АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ
С ОЧИНЕНИЙ
П.Л.ЧЕБЫШЕВА
TomtIV
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ
ЖЗААТЕ-ЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА-ЛЕНИНГРАД
4.948

//
*Йв^

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Академики И. Я. Артоболевский, С. Я. Бернштейн (председатель), Я. Г. Бруевич,
Я. М. Виноградову А. Я. Колмогоров, А, Я. Крылов,\ Л. С. Лейбензон,
В. И. Смирнов, С. Л. Соболев; член-корреспондент АН СССР Б. Я. ДелонеТ
профессор В. Л. Гончаров
Ответственные редакторы IV тома
Академик Я. И. Артоболевский, академик Я. Г. Бруевич

ОТ РЕДАКЦИИ
В четвертом томе полного Собрания сочинений П. Л. Чебышева
помещены в хронологическом порядке его труды по теории механизмов
и машин. Комментарии составлены И. И. Артоболевским и Н. И. Ле-
витским. Помещена также статья И. И. Артоболевского и Н. И. Ле-
витского „Модели механизмов П. Л. Чебышева", в которой приведены
схемы и фотоснимки моделей, изготовленных при жизни П. Л.
Чебышева.
Мемуар „Теория механизмов, известных под названием параллело-
грамов" как по методу изложения, так и по содержанию имеет
математический характер и включен поэтому во второй том настоящего
Собрания сочинений П. Л. Чебышева, где напечатаны его труды по
математическому анализу. Положения, указанные в этом мемуаре,
полумили дальнейшее развитие в работах по теории механизмов
как у самого Чебышева, так и у ряда других исследователей;
создалось даже особое направление в теории механизмов,
разрабатывающее аналитические методы синтеза механизмов. В связи с этим
упомянутый мемуар приобрел в настоящее время особый интерес не
только для математиков, но также и для инженерно технических
работников, ведущих исследования в области теории механизмов.
Поэтому мемуар „Теория механизмов, известных под названием
параллелограмов" выходит также отдельным выпуском, где, кроме
комментариев к нему, помещена статья И. И. Артоболевского и
Н. И. Левитского о дальнейшем развитии и перспективах применения
аналитических методов приближенного синтеза механизмов, впервые
указанных П. Л. Чебышевым.

О НЕКОТОРОМ ВИДОИЗМЕНЕНИИ
КОЛЕНЧАТОГО ПАРАЛЛЕЛОГРАМА
УАТТА *
(Перевод Л- Л/. Ляпунова)
Механизм, известный под названием коленчатого параллелограма
Уатта, представляет решение следующего, в известных случаях
важного для практики вопроса:
Посредством комбинации круговых движений произвести с
достаточным приближением прямолинейное движение.
При всей полезности этого механизма для практики нельзя не
признать, что в отношении точности хода и но своей сложности он
оставляет еще желать многого. Чтобы убедиться в этом, достаточно
заметить, что параллелограм Уатта производит то же движение, как
механизм с балансиром,** хотя в своем составе содержит двумя
стержнями более, а в механизмах этого рода всякий новый элемент,
очевидно, вносит новые средства для достижения большей точности
хода. Желая воспроизвести прямолинейное движение с возможно
большей точностью как при посредстве механизма с балансирому
так и при посредстве, параллелограма Уатта, мы достигаем овального
движения, которое приближается к желаемому прямолинейному лишь
настолько, что имеет с ним не более пяти общих элементов. Но такая
степень приближения, без сомнения, далеко недостаточна для
механизма столь сложного, как параллелограм Уатта, который состоит из
четырех частей, находящихся при построении механизма в нашем
распоряжении и доставляющих каждая два произвольных параметра:
длину и направление. Принимая в расчет, что произвольных параметров
здесь 8, мы видим, что возможно попытаться построить механизм,
который, при той же сложности как и параллелограм Уатта, был бы
способен доставлять движение, гораздо более близкое к искомому
* Читано 30 (18) октября 1861 г. Опубликовано под названием „Sur une
modification du parallelogramme articule de Watte* в Bull, phys.-math. de TAcademie Imperiale
des Sciences de St.-Petetsbourg, t. IV, p. 433—438; русский перевод А. М. Ляпунова—
в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, там. 1>
СПб., 1899, стр. 531—538. — Ред.
** См. Комментарии, стр. 239 настоящего тома.—Ред.

— 6 —
прямолинейному, и именно имеющее с ним не пять, а восемь общих
элементов.
Это мы и пытались сделать, и мы нашли, что такой механизм
можно получить, сочленяя четыре стержня параллелограма Уатта
между собою и с коромыслом следующим образом:
Фиг. 1
На этом чертеже АВ представляет ту половину коромысла, на
которой требуется построить механизм, производящий приблизительно
прямолинейное движение по вертикали VV, проходящей через конец В
коромысла в его горизонтальном положении; ВС, DE, CF, FG четыре
стержня, составляющие этот механизм, С точка, доставляющая
требуемое движение, G неподвижная ось стержня FG, представляющего,
как и в параллелограме Уатта, контр-балансир. Все эти стержни
сочленены с коромыслом и между собою таким же образом, как
и в параллелограме Уатта, с той только разницей, что стержни DE
и FC не связаны более между собою, а соединены при помощи
шарниров с контр-балансиром FG в двух различных точках Е и F.
При построении этого, механизма, стержни CF и FG должны быть
сделаны равными -—i- АВ, а расстояния BDn EG равными ——— АВ,
4 2
вследствие чего линия BD представит среднюю пропорциональную
между всей линией АВ и ее частью AD, а линия EF будет
половиной AD. Стержням ВС и DE следует дать одинаковую длину,
которая может быть выбрана правильно при том лишь условии, чтобы
она не превосходила заметным образом половины хода точки С. Что
касается -точки G, центра вращения контр-балансира FG, то она
должна быть помещена таким образом, чтобы при горизонтальном

положении коромысла стержни ВС и DE были вертикальными, а
стержни CF и FG принимали одно и то же горизонтальное направление,
как это можно видеть на фигуре 2.
Таково устройство механизма, который при тех же составных
частях, что и в параллелограме Уатта, будет доставлять движение,
V
Фиг. 2
приближающееся к прямолинейному настолько, что будет иметь с ним
восемь общих элементов. В последнем легко убеждаемся, определяя
расстояния точки С от вертикали W (фиг. 1) в функции угла
наклонения коромысла;* ибо при этом замечаем тотчас же, что
Эти расстояния, как нетрудно видеть, выражаются формулою
^— АВ (cos ф — cos 9)»
где <р и ф СУТЬ углы, определяемые в функции а, угла наклонения коромысла
такими двумя уравнениями:
■ VI
/5-1 \*
cos фI +
+
ВС
Ъ — Vb .
sin а-
1/"5 — 1 .
\АВ S
1 — cos а + ~л c°s 9 ■
•51119
К5+1
ВС*
АВ*'
г / ВС i -
4
V5+1
cos ф 12 -j-
sin 9 +
VE +
1 • X l
АВ*

— 8 —
кривая, описываемая точкою С, в точке, соответствующей
горизонтальному положению коромысла, имеет касательную вертикаль VV,
с которою вблизи этой точки имеет 7 общих элементов, и что кривая
эта пересекает ту же вертикаль в расстоянии от G, меньшем ВС,
что вводит еще один элемент, общий этим линиям на протяжении
хода точки С.
Из этого видно также, до какой степени быстро убывают
уклонения точки С от вертикали VV (фиг. 1) по мере того, как
уменьшается амплитуда качания коромысла, ибо эти расстояния по отношению
к углу наклонения коромысла суть 7-го порядка. Что касается до
обыкновенных случаев практики, в которых наклонение коромысла
никогда не достигает углов большой величины, то ход
рассматриваемого механизма по своей точности значительно превышает ход
параллелограма Уатта. Так, например, обращаясь к случаю,
рассматриваемому Прони в его известной заметке „Sur !e parallelogramme
du balancier de la machine a feu" (Annales des Mines, tome XII), когда
длина полукоромысла АВ равна 2,515 м, длина стержня ВС равна
0,762 м и предельный угол наклонения коромысла равен 17°35'30",
мы находим, что механизм, о котором идет речь, при этих условиях
давал бы лишь такие уклонения от вертикали, которые менее 0,05 мм.
Параллелограм же Уатта, согласно Прони, дает в этом случае
уклонения, доходящие до величины в 40 раз большей, а именно
до 2 мм, что представляет величину уклонения, которою нельзя
пренебрегать в ходе подобного механизма.
До сих пор, стараясь возможно более приблизиться к
осуществлению вертикального движения, мы принимали в расчет только число
элементов, общих вертикали и кривой, описываемой точкою С, между
тем как сближение этих линий, а следовательно, и точность хода
рассматриваемого механизма в значительной степени зависят от
положения этих элементов. Этот вопрос был предметом наших изысканий
в 1-й части мемуара под заглавием „Теория механизмов, известных
под названием параллелограмов"*, где мы предложили способы делать
такое сближение возможно более полным. Прилагая эти способы
к нашему настоящему случаю, мы можем найти те небольшие
изменения, которые нужно ввести в величины параметров механизма,
чтобы сделать ход его возможно более точным. При посредстве этих
поправок уклонения точки С от вертикальной линии могут быть
уменьшены приблизительно в отношении 1 к 27 (§ 5 цитированного
мемуара), а так как мы только что видели, что в обыкновенных
Отсюда для приближенного выражения этих расстояний получается следующий
ряд:
7-ZVE~AB* т , 1^5 — 2 Л£3 л г
а' 4- а8 4- . . .
32 ВС 16 ВС2
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 23—51 и 474—485; стр. 238—250
настоящего тома. —Ред.

— 9 —
случаях практики эти уклонения уже сами представляют величины
весьма малые, именно сотые доли миллиметра, то ясно, что в этих случаях
поправками элементов точность хода механизма может быть доведена
до предела, недостижимого для технических средств изготовления
механизмов. Поэтому для обыкновенных случаев практики нет
никакого основания разыскивать новый механизм, который был бы способен
доставлять прямолинейное движение с точностью еще более
значительною. А так как, согласно тому, что сейчас было нами показано,
эта степень точности достигается при посредстве механизма,
составленного из тех же частей, что и ныне употребляемый параллелограм
Уатта, недостатки хода которого нередко чувствуются в практике,
то должно признать, что наш измененный механизл! заслуживает
особенного внимания.
Заметим еще, что если в вышеприведенных величинах элементов
этого механизма перед радикалом J/!) изменим знак, то придем к такой
новой форме механизма:
Фиг. 3
где
CF = FG=-- V5~~1 AB,
4
2
Для этого нового вида степень точности хода механизма остается
прежняя, но для его построения приходится продолжить коромысло
за точку В на длину, равную
BD^J±1AB,
2
что представляет значительные практические неудобства.

ОБ ОДНОМ МЕХАНИЗМЕ
В мемуаре под заглавием „Теория механизмов, известных под
названием параллелограмов" ** мы показали, каким образом через
последовательные приближения можно найти с желаемою степенью
точности наивыгоднейшие размеры составных частей параллелограма
Уатта и других механизмов того же рода, доставляющих движение,
близкое к прямолинейному. Через разложение в ряды мы свели этот
вопрос на определение целых функций, наиболее подходящих к нулю,
и в мемуаре под заглавием „Вопросы о наименьших величинах,
связанные с приближенным представлением функций",*** мы
рассмотрели определение под таким условием функций целых и дробных.
Для приближенных решений этого достаточно, но для точного решения
необходимо подвергнуть такому же анализу функции иррациональные,
которые здесь представляются. Приложение к таким функциям общей
теоремы, доказанной нами в последнем из выше упомянутых мемуаров
касательно выражений, наиближе подходящих к нулю, интересно во
многих отношениях, и как один из результатов такого приложения
мы теперь покажем устройство одного механизма, замечательного
и по своей простоте и по точности, с которою он дает прямолинейное
движение.
Этот механизм состоит из тех же частей, как и сокращенный
параллелограм Уатта,**** также сочлененных между собою; вся
разница — в направлении рычагов, вращающихся около неподвижных
осей: они идут в одну сторону и между собою перекрещиваются.
Рычаги берутся одинаковой длины, и точка, доставляющая желаемое
движение, находится на средине части, сочлененной помощью шарниров
с концами рычагов. Прилагая вышеупомянутую теорему к функции,
определяющей движение этой точки, находим, что движение ее
наиближе подходит к прямолинейному, на протяжении более или менее
значительном, при следующих условиях:
* Читано 20 (8) октября 1868 г. Опубликовано в Зап. Имп. Акад. Наук, т. XIV,
1863, стр. 38—46; Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова
и Н. Я. Сонина, том ,11, СПб., 1907, стр. 49—-57.— Ред.
** Том И настоящего Собрания сочинений, стр. 23—51 и 474—485; стр. 238—250
настоящего тома. —Ред.
*** Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 151—235 и 496—507.—Ред.
**** См. Комментарии, стр. 239 настоящего тома.—Ред.

— 11 —
1) если расстояние между осями вращения рычагов составляет
одну треть длины всех трех частей механизма, т. е. двух рычагов
и части, сочлененной с ними;
2) если часть, сочлененная с концами рычагов, длиннее четверти
каждого из рычагов. Чем ограниченнее то пространство, на котором
желают иметь движение, близкое к прямолинейному, тем длина этой
части должна быть ближе к
четверти длины рычагов и тем с
большею точностью получается
прямолинейное движение. Длина этой
части определяется таким
уравнением:
/2= (5-2д)(2д + 1)(4и-1)
{а + 2)*
где а — длина этой части, / —
длина хорды той дуги, которую
стараются сделать по
возможности ближе к прямой линии. (За
единицу принимается длина
рычагов.) Получаемая при этом ФИГ. i
дуга, как нетрудно убедиться,
будет вся заключаться между двумя параллелями, отстоящими от
осей вращения рычагов на расстояния, равные
l/4(l-^)(2 + a), 1/±(1-д)(2 + а)+ (4*~1)3 .
В самом деле. Пусть будет (фиг. 1) САА±Сг рассматриваемый
механизм, где АС = 1, АкСг = 1— рычаги, вращающиеся около осей
ССХ, ТААг = а-— часть, сочлененная помощью шарниров с концами
рычагов, и середина которой М дает желаемое движение. По
сказанному нами, ССХ, расстояние между осями вращения рычагов АС, АхСи
должно равняться
ЛС+ А1С1 + АА1 _ 2 + а
3 — 3
Восставляя из середины линии ССХ перпендикуляр ОН и продолжая
линии СС1У АхА до пересечения их в точке V, мы для определения
расстояния точки М от линий CV, ОН из треугольника MXV,
прямоугольника MXOY и треугольников 'ACV, AXCXV получаем такие
уравнения:
MX = MV-sinOVM;
MY = OX =OV — ЛПЛ cos OVM ;
AC2 = (MV - AM? + (OV + ОС)2 - 2 (MV - AM) (OV + OQ cos OVM;
AjCJ = [MV Ц~ AxMf + {OV — OCxf - 2 (MV +
+ AXM) (OV - OQ) cos OVM.

12 —
Из этих уравнений, полагая
И
замечая,
что
по
. OVM c
sm = о
2
выше сказанному
АС
АМ--
пп =
= 1, А^
= АХМ=^±
2
or.. = Я91 =
= 1,
а
2 + а
мы находим
Za T /I За
(1 + '2аУ-
1) MX = а
2) MY = a-
3(2 + а) а
Определяя по формуле (1) величину разностей
МХ---{\— а) (2 +а),
мы находим, что они представляются так:
V За
(1 + 2а)*
3 (2 + л) я "
-S1
tfM^(4^1)(l+2,)y/^ 4a-1
6 (2 + а) а
(2 + д)<* Л_
(3 + 2*)2
3 (2 + а) а
— S2
а потому произведение
[ж^1(3-а)(2.+ а)][Ж^1(1-а)(2 + й)-^]
равняется
aMy-4^iy^-(4a-])(1+2a))s
За
6 (2 4- а) а
(1 + 2аУ
3 (2 + «) а
■S*
S*-
4а— 1
(2 + а) а

— 13
Так как здесь квадрат
За j \ 6(2+ а) а
(1 + 2аУ
S*
3(2+«) л
при всех действительных величинах S имеет значение положитель-
4а - 1
ное, а множитель
52 —
(2 + а) а
при S2
4а — 1
(2 + л) а
имеет значение отрицательное, то при изменении S2
л 4я—1
от 0 до произведение
(2 + а) а
|^_l(l_fl)(2 + ^
будет оставаться отрицательным; а для этого множители
MX'
i(l_a)(2 + a),
MX*— l(i-a)(2 + fl)— (4a~1)a
9 /V ]2(2 + fl)*
должны иметь противоположные знаки, и, следовательно, величина
М*2
должна заключаться между величинами
i.(i_ a) (2-fa),
У
±(l_fl)(2 + a) + i^=i£..
9 V ; V ' ; ' 12 (2 + а)2
Из этого видно, что от S2 = 0 до 52 = ■ расстояние точки УМ
(2 + а)«
от линии ССХ будет заключаться в пределах
]/Т
(1 -а) (2 +а),
|/
±(1_а)(2 + д)+^^; ,
12 (2 + а)*
иг следовательно, точка М не будет выходить из пространства,
ограниченного линиями, параллельными линии СС1 и отстоящими от нее
на расстояния
/
l/i.(l-fl)(2-f а),
±(l_a)(2 + a) + J*L=J>i
9 ' 12 (2 -f a)1

— 14 —
С другой стороны, по устройству механизма нами
рассматриваемого, точка М будет одинаково двигаться снизу и сверху линии ОН.
Вследствие этого дуга, описываемая ею при изменении S2 от 0 до
4а ~~ * -, будет одинаково расположена по ту и по другую сторону
(2 + а) а
линии ОН, и хорда /, стягивающая такую дугу, будет равняться
удвоенному расстоянию концов ее от линии ОН. Но по формуле (2),
делая в ней
52== 4*-1
(2 + а) а '
мы находим, что это расстояние выражается так:
MY = /~(b-2a){\+2a )(4g-j)
V 4 (2 +«)s
А потому
1=2л/ (5-2a)(l + 2д)(4д-1)
у 4(2 +я)*
что по возведении в квадрат дает
/2 = (5 — 2д)(1 + 2а) (4д-~1)
(2 + я)2
Так мы убеждаемся, что при /, удовлетворяющем этому
уравнению, дуга, стягиваемая хордою / и которой середина находится на
линии ОН, действительно вся заключается между двумя выше
показанными параллелями.
Всякий раз, когда величина а незначительно разнится с 1/4, эти
параллели близки друг к другу, а потому и дуга, рассматриваемая
нами, мало отличается от прямой линии. Но по мере удаления а от 1/4,
выше показанные параллели друг от друга отодвигаются и рассматриваемая
нами дуга более и более изгибается. При а, превосходящем 0,546*
(что соответствует /> 1,222), эти изгибы до такой степени
значительны, что рассматриваемая нами дуга в концах своих загибается к
линии ОН, вследствие чего наибольшее удаление точек от линии ОН
имеет место не в концах дуги, а в некотором расстоянии от них.
Чтобы показать до какой степени движение, доставляемое этим
механизмом, близко подходит к прямолинейному на пространстве
довольно значительном, мы приложим выше показанные формулы
к случаю
/ = 0,64,
как это имеет место в параллелограме Уатта, которого . действие ис-
27
* Т. е. корень уравнения (а2 — Ьа + 2) (2а — 5) {2а + 1) — - (4а — 1) =0,
которое получаем, приравнивая нулю производную MY2 no S и полагая в ней»
(2+ а) а

— 15 —
следовал Прони и нашел весьма удовлетворительным (Annales des
Mines, tome XII).
Принимая / = 0,64 и решая при этой величине / уравнение
/2 = (5-2л)(1 +2д)(4я~1) ^
(2 -f aY
мы находим
а = 0,327.
Вставляя эту величину а в выражения
j/\i(l-a)(2 + a),
I / — (1 — a) (2 + a) 4- r2- »
J/ 9 v /v i / i 12(2+д)2
определяющие расстояние параллелей от осей вращения рычагов, мы
находим, что первое равняется
0,83428,
а второе
0,83457.
Следовательно, расстояние между
параллелями будет
0,83457 — 0,83428 = 0,00029.
По вычислениям же Прони в
паровой машине, где плечо коромысла
имело 2,515 метра длины, паралле- Фиг. 2
лограм Уатта представлял
уклонения, простиравшиеся до 0,002 м, или до 0,00079, если принять за»
единицу плечо коромысла. При действии же механизма, нами
рассмотренного, эти уклонения, как сейчас нашли, будут простираться
только до 0,00029, что не составляет и половины числа 0,00079.
Заметим в заключение, что известное построение, служащее для
перехода от сокращенного параллелограма Уатта к полному,
прилагается без всякого изменения к механизму, нами рассмотренному, и.
через то получается полный параллелограм Уатта с отводным
радиусом, направленным в противную сторону и пересекающимся с
коромыслом. Такой параллелограм представлен на фиг. 2, где точка М
будет описывать дугу, которая, как видно из предыдущего, будет
менее уклоняться от вертикальной линии, чем та, которая получается»
при обыкновенном расположении отводного радиуса А'С. Но при
таком изменении в . устройстве параллелограма Уатта линия,
описываемая точкою М, как видно из чертежа, делает слишком острый
угол с коромыслом 4С, что составляет весьма важное неудобство.

О ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ*
(ПОСВЯЩАЕТСЯ ИМПЕРАТОРСКОМУ ТЕХНИЧЕСКОМУ УЧИЛИЩУ)
§ 1. На практике до сих пор употребляются только три различных
параллелограма: сокращенный и полный параллелограмы Уатта и па-
раллелограм, известный под названием механизма Эванса. Но
подобных механизмов, доставляющих движение, подходящее в большей
или меньшей степени к прямолинейному, можно составить много.
В заседаниях Петербургской Академии Наук (1861 г. окт. 18-го,**
1868 г. окт. 8-го***) и Московского Математического общества (1867 г.
ноября 18-го) мы говорили об устройстве таких параллелограмов,
которые своею точностью превосходят параллелограмы, ныне
употребляемые. Теперь мы покажем, каким образом можно составлять
различные параллелограмы, доставляющие прямолинейное движение
с приближением, по желанию большим. При этом мы увидим, что с
тем же числом составляющих частей, как и полный параллелограм
Уатта, можно сделать такой параллелограм, который даст
прямолинейное движение с точностью до 13 степени, между тем как
параллелограмы Уатта и механизм Эванса дают это движение с точностью
не выше 5-й степени, в параллелограмах же, предложенных нами, эта
степень меняется от 6 до 8. Такой параллелограм, как мы увидим,
имеет еще то преимущество, что он, сохраняя в действии своем
точность, еще достаточную для практики, может своими частями заменять
мотыль и шатун для преобразования попеременного прямолинейного
движения в непрерывное вращательное. Говоря о различных
параллелограмах, мы будем иметь в виду только бесконечно малые движения,
при которых степень точности параллелограмов особенно легко
определяется; для перехода же от бесконечно малых движений к
конечным нужно будет сделать некоторые изменения в размере их
частей. Эти изменения вообще будут незначительны, если движение
параллелограма происходит в пределах довольно тесных, и тогда
* Опубликовано в Трудах второго съезда русских естествоиспытателей,
происходившего в Москве с 1 сент. (20 авг.) по П сент. (30 авг.) 1869 г., Отдел
технологии и практической механики, 1870, стр. 9 — 30; Собр. соч. П. Л. Чебышева под
ред. А. А. Маркова и Н. Я- Сонина, том II, СПб., J907, стр. 83 — 106. — Ред.
** „О некотором видоизменении коленчатого параллелограма Уатта", стр. 5—9
настоящего тома. — Ред.
***„Об одном механизмеа, стр. 10 настоящего тома. — Ред,

— 17 —
они могут быть вычислены помощью рядов по способу, показанному
нами в мемуаре „Теория механизмов, известных под названием парал-
лелограмов*.* Но последний из выше упомянутых случаев, когда
параллелограм своими частями заменяет мотыль и кривошип, требует
особенного приема, так как в этом случае, далеко отступающем от
случая бесконечно малых движений, ряды не могут быть с пользою
употреблены. Этим случаем мы особенно займемся и дадим все
формулы, относящиеся до него.
§ 2. Механизмы, известные под именем параллелограмов, вообще
могуг быть рассматриваемы как системы прямых линий, двигающихся
в одной плоскости и связанных между собою шарнирами, которые
препятствуют точкам соединения линий скользить по ним, но не
мешают изменяться углам, составленным этими линиями. Кроме того,
некоторые из них прикреплены к некоторым точкам плоскости, так
что эти линии могут только вращаться около точек прикрепления.
Называя через т число линий, составляющих параллелограм, через п
число шарниров, связывающих эти линии по две, и через <v число
точек прикрепления, мы замечаем, что на плоскости место каждой
из т линий рассматриваемой системы, определяется 3 величинами
(за которые, например, можно взять две координаты одного из
концов линии и наклонение ее к оси абсцисс). С другой стороны,
каждый из п шарниров, связывающих две линии, и каждая из v точек
прикрепления, линии к плоскости дают по два уравнения между
величинами, определяющими положение рассматриваемой нами системы
(а именно: связь двух линий шарниром предполагает равенство
координат двух точек, принадлежащих двум линиям; прикрепление линии
одною из ее точек к плоскости предполагает данными координаты
этой точки). Из этого видно, что в рассматриваемой нами системе
место всех точек будет определяться Ът величинами, связанными
между собою 2 (п -f- v) уравнениями, и, следовательно, число
независимых переменных представится разностью
3/и —2(/1 + ф).
Но это число должно равняться 1 для того, чтобы точки
рассматриваемой системы могли двигаться только по определенным
траекториям, как это имеет место в параллелограмах; а потому
Зги —2(/i + <z;) = 1. (1)
С другой стороны, мы замечаем: 1) что рассматриваемая нами система не
должна свободно двигаться в плоскости и 2) что все линии, ее
составляющие, должны быть в связи между собою.
Первое предполагает необходимым существование точек
прикрепления и, следовательно, неравенство i>>0.
* Taw.II настоящего Собрания сочинений/ стр. 23—51 и 474—485 ящ 228—250
нас*<5ь*щег о том я -** \Рвдл
2 П. Л. Чебышев, т. IV.

— 18 —
Второе предполагает, что п9 число шарниров, больше т — 2, так
как т — 2 шарниров, очевидно, недостаточно для того, чтобы связать
по две все т линий, составляющих систему. По уравнению же (1)
при п > т — 2, находим
^ га 4- 3
^ 2
Из этого видно, что v, число шарниров, должно удовлетворять
таким неравенствам:
§ 3. Принимая в уравнении Ът — 2{п + v) = 1 числа т и я + гг
за неизвестные и решая его, находим такие величины для т и n-\-v:
т = 1, n-\~v = 1; яг = 3, я + ^ = 4; /?г = 5, /х + '0 = 7
и т. д.
Рассматривая первые значения /я и n-\-v
т = 1, я +i; = 1,
мы замечаем, что по (2) при т — 1 должно быть
о>0, *,<L±i = 2,
что предполагает <z> = 1. Следовательно в этом случае параллелограм
приводится к одной линии, вращающейся около одной из своих точек.
При этом получается круговое движение, которое может заменить
прямолинейное только с точностью до второй степени.
Переходя к следующим значениям т и п + v, имеем
т = 3, п + v = 4.
А по (2) при т = 3 находим
*>>0, «><£±i = 3,
что предполагает для v одну из таких величин:
<о= 1, <я=- 2.
По равенству же
л -{- ^ = 4,
этим величинам ^ будут соответствовать такие величины п:
/z = 3, n = 2.
Итак, при /те = 3 будет, или
^=-1, /г = 3,
или
1/ = 2, я = 2,
В первом случае рассматриваемая нами система представляет
линию, вращающуюся около одной из своих точек и связанную с двумя

— 19 —
другими помощью трех шарниров, или, что одно и то же,
треугольник, вращающийся около точки, лежащей на од:-юй из его сторон.
При этом все точки могут двигаться только по кругам и,
следовательно, могут дать прямолинейное движение только с точностью до
2-й степени.
Во втором случае, когда
т = 3, v = 2, п = 2,
рассматриваемая нрми система представляет две линии, вращающиеся
около двух неподвижных точек и связанные с третьею помощью
двух шарниров. Эго простейшая система параллелограмов, которые
могут дать прямолинейное движение с точностью выше второй
степени; таковы суть: сокращенный параллелограм Уатта, механизм
Эванса и параллелограм, предложенный нами в прошлом году. *
Первые два параллелограма дают прямолинейное движение с точ
ностью до 5-й степени, последний—до 6-й степени.
В третьей системе значений т и п + v имеем
т — 5, п + v = 7,
и по (2), при т = 5, находим
v>0, v<^±l = 4,
откуда ясно, что v, число точек вращения линий, может иметь только
такие значения:
v=l, v = 2, г> = 3.
По равенству же
n-\-v = 7
находим, что этим величинам v будут соответствовать такие
величины числа п:
п = 6, п = 5, и = 4.
Первые величины v и п
v = 1, л = 6
соответствуют тому случаю, когда 5 линий связаны 6 шарнирами и
вращаются около точки, лежащей на одной из них. При этом линии
составляют неизменную систему и все точки их могут описывать
только круги.
При
v = 2, п = 5
получаются параллелограмы, составленные из двух вращающихся
около неподвижных точек линий, сочлененных с тремя другими
* £м. „Об одном механизме", стр. 10—15 настоящего тома. — Ред.
2*

— 20 —
помощью пяти шарниров; таковы суть: полный параллелограм Уатта
и параллелограм, предложенный нами под названием измененного
параллелограма Уатта. * Первый из этих параллелограмов дает
прямолинейное движение с точностью до 5-й степени; второй —
до 7-й.
При том же сочленении составных частей, как и в параллелограме
Уатта, но при другом направлении их получается параллелограм,
упоминаемый нсми в конце нашей статьи,
под заглавием: „Об одном механиз-
мев. ** При надлежащем размере
составных частей, такой
параллелограм дает прямолинейное движение с
точностью до 6-й степени.
Сочленение же частей такое, как в
измененном параллелограме Уатта, но
с другим направлением дает
параллелограм, изображенный на фиг. 1.
Такой параллелограм, как нетрудно
показать, может дать прямолинейное
движение с точностью до 6-й
степени, и для этого размеры его частей
должны быть определены следующим
образом.
Если длину линии ВС,
вращающейся около точки С, примем за
единицу и положим GF—f, BF = А
(длина этих линий произвольна), то
все остальные части параллелограма и точка А на линии AF
доставляющая желаемое движение, найдутся по формулам
Фиг. 1
1-2/» '
CD =
(1-/)(!-/*)
1-2/-
ОС =
р
\-f-p
h,
f
-h. ***
!_/_/»
Место точки С, около которой вращается линия СЕ, выбирается
так, что в среднем положении параллелограма линия DE идет по
линии CD и пятиугольник EDBPG обращается в прямоугольник.
* См. стр. 5—9 настоящего тома.— Ред.
** См. стр. 10—15 настоящего тома.— Ред.
*** В предыдущих изданиях формула для величины АВ имела вид:
Здесь эта формула дана с исправлениями, указанными 3. Ш. Блох (стр. 251
настоящего тома). — Ред.

— 21 —
§ 4. Переходим теперь к последним величинам v, n,
возможным при
т = 5.
Эти величины суть
v = 3, п = 4,
и они, как увидим, дают параллелогрчмы особенно замечательные
по точности их действия. Так как v = 3, то в этих параллелограмах
линий, вращающихся около неподвижных точек, будет 3, и они все
должны быть в связи между собою при помощи остальных линий,
которых всего 2; а это возможно только в том случае, когда по
крайней мере одна из 2 линий
связывающих будет непосредственно
сочленена с двумя линиями,
вращающимися около неподвижных точек:
эти-то две линаи, вращающиеся
около неподвижных точек, вместе с ли-
ниею, их связывающею, мы, для
сокращения терминологии, будем
называть первою частью параллелограма;
другую же линию, вращающуюся
около неподвикной точки, и линию,
связывающую ее с прочими, будем
называть второю частью параллелограма.
Параллелограм, о котором мы говорили в заседании Московского
Математического общества 1837 года, 18-го ноября, принадлежит к
разряду таких параллелограмов. В нем первая часть представляет
собою сокращенный параллелограм Уатта; вторая же часть делается
так, что в среднем положении параллелограма все тра вращающиеся
около неподвижных точек линии параллельны между собою, и обе
линии, связывающие их, сливаются в одну, перпендикулярную к ним.
Такой па; аллелограм (фиг. 2), как вычисления показывают, дает пря-
молинейяое движение с точностью до 8 степени, если в размере его
частей выполнены следующие условия:
1) Все три линии ВС, CD, С"ЕУ вращающиеся около неподвижных
точек С, С, С", должны быть равны.
2) Расстояния точки Л, доставляющей желаемое движение, от
концов F, Е линии FE должны иметь такие величины:
Фиг. 2
AF
BF2 — DF*
4FD '
Л£ =
(BF—DFY
AFD
§ 5. Параллелограмов рассматриваемого нами вида можно
составить много, изменяя вид первой части и давая различные направления

— 22 —
линиям, составляющим вторую часть. Чтобы параллелограмы,
таким образом составленные, давали прямолинейное движение с
желаемою степенью точности, их части должны удовлетворять
некоторым уравнениям, которые легко найти в каждом частном случае. Но
эти уравнения оказываются довольно сложными, и число их
возрастает вместе со степенью точности параллелограма, а потому
решение их представляет трудности непреодолимые, когда имеются в виду
параллелограмы, отличающиеся особенною точностью их действия.
Затруднение эго в составлении
L ! таких параллелограмов не имеет
места, если во второй, части
• параллелограма линия, вращаю-
: щаяся около неподвижной
точки, и линия, связывающая ее
с остальною частью
параллелограма, выполняют такие условия:
1) Вторая линия вдвое
длиннее первой и сочленена с нею
Фиг. з своею серединою.
2) Один конец второй линии
доставляет желаемое движение, а другой конец сочленен с
остальной частью параллелограма.
3) В среднем положении параллелограма конец второй линии,
доставляющий желаемое движение, совпадает с точкою, около которой
вращается первая линия.
При выполнении этих условий второй частью параллелограма, он,
как нетрудно убедиться, дает прямолинейное движение с точностью
до 2Х -[- 1 степени, если первая часть его доставляет такое движение
с точностью-до X степени, и направление этого движения одинаково
с направлением линий второй части параллелограма при среднем
его положении.
В самом деле, пусть будут (фиг. 3) CB,CD и CB',AD' два
положения линий, составляющих вторую часть параллелограма: одно —
соответствующее среднему положению параллелограма, когда точка Л,
доставляющая желаемое движение, совпадает с точкой С, около
которой вращается линия СВ', другое,—когда точка А прошла
бесконечно малую дугу СА, а точка D, направляемая в своем
движении первою частью параллелограма, прошла бесконечно малую дугу
DD'. По выше сказанному линия CD будет касательной к дуге DD\
так как эта линия представляет направление движения точки D.
Соединяем точки А и С, С и D1 прямыми AC, CD', восставляем
из точки С перпендикуляр CL к линии CD и из точек Д, D'
опускаем перпендикуляры Да, £>'£ на линии CL* CD.
По положению имеем
AD' = CD =-. 2СВ\ АВ' = £'£>',

— 23 —
откуда видно, что угол ACD прямой, а так как по построению угол
LCD тоже прямой, то углы АСа, D'CD равны и, следовательно,
прямоугольные треугольники АСа, D'C$ подобны. Из подобия же
треугольников имеем
Ла _ JSD^
AC CD' '
что дяет нам для определения величины Аа уклонения точки А от
прямой CL,
CD' K '
из прямоугольного же треугольника CD'p имеем
CD12 = С(32 + р£>'2,
а так как
и
CD = AD\
то это дает нам
CD'2 = (AD' — (Ш)2 + р£>'2.
Замечая же из прямоугольного треугольника ACD', что
С£>'2 = А£>'2 — АС2,
мы из этого равенства выводим
AD'2 - АС2 = (AD' - (3D)2 + (3D'2,
что по раскрытии скобки и сокращении дает
— АС2^ — 2AD'. (Ш + (3D2 + р/У*.
В этом равенстве AD' величина конечная, величины же AC, р/5,
PD' бесконечно малые и порядок бесконечно малой р/)' выше
порядка бесконечно малой р£>, так как линия CD касательная к дуге DDr:
вследствие чего это равенство предполагает, что PD есть бесконечно
малая относительно АС второго порядка. Но по положению pZ)f
должна быть относительно (Ш бесконечно малой порядка X, так как
дуга DD\ описываемая точкой D, представляет прямую CD с
точностью до "к степени. Следовательно, линия р/)' относительно
линии АС будет бесконечно малой порядка Zk, а это по выше
найденному равенству
CD' к
предполагает, что Аа, уклонение точки А от прямой линии 1С, будет
относительно АС бесконечно малой порядка 2Х+1.
§ 6. На основании доказанного нами очень просто можно
составлять параллелограмы более точные из параллелограмов менее точных,

— 24 —
прибавляя к последним систему двух линий, о которой мы сейчас
говорили. Так, от сокращенного параллелогр ма Уатта, доставляющего
прямолинейное движение с точностью до 5 степени, мы переходим к
пг.раллелограму, изображенному на фиг. 4, который при выполнении
условий, показанных в § 5, будет давать прямолинейное движение
с точностью до 11 степени. Этот параллелограм состоит из трех
линий ВС, В'С, ВпСп, вращающихся около неподвижных точек С,
С, С и двух линий В'Вп, AD, сочлененных с первыми помощью трех
Фиг. 4 Фиг. 5
шарниров В, В', В"\ желаемое движение доставляет конец А
линии AD. Точно так же от механизма Эванса, доставляющего
прямолинейное движение с точностью до 5 степени, мы переходим к парал-
лелограму, показанному на фиг. 5, который может дать прямолинейное
движение с точностью тоже до 11 степени. Этот параллелограм
состоит из тех же частей, как и предыдущий; вся разница в
положении неподвижных точек С, С, около которых врашаются линии В'С,
В"Сп, и шарнира D, сочленяющего линии AD и В'В". В § 3 мы
видели, что из тех же частей, как и сокращенный параллелограм Уатта
и механизм Эв1нса, составляется параллелограм, которого точность
простирается до 6 степени. Прибавляя к такому параллелограму две
линии, удовлетворяющие условиям, показанным в предыдущем
параграфе, мы получим параллелограм, который даст прямолинейное
движение с точностью до 13 степени. Парчллелогрпм, таким образом
получаемый, представлен на фиг. 6. Он также состоит из пяти линий:
трех ВС, В'С, ВгСп, вращающихся около неподвижных точек С,
С, С", и двух В'Вп, AD, сочлененных с первыми помощью трех
шарниров В, В\ Вп. Свободный конец линии AD доставляет
желаемое движение. Этот параллелограм разнится с первым из выше
показанных только положением точек С\ С*, около которых
вещаются линии В'С, В"С".

— 25 —
Так как этот параллелограм дает прямолинейное движение с
точностью до 13 степени, то, по § 5, прибавляя к нему еще две линии,
цы можем получить параллелограм, который будет действовать
с точностью до 27 степени; прибавляя же еще две линии, мы
увеличим степень точности до 55 и т. д. Но считая вполне достаточной
для практики точность до 13 степени,
мы остановимся на последнем из
выше показанных параллелограмов и не
будем говорить о параллелограмах
более сложных.
§ 7. Доставляя прямолинейное
движение верно до степени столь
высокой, рассматриваемый нами
параллелограм может дать с точностью,
достаточною для практики, прямую
линию значительной длины
сравнительно с размерами его частей. Оставляя
линии АВ, ВС той же длины и
увеличивая длину пути точки А к верху и к низу от точки С
(фиг. 7), мы дойдем до того, что линля ВС будет совершать
полуоборот по правую сторону линии LM$ проходящей через точку С и
перпендикулярной к линии С С". Еслл же при этом мы перенесем
Фиг. 6
Фиг. 7
Фиг. 8
точки С С" с их места и поместим их симметрично по обе стороны
линии LM (фиг. 8), то все положения параллелограма будут
симметричны около линии LM. А потому движению точки А между
крайними пределами, о котоэых сейчас говорили, будет одинаково соот-
ветствэвггь и полуоборот линии ВС по правую сторону линии LM и
полуоборот линии ВС по левую сторону LM. Следовательно, при
таком расположении точек С, С", около которых вращаются линии

— 26 —
В'С, ВпС, полный оборот линии ВС около точки С будет
соответствовать движению точки А от одного крайнего предела до другого
и возврату ее на прежнее место. При той значительной степени
точности, которою обладают параллелограмм рассматриваемого вида,
оказывается возможным сделать достаточно близкою к прямой линии
всю дугу, проходимую точкой А при полном обороте линии ВС около
точки С. Этого мы достигаем, как показывают вычисления, давая
составным частям параллелограма размеры, определяемые таким образом.
За единицу принимаем длину линий В'С, BnCfr, вращающихся
около точек С, С; длина линии В'В" = а, сочлененной с этими
линиями, и С1 С = Ь, расстояние точек С, С", выразятся так:
а = ! ; (3)
. 3d + — сг2 4- (8 — о) 1/ 1 — - с -I-. — а*
^ 64 Г ' ' * 2 1 64
V
i + У 4 —2а + h а*
»-- (4)
V
8-3a + ga* + (8_a)"j/l —£«+£«*
где а есть sinus-versus угла наклонения линии В'В" к линии С'С
в крайнем положении параллелограма; линии СВ, АВ, BD и AD
определяются равенством
ВС = ЛВ --- BD^~ - 1/, (5)
где / — длина хода точки Л, которую найдем по формуле
'V'
(х + 1)* ' W
. <j
2X
полагая
<2
_ 4 — (g+ ft)»
2д&
(7)
Точка А в которой линия В'В" сочленена с линиею Л£>, берется
на средине линии В'В"; а место точки С, около которой вращается
линия ВС, выбирается так, что в среднем положении параллелограма,
когда линия В'В" параллельна линии СС, точка D совпадает с точкой С.
§ 8. Нетрудно показать, что при таком устройстве
рассматриваемого нами параллелограма уклонения точки А от прямой линии LM
во время полного оборота линии ВС около точки С не будут
превосходить предела
128 г

— 27 —
где М есть наибольшая величина, которой достигают дроби
2 р. — 2Ха + — — 2\s— s2
а
(X -4- 1 -S)2((i + 5)2 f(Xt 1)2-^ ) (2-5)
2Х
2\l — 2Х<? + —- — 2X5 — 52
а2
/(X -I- I)2 \"»
2Xv(il + s)(^-^--s) (2-5)
между 5 = 0 и 5 = a.
Чтобы показать это, мы сначала найдем формулы, определяющие
место точки D (фиг. 9) при различных наклонениях линий В* В" к СС.
Для этого принимаем
линию СС за ось абсцисс,
линию LM за ось ординат;
точка О, пересечение этих
линий, будет начало
координат, и так как по выше
сказанному точки С, С
расположены симметрично
около линии LM, то
со = со
и, следовательно,
СО^Ю^-СС^-Ь.
2 2 Фиг. 9
Продолжая линию В'В" до пересечения ее с осью абсцисс в
точке V, мы замечаем, что координаты точки D по длине линий DV и
OV и углу BVC — а выразятся так:
х = 01/ — D1A cos a, j/ = DV- sin a.
С другой стороны, мы замечаем, что
B'V = £>V + £>Bf, B"V = /Л/ — Z)fi",
су = oi/ — ос, су = ov+ос,
откуда по равенствам
/)В' = DB" = ~ В'В"
4t
а
~2
ос=-2,
0С" = -.
2

— 28 —
выводим
B'V = DV+ — , ВЧ/=£>1/--.
C'V=OV -'-, CV = 01/ + -;
и так как длина линий В9С, В"С принята нами за единицу, то из
треугольников CB'V, C"BnV имеем
1 = {DV+ T )' + (0V-±J-2(DV+ i)(w-i-)co8«,
1 = (DV+ f)'+ (0V + \y-2(DV-± ){0V + \ )cos«.
Решая эти уравнения относительно величин DV и OV и полагая
для сокращения
находим
0V =
1 —
■ fo+i
COS a = 5, — = X,
а
4-(д + *)2 _
/" ** + *
Внося эти величины DV и 07 в выше показанные выражения
координат х, у точки D и замечая, что равенство
1 — cos a = s •
дает
cos а= 1—5, sin а== Ys (2 — s),
получаем
-§У'
fr + j)g(2-g)
Лег_1/ (V+04
2Х
*
^
Е+*
Так выражаются координаты точки D по sinus-versus угла
наклонения линии В'Вп к линии С'С".
% 9. Приступая к определению отклонений точки А от прямой LM, ]
опускаем из точки А перпендикуляр А<х на линию LM: длина этого/
перпендикуляра представит отклонение точки А от линии LM. Для I
1

— 29 —
определения этой длины опускаем из точки D перпендикуляр DD'
на ось абсцисс, а из точки С восставляем перпендикуляр СР к оси
ординат; линии С8, DD будут координаты точки Д а потому на
основании выведенных нами в § 8 выражений х и у имеем
f 2Х
+ -
£>£>' = — (X + 1 — 5) 1/ (X + i)2
2 Г 2Х
Делая в последнем из этих выражений нулем величину 5=1 — cos a
и замечая что это соответствует тому случаю, когда линия В'В'1
параллельна линия С'С\ причем, по § 7, точка D совпадает с точкою
С, находим для определения линии ОС такую формулу:
I I/ (X + I)2
2Х
С другой стороны, соединяя точки С и D прямою CD, а точки
А я С прямою АС, замечаем, что по равенству линий (§ 7)
ВС = АВ = BD,
угол ACD прямой, а так как угол aCS, по построению, тоже прямой,
то прямоугольные треугольники ЛСа, ОСЬ подобны и, следовательно,
А<х
АС '
Аос =
Db
~ CD*
: Db —
CD
что дает нам
(8)
Но Db — DD'—D'8 и Z)fS=CO, откуда, по внесении выше
найденных величин СО, DD\ получаем
яли, что одно и то же,
2
/'
Умножая здесь числителя и знаменателя на сумму

30
находим
2
(X+1-,?)2(H + *) - ц [(X + I)2 - 2л5]
У 2Х
+ D3
(X + 1 - 5) КУ+s + ^ f* ((Х+1)2 —2А5)
]
что, по раскрытии скобок в числителе, приводится к следующему:
Di =
S'J + G* - 2X-2)j» + (fi+ l)2 —2fQs
/
(*+J)
2X
(x + i~^)^ + ^+vr^ ((* + i)2
- 2X^)
Внося же в выражения вспомогательных величин к и р.
* 4 - (fl + ЪУ
Л = , ^ — ,
а 2аЬ
значения а и Ь, по § 7, находим, что они через <т выражаются так:
-.у
4 — 2а Н от2
16
/;
а потому
I* = 4 — о + 2 I/ 4 — 2а + — а2 ;
(х — 2Х — 2 = — от,
(9>
и выше найденное выражение ZD5 приводится к такому виду:
D8 =
S* — а$2 + -™ a2s
i/
(*+02
2X
(X + 1 - s) K|x + ^ + V "jT((X'+' 1)* -2Xs)
]
Переходя ко второму множителю
AC
CD
выражения Аса по формуле (8), мы замечаем, что АС как катет
прямоугольного треугольника ACD равен
а потому
Но по § 7
АС
CD
VAD2 — CD2,
CZ> |/ CD*
Л£
/,

— 31 —
по построению же
CD>C8,
где
С8 = OD' = х,
вследствие чего находим
/т
CD ^ м/
откуда, по внесении величины х, полученной в § 8, имеем
CD ^ J а!<
(*+3)2
— — $
2Х , 1
что иначе можно написать так:
ь/ /^ /YX-M)3
Но по уравнению (6), определяющему величину хода /, выражение
обращается в нуль при s=a, что предполагает делимость этого
выражения на s—<х. Раскрывая скобки в этом выражении и деля его на s— a,
мы находим частное
s2 + (р. + <* - 2) s + (ii + с - 2) а - ~ - 2ц,
где, по (9),
вследствие чего это выражение может быть заменено таким
произведением двух множителей:
(a^s) Ы - 2Хст + ~ - 2X5 — А
а потому вы1Ш*. показанное неравенство приводится к такому виду:
|/(«-*)(2
■ , v- -у '2(Л —2Ха+ — — 2XS--S2
CD Vs(il + s)(2 — s)
§ 10. Мы видели (§ 9), что Ла, отклонение точки А от прямой
линии IM, равняется произведению

— 32 —
где
з
Db = JL ^ * .
" ]/ (2^T~ — ^ [^(^ + 3 — ^r) V^F^ + К ^ ( (^ + 1)^ _ 2Х6Г)
AC V (^~^)(2^-2^+ ^—2^-*»)
Ci> Vs (y. + s) (2-6-)
откуда видно, что Ла будет меньше произведения этих двух
выражений, а это произведение может быть разложено на два таких
множителя:
?2-**+ -^г*}'/ *(°-з)
(X + 1 - j) Y* + s + Vy. ((X + 1)* - 2Х*)
2u —2X& + — —2Xs —$*
J_ Л2
Останавливаясь на первом из этих множителей, мы замечаем, что
выражение
по возведении в квадрат дает
- [> - 3(75* + — ст254 - И Л8 Г — *4*2 - — °&S 1,
L '8 8 ' 256 256 J'
где полином, стоящий в скобках, равняется квадрату полинома
58 - — as2 + — a2s — — а3
2 16 32
без
32* '
а потому это выражение может быть представлено в таком виде:
V 32* V 2 Г 16 32 J '
откуда видно, что числовые значения этого выражения не будут
превосходить предела

— 33 —
С другой стороны, мы замечаем, что в этом множителе
знаменатель
(I Jr 1 _ s) |/,Г+~5 -f 1/Ж>. + 1)2~2>^
будет больше удвоенной величины наименьшего из двух членов
(>Ч-1-5)/|Г=рТ, ]/">((), + i)2_2xs),
его составляющих, и, следовательно, будет больше наименьшей из
двух величин
2(Х + 1 -5)]/]Г+Т, 2j/>((>*+l)2-2U).
А так как в этом множителе, * по замеченному выше, числитель
не превосходит предела
32 '
то этот множитель будет меньше наибольшей из двух таких дробей:
32 а*
2 (X +1—5) VV 4- 5 64 (X + 1 —8) ViT+s :
32 у»
2 Vy. [(X + 1 )2 - 2X5] 64 V ^ [(X + 1 )* - 2X5]
вследствие чего произведение этого множителя на второй множитель
/2
2 р. — 2Ха + —-2Х$ — $а
а2
(liH2_s\(, + 5)(2_s)
будет меньше наибольшего из таких произведений:
M{x + ^-s]^r^T-s 2 у ((±±^_s\{!i + s)(2_s)
2fi. — 2Х<7 + — — 2X5 — £*
я2
/2
2(х —2Ха + — — 2te —J1
а2
которые приводятся к следующим:
2а — 2Ха -| — 2U — s2
д2
(X+1-*)2((X^1)8 -^(,* + *)*(2-*)
3 П. л. Чебышев, ». IV.

