке ,Sur tine question de maximum et de minimum proposee par
M. Tchebycheff •* мною обнаружена возможность значительных обобщений.
Что касается вопроса о предельных величинах интеграла
f/(«)d*
при я, не равном а, и vt не равном Ь, то мои результаты могут служить основанием
для его решения в каждом частном случае. Однако дело представляется весьма
сложным ввиду необходимости различать много случаев.
Например, при п=2, полагая, согласно Чебышеву,
а = 0, b = t, a,— /7, аг=/и/, atz=pd* + k,
я пришел к следующим заключениям:
1 p(u-d)(v-d)+k<0.
V
Точный высший предел для \f(x)dx равен р.
* Acta mathematica, IX.

- 398 —
При рассмотрении же низшего предела приходится различить три случая:
u-rv k „ p2(v - df
]ч —i <с d — , точный низший предел —
; 2 ^ p(v~d)' Piv-df+k'
k u-t-v , k p(d- u)(v—d)—k
2)<*~ <—l—<d j - , . „ „ ; -* ,
p{v — d) 2 P(d~ u) fv — u \2
V 2 У
] 2 ~^p(d~- и) ' " " * />(<* —")24*
II. />(d-i/)(t;—<O-f-A>0.
Точный низший предел для интеграла (/(*) dx равен нулю.-
При рассмотрении же высшего предела приходится различать несколько случаев
Ь „ *Р
l)t;<^— , точный высший предел
p(l-d)
2)">d+P7'
3") /<*+*
/? (/ - df) /w/ v (/ — t>)
4') />!/+*;,
* ^/-~<*)(/-+^-"-*>)-*
и <С а — <? v. „ » » .
4") />«+*.
p(l-d)^U< ■ pd ' ° " " и (/—я)
Все эти выводы можно пояснить чертежами, подобные которым даны в моей
диссертации.
После выхода в свет моей диссертации П. Л. Чебышев опубликовал свои
формулы для решения того же вопроса о предельных величинах интеграла
k+p(d-
kp
k+p{u-
id(u-\-v -
uv
pd(l-d)-
-vf
-df
-k
-k
jf(x)dx.
Переход ч>т моих формул к формулам Чебышева выяснил проф. К. А. Поссе
в своей прекрасной монографии „Sur quelqttes applications des fractions continue
algebriques".
Одно из важных применений подобных исследований состоит в решении
следующего вопроса:
Можно ли из бесчисленного множества равенств
ъ ь ъ ъ
ao=y(x)dx=\f1{x)d*, <x1=\xf(x)dx=^xfi(x)dx, ..
а а а а
заключать о равенстве
л и
^f{xydx=\f1(xydx

— 399 -
при условии
/(<0>0, ЛМ>0 (а <*<*)•
Последнему вопросу посвящено недавно появившееся замечательное
исследование „Recherches sur les fractions continues" Стильтьеса, преждевременная смерть
которого представляет большую потерю для науки.
Но еще раньше Стильтьеса наш знаменитый Чебышев рассмотрел важный
частный случай, когда
У'2ж
Рассуждения Чебышева, относящиеся к этому случаю, могут быть заменены
более простыми, как показал проф. Н. Я* Сонин в записке „О точности определения
предельных величин интегралов* (Записки Акад. Наук, LXIX).
Прибавим, что Н. Я. Сонин, вместо некоторых неравенств Чебышева, вывел
лучшие. Впрочем для выше указанного вопроса это улучшение неравенств
Чебышева не имеет значения, так как необходимо было только доказать расходимость
некоторого ряда, а расходимость его очевидна.
Вместо выше упомянутого ряда можно рассматривать также корни уравнения
?«(*) = О,
где целая функция m-ой степени ут(х) определена условиями
ь
Jx*/(*) ?«,(*)** = О l* = 0, 1,...,m-l).
а
Именно, заключение
и и
а а
вытекает из того обстоятельства, что при достаточно больших т уравнение
имеет корни между каждыми двумя числами, лежащими между а и Ъ.
Это соображение применяется с успехом не только к случаю Чебышева, но и
ко многим другим.
Рассматривая случай
q - 4*,jrt
П. Л. Чебышев имел в виду доказать одно важное предложение теории вероятностей,
что и было им сделано в записке „О двух теоремах относительно вероятностен*.*
Доказательство Чебышева наводит на мысль о необходимости видоизменить
первоначальный вопрос, заменяя равенства
ь
* Приложение к Запискам Акад. Наук, LV (1887>