— 34 —
ea' __ / йг
у;
128 ■/ 2* (^ -,)*(, + ,> (2-,,
А так как для s возможны только значения от s = 0 до s = а, то
наибольшая из этих двух величин не будет превосходить предела
128 У
где Af означает наибольшую величину, которой достигают выражения
/2
2а — 2Хс + — — 21S — 52
Л2
(x + l-g)»((X"^1)2 -И(?Л + *)2(2-*)
/2
2р. — 2Хс + —- — 2X5 — s2
г д2
от 5 = 0 до s — <т, и, следовательно, это будет предел значений Ла,
отклонений точки Л от прямой линии LM, что и нужно было показать.
§ 11. Чтобы дать пример употребления выведенных нами формул,
а вместе с тем и показать, сколь значительна степень точности,
с которою рассмотренный нами параллелограм дает прямолинейное
движение, мы возьмем
а=- 1.
Делая в формулах (3), (4), определяющих а и />,
а=1,
находим
а = —— - _=■ -=0,30992;
Ь4 ^ J/ 64
уж
/? = — - с F — = 0,76831.
Вставляя эти величины а и b в выражения (7), определяющие
значение вспомогательных количеств к, р., находим
X „ МЁЁ1 . 2,47902,
0,30992 ' '
_ 4-(0,30992+ 0,76831)' _ q
^~ 2.0,30992.0,76031 ~ 5'95804'

— 35 —
При этих величинах X, ц, а и с = 1 формула (6), определяющая
длину хода /, дает
/(5,95804+ 1).1.(2-1]
(2,47902 + I)2"
2-2,47902 ~~ Х
.„„^ ... '■ = 0,68099.
/ = 0,30992
По величине / равенства (5) нам дают
ВС = $№* = 0,17025,
4
АВ = Ш™ = 0,17025,
4
BZ>= «И»-0,17025,
4
AD = ОШ99 = 0,34049.
2
Таковы должны быть размеры различных частей показанного нами
параллелограма, если за величину а принимаем единицу.
Уклонения от прямолинейного движения в таком параллелограме,
по § 8, будут меньше
Шум,
128 Y
где М есть наибольшая величина, которой достигают дроби
2 ц — 2ла + ■— — 2 as — S2
(Х+1 -*}■№ + *)■ ((Х"^Х1)>—^) (2-5)
2р — 2Ха+ — — 2U — S2
/(Х4-1)- \2
между s = 0 и s = а = 1.
Внося в выражение этих дробей величины с, а, X, р., / и
ограничиваясь двумя десятичными знаками, находим, что они равны
11,79- 4,96* -~s2
(3,48 - s)2 (5,96 + s)2 (2,44 - s) (2 - s) '
U,79 - 4,96s-s2
29,54 (5,96 -f s) (2,44 - sf (2 - s) '
. Эти ,же, дроби, как нетрудно ааметить, идут постоянно возрастая
от s — 0, до $ = 1; а поэтому в этих пределах наибольшие их вели-
чины будут при s =* 1. Делая < '
5=1,
3*

— 36 —
мы находим, что первая дробь приводится к 0,0136, а вторая к 0,0137.
Последняя величина, как бблыыая, и будет наибольшею величиною,
до которой достигают такие дроби между 5 = 0 и 5 = 1, и,
следовательно, по нашему знакоположению,
М = 0,0137.
Внося эту величину М и величины а, а в формулу
^УЖ
128 Y
находим, что уклонения от прямолинейного движения в
рассмотренном нами случае будут меньше
°>3(ШМЗ УЩШ = 0,000283,
128 v
что не составляет и 0,00042 длины хода / = 0,68099, между тем как
в параллелограме Уатта, бывшем предметом исследований Прони.
(Annales des Mines, tome XII), эти уклонения превосходят 0,00060,
длины хода. *
Из этого видно, что такой параллелограм, доставляя
непосредственно преобразование попеременного прямолинейного движения в
постоянное круговое, может заменить собою в паровых машинах и
параллелограмы, ныне употребляемые, и мотыль с шатуном. ** Заметим
в заключение, что при этом отношение скоростей оказывается таким,
какое может дать мотыль только при длине бесконечно большой.
4
* С уменьшением <х, предел этих уклонений быстро уменьшается, Так при
4
— , когда а = 0,29533, Ь = 0,76415, / = 0,59676, этот предел меньше 0,00014; д
2
* = — , когда а = 0,28648, Ь = 0,76175, / == 0,53716, эз
** См. Комментарии, стр. 251 настоящего тома. — Ред.
2
при d = — , когда а = 0,28648, Ъ = 0,76175, / == 0,53716, этот предел меньше 0,00001

О ЦЕНТРОБЕЖНОМ УРАВНИТЕЛЕ
§ 1. В настоящее время известно несколько центробежных
уравнителей, которых скорость вращения остается одна и та же при всех
возможных положениях подвижной муфты. Но такого рода
изохронизм, весьма важный для практики, достигается только введением
новых частей в состав центробежного уравнителя Уатта, через что
этот механизм лишается своей первоначальной простоты. Средство
наиболее простое для собщения уравнителю изохронизма, бесспорно,
представляет пружина, как ее употребил Фуко в своем уравнителе;
но при этом для полного изохронизма необходимо, чтобы действие
пружины неизменно и вполне точно следовало одному определенному
закону, чего на практике нельзя достигнуть. Что касается устройства
изо хронических уравнителей без помощи пружины, то по сложности
их они оказываются неудобоприменимыми на практике. Если же
невозможно достигнуть вполне изохронизма, оставляя центробежный
уравнитель Уатта в его первоначальном составе, то, с другой стороны,
легко заметить, что степень уклонения его от изохронических
уравнителей зависит от размера и расположения его частей; а потому,
прежде чем решаться на усложнение его с целью сообщить ему
изохронизм (которого на практике во всяком случае можно
достигнуть только отчасти), необходимо определить наибольшую степень
приближения к изохронизму, которая возможна для центробежного
уравнителя в его простейшем составе. Такого рода исследования
относительно центробежного уравнителя приводятся к вопросу
математического анализа, подобного тому, который представляется при
определении наилучшего устройства параллелограма Уатта, и решение
этого вопроса, как мы увидим, показывает, что центробежный
уравнитель Уатта, при надлежащих размерах его частей и расположении
их, так близко подходит к изохроническому, что нет надобности
усложнять этот механизм с целью достигнуть изохронизма. Степень
приближения к изохронизму, которая оказывается возможною для
уравнителя Уатта, едва ли не превосходит ту, которой можно ожидать
на практике при выполнении уравнителей совершенно изохронических
* Опубликовано: Отчет и речи, произнесенные в торжественном собрании Имп.
Моск. Техн. Учил. 20 (8) сент. J871 г.; Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред.
А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907, стр. 107—126. — Ред.

— 38 —
§ 2. Рассматривая центробежный уравнитель Уатта (фиг. 1), мы
будем предполагать, что стержни, снабженные шарами, продолжены
за точки их прикрепления к оси уравнителя и концами своими
сочленены с ручками, поддерживающими подвижную муфту, как это часто
делается на практике. Но не ограничиваясь частным случаем
стержней прямых, мы будем
предполагать, что они в точках
прикрепления их к оси уравнителя перегнуты
и образуют некоторый угол ф. Часть
стержня от точки сочленения с
ручками до точки прикрепления
его к оси уравнителя, для
сокращения терминологии, мы будем
называть первою частью стержня и
длину ее примем за единицу.
Другую часть стержня — от точки
прикрепления к оси уравнителя до
центра шара—мы будем называть
второю частью стержня и длину
ее будем изображать через г.
Угловую скорость вращения мы будем
вообще изображать через со, а
нормальную величину этой скорости
через о)0? угол наклонения первой
части стержня к оси уравнителя
при нормальной скорости
вращения со0 мы будем изображать через <р; а тот же угол при
какой-нибудь скорости со через <р + ос, так что а будет представлять изменение
этого угла при уклонении скорости вращения от ее нормальной
величины со0.
Определяя по началу возможных перемещений условие
равновесия силы тяжести, постоянно действующей на муфту и шары, и силы
центробежной, которая происходит при вращении со скоростью си, мы
находим такое уравнение:
Фиг. 1
i +
COS (ф + °0
VI
sin2 (<p + а)
— 9 —а)
Sin (ср -|- а)
sin (ф — <
2г 1 + ~-rcos(«p —
-а),
где т — длина ручек, за единицу веса принят вес шара, а Р есть
вес муфты.
Решая это уравнение относительно со2, находим
. cos(? + g)
Vm*~ sin2 (9 -т-«)
sin {9 -f *) Р — 2г Sin (ф — 9 -- а)
2 — sin (ф — 9 — а)-COS (•{/ — 9 "~ а)

— 39 —
что по разделении на соо может быть представлено под видом
COS (9 +а)
Vm2 — sinj(9 + a)J
2г
sin (9 + а) — — sin (-J* — 9 — *)
Р
2 2
0>ог 8ш2(ф — 9 — «)
^
или
! ^_ cos (9 + °0
l. Vm2 — sin2(9 + a)_
sin (9 + °0 — ^ sin (ф — 9 — °0
В sin 2 (ф — 9 — а)
полагая
2г
,2^2
= Л
Pg
= в.
(i)
Так как по нашему обозначению величина
а = 0
соответствует
то функция
<*>о>
1 +
COS .(9 +
Vm*-
s\nl (9
«) 1 •
si
sin (9 -f- °0 — A sin (ф — 9 — a)
В sin 2 (ф — 9 — a)
(2)
при a == 0 должна равняться 1.
Полный изохронизм уравнителя, как видели, предполагает, что
угловая скорость о при всех возможных положениях муфты и,
следовательно, при всех возможных величинах угла а, определяющего
ее положение, остается равною одной и той же величине о0, для
чего функция (2) должна приводиться к единице. Но если эта
функция ни при каких значениях постоянных
Л, В, т, ф, ?,
в нее входящих, не делается тождественною единице, то, с другой
стороны, надлежащим выбором этих величин уклонения ее от 1 при
значениях а, представляющихся на практике, могут быть доведены
до размеров весьма малых и, следовательно, центробежный
уравнитель, в котором А, В, т, <р, ф имеют такие величины, будет очень
близко подходить к изохроническому.
§ 3. При определении параметров, с которыми данная функция
наименее уклоняется от какой-либо постоянной величины при все*
значениях переменной, заключающихся в известных пределах,
необходимо различать два случая: 1) случай, когда эти пределы
бесконечно близки между собою, и 2) случай, когда эти пределы разнятся
между собою конечною величиною, более или менее значительно*},

— 40 —
Величины параметров, получаемые в первом случае, как показано
было в мемуаре нашем под заглавием „Теория механизмов, известных
под именем параллелограмов", * представляют первое приближение
для определения их во втором случае, приближение, по которому
более точные величины этих параметров легко отыскиваются по
способу, показанному в упомянутом нами мемуаре.
Останавливаясь на первом случае, когда пределы а бесконечно
близки между собою, мы замечаем, что в этом случае степень
приближения выражения
(ф+*) Т
sin2 (9 + «) J
COS(ф ■ , _.,
1 -f — т ' sin (9 + a) — A sin (ф — <p — a)
/m2 —sin2'
В sin 2 (ф — 9 — a)
к 1 определяется низшею степенью а в разложении разности
:os (9 + *) 1 .
1 Sin
>-sin2(9 + a)J
COS (
1 + T ' "У - I Sin (9 + a) — A sin ('b — 9 — a)
|/'jrn2-sin2(9 + a)J ' j
В sin 2 (ф — 9 — a)
по восходящим степеням a.
Разлагая эту разность в ряд по степеням а и приравнивая нулю
коэффициенты при
а0, а, а2, ос\ а4,
мы находим пять уравнений, которые должны быгь удовлетворены
для того, чтобы низшая степень а в этом разложении доходила до 5,
что составляет высшую степень приближения выражения (2) к
единице, так как пятью уравнениями, получаемыми при этом, вполне
определяются все пять параметров, входящих в него.
Решая уравнения, таким образом получаемые, мы нашли, что они
удовлетворяются при следующих величинах А, В, /и,ф,<р:
А -=0,84713,
£ = 0,65616,
т= 1,31271,
ф= 119°10\
? = 58°46\
Внося эти величины в формулу (2), мы получаем выражение,
которое, отличаясь от единицы только членами 5-й и высших степеней,
при а незначительном (как это бывает на практике) мало разнится с
единицею. Так, вычисляя значение этого выражения при различных
величинах а, мы находим, что разность его с единицею достигает
до 0,001 только при <х= 14°40' и понижается до —0,001 только при
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 23—51 и 474—485; стр. 238—259
настоящего тома. — Ред.

— 41 —
а = — 13°50f. С уменьшением же числовой величины а эта разность
уменьшается очень быстро, а именно: почти как пятая степень а.
С другой стороны, вычисляя высоту муфты при
а= 14°40f, а= — 13°50', *
находим, что при переходе а от 14°40f до —13°50' муфта поднимается
на 0,62 первой части стержня, принятой нами за единицу длины. При
уменьшении же предельных величин а высота подъема муфты, как
показывают вычисления, уменьшается почти пропорционально первой
степени а. Из этого видно, что, давая различным частям
центробежного уравнителя Уатта такие размеры и расположение, при которых
отношение — приводится к выше найденному выражению, мы сделаем
его очень близко подходящим к изохроническому, а именно: по выше
показанному при всех положениях муфты на длине, равной 0,62,
ы2 11
отношение — не будет выходить из пределов 1-| , 1 и,
% 1000 1000
следовательно, разность со — со0 будет заключаться между -J——
2000
и . С уменьшением же длины хода муфты на ОД, 0,2, 0,3, 0,4
его первоначальной величины пределы разности со — со0 уменьшатся
пропорционально
0,95;0,85;0,75;0,65
и вследствие того приведутся к таким величинам:
± 0,00029со0; ± 0,00016о>0; ± 0,00008соо; ± 0,00004со0.
§ 4. Сколь ни малы эти пределы уклонений угловой скорости со
от ее нормальной величины со0, эти пределы могут быть еще
уменьшены и очень значительно. Эти пределы уклонений, как мы видели,
получаются в том случае, когда при определении параметров,
входящих в функцию (2), предполагают переменную а бесконечно малою.
Переходя от случая, когда а остается бесконечно малою величиною,
к случаю, когда а удаляется от 0 на конечные, но незначительные
величины, мы по приемам, показанным в выше упомянутом мемуаре,
эти пределы можем уменьшить в 24 = 16 раз. Так как приближение,
доставляемое выше найденными величинами Л, В, /гс,ф,¥, совершенно
достаточно для практики, мы не будем останавливаться на
определении их величин, доставляющих .большее приближение. Заметим только,
что при величинах
Л,5,/я,ф, <р,
* По формуле cos (<р + а) + V ™? — sin2 (<p + *)•

— 42 -
которые таким образом найдутся, разность
COS (cp + а)
1 =
"О
1 +
Vm2 — sin2 (ф + °0.
-2 Я sin 2 (ф~ с? — а)
sin (9 + а) — A sin (']> — 9 ~~ а)
1
будет приводиться к нулю при пяти различных величинах а, и,
следовательно, пять различных положений подвижной муфты будут
соответствовать одной и той же угловой скорости <о0. Что касается
.значений параметров
А, В, т, <р, ф,
при которых всякой угловой скорости вращения соответствовало бы
только одно положение муфты, они также найдутся по способу,
показанному нами в вышеупомянутом мемуаре, только при этом
полином, наименее уклоняющийся от нуля, безусловно должен быть
заменен полиномом, который наименее уклоняется от нуля,
постоянно возрастая или убывая. Определяя различные полиномы
под этим условием, мы находим, что полином, необходимый в
настоящем случае, представляется следующею формулою:
5 (аг — ар)1- / <хх + <*о '\ 3 | 5 (а, - а0)« / _ осх + *о \
18 V • 2 J ' 144 V 2 ) '
где ах, а2 означают пределы переменной а, в которых искомый
полином вида
а5 + Да4 + 6а3 -f col2 -f doL -f e,
постоянно возрастая или убывая, наименее удаляется от нуля и что
при помощи этого полинома пределы уклонений выражения (2) от
•единицы, показанные в § 3, уменьшаются в отношении 4:9.
§ 5. Ограничиваясь первым приближением, мы по § 3 будем
иметь
А = 0,84713,
5 = 0,65616,
т= 1,31271,
ф=119°10',
<р= 58°46',
где по (1)
A~*L, В-'ЗИ-. (3)
р ■ /'*
Из этих равенств получаются такие величины Р и г:
r=^.JLt p
Л *» Д» »Н

— 43 —
что по внесении величин А и В дает
г = 1,54906 X , Р=3,65719 X .
% 4
Таким образом получаются величины, необходимые для
определения всех частей уравнителя.
Полагая для примера
— = 0,9,
g
мы по этим формулам получаем
г-1, 72115, Р = 4,06355.
Составляя по этой величине г и выше показанным значениям /га,
ф чертеж центробежного уравнителя, мы находим, что он будет
иметь вид, представленный на фиг. 2, где CD, СЕ — первые части
Фиг. 2
стержней, длина которых (§ 2) принимается за единицу, АС, ВС —
вторые части стержней, которых длина г в нашем примере равняется
1,72115; DF, EF— ручки, поддерживающие муфту*/7; длина их т
постоянно равна 1,31271; угол перегиба стержней АСЕ, BCD равняется
119° 10'. Что касается углов FCD, ECF, определяющих наклонение
первой части стержня к оси уравнителя, эти углы при нормальной
скорости вращения уравнителя равны 58° 46'.
Центробежный уравнитель, таким образом составленный, как
показывает фиг. 2, будет иметь стержни, поднятые вверх, и центры
шаров будут выше точек прикрепления стержней к оси
уравнителя. Кроме того, такой уравнитель от обыкновенного
уравнителя Уатта будет отличаться муфтою, которой вес Р
будет всегда велик сравнительно с весом шаров. Так, в нашем

— 44 —
примере Р будет равно 4,06355 и, следовательно, муфта будет
тяжелее шара слишком в 4 раза. Заметим еще, что вторые часги
стержней придется согнуть, как показано на фиг. 3, для того чтобы
движению их не мешали первые части стержней. Изгибая таким
образом стержни, необходимо иметь в виду, что центры шаров должны
отстоять от точки С на расстояние, равное г, и что наклонение этого
расстояния к первой части стержня должно составлять угол <> = 119° 10\
§ 6. До сих пор мы не обращали внимания на действие массы
стержней и ручек, как это обыкновенно делают в теории
центробежных уравнителей; но при той степени приближения к изохронизму,
Фиг. 3
которую мы имеем в виду, необходимо принять в расчет влияние
этих частей уравнителя. Вводя в условие равновесия действие тяжести
и центробежной силы на частицы стержней и ручек, мы находим
со-
выражение для — -2-, которое может быть приведено к виду (2),
со0
показанному в § 2, если только расположение м!ссы в стержнях и
ручках удовлетворяет одному условию, условию," которое, нетрудно
выразить аналитически вполне строго и которое, по
незначительности массы стержней и ручек сравнительно с мяссою шаров, Может
быть с точностью, достаточною для практики, представлено так:
„Если ручке EF (фиг. 3) по отнятии ее от муфты F дано будет
такое направление, что проекция конца ее F на плоскость
уравнителя* будет в точке С, то момент инерции всего стержня АСЕ
* Плоскостью уравнителя называем плоскость, проходящую через ось его п
центры шаров.

— 45 —
вместе с ручкою EF, с ним сочлененною, должен быть одинаковым
относительно двух плоскостей, перпендикулярных к плоскости
уравнителя и делающих с линиею АС в точке А углы равные— а.
Если такое условие выполняется каждым из двух стержней
вместе с ручками, к ним прикрепленными, и масса их незначительна
сравнительно с массою шаров, выражение, определяющее отношение
-^-, приводится к виду (2) с точностью, достаточною для практики,
когда полагаем
о = уг. AC£+arcsin 2(/? + /?l)-,
т
В = — . r2+0? + />i)(r-$2)
* Р + ^-Р.
(4)
где р — вес одного стержня, pt— вес одной ручки, р — расстояние
центра тяжести ручки от точки ее сочленения с муфтою; X, Y—
координаты центра тяжести, а 5, "i — плечи моментов инерции *
относительно плоскостей yz, xz стержня с ручкою, направленной по выше
сказанному; причем за ось х принимается линия АС, за ось у — пер-
пендикуляр к ней в плоскости уравнителя, за ось z — перпендикуляр
к этой плоскости (фиг. 3).
Что касается г и угла АСЕ, то г представляет расстояние центра А
от точки С, а угол АСЕ — наклонение этого расстояния к первой
части стержня АСЕ. Приведя таким образом к прежнему виду (2)
выражение величины — при действии массы стержней и ручек, мы
получим уравнитель, близко подходящий к изохроническому при
действии этих масс, давая его частям такие размеры и расположение,
при которых величины
А, В, т, ф, ф
* Т. е. величины
V
х\Мх-\-х\Щ
Мг + М«
у\Мх + у\Мг f •
М г + М • +
если через Mlt Af2, ... обозначим частицы стержня и ручки, а через хг, уъ гъ х,
уг* *2, ... координаты частиц Мъ М.>,

— 46 —
имеют значения, показанные в § 2. Внося эти величины А, В, ф в
формулы (4), мы получаем три уравнения
vr. АСЕ -\- arc sin2ip + Pl)V = U9° \0\
1 0,84713 Р
2r + 2Cp + £QX_
т
, 2Р
=-0,65616
(5)
взамен прежних (§ 5). Что касается величин т и <р, то они остаются
без перемены.
§ 7. Чтобы показать на примере употребление выше приведенных
формул, положим, что требуется сделать центробежный уравнитель»
для которого
«о
-^-=0,9.
g
Так как у нас везде за единицу длины принимается длина первой
части стержня, то g, ускорение тяжести, представится числом более
или менее значительным, смотря по длине этой части, и вследствие
того надлежащим выбором этой длины отношение
может быть приведено к величине 0,9, каковы бы ни были угловая
скорость со0 и ускорение тяжести g.
Приступая к определению различных частей уравнителя, мы, для
первого приближения, пренебрегаем массою стер.кней и ручек, для
чего в формулах (5) полагаем
•4
При таких величинах р, рх и при——0,9 формулы эти приводятся
к следующему:
уг. АСЕ-ПУКУ,
— гг- 0,84713,
0,9 —=-0,65616.
р
Решая последние уравнения относительно Риг, находил
Я-4,063, г-1,721.

— 47 —
Первое показывает вес муфты, причем за единицу (§ 2)
принимается вес одного шара; второе нам дает расстояние центра шара от
точки прикрепления стержня к оси уравнителя.
Переходя к более точному определению этих величин, мы по
выше найденной величине г и углу ЕСА ищем приближенное место
центра шара относительно первой части стержня. Для этого, взявши
какую-нибудь прямую ЕС за первую часть стержня и длину ее за
единицу, проводим (фиг. 4) линию АС под углом АСЕ= 119° 10' и
откладываем
ЛС=г=1,721.
Точка А будет местом центра шара, как оно получается в первом
приближении; точка С будет местом прикрепления стержня к оси
уравнителя, и вся ломаная линия АСЕ будет находиться в плоскости
уравнителя. Проводя через
точку А линии AG, AGV делающие
с линиею АС углы CAG, CAGX,
равные 45°, и через эти линии
плоскости Р, Pv
перпендикулярные к плоскости уравнителя, мы
получим те две плоскости,
относительно которых, по §
б,-должен быть одинаковым момент
инерции стержня вместе с
ручкою, прикрепленною к нему и
направленною таким образом,
что проекция ее свободного конца
на плоскость чертежа
приходится в точке С. При этом вся
ручка будет, очевидно, ближе к
плоскости Р, чем к Р19 и то
же замечается относительно ЕС,
первой части стержня; а потому
выше сказанное равенство
моментов может иметь место только в
том случае, когда на второй части стержня будут точки, лежащие ближе
к плоскости Plf чем к Р, для чего эта часть стержня должна
заходить вниз за линию АС, так как, по равенству углов CAG, CAGl7
все точки этой линии равно отстоят от плоскостей Р и Pv Откуда
видно, что изгиб стержней (фиг. 3), который доставляет возможность
им свободно двигаться, необходим для того, чтобы можно было
удовлетворить рассматриваемому нами равенству моментов, оставляя
ручки и первые части стержней прямыми. Так как по мере удаления
точек второй части стержня вниз за, линию АС разница моментов
инерции их относительно плоскостей Р^иР постоянно возрастает, то
последовательными испытаниями нетрудно приискать такое положение
Фиг. 4

— 48 —
прямым, равна некоторой
их, при котором рассматриваемое нами равенство моментов инерции
всего стержня вместе с ручкою будет иметь место, и этого, очевидно, мы
можем достигнуть, давая различные очертания стержню. Так,
предполагая среднюю нить второй части стержня (фиг. 5) состоящею из
двух прямых Cm, An. соединенных между собою дугою тп круга,
к ним касательного, и оставляя первую часть стержня и ручки
прямыми, мы нашли, что при шарах, имеющих в поперечнике 0,8, это
равенство удовлетворяется, если имеет место следующее:
1) Угол ЕСт, образуемый в точке С средними нитями первой и
второй частей стержня, равен 198°, длина прямой нити Cm равна
0,5, а радиус дуги тп равен 0,6.
2) Ширина аторой части стержня СтпА, там где он остается
постоянной величине X. Там же, где
стержень согну г, ширина
идет возрастая от начала
изгиба до середины, где она
5 .
достигает величины — л,
4
после чего начинает
уменьшаться и при конце изгиба
возвращается к прежней
величине X. Закон изменения
ширины этой части стержня
таков, что внешние нити
представляют собою дуги
кругов.
3) Ширина первой части
стержня около точки С
равна X; по мере же
приближения к концу Е ширина
равномерно уменьшается, и
з
в точке Е она равна — X.
Фиг. о
4) На всем протяжении
стержня толщина остается постоянно равною некоторой величине р.
5) Площадь сечения ручек на всей длине их остается равною
0,52Х^.
6) Шарнир, служащий для сочленения стержня с ручкою (сюда
влючается все то, что на концах прикасающихся друг к другу
стержня и ручек выходит за границы, определяемые их длиною,
шириною, толщиною или площадью сечения), составляет 0,13Хц
кубических единиц, нами принятых.
Говоря об очертании средней нити СтпА второй части стержня*
мы ничего не сказали о длине дуги тп и прямой линии пА, так как
длина этих линий определяется тем, что линия An представляет собою
касательную к дуге тп, проведенную из точки А. Что же касается
ft

— 49 —
кругов, определяющих вид внешних нитей на закругленной части
стержня, то они легко найдутся по ширине этой части в начале,
середине и конце ее, как это будет показано ниже (§ 9).
Заметим еще, что утолщение и выемки в стержнях около С, точки
их прекрепления к оси уравнителя, не имеют значительного влияния
на рассматриваемое нами равенство моментов, так как в этом месте
для всякой точки разница расстояний от плоскостей Р и Рг очень
незначительна. То же можно сказать о конце ручки, который должен
быть сочленен с муфтою, так как при рассматриваемом нами
равенстве проекция этого конца на плоскость чертежа будет в точке С,
что предполагает равенство расстояний его от плоскостей Р и Р1т
§ 8. Останавливаясь на случае, когда стержень, ручки и шарниры,
их сочленяющие, сделаны согласно с выше сказанным, и вычисляя
в этом предположении величины р, р1У Y, 5, у\9 р, входящие в
формулы (5), мы находим
р = 13,8ms Z=0,292,
л= 2,5X|s У = 0,205,
Ч*-5Я = 0,044, P=-f\'
где за единицу веса принимается вес шара, которого поперечник в
рассматриваемом нами случае, как видели, равен 0,8 и который мы
предполагаем состоящим из того же вещества, как и стержни с
ручками и шарнирами. rj
Внеся эти величины в формулы (5) и заменяя отношение —- ве-
g
личиною его 0,9, получаем такие уравнения для определения г,
Р и уг. АСЕ:
2г +9.6x^=0,84713, (6)
Р + 2,5^ W
Q 9jf_+0imfi==o gggjg
./> + 2,5Xfi
АСЕ + arc sin 6,7X^ =119° 10'. (7)
~ 0,84713 Р '
Деля первое из этих уравнений на второе, находим
2r+9,6Xfi ^0,84713
(г2 + 0,72^)-0,9 0,65616'
что дает такое уравнение для определения г:
г2 —l,72124r = 7,5bfi:
откуда выходит
г=0,86062 + ]Л),860622 + 7,5Хц..
4 П. Л. Чебышев, т. IV.

— 50 —
Разлагая же эту величину в ряд и ограничиваясь первою степенью
\\iy находим
г = 1,7212 + 4,4 Хц. (8)
Переходя к определению Р, мы замечаем, что уравнение (6) дает
Р + 2,5 Л«а = ~; ,
' { 0,84713 ' 0,84713
что по вставке выше найденной величины г приводится к
следующему:
Р= 4,0536 + 19ла. (9)
Определив таким образом Р, мы на основании уравнения (7)
найдем величину угла АСЕ, а по этому углу и длине АС =-г мы найдем
место точки А, центра шара.
Так с точностью, достаточною для практики, определится стержень
и вес муфты. Что касается ручек, то длина их /и, как видели (§ 5),
всегда равняется 1,31271; площадь же сечения их предполагалась по
всей длине одинаковою и равною 0,52 )*ц, Но, очевидно, мы ничего
не изменим в условиях равновесия, если частицы муфты,
соприкасающиеся с ручкой, будем считать принадлежащими не муфте, а тому
концу ручки, который сочленен с нею. Точно так же может быть
отнесена к другому концу ручки часть массы, назначенной для
образования шарнира, связывающего ручки со стержнем.
С другой стороны, нетрудно заметить, что по незначительности
массы ручек изменение в расположении ее по длине их не будет иметь
значительного влияния на движение уравнителя, если только центр
тяжести ручек остается на прежнем месте. Вследствие этого при
устройстве уравнителей можно уклоняться от сделанного нами
предположения относительно сечения ручек и увеличивать их массу за
счет массы муфты и шарниров.
§ 9. Чтобы показать на призере употребление выше найденных
формул, положим, что величины л, а, определяющие но § 8 ширину
и толщину стержня, имеют такие значения:
д --0,16, а-, 0,12.
Внося эти величины в формулы (8) и (9), находим
г - 1,7212-' 4,4'0,1Г>.0,12--~ 1,8057,
Р — 4,0636 -•;- 19-0,16-0,12 ~- 4.4283.
Внося же величину Р и величины л, \х в уравнение (7), получаем
АСЕ i.-arcsIn-MlOJ^O^.-ngo^
0.84715-4.42ЧН
откуда, замечая, что

— 51 —
выводим
АСЕ+ 1°5V = 119°10',
что дает нам
АСЕ = 119° 10' — 1°58' = 117°12f.
Приступая к определению различных частей стержня, мы, согласно
сказанному в § 7, выбираем длину первой части стержня и чертим
линию ЕС (фиг. 6), равную этой длине. Принимая ЕС за единицу,
проводим через точку С под углом ЕСт, равным 192°, линию Cm,
Фиг. 6
равную 0.5. Восставляя из точки т, конца этой линии, перпендикуляр,
откладываем на нем часть тО, равную 0,6; по сказанному в § 8 точка
О будет центр круга, которого дуга представляет загнутую часть
Фиг. 7
средней нити стержня. С другой стороны, проведя из точки С линию
АС под углом к линии СЕ, равным 117°12', и делая ЛС=г= 1,8057,
мы найдем точку А, место центра шара; касательная An к кругу О,
4*

— 52 —
проведенная из этой точки, определяет точку п, конец загнутой части
нити и начало последней прямой части пА. Так найдется средняя нить
всего стержня.
Переходя к определению крайних нитей, проводим (фиг. 7)
нормали к средней нити ЕСтпА в точках £*, С, т, п, А и к точке 5,
середине дуги тп. На этих нормалях, по ту и по другую сторону
средней нити, откладываем части, равные половине ширины стержня
в этих местах (§ 7), делая
ЕЕ± = ££,= 1. А к=0,06,
"24
СС,= ССо=—X — 0,08,
"2
<>!= Сг,-- -La — 0,08,
"2
тт2— — л. = 0,08,
552 = —.— л = 0,10,
^24
: ля* = -L \ — о,08,
2
= ЛДо=—Х = 0,08.
2
nv Av
с\>, /я2,
л1э 5lf /их,
/i2> ^2? ^2
дуги кругов, мы по § 8 получим очертание внешних нитей стержня.
Заметим при этом, что расширение стержня около точки С,
которое необходимо сделать для прикрепления стержня к оси
уравнителя, не будет иметь значительного влияния на наши уравнения, так
как около С координаты всех точек (фиг. 3) имеют малую величину.
Вследствие этого около точки С стержень может быть расширен,
сколько этого потребует прочность. Увеличивая ж$ массу в конце
его Е для того, чтобы образовать шарнир, мы должны иметь в виду,
что объем всего шарнира на конце стержня и ручки должен
составлять
0,13 Ли,
тт1 =
пп± =
АА,=
Проведя через точки
прямые, а через точки

— 53 —
что при
л = 0,16, pt = 0,12
приводится к
0,002496.
Что касается другого конца стержня, на котором будет шар, то
(фиг. 7), откладывая от точки Л, места центра шара, по направлению
л А линию AL, равную 0,4, радиусу шара, мы найдем то место стержня,
где он будет прикасаться к поверхности шара.
Переходя к ручкам, мы замечаем, что по § 5 длина их всегда
равна т = 1,31271. По формуле же
0,52 1\l
при
X = 0,16, ii = 0,12
мы находим, что в рассматриваемом нами случае площадь сечения
ручек должна равняться 0,01. Мы предполагали, что такое сечение
будет одинаково на всей длине ручек; но по
замеченному в § 8 можно изменять распределение массы по длине
ручек, лишь бы центр тяжести оставался на том же месте. II
Так, вместо ручки с одинаковым сечением по всей длине 1
можно взять ручку, составленную из двух параллельных I
полосок, связанных по средине третьею поперечною по- II II
лоскою (фиг. 8): центр тяжести такой ручки будет тоже по
средине длины. Если вес ручки окажется более того,
сколько он был бы при площади сечения 0,01 по всей длине, на
одну половину лишнего веса ее, как видели, должна быть
уменьшена муфта, а на другую половину шарнир, сочленяю- " ■'
щий ручку с стержнем. Делая то же относительно каждой фиг> 8
ручки, мы должны будем уменьшить оба шарнира на
половину лишнего веса одной ручки, и на весь лишний вес ее уменьшит
вес муфты Р = 4,4283.
Толщина стержня, как видели, предполагается по всей длине его
равною [х = 0,12.

О ЗУБЧАТЫХ КОЛЕСАХ*
§ 1. Рассматривая построение зубчатых колгс в теории,
обыкновенно предполагают данную форму зуба на одном колесе и по ней
ищут форму зуба другого колеса. Таким образом, делая различные
предположения относительно вида зуба одного колеса, можно найти
бесчисленное множество различных видоизменений зубчатых колес.
Но из всех этих видоизменений на практике употребляются очень
немногие. Для того чтобы практика могла, не ограничиваясь этими
частными видами зубьев, употреблять всякий раз то самое очертание
их, которое в данном случае представляется наиболее пригодным,
необходимо иметь такой общий способ черчения их, при котором
легко получалась бы форма зубьев на обоих колесах, наиболее
соответствующая тем или другим требованиям практики. Если иметь в
виду теоретически точное очертание зубьев, определение их формы
под такими условиями представляет трудности непреодолимые. По
практика и не требует точного определения вида зубьев; она
обыкновенно довольствуется приближенным черчением их, при котором
выступы и впадины зубьев ограничены дугами кругов, надлежащим
образом выбранных. Если же иметь в виду только такие очертания,
зубьев (а они вообще с точностью, достаточною дли практики, могут
заменить собою все другие), вопрос об определении зубьев, наиболее
соответствующих каким-либо требованиям практики, становится
значительно легче, приводясь к определению центра и радиуса
нескольких кругов. Но приступая к рассмотрению зубьев, ограниченных
дугами кругов, мы замечаем, что они никогда не могут дать такого
зацепления, при котором отношение угловых скоростей оставалось
бы постоянно равным одной и той же величине, как это необходимо
для правильного действия зубчатых колес; а потому при определении
очертания таких зубьев необходимо иметь в виду но возможности
уменьшить неправильности в движении зубчатых колес,
происходящие от более или менее значительной перемены отношения угловых
скоростей в продолжение зацепления одной нары зубьев. Этим мы
теперь и займемся: мы покажем, каким образом нлйдется очертание
* Опубликовано 23 (31) авг. 1872 г., изд. Моск. Тех. Учил.; Отчет и речи,
произнесенные в торжественном собрании Имп. Моск. Тех. Учил. 22(10; сент. 1872 г,. Revue
Universelle des Mines, t. 38, 1875, p. 523- 54fr, Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред.
А. А. Маркова и Н. Я. Сонииа, том II, СПб., 1907, счр. 12(i—16'i. -Ред.

выступов и впадины зубьев, ограниченных дугами кругов, при
котором неправильности в движении колас достигают самого низшего пре-
дела/возможного при выполнении тех или других требований практики.
§ 2. Пусть будут (фиг. 1) С, Q центры зубчатых колес (которые
мы для сокращения будем называть: к'олесо С, колесо Сх) и их
первообразных кругов; R = CD, Rx = C}D — радиусы первообразных
кругов; р = AD, ?х = BD — радиусы, которыми описана дуга DE,
ограничивающая выступ колеса С, и дуга DP, ограничивающая
впадину зуба на колесе Сг; Л, В— места центров этих дуг в
момент, когда они соприкасаются на линии центров, и Av Вх—места
центров, когда рассматриваемые дуги соприкасаются в какой-
нибудь точке G ниже этой линии. Углы ACAV ВСгВх будут
представлять величину поворота колес С, Сх от момента, когда зубья
соприкасались на линии центров до момента, когда они соприкасаются в
какой-нибудь точке О ниже этой линии. Называя вообще величину
этих углов через X и ^ и изображая через F (X) функцию,
определяющую величину угла рь, соответствующую какой-либо величине
угла X, мы замечаем, что производная F' (X) будет представлять
отношение угловых скоростей колес С, Сх при различных величинах
угла X = АСАХ.
Так как при X = АСАХ — 0 угол у = ВСХВХ тоже приводится к
нулю, функция FQs) при Х = 0 будет обращаться в нуль. С другой
стороны, нетрудно заметить, что при этой величине X производная F' (X)
должна равняться — . В самом деле, при к = АСАх=0, как видели,
зубья соприкасаются на линии центров в точке Д вследствие чего
по общему свойству зацеплений отношение угловых скоростей колес
CD R
С, С, при этой величине X будет равно-— или — , а это отношение
по выше сказанному и будет величина производной F' (X) при Х = 0.

— 56 —
Приступая к рассмотрению неправильностей в ходе колес С, Съ
неизбежных -^ зубьях, ограниченных дугами кругов, мы замечаем,
что в рассматриваемом нами случае, где радиусы первообразных
кругов равны R, Rv отношение угловых скоростей должно было бы
оставаться постоянно равным — и, следовательно, при повороте ко-
леса С на угол а = АСАХ колесо Сг должно бы было поворотиться
на угол, равный — X. А так как по нашему знакоположению у., угол
Ri
поворота колеса Cv соответствующий повороту колеса С на угол к
в рассматриваемом нами зацеплении, будет представляться функциею
F(k), то разность
F (А) — — А
нам покажет ошибку в повороте колеса Сх, которая будет иметь
место при повороте колеса С на угол АСАг = А-
Так как по выше сказанному функция F (а) при д = 0 обращается
в нуль, то разность
при а = 0 будет тоже приводиться к нулю. При других величинах к
эта разность будет вообще отличаться от нуля и при переходе X от
нуля до предельной величины своей, соответствующей моменту, когда
дуги DE, DF соприкасаются своими концами £, F,— величины,
которую мы будем изображать через /, эта разность будет более или
менее уклоняться от нуля. Для уменьшения по возможности
неправильности в ходе колес при рассматриваемом нами зацеплении, необходимо
дуги Dt\ DF выбрать таким образом, чтобы разность
от а = 0 до а = / наименее удалялась от нуля. Точное определение
дуг DE, DF под таким условием очень трудно по сложности состава
функции F{1); но, ограничиваясь приближенным решением этого
вопроса, совершенно достаточным для практики, мы можем устранить
затруднение, происходящее от сложности функции /^(а), заменяя
выражение
F(k)— ^-а
его разложением в ряд по восходящим степеням переменной а.
Так как угол а, заключаясь в пределах а = 0, а ^ /, остается
всегда малою величиною, то нет надобности удерживать в
разложении выражения
К J Ri

— 57 —
значительное число членов. Для решения различных вопросов,
представляющихся в практике, как мы увидим, нам достаточно будет
иметь это разложение до третьей или четвертой степени к
включительно; вследствие чего разность
F(k)-^-k
будет представляться у нас или полиномом
или полиномом
К^* + KJS + /С,),8 + KJ* + KQ.
§ 3. По сказанному выше, определение дуг DE, DP,
доставляющих наиболее правильное зацепление, приведется к определению
полиномов вида
К^ + К^ + К^ + Ко,
К^ + Кг^ + К^ + К^ + Ко,
наиближе подходящих к нулю в данных пределах. Эти полиномы
подобны тем, которые представляются при определении наилучшего
устройства параллелограма Уатта и разнятся они с этими последними
только некоторыми особенностями, происходящими от выше
замеченного нами относительно значения функции /7(Х) и ее производной
Г(Х) при X = 0. Так как при X =0 функция F(X) обращается в нуль,
то в разложении разности
/>(Х)-£-Х
не будет члена без X; вследствие же того, что F1 (Ъ) при Х = 0 рав-
р
няется —, мы замечаем, что в разложении разности
/ЧХ)_|.х
коэффициент при X будет равняться нулю. Из этого видно, что наши
полиномы приведутся к следующему:
Кг V + К2 X2, К, X* + Кг V + К2 Xя.
Вот какого вида полиномы представляются при решении
рассматриваемого нами вопроса о зубчатых колесах. В этих полиномах,
подобно тому как и в полиномах, представляющихся в теории
параллелограма Уатта, первые коэффициенты предполагаются данными, а<
остальные должны быть выбраны так, чтобы значение полиномов
в пределах X = 0 и X =/ наименее уклонялось от нуля. На
основании того, чтобы было показано в мемуаре нашем: „Теория
механизмов, известных под названием параллелограмов", * определение таких
* Том II, стр.23—51 и 474—485настоящего Собрания сочинений;стр.
238—250-настоящего тома. —Ред.

— 58 —
полиномов в общем виде возможно только при помощи эллиптических
•функций; но для случая 3 и 4 степени они легко определяются^
Ограничиваясь тысячными долями в числовых коэффициентах, мы
находим, что эти полиномы могут быть представлены так:
Kz (X3- 0,894 /X2),
ЛГ4 (X4 — 1,559 /X3 + 0,578 /2 X2) *
Эти полиномы в пределах X = 0 до X = / меньше всех других
полиномов того же вида будут удаляться от нуля, но они при пре-
.дельной величине X = /, как нетрудно заметить, достигают
наибольшего уклонения от нуля, вследствие чего зубчатые колеса, в
которых уклонения от нормального хода выразятся такими полиномами,
будут наихуже действовать при конце зацепления каждой пары зубьев.
Для практики это очень невыгодно; для нее особенно полезно, чтобы
колеса приходили в нормальное положение как при начале, так и
при конце зацепления; а потому выше показанные полиномы полезно
заменить такими, которые, представляя наименьшее уклонение от нуля
в пределах X = 0, X = /, обращались бы в нуль не только при X = 0,
но и при X = /. На основании того, что было замечено нами в § 9
выше упомянутого мемуара, такого рода полиномы получатся из выше
приведенных формул, когда заменим / в выражении полинома третьей
•степени через , а в выражении полинома четвертой степени —
0,891
через —— . Таким образом мы получаем полиномы
АГ2(Х3-/Х2),
К, (X4 — 1,638 /X3 -f 0,638 /2 X2)
взамен выше приведенных, и эти полиномы нам послужат к
определению таких очертаний выступа и впадины зубьев, при которых в
конце и начале зацепления колеса будут иметь нормальное
положение, а в продолжение зацепления уклонения от нормального хода
будут по возможности малыми.
§ 4. Мы начнем с того случая, когда при выборе дуг,
ограничивающих выступ и впадину зубьев, остается за удовлетворением тех
или других требований практики только одна величина, которой)
* Точное выражение этих полиномов есть следующее:
*.(Х3 —*/Х»),
27
где а определяется уравнением a? -f- ~-(а — 1) = 0, а р и q имеют такие величийШ

— 5Э —
можно располагать для уменьшения по возможности неправильностей
в ходе колес. В этом случае, ограничиваясь в разложении выражения
Д1
третьего степенью X, мы, по сказанному в предыдущем параграфе,
должны положить
/'W-f X = /fs(X'-A*). (1)
Так как по самому составу функции /*(Х) разность
всегда приводится (§ 2) с точностью до X3 к полиному вида
К3х3 + к2х2,
то равенство (1) нам даст одно уравнение между коэффициентами ДГ2,
Кг и, следовательно, между величинами, входящими в состав
функции F(k) и которыми определяются рассматриваемые нами дуги.
Это уравнение мы могли бы вывести, найдя выражение функции
^(Х) и сличив коэффициенты при X2, X3 в двух частях равенства (1);
но это уравнение мы можем получить гораздо проще, заметив, что
равенство (1), будучи продифференцировано, дает
^х)-7Г^з(ЗХ2-2/Х),
что предполагает, с точностью до X2, обращение в нуль разности
^ оо-£-
Д1
при таких величинах X:
Х = 0, Х = —/.
3
Первая величина X, как видели (§ 2), будет всегда обращать в нуль
разность
2
обращение же в нуль этой разности при X = — / нам послужит для
о
вывода искомого уравнения между величинами, входящими в состав
функции /*(Х).
Для этого мы замечаем, что по § 2 производная Р' (X)
представляет отношение угловых скоростей рассматриваемых нами колес,
дробь же — —нормальную величину этого отношения; а потому обра-
Ri
щение в нуль разности

— 60 —
9
при X =-^-Z показывает, что при этой величине X отношение угловых
о
скоростей колес будет иметь настоящую величину и, следовательно,
общая нормаль в точке соприкосновения зубьев должна пересекать
линию центров в точке соприкосновения первообразных кругов. На
основании этого нетрудно найти величину изменения в наклонении
общей нормали соприкасающихся зубьев при повороте колеса С на
о
угол х = — /, что послужит нам для вывода уравнения между вели-
о
чинами, определяющими рассматриваемые нами очертания зубьев.
■В,
Фиг. 2
§ 5. Сохраняя прежние обозначения, мы будем изображать (фиг. 2)
радиусы CD, CXD первообразных кругов С, Сх через /?, /?х;
радиусы AD,BD, которыми описаны дуги DEyDF, через р,рх; А, В — места,
занимаемые центрами дуг DE, DF в момент, когда они соприкасаются
на линии центров в точке D. Называя через А1УВ1 места этих цент-
ров после поворота колеса С на угол X =г АСАХ ~- -~ Л и когда, по
выше сказанному, общая нормаль дуг D1EX,D2,F1 проходит попреж-
нему через точку Д и изображая через г радиус АС ~~■ АгС, через
L,N,v
углы ЛСД ADC, ADA, мы из треугольника Ах DC выводим такое
выражение тангенса угла Аг DC — ADC — ADAX:
где, по выше показанному обозначению,
ADC^N, ADA1 = v, АХС *» г, С£) = #,
AlCD~*ACD~ACAlrr-.l — li,
1 1 i

— 61 —
вследствие чего это равенство приводится к следующему:
- (г 2 ^
/"Sin i L — ~-/i
tang(Af — v) — v 3
/ 2
R — г cos f L — — /
v з
или, что одно и то же,
( 2
rsin Z,— —/
tang N — tang v V 3
1 -f- tang N- tang v ( 2 \
* * R — rcosL /i
3 y
Решая это уравнение относительно tangt>, находим
/? — rcos fl— --/ J tang TV—/-sin ML — ^-/ j
tang v =
# —/-cos [£—-—/ j -L rsin (Z,— —/ ]tangAr
что по вставке
siniV
cosiV
на место tang TV приводится к следующему:
/ 2 \
Rsin N— rsin ( Z, 4- N— —/ ]
tang я = — ~ y\ ' (2)
R cos N — rcos (I + N— — / 1
\ . 3 /
Разлагая здесь
sin (N +X - |-/l cos (m + L-^1
по восходящим степеням /, мы находим, что числитель
представляется рядом
RsinN — rsin(L + N) + jrlcos(L -f ЛО + |r/2sin(L+'N) + ...,
а знаменатель — рядом
/?cos^-rcos(I + ^)-4r/sin(L + ^)+lr/2cos(I+;V) + '--
Но из треугольника ЛС£> выходят такие равенства:
С D-sin ADC = AC- sin CAD,
CD-cosADC + AC-cosCAD = AD,
которые по замене угла CAD разностью
* — (ADC+ACD)

— 62 —
и при помощи выше показанного обозначения приводятся к следующим;
/? sin ЛГ = г sin (Z. + ЛО,
RcosN — rcos(L -f- Л/) — p.
На оснований этих равенств мы замечаем, что выше найденные
разложения числителя и знаменателя формулы (2) приводятся к такому
простейшему виду:
-(R cos TV - Р) / + - R sin N • /2 + ...
Р — f- R sin N-l Jr-(Rcos Л/ — P) /2 + ...
Замечая же, что частное, получаемое при делении первого из этих
рядов на второй, равняется
2 / « cos iV_ i \ i jl ±R(3.C0SM- ±\ sin Ar. /-
3 \ P / ' 9 p ^ p 2
мы по формуле (2), заключаем, что tangle точностью до вторых
степеней включительно имеет такую величину:
tangs/ = ~ /^-cos N — Л/-J™— (Л- cos.V — A slnM-lK
Но так как с точностью до вторых степеней тангенс дуги v может
быть заменен самою дугою, то эта формула приводится к следующему-
v = 1 /j^cos .V - Л Z-f | £ р cos W- I\ sinN- /2. (3)
Такова должна быть величина угла v, представляющего
изменение наклонения общей нормали соприкасающихся зубьев при поворо-
те колеса С на угол АСАг —■ — /, для того чтобы она проходила че-
рез точку соприкосновения первообразных кругов при АСАХ — -^ I,
как это должно быть в рассматриваемом нами зацеплении. На
основании этого нетрудно найти уравнение между величинами
определяющими дуги DE, DF; для этого нужно только иметь общее
выражение угла v при каких бы то ни было величинах р, ?г> N. К
определению этого выражения мы теперь и приступим.
§ 6. Пусть будут А, В — места центров рассматриваемых нами дуг
(фиг. 3), когда они соприкасаются на линии центров и когда по
нашему знакоположению
ACD - £, ADC - N, CD - /?, С\ £>-=#,,

— 63 —
и Av Вг — места этих центров, когда колесо С поворотилось на какой-
нибудь угол АСАХ = X и когда по нашему знакоположению
AlCD = L—\ AXDQC= N — v.
Изображая через М угол BC±D и через \х изменение его,
соответствующее повороту колеса С на угол АСАг = X, находим
B1ClD = M+^.
Чтобы вывести уравнение, определяющее величину угла v при каком-
нибудь X, берем проекцию ломаной линии СА1В1С1 на линию цент-
Фиг. 3
ров ССг и на линию, перпендикулярную к ней, что дает нам такие
равенства:
Аг С cos A±CD + AA-cos^DqC + В±С х-cos В & D = CCV
AXC-sin AXCD — AJS^ sin АгП0С^ B1C1-sinB1C1D= 0.
Замечая, что здесь
АуС - г, ВХСХ = г19 АХВХ - р -|- ?i> ССг = R -г R»
AXCD = L - X, ЛХД}С = ЛГ — ^ Я^Я = Ж •'- ц,
находим
г cos (I - X) 4- (р + Pl) cos (N — ^) + rx cos (M -f ц) = R ~г #i»
r sin (L - X) - (P + Pl) sin (N — v) + гг sin (Af -f ^ - 0,
откуда, по исключении угла Ж -j- P-» выходит
г? = [# 4» /?х - г cos (L — X) — (р + Pl) cos (N — v)f -U
-f [ - r sin (I - X) -f (p -f Pl) sin (N - v)]*9

— 64 —
что по раскрытии скобок приводится к следующему:
/* = (/?+- Rtf +(p f Pi)2 + г* f 2г (р f Pl) cos (I f ЛГ — л - *) -
- 2 (/? + Rt) \r cos (I - X) + (p -f Pl) cos (N - v)].
В частном предположении X = О, ^ = 0 это уравнение нам дает
г? = (Я f /?х)2 + (р + Рх)2 + г2 + 2г(Р + pjcosd + АО -
— 2 (/? + /?х) [г cos I f (p f Pl) cos M]S
Вычитывая это из предыдущего равенства, находим уравнение,
которое может быть представлено под таким видом:
cos(L + N— X — t?) — cos(L -f- N) cos (jV— v) — cosN cos (I — X) — cos£_
R + Ri r P + Pi
•=0.
Чтобы вывести отсюда разложение угла v по степеням угла X,
полагаем
^ = /С,,Х + ^л* f....
где Кг, К2> • • • — искомые коэффициенты.
Внося эту величину v в уравнение и разлагая все члены его по
степеням X, находим, что оно приводится к такому равенству:
L /? + /?i г p + pi J
^ pfcin (Z_ -f JV) K2 r cosj Z, + Л>) (Л^ -Н )2 _
л+л
2 sin N-Kt- cos tf./ff f C0Sir
^ P + Pi J
>2 ,
откуда для определения коэффициентов Kv Кг получаются pat
венства
sin(L + N) fLr , 1Х siotf,. sin/. Л
2sini7' +^)^« —cos(£ + jy).(Art + i)» _ 2 sin N-Ka — cos W-K* , cos 7
которые дают нам
sin/. sin (L + Ы)
К — P + Pi R + Ri
sin (I + AT) _ sin N
R + Ri r
cos(L + N) (fr , 2 cosN„2 CP*^
#2 « - - * ±/?i r f 9 + Pi
V R + Rx r )

— 65 —
Для исключения из этих формул угла L = ACD и угла
LJrN= ADC-\- ACD мы из треугольника ACD выводим, что
sin ACD = — sin ADC,
sin {ADC + ACD) = sin CAD = °^- sin ADC,
AC
COS ACD = CD-AD coS ADC
AC
cos (ADC + ACD) = - cos CAD = Л£>-co cos лдс
AC
что по нашему знакоположению представится так:
sinL = *-sinN, sin (L + N) = £sinN,
COsL=^^^,COS(L + ^)===^^^.
Внося же величины
sin Z, sin (L + TV), cos Z, cos (L + N)
в выше найденные выражения коэффициентов Кь К%> по приведении
получаем
1 /?i(p + pO '
is _ (Р —ЛсовА0(ЛГ1+ !)* + (/? + Л) Г сов М/С? + Д-РС08ЛН
д 2 ~ _J= р + Pi J #
2RxsmN
Так выражаются коэффициенты /Ci, Кг в РЯДУ
^==АГ1Х + АГа^ + ..., (4)
определяющем величину угла v при всяком значении угла X и
каковы бы ни были р, рх, N.
§ 7. Полагая в найденной нами формуле
мы замечаем, что этой величине X соответствует такая величина i>:
В рассматриваемом же нами зацеплении по формуле (3) (§ 5) этот
угол должен иметь такую величину\\
Ш co$N — i)l + 4-- № cos N-L) sift N-&,
з Vp Л- Я р Vp -2У
приравнивая друг другу эти два выражения одного и того же
угла, мы выводим относительно рассматриваемого нами зацепления
& П. Л. Чебыгоев, т. IV.

— 66 —
уравнение, которое по сокращении на ^/ приводится к такому виду:
о
Кх - - cos Л/ + 1 + ЦК2 — - ( - cos N - ~) sin N] / = 0, (5)
р о I р \ р */ J
где К19 К2 имеют значения, показанные в § 6. Значение Къ как
видели, дается такою простою формулою:]
К _ Rpi — Ri ?
1 Ri(? + ?i) ' (6)
Что же касается формулы, определяющей значение /С2> то она, при
той степени приближения; которою мы ограничиваемся, легко может
быть значительно упрощена. Для этого мы замечаем, что при
вычислении этой величины можно пренебрегать даже первыми
степенями /, так как она входит множителем только при последнем из
удерживаемых нами членов. По уравнению же (5), с точностью до
первой степени /, мы находим такое равенство:
Кг — -cos TV+ 1 =0, (7)
Р
при помощи которого выше найденное выражение К2 можно легко
упростить.
В самом деле, внося на основании этого равенства разность
-cosN— 1
р
вместо Кх в выражение К*, показанное в § б, мы замечаем, что
числитель этого выражения приводится к следующему:
(р + RxcosN) £ cos2 N-2{R + /?x)~ cos2 N + R-^± (R -f Plcos N).
p p p + pi
Но по равенству (7), где по (6)
'#i(pi + p)
К — #Pi — Ri p
находим
#i(p + pi) p
что приводится к такому равенству:
^Ь?Л = —хсо8Л/. (8)
Р + Pi РРх
Заменяя же на основании этого равенства в последнем члене рас»:
сматриваемого нами выражения множитель
R + Ri
р + pi

— 67 —
DD
множителем—-cos N, находим, что это выражение приводится
к следующему:
№ cos2 д, _ SE±MKC0S л, 4_ **п cos Nt
1 Р Р ppi J
а это, по замене
через
*^+Ц) cos N
PPl
на основание (8), обращается в такое выражение:
—'O-cos^cosW,
ppi
или
—^ir^W-cosW,
ppi
что приводится к
*'* + *'> sin*N
р + Pi
заменою по (8) величины
cosN
PPi
через
R + Ri l
p+Pi RRi'
Таким образом, мы доходим до замены числителя в выражении
коэффициента К2у показанного в конце § 6, следующею величиною:
Р + Pi
через что получается такая простая формула для определения этого
коэффициента:
К% = — R + Rl sinN. (9)
2 2#i P+Pi [)
Внеся найденные нами величины Kv Къ в уравнение (5) и
заменяя по (8) в последнем члене его
RcosN
р
через
R + Ri pi
Ri p + Pi'
мы находим, что оно по сокращении приводится к такому виду:
cosTV- * + *' JJtti- + i- № + ЭД)р»-(* + ЭД0р sin^./=0.(10)
##i P + Pi 3Ri P + Pi
5*

— 68 —
§ 8. Выведенное нами уравнение (10) представляет очень простое
геометрическое свойство дуг, ограничивающих выступ и впадину
зубьев в рассматриваемом нами зацеплении. Чтобы показать это
свойство, мы сначала найдем формулу для определения длины этих
дуг.
Оставляя прежние обозначения для дуг DE, DF и их центров Д, В
в момент, когда зубья соприкасаются на линии центров, изображаем
через DXEX) D2EX, Ах, Вх (фиг. 4) места этих дуг и их центров,
когда они соприкасаются своими верхними концами, что, как видели,
Фиг. 4
соответствует повороту колеса С на угол АСАХ = /. Соединяя
точку А с точкою Е прямою АЕ, мы замечаем, что угол САЕ будет
равен углу САХЕХ, так как А и Аг, Е и Ех представляют места одшц
и тех же точек колеса С, только при различных положениях его.
А потому угол DAE, равный разности
CAE-CAD,
будет равен такой разности:
CAXH-CAD;
эта же разность, по замене в ней угла САХН через
тс - АХСН - АХНС
и угла CAD через
тс -ACD- A DC,
приводится к следующему:
ACD — АХСИ + АЭС - АХНС.
Замечая, что по положению
ACD-AxCH=*ACAx = l

— 69 —
и что по нашему обозначению
ADC - АгНС = N-{N-v)
v,
где v найдется по формуле (4), когда в ней положится \ = /, мы на
основании выше показанного заключаем, что угол DAE,
определяющий дугу DE, ограничивающую выступ зуба в рассматриваемом нами
зацеплении, и который мы будем изображать через со, имеет такую
величину:
что по внесении величин Kv Къ найденных в § 7, приводится к
следующему:
со =
R + Ri pi
Rx
p + pi
-1 +
R R + Ri
2fli P + Pi
sin/V-/2.
(П)
При помощи этого выражения угла со = DAE нетрудно показать,
что уравнение (10) представляет такое простое геометрическое
свойство дуги DE:
Фиг. 5
„Конец Е дуги DE в момент (фиг. 5) соприкосновения зубьев на
линии центров лежит на круге, проходящем через D, точку
соприкосновения первообразных кругов и через Р, Рг, концы дуг DP, DPV
представляющих величину поворота колес С, Сг в продолжение
зацепления дуги DE с дугою DFU.
Чтобы показать это свойство дуги DE> проводим через точки D, Р, Рг
круг и, изображая через Ег точку, где этот круг пересекает хорду
дуги DE, ищем длину линии DEV Для определения этой длины мы
замечаем, что по нашему обозначению имеем
ADC^N, Ш£=со, DCP = l, CD = R, CXD = Rx>

— 70 —
и что угол DCxPly представляющий величину поворота колеса Сх в
продолжение всего зацепления дуги DE с дугою DF, будет равняться
— DCP = — /.
Проведя же через точку D перпендикуляр GD к линии ССХ и
перпендикуляр DT к линии AD, мы замечаем, что эти перпендикуляры,
будучи касательными к дугам DP, DPly DE, будут составлять с
хордами этих дуг такие углы:
PDG = — DCP, P±DG = 4" ОСг Plf EDT = -i- Л£>£,
что по выше показанному обозначению дает
PDG = —, A£>G - --- , EDT - —.
Что касается угла GDT, то по перпендикулярности его сторон со
сторонами угла ADC находим, что
GDT = ADC
и, следовательно, по нашему обозначению угла ADC будем иметь
GDT = N.
Определяя на основании этого углы PDPlf PXDE, PDEy образуемые
линиями DP, DPl9 DE, находим
PDP, = PDG f P,DG = -A- + JL /,
С другой стороны, определяя длину хорд DP, DPt по величине
углов
DCP=l, DC1Pl^ ~l
и длине радиусов
DC = R, DCX^ Rv
находим
PD = 2CD • sin -£££. = 2 Rsln -- ,
2 2
Z)P1=2C1Z).sin-^^-=2/?1sin -^-.
1 2 X 2/?x
= GDT — GDP1 — EDT= N-
2 Л
■/ —
= GDr -j PZ)G - £07* - Л/ -f --'- -
1 2

— 71 —
sinAr./2 = 0,
Имея же длину хорд DP, DP± и величину углов, образуемых ими и
хордою DEl9 мы легко найдем длину последней на основании уравнения
DP- sin (Рх DE,) - DPX • sin (PZ)fJ + DE, • sin (PDPX) = 0,
которое имеет место для всяких трех хорд, проведенных из одной
точки окружности.
Внеся сюда выше найденные величины линий DP, DP, и углов
P1DE1, PDE„ PDPV получаем такое уравнение для определения
длины DE,:
2ЛЙ.1 • sin ("-£-f) -**«n £ -sin (AT + 1-Г) +
+^-»ln(j+i|-)-0. (,2)
Чтобы вывести отсюда величину DE1 с точностью до второго
порядка, разлагаем первые два члена с точностью до третьего порядка,
а множитель при DE, с точностью до второго порядка. Таким образом
находим
£±JLDEl.i- <* + *>* cosN-/4-
+г*?-*'яг-<*+*>*»
^L 12 Л» 4/?,
откуда получается такая величина D^:
Dfx = RcosN-( + r(—+ R~Rl l) sinN-l,
\ 2 6/?! /
что по внесении величины со (11), с точностью до второй степени /,
приводится к следующему:
6/?l(p + pl)
Так с точностью до второй степени / включительно выражается
длина линии DEV определяющей точку Ег пересечения хорды DE с
кругом, проходящим через три точки D, Р, Pv
Но, определяя на основании выше найденных формул длину
хорды DE, мы замечаем, что она с точностью до вторых степеней может
быть представлена дугою DE, и, следовательно, произведением
р-СО,
так как по нашему знакоположению радиус есть р, а длина ее в частях
радиуса есть о>. На основании этого по формуле (11) находим такое
выражение для величины хорды DE:
#1 P + Pi 2ЛХ P + Pi

— 72 —
Сличая эту величину хорды DE с выше найденною длиною линии DEl%
мы замечаем, что разность их выражается так:
DE-DE1=: ( R + Rl -£gi-— RcosN)l-
\ Ri p+Pi /
_ A- (2A+Mt±^SLR\±3i sin дг./г
Сравнивая же это выражение разности DE — DEX с первою частью
уравнения (10), мы замечаем, что они отличаются друг от друга только
множителем — !Ry откуда видно, что уравнение (10) приводится
к равенству
DE - DEt = 0,
по которому Ех, точка пересечения хорды DE с рассматриваемым нами
кругом, должна совпадать с точкой Е, концом хорды DEy что и
следовало показать.
§ 9. Повторяя относительно дуги DF, представляющей очертание
впадины колеса Сх, все то, что было выведено нами относительно
дуги DE, ограничивающей выступ колеса С, мы получаем те же
формулы только с заменою букв, соответствующих колесу С, буквами,
соответствующими колесу Съ и обратно. Что касается угла /,
определяющего величину поворота колеса в продолжение зацепления дуги DE
с дугою DF, он заменится величиною
так как колесо Сг, в продолжение этого зацепления, должно повер-
нуться на угол—/ и притом в сторону противоположную. Взамен же
угла со = DAE, представляющего взаимное наклонение радиусов ADr
АЕУ проходящих через концы дуги DE, мы будем иметь
с^ = DBF
со знаком — ^следствие обратного положения радиусов DB, BF,
проходящих через концы дуги DF. Формула, получаемая таким образом
из уравнения (11), приводится к следующему:
^^^ЫЬ.-£-/—£- * + *> sin*-/»; (Щ
R р + pi 2 /?i р И- рх
уравнение же (10) остается без изменения, и из этих уравнений
относительно дуги DF выходит то же самое, что мы вывели в
предыдущем параграфе относительно дуги DE, т. е., что конец ее F леада
тоже на круге, проходящем через точки D, P, Pv Таким образом
мы доходим до следующего заключения относительно рассматриваемого
нами зацепления:

— 73 —
„В момент соприкосновения зубьев на линии центров лежат на одном
круге следующие пять точек: концы выступа и действующей части
выемки зубьев, соприкасающихся на линии центров, точки
первообразных кругов, которые приходят на линию центров при конце
зацепления рассматриваемых зубьев, и точка соприкосновения первообразных
кругов".
Так как в формулах наших, при определении положения различных
точек, пренебрегались степени / выше второй, то это свойство
рассматриваемого нами зацепления верно только до /3. Но по
незначительности величины /, представляющей поворот колеса при действии
одной пары зубьев сверху или снизу линии центров, такая точность
для практики совершенно достаточна.
На основании формул (11) и (13) нетрудно показать другое
свойство рассматриваемых нами зубчатых колес. Для этого мы замечаем,
что эти формулы в сумме дают
I R + Ri r
а так как по нашему знакоположению
со = DAE, cox = DBF, I = DCP,
и по выше замеченному
^ = DCtPv
то это уравнение приводится к следующему:
DAE + DBF = DCP + DCX Pv
Рассматривая углы, образуемые хордами дуг DP, DPl9 DE, DF с их
касательными DO, DT, находим, что
PDG = — DCP, P1DG=y DC* pi'
EDT = у- DAE, FDT - -~- DBF,
вследствие чего предыдущее равенство дает
EDT + FDT = PDG + PXDG,
откуда выходит
EDF = PDPX]
это показывает нам, что углы, составляемые хордами DP, DPt и
хордами DE, DF, равны между собою. Замечая же, что точки Р, Pv F,
Е по выше показанному должны лежать на одном круге с точкою £>,
мы из равенства этих углов заключаем о равенстве расстояний Р от Рг
и Е от F, откуда выходит такое свойство рассматриваемого нами
зацепления:

— 74 —
„Расстояние между концами выступа и действующей части впадины
двух зубьев, соприкасающихся на линии центров, равно расстоянию
точек первообразных кругов, которые приходят на линию центров
при конце зацепления этих зубьев".
Так как при черчении зубчатых колес всегда даются первообразные
круги и дуги зацеплений до линии центров и после линии центров, то
по выше показанному мы всегда можем найти круг, на котором должны
лежать конец выступа зуба одного колеса и конец действующей части
впадины другого колеса, и узнать расстояние между этими концами.
Ct
F
Фиг. 6
Пусть будут (фиг. 6) С, Сх центры первообразных кругов, D точка
их соприкосновения. Для определения очертания выступа на колесе С
и действующей части впадины колеса Сх на первообразных кругах С,
Сх откладываем дуги DP, DPV равные дугам зацепления ниже линии
центров. Проведя через точки D, Р, Рг круг, мы на основании выше
доказанного заключаем, что на этом круге должны лежать и конец
зуба колеса С и конец действующей части впадины колеса Сг в момент,
когда соприкосновение происходит на линии центров, и что между
этими концами должно быть расстояние, равное линии РР±. Выбор
места для этих концов на круге DPPX будет зависеть от тех или
других требований практики: чем дальше отточки D возьмутся эти места,
тем, очевидно, будет длиннее выступ колеса С, глубже впадина
колеса Сг, а вместе с тем будут уже и конец зуба на колесе С и
впадина на колесе Сх при дне ее. Выбравши эти места на круге DPPV a
также и направление нормали соприкасающихся зубьев в точке D, мы
найдем требуемые очертания выступа и впадины, проведя через точку D
дуги кругов, нормальные в этой точке к известной линии и
проходящие через известные точки круга DPPV
§ 10. Переходим теперь к тому случаю, когда, очерчивая выступы
и впадины колес дугами кругов, мы можем располагать выбором двух
величин для уменьшения по возможности неправильностей в
зацеплении, неизбежных по свойству кругов.

— 75 —
Разлагая разность
в ряд по восходящим степеням к и ограничиваясь четвертою
степенью а, мы замечаем, что по § 3 эта разность должна приводиться
к полиному
АГ4 (а4 — 1,638 /а3 + 0,638 /2а2),
откуда для определения величин а, обращающих производную
F' (а) - -£-
У } Rx
в нуль, получается такое уравнение:
4 а3-1,638-3/а2 + 0,638-2/2 а = 0.
Решая же это уравнение, находим
к = 0, а = 0,365 /, \ = 0,865 /.
Из этого, по § 4, мы заключаем, что общая нормаль соприкасающихся
зубьев в рассматриваемом нами зацеплении должна проходить через
точку соприкосновения первообразных кругов при следующих
величинах угла а:
л = 0, а = 0,365 /, а == 0,865 /.
Уравнения, которые отсюда вытекают относительно рассматриваемого
нами зацепления, как мы увидим, особенно легко получаются при
помощи угла v, определяющего (§ 5) изменения наклонения общей
нормали соприкасающихся зубьев.
Определяя по формуле (4) значения угла v, соответствующие выше
найденным величинам ),, мы замечаем, что первая из них есть нуль,
а последние найдутся из формулы
когда здесь положим
А = 0,365/, Х = 0,865/.
Изображая эти величины ю через vv v2, мы по выше сказанному
будем иметь
*х = 0,365 Кг I -г °>3652 ^2,
^2-0,865 KJ + 0,8652/С2/2-
Приступая к выводу уравнений, мы, согласно с прежним
обозначением, полагаем (фиг. 7), что С, Сг суть центры первообразных кру-
| гов. CD^R, C1D = R1 — nx радиусы; А, В — места центров дуг DE,
\ DF, когда они соприкасаются на линии центров; р = AD, рг = BD —
[ радиусы этих дуг; АС^г, ВСх=тх — расстояния точек А, В от

— 76 —
центров С, Сх\ N=ADC — угол наклонения общей нормали дуг DE, DF
к линии центров. Изображая через Alf Вг места, занимаемые центрами
дуг DE, DF в тот момент, когда угол наклонения нормали
соприкасающихся зубьев уменьшился на vv мы замечаем, что линия Агубудет
представлять положение этой нормали, соответствующее X = 0.365/ и,
следовательно, эта линия, по выше сказанному, должна проходить
через D, точку соприкосновения первообразных кругов. Рассматривая
же треугольники CAD, CA1D, СгВО, C1B1D, где по нашему знако-
положению
АС= АхС = гу ВС1=*В1С1 = г1,
AD = р, BD = р1; АВ = А1В1 = р + Pi,
CD = R, CXD = Rlf ADC =BDC± = N,
At DC = Bt DCt = N — vlf
и полагая
AD — AXD = B^D — BD = A,
получаем такие равенства:
г2 = ра+Я* — 29RcosN,
г* = (9-h? + R*- 2(9-h)Rcos(N-vx),
гг=Р1+/Й—2Pl/?1cosATf
rH(Pi + A)2 + ^-2(Pl + A)/?lCos(^~^),
что по исключении г, гг нам дает
P2 + /?2-~2P/?cos^ = (p — А)2 + #2 — 2(p— A)/?cos(W —vj,
pJ + ^^p^cosW-fo + Ap-f/^^
Для исключения же из этих уравнений величины А, решаем эти
уравнения относительно р — A, Pi -j- А и полученные результаты складываем.
Таким образом находим уравнение
Р + р1-(Д + #х) cos (ТУ - gj = Кр2 — 2 /?Р cos N + R* cos2 (УУ -"^) +
+ Кр? - 2 ^ Pl cos W + /^ cos2 (N — vj,

— 77 —
которое может быть представлено под видом
Р + Pi - (Я + #i) cos (Л/ - ^) =
= V{9~— к cos Nf + h2 [cos2 (iV — юг) — cos2 Af[ -f
Полагая для сокращения
cos2(N — ух) — cos*N __ ^
с^ ~ ** (14)
и замечая, что это равенство дает
cos (Л/ — i/x) = cosN-jA + *х,'
мы выше найденное уравнение можем написать так:
P + Pi-(# + #i)cos;vKl +*x = K(p — «cosA0* + /?cosI^.i1 +
+ V (Pi — #1 cos A^T^cos2 W. *x.
Разлагая здесь все радикалы по степеням tx и сокращая все
уравнение на tv находим по перенесении всех членов в первую часть
уравнения:
R4osN , J^cosN ,R,R_
p—RcosN ' 9l-RlcosN ' ' x
_ _L Г *^L. + _J^_ + * + *!,,+
+ _L Г ... J*£°™_ + _^L_ -ь./г-н/гЛ <; f... = o.
8 L(p-^cosiV)5 ' (Pl -/?x cosNf ' ! XJ !
Делая же для сокращения
RcosN у Ri cosN ____ у /*->>
p — RcosN pi—- Ri cosN
мы это уравнение можем написать так:
RX + R1Y + R + R1-±[RX* + R1Y* + R + RJt1 +
+1 (/?^5 + Rly* + R + Rl)t* + ... =o. (i6)
о
Повторяя те же суждения относительно угла v2, соответствующего
повороту колеса С на угол X =0,865/, при котором нормаль также
должна проходить через точку О, и полагая
cos2 (N —■ р2) — cos2 N , /,^v
cosa N v

— 78 —
находим уравнение
RX -f RXY -\- R -f Дх - j {RX* + А^Г3 -| - Я -| - Rx) U -}-
+1 (/?*» + ^ -f Я + RJ t\ + • • • -0. (18)
подобное уравнению (16).
Решая эти уравнения, мы найдем величины X, У, а по этим
величинам формулы (15) нам дадут р, рх, длину радиусов, которыми должны
быть описаны дуги в рассматриваемом нами зацеплении.
§ 11. Для облегчения решения уравнений (16), (18) мы сначала
пренебрегаем в них членами, содержащими tv t2 в степенях выше
первой. Таким образом мы получаем уравнения
RX + R1Y + R + R1-\ (RX'" + RXY* + R f Rx) ^=0,
RX + R,Y -f R.\.Rx-± (RX" + RXY* -j - R f /?,) *2=0
4
для определения приближенных величин X, У, и эти уравнения, как
нетрудно заметить, приводятся к следующим:
Я*+ /?ХК+ /? + *!=(),
/?** + /?1K»-b R+ Rx=0.
Для решения этих уравнений мы выводим из первого
Г„|^_А_,, (19)
и эту величину У вставляем во второе, что дает нам такое
уравнение:
«*•■v*,(-£*-£ ~.)'.;.«:.ft~.u.
которое по раскрытии скобки и по сокращении на A?(AHA?i)
приводится к следующему:
(R^-R)X*-3RX* -3(R+ Rx) X- R-2RX^Q.
Решая это уравнение мы находим, что оно имеет два корня,
равных — 1, и один корень, равный
/г + зд,
Замечая же ио формулам (15), что X может равняться —1 только
при обращении радиуса р в нуль, мы заключаем, что корни этого
уравнения, равные—1, не соответствуют нашей задаче, а потому за
искомую величину X должны взять последний корень

— 79 —
Переходя к определению У, мы полагаем в формуле (19)
v_ # + 2#i
Ri-R
и по этой формуле находим, что
к==я, +2/г
Так определяются первые приближенные величины Z, К. Для
определения величин Xt Y более точных, полагаем
Rl~R \ (20)
изображая через а, р погрешности выше найденных величин X, У.
Внося эти новые величины X, У в уравнения (16), (18) и
откидывая члены, которые относительно а, р, г^, /2 порядка выше второго
находим
Ограничиваясь при определении величин а, р первыми степенями
^, t2, мы замечаем, что при такой степени приближения оба эти
уравнения предполагают
Чтобы получить другое простое уравнение между а, (3, мы вы*
читаем предыдущие уравнения одно из другого, что дает нам по
сокращении на 3/4(^ — *V)
Приступая к определению ос, р на основании выведенных нами
уравнений, мы из предпоследнего находим

— 80 —
я эту величину р вносим в последнее уравнение, через что оно
обращается в следующее:
U Лх-Л J \Rx-R J J
-iO+M^)'+«+*]<'.+'.i
откуда по сокращении получается такая величина а:
Л (/? + 2/?x)(/?i + 2^) /^ , п
2(Ri~-R? K 1~Г "'
Вставляя же эту величину а в выше найденное выражение (3 через
-а, получаем
3 (/?!-/?)* ] 2
Так находим мы величины а, (3 с точностью до первых степеней
/х, 4? и 9ТИ величины по внесении в формулы (20) нам дают с тою же
степенью точности
§ 12. Внеся эти величины Jf, Y в формулы (15), мы находим такие
уравнения для определения радиусов р, рг:
RcosN _R + 2RX гj < Ri(Ri+2R)(f , ^ л
рг-RiCOsN R-Rt L ' 2(Л-•/?,)« ll " 2J
• Решая эти уравнения и ограничиваясь членами первого порядка
относительно £х, t2, получаем
Для определения величины ^ + f2, заключающейся в этих
формулах, мы замечаем, что формулы (14), (17), будучи разложены в ряды
по степеням v, дают с точностью до второй степени
. 2cosiV-sm# rt. hr

— 81 —
. 2cosN-sinJV л,
/2== cosw ^-2tang7V^2.
Ho no § 10, с точностью до второй степени /, имеем
*>i=0,365 Kxh ^2=0,865 /fy,
вследствие чего сумма tx + t2, с точностью до второй степени /,
выразится так:
*х + *2=2(0,365 + 0,865) Кх tang Af ./ = 2,460/^ tang ЛЛ/,
где по (6) множитель Кг имеет такую величину:
1 #iCp+pi) '
что по внесении выше найденных величин р, рх приводится, с
точностью до первых степеней tlf t2 не включительно, к следующему
R-Rx
Ki-
ZR,
Внося эту величину Кг в выше найденное выражение суммы ^.+ f2,
получаем
*i + ^2=^ ^~ tang ^/=0,820^=^ tang N-i,
а эта величина tx +12 по внесении в выше найденные выражения
радиусов р, рх дает
З^оз^ г1+ o,l37^+^tang^/L
3/^cosiV П 0187Я±«1 tang AMI.
Так определяются радиусы р, pv которыми должны быть очерчены
в рассматриваемом нами зацеплении выступы колеса С и впадины
колеса Сг.
§ 13. Для определения длины дуг, которыми будут очерчены
выступы и впадины колес в рассматриваемом нами зацеплении, мы
замечаем, что по (§ 8), с точностью до /3, имеем
где со— длина дуги, ограничивающей выступ колеса Сг, выраженная
в частях радиуса, а коэффициенты К19 К2 по § 6 имеют такие
величины:
R?i — Ri9
К*=
1 Ri(9+9i)
[« , R — pcosNl
coetf.*? + Д J
2R1sinN
6 П. Л. Чебышев, т. IV.

— 82 —
Внося в эти выражения коэффициентов Кг, Л"2 найденные нами (§ 12)
величины радиусов р, рх и; ограничиваясь в выражении Кх первою
степенью /, а в выражении К* нулевою степенью, получаем
к +1 = £dL2«i (i_o,137^^tang^./
что по вставке в выше показанную величину со, с точностью до lz,
нам дает
Заменяя же здесь со через —сох, / через — — /,/? через Rl9 p через
рх и обратно, мы по § 9 найдем формулу для определения o>lf длины
дуги, ограничивающей впадину колеса С19 выраженную в частях
радиуса. Формула эта по сокращении приводится к следующему:
На основании выведенных нами формул мы находим, что сумма
(О -|~ С0Х
равняется
R + Ri j
и что произведение
р*со
с точностью до /3 приводится к выражению
6/?х
одинаковому с выражением (§ 8) хорды DEV получаемым из формулы
DE^RcosN.l+Rr^+Z^i^sinN-l
V 2 6/?i j
подстановкою в нее величины угла со. Откуда, по сказанному в § 8,
мы заключаем, что и здесь будут иметь, место свойства, доказанные
нами (§ 8, § 9) для того случая,{когда при выборе дуг, ограничивающих
выступы и впадины колес, можно располагать только одною
величиною для уменьшения неправильностей зацепления. В этом случае, как
видели (§ 9), можно менять согласно каким-либо требованиям прак- !

— 83 —
тики направление нормали соприкасающихся зубьев на линии центров
без перемены мест, выбранных (фиг. 6) на круге DPPX для конца
выступа колеса С и конца действующей части выемки колеса Cv
В случае же, который мы теперь рассматриваем, положение этих
концов вполне определяет направление выше поименованной нормали,
так как по § 8 (фиг. 5)
N = GDT= GDE + EDT= GDE + — ,
2
что, по внесении выше найденной величины со и по вставке в нее
значений р, р1э дает уравнение, определяющее угол N по углу GDE.
Замечая же, что в этом случае получается высшая степень
правильности, которой можно достигнуть в зацеплении с зубьями,
ограниченными дугами кругов, мы заключаем, что всякий раз, когда
направление нормали АВ выбирается согласно каким-либо требованиям
практики, надобно стараться, чтобы это направление по возможности
менее разнилось с направлением, находимым по выше сказанному.
Так как по выше найденным величинам со, сох, с точностью до
первой степени /, находим
-1 = Ri + 2Д
<* /? + 2Л,
а по § 8 (фиг. 5)
<* = DAE=2EDT,
o)1 = DBF=:2FDT,
то, с точностью до /, будем иметь
FDT= R, + 2R
EDT R + 2Rt '
Из этого видно, что при выше показанном направлении нормали
АВ соприкасающихся зубьев общая касательная их DT делит дугу
FE на части, которых отношение, с точностью до /, равняется
величине
Ri+2R
R + 2#х '
откуда выходит очень простое построение для определения по
приближению направления касательной DT, соответствующего тому
направлению нормали АВ, при котором неправильности рассматриваемого
нами зацепления становятся по возможности малыми. Заметим в
заключение, что, определяя углы, образуемые (фиг. 5) хордами PD, PXD
с диаметром круга DPPV проходящим через точку Д мы находим,
что они, с точностью до /2, выражаются так:
R + 2R, f Rx + 2R t
6*

— 84 —
Сличая эти величины с величиною углов
PDG = —, QDPX^^,
2 2
определяемых выше найденными формулами, мы замечаем, что они,
до вторых степеней /2, одинаковы, откуда видно, что при этой
степени приближения диаметр круга ОРРг, проходящий через точку Д
имеет такое наклонение к хордам DP, DPV какое должна иметь DT,
касательная дуг DE, DF, к хордам DE, DF для того, чтобы зубья
действовали по возможности правильнее.

О ПРОСТЕЙШИХ ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ,
СИММЕТРИЧЕСКИХ ОКОЛО ОДНОЙ ОСИ*
§ 1. На всемирной выставке можно видеть теперь различные
приложения сочлененного параллелограма, основанного на теореме
относительно функций наиболее приближающихся к нулю. Такой паралле-
лограм, состоя только из трех прямых стержней, доставляет
прямолинейное движение с приближением весьма удовлетворительным,
Фиг. 1 Фиг; 2
превосходящим приближение, получаемое помощью параллелограмов,
составленных из тех же элементов, т. е. простого параллелограма
Уатта и механизма Эванса.
§ 2. Этот параллелограм состоит из двух стержней АС и А1С1
одинаковой длины, вращающихся около двух неподвижных точек
С и Сх и сочлененных в их концах А и Аг третьим стержнем ААг
(фиг. 1). Средина М этого последнего стержня и описывает прямую
линию с значительною точностью, когда длины стержней АС, АхСг и
расстояние ССХ между неподвижными точками С и Сх удовлетворяют
следующим условиям:
* Сообщено 29 авг. 1878 г. на Парижском конгрессе Французской ассоциации
развития наук (Association franchise pour ravancement des sciences). Опубликовано *
журн. „Школа математики чистой и прикладной", № 3—4, 1885, СПб.; Собр. соч.
П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907.
стр. 709—714. — Ред.

— 86 —
1) Расстояние ССХ должно быть строго равно трети суммы ли-
ний AC, AAV AXCV
2) Длина стержня ААХ должна быть более четверти длины
стержней АС и А1СЬ но не должна значительно различаться от
этого предела.
По мере того как разность ААг — т^ стремится к нулю, длина
чувствительно прямолинейной части кривой, описанной точкою Д
уменьшается; но в то же время точность, с которою она представляет
прямую линию, возрастает быстрее, чем уменьшается ее длина.
Фиг. 3
§ 3. Я теперь покажу результаты, которые я получил,
рассматривая механизм немного сложнее предыдущего. Этот механизм состоит
из тех же элементов, но точка, которая описывает приблизительно
прямую линию, находится не на линии ААХ но на перпендикуляре МЫ,
проведенном из ее средины (фиг. 2).
По упомянутому способу обнаруживается, что для точности хода
механизма необходимо, чтобы с = MN имело следующее значение:
<* Г / з \ , , ч /2 г cos © — а\
— 77Z*~ f — г cos ? — а ] sin ? — (г cos 9 — я) 1 ■/ ~
rcos*<p^\ 2 \ rcos9-<7j
(1)
В этой формуле г я а означают длины линий АС — А1С1 и AAV
а ср — общее значение углов ACCV AxCfi, AXAC, ААгСг в среднем
положении механизма.
§ 4. Если только место точки М выбрано сообразно формуле (1)
и если разность
/
2 г cos ф — а
г cos ф — а
(2)
не очень удаляется от нуля, этот механизм доставляет
прямолинейное движение с значительною точностью. Эта точность увеличивается
по мере того, как разность (2) приближается к нулю, но в то же
время уменьшается длина дуги, которая обладает этою точностью.
В том случае, когда 'имеем в точности
/ 2 г cos ф — а
Г г cos 9 — а
2 Sin 9 =0,
(3>

— 87 —
эта длина обращается. в нуль, и тогда кривая, описанная точкою Af,
имеет соприкосновение 5-го порядка с прямой линией.
Мы остановимся на этом предельном случае, к которому
приближается наш механизм, по мере того как точность его хода
увеличивается и от которого он отличается мало, если эта точность будет
достаточною.
§ 5. Для этого предельного случая в силу уравнений (1) и (3)
найдется
2 COS* т.ГПК 9 m
г,
а =
2 cos* ф.cos 2 ф _ _ cos2 ф-со5 2ф-tang Зф
С —: ■ f%
СОБЗф
N
6
м
Фиг. 4
совЗф
Из этих значений ААХ — a, MN = с, замечая, что АС = Аг Cv и
из треугольников CDCX и ADAX выведется для определения ССХ = Ь
следующая формула:
. sin*2ffi
b = ~ г.
совЗф
Так как значения количеств а, Ь, с изменяют свои знаки только
при значениях угла <р> обращающих в нуль выражения
sin 29, cos 2<p, sin З9, cos З9
и которые будут
0°, 30°, 45°, 60°, 90°,
то выходит, что наш механизм не может изменять своего вида между
указанными пределами, т. е.
от <р = 0° ДО 9 = 30°; от 9 = 45° до 9 = 60°;
,9 = 30° . 9 = 45°; . 9 = 60° . 9 = 90°.
Чтобы вполне отдать себе отчет, каким видоизменениям может
подвергнуться этот механизм, мы вычислили по предыдущим

— 88 —
формулам элементы для четырех значений угла <р, взятых на равных
расстояниях от этих пределов, именно
9 = 15°; 37° 30'; 52° ЗО'ц 75°.
Фиг. 3,4,5 и 6 изображают наш механизм при элементах, которые
найдутся по вышесказанному, если принять г равным 0,05 метра.
Все эти видоизменения доставляют прямолинейное движение с
одинаковою степенью точности, а именно кривая, описанная точкою М,
всегда имеет соприкосновение 5-го порядка с прямою линиею. В этом
отношении все эти видоизменения одинаково хороши; но между ними
Фиг. 5 Фиг. 6
замечается большая разница, когда переходят к случаю, в котором
желают получить прямолинейное движение для более или менее
значительного хода.
§ 6. В том числе, когда разность
/2 г cos © — a n .
2 sin?
г cos 9 —- а
не приводится к нулю, но мало отличается от него, сочлененный
механизм, для которого с имеет значение (1), доставляет прямолинейное
движение с большою точностью и эта точность будет иметь место
вдоль кривой некоторой длины. Определение длины этой кривой
сделается следующим образом. Полагая
/2 г cos ср — а т
г cos ф — а
и обозначая через t тот из корней уравнения
2sin9-(l + *2) + ^ + r-)-~(l-^) т = 0,

— 89 —
который наиболее приближается к нулю, ищем угол ах по формуле
1 + 2/ sin ф + Я \ 2
со8Й1=1-2-(1^12
Г2 (2 - Р)
1 —2Fsin ср + 7**
— 1
Этот угол, взятый со знаками + и — > Дает предельные
наклонения линии ААг относительно линии ССХ для начала и конца ходаг
N
6
и
Фиг. 7
о котором идет речь. Определив угол аа, получим длину искомого
хода из формулы
/== 2(2-Р)
1—Р
Г — sin ф , 2(1 + 2tsin<!? + t*)t
— ыи ер |
Р — 1 ~t~
(I—/2)2
rsina1# (4)
Во время всего этого хода, уклонения кривой, начерченной
точкою М, от прямой остаются заключенными между -\-Е и — Е,
причем значение Е определяется отношением
F а- 2г (1 + 2*sin y + *2) ^
~ (2 sin <? + 3t + 2t2 sin <p + if3)2
(5)
§ 7. В том случае, когда предполагают достигнуть точности и
хода, наперед заданных, для а, г, <р и с следует взять значения,
удовлетворяющие уравнениям (1), (4), (5), причем /, Е должны иметь
данные величины. Так как должны проверяться только три
уравнения, то можно будет выбрать угол ? по произволу. В этом случае,
давая углу <р значения выше указанные, получим четыре различные
формы механизма, с которыми мы уже встретились выше. Все эти
формы имеют одинаковую точность во время одного и того же хода;
но они будут значительно отличаться между собою длиною их
элементов и их расположением.

— 90 —
§ 8. Для взаимного сравнения этих четырех видоизменений,
найдем приблизительные выражения их элементов, предполагая; что
N
О
м
Фиг. 8
отношение — имеет весьма малое значение, что всегда имеет место
в механизмах большой точности.
Фиг. 9
Фиг. 10
Изыскивая в этом предположении разложения количеств г, а, Ь, с
в ряд, увидим, что эти разложения, остановленные на первых членах,
доставляют;
/ cos Зф Г
8 sin 2<p у
4tang29 J/
2 cos З9
cos 9«cos329
2 cos Зф
/
E
I
cos ф»со882ф Е

— 91 —
s
, — l sin 2ф f 2 cos 3© /
8 \/ cos9-cosa2?£
5
/ cos2 ф-tang Зф f 2со8 3ф /
8tang29 J/ cos ф-соз32ф Е '
Фиг. 7, 8; 9 и 10 изображают четыре формы механизма, о
котором идет речь, с их элементами, выведенными из предыдущих
формул при
?= 15°, 37° 30', 52° 30', 75°
и
•\
S _
0,25.

О ПРОСТЕЙШИХ СОЧЛЕНЕНИЯХ*
§ 1. В статье под заглавием „Об одном механизме" ** мы показали,
каким образом из трех прямых линий можно составить сочленение,
в котором центр средней линии будет описывать дугу значительной
длины, мало отличающуюся от прямой линии. Движение,
доставляемое таким сочленением, вообще ближе подходит к прямолинейному,
чем то, которое получается при помощи других сочленений той же
степени простоты, а именно сокращенного параллелограма Уатта и
механизма Эванса. Мы теперь покажем другое сочленение, столь же
простое и доставляющее прямолинейное движение с такою же
степенью точности. Сочленение это, как мы увидим, получается из
прежнего заменою в нем одних линий другими, причем движение, им
доставляемое, нимало не меняется, а потому формулы,
показанные нами в выше упомянутой статье, применяются к нему без
затруднения. То же мы покажем относительно сочленений, бывших
предметом одного нз наших сообщений на Парижском конгрессе
нынешнего года. ***
§ 2. Сочленение, бывшее предметом выше упомянутой статьи,
состоит из двух линий АС, АхСг (фиг. 1) одинаковой длины, вращаю*
щихся около неподвижных центров С, С\, и линии АА1Г сочлененной
с ними шарнирами в точках А, Аг. Средина линии AAV как мы
показали, будет описывать дугу значительной длины, близко подходящую
к прямой, если в сочленении выполнены такие условия:
1) расстояние неподвижных центров вращения ССХ равно одной
трети ломаной линии САА1С1;
2) длина линии ААХ — не менее одной четверти длины АС или AXCV
По мере удаления АА± от — АС увеличивается длина хода, на ко-
4
тором получается движение, близкое к прямолинейному; но в то же
время увеличиваются, и в большей степени, уклонения от прямой
* Опубликовано в Матем. Сборнике, т. IX, вып. 3, 3878; французский перевод
„Les plus simples systemes de tiges ariiculees* — в .Revue Univeiseile des Mines\
t. XV, 2-е serie,28-e annee, 1884.Собр. соч. П. Л. Чеб ы ш е в а под ред, A. A. Map*
кова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907, стр 271 - 282. — Ред.
** Стр. 10—35 настоящего тома. -•■■ Ред.
*** Стр. 85-91 настоящего тома.- Ред.

— 93 —
линии, как это показывают формулы, данные нами в выше
упомянутой статье и по которым, полагая
АА1
АС
= а,
имеем
= АС 1 /^ ~ 2а1(1+ %) (4« - 1)
V 0+2)2
п з
¥
1 +
3 (4а— If
16(1 -а) (а + 2)2
— 1
1/(1 —а) (а + 2),
где / — длина хода, Е — предел уклонений от прямолинейного
движения.
Фиг. 1
Фиг. 2
§ 3. Чтобы преобразовать это сочленение, мы присоединяем к
нему еще две линии: линию ВМ = АС и линию ВС = AM = —AAV
как показано на фиг. 2-й. Проведя линию Аг С, мы замечаем, что она,
вследствие параллельности линий ААг и ВС и равенства ВС = AM,
будет всегда проходить через N, средину линии MB, и что при всех
положениях сочленения
NC = -A1C,
2 1
откуда следует, что N, середина линии МБ, и точка Аг будут
описывать подобные кривые, которых соответствующие элементы будут
относиться как —: 1, и эти элементы будут параллельны между
2
собою. А так как в рассматриваемом нами сочленении точка А1
описывает дугу круга, которого радиус есть СгАг, то N тоже должна
описывать дугу круга.

— 94 —
Называя через Сп центр этого круга, мы, по выше сказанному
относительно соответствующих элементов дуг, описываемых точками
Ах и N, находим, что
NCX1 = \AXCX
и что линия CnN параллельна линии АХСХ, откуда видно, что Сп
лежит на одной прямой с точками С, Сх и что
ССХ1 == Сх С1Х.
Убедясь таким образом, что в полученном нами сочленении точка
/v описывает дугу круга, которого СХ1 есть центр, мы заключаем,
что, ни мало не стесняя движений этого
сочленения, можно ввести в состав его линию CnN,
вращающуюся около точки Сп и соединенную
с N, серединою линии MB. Выкинув же из этого
сочленения линии АА1У АС,] АХСХ, мы получаем
новое сочленение, составленное из трех линий
MB, СХ1 N, СВ (фиг. 3), где точка М будет
описывать ту же кривую, как и в первоначальном
J? сочленении.
Так как (фиг. 2)
Фиг. 3
ВМ = АС, ССХ1
CCV
ВС - -- AAV
то условия
ссх
2АС+ AAt
AA>f,
необходимые для того, чтобы кривая, описываемая точкою М, близко
подходила к прямой (§ 2), для этого сочленения приводятся к таким:
ВМ + ВС #С> —
3 ' ^ 8 '
ее
11
ААл
Величина же а = —- , входящая в выражения длины хода / и
-До
предела уклонений от прямой линии £(§ 2), найдется по формуле
ВМ
§ 4. Переходя к сочленениям, о которых мы делали сообщение
на Парижском конгрессе* и в которых точка, доставляющая
желаемое движение, лежит не на линии ААг (предполагаемой прямою),
а на перпендикуляре к ней, мы замечаем, что такие сочленения в
общем их виде могут быть рассматриваемы как состоящие (фиг. 4)
из треугольника АМА1У которого Аве вершины А, Ах сочленены с
линиями АС1А1С1, вращающимися около неподвижных центров C,CV a
третья вершина М доставляет желаемое движение.
* См. стр. 85—91 настоящего тома. — Ред.

— 95 —
Чтобы преобразовать такое сочленение, мы вводим в состав его,
как и прежде, линии MB = АС и СВ = AM (фиг. 5), а затем к линии
MB присоединяем такие две линии MN, MB, которые вместе с ли-
ниею MB образуют треугольник MNB, подобный треугольнику АМАХ
и в котором вследствие того
MBN = АгАМ,
NB __ Ш_
MB ~~ AAi'
(1)
(2)
Проведя от неподвижной точки С, как полюса, к точкам Аг, N
радиусы-векторы АгС, NC, мы замечаем, что в треугольниках АХАСГ
NBC углы АгАС, NBC равны, так как
AiAC^A^M+MAC,
NBC = NBM + МВС,
Фиг. 4
Фиг. 5
где Аг AM = NBM по (1), a MAC = МВС по свойству параллелограма-
Заменяя же во (2) линии MB, AM равными АС, СВ, находим
АС
СВ
ААХ''
что вместе с выше замеченным равенством углов АгАС, CBN
обнаруживает подобие треугольников АгАС и CBN, вследствие чего имеем
АХС
CN
ААг
СВ
NCB=AAXC,
CNB=ACAV
(3)
(4)
Но из треугольника AtAC выходит такое равенство между углами:
АА£=-ъ — AtAC — АСАХ=* - АХАМ. - MAC - АСАц
заменяя здесь
■к-МАС

— 96 -
-через
АСВ = АСАг + AXCN + NCB,
получаем уравнение
ААгС=АхСМ + NCB - А^АМ,
которое по выше замеченному равенству углов NCB, ААХС дает
AXCN = АХАМ.
Из этого видно, что при всех положениях рассматриваемого нами
сочленения радиусы-векторы точек A19N, проведенные из
неподвижного центра С, будут составлять постоянно один и тот же угол,
равный АХАМ. Заменяя же в пропорции (3) линию СВ равной ей AM, мы
находим, что эти радиусы-векторы по длине своей будут сохранять
•одно и то же отношение, определяемое пропорцией
АХС ^ААХ
CN ~ AM'
§ 5. Из показанного нами относительно радиусов-векторов точек
Аг, N видно, что эти точки будут описывать подобные кривые линии,
в которых соответствующие элементы будут иметь одинаковое
наклонение к своим радиусам-векторам и по длине своей будут
относиться как ААг к AM. Так как в рассматриваемом нами сочленении точка
Аг описывает дугу круга, центр которого в точке С1? мы заключаем,
что и N будет описывать дугу круга. Полагая же, что Сп есть центр
последнего, мы замечаем, что радиусы С^, C1XN, будучи
нормалями круговых дуг, описываемых точками Al9N, по выше показанному
относительно наклонения этих дуг и отношения их длины, должны
•составлять одинаковые углы с радиусами-векторами CAV CN и
представлять такую пропорцию:
Pl \Lj j A. A. J
~C^N """ ~АМ '
что дает нам для определения точки Сп
CNCll = CAlCl \
Складывая предпоследнее равенство почленно с равенством (4), мы
находим
CNCn + CNB=CAlCl + ACAV
что, как нетрудно заметить на фиг. 5, приводится к такому
равенству:
BNCn = ANAu
весьма просто определяющему направление линии NCn.