- 400 -
неравенствами
\<\xkf{x)dx<*k,
где разности ak — <хл весьма малы.
Видоизмененным вопросом П. Л. Чебышев занялся в своем последнем мемуаре
„О суммах, зависящих от положительных значений какой-либо функции*.
Полное решение видоизмененного вопроса во всей общности весьма сложно
и едва ли может получить большие применения.
Поэтому в последнем мемуаре Чебышева мы находим только вывод некоторых
пределов для интеграла
00 U
\ f(x)dx или [f(x)du
при довольно сложных ограничениях данных неравенств
00 00
«'#< \ /(«) dx <<£,..., а'д< J xkf{x) dX < а ;',...,
о "о
оо
«я-1<$*Я lf{*)dx<*n-v
о
Главная цель этих ограничений состоит в том, чтобы каждая система значений
оо оо оо
J/(*)<**, \ xf(x)dx,..., \ xn- lf(x)dx,
0 0 О
удовлетворяющая выше указанным неравенствам, была возможна.
Вопрос о такой возможности представляет самостоятельный интерес.
Решая его для более общего случая, когда имеем
\<\ №dx<*[,...,*k<^xk№dx<*i
о о
I
*л~! <\*?~XAx)dx<al l#
я убедился, что условия, необходимые и достаточные для возможности всех
промежуточных систем значений интегралов
г i t
\fWdx, jxf(x)dx7...i \х»-г/(х) dx
выражаются неравенствами
«, 1
2 *
?\ а2
а2 а'з
«,>0,
>0,
>0,
к*
\а[ /
*?; \
*1 *2
—.,
х>
| 'V
а0 а, 1
а2 «Э
/
>©.
>0.

401 —
а, аз I
°? "?, 1
а3 a'kP
>о,
а, о2 а3
>0
и т. д.
Если эти условия выполнены, легко решается вопрос о предельных значениях
интеграла
1
\u(x)f(x)dx
о
для всякой данной функции Q (х), удовлетворяющей условиям
a(0)=r(0)=a"(0)=...=s^4>(0)=o
и
2<я)(х)>0 (0 <*</).
Искомые предельные значения получаются из предельных значений того же интеграла
о
i i i
при
и при
/ / I
[ f(x) dx = а£, \ х f{x) dt = л\, \ «*/(*) dx — 4',...
о а
Например, если даны неравенства
I
4< \ fix) dx < с£, в| < ^*/( х) dx < а'/, о', < J **/(*) rfc < 4',
О О
и числа а удовлетворяют неравенствам
«1>0, а,<а0Г, а2<а|/, а2 > —-
I ul
«О
то нредельными значениями интеграла
будут
\x9f(x)dx
(44 — 4 4y*-f-4 4/~ 44'
Что касается вопроса о точных предельных величинах интеграла
\f(x)dx,
Ж.ЗЪ *1е6ьдаев, т. Ш

— 402 —
то и при сделанных нами ограничениях он остается весьма сложным. Однако наших
ограничений достаточно для того, чтобы можно было делать те же выводы, какие
сделал Че(5ышев при более сложных ограничениях, в последнем своем мемуаре и в
мемуаре „О разложении в непрерывную дробь рядов, расположенных по нисходящим
степеням переменной". *
Эта возможность обусловлена, во-первых, существованием всех систем
промежуточных значений для интегралов
\f(x)dx
\xf(x)dx, ..., \хп~ l f(x)dx
и, во-вторых, перемежаемостью корней некоторых уравнении.
Чтобы выяснить, о каких уравнениях идет здесь речь, положим п = 6.
В этом случае к ранее написанным восьми неравенствам надо присоединить
еще два
"2
> О
корни хх, х2, хг уравнения
м важную роль играют
корни £ь £2 уравнения
корни 7)i, т)2 уравнения
корни хг, xQ, x3 уравнения
"1
а2
а,
а3 X
«9 1
а2
и0
а1
а2
*3
а0
а2
а3
"2
а3
а4
аГ
«2
аз'
а4
= 0,
= 0,
=е,
=о
и, наконец, корни xl9 хъ х3 уравнения
а2 1
а4 х2
где числа а ограничены только неравенствами
>0;
*'« < «5 < «', '
* Приложение к Запискам Акад, Наук, LXXI.