— 97 —
Место точки Сп, центра дуги, описываемой точкой N, найдется
на этой линии по уравнению (5).
Определив таким образом Сш центр круговой дуги, описываемой
точкою N, мы, не стесняя нимало движений нашего сочленения,
можем ввести в состав его линию CUN, вращающуюся около
неподвижного центра Сп и сочлененную с N, вершиною треугольника NBM.
Выкидывая лее из сочленения, таким
образом составленного, весь
треугольник АМАХ и линии АС, АХСХ, мы
получаем сочленение, изображенное на
фиг. бив котором вершина М
треугольника MNB будет описывать ту же
кривую, как и вершина М
треугольника АМАХ в первоначальном
сочленении (фиг. 4).
§ 6. Преобразовывая таким образом
сочленение (фиг. 4) в предположении
Фиг. 6
МААг=МАхА, MAC=MAXCV AC=AxClf
(что имеет место в сочленениях, симметрических около одной оси
для среднего их положения), мы находим (фиг. 5), полагая для
сокращения
НААХ^ИАХА^Ъ МААХ = МАХА « ф, АС=АхСх = г,
что
MBN = BMN=ty , ЛГМВ=*-2ф;
CBN=<?; C11NB^AHA1=t:—2c?,
БС=ЛМ=-^-, MN=NB=
2cosi{;
(б)
2 cos ф'
с„я=-
2совф
Последние два равенства показывают, что в частном случае, нами
рассматриваемом (фиг. 7), линии MN, NB, CnN равны, откуда
видно, что треугольник CnNB равнобедренный и, следовательно, угол
NBCn по углу C1XNB определяется так:
что по внесении выше показанной величины угла C1XNB дает
МВСхх^ь
Замечая же по (6), что угол CBN имеет ту же величину, мы
заключаем, что линия ВС идет по одному направлению с линиею СпВ>
стороною равнобедренного треугольника C1XNB, и, следовательно,
точка Си лежит на прямой, соединяющей точки С, В.
7 П. л. Чебышев, т. IV.

— 98 —
Из. этого видно, что сочленение, составленное из трех элементов
и симметрическое около одной оси, может быть всегда заменено
сочленением несимметрическим, изображенным на фиг. 7, где МЫ.$ —
равнобедренный треугольник, линии MN, NB, СПЛГ равны между
собою; неподвижные центры вращения линий СВ, CnN в среднем
положении сочленения лежат на одной прямой с точкою В. Что
касается условий, при которых сочленения этого вида доставляют движение,
близкое к прямолинейному, они легко получаются на основании
равенств (6) из формул, данных нами на Парижском конгрессе*
# N относительно сочленений симметрических.
Так, формулы, показанные нами для
симметрических сочленений в предположении
бесконечно малого хода, дают
= a2C08VC08 2jp ^ i!| = 3
созЗф
Фиг- 7 Внося эти величины в равенства (6), мы
находим''такие формулы для определения
элементов соответствующих сочленений нового вида:
AfMB=it — 26=3* —6<р,
пп ААг cos»<p-cos2<p
2cos -l> cos Зо
11 " 2 cos 4 2cos3<?
Полагая же здесь
MM = NB=CnN=R
и исключая г, находим
RC— 2cos29,cos2gP о
cos Зср
что вместе с величиною угла MNB,
MNB = 3n—&pf
и замеченным выше относительно среднего положения сочленения,
в котором точки С, Сп> В лежат на одной прямой и угол CBN
равен <р, вполне определяет сочленение рассматриваемого нами вида.
§ 7. Сочленения (фиг. 6), выводимые по выше показанному из
сочленений симметрических, могут служить для непосредственного
преобразования попеременного прямолинейного движения в
непрерывное круговое, так как надлежащим выбором размера его частей
ИьШ>даження неподвижных, центров вращения можно достигнуть tq-
г& что при полном обороте лшпщ &С около центра С движение
:См. стр. 85—91 настоящего тома. — Ред.

— 99 —
точки М будет незначительно отличаться от прямолинейного.
Определяя по данным нами формулам соответствующее симметрическое
сочленение, удовлетворяющее этому условию, мы находим, что
элементы его при помощи вспомогательной величины t получаются из
таких уравнений:
2(^+1)
1апёф= (^ ^2-^)^9+2(^^2^)
(1-Ь^'Г2 —^2)
COS 9
ААХ = COS <р»Г.
1-f- t\r2 — t*
Определяя по этим формулам величину углов <р, Ф и длину линии
AAV мы, на основании равенств (6), для преобразованного
сочленения (фиг. 7) находим
MNB^-tz — 2ф, CBN^y,
CnN - /WW = NB = -^— ,
2cos<j;
r,p ЛЛг __ / V 2 — t% cos 9
Полагая же здесь
и исключая г, получаем
1+/V 2-Я
CuiV-/?, MN=R,
что вместе с величиною углов
МЛ/£=---2ф, CBN^<?
вполне определяет рассматриваемое нами сочленение при какой-либо
величине t.
Выбор же этой величины зависит от степени точности, с которою
желают иметь прямолинейное движение. Чем меньше t, тем. меньше
удаляется точка М от прямого пути при полном обороте линии ВС
около центра С, и предел этого уклонения по формулам, данным
нами, представляется так:
4со8ф(1 + 2fsin9 + 'V3 д
~~ (2 sin 9+3' + 2/*sin 9 + '*)*
Что касается длины хода точки М при полном обороте линии ВС,
то она также уменьшается, хотя не столь быстро, с уменьшением t.
7*

— 100 —
Величина этого хода найдется по формуле
. 4 cos ф« cos ф-tVl — t* rsD
/ = д/^;
где К есть наибольшая величина выражения
Г /(1 +</2^у 9+Д^?(Г=Д _ ta ф]в,пв
I Г (1 + *]Л2 —*а> —2*1'2 —f»(l -cosa) &т |
от а^О ДО а = 2тс.
Полагая, для примера, £=0,15, мы по выше показанным
формулам находим
<Р = 32°38\ ф^_44°43', £С-0,2934#,
и эти величины <р, ф, ВС нам дают сочленение, изображенное на фиг. 8,
в котором точка М при полном обороте линии ВС около центра С
Фиг. 8
описывает сомкнутую линию, очень мало уклоняющуюся от прямой
линии МхМп. Делая £=0,15 и внося найденные величины углов <р,
ф в формулу, определяющую Е, мы находим, что Е, предел
уклонений кривой, описываемой точкою Му от прямой будет равняться
0,00458 /?. По формуле же, определяющей /, мы находим, что длина
прямой линии МгМХ1, от которой будет мало уклоняться сомкнутая
линия, описываемая точкою М, равна 0,842 /?.

О ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ И
СИММЕТРИЧЕСКИХ ОКОЛО ОДНОЙ ОСИ*
§ 1. В записке под заглавием „Об одном механизме"** мы
показали условия, при которых самый простой параллелограм доставляет
движение, очень близкое к] прямолинейному. Этот параллелограм
состоит из двух стержней АС, А^ (фиг. 1) одинаковой длины,
вращающихся около неподвижных осей С, Сх, и стержня AAV
сочлененного с ними в точках Л, Ах; точка М, доставляющая желаемое
движение, берется на оси стержня ААХ в равном расстоянии от
концов его А, Аг.
Фиг. 1 Фиг. 2
Мы теперь покажем такие же условия для случая, когда точка,
доставляющая желаемое движение, берется не на оси стержня АА1Г
а на перпендикуляре к ней ММ (фиг. 1), равноотстоящем от точек
А, Ах. В этом случае, как нетрудно заметить, механизм, нами
рассматриваемый, обнимает все параллелограмы, состоящие из трех:
элементов и симметрические около одной оси.
* Читано 17(5) дек. 1878 г. Опубликовано в Приложении к XXXIV тому Зап. Имп-
Акад. Наук, № з, 1879; Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова »
Н. Я. Сонина, том И, Спб., 1907, стр. 283-297. - Ред.
** Стр. 10—15 настоящего тома. — Ред.

— 102 —
Условия, при которых такие параллелогрлмы в общем их виде
доставляют движение, по возможности близкое к прямолинейному,
получаются при помощи тех же приемов, которые были употреблены
нами при рассмотрении частного случая их, бывшего предметом
выше упомянутой записки. Вся разница в большей сложности
вычислений, вследствие чего эти условия для общего случая не могут
быть формулированы так просто,
как это было сделано нами для
выше упомянутого частного случая,
в котором длина перпендикуляра
MN равняется нулю.
Для того чтобы представить эти
условия по возможности проще, мы
введем одну вспомогательную
величину, при помощи которой все
размеры рассматриваемых нами па-
раллелограмов выражаются
рационально.
Что касается определения этой
вспомогательной величины, она
может быть вычислена или по
степени точности, с которою желают
иметь прямолинейное движение,
или по длине хода, на котором
желают иметь движение, близкое к прямолинейному. Уравнения,
которые при этом встречаются, легко решаются по приближению.
§ 2. Рассматривая наш механизм в среднем его положении (фиг. 3),
когда линия ААг параллельна линии ССХ, проходящей через оси вра-
Фиг. 3
щения стержней,
полагаем
и вследствие того углы АССХ, АХСХС равны, мы
АСС^-^А&С^у.
Место, занимаемое при этом точкою М, принимаем за начало
координат; ось х-в берем по направлению, параллельному линии CCV
ось у-в по направлению перпендикулярному.
Переходя к рассмотрению кривой, описываемой точкою М, мы
замечаем, что эта кривая будет симметрична около оси Оу, так. как
весь механизм симметричен около этой оси, а потому эта кривая,
проходя через начало координат, будет в этой точке касаться оси
Ох, не пересекая ее; около этого-то места кривая, описываемая,
точкою М, способна сделаться очень мало отличающейся от прямой.
Условия, при которых это имеет место, могут быть представлены
так при помощи вспомогательной величины t.
Полагая
AC^A&^l, AAi = a,
NM--

— 103 —
определяем величины а, с по формулам
где
Г2 2
а— cos о,
(2 — 'П) \2Т— /7'* 4- ])sino]
с~ :— —
2(7*--1)а
г__ 2 sin Ф (1 +/*) + '(3 + '0
/ — •
(1)
(2)
(3)
Нетрудно показать, что при выполнении этих условий кривая,
описываемая точкою М на некотором протяжении, более или менее
значительном, не выходит
из пространства,
ограниченного двумя параллелями,
которых взаимное
расстояние равняется
4(1 -1- 2 sin 9-/ -f **)/''
(2 sin cp + 3/ Н- 2 sin ф-^2 + *'л)2 '
величине быстро
приближающейся к нулю по мере
уменьшения
вспомогательной величины t.
% 3. Для определения
положения точки М при
различных углах наклонения
линии ААг к линии СС±
(фиг. 4) мы будем
изображать через а переменный
угол, составляемый
линиями ААХ, ССЪ и через Р,у —
соответствующие углы
АССХ1 АХСХС. Проектируя
ломаную линию OOxCANM на оси координат и замечая, что
Фиг. 4
АС=1, AN =
NM-
и что ось Ох параллельна линии CCV находим такие формулы для
определения координат точки М:
х^=—С01 -г cos р - — cos ос + с sin а,
у = —ООг -- sin {3 ^- sin а — с
cos а.

— 104 —
Прилагая эти формулы к тому случаю, когда линия ААХ
параллельна линии CCV и замечая, что в этом случае по выше сказанному
*=(), у=0, а=0, (3 = ср,
мы находим равенства
0== —COi + coscp i- ,
0= — ООх + sin 9 — с.
Определяя по этим равенствам длину линий COv 00\ и внося ее
в предыдущие формулы, получаем такие выражения координат точки М:
х == cosP + — (1 — cos a) + ^sinoc*—cos 9, I
^ (4)
у = sin(3 — sina-|-c(l —cos a) — sin9 . 1
Чтобы найти уравнение, связывающее между собою переменные
углы р, а, мы проектируем ломаную линию СААхСг на оси координат,
что дает нам равенства
cos р — a cos a -f- cos у — ССг = 0,
sin p — л sin a — sin у — 0.
Прилагая эти равенства к случаю, когда линия ААг параллельна
ССХ и когда, по выше сказанному,
ос = 0, р = у = 9,
получаем
2cos9~ a — CCt^ 0,
вследствие чего предыдущие равенства нам дают
cosy = 2cosq> — cosP — a(l —cos a), sin у == sinp - я sin a.
Возводя же эти уравнения в квадрат и складывая, мы получаем
такое уравнение между переменными углами р, а:
[2cos 9 — cos р — а (1 — cos а)]2 }- [sin (3 — a sin а]* — j.
Чтобы исключить из этого уравнения cos р, мы раскрываем скобки,
причем получаем равенство, которое приводится к такому виду:
[2соз 9 — & (1 — cos a)] cos р ==: 2cos* 9 — ^ sin a -sin p —
— a (2cos 9 — a) (1 — cosa). (5)
Заменяя же здесь cospчерез ]/"!—sin*p и возводя в квадрат,
находим
[2cos 9 — а (1 - cos a)]2 (1 — sin*p) =
= [a sin a- sin p — 2cos2 9 + a (2cos 9 — a) (1 — cos a)]2,

— 105
откуда 'получается такое уравнение для определения разности
sin 3 sin a :
2
2 [2cos2 ф + а (а — 2cos ср) (1 - cos а)] [sin в — A sin а"|s =
[2
coscp-a(l-cos«)*[l-cos4- a^-^^ (i-Cos«)]
Внося сюда величину а по (1) и полагая
у==1+т^5^(1-С08аь (б)
находим такое уравнение:
vfslnp — YSinaVr4 = [l+(2rt— l)v]2(l— cos2?-v). (7)
С другой стороны, по (4) мы находим, что
sin(3 — -|-sma=^ — с(\ — cos a) + sino;
внося же сюда величину с по (2) и величину 1 — cos a no (6), получим
SinB-^Sin« = 3,+ sin?- 2Г-рм.1)ч.т (у_1Ь
вследствие чего уравнение (7) нам дает
v{T*y + 2T— sintp — [2T— (P + l)sincp]v}2 =
= [1 + (Z42— 1) v]2(l — cosVv). (8)
§ 4. По уравнению (8), полученному нами, нетрудно показать
при каких величинах угла а точка М будет находиться на оси Ох.
Так как на этой оси ордината у равняется нулю, то величины v,
при которых точка М будет на оси Ох, найдутся из уравнения (8),
когда в нем положим
у~0.
Таким образом, для определения этих величин получается
уравнение
v{2r—sin? — [2Т- (Г2 + i)sin?]v}2 = [1 + (Г2 - l)v]2(l — cosVv).
Раскрывая же здесь скобки и перенося все члены в одну сторону,
мы находим, что это уравнение приводится к следующему:
(v_ i)[(i __ 2sin9- T + Т*) v - I]2 = 0. (9)
Внося корни этого уравнения в уравнение (6) и решая последнее,
мы найдем все величины угла а, при которых точка М лежит на оси
Ох. Поступая так с корнем
V-1,

— 106 —
мы находим
<x = (h
При этой величине а, как мы видели (§ 2), точка М приходит
в начало координат, причем кривая, описываемая точкою М, касается,
оси Ох, не пересекая ее. Поступая так же с корнем
1
1 — 2sin <р-Г + Р
и замечая, что он двойной, мы по уравнению (6) найдем величины а,
при которых линия, описываемая точкою М, будет иметь с осью Ох
прикосновение первого порядка и, следовательно, не будет ее
пересекать.
Из этого видно, что точка М, двигаясь вправо и влево от оси
Оу, будет находиться всегда по одну сторону оси Ох.
Переходя к рассмотрению положения точки М относительно
прямой, определяемой уравнением
(2sincp + 3; + 2sinq>-*2 + Я)2 ' }
мы замечаем, что значения v, при которых точка М лежит на этой
линии, найдутся из уравнения
1—J у—!—i _ _l 2Г—ship —■ [2Т — (1 + r2)sin<p] vS- =
= [1 f (P—l)v]2(l—COS2?-v),
-{
которое получаем, внеся в уравнение (8) величину у по (10).
Внося же сюда величину Т по (3), мы по приведении находим
уравнение, которое, по замене выражения
1 + 4sin у* + 6^3 + 4sin ф^3 +t*
равным ему
1 ~2sin<?-T + Г2
1 + 2sin<p-/ + /2 '
может быть представлено под таким видом:
Г _/l+28iny./ + /'yi / __
1 -=о.
-f2sin<p-/-j- t2
Повторяя о двойном корне этого уравнения то, что было нами
сказано о двойном корне уравнения (9), мы замечаем, что только
простой корень этого уравнения
l.+ 2sin<p-/ + P у
J+2sin у-Т+.Т*.]
может дать величины а, при которых точка М переходит через прямукМ
определяемую уравнением (10). А потому, изображая через а19 — at ве-

— 107 —
личины угла а, получаемые из уравнения (6) при этой величине v, и
через xv—хх соответствующие им величины координаты х точки М, мы
заключаем, что в пределах от х= — х1 до х = хг точка М будет
находиться по одну сторону прямой (10).
Замечая, что при предельных величинах х = — xv х = л^ точка Ж
находится на линии (10), параллельной оси Ох, а при х = 0 (§ 2)
на самой оси О.х, мы заключаем, что между *= —д^, х = х1 она
переходит от одной из этих параллелей к другой, а так как в пределах
x= — xvx — х± точка М, по выше доказанному, не может
переходить через эти линии, то она должна оставаться между ними от
х=—х± до х = х1 и, следовательно, не должна удаляться от
параллели, средней между осью Ох и линией (10) на половину взаимного
расстояния этих параллелей, что составляет
2(1 +2sin9./ + t*)F
(2sin cp + 3/ + 2sin ?-/2 + /3)2
Из этого видно, что между х ^= — xvx =-f-*i предел уклонения
точки М от выше упомянутой средней параллели (который мы будем
изображать через Е) имеет такую величину:
£ h 2(1 +2sin<p./ + /2)^ (1jv
" (2sin ф -f Zt + 2sin 9-/2 + /*)2 '
§ 5. Для определения предельных величин а=±а1 и л=±дсх,
при которых точка УИ переходит через линию (10), мы по сказанному
в предыдущем параграфе полагаем в уравнении (6)
1 + 2sincp-H^2
V ~ V 1 — 2sin<p-r + Гя
откуда получаем такое уравнение для определения а=±а1:
1 Р(2-Р) LVl-2sin9.J' +P/ J ;
Переходя к определению соответствующей величины координаты
х=±хх, мы вносим величину cosp из уравнения (5) в выражение
координаты х по (4), что дает
х — — а
а
sia'ji — "7" s*n %
с
2 COS 9 — Л (1 — COS а) Л
Sin а;
внося же в выражение
2 cos^ — #0 —cosa)
величину а по (1) и величину 1—cos а по (6), находим
2<5oi? —fl(l-cosa)= ^5[l+(T«-l)v].

— 108
Определяя величину
sin3 sin a
1 •>
по уравнению (7), имеем
откуда выходит
. Q а . 1 + (Г»—l)v / 1
smp-Tsin« = у --<
|/"i~cos4
sin В — — sin a
^ 2
2COS ф — Л (1 — COS а) 2COS ф
вследствие чего выше найденное выражение координаты л* нам дает
Г 1 /I
L2COS9 1/ v
2 С
COS2 ф
sin a. (13)
Так определяется координата х точки М при различных величинах
угла а, причем величина v получается из уравнения (6).
По этой формуле мы найдем предельную величину координаты
л:=4:«*1* полагая в ней по выше показанному
а =4-a,, v = (—! ■ .
Так как при этой величине v мы находим
— сое", - j/ {—-&-^} -cos'?,
и внося величину Т, по (3) получаем
1 — 28Шф-Г + Г* 1 +48Шф-/ + Ы*\~ 4sinjp-/s -}-(*_
1 + 2sin ф./ + /2 ~~ П —/*)* " ~ " '
то будем иметь
Раскрывая же здесь скобки и извлекая корень, находим
/
J.—COS»© - 0 + «» +/Q sin y + 4f (!+/»>
вследствие чего по выше показанной формуле предельная величина
координаты х представится так:
1 L 2(l-^)*cos<p a J г
Внеся же сюда величины а и с по (1), (2), мы находим, что эта
формула приводится к следующему:

— 109 —
1 -Г2
Т — sin у f 2(\ 4-2sinyt + *2)0 .
где угол ах получается из уравнения (12).
Так найдутся предельные величины координаты х =±zxv между
которыми точка Ж не выходит из пространства, ограниченного двумя
параллелями
у = 0, у— 4(i+2sin9.; + '2)'3
(2sm9 + 3*-j-2sin9.*2 + F)a '
и, следовательно, будет описывать кривую, очень близкую к прямой
линии, если t — малая величина. При этом длина хода точки М будет
определяться крайними ее положениями, а потому, изображая эту
длину через /, мы по выше найденному выражению предельных
величин х--^±:х1 будем иметь
_ 2(2-7») ГГ~sin у . 2(1+28шФ.* + 'а)М /ш
§ 6. В том случае, когда точка М должна иметь движение, очень
близкое к прямолинейному при изменении угла а в тесных пределах,
вспомогательная величина t и угол ах, определяющий предел
изменений угла а, будут малы, вследствие чего все выведенные нами
формулы разлагаются в ряды, удобные для вычислений.
Так, по формуле (3) мы находим, что
Т = 2 sin ф + St + ;
внося же эту величину Т в формулы (1), (2), мы получаем такие
ряды:
2cos2<p-cos2<p , 6sin2<p*cos2cp , ,
а _ 1 х -J 1 1 t -f- . ..,
cos З9 cos2 З9
tang Зф- cos 2y>cos2y . о cos* cp-(3cos 2ф — cos 4y) , ,
cos Зф cos3 Зф
Разлагая выражение Е по формуле (11), находим
Е=: ' 1
2sin2 ф
Внеся в выражения
2sin* ф J
(1-Г2)2 / l+28in9-/ + ^ V_i
7* (2 —Г») ? \ 1—2вШф-Г + Г«/
выше найденное разложение величины 7\ замечаем, что эти
выражения разлагаются в такие ряды:
(4sin*y-l)2 Л , V р_
4sin29«cosa9 v 8тф-соз2ф-(48т2ф ~1)
— 8shl?-*+16(3sin29--l)*2 + —>

— по —
вследствие чего уравнение (12) нам дает такое разложение 1—cosa
в ряд:
с. (4sin2 9 — 1 )2 Л , 48sine ф — 52sin4 9 -f 18sin2 9 г 1 ^2 I
sin9«cos29( sin ф-cos 29«(4sin2 9 ~ ]) "*/
Определяя sin <хх no 1—coso^, получаем
sin ax = Y 2 (1 — cos at) -— (1 — cos ax)2,
что по внесении выше найденного разложения 1 —cosax нам дает
о Г (4sins<p—l)2t[л 56sin6 9 — 50sin49 -\- 15sin2 о , ,
sm ax = 2 1 / — - — 1 , * — *- t 4- . .
j/ sin 9-cos 29 I sin 9»cos29-(4sin2 9 — 1)
Внося эту величину sino^ в формулу (14) и замечая, что выражены^
2(2— Г2) Т — sin ф - 2(1 -r2sin 9_^_+ **)/_
разлагаются в ряды
4cos9-cos29 f 12cos9*sin29 j i
cos З9 ' cos2 З9
sin
9 t 32sin4 9 — 16sin29 — 1 ,
4sin29—1 (4sin29 —])2
мы по приведении получаем такое разложение длины хода точки
М в рассматриваемом нами случае:
/ 8cos9-Vr — sin9-cos29'/ Г. _cos^_cp-(8sin* 9 — 6sin2 9 — 1) , , "|
cos З9 L sin 9-cos 29-cos З9 J
§ 7. В рассмотренном нами случае угол а оставался в пределах
близких к нулю; теперь мы перейдем к случаю прямо
противоположному, когда угол а принимает все возможные величины, переходя
от — тс до -\- тт. При этом линия ААг по отношению к линии ССг будет
делать полный оборот и точка М будет описывать сомкнутую линию,
которая вся будет помещаться между двумя параллелями, более или
менее близкими между собою, смотря по близости величины i к нулю.
Принимая f 7г и — тг за предельные величины угла а, мы полагаем
в наших формулах
OLx = к.
При этой величине ах уравнение (12) нам дает
откуда выходит
- ] __ ЯР- Т1У\ ( 1 + 2sin у-* + Р\\ Л
Р(2-Р) L \1 - 2 sin ф-Г + 7* / J'
1 + 2siny-/ + *?У' 1
3—2 8Шф-Г-|- 7*/ (Г* —.I)2

— Ill —
Из этого равенства мы выводим
1-2 sin 9-г+Р _ -гг*- П
Внося же сюда величину Т по (3), мы находим такое уравнение:
t* -v4sin<p-*3 + 6*2 -}- 4sin cp.^ + l =
- ±{[tz -г 2 sin ?.t2 -+ 3^ + 2sincp]2—(1 - г2)2}.
Решая это уравнение относительно sin 9 при верхнем и нижнем
знаке, находим
— t (t2 + 2) + V 2 -
Sin ф == • . ^ J-±—~_
2(1+О
/(/2 + 4)±гУ"2^=]
Sin<p =
2(1+Я)
Так как последняя формула не дает действительной величины при
t малом (меньшем л/ —) , мы ограничиваемся одною первою.
Замечая же, что в этой формуле знак радикала Аможет быть изменен
переменою t на —t и ср на — у, мы ее возьмем с одним верхним
знаком.
Имея та#им образом
sin? ==- v т ;-r
2 (1 4- t*)
мы по формуле (3) вычисляем соответствующую величину 7\ которая
приводится к следующему:
,- * + V 2 -- **
•"' 1 -Я ' *
Внося же эти величины sin 9 и Г в формулы (1) и (2), находим
2/K2~=72
с =
(2 - t2) t
2(1 +>)'
COS®,
Делая то же с формулою (11), мы получаем выражение величины
Е, предела уклонений точки М от прямой линии, выражение, которое
приводится к следующему:
£=-+-£-. (15)
~ 1 +1*
Эти уклонения будут очень малы в том случае, когда величина t
близка к нулю, и в этом случае вся кривая, описываемая точкою Ж,
будет мало удаляться от прямой. Чтобы найти длину этой прямой,

— 112 —
которая с точностью, определяемой формулой (15), может быть
заменена кривой, описываемой точкой М, мы замечаем, что концы этой
прямой будут определяться наибольшим удалением точки М вправо
и влево от оси Оу; величину же этого удаления мы найдем,
отыскивая наибольшую координату х точки М при всех возможных
значениях а.
Так как в рассматриваемом нами случае имеем
Т=
i +1^2 —;*
w при этой величине Т находим
Г* (2 — Р) _ \tV2- /*
(р_1)2 ~ (1+Л/"2—t*f '
то уравнение (6), определяющее v, приводится к следующему:
2 / V~2 — t2
v=l —
-(1 — COS a).
(14-/1^2 — **}
Внося же эту величину v в формулу (13), мы получаем выражение
для х, которое может быть представлено так:
/
tang2 ф+
2tV2 — t*
(1 — cos a)
2tV~2-
2£
a
{X+tVY^f
(1 — cos a)
sin a,
где а, c, 9 имеют значения, показанные выше.
Определяя по этой формуле наибольшую величину координаты х
и удваивая ее, мы найдем длину прямой, от которой будет
незначительно уклоняться сомкнутая линия, описываемая точкою М при t
малом.

О ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ ТРЕХ КАКИХ-ЛИБО ЭЛЕМЕНТОВ
§ 1. В записке, читанной 5 декабря 1878 г., „О параллелограмах,
состоящих из трех элементов и симметрических около одной осив,**
мы показали условия, при которых такие параллелограмы доставляют
прямолинейное движение с возможно большей точностью.
Параллелограмы эти состоят из двух линий (фиг. 1) AC, AXCV
вращающихся около неподвижных точек С, Clf и линии AAV
сочлененной с подвижными концами этих линий; точка М, неизменно
соединенная с линиею ААХ, доставляет желаемое движение.
В том случае, когда АС = АХСХ, AM = АХМ, механизм этот
становится симметрическим около оси, перпендикулярной к линии,
проходящей через центры С, Сх. Этот
частный случай простейших па-
раллелограмов и был предметом
выше упомянутой записки. По
формулам, данным в этой
записке, получаются очень простые
условия, необходимые и
достаточные для того, чтобы такие ме- Фиг. i
ханизмы давали прямолинейное
движение с возможно большей точностью на бесконечно малом ходе.
Условия эти могут быть представлены так, если рассматривать парал-
лелограм в среднем его положении, когда углы АХАСУ ААХСХ равны:
1)УглыАгАСу ААХСХ равняются + п* у где А есть величина рав-
о
ных углов АХАМ, ААХМ, а п — какое-нибудь целое число.
2) Отношение длины вращающихся линий АС, АХСХ к сторонам
AM = АХМ треугольника ААХМ равняется
cos23<p
cos2<p*cos*9
где <р есть величина углов АХАС} AAXCV
* Читано 30 (18) дек. 1879 г. в засед. Физ.-Мат, Отд, Имп. Акад. Наук.
Опубликовано в Приложении к XXXVI тому Зап. Имп. Акад. Наук, № 3, 1880; Собр. соч.
П. Л. Чебышева под ред. А. Ри Маркова и Н. Я. Сонина, том II» СПб-, 1907,
стр. 299—331. — Ред.
** Стр. 101—112 настоящего тома. — Ред.
8 П. Л. Чебышев, т. IV.

— 114 —
В том случае, когда эти условия выполнены, точка М описывает
кривую линию, которая имеет соприкосновение 5-го порядка с прямою,
параллельной линии, проходящей через центры С, Cv и это есть
высший предел приближения к прямой линии бесконечно малых дуг,
которые могут быть получены при движении рассматриваемого нами
механизма.
Случай бесконечно малых движений, для которого общие формулы,
данные нами относительно простейших симметрических параллело-
грамов, приводятся к выше показанным равенствам, заслуживает
особенного внимания как предел, к
которому приближаются эти па-
раллелограмы при уменьшении
длины рассматриваемого хода
точки М и от которого вообще
мало разнятся случаи,
представляющиеся на практике, где
обыкновенно имеют в виду
сделать по возможности близкою
к прямой линии только
незначительную часть траектории точки
М. Что касается перехода от
бесконечно малого хода точки
М к конечному, это, как мы
показали в мемуаре под заглавием
„Теория механизмов, известных
под названием параллелограмов"*, можно всегда сделать при помощи
функций наименее уклоняющихся от нуля.
§ 2. Мы теперь займемся рассмотрением тех же параллелограмов
в общем их виде, когда (фиг. 2) вращающиеся линии АС, АгСг и
треугольник ААгМ — какие-нибудь. В этом общем виде, как будет
показано, высший предел приближения к прямолинейному движению
остается прежний, т. е. кривые, описываемые точкой М, не могут
иметь соприкосновения с прямою линиею порядка выше пятого.
Условия, при которых такое соприкосновение имеет место, как мы
увидим, в общем случае приводятся к равенствам, подобным тем,
которые получены были нами для параллелограмов симметрических,
а именно:
1) Углы АгАС, ААхСг, при которых точка М приходит на линию
FG, имеющую соприкосновение 5-го порядка с кривою, ею
описываемою, по углам треугольника ААХМ определяются равенствами
Фиг. 2
А АС= AlAM + 2пк
1 3
АА С = AAlM + 2/*iTC
о
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 23—51 и 474—485; стр. 238—250
настоящего тома. — Ред.

— 115 —
где п, пг — какие-нибудь целые числа, равные или не равные между
собою.
2) Отношения линий АС, АХСХ к сторонам AM, АгМ треугольника
ААХМ определяются равенствами
cos — cos -1-
AC ^ 2 cos*(3<p+Y) Л,С = 2_ со««(Зу,-у)
cos ( 2<р+ — ) cos ( 2<pr
где
3 3
а у есть угол составляемый линиею ААХ и касательною FG при этих
величинах углов АгАС, AAfi^
Что касается определения направления линии FG, касательной к
кривой, описываемой точкою М, то по свойству кривых,
описываемых движением в плоскости точек, неизменно связанных между собою,
линия FG должна быть перпендикулярна к линии MSy проведенной
из точки М в точку пересечения линий АС, АхСг> чем вполне и
определяется направление этой линии.
Чтобы обнять все случаи, когда данный треугольник ААХМ,
двигаясь вершинами Л, Лх по кругам, вершиною М описывает кривую,
имеющую с прямою линиею соприкосновение пятого порядка, числам
л, п1 должны быть даны такие величины:
О, 1, 2,
причем, по выше показанным равенствам, получается 9 систем для
величины углов АгАС, ААхСг.
Определяя для каждой из 9 систем углов АгАС, АА1С1 направление
касательной FG, мы находим такие две величины угла у:
у = AGM, у = AGM + те,
доставляющие для каждой системы углов АХАС, АА±СХ две системы
линий АС, АхСг, Таким образом получится вообще 18 решений
рассматриваемой задачи, когда принимается за данное треугольник ААгАЛ.
§ 3. Определяя уравнение кривой, описываемой точкою М при
движении точек Л, Лх по кругам, мы замечаем, что условия, при
которых эта кривая имеет соприкосновение 5-го порядка с прямою линиею,
представляются некоторой системой четырех уравнений степеней более
или менее высоких. По сложности этих уравнений трудно было
ожидать, чтобы они сводились на равенства столь простые, как выше
показанные. Мы этого легко достигаем, замечая, что при бесконечно
малых перемещениях треугольника ААгМ в рассматриваемом нами
вопросе вершина М, с точностью до бесконечно малых порядка 6-го,
будет двигаться по прямой FG. А потому с такою же степенью
точности рассматриваемое нами движение треугольника ААгМ может быть

— 116 —
определено движением точек М и А: первой по прямой, второй щ
кругу; и при этом движении треугольника, с точностью тоже до,%0
порядка, расстояние точки Аг от Сх должно оставаться величиною
постоянною. Определяя условия, необходимые для этого, мы находям
также систему четырех уравнений. Но эта система уравнений при помощи
вспомогательных величин легко приводится к одному уравнению 4-й
степени. Решая же это уравнение, мы находим весьма простые
соотношения между величинами, входящими в наш вопрос, откуда и
получаются выше показанные равенства.
I У
/ \ n:
/ \ ¥>А>
G
х
§ 4« Приступая (фиг. 3) к определению движения вершины Ах
треугольника- А АХМ втом случае, когда вершина Ж движется по прямой
FG, а вершина А по кругу, описанному из центра С радиусом АС.,
принимаем за начало координат центр С, за ось х линию,
параллельную FO, за ось у перпендикуляр к ней. Переменные углы,
составляемые линиями AM, AC с осью х, изображаем через a, (J и полагаем
АС = г, CF = Ь, ААХ = a, AM = ту
МААг = А, МАХА=АХ,
СгРг = х19 CFx^yx.
Проектируя ломаную линию СААХ на оси координат, мы находим
такие равенства для определения координат точки Аг при различны*
величинах р, а:
х = г cos р + а cos (А — а),
у = г sin р -f" a sin (A — а).
Фиг. 3

— 117 —
Чтобы найти соотношение между углами а, р, мы проектируем
ломаную линию САМ на ось у и, замечая, что эта проекция равна
CF = Ь, выводим такое равенство:
b = г sin р — т sin a,
которое нам дает
sinp^msin« + &, )
coSp^|/"riIpsin;+^^ I (1)
Внося эти величины sin p, cos p в выше найденные выражения
координат точки А19 получаем
х = Уг* — (/я sin a + ft)2+ a cos (Л - а),
у = т sin a + a sin (А — a) -f ft.
Изображая через а0 величину переменного угла а, вблизи которой,
согласна с сказанным в предыдущем параграфе, изменения расстояния
точки Аг от Сг остаются бесконечно малыми порядка не ниже 6-го,
и изображая через гх величину этого расстояния при a = a0, мы
замечаем, что выражение расстояния этих точек
Vix-bF + iy-ytf
при разложении его по восходящим степеням разности sin a—sina0
даст такое равенство:
V{x — xj*+(y — y1)* = r1 + K№a-3ln*(u*+--. (2)
Возводя это равенство в квадрат и ограничиваясь шестою степенью
sin a — sin a0, получаем
(x - xx)* + (у -угУ = r\ + 2 rxK (sin a - sin a0)*+•. -
Внося же сюда выше показанные величины координат точки Av
находим равенство
[j/r2--(/rcsina+i>)2 + a cos (Д - a) — xtf -f
.+ [m sin a +a sin (A — a) + b — уг]2=
. ; ^rf+^r^sin;*—sina0)e+.-s
откуда по раскрытии скобок и по разделении всего на 2гхг
получается такое уравнение:
n^sin^sina-^^cosocll/l-
т sin a -f- b \а
X^nu^sinoL,a(b-y1)smA-(lx1.cos.AlQSa:^
L rxx rxi J

— 118 —
, am cos A ^ ^ _ а (уг - b) cos A - axx sin Л - myx gin a ,
' ГХ! ' ГХХ
, r\-^ — x]-^y1{y1-2b)-a^ rx . .
4- -i - = AT (sin a— sin a0)6-^ &\
% 5. Этому уравнению мы дадим вид более удобный для нашей
цели, полагая
dz+\
sin a = —— ,
z\-d
где
d = sin a0. (4)
При этой величине sin a находим
dz+l . 1 —d- 1— d2 tf(l-tf2) f
sin a — sina0= —-! a = —— = * -\
z + d z-\-d z z1
« / msina + ft \» _ Yr'-jz + d)* — [(md-\-b) z + (m + db)]* _
~ r(z + d) ~
V
_ \rr*-(md+by ft . rd
~ r(z + d) У [Z^ r
rd— m — db^ f j^ rd-\- m+ db\^
md — b J \ r-^md-^b
rj^s^±brV{z_gf_hi> (5)
где положено
r-\- m-\-db
\ ' r-md-Ъ )\ r-
• + tnd -f b)
= {z—g — h){z-g+h)=(z-gf — h*.
Определяя на основании этих формул выражения различных членов
уравнения (3) при замене в нем sin a через *+ и деля все уравнение на
z -)- d
коэффициент, стоящий при
zV{z-gf-h*,
мы замечаем, что это уравнение приводится к такому виду:
(Z + х + р j/F=I) /(г-я)2-А2-(Р0 + Pt*) 1/?=Т +
+ ^2 + Рзг + Р4г2 = -£ +. • • (б>
На основании этого равенства, по которому выражение
должно давать величину функции
(г + X + pi |/?=Т) l/(7^7)TZTtf

— 119 —
с точностию до —, легко найти величину коэффициентов Pq,PvP2,
Рз>^4 п0 величинам ^^иАи одно уравнение, которому должны
удовлетворять последние.* Чтобы найти уравнения, определяющие
коэффициенты
P0>PvP2,P3>Pi,
мы разлагаем первую часть уравнения (6) по нисходящим степеням
переменной z и приравниваем нулю члены с г2, г1, г0, —, — . Это дает
нам 5 уравнений, линейных относительно величин Р0, Рг, Р2> Р3, РА и
вполне их определяющих. Решая эти уравнения, находим
Р0 = ^2 + А2Х-КА2--1)^,
Рг = 4 А2^2 + А4 + 4А2#Х + [4AV + (А2 - 1)>,
P2=-i(4g2 + A2-l)A2~-(2A2-l)^X-l(4^ + A2~.3)A2^
Р3 = (А2 + l)g + (А2- 1) X + Л2^,
р4 = 4 А2£2 + А*- 1 + 4#Л2Х + (4#2 + А2 - 2)А2р.
Внося же эти величины
в формулу
(2 + X + цК5^=Т) 1/(г-£)2-Л2 -
-(Ро + ^Ж^^+^+^г + Р.г2
и разлагая ее по нисходящим степеням z, находим ряд
-^[(4£2 + ЗА2-1)£ + (4£2 + А'--1)Х + (4^ + ЗА2-3)^]1-
О *
-?-[8^ + 4(ЗА2-1)^2 + А*-А2 + (8^2 + бА2-4)^Х]1-
16
-f![(8^ + 4(3A2-2)^ + (A2-D2)^]~
16 *
что по сличении с уравнением (6) нам дает такие равенства:
(4^ + ЗА2—l)^+(4g2 + A2-l)X + (4^2 + 3A2-3)^ = 0, \
_*![8^4 + 4(3A2 —1)^2 + А*-А2+(8^2 + 6А2 —4)^Х]— I (7)
__Ла[(8^ + 4(ЗА2-2)^ + <А2-1)2){х] = £. |
* Все это непосредственно получается при помощи разложения в непрерывную
дробь, как мы показали в записке под заглавием: „О приближенных выражениях,
линейных относительна двух полиномов» (том III настоящего Собрания сочинений,
стр. 89—107.—Ре<?.).

— 120 —
Первое равенство представляет уравнение, которому количества
\v-,g,h>d должны удовлетворять; второе нам послужит, как увидим
ниже, для определения величины уклонений от прямого пути
вершины М треугольника ААХМ> когда вершины А,АХ движутся по кругам.
§ 6. Для перехода от величин
сейчас нами найденных, к величинам, входящим в наш вопрос, мы
замечаем, что по выше показанному формула (6) должна приводиться
к формуле (3) при внесении в нее величины z из уравнения
dz+l
sm ос = —f— .
* + d
Находя по этому уравнению, что
1 — d since
z =
sin a — d
1 sin a— d sin а — d , rf(sina — d)% .
7_ 1— dsina- 1 — <P ' (1— rf2)1 ~T~"'9
y*=l = Y«-dsin«y-(sin«-dy = yr=* co$%
sin a — d sin a — d
л/Т-
ft(l-rf')
К *-( *o-*> sma+—w^) j
|/ fts — (g- + d)" sin a — d
мы замечаем из сравнения последнего равенства с равенством (5), что
» _g + (g*-*4-g* + i)<* I w
г A(l-d2) 'J
y(g-gy-A^-*(1-rf
// msin a -f- ft \2
\ r )
Y h'—ig+d)* sina —d
вследствие этих равенств формула (6) по внесении в нее
1 —dsin a
sin a — d
вместо z приводится к следующему:
h (1 — rf<) (X — дГ) sin a + 1 — d\ + ]/1"^? ^ cos a
]A2 — (£+<*)* (since —tf)2
Pi — Ppd +(P0— PtflQ sin a
/"- / m sin a -[- ^\8
(sina-*)* ^~ Kl-*COS« +

+
— 121 —
I (P*-Pzd + PAd*)sm*ct-(2P2d-Pi(lJrd*) + 2P4d)smaL
(sin a — df
i Pt#-P*d + PA /.(sina-rf)*
. (sn^a — df (\—d2f "r • • •
Разделяя это уравнение на
yht—tg + d)* (sina — aj
и сличая его затем почленно с формулою (3), находим такие
равенства:
—i8inA: *-'
хх 1-rfX
COS А = ~ .
*i I - d\
am sin А __ Р0 — Р^Ук1 — {g + df
гхг \ — d\ hVr^T*
а{Ь — у г) sin Л — ахх cos Л ___ Pl — P0d Vh} — (g + tf)*
гдгх 1—dx hVT^d*
am cos Л Я2 — P8 </+ P4 rf* Yh2 — (g-j-tf)2
'*i . ■ l-d* /гУ"Ь=72
Д (Vi — ft) cos Л — qaTi sin Л — /n)^
1—dX /z(l~d2) '
Л - гг — х\—ухQ/i — 2 b)—a* = p^b^p^d + Pj Vh* — (g+df
2rjcx
1—tfX
(9>
(10)
Разделяя 1-ое из этих уравнений на 2-ое, а 3-ье на 5-ое и на
1-ое, находим такие равенства:
\ — d )
tang A=
uVi-d2
tang A
■Pxd
P*-P*d + PA*' f
r . .. x —rf д^]~5"2 * )
(11)
Исключая из первых двух равенств tang А и внося величину —
(12)
по (8) в третье, получаем для уравнения
X~d Pp — Pxd
i^pr* я.-я^+л*

— 122 —
(х - d) j/£=3tS = Pld-p0, (i3)
связывающие между собою пять величин Kp>gih>d- Эти два
уравнения вместе с уравнением (7) дают возможность определить три из
них по остальным двум.
Так как выражения
Ро> ^i> ^2> Р& ^4
представляют линейные функции количеств X, ц, то уравнение (13),
так же как и уравнение (7), будут первой степени относительно этих
величин. Определяя из этих уравнений величины X, ц. и внося их в
равенство (12), мы получим уравнение, заключающее только три
количества g,h,d.
% 7. Равенство (13), по внесении в него выражений P0,PV нам дает
такое уравнение:
+ [(A2-l)^-((A2-l)2 + 4^A2)rf]Fb = 0.
Решая относительно X — d и ц это уравнение вместе с
уравнением (7), находим, что
*-*-$■ *-%• со
где
- [4 (А2 + 1) g* — (Л2 — I)2] (А2 - 1) rf2,
M1 = [-k*(4g*-h* + l) + (4g* + h*-l)y^^^^\l +
D = [4(A2+1)£2 — (А2-1)2](Л2 — l)rf —
4^ + (2A4D(A2-l) + (^43A2-3)|/^3SL
Внося эти величины X — d, у. в уравнение (12) и полагая
ё~~ = с, g^ch-d, (15)
находим, что оно приводится к такому виду:
[(Зс—4 с3) VT^d24- (1 — 4 с2) <* Kl - с2] А4 +
+ 8ch3Vl-c2-Q(d\/I^^—cyi-d*)h* — SdhVT^cP-
-(l-4d2)cyr=d* — (3d — 4:d*)VT^7* = 0.