- 403 —
Для данного случая выше упомянутая перемежаемость корней выражается
неравенствами
х\ < *i < *i' < 7)i < 5i < Н < х* < Н < т>* < £2 < *з < *9 < V
Мои выводы основаны на двух теоремах, доказанных в записке „О функциях,
получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби*. *
Развитие намеченных пунктов и вывод дальнейших заключений составят предмет
другой статьи.
,0 ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ ОДНИХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ
ДРУГИЕ, ВЗЯТЫЕ В ТЕХ ЖЕ ПРЕДЕЛАХ"; „ОБ ОДНОМ РЯДЕ,
ДОСТАВЛЯЮЩЕМ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ
РАЗЛОЖЕНИИ ПОДИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ НА МНОЖИТЕЛИ*
Обе статьи посвящены оценкам остаточного члена Rn в обобщенной формуле
Парсеваля
ь п 1
\u(x)v(x)b(x)d^^ukvk+Rn>
а *=0
где
ъ ь
а а
причем б (х) — некоторая неотрицательная вещественная функция, а ф0 (*), фх (х),.. .—
ортономироваяные полиномы относительно веса 0(х). В первой из статей Чебышев
приводит оценки для Rn без доказательств. Вторая статья содержит доказательства.
Результаты Чебышева, очевидно, остаются в силе при переходе к интегралам в смысле
Стильтьеса.
В статье К. А. Поссе яО' дополнительном члене в формуле П. Л. Чебышева для
приближенного выражения одного определенного интеграла через другие, взятые
в тех же пределах*, датированной 5 мая 1883 г. и напечатанной в .Сообщениях
Харьковского математического общества*, также дано доказательство оценок
П. Л. Чебышева.
Особое внимание обратил на себя следующий частный случай одного из
результатов П. Л. Чебышева: если каждая из функций и{х), v(x) возрастает в
интервале [О, 1], то
1 1 1
\u(x)v(x)dx> ^u(x)dx- \,v(x)dx.
О 0 0
Это неравенство Чебышева было впервые опубликовано во втором издании
литографированного курса Эрмита с доказательством Пикара. Простое доказательство дал
также А. Н. Коркин (Comptes rendus, XCVI, 1883, >& 5, стр. 326). Из других работ,
примыкающих к рассматриваемым статьям П. Л. Чебышева, отметим мемуар Н. Я. Со-
нина »С некоторых неравенствах, относящихся к определенным интегралам* (Зап.
Акад. Наук, т. VI, № 6, 1898).
Н. Ахиезер
* Приложение*» Запискам Акад. Наук, LXXIV

- 404 —
пО ДВУХ ТЕОРЕМАХ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕРОЯТНОСТЕЙ"
Этот мемуар, несмотря на некоторую его незавершенность, является одним из
высших достижений Чебышева и реализацией замыслов, занимавших Чебышева в
течение долгих лет. Здесь результаты исследований Чебышева по теории моментов
прилагаются к определению вида закона распределения вероятностей суммы большого
числа независимых случайных величин, устанавливается, что при некоторых весьма,
общих условиях этот закон распределения неограниченно приближается с увеличением
числа слагаемых к нормальному закону распределения Муавра—Лапласа (так
называемая „основная предельная теорема теории вероятностей"), а также без строгого
вывода указывается на возможность дальнейшего уточнения этого результата в форме
асимптотического разложения функции распределения большого числа независимых
слагаемых по полиномам Эрмита.
Уточнение и обобщение условий применимости основной предельной теоремы
Чебышева сделалось затем излюбленным предметом изысканий ближайших
последователей Чебышева (Марков, Ляпунов, С. Н. Бернштейн), а позднее и многих других
математиков различных стран.*
Что касается уточнения самого утверждения основной предельной теоремы,
достигаемого введением дополнительных членов разложения, предложенного Чебышевым
то только сравнительно недавно Г. Крамер с полной строгостью показал, ** что при
некоторых, довольно широких условиях это разложение действительно можно
рассматривать как асимптотическое в том смысле, что, будучи продолжено достаточно
далеко, оно позволяет определить функцию распределения суммы п независимых
слагаемых с точностью до (■— J , где k — сколь угодно велико (в то время как
остаточный член обычной основной предельной теоремы имеет при условиях Крамера
порядок {F=J- Следует отметить, что лежащие в основе этого факта свойства так
называемых семи-анвариантов Тиле были, как видео из комментируемого мемуара
вполне поняты и оценены Чебышевым. По самой форме записи, избранной
Чебышевым, можно думать, что он рассматривал свое разложение именно как асимптотическое
разложение по неограниченно возрастающим степеням — } хотя и не формулировал
этого отчетливо.
План мемуара Чебышева таков:
1) Напоминаются установленные ранее неравенства, которым подчинен интеграл
произвольной неотрицательной функции при условии, что все ее моменты, вплоть до
(2т — Л-го включительно, совпадают с моментами функции
2) Формулируется основная предельная теорема.
3) Проводится подробно доказательство утверждения, что в условиях основной
предельной теоремы моменты величины
, _*1+а*+ — + ая
У п
сходятся к моментам распределения Муавра-Лапласа.
* Си. статью СН.Бернштейна„0 работах П. Л. Чебышева по теории
вероятностей* в сборнике .Научное наследие Чебышева" (Вып. I„ 1945) и статьи С Н. Б е р н-
ШТ^Й/?а иБ-в-ГнеДенков «Успехах матем. наукв, т. 10, 1944.
Tt ТлооМ* **" с г а m ^ г» °п tne composition of elementary errors (Skand. Aktuarietidskr.
*Iv ^ ^Tp* ^"~74> HI—180) или книгу: H. Cramer: Random variables and
probability distributions (Cambridge Press^ 1937), теоремы, 25. и 2& (русский перевод; ГЛра-
мер. Случайные величины и распределения вероятностей 1947).

— 4G5 -
4) Утверждается, что из сходимости моментов и неравенств, указанных в п. 1,
вытекает утверждение основной теоремы.
5) Приводится без более подробной дискуссии асимптотическое разложение
Ве,р
и
Я
\ 4
''rK*\yf! ф;("}— r x dx' (I)
о котором уже говорилось выше.*
В более подробных комментариях нуждаются пп. 2, 3 и 4 этого плана.
Первое* что требует пояснения, это сама формулировка основной теоремы,
данная Чебышевым. Чебышев рассматривает последовательность
«ь «* «я. • • •
случайных величин и обозначает через
aW = M.O.«)
математические ожидания их [*-х степеней. Основной результат своего
исследования Чебышев формулирует так:
Если
(a) математические ожидания а^ величин ux,ut, ..равны нулю,
(b) математические ожидания
It * П у ' )1 *
z/x последовательных степеней не превосходят по абсолютной величине какого-
либо конечного предела, то вероятность, что выражение
заключается между какими-нибудь величинами tut' при л-* сю, имеет
пределом величину
г
'dx.
JL (V**<
* Здесь Кг, К»--- суть коэффициенты при ss, s4,... в разложении функции
по степеням $. Так как величины М^ хотя и зависят от л, но остаются при каждом
фиксированном ft ограниченными, то асимптотическое поведение при л-»со каждого
отдельного члена разложения совершенно ясно. Чебыщев не дает лишь
асимптотической оценки остато*шого члена. Это и было сделано при некоторых довольно
широких условиях Крамером.