— 123 —
Это уравнение значительно упрощается внесением в него значений
4 = sincc0 и с, которое, как нетрудно показать, равняется sin p, где
р0 есть величина переменного угла р, соответствующая а = а0.
В самом деле, по формуле (1), полагая в ней
а = а0, р == ро; sin ос0 = d,
находим
sm р0 = —2— ,
что по внесении величин —, —, определяемых формулами (8), дает
sinp0=&±£ = *.
0 л
Вычисляя же на основании равенств
d = sina0, £ = sinp0
величину коэффициентов при различных степенях h в
рассматриваемом нами уравнении, находим
(3£-4£3)УТЗТ2 + (1— 4с2)/1 — c2d =
= sin3р0- cosa0 + cos3P0-sinao = sin(«o + 3p0),
8cj/l — c2 = 4sin2(30, BdVl— rf2 = 4sin2oc0,
б(rf]/l —c2 — c V\ — d2) = 6(sina0-cosP0—cosao#s^Po)=6sin(ao— Po)>
(l_4^)^|/ITr^ + (3rf_4^)}/l~-(:2===sin(3a0 + p0),
вследствие чего оно приводится к следующему:
A4sin(a0 + 3p0) + 4A3sin2p0 — 6 A2 sin (ос0 - Р0) —
— 4Asin2a0 — sin (3 ос0 + Ро) = °-
Решая это уравнение относительно h, мы находим, что оно
разлагается на такие два уравнения второй степени:
A2sin(a0 + 3p0) + 2A[sin2p0-sin(a0 + p0)]-=
= sin (aa - р0) -f sin 2 (ao + ро),
h2 sin (a0 + 3 Ро) + 2 h [sin 2 p0 -f sin (a0 + ft,)] =
= sin (aa — p0) — sin 2 К +р0),
которые по разделении на
2cos *>_+!!•, 2sina-!d-i!i.
2 2
приводятся к следующим:
A2sIn«JLi^+2Asin^ = sinl^5
A*cos «i±lk + 2 h cos ^ - - cos 3-^tb.
2 2 *

— 124 —
Решая же эти квадратные уравнения, мы находим такие четыре
величины для Л:
Л =
h -
А =
. За0+р0
sin ■
4
sin
4
. 3 а0 -f- ро -
sin
4
. а0 -(-- 3 Ро -
sin :—
-2vr
-бтг
sin*
sin
sin
sin
3 а0 4 Po ■
4
ао + 3 po -
4
3 а0 4" Po -
4
а0 + 3 Po -
4
^-7Г
-Зтг '
-Зтс
-9tz
h =
Сравнивая между собою эти четыре величины К, мы замечаем, что
они получаются одна из другой уменьшением угла (30 на тс и
переменою знака с + на —, с — на +• Но 9Т0> как видно из чертежа
(фиг. 3), где
АСх = р0, АС = г, AM = /и
и где по (8)
fg + dy
1
г 1 —d*
соответствует перемене направления линии ЛС на те вместе с
переменою той стороны, которая принимается за положительную при
определении длины линии АС. Вследствие этого формулы,
получаемые при выше показанных четырех величинах А, будут отличаться
между собою только тем, что в них вместо (30 будет входить или
р0 — тс, или р0 — 2 тс, или р0 —Зтс, откуда видно, что мы обнимаем все
возможные случаи, если в формулах, полученных в предлоложении
. 3 а0 4" Ро
sin
А = ^тг, №
. а0 4- 3 Ро
sin
4
поставим р0 — £тс вместо р0, где k означает целое число, причем
величина h будет определяться уравнением
tl = K — L)
§ 8. Ограничиваясь сначала по выше сказанному предположением
3 <х0 4" Ро
sin
sin
sin
3 a0 4 Po
4
<*о 4- 3 Pq-
—-; krC
-Zkv.
. ao + 3 P»
Sin ■ :

— 125 —
и внося эту величину k в формулы предыдущего параграфа,
определяющие X — d и fi, по которым
\ — d =
N_
D '
находим, полагая для сокращения
sin8(«в + р0) • sin-| («• - Ро) -sin ^=^ .sin 3ао + ро
2 4 4
. осо+Ро , ао + 3 ро
Sln ^ 8шв .cosa0
х 4
= Л
что
•& 4 4
^ = COs|(a0 + Po).sin^±ll .Sin^f^ -P,
2 4 4
D =
In.-L^_C08iK + w.^sz^.8ln«aiJi'|^
Sill'
4 2 > w . .u/ - - 4 4
откуда получаются такие величины для Ъ — d я р:
X — tf =
Р =
, 3 / a \ • За0 + Ро . <*0 Ро
sin •~~(a0 + Po)-sin «sm—-— -cosa0
• «> а° 4" 3fto 3 г о \ • ао~~Ро - ?ссо + Ро
sin2 — cos — (а0 + Po)*sm - »sm
4 2 4 4
3 . 3«о + Ро - «о —Ро
cos т-(а0 + Po)-sm sin —-—
.' «o+3pe 3" , л к ., ао-ро . Ззсо+'рГ'
sm2 —- — cos -- (а0 + po)*sm — sin i
4 2 4 4 f
(17)
Внося же эти величины \—d, [л в формулу (11), где по нашему
знакоположению Vl — d2 — cosa0, находим, что она дает
tang А = -tang-| (а0 + Р0).
Это равенство получено нами в предположении
А =
sin
sin
Зос0 + Ро
4
ао + Зро
4
Чтобы перейти к общему случаю, когда
За0 -f- Ро — ^гс
sin
А = (—1) ао + 3р0-з^
(18)
sin
мы, по замеченному в предыдущем параграфе, заменяем в этом
равенстве р0 через р0 — -К отчего получается такая величина для tang Л:
о
tang А = tang — («о + Ро ~ **)•

— 126 —
Эта формула показывает, что разность углов А и — (*0 + р0 ■—fa)
должна равняться величине *, взятой целое число раз, что
предполагает такое равенство:
A=!(a0 + P0-fa) + (/*-lK
где п, подобно k, целое число.
Но из чертежа (фиг. 3), где по нашему знакоположению
Аг AM = Л, AMF = ос0, АСх = р0>
видно, что
САМ = я — ЛЛГ/7 — ЛСх = тс - а0 — р0,
СЛЛХ = СЛЖ + A1AM = ic-a0-P0 + Л.
Определяя по последнему равенству величину суммы а0 + р0 и
внося ее в выше найденное выражение угла Л, получаем такое со*
отношение между углами СААг и Л:
Л = 3 САА, - (2л — 3* + 1) тт. (19)
Это равенство показывает, что угол Л треугольника АА±М и
утроенный угол СААг, определяющий наклонение вращающейся линии АС
к линии ААг при a = a0, могут разниться между собою только
величиною тс, взятою несколько раз. Чтобы сделать наши формулы
однообразнее, мы ограничимся предположением, что разность углоа
ЗСААХ — А заключает в себе тс четное число раз.
Этого можно всегда достигнуть, увеличивая угол СААг на 180°, или,
что одно и то же, меняя направление линии АС в прямо
противоположное. В этом предположении, как видно из предыдущего равенства,
число k должно быть нечетное.
Полагая
* = 2/> + 1, САА^у,
мы по этому равенству будем иметь
Л = 39 — 2(п — 3/7— 1)тс,
причем по (18) величина h будет определяться равенством
. За0+ ро — (2р+ 1)тг
sin -
«о+ЗРо — 3 (2/7 Ч- 1)ти'
sin
4
которое может быть представлено так:
Зао+ Ро — (2/7— 1)тг
cos
fl =
a0+3po — 3(2/7— 1) тс
cos .
4

— 127 —
Замечая же, что по (8)
-W.-A V h )
г 1 — йГ2
где, как видели,
Я + d
- — = sinp0, d=sinoc0,
мы находим, что гит связаны между собою уравнением
гп_ = 4 cos2 Po
/* а0 + Зро— 3 (2/? — 1) 7г cos2 a0 '
cos *-£ —
4
Выведенные нами формулы относительно углов А = А1АМ,
© == Лх АС и линий г = АС, т = АУИ получены в предположении, что
при бесконечно малом движении треугольника ААХМ вершиною М
по прямой PG, а вершиною А по кругу С, расстояние вершины Ах от
Сг с точностью до величин 6-го порядка остается равным гг = Аг Cv
По замеченному в § 3 это вообще должно иметь место, когда
при движении вершин А, Аг по кругам, описанным около центров
С, Сг, вершина М с точностью до 6-го порядка движется по прямой FG,
или, что одно и то же, описывает дугу, имеющую соприкосновение
5-го порядка с этою линиею. В этом случае вершина Аг находится в
таких же условиях, как и Л, а потому углы и линии при этой
вершине должны также удовлетворять уравнениям, выведенным нами
относительно углов и линий при вершине А.
На основании этого, полагая (фиг. 4)
A1E2E1 = $l, AA1M = A1, АА1С1 = <?1, A1M=m1,
и заменяя в формулах, выше найденных,
через
*x,?>i>A>9i>ri>mvni>Pi>
получаем такие равенства:
Аг = 3<рх — 2 {пх — Зрх — 1) те,
cos 3ai + Pi — (2/>i — 1) *
%= 4 cos^Pi
гг CQS Ог + ЗЬ-З^/У!-!)* COS2 ax *
4
§ 9. Выведенные нами равенства относительно углов треугольника
ААгМ вполне определяют их по углам <р = АгАС, <р1 = АА1С1,
несмотря на неизвестные числа п,р, nl}pv в них заключающиеся, так
как эти числа входят с множителем 2к. Вследствие этого, если даны
углы 9, ?i и сторона ААг = а треугольника АА1МУ мы при помощи

— 128 —
этих формул, найдя углы A, Alt вполне определим его. Зная же этот
треугольник и положение его относительно линий АС> AXCV
определяемое данными углами <р = Аг AC, <Pi = ААХ Сх, мы легко найдем
направление линии FG.
Так как в рассматриваемом нами движении треугольника ААгМ
линии СА,С1А1 представляют нормали к дугам, описываемым
вершинами его А,А19 линия MS, проведенная из точки М в точку
пересечения линий АС,АгСх, должна быть перпендикуляром к линии FG,
по которой вершина М двигается. Определив таким образом
направление линии FG, и замечая, что в нашей системе координат ось х
параллельна этой линии, мы легко находим углы
составляемые линиями AM, АС, АгМ, АгСг с осью х при том
положении треугольника ААгМ, когда вершина его М находится на
линии FG. Изображая угол, составляемый при этом линиею ААг с FG,
через у, мы выводим из треугольников AGF, AGMt A^GM, A1GGl
такие равенства:
AMF = MAG + AGM = А + у,
AFM = тс — FAG — AGM = тс — <р — у,
A1MG=-AA1M — AGM=Al — y,
A1Q1M=n — СгАг А + AGM = тс —?1 + у,

129 —
откуда по равенству углов
AMF = AEC =<х0, АРМ = АСЕ = (30>
А1МО^АхЕ1х = щ,, AlEtC = AlGlM=ti
выходит
a0 = ^+Y. Р0 = * — ?— Y, а1 = Л1 — у, ^ = те _ ?1 _J_ Y>
что по внесении выше найденных величин углов А, Ах нам дает
a0 = 3cp + Y — 2(ге — Зр—1)«, р0 = -!С_ср_Т)
^ = 3^ — у — 2 («j — 3jox ~ 1)тг, р1=т:— <рх+Т-
Внося же эти величины а0, (30, аг (Зх в формулы (§ 8), определяющие
отношения —, —, находим
г П
г
m
cos
cos I 2ф +
cos2 (З9 + Y)
у — (3п — 8р)к\ cos2 (9 + у) '
2
Y —ЛХ7Г
cos •
cos (2фх —
cos2(3<pi—y)
7 + (3/*i — 8pQ ти\ cos2(?1 —y) '
А так как
Y— Пл-к г 4- П\ к
COS J — = COS -^ • COS Пх тс,
cos ( 2? + T-(8»~8^V _ cos fa + lip
cos (2<рх —
т+_{Зл1--8а)7: \ _
\ = COS (2ft-
Y+ TXiTc
COS/^тс,
эти формулы приводятся к следующему:
Y -f- пк
cos-
г
m
cos (2ф +
2 ^ cos2(3y + y)
Y + mc \ cos2 (ф + т)
cos-
2
Y -f- П1ТС
cos ( 2ф!
_2 cos2(39i—y)
Y + rt! тс\ cos2(9l —y) '
(20)
§ 10. Для определения величины угла у, входящего в эти
формулы, мы замечаем, что по известному свойству линий, проведенных
из одной точки к углам треугольника, как это имеет место относи-
9 П. Л. Чебышев, т. IV.

— 130 —
тельно линий SA, SM, SA± (фиг. 4), должно существовать такое
равенство:
sin A MS __ sin MAS ^ sin AAXS
sin^iMS sin AXAS sinA^S'
где, как видно из чертежа,
AMS = FMS - FMA = ~ — оо,
AXMS = QMS — A1MG = -J — ax,
MAS = п — СААх + A, AM = * - 9 + A,
A± AS = тс — CAAi = тс — 9,
-4^1^ = w — d Л A = tz — <pv
MA±S = « — С1А1А + АА1М = к — <р1 + Аг,
вследствие чего это равенство нам дает
cosa0 sin (A — ф) sin9X
cos ax sin 9 sin (Ax — cpi)
Внося же сюда выше найденные величины углов А, А19 получаем
cos a0 sin 2ф sin 9l
cos ax sin ф sin 2ф1
что по замене sin29, sin291 через 2sin9-cos9, 2 sin 91 • cos 92
приводится к такой простой формуле:
COSOCq == COS ф .
COS ax COS ф!' ^ '
Замечая, что по выше показанному (§ 9)
«о = 3? + т — 2 (я — 3/> — 1) *,
0^ = 3^ — Y—2(n1 — Sp1 — l)«,
мы отсюда выводим уравнение
COS (Зф + У) С05ф
COS (Зф1 — у) COS фх
определяющее угол у по углам у, 9Х. Этому уравнению мы дадим вид
более удобный для вычисления угла у, представляя его так:
cos (Зф -f- у) — cos (Зф1 — у) . cos ф — cos фХ
cos (Зф+у) + cos (Зф1 ■— у) cos ф + COS ф!
что приводится к равенству
tang Г- (9 — 9l) + y] tang ^2J
L2_ __i _ 2_ ^ (22)
cotang —(9+9l) cotang 9 "^ 9l

— 131 —
§11. Определяя по уравнению (22) угол у, мы найдем для него
пределах 0 и 2ти две величины, разнящиеся между собою на тт.
Нетрудно показать, что, давая в наших формулах углу у эти две
величины и принимая числа п, пг за нули, мы обнимем все решения
нашей задачи. Для этого мы сначала покажем, что эти два числа не
могут разниться между собою числом нечетным. Это можно заметить
из выражения величины
*i
а
получаемого из выше найденных формул. Так как в нашей системе
координат начало находится в точке С и ось х параллельна линии FG,
то величина xv представляющая абсциссу точки Cv будет равняться
проекции расстояния точек С, Сг на линию FG. В нашем вопросе эта
проекция, так же как и линия а = AAV имеет одинаковое значение
по отношению вершин А,Аг треугольника ААгМ; а потому формула.
определяющая —, не должна менять величины при перемене
на
<?v ai> nv — Ъ
имеющие одинаковые значения по отношению вершин А, Ах
треугольника АА±М; а это, как мы увидим, предполагает, что п — пг есть
число четное.
В самом деле, по формуле (9) находим
хг 1 - d\ __ , 1—Л*
a sin Л X — d X — d
Так как по нашему знакоположению
d = sin a0, 1 — Ф = cos2 а0,
а по (17), в предположении
• Зао + Ро
X —
величина
d =
sin2
h-
. 3.
Sin -~ (a0
ap + 3pp
4 •"
sin
sin
+ M
— cos
4
«0 + 3fto
4
. 3a0 + Po
•sin «
4
з
y(a0 + Po)-sin
£i_
sin
ao_
a0 —
4
-Po
4
Po
— cos ao
. 3a0 + p0
•sin
4
a sin A
9*

— 132 —
представляется формулою
cos а0* cos ■— (а0 + ро) cos а0• sin2
Sina0H - —— t _ Зар + Ро . «о-
sin —- (а0 + Ро) sin — (a0 + po)-sin
sin ■
>о
2 \«-о -г но/ -"* 2 v~u I ru/ — 4 — 4
где первые два члена по соединении дают
«о + Зро
cos-
3
sin у (<х0 + Ро)
а последний, по замене в нем выражений
sin2^±^, sln5ozJ£.sin-Su±^
4 4 4
равными им
2 \ 2 У 2V 2 и/
приводится к
ао_+ЗРо\
1 —COS -COSa0
3 Г а0 + Ро 1
sin -— (а0 + ро) cos — — cos a0
вследствие чего эта формула нам дает
3 / а0 + Зр0 \
ХХ Sin — (а0 + ро) 1 — COS COS a0
2 __ cos ао "Г ДРо _1 ^ /
a sin А 2 а0 + р0
cos — cos а0
Это вывели мы в предположении
. За0 + Ро
sin
А =
•. а0 + Зр0
sm
Чтобы перейти к общему случаю, когда
. За0 + ро — кк
sin
А = (-1)*-
ао+ ЗРо — Ъкк
sin —!
4
мы, по сказанному в § 7, должны поставить здесь р0 — £тс на место
Таким образом получаем формулу
3 < / а0 + Зро —• 3 kiz \
дьм-Оц+Р.-*») ао + зро_з,тс (1-со. \ )cos
~ —" CUo •—————^———————— '
a sin A 2

— 133 —
Находя по величинам к, А, а0, %, показанным в §§ 8 и 9, что
ъ_
2
sin — (а0 + % — кк) = sin (3? - 3/да + 3*) = — (— 1)» sin 3?,
cos -г ^ = C0S(Y _|_ т_к) ^ _(_ |)Л(,05Т(
sin A = sin (З9 — 2 (л — 3/? — 1)тс) = sin 3?,
cos _XJL = cos (<р _ „* + тг) = - (- 1)"C0ST,
мы из этой формулы выводим
fi = cosY- (-1)n + cos^ .
COS а0
Меняя здесь а0, 9; Y> л на ах> ft,—у* лх> мы по выше сказанному
для той же величины — находим еще такую формулу:
а
х (_l)^ + cosy
— = COS у - - .
cos ax
Сличая между собою эти две величины—, где по (21)
а
COS ф COS фх
cos a0 cos ах
мы замечаем, что они становятся тождественными только при
равенстве
а это предполагает разность п — пх числом четным.
Убедясь таким образом, что в наших формулах числа п, пг могут
разниться только числом четным, и заметив по составу формул
COs-
j^ _ 2 . cos2(3(fi + Y)
т cos(29+Ul^l) ' coel'^ + Y)-
cosX±^
_/Ч = 2 # cos2(3g>i-Y)
** ~ Cos ^2ф1-Х±^Л ' С0$а (9l~r) '
что в них числа п, пг могут быть сделаны > — 1 и < 2, мы заключаем,
что относительно этих чисел возможны только два предположения:

- 134 -
или оба они равны 0, или оба они равны 1. Но оба эти случая мы
обнимаем одною системою формул
г
т cos
mi cos
у
cos _L.
2
V
COS -i-
2
(**-i)
e C08*(3<p + Y) ^ 1
cos2(9 + T) ' 1
# cos'(3<pi-y) 1
COS*^ — v) ' j
(23)
допуская в них замену угла у углом у + тс> или, что одно и то же,
давая углу у две величины его, получаемые из уравнения (22) в
пределах 0 и 2тс.
Так, по углам <р, <Pi и углу у, определенному уравнением (22),
найдется величина отношений
т
т1
откуда по длине т~АМ, т1—А1М, сторон треугольника ААгМ,
получится длина линий г=АС,г1=А1С1.
В том случае, когда дан треугольник ААХМ, мы найдем углы y,yv
входящие в наши формулы, заметив, что по сказанному в § 8. об
определении углов А9Аг треугольника ААХМ, те же углы А, убудут
получаться при таких различных величинах <р, 9i-
А
?1=
Аг
?1 =
А +2п
3 '
Аг + 2к
<р=.
■4тс
?1=
__ Лг + 4тг
Комбинируя между собою эти величины углов <р, у19 мы найдем
9 различных систем величин <р, срг Определяя для каждой из этих
систем углов <р, <pi угол у по (22), мы найдем для него две величины,
вследствие чего число решений нашей задачи в том случае, когда
предполагается данным треугольник ААгМ, будет вообще 18.
§ 12. Мы теперь займемся определением величины уклонений
вершины М треугольника ААХМ от прямой линии, когда вершины А, Аг
движутся по кругам, определенным по выше сказанному. При этом
мы будем рассматривать только положения треугольника, бесконечно
близкие к тому, когда вершина М находится на касательной,
имеющей соприкосновение 5-го порядка с ее траекторией), и везде в
разложениях будем ограничиваться первыми членами.
Мы начнем опять с предположения, что вершина М движется
точно по прямой FG, а вершина Аг описывает кривую, близкую к дуге
круга Сг (фиг. 5).

— 135 —
Пусть будет А'А\Мг какое-нибудь положение треугольника ААгМ
при этом движении, бесконечно близкое к тому, в котором вершина
Ах лежит на круге Cv и в котором по нашему знакоположению
САА1=^, C^A^i»
При этом точка Аг не будет находиться на круге Сг и расстояние
ее от центра Сх будет разниться с радиусом его гх=АхСх величиною
AtS, для определения которой по (2) получается такая формула:
A'i5==/C(sina — sina^6 + ...
Чтобы перейти к тому случаю, когда вершина Ах движется
точно по кругу Cv а вершина М по прямой FG приближенно, мы
предполагаем, что треугольник А'АцМ1 вращается около точки А' до тех
Фиг. 5
пор, пока вершина его А[ не придет на окружность Сг. Полагая, что
при этом вершина А\ приходит в точку q окружности Сх, а вершина
Mv лежавшая на прямой FG, приходит в точку t9 мы замечаем, что
при этом бесконечно малые линии A\S,A[ q,Mxt будут связаны
между собою такими равенствами:
AiS=A\q- cos qA\S, ТГ = 'ГУт
Л п л' А

— 136 —
А так как
А'М1=АМ=т, А,А[=АА1=а,
qA\S=A,A[Cl — A'A'lg=A,AiCl—j'
и угол А'А\СХ бесконечно мало разнится от угла AA-fix=^x, то эти
равенства нам дают
A',5=A^-sin?1, elL = HL,
Axq a
т Ay*
откуда, исключая A\q9 выводим
Mxt=
a sin cp!
что по внесении выше показанной величины А\ S приводится к
следующему:
я Я J. TS m (Sin a — Sin ао)в I
мл=к— — + • • •
a sin 91
С другой стороны, определяя удаление точки t от прямой линии
FG, мы находим, что оно равняется
MJ-sinFMJ,
атак как угол FMxt равняется — FMXA\ а угол FMXA'
бесконечно мало разнится от угла FMA = (x.0, это выражение приводится к
такому:
Ж^-cosao,
что по внесении выше найденной величины M±t нам дает следующую
формулу для определения величины удаления точки t от линии FQ:
/С —C-5^(sina-sina0)6+...,
a sin фх
откуда видно, что при движении треугольника ААгМ, нами
рассматриваемом, ордината у точки М при а бесконечно близком к а0
будет иметь такую величину:
V=CF-K ^L£^i^L(sina-sina0)« + ..-
a sin фг
Заменяя же здесь разность
sin a — sin a0
через
(a —a0)cosa0 + ...,
находим
y=CF-K -^C-^("-«,)«+..-
a sm cp!
Эта формула показывает, как изменяется ордината у точки М при
изменении угла а. Чтобы найти соотношение между изменениями х,
у точки М, мы теперь выведем формулу, определяющую величину

— 137 —
х точки М при величинах ос, близких к а0. Для этого мы замечаем,
что величина х равняется проекции ломаной линии САМ на ось х, а.
потому
х=AC-cos ACx + AM cos AMF.
Внося же сюда величины
АС=г, АСл:==р; АМ^т, AMF=<x.,
находим
x=rcos$ + //1 cos a.
Дифференцируя эту величину х относительно а и замечая, что
по(1)
d$ m cos a
d<x r cos p '
находим
^ = _rsinpf_msina==_/rtjii(i±il.
«a da cosp
На основании этого заключаем, что в смежности с точкою
x=MF, y=FC,
где a=a0, р=р0, абсцисса х будет иметь такую величину:
cos ро о; '
Выводя из этого уравнения величину разности <х — <х.и и внося ее
в выше найденное выражение ординаты у, получаем следующее
соотношение между хуу\
_ С/7_ cos*a0.cos°Po* {х-рщг + ...,
я/я5 sin cpi-sin6 (a0 + р0)
которое мы представим так:
полагая
x^FM, y0=CF,
„ cos7aft-cos6po#
0 amb sin qvsin6 (a0 + p0)
Это нам дает уравнение кривой, описываемой вершиною М
треугольника ААгМ в смежности с точкою х=х0, у=у0> где она имеет
соприкосновение 5-го порядка с прямою.
*§ 13. Для определения величины коэффициента К0, входящего
в это уравнение, мы замечаем, что по (10), где

— 138 —
коэффициенты К и L связаны равенством
ГХХ COS $pL
к^-
/*iCOSl0a0(l — rfX)
вследствие чего выше показанное выражение К0 приводится к такому:
гхг COS7 $QL
Ко
атьгх cos3a0-sin cpi-sin6 (a0 + Ро)(1 — dx)
Внося сюда величину хх по (9) и величины углов А, а0, р0 по
формулам § 9, получаем
„ г cos7 (9 4" y)-sin39 L
0 тъгх cos3(3cp + r)-sine29-sin ф1 X — d
Переходя к определению отношения
L
входящего в это выражение коэффициента К0, мы вычисляем
величину L по формуле § 5, внося в нее величины \, р., найденные в § 7,
и принимая
sin 3ao Ч- Ро — ^тг
*-(-!)*
sin g° + 3^°"- *klz
4
Разделяя величину L, таким образом получаемую, на^ величину
X —d при том же значении А, мы находим по приведении в
простейший вид такую формулу для определения отношения L к X — d:
sin2 Зао + po-frt т sin3 (ao + ?о _ kn)
L 1 4
cos ap- Sin А (q0+p0-frr>sin* а° + 3Р° ~ 3^>sin а° + ^ ~ Ы
\ — d 32
cus а<р »Ш
2 4 2
Внося сюда величину ^=2/7 -)- 1 и величину углов Л, а0, р0,'
показанную в § 9, получаем
cos2 (^2Ф + т + n7g>\sina29
X"~~rf 32 cos (3У + т)• sin 3Ф - cos* Y + nn • sin Ф
2
Замечая же по уравнению (20), что
i(29 + r + »^
cos2
V 2 У т* cos4 (3Ф + у)
cos2L±-^ r2 cos*(9 + y)
2
мы из этой формулы выводим
__£__ т2 cos3 (З9 + г) sin3 2Ф
X — tf 32r2cos*(9 + y)-sin39-sin9-cos2-X
2

— 139 —
где по § И мы поставили у вместо у~ятс, вследствие чего выше
найденное выражение коэффициента К0 нам дает
К0== I / со8(Ф + т)у ^
32/r1sin9*sin91«cos2-L V m sin 29 J
2
§ 14. На основании этой формулы нетрудно показать, что при
rirvm)mx конечных коэффициент К0 в уравнении
не может обращаться в 0 и, следовательно, кривая, описываемая
вершиною М треугольника ААХМ в рассматриваемом нами вопросе,
не может иметь соприкосновение с прямой линией порядка выше 5-го.
Чтобы показать это, мы замечаем, что коэффициент К0 имеет то
же значение по отношению к вершине Ах треугольника ААХМ, как и
по отношению к вершине А, а потому в выражении его, найденном
нами, величины
могут быть заменены величинами
Таким образом, получается новое выражение для К0:
К = \ /С08(ф1-У)у т
32r1rsin91-sin9*cos2 JL \ Щ&ъЪуг /
2
По этим двум выражениям коэффициента К0 видно, что, при г, rv
mim1 конечных, он может обратиться в нуль только при
удовлетворении двух уравнений
cos (<р + у)=0, cos (cpi — y)=0, (24)
из которых выходит
f 2? + 1 2^ + 3 „
? +Т== "^— ** ?1 —Т= —— к>
где qy д'—какие-нибудь целые числа. Складывая и вычитая эти два
равенства, находим
У + ?1={Я + Я1 + 1) *» | (25)
?-?i + 2y=(?-?>. J
Но по (23) видно, что равенства (24) при г, т, г±, т1 конечных
предполагают или равенство
cos — =0,
2
или такие два равенства:
cos(39 + Y)=0, cos(3<p1 — y)=0.

— 140 —
В первом случае мы находим, что
где q"— целое число. Внося эту величину у в уравнения (25), полу-
чаем из них такие величины для углов ср> <pi:
Определяя же углы треугольника ААХМ, соответствующие этим
величинам <р» ?i> мы по § 8 находим, что каждый из углов его Л, Ах
должен содержать нечетное число —, что невозможно.
Переходя к предположению
cos (3<р + у) =0, cos (3?г— у)=0,
мы замечаем, что эти равенства вместе с равенствами (24)
предполагают
я я'
где q, q'— числа целые. Если оба числа q, q' нечетные, углы А)А1
треугольника ААХМ опять оказываются невозможными. Если одно из
них нечетное, а другое четное, первое из уравнений (25) не
удовлетворяется. Наконец, если оба числа q, q' четные, то по (24) угол у
должен иметь такую величину:
v_2?o+l
где qQ — число целое,
Но при таких величинах <р, <pv у в уравнении (22), написанном под
видом
3 гз л
cotang — (? + ф1) tang ^-(9 - 91) + У J
. . == ^
. . 9 ~г 9i . 9 — 9i
cotang —— tang —у-
первая часть будет обращаться в — или в —, смотря по тому будет
ли сумма 9 + ?i приводиться к величине я, повторенной четное или
0 оо ^
нечетное число раз; а вторая к — или к •-, смотря по тому будет ли
разность 9 — ?! приводиться к -к, взятому нечетное или четное число
раз. Определяя же величину первой части при величинах <?, 9i>
близких к «2-тс, ^тс в предположении q, q' числами четными, мы находим,
3 ]
что предел ее при этих величинах есть или —, или —, откуда видно,
1 о
что при этих величинах ср, <pv у [уравнение (22) не удовлетворяется
и, следовательно, последнее предположение также невозможно.

— 141 —
§ 15. По уравнению
У=Уо + К0(х-х0)*+..-
мы находим, что в пределах от x=xQ — -- до x=xQ-~-- удаление
2 2
от прямой линии вершины М треугольника ААХМ не будет
превосходить
23
При этом мы пренебрегаем высшими степенями /, предполагая
вообще / малою величиною. Внося сюда найденную нами величину
К0, мы получаем такое выражение:
I /cos(y + T)\3/ft
ЛЛ.Л . . „Y \ тп sin 2<ь )
2048rrism9.sm91-cos2-L x /
для предела уклонений от прямолинейного пути вершины Ж
треугольника ААХМ при длине хода, равной /.
Эти уклонения могут быть сделаны значительно меньше на
основании того, что мы показали в мемуаре под заглавием „Теория
механизмов, известных под названием параллелограмов". * Для этого
нужно, определив по выше показанному величины линий АС, ЛХСХ и
места точек вращения С, Q, искать, какие изменения следует сделать
в тех и других, чтобы кривая, описываемая вершиною М
треугольника AA-JM, пересекала прямую в точках, которых абсциссы имеют
такие величины:
х0— — cos 15°, *<> — т cos 45°> хо — J cos 75°>
х0 + -cos 15°, *о + 4 cos 45°, *о + 4 cos 75°.
2 2 2
Когда это условие будет выполнено, уклонения от прямого пути
вершины М треугольника AAJA на всей длине хода /, как показывает
анализ, будут заключаться в таких пределах:
1 / cos (ф + у)
1 \ т sin 2ф
65536/74 sin ф-sin 91-cos2 -— х
)'•■
, ' 1 / cos(9 + Y)\3/6<
"^ 1 \ m sin 29 /
65536r/*iSin 9.sin 91-cos2 •—■ ч
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 23-51 и 474-485; стр. 238-250
настоящего тома. —Ред.

ТЕОРЕМА ОТНОСИТЕЛЬНО КРИВОЙ
УАТТА *
Если две вершины А и Аг треугольника ААХМ скользят
соответственно по двум окружностям с центрами С и С19 то кривая, описанная
вершиною М, может иметь с своей касательной касание 5-го порядка
(предел, которого нельзя превзойти) только в случае, когда углы
/\ /\
СААг и СгАхА имеют величины
САА = А*АМ + 2пп C/AKA= AAiM + 2n*
о о
где п, пх — какие-нибудь целые числа.
/\ /\
При этих величинах углов СААХ, СХАХА прикосновение всегда 5-го
порядка, коль скоро радиусы АС, АХСХ двух кругов имеют следующие
величины:
Y
cos —
АС=АМ 2 cos'&CAAx + v)
со5(2СЛЛ1 + Х) «*«^+Т> '
У
cos —
cos(2C,4,A-f «*<С^"*>
где у означает угол, под которым пересекается прямая ААХ с
касательной) в М.
* Опубликовано в Bulletin des sciences mathemaliques et astronomiques, II seiie,
t. V, 1881, p. 216; русский перевод —в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред.
А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907, стр. 71Ь.—Ред.

О ПРОСТЕЙШИХ ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ,
ДОСТАВЛЯЮЩИХ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ *
§ Ь В записке „О параллелограмах, состоящих из трех каких-
либо элементов", читанной 18 декабря 1879 г., ** было показано,,
каким образом, рассматривая движение треугольника одною
вершиною по кругу, а другою по прямой, можно найти условия, необхо-
Фиг. 1
димые и достаточные для того, чтобы всякий данный треугольник,-
двигаясь двумя вершинами своими по кругам, третьею вершиною-
описывал кривую, имеющую соприкосновение с прямой 5-го порядка.
Это представляет полное решение вопроса о простейших
параллелограмах, доставляющих прямолинейное движение на бесконечно малом
пути с наибольшею степенью точности. Формулы, выведенные в этой
* Читано 6 дек. (24 нояб.) 1881 г. Опубликовано в Приложении к XL тому Зап.-
Имп. Акад, Наук, № 1, 1882; Собр. соч. П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А.
Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907, стр. 357-374.—/>ед.
** Стр. 113—141 настоящего тома.—Ред.

— 144 —
записке, могут служить также, как мы теперь покажем, для
определения всех простейших параллелограмов, доставляющих
прямолинейное движение с точностью на одну степень ниже, т. е. таких,
в которых получается кривая, имеющая соприкосновение с прямою
только 4-го порядка. Мы этого достигаем, рассматривая условия, при
которых треугольник, двигаясь одною вершиною по кругу, другою
по прямой, третьею вершиною описывает кривую, имеющую
соприкосновение 4-го порядка с каким-либо кругом.
§ 2. Сохраняя знакоположение выше упомянутой записки, мы пред-
лолагаем, что треугольник ААгМ (фиг. 1) вершиною А движется по
кругу, которого центр в точке С, принятой за начало координат, а
вершиною Ж—по прямой FG, с которой параллельна ось х, и что
С1 есть центр круга, имеющего соприкосновение 4-го порядка с
кривою, описываемою вершиною А1} и которого радиус обозначаем через
rv Называя через <хх величину переменного угла ol=AMF,
соответствующую тому положению треугольника АА^М, когда вершина его Ах
находится на круге Сг в точке соприкосновения его с кривою,
описываемою этою вершиною, мы замечаем, что это прикосновение
может простираться до 4-ой степени только в том случае, когда
величина расстояния AjClf при а близком к ccv по степеням разности
sin a—-sin <*i разлагается в такой ряд:
А1С1=г1 + /fo (sin а — sinai)5-]— -
Изображая же [через х, у переменные [координаты точки Av а
через х1У ух координаты неподвижного центра Cv мы находим, что
AiC^ix-xJt + iy-ytf.
Переходя к определению координат х, у, полагаем
AA1=aJ AC=r, CF=b,
АМ=т, МАА1=А1 АСх=$.
Проектируя ломаную линию СААХ на оси координат, выводим
x=r cos Р + a cos (A — a),
y=r sin р + a sin (A — а);
проектируя же на ось у ломаную САМ, находим такое соотношение
между переменными углами $=АСх и и.=АМР\
CF = b = rsin р — /я sin a.
Определяя по этому равенству величины sin р и cos р, находим
sinp= m™« + b ,
г
coSp=j/i3(>sin;+*)2,

— 145 —
что по внесении в выражения координат х, у нам дает
X = VV — (wsina + i)2 + a cos (Л - a),
J/ = tfi sin a -f a sin (A — a) — b.
Внося же эти величины х, у в выражение квадрата расстояния
Л^! по формуле
АхСх*=(х-хх)*-\- (у-ух)\
находим
^Л2= [Кг2 — (/^ sin a + £)2 -f я cos (А - a)-xJ2 +
+ [т sin a -f- a sin (A — a) -f- b — j/J2,
откуда по раскрытии скобок выходит
A^2 = 2 [a sin A-sin a-|- a cos A-cos a — xj J/V — (msin a — b)2 '-
+ 2 [am sin Л • sin a -f- a (ft — yx) sin A — a^ cos A] cos a -f-
+ 2 [a (_ух — 6) cos A — a^ sin A — /rcyj sin a — 2am cos A • sin2a -f-
+ r2 + x12+y1(y1~2b) + a\ ' (l)
Так будет определяться квадрат расстояния вершины Ах от точки
С1$ какова бы ни была кривая, описываемая вершиною Ах\ в том же
случае; когда эта кривая в точке, соответствующей a=a1? будет
иметь соприкосновение 4-го порядка с кругом, описанным из центра
CL радиусом гх, это выражение, как видели, должно разлагаться в
такой ряд:
гх2 -}- 2rxK0 (sin a — sin ax)5 + • • •,
что дает нам для рассматриваемого нами случая следующее
равенство:
2 [a sin А • sin a + a cos A- cos a — *J l/V2 — (m sin a -f- ft)2 + r2 -f- xx2 ~
+ 2 [am sin A • sin a -!- a (ft — yx) sin A — a^ cos A] cos a -f yx (yx — 2ft) —
— 2am cos A • sin2 a -f 2 [a (j^ — ft) cos A — axx sin A — myx] sin a + a2 =
= r2 + 2r^0 (sin a - sin ax)5+ • • • (2)
§ 3. Для приведения этого равенства к виду более удобному мы
введем в него вместо переменной а переменную z, связанную с a
уравнением
sma=—— , (6)
z 4- d
dz + 1
am a =
где
= stn a.
Определяя по этому уравнению выражение cos a и J/V2— (yra sin a ~f- ft)2
и внося их равенство (2), мы замечаем, что оно по уничтожении
знаменателя приводится к такому виду:
(г + X + рьV&^DVip-g)1— & - (ро + АО Vz%— 1 -г Яа -f
10 п. Л. Чебышев, т. IV

— 146 —
где к, р., Р0, Р19 Ръ Р^ Л — постоянные, которых величина легко
найдется по величинам постоянных А, а, ту г, rl9 Ь, хъ уг, входящих
в равенство (2). Также нетрудно найти уравнения для определения
прежних постоянных
А, а, т, b, r, r1} xv уг
через новые
к, р, Pq> P\, P<li Pz> Р\у
заметив, что равенство (4) по внесении в него величины z из (3)
должно приводиться к равенству, тождественному с (2).
Так как по(3) мы находим, что
1 — rfsin a
г = - ;
sin а — d
а потому
1
2
sin а— d sin а — d , rf (sin а—d)2 ,
^ ~~l — dsmct " ~ 1 — d2 ' 0 - <*2)2 '
. г-» г V(l — d sin a)2 — (sin 0L — dY V'l — d2 _
у z2 — 1 = —^—- - ~ = cos a,
sin a — d sin a — d
h(l-~d*)
Л2- (g+rf)2 .. , g + (g* - & + gh + 1) d
h(l—d2) ' /г(1 — d2)
Vh2 — (g + d)* sina —d
то равенство (4) приводится к следующему:
h(\—d2) (X —Л) sin a v,
Yh*—(g + d)2 (sina —rf)2
(/ L Л(1— tf2) ' /i(l — d2) J '
, /г(1 — d2) Y 1— Д?2-^ cos ос у
/Л2— (g + rf;2 (sin a — d)2
X
,/ i_ Т»-(* + <Уsina + /_+(^zi^±.^±±)ll2 +
|/ L h(l-d2) ' /z(l-d2) J '
, h(\—d*) ]—d\ у
W— (g + <f)2 (Sina —rf)2
X
[/ L л(1-<*)* ~ л(1—d2) J '
(P2 - />8d + PAd2) sin2 a -[2/>2rf -. />8 (1 + d2) + 2/V] sin oc . P2d2 — P.3d + P*
(Sina—rf)2 "^ (sina —d)*
Pi-Po4+(Po—Pid) sin a -|/-| ^ cq^ ^ Z0 (sin g—rf)» .
(sin oL — d)2 (1 — rf2)3 "1

— 147 —
Сличая это равенство с равенством (2), мы замечаем, что для
тождества их между собою должны удовлетворяться такие уравнения:
т_ ^ ft2- (g ~ df
(5)
(6)
(7)
(8)
am: sin£ = Я0_- Ad УА»-(г + 4)« (лч
£
г
__ g-r (£2--Л*-{-grf-^ Ш
Л 0 - tf2)
« . л X — d
Sin А = ~ ,
*i I — dX
COS Л = а ,
Xi 1 — rfX
g (fr — j^) sin Л — axx cos Д ___ Pi— P0d Vh*— (g -f rf)*
am cos Л __ Я2 — P,d -f P4d2 j//г2 -~" (g -f- d)2
гл:! ~ 1 — rfX Л (1 — rf2) '
(10)
(11)
a(yx — ft) cos A — дл?! sin A —myl _ 2РЛ — PSQ + rf2)+ 2P<d /ft2— (g + d)2 ,-~.
rxx "" 3-rfX Л(1 —rf«) ' l ^
n* _ r2- X!» -j/! (,vi - 2Ь)-д« = P2d«--Psd + P4 Vh*-(g + d? ,lS)
2rxx~ 1—rfX Л(1 — tf2)
§ 4. При помощи выведенных нами формул нетрудно показать,
что определение по величинам
d, m, r, b
величин
л, а, гi9 xlt yl9
доставляющих решение нашей задачи, приводится к системе
нескольких уравнений первой степени и одному квадратному уравнению.
Для этого мы сначала определим вспомогательные величины
g, К Ро> Pi, Р* Р*> Р*> Х> Ъ
заключающиеся в наших формулах. Приступая к этому, мы замечаем,
что величины g, h определяются непосредственно уравнениями (5)
(6), из которых получаются такие выражения для g и А:
(\-d*)m(md + b) _ d
8 r2-(md+bf
r*-(md+bf '
10*

— 148 —
внеся эти величины g и h в формулу (4) и оставляя неизвестными
X, ft, мы из нее легко получаем выражения величин
Ро> *ц Рц Р%> '4
через X и \у.
В самом деле, по этой формуле между полиномом
и выражением
содержит члены только с отрицательными степенями г, откуда
следует, что
Р-ъ Р-г> Ра
равняются коэффициентам при г°, г, г2 в разложении этого
выражения по нисходящим степеням г. На основании этого получаются
такие равенства:
Р^Рг-1-?,
P^-i-Pi + ig+V^ + i-.
Что касается величин
Ро> Pv
они по формуле (4) определяются тем, что ряд, получаемый
разложением выражения
(г + а + [лУ#=\) /(г-*)2-Л* -(Р0 + PlZ)У^~1,
не должен содержать членов с —, — . Это дает нам два уравне-
Z Z2
ния, из которых получаются такие величины для Р0, Рх:
Px = 4h^ 4- А4 + 4Й2^Х + [4h*g°- + (А8 - I)2] ц.
Внеся же эти величины Р0, Рх в предыдущие равенства, находим
такие величины для Р2, Р3, Л:
Р2 = --^-(4^ + А2-1)А2-(2А2-1)^Х- Л-(4** + А2-3)А2р,
^з = (А2 + 1)* + (А2- 1)Х + А2*ц.
р4 ^ 4А2^ + Л4 — 1 + 4^А2Х + (4#2 + К1 — 2) А2(х.
Для определения последних вспомогательных величин
мы замечаем, что уравнения (7) и (9), (8) и (11) по разделении одного
на другое дают такие два уравнения, не содержащие в себе искомых
Л, а, г1У х19 ух:

— 149 —
rn_ ^ Pp - Pxd Yh* — (& + *)1
1 \ — d hX \ —d*
__ m__ __ P2 — P^d ~- PAd* I ~Ji* - (J'-TliJ1
Г и, ?_ '
Л(1-</*)2
которые по внесении величины — из (5) приводятся к такому виду:
()ч - rf) ]/дГГ(^+5]5 = (pid _ ро) ]/1^=^,
Эти уравнения, по внесении в них выше найденных величин A, g\
Р0, Р2, Р2, Р3, Р4' приводятся, как нетрудно заметить, к уравнениям
первой степени относительно X, и.. Решая эти уравнения
относительно >*, [I и внеся их величины в выше показанные выражения
количеств Р0, Рг, Р2, Р3, Р4, мы найдем все вспомогательные
величины, по которым искомые величины
Л, a, rv xv yx
определяются уравнениями (7), (8), (9\ (10), (11), (12), (13),
К определению этих неизвестных мы теперь и приступим.
§ 5. Для определения угла А мы замечаем, что уравнения (7), (8)
по разделении друг на друга дают
tang A = ===г .
kuV"l — d*
Этим равенством вполне определяется тангенс угла А. Что же
касается двух углов, имеющих такой тангенс и разнящихся между
собою 180°, мы будем принимать за А угол, содержащийся между
О и 180°, выбирая, согласно этому, направление, по которому длина
линии а=ААх в угле АХАМ считается положительною величиною.
Переходя к определению величин, a, xv yv мы замечаем, что те
же уравнения (7), (8) по возведении в квадрат и сложении дают
х\ " (\-d\f
откуда выходит
А=ч_1 /"ft - «0»+ 0-*)ft*
хх —у (\-d\y
Из двух знаков при величине отношения
а
таким образом получаемой, мы должны оставить тот, который
соответствует сделанному нами предположению об угле А. Так как этот
угол предполагается содержащимся между 0 и 180°, то синус его

— 150 —
будет величина положительная; а это по (7) может иметь место
только в том случае, когда величина отношения
а
имеет знак противоположный отношению
\ — d\
Таким образом определяются и числовая величина и знак
отношения
а
Для сокращения величину этого отношения мы будем обозначать
через f, что даст нам такое равенство:
f=f. (14)
Полагая также для сокращения
г(Л~/у) Vh2~(g + d?__
1 __ d\ h VT^J*
Ni>
r[2P2d-Ps(\ + d>) + 2PAd] Vh*-~(g-\-d)>- __N^
1—dX Л(1—<*2) 2'
мы уравнения (10), (12) представляем под видом
а(Ь — yi) sin A — ax1 cos А
Xi
a(yi — b) cos A — ахг sin A — myi
N0
'2?
откуда, внеся по (14) величину a^fx^ мы выводив такие два
уравнения для определения xv у±:
f(b — yx)sinA—fx1'CosA = Nv (15)
/(Л — tycosA-faslnA- *^ = N2. (16)
Xi
Решая эти уравнения, мы находим по первому из них, что ух
выражается так через х±:
Уг = Ь — cotang^-x, — ; (17)
^х ъ г /sin A
внеся же эту величину уг во второе, получаем следующее квадратное
уравнение:
2 г C^i — т)cos Л + iV2 sin Л г (fb sin A — Nt) m л
Х\ -\ Хх -J =U.

— 151'—
Определяя: по этому уравнению величину xt и внося ее в формулы
(14), (17), мы найдем величины xv ylt а, представляющие решение
нашей задачи, когда за данные приняты г, т, b n d=sinar Каждому
из корней этого уравнения будет соответствовать особое решение.
Если же это уравнение не имеет действительных корней, мы
заключим, что при данных величинах d, г, т, Ь задача наша не может
иметь решения.
Фиг. 2
§ 6. Не останавливаясь на выполнении выкладок,
представляющихся по выше показанному при решении нашей задачи, мы займемся
теперь рассмотрением соотношения между двумя ее решениями,
когда они имеют место. Это соотношение, как мы увидим, показывает
изменения, которые допускают в составе своем простейшие парал-
лелограмы без изменения степени приближения, с которою они дают
прямолинейное движение.
Обозначаем через х[, х'г две величины xv получаемые решением
предыдущего уравнения, и через
У и У и
а', а"
соответствующие им величины yv а и полагаем, что
х1=хи У1=Уь я = а'
принадлежат решению нашей задачи, представляемому (фиг. 2) точкою
А1 и центром Cv а
х1=х\9 у1=Уи а=ап
решению, представляемому точкою А2 и центром С2.

— 152 —
В этом предположении мы будем иметь
a' = AAv a" = AA2,
и выведенные нами уравнения (14), (15), (16) будут удовлетворяться
такими двумя системами величин xv у1У а:
х1 = хи у1=у'и а=а'
х1 = х\', у1=у1",а = а",
что предполагает следующие равенства:
™/, ^=f> 08)
f(b — y[) sin А — fx'i cos A = \\,
/ (b — y'i) sin A — fx'i cos Л = Nv
тух
1КУ\— b) cos A — fx\ sin Л = Af2,
/яу,"
/" (У1 — &) cos А — /xi sin Л ~ = ЛЛ>,
•«Г
откуда выходят уравнения
/"(&—j/j) sin Л — jOci cos Л = /*(&—j/i )sin Л —fx\ cos Л,
/tzj/j ,, „ ту*
f(y\ — ft) cos Л—fxisinA r ==/(yi —6)cos Л— /xi 5in Л — #
Последние два равенства по сокращении в их частях одинаковых
членов и по разделении на / приводятся к следующему:
yi sin Л -f xi'cos Л =j/i' sin Л + xi' cos Л,
/ /nyj „ „ ту,
yi cos Л — xi sin Л г = vi cos Л — х\ sin Л ,
f*\ A'i'
что иначе может быть представлено так:
У\-У1 . .
тг = cotang Л,
(yi - JM cos Л — (*i'—*;')sin Л = — ( !l - *±

— 153 —
Находя по первому из этих равенств
ч у\
Xi — Л'! = Л-1
tang Л,
1 4- —„ tang A
х1
У\ У\
Ч л\
У\—У\ = —А'Г
-У1
1 4- —, fang,4
(19)
и внося эти величины разностей х\—х\ , j/i—j>i во второе, мы
замечаем, что оно приводится к следующему:
Ух
fx\ — т (1-f- — tang Л) cos Л
4-4|-о.
что разлагается на два уравнения:
3>i У\
- =0,
Л
/\*i — /гс (1 + —г, tang Л) cos Л = 0.
Так как по (19) первое из этих уравнений предполагает равенства
х\ = Д'1, у\ =j>i, то величины х%, y'i, x'i, y\ в двух различных1
решениях нашей задачи должны удовлетворять второиу, а это уравнение
по внесении — вместо / на основании (18) приводится к виду
У\
а* ~mcos А — т — sin Л = 0,
откуда выходит
yt a' — m ccs A
т sin A
Повторяя те же суждения с переменою только х\, у\> а' на *i T
У\, а" и обратно, мы из предыдущих уравнений находим также,
что
_У! a" — m cos А
m sin A

154 —
Замечая, что отношения
Ух ь_ У\ - У\
;,
х\ х\ х\~~ х\
равняются тангенсам углов наклонения к оси х линий CCV CCt, СгС1}
соединяющих центры
С, Cv
а отношения
а" — т cos A a — m cos A
т sin A /я sin Л
где по нашему знакоположению
а"=АА2, a'=AAv m = AM
равны котангенсам углов АА2М и ААгМ, мы заключаем, что
найденные нами уравнения выражают равенство углов наклонения линий
CCV СС2, 0^2 к оси х или к линии FG, параллельной ей, с
дополнениями до -f- углов наклонения линий AM, АгМ, А2Мклинии AAV
На основании этого но одной из точек Av А2 и соответствующему
-ей центру С± или С2, представляющих решение нашей задачи, легко
найти другую и соответствующий ей центр, так как по выше
показанному каждая из точек А19 А2 и соответствующий ей центр вполне
определяют треугольник ССХСЪ а этот треугольник, с своей стороны,
определяет наклонение линий АХМ, А2М к линии ААГ
§ 7. Показанный нами переход от одной из точек, Av A2, к
другой, описывающих при рассматриваемОхМ нами движении треугольника
бесконечно малые дуги, близкие к дугам круговым, может быть
применен во всех тех случаях, когда имеется в виду при таком
движении треугольника получить кривую, которой несколько точек лежат
на одном круге в расстоянии более или менее близком друг от друга,
В самом деле, нетрудно показать, что для точек Av A2 и центров
А> £*> ПРИ которых имеют место равенства
C2SC=——MAAV
2
2 1
С1Сх=— — МА2А,
разность
АА2'АгС\ — АА^А2с1
лри рассматриваемом нами движении треугольника сохраняет одну и
ту же величину, вследствие чего всякий раз, когда одно из расстоя-

— 155 ~
ний AxClf А2С2 возвращается к какой-либо прежней величине своей,
то же случается и с другим расстоянием, а потому точки Alf А* будут
одновременно приходить на круги, описанные из центров С\, С3
некоторыми радиусами.
Приступая- к доказательству неизменяемости разности
в сделанных нами предположениях, оставляем прежнее знакоположе-
ние, по которому
МААХ = А,
и полагаем
МАгА = Av
МА2А = А2;
при этом предыдущие равенства представляются так:
Определяя по этим величинам углов C2SC, С2Сх, СхСх углы
треугольника СХСС21 находим
СС1С>2 === L*^L>X —р С2*ЬС == 7Г — А. — Л.2у
С*С2С>1 = тг — С2Сх — С20С = А —у- А±.
По этим величинам углов треугольника, полагая для сокращения
С±С2 = /,
мы находим такие выражения для длины его сторон СС19 СС2:
сс _ sin (Л + AQ 1 сс _ sin (Л + At) /
1 sin(Л2-Лх) ' 2 sin(Ло-ЛО *
Определяя по длине этих линий координаты x'v yv x"v y\ центров
Cv C2, получаем
x\=CClcosClCx = ^^^cosC1Cx-lf
1 sin(Л2 —Л1)
У, = СС, sin С fix =sia(/A + A>\ sin С fix-1,
1 sin(i42 — Л1)
jc!' = CC, cos C2Cx= 8?n(*+ ,t}4 cos С fix-1,
1 ^ sin (Л, —Л0
y" = CCsinCCx ^sin^ + ^)sinC2Cx-/,
^ " 51П(Л2—Л1)

- 156 —
что по внесении выше показанных величин углов СхСх, С2Сх нам
дает
sin (Л + Ai) . л , г sin (Л + AJ ^о .
л\ = —-—•—-sinA2-Z, v, = —j—— cos-4o-/,
1 8т(Л2-Л1) 2 Jx sin (Л2-Л О
1 sin (Ao — Аг) l x sm(A2-Ad
С другой стороны, определяя стороны AAV АА2 треугольников
ААХМ, АА2М по стороне AM = т> находим
sinAf/li/4 sin Л4Л2Л
что по внесении величины углов Л4ЛХЛ = Лх, МА2А = Л2? ЛЛ4ЛХ =
= 1г —Л —Ах, AMi42 = т: — А — А2 приводится к следующему:
sin Л! sin Л о
Переходя к определению квадратов расстояний АХСЪ Л2С2, мы
замечаем, что они получатся из формулы (1), когда в ней за xv yt
возьмутся найденные нами величины координат центров Cv С2, а за
а длины линий АА17 АА2.
Перемножая величины АгСх2, А2С22, таким образом получаомые,
на выше показанные величины АА27 АА1 и вычитая произведения, мы
находим, что разность
AAi-Afif — AA^AiCf
приводится к выражению
__ sin Л-sin (Л, —Л.) mr2_sinQ4 -f^Q-sin (Л + Л.^-sm (Л -f Aj + А%) ml2JL
sin Ai.sin Л2 sin 4i-sin i42-sin(i42 — Л1) '
J_9 sm(A + A^-s'mjA -f Л2) . - _ sin(4 + i4iVsin(4 4-43)-sinQ41--42)'Siib4 ^3
1 sinЛ1•sinЛ2 sinMi-sinM2
которое, не заключая в себе переменного угла а, будет сохранять
одну и ту же величину при рассматриваемом нами движении
треугольника.
§ 8. По доказанному нами относительно точек треугольника,
которые при движении его одною вершиною по кругу, а другою по
прямой одновременно приходят на окружности некоторых кругов, можно
найти во всяком параллелограме, состоящем из треугольника и двух
радиусов, точку, которая приближенно описывает дугу круга и притом
с такою же степенью точности, с которою параллелограм дает
прямолинейное движение. В самом деле, пусть будет (фиг. 3)
параллелограм, состоящий из треугольника ААгМ и радиусов AC, A1CV
вращающихся около центров С, Сх; FG — та прямая, с которою имеет
несколько общих точек кривая, описываемая вершиною М, и пусть
будут Л2, С2—точка треугольника ААгМ и соответствующий ей центр,

— 157 —
определенные, как было показано, в предположении, что треугольник
ААгМ движется вершиною М по прямой FG, вершиною же А по
кругу С.
При движении треугольника ААгМ в параллелограме те положения
его, при которых вершина М находится на прямой FG, очевидно,
могут быть рассматриваемы как происшедшие от движения его
вершиною М по прямой FGy а при таком движении треугольника, как
видели, точки Av A2
одновременно приходят на
круги, описанные из
центров С19 С2.
А потому всякий раз,
когда в рассматриваемом
параллелограме точка М
будет на прямой FG,
точка А2 будет на
окружности, описанной из центра
С2 некоторым радиусом:
и, следовательно, кривая,
описываемая точкою А2.
будет иметь столько же
общих элементов с
кругом, сколько будет иметь
общих элементов с пря- Фиг. з
мою FG кривая,
описываемая вершиною М. Так как при движении треугольника AAJA
вершинами А, А19 по кругам С, С17 одновременно будут приходить на
прямую FG вершина М, а на круг С2 точка А2, то те положения его
при рассматриваемом нами движении, в которых вершина М находится
на прямой FG, будут также получаться при движении его точкою
А2 по кругу С2 и одной из вершин А, А± по кругу С или С±. Откуда
видно, что при движении треугольников АА2М, AAJW, отдельно
взятых, вершинами
-Л, *>-2j
А2, Л1
по кругам
С»2; ^1
вершина М будет описывать кривые, которых точки пересечения с
прямою FG будут те же, как и для кривой, получаемой при движении
треугольника ААгМ вершинами Л, Аг по кругам С, Cv Это показывает
нам, что при перемене в данном параллелограме треугольника AALM
на треугольник АА2М или А2А±М и соответственно с эгим при замене
вращающегося радиуса АХСХ или АС радиусом АХ2 ни число точек,
в которых кривая, описываемая вершиною М, пересекает прямую FG
ни места этих точек не переменятся.