- 406 —
Условие (b) сформулировано не вполне отчетливо. Судя по дальнейшему тексту
его следует понимать так:
(b) математические ожидания а^ при каждом ^ не превосходят
некоторой постоянной, не зависящей от п (но, может быть, зависящей от jx).
Кроме того, для понимания формулировки Чебышева следует заметить, что во
всех своих исследованиях по теории вероятностей он обращается с исходными
величинами иг, иъ... как с независимыми, не оговаривая этого специально. Поэтому
переводя результат Чебышева на современный язык, мы естественно должны
прибавить условие:
(c) величины и1% иъ... взаимно независимы.
Однако в формулировке Чебышева пропущено еще одно условие, без которого
его теорема по ее буквальному смыслу ошибочна. Дело в том, что в своих
рассуждениях Чебышев, повидимому, упустил из виду, что, вообще говоря, выражение
»+<#'+...+<
(2)
ч1
может при гс->оо стремиться к нулю. Проще всего дополнить формулировку
Чебышева условием:
(сП средние арифметические
_L «(,а)+*?> + ••. +4?
2
при л->оо стремятся к конечному положительному пределу —.
При условиях (а), (Ь), (с) и (d) утверждение теоремы Чебышева может быть
доказано с полной точностью. В частности, доказательство утверждения о сходимости
моментов, составляющее, как сказано выше, основное содержание комментируемого
мемуара, при условиях (а), (Ь), (с) и (d) может быть проведено с полной
современной строгостью почти дословно, следуя Чебышеву. * Покажем это, лишь слегка
модернизируя обозначения Чебышева.
Проблема заключается в доказательстве при перечисленных условиях (a)—-(d)
предельных соотношений
1а*х* I ЬЗ-5-..Qi-l)
п
ах — )
Игл ДМ=_«_ Г Л 2 rf* = Г 7 ПР" F ЧеТН°М'
J- { Л е ..*- , V (2)
У 2тс_ сх {
О при fx нечетном
для моментов
величин
А^=М. О.«)
/ UX + Щ + • - - + ип
fn
Важно с самого начала иметь в виду обстоятельство, которое, без сомнения,
было ясно Чебышеву: каждый момент Л^ конечным алгебраическим образом
выражается через моменты а^ (& <^ я, X < ^) в виде самого обыкновенного многочлена
* Если же пойти на некоторое дополнение рассуждений Чебышева, то легко
обнаружить, что условия (Ь) и (d) могут быть заметно ослаблены, что и было показано
Марковым очень скоро после опубликования мемуара Чебышева (см. упомянутую
выше статью С HL Бернштейна),

— 407 —
веса it. Вид этой зависимости и был установлен Чебышевым. В .трансцендентной"
форме ее можно написать (для интересующего нас случая а^=А^=0) так:
(3)
A? Af ( л A*f А.»
1 + -£. з* -т- -£- *• + ... =«р \м? *» + >- «* + -f- *' • f-
— о \ \ п п
где
^ *>+*»+-+*>
л п
a vj^ определяются из соотношения
1+ —*—ss+ * *»-+- ... =ехр| _i_ s*-\--±— s; +-•• }- (4)
Чебышев специально оговаривает, что для получения первых моментов
все разложения в формулах (3) и (4) достаточно продолжать лишь
до ft-ой степени s. В этом смысле (т. е. понимаемые, как принято говорить,
„формально") соотношения (3) и (4) справедливы при условиях (а) и (с) совершенно
независимо от условий (Ь) и (d), если только входящие в них моменты конечны.
Поэтому, в данном случае обращение Чебышева к ,трансцендентным* методам в
действительности иллюзорно и поэтому безвредна С современной точки зрения следовало
бы лишь дать прямое доказательство справедливости соотношений (3) и (4) в
указанном общем формальном смысле. Это задача совершенно элементарная.
Только на следующем этапе становятся существенными условия (Ь) и (d). Так
А(»)
как —г- , в силу только что сказанного» есть коэффициент при s? в разложении
ехв Ы»51 + —** + ••• + —— $*+..
по степеням s, а в силу условий (Ь) и (d) при л->оо
_ 1
{Yn}
~U-2
-> 0 при X > 2,
Аф
то —р* при л -»* оо стремится к коэффициенту при s* в разложении яо степеням s
функции _£l_
что и приводит уже без всяких затруднений к соотношениям (2).
Указания Чебышева относительно того* как из соотношений (2) выводится само
утверждение основной теоремы, которое легко может быть записано (при условии (d))
в виде
г
lim Вер {/<*„<*') = ч__ \е г dx,
»-*00 |/"2я: !
I
1 о-?4-**
t
значительно менее удовлетворительны.