СЧЕТНАЯ МАШИНА С НЕПРЕРЫВНЫ!
ДВИЖЕНИЕМ*
(Перевод Я. Э- Рериаьа)
Как ни просто правило сложения, его не легко выполнить при
помощи механизмов. Трудность, встречаемая при этом, заключается в
прерывном изменении цифр суммы, которое может быть произведено
лишь при помощи сложных и деликатных органов. Многочисленные
попытки построить машину, могущую выполнять прерывное изменение
нескольких цифр суммы, как произведенные ранее доктора Рота
(Roth), так и сама машина доктора Рота, которая могла выполнять
такое изменение, ясно показали, как важно для упрощения склады-
вателей избавиться от необходимости прерывно изменять их
показания. Несомненно, машины эти, которые, так же как и все другие
счетные машины, только повторяют сложения или вычитания, было
бы гораздо легче строить, если бы можно было удовольствоваться
непрерывными изменениями их показаний. Но так как при этом чтение
цифр становится более трудным, то является следующий вопрос; нельзя
ли ослабить неудобство, происходящее от непрерывной смены в
показаниях складывателя, не рискуя результатом ввиду выгод,
представляемых этой непрерывностью для построения машины?
В машине для сложения, которую я имел честь представить
конгрессу в Клермон-Ферране и которая в настоящее время дополнена
механизмом для умножений и делений, это неудобство почти
устранено. В окошечках этой машины видны белые полоски, между
которыми легко различить главную, видную во всех окошечках. Так как
в первом окошечке справа видно только начало этой полоски, то за
нею легко проследить, идя справа налево. Эта-то полоса и содержит
все цифры суммы.
Перейдем теперь к условиям, которым должны быть подчинены
движения барабанов, несущих на себе цифры суммы. Условимся
называть приемниками зубчатые колеса, которые надо вращать для
сложения чисел и из которых каждое соответствует единицам опре-
* Опубликовано в La Revue Scientifique de la France et de Tetranger. Troisi&ne
Serie,Tome IV (XXX de la collection). Numero 13 du 23 septembre 1882; русский
перевод К. Э. Рериха —в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и
Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907, стр. 721-724.- Ред.

— 159 —
деленного порядка. Согласно правилам сложения, движение каждого
барабана должно слагаться из двух следующих: из движения,
определяемого цифрой соответственного порядка прибавляемого числа, и
из движения, происходящего от переноса цифр низшего порядка.
Скорость первого движения должна быть в постоянном соотношении
со скоростью соответственного приемника; это соотношение будет
равно отношению числа зубцов приемника к полному числу цифр,
вырезанных на барабане. Для выполнения второго движения барабан
должен повернуться на угол, равный расстоянию между двумя
цифрами каждый раз, когда предшествующий барабан повернется на угол
в десять раз больший. Следовательно, в случае непрерывного и
равномерного движения это второе перемещение каждого барабана должно
совершаться в десять раз медленнее движения барабана, ему
предшествующего. Итак, скорость каждого барабана должна составляться из
скорости соответствующего приемника, умноженной на постоянный
коэффициент, и из десятой части скорости предшествующего барабана..
Такое составное движение барабанов легко выполнить при помощи
эпициклических механизмов, если насадить все колеса-приемники и
все барабаны на одну общую ось и если каждый приемник находится
между барабанами, ему соответствующим и ему предшествующим.
Для этого достаточно снабдить каждое колесо-приемник
эпициклическим механизмом, зубцы которого сцепляются с соответственными
колесами барабанов, между которыми оно расположено.
По свойствам такого сцепления известно, что для сообщения
барабанам скорости, составленной сообразно ранее изложенному,
необходимо и достаточно выполнить следующие два условия:
1) Число зубцов колес-приемников и число цифр на барабанах
должны быть в отношении 9 к 10.
2) Отношение чисел зубцов колес, составляющих каждый
эпициклический механизм, должно быть в десять раз больше отношения зубцов
в колесах, с которыми они сцепляются.
Условия эти очень легко выполнимы.
В машине, построенной мною, для выполнения первого условия
колеса-приемники снабжены 27 зубцами, а на барабане выгравированы
три раза десять цифр 0, 1, 2, ..., 9. Сообразпо второму условию
колеса, составляющие эпициклические механизмы, имеют 48 и 12
зубцов, а колеса, с которыми они сцепляются, имеют 24 и 60 зубцов.
Таким образом части механизмов, производящих прерывные измeнeнияv
цифр суммы при переносе, заменены эпициклическими механизмами,
производящими то же действие постепенно.
Разница между истинной величиной переноса и величиной, даваемой,
эпициклическими механизмами, всегда меньше единицы, так как
угловые расстояния между положением барабанов в этой машине и тем,
которое они занимали бы в машине с прерывным движением, всегда
менее расстояния между двумя цифрами. Следовательно, если сделать
окошечки достаточно большими, так чгобы в них были видимы

— 160 —
одновременно две цифры барабана, то истинные цифры суммы,
очевидно, должны быть в них видны. Что же касается двойственности,
представляющейся всякий раз,, когда, в одном и том же окошечке видны
две различные цифры, то она легко устраняется благодаря ранее
упомянутым'полоскам, проведенным на каждом барабане, если, кроме
того, обратить еще внимание на угловые отклонения в положении
цифр следующего барабана.
Таковы существеннейшие части мащины для сложения. Добавочные
органы суть следующие:
1) Задержки с пружинками, заставляющие колеса-приемники всегда
возвращаться в их нормальные положения и там оставаться до тех
пор, пока их не повернут, что имеет значение для правильного
действия машины.
2) Штанга с захватками, при помощи которых последовательно
устанавливают все барабаны на нуль, начиная с первого правого, и
которые приводят в действие притягиванием к себе пуговки с левой
стороны машины. Ею пользуются для установки на нуль числа,
указываемого барабанами, после чего нужно пуговки отодвинуть назад,
чтобы освободить движение всех барабанов и всех приемников.
Рассматривая движение барабанов, мы говорили только о
сложении; но очевидно, для выполнения вычитания достаточно вращать
колеса-приемники в обратную сторону.
Дополняя эту машину механизмом, позволяющим прибавлять или
вычитать данное число желаемое количество раз, можно будет
пользоваться ею для выполнения умножений и делений. Такой механизм
легко составить из зубчатых колес, могущих сцепляться с колесами-
приемника; на продолжения осей этих зубчатых колес насажены
шестерни, могущие скользить вдоль осей и с своей стороны
сцепляющиеся, смотря по занимаемому ими месту с колесами о 9, 8, 7, 6, 5,
4, 3, 2, 1, 0 зубцах, собранными вместе так, чтобы представлять собой
зубчатый барабан. Ясно, что при поворачивании этого барабана один
раз в том или ином направлении прибавится или вычтется число, цифры
различных порядков которого равны числам зубцов, толкающих
соответственные шестерни.
Для точного действия этого механизма важно, чтобы шестерни
останавливались тотчас же после того, как зубцы цилиндра перестали их
толкать. Пытаясь сделать совершенно невозможными ошибки,
происходящие от того, что шестерни не всегда останавливаются одинаково скоро,
даже при действии пружин, мы придали зубцам шестерен и цилиндра
такую форму, что шестерни никогда не остаются свободными и,
следовательно, перестают вращаться в тот момент, когда зубцы цилиндра
их больше не толкают.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДВИЖЕНИЕ
ПО НЕКОТОРЫМ ЛИНИЯМ ПРИ ПОМОЩИ
СОЧЛЕНЕННЫХ СИСТЕМ*
1. Пусть будут (фиг. 1) ABC, ABM два равнобедренных
треугольника, имеющие общий бок АВ, равный сторонам AC, AM. Если
заставим двигаться вершины А} В треугольника АВМ по кругам,
описанным из вершины С треугольника ABC и из какой-либо точки Сх, взятой
на его боке ВС, то вершина М треугольника АВМ опишет, в чем
нетрудно убедиться, кривую, v
расположенную симметрично
около оси, проходящей через точки м
М и С. Если линия ВСг не
слишком длинна, то она может
совершить полный оборот около
центра Cv и тогда точка М
опишет кривую сомкнутую,
симметричную около оси, как это было
сейчас сказано. Это-то нам и
представляет весьма простое
преобразование вращательного движения в движение по сомкнутым
линиям, крайне разнообразным и симметричным около осей.
Подобное преобразование вращательного движения могло бы быть
с выгодою употреблено в практике, если бы нашли условия, под
которыми кривая, описанная точкою М, приближается достаточно
близко к тем, которые доставляют решение некоторых
кинематических задач. Вот это-то мы и исполним теперь относительно случаев,
простейших и употребительнейших в практике, так, например, когда
имеется в виду получить движение по кругу или по прямой линии.
2. Остановимся сначала на том случае, когда точка М должна
описывать приблизительно полный круг, причем линия ВСг обращается
один раз около центра Сг. Данными мы предположим длины АС—АВ,
* Опубликовано в Bulletin de la societe mathematique de France, t. XII, 1884,
p. 179—187; Школа математики чистой и прикладной, Ж 1, 1885, СПб; Собр. соч.
П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб., 1907,
стр. 726-732.— Ред.
Н П. Л. Чебышев, т. IV.

— 162 —
ВСг и расстояние ССг центров С и Q, а станем искать круг, к
которому приличным выбором угла ВАМ наиболее приближается кривая,
описанная точкою М. По выражению предела для уклонений,
представляемых этою кривою от круга, к которому она как только возможно
приближается, легко будет видеть условия, которые должны быть
выполнены длиною линий АС=АВ, ВСг и расстоянием центров CnCv
чтобы эти уклонения можно было допустить в практике.
Для достижения этой цели вычислим сперва наклонения линии АС
к ССХ (линии центров С, Сг) для двух положений, соответствующих
моментам, когда точка В находится на линии ССг или на ее
продолжении.
Обозначая через <рх, 9 углы этих наклонений, найдем при помощи
формул
ССг + ВСг „ Cd-ВСг
COS<P = 1-Л- ~, С08фг= -.
Г 2АС Y1 2AC
По углам ф и фх отыщутся два вспомогательных угла б, ф,
определяющиеся следующим образом
^ 9i + 9
sin
• /лп \ 2 t cos2 0
sin (26— ф!) = , созф== .
фх — ф COS 9j_
cos —
2
А при знании углов ф, <рх, 6, ф найдется все, что важно в вопросе:
1) угол ВАМ, при котором треугольник АВМ своею вершиною М
описывает кривую, возможно близкую к кругу; 2) радиус круга,
к которому наиболее приближается эта кривая; 3) расстояние его
центра от точки С; 4) наконец, предел уклонений этого круга от
кривой, описанной вершиною М. Все это достигается при помощи
следующих формул
ВАМ=2ъ — 2Ъ-<? — ф,
• 26 — 9l + ф
sin
R= 2- ВСи
sin^9
2
9i Ч~Ф
cotang -cos ф
ОС= ; — ВС19
у ф 26 + ф — Ф
tang —-— • cos !
Z 2,
Ф + 91 —26 26 + ф + ф
8Ш . 8Ш
Е=± ВСЪ
. 9i + 9 ± 91 — 9 26 + 9 — Ф
sin-1 Mang1 z-cos L-г —
2*2 2
где R (фиг. 2) есть радиус круга, описанного приблизительно
вершиною М, ОС есть расстояние его центра О от точки С и £ есть
предел уклонений этой кривой.

— 163 —
3. В силу значения количества Е и уравнений, определяющих
вспомогательные углы 6 и <р, ясно, что кривая, описанная вершиною М,
приближается весьма близко к кругу каждый раз, как разность
углов <?х, <р будет весьма мала. Для приложения предыдущих формул
к этому частному случаю, интереснейшему в практике, сделаем
9i + 9.
-Уо,
2
и предположим, что S имеет малое значение. Из этих равенств имеем
?i = ¥o + S> ? = ?о-8-
Внося эти значения количеств <р, <Pi в предыдущие формулы,
развертывая в ряд и удерживая при этом первые члены с S, получим
3tang2 фр — 1 g2
ВАМ=2к-4<?0-
4tang ф0
V ^ 8tang^0 ) ъ
= /cetangyp , 5-3tang*9o Л BQ
V 6 ' 24iang<p0 У
sin 2cp0
Эти формулы,
приблизительно до S2, доставляют
R sin 2cp0
С другой стороны,
отыскивая разность
cos 9 — cos?!,
по формулам, определяющим
углы <р> ?i9 получим
COS9"
ВСг
-COS*-—,
Фиг. 2
откуда, подставляя значение количеств у, ?i> выведем,
приблизительно до S2,
ВС г r\ <n •
AC
Фо-
На этом основании видно, что отношения
R '
Bd
АС
стремятся к нулю в то же время, когда сама разность Фг — <р=$
приближается к нулю, и так как по разделении одного из этих
отношений на другое получается
Е лВСг . 1
R АС
4-
2sin290-sin9e
И*

— 164 —
то ясно, что для уменьшения насколько возможно значений отноше-
Е ВС,
ния — , соответствующего данным значениям отношения —f, смежным
R АС
с нулем, должно для <Ро взять угол, который обращает в maximum
численное значение функции
sin2<p0*sin<p0-
Таким образом, доходим до сочлененной системы, когда круговое
движение точки В около центра Сг преобразовывается в другое
движение точки М по линии, мало отличающейся от круга, описанного
около центра О. Замечая, что в этой
системе точки Mt В движутся около центров
О, Сг в противоположных направлениях,
заключаем, что эта система доставляет
решение той же задачи как противовра-
щателъные рукояти, В этом
преобразовании вращения вовсе не встречается
мертвых точек, и закон, связывающий
между собою скорости двух рукоятей,
можно изменять, перенося центр качания
элемента АС.
м/
Фиг. 3
4. Перейдем к случаю, когда стремятся
приблизить по возможности близко к прямой
линии всю сомкнутую кривую, описанную
вершиною М. Предполагаем, что треугольник МАВ расположен так,
как это показано на фиг. 3. В этом предположении, обозначая
через t вспомогательное положительное количество, находим для
определения АС=АВ=АМУ ССХ и предела уклонений Е следующие
формулы:
АС=АВ=АМ= l + t* -ВС, cosMAB = —-t\
1 - sin?=/^-'(i!+2L,
т 2 (1 + t*)
ccx=
t ]/"2 -f /2
BCV
£=-+-
V~2-t2
BCV
Прямая линия, которую вершина М приблизительно опишет,
нормальна к оси симметрии СМ, и ее расстояние от центра С имеет
такую величину
BCV
(1—*_\
V2 — t2
Изыскивая закон движения вершины М относительно оси
симметрии МС, найдем, что расстояние от М до этой оси выражается
формулою
1 у 1—F(i —
— cos a)
cos a)

— 165 —
где а означает переменный угол, составляемый линиею ВСг во время
вращения с продолжением линии центров CCV a Р есть постоянное
количество, равное
2/У~2 —;2
(1-}_*У2=!)* т
В силу этой формулы нетрудно назначить пределы, между
которыми остается точка М во время своего движения и которые
определяют длину прямой линии, приблизительно описанной.
С другой стороны, эта формула показывает, что движения вперед
и назад точки М не соответствуют тем же углам вращения линии ВСг
около центра Сг и что разность между этими двумя углами тем
более, чем количество t более
удаляется от О; следовательно, эта система
представляет прямое преобразование
непрерывного вращательного движения в
прямолинейное движение попеременное
и vice versa, в котором движения вперед
и назад совершаются в неравные
времена, причем скорость вращения будет
постоянною. Эта система может быть
употреблена как механизм со скорым
возвратом. Сверх того, так как точка
М совершает один из своих путей,
почти прямолинейный, в то время, когда
линия ВСХ делает около центра Сх более
полуоборота, то эта система может быть выгодно употреблена, чтобы
заставить вертеться ось при помощи одной ноги. Прилагая такие
системы к двум рукоятям, направленным к оси под углом 180°,
получим механизм для вращения оси двумя ногами, имеющий то
преимущество, что он не представляет мертвых точек.
5. В предыдущем случае мы постарались приблизить как можно
только больше к прямой линии всю сомкнутую кривую, описанную
точкою М, когда вращающаяся линия ВСг совершает полный оборот
около центра Cv Теперь займемся случаем, когда изыскивается то же
приближение для части этой кривой, соответствующей
полуобороту линии ВСг около центра Cv а именно от а=—•£- до а=+^ •
Ограничиваемся простейшим случаем, когда треугольник МАВ
приводится к прямой линии МАВ (фиг. 4), что сводится к тому, что
углу МАВ дается значение=180°. В этом случае линия АС=АВ=АМ,
ССг и предел уклонений Е определятся следующими формулами:
Фиг. 4
АС=АВ=АМ=3-±Р- Bd,
ссг=*±р-вс»

— 166 —
По уравнению кривой, которую описывает точка М в этой системе
легко обнаруживается, что часть, соответствующая вращению
линии ВСг на четверть оборота вверх и вниз относительно
первоначального положения, будет почти прямолинейная. Пройдя эту часть своей
траектории, точка М поднимается и совершает возвратный ход,
возвышаясь мало-помалу до середины своего хода и опускаясь по тому
же закону по достижении этой середины. Такое движение точки М,
в которое прямо преобразовывается вращательное движение линии ВСг
в нашей системе, может иметь полезные приложения. Если применим
подобные системы к двум рукоятям, расположенным к оси под
углом 180°, получится механизм, в котором вращение оси
преобразовывается в движение двух точек, которые попеременно пробегают
ту же линию, почти прямую, и из которых каждая поднимается над
этою линиею, пробежав ее, когда другая спускается на нее, чтобы
в свою очередь пройти ее.
Рассматривая только пространство, где находится почти
прямолинейная часть траектории этих точек, легко открывается, что они
приблизительно производят то же действие, как точки
равноудаленные от окружности вертящегося колеса, которого радиус бесконечно
велик. Следовательно, в этом отношении система, о которой шла
речь, может хорошо играть роль бесконечно большого колеса.

о простейшей суставчатой системе,
ДОСТАВЛЯЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЯ, СИММЕТРИЧЕСКИЕ
около оси*
§ 1. Для преобразования движения на плоскости простейшим
средством представляется суставчатая система, составленная из линии,
вращающейся около неподвижного центра, и линии, сочлененной
с нею. Все точки первой линии могут двигаться только по
концентрическим кругам; точки же второй линии могут двигаться по
различным кривым, причем кривые, описываемые одновременно ее точками,
значительно разнятся между собою
по виду. Вследствие этого при
движении одной из ее точек по какой-
либо кривой в других точках ее
получаются движения по кривым иного
вида. При таком преобразовании
движения особенного внимания
заслуживают точки второй линии, которых
расстояния от оси сочленения ее с
первою линиею равны расстоянию этой
оси от неподвижного центра вращения
последней линии. Нетрудно показать, что при движении одной из таких
точек по кривой, симметрической около оси, проходящей через
неподвижный центр вращения, другая описывает кривую, имеющую то же
свойство. Из этого видно, что всякая ломаная линия АВМ (фиг. 1),
сочлененная с прямою ВС, вращающейся около неподвижного
центра С, при равенстве
АВ^ВМ^ВС,
доставляет средство преобразовывать движение по кривой,
симметрической около оси, проходящей через центр С, в движение по кривой
другого вида, имеющей то же свойство. Вид и положение последней
кривой будет меняться при перемене угла АВМ и места центра
* Читано 27 (15) ноября 188S г. в заседании Физ.-Мат. Отд. Имп. Акад.
Наук. Опубликовано в Приложении к LX тому Зап. Имп. Акад. Наук, N° 1, 1889;
Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова *и Н. Я. Сонина, том II;
СПб., 1907, стр. 493—МО.—Ред.

— 168 —
вращения С, который, согласно выше сказанному, должен находиться
на оси симметрии первой кривой.
Преобразовывая таким образом движение точки Л, когда она
представляет конец радиуса ОА (фиг. 2), вращающегося около центра О,
мы получаем суставчатую систему, в которой точка М описывает
кривую, симметрическую около оси, проходящей через центр С. Если
при этом расстояние центров С, О превосходит длину радиуса ОА,
для него возможно сделать полный оборот около центра О, по
окончании которого точка М возвращается на свое первоначальное место,
описав некоторую сомкнутую линию, симметрическую около оси, про-
ходящей через центр С.
Такое преобразование вращательного движения может иметь
полезное применение там, где представляется надобность дать точке
движение, к которому достаточно близко подходит движение точки М
в рассматриваемой нами системе при каких-либо размерах ее частей
и положениях неподвижных центров вращения. Вся трудность в
определении тех и других согласно с видом движения, которое желают
получить.
Здесь мы займемся рассмотрением случаев, наиболее простых и
наичаще представляющихся на практике, а именно когда имеется в
виду получить движение по кривой, которой некоторая часть, более или
менее значительная, мало разнится от дуги круга или от прямой линии.
§ 2. В рассматриваемой нами системе (фиг. 3) точки А, В
двигаются по кругам, которых центры суть О, С, причем длина линий
АВ, ВМ и величина угла АВМ не меняются; вследствие этого имеют
место такие равенства:
АВМ=АоВ0М0,
ОА=ОА0, СВ=СВ0.
Из последнего равенства следует равенство между собою шести линий
АД,, В0М0, В0С, АВ, ВМ, ВС,

— 169 —
так как по сказанному в § 1
Л050=50Ж0=50С, АВ=ВМ=ВС,
откуда ясно, что точки А0, С, М0 лежат на круге, описанном и»
центра В0> а точки А, С, М—на круге, описанном из центра В;
а потому углы АСМ, АВМ, А0СМ0, АйВ0М0 связаны между собою
равенствами
2АСМ + АВМ=2ъ, 2АаСМ0 + АаВ0М0 =2тс,
Фиг. 3
которые дают
2АСМ + АВМ=2А0СМ0 + АА^.
Замечая, что
АВМ=А0В0М0>
АСМ=АСМ0 + М0СМ, А0СМ0=АСМй + А0СА,
мы из последнего равенства выводим
М0СМ=А0СА.
На основании этой формулы и полагая
OAo=OA=r, OC=d,
АВ*=ВМ=ВС=А0Во=В0М0=В0С= 1,
АДМ=Ло£оЛТ0==<о,
(1)

— 170 —
мы теперь найдем длину радиуса-вектора СМ и угол наклонения его
к линии СМ0, определяющие место точки М при каком-нибудь
наклонении радиуса ОА к линии центров COAQ. Эти величины особенно
просто выражаются через угол ABC, которого переменную величину
мы будем изображать через ф и по которому легко находится
соответствующее положение радиуса ОА.
Из равнобедренного треугольника СВМ, где
СВ=1, &И=1,
выводим
CM=2sin—, (2)
что по равенству
СВМ=АВМ - АВС*= со - ф
дает такую формулу для определения радиуса-вектора СМ:
2
Переходя к определению угла наклонения его к линии СЖ0, мы
по (1) находим
МСМ0=АСА0,
а из треугольника АСО выводим
АПА АС2 + СО*-АО*
cos ACAQ= ' ^ >
0 2АС-ОС
вследствие чего для определения угла МСМ0 получается такая
формула:
cosMCM0=ACi + C02~AO\
0 2АС-ОС
Замечая же, что равнобедренный треугольник ABC, где
АВ=\, ВС=1, АВС=9,
дает
AC=2sin-^-
2
и что по нашему знакоположению
AO=r, CO=d,
мы по этой формуле находим
4 sin2 -^ — rl+d*
cos MCMQ= - .
4dsin —
2
При определении угла МСМ0 по этому уравнению остается
неизвестным его знак. Этот знак мы легко узнаем, замечая по (1), что

— 171 —
угол МСМ0 равняется углу АСА0; угол же АСА0 имеет величину
положительную или отрицательную, смотря по тому, выше или ниже
линии центров СОА0 лежит точка А. Вследствие этого одной и той же
величине угла <р будет соответствовать два положения и точки А и
точки М\ в одном точка А будет выше линии центров СОА0, а точка
М будет по левую сторону линии СМ0, в другом точка М ниже
линии СОА0, а точка М направо от линии CMQ. Что касается
определения угла АОА0 по углу АСВ=9, то из треугольника АОС выходит
Замечая, что
созАОЛ0=ИС2--ЛО2-ОС2
0 2АО-ОС
AC=2sin-£, AO=r, OC=d,
мы из этого равенства выводим
cos АОА0=
4 sin2— — г2 — d2
Ыг
Так как по выше показанному одной и той же величине угла ф
будут соответствовать два положения и радиуса ОА и радиуса-вектора
СМ, различающиеся между собою только знаками углов АОА0, МСМ0,
то при вращении радиуса ОА вверх и вниз от линии центров СОА0
на один и тот же угол точка М опишет кривую, симметрическую
около оси СМ0. Изображая через а предельную величину угла АОА0
при рассматриваемом нами движении системы и через
Фо> ?i
величины угла АВС=ср, соответствующие
АОА0=0, АОАо=±а,
мы замечаем, что при переходе угла АОА0 от 0 до + а или — а
угол 9 будет переходить от 9о Д° Фг
Прилагая формулу, сейчас нами выведенную, к частному случаю
АОАо=к, ф=Фи
мы находим такое уравнение между предельными величинами углов
АОА0 и АВС= 9г
4 sin2 — — d2-/-2
2
COSa=-
откуда выходит
2dr
8in»i = ?-. (3)
2 4dr
% 3- Переходя к определению условий, при которых кривая,
описываемая точкою М в выше показанных пределах, по возможности

— 172 —
мало отличается от дуги какого-либо круга, мы замечаем, что эта
дуга, подобно траектории точки М, должна быть симметрична около
оси СМ0, а для этого центр ее должен лежать на этой оси. Полагая,
что этот центр находится в точке Ох (фиг. 4), мы теперь выведем
формулу для определения расстояния точки М от центра 019
расстояния, которое имело бы постоянную величину, если бы точка М
описывала точно дугу круга около центра Ог.
Фиг. 4
Из треугольника ОгСМ выводим
М01=ОхС2 + СМ - 2-ОгС- CM- cos MCM0,
что по внесении выше найденных величин радиуса-вектора СМ и
cos MCM0 дает
9
МО\=ОгС2 + 4sin2^5. _4.OxC.sin
At А
— Ф
4 sin2 — + d2 — г2
2
Ф
4tf sin —
2
Изображая через R радиус круга, от дуги которого наименее
удаляется точка М при движении рассматриваемой нами системы, мы из
этого уравнения получаем такую формулу для определения разности
М0\ — Я2:
МО*-&=ОхС*-Я* + 4sin2 ~=^ -4.0xC.sin --£
1 2 х 2
4 sin2 J^+d2-- r%
Ф
Ad sin —
2

— 173 —
Мы теперь займемся определением условий, при которых эта
разность наименее удаляется от 0, когда угол <р> согласно выше
сказанному, не выходит за пределы
<р=<р0, <p = 9i-
§ 4. Полагая в выведенной нами формуле
мы замечаем, что она приводится к следующему:
МО?-
где
>-/?-* [fax + l^-^+PiK+Pt],
К> Pv Pv Pz
потсоянные, которых величина по
г, d, to, ОгС, R
определяется так:
К--
sin — -(d2— /Л). QlC
(4)
(5)
Л=4
sin w.rf4-sin — -OiC
2
sin — .(tf2— г2)- OxC
/>2 = —4
cos<a-d-\- cos — • OxC
sin— .(tf2 — r*).OxC
(6)
A =
(#2 — 2+2 cos a) — 0XC2) rf - cos —. (rf* — т^увгС
sin ^-.(rf«—/*)-OiC
(7)
Из формулы (4) видно, что при той же величине коэффициента К
разность
MO\~-R2
будет оставаться тем ближе к нулю, чем менее , удаляется от нуля
функция
CPi*+l)]/4r +Л*+Л>
а потому для уменьшения по возможности предельной величины
разности

— 174 —
при значениях <р> заключающихся между <р=?о> ?=<Pi, мы должны
сделать функцию
(РгХ+1)^1-~ + р2х + рг
наименее удаляющеюся от нуля между ;c=sin2-^, л;=$т2-^-.
Для достижения этого мы прикладываем к функции
(л* + 1) у "4т" + р%х ~^р*
теорему, доказанную нами вообще о функциях наименее удаляющихся
от нуля в мемуаре под заглавием „ Вопросы о наименьших величинах»
связанные с приближенным представлением функций".*
На основании этой теоремы и изображая через
+ L, -L
предельные значения функции
(Ргх + 1) ]/ ^^- + Л* + />з
между
2 2
мы заключаем, что она должна не менее четырех раз достигать
предельных величин — /,,+£ при значениях х, не выходящих за
пределы x = sin2 —, A:=sin2—.
2 2
Мы теперь покажем, каким образом по этому свойству функции
(р1Л+1)|/1=£-+^ + Л
она может быть найдена.
§ 5. Для этого мы замечаем, что все величины х> при которых
функция
(ргх + 1) у !=i + р2х + /?3
в пределах
x<sin2^, x>sin2^-
2 9 2
достигает величин + L, — Z, не переходя за них, должны равняться
кратным корням уравнения
* Том И настоящего Собрания сочинений, сгр. 151—235.— Ред.

— 175 —
" Р*х J-Pz~I-
x — sin2
9o
Pz — L
x-sin2^-
X
=0.
(8)
В самом деле, по составу этого уравнения видно, что оно
удовлетворяется при всякой величине х, делающей
1-х
(Л* + 1) ]/X-^f- + Р* + Ps=~ L
или
(Рхх-Щ/
/ТГ
1-х
•PtX+P^+l"
Если это случается при х, равном sin2— или sin2-^-, эти вели-
£ 2.
чины, как видно также по составу уравнения, будут его кратные
корни.
Что же касается корней этого уравнения, лежащих между sin2—,
sin2 — , они не могут быть не кратными, потому что при простых
корнях уравнений
1— X
+ P*x-\-Pz + L=0,
функция
(Pi* +i) ]/fl^r+р*+*-*=<
(ргх + 1) у Х—^~ + р2х + pz,
достигнувши величины — L или -J- Z,, переходит за эти величины.
Откуда видно, что в рассматриваемом нами случае уравнение (8)
должно иметь по крайней мере четыре кратных корня, не выходящих
за пределы
*=sina^, *=sin2^-,
2 2
а это может иметь место только в том случае, когда оно имеет
четыре двойных корня в пределах
x=sin2^-, x=sin2^-,
так как оно по уничтожении радикалов приводится к уравнению 8-й
степени. Два из этих корней видны по составу уравнения, они суть
x=sin»-^f x-sin2^

— 176 —
Что касается остальных двух, то они, заключаясь между sin* -2^,
2
sin2—, могут быть представлены так:
;c=sin2-^, *=sin2-^.
2 2
где ?2, <р3 некоторые углы, заключающиеся между <р0, <pv
% 6. Мы теперь покажем, как найдутся функции
[ргх + 1) l/^ + Р**+Рг + Ъ
по углам
?о> ?v Ъ> Уг
и как определяются неизвестные углы ?2> ?з-
По выше показанному относительно уравнения (8) видно, что
уравнение
[(Л* + 1)l/1^ + А* +Л + *] X
X [fax + 1) l/1^ + Р** + ft - Л =0
будет иметь два простых корня
и два двойных
sin2^, sin2^
2 2
sin2?-2, sin*&.
2 2
Так как это уравнение разлагается на два
(A^+Oj/1^ +P*x + P* + L=0,
{р1Х+\)л/±=* + A* + ft-Z=0,
не имеющие общих корней и приводящиеся к кубическим, каждое из
них будет иметь один простой корень и один двойной.
Останавливаясь на уравнении
iPv
x+l)yr~i+p2X + Ps + L=(

— 177 —
и полагая, что ему принадлежит простой корень
и двойной
л-^sin2^0
2
мы замечаем, что произведение трех разностей
j/GE£_cotag?,
cotang^ • \/"х — V\—x,
cotang ^ • ]/* — Vl —x,
будучи приравнено нулю, дает уравнение
(l/^1-^ -cotang»] /cotang^2 ./х_]/Г=^ V =0,
имеющее также простой корень, равный sin2 — и двойной корень,
равный sin2 —. Но это уравнение, которого первая часть представляет
функцию вида
не может иметь три общих корня с уравнением
(Л*+1)1/ — +Л* +А+*=<>,
не будучи ему тождественным, а потому должно иметь место такое
равенство:
= (]/Щ^ - cotang Йj (cotang ^ •/х-/Ь=^\ (9)
Подобным образом находим
(Р1^+1)|/1^-+^ + /'з-^ =
= 1/^ - cotaiig|) /cotang *s • \Гх- КП=~^' ■
12 п. л. Чебышев, т. IV.

— 178 —
Вычитая эти равенства .одно из другого, получаем
у' 1=^- - cotang Щ cotang ^ • Ух - /1 - х Y -
|/~~ - cotang 9j) (cotang ? ' V* — V^^xX =2L. (10)
Это равенство, имеющее место при всяком х, дает, как мы увидим
уравнения для определения неизвестных углов <р2> ?з-
§ 7. Раскрывая скобки в последнем равенстве и заменяя
котангенсы отношениями косинусов к синусам, мы находим, что оно по
сокращении приводится к следующему:
21 =
sin ф2 ~Ь
фо
?^
. ФО . о Ф2
sin — • sm2 —
2 2
sm (^Фз+ - j
sin ». sin2?-3
COS
?i
К*и-*Н - +
- 91
sin —
9
COS -
9з
+2-
. 9s
sin-
cos ( 92 + ^°
. 9o . „ 92
sin — • sin2 —
2 2
cos (9з +17
sin— -sin2 —
2 2
9o
X —
. 9o
sin —
9o
cos —
• 92
sin —
2
откуда видно, что для возможности его при всякой величине х
должно быть
sin ( 92 + ~
sm — • sin2 —
2 2
sin ( 9з + Y
- 9i . о 9з
sin — • sin2 x-
2 2
COS ф2 4-
Фо
• 9o . 0 Ф2
sin — • sin2 —
2 2
cos
(*+-?:
an
sin — • sin2 —
2 2
Эти равенства послужат нам для определения углов <р2, <р3. Деля эти
равенства друг на друга, получаем
Так как углы ф0, <рх, ф2, <рз заключаются между 0 и тс, то это
уравнение предполагает одно из двух: или равенство
или равенство
?2+!°=<P3 + fir*.

— 179 —
Замечая же, что в последнем случае по (11) получается уравнение
sin^.sin2^ —sin^.sin2^,
которое невозможно при <р0, ?i, ?2> Ъ положительных, не
превосходящих тс, мы заключаем, что должно быть
Т2 , 2 ,з 2
вследствие чего уравнения (11) дают
sin — . sin2 -
sin— . sin2^ .
2 2 2
(12)
(13)
Из последних двух уравнений нетрудно вывести формулы для
определения неизвестных углов <?2, ф3-
В самом деле, по (12) имеем
COS<p3=COS ?2
фо — 9i ,
2 )
и вследствие того
sin2 & = ~~cos ъ = V " 2 J
2 2 2
что по внесении в уравнение (13) дает
sin— • sin35 —
1 - cos ( ф2 + —-— J
sin —,
2
n2?2
откуда по раскрытии скобок и по разделении на sin2^ получается
такое уравнение:
фо
sin —
sin2<PozL2L .cotang2^+ sin^^- -cotang^ +cos2(?-^^- =0.
4 S 2 ' * 2 & 2 .<Pi 4
sin —
2
Решая это уравнение относительно cotang — и ограничиваясь одним
положительным корнем, находим
1
cotang
?2
sin
Фо— ?i
(/ em*
-cos
фо — ф!
(14)
Так определяется угол 92 п0 данным углам <?0, <рг
Этот угол будет служить нам как вспомогательная величина для
упрощения формул. Что касается угла <?з> то по (12) величина его
легко получается, когда найден угол <р2.
12*

- 180 —
§ 8. По углам
нетрудно олределить величины
L>Pl>p2>P*9
входящие в наши формулы.
Полагая в уравнении (10)
x=sin2— ,
2
находим
2L = (cotang 2i — cotang *f\ (cotang ^2 sin J — cos ^N)я
\ 2 Z J \ Z Z Z J
что дает такую простую формулу для определения L:
. 9о— 9i • оФг — 9i
sin — -sin2—
I«I 2 2
2 .9о .9i . о 9-2
sin — -sin — • sin2 —
2 2 2
Замечая же, что произведение
(у/ 1-=^ — cotang^0) [cotang ^-V* — V^.- *)"
после замены в нем котангенсов отношениями косинусов к синусам
приводится к выражению
sin ( 92 + ~
2 у л- -f 1
sin», sin»»
2 2
f , ?o\ 9o 9г
-_ cos^2 + -| ~«2_0COeI
•* -9o . „ 92 . 9o . ?2
sin — • sin2 — sin — sin —
2 2 2 2
мы по (9) заключаем, что р\>Ръ,Ръ-\- L имеют такие величины:
.9о . й 92
sin — • sin2 —
2 2
( т 9о
COS фо + ^~

— 181 —
Последнее равенство по внесении в него выше найденной
величины L дает
1 9 ')
ръ^— - cotang^0-2cotang?-2.
sin — • sin — • sin2 —
2 2 2
Так определяется величина коэффициентов
Pv Ръ> Рз>
с которыми функция
(/>!* + П у 1~^- + Р'2* + Ръ
наименее удаляется от нуля между
* = sin**-°, x=sin*^.
2 2
При этом, как видели, уклонения функции
(Pi* + l)y —^-АсРтХ-тРг
от нуля не выходят за пределы
. фо — ф1 . 0ф2 ф1 . фО '9i . 0ф2 — ?1
_l=-l 3 2—, *-!. 2 2
2 . фо . Ф1 . e Ф2 2 . фо . 9i . ф2
sin —-sin — -sin2-1- sin— -sin — «sm2 —
2 2 2 2 2 2
этих же пределов она достигает четыре раза: при
х2 = sin2 ?- , х=sin2 —
она достигает первого предела; при
x=sin2—, A-=sin2^
2 2
второго.
§ 9. Переходя к определению величин
г, d, ОгС, R,
при которых по § 4 разность
МО\ — R2
приводится к функции
к
(Pi* + 1)1//Ц^ + А*+А
мы вносим найденные нами величины коэффициентов
А>А

— 182 —
в уравнения (6), что дает нам
. / ,90
Sin ^фа + ~
sm—sin2 -r
2 2
= 4-
rf sin оз + OiC- sin —
COS i ф2 +
2±\
2У
(rf2-^r2)OiC-sin~
rfcosw -f ОхС- cos —
. фо . 0 ?2
sin — sin2 —
2 2
(rf2 — ^OxC-sin-^-
Кроме того, из треугольника А0В0С фиг. (4), где
АоВо» 1, СВ0 = 1. ЛА>С=?0> СЛ0^=СО + ОА0 = </ + г,
выходит
d + г = 2 sin -^ .
2
Решая это уравнение вместе с дэумя предыдущими относительно
г, d, Ог С,
находим
г = sin 51 -
9
. , 92
sin- —
9
Sinf со — <р2 —
фо
sin2
?2
d = sin 3± +
sin
/ фо \
! о) —. т., — )
V ^~ 2 )
0,С =
. / . Фо *>
sm ; <р3 + — — —
Фо I
sm — 4-
ф.>
sin2-—
2
sm I оз — ф2—
фо
(15)
Внеся же эти величины в уравнение (3), получаем такую формулу
для определения угла о::
Фо — ф! . фо 4" Ф1 . „/
—- -sin -sin2 *
Фо
sin -—-——«sin -—:—— -sin2! w — ф0 — —
а 2 2 V *" 2
Slir — =
9
Фо
2
фО \ . - ф2
— I — sm4—-
2 / 2
(16)
Что касается радиуса /?, то он найдется из уравнения (7) по
внесении в него выше показанных величин
/>з> rf> >'> OjC.

— 183 —
§ 10. При величинах
г, d, OxCy R,
таким образом получаемых, разность
МО\ — R2
приводится к функции
К \1ргх + 1 \ уГ'~^ + Р*х + Рг
где по (5)
(d2 — г2)- ОхС- sin —
к = 9
d
вследствие чего по сказанному выше об этой функции разность
MOj-R2
между 9 = 9о> ф = 9i не будет выходить за пределы
Ф0 Фт Ф» — Ф1 ^ W
sin- — <sin2~—~ (d2 ~ г*).ОхС-sin —
И : ,
2 sin— -sin —-sin2—
2 2 2
sin'-25—--sin2-^—— (^-/•2)-OlC.sin-i
Фа Фт Ф«
2 sin — -sin — -sin2 —
2 2 2
и будет достигать первого предела при
9 = Фо> Ф = ?2>
а второго при
9 = 9i, Ф = Фз-
Откуда видно, что при движении рассматриваемой нами системы в
пределах
9 = Фо> 9 = Фа
точка М (фиг. 5) не будет удаляться от центра Ол на расстояние
больше М0О19 которого она достигает при ф = ф0, и не будет
приближаться к Ог на расстояние меньше МгОг, на котором она находится
при 9 = 9i- Вследствие этого точка М будет оставаться между двумя
концентрическими кругами, описанными из центра Ог радиусами
Rt^Mfiv R1^M^Ox. (17)
Эти радиусы будут представлять предельные величины расстояния
точки М от центра Ох. Так как по выше сказанному расстояние МОг
будет достигать предельной величины /?0 = M0Olf не переходя за нее
при
ф = 9о> Ф = Ф*

— 184 —
то первый круг будет касаться траектории точки М на оси
симметрии CMQy где
и в двух местах по обе стороны этой оси, где
Относительно второго круга мы замечаем, что он также будет
касаться траектории точки М в двух местах по обе стороны оси
симметрии там, где
9 = ?з>
Фиг. 5
так как при этой величине угла 9 расстояние ОхМ достигает предела
R% = Мг019 не переходя за него. Кроме того, на этом круге будут
лежать концы траектории точки М, которых она достигает при
предельной величине 9 = 9i> т&к как при этой величине 9 расстояние МОг
равняется Rx = МгОг. Что касается радиусов RQ) Rv они связаны между
собою очень простым уравнением, которое легко выводится из
показанного нами относительно предельных величин разности
МО2, — R2.
В самом деле, по формулам (§ 10), определяющим эти величины,
видно, что между 9 = Фо> Ф — ?i наибольшая величина разности
есть
sin
фо"
МО] - R2
— -sin2— 2* (d*_r2)-OxC-sin —
2 2
2sm — -sin — -sin2 —
2 2 2

— 185 —
а наименьшая
sin 2i_Si .sin2 -2i_2i (^ — /2).oxC-sin -
, • 9o 9i • о 92
i sin — -sin — -sin2 —
2 2 2
Замечая по выше сказанному, что первая величина получается
МОг = /?0,
при
а вторая при
МОх = Rlf
мы заключаем на основании этого, что
Л2-/? =
sin ^Zlx .sin2 &I^2L (tf-^^Cein-
2 2 •»
. . 9o .9i • о 9a
2sin—-sin—- -sin4 —
2 2 2
sin-
9o~~9i
• sinz
9^n9i
tf-k2^
{#-г*уОгС-яп —
2 sin — -sin — -sin- —
2 2'?
откуда через исключение /? выводим
R* = R -
sin 2*f& -sin* -2^ (di -r'-yO.C-sln^
9o . 9i .> 9-2
sin -1— -sin -sin2 —
2 2 9.
(18)
§11. Мы теперь займемся приложением выведенных нами формул
к некоторым частным случаям и начнем с тех, в которых ломаная
линия АВМ приводится к прямой, что по нашему знакоположению
случается при равенстве
со == тт.
Так как угол » не входит в уравнение (14), определяющее угол
Ф2, то она остается без изменения; прочие же формулы по внесении тг
вместо со упрощаются и приводятся к следующему:
9е
г = sin—
sin8
92
sm ( 92 + — J
sin35
2
in {* + f)
sin
(19)

— 186 —
СО, = —
sin*
фо
sin ( ф2 -f~
■2sl\
2 J
tang ф2
Фо
. Фо + 9i . . фо — ф1 . ., / , фо
sin -sin. -sin- i ф.> + — '
2 1 2 ■■'
sin
о ФО
2 ' 2 У 2
(20)
(21)
Из этих формул получаются очень простые результаты в двух
частных предположениях, а именно:
1) когда предполагается
и 2) когда предполагается
СОг = ос.
В первом случае рассматриваемая нами система дает движение,
близкое к прямолинейному, во втором — близкое к круговому.
Останавливаясь на первом случае, мы по (20) замечаем, что СОх
обращается в оо только при равенстве
Ф2
! ФО
которое дает
Фв
(22)
Внеся эту величину у2 в уравнения (19), находим
3 . фо 1
г = — sin —
2 2 2
фо
2 2 2
(23)
откуда по исключении sin — получается такое простое уравнение:
2 + г = 3d,
которому должны удовлетворять величины г, d в рассматриваемой
нами системе для того, чтобы она, состоя из трех прямых, могла
давать движение, близкое к прямолинейному в пределах более или
менее широких.
Так как при равенстве
ОхС= оо
центр Ог удаляется в оо, то дуги концентрических кругов, между
которыми по § 10 будет оставаться точка М при своем движении,
обращаются в параллели, перпендикулярные к оси симметрии СМ0 и
удаленные друг от друга на расстояние, равное предельной
величине
R0 — Rj

— 187 —
при
С0± = ее.
Определяя же этот предел по уравнению (18) и замечая (фиг. 5),
что отношение
9jfL = 0хС — °'с
До ~~ М0Ог ~~ О^С- СМ*
при
приводится к 1, находим, что этот предел равняется
sin 9°-" 91-sin2 ф2-^ (^_r2)sin^-
12 2 2
2 sin-?JL. sinii.sin*^- d
2 2 2
Вследствие этого, изображая через D взаимное расстояние
параллелей, между которыми в рассматриваемом нами случае будет
заключаться траектория точки М, мы находим для определения D
формулу
sin?0"-?1 .sin2?*""*1 (rf2 — r2) sin —
^99 2
£>= Г ,
2 sin -51.sin JPl .sin2 2i rf
2 2 2
которая по внесении выше показанных величин о>, <р2, г, d дает
/ 1 - sin 2±\ sin Фо—9i. .sin2--9o-2cpi
Z) = 2 * ^ : . (24)
* -sin*' * - *•
9
\4 4 У
Что касается угла а, то по уравнению (21), внеся в него ~
вместо ф- + —, находим
1 2
Sin 9o + 9i..sin9e-9i
sin2 - = . (25)
2 sin* 2°.-sin* (JL-**\
2 V 4 4 I
§ 12. В полученные нами формулы, кроме угла 9о>
предполагаемого данным, входит еще угол 9Х> который должен быть найден.
Для определения этого угла мы из равенств (22), (12) выводим
7Г Go 7Г 9l
?.«—у. *=»—у.
что дает
I - sin Л» 1 - sin Jb
S1I
3in2-^= ! - cos 92 L. sin2-5*^ 1 - cos <?* = ?-
2 2 2

— 188 —
Внеся же эти величины
• о Фа • о 9з
sin2 — , sin- —
2 2
в формулу (13), мы получаем уравнение
из которого выходит
sin — = 1 — sin—.
2 2
На основании этого равенства и уравнения (23), которое дает
выводим
по равенствам же
sin-^ =
2
находим
фо
sin — =
2
sin*-1 =
2
1 +2г
3
1
2-
+ 2/
3 '
1 —/
3 '
sin-^
2
= 2I^i
3
(26)
C0Sf =fV/'(l-'')(2 + r), COs^ = ij/(5-2r)(l+2r),
cos?0= 1 -2sin^ = 7-8/-8r2, eos?1= 1 -2sin^ = 1+2^^1
2 9 1 2 9'
l_cos/ZL„^o\ l^sin^o
_ jpo\ = V2 2/ = 2_ \-r
4 4/ 2 2 ~~ 3 ;
2 2 2 Z h
sin^-9o-29ltSin^yo+29l^1 1CQ 8/п_А\
4 4 2 x 2 \ 2 2 /
cos ф2 — sin 51
_? (4r-l)(J-r)
2 9
На основании последних равенств и уравнений (26), которые
дают
l-8Jnf =2-Ц£/ 14-sin^ = 2^, 8in&-2^,
2 3 2 3 2 3

- 189 —
мы можем формулу (24) представить так:
D
(1_г)(4г-1)»
27 (2 + г) sin *±3L.
тс — 90 + 2?! '
где числитель не содержит углов ср0> ?г
Для исключения их из знаменателя мы замечаем, что
sin _g£±lL.sin2*-9o + 2yi = I sin 9Q + 91
2 4 2 2
1
■cos
^ — 9о Ч" 29i
sin -22- - sin* -2L 4- 2 sin2 -2l] cos -2l +
2 2 2 J 2 '
1 + Sin 3L
1 9
откуда по внесении выше показанных величин
sin 2i-cos-
О 9 >
выводим
1 -г
~27
sin JEi, sin 5L, cos^, cos^
2 2 2 2
sin Фо + yi . J 2 tt-9o + 29i =
2 4
|Y(5-2r)*ll + 2r) + 4 K(2 + r)3Tl"=T)] f
вследствие чего предыдущее выражение расстояния D приводится к
формуле
(4г— \f
D
(2 + г) [1А(5 - 2 г)» (1 + 2г) + 4 /(2 + г)» (1 - г)]
Так определяется взаимное расстояние двух параллелей, между
которыми остается точка М при движении рассматриваемой нами
системы, когда угол у не выходит за пределы ? = <?0> <р = 92.
В этом случае, как видели, предельная величина угла
А0ОА.получается из уравнения (25). Внеся сюда выше показанные
величины
sinJ9HL9L.s{nJ*^L
sin2 / те
и замечая по (26), что
\4 4 /
sin — = —[—,
2 3
получаем такое уравнение для определения а, предельной величины
угла А0ОА:
. 9 ее 4г — 1
откуда ясно, что в рассматриваемой нами системе радиус г должен
превосходить 1/4 и что по мере приближения г к 1/4 уменьшается
угол вращения радиуса АО, при котором точка М остается между

— 190 —
двумя выше показанными параллелями; вместе с тем, как видно из
формулы, определяющей величину расстояния Д эти параллели быстро
сближаются между собою, вследствие чего быстро уменьшаются
предельные уклонения точки М от прямой линии.
Фиг. б
§ 13. Переходя к предположению
а = тс,
мы замечаем, что при такой величине а предельные положения
радиуса АО по обе стороны линии центров СОА0 совпадают на ней
(фиг. 6) и вследствие того предельные положения точки М по обе
стороны оси симметрии СМ0 должны совпадать на этой оси. Так как
по § 10 концы траектории точки М лежат на круге, описанном из
центра Ох радиусом R1 = M101, то совпадение их должно произойти
яа этом круге, и там, где оно произойдет, этот круг будет касаться
траектории. На основании этого и принимая в соображение то, что
было показано в § 10 вообще о траектории точки М, мы заключаем,
что в частном случае, когда
точка М будет двигаться по. сомкнутой кривой, оставаясь между
двуйя концентрическими кругами, описанными из центра 0± рздиу-

- 191 —
сами R1 = M1Ov R0 = M1Ov причем будет касаться каждого из них
в трех местах: один раз на оси симметрии ЛЮ0 и два раза по обеим
сторонам этой оси. Кривая эта, как нетрудно заметить, будет
удаляться от круга, описанного из центра Ох рчдиусом -° J^1 на рас
стояние не более —*——L, а потому она будет мало отличаться or
него, если ~^——- близко к нулю.
Чтобы приложить к этому случаю формулы, выведенные нами
в § 11, полагаем
При этом величине а уравнение (21) дает
8inlL^.sin2!LlJPi .sin^9 2+ 21'
sin2 9L.sin2f ф2_и Фо.\ _sin4^L
2 V 2
откуда выходит
rsinaJPo -sin &±&. sin21=^1 sin2 ( ?2 + -2Ц = sin* ^ ,
L 2 2 2 J l 2 / 2
что по замене произведения
sinSLtb.sin*LZi2i
2 2
разностью
Sin2 2L - sin2 *L
приводится к уравнению
sin2 ^. sin2 (9о -f -^ = sin4 5l ,
2 V 2 у 2
которое предполагает одно из двух: или
ein-b-ein^ + ^^em»^,
или
sin^-sin(?2 + f)=-sin'-f.
Так как по (19) при последнем равенстве получается
и вследствие того радиус г не может совершить полного оборота
около центра О, остается возможным одно первое:
sin^.sin(92 + f)=sin^. (27)

— 192 —
из которого, замечая по (12), (13), что
?. + *- = ъ+f
Sin» .2»-
sin -2l. sin -?°
получается уравнение
sin^.sinf?3+^ =sin*-f . (28)
На основании двух последних равенств нетрудно найти формулу
для определения угла
<Ро
по углу
2=?a + f (29)
ф = ^_2!1±Ф?) (30)
при помощи которого, как мы увидим, получаются очень простые
выражения всех величин, представляющихся при рассмотрении
настоящего случая.
В самом деле, уравнения (27), (28) по внесении в них 6 вместо
6—**-
О
вместо <р2, ф3 дают
sin^-.sin6 = sin2^-^
2 \2 4
sin^.sine = sin2 Г- — ^
(31)
Вычитая эти равенства одно из другого, находим
sin JEL _ sin -йЛ sin 6 = sin2 (±-*L\- sin2 Г- - ^
2 2/ \2 4/ ' V 2
что приводится к следующему:
sin-22- — sin ^} cos 0 = (cos-2t _COs-2Ц cos 6.
2 2 / V 2 2

— 193 —
Откуда выходит
cos ^--*cos-?1-
9
Фо ср, 4
sin — si -—-
tangG = = г= — taas:^0-"--^ .
что предполагает
4
где /г — целое число. Для определения этого числа мы замечаем, что
при ?о> Уи ?2> ¥з положительных, не превосходящих -, угол
?о "4~ 9i
4
заключается между 0 и — , а угол
* - 2 ' * 9
между 0 и -7-, вследствие чего сумма
4
должна быть больше 0 и меньше 2-, а потому в выведенном
равенстве для числа п возможна только одна величина
я = 1,
при которой оно дает
ф0 4- 9i
что по (30).приводится к равенству
в = - -'- tl/. (32)
9
Обращаясь снова к уравнениям (31), мы заменяем в них
sin2 — i, sin- --
V 2 4 У \2 4 ./
через
I _ cos /^в —^L^ i-cosfe-^,'
2
и потом делим одно на другое. Это дает нам
sin*»- I -cos ie--2i
9 \ 9
1 — COS / <
2 У
13 п. Л. Чебышев, т. IV.

— 194 —
откуда выходит
sin f- sin 2 „ 2y--2
£i = cos l'e--f ^ Sin-^ — COS (б — 51; Sin^- =
= -^[810(6-?!) —Sin(6—?e)]
и вследствие того
„\
sin^_sin-|- = cos .0-2£^sin2i=^\
что дает
созф0+?1 = cos (b-^±2i) cos5^.
Так как по (30) и (32)
это равенство приводится к следующему:
81пф = sin Зф-cos ср0^9г,
4
из которого получаем
_^ 5>п3ф I (33)
. Фо—Ф1 Г л зт2ф 8т2ф-1 2со8 2ф (
Sin — — = 1 / 1 х, = 1 — ■ . *
4 |/ 8т23ф sin3$ }
§14. Для определения величин
r,d,OxC
мы замечаем, что в рассматриваемом нами случае вследствие
равенства (27) уравнения (19), (20) дают
. г =Sin^~sin^-2cos?5L±^.sm^=^,
2 2 4 4
d= sln-^ + sin^ =2cosa=^.sin2^b9i,
2 ' 2 4 4
9o ! c,n фЛ tonfr ft o^c 9o— ?i c4rl ?o-T9i>
CO, = — (sin -*jL + sin -^-j tang 6 = - 2cos ^^.sin^^^tange,
откуда по внесении выше показанных величин
4 -4 4
выходит
2sin ф-sin 2ф-Т/Г2со8 2ф , 8т2ф сп 2соз2ф
г = , а =«= , ^^i — ..
sin Зф sin36 вшЗф.

— 195 —
Последней формулой определяется место центра Ot двух
концентрических кругов, между которыми заключается траектория точки М.
Радиусы /?0, /?х этих кругов по § 10 имеют такие величины:
До = ОхМ0, Rx = (VHjl.
Замечая, что в рассматриваемом нами случае (фиг. 6)
O1MQ^CO1-CM0i 01M1 = CMl — COv -
мы из этих равенств выводим
/?0 = CO1 — CM0f Rx - СМ1—С01,
что дает нам
Ro + Ri = СМг—СМ* Ro-Ri = со _ СМ0 + СМ1
2 2 ' 2 Х 2
Внеся же сюда выше показанную величину СОг и находя из
равнобедренных треугольников CBqM0, СВхМг, где
СВ0 = В0М0 = Сйх = В^ = 1,
СВ,М0 = *~ Л0Б0С = * - ?0, СВ^ = г - AtB£ = r.-9„
что
СЖ0 = 2cos -22-, СЛ^ = 2cos -^ ,
0 2 2
получаем
2 2 2 4 4
*«-*' ^.^S^-cos^-cos^^2^
2 зшЗф 2 2 вшЗф 4 4
что по внесении величин
4 4 4
приводится к таким формулам:
Ro + Rt, _ 2со8ф»5ш2ф>У"2со82ф R0-~ Rt ^ 2cos2ф ^
2 ~~ ипЗф • ' 2 sin3J>
откуда видно, что угол ф не должен превосходить <— и что с при-
ближением угла Ф к — уменьшается и величина ■ ° х- и величи-
2
При этом первая величина приближается к нулю гораздо быстрее,
чем вторая, так что отношение первой ко второй с увеличением
угла ф до ~ приближается к нулю, вследствие чего при ф, близком
13*

— 196 —
к —, траектория точки М представляет кривую, мало отличающуюся
от круга.
С уменьшением же угла ф отношение
Ro — Ri . Ro ~г Ri
увеличивается и траектория точки М меняет постепенно свой вид,
переходя из кривой, мало отличающейся от круга, в кривую
сердцеобразную (фиг. 7).
§ 15. В предыдущих параграфах мы показали приложения общих
формул к частным случаям, когда ломаная линия АВМ обращается
в прямую. Мы теперь займемся
приложением их к различным случаям, в кото
рых линия АВМ остается ломаною, и на-
\ чнем с случая., когда
ОхС~ оо,
j что по (15) имеет место при равенстве
" = 2(* + &
(34«
Внеся эту величину <о в формулы (15),
(16), находим
Фо
r = sin -•
rf=sln^-
, Фо
sin 9-2 -г Т
Фо
sin2 —
2_
. / , Фо
sin '■ 9-» + —
•4V- Г 2
(35^
• 9о+Ф1 • Фо — 9i • J , 9<Л
sin -sin -sin2 фо 4-~~ '
. о а 2 2 V 2 /
sin2 —= —
Фо • * (
— • sin2
stn2 — • sin
i Ф°Ч • x
9aH- ^)—$1П
?1
(36)
где % есть вспомогательный угол, который по углам <р0, <Pi
определяется уравнениями, показанными в § 7.
Переходя к частному предположению

— 197 —
вносим эту величину а в формулу (36), что дает нам
. 9о "L- 9i . Фо — 9i оЛ
sin —--sin- — -sin* э.,4-^
2 2 ^iZLiZ^i
2 V ' 2/
-sin1^2
Замечая, что это уравнение одинаково с тем, которое мы нашли
в § 13 для случая со=тг и при помощи которого из общих формул
вывели
Фо-" 9i -_- sii1^ 9in фо —9t _sin2&-V~2cos2'!/
где
cos^ —=——-, sin
4 ятЗф 4 sin3'>
. __ 7C фр -Г ф!
2 4
мы заключаем, что все эти равенства будут иметь место и в настоящем
случае. Вследствие же этих равенств из уравнений (34), (35) выходит
со ==7: -L 2ф?
r= sin2i! _ sin ?-l-2C0S 9^±^.Sin *>=*- = 28!пф.8ш2ф.у-2^Й2ф
2 2 4 4 sin3-^
rf-sin^-rsin^-2cos9-^^.sin^^^l-s^^.
2 2 4 4 sin3<l>
В рассматриваемом нами случае, когда
предельные положения радиуса АО при вращении его в ту и
другую сторону совпадают на линии центров ОС (фиг. 8), вследствие
чего здесь, как и в предшествующем случае, концы траектории
точки М будут совпадать на оси симметрии СМ0 и она представит
сомкнутую кривую. Из показанного в § 10 видно, что эта кривая
будет заключаться между двумя параллелями, в которые при
равенстве
COL= ос
обращаются дуги кругов, описанных из центра Ох радиусами RQ, /?lf
и что каждая из этих параллелей будет касаться траектории точки М
в трех местах: на оси симметрии СМ0 и по обеим сторонам этой оси.
Эта кривая будет тем меньше отличаться от прямой, чем ближе
будут друг от друга параллели, между которыми она заключается.
Для определения взаимного расстояния их мы замечаем, что оно
равняется расстоянию точек М^ Mlt в которых параллели
пересекаются с осью симметрии СМ0 и в которых они касаются рассматриваемой

198 —
траектории. Нахоля из равнобедренных треугольников СВ0ДГ0)
CB1MV где
СВЬ=В^ = СВ1=В1М1=\9
С50М0 = о> — Л050С-=со — ф0, СВ1М1-=^ — А1В1С=о — ?1,
что
СМ0 = 2sin ^-^-°, СМХ = 2sin
w — 91
(37)
Фиг. 8
получаем для определения взаимного расстояния точек М0, ML такую
формулу:
М0Мг=СМг — СМ,=2sin ^^ — 2sin °-^^-°,
что дает
ЛШ = 4соз (-^-^i^^.sin^^
откуда по внесении выше показанных величин
фО + 91 01-п ФО-ЦФ!
О), .'~ ' ", Sill
4 4
выходит
луи1 =
4sin24'*'l/2cos'2'j;
sin Зф

— 199 —
14з этой формулы видно, что угол и не должен превосходить —
4
и что с приближением его к — уменьшается взаимное расстояние
параллелей, между которыми движется точка М при вращении радиуса АО
около центра О, вследствие чего при ф, близком к — , точка М мало
уклоняется от прямой, лежащей между этими параллелями в
одинаковом расстоянии от каждой.
§ 16. Говоря о случае, когда радиус АО совершает полный оборот
около центра О, мы делали частные предположения или относительно
угла, образуемого двумя частями ломаной линии ABC, или
относительно расстояния центров С, 0±. Теперь мы покажем приложение
к этому случаю общих формул, не делая никакого частного пред-
лоложения. Уравнения, которые при этом получаются, сложнее
прежних; но они представляются под видом, удобным для вычисления.
Чтобы приложить формулы, выведенные в § 9, к случаю, когда
радиус АО совершает полный оборот около центра О, делаем
При такой величине а уравнение (16) дает
. 90 + <?i . Фо — ?! . 0 ( Ф(Л
sin1—■—--sin—-— sin2 I о) — q>,— — s
sin2 t^ sin2 ^ M — <pa — ^ I — sin4
Определяя по этому уравнению величину
sin (ъ — ч%— ^j ,
находим
sin2 —
Sin(<o-ep2--i=;fc——.
sin —
5
Так как по (15) при отрицательной величине
sin (w —?2 —~J
выходит
вследствие чего радиус г не может совершить полного оборота, мы
оставляем в полученном равенстве один знак +> что дает нам
sin2^
sinf*-*-?) = —• (38)
V 2) sin|

— 200 —
Внеся эту величину sin ы~ ©2— -^Ч в уравнения (15), находим
r = sin & • - sin *i = 2sin^^- -cos^^ ,
2 2 4 4
rf = sin^
9
sin^ = 2sin^l^i -cos^^-
0^ = 2»
sin ( o) — ©o ■— — )
(39)
sin-T~-
♦ COS
9o~~ 9t
9o
Sill I (Q.y^- —
J
где <p2 есть вспомогательный угол, которого величина по углам ср0, <р:
определяется уравнениями, данными в § 7; угол же со получается
из уравнения (38). Так как для угла со возможны все значения от О
до 2гс, то по этому уравнению найдутся две величины со, из которых
одна дает
COS I G> — <р2 '
а другая
cos ■
<р#
:о,
(^-ъ-JJpo
При той и другой величине со получаются системы, в которых
траектория точки М остается между двумя концентрическими
кругами, описанными из центра Ог и касающимися к ней в трех местах.
Но эти траектории представляют кривые двух различных видов,
смотря по тому, будет ли
9о
или
соз со-?2~^° <0
COS со
-?f-a >о.
Разница в виде этлх кривых ясно обнаруживается при
определении положения центра Ог относительно точек пересечения их с осью
симметрии СМ0.
§ 17. Для определения разности
сох— см0,
показывающей положение центра Ог относительно точки М0 (фиг. 9)>
мы выводим из равнобедренного треугольника СВ0М0, где
СВ0=В0Мо=1,
СВ{]М0 = А0В0М0 — А0В0С=со — <р0,
чго
CMQ = 2sin'
1 — 9о

201
Это равенство вместе с величиною СОг по (39) дает
СО, - СМ0
о • 9о ~t~ Ф1 Фе — 9i . /' ?в
2sin — -cos- — -sin « — ©.,— —
4 4 V2 2
2sin
9o -T 9i 9o — 9i
• / , 9o *Л
sin Uo + L~ —
\'- 2 2 У
Фо*
9o
cos ;—-sin ( 03 — ф2 — — )—2sin—-—-sin (<p2-{-^- —
4 4 ™Г T2 2 J ~"' 2 "" Г2 ' 2" 2'J
2
Cp0 'л>
sin ( 9.,
9o
Фиг. 9
Для упрощения этой формулы мы замечаем, что
2sin ——^°.sin (<РаЧ~ ~ — -~) ^со$ (<* -- <?2—- Уо) — cos92 =
= C0sf—ft-i«Vc08? + Sinf»-?J-*V8lnft-
2 У "" 2 ' \ 4 л 2 / 2
2sin^L±H .cos^=^-sin?-0 -i-sinf1
COS <p2,
вследствие чего она приводится к такому виду:
COt — CM9 =
. ф1 . /
sin — -sin '/) — ф.
-?>
9о / 9«Л
COS <р2 — COS T"'COS( со — ф.2— -~ !
2 V ^ /
„• / , Фо ^

— 202 —
•откуда, заменяя по (38)
• / 9<Л
Sin со —©о —-
V 2,
через
ф->
sin2 ~
о
. 91
sin —
2
-ВЫВОДИМ
что дает
. 9-2 , фо / 9о
Sill —4- COS ф.> — COS — • COS '/3 — о* — —
О.С-СЖо- = 7 ^
. ( , фо «
sm 92 -г 7~"~ч"
ф.) фо 9о '
COS2 — — COS ~ • COS ! W — ф., — — i
O.C-CM^ - — ^ 4 2_ . (40)
- , , 9о
Подобным образом находим
« Фз 9i '' <Го'\
COS2 " — COS — . COS i w — 9., — —
O.C-CM^ ? -2 ^ —^-. (41)
V2 + ^~T/
sm
Из этих формул прямо видно, что при
COS
9<Л
(«-?2-?]<0
разности
СОх —Ш0, С01-СМ1
имеют знаки одинаковые. Замечая, что это не может иметь места,
если центр Ох лежит между точками М0, Мл, мы заключаем, что эти
точки должны лежать по одну сторону его, если
COs(co-cp *°)<0.
Что касается случая
cos со — <
9о
*-» >о-
то по составу формул (40), (41) видно, что при положительных
величинах
cos (со — 92 — -°
знаки разностей
СОг — СМ0, СОг-СМ,

— 203 —
зависят от пределов, между которыми заключаются эти величины.
Чтобы найти эти пределы, мы замечаем, что по сказанному в § 5
углы <?*• ?з должны заключаться между углами ?0, yv где ?0>?i>
вследствие чего будем иметь
?о J> Ъ>
откуда выходит
sin2 — sin 77
2 . о.> 2 ... 9*
■ bill — ^> о Li t
. 9i 2 . 9i 2
и так как по (13)
sin2 —
2
sm —
2
последнее неравенство дает
. о 9?
sin- -
. 9i
sin-
?1 <- ?2
sm2 —
2
sm —
2
. о 9а
sin- —
2
sin —
2
<sin^.
^sin
9з
2
sin 5?
*)
. 9о
sin —
<sin^,
Замечая же по (38), что
sin- —
. , 9oN =_
sm со — <р, —- - ; =
* ~;У .9i
sin —
мы из этих неравенств выводим
sin ( со — <?*—2М >sin 2i, sin (со — <р2— ?M<sinb
V ' 2 2 / 2 \ 2 У ^ 2
2/- а ч
что, в предположении
cos
V
дает
9о х
cos | со — 9-2 ~- ) > °>
?0 \^^о?2
9,
cosf со-?2-^ )<cos^-, cos^co —?2-Tj.
(»-9a--^>cos*
По этим неравенствам, доставляющим высший и низший пределы
величины
/ 9о
COS ( со — о2 -
яаходим
,» 2t-cos-22-W «>-?,-^>cos*-^-cosf -cosf
COS' — —COS — -COSl ш — ?a 2У 2 2
cos»-u-_c6s ^-cos'/co-?,- ^)<cos«f-cosf-cos* ,

— 204 —
откуда следует
cos2 -2s- - cos -3*-. cos ( (о - 9i — -2M > 0,
2^_cos^l .cos(" w_?2_^l\ <0,
cos
V 9
^-?2--VJ
так как ?2О0>¥з>?г
Выведенные нами неравенства показывают, что при определении
разностей
сох - см0, сох — смх
по формулам (40), (41), в случае
COS-f О) — Фо — — : >0,
V 2 ;
получаются величины с знаками противоположными; по составу же
этих разностей видно, что для этого центр Ох должен лежать
между точками MQf Mx (фиг. 9).
На основании этого мы заключаем, что положение центра Ох
относительно точек М0>МХ меняется с переменою знака cosfw — <ра— 3° \
ч 2 J
Если
cos (<о-9я- -j)>0,
центр Ох лежит между точками M0,MX; если же
cos ^<o-9a--^j<0,
точки Ж0, Л/х лежат по одну сторону центра Ог
§ 18. Останавливаясь на случае
cos (со-ъ-^) <0,
когда точки М0,МХ лежат по одну сторону от центра Ov и полагая,
что они лежат ниже его (фиг. 10), находим
ОхМ0 = О?! - CAf0, О^ = СОх - CAflf
вследствие чего по сказанному в § 10 относительно концентрических
кругов, между которыми заключается рассматриваемая траектория,
получаем для определения их радиусов /?0, Rx такие равенства:
/?о = ОхМ0 = С03 - СЖ0, ^ = О^ = СОх - СМХ,
откуда выходит
Ro + Ri _rn СМ0 + СМг Ro — R! _ СМг—СМь

— 205 —
Внеся же сюда величины
COv СИ,,, CMV
по (37), (39) получаем
Яо + Ri
2 sin У-Г-Ф! .cos?"-?1 -sin ' -.) - s. - 5?'
: 4 4 '__
sin /«p., + --"- - —
v4 2 2 .
■sin —~ —sin -~-
2 *>
до — /?i "j> — pi . o) — r,0
= Sin - — Sin —
2 *>• ♦>
/
4^
/
Фиг. 10
что приводится к следующему:
'л .гл^- Ф1.
2sin_-cosx?—xi-sin / <р0 ■
#о + #i _ 2 4 V 2
9о — Ф1ч-
Sinf 9., + ^-- —
2 2
2 . 4 \2
<о <р»
±*}.

- 206 —
Это найдено нами в предположении, что точки М0, Мх лежат
ниже центра Ог Делая обратное предположение, мы получаем те же
формулы с знаком — . Вследствие этого, чтобы обнять оба случая,
мы возьмем их с двойным знаком ^-. В формулах
2 sin-^-.cos SSLT^l-sin^—<?2— **—Ъ
= 4-
Ro + Ri , 2 4 V 2
2 sin ( 9. + J2£ —2L ".
\ 2 2 .,
**-** = -4- 2 sin Й^12!. cos Л^- - 2^Л ,
2 — 4 \ 2 4 J
таким образом получаемых, должен быть оставлен или верхний знак
или нижний; причем выбор знака определяется тем, что полусумма
/? -4- R
"*" не может быть меньше нуля.
2
Переходя к случаю
cos ^co-92--^)>0, .
когда по § 17 центр Ог лежит между точками М0,МХ, и
предполагая (фиг. 9), что точка М0 ниже точки Ж-р'находзм
OLM0= СОг - СМ0, ОхМх= СМг - COv
вследствие чего по § 10 имеем
Ц0=СОх-СМо, R1=CM1-COv
что дает
Ro + Ri = CMt — CMp Ro-R^ = со __ СМ0 4- СМ,
2 2*2 2 2
Сличая эти равенства с теми, которые были получены для случая
cos (tt-Ta--^)<o,;
замечаем, что здесь полусумма
Ro ~r Ri
определяется так, как прежде определялась полуразность
Ro — Ri
2
и обратно. Вследствие этого выше найденные 'формулы в
приложении к рассматриваемому нами случаю дают
Bi + Ъ. =2sin-^=2i- . cos (£_£i±2i
2 4 \2 4

— 207 —
sin -^-.cos?° - 9l-sin j 2— a, — 9» - 9i \
flo-/?i ^ о 2 4 у 2 f 2 4
Sin ; 92 -j- -X2. — ;
Это получается в предположении, что точка Мх лежит выше
точки М0. При обратном положении точек М0,М1 получается то же со
знаком —; а потому мы будем иметь вообще
2 ~~ 4 V 2 4
sin Ji -cos?!=l2i.sin f^L - ?, - 90--9Л
Д0-Я1 , о 2 4 V 2 " 4 >
2 sin /9,4--*>-Л''
V ~ 2 2 ,,
где должен быть оставлен верхний или нижний знак, смотря по то-
му, с каким знаком получается для полусуммы ° ;~ г
положительная величина.
Выведенные нами формулы заключают в себе как частные случаи*
те, которые мы нашли в § 13 и 14, предполагая угол ABC равным
двум прямым, и в § 15, предполагая бесконечно большим расстояние-
ОгС. Первые получаются из общих формул, имеющих место при
cos I со
ч
вторые из формул, найденных нами для случая
cos (*-Т2--й)<0.
При этом первые получаются в предположении
СО = ТС,
вторые в предположении
co=2(?2+f
В этих частных случаях, как видели, траектория точки М
представляет кривые двух различных видов (фиг. 6, 8).
В общем случае получаются тоже траектории двух различных
видов, смотря по знаку cos f со -- <р2 j-; •
Если
cosf ?-?2-f)>0,
траектория имеет вид кривой, о которой мы говорили в § 13 и 14.
Если же
COS ( со — <?2--Yj<°>

— 208 —
траектория представляет кривую, подобную той, о которой было го-
ворено в § 15, с тою только разницею, что здесь (фиг. 10) параллели
заменяются дугами концентрических кругов, описанных из центра 01
радиусами /?0, Rr
§ 19, В предыдущих параграфах мы рассмотрели частный случаи,
когда угол А0ОА меняется в самых широких пределах, переходя
от _ - до ~f т:. Теперь мы займемся случаем прямо
противоположным, предполагая, что угол AQOA остается в пределах, бесконечно
близких к нулю. Для этого мы положим, что а, предельная величина
угла А0ОА, имеет величину бесконечно малую.
При а бесконечно малом по уравнению (16) получается для
разности
величина бесконечно малая, а потому, пренебрегая бесконечно
малыми величинами перед конечными, в рассматриваемом нами случае
будем иметь
и вследствие того
так как по § 5 угол <р2 должен заключаться между углами <Ро»¥г
Внеся эти величины <Pi>?2 B уравнения (15), получаем такие
формулы для определения r,dyCOx:
)
d=
sin* 1<L
oin ?° 2
— sin — —
2 sin (» - **°\
\ 2 ;
sin2^-
— sin —
2 *(-*)
2 sin JL.
СО 2
О KJ i
2sin-?£.sin :
2
2 sin J£L-cos
2
/ О) \
cosf — —90 -s
V 2 J
sin f&SB-JL
\ 2 2
' — — фо ]•cos i
\ 2 / V
sin , оз-^Л
■2;
' -— — фо j.sin /
sin ("-^
, w 9oN
\
■J
0)
2
' 0)
2. У
_ _9_o "\
2 /
Замечая же, что при этих величинах <Pi>?2 выходит
sin ^L±Lil_.sin- Ло - Фо - -£°Л sin 9o-sin2A* - ^
2 V 2/ = ч 2 /
sin2 JB£- -sin^co - Фо - JPlA— sin4 -2L sin2 JPi-sin2 /'a, — 52£\ - sin4 .21
2 V " 2 У 2 2 V 2 ,/ 2
мы из уравнения (16) выводим такое соотношение между бесконечно
малыми величинами а и (р0 — ох:

— 209 —
sin<po-sina f <o — i5!2A
2 J
sin* _2l.sin2 ^ _ ?2Л — sin* -21
2 2 / 2
фо — 9i
что дает
¥o — ?i =
sin«l£-sin^co —2l
Sinz -Li-Sin'4 ( CO
2
14 90
2 У 2_ a2 = sin(<a —9o)»sin(M —2<po)g2 ^
2 sin 9o-sin2 (<o -.2224| 4 cotang SP-sin*^ — ^
V
У
ч.з"./
Фиг. 11
Переходя к определению радиуса R0 по § 10 и предполагая (фиг. 11)
центр 0± выше точки М0, находим, что
R0=O±M0= СОг-СМ0.
Внеся сюда выше найденную величину СОг и заменяя СМ0 по (37)
через 2 sin M~~?0, получаем
2л
Яо =
2sinJES..cos(2--чь Vsin/JL-JEl
2 V 2 / V 2 2
sin /Зфо-^
/Зфр_ W \
\2 2 )
(О—фо
— 2sin —-^ =
2
cos -21 • sin [_ —?о
= 2 sin
<М— фо
9
sin('?2?-J!L
V 2 2
14 п. Л. Чебышев, т. IV.

— 210 —
Мы это вывели, предполагая центр Ог выше точки М0. Делая
противное предположение, мы находим ту же формулу с знаком —, а
потому, чтобы обнять оба случая, мы возьмем ее с двойным знаком.
В формуле
#o = ±2sin
COS -LlL
■ фо 2
sin — —
81п/Зфо_Л
2 *>
(43)
таким образом полученной, должен быть оставлен тот из двух
знаков, с которым она дает положительную величину.
По радиусу R0i как видели (18), радиус R± определяется
уравнением
sin Фо-91 .sin^--^1 №-/-*)• СОг • sin J!L
^/й ? *— : —2-.
В рассматриваемом нами случае разности <Ро — ?и ?2 — ?i имеют
величины бесконечно малые. Чтобы найти отношение их, полагаем
что дает
?о — ?i = A>
?i=?o- А>
;-?1 = Ах>
?2=?0
и вследствие того по (14) получается такое уравнение между
бесконечно малыми величинами Д, Дх:
cotang
ср0 — Л + At 1
sin .
Фо
sin
фо ^
COS
Разлагая по степеням Д, Дх и ограничиваясь бесконечно малыми
первого порядка, мы из этого уравнения получаем
Д,= —Д.
что по нашему знакоположению дает
?a-?i = — (<Po-?i) •
Внося же эту величину разности <р2 — ¥i B выражение
sin.
sin
фо~ Ф1
2
Фо
2
sin
-sin» 2»
2
•sin2
-Ф1
2
_ф2_
2
(<*■
-^СОх
d

— 211 —
и замечая по выше показанным величинам ^r^r,d,COx> что
{**-1*)СОг _ 4
rfsin5£.sin-2i.sin* 21. sin^L.sinf3^0-—^ '
2 2 2 2 \ 2 2
находим с точностью до третьей степени ?0 — cpi включительно
sin2«=L2i..sm»2lZ^L (^-^-CCVsiiiiL (?0 - 9i)3 sin-i^-
2 2^ 2 1 2
32 sin.2L.sm/?*• -
2 V 2 2
вследствие чего с тою же степенью точности уравнение,
определяющее /<ь Дает
(фо — 9i)3 sin — (90—<f>i)3sin —
32 sinliW3^ »\ ^sinli-sinf^-^O
2 V 2 2 У 2 V 2 2 ) *°
Из последнего равенства выходит
(фо —9l)3sш —
#o-#1 _ 1 2
2 ^sm-2i.sm^-^D
2 V 2 2 у °
что представляет высший предел уклонения точки М от круга, опи-
санного радиусом ~LJi—L. из центра Ог при движении
рассматриваемой нами системы, когда угол а остается между <р = <р0> ? ^ ?i-
Внеся сюда величину <Ро — ?i по (4^) и величину радиуса /?0по(43),
находим такое выражение для этого предела:
sin J!L. sin2 -2L . sin3 (&» — ф0). sin3 (» — 2ф0) <*e
1 2 2
]6384 cos^sinii^^sm"-"2?0 -sin* U -^1
2 2 2 V 2
где а — предельная величина угла А0ОА, откуда видно, что с
приближением угла а к нулю эти уклонения очень быстро уменьшаются и
вследствие того при а малом траектория точки М незначительно раз-
нится от дуги круга, описанного из центра Ох радиусом ~~-—- .
Показанные здесь формулы представляют предел, к которому
приближаются общие формулы при уменьшении угла а до нуля, и
они могут служить для приближенного решения различных задач
относительно рассматриваемой системы, когда угол а не велик.
14*

МОДЕЛИ МЕХАНИЗМОВ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
(Статья, И. И. Артоболевского и £Г. ВТ. Левитского)
В Академии Наук СССР и в Ленинградском университете
хранятся модели механизмов, созданные П. Л. Чебышевым. В
настоящей статье приведены схемы и фотографии этих механизмов с
краткими описаниями их. Кроме того, для каждого механизма указаны
соотношения между размерами его звеньев.
Более подробное описание и анализ механизмов П. Л. Чебышева
имеются в работе И. И. Артоболевского и Н. И. Левитского,* где
для наиболее интересных в практическом отношении механизмов даны
расчетные таблицы и графики, при помощи которых можно быстро
определить необходимые параметры механизмов.
1. Механизм четырехзвенной протпвовращательной рукоятки
На фиг. 1 приведена копия фотоснимка, сохранившегося в архиве
Чебышева, модели механизма четырехзвенной противовращательной
рукоятки, построенной Чебышевым (сама модель не сохранилась).
Кинематическая схема механизма изображена на фиг. 2.
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=1,
ЛС = 0,136,
СС' = 1,409.
Точка М описывает траекторию, мало отличающуюся от
окружности радиуса R> равного
Rx 0,136.
Направление движения точки М по ее траектории обратное по
отношению к направлению движения точки А кривошипа АС, а по-
* И. И. Артоболевский и Н. И. Левитский. Механизмы П. Л.
Чебышева. Статья в сборнике „Научное наследие П. Л. Чебышева", вып. II, изд. АН СССР,
М.-Л., 1945.

— 213 —
тому данный механизм может служить в качестве противовращатель-
ной рукоятки.
Фиг. 1
Фиг. 2
2. Механизм самокатного кресла
На фиг. 3 приведена копия фотоснимка самокатного кресла,
снабженного механизмом Чебышева, а на фиг. 4 — кинематическая схема
этого механизма. Размеры звеньев механизма имеют следующие
соотношения:
АВ=ВС=ВМ=1,
ЛС'=0,325, СС = 1,385.
Если ведущим звеном сделать шатун АВ и перемещать точку М
по ее траектории, то кривошип АС будет делать полный оборот, что
и было использовано Чебышевым при конструировании им своего

— 214 —
самокатного кресла, в котором каждое из двух колес приводится во
вращение при помощи механизма, кинематическая схема которого
дана на фиг. 4.
Фиг. 4
3. Механизм шестизвенной иротивовращательной рукоятки
На фиг. 5 приведен фотоснимок модели механизма шестизвенной
иротивовращательной рукоятки, а на фиг. 6 — кинематическая схеме
этого механизма* Размеры звеньев механизма имеют следующие
соотношения:
АВ=ВС=ВМ=1;
ЛС'=0,54; СС' = 1,33; MD=C1D = 0957; C1C= 1,39;
р = 90°.

— 215 —
При вращении кривошипа АС ведомое звено CXD, снабженное
щховиком, совершает полный оборот за один оборот кривошипа. Так
Фиг. 5
Фиг. 6
как вращение ведомого звена QZ) происходит в направлении,
обратном вращению кривошипа АС, то данный механизм может служить
в качестве противовращательной рукоятки.
4, „Парадоксальный" механизм
На фиг. 7 приведен фотоснимок модели „парадоксальногоа
механизма, а на фиг. 8— его кинематическая схема.
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=\\
АС = 0,557; СС= 1,324; QC= 1,387;
MD=0,584; CJ)^0,123;
р=90°.

— 216 —
Размеры звеньев CXD и MD выбраны так, что сумма длин их
равна радиусу окружности, описанной вокруг траектории точки Му
а их разность равна радиусу окружности, вписанной в эту
траекторию, т. е. c^D + MD==Ro й MD-ClD=Rx.
Окружность радиуса /?0 касается траектории точки М в трех точках:
М0, М2 и Мг Окружность радиуса Rx также касается этой траектории
Фиг; 7
Фиг. 8
в трех точках: Mv Mz и М'ъ. Когда точка М приходит в положения
М0, Мх, М2, М2, Мг и iW8, то звенья MD и CXD вытягиваются в одну
линию, т. е. ведомое звено CXD находится в предельных положениях.
За один оборот кривошипа АС предельных положений будет шесть:
три внешних (длины звеньев CXD и MD складываются) и три
внутренних (длины звеньев CLD и MD вычитаются). Так как из каждого
предельного положения звено CXD может выйти, вращаясь как в одну,
так и в другую сторону, то для определенности движения механизма
ведомое звено CXD снабжено маховиком.
Парадоксальность механизма заключается в том, что при постоян-

— 217 —
ном вращении ведомого звена QZ) в направлении, противоположном
направлению вращения кривошипа АС', оно совершает четыре оборота
за один оборот кривошипа. При вращении ведомого звена C±D в
направлении, совпадающем с направлением вращения кривошипа АС,
оно совершает два оборота за один оборот кривошипа.
5. Механизм, дающий два качания ведомого звена
за один оборот кривошипа
На фиг. 9 приведен фотоснимок модели этого механизма, а на
фиг. 10 —его кинематическая схема.
Фиг. 9
72 16 О
Фиг. 10
Размеры звеньев имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=\\
АС'=0,54; СС = 1,29; б>=80°;
ЛЮ=1,6; DF=0,Ъ1; CF=1,92; CF=2,57„

— 218 —
Ведомое звено DF совершает два полных качания за один оборот
кривошипа: одно медленное и другое быстрое. На фиг. 10 участки
траектории точки УИ, проходимые ею при движении ведомого звена
DF справа налево, показаны жирными линиями; так же показаны и
соответствующие участки, проходимые точкой А кривошипа.
6. Механизм для преобразования качательиого движения
во вращательное
На фиг. 11 приведен фотоснимок модели этого механизма, а на
фиг. 12 — его кинематическая схема.
Фиг. 11
Фиг. 12
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=\\
АС = 0,545; СС= 1,325; о)=80°;
MZ)=1,61; FD=0,7l; G/7=l,33; G//=l,36;
АГЯ=0,39; C/*=l,6; C7* = 2,6; KF = 2,ll;
СДГ=3,29.
Соотношения между размерами звеньев выбраны так, что звено КН
сможет делать полный оборот, в то время как звено АС совершает
«одно полное качание на некоторый угол. Прямой и обратный ход

— 219 —
точка А совершает в приблизительно равные промежутки времени.
Если звено АС принять за ведущее (механизм „выпрямителя
движения*), то для определенности направления вращения при переходе
через предельные положения ведомое звено КМ должно быть
снабжено маховиком, что и выполнено в модели.
7. Механизм „велосипеда"
На фиг. 13 приведена копия фотоснимка модели механизма,
известного под названием „велосипеда", а на фиг. 14 — кинематическая
схема механизма, лежащего в основе этого приспособления.
Фиг. 13 Фиг. 14
Размеры звеньев имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=1;
ЛС' = 0,55; СС' = 1,38; со=267°;
MK=KF=l,M; С7*=1,23; /47=1,77.
При движении звена KF сверху вниз, от одного крайнего
положения к другому, кривошип АС совершает более полуоборота.
Участок траектории точки А кривошипа АС, соответствующий
обратному ходу звена KF, обозначен жирной линией.
Присоединяя к оси С второй подобный механизм с кривошипом,
смещенным относительно кривошипа АС на угол в 180° (на фиг. 14

— 220 —
не показан), получаем возможность, нажимая попеременно на
ведущие звенья обоих механизмов, привести во вращенье ведомое звено
АС (механизм „выпрямителя движения").
По характеру модели можно предположить, что данный механизм
предназначался не для передвижения велосипеда, а для
использования в качестве ножного привода.
8. Механизм для преобразования вращательного движения
в поступательное с ускоренным обратным ходом
На фиг. 15 приведен фотоснимок модели этого механизма, а -на
фиг. 16 — его кинематическая схема.
Фиг. 15
Г7-
J
£, jSX-i
г~ (g-j у j)-A
1 ' ' ' ■' 1гЛ
f .
( ...
\е _sJ
s\ J!—На v
)
Фиг. 16
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения;
АВ=ВС = ВМ=1;
ЛС'=0,55; СС = 1,38;
со=267°; у=43,5°;
ЛШ=1,5; #=1,79.

— 221 —
Ведомое звено этого механизма (ползун D), двигающееся
поступательно, имеет ускоренный обратный ход. Участок траектории точки
'А, соответствующий обратному ходу ползуна D, показан жирной
линией.
9. Механизм пресса
Механизм показан в трех положениях, соответствующих
наивысшему подъему ползуна (фиг. 17), среднему его положению (фиг. 18)
я наинизшему (фиг. 19).
Фиг. 17 Фиг. 18
Фиг. 19
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
А8=£С=£М=1; Л'А" = 0,198;
С'С" = 1,Ю5; ЛМГ=0,211.
Ведущим звеном является шатун А'А". Таким образом, сложное
движение шатуна преобразуется в поступательное движение
ползуна Г.

— 222 —
10, Механизм с длительной остановкой ведомого звена
в конце его хода
На фиг. 20 приведен фотоснимок модели этого механизма, а на
фиг. 21—его кинематическая схема.
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
АВ=ВС = ВМ= 1; АС = 0,305; СС' = 0,76;
со=114°;
AfZ) = 0,66; FD=0,8; C/*=l,66; СF = 2,36.
Длина звена MD равна радиусу окружности, к которой
приближена траектория точки М на некотором участке, а положение центра
F выбрано таким образом, что в одном из крайних положений звана
FD точка D совпадает с центром этой окружности. Вследствие этого
ведомое звено FD имеет в одном из крайних положений остановку,
продолжительность которой равна времени прохождения точкой М
участка траектории, приближенного к окружности (обозначен на схеме
жирной линией).
При данных соотношениях длин звеньев продолжительность
остановки приблизительно равна половине оборота кривошипа или
времени полного качания звена FD.
11. Механизм „сортировалки"
На фиг. 22 приведена копия фотоснимка приспособления,
известного под названием „сортировалка", а на фиг. 23 — кинематическая
схема механизма, лежащего в основе этого приспособления.
Относительные размеры звеньев основного механизма те же,- что и
предыдущего (механизм 10).

— 223 —
Принцип работы приспособления заключается в следующем. При
крайнем правом положении коромысла DF зерно из бункера
поступает в лоток, укрепленный в верхней части коромысла. Так как
остановка коромысла DF в этом положении продолжительна и соответ-
Фиг. 22 фиг. 23
ствует полуобороту кривошипа АС (см. механизм 10), то зерно
успевает полностью заполнить лоток. За следующую половину
оборота кривошипа АС коромысло DF с лотком, наполненным зерном,
быстро совершает полное качание. При этом зерна, отделяясь от
лотка, падают ближе или дальше, в зависимости от величины юс
массы. Звено NP закрывает выходное отверстие бункера, открывая
его лишь в момент, соответствующий остановке коромысла DF.
12. Механизм с остановкой ведомого звена на полпути
На фиг. 24 приведен фотоснимок модели этого механизма, а на
фиг. 25 — его кинематическая схема.
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=\\
ЛС=0,54; СС = 1,3;
6)=80°;
MD = 1,603; ЛО=0.695;
CF =1,8; CF=2,78.
Траектория точки М на участке, обозначенном жирной линией,
мало отличается от дуги окружности. Длина звена MD принята
равной радиусу этой окружности, а положение центра F выбрано так,
что в одном из средних положений коромысла DF точка D при-

— 224 —
ходит в центр указанной окружности. Вследствие этого при
непрерывном вращении кривошипа АС коромысло DF совершает
колебательное движение с остановкой в середине радочего хода.
Обратный ход коромысла — ускоренный и без остановки.
Фиг. 24 Фиг; 25
13. Шестизвенный механизм с остановками в крайних положениях
На фиг. 26 приведен фотоснимок модели этого механизма, а на
«фиг. 27 — его кинематическая схема.
Фиг. 26 Фиг. 27
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=\\ АС=0АЪ; СС = 1,15;
6)^265°;
ЛЮ = 3,34; ЛО = 0,41; CF=\,47; С'/7=2,51.
Траектория точки М имеет два участка приблизительно равной
кривизны (на схеме эти участки обозначены жирной линией). Длина
звена MD принята равной величине радиуса окружностей, с
которыми совпадают указанные участки, а положение центра F выбрано
так, что в крайних положениях точка D приходит в центры этих

— 225 —
окружностей. Вследствие этого при непрерывном вращении
кривошипа АС звено DF совершает колебательное движение с оста-
новками в своих крайних положениях.
14. Многозвенный механизм с остановками в крайних
положениях
На фиг. 28 приведен фотоснимок модели этого механизма; а на
фиг. 29 — кинематическая схема его.
Фиг. 28
Фиг. 29
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
AB=U ЯС=4,01; 7VW=2,8; Л/^4,44;
CE=ED=EF=PN = NQ = NO=l,Z\;
DL=LM=*LP=QS=SR = ST=\&
PD=Q#=1,74; D/C=0,68; ЛГ=0,5;
ЛЮ=0,28; FK=hOS\ #A1 = 1,56;
АЛ4=2,43; АК= 3,67; 40=2,4.
15 п. Л. Чебышев, т. IV.

— 226 —
При вращении кривошипа АВ точка R ведомого звена движется
приближенно по дуге окру ясно зги с остановками в крайних
положениях.
15. Механизм противовращательной рукоятки с остановкой
ведомого звена
На фиг. 30 приведен фотоснимок модели этого механизма, а на
фиг. 31 — его кинематическая схема.
Фиг. 30
Фиг. 31
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
ЛВ=ВС=ВМ=1; АС = 0,19; СС' = 1,11;
(3 = 90°;
MD = 0,403; FD=0,12; CF = 2,05.
Траектория точки М приближена к окружности на участке,
соответствующем углу поворота кривошипа АС на 180° (на схеме этот
участок обозначен жирной линией). Длина звена MD равна радиусу
окружности, к которой приближена траектория точки М, а положение
центра F и длина звена FD выбраны в одном из положений
механизма так, что точка D приходит в центр этой окружности, при этом
оси звеньев MD и FD вытягиваются в одну линию, т. е. находятся
в предельном положении. Для определенности движения при переходе
через предельные положения ведомое звено FD снаб кено маховиком.

— 227 —
При вращении ведомого звена FD в направлении, совпадающем
с направлением движения кривошипа АС, оно движется с остановкой,
продолжительность которой равна приблизительно времени половины
оборота кривошипа. При вращении ведомого звена FD в направлении,
противоположном направлению движения кривошипа АС, механизм
представляет собой обычную противовращательную рукоятку.
16. „Переступающий механизм" („Стопоходящая машина")
На фиг. 32 приведен фотоснимок этого механизма, а на фиг. 33 —
его кинематическая схема.
Фиг. 32
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
A1Bl=BlC=BlM1=A2B2^ B2C=B2M^A3B3=B,Cl=BzMz^A^~-
15*

— 228 —
СС^ОД'= 0,785; A2A^ = A1Az = CC!i = 096B4.
Механизм состоит из четырех лямбдообразных прямил,
соединенных так, что кривошипы их образуют шарнирный параллелограм
AXA2AZA^ (звено АгС жестко соединено со звеном А2С', а звено AZC —
со звеном ААС). Точки Мх и ЛТ4 принадлежат звену, с которым
жестко скреплены ноги / и 4 механизма, точки М2 и Mz
принадлежат другому звену, с которым жестко скреплены ноги 2 и 3. На
фиг. 33 показана траектория точки М4 в ее движении относительно
корпуса, т. е. звена CCCt Cv Траектория близка к кривой, которую
описывает конец ноги идущего человека или животного по
отношению к его корпусу, а именно прямолинейная часть траектории
точки М соответствует положению конца ноги на земле, остальная же
часть траектории—движению конца ноги над землей.
Если из положения, указанного на фиг. 33, перемещать корпус
€СС[Сг прямолинейно в ту или другую сторону, то, пока точки
УИ4 и Мх остаются на прямолинейных участках своих относительных
траекторий, ноги 1 и 4 неподвижны, а ноги 2 и 3 перемещаются по
направлению движения корпуса. В тот момент, когда точки Мх и УИ4
должны покинуть прямолинейный участок, точки М2 и М3 приходят
в начало своего прямолинейного участка, так как при выбранных
размерах звеньев угол поворота кривошипа, соответствующий
перемещению точки М по прямолинейному участку, равен 180°. При
дальнейшем движении корпуса, ноги 2 и 3 будут некоторое время
оставаться неподвижными, а ноги 1 я 4 начнут перемещаться по
направлению движения корпуса, и, таким образом, при непрерывном
перемещении корпуса ноги механизма переступают подобно ногам
животного.
17. Гребной механизм
На фиг. 34 приведен фотоснимок модели гребного механизма, а
на фиг. 35 — кинематическая схема этого механизма.
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
ЛВ=ВС=ВМ=А1В1=В1С1=В1М1=и
АС'=0,297; СС = 0,765; ,4^ = 0,528; 6^ = 1,21;
о=270°;
ММХ = 1,275; CCi = 0.74; СС\= 1,335; 0^=1,3;
ЛИГ =1,6.
При вращении кривошипа АС весло, соединенное жестко со
звеном ММхКу имеет движение, близкое к поступательному,,
по.траекториям, указанным для точек М и К. Движению весла под водой

- 229 —
Фиг. 34
Фиг. 35
Фиг. 36
соответствуют прямолинейные участки траектории точек М и К»
Вход и выход из воды совершается почти отвесно и с небольшой
скоростью.
На фиг. 36 приведена копия фотоснимка, показывающего
устройство лодки с гребным механизмом.