- 408 -
То, что Чебышев ограничивается во всех своих рассмотрениях случаем
непрерывных распределений вероятностей, нельзя рассматривать как большое упущение: он
легко мог бы повторить свои рассуждения для дискретного случая, а говорить об
«общем* случае в современном понимании было бы в эпоху Чебышева
преждевременно. Но и для случая непрерывных распределений дело сводится к следующему:
(1). Известно, что для последовательности неотрицательных, функций fn{x)
моменты
00
п
\ x[Lf(x)dx.
удовлетворяют соотношениям (2), т. е. сходятся при л->оо к моментам
1
кции
Доказать,
что
л(">=
Я
7w -
для любого t
q --
е '
Y2n
Tg"x
г*«дг*
dx
J fn(x)dx -> J f(x)dx
При /Z->oo.
Из неравенств, приведенных Чебышевым в начале своего мемуара, действительно
легко вывести, что:
(II). Непрерывная функция f(x), для которой все моменты
7 x*f(x)dx (pt = 0,1.2..-0
равны Л**, совпадает с /(*).
Перехода от (Н) к (I) Чебышев не дал. Это за него вскоре после опубликования
комментируемого мемуара сделал А. А. Марков. Можно по этому поводу лишь еще
заметить следующее.
Скачок от (II) к (I) кажется нам очень значительным. Но в действительности он
может быть значительно уменьшен, если вспомнить, что утверждение (II) является
лишь предельным экстрактом из точных неравенств Чебышева. В самом деле,
утверждение (I) легко было бы вывести из такой леммы:
(!'). Пусть \к — 2т—1 и функция f(x) неотрицательна. Тогда для любого
е>0 существует такое &>0, что из совокупности неравенств
^ xxf(x)dx—A^
<Ъ (Х = 0 1 ft)
вытекает при любом t
t
\ ?(x)dx — RM(qt)—z< \ f(x)dx<£ J ?{x)dx + Rm(qt)+*%

- 409 -
где
л
Р <*\ - 3l/3(m2-2m4-3)T(G^- 1>
JXm<Z) - J
2(т-~3,31//л— I
Исходные же чебышев ские неравенства гласят:
(II1). Лля
( УДлг)^--Л(>) (X = 0,1 2/я — I)
// функция f(x) неотрицательна, то
t t
\ ?{x)dx-Rm(qt)< J f(x)dx< J /W^-f/?w (///)•
Подмена леммы (П1), которая в рассматриваемом нами мемуаре с самого начала
принимается Чебышевым за доказанную, леммой (I*) уже значительно более
естественна: здесь молчаливо предполагается лишь непрерывность зависимости пределов
возможных значений интеграла
S /^
(1к
от заданных в конечном числе моментов А*°\ А*!\..., А**Ч Вероятно» именно этот
одашж мысли и допустил в своих не высказанных явно рассуждениях Чебышев,
предпочитавший везде, где это возможно, мыслить в терминах конечных
неравенств, а не предельных соотношений.
А. Колмогоров.
„0 ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ПЕРЕМЕННОЙ ЧЕРЕЗ ПРОСТЫЕ ДРОБИ*
Предметом статьи является частный случай следующей общей проблемы: в антер*-
вале а^х^Ь дана положительная непрерывная функция s(x); рассматривается
совокупность Ш рациональных функций R(x) вида
P<fiM+Pl*m-l+-~ + Pm '
где т, п заданы; требуется найти в Ш ту функцию, для которой величина
logtfp^max \logs(x)--\ogR(x)\ (l)
ммеет наименьшее значение. Так как из (1) вытекает, что
■ = тад
Щ + 1 d<*<
н% + \ *М