— 230 —
18. Механизм, направляющий по дуге окружности
На фиг. 37 приведен фотоснимок этого механизма, а на фиг. 38-
его кинематическая схема.
Фиг. 37
Фиг. 38
Размеры звеньев механизма имеют следующие соотношения:
08S=08D=1;
ОхА = 1,55; -4Б=0,418;О1О8=2,18; 5ЛГ=0,983;
4ЛГ=1,23; СМ=2,46; СО2=0,526; ОхО2=0,608;
0802=2,51;/>D = 1,51; О4^=0,92; 0408= 1,795;
04Ох=3,82.
При указанных размерах звеньев точка М описывает траекторию,
мало отличающуюся от дуги окружности. Радиус этой окружности
равен длине звена МС, а центр вращения совпадает с положением
точки С. Вследствие этого звено 02С неподвижно во все время
движения кривошипа OJP.
19. Механизм кулисы паровой машины
На фиг. 39 приведен фотоснимок чернового проекта модели этого
механизма, аг на фиг. 40 — его кинематическая схема.
Размеры звеньев, определенные по этому черновому проекту,
имеют следующие соотношения:
0*8=1; Р5=5,38; 0^ = 0,755; АС=2,82;
£О2=2,08; 02D=1,58; £>C=1,29; Z)/*=l,54;
04£ = 1,36; О4/*=1,03; £/> = 0,78; /*G=2,19;
GO5=2,08; ЛГ05=Л1/С=1,89; MiV = 0,62; АК=3,7;
MT=S,09; Л=1,27; 0102=3,38; Ох05=3,56;
0^3=3,95; 0508= 1,94; О5О2==3,04; О3О4=2,09.

— 231 —
Фиг. 39
Фиг. 40
Фиг. 41

232
Центр 04 укреплен на рычаге / (фиг. 40), который молено
установить в различных положениях. При этом изменяется траектория точки
N и, следовательно, характер движения золотника 2. На схеме
рычаг / показан в крайнем левом положении, при котором длина хода
золотника 2 наибольшая. На фиг. 41 приведена копия фотоснимка
другой модели этого же механизма.
20. Механизм весов
На фиг. 42 приведен фотоснимок модели весов, а на фиг. 43 —
ее кинематическая схема.
Фиг. 42
Фиг, 43
Размеры звеньев имеют следующие соотношения:
ОхЛ=1;
0,5=0.692; 45=1,5; ВС=0,693; С£=0,626;
CD = 0,353; DF=0M2; О3£=0,941; ОгОг = 0,692;
DF = 0,98; 0^ = 0,892; О2О3 = 0,892; 0,02=1,42.

— 233 —
На звено ОхА действует сила тяжести взвешиваемого груза Q, а
на звено 02F — сила тяжести противовеса Р. Так как механизм
имеет степень подвижности, равную двум, то для определения
положений всех звеньев механизма следует задаваться двумя
независимыми условиями. В данном случае такими условиями являются:
1) условие равновесия системы под действием сил Р и Q и
2) условие горизонтальности звена 0%Р в положении равновесия.
Оба условия удовлетворяются при некотором положении звена OzE,
причем это положение, очевидно, изменяется с изменением величины
взвешиваемого груза.
Рычаг ОгЕ снабжен установочным приспособлением и нониусом,
а на корпусе весов укреплена шкала. Противовес Р выполнен
сменным. Каждой величине противовеса должна соответствовать особая
градуировка шкалы.
21, Измеритель кривизны
На фиг. 44 приведен фотоснимок модели этого устройства, а на
фиг. 45 —его схема.
Фиг. 44
Фиг. 45
При вращении винта / ползун 2 перемещается в направляющих
корпуса 3, а ползуны 5 сближаются или удаляются друг от друга,,
что вызывает больший или меньший прогиб упругой пластинки 6.
Так как при малых величинах прогиба упругая линия пластинки
в данных условиях мало отличается от дуги окружности, то это
приспособление может быть использовано как для измерения кривизны,,
так и для черчения дуг окружностей больших радиусов.

— 234 —
Величина прогиба, а следовательно, и величина радиуса кривизны,
•измеряемой кривой, определяются по перемещению ползуна 2. С этой
целью ползун 2 снабжен нониусом, а корпус 3 имеет шкалу.
22. Линейка для измерения кривизны
На фиг. 46 приведен фотоснимок линейки для измерения кривизны,
а на фиг. 47 — кинематическая схема этого устройства.
Фиг. 46
1 Аь
1 /
1——-4^
2
=4=
=J=Jl
SERA
с*
<5
Фиг. 47
Размеры звеньев в этой модели имеют следующие значения:
ВС=В1С1=
АВг=АгВг=
BC1=B1Ci=
. ==Л55з=18 мм
=55С5=18 .
=Л455 = 104,5Я
= В4С5= 110 ,
При вращении винта 7 гибкая линейка 2, скрепленная со звеном 3
и шарнирами Л, Av А2ч ..., А5» перемещается относительно звена 4,
изгибаясь по дуге окружности.
Зависимость между радиусом этой дуги и перемещением линейки
относительно звена 4 выражается формулой, данной Чебышевым,
19817 ^ 586 + ^
762 + J '
/?=•
где R — радиус окружности (в
линейки 2 относительно звена 4.
Более подробное описание
Б. Г. Бооля*.
мм), а / — перемещение (в мм)
этой линейки имеется в книге
* В. Г. Б о о л ь. Инструменты и аппараты для геометрического черчения.
JVL, 1893.

— 235 —
23. Механизм с изменяемым ходом
На фиг. 48 приведен фотоснимок чернового проекта модели этого
механизма, выполненный собственноручно Чебышевым, а на фиг. 49-—
кинематическая схема.
Фиг. 48
Фиг. 49
Размеры звеньев имеют следующие соотношения:
АВ=ВС=ВМ=ОС = 1;
АС'=0,246; СС = variable; A/tf=0,246;
оз=140;
MD=2fi2; ГО=0,376; CF=2M*
Неподвижный центр С можно перестанавливать по дуге
окружности, описанной из центра О, т. е. величина СС — d сделана
переменной, что дает возможность получать различные по виду
траектории точки М. При этом будет меняться также и соотношение между
углами поворота звеньев АС и DF. Так как звенья АС и DF
соединены жестко с указателями, движущимися по градуированным

— 236 —
шкалам, то эти углы поворота и изменение их соотношений могут
быть показаны весьма наглядно.
24. Арифмометр (счетная машина с непрерывным движением)
На фиг. 50 приведен фотоснимок арифмометра. Более
совершенная модель этого арифмометра хранится
в Conservatoire des Arts et Metiers в
Париже.
Конструкция арифмометра подробно
описана Чебышевым в статье „Счетная
машина с непрерывным движением" *.
Фиг. 50
Фиг. 51 Фиг.52
25 Центробежный регулятор
На фиг. 51 и 52 приведены копии фотоснимков центробежных
регуляторов, изготовленных по указанию Чебышева.
В мемуаре „О центробежном уравнителе" Чебышев излагает метод
определения основных размеров этих регуляторов при условии
получения наилучшего изохронизма **. Модели, изображенные на фиг. 51
и 52, и были построены по размерам, определенным при помощи
указанного метода.
* См. стр. 158—160 настоящего тома.— Ред.
** См. стр. 37—53 настоящего тома —Ред.

— 237 —
ПЕРЕЧЕНЬ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Механизм четырехзвенной противовращательной рукоятки
Механизм самокатного кресла
Механизм шестизвенной противовращательной рукоятки
„Парадоксальный" механизм "
Механизм, дающий два качания ведомого звена за один обо
рот кривошипа
Механизм для преобразования качательного движения во
вращательное
Механизм „велосипеда"
Механизм для преобразования вращательного движения в
поступательное с ускоренным обратным ходом ......
Механизм пресса . • .
Механизм с длительной остановкой ведомого звена в конце
его хода
Механизм „сортировалки"
Механизм с остановкой ведомого звена на полпути ....
Шестизвенный механизм с остановками в крайних положениях
Многозвенный механизм с остановками в крайних положениях}
Механизм противовращательной рукоятки с остановкой
ведомого звена
„Переступающий" механизм („Стопоходящая машина") . . .
Гребной механизм
Механизм, направляющий по дуге окружности
Механизм кулисы паровой машины
Механизм весов
Измеритель кривизны
Линейка для измерения кривизны
Механизм с изменяемым ходом
Арифмометр (счетная машина с непрерывным движением)
Центробежный регулятор ....
! U 2
3, 4
5, 6
1 7> 8
9, 10
i 11, 12
' 13, 14
! Гэ} 16
; 17, 18, 19
I 20, 21
•I 22, 23
' 24, 25
1 26, 27
1 28, 29
30, 31
32, 33
34, 35, 36
37, 38
39, 40, 41
42, 43
44, 45
46, 47
48, 49
50
51, 52
; 213
1 214
| 215
! 216
217
218
219
220
221
222
223
224
224
225
226
227
229
230
231
232
233
234
235
236
236

КОММЕНТАРИИ
(Составители И. И. Артоболевский и ЕС- И> Левит спи й)
„ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ, ИЗВЕСТНЫХ ПОД НАЗВАНИЕМ
ПАРАЛЛЕЛОГРАМОВ а*
Пафнутий Львович Чебышев в продолжение всей своей жизни постоянно
интересовался теорией механизмов. В первые же годы своей педагогической деятельности
он читает лекции по практической механике в С.-Петербургском университете и
в Александровском лицее. Несомненно, уже в этот период Чебышев предпринимает
изыскания в области шарнирных механизмов, так как в своем отчете о заграничной
командировке 1852 года ** он пишет, что для него было интересно сравнить резуль-
Фиг. 1
таты своих исследований с практикой машиностроительных заводов. Изучая различные
конструкции машин и механизмов, Чебышев останавливает свое внимание на парал-
лелограмах Уатта.
Под именем параллелограмов во времена Чебышева были известны
прямолинейно-направляющие механизмы Уатта, т. е. шарнирные механизмы для воспроизведения
движения по прямой линии, применявшиеся в некоторых конструкциях паровых
машин.
Различают полный параллелограм Уатта и сокращенный.
* Эта работа помещена во II томе настоящего Собрания сочинений, стр. 23—51;
там же помещен комментарий, составленный В. Л. Гончаровым (стр. 474—485). — Ред.
** Отчет будет опубликован в V томе настоящего Собрания сочинений. -
-Ред.

— 239 —
Сокращенный параллелограм Уатта представляет собою шарнирный четырехзвен-
ник ADFG (фиг. 1), в котором точка М описывает траекторию, мало отличающуюся-
на некотором участке от прямой линии. Если принять AD = Я/, то точка М
найдется на середине шатуна DF, а расстояние между неподвижными центрами А и G
будет равно
Ж/= Y^(ADf + {DF)K
(1)
Полный параллелограм Уатта (фиг. 2) образуется из сокращенного путем
присоединения пантографа, а именно, к основному механизму ADFG присоединены два
звена FC и ВС так, что образуется параллелограм DBCF (отсюда и произошло
название механизма). Если принять
FC = DB =■• AD = FG и DF = ВС,
то траектория точки С будет подобна траектории точки М, т.е. точка С будет также -
на некотором участке своей траектории двигаться приближенно-прямолинейно.
Параллелограм Уатта применялся в балансирных паровых машинах для
преобразования возвратно-поступательного движения поршня в непрерывное вращение кри-
вошипаТОЯГ (фиг. 3). Траектория точки М использовалась для направления движения;
штока насоса или поршня второго
цилиндра. Звено АВ в машине
называлось коромыслом или балансы-
ром, а звено FG — отводным
радиусом или контрбалансиром.
Практика применения этого
механизма в различных конструкциях
паровых машин привела к
необходимости в некоторых случаях делать
длину отводного радиуса FG
отличной от длины коромысла АВ. Но
тогда точка М, движущаяся
приближенно по прямой линии, уже не
будет находиться на середине линии
DF. Для нахождения положения точки М были выработаны особые правила и
дополнительно к ним составлены таблицы поправок, уточняющие эти правила. Такош
метод определения наивыгоднейших размеров параллелограма Уатта был явно
несовершенен, что и было отмечено Чебышевым в его отчете о командировке
заграницу.
Вскоре после возвращения из-за границы Чебышев представил в Академию Наук
первую часть своей работы, посвященной теории параллелограмов, в которой он
ставит задачу о нахождении размеров параллелограма Уатта из условий наименьшего-
отклонения траектории точки М на некотором участке от прямой линии. В этой
работе, озаглавленной „Теория механизмов, известных под названием параллелограмов",
заложены основы метода, при помощи которого можно решить не только частную
задачу о параллелограмах, но и многие другие задачи прикладной механики.
Дальнейшее развитие математических идей, изложенных в этой работе, привело Чебышева
к созданию оригинальной теории наилучшего приближения функций, занимающей
теперь одно из центральных мест в теории функций.
Во вступительной части Чебышев указывает, что существующие эмпирические-
методы нахождения размеров параллелограмов Уатта не обеспечивают достаточно-
высокой степени точности приближения траектории точки М к прямой линии.
Отклонения от прямолинейности при движении точки М вредно отражаются на
долговечности машины, так как вызывают появление дополнительных боковых усилий,
действующих на* шток поршня Т и вызывающих быстрый износ сальника 5. Между тем
при надлежащем выборе размеров механизма эти отклонения могут быть сделаны.

— 240 —
столь малыми, что практически движение точки М не будет отличаться от
прямолинейного.
Далее Чебышев указывает, что для нахождения наивыгоднейших размеров парал-
лелограма Уатта необходимо решить следующую задачу:
„Определить изменения, которые надо произвести в приближенном
выражении функции f (х), данном ее разложением по степеням х — а> если требуется
сделать наименьшим предел его погрешности между х — a — h и х = а + /г, где
h — величина не очень значительная".*
'Ш//Ш///Ш.
Фиг. 3
Изложим кратко содержание этой задачи. Дана некоторая функция / (я), которая
может быть представлена в окрестности точки х = а степенным рядом
f(x) = kf>+kl(x--a) + k%(x-a)*+...+km(x — a)m+...t (2)
где
*о = /(*),
k* = \fn (")
(3)
**=ifmM
Ограничиваясь конечным числом п + 1 членов ряда, получим приближенное
выражение функции /(*)
S* (*) = *о + kx (х - а) + К (х — я)* +.. • + kn (х - а)п. (4)
Максимальное отклонение многочлена Sn (x) от функции / (х) на отрезке
а — /г<л:<я -\-h
с точностью до величин порядка Лл+1 равно
^ = kn+1h»+\ (5)
* Том II настоящего Собрания сочинений, стр. 26.

— 241 —
Если величина Л есть бесконечно малая величина первого порядка, то
многочлен Sn (x) представляет функцию / (х) на этом отрезке с точностью до бесконечно
малых величин порядка п +1 и является наилучшим приближенным выражением
функции f(x) в виде многочлена степени ти
Но если h имеет некоторое конечное значение, то можно найти другой
многочлен степени п
Q,,(x.*)«*o + ao+(*i + a1)(*-«) + te + ^^ (б)
который на отрезке
представляет функцию / (х) лучше, чем многочлен Sn (х)% т. е. максимальная
абсолютная величина отклонения многочлена Qn (дг, h) от функции / (х)
на этом отрезке будет меньше, чем отклонение приближенного выражения Sn (x)
от/(*).
В многочлене Qn (x, h) величины Ъ0, Ъи ..., Зя представляют собою те поправки,
которые следует прибавить к соответствующим коэффициентам многочлена Sn(x)t
чтобы повысить точность его приближения к данной функции f(x) на
рассматриваемом отрезке.
Обозначим
Vn (*. А) = *о + Bi (х - а) +•..+ Ья (х - а)«. (7)
Тогда разность между функцией / (х) и многочленом Qn (х> h) может быть
представлена в следующем виде:
R (х, h) = /(*)-Q„(x, h) =* f(x)-Sn{x)-VH{x, Л) -
= - Vn (x, h) + kn^hPV -f ^AW+... (8)
Эта разность должна наименее уклоняться от нуля на отрезке
т. е. коэффициенты Ь0г Ьи .,., Ьп должны быть подобраны таким образом, чтобы
максимальное абсолютное значение разности Д (х, И) было бы наименьшим возможным.
Если при определении этих коэффициентов учитывать влияние только одного
отброшенного члена разложения (2)
то разность R (ж, К) будет многочленом степени п -f 1
Дл+1(*,Л) = кп+^-Ьп(к-а)»-Ъп^(х--аГ^ Ь0 (9)
и задача сводится к нахождению коэффициентов многочлена степени л-f-l с
заданным коэффициентом при х в старшей степени из условия наименьшего уклонения
этого многочлена от нуля.
Искомые коэффициенты могут быть вычислены на основании того, что многочлен
Rn+i (*> h) Должен достигать на заданном отрезке своих предельных значений не
менее чем л+ 2 раза, последовательно меняя знак.*
Предварительно Чебышев, применяя подстановку
* Доказательство этого утверждения, известного теперь под названием „теоремы
Чебышева", дано Чебышевым позднее в работе «Вопросы о наименьших величинах,
связанных с приближенным представлением функций» (том II настоящего Собрания
сочинений, стр. 151—225).
*6 П. Л. Чебшпев, т. IV.

— 242 —
преобразовывает разность Л (х, h) к следующему виду:
Дя+1(*, h) = k^h^.z^1 -bnhnzn-on^1hn'^zn-^ — .—Б0. (3 3)
Тогда вычисление неизвестных коэффициентов Ъ^Ъи .. . , Ъп из условия наименьшего
уклонения от нуля разности Лл+1 (*, К) на отрезке
—1<*<1
приводит к следующему результату^ .
Лл+1 (*, Л) = kn+1h^ ~Пуп~ > (12)
где, как теперь принято, положено
7л (*) = т"К* + *Г*' — !)" + (*.— Уг*г=г1)л] =. cos (n arc cos.*). ,(,13)
Многочлен Тп (z) широко известен под названием полинома Чебьшева.
Максимальное абсолютное значение многочлена Яп^г(г,Н) на отрезке (—3,1)
равно
L^ 2п • (W)
Следовательно, в этом случае отклонение многочлена Qn{x,h) от функции f(x) в
2п раз меньше, чем отклонение многочлена Sn (x). Это соотношение справедливо,
однако, только при условии, что h величина достаточно малая и поэтому в
разложении (2) можно пренебречь членами, содержащими h в степени выше п-{-1.
В качестве примера вычислим поправки для случая п = 4. Многочлен Чебышева
пятой степени Т5 определяется из формулы (13):
Г5 = ]6*5-20** + 5*.
Следовательно,
Л5 (*, /*)= ^- (16*6 - 20** + 5*),
или
JRB (х, Л) = £5 (х - а)5 - — М2 (* ~ *)3 + ТТ hh* (х - л).
4 Зр
Отсюда искомые поправки равны
о2 = 0,
16
So = 0,
т. е. приближенное выражение функции f (х) в виде многочлена четвертой степени
с поправками, учитывающими влияние отброшенного члена кь{х — а)ъ, имеет вид
/00 ~ QA{x, h) = *0 + (£i - -^-Л5А4)(.г — fl)+ Ла (х- в)» +■
+ (*. + — W (х - в)з + £4 (х - в)*.
Далее Чебышев вычисляет поправки за счет суммы нескольких отброшенных
членов разложения (2), придавая вычислительному процессу рекурентный характер.

— 243 —
Например, для приближенного выражения f(x) в' виде многочлена четвертой степени
пбправки имеют следующий вид:
°^7^+ щ »+-:
16 64^|
5 Ш5*7-3#
16 * 64*,''
Во- — МЧ -6 лч- • •
^6 64*|
Указав метод вычисления поправок к коэффициентам степенного ряда, Чебышев
не дает .непосредственного приложения этого метода к нахождению размеров
параллелограмм Уатта. .В заключительной части своей работы он пишет: „В сл.едующих
параграфах мы покажем приложения выведенных нами формул к нахождению
элементов, дараллелограмов, удовлетворяющих условиям, при которых, точность хода
наибольшая". Однако эти параграфы не были опубликованы Чебышевым; не были
обнаружены и рукописные материалы, относящиеся к ним. Поэтому вполне уместно
в ,настоящей статье дать решение задачи об. определении размеров параллелограма
Уатта на основании изложенного Чебышевым метода вычисления поправок.
Покажем предварительно, что этот метод применим не только к задаче о па-
раллелограме Уатта, но и к другим задачам приближенного синтеза механизмов.
Пусть заданная кинематическая или динамическая зависимость^ которую нужно
воспроизвести при помощи механизма, представлена в виде некоторой функции
3> =/(*)-
Эта заданная зависимость в большинстве случаев не может быть воспроизведена
механизмом точно. Обозначим ту функцию, которую может воспроизвести механизм,
через
V* =>*(*)>
Например, в задачах о воспроизведении заданной кривой при помощи механизмов
с низшими парами функция у = / (х) выражается в виде уравнения заданной кривой,
а функция ум = ф (х) —- в виде уравнения шатунной кривой.
Для того чтобы механизм воспроизводил заданную зависимость наиболее точно,
необходимо, чтобы функция yM—ty(x) возможно мало отличалась от функции y—f(x).
Другими словами, нужно приблизить функцию y=f(x) при помощи функции^ =
= Ф №.
Приближаемая функция у = / (л) нам задана и изменить ее по условию задачи
мы обычно не можем. Приближающая же функция ум=^(х) содержит неизвестные
коэффициенты, зависящие от параметров механизма, например от размеров звеньев
механизма. Решая задачу о приближении функции у = f(x) при помощи функции
ум = ф(х), т. е. определяя неизвестные коэффициенты приближающей функции таким
образом, чтобы она возможно мало отличалась от заданной функции, мы тем самым
устанавливаем зависимости, которым должны удовлетворять искомые параметры
механизма.
16*

- 244 -,
Для аналитического решения этой задачи необходимо составить выражение
функции, характеризующей отклонение от заданной зависимости. В простейших случаях
это будет разность между заданной функциональной зависимостью f(x) и той
зависимостью, которую может воспроизвести механизм
А(*)=»/(*)-ФМ,
причем под разностью А (к) можно понимать не только разность ординат, ио и вообще
расстояние между графиками функций, измеренное по определенному направлению,
например по нормали к заданной кривой.
Более общим выражением является так называемая взвешенная разность, т. е.
выражение вида
где вес #(*)-—произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству
0</и<?(*)<!Л1 или 0>m>q(x)>M.
Если пределы т и М достаточно близки между собою, т. е.£вес q (х>
незначительно отличается от постоянной величины, то взвешенная разность может
характеризовать собою отклонение от заданной зависимости.
В тех случаях, когда полученное выражение разности А (х) или ^q(x) имеет
Достаточно простой вид, можно {определить неизвестные параметры механизма из
условия наименьшего уклонения этой разности от нуля.
Однако во многих практически важных задачах синтеза механизмов не удается
получить аналитическое выражение разнести А (х) или А^ (х) в приемлемом для
практических вычислений виде. В этих случаях можно ограничиться приближенным
решением задачи, заменяв действительное выражение разности А (х) или взвешенной
разности Д^ (х) их приближенными выражениями, получаемыми, например, из
разложения в степенные ряды.
Пусть функция А(х), которую следует сделать наименее уклоняющейся от нуля,
представлена в окрестности точки х = а степенным рядом
А(х) = *• + *!(*-л)+ *.(*-л)1+--+*«(*-в)я,4--- 05)
Если требуется определить условия наименьшего уклонения от нуля этой функции в
бесконечно малых пределах изменения х с точностью до величин порядка л-f-l, то
следует положить
k0 = ki =<£2 = -♦.==£„= 0. (16)
Так как коэффициенты £0, £ь..., kn являются функциями параметров механизма,
то система п-\-\ уравнений (16) и определит искомые соотношения между
параметрами механизма.
При выполнении этих соотношений максимальное' отклонение от заданной
зависимости с точностью до величин Л71*1 равно
L = ЛЯ+1Л«*4. (17)
Чем больше число уравнений (16), тем выше порядок малости величины L.
Однако число нетождественных между собою уравнений (16) не может быть больше
числа независимые параметров, определяющих механизм. Поэтому при решении задач
приближенного синтеза механизмов число членов в приближенном выражении
разности А (х)
bn(x) = ko + kl(x~a)+...+ kn(x-a)*
всегда ограничено и для повышения точности приближения к заданной зависимости
следует определить поправки к коэффициентам k0, kl9...t kn, учитывающие влияние
отброшенных членов разложения (15) на отрезке а — h4^x<^a-\-h.

— 245 —
Вычислив поправки о0, 5Ь..., Ьп при помощи метода, разработанного Чебыше-
вьш, можно затем определить размеры механизма из системы уравнений
*о + $о = О,
Ai + *i = О, (18)
*« + *я = 0.
Применим теперь метод вычисления поправок к решению задачи о нахождении
размеров параллелограма Уатта.
Заданная функциональная зависимость в этой задаче выражается в виде
уравнения прямой линии, проходящей через начало координат
у = ах. (19)
Зависимость, воспроизводимая механизмом, может быть представлена в виде
уравнения шатунной кривой [5], * описываемой точкой М (фиг. 1),
j£+*i +3y>j +3yX + 2(«P + /"-4).v< -2(*-*+4)х* -
-4(4-^x*y*+№-r* + 4)*-16d>b%+(d*-r* + 4yx*=>0, (20)
где г it d — относительные размеры звеньев механизма
AD' AD'
Отклонение от заданной зависимости, измеренное как разность ординат, равно
ДС*)= Уж -*х. (21)
Из уравнения (20) можно получить ординату ум в виде явной функции абсциссы
х, так как оно приводится к уравнению третьей степени относительно у2. Подставив
найденное выражение в (21), получим разность А(х) в виде функции абсциссы д:,_но
определить размеры механизма из условий наименьшего уклонения от нуля этой
разности на отрезке
— h<Cx^h
не, представляется возможным ввиду сложности ее аналитического выражения.
Ограничиваясь приближенным решением задачи, можно заменить действительное
выражение разности Д(д:) его приближенным выражением, полученным из
разложения в степенной ряд. Но коэффициенты этого ряда представляются в виде довольно
сложных функций размеров механизма ** (в особенности для коэффициентов при х в
степенях выше третьей).
Значительно проще можно получить решение поставленной задачи, если
воспользоваться параметрическим представлением шатунной кривой, описываемой
точкой М [5],
2 г d2 —г2 /~1—*
з>, =7lA(i-*)+ —J/—, (22)
*м = ±^4(1-*)-^ (23)
где
z = sin2 2. (24)
2
и угол ф есть угол между направлениями стержней AD и FG.
* Здесь и далее цифрами в квадратных скобках даны ссылки на литературу,
список которой помещен на стр. 254 настоящего тома.
•* См. Комментарий В. Л. Гончарова, помещенный во II томе настоящего
Собрания сочинений, стр. 474—485.

— 246 —
Уравнение заданной кривой (19) также представим в параметрической $юрме,
приняв в качестве переменного параметра величину
Имеем
} __ х* + у*
4
.У =
2а
VI+а2
-Kl—«в»
x = ±V4{l-ze) -у2
(25)
(26)
(27)
Фиг. 4
Отклонение от заданной зависимости будем измерять как разность ординат при
Z = *о
2я „
(28)
.*.
Принятый способ измерения разности А графически [представлен на фиг. 4.
Точки М и М0 соответствуют значениям 2 = z0. Абсциссы этих точек определяются
из формул (23) и (27). Нетрудно видеть, что при z = z0 и при значениях >>, близких
к у* у абсциссы х и хм мало различаются между собою и разность Д
приблизительно равна разности Д_у, измеренной при значениях х = хм. Введем обозначение
и = у 1 — z = cos--.
Тогда разность Д(*) примет вид
Д(а)=Аг/ГТ7Гг?+^-?
2л
2d Кь=1Г2 Y\ + a*
Раскладывая функцию Д(ц) в ряд Маклорена, получаем
(29)
(30)
(31)

— 247 —
где
kiSS4 + *~* __2*_ (32)
2d Ух +а*
*2 = *!^zi, (за;
Ad
fca,3<y-/^ (34)
I6rf
Если требуется определить соотношения между параметрами механизма, при
которых функция Д(ц) наименее уклоняется от нуля в бесконечно малом промежутке
изменения аргумента г/, то следует положить
*1-1±£гЛ--г^=--0. (35)
rfa-r3-4
&8 = = 0 . (36)
4д
Из уравнения (36) получаем искомое соотношение между относительными
размерами звеньев механизма
d} — г* = 4 . (37)
Из уравнения (35), принимая во внимание соотношение (37), получаем угловой
коэффициент прямой, к которой приближена траектория точки М%
а = - . (38)
г
Эта прямая есть касательная в начале координат, причем из разложения
<31) следует, что касание в данном случае — четвертого порядка.
Максимальное отклонение траектории точки М от этой прямой на отрезке
— Л<я </z
может быть приближенно с точностью до величин А5 вычислено по формуле
1п = кф> . (39)
Подставляя в формулу (39) соотношение (37), получаем
Л5
'■-*• (40)
Более точно можно подсчитать отклонение как разность ординат при х = х м
и и = Л. Имеем
2 ,г , rf2 — r2 Л
rf 2d VT=T*
'2 ^г_ _ . d* — r*
2d yTZThK'
-aW 4h*~(^jh\rl-h* + "--^ _-77=J • (41)
"1одставляя в формулу (41) соотношения (37) и (38) и производя преобразования,
юлучаем
jr = —^ • L 1 £. (42)

— 248 —
Наконец, можно определить максимальное Ln отклонение, измеренное по
нормали к заданной прямой (фиг. 5),
1п = Ly cos ф = Ly^= . (43>
Из формулы (23) видно, что расстояние от начала координат до любой точки,
лежащей на шатунной кривой, описываемой точкой М, равно
р = 2VT^x = 2Л .
Поэтому длина приближенно-прямолинейного участка /, на котором отклонение не
превышает величины Z,„, может быть определена по формуле
/ = 4Л.
(44)
Для повышения точности
приближения к заданной прямой нельзя
использовать условие
£5 = 0,
(45)
X
Фиг. 5
так как не существует механизма,
удовлетворяющего одновременно
условиям (36) и (45). Это следует
также из того, что шатунная кривая,
шарнирного четырехзвенника есть
кривая шестого порядка и не может
поэтому иметь соприкосновение выше
пятого порядка.
Однако приближение к заданной,
прямой можно значительно
улучшить, если, ограничиваясь
приближенным выражением Д(и) в виде многочлена степени не выше четвертой
А(и) xkiu + ksu*,
вычислить поправки за счет отброшенного члена k5u5.
Как было показано ранее, * величины этих поправок равны
$i = - -2- къК,
16
4
Приближенное выражение Д(и) с этими поправками имеет вид
Приравнивая нулю коэффициенты при и и я3, получим систему уравнений для
определения искомых параметров механизма
4 + d2 — г* _ 2а ЬЬУ 3(tf* — r*) — 4
"~ 16
2d
Vl+a*
16rf
-О,
42^.^-4 5h* 3(rfa-r*) — 4 _
4tf
Ш
(46)
(47>
* См. стр. 242 настоящего тома.

— 249 —
Из уравнения (47) получаем искомое соотношение между относительными
размерами звеньев механизма
*8-r2=4ii+li*- (48>
Из уравнения (46), принимая во внимание соотношение (48), получаем угловой
коэффициент прямой, к которой приближена траектория точки М,
5 5
2 + - Л2 — - ft4
^4 64
а= г , - .. , - ==:F=4- (49)
/"- (■+s-j Ч,+* *-я-Г
Прямая с угловым коэффициентом а, вычисляемым по формуле (49), по отношению
к траектории точки М будет уже не касательной, как в предыдущем случае, а
секущей.
Если угловой коэффициент а этой прямой задан, то относительные размеры
звеньев г к d определяются по формулам
УГ+а* 128 + ЗОЛ3 — 5/z*
а 16 + 15/г2
= ]fd%-
16 + 5Й'
4й+да- (51>
Отклонение траектории точки М от заданной прямой при h достаточно малом
можно подсчитать приближенно по формуле
[*я~ 16 ~ 2tf(16 + 15 Л3)
L «■ 2£- = —т^гтттт: (52)
или, более точно, по формуле (41).
Отклонение по нормали к заданной прямой при и = h можно определить по
формуле (43), в которой Ly есть разность ординат, вычисленная по формуле (41).
Длина приближенно-прямолинейного участка определяется по формуле (44).
Рассмотрим числовой пример. Дано: г = 1, / = 2. Если определять размеры
механизма из условия касания четвертого порядка шатунной кривой с касательной
в.начале координат, то размер d найдется из соотношения (37)
d = Vb~ 2,2361 .
Величина h при заданной длине / определится из формулы (44)
h = 0,5.
Угловой коэффициент прямой, к которой приближена траектория точки М,
вычисляется из формулы (38)
а = 2.
Максимальная разность ординат траектории точки М и прямой ^линии на длине
/ = 2 по формуле (42) равна
Ly = 0,02367 ■.
Максимальное отклонение, измеренное по нормали к прямой линии, по формуле
(43) равно
Zn = 0,01059*
Если применить метод поправок* то размер d определится из соотношения (48)

— 250 —
Угловой коэффициент прямой, к которой приближена траектория точки Af,
вычисляется из формулы (49)
а = 1,87104.
Максимальная разность ординат траектории точки М и прямой линии достигается
при и = h. По формуле (41) эта разность равна
Zy = 0,01129.
Максимальное отклонение, измеренное по нормали к прямой линии, по формуле
(43) равно
Ln = 0,00532.
Следовательно, применение метода поправок дало возможность уменьшить
максимальное отклонение приблизительно в два раза *при тех же значениях длины /
и размера г.
В рассмотренном примере длина приближенно-прямолинейного участка / была
выбрана весьма значительной. Если ограничиться меньшей длиной /, то применение
метода поправок даст еще большее уменьшение максимального отклонения от
заданной зависимости. Например, при Л9-= 0,1 и г = 1 в случае касания четвертого
порядка имеем: / = 4У"0Л = 1,265; [d = 2,2361; а = 2; Ly = 0,00394; L„ = 0,00176.
Применение метода поправок дает следующие результаты: d = 2,1844; а= 1,9495;
Ly = 0,00055; Ln = 0,00026, т. е. отклонение уменьшается приблизительно в семь раз.
Сопоставляя полученные результаты с числовыми данными, указанными Чебы-
шевым во вступительной части его работы, можно предполагать, что Чебышев имел
решение задачи об определении размеров параллелограма Уатта. То обстоятельство,
что Чебышев не опубликовал полученных им формул, может быть объяснено тем,
что, применяя условия наилучшего приближения шатунной кривой к прямой линии,
он получил свой оригинальный механизм, * который, так же как и параллелограм
Уатта, является симметричным шарнирным четырехзвенником, но дает значительно
лучшее приближение шатунной кривой к прямой линии.
„О НЕКОТОРОМ ВИДОИЗМЕНЕНИИ КОЛЕНЧАТОГО
ПАРАЛЛЕЛОГРАМА УАТТА"
Коленчатым или полным параллелограмом Уатта называют предложенный Уат-
том прямолинейно-направляющий механизм с пантографом (см. фиг. 2 на стр. 239).
В этом механизме точки М и С описывают подобные траектории, мало отличающиеся
на некотором участке от прямой линии.
Применяя метод разложения в ряды, Чебышев указывает видоизмененную схему
полного параллелограма Уатта и соотношения между размерами звеньев, при
которых для траектории точки С уменьшается максимальное отклонение от
прямолинейности. Вывод этих соотношений имеется в работе 3. Ш. Блоха ([2], стр. 161).
Следует отметить, что в механизме Чебышева в отличие от полного
параллелограма Уатта имеется лишь одна точка, траектория которой приближена к прямой
линии, так как для повышения точности хода точки С Чебышев отступил от
соотношений, необходимых для образования пантографа.
„ОБ ОДНОМ МЕХАНИЗМЕ"
Симметричный прямолинейно-направляющий механизм, описанный в этой статье,
может быть преобразован по теореме Робертса —- Чебышева в другой четырехзвенный
механизм, известный под названием „лямбдообразного* ([4], стр. 187): Поэтому соотно-
* См. ,06 одном механизме", стр. 10—15 настоящего тома.

— 251 —
шения между размерами звеньев, указанные Чебышевым в рассматриваемой статье
без вывода, могут быть получены из формул для лямбдообразного механизма (стр. 186
настоящего тома), подробный вывод которых дан Чебышевым на основании теории
наилучшего приближения функций.
Формулы для длины прямолинейного участка и величины максимального
отклонения от прямолинейности также могут быть получены на основании зависимостей,
данных Чебышевым в последующих его статьях, как это показал 3. Ш. Блох ([2],
стр. 141). Таблицы и графики, облегчающие пользование этими формулами, имеются
в работе И. И. Артоболевского и Н. И. Левитского ([1], стр. 96).
„0 ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ"
Выведенное в этой работе уравнение, связывающее число подвижных звеньев т,
число подвижных шарниров п и число неподвижных шарниров v при условии
определенности траекторий, описываемых звеньями, тождественно с уравнением,
известным под названием „формулы Грюблера" ([4], стр. 184). Так как Чебышев получил
это уравнение на 13 лет раньше Грюблера, то структурную формулу плоских
механизмов следует называть не формулой Грюблера, а формулой Чебышева.
Формулы для определения параметров шестизвенного механизма, дающего
приближение всей шатунной кривой к прямой линии, и соответствующий числовой пример *
даны в настоящем Собрании сочинений П. Л. Чебышева в редакции А. А. Маркова
и Н. Я. Сонина, которые исправили неточность, имевшую место в первом-издании
этой статьи.
Как показал 3. Ш. Блох ([2], стр. 165}, соотношения между размерами звеньев
прямолинейно-направляющих механизмов, упоминаемых в этой статье, получены
Чебышевым из разложения в ряды координат точки, совершающей приближенно-
прямолинейное движение.
Кроме того, 3. Ш. Блох установил ([1], стр. 105), что в формулы, определяющие
размеры одного из этих механизмов, ** вкралась опечатка. В настоящем издании
формулы для этого механизма даны с исправлениями 3. Ш. Блоха.
Отметим, что термин .мотыль", употребляемый Чебышевым в этой статье,
равнозначен термину „кривошип*.
„О ЦЕНТРОБЕЖНОМ УРАВНИТЕЛЕ"
Упоминаемый в постановке задачи полином 5-й степени (стр. 42 настоящего тома}»
который наименее уклоняется от нуля, постоянно возрастая или убывая, может быть
получен на основании общего решения, данного Чебышевым в работе „О функциях,
наименее уклоняющихся от нуля". *** Некоторые частные значения этих полиномов
имеются в работе Н. И. Левитского ([5], стр.44).
Практическое решение задачи об определении размеров регулятора основывается,
однако, на разложении в ряды. Указанные Чебышевым значения величин А, В, т% ф
и ф (стр. 40 настоящего тома) могут быть найдены из системы уравнений, которые
получаются, если приравнять нулю коэффициенты при а», а, а2, а8 и а4 ([3], стр.
Ю6-168).
„0 ЗУБЧАТЫХ КОЛЕСАХ"
Метод, которым пользуется в этой работе Чебышев, основан на замене
действительного выражения отклонения от заданной зависимости его приближенным выраже-
* См. стр. 34—36 настоящего тома.
** См. стр. 20 настоящего тома.
*** Том III настоящего Собрания сочинений, стр. 24—48 и 391—393.

— 252 —
нием, причем искомые параметры определяются из условий наименьшего отклонения
от нуля этой разности на конечном отрезке изменения аргумента. Сравнение этого
метода с методом, основанным на приравнивании нулю коэффициентов в ряде Тейлора
показывает, что в тех случаях, когда нужно получить приближение к заданной
зависимости на конечном отрезке изменения аргумента, предпочтительнее пользоваться
методом, предложенным Чебышевым в работе „О зубчатых колесах» ([5], стр. 61).
Вывод значений коэффициентов тех полиномов, которые использует Чебышев при
решении задачи о зубчатых колесах, имеется в работе 3. Ш. Блоха ([2], стр. 170)»
,0 ПРОСТЕЙШИХ ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ, СИММЕТРИЧЕСКИХ
ОКОЛО ОДНОЙ ОСИ"
Содержание этой заметки представляет собою в основном краткое изложение
результатов, подробно изложенных Чебышевым в работе: шО параллелограмах,
состоящих из трех элементов и симметрических около одной оси" (стр. 101—112
настоящего тома). Преобразования, при помощи которых могут быть получены формулы,
указанные Чебышевым в этой заметке, приведены в работе 3. Ш. Блоха ([2], стр. 129).
„О ПРОСТЕЙШИХ СОЧЛЕНЕНИЯХ"
В этой работе Чебышев доказал, независимо от английского ученого Робертса,
теорему о возможности воспроизведения одной и той же шатунной кривой раз*
личными шарнирными четырехзвенниками. Эта теорема известна теперь под
названием „теоремы Робертса — Чебышева" ([4], стр. 188).
Кроме того, в этой работе Чебышев указал соотношения между размерами звеньев
прямолинейно-направляющего механизма, в котором вся траектория некоторой точки
шатуна приближена к прямой линии. Этот механизм известен под названием
„непрерывного трансформатора Чебышева". Вывод соотношений между размерами его
звеньев дан 3. LLL Блохом ([2], стр. 139). В работе И. И. Артоболевского и
Н, И» Левитского ([1], стр. 10Э) имеются таблицы и графики, облегчающие выбор
параметров этого механизма по заданным условиям.
„О ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ
И СИММЕТРИЧЕСКИХ ОКОЛО ОДНОЙ 0СИа
Соотношения между размерами звеньев, которые указываются Чебышевым для
рассмотренных им в этой работе 'прямолинейно-направляющих механизмов, могут
быть получены из зависимостей, выведенных им в работе яО простейшей сустав-
чато i системе, доставляющей движения, симметрические около оси" (стр. 167—211
настоящего тома).
Преобразования, при помощи которых могут быть получены эти соотношения,
даны в работе 3. Ш. Блоха ([2], стр. 129). Для облегчения выбора размеров
прямолинейно-направляющих ^механизмов Чебышева по заданным 'условиям в работе
И. И. Артоболевского и Н- И. Левитского ([1], стр. 81) имеются таблицы ч графики;
указывающие зависимости между размерами звеньев,' длиною прямолинейного
участка и максимальным отклонением от прямолинейности. #
ч Чебышев рассматривал только прямолинейно-направляющие механизмы, в
которых траектория некоторой точки шатуна приближена к прямой на одном участке»
Как показано в работе Н. И. Левитского ([5], стр. 88), на основании зависимостей,
имеющихся в работах Чебышева, можно получить также прямолинейно-направляющие
механизмы с траекторией, приближенной к прямой на двух участках.

— 253 —
„О ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ТРЕХ КАКИХ-ЛИБО
ЭЛЕМЕНТОВ"
Как указывает Чебышев в этой работе; число возможных решений при заданном
шатунном треугольнике равно 18. В работе И. И. Артоболевского и Н. И- Ле-
витского ([2], стр. 102) имеется числовой пример, котором показаны 18 различных
прямолинейно-направляющих механизмов, получаемых по формулам Чебышева.
„ТЕОРЕМА ОТНОСИТЕЛЬНО КРИВОЙ УАТТА"
Кривой Уатта современники Чебышева называли шатунную кривую, т. е.
траекторию произвольной точки шатуна механизма плоского шарнирного четырехзвенника.
Формулированная в этой заметке теорема доказана Чебышевым в работе .Опарал-
лелограмах, состоящих из трех каких-либо элементов* (стрЛ13—141 настоящего тома).
„О ПРОСТЕЙШИХ ПАРАЛЛЕЛОГРАМАХ, ДОСТАВЛЯЮЩИХ
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЕТВЕРТОЙ
СТЕПЕНИ"
В этой работе Чебышев дал решение задачи об определении размеров
прямолинейно-направляющего механизма, в котором траектория, описанная некоторой точкой
шатуна, имеет с прямой касание четвертого порядка, и, кроме того, указал способ
приближенного преобразования прямолинейно-направляющих механизмов. В работе
И. И. Артоболевского и Н. И. Левитского имеется пример преобразования по этому
способу симметричного прямолинейно-направляющего механизма (£1], стр. 60).
„СЧЕТНАЯ МАШИНА С НЕПРЕРЫВНЫМ ДВИЖЕНИЕМ*4
Во времена Чебышева счетные' машины с прерывным изменением цифр суммы
обладали еще значительными конструктивными недостатками. Это, очевидно, и
побудило Чебышева к созданию счетной машины с непрерывным движением.
Если в машинах с прерывным изменением сумм цифр колесо высшего разряда
подвигается сразу на одно деление, когда колесо низшего разряда переходит с 9 на
О, то при непрерывной передаче соседнее колесо постепенно поворачивается на одно
деление, пока младшее совершает полный оборот. В модели Чебышева эта
непрерывная передача цифр суммы достигается применением планетарной передачи.
Фотография одного из ранних экземпляров арифмометра Чебышева приведена
на стр. 226 настоящего тома (фиг. 50). Более совершенная модель хранится в
Conservatoire des Arts et Metiers в Париже.
„О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
В ДВИЖЕНИЕ ПО НЕКОТОРЫМ ЛИНИЯМ ПРИ ПОМОЩИ
СОЧЛЕНЕННЫХ СИСТЕМ"
В этой заметке указаны соотношения между размерами звеньев механизма,
когда вся траектория некоторой точки шатуна приближена к окружности.
Эти соотношения могут быть получены на основании общих зависимостей,
данных Чебышевым в работе ,0 простейшей суставчатой системе, доставляющей
движения симметрические около оси" (стр. 167—211 настоящего тома).

— 254 —
Кромке Того,, указаны соотношения между размерами-звеньев прямолинейно-направ -
ляющего механизма, с траекторией, приближенной полностью к прямой линии, и
прямолинейно-направляющего механизма, в котором к прямой линии приближен участок,
соответствующий половине оборота кривошипа ([2], стр. 129). В работе
И., И. Артоболевского и Н. И. Левитского имеются таблицы и графики, облегчающие
выбор параметров этих механизмов по заданным условиям ([1], стр. 78).
„О ПРОСТЕЙШЕЙ СУСТАВЧАТОЙ СИСТЕМЕ, ДОСТАВЛЯЮЩЕЙ
ДВИЖЕНИЯ, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОКОЛО ОСИ"
В этой работе Чебышев дал подробный вывод всех необходимых зависимостей
для механизмов, в которых симметричная шатунная кривая приближена к окружности
или к прямой линии. Все полученные ранее Чебышевым формулы могут быть
выведены на основании содержащихся здесь зависимостей ([2], стр. 129). Кроме того,
указанная Чебышевым постановка задачи, соответствующая взвешенному
приближению, дала возможность в дальнейшем дать широкое определение общей постановки
задачи о синтезе механизмов с применением теории наилучшего приближения
функций ([5], стр. 48).
ЛИТЕРАТУРА
1. Артоболевский И. И. иЛевитский Н. И. Механизмы П. Л. Чебышева.
Статья в сборнике „Научное наследие П. Л. Чебышева", вып. II, изд.
АН СССР, [М.-Л., 1945.
2. Блох 3. Ш. Основные результаты работ П. Л. Чебышева по метрическому
синтезу плоских механизмов. Статья в сборнике „Научное наследие П. Л.
Чебышева", вып. II, изд. АН СССР, М.-Л., 1945.
3. Блох 3. Ш. Приближенный синтез плоских механизмов. Машгиз, 1948.
4. Добровольский В. В. Вопросы структуры механизмов в работах П. Л.
Чебышева. Статья в сборнике „Научное наследие П. Л. Чебышева*, вып. II, изд.
АН СССР, М.-Л., 1945.
5. Левитский Н. И. Синтез механизмов по Чебышеву. Изд. АН СССР, 1946.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От редакции 3
О некотором видоизменении коленчатого паралледограма Уатта ...... 5
Об одном механизме . • 10
О параллелограмах * . . 16
О центробежном уравнитгле ........ 37
О зубчатых колесах ............................. 54
О простейших параллелограмах, симметрических около одной оси ...... 85
О простейших сочленениях 92
О параллелограммах» состоящих из трех элементов и симметрических около
одной оси ................................ 101
О параллелограмах, состоящих из трех каких-либо элементов . ........ 113
Теорема относительно кривой Уатта . 142
О простейших параллелограмах, доставляющих прямолинейное движение
с точностью до четвертой степени 143
Счетная машина с непрерывным движением .................. 158
О преобразовании вращательного движения в движение по некоторым линиям
при помощи сочлененных систем 161
О простейшей суставчатой системе, доставляющей движения, симметрические
около оси 167
Модели механизмов П. Л. Чебышева. (Статья И. И, Артоболевского и
Я. И. Левитского) 212
Комментарии (Составители И, И. Артоболевской ж И. И. Левитский) 238

Пенатагтся по постановлшкйю
Редатцвонночмздамелъского comma
Академии Наук СССР
*
Режахтор издательства Я. В* Еремеев
Технический редактор Я. Л, Ау$ап
Корректор Л. К. Николаева
*
РИСО АН СССР JMs 337S. Л-11272. йздат. № 1821.
Тип, заказ №Ш1. Педп. к печ. 7 .XII 1948г.
Формат бум. 70ХЮ8*/и Печ. л» 164-1 вклейка. Уч.-
издат. л. 19,5 Тираж SO00. Цежа в переплете 30 руб.
2-я типография Издателе*аа Академии НауЕ СССР
Мссква, Шубинскнй пер., д. 10