— 410 —
а с другой стороны, из
Gp ~ max
, «(*)
следует, что
1 , 1+0/?
__ j0£ .— -_. max
1 — Oq a<^x^b\
7
log 5 (r) —log
(2)
V^%
то задача о нахождении минимума величины (1) эквивалентна задаче о нахождения
минимума величины (2). При этом „минимальные уклонения"
Н = min Нп , G = min Gr»
R0R Х£Ш
связаны соотношением
1+g
1-0
Существование дроби #o(v)(;9ft, минимализирующей величину (2), ее единственность
(если не считать различными две дроби, которые совпадают после сокращения) и
характерное свойство вытекают из общей теоремы П. Л. Чебышева.
В частном случае, которым занимается Чебышев,
5(х) = У к;, т = л, а — 1, £ = А>1.
Эта задача легко сводится к задаче IV мемуара Е. И. Золотарева „Приложение
эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся
от нуля* (Зап. Акад. Наук, XXX, № 5, 1877), которая может быть сформулирована
следующим образом: из всех несократимых дробей с данными степенями числителя
и знаменателя найти ту, которая наименее уклоняется от функции sign x. на
множестве, состоящем из двух интервалов
[-1, -£], [k, 1],
где число к (0<&<1) задано. По поводу этих вопросов см. статьи автора
настоящих строк: „Об одной задаче Е. И. Золотарева" (Изв. АН СССР, 1929, стр. 918—931)
„Об экстремальных свойствах некоторых дробных функций* (ДАН СССР, 1930
стр. 495—499); „Uber eine extremale Eigenschaft rationaler Funktionen* (Сообщ.
Харьк. матем. общ., т. VI, 1933, стр. 39—45); „Bemerkungen uber extremale Eigen
schaften einiger mit der Transformation der elliptischen Funktionen zusamrnenhangende
•Bruche" (Сообщ. Харьк. матем. общ., т. XI, 1935, стр. 27—34).
В заключение заметим, что результаты статей Чебышева и Золотарева получили
недавно прекрасное применение в теории электрических фильтров в работах
В. Кауэра (См. статью W. Cauer'a в Mathem. Zeitschr., 38, 1933, стр. 1—44. В этой
статье имеются указания и на другие работы этого автора, относящиеся к
рассматриваемой теме).
Н. Акиезер
,0 РАЗЛОЖЕНИИ В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ РЯДОВ,
РАСПОЛОЖЕННЫХ ПО НИСХОДЯЩИМ СТЕПЕНЯМ ПЕРЕМЕННОЙ"
В рассматриваемом мемуаре П. Л. Чебышев исследует важный вопрос о том,
как изменяются корни ортогонального полинома при изменении моментов.
Предполагая, что точка С = (Cq, Сь ..., С2т_1) не выходит из области D
пространства 2т измерений, в которой определители

а*(0 =
4П
ct... cft_,
С2 . . . 6ft
Q • • ' ^2k 2
(* ="- h 2,
«ваожительны, а также положительны корни полинома
я*(*;0 =
С,
■С,
• С,
m+l
^м—1 ^т * * * ^2m~f
I л: . . . Xм
Че^ышев доказывает, что эти корни суть возрастающие функции от
Cv С3, С2т 1
я убывающие функции от
С0, С2
"2т-2'
Вскоре вслед за появлением статьи Чебышева А. А. Марков опубликовал
замечательную работу „О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные
дроби" (Приложение к LXXIV тому Записок Академии Наук, 1894), которая недавно
переведена на английский язык Шохатом (Duke Math. Journal, 1940). В этом
мемуаре Марков дал другое доказательство приведенной теоремы Чебышева о нулях.
Указанную выше область D Марков определяет с помощью неравенств
1° A*(Q>0 (*=*!, 2,
2° Д<*>(С)>0 (£=1,2,
т),
т),
где
А<*>(С)=
Ч с2
с2 cz
. с
*+1
с2£-1
Предполагая, что точка с = (с^ си ..., с2ш_,) принадлежит D, и задаваясь числом
Л > 0, Чебышев находит некоторую оценку для величины //, при которой
принадлежит D всякая точка C = iC^ Cp ..., С2т Л, координаты которой удовлетворяют
неравенствам
\Ck — ck\<-
(k = 0, 1, ?/я - 1).
Этому посвящена большая часть мемуара Чебышева.
Марков продолжил исследования Чебышева. Основной результат Маркова
гласит: пусть две точки А = (Л^ Л,, ... , Ачт-\\ & ^ (^о» &v • • • » ^2m-i)
принадлежат D и пусть имеют место неравенства
Л0>В0у АХ^ВХ, А22*В% .-., А^^^В.^^;
тогда принадлежит D всякая точка С = (С0> Cj, ..., C2m_„t), координаты которой
^овлетворяют неравенствам
A0^C0^Bq, At<.ClKBv A2^zC2>B2,
^2m-l ^ C2m~\ ^ ^Im-V

- 412 —
При этом имеют место неравенства
Д<*> (А) < Д<*> (С) < Д<*> (В), (*- ]. 2, • • •, mj
и нули полинома Рт(х; С) больше соответствующих нулей полинома Рт(х; Л)
и меньше соответствующих нулей полинома Рт {х\ В) (н^ли нумеруются в порядке
роста, и соответствующими считаются нули с одинаковыми номерами). Из других
работ, относящихся к рассматриваемым вопросам, отметим упоминаемые Марковым
статьи: I о а с h \m s t h a 1, Bemerkungen fiber den Sturmschen Satz, и Frobenius*
Ober Relationen zwischen Naherungsbrucben von Potenzreihen, напечатанные в 48
и 90 томах журнала Crelle, а также статьи М. Г. Крейна: „О спектре якобие-
вой матрицы в связи с теорией крутильных колебаний валов" (Матем. сборник, 40)
и ,06 узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специального
типа" (там же, 41).
Я* Ахиезер

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
О функциях, подобных функциям Лежандра 5
Об определении функций по значениям, которые они имеют при некоторых
величинах переменной ....... 1Л
О функциях, наименее уклоняющихся от нуля 24
О квадратурах 49
О предельных величинах интегралов 6Л
Об интерполировании величин равноотстоящих 66
О пределе степени целой функции, которая удовлетворяет некоторым известным
условиям 88
О приближенных выражениях, линейных относительно двух полиномов 89
О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной 108
О приближенных выражениях одних интегралов через другие, взятые в тех же
пределах 128
Об отношении двух интегралов, распространенных на одни и те же величины
переменной 131
Об одном ряде, доставляющем предельные величины интегралов при разложении
подинтегральной функция на множители 157
Об алгебраических дробях, которые в данных пределах представляют
приблизительно квадратный корень из переменной 170
О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных
вычетов 172
Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов . 191
О суммах, составленных из коэффициентов рядов с положительными членами
(письмо С. В. Ковалевской) 226
О двух теоремах относительно вероятностей . . . . j 229
О приближенных выражениях квадратного корня переменной через простые
дроби 240
О суммах, составленных из значений простейших одночленов, умноженных на
функцию, которая остается положительною о 256
О разложении в непрерывную дробь рядов, расположенных по нисходящим
степеням переменной 307
О полиномах, наилучше представляющих значения простейших дробных функций
при величинах переменной, заключающихся между двумя данными пределами 363
О суммах, зависящих от положительных значений какой-либо функции .... 373
Комментарии:
„О функциях, подобных функциям Лежандра/ „О функциях, наименее
уклоняющихся от нудя# (Б. Гончаров)', 394
яО квадратурах* (Я. Ахаезер); 394
„О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах
переменной*;
.0 полиномах, наилучше представляющих значения простейших дробных
функций при величинах переменной, заключающихся между двумя данными
пределами" (R Гончаров}; 394

,0 предельных величинах интегралов" (Я. Ахиезер); А. А.Марков. О
предельных величинах интегралов; 396
„О приближенных выражениях одних интегралов через другие, взятые в
тех же пределах*; »Об одном ряде, доставляющем предельные величины
интегралов при разложении подынтегральной функции на множители"
(Я Ахиезер) 403
.О двух теоремах относительно вероятностей" (А. Колмогоров); 404
„О приближенных выражениях квадратного корня переменной через
простые дроби" (Н. Ахиезер) 409
.О разложении в непрерывную дробь рядов, расположенных по
нисходящим степеням переменной" (Я. Ахиезер) 410

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Академии Наук СССР
Редактор Д. А. Васильков
Технический редактор Я. Я. Аузан
Корректор Л. К. Николаева
*
РИСО АН СССР 2822. А-Ш)55
Тип. заказ № 3164.
Иода, к печ. 22/П 1948 г. Формат бум. 70xi08Vi«
Печ. л. 26. Уч.-издат. 34,5. Тираж 2500
Цена в переплете 30 руб.
2*х типография Издательства Академии Наук СССР
Москва, Шубинский пер., д. 10